Relatività generale - Wikipedia
La relatività generale, elaborata da Albert Einstein e pubblicata nel 1916, è l'attuale teoria fisica della gravitazione. Albert Einstein nel 1921.
precessione del perielio di Mercurio
La prima conferma (ancorché incompleta, come è emerso in seguito) si ebbe nel 1919, quando osservazioni di Arthur Eddington durante un'eclissi di Sole confermarono la visibilità di alcune stelle vicine al bordo solare, che in realtà sarebbero dovute essere invisibili: i fotoni luminosi venivano deviati dal Sole della quantità prevista dalle equazioni. In realtà, le osservazioni avevano un errore medio dello stesso ordine di grandezza dell'effetto considerato. La prima vera conferma fu la spiegazione del moto di <anchor>precessione del perielio di Mercurio</anchor>, la cui entità era inspiegabile con la gravitazione newtoniana (anche tenendo conto dell'effetto perturbativo dovuto all'attrazione degli altri pianeti), e invece coincideva con quanto previsto dalla relatività generale.
Precessione del perielio dell'orbita di Mercurio - Wikipedia
# Precessione del perielio dell'orbita di Mercurio

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

 Precessione del perielio (fortemente esagerata).

Per precessione del perielio dell'orbita di Mercurio si intende la precessione (rotazione) del perielio (il punto più vicino al Sole) dell'orbita del pianeta Mercurio "Mercurio (astronomia)").

## Indice

## Storia

 Animazione della precessione del perielio di Mercurio (animazione non in scala).

Il fenomeno è previsto dalla teoria della gravitazione universale di Isaac Newton, ma Urbain Le Verrier, per primo, scoprì che questo pianeta avanza più velocemente di quello che prevede la teoria stessa: dalle osservazioni infatti è risultato che la longitudine del perielio, cioè la somma della longitudine del nodo ascendente e l'argomento del perielio, aumenta di 5600" ( secondi d'arco) ogni secolo. Il dato previsto teoricamente tenendo conto dell'interazione con gli altri pianeti è invece di 5557"/secolo, con uno scarto di 43" circa.

Diverse soluzioni furono proposte per risolvere questo problema:

- Le Verrier nel 1859[1][2] propose l'esistenza di un ipotetico pianeta Vulcano "Vulcano (astronomia)"), la cui orbita sarebbe interna a quella di Mercurio. Le Verrier aveva applicato pochi anni prima lo stesso metodo ai pianeti esterni, "scoprendo" in modo sensazionale il pianeta Nettuno "Nettuno (astronomia)") senza aver bisogno di vederlo.
- Un ipotetico satellite di Mercurio
- Massa del 10% maggiore per Venere
- Non sfericità del Sole (J2 gravitazionale)
- Modifiche della gravitazione universale: F=Gmm′d2+ϵ{\displaystyle F=G{\frac {mm'}{d^{2+\epsilon }}}}{\displaystyle F=G{\frac {mm'}{d^{2+\epsilon }}}}

Nel 1919 Albert Einstein annunciò che la sua teoria della relatività generale prevedeva una precessione del perielio dei pianeti anche in assenza di interazione tra di essi (mentre la meccanica classica prevede in tal caso che l'orbita sia un' ellisse fissa e immutabile), e che l'entità di questa precessione per Mercurio corrispondeva allo scarto osservato.

## Soluzione di Einstein

.jpg) Einstein nel 1921.

In relatività generale è possibile dimostrare che, se la derivata del tensore metrico gμν{\displaystyle g_{\mu \nu }}{\displaystyle g_{\mu \nu }} rispetto ad una coordinata α{\displaystyle \alpha }{\displaystyle \alpha } è nulla (ovvero se la metrica è ciclica rispetto a tale coordinata), allora la derivata rispetto allo spazio proprio della quadrivelocità uα{\displaystyle u_{\alpha }}{\displaystyle u_{\alpha }} è nulla. Va sottolineato il fatto che il teorema vale solo per le componenti covarianti della quadrivelocità (i.e., la derivata di uα{\displaystyle u^{\alpha }}{\displaystyle u^{\alpha }} non è necessariamente nulla).

Fissando il moto nel piano θ=π/2{\displaystyle \theta =\pi /2}{\displaystyle \theta =\pi /2}, la metrica di Schwarzschild non dipende né dal tempo né dall'angolo ϕ{\displaystyle \phi }{\displaystyle \phi } e quindi esistono due integrali del moto, u0=E~{\displaystyle u_{0}={\tilde {E}}}{\displaystyle u_{0}={\tilde {E}}} e u3=L~{\displaystyle u_{3}={\tilde {L}}}{\displaystyle u_{3}={\tilde {L}}}. Infatti, l'invarianza temporale è associata a un'energia, mentre quella rotazionale a un momento angolare.

In più, essendo gμνuμuν=1{\displaystyle g_{\mu \nu }u^{\mu }u^{\nu }=1}{\displaystyle g_{\mu \nu }u^{\mu }u^{\nu }=1}, si può scrivere, alzando coerentemente gli indici, l'equazione

E~21−2GM/r−r˙21−2GM/r−L~2r2=1{\displaystyle {\frac {{\tilde {E}}^{2}}{1-2GM/r}}-{\frac {{\dot {r}}^{2}}{1-2GM/r}}-{\frac {{\tilde {L}}^{2}}{r^{2}}}=1}{\displaystyle {\frac {{\tilde {E}}^{2}}{1-2GM/r}}-{\frac {{\dot {r}}^{2}}{1-2GM/r}}-{\frac {{\tilde {L}}^{2}}{r^{2}}}=1}

dove r˙{\displaystyle {\dot {r}}}{\displaystyle {\dot {r}}} indica la derivata rispetto a s{\displaystyle s}{\displaystyle s}, e si è posto c=1{\displaystyle c=1}{\displaystyle c=1}.

Di qui si può ottenere un'equazione differenziale per r(ϕ){\displaystyle r(\phi )}{\displaystyle r(\phi )}, poiché sfruttando la regola di Leibnizr˙=−L~2/r2dr/dϕ{\displaystyle {\dot {r}}=-{\tilde {L}}^{2}/r^{2}\mathrm {d} r/\mathrm {d} \phi }{\displaystyle {\dot {r}}=-{\tilde {L}}^{2}/r^{2}\mathrm {d} r/\mathrm {d} \phi }.

Eseguendo poi la sostituzione u=1/r{\displaystyle u=1/r}{\displaystyle u=1/r}, in maniera analoga a quanto si è soliti fare per la soluzione del problema di Keplero, si ricava

d2udϕ2+u=GML~2+3GMu2{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \phi ^{2}}}+u={\frac {GM}{{\tilde {L}}^{2}}}+3GMu^{2}}{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \phi ^{2}}}+u={\frac {GM}{{\tilde {L}}^{2}}}+3GMu^{2}}

da confrontare con l'equazione newtoniana

d2udϕ2+u=GML~2{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \phi ^{2}}}+u={\frac {GM}{{\tilde {L}}^{2}}}}{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \phi ^{2}}}+u={\frac {GM}{{\tilde {L}}^{2}}}}

L'incidenza del termine non lineare 3GMu2{\displaystyle 3GMu^{2}}{\displaystyle 3GMu^{2}} rispetto al potenziale classico u{\displaystyle u}{\displaystyle u} vale, reinserendo il valore di c{\displaystyle c}{\displaystyle c} e sostituendo a M{\displaystyle M}{\displaystyle M} la massa del Sole e a r{\displaystyle r}{\displaystyle r} il raggio dell'orbita di Mercurio, 3GM/c2r∼10−7{\displaystyle 3GM/c^{2}r\sim 10^{-7}}{\displaystyle 3GM/c^{2}r\sim 10^{-7}}.

Ciò significa che è possibile trattare tale termine perturbativamente.

La soluzione dell'equazione classica si scrive

rN(ϕ)=Acos⁡(ϕ+ϕ0)+GML~2{\displaystyle r_{N}(\phi )=A\cos(\phi +\phi _{0})+{\frac {GM}{{\tilde {L}}^{2}}}}{\displaystyle r_{N}(\phi )=A\cos(\phi +\phi _{0})+{\frac {GM}{{\tilde {L}}^{2}}}}

ovvero

uN=GML~2(1+ecos⁡ϕ){\displaystyle u_{N}={\frac {GM}{{\tilde {L}}^{2}}}(1+e\cos \phi )}{\displaystyle u_{N}={\frac {GM}{{\tilde {L}}^{2}}}(1+e\cos \phi )}

dove e{\displaystyle e}{\displaystyle e} è l'eccentricità dell'orbia ellittica.

Approssimando 3GMu2=3GMuN2{\displaystyle 3GMu^{2}=3GMu_{N}^{2}}{\displaystyle 3GMu^{2}=3GMu_{N}^{2}}, l'equazione relativistica diventa

d2udϕ2+u=GML~2+3G3M3L~4(1+2ecos⁡ϕ){\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \phi ^{2}}}+u={\frac {GM}{{\tilde {L}}^{2}}}+{\frac {3G^{3}M^{3}}{{\tilde {L}}^{4}}}(1+2e\cos \phi )}{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \phi ^{2}}}+u={\frac {GM}{{\tilde {L}}^{2}}}+{\frac {3G^{3}M^{3}}{{\tilde {L}}^{4}}}(1+2e\cos \phi )}

dove, valendo per Mercurio e=0.206≪1{\displaystyle e=0.206\ll 1}{\displaystyle e=0.206\ll 1}, si sono trascurati i termini in e2{\displaystyle e^{2}}{\displaystyle e^{2}}.

Ancora, la costante 3G3M3/L~4≪GM/L~2{\displaystyle 3G^{3}M^{3}/{\tilde {L}}^{4}\ll GM/{\tilde {L}}^{2}}{\displaystyle 3G^{3}M^{3}/{\tilde {L}}^{4}\ll GM/{\tilde {L}}^{2}} e quindi può essere anch'essa trascurata.

Rimane

d2udϕ2+u=GML~2+6G3M3L~4ecos⁡ϕ{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \phi ^{2}}}+u={\frac {GM}{{\tilde {L}}^{2}}}+{\frac {6G^{3}M^{3}}{{\tilde {L}}^{4}}}e\cos \phi }{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \phi ^{2}}}+u={\frac {GM}{{\tilde {L}}^{2}}}+{\frac {6G^{3}M^{3}}{{\tilde {L}}^{4}}}e\cos \phi }

Una soluzione particolare a tale equazione è data da

u(ϕ)=3G3M3L~4ϕsin⁡ϕ+GML~2{\displaystyle u(\phi )={\frac {3G^{3}M^{3}}{{\tilde {L}}^{4}}}\phi \sin \phi +{\frac {GM}{{\tilde {L}}^{2}}}}{\displaystyle u(\phi )={\frac {3G^{3}M^{3}}{{\tilde {L}}^{4}}}\phi \sin \phi +{\frac {GM}{{\tilde {L}}^{2}}}}

per cui, considerando anche la soluzione dell'equazione omogenea associata si ricava

u(ϕ)=GML~2(1+ecos⁡ϕ+3eG2M2L~2ϕsin⁡ϕ){\displaystyle u(\phi )={\frac {GM}{{\tilde {L}}^{2}}}\left(1+e\cos \phi +{\frac {3eG^{2}M^{2}}{{\tilde {L}}^{2}}}\phi \sin \phi \right)}{\displaystyle u(\phi )={\frac {GM}{{\tilde {L}}^{2}}}\left(1+e\cos \phi +{\frac {3eG^{2}M^{2}}{{\tilde {L}}^{2}}}\phi \sin \phi \right)}

Tale soluzione può essere convenientemente riscritta come

u(ϕ)=GML~2[1+ecos⁡(ϕ(1−3G2M2L~2))]{\displaystyle u(\phi )={\frac {GM}{{\tilde {L}}^{2}}}\left[1+e\cos \left(\phi \left(1-{\frac {3G^{2}M^{2}}{{\tilde {L}}^{2}}}\right)\right)\right]}{\displaystyle u(\phi )={\frac {GM}{{\tilde {L}}^{2}}}\left[1+e\cos \left(\phi \left(1-{\frac {3G^{2}M^{2}}{{\tilde {L}}^{2}}}\right)\right)\right]}

come si può verificare espandendo il coseno e sviluppando per G2M2/L~2≪1{\displaystyle G^{2}M^{2}/{\tilde {L}}^{2}\ll 1}{\displaystyle G^{2}M^{2}/{\tilde {L}}^{2}\ll 1}.

A questo punto il perielio, ovvero il minimo per r{\displaystyle r}{\displaystyle r} corrisponde al massimo di u{\displaystyle u}{\displaystyle u}, e si ottiene quando il coseno vale 1, ovvero se l'argomento è pari a 2ϕk{\displaystyle 2\phi k}{\displaystyle 2\phi k} per k{\displaystyle k}{\displaystyle k} intero. Quindi avremo

ϕk=2kπ1−3G2M2/L~2∼2πk(1+3G2M2L~2){\displaystyle \phi _{k}={\frac {2k\pi }{1-3G^{2}M^{2}/{\tilde {L}}^{2}}}\sim 2\pi k\left(1+{\frac {3G^{2}M^{2}}{{\tilde {L}}^{2}}}\right)}{\displaystyle \phi _{k}={\frac {2k\pi }{1-3G^{2}M^{2}/{\tilde {L}}^{2}}}\sim 2\pi k\left(1+{\frac {3G^{2}M^{2}}{{\tilde {L}}^{2}}}\right)}

I perielii, quindi, non si susseguono a distanze angolari di 2π{\displaystyle 2\pi }{\displaystyle 2\pi }, ma sperimentano una precessione.

In particolare (essendo r0=L~2/GM{\displaystyle r_{0}={\tilde {L}}^{2}/GM}{\displaystyle r_{0}={\tilde {L}}^{2}/GM})

δϕ=6πG2M2L~2=6πGMr0=6πGMc2r0=0.1″{\displaystyle \delta \phi ={\frac {6\pi G^{2}M^{2}}{{\tilde {L}}^{2}}}={\frac {6\pi GM}{r_{0}}}={\frac {6\pi GM}{c^{2}r_{0}}}=0.1''}{\displaystyle \delta \phi ={\frac {6\pi G^{2}M^{2}}{{\tilde {L}}^{2}}}={\frac {6\pi GM}{r_{0}}}={\frac {6\pi GM}{c^{2}r_{0}}}=0.1''}

Si ottiene quindi un valore di 0,1 secondi d'arco per ogni rivoluzione di Mercurio: considerando il fatto che l'anno di Mercurio dura 0,24 anni terrestri, in un secolo recuperiamo i famosi 43 secondi non previsti dalla teoria classica.

Come si può evincere dall'espressione della precessione, essa è inversamente proporzionale al semiasse dell'orbita del pianeta: ciò spiega poiché l'anomalia era apprezzabile ai tempi della formulazione della Relatività generale solo per Mercurio, che tra i pianeti del sistema solare è quello per cui il raggio dell'orbita è minimo.

La precessione del perielio di Mercurio viene perciò considerata la prima conferma sperimentale della teoria della relatività generale, anche se le spiegazioni alternative furono escluse completamente molti anni dopo.

## Metodo di calcolo

Definendo k, costante gaussiana di gravitazione, dalla equazione

k2=n¯3a¯2{\displaystyle k^{2}={\bar {n}}^{3}{\bar {a}}^{2}}{\displaystyle k^{2}={\bar {n}}^{3}{\bar {a}}^{2}}

dove n¯{\displaystyle {\bar {n}}}{\displaystyle {\bar {n}}} è il moto medio in radianti su giorno solare medio di un corpo con massa trascurabile rispetto a quella del Sole e a¯{\displaystyle {\bar {a}}}{\displaystyle {\bar {a}}} è semiasse maggiore in Unità astronomica.

Dal 1938 si considera k=0.01720209895{\displaystyle k=0.01720209895}{\displaystyle k=0.01720209895} e si definisce A{\displaystyle A}{\displaystyle A} raggio dell'orbita perfettamente circolare di un corpo intorno al Sole di massa trascurabile con tempo di rivoluzione 2πk=365.2568983{\displaystyle {\frac {2\pi }{k}}=365.2568983}{\displaystyle {\frac {2\pi }{k}}=365.2568983}. Possiamo quindi esprimere GMSole{\displaystyle GM_{Sole}}{\displaystyle GM_{Sole}} come:

GMSole=k2A3D2{\displaystyle GM_{Sole}=k^{2}{\frac {A^{3}}{D^{2}}}}{\displaystyle GM_{Sole}=k^{2}{\frac {A^{3}}{D^{2}}}}, dove D{\displaystyle D}{\displaystyle D} è il giorno solare medio, pari a circa 86400 secondi.

Tradizionalmente si riportano i semiassi maggiori delle orbite dei pianeti in relazione ad A{\displaystyle A}{\displaystyle A}, e nel caso di Mercurio abbiamo a¯=aA=0.387099{\displaystyle {\bar {a}}={\frac {a}{A}}=0.387099}{\displaystyle {\bar {a}}={\frac {a}{A}}=0.387099}, e=0.205630{\displaystyle e=0.205630}{\displaystyle e=0.205630} e P=0.24085{\displaystyle P=0.24085}{\displaystyle P=0.24085} anni (misure considerate costanti a meno di una parte su 105{\displaystyle 10^{5}}{\displaystyle 10^{5}} negli ultimi anni)

Scriviamo la formula dell'avanzamento del perielio di Mercurio corretta dalla relatività generale utilizzando i precedenti simboli:

ω˙=6πk2PD2a¯(1−e2)A2c2{\displaystyle {\dot {\omega }}={\frac {6\pi k^{2}}{PD^{2}{\bar {a}}(1-e^{2})}}{\frac {A^{2}}{c^{2}}}}{\displaystyle {\dot {\omega }}={\frac {6\pi k^{2}}{PD^{2}{\bar {a}}(1-e^{2})}}{\frac {A^{2}}{c^{2}}}}

A1976=1.49597871011m{\displaystyle A_{1976}=1.495978710^{11}m}{\displaystyle A_{1976}=1.495978710^{11}m}

c1976=299792458ms−1{\displaystyle c_{1976}=299792458ms^{-1}}{\displaystyle c_{1976}=299792458ms^{-1}}

e dunque ω˙=42.98{\displaystyle {\dot {\omega }}=42.98}{\displaystyle {\dot {\omega }}=42.98}arc s su 100 anni.[3]

## Dal 1919 ad oggi

Dal 1919 ad oggi si registra molta confusione sul valore della precessione del perielio dell'orbita di Mercurio, poiché durante tutto il '900 sia A{\displaystyle A}{\displaystyle A} che la velocità della luce c{\displaystyle c}{\displaystyle c} sono state misurate con sempre maggiore precisione, influenzando il valore della precessione, e conseguentemente articoli e libri di testo[3].
Per avere la completa corrispondenza fra previsione e misura sperimentale bisogna arrivare alla fine degli anni '70, quando è stato anche escluso un significativo contributo alla precessione da parte della asfericità del Sole.

## Note

## Bibliografia

- Baum Richard and Sheehan William, In Search of Planet Vulcan: The Ghost in Newton's Clockwork Universe. Plenum Trade, New York. 1997.
- Callahan James J., The Geometry of Spacetime: An Introduction to Special and General Relativity. Springer, New York. 1991.
- Freundlich Erwin, The Foundations of Einstein's Theory of Gravitation. Translated from German by Henry L. Brose. Cambridge University Press, Cambridge. 1920.
- Price Michael P., Rush William F., Non relativistic contribution to Mercury's perihelion. American Journal of Physics 47(6). 531-534. June 1979.
- Lorents H. A., Einstein A., Minkowski H., Weyl H., The principle of relativity: a collection of original memoirs on the special and general theory of relativity. contained ”The foundation of general relativity,” by A. Einstein. Dover, New York. 1952.
- Roseveare N. T., Mercury's Perihelion from Leverriere to Einstein. Caledon Press, Oxford. 1982.
- Stephani Hans, General Relativity: An introduction to the theory of the gravitational field. Cambridge University Press, Cambridge. 1996.

## Collegamenti esterni

- (PT) Precessão do periélio de Mercúrio, su plato.if.usp.br. URL consultato il 24 giugno 2017(archiviato dall'url originale il 23 settembre 2017).
- (EN) Kevin Brown, Anomalous Precessions, su Reflections on Relativity. URL consultato il 14 giugno 2014.
- (EN) Chris Pollock, Mercury’s Perihelion (PDF), su math.toronto.edu, marzo 2003. URL consultato il 14 giugno 2014.

Categorie nascoste:

## Menu di navigazione

### Strumenti personali

### Namespace

italiano

### Visite

Altro

### Ricerca

### Navigazione

### Comunità

### Strumenti

### Stampa/esporta

### In altri progetti

### In altre lingue