[{"text_idx": "#000000", "text": "Permutatsioon on lihtsalt mingite fikseeritud objektide kindel u\u0308lesrivistus. Na\u0308iteks on jalgpallimeeskonna ta\u0308pne reastus hu\u0308mni laulmise aegu u\u0308ks vo\u0303imalik po\u0303hikoosseisu permutatsioon. Samuti on permutatsioon nelja tinaso\u0303duri u\u0308lesrivistus aknalaual ning ko\u0303ikvo\u0303imalikud laused, mida vo\u0303ib moodustada kolme so\u0303naga \u2013 mulle, meeldib, matemaatika."}, {"text_idx": "#000001", "text": "Po\u0303hiliselt huvitab meid siin peatu\u0308kis permutatsioonide arv, mida n objekti korral ta\u0308histatakse Pn. Muidugi ei ole siin objektide enda ta\u0308pne olemus oluline \u2013 meil on sama palju reastusi 10-st tinaso\u0303durist kui 10-st to\u0303sisest kaitseva\u0308elasest."}, {"text_idx": "#000002", "text": "Kui palju lauseid vo\u0303ib moodustada kolme so\u0303naga mulle, meeldib, matemaatika? Ro\u0303o\u0303muks ja motivatsiooniks paneme nad esiteks muidugi kirja:"}, {"text_idx": "#000003", "text": "Neid lauseid on seega ta\u0308pselt kuus. Eesti keel on vahva, kuna paljudes teistes keeltes ei oleks ko\u0303ik toodud kuus lausest grammatiliselt vo\u0303imalikud, meil aga teatud mo\u0308o\u0308ndustega on."}, {"text_idx": "#000004", "text": "Siiski oleks olnud ilmselt meeldivam, kui ei oleks pidanud ko\u0303iki lauseid loetlema ning oleksime vo\u0303inud kohe mo\u0303ne valemi abil o\u0308elda, palju erinevaid lauseid leidub."}, {"text_idx": "#000005", "text": "Ma\u0308rkame, et esimese so\u0303na valikuks on meil kolm vo\u0303imalust: mulle, meeldib vo\u0303i matemaatika.\nKui oleme esimese so\u0303na valinud, ja\u0308a\u0308b ta\u0308pselt kaks vo\u0303imalust teise so\u0303na valikuks.\nKui aga teinegi so\u0303na on valitud, vo\u0303ime kolmanda sinna vaid lo\u0303ppu visata."}, {"text_idx": "#000006", "text": "Esimesel sammul oli meil 3 vo\u0303imalust, teisel 2 ja kolmandal ainult 1 vo\u0303imalus. Kuna ko\u0303ik valikud on u\u0308ksteisest so\u0303ltumatud, on vo\u0303imalusi kokku ta\u0308pselt 3 \u00b7 2 \u00b7 1 = 6."}, {"text_idx": "#000007", "text": "Oleks meil neli so\u0303na, ei oleks ko\u0303ik moodustatavad laused ilmselt enam grammatiliselt korrektsed, ent sarnase arutelu kaudu na\u0308eksime siiski, et moodustada on vo\u0303imalik 4 \u00b7 3 \u00b7 2 \u00b7 1 = 24 erinevat lauset."}, {"text_idx": "#000008", "text": "Sama mo\u0303ttemustrit edasi viies na\u0308eme, et so\u0303na n jaoks oleks lausete arv n \u00b7 (n \u2013 1) \u00b7 ... 3 \u00b7 2 \u00b7 1 ehk teisiso\u0303nu"}, {"text_idx": "#000009", "text": "Selgub, et ja\u0308rjestikuste arvude korrutamine on nii mo\u0303nus ja nii tihti ettetulev tegevus, et sellele tasub ka pa\u0308ris oma ta\u0308histus anda."}, {"text_idx": "#000010", "text": "Nii ta\u0308histabki 10-faktoriaal esimese ku\u0308mne positiivse ta\u0308isarvu korrutist 1 \u00b7 2 \u00b7 ... \u00b7 10 ning n-faktoriaal seega korrutist 1 \u00b7 2 \u00b7 ... \u00b7(n \u2013 1) \u00b7 n. Kuni 19. sajandini ta\u0308histati n-faktoriaali su\u0308mboliga"}, {"text_idx": "#000012", "text": "Nagu a\u0308sja lugesime, ongi n objekti permutatsioonide arv ta\u0308pselt vo\u0303rdne n-faktoriaaliga ehk, kuna matemaatikud su\u0308mbolitega ei priiska:"}, {"text_idx": "#000013", "text": "Faktoriaali juures on muljet avaldav tema kasvukiirus. Kui hakkame ja\u0308rjest faktoriaali va\u0308lja arvutama, oleme varsti pigis \u2013 taskuarvuti u\u0308tleb u\u0308les!"}, {"text_idx": "#000014", "text": "Juba 20! annab meile arvu 2 432 902 008176 640 000. Kui faktoriaali meile juba tuntud funktsioonidega vo\u0303rrelda, siis faktoriaal kasvab kiiremini kui u\u0308ksko\u0303ik milline polu\u0308noom [lk 266] ja isegi kiiremini kui u\u0308ksko\u0303ik milline eksponentsiaalfunktsioon [lk 280]."}, {"text_idx": "#000015", "text": "Eks lihtsaim viis u\u0308levaate saamiseks on ikka oma silmaga mo\u0303nd na\u0308idet uurida. Ja\u0308lgi, kuidas kolm erinevat funktsiooni (lilla on polu\u0308noom, tumesinine eksponentsiaalfunktsioon ning helesinine faktoriaal) kasvavad:"}, {"text_idx": "#000016", "text": "Faktoriaal kihutab juba u\u0308sna varakult polu\u0308noomist mo\u0308o\u0308da ja veidi hiljem mo\u0308o\u0308dub ka eksponentsiaalfunktsioonist. Kui ainult pilt pole veel piisavalt veenev, siis vo\u0303ib lugeda ka ja\u0308rgnevat selgitust, mis ku\u0308ll rangele matemaatilisele ta\u0308psusele ei pretendeeri."}, {"text_idx": "#000017", "text": "Polu\u0308noomi y = x10 kasvust vo\u0303ime mo\u0303elda ja\u0308rgmiselt: kui tema argumenti (muutuja xva\u0308a\u0308rtust) 2 korda suurendame, siis funktsioon kasvab 210 korda.\nEksponentsiaalfunktsiooni y = 10x kasvust vo\u0303ime mo\u0303elda ja\u0308rgmiselt: kui tema argumenti ehk x-isuurendada 2 korda, siis on see vo\u0303rdva\u0308a\u0308rne funktsiooni ruutu to\u0303stmisega."}, {"text_idx": "#000018", "text": "Kumb neist kasvab kiiremini? Mo\u0303tleme juhule, kui meil on argumendiks va\u0308ga suur arv, na\u0308iteks 350."}, {"text_idx": "#000019", "text": "Selle argumendi va\u0308a\u0308rtuse kahekordistamisel suureneb polu\u0308noomfunktsioon ainult 210 korda, eksponentsiaalfunktsioon aga tervelt 350 korda \u2013 seega kasvab eksponentsiaalfunktsioon va\u0308hemalt selles vahemikus palju kiiremini. Kiire mo\u0303tisklus na\u0308itab, et ku\u0308llap ta siis rebib varem vo\u0303i hiljem ette."}, {"text_idx": "#000020", "text": "Aga mida ta\u0308hendab faktoriaali jaoks argumendi kahekordistamine?"}, {"text_idx": "#000021", "text": "Arvust m! saab (2m)! ja seega argumendi 350 jaoks saame argumendi kahekordistamisel algse faktoriaali 350! asemele faktoriaali (2 \u00b7 350). See ta\u0308hendab, et korrutame kokku 2 \u00b7 350 esimest naturaalarvu."}, {"text_idx": "#000022", "text": "korda. See arv on aga palju suurem kui 350 \u2013 meil on kokku 350 tegurit, millest iga on suurem kui 350!. Teisiso\u0303nu, argumendi kahekordistamisel suureneb faktoriaal veel mitu korda rohkem kui ruutuvo\u0303tmise korral. Ja\u0308llegi, varem vo\u0303i hiljem rebib ta ka eksponentsiaalfunktsioonist ette."}, {"text_idx": "#000023", "text": "Niisiis peaks olema ta\u0308iesti usutav, et faktoriaal kasvab kiiremini kui eksponentsiaalfunktsioon ja seega ka kiiremini kui polu\u0308nomiaalfunktsioon."}, {"text_idx": "#000024", "text": "Ja\u0308relikult kui keegi ra\u0308a\u0308gib oma varade eksponentsiaalsest kasvust, tuleb muidugi u\u0308le kelkida ja vastata: see pole veel midagi, minu varandus kasvab faktoriaalselt!"}, {"text_idx": "#000025", "text": "\u0420\u0430\u0431\u043e\u0447\u0430\u044f \u043a\u043d\u0438\u0433\u0430 \u043f\u043e \u043c\u0430\u0442\u0435\u043c\u0430\u0442\u0438\u043a\u0435 \u0434\u043b\u044f 10 \u043a\u043b\u0430\u0441\u0441\u0430 (vaatamiseks vene ja eesti keeles)"}, {"text_idx": "#000026", "text": "Matemaatika to\u0308o\u0308raamat 6. klassile. I osa"}, {"text_idx": "#000028", "text": "Matemaatika to\u0308o\u0308raamat 5. klassile. II osa"}, {"text_idx": "#000030", "text": "Matemaatika to\u0308o\u0308raamat 5. klassile. I osa"}, {"text_idx": "#000034", "text": "Matemaatika to\u0308o\u0308raamat 2. klassile. II osa"}, {"text_idx": "#000035", "text": "Lotte matemaatika to\u0308o\u0308raamat 1. klassile. II osa"}, {"text_idx": "#000037", "text": "Matemaatika to\u0308o\u0308raamat 2. klassile. I osa"}, {"text_idx": "#000038", "text": "Lotte matemaatika to\u0308o\u0308raamat 1. klassile. I osa"}, {"text_idx": "#000041", "text": "Need ku\u0308psised annavad meile teavet selle kohta, kuidas sa veebisaiti kasutad, vo\u0303imaldades meil sellega u\u0308ldist kasutajakogemust parendada."}]