مجموعهٔ مندلبرو مجموعه‌ای از نقطه‌ها روی است که یک را تشکیل می‌دهند. این مجموعه به خاطر زیبایی‌اش و نیز به خاطر ساختار پیچیده‌ای که فقط از چند تعریف سادهٔ ناشی شده‌، در بیرون از دنیای ریاضیات هم شناخته شده می باشد.
 مجموعهٔ مندلبرو (به : Mandelbrot set) اولین بار توسط یک ریاضی‌دان فرانسوی به نام که در زمینه فعالیت می‌کرد در سال تعریف شد. فاتو در آن زمان به کامپیوتر مستعد برای ترسیم این تابع دسترسی نداشت و با وجود محاسبات زیاد نتوانست اشکالی را که ما امروزه می‌بینیم ببیند. هم‌زمان ریاضی‌دان دیگری به نام روی توابع گویا روی صفحهٔ اعداد مختلط کار می‌کرد. امروز مجموعه‌های ژولیا از شکل‌های معروف فرکتالی است. این مباحث به صورت موضوعاتی پراکنده مطرح بودند تا این که در سال ۱۹۷۹ با انتشار مقالهٔ مباحث فوق و بسیاری از مباحث دیگر را تحت عنوان هندسه فرکتالی جمع‌بندی و عرضه کرد و با انتشار کتاب توسط مندلبرو عملاً شکوفایی هندسهٔ فرکتالی آغاز شد.
 مجموعه مندلبرو ، مرکب از «c-مقدارهای» مختلطی ست که دنبالهٔ حاصل از تکرار ترکیب تابع با خودش در نقطهٔ آغازین صفر به بینهایت میل نکند.
 در آنالیز پویا اصطلاحاً به دنباله‌ای از نقاط که از تکرار ترکیب یک تابع با خودش به دست می‌آید یا نقاط تحت آن تابع می‌گویند. به بیانی دیگر مجموعه مندلبرو مجموعه نقاط اربیت‌های بدست آمده تحت تابع است که به بینهایت نمی‌گراید.
 این قضیه نشان می‌دهد مجموعه مندلبرو کاملاً در داخل دیسک به شعاع ۲ قرار دارد.
 این مجموعه در صفحه مختلط است. همچنین دو ریاضی‌دان به نام‌های دوادی و هابارد اثبات کرده‌اند که این مجموعه در صفحه است
 برای خلق آثار زیبای بصری رایانه‌ای از این فرکتال، از رنگ‌آمیزی‌های مختلف استفاده می‌شود و اساس آن مرتبهٔ تکرّر (iteration) است به طوری که در هر تکرار در صورت تشخیص خارج بودن نقاط از مجموعه به آن نقاط رنگ مربوط به مرتبه تکرار تعلق می‌گیرد. به این ترتیب تصاویر رنگی به وجود می‌آید.
 برای ترسیم فرکتال مندلبرو فلوچارت ذیل اجرا می شود :
 ابتدا در صفحه اعداد مختلط عدد 0+0i به توان دو رسیده و با مختصات مورد نظری که می خواهیم بدانیم عضو مجموعه است یا خیر مانند ( 0.8i+0.2 ) جمع می شود. سپس حاصل به توان دو رسیده و با عدد موردنظر دوباره جمع می گردد .
 به طور طبیعی حاصل این جمع ها پس از 60 تا 400 بار انجام این حلقه ، بزرگ شده و به سرعت از مبدا مختصات فاصله می گیرد ولی در بازه -2 تا +2 دستگاه اعداد مختلط بعضی از نقاط پس از این آزمون چندان فاصله ای از مبدا نمی گیرند . برنامه های کامپیوتری این نقاط را بر حسب تعداد انجام عمل در این حلقه رنگ می کنند و به این ترتیب تصویر مجموعه در بازه مورد نظر بر اساس این آزمون تک تک نقاط شکل گرفته و رنگ آمیزی می شود. به طور معمول برای ترسیم هر شکل ، حلقه مرکزی این آزمون بین 100 تا 300 میلیون بار انجام می شود .
{"title": "مجموعه مندلبرو", "link": "https://fa.wikipedia.org//w/index.php?title=%D9%85%D8%AC%D9%85%D9%88%D8%B9%D9%87_%D9%85%D9%86%D8%AF%D9%84%D8%A8%D8%B1%D9%88&oldid=33823351", "language": "fa"}