Gesetz der Nachfrage - Wikipedia
Als Gesetz der Nachfrage (englisch law of demand) bezeichnet man in der Volkswirtschaftslehre ein häufig benutztes Theorem, das in der einfachsten Version ...
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# Gesetz der Nachfrage

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Als **Gesetz der Nachfrage** ([englisch](/wiki/Englische_Sprache "Englische Sprache")_law of demand_) bezeichnet man in der [Volkswirtschaftslehre](/wiki/Volkswirtschaftslehre "Volkswirtschaftslehre") ein häufig benutztes [Theorem](/wiki/Theorem "Theorem"), das in der einfachsten Version besagt, dass die [Nachfrage](/wiki/Nachfrage "Nachfrage") nach einem [normalen Gut](/wiki/Normales_Gut "Normales Gut") abnimmt, wenn sich sein [Preis](/wiki/Preis_(Wirtschaft) "Preis (Wirtschaft)") erhöht. Dabei bezeichnet man ein Gut als normal, wenn eine Erhöhung des [Einkommens](/wiki/Einkommen "Einkommen") dazu führt, dass mehr von dem Gut nachgefragt wird. Pendant ist das [Gesetz des Angebots](/wiki/Gesetz_des_Angebots "Gesetz des Angebots").

## Inhaltsverzeichnis

- [1Allgemeines](#Allgemeines)
- [2Implikationen](#Implikationen)
- [3Formale Definition und Herleitung](#Formale_Definition_und_Herleitung)
  - [3.1Theorem](#Theorem)
  - [3.2Beweis](#Beweis)
- [4Gesetz der kompensierten Nachfrage](#Gesetz_der_kompensierten_Nachfrage)
  - [4.1Definition](#Definition)
  - [4.2Zusammenhang zur Theorie offenbarter Präferenzen](#Zusammenhang_zur_Theorie_offenbarter_Präferenzen)
    - [4.2.1Vorüberlegung](#Vorüberlegung)
    - [4.2.2Äquivalenz zu WARP](#Äquivalenz_zu_WARP)
- [5Literatur](#Literatur)
- [6Einzelnachweise](#Einzelnachweise)

## Allgemeines

\[ [Bearbeiten](/w/index.php?title=Gesetz_der_Nachfrage&veaction=edit&section=1 "Abschnitt bearbeiten: Allgemeines") \| [Quelltext bearbeiten](/w/index.php?title=Gesetz_der_Nachfrage&action=edit&section=1 "Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Allgemeines")\]

Außerhalb der [Rechtswissenschaft](/wiki/Rechtswissenschaft "Rechtswissenschaft") (formales [Gesetz](/wiki/Gesetz "Gesetz")) spricht man in den [Wissenschaften](/wiki/Wissenschaft "Wissenschaft") von einem Gesetz, wenn aus einer [Theorie](/wiki/Theorie "Theorie") orts- und zeitunabhängig allgemeingültige Aussagen abgeleitet werden, die weltweit gelten ( _Gesetzmäßigkeiten_). Das Gesetz der Nachfrage wurde aus [empirischen](/wiki/Empirisch "Empirisch") [Beobachtungen](/wiki/Beobachtung "Beobachtung") und logischen Ableitungen entwickelt und mündet in dem [Grundsatz](/wiki/Grundsatz "Grundsatz"), dass im Regelfall bei einem niedrigen Preis eines Gutes eine größere und bei einem hohen Preis eine kleinere Angebotsmenge nachgefragt wird.[\[1\]](#cite_note-1) Dabei ist es ohne Bedeutung, ob das [Konsumverhalten](/wiki/Konsumverhalten "Konsumverhalten") der [Verbraucher](/wiki/Verbraucher "Verbraucher") [rationalen](/wiki/Rationalit%C3%A4t "Rationalität") oder [irrationalen](/wiki/Irrational "Irrational") Überlegungen folgt, weil das für die Nachfrage verfügbare [Einkommen](/wiki/Einkommen "Einkommen") begrenzt ist.

## Implikationen

\[ [Bearbeiten](/w/index.php?title=Gesetz_der_Nachfrage&veaction=edit&section=2 "Abschnitt bearbeiten: Implikationen") \| [Quelltext bearbeiten](/w/index.php?title=Gesetz_der_Nachfrage&action=edit&section=2 "Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Implikationen")\]

Nach [Gerhard Scherhorn](/wiki/Gerhard_Scherhorn "Gerhard Scherhorn") beruht das Gesetz der Nachfrage auf folgenden Implikationen:[\[2\]](#cite_note-2)

- Bei Verknappung eines Gutes passt sich die [Güternachfrage](/wiki/G%C3%BCternachfrage "Güternachfrage") an, weil sein steigender Preis für geringere Nachfrage sorgt.
- Umgekehrt passt sich die Nachfrage bei erhöhtem [Güterangebot](/wiki/G%C3%BCterangebot "Güterangebot") ebenfalls an, weil der sinkende Preis für eine höhere Nachfrage sorgt.
- Bei Entknappung sinkt die [Preiselastizität](/wiki/Preiselastizit%C3%A4t "Preiselastizität") der Nachfrage.
- Gleichzeitig verringert sich auch die prozentuale Gesamtnachfrage.
- Der Effekt der Verringerung der Preiselastizität tritt auch ein, wenn das durchschnittliche Einkommen der Nachfrager steigt.

## Formale Definition und Herleitung

\[ [Bearbeiten](/w/index.php?title=Gesetz_der_Nachfrage&veaction=edit&section=3 "Abschnitt bearbeiten: Formale Definition und Herleitung") \| [Quelltext bearbeiten](/w/index.php?title=Gesetz_der_Nachfrage&action=edit&section=3 "Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Formale Definition und Herleitung")\]

### Theorem

\[ [Bearbeiten](/w/index.php?title=Gesetz_der_Nachfrage&veaction=edit&section=4 "Abschnitt bearbeiten: Theorem") \| [Quelltext bearbeiten](/w/index.php?title=Gesetz_der_Nachfrage&action=edit&section=4 "Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Theorem")\]

Sei xi(p,y){\\displaystyle x\_{i}(\\mathbf {p} ,y)}![{\displaystyle x_{i}(\mathbf {p} ,y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0172aa7a38564415a0cd5028ea6336854f7fd03e) die [Marshallsche Nachfrage](/wiki/Marshallsche_Nachfrage "Marshallsche Nachfrage") nach einem Gut i{\\displaystyle i}![{\displaystyle i}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/add78d8608ad86e54951b8c8bd6c8d8416533d20) in Abhängigkeit von einem Preisvektor p=(p1,…,pn){\\displaystyle \\mathbf {p} =(p\_{1},\\ldots ,p\_{n})}![{\displaystyle \mathbf {p} =(p_{1},\ldots ,p_{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fb77871bd52509f906af6cb41add3f8ebc59b4e) und dem individuellen Einkommen y{\\displaystyle y}![{\displaystyle y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d). (Die marshallsche Nachfrage resultiert aus dem Nutzenmaximierungsproblem des Haushalts und gibt die Gütermenge – in Abhängigkeit von den Güterpreisen – an, die erforderlich ist, um mit einem gegebenen Einkommen y{\\displaystyle y}![{\displaystyle y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d) ein möglichst hohes Nutzenniveau zu erreichen.)

_Gesetz der Nachfrage[\[3\]](#cite_note-3):_ Sei _i_ ein normales Gut, das heißt sei ∂xi(p,y)/∂y>0{\\displaystyle \\partial x\_{i}(\\mathbf {p} ,y)/\\partial y>0}![{\displaystyle \partial x_{i}(\mathbf {p} ,y)/\partial y>0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67b475d21b15b5803a3d66d1983b2df3b5ba0cc0), dann gilt:

∂xi(p,y)∂pi<0{\\displaystyle {\\frac {\\partial x\_{i}(\\mathbf {p} ,y)}{\\partial p\_{i}}}<0}![{\displaystyle {\frac {\partial x_{i}(\mathbf {p} ,y)}{\partial p_{i}}}<0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f44aa905abd79eda9ed9f4baaf1ee42f8704d0f)

### Beweis

\[ [Bearbeiten](/w/index.php?title=Gesetz_der_Nachfrage&veaction=edit&section=5 "Abschnitt bearbeiten: Beweis") \| [Quelltext bearbeiten](/w/index.php?title=Gesetz_der_Nachfrage&action=edit&section=5 "Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Beweis")\]

Das Theorem folgt direkt aus der Slutsky-Gleichung, wonach

∂xi(p,y)∂pj⏟Gesamteffekt=∂xih(p,u¯)∂pj⏟Substitutionseffekt−xj(p,y)∂xi(p,y)∂y⏟Einkommenseffekt{\\displaystyle \\underbrace {\\frac {\\partial x\_{i}(\\mathbf {p} ,y)}{\\partial p\_{j}}} \_{\\mathrm {Gesamteffekt} }=\\underbrace {\\frac {\\partial x\_{i}^{h}(\\mathbf {p} ,{\\overline {u}})}{\\partial p\_{j}}} \_{\\mathrm {Substitutionseffekt} }\\underbrace {-x\_{j}(\\mathbf {p} ,y){\\frac {\\partial x\_{i}(\\mathbf {p} ,y)}{\\partial y}}} \_{\\mathrm {Einkommenseffekt} }}![{\displaystyle \underbrace {\frac {\partial x_{i}(\mathbf {p} ,y)}{\partial p_{j}}} _{\mathrm {Gesamteffekt} }=\underbrace {\frac {\partial x_{i}^{h}(\mathbf {p} ,{\overline {u}})}{\partial p_{j}}} _{\mathrm {Substitutionseffekt} }\underbrace {-x_{j}(\mathbf {p} ,y){\frac {\partial x_{i}(\mathbf {p} ,y)}{\partial y}}} _{\mathrm {Einkommenseffekt} }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13f3f960706ff57b7ec4e2f5e45251ff152b4ab6)

(Für eine Erläuterung wird auf den Artikel _[Slutsky-Gleichung](/wiki/Slutsky-Gleichung "Slutsky-Gleichung")_ verwiesen.) Im Eigenpreisfall _i=j_ geht aus dieser unmittelbar hervor, dass der [Einkommenseffekt](/wiki/Einkommenseffekt "Einkommenseffekt") negativ ist (gemäß der Annahme von Normalität). Der [Substitutionseffekt](/wiki/Substitutionseffekt "Substitutionseffekt") ist jedoch ebenfalls negativ, da die [Hicks’sche Nachfrage](/wiki/Hicks%E2%80%99sche_Nachfragefunktion "Hicks’sche Nachfragefunktion") nach einem Gut stets im Preis dieses Gutes fällt. Dies folgt aus [Shephards Lemma](/wiki/Shephards_Lemma "Shephards Lemma")[\[4\]](#cite_note-4): Wegen xih(p,u¯)=∂e(p,u¯)/∂pi{\\displaystyle x\_{i}^{h}(\\mathbf {p} ,{\\overline {u}})=\\partial e(\\mathbf {p} ,{\\overline {u}})/\\partial p\_{i}}![{\displaystyle x_{i}^{h}(\mathbf {p} ,{\overline {u}})=\partial e(\mathbf {p} ,{\overline {u}})/\partial p_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29531403dcf6ae8b2ecc6be174a380bf68224197) auch ∂xih(p,u¯)/∂pi=∂2e(p,u¯)/∂pi2{\\displaystyle \\partial x\_{i}^{h}(\\mathbf {p} ,{\\overline {u}})/\\partial p\_{i}=\\partial ^{2}e(\\mathbf {p} ,{\\overline {u}})/\\partial p\_{i}^{2}}![{\displaystyle \partial x_{i}^{h}(\mathbf {p} ,{\overline {u}})/\partial p_{i}=\partial ^{2}e(\mathbf {p} ,{\overline {u}})/\partial p_{i}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82f43bf880ef1ed7b1fc22e98d0af09096fe7d37). Da die [Ausgabenfunktion](/wiki/Ausgabenfunktion "Ausgabenfunktion")e{\\displaystyle e}![{\displaystyle e}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd253103f0876afc68ebead27a5aa9867d927467) aber konkav ist, ist diese partielle Ableitung ≤0{\\displaystyle \\leq 0}![{\displaystyle \leq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2e5a939be0b80d54d3b8828fee3d2dfe4aa4619).

Folglich ist der Gesamteffekt ebenfalls negativ, was zu zeigen war.

## Gesetz der kompensierten Nachfrage

\[ [Bearbeiten](/w/index.php?title=Gesetz_der_Nachfrage&veaction=edit&section=6 "Abschnitt bearbeiten: Gesetz der kompensierten Nachfrage") \| [Quelltext bearbeiten](/w/index.php?title=Gesetz_der_Nachfrage&action=edit&section=6 "Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Gesetz der kompensierten Nachfrage")\]

### Definition

\[ [Bearbeiten](/w/index.php?title=Gesetz_der_Nachfrage&veaction=edit&section=7 "Abschnitt bearbeiten: Definition") \| [Quelltext bearbeiten](/w/index.php?title=Gesetz_der_Nachfrage&action=edit&section=7 "Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Definition")\]

_Gesetz der kompensierten Nachfrage[\[5\]](#cite_note-5):_ Betrachte zwei beliebige Preistupel p0=(p10,…,pn0){\\displaystyle \\mathbf {p} ^{0}=\\left(p\_{1}^{0},\\ldots ,p\_{n}^{0}\\right)}![{\displaystyle \mathbf {p} ^{0}=\left(p_{1}^{0},\ldots ,p_{n}^{0}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acbf334f4ab825f97a481949bd77c1d764c61a88) und p1=(p11,…,pn1){\\displaystyle \\mathbf {p} ^{1}=\\left(p\_{1}^{1},\\ldots ,p\_{n}^{1}\\right)}![{\displaystyle \mathbf {p} ^{1}=\left(p_{1}^{1},\ldots ,p_{n}^{1}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ed5ddd00e7ecb489e9784a4c82f1f7e4955c461), wobei p1{\\displaystyle \\mathbf {p} ^{1}}![{\displaystyle \mathbf {p} ^{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e2b702868be05f7b335bfd33f76528aab65f1df) aus p0{\\displaystyle \\mathbf {p} ^{0}}![{\displaystyle \mathbf {p} ^{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a12aa79e89e14c53e879b6e11a967e906e972fff) durch eine Slutsky-kompensierte Preisänderung hervorgegangen ist. Dann erfüllt die marshallsche Nachfragefunktion x(p,y){\\displaystyle \\mathbf {x} (\\mathbf {p} ,y)}![{\displaystyle \mathbf {x} (\mathbf {p} ,y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/661612110c672ffe0efa4d7e91bbc5e2accb8d64) das Gesetz der kompensierten Nachfrage genau dann, wenn gilt:

(p1−p0)⋅(x1−x0)≤0{\\displaystyle \\left(\\mathbf {p} ^{1}-\\mathbf {p} ^{0}\\right)\\cdot \\left(\\mathbf {x} ^{1}-\\mathbf {x} ^{0}\\right)\\leq 0}![{\displaystyle \left(\mathbf {p} ^{1}-\mathbf {p} ^{0}\right)\cdot \left(\mathbf {x} ^{1}-\mathbf {x} ^{0}\right)\leq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d256573962ed8292a6bd40c8a096d930bfdf86b).

### Zusammenhang zur Theorie offenbarter Präferenzen

\[ [Bearbeiten](/w/index.php?title=Gesetz_der_Nachfrage&veaction=edit&section=8 "Abschnitt bearbeiten: Zusammenhang zur Theorie offenbarter Präferenzen") \| [Quelltext bearbeiten](/w/index.php?title=Gesetz_der_Nachfrage&action=edit&section=8 "Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Zusammenhang zur Theorie offenbarter Präferenzen")\]

#### Vorüberlegung

\[ [Bearbeiten](/w/index.php?title=Gesetz_der_Nachfrage&veaction=edit&section=9 "Abschnitt bearbeiten: Vorüberlegung") \| [Quelltext bearbeiten](/w/index.php?title=Gesetz_der_Nachfrage&action=edit&section=9 "Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Vorüberlegung")\]

Man überlege sich, dass in der Ausgangssituation ein Nachfrager gegeben die Güterpreise p0=(p10,…,pn0){\\displaystyle \\mathbf {p} ^{0}=\\left(p\_{1}^{0},\\ldots ,p\_{n}^{0}\\right)}![{\displaystyle \mathbf {p} ^{0}=\left(p_{1}^{0},\ldots ,p_{n}^{0}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acbf334f4ab825f97a481949bd77c1d764c61a88) und das Haushaltseinkommen y0{\\displaystyle y^{0}}![{\displaystyle y^{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9cd56a211bc86164ec0847c63e676c95a484c548) ein optimales Güterbundel q0=(q10,…,qn0){\\displaystyle \\mathbf {q} ^{0}=\\left(q\_{1}^{0},\\ldots ,q\_{n}^{0}\\right)}![{\displaystyle \mathbf {q} ^{0}=\left(q_{1}^{0},\ldots ,q_{n}^{0}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ade9a63aaed97ce97a59ef4e7bc0a31a4acbd152) wählt. Nun falle der Preis von Gut _i_ von pi0{\\displaystyle p\_{i}^{0}}![{\displaystyle p_{i}^{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11966ddec1fa0d0eceec8666527297ef3210d1d4) auf pi1{\\displaystyle p\_{i}^{1}}![{\displaystyle p_{i}^{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/259ce293d707b32f9ea3a16ec6bfa4ff8c95b7a6), woraus ein neues Preistupel p1{\\displaystyle \\mathbf {p} ^{1}}![{\displaystyle \mathbf {p} ^{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e2b702868be05f7b335bfd33f76528aab65f1df) resultiert. Zur gleichen Zeit modifiziert ein allwissender Planer das Haushaltseinkommen so, dass für den Haushalt das beste vor der Preisänderung erreichbare Güterbündel, q0{\\displaystyle \\mathbf {q} ^{0}}![{\displaystyle \mathbf {q} ^{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6127f56c96be9cb14548acf9e3b383f5ff136299), auch nach der Preissenkung gerade noch so bezahlbar ist (Slutsky-Kompensation).

Annahmegemäß ist der Nutzen aus q0{\\displaystyle \\mathbf {q} ^{0}}![{\displaystyle \mathbf {q} ^{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6127f56c96be9cb14548acf9e3b383f5ff136299) also gleich dem aus q1{\\displaystyle \\mathbf {q} ^{1}}![{\displaystyle \mathbf {q} ^{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a750c6e128c7ea0279af9c3bef95fa32af39aee). Da der Haushalt beim Preissystem p0{\\displaystyle \\mathbf {p} ^{0}}![{\displaystyle \mathbf {p} ^{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a12aa79e89e14c53e879b6e11a967e906e972fff) das Güterbündel q0{\\displaystyle \\mathbf {q} ^{0}}![{\displaystyle \mathbf {q} ^{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6127f56c96be9cb14548acf9e3b383f5ff136299) und nicht q1{\\displaystyle \\mathbf {q} ^{1}}![{\displaystyle \mathbf {q} ^{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a750c6e128c7ea0279af9c3bef95fa32af39aee) gewählt hat, muss bei Gültigkeit des schwachen Axioms offenbarter Präferenzen _(weak axiom of revealed preferences – WARP)_ das Güterbündel q1{\\displaystyle \\mathbf {q} ^{1}}![{\displaystyle \mathbf {q} ^{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a750c6e128c7ea0279af9c3bef95fa32af39aee) zu Preisen p0{\\displaystyle \\mathbf {p} ^{0}}![{\displaystyle \mathbf {p} ^{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a12aa79e89e14c53e879b6e11a967e906e972fff) mindestens so teuer gewesen sein als q0{\\displaystyle \\mathbf {q} ^{0}}![{\displaystyle \mathbf {q} ^{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6127f56c96be9cb14548acf9e3b383f5ff136299), da es für den Haushalt sonst schon im Zeitpunkt 0 strikt besser gewesen wäre, q1{\\displaystyle \\mathbf {q} ^{1}}![{\displaystyle \mathbf {q} ^{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a750c6e128c7ea0279af9c3bef95fa32af39aee) zu wählen.[\[6\]](#cite_note-6) Formal:

1) p0⋅q0≤p0⋅q1{\\displaystyle \\mathbf {p} ^{0}\\cdot \\mathbf {q} ^{0}\\leq \\mathbf {p} ^{0}\\cdot \\mathbf {q} ^{1}}![{\displaystyle \mathbf {p} ^{0}\cdot \mathbf {q} ^{0}\leq \mathbf {p} ^{0}\cdot \mathbf {q} ^{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1848295c64585950823a901771becf80f756978d).

Umgekehrt lässt sich mittels WARP auch analog einsehen, dass beim Preissystem p1{\\displaystyle \\mathbf {p} ^{1}}![{\displaystyle \mathbf {p} ^{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e2b702868be05f7b335bfd33f76528aab65f1df) der Haushalt wenigstens einen schwachen Anreiz haben muss, das Güterbündel q1{\\displaystyle \\mathbf {q} ^{1}}![{\displaystyle \mathbf {q} ^{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a750c6e128c7ea0279af9c3bef95fa32af39aee) dem Bündel q0{\\displaystyle \\mathbf {q} ^{0}}![{\displaystyle \mathbf {q} ^{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6127f56c96be9cb14548acf9e3b383f5ff136299) vorzuziehen – sonst hätte er nicht q1{\\displaystyle \\mathbf {q} ^{1}}![{\displaystyle \mathbf {q} ^{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a750c6e128c7ea0279af9c3bef95fa32af39aee) gewählt. Das Güterbündel q1{\\displaystyle \\mathbf {q} ^{1}}![{\displaystyle \mathbf {q} ^{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a750c6e128c7ea0279af9c3bef95fa32af39aee) kann also zu Preisen p1{\\displaystyle \\mathbf {p} ^{1}}![{\displaystyle \mathbf {p} ^{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e2b702868be05f7b335bfd33f76528aab65f1df) nicht teurer sein als das Bündel q0{\\displaystyle \\mathbf {q} ^{0}}![{\displaystyle \mathbf {q} ^{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6127f56c96be9cb14548acf9e3b383f5ff136299), das heißt

2) p1⋅q1≤p1⋅q0{\\displaystyle \\mathbf {p} ^{1}\\cdot \\mathbf {q} ^{1}\\leq \\mathbf {p} ^{1}\\cdot \\mathbf {q} ^{0}}![{\displaystyle \mathbf {p} ^{1}\cdot \mathbf {q} ^{1}\leq \mathbf {p} ^{1}\cdot \mathbf {q} ^{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41666243fca2de192041da404cf57ff17a2c514f).

Addieren von 1) und 2) liefert nun sofort

p0⋅q0+p1⋅q1≤p0⋅q1+p1⋅q0⇔(p1−p0)⋅(q1−q0)≤0{\\displaystyle \\mathbf {p} ^{0}\\cdot \\mathbf {q} ^{0}+\\mathbf {p} ^{1}\\cdot \\mathbf {q} ^{1}\\leq \\mathbf {p} ^{0}\\cdot \\mathbf {q} ^{1}+\\mathbf {p} ^{1}\\cdot \\mathbf {q} ^{0}\\quad \\Leftrightarrow \\quad \\left(\\mathbf {p} ^{1}-\\mathbf {p} ^{0}\\right)\\cdot \\left(\\mathbf {q} ^{1}-\\mathbf {q} ^{0}\\right)\\leq 0}![{\displaystyle \mathbf {p} ^{0}\cdot \mathbf {q} ^{0}+\mathbf {p} ^{1}\cdot \mathbf {q} ^{1}\leq \mathbf {p} ^{0}\cdot \mathbf {q} ^{1}+\mathbf {p} ^{1}\cdot \mathbf {q} ^{0}\quad \Leftrightarrow \quad \left(\mathbf {p} ^{1}-\mathbf {p} ^{0}\right)\cdot \left(\mathbf {q} ^{1}-\mathbf {q} ^{0}\right)\leq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04147f6c3f4029491b83c47f7430aa28330a32d3),

was zu zeigen war.

#### Äquivalenz zu WARP

\[ [Bearbeiten](/w/index.php?title=Gesetz_der_Nachfrage&veaction=edit&section=10 "Abschnitt bearbeiten: Äquivalenz zu WARP") \| [Quelltext bearbeiten](/w/index.php?title=Gesetz_der_Nachfrage&action=edit&section=10 "Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Äquivalenz zu WARP")\]

In der _Vorüberlegung_ wird gezeigt, dass das schwache Axiom offenbarter Präferenzen die Gültigkeit des Gesetzes der kompensierten Nachfrage impliziert. Es lässt sich zeigen, dass hierzu auch die Rückrichtung gilt.

_Äquivalenz von WARP und dem Gesetz der kompensierten Nachfrage[\[7\]](#cite_note-7):_ Sei die Marshallsche Nachfragefunktion x(p,y){\\displaystyle \\mathbf {x} (\\mathbf {p} ,y)}![{\displaystyle \mathbf {x} (\mathbf {p} ,y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/661612110c672ffe0efa4d7e91bbc5e2accb8d64) homogen vom Grade null und genüge sie dem [Walras-Gesetz](/wiki/Walras-Gesetz "Walras-Gesetz"). Dann genügt x(p,y){\\displaystyle \\mathbf {x} (\\mathbf {p} ,y)}![{\displaystyle \mathbf {x} (\mathbf {p} ,y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/661612110c672ffe0efa4d7e91bbc5e2accb8d64) dem [schwachen Axiom offenbarter Präferenzen](/wiki/Revealed_Preference "Revealed Preference") genau dann (und nur dann), wenn das Gesetz der kompensierten Nachfrage erfüllt ist.

## Literatur

\[ [Bearbeiten](/w/index.php?title=Gesetz_der_Nachfrage&veaction=edit&section=11 "Abschnitt bearbeiten: Literatur") \| [Quelltext bearbeiten](/w/index.php?title=Gesetz_der_Nachfrage&action=edit&section=11 "Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Literatur")\]

- Richard Cornes: _Duality and modern economics._ Cambridge University Press, Cambridge u. a. 1992, [ISBN 0-521-33601-5](/wiki/Spezial:ISBN-Suche/0521336015).
- Geoffrey A. Jehle und Philip J. Reny: _Advanced Microeconomic Theory._ 3\. Aufl. Financial Times/Prentice Hall, Harlow 2011, [ISBN 978-0-273-73191-7](/wiki/Spezial:ISBN-Suche/9780273731917).
- Andreu Mas-Colell, Michael Whinston und Jerry Green: _Microeconomic Theory._ Oxford University Press, Oxford 1995, [ISBN 0-195-07340-1](/wiki/Spezial:ISBN-Suche/0195073401).
- Nolan H. Miller: _Notes on Microeconomic Theory._ [online](https://web.archive.org/web/20111215223851/http://www.hks.harvard.edu/nhm/notes2006/firsthalf.pdf) ( [Memento](/wiki/Web-Archivierung#Begrifflichkeiten "Web-Archivierung") vom 15. Dezember 2011 im _[Internet Archive](/wiki/Internet_Archive "Internet Archive")_) (PDF; 1 MB), S. 65, abgerufen am 2. Januar 2015. \[Hier S. 23 ff.\]
- [Hal Varian](/wiki/Hal_Varian "Hal Varian"): _Intermediate Microeconomics._ A Modern Approach. 8. Aufl. W. W. Norton, New York und London 2010, [ISBN 978-0-393-93424-3](/wiki/Spezial:ISBN-Suche/9780393934243).

## Einzelnachweise

\[ [Bearbeiten](/w/index.php?title=Gesetz_der_Nachfrage&veaction=edit&section=12 "Abschnitt bearbeiten: Einzelnachweise") \| [Quelltext bearbeiten](/w/index.php?title=Gesetz_der_Nachfrage&action=edit&section=12 "Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Einzelnachweise")\]

1. [↑](#cite_ref-1)[Wolfgang J. Koschnick, _Management_, 1996, S. 224](https://www.google.de/books/edition/Management/XQMCy2USTlsC?hl=de&gbpv=1&dq=Gesetz+der+Nachfrage&pg=PA224&printsec=frontcover)
2. [↑](#cite_ref-2)Gerhard Scherhorn, _Bedürfnis und Bedarf_, 1959, S. 70
3. [↑](#cite_ref-3)Hal Varian, _Intermediate Microeconomics. A Modern Approach_. 8\. Aufl., 2010, S. 147; Geoffrey A. Jehle/Philip J. Reny, _Advanced Microeconomic Theory_. 3\. Aufl., 2011, S. 56.
4. [↑](#cite_ref-4)Vgl. nur Geoffrey A. Jehle/Philip J. Reny, _Advanced Microeconomic Theory_. 3\. Aufl., 2011, S. 53–56.
5. [↑](#cite_ref-5)Richard Cornes, _Duality and modern economics_, 1992, S. 64 f.; Andreu Mas-Colell/Michael Whinston/Jerry Green, _Microeconomic Theory_, 1995, S. 28–30.
6. [↑](#cite_ref-6)Die nachfolgende Darstellung der Herleitung folgt Cornes 1992, S. 64.
7. [↑](#cite_ref-7)Vgl., auch zum Beweis, Mas-Colell/Whinston/Green 1995, S. 30 f.

Abgerufen von „ [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Gesetz\_der\_Nachfrage&oldid=243231057](https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Gesetz_der_Nachfrage&oldid=243231057)“

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