یا ، یا در نوعی از با یک معین است که باید تعداد معینی از را برآورده سازد. برای مثال، یک واریته از جبرها هستند، همان‌طور که ، ، و غیره واریته جبرها هستند. بر اساس ، یک کلاس از ساختارهای جبری با امضای مشابه اگر و تنها اگر واریته هستند که تحت تصویر ، ، و بسته باشند. در زمینه ، یک واریته جبری، همراه با هوموریختارهایش، یک را تشکیل می‌دهند؛ به این‌ها معمولاً گفته می‌شود.
 یک یک کلاس از همه با یک امضای معین است.
 یک واریته از جبرها را نباید با اشتباه گرفت؛ واریته جبری به معنی یک مجموعه از راه‌حل‌ها برای یک سامانه معادلات چندجمله‌ای است. آن‌ها از نظر صوری کاملاً متمایزاند و نظریهٔ آن‌ها اشتراکات کمی دارد.
 اصطلاح «واریته جبری» به جبر در مفهوم عمومی اشاره دارد؛ یک حس خصوصی‌تر از جبر هم وجود دارد که، که نام دارد، که یک مجهز به ضرب است.
 (در این زمینه) یک مجموعه است، که عناصرش نام دارند، که به هر کدام یک (۰, ۱, ۲,...) منتسب شده‌است که آن نام دارد. اگر یک امضای و یک مجموعه داشته باشیم که عناصرش نام دارد، یک یک است که در آن هر گره یا توسط یک متغیر یا یک عمل برچسب‌گذاری شده‌است، به این روش که هر گره‌ای که توسط یک متغیر برچسب خورده‌است، هیچ شاخه مجزایی از ریشه ندارد، و هر گره که توسط یک عمل برچسب خورده، تعداد زیادی شاخه جدا از ریشه به اندازه آریتی دارد. یک یک جفت از کلمات است؛ اصل شامل کلمات و به صورت نوشته می‌شود.
 یک شامل یک امضا، یک مجموعه از متغیرها، و یک مجموعه از قوانین معادله‌ای است. هر نظریه، یک واریته از جبرها را به این صورت به دست می‌دهد. اگر یک نظریه ، یک از شامل یک مجموعه همراه با، برای هر عمل از با آریتی ، یک تابع به این روش که برای هر اصل و هر انتساب عناصر به متغیرها در آن اصل، داده شده باشد، معادله برقرار است که توسط اعمال عمل‌ها به عناصر به روش نشان داده شده توسط درخت‌های تعریف کننده و به دست می‌آید. کلاس جبرهای یک نظریه معین را یک نامیده می‌شود.
 اگر دو جبر از نظریه داشته باشیم، که و نام داشته باشند، یک یک تابع است به این صورت که
 برای هر عمل از آریتی برقرار باشد. هر نظریه یک به دست می‌دهد که در آن اشیا همان جبرهای آن نظریه است و ریختارها همان هوموریختار هستند.
 کلاس همه یک واریته از جبرهای امضای (۲) تشکیل می‌دهند، یعنی یک نیم‌گروه یک عمل دوتایی منفرد دارد. یک معادله تعریف کننده کافی، یک قانون انجمنی زیر است:
 کلاس یک واریته از جبرهای با امضای (۲٬۰٬۱) تشکیل می‌دهد، که سه عمل آن به ترتیب (دودویی)، یک (پوچ، یک ثابت)، و (یکتایی) است. اصول آشنای انجمنی، همانی، و وارونگی، یک مجموعه مناسب از اتحادها تشکیل می‌دهند:
 
 
 کلاس هم یک واریته از جبرها تشکیل می‌دهد. در اینجا امضا (۲٬۲٬۰٬۰٬۱) است (یعنی دو عمل دوتایی، دو ثابت، و یک عمل یکتایی).
 اگر یک حلقه بخصوص را ثابت بگیریم، می‌توانیم یک کلاس از را در نظر بگیریم. برای بیان ضرب نرده‌ای باعناصری از ، ما به یک عمل یکتایی برای هر عنصر از نیاز داریم. اگر حلقه نامتناهی باشد، در اینصورت ما تعداد نامتناهی عمل داریم، که این موضوع توسط تعریف یک ساختار جبری در جبر جهانی امکان‌پذیر است. سپس ما به تعداد نامتناهی اتحاد برای بیان اصول مدول نیاز داریم، که این توسط تعریف واریته جبرها امکان‌پذیر است. از این رو -مدول‌های چپ یک واریته جبری تشکیل می‌دهند.
 یک واریته جبری تشکیل ؛ زیرا این نیازمندی که همه عناصر غیرصفر باید حتماً وارون‌پذیر باشند، را نمی‌توان به صورت یک اتحاد برآورده‌ساز جهانی بیان نمود. 
 هم یک واریته از جبرها نمی‌سازند، زیرا ویژگی لغوکنندگی یک معادله نیست، بلکه یک پیامد است که معادل هیچ مجموعه‌ای از معادلات نیست. با این‌حال، آن‌ها یک می‌سازند، زیرا پیامد تعریف کننده ویژگی لغو، یک مثال از یک است.
 اگر یک کلاس از ساختارهای جبری، با امضای مشابه داشته باشیم، می‌توانیم مفاهیم هموریختار، ، و را تعریف کنیم. ثابت کرد که یک کلاس از ساختارهای جبری با امضای مشابه اگر و تنها اگر یک واریته است که تحت تصویر هوموریختار، زیرجبر و ضرب اختیاری بسته باشد. این یک نتیجه با اهمیت بنیادین برای جبر جهانی است و به عنوان یا به صورت شناخته می‌شود. در اینجا حروف و و به ترتیب به عمل‌های هوموریختار (homomorphism)، زیرجبر (subalgebra)، و ضرب (product) اشاره دارند.
 کلاس جبری که یک مجموعه از اتحادها را برآورده می‌سازد، تحت عمل‌های HSP بسته خواهند بود. برای اثبات -یعنی کلاس جبرها که تحت عمل‌های HSP بسته‌اند باید حتماً معادله‌ای باشند- سخت‌تر است.
 با استفاده از قضیه برک‌هوف، ما می‌توانیم برای مثال، ادعای بالا را راستی‌آزمایی کنیم، که اصول میدان توسط هیچ مجموعه‌ای از اتحادها قابل بیان نیست: ضرب میدان‌ها یک میدان نیست، از این رو میدان‌ها یک واریته تشکیل نمی‌دهند.
 یک برای یک واریته از جبرهای یک زیرکلاس است که امضای مشابهی با دارد و خودش یک واریته است، یعنی توسط یک مجموعه اتحاد تعریف شده‌است.
 توجه کنید که اگرچه وقتیکه همانی به عنوان ثابت را حدف کنیم (و/یا عمل وارون را حذف کنیم)، هر گروهی تبدیل به نیم‌گروه می‌شود، کلاس گروه‌ها یک زیرواریته از واریته زیرگروه‌ها را تشکیل ، زیرا امضای آن‌ها متفاوت است. به صورت مشابه، کلاس زیرگروه‌ها که گروه هستند، یک زیرواریته از واریته نیم‌گروه‌ها نیست. کلاس مونویدها که گروه هستند شامل هستند و شامل زیرجبر آن (به صورت دقیق‌تر، زیرمونوید) نیستند.
 با این‌حال، کلاس یک زیرواریته از واریته گروه‌ها هستند، زیرا شامل گروه‌هایی هستند که را بدون تغییر امضا برآورده می‌سازند. یک زیرواریته تشکیل نمی‌دهند، زیرا طبق قضیه برک‌هوف، یک واریته تشکیل نمی‌دهند، زیرا یک ضرب دلخواه از گروه‌های آبلی متناهی ساخته‌شده، به صورت متناهی ساخته‌نشده‌اند.
 اگر یک واریته و هوموریختارهایش را به صورت یک ببینیم، یک زیرواریته از یک از است، یعنی برای هر شیء , در ، هوموریختارها از به در دقیقاً همان‌ها از به در هستند.
 فرض کنید که یک واریته غیر-بدیهی از جبرها باشد، یعنی شامل جبرهایی با بیش از یک عنصر باشد. می‌توان نشان داد که برای هر مجموعه ، واریته شامل یک است. این یعنی یک نگاشت مجموعه‌ای یک‌به‌یک : → وجود دارد که این را برآورده می‌سازد: اگر هر جبر در ، و هر نگاشت : → داده شده‌باشد، یک -هوموریختار یکتای : → وجود دارد به اینصورت که است.
 این موضوع مفاهیم ، ، ، و غیره را تعمیم می‌دهد. این موضوع این پیامد را دارد که هر جبر در یک واریته برابر یک تصویر هوموریختاری از یک جبر آزاد است.
 
 مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. « ». در ، بازبینی‌شده در ۷ مه ۲۰۲۲.
{"title": "واریته (جبر جهانی)", "link": "https://fa.wikipedia.org//w/index.php?title=%D9%88%D8%A7%D8%B1%DB%8C%D8%AA%D9%87_(%D8%AC%D8%A8%D8%B1_%D8%AC%D9%87%D8%A7%D9%86%DB%8C)&oldid=34657065", "language": "fa"}