در ، ، که به احترام نامگذاری شده‌است، یک حکم اساسی در است و این حقیقت را بیان می‌کند که یک ( ) (Holomorphic function) تعریف شده بر روی یک قرص، به‌طور کامل با مقادیرش بر روی حاشیهٔ قرص مشخص می‌شود. این فرمول همچنین می‌تواند برای ساده کردن انتگرال همهٔ مشتقات یک به کار رود.
 فرض کنید یک از باشد، و یک تابع هلومورفیک باشد، و قرص
 تماماً درون قرار داشته باشد؛ و فرض کنید دایره‌ای باشد که مرز را تشکیل می‌دهد. آنگاه برای هر در درون داریم:
 که (contour integral) در جهت پادساعتگرد گرفته شده‌است.
 اثبات این حکم از استفاده می‌کند و مانند آن قضیه فقط به مشتق‌پذیر بودن نیاز دارد. از فرمول می‌توان نتیجه گرفت که در حقیقت باید بی‌نهایت بار به‌طور پیوسته مشتق‌پذیر باشد، با
 برخی این عبارت را می‌نامند. یک اثبات برای آن، نتیجهٔ فرعی این قضیه‌است که توابع هولومورفیک تحلیلی‌اند.
 می‌توان دایرهٔ را با هر منحنی تصحیح‌پذیر بسته در که هیچ تقاطعی نداشته باشد و پادساعتگرد جهت‌دار باشد جایگزین کرد. فرمول برای هر نقطهٔ از ناحیهٔ احاطه شده توسط این مسیر معتبر باقی می‌ماند. علاوه بر این، فقط در مورد قضیهٔ انتگرال کوشی، کافیست که در ناحیه باز احاطه شده توسط منحنی، تحلیلی و بر حاشیهٔ آن پیوسته باشد.
 این فرمول‌ها می‌توانند برا اثبات (residue theorem) استفاده شوند، که یک تعمیم وسیع است.
 با استفاده از می‌توان نشان داد که انتگرال بر روی (یا منحنی بستهٔ تصحیح‌پذیر) برابر است با انتگرال مشابهی که بر روی یک دایرهٔ بسیار کوچک دور گرفته شده‌است. مادامی که پیوسته‌است، می‌توانیم دایره‌ای به قدر کافی کوچک انتخاب کنیم که بر روی آن تقریباً ثابت و برابر باشد. آنگاه باید انتگرال: را بر روی این دایرهٔ کوچک حساب کنیم. این انتگرال با استفاده از قابل حل است. قرار دهید
 که در آن و . این نشان می‌دهد که مقدار این انتگرال مستقل از شعاع دایره و برابر است.
 [[پرونده:|thumb|400px|سطح تابع
f(z) = z / (z + 2z + 2)
و نقاط تکین آن، با کانتورهای شرح داده شده در متن.]]
تابع
 و مسیر آن را بنامید) را در نظر بگیرید.
برای بدست آوردن انتگرال حول مسیر، نیاز به دانستن نقاط تکین داریم. می‌توان را به صورت زیر نوشت:
 و قطب‌ها آشکار می‌شوند. قدر مطلق آنها کمتر از ۲ است و بنابراین درون مسیر قرار دارند و می‌توان فرمول را بر آنها اعمال کرد. با استفاده از می‌توان انتگرال حول مسیر را به صورت مجموع انتگال‌هایی حول و بیان کرد که مسیر، یک دایرهٔ کوچک حول هر قطب است. این مسیرها را حول و حول بنامید.
اکنون حول تحلیلی است (مادامی که مسیر دیگر را شامل نمی‌شود)، و به ما این اجازه را می‌دهد که را به صورتی که نیاز داریم بنویسیم:
 و حالا
 با انجام عمل مشابه بر روی مسیر دیگر
 
 و انتگرال حول مسیر اصلی، C، مجموع این دو انتگرال است:
{"title": "فرمول انتگرال کوشی", "link": "https://fa.wikipedia.org//w/index.php?title=%D9%81%D8%B1%D9%85%D9%88%D9%84_%D8%A7%D9%86%D8%AA%DA%AF%D8%B1%D8%A7%D9%84_%DA%A9%D9%88%D8%B4%DB%8C&oldid=34826522", "language": "fa"}