در ، یا یا (به : ) یک به صورت نشان داده می‌شود و نتیجهٔ آن عددی حقیقی غیر منفی است که مجذورش (عدد حاصل از ضرب یک عدد در خودش) برابر است.
 برای مثال، جذر عدد ۹ برابر ۳ است (به صورت نمایش می‌یابد) زیرا داریم: 
 جذر اغلب در هنگام حل یا معادله‌های به شکل استفاده می‌شود، زیرا متغیر به توان دو رسیده‌است.
 طبق ، دو جواب برای ریشهٔ دوم یک عدد وجود دارد (این دو جواب در ریشهٔ دوم عدد صفر با هم یکی هستند). برای هر عدد حقیقی مثبت دو جواب برای ریشهٔ دوم وجود دارد که این دو جواب عددی هستند که یک بار منفی و یک بار مثبت است (به شکل ).
 ریشهٔ دوم اعدادی که نیستند همواره است، یعنی اعداد را نمی‌توان به صورت از دو گویا کرد. برای مثال، را نمی‌توان دقیقاً به صورت نوشت، که در آن و اعدادی صحیح هستند.
در هر حال این عدد اندازه به ضلع یک است. از مدت‌های گذشته، عدد را عددی گنگ می‌دانستند و آن را به فیثاغورث نسبت می‌دادند.
 ریشهٔ دوم ( ) برای اولین بار در استفاده شد. به نظر می‌رسد که این علامت از حرف کوچک r برگرفته شده‌است، که بیانگر واژه لاتین به معنای است.
 
 
 
 
 
 
 این عبارت برای تمام و های نامنفی به طوری که هر دو صفر نباشند صحیح است.
 
 
 امروزه روش‌های بسیاری برای محاسبه ریشه دوم وجود دارد، بعضی از آن‌ها را می‌توان بر روی کاغذ انجام داد و بعضی از آن‌ها هم با ماشین، البته همه دارای دکمه رادیکال نیستند.
 اغلب برای حساب کردن ریشه دوم از بعضی برنامه‌های کامپیوتر و برخی دیگر از استفاده می‌شود. نرم‌افزارهای کامپیوتری قابلیت محاسبه و را دارند و با استفاده از آن ریشه دوم را محاسبه می‌نمایند، به شکل زیر:
 
 
 برای محاسبه ریشه دوم می‌توان از یا کمک گرفت.
 رایج‌ترین روش محاسبه ریشه دوم بر روی کاغذ، استفاده از «روش بابلی» است. این روش از یک عملیات ساده استفاده می‌کند، و هر چه این روش را بیشتر انجام دهید به جواب نزدیک‌تر خواهید شد. برای پیدا کردن ، ریشه دوم عدد :
 
 
 مربع هر عدد منفی یا مثبت، عددی مثبت و مربع صفر همان صفر است. با این حال از هیچ عدد منفی نمی‌توان جذر گرفت. اما در یک سیستم اعداد بزرگ به نام ، می‌توان از هم ریشه دوم گرفت. برای این کار باید نوع جدیدی از عدد را با عنوان تعریف کرد، که برابر با جذر عدد منفی یک است. این عدد معمولاً به صورت (گاهی اوقات ) نمایش می‌یابد. از علامت زیر برای نمایش ریشه دوم عدد منفی استفاده می‌کنیم:
 
 
 زیرا:
 
 
 در این صورت آرگومان می‌تواند هم منفی و هم مثبت باشد. یکی از اشکالات استفاده از این است که اعداد منفی و مثبت معنی خود را از دست می‌دهند. این هم مشکلی جدید ایجاد می‌کند: ما نمی‌توانیم را به عنوان ریشه دوم مثبت تعریف کنیم.
 برای هر عدد غیر صفر همواره دو عدد وجود دارد که در عبارت = صدق کند. تعریف معمول √ به این صورت است: اگر در با صدق کند، آن گاه داریم . همان‌طور که گفته شد، تابع ریشه دوم در همه‌جا است به غیر از اعداد حقیقی غیرمثبت (که در این نقاط [پیوسته] هم نیست). سری تیلور برای اعداد مختلط به طوری که | | <۱ باشد، وجود دارد.
 به گاه عددی به باشد، می‌توان از فرمول زیر استفاده نمود:
 
 
 به یاد داشته باشید که چون تابع ریشه دوم در نقاط مختلط گسسته‌ است، نمی‌تواند همواره صحیح باشد؛ زیرا چندین « » برای آن وجود دارد، مثلاً عبارت زیر نشان می‌دهد که ۱- = ۱:
 
 
 سومین مساوی را نمی‌توان اثبات کرد.
 اگر چه آن قضیه تنها در -۱ نادرست است (در اعداد بزرگ‌تر از آن صحیح است)، √( ) = ±√( )√( ) برای ± یعنی + یا - صحیح است. به یاد داشته باشید که √( ) = ± ، و در نتیجه √( ) = ± و √( ) = ±√( )√( ) که در آن = √( ) و = √( ) است.
 اگر یک یا یک عملگر باشد، در این صورت ماتریس مثبت تعریف‌شده یا عملگر وجود دارد که در = صدق کند، و تعریف می‌کنیم √ = .
 به طوری کلی، برای هر معمولی یا عملگر ، عملگر وجود دارد که در = صدق کند.
 در وضعیت‌هایی که بخواهیم تعداد بی شمار ریشه دوم یک عدد را به دست آوریم، مانند:
 
 
 جواب یک عدد گویاست. عدد گویا را می‌توان با قرار دادن در زیر رادیکال به دست آورد به صورت:
 
 
 اگر این سئوال را حل می‌کنیم، به جواب = ۲ می‌رسیم. از این تقریب می‌توانیم در هر جایی که > ۰ استفاده کنیم:
 
 
 همین رویه را می‌توان به صورت زیر داشت:
 
 
 این روش برای تمام مقادیر ، یک مقدار گویا می‌دهد، مانند:
 
 
 
 
 ریشه دوم می‌تواند به صورت منحنی ساخته شود. روشی را برای بدست آوردن دو عدد مختلف ساخته‌است: و . میانگین هندسی دو عدد و برابر است با و در صورتی که باشد می‌توان از استفاده کرد.
 چنین روشی را هم گفته بود، که می‌توانید آن را در تمرین دوم ببینید. اگر چه دکارت هیچ ادعایی برای اینکه مطلبی جدید را آورده نداشت و همه افراد آن را از آن اقلیدس می‌دانستند.
 
 
 
 برای بدست آوردن جذر تقریبی اعداد ابتدا باید ببینیم که آن عدد بین کدام یک از مجذورهای کامل قبل و بعد وجود دارد؛ فرضاً جذر تقریبی عدد ۵۶ را می‌خواهیم حساب کنیم.
 عدد ۵۶ بین دو عدد ۴۹ و ۶۴ که مجذور کامل هستند قرار دارند. پس:
 
 
 
 
 
 
 
 
 در ، استفاده از ریشه دوم به برمی گردد، که حدود ۵۰۰–۸۰۰ سال بوده‌است. اولین روش برای یافتن ریشه دوم عدد ۲ و ۳ توسط ارائه شده بود.
 در (قسمت ۲٫۴) هم روشی برای به دست آوردن ریشه دوم اعداد چندرقمی داده بود.
 د.ا. اسمیت در کتاب تاریخ ریاضی گفته‌است، «در اروپا چنین روش‌هایی (برای پیدا کردن ریشه دوم و مربع یک عدد) قبل از (۱۵۴۶) استفاده نمی‌شده‌است. او روش‌هایی را برای به دست آوردن ریشه دوم، با استفاده از روش ارائه کرده بود.»
{"title": "ریشه دوم", "link": "https://fa.wikipedia.org//w/index.php?title=%D8%B1%DB%8C%D8%B4%D9%87_%D8%AF%D9%88%D9%85&oldid=35094694", "language": "fa"}