(به : )، سیگنال (داده‌ها) با خودش است. به‌طور غیررسمی، خودهمبستگی، همسانیِ (شباهت) سیگنال (داده‌ها) با نسخهٔ شیفت‌یافتهٔ خود است.
 خودهمبستگی، ابزاری ریاضی برای یافتن الگوهای تکراری (مانند حضور یک سیگنال متناوب در نویز)، یا شناسایی یک فرکانس مشخص در سیگنالی دارای فرکانس‌های است. از خودهمبستگی، اغلب در برای تحلیل توابع یا داده‌ها از جمله تحلیل استفاده می‌شود.
 در ، خودهمبستگی یک ، ِ مقادیر فرایند در زمان‌های مختلف را به عنوان تابعی دو-متغیّره (زمان و شیفت زمانی)، یا تابعی تک‌متغیّره (شیفت زمانی) توصیف می‌کند. اگر X فرایندی تکرارپذیر باشد و i نقطه‌ای از زمان بعد از آغاز فرایند (i برای فرایند یا برای فرایند ) است؛ بنابراین X مقدار (یا تحقق) فرایند در زمان i است.
 فرض کنیم فرایند، با μ و σ برای همه زمان‌های i تعریف شده‌است. خودهمبستگی فرایند در دو زمان s و t عبارت است از:
 
 
 که E عملگر است. این بیان برای همه فرایندها یا سری‌های زمانی، خوش‌تعریف نیست، چون ممکن است واریانس برابر صفر (برای یک فرایند ثابت) یا بینهایت باشد. اگر تابع R خوش‌تعریف باشد، مقدار آن باید در محدوده [۱٬۱-] قرار گیرد، که ۱ نشان دهنده همبستگی کامل و ۱- نشان دهنده کامل است.
اگر X یک (به : ) باشد، میانگین μ و واریانس σ مستقل از زمان هستند و خودهمبستگی فقط به تفاضل t و s بستگی دارد نه به مقدار مطلق آن‌ها. این موضوع بیان می‌کند که خودهمبستگی یک می‌تواند به عنوان تابعی از تأخیر (شیفت) زمانی بیان شود، و همچنین باید یک از τ = − باشد.
 
 
 و با توجه به زوج بودن این تابع، می‌توانیم بگوییم:
 
 
 این عمل مشترک در برخی رشته‌ها به غیر از آمار و ، برای نرمال کردن به وسیله σ و استفاده از «خودهمبستگی» مترادف با «اتو » است. به هر حال، نرمال کردن به دو دلیل اهمیت دارد: به علت تفسیر خودهمبستگی به عنوان یک همبستگی که مقدار بدون مقیاس «قدرت » را فراهم می‌کند و چون نرمال کردن روی خصوصیات آماری خودهمبستگی‌های برآورد شده مؤثر است.
 در پردازش سیگنال، تعریف بالا اغلب بدون نرمال کردن استفاده می‌شود؛ یعنی بدون کسر میانگین و تقسیم بر واریانس. وقتی تابع خودهمبستگی به وسیله میانگین و واریانس نرمال شده‌است، گاهی اوقات به ضریب خودهمبستگی مربوط می‌شود. 
 برای سیگنال معین (به : ) ، خودهمبستگی پیوسته غالباً به صورت همبستگی متقابل با نسخه تأخیریافته خودش به مقدار تعریف می‌شود:
 که و عمل است. برای یک ، .
 خودهمبستگی گسسته R با تأخیر j برای یک به صورت زیر است:
 تعریف‌های بالا برای سیگنال‌هایی کاربرد دارند که دو بار انتگرال پذیرند یا دو بار جمع پذیرند.
 برای فرایندهای ایستا، خودهمبستگی بر اساس مقادیر مورد انتظار تعریف می‌شوند:
 
 برای فرایندهایی که ایستا نیستند این روابط، توابعی از t و n نیز خواهند بود.
برای فرایندهایی که ارگودیک نیز هستند، امید می‌تواند توسط حد یک میانگین زمانی جایگزین شود. خودهمبستگی یک گاهی به صورت زیر تعریف می‌شود: 
 
 این تعاریف، برای فرایندهای متناوب، نتایج تک پارامتری خوش‌تعریف معقولی می‌دهند، حتی وقتی فرایند ارگودیک ایستا نیست.
 سیگنالهایی که همیشه می‌توانند به وسیله تحلیل یک تابع خودهمبستگی کوتاه مدت اجرا شوند (برای یک فرایند وابسته، به کوتاه مدت نگاه کنید)
خودهمبستگی چند بعدی به‌طور مشابه تعریف شده‌است. برای مثال، در سه بعد، خودهمبستگی یک سیگنال گسسته دو بار جمع پذیر عبارت است از:
 وقتی مقدارهای میانگین از سیگنال‌ها کسر می‌شوند قبل از محاسبه یک تابع خودهمبستگی، تابع نتیجه معمولاً یک تابع کوواریانس نامیده می‌شود.
 در ادامه، تنها خصوصیات خودهمبستگی‌های تک بعدی شرح داده می‌شود، چون بیشتر خصوصیات به آسانی از یک مورد تک بعدی به موارد چند بعدی قابل تبدیل است.
 
 
 
 
 
 
 
 برای داده‌های زمان‌گسسته لازم است خودهمبستگی با کارایی بالا محاسبه کنیم. هنگامی‌که الگوریتم brute force مرتبه است، چندین الگوریتم کارا وجود دارد که می‌تواند خودهمبستگی را در مرتبه محاسبه کند. برای مثال، قضیه وینر-کیچین، محاسبه خودهمبستگی از داده‌های خام با دو (FFT)را ممکن می‌سازد. 
 که IFFT، معکوس FFT را نشان می‌دهد، * نشان دهنده مزدوج مختلط است.
یک همبستگی چندگانه می‌تواند با استفاده از محاسبه (به : ) برای مقدارهای پایین اجرا شود، و سپس به‌طور تدریجی استخراج داده‌های با یک چگالی لگاریتمی برای محاسبه مقدارهای بزرگتر، با همان کارایی اما با حافظه مورد نیاز کمتر.
 برای یک فرایند گسسته به طول n که به صورت با میانگین و واریانس معلوم، تخمین خودهمبستگی به صورت زیر بدست می‌آید:
 برای هر مثبت . وقتی میانگین صحیح و واریانس معلومند، این برآورد، بدون تورش است. اگر میانگین و واریانس فرایند نامعلوم باشند چند احتمال وجود دارد:
 
 
 مزیت این برآوردها این است که مجموعه خودهمبستگی‌های برآوردشده، به عنوان تابعی از k، به صورت تابعی است که دارای خودهمبستگی معتبر است به این معنی که می‌توان فرایند تئوریکی تعریف کرد که دقیقاً همان خودهمبستگی را داشته باشد. برآوردهای دیگر می‌توانند از این مسئله رنج ببرند که اگر برای محاسبه واریانس یک از Xها استفاده شوند، واریانس محاسبه شده ممکن است منفی بدست آید.
 در داده‌های ، خودهمبستگی خطاها، یک مشکل است. خودهمبستگی خطاهایی که غیرقابل مشاهده اند، می‌تواند به‌طور کلی بخاطر تولید خودهمبستگی درمانده‌های قابل مشاهده نمایان شود. (خطاها در ، «عناصر خطا» نامیده می‌شوند)
خودهمبستگی، فرض حداقل مربعات معمولی (OLS) که عناصر خطا ناهمبسته‌اند را نقض می‌کند. زمانی که برآورد ضرایب OLS بدون تورش است، خطاهای استاندارد وقتی خودهمبستگی خطاها در lagهای پایین مثبت است، کمتر از مقدار واقعی تخمین زده می‌شود (و t-مقدار بیشتر از مقدار واقعی). آزمون مرسوم برای وجود خودهمبستگی مرتبه اول، است، یا اگر متغیرهای توضیح دهنده شامل لنگی باشد، آزمون انعطاف‌پذیرتر برای پوشش خودهمبستگی مراتب بالاتر و برای اینکه آیا رگرسورهای شامل متغیر وابسته لنگی قابل اجراست یا نه، است. این شامل یک رگرسیون کمکی است، در جایی که مانده‌های (به : ) به دست آمده از برآورد مدل مورد علاقه روی (الف) رگرسور اصلی و (ب) k باقی‌مانده لنگی، رگرس شده‌اند، که k مرتبه آزمون می‌باشد. ساده‌ترین تفسیر آزمون از این رگرسیون کمکی، است که T اندازه نمونه و هستند. تحت فرضیه صفر (عدم وجود خودهمبستگی) این آماره به‌طور مجانبی، توزیع با k دارد.
پاسخ به خودهمبستگی غیر صفر شامل حداقل مربعات تعمیم یافته و تخمین زن Newey-West HAC ( و خودهمبستگی سازگار) می‌باشد. 
 بعضی از کاربردهای خودهمبستگی به شرح زیر است:
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 |}
{"title": "خودهمبستگی", "link": "https://fa.wikipedia.org//w/index.php?title=%D8%AE%D9%88%D8%AF%D9%87%D9%85%D8%A8%D8%B3%D8%AA%DA%AF%DB%8C&oldid=33718121", "language": "fa"}