در ، مانند از یک را می‌نامیم (به : ) اگر بتوان هر عنصری از را به صورت یکتا از عناصر نوشت. به عناصر گفته می‌شود. ضرایب این ترکیب خطی آن بردار نسبت به پایهٔ نامیده می‌شوند.
 یک فضای برداری می‌تواند چندین پایه داشته باشد. با این حال همه پایه‌ها تعداد عناصرشان یکسان خواهد بود، که به آن گفته می‌شود.
 از بردارهای را پایهٔ می‌نامیم اگر دو خاصیت زیر را داشته باشد: 
 
 از این خواص نتیجه می‌شود که می‌توان هر عنصری از را به صورت یک یکتا از عناصر نوشت. در نتیجه این دو تعریف با یکدیگر معادل اند.
 اگر یک برای فضای باشد (ولی لزوماً مستقل خطی نباشد)، زیرمجموعه‌ای از وجود دارد که پایهٔ باشد. چنین زیرمجموعه‌ای را می‌توان با چند عمل حذف به شرح زیر پیدا کرد:
 اگر مستقل خطی نباشد یعنی عنصری مانند در آن وجود دارد که می‌توان آن را به صورت ترکیب خطی عناصر دیگر نوشت. در این صورت با حذف این عنصر، مجموعهٔ هنوز مولد خواهد بود.
 با توجه به این قضیه می‌توان نتیجه گرفت که یک پایه کوچک‌ترین مولد است. چون اگر یک بردار دیگر را حذف کنیم، بردار محذوف ترکیب خطی از بردارهای دیگر نخواهد بود و در نتیجه دیگر مولد نخواهد بود.
 اگر یک در فضای باشد (ولی لزوماً مولد نباشد)، مجموعهٔ بزرگتر وجود دارد که پایهٔ باشد. 
 چنین مجموعه‌ای را می‌توان با چند عمل گسترش پیدا کرد. به خاطر عمل گسترش و حذف در قضیهٔ قبل به این دو قضیه «قضیهٔ استخراج پایه» و «قضیهٔ توسعه به پایه» نیز می‌گویند.
 با توجه به این قضیه می‌توان نتیجه گرفت که یک پایه همچنین بزرگترین مجموعهٔ مستقل خطی ممکن است. چون اگر یک بردار دیگر به آن اضافه کنیم، طبق تعریف می‌توان این بردار را به صورت ترکیب خطی بردارهای قبلی نوشت. در نتیجهٔ این دو قضیه، این دو تعریف با تعریف اصلی معادل اند.
 پایهٔ یک فضای برداری یکتا نیست ولی تمام پایه‌های آن به تعداد برابری عضو خواهند داشت. اگر پایه‌های یک فضای برداری به تعداد عضو داشته باشند آن فضا را می‌نامیم. بعد یک فضای برداری را با نمایش می‌دهیم. طبق تعریف قراردادی . 
 اگر زیرفضای باشد .
 قضیهٔ پایه بیان می‌کند که اگر ‌ باشد، هر زیرمجموعهٔ مستقل خطی و عضوی از اعضای پایهٔ است. همچنین هر زیرمجموعهٔ مولد و عضوی از اعضای پایهٔ است. 
 هیچ زیرمجموعه‌ای از با تعداد اعضای بیشتر از مستقل خطی نخواهد بود و هیچ زیرمجموعه‌ای از با تعداد اعضای کمتر از مولد نخواهد بود.
 همچنین ببینید: طبق ، یک فضای برداری با نام فرضی به صورت تعریف می‌شود که در آن مجموعهٔ تمام بردارهای فضای است. توجه کنید که در بیشتر موارد خود فضا ( ) نامگذاری نمی‌شود و به جایش برای اشاره به آن از عبارت «فضای » استفاده می‌کنیم.
 محیطی برای نگاشت به یک فراهم می‌کند. هر چند هر فضای برداری -بعدی لزوماً نیست، می‌توان رفتار تقریباً مشابهی با آن داشت.
 اگر پایهٔ فضای باشد، هر بردار را می‌توان به صورت یک یکتا از عناصر نوشت: 
 ضرایب این ترکیب خطی را بردار (نسبت به پایهٔ ) می‌نامیم: 
 نمایش این ضرایب در یک را (نسبت به پایهٔ ) می‌نامیم و آن را با نمایش می‌دهیم: 
 (نسبت به پایهٔ ) به صورت تعریف می‌شود. به (نسبت به پایهٔ ) است ( ). 
 به «فضای » می‌گوییم. معمولاً فرض می‌شود: 
 
 
 اگر مجموعهٔ تمام چندجمله‌ای‌های با درجهٔ حداکثر ۲ باشد و باشد، یک بردار با در فضای است و آن ، یک در خواهد بود. را یک می‌نامیم.
 در دوبعدی دو و پایهٔ استاندارد فضا را تشکیل می‌دهند.
 در فضای اقلیدسی سه‌بعدی سه بردار پایهٔ استاندارد و و پایهٔ استاندارد فضا را تشکیل می‌دهند.
 در پایهٔ استاندارد فضا متشکل از بردار پایه و ... و است. 
 پایه‌های استاندارد و بر یکدیگر (یا یکامتعامد) هستند.
 با داشتن یک پایهٔ دلخواه از یک فضای برداری، به کمک می‌توان یک پایهٔ یکامتعامد برای آن فضا پیدا کرد.
 
 
 
 
 
 مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. « ». در ، بازبینی‌شده در ۱۶ نوامبر ۲۰۲۱.
{"title": "پایه (جبر خطی)", "link": "https://fa.wikipedia.org//w/index.php?title=%D9%BE%D8%A7%DB%8C%D9%87_(%D8%AC%D8%A8%D8%B1_%D8%AE%D8%B7%DB%8C)&oldid=34506210", "language": "fa"}