(به : ) در است که برای حل استفاده می‌شود. نام این روش از روی و نهاده شده‌است. اگرچه از این روش می‌توان در هر ماتریسی که دارای درایه قطری صفر نباشد استفاده کرد، اما فقط در صورتی همگرایی تضمین می‌شود که ماتریس یا باشد.
 برای یک سیستم مربعی با معادلهٔ خطی و دارای مجهول داریم:
 
 
 که در آن:
 
 
 اگر را به ماتریس و و تجزیه کنیم:
 
 
 معادلات خطی سیستم به شکل زیر بازنویسی خواهند شد:
 
 
 روش گاوس سایدل از برای حل قسمت چپ عبارت جهت به دست آوردن بهره می‌برد، و بدین منظور از مقدار قبلی در سمت راست عبارت استفاده می‌کند. می‌توان آن را به صورت زیر نوشت:
 
 
 و با استفاده از خواص می‌توان را به صورت زیر به دست آورد:
 
 
 در واقع برای محاسبه به همه عناصر به جز خود نیاز خواهد شد.
 محاسبات تا زمانی ادامه داده می‌شود تا در تکراری خاص به خطایی کمتر از مقدار مورد نظر برسیم.
 برای سیستمی که به شکل نمایش می‌دهیم داریم:
 می‌خواهیم از معادله زیر
 به شکل
 استفاده کنیم، که در آن:
 باید به جمع دو و بالا مثلثی و تجزیه شود:
 معکوس برابر است با:
 و حالا می‌توانیم مقدار زیر را پیدا کنیم:
 و با استفاده از و مقدار را به صورت تکرار به دست می‌آوریم.
 باید مقدار اولیه را به صورت حدس انتخاب کنیم، برای همین فرض می‌کنیم:
 حال می‌توانیم محاسبه کنیم:
 و همانگونه که انتظار داشتیم به مقدار دقیق همگرا شد:
{"title": "روش گاوس-سایدل", "link": "https://fa.wikipedia.org//w/index.php?title=%D8%B1%D9%88%D8%B4_%DA%AF%D8%A7%D9%88%D8%B3-%D8%B3%D8%A7%DB%8C%D8%AF%D9%84&oldid=27072721", "language": "fa"}