量子力学的基本原理（科普） - 小时百科
量子力学和经典力学一个重要的不同在于，量子力学中需要区分粒子的状态和粒子的可观测量（observable）。在量子力学中，一个粒子在某个时刻的状态完全由波函数描述。波函数是 ...
傅里叶变换
上文提到位置的本征态是一个 $\delta$ 函数，对应本征值为该波包的位置（坐标）。动量的本征态恰恰相反，是平面波。动量的本征值为平面波的空间频率乘以一个常数。如果粒子的波包很窄（但不是无限窄），那么要测量位置，我们只需要使用波包中心附近的一些 $\delta$ 函数就可以叠加出待测的波包，所以测量结果也只可能离波包中心较近。但在测量动量时，由于这个波包和平面波一点都不像，我们需要许多不同频率的平面波叠加才能得到这个波包（为什么无限长的平面波相加能得到有限长的波包？这是数学上一个非常有趣的结果，叫做 <anchor>傅里叶变换</anchor>）。
三角傅里叶变换 - 小时百科
# 三角傅里叶变换

贡献者： addis

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预备知识　傅里叶级数（三角）

平方可积的函数都可以用正弦和余弦函数来展开

\begin{equation}
f(x) = \frac{1}{\sqrt{\pi}}\int_0^{+\infty} A(k) \cos\left(kx\right) + B(k) \sin\left(kx\right) \,\mathrm{d}{k} ~,
\end{equation}

其中

\begin{equation}
\begin{aligned}
&A(k) = \frac{1}{\sqrt{\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty} \cos\left(kx\right) f(x) \,\mathrm{d}{x} ~,\  
&B(k) = \frac{1}{\sqrt{\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty} \sin\left(kx\right) f(x) \,\mathrm{d}{x} ~.
\end{aligned}
\end{equation}

为了把整个实数范围的非周期函数用三角函数展开，在三角傅里叶级数中我们取极限 $l\to\infty$ 这时角频率的间隔趋于 0。

\begin{equation}
\Delta k = k_{n+1} - k_n = \frac{(n+1)\pi}{l} - \frac{n\pi}{l} = \frac{\pi}{l} \to 0~.
\end{equation}

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