در ، اثبات ریاضی (به : Mathematical proof) یا استدلالی متقاعدکننده است که نشان می‌دهد یک (با توجه به استانداردهای مربوط)، الزاماً صحیح است. برهان، یک است و نه استدلالی استقرایی، به این معنا که برهان باید نشان دهد که یک گزاره در تمامی شرایط و بدون هیچ استثنایی، همواره صحیح است.
 برهان‌ها از بهره می‌برند، اما بیشتر اوقات مقادیری از را نیز دربر می‌گیرند که اکثراً باعث ایجاد ابهام می‌شود. در واقع، اکثر برهان‌ها در ریاضیات نوشتاری، می‌توانند به عنوان کاربردی از منطق غیر صوری به‌شمار آیند.
 اثبات‌های صوری محض در بررسی شده‌اند. تمایز بین اثبات‌های صوری و غیر صوری
به بررسی‌های زیادی در مورد تمرینات و ریاضیات عامّه منجر شده‌است.
 با نقش زبان و منطق در برهان‌ها و ریاضیات به عنوان یک زبان ارتباط تنگاتنگی دارد.
 صرف نظر از صوری یا غیر صوری بودن، نتیجه‌ای که درستی آن به اثبات رسیده‌است یک نامیده می‌شود که در یک اثبات کاملاً رسمی در خط آخر می‌آید و کل اثبات نشان می‌دهد که چگونه از به تنهایی و به وسیلهٔ قوانین استنتاج، بدست می‌آید. 
 هنگامی که یک نظریه اثبات شد، می‌توان از آن به عنوان اساس و پایهٔ اثبات گزاره‌های بعدی استفاده کرد. یک تئوری، لم گفته می‌شود، هنگامی که به عنوان وسیله‌ای برای اثبات تئوری دیگر استفاده شود.
 اصل، گزاره‌ای است که نیازی به اثبات ندارد یا اثبات نمی‌شود. اصول، مباحث اولیه مورد بررسی فلاسفه ریاضی بوده‌اند. امروزه، توجه بیشتر بر تمرین و تکنیک‌های قابل قبول است.
 گزاره‌ای اثبات نشده که درست تلقی می‌شود، نام دارد.
 مقالهٔ اصلی: در ، نتیجه از ترکیب منطقی اصل‌ها، تعریف‌ها و تئوری‌های پیشین بدست می‌آید. به‌طور مثال برهان مستقیم برای اثبات زوج بودن جمع دو عدد بکار می‌رود: 
 برای هر ۲ عدد زوج صحیح و می‌توانیم بنویسیم 
و . اما جمع نیز طبق تعریف عددی زوج است. بنابراین جمع دو عدد زوج همواره زوج می‌باشد.
 این اثبات از تعریف اعداد زوج صحیح، و همین‌طور استفاده می‌کند.
 مقالهٔ اصلی: در ، ابتدا یک « » اثبات می‌شود، و سپس به کمک «فرض استقراء» مجموعه‌ای از حالات بعدی اثبات می‌شود.(عموماً ) از آنجایی که حالت پایه صحیح است،
حالات دیگر هم باید صحیح باشند، حتی اگر همهٔ آن‌ها هم نتوانند به خاطر تعداد نامتناهی‌شان به صورت مستقیم اثبات شوند.
 می‌تواند برای اثبات گویا نبودن ، به‌کار رود.
 مقالهٔ اصلی: اثبات از طریق ، نتیجهٔ «اگر آنگاه » را برقرار می‌سازد به وسیلهٔ اثبات گزارهٔ عکس نقیض هم‌ارز با آن که «اگر آنگاه » می‌باشد.
 مقالهٔ اصلی: در ، فرض می‌کنیم گزاره‌ای غلط است، سپس به یک تناقض منطقی می‌رسیم، پس نتیجه می‌گیریم که آن گزاره باید صحیح باشد.
این روش، یکی از متداول‌ترین روش‌های اثبات در ریاضی است.
 یک مثال معروف در نشان می‌دهد که: است.
 پس می‌توان نوشت ، که نیز عددی صحیح است. با جابجایی در معادلهٔ اصلی داریم . با تقسیم هر دو طرف بر ۲ داریم: .
 با استدلال مشابه ۲ می‌شمارد را، پس باید زوج باشد. در حالی که اگر و هر دو زوج باشند، مضربی مشترک خواهند داشت (۲). 
این با فرض ما در تناقض است، پس مجبوریم نتیجه بگیریم که است.
 مقالهٔ اصلی: ، یا اثبات با تمثیل، در حقیقت ساختن یک مثال واقعی با خصوصیتی ویژه‌است تا نشان دهیم چیزی با آن خصوصیت وجود دارد. 
 مقالهٔ اصلی: در ، نتیجهٔ مطلوب از طریق تقسیم آن به تعداد متناهی‌ای از حالت‌ها و اثبات هر کدام به‌صورت جداگانه به‌دست می‌آید.
در ، تعداد حالت‌ها ممکن است خیلی زیاد باشد. به‌طور مثال، اولین اثبات تئوری چهار رنگ، یک اثبات فرسایشی با ۱۹۳۶ حالت مختلف بود. این اثبات یک اثبات جدال‌آمیز بود؛ زیرا در آن اکثریت حالت‌ها با کامپیوتر چک شده بود و نه با دست. 
کوتاه‌ترین اثبات شناخته‌شده برای تئوری ۴ رنگ، هنوز هم بیش از ۶۰۰ حالت را در بر می‌گیرد.
 مقالهٔ اصلی: اثباتی است که در آن به‌وسیلهٔ ، با قطعیت، نشان می‌دهیم که مثالی با ویژگی مطلوب وجود دارد.
این را نباید با گزاره‌ای که احتمال درستی دارد (شاید درست باشد)، اشتباه گرفت.
استدلال اخیر را همچنین می‌توان 'استدلال گزارهٔ معقول' نام نهاد که البته یک اثبات نیست.
در فرضیهٔ کلاتز مشخص است که این چقدر با یک اثبات واقعی فاصله دارد. 
در حالی که بیشتر ریاضیدان‌ها معتقدند که گواه احتمالاتی اصلاً یک روش معتبر اثبات ریاضی نیست، تعدادی از ریاضیدان‌ها و فلاسفه بر این باورند که حداقل تعداد خاصی از استدلال‌های احتمالاتی (مانند الگوریتم احتمالاتی رابینز برای تشخیص ) به خوبی یک اثبات معتبر ریاضی هستند.
 اثبات احتمالاتی مانند اثبات با شبیه‌سازی، یکی از راه‌های مختلف برای نشان دادن تئوری‌های وجودی می‌باشند.
 مقالهٔ اصلی: ، برابری ۲ عبارت را ثابت می‌کند. با نشان دادن این که هر دو عبارت یک چیز را می‌شمارند.
 مقالهٔ اصلی: نشان می‌دهد که یک گزارهٔ ریاضی باید وجود داشته باشد، بدون این که توضیح دهد چگونه چنان گزاره‌ای به‌دست می‌آید.
بیشتر اوقات، این شکل از اثبات، فرم برهان خلفی را به خود می‌گیرد که در آن اثبات می‌شود که وجود نداشتن چنان گزاره‌ای غیرممکن است. 
در مقابل، اثبات‌هایی تمثیلی (اثبات از طریق شبیه‌سازی) هستند که بیان می‌کنند گزاره‌ای وجود دارد، به‌وسیلهٔ ارائه کردن راهی برای پیدا کردن آنها.
یک مثال معروف از اثبات غیر تمثیلی نشان می‌دهد که دو و پیدا می‌شود
به‌طوری که یک است: یا یک عدد گویا است که کار تمام است (فرض کنید )، یا گنگ است پس می‌توانیم بنویسیم: و . پس خواهیم داشت ، که عددی گویا از فرم است.
 اثبات ابتدایی اثباتی است که از تحلیل‌های پیچیده استفاده نمی‌کند.
 تا مدت‌ها این باور وجود داشت که تئوری‌های خاصی مانند تئوری اعداد اول، تنها به کمک «ریاضیات پیشرفته» قابل اثبات است. در حالی که با گذشت زمان، بسیاری از این نتایج، با استفاده از تکنیک‌های ابتدایی به اثبات رسید.
{"title": "اثبات ریاضی", "link": "https://fa.wikipedia.org//w/index.php?title=%D8%A7%D8%AB%D8%A8%D8%A7%D8%AA_%D8%B1%DB%8C%D8%A7%D8%B6%DB%8C&oldid=34036674", "language": "fa"}