title: Скачать презентацию или конспект Решение уравнений 6 кл

extracted_text:
В класс вошел – не хмурь лица!Будь веселым до конца.Ты не зритель, и не гость, Ты программы нашей гвоздь.Не ломайся, не кривляйся,Всем законам подчиняйся.
Желаем удачи!
Посредством уравнений, теорем
Он уйму всяческих решал проблем:
И засуху предсказывал, и ливни.
По истине его познанья дивны.
Чосер Д.
Решение уравнений
6 кл.
Гарри Поттер
Усыпить трехголового пса
Как раскрыть скобки, перед которыми стоит знак «+»?
Как раскрыть скобки, перед которыми стоит знак «-» ?
Какие слагаемые называют подобными?
Чем могут отличаться друг от друга подобные слагаемые?
Что называют корнем уравнения?
Дьявольские силки

m +(m – k) =

2m - k
c +(-c + b) =
b

p – ( 1,4 – p) =
2p – 1,4
- 2(х – 3) =

- 2х + 6
- 4(- а + 7) =

4а - 28
Раскройте скобки, упростите выражение

4(3 – 2х) =
12 – 8х
Дьявольские силки
Обе части уравнения умножили на число, неравное нулю. Изменились ли корни данного уравнения?
Обе части уравнения разделили на одно и то же число отличное от нуля. Изменились ли корни данного уравнения?
Сформулируйте правило переноса слагаемых из одной части уравнения в другую.
Ключ
Решите уравнения:
1. 29x + 21x = 110
2. y – 12 = 2y – 7,5
3. 4 (1- 0,5a) = - 2(3+2a)
Шахматы
Шахматы
3,6 + 2x = 5x + 1,2
3a + 5 = 8a – 15
4x + 3x = 5x + 14
5 (x + 1,2) = 15
4 (3 – 2x) = 24
2(x – 3) = 4(x + 6)
2(3 + 2x) = 3(x + 4) + 1

Шахматы
5y + 21 = 4y + 27
7m – 11 = 10 m + 16
5,6 + 6x = 3x – 1,3
4(5x – 1) = 36
Ф
Р
А
Н
С
У
А
В
И
Е
Т
Историческая справка
Франсуа Виет
(1540-1603 гг.)
    французский математик, он был одним из первых, кто числа стал обозначать буквами, что существенно развило теорию уравнений.

Мы победили !
ДЕРЕВО ЖИЗНИ
"Всякий человек, который дружит с природой, счастлив. Дерево без корней не растет - оно сохнет и погибает. Природа - это наши корни, начало начал нашей жизни".М.ЮХМА
Сражение с троллем
Алгоритм решения задачи
Обозначим неизвестную величину переменной.
Выразим через нее другие величины.
Найдем зависимость между ними и на основании этой зависимости составим уравнение.
Решим уравнение.
 Найдем ответ на вопрос задачи.
Проверим правильность решения задачи.
Запишем ответ.
Задача
    Против армии Спартака были выдвинуты две консульские армии (Геллия и Лентула), которые должны были соединиться на Аппенинах. Армии находились на расстоянии 240 км. друг от друга. Скорость движения армии Геллия была на 1,5 км/ч больше скорости армии Лентула. Найти скорости армий, если известно, что через 2 дня расстояние между ними было 30 км. Учесть, что армии двигались по 10 часов в сутки.
Домашнее задание

0,2 –5(3,2х – 1) = (13 – 25х) · 0,4

х = 0
Спасибо!
До новых встреч!


title: Скачать презентацию или конспект Угол между плоскостями

extracted_text:
Угол между плоскостями.
Тренировочные упражнения.
ГОУ СОШ № 31.

В кубе А…D1, все рёбра которого равны 1,
 найдите углы между (ВСA) и (BA1D1)
45°



A
A1
B1
C1
C
D
D1
B

В кубе А…D1, все рёбра которого равны 1,
 найдите углы между (ВСA) и (B1AD1)


O
В кубе А…D1, все рёбра которого равны 1,
 найдите углы между (ВС1D) и (BA1D)

O
O1


В правильной треугольной призме АВСА1В1С1,
Все рёбра которой равны 1, найти угол между
(АВС) и (А1В1С)
В правильной треугольной призме АВСА1В1С1,
Все рёбра которой равны 1, найти угол между
(АВС) и (АВ1С)


О

A
A1
B
B1
C
C1
В правильной треугольной призме АВСА1В1С1,
Все рёбра которой равны 1, найти угол между
(АВ1С) и (А1ВС1)


D
E
F
G
(ACB1)(A1C1B)=DE
G – середина DE
F – середина АС
=BGF - искомый
В BGF
B1

90°
В правильной шестиугольной призме А…F1,
все рёбра которой равны 1, найти угол между
(АСС1) и (CDD1)
В правильной шестиугольной призме А…F1,
все рёбра которой равны 1, найти угол между
(АBС) и (CBD1)

O1

O

G



В правильной шестиугольной призме А…F1,
все рёбра которой равны 1, найти угол между
(АBС) и (BDF1)

G


В правильной шестиугольной призме А…F1,
все рёбра которой равны 1, найти угол между
(СDE1) и (AFE1)


O
M
N


title: Скачать презентацию или конспект Разминка для мозгов

extracted_text:
«Разминка для мозгов».
НА  25:
32 *25=
2,4*25=
3,6*2,5=
33*25=
23*2,5=
1,3*2,5=
16*125=
3,2*125=
6,4*12,5=
0,24*12,5=
48*1,25=
56*125=
7,2*1,25=
Умножение на 25, на 125.
НА  125:
800
60
9
825
5,75
3,25
2000
400
80
3
60
7000
9
32*11 =
27*11=
45*11=
43*11=
8,1*11=
2,6*1,1=
5,6*11=
7,8*1,1=

Умножение на 11:
352
297
495
473
89,1
2,86
61,6
8,58
32 * 0,5 =
124 * 0,5 =
248 * 0,5 =
84 * 0,5 =
18 * 0,5 =
488 * 0,5 =
126 * 0,5=
Умножение на 0,5:
16
62
124
42
9
244
63
Назвать углы.
Углы. Прямой и развернутый углы.
А
С
В
К

М
Р
Е
О
D
R
L
N
Назвать все углы на рисунке.
Р
М
К
С
Углы СРМ, СРК, МРК   или

Прямой угол.
А
В
С
-прямой.

Развернутый угол.
А
В
С
-развернутый

Какая фигура называется углом?
Углом называется фигура , состоящая из двух РАЗЛИЧНЫХ лучей , исходящих из одной точки.
Два луча , образующие одну прямую, составляют
развернутый угол.
Какие углы называются равными?
Которые совпадают при наложении.

Теория!
Математику уже затем учить надо, что она ум в порядок приводит.
М. В. Ломоносов
Спасибо за работу!
Молодцы!


title: Скачать презентацию или конспект Классификация геометрических объектов

extracted_text:
Классификация
геометрическихобъектов
Классификация геометрическихобъектов
Линии
Классификация геометрическихобъектов
Линии
Плоские фигуры
Классификация геометрическихобъектов
Линии
Плоские фигуры
Объемные тела
Линии
Кривая
Ломаная
Прямая

Плоские фигуры
Круг
Многоугольники
Овал
Четырехугольник
Треугольники
n-угольники

Объемные тела
Тела вращения
Многогранники
Призма
Пирамида
Конус
Цилиндр
Шар


title: Скачать презентацию или конспект Уравнения и решение задач с помощью уравнений

extracted_text:
Тема: «Уравнения и решение задач с помощью уравнений». 5 класс
Бузецкая Татьяна Валерьевна
ГБОУ школа № 523
Санкт-Петербурга

Цель:

закрепить умения и навыки решения уравнений и задач с помощью уравнений.
1).Устная работа (кодированное задание с вариантами ответов)
Когда уравненье решаешь дружок,
Ты должен найти у него корешок.
Значение буквы проверить не сложно,
Поставь в уравненье его осторожно.
Коль верное равенство выйдет у вас,
То корнем значенье зовите тот час.

Чтобы найти
неизвестное слагаемое
надо из суммы
вычесть известное
слагаемое

Чтобы найти
уменьшаемое
надо вычитаемое
сложить с
разностью

Чтобы найти
вычитаемое,
нужно из уменьшаемого
вычесть  разность

Х+20=200

200+х=450

245-х=45

Х-245=450

695
200
250
180

X-2=4
12-x=8
120+x=129
150-x=150
X+45=46
1000-992=x
X=10-5+2
(83-x)+40=120
83-x=120-40
83-х=80
x=83-80
x=3
Ответ: ученик задумал число 3.
X-286+159=777
X-286=777-159
X=777-159+286
X=904 (кг)

Ответ: в магазин привезли первоначально 904 кг овощей
X-22+15=100
   X=100-15+22
   X=107 (шт.)

  Ответ: Парк приобрел 107 автобусов.
2000-x+40=600
 2000-x=600-40
 2000-x=560
 x=2000-560
 x=1440 (чел)
Ответ: уехало с турбазы 1440 человек.

Ответ: ученик задумал число 3.
Ответ: в магазин привезли
           первоначально 904 кг овощей
Ответ: Парк приобрел 107 автобусов.
Ответ: уехало с турбазы 1440
           человек.

Домашняя задание:Переписать уравнения в тетрадь. Решить их и составить задачи, используя уравнения.
            1). (83-x)+40=120
            2). X-286+159=777
            3). (X-220)+15=100
            4). 2000-x+40=600
Молодцы!
Спасибо за урок!


title: Скачать презентацию или конспект Действия с десятичными дробями

extracted_text:
Действия  с десятичными дробями
Найти сумму дробей
Вариант 1

  1,25 и
   0,24
Вариант 2

5,48 и
0,18
Найти сумму дробей
Вариант 1

45,8 и
34,4
Вариант 2

18,7 и
0,6
Найти сумму дробей
Вариант 1

0,847 и
1,02
Вариант

0,35 и
2,02
Найти сумму дробей
Вариант 1

51,32 и
8,01
Вариант 2

6,15 и
21,07
Найти разность дробей
Вариант 1

45,8 и
34,4
Вариант 2

18,7 и
0,65
Найти разность дробей
Вариант 1

31,5 и
0,12
Вариант 2

1,86 и
0,524
Найти разность  дробей
Вариант 1

28,1 и
12,34
Вариант 2

35,2 и
7,69
Найти разность  дробей
Вариант 1

5,36 и
4,78
Вариант 2

7,34 и
2,82
Вычислить
Вариант 1

35,68:10
Вариант 2

42,36:10
Вычислить
Вариант 1

48,06:100
Вариант 2

21,08:100
Вычислить
Вариант 1

0,045:10
Вариант 2

0,012:10
Вычислить
Вариант 1

284,03:10
Вариант 2

879,12:10
Вычислить
Вариант 1

35,68·10
Вариант 2

42,36·10
Вычислить
Вариант 1

15,03·100
Вариант 2

98,05·100
Вычислить
Вариант 1

0,058·100
Вариант 2

0,047·100
Сравнить
Вариант 1

0,524 и
0,624
Вариант 2
23,56 и
20,53
Сравнить
Вариант 1

285,49 и
28,549
Вариант 2
2,357 и
23,57
Округлить до сотых:
Вариант 1
2,865
64,123
Вариант 2
1,598
45,621
Округлить до целых:
Вариант 1
25,56
1,9
Вариант 2
12,98
3,7


title: Скачать презентацию или конспект Математика в жизни

extracted_text:
Презентация выполнена Талановой Мариной, ученицей 8Б класса МОУ «СОШ р.п. Духовницкое Духовницкого района Саратовской области»
Руководитель: Таланова Наталья Алексеевна

Духовницкое,2010  г.
Математика в жизни

О, математика, земная!
Гордись, прекрасная собой,
Ты всем наукам мать родная
И дорожат они тобой!
Эпиграф
Приветствую всех, кто любит математику, кто учит математике, кто занимается и увлекается математикой!
Математика
Математика – одна из древнейших наук. Дать определение математике совсем не просто, его содержание будет очень сильно меняться в зависимости от уровня математического образования человека. Но с 1 класса нам всем известны слова Гаусса: «Математика – царица всех наук. Математика – гимнастика для ума».
Еще в 1941 году М.И. Калинин говорил ученикам: «Какую бы науку вы ни изучали, в какой бы вуз ни поступали, в какой бы области ни работали, если вы хотите оставить там какой – нибудь след, то для этого везде необходимо знание математики….»

Карл Фридрих Гаусс
Карл Фридрих (30.4.1777, Брауншвейг, — 23.2.1855, Гёттинген), немецкий математик, внёсший фундаментальный вклад также в астрономию и геодезию. Родился в семье водопроводчика. С 1795 по 1798 учился в Гёттингенском университете. В 1799 получил доцентуру в Брауншвейге, в 1807 — кафедру математики и астрономии в Гёттингенском университете, с которой была также связана должность директора Гёттингенской астрономической обсерватории. На этом посту Г. оставался до конца жизни. Отличительными чертами творчества Г. являются глубокая органическая связь в его исследованиях между теоретической и прикладной математикой, необычайная широта проблематики. Работы Г. оказали большое влияние на развитие высшей алгебры, теории чисел, дифференциальной геометрии, теории притяжения, классической теории электричества и магнетизма, геодезии, целых отраслей теоретической астрономии.

М.И. Калинин
Михаил Калинин родился в деревне Верхняя Троица Корчевского уезда Тверской губернии, в крестьянской семье. Юный Михаил Калинин закончил начальное земское училище, после чего поступил в услужение к соседу-помещику Д. П. Мордухай-Болтовскому. В 1889 году был увезён в Санкт-Петербург, работал у него лакеем, что позволило ему прочитать много книг из хозяйской библиотеки. В 1895 он поступает на работу токарем на машиностроительном заводе и участвует в нелегальных кружках. Детство и юность М. И. Калинина описаны в книге Марии Прилежаевой «С берегов Медведицы».
Последующий канон большевистской биографии «днём слесарь, вечером подпольщик» списан явно с Калинина: на ближайшие 20 лет это становится формулой его жизни.
В 1899 году вместе с другими членами организованного им марксистского кружка был арестован и после 10-месячного тюремного заключения выслан в Тифлис. Там он продолжал революционную борьбу в составе центральной группы тифлисской социал-демократической организации, за что был вновь арестован и в марте 1901 года выслан в Ревель (ныне Таллин), где работал слесарем на заводе «Вольта» и организовал подпольную типографию.
В январе 1903 года Михаил Калинин арестован и отправлен в петербургскую тюрьму «Кресты». В июле 1903 года снова выслан в Ревель.
В 1906 году женился на Екатерине Ивановне Лорберг (Калининой) (1882—1960), ткачихе из Ревеля, эстонке по национальности.
Участвовал в революции 1905 года. На 6-й конференции РСДРП (1912) стал кандидатом для кооптации в ЦК РСДРП.
В 1916 году арестован и приговорён к ссылке в Восточную Сибирь, но бежал из-под ареста и, перейдя на нелегальное положение, продолжал партийную работу в Петрограде.
В Февральскую революцию был одним из руководителей разоружения охраны и захвата Финляндского вокзала.
Калинин принимал непосредственное участие в подготовке и проведении Октябрьской революции. После победы Октябрьской революции возглавил Комиссариат городских хозяйств Союза коммун Северной области и Петроградской трудовой коммуны.
После смерти Я. М. Свердлова в 1919 году избран председателем ВЦИК. Ленин, рекомендуя Калинина на этот пост, говорил: «Это товарищ, за которым около двадцати лет партийной работы; сам он — крестьянин Тверской губернии, имеющий тесную связь с крестьянским хозяйством… Петроградские рабочие сумели убедиться, что он обладает умением подходить к широким слоям трудящихся масс…»
Калинин избирался председателем президиумов всех восьми Съездов Советов СССР.
Калинин принял активное участие в преодолении последствий голода в Поволжье 1921—1922 гг. Он лично посещал пострадавшие регионы, и Самарская областная клиническая больница до сих пор носит его имя.
В 1926—1946 гг. член Политбюро ЦК ВКП(б).
В 1925 году Калинин высказался резко против того, чтобы один из уездов назвали его именем, полагая, что оценка политических деятелей по праву принадлежит потомкам. Но уже в 1931 году он сам подписал постановление о переименовании Твери в город Калинин. Один из организаторов[источник не указан 401 день] раскулачивания.
С 1937 года Калинин — председатель Президиума Верховного Совета СССР, де-юре первое лицо страны.
В 1938 году была арестована его жена. Она была помилована и освобождена в июне 1945 года, за год до смерти «всесоюзного старосты». Калинин был одним из немногих видных старых большевиков, которые не были репрессированы ни в 1930-е, ни позже.
В 1940 году голосовал за расстрел пленных поляков на террритории СССР.
Похоронен на Красной площади в Москве у Кремлевской стены.

В нашей стране математическому образованию уделяется большое внимание. В средней школе математику изучают с 1-го по 11-й классы, уроков за это время проводится много. Она является профилирующим предметом во многих ВУЗах страны.
Безусловно, математика, нужна любому человеку, который хочет чего – то добиться в жизни. Без знания математики вся современная жизнь была бы невозможна.
Без математики нельзя:
строить дом – строители должны измерять, считать;
делать ремонт – нужно рассчитать, сколько купить материалов: краски, обоев, плитки, клея, цемента и т.д.;
скроить одежду и обувь – ведь от  точности измерений будет зависеть конечный результат;
спланировать бюджет семьи;
оплачивать счета;
сидеть на диете – нужно высчитывать калорийность продуктов;
пользоваться электроприборами – не зная цифр, мы не сможем         правильно задать параметры их работы;
съездить в путешествие – решаем для себя задачу с данными: скорость, время, расстояние;

ставить перед собой определенные задачи и решать их с помощью математики – например, хотим выучить 900 иностранных слов за три месяца. Тут нам понадобиться таблица умножения: умножаем 3 месяца на 30 дней, затем делим 900 слов на 90 дней, получается, что всего лишь 10 слов нужно учить каждый день;
сходить в банк – чтобы положить деньги, нужно рассчитать проценты прибыли, которые мы получим, и насколько это будет выгодно; если хотим поменять рубли на валюту, опять же нужен расчет: что выгоднее – доллары или евро;
принимать лекарства – рассчитываем дозу, количество приемов и сколько дней принимать.
Без математики, также, не было радио, телевидения, кино, телефона, компьютера и тысячи других вещей, составляющих нашу цивилизацию. Без элементарных знаний по математике и умения выполнять свою работу аккуратно и расчетливо, невозможно успешно учиться по большинству  предметов, таких как физика, химия, астрономия, информатика и другие. Математика учит быстро понимать необходимый материал. Она, конечно, непростая наука для изучения, поэтому относиться к ней надо серьезно, чтобы воспитать в себе такие качества, как трудолюбие, упорство, терпение, умение преодолевать себя.
Занятия математикой развивают личность и такие качества как целеустремленность, активность, самостоятельность. То есть, использование математики является жизненно необходимой частью мира, в котором мы живем.
“Если мы действительно знаем что-то, то мы знаем это благодаря изучению математики”, - сказал П. Гассенди. И мы должны это помнить.
Чтоб водить корабли ,
Чтобы в небо взлететь ,
Надо многое знать ,
И при этом ,  и при этом ,
Вы заметьте-ка ,
Очень важная наука
Ма-те-ма-ти-ка!

Почему корабли
Не садятся на мель ,
А по курсу идут
Сквозь туман и метель ?
Потому что,  потому что,
Вы заметьте-ка ,
Капитанам помогает
Ма-те-ма-ти-ка!

Чтоб врачом,  моряком
Или лётчиком стать.
Надо прежде всего
Математику знать.
И на свете нет профессий
Вы заметьте-ка,
Где бы вам не пригодилась
Математика!
Гимн математике
Ребята, учите математику, занимайтесь
 математикой, она не подведет!

Нагибин Ф.Ф., Канин Е.С. Математическая шкатулка: Пособие для учащихся 4-8 кл. сред.шк. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 1988. – 160 с.
Савин А.П. Энциклопедический словарь юного математика. – М.: Педагогика, 1985. – 352 с.
http://www.kollegi.kz/publ/matematika_v_nashej_zhizni/39-1-0-1651
http://images.yandex.ru/yandsearch?text=%D0%BA%D0%B0%D1%80%D1%82%D0%B8%D0%BD%D0%BA%D0%B8%20%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D0%B0%D1%80%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0&stype=image
http://www.univer.omsk.su/omsk/Edu/Math/ggauss.htm

Использованная литература


title: Скачать презентацию или конспект Страна "Геометрия"

extracted_text:
Страна "Геометрия"
Подготовила  ученица  9Б  класса Витюк Арина.
Руководитель Сачкова Е.В.
Темнеет....
Бабушка-математик стала рассказывать сказку детям о стране Геометрии.
В этой стране жили странные существа такие как: Теоремы,  треугольники , биссектрисы, медианы…
В одном из этих домиков жили три сестры биссектриса, медиана и высота.
Биссектриса
Высота
Медиана
И они все спорили кто из них лучше, кто красивее, кто умнее.

Как-то вечером они сидели и хвастались…..
А я могу делить угол пополам!
А я могу поделить основание пополам
А я все равно ЛУЧШЕ!!!
Через некоторое время они успокоились. И  биссектрисе в голову пришла умная мысль…..
А давайте мы позовем тетушку Теорему 3.5 и она скажет кто из нас лучше, умнее, красивее!
Они посмотрели на время  чтобы убедиться что не слишком поздно….
Взяли трубку , набрали номер и пригласили тетушку Теорему в гости…Она любезно приняла их приглашение!

Тук-тук-тук
Через некоторое время сестры услышали стук в дверь и пошли открывать…
Они открыли дверь и в  дом вошла Теорема . И сестры ей задали вопрос…..???
Кто из нас умнее, красивее, лучше.?!?
И она им рассказала что равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой. То есть они все одинаковы!!!!
Они поблагодарили Теорему и проводили ее домой.
С тех пор три сестры Медиана, Биссектриса и Высота жили дружно и никогда не ссорились

Бабушка это все!?!
Да . Ну хотите я вам еще одну историю расскажу =)
Да, да!
Рождественская
 Геометрия:
сказка про то как
Точка
спасла Рождество!
В стране Геометрии жил
Дед Мороз Теорем и его помощник  Снеговик!
Однажды в стране Геометрии приключилась беда !   Ночью пока все спали кто-то украл елку и подарки!
Я украл у вас елку и подарки! Что бы  вернуть то что принадлежит вам вы должны ответить на мои вопросы ! Но чтобы ответить на вопросы вы должны найти меня!

P.S.Треугольник и его покорный слуга Ромб.

Что же нам теперь делать?
Надо отправиться на поиски Треугольника!
И ОНИ ОТПРАВИЛИСЬ
НА ПОИСКИ…
Шли они шли и встретили Точку!

Здравствуй!
Куда вы направляетесь?

Мы отправились на поиски подарков которые украл злодей  Треугольник!
Да , конечно!!! Я помогу вам!

Ты поможешь нам?
И они отправились на поиски….

Молодцы ! Быстро вы меня отыскали! А теперь к делу, у меня для вас 3 вопроса!
МЫ ГОТОВЫ!!!

1 вопрос ! Что такое треугольник?

Я, я знаю! Треугольник это фигура которая состоит из 3 точек не лежащих на одной прямой , и трех отрезков поравно соединяющих эти точки!
ВЕРНО!

2 вопрос ! Какие углы называются смежными?

ВЕРНО!
На этот вопрос отвечу я! Два угла называют смежными, если у них одна сторона общая, а другие стороны этих углов называются дополнительными полупрямыми!

И последний вопрос! Что такое биссектриса угла?

ВЕРНО!
Я не знаю!

Что теперь делать?

Я знаю!!!! Биссектрисой угла называют луч, который исходит из вершины угла, проходит между его сторонами и делит угол пополам!

Ладно, я отдам вам елку и подарки!

УРА!

Молодец Точка!!! Теперь у всех будет праздник!
Вот наконец наступил долгожданный праздник!

Так точка спасла  Рождество!

Бабушка ну расскажи что-нибудь еще!
Нет, пора спать!
Спасибо за внимание!!!


title: Скачать презентацию или конспект Симметрия в природе

extracted_text:
Симметрия в природе
Симметрия  в природе — закономерное расположение одинаковых частей тела или форм живого организма
Симметрия в природе.

Симметричный лист.
Морская звезда.
Пчелиные сотыНа протяжении тысяч лет люди удивлялись идеальной гексагональной форме сот и спрашивали себя, как пчелы могут инстинктивно создать форму, которую люди могут воспроизвести только с помощью циркуля и линейки. Как и почему пчелы имеют страстное желание создавать шестиугольники? Математики считают, что это идеальная форма, которая позволяет им хранить максимально возможное количество меда, используя минимальное количество воска. В любом случае, все это продукт природы, и это чертовски впечатляет.
Подсолнухи могут похвастаться радиальной симметрией и интересным типом симметрии, известной как последовательностьм ФибоначиНо почему подсолнечник и другие растения соблюдают математические правила? Как и шестиугольники в улье, все это – вопрос эффективности.
Животные Большинство животных имеют двустороннюю симметрию, что означает, что они могут быть разделены на две одинаковых половинки. Даже люди обладают двусторонней симметрией, и некоторые ученые полагают, что симметрия человека является наиболее важным фактором, который влияет на восприятие нашей красоты. Другими словами, если у вас однобокое лицо, то остается надеяться, что это компенсируется другими хорошими качествами.
 ПаутинаЕсть около 5000 типов пауков, и все они создают почти идеальное круговое полотно с радиальными поддерживающими нитями почти на равном расстоянии и спиральной тканью для ловли добычи. Ученые не уверены, почему пауки так любят геометрию, так как испытания показали, что круглое полотно не заманит еду лучше, чем полотно неправильной формы. Ученые предполагают, что радиальная симметрия равномерно распределяет силу удара, когда жертва попадает в сети, в результате чего получается меньше разрывов.
 СнежинкиДаже такие крошечные образования, как снежинки, регулируются законами симметрии, так как большинство снежинок имеет шестигранную симметрию. Это происходит в частности из-за того, как молекулы воды выстраиваются, когда затвердевают (кристаллизуются). Молекулы воды приобретают твердое состояние, образуя слабые водородные связи, они выравниваются в упорядоченном расположении, которое уравновешивает силы притяжения и отталкивания, формируя гексагональную форму снежинки. Но при этом каждая снежинка симметрична, но ни одна снежинка не похожа на другую. Это происходит потому, что падая с неба, каждая снежинка испытывает уникальные атмосферные условия, которые заставляют её кристаллы располагаться определенным образом.


title: Скачать презентацию или конспект Вычисление приделов

extracted_text:
Вычисление приделов
Роботу выконала:
Студентка гр.К-11
ХК ДУТ
Леженина Анастасия
План
1. Определение предела
2. Теоремы
3. Примеры вычисления приделов
4. Литература
1. Определение предела
Число b – предел функции f(x) при x стремящемся к a, если для каждого положительного числа e можно указать такое положительной число d, что для всех x, отличных от a и удовлетворяющих неравенству |x-a|<d, имеет место неравенство |f(x)-b|<d.

Обозначение предела. Если b есть предел функции f(x) при x стремящемся к a, то записывают это так:

2. Вычисление пределов функций основано на применении следующих основных теорем:
ТЕОРЕМА 1. Предел суммы двух функций при x стремящемся к a равен сумме пределов этих функций , то есть

ТЕОРЕМА 2. Предел произведения двух функций при x стремящемся к a равен произведению пределов этих функций, то есть

Предел разности равен разности пределов:
ТЕОРЕМА 4.  Первый замечательный предел равен
ТЕОРЕМА 3. Предел частного двух функций при x стремящемся к a равен частному пределов, если предел знаменателя отличен от нуля, то есть
ТЕОРЕМА 5. Второй замечательный предел равен

Предел функции в степени:
Предел корня из функции:
Другие полезные формулы пределов:
3. Примеры вычисления приделов
Пример 1 Докажем, что

Пусть задано произвольное e>0. Тогда для того чтобы выполнялось неравенство
|f(x)-a|<e, необходимо выполнение неравенства |x-a|<e, которое, очевидно, выполняется, если |x-a|<d, где d=e. Таким образом, согласно определению предела функции, число a, действительно, является пределом функции x при x стремящемся к a.
 ВЫЧИСЛЕНИЕ НЕСЛОЖНЫХ ПРЕДЕЛОВ
Пример 1.

Здесь была использована теорема о пределе суммы.
Пример 2.
На первом шаге была применена теорема о пределе частного, так как предел знаменателя не равен нулю. На втором шаге использовалась теорема о пределе суммы для числителя и знаменателя дроби. После была применена теорема о пределе произведения.
ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ С ПОМОЩЬЮ ТЕОРЕМЫ О ПЕРВОМ ЗАМЕЧАТЕЛЬНОМ ПРЕДЕЛЕ
Пример 1.
 ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ С ПОМОЩЬЮ ТЕОРЕМЫ О ВТОРОМ ЗАМЕЧАТЕЛЬНОМ ПРЕДЕЛЕ
ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ С КОРНЕМ
Пример 2.
Пример 1.
 Источники информации:
  www.mathforyou.net/LimitForm.html
www.mathprofi.ru/predely_primery_reshenii.html
Конспект лекций


title: Скачать презентацию или конспект Ученый Николай Иванович Лобачевский

extracted_text:
Николай Иванович     Лобачевский
Постникова В.И.
г. Подольск
      Первые годы жизни
       Н.И.Лобачевский родился 20.10.1792г. в Нижнем Новгороде в семье чиновника-геодезиста И.М.Лобачевского и его жены П.А.Лобачевской. Вскоре семья переехала в Казань.
       Отец семейства умер в возрасте 40 лет, оставив вдову с тремя малолетними сыновьями Александром, Николаем и Алексеем, в бедственном материальном положении.
Ежегодное празднование дня
рождения Н.И.Лобачевского
           Годы учёбы
       В 1802г. Прасковья Александровна отдала всех своих сыновей в гимназию.
       14.02.1807г. Николай Лобачевский был зачислен в Казанский университет.
        Большое влияние на выбор дальнейшего пути Лобачевского оказал приглашённый профессор чистой математики Мартин Бартельс, друг и учитель великого математика Карла Фридриха Гаусса.
Мартин Бартельс
Начало преподавательской       деятельности
       С 1812г. Н.И.Лобачевский преподаёт на курсах арифметики и геометрии для готовившихся к экзамену «на чин», а с 1814г. ведёт серьёзное университетское преподавание.
Казанский Университет
    Работа в университете
       В 1816г. Лобачевский становится экстраординарным профессором.
       В 1819г. получает должность декана физико-математического факультета.
       В 1824г. по рекомендации К Ф Гаусса Н.И.Лобачевский был избран членом-корреспондентом Геттингенского Королевского научного общества.
        На посту ректора
       В 1827г. Лобачевский избирается ректором Казанского университета и занимает этот пост 19 лет.
       За это время были построены новые корпуса, механические мастерские, лаборатории, обсерватория, стал издаваться «Казанский Вестник».
       Лобачевский вёл курсы геометрии, тригонометрии, алгебры, анализа, теории вероятностей, механики, физики, астрономии, гидравлики.
    Дом ректора
        Научные труды
11.02.1826г. − день рождения неевклидовой геометрии (доклад «Сжатое изложение начал геометрии»);
«О началах геометрии» (1829/30г.);
«Воображаемая геометрия» (1835г.);
«Геометрические исследования по теории параллельных» (1840г.);
«Пангеометрия» (1855г.).
Суть геометрии Лобачевского
       Это дедуктивная теория, исходящая из тех же понятий и аксиом, что и эвклидова геометрия, с единственным фундаментальным исключением − V постулат заменён аксиомой Лобачевского: «К данной прямой через данную точку, не лежащую на прямой, можно провести по крайней мере две параллельные прямые».    При этом, в теории нет противоречий, все доказательства безупречны.

Модели геометрии Лобачевского
       Наглядное представление геометрии Лобачевского: через точку М проходят две прямые, параллельные прямой D.
    В этой геометрии кривизна плоскости отрицательна. При изменении кривизны плоскости до нуля, получается геометрия Евклида.
       Простейшим примером поверхности с постоянной отрицательной кривизной служит псевдосфера, которую изучал в 1868г. итальянский математик Э.Бельтрами.
    Псевдосфера
   Последние годы жизни
       В последние годы жизни Николай Иванович ослеп и своё последнее произведение «Пангеометрию» должен был диктовать своим ученикам. Умер он 12.02.1856г. в возрасте 63 лет от паралича лёгких.
1855 год
Герб Лобачевского
  Памятные марки и медали
  Бюст Н.И.Лобачевского в
Нижегородском университете
   Презентация составлена материалам Википедии
20 ноября 1792 года
12 февраля 1856 года


title: Скачать презентацию или конспект Виды отношений между понятиями

extracted_text:
Отношения между понятиями
6 класс
Цели:
Выяснить какие отношения существуют между понятиями.
Научиться изображать отношения между понятиями графически.
Разбить понятия на пары, у которых есть общий признак и указать этот общий признак.
Разбить понятия на пары, у которых есть общий признак и указать этот общий признак.
Разбить понятия на пары, у которых есть общий признак и указать этот общий признак.
Разбить понятия на пары, у которых есть общий признак и указать этот общий признак.
Разбить понятия на пары, у которых есть общий признак и указать этот общий признак.
Разбить понятия на пары, у которых есть общий признак и указать этот общий признак.
Разбить понятия на пары, у которых есть общий признак и указать этот общий признак.
Разбить понятия на пары, у которых есть общий признак и указать этот общий признак.
Вывод:
Понятия, имеющие общий признак, называются сравнимыми.
Понятия,                 не имеющие общих признаков, называются несравнимыми.
Сравним содержания и объемы понятий квадрат и прямоугольник:
Сравним содержания и объемы понятий квадрат и прямоугольник:
Сравним содержания и объемы понятий квадрат и прямоугольник:
Сравним содержания и объемы понятий квадрат и прямоугольник:
Сравним содержания и объемы понятий квадрат и прямоугольник:
Сравним содержания и объемы понятий квадрат и прямоугольник:
Сравним содержания и объемы понятий квадрат и прямоугольник:
Сравним содержания и объемы понятий квадрат и прямоугольник:
V

V

Сравним содержания и объемы понятий квадрат и прямоугольник:
V

V

Отношения между понятиями удобно представлять кругами, например:
А
В

А – объем понятия «прямоугольник»

В – объем понятия «квадрат»
Отношения между понятиями удобно представлять кругами, например:
А
В

А – объем понятия «прямоугольник»
В – объем понятия «квадрат»
Отношения между понятиями удобно представлять кругами, например:
А
В

А – объем понятия «прямоугольник»
В – объем понятия «квадрат»
Такое представление называется
 кругами Эйлера-Венна.
Понятие «растение»
Понятие «роза»
Понятие «растение»
Понятие «роза»
Понятие «растение»
Понятие «роза»
Понятие «растение»
Понятие «роза»
Понятие «растение»
Понятие «роза»
Отношения между понятиями
Отношение «тождество»
это отношение между понятиями, объемы которых совпадают, другими словами объем одного понятия равен объему другого.
А – друг,
В – приятель.

А=В

Тождество
Столица России
Город Москва
А
В
А = В
Объемы понятий совпадают
Примеры других тождественных  отношений
«Цифра1» и «знак цифрового алфавита 1»;
«квадрат» и «равносторонний четырехугольник;
«текстовый редактор» и « программа создания и редактирования текстов»;
«внутренняя память компьютера» и «ОЗУ»
«многоугольник с наименьшим числом сторон» и «треугольник»
«Расстояние, преодолеваемое за единицу времени» и «скорость»
Часть прямой, ограниченная с двух сторон» и «отрезок»

Отношение «пересечение»
это отношение между понятиями, объемы которых совпадают частично, т.е. содержат общие элементы.

А
В
общие элементы (число нуль)

А – неотрицательные
числа
В – неположительные
числа
Ш - «школьник» - «человек, который учится в школе»
и Ф - «футболист» - «человек, который играет в футбол»
«Школьник – футболист»
А – «электронное письмо»
В – «письмо на русском языке»
А
В
Все электронные письма на русском языке
Отношение «подчинение»
это отношение между понятиями, когда объем одного понятия полностью входит в объем другого понятия, но не исчерпывает его.

А
В

А – животные
В – кошка.

В
А
   Понятие А – « клавиатура»,  понятие В –      «устройство ввода»
  Понятие А – « цапля»,  понятие В – «птица»
  Понятие А – « ландыш»,  понятие В – «цветок»
  Понятие А – « пергамент»,  понятие В – «носитель информации»
Закрепление
№7, стр. 51 В одном множестве 40 элементов, в другом – 30. какое максимальное количество может быть в их: а) пересечении;  б) объединении?

40
30

40
30
30
70
Отношение «исключение»
это отношение между понятиями, объемы которых не пересекаются, т.е. объемы не имеют общих признаков.

А
В
А – стол
В – дружба
Противоположность
А
В

Слова, выражающие понятия являются антонимами
Отношение «соподчинение»
это отношение между понятиями, объемы которых не пересекаются, но которые принадлежат некоторому более общему понятию.
А – понедельник
В – вторник
С – среда
D – четверг
Е – дни недели

А
В
С
D
E
Соподчинение
Глиняная доска
Береста
Папирус
Бумага
Магнитный диск
Носители информации
А
В
С
D
E
F
Объемы понятий не пересекаются, но принадлежат некоторому более общему понятию
Вопросы:
Какими словами выражаются отношения между реальными объектами?
Какими словами описываются отношения между понятиями?
С помощью чего удобно представлять отношения между понятиями?
Какие понятия считаются несравнимыми? Приведите примеры.
Определите отношение между понятиями:
А = хищник, В = волк
А = жара, В = зной
А = семя однодольных, В = семя двудольных
     Определите отношение между понятиями и изобразите с помощью кругов Эйлера:
А = весна,  В = собака
А = клетка животных, В = клетка растений
А = рептилии, В = пресмыкающиеся
А = мебель, В = шкаф
А = меню, В = суп, С = гуляш, В = компот
Отношение «тождество»       -  Л    Отношение «пересечение»  -    Й Отношение «подчинение»  -     Е Отношение «исключение»  -     Э Отношение «соподчинение»  -  Р
Леонард  Эйлер  (1707 – 83 г)
Математик,  механик,  физик  и астроном.             По  происхождению  швейцарец.  В   1726г   был   приглашен   в Петербургскую Академию наук и переехал в 1727г в  Россию.  С  1741г по 1766г
работал в Берлине. Автор свыше 800  работ  по  алгебре, геометрии,  теории  чисел,  приближен-ным  вычислениям, небесной   механике,  матема-тической   физике,   оптике, кораблестроению, теории музыки и др., оказавших значительное влияние  на развитие науки.
Определить отношения между понятиями и изобразить эти отношения с помощью кругов Эйлера
Понятия: дуб, растения, ясень, дерево,
кустарник, малина, смородина.

растения

дерево

кустарник
дуб
ясень
малина
смородина
Понятия: водная система, Волга, Дон, Черное море, Тихий океан, море, Индийский океан, река, Азовское море, океан.
Определить отношения между понятиями и изобразить эти отношения с помощью кругов Эйлера
Решить задачи с помощью кругов Эйлера.
     Каждый ученик в классе изучает по крайней мере один из двух языков: английский или французский. Английский язык изучают 25 человек, французский – 27 человек, оба языка – 18 человек. Сколько учеников изучают только английский язык, только французский язык и сколько учеников всего в классе?
Решить задачи с помощью кругов Эйлера.
англ. яз.
25 уч.
франц. яз.
27 уч.
Решить задачи с помощью кругов Эйлера.
1) 25 – 18 = 7 (уч) – изучают только английский язык
2) 27 – 18 = 9 (уч) – изучают только французский язык
3) 7 + 9 + 18 = 36 (уч) – всего в классе
англ. яз.
25 уч.
франц. яз.
27 уч.
оба яз.
18 уч.
№8, стр. 51   В детском саду 52 ребенка. Каждый из них любит пирожное или мороженое. Половина детей любит пирожное, а 20 человек – пирожное и мороженое. Сколько детей любит мороженое.

26
26
(6)
26 детей любят только мороженое

Домашнее задание:
 Учебник § 2.3 стр. 45-48,  стр. 50 № 1- 4
 Рабочая тетрадь. Стр.52 №23, стр. 59-60 №27


title: Скачать презентацию или конспект Второй признак равенства треугольников

extracted_text:
Второй признак равенства треугольников
Урок 18
Решение задач по готовым чертежам.
Дано: АВ = 15 см.
           AD = 2 дм.
Найти : РАВСD.
Дано:
Р ACB :Р BCD :Р DCF = = 2 : 3 : 4.
Найти : Р ABC

Решение задач по готовым чертежам.
Доказать: АC ^ BD,
 BD – биссектриса Р ADC.
Дано: DC = AC,
           Р ACB = 55o.
Найти : Р ECM.

Практическое задание
Начертите DMNK – такой, что DMNK = =DABC, если известно, что AB = 4 см, РA = 54о, РB = 46о.

Построение:
Отложить отрезок MN = 4 см, так как DMNK = DABC, а значит MN = АВ.
Построить Р NMP = 54о;
Построить Р MNЕ = 46о по ту же сторону от прямой MN, что и Р NMP;
 МР З NЕ = К, DMNK – искомый.
Изучение новой темы
Докажите что полученные треугольники равны
Итак
Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

DMNK = DABC,
если MN = АВ,
M = РA,
Р N = РB.
Решение задач
Дано: РАВС = РACD,
AC - биссектриса Р BAD
Доказать:
            DABC = D ADC
Дано: МО = ON,
           РM = Р N
Доказать:
           DMOK = D NOK

Решение задач
Дано: Р 1= Р 2, Р 3= Р 4.
Доказать:
DABC = D DCВ,
    DABО = D DCО.

Дано: Р 1= Р 2, Р 3= Р 4. Доказать:
           DSEF = D FKS

Самостоятельное решение задач
№ 121
№ 126
№ 127
Домашнее задание
п. 19, вопрос 14.
№ 122 - 125


title: Скачать презентацию или конспект Математический диктант № 10

extracted_text:
2 классМатематический диктант № 10
Выполнила
Кирилова С.Г.
Учитель начальных классов
Школы «Ученики Пифагора»
г. Лимассол, р.Кипр.
У Ани было 12 фломастеров.

3 фломастера она поменяла
 на гелевые ручки.

Сколько всего фломастеров
и гелевых ручек у Ани.

Через 2 года
 Максиму будет 11 лет

Сколько лет
 будет Максиму
через 8 лет.
На столе лежат 7 ложек,
 столько же вилок,
и столько же ножей.

Сколько гостей ожидают к обеду?
На куртку  нужно
 пришить полтора
десятка пуговиц.
Мама уже пришила
 6 пуговиц.

Сколько ещё пуговиц
нужно пришить маме?
Если к цифре
 5  справа
приписать 0,

на сколько увеличится это число?
В двух вазах поровну  слив.
Из одной вазы в другую
переложили 8 слив.
На сколько  фруктов  в одной вазе стало больше,  чем в другой?
Курочка Ряба
 снесла яйца.
Два  десятка  их сложили в коробку
 и ещё 7 яиц не уместилось
в эту коробку.

Сколько яиц снесла курочка Ряба?

α
b
a + b = 14 cm
Чему равна  сумма длин
всех сторон прямоугольника?
Сумма двух одинаковых чисел
равна 22.

Чему равно каждое число?
Аист съел 13 лягушек,
 5 рыбёшек и несколько ужей.

Сколько  ужей  съел  аистёнок,
если  их  количество  составляет
разность  между  количеством
лягушек  и  рыбёшек?
ПРОВЕРЬ  СВОИ  ОТВЕТЫ:
 12,  17,  7,   9,  на 45,
 на 8,  27,  28,  11,  8.
Огромная благодарность
автору сборника
ГОЛУБЬ ВАЛЕНТИНЕ ТИМОФЕЕВНЕ
за кропотливую и  системную работу.


title: Скачать презентацию или конспект Теория конечных множеств (комбинаторика)

extracted_text:
 ТЕОРИЯ КОНЕЧНЫХ МНОЖЕСТВ (КОМБИНАТОРИКА)
§1. Принципы сложения и умножения
Комбинаторика занимается подсчетом количеств разных комбинаций, которые можно получить различными способами из тех или иных конечных множеств.

Если конечное множество A состоит из m элементов, то мы будем писать: |A| = m или n(A) = m.
Теорема 1 (принцип сложения). Пусть A     B =    . Тогда n(A     B) = n(A) + n(B).
Следствие 2. Пусть A1, A2….Al – система попарно непересекающихся конечных множеств.
Тогда n(A1 A2 … Al) = n(A1)+n(A2)+…+n(Al).
Доказательство:
При l=2 ссылаемся на теорему 1:
    n(A1   A2) = n(A1) + n(A2).
Допустим, что утверждение верно при l = k,
    n(A1   A2     …     Ak ) = n(A1 ) + n(A2 ) +…+ n(Ak ).
Докажем утверждение при l = k+1.
В этом случае
n(A1   A2    …     Ak    Ak+1) = n((A1    A2    …   Ak)   Ak+1) = n(A1    A2    …   Ak) + n(Ak+1).
Здесь мы воспользовались базисом индукции и, применяя индуктивное предположение, получим:
n(A1     A2     …    Ak) + n(Ak+1) = n(A1) +…+ n(Ak) + n(Ak+1).
Следствие доказано.
Иногда принцип сложения можно встретить в таком виде: если объект x можно  получить   m способами,   а   объект   y    можно   получить l способами,   причем  множества этих способов не  пересекаются, то   объект x   или   объект   y можно    получить   m + l      способами. Таким образом,    необходимо     помнить,      что      в комбинаторике   союз   “или”   ассоциирован  с операцией сложения.
Теорема 3 (принцип умножения). Если множество A состоит из m элементов, а множество B состоит из l элементов, то n(A    B) =ml.
Доказательство: При l=1 множествоB состоит из              1 элемента:  B={b1}.
Поэтому мн-во A    B={(ai, b1)|i =1, 2,…,m}состоит  из   m
элементов,  n(A    B)=m · 1=m · l.
Базис индукции проверен.
При l = k,
если n(A) = m, n(B) = k, то n(A   B) = m · k.
При l = k + 1.
Пусть B = {b1, b2 ,…, bk , bk+1}    или      B=B‘      {bk+1},

Где множествоB'={b1, b2 ,…, bk}состоит из k элементов.
По индуктивному предположению
   n(A    B') = n(A) · n(B') = m · k.
С другой стороны B=B‘      {bk+1},
   поэтому (A    B) =  A    B'    A   …   {bk+1},
причем A    B'    A    {bk+1} =      ,
   так как       B'     {bk+1} =      .
По теореме 1
n(A   B)  =  n(A   B'   A  {bk+1}) = n(A   B') +         n(A    {bk+1})=m · k + m · 1 = m(k +  1) = m · l.

В комбинаторном изложении принцип умножения часто формулируют так: если объект x можно сконструировать m способами, объект y можно сконструировать l способами, то объект (x, y) или (x и y) можно сконструировать m · l способами. То есть союз “и” в комбинаторики ассоциирован с операцией умножения.

Теорема 4.
Если     множества   A1,  A2, …,   Ak    конечны,
то n(A1    A2    ,…,     Ak )=n(A1) · n(A2)·,…, ·n(Ak ).
Задача . Пусть A и B конечные мн-ва, B     A. Сколько элементов содержит множества A\ B.
Решение. Докажем, что в случае, когда
B     A, n(A\ B) = n(A) – n(B).
В самом деле, запишем очевидное теоретико-множественное равенство
(A\ B)   B = A, причем (A\ B)    B =     .
Применим к множествам A\ B и B принцип сложения.
n((A\ B)    B)=n(A\ B) + n(B) или n(A)=n(A\ B)+n(B)
Отсюда получаем требуемое равенство n(A\ B) = n(A) – n(B).

Задача . Из цифр A={0,1,2,3,5,6,7} составить     все    четырехзначные числа, не содержащие повторяющихся цифр и делящиеся на 3.
Решение. Воспользуемся признаком делимости на три: число делится на три в том и только в том случае, когда сумма цифр этого числа делится на три. Поэтому надо перебрать всевозможные четверки цифр, сумма которых делится на три. Перечислим такие четверки:

A1 = {0, 1, 2, 3},    A2 = {0, 1, 2, 6},  A3 = {0, 1, 3, 5},
A4 = {0, 1, 5, 6},    A5 = {0, 2, 3, 7},  A6 = {0, 3, 5, 7},
A7 = {0, 5, 6, 7},    A8 = {1, 2, 3, 6},  A9 = {1, 3, 5, 6},
   A10 = {1, 2, 5, 7},   A11 = {2, 2, 6, 7}, A12 = {3, 5, 6, 7}.
Обозначим через B множество всех искомых чисел, а через Bi (i = 1, 2,…, 12) множества чисел, полученные из цифр множества Ai соответственно.
Так как при i     j
Bi     Bj =       , то по принципу сложения

n(B) =                 .

По принципу произведения
n(B1)=3·3·2·1=18.

Аналогично
n(B2 )=n(B3 )=n(B4 )=n(B5 )=n(B6 )=n(B7 )=18
По принципу произведения n(B8 )=4·3·2·1=24.
Аналогично, n(B9 )=n(B10 )=n(B11 )=n(B12 )=24.
Наконец, n(B)=18·7+24·5=246

§2. Размещения и перестановки
Определение 1. Пусть дано конечное множество A, n(A)=n  и 1 ≤ k ≤ n.                     k-размещением множества A называется любой     упорядоченный      набор         длины
k (             ), где все координаты - попарно различные элементы множества A. Число всех k-размещений n-элементного множества обозначается через            .

Пример. Пусть A=a,b,c,d.
Выпишем все 2-размещения этого четырёхэлементного множества:
(a;b), (b;a), (a;c), (c;a), (a;d), (d;a), (b;c), (c;b), (b;d), (d;b), (c;d), (d;c).
Таким образом
Теорема 2. Пусть n   N,    1 ≤   k  ≤  n. Тогда                         .
    Доказательство. Применим        индукцию    по   k.
    Докажем           равенство    при k=1.
    1-размещения   это   наборы   состоящие   из одного элемента,   взятого  из  n-элементного      множества.
    Очевидно,     что    их   будет   столько   же,  сколько
    элементов,    в  n-элементном    множестве,    то есть
                  .

C другой стороны ,

то есть
Допустим, равенство выполняется для k < n, то есть

Докажем равенство для k+1 ≤ n.
Каждый (k+1)- элементный набор можно получить из k-элементного приписыванием справа одного допустимого элемента.
Для фиксированного k-элементного набора это будет любой элемент, не входящий в этот набор. Очевидно, что таких допустимых элементов будет n-k.
Значит, из одного k-элементного набора можно получить (n-k) (k+1)- элементных наборов, поэтому

Пример. В    первенстве   страны    участвуют 12 команд. Сколькими способами они смогут занять призовые места.
   Решение. Поскольку является существенным тот факт, какая команда займет первое место, какая – второе, какая - третье, то задача сводится к вопросу: сколькими способами можно выбрать трёхэлементный  упорядоченный  набор  из       12-элементного множества. Таких способов будет  способов.
Замечание 3. При k>n невозможно построить k-размещение, поэтому
                    при    k>n.
Замечание 4. При k=0 под 0-размещением мы будем понимать пустое множество.
Так   как    пустое    множество   единственно,
   то
что   согласуется       с    формулой                   ,
так как при k=0 имеем

Определение 5. Пусть конечное множество A состоит из n элементов. k -размещением с повторениями множества A называется упорядоченный набор длины k, элементы которого берутся из A. Элементы в                     k-размещении с повторениями не обязаны быть различными.
Пример. Пусть A={1,2,3}. Выпишем все         2-размещения с повторениями множества A:
   (1;1),(1;2),(1;3),(2;1),(2;2),(2;3), (3;1),(3;2),(3;3).
Число k-размещений с повторениями
n-элементного множества обозначается
Теорема 6.
Доказательство.
Применим индукцию по k.
При k=1  число   1-размещений   равно  числу элементов множества A,
    то есть
С другой стороны,    n1=n.   Базис    индукции доказан.
Допустим, формула верна при k=l, то есть

Докажем утверждение при k= l +1.
Из каждого упорядоченного l-элементного набора можно  получить n упорядоченных наборов длины l+1,
приписывая   любой  элемент  A  справа,  то    есть
(l +1)-размещений с повторениями в n раз больше, чем l -размещений с повторениями, то есть

Теорема доказана.

Пример. Номер  машины  состоит  из  двух букв русского алфавита (32 буквы) и из четырёх цифр. Сколько всего существует номеров?
   Решение.    Пару  букв  мы можем выбрать
             способами,
   четвёрку цифр можно выбрать
             способами.
   Значит, всего машинных номеров можно составить     по    принципу    произведения
Определение7.
Перестановкой n-элементного множества называется упорядоченный набор длины n, составленный из этих элементов, причём каждый элемент входит в набор ровно один раз.
Число перестановок n-элементного множества обозначается символом  Pn   .
Пример. Выпишем  все  перестановки                       3-х элементного множества A={a;b;c}: (a;b;c),(a;c;b),(b;a;c),(b;c;a),(c;a;b),(c;b;a).
Таким образом, P3=6.

   Теорема 8. Pn=n!
Доказательство. Каждую перестановку n-элементного множества можно рассматривать как n-размещение этого множества. Поэтому

Задача. Сколькими   способами  на  шахматной доске можно расставить 8 ладей таким образом, что бы они не били друг друга.
Решение.  Первую вертикаль можно заполнить лишь одной ладьёй, чтобы не нарушалось условие задачи. Причём количество способов заполнить эту вертикаль равно восьми.
На вторую вертикаль можно поставить тоже только одну ладью, причём уже семью способами, и т.д. вплоть до восьмой вертикали, которую можно заполнить одним способами.
По принципу произведения всего способов расстановки ладей так, чтобы они не били друг друга, будет 8·7·6·…·2·1=8!
§3.Сочетания. Свойства сочетаний.Бином Ньютона
Определение 1.
Пусть дано n-элементное множество. Любое   k-элементное подмножества множества A называется k-сочетанием n-элементного множества.
   Число   k-сочетаний  n-элементного   множества
   обозначается          .

Пример. Выпишем все 2-сочетания                 4-элементного множества A={a,b,c,d}: {a;b},{a;c},{a;d},{b,c},{b,d},{c,d}.
Таким образом,               .

Теорема 2.                                    при k   n.
Доказательство. Из одного k-сочетания можно получить k! k-размещений n-элементного множества, потому что k элементов можно упорядочить k! способами.
Поскольку каждое k-размещение есть не что иное, как упорядоченное  k-сочетание,  то    всего    k-размещений   будет

С другой стороны k-размещений имеется                 .
Получили равенство

                       или                                 ,
и отсюда получаем искомую формулу:
Теорема 3 (простейшие свойства сочетаний).
1)

2)

3)

4)

5)                                        , (m1);

Теорема 4 (бином Ньютона).

Доказательство.
Второе равенство представляет собой  не  что иное,   как   разные записи   одной   и  той  же суммы.    Слева     стоит       эта       сумма    в “развернутом” виде, а   справа   эта же сумма, записанная  с  помощью знака суммирования. Поэтому     доказываем    первое     равенство.
Рассмотрим выражение:

Раскрыв скобки, получим сумму

В первой сумме количество  слагаемых равно количеству элементов множества
            то есть .     Во        второй          сумме  количество  слагаемых     равно   количеству двухэлементных подмножеств n-элементного множества S, то есть равно         .

Число   слагаемых   в   k-ой    сумме    равно количеству      k-элементных    подмножеств     n-элементного множества   S , то есть равно

Поэтому, если положить в A

то получим

Теорема доказана

Следствие 5.

Следствие 6.

Следствие 7 . (a+b)n =
Замечание.  В   силу     большой      важности     бинома Ньютона   для   самых   разных   разделов    математики, числа  называются биноминальным коэффициентами.
Следствие 9.
Определение 10. Пусть А = {a1, a2, …, an} -               n–элементное множество.
k-сочетанием  с  повторениями  множества               А называется неупорядоченный набор [a1,a2,…,ak ],
где все элементы принадлежат множеству А, причем допустимо повторение этих элементов              .
Пример. Пусть А = {a, b, c}. Выпишем все                2-сочетания с повторениями множества А :
[a, a], [a, b], [a, c], [b, b], [b, c], [c,c].
Число k–сочетаний с повторениями n-элементного множества обозначается . Приведенный пример показывает, что

Лемма . Число всех упорядоченных нулей и единиц последовательностей из нулей и единиц длины n, в которых присутствует l нулей,
равно               (или            , что одно и то же).
Теорема 12.                       .
Пример. В магазине продаются пирожные 4 сортов. Сколькими способами можно купить 8 пирожных?
Решение. Находим число 8-сочетаний с повторениями 4-х элементного множества:


title: Скачать презентацию или конспект Примеры комбинаторных задач

extracted_text:
Перестановки.
Размещения.

Сочетания.

Урок решения комбинаторных задач
 9 класс
Захарова Л.Г
МБОУ «ОСОШ №2», Устьянский район.
5klass.net
Пусть имеются три кубика с буквами А, В и С.
Составьте всевозможные комбинации из этих букв.

 ABC         АСВ
 ВСА         ВАС
 CAB         CBA

 Эти комбинации отличаются друг от друга только расположением букв (перестановка букв).

А

В

С
Перестановки
Перестановки — это комбинации, составленные из одних и тех же элементов и отличающиеся порядком их следования.

Число всех возможных перестановок элементов обозначается Pn, и может быть вычислено по формуле:
Формула перестановки:
     Рn=n!
При перестановке число объектов остается неизменными,
 меняется только их порядок
С ростом числа объектов количество перестановок очень быстро растет и изображать их наглядно становится затруднительно.
3 объекта
количество перестановок  6
Рn=n!
Р3=3!=1∙2∙3=6
Задача 1. В турнире участвуют семь команд. Сколько вариантов распределения мест между ними возможно?

Р7=7!=1*2*3*4*5*6*7=5040
Ответ: 5040
Задача 2. Сколькими способами могут разместиться за круглым
 столом 10 человек?
Р10 =10! = = 1*2*3*4*5*6*7*8*9*10 = 3628800

Ответ: 3628800
Вычислить:            а) 5!

2. В среду в 9 классе 6 уроков: алгебра, русский язык, черчение, биология, химия, обществознание. Сколько вариантов расписания можно составить на среду?
Размещения

Пусть имеется n различных объектов. Будем выбирать из них m объектов и переставлять всеми возможными способами между собой .

Получившиеся комбинации называются размещениями из n объектов по m, а их число равно:

При размещениях меняется и состав выбранных объектов, и их порядок.
Формула размещения:
n=3 - всего  объектов (различных фигур)
m= 2 – выбор и перестановка объектов

3 объекта
Размещение по 2 фигуры
Сколькими способами можно расставить 5 томов на книжной полке, если выбирать их из имеющихся в наличии  семи книг?
Ответ: 2520 способов
Вычислить:

2. Найти количество трехзначных чисел с неповторяющимися цифрами, которые можно составить из цифр: 1, 2, 3, 4, 5.
Ответ: 60 чисел
Сочетания

3 объекта
Пусть имеется n различных объектов. Будем выбирать из них m объектов все возможными способами
Получившиеся комбинации называются сочетаниями из n объектов по m,
В сочетаниях меняется состав выбранных объектов, но порядок не важен
Задача: Сколькими способами можно распределить три путевки в один санаторий между пятью желающими?
Так как путевки предоставлены в один санаторий, то варианты распределения отличаются друг от друга хотя бы одним желающим. Поэтому число способов распределения
Ответ: 10 способов.
Задача:
Группу из 20 студентов следует рассадить в аудитории по 2 человека за каждой партой. Порядок их размещения не имеет значения. Определить количество возможных вариантов сочетаний.
Ответ: 190
Задача: В цехе работают 12 человек: 5 женщин и 7 мужчин. Сколькими способами можно сформировать бригаду из 7 человек, чтобы в ней было 3 женщины?
Из пяти женщин необходимо выбирать по три, поэтому число способов отбора       .
Так как требуется отобрать четырех мужчин из семи,
то число способов отбора мужчин
Ответ: 350


title: Скачать презентацию или конспект Методы решения иррациональных уравнений

extracted_text:
Тема урока: Иррациональные уравнения
Цель:
 Познакомиться с понятием «иррациональные уравнения» и некоторыми методами их решений.
 Развивать умение выделять главное в изучаемом материале, обобщать факты и понятия.
pptcloud.ru
 Из последнего промежутка найти наименьшее положительное целое число.
I            Y=

II          Y=

III         Y=

IV         Y=

X ≥ 6
X > 0
X > -2
X ≥ 0

Найти область определения
         - какое число?
I
II
III
IV      2=x²

X0 =27
X0 = 36
X0=8
X0=

нет
нет
да
да

Является ли число x0 корнем уравнения?
История иррационального числа
        Термин «рациональное» (число) происходит от латиноамериканского слова ratio – отношение, которое является переводом греческого слова «логос» в отличие от рациональных чисел, числа, выражающие отношение несоизмеримых величин, были названы еще в древности иррациональными, т.е. нерациональными (по-гречески «алогос») правда, первоначально термин «рациональный» и «иррациональный» относились не к числам, а к соизмеримым и соответственно не соизмеримым величинам, которые пифагорейцы называли выразимыми и невыразимыми.
               Удивительное открытие пифагорийцев.

   Каким числом выражается длина диагонали квадрата со стороной 1?

С латыни слово «irrationalis» означает «неразумный».
«surdus» - «глухой» или «немой»

«ни высказать, ни выслушать»

Симон Стевин
      ал - Каши
                                                   Рене Декарт
Занимались иррациональными числами

     Уравнения, в которых переменная содержится под знаком корня, называются иррациональными:

Определение:
Какое уравнение является иррациональным ?
            Методы решения иррациональных уравнений:
Возведение обеих частей в степень.
Использование равносильных переходов.
Умножение левой части на сопряженное выражение.
Введение новой переменной.
1. Возведение обеих частей уравнения в степень

При возведении в четную степень возможно расширение области определения заданного уравнения. Поэтому при решении таких иррациональных уравнений обязательна проверка.
При возведении в нечетную степень обеих частей иррационального уравнения область определения не меняется.
пример
2. Использование равносильных переходов.
Пример:
3. Умножение левой части на сопряженное выражение.
Пример:
4. Введение новой переменной.

1

Самостоятельная работа
I
III
II

Уравнения, в которых переменная содержится под знаком корня, называются иррациональными.

При возведении обеих частей уравнения
    • в четную степень (показатель корня – четное число) – возможно появление постороннего корня (проверка необходима).
    • в нечетную степень (показатель корня – нечетное число) – получается уравнение, равносильное исходному (проверка не нужна).

Решая иррациональные уравнения с помощью равносильных преобразований – проверка не нужна.

Итоги урока
Cпасибо за внимание


title: Скачать презентацию или конспект Путешествие в сказку «Уравнения»

extracted_text:
Путешествие  в  сказку
«Уравнения»

а) Как число 1000 записать тремя десятками? б) Упростите выражения: 5х+4х+х; 15n+7n-11n5∙k∙4 в) В корзине было несколько грибов. После того как в неё положили ещё 27 грибов, их стало 75.Сколько грибов было в корзине?
10∙10∙10
10х
11n
20k
х=48

Мы  летим  в  царство  сказок.  Под  нами  тридевятое  царство,  тридесятое государство.  Ковер  опускается  вниз,  и  мы  с  вами  вступаем  на  сказочную  землю.

«Прежде чем переступитьпорог этого дома, скажи, сколько кроликов и фазанов у хозяина, если всего ног-104, голов-37. У фазана 2 ноги, кролик имеет 4 ноги. Если не решите задачу, не открывайте дверей,иначе столкнетесь с большими неприятностями!»

 Кто  это  сидит  такой  печальный?  Это  же  Буратино!
- Кто  тебя  так  расстроил?
  Мальвина!  Умная  очень!  Сама  целый  день  решает какие – то примеры  и  меня заставляет,  да  еще  грозится  без  обеда  оставить!
     Помогите  справиться  с  заданиями:
Решите уравнение:56–(х+12)=24(45-у)+18=58Записать в виде равенства: У Вани было х яблок, у Пети-на 8 яблок больше, а у Нины-на 3 яблока меньше, чем у Вани. Вместе у них было 41 яблоко

х=20
у=5
х+(х+8)+(х-3)=41
 В  путь!  Я  вижу  домик  Бабы  Яги  и  слышу  ее  жалобный  голос.
Детушки,  помогите  мне,  отоприте  дверь!  Я  поссорилась  с  Кощеем  Бессмертным,  и  он  закрыл  дверь – ни  одно  колдовство  не  помогает  ее  открыть. Ключ он спрятал в сундуке, сундук повесил на высокий дуб. Дорогу к дубу знает только    мудрая Сова.

    Я готова Вам помочь, но только  после того, как   Вы выполните          задания Решите уравнения:   х+37=85  156+y=218  m-94=18  2041-n=786
х=48
y=62
m=112
n=1255

Решите задачу с помощью уравнения

Витя задумал число. Если к этому числу прибавить 23 и к полученной сумме прибавить 18, то будет 52. Какое число задумал Витя?

х=11
  Снова  в  путь!  Я  вижу  домик.
Давайте  зайдем  в  него.
Посмотрите  внимательно:
в  дальнем  углу  комнаты  сидит
наш  друг  старик  Хоттабыч.
Он  чем – то  очень  огорчен.
Оказывается  мыши
забрались  в  шкаф
с  его  рукописями  и  испортили  их.
 Старик  Хоттабыч  мучается,
 но  не  может  их  восстановить.
Поможем  ему..
* + 5 = 2х + 1
Вместо звёздочки подставь такое число, чтобы получилось уравнение, корнем которого было бы число 4.

4
3х - 7 = * - 2
7
(5х+ 2) : 11 = * - 3
5
Самостоятельная работа.
Решение


title: Скачать презентацию или конспект Патриотическое воспитание школьников в процессе обучения математике

extracted_text:
Патриотическое воспитание школьников в процессе обучения математике
МОУ «Средняя общеобразовательная
 школа № 18 с углубленным
изучением отдельных предметов»
Учитель математики Дьякова Т.И.
Тел. 65-33-95
Цель:
Формирование у ребят чувства гордости и уважения к собственному Отечеству
Задачи:
Подобрать математические задания, связанные с историей Родины;
Использовать материалы школьного музея «Не рвутся связи поколений» для воспитания в ребятах чувства сопричастности с малой родиной на уроках математики

Воспитание в процессе обучения – это только часть целостной воспитательной системы школы. На уроке математики воспитание осуществляется посредством четырех факторов:
Через содержание образования;
Через методы и формы обучения;
Через использование случайно возникших и специальное создание воспитывающих ситуаций;
Через личность самого учителя
Каждому человеку нужно знать, какими были и как жили его давние и недавние предки, что довелось испытать и пережить народам нашей Родины на протяжении прошедших веков.
Погрузиться в прошлое, реально представить его картины и вместе с тем как бы стать участником былых событий учащимся помогут задачи.
Схема Московского Кремля XI века
Задача . Московский Кремль XI в. занимал 1,5 га. Площадь Кремля , построенного при Юрии Долгоруком, была на 7,5 га больше. Вычислите площадь нового Кремля.

Галовеевские часы были большие и массивные. Их циферблат массой 400 кг был собран из тяжелых дубовых бревен. Они служили москвичам весь XVII век.
Задача . Галовеевские часы имели циферблат диаметром 5,16 м, что составляет 43/53 от диаметра циферблата нынешних часов на Спасской башне. Вычислите диаметр циферблата курантов на Спасской башне.
Царь-колокол
Задача . Масса третьего Царь-колокола 144 т. Это составляет 0,72 массы Царь-колокола, который сейчас стоит в Кремле. Какова масса современного Царь-колокола?

Задача . Царь-колокол имеет массу 200 т. Масса осколка составляет 0,0575 массы колокола. Какова масса осколка?


title: Скачать презентацию или конспект Формула арифметической прогрессии

extracted_text:
Арифметическая прогрессия.

pptcloud.ru
Проверим глубину знаний.
а1, а2, …, аn, …
Как найти d?
Записать формулу для n-го члена арифметической прогрессии.
Записать формулы для нахождения суммы n первых членов арифметической прогрессии.

Мозговой штурм.
Является ли данная последовательность арифметической прогрессией?

20, 17, 14, 11, 8, 5, 2, -1, -4, …

  Назовите ее первый член,
  разность арифметическойпрогрессии.
Мозговой штурм.
Назовите несколько членов арифметической прогрессии, заданной следующими условиями:

а1 = 7; d = 4.
                            a1 = -3; d = 2.

a1= -0,2; d = -1,5.

М О Л О Д Ц Ы !
Работаем письменно.
Формула n-го члена арифметической прогресии.
Дана арифметическая прогрессия

а) известно, что а1=5, d=4. Найти а22.

Формула n-го члена арифметической прогрессии.
Дана арифметическая прогрессия

б) известно, что а1=7, а15=-35. Найти d.
Формула n-го члена арифметической прогрессии.
Дана арифметическая прогрессия

в) известно, что d=-2, а39=83. Найти а1.
Формула n-го члена арифметической прогрессии.
Дана арифметическая прогрессия

г) известно, что а1=-2, d=3, аn=118.
   Найти n.
Сумма членов арифметической прогрессии.
Найдите сумму 10 первых членов арифметической прогрессии, если аn=3n-2.
Сумма членов арифметической прогрессии.
Найдите сумму 12 первых членов арифметической прогрессии -3; -1; …
Задача повышенной сложности.
Найдите первый член и разность арифметической прогрессии,
   если а6=23, а11=48.

Решение: составим систему
а6 = а1+
а11= а1+

С П А С И Б О   З А   У Р О К !
До  встречи !


title: Скачать презентацию или конспект Математические понятия и методика их изучения в школьном курсе математики

extracted_text:
Математические понятияи методика их изученияв школьном курсе математики
ТМОМ
Методические основы
обучения математике

План
Математические понятия (сведения из логики)
Сущность математических понятий;
Логические характеристики понятий: содержание, объем;
Пути конструирования понятий;
Классификация понятий
Определения математических понятий
Способы определения, структура определения;
Виды определений
Требования к корректности определений
Методики изучения понятий и схемы их применения
Методы формирования понятий;
Организация усвоения понятий (этапы формирования);
Основные приемы действий с понятиями;
Система упражнений, направленная на формирование понятия.
Сущность математических понятий
Понятие – форма мышления, отражающая общие и существенные свойства и отношения вещей и явлений материального мира.

Математическое понятие – отражение в мышлении отличительных свойств  форм и количественных отношений действительного мира.

В познании понятия выражаются с помощью признаков посредством речи и символов
Признаки понятия
Признак – все то, с помощью чего объекты можно распознать, описать, в чем объекты могут быть сходными или различными
признаки
существенные
несущественные
Существенные признаки - каждый из которых необходим,  все вместе они достаточны, чтобы отделить данное понятие от других

Образование понятия
Выделение с помощью анализа признаков объекта
Соединение с помощью синтеза существенных признаков объекта
Отбрасывание с помощью абстрагирования несущественных признаков
Образование с помощью обобщения единого целого, являющегося понятием

Логические характеристики понятия
Содержание понятия - совокупность всех существенных признаков объектов, охватываемых данным понятием.

Объем понятия – совокупность всех объектов, на которое распространяется это понятие, к которым оно может быть применено.

Содержание и объем понятия жестко связаны между собой: изменение содержания влечет изменение объема и наоборот.
Закон обратного отношения
Чем уже объем понятия, тем шире его содержание;

Чем шире объем понятия, тем уже его содержание.
Родовидовое отношение между понятиями
Если объем одного понятия входит в объем другого понятия, то
 понятие с меньшим объемом называется «видовым»,
 понятие с большим объемом называется «родовым».

Если в понятие входит только один элемент, оно называется «единичным»
Виды понятий(по соотношению  объемов)
Сравнимыми называются понятия, если можно указать общий для них универсум (множество объектов, в терминах которого определяются понятия).
Совместными называются понятия, объемы которых имеют общие элементы
Равнозначными называются понятия, объемы которых полностью совпадают.
Пересекающимися называются  понятия, объемы которых частично совпадают.
Находящимися в отношении включения называются понятия, если объем одного входит в объем другого.
Характеристики признаков понятия
Пусть понятие А включает класс объектов Х
Признак а называется необходимым или основным признаком понятия   А, если признаком а обладает любой объект из Х.
Признак а называется отделимым признаком понятия А, если признаком а обладают только некоторые объекты из Х.
Признак а называется противоречивым признаком понятия А, если признаком а не обладает ни один объект из Х.
Конструирование новых понятий
Осуществляется с помощью трех логических операций:
обобщения,
ограничения,
классификации.
Обобщение понятий
Обобщение понятия – логическая операция конструирования нового понятия с большим объемом, чем данное (т.е. переход от видового к родовому понятию).

Обобщение понятий происходит путем отбрасывания из содержания понятия основных признаков понятия до тех пор, пока не получится предельно широкое понятие, называемое категорией (время, пространство, форма, количество, отношение), или к неопределяемому понятию, описываемому через категории.
Ограничение понятий
Ограничением понятий - логическая операция конструирования нового понятия с меньшим объемом, чем данное (т.е. переход от родового к видовому понятию).

Ограничение понятия происходит добавлением к содержанию понятия отделяемого признака до тех пор, пока не получим единичное понятие, не имеющее отделяемого признака.
Классификация понятий
Классификация понятий - последовательное многоступенчатое разделение множества объектов на классы с помощью некоторого свойства (или свойств)

Классификации считается правильной, если:
признак, по которому проводится классификация остается неизменным в процессе классификации;
понятия, получаемые в классификации - взаимонезависимые;
сумма объемов понятий, получаемых при классификации, равна объему исходного понятия;
в процессе классификации осуществляется переход к ближайшему в родовом понятии виду.

Виды классификаций
дихотомическая ( трихотомическая), где осуществляется многоступенчатое разбиение на два (три) противоречащих понятия;
иерархическая, где каждый член является соподчиненным понятием;
последовательная, где классификация проводится по нескольким основаниям.

При помощи классификации на основе сходства и различий объектов раскрывается объем понятия.
Определение понятия
Трактовки термина «определение понятия»:
логическая операция, при помощи которой раскрывается содержание нового понятия через перечисление его существенных признаков;
математическое предложение, в котором раскрывается содержание понятия через перечисление совокупности условий, необходимых, и достаточных для отделения класса объектов, принадлежащих какому-либо понятию, и вводится термин, обозначающий выделенный класс.
Что значит определить понятие?
С точки зрения логической операции – это значит свести его к уже известным понятиям и тем самым раскрыть его содержание.

В результате этой операции и появляется математическое предложение, именуемое как определение понятия.
Типы  определения понятия
Остенсивное определение – описание объекта с помощью модели через показ,  демонстрацию.

Вербальное определение – описание объекта словами.

Явное определение – прямое указание на существенные признаки понятия. Определяемое и определяющее понятия выражены четко и однозначно.

Неявное определение -  не содержит четкого и однозначного определяющего элемента, содержание определяемого понятия устанавливается через контекст (описание).
Структура определений понятия
конъюнктивная структура – в определении все признаки связаны союзом «и»;

дизъюнктивная структура – в определении признаки связаны союзом «или»;

импликативная структура –  в определении признаки связаны отношением следования                 (в терминах «если …, то…»)
Виды определений (в зависимости от определяемого объекта)
Номинальные определения – вводятся новые символы, термины, выражения или уточняется смысл ранее введенных  объектов.

Реальные определения – фиксируются свойства новых определяемых объектов.
Виды определений (в зависимости от способа выделения видовых отличий)
Характеристические определения, в которых указывается ближайший род и перечисляются видовые отличия понятия.
Генетические (конструктивные) определения, в которых описывается или указывается способ происхождения или образования понятия.
Рекурсивные (индуктивные) определения, в которых указываются исходные (базисные) объекты некоторого множества и правила, позволяющие получать другие объекты этого же множества.
Условные определения, в которых вводится некоторое соглашение, суть договоренность.
Формально-логические требования корректности определений
признаков должно быть достаточно, чтобы отделять данное понятие от других;
количество признаков должно быть минимальным для отделения данного понятия;
признаки должны быть независимыми.

Логико – математический анализ определения понятия

определение способа получения нового понятия;
определение типа и вида определения;
определение структуры определения;
раскрытие математического содержания каждого элемента определения (термин, род, видовые отличия);
определение корректности определения.
Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны
Конструируется с помощью ограничения: к свойствам прямоугольника добавляется отделимый признак равенства всех сторон.
Определение явное и  реальное: с помощью слов фиксируются свойства квадрата.
Структура конъюнктивная: признаки соединены союзом «и».
Ближайший род – прямоугольник.
Видовые отличия задаются перечислением: все стороны равны.
Определение не вполне корректное: избыточное.
Формирование  понятия – длительный процесс
Начальные этапы работы с понятием
Профессиональный – выполнение логико-математического анализа, выбор методов работы, отбор содержания.
Подготовительный – актуализация необходимых знаний учащихся, установление связей с субъектным опытом ребенка, мотивация.
Введение понятия и его определения -   организация знакомства и первичное усвоение понятия и его определения учащимися.

Введение понятия и его определения
Схема применения  конкретно- индуктивного метода
анализируется эмпирический материал, при этом привлекаются такие мыслительные операции как сравнение, классификация, абстрагирование;
через обобщение выделяются признаки, характеризующие новое понятие;
на основе синтеза конструируется формулировка определения, вводится термин, обозначающий понятие;
рассматриваются примеры и контрпримеры;
понятие и его определение усваивается в процессе его дальнейшего применения.
Схема применения  абстрактно- дедуктивного метода
формулируется принятое в науке (или учебнике) определение нового понятия;
через рассмотрение  частных примеров и контрпримеров  осуществляется конкретизация определения;
понятие и его определение усваиваются в процессе дальнейшего применения.

Усвоение понятия

Раздельный метод – сначала происходит запоминание  формулировки определения. А затем формируется навык ее применения.

Компактный метод – запоминание формулировки происходит одновременно с приобретением  навыка по ее применению.

Алгоритмический метод – запоминание  и формирование навыка происходят в процессе выполнения предписаний алгоритма.

Этапы организации усвоения понятия (в соответствии с концепцией обогащающей модели обучения М.А. Холодной)
Мотивировка  - создание условий для осознания учащимися недостаточности их прошлого математического опыта.

Категоризация – введение знаково-символического обозначения нового понятия, ориентация ребенка на выделение отличительных признаков соответствующего понятия.

Обогащение – накопление и дифференциация опыта оперирования вводимым понятием, расширение возможных ракурсов осмысления его содержания.

Перенос –применение усваиваемого понятия в разных ситуациях, в том числе и в условиях самостоятельного выстраивания отдельных аспектов его содержания.
Свертывание – представление образа понятия в сжатой форме.
Организация обучения учащихся работе с понятиями ( в соответствии с теорией поэтапного формирования умственных действий  П.Я. Гальперина )
формирование мотивации введения нового понятия;
представление основного содержания подлежащего усвоению понятия в краткой схематической форме, т.е. создание ООД;
организация работы учащихся с понятиями, позволяющей  контролировать и ее ход, и ее результат;
организация постепенного перехода от пошагового контроля к самоконтролю.
Основные приемы действий с определениями понятий
Подведение объекта под понятие – распознавание объектов, принадлежащих объему данного понятия, установление факта возможности называть объект связанным с понятием термином.
Выведение следствий из определения понятия – наделение конкретного объекта, именуемого термином, связанным с понятием, всеми характеристическими свойствами понятия, выделенными в определении.
Система упражнений, направленная на формирование понятий
 Задачи и упражнения – основное средство формирования понятий.

Системообразущий фактор
Этапы
формирования понятия
(система Г.И. Саранцева)
Структура понятийной познавательной деятельности
(система М.А. Холодной)

Система задач Г.И. Саранцева
на мотивацию (практического характера);
на построение объектов, удовлетворяющих выделенным свойствам;
на распознавание объектов, принадлежащих объему понятия;
на выделение следствий из определения понятия;
на дополнение условий (для распознавания и выведения следствий)на составление родословной понятия;
на применение понятий в разных ситуациях;
на систематизацию понятий.
Система задач М.А. Холодной
на формирования способности к словесно-образному переводу разной степени общности;
на выделение признаков усвояемого понятия;
на включение изучаемого понятия в систему связей с другими понятиями;
на развитие мыслительных операций. лежащих в основе образования понятия;
на подключение предметного опыта учащихся.
Благодарю за внимание!


title: Скачать презентацию или конспект Аксиомы стереометрии и их следствия

extracted_text:
Аксиомы стереометрии
10 классгеометрия

1. Аксиомы стереометрии и их следствия.
1
21.03.2017
www.konspekturoka.ru
Цели:
Изучить аксиомы стереометрии:
 - о взаимном расположении точек,
 - о взаимном расположении прямых,
 - о взаимном расположении плоскостей
   в пространстве.
Изучить некоторые следствия из аксиом стереометрии.
Показать применение аксиом к решению задач.
2
21.03.2017
www.konspekturoka.ru
Изучает свойства геометрических фигур на плоскости
Изучает свойства фигур в пространстве
В переводе с греческого слово «геометрия» означает «землемерие»
«гео» – по-гречески земля, «метрео» – мерить
Слово «стереометрия» происходит от греческих слов «стереос» объемный, пространственный, «метрео» – мерить
Изучение нового материала.
21.03.2017
3
www.konspekturoka.ru

Планиметрия
Стереометрия

Наряду с этими фигурами мы будем рассматривать геометрические тела и их поверхности.
Например, многогранники. Куб, параллелепипед, призма, пирамида.
Тела вращения.
Шар, сфера, цилиндр, конус.
Основные фигуры: точка, прямая
Основные фигуры: точка, прямая, плоскость
Другие фигуры: отрезок, луч, треугольник, квадрат, ромб, параллелограмм, трапеция, прямоугольник, выпуклые и невыпуклые n-угольники, круг, окружность, дуга и др.
Изучение нового материала.
21.03.2017
4
www.konspekturoka.ru
Для обозначение точек используем прописные латинские буквы
Для обозначение прямых используем строчные латинские буквы
Или обозначаем прямую двумя прописными латинскими буквами.
21.03.2017
5
www.konspekturoka.ru

Плоскости будем обозначать греческими буквами.
На рисунках плоскости обозначаются в виде параллелограммов. Плоскость как геометрическую фигуру следует представлять себе простирающейся неограниченно во все стороны.
21.03.2017
6
www.konspekturoka.ru
 C
21.03.2017
7
www.konspekturoka.ru

Основные свойства точек, прямых и плоскостей выражены в аксиомах. Из множества аксиом мы сформулируем только три.
 А1. Через любые три точки, не лежащие на одной
       прямой, проходит плоскость, и притом только  	одна.
Иллюстрация к аксиоме А1: стеклянная пластинка плотно ляжет на три точки А, В и С, не лежащие на одной прямой.

A
B
C
21.03.2017
8
www.konspekturoka.ru
a
А2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости.

A
B
21.03.2017
9
www.konspekturoka.ru
Из аксиомы А2 следует,  что если прямая не лежит в данной плоскости, то она имеет с ней не более одной общей точки. Если прямая и плоскость имеют только одну общую точку, то говорят, что они пересекаются.

21.03.2017
10
www.konspekturoka.ru

a
А3. Если две плоскости имеют общую точку, то  они
      имеют общую прямую, на которой лежат все общие
      точки этих плоскостей.
В этом случае говорят, что плоскости пересекаются по прямой.

21.03.2017
11
www.konspekturoka.ru
 А1.
Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
21.03.2017
12
www.konspekturoka.ru

Назовите плоскости, в которых лежат прямые
РЕ
МК
DB
AB
EC
P

E
A
B
C
D

M
K

Закрепление изученного материала.
21.03.2017
13
www.konspekturoka.ru

Назовите

точки пересечения прямой DK с плоскостью АВС,

прямой СЕ с плоскостью АDB.
P

E
A
B
C
D

M
K

Закрепление изученного материала.
21.03.2017
14
www.konspekturoka.ru

Назовите точки, лежащие в плоскостях АDB и DBC
P

E
A
B
C
D

M
K

Закрепление изученного материала.
21.03.2017
15
www.konspekturoka.ru

Назовите прямые по которым пересекаются плоскости
АВС и DCB
ABD и CDA
PDC и ABC
P

E
A
B
C
D

M
K

Закрепление изученного материала.
21.03.2017
16
www.konspekturoka.ru
Ответить на вопросы:
21.03.2017
17
www.konspekturoka.ru
Назвать  аксиомы стереометрии:
 - о взаимном расположении точек,
 - о взаимном расположении прямых,
 - о взаимном расположении плоскостей
   в пространстве.


title: Скачать презентацию или конспект О теореме Пифагора и способах её доказательства

extracted_text:
О теореме Пифагора  и способах её доказательства
 Введение
 Теорема Пифагора
 Пифагоровы тройки
 Алгебраические доказательства теоремы:
  Первое  доказательство.
  Второе доказательство.
 Не алгебраические доказательства теорем:
 Простейшее доказательство.
 Древнекитайское доказательство.
 Древнеиндийское доказательство.
 Доказательство Евклида.
 Заключение

      Далеко-далеко. Куда не летают даже самолёты, находится страна Геометрия.
     В этой необычной стране был   удивительный город-город Теорем.Однажды  в этот город пришла красивая девочка по имени Гипотенуза.Она попробовала снять комнату, но куда бы она не обращалась, ей всюду отказывали.Наконец она подошла к покосившемуся домику и постучала.Ей открыл мужчина, назвавший себя Прямым Углом, и он предложил Гипотенузе поселиться у него.Гипотенуза осталась в доме , в котором жили Прямой  Угол и два его маленьких сына по имени Катеты. С  тех  пор  жизнь в доме Прямого Угла  пошла по- новому.На окошке Гипотенуза посадила цветы. А в палисаднике развела розы. Дом принял форму прямоугольного треугольника.Обоим Катетам, Гипотенуза очень понравилась и они попросили её остаться навсегда в их доме.По вечерам эта дружная семья собирается за семейным столом.Иногда Прямой Угол играет со своими детишками в прятки.Чаще всего искать  приходиться ему, а Гипотенуза прячется  так  искусно, что найти её бывает очень трудно.   Однажды  во время игры Прямой угол заметил интересное свойство: если ему удается найти катеты, то отыскать Гипотенузу не составляет труда.Так Прямой Угол  пользуется этой закономерностью, надо сказать, очень успешно.На свойстве этого прямоугольного треугольника и основана теорема
ВведениеСказка      «Дом»

В  прямоугольном  треугольнике  квадрат гипотенузы  равен  сумме  квадратов катетов.

Теорема Пифагора

а
b
c
гипотенуза
катет
катет
Египетский треугольник.Треугольник Пифагора.
Прямоугольный треугольник со сторонами 3,4 и 5 имел когда-то большое практическое применение.В частности с помощью его строили прямые углы.Треугольник со сторонами 3, 4 и 5 назвали египетским.
Треугольники со сторонами, выраженными целыми числами, называют пифагоровыми. Пр. 5, 12 и 13.Таких треугольников множество, их стороны находят по формулам: m2+n2, m2-n2, 2mn, причем m     n.

3
4
5
6
8
10

Пифагоровы числа или пифагоровы тройки. Это великое открытие пифагорейских математиков.
 Тройки чисел таких, что     a2+b2=c2.
Интересные особенности этих чисел:
      Один из «катетов» должен быть кратным трём.
      Один из «катетов» должен быть кратным четырём.
      Одно из Пифагоровых чисел должно быть кратно пяти.

            «Пифагоровы тройки»
Предисловие.

   Еще давно была изобретена головоломка, называемая сегодня “Пифагор”. Нетрудно убедиться в том, что в основе семи частей головоломки лежат равнобедренный прямоугольный треугольник и квадраты, построенные на его катетах, или, иначе, фигуры, составленные из 16 одинаковых равнобедренных прямоугольных треугольников и потому укладывающиеся в квадрат. Такова лишь малая толика богатств, скрытых в жемчужине античной математики — теореме Пифагора. Далее рассмотрим несколько алгебраических доказательств теоремы.

Алгебраические доказательства теоремы
Первое   доказательство. (алгебраическое)
Пусть Т—прямоугольный треугольник с катетами а, b и гипотенузой с(рис. 6, а).
Докажем, что с2=а2+Ь2.
Построим квадрат Q со стороной а+Ь (рис. 6, б). На сторонах квадрата Q возьмем точки А, В, С, D
так, чтобы отрезки АВ, ВС, CD, DA отсекали от квадрата Q прямоугольные треугольники Т1, Т2, Т3, Т4
 с катетами а и b. Четырехугольник ABCD обозначим буквой Р. Покажем, что Р — квадрат со
стороной с.
Все треугольники Т1, Т2, Т3, Т4  равны треугольнику Т (по двум катетам). Поэтому их гипотенузы равны
гипотенузе треугольника Т, т. е. отрезку с. Докажем, что все углы этого четырехугольника прямые.
Пусть  и — величины острых углов треугольника Т. Тогда, как вам известно, += 90°. Угол у при
вершине А четырехугольника Р  вместе с углами, равными  и , составляет развернутый угол.
 Поэтому +=180°. И так как += 90°, то =90°. Точно так же доказывается, что и остальные углы
четырехугольника Р прямые. Следовательно, четырехугольник Р — квадрат со стороной с.
Квадрат Q со стороной а+Ь слагается из квадрата Р со стороной с и четырех треугольников, равных
 треугольнику Т. Поэтому для их площадей выполняется равенство S(Q)=S(P)+4S(T) .
Так как S(Q)=(a+b) 2 ; S(P)=c2 и S(T)=1/2(ab), то, подставляя эти выражения в S(Q)=S(P)+4S(T),
 получаем равенство (a+b) 2=c2+4*(1/2)ab .
Поскольку (a+b)2=a2+b2+2ab, то равенство
(a+b)2=c2+4*(1/2)ab
 можно записать так: a2+b2+2ab=c2+2ab.
Из равенства a2+b2+2ab=c2+2ab следует,
                                             что с2=а2+Ь2. Ч.Т.Д.
Пусть АВС — данный прямоугольный треугольник с прямым углом С. Проведем высоту CD из вершины прямого угла С
По определению косинуса угла (Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе) соsА=AD/AC=AC/AB.
 Отсюда AB*AD=AC2. Аналогично соsВ=BD/BC=BC/AB. Отсюда AB*BD=ВС2. Складывая полученные равенства почленно и замечая, что AD+DB=AB, получим:
АС2+ВС2=АВ(AD + DB)=АВ2. Теорема доказана.
Второе доказательство. (алгебраическое)
Не алгебраические доказательства теоремы.
Простейшее доказательство.

    Квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на его катетах."
     Простейшее доказательство теоремы получается в простейшем случае равнобедренного прямоугольного треугольника. Вероятно, с него и начиналась теорема. В самом деле, достаточно просто посмотреть на мозаику равнобедренных прямоугольных треугольников (рис. 1), чтобы убедиться в справедливости теоремы.    Например,
      для ABC : квадрат, построенный  на гипотенузе АС,
      содержит 4 исходных  треугольника, а квадраты,
      построенные на катетах,— по два.
     Теорема доказана.
Рис.1
Математические трактаты Древнего Китая дошли до нас в редакции II в. до н.э. Дело в том, что в 213 г. до н.э. китайский император Ши Хуан-ди, стремясь ликвидировать прежние традиции, приказал сжечь все древние книги. Во II в. до н.э. в Китае была изобретена бумага и одновременно начинается воссоздание древних книг. Так возникла тематика в девяти книгах” — главное из сохранившихся математик - астрономических сочинений в книге “Математики” помещен чертеж ,доказывающий теорему Пифагора. Ключ к этому доказательству подобрать нетрудно.
Древнекитайское доказательство. (не   алгебраическое) Предисловие.
Древнекитайское доказательство.

    В самом деле, на древнекитайском чертеже четыре равных прямоугольных треугольника с катетами а, b и гипотенузой с уложены так, что их внешний контур образует квадрат со стороной а+b, а внутренний — квадрат со стороной с, построенный на гипотенузе
     (рис. б). Если квадрат со стороной с вырезать и оставшиеся 4 затушеванных треугольника уложить в два прямоугольника (рис. в), то ясно, что образовавшаяся пустота, с одной стороны, равна с2, а с другой — а2+Ь2, т.е. с2=а2+Ь2. Теорема доказана.

       Математики Древней Индии заметили, что для доказательства теоремы Пифагора достаточно использовать внутреннюю часть древнекитайского чертежа. В написанном на пальмовых листьях трактате “Сиддханта широмани” (“Венец знания”) крупнейшего характерным для индийских доказательств словом “Смотри!”. Как видим, в квадрате индийского математика XII в. Бхаскары помещен чертеж с со стороной а+b изображали четыре прямоугольньных треугольника с катетами длин
      a и b (рис.1и2).После чего писали одно слово “Смотри!”. И действительно, взглянув на эти рисунки, видим, что слева свободна от треугольников фигура, состоящая из двух квадратов со сторонами a и b,соответственно    её площадь равна a²+b², а справа- квадрат со стороной c -его площадь равна c² . Значит, a²+b²=c²,  что и составляет утверждение теоремы Пифагора.

чертеж из трактата
 “Чжоу-би...”.
рис.1
рис.2
Древнеиндийское доказательство.
    Доказательство Евклида приведено в предложении 47 первой книги “Начал”. На гипотенузе и катетах прямоугольного треугольника АВС строятся соответствующие квадраты и доказывается, что прямоугольник BJLD равновелик квадрату ABFH, а прямоугольник ICEL — квадрату АС КС. Тогда сумма квадратов на катетах будет равна квадрату на гипотенузе. В самом деле, затушеванные на рисунке треугольники ABD и BFC равны по двум сторонам и углу между ними: FB=AB, BC==BD и FBC=d+ABC=ABD. Но SABD=1/2 SBJLD, так как у треугольника ABD и прямоугольника BJLD общее основание BD и общая высота LD. Аналогично SFBC=1\2 SABFH (BF—общее основание, АВ—общая высота). Отсюда, учитывая, что SABD=SFBC , имеем SBJLD= SABFH.Аналогично,
  используя равенство треугольников ВСК и АСЕ,доказывается, что SJCEL=SACKG.  Итак, SABFH+SACKG=SBJLD+SJCEL= SBCED ,
      что и требовалось доказать.
Доказательство Евклида.
О доказательстве Евклида
Доказательство Евклида в сравнении с древнекитайским или древнеиндийским выглядит чрезмерно сложным. По этой причине его нередко называли “ходульным” и “надуманным”. Но такое мнение поверхностно. Теорема Пифагора у Евклида является заключительным звеном в цепи предложений 1-й книги “Начал”. Для того чтобы логически безупречно построить эту цепь, чтобы каждый шаг доказательства был основан на ранее доказанных предложениях, Евклиду нужен был именно выбранный им путь.

Еще давно была изобретена головоломка, называемая сегодня “Пифагор”. Нетрудно убедиться в том, что в основе семи частей головоломки лежат равнобедренный прямоугольный треугольник и квадраты, построенные на его катетах, или, иначе, фигуры, составленные из 16 одинаковых равнобедренных прямоугольных треугольников и потому укладывающиеся в квадрат. Такова лишь малая толика богатств, скрытых в жемчужине античной математики — теореме Пифагора.
Заключение
    В заключении еще раз хочется сказать о важности теоремы. Значение ее состоит прежде всего в том, что из нее или с ее помощью можно вывести большинство теорем геометрии. К сожалению, невозможно здесь привести все или даже самые красивые доказательства теоремы, однако хочется надеется, что приведенные примеры убедительно свидетельствуют об огромном интересе сегодня, да и вчера, проявляемом по отношению к ней.


title: Скачать презентацию или конспект Делители и кратные - практикум

extracted_text:
Делители и кратные.
8.09.12           Классная работа.
Учитель математики ГБОУ СОШ №1959
Сивалкина Елена Владимировна.
Математический диктант.
Какое число называют делителем натурального числа а?
Какое число называют кратным  натуральному  числу а?
Выпишите все делители числа 24.
Напишите три числа, кратных 24.
Напишите число, кратное 8 и 12.
2

Д(6) =
Д(20) =
Д(32) =
Д(17) =

Запишите по три числа:
К(15) =
К(23) =
К(41) =
Делители числа 84.
Парные делители.

Произведение парных делителей равно самому числу.
Запишите в порядке возрастания все делители числа 96.
Д(96)=

Физкультминутка

Решение задач

Задача 1.
     У продавца имеется много гирь весом 3 кг и 5 кг.
 Может ли он взвесить товар весом 29 кг?
Задача 2 (устно).
 Можно ли 64 ручки разложить поровну
В 10 наборов
В 16 наборов
В 32 набора
В 22 набора.
Домашнее задание.
№ 11
28
23 (устно) – разобраться в решении!!!


title: Скачать презентацию или конспект Сложение и вычитание обыкновенных дробей с разными знаменателями

extracted_text:
Девиз урока:
«Пусть числитель будет больше знаменателя!»
Сократите дробь
Выделите целую часть
Что поставить вместо «звездочки»?
Молодцы!
«Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями»
Цель урока?
Математическая разминка
Тест
Ответы

Подведем итоги
Закончите предложение:
сегодня я узнал…
было трудно…
я выполнял задания…
я понял, что…
теперь я могу…
я научился…
у меня получилось …
я смог…
я попробую…
Домашнее задание
№326 (а,б), №327 (а,в,д)
№328
Составить кроссворд (10 слов)

Спасибо за урок!


title: Скачать презентацию или конспект Деление одночлена на одночлен

extracted_text:
Деление одночлена на одночлен
Тема урока
Одоев П.А
Какое выражение называется одночленом?
	Одночленом называется алгебраическое выражение, которое представляет собой произведение чисел и переменных возведенных в степень с натуральным показателем.
Можно ли сложить два одночлена 8ах и 8ау?
Какие одночлены называются подобными?
	Два одночлена, состоящие из одних и тех же переменных, каждая из которых входит в оба одночлена в одинаковых степенях называют подобными одночленами
Являются ли подобными одночлены?
	1) 2а и 5а	2) 5а и 3а²	3) xª и 5хª	4) 2х и 7у

Деление одночлена на одночлен

При делении одночлена на одночлен сокращаются общие делители, входящие в эти одночлены. В результате можно получить или одночлен или алгебраическую дробь.
Анализ решенных примеров

1)Делитель не должен содержать переменных, которых нет в делимом

2) Степени общих переменных (в делимом и делителе) в делимом должны быть не меньше аналогичных степеней в делителе
Спасибо за внимание


title: Скачать презентацию или конспект Развитие логического мышления на уроках метематики

extracted_text:
 Математика
Учитель высшей категории:
 Мельникова И.Н.
"Развитие логического мышления
 на уроках
метематики"
(Фрагмент урока)
2
Разминка
Найти закономерность и продолжить ряд:
1; 5; 9; 13; 17…
2; 3; 5; 9; 17…
23; 42; 35; 23; 62; 37…

3
Разминка
 Составить задачу по уравнению:

( Х + 30 ) – 16 = 58
( X – 20 ) + 30 = 53

4
Задача
Учеников повели на экскурсию. Когда их построили парами, то один ученик оказался без пары. Тогда их стали строить тройками, и опять один ученик оказался лишним.
Только когда их построили пятерками, лишних не осталось.
Сколько было учеников?
Варианты ответа:
50   48  36   25   15

5
Задача
У каждого из четырех ребят живет одно какое-то одно любимое животное: кошка, собака, рыбка и канарейка ( у всех разные). У Никиты животное – с пушистой шерстью, у Артура – четвероногое, у Насти – пернатое. Кроме того, известно, что, Сюзанна и Никита не любят кошек. Какое из следующих утверждений НЕВЕРНО?

1) У Артура – собака
2) У Насти  – канарейка
5) У Никиты – собака
4) У Сюзанны  – рыбка
3) У Артура – кошка

6
В парке растут дубы и сосны.Какое из следующих утверждений может быть верным?
(А) Каждый дуб ниже какой-то сосны, и каждая сосна ниже любого дуба.
(В) Каждый дуб ниже какой-то сосны, какая-то сосна ниже любого дуба.
(С) Какой-то дуб ниже какой-то сосны, и любая сосна ниже любого дуба.
(D) Какой- то дуб ниже любой сосны, и какая-то сосна ниже любого дуба.
(Е) Все утверждения (А)-(D) всегда ложны.

7
(А) Каждый дуб ниже какой-то сосны, и каждая сосна ниже любого дуба.
____________________________________________________________
_______________________________________4_____________________
Истинно
Ложно
1
2
3
5
6

8
(В) Каждый дуб ниже какой-то сосны, какая-то сосна ниже любого дуба.
_______________________________________________________________
Истинно
Ложно
1
2
3
_______________________________________4_____________________
5
6

9
(С) Какой-то дуб ниже какой-то сосны, и любая сосна ниже любого дуба.
_______________________________________________________________
Истинно
Ложно
1
2
3
_______________________________________4_____________________
5
6

10
(D) Какой- то дуб ниже любой сосны, и какая-то сосна ниже любого дуба.
_______________________________________________________________
Истинно
Ложно
1
2
3
_______________________________________4_____________________
5
6

11
Молодцы! Всем спасибо!