title: Скачать презентацию или конспект Подготовка к экзамену по математике

extracted_text:
Из опыта подготовки к итоговой аттестации немотивированных учащихся
     «Скажи мне, и я забуду;
Покажи мне, и я,  может быть, запомню,
Вовлеки меня, и я пойму»
                                      Конфуций
Учитель математики ГОУ ЦО «Самбо – 70» Смирнова Т.И.

Рекомендации выпускникам  по подготовке к ЕГЭ
1.    Для оценки уровня своей подготовки:
      использовать интерактивные версии - сайты:  http://www.edu.ru/  «Единый госэкзамен», http://www.mioo.ru/  - «Сайт Московского института открытого образования», http://www.egehelp.ru/  - «Помощь в ЕГЭ», http://www.bitnet.ru/  - «Демонстрационные тесты», www.fipi.ru  - «Сайт Федерального института Педагогических измерений: документы, банк заданий ЕГЭ, КИМы, список литературы»;
                Вы можете планомерно готовиться к экзамену. Тренажер- http://www.uztest.ru/simulator/  - здесь собраны наиболее типичные задачи, задачи по возрастанию сложности, использовать КИМы и учебно-тренировочные материалы ЕГЭ сайта элементарной математики http://www.mathnet.spb.ru и обучающей системы «Решу ЕГЭ» http://reshuege.ru/ Дмитрия Гущина Тщательно повторить пройденный материал;
3.   При подготовке всем выпускникам необходимо научиться, в точном соответствии с инструкцией выполнять задания;
4.  Особое внимание обратить на формирование умения увидеть в формулировке задания "Критерии оценки";
5.  Выработать оптимальную стратегию выполнения экзаменационной работы,
6. Участвовать в пробном экзамене (и иных репетиционных подготовительных мероприятиях).
Лист контроля

1 группа

      В 1-ю группу вошли учащиеся, которые не имели никакого интереса к предмету, у которых  были слабые знания не только по математике, но и по другим предметам. Они не воспринимали тексты и задания. Это те учащиеся, которые поставили перед собой цель – преодоление нижнего рубежа (5-6 заданий). Причём некоторые из них даже цель эту не ставили: они не воспринимали ЕГЭ серьёзно, поэтому приходилось готовить их и психологически, ориентировать на целесообразные действия, проводить работу с их родителями.

2 группа
     Во 2-ю  группу были определены те учащиеся, которые могли воспринимать новое, но в силу нежелания трудиться, тоже давали не совсем желаемые результаты.  В эту группу попали те учащиеся, которые   желали получить не очень высокие баллы (решить только задания части В), но достаточные для поступления в ВУЗ, в котором не требовался высокий уровень математической подготовки
       3 - я группа, самая малочисленная. В ней оказалось несколько учеников, с которыми можно было бы работать с заданиями части С.
 3 группа

Основные задачи
      1. Изучение материала алгебры и начал анализа  и геометрии велось с учётом календарно – тематического планирования, но при этом на каждом уроке выделять время на повторение материала, входящего в  кодификатор элементов содержания заданий ЕГЭ. На изучение новой темы уходило 10-15 минут, остальное время уделялось решению ключевых задач, таким образом, базовый уровень знаний получал весь класс. После этого 3 – группа получала дидактический материал, составленный из таких заданий, которые служили закреплению нового материала и одновременно являлись прототипами заданий из КИМов.  С 1-й и 2 – й группами продолжалась работа, сначала групповая, а затем индивидуальная. На каждом уроке по изучению нового материала в конце урока проходила первичная проверка полученных знаний.
Основные задачи

            2. Проведение индивидуальных консультаций с учащимися 1-й группы. Решение большого количества задач из «Банка заданий». Заполняя  постепенно «Лист контроля», отмечала успехи и неудачи, на что нужно обратить внимание. С учащимися 2 – й и 3 – й групп проводились 1 раз в неделю уроки – консультации.

Основные задачи

            3. Использование ЦОР на уроках и во внеурочное время.  Существует множество электронных ресурсов, с помощью которых учащиеся  могут самостоятельно провести диагностику своих знаний по какой-то определенной теме, выявить пробелы, осуществить их ликвидацию, а так же закрепить ранее изученный материал. (Тренировочные диагностические работы (http://mathege.ru), работы в режиме онлайн на сайте «Подготовка к ЕГЭ по математике (http://matematika.egepedia.ru) и др.)  Всем ученикам даны ссылки на сайты (оформлен стенд и по электронной почте высланы нужные ссылки).

Основные задачи

       4. С 3 группой, наряду с изучением нового материала, провела тщательное повторение основных положений, формул и теорем математики, алгебры и геометрии  5 – 9 классов. В дальнейшем, по мере изучения алгебры и начал анализа и стереометрии, приступили к тщательному разбору задач С1 и С2. При решении задач С2 использовала презентации Е.М. Савченко (http://le-savchen.ucoz.ru), И. Беликовой «Задания С2. Решаем методом координат», опубликованную в газете «Математика» № 20 за 2010 год, презентации по стереометрии авторов Смирновой И.М. и Смирнова В.А.
http://www.geometry2006.narod.ru/
свои собственные презентации,
материалы с сайта Д. Гущина http://mathnet.spb.ru/   др.
Основные задачи

        5 . Применяя на уроках презентации, заинтересовываю учащихся. Они начинают готовить презентации сами. Помня высказывание Конфуция:  «Скажи мне, и я забуду; покажи мне, и я, может быть, запомню, вовлеки меня, и я пойму», я ввела в подготовку к ЕГЭ создание учащимися презентаций к уроку. Материал они подбирали из «Банка заданий» и рабочих тематических тетрадей, разработанных МИОО под редакцией А.Л. Семёнова и И.В. Ященко. Считаю, что эти тетради оказали неоценимую помощь, т.к. содержат не только задания, но и разбор с подробным объяснением. Задания с разбором учащиеся включали в презентацию, добавляли по необходимости формулы, теоретический материал, задания из «Банка…», а на уроке, защищали свою презентацию. Название всех презентаций было одно: «Готовимся к ЕГЭ». Отличие было в номере задания: В1, В2 и т. д. Это вело к осознанному пониманию. Одна из таких работ «Физико – математический проект», выполненная ученицей 11 класса Головиной О., опубликована сайте «Фестиваль исследовательских и  творческих работ учащихся» http://portfolio.1september.ru/work.php?id=589605  и предназначена для работы над задачами типа В10.
Основные задачи

        6. Работа  с системой СтатГрад   (http://statgrad.mioo.ru/)

       Все  варианты тренировочных работ в обязательном порядке были выполнены.  Результаты диагностических  работ, предложенных в течение учебного года, показали, что работа, направленная на подготовку к ЕГЭ, была не напрасной. Результаты улучшались. Последние две работы были зачтены всем.

Основные задачи

7.  С учащимися всех групп было  выполнено много тренировочных работ с последующим обсуждением ошибок. Работы составляла сама, используя «Банк заданий» (http://www.mioo.ru/ogl.php), а также контрольные работы, взятые     Информационно-методическом пространстве  учителей математики  МИОО (http://mioo.seminfo.ru/login/index.php).

Основные задачи
 Информационно-методическое пространство  учителей математики
Глава I. Новости и события Глава II. Приоритетные направления и план работы лаборатории Глава III. Нормативная документация Глава IV. Мониторинг и диагностика Глава V. Ученические и профессиональные конкурсы Глава VI. Подготовка к ГИА-9 Глава VII Подготовка к ЕГЭ Глава VIII Учебно-методические комплекты. Планирование к учебникам Глава IX. Полезные ссылки и литература Глава X. Работа с молодыми специалистами Глава XI. Опорные ОУ Глава XII. Курсы повышения квалификации Глава XIII. Методический и общественный советы Глава XIV. Подготовка к промежуточной аттестации Глава XV. ИКТ поддержка образовательного процесса

Результаты ЕГЭ
Результаты ЕГЭ

Успеваемость – 100 %
Качественный показатель – 76% (10 и более  набранных  первичных баллов).

           (Рекомендация оценивая работ: за настоящую работу по усмотрению школы может быть выставлена школьная оценка. Рекомендуется поощрить учащихся успешно выполнивших данную работу: Базовый уровень изучения математики: 10-12 баллов - оценка "4", 13 и более баллов оценка "5")
Результаты ЕГЭ

Сравнительный анализ
Средний балл по РФ – 47,6
Из таблицы видно, что результаты по всем заданиям части В выше, чем в целом по стране.
Задания части С решали 8 учащихся. В основном ими решены С1 и С2. К сожалению, в задании С3 была допущена ошибка  при преобразовании логарифмов, связанная с областью определения.
Средний балл по данному классу – 52,3
Результаты ЕГЭ

Результаты ЕГЭ
Рекомендуемая литература

Рабочие тетради по математике B1-B12, С1 – С6 к ЕГЭ 2011
ЕГЭ-2011 по математике: 12 советов «для чайников»
Ф.Ф. Лысенко. Математика. Базовый уровень ЕГЭ - 2011(В7-В8, В10-В12)
Математика. Повторение всего курса математики перед ЕГЭ
Математика. Диагностические работы в формате ЕГЭ. – М.: МЦНМО
Ф.Ф. Лысенко. Математика. Повышенный уровень ЕГЭ - 2011

 Рабочие тетради по математике B1-B12, С1 – С6 к ЕГЭ 2011
       Серия рабочих тетрадей "ЕГЭ 2011. Математика". Тетради предназначены как для работы в классе с учителем, так и для самостоятельной подготовки. Ответы прилагаются к каждой задаче.
     Всего в архиве 12 тетрадей по заданиям из ЕГЭ: B1-B12 и 6 тетрадей по заданиям С! – С6. В каждой представлены всевозможные задания на отработку навыков самостоятельного решения.

ЕГЭ-2011 по математике: 12 советов «для чайников»
         В книге даны рекомендации по решению заданий B1 – B6 экзамена по математике, а также примеры их решения. Есть вторая часть, в которой рассмотрены задания В7 – В12 квалификации.

Базовый уровень по математике(В7-В8, В10-В12)
   В книге рассмотрен разбор решений типовых задач по математике, задания - В7-В8, В10-В12. А также представлены задания для самостоятельного решения.

Повторение всего курса математики перед ЕГЭ
      Книга будет полезна абитуриенту на завершающем этапе подготовки к экзамену.

Сборник к ЕГЭ по математике
        Сборник предназначен для подготовки к единому государственному экзамену по математике и содержит шесть вариантов, составленных в соответствии с нормативными документами ФИПИ 2011.

Повышенный уровень ЕГЭ 2011. Математика
     Пособие состоит из заданий по отдельным темам, которые являются традиционными в курсе математики и потому, как правило, входят в ЕГЭ. Они полностью охватывают задания типа С1 и СЗ последнего плана ЕГЭ. Каждой теме посвящен отдельный параграф, включающий 10 вариантов: 1 демонстрационный с решениями, 9 — тренировочных. Каждый вариант состоит из 8 заданий.

Учебно-тренировочные тесты к ЕГЭ 2011 по математике
         В книге представлен краткий теоретический справочник по всем школьным темам раздела "математика", а также 22 авторских демо – вариантов.
Информационная поддержка Единого государственного экзамена
Портал информационной поддержки Единого государственного экзамена
http://ege.edu.ru
   Сайт информационной поддержки Единого государственного экзамена в компьютерной форме
http://www.ege.ru
Единый государственный экзамен
 в Московской области
http://www.rcoi.net

Математика в помощь школьнику и студенту (тесты по математике online)
http://www.mathtest.ru
Математика для поступающих в вузы
http://www.matematika.agava.ru


title: Скачать презентацию или конспект Арифметическая прогрессия

extracted_text:
АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ
9 класс
Устная работа
Последовательность (хn) задана формулой: хn =n2.

Какой номер имеет член этой последовательности, если он равен 144?  225? 100?

Являются ли членами этой последовательности числа  48?  49? 168?

48 и 168 не являются членами последовательности,
49 – является.

Устная работа
О последовательности (un) известно, что   u1=2, un+1=3un+1 .

Как называется такой способ задания последовательности?

Найдите первые четыре члена этой последовательности.
Рекуррентный способ.
u1=2
u2=3u1+1=7
u3=3u2+1=22
u4=3u3+1 =67
Устная работа
О последовательности  (an) известно, что             an=(n-1)(n+4)
Как называется такой способ задания последовательности?

Найдите n, если an=150 ?

Формулой n-ого члена.
Заметим, что в формуле n-ого члена множители отличаются друг от друга на 5.
150=(n-1)(n+4)
150=10·15
n=11

Найдите для каждой последовательности следующие два члена.
Арифметическая прогрессия
Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом.

 (an) - арифметическая прогрессия,
                  если an+1 = an+d ,
           где d-некоторое число.
Разность                       арифметической   прогрессии
Число d, показывающее, на сколько следующий член последовательности отличается от предыдущего, называется разностью прогрессии.

                      d=an+1-an

Задача
На складе 1 числа было 50 тонн угля. Каждый день в течение месяца на склад приходит машина с 3 тоннами угля. Сколько угля будет на складе 30 числа, если в течение этого времени уголь со склада не расходовался.

a1=50, d=3
1 числа:  50 т
   2 числа:  +1 машина (+3 т)
   3 числа:  +2 машины(+3·2 т)
    ………………………………………
   30 числа:+29 машин(+3·29 т)
a30=a1+29d
    a30=137

Формула n-ого члена
a1
   a2=a1+d
   a3=a2+d=a1+2d
   a4=a3+d=a1+3d
   ……………………..
   an=an-1+d=a1+(n-1)d

an=a1+d (n-1)

Пример 1.
Последовательность (cn)-арифметическая прогрессия. Найдите c81,  если c1=20 и d=3.

Решение:
   Воспользуемся формулой n-ого члена
   с81=с1+d(81-1),
   c81=20+3·80,
   c81=260.
Ответ: 260.

Задача.
В арифметической прогрессии четные члены оказались зачёркнуты: 3, …, 7, …, 13…
   Можно ли восстановить утраченные числа?

   Заметим, что a3=a1+2d, a5=a3+2d, a7=a5+2d  и т.д.
       Тогда d=(an+2-an):2, то есть d=2.
Искомая последовательность
        3, 5, 7, 9, 13, 15, …
Можно ли найти пропущенные члены последовательности, не вычисляя разности?
Характеристическое свойство арифметической прогрессии
Пусть an – искомый член последовательности. Воспользуемся тем, что разность между соседними членами последовательности постоянна:
an-an-1=an+1-an,
   2an=an-1+an+1,
   an=(an-1+an+1):2

Задание.
Последовательность (cn)- арифметическая прогрессия. Найдите c21, если c1=5, 8 и d=-1,5.

Решение:
   Воспользуемся формулой n-ого члена
   с21=с1+d(21-1),
   c21=5,8+(-1,5)·20,
   c21=-24,2.
Ответ: -24,2.

Задача.
Числовая последовательность задана формулой an=3+5n, n=1,2,3,…
Является ли эта последовательность арифметической прогрессией? Если да, то какова ее разность?

Решение:
    Поскольку an+1=3+5(n+1)=3+5n+5=an+5, при всех значениях  n, то последовательность является арифметической прогрессией по определению. Из полученной формулы an+1=an+5  разность этой прогрессии равна 5.

Интересный факт

Любая арифметическая прогрессия может быть задана формулой  an=kn+b,  где k и b – некоторые числа.
    an=a1+d(n-1)=dn+(a1-d)

Последовательность(an), заданная формулой вида
    an=kn+b,  где k и b – некоторые числа, является арифметической прогрессией.
    an+1-an=k(n+1)+b-(kn+b)=kn+k+b+kn-b=k
Задача.
Седьмой член арифметической прогрессии равен 1 и равен разности между четвертым и вторым членами. Найти первый член прогрессии.

Дано: a7=1, a7=a4-a2.
Найти: a1.
Решение:
По условию a7=a4-a2, то есть a7=2d,
но a7=1, поэтому d=0,5.
a7=a1+6d,
a1=a7-6d,
a1=1-6·0,5,
a1=-2


title: Скачать презентацию или конспект Самостоятельная работа учащихся на уроках математики

extracted_text:
Самостоятельная работа учащихся на уроках математики.
Дудоладова М.П. Сообщение на педсовете.
Сл1.Одна из главных задач учителя – научить ученика учиться, научить самостоятельно добывать знания.
  По данным исследований, в памяти человека остаётся:
Сл2. 25% услышанного;
        33% увиденного;
        50% увиденного и услышанного;
        75% материала, если ученик вовлечён в активные действия в процессе обучения.
   Чтобы приблизиться к 75% усвоения материала, сегодня учитель имеет различные возможности. Одна из таких возможностей – использование ИКТ на уроке, в том числе и при проведении самостоятельных работ.
   Преимущества применения ИКТ.
Сл3.
1. Экономит время.
Заранее подготовленные чертежи, схемы, тексты позволяют экономить время урока, за счёт чего повышается плотность урока.

2. Эффективно решает проблему наглядности при проверке.
Благодаря этому учащиеся активно, с интересом работают на уроке. Повышается концентрация внимания, улучшается понимание и запоминание материала.
3.Индивидуализирует процесс выполнения самостоятельной работы – можно давать задания разного уровня сложности.
4.Делает процесс выполнения работы интересным.
С одной стороны за счёт новизны и необычности, а с другой, делает процесс увлекательным, ярким, разнообразным.
5.Позволяет многократно использовать материал, накапливая базу.
Предлагаю посмотреть элементы компьютерной технологии, которые я использую на уроках при проведении самостоятельных работ.

Одна из главных задач учителя – научить ученика учиться,
        научить самостоятельно добывать знания
По данным исследований,
в памяти человека остаётся:

25% услышанного;

33% увиденного;

50% увиденного и услышанного;

75% материала, если ученик
вовлечен в активные действия
в процессе  обучения.

1.Экономит время

2.Эффективно решает проблему наглядности при проверке

3.Индивидуализирует процесс выполнения самостоятельной работы

4.Делает процесс выполнения работы интересным

5.Позволяет многократно использовать материал, накапливая базу

(3
(1
3
5

(4
8
(3
3
(3
9
(4
4
,
.
X
y
0
1
1
y = x
2

Y=8/x

2
4

x
y
-3
-2
-1
0
9
4
1
0
1
1
2
4
3
9
x
y
1
2
4
8
4
2
1
-1
-2
-4
-8
-8
-4
-2
-1
8
(2; 4)

 x
y
0
1
2
3
-1
-2
-3

Y=sinx

Y=sinx+2
Y=sinx+2
      Y=sinx                           y=sinx+2
п.п.вд.ОУ вверх на 2

0
1
2
3
-1
-1
-2
-3
y
 x

Y=3cosx
Y=cosx                        Y=3cosx
Раст.вд.ОУ в3р.
У=СOSX
Y=3COSX

О
С
А
В
О1
В шар R=9см. Шар касается всех сторон правильного
Треугольника со стороной a=12cм. Найти расстояние
от центра шара до плоскости треугольника.
1 вариант
2 вариант
A
B
C
D

O
AB     CD =O;
AO =OB;
<CAO = <DBO
Доказать:CO=OD

A
B
C
D
 < ABC; BD – биссектриса;
AB =BC
Доказать:<BCD = <BAD

      ∆AOB= ∆BOC,т.к.
1). AO=OB(по условию)
2).< CAO =<DBO(по условию)
3).<AOC =<BOD(т.к.вертикал-е)
Равенство по стороне и двум
углам.
Значит,CO =OD

∆BCD= ∆BAD, т.к.
1). AB=BC(по условию)
2). <ABD =<DBC(т.к.BD-биссек-а)
3). BD – общая
Равенство по 2 сторонам и углу.
Значит,<BCD =<BAD


title: Скачать презентацию или конспект Многоугольники и четырехугольники

extracted_text:
ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ

Амирова Яна Юрьевна
учитель математики
42 гимназия
Приморского района
Г. Санкт- Петербурга
2008 г.
СОДЕРЖАНИЕ
Многоугольник
Четырехугольник
Классификация четырехугольников
Параллелограмм. Свойства и признаки
Прямоугольник. Свойства
Ромб. Свойства
Квадрат. Свойства
Трапеция
Итоговая работа
МНОГОУГОЛЛЬНИК

А
В
С
Д
Е
F
G
H
Многоугольником называется фигура, составленная из отрезков так, что смежные отрезки не лежат на одной прямой, а несмежные отрезки не имеют общих точек.
ABCDEFGH-многоугольник
А, В, . . . , Н- вершины
AB, BC, . . . , FK-стороны

Две вершины многоугольника, принадлежащие одной стороне, называются соседними.
Отрезок, соединяющий любые две несоседние вершины, называется диагональю многоугольника.

Любой многоугольник разделяет плоскость на две части, одна из которых называется внутренней, а другая- внешней областью многоугольника.

Четырехугольники

F
l
Н
О
Каждый четырехугольник имеет четыре вершины, четыре стороны и две диагонали.

Две несмежные стороны четырехугольника называются противоположными.
Две вершины, не являющиеся соседними, называются также противоположными.

КЛАССИФИКАЦИЯ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКОВ

ПАРАЛЛЕЛОГРАММ

Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельны.

ПРЯМОУГОЛЬНИК

Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые
СВОЙСТВА
В прямоугольнике противоположные стороны равны и параллельны

В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам

В прямоугольнике все углы прямые

РОМБ

Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны
СВОЙСТВА
В ромбе противоположные стороны параллельны
В ромбе все стороны равны

Диагонали  ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам

Диагонали точкой пересечения делятся пополам

КВАДРАТ

Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны
Квадратом называется ромб, у которого все углы прямые
СВОЙСТВА
Все стороны равны
Противоположные стороны параллельны
Все углы квадрата прямые
Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят углы квадрата пополам

ТРАПЕЦИЯ

Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны.
Параллельные стороны трапеции называются ее основаниями, а две другие стороны- боковыми сторонами.

основание
основание
боковая сторона
боковая сторона

Итоговая работа по теме "Четырехугольники"
Каждое высказывание соотнесите с соответствующей ему фигурой

Ромб, у которого один угол прямой является . . .
Если в параллелограмме диагонали взаимно перпендикулярны, то это . . .
Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то это . . .
Если в четырехугольнике все стороны равны, то это . . .
Если в ромбе один угол прямой, то это . . .
Если в четырехугольнике все углы прямые, то этот четырехугольник является. . .
Если в параллелограмме диагонали равны, то это


title: Скачать презентацию или конспект Законы о множествах

extracted_text:
Теория множеств
Теоремы теории множеств
pptcloud.ru
Задание
Старейший математик среди шахматистов и старейший шахматист среди математиков – это один и тот же человек или (возможно) разные?
Лучший математик среди шахматистов и лучший шахматист среди математиков – это один и тот же человек или (возможно) разные?
Каждый десятый математик – шахматист, а каждый шестой шахматист – математик. Кого больше – шахматистов или математиков и во сколько раз?

Пример доказательства
Доказать, что для произвольных множеств A и B если A ⊂ B, то В ⊂ A.
Необходимо доказать, что В ⊂ A, поэтому структура доказательства будет иметь вид «Пусть a ∈ B, тогда…,…, тогда a ∈ A».
Пусть a ∈ B, тогда по определению дополнения a ∈ U \ B. Из определения разности множеств из того, что a ∈ U \ B, следует, что a U и a ∉ B. По условию задачи известно, что A ⊂ B, т.е., что все элементы множества A есть в множестве B. Так как a ∉ B, то элемента a в множестве B нет, а следовательно его нет и в множестве A. Если элемента a нет в множестве A, то можно записать, что a ∉ A. Итак, мы установили, что a ∈ U и a ∉ A, а это значит, что a ∈ A.
Аналогично доказывается обратное утверждение если B ⊂ A, то A ⊂ B.

Доказать,
относительно данного универсального множества U дополнение A любого множества A, если A⊂U, единственно.
Для доказательства единственности дополнения A множества A⊂U предположим, что существует два множества B и C, каждое из которых удовлетворяет требованиям дополнения множества A, т.е. их пересечение с A пусто, а объединение с A дает U:
а) B∩A=Ø; б) C∩A=Ø; в) B∪A=U; г) C∪A=U.
Очевидно, что B=B∩U. С учетом условия г) B=B∩(C∪A) =. Так как
B∩(C∪A)=(B∩C)∪(B∩A), то с учетом условия а) B=(B∩C)∪Ø=B∩C.
Аналогично, исходя из условий в), б) получим:
C=C∩U=С∩(B∪A )= (C∩B)∪(C∩A)=(C∩B)∪Ø=C∩B.
Итак, мы получили, что B=B∩C и C=C∩B. Так как C∩B=B∩C (коммутативность операции пересечения), то B=C, что и требовалось доказать.

Основные законы теории множеств
1. Коммутативность операций ∪ и ∩:
а) A∪B=B∪A б) A ∩ B=B ∩ A
2. Ассоциативность операций ∪ и ∩:
а) A∪(B∪C)=(A∪B) ∪C б) A∩(B∩C)=(A∩B) ∩C
3. Законы идемпотентности операций ∪ и ∩:
а) A∪A=A б) A∩A=A
4. Законы дистрибутивности:
а) A∪(B∩C)=(A∪B) ∩ (A∪С) б) A∩(B∪C)=(A∩B) ∪ (A∩С)
5. Законы поглощения:
а) A∪(A∩B)=A б) A∩(A∪B)=A
6. Законы де Моргана:
а) A ∪B  =A ∩ B б) A ∩ B = A ∪B
7. Законы пустого и универсального множеств:
A∪∅=A           A∩∅= ∅                A∩ A=∅
A∪U=U            A∩U=A                   A∪ A=U
U =∅ ∅ =U
8. Закон двойного отрицания:

A = A

Доказать, что:
A⊂A;
если A⊂B и B⊂C, то A⊂C;
A∩B⊂A⊂A∪B;
A∩B⊂B⊂A∪B;
A\B⊂A.

Определить
какой знак из множества {=, ≠, ⊂, ⊃} можно поставить вместо символа «?», чтобы полученное утверждение было верным.
{1, 3} ? {1, 2, 3},
{2, 3, 4} ? {1, 2, 3},
{{1, 2}, {2, 3}, {1, 3}} ? {1, 2, 3},
{{1, 2}, {2, 3}} ? {1, 2, 3},
{{1, 2}, {2, 3}, {1, 3}} ? {(1, 2), (2, 3), (1, 3)},
{(2, 1), (3, 2)} ? {(1, 2), (2, 3)},
{{1, 2}, {2, 3}} ? {{2, 1}, {3, 2}, {1, 3}},
{1, 2, 3} ? {x|x делитель 6},
Ø ? {Ø}.
Определить
Какие из равенств верны для любых множеств А, В и С, привести подробное доказательство верных равенств.
(A∩B)∪C=(А∪С)∩(В∪С);
(A∪B)∩C=(А∩С)∪(В∩С);
(A∪B)\C=(А\С)∪В;
(A∩B)\C=(А\С)∩В;
А\(В∪С)=(А\В)∩(А\С);
А\(В∩С)=(А\В)∪(А\С).
Доказать
A∪B⊂C⇔A⊂C и B⊂C,
A⊂B∩C ⇔ A⊂B и A⊂C,
A⊂B∪C ⇔ A∩B⊂C,
A⊂B⇒C\B⊂C\A,
A∩B=A∪B⇒A=B,
A=B ⇔ A∩B=∅ и A∪B=U,
A∆(A∆B)=B,
A∪B=A∆B∆(A∩B),
A∪B=(A∆B)∪(A∩B),

Доказать

A\B=A∆(A∩B),
A∆B=∅⇔A=B,
A∩B=∅⇒A∪B=A∆B,
A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C),
(A∪B)∩A=(A∩B)∪A=A,
A∩(B\A)=∅,
(A∩B)∪(C∩D)=(A∪C)∩(B∪C)∩(A∪D)∩(B∪D).
Задачи
Среди математиков каждый седьмой - философ, а среди философов каждый девятый - математик. Кого больше, философов или математиков?
В гимназии все ученики знают хотя бы один из древних язы- ков — греческий или латынь, а некоторые — оба языка. 85% всех ребят знают греческий язык и 75% знают латынь. Какая часть учащихся знает оба языка?
Какие трехзначные числа можно составить из цифр 3, 7 и 1 при условии, что в записи не должно быть одинаковых цифр? Сколько таких чисел?
Задачи
Даны 1985 множеств, каждое из которых состоит из 45 элементов, причём объединение любых двух множеств содержит ровно 89 элементов. Сколько элементов содержит объединение всех этих 1985 множеств?
Собрались 12 волейболистов и 9 теннисистов, а всего – 16 человек. Сколько из них играют и в волейбол, и в теннис?
Множество А содержит 5 элементов, множество В – 4 элемента, а их пересечение содержит 2 элемента. Сколько элементов содержит объединение множеств А и В?
Задание
Из 100 студентов педагогику сдали 28 человек, математику - 30 человек, философию - 42 человека, педагогику и математику - 8, математику и философию - 5, педагогику и философию - 10, все три экзамена - 3 человека. Сколько человек не сдало ни одного экзамена?
Дано множество А = {1, 2, 3, {1}, {1, 2}}. Укажите, какие из следующих объектов являются элементами множества А, и какие - подмножествами: 2; {2}; {1, 2}; {1, 3}; {1, {1}}; {{1}}; {1, {2}}, {1,2,{1, 2}}.
Задания
В Союзе писателей 32 человека, из них 17 поэтов и 19 прозаиков. Сколько человек пишут и стихи и прозу?
Из группы студентов на занятия физкультурой ходят 20 человек, а в секции - 18, причем 15 человек одновременно ходят и в секции и на занятия по физкультуре. Сколько студентов освобождены от занятий спортом, если всего в группе 25 человек?
Составьте множество двухзначных чисел, в записи которых используются лишь цифры 2, 5 и 8. Найдите пересечение этого множества со множеством четных чисел.


title: Скачать презентацию или конспект Треугольники

extracted_text:
Треугольник- плоская фигура, ограниченная тремя прямыми. У треугольника могут быть три неравные стороны (разносторонний треугольник), две равные стороны (равнобедренный треугольник) или три равные стороны (равносторонний треугольник). В равнобедренном треугольнике углы, лежащие против равных сторон, равны; в равностороннем треугольнике все углы равны.
Треугольники
Разносторонний (a)
Равнобедренный (b)
Равносторонний (c)
Прямоугольный (d)
Подобные треугольники (e)

a)

b)

c)

d)

e)
Виды треугольников

«…Здесь бесследно исчезало множество кораблей и самолётов – большинство из них после 45 года. Здесь же в течении последних 26 лет погибло более 1000 человек. Однако при поисках не удалось обнаружить ни одного трупа или обломка…» Этими словами начинается описание таинственного Бермудского треугольника у американского писателя Ч.Берлитца, теперь эту фразу с удовольствием цитируют как противники, так и сторонники гипотезы существования между Флоридой, Кубой и Бермудами некоего странного загадочного места, иначе говоря - аномальной зоны.
Бермудский треугольник
Маленькое созвездие к юго-востоку от Андромеды. У его западной границы видна спиральная галактика М 33, или Туманность Треугольника (5,7 зв. вел.), повёрнутая к нам почти плашмя. Её английское прозвище Pinwheel переводится как «цевочное колесо»-разновидность зубчатого колеса со стерженьками вместо зубьев; оно довольно точно передаёт видимую форму галактики. Она, как и Туманность Андромеды (М 31), член Местной группы галактик. Обе они расположены симметрично относительно звезды Мирах (B Андромеды), что существенно облегчает поиск более слабой М 33. Обе галактики находятся от нас примерно на одинаковом расстоянии, но Туманность Треугольника чуть дальше, на расстоянии 2,6 млн. световых лет.
Астрономия
Как известно, «Теорема Пифагора» является едва ли не самой знаменитой теоремой геометрии, которую помнит каждый человек, который когда-либо учился в средней школе и, возможно, сумел «начисто забыть» всю математику. Суть этой теоремы чрезвычайно проста. Теорема утверждает, что в прямоугольном треугольнике катеты a и b связаны с гипотенузой с следующим простым соотношением:
a2+ b2 = c2

Несмотря на ее предельную простоту, теорема Пифагора, по мнению многих математиков относится к разряду наиболее выдающихся математических теорем за всю историю математики. Гениальный астроном Иоганн Кеплер выразил свое восхищение теоремой Пифагора в следующих словах:
«В геометрии существует два сокровища – теорема Пифагора и деление отрезка в крайнем и среднем отношении. Первое можно сравнить с ценностью золота, второе можно назвать драгоценным камнем».
Теорема Пифагора
В прямоугольном треугольнике АВС катеты АВ и АС равны соответственно 3 и 4 (5 и 12).
Найти:
1.      ВС
2.      SABC
3.      АН – высоту, опущенную на гипотенузу. (Вывести формулу для вычисления высоты, опущенной на гипотенузу: )
4.      СН:HB  (можно провести вычислительную работу СН и НВ по Пифагору, но обязательно закрепить теорему: проекции катетов на гипотенузу относятся, как квадраты катетов)
5.      SAHC и SAHB.  ( опять-таки, можно и нужно вычислить их площади, как половина произведения катетов, но очень важно из геометрии площадей обосновать, что SAHC: SAHB= HC:HB = AC2:AB2 = 16:9.). Далее воспользоваться делением площади  АВС в данном отношении.
6.      R – радиус описанной окружности. (R = 1/2BC).
7.      r – радиус вписанной окружности.(S = pr,  ). Обе формулы доказываются, показывается универсальность первой (для любого описанного многоугольника – метод “долек”) и принадлежность второй только к классу прямоугольных треугольников.

Базовая задача геометрии треугольника
8.  Длины медиан АМ и СК. Задача о медиане АМ связана с задачами определения R, Sabc, умением достроить треугольник ABC до прямоугольника  и сделать с помощью этой конструкции необходимые выводы. Медиана СК определяется по теореме Пифагора. Так как в произвольном треугольнике это правило не срабатывает, то необходимо "притянуть за уши" формулу длины медианы произвольного треугольника: 4СК²=2АС²+2ВС²-АВ². Эта формула тяжеловата для запоминания, поэтому более эффективно запомнить её "первообразные" – достраивание треугольника до параллелограмма (что очень важно для выработки конструкторских умений) и следствие из этой теоремы косинусов: сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон. Ну и вместо этого просто пошаговая работа теоремой косинусов "туда и обратно". Из треугольника АВС по теореме косинусов (если это произвольный треугольник) определяем косинус угла В, и, зная его, опять таки по теореме косинусов из ΔСКВ находим СК.

C
C1
A
B
Базовая задача геометрии треугольника

9. Длины отрезков АР, РС, CN, NB, TB и АТ, где AN, BP  и СТ – биссектрисы  АВС (отрабатывается одно из основных свойств биссектрис и работа в делении величины в данном отношении)
10. Отношения РО:ОВ, AO:ON; CO:OT (теорема об отношении, в котором делятся биссектрисы точкой их пересечения – AO:ON = (AC + AB) : CB).
11. Длины биссектрис AN, CT и BP. Здесь можно отработать три метода:
Базовая задача геометрии треугольника
1) ΔANB:AB=3; BN=5*3/7=15/7; cos∟B =3/5. По теореме косинусов: AN²=9+225/49-2*3*15/7*3/5=(9*16*2)/49;
2) Геометрия площадей: Scan + Sanb= Scab                                     1/2AN*4*sin45°+1/2AN*3*sin45°=6;
3) И формула (теорема) о длине биссектрисы:                                AN²=AC*AB-CN*BN                                                                              AN²=3*4-(5*5*3*4)/7*7=12(1-25/49)=12*24/49; AN=

12. Длины отрезков CO, OT, AO, ON, BO, OP. Эта задача является следствием 10 и 11. Зная длины биссектрис и отношения, в которых они делятся точкой пересечения, закрепляем действие деления в данном отношении.
13. Площади шести треугольников, образовавшихся при проведении биссектрис:
1) Если учитывать предшествующие задачи, то мы знаем в каждом треугольнике основания – отрезки CP, PA, AT, TB, BN, NC и высоту – r.
Базовая задача геометрии треугольника
2) Если задача решается изолированно, без предшествующих, то из геометрии площадей следует Saot:Stob=AT:TB=4:5, Stbo:Sboc:Scoa=3:5:4. (опять ссылка на равенство высот в этих треугольниках). И далее вновь отрабатывается действие деления величины в данном отношении. Ну и любопытное замечание – площади численно будут равны длинам соответствующих оснований AT, TB, BN, NC, PC, PA. Распространится  ли это на прямоугольный треугольник:5,12,13? На другие треугольники? Как, используя полученные результаты, определить синусы любого из углов этой геометрической конструкции?
14. Площади треугольников, получившихся при пересечении медиан (получившиеся шесть треугольников равновелики в любом треугольнике).
15. а)длина AK,если BK:CK=1:4                                                           б)длину TK, если AY:TC=3:1                                                                в)косинус ∟TKA – одношаговые упражнения                                    с использованием теоремы косинусов.
Базовая задача геометрии треугольника
16. а)площадь ΔCTK                                                                            б)площадь ΔTKA                                                                                Здесь уместно кроме вычислительного метода:                              Sctk=½CT*CK*sin∟C=½*1*4*3/=6/5, Sctk=Sabc – Stck – Sakb          отработать применение теоремы об отношении площадей треугольников с равными углами.                                                      Sctk/Sabc=CT*CK/CA*CB=1/4*4/5=1/5                                                Sctk=1/5*6=6/5                                                                                Sakb/Sabc=1*3/5*3=1/5, Sakb=1/5*6=6/5                                             Stka=6-12/5=18/5=3,6
17. Радиус окружности, вписанной в ΔCTK (формула S=r*p)
18. Радиус окружности, описанной около ΔCTK (следствие из теоремы синусов – AK/sinATK=2R, sin∟ATK=sin∟CTK)
19. Расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей для ΔABC (Формула Эйлера: d²=R²- 2Rr) в произвольном треугольнике и отдельно для прямоугольного треугольника:
Базовая задача геометрии треугольника
O1F=1=r, O2B=R=2,5, FB=EB=3-1=2; O2F=2,5-2=0,5
O1O2²=0,5²+1=0,25+1=5/4
O1O2=
И по формуле Эйлера: d²=R²-2Rr=2,5(2,5-2)=2,5*0,5=5/4;
d=

Базовая задача геометрии треугольника

s/p=
h  =
a
2
a
R=
abc
4
Формула Герона

Точки касания вписанной окружности со сторонами треугольника обозначим через А1В1С1. Треугольники AIВ1 И AIC1 BIA и BIC1 CIA1  CIB1 попарно равны, как прямоугольные треугольники, имеющие общую гипотенузу и равные углы.
Обозначим BC=a, AC=b, AB=c.Тогда

откуда

аналогично

.

И
.
,
= β,
= γ.
Обозначим углы
В треугольнике AIB1 катеты связаны соотношением:

,

Откуда
=
=

=
симметричный вывод формулы Герона
Аналогично
                                                 и
Так как

То легко доказать                                                           (*)

Подставив в (*) выражения

Через a,b,c и r, получим

Откуда

Так как                           ,то отсюда следует формула Герона:

Ну вот, пожалуй, можно остановиться в наборе основных проблем треугольника. Работа в формировании знаний, умений и навыков, связанных с этой Задачей, начинается с пятого класса – пропедевтического курса геометрии (геометрии площадей, деления отрезка данном отношении, конструктивные навыки – построение биссектрис, медиан и высот произвольным набором инструментов (метрической линейкой, транспортиром, угольником)) и длится практически до окончания курса планиметрии. Многие теоремы используются в работе задолго до их доказательства, подготовляя сознание детей к логическим операциям с используемыми понятиями. Например, биссектриса треугольника может быть построена как с помощью транспортира, так и с использованием факта деления противоположной стороны в  известном отношении и только спустя значительное время это получает как чёткую логическую, так и конструктивную основу.
Вывод:
1. Успенский В. А. Треугольник Паскаля. М.: Наука, Наука, 1948. 48 с
2. Green Т. М., Hamberg C. L. Pascal’s Triangle. Palo Alto: Dale Seymour? 1986.
3. Бондаренко Б. А. Обобщенные треугольники и пирамиды Паскаля, их фрактали, графы и приложения. Ташкент: Фан, 1990. 192 с.
4. Докин В. Н., Жуков В. Д., Колокольникова Н. А. и др. Комбинаторные числа и полиномы в моделях дискретных распределений. Иркутск: Изд-во Иркут. Ун-та, 1990. 208 с.
5. Кузьмин О. В. Некоторые комбинаторные числа в обобщенной пирамиде Паскаля // Асимптотические и перечислительные задачи комбинаторного анализа. Иркутск: Изд-во Иркут. Ун-та, 1997. С. 90-100.
6. Колокольникова Н. А., Кузьмин О. В. Обобщения триномиальных коэффициентов // Исследования по геомагнетизму, аэрономии и физике Солнца М.: 1983. Вып. 63. С. 60-67.
Рецензент статьи Ю. П. Соловьев.
Литература


title: Скачать презентацию или конспект Угадай ответ

extracted_text:
Математика 6 класс
Дидактическая игра                               «Угадай ответ»
 -2+3=
6-18=
2+(-12)=
2:
=0,(6)
                 Ответы
1.-12   2.-14 3.1  4.3


title: Скачать презентацию или конспект Некоторые теоретико-числовые приложения комбинаторики

extracted_text:
§5. Некоторые теоретико-числовые приложения   комбинаторики

Определение 1.
Натуральное    число    называется простым, если      оно      имеет     ровно     два     разных     делителя: 1 и само себя.
Натуральное число называется  составным, если   оно   имеет   более    двух      различных делителей.
Примеры. Числа 2, 3, 5, 7, 11 простые, числа 4, 6, 18, 100 составные. Отметим, что число 1 не является ни простым, ни составным.
Существует стандартная система обозначений простых   чисел:    Р1 – первое   по     величине простое число (ясно, что Р1 = 2),
 Р2 – следующее простое число,
 (Р2 = 3), (Р3 = 5), (Р4 = 7), (Р5 = 11), (Р6 = 13), (Р7 = 17), (Р8 = 19) и т.д.
Вообще Рn – n-ое простое число.
К сожалению, не существует аналитической формулы f (n), которая позволила бы вычислять любое простое число Pn.
Теорема 2. Простых чисел существует бесконечно много.
Доказательство. Допустим, существует лишь конечное число простых чисел. Перечислим их:
P1, Р2, …, РN.
Значит, любое другое натуральное число содержит в качестве делителя по крайней мере одно из
 Рi (i = 1, 2, …, N).
Рассмотрим число
Р = Р1 Р2 … РN + 1.
Очевидно, что это число не делится ни на одно из чисел

так как при делении на любое из этих чисел Р дает в остатке 1.
Значит, допущение о конечности множества простых чисел неверно. Простых чисел существует бесконечно много.
Замечание. По дошедшим до нас историческим источникам это доказательство принадлежит Евклиду и является первым примером в математике доказательства «методом от противного».
Простые числа    являются  «кирпичиками» из которых строятся все  остальные натуральные и целые числа, отличные от 0, -1, 1.

Теорема3. (основная теорема арифметики). Для любого натурального числа а ≠ 1 имеет место равенство
а =
для некоторых неотрицательных целых
α1, α2, …, αк и натурального k.
Правая часть равенства называется разложением числа а в произведение простых чисел. Такое разложение при фиксированной нумерации множества простых чисел единственно.

Пример.
     10 = 2 ∙ 5 = 21 ∙ 30 ∙ 51 , 81 = 34 = 20 ∙ 34 ,
   200 = 2 ∙ 100 = 8 ∙ 25 = 23 ∙ 52 = 23 ∙ 30 ∙ 52.

Определение 4. Пусть а,b  N. Число с называется общим делителем а и b , если оба они делятся на с без остатка.
Примеры.  Пусть   а = 24,   b = 36.
Тогда общими делителями a и b будут числа 1, 2, 3, 4, 6 и 12.
Число 8 не будет общим делителем чисел   24 и 36.
Пусть а = 10, b = 30.
Общие делители – 1, 2, 5.
Пусть а = 16, b = 35.
Общий делитель,   равный 1,   единственный.

  Теорема 5. Пусть

и

Число b является делителем а в том и только в  том   случае,    когда    βi ≤ αi для     любого  i = 1,…, n.

Следствие 6.
Пусть для натурального числа а имеет  место равенство

Тогда   число    делителей а   вычисляется  по формуле (α1 + 1) ∙ (α2 + 1) ∙ … ∙ (αn + 1).
Теорема 7.  Пусть

и

Тогда число

является общим делителем чисел а и b в том и только в том случае, когда
γ1 ≤ min (α1, β1), γ2 ≤ min (α2, β2), …, γn  ≤ min (αn, βn).

Определение 8.
Число    c   называется  наибольшим   общим делителем чисел а и b
(обозначение: с = НОД (а, b)),
если с   является    самым   большим   из   всех общих делителей чисел а и b.
Примеры. Пусть а = 24, b = 30.
Тогда НОД (24, 30) = 6.
Если а = 10,    b = 33,   то      НОД (10, 33) = 1;
НОД (а, а) = а.
Пусть а = 12, b = 48.
Тогда  НОД (12, 48) = 12.
Теорема 9. Пусть а и b натуральные числа,

Тогда НОД (а,b)=

где γi  = min (αi,βi), i = 1,2,3, …, n.

Следствие 10.
Любой общий делитель чисел а и b является также делителем НОД (а, b).
Определение 11.
Число а называется кратным числу b (а,b  N), если а делится на b или, что тоже самое, b есть делитель а.
Тот    факт,    что     а    делится на   b,    будет обозначать как b     .
Пример. Пусть b =3.
Тогда кратным ему будут числа 3,6, 9, 12, … . Их можно описать общей формулой
    а = 3n (n    N).
Этот пример показывает, что в отличие от делителей, количество кратных любому натуральному числу b бесконечно.

Определение 12.
Если число а делится на число b и с, то а называется общим   кратным   чисел   b   и   с.
Примеры.
Если b = 6, c = 8, то общее кратное этих чисел равно 24.
Также    общими   кратными   являются  числа
   48, 72, … .

Теорема 13. Пусть,

Тогда число

является общим кратным чисел b и с тогда и только тогда, когда
α1 ≥ max (β1,γ1), α2 ≥ max (β2,γ2), …, αn ≥ max (βn,γn).

 Доказательство.
 Пусть а – общее кратное b и с.
 Так как а делится на b, то
  αi ≥ βi, i = 1, 2, 3, …, n.
 Так как а делится на с, то
  αi ≥ γi, i = 1, 2, 3, …, n.
  Так как αi ≥ βi и αi ≥ γi , то αi ≥ max (βi,γi).       Докажем в другую сторону.
  Так как αi ≥ max (βi,γi), то αi ≥ βi
  для каждого i = 1, 2, 3, …, n,
  значит а делится на b.
 Аналогично, а делится на с, то есть
 а – общее кратное b и с.

Определение 14.
Самое маленькое из всех общих кратных натуральных чисел b и с называется наименьшим общим кратным b и с и обозначается НОК (b, c).
Примеры.
НОК (3, 5) = 15,          НОК (4, 6) = 12,
 НОК (36, 64) = 576,   НОК (2, 8) = 8,
НОК (а, а) = а,            НОК (1, а) = а.

Теорема 15. Пусть

Число

является НОК (b, с) в   том   и  только  в   том случае, когда
αi = max (βi,γi), i = 1, 2, 3, …, n
Следствие 16.
Любое общее кратное чисел b и с делится на НОК(b, с).

Лемма 17.    Для        любых       чисел      х, у
max (x, y) + min (x, y) = x + y.

Доказательство. Рассмотрим три случая:
1)       х = у, тогда
max (x, y) = x, min (x, y) = x, поэтому
       max (x, y) + min (x, y) = 2 x и х + у = 2х ;
2)       х > у, тогда
max (x, y) = x, min (x, y) = y,
 следовательно
      max (x, y) + min (x, y) = x + y ;
3)       x < y, тогда
 max (x, y) = y, min (x, y) = x,
поэтому max (x, y)+ min (x, y) = y + x = x + y.

Теорема 18.
Для любых натуральных чисел b и с
НОД (b, с) · НОК (b, с) = b · c.
Доказательство. Пусть

 и

Тогда

 НОД(b,c)*НОК(b,c) =

   =

   =

Определение 19. Числа а и b называются взаимно простыми, если НОД (а, b) = 1. Другими словами, если а и b не имеют общих делителей, отличных от 1.
Примеры.
3, 8 – взаимно просты,
1, 5 взаимно просты,
4, 6 – не взаимно просты.

Определение 20.
Функцией Эйлера φ (n) называется количество чисел меньших, либо равных n, которые взаимно просты с n.
Примеры.
1) φ (12) = 4.
Перечислим все числа ≤ 12 и взаимно простые с 12: 1,5, 7, 11;
2) φ(36) = 12.
Перечислим все необходимые числа:              1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31, 35;
3) φ(7) = 6.

Теорема 21.
 Пусть
n =                                                   ,
причем αi > 0 и ki       kj   (i    j),
 i ,j= 1, 2, …, n. Тогда

Примеры.
1)      n=56=2371,
           (56) = 56(1-    )(1-    ) = 4 1 6 = 24;

2)      n=16=24 ,
            (16) = 16(1-    ) = 8;

 3)      (11) =11(1-    ) = 10.


title: Скачать презентацию или конспект Главные русские меры

extracted_text:
Главные русские меры
Сколько это «три пуда соли»? Насколько мал золотник? Много ли это семь пядей? Что длиннее верста или километр? На эти и многие другие вопросы отвечаем с помощью русских пословиц и поговорок.
Аршин
Эту меру завезли в Московию
персидские купцы: аршином
именовали тогда длину ткани,
отмеренную оттяжкой от плеча.
И поговорка «Всяк купец
на свой аршин мерит» —
буквально отвечала реальности.
Как можно догадаться,
приказчиков для продажи материи на Руси специально подбирали короткоруких. Только спустя несколько лет государственный совет России принял решение ввести по всей стране единую меру длины — 16 вершковый аршин (71,12 см).
Пуд
Чтобы съесть совместно 3 пуда соли вам понадобиться — внимание! — чуть больше 13 лет! Дотошными учениями подсчитано, что один пуд (16, 38 кг) соли можно осилить вместе аж (или всего) 4,38 года.
Верста
За семь верст киселя хлебать
отправился — сокрушались
раньше о далекой и
бессмысленной поездке.
Чтобы оценить, каково это —
«за семь верст», следует знать
что длиннее верста или
километр? Семь верст по
меркам XVII — XIX века —
довольно большое расстояние
(1 верста равна 1.0668 км,
значит 7 верст — около 7,5 км).
Мера длины «верста» упоминалась еще и в прозвище, которым смекалистый русский окрестил долговязого человека. Подмосковное сельцо Коломенское было в старину летней резиденцией царя Алексея Михайловича. Дорога туда была оживленной, широкой и считалась главной в государстве. А уж когда поставили огромные верстовые столбы, каких в России еще не бывало, слава этой дороги возросла еще более. На фоне этой «популярности» и появилось прозвище «коломенская верста».
Сажень
Родившаяся в народе присказка «косая сажень в плечах» подчеркивала богатырские силу и стать молодецкую.
Само слово «сажень» происходит от глагольного корня славянских языков «сед» — доставать, дотягиваться до чего-либо рукой.
С XI века сажень была основной русской мерой длины: она равнялась размаху рук человека, от конца пальцев одной руки до конца пальцев другой. Это была «прямая» сажень, 176 см. Но на Руси существовали и другие сажени, самой большой среди которых была так называемая «косая», равная 248 см и определявшаяся расстоянием           от пальцев ноги до
конца пальцев вытянутой                             вверх по
диагонали руки. Кстати, сажень
использовалась в строительных
и земельных работах вплоть
до 1917 года.
Вершок
От горшка два вершка, а уже
указчик» — говорили о
молодом, не имеющем
жизненного опыта, но очень самонадеянном молодом человеке. Очень самонадеянном, потому как вершок вершок – ширина двух пальцев руки, указательного и среднего, около 4,4см. Вершки обычно использовали для измерения роста: мелких домашних животных и людей.
С этой мерой длины связана еще одна не менее известная поговорка — “у неё суббота через пятницу на два вершка вылезла”. Так в старину говорили о неаккуратной женщине, у которой нижняя рубашка длиннее юбки.
Пядь
Семь пядей во лбу — говорят про очень умного человека, предполагая, что высота его лба пропорциональна уму. Пядь равнялась расстоянию между вытянутыми большим и указательным пальцами руки.
Величина древнерусской пяди колебалась где-то в рамках 19-23 см., следовательно, семь пядей составляли приблизительно 133-161см. Вот и думайте!
Золотник
Мал золотник, да дорог.
Насколько же он мал?
Золотник был самой малой
мерой веса (около 4,3 г) и
использовался, главным
образом, при взвешивании
золота и серебра.
Буквальный смысл поговорки
 связан с малым, но дорогим
количеством, измеряемым,
что называется «на вес золота».


title: Скачать презентацию или конспект Свойства арифметических квадратных корней

extracted_text:
Свойства арифметических квадратных корней
Кутищева Н.С.
8 класс
Теорема
Пусть а и b – любые неотрицательные числа, с – положительное число, тогда справедливы равенства
√аb = √а √b,  (1)
√а/с = √а /√с. (2)
Для любого действительного числа а верно равенство
 √а2  =lаl (3)

Свойства
Корень из произведения неотрицательных чисел равен произведению корней этих чисел
Корень из частного от деления неотрицательного числа наположительное равен частному корней этих чисел

Применение
Равенства (1), (2), (3) помогают упрощать числовые выражения, содержащие квадратные корни
Пример 1. √80 = √16 · 5 = √16 √5 =4 √5
Пример 2. √27/25 = √9·3/25 = √9/25·√3/1=3/5· √3
Пример 3. √8 · √32 = √8·32 = √162 = 16

Преобразование √16 · 5 = √16 √5 =4 √5
Называют вынесением множителя из-под знака корня
Обратное преобразование
4 √5 = √16 · 5 называют внесением
множителя под знак корня
Преобразование

Называют освобождением от иррациональности в знаменателе
Задание на дом
П.3.5
№151(е - ж)

Давайте познакомимся, меня зовут  Крошка Ро
Я приглашаю вас пройти мой тест! Но будьте внимательны на пути Вас подстерегают вредные ошибки!!!

Вот тебе первый пример, решив его укажи верный ответ нажав соответствующую кнопку!

 Чему равен √а2  для положительного числа а?
а
-а
а2
Молодец!!!Ура!Ура! Вот тебе второй пример решай  и жми на кнопку скорей, пока ошибки тебя не настигли!  Вычисли

Ой, ой, ой, всё неправильно!? Решай снова!

Молодец!!! Ура!
Ура! Решай третий, не останавливайся!

Теперь ошибкам тебя точно не догнать! Но не расслабляйся, ошибки в пути!

Если ты этого решить не можешь, то тебе нечего делать в моей программе! . . .
Я огорчён твоими знаниями.

Ой, ой, ой, всё неправильно!? Решай снова!

Что за ученик ни одной ошибки! А теперь подумай хорошенько.

а

-а

Упрости выражение
если а ≤ 0
-а2
а2
Твой путь был нелёгок, но ты справился! Молодец!!! И…

Желаю удачи! Пока!
Ну, ладно начни снова. Пожалуйста будь внимателен! Не то ошибки опять тебе помешают!

Привет, я буду помогать тебе в этой программе!
Вперёд!   

Сегодня ты узнал свойства арифметических квадратных корней, пройди тест и получи оценку!
Желаю удачи!
Вперёд!   

Если ты этого решить не можешь, то тебе нечего делать в моей программе! . . .
Я огорчён твоими знаниями.

Если ты этого решить не можешь, то тебе нечего делать в моей программе! . . .
Я огорчён твоими знаниями.

Ой, ой, ой, всё неправильно!? Решай снова!

Ой, ой, ой, всё неправильно!? Решай снова!

Ой, ой, ой, всё неправильно!? Решай снова!


title: Скачать презентацию или конспект Золотое сечение в математике и в жизни

extracted_text:
Золотое сечение
в математике
и в жизни
Выполнила: Богомолова Оксана,
 ученица 11А класса МОУ СОШ №4, г.Нелидово
 Руководитель: Миловидова А.В.
Учитель математики МОУ СОШ №4, г.Нелидово

« В геометрии существует два сокровища – теорема Пифагора и деление отрезка в крайнем и среднем отношении. Первое можно сравнить с ценность золота, второе можно назвать драгоценным камнем».
                                                                Иоганн Кеплер
Задачи
1.  Более подробно рассмотреть понятие  «золотое сечение»,  история происхождения, алгебраическое нахождение «золотого сечения», геометрическое построение «золотого сечения».
2.  Рассмотреть применение «золотого сечения» в архитектуре Древней Греции.
3.  Рассмотреть «золотое сечение» как гармоническую пропорцию.
4.  Изучить такие понятия как «второе золотое сечение», «золотой треугольник».
5.  Постараться найти в окружающем меня мире применение этих понятий.

Цель
Воспользовавшись различной литературой по геометрии, черчению, различными справочными материалами для более подробного изучения темы «золотое сечение», дать наиболее полное представление о данной теме; рассмотреть применение «золотого сечения» в архитектуре городов Тверской области.

Геометрическое определение
"золотого сечения"

A
B
D
C
Золотое сечение – это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему.

- Золотое сечение
Деление отрезка прямой
по золотому сечению

А
B
C
D
E
BC=1/2 AB

Золотая порпорция в
 частях тела человека
Построение золотого
треугольника

36°
A
O
C
O
O
O
d
O
B
P
b
d1
a
Построение .
Применение в живописи.

Построение второго
 золотое сечение

45°
45°
A
B
C
D
E
62
38
44
56

ED:EA=56:44
Применение "золотого" сечения
в архитектуре города Нелидова
Дворец Культуры
Применение "золотого" сечения
в архитектуре города Старицы
Успенский собор
Церковь Иоанна Богослова
Приложение
Парфенон

Золотое сечение в архитектуре

Дворец культуры г.Нелидово

Дорифор
Золотое сечение в скульптуре

 Ещё ничего не зная о природе звуков, человек интуитивно подстраивал струны так, чтобы они создавали благозвучие. Пифагору принадлежит математическое объяснение основ гармонии; по его определению, наиболее естественно воспринимаются человеком частоты, которые находятся между собой в простых числовых отношениях. Вот откуда и отношение частот в октаве 1: 2, и благозвучное трезвучие с отношением частот 4: 5: 6. Уменьшая последовательно длины струн, мы получим природный звукоряд из 16 звуков, но почему же древние музыканты приняли звукоряд, состоящий из семи основных звуков, и лишь позже добавили еще пять дополнительных (так появились черные клавиши в пианино).Значение работ Пифагора по научному объяснению основ музыкальной гармонии трудно переоценить. Это была первая научно обоснованная теория гармонии в музыке. Познав истинность и красоту своей музыкальной теории, Пифагор пытался распространить ее на космологию; по его представлениям, и планеты Солнечной системы располагались в соответствии с музыкальной октавой. Эта гипотеза Пифагора не потеряла своей привлекательности и в более поздние времена.

Золотое сечение в музыке
Золотое сечение в биологии
Цветки и семена подсолнуха, ромашки, чешуйки в плодах ананаса, хвойных шишках "упакованы" по логарифмическим спиралям, завивающимся навстречу друг другу. Причем числа "правых "и "левых " спиралей, всегда относятся друг к другу, как соседние числа Фибоначчи В формулах листорасположения (филлотаксис) многих растений встречаются числа Фибоначчи, расположенные строго закономерно - через одно, например, орешник -1/3, дуб, вишня - 2/5, облепиха-5/13
Золотое сечение в живописи
На знаменитой картине И.И.Шишкина «Сосновая роща» с очевидностью   просматриваются мотивы золотого сечения. Ярко освещенная солнцем сосна (стоящая
на первом плане) делит длину картины по золотому сечению.                                              Справа от сосны - освещённыйсолнцем пригорок. Он делит по                                 золотому сечению правую часть картины по горизонтали. Слева от главной сосны находится множество сосен - при желании можно с успехом продолжить деление картины
по золотому сечению и дальше.

Золотое сечение в физике
Ускорение силы тяжести при удалении от земной поверхности описывается следующей формулой:

где h - высота над поверхностью Земли, R - ее радиус. При опускании тела в глубь Земли характер зависимости g от h меняется:

Когда gh=g-h? Ясно, что одним из решений будет h=0. Второе решение таково:

Мы видим в решении уже знакомую нам формулу золотого сечения.
Золотое сечение в построении снежинок
Золотое сечение присутствует в строении всех кристаллов, но большинство кристаллов микроскопически малы, так что мы не можем разглядеть их невооруженным глазом. Однако снежинки, также представляющие собой водные кристаллы, вполне доступны нашему взору. Все изысканной красоты фигуры, которые образуют снежинки, все оси, окружности и геометрические фигуры в снежинках также всегда без исключений построены по совершенной четкой формуле золотого сечения.


title: Скачать презентацию или конспект Логарифмы. Свойства логарифма

extracted_text:
ЛОГАРИФМ.  Свойства логарифма.
Работу выполнил:

ЛОГАРИФМЫ

  Во многих задачах требуется уметь решать уравнения вида
                     a =b.
 Для этого надо найти показатель степени по данным значениям степени и её основания. С этой целью рассмотрим понятие логарифма числа.
Определение логарифма
Логарифмом числа b>0 по основанию a>0, a ≠ 1 , называется показатель степени, в которую надо возвести число a, чтобы получить число b.
Логарифм числа b по основанию a обозначается
            logab
Основное логарифмическое тождество

          a    =b

Это равенство является просто другой  формой определения логарифма. Его часто называют основным логарифмическим тождеством.
Например:

1)3=log28, так как 2³=8;
                 __                                           ½               __
2)½=log3√3 , так как 3   = √ 3;
      log3 1/5
3)3       =1/5;

4)2=log√ 5 5, так как (√5)²=5.

Натуральный и десятичный логарифмы.

Десятичным называется логарифм, основание которого равно 10. Обозначается lg b, т.е. lg b=log10 b.

Натуральным называется логарифм, основание которого равно e. Обозначается ln b, т.е. ln b=loge b.

              Свойства логарифма
Из определения следует, что логарифм определен лишь для положительных чисел. Причем без доказательства, что логарифм определен для любого положительного действительного числа.
Сформулируем основные свойства логарифмов.
Пусть a,x1,x2 и x- положительные действительные числа, причем a≠1.

Основные свойства логарифма:
1)loga(bc)=loga b +loga c
2)loga (b/c)= loga b –loga c
3)logaa=1
4)loga1=0
                      n
5)logab =n loga b
6)log n b=1/n logab
            a

Например:
1) log8 16+log8 4= log8(16•4)=
      = log864= 2;
2) log5 375– log5 3= log5 375/3=
     = log5 125= 3;              _
3) ½log3 36+ log3 2- log3√6-
    -½ log38=log3√36+ log3 2-
    -(log3√6+log3√8) =
    =log3 12/4 •√3=log3√3= ½.
Формулы перехода от логарифма по одному основанию к логарифму по другому основанию:

1)logab=logcb/logca;

2)logab=1/logba;

Логарифмирование и потенцирование

Логарифмированием называется математическая операция, с помощью которой, зная число, определяют логарифм этого числа.
Потенцированием называется математическая операция, с помощью которой, зная логарифм числа, определяют само число.


title: Скачать презентацию или конспект Шкалы и координаты. Решение упражнений

extracted_text:
      МАТЕМАТИКА        5 КЛАСС
Шкалы и координаты.
Решение упражнений
План урока:
Проверка домашнего задания
Проверка знаний
Решение упражнений
Задание на дом
ПРОВЕРКА   Д/З
Вопросы:
1.Что называют делением?
2.Что называют шкалой?
3.Что такое единичный отрезок?
4.Что называют координатным лучом?
5.Как записывается координата точки?
          Покажите на рисунке

Проверка  Д/З
№ 111 Начертите в тетради отрезок, длина которого 24 клетки. Над одним концом отрезка напишите число 0, над другим – 12.  Разделите отрезок штрихами на 12 равных частей и расставьте на полученной шкале  числа 6, 7, 10 и 11.

№ 113Выразите в килограммах:
3 т 100 кг =
4 т 20 кг   =
1 т 3 ц      =
5 ц 30 кг   =
3 т 4 ц 60 кг =
17 ц 8 кг  =
3 100
4 020
1 300
530
3 460
1 708
№ 119
Начертите координатный луч и отметьте на нем точки:
а) А(0), В(1), С(3), D(6), ед.отрезок 1 см;
б) К(0), Е(1), М(2), Р(4), ед.отрезок 3 клетки.
ПРОВЕРКА  ЗНАНИЙ
1. ЗАПИШИТЕ  В  ТЕТРАДИ   КООРДИНАТЫ  ТОЧЕК:

А(2,5)
В(3,5)
С(5)
2.Куда попадет точка А, если её сместить на два единичных отрезка влево?

8
6
РЕШЕНИЕ  УПРАЖНЕНИЙ
№ 118,   110,   121,   112

Домашнее задание
№ 120, 137, 138,  142


title: Скачать презентацию или конспект Одночлен

extracted_text:
Одночлен
ОдночленПрежде всего вспомним, что такое ОДНОЧЛЕН. Рассмотрим выражения 5а2х, 2b3(-3)bc2, -3a7, xy2, все они являются произведениями чисел 5; 2; -3, переменных a, b, x, y и их степеней a2, b3. Такие выражения называются одночленами. Одночленами также считают числа, переменные и их степени. -7, 23, -x, y2 - одночлены.Одночленаминазывают выражения состоящие из чисел, переменных и их степени, а так же произведений чисел, переменных и их степенейПример: Какие из выражений являются одночленами? 3,4х2у - выражение состоит из произведения числа, двух переменных и их степеней, это одночлен. х2+х - не одночлен, т.к. выражение представлено суммой двух переменных. -m - одночлен, состоящий из переменной.
Cтандартный вид одночлена
Представим одночлен 2b3(-3)bc2, в виде произведения числового множителя,стоящего на мервом месте, и степеней различных переменных. 2b3(-3)bc2=2(-3)b3bc2=-6b4c2.
-6b4c2 - одночлен стандартного вида. К одночленам стандартного вида относят одночлены -7, 23, -x, y2.Стандартным видом одночленаназывают одночлен в виде произведения числового множителя, стоящего на первом месте, и степеней различных переменных
Пример: Записан ли в стандартном виде одночлен? 3,4х2у - это стандартный вид, т.к. первый множитель в произведении число 3,4 и переменные не повторяются. х2х - не стандартный вид, т.к.повторяется переменная х, приведем к стандартному виду x3 -m - одночлен стандартного вида.

Коэффициент одночлена
В предыдущих пунктах мы выяснили какой вид называют стандартным одночленом. Отметили, что любой одночлен можно привести к стандартному виду. Рассмотрим понятие относящееся к стандартному виду одночлена. Одночлен 5а2х записан в стандартной форме, его числовой множитель 5, называют коэффициентом одночлена.
Коэффициентом одночленаназывают числовой множитель одночлена, записанного в стандартном виде
Пример: Назовите коэффициент одночлена 3х2у - коэфициент равен 3. х2 - коэффициент равен 1. -3а4b - нельзя назвать коэффициент равен, т.к. одночлен не представлен в стандартном виде. -m - коэффициент равен -1.

Степень одночлена
В этом пункте мы обратимся к степени одночлена. В одночлене 7а2х3у сумма показателей степеней всех переменных равна 6. Эту сумму называют степенью одночлена 7а2х3у
Степенью одночленаназывают сумму показателей степеней всех входящих в него переменных.

Пример: Определите степень одночлена 3х2у - степень равна 3. -9b4 - степень равна 4. -x - степень равна 1. -3 - степень равна 0.Если одночлен не содержит переменных (является числом), то его степень считают равной нулю

Закрепление
Выясните, является ли данное выражение одночленом.
2а6b
1
а2bc32
2(с2+b2)
18m6
6m3
-0,3c6b

2. Записан ли в стандартном виде одночлен?
2а6b
6cdс2
 -d63
(-2)3unzn
18m6
                                            6m3

3. Отметьте число, которое является общим множителем числителя и знаменателя
2х                                10хz
3х                                15yz
24ac                                -aх
36a2c2                         -xy
4. Определите степень одночлена

6cdс2
un(-x)3zn
d6(-k3)
-0,3c6b
-73*4t8
Самостоятельная работа
1. Выполните возведение одночлена в степень:
( -4x5y2)2
2. Выполните возведение одночлена в степень: -(0,3а4b3 )2
3. Упростите выражение: 2а6b * ( -4a2b5)
4. Упростите выражение: -3x5y * 0,5xy6
5. Преобразуйте выражение в одночлен стандартного вида : ( 3/4x4y)2 * ( -2xy2)3


title: Скачать презентацию или конспект Умножение обыкновенных дробей

extracted_text:
Открытый урок по теме «Умножение обыкновенных дробей».
Учитель Ващенко М.А.
Тема урока: Умножение обыкновенных дробей.
Цели урока:
Проконтролировать знания с помощью теста по теме «Координатная плоскость»;
Познакомить с алгоритмом умножения обыкновенных дробей;
Закрепить полученные знания с помощью самостоятельной работы.
Устная работа
 -14+13
22-12
-23-4
-16+(-7)
66-99
-100+100
15-(-15)
-(-4)+44
-(-56)-16
25-(-2)
- (+5)+25
-88-22

Устная работа
Что такое координатная плоскость?
Что такое система координат?
Как называется горизонтальная прямая, образующая систему координат?
Как называется вертикальная прямая, образующая систему координат?
Укажите абсциссу и ординату точки В(5;8).

Координатная плоскость
Какие координаты у данной точки?
          Д) (6;5);    Б)(5;6);   В)(4;5)

                                       Y
X
0
1
1
Тест по теме «Координатная плоскость».
  Тест решен правильно, если в итоге получилось слово «Декарт»,   имя великого французского ученого Рене Декарта(1596-1650). Ввел координатную прямую в1637г.
Изучение нового материала.
Найдем площадь прямоугольника со сторонами 2/3 и 5/7.

На сколько частей разделены стороны квадрата?
На сколько ровных прямоугольников разделен квадрат?
Какую часть площади квадрата составляет площадь одного такого прямоугольника?
Какую часть площади квадрата составляет площадь заштрихованного прямоугольника?

5/7

2/3
Вычислим площадь прямоугольника, используя правило умножения обыкновенных дробей:
Произведение обыкновенных дробей – это дробь, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель – произведению знаменателей данных дробей.

При умножении смешанных чисел их надо сначала превратить в неправильные дроби.
Работа у доски
№446
№451
№454
Домашнее задание
№ 447
№455
Контролирующая дифференцируемая самостоятельная работа.


title: Скачать презентацию или конспект Док-ва Теоремы Пифагора

extracted_text:
Доказательства Теоремы Пифагора
Доказательства
Пусть ABC — данный прямоугольный с треугольник с прямым углом С. Проведем высоту CD из вершины прямого угла С (рис. 6). По определению косинуса угла (косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе) cosA=AD/AC=AC/AB. Отсюда ABxAD=AC* AC. Аналогично cosB=BD/BC=BC/AB. Отсюда ABxBD=BC*BC. Складывая полученные равенства почленно, и замечая, что AD+DB=AB, получим: AC*AC+BC*BC=AB(AD + DB)=AB*AB. Теорема доказана.


title: Скачать презентацию или конспект Задания по теореме Пифагора

extracted_text:
Тема урока:
 « Применение
теоремы  Пифагора
при решении задач»

«Геометрия владеет  двумя сокровищами: одно из них – это теорема Пифагора».
Иоганн Кеплер
 Закончите предложение:
Прямоугольным треугольником называется треугольник, у которого один из углов равен   ____
90°

Стороны треугольника, образующие прямой угол, называются _________
 Закончите предложение:
катетами
Сторона  треугольника, лежащая против прямого угла, называется
____________

 Закончите предложение:
гипотенузой
В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен
____________

 Закончите предложение:
сумме квадратов катетов
Сформулированное выше предложение носит название
____________

Теорема Пифагора
c² = a² + b²
Если в треугольнике квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других сторон , то такой треугольник –
____________

 Закончите предложение:
прямоугольный

S = ½ d1 d2

S = a²
S = a b
S = ½ a h
S = ah
Проведите линии так, чтобы соответствие между фигурой и формулой вычисления её площади было верным
S =½ (a +b)h

S = ½ a b

Долина устных задач
Остров  Незнаек
Полянка
Здоровья
Крепость  Формул

Историческая тропинка

Долина устных задач

Н
S
    Р
12 см
9 см
  15 см
  ?
Найдите: SP

К
?
12 см
13 cм
N
   М
Найдите: КN
 5 cм

В
?
   8 см
17 см
А
   D
    С
Найдите: АD
 15 cм
Остров  Незнаек
Задача
индийского математика XII века Бхаскары
"На берегу реки рос тополь одинокий.Вдруг ветра порыв его ствол надломал.Бедный тополь упал. И угол прямойС теченьем реки его ствол составлял.Запомни теперь, что в этом месте рекаВ четыре лишь фута была широкаВерхушка склонилась у края реки.Осталось три фута всего от ствола,Прошу тебя, скоро теперь мне скажи:У тополя как велика высота?"
   Из одной точки на земле отправились в путь автомобиль и самолет . Автомобиль преодолел расстояние 8 км, когда самолет оказался на высоте 6 км. Какой путь пролетел самолёт в воздухе с момента взлёта?
Задача

8 км
6 км
? км
Решаем  по учебнику
задачу №  494 ( стр. 133)

Полянка
Здоровья
(580 - 500 г. до н.э.)
Пифагор

Дабы познать науки, Пифагор много путешествовал,  в одной из греческих колоний Южной Италии в городе Кротоне он организовал кружок молодежи из представителей аристократии, куда принимались с большими церемониями после долгих испытаний. Каждый вступающий отрекался от своего имущества и давал клятву хранить в тайне учения основателя. Так возникла  знаменитая
 «Пифагорейская школа».
Пифагорейцы занимались математикой, философией, естественными науками. Ими было сделано много важных открытий в арифметике и геометрии.
Однако, в школе существовал Декрет, по которому авторство всех математических работ приписывалось Пифагору.
Пентаграмма – это звездчатый пятиугольник, который образован диагоналями правильного пятиугольника.
Вид пятиконечной звезды имеют цветы, морские звезды и многие другие создания природы.
«Штурмуем»
Крепость Формул
Проверь друга!
I вариант
II  вариант
Ещё землемеры Древнего Египта для построения прямого угла использовали веревку, разделенную узлами
на 12 равных частей
Дома  решить задачи :
П. 54, 55         № 495  ( б , в)
                №  515
                     Старинную  задачу
(см. рис.)

Спасибо
за
урок!


title: Скачать презентацию или конспект Векторы

extracted_text:
ГЕОМЕТРИЯ-9

Векторы

ТЕМА:
pptcloud.ru

НАЧАЛО
КОНЕЦ

А
В

НАЧАЛО
КОНЕЦ
ВЕКТОР
ВЕКТОР —
 это направленный отрезок, для которого указаны, какая точка считается началом, а какая концом

А
В

КОЛЛИНЕАРНЫЕ ВЕКТОРЫ —
это векторы, лежащие на одной или на параллельных прямых

d

это векторы, имеющие одно направление
СОНАПРАВЛЕННЫЕ ВЕКТОРЫ —
это векторы, имеющие противоположные направления
ПРОТИВОПОЛОЖНО НАПРАВЛЕННЫЕ ВЕКТОРЫ —
а

b

а

в

с

d

с
d

это сонаправленные векторы, имеющие равные длины
РАВНЫЕ ВЕКТОРЫ -
2) I а I = I b I
Выполните задание:
 ABCD – прямоугольник, точка О -точка пересечения диагоналей.
 Найдите по данному рисунку:
пары коллинеарных векторов;
пары сонаправленных векторов;
пары противоположно направленных векторов;
пары равных векторов.
Тест по теме :
ВЕКТОРЫ

Сложение векторов по правилу треугольника
Сложение векторов по правилу параллелограмма
Разность векторов

Сложение векторов по правилу многоугольника
Произведение  вектора на число

СЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ  (правило треугольника)

Даны два вектора:
Сумма двух векторов:

А

.
СЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ (правило параллелограмма)

Даны два вектора:
Сумма двух векторов:

А

СЛОЖЕНИЕ НЕСКОЛЬКИХ ВЕКТОРОВ
(правило многоугольника)
Даны векторы:
 A .

a

b

с

d

e

a+b+c+d+e

Сумма нескольких векторов:

ВЫЧИТАНИЕ ВЕКТОРОВ

Даны два вектора:
Разность векторов:
А

А .
УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРА НА ЧИСЛО

а

0,5а

В  .

2 а

а

а

С  .

а

-а

Дан вектор:
Произведение вектора на число:
Начертите два неколлинеарных вектора х  и у  и постройте векторы:
х + 2 у;
2) ½ у + х;
3) 3 х + ½ у;
4) 1 ½ х – 3 у;
5) 0 х + 4 у;
6) -2 х + 0 у.

Спасибо за работу!
Ушенина
Татьяна
Петровна
АВТОР:
учитель математики
I квалификационной категории
МБОУ "Старокопская
основная общеобразовательная школа"
Каратузкого района
Красноярского края
Телефон (39-137) 31-4-30


title: Скачать презентацию или конспект Математический диктант № 8

extracted_text:
2 классМатематический диктант № 8
Выполнила
Кирилова С.Г.
Учитель начальных классов
Школы «Ученики Пифагора»
г. Лимассол, р.Кипр.
В классе 14 мальчиков.
Их на 3 человека больше,
чем девочек.
Сколько всего
 учеников в классе?
Запишите  число,
которое на
две единицы
больше 4 десятков.
К числу 36
 прибавить сумму
 двух семёрок.
На сколько нужно
уменьшить число 70,
чтобы получить
 сумму чисел 20 и 30?
Один  арбуз легче
 другого на 2 кг
и  весит 5 кг.

Сколько весят
 оба арбуза?
Купили 3 кг груш и яблоки.

Сколько всего кг фруктов купили,
если яблок купили на 2 кг больше,
чем груш?

Каждому из 2 внуков
бабушка дала
 3 яблока.

Сколько  всего яблок
 сорвала бабушка,

 если в корзине осталось
ещё 5 яблок?
11 фломастеров составляют
половину коробки.
Сколько всего
 фломастеров в коробке?

7 см
1дм 5 см
Отрезок длиной 7 см увеличили
и  получили отрезок
длиной 1дм 5см.
На сколько см увеличили отрезок?
Какое число на 7 меньше
 суммы чисел 30 и 20 ?
ПРОВЕРЬ СВОИ ОТВЕТЫ:
25, 42, 50, на 20, 12,
8, 11, 22, на 8, 43
Огромная благодарность
автору сборника
ГОЛУБЬ ВАЛЕНТИНЕ ТИМОФЕЕВНЕ
за кропотливую и  системную работу.


title: Скачать презентацию или конспект Параллелограмм

extracted_text:
Параллелограмм
Геометрия, 8 класс

Учитель Гончаров О. Н.
МОУ «Верхопенская средняя общеобразовательная школа имени М. Р. Абросимова»
Виды четырехугольников
Четырехугольник:

Произвольный

Трапеция

Параллелограмм

		произвольный

		прямоугольник или ромб

		квадрат
Параллелограмм
Определение
Признак
Свойства диагоналей

А
B
C
D
O
Признак параллелограмма
Теорема
Доказательство

А
B
C
D
O

1
2

3
4
Свойства диагоналей параллелограмма
Теорема
Доказательство

А
B
C
D
O

C
1

Свойство отрезков прямой, проходящей через точку пересечения диагоналей параллелограмма
Теорема
Доказательство
Следствие (об отрезках на сторонах параллелограмма)

А
B
C
D
O

E
F

1
2

4
3

Свойство противолежащих сторони углов параллелограмма
Теорема. У параллелограмма противолежащие стороны равны, противолежащие углы равны.

А
B
C
D
O

1
2

Свойство противолежащих сторони углов параллелограмма
Теорема. У параллелограмма противолежащие стороны равны, противолежащие углы равны.

А
B
C
D


title: Скачать презентацию или конспект Развитие геометрии

extracted_text:
Развитие геометрии
Автор: Комракова София Андреевна;
Руководитель: Колесниченко Ольга Викторовна;
Журавенская СОШ;
2010 г.
Геометрия
Геометрия – одна из наиболее древних наук. Первые геометрические факты найдены в Вавилонских клинописных  таблицах и Египетских папирусах III тысячелетия назад. Геометрия, как и всякая наука, возникла под влиянием жизненных потребностей. Необходимость их повседневного удовлетворения ставит человека перед целым рядом вопросов о форме окружающих  его предметов, вычислениях, связанных с землемерием, строительным делом и т. д. «Геометрия» в переводе с греческого означает «землемерие». Это указывает на источник её происхождения.  Геометрия изучает фигуры и их свойства. Знания  о геометрии широко применяются в металлургии, строительстве. Также геометрия используется для изучения других наук.
Геометрия тесно связанна с потребностями человека. Она применяется для украшения предметов быта, строительства   зданий, хозяйственных построек, храмов,  погребальных памятников, в сельском хозяйстве, и т. п..
Это украшения, изготовленные на основе геометрических знаний
Как возникла геометрия.
Каменные орудия
  Кристаллы минералов
Первобытные люди, овладевая окружающим миром, знакомились с простейшими геометрическими формами. Например, знакомясь с кристаллами различных минералов, люди одновременно знакомились с  разными формами. А узнавая эти формы,  из них изготавливали каменные орудия.

Изготовление горшка
Астроном, следящий  за  звёздами

Для того чтобы взимать налоги за землю, надо было знать площади  полей.
Гончару надо было знать, какую форму придать горшку  или амфоре, чтобы в них входило определенное количество жидкости.
Астрономы должны были научиться определять положение звёзд на небе. Для этого нужно было измерять углы.
Так  практическая деятельность людей привела к дальнейшему развитию геометрии

Геометрия в древнем Египте
Геометрия зародилась примерно за 10 веков до нашей эры, а произошло это в Древнем Египте и связано было с потребностью справедливо распределять землю между их владельцами после разлива Нила.
 Египтяне были отличными инженерами и архитекторами. Строительство пирамид – дело сложное и  не простое, даже в наше время, а ведь у них не было ни строительных кранов, ни домкратов. Все пирамиды имеют совершенно одинаковую  правильную форму. Одна сторона пирамиды всегда обращена точно на восток, другие - на север, запад, юг. Построить правильную пирамиду очень сложно. Секреты строительства египетских пирамид не раскрыты до сих пор.
 Египтяне правильно определяли площади таких прямоугольных фигур, как треугольник, прямоугольник, квадрат и трапеция
Египетские пирамиды - одно из семи чудес света.
Геометрия в Вавилоне
		Жителям Вавилона пришлось труднее, чем жителям Египта. Так как их государство находилось между двумя реками: Евфрат и Тигр, которые разливались очень бурно, то для защиты населения и земель от наводнений  они строили дамбы, обносили поля и селения насыпями. А  для строительства всяких больших сооружений нужны знания.

Дамбы
Карта Вавилона
		Вавилонские ученые изучали свойства окружности. Учились измерять длину окружности. Вот как они поступали:  чертили окружность и два квадрата: один – так, чтобы его углы упирались в окружность изнутри, второй квадрат побольше рисовали так, чтобы окружность помещалась в нем. Потом измеряли длину сторон большого и меньшего квадратов (это легко сделать линейкой). Получившиеся числа складывали и делили пополам ,и это число считалось длиной окружности.							К задачам, которые решали вавилоняне,  относятся и многие задания на определение длин площадей при делении земельных участков, объемов земляных выемок, хозяйственных построек.  Жители Вавилона внесли огромный вклад в последующее развитие геометрии.

 L=(Р1+Р2)/2
L – длина окружности
Р1 -  периметр большого квадрата
Р2 - периметр малого квадрата
Геометрия в Греции
Свой путь, как наука, геометрия начала в Греции.  Греки удивлялись почему в Египте и Вавилоне не занимались исследованием теории.
Они задавались такими вопросами: почему в равнобедренном треугольнике углы при основании равны, почему площадь треугольника равна половине площади прямоугольника при одинаковых основаниях и высотах.
Греки были удивительным и умным народом, у которых многому учатся даже сейчас, спустя тысячи лет.
Пожалуй, никто в истории человечества не сделал столько же открытий, сколько сделали греки.
Фалес Милетский
Фалес Милетский  был одним из великих  греческих учёных,(640 - 548 г.г. до н.э.).
Он принадлежал к числу «семи  мудрецов» античного мира и считался  основателем  ионийской школы. Фалес посетил Египет, там он познакомился с астрономией и геометрией. Легенда рассказывает о том, что Фалес привел в изумление египетского царя Амазиса, измерив высоту одной из пирамид по величине отбрасываемой ею тени.
В геометрии ему приписывают ряд утверждений:
1). Диаметр делит окружность (круг) пополам;
2). Теорему о равенстве вертикальных углов;
3). Углы при основании равнобедренного треугольника равны;
4). Второй признак равенства треугольников;
5). Теорему о том, что угол, вписанный в полукруг, прямой.
 Фалес мыслил  углы не как величины, а как фигуры, имеющие некоторую форму.

Евклид
Демокрит
Гиппократ
Евклид( ок.365 - ок. 300 г. до н. э.) жил в Александрии в эпоху, когда  там образовался наиболее крупный центр греческой научной мысли. Опираясь на труды своих предшественников , среди которых были Фалес и Пифагор, Демокрит и Гиппократ, Архит, Теэтет, Евклид создал «Начала». Его «Начала» состояли из 13 книг: I –VI  книги посвящены планиметрии; VII – X  учению о числе;  XI – XIII – стереометрии.
«Составитель Начал» — это прозвище. Оно сделалось как бы собственным именем, под которым все позднейшие греческие математики разумели Евклида, а его «Начала» сделались учебником, по которому в течение двух тысячелетий учились геометрии юноши и взрослые.
 До XIX  в. в школах всего мира  геометрия преподавалась по «Началам» Евклида. Изложение и методы  доказательства  многих теорем в современных  учебниках те же, что в « Началах».
Пифагор
Пифагор Самосский (570 – 500 . до н. э.) — древнегреческий философ и математик. Родился на острове Самос в Эгейском море, в семье купца Мнесарха. Путешествуя с отцом, будто бы в возрасте 18 – 20 лет, они посетили старого тогда уже Фалеса, который и пробудил интерес юноши к математике и астрономии. Он посоветовал  ему поехать для основательного образования в Египет. Пифагор последовал совету. Затем был Вавилон и Индия. По возвращении на Самос, Пифагор основал свою школу. В городе Кротоне им был основан знаменитый пифагорейский союз, бывший одновременно научной школой, политическим и религиозным сообществом, в котором Пифагор почитался чуть ли не божеством.
Историю жизни Пифагора трудно отделить от легенд, представляющих его в качестве совершенного мудреца и великого посвящённого во все таинства  греков и варваров. Ещё Геродот называл его «величайшим эллинским мудрецом».
Пифагор не оставил сочинений, и все сведения о нём и его учении основываются на трудах его последователей.

Пифагорова школа
Школа была основана Пифагором в Кротоне (Южная Италия) и просуществовала до начала IV в. до н.э., хотя гонения на нее начались практически сразу после смерти Пифагора в 500 г.
По сути, это была первая философская школа - религиозно-философское аристократическое братство; она имела большое влияние на греческие полисы Южной Италии и Сицилии. Союз отличался строгими обычаями и высокой нравственностью.
Образ жизни пифагорейцев вошел в историю.  Как рассказывают легенды, учеников Школы всегда можно было узнать по их внешнему облику и благородному поведению..
Великая теорема Пифагора
« Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов» - так гласит великая теорема Пифагора.
Об этом было известно далеко до Пифагора в Древнем Вавилоне ( видимо они вычислили это с помощью расчётов) , но доказал теорему первым Пифагор. Его доказательство  не сохранилось.
Зато сейчас существует  более 400 доказательств  этой теоремы. Возможно, среди них есть и пифагорово доказательство.
Геометрия новых веков
Последним греческим представителем геометрии был Прокл. Гибель античной культуры, как известно, привела к глубокому упадку науки, продолжавшемуся около 10 веков, до эпохи Возрождения. Однако это не значит, что развитие математики в это время совершенно заглохло. Посредниками между эллинской и новой европейской наукой явились арабы.
 В условиях быстрого развития торговли, мореплавания и строительства начинала быстро развиваться арабская наука, в которой математика играла главную роль. Однако арабская математическая наука была основана не столько на геометрии сколько на алгебре и арифметике. Арабы усовершенствовали систему  счисления  и основы алгебры. Но в геометрии особых достижений у них не было.

Геометрия  Лобачевского
Особый интерес математиков всегда вызывала пятая аксиома о параллельных прямых. В отличие от остальных аксиом элементарной геометрии, аксиома параллельных не обладает свойством непосредственной очевидности. Поэтому на всем протяжении истории геометрии имели место попытки доказать аксиому параллельных, то есть вывести ее из остальных аксиом геометрии.

Лобачевский первым отчетливо сформулировал и обосновал утверждение о том, что пятый постулат Евклида нельзя вывести из остальных  аксиом  геометрии.

 Лобачевский  построил новую геометрию на плоскости и в пространстве, откинув постулат Евклида, заменив его другим, прямо противоположным по смыслу: “Через точку А вне прямой а в плоскости, определяемой точкой А и прямой а, проходит по крайней мере две прямые с и в не имеющие общей точки с прямой а”.

 Лобачевский показал, что его геометрия может быть с пользой  приложена в математическом анализе: он вычислил много интегралов, которые до него не поддавались вычислению

      Неевклидова геометрия
Нельзя сказать, что неевклидова геометрия единственно правильная. На данный момент к ней нет никаких претензий. Но, может быть, через много лет она устареет. Так или иначе, но наука никогда не будет стоять на месте.
Геометрия Лобачевского не единственная, существуют и другие, например, геометрия Римана:
Геометрия Римана  - многомерное  обобщение геометрии  на  поверхности,  представляющее собой  теорию  римановых  пространств,  т. е. таких  пространств,  где  в  малых  областях приближённо  имеет  место  евклидова геометрия  (с точностью  до  малых  высшего порядка  сравнительно  с  размерами  области). Геометрия Римана  получила  своё  название  по имени  Б. Римана, который  заложил  её  основы в  1854.

Вот так развивалась геометрия. В современном мире учёные - геометры достигли              небывалых высот.

Спасибо за внимание!


title: Скачать презентацию или конспект Свойства логарифмов

extracted_text:
Свойства логарифмов
Подготовил
Учитель математики СШ№12
Пышкин К.А.
Цель
Закрепить понятие логарифма числа
Повторить основное логарифмическое тождество, основные свойства логарифмов
Свойства логарифмов
1)

2)

3)

4)

5)
6)
7)

Устно
1)

2)

3)

4)

1
1
2
1
Самостоятельная работа
 Вариант 1.1) Закончите предложение: «Логарифм числа – это …» (десятичный логарифм – это).
2) «Логарифм частного равен …»
3) Записать формулу перехода от одного основания к другому.
4) Вычислить.

Вариант 2.
1) Закончите предложение: «Логарифм произведения равен…»
2) «Логарифм степени равен …»
3) Записать основное логарифмическое тождество.
4) Вычислить

Подготовка к ЕНТ

Вычислите
  A) 16
 B) 5
 C) 1
  D) 25
E) 4

Вычислите
  A) 4
  B) 3
     C) 1/3
  D) 1
     E) 1/4
Прологарифмируйте выражение  100
 по основанию 10
A) lg a
B) 2.5 + lg a
С) 2 + ½ lg a
D) 2.5 + ½ lg a
E) 3.5 + lg a
Найдите х, если logх81 = 4
A) 1/2
B) 1/3
C) 2
D) 3
E) 1
Найдите значение выражения lg8 + lg125
A) 3
B) 5
C) 2
D) 1
E) 10
Найдите значение выражения lg15 - lg150
A) 10
B) 1
C) -10
D) -1
E) 5
Домашнее задание

Уровень - А
Найдите значение выражения lоg47 . lоg492 . log216
Уровень –В
Найдите значение выражения

Уровень – С
Упростите выражение log57.log49125


title: Скачать презентацию или конспект Математическая чехарда

extracted_text:
Математическая чехарда
8 класс

1. За чем вода в стакане?
2. Будильник в средневековье.
3. По чему лампа вкручивается?
4. Ледяная корка на дороге.
5. Бумажный летательный аппарат.
6. Его задача – просто вертеться.
7. Кому на кухне постоянно отворачивают голову?
8. - 4,5 км по-французски - это ...

1. За стеклом.
2.  Петух.
3. По винтовой нарезке.
4.  Наледь.
5.Змей.
6. Волчок.
7. Водопроводному крану.
8. Лье.

Задачи-шутки
1  ответ – 1  балл
Сосчитайте количество треугольников на чертеже

3 балла
 Каким образом положить в подарки 45 морских ракушек так, чтобы их в каждом подарке было разное число?
Математический факт
3 балла
В этом конкурсе,
кто последний закончит,
тот и выиграет.
Капитаны по очереди называют математические термины
Конкурс
капитанов
СООБРАЗИЛКИ5 баллов
 Одна кастрюля вдвое выше другой, зато вторая вдвое шире первой, в какую из них больше войдет воды?
В широкую войдет вдвое больше

Расставьте числа в клетки так, чтобы все произведения по вертикали, горизонтали, диагонали были
положительное число
+ 6
+ 2
- 3
+ 4
- 5
- 1
- 7
+ 8
- 9
отрицательны
3 балла
Вопрос–загадка
      Вы зашли в темную кухню, где есть свеча, газовая плита и керосиновая лампа. Что вы зажжете в первую очередь?
3 балла
Спичку
За каждую песню –
1 балл команде
Аукцион
песен
Расставьте числа в клетки так, чтобы все произведения по вертикали, горизонтали, диагонали были
положительное число
- 6
+ 2
- 3
- 4
+ 5
- 1
- 7
+ 8
- 9
положительны
3 балла
Зачеркните лишний термин
1. Бейсик, французский, Си, Паскаль, Ассемблер.
2. Драйвер, принтер, монитор, графопостроитель.
3. Умножение, удаление, вычитание, сложение, деление.
4. Дискета, CD-ROM , таймер, винчестер, магнитная
лента.
5. Альфа, мягкий знак, омега, гамма, пи.
6. Евклид, Пифагор, Менделеев, Архимед, Фалес.
7. Файл, правка, закраска, сервис, вид, вставка.
8. Арифмометр, счеты, пишущая машинка,  компьютер.
9. Вирус, синус, косинус, тангенс.
10. Сантиметр, килобайт, бит, терабайт

3 балла
Болельщики от каждой команды по очереди загадывают загадки с числами
За каждую пословицу –
1 балл команде
Футбольный турнир
   В футбольном турнире участвует 10 команд. Все команды должны сыграть друг с другом.
   Сколько игр пройдет в турнире?
    а)  100
   б)  45
   в)  90
2 балла

    В группе 40% ребят имеют плохое зрение. 70% из них носят очки,
   остальные 30% носят контактные линзы.
   Общее число ребят в очках - 21.
Что верно:
     (А) 30 человек имеет плохое зрение
     (В) 30 человек имеет хорошее зрение
     (С) всего в группе 100 человек
     (D) 10 человек носят линзы
     (Е) ни один ответ не подходит
2 балла
Шарики в мешке
В мешке лежат шарики двух разных цветов. Какое наименьшее число шаров нужно вынуть из мешка, чтобы среди них обязательно оказалось 2 шарика одного цвета?
                              а) 1 шарик
б) 2 шарика
в) 3 шарика
2 балла
Почему мы так говорим?
Что означает выражение «семь раз отмерь, один раз отрежь»?

Что означает выражение «время истекло»?

При каких обстоятельствах мы восклицаем «Эврика!»?

  1 балл  – за ответ


title: Скачать презентацию или конспект Тела Платона

extracted_text:
Тела Платона

                    содержание
Правильные многогранники (тела Платона)
Тетраэдр
Гексаэдр
Октаэдр
Додекаэдр
Икосаэдр
Историческая справка
Где можно увидеть?

Правильных многогранников вызывающе мало…    Л.Кэролл
     Выпуклый многогранник называется правильным , если все его грани- равные  правильные многоугольники ,и в каждой его вершине сходится одинаковое количество ребер.

Правильные многогранники

тетраэдр
Тетраэдр-многогранник, состоящий из четырех правильных треугольников.
Он имеет 4 грани, 4 вершины,6 граней.
Тетраэдр

гексаэдр
Гексаэдр – многогранник, состоящий из шести квадратов.
Он состоит из 6 граней, 8 вершин,12 ребер.

Гексаэдр

октаэдр
Октаэдр – многогранник, состоящий из восьми правильных треугольников.
Он состоит из 8 граней, 6 вершин, 12 ребер.
Октаэдр

додекаэдр
Додекаэдр – многогранник, состоящий из двенадцати правильных пятиугольников.
Он имеет 12граней, 20 вершин, 30 ребер.
Додекаэдр

икосаэдр
Икосаэдр  - многогранник, состоящий из двадцати правильных треугольников.
Он имеет  20 граней, 12 вершин, 30  ребер.

Икосаэдр

Названия правильных многогранников пришли из Греции. В дословном переводе с греческого "тетраэдр", "октаэдр", "гексаэдр", "додекаэдр", "икосаэдр" означают: "четырехгранник", "восьмигранник", "шестигранник". "двенадцатигранник", "двадцатигранник". Этим красивым телам посвящена 13-я книга "Начал" Евклида. Их еще называют телами Платона, т.к. они занимали важное место в философской концепции Платона об устройстве мироздания. Четыре многогранника олицетворяли в ней четыре сущности или "стихии". Тетраэдр символизировал огонь, т.к. его вершина устремлена вверх; икосаэдр - воду, т.к. он самый "обтекаемый"; куб - землю, как самый "устойчивый"; октаэдр - воздух, как самый "воздушный". Пятый многогранник, додекаэдр, воплощал в себе "все сущее", символизировал все мироздание, считался главным.

Историческая справка

где можно увидеть?
правильные многогранники

Правильные многогранники - самые выгодные фигуры. И природа этим широко пользуется. Кристаллы некоторых знакомых нам веществ имеют форму правильных многогранников. Так, куб передает форму кристаллов поваренной соли NaCl, монокристалл алюминиево-калиевых квасцов (KAlSO4)2 12Н2О имеет форму октаэдра, кристалл сернистого колчедана FeS имеет форму додекаэдра, сурьменистый сернокислый натрий - тетраэдра, бор - икосаэдра. Правильные многогранники определяют форму кристаллических решеток некоторых химических веществ.


title: Скачать презентацию или конспект Площадь многоугольников

extracted_text:
“Площадь многоугольников”
Подготовила Топорищева Катя
8 Класс
Площадь правильного многоугольника, формула
Для того чтобы вычислить площадь правильного многоугольника его разбивают на равные треугольники с общей вершиной в центре вписанной окружности. А площадь правильного многоугольника равна произведению его полупериметра радиус вписаной окружности правильного многоугольника

Содержание
1.Площадь прямоугольника равна произведению его сторон
2.Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, проведенную к этой стороне
3.Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на проведенную к ней высоту
3.Площадь трапеции равна произведению полусуммы его оснований на высоту
Доказательство
Пусть ABCD и AB1C1D – два прямоугольника с общим основанием AD
Пусть S и  – их площади. Докажем, что   Разобьем сторону AB прямоугольника на некоторое число n равных частей, каждая из которых равна   Пусть m – число точек деления, которые лежат нa стороне AB1. Тогда   Отсюда, разделив на AB, получим   (*)
Проведем через точки деления прямые, параллельные основанию AD. Они разобьют прямоугольник ABCD на n равных прямоугольников. Каждый из них имеет площадь   Прямоугольник  содержит первые m прямоугольника, считая от стороны AD, и содержится в m + 1 прямоугольниках. Поэтому   Отсюда   (**)

Сравнивая неравенства (*) и (**), заключаем, что   При этом   и  – фиксированные числа, а n может быть выбрано сколь угодно большим. Следовательно, неравенство возможно только при   Возьмем теперь единичный квадрат, прямоугольник со сторонами 1, a и прямоугольник со сторонами a, b (рис. 13.2.2). Площадь прямоугольника со сторонами 1 и a обозначим  Сравнивая их площади, по доказанному будем иметь   и   Перемножая эти равенства почленно, получим S = a · b. Теорема доказана.
                                                                                стр 1
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
Пусть ABCD – данный параллелограмм. Если он не является прямоугольником, то один из его углов A или B острый. Пусть для определенности A острый.
Опустим перпендикуляр AE из вершины A на прямую CB. Площадь трапеции AECD равна сумме площадей параллелограмма ABCD и треугольника AEB. Опустим перпендикуляр DF из вершины D на прямую CD. Тогда площадь трапеции AECD равна сумме площадей прямоугольника AEFD и треугольника DFC. Прямоугольные треугольники AEB и DFC равны, а значит, имеют равные площади. Отсюда следует, что площадь параллелограмма ABCD равна площади прямоугольника AEFD, т.е. равна AE ·  AD. Отрезок AE – высота параллелограмма, соответствующая стороне AD, и, следовательно, S = a · h. Теорема доказана
                                                                       стр 2
Доказательство
Пусть ABC – данный треугольник .Дополним его до параллелограмма ABCD
Площадь параллелограмма равна сумме площадей треугольников ABC и CDA. Так как эти треугольники равны, то площадь параллелограмма равна удвоенной площади треугольника ABC. Высота параллелограмма, соответствующая стороне CB, равна высоте треугольника, проведенной к стороне CB. Отсюда следует утверждение теоремы, и  Теорема доказана.
                                                                стр 3

Доказательство
Пусть ABCD – данная трапеция
Диагональ AC трапеции разбивает ее на два треугольника: ABC и CDA. Следовательно, площадь трапеции равна сумме площадей этих треугольников. Площадь треугольника ACD равна   площадь треугольника ABC равна   Высоты AF и CE этих треугольников равны расстоянию h между параллельными прямыми BC и AD, т.е. высоте трапеции. Следовательно,   Теорема доказана.
                                                      стр 4


title: Скачать презентацию или конспект Задачи в координатах

extracted_text:
«Простейшие задачи в координатах. Скалярное произведение векторов»

Решение задач

Урок геометрии в 11 классе
Учитель: Бучилова Г.В.
5klass.net
Цели урока:
Образовательная;
Развивающая;
Воспитательная.
Образовательная:
Отработка навыков и умений решения простейших задач в координатах и решения задач на скалярное произведение векторов.
Развивающая:
Формирование умений выполнять обобщение; развитие качеств мышления: целенаправленность, рациональность; развитие самостоятельной деятельности учащихся на уроке.
Воспитательная:
Воспитание интереса и любви к предмету; умения работать в коллективе; культуры общения.
План урока:
Организационный момент.
Сообщение темы и цели урока.
Повторение: математический диктант с повторением теории.
Решение задач.
Тест с последующей проверкой.
Итог урока.
Оценка работ.
Задание на дом.
Повторение:
Найти координаты вектора АВ,
  если А (3; -1; 2) и
                     В (2; -1; 4).
Вопрос:
Как найти координаты вектора, если известны координаты его начала и конца?
Ответ:
   A ( x   ; y  ; z  )
                  B ( x   ; y  ; z  )
  AB { x   - x   ; y   -  y   ; z   -  z   }

1
1

2
2

1
2
1
2
1
1
2

2
Ответ:
 ( -1; 0; 2)
Повторение:
М – середина отрезка АВ. Найти координаты М, если   А (0; 3; 4) и
            В (-2; 2; 0)
Вопрос:
Как найти координаты середины отрезка?
Ответ:
   A ( x   ; y   ; z   )
              B ( x   ; y   ; z   )
C { ½ (x    + x    );  ½ (y   + y   );
         ½ ( z   + z   ) }

1
1
1
2
2
2
1
2
1
2
1
2
Ответ:
{ -1; 2,5; 2}
Повторение:
Найти длину вектора а, если он имеет координаты:
{-5; -1; 7}.
Вопрос:
Как вычислить длину вектора по его координатам?
Ответ:
Координаты вектора
a  { x  ; y ; z }
Длина вектора
/ a /  =  ( x    +  y  +  z   )
2
2
2
1/2
Ответ:
5 корней
квадратных из 3
Повторение:
Найти расстояние между точками А и В, если А (9; 3; -5)
            и В (2; 10; -5).
Вопрос:
Как вычислить расстояние между точками?
Ответ:
  A ( x   ; y  ; z  )
               B ( x   ; y  ; z  )
Вектор AB = [( x   - x   )  +
      + ( y  - y   )    + ( z   - z   )   ]
2
1
2
2
1
2
2
1
2
1/2
1
1
1
2
2
2
Ответ:
7 корней
квадратных  из 2
Повторение:
Найти скалярное произведение векторов:
   а {1; -1; 2} и в {5; 6; 2}.
Вопрос:
Что называется скалярным произведением векторов?
Ответ:
    Скалярным произведением двух векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними.
Вопрос:
 Как вычислить скалярное произведение векторов по их координатам?
Ответ:
      Вектор  a { x   ; y  ; z   },
       вектор в { x   ; y  ; z   }
Скалярное произведение
        векторов
                а в = x   x   + y  y  + z  z

1
1
1
2
2
2
1
2
1
2
1
2
Ответ:
3.

Решение задач:
Доказать, что четырехугольник ABCD является ромбом, если
  A (6; 7; 8), B (8; 2; 6),
  C (4; 3; 2), D (2; 8; 4).
Решение:

Решение задач:
№ 453.
Решение:

Решение задач:
Даны точки: А(1;2;3); В(2;3;1) и С(3;1;2). Найти периметр треугольника АВС.

Решение:

Решение задач:(по карточкам)
Найти расстояние между точками
    В(-2;0;3) и К(3;4;-2).
А(1;2;3) и В(3;-6;7). Найти координаты середины отрезка АВ.
Найти скалярное произведение векторов а{1;2;4} и в{-8;2;1}.
Найти угол между векторами a{1;2;-2} и
   в{1;0;-1}.
Тест:
  I. Если М (-2; -4; 5),
  Р (-3; -5; 2), то МР имеет координаты:
    1. (1; 1; 3);
    2. (-5; -9; 7);
    3. (-1; -1; -3).
Тест:
 II. Если А (5; 4; 0), В (3; -6; 2) и С – середина отрезка, то С имеет координаты:
    1. (4; -1; 1);
    2. (1; 5; -1);
    3. (-1; -5; 1).
Тест:
III. Если вектор а имеет координаты {-3; 3; 1}, то его длина равна:
    1. 1;
    2. кв. корень из 19;
    3. 0.
Тест:
IY. Если А(2; 7; 9), В(-2; 7; 1), то расстояние между точками А и В равно:
    1. 8;
    2. кв. корень из 149;
    3. 4 корней из 5.
Тест:
Y. Скалярное произведение векторов а {-4; 3; 0},
  в {5; 7; -1} равно:
    1.  0;
    2.  1;
    3.  41.
Тест:
YI. Угол между векторами
           a {2; -2; 0},  в {3; 0; -3} равен:
    1.  90    ;
    2.  60    ;
    3.  45   .
о
о
о
Проверка:
   3
   1
   2
   3
   2
   2
Итог урока:
Над какой темой работали?

Что повторили?
Оценка работ:
Краснобрыжева И.
Мельникова Е.
Музалев И.
Саблина К.
Теряева М.
Тужилина О.
Ягибеков Р.
Задание на дом:
Глава 5,
параграфы 1 – 2.