Relativitätstheorie Formeln: Folgen & Einstein Varianten
Die Formeln der Relativitätstheorie haben tiefgreifende Auswirkungen auf unser Verständnis von Raum, Zeit und der Natur des Universums. Sie haben eine Vielzahl ...
Beschleunigung
Mit der Erklärung der Gravitation durch die ART konnte Einstein zeigen, dass die Newtonsche Theorie der Schwerkraft, die zwei Jahrhunderte lang als akzeptierter Standard galt, in Wahrheit eine Begrenzung hatte und nur als Näherungsgröße in Gebieten geringer Gravität galt. Für extrem große Massen oder bei extrem hoher <anchor>Beschleunigung</anchor> führt die Newtonsche Mechanik jedoch zu Ergebnissen, die mit Beobachtungen nicht übereinstimmen. Die ART konnte diese Lücke schließen und brachte uns unserem Verständnis von Universalien erheblich näher.
Beschleunigung: Formeln, Einheit & berechnen | StudySmarter
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# Beschleunigung

Jede Form der Bewegung wird mit der Geschwindigkeit beschrieben. Wie schnell Du zu Fuß läufst, wie schnell Du Dich mit dem Fahrrad oder mit einem Auto bewegst oder sogar wie schnell sich die Erde im Weltall bewegt, all diese Bewegungen werden über ihre Geschwindigkeit beschrieben. Aber wie kannst Du die Änderung dieser Bewegung beschreiben?

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Inhaltsverzeichnis

Inhaltsangabe

Das geht mit der Beschleunigung, die in verschiedensten Formen auftreten kann, zum Beispiel an der schiefen Ebene. Wie kannst Du also die Beschleunigung berechnen und was ist die mittlere und was die gleichmäßige Beschleunigung?

## Beschleunigung Definition

Wenn Du in einem Auto aus dem Stand anfährst, benötigt dieses zunächst ein wenig Zeit, bis es eine bestimmte Geschwindigkeit erreicht hat. Dieser Prozess, in dem das Auto aus dem Stand bis zu einer höheren Geschwindigkeit anfährt, wird Beschleunigung genannt.

Die Beschleunigung gibt an, wie schnell sich die Geschwindigkeit eines Körpers verändert.

Wenn ein Auto sich mit \(60\, \mathrm{\frac {km}{h}}\) bewegt und dann auf eine Geschwindigkeit von \(90\, \mathrm{\frac {km}{h}}\) beschleunigt, dann ist der Zeitraum, indem diese Geschwindigkeitsänderung stattfindet, der Beschleunigungsprozess.

Die tatsächliche Beschleunigung wird bestimmt, indem Du die Geschwindigkeitsänderung mit der Zeit vergleichst, in der diese Beschleunigung stattfindet.

### Beschleunigung Formeln

Zur Bestimmung der Geschwindigkeitsdifferenz zwischen vor- und nach der Beschleunigung, bildest Du das Delta der beiden Geschwindigkeiten. Du schaust Dir dazu zuerst an, auf welche Geschwindigkeit \(v\) beschleunigt wurde, und dann ziehst Du die Startgeschwindigkeit\(v_0\) ab, also die Geschwindigkeit, bei welcher die Beschleunigung begonnen hat. Mit dieser Geschwindigkeitsdifferenz kannst Du die Beschleunigung berechnen.

Die mittlere Beschleunigung\(a\) wird berechnet aus der Geschwindigkeitsdifferenz\(\Delta v\) und der Zeit, in dem dieser Beschleunigungsprozess stattfindet. Für die Geschwindigkeitsdifferenz gilt:

\[\Delta v= v-v_0\]

Die Formel für die mittlere Beschleunigung lautet also:

\[a=\frac{\Delta v}{t}\]

\(\Delta v:\) Geschwindigkeitsdifferenz

\(t:\) verstrichene Zeit bei der Beschleunigung

Es gibt die mittlere Beschleunigung, die die durchschnittliche Beschleunigung über einen Zeitraum angibt, und die momentane Beschleunigung, die angibt, wie groß die Beschleunigung zu einem ganz bestimmten Zeitpunkt ist.

Wie bei der Geschwindigkeit gibt es keine negative Beschleunigung. Eine negative Geschwindigkeit sagt eigentlich aus, dass die Geschwindigkeit in die entgegengesetzte Richtung zeigt. Eine negative Beschleunigung, oder auch abbremsen, ist eine Beschleunigung entgegen der Bewegungsrichtung.

Durch die Beschleunigung wird demnach die Geschwindigkeit verändert. Wenn Du auf Basis der Beschleunigung die neu erreichte Geschwindigkeit wissen möchtest, dann kannst Du diese berechnen.

Die Geschwindigkeit\(v\) nach der Beschleunigung, die eine bestimmte Zeit gedauert hat, kannst Du berechnen, indem Du die vorherige Formel der Beschleunigung a umformst in die folgende:

\[v=a \cdot t + v_0\]

\(a:\) Beschleunigung

\(t:\) Dauer der Beschleunigung

\(v_0:\) Startgeschwindigkeit

Die Beschleunigung, die Geschwindigkeit und die Länge bzw. die Distanz sind alle miteinander verwandte physikalische Größen. Die Geschwindigkeit wird in \(\mathrm{\frac {m}{s}}\) und die Länge in \(\mathrm{m}\) angegeben. Aber wie lautet die Einheit der Beschleunigung?

### Beschleunigung Einheit

Zuvor hast Du gelernt, dass die Beschleunigung die Änderungsrate der Geschwindigkeit ist. Änderungsraten werden allgemein mit dem Zusatz \(\frac {1}{\mathrm{s}}\) angegeben, um die Änderung pro Zeit anzugeben. Wendest Du dieses Wissen also auf die Formel der Geschwindigkeit an, sodass dieses zur Geschwindigkeitsänderung wird, so erhältst Du Folgendes:

Die Einheit der Beschleunigung \(a\) wird angegeben in:

\[[a]=\mathrm{\frac{m}{s}} \cdot \frac {1}{\mathrm{s}}=\mathrm{\frac {m}{s^2}}\]

Diese Einheit kannst Du Dir auch herleiten, wenn Du auf die Bestandteile der Formel schaust. Die Geschwindigkeit in \(\mathrm{\frac{m}{s}}\) steht über dem Bruchstrich und die Zeit in \(\mathrm{s}\) unter dem Bruchstrich. Zusammen ergibt das \(\mathrm{\frac{m}{s^2}}\).

Die Beschleunigung wird also in Meter pro Sekunde-zum-Quadrat angegeben.

Schau Dir als Nächstes ein paar Beispiele und Aufgaben an, bei denen die Beschleunigung eine Rolle spielt.

## Beschleunigung berechnen

Wenn Du mit einem Auto fährst, und losfährst, kannst Du mit dem Gaspedal entscheiden, wie schnell Du beschleunigen möchtest. Wenn Du aus dem Stand anfährst, dann beschleunigst Du zunächst etwas schneller, und beschleunigst danach immer langsamer, je höher die Geschwindigkeit wird. Aber wie kannst Du eine solche Beschleunigung veranschaulichen?

Die momentane Beschleunigung kann in diesem Fall immer unterschiedlich sein, allerdings kannst Du trotzdem die mittlere Beschleunigung berechnen.

### Mittlere Beschleunigung berechnen

Schau Dir folgendes Geschwindigkeitsdiagramm eines Autos beim Beschleunigen aus dem Stand an.

Beschleunigung Geschwindigkeit Diagramm StudySmarterAbb. 1 - Geschwindigkeitsdiagramm beim Beschleunigen.

Anhand der Abbildung kannst Du erkennen, dass die Geschwindigkeit mit der Zeit steigt, also beschleunigt wird. Je steiler die Geschwindigkeit steigt, desto größer die Beschleunigung. Die Geschwindigkeit steigt unterschiedlich stark, also ist die Beschleunigung zu verschiedenen Zeitpunkten unterschiedlich groß ist.

Die kleinen Knicke in der Geschwindigkeit deuten an, dass sich die Geschwindigkeit verändert. Zum Ende der Kurve hin wird die Steigung der Geschwindigkeit immer geringer, also wird die Beschleunigung mit der Zeit schwächer.

Aufgabe 1

Löse anhand des Diagramms in Abbildung 1 folgende Aufgaben:

a) Bestimme die mittlere Beschleunigung in den ersten vier Sekunden des Beschleunigens.

b) Bestimme die mittlere Beschleunigung ab der vierten Sekunde bis zum Ende der Beschleunigung.

Lösung

a) Um die mittlere Beschleunigung zu berechnen, verwendest Du die Formel für die Beschleunigung \(a\):

\[a=\frac{\Delta v}{t}\]

Im nächsten Schritt liest Du die Werte aus dem Diagramm ab. Auf der x-Achse, also der Zeit-Achse, liest Du bei \(t=4\, \mathrm{s}\) ab, dass die Geschwindigkeit zu diesem Zeitpunkt \(v=11\, \mathrm{\frac {m}{s}}\) beträgt. Weil Du in der Teilaufgabe a) aus dem Stand beschleunigst, also bei der Geschwindigkeit \(0\) anfängst, ist \(\Delta v = v\). Du kannst die Werte also genau so in die Formel einfügen.

\[a= \frac {11\, \mathrm{\frac {m}{s}}}{4\, \mathrm{s}} \]

Wenn Du das mit Deinem Taschenrechner berechnest, erhältst Du als Lösung eine mittlere Beschleunigung von \(a= 2{,}75\, \mathrm{\frac {m}{s^2}}\).

b) Für den zweiten Teil der Aufgabe verwendest Du dieselbe Formel, wie für Aufgabenteil a).

Als Nächstes liest Du dann die verbleibenden relevanten Werte aus dem Diagramm ab. Bei \(t=16\, \mathrm{s}\) beträgt die Geschwindigkeit \(v= 20\, \mathrm{\frac {m}{s}}\). Zum Zeitpunkt \(t=4\, \mathrm{s}\) betrug die Geschwindigkeit \(v=11\, \mathrm{\frac {m}{s}}\). Daraus wird die Geschwindigkeitsdifferenz \(\Delta v\) berechnet.

\[\Delta v= 20\, \mathrm{\frac {m}{s}} - 11\, \mathrm{\frac {m}{s}}\]

Das Ergebnis lautet hierfür \(\Delta v= 9\, \mathrm{\frac {m}{s}}\). Die Dauer der Beschleunigung wird berechnet, indem der Anfangszeitpunkt \(t=4\, \mathrm{s}\) von dem Endzeitpunkt \(t=16\, \mathrm{s}\) abgezogen wird. Diese Werte setzt Du in die Formel für die Beschleunigung ein und erhältst:

\[a=\frac {9\, \mathrm{\frac {m}{s}}}{16\, \mathrm{s}-4\, \mathrm{s}}\]

Die mittlere Beschleunigung in diesem Zeitraum beträgt \(a= 0{,}75\, \mathrm{\frac {m}{s^2}}\). In der Abbildung siehst Du aber auch, dass die momentane Beschleunigung zu unterschiedlichen Zeitpunkten unterschiedlich groß ist. Im Durchschnitt beträgt die Beschleunigung aber \(a= 0{,}75\, \mathrm{\frac {m}{s^2}}\).

Die Beschleunigung gibt es nicht nur beim Anfahren in Autos, beim Gehen und Laufen oder auch beispielsweise bei Tennisschlägern beim Abschlag. Beschleunigung findet auch in anderen Formen statt, zum Beispiel beim freien Fall.

### Gleichmäßige Beschleunigung berechnen

Als gleichmäßige Beschleunigung werden Bewegungen bezeichnet, die eine konstante Geschwindigkeitszunahme erfahren. Ein Beispiel dafür ist ein Auto, welches durchgängig mit der gleichen Beschleunigung an Geschwindigkeit zunimmt.

Ein weiteres Beispiel für eine gleichmäßige Beschleunigung ist die Fallbeschleunigung der Erde. Körper auf und um die Erde herum werden mit einer Fallbeschleunigung zur Erde hin beschleunigt und auf der Erde gehalten.

Wenn Du mehr über die Fallbeschleunigung erfahren möchtest, dann schau Dir die Erklärung zum Thema Gewichtskraft an.

Eine Person, die mit einem Fallschirm springt, wird auf dem Weg nach unten, zur Erde hin, immer schneller und wird zur Erde hin beschleunigt.

Beschleunigung gleichmäßige Beschleunigung berechnen Fallschirmsprung Fallschirmspringer freier Fall StudySmarterAbbildung 2: Fallschirmspringende im freien Fall

Solange die Fallschirme nicht ausgelöst wurden, werden die Fallschirmspringenden durch die Fallbeschleunigung der Erde zum Boden hin beschleunigt. Dieser Prozess wird freier Fall genannt.

Aufgabe 2

Du springst mit einem Fallschirm aus einem Flugzeug, wie in Abbildung 2. Berechne, welche Geschwindigkeit Du theoretisch besitzen würdest, wenn Du für \(t=12\, \mathrm{s}\) Sekunden im freien Fall gewesen wärst. Die Fallbeschleunigung beträgt \(a=9{,}81\, \mathrm{\frac {m}{s^2}}\).

Lösung

Die Geschwindigkeit nach 12 Sekunden wird berechnet, indem Du die folgende Formel verwendest:

\[v=a \cdot t + v_0\]

Die Anfangsgeschwindigkeit beim Absprung ist gleich null, weil keine vertikale Geschwindigkeit wirkt \(v_0=0\) und die Fallbeschleunigung ist \(g=9{,}81 \, \mathrm{\frac{m}{s^2}}\) und die Falldauer beträgt \(t=12\, \mathrm{s}\). Daraus ergibt sich folgendes Ergebnis:

\[v= 9{,}81 \mathrm{\frac {m}{s^2}} \cdot 12\, \mathrm{s} + 0\]

Die theoretische Geschwindigkeit nach 12 Sekunden beträgt \(v=117{,}7\, \mathrm{\frac {m}{s}}\). In der Realität ist die Geschwindigkeit aber aufgrund von Luftwiderstand und der Auftriebskraft deutlich geringer.

Wenn Du mehr zu diesem Thema erfahren möchtest, dann lies Dir die Erklärung zum Thema Freier Fall Physik durch.

Körper werden aber nicht nur im freien Fall nach unten beschleunigt, sondern, auch wenn sie auf einer schiefen Ebene platziert sind. Ein Beispiel dafür könnte ein Auto sein, welches bergab fährt.

### Beschleunigung schiefe Ebene

Die Beschleunigung an einer schiefen Ebene ist zwar kleiner als die Beschleunigung beim freien Fall, ist aber auch von der Fallbeschleunigung der Erde abhängig.

Die Gewichtskraft\(F_g\) des Körpers wirkt senkrecht nach unten zum Erdboden hin, die Normalkomponente der Gewichtskraft\(F_N\) wirkt im rechten Winkel zur schiefen Ebene auf dessen Oberfläche. Die Hangabtriebskraft\(F_A\) wirkt parallel zur Bahn der schiefen Ebene nach unten und lässt den Körper die Bahn entlang nach unten gleiten.

Wenn Du mehr darüber wissen möchtest, wie sich Körper an einer solchen Schräge verhalten, dann schau Dir die Erklärung zu diesem Thema an: Schiefe Ebene.

Um die Hangabtriebskraft zu berechnen, benötigst Du die Formel der Gewichtskraft und erweiterst diese, um den Winkel der Steigung bzw. des Gefälles zu berücksichtigen.

\[F_A= m \cdot g \cdot \sin( \alpha ) \]

Diese Kraft wird gleichgesetzt mit der Formel für die Normalkraft \(F_N\). Diese ist die Wechselwirkungskraft für den Kontakt zwischen Körper und Oberfläche. Die Oberfläche wirkt, vereinfacht gesagt, diese Kraft auf den Körper aus und wird berechnet mit:

\[F_N= m \cdot a\]

Setzt Du diese Formeln dann aufgrund der Wechselwirkung zueinander gleich, so erhältst Du folgende Formel:

\[m \cdot a = m \cdot g \cdot \sin( \alpha )\]

Diese Formel kannst Du im nächsten Schritt nach der Beschleunigung \(a\) umstellen:

\[ a= \frac {m \cdot g \cdot \sin(\alpha)}{m} \]

Die Masse \(m\) kann jeweils miteinander verkürzt werden.

Die Beschleunigung an einer schiefen Ebene kann berechnet werden mit der Formel:

\[a= g \cdot \sin(\alpha) \]

\(g:\) Fallbeschleunigung der Erde

\(\alpha: \) Winkel der schiefen Ebene

Schau Dir auch zu diesem Fall eine kleine Aufgabe an.

Aufgabe 3

Berechne die Beschleunigung an einer schiefen Ebene mit einem Winkel von \(\alpha=10°\).

Lösung

Du verwendest die Formel von zuvor für die Beschleunigung an der schiefen Ebene.

\[a= g \cdot \sin(\alpha) \]

Hier setzt Du den Winkel und die Fallbeschleunigung \(g=9{,}81\, \mathrm{\frac {m}{s^2}} \) der Erde ein.

\[a= 9{,}81\, \mathrm{\frac {m}{s^2}} \cdot \sin(10°) \]

Die Beschleunigung an einer schiefen Ebene mit \(10°\) Winkel beträgt \(a=1{,}70\, \mathrm{\frac {m}{s^2}} \).

Die Beschleunigung ist an der schiefen Ebene also deutlich geringer als beim freien Fall.

## Beschleunigung – Das Wichtigste

- Die Beschleunigung ist eine Größe, die die Änderung der Geschwindigkeit eines Körpers angibt.
- Negative Beschleunigung, besser bekannt auch als bremsen, ist eine Beschleunigung entgegen der Bewegungsrichtung, die Geschwindigkeit nimmt also dabei ab.
- Angegeben wird die Beschleunigung in der Einheit\(\mathrm{\frac{m}{s^2}}\).
- Berechnen kannst Du die mittlere Beschleunigung mit der Geschwindigkeitsdifferenz\(\Delta v\) von vor und nach dem Beschleunigen, und der Beschleunigungsdauer\(t\). Die Formel lautet:

\[a=\frac{\Delta v}{t}\]

- Die Geschwindigkeit\(v\) nach einer bestimmten Zeit des Beschleunigens wird berechnet mit der Beschleunigung\(a\), der Dauer\(t\) und der Startgeschwindigkeit\(v_0\)\[v=a \cdot t + v_0\]
- Es wird unterschieden zwischen der momentanen und der mittleren Beschleunigung, die mittlere Beschleunigung gibt die durchschnittliche Beschleunigung über eine bestimmte Zeit an und vereinfacht kleinere Unterschiede in der Beschleunigung.
- Gleichmäßige Beschleunigung ist eine konstante Steigerung der Geschwindigkeit. Die Beschleunigung ist immer gleich groß.
- Die Fallbeschleunigung\(g\) der Erde ist eine gleichmäßige Beschleunigung.
- An einer schiefen Ebene wird die Beschleunigung mit dem Winkel\(\alpha\) berechnet:\[a= g \cdot \sin(\alpha) \]
- Die Beschleunigung an der schiefen Ebene ist kleiner als beim freien Fall.

## Nachweise

1. Abb. 2: Photo by Thanos Papazoglou on Unsplash
2. Hermann-Rottmair et al. (2019). Duden Physik Gymnasium 7. Jahrgangsstufe

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##### Häufig gestellte Fragen zum Thema Beschleunigung

Was ist der Unterschied zwischen Geschwindigkeit und Beschleunigung?

Die Geschwindigkeit ist eine Größe, die angibt, wie viel Strecke innerhalb einer bestimmten Zeit zurückgelegt wird. Die Beschleunigung ist beschreibt die Veränderung der Geschwindigkeit, wenn diese erhöht oder verringert wird.

Wie kommt man von Beschleunigung auf Geschwindigkeit?

Die Geschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt im Beschleunigungsprozess wird bestimmt mit der Formel v = a · t + v0

Wie kann man die Beschleunigung berechnen?

Die Beschleunigung wird berechnet aus dem Delta der Geschwindigkeitsänderung und der Zeit, in der diese Geschwindigkeitsänderung passiert ist. Die Formel lautet a= Δv / t

Wie rechnet man die durchschnittliche Geschwindigkeit aus?

Die durchschnittliche Geschwindigkeit wird berechnet, indem Du die gesamte zurückgelegte Strecke durch die Zeit teilst. Dadurch werden auch Beschleunigungsprozesse mit in der durchschnittlichen Geschwindigkeit berücksichtigt.

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