Diferansiyel Denklemler ve Temel Kavramları - KBT Bilim Sitesi
Kısmi diferansiyel denklemler: İçerisinde iki ve daha fazla bağımsız değişkeni bulunduran diferansiyel denklemlere kısmi diferansiyel denklemler ...
﻿


 Diferansiyel Denklemler ve Temel Kavramları - KBT Bilim Sitesi

- [Anasayfa](https://www.kuark.org)
- [Ana Sayfa](http://www.kuark.org)
- [Kuark Bilim Topluluğu](https://www.kuark.org/kuark-bilim-toplulugu/)
  - [Çalışma Gruplarımız](http://www.grup.kuark.org)
  - [KuarkTeknoloji](http://www.teknoloji.kuark.org)
  - [NetBilim](http://www.netbilim.kuark.org)
  - [MikroNano](http://www.mikronano.org)
- [e-Kitap](https://www.kuark.org/kbt-e-kitap/)
  - [LHC Deneyi](https://www.kuark.org/kbt-e-kitap/lhc-deneyi/)
  - [Türkiye’de Beyin Göçü](https://www.kuark.org/kbt-e-kitap/turkiyede-beyin-gocu/)
  - [Zamanda Yolculuk](https://www.kuark.org/kbt-e-kitap/zamanda-yolculuk/)
- [Yazarlarımız](https://www.kuark.org/yazarlarimiz/)
- [E-posta](http://www.kuark.org/mail)
- [ENGLISH](https://www.kuark.org/kuark-science-community/)

[Facebook](https://www.facebook.com/kuarkorg "Facebook")[RSS](http://feeds.feedburner.com/kbtbilimsitesi "RSS")[Twitter](https://twitter.com/NetBilim "Twitter")[Youtube](http://www.youtube.com/kbtbilim "Youtube")

## [KBT Bilim Sitesi](https://www.kuark.org)

- [Haber](https://www.kuark.org/category/bilimhaberleri/)
  - [Bilimsel Etkinlikler](https://www.kuark.org/category/bilimhaberleri/bilimsel-etkinlikler/)
  - [Biyoloji ve Genetik Haberleri](https://www.kuark.org/category/bilimhaberleri/biyogenetikhaberleri/)
  - [Dünya Bilimleri](https://www.kuark.org/category/bilimhaberleri/dunya/)
  - [Enerji Haberleri](https://www.kuark.org/category/bilimhaberleri/enerji-haberleri/)
  - [Fizik Haberleri](https://www.kuark.org/category/bilimhaberleri/fizikhaberleri/)
  - [Kimya Haberleri](https://www.kuark.org/category/bilimhaberleri/kimyahaberleri/)
  - [Nanoteknoloji Haberleri](https://www.kuark.org/category/bilimhaberleri/nanoteknolojihaberleri/)
  - [Uzay](https://www.kuark.org/category/bilimhaberleri/uzayhaberleri/)
- [Gelecek](https://www.kuark.org/category/gelecek-inovasyon/)
  - [Askeri Teknolojiler](https://www.kuark.org/category/gelecek-inovasyon/askeriteknolojiler/)
  - [Bilim-Kurgu](https://www.kuark.org/category/gelecek-inovasyon/bilim-kurgu/)
  - [İklim Değişimi](https://www.kuark.org/category/gelecek-inovasyon/kureseliklimdegisikligi/)
  - [Bilimde Yenilikçilik](https://www.kuark.org/category/gelecek-inovasyon/bilimdeyenilikcilik/)
  - [Yapay Zeka&Robotik](https://www.kuark.org/category/gelecek-inovasyon/robotik/)
  - [Türkiye’de Bilim](https://www.kuark.org/category/gelecek-inovasyon/turkiyede-bilim/)
  - [Bilim İnsanları](https://www.kuark.org/category/gelecek-inovasyon/biliminsanlari/)
- [Fizik](https://www.kuark.org/category/fizik/)
  - [AstroFizik](https://www.kuark.org/category/fizik/astrofizik/)
  - [Atom Fiziği](https://www.kuark.org/category/fizik/atom-fizigi/)
  - [Katıhal Fiziği](https://www.kuark.org/category/fizik/katihalfizigi/)
    - [Elektronik ve Fotonik](https://www.kuark.org/category/fizik/elektronik-fotonik/)
    - [Yarıiletken Fiziği](https://www.kuark.org/category/fizik/yariiletken/)
    - [Elektromanyetik](https://www.kuark.org/category/fizik/elektromanyetik/)
    - [Optik](https://www.kuark.org/category/fizik/optik/)
  - [Kuantum Fiziği](https://www.kuark.org/category/fizik/kuantum-fizigi/)
    - [Modern Fizik](https://www.kuark.org/category/fizik/modernfizik/)
    - [Parçacık Fiziği](https://www.kuark.org/category/fizik/parcacikfizigi/)
  - [Teorik Fizik](https://www.kuark.org/category/fizik/teorikfizik/)
- [Nano](https://www.kuark.org/category/nanoteknoloji/)
  - [Malzeme Bilimi](https://www.kuark.org/category/nanoteknoloji/malzemebilimi/)
  - [Nanomalzemeler](https://www.kuark.org/category/nanoteknoloji/nanomalzemeler/)
  - [Nanobiyoteknoloji](https://www.kuark.org/category/nanoteknoloji/nanobiyoteknoloji/)
  - [Nanoelektronik](https://www.kuark.org/category/nanoteknoloji/nanoelektronik/)
  - [Nanofizik](https://www.kuark.org/category/nanoteknoloji/nanofizik/)
  - [Nanotıp](https://www.kuark.org/category/nanoteknoloji/nanotip-nanoteknoloji/)
- [Biyoloji](https://www.kuark.org/category/biyolojigenetik/)
  - [Biyoteknoloji](https://www.kuark.org/category/biyolojigenetik/biyoteknoloji/)
  - [Canlılar](https://www.kuark.org/category/biyolojigenetik/canlilar/)
  - [Genel Biyoloji](https://www.kuark.org/category/biyolojigenetik/genelbiyoloji/)
  - [Genetik](https://www.kuark.org/category/biyolojigenetik/genetik/)
- [Enerji&Uzay](https://www.kuark.org/category/enerjiuzay/)
  - [Alternatif Enerji Kaynakları](https://www.kuark.org/category/enerjiuzay/alternatifenerji/)
    - [Güneş Enerjisi](https://www.kuark.org/category/enerjiuzay/gunes-enerjisi-enerjiuzay/)
    - [Nükleer Enerji](https://www.kuark.org/category/enerjiuzay/nukleerenerji/)
  - [Evren](https://www.kuark.org/category/enerjiuzay/evren/)
    - [Güneş Sistemi](https://www.kuark.org/category/enerjiuzay/gunessistemi/)
  - [Dünya Dışı Yaşam](https://www.kuark.org/category/enerjiuzay/dunyadisiyasam/)
- [Doğa](https://www.kuark.org/category/doga/)
  - [Çevre](https://www.kuark.org/category/doga/cevre/)
  - [Yer Bilimleri](https://www.kuark.org/category/doga/yer-bilimleri/)
  - [Kimya](https://www.kuark.org/category/fizik/kimya/)
  - [Matematik](https://www.kuark.org/category/fizik/matematik/)
  - [Doğa Bilimleri](https://www.kuark.org/category/doga/doga-bilimleri/)

# Diferansiyel Denklemler ve Temel Kavramları

![](https://www.kuark.org/wp-content/uploads/2013/01/diferansiyeldenklemler.jpg)

Bir diferansiyel denklemi en genel biçimde tanımlamak gerekirse bu tanım şu şekilde olur; bilinmeyen fonksiyonu ve bu fonksiyonun türevlerini içeren denkleme _**diferansiyel denklem**_ denir.

y”+xy=0 ; bir diferansiyel denklemdir.

y3+y=0 ; denklem içerisinde bir türev olmadığı için diferansiyel denklem değildir.

y(3)+y=0 ise bir diferansiyel denklemdir.

![diferansiyeldenklemler](http://www.kuark.org/wp-content/uploads/2013/01/diferansiyeldenklemler.jpg)

Diferansiyel denklemleri ikiye ayırmak mümkündür.

_**Adi diferansiyel denklemler:**_Tek bağımsız değişkeni bulunduran diferansiyel denklemlere adi diferansiyel denklemler denilmektedir.

y’+xy=0 denklemi örnek olarak gösterilebilir ve buradaki bağımsız değişken x, y ise x’e bağımlı değişkendir. \[y=y(x)\]

_**Kısmi diferansiyel denklemler:**_ İçerisinde iki ve daha fazla bağımsız değişkeni bulunduran diferansiyel denklemlere kısmi diferansiyel denklemler denir.

d2y/dx2=d2y/dt2 ; x ve t bağımsız değişkenler, y ise bağımlı değişkendir.Bu denklemi, y”(x)=4y”(t) şeklinde göstermek de mümkündür.

_**Bir diferansiyel denklemin basamağı**_ ise denklemin en yüksek _**“türev”**_ inin basamağıdır veya mertebesidir.

y’+xy=0 => 1.mertebeden

y”+y=0 => 2.basamaktan

Bir diferansiyel denklemin derecesi bilinmeyen fonksiyon ve onun en yüksek mertebeden türevinin denkleminin “polinom” şeklinde yazılışındaki derecesine denklemin derecesi denir.

Bu hususta aşağıdaki maddelerin bilinmesi gereklidir:

- Her denklemin bir derecesi olmak zorunda değildir. Çünkü her diferansiyel denklem bir polinom olmayabilir.
- yn ile y(n) farklıdır.yn, y’nin n. dereceden üssü iken y(n) n. dereceden türevidir.
- dy/dz=1 ise dz/dy=1’dir.

**Lineer Denklemler:**

İleriki diferansiyel denklemler konularında karşımıza çıkacak olan lineer denklemler ile ilgili bir takım özellikleri gözden geçirmemiz diferansiyel denklemleri bir bütün olarak ele almamızda yarar sağlayacaktır.

Genel denlemi denlemi an(x)y(n)+an-1(x)y(y-1)+…+a1(x)y’+a0(x)y=b(x)  olan denklemlere_**lineer denklemler**_ denir. b(x), sıfıra eşit ise denkleme _**homojen lineer denklem**_ denir, sıfıra eşit değilse _**homojen olmayan lineer denklem**_ denir.

Lineer denklemin özellikleri:

- Bir denklemin lineer olabilmesi için bağımlı değişken ve türevlerinin hepsinin kuvveti 1 olmalıdır.
- Lineer bir denklemde bağımlı değişken ve türevleri hiçbir zaman çarpım durumunda bulunamaz.
- xy’y-5sinx=0 => lineer bir denklem değildir.
- Bir lineer denklemde tüm katsayılar sabit ise denkleme _**sabit katsayılı lineer denklem**_ denir.
- Fonksiyonun katsayılarından en az biri bağımsız değişken fonksiyon ise denklem _**değişken katsayılı lineer denklem**_dir.

**Diferansiyel Denklemlerin Elde Edilişi**

Problemde bireysel özellikleri verilebilir, geometrik özellikleri ile verilebilir ya da uygulamalı bilim dallarında bir matematiksel model ile karşımıza çıkar.

Diferansiyel denklemlerin elde edilişi konusunda basit bir örnek irdelemek gerekirse,

“Her noktasındaki teğetinin eğimi apsis ve ordinatının çarpımına eşit olan eğrileri bulunuz.” diye bir soru karşımıza çıktığında aşağıdaki işlemler uygulanır.

- Bir eğrinin teğetinin eğimi o noktadaki türevidir.
- Apsisin x ,ordinatın y olduğu düşünülürse elde edeceğimiz diferansiyel denklem y’=xy’dir.

x bağımsız, y bağımlı olmak üzere n’inci basamaktan bir diferansiyel denklemin en genel şekli;

F(x,y,y’,y”,…,y(n))=0 ya da bunun açık biçimi olan y(n)=G(x,y,y’,y”,…,y(n-1))’dir.

**Diferansiyel Denklemin Çözümü ve Çözüm Çeşitleri**

Bir diferansiyel denklemin bütün çözümlerini içeren çözüme genel çözüm denir. Genel çözümün grafiğine de integral ailesi denir. Çözümdeki c (parametre) sayısına göre 1-parametreli,2-parametreli çözüm, n-parametreli çözüm şeklinde çözümler adlandırılabilir.

Parametrik çözümden elde edilemeyen ancak denklemi sağlayan çözüme aykırı çözüm denir. Denklem lineer ise parametrik çözüm genel çözümdür.

Bir diferansiyel denklemin çözümünde elde edilmiş ifadeleri elemanter fonksiyonlarla hesaplanamayan integralleri içeriyorsa bu denklemin çözümü bir belirsiz integral aracılığı ile verilmiştir (kuvadratüre dönüştürülmüştür) denir. Örnek olarak,

y’=sinx2 denkleminin çözümü y(x)=Ssinx2dx +c ‘dir.

**Diferansiyel Denklemlerde Başlangıç ve Sınır Değer Problemleri**

Bilinmeyen fonksiyon ve onun türevlerinin bağımsız değişkenlerinin bir tek noktasında beliren yardımcı şartlara başlangıç şartları, başlangıç şartlarıyla birlikte denklemi oluşturan probleme de başlangıç değer problemi denir. Başlangıç değer problemlerinde şartların verilişi ve bir biçimi söz konusudur.

y’+xy=1, y(0)=1

y”+4xy=0, y(0)=1, y’(0)=2

y’=2x, y(0)=0 ->  y=x2+c, y(0)=0; c=0

Bu tür denklemlerde de genellikle c parametresinin değeri bulunur.

Sınır değer problemlerinde ise bilinmeyen fonksiyonun ve onun türevlerini bağımlı değişkenin birden fazla noktasında beliren yardımcı şartlara sınır şartları denir. İşte bu tür şartların olduğu problemlere sınır değer problemleri denir.

Bu yazıyı hazırlarken Prof. Dr. Aydın Tiryaki hocamın Diferansiyel Denklemler dersini verdiği dersteki çalışma notlarımdan derledim. Umarım faydalı olur…

Gökhan Atmaca – Tarih: _07.06.08_ \| [facebook.com/anadoluca](http://facebook.com/anadoluca) – [twitter.com/kuarkatmaca](http://twitter.com/kuarkatmaca)

Oca 25, 2013Gökhan Atmaca

**Uyarı! Kuark Bilim Topluluğu Bilim Sitesi'nde yayınlanan haber ve makaleler, genellikle telif hakkına sahip olunan çalışmalardır. Bu nedenle kopyalanıp yayınlanması, izinsiz kullanılması yasa ihlalidir. İhlal edenler hapis cezası ve para cezası ile karşılaşabilirler.**

["Matematik Sanatı" \| Jerry P. King](https://www.kuark.org/2013/01/matematik-sanati-jerry-p-king/ "Önceki") [Kuantum Tünelleme Nedir?](https://www.kuark.org/2013/01/kuantum-tunelleme-nedir/ "Sonraki")

Yorumlar: 4

1. ![](https://secure.gravatar.com/avatar/9b7c7be2216c5c7b46d068912aa882ee?s=75&r=g)





Reyhan



07 Ocak 2015   22:40



Genel olarak güzel ve Diferansiyel denklemler hakkında özet bir yazı olmuş.


/ yazım hatalarına biraz daha dikkat ederseniz çok daha iyi olur okuyan açısından /

[Yanıtla](https://www.kuark.org/2013/01/diferansiyel-denklemler-ve-temel-kavramlari/?replytocom=678#respond "678")İptal

2. ![](https://secure.gravatar.com/avatar/10ff8d5a7086e2d14646b7996905ab2d?s=75&r=g)





can



11 Kasım 2015   11:46



Güzel bir özetleme olmuş ama bir kaç örnek verseydiniz basitinden daha doyurucu olurdu. Umarım yazıyı yeniden editlersiniz

[Yanıtla](https://www.kuark.org/2013/01/diferansiyel-denklemler-ve-temel-kavramlari/?replytocom=788#respond "788")İptal












   - ![](https://secure.gravatar.com/avatar/8fca8b916bcb3eb50c64ccab5a36f39a?s=50&r=g)





     [Gökhan Atmaca](http://www.kuark.org/atmaca)



     11 Kasım 2015   20:25



     Elbette ilerleyen zamanlarda güncelleme yapabiliriz. İlginiz için teşekkürler

     [Yanıtla](https://www.kuark.org/2013/01/diferansiyel-denklemler-ve-temel-kavramlari/?replytocom=789#respond "789")İptal
3. ![](https://secure.gravatar.com/avatar/0c5e910c57ecbdd8db2461aa5260d1a2?s=75&r=g)





Ela



08 Kasım 2016   22:21



Başlangıç için gayet tatmin edici:) hele ki benim gibi dif denklem dersine ön yargılı biri için,teşekkürler

[Yanıtla](https://www.kuark.org/2013/01/diferansiyel-denklemler-ve-temel-kavramlari/?replytocom=925#respond "925")İptal


Yorum yapabilmeniz için giriş yapmanız gerekmektedir. - [Giriş yap](https://www.kuark.org/giris/?redirect_to=https%3A%2F%2Fwww.kuark.org%2F2013%2F01%2Fdiferansiyel-denklemler-ve-temel-kavramlari%2F)

[![](https://secure.gravatar.com/avatar/8fca8b916bcb3eb50c64ccab5a36f39a?s=110&r=g)](https://www.kuark.org/author/gokhan-atmaca/)

##### Gökhan Atmaca

Kuark Bilim Topluluğu'nun kurucusu yazarımız,

2018'de Gazi Üniversitesi'nde Katıhal Fiziği Anabilim dalında doktorasını almıştır.

2008'den bu yana [Lisesivdin Araştırma Grubu](http://www.lrgresearch.org)'nda araştırmacı olarak çalışmaktadır.

2015'te Polonya'da ve 2016'da Güney Kore'de misafir araştırmacı olarak çalışmıştır.

Yarıiletken malzemeleri ve teknolojileri, nanomalzemeler konularında uluslararası hakemli dergilerde 18 yayını bulunmaktadır. Çeşitli bilimsel dergilerde hakemlik yapmıştır.

2006-2012 yılları arasında NetBilim Dergisi'nin editörlüğünü yapmıştır.

KBT Bilim Sitesi'nde 950'den fazla haber ve makale yayınlamıştır.

[Diğer yazıları](http://kuark.org/author/gokhan-atmaca) \| [Blog Sayfası](http://www.kuark.org/atmaca) \| [Twitter](http://www.twitter.com/kuarkatmaca)

25 Ocak 2013[5 Yorumlar](https://www.kuark.org/2013/01/diferansiyel-denklemler-ve-temel-kavramlari/#comments)[Matematik](https://www.kuark.org/category/fizik/matematik/)[lineer denklemler](https://www.kuark.org/tag/lineer-denklemler/), [sınır değer problemleri](https://www.kuark.org/tag/sinir-deger-problemleri/)

##### E-posta aboneliği

**E-posta adresinizi bırakın ve bilim haberleri e-posta kutunuza gelsin..**

##### Bizi takip edin!

[![](http://feeds.feedburner.com/~fc/KbtBilimSitesi?bg=0066FF&fg=FFFF99&anim=0&label=okuyucu)](http://feeds.feedburner.com/KbtBilimSitesi)

##### Reklam Alanı

##### Üyelik

- [Hesap aç](https://www.kuark.org/giris/?action=register)
- [Oturum aç](https://www.kuark.org/giris/)
- [Kayıt akışı](https://www.kuark.org/feed/)
- [Yorum akışı](https://www.kuark.org/comments/feed/)
- [WordPress.org](https://tr.wordpress.org/)

##### Facebook’ta Takip Edin

[Facebook'ta KBT Bilim Sitesi'ni Takip Edin!](http://www.facebook.com/kuarkorg)

##### Reklam Alanı

##### KBT Web Ağı

- [E-Bilge](http://www.ebilge.com "Kuark Bilim Topluluğu’nun desteklediği bir web sitesi")
- [KBT Bilim Terimleri](http://www.kuark.org/terim "Bilim terimleri ile ilgili bir sayfa")
- [KBT Çalışma Grupları](http://www.grup.kuark.org "Çalışma gruplarımız")
- [KBT Nanoteknoloji Tanıtım Ofisi](http://www.kuark.org/nano "Nanoteknoloji tanıtım ofisimiz")
- [Kuark Teknoloji](http://www.teknoloji.kuark.org "Topluluğumuzun bilim ve teknoloji sayfası")
- [NanoTürkiye](http://www.nanoturkiye.net "Türkiye’nin Nanoteknoloji Blogu")

##### Reklam-Tanıtım

KBT Bilim Sitesi'nde ürün, etkinlik-organizasyon tanıtımı yapmak için iletişime geçebilirsiniz.

İletişim için e-posta: kbt@kuark.org

##### E-bülten ve Üyelik

Bilimsel gelişmeleri takip etmek için ücretsiz [üye ol!](http://www.kuark.org/2012/08/kbt-bilim-sitesi-e-bulten/)

© 2003-2016; Kuark Bilim Topluluğu. Tüm hakları saklıdır. All Rights Reserved.

© 2003-2017; Kuark Bilim Topluluğu. Tüm hakları saklıdır. All Rights Reserved.

Grimag theme by [StrictThemes](http://strictthemes.com)

Copy Protected by [Chetan](http://chetangole.com/)'s [WP-Copyprotect](http://chetangole.com/blog/wp-copyprotect/).