، یک پیوسته در زمان در ریاضیات است که به افتخار نامگذاری شده‌است.
این فرایند به اسم استاندارد هم شناخته می‌شود، به خاطر کارهای رابرت براون. این یکی از بهترین فرایند های است. (فرایند تصادفی Càdlàg با خاصیت رشد مستقل ) و در و ، اقتصاد، مالیه ریاضی و فیزیک کاربردهای زیادی دارد.
 فرایند وینر هم در ریاضیات محض و هم در ریاضبات کاربردی کاربرد دارد. کاربرد آن در ریاضیات محض برای بررسی زمان-پیوسته مدل ( ) است که یک مدل برای بررسی این است که چقدر یک فرایند تصادفی می‌تواند پیچیده باشد است. در نتیجه نقش حیاتی درمحاسبات احتمالی و انتشار فرایندها و حتی دارد. این فرایند از Schramm–Loewner تکامل نتیجه می‌شود. در ، فرایند وینر برای نشان دادن تجمیع فرایند گوسی استفاده می‌شود بنابراین در برای مدل کردن نویز از آن استفاده می‌شود (نویز Brownian را هم ببینید.) همچنین به عنوان ابزار خطا در تئوری و نیروهای ناشناخته در کاربرد دارد.
 فرایند وینردر سراسر علوم محاسباتی کاربردهای متنوعی دارد. در فیزیک از آن برای مطالعه استفاده می‌شود همچنین در مطالعه دربارهٔ انتشار در مایع و انواع دیگر به صورت و معادلات انگوین کاربرد دارد. همچنین پایه‌های دقیقی برای توصیف فرمولبندی مسیر انتگرال در به ما می‌دهد (با فرایند وینر و به وسیله فرمول فاینمن -کاک می‌توان یک راه حل برای ارائه داد.) و برای مطالعه در نیز کاربرد دارد. این فرایند نقش برجسته‌ای در به ویژه به عنوان مدلی برای دارد.
 فرایند وینر با مشخصه زیر تعیین می‌شود: 
 
 
 
 رشد مستقل داشته باشد به این معنی است که اگر ۰ ≤ < ≤ < آنگاه − و − باشند.
 فرایند وینر همچنین می‌تواند به مشخصه‌ای تعیین شود به نام مشخصه Lévy که می‌گوید که فرایند وینر به صورت قریب به یقین پیوسته martingale با = ۰ باشد و درجه دوم تنوع معادل wt,wt] = t] داشته باشد (که به این معنی است که − نیز martingale باشد.).
 سومین مشخصه این است که فرایند وینر یک طیفی نمایندگی به صورت سری سینوسی با ضرایب مستقل به صورت متغیر تصادفی (0, 1) باشد. این نمایش می‌تواند با استفاده از قضیه Karhunen–Loève بدست آید.
 دیگر ویژگی فرایند وینر داشتن (از صفر تا زمان t) با میانگین ۰ است و واریانس ۱ و همبستگی تابع ضربه به صورت فرایند گوسی سفید است.
 فرایند وینر را می‌توان به عنوان حد پوسته پوسته شدن یک یا هر فرایند تصادفی زمان-گسسته با خاصیت رشد مستقل مانا در نظر گرفت.
این به عنوان شناخته می‌شود.
مثل پیاده‌روی تصادفی، فرایند وینر هم در یک یا دو بعد تکرار شونده است (یعنی به صورت قریب به یقین برای هر مبدأ به یکی از همسایه‌ها می‌رسد) ولی در سه بعد و بالاتر تکرار شونده نیست.
بر خلاف پیاده‌روی تصادفی مستقل از مقیاس نیست. یعنی
 
 برای هر ثابت غیر صفر a یک فرایند وینر است. مقیاس وینر یک قاتوت احتمال در فضای g با g(0)=۰ بر اساس فرایند وینر است. بر اساس مقیاس وینر انتگرال وینر نام دارد. 
 فرض کنید متغیر تصادفی مستقل با توزیع یکسان با میانگین ۰ و واریانس ۱ باشد. برای هر یک فرایند تصادفی در نظر بگیرید:
 این یک تابع گام تصادفی است. چون که ها مستقل هستند، اختلاف ها مستقل از هم می‌شوند. با توجه به برای nهای بزرگ به توزیع نزدیک می‌شود. این اتفاق باعث می‌شود که احتمال بدهیم با افزایش n , تبدیل به فرایند وینر خواهد شد، و این احتمال درست است! اثبات این قضیه با تئوری Donsker بدست می‌آید.
 بدون شرط، با با میانگین ۰ و واریانس در زمان ثابت :
 
 
 و آن، با توجه به فرمول اصلی محاسبه واریانس :
 و همبستگی فرایند:
 
 میانگین و واریانس به سادگی و با استفاده از تعریف بدست می‌آید. در نتیجه
 کوواریانس و همبستگی فرایند از تعریف و اینکه رشد در بازه‌های غیر مشترک مستقل هست بدست می‌آید، که ما تنها از ناهمبسته بودن آن‌ها استفاده می‌کنیم. فرض کنید که < .
 اگر \W_{t2} به صورت زیر جایگزین شود:
 به عبارت زیر می‌رسیم:
 از آنجا که ( ) = ( ) − ( ) و ( ) − ( ) مستقل هستند
 در نتیجه
 وینر (۱۹۲۳) همچنین یک نمایش از مسیر براونی، در شرایط تصادفی داد. اگر ها متغیرهای گوسی مستقل با میانگین صفر و واریانس ۱ باشند، آنگاه:
 
 و
 
 نشان دهنده حرکت براونی در فاصله
 
 یک حرکت براونی در فاصله (ر.ک. ).
 توزیع مشترک حداکثر نمونه
 
 که در آن :
 
 برای پیدا کردن توزیع بدن شرط −∞ < ≤ :
 و میانگین آن 
 
 برای هر > 0 فرایند یک فرایند وینر دیگر است.
 فرایند در بازه۰ ≤ ≤ ۱ همانند فرایند در بازه ۰ ≤ ≤ ۱ است.
 فرایند یک فایند وینر دیگر است.
 اگر ( ) شرایط را ارضا کند
 
 آنگاه فرایند تصادفی
 یک است.
 یک مارتینگیل است که نشان می‌دهد که متغیر درجه دو W در بازه [0, ] برابر است. این نتیجه می‌دهد که میانگین زمان اولین خروج در بازه (− با ) برابر با است.
 به‌طور کلی برای هر چند جمله‌ای ( , ) فرایند تصادفی زیر یک مارتینگیل است
 
 که در آن چند جمله‌ای زیر است:
 
 و فرایند
 
 یک مارتینگیل است که نشان می‌دهد که متغیر درجه دو مارتینگیل [0, ] برابر است با
 دربارهٔ توابع ( , ) در حالت کلی (غیر از چندجمله‌ای) مارتینگیل محلی (local martingales) را ببینید.
 مجموعه‌ای از تمام توابع با این خواص کامل مقیاس وینر است. یک مسیر (تابع نمونه) از فرایند وینر، قریب به یقین تمام این خواص را دارد.
 
 
 
 
 
 در مقایسه با ارزش واقعی مورد پیچیده به ارزش شرط است به‌طور کلی یک زمان-تغییر پیچیده-ارزش وینر روند. برای مثال شرط 2 + است (در اینجا با مستقل هستند وینر فرایندهای مانند قبل).
{"title": "فرایند وینر", "link": "https://fa.wikipedia.org//w/index.php?title=%D9%81%D8%B1%D8%A7%DB%8C%D9%86%D8%AF_%D9%88%DB%8C%D9%86%D8%B1&oldid=33384096", "language": "fa"}