یک (به : ) در ، است که را تعمیم می‌دهد: نیازی نیست که ضرب باشد، و نیازی نیست تا وجود داشته باشد. به زبان دیگر، یک یک مجهز به دو است که ویژگی‌هایی شبیه و را برآورده می‌کند. عناصر حلقه می‌تواند اعدادی مثل یا باشد، اما این عناصر می‌تواند اشیای غیرعددی مثل ، ، و هم باشد.
 از نظر صوری، یک است که عملیات آن نامیده شده، به همراه عملگر دوتایی ثانویه که ضرب نام‌دارد و داشته و روی عملگر جمع است و دارای ضربی است (این خاصیت اخیر نزد برخی از مؤلفین الزامی نیست، را ببینید). پیرو تعمیم اعداد صحیح، به عملیات گروهی آبلی حلقه ها، و به عملگر ثانویه آن گویند.
 این که آیا یک حلقه جابجایی است یا خیر (یعنی این که آیا ترتیب ضرب دو عنصر حلقه بر نتیجه ضربشان اثرگذار است یا نه؟)، اثرات ژرفی بر روی رفتار یک شیء جبری دارد. در نتیجه، نظریه حلقه های جابجایی را اغلب جبر جابجایی گویند، که مبحث کلیدی در نظریه حلقه هاست. توسعه جبرجابجایی به میزان چشمگیری از مسائل و ایده هایی که به طور طبیعی در و وجود دارند وام گرفته است. مثال هایی از شامل این موارد می شود: اعداد صحیح مجهز به عملیات جمع و ضرب، مجموعه چند جمله ای ها به همراه جمع و ضرب بینشان، حلقه مختصاتی یک آفینی و حلقه اعداد یک میدان عددی. مثال هایی از حلقه های ناجابجایی شامل حلقه ماتریس های حقیقی مربعی که در آن ، حلقه گروه ها در ، جبر عملگرها در ، حلقه عملگر های دیفرانسیلی در نظریه عملگر های دیفرانسیل و حلقه کوهمولوژی یک فضای توپولوژیکی در .
 مفهوم سازی برای حلقه ها در دهه ۱۸۷۰ شروع شد و در دهه ی ۱۹۲۰ تکمیل شد. افرادی که نقش کلیدی در این فرایند داشتند شامل ، ، و بودند حلقه ها را اولین بار به عنوان تعمیم هایی از دامنه های ددکیند، که در نظریه اعداد، حلقه های چند جمله ای و پایا هایی که در هندسه جبری و نظریه پایا ظاهر می شوند، به صورت صوری و رسمی در آوردند. سپس، مشخص شد که مفهوم حلقه ها در دیگر شاخه های ریاضیاتی چون و نیز مفیدند.
 آشناترین مثال یک حلقه، مجموعه اعداد صحیح، شامل اعداد زیر است:
 
 
 خواص آشنای جمع و ضرب اعداد صحیح، مدلی برای اصول موضوعه حلقه هاست.
 ، مجموعه ای چون است که به عمل های دوتایی + و مجهز شده به گونه ای که در اصول موضوعه زیر به نام صدق کند :
 
 
 همانطور که در بخش تاریخچه در قسمت پایین توضیح داده شده، بسیاری از مؤلفان از قرارداد دیگری استفاده می کنند که در آن برای یک حلقه وجود عنصر همانی ضربی الزامی نیست. در این مقاله از این قرارداد استفاده شده که وجود عنصر همانی ضربی الزامی ، مگر خلاف آن ذکر شود. مؤلفانی که از قرارداد اخیر (وجود عنصر همانی ضربی) پیروی می کنند، به حلقه هایی که در آن ها عنصر همانی تعریف نشده (به صورت یا رانگ تلفظ می شود) گویند و برخی مواقع به آن (pseudo-ring) هم گفته می شود. به عنوان مثال، مجموعه اعداد زوج تحت جمع و ضرب معمولی یک rng (رانگ) است اما حلقه نیست.
 عملیات + و . را به ترتیب و گویند. معمولاً نماد ضرب یعنی . حذف می شود، لذا کنار هم قرار گرفتن عناصر به صورت ضرب تعبیر می شود. به عنوان مثال معنی می دهد.
 گرچه جمع در حلقه جابجاییست، ضرب حلقه لزوماً جابجایی نیست: لزوماً برابر با نیست. حلقه هایی که شرط جابجایی ضربی را ارضاء می کنند (مثل حلقه اعداد صحیح) را گویند. کتاب های جبر جابجایی یا هندسه جبری اغلب برای ساده سازی اینگونه قرارداد می کنند که به معنای است.
 در یک حلقه، نیاز نیست که عناصر دارای معکوس ضربی باشند. یک حلقه جابجایی (نابدیهی) که در آن هر عنصر ناصفر معکوس ضربی داشته باشد را میدان گویند.
 گروه جمعی یک حلقه صرفاً مجهز به جمع است. گرچه که تعریف حلقه فرض را بر این می گیرد که گروه جمعی آبلی است، اما این مسئله (آبلی بودن گروه جمعی) را می توان از دیگر اصول موضوعه های حلقه استنباط کرد (یعنی یک اصول موضوعه ی مستقل نیست) . اثبات نکته اخیر از طریق فرض وجود عنصر " " است، پس اثبات آن در قابل استفاده نیست (در مورد رانگ ها، حذف فرض جابجایی بودن جمع، باعث می شود که جابجایی بودن ضرب عناصر، یعنی را بتوان از بقیه اصول موضعه استنباط کرد).
 برخی از مؤلفین حلقه را بدون فرض شرکت پذیری ضربی تعریف می کنند. این تعریف کلی یک حلقه (که لزوماً شرکت پذیر نباشد، و لزوماً یک دار نباشد) هنگامی مفید است که بخواهیم هر جبر را یک حلقه در نظر بگیریم.
 برخی از خواص پایه ای یک حلقه فوراً از اصول موضعه بدست می آیند:
 
 
 
 همچنین رجوع کنید به: 
 مجموعه به عملیات زیر مجهز شده است:
 
 آنگاه، یک حلقه است: هر اصل موضوع از اصل موضوع متناظرش در بدست آمده و این عنصر را اغلب به صورت "x mod 4" یا نمایش می دهند که با نماد های سازگاری دارند. معکوس جمعی هر عنصر مثل در به صورت است. به عنوان مثال، .
{"title": "حلقه (ریاضیات)", "link": "https://fa.wikipedia.org//w/index.php?title=%D8%AD%D9%84%D9%82%D9%87_(%D8%B1%DB%8C%D8%A7%D8%B6%DB%8C%D8%A7%D8%AA)&oldid=33789075", "language": "fa"}