Bài Toán đếm của học sinh lớp 6 Dưới đây là một bài toán do thầy giáo Trần Phương đại diện cho Việt Nam đề xuất và được Ban tổ chức kỳ thi Toán học Trẻ Quốc tế IIMC 2011 chọn làm bài toán tiêu biểu của kỳ thi dành cho học sinh khối 6.Đề bài: Trong bảng lưới chữ nhật 2×3 dưới đây có thể lấy ra 10 hình chữ nhật có 4 cạnh nằm trên bảng lưới và được tạo bởi một số chẵn các ô vuông đơn vị.Hỏi trong bảng 6×9 dưới đây có có thể lấy ra bao nhiêu hình chữ nhật có 4 cạnh nằm trên bảng lưới và được tao bởi một số chẵn các ô vuông đơn vị?Thanh Thanh Người mang số báo danh 111 sẽ đứng ở hàng thứ 15 và cách người đứng đầu hàng bên trái 4 người.Người đứng đầu hàng bên trái sẽ lần lượt mang số: 1, 2(1+1), 4(2+2), 7(4+3), 11(7+4), 16(11+5), 22(16+6), 29(22+7), 37(29+8), 46(37+9), 56(46+10), 67(56+11), 79(67+12), 92(79+13), 106(92+14), 121(106+15),...Do, 106<111<121 nên người có số báo danh 111 đứng ở hàng thứ 15 và cách người đứng đầu hàng bên trái 4 người(107,108, 109, 110) Trước tiên chúng ta cần làm rõ: Người đứng đầu hàng bên trái là người nào?1. Người đứng đầu hàng bên trái của thí sinh:Đáp án: Thí sinh có số báo danh 111 đứng ở hàng thứ 15 và ở vị trí cách người đứng đầu hàng bên trái (của thí sinh có số báo danh 111) 8 người.2. Người đứng đầu hàng bên trái theo quan sát của độc giả:Đáp án: Thí sinh có số báo danh 111 đứng ở hàng thứ 15 và ở vị trí cách người đứng đầu hàng bên trái (theo quan sát của độc giả) 4 người. Do hàng sau hơn hàng trước 1 người chúng ta sẽ áp dụng phương pháp cộng dồn1+2+3+4+...Khi cộng đến 14 ta có kết quả 105, khi cộng đến 15 ta có kết quả 120, vậy số 111 sẽ đứng hàng thứ 15.Do khi cộng đến hàng 14 kết quả là 105, thứ tự ở hàng 15 sẽ bắt đầu từ 106,107,108,109,110,111 Hàng thứ n sẽ có n hoa hậu với SBD đến n(n+1)/2.Hàng thứ 15 có 15 hoa hậu từ 106 đến 120.Hoa hậu thứ 111 ở hàng 15 cách người bên trái 5 người. hàng 15 thứ 6 Bài này dễ nè:Tổng chuỗi số T= n(n+1)/2Thay T= 111 ta có n^2+ n-222 = 0. Căn (delta) ~ 30.Vậy: n>14 là số nguyên nên n= 15.Cô gái ở hàng thứ 15. Hàng 15 gồm các thí sinh thứ 106 đến 121. Cô 106 đứng đầu hàng. Vì 14 hàng có tổng thí sinh: 14x15/2 = 105.Nên cô gái ở vị trí thứ: 5 so với người bên trái. lấy máy tính bấm 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+6 = 111 . Vậy thí sinh 111 đứng hàng thứ 15 , vị trí thứ 6 cách người đứng đầu hàng bên trái 4 người . Bấm máy tính thì chưa tới 30s. Ta thấy hàng thứ n thì sẽ có n hoa hậu, với n(n+1)/2, suy ra hàng thứ 15 là n = 15(15+1)/2= 120.Hàng thứ 15 có số hoa hậu = 120-15+1=106 (hàng 15 từ số 106 đến 120)Hoa hậu thứ 111 ở hàng 15 cách người bên trái 5 người (tính từ 106;107,108,109,110). Dòng thứ 1 sẽ có 1 hoa hậu, dòng 2 thứ sẽ có 2 hoa hậu, dòng n sẽ có n hoa hậu. Để dòng n có hoa hậu số 111 thì phải thỏa điều kiện: (n+1)*(n/2) >=111. Suy ra n=15. Dòng 15 có hoa hậu ở vị trí cuối là (15+1)*(15/2) = 120. Vì dòng 15 có 15 hoa hậu nên vị trí đầu tiên bên trái sẽ có số 106. Vậy, ở dòng 15, giữa hoa hậu 111 và 106 sẽ cách nhau 4 người. Ta cón(n+1)/2 111n(n+1) 222n^2 + n 222n^2 + n - 222 0a = 1, b = 1, c = -222x1 =(1 + 889)/2 ; x2 = (1 - 889)/2(-1 - 889)/2 < n < (-1+889)/2n nguyên lớn nhất là 14Vì 14(14+1)/2 = 105Nên người có số báo danh 111 đứng ở hàng thứ 14 + 1 = 15 và cách người đứng đầu hàng bên trái 111 - 105 - 1 = 5 người 1 hàng thứ nhất có 1 thí sinh2 3 hàng thứ hai có 3-2+1=2 thí sinh4 5 6 hàng thứ ba có 6-5+1=3 thí sinh7 8 9 10 hàng thứ tư có 10-7+1=4 thí sinh........................ ..........................[190-(n-1) [190-(n-2) ] .......190 hàng thứ n có 190-[190-(n-1)] +1 thí sinhvì có tất cả 190 thí sinh nên ta có:1+2+3+...+n=n(n+1)/2=190=>n=19hàng thứ 19 là từ 172->190hàng thứ 18 là từ 154->172hàng thứ 17 là từ 147->153..................hàng thứ 14 là từ 102->115 vậy thí sinh mang số bd 111 nằm ở hàng 14 và cách người đầu hàng bên trái là 10 người Hàng 1 (1 người): 1Hàng 2 (2 người): 2,3Hàng 3 (3 người): 4,5,6...Hàng n (n người): Số đầu tiên sẽ là tổng số người của (n-1) hàng phía trước + 1. Tức là sẽ bằng ((n*(n+1)/2 + 1).Nếu số 111 đứng ở hàng n, ta có:(n*(n+1)/2 + 1) nhỏ hơn hoặc bằng 111Với n là số tự nhiên, ta thấy 14*15/2+1 = 106 sẽ phù hợp với yêu cầu của đề bài nhất.Vậy người số 111 sẽ đứng tại hàng 14.Người đầu hàng 14 có STT là 106, vậy người số 111 đứng thứ 6, cách người đầu hàng 4 người.Đáp án: Hàng 14, cách người đầu hàng bên trái 4 người. Số báo danh 111 đứng hàng 14, và hàng 14 bắt đầu từ số 105. Như vậy số 111 sẽ cách người đứng đầu hàng số 105 là 5 người (106,107,108,109,110). Người đứng đầu hàng bên trái sẽ lần lượt mang SBD: 1, 2(1+1), 4(2+2), 7(4+3), 11(7+4), 16(11+5), 22(16+6), 29(22+7), 37(29+8), 46(37+9), 56(46+10), 67(56+11), 79(67+12), 92(79+13), 106(92+14), 121(106+15),...Do, 106<111<121 nên người có SBD 111 đứng ở hàng thứ 15 và cách người đứng đầu hàng bên trái 5 người(106, 107,108, 109, 110) Hàng số 15, cách 5 người. Cách giải thủ công theo số HH đầu hàng bên trái lần lượt là 1,2,4,7,11,16.. bằng số đầu hàng cộng lần lượt số hàng trước đó. VD số đầu hàng 3 là 4=2+2, số đầu hàng 4 là 7=4+3 hàng 5 là 11= 7+4............. tiếp theo là 16, 22 (16+6), 29 (22+7), 37... 79, 92, 106 (đây là hàng 15)