Bài toán bốc bi trong hộp Đề bài:Ba anh em Tôm, Cua, Cá lần lượt bốc các viên bi trong một hộp chứa bi theo quy luật như sau: Tôm bốc 1 viên, Cua bốc 2 viên, Cá bốc 3 viên, sau đó Tôm bốc 4 viên, Cua bốc 5 viên, Cá bốc 6 viên, rồi Tôm lại bốc 7 viên,... và cứ tiếp tục luân phiên bốc tuần hoàn tăng liên tiếp như thế. Đến khi trong hộp không còn đủ hạt cho lượt bốc tiếp theo thì người bốc cuối cùng sẽ được bốc hết số hạt còn lại.Biết rằng sau khi bốc xong, Tôm có tổng cộng 2022 viên bi. Hỏi ban đầu trong hộp có bao nhiêu viên bi?Trần Phương Có 5982 viên bi trong hộp.Số bi mà Tôm bốc được lần lượt là: 1, 4, 7,...Do, 1+4+7+...+103+106<2022<1+4+7+...+103+106+109, nên tổng số bi trong hộp là: 1+2+3+...+106+107+108+(2022-(1+4+7+...+103+106)) = 5886+96 = 5982 Số bi bốc lần n của Tôm là [3(n-1)+1], [3(n-1)+2] là Cua, [3(n-1)+3] là Cá. Tổng số lần bốc n là 21.. Thôi không thi lớp chọn lên THCS nữa.. Tôi tính ra 5982 viên, nhưng phải sử dụng phương trình bậc 2, các bạn lớp 5 không biết dùng cách nào? 6312 viên.Lượt thứ 36, Tôm bốc 109 viên, được 1926 viên.Lượt thứ 37, Tôm bốc 96 viên, tổng cộng 2022 viên.Tổng số viên bi trong hộp là: 1+2+... +111 + 96 = 6312 viên Kết quả: 5767 Viên,Nhận thấy tuần tự bốc là Tôm-Cua- Cá, như vậy khi bắt đầu quay lại Tôm là 1 lượt mới.Xét Tôm bốc như sau:Lần 1: 1 =1Lần 2: 1+3 =4 (viết lại = 1+1x3)Lần 3: 1+3+3 =7 (viết lại = 1+2x3).Lần n: 1+3+....+ 3 = 1+ (n-1)x3=3xn-2 (1)* Nhận thấy đây là dãy số tăng dần đều, mỗi lần tăng 3 đơn vị, nên ta có thể tính Bình quân/ 1 lần bốc = tổng viên sau n lần bốc:n = (Số Viên bốc đầu + Số Viên bốc cuối):2,Ví dụ sau 5 lần bốc Tổng số viên của Tôm là: 1+4+7+10+13= 35Suy ra bình quân mỗi lần bốc = 35:5=7 Viên/lần, hoặc (1+13):2=7 Viên,Tổng quát, căn cứ từ (1), nếu bốc n lần Bình quân số viên/lần bốc= (1+ 3xn-2):2=(3xn-1):2Từ đó tổng số viên bốc được= nx(3xn-1):2, chắc chắn rằng nx(3xn-1):2<= 2022 (2).Do lớp 5 chưa giải PT bậc 2, nên dò n thay vào (2) ta có kết quả n= 36, Suy ta Tôm bóc 36 lần, thế vào tính được 1926 Viên, và còn nốt 96 viên (96+1926=2022) không đủ cho Cua bóc lượt 36 nên Tôm lấy hết.Đồng nghĩa Cua- Cá chỉ bóc 35 lượt.Tương tự cách tính trên, Cua bóc được: (2+3xn-1):2xn=(1+3x35):2x35=1855 ViênCá bóc được : (3+3xn):2xn= (3+3x35):2x35 = 1890 ViênTổng số bi trong hộp: 2022+1855+1890= 5767 viên Tôm bốc: 1+4+7+...+106 là được 1926 viên.Lượt tiếp theo Tôm bốc 109 viên nhưng Tôm chỉ có 2022 viên suy ra Tôm bốc 96 viên cuối cùng.Tổng số bi là 1+2+3+...+106+107+108+96 = *5982 viên*. Không thể tính được số bi ban đầu vì không biết ai là lượt bốc cuối cùng và lượt cuối cùng đó còn bao nhiêu viên bi (nếu không đủ thì được bốc hết). Tôm bốc như sau: 1 + (1+3) + + (1+ 3(n-1)) = n + 3(1+2+ +n-1) = 2022 - 1 + 3*0 + 1 + 3*1 + ... + 1 + 3*n ~ 2022- n + 1 + 3*(n * (n + 1))/2 ~ 2022- 1.5n^2 + 2.5n ~ 2021Với n = 35, 1.5n^2 + 2.5n = 1925Với n = 36, 1.5n^2 + 2.5n = 2034Vậy ở lần bốc thứ 37, Tôm được 1925 + 97 = 2022Cua = 1925 + 36 = 1961Cá = 1960 + 36 = 1997Tổng số bi là 2022 + 1961 + 1997 là 5980 Gọi n là số lần bốc, n tính từ 0Theo bài ta có: Số lần Tôm bốc: 2022 = 3n+1 => n = 673, dư 3 viên, nên Tôm là người bốc cuối cùng. Số bi ở lần 673 của Tôm là: 2019 + 3Vậy Cá, Cua bốc 672 lần, mà mỗi lần bốc Tôm kém hơn Cua 1 viên, Cá 2 viên.Suy ra, ở lần 672: Tôm: 3*672 + 1 = 2017; Cua: 3*672+2 = 2018; Cá: 3*672+3 = 2019.Tổng số bi: Tôm + 2 (dư) + Cua + Cá = 2020+2+2018+2019 = 6059 bi Nhận xét: số bi của Tôm ở mỗi lần bốc là: 1, 4, 7,.....100, 103, 106, 109...+ Giả sử 1: số bi ở lần bốc cuối của Tôm là 109. Như vậy dãy số biểu diễn số bi Tôm bốc là; 1,4,7,10,...,100, 103, 106,109.Tính số lượt bốc của Tôm là: (109-1) : 3 +1 = 37 (lượt)Tính tổng số bi S Tôm bốc được là: S = (số đầu + số cuối) x số lượt /2=> S = (1 + 109) x 37 / 2 = 2035 (viên)+ Giả sử 2 : số bi ở lần bốc cuối của Tôm là 106. Dãy số biểu diễn là: 1,4,7,10..., 100, 103,106Tương tự tính được số lần bốc của Tôm là 36Tổng số bi Tôm bốc là 1926 (viên)Kết luận: từ giả thiết cho tổng số bi Tôm bốc được là 2022 viên. Với hai giả sử 1 và 2, Bài toán vô nghiệm Tôi thừa nhận ko tìm ra đáp án sau 5 phút.hh Ở lần bốc thứ k, Tôm bốc 1 + 3k viên bi (k = 0,1..) * Ở đây chọn k từ 0 để cho dễ tính toánVậy sau k lần bốc: tổng số bi là (1+1+3k)(k+1)/2Giả sử Tôm bốc cuối cùng nên hộp sẽ còn dư m viênVậy tổng số bi Tôm có là:(3k+2)(k+1) + 2m = 4044<=> 3(k+1)^2 - (k+1) + 2m = 4044Giả sử 2m - (k+1) > 0=> 3(k+1)^2 < 4044 => (k + 1)^2 < 1348 < 37^2 => k < 36Ta chọn k = 35, => m = 96 => giả sử đúngVậy tổng số bi mà Tôm bốc được (không tính số bi còn lại): 2022 - 96 = 1926 biVì sau mỗi lần bốc, Cua và Cá sẽ hơn Tôm lần lượt là 1 và 2 viênNên ta có số bi của Cua và Cá sau k lần bốc sẽ là:Cua: (k+1)*1 + 1926 = 36 + 1926 = 1962Tôm: (k+2)*2 + 1926 = 72 + 1926 = 1998Vậy tổng số bi ban đầu là: 2022 + 1962 + 1998 = 5982 viênKhông biết em giải vầy phù hợp với lớp 5 chưa nhỉ 7881. Lượt bốc cuối Tôm bốc 125 viên, còn dư 6 viên, không đủ 126 viên cho Cua bốc cho nên Tôm bốc thêm 6 viên còn lại nên lượt cuối cùng tôm bốc 131 viên. 2022 1962 1998 = 5982kết thúc lượt bốc 37