در از مهم‌ترین پارادوکس‌های است که توسط ریاضیدان و فیلسوف بریتانیایی در سال معرفی شد.
 این نشان می‌دهد که که برپایهٔ کارهای ، بنیان‌گذار ، بود دارای تناقضاتی در درون خودش است.
 در دو عمده وجود دارد که عبارت‌اند از و .
 اصل شهودی تجرید بیان می‌کند که اگر یک گزاره‌نما در مورد متغیر آزاد x باشد آنگاه:
 یک مجموعه‌است. به بیان دیگر متناظر با هر گزاره‌نما (خاصیت) چون ، مجموعه‌ای وجود دارد که دقیقاً شامل عناصری است که در صدق می‌کنند. به این ترتیب این اصل به ما اجازه می‌دهد که به‌وسیلهٔ هر ویژگی دلخواه، یک مجموعه داشته باشیم.
 به‌وسیلهٔ پارادکس راسل نشان داد که در نظر گرفتن این اصل در نظریهٔ طبیعی مجموعه‌ها موجب تناقض می‌شود، و لذا نظریهٔ طبیعی مجموعه‌های گئورگ کانتور نظریه‌ای ناسازگار است و نیاز به بازنگری دارد.
 راسل، به‌وسیلهٔ ارایهٔ ، این فرض را که مجموعه‌ها می‌توانند به صورت آزاد و بدون هیچ قید و بند و معیاری تعریف شوند، باطل اعلام کرد. این مجموعه توسط معرفی شد و تناقضی که از آن حاصل می‌شود است.
 گزاره‌نمای را در مورد مجموعه‌ها، در نظر بگیرید. دراین صورت مطابق اصل شهودی تجرید
 یک مجموعه‌است که شامل همهٔ مجموعه‌هایی است که عضو خودشان نیستند.
 فرض کنید R «مجموعهٔ همهٔ مجموعه‌هایی که عضو خودشان نیستند» باشد. یعنی:
 پس A یک عضو R است اگر و فقط اگر A یک عضو A نباشد. یعنی:
 هیچ چیز در نظریهٔ مجموعه‌های کانتور و فرگه مانع تعریف چنین مجموعه‌ای نمی‌شود و خوش تعریفی آن نیز واضح فرض می‌شود.
 مشکل هنگامی برمی‌خیزد که به خود مجموعهٔ R، به عنوان مجموعهٔ قابل قبول نگاه بیندازیم و این سؤال را در مورد R مطرح کنیم که آیا R عضوی از خودش است یا نه؟
 
 پارادکس راسل اولین عامل برای برانگیختن تلاش ریاضیدانان در جهت اصل موضوعی کردن بود.
 آن‌ها سعی کردند را بر پایهٔ اصولی قوی‌تر و پیچیده‌تر از استوار کنند تا از تعریف چنین مجموعه‌هایی جلوگیری شود. این ، را برای گسترش هرچه بیشتر و را برای گسترش سوق داد و موجب پیدایش و سایر دستگاه‌های اصل موضوعی مجموعه‌ها شد.
 این پارادکس همچنین نشان می‌دهد که نیز که تا آن زمان وجود آن مسلم فرض می‌شد، وجود ندارد.
 در حقیقت بیان دیگری از این پارادکس به زبان منطق چیزی بجز اطلاعات منطق مقدماتی و تعریف مجموعه‌هایی انتزاعی نیاز ندارد. با استفاده از نماد مجموعه‌ساز که در وجود دارد می‌توان 
 را تعریف کرد، در این صورت:
 حال با جایگذاری R به جای x داریم:
 که این یک است (در ، تناقض همواره نادرست است). این تناقض با استثنا قرار دادن برای مقادیر x رفع نمی‌شود چرا که موارد بسیاری از آن‌ها را داریم.
 این‌که چه موقع این را کشف کرد دقیقاً مشخص نیست، ولی به‌نظر می‌رسد که در ماه مه یا ژوئن سال ۱۹۰۱ و احتمالاً به عنوان نتیجه‌ای از کارش بروی ( هر مجموعه از عدد اصلی آن کمتر است) به این پارادوکس پی برده‌است.
 او ابتدا پارادکس را در سال ۱۹۰۱ به صورت مقاله‌ای در ماهنامهٔ با عنوان «جدیدترین کار در فلسفه ریاضیات» مطرح کرد.
 او همچنین برهان کانتور را در مورد این‌که بزرگ‌ترین عدد اصلی وجود ندارد مطرح ساخت و اضافه کرد که «استاد» در مورد یک مغالطه زیرکانه مقصر است که او بعداً در این باره توضیح می‌دهد.
 راسل همچنین پارادوکس را در کتاب خود با عنوان (Principles of Mathematics)-که نباید با کتاب قبلی او Principia Mathematica اشتباه شود- ذکر کرد که آن را «تناقض» نامید. دوباره او بیان کرد که این پارادکس را با تجزیه و تحلیل برهان کانتور برای اثبات عدم وجود بزرگ‌ترین به‌دست آورده‌است.
 راسل در سال ۱۹۰۲ این پارادکس را با که در حال نوشتن جلد دوم کتاب خود با عنوان Grundgesetze der Arithmetik بود در میان گذاشت.
 فرگه با عجله در ضمیمه‌ای، یک راه حل برای رفع این پارادکس نوشت که بعدها ناکافی بودن آن به اثبات رسید. به هر حال، بعد از چاپ جلد دوم کتاب، فرگه بعد از انتشار دومین بخش کتاب خود، کمی در مورد منطق ریاضی و فلسفه ریاضیات نوشت.
 در هنگام کار روی که در سال ۱۹۰۸ آن را منتشر ساخت، به این پارادکس پی‌برد ولی گمان کرد نکتهٔ کوچکی است و لذا هیچ‌گاه آن را منتشر نساخت. در خود، از این پارادکس با بهره‌گیری از اصل موضوعی با عنوان جلوگیری کرد.
 و سه جلد از کتاب را به امید پیروزی در حالی که شکست خورده‌بود نوشتند و در آن سعی کردند با استفاده از ، از چنین پارادکس‌هایی در اجتناب کنند.
 هنگامی که آن‌ها موفق به پایه‌ریزی حساب شدند، به نظر نمی‌رسید که فقط از منطق استفاده کرده باشند. به هر حال ، در بین سال‌های ۱۹۳۰ تا ۱۹۳۱ ثابت کرد که منطق بسیاری از بخش‌های که اکنون به عنوان منطق مقدماتی خوانده می‌شود کامل است ولی در صورتی که سازگار باشد لزوماً ناکامل است؛ بنابراین از این به بعد برنامه‌های منطقی و مردند.
 مواردی ساده‌تر از پارادکس راسل نیز وجود دارد که بیشتر با واقعت‌ها در زندگی نزدیک است و برای غیر منطقیون قابل فهم‌تر است. به عنوان مثال نمونه‌ای از آن است.
 در دهکده‌ای فقط یک ریش‌تراش وجود دارد. او فقط ریش کسانی را می‌تراشد که ریش خود را نمی‌تراشند. ریش خود ریش‌تراش را چه کسی می‌تراشد؟ اگر او ریش خود را نتراشد. باید نزد ریش‌تراش یعنی خودش برود تا ریشش را بتراشد و اگر ریش خودش را بتراشد نباید توسط ریش‌تراش یعنی خودش ریشش تراشیده شود!
 اما هنگامی که این بیانات غیررسمی و عامیانه از پارادکس را ارائه می‌دهیم اشکالی هم به‌وجود می‌آید. به عنوان نمونه در جواب پارادکس آرایشگر آسان است که بگوییم چنین آرایشگری وجود نخواهد داشت. تمامی نکتهٔ پارادکس راسل در این است که پاسخ «چنین مجموعه‌ای وجود ندارد» به معنی این است که تعریف مجموعه به کمک نماد مجموعه‌ساز بدون هیچ مرز و معیاری ناکافی است و رضایت بخش نیست. البته برخی نمونه‌ها از این پارادکس این اشکال را ندارد. از این نمونه می‌توان به (Grelling-Nelson) اشاره کرد که در آن کلمات و معنای آن‌ها به‌جای افراد و آرایشگر قرار گرفته‌اند.
 این آسان است که پارادکس آرایشگر را با رد وجود چنین آرایشگری رفع کنیم ولی گفتن چنین چیز مشابهی در مورد لغات و معناها ممکن نیست.
 به همراه با گسترش سعی در دور کردن پارادکس کرد. در همین حال چالش‌های دیگری در نظریهٔ مجموعه‌ها پیدا شدند.
 در سال ۱۹۰۸ یک را برای نظریهٔ مجموعه‌ها ارائه داد که از جلوگیری می‌کرد. این اصول به‌وسیله ، و خود در سال ۱۹۲۰ اصلاح شدند و سرانجام نظریه اصل موضوعی مجموعه‌ها را به وجود آوردند که آن را یا می‌نامند.
 در فرض این‌که هر گزاره‌نما، مجموعهٔ همهٔ اشیایی را که در آن خاصیت صدق می‌کنند تعریف می‌کند، وجود ندارد و به جای آن این جمله جایگزین شده‌است که «برای هر مجموعهٔ X و گزاره‌نمای ، زیرمجموعه‌ای از همهٔ عناصر X وجود دارد که دارای خاصیت هستند». به عبارت دیگر برای مجموعهٔ X و گزاره‌نمای زیرمجموعهٔ Y از X وجود دارد که
 
 در این صورت مجموعهٔ ناممکن راسل R دیگر یک مجموعهٔ معتبر از نظر نخواهد بود و اساساً قابل تعریف نخواهد بود.
 اما ZFC تنها نظریهٔ اصل موضوعی به‌وجود آمده نبود بلکه نظریه‌های دیگری چون (NGB) یا مبانی جدید و… نیز به‌وجود آمدند که هر یک دارای اصول موضوع خاص و محدودیت‌هایی هستند.
{"title": "پارادوکس راسل", "link": "https://fa.wikipedia.org//w/index.php?title=%D9%BE%D8%A7%D8%B1%D8%A7%D8%AF%D9%88%DA%A9%D8%B3_%D8%B1%D8%A7%D8%B3%D9%84&oldid=32686319", "language": "fa"}