Ogólna teoria względności – Wikipedia, wolna encyklopedia
Ogólna teoria względności (OTW) – teoria ciążenia autorstwa Alberta Einsteina, ogłoszona w 1915 roku. Jest to współczesny paradygmat opisu grawitacji ...
prędkość
Podstawową ideą teorii względności jest to, że nie możemy mówić o wielkościach fizycznych takich jak <anchor>prędkość</anchor> czy przyspieszenie, nie określając wcześniej układu odniesienia, oraz że układ odniesienia definiuje się poprzez wybór pewnego punktu w czasoprzestrzeni, z którym jest on związany. Oznacza to, że wszelki ruch określa się i mierzy względem innych określonych układów odniesienia. W ramach tej teorii, inaczej niż w szczególnej teorii względności, która podawała opis ruchu w inercjalnych (nieprzyspieszających) układach odniesienia, opis ruchu prowadzony jest w dowolnych układach odniesienia, inercjalnych lub nieinercjalnych. Podstawowym założeniem jest takie sformułowanie praw fizycznych i opisu ruchu, aby miały one identyczną postać matematyczną bez względu na używany do opisu układ odniesienia, stąd konieczność zastosowania rachunku tensorowego. Jednym z postulatów ogólnej teorii względności jest zasada równoważności, mówiąca, że nie można (lokalnie) rozróżnić spadku swobodnego w polu grawitacyjnym od ruchu w układzie inercjalnym. Z postulatu tego wynika, że masa bezwładna i grawitacyjna są sobie równoważne. Dokładniej równość mas: grawitacyjnej i bezwładnej określana jest mianem słabej zasady równoważności (WEP), natomiast pełna zasada równoważności Einsteina głosi, że wynik dowolnego, lokalnego doświadczenia niegrawitacyjnego jest niezależny od prędkości swobodnie spadającego układu odniesienia i jest zgodny z przewidywaniami STW (tzw. lokalna niezmienniczość lorentzowska) i wynik ten jest niezależny od miejsca i czasu (tzw. lokalna niezmienniczość na położenie). W badaniach wykazano, że ogólna teoria względności jest sprzeczna z zasadą Macha.
Prędkość – Wikipedia, wolna encyklopedia
Menu główne

Menu główne

przypnijukryj

Nawigacja

Dla czytelników

Dla wikipedystów

Szukaj

Wygląd

Narzędzia osobiste

## Spis treści

przypnijukryj

Przełącz stan spisu treści

# Prędkość

130 języków

polski

Narzędzia

Narzędzia

przypnijukryj

Działania

Ogólne

Drukuj lub eksportuj

W innych projektach

Wygląd

przypnijukryj

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii

Ten artykuł dotyczy definicji prędkości w kinematyce punktu materialnego . Zobacz też: inne znaczenia "Prędkość (ujednoznacznienie)").

Prędkość

Rodzaj wielkości

Symbol

v→,{\displaystyle {\vec {v}},}{\displaystyle {\vec {v}},}v,{\displaystyle \mathbf {v} ,}{\displaystyle \mathbf {v} ,}v{\displaystyle v}{\displaystyle v}

ms{\displaystyle \mathrm {\frac {m}{s}} }{\displaystyle \mathrm {\frac {m}{s}} }

Inne jednostki

LT{\displaystyle \mathrm {\frac {L}{T}} }{\displaystyle \mathrm {\frac {L}{T}} }

Prędkość może określać:

## Definicje prędkości

### Prędkość w ruchu prostoliniowym

Dla ruchu wzdłuż prostej prędkość definiuje się jako pochodną przesunięcia po czasie[1], czyli granicę przyrostów przesunięcia do przyrostu czasu w jakim nastąpił ten przyrost, dla nieskończenie małego przyrostu czasu:

v=dxdt=limΔt→0ΔxΔt.{\displaystyle v={\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\Delta x}{\Delta t}}.}{\displaystyle v={\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\Delta x}{\Delta t}}.}

Prędkość ta zwana jest prędkością chwilową, w przeciwieństwie do prędkości średniej wyznaczonej dla dłuższego odcinka.

### Prędkość wektorowa

 Zmiana wektora położenia i tor ruchu Zależności między wielkościami kinematycznymi

Prędkość wektorowa średnia określana jest jako iloraz zmiany wektora położenia do czasu, w jakim ta zmiana nastąpiła, co można określić wzorem[2]:

Δr→=r→B−r→A,{\displaystyle \Delta {\vec {r}}={\vec {r}}_{B}-{\vec {r}}_{A},}{\displaystyle \Delta {\vec {r}}={\vec {r}}{B}-{\vec {r}}{A},}v→s=Δr→Δt.{\displaystyle {\vec {v}}_{s}={\frac {\Delta {\vec {r}}}{\Delta t}}.}{\displaystyle {\vec {v}}_{s}={\frac {\Delta {\vec {r}}}{\Delta t}}.}

Wynikającą z tego zmianę położenia określa wzór:

Δr→=v→s⋅Δt.{\displaystyle \Delta {\vec {r}}={\vec {v}}_{s}\cdot \Delta t.}{\displaystyle \Delta {\vec {r}}={\vec {v}}_{s}\cdot \Delta t.}

Gdy odstęp czasu, w którym wyznacza się prędkość średnią, zmniejsza się, iloraz wektora zmiany położenia do czasu, w którym ta zmiana nastąpiła, dąży do pewnego wektora granicznego zwanego prędkością ciała w danym punkcie lub prędkością chwilową. Definicję tę można wyrazić wzorem[2]:

v→=limΔt→0Δr→Δt=drdt.{\displaystyle {\vec {v}}=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\Delta {\vec {r}}}{\Delta t}}={\frac {d{\boldsymbol {r}}}{dt}}.}{\displaystyle {\vec {v}}=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\Delta {\vec {r}}}{\Delta t}}={\frac {d{\boldsymbol {r}}}{dt}}.}

Prędkość jest pochodną wektora położenia względem czasu i jest wielkością wektorową, może być rozłożona na składowe, mające kierunek osi współrzędnych, podobnie wektor elementarnej zmiany położenia może być rozłożony na współrzędne[2]

v→=v→x+v→y+v→z=dx→dt+dy→dt+dz→dt.{\displaystyle {\vec {v}}={\vec {v}}_{x}+{\vec {v}}_{y}+{\vec {v}}_{z}={\frac {d{\vec {x}}}{dt}}+{\frac {d{\vec {y}}}{dt}}+{\frac {d{\vec {z}}}{dt}}.}{\displaystyle {\vec {v}}={\vec {v}}{x}+{\vec {v}}{y}+{\vec {v}}_{z}={\frac {d{\vec {x}}}{dt}}+{\frac {d{\vec {y}}}{dt}}+{\frac {d{\vec {z}}}{dt}}.}

Wektor prędkości chwilowej jest równoległy do wektora zmiany położenia, przez co wektor prędkości chwilowej jest styczny do toru ruchu ciała[2].

### Prędkość jako wielkość niewektorowa

W wielu przypadkach prędkość rozumiana jest jako stosunek drogi "Droga (fizyka)") do czasu jej przebycia. Tak jest rozumiana intuicyjnie, a także w wielu problemach fizycznych[2]

vs=ΔsΔt.{\displaystyle v_{s}={\frac {\Delta s}{\Delta t}}.}{\displaystyle v_{s}={\frac {\Delta s}{\Delta t}}.}

Przy czym droga s{\displaystyle s}{\displaystyle s} jest rozumiana jako długość odcinka krzywej (toru), po której porusza się ciało, od punktu początkowego do końcowego ruchu. Jeżeli prędkość zmienia się, to droga jest równa sumie małych odcinków drogi, na których uznaje się, że prędkość jest stała i jest określana jako prędkość chwilowa[3]:

v=limΔt→0ΔsΔt=dsdt.{\displaystyle v=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\Delta s}{\Delta t}}={\frac {ds}{dt}}.}{\displaystyle v=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\Delta s}{\Delta t}}={\frac {ds}{dt}}.}

Droga przebyta w niewielkim odcinku czasu, w którym prędkość nie zmienia się, jest proporcjonalna do prędkości i czasu. Droga przebyta gdy zmienia się prędkość może być obliczona jako suma, a w granicy jako całka, dróg na odcinkach, na których prędkość nie zmienia się:

S=∫t0t1ds(t).{\displaystyle S=\int \limits _{t_{0}}^{t_{1}}\;ds(t).}{\displaystyle S=\int \limits {t{0}}^{t_{1}};ds(t).}

Stąd też prędkość średnia:

vs=St2−t1=∫t0t1ds(t)t1−t0.{\displaystyle v_{s}={\frac {S}{t_{2}-t_{1}}}={\frac {\int \limits _{t_{0}}^{t_{1}}\;ds(t)}{t_{1}-t_{0}}}.}{\displaystyle v_{s}={\frac {S}{t_{2}-t_{1}}}={\frac {\int \limits {t{0}}^{t_{1}};ds(t)}{t_{1}-t_{0}}}.}

Prędkość chwilowa niewektorowa jest równa modułowi (wartości) prędkości chwilowej wektorowej[3]

v=|v→|.{\displaystyle v=|{\vec {v}}|.}{\displaystyle v=|{\vec {v}}|.}

Średnia prędkość niewektorowa jest większa lub równa modułowi średniej prędkości wektorowej. Równość zachodzi tylko wtedy, gdy tor jest prostoliniowy

vs=st⩾|v→s|.{\displaystyle v_{s}={\frac {s}{t}}\geqslant |{\vec {v}}_{s}|.}{\displaystyle v_{s}={\frac {s}{t}}\geqslant |{\vec {v}}_{s}|.}

## Prędkość w różnych układach współrzędnych

### Układ współrzędnych kartezjańskich

W układzie współrzędnych kartezjańskich trzy składowe prędkości (w przestrzeni) albo dwie (na płaszczyźnie) wyrażone są takimi samymi wzorami jak prędkości w ruchu prostoliniowym, przy czym drogą jest w tym przypadku współrzędna danej osi:

vx=dxdtvy=dydtvz=dzdt.{\displaystyle v_{x}={\frac {dx}{dt}}\qquad v_{y}={\frac {dy}{dt}}\qquad v_{z}={\frac {dz}{dt}}.}{\displaystyle v_{x}={\frac {dx}{dt}}\qquad v_{y}={\frac {dy}{dt}}\qquad v_{z}={\frac {dz}{dt}}.}

Prędkość można zapisać jako współrzędne wektora

v→=[vx,vy,vz]{\displaystyle {\vec {v}}=[v_{x},v_{y},v_{z}]}{\displaystyle {\vec {v}}=[v_{x},v_{y},v_{z}]}

lub z użyciem wersorów osi

v→=vx⋅i→x+vy⋅i→y+vz⋅i→z.{\displaystyle {\vec {v}}=v_{x}\cdot {\vec {i}}_{x}+v_{y}\cdot {\vec {i}}_{y}+v_{z}\cdot {\vec {i}}_{z}.}{\displaystyle {\vec {v}}=v_{x}\cdot {\vec {i}}{x}+v{y}\cdot {\vec {i}}{y}+v{z}\cdot {\vec {i}}_{z}.}

Wartość prędkości dana jest wzorem:

v=vx2+vy2+vz2.{\displaystyle v={\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}}.}{\displaystyle v={\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}}.}

### Układ współrzędnych biegunowych

Układ współrzędnych biegunowych na płaszczyźnie są dwie współrzędne, promień wodzący (r){\displaystyle (r)}{\displaystyle (r)} i amplituda punktu (φ),{\displaystyle (\varphi ),}{\displaystyle (\varphi ),} będąca kątem między wybranym kierunkiem a danym.

W układzie tym prędkość można określić poprzez transformację do kartezjańskiego układu współrzędnych o początku będącym początkiem układu biegunowego i zorientowanego względem zerowej amplitudy albo przez wyznaczenie kartezjańskiego układu współrzędnych o kierunku zgodnym z promieniem wodzącym. Transformacje określają wzory[4]:

- prędkość radialna – prędkość zmiany długości promienia wodzącego

vr=drdt,{\displaystyle v_{r}={\frac {dr}{dt}},}{\displaystyle v_{r}={\frac {dr}{dt}},}

- prędkość transwersalna – prędkość zmiany położenia w kierunku prostopadłym do promienia wodzącego

vφ=rdφdt,{\displaystyle v_{\varphi }=r{\frac {d\varphi }{dt}},}{\displaystyle v_{\varphi }=r{\frac {d\varphi }{dt}},}

ω=dφdt,{\displaystyle \omega ={\frac {d\varphi }{dt}},}{\displaystyle \omega ={\frac {d\varphi }{dt}},}vφ=rω,{\displaystyle v_{\varphi }=r\omega ,}{\displaystyle v_{\varphi }=r\omega ,}

gdzie φ{\displaystyle \varphi }{\displaystyle \varphi } jest kątem mierzonym od ustalonego kierunku.

Prędkość całkowita:

v→=vr⋅i→r+vφ⋅i→φ.{\displaystyle {\vec {v}}=v_{r}\cdot {\vec {i}}_{r}+v_{\varphi }\cdot {\vec {i}}_{\varphi }.}{\displaystyle {\vec {v}}=v_{r}\cdot {\vec {i}}{r}+v{\varphi }\cdot {\vec {i}}_{\varphi }.}

Wartość prędkości całkowitej[4]:

v=vr2+vφ2=vr2+(rω)2.{\displaystyle v={\sqrt {v_{r}^{2}+v_{\varphi }^{2}}}={\sqrt {v_{r}^{2}+(r\omega )^{2}}}.}{\displaystyle v={\sqrt {v_{r}^{2}+v_{\varphi }^{2}}}={\sqrt {v_{r}^{2}+(r\omega )^{2}}}.}

### Układ współrzędnych walcowych

Układ współrzędnych walcowych, jest uogólnieniem układu biegunowego na przestrzeń trójwymiarową poprzez dodanie do współrzędnych biegunowych współrzędnej w kierunku osi z. Współrzędna z jest liniowa, odpowiadająca jej składowa prędkości jest równa:

vz=dzdt.{\displaystyle v_{z}={\frac {dz}{dt}}.}{\displaystyle v_{z}={\frac {dz}{dt}}.}

Transformacja do kartezjańskich współrzędnych prędkości określa wzór:

v→=vr⋅i→r+vφ⋅i→φ+vz⋅i→z.{\displaystyle {\vec {v}}=v_{r}\cdot {\vec {i}}_{r}+v_{\varphi }\cdot {\vec {i}}_{\varphi }+v_{z}\cdot {\vec {i}}_{z}.}{\displaystyle {\vec {v}}=v_{r}\cdot {\vec {i}}{r}+v{\varphi }\cdot {\vec {i}}{\varphi }+v{z}\cdot {\vec {i}}_{z}.}

Wartość prędkości:

v=vr2+vφ2+vz2.{\displaystyle v={\sqrt {v_{r}^{2}+v_{\varphi }^{2}+v_{z}^{2}}}.}{\displaystyle v={\sqrt {v_{r}^{2}+v_{\varphi }^{2}+v_{z}^{2}}}.}

### Układ współrzędnych sferycznych

W układzie współrzędnych sferycznych położenie w przestrzeni opisane jest przez współrzędne: promień wodzący, długość azymutalna i odległość zenitalna (r,ϕ,θ).{\displaystyle (r,\phi ,\theta ).}{\displaystyle (r,\phi ,\theta ).} Wprowadzając układ kartezjański o kierunkach osi zgodnych ze zmianami współrzędnych sferycznych, transformacja współrzędnych prędkości wyraża się wzorami:

vr=drdt,{\displaystyle v_{r}={\frac {dr}{dt}},}{\displaystyle v_{r}={\frac {dr}{dt}},}vφ=rdφdt,{\displaystyle v_{\varphi }=r{\frac {d\varphi }{dt}},}{\displaystyle v_{\varphi }=r{\frac {d\varphi }{dt}},}vθ=rsin⁡φ⋅dθdt,{\displaystyle v_{\theta }=r\sin \varphi \cdot {\frac {d\theta }{dt}},}{\displaystyle v_{\theta }=r\sin \varphi \cdot {\frac {d\theta }{dt}},}

gdzie:

φ{\displaystyle \varphi }{\displaystyle \varphi } jest kątem mierzonym od ustalonego kierunku, np. od osi (OZ),θ{\displaystyle \theta }{\displaystyle \theta } jest kątem, jaki tworzy rzut wektora wodzącego z ustalonym kierunkiem na płaszczyźnie prostopadłej do kierunku pierwszej osi (OZ). Tym kierunkiem może być oś OX.

Współrzędne prędkości w wyżej opisanym kartezjańskim układzie współrzędnych:

v→=vr⋅i→r+vφ⋅i→φ+vθ⋅i→θ.{\displaystyle {\vec {v}}=v_{r}\cdot {\vec {i}}_{r}+v_{\varphi }\cdot {\vec {i}}_{\varphi }+v_{\theta }\cdot {\vec {i}}_{\theta }.}{\displaystyle {\vec {v}}=v_{r}\cdot {\vec {i}}{r}+v{\varphi }\cdot {\vec {i}}{\varphi }+v{\theta }\cdot {\vec {i}}_{\theta }.}

Moduł (wartość) prędkości:

v=vr2+vφ2+vθ2.{\displaystyle v={\sqrt {v_{r}^{2}+v_{\varphi }^{2}+v_{\theta }^{2}}}.}{\displaystyle v={\sqrt {v_{r}^{2}+v_{\varphi }^{2}+v_{\theta }^{2}}}.}

### Dowolne współrzędne krzywoliniowe

Z definicji prędkość v{\displaystyle \mathbf {v} }{\displaystyle \mathbf {v} } jest równa pochodnej promienia wodzącego r{\displaystyle \mathbf {r} }{\displaystyle \mathbf {r} } względem czasu: v=r˙.{\displaystyle \mathbf {v} ={\dot {\mathbf {r} }}.}{\displaystyle \mathbf {v} ={\dot {\mathbf {r} }}.} Aby wyrazić prędkość we współrzędnych krzywoliniowych, obliczamy tę pochodną według reguły różniczkowania funkcji złożonej, mając na uwadze, że promień wodzący r{\displaystyle \mathbf {r} }{\displaystyle \mathbf {r} } poruszającego się punktu można uważać za funkcję współrzędnych krzywoliniowych q1,q2,q3{\displaystyle q_{1},q_{2},q_{3}}{\displaystyle q_{1},q_{2},q_{3}} tego punktu, które z kolei są pewnymi funkcjami czasu t[5]:

r=r(q1,q2,q3),q1=q1(t),q2=q2(t),q3=q3(t).{\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} (q_{1},q_{2},q_{3}),\quad q_{1}=q_{1}(t),\quad q_{2}=q_{2}(t),\quad q_{3}=q_{3}(t).}{\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} (q_{1},q_{2},q_{3}),\quad q_{1}=q_{1}(t),\quad q_{2}=q_{2}(t),\quad q_{3}=q_{3}(t).}

(1)

Stąd

v=drdt=∂r∂q1q˙1+∂r∂q2q˙2+∂r∂q3q˙3{\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {d\mathbf {r} }{dt}}={\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{1}}}{\dot {q}}_{1}+{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{2}}}{\dot {q}}_{2}+{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{3}}}{\dot {q}}_{3}}{\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {d\mathbf {r} }{dt}}={\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{1}}}{\dot {q}}{1}+{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q{2}}}{\dot {q}}{2}+{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q{3}}}{\dot {q}}_{3}}

(2)

oraz

v2=∑σ,ρ=13∂r∂qσ∂r∂qρq˙σq˙ρ,{\displaystyle v^{2}=\sum _{\sigma ,\,\rho =1}^{3}{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{\sigma }}}{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{\rho }}}{\dot {q}}_{\sigma }{\dot {q}}_{\rho },}{\displaystyle v^{2}=\sum {\sigma ,,\rho =1}^{3}{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q{\sigma }}}{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{\rho }}}{\dot {q}}{\sigma }{\dot {q}}{\rho },}

(3)

gdzie wskaźniki σ{\displaystyle \sigma }{\displaystyle \sigma } i ρ{\displaystyle \rho }{\displaystyle \rho } przebiegają niezależnie od siebie wszystkie wartości od 1 do 3. W przypadku układu ortogonalnego jest[5]

∂r∂qσ∂r∂qρ=0{\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{\sigma }}}{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{\rho }}}=0}{\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{\sigma }}}{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{\rho }}}=0} dla qσ≠qρ{\displaystyle q_{\sigma }\neq q_{\rho }}{\displaystyle q_{\sigma }\neq q_{\rho }}

i dzięki temu

v2=∑σ=13(∂r∂qσ)2q˙σ2.{\displaystyle v^{2}=\sum _{\sigma =1}^{3}\left({\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{\sigma }}}\right)^{2}{\dot {q}}_{\sigma }^{2}.}{\displaystyle v^{2}=\sum {\sigma =1}^{3}\left({\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q{\sigma }}}\right)^{2}{\dot {q}}_{\sigma }^{2}.}

(4)

Jeżeli promień wodzący r{\displaystyle \mathbf {r} }{\displaystyle \mathbf {r} } przedstawiony jest jako funkcja zmiennych x,y,z,{\displaystyle x,\,y,\,z,}{\displaystyle x,,y,,z,} to wzory na prędkość v2{\displaystyle v^{2}}{\displaystyle v^{2}} przybiorą postać[5]

v2=∑σ,ρ=13(∂x∂qσ∂x∂qρ+∂y∂qσ∂y∂qρ+∂z∂qσ∂z∂qρ)q˙σq˙ρ,{\displaystyle v^{2}=\sum _{\sigma ,\,\rho =1}^{3}\left({\frac {\partial x}{\partial q_{\sigma }}}{\frac {\partial x}{\partial q_{\rho }}}+{\frac {\partial y}{\partial q_{\sigma }}}{\frac {\partial y}{\partial q_{\rho }}}+{\frac {\partial z}{\partial q_{\sigma }}}{\frac {\partial z}{\partial q_{\rho }}}\right){\dot {q}}_{\sigma }{\dot {q}}_{\rho },}{\displaystyle v^{2}=\sum {\sigma ,,\rho =1}^{3}\left({\frac {\partial x}{\partial q{\sigma }}}{\frac {\partial x}{\partial q_{\rho }}}+{\frac {\partial y}{\partial q_{\sigma }}}{\frac {\partial y}{\partial q_{\rho }}}+{\frac {\partial z}{\partial q_{\sigma }}}{\frac {\partial z}{\partial q_{\rho }}}\right){\dot {q}}{\sigma }{\dot {q}}{\rho },}

(5)

v2=∑σ=13[(∂x∂qσ)2+(∂y∂qσ)2+(∂z∂qσ)2]q˙σ2.{\displaystyle v^{2}=\sum _{\sigma =1}^{3}\left[\left({\frac {\partial x}{\partial q_{\sigma }}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial y}{\partial q_{\sigma }}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial z}{\partial q_{\sigma }}}\right)^{2}\right]{\dot {q}}_{\sigma }^{2}.}{\displaystyle v^{2}=\sum {\sigma =1}^{3}\left[\left({\frac {\partial x}{\partial q{\sigma }}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial y}{\partial q_{\sigma }}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial z}{\partial q_{\sigma }}}\right)^{2}\right]{\dot {q}}_{\sigma }^{2}.}

(6)

Definicja wersorów: e1,e2,e3{\displaystyle \mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}}{\displaystyle \mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}} osi q1,q2,q3{\displaystyle q_{1},q_{2},q_{3}}{\displaystyle q_{1},q_{2},q_{3}} wzorem

∂r∂qσ=|∂r∂qσ|eσ,σ=1,2,3.{\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{\sigma }}}=\left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{\sigma }}}\right|\mathbf {e} _{\sigma },\quad \sigma =1,2,3.}{\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{\sigma }}}=\left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{\sigma }}}\right|\mathbf {e} _{\sigma },\quad \sigma =1,2,3.}

(7)

Prędkość można teraz zapisać w postaci

v=∑σ=13|∂r∂qσ|q˙σeσ,{\displaystyle \mathbf {v} =\sum _{\sigma =1}^{3}\left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{\sigma }}}\right|{\dot {q}}_{\sigma }\mathbf {e} _{\sigma },}{\displaystyle \mathbf {v} =\sum {\sigma =1}^{3}\left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q{\sigma }}}\right|{\dot {q}}_{\sigma }\mathbf {e} _{\sigma },}

(8)

w której |∂r/∂qσ|q˙σ{\displaystyle |\partial \mathbf {r} /\partial q_{\sigma }|{\dot {q}}_{\sigma }}{\displaystyle |\partial \mathbf {r} /\partial q_{\sigma }|{\dot {q}}_{\sigma }} jest składową prędkości v{\displaystyle \mathbf {v} }{\displaystyle \mathbf {v} } wzdłuż osi qσ.{\displaystyle q_{\sigma }.}{\displaystyle q_{\sigma }.}

Prostopadły rzut prędkości v{\displaystyle \mathbf {v} }{\displaystyle \mathbf {v} } na oś qσ{\displaystyle q_{\sigma }}{\displaystyle q_{\sigma }} jest równy

vqσort=veσ=v∂r/∂qσ|∂r/∂qσ|.{\displaystyle v_{q_{\sigma }}^{ort}=\mathbf {v} \mathbf {e} _{\sigma }=\mathbf {v} {\frac {\partial \mathbf {r} /\partial q_{\sigma }}{|\partial \mathbf {r} /\partial q_{\sigma }|}}.}{\displaystyle v_{q_{\sigma }}^{ort}=\mathbf {v} \mathbf {e} {\sigma }=\mathbf {v} {\frac {\partial \mathbf {r} /\partial q{\sigma }}{|\partial \mathbf {r} /\partial q_{\sigma }|}}.}

(8)

Ze wzoru (3) wynika równość

∂r∂qσ=∂v∂q˙σ,{\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{\sigma }}}={\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial {\dot {q}}_{\sigma }}},}{\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{\sigma }}}={\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial {\dot {q}}_{\sigma }}},}

skąd wynika, że

v∂r∂qσ=v∂v∂q˙σ=∂(v2/2)∂q˙σ.{\displaystyle \mathbf {v} {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{\sigma }}}=\mathbf {v} {\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial {\dot {q}}_{\sigma }}}={\frac {\partial (v^{2}/2)}{\partial {\dot {q}}_{\sigma }}}.}{\displaystyle \mathbf {v} {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{\sigma }}}=\mathbf {v} {\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial {\dot {q}}{\sigma }}}={\frac {\partial (v^{2}/2)}{\partial {\dot {q}}{\sigma }}}.}

Rzut prostopadły prędkości określa wzór[5]

vqσort=∂(v2/2)∂q˙σ|∂r/∂qσ|,σ=1,2,3.{\displaystyle v_{q_{\sigma }}^{ort}={\frac {\frac {\partial (v^{2}/2)}{\partial {\dot {q}}_{\sigma }}}{|\partial \mathbf {r} /\partial q_{\sigma }|}},\quad \sigma =1,2,3.}{\displaystyle v_{q_{\sigma }}^{ort}={\frac {\frac {\partial (v^{2}/2)}{\partial {\dot {q}}{\sigma }}}{|\partial \mathbf {r} /\partial q{\sigma }|}},\quad \sigma =1,2,3.}

(9)

## Związek z przyspieszeniem

 Graficzna interpretacja zależności drogi i przyspieszenia od prędkości na wykresie prędkości od czasu.

a=dvdt{\displaystyle {\boldsymbol {a}}={\frac {d{\boldsymbol {v}}}{dt}}}{\displaystyle {\boldsymbol {a}}={\frac {d{\boldsymbol {v}}}{dt}}}

Z zależności tej wynika wyrażenie na prędkość w zależności od przyspieszenia:

v=v0+∫adt{\displaystyle {\boldsymbol {v}}={\boldsymbol {v_{0}}}+\int {\boldsymbol {a}}\ dt}{\displaystyle {\boldsymbol {v}}={\boldsymbol {v_{0}}}+\int {\boldsymbol {a}}\ dt}

W ruchu prostoliniowym:

v=v0+∫t0t1a(t)dt{\displaystyle v=v_{0}+\int \limits _{t_{0}}^{t_{1}}a(t)dt}{\displaystyle v=v_{0}+\int \limits {t{0}}^{t_{1}}a(t)dt}

Na wykresie zależności prędkości od czasu chwilowe przyspieszenie ciała w danym momencie jest równe nachyleniu linii stycznej do krzywej w tym punkcie.

## Prędkość kątowa

W ruchach krzywoliniowych definiowana jest prędkość kątowa

ω=dφdt,{\displaystyle \omega ={\frac {d\varphi }{dt}},}{\displaystyle \omega ={\frac {d\varphi }{dt}},}

gdzie φ{\displaystyle \varphi }{\displaystyle \varphi } jest kątem obrotu wokół pewnej osi ustalonej osi. Traktując φ{\displaystyle \varphi }{\displaystyle \varphi } jako kąt skierowany, można przypisać prędkości kątowej kierunek osi obrotu i zwrot zgodny z regułą śruby prawoskrętnej

ω→=dφ→dt.{\displaystyle {\vec {\omega }}={\frac {d{\vec {\varphi }}}{dt}}.}{\displaystyle {\vec {\omega }}={\frac {d{\vec {\varphi }}}{dt}}.}

Tak zdefiniowana prędkość kątowa jest pseudowektorem. Pomiędzy prędkością kątową a prędkością transwersalną zachodzi następujący związek

v→φ=ω→×r→.{\displaystyle {\vec {v}}_{\varphi }={\vec {\omega }}\times {\vec {r}}.}{\displaystyle {\vec {v}}_{\varphi }={\vec {\omega }}\times {\vec {r}}.}

## Przykłady prędkości w różnych rodzajach ruchów

Zmiany prędkości są podstawą klasyfikacji ruchów w fizyce.

### Prędkość liniowa w ruchu jednostajnym prostoliniowym

Prędkość w ruchu jednostajnym prostoliniowym jest stała (zarówno jej kierunek i wartość). Przyjmuje się odtąd, że do położenia ciała wystarczy jedna współrzędna x.{\displaystyle x.}{\displaystyle x.} Każdy ruch prostoliniowy można przez odpowiednie obroty układu współrzędnych, sprowadzić do przypadku jednowymiarowego. Prędkość w ruchu jednostajnym prostoliniowym określa więc następująca zależność:

v→=Δr→Δt=x(T)−x(0)Ti→x,{\displaystyle {\vec {v}}={\frac {\Delta {\vec {r}}}{\Delta t}}={\frac {x(T)-x(0)}{T}}{\vec {i}}_{x},}{\displaystyle {\vec {v}}={\frac {\Delta {\vec {r}}}{\Delta t}}={\frac {x(T)-x(0)}{T}}{\vec {i}}_{x},}|v→|=x(T)−x(0)T=ST=const,{\displaystyle |{\vec {v}}|={\frac {x(T)-x(0)}{T}}={\frac {S}{T}}={\textrm {const}},}{\displaystyle |{\vec {v}}|={\frac {x(T)-x(0)}{T}}={\frac {S}{T}}={\textrm {const}},}

gdzie:

r→(t){\displaystyle {\vec {r}}(t)}{\displaystyle {\vec {r}}(t)} – wektor położenia jako funkcja czasu t,{\displaystyle t,}{\displaystyle t,}S{\displaystyle S}{\displaystyle S} – przebyta droga "Droga (fizyka)"),T{\displaystyle T}{\displaystyle T} – czas trwania ruchu,x(t){\displaystyle x(t)}{\displaystyle x(t)} – funkcja położenia (skalar) od czasu.

### Prędkość liniowa w ruchu jednostajnie przyspieszonym

Przyspieszeniea→{\displaystyle {\vec {a}}}{\displaystyle {\vec {a}}} jest stałe i niezerowe, więc prędkość v→{\displaystyle {\vec {v}}}{\displaystyle {\vec {v}}} zmienia się. W ruchu tym także można ograniczyć się do rozpatrywania jednej współrzędnej.

a→=Δv→Δt→Δv→=a→Δt,{\displaystyle {\vec {a}}={\frac {\Delta {\vec {v}}}{\Delta t}}\quad \to \quad \Delta {\vec {v}}={\vec {a}}\Delta t,}{\displaystyle {\vec {a}}={\frac {\Delta {\vec {v}}}{\Delta t}}\quad \to \quad \Delta {\vec {v}}={\vec {a}}\Delta t,}v→(T)−v→(0)=a→T→v→(T)=v→(0)+a→T,{\displaystyle {\vec {v}}(T)-{\vec {v}}(0)={\vec {a}}T\quad \to \quad {\vec {v}}(T)={\vec {v}}(0)+{\vec {a}}T,}{\displaystyle {\vec {v}}(T)-{\vec {v}}(0)={\vec {a}}T\quad \to \quad {\vec {v}}(T)={\vec {v}}(0)+{\vec {a}}T,}

gdzie:

T{\displaystyle T}{\displaystyle T} – całkowity czas ruchu,v→(t){\displaystyle {\vec {v}}(t)}{\displaystyle {\vec {v}}(t)} – wektor prędkości jako funkcja czasu.

Czasem (zazwyczaj z powodów dydaktycznych) wyróżnia się specjalny przypadek ruchu jednostajnie przyspieszonego prostoliniowego – ruch jednostajnie opóźniony prostoliniowy. W ruchu tym wektor przyspieszenia a→{\displaystyle {\vec {a}}}{\displaystyle {\vec {a}}} jest stały i skierowany przeciwnie do wektora prędkości v→(t).{\displaystyle {\vec {v}}(t).}{\displaystyle {\vec {v}}(t).}

### Ruch jednostajny po okręgu (prędkość kątowa)

W tym ruchu wektor prędkości kątowejω→{\displaystyle {\vec {\omega }}}{\displaystyle {\vec {\omega }}} jest stały i jego wartość wyraża się wzorem:

ω=Δϕt.{\displaystyle \omega ={\frac {\Delta \phi }{t}}.}{\displaystyle \omega ={\frac {\Delta \phi }{t}}.}

Prędkość w ruchu po okręgu też jest stała i wiąże się z prędkością kątową wzorem

v=ωr.{\displaystyle v=\omega r.}{\displaystyle v=\omega r.}

Znajomość prędkości kątowej umożliwia zapisanie równań ruchu po okręgu we współrzędnych kartezjańskich

x(t)=rcos⁡ωt,{\displaystyle x(t)=r\cos \omega t,}{\displaystyle x(t)=r\cos \omega t,}y(t)=rsin⁡ωt.{\displaystyle y(t)=r\sin \omega t.}{\displaystyle y(t)=r\sin \omega t.}

## Zobacz też

## Przypisy

## Bibliografia

pojęcia

podstawowe

prędkości

inne

przykłady

pojęcia

powiązane

obszary

działy

formalizmy

dynamiczne

rodzaje ruchu "Ruch (fizyka)")

inne pojęcia



Ukryta kategoria: