در ، قضیه‌ای است که نتیجهٔ انجام یک آزمایش مشابه را برای چندین بار توصیف می‌کند. طبق این قانون، نتایج به‌دست‌آمده از تعداد زیادی آزمایش، باید به مقدار مورد انتظار ( ) نزدیک باشد و با انجام آزمایش‌های بیشتر به مقدار مورد انتظار نزدیک‌تر می‌شود. 
 نکتهٔ مهم دربارهٔ قانون اعداد بزرگ این است که این قانون - همان‌طور که از نامش پیداست - تنها زمانی اعمال می‌شود که تعداد زیادی مشاهدات در نظر گرفته شود. هیچ اصلی وجود ندارد که تعداد کمی از مشاهدات با مقدار مورد انتظار منطبق شود. 
 همچنین مهم است که توجه داشته باشید که قانون اعداد بزرگ فقط برای میانگین اعمال می‌شود. صورت ریاضی آن بدین شکل است: 
فرمول‌های دیگری که مشابه به نظر می‌رسند قابل قبول نیستند. مانند "نتایج نظری": به عنوان یک مثال، وقتی یک شش‌وجهی را یک بار بریزیم، یکی از عددهای ۱، ۲، ۳، ۴، ۵ یا ۶ به دست خواهد آمد. اگر این آزمایش را تکرار کنیم، هر دفعه یکی از این اعداد به دست می‌آیند و اگر تاس باشد، احتمال دیده شدن این اعداد با هم برابر است. در نتیجه، امید ریاضی عددی که با ریختن هر بار تاس به دست می‌آید، طبق این فرمول:
 برابر با ۳٫۵ است. طبق قانون اعداد بزرگ، هرگاه آزمایش ریختن تاس را به دفعات زیاد تکرار کنیم، میانگین اعدادی که به دست می‌آید، تدریجاً به ۳٫۵ نزدیک خواهد شد. 
به‌طور مثال می‌توان به اشاره کرد. همان‌طور که می‌دانیم نتیجه این آزمایش دارد. اگر فقط یک بار آزمایش را انجام دهیم، احتمال رو آمدن سکه برابر ۱/۲ است، طبق قانون اعداد بزرگ اگر تعداد پرتاب‌ها زیاد باشد، نسبت تعداد رو آمدن‌ها به تعداد کل پرتاب‌ها به ۱/۲ میل می‌کند 
مشخص است که اختلاف تعداد روها و پشت‌ها با زیاد شدن تعداد آزمایش‌ها افزایش پیدا می‌کند. پس احتمال کوچک بودن اختلاف روها و پشت‌ها به سمت عدد صفر میل می‌کند. هم چنین می‌توان نتیجه گرفت که نسبت اختلاف روها و پشت‌ها به تعداد کل پرتاب‌ها نیز به سمت صفر می‌روند. از این حقیقت در می‌یابیم که با وجود رشد اختلاف بین تعداد روها و پشت‌ها در انجام این آزمایش به دفعات زیاد، سرعت این رشد از سرعت افزایش تعداد کل پرتاب‌ها کم‌تر است. 
 (Gerolamo Cardano (۱۵۰۱–۱۵۷۶ ایتالیایی بدون بر این باور بود که دقت نتایج تجربی در آمار با افزایش تعداد دفعات آزمایش بیشتر می‌شود. این فرضیه بعدها تحت عنوان قانون اعداد بزرگ اثبات شد و مورد توجه قرار گرفت. حالت خاصی از این قانون برای متغیرهای برنولی برای نخستین بر توسط اثبات شد. او این قانون را قضیهٔ طلایی نامید، ولی بعدها با نام قانون اعداد بزرگ مشهور شد. در سال ۱۸۳۵ این قانون را با نام قانون اعداد بزرگ توضیح داد. هم‌اکنون این قضیه با هر دو نام ذکر شده شناخته می‌شود. بعد از برنولی و پواسون ریاضیدانان دیگری مانند مارکف، چبیشف، بورل و کولموگرف برای بهبود این تعریف و اثبات آن تلاش کردند و در نهایت الکساندر کینچین برای هر دلخواه آن را اثبات کرد. این تلاش‌ها منجر به پیدایش دو حالت مختلف از این قانون شد. این دو قسمت عبارت است از قانون ضعیف و قوی.
قانون ضعیف و قوی اعداد بزرگ دو قانون متفاوت نیستند. بلکه این دو قانون از دو دیدگاه متفاوت موضوع همگرایی احتمال وقتی تعداد دفعات آزمایش زیاد است، به مقدار میانگین را توضیح می‌دهند. همچنین می‌توان قانون ضعیف را از قانون قوی نتیجه گرفت. 
 گفتنی است نصرا... اعتمادی احتمال‌دان ایرانی اثباتی بدیع برای قانون اعداد بزرگ در سال ۱۹۸۱ میلادی ارائه داد که هم‌اکنون در بسیاری از کتاب‌های نظریهٔ احتمال مانند کتاب P. Billingsley) Probability and Measure) درج شده است. در این اثبات، شرط استقلال توام متغیرهای تصادفی به شرط استقلال دو به دو کاهش یافته است و افزون بر این، از شیوه‌ای بدیع در اثبات استفاده شده است. 
 دو شکل متفاوت برای وجود دارد که در زیر به بررسی آن‌ها پرداخته شده است: و . برای دنبالهٔ نامتناهی , , ... که شامل و با امید ریاضی‌های برابر ( E( ) = E( ) = ...= باشد، هر دو شکل قانون - با قطعیتی نسبی - بیان می‌دارد که میانگین نمونه به امید ریاضی اعضای دنباله میل می‌کند: الزامی در هر دو شکل قانون، استقلال همزمان بین همهٔ متغیرها می‌تواند با استقلال دو به دوی آن‌ها جایگزین شود. 
 تفاوت میان شکل قوی و ضعیف به دلیل تفاوت میان همگرایی است. برای اطلاعات بیشتر در مورد این نوع‌ها، را ببینید.
 (قانون ) بیان ‌می‌دارد که میانگین نمونه به مقدار امید ریاضی میل 
 می‌کند: 
 
 یعنی به ازای هر مقدار مثبت ،
 
 به عبارتی، این قانون بیان می‌کند که برای هر مقدار هر قدر کوچکی که برای اپسیلون در نظر بگیریم، با داشتن نمونه‌ای به اندازهٔ کافی بزرگ، با احتمال بالایی میانگین مشاهده‌ها به مقدار امید ریاضی نزدیک است؛ یعنی حداکثر به اندازه اپسیلون با آن اختلاف دارد.
 همان‌طور که گفته شد، قانون ضعیف زمانی که صدق می‌کند که متغیرهای تصادفی مستقل و دارای توزیع یکسان باشند، اما این قانون در بعضی حالات دیگر نیز صدق می‌کند. به عنوان مثال، واریانس متغیرهای تصادفی دنباله می‌توانند متفاوت باشند، در صورتی که امید ریاضی آن‌ها یکسان باشد. در سال ۱۸۶۷ ثابت کرد که اگر واریانس‌ها متناهی باشند، قانون ضعیف اعداد بزرگ برقرار است. در حقیقت اگر با میل کردن n به بی‌نهایت، مقدار واریانس میانگین به صفر میل کند، این اثبات چبیشف برقرار است. به عنوان مثال فرض کنید هر متغیر تصادفی در دنباله از با میانگین صفر اما واریانس (که مقداری متناهی نیست) پیروی کند. در هر مرحله، میانگین به صورت نرمالی توزیع می‌شود. واریانس مجموع برابر مجموع واریانس‌ها است، که به میل می‌کند. پس واریانس میانگین هم به میل می‌کند و در نتیجه به صفر میل می‌کند.
 همچنین مثال‌هایی وجود دارد که با وجود اینکه امید ریاضی وجود ندارد، قانون ضعیف صدق می‌کند.
 (قانون ) بیان می‌کند که میانگین نمونه به مقدار امید ریاضی می‌کند. 
 
 یعنی
 
 این بدین معناست که احتمال اینکه، با میل کردن تعداد نمونه‌ها به بی‌نهایت، میانگین نمونه‌ها به مقدار امید ریاضی میل کند، برابر ۱ است.
 اثبات این این قانون سخت‌تر از اثبات قانون ضعیف است.
 همگرایی تقریبی (تقریبا میل می‌کند) با عنوان همگرایی قوی متغیرهای تصادفی نیز شناخته می‌شود. این شکل از قانون به این دلیل با عنوان بیان می‌شود که برای متغیرهای تصادفی‌ای که قویا همگرا هستند (تقریبا میل می‌کنند)، می‌توان تضمین کرد که به صورت احتمالی همگرا هستند (همان نوع همگرایی در قانون ضعیف). با این حال قانون ضعیف در برخی شرایط صدق می‌کند که قانون قوی صدق نمی‌کند و همگرایی فقط ضعیف است (همگرایی احتمالی است).
 بیان می‌کند که برای یک n مشخص بزرگ، میانگین به احتمال خوبی نزدیک است. در نتیجه، امکان اینکه بی‌نهایت بار رخ بدهد (البته در بازه‌های خیلی نادر و اندک) را نفی نمی‌کند. (لزوما برای همهٔ nها برقرار نیست).
 نشان می‌دهد که تقریبا با اطمینان می‌توان گفت که این امکان رخ نمی‌دهد. به طور ویژه، دلالت بر این می‌کند که به احتمال ۱، به ازای هر ، نامساوی به ازای nهای به قدر کافی بزرگ، برقرار است.
{"title": "قانون اعداد بزرگ", "link": "https://fa.wikipedia.org//w/index.php?title=%D9%82%D8%A7%D9%86%D9%88%D9%86_%D8%A7%D8%B9%D8%AF%D8%A7%D8%AF_%D8%A8%D8%B2%D8%B1%DA%AF&oldid=33946488", "language": "fa"}