量子力学的基本原理（量子力学） - 小时百科
2. 量子力学的基本假设 · 量子态（波函数）-定义1 · 量子态（狄拉克符号）-定义2 · 量子态的等价-定义3 · 内积-定义4 · 态矢量的坐标表示（列矩阵和行矩阵之分）-定义5 · 算符-定义6 ...
埃尔米特矢量空间（酉空间）
一个左矢 $ \left\langle a \right\rvert $ 和一个右矢 $ \left\lvert b \right\rangle $ 可以相乘得到一个复数，记为 $ \left\langle a \middle| b \right\rangle $。该运算称为 “ 内积（inner product）”，定义为 “满足 <anchor>埃尔米特矢量空间（酉空间）</anchor> 内积的性质5” 的运算，即
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# 埃尔米特矢量空间（酉空间）

贡献者： 零穹

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预备知识　欧几里得矢量空间

$\mathbb{R}$ 上的欧几里得矢量空间的度量关系完全可由内积来刻画，这成为在复数域 $\mathbb{C}$ 上的矢量空间中引入内积的刺激因素。然而，在复矢量空间的情形，使用标准双线性型 $s( x, y)=\sum_{i}x_iy_i\;x_i,y_i\in\mathbb{C}$ 作为内积并不能胜任此任务，因为对 $ \left\lVert x \right\rVert \geq0$，模

\begin{equation}
\left\lVert \mathrm{i} x \right\rVert =\sqrt{s( \mathrm{i} x, \mathrm{i} x)}=- \left\lVert x \right\rVert \leq0~
\end{equation}

要是想利用直观的矢量长度的概念，上面的内积定义显然是不能接受的。但是，使用正定的埃米尔特型（ 定义 4）作为内积的定义却是适合的。

## 1. 埃尔米特矢量空间（酉空间）

### 定义 1

域 $\mathbb{C}$ 上一个有限维矢量空间 $V$ 配备一个正定埃尔米特型 $( x| y):=f( x| y)$，则称为 埃尔米特矢量空间（或 酉空间）。复数 $( x| y)$ 称为是矢量 $ x, y\in V$ 的 内积（或 纯量积）。

列出内积的性质（*表示共轭复数）：

1. $( x| y)=( x| y)^*$；

2. $(\alpha x+\beta y| z)=\alpha^*( x| z)+\beta( y| z)$；

3. $( x| x)\geq0$，仅当 $ x= 0$ 时等式成立。

这里，仍用 $(*|*)$ 表示内积，是因为将矢量空间限制在实数域上以上性质仍成立，并不会发生任何矛盾。

有了内积的定义以后，和欧几里得矢量空间情形完全类似的，在埃尔米特空间，有

### 定义 2　模

称 $ \left\lVert v \right\rVert =\sqrt{( v| v)}$ 为矢量 $ v$ 的 模。模为 1 的埃尔米特矢量空间的矢量 $v$ 记作 $\hat{v}$。

### 定理 1　施瓦茨不等式

\begin{equation}
\left\lvert ( x| y) \right\rvert \leq \left\lVert x \right\rVert \cdot \left\lVert y \right\rVert ~.
\end{equation}

仅当 $ y=\lambda x,\lambda\in\mathbb{C}$ 时，等式成立。

证明： 将复数记为指数形式，即 $( x| y)= \left\lvert ( x| y) \right\rvert \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \varphi}$。那么由内积的正定性，对 $\forall t\in\mathbb{R}$

\begin{equation}
\begin{aligned}
&( x t+ y \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} \varphi}| x t+ y \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} \varphi})\  
&= \left\lVert x \right\rVert ^2t^2+ \left(( x| y) \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} \varphi}+( x| y)^* \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \varphi} \right) t+ \left\lVert y \right\rVert ^2\  
&= \left\lVert x \right\rVert ^2t^2+2 \left\lvert ( x| y) \right\rvert t+ \left\lVert y \right\rVert ^2\geq0~.
\end{aligned}
\end{equation}

证毕！

### 推论 1　三角不等式

\begin{equation}
\left\lVert x\pm y \right\rVert \leq \left\lVert x \right\rVert + \left\lVert y \right\rVert ~.
\end{equation}

证明完全和欧氏矢量空间一样（ 推论 1）。

### 例 1

在 $\mathbb{C}$ 上的矢量空间 $C_2(a,b)$ ( 例 1 ) 和 $P_n$ 上附加内积

\begin{equation}
(f|g)=\int_a^{b}f(x)g^*(x) \,\mathrm{d}{x} ~.
\end{equation}

显然是个埃尔米特空间。利用 式 4，即得

\begin{equation}
\sqrt{\int_a^b \left\lvert f(x)\pm g(x) \right\rvert ^2 \,\mathrm{d}{x} }\leq\sqrt{\int_a^b \left\lvert f(x) \right\rvert ^2 \,\mathrm{d}{x} }+\sqrt{\int_a^b \left\lvert g(x) \right\rvert ^2 \,\mathrm{d}{x} }~.
\end{equation}

由 式 2，存在唯一角 $\varphi,0\leq\varphi\leq\frac{\pi}{2}$ 使得

\begin{equation}
\cos\varphi=\frac{ \left\lvert ( x| y) \right\rvert }{ \left\lVert x \right\rVert \cdot \left\lVert y \right\rVert }~.
\end{equation}

## 2. 正交性

### 定义 3　正交

若 $( x| y)=0$，则称 $ x, y$ 是 正交的，记作 $ x\perp y$。
此外若还成立 $( x| x)=( y| y)=1$，则称 $ x$ 和 $ y$ 标准正交。

在正交性方面，也完全类似于欧几里得矢量空间情形， 定理 1、 定理 2 仍成立，只需将域 $\mathbb{R}$ 上的欧氏矢量空间替换为域 $\mathbb{C}$ 上的埃尔米特矢量空间。

注意：由于 $n$ 维的埃尔米特矢量空间必有 $n$ 个线性无关的基底，而 定理 1 保证了其上必存在标准正交基底。

### 例 2

试证明在埃尔米特空间，也有类似于 “毕达哥拉斯定理” 成立，即：对两两正交的矢量 $ v_1,\cdots, v_n$，成立

\begin{equation}
\left\lvert \left\lvert v_1+\cdots+ v_n \right\rvert \right\rvert ^2= \left\lvert \left\lvert v_1 \right\rvert \right\rvert ^2+\cdots+ \left\lvert \left\lvert v_n \right\rvert \right\rvert ^2~.
\end{equation}

### 定理 2

设 $(\hat e_1,\cdots, \hat e_n)$ 是埃尔米特空间 $V$ 上的一个标准正交基底，那么

1. \begin{equation}
   \forall x\in V, x=\sum_{i}( \hat e_i| x)\hat e_i~.
   \end{equation}

2. 帕塞瓦尔等式

\begin{equation}
\forall x, y\in V,( x| y)=\sum_{i}( x|\hat e_i)( \hat e_i| y)~.
\end{equation}

3. \begin{equation}
   \ x\in V,\Rightarrow \left\lVert x \right\rVert ^2=\sum_{i} \left\lvert ( \hat e_i| x) \right\rvert ^2~.
   \end{equation}

证明：

1. 设 $ x=\sum_{i}x_i
   \hat e_i$，则

\begin{equation}
( \hat e_i| x)=\sum_{j}x_j( \hat e_i| \hat e_j)=x_i~.
\end{equation}

\begin{equation}
( x| y)=( x|\sum_{i}( \hat e_i| y) \hat e_i)=\sum_{i}( \hat e_i| y)( x| \hat e_i)=\sum_{i}( x| \hat e_i)( \hat e_i| y)~.
\end{equation}

证毕！

## 3. 埃尔米特空间的同构

### 定理 3

任意两个维数相同的埃尔米特矢量空间 $V,V'$ 都是同构的。即存在矢量空间的同构映射 $f:V\rightarrow V'$，它还保持内积：

\begin{equation}
( x| y)=(f( x)|f( y))'~.
\end{equation}

其中，$(*|*)'$ 是 $V'$ 上的内积。

证明： 和欧几里得矢量空间一样，这样的同构映射是

\begin{equation}
f: x=\sum_{i}x_i \hat e_i\mapsto x'=\sum_i x_i \hat e'_i~.
\end{equation}

其中，$\{ \hat e_i\}$ 和 $\{ \hat e'_i\}$ 分别是空间 $V,V'$ 的标准正交基底。这显然保持内积。

从上面可以看到，欧几里得矢量空间的很多性质都可以直接推广到埃尔米特矢量空间。然而，在欧几里得矢量空间的情形，可以把欧几里得矢量空间和其对偶空间等同起来；而在埃米尔特空间，并不存在这样的等同关系。这是因为，欧几里得矢量空间和其对偶空间存在着自然的同构映射（ 定理 4）；而对埃米尔特矢量空间，并没有这样的自然同构存在，究其原因，是因为欧氏情形内积是双线性的，而埃氏情形则是半双线性的，而矢量空间的同构必须是线性的。

## 4. 酉群

$n$ 维欧氏情形里，从一个标准正交基底到另一个标准正交基底的转换矩阵称为 正交矩阵，它们构成一个群—— 正交群，记作 $O(n)$（ 子节 3）。同样的，在 $n$ 维埃氏情形，从一个标准正交基底到另一个标准正交基底的转换矩阵称为 酉矩阵，它们构成的群称为 酉群，记作 $U(n)$。关于酉群的具体介绍查看文章 酉群。

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