در هنگامی ساخته می‌شود که دو خط گذرا از روی دایره (یا در یک خط قطع کننده و یک ) با یکدیگر روی پیرامون دایره برخورد کنند.
 به بیان ساده‌تر اگر یک زاویه درون یک دایره باشد و ضلع‌های زاویه، دو وتر از دایره باشد که با هم یک نقطهٔ مشترک دارند، چنین زاویه‌ای زاویهٔ محاطی نام دارد. در کتاب سوم ، گزاره‌های ۲۰ تا ۲۲، ویژگی‌های این زاویه گفته شده‌است. اگر یک و یک زاویهٔ محاطی هر دو یک از دایره را دربرداشته باشند، اندازهٔ زاویهٔ محاطی نصف زاویهٔ مرکزی خواهد بود.
 اگر مرکز دایره باشد، دو نقطهٔ بر روی محیط دایره انتخاب کنید و آن‌ها را به ترتیب و بنامید. را به وصل کنید و آن را ادامه دهید تا با پیرامون دایره در نقطهٔ برخورد کند. چون این خط از مرکز دایره گذشته‌است پس قطر دایره‌است در نتیجه در یک سوی قطر و در سوی دیگر آن جای گرفته‌است. حال زاویه‌ای بکشید که راس آن در نقطهٔ باشد و دو لبهٔ آن از و بگذرد.
 نقطهٔ را به وصل کنید. زاویهٔ یک زاویهٔ مرکزی است. آن را بنامید. دو و با هم برابرند چون هر دو شعاع دایره‌اند. پس مثلث متساوی‌الساقین است. در نتیجه دو زاویهٔ (زاویهٔ محاطی) و با هم برابرند. هر دوی این زاویه‌ها را می‌نامیم.
 زاویه‌های و و مجموع آن‌ها ۱۸۰ درجه می‌شود. چون خط از می‌گذرد و یک خط راست است پس اندازهٔ زاویهٔ از رابطهٔ بدست می‌آید.
 از سوی دیگر می‌دانیم که مجموع زاویه‌های داخلی ۱۸۰ درجه‌است. سه زاویهٔ داخلی مثلث عبارتند از: . بنابراین:
 ۱۸۰° را از دو سوی تساوی کم می کنیم.
 که در آن زاویهٔ مرکزی کمان است و زاویهٔ محاطی همان کمان است که اندازه‌ای برابر با نصف آن دارد.
 دایره‌ای با مرکز را در نظر بگیرید. سه نقطهٔ و را بر روی آن برگزینید. دو پاره خط و را بکشید. زاویهٔ یک زاویهٔ محاطی است. حال خط را بکشید و آن را ادامه دهید تا با سوی دیگر دایره در نقطهٔ برخورد کند. کمان روبرو به زاویهٔ محاطی ، کمان نام دارد.
 کمان نقطهٔ را در بر می‌گیرد و می‌دانیم که این نقطه بر روی قطری از دایره قرار دارد. از سوی دیگر زاویه‌های و هر دو زاویهٔ محاطی‌اند. در بدست آوردیم که اگر یک ضلع زاویهٔ محاطی از مرکز دایره بگذرد اندازهٔ آن برابر نصف کمان روبروی آن است. حال از داده‌های بخش پیشین بهره می‌گیریم:
 پس داریم:
 
 
 نتیجه می‌گیریم:
 حال خط‌های و را می‌کشیم. زاویهٔ یک زاویهٔ مرکزی است. همچنین زاویه‌های و هم زاویه‌های مرکزی‌اند؛ و می‌دانیم:
 اگر فرض کنیم:
 
 
 آنگاه:
 پیشتر از بخش یک می‌دانیم که و با توجه به تمامی این داده‌ها و معادلهٔ (۲) بدست می‌آوریم که:
 با توجه به رابطهٔ (۱) خواهیم داشت:
 دایره‌ای با مرکز را در نظر بگیرید. سه نقطهٔ و را بر روی آن برگزینید. دو پاره خط و را بکشید. زاویهٔ یک زاویهٔ محاطی است. حال خط را بکشید و آن را ادامه دهید تا با سوی دیگر دایره در نقطهٔ برخورد کند. کمان روبرو به زاویهٔ محاطی ، کمان نام دارد.
 می‌دانیم که نقطهٔ که بر روی قطری از دایره جای دارد. همچنین می‌دانیم که زاویه‌های و هم زاویه‌هایی محاطی‌اند. در بخش‌های پیشین نشان دادیم که اندازهٔ زاویهٔ محاطی که ضلعش از روی مرکز دایره بگذرد برابر نصف کمان روبرویش است. پس خواهیم داشت:
 اگر فرض کنیم:
 
 
 آنگاه
 خط‌های و را بکشید. زاویهٔ یک زاویهٔ مرکزی است همچنین می‌دانیم که زاویه‌های و هم زاویه‌هایی مرکزی‌اند. با توجه به آنکه
 اگر فرض کنیم
 
 
 آنگاه خواهیم داشت:
 با توجه به نکته‌هایی که در بخش یک گفته شد می‌دانیم که و است. با توجه به این تساوی‌ها و رابطهٔ (۴):
 پس، از رابطهٔ (۳) خواهیم داشت:
{"title": "زاویه محاطی", "link": "https://fa.wikipedia.org//w/index.php?title=%D8%B2%D8%A7%D9%88%DB%8C%D9%87_%D9%85%D8%AD%D8%A7%D8%B7%DB%8C&oldid=34793447", "language": "fa"}