Uzay Teleskopları ve Kullanım Alanları
Teleskop - Vikipedi
Teleskop veya ırakgörür, uzaydan gelen her türlü radyasyonu alıp görüntüleyen astronomların kullandığı, bir rasathane cihazıdır.
logaritmik
Teleskobun gücü, topladığı ışık miktarıyla orantılıdır. Teleskobun objektif çapı büyüdükçe ışık toplama kabiliyeti artar. Mesela, 50 mm çaplı bir teleskop 5 mm çaplı gözbebeğine oranla (50/5)² veya 100 kat daha çok ışık toplar. Teleskoplarda yansıma kayıpları olabileceği için bu miktar yüzde on kadar azalır. Astronomlar parlaklık farklarını <anchor>logaritmik</anchor> artan değerler şeklinde tarif etmişlerdir. Parlaklıktaki 100 kat fark, teleskop skalasında 5 değeriyle görülür. Karanlık gecede insan gözü ışık şiddeti 5 değerli yıldızı görebilir. Kaliforniya'daki Palomar Dağı'nda bulunan Hale Teleskobu'nun objektif çapı 5,1 metredir. Bu teleskop göze nazaran bir milyon kat ışık toplar.[ kaynak belirtilmeli]
Logaritma - Vikipedi
Ana menü

Ana menü

kenar çubuğuna taşıgizle

Gezinti

Katılım

Ara

Görünüm

Kişisel araçlar

## İçindekiler

kenar çubuğuna taşıgizle

İçindekiler tablosunu değiştir

# Logaritma

109 dil

Türkçe

Araçlar

Araçlar

kenar çubuğuna taşıgizle

Eylemler

Genel

Yazdır/dışa aktar

Diğer projelerde

Görünüm

kenar çubuğuna taşıgizle

Vikipedi, özgür ansiklopedi

 İkilik logaritmanın grafiği. Eğri (2,1), (4,2) ve (8,3) noktalarından geçer. y ekseniyle hiçbir zaman kesişmez.)

Matematikte logaritma, üstel işlevlerin tersi olan bir matematiksel fonksiyondur. Mesela, 1000'in 10 tabanına göre logaritması 3'tür çünkü 1000, 10'un 3. kuvvetidir,1000 = 10 × 10 × 10 = 103. Daha genel bir ifadeyle:

x=by⇔logb(x)=y{\displaystyle x=b^{y}\Leftrightarrow log_{b}(x)=y}{\displaystyle x=b^{y}\Leftrightarrow log_{b}(x)=y}

Tabanın 10 olması durumunda işlev, onluk logaritma ya da genel logaritma olarak adlandırılır. Onluk logaritmanın fen ve mühendislikte pek çok kullanım alanı vardır. Taban e sayısı olursa buna doğal logaritma denir. Doğal logaritma, soyut matematikte çok sık kullanılır. Bir diğer logaritma şekli de ikilik logaritmadır, bilgisayar bilimlerinde önemli bir yere sahiptir.

Logaritma 17. yüzyılın başında John Napier tarafından hesaplamaları kolaylaştırmak için oluşturuldu. Denizciler, bilim insanları, mühendisler ve daha hızlı hesap yapmak isteyen kişiler tarafından hızlıca benimsenen logaritma, hesap cetvelleri ve logaritma tabloları aracılığıyla kullanılabiliyordu.
Uzun zaman alan çok basamaklı çarpma işlemleri logaritmanın şu özelliği sayesinde oldukça kolaylaştı:

logb⁡(xy)=logb⁡(x)+logb⁡(y).{\displaystyle \log _{b}(xy)=\log _{b}(x)+\log _{b}(y).\,}{\displaystyle \log _{b}(xy)=\log _{b}(x)+\log _{b}(y).,}

Logaritmanın bugünkü yazım şekli 18. yüzyıla dayanır. Leonhard Euler logaritmanın üstel işlevlerle olan ilişkisini keşfetmiş ve bugünkü yazımı oluşturmuştur.

## Gerekliliği ve tanımı

Logaritma, üstel işlevlerin tersinin hesaplanmasına duyulan ihtiyaç sonucu ortaya çıkmıştır. Örneğin 2'nin küpü 8'dir. Burada 3'ü ifade etmek için logaritmaya ihtiyaç vardır. log2 8 = 3.

## Tarihi

Logaritma, birbirinden habersiz çalışan iki kişi tarafından keşfedilmiştir. Bunlar; 1614’te İskoçyalı John Napier ve 1620’de İsviçreli Joost Bürgi'dir.

Logaritmaya önemli katkı sağlayan bir diğer isim de cebirin babası olarak tanınan Fars matematikçi Harezmi'dir. Aynı zamanda ondalık sayıyı bulmuştur ve sıfırı kullanan ilk kişidir. 780-850 yılları arasında yaşamıştır.

Logaritma üzerinde önemli çalışmaları olan bir Türk matematikçi Gelenbevi İsmail Efendi'dir. Kendisi büyük bir matematikçi olup, mantıkla da uğraşmıştır. 1730-1790 yıllarında yaşayan bu büyük alimin Logaritma Risalesi isimli çok açık, anlaşılır yazılmış bir eseri mevcuttur. Bu risaledeki metinler, bilim insanlarına hesap yapabilen bir cihaz tasarlama fikrini vermiştir. İsmail Efendi'nin bilim dünyasına bu açıdan bakıldığında büyük katkıları olduğu açıkça fark edilmektedir. Logaritmanın Türkiye'ye gelişine ve uygulanışına dair en detaylı bilgileri veren bilimsel bir makalede [1] bu konu bilim tarihi bakımından ve Salih Murat Üzdilek'in hatıralarıyla beraber açıklanmakta ve Türkiye'de logaritma konusunda ilk çalışmanın Halifezade İsmail Efendi tarafından 1765 yılında yayınlanan Tuhfe-i Behic-i Rasini Tercüme-i Zic-i Kasini adlı yazma tercüme eser olduğu ve logaritmanın Türkiye'ye Batı'dan J. Cassini üzerinden yapılma tercümeyle geldiğini kabul etmek gerektiği gösterilmektedir.

## Logaritmik özellikler

 Logaritma: log10 (sarı),

ln (kırmızı) ve log½ (mavi)

### Çarpma, bölme, üs ve kök

ÖzellikÖrnek
çarpmalogb⁡(xy)=logb⁡(x)+logb⁡(y){\displaystyle \log _{b}(xy)=\log _{b}(x)+\log _{b}(y)\,}{\displaystyle \log _{b}(xy)=\log _{b}(x)+\log _{b}(y),}log3⁡(243)=log3⁡(9⋅27)=log3⁡(9)+log3⁡(27)=2+3=5{\displaystyle \log _{3}(243)=\log _{3}(9\cdot 27)=\log _{3}(9)+\log _{3}(27)=2+3=5\,}{\displaystyle \log _{3}(243)=\log _{3}(9\cdot 27)=\log _{3}(9)+\log _{3}(27)=2+3=5,}bölmelogb(xy)=logb⁡(x)−logb⁡(y){\displaystyle \log _{b}\!\left({\frac {x}{y}}\right)=\log _{b}(x)-\log _{b}(y)\,}{\displaystyle \log _{b}!\left({\frac {x}{y}}\right)=\log _{b}(x)-\log _{b}(y),}log2⁡(16)=log2(644)=log2⁡(64)−log2⁡(4)=6−2=4{\displaystyle \log _{2}(16)=\log _{2}\!\left({\frac {64}{4}}\right)=\log _{2}(64)-\log _{2}(4)=6-2=4}{\displaystyle \log _{2}(16)=\log _{2}!\left({\frac {64}{4}}\right)=\log _{2}(64)-\log _{2}(4)=6-2=4}üslogb⁡(xp)=plogb⁡(x){\displaystyle \log _{b}(x^{p})=p\log _{b}(x)\,}{\displaystyle \log _{b}(x^{p})=p\log _{b}(x),}log2⁡(64)=log2⁡(26)=6log2⁡(2)=6{\displaystyle \log _{2}(64)=\log _{2}(2^{6})=6\log _{2}(2)=6\,}{\displaystyle \log _{2}(64)=\log _{2}(2^{6})=6\log _{2}(2)=6,}köklogb⁡xp=logb⁡(x)p{\displaystyle \log _{b}{\sqrt[{p}]{x}}={\frac {\log _{b}(x)}{p}}\,}{\displaystyle \log _{b}{\sqrt[{p}]{x}}={\frac {\log _{b}(x)}{p}},}log10⁡1000=12log10⁡1000=32=1.5{\displaystyle \log _{10}{\sqrt {1000}}={\frac {1}{2}}\log _{10}1000={\frac {3}{2}}=1.5}{\displaystyle \log _{10}{\sqrt {1000}}={\frac {1}{2}}\log _{10}1000={\frac {3}{2}}=1.5}

### Taban değiştirme

logb⁡(x)=logk⁡(x)logk⁡(b).{\displaystyle \log _{b}(x)={\frac {\log _{k}(x)}{\log _{k}(b)}}.\,}{\displaystyle \log _{b}(x)={\frac {\log _{k}(x)}{\log _{k}(b)}}.,}

Hesap makineleri istenen logaritma değerini hesaplamak için şu formülü kullanır:

logb⁡(x)=log10⁡(x)log10⁡(b)=loge⁡(x)loge⁡(b).{\displaystyle \log _{b}(x)={\frac {\log _{10}(x)}{\log _{10}(b)}}={\frac {\log _{e}(x)}{\log _{e}(b)}}.\,}{\displaystyle \log _{b}(x)={\frac {\log _{10}(x)}{\log _{10}(b)}}={\frac {\log _{e}(x)}{\log _{e}(b)}}.,}

## Özel tabanlar

Yaygın olarak kullanılan üç tane taban vardır.

Taban
İsim log_b_( x)
ISO gösterimi
Diğer gösterimler
Kullanıldığı alanlar
edoğal logaritmaln( x)
matematiksel inceleme, fizik, kimya,

(mühendislik, biyoloji, astronomi), log10( x)
çeşitli mühendislik alanları (bkz. desibel),

## Negatif ve imajiner logaritma

Negatif logaritma üzerinde en önemli çalışmalar yapan matematikçi Leonhard Euler dir.

Euler özdeşliği yardımıya negatif sayıların logaritması alınabilir. Bu logaritmayı alabilmek için logaritmanın özellikleri ve Euler özdeşliği bilinmelidir.

eiπ+1=0{\displaystyle e^{i\pi }+1=0}{\displaystyle e^{i\pi }+1=0} İşte negatif ve imajiner logaritmanın en önemli denklemlerinden biridir. Euler özdeşliği.

ax=−b{\displaystyle a^{x}=-b}{\displaystyle a^{x}=-b} denkleminin çözümü x=loga(−b)⇒x=logab+loga(−1){\displaystyle x=log_{a}(-b)\Rightarrow x=log_{a}b+log_{a}(-1)}{\displaystyle x=log_{a}(-b)\Rightarrow x=log_{a}b+log_{a}(-1)} olur.

Burada loga(−1)=ln(−1)lna{\displaystyle log_{a}(-1)={\frac {ln(-1)}{lna}}}{\displaystyle log_{a}(-1)={\frac {ln(-1)}{lna}}} şeklinde de yazılabilir. Bu logaritmanın ln ile genişletmesinin sebebi eiπ+1=0{\displaystyle e^{i\pi }+1=0}{\displaystyle e^{i\pi }+1=0} denklemi uygun bir logaritma olan ln logaritma fonksiyonudur.

eiπ+1=0⇒eiπ=−1⇒iπ=ln(−1){\displaystyle e^{i\pi }+1=0\Rightarrow e^{i\pi }=-1\Rightarrow i\pi =ln(-1)}{\displaystyle e^{i\pi }+1=0\Rightarrow e^{i\pi }=-1\Rightarrow i\pi =ln(-1)} olur. loga(−1)=ln(−1)lna{\displaystyle log_{a}(-1)={\frac {ln(-1)}{lna}}}{\displaystyle log_{a}(-1)={\frac {ln(-1)}{lna}}} denkleminde yerine yazılırsa loga(−1)=iπlna{\displaystyle log_{a}(-1)={\frac {i\pi }{lna}}}{\displaystyle log_{a}(-1)={\frac {i\pi }{lna}}} olur. Bu sonuç da x=logab+loga(−1){\displaystyle x=log_{a}b+log_{a}(-1)}{\displaystyle x=log_{a}b+log_{a}(-1)} denkleminde yerine yazılırsa

x=logab+iπlna{\displaystyle x=log_{a}b+{\frac {i\pi }{lna}}}{\displaystyle x=log_{a}b+{\frac {i\pi }{lna}}} sonucuna ulaşılır.

### Sonuç

ax=−b⇒x=logab+iπlna{\displaystyle a^{x}=-b\Rightarrow x=log_{a}b+{\frac {i\pi }{lna}}}{\displaystyle a^{x}=-b\Rightarrow x=log_{a}b+{\frac {i\pi }{lna}}}

### İmajiner logaritma

Sanal logaritma demektir. Sanal sayılar ı içerir. logmi{\displaystyle log_{m}i}{\displaystyle log_{m}i} şeklindeki logaritmanın logmi=lnilnm{\displaystyle log_{m}i={\frac {lni}{lnm}}}{\displaystyle log_{m}i={\frac {lni}{lnm}}} şeklinde dönüştürülerek bulunabilir. Negatif logaritmaya benzer bir şekilde Euler özdeşliğindeniπ=ln(−1){\displaystyle i\pi =ln(-1)}{\displaystyle i\pi =ln(-1)} şeklinde bulunmuştu (yukarıda) denklem düzenlenirse i=−1{\displaystyle i={\sqrt {-1}}}{\displaystyle i={\sqrt {-1}}} den dolayı iπ=ln(−1)⇒iπ=lni2⇒iπ2=lni{\displaystyle i\pi =ln(-1)\Rightarrow i\pi =lni^{2}\Rightarrow {\frac {i\pi }{2}}=lni}{\displaystyle i\pi =ln(-1)\Rightarrow i\pi =lni^{2}\Rightarrow {\frac {i\pi }{2}}=lni} olur. logmi=lnilnm{\displaystyle log_{m}i={\frac {lni}{lnm}}}{\displaystyle log_{m}i={\frac {lni}{lnm}}} denkleminde ln(i) yerine yazılırsa sonuç: logmi=iπ2lnm{\displaystyle log_{m}i={\frac {i\pi }{2lnm}}}{\displaystyle log_{m}i={\frac {i\pi }{2lnm}}} olur.

logim{\displaystyle log_{i}m}{\displaystyle log_{i}m} şeklindeki logaritma ise logim=lnmlni{\displaystyle log_{i}m={\frac {lnm}{lni}}}{\displaystyle log_{i}m={\frac {lnm}{lni}}} olur. Yani logim=1logmi{\displaystyle log_{i}m={\frac {1}{log_{m}i}}}{\displaystyle log_{i}m={\frac {1}{log_{m}i}}} dir. logmi=iπ2lnm{\displaystyle log_{m}i={\frac {i\pi }{2lnm}}}{\displaystyle log_{m}i={\frac {i\pi }{2lnm}}} bulunmuştu. Yerine yazılırsa logim=1iπ2lnm{\displaystyle log_{i}m={\frac {1}{\frac {i\pi }{2lnm}}}}{\displaystyle log_{i}m={\frac {1}{\frac {i\pi }{2lnm}}}} düzenlenirse logim=2lnmiπ{\displaystyle log_{i}m={\frac {2lnm}{i\pi }}}{\displaystyle log_{i}m={\frac {2lnm}{i\pi }}} sonucuna ulaşılır.

## Ayrıca bakınız

## Kaynakça

- Yusuf Avcı-Nurettin Ergun-Kamil Alnıaçık. "Kolay Yoldan Logaritma"(PDF). Matematik Dünyası. 15 Mayıs 2013 tarihinde kaynağından(PDF) arşivlendi. Erişim tarihi: 6 Aralık 2013.

Gizli kategoriler:

Vikipedi® (ve Wikipedia®) kâr amacı gütmeyen kuruluş olan Wikimedia Foundation, Inc. tescilli markasıdır.