در ، بخصوص در ، (به : )، است که مجهز به یک باشد، که تعمیم همان است. از این الگوریتم تعمیم یافته اقلیدسی می توان مثل همان الگوریتم تقسیم عادی اعداد صحیح استفاده کرد: در هر حوزه اقلیدسی، می توان را برای محاسبه هر دو عنصر به کار برد. بخصوص، بزرگترین مقسوم علیه مشترک هر دو عنصر وجود داشته و می توان آن را به صورت ترکیب خطیشان نوشت ( ). همچنین هر در یک حوزه اقلیدسی، است، که تعمیم را نتیجه می دهد: هر حوزه اقلیدسی یک ست.
 مقایسه حوزه‌های اقلیدسی با دسته بزرگتری از (PID ها) مهم است. یک PID دلخواه، تقریباً همان "خواص ساختاری" یک حوزه اقلیدسی (یا حتی حلقه اعداد صحیح) را داراست، در حالی که شناخته شده است، می توان از الگوریتم اقلیدسی و نیز استفاده کرد. بخصوص، وجود الگوریتم‌های کارا برای تقسیم اقلیدسی اعداد صحیح و های تک متغیره روی ها، از اهمیت بنیادی در برخوردار است.
 بنابر این، اگر حوزه صحیحی چون R داده شده باشد، اغلب دانستن تابع اقلیدسی R بسیار مفید خواهد بود: به طور ویژه، وجود چنین تابعی دلالت بر PID بودن R دارد. با این حال، اگر هیچ تابع اقلیدسی واضحی وجود نداشته باشد، تعیین این که R یک PID است یا خیر، اغلب مسئله راحت تری است تا تعیین این که آیا یک حوزه اقلیدسی است یا نه.
 حوزه اقلیدسی را می توان در زنجیره شمول زیر مشاهده نمود:
{"title": "حوزه اقلیدسی", "link": "https://fa.wikipedia.org//w/index.php?title=%D8%AD%D9%88%D8%B2%D9%87_%D8%A7%D9%82%D9%84%DB%8C%D8%AF%D8%B3%DB%8C&oldid=34796027", "language": "fa"}