(به : ) در ، برای یک روی یک برابر یک فضای برداری است که با «فروپاشی» به صفر به دست می‌آید. به فضای به دست آمده گفته می‌شود، و به صورت / نشان داده می‌شود (بخوانید " به پیمانه " یا " توسط ".
 به صورت صوری، ساختار به این صورت است. فرض کنید که یک روی یک باشد، و فرض کنید که یک از باشد. ما یک ~ روی را به این شیوه تعریف می‌کنیم که ~ اگر باشد؛ یعنی، با مرتبط است اگر با اضافه‌کردن یک عنصر یکی از دیگری قابل دستیابی باشد. از این تعریف، می‌توان استنتاج کرد که هر عنصر با بردار صفر مرتبط است؛ به صورت دقیق‌تر، همه بردارها در به بردار صفر نگاشت می‌یابند.
 کلاس هم‌ارزی - با در این حالت، - از معمولاً به این صورت نمایش می‌یابد
 زیرا توسط زیر داده شده‌است
 فضای خارج‌قسمتی / به صورت تعریف می‌شود، که مجموعه همه کلاس‌های هم‌ارزی القا شده توسط ~ روی است. ضرب و جمع نرده‌ای روی کلاس‌های هم‌ارزی توسط زیر تعریف شده‌است 
 
 بررسی بودن این عملیات‌ها سخت نیست (یعنی آن‌ها به گزینه وابسته نیستند). این عملیات‌ها فضای خارج‌قسمتی / را به یک فضای برداری روی با برابر با کلاس صفر [0] تبدیل می‌کنند.
 نگاشتی که به کلاس هم‌ارزی [ ] را منتسب می‌کند، نامیده می‌شود.
 به زبان دیگر، فضای خارج‌قسمتی برابر مجموعه همه از است که با هستند. 
 فرض کنید همان استاندارد باشد، و فرض کنید یک گذرنده از مبدأ باشد. آنوقت فضای خارج‌قسمتی / را می‌توان توسط همه خطوط در که با موازی اند شناسایی کرد؛ یعنی عناصر مجموعه / برابر خطوطی در هستند که با موازی اند. توجه کنید که خطوط همراستا با چنین خطی رابطه هم‌ارزی را برآورده خواهد کرد، زیرا بردارهای تفاضلی آن‌ها به تعلق دارند. این موضوع راهی برای نمایش هندسی فضاهای خارج‌قسمتی فراهم می‌کند. (با پیش-پارامتردهی این خطوط، فضای خارج‌قسمتی را به صورت سنتی‌تر به صورت فضای همه نقاط در امتداد یک خط گذرنده از مبدأ نمایش داد که با موازی نیست. به صورت مشابه، فضای خارج‌قسمتی برای توسط یک خط گذرنده از مبدأ را دوباره می‌توان به صورت مجموعه همه خطوط هم-موازی نمایش داد، یا از جهت دیگر، به صورت فضای برداری شامل نمایش داد که با خط در مبدأ تلاقی دارد)
 مثال دیگر، خارج‌قسمت توسط زیرفضای گسترده‌شده توسط اولین است. فضای شامل همه -تاپل‌ها از است. زیرفضایی که توسط شناسایی می‌شود، شامل همه -تاپل‌هایی است که − ورودی آخرش صفر است: . دو بردار در یک کلاس هم‌ارزی مشابه به پیمانه زیرفضا هستند، در − آخرشان مشابه باشند. به روش بدیهی، فضای خارج‌قسمتی / با است.
 به صورت کلی‌تر، اگر یک (درونی) از زیرفضاهای و باشد
 آنوقت فضای خارج‌قسمتی / با است. 
 یک مثال مهم از یک فضای خارج‌قسمتی تابعی یک است.
 یک طبیعی از به فضای خارج‌قسمتی / وجود دارد که توسط ارسال به کلاس هم‌ارزی‌اش [ ] به دست می‌آید. (یا فضای پوچ) از این اپی‌ریختار برابر زیرفضای است. این رابطه به صورت طبیعی توسط زیر خلاصه‌بندی می‌شود
 اگر یک زیرفضای باشد، / برای در نامیده می‌شود. به‌این دلیل که را می‌توان از یک پایه از و یک پایه از / توسط جمع یک از هر عنصر به ساخت، بعد برابر جمع ابعاد و / است. اگر باشد، این به این معنی است که هم‌بعد در برابر تفاضل بین ابعاد و است: 
 فرض کنید که : → یک باشد. هسته ، که توسط ker( ) نشان داده می‌شود، برابر مجموعه همه ها در است که در آن = ۰ است. هسته یک زیرفضای است. برای فضاهای برداری بیان می‌کند که فضای خارج‌قسمتی /ker( ) با در ایزوریختار است. یک سریع، برای فضاهای متناهی-بعد، همان است: بعد برابر بعد هسته (با ) بعلاوه بعد تصویر ( ) است.
 یک عملگر خطی : → را به صورت فضای خارج‌قسمتی /im( ) تعریف می‌کنند.
 اگر یک باشد و یک زیرفضای از باشد، آنوقت خارج‌قسمت / باز هم یک فضای باناخ است. به فضای خارج‌قسمتی قبلاً یک ساختار فضای برداری، توسط ساختار بخش قبل، داده شده‌است. ما یک روی / به این شیوه تعریف می‌کنیم
 وقتیکه کامل باشد، آنوقت فضای خارج‌قسمتی / هم در رابطه با نرم است، و از این‌رو یک فضای باناخ است. 
 فرض کنید [0,1] فضای باناخ برای حقیقی-مقدار روی [0٬1] با باشد. زیرفضای همه توابع ∈ [0,1] با (0) = ۰ را توسط نشان بدهید. آنوقت کلاس هم‌ارزی یک تابع توسط مقدارش در 0 تعیین می‌شود، و فضای خارج‌قسمتی با ایزوریختار است.
 اگر یک باشد، آنوقت فضای خارج‌قسمتی / با ایزوریختار است.
 خارج‌قسمت یک توسط یک زیرفضای بسته باز هم محلی محدب است. در واقع، فرض کنید که به صورت محلی محدب باشد، از این رو روی توسط خانواده‌ای از زیرنرم‌های { | α ∈ } تولید می‌شود، که در آن برابر مجموعه اندیس است. فرض کنید که یک زیرفضای بسته باشد، و را روی / توسط زیر تعریف کنیم
 آنوقت / یک فضای محلی محدب است، و توپولوژی روی آن یک است.
 بعلاوه، اگر باشد، آنوقت / هم هست. اگر یک باشد، آنوقت / هم هست. 
 
 مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. « ». در ، بازبینی‌شده در ۶ ژوئیهٔ ۲۰۲۲.
{"title": "فضای خارج‌قسمتی (جبر خطی)", "link": "https://fa.wikipedia.org//w/index.php?title=%D9%81%D8%B6%D8%A7%DB%8C_%D8%AE%D8%A7%D8%B1%D8%AC%E2%80%8C%D9%82%D8%B3%D9%85%D8%AA%DB%8C_(%D8%AC%D8%A8%D8%B1_%D8%AE%D8%B7%DB%8C)&oldid=35049703", "language": "fa"}