در روش نیوتن ، که همچنین به عنوان روش (به : ) نیز شناخته میشود الگوریتم ریشه یابی است که تقریب های خوبی در نزدیکی ریشه یک تابع (صفرهای یک تابع) میزند.در پایه ای ترین حالت، الگوریتم نیوتن برای یک تابعی چون با متغیر و با مشتق به همراه حدس اولیه بکار میرود. اگر تابع حدس کافی و دقیقی را برآورد سازد و همچنین حدس اولیه نزدیک به مفروض باشد (که با همگرایی تقریب ها این موضوع روشن می شود) آنگاه تقریب بهتری نسبت به به حساب می آید.چرا که با احتساب همگرایی جواب ها، هر تقریب نسبت به تقریب قبل از خودش از دقت بالاتری برخوردار بوده و به ریشه تابع نزدیک تر است.به لحاظ هندسی نقطه ای است که محور و خط تابع در نقطهٔ یکدیگر را قطع میکنند. شکل عمومی الگوریتم نیوتن به شرح زیر میباشد:
 که در اصل از رابطه بدست امده است. میدانیم که در نقطهٔ برخورد تابع با محور مقدار تابع صفر خواهد بود لذا که در آخر با تقسیم بر میتوان رابطه را به فرم رو به رو بازنویسی کرد:
 
 همانطور که مشهود است روش نیوتن-رافسون از ناقص تابع مفروض به عنوان یک حول نقطهٔ حدس اولیه بهره میبرد و از این جهت تقریب را ناقص میگویند که نیازی به نوشتن سری تابع تا مراتب بالاتر نبوده و به همان دو جمله ابتدایی بسنده میکند که این موضوع نیز دلیلی بر تقریب خطی بودن روش نیوتن میباشد. همچنین چون این روش معادلهٔ یک تابع را تا معادلهٔ یک تابع درجه یک تقیل میدهد، لذا صرف نظر از اینکه تابع چند ریشه دارد، در نهایت الگوریتم تنها یک جواب بدست می آورد.
 این روش همچنین میتواند در توابع مختلط و دستگاه معادلات بکار رود.
 ساز و کار روش نیوتن شروع مراحل تخمین ریشه با انتخاب یک حدس اولیه است که به اندازه لازم به مقدار واقعی ریشه نزدیک باشد ، سپس میتوان با استفاده از خط مماس تابع را تقریب زد و نهایتاً با توجه به خط مماس طول از مبدا (ریشه تقریب خطی) را معین ساخت. ریشه تقریب معمولاً تقریب بهتری از ریشه واقعی تابع نسبت به حدس اولیه است و الگوریتم به همین منوال میتواند تکرار شود.
 اسم " Newton's method " از شرح در حالت خاصی از روش مذکور در "آنالیز بوسیله سری های بیکران" (نوشته شده در 1669،منتشر شده در سال 1711 توسط ویلیام جونز که در اصل کاری ریاضیاتی از نیوتن بود) و در De metodis fluxionum et serierum infinitarum (نوشته شده در 1671،که در سال 1736 توسط جان کولسون ترجمه و منتشر شد)مشتق شده است.
 روش نیوتن تنها زمانی یافتن ریشه تقریبی را تضمین میکند که شرایطی برقرار باشد.
 در برخی مواقع شرایطی که برای همگرایی لازم است برقرار است،اما نقطهٔ که به عنوان حدس اولیه انتخاب شده دربازه ای که روش نیوتن همگرایی دارد قرار نمی‌گیرد.این شرایط زمانی میتواند اتفاق بیفتد که برای مثال همچنان که به یا میل میکند ریشه تابع به طور متناوب و به اندازه کافی و مطلوبی به صفر نزدیک شود. در اینگونه موارد روش بهتری مانند روش دوبخشی (تنصیف) باید بکار گرفته شود تا تخمین بهتری بدست آورد.
 به تابع : دقت کنید:
 این تابع در نقطهٔ ماکسیمم دارد و ریشه های آن و میباشد. اگر تکرار را از شروع کنیم (نقطه ای که مشتق آن صفر و شیب خط تابع افقی است) تعریف نشده خواهد بود:
 حتی اگر مشتق تابع در آن نقطه نزدیک به صفر باشد آنگاه تکرار مرحله، تقریب به مراتب بدتری را به همراه خواهد داشت.
 در برخی توابع، بعضی از نقاطی که به عنوان حدس اولیه انتخاب میشوند ممکن است که به یک دایره ختم شوند که این میتواند مانع از همگرایی شود.
برای مثال تابع را در نظر بگیرید و را به عنوان حدس اولیه اختیار کنید. نخستین مرحله جواب را بدست می آوردو دومین مرحله دوباره به میرسد،بنابراین جواب ها مدام بین دو مقدار مذکور تناوب میکند.
در حقیقت این دو هستند.در حقیقت رفتار در این حالت میتواند بسیار پیچیده باشد. جواب واقعی معادله می باشد.
 با توجه به یافتن جذر یک عدد، روش نیوتن یکی از چندین راهی است که میتوان از آن بهره گرفت.
برای مثال اگر هدف یافتن جذر 612 باشد ، این موضوع را میتوان معادل جواب دانست. سپس تابعی را که قصد داریم تا روش نیوتن را برای آن بکار ببندیم میتوان به فرم در نظر گرفت که مشتق آن نیز خواهد بود.اگر حدس اولیه را در نظر بگیریم آنگاه الگوریتم نیوتن به صورت زیر محاسبه را انجام خواهد داد:
{"title": "روش نیوتن", "link": "https://fa.wikipedia.org//w/index.php?title=%D8%B1%D9%88%D8%B4_%D9%86%DB%8C%D9%88%D8%AA%D9%86&oldid=33383663", "language": "fa"}