Решение квадратных уравнений
Квадратное уравнение - Википедия
Квадра́тное уравне́ние — алгебраическое уравнение второй степени с общим видом. a x 2 + b x + c = 0 , a ≠ 0 , {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0,\;a\neq 0,} ...
осью абсцисс
Графиком квадратичной функции является парабола. Решениями (корнями) квадратного уравнения называют абсциссы точек пересечения параболы с <anchor>осью абсцисс</anchor>. Если парабола, описываемая квадратичной функцией, не пересекается с осью абсцисс, уравнение не имеет вещественных корней. Если парабола пересекается с осью абсцисс в одной точке (в вершине параболы), уравнение имеет один вещественный корень (также говорят, что уравнение имеет два совпадающих корня). Если парабола пересекает ось абсцисс в двух точках, уравнение имеет два вещественных корня (см. изображение справа.)
Прямоугольная система координат — Википедия
# Прямоугольная система координат

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

 Прямоугольная (декартова) система координат. Четыре точки отмечены в системе координат: (2, 3) зеленого цвета, (−3, 1) красного, (−1.5, −2.5) синего, и начало координат (0, 0) пурпурного.

Прямоуго́льная (декартова) систе́ма координа́т — прямолинейная система координат с взаимно перпендикулярными координатными осями на плоскости или в пространстве. Часто используемая система координат. Просто обобщается для пространств любой размерности.

Связанные термины: декартовой обычно называют прямоугольную систему координат с одинаковыми масштабами по осям (названную так по имени Рене Декарта), а общей декартовой системой координат называют аффинную систему координат (не обязательно прямоугольную).

## Содержание

## История

Основной источник: [1]

Впервые прямоугольную систему координат ввёл в науку Рене Декарт в своей работе « Геометрия "Геометрия (Декарт)")» в 1637 году. Он первый применил понятие координат для исследования и решения многих геометрических задач. Поэтому прямоугольную систему координат обычно называют также декартова система координат (хотя современный термин прямоугольная система координат не во всём соответствует тому, что вкладывал в это понятие сам Декарт[2].

Как абсциссы, так и ординаты у Декарта были всегда величинами положительными независимо от направления соответствующих отрезков. Различие направлений на осях знаками «+» и «‒» было введено позднее его учениками.

Координатный метод описания геометрических объектов положил начало аналитической геометрии. Вклад в развитие координатного метода внес также Пьер Ферма, однако его работы, касающиеся координатного метода, были впервые опубликованы уже после его смерти[3].

Декарт и Ферма применяли координатный метод только на плоскости. Применение координатного метода в трёхмерном пространстве впервые использовали Клеро и Эйлер в XVIII веке.

## Прямоугольная система координат на плоскости

Прямоугольная система координат на плоскости образуется двумя взаимно перпендикулярными осями координат X′X{\displaystyle X'X}{\displaystyle X'X} и Y′Y{\displaystyle Y'Y}{\displaystyle Y'Y}. Оси координат пересекаются в точке O{\displaystyle O}{\displaystyle O}, которая называется началом координат, на каждой оси выбрано положительное направление.

 Рис. 1

Положение точки A{\displaystyle A}{\displaystyle A} на плоскости определяется двумя координатами x{\displaystyle x}{\displaystyle x} и y{\displaystyle y}{\displaystyle y}. Координата x{\displaystyle x}{\displaystyle x} равна длине отрезка OB{\displaystyle OB}{\displaystyle OB}, координата y{\displaystyle y}{\displaystyle y} — длине отрезка OC{\displaystyle OC}{\displaystyle OC} в выбранных единицах измерения. Отрезки OB{\displaystyle OB}{\displaystyle OB} и OC{\displaystyle OC}{\displaystyle OC} определяются линиями, проведёнными из точки A{\displaystyle A}{\displaystyle A} параллельно осям Y′Y{\displaystyle Y'Y}{\displaystyle Y'Y} и X′X{\displaystyle X'X}{\displaystyle X'X} соответственно.

При этом координате x{\displaystyle x}{\displaystyle x} приписывается знак минус, если точка B{\displaystyle B}{\displaystyle B} лежит на луче OX′{\displaystyle OX'}{\displaystyle OX'} (а не на луче OX{\displaystyle OX}{\displaystyle OX}, как на рисунке). Координате y{\displaystyle y}{\displaystyle y} приписывается знак минус, если точка C{\displaystyle C}{\displaystyle C} лежит на луче OY′{\displaystyle OY'}{\displaystyle OY'}. Таким образом,OX′{\displaystyle OX'}{\displaystyle OX'} и OY′{\displaystyle OY'}{\displaystyle OY'} являются отрицательными направлениями осей координат (каждая ось координат рассматривается как числовая ось).

Ось X′X{\displaystyle X'X}{\displaystyle X'X} называется осью абсцисс ( лат. abscissus — букв. « отрезанный, отделённый»[6]), а ось Y′Y{\displaystyle Y'Y}{\displaystyle Y'Y} — осью ординат ( лат. ordinatus — букв. « упорядоченный, установленный в определённом порядке»[6]). Координата x{\displaystyle x}{\displaystyle x} называется абсцисса точки A{\displaystyle A}{\displaystyle A}, координата y{\displaystyle y}{\displaystyle y} — ордината точки A{\displaystyle A}{\displaystyle A}.

Символически это записывают так:

A(x,y){\displaystyle A(x,\;y)}{\displaystyle A(x,;y)},

или:

A=(x,y){\displaystyle A=(x,\;y)}{\displaystyle A=(x,;y)},

или указывают принадлежность координат конкретной точке с помощью индекса:

xA,xB{\displaystyle x_{A},x_{B}}{\displaystyle x_{A},x_{B}},

и т. д.

- В правосторонней системе координат положительное направление осей выбирают так, чтобы при направлении оси Y′Y{\displaystyle Y'Y}{\displaystyle Y'Y} вверх, ось X′X{\displaystyle X'X}{\displaystyle X'X} смотрела направо. Обычно принято пользоваться правосторонними системами координат (если обратное не оговорено или не очевидно — например, из чертежа; иногда по каким-то соображениям бывает удобнее всё же пользоваться левосторонней системой координат).

- Четыре угла (I, II, III, IV), образованные осями координат X′X{\displaystyle X'X}{\displaystyle X'X} и Y′Y{\displaystyle Y'Y}{\displaystyle Y'Y}, называются координатными углами, четвертями или квадрантами <плоскости> (см. рис. 1).

  - Точки внутри координатного угла I имеют положительные абсциссы и ординаты.
  - Точки внутри координатного угла II имеют отрицательные абсциссы и положительные ординаты.
  - Точки внутри координатного угла III имеют отрицательные абсциссы и ординаты
  - Точки внутри координатного угла IV имеют положительные абсциссы и отрицательные ординаты.

## Прямоугольная система координат в пространстве

Прямоугольная система координат в пространстве (в этом параграфе имеется в виду трёхмерное пространство, о более многомерных пространствах — см. ниже) образуется тремя взаимно перпендикулярными осями координат Ox{\displaystyle O_{x}}{\displaystyle O_{x}}, Oy{\displaystyle O_{y}}{\displaystyle O_{y}} и Oz{\displaystyle O_{z}}{\displaystyle O_{z}}. Оси координат пересекаются в точке O{\displaystyle O}{\displaystyle O}, которая называется началом координат, на каждой оси выбрано положительное направление, указанное стрелками, и единица измерения отрезков на осях. Единицы измерения обычно (не обязательно[7]) одинаковы для всех осей. Ox{\displaystyle O_{x}}{\displaystyle O_{x}} — ось абсцисс, Oy{\displaystyle O_{y}}{\displaystyle O_{y}} — ось ординат, Oz{\displaystyle O_{z}}{\displaystyle O_{z}} — ось аппликат.

 Рис. 2

Положение точки A{\displaystyle A}{\displaystyle A} в пространстве определяется тремя координатами x{\displaystyle x}{\displaystyle x}, y{\displaystyle y}{\displaystyle y} и z{\displaystyle z}{\displaystyle z}. Координата x{\displaystyle x}{\displaystyle x} равна длине отрезка OB{\displaystyle OB}{\displaystyle OB}, координата y{\displaystyle y}{\displaystyle y} — длине отрезка OC{\displaystyle OC}{\displaystyle OC}, координата z{\displaystyle z}{\displaystyle z} — длине отрезка OD{\displaystyle OD}{\displaystyle OD} в выбранных единицах измерения. Отрезки OB{\displaystyle OB}{\displaystyle OB}, OC{\displaystyle OC}{\displaystyle OC} и OD{\displaystyle OD}{\displaystyle OD} определяются плоскостями, проведёнными из точки A{\displaystyle A}{\displaystyle A} параллельно плоскостям Oyz{\displaystyle O_{yz}}{\displaystyle O_{yz}}, Oxz{\displaystyle O_{xz}}{\displaystyle O_{xz}} и Oxy{\displaystyle O_{xy}}{\displaystyle O_{xy}} соответственно.

Координата x{\displaystyle x}{\displaystyle x} называется абсциссой точки A{\displaystyle A}{\displaystyle A},координата y{\displaystyle y}{\displaystyle y} — ординатой точки A{\displaystyle A}{\displaystyle A},координата z{\displaystyle z}{\displaystyle z} — аппликата ( лат. applicata — прилегающая)[8] точки A{\displaystyle A}{\displaystyle A}.

Символически это записывают так:

A(x,y,z){\displaystyle A(x,\;y,\;z)}{\displaystyle A(x,;y,;z)},

или

A=(x,y,z){\displaystyle A=(x,\;y,\;z)}{\displaystyle A=(x,;y,;z)},

или привязывают запись координат к конкретной точке с помощью индекса:

xA,yA,zA{\displaystyle x_{A},\;y_{A},\;z_{A}}{\displaystyle x_{A},;y_{A},;z_{A}},

и т. п.

Каждая ось рассматривается как числовая прямая, то есть имеет положительное направление, а точкам, лежащим на отрицательном луче приписываются отрицательные значения координаты (расстояние берется со знаком минус). То есть, если бы, например, точка B{\displaystyle B}{\displaystyle B} лежала не как на рисунке — на луче Ox{\displaystyle O_{x}}{\displaystyle O_{x}}, а на его продолжении в обратную сторону от точки O{\displaystyle O}{\displaystyle O} (на отрицательной части оси Ox{\displaystyle O_{x}}{\displaystyle O_{x}}), то абсцисса x{\displaystyle x}{\displaystyle x} точки A{\displaystyle A}{\displaystyle A} была бы отрицательной (минус расстоянию OB{\displaystyle OB}{\displaystyle OB}). Аналогично и для двух других осей.

Все прямоугольные системы координат в трехмерном пространстве делятся на два класса — правые (также используются термины положительные, стандартные) и левые. Обычно по умолчанию стараются использовать правые координатные системы, а при их графическом изображении ещё и располагают их, если можно, в одном из нескольких обычных (традиционных) положений. (На рис. 2 изображена правая координатная система). Правую и левую системы координат невозможно поворотами[9] совместить так, чтобы совпали соответствующие оси (и их направления). Определить, к какому классу относится какая-либо конкретно взятая система координат, можно, используя правило правой руки, правило винта и т. п. (положительное направление осей выбирают так, чтобы при повороте оси Ox{\displaystyle O_{x}}{\displaystyle O_{x}} против часовой стрелки на 90° её положительное направление совпало с положительным направлением оси Oy{\displaystyle O_{y}}{\displaystyle O_{y}}, если этот поворот наблюдать со стороны положительного направления оси Oz{\displaystyle O_{z}}{\displaystyle O_{z}}).

Любая из восьми областей, на которые пространство делится тремя взаимно перпендикулярными координатными плоскостями, называется октантом.

## Прямоугольная система координат в многомерном пространстве

Прямоугольная система координат может быть использована и в пространстве любой конечной размерности аналогично тому, как это делается для трехмерного пространства. Количество координатных осей при этом равно размерности пространства (в этом параграфе будем обозначать её n{\displaystyle n}{\displaystyle n}).

Для обозначения координат обычно[10] применяют не разные буквы, а одну и ту же букву с числовым индексом. Чаще всего это:

x1,x2,x3,…xn.{\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},\dots x_{n}.}{\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},\dots x_{n}.}

Для обозначения произвольной i{\displaystyle i}{\displaystyle i}-й координаты из этого набора используют буквенный индекс:

xi,{\displaystyle x_{i},}{\displaystyle x_{i},}

а нередко обозначение xi,{\displaystyle x_{i},}{\displaystyle x_{i},} используют и для обозначения всего набора, подразумевая, что индекс пробегает весь набор значений: i=1,2,3,…n{\displaystyle i=1,2,3,\dots n}{\displaystyle i=1,2,3,\dots n}.

В любой размерности пространства прямоугольные координатные системы делятся на два класса, правые и левые (или положительные и отрицательные). Для многомерных пространств какую-то одну из координатных систем произвольно (условно) называют правой, а остальные оказываются правыми или левыми в зависимости от того, той же они ориентации или нет[11].

Обобщение понятий двумерного квадранта и трёхмерного октанта для n{\displaystyle n}{\displaystyle n}-мерного евклидова пространства — ортант или гипероктант.

## Прямоугольные координаты вектора

 Рис. ??1

Для определения прямоугольных _координат вектора "Вектор (математика)")_ (применимых для представления векторов любой размерности) можно исходить из того, что координаты вектора (направленного отрезка), начало которого находится в начале координат, совпадают с координатами его конца[12].

- Таким образом, например, координаты (x,y){\displaystyle (x,y)}{\displaystyle (x,y)} на рис. 1 являются _координатами вектора_OA→{\displaystyle {\vec {OA}}}{\displaystyle {\vec {OA}}}.

Для векторов (направленных отрезков), начало которых не совпадает с началом координат, прямоугольные координаты можно определить одним из двух способов:

1. Вектор можно перенести так, чтобы его начало совпало с началом координат). Тогда его координаты определяются способом, описанным в начале параграфа: координаты вектора, перенесённого так, что его начало совпадает с началом координат, — это координаты его конца.
2. Вместо этого можно просто вычесть из координат конца вектора (направленного отрезка) координаты его начала.

- Для прямоугольных координат понятие координаты вектора совпадает с понятием ортогональной проекции#Ортогональная_проекция_на_прямую_и_на_направление "Проекция (геометрия)") вектора на направление соответствующей координатной оси.

В прямоугольных координатах очень просто записываются все операции над векторами:

Сложение и умножение на скаляр:

a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3,…,an+bn){\displaystyle \mathbf {a} +\mathbf {b} =(a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2},a_{3}+b_{3},\dots ,a_{n}+b_{n})}{\displaystyle \mathbf {a} +\mathbf {b} =(a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2},a_{3}+b_{3},\dots ,a_{n}+b_{n})},

или:

(a+b)i=ai+bi,{\displaystyle (\mathbf {a} +\mathbf {b} )_{i}=a_{i}+b_{i},}{\displaystyle (\mathbf {a} +\mathbf {b} ){i}=a{i}+b_{i},}ca=(ca1,ca2,ca3,…,can){\displaystyle c\ \mathbf {a} =(c\ a_{1},c\ a_{2},c\ a_{3},\dots ,c\ a_{n})}{\displaystyle c\ \mathbf {a} =(c\ a_{1},c\ a_{2},c\ a_{3},\dots ,c\ a_{n})},

или:

(ca)i=cai.{\displaystyle (c\ \mathbf {a} )_{i}=c\ a_{i}.}{\displaystyle (c\ \mathbf {a} ){i}=c\ a{i}.},

а отсюда и вычитание и деление на скаляр:

a−b=(a1−b1,a2−b2,a3−b3,…,an−bn){\displaystyle \mathbf {a} -\mathbf {b} =(a_{1}-b_{1},a_{2}-b_{2},a_{3}-b_{3},\dots ,a_{n}-b_{n})}{\displaystyle \mathbf {a} -\mathbf {b} =(a_{1}-b_{1},a_{2}-b_{2},a_{3}-b_{3},\dots ,a_{n}-b_{n})},

или:

(a−b)i=ai−bi,{\displaystyle (\mathbf {a} -\mathbf {b} )_{i}=a_{i}-b_{i},}{\displaystyle (\mathbf {a} -\mathbf {b} ){i}=a{i}-b_{i},}aλ=(a1λ,a2λ,a3λ,…,anλ){\displaystyle {\frac {\mathbf {a} }{\lambda }}={\Big (}{\frac {a_{1}}{\lambda }},{\frac {a_{2}}{\lambda }},{\frac {a_{3}}{\lambda }},\dots ,{\frac {a_{n}}{\lambda }}{\Big )}}{\displaystyle {\frac {\mathbf {a} }{\lambda }}={\Big (}{\frac {a_{1}}{\lambda }},{\frac {a_{2}}{\lambda }},{\frac {a_{3}}{\lambda }},\dots ,{\frac {a_{n}}{\lambda }}{\Big )}},

или:

(aλ)i=aiλ.{\displaystyle {\Big (}{\frac {\mathbf {a} }{\lambda }}{\Big )}_{i}={\frac {a_{i}}{\lambda }}.}{\displaystyle {\Big (}{\frac {\mathbf {a} }{\lambda }}{\Big )}{i}={\frac {a{i}}{\lambda }}.}

(Это верно для любой размерности n и даже, наравне с прямоугольными, для косоугольных координат).

a⋅b=a1b1+a2b2+a3b3+⋯+anbn{\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}+\dots +a_{n}b_{n}}{\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}+\dots +a_{n}b_{n}},

или:

a⋅b=∑i=1naibi,{\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\sum \limits _{i=1}^{n}a_{i}b_{i},}{\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\sum \limits {i=1}^{n}a{i}b_{i},}

(Это справедливо только в прямоугольных координатах с единичным масштабом по всем осям).

- Через скалярное произведение можно вычислить длину вектора

|a|=a⋅a{\displaystyle |\mathbf {a} |={\sqrt {\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} }}}{\displaystyle |\mathbf {a} |={\sqrt {\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} }}}и угол между векторами:∠(a,b)=arccosa⋅b|a|⋅|b|{\displaystyle \angle {(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )}=\mathrm {arccos} {\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{|\mathbf {a} |\cdot |\mathbf {b} |}}}{\displaystyle \angle {(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )}=\mathrm {arccos} {\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{|\mathbf {a} |\cdot |\mathbf {b} |}}}.

(a∧b)ij=aibj−ajbi{\displaystyle (\mathbf {a} \land \mathbf {b} )_{ij}=a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i}}{\displaystyle (\mathbf {a} \land \mathbf {b} ){ij}=a{i}b_{j}-a_{j}b_{i}},

для любой размерности пространства,

- Векторное произведение (только для трехмерного же пространства, на котором оно и определено):

(a×b)x=aybz−azby{\displaystyle (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )_{x}=a_{y}b_{z}-a_{z}b_{y}}{\displaystyle (\mathbf {a} \times \mathbf {b} ){x}=a{y}b_{z}-a_{z}b_{y}},(a×b)y=azbx−axbz{\displaystyle (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )_{y}=a_{z}b_{x}-a_{x}b_{z}}{\displaystyle (\mathbf {a} \times \mathbf {b} ){y}=a{z}b_{x}-a_{x}b_{z}},(a×b)z=axby−aybx{\displaystyle (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )_{z}=a_{x}b_{y}-a_{y}b_{x}}{\displaystyle (\mathbf {a} \times \mathbf {b} ){z}=a{x}b_{y}-a_{y}b_{x}}.

Это позволяет свести все операции над векторами к достаточно простым операциям над числами.

## Орты

Прямоугольная система координат[13] (любой размерности) также описывается[14] набором ортов (единичных векторов), сонаправленных с осями координат. Количество ортов равно размерности системы координат и все они перпендикулярны друг другу. Такие орты образуют ортонормированный базис, притом[15].

В трёхмерном случае такие орты обычно обозначаются:

i{\displaystyle \mathbf {i} }{\displaystyle \mathbf {i} }, j{\displaystyle \mathbf {j} }{\displaystyle \mathbf {j} } и k{\displaystyle \mathbf {k} }{\displaystyle \mathbf {k} },

или

ex{\displaystyle \mathbf {e} _{x}}{\displaystyle \mathbf {e} _{x}}, ey{\displaystyle \mathbf {e} _{y}}{\displaystyle \mathbf {e} _{y}} и ez{\displaystyle \mathbf {e} _{z}}{\displaystyle \mathbf {e} _{z}}.

Могут также применяться обозначения со стрелками (i→{\displaystyle {\vec {i}}}{\displaystyle {\vec {i}}}, j→{\displaystyle {\vec {j}}}{\displaystyle {\vec {j}}} и k→{\displaystyle {\vec {k}}}{\displaystyle {\vec {k}}} или e→x{\displaystyle {\vec {e}}_{x}}{\displaystyle {\vec {e}}_{x}}, e→y{\displaystyle {\vec {e}}_{y}}{\displaystyle {\vec {e}}_{y}} и e→z{\displaystyle {\vec {e}}_{z}}{\displaystyle {\vec {e}}_{z}}) или другие в соответствии с обычным способом обозначения векторов в той или иной литературе.

При этом в случае правой системы координат действительны следующие формулы с векторными произведениями ортов:

[i,j]=k;{\displaystyle [\mathbf {i} \,,\mathbf {j} ]=\mathbf {k} ;}{\displaystyle [\mathbf {i} ,,\mathbf {j} ]=\mathbf {k} ;}[j,k]=i;{\displaystyle [\mathbf {j} \,,\mathbf {k} ]=\mathbf {i} ;}{\displaystyle [\mathbf {j} ,,\mathbf {k} ]=\mathbf {i} ;}[k,i]=j.{\displaystyle [\mathbf {k} \,,\mathbf {i} ]=\mathbf {j} .}{\displaystyle [\mathbf {k} ,,\mathbf {i} ]=\mathbf {j} .}

Для размерностей пространства более 3, (или для общего случая, когда размерность может быть любой) обычно для ортов применяют вместо этого обозначения с числовыми индексами, достаточно часто[16] это:

e1,e2,e3,…en,{\displaystyle \mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3},\dots \mathbf {e} _{n},}{\displaystyle \mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3},\dots \mathbf {e} _{n},}

где n — размерность пространства.

Вектор любой размерности раскладывается по базису (координаты служат коэффициентами разложения):

a=a1e1+a2e2+a3e3+⋯+anen{\displaystyle \mathbf {a} =a_{1}\mathbf {e} _{1}+a_{2}\mathbf {e} _{2}+a_{3}\mathbf {e} _{3}+\dots +a_{n}\mathbf {e} _{n}}{\displaystyle \mathbf {a} =a_{1}\mathbf {e} {1}+a{2}\mathbf {e} {2}+a{3}\mathbf {e} {3}+\dots +a{n}\mathbf {e} _{n}},

или:

a=∑i=1naiei,{\displaystyle \mathbf {a} =\sum \limits _{i=1}^{n}a_{i}\mathbf {e} _{i},}{\displaystyle \mathbf {a} =\sum \limits {i=1}^{n}a{i}\mathbf {e} _{i},}

а для ортонормированного базиса координаты ещё и очень легко найти через скалярные произведения с ортами:

ai=a⋅ei.{\displaystyle a_{i}=\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} _{i}.}{\displaystyle a_{i}=\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} _{i}.}

## См. также

## Примечания

1. ↑Выгодский М. Я. Раздел VI. Функции, графики (§ 6. Координаты) // Справочник по элементарной математике(рус.) / сост. М. Я. Выгодский, под ред. Н. А. Шармай. — М.: АСТ "АСТ (издательство)"); Астрель "Астрель (издательство)"), 2015. — С. 461. — 509 с. — 1500 экз. — ISBN 978-5-17-084803-4, ББК 2.1я2, УДК 51(03). — ISBN 978-5-271-46916-9.
2. ↑Например, Декарт пользовался не двумя осями, а одной, на которой откладывались абсциссы; ординаты определялись как расстояние от точек плоскости до оси абсцисс; эти расстояния Декарт отсчитывал по любому заранее выбранному направлению, а не обязательно перпендикулярно
3. ↑Bix, Robert A.; D'Souza, Harry J. Analytic geometry(неопр.). Encyclopædia Britannica. Дата обращения: 6 августа 2017. Архивировано 6 августа 2017 года.
4. ↑A Tour of the Calculus, David Berlinski
5. ↑Axler, Sheldon. Linear Algebra Done Right - Springer. — 2015. — P. 1. — ISBN 978-3-319-11079-0. — doi: 10.1007/978-3-319-11080-6.
6. ↑ 1 2Словарь иностранных слов. — М.: Рус. яз., 1989. — 624 с. ISBN 5-200-00408-8
7. ↑Иногда это просто принципиально невозможно, если по осям откладываются величины разной физической размерности; впрочем, с геометрической точки зрения это замечание не слишком существенно, так как можно тогда считать масштабы по осям равными условно (например масштабы так, чтобы единицы совпадали при изображая на геометрической плоскости).
8. ↑Словарь иностранных слов. — М.: « Русский язык "Русский язык (издательство)")», 1989. — 624 с. ISBN 5-200-00408-8
9. ↑Можно превратить правую координатную систему в левую и наоборот с помощью зеркального отражения.
10. ↑Но не обязательно: вопрос обозначений в конечном итоге определяется конкретным приложением.
11. ↑Это можно выяснить, исходя из того, можно ли какими-то вращениями (и переносами, если не совпадают начала координат) совместить данную координатную систему с той, ориентация которой правая по определению. Если да, то данная система считается правой, если нет, то левой. Ещё проще технически это выяснить через знак определителя матрицы преобразования от правого базиса к данному.
12. ↑Конец направленного отрезка — точка; прямоугольные координаты точки рассмотрены в статье выше.
13. ↑В этом параграфе будем подразумевать обычную декартову систему координат, то есть прямоугольную систему координат с одинаковым масштабом по всем осям; рассмотрение систем координат с разным масштабом по разным осям внесло бы здесь неоправданные формальные усложнения при довольно малом выигрыше содержательном отношении.
14. ↑Это описание очевидно полностью эквивалентно обычному заданию осей координат, надо только ещё задать начало координат (последнее нередко очевидно по умолчанию).
15. ↑При отказе от условия равномасштабности координатных осей — просто ортогональный базис.
16. ↑Впрочем, вместо буквы e нередко могут быть использованы и другие буквы. Как правило, это явно оговорено.

## Ссылки

Ссылки на внешние ресурсы

Тематические сайты

Словари и энциклопедии

В библиографических каталогах

Название координат

Типы систем координат

Двумерные координаты

Трёхмерные координаты

n{\displaystyle n}{\displaystyle n}-мерные координаты

Физические координаты

Связанные определения

Скрытые категории:

## Навигация

### Персональные инструменты

### Пространства имён

русский

### Просмотры

Ещё

### Поиск

### Навигация

### Участие

### Инструменты

### Печать/экспорт

### В других проектах

### На других языках