Què no pot tenir una circumferència resolutòria?
Les dues arrels de qualsevol equació de segon grau poden ser de tres tipus diferents: dos nombres reals diferents, dos nombres reals iguals (és a dir, una arrel doble degenerada) o dues arrels complexes conjugades. El primer cas correspon a la situació comuna; cada parella d'arrels correspon a una parella de solucions que estan relacionades per la inversió de la circumferència, com es mostra a l'apartat corresponent. El segon cas, en el qual les dues arrels són iguals, es correspon a una circumferència resolutòria que es transforma en si mateixa amb la inversió. En aquest cas, una de les circumferències donades és ella mateixa una solució del problema d'Apol·loni i el nombre de solucions diferents es redueix en un. El tercer cas, de radis complexos conjugats, no es correspon a cap solució geomètricament possible del problema d'Apol·loni, ja que una circumferència resolutòria no pot tenir un radi imaginari; per tant, el nombre de solucions es redueix en dos. Curiosament, el problema d'Apol·loni no pot tenir set solucions, encara que pot tenir qualsevol altre nombre de solucions de zero a vuit.
un radi imaginari