title: Скачать презентацию или конспект Обозначение множества натуральных чисел

extracted_text:
Обозначение натуральных чисел
Урок 1
5 класс
Какие числа называются натуральными?
Числа, которые применяются для счета предметов  называются натуральными

5

14
1
ЦИФРЫ
Любое натуральное число можно записать с помощью десяти цифр:

      0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21 …
Прочти числа
125,     467,   1234,    6 000,  1156  , 98,   908,    540 ,   888 888,     54 005,
    654 321
1000 000
3  000  000
3  500  000
30 500 100
Самое маленькое натуральное число?
Самое большое натуральное число?

?
?
?
Чисел много, а цифр всего десять.

Что делать?
Сколько цифр используется в записи числа  640  046?

Сколько среди них различных?

777 777
Значение цифры зависит от ее места в записи числа
        4                единицы
     40               десятки
   432                сотни
4 001
345 043
Цифра 0 означает отсутствие единиц данного разряда в десятичной записи числа
106
60
3 098

РАЗРЯДЫ:  единицы, десятки, сотни
Если запись числа состоит из одной цифры, то его называют однозначным.
Сколько однозначных чисел существует?

Если запись числа состоит из двух цифр, то …
Трехзначное число…
Запиши в тетради
Самое маленькое двухзначное число?
Самое большое двухзначное число?
Самое маленькое трехзначное?
Самое большое трехзначное?
Запиши число
Следующее за числом 99
Предшествующее числу 300
Следующее за числом 19 999
Предшествующее числу 1200
На 1 меньше 700
На 1 больше 8 999
Многозначные числа
Двузначные
Трехзначные
Четырехзначные
Пятизначные
…..

1 000  000  - миллион
1 000 000  000 – миллиард
Классы
Для чтения многозначных чисел их разбивают, начиная справа, на группы по три цифры в каждой.
Эти группы называются классами

      5 234 567 886 509

Какие бывают классы ?
Какие бывают классы ?
Прочитай числа
Прочитай  числа
125 000
1  125  005
125  987  130
345 600 000 000
464  987  564  101
32 000 049  320
Итак…
Какие числа применяются для счета предметов?
Назовите все цифры

Назовите все числа
Приведите примеры двузначных чисел, шестизначных чисел
Назовите разряды
Назовите по порядку первые четыре класса в записи натуральных чисел


title: Скачать презентацию или конспект Геометрия 1

extracted_text:
История развития геометрии
Выполнил ученик 9 класса «А»
Сироткин Илья
pptcloud.ru
Геометрия - одна из самых древних наук, ее возраст исчисляется тысячелетиями. Геометрия (греч. geometria, от ge - Земля и metreo - мерю), раздел математики, изучающий пространственные отношения и формы, а также другие отношений и формы, сходные с пространственными по своей структуре. В геометрии много формул, фигур, теорем, задач, аксиом. Они вечны, так как на них запечатлены великие идеи, не проходящие идеи.
Древний Египет
Древний Египет считается первым государством, оставившим самые ранние математические тексты. Древние греки, достижения которых лежат в основе современной науки, считали себя учениками египтян. Геродот писал: «Египетские жрецы говорили, что царь разделил землю между всеми египтянами, дав каждому по равному прямоугольному участку; из этого он создал себе доходы, приказав ежегодно вносить налог. Если же река отнимала что-нибудь, то царь посылал людей, которые должны.  Измерить участок и уменьшить налог». Первой книгой, содержащей геометрические задачи, считается папирус Райнда (в некоторых источниках Г.Ринла), который датируется ХХ веком до нашей эры.

Возникновение и развитие геометрии
Геометрия , по свидетельству греческих историков, была перенесена в Грецию из Египта в 7 в. до н. э. Здесь на протяжении нескольких поколений она складывалась в стройную систему. Процесс этот происходил путём накопления новых геометрических знаний, выяснения связей между разными геометрическими фактами, выработки приёмов доказательств и, наконец, формирования понятий о фигуре, о геометрическом предложении и о доказательстве. Этот процесс привёл, наконец, к качественному скачку. Геометрия превратилась в самостоятельную математическую науку: появились систематические её изложения, где её предложения последовательно доказывались.
   Великий ученый        Фалес Милетский     основал одну из прекраснейших наук – геометрию.

Фалес Милетский имел титул одного из семи мудрецов Греции, он был поистине первым философом, первым математиком, астрономом и вообще первым по всем наукам в Греции.
VI век до нашей эры
Древняя Греция
Фалес решил следующие задачи.
Предложил способ определения расстояния до корабля на море.
Вычислил высоту египетской пирамиды Хеопса по длине отбрасываемой тени.
Доказал равенство углов при основании равнобедренного треугольника.
Ввел понятие движения, в частности поворота.
Доказал второй признак равенства треугольников и впервые применял его в задаче.
Теорема Фалеса о равных отрезках, отсекаемых параллельными прямыми на сторонах угла.
Задача об измерении высоты пирамиды.
        Однажды, отправившись по торговым делам в Египет, он задержался там на несколько лет. Случилось так, что фараон пожелал узнать высоту пирамиды, но никто не мог ее определить. Фалес смог легко справиться с задачей.
        Выбрав день и час, когда его собственная тень стала равной его росту, он измерил тень, отбрасываемую пирамидой, и установил, что длина тени от центра основания пирамиды до ее вершины была равна высоте этой пирамиды. Фараон и его приближенные изумились такому достаточно простому решению.

Древняя Греция
Центральное место среди античных трудов по геометрии  занимают составленные около 300 до н. э. «Начала» Евклида. Этот труд более двух тысячелетий считался образцовым изложением в духе аксиоматического метода: все положения выводятся логическим путём из небольшого числа явно указанных и не доказываемых предположений — аксиом.
Сочинение Евклида «Начала» почти 2000 лет служило основной книгой, по которой изучали геометрию.
В «Началах» были систематизированы известные к тому времени геометрические сведения, и геометрия впервые предстала как математическая наука.
Своими учебниками (то есть книгами «Начала») Евклид охватил всю элементарную математику той эпохи. «Начала» состоят из 13 книг. Первые четыре посвящены геометрии на плоскости. Каждую книгу он начинает с пяти аксиом и постулатов. Вспомните их! В первой книге излагается планиметрия прямолинейных фигур: устанавливаются их свойства, заканчивается прямой и обратной теоремой Пифагора. Во второй книге излагается основы геометрической алгебры. Третья  книга посвящена свойствам круга, в четвертой строятся правильные п-угольники при п = 3, 4, 5, 6, 10, 15. Исключительное изящное построение правильного 15-угольника принадлежит самому Евклиду. 11 книга посвящена стереометрии. Она содержит основные теоремы о прямых и плоскостях в трехмерном пространстве, задачи на построение, например как опустить перпендикуляр из данной точки на данную плоскость. 12 книга посвящена решению задачи о квадратуре круга. 13 книга излагает учение о правильных многогранниках. В целом творение Евклида величественно. Созданная им система просуществовала более двух тысяч лет. Вплоть до XX века геометрию преподавали по популярным переводам этой книги. Но последующие математики не во всем соглашались с системой аксиом и определений и пытались ее улучшить. Некоторые оказались ненужные, например, что прямые углы равны. Это очевидно из других аксиом. Особенное неудовлетворение всегда вызывал пятый постулат, утверждавший: что через любую точку плоскости можно провести только одну прямую параллельную данной. Многие считали ее теоремой и пытались ее неудачно доказать.
Древняя Греция
Средние века
Средние века немного дали геометрии, и следующим великим событием в её истории стало открытие Декартом в XVII веке координатного метода («Рассуждение о методе», 1637). Точкам сопоставляются наборы чисел, это позволяет изучать отношения между формами методами алгебры. Так появилась аналитическая геометрия, изучающая фигуры и преобразования, которые в координатах задаются алгебраическими уравнениями. Примерно одновременно с этим Паскалем и Дезаргом начато исследование свойств плоских фигур, не меняющихся при проектировании с одной плоскости на другую. Этот раздел получил название проективной геометрии. Метод координат лежит в основе появившейся несколько позже дифференциальной геометрии, где фигуры и преобразования все ещё задаются в координатах, но уже произвольными достаточно гладкими функциями.
Геометрия Лобачевского
     В 1826 году великий русский математик Николай Иванович Лобачевский поставил точку в проблеме пятого постулата.   Вместо него он принял допущение, согласно которому в плоскости можно построить, по крайней мере, две прямые, не пересекающиеся. Дальнейшие его рассуждения привели его к новой безупречной геометрической системе, называемой сейчас геометрией Лобачевского. В его геометрии сумма углов треугольника меньше 180°, в ней нет подобных фигур. В ней существуют треугольники с попарно параллельными сторонами.

Геометрия Лобачевского
Независимо от Лобачевского в 1832 ту же геометрию построил Я. Больяй (те же идеи развивал К. Гаусс, но он не опубликовал их). Лобачевский рассматривал свою геометрию как возможную теорию пространственных отношений; однако она оставалась гипотетической, пока не был выяснен (в 1868) её реальный смысл и тем самым было дано её полное обоснование. Переворот в геометрии, произведённый Лобачевским, по своему значению не уступает ни одному из переворотов в естествознании, и недаром Лобачевский был назван "Коперником геометрии". В его идеях были намечены три принципа, определившие новое развитие геометрии. Первый принцип заключается в том, что логически мыслима не одна евклидова геометрия , но и другие "геометрии". Второй принцип - это принцип самого построения новых геометрических теорий путём видоизменения и обобщения основных положений евклидовой геометрии. Третий принцип состоит в том, что истинность геометрической теории, в смысле соответствия реальным свойствам пространства, может быть проверена лишь физическим исследованием и не исключено, что такие исследования установят, в этом смысле, неточность евклидовой геометрии. Современная физика подтвердила это. Однако от этого не теряется математическая точность евклидовой геометрии, т.к. она определяется логической состоятельностью (непротиворечивостью) этой геометрии. Точно так же в отношении любой геометрической теории нужно различать их физическую и математическую истинность; первая состоит в проверяемом опытом соответствии действительности, вторая - в логической непротиворечивости. Лобачевский дал, т. о., материалистическую установку философии математики

Никола́й Ива́нович Лобаче́вский (20 ноября (1 декабря) 1792, Нижний Новгород — 12 (24) февраля 1856, Казань), великий русский математик, создатель геометрии Лобачевского, деятель университетского образования и народного просвещения. Известный английский математик Уильям Клиффорд назвал Лобачевского «Коперником геометрии».
Юбилейные медали
Геометрические  фигуры  вокруг нас


title: Скачать презентацию или конспект Прямая и обратная пропорциональные зависимости

extracted_text:
Урок по теме «Прямая и обратная пропорциональные зависимости»

Ну-ка же, проверь, дружок,
Ты готов начать урок?
Все ль на месте,
Все ль в порядке-
Ручка, книжка и тетрадка?
Все ли правильно сидят?
Все ль внимательно глядят?
И удача пусть ждет вас.
За работу, в добрый час!

«Соберите»  правило
 1. Пропорция - это…

 2. Основное свойство пропорции-

 3. Прямо пропорциональные величины – это …

 4. Если произведение крайних членов пропорции равно произведению средних, то …

 5. Обратно пропорциональные величины – это…

      А) такие величины, когда при увеличении одной величины в несколько раз, другая уменьшается во столько же раз.

     В) произведение крайних членов равно произведению средних членов пропорции

     С) пропорция верна

     D) равенство двух отношений

     Е) такие величины, когда при увеличении одной величины в несколько раз, другая увеличивается во столько же раз.

      Устный счет

Найдите неизвестный член пропорции:

?
?
?
Тема урока: «Прямая и обратная пропорциональные зависимости»

Задачи

а) На пошив 9 рубашек ушло 18,9 м ткани. Сколько метров ткани уйдет
   на  пошив 12 таких рубашек ?

б) С помощью  6 одинаковых труб бассейн заполняется водой за 24
   минуты. За сколько минут можно заполнить бассейн с помощью
   9 таких труб?

в) Бригада из 8 рабочих выполняет задание за 12 дней. Сколько
   рабочих смогут выполнить задание за 8 дней, работая с такой же
   производительностью?

г) Из 9,6 кг помидоров получают 4 л томатного соуса. Сколько литров
   соуса можно получить из 84 кг помидоров?
Составить пропорции для решения задач
I- вариант                    II- вариант
    в) и  г)                          а) и  б)
          I- вариант                     II – вариант

                в) и г)                                   а) и б)

                          в)  Х : 8= 12 : 8                              а)  9 : 12=18,9 : Х

                       г)  84 : 9,6= Х : 4                            б)  9 : 6=24 : Х
За 6 ч поезд прошел 480 км. Какой путь прошел поезд за первые 2 ч, если его скорость была постоянна.
Ответ: 160 (км)
Письмо от Чебурашки:
   «Мы с крокодилом Геной решили расчистить площадку для строительства дома, в котором будут жить друзья. Для этого три экскаватора работали 350 минут. За сколько минут эту площадку  расчистили бы десять          экскаваторов?»
Решение
      Количество экскаваторов      Время.(мин)
                             3                         350
                            10                          х

        3:10=х:350
        х=350*3:10
        х= 105 (мин).       Ответ: 105 мин.

Для варки варенья из яблок на 6 кг яблок берут 4 кг сахарного песка. Сколько килограммов сахарного песка надо взять на 12 кг яблок?
Ответ: 8 кг.
Проверочный тест

«5»- две задачи решены верно
«4» – одна задача решена верна, а в другой вычислительная ошибка
«3»-  одна задача решена верно
«2»- задачи не решены

 Проверка
1 вариант
1) б) 4часа;

2) а) 4 машины.

2 вариант
1) б) 4машины;

2) а) 216 дней.

3 вариант
1) б) 15 дней;

2) а) 6 часов.

«5»- две задачи решены верно
«4» – одна задача решена верна, а в другой вычислительная ошибка
«3»-  одна задача решена верно
«2»- задачи не решены
Планета «Все наоборот»
  -Представьте себе, что вы попали на планету, на которой нарушились математические и физические законы (произошла «путаница»): для процессов, описываемых прямой пропорциональностью, используют обратную и наоборот, поэтому на планете говорят:

- Чем больше ты купил конфет, тем меньше заплатил денег.
- Чем дольше горит свеча, тем длиннее она становится.
Помогите исправить ошибки.

Домашнее задание
        № 798            №803 (а,б).
Спасибо за урок


title: Скачать презентацию или конспект Рациональные выражения

extracted_text:
Рациональные выражения
2.09.2010
Выражения.
Какие бывают выражения?

В чем отличие?
Проверим?

Целые
Если алгебраическое выражение не содержит деления на переменные, то его называют целым выражением.

7х+2
2(m+n)
a
4
назад
Дробные
Если алгебраическое выражение составлено из чисел и переменных с помощью действий сложения, вычитания, умножения, возведения в степень с натуральным показателем и деления, причем используя деление на выражения с переменными, то его называют дробным выражением.
назад
Выберите дробные выражения m2 – n2	                                    a * (a - 2)

Объясни!

Целые  и дробные выражения называются рациональными выражениями.
Целое выражение имеет смысл при любых значениях переменной.
Дробное выражение при некоторых значениях переменной	 может не иметь смысла.

Выберите выражение, которое не имеет смысла при а = 0
1)

.

Значения переменных, при которых выражение имеет смысл,  называют допустимыми значениями переменных.
Рациональные дроби – это дроби, в которых числитель и знаменатель многочлены.


title: Скачать презентацию или конспект Решение комбинаторных задач

extracted_text:
Решение комбинаторных задач.Правило произведения
МОУ СОШ №12 г.о.Жуковский
Московской области
Богданова С.В.
pptcloud.ru
2
Эпиграф урока:

.
.
«Число, место и комбинация – три взаимно перекрещивающиеся, но отличные сферы мышления, к которым можно отнести все математические идеи».
Дж. Сильвестр
3
                Что такое комбинаторика?
 Комбинаторика – это раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов.
 Выбором объектов и расположением их в том или ином порядке приходится заниматься чуть ли не во всех областях человеческой деятельности, например конструктору, разрабатывающему новую модель  механизма, ученому-агроному, планирующему распределение  с/х культур на нескольких полях, химику, изучающему строение органических молекул, имеющих данный атомный состав.
4
             Из истории комбинаторики
С комбинаторными задачами люди столкнулись в глубокой древности. В Древнем Китае увлекались составлением магических квадратов. В Древней Греции занимались теорией фигурных чисел.

              Комбинаторные задачи возникли и в связи с такими играми, как шашки, шахматы, домино, карты, кости и т.д. Комбинаторика становится наукой лишь в 18 в. – в период, когда возникла теория вероятности.
5
В Древней Греции
подсчитывали число различных комбинаций длинных и коротких слогов в стихотворных размерах,  занимались теорией фигурных чисел, изучали фигуры, которые можно составить из частей и т.д.
Со временем появились различные игры
(нарды, карты, шашки, шахматы и т. д.)
В каждой из этих игр приходилось рассматривать различные сочетания фигур, и выигрывал тот, кто их лучше изучал, знал выигрышные комбинации и умел избегать проигрышных.
6
          Готфрид Вильгельм Лейбниц         (1.07.1646 - 14.11.1716)
Комбинаторику, как самостоятельный раздел математики первым стал рассматривать немецкий ученый Г. Лейбниц в своей работе «Об искусстве комбинаторики», опубликованной в 1666г. Он также впервые ввел термин «Комбинаторика».
Леонард Эйлер(1707-1783)
рассматривал задачи о разбиении чисел, о паросочетаниях, циклических расстановках, о построении магических и латинских квадратов, положил начало совершенно новой области исследований, выросшей впоследствии в большую и важную науку—топологию, которая изучает общие свойства пространства и фигур.
7
Для вывода формул автор использовал наиболее простые и наглядные методы, сопровождая их многочисленными таблицами и примерами. Сочинение Я. Бернулли превзошло работы его предшественников и современников систематичностью, простотой методов, строгостью изложения и в течение XVIII века пользовалось известностью не только как серьёзного научного трактата, но и как учебно-справочного издания.
8
    Методы решения комбинаторных задач
Правило суммы.

2.   Правило произведения

3.   Таблицы.

4.   Графы (деревья).

5.   Формулы.
9
           Правило суммы
Если элемент А может быть выбран к1 способами, а элемент В – к2 способами, причем выборы А и В являются взаимно исключающими, то выбор «либо А, либо В» может быть осуществлен к1+к2 способами.

Задача 1. Сколько существует способов выбрать кратное двум или трем число из множества чисел : 2,3,4,15,16,20,21, 75,28 ?
Решение: к1=5 –кратное 2  (2,4,16,20,28),
                  к2=4 – кратное 3  (3,15,21,75)
                  к1+к2 = 5+4 = 9
10
         Правило произведения
Если элемент А может быть выбран к1 способами, а элемент В – к2 способами, то выбор «А и В» может быть осуществлен к1хк2 способами.

Задача 2. а) Сколько различных двузначных чисел можно составить из цифр 1,3,5,7,9?

Решение: N= 5х5 = 25 ( Если не сказано, что элемент не повторяется, то выборка с повторениями)

                б) Сколько среди них чисел, кратных 5?

Решение: Число кратно 5, если оканчивается цифрой 5 или 0. В нашем случае – 5.
На первой позиции фиксируем одну из пяти цифр, на второй – 5.
                  N= 5х1 =5
11
в)  Сколько среди них чисел, кратных 11?
Решение: Двузначное число кратно 11, если обе его цифры одинаковы. N= 5

г) Сколько среди них чисел, кратных 3?
Решение: Число кратно 3, если сумма его цифр делится на 3. Составим всевозможные пары:
1 -1  3 -3  5 – 5  7 – 7  9 -9
1 -3  3 -5  5 – 7  7 – 9
1 -5  3 -7  5 -9
1 -7  3 – 9
1 – 9
Таких пар 15. Среди них 5 пар, сумма которых делится на 3, причем три пары допускают перестановку, т.е. могут образовать по два разных числа. Всего 5+3=8 различных двузначных чисел.
        Правило произведения
12
Задача 3. Сколько существует способов занять 1-ое, 2-ое и 3-е места на чемпионате по футболу, в котором участвуюта) 10 команд
Решение: N=10х9х8=720

б) 11 команд?
Решение: N=11х10х9х8=990
Правило произведения
13
Задача 4. Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр   0, 1,2,3,4, если
а) цифры не повторяются?

Решение: На первом месте одна из 4-х цифр ( 0 не может быть), на 2-ом – одна из оставшихся 4-х:
N=4х4= 16

б) цифры могут повторяться
Решение: На 1-ом месте может быть одна из 4-х цифр, на 2-ом – одна из 5 (0 входит):
N=4х5= 20
      Правило произведения
Правило произведения
14
Задача 5. Несколько стран в качестве символа своего государства решили использовать флаг в виде четырех горизонтальных полос, одинаковых по ширине, но разных по цвету: белый, синий, красный, зеленый. У каждой страны свой, отличный от других, флаг.
а)Сколько всего стран могут использовать такую символику?

Решение: Цвет верхней полосы можно выбрать одним из 4 способов, второй полосы – одним из трех оставшихся, цвет 3 полосы – одним из 2 оставшихся, а 4 – одним способом. По правилу произведения N=4х3х2х1=24
15
б) Сколько стран могут использовать такую символику с синей и красной полосами, расположенными рядом?

Решение: Две полосы, всегда расположенные рядом, можно рассматривать как одну полосу, тогда полос останется 3, из них можно составить 3х2х1=6 разных флагов. Но две полосы (синюю и красную) можно «склеить» по-разному: синяя, а под ней красная, или красная, а под ней синяя. Поэтому общее количество вариантов по правилу суммы равно 6+6=12
     Правило произведения
16
в) Сколько всего стран могут использовать такую символику с нижней белой полосой?

Решение: Если фиксировать цвет нижней полосы, то цвета трех расположенных над ней полос можно выбрать 3х2х1 = 6 способами
     Правило произведения
г) Сколько стран могут использовать такую символику с верхней белой полосой?
Решение: Если фиксировать цвет белой полосы, то цвета следующих полос можно выбрать 3х2х1 = 6 способами.
Правило произведения
Задача 6. В клетки квадратной таблицы 2х2 произвольно ставят крестики и нолики.
а) Сколькими способами можно заполнить эту таблицу?
Решение: Для заполнения первой клетки есть 2 способа ( крестик или нолик); для заполнения каждой последующей – тоже 2 способа; общее количество способов заполнить таблицу по правилу произведения равно 2х2х2х2=16.

17
18
    Правило произведения
б) В скольких случаях в верхней левой и нижней правой будут разные значки?

Решение: Если в верхней клетке – крестик, а нижней – нолик, то остальные клетки можно заполнить 2х2=4 способами. Если в верхней клетке – нолик, в нижней – крестик, то еще 4 способа заполнения. Всего 4+4=8 способов.
Правило произведения
19
в) В скольких случаях в левой нижней клетке будет стоять крестик?

Решение: Если в левой нижней клетке фиксируем крестик, то остальные 3 клетки можно заполнить 2х2х2=8 различными способами

 Правило произведения
Задача 7. Сколькими способами можно посадить шестерых школьников на скамейку так, чтобы Коля и Оля оказались рядом?
Решение: Будем считать, что на скамейке 6 пустых мест. Посадить Колю можно шестью способами, после чего Олю посадить рядом с ним одним или двумя способами. Это зависит от того, куда мы посадили Колю – на крайнее место или нет.
20
Правило произведения
Пусть Коля сидит на краю. Место на краю можно выбрать 2 способами, после чего Олю можно посадить одним способом, после чего оставшиеся 4 места можно занять 4х3х2х1 способами, значит, всего 2х1х4х3х2х2=48 способов

Коля сидит где-то в середине. Место для Коли можно выбрать 4 способами, Олю можно посадить 2 способами, значит, всего
4х2х4х3х2х1=192 способами.

По правилу сложения 48+192= 240 способов
21
Правило произведения
Задача 8. Из цифр 1,2,3,5 составили все возможные четырехзначные числа (без повторения цифр). Сколько среди них таких чисел, которые больше 2000, но меньше 5000?

Решение: Выбор 1-ой цифры – 2 способа (3,4), 2-ой цифры – 3 способа, третьей – 2 способа, четвертой -1. По правилу произведения N=2х3х2х1=12 чисел.

22
Правило произведения
Задача 9. На входной двери дома установлен домофон, на котором нанесены цифры 0,1,2,…9.Каждая квартира получает кодовый замок из двух цифр типа 0-2, 3-7 и т.п. Хватит ли кодовых замков для всех квартир, если в доме 96 квартир? (код 0-0 не существует)
Решение: Выбор 1-й цифры – 10 вариантов, 2-й –10 вариантов.
Всего 10х10 – 1 = 99 вариантов
Ответ: хватит.

23
Правило произведения
Задача 10. В контрольной работе будет 5 задач – по одной из каждой пройденной темы. Задачи будут взяты из общего списка по 10 задач в каждой теме, а всего было пройдено 5 тем. При подготовке к контрольной работе Вова решил только по 8 задач в каждой теме. Найдите:
а) общее число всех возможных вариантов контрольной работы

Решение: Каждая задача может быть выбрана 10 способами. По правилу произведения N=10х10х10х10х10=100000

24
Правило произведения
б) число тех вариантов, в которых Вова умеет решать все 5 задач
Решение: N=8х8х8х8х8=32768
в) число тех вариантов, в которых Вова не сможет решить ни одной задачи
Решение: N=2х2х2х2х2=32
г) число тех вариантов, в которых Вова умеет решать все задачи, кроме первой.
Решение: N=2х8х8х8х8=8192

25
Правило произведения
Задача 11. Три вершины правильного 10-угольника покрасили в рыжий цвет, а остальные – в черный. Сколько можно провести отрезков с разноцветными концами?

Решение: Первую рыжую вершину можно соединить отрезком с любой из 10 – 3 = 7 черных вершин, после этого вторую рыжую вершину можно соединить отрезком с любой из 6 оставшихся черных вершин, а третью рыжую – с любой из 5 оставшихся черных вершин. Общее число вариантов (отрезков с разноцветными концами) по правилу произведения равно:
7х6х5=210
26
Правило произведения
Задача 12. Сколько ребер имеет полный граф (каждая вершина соединена с каждой), если количество его вершин 12?
Решение: Первую вершину можно выбрать из 12, вторую – из 11; всего 12х11=132 пары. Но они учитывают порядок выбора (каждая пара входит дважды). Поэтому количество ребер равно 12х11:2=66

27
Таблицы вариантов
     Задача 13

Составляя расписание уроков на понедельник для 7а класса, завуч хочет первым уроком поставить либо физику, либо алгебру, а вторым – либо русский язык, либо литературу, либо историю. Сколько существует вариантов составления расписания на первые два урока?
Решение: Составим таблицу вариантов:
Всего существует 2х3 = 6 вариантов

28
Таблицы вариантов
Задача 14

Сколько двузначных чисел, кратных 3, можно получить из цифр 1,3,5,7,9?
а) цифры не повторяются -
6 вариантов (15,39,57,51,75,93)
б) цифры могут повторяться – 8 вариантов (еще 33,99)

29
Подсчет вариантов с помощью графов
Задача 15. При встрече каждый из друзей пожал другому руку. Сколько было рукопожатий, если друзей:
а) трое ; б) четверо ;  в) пятеро?
     N=3            N=6               N=10

30

Подсчет вариантов с помощью графов
Задача 16. По окончании деловой встречи специалисты обменялись визитными карточками. Сколько всего визитных карточек было роздано, если специалистов было
а) трое ; б) четверо ;  в) пятеро?
     N=3            N=6               N=10

31

Задача 17. Сколько различных двухзначных чисел можно записать, используя цифры 2, 7, 9 если цифры в этих числах могут повторяться?
22     27     29     72     77     79     92     97     99
32
2
7
9
9
7
2
2
9
7
9
7
2
*
Граф-дерево
Задача 18. Маше на день рождения подарили 3 букета цветов: из роз (р), астр (а) и гвоздик (г). В доме было 2 вазы: хрустальная (х) и керамическая (к). Маша пробовала устанавливать каждый букет в каждую вазу. Перечислить все полученные сочетания букета с вазой.
33
Виды выборок
Перестановки без повторений
Размещения   без повторений
Сочетания без повторений
Размещения с повторениями (строки)
Перестановки с повторениями
Сочетания с повторениями
Разбиения
Подмножества

34
Формулы комбинаторики
Факториал числа - произведение n первых натуральных чисел обозначается n!
5!=1*2*3*4*5=120; n!=1*2*3*…*(n-1)*n
Перестановка без повторений.
Задача 19. Даны  цифр: 1,2,3,4,5,6,7. Сколько различных чисел можно составить из этих цифр? Каждое число является перестановкой из 7 элементов.
Примеры: 1234567, 2354167, 7546321.
Перестановка-упорядоченное множество.
Число перестановок из n элементов вычисляют по формуле Pn=n!.
По условию n=7
Так  из 7 цифр можно 7!=1*2*3*4*5*6*7=5040 различных чисел.
35
Формулы комбинаторики
Перестановка с повторениями.
Задача 20 .Даны  цифр: 1,2,2,3,3,3,4,. Сколько различных чисел можно составить из этих цифр? Каждое число является перестановкой из 7 элементов.
Примеры: 1223334, 4232331,2233314.
Некоторые числа при перестановке одинаковых цифр не меняется. Число таких перестановок вычисляется по формуле Pn=n!/(n1!*n2!*n3!).
По условию n=7, n1=2 , n2=3
Получаем 7!/(2!*3!)=5040/12=420 различных чисел.

36
Формулы комбинаторики
Сочетание.
     Задача 21. Имеется 7 цветных карандашей. Выбирается 3 карандаша. Сколько существует способов выбрать 3 карандаша, чтобы не было повторяющихся наборов? Выборка из трёх карандашей – это сочетание из 7-ми по 3 элемента в каждом.
Сочетание - неупорядоченная выборка.
      Число сочетаний из n элементов по m в каждом находим по формуле: Cn = n!/(m!*(n-m)!).
     Решение: 7!/(4!*3!)=7*6*5=210
    Задача 22. В классе обучается 20 человек. Сколько существует способов выбрать актив, состоящий из 4 человек?
     Решение. Находим число сочетаний из 20 элементов по 4 в каждом: 20!/(4!*16!)=17*18*19*20/24=4845 способов выбрать актив.

37
Формулы комбинаторики
     Размещение.
     Задача 23. Буквы алфавита записаны на карточках. Выбирается 4 карточки и затем из набора составляют различные слова. Под словом будем понимать порядок следования букв. Например:
     плот, лотп, лпот- разные слова. Каждое полученное слово-это размещение.
     Размещение –упорядоченная выборка
     Число  размещений из n элементов по m в каждом находим по формуле: An =n!/(n-m)!.
     Сколько слов можно получить в предложенной задаче? По формуле получаем решение
      32!/(32-4)!=32!/28!=29*30*31*32=863040
38
39

Источники:
В.Н.Студеницкая.. Решение задач по статистике, комбинаторике и теории вероятностей
Разработка презентации   Шаховой Т.А. из Мурманска ( оформление) «Учительский портал», ,Степушкиной Н.Ю.  Спасибо!!!


title: Скачать презентацию или конспект Метод проектов на уроке математики

extracted_text:
1
Метод проектов на уроке математики
Учитель математики
Нелаева Ю.В.
2
Метод проектов на уроке математики
Координатная плоскость

х
у

А

В
3
Метод проектов на уроке математики
«Погружение в проект»

1.    Ознакомление с теоретическим материалом.

2.    Решение разнообразных задач.

3.    Предлагается выполнить проект на тему «Координатная плоскость»

4
Метод проектов на уроке математики
Организационный момент.

   Ученики делятся на 3 группы:

1 группа: Разработка задач на тему
    «Математический сад».

2 группа: Подготовка сообщения
   «Координаты в различных профессиях».

3 группа: Путешествие в будущее
    «Встреча с координатами».
5
Метод проектов на уроке математики
Сроки выполнения

На выполнение проекта даётся 3- 5 дней.

Критерии оценки проекта:

Полнота раскрытия темы.
Оригинальность решения проблемы.
Качество выполнения труда.
Убедительность презентации.
6
Метод проектов на уроке математики
Презентация работ

      1 группа разработала комплект задач на построение по заданным координатам различных растений, фруктов и овощей.
7
Метод проектов на уроке математики
Презентация работ

      2 группа, используя сеть Интернет, беседы с родителями, составила небольшой доклад и представила его перед классом.
8
Метод проектов на уроке математики
Презентация работ

       3 группа подготовила чертежи и названия графиков, которые будут изучать в старших классах. Убедила учащихся класса в актуальности и важности этой темы.

9

Наибольшее и наименьшее
значения функции
Метод проектов на уроке математики

10
«Погружение в проект»

Ознакомление с теоретическим материалом.
Пример решения прикладной задачи.
Предложение выполнить дома проект по теме: «При каких значениях длины и ширины прямоугольника его площадь имеет максимальное значение».
    В качестве прямоугольников рассмотрим площадь основания зданий.

Метод проектов на уроке математики
11

      Формируется 2 группы:

1 группа  получает задание - измерить длину и ширину домов частного сектора, посчитать площадь.

2 группа измеряет длину и ширину административного здания (2 корпус ЦО «Смена»), считает площадь.

Организационный момент.

Метод проектов на уроке математики
12
Постановка задачи

Рассчитать при каких значениях длины и ширины, измеряемых зданий – площадь будет максимальна.

2.    Проанализировать соответствие действительной и максимальной площади.

Метод проектов на уроке математики
13
Сроки выполнения

       Презентация проекта происходит на следующем уроке.

Критерии оценки проекта

Полнота раскрытия темы.
Оригинальность решения проблемы.
Качество выполнения труда.

Метод проектов на уроке математики
14
Презентация работ

Заслушивание 1-ой группы.

2.    Заслушивание 2-ой группы.

3.    Ребята совместно приходят к выводу, что площадь прямоугольника при фиксированном периметре является максимальной если прямоугольник является квадратом.
.

Метод проектов на уроке математики
15

Следствие

Тогда возникает следующий вопрос:

     Почему  больницы, школы, детские сады и многие другие административные здания строят в форме прямоугольника, а дома частного сектора в форме квадратов?

      Предлагается дома подумать над этим вопросом и на следующем уроке обосновать своё мнение.
Метод проектов на уроке математики
16

комната
Метод проектов на уроке математики
План выполнения работы
Ребятам предлагается вырезать прямоугольник и квадрат одинаковой площади. Наложить на эти фигуры прямоугольник меньшей площади и … сделать выводы.
17

Метод проектов на уроке математики

Итоги исследования
18
Плюсы проектной деятельности

Каждый ученик участвует в учебном процессе.
Работа выполняется в собственном ритме.
Использование полученных знаний в практике.

Метод проектов на уроке математики
19
Метод проектов на уроке математики
 Темы исследовательских работ

«Обыкновенные дроби» (5-6 класс)
«Осевая и центральная симметрия» (7-8 класс)
«Как разбогатеть, если разводить кроликов»
        (9 класс)
«Параллельные прямые» (10 класс)
«Объём параллелепипеда»
      (12 класс)

20
Спасибо
за внимание!
Метод проектов на уроке математики


title: Скачать презентацию или конспект Смеси и сплавы-задачи

extracted_text:
Задачи на смеси и сплавы
Учитель математики
Байгулова Нина Витальевна
МАОУ СОШ №58
Посёлок Мулино
Володарский район Нижегородская область

Задачи на смеси и сплавы охватывают большой круг ситуаций:

 смешение товаров разной цены;
 смешение жидкостей с различным содержанием соли;
 смешение кислот разной концентрации;
 сплавление металлов с разным содержанием некоторого металла.

Основные сведения
При решении текстовых задач на смеси и сплавы постоянно приходится работать со следующими понятиями.
Абсолютное содержание вещества в смеси – это количество вещества, выраженное в обычных единицах измерения (граммах, литрах и т.д.).
Относительное содержание вещества в смеси – это отношение абсолютного содержания к общей массе (объему) смеси, т.е.
относительное содержание = абсолютное содержание
                                                 общая масса
Часто относительное содержание называют концентрацией или процентным содержанием, а абсолютное содержание - количество чистого вещества.

Алгоритм1.Арифметический способ решения
При образовании смеси складываются абсолютные содержания. Поэтому, если известны только относительные содержания, то нужно:
подсчитать абсолютные содержания компонентов каждой  смеси;
сложить абсолютные содержания, то есть подсчитать абсолютные содержания компонентов полученной смеси;
найти массу полученной смеси;
подсчитать относительное содержание компонентов полученной смеси.
Записать ответ.

Задача 1. Даны два куска с различным содержанием олова. Первый, массой 300г, содержит 20% олова. Второй, массой 200г, содержит 40% олова. Сколько процентов олова будет содержать сплав, полученный из этих кусков?

Решение.

300 •20 : 100 = 60 (г) - олова в первом сплаве,                               200 • 40 : 100 = 80 (г) - олова во втором  сплаве ;
60 + 80 = 140 (г) -  олова   в двух сплавах вместе;
200 + 300 = 500 (г) – масса куска после сплавления;
140 : 500 • 100 = 28% -содержится олова после сплавления.

300г
20% олова
200г
40% олова
Ответ: 28%.

Проверь себя
Смешали 300г 50%-го и 100г 30%-го раствора кислоты. Определите процентное содержание кислоты в полученной смеси.
(Из «Арифметики» А.П. Киселева) 30 ведер вина в 48 градусов смешано с 24 ведрами вина в 36 градусов. Сколько градусов в смеси? (Число градусов означает процентное содержание чистого спирта в вине)
Имеется чай двух сортов – по 80р. И 120р. За 1кг. Смешали 300г первого и 200 г второго сорта. Определите цену 100г полученной смеси.
(Из «Арифметики» А.П. Киселева) Смешано три сорта муки: 15 фунтов по 8к., 20фунтов по 7к. и 25 фунтов по 4к. за фунт. Что стоит фунт смеси?
Сплавили 2 кг сплава цинка и меди, содержащего 20% цинка, и 6 кг сплава цинка и меди, содержащего 40% цинка. Найдите процентную концентрацию меди в получившемся сплаве.

Алгоритм2. Применение линейного уравнения
При составлении уравнения прослеживается содержание какого-нибудь одного вещества из тех, которые сплавляются (смешиваются) и т.д.

Обозначить  неизвестную величину  через х.
Составить уравнение по условию задачи.
Решить получившееся уравнение.
Перейти к условию задачи (ответить на вопрос).
Записать ответ.

Задача 2.Сколько литров воды надо добавить к 20 литрам 5% раствора соли, чтобы получить 4% раствор?
Решение.
 Пусть количество добавленной воды – х (л),
тогда масса нового раствора – 20+х (л),
20×0,05=1(л)- содержится соли в 20 литрах 5% раствора.
Имеем : соли   1 (л)    это  4%,
        раствора  20+х (л) это 100%.
Составим и решим уравнение:

Ответ: 5 литров воды надо добавить.
  20 (л)

5% соли

Проверь себя.
	У торговца имеется два бочонка вина: емкостью 40л и емкостью 10л. Цены вина за литр различны, но неизвестны. По какому одинаковому количеству вина надо взять из каждого бочонка и перелить в другой бочонок, чтобы цена вина за литр в двух бочонках сравнялась.
Имеется кусок сплава меди с оловом 12кг содержащий 45% меди. Сколько чистого олова надо прибавить к этому сплаву, чтобы получился новый сплав содержащий 40% меди?
Из сосуда, содержащего 54л чистой кислоты, вылили несколько литров и после этого долили сосуд водой до прежнего объема. Затем из сосуда вылили смеси столько же литров, как и в первый раз. В результате в смеси, оставшейся в сосуде, осталось чистой кислоты 24л. Сколько кислоты вылили в первый раз?

Алгоритм 3. Применение систем линейных уравнений
Обозначить  одну неизвестную величину  через х, другую неизвестную величину  через у.
Составить  систему двух линейных уравнений по условию задачи.
Решить получившуюся систему уравнений.
Перейти к условию задачи (ответить на вопрос).
Записать ответ.

Задача 3. Имеется два раствора поваренной соли разной концентрации. Если слить вместе 100г первого раствора и 200 г второго раствора, то получится 50%-й раствор. Если же слить вместе 300г первого раствора и 200г второго, то получится 42%-й раствор. Найти концентрацию второго раствора.

Решение.

Пусть процентное содержание соли в первом растворе – х %,
а во втором растворе – у %.

Составим и решим систему уравнений:
  х + 2у = 0,5·(100+200),
  3х + 2у = 0,42(300+200);

  х  + 2у = 150,
  3х + 2у = 210;

  2х = 60,
  х + 2у= 150;

  х = 30,
  у = 60.

Ответ: 60% концентрация второго раствора.
100 (г)
200 (г)

Проверь себя.
 В сосуде было 12 л чистого спирта. Часть спирта отлили и сосуд долили водой. Затем отлили ещё столько же и опять долили водой. Сколько (в литрах) отливали каждый раз, если в сосуде оказался 25%-й раствор спирта?
В каждой из двух бочек содержится по 10 вёдер смеси спирта с водой. На 3 части воды приходится в первой бочке 7 частей спирта, а во второй- 2 части спирта. По сколько вёдер нужно взять из этих бочек для составления новой смеси, содержащей спирт и воду в отношении 5:3, чтобы из оставшейся в бочках смеси получить смесь, в которой спирта и воды поровну?
Имеются два раствора кислоты разной концентрации. Объем одного раствора – 4л, а другого -6л. Если их слить вместе, то получится 35%-ный раствор кислоты. Если же слить равные объемы этих растворов, то получится 36%-ный раствор кислоты. Сколько литров кислоты содержится в каждом из них первоначальных растворов?
Имеются два раствора кислоты разной концентрации. Объем одного раствора – 4л, а другого -6л. Если их слить вместе, то получится 35%-ный раствор кислоты. Если же слить равные объемы этих растворов, то получится 36%-ный раствор кислоты. Сколько литров кислоты содержится в каждом из них первоначальных растворов?

Литературные источники.
1. Шевкин А.В. Текстовые задачи. 7-11 классы: Учебное пособие по математике. –М.:Русское слово – РС,2005.
2. Шагин В.Л. Вступительные экзамены по математике в Высшей школе экономики,1995-1996. – М.:Вита-Пресс,1998
 3. Семёнова А.Л. ЕГЭ 2012. Математика. Типовые экзаменационные варианты. -М.: Национальное образование , 2011.
4. Лебедев В.В.,Михайлов П.А.,Ефимова М.В. Пособие по математике для подготовки к вступительному экзамену в Государственную академию управления. -М.:ГАУ,УЦ «АЗЪ»,1998.
5. Математика, № 6, 2006. (Приложение «1 сентября»).


title: Скачать презентацию или конспект Применения производной к исследованию функций

extracted_text:
Применения производной к исследованию функций
Оглавление
Схема исследования функций;
Признак возрастания (убывания) функции:
Достаточный признак возрастания функции;
Достаточный признак убывания функции;
Критические точки функции:
Необходимое условие экстремума;
Признак максимума функции;
Признак минимума функции.
Схема исследования функций
Найти области определения и значений данной функции f.
Выяснить, обладает ли функция особенностями, облегчающими исследование.
Вычислить координаты точек пересечения графика с осями координат.
Найти промежутки знакопостоянства функции f.
Выяснить, на каких промежутках функция f возрастает, а на каких убывает.
Найти точки и вид экстремума и вычислить значения f в этих точках.
Исследовать поведение функции f в окрестности характерных точек, не входящих в область определения.

Признак возрастания (убывания) функции
Достаточный признак возрастания функции. Если f´ (x) > 0 в каждой точке интервала I, то функция возрастает на I.
Достаточный признак убывания функции. Если f´ (х) < 0 в каждой точке интервала I, то функция убывает на I.
Доказательство признака возрастания (убывания) функции
   Доказательство проводится на основании формулы Лагранжа:

			    f´

Пример нахождения промежутков возрастания (убывания) функции
Дано:
f (x) = -2x + sin x
Найти:
промежутки возрастания (убывания) функции
Решение
Функция определена на всей числовой прямой.
Найдем f´ (x). f´ (x) = -2 + cos x.
| cos x | ≤ 1 => f´ (x) < 0 для всех действительных х.
Вывод: f (x) = -2x +  sin x убывает на всей числовой прямой
Критические точки функции, максимумы и минимумы
Необходимое условие экстремума (теорема Ферма)
   Если точка х0 является точкой экстремума функции f и в этой точке существует производная f´, то она равна нулю: f´(х0) = 0

	Теорема Ферма есть лишь необходимое условие экстремума. Из того, что производная в точке х0 обращается в нуль, необязательно следует, что в этой точке функция имеет экстремум.
Примеры критических точек, в которых производная не существует
Признак максимума функции
   Если функция f непрерывна в точке х0, а f´ (х) > 0 на интервале (а; х0) и f´ (х) < 0 на интервале (х0; b), то точка х0 является точкой максимума функции f.
Упрощённая формулировка признака:
   Если в точке х0 производная меняет знак с плюса на минус, то х0 есть точка максимума.
Признак минимума функции
   Если функция f непрерывна в точке х0, f´ (х) < 0 на интервале (а; х0) и f´ (х) > 0 на интервале (х0; b), то точка х0 является точкой минимума функции f.
Упрощённая формулировка признака:
   Если в точке х0 производная меняет знак с минуса на плюс, то х0 есть точка максимума.

Пример нахождения точек экстремума функции
Дано:
f (x) = 3x – x3
Найти:
Точки экстремума функции
Решение
Найдём производную функции: f´ (x) = 3 – 3х2
f´ (x) = 0, при х = 1 и х = -1
f´ (x) < 0 при х < -1; f‘ (x) > 0 при -1 < х < 1, т.е. в точках -1 и 1 функция меняет знак.
По признакам максимума и минимума точка -1 является точкой минимума, а точка 1 — точкой максимума.

Проект выполняла Сергеева Вероника, ученица 11 класса,с использованием следующих материалов:
Алгебра и начала анализа. Учебник для 10-11 классов средней школы.


title: Скачать презентацию или конспект Магия числа 3

extracted_text:
Магия числа 3

Луна
Венера
Солнце
Главные божества в Древнем Вавилоне

Сказки, связанные с числом 3.

Осетинские загадки

Пословицы народов мира
Японские пословицы

Три года на камне просидишь, и камень нагреетсяТри дня не прошло, а вишня отцвела.
                         Украинская пословица

Гость первый день - золото, на второй - олово, а на третий - медь, хоть домой едь.
Задача 1. «У некоторого (человека) умер любимый родич; человек решил устроить в его память скачки; и прибыл к нему три всадника на добрых конях, и он сказал им: «Скачите во всю прыть, и тому, кто первым придет, достанется последний приз; как вы поскачете?»

Осетинские логические задачи
Задача 2. «Ехали три всадника. По дороге увидели новорожденного жеребенка. Окажись жеребенок под ногами коней, неминуема бы была гибель, да еще был месяц-студень; все трескалось от мороза.
Один из всадников сошел и перенес жеребенка из-под ног коней за дорогу. Это первое спасение.
       Другой сошел и подстилку застелил, согрел малыша. Это второе спасение. Третий всадник сошел и дал пососать жеребенку его мать. Это было третьим спасением жеребенка от второй смерти. После этого всадники стали спорить: кому принадлежит жеребенок?»


title: Скачать презентацию или конспект Путешествие на планету "Математика"

extracted_text:
Звезда правильного счёта
Звезда правильного счёта

Планета чисел

Ланета лишних слов
ПЛанета лишних слов

Понедельник
Вторник
Среда
Четверг
Пятница
Утро

Март
Апрель
Неделя
Май
Июнь
Весна
Лето
Осень
Зима
Воскресенье
Утро
Вечер
День
Ночь
Месяц

Звезда математических
 сравнений

Планета задач


title: Скачать презентацию или конспект Неравенства-подготовка к ЕГЭ

extracted_text:
Подготовка к итоговой аттестации по теме: «Неравенства»
Ученицы 9 «Б» класса
Сухой Анны

Учитель: Дудина Е.Ю.
Цель:
Создание учебно-методического материла для подготовки к итоговой аттестации
   Актуальность:
 Эта тема не  менее остальных важна для учеников.

  Задачи:
Отбор задач по данной теме в ЕГЭ
Решение этих задач
Моменты, на которые нужно обратить внимание.

Неравенства
Линейные неравенства
Линейным неравенством с одной переменной х называется неравенство  вида ах + b › 0, где а≠0.
Решение неравенства – значение переменной х, которое обращает неравенство в верное числовое неравенство.
Множество частных решений называют общим решением.
Пример 1: Являются  ли  числа 3, -5   решением   данного неравенства   4х + 5 < 0
При х = 3, 4∙3+5=17, 17>0
   Значит х=3 не является решением данного неравенства

   При х=-5, 4∙(-5)=-15, -15<0
   Значит х=-5 является решением данного неравенства
Два неравенства f(х)<g(х) и r(х)<s(х) называют равносильными, если они имеют одинаковые решения.
Правила
(преобразования неравенств, приводящие к равносильным неравенствам):
1. Любой член неравенства можно перенести из одной части неравенства в другую с противоположным знаком (не меняя при этом знака неравенства)
Например: 3х + 5 < 7х
                   3х + 5 -7х < 0
 2: а) обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же положительное число, не меняя при этом знака неравенства.

б) если обе части неравенства  умножить или разделить на одно и то же выражение, положительное при любых значениях переменной, и сохранить знак неравенства, то получится неравенство, равносильное данному.

Например: а)8х – 12 > 4х2    ( :4)
           2х – 3 > х2
                   б)(2х + 1)(х2 + 2) < 0   ( ( х2 + 2))
            (2х + 1) < 0
3.а) Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же  отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный ( < на >, > на <).

б) если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же выражение, отрицательное при всех значениях переменной, и изменить знак исходного неравенства на противоположный, то получится неравенство, равносильное данному.

Например: а) - 6х3 + 3х – 15 < 0       (: (-3))
                         2х3 – х + 5 > 0

                  б) (3х – 4 )(-х2 – 2) > 0       (: (-х2 – 2))
                        3х – 4 < 0
Решите неравенство:                                 5х + 3(2х – 1)>13х - 1
Решение: 5х + 6х – 3 >13х – 1
                    5х + 6х – 13х > 3 – 1
                    -2х > 2  (: (-2))
                     х < -1

\\\\\\\\\\\\\\\\\

 Ответ: х < -1 или (-∞; -1)

-1
Квадратные неравенства
Неравенства вида
 ах2 + bх + с > 0, где а ≠ 0, а,b,с - некоторые числа, называются квадратными.

Алгоритм применения графического метода:
1. Найти корни квадратного трехчлена ах2+bх+с, т.е. решить уравнение ах2+bх+с=0.
2.Отметить найденные значения на оси х в координатной плоскости.
3. Схематично построить график параболы.
4. Записать ответ в соответствии со знаком неравенства.
Частные случаи при D < 0:
а) а < 0,       ах2 + bх + с ≥ 0  нет решений
                  ах2 + bх + с < 0    (-∞;+∞)
б) а > 0        ах2 + bх + с > 0    (-∞;+∞)
                  ах2 + bх + с ≤ 0  нет решений

Решите неравенство:
             3х + 9 < 2х2

Ответ: х < -1,5; х > 3 или (-∞;-1,5)U(3;+∞).
Алгоритм выполнения метода интервалов:
1. Разложить на множители квадратный трехчлен, используя формулу ах2+bх+с = а(х-х1)(х-х2), где х1,х2- корни квадратного уравнения ах2+bх+с=0.
2. Отметить на числовой прямой корни х1 и х2.
3. Определить знак выражения а(х-х1)(х-х2) на каждом из получившихся промежутков.
4. Записать ответ, выбрав промежутки с соответствующим знаку неравенства знаком
(если знак неравенства <,то выбираем промежутки со знаком «-», если знак неравенства >, то выбираем промежутки со знаком «+»).
Решите неравенство: х2 – 6х + 8 > 0
Решение: Разложим квадратный трехчлен                           х2 – 6х + 8 на множители. Решим уравнение
х2 – 6х + 8 = 0
Д = 36 – 32 = 4, 4>0, два корня
х1,2 = (6 ± 2) : 2        х1 = 4,    х2 = 2

х2 – 6х + 8 = (х – 2)(х - 4)
Отметим на числовой прямой корни трехчлена 2 и 4.Определим знаки  выражения (х-2)(х-4) на каждом из промежутков.
     +      2      -      4      +
Ответ: х<2,х>4 или (-∞;2)U(4;+∞).

Метод интервалов более детально будет изучен при решении рациональных неравенств.
Дополнительные вопросы:
Какие виды неравенств были изучены на уроке?
Дайте определение линейных неравенств.
Дайте определение квадратных неравенств.
Какие методы решения квадратных неравенств применяются?


title: Скачать презентацию или конспект ТЕСТ по теме «Параллельные прямые»

extracted_text:
ТЕСТпо теме «Параллельные прямые»

Геометрия 7 класс
учитель математики МОУ СОШ №11
г. Орехово-Зуево
Московская область
Клюшкина Елена Ивановна
Вопрос 1

n
k
m
m или n

На рисунке секущей является прямая…
n
m
k
Вопрос 2
2
5
6
7

Для угла 1 односторонним будет угол …
1
2
3
4
5
6
7
8
односторонними
соответственными
накрест лежащими
смежными
Вопрос 3

На рисунке углы 1 и2 являются…
1
2
можно 1
нельзя ни одной
можно бесконечное множество
можно 2
Вопрос 4
Дан треугольник MNK. Через вершину М провести прямых, параллельных прямой NK …
133˚
47˚ или 133˚
43˚
47˚
Вопрос 5

На рисунке    1=47˚.Прямые а и в будут параллельными если    2 равен
1
2
а
в
а и в и с
в и с
а и с
а и в
Вопрос 6

На рисунке прямые а, в и с пересечены секущей d.Параллельными прямыми будут прямые
а
в
с
d
62˚
118˚
118˚
Правильных ответов:
Выход
В начало
Литература
   Фарков А.В.Тесты по геометрии:7 класс к учебнику А.С. Атанасяна и др. «Геометрия 7-9»-М.:Издательство «Экзамен», 2010

        Использован шаблон   теста с сайта:
        http://www.it-n.ru/profil.aspx?cat_no=692&d_no=9658


title: Скачать презентацию или конспект Методы решения тригонометрических уравнений

extracted_text:
Методы решения тригонометрических уравнений
«Счастливый случай»
1 гейм
«Разминка»

1.  Решение уравнения вида cos x=a при |a| > 1?
2. При каком значении а, уравнение cos x =a имеет решения?
3. На какой оси откладывается значение а при решении уравнения cos x =a?
4. Какому числовому промежутку принадлежат значения arccos  a?
5. Найти arccos(-a).
6. Какому промежутку принадлежат значения arctg a?
7. Чему равен arctg (-a)?
8. Решение уравнения вида sin x=a при |a| > 1?
9. При каком значении а, уравнение sin x =a имеет решения?
10. На какой оси откладывается значение а при решении уравнения sin x =a?
11. Какому числовому промежутку принадлежат значения arcsin a?
12. Найти arcsin(-a).
13. Какому промежутку принадлежат значения arcctg a?
14. Чему равен arcctg (-a)?

2 гейм
«Дальше, дальше…»
Е    X = ± arccos a + 2Пn
О   x = П/2 + 2Пn
Р     X = 2Пn
В     X = (- 1)n arcsin a + Пn
Е     X = - П/2 + 2Пn
Р     X = arctg a + Пn
Ш   X = П + 2Пn
Л    x = Пn
Н     X = arcctg a + Пn
И     X = П/2 + Пn

1. sin x = a
2. cos x = a
3. tg x = a
4. ctg x = a
5. sin x = 1
6. cos x = 1
7. sin x =- 1
8. cos x =- 1
9. sin x = 0
10. cos x = 0

3 гейм
«Спешите видеть,
отвечать,
 решать»
2 sin²x + sin x – 1 = 0√3 sin x/4 – cos x/4 = 0sin x cos x - cos² x = 0

2 sin²x + sin x – 1 = 0
sin x = t,
D = 9,
t1 = ½, t2 = - 1,
sin x = ½, x = (- 1)n П/6 + Пn,
sin x = - 1, x = - П/2 + 2Пn

√3 sin x/4 – cos x/4 = 0
√3 tg x/4 – 1 = 0,
√3 tg x/4 = 1,
tg x/4 = 1/√3,
x/4 = arctg 1/√3 + Пn,
x/4 = П/6 + Пn,
X = 2П/3 + 4 Пn.

sin x cos x - cos² x = 0,
cos x (sin x – cos x) = 0,
cos x = 0,   x = П/2 + Пn,
sin x – cos x = 0,
tg x – 1 = 0,
tg x = 1,   x = П/4 + Пn

4 гейм
«Темная
лошадка»
5 гейм
«Заморочки»

Если «да»  ─ , если «нет» ˄

cos ² x + sin ² x = 1, решением данного уравнения являются любые значения х.
Х = П/2 + 2Пn   корень уравнения cos x = 0.
cos x = 1/2, его серия корней  х = П/3 + 2 Пn
Метод решения уравнения 2cos ² x + 3cos x = 0  разложение на множители.
sin x + cos x = 1  - однородное уравнение.
Математика – мой любимый предмет.


title: Скачать презентацию или конспект Закрепление умений сложения и вычитания в пределах 10

extracted_text:
Тема урока:«Закрепление умений сложения и вычитания в пределах      .»
Класс, для которого разработан урок или рекомендуемый возраст учащихся
1 классы (6 – 7 лет).
Название урока
Урок математики на основе игровой технологии – драматизации проблемно-поискового характера.
Предмет
Математика
                    Урок разработан Крыловой Ольгой
                    Сергеевной, учителем  начальных
                   классов гимназии №1
                    города Нукуса, Каракалпакстан.

10
Цель и ожидаемые результаты урока.
Цели и задачи:
 - закрепить умение сложения и вычитания в пределах 10;
 - продолжить работу над задачей и ее составными частями;
 - развить навык общения;
 - воспитать навык контроля и самоконтроля.
В результате этого урока учащиеся смогут:
 -  приобрести навык работы в группе;
 -  повторить приемы сложения и вычитания в пределах 10;
 -  приобретут навык сравнивать числа первого десятка;
 -  понять, что для решения многих проблем необходимо            обратиться за помощью, довериться тем, кто рядом.
Блок-схема урока с указанием времени на каждый этап
     1. Организация урока.                                               1 мин.
     2. Работа с геометрическим  материалом.             2 мин.
     3. Упражнение «Найди свой вагон».                      5 мин.
     4. Упражнение «Эстафета».
           (Работа с перфокартами.)                                   5 мин.
     5. Упражнение в прямом счете.                               3 мин.                                                                                6. Физкультминутка.                                               1 мин.                                                                                7.  Упражнение в составлении
                и решении задач.                                         7 мин.
     8. Работа по учебнику.                                              6 мин.
     9. Физкультминутка.                                                1 мин.
     10. Работа в тетрадях.                                               6 мин.                                                                                11. Итог урока.                                                          3 мин.
     12. Оценивание.                                                         3 мин.                                                                                13. Домашнее задание.                                              2 мин.

Краткое описание деятельности учащихся на уроке
 Данный урок основан на интерактивной методике, он позволил активизировать внимание учащихся и способствовал развитию творческого мышления.
На уроке школьники чувствовали свою успешность, свою интеллектуальность. Урок-повторения был организован таким образом,что практически все учащиеся были вовлечены в процесс познания, они имели возможность повторить пройденную тему и могли высказать все , что они знают и думают. Совместная деятельность учащихся помогла каждому внести свой особый индивидуальный вклад, обменяться знаниями. Причем происходило все это в атмосфере доброжелательности и взаимной поддержки, что позволило не только повторить пройденный материал, но и развить познавательную деятельность в форме сотрудничества. Учащиеся учились взвешивать альтернативные мнения, и принимать продуманные решения, общаться с другими детьми.

Ссылки на интернет-ресурсы
На сайте  htth://www.conectet.uz. , в  разделе  «Образовательные игры», был найден детский портал  http://www.solnet.ee., где находится очень много развивающих и образовательных игр, которые я использовала для проведения урока в 1 классе, на тему: «Закрепление умений сложения и вычитания в пределах 10». Это следующие  разделы:
-         /games/g2_05.html – категория игра «Красная Шапочка». Я распечатала карту-схему маршрута Красной Шапочки к дому Бабушки и применила ее на уроке для повторения прямого счета до 10;
-         /games/g1_r06.html – категория раскраска «Царевна лягушка». Распечатанный рисунок Царевны лягушки был использован для решения примеров;
-         games/g1_g22.html – категория игра «Остров сокровищ».  Данную игру я применила для закрепления пройденного материала.

Деление класса на группы
Упражнение «Найди свой вагон».

    Шаг 1. Ученики встают в круг,  и сами выбирают один из номерков.  Номерок – это карточка с цифрой от 1 до 10. Выбор номерков учащимися случаен.
     Шаг 2. Учитель дает задание детям:
      «Узнайте номер каждого вагона». Для этого надо решить  примеры на сложение и вычитание, написанные в окошечках вагонов.  Дети  выполняют задание  устно.
      Шаг 3.  Решив примеры, они встают к тому вагончику, с которым у них совпал ответ. Так образуется 5 команд.  Каждая  команда занимает места за своим столом.

Ра6ота в группах.
 Упражнение: «Эстафета»
      Один ученик из каждой команды получает карточку «ЭСТАФЕТЫ». Сравнив числа, ученик передает карточку своему соседу. Карточка проходит по кругу, т. е.  все члены команды сравнивают по одной паре чисел. Учитель проверяет правильность заполнения перфокарт.  Он  «штрафует»  тех,  кто  допустил ошибку,  т. е.  заставляет  переделать работу  (исправить ошибку).  Если ученик сам затрудняется исправить ошибку, ему помогают товарищи по команде.

Ра6ота в группах.
Упражнение: «Незадачливый математик».
      Медвежонок предлагает вам интересное задание: назовите числа, которые вы видите на карточках.  Медвежонок решал примеры, и ответы записывал на листиках. Подул ветер – и листочки разлетелись. Очень расстроился медвежонок: как же теперь ему быть?  Давайте поможем медвежонку вернуть листики с ответами на свои места.  (Каждая команда получает по одной карточке, и  ищут листики с правильными ответами и заполняют ими пропуски.)


title: Скачать презентацию или конспект Звездный час

extracted_text:
Математическая игра «Звездный час»

Вопросы отборочного тура:

1)  Какое единственное из семи чудес света дожило до наших дней?

2) Мальчик прочитал треть книги, что составило 20 страниц. Сколько страниц в книге?

3)  Как называется буква греческого    алфавита; например: она есть у каждой   реки?

4) Какую «неизвестную» букву латинского алфавита чаще всего используют на уроках математики?

5) Какое геометрическое тело получается, если прямоугольный треугольник вращать вокруг одной из меньших сторон?
1 турВ этом туре участники должны поднимать таблички с номером правильного ответа.  Во второй тур переходят четверо участников.

От прямоугольной доски отрезали один угол. Сколько стало углов?

На какое число нельзя делить?

Бригада, состоящая из мужика и медведя, собрала урожай в 6 тонны. Две трети урожая приходится на корешки, остальное – вершки. Столько тонн достанется медведю, если по договору ему причитаются все вершки?

Зайцы пилят бревно. Они сделали 3 распила. Сколько получилось чурбанов?

Какое самое любимое число в русских сказках и сказках многих других народов?
2 турНеобходимо из десяти предложенных букв составить самое длинное слово. Трое игроков, у которых длиннее слово, проходят в следующий тур.

А   М   Е   Н   О   Р   К   И   С   Т
3 тур На экране показаны фамилии ученых:
               1.  Архимед
               2.  Ломоносов
               3.  Ньютон
               4.  Гагарин
               5.  Пифагор

В зависимости от фамилии – поднимать таблички с номером правильного ответа
4 тур – финалИх задача как можно больше слов составить из слова:

МАТЕМАТИКА
Математическая игра «Звездный час»


title: Скачать презентацию или конспект Области и границы

extracted_text:
Области и границы
Отправляемся в путешествие…

САНКТ_ПЕТЕРБУРГ
Готовы ли вы к путешествию?
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Математический диктант
Из какого числа надо вычесть 4, чтобы получить 2?
6 – это 3 и сколько?
Первое слагаемое 2, второе слагаемое 3. Чему равна сумма?
Найдите разность чисел 6 и 5.
6
5
3
1
Установите закономерность
1     3     2
2
1     4     1
2     2
?
Вставьте знак «+» или «-»
1
6
=
5

3
3
=
6
3
2
=
5

Сколько треугольников на чертеже?
D
А
К
М
И вот Московская область…
Задания подготовлены по книге  «Устные упражнения на уроках математики. 1 класс» (авт. Л.Г. Петерсон, И.Г. Липатникова)Презентация выполнена Галановой Е.В., учителем начальных классов ГОУ школы №328 Санкт-Петербурга


title: Скачать презентацию или конспект Автоматизация труда учителя на примере решения систем алгебраических уравнений с использованием программного пакета MATHCAD

extracted_text:
Автор
Лагутина Марина
Андреевна

Руководитель
проекта
Учитель математики ГБОУ СОШ №237

Белкина
Елена
Геннадьевна
Автоматизация труда учителя на примере решения систем алгебраических уравненийс использованием программного пакетаMatHCAD

Ознакомить учителей математики с возможностями продукта MathCAD
Обеспечить автоматизацию работы учителей с использованием MathCAD
Рассмотреть решение систем алгебраических уравнений с помощью MathCAD

ЦЕЛИ РАБОТЫ

Работа может применяться на факультативных занятиях и математических кружках
Работа ориентирована на школьных учителей математики, в том числе проводящих факультативные занятия и математические кружки.

Для кого эта РАБОТа

Работа разделена на две части:
Предоставляет базовые знания работы с программой MathCAD
Как они могут быть применены для решения СЛАУ и других типовых математических задач, часто встречаемых в ходе преподавания школьных дисциплин

Содержание работы

Язык Fortran
задачи линейной алгебры, интегрирование, решение дифференциальных уравнений
Математические пакеты
Mathematica
Maple
Matlab
Mathcad

Как решаются типовые задачи?

Пакет MathCAD популярен, пожалуй, более в инженерной, чем в научной среде.

Почему Mathcad?

Режим WYSIWYG
Не требуется изучать какую-либо систему команд, как, например, в случае пакетов Mathematica или Maple
Ориентирован на проведение численных расчетов
Простота освоения
Дружественный интерфейс

ПОЧЕМУ MATHCAD?

подготовливать научно-технические документы, содержащие текст, и формулы, записанные в привычной для специалистов форме;
вычислять результаты математических операций, в которых участвуют числовые константы, переменные и размерные физические величины;
операции с векторами и матрицами;
решение уравнений и систем уравнений (неравенств);

проводить статистические расчеты и анализ данных;
строить двумерные и трехмерные графики;
тождественные преобразования (в том числе упрощение), аналитическое решение уравнений и систем;
дифференцирование и интегрирование, аналитическое и численное;
решение дифференциальных уравнений;

И многое другое…
ЧТО УМЕЕТ MATHCAD?

ИНТЕрфейс MATHCAD

ОСНоВНЫЕ КОМАНДЫ

5^2=25

ПРАВИЛА НАБОРА КОМАНД

ПРАВИЛА НАБОРА КОМАНД

ПРАВИЛА НАБОРА КОМАНД

Упростить выражение:
ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ

Указатель мыши подводим к опции “Символы” в главном меню и щелкаем левой кнопкой мыши один раз (далее входим в “Символы”).
В выпадающем меню указатель мыши подводим к опции “Упростить” и щелкаем на указанном пункте. На экране отображается наше выражение, но уже в выделенном виде.
Повторяем наши действия: входим в “Символы” (подводим указатель мыши и щелкаем левой кнопкой мыши) и активизируем “Упростить”. На экране появляется ответ:

ПРАВИЛА НАБОРА КОМАНД

Получаем ответ:
ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ

Упростить выражение:
ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ

Набираем на клавиатуре:

X= 1.5
Y=-1.6
10x^2-5y^2=
ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ

Получаем ответ:
ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ

РЕШЕНИЕ СЛАУ

Способы решения делятся на две группы:

точные методы, представляющие собой конечные алгоритмы для вычисления корней системы (решение систем с помощью обратной матрицы, правило Крамера, метод Гаусса и др.),
итерационные методы, позволяющие получить решение системы с заданной точностью путем сходящихся итерационных процессов (метод итерации, метод Зейделя и др.).

Способы решения СЛАУ
Точные методы
Вследствие неизбежных округлений результаты являются приближенными

Итерационные методы
Добавляется погрешность метода. Эффективное применение итерационных методов существенно зависит от удачного выбора начального приближения и быстроты сходимости процесса
Способы решения СЛАУ

MathCAD дает возможность решать системы уравнений. Максимальное число уравнений и переменных равно 50. Результатом решения системы будет численное значение искомого корня.

Решение СЛАУ с помощью блока Given и функции Find

Системы линейных и нелинейных уравнений и неравенств позволяет решать блок given в сочетании с функцией Find. В блоке given записывается система уравнений и/или неравенств, подлежащих решению.

Решение СЛАУ с помощью блока Given и функции Find
Решение СЛАУ с помощью блока Given и функции Find

Воспользуемся MathCAD и запишем систему в терминах блока «given - find»:

Решение СЛАУ с помощью блока Given и функции Find

Матричным уравнением называется уравнение, коэффициенты и неизвестные которого – прямоугольные матрицы соответствующей размерности.

Матричные уравнения можно разрешать только, если система не вырождена, то есть ее определитель отличен от нуля. Матричный способ более изящен (хотя и не самый эффективный с точки зрения вычислительной математики).

Решение СЛАУ матричным способом

Решение СЛАУ матричным способом

Последовательность действий для решения с помощью Mathcad:
Установите режим автоматических вычислений.
Введите матрицу системы и матрицу-столбец правых частей.
Вычислите решение системы по формуле x=A-1b.
Проверьте правильность решения умножением матрицы системы на вектор-столбец решения.
Найдите решение системы с помощью функции lsolve и сравните результаты.

Решение СЛАУ матричным способом

Напишем код решения СЛАУ матричным способ на MathCAD. Также Решим систему с помощью функции lsolve  и сравним результат с решением x=A-1b. С функцией lsolve  мы сталкиваемся впервые, опишем ее:

Lsolve(A,b) – возвращает вектор решения такой, что Ax=b.
Аргументы:
А - квадратная, не сингулярная матрица.
b - вектор, имеющий столько же рядов, сколько рядов в матрице А.

Решение СЛАУ матричным способом

Решение СЛАУ матричным способом

Метод Гаусса, его еще называют методом Гауссовых исключений, состоит в том, что систему  приводят последовательным исключением неизвестных к эквивалентной системе с треугольной матрицей.

Решение СЛАУ методом Гаусса

Решение СЛАУ методом Гаусса

Решение которой находят по рекуррентным формулам:

Прямой ход метода Гаусса — элементарными операциями над строками приводят расширенную матрицу системы к ступенчатому виду:

Решение СЛАУ методом Гаусса

Обратный ход метода Гаусса — ступенчатую матрицу преобразуют так, чтобы в первых n столбцах получилась единичная матрица:

Последний, (n + 1) столбец этой матрицы содержит решение системы.

Решение СЛАУ методом Гаусса

В MathCAD прямой и обратный ходы метода Гаусса выполняет функция rref(A).

Далее показано решение системы линейных уравнений методом Гаусса, в котором используются следующие функции:

Rref(A) - возвращается ступенчатая форма матрицы А.
Augment(A,B) - Возвращается массив, сформированный расположением A и В бок о бок. Массивы A и В должны иметь одинаковое число строк

Решение СЛАУ методом Гаусса

Решение СЛАУ методом Гаусса

Последовательность действий:
Функция augment(A,b) формирует расширенную матрицу системы добавлением к матрице системы справа столбца правых частей. Функция rref приводит расширенную матрицу системы к ступенчатому виду, выполняя прямой и обратный ходы гауссова исключения. Последний столбец содержит решение системы.

Решение СЛАУ методом Гаусса

Последовательность действий:
Вычисляем D определитель матрицы А.
Зададим матрицу DX1, заменой первого столбца матрицы А, матрицей b. Вычисляем определитель матрицы DX1.
Зададим матрицу DX2, заменой второго столбца матрицы А, матрицей b. Вычисляем определитель матрицы DX2.
Зададим матрицу DX3, заменой третьего столбца матрицы А, матрицей b. Вычисляем определитель матрицы DX3.
Определяем  решение системы линейных уравнений x1, x2, x3.

Решение СЛАУ методом КРАМЕРА
Решение СЛАУ методом КРАМЕРА

Выводы

Пакет MathCAD чрезвычайно интуитивен, т.к. все формулы в его документах записываются в традиционной форме, и как таковой язык программирования не применяется, а богатый пакет встроенных функций позволяет решать многочисленные задачи: разрешать уравнения и системы, раскладывать многочлены и решать неравенства, строить графики и т.д.
Данная работа позволит ученикам и учителям быстро освоить основные навыки работы с пакетом MathCAD, а последовательные примеры и методы решения помогут их закрепить для решения новых задач.


title: Скачать презентацию или конспект Мерим, мерим, измеряем

extracted_text:
Мерим , мерим, измеряем
МОУ Бельская средняя общеобразовательная школа
Исследовательский проект учащихся        5 класса  Андрюшиной Натальи и Богдановой Кристины           Руководитель Сильченкова Светлана Николаевна
Цели исследования

Знакомство со старинными русскими мерами.
Привитие интереса и уважения к истории  своего народа.

Используя различные источники, найти   информацию о старинных единицах длины, массы, площади.
Научиться переводить старинные меры в метрическую систему единиц измерения.
Найти пословицы, поговорки, отрывки художественных произведений с названиями старинных  мер; научиться разбираться в  прочитанном.
Применив полученные знания, выполнить практическое задание.
Подобрать задачи со старинными русскими мерами и создать буклет.

Задачи исследования
Историческая справка
        В холодные ночи или в ненастные дни первобытные  люди находили для себя убежища в пещерах, под густыми кронами деревьев. Позже они начали делать для себя навесы, шалаши, а затем уже удобные хижины.   При сооружении жилища людям приходилось выполнять разнообразные измерения. Измерения требовались и при изготовлении различных орудий труда, на охоте, рыбной ловле, при обработке земли, посадке растений, торговле.
Историческая справка

С глубокой древности мерой длины всегда был человек, т.е. наши предки измеряли расстояние собой, своим телом: на сколько он протянет руку, сколько сможет поднять на плечи и т.д. Поэтому первым счетным прибором человека были  руки и ноги. Это и удобно, и руки с ногами всегда при себе, их нельзя "забыть дома".

Старинные меры длины
    Большие расстояния в старину измерялись вёрстами .
          1 верста =  500 саженей  = 1,0668 километра
    На таком расстоянии вдоль наиболее важных дорог ставили столбы, окрашенные в два цвета. Отсюда название «столбовая дорога».
                «Вот мчится тройка удалая                       Вдоль по дороге столбовой…..»

               Сажень
    Происходит от глагола сягать (досягать) – на сколько можно было дотянуться рукой.
Косая сажень = 2м 48см, расстояние от носка левой ноги до конца среднего пальца поднятой вверх правой руки.

Маховая сажень = 1м 76см, расстояние между концами пальцев широко расставленных рук взрослого мужчины.
Аршин равнялся длине вытянутой руки от плеча до конца среднего пальца, примерно 71см.

Локоть равнялся длине руки от пальцев до локтя, примерно
 38-47см.

   Пядь происходит от древнерусского слова       пясть - кулак или пять - кисть руки.

Большая пядь
 22-23см, расстояние между концами большого пальца и мизинца.
Малая пядь
 17см 78мм, расстояние между концами расставленных большого и указательного пальцев.
Вершок
4см 44мм
 происходит от слова «верх». Равнялся   2 верхним суставам указательного пальца.
Дюйм
   самая маленькая мера длины. Происходит от голландского – «большой палец». Равен     примерно    2см 54мм.

Что-то щелкнуло, и цветок распустился.   Это был точь-в-точь тюльпан, но в самой чашечке на зеленом стульчике сидела крошечная девочка. Она  была такая нежная, маленькая всего с дюйм ростом, ее и прозвали Дюймовочкой.

1дюйм  2,5 см
Мой рост 153 см  60,2 дюйма

Рост Дюймовочки примерно 2,5 см = 1дюйм
Я  почти в 60 раз больше Дюймовочки !
                        Меры веса

 Берковец -  мера веса в 10 пудов -   стандартная бочка с воском (163,8 кг), которую один человек мог закатить на купеческую ладью, плывущую на остров Бьерк. Эта большая мера веса употреблялась в оптовой торговле для взвешивания воска, меда и т.д.

   ЗОЛОТНИК   в современном исчислении 4,26 г.     Это слово, первоначально обозначало зoлотую монету. Чай покупали на золотники.
   ФУНТ     в современном исчислении 409,50 г.  Сахар продавали фунтами.
   ЛОТ – старорусская единица измерения массы, равная трём золотникам или 12,797 граммам.
   ДОЛЯ – самая мелкая старорусская единица измерения массы, равная  0,044 граммам.
   ПУД равнялся 40 фунтам, в современном исчислении - 16,38 кг.

Изучив необходимый теоретический материал,  мы
измерили массу и  высоту   наших одноклассников
 и перевели их в старинные меры: фунты, пуды и дюймы.

Меры площади
  1 кв. верста = 250000 квадратных саженей = 1,138 кв. километра
  1 десятина = 2400 квадратных саженей = 1,093 гектара
  1 копна = 0,1 десятины
  1 кв. сажень = 16 квадратных аршинов = 4,552 кв. метра
  1 кв. аршин=0,5058 кв. метр
1 кв. вершок=19,76 кв. см
  1 кв. фут = 9,29 кв. дюйма = 0,0929 кв. м
  1 кв. дюйм = 6,452 кв. сантиметра
  1 кв. линия = 6,452 кв. миллиметра

Я измерила все комнаты в своём доме, нашла их площадь и площадь всего дома, затем перевела квадратные метры в квадратные сажени и десятины.
    1кв. сажень = 4,552 кв. метра

     1 десятина = 2400 кв. саженей

 S =90 кв. м= 90 : 4,552 кв. саженей = =19,77…  20 кв.саженей
 S = 20 кв.саженей = 20 : 2400 = =0,0083…  0,01десятины

Это интересно
   В 1918 г в нашей стране была введена метрическая  система мер.
     Для объяснения связи новых мер со старыми в
 1923 году поэтом Маяковским были написаны стихи
 «Тексты для конфетных оберток», которые были
 напечатаны на этикетках конфет –
 карамель «Новые меры».

Клич несись по Эс Эс Эр:
      - Новой мерой
               землю мерь!
Распростись со старыми,
       землю мерь гектарами.
Примиритесь вы и с тем,
       что конец пришел версте.
Сам узнаешь
     очень просто
          километром мерить вёрсты. Чтоб о новых мерах
      все понятие имели, -
           раскупайте эти карамели.

 Запомни расчет, очень важен:
          два метра - приблизительно сажень.
 Рисуем, чтоб каждый запомнить мог.
          Четыре сантиметра - один вершок.

   У всех народов складывалась очень сложная и запутанная  система мер. Каждое маленькое государство, каждый город стремился измерять своими мерами.
   Поэтому, в 1960 году на 11 Генеральной конференции мер и весов было принято решение о введении Международной системы единиц СИ.
  В ней указаны единые меры измерения.                                И она окончательно стала единственно допустимой системой измерений.

Это интересно

Память о старинных мерах   сохранилась в пословицах, поговорках, стихах, сказках.
П.С.Ершов «Конек-горбунок»

  Да еще рожу конька
Ростом только три вершка,
На спине с двумя горбами
Да аршинными ушами.

Н.А.Некрасов «Дед  Мазай и зайцы»
   С каждой минутой вода подбиралась
   к бедным зверькам: уж под ними осталось
   меньше аршина земли в ширину, меньше
   сажени в длину.

С.Я.Маршак «Сказка про козла»
  Эй, не плачьте, баба с дедом!
  Накормлю я вас обедом,
  Испеку пирог грибной
  В два аршина шириной.
Фразеологизмы

    Косая сажень в плечах   (так говорят о рослом, плечистом человеке)
    От горшка три вершка ( значит очень маленький человек)
    Писать аршинными буквами  (писать крупно)
    Мерить на свой аршин  (о человеке, который судит только со своей точки зрения)
    Как аршин проглотил  (человек, который держится неестественно прямо)
    Видеть на два аршина под землей (очень умный человек)
    Не уступить ни пяди  (ни самой малости)
    У него семь пядей во лбу (очень мудрый человек)
    Близок локоть, да не укусишь (простое, но не выполнимое дело)

Заключение
    Старинные единицы измерения, рассмотренные в данной работе, не описаны в  школьном учебнике. Проведя исследование, мы разобрались в неизвестных нам понятиях, расширили свои возможности при решении задач, предлагаемых в олимпиадах, конкурсах,  задач, которые встречаются в пословицах, поговорках, литературных произведениях. Нам хочется, чтобы наша работа привлекла внимание любознательных школьников. Они смогут найти здесь немало интересного и познавательного материала.

Спасибо
за
внимание!


title: Скачать презентацию или конспект Старинные меры длины

extracted_text:
Старинные меры длины
Цель:
Проследить историю возникновения меры длины на Руси, их совершенствование от времён образования Руси до наших дней.
Задачи:
1.Узнать какие меры длины существовали  раньше в России. Где они использовались.
2.Что означают пословицы старинных русских мер длины.
3.Выяснить знают и применяют ли в настоящее время жители села Репяховка  старинные меры длины.
Линия- это очень маленькая старинная единица длины, равная 2, 54 мм или ширине пшеничного зерна.
Перст- старинное название указательного пальца руки, ширина которого равна приблизительно 2 см.
Дюйм – мера длины, равная длине 3 сухих зёрен ячменя, вытянутых из средней части колоса и равен 2, 54 см. Это основная меры длины в технике.
Пядь
Пядь - это расстояние между вытянутыми большим и указательным пальцами руки при их наибольшем удалении. Размер пяди колебался от 19 см до 23 см).
Говорят: «Не отдать ни пяди земли», подразумевая не отдать, не уступить даже самой малой части своей земли.
Об очень умном человеке часто говорят: «Семи пядей во лбу».
Аршин
Аршин — старинная мера длины в России, равная примерно 72 см. Происхождение слова «аршин» точно не установлено. Возможно, это слово произошло от персидского слова «арши» — «мера длины».Аршинами и вершками на Руси обычно мерили человеческий рост. Были специальные линейки, планки, равные аршину. Такая линейка так и называлась — «аршин». На ней обычно были нанесены деления в вершках. Аршин также использовался в торговле и постепенно вытеснил другую единицу длины — локоть.
Простая сажень
Простая сажень - расстояние между большими пальцами вытянутых в противоположные стороны рук человека.
Равнялась примерно 152 см и состояла из 4 локтей или 8 пядей.
Маховая сажень
Маховая сажень - расстояние между кончиками средних пальцев вытянутых в противоположные стороны рук человека среднего роста.
Равнялась примерно 176 см.
Косая сажень
Косая сажень — старорусская единица измерения, равная 2,47 метрам. Первоначально косая сажень — это расстояние от кончиков пальцев вытянутой вверх руки до пальцев противоположенной ей ноги.
Морская миля
Миля — это русская мера длины используется для измерения больших расстояний равна 7 верстам или 70468 км .
И в наше время эта единица актуальна. И используется в морской профессии.
Эталон метра.
Результаты анкетирования: Знакомы ли вы со старинными единицами длины?

Какие единицы длины сохранились до наших дней?
Старинные меры длины в пословицах и поговорках:
Один, как перст .
От горшка два вершка.
Семь пядей во лбу.
Каждый купец на свой аршин меряет.
Косая сажень в плечах.
Полено к полену – сажень.
От слова до дела - целая верста.
Семимильные шаги.


title: Скачать презентацию или конспект Понятие двойного интеграла

extracted_text:
Понятие двойного интеграла
Понятие двойного интеграла
Двойной интеграл в общем виде записывается следующим образом:

Разбираемся в терминах и обозначениях:– значок двойного интеграла; – область интегрирования (плоская фигура); – подынтегральная функция двух переменных, часто она довольно простая; – значки дифференциалов.

Что значит вычислить двойной интеграл?

Вычислить двойной интеграл – это значит найти ЧИСЛО. Самое обычное число:  И крайне желательно найти его правильно =)
Результат (число   ) может быть отрицательным. И ноль тоже запросто может получиться. Специально остановился на данном моменте, поскольку немало студентов испытывают беспокойство, когда ответ получается «шото вроде как странный».
Многие помнят, что «обычный» определённый интеграл – тоже число. Здесь всё так же. У двойного интеграла существует и отличный геометрический смысл, но об этом позже, всему своё время.
Как вычислить двойной интеграл?
Для того чтобы вычислить двойной интеграл, его необходимо свести к так называемым повторным интегралам. Сделать это можно двумя способами. Наиболее распространён следующий способ:

Вместо знаков вопроса необходимо расставить пределы интегрирования. Причём одиночные знаки вопроса    у внешнего интеграла – это числа, а двойные знаки вопроса    у внутреннего интеграла – это функции одной переменной   , зависящие от «икс».
Откуда взять пределы интегрирования? Они зависят от того, какая в условии задачи дана область   . Область    представляет собой обычную плоскую фигуру, с которой вы неоднократно сталкивались, например, при вычислении площади плоской фигуры иливычислении объема тела вращения. Очень скоро вы узнаете, как правильно расставлять пределы интегрирования.
После того, как переход к повторным интегралам осуществлён, следуют непосредственно вычисления: сначала берётся внутренний интеграл   , а потом – внешний. Друг за другом. Отсюда и название – повторные интегралы.
Грубо говоря, задача сводится к вычислению двух определённых интегралов. Как видите всё не так сложно и страшно, и если вы совладали с «обыкновенным» определённым интегралом, что мешает разобраться с двумя интегралами?!
Второй способ перехода к повторным интегралам встречается несколько реже:
  Что поменялось? Поменялся порядок интегрирования: теперь внутренний интеграл берётся по «икс», а внешний – по «игрек». Пределы интегрирования, обозначенные звёздочками –будут другими! Одиночные звёздочки внешнего интеграла – это числа, а двойные звёздочки внутреннего интеграла – это обратные функции   , зависящие от «игрек».
Какой бы мы ни выбрали способ перехода к повторным интегралам, окончательный ответ обязательно получится один и тот же:
Алгоритм решения двойного интеграла:
Систематизируем информацию: в каком порядке нужно решать рассматриваемую задачу?
1) Необходимо выполнить чертёж. Без чертежа задачу не решить. Точнее, решить можно, но это будет похоже на игру в шахматы вслепую. На чертеже следует изобразить область   , которая представляет собой плоскую фигуру. Чаще всего фигура незамысловата и ограничена какими-нибудь прямыми, параболами, гиперболами и т.д. Как быстро и грамотно выполнить чертёж, можно посмотреть в методическом материале Графики и основные свойства элементарных функций. Итак, этап первый – выполнить чертёж.
2) Расставить пределы интегрирования и перейти к повторным интегралам.
3) Взять внутренний интеграл
4) Взять внешний интеграл и получить ответ (число).

Пример
Дан двойной интеграл                    с областью интегрирования   .
 Перейти к повторным интегралам и расставить пределы интегрирования двумя способами.
Решение: Изобразим область интегрирования на чертеже:

Обычная плоская фигура и ничего особенного.
Теперь я выдам каждому из вас орудие труда – палку-копалку лазерную указку. Задача состоит в том, чтобы просканировать лучом лазера каждую точку заштрихованной области:
.
  .
Луч лазера проходит область интегрирования строго снизу вверх, то есть указку вы ВСЕГДА держите ниже плоской фигуры. Луч входит в область через ось абсцисс, которая задаётся уравнением         и выходит из области через параболу           (красная стрелка). Чтобы просветить всю область, вам нужно строго слева направо провести указкой вдоль оси  ОХ  от 0 до 1 (зелёная стрелка).
Итак, что получилось:«игрек» изменяется от 0 до    ;«икс» изменяется от 0 до 1.
В задачах вышесказанное записывают в виде неравенств:
Данные неравенства называют порядком обхода области интегрирования или простопорядком интегрирования
После того, как мы разобрались с порядком обхода, можно перейти от двойного интеграла к повторным интегралам:
Половина задачи решена. Теперь необходимо перейти к повторным интегралам вторым способом. Для этого следует найти обратные функции. Кто ознакомился со вторым параграфом урока Объем тела вращения, тому будет легче. Смотрим на функции, которыми задается область  		 . Если совсем просто, то перейти к обратным функциям, это значит – выразить «иксы» через «игреки». Единственной функцией, где есть и «икс» и «игрек», является   .
Если        , то            , причём:обратная функция            задает правую ветку параболы;обратная функция            задает левую ветку параболы.
Нередко возникают сомнения, вот, к примеру, функция           определяет левую или правую ветвь параболы? Сомнения развеять очень просто: возьмите какую-нибудь точку параболы, например,  (1,1)  (с правой ветви) и подставьте её координаты в любое уравнение, например,  в то же уравнение   :
Получено верное равенство, значит, функция           определяет именно правую ветвь параболы, а не левую.

  .
Как вычислить площадь плоской фигуры с помощью двойного интеграла?
Начинаем рассматривать собственно процесс вычисления двойного интеграла                               и знакомиться с его геометрическим смыслом.

Двойной интеграл             численно равен площади плоской фигуры D (области интегрирования). Это простейший вид двойного интеграла, когда функция двух переменных равна единице:   .
Сначала рассмотрим задачу в общем виде. Сейчас вы немало удивитесь, насколько всё действительно просто! Вычислим площадь плоской фигуры D ,ограниченной линиями   .
Для определённости считаем, что                      на отрезке   .        Площадь данной фигуры численно равна:
Изобразим область  D  на чертеже:

Выберем первый способ обхода области:
Таким образом:

И сразу важный технический приём: повторные интегралы можно считать по отдельности. Сначала внутренний интеграл, затем – внешний интеграл. Данный способ настоятельно рекомендую начинающим в теме чайникам.

  .
  .
:
1) Вычислим внутренний интеграл, при этом интегрирование проводится по переменной «игрек»:
Неопределённый интеграл тут простейший, и далее используется банальная формула Ньютона-Лейбница, с той лишь разницей, что пределами интегрирования являются не числа, а функции. Сначала подставили в «игрек» (первообразную функцию) верхний предел, затем – нижний предел
2) Результат, полученный в первом пункте необходимо подставить во внешний интеграл:
Более компактная запись всего решения выглядит так:

Полученная формула                                            – это в точности рабочая формула для вычисления площади плоской фигуры с помощью «обычного» определённого интеграла!
Используемая литература
http://www.mathprofi.ru


title: Скачать презентацию или конспект Геометрические фигуры вокруг нас

extracted_text:
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ ВОКРУГ НАС

Автор Трухина Галина.
Руководитель Канина Галина Владимировна
Усолье-Сибирское, 2008 год.

Геометрия возникла очень давно, это одна из самых древних наук. В переводе с греческого слово «геометрия» означает «землемерие» («гео»- по-гречески земля,  а «метрио»- мерить).

Геометрические фигуры весьма разнообразны. Мы знаем, что такое точка, прямая, отрезок, луч, угол.

окружность
круг
треугольник
прямоугольник
Мы знакомы с треугольником, прямоугольником, кругом и другими фигурами.

Геометрию разделяют на две части: планиметрию и стереометрию.
В планиметрии рассматриваются фигуры в плоскости. Примеры : отрезки, треугольники, прямоугольники.
В стереометрии изучаются свойства фигур в пространстве. Примеры: шар, цилиндр.

Разделы геометрии
Все предметы в нашей квартире  напоминают различные геометрические фигуры. Рассмотрим и опишем некоторые из них.
Толстая книга похожа на параллелепипед. Потому, что как и у параллелепипеда все противолежащие грани и стороны у неё параллельны. Шкафы, полки и тумбочки это те же параллелепипеды.  Двери имеют форму прямоугольников. Стены, потолок, окна так же напоминают прямоугольники.
Цветочный горшок на окне напоминает усечённый конус, потому, что его можно представить как круг, соединённый множеством отрезков с какой то точкой, не лежащей в данном круге, а усечённый он, потому что вершина конуса отсутствует, она как будто срезана плоскостью.

Кристаллы имеют форму геометрических тел, поверхности которых составлены из многоугольников. Такие поверхности называются многогранниками. Капли жидкости в невесомости принимают форму геометрического тела, называемого шаром. Такую же форму имеет футбольный мяч. Консервная банка имеет форму геометрического тела, называемого цилиндром.
Представление о прямой, параллельной плоскости, дают натянутые троллейбусные или трамвайные провода- они параллельны плоскости земли. Другой пример дает линия пересечения стены и потолка- эта линия параллельна плоскости пола. Например, линия пересечения пола с той же самой стеной.
С симметрией мы часто встречаемся в природе, архитектуре, технике, быту. Так, многие здания симметричны относительно плоскости, некоторые виды деталей имеют ось симметрии. Почти все кристаллы, встречающиеся в природе, имеют центр, ось и плоскость симметрии.
ВЫВОД:
Вокруг нас находится большое количество предметов, имеющих форму геометрических фигур. Углы, отрезки и плоскости являются объектами искусственного происхождения и изготовлены человеком. Предметы природного происхождения имеют округлые формы, такие как  шар, эллипс, дуга. Исключение составляют кристаллы, которые имеют прямоугольные формы.

Литература:
Геометрия 10-11 класс. Авторы: Л . С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Л. С. Киселева, Э. Г. Позняк.


title: Скачать презентацию или конспект Математика и другие науки

extracted_text:
Математика и другие науки
Учитель математики ГБОУ СОШ №1413 г. Москвы
Шумилова Юлия Евгеньевна
     Математика является одним из самых интереснейших школьных предметов. Она изучает науку о структурах, порядке и отношениях, измерения и описания форм реальных объектов. Математика -это фундаментальная наука, предоставляющая (общие) языковые средства другим наукам.
     Зачастую мы всегда считали , что математика относится к техническим наукам , но это только на поверхностном уровне, если мы углубимся в изучения, мы поймём , что она связана как с естественными, так  и с гуманитарными науками.

Математика в Музыке
"Раздумывая об искусстве и науке, об их взаимных связях и противоречиях, я пришел к выводу, что математика и музыка находятся на крайних полюсах человеческого духа, что этими двумя антиподами ограничивается и определяется вся творческая духовная деятельность человека и, что между ними размещается все, что человечество создало в области науки и искусства"
Г. Нейгауз
    Открытие Пифагора в области теории музыки в том ,что сочетание звуков, издаваемых струнами, наиболее благозвучно, если длины струн музыкального инструмента находятся в правильном численном отношении друг к другу.

      Для воплощения своего открытия Пифагор использовал монохорд – полу инструмент, полу прибор. Было проделано много опытов, в результате которых Пифагор описал математически звучание натянутой струны

Долгое время не было единого мнения о том, что определяет приятное для слуха звучание струны. Ясность в этот вопрос внес Архитас (IV в. до н.э.), который сущность высоты тона видел не в длине струны и не в силе натяжения, а в скорости ее движения. Сегодня эта "скорость движения" носит название частоты колебания струны.
«Нельзя быть настоящим математиком, не будучи немного поэтом»
                                                    Т. Вейерштрасс
Математика в Литературе
     Многое в структуре произведений поэзии роднит этот вид искусства с музыкой. Каждый стих обладает своей музыкальной формой – своей ритмикой и мелодией. Можно ожидать, что в строении стихотворений проявятся некоторые черты музыкальных композиций, закономерности музыкальной гармонии, а следовательно, и золотая пропорция, и числа Фибоначчи.

      Числа Фибоначчи — элементы числовой последовательности  1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597,… . Суть последовательности Фибоначчи, в том, что начиная с 0 или 1, следующее число получается сложением двух предыдущих. Если какой-либо член этой последовательности разделить на предшествующий ему (например, 13:8), результатом будет величина, колеблющаяся около иррационального значения 1,618033988975… и через раз то превосходящая, то настигающая его.

Во многих произведениях Пушкина присутствует соответствие числам Фибоначчи. Для анализа метрики стихотворений А.С. Пушкина рассмотрены произведения 1829-1836 годов, периода создания наиболее совершенных стихов. Сюда вошло 96 произведений. Число строк в стихотворениях этого периода изменялось от 4 до 153 . Однако большие стихотворные формы встречаются редко; число стихотворений с числом строк более 60 составило всего 9 штук.
\
Размеры стихов распределены совсем не равномерно; выделяются предпочтительные и редко встречаемые размеры. На графике распределения стихотворений А.С. Пушкина по числу строк в них отчетливо выделяется несколько максимумов – наиболее часто встречающихся размеров. Они явно тяготеют к числам 5, 8, 13, 21, 34.

       После приведенного анализа  стихотворений А.С. Пушкина уже не кажется случайностью тот факт, что его роман в стихах «Евгений Онегин» состоит из 8 глав, в каждой главе в  среднем 50 стихов (а в 7-й главе 55), а каждый стих состоит из 14 строчек. Основная схема построения “Евгения Онегина” основана на близости к трём числам Фибоначчи: 8, 13, 55.Тяготение к определенным стихотворным формам характерно для каждого поэта, оно и определяет его индивидуальность. Для А.С. Пушкина характерно большое разнообразие таких форм, но есть у него и наиболее излюбленные.  По-видимому, сюда относится и неосознанное, интуитивное тяготение к числам Фибоначчи. Ведь интуиция в творчестве  А.С. Пушкина во многом  определила гениальность его произведений.
Многими исследованиями было замечено, что стихотворения подобны музыкальным произведениям; в них так же существуют кульминационные пункты, которые делят стихотворение в пропорции золотого сечения.Отрезок прямой АВ можно разделить на две части следующими способами:
на две равные части – АВ : АС = АВ : ВС;
на две неравные части в любом отношении (такие части пропорции не образуют);
таким образом, когда АВ : АС = АС : ВС.
Последнее и есть золотое деление или деление отрезка в крайнем и среднем отношении.
Золотое
сечение
       Золотое сечение – это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей.
a : b = b : c или с : b = b : а.

   Части «золотого сечения» составляют приблизительно 62% и 38% всего отрезка. Свойства «золотого сечения» описываются уравнением:
     Золотое сечение математики рассмотрим на примере композиции “Пиковой дамы” Пушкина. В повести 853 строчки. Кульминацией является сцена в спальне графини, куда проник Герман в надежде узнать тайну 3-х карт. Смерть графини от испуга случается на 535 строке. Эта строка располагается точно в месте золотого сечения. Всего: 853 строки, 535 строка – кульминация,  853 : 535 = 1,6 – золотое сечение.
«Мы с наслаждением познаём математику… Она восхищает нас, как цветок лотоса»
Аристотель
Математика в Биологии
     В биологических исследованиях 70-90 гг. показано, что, начиная с вирусов и растений и кончая организмом человека, всюду выявляется золотая пропорция, характеризующая соразмерность и гармоничность их строения. Золотое сечение признано универсальным законом живых систем. Можно отметить два вида проявлений золотого сечения в живой природе: иррациональные отношения по Пифагору - 1.62 и целочисленные, дискретные - по Фибоначчи.

     Для всего животного мира характерны симметрия форм и наличие парных органов, членение на три части тела (голова, грудь, брюшко), членение конечностей на 3 и 5 частей, а брюшка - на 3. Это является характерной чертой морфологии насекомых.

     Строение форм представителей более высокого уровня животного мира также подчиняется закону чисел Фибоначчи. Так у черепахи в панцире имеется 13 сросшихся роговых пластин, из них 5 пластин в центре, а 8 по краям, на лапках 5 пальцев, а позвоночник содержит 34 позвонка
Математика в Информатике
«Математика нужна для изучения многих наук, но сама она не нуждается ни в какой науке»

П. Каптерев
   Информатика использует методы математики для построения и изучения моделей обработки, передачи и использования информации. Можно утверждать, что математика создает тот теоретический фундамент, на котором строится все знание информатики.

  Особое значение в информатике играет такой раздел математики, как математическая логика. Математическая логика разрабатывают методы, позволяющие использовать достижения логики для анализа различных процессов, в том числе и информационных, с помощью компьютеров. Теория алгоритмов, теория параллельных вычислений, теория сетей и др. науки берут свое начало в математической логике и активно используются в информатике. Используя логические операции, можно провести моделирование логической структуры правовой нормы.

 В результате всех наблюдений, мы можем утверждать, что математика – это не только стройная система законов, теорем, задач, но и уникальное средство познания красоты. А красота многогранна и многолика. Она выражает высшую целесообразность устройства мира, подтверждает универсальность математических закономерностей. Красота помогает с радостью воспринимать окружающий мир, математика даёт возможность осознать явления и упрочить знания о гармонии всего мира. Изучая математику, мы открываем всё новые и новые слагаемые красоты, приближаясь к пониманию, а затем и к созданию красоты и гармонии.

www.wikipedia.ru
www.academic.ru
www.slovari.ru
Для создания презентации
были использованы: