Роль микробов в окружающей среде
Микроорганизмы - Википедия
Микроорганизмы, обитающие в различных средах, участвуют в круговороте серы, железа, фосфора и других элементов, осуществляют разложение органических веществ жи ...
поверхность возрастает в квадрате, а объём и масса — в кубе
Краткое рассмотрение различных представителей микромира, занимающих определённые «этажи» размеров, показывает, что, как правило, величина объектов определённо связана с их структурной сложностью. Нижний предел размеров свободноживущего одноклеточного организма определяется пространством, требуемым для упаковки внутри клетки аппарата, необходимого для независимого существования. Ограничение верхнего предела размеров микроорганизмов определяется наличием ресурсов и прочими условиями среды, включая паразитов и хищников, а также системой внутриклеточного транспорта веществ от мембраны. По аналогии с насекомыми не имеющими системы кровообращения, что ограничивает их рост, как соотношение между поверхностью и объёмом – вес: при увеличении линейных размеров <anchor>поверхность возрастает в квадрате, а объём и масса — в кубе</anchor>, притом они тяжелеют быстрее прироста силы мышц и прочности тканей (в воде с этим проще).
Закон квадрата — куба — Википедия
# Закон квадрата — куба

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Закон квадрата "Квадрат (алгебра)") — куба "Куб (алгебра)") представляет собой следующий принцип:

если объект пропорционально (то есть с помощью преобразования подобия) увеличивается (уменьшается) в размере, его новый объём будет пропорционален кубу масштабирующего коэффициента, а новая площадь его поверхности — пропорциональна квадрату:

V2=V1(ℓ2ℓ1)3,A2=A1(ℓ2ℓ1)2,{\displaystyle V_{2}=V_{1}\left({\frac {\ell _{2}}{\ell _{1}}}\right)^{3},\qquad A_{2}=A_{1}\left({\frac {\ell _{2}}{\ell _{1}}}\right)^{2},}{\displaystyle V_{2}=V_{1}\left({\frac {\ell {2}}{\ell _{1}}}\right)^{3},\qquad A{2}=A_{1}\left({\frac {\ell _{2}}{\ell _{1}}}\right)^{2},}

где: V1{\displaystyle V_{1}}{\displaystyle V_{1}} — объём исходного объекта, V2{\displaystyle V_{2}}{\displaystyle V_{2}} — новый объём, A1{\displaystyle A_{1}}{\displaystyle A_{1}} — площадь поверхности исходного объекта, A2{\displaystyle A_{2}}{\displaystyle A_{2}} — новая площадь поверхности, ℓ1{\displaystyle \ell _{1}}{\displaystyle \ell _{1}} — линейный размер исходного объекта, а ℓ2{\displaystyle \ell _{2}}{\displaystyle \ell _{2}} — новый линейный размер.

Например, куб с длиной стороны 1 метр имеет площадь поверхности 6 м² и объём 1 м³. Если длину стороны удвоить, площадь его поверхности увеличится в четыре раза — до 24 м², а его объём увеличится в 8 раз — до 8 м³. Этот принцип применим ко всем телам.

## Содержание

## Техника

Если физический объект увеличить в размерах при сохранении неизменной плотности материала, из которого он изготовлен, его масса увеличится пропорционально коэффициенту увеличения в третьей степени, в то время как площадь его поверхности — квадрату масштабного множителя. Это, в частности, означает, что, если сегменту поверхности увеличенного в размерах объекта, сообщить то же ускорение, что и оригиналу, на поверхность увеличившегося объекта будет действовать большее давление.

Рассмотрим простой пример — тело массой m{\displaystyle m}{\displaystyle m} имеет ускорение a{\displaystyle a}{\displaystyle a} и площадь поверхности S{\displaystyle S}{\displaystyle S}, на которую действует сила с этим ускорением. Сила, вызванная ускорением, — F=ma{\displaystyle F=ma}{\displaystyle F=ma}, а давление на поверхность — T=FS=maS.{\displaystyle T={\tfrac {F}{S}}={\tfrac {ma}{S}}.}{\displaystyle T={\tfrac {F}{S}}={\tfrac {ma}{S}}.} Теперь рассмотрим объект, размеры которого умножены на коэффициент x{\displaystyle x}{\displaystyle x} так, что его новая масса равна m′=x3⋅m{\displaystyle m'=x^{3}\cdot m}{\displaystyle m'=x^{3}\cdot m}, а поверхность, на которую действует сила, имеет новую площадь, S′=x2⋅S{\displaystyle S'=x^{2}\cdot S}{\displaystyle S'=x^{2}\cdot S}. Тогда новая сила, вызванная ускорением, равна F′=x3⋅ma,{\displaystyle F'=x^{3}\cdot ma,}{\displaystyle F'=x^{3}\cdot ma,} а результирующее давление на поверхность:

T′=F′S′=x3⋅max2⋅S==xmaS=x⋅T.{\displaystyle {\begin{aligned}T'&={\frac {F'}{S'}}={\frac {x^{3}\cdot ma}{x^{2}\cdot S}}=\&=x{\frac {ma}{S}}=x\cdot T.\\\end{aligned}}}{\displaystyle {\begin{aligned}T'&={\frac {F'}{S'}}={\frac {x^{3}\cdot ma}{x^{2}\cdot S}}=\&=x{\frac {ma}{S}}=x\cdot T.\\end{aligned}}}

Таким образом, при увеличении размеров объекта с сохранением того же самого материала, из которого состоит объект, (а значит, и плотности) и ускорения давление, производимое им на поверхность, увеличится во столько же раз. Отсюда видно, что при увеличении объекта у него снизится способность сопротивляться напряжению "Напряжение (механическое)") и его окажется легче разрушить в процессе ускорения.

Это объясняет то, почему большие транспортные средства плохо выдерживают испытания на разрушения при столкновениях и почему есть пределы высоты строительства высотных зданий. Аналогично, чем больше размер объекта, тем меньше другие объекты окажут сопротивление движению, вызывая его замедление.

## Биомеханика

Если размеры животного значительно увеличить, его мускульная сила серьёзно уменьшится, так как поперечное сечение его мускулов увеличится пропорционально квадрату коэффициента масштабирования, в то время как его масса увеличится пропорционально кубу этого коэффициента. В результате этого сердечно-сосудистые функции сильно ограничиваются. По этой причине, к примеру, насекомые могут поднимать вес, значительно превышающий свой собственный. Если летающих живых существ увеличить в размерах, их нагрузка на крылья должна возрасти, и поэтому им, чтобы сохранять ту же подъёмную силу, придётся махать с большей частотой. Это будет нелегко из-за того, что сила мускулов станет меньше. Это также объясняет, почему шмель может иметь размер тела, большой по сравнению с размахом его крыльев, тогда как для летающего животного, значительно большего, чем шмель, это было бы невозможно. Также для живых существ малых размеров велико сопротивление воздуха на единицу массы, и поэтому они не погибают, падая с любой высоты.

Кроме того, работа дыхательной системы насекомых зависит от величины поверхности тела. При увеличении объёма тела площадь его поверхности не сможет обеспечивать дыхание.

По этим причинам гигантские насекомые, пауки и другие животные, показываемые в фильмах ужасов, нереальны, поскольку такие крупные размеры вызвали бы их удушье и разрушение. Исключением являются гигантские водные животные ( глубоководный гигантизм), так как вода способна поддерживать достаточно огромные существа[1].

## Тепловые процессы

Закон квадрата — куба также примени́м к тепловым процессам: поверхность теплообмена возрастает пропорционально квадрату размера, а объём, содержащий или генерирующий теплоту, — пропорционально кубу. Следовательно, теплопотери в расчёте на единицу объёма объекта уменьшаются при увеличении его размеров и, наоборот, увеличиваются при уменьшении размеров. Поэтому, например, энергия, необходимая для обогрева или охлаждения единицы объёма склада, уменьшается с ростом размеров склада.

## В технике

Закон имеет широкое применение в технике. К примеру, он служит причиной того, что для создания самолётов вдвое большей грузоподъёмности было бы бессмысленно простое пропорциональное удвоение всех размеров его частей — запрет на прямое масштабирование наложен законом квадрата — куба.

### Электрические машины

То есть и сила тока, и напряжение (ЭДС) вырастут в a 2 раз, благодаря чему электрическая мощность (равная произведению силы тока на напряжение) вырастет в a 4 раз. При этом тепловые потери вырастут только в a 3 раз (пропорционально объёму проводников при неизменной плотности тока).

Таким образом, при увеличении размеров электрической машины пропорционально увеличивается её удельная мощность (на единицу массы) и не изменяются удельные потери теплоты (на единицу массы), а значит увеличивается КПД. В то же время усложняется теплоотвод, поскольку пропорционально растёт и удельный тепловой поток через все поверхности.

### Двигатели внутреннего сгорания

Если просто увеличить все размеры двигателя внутреннего сгорания в a раз при неизменной частоте вращения, то масса движущихся частей увеличится в a 3 раз, а ускорение, с которым они движутся, — в a раз. Следовательно, все силы инерции[ уточнить] увеличатся в a 4 раз, а, поскольку площадь трущихся поверхностей увеличится только в a 2 раз, удельная нагрузка на них увеличится в a 2 раз, что приведёт к их быстрому износу. Кроме того, в a раз увеличится скорость движения газов через клапаны, что значительно увеличит газодинамическое сопротивление и ухудшит наполнение цилиндров.

Поэтому при пропорциональном увеличении ДВС приходится пропорционально уменьшать частоту вращения (сохраняя неизменной среднюю скорость поршня). Тогда остаются неизменными удельная нагрузка на трущиеся поверхности и скорость движения газов через клапаны. Однако удельная мощность (на единицу массы) и литровая мощность при этом пропорционально уменьшаются. Разрешить такое «утяжеление» двигателя можно путём увеличения числа цилиндров, однако это усложняет его конструкцию.

### Судостроение

Приближённо можно считать, что сопротивление движению судна (при неизменной скорости) пропорционально площади поперечного сечения корпуса на миделе. Таким образом, при увеличении всех размеров судна в a раз его масса вырастет в a 3 раз, а сопротивление движению только в a 2 раз. Следовательно, в плане расхода топлива на единицу массы экономичнее более крупные суда. Кроме того, если доля запасов топлива в общей массе судна неизменна, то дальность плавания без дозаправки также увеличится в a раз.

По той же причине топливная экономичность и дальность полёта дирижаблей растут пропорционально их размерам (в отличие от самолётов, у которых эти параметры определяются в основном их аэродинамическим качеством).

Для парусного судна важна устойчивость к опрокидывающему моменту, создаваемому парусами. При увеличении всех размеров судна в a раз площадь парусов увеличится в a 2 раз, а создаваемый ими опрокидывающий момент силы в a 3 раз (поскольку ещё и плечо силы увеличится в a раз). В то же время момент, который выравнивает крен и возникает благодаря корпусу при крене, увеличится в a 4 раз (масса корпуса и вытесненной воды вырастет в a 3 раз, при этом плечо силы увеличится в a раз). Следовательно, при простом геометрическом масштабировании крупные парусные суда более остойчивы к крену, создаваемому моментом парусов. По этой причине большие парусники не нуждаются в развитых балластных килях, типичных для малых парусных яхт. С другой стороны, на более крупном судне, если конструкция сохраняется одна и та же, можно поставить паруса непропорционально большей площади и, соответственно, получить увеличение скорости.

## См. также

## Примечания

## Ссылки

Скрытые категории:

## Навигация

### Персональные инструменты

### Пространства имён

русский

### Просмотры

Ещё

### Поиск

### Навигация

### Участие

### Инструменты

### Печать/экспорт

### В других проектах

### На других языках