Diferansiyel denklemler nedir?
Diferansiyel denklem - Vikipedi
Matematikte, diferansiyel denklem, bir ya da birden fazla fonksiyonu ve bunların türevlerini ilişkilendiren denklemdir.
Black–Scholes
Diferansiyel denklemlerin matematiksel teorisi, ilk olarak denklemlerin ortaya çıktığı ve sonuçların uygulama bulduğu bilimlerle birlikte gelişti. Ancak, bazen oldukça farklı bilimsel alanlardan kaynaklanan çeşitli problemler, aynı diferansiyel denklemlere yol açabilir. Bu olduğunda, denklemlerin arkasındaki matematiksel teori, çeşitli doğa olaylarının arkasındaki birleştirici bir ilke olarak görülebilir. Örneğin atmosferdeki ışık ve sesin ve bir havuz yüzeyinde dalgaların yayılmasını düşünün. Hepsi aynı ikinci dereceden kısmi diferansiyel denklem olan dalga denklemi ile tanımlanabilir, bu ise ışık ve sesin dalga şekillerini sudaki bilinen dalgalar gibi düşünmemizi sağlar. Teorisi Joseph Fourier tarafından geliştirilen ısı iletimi, başka bir ikinci dereceden kısmi diferansiyel denklem olan ısı denklemi ile ifade edilir. Görünüşe göre farklı görünen birçok difüzyon işleminin aynı denklemle tanımlandığı ortaya çıkmıştır örn. finanstaki <anchor>Black–Scholes</anchor> denklemi, ısı denklemi ile ilişkilidir.
Black-Scholes eşitliği - Vikipedi
Ana menü

Ana menü

kenar çubuğuna taşıgizle

Gezinti

Katılım

Ara

Görünüm

Kişisel araçlar

## İçindekiler

kenar çubuğuna taşıgizle

İçindekiler tablosunu değiştir

# Black-Scholes eşitliği

5 dil

Türkçe

Araçlar

Araçlar

kenar çubuğuna taşıgizle

Eylemler

Genel

Yazdır/dışa aktar

Diğer projelerde

Görünüm

kenar çubuğuna taşıgizle

Vikipedi, özgür ansiklopedi

Black-Scholes eşitliği, 1973 yılında Fischer Black ve Myron Scholes tarafından yazılan makalede[1] elde edilen Black-Scholes formülünün kanıtında ilk defa elde edilmiş ve daha genel türev ürünleri için de uyarlanabilen bir kısmi diferensiyel denklemdir.
Black-Scholes formülünün orijinal kanıtındaki esas fikir, opsiyon ve opsiyon dayanak varlığından oluşan bir portföy yaratmak ve bu portföyü küçük zaman aralıklarında dayanak varlığın piyasa fiyatına duyarsız hale getirmektir. Sonucunda, Black-Scholes eşitliği elde edilir ve elde edilen diferansiyel denklem, değişik dönüşümler ve yerine koymalar vasıtasıyla ısı denklemine dönüştürülür.

## Eşitliğin ifadesi

Kullanma fiyatı K, vadesi T olan Avrupa tipi bir opsiyonun "Opsiyon (finans)") fiyatı V=V(t,S){\displaystyle V=V(t,S)}{\displaystyle V=V(t,S)}, bu opsiyonun dayanak varlığının spot fiyatı S, oynaklığı "Volatilite (finans)") (volatilitesi) σ{\displaystyle \sigma }{\displaystyle \sigma } ve risksiz-faiz oranı r olsun. Diyelim ki, spot süreci geometrik Brown hareketini izlesin; yani, Brown hareketini W{\displaystyle W}{\displaystyle W} ile gösterirsek, μ{\displaystyle \mu }{\displaystyle \mu } sabitse

dSt=μStdt+σStdWt.{\displaystyle dS_{t}=\mu S_{t}\,dt+\sigma S_{t}\,dW_{t}.}{\displaystyle dS_{t}=\mu S_{t},dt+\sigma S_{t},dW_{t}.}

olsun. O zaman,

∂V∂t+rS∂V∂S+S2σ22∂2V∂S2−rV=0.{\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}+{\frac {S^{2}\sigma ^{2}}{2}}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}-rV=0.}{\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}+{\frac {S^{2}\sigma ^{2}}{2}}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}-rV=0.}

## Kanıt

Black-Scholes modelinin merkezi varsayımlarından biri söz konusu dayanak varlığın (Black-Scholes özelinde hisse senedinin) fiyatının hareketlerinin ( S t) geometrik Brown hareketini izlemesidir. Yani, sabit bir sapma (μ{\displaystyle \mu }{\displaystyle \mu }) ve volatilite (σ{\displaystyle \sigma }{\displaystyle \sigma }) olmak üzere;

dSt=μStdt+σStdWt{\displaystyle dS_{t}=\mu S_{t}\,dt+\sigma S_{t}\,dW_{t}\,}{\displaystyle dS_{t}=\mu S_{t},dt+\sigma S_{t},dW_{t},}

Black-Scholes'un makalesindeki fikirden hareketle portföy (P{\displaystyle P}{\displaystyle P}) şu şekilde oluşsun:

- -1 tane opsiyon (yani opsiyon satılmıştır)
- △{\displaystyle \triangle }{\displaystyle \triangle } sonradan belirlenmek üzere △{\displaystyle \triangle }{\displaystyle \triangle } tane dayanak varlık

Opsiyonun fiyatı V=V(t,S){\displaystyle V=V(t,S)}{\displaystyle V=V(t,S)} olsun. O zaman, bu portföyün değeri

P=−V+△S{\displaystyle P=-V+\triangle S}{\displaystyle P=-V+\triangle S}

olur. Bu potrföyün değerinin kısa bir zaman aralığındaki değişimi dP{\displaystyle \mathrm {d} P}{\displaystyle \mathrm {d} P} o zaman

dP=−dV+△dS{\displaystyle \mathrm {d} P=-\mathrm {d} V+\triangle \mathrm {d} S}{\displaystyle \mathrm {d} P=-\mathrm {d} V+\triangle \mathrm {d} S}

olur. Öbür taraftan, fiyatı iki kere türevlenebilien bir türev ürününün fiyatı V=V(t,S){\displaystyle V=V(t,S)}{\displaystyle V=V(t,S)} için Ito önsavı kullanılarak

dV=(∂V∂t+μS∂V∂S+12σ2S2∂2V∂S2)dt+σS∂V∂SdW{\displaystyle \mathrm {d} V=\left({\frac {\partial V}{\partial t}}+\mu \,S{\frac {\partial V}{\partial S}}+{\frac {1}{2}}\,\sigma ^{2}\,S^{2}\,{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}\right)\mathrm {d} t+\sigma \,S\,{\frac {\partial V}{\partial S}}\,\mathrm {d} W}{\displaystyle \mathrm {d} V=\left({\frac {\partial V}{\partial t}}+\mu ,S{\frac {\partial V}{\partial S}}+{\frac {1}{2}},\sigma ^{2},S^{2},{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}\right)\mathrm {d} t+\sigma ,S,{\frac {\partial V}{\partial S}},\mathrm {d} W}.

O zaman,

dP=−dV+△dS=−(∂V∂t+μS∂V∂S+12σ2S2∂2V∂S2−△μSt)dt−(σS∂V∂S−△σS)dW{\displaystyle \mathrm {d} P=-\mathrm {d} V+\triangle \mathrm {d} S=-\left({\frac {\partial V}{\partial t}}+\mu \,S{\frac {\partial V}{\partial S}}+{\frac {1}{2}}\,\sigma ^{2}\,S^{2}\,{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}-\triangle \mu S_{t}\right)\mathrm {d} t-\left(\sigma \,S\,{\frac {\partial V}{\partial S}}-\triangle \sigma S\right)\mathrm {d} W}{\displaystyle \mathrm {d} P=-\mathrm {d} V+\triangle \mathrm {d} S=-\left({\frac {\partial V}{\partial t}}+\mu ,S{\frac {\partial V}{\partial S}}+{\frac {1}{2}},\sigma ^{2},S^{2},{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}-\triangle \mu S_{t}\right)\mathrm {d} t-\left(\sigma ,S,{\frac {\partial V}{\partial S}}-\triangle \sigma S\right)\mathrm {d} W}

olur. Bu portföyün dayanak varlığın piyasa fiyatına duyarsız halde olması istendiğinden, difüzyon teriminin (rassallığa katkıda bulunan terimlerin) 0 olması gerekir. Yani, σS∂V∂S−△σS=0{\displaystyle \sigma \,S\,{\frac {\partial V}{\partial S}}-\triangle \sigma S=0}{\displaystyle \sigma ,S,{\frac {\partial V}{\partial S}}-\triangle \sigma S=0} olmalıdır ki bu da △=∂V∂S{\displaystyle \triangle ={\frac {\partial V}{\partial S}}}{\displaystyle \triangle ={\frac {\partial V}{\partial S}}} verir. O zaman,

dP=−(∂V∂t+12σ2S2∂2V∂S2)dt{\displaystyle \mathrm {d} P=-\left({\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\,\sigma ^{2}\,S^{2}\,{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}\right)\mathrm {d} t}{\displaystyle \mathrm {d} P=-\left({\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}},\sigma ^{2},S^{2},{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}\right)\mathrm {d} t}

elde edilir. Diğer taraftan, portföy rassallığa duyarsız hale geldiği için risksiz faiz oranı ile büyüyecektir; yani,

dP=rPdt=−rVdt+rS∂V∂Sdt{\displaystyle \mathrm {d} P=rPdt=-rVdt+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}dt}{\displaystyle \mathrm {d} P=rPdt=-rVdt+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}dt}

elde edilir. dP{\displaystyle \mathrm {d} P}{\displaystyle \mathrm {d} P} için elde edilen bu iki ifade birbirine eşitlenerek Black-Scholes kısmi diferansiyel denklemi elde edilir:

∂V∂t+rS∂V∂S+S2σ22∂2V∂S2−rV=0{\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}+{\frac {S^{2}\sigma ^{2}}{2}}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}-rV=0}{\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}+{\frac {S^{2}\sigma ^{2}}{2}}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}-rV=0}

Bu denklemin çözülmesi için aynı zamanda bir sınır değeri konulması lazım;ancak, zaten opsiyonun vade tarihindeki değeri opsiyonun türüne göre max(ST−K,0){\displaystyle \max(S_{T}-K,0)}{\displaystyle \max(S_{T}-K,0)} veya max(K−ST,0){\displaystyle \max(K-S_{T},0)}{\displaystyle \max(K-S_{T},0)} olacaktır.

## Ayrıca bakınız

## Kaynakça

1. ^ Black, Fischer; Scholes, Myron (1973). "The Pricing of Options and Corporate Liabilities". Journal of Political Economy. 81 (3): 637-654. doi: 10.1086/260062. [1] (Black ve Scholes'un orijinal makalesi.)

Vikipedi® (ve Wikipedia®) kâr amacı gütmeyen kuruluş olan Wikimedia Foundation, Inc. tescilli markasıdır.