Teoria delle stringhe - Wikipedia
La teoria descrive come le stringhe si propagano nello spazio e nel tempo e come interagiscono tra loro. A scale di distanza maggiori della sua lunghezza, la ...
quantità di moto
Un'altra relazione tra diverse teorie delle stringhe è la T-dualità, in cui si considerano le stringhe che si propagano intorno ad una dimensione circolare extra. La T-dualità afferma che una stringa che si propaga intorno ad un cerchio di raggio R è equivalente ad una stringa che si propaga intorno ad un cerchio di raggio 1/ R nel senso che tutte le quantità osservabili in una descrizione sono identificate con le quantità nella descrizione duale. Per esempio, una stringa ha una <anchor>quantità di moto</anchor> mentre si propaga intorno a un cerchio, e può anche avvolgersi intorno al cerchio una o più volte. Il numero di volte che la stringa si avvolge intorno a un cerchio è chiamato numero di avvolgimenti. Se una stringa ha quantità di moto p e numero di avvolgimenti n in una descrizione, avrà quantità di moto n e numero di avvolgimenti p nella descrizione duale. Per esempio, la teoria delle stringhe di tipo IIA è equivalente alla teoria delle stringhe di tipo IIB attraverso la T-dualità, e anche le due versioni della teoria delle stringhe eterotiche sono correlate dalla T-dualità.[27]
Quantità di moto - Wikipedia
# Quantità di moto

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

 Nel biliardo la quantità di moto di una palla viene trasmessa alle altre tramite collisione.

Talvolta il vettore quantità di moto viene denominato momento lineare, per distinguerlo dal momento angolare. Tuttavia, a rigore questa quantità non rappresenta il momento di alcun vettore[2].
Generalmente viene indicato con la lettera p o con la lettera q.

Nella formulazione della meccanica lagrangiana è possibile scegliere un sistema di coordinate che unisce simmetrie e vincoli. In questa formulazione la grandezza conservata è la quantità di moto generalizzata che in generale è diversa dalla quantità di moto definita prima.
Il concetto di momento generalizzato viene importato in meccanica quantistica, in cui diviene un operatore che agisce sulla funzione d'onda. Gli operatori quantità di moto e posizione sono legati tra loro dal principio di indeterminazione di Heisenberg.

Nei mezzi continui come sono i campi elettromagnetici, la dinamica dei fluidi e i corpi deformabili "Plasticità (fisica)")
si definisce la densità di quantità di moto. La formulazione nel continuo della legge di conservazione della quantità di moto diviene una equazione differenziale e, ad esempio, per i fluidi si ha
l' equazione di Navier–Stokes.

## Indice

## Definizione

Un punto materiale di massa "Massa (fisica)")m{\displaystyle m}{\displaystyle m} che si sposta con velocitàv{\displaystyle \mathbf {v} }{\displaystyle \mathbf {v} } ha una quantità di moto p{\displaystyle \mathbf {p} }{\displaystyle \mathbf {p} } pari al prodotto della sua massa per la sua velocità:

p=mv{\displaystyle \mathbf {p} =m\mathbf {\mathbf {v} } }{\displaystyle \mathbf {p} =m\mathbf {\mathbf {v} } }

Il vettore risultante ha, quindi, modulo pari al prodotto di massa per il modulo del vettore velocità e direzione e verso del vettore velocità.

L'unità di misura si ricava dall'analisi dimensionale: [M][V]=[M][L][T]{\displaystyle [M][V]=[M]{\frac {[L]}{[T]}}}{\displaystyle [M][V]=[M]{\frac {[L]}{[T]}}} dunque si misura in kg⋅ms{\displaystyle {\text{kg}}\cdot {\frac {\text{m}}{\text{s}}}}{\displaystyle {\text{kg}}\cdot {\frac {\text{m}}{\text{s}}}}

e pertanto quantifica la forza necessaria per fermare l'oggetto in un'unità di tempo, risultando quindi utile quando vengono trattati urti e reazioni.

Nel caso di un sistema di n punti materiali, la quantità di moto del sistema è data dalla somma vettoriale#Somma_di_due_vettori "Vettore (matematica)") delle singole quantità di moto dei vari punti:

p=∑i=1npi{\displaystyle \mathbf {p} =\sum _{i=1}^{n}\mathbf {p} _{i}}{\displaystyle \mathbf {p} =\sum _{i=1}^{n}\mathbf {p} _{i}}

Nel caso di un corpo rigido di massa totale m{\displaystyle m}{\displaystyle m} che si sposta con velocità del centro di massavCM{\displaystyle \mathbf {v} _{CM}}{\displaystyle \mathbf {v} _{CM}}, la quantità di moto è:

p=mvCM{\displaystyle \mathbf {p} =m\mathbf {v} _{CM}}{\displaystyle \mathbf {p} =m\mathbf {v} _{CM}}

Un'utile relazione tra il modulo della quantità di moto p{\displaystyle p}{\displaystyle p} e l' energia cineticaEk=12mv2{\displaystyle E_{k}={\frac {1}{2}}mv^{2}}{\displaystyle E_{k}={\frac {1}{2}}mv^{2}} di un punto materiale è data dalla seguente equazione:

Ek=p22m|p|=2mEk{\displaystyle E_{k}={\frac {p^{2}}{2m}}\qquad |{p}|={\sqrt {2mE_{k}}}}{\displaystyle E_{k}={\frac {p^{2}}{2m}}\qquad |{p}|={\sqrt {2mE_{k}}}}

La dimostrazione è immediata, sostituendo nell'espressione di Ek{\displaystyle E_{k}}{\displaystyle E_{k}} quella di p{\displaystyle p}{\displaystyle p}.

L'importanza della quantità di moto è espressa dal secondo principio della dinamica, dal quale si evince che la forza applicata ad un punto materiale è pari alla derivata della quantità di moto del punto stesso rispetto al tempo.

Infatti, supponendo la massa costante:

F=dpdt=mdvdt=ma{\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}=m{\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}=m\mathbf {a} }{\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}=m{\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}=m\mathbf {a} }

## Impulso

Lo stesso argomento in dettaglio: Impulso (fisica) "Impulso (fisica)").

Viene definito impulso la variazione della quantità di moto di un corpo che viene sottoposto ad un urto con un altro corpo. In altre parole, è l'effettiva quantità di moto trasmessa al corpo urtato al momento dell'urto. Le quantità di moto iniziale e finale, utili per calcolare l'impulso, consistono nel prodotto della massa del corpo per la velocità finale e per la velocità iniziale. Dunque, per calcolare l'impulso, in genere si usa misurare massa e velocità del corpo prima del contatto e trarre i dati iniziali e ripetere l'operazione dopo il contatto. Sfruttando la seconda legge della dinamica di Newton e la legge della cinematica di un moto rettilineo uniforme, si ha che:

F=dpdt{\displaystyle \mathbf {F} ={\mathrm {d} \mathbf {p} \over {\mathrm {d} t}}}{\displaystyle \mathbf {F} ={\mathrm {d} \mathbf {p}  \over {\mathrm {d} t}}}

Integrando rispetto al tempo entrambi i membri, si ottiene l'impulso:

Δp=∫t1t2Fdt{\displaystyle \Delta \mathbf {p} =\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {F} \,\mathrm {d} t}{\displaystyle \Delta \mathbf {p} =\int {t{1}}^{t_{2}}\mathbf {F} ,\mathrm {d} t}

## Quantità di moto nella fisica moderna

### Quantità di moto in meccanica relativistica

Nella meccanica relativistica, la quantità di moto è definita come:

p=γm0v{\displaystyle \mathbf {p} =\gamma m_{0}\mathbf {v} }{\displaystyle \mathbf {p} =\gamma m_{0}\mathbf {v} }

dove m0{\displaystyle m_{0}}{\displaystyle m_{0}} è la massa a riposo del corpo in movimento, v{\displaystyle \mathbf {v} }{\displaystyle \mathbf {v} } è la velocità totale relativa tra l'oggetto e l'osservatore e:

γ=11−β2=11−v2c2{\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}{\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}

è il fattore di Lorentz, con c{\displaystyle c}{\displaystyle c}velocità della luce. Come si nota la quantità di moto relativistica tende alla quantità di moto classica: mv{\displaystyle m\mathbf {v} }{\displaystyle m\mathbf {v} } a velocità basse (β→0{\displaystyle \beta \to 0}{\displaystyle \beta \to 0}).

#### Quadrimpulso

V=(Ec,px,py,pz){\displaystyle V=\left({\frac {E}{c}},p_{x},p_{y},p_{z}\right)}{\displaystyle V=\left({\frac {E}{c}},p_{x},p_{y},p_{z}\right)}

dove px{\displaystyle p_{x}}{\displaystyle p_{x}} è la componente x della quantità di moto relativisitica e E{\displaystyle E}{\displaystyle E} è l'energia totale del sistema:

E=γm0c2{\displaystyle E=\gamma m_{0}c^{2}}{\displaystyle E=\gamma m_{0}c^{2}}.

V2=p⋅p=E2c2−px2−py2−pz2{\displaystyle V^{2}=p\cdot p={\frac {E^{2}}{c^{2}}}-p_{x}^{2}-p_{y}^{2}-p_{z}^{2}}{\displaystyle V^{2}=p\cdot p={\frac {E^{2}}{c^{2}}}-p_{x}^{2}-p_{y}^{2}-p_{z}^{2}}

questa quantità è un invariante relativistico, cioè sotto trasformazioni di Lorentz.

### Quantità di moto di un oggetto senza massa

Particelle senza massa come il fotone trasportano una quantità di moto. La formula è:

p=Ec=hλ{\displaystyle \mathbf {p} ={\frac {E}{c}}={\frac {h}{\lambda }}}{\displaystyle \mathbf {p} ={\frac {E}{c}}={\frac {h}{\lambda }}}

dove E{\displaystyle E}{\displaystyle E} è l' energia che trasporta il fotone, c{\displaystyle c}{\displaystyle c} è la velocità della luce, h{\displaystyle h}{\displaystyle h} è la costante di Planck e λ{\displaystyle \lambda }{\displaystyle \lambda } è la lunghezza d'onda del fotone.

### Quantità di moto in meccanica quantistica

In meccanica quantistica, la quantità di moto è definita come un operatore "Operatore (fisica)") sulle funzioni d'onda. Il principio di indeterminazione di Heisenberg definisce un limite su quanto accuratamente la quantità di moto e la posizione di un singolo sistema osservabile possono essere osservate insieme. In meccanica quantistica, la posizione e la quantità di moto sono variabili coniugate.

Per una singola particella senza carica elettrica e senza spin, l'operatore quantità di moto può essere scritto nella base della posizione come

p=ℏi∇=−iℏ∇{\displaystyle \mathbf {p} ={\hbar \over i}\nabla =-i\hbar \nabla }{\displaystyle \mathbf {p} ={\hbar  \over i}\nabla =-i\hbar \nabla }

dove ∇{\displaystyle \nabla }{\displaystyle \nabla } è l'operatore nabla.

## Note

## Bibliografia

- (EN) David Halliday&action=edit&redlink=1 "David Halliday (fisico) (la pagina non esiste)"), Robert Resnick, Fundamentals of Physics, John Wiley & Sons, 1960-2007, pp. Chapter 9.
- René Dugas, A history of mechanics, Translated into English by J.R. Maddox, Dover, New York, Dover Publications, 1988, ISBN 978-0-486-65632-8.
- (EN) Richard P. Feynman, Robert B. Leighton e Matthew Sands, The Feynman lectures on physics, Volume 1: Mainly Mechanics, Radiation, and Heat, Definitive, San Francisco, Calif., Pearson Addison-Wesley, 2005, ISBN 978-0-8053-9046-9.
- (EN) Richard P. Feynman, Robert B. Leighton e Matthew Sands, The Feynman lectures on physics, Volume III: Quantum Mechanics, Definitive, New York, BasicBooks, 2005, ISBN 978-0-8053-9049-0.
- (EN) Herbert Goldstein, Classical mechanics, 2d, Reading, Mass., Addison-Wesley Pub. Co., 1980, ISBN 0-201-02918-9.
- (EN) Louis N. Hand e Janet D. Finch, Analytical Mechanics, Cambridge University Press, 1998, pp. Chapter 4.
- (EN) John David Jackson, Classical electrodynamics, 2d, New York, Wiley, 1975, ISBN 0-471-43132-X.
- (EN) L.D. Landau, E.M. Lifshitz, The classical theory of fields, 4th rev. English edition, reprinted with corrections; translated from the Russian by Morton Hamermesh, Oxford, Butterworth Heinemann, 2000, ISBN 978-0-7506-2768-9.
- (EN) Wolfgang Rindler, Essential Relativity : Special, general and cosmological, Rev. 2., New York u.a., Springer, 1986, ISBN 0-387-10090-3.
- (EN) Serway, Raymond & Jewett, John, Physics for Scientists and Engineers (6 ed.), Brooks Cole, 2003, ISBN 0-534-40842-7.
- (EN) Stenger, Victor J., Timeless Reality: Symmetry, Simplicity, and Multiple Universes, Prometheus Books, 2000, ISBN 978-1-57392-859-5. Chpt. 12 in particular.
- (EN) Tipler, Paul, Physics for Scientists and Engineers: Vol. 1: Mechanics, Oscillations and Waves, Thermodynamics (4th ed.), W. H. Freeman, 1998, ISBN 1-57259-492-6.
- (EN) D.J. Tritton, Physical fluid dynamics, 2nd., Oxford, Claredon Press, 2006, p. 58, ISBN 0-19-854493-6.

## Voci correlate

## Altri progetti

Altri progetti

## Collegamenti esterni

 Portale Meccanica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di meccanica

Categorie nascoste:

## Menu di navigazione

### Strumenti personali

### Namespace

italiano

### Visite

Altro

### Ricerca

### Navigazione

### Comunità

### Strumenti

### Stampa/esporta

### In altri progetti

### In altre lingue