El text següent parla sobre el tema Música?
La constant de Legendre és una constant matemàtica que apareix en una conjectura d'Adrien-Marie Legendre que mostra el comportament asimptòtic de la funció de recompte de primers 
  
    
      
        π
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle \pi (x)}
  . Se sap actualment que el seu valor és 1.
Una anàlisi de les demostracions numèriques disponibles llavors sobre els nombres primers van fer sospitar a Legendre que 
  
    
      
        π
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle \pi (x)}
   satisfeia una fórmula aproximada.
Legendre va conjecturar l'any 1808 que:

  
    
      
        π
        (
        x
        )
        =
        
          
            x
            
              ln
              ⁡
              (
              x
              )
              −
              B
              (
              x
              )
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \pi (x)={\frac {x}{\ln(x)-B(x)}}}
  on 
  
    
      
        
          lim
          
            x
            →
            ∞
          
        
        B
        (
        x
        )
        =
        1.08366
      
    
    {\displaystyle \lim _{x\to \infty }B(x)=1.08366}
  .... és la seqüència A228211 de l'OEIS.
O, cosa que és el mateix:

  
    
      
        
          lim
          
            n
            →
            ∞
          
        
        
          (
          
            ln
            ⁡
            (
            n
            )
            −
            
              
                n
                
                  π
                  (
                  n
                  )
                
              
            
          
          )
        
        =
        B
      
    
    {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(\ln(n)-{n \over \pi (n)}\right)=B}
  on B és la constant de Legendre. Va donar un valor a B de 1.08366, però més enllà del seu valor exacte, l'existència de B implica el teorema dels nombres primers.
Pafnuti Txebixov va demostrar l'any 1849 que si el límit B existeix, llavors ha de ser igual a 1. Una demostració més senzilla va ser desenvolupada per Pintz l'any 1980.És una conseqüència immediata del teorema dels nombres primers, en una forma determinada i una estimació explícita del terme de l'error:

  
    
      
        π
        (
        x
        )
        =
        
          
            L
            i
          
        
        (
        x
        )
        +
        O
        
          (
          
            x
            
              e
              
                −
                a
                
                  
                    ln
                    ⁡
                    x
                  
                
              
            
          
          )
        
        
        
          a mesura que 
        
        x
        →
        ∞
      
    
    {\displaystyle \pi (x)={\rm {Li}}(x)+O\left(xe^{-a{\sqrt {\ln x}}}\right)\quad {\text{a mesura que }}x\to \infty }
  (per una certa constant positiva a, on O(…) és la notació de Landau), com va demostrar Charles de La Vallée Poussin l'any 1899, que B en efecte és igual a 1. (El teorema dels nombres primers havia estat demostrat l'any 1896, independentment per Jacques Hadamard i La Vallée Poussin, però sense cap estimació del valor del terme error.
Tenint com a valor un nombre tan simple com la unitat, la constant de Legendre ha acabat tenint únicament valor històric, i algun cop (de forma tècnicament incorrecta) s'ha arribat a utilitzar per denotar el primer valor que li va donar Legendre 1.08366... enlloc de 1.
Pierre Dusart va demostrar, l'any 2010 que:

  
    
      
        
          
            x
            
              ln
              ⁡
              x
              −
              1
            
          
        
        <
        π
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle {\frac {x}{\ln x-1}}<\pi (x)}
   per 
  
    
      
        x
        ≥
        5393
      
    
    {\displaystyle x\geq 5393}
  , i
  
    
      
        π
        (
        x
        )
        <
        
          
            x
            
              ln
              ⁡
              x
              −
              1.1
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \pi (x)<{\frac {x}{\ln x-1.1}}}
   per 
  
    
      
        x
        ≥
        60184
      
    
    {\displaystyle x\geq 60184}
  . Això té la mateixa forma que:
  
    
      
        π
        (
        x
        )
        =
        
          
            x
            
              ln
              ⁡
              (
              x
              )
              −
              B
              (
              x
              )
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \pi (x)={\frac {x}{\ln(x)-B(x)}}}
   amb 
  
    
      
        1
        <
        B
        (
        x
        )
        <
        1.1
      
    
    {\displaystyle 1<B(x)<1.1}
  .
No.