(به : ) فن محاسبه اعداد بوده و نیز به مطالعهٔ مباحثی چون ( )، ساختار ( )، ( )، و ( ) می‌پردازد. در حقیقت تعریفی جهانی که همه بر سر آن توافق داشته باشند برای ریاضیات وجود ندارد.
 به دنبال الگوهایی هستند که بتوان از آن‌ها استفاده کرده و جدید را به‌صورت فرمول درآورد؛ آن‌ها درستی یا نادرستی حدس‌ها را با نشان می‌دهند. هرگاه ساختارهای ریاضی مدل‌های خوبی از پدیده‌های جهان واقعی باشند، می‌تواند پیش‌بینی‌هایی برای طبعیت ارائه کند. علم ریاضیات با استفاده از و از چون ، و و نظام‌مند شکل‌ها و حرکات اشیای فیزیکی به‌وجود آمد. از زمانی که انسان نوشتن را آموخت، به‌عنوان فعالیتی بشری وجود داشته‌است. تحقیقات مورد نیاز برای حل ، ممکن است سال‌ها یا حتی سده‌ها طول بکشد.
 ابتدا در ریاضیات ظاهر شدند؛ به‌خصوص در اثر . از زمان کارهای تحقیقاتی (۱۸۵۸–۱۹۳۲)، (۱۸۶۲–۱۹۴۳) و دیگران بر روی دستگاه اصول موضوعه‌ای در پایان سده نوزدهم میلادی، روش تحقیقاتی ریاضیدانان به این شکل درآمده که آن‌ها حقایق را با از مجموعهٔ منتخبی از اصول موضوعی و تعاریف به دست می‌آورند. روند پیشرفت ریاضیات تا زمان سرعت نسبتاً آرامی داشت، تا زمانی که نوآوری‌های ریاضیاتی با کشفیات علمی برهم‌کنش کرده و منجر به افزایش سریع نرخ اکتشافات ریاضی گشت و تا به امروز نیز ادامه دارد. 
 ریاضیات در بسیاری از زمینه‌ها مثل ، ، ، و یک علم ضروری است. شاخه‌های کاملاً جدیدی در ریاضیات به‌وجود آمده‌اند؛ مثل . ریاضی‌دانان در (مطالعهٔ ریاضی به هدف کشف هرچه بیشتر رازهای خود آن) بدون اینکه هیچ‌گونه هدف کاربردی در ذهن داشته باشند به تحقیقات می‌پردازند؛ در حالی که کاربردهای عملی یافته‌های آن‌ها معمولاً بعدها کشف می‌شود. 
 مقالهٔ اصلی: تاریخ ریاضیات را می‌توان به عنوان دنباله‌ای از تجرید سازی‌های فزاینده دید. اولین قابلیت تجرید سازی که در بسیاری از حیوانات مشترک است، احتمالاً مفهوم است: فهم این مطلب که دو سیب و مجموعه دو پرتقال (به عنوان مثال) با هم اشتراکی دارند، و آن کمیت تعدادشان است.
 همان‌طور که بر روی نشان می‌دهد، مردم می‌توانستند اشیاء فیزیکی را بشمرند و توانایی شمردن اشیاء تجریدی مثل روز، فصل و سال را نیز داشتند. 
 شواهد مربوط به ریاضیات پیچیده‌تر تا ۳۰۰۰ قبل میلاد مشاهده نشده، زمانی که و شروع به استفاده از ، و برای محاسبات مربوط به و دیگر مفاهیم اقتصادی، و یا کردند. قدیمی‌ترین ریاضیاتی مربوط به و می‌شود که به ۲۰۰۰–۱۸۰۰ قبل از میلاد بازمی‌گردد. بسیاری از متون اولیه سه تایی‌های را ذکر کرده و لذا به نظر می‌رسد که کهن‌ترین و گسترده‌ترین توسعه ریاضیاتی بعد از حساب مقدماتی و هندسه باشد. در تاریخی، در ریاضیات بابلی‌ها بود که (جمع، تفریق، ضرب و تقسیم) ابتدا پدیدار گشت. بابلی‌ها همچنین از یک دستگاه مکان-ارزشی بهره می‌جستند که در آن پیاده‌سازی شده بود، ازین دستگاه عددی هنوز هم برای اندازه‌گیری و استفاده می‌شود. 
 با آغاز قبل از میلاد مسیح، ریاضیات با مطالعهٔ نظام مندی را در ریاضیات، به هدف شناخت بیشتر خود ریاضیات آغاز نمودند که سرآغاز ریاضیات بود. حدود ۳۰۰ قبل از میلاد، روش اصول موضوعه ای را که هنوز هم در ریاضیات به کار می‌رود را معرفی کرد که شامل تعاریف، اصول، قضیه و اثبات بود. کتاب مرجع او که به معروف است به‌طور گسترده به عنوان موفق‌ترین و تأثیر گذارترین کتاب مرجع همه زمان‌ها شناخته می‌شود. بزرگترین ریاضیدانان باستان را اغلب (۲۸۷ تا ۲۱۲ قبل از میلاد) اهل می‌دانند. او فرمول‌هایی برای محاسبهٔ و اجسام در حال پیدا کرد و از برای محاسبه مساحت زیر منحنی با استفاده از جمع یک بی‌نهایت استفاده کرد به گونه ای که بی شباهت با مدرن نیست. دیگر دستاوردهای قابل توجه در ریاضیات یونان ( اهل ، سده سوم قبل از میلاد)، ( اهل نیکا (سده دوم قبل از میلاد))، و آغاز ( ، سده سوم پس از میلاد) بود. 
 سیستم عددی هندو-عربی و قواعد استفاده از عملیاتش که امروزه در سراسر جهان استفاده می‌شود، در طی هزارهٔ اول میلادی در توسعه یافت و سپس از طریق به انتقال یافت. دیگر پیشرفت‌های مربوط به ریاضیات هندی‌ها شامل تعریف مدرن و و فرم اولیه سری‌های بی‌نهایتی است.
 در طی ، که در و شکل گرفت، ریاضیات نوآوری‌های مهمی را به خود دید که بر اساس ریاضیات یونانی‌ها پایه‌ریزی شده بود. مهم‌ترین دستاوردهای ریاضیات اسلامی توسعهٔ جبر بود. دیگر دستاوردهای مهم ریاضیات دورهٔ اسلامی پیشرفت در و اضافه شدن به سیستم عددی عربی بود. بسیاری از ریاضیدانان این دوره بودند مثل ، و .
 در طی اوایل ، ریاضیات شروع به توسعه شتابداری در کرد. توسعه حساب و توسط و در ریاضیات را متحول کرد. مهم‌ترین ریاضیدان بود که چندین قضیه و کشفیات را به ریاضیات افزود. شاید مهم‌ترین ریاضیدانان ریاضیدان بود که خدمات متعددی به چون جبر، آنالیز، هندسه دیفرانسیل، ، و کرد. در اوایل ، ، ریاضیات را با انتشار خویش دچار تغییر کرد. این قضایا نشان دادند که هر سیستم اصول موضوعه سازگاری شامل گزاره‌های غیرقابل اثبات اند.
 ریاضیات از آن زمان به‌طور گسترده‌ای توسعه یافته‌است و کنش و واکنش‌های ثمربخشی بین ریاضیات و علوم ایجاد شده که به نفع هردو است. کشفیات ریاضیات تا به امروز نیز ادامه دارد. بر اساس نظر میخائیل سوریوک، که در ژانویه ۲۰۰۶ در منتشر شد، "تعداد مقالات و کتب پایگاه اطلاعاتی ژورنال از سال ۱۹۴۰ (اولین سال عملیاتی شدن MR) اکنون به ۱٫۹ میلیون می‌رسد که سالانه بیش از ۷۵ هزار مورد به این پایگاه افزوده می‌شود. اکثریت کارهای گسترده‌ای که در این اقیانوس وجود دارد شامل قضایای جدید ریاضیاتی و اثبات‌هایشان است.
 مقالهٔ اصلی: ریاضیات را می‌توان به‌طور خیلی کلی به چند قسمت تقسیم کرد: مطالعه کمیت، ساختار، فضا و تغییرات (یعنی حساب، جبر، هندسه و آنالیز). علاوه بر این‌ها که دغدغه‌های اصلی ریاضیات هستند، گرایش‌های دیگری نیز وجود دارند که خود را وقف کاوش ارتباطات بین قلب ریاضیات با دیگر زمینه‌های ریاضیات کرده‌اند، مثل ارتباطش با منطق، نظریه مجموعه‌ها (شالوده‌های ریاضی)، یا دیگر شاخه‌های تجربی تر ریاضیات که در علوم مختلف کاربرد دارند (ریاضیات کاربردی)، و اخیراً مطالعه عدم قطعیت. در حالی که برخی از این قلمروها ممکن است به ظاهر غیر مرتبط به نظر برسند، ارتباطاتی بین شاخه‌هایی را یافته‌است که پیش از این غیر مرتبط تلقی می‌شدند، مثل ، و نظریه اعداد.
 مقالهٔ اصلی: و به منظور تببین توسعه یافته‌اند. منطق ریاضی شامل مطالعهٔ منطق و کاربردهای به شاخه‌هایی از ریاضیات است؛ نظریه مجموعه‌ها شاخه ای از ریاضیات است که به مطالعه مجموعه‌ها یا گردایه ای از اشیاء می‌پردازد. که به صورت مجرد به مطالعه ساختارهای ریاضیاتی و ارتباطشان با هم می‌پردازد هنوز هم در حال تکوین است. عبارت «بحران بنیان‌های ریاضیاتی» به دوره ای تاریخی بین ۱۹۰۰ تا ۱۹۳۰ اشاره دارد که در آن دوره جستجویی برای یافتن بنیانی مستحکم برای ریاضیات انجام شد. اختلاف نظرها در مورد بنیان‌های ریاضی تا زمان کنونی هم ادامه دارد. این بحران با یک سری بحث‌ها تحریک شد، از جمله این بحث‌ها، بحث بر سر نظریه مجموعه‌های کانتور و جدال هیلبرت-براور بود.
 دغدغهٔ منطق ریاضیاتی، ایجاد چارچوب مستحکم اصول موضوعه ای برای ریاضیات است. منطق ریاضی الزامات چنین چارچوبی را مطالعه می‌کند. به‌طور مثال قضایای عدم کمال به‌طور ضمنی می‌گویند که هر نظام صوری اگر معنا دار باشد (یعنی تمام قضیه‌هایی که می‌توان آن‌ها را اثبات کرد درست باشند)، الزاماً ناکامل اند (یعنی قضیای درستی هستند که نمی‌توان آن‌ها را در این سیستم اثبات کرد). گودل نشان داد که هر گردایه متناهی از اصول موضوعه‌های نظریه اعداد را به عنوان اصول موضوعه در نظر بگیریم، می‌توان یک جمله صوری ساخت که از نظر حقایق نظریه اعداد صحیح باشد ولی از این اصول موضوعه بدست نیایند؛ لذا در نظریه اعداد هیچ نظام صوری که از نظر اصول موضوعه ای کامل باشد وجود ندارد. منطق نوین به چند بخش تقسیم می‌شود: نظریه بازگشت، نظریه مدل و نظریه اثبات و ارتباط نزدیکی با و نظریه رسته‌ها دارد. در زمینهٔ نظریه بازگشت، عدم امکان وجود سیستم اصول موضوعه ای کامل را می‌توان به صورت صوری از طریق پیامدهای قضیه MRDP نشان داد.
 شامل ، نظریه پیچیدگی محاسباتی و است. محدودیت‌های مدل‌های مختلف نظری رایانه‌ها را بررسی می‌کند که شامل بسیاری از مدل‌های شناخته شده چون می‌شود. نظریه پیچیدگی به مطالعهٔ رام پذیری حل مسائل در رایانه می‌پردازد. برخی مسائل وجود دارند که با وجود این که از لحاظ نظری توسط رایانه قابل حل هستند، اما در عمل هزینه حل کردنشان از نظر زمان یا فضا زیاد است و عملاً با وجود پیشرفت‌های سریع سخت‌افزاری در دنیای رایانه حل آن‌ها به نظر نامعقول می‌آید. یک مسئله مشهور در این وادی مسئلهٔ " "؟ است که برای حل آن جایزهٔ تعیین شده‌است. در نهایت، نظریه اطلاعات با حجمی از داده‌ها سر و کار دارد که بتوان آن‌ها را بر روی یک وسیله خاص ذخیره کرد، پس این علم با مفاهیمی چون فشرده سازی و انتروپی سروکار دارد.
 مقالهٔ اصلی: مقالهٔ اصلی: مطالعهٔ کمیت با اعداد آغاز می‌گردد، ابتدا مطالعهٔ اعداد طبیعی و اعداد صحیح و عملیات حسابی روی آن‌ها که در شاخه حساب انجام می‌گردد. خواص عمیق‌تر اعداد در نظریه اعداد صورتی می‌پذیرد، که قضایای معروفی چون از آن بیرون می‌آید. اعداد اول دوقلو و حدس گلدباخ دو تا از مسائل لاینحل نظریه اعدادند.
 با پیشرفت دستگاه اعداد، اعداد صحیح به عنوان زیر مجموعه ای از اعداد گویا ("کسر ها") شناخته شدند. خود اعداد گویا زیر مجموعهٔ اعداد حقیقی می‌باشند که از آن‌ها برای نمایش مفهوم کمیت‌های پیوسته استفاده شده‌است. خود اعداد حقیقی زیر مجموعهٔ اعداد مختلط اند. این‌ها اولین قدم‌ها در سلسله مراتب اعداد است که شامل چهارگان‌ها و هشتگان‌ها باشد. با در نظر گرفتن اعداد طبیعی، می‌توان به رسید که مفهوم " " بودن را صوری می‌کنند. بر اساس قضیه بنیادی جبر، تمام جواب‌های چند جمله ای‌های تک متغیره با ضرایب مختلط، صرف نظر از درجه‌شان مختلط هستند. یکی دیگر از قلمروهای مطالعاتی مربوط به اندازه مجموعه‌ها می‌شود، که در اعداد کاردینال توصیف گشته‌اند. مثل اعداد الف که امکان مقایسهٔ مجموعه‌های نامتناهی را با هم می‌دهند.
 مقالهٔ اصلی: بسیاری از اشیاء ریاضیاتی، مثل مجموعه اعداد و توابع، ساختار داخلی از خود بروز می‌دهند که می‌تواند پیامد عملیات یا روابطی باشند که بر روی یک مجموعه اعمال می‌شود. سپس ریاضیات به مطالعه خواص آن می‌پردازد که می‌توان آن‌ها را بر اساس آن ساختار مورد نظر بیان کرد؛ به عنوان مثال به مطالعه خواص می‌پردازد که می‌توان آن‌ها را با عملیات بدست آورد. به علاوه، معمولاً اتفاقی که می‌افتد این است که چنین مجموعه‌های ساخت یافته (ساختارها) خواص مشابهی از خود بروز می‌دهند که امکان انجام یک مرحله تجرید دیگر بر روی آن‌ها را داده و لذا در چنین شرایطی می‌توان اصول موضعه‌هایی برای آن دسته خاص از مجموعه‌ها ارائه داد، و سپس به مطالعهٔ همه آن‌ها به صورت یکجا پرداخت (همه آن مجموعه‌هایی که در آن اصول موضوعه صدق می‌کنند). ازین رو، می‌توان ، حلقه‌ها، و دیگر نظام‌های مجرد را مطالعه کرد؛ چنین مطالعاتی (برای ساختارهای تعریف شده با عملیات جبری) تشکیل یک قلمرو از ریاضیات به نام را می‌دهند.
 جبر مجرد را می‌توان در حالت کلی آن به مسائل به ظاهر غیر مرتبط اعمال کرد؛ به عنوان مثال، تعدادی از مسائل مربوط به ساخت به کمک خط‌کش و پرگار در نهایت با کمک حل شدند، که در آن از نظریه و استفاده شد. یکی دیگر از مثال‌های مرتبط با نظریه جبری، ، که عناصر آن بردارها می‌باشند. بردارها هم اندازه دارند و هم جهت و می‌توان از آن‌ها برای مدل‌سازی روابط بین نقاط درون فضا استفاده کرد. این مثالی از پدیده ای است که پیشتر اشاره شد، یعنی ارتباط قلمروهای به ظاهر غیر مرتبط مثل و ، به گونه ای که مشخص می‌شود این قلمروهای به ظاهر غیر مرتبط ارتباطاتی بس عمیق‌تر با یک دیگر در ریاضیات مدرن دارند. به مطالعه راه‌های شمارش تعدادی اشیاء می‌پردازد که آن اشیاء در ساختار داده شده‌ای صدق می‌کنند.
 مقالهٔ اصلی: مطالعه فضا از هندسه آغاز شد، به‌خصوص که فضا و اعداد را با هم ترکیب کرده و را به‌وجود آورد. مثلثات شاخه ای از ریاضیات است که درگیر ارتباطات بین اضلاع و زاویه‌های مثلث و است. در مطالعات مدرن فضا، این ایده‌ها تعمیم یافته تا به هندسه‌هایی با ابعاد بالاتر، فضاهای (که نقش بنیادینی در دارند) و توپولوژی برسد. کمیت و فضا هردو نقش بنیادینی در هندسه تحلیلی، هندسه دیفرانسیل و هندسه جبری دارند. هندسه محدب و گسسته برای حل مسائلی در نظریه اعداد و آنالیز تابعی توسعه یافتند، اما اکنون به نیت کاربردهایشان در بهینه‌سازی و علوم رایانه دنبال می‌شوند. در هندسه دیفرانسیل مفاهیم و حساب دیفرانسیل و انتگرال بر روی منیفلدها، به‌خصوص بردارها و حساب تانسوری وجود دارد. در توصیف اشیاء هندسی مربوط به مجموعه جواب چند جمله ای‌ها بحث می‌شود که مفاهیم کمیت و فضا را با هم ترکیب می‌کند. همچنین در مطالعه بر روی گروه‌های توپولوژی نیز به دنبال ترکیب ساختار و فضاییم. در مطالعه فضا، ساختار و تغییرات استفاده می‌شود. در تمام شاخه‌های متعدد خویش را می‌توان به عنوان بزرگترین رشد در ریاضیات سده بیستم تلقی کرد. شاخه‌های توپولوژی شامل توپولوژی نقطه ای، توپولوژی نظریه مجموعه ای، توپولوژی جبری و توپولوژی دیفرانسیل است. به عنوان مثال توپولوژی عصر جدید شامل قضیهٔ مترپذیری، نظریه اصول موضوعه ای مجموعه‌ها، نظریه و نظریه مورس است. توپولوژی همچنین اکنون شامل بوده و هنوز قلمروهای لاینحلی چون حدس هاج را دربردارد. دیگر نتایج هندسه و توپولوژی شامل و است که به کمک اثبات شده‌اند.
 مقالهٔ اصلی: فهم و توصیف تغییر تم اصلی علوم طبیعی بوده و و به عنوان ابزاری برای تحقیق در این ارتباط ساخته شد. توابع در اینجا به عنوان مفهوم مرکزی توصیف کننده یک کمیت متغیر ظهور پیدا کردند. مطالعه مستحکم اعداد حقیقی و توابع تک متغیرهٔ حقیقی را آنالیز حقیقی گویند، آنالیز مختلط هم فیلد مشابهی است که بر روی میدان اعداد مختلط کار می‌کند. آنالیز تابعی بر روی فضاهای (اغلب بی‌نهایت بعدی) توابع متمرکز است. یکی از کاربردهای متعدد آنالیز تابعی در مکانیک کوانتومی است. بسیاری از مسائل به‌طور طبیعی به رابطهٔ بین یک کمیت و نرخ تغییراتش منجر می‌شوند. بسیاری از پدیده‌ها در طبیعت را می‌توان به وسیله سیستم‌های دینامیکی توصیف کرد؛ نظریه آشوب به‌طور دقیق بررسی می‌کند که چگونه یک سیستم می‌تواند پیش‌بینی ناپذیر باشد و در حالی که همزمان رفتار قطعی خود را نیز حفظ می‌کند.
 مقالهٔ اصلی: ریاضیات کاربردی به دنبال روش‌های ریاضیاتی است که اغلب در علوم، ، و صنعت به کار برده می‌شوند؛ لذا «ریاضیات کاربردی» یک علم ریاضیاتی است با دانش تخصصی. همچنین عبارت تخصصی حرفه ای را توصیف می‌کند که بر روی مسائل عملی تمرکز کرده‌است، ریاضیات کاربردی بر روی «فرمول بندی، مطالعه و استفاده از مدل‌های ریاضیاتی» در علوم، مهندسی و دیگر حوزه‌هایی که ریاضیات به کار می‌رود تمرکز می‌کند.
 در عمل، کاربردهای عملی منجر به توسعه قضایای ریاضیاتی شده، که این قضایا خود، موضوع مطالعه در شده‌اند، که در آن ریاضیات به هدف توسعه خود ریاضیات مطالعه می‌شود. ازین رو، فعالیت ریاضیات کاربردی به‌طور حیاتی به تحقیقات در ریاضیات محض گره خورده‌است.
 می‌توان مدعی شد که مهم‌ترین جایزه ریاضیاتی است، که در سال ۱۹۳۶ تأسیس شد و در این سال‌ها، هر چهار سال یک بار (به جز حدود ) به حداکثر ۴ ریاضیدان تعلق گرفته‌است ( یکی از دارندگان مدال فیلدز است که اولین زن است که دارنده این مدال است). فیلدز اغلب به عنوان معادلی برای در ریاضیات در نظر گرفته شده.
 در ریاضیات، در ۱۹۷۸ تأسیس شد و به هدف قدردانی از دستاوردهایی است که یک ریاضیدان در عمر خویش به آنها نایل گشته. در ۲۰۰۳ تأسیس شد. مدال چرن در ۲۰۱۰ معرفی شد برای قدردانی از دستاوردهای یک عمر. این جوایز برای اهمیت دادن به برخی کارهای نوآورانه، یا برای پیدا کردن راه حل برای مسائل مهم در یک شاخه خاص در نظر گرفته شده‌اند.
 لیستی از ۲۳ مسئله باز که به آن‌ها « » می‌گویند در سال ۱۹۰۰ توسط ریاضیدان آلمانی معرفی شد. این لیست به معروفیت زیادی بین ریاضیدانان دست یافت. حداقل نه تا از این مسائل اکنون حل شده‌اند. لیست جدیدی از هفت مسئله مهم به نام « » نیز در سال ۲۰۰۰ منتشر شد. تنها یکی از آن‌ها با لیست مسائل هیلبرت اشتراک دارد. جایزه حل هر مسئله در لیست جایزه هزاره ۱ میلیون دلار است.
{"title": "ریاضیات", "link": "https://fa.wikipedia.org//w/index.php?title=%D8%B1%DB%8C%D8%A7%D8%B6%DB%8C%D8%A7%D8%AA&oldid=35146818", "language": "fa"}