A què és equivalent el mètode de definir les funcions sinus i cosinus?
És a dir, cada una és el negatiu de la seva pròpia derivada segona. En l'espai funcional de dues dimensions V consistent en totes les solucions d'aquesta equació, la funció sinus és l'única solució que satisfà les condicions inicials y(0) = 0 i y′(0) = 1, i la funció cosinus és l'única solució que satisfà les condicions inicials y(0) = 1 i y′(0) = 0. Atès que les funcions sinus i cosinus són linealment independents, juntes formen una base de V. Aquest mètode de definir les funcions sinus i cosinus, és essencialment equivalent a fer servir la fórmula d'Euler. (Vegeu: Equació diferencial lineal.) Resulta que aquesta equació diferencial no només es pot fer servir per a definir les funcions sinus i cosinus, sinó que també es pot fer servir per a demostrar les identitats trigonomètriques de les funcions sinus i cosinus. A més, l'observació que les funcions sinus i cosinus satisfan      y ″  = − y   {\displaystyle y''=-y}   significa que són les funcions pròpies de l'operador derivada segona.
a fer servir la fórmula d'Euler