(به : ) توزیعی است که بیانگر احتمال اولین پیروزی پس از k-1 شکست در فرایند می‌باشد
 که در آن p احتمال پیروزی در یک دفعه است.
 
 فرض کنید آزمایش‌های مستقلی با احتمال موفقیت p، آن قدر تکرار می‌شود تا یک موفقیت به دست آید. اگر X تعداد آزمایش‌های لازم باشد، آنگاه:
 
 می دانیم برای X=n آن است که ابتدا، n-1 آزمایش شکست و n اُمین آزمایش موفقیت باشد. از آنجا که برآمدهای متوالی آزمایش‌ها بنا به فرض مستقل هستند داریم  :
 هر که به صورت بالا باشد را یک متغیر (فرایند) تصادفی هندسی با پارامتر p می نامیم.
 در نتیجه با احتمال ۱، یک موفقیت بالاخره اتفاق می افتد. هر که تابع جرم احتمال به صورت بالا باشد را یک متغیر تصادفی هندسی با پارامتر p می‌نامیم.
 
 
 متغیر تصادفی هندسی با پارامتر p برابر است با 
 می دانیم بنابراین برای محاسبه امید ریاضی می‌بایست عبارت زیر را محاسبه کنیم
 پس با ترکیب دو رابطه ی بالا برای متغیر تصادفی هندسی داریم 
 حال اگر فرض کنیم 
 داریم 
 در نتیجه 
 متغیر تصادفی هندسی با پارامتر p برابر است با
 
 فرض می کنیم پیشامد و پیشامد 
با توجه به اینکه A و B افرازهای ی ما هستند، داریم 
 می‌دانیم 
 
 و 
 بنابراین
 
 
 در نهایت از آنجا که داریم
 
 فرض کنیم می دانیم تعداد دفعاتی که سکه‌ای را اندخته ایم از n بیشتر است، احتمال اینکه سکه را بیش از n+m دفعه بی اندازیم تا شیر بیاید چقدر است ؟
 
 پس تنها m بار پرتاب بعدی اهمیت دارد و n بار پرتاب اولیه بی‌ارزش می‌شود.
 همچنین می‌توان ثابت کرد اگر یک متغیر تصادفی گسسته بی حافظه باشد، هندسی است. (عکس قضیه)
 
 امید ریاضی متغیر تصادفی هندسی با پارامتر p برابر است با:
 
 می‌دانیم:
 
 و:
 
 پس با ترکیب دو رابطهٔ بالا برای متغیر تصادفی هندسی داریم:
 
 حال اگر فرض کنیم:
 
 داریم:
 
 در نتیجه:
 
 واریانس متغیر تصادفی هندسی با پارامتر p برابر است با:
 
 فرض می‌کنیم پیشامد و پیشامد  :
 با توجه به اینکه A و B افرازهای ی ما هستند، داریم:
 
 
 در نتیجه:
 
 و:
 
 پس:
 
 
 در نهایت از آنجا که می‌دانیم  :
{"title": "توزیع هندسی", "link": "https://fa.wikipedia.org//w/index.php?title=%D8%AA%D9%88%D8%B2%DB%8C%D8%B9_%D9%87%D9%86%D8%AF%D8%B3%DB%8C&oldid=34699180", "language": "fa"}