(به : ) مبحثی در ریاضیات است. در و شاخه‌های مربوط به آن در ، یک یک مجموعه از است، همراه با مجموعه‌ای از برای هر نقطه، که از مجموعه‌ای از اصول که نقاط را به همسایه‌ها مرتبط می‌کنند، پیروی می‌کند. تعریف فضای توپولوژیک بر استوار است و عمومی‌ترین مفهوم برای فضاهای ریاضی است که اجازه می‌دهد بتوان مفاهیمی مانند ، حد دنباله‌ها و را تعریف کرد. دیگر فضاها، و ، حالت‌های خاص شده‌ای از فضای توپولوژیک با ساختارهای اضافه‌تر یا محدودتر هستند. شاخه‌ای از ریاضیات که فضای توپولوژیک را به عنوان اصول پایه خود مورد مطالعه قرار می‌دهد، نام دارد.
 سودمندی مفهوم یک توپولوژی، با این حقیقت نشان داده می‌شود که چندین تعریف معادل برای این ساختار وجود دارد. بنابراین هر یک از آن‌ها می‌تواند به عنوان چند اصل طبقه‌بندی شده برای یک کاربرد خاص یا آنچه مورد نیاز است، انتخاب شود. پراستفاده‌ترین و ظریف‌ترین این تعاریف، تعریف با استفاده از است. اما قابل‌درک‌ترین آن‌ها، تعریف با همسایگی هاست.
 فرض کنید یک مجموعه باشد. اعضای معمولاً نامیده می‌شوند هرچند که می‌توانند هر شئ ریاضی دیگر باشند. همچنین می‌تواند تهی باشد. فرض کنید یک باشد که هر (نقطه) از را به یک گردایه ناتهی ( ( از زیرمجموعه‌های نسبت دهد. اعضای ( ( همسایه‌های نامیده می‌شود. تابع نامیده می‌شود اگر از چهار اصل زیر پیروی کند؛ آن‌گاه با یک نامیده می‌شود. فضای توپولوژیکی که در آن نقاط همان توابع باشند،یک فضای تابعی نام دارد.
 
 
 
 سه اصل ابتدایی مفهوم روشنی دارند. اصل چهارم استفاده خیلی مهمی در ساختار این تئوری دارد، که همان ارتباط بین همسایگی‌های مختلف یک نقطه است.
مثال استاندارد برای سیستم همسایگی‌ها خط اعداد حقیقی است که در آن زیر مجموعه از یک از است، اگر یک بازهٔ باز وجود داشته باشد که نقطه را شامل شود و نیز مشمول باشد.
 بنا به تعریف مجموعه به همراه گردایه از زیرمجموعه‌های باز را یک فضای توپولوژیک گویند هرگاه:
 
 
 همچنین می‌تواند به جای به صورت تعریف شود. در اینصورت اصل اول و دوم به صورت زیر تغییر خواهد کرد:
 
 گردایهٔ ، توپولوژی تعریف شده روی نام دارد. هم‌چنین، اعضای توپولوژی ، در ، و متمم آنها، مجموعه‌های بسته در هستند. اگر یک فضای توپولوژیکی باشد، آن‌گاه به اعضای آن گفته می‌شود. اگر عضوی از یک مانند باشد، آن‌گاه به ، "یک همسایگی از " نیز گفته می‌شود.
 
 
 
 راه‌های معادل بسیار دیگری برای تعریف یک فضای توپولوژیک وجود دارد. به عبارت دیگر مفهوم همسایگی، مجموعه باز (همچنین بسته) می‌توانند از نقاط شروع دیگر بازسازی شوند و اصول را پیرو باشند.
یکی دیگر از راه‌های تعریف فضای توپولوژیک تعریف با استفاده از است، که مجموعه‌های بسته را عملگری روی مجموعه تعریف می‌کند.
 وقتی هر مجموعه در توپولوژی T در توپولوژی T نیز باشد و T یک زیرمجموعه از T باشد، گوییم T ظریف‌تر از T است و T زمخت‌تر از T است.
{"title": "فضای توپولوژی", "link": "https://fa.wikipedia.org//w/index.php?title=%D9%81%D8%B6%D8%A7%DB%8C_%D8%AA%D9%88%D9%BE%D9%88%D9%84%D9%88%DA%98%DB%8C&oldid=32523414", "language": "fa"}