حلقه جبری بدون همانی ضربی در ، و به طور خاص در ، (با تلفظ ) (یا یا ) ساختاری جبریست که در همان خواص صدق می کند، با این تفاوت که وجود ضربی فرض نشده (وجودش الزامی نیست). عبارت بازی با کلمه ring است که در آن حرف i حذف شده، چرا که در i اول کلمه identity به معنای همانی است.
 توافقی در جامعه ریاضیدانان در مورد الزام به وجود عنصر همانی در اصول موضوعه تعریف حلقه وجود ندارد. عبارت "rng" اولین بار به منظور رفع این ابهام، به منظور ارجاع به حلقه های بدون ابداع شد. 
 برخی از جبر توابع در یکدار نیستند، به عنوان مثال، جبر توابع نزولی به صفر در بی نهایت، بخصوص با روی یک فضای (غیر-فشرده).
 به طور دقیق‌تر، رنگ یک مجموعه با دو عملگر دوتایی جمع و ضرب است بطوری که:
 
 
 و به یک تابع از یک رنگ به یک رنگ دیگر می‌گوییم، هرگاه برای هر و در داشته باشیم:
 
 همه حلقه‌ها رنگ هستند. تحت جمع و ضرب معمولی یک مثال از یک رنگ که حلقه نیست هستند. برای یک مثال ساده دیگر می‌توانید مجموعه همه ماتریس‌های حقیقی ۳در۳ را بگیرید که سطر پایین (ستون پایین) آنها صفر است. هر دو این مثال‌ها نشان دهنده حالتی هستند که برای هر سره(یک طرفه یا دو طرفه) تشکیل یک رنگ می‌دهد.
 عموما رنگ‌ها به طور طبیعی در و روی ظاهر می‌شوند. برای مثال مجموعه تمام توابع خطی با بعد متناهی را روی یک فضای برداری بی‌نهایت بعدی دلخواه در نظر بگیرید. این مجموعه تحت عمل جمع توابع و تشکیل یک رنگ می‌دهد اما یک حلقه نیست. همینطور مجموعه همه که به صفر می‌کنند تحت اعمال ضرب و جمع جمله‌به‌جمله نیز یک رنگ تشکیل می‌دهد.
 ایده‌آل‌ها، حلقه‌های خارج‌قسمتی و همینطور مدول‌ها دقیقا به همان طریقی که روی حلقه‌ها تعریف می‌شوند، روی رنگ‌ها نیز تعریف می‌شوند.
 به طور کلی کار کردن با رنگ‌ها سخت‌تر از حلقه‌ها است و ممکن است روابط کمی پیچیده‌تر شوند. برای مثال در یک ایده‌آل چپ تولید شده توسط عضو را کوچکترین ایده‌آل چپ شامل عضو r می‌گوییم؛ بدین ترتیب اگر R یک حلقه باشد این ایده‌آل به سادگی با قابل بیان است اما برای رنگ‌ها، از آنجا که لزوما شامل r نیست باید تمام ترکیبات صحیح r را هم در نظر گرفت، به عبارت دیگر:
 
 بطوری که nr را باید n بار جمع یا عضو r با خودش دانست. همین‌طور به شکل مشابه نیز در یک رنگ می‌توان ایده‌آل چپ تولید شده توسط عضوهای را می‌توان توسط مجموعه زیر تعریف کرد:
 
 فرمولی که به امی نوتر برمی‌گردد. پیچیدگی‌های مشابهی در تعریف ایجاد‌شده توسط مجموعه‌ای از عناصر یک به وجود می آید.
 به وضوح، بعضی از قضیه‌های حلقه برای رنگ‌ها صدق نمی‌کنند، مثلا در یک حلقه برای ایده‌آل سره، یک شامل آن وجود دارد. بنابراین برای هر حلقه غیر صفر حداقل یک ایده‌آل ماکسیمال وجود دارد. که هر دو این عبارات برای رنگ‌ها غلط هستند.
 همینطور می‌توان ذکر کرد که همریختی رنگ‌ها، عناصر خودتوان را حفظ می‌کند یعنی اگر یک همریختی باشد و یک عنصر خودتوان باشد، آنگاه نیز در یک عضو خودتوان است.
{"title": "رونگ (جبر)", "link": "https://fa.wikipedia.org//w/index.php?title=%D8%B1%D9%88%D9%86%DA%AF_(%D8%AC%D8%A8%D8%B1)&oldid=34475656", "language": "fa"}