در ، (به : ) و (به : ) تعمیم اند. در ، به ایده‌آل‌های نیم-اول، هم می‌گویند.
 به عنوان مثال، در حلقه ، ایده‌آل‌های نیم-اول، ایده‌آل صفر و تمام به شکل اند که در آن یک عدد صحیح مربع-آزاد است. بنابر این، یک ایده‌آل نیم-اول از اعداد صحیح است (چون و در تجزیه آن هیچ عامل اول تکراری مشاهده نمی‌شود)، اما نیم-اول نیست (چون ، و تجزیه آن دارای عامل اول تکراری است).
 دسته حلقه‌های نیم-اول شامل حلقه‌های نیم-ابتدایی، حلقه‌های اول و حلقه‌های تحویل یافته‌است.
 بسیاری از تعاریف و گزاره‌های این مقاله در ( ) و ( ) ظاهر شده‌اند.
 برای یک حلقه جابجایی چون ، ایده‌آل محضی چون را یک گویند اگر در هرکدام از دو تعریف معادل زیر صدق کند:
 
 شرط دوم می گوید که متمم یک ایده‌آل نیم-اول "تحت توان گیری بسته است". این شرط مشابه خاصیت ایده‌آل های اول است که متممشان تحت ضرب بسته است. 
 همچون ایده‌آل های اول، خاصیت اخیر برای ایده‌آل های نیم-اول با کمک ایده‌آل ها به حلقه های ناجابجایی تعمیم پیدا می کند. شرایط زیر برای ایده‌آل نیم-اول در یک حلقه با هم معادلند:
 
 
 
 در اینجا دوباره، حالتی مشابه با حالت ناجابجایی برای m-دستگاه ایده‌آل های اول داریم. یک زیرمجموعه ناتهی از یک حلقه را n-دستگاه (به : ) گویند اگر برای هر در ، وجود داشته باشد یک در چنان که در باشد. با این نمادگذاری ها، تعریف معادل دیگری را می توان به تعاریف فوق اضافه کرد:
 حلقه را گوییم اگر ایده‌آل صفر آن یک ایده‌آل نیم-اول باشد. در حالت جابجایی، این معادل است با این که یک حلقه تحویل یافته باشد، چون هیچ عضو پوچتوان ناصفری ندارد. در حالت ناجابجایی، این حلقه هیچ ایده‌آل راست پوچتوان ناصفری ندارد.بنابر این، در حالی که یک حلقه کاهش یافته همیشه نیم-اول است، عکس آن صحیح نیست.
{"title": "حلقه نیم-اول", "link": "https://fa.wikipedia.org//w/index.php?title=%D8%AD%D9%84%D9%82%D9%87_%D9%86%DB%8C%D9%85-%D8%A7%D9%88%D9%84&oldid=31068410", "language": "fa"}