در و ، (به : )، نوعی از است که غالباً جهت و پیش‌بینی انواع مختلفی از پدیده‌های طبیعی و اجتماعی به کار می‌رود.
 عبارت (AR(p به مدل خودهمبستهٔ مرتبهٔ p اشاره دارد و به صورت زیر تعریف می‌شود:
 
 که پارامترهای مدل، عدد ثابت و سفید می‌باشد. عددثابت در بسیاری از مواقع جهت سادگی حذف می‌شود.
یک مدل خودهمبسته می‌تواند به صورت خروجی یک فیلتر با قطب‌های نامحدود که ورودی آن نوفهٔ سفید است، در نظرگرفته شود.
 اعمال برخی محدودیت‌ها بر پارامترهای این مدل، برای بودن آن الزامی است. برای مثال فرایند (AR(۱ با φ | ≥ ۱| مانا نخواهد بود. به صورت کلی‌تر، برای اینکه مدل (AR(p مانا باشد، ریشه‌های چندجمله‌ای باید درون قرار گیرند، یعنی برای هر ریشهٔ باید داشته باشیم: |<۱|.
 یک فرایند (AR(۱ به صورت زیر داریم:
 
 که با صفر و می‌باشد. (توجه کنید که زیرنویس کنارگذاشته شده‌است.) این فرایند ماناست در صورتی‌که ، زیرا در آن صورت مشابه خروجی یک فیلتر پایدار که وردی آن نوفهٔ سفید است، می‌باشد. اگر در آنصورت واریانس نامحدود خواهد داشت، و بنابراین مانا نخواهد بود. در نتیجهٔ فرض ، میانگین ( برای تمام مقادیر یکسان خواهد بود. با قراردادن میانگین برابر خواهیم داشت:
 
 و در نتیجه:
 
 به صورت خاص اگر ، در آن صورت میانگین برابر صفر خواهد بود.
نشان داده می‌شود که واریانس برابر خواهد بود با:
 
 که واریانس می‌باشد.
اتوکواریانس برابر خواهد بود با:
 
 تابع اتوکواریانس با ثابت زمانی تنزیل می‌یابد. (برای اثبات کافی است به صورت نوشته شود. توجه کنید که در این صورت خواهیم داشت: )
 تابع چگالی طیفی، تابع اتوکواریانس خواهد بود. در شرایط گسسته، تابع اتوکواریانس برابر خواهد بود با:
 
 این عبارت به علت ساختار گسستهٔ ، است، که در عبارت کسینوسی مخرج خود را نشان می‌دهد.
 اگر فرض کنیم که زمان ( ) نسبت به ( ) خیلی کوچک‌تر باشد، می‌توانیم از تقریب پیوستهٔ استفاده کنیم:
 
که فرم لورنتزین تابع را نتیجه می‌دهد:
 
 که متناسب با ثابت زمانی می‌باشد.
نمایش دیگر برای از طریق جایگزین کردن با در فرمول اصلی بدست می‌آید. با بار تکرار این جایگزینی خواهیم داشت:
 
 با میل کردن به سمت بینهایت، به صفر میل کرده و خواهیم داشت:
 
 در آن صورت به صورت مجموعه‌ای از جملات اخلال به علاوهٔ میانگین ثابت درمی‌آید. در واقع این نمایش معادل یک از مرتبهٔ بینهایت، خواهد بود. اگر یک فرایند گوسی باشد، نیز فرایند گوسی خواهد بود. در حالات دیگر، بیان می‌کند که ، زمانی‌که مقداری نزدیک به یک داشته باشد، به صورت تقریبی خواهد داشت.
 مدل (AR(p با معادلهٔ زیر داریم:
 
 یک تناظر مستقیم میان پارامترهای و تابع فرایند وجود دارد، این تناظر می‌تواند به گونه‌ای معکوس شود که پارامترها از روی (که از کواریانس‌ها بدست می‌آید) تعیین و محاسبه شوند. این محاسبه از طریق حل معادلات انجام می‌شود:
 
 که با  + 1، = 0, ... , معادله خواهیم داشت. تابع خودهمبستگی و فرایند جملهٔ اخلال ورودی و تابع ، ضربهٔ کرونکر، است.
 از آنجا که قسمت آخر معادله، ، تنها در زمانی‌که = ۰ باشد، غیر صفر است، معادله غالباً از طریق نمایش ماتریس برای > 0 حل می‌شود، در این صورت خواهیم داشت:
 
 برای = ۰ داریم:
 
 که به اما اجازه می‌دهد را حل کنیم.
 معادلات بالا، معادلات یول-واکر، از طریق جایگزین کردن کواریانس‌های نظری با مقادیر تخمین زده شده، یک مسیر برای تخمین پارامترهای مدل (AR(p فراهم می‌کنند. یک راه برای محاسبهٔ کواریانس‌های تخمین زده شده استفاده از برازش حداقل مربعات، ، مقادیر بر مقدار قبلی خود می‌باشد.
 معادلهٔ معرف فرایند (AR(p:
 
 با ضرب هر دو طرف معادله در و گرفتن خواهیم داشت:
 
 بنابر تعریف تابع خودهمبستگی داریم: . مقادیر جملهٔ اخلال از یکدیگر مستقل بوده و به ازای > 0، مستقل از ε است، یعنی برای > 0 داریم:، E[ε ] = ۰. برای = ۰:
 
 برای ≥ ۰ داریم:
 
 بعلاوه داریم:
 
 از جایگذاری معادلهٔ بالا در معادلهٔ ، معادلات یول-واکر تولید می‌شود، برای ≥ ۰:
 
 برای <0 داریم:
{"title": "مدل خودهمبسته", "link": "https://fa.wikipedia.org//w/index.php?title=%D9%85%D8%AF%D9%84_%D8%AE%D9%88%D8%AF%D9%87%D9%85%D8%A8%D8%B3%D8%AA%D9%87&oldid=32752440", "language": "fa"}