در ، روشی صریحی برای حل ای که تعداد معادلات با تعداد مجهولات برابر و دستگاه جواب منحصر بفرد دارد، است. این روش از (مربع) ضرایب و ماتریس‌هایی که از جایگزینی یکی از ستون‌های ماتریس ضرایب با بردار سمت راست معادله بدست می‌آید، تعریف می‌گردد. این روش به نام (۱۷۰۴–۱۷۵۲) که این روش را برای تعداد دلخواهی از مجهولات در سال ۱۷۵۰ منتشر کرد . اگرچه نیز در سال ۱۷۴۸ برای موارد خاص این روش را منتشر کرده بود (و احتمالاً در ۱۷۲۹ نیز این روش شناخته شده بود). 
 دستگاهی با n معادله و n مجهول را نظر بگیرید، که بشکل ماتریسی زیر قابل نمایش است:
 که در آن ماتریس ، در و دترمینانش مخالف صفر و بردار متغیرها است.
 قضیه بیان می‌کند که در این حالت معادله جواب منحصر بفردی دارد، که مقدار متغیرهایش از رابطه زیر بدست می‌آید:
 که در آن ماتریس حاصل از جایگذاری بردار ستونی در ستون ام می‌باشد.
 قاعده کرامر برای معادلات با ضرایب و مجهولات تنها برای نیست و برای هر تعریف می‌گردد. اخیراً نشان داده شده‌است که قاعده کرامر را می‌توان در زمان پیاده‌سازی کرد، که قابل مقایسه با سایر روش‌های رایج برای حل دستگاه معادلات خطی مانند روش می‌باشد.
 می‌دانیم که پس بنا به خواص دترمینان، ماتریس معکوس دارد. از معکوس داشتن نتیجه می‌گیریم که معادله جواب منحصر بفرد را دارد. 
 برای هر را ستون ام ماتریس و را ستون ام ماتریس همانی در نظر بگیرید و را ماریسی که از جایگذاری بردار ستونی در ستون ام ماتریس همانی بدست می‌آید، در نظر بگیرید.
 می‌دانیم ستون ام برای هر ماتریس ، از در ستون ام ماتریس بدست می‌آید. پس به‌طور مشابه بدست می‌آید بازای . بنابراین خواهیم داشت:
 
 می‌دانیم برابر ای که ستون امش با بردار ستونی تعویض شده‌است، می‌باشد. دترمینان ماتریس را بدست می‌آوریم:
 
 سپس دترمینان ماتریس حاصل ضرب را بدست می‌آوریم:
 
 که از اینجا خواهیم داشت:
 
 ابتدا ماتریس , × را در نظر می‌گیریم
 (Adj( ماتریس است و (det( قابل محاسبه است و است. اگر دترمینان در مخالف صفر باشد، آنگاه معکوس ماتریس برابر است با:
 اگر یک باشد (مثل میدان اعداد حقیقی) در صورتی که det( )≠۰ فرمولی برای محاسبه بدست می‌آید. به شرطی که (det( یکتا باشداین فرمول برای هر زمانی که یک باشد برقرار است. اگر (det( یکتا نباشد آنگاه ماتریس معکوس ندارد.
 دستگاه خطی را در نظر می‌گیریم که قالب ماتریسی آن به صورت است. فرض می‌کنیم - ≠۰ باشد.
 سپس و را با قاعده کرامر میابیم:
 
 این قانون در ماتریس‌های ۳×۳ مشابه است.دستگاه را در نظر بگيريد كه فرم ماتریسی آن به صورت است
 همچنین مقادیر و و از روابط زیر به دست می‌آیند:
 قاعده کرامر برای حل مسائل بسیار مفید است. دو معادله و را در نظر می‌گیریم. زمانی که و دو باشند، را و را تعریف می‌کنیم.
پیدا کردن یک معادله برای یک برنامه بدیهی قاعده کرامر است.
ابتدا مشتقات و و و را محاسبه می‌کنیم.
 
 
 
 و را در و جایگزین می‌کنیم و به روابط زیر می‌رسیم:
 
 تا زمانی که و دو متغیر مستقل باشند، ضرایب و حتماً باید صفر باشد. سپس ما می‌توانیم معادلات ضرایب را بنویسیم:
 
 
 
 حالا با توجه به قاعده کرامر می‌بینیم که:
 که این فرمول دو جمله از است.
 همچنین این روابط را می‌توان برای ، ، 
به دست آورد.
 قاعده کرامر برای به دست آوردن جواب عمومی خطی ناهمگن با استفاده از روش تغییر پارامترها استفاده می‌شود.
 قاعده کرامر تعبیر هندسی دارد که می‌توان از آن برای اثبات یا ساده کردن تصور ماهیت هندسی قاعده کرامر استفاده کرد.
 دستگاه معادلات داده شده زیر را در نظر بگیرید:
 می‌توان دستگاه را به صورت معادله‌ای بین دو بردار در نظر گرفت.
 مساحت متوازی‌الاضلاع‌هایی که از روابط و بدست می‌آیند، را می‌توان از دترمینان دستگاه معادلات بدست آورد:
 
 بصورت کلی اگر تعداد متغیرها از معادلات بیشتر باشد، دترمینان بردار از طول حجم که از آن بردارها در بعدی ساخته می‌شود، را محاسبه می‌کند.
 بنابراین مساحت متوازی‌الاضلاع ای که از و بدست می‌آید، باید برابر مساحت اولی باشد زیرا یکی از اضلاع آن توسط این تابع چند برابر شده‌است.
حال مسحات آخرین متوازی‌الاضلاع، با استفاده از ، مساحتی برابر با متوازی‌الاضلاعی است که از و بدست می‌آید.
 برابر کردن مساحت‌های آخرین و دومین متوازی‌الاضلاع معادله 
را می‌دهد که قاعده کرامر از آن استفاده می‌کند.
 اثباتی کوتاه برای قاعده کرامر می‌توان ارئه داد. فرض می‌کنیم دترمینان ماتریس زیر باشد.
 از سوی دیگر، فرض کنید ماتریس اصلی ما معکوس پذیر باشد، ماتریس ستون‌های را دارد که -امین بردار ماتریس باشد. باید آورید که ستون‌های را دارا می‌باشد؛ بنابراین ما را خواهیم داشت که همان چیزی است که دنبالش می‌گشتیم. اثبات بقیه به‌طور مشابه می‌باشد.
 یک دستگاه معادله زمانی ناسازگار است که هیچ جوابی ندارد و زمانی نا مشخص است که بیش از یک جواب داشته باشد. برای معادلات خطی دستگاه نامعین بی شمار جواب خواهد داشت (اگر میدان نامحدود باشد). ار آنجاییکه جواب می‌تواند در جمله‌ای از یک یا چند پارامتر بیان شود پس می‌تواند مقادیر دلخواه بگیرد.
قاعده کرامر جایی که دترمینان مخالف صفر باشد روی مورد اعمال می‌شود. در مورد مقابل دستگاه بر اساس مقدار دترمینان برای دستگاه‌های ۲×۲ یا نامعین است یا ناسازگار.
برای دستگاه‌های ۳×۳ یا بالاتر باید به نکته‌ای اشاره کرد که اگر ماتریس ضریب دترمینان مساوی با صفر باشد اگر صورت کسر دترمینان مخالف صفر بود حتماً این دستگاه ناسازگار است.
اگرچه این حرف اشتباه است که :دترمینان‌های مساوی صفر به اینکه دستگاه نامعین است اشاره ندارند. در مثال زیر دترمینان‌ها مساوی صفر هستند ولی دستگاه ۳×۳ هنوز نامعین است.
{"title": "قاعده کرامر", "link": "https://fa.wikipedia.org//w/index.php?title=%D9%82%D8%A7%D8%B9%D8%AF%D9%87_%DA%A9%D8%B1%D8%A7%D9%85%D8%B1&oldid=34614899", "language": "fa"}