Spiegelteleskop - Wikipedia
Spiegelteleskope werden in der beobachtenden Astronomie eingesetzt – sowohl visuell als auch fotografisch oder für die Spektroskopie. Sie eignen sich neben ...
Parallelogramm
Der Serruier-Tubus besteht aus zwei Teilen, die vor und hinter der als Deklination-Pivot bezeichneten Neigungsachse angeordnet sind. Seitlich betrachtet bilden beide Teile jeweils ein <anchor>Parallelogramm</anchor>, bestehend aus Pivot-Rahmen, oberen und unteren Gitterrohren und Frontrahmen bzw. Primärspiegelhalterung. Mittels seitlicher Streben wird die Steifigkeit des vorderen und hinteren Teils so eingestellt, dass sie bei jeder Neigung unter dem Einfluss der Gewichtskraft gleich weit nachgeben und die optischen Komponenten auf einer gemeinsamen optischen Achse verbleiben und nur diese parallel verschoben wird.
Parallelogramm – Wikipedia
# Parallelogramm

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie



Ein Parallelogramm (von altgriechischπαραλληλό-γραμμοςparalleló-grammos „von zwei Parallelenpaaren begrenzt“) oder Rhomboid (rautenähnlich) ist ein konvexes ebenes Viereck, bei dem gegenüberliegende Seiten parallel "Parallel (Geometrie)") sind.

Parallelogramme sind spezielle Trapeze "Trapez (Geometrie)") und zweidimensionale Parallelepipede. Rechteck, Raute (Rhombus) und Quadrat sind Spezialfälle des Parallelogramms.

## Inhaltsverzeichnis

## Eigenschaften

Ein Viereck ist genau dann ein Parallelogramm, wenn eine der folgenden Bedingungen erfüllt ist:

- Gegenüberliegende Seiten sind gleich lang und keine zwei gegenüberliegende Seiten schneiden sich (kein überschlagenes Viereck, sogenanntes Antiparallelogramm).
- Zwei gegenüberliegende Seiten sind parallel "Parallel (Geometrie)") und gleich lang.
- Gegenüber liegende Winkel sind gleich groß.
- Je zwei benachbarte Winkel ergeben zusammen 180°.
- Die Diagonalen "Diagonale (Geometrie)") halbieren einander.
- Die Summe der Flächen der Quadrate über den vier Seiten ist gleich der Summe der Flächen der Quadrate über den zwei Diagonalen ( Parallelogrammgleichung).
- Es ist punktsymmetrisch (zweizählig drehsymmetrisch).

Für jedes Parallelogramm gilt:

## Formeln

Mathematische Formeln zum Parallelogramm
FlächeninhaltA=a⋅ha=b⋅hb=||AB→×AD→||{\displaystyle A=a\cdot h_{a}=b\cdot h_{b}=\left|\left|{\overrightarrow {AB}}\times {\overrightarrow {AD}}\right|\right|}{\displaystyle A=a\cdot h_{a}=b\cdot h_{b}=\left|\left|{\overrightarrow {AB}}\times {\overrightarrow {AD}}\right|\right|}

A=a⋅b⋅sin⁡(α)=a⋅b⋅sin⁡(β)=e⋅f⋅sin⁡(θ)2{\displaystyle A=a\cdot b\cdot \sin(\alpha )=a\cdot b\cdot \sin(\beta )={\frac {e\cdot f\cdot \sin(\theta )}{2}}}{\displaystyle A=a\cdot b\cdot \sin(\alpha )=a\cdot b\cdot \sin(\beta )={\frac {e\cdot f\cdot \sin(\theta )}{2}}}

A=det(axbxayby)=ax⋅by−bx⋅ay{\displaystyle A=\det {\begin{pmatrix}a_{x}&&b_{x}\\a_{y}&&b_{y}\end{pmatrix}}=a_{x}\cdot b_{y}-b_{x}\cdot a_{y}}{\displaystyle A=\det {\begin{pmatrix}a_{x}&&b_{x}\a_{y}&&b_{y}\end{pmatrix}}=a_{x}\cdot b_{y}-b_{x}\cdot a_{y}}

Umfang "Umfang (Geometrie)")U=2⋅a+2⋅b=2⋅(a+b){\displaystyle U=2\cdot a+2\cdot b=2\cdot (a+b)}{\displaystyle U=2\cdot a+2\cdot b=2\cdot (a+b)}Innenwinkelα=γ,β=δ,α+β=180∘{\displaystyle \alpha =\gamma ,\quad \beta =\delta ,\quad \alpha +\beta =180^{\circ }}{\displaystyle \alpha =\gamma ,\quad \beta =\delta ,\quad \alpha +\beta =180^{\circ }}Höhe "Höhe (Geometrie)")ha=b⋅sin⁡(α){\displaystyle h_{a}=b\cdot \sin(\alpha )}{\displaystyle h_{a}=b\cdot \sin(\alpha )}hb=a⋅sin⁡(β){\displaystyle h_{b}=a\cdot \sin(\beta )}{\displaystyle h_{b}=a\cdot \sin(\beta )}Länge der Diagonalen "Diagonale (Geometrie)")

e=a2+b2−2⋅a⋅b⋅cos⁡(β)=a2+b2+2⋅a⋅b⋅cos⁡(α){\displaystyle {\begin{array}{ccl}e&={\sqrt {a^{2}+b^{2}-2\cdot a\cdot b\cdot \cos(\beta )}}\&={\sqrt {a^{2}+b^{2}+2\cdot a\cdot b\cdot \cos(\alpha )}}\end{array}}}{\displaystyle {\begin{array}{ccl}e&={\sqrt {a^{2}+b^{2}-2\cdot a\cdot b\cdot \cos(\beta )}}\&={\sqrt {a^{2}+b^{2}+2\cdot a\cdot b\cdot \cos(\alpha )}}\end{array}}}f=a2+b2−2⋅a⋅b⋅cos⁡(α)=a2+b2+2⋅a⋅b⋅cos⁡(β){\displaystyle {\begin{array}{ccl}f&={\sqrt {a^{2}+b^{2}-2\cdot a\cdot b\cdot \cos(\alpha )}}\&={\sqrt {a^{2}+b^{2}+2\cdot a\cdot b\cdot \cos(\beta )}}\end{array}}}{\displaystyle {\begin{array}{ccl}f&={\sqrt {a^{2}+b^{2}-2\cdot a\cdot b\cdot \cos(\alpha )}}\&={\sqrt {a^{2}+b^{2}+2\cdot a\cdot b\cdot \cos(\beta )}}\end{array}}}Parallelogrammgleichunge2+f2=2⋅(a2+b2){\displaystyle e^{2}+f^{2}=2\cdot (a^{2}+b^{2})}{\displaystyle e^{2}+f^{2}=2\cdot (a^{2}+b^{2})}

## Beweis der Flächenformel für ein Parallelogramm

 Animation zur Berechnung des Flächeninhalts eines Parallelogramms. Der Flächeninhalt ist gleich dem Produkt der Länge "Länge (Mathematik)") einer Grundseite b{\displaystyle b}{\displaystyle b} mit der zugehörigen Höhe "Höhe (Geometrie)")h{\displaystyle h}{\displaystyle h}.

 Vom großen Rechteck werden sechs Teilflächen abgezogen

Den FlächeninhaltA{\displaystyle A}{\displaystyle A} des nebenstehenden schwarzen Parallelogramms kann man erhalten, indem man von der Fläche des großen Rechtecks die sechs kleinen Flächen mit bunten Kanten abzieht. Wegen der Symmetrie und der Vertauschbarkeit der Multiplikation kann man auch vom großen Rechteck das Doppelte der drei kleinen Flächen unterhalb des Parallelogramms abziehen. Es ist also:

A=(ax+bx)⋅(ay+by)−2⋅(ax⋅ay2+bx⋅ay+bx⋅by2)=ax⋅ay+ax⋅by+bx⋅ay+bx⋅by−ax⋅ay−2⋅bx⋅ay−bx⋅by=ax⋅by−bx⋅ay{\displaystyle {\begin{array}{cccl}A&=&&({\color {YellowOrange}a_{x}}+{\color {ForestGreen}b_{x}})\cdot ({\color {red}a_{y}}+{\color {blue}b_{y}})\ -\ 2\cdot ({\frac {{\color {YellowOrange}a_{x}}\cdot {\color {red}a_{y}}}{2}}+{\color {ForestGreen}b_{x}}\cdot {\color {red}a_{y}}+{\frac {{\color {ForestGreen}b_{x}}\cdot {\color {blue}b_{y}}}{2}})\&=&&{\color {YellowOrange}a_{x}}\cdot {\color {red}a_{y}}+{\color {YellowOrange}a_{x}}\cdot {\color {blue}b_{y}}+{\color {ForestGreen}b_{x}}\cdot {\color {red}a_{y}}+{\color {ForestGreen}b_{x}}\cdot {\color {blue}b_{y}}\&&-&{\color {YellowOrange}a_{x}}\cdot {\color {red}a_{y}}\quad \quad \quad -2\cdot {\color {ForestGreen}b_{x}}\cdot {\color {red}a_{y}}-{\color {ForestGreen}b_{x}}\cdot {\color {blue}b_{y}}\&=&&\quad \quad \quad \quad {\color {YellowOrange}a_{x}}\cdot {\color {blue}b_{y}}-{\color {ForestGreen}b_{x}}\cdot {\color {red}a_{y}}\end{array}}}{\displaystyle {\begin{array}{cccl}A&=&&({\color {YellowOrange}a_{x}}+{\color {ForestGreen}b_{x}})\cdot ({\color {red}a_{y}}+{\color {blue}b_{y}})\ -\ 2\cdot ({\frac {{\color {YellowOrange}a_{x}}\cdot {\color {red}a_{y}}}{2}}+{\color {ForestGreen}b_{x}}\cdot {\color {red}a_{y}}+{\frac {{\color {ForestGreen}b_{x}}\cdot {\color {blue}b_{y}}}{2}})\&=&&{\color {YellowOrange}a_{x}}\cdot {\color {red}a_{y}}+{\color {YellowOrange}a_{x}}\cdot {\color {blue}b_{y}}+{\color {ForestGreen}b_{x}}\cdot {\color {red}a_{y}}+{\color {ForestGreen}b_{x}}\cdot {\color {blue}b_{y}}\&&-&{\color {YellowOrange}a_{x}}\cdot {\color {red}a_{y}}\quad \quad \quad -2\cdot {\color {ForestGreen}b_{x}}\cdot {\color {red}a_{y}}-{\color {ForestGreen}b_{x}}\cdot {\color {blue}b_{y}}\&=&&\quad \quad \quad \quad {\color {YellowOrange}a_{x}}\cdot {\color {blue}b_{y}}-{\color {ForestGreen}b_{x}}\cdot {\color {red}a_{y}}\end{array}}}

## Parallelogrammgitter

 Parallelogrammgitter

Parallelogramme können ein Gitter "Gitter (Geometrie)") in der Ebene "Ebene (Mathematik)") bilden. Wenn die Kanten gleich lang sind oder die Winkel rechte Winkel sind, ist die Symmetrie "Symmetrie (Geometrie)") des Gitters höher. Diese repräsentieren die vier zweidimensionalen Bravais-Gitter.

{(t1⋅u→,t2⋅v→)∈R2∣u→,v→∈R2∧t1∈Z∧t2∈Z}{\displaystyle \left\{(t_{1}\cdot {\vec {u}},t_{2}\cdot {\vec {v}})\in \mathbb {R} ^{2}\mid {\vec {u}},{\vec {v}}\in \mathbb {R} ^{2}\ \land \ t_{1}\in \mathbb {Z} \ \land \ t_{2}\in \mathbb {Z} \right\}}{\displaystyle \left{(t_{1}\cdot {\vec {u}},t_{2}\cdot {\vec {v}})\in \mathbb {R} ^{2}\mid {\vec {u}},{\vec {v}}\in \mathbb {R} ^{2}\ \land \ t_{1}\in \mathbb {Z} \ \land \ t_{2}\in \mathbb {Z} \right}}

geschrieben werden, wobei die Vektoren u→{\displaystyle {\vec {u}}}{\displaystyle {\vec {u}}}, v→{\displaystyle {\vec {v}}}{\displaystyle {\vec {v}}} die Richtungsvektoren zwischen benachbarten Punkten sind. Das Parallelogrammgitter entsteht durch eine affine Abbildung aus dem Quadratgitter.[1]

## Konstruktion eines Parallelogramms

Ein Parallelogramm, bei dem die Seitenlängena{\displaystyle a}{\displaystyle a} und b{\displaystyle b}{\displaystyle b} sowie die Höhe "Höhe (Geometrie)")ha{\displaystyle h_{a}}{\displaystyle h_{a}} gegeben ist, ist mit Zirkel und Lineal konstruierbar.

 Parallelogramm mit den gegebenen Seitenlängena{\displaystyle a}{\displaystyle a} und b{\displaystyle b}{\displaystyle b} sowie der Höhe "Höhe (Geometrie)")ha{\displaystyle h_{a}}{\displaystyle h_{a}}. Für die Konstruktion des rechten Winkels ist der Punkt E{\displaystyle E}{\displaystyle E} frei wählbar. Animation mit einer Pause von 10 s am Ende.

## Verallgemeinerungen

Eine Verallgemeinerung auf n{\displaystyle n}{\displaystyle n}Dimensionen "Dimension (Mathematik)") ist das Parallelotop, erklärt als die Menge {α1⋅p1+α2⋅p2+⋯+αn⋅pn∣0≤αi≤1}{\displaystyle \{\alpha _{1}\cdot p_{1}+\alpha _{2}\cdot p_{2}+\dotsb +\alpha _{n}\cdot p_{n}\mid 0\leq \alpha _{i}\leq 1\}}{\displaystyle {\alpha {1}\cdot p{1}+\alpha {2}\cdot p{2}+\dotsb +\alpha {n}\cdot p{n}\mid 0\leq \alpha _{i}\leq 1}} sowie deren Parallelverschiebungen. Die pi{\displaystyle p_{i}}{\displaystyle p_{i}} sind dabei n{\displaystyle n}{\displaystyle n}linear unabhängige Vektoren. Parallelotope sind punktsymmetrisch.

Das dreidimensionale Parallelotop ist das Parallelepiped. Seine Seitenflächen sind sechs paarweise kongruente "Kongruenz (Geometrie)") und in parallelen "Parallel (Geometrie)") Ebenen "Ebene (Mathematik)") liegende Parallelogramme. Ein Parallelepiped hat zwölf Kanten, von denen je vier parallel verlaufen und untereinander gleich lang sind, und acht Ecken, in denen diese Kanten in maximal drei verschiedenen Winkeln zueinander zusammenlaufen.

## Satz von Varignon

 Für jedes Viereck ABCD ist das Mittenviereck EFGH ein Parallelogramm.

Beweis:

Nach Definition gilt AE¯=EB¯,BF¯=FC¯,CG¯=GD¯,DH¯=HA¯{\displaystyle {\overline {AE}}={\overline {EB}},{\overline {BF}}={\overline {FC}},{\overline {CG}}={\overline {GD}},{\overline {DH}}={\overline {HA}}}{\displaystyle {\overline {AE}}={\overline {EB}},{\overline {BF}}={\overline {FC}},{\overline {CG}}={\overline {GD}},{\overline {DH}}={\overline {HA}}}.

Betrachte das Dreieck ABC. Es ist ähnlich "Ähnlichkeit (Geometrie)") zum Dreieck EBF. Nimmt man den Punkt "Punkt (Geometrie)") B als Zentrum einer zentrischen Streckung, werden A auf E und C auf F mit dem Faktor 12{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}} abgebildet. Wegen der Eigenschaften der zentrischen Streckung sind Bildstrecke und ursprüngliche Strecke "Strecke (Geometrie)") parallel "Parallel (Geometrie)"). Also ist AC∥EF{\displaystyle AC\parallel EF}{\displaystyle AC\parallel EF}. Ebenso zeigt man, dass AC∥GH{\displaystyle AC\parallel GH}{\displaystyle AC\parallel GH}, BD∥FG{\displaystyle BD\parallel FG}{\displaystyle BD\parallel FG}, und BD∥HE{\displaystyle BD\parallel HE}{\displaystyle BD\parallel HE}. Die Parallelität "Parallelität (Geometrie)") in der euklidischen Ebene ist eine Äquivalenzrelation und damit transitiv. Also ist EF∥GH{\displaystyle EF\parallel GH}{\displaystyle EF\parallel GH} und FG∥HE{\displaystyle FG\parallel HE}{\displaystyle FG\parallel HE}.

Die gegenüber liegenden Seiten des Vierecks EFGH sind parallel, was der Definition eines Parallelogramms entspricht.

Eine andere Möglichkeit ist, mit dem Strahlensatz zu beweisen, dass EF=GH{\displaystyle EF=GH}{\displaystyle EF=GH} und FG=HE{\displaystyle FG=HE}{\displaystyle FG=HE} ist, d. h. dass die gegenüber liegenden Seiten des Vierecks EFGH gleich lang sind.

Nach dem Strahlensatz gilt außerdem: Der Umfang "Umfang (Geometrie)") des Parallelogramms EFGH ist genau so groß wie die Summe der Diagonalenlängen "Diagonale (Geometrie)") im Viereck ABCD. Die Fläche "Fläche (Mathematik)") des Parallelogramms EFGH ist halb so groß wie die Fläche des Vierecks ABCD.[2]

## Parallelogramme mit Quadraten

 Figur 2

 Figur 1

Gegeben sei ein Parallelogramm ABCD{\displaystyle ABCD}{\displaystyle ABCD}, über dessen Seiten Quadrate errichtet sind. Dann sind die Diagonalenschnittpunkte E{\displaystyle E}{\displaystyle E}, F{\displaystyle F}{\displaystyle F}, G{\displaystyle G}{\displaystyle G} und H{\displaystyle H}{\displaystyle H} der Quadrate Eckpunkte eines weiteren Quadrats. (Figur 1)

Beweis:

Die vier gelben Dreiecke AEH{\displaystyle AEH}{\displaystyle AEH}, EFB{\displaystyle EFB}{\displaystyle EFB}, GFC{\displaystyle GFC}{\displaystyle GFC} und HDG{\displaystyle HDG}{\displaystyle HDG} in Figur 2 stimmen in je zwei Seiten und dem jeweils eingeschlossenen (gelben) Innenwinkel bei A{\displaystyle A}{\displaystyle A}, B{\displaystyle B}{\displaystyle B}, C{\displaystyle C}{\displaystyle C} und D{\displaystyle D}{\displaystyle D} überein. Deshalb sind sie nach dem Kongruenzsatz SWS kongruent und damit alle Seiten des Vierecks EFGH{\displaystyle EFGH}{\displaystyle EFGH} gleich lang. Da die Diagonalen eines Quadrats orthogonal sind, ist ∠BEA{\displaystyle \angle BEA}{\displaystyle \angle BEA} ein rechter Winkel. Da die beiden (gelben) Winkel ∠HEA{\displaystyle \angle HEA}{\displaystyle \angle HEA} und ∠FEB{\displaystyle \angle FEB}{\displaystyle \angle FEB} gleich groß sind, muss auch ∠FEH{\displaystyle \angle FEH}{\displaystyle \angle FEH} ein rechter Winkel sein. Somit ist das Viereck EFGH{\displaystyle EFGH}{\displaystyle EFGH} ein Quadrat.[3]

## Verwendung in der Technik

Parallelogramme finden sich häufig in der Mechanik. Durch vier Gelenke kann eine bewegliche, parallelentreue Lagerung hergestellt werden, die sogenannte Parallelogrammführung. Beispiele:

## Siehe auch

## Literatur

- F. Wolff: Lehrbuch der Geometrie. Vierte verbesserte Auflage, Druck und Verlag von G. Reimer, Berlin 1845 ( Online-Kopie).
- P. Kall: Lineare Algebra für Ökonomen. Springer Fachmedien, Wiesbaden 1984, ISBN 978-3-519-02356-2.
- Wilhelm Killing: Lehrbuch Der Analytischen Geometrie. Teil 2, Outlook Verlagsgesellschaft, Bremen 2011, ISBN 978-3-86403-540-1.

## Weblinks



Wiktionary: Rhomboid – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

## Einzelnachweise

## Navigationsmenü

### Meine Werkzeuge

### Namensräume

Deutsch

### Ansichten

Weitere

### Suche

### Navigation

### Mitmachen

### Werkzeuge

### Drucken/​exportieren

### In anderen Projekten

### In anderen Sprachen