методы решения квадратных уравнений
Квадратное уравнение - Википедия
Были известны способы решения как полных, так и неполных квадратных уравнений. Приведём примеры квадратных уравнений, решавшихся в Древнем Вавилоне ...
парабола
Графиком квадратичной функции является <anchor>парабола</anchor>. Решениями (корнями) квадратного уравнения называют абсциссы точек пересечения параболы с осью абсцисс. Если парабола, описываемая квадратичной функцией, не пересекается с осью абсцисс, уравнение не имеет вещественных корней. Если парабола пересекается с осью абсцисс в одной точке (в вершине параболы), уравнение имеет один вещественный корень (также говорят, что уравнение имеет два совпадающих корня). Если парабола пересекает ось абсцисс в двух точках, уравнение имеет два вещественных корня (см. изображение справа.)
Парабола — Википедия
# Парабола

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

У этого термина существуют и другие значения, см. Парабола (значения) "Парабола (значения)").

Парабола

Парабола, её фокус и директриса Эксцентриситетe=1{\displaystyle e=1}{\displaystyle e=1}Уравненияy=x2y=ax2+bx+cAx2+Bxy+Cy2+Dx+Ey=F(B2−4AC=0){\displaystyle {\begin{aligned}&y=x^{2}\&y=ax^{2}+bx+c\&Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey=F\&\quad (B^{2}-4AC=0)\end{aligned}}}{\displaystyle {\begin{aligned}&y=x^{2}\&y=ax^{2}+bx+c\&Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey=F\&\quad (B^{2}-4AC=0)\end{aligned}}}Другие конические сечения

## Содержание

## Определение

Античные математики определяли параболу как результат пересечения кругового конуса с плоскостью, которая не проходит через вершину конуса и параллельна его образующей (см. рисунок).
В аналитической геометрии удобнее эквивалентное определение: парабола есть геометрическое место точек на плоскости, для которых расстояние до заданной точки ( фокуса) равно расстоянию до заданной прямой ( директрисы "Директриса (геометрия)")) (см. рисунок)[2].

Если фокус лежит на директрисе, то парабола вырождается в прямую.

 Парабола в семействе конических сечений

## Вершина

Точка параболы, ближайшая к её директрисе, называется вершиной этой параболы. Вершина является серединой перпендикуляра, опущенного из фокуса на директрису.

## Уравнения

y2=2px,p>0{\displaystyle \textstyle y^{2}=2px,p>0}{\displaystyle \textstyle y^{2}=2px,p>0} (или x2=2py{\displaystyle \textstyle x^{2}=2py}{\displaystyle \textstyle x^{2}=2py}, если поменять местами оси координат).

Число p называется фокальным параметром, оно равно расстоянию от фокуса до директрисы[3]. Поскольку каждая точка параболы равноудалена от фокуса и директрисы, то и вершина — тоже, поэтому она лежит между фокусом и директрисой на расстоянии p2{\displaystyle {\frac {p}{2}}}{\displaystyle {\frac {p}{2}}} от обоих.

Вывод


Уравнение директрисы "Директриса (геометрия)") PQ: x+p2=0{\displaystyle \textstyle x+{\frac {p}{2}}=0}{\displaystyle \textstyle x+{\frac {p}{2}}=0}, фокус F имеет координаты (p2;0).{\displaystyle \left({\frac {p}{2}};0\right).}{\displaystyle \left({\frac {p}{2}};0\right).} Таким образом, начало координат O — середина отрезка CF. По определению параболы, для любой точки M, лежащей на ней, выполняется равенство KM = FM. Далее, поскольку KM=KD+DM=p2+x{\displaystyle {\textrm {KM=KD+DM}}={\frac {p}{2}}+x}{\displaystyle {\textrm {KM=KD+DM}}={\frac {p}{2}}+x} и FM=(x−p2)2+y2{\displaystyle {\textrm {FM}}={\sqrt {\left(x-{\frac {p}{2}}\right)^{2}+y^{2}}}}{\displaystyle {\textrm {FM}}={\sqrt {\left(x-{\frac {p}{2}}\right)^{2}+y^{2}}}}, то равенство приобретает вид:

(x−p2)2+y2=p2+x.{\displaystyle {\sqrt {\left(x-{\frac {p}{2}}\right)^{2}+y^{2}}}={\frac {p}{2}}+x.}{\displaystyle {\sqrt {\left(x-{\frac {p}{2}}\right)^{2}+y^{2}}}={\frac {p}{2}}+x.}

После возведения в квадрат и некоторых преобразований получается равносильное уравнение y2=2px.{\displaystyle y^{2}=2px.}{\displaystyle y^{2}=2px.}

### Парабола, заданная квадратичной функцией

Визуализация квадратичной параболы

Квадратичная функцияy=ax2+bx+c{\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}{\displaystyle y=ax^{2}+bx+c} при a≠0{\displaystyle a\neq 0}{\displaystyle a\neq 0} также является уравнением параболы и графически изображается той же параболой, что и y=ax2,{\displaystyle y=ax^{2},}{\displaystyle y=ax^{2},} но в отличие от последней имеет вершину не в начале координат, а в некоторой точке A, координаты которой вычисляются по формулам:

xA=−b2a,yA=−D4a,{\displaystyle x_{\textrm {A}}=-{\dfrac {b}{2a}},\;y_{\textrm {A}}=-{\dfrac {\mathcal {D}}{4a}},}{\displaystyle x_{\textrm {A}}=-{\dfrac {b}{2a}},;y_{\textrm {A}}=-{\dfrac {\mathcal {D}}{4a}},} где D=b2−4ac{\displaystyle {\mathcal {D}}=b^{2}-4ac}{\displaystyle {\mathcal {D}}=b^{2}-4ac} — дискриминант квадратного трёхчлена.

Ось симметрии параболы, заданной квадратичной функцией, проходит через вершину параллельно оси ординат. При a > 0 (a < 0) фокус лежит на этой оси над (под) вершиной на расстоянии 1/4_a_, а директриса — под (над) вершиной на таком же расстоянии и параллельна оси абсцисс. Уравнение y=ax2+bx+c{\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}{\displaystyle y=ax^{2}+bx+c} может быть представлено в виде y=a(x−xA)2+yA,{\displaystyle y=a(x-x_{\textrm {A}})^{2}+y_{\textrm {A}},}{\displaystyle y=a(x-x_{\textrm {A}})^{2}+y_{\textrm {A}},} а в случае переноса начала координат в точку A уравнение параболы превращается в каноническое. Таким образом, для каждой квадратичной функции можно найти систему координат такую, что в этой системе уравнение соответствующей параболы представляется каноническим. При этом p=1|2a|.{\displaystyle p={\frac {1}{|2a|}}.}{\displaystyle p={\frac {1}{|2a|}}.}

### Общее уравнение параболы

В общем случае парабола не обязана иметь ось симметрии, параллельную одной из координатных осей. Однако, как и любое другое коническое сечение, парабола является кривой второго порядка и, следовательно, её уравнение на плоскости в декартовой системе координат может быть записано в виде квадратного многочлена:

Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0.{\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0.}{\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0.}

Если кривая второго порядка, заданная в таком виде, является параболой, то составленный из коэффициентов при старших членах дискриминантB2−4AC{\displaystyle B^{2}-4AC}{\displaystyle B^{2}-4AC} равен нулю.

### Уравнение в полярной системе

Парабола в полярной системе координат(ρ,ϑ){\displaystyle (\rho ,\vartheta )}{\displaystyle (\rho ,\vartheta )} с центром в фокусе и нулевым направлением вдоль оси параболы (от фокуса к вершине) может быть представлена уравнением

ρ(1−cos⁡ϑ)=p,{\displaystyle \rho (1-\cos \vartheta )=p,}{\displaystyle \rho (1-\cos \vartheta )=p,}

где p — фокальный параметр (расстояние от фокуса до директрисы или удвоенное расстояние от фокуса до вершины)

### Уравнение в подерной системе

Парабола в подерной системе координат(r,p){\displaystyle (r,p)}{\displaystyle (r,p)} с центром в фокусе и параметром a{\displaystyle a}{\displaystyle a}, равным расстоянию от фокуса до вершины параболы, может быть представлена следующим уравнением[4]:

p2=ar.{\displaystyle p^{2}=ar.}{\displaystyle p^{2}=ar.}

### Расчёт коэффициентов квадратичной функции

Если для уравнения параболы с осью, параллельной оси ординат, y=ax2+bx+c{\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}{\displaystyle y=ax^{2}+bx+c} известны координаты трёх различных точек параболы (x1;y1),(x2;y2),(x3;y3),{\displaystyle (x_{1};y_{1}),\;(x_{2};y_{2}),\;(x_{3};y_{3}),}{\displaystyle (x_{1};y_{1}),;(x_{2};y_{2}),;(x_{3};y_{3}),} то его коэффициенты могут быть найдены так:

a=y3−x3(y2−y1)+x2y1−x1y2x2−x1x3(x3−x1−x2)+x1x2,b=y2−y1x2−x1−a(x1+x2),c=x2y1−x1y2x2−x1+ax1x2.{\displaystyle a={\frac {y_{3}-{\tfrac {x_{3}(y_{2}-y_{1})+x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}}{x_{2}-x_{1}}}}{x_{3}(x_{3}-x_{1}-x_{2})+x_{1}x_{2}}},\ \ b={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}-a(x_{1}+x_{2}),\ \ c={\frac {x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}}{x_{2}-x_{1}}}+ax_{1}x_{2}.}{\displaystyle a={\frac {y_{3}-{\tfrac {x_{3}(y_{2}-y_{1})+x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}}{x_{2}-x_{1}}}}{x_{3}(x_{3}-x_{1}-x_{2})+x_{1}x_{2}}},\ \ b={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}-a(x_{1}+x_{2}),\ \ c={\frac {x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}}{x_{2}-x_{1}}}+ax_{1}x_{2}.}

Если же заданы вершина (x0;y0){\displaystyle (x_{0};y_{0})}{\displaystyle (x_{0};y_{0})} и старший коэффициент a{\displaystyle a}{\displaystyle a}, то остальные коэффициенты и корни вычисляются по формулам:

b=−2ax0{\displaystyle b=-2ax_{0}}{\displaystyle b=-2ax_{0}}c=ax02+y0{\displaystyle c=ax_{0}^{2}+y_{0}}{\displaystyle c=ax_{0}^{2}+y_{0}}x1=x0+−y0a{\displaystyle x_{1}=x_{0}+{\sqrt {-{\frac {y_{0}}{a}}}}}{\displaystyle x_{1}=x_{0}+{\sqrt {-{\frac {y_{0}}{a}}}}}x2=x0−−y0a{\displaystyle x_{2}=x_{0}-{\sqrt {-{\frac {y_{0}}{a}}}}}{\displaystyle x_{2}=x_{0}-{\sqrt {-{\frac {y_{0}}{a}}}}}

## Свойства

 Отражательное свойство параболы (оптика) Расстояние от P_n_ до фокуса F такое же, как и от P_n_ до Q_n_ (на директрисе L) Длина линий FP_n_Q_n_ одинакова. Можно сказать, что, в отличие от эллипса, второй фокус у параболы — в бесконечности (см. также Шары Данделена)

- Парабола — кривая второго порядка.
- Она имеет ось симметрии, называемой осью параболы. Ось проходит через фокус и вершину перпендикулярно директрисе.
- Оптическое свойство. Пучок лучей, параллельных оси параболы, отражаясь в параболе, собирается в её фокусе. И наоборот, свет от источника, находящегося в фокусе, отражается параболой в пучок параллельных её оси лучей. Сигнал также придет в одной фазе, что важно для антенн.
- Если фокус параболы отразить относительно касательной, то его образ "Образ (математика)") будет лежать на директрисе.
- Множество всех точек, из которых парабола видна под прямым углом, есть директриса.
- Отрезок, соединяющий середину произвольной хорды "Хорда (геометрия)") параболы и точку пересечения касательных к ней в концах этой хорды, перпендикулярен директрисе, а его середина лежит на параболе.
- Парабола является антиподерой прямой.
- Все параболы подобны. Расстояние между фокусом и директрисой определяет масштаб.
- Траектория фокуса параболы, катящейся по прямой, есть цепная линия[5].
- Описанная окружность треугольника, описанного около параболы, проходит через её фокус, а точка пересечения высот лежит на её директрисе

## Связанные определения

## Подера параболы

Любая парабола имеет подеру — циркулярную кривую 3-го порядка на комплексной проективной плоскости[6].

Прямая — полюс подеры в фокусе параболы

Строфоида(y+1)(x2+y(y+1))+x2=0{\displaystyle {\scriptstyle (y+1)(x^{2}+y(y+1))+x^{2}=0}}{\displaystyle {\scriptstyle (y+1)(x^{2}+y(y+1))+x^{2}=0}} — полюс подеры в центре директрисы параболы x2=4y{\displaystyle {\scriptstyle x^{2}=4y}}{\displaystyle {\scriptstyle x^{2}=4y}}

Офиурида(y+1)(x(x−2)+y(y+1))+(x−2)2=0{\displaystyle {\scriptstyle (y+1)(x(x-2)+y(y+1))+(x-2)^{2}=0}}{\displaystyle {\scriptstyle (y+1)(x(x-2)+y(y+1))+(x-2)^{2}=0}} — полюс подеры не в центре директрисы параболы x2=4y{\displaystyle {\scriptstyle x^{2}=4y}}{\displaystyle {\scriptstyle x^{2}=4y}}

Прямая конхоида Слюза(y−4)(x2+y(y−4))+x2=0{\displaystyle {\scriptstyle (y-4)(x^{2}+y(y-4))+x^{2}=0}}{\displaystyle {\scriptstyle (y-4)(x^{2}+y(y-4))+x^{2}=0}} — полюс подеры внутри на оси не в фокусе параболы x2=4y{\displaystyle {\scriptstyle x^{2}=4y}}{\displaystyle {\scriptstyle x^{2}=4y}}

Конхоида Слюза(y−4)(x(x−2)+y(y−4))+(x−2)2=0{\displaystyle {\scriptstyle (y-4)(x(x-2)+y(y-4))+(x-2)^{2}=0}}{\displaystyle {\scriptstyle (y-4)(x(x-2)+y(y-4))+(x-2)^{2}=0}} — полюс подеры внутри не на оси параболы x2=4y{\displaystyle {\scriptstyle x^{2}=4y}}{\displaystyle {\scriptstyle x^{2}=4y}}

Не умаляя общности, уравнение произвольной параболы можно записать в следующем виде[6]:

y2=4px,{\displaystyle y^{2}=4px,}{\displaystyle y^{2}=4px,} или x2=4py,{\displaystyle x^{2}=4py,}{\displaystyle x^{2}=4py,}

где p{\displaystyle p}{\displaystyle p} — расстояние от фокуса параболы до её вершины и от вершины до директрисы.

Тогда подера произвольной параболы y2=4px{\displaystyle y^{2}=4px}{\displaystyle y^{2}=4px} относительно произвольного полюса (a,b){\displaystyle (a,\;b)}{\displaystyle (a,;b)} есть дефективная гипербола с двойной точкой(a,b){\displaystyle (a,\;b)}{\displaystyle (a,;b)}, асимптотойa−p{\displaystyle a-p}{\displaystyle a-p} и следующим уравнением[7][6]:

(x−a)(y(y−b)+x(x−a))+p(y−b)2=0.{\displaystyle (x-a)(y(y-b)+x(x-a))+p(y-b)^{2}=0.}{\displaystyle (x-a)(y(y-b)+x(x-a))+p(y-b)^{2}=0.}

Другими словами, имеет место следующее утверждение[7]:

Доказательство[7]

Найдём вещественное неявное уравнениеf(x,y){\displaystyle f(x,\;y)}{\displaystyle f(x,;y)} подеры параболы y2=4px{\displaystyle y^{2}=4px}{\displaystyle y^{2}=4px} относительно полюса (a,b){\displaystyle (a,\;b)}{\displaystyle (a,;b)}. Текущая точка кривой — (x0,y0){\displaystyle (x_{0},\;y_{0})}{\displaystyle (x_{0},;y_{0})}.

Уравнение касательной к параболе x=y24p{\displaystyle x={\frac {y^{2}}{4p}}}{\displaystyle x={\frac {y^{2}}{4p}}} запишем в виде

x−x0=x0′(y−y0),{\displaystyle x-x_{0}=x'_{0}(y-y_{0}),}{\displaystyle x-x_{0}=x'{0}(y-y{0}),}x=y024p+y02p(y−y0),{\displaystyle x={\frac {y_{0}^{2}}{4p}}+{\frac {y_{0}}{2p}}(y-y_{0}),}{\displaystyle x={\frac {y_{0}^{2}}{4p}}+{\frac {y_{0}}{2p}}(y-y_{0}),}x=my−m2p,{\displaystyle x=my-m^{2}p,\quad }{\displaystyle x=my-m^{2}p,\quad }m=y02p,{\displaystyle m={\frac {y_{0}}{2p}},}{\displaystyle m={\frac {y_{0}}{2p}},}

а уравнение нормали, проходящей через полюс (a,b){\displaystyle (a,\;b)}{\displaystyle (a,;b)}, —

x−a=−1m(y−b).{\displaystyle x-a=-{\frac {1}{m}}(y-b).}{\displaystyle x-a=-{\frac {1}{m}}(y-b).}

Уберём m{\displaystyle m}{\displaystyle m}, получим искомое уравнение:

m=−y−bx−a,{\displaystyle m=-{\frac {y-b}{x-a}},}{\displaystyle m=-{\frac {y-b}{x-a}},}x(x−a)2=−y(y−b)(x−a)−p(y−b)2.{\displaystyle x(x-a)^{2}=-y(y-b)(x-a)-p(y-b)^{2}.}{\displaystyle x(x-a)^{2}=-y(y-b)(x-a)-p(y-b)^{2}.}

Имеют место три разных случая, в которых дефективная гипербола выступает тремя разными частными случаями[6][7]:

- полюс подеры находится на параболе. Тогда полюс — точка возврата подеры;

- если полюс лежит на касательной к вершине параболы, то подера — офиурида[8];

- если полюс совпадает с вершиной параболы, то подера — циссоида;

- полюс подеры находится во внешности параболы. Тогда полюс — узловая точка подеры;

- в частности, если полюс находится на директрисе параболы, то подера — строфоида;

- полюс подеры находится внутри параболы. Тогда полюс — мнимая изолированная точка подеры;

- если полюс лежит на оси симметрии параболы, но не совпадает с фокусом параболы, то подера — конхоида Слюза[9];

- если полюс совпадает с фокусом параболы, то подера состоит из трёх прямых на комплексной проективной плоскости:

- действительной прямой, которая касается параболы в её вершине;

- две мнимые прямые, которые пересекаются в фокусе параболы.

## Вариации и обобщения

Графики степенной функцииy=xn{\displaystyle y=x^{n}}{\displaystyle y=x^{n}} при натуральном показателе n>1{\displaystyle n>1}{\displaystyle n>1} называются _параболами порядка_n{\displaystyle n}{\displaystyle n}[10][11]. Ранее рассмотренное определение соответствует n=2,{\displaystyle n=2,}{\displaystyle n=2,} то есть параболе 2-го порядка.

Парабола также представляет собой синусоидальную спираль при n=−12{\displaystyle \textstyle n=-{\frac {1}{2}}}{\displaystyle \textstyle n=-{\frac {1}{2}}};

## Параболы в физическом пространстве

 Параболический компас Леонардо да Винчи

Траектории некоторых космических тел ( комет, астероидов и других), проходящих вблизи звезды или другого массивного объекта ( звезды или планеты) на достаточно большой скорости, имеют форму параболы (или гиперболы "Гипербола (математика)")). Эти тела, вследствие своей большой скорости, не захватываются гравитационным полем звезды и продолжают свободный полёт. Это явление используется для гравитационных манёвров космических кораблей (в частности, аппаратов Вояджер).

Для создания невесомости в земных условиях проводятся полёты самолётов по параболической траектории, так называемой параболе Кеплера.

При отсутствии сопротивления воздуха траектория полёта тела в приближении однородного гравитационного поля представляет собой параболу.

Также параболические зеркала используются в любительских переносных телескопах систем Кассегрена, Шмидта — Кассегрена, Ньютона, а в фокусе параболы устанавливают вспомогательные зеркала, подающие изображение на окуляр.

При вращении сосуда с жидкостью вокруг вертикальной оси поверхность жидкости в сосуде и вертикальная плоскость пересекаются по параболе.

Свойство параболы фокусировать пучок лучей, параллельных оси параболы, используется в конструкциях прожекторов, фонарей, фар, а также телескопов-рефлекторов "Рефлектор (телескоп)") (оптических, инфракрасных, радио- …), в конструкции узконаправленных ( спутниковых и других) антенн, необходимых для передачи данных на большие расстояния, солнечных электростанций и в других областях.

Форма параболы иногда используется в архитектуре для строительства крыш и куполов.

Параболическая орбита и движение спутника по ней (анимация)

Параболические траектории струй воды

Вращающийся сосуд с жидкостью

## Примечания

## Литература

- Акопян А. А., Заславский А. В. Геометрические свойства кривых второго порядка. — М.: МЦНМО, 2007. — 136 с.
- Бронштейн И. Парабола // Квант "Квант (журнал)"). — 1975. — № 4. — С. 9—16.
- _Маркушевич А. И._ Замечательные кривые. — Гостехиздат, 1952. — 32 с. — ( Популярные лекции по математике, выпуск 4).
- Парабола // Математическая энциклопедия (в 5-и томах). — М.: Советская Энциклопедия "Большая Российская энциклопедия (издательство)"), 1984. — Т. 4. — С. 191—192. — 1216 с.
- Савелов А. А. Плоские кривые. Систематика, свойства, применения. (Справочное руководство) / Под ред. А. П. Нордена. М.: Физматлит, 1960. 293 с., ил.
- Смогоржевский А. С., Столова Е. С. Справочник по теории плоских кривых 3-го порядка. М.: Физматлит, 1961. 271 с., ил.
- Lawrence J. D. A Catalog of Special Plane Curves. New York: Dover Publications, Inc., 1972. 218 p.

## Ссылки

Определения

Другие

Другие

Другие

Простые

Главные типы

Вырожденные

Частный случай эллипса

См. также

Скрытые категории:

## Навигация

### Персональные инструменты

### Пространства имён

русский

### Просмотры

Ещё

### Поиск

### Навигация

### Участие

### Инструменты

### Печать/экспорт

### В других проектах

### На других языках