در ، یا (به : )، به صورت جمله است که از تابع در یک نقطه به دست می‌آید. ریاضیدان انگلیسی، ، در سال ۱۷۱۵ ، مفهوم سری تیلور را به‌طور رسمی معرفی کرد. اگر سری را دور نقطه صفر گسترش دهیم، سری، نامیده می‌شود که به نام ریاضیدان اسکاتلندی، (که در قرن ۱۸م. از این حالت خاص سری تیلور استفاده بسیاری کرد) نام‌گذاری شده‌است. مرسوم است که توابع را حول یک نقطه با تعدادی از جملات سری تیلور تقریب بزنند. مقدار خطای این تقریب زنی را به صورت کمّی تخمین می‌زند. هر تعداد متناهی از جملات اول سری تیلور به معروف است. سری تیلور یک تابع، حد چندجمله‌ای‌های تیلور آن است (اگر حد وجود داشته باشد) یک تابع ممکن است با سری تیلورش برابر نباشد حتی اگر سری تیلور آن در هر نقطه همگرا باشد. تابعی که در یک (یا یک دیسک در ) با سری تیلورش برابر باشد، نامیده می‌شود.
 سری تیلور یک تابع با مقادیر یا که در نقطه یا بار مشتق‌پذیر است، زیر است:
 
 
 که می‌توانیم آن را با علامت خلاصه‌تر بنویسیم:
 
 
 فرض کنید می‌خواهیم تابعی چندجمله‌ای مثل مدلسازی کنیم که در همسایگی نقطه با تابع یکریخت باشد. اول اینکه باید مقدار تابع در نقطه با برابر باشد پس داریم:
 
تا اینجا داریم و اکنون برای اینکه تابع در همسایگی نیز شبیه شود باید مشتق‌های آن در این نقطه با مشتق‌های برابر باشد. مشتق‌های را به صورت مضاربی از x به اضافه می‌کنیم به‌طوری که: (۱) در نقطهٔ برابر صفر باشند تا مدل به هم نخورد و (۲) مشتق i-اُمِ برابر با مشتق i-اُمِ باشد. برای برقراری شرط یک و دو کافی‌ست مقدار عددی مشتق i-اُمِ را به ضریبِ قرار دهیم. در این صورت این مقدار تا مشتق i-اُم صفر باقی خواهد ماند و چون در هر مشتق این مقدار در توانِ صورت ضرب می‌شود هنگامِ گرفتن مشتق i-اُم خواهیم داشت . اگر اضافه کردن مشتقات را تا ابد ادامه دهیم تابع بیشتر شبیه شده تا در بینهایت هم‌ارز خود شود.
 
 
 یا همان:
 
 
 گاهی درگرفتن حد، از یک یا دو جمله اول گسترش تیلور یک تابع دور نقطه حدگیری، به عنوان یک هم‌ارزی استفاده می‌کنند. به عنوان مثال در گسترش تیلور تابع دور نقطه ۰ داریم:
 
 
 پس در حد گرفتن، هرجا کمان به سمت صفر میل کند داریم:
 
 
 
 
 در همسایگی (۱-)، بی‌نهایت بار مشتق‌پذیر است.
 می‌توان گفت:
 
 
 
 
 همچنین، از بسط تیلور می‌توان برای حل از روش استفاده کرد.
{"title": "بسط تیلور", "link": "https://fa.wikipedia.org//w/index.php?title=%D8%A8%D8%B3%D8%B7_%D8%AA%DB%8C%D9%84%D9%88%D8%B1&oldid=34103651", "language": "fa"}