title: Скачать презентацию или конспект Интересные измерения

extracted_text:
Природа говорит языком математики: буквы этого языка – круги, треугольники и иные математические фигуры. Галилей.
Интересные измерения
Проект выполняла: Бахвалова Елена
ученица 10 «б» класса, МОУ СОШ №27.
Руководители:
учитель математики МОУ СОШ № 34.
 Бахвалова Наталия Николаевна

На уроках геометрии мы проходим много интересного.  Меня заинтересовал вопрос: «Возможно ли знания по геометрии применить на практике, например для измерения высоты дерева, столба, башни…?» Я выяснила, что самый легкий и самый древний способ, тот которым греческий мудрец Фалес, за шесть веков до нашей эры, определил в Египте высоту пирамиды. Он воспользовался её тенью. Жрецы и фараон, собравшись у подножья высочайшей пирамиды, озадаченно смотрели на северного пришельца, отгадывавшего по тени высоту огромного сооружения. Фалес,- говорит предание,- избрал день и час, когда длина собственной его тени равнялась его росту; в этот момент высота пирамиды должна также равняться длине отбрасываемой ею тени. (Конечно, длину тени надо было считать от средней точки квадратного основания пирамиды; ширину этого основания Фалес мог измерить непосредственно).Но, способ Фалеса применим не всегда т.к. солнце у нас низко стоит над горизонтом, и тени бывают равны высоте отбрасывающих их предметов лишь в околополуденные часы летних месяцев.
Но, этот способ можно изменить, чтобы в солнечный день можно было пользоваться любой тенью какой бы она не была. Измерив, кроме того, и свою тень или тень какого-нибудь шеста, вычисляют искомую высоту из пропорции АВ : ав = ВС : вс,    т. е. высота дерева во столько же раз больше нашей собственной высоты, во сколько раз тень дерева длиннее вашей тени.
	По способу Жюля Верна
Тоже весьма несложный- способ измерения высоких предметов картинно описан у Жюля Верна  в известном романе «Таинственный остров».
-Сегодня на надо измерить высоту площадки Дальнего вида, сказал инженер.
-Вам понадобиться для этого инструмент? - спросил Гельберт.
_Нет, не понадобиться. Мы будем действовать несколько иначе, обратившись к не менее простому и точному способу.
Юноша, стараясь научиться возможно большему, последовал за инженером, который спустился с гранитной стены до окраины берега.
Взяв прямой шест, футов 12 длинною, инженер измерил его возможно точнее, сравнивая со своим ростом, который был ему хорошо известен. Гельберт же нёс за ним отвес, врученный ему инженером: просто камень, привязанный к концу верёвки.
Не доходя футов 500 до гранитной стены, прднимавшейся отвесно, инженер воткнул шест фута на два в песок и , прочно укрепив его, поставил вертикально с помощью отвеса.
Затем он отошёл от шеста на такое расстояние, чтобы , лёжа на песке, можно было на одной прямой линии видеть и конец шеста, и край гребня. Эту точку он тщательно пометил колышком (рисунок №1).

Тебе знакомы начатки геометрии ?-спросил он Ггерберта, поднимаясь с земли.-Да,-Помнишь свойства подобных треугольников?-Их сходственные стороны пропорциональны.«-Правильно. Так вот: сейчас я построю два подобных прямоугольных треугольника. У меньшего одним катетом будет отвесный шест, другим –расстояние от колышка до основания шеста; гипотенуза же - мой луч зрения. У другого треугольника катетами будут: отвесная стена, высоту которой мы хотим определить, и расстояние от колышка до основания этой стены; гипотенуза же – мой луч зрения, совпадающий с направлением гипотенузы первого треугольника.«-Понял!- воскликнул юноша. Расстояние от колышка до шеста так относиться к расстоянию от колышка до основания стены, как высота шеста к высоте стены.«-Да. И следовательно, если мы измерим два первых расстояния, то, зная высоту шеста, сможем вычислить четвертый, неизвестный член пропорции, т.е. высоту стены. Мы обойдёмся, таким образом, без непосредственного измерения этой высоты.«Оба горизонтальных расстояния были измерены: меньшее равнялось 15 футам, большее-500 футам.»По окончании измерений инженер составил следующую запись:158500=10:х,500*10=5000,5000:15=333,3Значит, высота гранитной стены равнялась 333 футам»
Как поступил сержант.
		Некоторые из только описанных способов измерения высоты неудобны тем, что вызывают необходимость ложиться на землю. Можно, разумеется, избежать такого неудобства.
		Вот однажды было на одном из фронтов Великой Отечественной войны. Подразделению лейтенанта Иванюк было приказано построить мост через горную реку. На противоположном берегу засели фашисты. Для разведки места постройки моста лейтенант выделил разведательную группу во главе со старшим сержантом Поповым…В ближайшем лесном массиве они измерили диаметр и высоту наиболее типичных деревьев и подсчитали количество деревьев, которые можно было использовать для постройки. Высоту деревьев определили при помощи шеста.
		                  Этот способ заключается в следующем:
		Запасшись шестом выше своего роста, воткните его в землю отвесно на некотором расстоянии от измеряемого дерева. (рисунок №2)
	Отойдите от шеста назад , по продолжению Dd до того места А, с которого, глядя на вершину дерева, вы увидите на одной линии с ней верхнюю точку b шеста. Затем, не меняя положения головы, смотрите по направлению горизонтальной прямой аС,  замечая точки с и С, в которых луч зрения встречает шест и ствол. Попросите помощника сделать в этих местах пометки, и наблюдение окончено. Остаётся только на основании подобия треугольников аbс и аВС вычислить ВС из пропорции ВС:bс=аС:ас
	Вс=bс*аС/ас.

		Расстояние bс, аС и ас легко измерить непосредственно. К полученной величине ВС нужно прибавить расстояние СД (которое также измеряется непосредственно), чтобы узнать искомую высоту дерева.
	для определения количества деревьев старший сержант приказал солдатам измерить площадь лесного массива. Затем он подсчитал количество деревьев на небольшом участке размером 50х50 кв. м и произвёл соответствующие умножение.
		На основании всех данных, собранных разведчиками, командир подразделения установил, где и какой мост нужно строить. Мост построили  к сроку, боевое задание было выполнено успешно.

При помощи записной книжки.
		Оказывается, в качестве прибора приблизительной оценки недоступной высоты можно использовать и свою карманную записную книжку, если она снабжена карандашом, всунутым в петельку при книжке. Она поможет построить в пространстве те два подобных треугольника, из которых получается искомая высота. Книжку надо держать возле глаз. Она должна находиться в отвесной плоскости, а карандаш выдвигается над верхним обрезом книжки настолько, чтобы, глядя из точки а, видеть вершину В дерева покрытой кончиком в карандаша. Из подобия треугольников аbс и аВС высоту ВС найдем из пропорции ВС:bс=аС:ас.

		Расстояния bс, ас, аС измеряются непосредственно. К полученной вершине ВС надо прибавить ещё длину СD, т. е. – на ровном месте – высоту глаза над почвой.
	Так как ширина ас книжки неизмерима, то если мы будем становиться на одном и том же расстоянии от измеряемого дерева (например , в 10 м), высота дерева будет зависеть только от выдвинутой части вс карандаша. Поэтому мы можем заранее вычислить, какая высота соответствует тому или иному выдвижению, и нанести эти числа на карандаш. Используя небольшие хитрости записная книжка превратилась в упрощенный высотометр, так как можно при её помощи определить высоты сразу, без вычислений.
		При помощи зеркала
		Вот ещё очень интересный способ определения высоты дерева при помощи зеркала. На некотором расстоянии  от измеряемого дерева, на ровной земле в точке С кладут горизонтально зеркальце и отходят от него назад в такую точку D, стоя в которой наблюдатель видит в зеркале верхушку А дерева. Тогда дерево (АВ) во столько раз выше роста наблюдателя (ЕD), во сколько раз расстояние ВС от зеркала до дерева больше расстояния С от зеркала до наблюдателя. Я решила выяснить почему?
 					 Решение:
		Здесь мне пришлось познакомиться с законами физики, которые мы ещё не проходили, это отражение света. Вершина А  отражается в точке А1 так, что АВ=А1в. Из подобия треугольников ВСА1 и СЕD следует, что
   А1В:ЕD=ВС:СD.  В этой пропорции остаётся лишь заменить А1В равным ему АВ , чтобы обосновать указанное соотношение
		Это удобный и нехлопотливый способ можно применять во всякую погоду, но не в густом насаждении, а к одиноко стоящем дереву.

Измерение ширины реки.
		Не переплывая реки, измерить её ширину – так же просто для знающего геометрию, как определить высоту дерева, не взбираясь на вершину. Из многих способов решения этой задачи я предлагаю рассмотреть самый, на мой взгляд, интересный.
При помощи козырька
		Способ этот состоит в следующем. Надо встать лицом к реке и надвинуть фуражку на глаза так, чтобы нижний обрез козырька точно совпадал с линией противоположного берега. Козырёк можно заменить ладонью руки  плотно приложенной ребром ко лбу. Затем, не изменяя положение головы, надо повернуться направо или на лево, или даже назад(в ту сторону, где поровней площадка, доступная для измерения расстояния) и заменить самую дальнюю точку, видимую из-под козырька или ладони. Расстояние до этой точки и будет примерно равно ширине реки.
		Попробую дать геометрическое объяснение этому способу.
				Решение:
		Луч зрения, касающийся обреза козырька (ладони), первоначально направлен на линию противоположного берега. Когда человек поворачивается, то луч зрения, подобно ножке циркуля, как бы описывает окружность, и тогда АС=АВ как радиусы одной окружности

		Кажется, один из героев Жюля Верна подсчитывал, какая часть его тела прошла более длинный путь за время его кругосветных странствий – голова или ступни ног.
		Давайте вообразим, что мы обошли земной шар по экватору. И выясним насколько при этом верхушка моей головы прошла более длинный путь, чем кончик ноги?
                                                  Решение:
		Ноги прошли путь 2пR, R – радиус земного шара. Верхушка же головы прошла при этом 2п(R +1,7), где 1,7м –рост человека. Разность путей равна 2п(R +1,7) - 2пR = 2п*1,7=10,7м.
		Итак, голова прошла путь на 10,7 м больше, чем ноги.
		Самое любопытное, что в окончательный ответ не входит величина радиуса земного шара. Поэтому результат получиться одинаковый и на Земле, и на Юпитере, и на самой маленькой планете.
		И ещё, разность длин двух концентрических окружностей не зависит от радиусов, а зависит только от расстояния между ними. Вот оказывается какое чудо! Прибавка одного сантиметра к радиусу земной орбиты увеличила бы её длину ровно настолько, насколько удлиниться от такой же прибавки радиуса окружность пятака.

Прочитав очень много книг, я сделала для себя вывод: что от меня оказались скрытыми многие привлекательные стороны математики.

Рисунок №1. Как измерили высоту скалы герои Жюля Верна.

Рисунок №2. Измерение высоты дерева при помощи шеста


title: Скачать презентацию или конспект Трапеция. Виды трапеции

extracted_text:
Тема: «Трапеция»(8 класс)
Архипова Ирина Викторовна, учитель математики МОУ СОШ №4 г.Миньяра Челябинской области
Трапеция
от греч. trapeza — стол.

Трапеция буквально — «столик».
Геометрическая фигура была названа
так по внешнему сходству с маленьким столом.
Трапеция -
	четырёхугольник, у которого две стороны параллельны,
	а две другие – не параллельны.
AD   BC, AB    CD,
AD, BC – основания,
AB, CD – боковые стороны
Почему угол 1 равен углу 2?

Почему углы 3 и 4 в сумме равны 180 градусам?
Виды трапеции
Равнобедренная трапеция  - трапеция, у которой равны боковые стороны.
   AB=CD,
А
B
C
D

AC=BD
Виды трапеции
2)
Прямоугольная трапеция - трапеция, один из углов которой прямой.
А
B
C
D

Трапециевидные мышцы обеих сторон спины вместе имеют форму трапеции.

Повторим?

1) Трапеция – это … , у которого…. .
2) Как называются стороны трапеции?
3) Какие бывают трапеции?


title: Скачать презентацию или конспект Статистические распределения и их основные характеристики

extracted_text:
Статистические распределения и их основные характеристики
Различия индивидуальных значений признака у единиц совокупности называются вариацией признака.

Она возникает в результате того, что индивидуальные значения складываются под совместным влиянием разнообразных условий (факторов), по разному сочетающихся в каждом отдельном случае.

Вариация, которая не зависит от факторов, положенных в основу выделения групп, называется случайной вариацией.
Приемы изучения вариации в пределах одной группы:
простроение вариационного ряда (ряда распределения);
графическое изображение;
 исчисление основных характеристик распределения: показателей центра распределения; показателей вариации.
Вариационный ряд -
групповая таблица, построенная по количественному признаку, в сказуемом которой показывается число единиц в каждой группе.
 Форма построения вариационного ряда зависит от характера изменения изучаемого признака.
Он может быть построен в форме дискретного ряда или в форме интервального ряда.
Распределение рабочих по тарифному разряду
Частость расчитывается по формуле

Замена частот частостями позволяет сопоставить вариационные ряды с различным числом наблюдений.

Средняя квалификация работников

Т.е в среднем рабочие имеют 4 тарифный разряд

Для признака, имеющего непрерывное изменение строится интервальный вариационный ряд распределения.
Определение величины интервала производится

Показатели центра распределения.
Средняя арифметическая для дискретного ряда расчитывается по формуле средней арифметической взвешенной:

В интервальном ряду расчет производится по этой же формуле, но в качестве х берется середина интервала. Она определяется так

Распределение банков по размеру прибыли.
Средний размер прибыли

Структурные средние
Медиана
Мода
Квартиль
Медиана (Ме)
соответствует варианту, стоящему в середине ранжированного ряда. Положение медианы определяется ее номером:

где n - число единиц в совокупности.

Медиана в дискретном ряду
По накопленным частотам определяют ее численное значение в дискретном вариационном ряду.

Вставленная фукция в EXCEL

MEDIAN()

Расчет медианы в дискретном ряду
Медиана тарифного разряда рабочих будет найдена следующим образом:

Следовательно, среднее значение 10-го и 11-го признаков будут соответствовать медиане. По накопленным частотам находим 10-й и 11-й признаки. Их значение соответствует 4-му тарифному разряду, следовательно медиана в данном ряду равна 4.
Медиана в интервальном ряду
В интервальном ряду распределения по номеру медианы указывают интервал, в ктором находится медиана.
Численное значение определяется по формуле:

Расчет медианы в интервальном ряду
По накопленным частотам определяем, что медиана находится в интервале
5,5 - 6,4 так как номер медианы

а это значение включает кумулятивная частота 12.

Расчет медианы в интервальном ряду
Тогда медиана

Таким образом, 50% банков имеют прибыль менее 6,13 млн. крон, а другие 50% - более 6,13.

Мода (Мо)
наиболее часто встречающееся значение признака.
В дискретном ряду - это варианта с наибольшей частотой.

Вставленная фукция в EXCEL

MODE()
Значение моды в интервальном ряду
В интервальном ряду сначала определяется модальный интервал, т.е. тот, который имеет наибольшую частоту, а затем расчитывают моду по формуле:

Определение значения моды в приведенных выше дискретном и  интервальном рядах
В примере 1 наибольшую частоту - 8 имеет четвертый тарифный разряд, следовательно значение моды равно 4 тарифному разряду
В примере 2 модальный интервал 6,4 -7,3 так как такой уровень прибыли имеют наибольшее число банков.

Квартиль
- это значения признака, которые делят ранжированный ряд на четыре равные по численности части.
Таких величин будет три:
	первая квартиль(Q1),
	вторая квартиль (Q2),
	третья квартиль (Q3).
Вторая квартиль является медианой.
Сначала определяется положение или место квартили:

Квартиль в дискретном ряду
В дискретном ряду численное значение квартили определяют по накопленным частотам.

Вставленная фукция в EXCEL

QUARTILE()

Квартиль в интервальном ряду
В интервальном ряду распределения сначала указывают интервал, в котором лежит квартиль, затем определяют ее численное значение по формуле:

Показатели вариации (колеблемости) признака.
К абсолютным показателям относят:
Размах колебаний;
Среднее линейное отклонение;
Дисперсию;
Среднее квадратическое отклонение;
Квартильное отклонение.
Размах колебаний (размах вариации)
представляет собой разность между максимальным и минимальным значениями признака изучаемой совокупности:

Размах вариации зависит только от крайних значений признака, поэтому область его применения ограничена достаточно однородными совокупностями.

Точнее характеризуют вариацию признака показатели, основанные на учете колеблемости всех значений признака.
К таким показателям относят:
среднее линейное отклонение,
дисперсию,
среднее квадратическое отклонение.
Среднее линейное отклонение d
для несгруппированных данных расчитывается по формуле

Вставленная фукция в EXCEL

 AVEDEV( )

Для n вариационного ряда:

Расчет среднего линейного отклонения

Дисперсия
- это средняя арифметическая квадратов отклонений каждого значения признака от общей средней.
 Дисперсия обычно называется средним квадратом отклоненй.
В зависимости от исходных данных дисперсия может вычисляться по средней арифметической простой или взвешенной:
Дисперсия простая

Вставленная фукция в EXCEL

VARP ( )

Дисперсия взвешенная

Среднее квадратическое отклонение
стандартное отклонение (Standard Deviation)
представляет собой корень квадратный из дисперсии
Среднее квадратическое отклонение невзвешенное

Вставленная фукция в EXCEL

STDEVP ( )

Среднее квадратическое отклонение взвешенное

Данные о производительности труда рабочих
Расчет показателей дисперсии и среднего квадратического отклонения
1. Исчислим среднюю арифметическую взвешенную:

Расчет показателей дисперсии и среднего квадратического отклонения
2. Определим дисперсию.

Расчет показателей дисперсии и среднего квадратического отклонения
3. среднее квадратическое отклонение будет равно

Это означает, что отклонение от средней производительности составило 1,2 шт.

Другой метод расчета дисперсии
Дисперсия равна разности средней из квадратов признака и квадрата средней.

Относительные показатели вариации
Применяются для оценки интенсивности вариации и для сравнения ее в разных совокупностях.
относительный размах вариации (коэффициент осцилляции)

Относительные показатели вариации
Относительное линейное отклонение (отклонение по модулю)

Коэффициент вариации

Относительные показатели вариации
Относительный показатель квартильной вариации (относительное квартильное расстояние)

Оценка степени интенсивности вариации возможна только для каждого отдельного признака и совокупности определенного состава.
Предположим вариация производительности труда на предприятиях Эстонии v<10% рассматривается как слабая,10%<v<25% -умеренная, сильная при v>25%. Однако, если рассматривается вариация роста взрослых людей, то при v=4% следует говорить об очень сильной интенсивности
Моменты распределения и показатели его формы.
Центральные моменты распределения порядка – это средние значения разных степеней отклонений отдельных величин признака от его средней арифметической величины.
Момент первого порядка равен нулю.
Второй центральный момент представляет собой дисперсию.
Третий момент используется для оценки асимметрии
Четвертый – для оценки эксцесса.
Моменты распределения

Моменты распределения

Показатели асимметрии
На основе момента третьего порядка можно построить коэффициент асимметрии

 или показатель Пирсона

Показатели асимметрии
Если  А > 0, то асимметрия правосторонняя, а если А < 0, то асимметрия левосторонняя, в симметричном распределении  А=0.

В EXCEL используется функция
SKEW ( ).
Характеристика эксцесса распределения

В нормальном распределении Е = 0, поэтому, если Е > 0, то эксцесс выше нормального (островершинная кривая),
Е < 0, эксцесс ниже нормального (плосковершинная кривая).
В EXCEL используется функция
 KURT ( ).

Характеристика эксцесса распределения
По значению показателей асимметрии и эксцесса можно судить о близости распределения к нормальному.
Если                    и

то распределение можно считать нормальным

Оценка диапазона изменения статистической переменной
По теореме Чебышева:
в интервале ( - 2,  +2) находится 75 % значений,
в интервале ( - 3,  +3) находится 89 % значений.

Оценка диапазона изменения статистической переменной
«Правило трех сигм» справедливо для нормального распределения
в интервале ( - ,  + ) находится 68% значений,
в интервале ( - 2,  +2) находится 95.4% значений,
в интервале ( - 3,  +3) находится 99.7% значений.
Закон (правило) сложения дисперсий.

       - величина общей дисперсии

      - межгрупповая дисперсия

        - средняя внутригрупповая дисперсия

Межгрупповая дисперсия

Средняя внутригрупповая дисперсия

Имеются следующие данные о времени простоя автомобиля под разгрузкой:
Вспомогательная таблица для расчета общей дисперсии.

Среднее время простоя

Общая дисперсия

Расчет внутригрупповой дисперсии по первой группе (число грузчиков, участвующих в разгрузке, 3 чел)
Дисперсия первой группы

Расчет внутригрупповой дисперсии по второй группе (число грузчиков, участвующих в разгрузке, - 4)
Дисперсия второй группы

Средняя из внутригрупповых дисперсий

Межгрупповая дисперсия

Общая дисперсия


title: Скачать презентацию или конспект Решение уравнений

extracted_text:
Решение уравнений
Математика, 5 класс

Преподаватель математики и информатики
ГБОУ СПО РО «Константиновский педагогический колледж»
Алексей Юлия Вадимовна

Рассмотрим алгоритм решения уравнений на одном из примеров
64 + 36 : (х · 3 – 15) = 70
64 + 36 : (х · 3 – 15) = 70
1. Рассмотрим уравнение и определим порядок действий
1
2
3
4
64 + 36 : (х · 3 – 15) = 70
2. Определим последнее действие и соответствующие компоненты
4

слагаемое
слагаемое
сумма
64 + 36 : (х · 3 – 15) = 70
3. Определим неизвестный компонент и правило его нахождения
4

слагаемое
Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое.
64 + 36 : (х · 3 – 15) = 70
4. В соответствии с правилом, выполняем вычисления
36 : (х · 3 – 15) = 70 - 64
36 : (х · 3 – 15) = 6
36 : (х · 3 – 15) = 6
5. Рассмотрим получившееся уравнение и выполним те же действия
1. Рассмотрим уравнение и определим порядок действий
1
2
3
36 : (х · 3 – 15) = 6
3
2. Определим последнее действие и соответствующие компоненты

делимое
делитель
частное
36 : (х · 3 – 15) = 6

делитель
3. Определим неизвестный компонент и правило его нахождения
Чтобы найти неизвестный делитель, нужно делимое разделить на частное.
36 : (х · 3 – 15) = 6
4. В соответствии с правилом, выполняем вычисления
 х · 3 – 15 =36 : 6
х · 3 – 15 = 6
Повторяем алгоритм еще раз с получившимся уравнением.
1. Рассмотрим уравнение и определим порядок действий
1
2
х · 3 – 15 = 6
2
х · 3 – 15 = 6
2. Определим последнее действие и соответствующие компоненты

уменьшаемое

вычитаемое
разность
х · 3 – 15 = 6
3. Определим неизвестный компонент и правило его нахождения

уменьшаемое
Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое.
х · 3 – 15 = 6
4. В соответствии с правилом, выполняем вычисления
х · 3 = 6 + 15
х · 3 = 21
На этот раз получено простое уравнение, первый этап (расстановка действий) пропускаем, решаем уравнение по упрощенному алгоритму.
2. Определим соответствующие компоненты действия

множитель

произведение
х  ·  3  =  21
множитель
3. Определим неизвестный компонент и правило его нахождения

Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на известный множитель.
х  ·  3  =  21
множитель
4. В соответствии с правилом, выполняем вычисления
ОТВЕТ: 7
х  ·  3  =  21
х =  21 :  3
х =  7
УРАВНЕНИЕ РЕШЕНО
1. Рассмотрим уравнение и определим порядок действий.
2. Определим последнее действие и соответствующие компоненты.
3. Определим неизвестный компонент и правило его нахождения.
4. В соответствии с правилом, выполняем вычисления.
АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ


title: Скачать презентацию или конспект Основные правила дифференцирования

extracted_text:
8.3. ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ
Производная функции может быть найдена по схеме:
Дадим аргументу х приращение Δх и
найдем значение функции y+Δy=f(x+Δx)
1
Находим приращение функции
Δy=f(x+Δx)-f(x)
2
3

Составляем отношение:
4

Находим
ПРИМЕР.
Найдем производную функции
Дадим аргументу х приращение Δх и
найдем значение функции y+Δy:
1
2
Находим приращение функции

3
Составляем отношение
Находим
4

Полученный результат является частным случаем производной от степенной функции
Можно показать, что в общем случае

производная степенной
функции
ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ
1

Производная постоянной величины равна 0:
2

Производная аргумента равна 1:
3

Производная алгебраической суммы (разности) конечного числа дифференцируемых функций равна сумме (разности) производных этих функций:
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:
Пусть  u=u(x) и  v=v(x) -дифференцируемые функции.
Найдем производную функции y=u + v.
Дадим аргументу х приращение Δх, не равное 0,  тогда функции получат значения u+Δu, v+Δv.
Находим приращение функции
Составляем отношение

Находим предел этого отношения:

4

Производная произведения двух дифференцируемых функций равна сумме произведений  производной первого сомножителя на второй и производной второго сомножителя на первый:
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:
Пусть  u=u(x) и  v=v(x) -дифференцируемые функции.
Найдем производную функции y=uv.
Дадим аргументу х приращение Δх, не равное 0,  тогда функции получат значения u+Δu, v+Δv.
Находим приращение функции
Составляем отношение

Находим предел этого отношения:

Имеем по определению производной:

Следствие 1.

Постоянный множитель можно выносить за знак производной:
Следствие2.

Производная произведения нескольких дифференцируемых функций равна сумме произведений производной каждого из сомножителей на все остальные:
5

Производная частного двух дифференцируемых функций находится по формуле:
ПРИМЕРЫ.
1

Найти производную функции
и вычислить ее значение в точке х=1.
Решение.

Находим значение  производной в точке х=1:
2

Найти производную функции
и вычислить ее значение в точке х=1.
Решение.
Находим значение  производной в точке х=1:
3

Найти производную функции
и вычислить ее значение в точке х=1.
Решение.
Находим значение  производной в точке х=1:


title: Скачать презентацию или конспект Деление с остатком

extracted_text:
1
Математика.

Здравствуйте!
!
2
Для разминки…

Устный счёт!
!
Задача на смекалку
на 2 кг легче, чем
на 4 кг тяжелее, чем
На сколько кг курица легче, чем гусь?
3
4 кг

2кг
?

4
На 6 кг
:7
5
Ёжик подарил Нюше 15 цветков, а Крош на 4 цветка меньше. Сколько
                   цветов получила Нюша?
 Лосяш насчитал на лугу 15 красных бабочек, а желтых-8.
 Бабочки взлетели с цветка парами. Сколько получилось пар?
            Сколько бабочек осталось без пары?
 61:7=                             46:8 =
56:9=                               21:5= 39:10=                             8:6=
48:9=                               84:9=
Найди ошибки:
                                   21 :  3=7 (ост.4)       58 : 9=7 (ост.5)
9
Математика.

Деление с остатком.
!
Цели: обобщить знания и умения алгоритма выполнения деления числа с остатком.
 Алгоритм выполнения деления с остатком:
    -Подбираем  цифру в частном.
    -Проверяем умножением.
    -Находим остаток вычитанием
    -Сравниваем остаток с делителем.
    -Делаем вывод
Спасибо за урок!


title: Скачать презентацию или конспект Действительные числа (2)

extracted_text:
Действительные числа.Степенная функция.
Материалы по математике для обучающихся 10 класса.
Содержание темы:
Действительные числа.
Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия.
*Арифметический корень натуральной степени.
*Тождественные преобразования выражений с арифметическим корнем натуральной степени.
*Степень с рациональным показателем.
*Степень с действительным показателем.
Степенная функция.
Взаимно обратные функции.
*Иррациональное уравнение.
* Отмечен материал, вынесенный в тесты ГИА по математике в формате ЕГЭ.
Результатом изучения темы является:
умение на базовом уровне:
находить значения корня натуральной степени, степени с рациональным показателем;
проводить по известным формулам и правилам преобразования буквенных выражений, включающих степени, радикалы;
вычислять значения числовых и буквенных выражений, осуществляя необходимые подстановки и преобразования;
решать простейшие иррациональные уравнения, их системы.
Действительные числа. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия.
Действительные числа
Рациональные числа
Иррациональные числа
Отрицательные
 числа
Положительные
 числа
Нуль

Прочитайте материал § 2 учебника «Алгебра и начала анализа 10-11»
 (автор Алимов Ш. А. и другие).
Выпишите определение иррационального числа; приведите примеры иррациональных чисел;
Рассмотрите примеры решения задач на страницах 8-9 учебника.
Действительным числом называется бесконечная десятичная дробь вида                              , где                   - целое число, а каждая из букв        ,      ,            - это одна из десяти цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Примеры:
1. Выясните,  каким числом (рациональным или иррациональным) является числовое значение выражения:

Число -1 является рациональным (его можно представить в виде дроби).
2. Вычислить:

Выполните самостоятельно: из § 2 учебника «Алгебра и начала анализа 10-11» (автор Алимов Ш. А. и другие) упражнение № 9 (2-4), упражнение № 10 (2-4).

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия.
Определение:
Числовая последовательность, первый член которой отличен от нуля, а каждый последующий член, начиная со второго, равен предшествующему члену, умноженному на одно и то же не равное нулю число, называется геометрической прогрессией.
Пример:

Знаменатель геометрической прогрессии g =

Геометрическая прогрессия называется убывающей, если модуль её знаменателя меньше единицы.

Пример.
Выяснить, является ли геометрическая прогрессия бесконечно убывающей:
 Решение:

Так как знаменатель геометрической прогрессии меньше 1, то это убывающая геометрическая прогрессия.
Выполните самостоятельно:  упражнение № 16 (3).
Арифметический корень натуральной степени.
Определение:
Арифметическим корнем натуральной степени п ≥ 2  из неотрицательного числа а называется неотрицательное число b, п-я степень которого равна а.

Рассмотрите свойства арифметического корня натуральной степени на странице 19 учебника.
Примеры:

Тождественные преобразования выражений с арифметическим корнем натуральной степени:примеры заданий из Открытого Банка ЗадачЕдиного Государственного Экзамена по математике.
Степень с рациональным показателем.
Если п – натуральное число, m – целое число, то при а >0 справедливо равенство:

Примеры:

Свойства степени с рациональным показателем.
Примеры решения заданий из Открытого Банка Задач Единого Государственного Экзамена по математике

Задания для самостоятельной работы.
1. Выполните упражнение № 57, № 60 на странице 31 учебника.
2. Вычислите значения выражений № 68-70.
3. Прочитайте решение задачи
№ 10 на странице 30 учебника.
4. Выполните упражнение № 75.
Вычислите:

Степенная функция. Взаимно обратные функции.По материалу § 6 заполните таблицу:Свойства и график степенной функции.
Иррациональное уравнение.
Определение:
уравнение, содержащее неизвестную величину под знаком корня (радикала), называется иррациональным.

Выполните самостоятельно:


title: Скачать презентацию или конспект Применение свойств квадратичной функции

extracted_text:
Применение свойств квадратичной функции
Алексеевский Сергей
МБОУ «СОШ № 2 ст. Архонская»
Задачи на определение числа корней квадратного уравнения.
П р и м е р 1. Имеет ли корни уравнение
                           1716х2 – 5321х + 3248 = 0?
    Решение.
    D = 53212 – 4 · 1716 · 3248 > 5000 · 5000 –
    – 4 · 1750 · 3250 = 5000 · 5000 – 2 · 1750 · 2 · 3250 =
    = 25 000 000 – 3500 · 6500 =
    = 25 000 000 – 22 750 000 > 0.
       Так как дискриминант положителен, то уравнение имеет два корня.

Рассмотрим функцию f(х) = 1716х2 – 5321х + 3248.
     Пусть х = 1, тогда
   f(х) = 1716 – 5321 + 3248 < 1800 + 3300 – 5321 < 0.
    Это означает, что парабола опускается
ниже оси х. Поэтому она пересекает
ось х в двух точках, а значит, данное
уравнение имеет два корня.

Задачи на определение числа корней квадратного уравнения.
 П р и м е р 2. Сколько корней имеет уравнение
(х – 100)(х – 101) + (х – 101)(х – 102) + (х – 102)(х – 100) = 0? Решение. Раскроем скобки в левой части и представим
её в виде квадратного трехчлена с положительным
коэффициентом при х2. Обозначим этот трехчлен через
f(х). Найдем f(101):
                   f(101) = 0 + 0 – 1 < 0.
      Таким образом, трехчлен f(х) может принимать
отрицательные значения. Так как коэффициент при х2
положителен, то ветви параболы направлены вверх.
Значит, парабола пересекает ось х в двух точках, т. е.
данное уравнение имеет два корня.
Примеры на определение местонахождения корней квадратного уравнения на числовой прямой.
П р и м е р 3. Докажем, что один из корней уравнения
     52х2 – 70х + 15 = 0 больше 1, а другой меньше 1.
Решение. Докажем, что число 1 лежит между корнями данного уравнения. Возьмем функцию f(х) = 52х2 – 70х + 15 и найдем f(1):
                         f(1) = 52 – 70 + 15 < 0.
     Функция у = f(х) может принимать
отрицательные значения. Таким образом,
график функции f(х) — парабола, ветви
которой направлены вверх и которая
опускается ниже оси х. Отрицательные значения эта функция
принимает в промежутке между корнями. Так как f(1) < 0,
то х1 < 1 < х2.
Примеры на определение местонахождения корней квадратного уравнения на числовой прямой.
П р и м е р  4. Установить, как на координатной оси расположены числа:
а) х1, х2, 0, 1, если х1 и х2 – корни квадратного трёхчлена
f(х) = 10х2 – 18х – 17 и х1 < х2.
 Р е ш е н и е. а) Очевидно, что f(0) = – 17 < 0,
ветви параболы направлены вверх.
Так как f(1) < 0, то число 1                        х1       0        х2     х
так же, как и число 0, расположено
между  корнями квадратного трехчлена.
Таким образом, х1 < 0 < 1 < х2.
Примеры на определение местонахождения корней квадратного уравнения на числовой прямой.
П р и м е р  4. Установить, как на координатной оси расположены числа:
б) х1, х2, – 10, – 1, если х1, х2 – корни квадратного трёхчлена
 f(х) = – 12х2 – 23х + 27 и х1 < х2.
Р е ш е н и е. б) Число f( – 1) больше 0,
ветви параболы направлены вниз,
 f(10) = – 943 < 0, значит,                        х1       – 1         х2     х
число – 10 расположено левее
меньшего корня.
Итак, – 10 < х1 < – 1 < х2.
Решение физических задач с применением свойств квадратичной функции.
П р и м е р 5. Мяч подброшен вертикально вверх. Зависимость
высоты мяча над землей h (м) от времени полета t (с) выражается
формулой h = – 5t2 + 10t + 1,5. На какую максимальную высоту
поднимется мяч?
    Р е ш е н и е.
Траектория полёта представляет собой
параболу, ветви которой направлены вниз,
своего наибольшего значения она
достигнет в вершине параболы,
т. е. решение задачи свелось к нахождению
координат вершины параболы:
t = (с),  h =  – 5 + 10 + 1,5 = 6,5 (м).
О т в е т: 6,5 метра.

Решение физических задач с применением свойств квадратичной функции.
П р и м е р  6. Камень брошен вертикально вверх. Пока
камень не упал, высота, на которой он находится,
описывается формулой h(t) = – 5t2 + 39t, где h — высота в
метрах, t — время в секундах, прошедшее с момента
броска. Найдите, сколько секунд камень находился на
высоте не менее 28 м.

Р е ш е н и е:
Решим неравенство: – 5t2 + 39t ≥ 28,
5t2 + 39t – 28 ≤ 0, D = 961, t1 = 0,8,  t2 = 7.
 На высоте не менее 28 метров, камень
находился 7 – 0,8 = 6,2 секунды.
О т в е т: 6,2 с.

Решение физических задач с применением свойств квадратичной функции.
П р и м е р  7. Брандспойт, закреплённый под определённым
углом на пожарной машине, выстреливает струю воды с постоянной
начальной скоростью. Высота струи воды описывается формулой
у = ах2  + bх + с, где                                           постоянные параметры.

На каком максимальном расстоянии в метрах от забора нужно
поставить машину, чтобы вода перелетала через верх? Высота
забора равна 19 м.
    Решение. Рассуждая аналогично, составим неравенство и решим
его:

       – х2 + 180х + 630 ≥ 5130,
       х2 – 180х + 4500 ≤ 0,
      (х – 30)(х – 150) ≤ 0,
      30 ≤ х ≤ 150.  Наибольшее расстояние равно 150 метров.
О т в е т: 150 м.


title: Скачать презентацию или конспект Степень числа. Квадрат и куб числа

extracted_text:
Муниципальное образовательное учреждение «Монастырская средняя общеобразовательная школа»с. МонастыркаТомская область Шегарский район

                    Математика 5 класс

                               Тема:
      Степень числа. Квадрат и куб числа.
                             Учитель:
                    Зельчан Татьяна Викторовна
Урок математики в 5 классе
Тема урока:
Степень числа.  Квадрат и куб числа.

Цель урока:
Самостоятельно изучить понятия
 «степень числа, основание и показатель степени, квадрат и куб числа».
Научиться записывать произведение в виде степени числа, вычислять квадраты и кубы чисел.
.Познакомиться с таблицами квадратов и кубов первых десяти натуральных чисел.
Развивать познавательную активность и интерес обучающихся.

Вычисли устно:3 × 3,  4 × 5,  5 × 5,  2 ×13,  7 × 7, 10 ×10,   2 × 2 × 2,  6 × 6,   4 × 4 × 4
Запиши в тетрадь только те примеры, в которых множители равны друг другу.
Прочти пункт 16 на стр. 98 (учебник).
Запиши примеры, рассмотренные на стр. 98 в тетрадь.
Найди в этих примерах основание степени и показатель степени.
Ответь на вопрос. Что называется степенью и как правильно записать степень числа?
Проверка
3 · 3 · 3 · 3 = 34
3 – основание степени, 4 – показатель степени;
5 · 5 · 5 = 5³
5 – основание степени, 3 – показатель степени;
2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 26
2 – основание степени, 6 – показатель степени
34     - степень,     5³ - степень,     26     - степень
Гимнастика для глаз.От вершины, обозначенной буквой А, переводите взгляд к другой вершине по часовой стрелке. И так далее, пока не попадете в первоначальное положение. Повторите то же упражнение, но против часовой стрелки.  И так пять раз.
                  А

Прочти текст учебника на стр. 99,ответь на вопрос. Как еще называют вторую степень числа и третью степень числа?
Изучи внимательно таблицу квадратов первых десяти натуральных чисел.
Вычисли, пользуясь этой таблицей:
7² =     ;  4² =   ;  9² =   ;  6² =   ,  8² =   ;  10² =   .
Изучи внимательно таблицу кубов первых десяти натуральных чисел.
Вычисли, пользуясь этой таблицей:
7³ =    ;  4³ =   ;   9³ =   ;  6³ =   ;   8³ =   ;  10³ =   .
Физкультминутка
Руки на пояс поставьте вначале
Влево и вправо качните плечами
Все дотянитесь мизинцем до пятки
Если сумели – все в полном порядке.
тест
1. Куб числа – это:
  А) произведение трех одинаковых чисел
  Б) сумма трех одинаковых чисел
  В) сумма двух чисел
2. Числовое значение выражения 6² равно:
         А) 12,       Б) 36,      В) 8.
3. Числовое значение выражения 8³ равно:
         А) 24,      Б) 64,       В) 512.
4. Выражение 5 + 5 + 5 означает
         А) 5³,       Б) 5 + 3,        В) 5 · 3.
5. С какими геометрическими фигурами ассоциируются слова: а) квадрат, б) куб
А)                   Б)                   В)                 Г)

Закрепление изученного материала
Решить:   № 653;   №654;   № 655
Ответьте на вопросы на стр. 99.

Запишите домашнее задание:
             П. 16 читать,  вопросы с.99,
             решить № 666; № 669


title: Скачать презентацию или конспект Статистические характеристики

extracted_text:
Статистические характеристики

    Среднее арифметическое, размах и мода
находят применение в статистике – науке,
которая занимается получением, обработкой и
 анализом количественных данных о разнообразных
массовых явлениях, происходящих в природе и
обществе
Слово «статистика» происходит от латинского слова status,
которое означает «состояние, положение вещей».
 Статистика изучает численность отдельных групп населения
 страны и ее регионов, производство и потребление
 разнообразных видов продукции, перевозку грузов и
 пассажиров различными видами транспорта, природные
 ресурсы и т. п.
Результаты статистических исследований широко
 используются для практических и научных выводов.
При изучении учебной нагрузки учащихся выделили группу из 12 учащихся.
Их попросили отметить в определённый день время (в минутах), затраченное на выполнение домашнего задания по алгебре.

Получили такие данные:
23; 18; 25; 20; 25; 25; 32; 37; 34; 26; 34; 25
Среднее арифметическое ряда
Средним арифметическим ряда чисел
 называется частное от деления суммы этих
 чисел на число слагаемых.

m = (23+18+25+20+25+25+32+37+34+26+34+25) : 12,
m = 27.
23; 18; 25; 20; 25; 25; 32; 37; 34; 26; 34; 25
Примеры, когда оправдан подсчет среднего арифметического.

Средний удой молока на ферме
Средняя урожайность на поле
Средняя производительность труда
Средняя успеваемость в школе
Средний балл аттестата
Средняя оценка выступления фигуристов, гимнастов
Средняя температура больных в больнице
Средний размер обуви
Средний рост учеников
Средний привес отдыхающих в пионерском лагере
Размах ряда.
    Размахом ряда называется разность между
 наибольшим и наименьшим из этих чисел.

Наибольший расход времени - 37 мин,
а наименьший – 18 мин.
Найдём размах ряда:
37 – 18 = 19(мин)
23; 18; 25; 20; 25; 25; 32; 37; 34; 26; 34; 25

Мода ряда
   Модой ряда чисел называется число, которое встречается в данном ряду чаще других

   Модой нашего ряда является число – 25.
Ряд чисел может иметь более одной моды,
а может не иметь.
У ряда:  47, 46, 50, 47, 52, 49, 45, 43,  53, 47, 52
две моды - 47 и 52.
У ряда: 69, 68, 66, 70, 67, 71, 74, 63, 73, 72  –  моды нет.
23; 18; 25; 20; 25; 25; 32; 37; 34; 26; 34; 25

   Медианой упорядоченного ряда чисел с нечётным
 числом  чисел  называется число, записанное
посередине.

Медианой  упорядоченного ряда чисел с
  чётным числом чисел называется среднее
 арифметическое двух чисел, записанных посередине.
 В таблице показан расход электроэнергии в январе жильцами девяти квартир:
Медиана ряда.
Составим упорядоченный ряд (из 9 чисел):
   64,  72,  72,  75,  78,  82,  85,  91, 93.
 78 – медиана данного ряда.

 Дан  другой упорядоченный ряд (из 10 чисел):
64,  72,  72,  75,  78,  82,  85,  88,  91,  93.
 (78 + 82) : 2 = 80 – медиана этого ряда.
Медиана ряда.

№1.   Записана стоимость (в рублях) пачки сливочного масла
«Неженка» в магазинах микрорайона: 26, 32, 31, 33, 24, 27, 37.
 На сколько отличается среднее арифметическое этого
набора чисел от его медианы?
 Решение.
Упорядочим данный набор чисел по возрастанию:
24,  26,  27,  31,  32,  33,  37.
Так как число элементов ряда нечётное, то медиана – это
 значение, занимающее середину числового ряда,
то есть   M = 31.
Вычислим среднее арифметическое этого набора чисел - m.

Ответ: 1.


title: Скачать презентацию или конспект Теорема Пифагора. история, доказательства, применение

extracted_text:
Теорема Пифагора
История,
доказательства,
применение.
Содержание
Введение
История теоремы
Неалгебраические доказательства теоремы
Алгебраические доказательства теоремы
Применение теоремы
Заключение
Литература

Введение
		Трудно найти человека, у которого имя Пифагора не ассоциировалось бы с теоремой Пифагора. В самом деле, теорема Пифагора проста, но не очевидна. Это сочетание двух противоречивых начал и придает ей особую притягательную силу, делает ее красивой. Но, кроме того, теорема Пифагора имеет огромное значение: она применяется в геометрии буквально на каждом шагу, и тот факт, что существует около 500 различных доказательств этой теоремы (геометрических, алгебраических, механических и т.д.), свидетельствует о гигантском числе ее конкретных реализаций. Открытие теоремы Пифагором окружено ореолом красивых легенд. Сегодня теорема Пифагора обнаружена в различных частных задачах и чертежах: и в египетском треугольнике в папирусе времен фараона Аменемхета первого (ок. 2000 до н.э.), и в вавилонских клинописных табличках эпохи царя Хаммурапи (XVIII в. до н.э.), и в древнеиндийском геометрическо-теологическом трактате VI - V вв. до н.э. «Сульва сутра» («Правила веревки»). В древнейшем китайском трактате «Чжоуби суань цзинь», время создания которого точно не известно, утверждается, что в XII в. до н. э. китайцы знали свойства египетского треугольника, а к VI в. до н.э.— и общий вид теоремы. Несмотря на все это, имя Пифагора столь прочно сплавилось.
Мыслитель,
 математик,
философ.
                                                                        Пифагор
Фрагмент фрески Рафаэля
«Афинская школа».
                                                                 1511 г.
История теоремы

		Исторический обзор начинается с древнего Китая. Здесь особое внимание привлекает математическая книга Чупей. В этом сочинении так говорится о пифагоровым треугольнике со сторонами 3, 4 и 5: «Если прямой угол разложить на составные части, то линия, соединяющая концы его сторон, будет 5, когда основание есть 3, а высота 4». В этой же книге предложен рисунок, который совпадает с одним из чертежей индусской геометрии Басхары. Кантор (крупнейший немецкий историк математики) считает, что равенство 32+42=52 было известно уже египтянам еще около 2300 г. до н. э. во времена царя Аменемхета I (согласно папирусу 6619 Берлинского музея). По мнению Кантора гарпедонапты, или «натягиватели веревок», строили прямые углы при помощи прямоугольных треугольников со сторонами 3, 4 и 5. Несколько больше известно о теореме Пифагора у вавилонян. В одном тексте, относимом ко времени Хаммураби, т. е. к 2000 г. до н.э., приводится приближенное вычисление гипотенузы прямоугольного треугольника. Отсюда можно сделать вывод, что в Двуречье умели производить вычисления с прямоугольными треугольниками, по крайней мере, в некоторых случаях. Основываясь, с одной стороны, на сегодняшнем уровне знаний о египетской и вавилонской математике, а с другой на критическом изучении греческих источников, Вандер-Варден (голландский математик) сделал следующий вывод: «Заслугой первых греческих математиков, таких как Фалес, Пифагор и пифагорейцы, является не открытие математики, но ее систематизация и обоснование. В их руках вычислительные рецепты, основанные на смутных представлениях, превратились в точную науку». Геометрия, у индусов, как и у египтян и вавилонян, была тесно связана с культом. Весьма вероятно, что теорема о квадрате гипотенузы была известна в Индии уже около 18 века до н. э. В первом русском переводе евклидовых «Начал», сделанном Ф. И. Петрушевским, теорема Пифагора изложена так: «В прямоугольных треугольниках квадрат из стороны, противолежащей прямому углу, равен сумме квадратов из сторон, содержащих прямой угол».
		В настоящее время известно, что эта теорема не была открыта Пифагором. Однако одни полагают, что Пифагор первым дал ее полноценное доказательство, а другие отказывают ему и в этой заслуге.

Неалгебраические доказательства 1.1 С помощью мозаики
	«Квадрат, построенный на гипотенузе
прямоугольного треугольника, равновелик
сумме квадратов, построенных на его катетах».
		Простейшее доказательство теоремы получается в простейшем случае равнобедренного прямоугольного треугольника. Вероятно, с него и начиналась теорема. Достаточно просто посмотреть на мозаику равнобедренных прямоугольных треугольников {рис. 1), чтобы убедиться в справедливости теоремы. Например, для A ABC: квадрат, построенный на гипотенузе АС, содержит 4 исходных треугольника, а квадраты, построенные на катетах,— по два. Теорема доказана.
Неалгебраические доказательства 1.2. Древнекитайское доказательство
		Математические трактаты Древнего Китая дошли до нас в редакции II в. до н.э. Дело в том, что в 213 г. до н.э. китайский император Ши Хуанди, стремясь ликвидировать прежние традиции, приказал сжечь все древние книги. Во II в. до н.э. в Китае была изобретена бумага и одновременно начинается воссоздание древних книг. Так возникла тематика в девяти книгах» — главное из сохранившихся математике — астрономических сочинений в книге «Математики» помещен чертеж {рис. 2а), доказывающий теорему Пифагора. Ключ к этому доказательству подобрать нетрудно. В самом деле, на древнекитайском чертеже четыре равных прямоугольных треугольника с катетами а, Ъ и гипотенузой с уложены так, что их внешний контур образует квадрат со стороной а+b, а внутренний — квадрат со стороной с, построенный на гипотенузе {рис. 26). Если квадрат со стороной с вырезать и оставшиеся 4 затушеванных треугольника уложить в два прямоугольника {рис. 2в), то ясно, что образовавшаяся пустота, с одной стороны, равна с2, а с другой — а2+Ь2, т.е. с2=а2+Ь2. Теорема доказана. При таком доказательстве построения внутри квадрата на гипотенузе, которые видны на древнекитайском чертеже (рис. 2а), не используются. По-видимому, древнекитайские математики имели другое доказательство. Именно если в квадрате со стороной с два заштрихованных треугольника (рис. 26) отрезать и приложить гипотенузами к двум другим гипотенузам (рис. 2г), то легко обнаружить, что полученная фигура, которую иногда называют «креслом невесты», состоит из двух квадратов со сторонами а и Ь, т.е. с2=а2+Ь2.
Неалгебраические доказательства 1.3. Древнеиндийское доказательство
	Древней Индии заметили, что для доказательства теоремы Пифагора достаточно использовать внутреннюю часть древнекитайского чертежа. В написанном на пальмовых листьях трактате «Сиддханта широмани» («Венец знания») крупнейшего индийского математика XII в. Бхаскары помещен чертеж (рис. 4а) с характерным для индийских доказательств, словом «смотри!». Как видим, прямоугольные треугольники уложены здесь гипотенузой наружу и квадрат с 2 перекладывается в «кресло невесты» а*a-b*b (рис. 46). Заметим, что частные случаи теоремы Пифагора (например, построение квадрата, площадь которого вдвое больше площади данного квадрата) встречаются в древнеиндийском трактате «Сульва сутра» (VII-V вв. до н.э.).
Неалгебраические доказательства 1.5. Доказательство Евклида
		Доказательство Евклида приведено в предложении 47 первой книги «Начал». На гипотенузе и катетах прямоугольного треугольника ABC строятся соответствующие квадраты (рис. 5) и доказывается, что прямоугольник BJLD равновелик квадрату ABFH, а прямоугольник ICEL — квадрату АС КС. Тогда сумма квадратов на катетах будет равна квадрату на гипотенузе. В самом деле, затушеванные на рисунке треугольники ABD и BFC равны по двум сторонам и углу между ними: FB=AB, BC=BD и FBC=d+ABC=ABD. Но SABD   = 1/2 SBJLD, так как у треугольника ABD и прямоугольника BJLD общее основание BD и общая высота LD. Аналогично SFBC=l/2 SABFH (BF — общее основание, АВ — общая высота). Отсюда учитывая, что SABD=SFBC, имеем SBJLD= SABFH. Аналогично, используя равенство треугольников ВСК и АСЕ, доказывается, что SiCEL=SACKG. Итак, SABFH+SACKG=SBJLD+SJCEL= SBCED, что и требовалось доказать. Доказательство Евклида в сравнении древнекитайским или древнеиндийским выглядит чрезмерно сложным. По этой причине его нередко называли «ходульным» и «надуманным». Но такое мнение поверхностно. Теорема Пифагора у Евклида является заключительным звеном в цепи предложений 1-й книги «Начал». Для того чтобы логически безупречно построить эту цепь, чтобы каждый шаг доказательства был основан на ранее доказанных предложениях, Евклиду нужен был именно выбранный им путь.
Алгебраическое доказательство
		Пусть ABC — данный прямоугольный	с
	треугольник с прямым углом С. Проведем высоту CD из вершины прямого угла С {рис. 6).
		По определению косинуса угла (косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе) cosA=AD/AC=AC/AB. Отсюда ABxAD=AC* AC.
Аналогично cosB=BD/BC=BC/AB. Отсюда ABxBD=BC*BC. 	Складывая полученные равенства почленно, и замечая, что AD+DB=AB, получим:
		AC*AC+BC*BC=AB(AD + DB)=AB*AB. Теорема доказана.
Применение1.1. Строительство
Окно
		r=b/4     R=b/2В романской архитектуре часто встречается мотив представленный на рисунке. Если Ь по-прежнему обозначает, ширину окна, то радиусы полуокружностей будут равны R=b/2 и r=b/4. Радиусу внутренней окружности можно вычислить из прямоугольного треугольника, изображенного на рис. пунктиром. Гипотенуза этого треугольника, проходящая через точку касания окружностей, равна b/4+p, один катет равен b/4, а другой b/2-p.
		По       теореме       Пифагора       имеем:       (b/4+p)=(b/4)+(b/4-p)       или b/16+b*p/2+p=b/16+b/4-b*p+p, откуда b*p/2=b/4-b*p.
	Разделив на Ъ и приводя подобные члены, получим:
	(3/2)р =b/4,р=b/6.
		В зданиях готического и романского стиля верхние части окон расчленяются каменными ребрами, которые не только играют роль орнамента, но и способствуют прочности окон. На рисунке представлен простой пример такого окна в готическом стиле. Способ построения его очень прост: из рисунка легко найти центры шести дуг окружностей, радиусы которых равны ширине окна (Ь) для наружных дуг и половине ширины (Ь/2), для внутренних дуг. Остается еще полная окружность, касающаяся четырех дуг. Так как она заключена между двумя концентрическими окружностями, то ее диаметр равен расстоянию между этими окружностями, т. е. Ь/2 и, следовательно, радиус равен Ь/4. Тогда становится ясным и положение ее центра. В рассмотренном примере радиусы находились без всяких затруднений.
Применение1.1. Строительство
Крыша
В доме задумано построить двускатную крышу (форма в сечении). Какой длины должны быть стропила, если изготовлены балки AC=8 м, и AB=BF.
Решение:
Треугольник ADC— равнобедренный АВ=ВС=4 м, BF=4 м, Если предположить, что FD=1,5 м, тогда:
А) Из треугольника DBC:DB=2,5 м DС=√4*4-2,5*2,5=√16+6,25=√22,254,7
Б) Из треугольника ABF: AF=√l6+16=√325,7

Молниеотвод
Молниеотвод защищает от молнии все предметы, расстояние до которых от его основания не превышает его удвоенной высоты. Определить оптимальное положение молниеотвода на двускатной крыше, обеспечивающее наименьшую его доступную высоту.
Решение:
По теореме Пифагора h*h>a*a+b*b, значит h>√(a*a+b*b) Ответ: h>√(a*a+b*b)
Применение1.2. Астрономия
		Пусть световой луч проходит путь от точки A к точке B. Какой путь проходит луч? Поскольку свет идет туда и обратно одинаковый путь, возникает вопрос: чему равна половина пути, который проходит луч? Если обозначить отрезок АВ символом /, половину времени как t, а также обозначив скорость движения света буквой с, то уравнение примет вид:
					с X t = I
	Это произведение затраченного времени на скорость.
	Попробуем взглянуть на то же явление из другой системы отсчета, например, из космического корабля, пролетающего мимо бегающего луча со скоростью v. При таком наблюдении скорости всех тел изменятся, причем неподвижные тела станут двигаться со скоростью v в противоположную сторону. Предположим, что корабль движется влево. Тогда две точки, между которыми бегает зайчик, станут двигаться вправо с той же скоростью. Причем, в то время, пока зайчик пробегает свой путь, исходная точка А смещается и луч возвращается уже в новую точку С.
		Вопрос: на сколько успеет сместиться точка, чтобы превратиться в точку С, пока путешествует световой луч, то есть спросим о половине данного смещения. Если обозначить половину времени путешествия луча буквой t', а половину расстояния АС буквой d, то получим наше уравнение в виде:
					v* t' = d
	Буквой v обозначена скорость движения космического корабля.
		Другой вопрос: какой путь при этом пройдет луч света? Чему равна половина этого пути? Чему равно расстояние до неизвестного объекта? Если обозначить половину длины пути света буквой s, получим уравнение:
					c*t‘=s
	Здесь с — это скорость света, at' — это тоже время, которые было рассмотрено формулой выше. Теперь рассмотрим треугольник ABC. Это равнобедренный треугольник, высота которого равна /, которое было введено при рассмотрении процесса с неподвижной точки зрения. Поскольку движение происходит перпендикулярно /, то оно не могло повлиять не нее. Треугольник ABC составлен из двух половинок — одинаковы прямоугольных треугольников, гипотенузы которых АВ и ВС должны быть связаны с катетами по теореме Пифагора. Один из катетов — это d, который был рассчитан только что, а второй катет — это s, который проходит свет, и который тоже рассчитали. Получаем уравнение: s*s =l*l  + d*d..
Применение1.3. Мобильная связь
		В настоящее время на рынке мобильной связи идет большая конкуренция среди операторов. Чем надежнее связь, чем больше зона покрытия, тем больше потребителей у оператора. При строительстве вышки (антенны) часто приходится решать задачу: какую наибольшую высоту должна иметь антенна, чтобы передачу можно было принимать в определенном радиусе (например, радиусе R=200 км, если известно, что радиус Земли равен 6380 км).

		Решение:
	Пусть АВ=х, BC=R=200 км, ОС=r=6380 км. ОВ=ОА+АВ, следовательно: ОВ=r+х.
	Используя теорему Пифагора, получим ответ 2,3 км.
Заключение
		Важность теоремы состоит, прежде всего, в том, что из нее или с ее помощью можно вывести большинство теорем геометрии. К сожалению, невозможно привести все или даже самые красивые доказательства теоремы, однако приведенные примеры убедительно свидетельствуют об огромном интересе сегодня, да и вчера, проявляемом по отношению к ней.
Литература
Акимова С. Занимательная математика Санкт-Петербург.: «Тригон», 1997.
Геометрия 7-9: Учебник для общеобразовательных учреждений /Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, СБ. Кадомцев и др.-12-е изд.-М.: «Просвещение», 2002.
Глейзер Г.И. История математики в школе. - М.: «Просвещение», 1981.
 Еленьский Ш. По следам Пифагора, М., 1961.
 Журнал «Математика в школе» № 4, 1991.
 Литцман В. Теорема Пифагора. М., 1960.
 Скопец З.А. Геометрические миниатюры. М., 1990.
 Энциклопедический словарь юного математика/ Сост. А.П. Савин.-3-е изд., испр. и доп. - М.: Педагогика-Пресс, 1997.
Энциклопедия для детей. Т.П. Математика /Главный редактор М.Д.Аксенова. - М.: «Аванта+»,1998.
 Я познаю мир: Детская энциклопедия: Математика. - М., 1997.


title: Скачать презентацию или конспект Конкурс веселых математиков

extracted_text:
Для учащихся 2-х классов
                      «Математика ум
в порядок приводит»
  М.В.Ломоносов
Конкурс веселых математиков
На КВМе мы будем

ко
100
чка
40
а
по
100
вой
думать
считать
отгадывать

Тут затеи и задачи ,
Игры, шутки, все для вас!
Пожелаем вам удачи-
За работу, в добрый час!
Разминка. Веселые задачи
Я сегодня рано встала,
Кукол всех своих считала:
Три Матрешки – на окошке,
Две Маринки  - на перинке,
Пупсик с Катей, Буратино
И Петрушка в колпачке –
На зеленом сундучке.

Я считала, я трудилась,
Но потом со счету сбилась.
Помогите мне опять
Кукол всех пересчитать!

Посадила бабка в печь
Пирожки с капустой печь.
Для Наташи, Маши, Тани,
Коли, Оли, Гали, Вани
Пирожки уже готовы.

Да еще один пирог
Кот под лавку уволок.
Да в печи четыре штуки
Пироги считают внуки.
Если сможешь, помоги
Сосчитать им пироги.

     Три мальчика – Коля, Андрей, Вова – отправились в магазин. По дороге они нашли три рубля.
      Сколько бы денег нашел один Вова, если бы он отправился в магазин?

     Поле пахали 7 тракторов. 2 трактора остановились. Сколько тракторов в поле?

Набери 17
Задача на смекалку
     Сколькими способами можно пройти от  избушки к замку и обратно? Сколько будет маршрутов различной длины?
Лабиринт
        Помоги Ивану Царевичу найти волшебный сундук(какой дорогой он должен идти?)
Молодцы!
Благодарим за работу!


title: Скачать презентацию или конспект Делители и кратные

extracted_text:
Делители и кратные
Определение
Примеры
Тесты
Число 1
1
Омарова Александра
Школа №329
Определение
Делителем натурального числа а называют натуральное число, на которое а делится без остатка

Кратным натуральному числу а называют натуральное число, которое делится без остатка на а

Пример делителя:
Делителем числа 9 является число 3          9 : 3 = 3

Делителем числа  9  не является число 4      9 : 4 = 2,25

Примеры кратных чисел
  Если число b делитель числа a , то a называют кратным числу b .
a : b = n .
12 : 6 = 2 - двенадцать кратно шести или  двенадцать   —   кратное число шести.

1
Число 1
Всегда является делителем любого натурального числа

Тесты
Начать тест!

Вопрос №1
7 - делитель 14
Нет
Да
Можно ли разделить 37 конфет на четверых поровну, без остатка?
Да
Нет
Вопрос №2
Верно ли утверждение?
14 - делитель 126
Да
Нет
Вопрос №4
141 - кратно 47
Да
Нет

Окончить
 показ слайдов
Правильно

Неправильно


title: Скачать презентацию или конспект Многогранник Призма

extracted_text:
Учитель ГБОУ СОШ №5 г.Санкт-Петербурга Очагова Неля Ивановна

Многогранник
Призма
ПРОСТРАНСТВО
многогранники

выпуклые
невыпуклые

Поверхность, составленную из многоугольников и ограничивающую некоторое геометрическое тело, называют   МНОГОГРАННИКОМ
ПРИЗМА
Тема урока: МНОГОГРАННИКИ. ПРИЗМА
Цель урока:
а) построить определение        многогранника и призмы; элементов многогранника и призмы
б) узнать виды призм;
 в) вывести формулы для вычисления площадей
 полной и боковой поверхностей призмы
НАКЛОННАЯ ПРИЗМА
ПРЯМАЯ ПРИЗМА – призма, в которой боковые ребра перпендикулярны к основаниям
ВЫСОТА призмы – перпендикуляр, проведенный из любой точки одного основания к плоскости другого основания

ПРАВИЛЬНАЯ ПРИЗМА – прямая призма основаниями которой являются правильные    многоугольники
Sбок. = Ph
Sполн. = Sбок. + 2Sосн.
Решение:
АВ=√4²+3²= 5
Sбок.=Ph
Sбок.=(4+3+5)·3=36
Sбок.+2Sосн.=Sполн.
Sосн.=½·4·3=6
Sполн.=36+2·6=48
Задача
Дано: АВСА₁В₁С₁- прямая призма
АСВ=90°
Найти: Sбок. и Sполн.
Задача №1Sбок. = Ph      Sбок.=(4+5)·2·6=108Sполн. = Sбок. + 2Sосн.Sосн. = 5·4 = 20   Sпол. = 108 + 2·20 = 148
Задача № 2
Sбок. = Рh
Sбок. = 3·4·5 = 60
Sпол.= Sбок. + 2Sосн.
Sосн. = 3·3 = 9
Sпол. = 60 + 2 · 9 = 78
Что нового вы узнали на уроке?

2. Что использовали для «открытия»
 новых знаний?
3. Вы достигли поставленной цели?
4. Как вы оцените свою работу на уроке?
Домашнее задание:п.26,27;№ 219,229(а),модель призмы
Всем  спасибо. Молодцы!


title: Скачать презентацию или конспект Действия над числами

extracted_text:
Часть 5.1

Вычитание
Таблица сложения
Переместительное свойство сложения
Сложение и вычитание с переходом через десяток
2 класс. Арифметические действия (65 часов)

Сложение и вычитание
Сочетательное свойство сложения и его использование при сложении двузначных  чисел.
Знакомство со свойствами вычитания: вычитание числа из суммы, суммы из числа и суммы из суммы.
Сложение и вычитание двузначных чисел. Знакомство с основными положениями алгоритмов выполнения этих операций: поразрядность их выполнения, использование таблицы сложения при выполнении действий в любом разряде.
Письменное сложение и вычитание двузначных чисел: подробная запись этих операций, постепенное сокращение записи, выполнение действий столбиком.
Выделение и сравнение частных случаев сложения и вычитания двузначных чисел. Установление иерархии трудности этих случаев.
Изменение значений сумм и разностей при изменении одного или двух компонентов.
Умножение и деление

Понятие об умножении как действии, заменяющем сложение одинаковых слагаемых. Знак умножения (·).
Термины, связанные с действием умножения: произведение, значение произведения, множители. Смысловое содержание каждого множителя с точки зрения связи этого действия со сложением.
Составление таблицы умножения. Переместительное свойство умножения и его использование для сокращения таблицы умножения.
Особые случаи умножения. Математический смысл умножения числа на единицу и на нуль.
Деление как действие, обратное умножению. Знак деления (:).
Термины, связанные с действием деления: частное, значение частного, делимое, делитель.
Использование таблицы умножения для выполнения табличных случаев деления.
Особые случаи деления  деление на единицу и деление нуля на натуральное число. Невозможность деления на нуль.
Умножение и деление как операции увеличения и уменьшения числа в несколько раз.
2 класс. Арифметические действия (65 часов)
Сложные выражения
Классификация выражений, содержащих более одного действия.
Порядок выполнения действий в выражениях без скобок, содержащих более одного действия одной ступени.
Порядок выполнения действий в выражениях без скобок, содержащих действия разных ступеней.
Порядок выполнения действий в выражениях со скобками, содержащих действия одной или разных ступеней.

Элементы алгебры
Понятие об уравнении. Представление о решении уравнения. Корень уравнения.
Нахождение неизвестных компонентов действия (сложения, вычитания, умножения и деления) различными способами (подбором, движением по натуральному ряду, с помощью таблиц сложения и вычитания, на основе связи между действиями).
Знакомство с обобщённой буквенной записью изученных свойств действий.
2 класс. Арифметические действия (65 часов)
Алгоритм формирования вычислительных навыков
Поиск способа выполнения действия;
Отработка правильности выполнения действия;
Отработка скорости выполнения действия
Сложение и вычитание двузначных чисел
Сложение и вычитание двузначных чисел
Умножение
Деление
Деление
Таблица умножения
Буквенные выражения. 2 класс
3 класс. Арифметические действия (50 часов)
Сложение и вычитание
Сложение и вычитание в пределах изученных чисел. Связь выполнения этих действий с таблицей сложения и разрядным составом чисел.
Умножение и деление
Кратное сравнение чисел.
Распределительное свойство умножения относительно сложения. Его формулировка и запись в общем виде (буквенная запись).
Деление суммы на число (рассмотрение случая, когда каждое слагаемое делится без остатка на делитель).
Использование свойств арифметических действий для рационализации вычислений.
Внетабличное умножение и деление на однозначное число в пределах изученных чисел. Использование таблицы умножения при выполнении внетабличного  умножения и деления на однозначное число. Роль разрядного состава многозначного множителя и делимого при выполнении этих действий.
Понятие о четных и нечетных числах с точки зрения деления. Признаки четных
и нечетных чисел. Деление с остатком. Расположение в натуральном ряду чисел, делящихся на данное  число без остатка.


title: Скачать презентацию или конспект Устный журнал для учащихся по математике

extracted_text:
МБОУ«Павловская средняя общеобразовательная школа»
Устный журнал для учащихся по математике.

Автор работы:
Беляева Наталия
Адольфовна учитель
математики МБОУ«Павловская
средняя общеобразовательная школа»
педагогический стаж
работы 23года

с. Павловка
2012 год

Содержание:
1. Женщины – математики:
   а) Прелестная дева – первая жрица древней науки (Гипатия Александрийская).
   б) Замечательная женщина, выдающийся математик – Софья Васильевна Ковалевская.
2. Филдсовская премия.
3. Математические софизмы:
   а) Доказать, что 2=3.
   б) 2 для функции синуса периодом не является.
4. Занимательная страница:
   а) Математические шарады.
   б) Математики изредка тоже шутят.
ПРЕЛЕСТНАЯ ДЕВА – ПЕРВАЯ ЖРИЦА ДРЕВНЕЙ НАУКИ

Гречанка Гипатия родилась в Александрии в 370 г. Под руководством своего отца, известного математика Теона, она изучает геометрию и астрономию. Гипатии открыт доступ на уроки преподавателей музея, на которых она получила глубокие знания по философии. Некоторое время Гипатия жила в Афинах, неустанно совершенствуя своё образование. По возвращении на родину она принимает приглашение александрийских властей и приступает к работе в музее, где преподаёт математику и философию. Её лекции имели огромный успех. Гипатия пользуется самой широкой популярностью в Александрии.
   Деятельность Теона и Гипатии протекала в период упадка греческой науки, когда многие перестали понимать труды своих великих предков.

Поэтому не случайно, что оба математика уделяли большое внимание комментированию и разъяснению наиболее значительных астрономических и математических работ древних авторов. Про Гипатию известно, что она писала комментарии к первым шести книгам «Арифметики» Диофанта. Считается, что факт сохранения именно этих книг (остальные семь утеряны) есть результат этих прекрасных комментариев. Утверждают, что Гипатии принадлежит часть изобретения ареометра – прибора для определения плотности жидкости, астролябии – прибора для определения широт и долгот в астрономии, и планисферы – изображения небесной сферы на плоскости, на которой можно вычислять восход и заход небесных светил. Гипатия занималась также составлением астрономических таблиц, ей принадлежали и некоторые филисофские работы. Гипатия принимала участие в общественных делах города; её красота, добродетель, красноречие и учёность снискали всеобщую популярность, любовь и уважение.

Одной из причин упадка греческой науки и культуры было распространение  и укрепление влияния христианства. Христианство не встретило поддержки ни со стороны властей Александрии, ни со стороны учёных музея, которые были верны древнему греческому язычеству. В начале IV века при императоре Константине христианство становится государственной религией. Закон 392 года запрещает языческое учение. В Александрии в том же году христианами разрушается великолепный храм Сераписа и уничтожается  его богатейшая библиотека. Дни деятельности музея сочтены. Гипатия стала последним из александрийских математиков и последним учёным музея. Судьба её была трагической. Гипатия стала жертвой религиозного фанатизма: она была растерзана толпой.
   Гипатии принадлежали труды по толкованию произведений греческих философов, математике и астрономии.

Софья Васильевна Ковалевская
   Софья Васильевна родилась 15 января 1850 года в Москве, в семье богатого помещика генерала Крюковского. Она получила прекрасное по тому времени образование. Первым наставником Софьи был Иосиф Игнатьевич Малевич, преподаватель с большим опытом. Софье старались дать воспитание и образование соответственно понятиям среды, в которой жила её семья, то есть стремились сделать из Сони светскую барышню.
   В 60 – е годы лучшая часть русского общества особенно стремилось к просвещению, при помощи которого хотела принести пользу своему народу в его борьбе с мраком невежества. Наиболее передовые женщины того времени посещали университеты в качестве вольнослушательниц.

   В 1868 году состоялся брак  Софьи Васильевны и Владимира Онуфриевича Ковалевского. После свадьбы супруги Ковалевские поехали в Петербург, где каждый из них усердно занимался наукой. Весной 1869 г. С.В. Ковалевская поехала в Германию, в Гейдельберг. В то время славой большого учёного пользовался профессор математики Берлинского университета Карл Вейерштрасс (1815 – 1897 гг.). Так как женщины не допускались в Берлинский университет, то Софья обратилась к Вейерштрассу с просьбой помочь ей. Он был восхищён способностями Софьи, и вскоре она сделалась любимой ученицей Вейерштрасса.
Ковалевская получила степень доктора «с высшей похвалой». Софья Васильевна отличалась разносторонним образованием и была блестящей собеседницей. Она стала заниматься публицистикой, сотрудничая в газете, где печатала научные очерки и театральные рецензии. Из математиков Ковалевская больше всего обращалась к великому русскому учёному П. Л. Чебышеву.

                                                               П. Л. Чебышев

  В 1888 г. С. В. Ковалевская написала свою основную научную работу, прославившую её, «Задача о вращении твёрдого тела вокруг неподвижной точки» Эта задача давно привлекала умы учёных, но полностью решения её не было. Из – за математических трудностей, связанных с решением этой задачи, её называли «математической русалкой». В Парижской академии наук была объявлена премия Бордена «за дальнейшее усовершенствование задачи в каком – нибудь существенном пункте». Такое усовершенствование было сделано С. В. Ковалевской. Она не решила задачу полностью, - в общем виде задача и до сих пор остаётся нерешённой, - но выяснила пределы применимости существующих методов исследования и открыла новый случай: вращение одного вида не вполне симметричных проектов, для которого решение проводится полностью. Оно выражается в очень сложных тета – функциях, теорию которых Ковалевская хорошо знала.

Лавров П. А.
   Во время поездок в Париж в начале 80-х годов Ковалевская познакомилась с известным русским эмигрантом П. Л. Лавровым, а через него и с рядом революционных деятелей. Ковалевская разделяла взгляды революционных демократов. Она считала, что наука, которой она отдавала все свои мысли и способности, «может представлять некоторый интерес лишь для небольшого числа людей, тогда как теперь каждый обязан посвятить свои лучшие помыслы делу большинства».
   В конце 1890 г. во время зимних каникул Софья Васильевна поехала на юг Франции, в окрестности Ниццы. В Швецию она вернулась простуженная и вскоре сильно заболела.

   Софья Васильевна скончалась 10 февраля 1891 года в самом расцвете своего таланта и славы.
   Софья Васильевна владела пятью языками. Она знала французский, немецкий, английский, шведский языки.
   С. В. Ковалевская была талантливым учёным, много сделавшим для развития математики. Ею было напечатано девять работ, относящихся к различным темам. Удачный выбор задач и блестящее их решение обеспечили научную известность Ковалевской. Её оригинальная работа по вращению твёрдого тела составила новую страницу в истории этой задачи и дала толчок к дальнейшим исследованиям.

Филдсовская премия
   Эту награду Международный математический конгресс присуждает раз в 4 года молодым учёным за особые достижения в области математики. Её часто называют Нобелевской премией по математике. Нобелевские премии стали присуждаться с 1901 года по завещанию шведского инженера – химика, промышленника и миллионера Альфреда Бернхарда Нобеля (1833-1896). Премия присуждается за выдающиеся работы в области физики, химии, медицины, физиологии, экономики, за литературные произведения, за деятельность по укреплению мира. Сначала в этом списке была названа и математика, но потом Нобель сам исключил математиков из перечня возможных претендентов. Но как бы то ни было, пробел, созданный Нобелем, впоследствии заполнил Дж.- Ч. Филдс.
  Джон Чарльз Филдс (1863-1932 гг.) родился в городе Гамильтоне на юге Канады. Окончил университет в Торонто и с 1902 г. работал в Торонтском университете (профессор). С 1924 г. по 1932 г. занимал пост президента Международного математического союза. В 1932 г. Филдс составил меморандум, в котором подробно охарактеризовал статус новой премии. Он подчеркнул, что премия должна быть интернациональна и объективна. До формального учреждения премии Филдс не дожил. Согласно завещанию значительная часть его состояния перешла в фонд премии. Премией не только отмечаются заслуги того или иного лица, но и стимулируется его дальнейшая деятельность в области математики. Поэтому согласно уставу она присуждается исследователям, не достигшим 41 года.

Медаль Нобелевского лауреата


title: Скачать презентацию или конспект Математика и музыка

extracted_text:
Научная работа
Математика и музыка
МБОУ «СОШ № 2»
Выполнила :
Ученица 10 «м» класса
Алиева З.
Преподаватель:
Ваганова Е.И

Введение
Историческая справка
Некоторые понятия теории музыки
Математическое описание построения музыкальной гаммы
Приемы дирижирования
Заключение
Литература
План
«Музыка — это математика интуиции»
Гуцуляк О.
Введение
«Раздумывая об искусстве и науке, об их взаимных связях и противоречиях, я пришел к выводу, что математика и музыка находятся на крайних полюсах человеческого духа, что этими двумя антиподами ограничивается и определяется вся творческая духовная деятельность человека и, что между ними размещается все, что человечество создало в области науки и искусства»
Г. Нейгауз
введение
Казалось бы, искусство - весьма отвлеченная от математики область. Однако связь математики и музыки обусловлена как исторически, так и внутренне, несмотря на то, что математика - самая абстрактная из наук, а музыка - наиболее отвлеченный вид искусства.
введение
Открытие Пифагора в области теории музыки

Суть его в том, что сочетание звуков, издаваемых струнами, наиболее благозвучно, если длины струн музыкального инструмента находятся в правильном численном отношении друг к другу.
Для воплощения своего открытия Пифагор использовал монохорд – полуинструмент, полуприбор. Под струной на верхней крышке ученый начертил шкалу, с помощью которой можно было делить струну на части. Было проделано много опытов, в результате которых Пифагор описал математически звучание натянутой струны.

Историческая справка
Гаммой, или звукорядом, называется последовательность звуков, расположенных от основного тона (звука) в восходящем или нисходящем порядке.

Интервалом между тонами называется порядковый номер ступени верхнего тона относительно нижнего в данном звукоряде.

Тоника – основной наиболее устойчивый тон в гамме. С него начинается данная музыкальная система.
понятия теории музыки
Лад – приятная для слуха взаимосвязь музыкальных звуков, определяемая зависимостью неустойчивых звуков от устойчивых и имеющая определенный характер звучания.

Музыкальный строй – математическое выражение системы звуковысотных соотношений – лада.

понятия теории музыки

Все простые двухдольные размеры дирижируются двумя взмахами— вниз и вверх:

Приемы дирижирования
Примечание. Начало каждой доли такта наступает в момент окончания взмаха, в опорной точке движения.
Все простые трехдольные размеры дирижируются тремя взмахами — вниз, вправо и вверх:

Приемы дирижирования
Четырехдольные размеры—четырьмя взмахами — вниз, влево, вправо и вверх:

Приемы дирижирования
 Шестидольные размеры дирижируются шестью взмахами. В основе приема лежит четырехдольная фигура, в которой удваиваются движения вниз и вправо:

Приемы дирижирования
В быстром темпе размеры 6/8 и 6/4 дирижируются как простые двухдольные размеры, по три доли на взмах.
 Девятидольные размеры дирижируются девятью взмахами.
В основе приема лежит трехдольная фигура, в которой утраиваются все взмахи:
Приемы дирижирования
В быстром темпе девятидольные размеры дирижируются как простые трехдольные размеры, по три доли на взмах.
Двенадцатидольные размеры дирижируются двенадцатью взмахами. В основе приема лежит четырехдольная фигура взмахов. Каждое направление движения соответствует простому такту. Каждый взмах этой фигуры утроен:

Приемы дирижирования
Пятидольные размеры дирижируются пятью взмахами. В основе приема лежит четырехдольная фигура, в которой удваивается движение вниз или движение вправо, в зависимости от последования простых тактов:

Приемы дирижирования
Семидольные размеры дирижируются семью взмахами. В основе приема лежит четырехдольная фигура взмахов, в которой удваиваются движения вниз, вправо и вверх при последовательности простых тактов — 3+2+2; вниз, вчево и вправо при последовательности — 2+2+3:

Приемы дирижирования
Этот рассказ о связи математики, техники и музыки далеко не полный. В истории культуры достаточно много примеров, когда люди придумывали механические устройства для сочинения музыки. Это происходило и в средние века, и в наше время. Математик из колумбийского университета Дж. Шиллингер в 1940 году опубликовал разработанную им математическую систему музыкальной композиции в виде отдельной книжечки под названием "Калейдофон". Считают, что Дж.Гершвин, работая над оперой "Порги и Бесс", пользовался той же системой. В 1940 году Эйгор Вилли Лобос, используя описанный способ, превратил силуэт Нью-Йорка в пьесу для фортепиано.

заключение
Известно, что и компьютеры сочиняют музыку. Правда, она довольно посредственна. В ней нет игры и свободного дыхания, которые трудно укладываются в математические каноны. До сих пор никому не удавалось найти алгоритм, порождающий простую и красивую мелодию. Мы просто не знаем, какое волшебство происходит в голове композитора, создающего неповторимую мелодию. Гениальное произведение - это результат вдохновения и мастерства его создателя. А еще своеобразная тайна, постичь которую порой невозможно. Решая задачи и слушая великую музыку, мы открываем в ней совершенство, простоту, гармонию и еще нечто такое, что неподвластно выражению словом...

заключение


title: Скачать презентацию или конспект Арифметическая и геометрическая прогрессии при решении задач

extracted_text:
Высшее назначение математики… состоит в том, чтобы находить скрытый порядок в хаосе, который нас окружает.                Н. Винер

с
и
п
о
г
р
с
я
р
е
ПРОГРЕССИЯ
  арифметическая
аn+1=аn+ d
an= a1+d(n-1)

  геометрическая
bn+1= bn * q

bn= b1*qn-1

Арифметическая и геометрическая прогрессии при решении задач.

Цели урока
научится применять знания по теме «Прогрессия» для решения текстовых задач
Два тела движутся навстречу друг другу из двух точек, расстояние между которыми 390 м. Одно тело прошло в первую секунду 6 м, а в каждую следующую проходило на 6 м больше, чем в предыдущую. Второе тело двигалось равномерно со скоростью 12 м/с и начало движение спустя 5 с после первого. Через сколько секунд после того, как начало двигаться первое тело, они встретятся?
Задача №2
Решение
Проверка ответов
   1 группа
	 2 группа
	 3 группа
	 4 группа
Решите уравнение в натуральных числах22.25.28.....23n-1      				            	= 328
Задача №4
Решение
Проверка ответов
	1 группа
	2 группа
	3 группа
	4 группа
Могут ли длины сторон прямоугольного треугольника образовывать геометрическую прогрессию?

Найдите х и у, если числа 7х-3у-1, х+у-4, 8 образуют арифметическую прогрессию, а числа -2, х-2у,  -х-7у+0,5 образуют геометрическую прогрессию.
Задача №6
Решение
Проверка
Приблизиться к цели- еще не значит достигнуть ее: не дойдя одного шага, можно встретить пропасть, которую не перейдешь.		Л. Бланки

Спасибо за урок
В каждую из нескольких пробирок налили по две кислоты. Первой кислоты налили 5 мл в каждую пробирку. Вторую кислоту наливали по следующей схеме: 5 мл в первую, а в каждую последующую пробирку на 0,5 мл меньше, чем в предыдущую. Всего налили 66 мл кислоты. Во сколько пробирок налили кислоты?
Пусть n- число пробирок. Тогда первой кислоты налили 5n мл, количество второй кислоты есть сумма арифметической прогрессии, где

Всего кислоты налили 66 мл. Составим уравнение

5n+                                  =66

                                 не удовлетворяет условию 								задачи

Ответ n=8.
 В соревнованиях по стрельбе за каждый промах из 50 выстрелов стрелок получал штрафные очки: за первый промах- 2 штрафных очка, а за каждый последующий- на одно очко больше, чем за предыдущий. Сколько раз попал в цель стрелок, получивший 35 штрафных очков?
Пусть n число промахов. Количество штрафных очков есть сумма n членов арифметической прогрессии, где

Составим уравнение

                                                 																		не удовлетворяет условию 							задачи

Ответ стрелок промахнулся 7 раз, тогда попал в цель 43 раза.
Турист поднимается в гору, в первый час он достиг высоты 800м, а в каждый следующий час поднимался на высоту,  на 25 м меньшую, чем в предыдущий. За сколько часов он достигнет высоты в 5700м?
 		Пусть турист поднимался в гору n часов.                               	Тогда высота, на которую он поднимется есть 	сумма арифметической прогрессии, где

Составим уравнение

                                             не удовлетворяет условию                                        							задачи

Ответ турист поднимется на данную высоту за 8 часов.
За 16 дней Карл подарил Кларе 472 коралла. Каждый день он дарил на три коралла больше, чем в предыдущий день. Сколько кораллов Карл подарил в последний день?
Пусть х кораллов Карл подарил в первый день, тогда количество подаренных кораллов есть сумма арифметической прогрессии, где

Составим уравнение

Ответ в последний день Карл подарил 52 коралла.

Некто продавал коня за 10000 рублей. Но покупатель посчитал, что это дорого. « Хорошо,- сказал продавец,- возьми коня даром, а заплати только за гвозди в его подковах. А гвоздей во всякой подкове 6. За первый гвоздь полушка (1/4 копейки), за второй 2 полушка , за третий 4 полушка и т.д.». Кто выиграл от данной сделки?
Количество заплаченных денег есть сумма геометрической прогрессии, где

									коп.

41943,04 рубл.
Ответ от сделки выиграл продавец.
Ежедневно каждый болеющий гриппом человек может заразить 4 окружающих. Через сколько дней заболеет 1365 человек ?

Ответ через 6 дней заболеет 1365 человек.
Дима не вымыл руки. Во время еды в кишечник попало 30 дизентерийных палочек. Каждые 20 минут число бактерий удваивается. Сколько палочек будет в кишечнике через 2 часа?
Число бактерий есть сумма геометрической прогрессии, где

Ответ через 2 часа будет 1890 палочек.
Имеется 256г радиоактивного вещества , масса которого за сутки уменьшается вдвое. Какова масса вещества на 5 сутки?
Масса вещества на 5 сутки есть пятый член геометрической прогрессии, где

Ответ масса вещества на 5 сутки 16 г.


title: Скачать презентацию или конспект Свойства трапеции

extracted_text:
Свойства трапеции.
Фабер Г.Н.-учитель математики
МОУ «Гимназия имени Горького А.М.»

Какой четырехугольник называется трапецией?
Ответ: Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны.
Какая трапеция называется: а) равнобедренной; б) прямоугольной?
Ответ: а) Трапеция называется равнобедренной, если ее боковые стороны равны;
            б) трапеция называется прямоугольной, если один из ее углов прямой.
Трапеция
Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны.
Трапеция называется равнобедренной, если ее боковые стороны равны.
Параллельные стороны трапеции называются ее основаниями, а непараллельные стороны – боковыми сторонами.
Трапеция называется прямоугольной, если один из ее углов прямой.
Упражнение 1
Могут ли углы, прилежащие к основанию трапеции, быть один острым, а другой тупым?
Ответ: Да.
Упражнение 2
Может ли у трапеции быть: а) три прямых угла; б) три острых угла?
Ответ: а) Нет;
б) нет.
Упражнение 4
Прямая, проведенная параллельно боковой стороне трапеции через конец меньшего основания, равного 3 см, отсекает треугольник, периметр которого равен 15 см. Найдите периметр трапеции.
Ответ: 21 см.
Свойства равнобедренной трапеции
Углы при основаниях равны
Диагонали равны
Высоты отсекают равные треугольники
Высоты проведенные к большему основанию отсекают равные отрезки

А
В
С
Д
Н
К
Решение задач
Задача
В р/б трапеции боковая сторона равна  12см,меньшее основание 8сми острый угол равен 60º Найти периметр.

53º
Найти остальные углы
А
В
С
В
С
Д
Свойства прямоугольной трапеции

Высота равна меньшей боковой стороне
Задача
Острый угол равен
45º.найти большее основание , если меньшее основание равно6 см, меньшая боковая сторона равна 4см.

А
В
С
Д
Н
Домашняя работа
Учить п.44 и по тетради


title: Скачать презентацию или конспект Магическая фигура - треугольник

extracted_text:
«Магическая фигура - треугольник»
Введение
Геометрия – это одна из древнейших наук. Исследовать различные пространственные формы издавна побуждало людей их практическая деятельность. Древнегреческий ученый Эвдем Родосский в IV веке до нашей эры писал: «Геометрия была открыта египтянами, и возникла при измерении Земли.Это измерение было им необходимо вследствие разлития реки Нил, постоянно смывавшей границы. Нет ничего удивительного, что эта наука, как и другие, возникла из потребности человека».Как наука, геометрия впервые сформировалась в Древней Греции, когда геометрические закономерности и зависимости, найденные ранее опытным путем, были приведены в надлежащую систему и доказаны.И конечно же треугольник является незаменимой фигурой во всей геометрии, так как именно он лежит в основе этой науки.
Актуальность
в нашей повседневной жизни мы часто используем предметы, формы которых мы не замечаем, одной из них является треугольник.  Его употребляют люди всех возрастов в различных сферах деятельности.
Цель:
Изучить внешкольный материал по треугольникам, которые встречаются в жизни и их свойства, обобщить собранный материал.
Задачи:
Сформировать хорошее представление более полное о  треугольниках, о значимости данного понятия в социальной и научной сферах жизни человека;
Поиск и объединение материала, систематизирование уже имеющихся и приобретенных знаний в течении исследования;
Расширить кругозор, сформировать мировоззрение и мироощущение, развить представление о треугольниках.
Ценность полученной информации
Данное исследование полезно учителям математики  для формирования и развития интереса и мотивации к изучению различных тем, связанных с треугольником, учащимся для развития своего кругозора.
Интересная история треугольника
Историю развития предмета треугольник можно смело начать теми же словами, которые пел когда-то Чебурашка в известном мультфильме. «Я был когда-то странной игрушкой безымянной», - сказал бы сейчас про себя современный треугольник, который есть почти везде. Куда ни глянь – они заполняют все окружающее нас пространство. Даже в Хогвартсе Сириуса мы можем найти треугольные элементы, которые доказывают то, что треугольник достиг своего развития не только в мире магглов, но и в мире магов. Началось все с того, что треугольник был обычной геометрической фигурой на плоскости, которую магглы использовали в разных целях. Одна из таких целей – земледелие. Например, в древности участки делили таким образом: выбирали три произвольные точки (или 4, когда как) и соединяли их линиями. Так и появились первые треугольники. Термин «треугольник» появился, конечно же, намного позже, чем люди смогли соединять три точки прямыми, однако он появился и… Начал развиваться. И жив до сих пор.
Треугольник в математике
Треугольник — это многоугольник, у которого имеется ровно три угла. Если три точки лежат на одной прямой, то «треугольник» с вершинами в трёх данных точках называется вырожденным. Все остальные треугольники невырожденные.
Элементы треугольника
Треугольник с вершинами A, B и C обозначается как ΔABC (см. рис.). Треугольник ΔABC имеет три стороны:
сторона AB;
сторона BC;
сторона AC.
Длины сторон треугольника обозначаются строчными латинскими буквами (a, b, c):
| AB | = c;
| BC | = a;
| AC | = b.

Типы треугольников
Остроугольный
Тупоугольный
   Прямоугольный
Разносторонний
Равнобедренный
Равносторонний
Признаки равенства треугольников
Треугольник на евклидовой плоскости однозначно можно определить по следующим тройкам основных элементов:
a, b, γ (равенство по двум сторонам и углу лежащему между ними);
a, β, γ (равенство по стороне и двум прилежащим углам);
a, b, c (равенство по трём сторонам).
Признаки равенства прямоугольных треугольников:
по катету и гипотенузе;
по двум катетам;
по катету и острому углу;
по гипотенузе и острому углу.

Тайны бермудского треугольника
Бермудский треугольник — район в Атлантическом океане, в котором якобы происходят таинственные исчезновения морских и воздушных судов. Район ограничен линиями от Флориды к Бермудским островам, далее к Пуэрто-Рико и назад к Флориде через Багамы. Аналогичный «треугольник» в Тихом океане называют Дьявольским. Координаты: 26°37′45″ с. ш. 70°53′01″ з. д.(G)(O)
Происшествия в бермудском треугольнике
Сторонники теории упоминают об исчезновении примерно 100 крупных морских и воздушных судов за последние сто лет. Кроме исчезновений, сообщается об исправных судах, брошенных экипажем, и о других необычных явлениях, таких как мгновенные перемещения в пространстве, аномалии со временем и т. п. Лоуренс Куше и другие исследователи показали, что некоторые из этих случаев произошли за пределами Бермудского треугольника. О некоторых происшествиях не удалось найти никакой информации в официальных источниках.
Заключение
Моя работа показала в себе разнообразные виды треугольников, изучаемые в школьной программе, а также используемые в повседневной жизни, являющиеся интересными как для учителей, так и для любознательных и пытливых учеников.
Презентация к данной работе может использоваться, как методическое пособие на уроках геометрии или на факультативных занятиях.

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!


title: Скачать презентацию или конспект Теорема синусов

extracted_text:
геометрия  9 класс

Автор:
учитель математики
МОУ «Карагинская основная школа»
Коноплева Ольга Эдвардовна
Теорема
синусов

Цели урока:
Доказать теорему синусов   и показать её  применение при решении задач.
Закрепить теорему о площади треугольника и совершенствовать навыки решения задач на её применение.
Ход урока:
Организационный момент.
Актуализация знаний учащихся.
Изучение нового материала.
Закрепление изученного материала.
Самостоятельная работа.
Подведение итогов урока.
I. Организационный момент.
Сообщить тему урока и цели урока.

II. Актуализация знаний учащихся.
Проверка домашнего задания.
Решение задач на готовых чертежах:
а) По рисунку найти S, если АВ = 8, АС = 6, < А = 30º
						  В

			А	                   С

б) На рисунке АВСD – параллелограмм, BD = 6, AC = 10, BD x AC в точке О. < ВОС = 120º. Найти S.

				 В				   С

		    А				       D

в) АВСD – параллелограмм, АС = 12, АВ = 4, АD = 6, < ВАD = 60º. Найти S.
				В					С

                    4

		    А	                  6        	  D
  3. Работа с таблицей Брадиса:
  Найти синус и косинус следующих  углов:
                       20º; 44º 30‘;65 º .

III. Изучение нового материала
Теорема синусов:  Стороны треугольника пропорциональны синусам противоположных сторон.
Дано: ∆ АВС
Доказать:

Доказательство:
Вопрос: Какая формула выражает зависимость                          	      между сторонами треугольника и 			      синусами его углов?

Ответ: Формула для вычисления площади треугольника
2. S =   AB • BC • sin B ( 1)
    S =   АС • ВС • sin С  (2)
    S =  AB • AC • sin A  (3)
3. Приравняем равенства 1 и 2. Чему равно отношение АВ / sin C?
    AB • BC • sin B =   AC • BC • sin C
      AB • sin B = AC • sin C
          				( 4)

4. Вопрос: Как можно получить равенство
                                                ?

Ответ: Приравняем равенства (2) и (3).
    АВ • ВС •sin С =    АВ • АС • sin А
 BC • sin C = AC • sin A
                              ( 5 )

5. Верно ли равенство и почему?

Ответ: Верно, это следует из равенства (4) и (5).

IV. Закрепление изученного материала:
Выполнить устно задание:
Запишите теорему синусов для треугольника MNK.
2. Разобрать задачу № 41 из рабочей тетради.
Наводящие вопросы:
Какая сторона лежит против угла А?
Какой угол лежит против стороны АС?
Используя свойства пропорций, выразите ВС и найдите его значение.
Ответ:   ВС = 2 см.

3. Самостоятельно решить задачи
№ 1025 (а, в, г)

V. Самостоятельная работа

Заполнить таблицу:

VI. Подведение итогов урока

Домашнее задание:
Пп. 97,98; вопрос 8
 Решить задачу № 42 из рабочей тетради,
№ 1025 (б, д)


title: Скачать презентацию или конспект Числовые и буквенные выражения

extracted_text:
Сложение и вычитание  натуральных чисел.
5 классматематика
Урок № 22-23.
Числовые и буквенные выражения
28.02.2017
1
www.konspekturoka.ru
Цели:
28.02.2017
Научиться читать и записывать  числовые и буквенные выражения;
 находить значения выражения при различных значениях переменной.
2
www.konspekturoka.ru
28.02.2017
www.konspekturoka.ru
3
Какое число называют уменьшаемым, а какое - вычитаемым?
Как называют результат вычитания?
Как узнать, на сколько одно число больше другого?
Вспомним!
Уменьшаемое
Вычитаемое
Разность
Число из которого вычитают , называют уменьшаемым, а число которое вычитают – вычитаемым.
 Результат вычитания называют разностью.
Разность двух чисел показывает, на сколько первое число больше второго.
28.02.2017
4
www.konspekturoka.ru
5 - 4 = 1
11.11.2011
www.konspekturoka.ru
5
Вспомним!
Назовите слагаемые в сумме:
а) (18 - 7) + 14;			в) (а - 13) + (в - 86);
б) (х - 75) + 16; 			г) (х - у) + (m - n).
Назовите уменьшаемое и вычитаемое в разности:
a) (а + 56) - 32;			в) (86 + 53) - (k + 7);
б) (m + 99) - (38 + 5);		 г) (c + 3) - (d + 8).

11.11.2011
www.konspekturoka.ru
6
Записать выражение:
а) сумма 7 и а;
б) разность х и 8;

в) сумма у и а - 4;

г) разность 16 и 3 + р
7 + а
х - 8
у + (а – 4)
16 – (3 + р)
Записать переместительное свойств0 сложения:

71 + 9 =
24 + 48 =
113 + 4 =
9 + 71
48 + 24
4 + 113
28.02.2017
7
www.konspekturoka.ru
Вспомним!
Записать сочетательное свойство сложения:

(71 + 16) + 9 =
24 + (48 + 6) =
 113 + 4 + 37 =
71 + (16 + 9)
 (24 + 48) + 6
(113 + 37) +4
28.02.2017
8
www.konspekturoka.ru
Вспомним!
Сформулируйте свойства нуля при сложении и  вычитании.
Сделайте запись этих свойств.
а + 0 = а
а - 0 = а
а - а = 0
28.02.2017
9
www.konspekturoka.ru
Вспомним!
28.02.2017
www.konspekturoka.ru
10
Изучение нового материала.
	Запишем числовые выражения:
Задача 1.
	980 + (980 + 50),

Задача 2.
	980 + (980 + 65).

	Чем отличаются эти задачи?
 (В задаче 2 число 50 заменено числом 65)
 	По сути одна и та же задача.
28.02.2017
www.konspekturoka.ru
11
Записывается выражение:
 980 + (980 + m).
	Если вместо  m подставить число 50, то получится числовое выражение для решения первой задачи.

Если вместо  m подставить число 65, то получится числовое выражение для решения второй задачи.
980 + (980 + 50),
980 + (980 + 65),
28.02.2017
www.konspekturoka.ru
12
Вывод:
 980 + (980 + m)
Выражение содержащее буквы, называют буквенным выражением.
В этом выражении буквы могут обозначать различные числа.
Числа, которыми заменяют букву, называют значениями этой буквы.
28.02.2017
www.konspekturoka.ru
13
Решение упражнений по образцу
(135 + n) - 23, если n = 73.
Решение
Если  n = 73,  то  (135 + n) - 23 =
 = (135 + 73) - 23 = 135 + (73 - 23) =
 = 135 + 50 = 185.
	Ответ: 185.
Образец записи:
28.02.2017
www.konspekturoka.ru
14
 Одному брату х лет, а другой на 5 лет старше. Сколько лет другому брату?  Составьте выражение и найдите его значение при х = 8, 10, 12.
Решение.
	х + 5 – выражение.
Если х = 8,  то х + 5 = 8 + 5 = 13;
Если х = 10,  то х + 5 = 10 + 5 = 15;
Если х = 12, то х + 5 = 12 + 5 = 17.
	Ответ: 13лет; 15лет; 17лет.
Приведите пример числового 	выражения.
Как найти значение числового 	выражения?
Какое выражение называют 	буквенным?
Приведите пример буквенного 	выражения.
28.02.2017
Ответить на вопросы:
15
www.konspekturoka.ru
Продолжение следует …