Ogólna teoria względności – Wikipedia, wolna encyklopedia
OTW Einsteina. Podstawową ideą teorii względności jest to, że nie możemy mówić o wielkościach fizycznych takich jak prędkość czy przyspieszenie, nie określając ...
geodezyjnymi
OTW mówi, że z daną dokładnością można definiować jedynie lokalne układy odniesienia, dla skończonych przedziałów czasu i ograniczonych obszarów w przestrzeni. Jest to analogia z rysowaniem map fragmentów powierzchni Ziemi – nie można sporządzić mapy obejmującej całą powierzchnię Ziemi bez deformacji. Zasady dynamiki Newtona są w ogólnej teorii względności zachowane w lokalnych układach odniesienia. W szczególności cząstki, na które nie działa żadna siła, poruszają się po liniach prostych w lokalnych inercjalnych układach odniesienia. Jednak jeżeli linie te się przedłuży, to nie otrzymujemy linii prostych, lecz krzywe zwane <anchor>geodezyjnymi</anchor>. Dlatego też pierwsza zasada dynamiki Newtona zostaje zastąpiona przez zasadę poruszania się po geodezyjnej.
Linia geodezyjna – Wikipedia, wolna encyklopedia
Menu główne

Menu główne

przypnijukryj

Nawigacja

Dla czytelników

Dla wikipedystów

Szukaj

Wygląd

Narzędzia osobiste

## Spis treści

przypnijukryj

Przełącz stan spisu treści

# Linia geodezyjna

42 języki

polski

Narzędzia

Narzędzia

przypnijukryj

Działania

Ogólne

Drukuj lub eksportuj

W innych projektach

Wygląd

przypnijukryj

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii

Ten artykuł od 2018-03 wymaga zweryfikowania podanych informacji.

Część lub nawet wszystkie informacje w artykule mogą być nieprawdziwe. Jako pozbawione źródeł mogą zostać zakwestionowane i usunięte.

Dokładniejsze informacje o tym, co należy poprawić, być może znajdują się w dyskusji tego artykułu.

Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tego artykułu.

Linia geodezyjna (krótko nazywana geodezyjną) – krzywa w przestrzeni metrycznej (ściślej: w G-przestrzeni), stanowiąca najkrótszą drogę pomiędzy dwoma punktami dostatecznie bliskimi[a]. W sposób równoważny linie geodezyjne definiuje się jako krzywe o zerowej krzywiznie geodezyjnej. Dla przestrzeni euklidesowej geodezyjne są zwykłymi prostymi[1].

## Geodezyjne na rozmaitościach riemannowskich

### Krzywizna

Należy odróżnić trzy różne pojęcia krzywizny tutaj używane:

1. Krzywizna (zewnętrzna) rozmaitości – jest to krzywizna rozmaitości obliczona z punktu widzenia przestrzeni, w której rozmaitość jest zanurzona "Zanurzenie (matematyka)"). Np. krzywizna sfery zanurzonej w przestrzeni euklidesowej.
2. Krzywizna geodezyjna krzywej leżącej w rozmaitości, rozpatrywana z punktu widzenia geometrii wewnętrznej, tj. obowiązującej na tej rozmaitości (zwykle jest to geometria nieeuklidesowa). Np. koła wielkie sfery (jak równik czy południki) mają zerową krzywiznę geodezyjną.
3. Krzywizna (zewnętrzna) krzywej leżącej w rozmaitości, ale rozpatrywana z punktu widzenia przestrzeni w której rozmaitość jest zanurzona. Np. koła wielkie sfery mają niezerową krzywiznę w przestrzeni euklidesowej, w której sfera jest zanurzona.

### Własności linii geodezyjnych

W ogólnym przypadku rozmaitości riemannowskich własności geometryczne mogące zmieniać się nawet przy niewielkim przemieszczeniu z jednego punktu do innego. Linia geodezyjna jest zdefiniowana jako krzywa dla której krzywizna geodezyjna w każdym jej punkcie jest równa zeru.

Dowodzi się, że ze wszystkich krzywych leżących na rozmaitości topologicznej i mających wspólną styczną w danym punkcie rozmaitości, krzywa geodezyjna ma najmniejszą krzywiznę (w sensie 3).

W przypadku rozmaitości o niezerowej krzywiźnie (w sensie 1), geodezyjne są z punktu widzenia geometrii euklidesowej krzywymi niebędącymi prostymi (mają niezerową krzywiznę w sensie 3), np. na sferze są to okręgi kół wielkich. Na powierzchni bocznej walca "Walec (bryła)") geodezyjnymi są linie śrubowe oraz (szczególne przypadki) proste i okręgi.

## Czasoprzestrzeń

(2) Punkt x{\displaystyle x}{\displaystyle x} czasoprzestrzeni jest czterowektorem mającym 4 współrzędne:

- czasową x0=ct{\displaystyle x^{0}=c\,t}{\displaystyle x^{0}=c,t} (gdzie c{\displaystyle c}{\displaystyle c} – prędkość światła, t{\displaystyle t}{\displaystyle t} – czas)
- współrzędne przestrzenne x1,x2,x3,{\displaystyle x^{1},x^{2},x^{3},}{\displaystyle x^{1},x^{2},x^{3},}

czyli x=(x0,x1,x2,x3).{\displaystyle x=(x^{0},x^{1},x^{2},x^{3}).}{\displaystyle x=(x^{0},x^{1},x^{2},x^{3}).}

W skrócie współrzędne punktu oznacza się symbolem xμ,{\displaystyle x^{\mu },}{\displaystyle x^{\mu },} gdzie domyślnie μ=0,1,2{\displaystyle \mu =0,1,2}{\displaystyle \mu =0,1,2} lub 3.{\displaystyle 3.}{\displaystyle 3.}

(3) W zapisie równań OTW można wybrać dowolny układ współrzędnych, dlatego symbole x1,x2,x3{\displaystyle x^{1},x^{2},x^{3}}{\displaystyle x^{1},x^{2},x^{3}} mają różne znaczenie w zależności od tego wyboru. Np.

- w układzie kartezjańskim x1=x,x2=y,x3=z,{\displaystyle x^{1}=x,x^{2}=y,x^{3}=z,}{\displaystyle x^{1}=x,x^{2}=y,x^{3}=z,}
- w układzie sferycznym x1=r,x2=ϕ,x3=θ.{\displaystyle x^{1}=r,x^{2}=\phi ,x^{3}=\theta .}{\displaystyle x^{1}=r,x^{2}=\phi ,x^{3}=\theta .}

(4) Dowolną linię można zapisać w postaci układu równań parametrycznych xμ(s),{\displaystyle x^{\mu }(s),}{\displaystyle x^{\mu }(s),} gdzie s{\displaystyle s}{\displaystyle s} jest parametrem. Rolę parametru może pełnić np. czas t.{\displaystyle t.}{\displaystyle t.} Np. równania:

x0(t)=ct,{\displaystyle x^{0}(t)=c\,t,}{\displaystyle x^{0}(t)=c,t,}x1(t)=v1t,{\displaystyle x^{1}(t)=v^{1}\,t,}{\displaystyle x^{1}(t)=v^{1},t,}x2(t)=v2t,{\displaystyle x^{2}(t)=v^{2}\,t,}{\displaystyle x^{2}(t)=v^{2},t,}x3(t)=v3t,{\displaystyle x^{3}(t)=v^{3}\,t,}{\displaystyle x^{3}(t)=v^{3},t,}

opisują ruch wzdłuż prostej w czasoprzestrzeni z prędkością

v=(v1,v2,v3).{\displaystyle v=(v^{1},v^{2},v^{3}).}{\displaystyle v=(v^{1},v^{2},v^{3}).}

## Geodezyjne w czasoprzestrzeni

### Równanie geodezyjnej

Linie geodezyjne xλ(s){\displaystyle x^{\lambda }(s)}{\displaystyle x^{\lambda }(s)} łączące dwa punkty czasoprzestrzeni xA{\displaystyle x_{A}}{\displaystyle x_{A}} oraz xB{\displaystyle x_{B}}{\displaystyle x_{B}} w czasoprzestrzeni spełniają 4 równania różniczkowe:

d2xλds2+Γμνλdxμdsdxνds=0,{\displaystyle {\frac {d^{2}x^{\lambda }}{ds^{2}}}+\Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }{\frac {dx^{\mu }}{ds}}{\frac {dx^{\nu }}{ds}}=0,\quad {}}{\displaystyle {\frac {d^{2}x^{\lambda }}{ds^{2}}}+\Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }{\frac {dx^{\mu }}{ds}}{\frac {dx^{\nu }}{ds}}=0,\quad {}}λ=0,1,2,3{\displaystyle \lambda =0,1,2,3}{\displaystyle \lambda =0,1,2,3}

gdzie:

- Γμνλ{\displaystyle \Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }}{\displaystyle \Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }} – symbole Christoffela: Γμνλ=12gλρ(∂μgρν+∂νgρμ−∂ρgμν).{\displaystyle \Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }={\frac {1}{2}}g^{\lambda \rho }(\partial _{\mu }g_{\rho \nu }+\partial _{\nu }g_{\rho \mu }-\partial _{\rho }g_{\mu \nu }).}{\displaystyle \Gamma {\mu \nu }^{\lambda }={\frac {1}{2}}g^{\lambda \rho }(\partial _{\mu }g{\rho \nu }+\partial {\nu }g{\rho \mu }-\partial {\rho }g{\mu \nu }).}

### Wyprowadzenie równania

Równanie geodezyjnej można wyprowadzić kilkoma sposobami, np. z warunku, by krzywa nadawała wartość ekstremalną funkcjonałowi

S[x(s)]=−mc∫xAxBds=−mc∫xAxBgμνdxμdsdxνds,{\displaystyle S[x(s)]=-mc\int _{x_{A}}^{x_{B}}\!\!ds=-mc\int _{x_{A}}^{x_{B}}\!\!{\sqrt {g_{\mu \nu }{\frac {dx^{\mu }}{ds}}{\frac {dx^{\nu }}{ds}}}},}{\displaystyle S[x(s)]=-mc\int {x{A}}^{x_{B}}!!ds=-mc\int {x{A}}^{x_{B}}!!{\sqrt {g_{\mu \nu }{\frac {dx^{\mu }}{ds}}{\frac {dx^{\nu }}{ds}}}},}

tzn. żąda się, by spośród wszystkich krzywych, łączących dane punkty czasoprzestrzeni długość krzywej ∫xAxBds{\displaystyle \int _{x_{A}}^{x_{B}}\!\!ds}{\displaystyle \int {x{A}}^{x_{B}}!!ds} była ekstremalna (co dla punktów odpowiednio blisko leżących oznacza minimum).

Powyższy układ równań ma jednoznaczne rozwiązanie dla danego punktu startowego xλ(s=s1){\displaystyle x^{\lambda }(s=s_{1})}{\displaystyle x^{\lambda }(s=s_{1})} oraz prędkości początkowej x˙λ(s=s1){\displaystyle {\dot {x}}^{\lambda }(s=s_{1})}{\displaystyle {\dot {x}}^{\lambda }(s=s_{1})} w tym punkcie.

### Ruch po geodezyjnych jako ruch swobodny z czasoprzestrzeni

Z punktu widzenia mechaniki geodezyjne można traktować jako krzywe, po których poruszają się ciała w rozmaitości, nie poddane działaniu sił. Równanie geodezyjnej oznacza bowiem, że wektor przyspieszenia krzywej nie ma składowych w kierunkach stycznych do powierzchni – i dlatego wektor ten jest prostopadły do płaszczyzny stycznej do powierzchni w każdym punkcie krzywej. Dlatego ruch jest całkowicie określony przez zakrzywienie powierzchni. Ogólna Teoria Względności zakłada, że ciała poruszają się po geodezyjnych czasoprzestrzeni, przy czym jej zakrzywienie jest przejawem grawitacji.

## Przykład: Czasoprzestrzeń płaska

gμν=diag(1,−1,−1,−1).{\displaystyle g_{\mu \nu }={\mbox{diag}}(1,-1,-1,-1).}{\displaystyle g_{\mu \nu }={\mbox{diag}}(1,-1,-1,-1).}

Ogólne równanie linii geodezyjnej redukuje się tu do postaci

d2xλds2=0,{\displaystyle {\frac {d^{2}x^{\lambda }}{ds^{2}}}=0,}{\displaystyle {\frac {d^{2}x^{\lambda }}{ds^{2}}}=0,}

co oznacza, że przyspieszenie ciała jest zerowe. Rozwiązanie tego równania przedstawia prostą euklidesową. Wynika stąd, że w płaskiej przestrzeni ciała, na które nie działają żadne siły, poruszają się po prostej euklidesowej.

## Przykład: Sfera – obliczenia tensora metrycznego

Na 2{\displaystyle 2}{\displaystyle 2}-wymiarowej sferze S2{\displaystyle S^{2}}{\displaystyle S^{2}} o równaniu (y1)2+(y2)2+(y3)2=r2{\displaystyle (y^{1})^{2}+(y^{2})^{2}+(y^{3})^{2}=r^{2}}{\displaystyle (y^{1})^{2}+(y^{2})^{2}+(y^{3})^{2}=r^{2}} (gdzie y1,y2,y3{\displaystyle y^{1},y^{2},y^{3}}{\displaystyle y^{1},y^{2},y^{3}} oznaczają współrzędne kartezjańskie), wygodnie jest wprowadzić współrzędne sferycznex1=θ,{\displaystyle x^{1}=\theta ,}{\displaystyle x^{1}=\theta ,}x2=ϕ,{\displaystyle x^{2}=\phi ,}{\displaystyle x^{2}=\phi ,} tak że zachodzą związki:

y1=rsin⁡(θ)sin⁡(ϕ),{\displaystyle y^{1}=r\sin(\theta )\sin(\phi ),}{\displaystyle y^{1}=r\sin(\theta )\sin(\phi ),}y2=rsin⁡(θ)cos⁡(ϕ),{\displaystyle y^{2}=r\sin(\theta )\cos(\phi ),}{\displaystyle y^{2}=r\sin(\theta )\cos(\phi ),}y3=rcos⁡(θ).{\displaystyle y^{3}=r\cos(\theta ).}{\displaystyle y^{3}=r\cos(\theta ).}

Element długości wyraża się przez różniczki:

ds2=(dy1)2+(dy2)2+(dy3)2.{\displaystyle ds^{2}=(dy^{1})^{2}+(dy^{2})^{2}+(dy^{3})^{2}.}{\displaystyle ds^{2}=(dy^{1})^{2}+(dy^{2})^{2}+(dy^{3})^{2}.}

Obliczając różniczki dy1,dy2,dy3{\displaystyle dy^{1},dy^{2},dy^{3}}{\displaystyle dy^{1},dy^{2},dy^{3}} otrzymamy (przy tym przy obliczeniach zakładamy, że współrzędna r{\displaystyle r}{\displaystyle r} jest wielkością stałą, równą promieniowi sfery):

dy1=rcos⁡(θ)dθsin⁡(ϕ)+rsin⁡(θ)cos⁡(ϕ)dϕ,{\displaystyle dy^{1}=r\cos(\theta )d\theta \sin(\phi )+r\sin(\theta )\cos(\phi )d\phi ,}{\displaystyle dy^{1}=r\cos(\theta )d\theta \sin(\phi )+r\sin(\theta )\cos(\phi )d\phi ,}dy2=rcos⁡(θ)dθcos⁡(ϕ)−rsin⁡(θ)sin⁡(ϕ)dϕ,{\displaystyle dy^{2}=r\cos(\theta )d\theta \cos(\phi )-r\sin(\theta )\sin(\phi )d\phi ,}{\displaystyle dy^{2}=r\cos(\theta )d\theta \cos(\phi )-r\sin(\theta )\sin(\phi )d\phi ,}dy3=−rsin⁡(θ)dθ.{\displaystyle dy^{3}=-r\sin(\theta )d\theta .}{\displaystyle dy^{3}=-r\sin(\theta )d\theta .}

Dokonując podstawienia tych różniczek do wzoru na ds2{\displaystyle ds^{2}}{\displaystyle ds^{2}} otrzyma się:

ds2=r2dθ2+r2sin2⁡(θ)dϕ2.{\displaystyle ds^{2}=r^{2}d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )d\phi ^{2}.}{\displaystyle ds^{2}=r^{2}d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )d\phi ^{2}.}

Porównując powyższy wynik z postacią różniczki odległości we współrzędnych krzywoliniowych

ds2=gi,jdxidxj,{\displaystyle ds^{2}=g_{i,j}dx^{i}dx^{j},}{\displaystyle ds^{2}=g_{i,j}dx^{i}dx^{j},}

gdzie gi,j{\displaystyle g_{i,j}}{\displaystyle g_{i,j}} – współczynniki tensora metrycznego otrzyma się g1,1=r2,{\displaystyle g_{1,1}=r^{2},}{\displaystyle g_{1,1}=r^{2},}g1,2=0,{\displaystyle g_{1,2}=0,}{\displaystyle g_{1,2}=0,}g2,1=0,{\displaystyle g_{2,1}=0,}{\displaystyle g_{2,1}=0,}g1,1=r2sin2θ,{\displaystyle g_{1,1}=r^{2}sin^{2}\theta ,}{\displaystyle g_{1,1}=r^{2}sin^{2}\theta ,} czyli tensor metryczny zapisany w postaci tablicy ma postać:

gi,j=(r200r2sin2⁡θ).{\displaystyle g_{i,j}={\begin{pmatrix}r^{2}&0\\0&r^{2}\sin ^{2}\theta \end{pmatrix}}.}{\displaystyle g_{i,j}={\begin{pmatrix}r^{2}&0\0&r^{2}\sin ^{2}\theta \end{pmatrix}}.}

Aby dostać równanie różniczkowe geodezyjnej należy obliczyć wszystkie symbole Christoffela i wstawić je do ogólnego równania. Równanie linii geodezyjnej daje fragmenty okręgów kół wielkich.

## Czasoprzestrzeń wokół masywnego ciała

W czasoprzestrzeni zakrzywionej przez ciało sferycznie symetryczne tensor metryczny – zapisany w układzie współrzędnych sferycznych – ma postać

gμν=(eν(r)0000−eλ(r)0000−r20000−r2sin2⁡(θ)).{\displaystyle g_{\mu \nu }={\begin{pmatrix}e^{\nu (r)}&0&0&0\\0&-e^{\lambda (r)}&0&0\\0&0&-r^{2}&0\\0&0&0&-r^{2}\sin ^{2}(\theta )\end{pmatrix}}.}{\displaystyle g_{\mu \nu }={\begin{pmatrix}e^{\nu (r)}&0&0&0\0&-e^{\lambda (r)}&0&0\0&0&-r^{2}&0\0&0&0&-r^{2}\sin ^{2}(\theta )\end{pmatrix}}.}

Elementy tensora gμν{\displaystyle g_{\mu \nu }}{\displaystyle g_{\mu \nu }} nie zależą od współrzędnej ϕ.{\displaystyle \phi .}{\displaystyle \phi .}

Z metryki tej oblicza się symbole Christoffela. Np. otrzymamy

Γ001=12dνdreν−λ.{\displaystyle \Gamma _{00}^{1}={\frac {1}{2}}{\frac {d\nu }{dr}}e^{\nu -\lambda }.}{\displaystyle \Gamma _{00}^{1}={\frac {1}{2}}{\frac {d\nu }{dr}}e^{\nu -\lambda }.}

Element g00{\displaystyle g_{00}}{\displaystyle g_{00}} tensora w rozpatrywanym polu wokół ciała wyraża się przez potencjał grawitacyjny φ(r):{\displaystyle \varphi (r){:}}{\displaystyle \varphi (r){:}}

g00=eν(r)=1+2φ(r)c2,{\displaystyle g_{00}=e^{\nu (r)}=1+{\frac {2\varphi (r)}{c^{2}}},}{\displaystyle g_{00}=e^{\nu (r)}=1+{\frac {2\varphi (r)}{c^{2}}},}

φ(r)=−GMr,{\displaystyle \varphi (r)=-G{\frac {M}{r}},}{\displaystyle \varphi (r)=-G{\frac {M}{r}},}

gdzie G{\displaystyle G}{\displaystyle G} – uniwersalna stała grawitacyjna, M{\displaystyle M}{\displaystyle M} – masa czarnej dziury.

Interwał czasoprzestrzenny ds{\displaystyle ds}{\displaystyle ds} definiuje czas własnyds=cdτ.{\displaystyle ds=cd\tau .}{\displaystyle ds=cd\tau .}

W przybliżeniu nierelatywistycznym, gdy prędkości ciała są niewielkie, wtedy dτ=dt{\displaystyle d\tau =dt}{\displaystyle d\tau =dt} i równanie linii geodezyjnej daje równanie Newtona, gdy pomnożymy równanie linii geodezyjnej przez (dowolną) masę ciała. Otrzymujemy równanie Newtona cząstki w polu grawitacyjnym

md2xidt2=−m∂iφ(r).{\displaystyle m{\frac {d^{2}x^{i}}{dt^{2}}}=-m\partial _{i}\varphi (r).}{\displaystyle m{\frac {d^{2}x^{i}}{dt^{2}}}=-m\partial _{i}\varphi (r).}

W opisie ruchu ciał za pomocą wyżej przedstawionych równań ruchu przyspieszenie cząstki nie zależy od jej masy, a tylko od geometrii czasoprzestrzeni. Jest to słuszne, gdy źródło pola grawitacyjnego jest na tyle masywne, że ruch innych ciał nie wpływa na zmianę położenia źródła pola.

## Zobacz też

## Uwagi

1. ↑Nie musi zawierać najkrótszej drogi pomiędzy dowolnymi dwoma swoimi punktami. Na przykład helisa na powierzchni bocznej walca jest linią geodezyjną, ale nie zawiera najkrótszej drogi pomiędzy swoimi punktami leżącymi na jednej euklidesowej prostej równoległej do osi walca.

## Przypisy

1. ↑Geodezyjna, [w:] _Encyklopedia PWN "Encyklopedia PWN (internetowa)")_ [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-07-30].

## Bibliografia

- E. Kącki, L. Siewierski, Wybrane działy matematyki wyższej z ćwiczeniami, Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1975.
- G.A. Korn, T.M. Korn, Matematyka dla pracowników naukowych i inżynierów, cz. 2, PWN, Warszawa 1983.
- L.D. Landau, J.M. Lifszyc, Teoria pola, PWN, Warszawa 2009.

## Linki zewnętrzne

Podstawowe koncepcje

Zjawiska

Równania

Formalizm

Rozwiązania

Uczeni



Gμν+Λgμν=8πGc4Tμν{\displaystyle G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }={\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{\mu \nu }}{\displaystyle G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }={\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{\mu \nu }}

Ukryta kategoria: