هستند که امکان تشریح دقیق را می‌دهند. چنین فرمول‌بندی متمایز ریاضی برای نظریه‌ها پیش از اوایل ده اول سده بیستم اولیه با استفاده از ساخت‌های انتزاعی ریاضی مانند و ساخته شده بود. بسیاری از این ساخت‌ها از که یک بخش در است، استفاده می‌کنند که بخشی از آن بعداً تحت تأثیر مکانیک کوانتومی قرار گرفت. به‌طور خلاصه مقادیر فیزیکی مانند و که قبلاً عنوان مقداری از در در نظر گرفته می‌شدند، در این فرمول‌بندی به عنوان ; یا دقیق تر به عنوان خطی در فضای هیلبرت در نظر گرفته شدند. 
 این فرمول‌بندی از مکانیک کوانتومی هنوز امروزه استفاده می‌شود. در بطن این تشریح ایده‌های و مشاهده‌پذیر که کاملاً متفاوت از فرمول‌بندی‌هایی هستند که در مدل‌های قبلی از واقعیت فیزیکی مورد استفاده قرار می‌گرفتند. در حالی که این ریاضیات اجازه محاسبه مقادیر بسیاری را می‌دهد که به‌طور تجربی قابل اندازه‌گیری هستند، محدودیت‌های تعریف شده نظری برای محاسبه مقادیری که می‌توان همزمان اندازه‌گیری کرد وجود دارد. این محدودیت را برای اولین بار توسط از طریق یک بیان شد؛ و شرح ریاضی آن در فرمول‌بندی ریاضی توسط اپراتورهای کوانتمی بیان‌گر مشاهده‌پذیرها وجود دارد.
 پیش از ظهور مکانیک کوانتومی به عنوان یک جدا، ریاضی در فیزیک شامل عمدتاً بود که با شروع می‌شد و با افزایش در پیچیدگی به و می‌رسید. در نیز استفاده می‌شد. شهود هندسی نقش قوی در دو بخش اول داشت و و بر این اساس به‌طور کامل از دید مفاهیم هندسی تدوین شد. پدیدارشناسی فیزیک کوانتوم به تقریباً بین سال ۱۸۹۵ و ۱۹۱۵ وجود آمد و برای ۱۰ تا ۱۵ سال پیش از پیدایش نظریه کوانتومی (حدود ۱۹۲۵) فیزیک‌دانان به تفکر در محدوده آن‌چه که در حال حاضر به نام شناخته می‌شود، ادامه دادند؛ مخصوصاً در همان ساخت‌های ریاضی. پیچیده‌ترین نمونه از این تفکر است که کاملاً در کلاسیک فرمول‌بندی شده است.
 مقالهٔ اصلی: در دهه ۱۸۹۰ قادر بود تابش را که بعداً برای جلوگیری از به کار برده‌شد توضیح دهد و برای اینکار از فرض نامعمولی برای برهم‌کنش و بهره برد و آن این بود که انرژی در بسته‌های گسسته می‌تواند منتقل شود. پلانک فرض کرد که رابطه خطی بین فرکانس یک طول موج و واحد انرژی که در آن طول موج می‌تواند حمل شود وجود دارد. ضریب تناسب آن اکنون و به افتخار پلانک، نامیده می‌شود.
 در ۱۹۰۵, بخشی از خصوصیات را با استفاده از این فرض توضیح که این بخش‌های انرژی نور در واقع ذره هستند که بعدتر نام گرفتند.
 همه این توسعه‌ها بودند و فیزیک کلاسیک را مورد چالش قرار دادند. را به نحوی تغییر داد که بتواند را از آن بسازد. وی پیشنهاد داد که یک مدار بسته در فقط مدارهایی که محیطش مضربی از عدد پلانک باشند مجاز است که نامیده شد. این مدل قادر به توضیح اتم هیدروژن بود اما طیف اتم هلیوم (یک لاینحل کلاسیک) قابل استفاده نبود.
 در ۱۹۲۳ را پیشنهاد داد که نه تنها برای فوتون‌ها بلکه برای همه سیستم‌های فیزیکی صحیح بود.
 در سال‌های بعد و ۱۹۲۵–۱۹۳۰ وضعیت سریعاً تغییر کرد و بنیادهای مکانیک کوانتم در کارهای ، ، ، ، و کارهای زیربنایی ، و ساخته شد و وحدت چندین رویه با استفاده از ایده‌های جدید ممکن شد. تفسیر فیزیکی نظریه در سال‌های بعد از طریق کشف روابط عدم قطعیت توسط و معرفی ایده انجام شد.
 اولین تلاش موفق برای توضیح کوانتش در بود. بعدتر در همان سال شرودینگر را ساخت. فرمول‌بندی شرودینگر قابل‌فهم‌تر بود و برای محاسبه و نمایش نیز ساده‌تر بود چرا که به شکل بیان می‌شد که فیزیک‌دانان با حل آن آشنا بودند. در کمتر از یک سال نشان داده شد که این دو نظریه برابرند.
 شرودینگر در ابتدا خودش زیرساخت احتمالی مکانیک کوانتم را نمی‌فهمید از آنجایی که وی تصور می‌کرد تابع موج یک باید به عنوان در یک فضای بزرگ و محدود تفسیر شود. بود که نشان داد یک تابع موج باید به عنوان احتمال توزیع موقعیت ذره‌مانند تفسیر شود. ایده برن بعدتر توسط نیلز بور در کپنهاگ استفاده شد که بعدتر به عنوان پدر شناخته گردید. شرودینگر به معادله کلاسیک نزدیک است. در تز دکترایش کشف کرد معادله عملگرها در وقتی از طریق بیان شود به معادلات کلاسیک برای دینامیک بعضی از کوانتش‌ها در فرمول‌بندی هامیلتونی در مکانیک کلاسیک ترجمه می‌شود. اکنون به آن می‌گویند.
 قبل از شرودینگر، دانشجوی پسادکترا را اختراع کرد که اولین مکانیک کوانتم صحیح بود. فرمول‌بندی مکانیک ماتریسی هایزنبرگ براساس جبر ماتریس‌هیا بی‌نهایت بعدی بود.
 اگرچه خود شرودینگر بعد از یک‌سال برابری مکانیک موجی و مکانیک ماتریسی هایزنبرگ را نشان داد، وحدت این دو روحیه و انتزاع آن را به نسبت می‌دهد که در سال ۱۹۳۰ کتاب معروف را نوشت. وی سومین و احتمالاً مهم‌ترین ستون این زمینه از فیزیک است. وی اولین شخصی بود که مکانیک کوانتم را طوری عمومی‌کرد که شامل نسبیت هم بشود. وی را به همراه فرمول‌بندی انتزاعی در معرفی کرد که در استفاده شد. وی نشان داد که رویه شرودینگر و هایزنبرگ فقط دو بیان متفاوت از یک نظریه هستند و کار وی در عمومی‌کردن‌های بسیاری در مکانیک کوانتم مورد استفاده قرار گرفت.
 اولین فرمول‌بندی کامل ریاضی این رویه که به نام معروف هستند معمولاً به و کتاب از وی که در سال ۱۹۳۲ منتشر شد نسبت می‌دهند، اگرچه به فضاهای هیلبرت در کتاب و مقاله معروفش که در سال ۱۹۲۷ اشاره کرده‌بود. این رویه به‌طور موازی با رویه‌ای جدید از ریاضی که بر اساس به جای کار می‌کرد (هیلبرت یک دهه قبلتر از فرم درجه دوم استفاده می‌کرد)، توسعه یافت. اگرچه بهبود بخش‌های ریاضی مکانیک کوانتم هنوز در حال انجام است ولی زیرساخت‌های ریاضی آن بر اساس کارهای فون نویمان و مفروضات وی است.
 کاربردهای نظریه جدید کوانتم در الکترومغناطیس به منجر شد که توسعه آن از حدود سال ۱۹۳۰ آغاز گردید. نظریه میدان‌های کوانتمی به فرمول‌بندی پیچیده‌تر از مکانیک کوانتمی منجر شد که این موارد از جمله آن است:
 
 
 
 
 
 در بخشی دیگر فون نویمان را مطرح کرد که به مفهوم باز می‌گشت و سوالات فلسفی زیادی را آغاز کرد که «مساله اندازه‌گیری» یک محل فعال پژوهش گردید و فرمول‌بندی‌های جدید مکانیک کوانتم را به وجود آورد.
 
 
 
 در نهایت چندتن از بنیان‌گذاران نظریه کوانتم (منجمله اینشتین و شرودینگر) با موارد فلسفی مکانیک کوانتم راضی نبودند و به‌طور خاص اینشتین مکانیک کوانتم را ناکامل می‌دانست که وی را تشویق کرد که پژوهش‌هایی در زمینه نظریه‌های انجام دهد. مساله متغیر پنهان با کمک به یک مشکل تجربی تبدیل شده‌است.
 
 
 یک سامانه فیزیکی معمولاً با سه مشخصه توصیف می‌شود: ; ، و (یا قوانین ) یا به‌طور عمومی‌تر . یک توصیف کلاسیک به‌طور ساده‌ای معمولاً از طریق مکانیک آن قابل دریافت است: حالت‌ها نقاطی در منیفلد فضای فاز هستند، مشاهده‌پذیرها توابع با مقادیر حقیقی آن هستند. تکامل زمانی با یک تبدیلی با یک پارامتر در فضای فاز توصیف می‌شوند. یک توصیف کوانتمی شامل یک از حالت‌ها است، مشاهده‌پذیرها در فضای حالت‌ها هستند، تکامل زمانی از طریق یک گروه یک پارامتری تبدیل یکانی در فضای هیلبرت حالت‌ها هستند.
 خلاصه فرمول‌بندی زیر عملاً به باز می‌گردند.
 
 
 
 
 
 یک شخص می‌تواند با استفاده از این اصول هایزنبرگ را نشان داده و ثابت کند.
 مقالهٔ اصلی: یک حالت توسط یک تابع مشتق‌پذیر نسبت به اعداد حقیقی , بیانگر زمان نسبت به فضای هیلبرت حالت‌های سیستم داده می‌شود. این نگاشت به شکل یک معادله دیفرانسیل نمایش داده می‌شود:
اگر بیانگر حالت سیستم در هر زمان باشد، زیر صادق است:
 
 
 که یک عملگر خودالحاقی است و نامیده می‌شود, پایه و است. به عنوان یک مشاهده‌پذیر, به مجموع سامانه مرتبط است.
 علاوه بر دیگر خصوصیات ذره‌ها، آن‌ها خصوصیتی ذاتی به نام , یک دارند. برخلاف نام، اسپین به این معنی نیست که ذرات حول محوری می‌چرخند (اسپین در زبان انگلیسی به معنی چرخیدن است). اسپین مکانیک کوانتمی هیچ معادلی در فیزیک کلاسیک ندارد. برای بیان اسپین، یک تابع موج بدون اسپین در موقعیت و زمان به عنوان متغیرهایی پیوسته به شکل روبه‌رو بیان می‌شود: , برای بیان حالت اسپین‌دار آن، متغیر گسسته‌ای برای اسپین اضافه می‌شود: , که حاوی مقادیر است;
 وضعیت یک ذره با اسپین توسط یک تابع موج مختلط توصیف می‌شود.
 دو نوع از ذرات با تفاوت فاحش رفتاری که اسپین صحیح ( ) دارند و که اسپین نیمه‌صحیح ( ) دارند هستند.
 بخشی از فولکلور این موضوع در کتاب مهم با نام « » نوشته که جمع‌آوری کلاس‌های دانشگاهی در است، وجود دارد. این کتاب ابتدا توسط فیزیک‌دانان به عنوان نامهم تلقی شد تا اینکه معادله شرودینگر مطرح گردید که در آن زمان دیدند ساختار ریاضی آن از قبل وجود دارد. همچنین گفته می‌شود که هایزنبرگ با هیلبرت در صحبت کرده‌بود و هیلبرت از تجربه به وی گفته بود که ماتریس‌های بی‌نهایت بعدی از معادلات دیفرانسیل مشتق شده‌اند که هایزنبرگ آن را نادیده گرفت و همین باعث از دست رفتن فرصت وحدت نظریه هایزنبرگ با نظریه ویل و دیراک در سال‌های بعد شد. ریشه این بحث‌ها هرچه باشد، ریاضیات این نظریه پخته بود در صورتی که فیزیک آن کاملاً جدید بود.
 ابزارهای اصلی شامل:
{"title": "فرمول‌بندی ریاضی مکانیک کوانتم", "link": "https://fa.wikipedia.org//w/index.php?title=%D9%81%D8%B1%D9%85%D9%88%D9%84%E2%80%8C%D8%A8%D9%86%D8%AF%DB%8C_%D8%B1%DB%8C%D8%A7%D8%B6%DB%8C_%D9%85%DA%A9%D8%A7%D9%86%DB%8C%DA%A9_%DA%A9%D9%88%D8%A7%D9%86%D8%AA%D9%85&oldid=34857791", "language": "fa"}