title: Скачать презентацию или конспект Степенные ряды. Область сходимости степенного ряда

extracted_text:
				 Проект

			Семенова Алексея Витальевича

		Тема: « Степенные ряды. Область сходимости
                                               степенного ряда»

                                                                         Димитровград 2008г.
      Содержание:

Определение степенного ряда
Примеры степенных рядов
Область сходимости степенного ряда.
4. Равномерная сходимость функционального ряда.
5. Нахождение радиуса сходимости ряда.
6. Список использованной литературы.
Степенной ряд и его область сходимости.
Определение: Степенным рядом называется функциональный  ряд вида:

где

постоянные вещественные числа,
 называемые коэффициентами степенного ряда.

Любой степенной ряд сходится при х=0, т.к. в этой точке все члены ряда (1), кроме первого, - нули. Есть степенные ряды вида (1), которые сходятся лишь в точке х=0; такие ряды относят к рядам первого класса.
          Например, ряд
сходится лишь в точке х=0; в любой другой точке х≠0 этот ряд расходится. Действительно, при каждом х≠0 из числовой оси имеем числовой ряд. Исследуем его на сходимость. Образуем ряд

Применив к последнему ряду признак Даламбера, получим:

при всех х≠0. Следовательно, ряд (3), значит, и ряд (2) расходятся при всех х≠0.

Еще в середине 60-х годов XVII века, получив формулу бинома для натурального показателя, Ньютон сразу же приступил к выяснению того, действительна ли она для отрицательных и дробных показателей. В частности, он проверил ее для

    показателей

В первом случае он пришел к ряду                                                               ,

во втором к ряду

Здесь, как при любом рациональном m, сумма биномиального ряда (при                          )  дает арифметическое значение радикала.
Получение биномиального ряда

Получение биномиального ряда
При                     имеем:

Этот ряд сходится при (                     ). Однако, результаты  Ньютона в этом, как и в других вопросах анализа, были, как известно, опубликованы намного позже их получения автором. Так называемый биномиальный ряд, связанный с именем Ньютона, имеет следующий

	вид:

При этом m – любое, отличное от нуля вещественное число. Этот ряд
	сходится при                 , т.е. при

Доказательство разложения для любого вещественного m  , было дано Эйлером.

Способ разложения в ряд, предложенный Ньютоном
	Одним из способов разложения в ряды, применявшихся Ньютоном, было обращение ряда; например, исходя из логарифмического ряда

			в котором x разложен по степеням y, он устанавливает 		обратное разложение y  по степеням x , получая:

			или 							,

			который представляет собой показательный ряд, он 			сходится для любого х.

Способ разложения в ряд, предложенный Ньютоном
Заменив в ряде

х на –х2 , найдем:

Этот ряд Ньютон проинтегрировал почленно, получив:

Ряд сходится на отрезке

Область сходимости степенного ряда
Теорема. Для всякого степенного ряда существует такое число , что степенной ряд сходится при
   и расходится при
	Таким образом, область сходимости степенного ряда есть круг с центром в точке а радиуса R, который называется кругом сходимости. Число R называется радиусом сходимости ряда.
Область сходимости степенного ряда
Отметим еще, что общего ответа на вопрос о сходимости степенного ряда
на границе круга сходимости, то есть при
, дать нельзя.
В каждом конкретном случае этот вопрос надо рассматривать
 отдельно.
Заметьте еще, что при R=0 степенной ряд сходится только в
точке z=a; при R=+ степенной ряд сходится.
Нахождение радиуса сходимости ряда
Важнейшая характеристика степенного ряда – его радиус сходимости – находится одним из следующих способов.
	1. Если существует               , то                             .

	2. Если существует                 , то                             .

	3. Пусть                          . Тогда                                 .
ПРИМЕР . Определить интервал сходимости ряда и исследовать его на концах интервала:
Решение.
Т.к. степенной ряд по теореме Абеля сходится абсолютно в интервале сходимости, то рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда                          Это ряд положительный, поэтому мы                          				           можем для его исследования применить
                                                                             признак Даламбера.

                  ,                         .

Получили интервал сходимости данного ряда IxI<3 ,  -3<x <3 .

Исследуем сходимость данного ряда на концах интервала
x= - 3 подставим в данный ряд, получим

                                                      . Полученный знакочередующийся ряд                                 сходится по признаку Лейбница.
Первое условие признака Лейбница выполняется, т.к.

Второе условие признака Лейбница также выполняется, т.к.

Исследуем сходимость данного ряда на концах интервала
x= - 3 подставим в исходный ряд, получим

                                                 гармонический ряд, он расходится.

Следовательно, областью сходимости данного ряда является

промежуток                    .

Ответ:                  или

Леонард Эйлер
(1707-1783)
        Швейцарский математик и механик, академик Петербургской Академии наук, автор огромного количества научных открытий во всех областях математики.
     Эйлер первым применил средства математического анализа в теории чисел, положил начало топологии.

Краткая историческая справка

Исаак Ньютон(1643 – 1727)

В 1665 г. Исаак Ньютон окончил
	Кембриджский Университет и собирался начать
	работу там же, в его родном Тринити-колледже.
		Он открыл закон всемирного тяготения  и
	приступил с его помощью к исследованию планет.
	Но чтобы исследовать и выражать законы физики, Ньютону приходилось заниматься и математикой. В Вулстропе Ньютон, решая задачи на проведение касательных к кривым, вычисляя площади криволинейных фигур, создает общий метод решения таких задач – метод флюксий (производных) и флюэнт, которые у Г.В. Лейбница назывались дифференциалами.
		Ньютон так же находит формулу для различных степеней суммы двух чисел, причем не ограничивается натуральными показателями и приходит к суммам бесконечных рядов чисел. Ньютон показал, как применять ряды в математических исследованиях.
		Работы Ньютона надолго опередили пути развития физики и математики. Закон всемирного тяготения постепенно осознавался как единый принцип, , позволяющий строить совершенную теорию движения небесных тел. Созданный им математический анализ открыл новую эпоху в математике.

Список использованной литературы:
И.И. Баврин,  В.А. Матросов
 Общий курс высшей математики.

2. М.Я. Выгодский
 Справочник по высшей математике для   ВУЗов.

3. Б.В. Соболь
Практикум по высшей математике/ Ростов н/Д: Феникс, 2006,-640 с.


title: Скачать презентацию или конспект Теорема о вписанном угле

extracted_text:
Муниципальное общеобразовательное учреждениесредняя общеобразовательная школа п. Пяльма Пудожского района Республики Карелия
Учитель математики Венскович Алла Сергеевна.

5klass.net
Теорема о вписанном угле.
Урок геометрии. 8 класс
Ввести понятие вписанного угла.
Рассмотреть теорему о вписанном угле и следствия из нее.
Показать применение теоремы о вписанном угле и следствий из нее при решении задач.
Развивать общеучебные умения  и навыки.

Цели и задачи
Организационный момент.
Актуализация знаний учащихся.
Изучение нового материала.
Закрепление изученного материала.
Подведение итогов урока.
Домашнее задание.

Содержание

Актуализация знаний. Внимательно слушаем одноклассников!
1. Понятие дуги окружности.
Дугой окружности называется часть окружности, ограниченная двумя точками, лежащими на окружности.
2.Понятие центрального угла
Угол с вершиной в центре окружности называется ее центральным углом.
3.Что называется градусной мерой дуги окружности?
*Если дуга ВС окружности с центром в точке О меньше полуокружности или является полуокружностью, то ее градусная мера считается равной градусной мере центрального угла ВОС. Если же дуга ВС больше полуокружности, то ее градусная мера считается равной 360˚-уголВОС.

Изучение нового материала
1.Определение вписанного угла.

2. Свойство вписанного угла.

3.Следствия из теоремы о вписанном угле.

(работа с диском медиатеки  «Открытая математика2.6. Планиметрия. ООО « Физикон»

Закрепление изученного материала
№653 (устно) из учебника.
№654(а-в) полуустно.
№655.
Решение задач ( работа с диском медиатеки «Открытая математика2.6. Планиметрия. ООО « Физикон»)
      (№1-№4)
Вопросы .
1.Радиус окружности равен 4 см. Можно ли внутри этой окружности поместить треугольник со сторонами 3 см, 6 см, 8,2 см?
Нет
Да
Нельзя определить

Нет
Да
Нельзя определить
Решение.
2.Радиус окружности равен 4 см. Можно ли внутри этой окружности поместить треугольник со сторонами 3 см, 6 см, 8 см?
Нет
Да
Нельзя определить
Решение.

Нет
 Да
Нельзя определить
3.Радиус окружности равен 4 см. Можно ли внутри этой окружности поместить треугольник со сторонами 6 см, 6 см, 8 см?
Да
Нет
Нельзя определить
Решение.
Да
Нет
 Нельзя определить
Задача №1
Из точки окружности проведены две равные хорды, равные радиусу. Найти угол между хордами.
Правильный ответ:  120°
Задача №2
Хорды AD и BC окружности пересекаются. <ABC = 40°, <ACD = 90°. Найти <CAD.

Решение.
<ABC = <ADC = 40°. <CAD = 180° – <ADC – <DCA = 50°
Задача №3
Из точки на окружности проведены диаметр и хорда, равная радиусу.
 Найти угол между ними.
Правильный ответ:  60°
Задача №4
Чему равен острый угол, который образует хорда AB с касательной в точке B, если длина хорды равна радиусу?
Правильный ответ:  30°

Как это называется?
1.Как называется угол с вершиной в центре окружности?
А. Вписанный        Б. Центральный        В. Развернутый      Г. Прямой
2.Как называется угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность?
А. Вписанный     Б. Центральный      В. Смежный         Г. Развернутый
3. Вписанный угол равен:
А. 90˚         Б. центральному углу           В.половине дуги, на которую он опирается            Г. дуге, на которую он опирается
4.Вписанный угол, опирающийся на полуокружность , равен:
А. 180 ˚ Б. 360 ˚В. 50˚ Г. 90˚
Итог
Проверь себя
Домашнее задание
Выучить п .71 ( до второй теоремы).

Решить задачи :№654 (г), №656.
Использованные ресурсы
Учебник геометрии 7-9 под редакцией Атанасян Л.С.

диск медиатеки  «Открытая математика2.6. Планиметрия. ООО
« Физикон»


title: Скачать презентацию или конспект Методы решения уравнений с одной переменной

extracted_text:
«Методы решения уравнений с одной переменной»
Открытый урок по алгебре в 9 классе по теме :
Учитель математики: Точка Ирина Геннадьевна
Тема урока: «Решение уравнений с одной переменной»
Цели урока:
 закрепить знания и умения решений квадратных уравнений;
повторить  основные методы решения уравнений с одной переменной;
 выработка умений выбрать нужный рациональный  способ решения

Эпиграф  к уроку

«Весь смысл жизни заключается в бесконечном завоевании неизвестного, в вечном усилии познать большее»
Логическое задание
 Решите анаграммы и исключите лишнее слово.
ОНРЬЕК;     РВУАЕИНЕН;
АКЛЫМИКЯ;     ИСЧОЛ.
Даны слова: корень; уравнение; Калмыкия; число.
Устная работа
1.

К
Что называют уравнением?
а
Что называют корнем уравнения?
л
Что значит решить уравнение?
М
Какое уравнение называется квадратным?
          ax2 + bx +c = 0
a, b, c – некоторые числа, a  0

От чего зависит число корней квадратного уравнения?
Ы

К
Какое уравнение называется целым?
Какие способы решения целых уравнений вы знаете?
И
Какое уравнение называется приведённым квадратным уравнением?
x2 + px + q = 0
x2 + px + q = 0
x1 + x2 = -p,
x1x2 = q
Как звучит теорема, обратная к  теореме Виета?
Я
Как называется общекалмыцкий (ойорадский)  свод законов?
х2-16х+63=0              7,9   -  Великое
2х2- 50=0                 4; -8 -  Главный
Х2 + 12х+ 32=0       -4; -8 – Уложение
                                    5;-5  – Степное
                                    -5; 0  – Закон
                                    -9; -7 - Калмыкии
Общие сведения
В XVI — XVII веках, в результате мощной экспансии, калмыки заняли громадные территории от Дона до Енисея по широте и от Урала до границ Индии по долготе.
 Величайшая империя кочевников нового времени известна сейчас под названием Джунгарское ханство. Современная Калмыкия является, фактически, осколком этого государства.

Найдите корни уравнения:
(х – 1)(х – 6)х (х – 9) = 0
В 1609 году Калмыкия вошла в состав Российской Федерации
Решение упражнений

а б  в
 г  л  т
а  б  в
 е  а ю
а  б  в
 г  а  л
а  б  в
 а  и  ь
а  б  в
 п  к  в
а  б  в
 и  а  о
а  б  в
 н  т  м

Красота калмыцкой степи

Калмыкия расположена на стыке двух зон растительности – степной и пустынной.  Каждую  весну   появляются   знаменитый  красный  тюльпан,  но  тюльпаны бывают  белые,  розовые,  желтые, которые занесены в «Красную книгу», вся
степь играет всеми цветами радуги.

Физминутка

Работа по рядам

Ответы:          3      -4      8      -4     0       2
Буквы:            а       м      н        ч     р       ы
Ключевое слово:

Маныч
МАНЫЧ-ГУДИЛО

Тестирование
Вариант 1  Ключевое слово из 6 букв

Вариант 2  Ключевое слово из 5 букв

САЙГАК
Гордость наших степей – сайгак. Совсем недавно он был под угрозой уничтожения, но усиленная охрана и другие природоохранительные мероприятия позволили поднять его численность до промысловой. Помимо диетического мяса от сайгака получают рога. Из кожи изготавливается первоклассный хром и шевро. Сайгак – обитатель равнинных пространств, обычно избегающий пресеченной местности. Только в суровые зимы, в период метелей, сайгака можно встретить в бугристых песках, где он ищет защиту от ветров. В Калмыкии сайгак обитает в полупустынной и пустынной зонах. Здесь он находит корм во все периоды года.
Численность популяции сайгака колеблется от 270 тыс. до 400 тыс. голов
Лотос
.
Мой край, что у моря
Раскинул просторы,
Слагаю стихи о тебе.
Край желтых барханов
Ветров и бурханов,
С тобою иду по судьбе.
    И. Убушаев

Журавль-красавка
Черноголовый хохотун
Колпица
Розовый пеликан

Домашнее задание

Теория стр. 245-248

Карточка
РЕФЛЕКСИЯ

Спасибо за урок!
До свидания!


title: Скачать презентацию или конспект Экологическое воспитание через урок математики

extracted_text:
Урок математикив 4 классе
Экологическое воспитание
 через урок математики
Учитель начальных классов
Зайцева Вероника Петровна

    Лес – наше богатство!

В чём,  прежде  всего, выражается это богатство?

2 924 : 68

Источник питания – 42
Источник древесины – 930
Источник  кислорода – 43
Красота – 31

     Лесные растения выделяют огромное                             количество кислорода и поглощают  углекислый газ
Как называют леса нашей планеты?
3 456 : 54

«сердцем» – 25
«желудком» – 70
«лёгкими» – 64

Какие полезные вещества выделяют листья многих деревьев, в том числе сосна?

                  29 736 : 56

Углекислый газ – 532
Азот – 541
Фитонциды -  531
       Каждое пятое дерево наших лесов – сосна. Вместе с кислородом дерево обогащает воздух летучими веществами – фитонцидами, которые губительно действуют на возбудителей туберкулёза.
Какое из деревьев, растущих на наших улицах, является лучшим «пылесосом»?

                           136 576 : 64

Берёза – 4 134
Сосна – 164
Тополь – 2 134
1 га леса за час поглощает столько углекислого газа, сколько его образуется при дыхании 200 человек.В Тёпло-Огарёвском районе – 14 800 человек. Сколько гектаров леса надо, чтобы поглотить за час весь углекислый газ, который образуется при дыхании жителей Тёпло-Огарёвского района?
Площадь лесов в Тёпло-Огарёвском районе 47 кв.км.Сколько это гектаров?
1 кв.км = 100 га

47 кв.км = 4 700 га
Физминутка
Руки подняли и покачали –
Это деревья в лесу.
Руки согнули, кисти встряхнули –
Ветер сбивает росу.
В стороны руки, плавно помашем –
Это к нам птицы летят.
Как они тихо садятся, покажем –
Крылья сложили назад.
  Подснежник           Ландыш
Задача
Сколько погибло бы цветов, если бы каждый ученик вашего класса сорвал по 5 штук? По 10 штук?

А знаете ли вы, что ландыш зацветает на 6-м году жизни,

купальница на – 8-м,

венерин башмачок – лишь на 18-м году.

Какой вывод мы можем сделать?

Задача
Муравьи только одного крупного муравейника за лето уничтожают около 100 тыс. насекомых.
Гектар леса, охраняемый 4 муравейниками, абсолютно чист от вредителей.
Сколько всего насекомых уничтожат за лето эти 4 муравейника?


title: Скачать презентацию или конспект Правильные и полуправильные многогранники

extracted_text:
 Правильные и полуправильные многогранники. Тела Архимеда.

	СОДЕРЖАНИЕ
Правильные и полуправильные многогранники
Тела Архимеда
Леонардо да Винчи

Правильным многогранником называется выпуклый многогранник, грани которого – равные правильные многоугольники, а двугранные углы при всех вершинах равны между собой. Доказано, что в каждой из вершин правильного многогранника сходится одно и то же число граней и одно и то же число ребер.
  Всего в природе существует пять правильных многогранников. По сравнению с количеством правильных многоугольников это – очень мало: для каждого целого n>2 существует один правильный n-угольник, т.е. правильных многоугольников – бесконечно много. Правильные многогранники имеют названия по числу граней: тетраэдр (4 грани): гексаэдр (6 граней), октаэдр (8 граней), додекаэдр (12 граней) и икосаэдр (20 граней).
Правильные и полуправильные многогранники

    По-гречески "хедрон" означает грань, "тетра", "гекса" и т. д. – указанные числа граней. Нетрудно догадаться, что гексаэдр есть не что иное, как всем знакомый куб. Грани тетраэдра, октаэдра и икосаэдра – правильные треугольники, куба – квадраты, додекаэдра – правильные пятиугольники.

Правильные и полуправильные многогранники
Если обозначить количество углов у одной грани правильного многогранника за q, а количество граней, сходящихся в одной вершине – за p, можно получить точные характеристики каждого правильного многогранника. Вот они (первое число – q, второе – p): (3;3), (3;4), (4;3), (3;5), (5;3). При этом у куба и октаэдра, а также у икосаэдра и додекаэдра, числа p и q оказываются как бы переставленными. Эти многогранники называют двойственными. Тетраэдр считается двойственным сам себе. У двойственных многогранников количество ребер одинаковое.

Правильные и полуправильные многогранники
Правильные многогранники симметричны. Это означает, что для любого произвольно выбранного ребра AB и примыкающей к нему грани F можно так повернуть многогранник, что ребро AB перейдет в любой отличное от него ребро CD, точка A – в любой его конец (C или D), а грань F совпадет с одной из двух примыкающих к нему граней. Таких возможных поворотов – самосовмещений всего существует 4P, где P – число ребер многогранника. При этом половина из них – повороты вокруг воображаемых осей, соединяющих центр многогранника с его вершинами, серединами ребер и граней на углы, кратные соответственно 2 / q,  и 2 / p, а другая половина – симметрии относительно плоскостей и "зеркальные повороты". Указанное "свойство максимальной симметричности" иногда принимают за определение правильного многогранника. Но человеку, далекому от математики, трудно представить себе геометрическое тело с таким определением.

Правильные и полуправильные многогранники
  Иоганн Кеплер называл куб "родителем" всех правильных многогранников. На основе куба он смог построить все другие виды правильных многогранников.
  Если провести в противоположных гранях куба скрещивающиеся диагонали, то их концы окажутся вершинами тетраэдра, а вершины октаэдра – это центры граней куба. Полученные многоугольники действительно правильные, так как их грани – правильные треугольники. Равенство же двугранных углов следует из того, что при повороте куба ребро многогранника можно перевести в любое другое.

Правильные и полуправильные многогранники
  Для того, чтобы построить икосаэдр, на каждой грани куба нужно построить отрезок длиной x (пока что это – любая длина) так, чтобы он был параллелен двум сторонам своей грани и перпендикулярен таким же отрезкам на соседних гранях. Середина его должна совпадать с центром грани. Соединим концы этих отрезков между собой, и мы получим двадцатигранник, грани которого – треугольники, и при каждой вершине их пять. Найдем такое число x, при котором все ребра этого многогранника равны, т. е. он правильный. Т.к. куб симметричен, то все ребра, не принадлежащие граням куба равны между собой. Примем длину ребра куба за a. Рассмотрим треугольник ABC (рис. 2), где AC = a – x, BC2 = CD2 + BD2 = 1/4 a2 + 1/4 x2. По теореме Пифагора получаем:         AB2 = AC2 + CB2 = ( x2 + a2 + (a – x)2 ) / 4.
 Приравнивая AB к x, получаем квадратное уравнение: x2 + a x – a2 = 0, откуда x = a ( 5 – 1) / 2. Интересно, что полученный множитель при a, т. е. отношение ребра куба к ребру вписанного в него икосаэдра – не что иное, как золотое сечение.

Правильные и полуправильные многогранники
Теперь докажем равенство двугранных углов. Рассмотрим 5 ребер, выходящих из точки A. Концы их всех равноудалены и от точки A, и от центра куба O. Отсюда следует, что они лежат на пересечении двух сфер с центрами A и O, а значит – на окружности, причем ребра, соединяющие их с точкой A, равны. Значит, эти пять точек и точка a – вершины правильной пирамиды, а ее двугранные углы при вершине равны.
  Додекаэдр из икосаэдра можно получить так же, как и октаэдр из куба. соединяя середины смежных граней икосаэдра, мы получаем правильный пятиугольник. Всего таких пятиугольников будет 12. Двугранные углы многоугольника будут равны, так как трехгранные углы при его вершинах имеют равные плоские углы.

Правильные и полуправильные многогранники
Правильные многогранники также называют платоновыми телами, хотя они были известны еще за несколько веков до Платона. В одном из своих диалогов Платон связал правильные многоугольники с четырьмя стихиями. Тетраэдру соответствовал огонь, кубу – земля, октаэдру – воздух, икосаэдру – вода. Додекаэдру соответствовала пятая стихия – эфир.
  Так называемые полуправильные многогранники связывают с именем Архимеда. Это 13 тел, полученных при усечении правильных многогранников и два бесконечных ряда правильных призм и антипризм с равными ребрами.

Правильные и полуправильные многогранники
В эпоху Возрождения ученый Иоганн Кеплер вслед за Платоном попытался связать правильные многогранники со строением Вселенной. С большей или меньшей точностью он разместил между сферами, содержащими орбиты шести известных планет, правильные многогранники таким образом, что каждый был описан около меньшей сферы и вписан в большую. Но имя Кеплера в геометрии прославило открытие двух из четырех правильных звездных тел. Два других в 1809 г. нашел француз Луи Пуансон.

Правильные и полуправильные многогранники
Правильные многогранники

Тетраэдр

Куб

Октаэдр

Додекаэдр

Икосаэдр

Получение правильных многогранников из  куба

Архимедово тело, образованное из икосаэдра
Одно из звездных тел

СОДЕРЖАНИЕ

Тела Архимеда

Архимедовыми телами называются полуправильные, однородные выпуклые многогранники, т.е. выпуклые многогранники, все многогранные углы которых равны, а грани -- правильные многоугольники нескольких типов ( этим они отличаются от Платоновых тел, грани которых правильные многоугольники одного типа).
Открытие четырнадцати полуправильных многогранников приписывается  Архимеду ( 287-212 г. до н.э. ), который впервые перечислил их свойства в не дошедшей до нас работе. Ссылки на эту работу имеются в трудах математика Паппа. Теорией этих   тел занимался также Кеплер.

Тела Архимеда

Архимедовы тела

Из нижеприведенного рисунка видно получение усеченного икосаэдра из платонова икосаэдра отсечением у каждой вершины 12 частей плоскостью.

СОДЕРЖАНИЕ
Леонардо да Винчи
Оригинальный способ пространственного изображения усечённого икосаэдра предложил Леонардо да Винчи.

Изображение усечённого икосаэдра мы можем встретить в иллюстрированной Леонардо книге его современника, францисканского монаха и математика Луки Пачоли (1445-1514) «Божественная пропорция» («De Devina Proportione»), изданной в 1509 г.
Титан Возрождения, живописец, скульптор, ученый и изобретатель Леонардо да Винчи (1452-1519) — символ неразрывности искусства и науки, а следовательно, закономерен его интерес к таким прекрасным, высокосимметричным объектам, как выпуклые многогранники вообще и усеченный икосаэдр в частности.

.
 Геометрия кисти Леонардо. Поистине, живопись — наука и законная дочь природы, ибо она порождена природой.

Гравюру с изображением усеченного икосаэдра Леонардо предваряет надписью по латыни Ycocedron Abscisus (усеченный икосаэдр) Vacuus. Термин Vacuus обозначает тот факт, что грани многогранника изображены «пустыми» — не сплошными. Строго говоря, грани не изображаются вовсе, они существуют только в нашем воображении. Зато ребра многогранника изображены не геометрическими линиями (которые, как известно, не имеют ни ширины, ни толщины), а жесткими трехмерными сегментами. Обе эти особенности данной гравюры и составляют основу способа пространственного изображения многогранников, изобретенного Леонардо для иллюстрации книги Луки Пачоли и называемого сегодня методом жестких (или сплошных) ребер. Такая техника позволяет зрителю, во-первых, безошибочно определить, какие из ребер принадлежат передним, а какие — задним граням многогранника (что практически невозможно при изображении ребер геометрическими линиями), и, во-вторых, взглянуть как бы сквозь геометрическое тело, ощутить его в перспективе, глубине, которые теряются при использовании техники сплошных граней.

Леонардо да Винчи

Изображения Леонардо да Винчи додекаэдра методом жёстких рёбер (а) и методом сплошных граней (б) в книге Луки Пачоли «Божественные пропорции».

СОДЕРЖАНИЕ


title: Скачать презентацию или конспект Решение неполных квадратных уравнений

extracted_text:
Решение
неполных
квадратных
уравнений
ПРОБЛЕМА

  Решение неполных квадратных уравнений нерациональным способом.

   Изучив данную тему в 8 классе, учащиеся в старших классах забывают и порой  не видят неполные квадратные уравнения и решают их как полные квадратные уравнения, а на это тратится гораздо больше  времени.  А эта потеря времени существенна при сдаче экзамена по математике в форме ЕГЭ.
Тема урока: «Неполные квадратные уравнения.»
Цели урока:
1. Сформировать понятие квадратного уравнения.

2. Выбирать полные и неполные
    квадратные уравнения.

3. Демонстрировать способы решения неполных квадратных уравнений.

4. Развивать навыки самоконтроля.
ПОВТОРЕНИЕ:
Какие уравнения называются квадратными?
Какое квадратное уравнение называется приведенным?
Какие виды квадратных уравнений вы знаете?
Какие квадратные уравнения называются неполными?

Какие из перечисленныхуравнений – квадратные ?
7х2+5х=0
7х+4 =0               Назовите неполные
-3х2=3                 квадратные уравнения
3х2+10x-5=0              и объясните
2х+8=10х                      почему?
4,9х2=0
12х-3х2=0

Математический диктант.
1. Запишите квадратное уравнение, у которого первый коэффициент 3 (-5) , второй коэффициент -5 (3), свободный член 0.

2. Запишите приведенное квадратное уравнение, у которого второй коэффициент и свободный член равны -2 (-3).

3. а) Запишите неполное квадратное уравнение, у которого первый коэффициент равен -5 (-3), свободный член равен 7 (5);
        б) Решите полученное уравнение.

4. а) Запишите неполное квадратное уравнение, у которого первый коэффициент равен 3 (5), второй коэффициент равен 5 (7);
        б) Решите полученное уравнение.

РАБОТА  В ГРУППАХ

Приведите уравнение (3х+1)(2х-7)=4х+5 к виду
       ax2+bx+c=0 и выпишите его коэффициенты.

Составьте квадратное уравнение, корни которого равны -2 и 0,5.

Решите неполное квадратное уравнение:
                                а) х2-11х=0;
                                б) х2-169=0;
                                в) 5х2=0;
                                г) х2+7=0.
Самостоятельная работа
Примерный вариант работы.
                             Решите уравнение:
5х2-3х=0;
9х2-63=0;
4х2+12=0;
9х2-81=0;
7х2+х=0;
х2+х=0;
15х2=0.

Итог урока.
            Домашнее задание:

  Придумать 5 квадратных неполных уравнений;   3 из которых ты сможешь решить.
                         или
             № 419 четные.


title: Скачать презентацию или конспект Состав чисел 5-10

extracted_text:
Cостав чисел 5-10
Математика
1 класс
СРО Л.В. Занкова
Наталья Викторовна Рожко
учитель начальных классов
МОУ СОШ №32
г. Комсомольска – на – Амуре
Хабаровского края
Эта презентация использует макрос Drag and Drop, созданный hw@lemitec.de
Содержание
Состав числа 5 «Засели вагончики»
Состав числа 6 «Засели домик»
Состав числа 7 «Составь букетик»
Состав числа8  «Кто с кем дружит?»
Состав числа 9 «Найди пару паруснику»
Состав числа 10 «Математические снеговики»
Число 5. Засели вагончики
3
3
1
1
2
2
4
4

Число 6. Засели домик
3
3
1
1
5
5
2
2
4
4

Число 7. Составь букетики
4
1
2
6
6
4
1
3
5
5
2
3

Число 8. Кто с кем дружит?

Число 9. Найди пару паруснику

Число 10. Математические снеговики
1
9
1
9
2
2
8
8
7
7
3
3
5
5
6
6
4
4

Рисунки  выполнены автором презентации Рожко Н.В.


title: Скачать презентацию или конспект Решение тригонометрических неравенств

extracted_text:
РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ.
Ионова Елена Владимировна
учитель первой категории
ГБОУ СОШ № 267 СВАО г.Москвы.
2013г.
РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ
РЕШИМ УРАВНЕНИЕ:

Рассмотрим единичную окружность и сопоставим значение косинуса с соответствующей дугой.

Рассмотрим график функции
Отметим значение функции и соответствующее ему значение аргумента

Период косинуса равен 2π, а значит  точки t1 и t2 будут повторяться через каждые 2π.
t1+2πn  и  t2+2πn, nЄZ
Решение данного неравенства имеет следующий вид:

РЕШИ САМОСТОЯТЕЛЬНО:
ПРОВЕРЬ СВОЙ ОТВЕТ:


title: Скачать презентацию или конспект Действия над дробями

extracted_text:
Урок математики в 6 классе   по теме:

«Действия над дробями»

Методическая разработка учителя математики МОУ Гимназия №111 г.Уфы
Республики Башкортостан
Шайбаковой Иды Гаденановны

Цель урока:повторение правил сравнения, сложения, вычитания, умножения и сокращения дробей; развитие логического мышления,  вычислительных навыков и укрепление интереса к предмету.
Ход урока:
I Устный счет, индивидуальная работа
II Тест
III Закрепление
IV Итог урока
V Домашнее задание

                             I.  Блиц-опрос1. Что называется общим знаменателем двух дробей?2. Если знаменатели дробей – взаимно простые числа, то общий знаменатель этих дробей равен…3. Как сравнить (сложить) дроби с разными знаменателями?4. Чтобы из целого числа вычесть дробь, надо…5. Как сложить смешанные числа?6. Как умножить дробь на натуральное число, на дробь?7. Что значит «сократить дробь»?8. Какая дробь называется несократимой?9. Чтобы умножить два смешанных числа, надо…
1. Заполни пропуски (на интерактивной доске):
24

2. Вырази в %:2= … % ;                                  = …% ;0,39=… %;                            = …% ;0,7=… % ;                                 = …%.

3. Найди ошибку:1)                                                3)2)                                               4)

II. Тест
Ответы к тесту:1 Вариант 2  Вариант
III. Решение задания №478 (е)     (у доски):  Ответ:                                                               .

Братья сеяли пшеницу,
Да возили в град-столицу,
Знать столица та была
Недалече от села.
Там пшеницу продавали,
Деньги счетом принимали
И с набитою сумой
Возвращалися домой.

   Какой урожай собрали братья с трех полей, если размеры полей были такими: I поле  длиной        км, а шириной 2 км; II поле
    длиной 4 км, а шириной       км; III поле длиной          км, а шириной         км. А урожайность везде была одинаковая -         т с 1 кв.км.

Решение.                                             (км2) – площадь I поля                                                             (км2) – площадь II поля                                               (км2) – площадь III поля                                                             (км2) – площадь                                                                всех полей                                                                 (т) – с 1 кв.кмОтвет: 73,5 т

Дополнительное задание.

Вычислите:


title: Скачать презентацию или конспект Из истории математики

extracted_text:
Из истории
математики
Выполнила: учитель начальных классов
Щербакова Валентина Вячеславовна
МБОУ «Рассолёнковская СОШ»  2011 г.

Первобытные люди не знали цифр, но считать умели. Как? А очень просто — на пальцах. Именно пальцы являлись и первыми изображениями чисел.
    Через некоторое время пальцев для счета стало катастрофически не хватать, и человек придумал использовать всяческие подручные средства вычисления: камешки, палочки, узелочки.
Подобные счетные доски были найдены на древнегреческих и древнеримских раскопках
По мере того как вычисления становились все более сложными, люди изобретали приспособления, которые помогли бы им облегчить процесс счета.
В Китае вычисления производились на специальной счётной доске суан-пан по принципу использования аналогичной русским счётам.
   А когда возникла письменность, для обозначения чисел стали употреблять буквы. Например, у славян буква А означала число «один» (Б не имело числового значения), В — два, Г — три, Д — четыре, Е — пять.
   А это древнейшие древнеегипетские математические тексты.
   Египтяне писали на папирусе
  Вавилонская расчётная техника была намного совершеннее египетской .
    Индийская нумерация (способ записи чисел).

     Несколько видоизменившись, эти значки стали современными цифрами, которые мы называем арабскими, а сами арабы — индийскими.

   Древние римляне  пользовались нумерацией, сохраняющейся до настоящего времени .
И сейчас без математики не обходится ни один современный человек.
    Математика в наши дни проникает во все сферы жизни. Овладение практически любой профессией требует тех или иных знаний по математике.
Спасибо за внимание!


title: Скачать презентацию или конспект Взаимное расположение прямых на плоскости

extracted_text:
Взаимное расположение   прямых на плоскости
Учебный проект
выполнен учеником 7Б класса
МОАУ средней школы №58
Брыляковым Михаилом
Руководитель Салангина Е.Д.
    Цели:
Обобщить знания о прямых на плоскости из алгебры и геометрии 7 класса.
Выяснить взаимное расположение прямых, заданных уравнением y=kx+b в зависимости от k и b.
Применить полученные знания при построении графиков кусочной функции.

Аксиома геометрии:
Через любые две точки проходит
 прямая, и притом  только одна.

Уравнение прямой
   В алгебре уравнение y=kx+b
всегда задается линейной функцией.
Графиком этой функции является прямая.

    y=kx+b
    х   2    -2
    y   7    -2

В
А
Параллельные  и пересекающиеся                          прямые
     В геометрии на плоскости прямые а и b
   могут  быть пересекающимися  (рис.1) или параллельными  (рис.2).

Пересекающиеся прямые-
   это прямые,  которые
   пересекаются в одной точке.

Параллельные прямые-
   это прямые,  которые  не
   пересекаются .
а
а
b
b
рис . 1
рис. 2
y=k1x+b1
y= k2x+b2
Если k1 не равно k2,то графики функций пересекаются в точке A(x;y).
х
у
у
х
0
y=k1x+b1
y= k2x+b2
Если k1 не равно k2;
b-одинаковые, то графики функций пересекаются в точке (0;b)
y=x +2
y=x
y=kx+b1
y=kx+b2
Если  k одинаковые, то прямые параллельны.
Если х=0, то y=b, значит   прямая параллельна оси 0x (абсцисс).
Если x=b, то прямая параллельна оси 0y (ординат).
0
0

0

х
х

х

у
у

у

у=6
у=4
у=-2
у=-4
х=-2
х=4
х=6

Спасибо за внимание!


title: Скачать презентацию или конспект Решение задач изученных видов

extracted_text:
Открытый урок математики в 3 классе по теме «Решение задач изученных видов»

«Каждый день жизни прибавляет частицу мудрости»

Кто с детских лет занимается математикой, тот развивает внимание, тренирует свой мозг, свою волю, воспитывает настойчивость и упорство в достижении цели.
                                    (А. Маркушевич)

- … значное
-  …тыс. … сот.  … дес. …ед.
- предыдущее – …
- последующее – …
- сумма цифр равна  …
- сумма разрядных слагаемых равна ...

86
238
1425
Расскажи
о числе
12
24
10
12
26
13

97
Сложи все числа
   Внимание!
ъъхзз
ъъхзз

25

511
6626
4

2355

23
5
12
14
10

1
2
3
2
5

Найди сумму                  Найди произведение
64
60
«Считай  не зевай !»

« В стране невыученных уроков»

«Мне важно без ошибок научиться    решать    задачи, потому что ...»
Работа в группах
Проверка знанийИнтерактивный тестПечатный тест

На уроке мне:-было всё понятно,  интересно, прибавилось знаний …-я пока затрудняюсь, мне необходимо проработать
Домашнее заданиеКарточка


title: Скачать презентацию или конспект Наибольшее и наименьшее значение функции

extracted_text:
Тема: Производная степенной функции. Ее геометрический смысл.
Цель урока: Обобщить и систематизировать знания по теме  с помощью вариативности и наглядности задач.
Константинова Татьяна Геннадьевна
МОУ «Западнодвинская СОШ №1»
pptcloud.ru
Задачи урока:
1 Применяя геометрический смысл производной находить:
а) Угловой коэффициент касательной к графику функции.
б) Угол ,образованный касательной к графику функции с положительным направлением оси абсцисс.
в) Тангенс угла наклона касательной.
2 Исследовать функцию на монотонность. Находить наименьшее и наибольшее значение функции на промежутке.
Найти наименьшее и наибольшее значение функции
На промежутке [1; 2]
На промежутке (6; 8]
  Решение: Функция является возрастающей на D(y) , значит большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Решение: Наименьшего не существует.

                        на [1;8]
Ответ :
№ 38.32(а,б)
Правило.
Найти значение функции на концах отрезка f(а) и f(b)
Найти ее значения в тех критических точках, которые принадлежат интервалу (а;b)
Из найденных значений выбрать наибольшее и наименьшее.
Наибольшее значение на интервале функция принимает в точке максимума , наименьшее- в точке минимума.

Найти наименьшее и наибольшее значение заданной функции на заданном промежутке:

Ответ: Наибольшее  0, наименьшее значение -8/3

Ответ: Наибольшее ½, наименьшее не существует.

Геометрический смысл производной состоит в том, что значение производной функции в точке равно угловому коэффициенту касательной к графику функции в этой точке.
Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции y=f(х) в точке с абсциссой   х=1

Найдите угол, образованный касательной к графику функции y=f(x) с положительным направлением оси абсцисс в точке.

Найдите тангенс угла наклона касательной, проведенной к графику функции y=f(x) в его точке с абсциссой x=-1

Установим связь между условием и заключением.
Задача1

     Задача 2,3

Решите уравнение.
Проведите касательную к графику заданной функции из данной точки М(0;1)

Упражнения.

По данным рисунка определите значение производной в точке касания.
Итог урока: Руководство к решению задачи.
1) Понять смысл задания.
2)Установить связь между условием и заключением.
3)Применить необходимые формулы.
4)Самоконтроль выполнения.
Домашнее задание.
№38.28(б);
38.29(б);
38.32(в); «А»
 38.26(а,в)


title: Скачать презентацию или конспект Функция y=sin x, ее свойства и график

extracted_text:
       Функция y=sinx, её
       свойства и график

y

x

1
-1

т

0
0

y

x

1
-1

sin
=
x
y

т

y

x

1
-1

y

x

1
-1

y

x

1
-1

y

x

-1
1

y

x

1
-1

y

x

1
-1

y

x

1
-1

т

y

x

1
-1

т

y

x

1
-1

x = 0


title: Скачать презентацию или конспект Исследовательская работа "Развитие исследовательских умений школьников на уроках математики

extracted_text:
Муниципальное учреждение «Методический центр» Романовского района Саратовской области Исследовательская работа«Развитие исследовательских  умений школьников на уроках математики»                                                                                Автор работы: Ойкина М.А.,                                                                                учитель математики I категории                                            Образовательное учреждение:   МОУ «Краснолиманская ООШ                                                                                п. Красноармейский                                                                                Романовского района                                                                                Саратовской области»
Образован не тот, кто много знает,       а тот, кто хочет много знать, и умеет         добывать эти знания.                                                                                В.П.Вахтеров      (российский педагог и психолог начала XX века)
Цель исследовательского метода –
 «вызвать» в уме ученика тот самый мыслительный процесс, который переживает творец и изобретатель данного открытия или изобретения.
Задачи:
развить умения осуществлять экспериментально-исследовательскую деятельность, формировать информационную культуру, умения осуществлять обработку информации
способствовать формированию у учащихся устойчивого интереса к предмету
показать связь знаний, которые формируются при изучении математики в школе, с реальной жизнью

Ведущая идея опыта:
Создание на уроках и во  внеурочное время условий для успешной и сознательной деятельности, направленной на развитие самостоятельного мышления и активизации познаний учащихся.

Модель педагогической деятельности учителя математики при формировании исследовательских умений учащихся
Цель: Создание условий для формирования исследовательских компетенций учащихся основной школы
Учитель                               сотрудничество                               Ученик
Принципы:
Принцип гуманистической направленности;
Принцип научности;
Принцип систематичности и последовательности;
Принцип сознательности и активности;
Принцип самостоятельности

     Урочная деятельность                                                  Внеурочная деятельность
Учебно-исследовательская задача;                     Организация в рамках  научно-практической
Метод проектов(исследовательский)                                   конференции круглых столов
                                                                                (форма защиты проектов);
                                                                                Участие в очных и заочных конкурсах
                                                                              исследовательских и проектных работ

   Форма организации:                                       Личностно-ориентированный подход;
   Индивидуальные;                                                  Системно - деятельностный подход;
     Групповые                                                                              Проблемное обучение;
                                                                                ИКТ

Прогнозируемый результат
Достаточный уровень овладения учащимися исследовательскими умениями для создания продукта и его защиты
Коммуникативные
Целеполагание
Планирование
Решение проблем
Выбор способов достижения
Сравнение , анализ, синтез
Самоанализ, рефлексия

От учителя требуется:
владение достаточным арсеналом исследовательских, поисковых методов, умение организовать исследовательскую самостоятельную работу учащихся
владение информационными технологиями
умение отобрать наиболее интересные и практически значимые темы исследовательских работ
владение методикой интеграции знаний из различных областей для решения проблематики выбранных исследовательских работ
переориентация учебно-воспитательной работы по предмету на приоритет разнообразных видов самостоятельной деятельности учащихся исследовательского, поискового, творческого плана
От учащихся требуется:
знание и владение основными исследовательскими методами (анализ литературы, поиск источников информации, сбор и обработка данных, научное объяснение полученных результатов, видение и выдвижение новых проблем, гипотез, методов их решения)
владение коммуникативными навыками
владение компьютерной грамотностью для ведения и редактирования информации (текстовой, графической), умение работать с мультимедиа-техникой (по необходимости)
умение интегрировать ранее полученные знания по разным учебным дисциплинам для решения познавательных задач
Основные требования к научно-исследовательской деятельности :
Наличие значимой в исследовательском, творческом плане проблемы (задачи), требующей интегрированного знания, исследовательского поиска для её решения.
Практическая, теоретическая, познавательная значимость предлагаемых результатов.
Самостоятельная (индивидуальная, парная, групповая) деятельность учащихся.
Структурирование содержательной части  исследовательской работы (с указанием поэтапных результатов).
Использование этапов научно- исследовательской деятельности.

Основные этапы учебного исследования:
1)  Мотивация исследовательской деятельности
2) Формулирование проблемы
3) Сбор, систематизация и анализ фактического материала
4) Выдвижение гипотез
5) Проверка гипотез
6) Доказательство или опровержение гипотез.

Этапы формирования проектно-исследовательских умений.
1-й этап. Диагностический. Цель первого этапа – это ориентация ребенка на успех. 2-й этап. Практический. Непосредственный выход учащихся на проектный уровень. 3-й этап. Заключительный. Цель этапа – анализ деятельности, мониторинг результатов. На этом этапе выявляем, что дает проектно-исследовательская деятельность ученику и учителю.
Использование  элементов исследовательской деятельности учащихся при изучении тем:
 Урок обобщения с применением  исследовательской деятельности учащихся по теме «Пропорция. Масштаб», математика, 6 класс.
Урок с применением ИКТ с элементами исследовательской деятельности учащихся по теме «Что мы знаем о треугольниках?»,  геометрия, 7 класс.
Урок с элементами исследовательской деятельности учащихся по теме «Применение свойств прямоугольного треугольника к решению задач», геометрия, 7 класс.
Урок с применением ИКТ с элементами исследовательской деятельности учащихся по теме «Прямоугольная система координат на плоскости. График функции»,  алгебра, 7 класс.

Выводы.
Проектно-исследовательская деятельность позволяет учащимся  проявить себя, попробовать свои силы, приложить свои знания, принести пользу и публично показать результат, самоутвердиться.
Приводит к развитию проектно-исследовательских умений. Это: постановка задач, выдвижение гипотез, выбор методов решения, построение обобщений и выводов, анализ результата.
Учащиеся видят определенный результат своей деятельности в виде конечного продукта: наглядное пособие, тематический справочник, электронная презентация.
Уроки с применением проектов детей более интересны и познавательны для учащихся.
Реализация проекта позволяет систематизировать знания учащихся по важным темам курса.
Проектно-исследовательская деятельность позволяет выявить творческие способности учащихся, их деловые качества.

Хоть выйди ты не в белый свет,А в поле за околицей, —Пока идешь за кем-то вслед,Дорога не запомнится.Зато, куда б ты ни попалИ по какой распутице,Дорога та, что сам искал,Вовек не позабудется.    (Н.Рыленков)
Спасибо
за внимание!!!


title: Скачать презентацию или конспект Как найти длину окружности

extracted_text:
Длина окружности
Длиной окружности считают число, к которому стремятся периметры вписанных в эту окружность правильных многоугольников при увеличении числа их сторон.
Следствие. Периметры правильных n-угольников относятся как радиусы описанных около них окружностей.
pptcloud.ru
Длина окружности
Половина длины окружности единичного радиуса обозначается греческой буквой π. Таким образом, длина окружности единичного радиуса равна 2π. Из рассмотренной выше теоремы следует, что длина окружности радиуса R равна 2πR. Таким образом, для длины окружности C радиуса R можем записать следующую формулу: C = 2πR.
Теорема. Отношение длин двух окружностей равно отношению их радиусов.
Приближенное вычисление числа π
Измерение длины дуги окружности
Центральные углы  в  1о разбивают  всю окружность на 360 равных секторов. Поэтому длина дуги окружности в 1о составляет       часть длины всей окружности, т.е. равна
                 . Длина l дуги окружности радиуса R в φ градусов будет выражаться формулой
Измерение угла окружности
Равенство             , выражающее длину дуги единичной окружности, устанавливает соответствие между длиной дуги и ее градусной мерой.
Это позволяет измерять углы не только с помощью градусов, но и с помощью длины дуги соответствующей окружности единичного радиуса. Величина длины дуги называется радианной мерой угла. Единицей радианной меры углов является радиан. Угол в один радиан – это угол, для которого длина соответствующей дуги единичной окружности равна единице.
Вопрос 1
Что считается длиной окружности?
Ответ. Длиной окружности считают число, к которому стремятся периметры вписанных в эту окружность правильных многоугольников при увеличении числа их сторон.
Вопрос 2
Как выражается периметр правильного n-угольника через радиус описанной окружности?
Вопрос 3
Как относятся периметры двух правильных n-угольников?
Ответ. Периметры правильных n-угольников относятся как радиусы описанных около них окружностей.
Вопрос 4
Как относятся длины двух окружностей?
Ответ. Отношение длин двух окружностей равно отношению их радиусов.
Вопрос 5
Что обозначает греческая буква π?
Ответ. Греческая буквой π обозначает половину длины окружности единичного радиуса.
Вопрос 6
Чему равна длина окружности радиуса R?
Ответ. Длина окружности радиуса R равна 2πR.
Вопрос 7
Какие неравенства выполняются для числа π?
Вопрос 8
Каково приближенное значение числа π?
Ответ. Приближенное значение числа π берется равным 3,14.
Вопрос 9
Чему равна длина дуги окружности в 1о?
Вопрос 10
Чему равна длина дуги окружности в φ градусов?
Вопрос 11
Чему равна градусная мера угла в один радиан?
Пример
Чему равна длина окружности, описанной около равностороннего треугольника со стороной 1?
Упражнение 1
Как изменится длина окружности, если радиус окружности: а) увеличить в три раза; б) уменьшить в два раза?
Ответ: а) Увеличится в три раза;
б) уменьшится в два раза.
Упражнение 2
Найдите длину окружности, описанной около квадрата со стороной а?
Упражнение 3
Найдите длину дуги окружности радиуса единица, соответствующей центральному углу в: а) 30о; б) 135о; в) 240о; г) 315о.
Упражнение 4
Каким должен быть радиус окружности, в которой дуга в 1о имеет длину 1 см? Укажите приближенное значение, равное целому числу сантиметров.
Упражнение 5
Какой длины должна быть хорда в окружности радиуса R, чтобы длины дуг, на которые она разбивает окружность, относились как 2:1?
Упражнение 6
Найдите периметр правильного n-угольника, описанного около окружности радиуса R.
Упражнение 7
Рассмотрев правильные шестиугольники, вписанный и описанный около окружности единичного радиуса, найдите нижнюю и верхнюю оценки для числа π.
Упражнение 8
Внутри окружности радиуса R расположены три равные окружности, которые касаются друг друга и данной окружности. Найдите их радиус.
Упражнение 9
Найдите радианную меру углов в: а) 30о; б) 45о; в) 60о.
Упражнение 10
Ответ: а) 90о;
Найдите  градусную меру угла,  если его радианная мера равна: а)      ; б)     ; в)     ; г)     ; д)      ; е)       .
б) 45о;
в) 22о30';
г) 150о;
д) 70о;
е) 240о.
Упражнение 11
Найдите радиус земного шара, исходя из того, что 1 м составляет одну сорокамиллионную  долю длины экватора.
Упражнение 12
Вообразите, что земной шар плотно обтянут по экватору веревкой. На сколько нужно увеличить длину веревки, чтобы ее можно было поднять над поверхностью Земли по всей длине на расстояние 1 м?
Ответ: На 2π м.


title: Скачать презентацию или конспект Устные приемы вычисления и нумерация многозначных чисел

extracted_text:
Устные приемы вычисления и нумерация многозначных чисел.

80
: 20
* 5
* 6
: 4
* 3
: 5
* 4

120           72            80            18            20            90              4             30
       А              М             О              З             Г              И               Р             Н

Мужчины – 1375 граммов
Женщины – 1275 граммов
(Индивидуальные колебания от 900 до 2000 граммов)

Тургенев – 2012 граммов
Павлов – 1653 грамма
Менделеев – 1751 грамм
Средняя масса головного мозга

Если вы найдете неизвестное число в выражении, то узнаете примерное количество ресниц на одном глазу.
(270 + 50) :  ?  = 4

Найдя значение  выражения, вы узнаете среднюю массу сердца.
((56 - 80 : 4) + 16 * 4) * 3 =  ?
Сердце 300 грамм.
Спинной мозг   ? грамм,   в 6 раз меньше -
Головной мозг ? грамм,  на 1 кг 100 грамм больше -

           Задача
Сколько весит спинной и головной мозг вместе?

Француз Поликен поставил мировой рекорд. Он пробыл под водой 6 минут 24 секунды.
Задание:
Выразите это время в секунды.

1 мин. = 60 сек.
6 мин. = 60 * 6 = 360 сек.
360 + 24 = 384 секунды

Ответ: 6 мин. 24 сек. = 384 сек.

ЧАСТИ ТЕЛА:
1 мозг
2 череп
3 трахея и гортань
4 легкие
5 сердце
6 грудная клетка
7 селезенка
8 печень
9 желудок
10 кишечник
11 толстая кишка
12 нисходящая ободочная кишка
13 червеобразный отросток
14 тонкая кишка
15 яички
Молодцы!
Спасибо.


title: Скачать презентацию или конспект Перпендикуляр

extracted_text:
Перпендикуляр
     Перпендикуляром, опущенным из точки A на прямую а,
называется отрезок AB, соединяющий точку A с точкой B прямой a, перпендикулярный прямой a.
Точка B называется основанием перпендикуляра.
   Длина перпендикуляра AB называется
                                                                    расстоянием от точки A до прямой a.
Наклонные
Для произвольной точки C прямой a, отличной от основания перпендикуляра B, отрезок AC называется
наклонной, проведенной из точки A к прямой a.
Точка C называется
основанием наклонной.
Отрезок BC называется
проекцией наклонной.
Теорема
Перпендикуляр, опущенный из данной точки на данную прямую, короче всякой наклонной, проведенной из этой точки к этой прямой. Иначе говоря, расстояние от точки до прямой является наименьшим из расстояний от этой точки до точек данной прямой.
Вопрос 1
Что называется перпендикуляром, опущенным из данной точки на данную прямую?
Ответ: Перпендикуляром, опущенным из данной точки A на данную прямую а, называется отрезок AB, соединяющий точку A с точкой B прямой a, перпендикулярный прямой a.
Вопрос 2
Что называется наклонной, проведенной из данной точки к данной прямой?
Ответ: Наклонной, проведенной из точки A к прямой a, называется отрезок AC, соединяющей точку A с произвольной точкой C прямой a, отличной от основания перпендикуляра B.
Вопрос 3
Что называется расстоянием от точки до прямой?
Ответ: Длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную прямую.
Вопрос 4
Что больше, перпендикуляр или наклонная, проведенные из одной точки к данной прямой?
Ответ: Наклонная.
Упражнение 1
Сколько перпендикуляров можно опустить из данной точки на данную прямую.
Ответ: Один.
Упражнение 2
Сколько наклонных можно провести из данной точки к данной прямой.
Ответ: Бесконечно много.
Упражнение 3
Длина какого отрезка является расстоянием от вершины треугольника до его противоположной стороны?
Ответ: Высоты.
Упражнение 4
Могут ли неравные наклонные, проведенные из одной точки к одной прямой, иметь равные проекции?
Ответ: Нет.
Упражнение 5
Могут ли равные наклонные, проведенные из одной точки к одной прямой, иметь неравные проекции?
Ответ: Нет.
Упражнение 6
Чему равна проекция одной стороны равностороннего треугольника на прямую, содержащую другую его сторону?
Ответ: Половине стороны треугольника.
Упражнение 7
Чему равна проекция гипотенузы прямоугольного треугольника на его на прямую, содержащую его катет?
Ответ: Этому катету.
Упражнение 8
Чему равна проекция боковой стороны равнобедренного треугольника на его основание
Ответ: Половине основания.
Упражнение 9
Гипотенуза AB прямоугольного равнобедренного треугольника ABC равна 6 см. Найдите расстояние от вершины C до прямой, содержащей эту гипотенузу.
Ответ: 3 см.
Упражнение 10
Катеты AC и BC прямоугольного треугольника ABC равны 5 см. На гипотенузе AB взята точка D. Найдите сумму расстояний от этой точки до прямых, содержащих катеты этого треугольника.
Ответ: 5 см.
Упражнение 11
Катеты AC и BC прямоугольного треугольника ABC равны 3 см и 4 см. На гипотенузе AB взята точка D. В каких пределах находится сумма S расстояний от этой точки до прямых, содержащих катеты этого треугольника.
Ответ: 3 см < S < 4 см.
Задача Герона
Задача. Дана прямая с и две точки А и В на плоскости. Найдите такую точку С на этой прямой, чтобы сумма расстояний АС + СВ была наименьшей.
Упражнение 12
Задача. Точки A и B расположены по одну сторону и на одинаковом расстоянии от прямой c. Где на прямой c расположена точка C, для которой сумма расстояний AC + CB наименьшая?
Упражнение 13
Дана прямая с и две точки А и В по одну сторону от нее. Точка С на прямой c обладает тем свойством, что сумма расстояний АС + СВ – наименьшая. Докажите, что угол 1 равен углу 2.
Отражение света
Известно, что луч света распространяется по кратчайшему пути. Поэтому, если луч света исходит из точки A, отражается от прямой c и приходит в точку B, то точка C, найденная в задаче Герона, будет точкой отражения и, таким образом, имеет место закон отражения света: угол падения светового луча равен углу отражения.


title: Скачать презентацию или конспект Деятельностный подход в обучении математике

extracted_text:
Деятельностный подход в обучении математике
Выполнила учитель математики  МОУ СОШ №43 г. БелгородаМанохина Татьяна Ивановна
2008 год

Цели деятельностного подхода
Включение учащихся в учебную деятельность
Обучение приемам деятельности
задачи
Учителя- организовать учебную деятельность

Учащихся- творческое преобразование учебного материала с целью овладения новыми знаниями
Когда людей станут учить не тому, что они должны  думать, тому, как они должны думать, тогда исчезнутвсякие недоразумения
Г. Лихтенберг
Китайская мудрость
Я слышу -  я забываю

Я вижу -    я запоминаю

Я делаю -  я усваиваю
Для того, чтобы знания учащихся были результатом их собственных поисков, необходимо организовать эти поиски, управлять учащимися, развивать их познавательную деятельность
Компоненты овладения знаниями
восприятие информации;
анализ полученной информации;
запоминание;
самооценка.
Позиция учителя: к классу не с ответом, а с вопросом
Позиция ученика- за познание мира
Учебная задача - ребенок выполняет цели учителя
Учебная деятельность - управляемый процесс
Учебное действие - действие по созданию образа
Образ - слово, рисунок, схема, план
Оценочное действие - я умею! У меня всё получится!
Эмоционально - ценностная оценка- я считаю так то…


title: Скачать презентацию или конспект Двумерный симплекс история его изучения

extracted_text:
ДВУМЕРНЫЙ
 СИМПЛЕКС
 история его изучения
Выполнила:
ученица 8 Б класса
МОУ СОШ № 29 г. Ставрополя
НИКИТИНА АЛЕНА
        На уроках геометрии в 7 классе мы изучали треугольник и его свойства. Небольшие исторические справки к изучаемому материалу показали, что знание об этой фигуре развивалось постепенно. Не мало ученых изучали треугольник, формулировали новые задачи, открывали свойства и создалось впечатление, что изучение треугольника еще не завершено и возможны еще новые открытия. Многие факты остались за страницами школьного учебника и мы попытались приоткрыть некоторые тайны.
АКТУАЛИЗАЦИЯ ПРОБЛЕМЫ
РАБОЧАЯ ГИПОТЕЗА
ЦЕЛЬ МОЕГО ПРОЕКТА
Изучить материалы и существующую литературу по данному вопросу.
Понять роль этой геометрической фигуры в человеческой деятельности.
Создать исторический фон, соотнести материал изучаемый в школьном курсе с историей развития человечества.
Работая над проектом, я искала информацию в справочниках, энциклопедиях и в Интернете.

Некоторые факты показавшиеся мне удивительными отражены в моей презентации
«Симплекс» по латыни означает простейший.
Для нульмерного пространства симплексом является точка.
  Для одномерного — отрезок.
 Для двумерного пространства симплекс — это треугольник,
а для трехмерного — тетраэдр.

A                            B                                 C                                  D
Треугольник – это простейшая фигура: три стороны и три вершины

        Именно в силу своей простоты треугольник явился основой многих измерений.
       Землемеры при своих вычислениях площадей земельных участков и астрономы при нахождении расстояний до планет и звезд используют свойства треугольников.

Через площадь треугольника выражается площадь любого многоугольника: достаточно разбить этот многоугольник на треугольники, вычислить их площади и сложить результаты.

Правда, верную формулу для площади треугольника удалось найти не сразу. В одном египетском папирусе 4000-летней давности говорится, что площадь равнобедренного треугольника равна произведению половины основания на боковую сторону (а не на высоту).
Через 2000 лет в Древней Греции изучение свойств треугольника ведется очень активно.
Пифагор открывает свою теорему.
Герон Александрийский находит формулу, выражающую площадь треугольника через его стороны.
Становится известным, что биссектрисы, как медианы и высоты, пересекаются в одной точке.
Особенно активно свойства треугольника исследовались в XV – XVI веках.
Одна из красивейших теорем того времени принадлежала Леонарду Эйлеру:
«Середины сторон треугольника, основания его высот и середины отрезков высот от вершины до точки их пересечения лежат на одной окружности»

А
В
С
   Эта окружность получила название «окружности девяти точек».
Ее центр оказался в середине отрезка, соединяющего точку пересечения высот с центром описанной окружности

Император Франции Наполеон свободное время посвящал занятиям математикой. Ему приписывают такую красивую теорему:
«Если на сторонах треугольника во внешнюю сторону построить равносторонние треугольники, то их центры будут вершинами равностороннего треугольника».
Этот треугольник называется внешним треугольником Наполеона. Аналогично строится и внутренний треугольник Наполеона.
А
В
С
О1
О2
О3
В1
С1
А1
Огромное количество работ по геометрии треугольника, проведенное в XV – XIX веках, создало впечатление, что о треугольнике уже известно все.
Тем удивительнее было открытие, сделанное американским математиком Ф. Морли.

«Если в треугольнике провести через вершины лучи, делящие углы на три равные части, то точки пересечения смежных трисектрис углов являются вершинами равностороннего треугольника».

ЭТАПЫ РАЗВИТИЯ МАТЕМАТИКИ
I. ЗАРОЖДЕНИЕ МАТЕМАТИКИ (Первобытнообщинный строй, каменный век, рабовладельческий строй): Оформление чувства геометрическ- ой фигуры, папирус Ахмеса (ок 2000 до н.э.),
II. ПЕРИОД ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКИ (Разложение первобытного строя, зарождение классов, VI в до н.э.- XVI вв) Свойства плоских фигур, задачи на вычисления площадей и объемов, зарождение сферической геометрии…
III. СОЗДАНИЕ МАТЕМАТИКИ ПЕРЕМЕННЫХ ВЕЛИЧИН (Зарождение капитализма, образование США, Петровская эпоха в России , раннее новое время) Аналитическая геометрия, …
IV.СОВРЕМЕННАЯ МАТЕМАТИКА (Развитие капитализма, Наполеоновская эпоха, империализм … XX-XXI вв) Вопросы  обоснования математики, математические модели, неевклидова геометрия…
ВЫВОДЫ:
 В результате проведенных исследований материалов по рассматриваемому вопросу я узнала, что
Треугольник изучался на протяжении всего развития цивилизованного общества.
 «Задачи для оттачивания ума» были интересны не только ученым математикам, но и любителям и, даже, некоторым известным «нематематикам».
 Треугольник и его свойства проявляются  во всех областях жизни человека: архитектуре, землемерии, астрономии, строительстве, химии, психологии, рекламе  и т.д
Литература, которой я пользовалась:
Энциклопедия для детей. Т.11. Математика. Главный редактор М.Д. Аксенова.- М:Аванта+,1999.-688с.: ил.
Математика: Школьная энциклопедия. Гл. ред. С. М. Никольский. – М.: Большая Российская энциклопедия; Дрофа, 1997. – 527 с.: ил.
Большая Советская Энциклопедия. Главный редактор Б.А. Введенский, том 4, второе издание, государственное научное издательство «Большая советская энциклопедия», 667с.


title: Скачать презентацию или конспект Развитие предметной одаренности на уроках математики

extracted_text:
Развитие предметной одаренности на уроках математики
Учитель: Погорелова Н.Г

2012-2013 учебный год
«Давно было замечено, что таланты являются всюду и всегда, где и когда существуют условия, благоприятные для их развития». ( Плеханов Г.В. )
Цели:
развитие и поддержка интереса к предмету математика.
Задачи:
создании благоприятных условий для развития одаренных детей;
                 расширение возможностей для участия одаренных и способных школьников в российских чемпионатах, творческих конкурсах, выставках, конференциях, олимпиадах, проектах.

Результаты олимпиад:
Математический КВН (2010-2011)
Математический КВН (2010-2011)
Математика по тропинкам здоровья(2011-2012)
Математика по тропинкам здоровья(2011-2012)
Дроби на службе у здоровья                     (2012-2013)
Дроби на службе у здоровья                              (2012-2013)
«Если запастись терпением и проявить старания, то посеянные семена знания непременно дадут добрые всходы». Леонардо да Винчи.


title: Скачать презентацию или конспект Старинная русская система мер

extracted_text:
Старинная русская система мер.                           Выполнили:                                                                      ученики 6 «В» класса                                                                     МБОУ СОШ №210                                                                г. Новосибирска                                                                     Новосельский Олег                                                                Речкина Мария.                                                           Руководитель:                                                                      учитель математики                                                                    Новосельская О.А.
                                                 План 1.Вступление.2.Основная частьа) Как измеряли в древности.б) Старинные русские меры.в) Метрическая система мер.3.Исследовательский блок.4. Заключение.
1. Вступление.
Один средневековый философ Марсилио Сичино сказал: «Измерь самого себя – и ты станешь настоящим геометром!» Конечно, измерить самого себя и стать настоящим Геометром, настоящим Садовником, настоящим Поэтом и вообще Настоящим очень трудно. Но если говорить о чем-то более простом, то с уверенностью можно сказать, что каждому человеку, научившемуся считать и писать, неоднократно приходилось что-то измерять: высоту дерева, собственный вес, длину прыжка, время бега и многое другое.

Приступая к данной работе,
 мы поставили перед собой
следующие задачи:
Изучить различные меры длины.
Установить связь между различными единицами длины.
Измерить рост учащихся своего класса в сантиметрах.
Найти средний рост учащихся  нашего класса в различных единицах длины.

2.1. Как измеряли в древности.
Первые единицы для измерения величин были не слишком точными. Например, расстояния измерялись шагами. У разных людей величина шага различна, поэтому брали некоторую среднюю величину.
Для измерения больших расстояний служила миля – путь в 1000 двойных (и правой, и левой ногой) шагов. А ещё большие расстояния измеряли переходами или днями передвижения.

Как измеряли в древности.

Однако шаги, мили, переходы – всё это было хорошо для измерения расстояний на земле. Ни рост человека, ни рулон ткани шагами не измеришь.
Одной из самых распространённых единиц длины был локоть – расстояние от локтя до конца среднего пальца. Эти расстояния были различны.

Меры длины.
В Англии король Генрих I однажды много-много лет назад вытянул вперед правую руку и заявил: «Расстояние от кончика моего носа до большого пальца руки будет служить для всего моего народа мерой длины и называться Ярд. Его подданные тут же приготовили бронзовый прут «от королевского носа до пальца», и ярд надолго стал для всех англичан единицей измерения длины. Длина ярда 91,44 см.
В средние века в Европе придумали еще одну единицу измерения длины - Фут. Фут - это средняя длина ступни взрослого мужчины. По-английски это означает «ступня», «нога».
Один фут равен 30,48 см.
В Вавилоне, как и в других странах, меры были согласованы друг с другом. Начиналось всё с единиц для измерения длин. Основной из них был локоть. Локтями мерили ткани, но для измерения земельных участков применяли единицы длины в 12 локтей (примерно 6 м)
Дороги измеряли даннами – 3600 локтей (примерно 1,8 км).

2.2. Старинные русские меры

Русский народ создал свою собственную систему мер.
Древнейшими русскими мерами длины являются локоть и сажень. Точной первоначальной длины той и другой меры мы не знаем; некий англичанин, путешествующий по России в 1554 году, свидетельствует, что русский локоть равнялся половине английского ярда.
Меры длины.
ЛОКОТЬ равнялся длине руки от пальцев до локтя (по другим данным - "расстояние по прямой от локтевого сгиба до конца вытянутого среднего пальца руки"). Величина этой древнейшей меры длины, по разным источникам, составляла от 38 до 47 см. С 16-го века постепенно вытесняется аршином и в 19 веке почти не употребляется.

Меры длины.
Согласно «Торговой книге», составленной для русских купцов на рубеже XVI и XVII веков, три локтя были равны двум аршинам. Название «аршин» происходит от персидского слова «арш», что значит локоть.

Первое упоминание сажени встречается в летописи XI века, составленной киевским монахом Нестором.
В более поздние времена установилась мера расстояний верста, приравненная к 500 саженям. В древних памятниках верста называется поприщем и приравнивается к 750 саженям.

Измерение длины
 ВЕРСТА - старорусская путевая мера (её раннее название - ''поприще''). Этим словом, первоначально называли расстояние, пройденное от одного поворота плуга до другого во время пахоты.
САЖЕНЬ-значение сажени 151,4 см. "Маховая сажень" - 1,76м, расстояние между концами пальцев широко расставленных рук взрослого мужчины. "Косая сажень " - 2,48м , самая длинная: расстояние от носка левой ноги до конца среднего пальца поднятой вверх правой руки
Измерение длины
Для измерения меньших расстояний употреблялась ладонь – ширина кисти руки, и пядь – расстояние между раздвинутыми большим и указательным пальцами (17,8 см). Ещё меньшей единицей длины является дюйм – ширина большого пальца.

В XV и XVI веках происходит объединение русских земель вокруг Москвы. Мера аршин, возникшая при торговле с восточными народами, входит в употребление.
В XVII веке меры уточнялись.
Русская система мер длины стала иметь вид:
 Миля = 7 верстам = 7,47 км;
 Верста = 500 саженям = 1,07 км;
 Сажень = 3 аршинам = 7 футам = 2,13 м;
 Аршин = 16 вершкам = 28 дюймам = 71,12 см;
 Фут = 12 дюймам = 30,48 см;
 Дюйм = 10 линиям = 2,54 см;
Линия = 10 точкам = 2,54 мм.

Меры длины в пословицах.
Старинные русские названия мер длины встречаются в пословицах и образных выражениях:
ни пяди земли;
мерить на свой аршин;
косая сажень в плечах;
ты от дела ни на пяденьку, а оно от тебя на саженьку.

2.3. Метрическая система мер.
    Потребности практики заставили начать поиски единой системы мер. При этом было ясно, что надо отказаться от установления связей между единицами измерения и размерами человеческого тела. И шаг у людей бывает разный, и длина ступни у них неодинакова, и пальцы у них разной ширины. Поэтому надо было искать новые единицы измерения в окружающей природе.
    Метрическая система мер была введена впервые во Франции в 1795 году.
Метрическая система мер.
   К 1875 году метрическую конвенцию подписали уже 17 государств, включая Россию, где применение новой системы было разрешено, но не стало законом.
    В России учёные с начала X1X века поняли значение метрической системы и пытались её широко внедрить в практику. Окончательное решение вопрос о метрической системе в России получил уже после Великой Октябрьской социалистической  революции.
Метрическая система мер.
К 1972 году метрическую конвенцию подписало уже 41 государство. Творцы этой универсальной системы мер написали на талоне метра:
 «На все времена всем народам!».

3. Исследовательский блок.
В данной работе мы решили измерить рост учащихся нашего класса на данный момент времени.
Выразить его в сантиметрах, саженях, аршинах, футах, ярдах.
Найти средний рост учащихся в классе в различных единицах длины.

У нас получилось:
4. Заключение.
 В данной работе мы изучили вопрос об измерениях в древности, старых русских мерах и метрической системе мер.
Узнали рост учащихся нашего класса на данный момент времени.
Выразили его в сантиметрах, саженях, аршинах, футах, ярдах.
Нашли средний рост учащихся класса в различных единицах длины.
Заключение.
    В результате мы пришли к следующим выводам:
для измерения длин можно использовать различные единицы измерения длины;
установлена связь между различными единицами длины;
каждая из единиц длины может быть представлена через общепринятую метрическую систему мер, а следовательно становится понятной для любого человека.
Спасибоза внимание!


title: Скачать презентацию или конспект Влияние "главных чисел" на характер человека

extracted_text:
           проектная работа
Влияние «главных чисел»
 на характер человека.

Эпиграф.
Мысль выражать все числа знаками настолько проста, что именно из – за этой простоты сложно осознать, сколь она удивительна.
Пьер Симон Лаплас.
Цифры в Месопотамии.
Цифры древних египтян.
Цифры древнего народа майя.
     Цифры древнего народа майя               несколько веков спустя.
Цифры древних индейцев и народов Древней Азии.
Цифры древних индийцев.
Цифры арабов.
Превращение первоначальных цифр в наши современные цифры.
            Римские цифры.
Славянские цифры.
Главное число по дате рождения.
Мой день рождения 20 июля 1996 года.

Находим сумму цифр: 2+0+0+7+1+9+9+6

Получаем: 7.
Кодировка букв русского алфавита.
Мои «главные числа».

Жданкина
Екатерина
Игоревна
7 и 4
Главные числа Великих Русских людей.
Пушкин Александр Сергеевич 2 и 9
Чехов Антон Павлович 9 и 3
Гагарин Юрий Алексеевич 2 и 1
Ковалевская Софья Васильевна 3 и 3
Толстой Лев Николаевич 1 и 5
Суриков Василий Иванович 9 и 6
Путин Владимир Владимирович 7 и 6


title: Скачать презентацию или конспект Теорема Пифагора

extracted_text:
Теорема Пифагора
Домашняя работа

№ 483(б)
c² = a² + b²;
c² = 5² + 6²= 61;
с = .

№ 484 (б)
b² = c² - a²;
b² = 9² - 7² =32;
b =

№486 (а)
Решение:
∆АВС прямоугольный
По теореме Пифагора:
ВС² = 13² - 5² =144;
ВС= 12;
АD=ВС= 12.
Ответ: АD=12.

Назовите треугольники,
к которым применима теорема Пифагора
Реши устно
№1
№2

Дано: АКМN- ромб, АМ=10 см,
 КN = 24 см.
Найти: а) АК; б)S ромба АКMN.

Решение:
а) КО=ОN=12 см, АО=ОМ=5 см. ∆АКО прямоугольный,
 По теореме Пифагора
 АК² = КО² + АО²,
АК = 13см.
б) S ромба = (КN∙АМ) :2 = 120 см².
Ответ: АК= 13 см, S=120 см².
Теорема Пифагора
Если дан нам 					треугольник,
И притом с прямым 				углом,
То квадрат гипотенузы
Мы всегда легко найдём:
Катеты в квадрат 					возводим,
Сумму степеней находим-
И таким простым путём
К результату мы придём.
И. Дырченко
Шаржи на теорему
Пифагора
   «На берегу рос тополь одинокий.
    Вдруг порыв ветра его ствол надломил.
     Бедный тополь упал.
     И угол прямой с теченьем реки его ствол составлял.
     Запомни теперь, что в том месте река в четыре лишь фута была широка.
     Верхушка склонилась у края реки. Осталось три фута всего от ствола. Прошу тебя скоро теперь мне скажи:
     У тополя как велика высота?»
              1 фут (1ф) = 30,5 см
Задача индийского
 математика ХII в. Бхаскары
Решение:
1)∆АВС равнобедренный (АВ=ВС),
ВО – высота, медиана и биссектриса, проведённая к основанию, АО = 12см.
2)∆АВО прямоугольный,
по теореме Пифагора
ВО² = АВ² - АО²,
ВО² = 15² - 12² = 225 – 144,
ВО = 9 см.
Ответ: ВО= 9см.

    В шутку, хотя и не совсем безосновательно, было решено передать обитателям Марса сигналы в виде теоремы Пифагора


title: Скачать презентацию или конспект Числовые ряды Миронюк

extracted_text:
Числовые ряды
   Вып.: ст. ХК ГУТ
гр. СО-11
Миронюк Сергей

- Определение числового ряда
- Сумма ряда
- Примеры числовых рядов
- Определение частичной суммы
- Сходящиеся и расходящиеся ряды
- Признак Даламбера, исследование на сходимость
Содержание
Еще в древности ученые встречались с понятием бесконечных последовательностей:    U1, u2, u3, un, …,
 и с понятием бесконечных рядов u1 + u2 + u3 + … + un + …
числа u1, u2 , u3, … – члены ряда.
Пользуясь введенным Эйлером знаком суммы           ,
рассмотрим частичные суммы данного ряда.
s1 = u1 – первая частичная сумма,
s2 = u1 + u2 – вторая частичная сумма,
s3 =   u1 + u2 + u3 – третья и т.д.
Сумма  sn = u1 + u2 + u3 + … + un - частичная сумма ряда.

Определение числового ряда

  u1, u2 , u3, …, un, …
s1, s2 , s3, …, sn, … , где

s1 = u1,
s2 = u1 + u2,
 s3 =   u1 + u2 + u3,           ……………………………
 sn = u 1+ u2 + u3 + … + un,
……………………………
При              частичная сумма имеет предел

Сумма ряда

Сходящиеся и расходящиеся ряды
    Ряд называется сходящимся, если
последовательность его частичных сумм
имеет конечный предел

Этот предел называется суммой сходящегося ряда.

     Если последовательность частичных
сумм не имеет конечного предела, то ряд
называется расходящимся.

Пример 1
      Выражение
1 + (–1) + 1 + (–1) + … + (–1)n+1 + …
  является рядом.
Составим частичные суммы
 s1 = 1, s2 = 1 – 1 = 0, s3 = 1 – 1 + 1 = 1, …,

Примеры числовых рядов
Пример 2
         Выражение

     является рядом.
         Из членов

составляют частичные суммы

Примеры числовых рядов
Пример 3
    Ряд
1 + 2 + 3 + 4 + … + n + … -
 расходящийся, т.к. последовательность его
 частичных сумм
 s1 = 1, s2 = 3, s3 = 6, … ,
 имеет бесконечный предел.

Примеры сходящихся и расходящихся рядов
Пример 4
  Ряд
1 – 1 + 1 – 1+ … +(-1)n+1 + … -
 расходящийся, т.к. последовательность его
 частичных сумм

не имеет никакого предела.

Примеры сходящихся и расходящихся рядов
Поэтому
Исследование на сходимость.
 Ряд
u1 +  u2  + … + un + …
 может сходится, когда общий член ряда un  стремится к нулю:

Необходимое условие сходимости ряда
  Пример 5
      Ряд
0,4 + 0,44 + 0,444 + 0,4444 + … - расходится, т.к. общий член ряда не стремиться к нулю.

Пример 6
       Ряд
1 – 1 + 1 – 1 + … - расходится, т.к. общий член
ряда не стремится к нулю.

Необходимое условие сходимости ряда
Сумма ряда
Если знаменатель прогрессии удовлетворяет
неравенству:
|q| < 1,
то последовательность частичных сумм (Sn)
имеет предел:

который называют суммой бесконечно
убывающей геометрической прогрессии (т.е.
суммой ряда).
	   Признак Даламбера
Если члены положительного ряда
а1+а2+ …+ аn+…

таковы, что существует                        ,

то при 		  ряд сходится,

 а при                 ряд расходится.

Применение признака Даламбера
Примеры
Исследовать на сходимость следующие ряды:
1.

2.

Решение: воспользуемся признаком Даламбера:

				ряд сходится.

Применение признака Даламбера

Решение второго примера:

  т.к.			  , то ряд расходится.

    Краткая историческая 			 справка
Жан Лерон Д'Аламбер (1717-1783) — французский математик, механик и философ-просветитель, иностранный почетный член Петербургской АН (1764). В 1751-57 вместе с Дени Дидро редактор «Энциклопедии». Сформулировал правила составления дифференциальных уравнений движения материальных систем (см. ниже Д'Аламбера принцип). Обосновал теорию возмущения планет. Труды по математическому анализу, теории дифференциальных уравнений, теории рядов, алгебре.


title: Скачать презентацию или конспект Итоговое повторение курса геометрии

extracted_text:
11 классИтоговое повторение курса геометрии
Урок по теме:
«Векторы в пространстве. Действия над векторами. Скалярное произведение векторов»

Учитель ГОУ СОШ № 648: Алексеева Каролина Евгеньевна
Цели урока:
повторить,
систематизировать знания учащихся по пройденным темам.
Ход урока
1. Орг. момент
Проверка домашнего задания, объявление темы и целей урока.

2. Актуализация знаний учащихся
Учащиеся: 1) отвечают на теоретические вопросы; 2) заполняют пропуски в записях с последующей самопроверкой.

3. Индивидуальная работа по карточкам (3 уровня сложности)
Обсуждаются неправильные ответы. При необходимости оказывается консультация.

4. Решение задач № 467 (а), 472
Сильный ученик работает самостоятельно. Учитель контролирует работу слабого учащегося, оказывая необходимую помощь.

5. Подведение итогов и постановка домашнего задания: повторить гл. 5; задача №469.

Кто придумал вектор и скаляр?
Ввёл термины
вектор (от лат. vector – «несущий»),
скаляр (от лат. scale – «шкала»),
скалярное произведение
в 1845 году ирландский математик и астроном Уильям Гамильтон.
Ответы на вопросы:
1) Определение векторов.
2) Равные векторы. Длина вектора.
3) Коллинеарные векторы.
4) Компланарные векторы.
5) Единичный вектор.
6) Координатные вектора.
7) Разложить данный вектор             по координатным векторам.
8) Найти длины векторов               и                  .
9) Определение скалярного произведения двух векторов.
10) Свойства скалярного произведения.
Задание с пропусками в записях
а)
б)

в)    и     коллинеарны, значит,   = …;
г) если    ,   ,    – неколлинеарные векторы, то    = …;
д)         = …;
е) соs α = …;
ж) если     ┴   , то …;
з)         < 0, то угол между векторами     и    – …;
и) если угол между векторами     и    – острый, то …
Ответы на задание с пропусками
а)
б)
в)     и     коллинеарны, значит,           , где k – некоторое число,
г) если   ,    и    неколлинеарны, то                            ;

д)         = |   | · |   | · соs (      ),       =                           ,

е) соs α =          ,  соs α  =                                            ,

ж) если    ┴   , то         = 0,
з)         < 0, то угол между векторами     и    – тупой,
и) если угол между векторами     и    – острый, то         > 0.
Индивидуальная работа по карточкам
1 уровень
Вычислить угол между прямыми AB и CD, если
    A(1; 1; 0), B(3; –1; 0), C(4; –1; 2), D(0; 1; 0).
2 уровень
Дано: ABCD – параллелограмм. A(–6; –4; 6),
    B(6; –6; 2), C(10; 0; 4).
    Найти координаты вершины D и угол между
векторами        и      .
3 уровень
Дано: МАВС – тетраэдр. М(2; 5; 7), А(1; –3; 2),
    В(2; 3; 7), С(3; 6; 2).
    Найти расстояние от точки М до точки О пересечения медиан ∆АВС.
Ответы к индивидуальным задачам
1. 150°.
2. D(–2; 2; 2), φ = 120°.
3. 5.
Решение задач
№ 467 (а).
 № 472.
Подсказки к решению задач
№ 467 (а). Решение задачи желательно записать двумя способами.
№ 472. План решения задачи:
   1) ввести систему координат, найти координаты векторов
   2) доказать с помощью скалярного произведения, что       ┴     ,      ┴     .
   3) сделать вывод по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, что MNQ ┴ PM.

Подведение итогов и постановка домашнего задания
Какие вектора называются:
 а) коллинеарными; б) компланарными?
На дом: повторить гл. 5, № 469.


title: Скачать презентацию или конспект Задачи на сложение и вычитание дробей

extracted_text:
СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ ДЕСЯТИЧНЫХ ДРОБЕЙ
Математики тропинки одолеем без запинки...
Чтобы сложить (вычесть) десятичные дроби, нужно:
Записать дроби так, чтобы запятая была под запятой;
Уравнять количество знаков после запятой;
Выполнить сложение (вычитание), не обращая внимание на запятую;
В ответе поставить запятую под запятой.
Путешествие
Основные свойствасложения и вычитания
Переместительное свойство сложения
a + b =
Сочетательное свойство сложения
a + (b + c) =
Свойство вычитания суммы из числа
a – (b + c) =
Свойство вычитания числа из суммы
(a + b) – c =
(a + b) + c
a – b - c

a + (b – c) = (a – c) + b

0,27+(1,78+5,73)

21,49+3,674+31,51

37,45-(26,45+7,9)

(13,88+8,46)- 2,46

1    56,674
2          3,1
3        7,78
4        18,9
5      19,88

Садимся в автобус
Устранение ошибок
 54,1    2) 19,73    3) 61,5    4) 49,6
    +3,26       + 6,  8       -0,38       - 17,536
                                                   32,136

   54,10
+  3,26
  57,36
 19,73
+ 6,80
 26,53
 61,50
 0,38
 61,12
   49,600
 17,536
   32,064
Вычислительный центр

Дробное число
в арифметику вошло,
тайн немало принесло.
1 вариант                                                            2 вариант
Х=10,8                        +3,25            Х=20,6

                                                  -11,1

                                                  -1,375
                          <2                            >2

             +9,425                                         +7,625

               -6,7                                              -6,4

              +13,7                                           +11,6

х

если
1 вариант                                                            2 вариант
Х=10,8                        +3,25            Х=20,6

                                                  -11,1

                                                  -1,375
                          <2                            >2

             +9,425                                         +7,625

               -6,7                                              -6,4

              +13,7                                           +11,6

х
14,05

4,3
11

18

2,95
1,575
1 вариант                                                            2 вариант
Х=10,8                        +3,25            Х=20,6

                                                  -11,1

                                                  -1,375
                          <2                            >2

             +9,425                                         +7,625

               -6,7                                              -6,4

              +13,7                                           +11,6

х
23,85

19
12,6

12,75
11,375

24,2
Пересаживаемся в лодку
   Собственная скорость катера23,4 км/ч. Сколько понадобиться времени, чтобы доплыть до острова Смекалистых, удаленного от вычислительного центра на расстоянии 78 км, если скорость течения реки 2,6 км/ч?
Вниз по реке
                     S =78 км
                             V течения = 2,6км/ч
              V катера = 23,4 км/ч
         V по течению =
                               = V катера + V течения

V по течению =
=23,4+2,6=26(км/ч)
t = S : V
t = 78 : 26 = 3 (ч)
Ответ: понадобится 3 часа.

Думай, пробуй и ищи.
Трудно будет - не пищи!

S = V*t
a + b = b + a
Остров Смекалистых
3,*5*           2)  **,5               3)  *,2*              4)  *6,*7*
    + *,4*                 +  0,***               - 2,*8*               -   *,0*
       4,187                18,548                 1,447                 26,865

  3,757
+ 0,430
  4,187

  18,500
+  0,048
  18,548

  4,230
-  2,783
    1,447

  26,875
-  0,010
   26,865
На острове Смекалистых
Город  Угадайка
Город Угадайка
  Угадайте, какое  число  задумано, если  из  него  вычли  13,5  и  к полученной  разности прибавили 6,7,  то  получили  24,75 ?

                      -13,5                   +6,7
?

24,75
х
Путешествие на поезде

Трудность задач повышается, решение найти предлагается!
    Навстречу нашему поезду движется поезд со станции Поле Чудес со скоростью 65,7 км/ч, который вышел одновременно с нашим, идущим со скоростью 70,3 км/ч. Через сколько часов встретятся наши поезда, если расстояние между городом и станцией 680 км?

  t - ?
                       V 1= 70,3 км/ч           V 2=65,7 км/ч

          Город                                                               Станция

                                              680 км

t - ?
              V1= 70,3 км/ч                             V2=65,7 км/ч

   Город                                                               Станция

                                          680 км

        Vсближения = V1 + V2

        Vсближения  = 70,3+65,7=136 (км/ч)

        t = S : V сближения

        t = 680 : 136 = 5 (ч)

        Ответ: через 5 часов поезда встретятся

           Поле Чудес

Ситуации в жизни такие:
либо сложные,
либо простые.
       Поле Чудес                   Х   0,001

Н 15,778
О 40,467
А  0,96
М  0,71
Р  0,0054
Н 15,728
0,26 + 0,45 =

37,4 + 3,067 =

12 + 3,728 =

6,28 – 5,32 =

0,03 – 0,0246=

12 – 11,999 =
М
Х
Р
А
Н
О
К 11,6
Х 0,001
Да, много решено загадок
От прадеда и до отца.
И нам с тобой продолжить надо
Тропу, которой нет конца!
Авторы урока:
Сидорова Анна Викторовна		учитель математики МОУ СОШ №31

Тоболева Елена Алексеевна		учитель математики и информатики МОУ СОШ №31
Используемая литература

Математика: Учеб. для 5 кл. общеобразоват. учреждений/ Н.Я.Виленкин, В.И.Жохов, А.С.Чесноков, С.И.Шварцбурд.-6-е изд.-М.: Мнемозина, 1999.
Математика: Учеб. - собеседник для 5-6 кл. сред. школы./Л.Н.Шеврин, А.Г.Гейн, И.О.Коряков, М.В.Волков. - М.: Просвещение, 1989.
Математика. 5 класс: Поурочные планы по учебнику Н.Я.Виленкина и др./ Авт.-сост. З.С.Стромова, О.В.Пожарская. - Волгоград: Учитель, 2005.
Математическая шкатулка. Пособие для учащихся. Ф.Ф.Нагибин, Е.С.Канин. - М.: Просвещение,1984.
Журналы «Математика в школе».


title: Скачать презентацию или конспект Многочлен и его стандартный вид

extracted_text:
Многочлен
и его стандартный вид
pptcloud.ru
Многочлен
Многочленом называется алгебраическая сумма одночленов.

3a3b +  4xy  +  4   - многочлен

         члены многочлена

Являются многочленами
7ах – многочлен состоящий из одного            	  члена
7х3 – 5ху2   - двузначный
4а2 + bx – 8ab   -  трёхзначный

	НЕ ЯВЛЯЮТСЯ МНОГОЧЛЕНАМИ:
4с2 – 5а : с3
(14x4 – 5x2)  : у + 3ху2 : у7 - 8

Приведение подобных членов
3х2а - 4х2а + by + 2 by + 3 – 7

      подобные члены (слагаемые)

Привести  подобные члены:
А= 4ху2  – 3хb+ 5у2х +7 + ху2 - 4xb + 3
Группируем  подобные слагаемые:
А= (4ху2 + 5у2х + ху2 ) + ( - 3хb - 4xb )+ (7+3)
Упрощаем:
А= (4+5+1) ху2 +( -3 – 4) xb +10
Получаем ответ:
А= 10 ху2 – 7xb +10

Пример: привести подобные члены.
-8p4 +12p3 +4p4 -8p  2 +3p  2

Решение:
-8p4+12p3+4p4-8p2 – 3p2= (-8p4 + 4p4) +12p3+(-8p2-3p2) = -4p4 +12p3 – 11p2

Самостоятельно привести подобные члены:
 14х2 + ab – 4x2 +3+2ab
8c4-3c3+2 – 4c 4  + 3c3
Стандартный вид многочлена.
Многочлен стандартного вида – это многочлен, в котором:
Каждый член в стандартном виде
Нет подобных слагаемых
Одночлены расположены в порядке убывания степеней

Например:

17аb2c3 + 4bc2 +8b2 +c +2

Пример:       Записать в стандартном виде 			  многочлен А.

А= 17ab – 4bc +ac – 3ab + 5bc +ab +2bc.

А= 15 ab + 3bc +ac			многочлен А имеет
A=  3bc +15ab +ac			 стандартный вид
A=  ac + 3 bc + 15 ab

   Многочлен А может быть записан в стандартном виде не  единственным  способом.

Степень многочлена стандартного вида
- наибольшая из степеней входящих в него одночленов.
А   =      3х2у    +      4ху        +   2
                одночлен                 одночлен         одночлен
                   3 степени                2 степени                0 степени.
       Степень одночлена А равна трём.

Пример: Определить степень многочлена

4а6 – 2а7 + а -1
5р3 – р - 2

Пример. Записать в стандартном виде многочлен:

А=3ab*2bc-3a2bc+2a(-b2c)+ac(-4ab)+2a(-4bc)

                             Решение:

1) Записать каждый из входящих в А одночленов в статарном    виде:
    А=6ab2c - 3a2bbc – 2ab2c – 4a2bbc – 8 abc

2) Приведём в А подобные члены
    А=4ab2c-- 7a2bbc – 8abc
или
    A= - 7a2bbc + 4 ab2c – 8 abc

    Пример записать А в стандартном виде
    А = 4х5 – 3х2 + 8х9 – 3

Решение

Одночлен расположить в порядке убывания степеней переменных:
А=  8х9  + 4х5 - 3х2 - 3

Пример.  Записать в стандартном виде

	А = 5х2 (3х3 )х + 3х + 2 х 3– 7 + (2х2)2 – 5х3

	1) Запишем каждый одночлен в стандартном виде
         А=15х6 + 3х + 2х3 – 7 + 4х4 - 5х3

     2) приведём подобные члены
	    А=15х6 + 3х - 3х 3- 7 + 4х4

	3) Расположим члены в А в порядке убывания степени х.
	     А=15х 6+ 4х 4- 3х 3+ 3х - 7
Подумай!
Какие многочлены записаны в стандартном виде?

А = 7х3ус + 4х2ус + 3х5

В = 7х5ус + 4х3ус + 3х

С = 7а2bc + 8ab + c

D = 7bа2c + 8a3 + b

E = 4a3b7 + 4b7a3
Узнай слово, выбрав нужный вариант ответа.
Выбери одночлен степень которого равна 7
и) 7а5      к)22b7c       з)-4c3b4          б) 6aba        в)-2a2b4

Выбери многочлен стандартного вида
к) 8x2ya+4x     и) 3abc+7ab       л) 15x3y+4x2+8

Представь многочлен в стандартном виде
15х2у+4х3у+3х2у+3х5ху
н)30х2у+4х3у+6ху       м) 4х3у+30х2у+6ху

Какое выражение не является многочленом?
д) 12а+16b      е)15ху + 2ху      с)17х2bc      а) 4х3:с +8с


title: Скачать презентацию или конспект Арифметическая прогрессия

extracted_text:
Арифметическая  прогрессия.
;
;
;
;
pptcloud.ru
1;  2; 3; 4; 5; 6; 7; 8;  9; 10; 11…
2;  4;  6; 8; 10; 12; 14; 16…
1;  3;  5; 7; 9; 11…
10; 8; 6; 4; 2…

З А Д А Н И Е  №2.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом.
Иначе говоря, последовательность (аn) – арифметическая прогрессия, если для любого натурального n  выполняется условие
d – разность арифметической прогрессии.
1;  2; 3; 4; 5; 6; 7; 8;  9; 10; 11…
2;  4;  6; 8; 10; 12; 14; 16…
1;  3;  5; 7; 9; 11…
10; 8; 6; 4; 2…

Как задать арифметическую прогрессию?
Чтобы задать арифметическую прогрессию, достаточно указать её первый член и разность.
Как найти любой член арифметической прогрессии?
Формула n-го члена арифметической прогрессии
№ 12. Из арифметических прогрессий, заданных формулой n-го члена, выберите ту, для которой выполняется условие a25 < 0
ГИА 2010

№12. Для каждой арифметической прогрессии, заданной формулой n-го члена, укажите её разность d.
1) d=-2     2) d=4    3) d=2      4)d=3
ГИА 2009
2
3
4
№ 14. Арифметическая прогрессия задана условиями: а1=19;  аn+1= an - 3. Какое из данных чисел является членом этой прогрессии?1) 10;     2)-1;   3)25;   4) 17.

Домашнее задание
п.16
№ 354
№ 356
№ 358
Фoрмула суммы
n первых членов
арифметической прогрессии.
Задание 1. Найдите первый положительный член арифметической прогрессии: -166; -161; -156;…
Задание 2. Сколько отрицательных  членов  в арифметической прогрессии: -43,5; -41; -38,5;…
Фoрмулы суммы n первых членов
арифметической прогрессии.
Домашнее задание
п.16-17
№ 371(б)
№ 373
№ 384(а)


title: Скачать презентацию или конспект ШАГ ЗА ШАГОМ №1 к ОГЭ 2014

extracted_text:
ШАГ ЗА ШАГОМ   №1 к  ОГЭ 2014
Разработано учителем математики
           МОУ «СОШ» п. Аджером
 Корткеросского района  Республики Коми
     Мишариной Альбиной  Геннадьевной

Из того, что не получилось…

1.6.68.      Решить уравнение    3х³-5х²-х-2=0
Решение.
Корни кубического уравнения 3х³-5х²-х-2=0
находятся среди делителей свободного члена -2.  А это числа: -2; -1; 1; 2.
Проверим эти числа:
  -2:   -24-20+2-2 ≠ 0 =>
 -1:   -3-5+1-2 ≠ 0 =>
  1:   3-5-1-2 ≠ 0 =>
  2:    24-20-2-2 = 0 =>  корень
не корень
не корень
не корень
Ответ: 2
1.6.67. Решить уравнение    4х³+х²-3х=2
Решение.
Корни кубического уравнения
   4х³+х²-3х-2=0 находятся среди делителей свободного члена -2.  А это числа: -2;-1;1;2.
Проверим каждое число:
    -2:   -32 +4+6-2 ≠ 0 => не корень
    -1:   -4+1+3-2 ≠ 0 => не корень
     1:   4+1-3-2 = 0 =>  корень
     2:  32 +4 -6-2 ≠ 0 => не корень
(1-ый способ)
Ответ: 1
2-ой способ решения уравнения                                   4х³+х²-3х=2
   4х³+х²-3х-2=0
Разложим левую часть уравнения на  множители
    (4х³+х²)-(3х+2)=0
(4х³+х²)-(3х+2-х+х)=0
(4х³+х²)-(4х+1-х+1)=0
х²(4х+1)-(4х+1)+х-1=0
(х²(4х+1)-(4х+1)) +(х-1)=0
продолжение
(х²(4х+1) - (4х+1))+(х-1)=0
(4х+1)(х²-1)+(х-1)=0
(4х+1)(х-1)(х+1)+(х-1) =0
(х-1)((4х+1)(х+1) +1)=0
(х-1)(4х²+4х+х+1 +1)=0
(х-1)(4х²+5х+2)=0, произведение равно нулю, значит х-1=0  или  4х²+5х+2=0
 х=1  или  D=25 -4·4·2<0 => нет корней.
                           Ответ:1
1.6.70.  Решите неравенство                      - 3х³ +7х +2х² +2 <0
Решение.  Решим соответствующее уравнение   - 3х³ +7х +2х² +2 =0.
Разложим левую часть уравнения на множители способом группировки
    (- 3х³ +2х²) + (7х +2)=0
     -х²(3х-2)+(3х-2 +2 +4х+2)=0
     -х²(3х-2)+(3х-2) +2+4х+2=0
     (-х²(3х-2)+(3х-2)) +(4х+4)=0
    (-х²(3х-2)+(3х-2)) +4(х+1)=0
продолжение
((3х-2)(-х²+1)) +4(х+1)=0
((3х-2) (1- х²)) +4(х+1)=0
((3х-2) (1- х)(1+х)) +4(1+х) =0
  (1+х)((3х-2)(1- х)+4)=0
(1+х)(3х-3х²-2+2х +4)=0
(1+х)(-3х²+5х+2)=0,    тогда
  1+х=0  или -3х²+5х+2=0
   х=-1    или  D=25- 4·(-3)·2=49  =>
           х1=(5+7):6=2 и х2=(5-7):6=- 1/3
продолжение
Итак  корни уравнения:  -1; -1/3 и 2

            Ответ: (-1;-1/3);(2;+∞)

х
-1
-1/3
2

0
+
+

-
-

Ошибки, допущенные
                в  пробном ОГЭ
№17. Человек, рост которого 2м, стоит на расстоянии 3,5 м от уличного фонаря. При этом длина его тени равна 1 м. Определите высоту фонаря (в м)
Решение.
Треугольники подобны,
значит:  1:2=4,5:х
По основному свойству пропорции имеем
                   1·х = 2·4,5
                     х=9 (м)
     Ответ: 9

2м
1м
3,5м
?м
№17.  Столб высотой 9 м отбрасывает тень длиной 2м. Найдите длину тени (в м) человека ростом 1,8м, стоящего около этого столба.
Решение.
Т.к. треугольники подобны, то
      9:2=1,8:х   значит
      9·х = 1,8 · 2
       9х = 3,6
          х = 0,4 (м)
  Ответ: 0,4

2м
9м
1,8
?м
№17.   Самостоятельно
Человек, рост которого 1,6 м, стоит на расстоянии 3 м от уличного фонаря. При этом длина его тени равна 2 м. Определите высоту фонаря.
                Ответ:4

№17. Обхват ствола секвойи равен 6,3м. Чему равен его диаметр (в м)? Ответ округлите до целого.
Решение.
Если  С= π·d, то d=С: π
Если  С=6,3м, а π =3,14 то   d= 6,3 : 3,14 =
=2,006…≈2
         Ответ:2

Вспомним:
С=2πr =π·d

№17. Склон горы образует с горизонтом угол α, косинус которого равен 0,9. Расстояние по карте между точками А и В равно 18 км. Определите длину пути между этими точками через вершину горы.
Решение.    По чертежу
∆АВС – равнобедренный => АС=ВС.
Значит СМ-медиана, высота, биссектриса =>АМ=9км
Найдем АС.      В   ∆АСМ
   Cos α = АМ : АС     =>
АС = АМ:Cos α = 9:0,9 = 10
Тогда  путь через вершину равен 10·2=20 (км)

         Cos α = 0,9
         Ответ: 20

А
В
α
α
С
18

м
№17. Лестница соединяет точки А и В, расстояние между которыми равно 26м. Высота каждой ступеньки 20 см, а длина – 48 см. Найдите высоту ВС (в м), на которую поднимается лестница.
Решение.    Найдем АМ по
АМ²=20²+48²=400+2304=
=2704=52²    => АМ = 52см
Тогда кол-во ступенек =
= 26.00см : 52см = 50штук
Тогда ВС=50·20см=1000см=
=10м.

А
В
С

20см
48см
26 м
?

М

т. Пифагора
Ответ:10
№17. Глубина крепостного рва равна 8м, ширина 5м, а высота крепостной стены от её основания 20м. Длина лестницы, по которой можно взобраться на стену, на 2м больше, чем расстояние АВ от края рва до верхней точки стены. Какова длина лестницы?
Решение.
Проведем линии АВ и АМ.
∆АВМ – прямоугольный  и АМ= 5м; ВМ= 20-8=12м
Тогда АВ²=АМ²+ ВМ² =
= 25+144=169=13², т.е.
АВ = 13м, тогда длина лестницы = 13+2=15м

А
В

5м
8м
20м

М
Ответ:15
№ 21. Упростить выражение
Решение.

                       Ответ:0,5

№ 21.     Решить в парах
1)

2)
Ответ:0,5
Ответ: 3

№ 22. Один из корней уравнения 4х² - х +3m = 0 равен 1. Найдите второй корень
Решение.
Если 1-корень уравнения, то можем подставить его в уравнение,
       т.е. 4·1² - 1 +3m = 0  =>  3 +3m = 0 => 3m = - 3 =>
        m = - 1.  И данное уравнение примет вид:
                      4х² - х - 3 = 0     Решим его.
       т.к. а+в+с=0, то х1=1;  х2= -3/4=-0,75
Ответ: второй корень данного уравнения 0,75
№ 22.  Решить в парах
Один из корней уравнения 5х² - 2х +3р = 0 равен 1. Найдите второй корень.
                           Ответ: - 0,6
Один из корней уравнения 3х² +5х +2m = 0 равен - 1. Найдите второй корень
                         Ответ: - 2/3
Используемые ресурсы
Автор и источник заимствования неизвестен
 А.В. Семенов и др. Государственная итоговая
   аттестация выпускников 9 классов в новой форме.
   Математика 2014., М.,Интелект-Центр, 2014

http://images.yandex.ru/yandsearch?text=%D0%97%D0%BD%D0%B0%D0%BA%20%D0%B2%D0%BE%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D0%B0&rpt=simage&img_url=www.mediazona.ru%2Fimages%2Fd%2Fa%2Ff%2F1%2F76576b.jpg&p=2