Bài toán cân 10 đồng xu Đề bài:Cho 10 đồng xu, trong đó có ít nhất 9 đồng xu thật. Đồng xu cuối cùng có thể là đồng xu thật hoặc đồng xu giả. Tất cả các đồng xu thật có khối lượng như nhau. Đồng xu giả có thể nặng hơn hoặc nhẹ hơn so với đồng xu thật. Cần xác định trong 10 đồng xu, có xu giả hay không, nếu có thì đồng xu giả nặng hơn hay nhẹ hơn một đồng xu thật, với một chiếc cân hai đĩa.Hỏi cần ít nhất bao nhiêu lần cân trên một chiếc cân hai đĩa để xác định?Trần Phương 3 lần cân! Lần đầu tiên mỗi bên 3 đồng xu, nếu bằng nhau thì cân còn lại mỗi bên 1 đồng. Chỉ cần 2 lần cân như sau: cân mỗi bên 3 đồng, sẽ có 2 khả năng- Nếu cân vẫn thăng bằng: lấy 4 đồng trong 6 đồng đã cân làm chuẩn để cân 4 đồng chưa cân còn lại => dễ dàng xác định được có đồng giả hay ko và đồng giả, nếu có, nặng hơn hay nhẹ hơn vì 4 đồng lấy làm chuẩn là 4 đồng thật.- Nếu cân lệch: lấy 3 trong 4 đồng chưa cân làm chuẩn (3 đồng này chắc chắn là thật) cân với 3 đồng bên nặng hơn. Nếu cân thăng bằng thì đồng xu giả nhẹ hơn. Nếu cân vẫn lệch về bên nặng hơn thì đồng xu giả nặng hơn. - Lần 1: Cân mỗi bên 5 đồng. Nếu cân bằng => không có xu giả; nếu không cân => có xu giả tiếp lần 2.- Lần 2: Chọn 1 trong 2 nhóm 5 đồng đã cân (lưu ý ghi nhớ nó là bên nặng hay bên nhẹ). Giả sử ta chọn bên nặng, lấy ra 4 đồng bỏ lên 2 bên cân. Nếu không cân => đồng xu giả nặng hơn. Nếu cân thì tiếp lần 3.- Lần 3: Bỏ ra 1 đồng bất kì, lấy đồng còn lại thay thế. Nếu vẫn cân => Đồng xu giả nhẹ hơn vì nó nằm bên nhóm nhẹ. Nếu không cân => Đồng xu giả nặng hơn. Hai lần cân là dc rồi.Lần 1 cân mỗi bên 3 đồng.TH1: Nếu 2 bên bằng nhau thì 6 đồng đã cân là thật. Đem 4 trong 6 đồng đó đặt 1 bên, bên kia là 4 đồng chưa cân để xác định thật-giả, nặng-nhẹTH2: Nếu 2 bên khác nhau thì 4 đồng chưa cân là thật. Giữ nguyên 1 bên cân, bên kia thay bằng 3 trong 4 đồng thật đó. Nếu 2 bên bằng nhau thì xu giả ở 3 đồng bỏ ra, nặng-nhẹ đã biết từ lần cân 1. Nếu 2 bên khác nhau thì xu giả ở 3 đồng trên đĩa cân, so với bên thật để biết nặng-nhẹ Cần 2 lần cân.Lần 1 đặt mỗi bên 3 đồng xu.TH1: Nếu cân cân bằng => cả 6 đồng này là đồng xu thật.Lấy 4 (trong 6 đồng thật này) 1 bên, 4 đồng còn lại 1 bên --> sẽ biết được thật giả, nặng nhẹ hơn.TH2: Cân bị lệch => 4 đồng còn lại là đồng thật.Giữ nguyên 1 bên (giữ bên nhẹ), thay bên còn lại = 3 (trong 4 đồng thật)Cân cân bằng --> có đồng xu giả nặngCân bị lệch --> có đồng xu giả nhẹ hơn ( vì 3 đồng thật vừa thay ra nặng hơn) nếu chỉ cần biết có đồng xu giả nặng hay nhẹ thôi thì 2 lần cân là đủ, còn muốn lấy đồng xu đó ra thì 3 lần cân 2 lần thôi: lấy 4 xu bất kỳ lên mỗi bên cân. 1.Nếu cân bằng, lấy 2 xu trên đĩa và 2 xu chưa cân cân thử. Nếu bằng tiếp, không có xu khác. Nếu nặng hoặc nhẹ hơn, thì biết có xu nặng hoặc nhẹ hơn. 2. Nếu lần cân đầu có chênh lệch: lấy bên bất kỳ, ví dụ bên nặng, chia đôi cân tiếp: nếu bằng, có xu khác nhẹ hơn. Nếu lệch, có xu khác nặng hơn Trong 10 đồng có ít nhất 9 đồng thật --> có 1 đồng giả hoặc 0 có đồng giả nàoChia 10 đồng xu thành 3 phần A: 3 đồng, B: 3 đồng, C: 3 đồng, D: 1 đồngLần 1: Cân A và B- Nếu A = B thì A, B thật, cân A với C+ Nếu A=C thì C thật, lấy 1 đồng bất kì trong A,B,C cân với D để xác định D thật giả, nặng nhẹ >> 3 lần cân+ Nếu A>C thì trong C có 1 đồng giả nhẹ hơn, lấy 2 đồng của C đem cân, nếu = thì đồng còn lại là giả và nhẹ hơn, nếu <> thì đồng nào nhẹ hơn là giả >> 3 lần cân+ Nếu AC, nếu có đồng giả thì đồng đó nặng hơn >> 3 lần cân- Nếu A>B thì A hoặc B có 1 đồng giả, C, D thật, cân A với C+ Nếu A=C thì trong B có 1 đồng giả nhẹ hơn, lấy 2 đồng của B đem cân, nếu = thì đồng còn lại là giả và nhẹ hơn, nếu <> thì đồng nào nhẹ hơn là giả >> 3 lần cân+ Nếu A>C thì trong A có 1 đồng giả nặng hơn, lấy 2 đồng của A đem cân, nếu = thì đồng còn lại là giả và nặng hơn, nếu <> thì đồng nào nặng hơn là giả >> 3 lần cân+ Nếu AB, A BB, chỉ khác trọng lượng nặng nhẹKết quả: 3 lần cân---------------P/s: Cân 1 lần 5-5 bằng nhau thì 10 đồng là thật hết =)). 4 lần cân 3 lần cân là đủ phân biệt xem có đồng giả nào không, nó nặng hay nhẹ hơn đồng thật.Chia làm 4 phần 1, 3, 3, 3:Gọi theo tên các cặp 3 là A, B, CLần 1:- A cân với B:+ Bằng nhau gọi là trường hợp H1Bằng+ Khác nhau gọi là H1Khác => ghi lại bên nào nặng hơnLần 2:-Nếu H1Bằng ta cân A và C+ Nếu A = C ta gọi H1BằngH2Bằng+Nếu A khác C ta gọi H1BằngH2Khác => và biết C chứa xu giả và biết xu giả nặng hay nhẹ.-Nếu H1Khác ta cân A và C:+Nếu A = C ta gọi H1KhácH2Bằng => và biết B chứa xu giả và dựa trên lần cân thứ nhất biết xu giả nặng hay nhẹ-Nếu A khác C ta gọi H1KhácH2Khác => và biết A chứa xu giả và biết xu giả nặng hay nhẹLần 3:-Nếu H1BằngH2Bằng ta lấy 1 xua bất kỳ từ các nhóm A,B,C cân với đồng xu lẻ ban đầu:+Nếu bằng nhau => không có xu giả+Nếu khác nhau => ta biết xu lẻ là giả và biết nó nhẹ hay nặng => kq1-Nếu H1BằngH2Khác ta đã biết C chứa xu giả và biết nó nhẹ hay nặng.Ta lấy 2 đồng xu từ nhóm C mang cân=> Nếu bằng nhau thì đồng xu còn lại nhóm C là giả=> Nếu khác nhau thì ta đã biết xu giả nặng hay nhẹ nên cũng tìm được xu giả-Nếu H1KhácH2Khác ta đã biết A chứa xu giả và biết nó nhẹ hay nặng.Ta lấy 2 đồng xu từ nhóm A mang cân=> Nếu bằng nhau thì đồng xu còn lại nhóm A là giả=> Nếu khác nhau thì ta đã biết xu giả nặng hay nhẹ nên cũng tìm được xu giả Tôi đã gặp bài toán này lần đầu tiên cách đây hơn 20 năm do thầy giáo dạy toán lớp 10 đố cả lớp. Bài toán lúc đó của thầy là: Trong 3 lần cân tìm ra được đồng xu giả. Tôi phải mất khá nhiều thời gian mới tìm ra cách giải bài này. Để tìm ra đồng xu giả, cần cân tối thiểu 2 lần. Cách giải như sau:* Trường hợp tốt nhất: chỉ cần cân 2 lần là có kết quả.- Chia 10 đồng xu làm 4 phần: 3-3-3-1- Lần cân đầu tiên: Cân 3-3 đồng xu bất kì, nếu cân bằng, có nghĩa trong 4 đồng xu còn lại có đồng giả.- Dùng 3 đồng xu thật vừa xác định để cân 3 đồng xu còn lại bất kì, nếu cân bằng => đồng xu còn lại là giả.* Trường hợp cân 3 lần để có kết quả:1. Trong 6 đồng xu cân lần đầu có sự khác biệt: Ghi nhận lại trọng lượng 2 bên xem nặng nhẹ, đồng thời đã xác định 4 đồng xu cuối là thật. Chọn 1 bên 3 đồng xu bất kì trong lần cân đầu, cân đối chứng với 3 đồng thật.- Lần cân thứ 2: Nếu trọng lượng cân bằng => đồng xu bên kia là giả - lúc này cũng đã biết đồng xu giả nặng hay nhẹ hơn đồng thật.- Lần cân thứ 3: Cân 2 đồng xu bất kì trong số 3 đồng xu có đồng xu giả => xác định ra đồng xu giả.2. Lần cân thứ 2: Nếu trọng lượng có chênh lệch => xác định trong 3 đồng xu vừa cân có đồng xu giả.- Lần cân thứ 3: Cân 2 đồng xu bất kì trong số 3 đồng xu có đồng xu giả => xác định ra đồng xu giả. Ít nhất là 2 lần cân, nhiều là 3 lần cânLần 1: Chia mỗi bên 5 đồng xu 5A và 5B, nếu 2 bên bằng nhau thì không có đồng xu giả. Nếu chênh lệch thì tiếp tục cân.Giả sử 5A > 5BLần 2: Chia số đồng xu trong nhóm 5A ra thành 2-2-1 (gọi là 2a -2b 1c), cân 2a và 2b- Nếu 2a>2b => đồng xu giả nằm trong nhóm 5A và nặng hơn đồng xu thật (cần xác minh đồng xu giả thì chia 2a ra cân 1-1, nặng hơn là giả)- Nếu 2a<2b => động xu giả nằm trong nhóm 5A và nặng hơn đồng xu thật (cần xác minh đồng xu giả thì chia 2b ra cân 1-1, nặng hơn là giả)- Nếu 2a = 2b thì cân lần 3Lần 3: Lấy 1 đồng xu bất kỳ từ trong nhóm 2a hoặc 2b (gọi là đồng xu 1d) cân với 1c- Nếu 1d = 1c thì đồng xu giả nằm trong nhóm 5B và đồng xu giả nhẹ hơn đồng xu thật.- Nếu 1d < 1c thì đồng xu giả chính là đồng xu 1c và và đồng xu giả nặng hơn đồng xu thật- Không có trường hợp 1d > 1c bởi vì ban đầu nhóm 5A đã nặng hơn 5B Ít nhất 2 lần cân là có thể xác định. Nhiều nhất là 3 lần Chỉ cần tối đa 3 lần cân để xác định có đồng giả không và đồng giả nhẹ hơn hay năng hơn đồng thật:Lần 1: Mỗi bên 5 đồng_ Cân bằng: Không có đồng giả._ Cân lệch: Có đồng giả, ta cần xác định đồng giả nhẹ hơn hay nặng hơn đồng thật.Lần 2: Lấy 4 trong 5 đồng bên nhẹ hơn cân mỗi bên 2:_ Cân lệch: Đồng giả nhẹ hơn đồng thật._ Cân bằng: Cân lần 3.Lần 3: Lấy đồng còn lại trong 5 đồng cân lần 2, cân với 1 trong 4 đồng kia_ Cân lệch: Đồng giả nhẹ hơn đồng thật._ Cân bằng: Đồng giả nặng hơn đồng thật (vì 5 đồng nhẹ hơn lần cân 1 bằng nhau --> đồng giả nằm ở trong 5 đồng nặng hơn ở lần cân 1). 3 lần cân, như sau:Chia 10 đồng xu thành 3 nhóm: n1, n2, n3 với mỗi nhóm có 3 đồng xu, và 1 đồng xu lẻ còn lại.Cân 2 lần n1 - n2, và n2 - n3.Trường hợp 1: kết quả 2 lần đầu cân bằng nhau, nghĩa là không có đồng xu giả trong cả 3 nhóm. Lấy 1 đồng xu bất kỳ trong 3 nhóm cân với đồng lẻ còn lại. Nếu cân bằng thì xác định không có xu giả trong cả 10 đồng. Nếu đồng lẻ nặng hoặc nhẹ hơn thì xác định xu giả là đồng lẻ, và xu giả là nặng hoặc nhẹ hơn.Trường hợp 2: sau 2 lần cân đầu tiên, xác định được một nhóm nặng hoặc nhẹ hơn 2 nhóm còn lại, qua đoán cũng xác định được đồng xu giả sẽ nặng hoặc nhẹ hơn so với đồng thật. Ta tiến hành cân lần 3: lấy 2 đồng bất kỳ trong nhóm xác định có xu giả cân với nhau, nếu cân bằng thì xác định xu còn lại là giả, nếu có 1 đồng nặng hoặc nhẹ hơn so với đồng còn lại thì xác định đồng xu giả (do trước đó ta đã xác định nhóm có xu giả là nặng hoặc nhẹ hơn 2 nhóm còn lại).