مفهوم ریاضیاتی ، که به افتخار نامگذاری شده، مفهوم را تعمیم می‌دهد. این فضا، روش‌های جبر برداری و را از صفحه اقلیدسی دو بعدی و فضای اقلیدسی سه بعدی، به فضاهایی با هر تعداد یا بعدی توسعه می‌دهد. یک فضای هیلبرت مجردی است که دارای ساختار بوده و امکان اندازه‌گیری شدن طول و زاویه را می‌دهد. به علاوه، فضای هیلبرت کامل است: یعنی در این فضا به میزان کافی حد وجود داشته لذا می‌توان از تکنیک‌های حسابان استفاده کرد.
 فضاهای هیلبرت به صورت طبیعی و مکرر، به شکل فضای بی‌نهایت بعدی توابع در و ظاهر می‌شوند. اولین فضاهای هیلبرت ازین نقطه نظر در دههٔ اول قرن بیستم توسط دیوید هیلبرت، و فریگیس ریسز مورد مطالعه قرار گرفتند. این فضاها ابزارهای اجتناب ناپذیری در نظریات معادلات مشتقات جزئی، ، (که شامل کاربردهای آن در و می‌شود) و می‌باشد (که ریاضیات زیربنایی را ارائه می‌دهد). عبارت «فضای هیلبرت» را برای مفهوم مجردی که کاربردهای گسترده‌ای داشت ایجاد نمود. موفقیت فضاهای هیلبرت راه را برای عصر ثمربخش هموار نمود. جدا از فضاهای اقلیدسی کلاسیک، مثال‌هایی از فضاهای هیلبرت شامل فضاهای توابع مربع-انتگرال پذیر، فضاهای دنباله ای، فضاهای سوبولف شامل توابع تعمیم یافته و فضاهای هاردی از توابع هولومورفیک می‌شود.
 نقش مهمی را در بسیاری از جنبه‌های فضای هیلبرت بازی می‌کند. موجودات دقیقاً مشابهی از و قانون در فضای هیلبرت نیز حضور دارند. در سطوح عمیق‌تر، تصویر عمودی بر روی زیرفضاها (مشابه ) نقش مهمی در مسائل و دیگر جنبه‌های این نظریه، بازی می‌کند. در مقایسه با در صفحه، یک عنصر از یک فضای هیلبرت را می‌توان به صورت منحصر به فردی توسط مختصات و با توجه به مجموعه‌ای از محورهای مختصات (یک پایه متعامد نرمال) مشخص کرد. زمانی که مجموعه‌ی محورها نامتناهی شمارا باشند، فضای هیلبرت را می‌توان به صورت دنباله‌ی نامتناهی که مربع-جمع پذیر هستند تصور نمود. در متون قدیمی این گونه فضاهای اخیر را به عنوان فضای هیلبرت در نظر می‌گیرند. به‌طور مشابه عملگرهای خطی روی یک فضای هیلبرت نیز اشیاء نسبتاً ملموسی هستند: در موارد خوبی، این عملگرها تبدیلات ساده‌ای هستند که فضا را در جهت‌های دو به دو متعامد با ضریب‌های متفاوت می‌کشند به گونه‌ای که با مطالعه طیفشان می‌توان آن‌ها را دقیق‌تر شناخت.
 قبل از توسعهٔ فضاهای هیلبرت، تعمیم‌های دیگری از فضاهای اقلیدسی وجود داشت و ریاضیدانان و فیزیکدانان با آن آشنا بودند. بخصوص ایدهٔ فضای خطی مجرد کشش‌هایی را تا پایان قرن نوزدهم ایجاد کرد: این‌ها فضاهایی هستند که عناصرشان را می‌توان با هم جمع کرده و اسکالرها را در آن ضرب کرد (اسکالرهایی چون یا ) بدون این که لزوماً این عناصر مفهومی بیرونی چون بردارهای «هندسی» مکان و گشتاور در دستگاه‌های فیزیکی داشته باشند. دیگر اشیاء مطالعه شده توسط ریاضیدانان در ابتدای ، بخصوص فضای دنباله ای (شامل سری‌ها) و فضای توابع را می‌توان به‌طور طبیعی به عنوان فضاهای خطی در نظر گرفت. به عنوان مثال می‌توان توابع را با هم جمع کرده یا در اسکالر ضرب کرد، و این عملیات از قوانین جبری جمع و ضرب اسکالر بردارها تبعیت می‌کنند.
 در دهه اول قرن بیستم میلادی، پیشرفت‌های موازی منجر به معرفی فضاهای هیلبرت شدند. اولین این پیشرفت‌ها مشاهده ای بود که در حین مطالعات و بر روی معادلات انتگرالی رخ داد، این مشاهده بدین صورت بود: دو مقدار و روی بازه ضرب داخلی دارند که به صورت زیر تعریف می‌شود:
 این ضرب داخلی بسیاری از خواص آشنای ضرب داخلی در فضای اقلیدسی را داراس. بخصوص ایدهٔ خانواده توابع معامد نیز درینجا معنا پیدا می‌کند. اشمیت شباهت این ضرب داخلی با ضرب داخلی معمولی را به کار گرفت تا مشابه تجزیه طیفی یک عملگر به فرم:
 که در آن یک و متقارن با متغیرهای و هست را اثبات کند. نتیجهٔ کار او بسط توابع ویژه است که تابع را به صورت یک سری به شکل زیر درمی‌آورد:
 که در آن ها متعامد هستند یعنی برای تمام ها. برخی مواقع هر کدام از جملات این سری را جواب‌های ضرب ابتدایی گویند. با این حال، بسط توابع ویژه ای وجود دارند که به شکل مناسبی به تابع مربع-انتگرال پذیری همگرا نباشند؛ لذا عنصر مفقوده ای که از وجود شرط همگرایی اطمینان حاصل می‌کند همان خاصیت کامل بودن فضاست.
{"title": "فضای هیلبرت", "link": "https://fa.wikipedia.org//w/index.php?title=%D9%81%D8%B6%D8%A7%DB%8C_%D9%87%DB%8C%D9%84%D8%A8%D8%B1%D8%AA&oldid=34841090", "language": "fa"}