(به : ) یا ، در ، بخصوص در شاخه ، یک است (از این رو یک هم هست) که توسط از ‌ها که یک یا چند دارند (که به صورت سنتی نام دارند) تشکیل شده که ضرایبشان در حلقهٔ دیگری است که معمولاً یک میدان است.
 معمولاً اصطلاح «حلقه چندجمله‌ای» به صورت ضمنی به حالت خاصی از حلقه چندجمله‌ای اشاره دارد که یک نامعین روی یک میدان دارد. این حلقه‌های چندجمله‌ای به این علت مهم هستند که ویژگی‌های مشترکی زیادی است که با حلقه دارند.
 حلقه چندجمله‌ای‌ها در شاخه‌های مختلفی از ریاضیات همچون ، ، و ظهور پیدا می‌کنند. در ، برای تعمیم بعضی ویژگی‌های حلقه‌های چندجمله‌ای، کلاس‌های مختلفی از حلقه‌ها معرفی شده‌اند که شامل: ، ، ، ، و هستند.
 یک مفهوم بسیار مرتبط، روی ، و به صورت کلی‌تر روی است.
 حلقه چند جمله‌ای ، با روی یک (یا به صورت کلی‌تر ) را می‌توان به صورت مجموعه‌ای از عبارات، که به آن در گفته می‌شود، به این حالت تعریف کرد (تعاریف معادل دیگری هم وجود دارد که از آن‌ها هم استفاده معمول می‌شود): 
 که در آن یعنی عناصر هستند و اگر باشد و نمادهایی هستند که به عنوان «توان» شناخته شده و از همان قواعد معمول به رساندن تبعیت می‌کنند، یعنی: و و برای هر و داریم: . نماد را یا می‌نامند (اصطلاح « از اصطلاح‌شناسی می‌آید. با این حال، در اینجا هیچ مقداری (غیر از خودش) اختیار نمی‌کند و نمی‌تواند تغییر کند و در حلقه چندجمله‌ای است).
 دو چند جمله‌ای زمانی با هم برابراند که ضرایب متناظر با هرکدام از ‌ها در هردو با هم برابر باشند.
 حلقه چندجمله‌ای را می‌توان به این صورت دید، که از میدان با اضافه‌کردن یک عنصر جدید ایجاد شده که این برای خارجی است و با همه عناصر شرکت‌پذیر بوده و خاصیت ویژه دیگری هم ندارد (از همین می‌توان برای تعریف‌کردن حلقه‌های چندجمله‌ای بهره جست).
 حلقه چندجمله‌ای در روی به یک جمع، یک ضرب و یک مجهز است که آن را یک می‌کند. این عملیات براساس قواعد معمولی برای دستکاری عبارات جبری تعریف شده‌اند. بخصوص اگر:
 و:
 آنگاه:
 و:
 که در آن و 
 و
 در فرمول‌های فوق، می‌توان با افزودن «جملات ساختگی» با ضرایب صفر، چندجمله‌ای‌های و را توسعه داد به گونه‌ای که و ‌های ظاهر شده در این عبارت تعریف شده باشند. بخصوص وقتی که باشد آنگاه برای داریم .
 ضرب اسکالر حالت خاصی از همان ضرب عمومی است که در آن به (جمله‌ای که مستقل از است) کاهش یافته‌است؛ یعنی:
 می‌توان به راحتی راستی‌آزمایی کرد که سه عملیات بالا در اصول موضوعه جبر جابجایی روی میدان صدق می‌کنند. ازاین‌رو، به حلقه‌های چند جمله‌ای، نیز گفته می‌شود.
 تعریف معادل دیگری که شهود کمتری دارد اما معمولاً ارجح است، چون راحت‌تر می‌شود آن را ساخت، به این صورت که چندجمله‌ای‌ها به صورت یک بی‌نهایت از عناصر تعریف شوند که این ویژگی را دارند که تنها تعداد متناهی از آن‌ها ناصفرند، یا به‌طور معادل، دنباله‌ای که برای آن یک وجود دارد که برای رابطه برقرار است. در این حالت، و را به ترتیب به عنوان نمادهای جایگزین برای دنباله‌های و در نظر گرفته‌ایم. آنگاه با کمی دقت می‌توان فهمید که با کمک این قواعد عملیاتی، یک عبارت به صورت زیر:
 دارای یک نماد جایگزین دنباله‌ای به صورت زیر است:
 فرض کنید:
 یک چندجمله ای ناصفر باشد که در آن 
 چندجمله ای است. در چند جمله ای‌های صفر این ثابت صفر است (البته ممکن است در حالت‌های دیگر هم صفر باشد).
 ی که به صورت نوشته می‌شود است. این مقدار برابر بزرگترین یی است که ضریب صفر نباشد. 
 ی ، برابر است. 
در حالت خاص چندجمله ای‌های صفر که تمام ضرایب آن صفر است، چندجمله ای پیشرو تعریف نشده و درجه را اغلب تعریف نشده، برابر -1 یا برابر تعریف می‌کنند.
 یک ، یا چندجمله ای صفر است، یا چندجمله ای از درجه صفر.
 یک چندجمله ای صفر تکین است اگر ضریب پیشروی آن ۱ باشد.
 اگر دو چندجمله ای و داده شده باشند خواهیم داشت:
 
 و بر روی یک میدان یا به‌طور کلی تر یک حوزه صحیح داریم: 
 
 سریعاً نتیجه می‌شود که اگر یک حوزه صحیح باشد آنگاه نیز حوزه صحیح است. 
 در نتیجه اگر یک حوزه صحیح باشد، یک چندجمله ای دارای معکوس ضربی است ثابت باشند، و آن ثابت در معکوس ضربی داشته باشد.
 دو چندجمله ای با هم مرتبط (به : ) هستند اگر برای هرکدام از آن‌ها یک عضو معکوس پذیر (به : ) وجود داشته باشد که با ضرب در آن به دیگری تبدیل شود.
 هر چندجمله ای ناصفر بر روی یک میدان مرتبط با یک چندجمله ای منحصر به فرد است.
 اگر دو چندجمله و داده شده باشد، می‌گویند مقسوم علیه است، یا چندجمله ای را تقسیم می‌کند یا ضریبی از است اگر چندجمله ای وجود داشته باشد به گونه ای که .
 یک چندجمله‌ای تحویل ناپذیر است اگر نتوان آن را به صورت ضرب دو چندجمله‌ای غیرثابت نوشت یا به‌طور معادل، اگر مقسوم علیه‌های آن یا چندجمله‌ای‌های ثابت باشند یا درجه برابر با چندجمله‌ای اصلی داشته باشند.
 فرض کنید یک میدان باشد، یا به صورت کلی‌تر، یک باشد، و یک حلقه شامل باشد. برای هر چندجمله‌ای در و هر عنصر در ، جایگزینی با در یک عنصر را تعریف می‌کند، که به صورت نمایش داده می‌شود. این عنصر با حمل پس از جایگزینی عملیات نشان داده‌شده توسط عبارت چندجمله‌ای به دست می‌آید. به این محاسبه « » در گفته می‌شود. برای مثال، اگر داشته باشیم
 آنوقت داریم
 (در مثال اول و در مثال دوم ). جایگزینی با خودش منجر زیر می‌شود
 که این موضوع شرح می‌دهد چرا دو جمله «فرض کنید یک چندجمله‌ای باشد» و «فرض کنید یک چندجمله‌ای باشد» با هم معادل هستند.
 تعریف شده توسط چندجمله‌ای تابعی از به است که توسط تعریف می‌شود. اگر یک میدان نامتناهی باشد، دو چندجمله‌ای متفاوت، توابع چندجمله‌ای متفاوتی را تعریف می‌کنند، اما این خاصیت برای میدان‌های متناهی نادرست است. برای مثال، اگر میدانی با عنصر باشد، آنوقت چندجمله‌ای‌های و هر دو تعریف کننده تابع صفر هستند.
 برای هر در ، ارزیابی در ، که همان نگاشت است، یک از به را تعریف می‌کند، که یک همریختی یکتا از به است، که را ثابت نگه‌می‌دارد و را به نگاشت می‌دهد. به زبان دیگر، این را دارد:
 برای همه خاصیت‌های جامع، این موضوع (به دلیل یکریختی یکتا) تعریف کننده جفت است، و از این رو می‌توان آن را به عنوان تعریف در نظر گرفت.
 اگر یک باشد، حلقه چندجمله‌ای ویژگی‌های زیادی دارد که مشابه اعداد صحیح است. بیشتر این شباهت‌ها از شباهت بین و نشات می‌گیرند.
 بیشتر ویژگی‌های که در این بخش فهرست شده‌است، اگر میدان نباشد، یا اگر چندجمله‌ای‌ها چندین نامعین داشته باشند، درست باقی نمی‌ماند.
 در بسیاری از کاربردها پیش می‌آید که مجبور به نگهداری چندجمله‌ای‌هایی هستیم که با این که درجهٔ بزرگی دارند ولی تعداد بسیاری از ضرایب آن‌ها صفر می‌باشد. که استفاده از فرمت نگهداری فرض شده در ابتدای این نوشته برای چنین چند جمله‌هایی بسیار ناکاراست. به چنین چندجمله‌ای‌هایی، می‌گوییم و برای اعمال روی آن‌ها الگوریتم‌های بسیاری پیشنهد شده که از ارزش بالایی هم برخوردارند. یک مثال از چنین چندجمله‌ای‌هایی در زیر آمده‌است: 
 
 
 
 به همین دلیل به جای استفاده از آرایه برای نمایش این چندجمله‌ای‌ها از لیست پیوندی استفاده می‌شود. به این صورت که هر تک جمله را با یک واحد که شامل درجه و ضریب آن باشد نمایش می‌دهیم و به آن گره می‌گوییم (مثلاً یک struct یا record) و این گره‌ها را در یک لیست پیوندی که به ترتیب درجه آن‌ها ار کوچک به بزرگ مرتب شده‌است، نگه می‌داریم. برای مثال بالا، استفاده از آرایه به حدود ۱۰۱ واحد حافظه نیاز دارد در حالی با نمایش اخیر می‌توان آن را با تنها ۱۶ واحد حافظه (حداکثر) نمایش داد زیرا که هر گره در لیست پیوندی اگر شامل توان و ضریب و دو اشاره جلو و عقب باشد به اندازهٔ ۴ واحد فضا مصرف می‌کند و با سه گره نیز چندجمله‌ای فوق قابل نمایش است به علاوهٔ یک گره احتمالی برای سرلیست.
 در مورد این طرز نمایش چندجمله ای، نمی‌توان الکوریتم‌های معمول را به کار برد زیرا بسیاری از الگوریتم‌ها فرض می‌کنند که دسترسی تصادفی سریع به هر یک از ضرایب دارند؛ مثلاً نمی‌توان از آن طور که اینجا مطرح شد برای ضرب چندجمله ای‌های تنک استفاده کنیم. 
با این حال الکوریتم استراسن که در بالا بحث شد را می‌توان با تغییر جزئی برای چنین نمایشی نیز به کار برد زیرا در طی آن تنها نیاز است که با یک بار عبور از روی چندجمله ای، وسط آن را پیدا کرد و سپس آن را به دو بخش تقسیم کرد و الگوریتم را به‌طور بازگشتی ادامه داد. واضح است که چنین تقسیمی به نمی‌افزاید (از لحاظ ) ولی برخی مسائل جدید در پیاده‌سازی را پیش می‌کشد مانند حالات تهی یا نصف تهی. که در بدترین حالت با افزودن تعداد ثابتی گره با ضریب صفر و اضاه کردن حالات پایه برای زمانی که چلیست پیوندی نمایش دهندهٔ چندجمله‌ای تهی است، به راحتی می‌توان این الگوریتم را روی چندجمله ای‌های تنک نیز اجرا کرد. 
الگوریتم‌های پیشرفته تر برای ضرب چندجمله‌های تنک که سریع تر نیز عمل می‌کنند و مثلاً در برخی از آن‌ها از برای نگهداری چندجمله ای‌ها و نمایش آن‌ها استفاده می‌شود، نیز وجود دارند ولی در این‌جا به جزییات بیشتری از آن‌ها نمی‌پردازیم.
{"title": "حلقه چندجمله‌ای", "link": "https://fa.wikipedia.org//w/index.php?title=%D8%AD%D9%84%D9%82%D9%87_%DA%86%D9%86%D8%AF%D8%AC%D9%85%D9%84%D9%87%E2%80%8C%D8%A7%DB%8C&oldid=33722211", "language": "fa"}