Quin és el tema principal del text?
La constant de Legendre és una constant matemàtica que apareix en una conjectura d'Adrien-Marie Legendre que mostra el comportament asimptòtic de la funció de recompte de primers                         π         (         x         )                 {\displaystyle \pi (x)}   . Se sap actualment que el seu valor és 1. Una anàlisi de les demostracions numèriques disponibles llavors sobre els nombres primers van fer sospitar a Legendre que                         π         (         x         )                 {\displaystyle \pi (x)}    satisfeia una fórmula aproximada. Legendre va conjecturar l'any 1808 que:                         π         (         x         )         =                                 x                            ln               ⁡               (               x               )               −               B               (               x               )                                                  {\displaystyle \pi (x)={\frac {x}{\ln(x)-B(x)}}}   on                                    lim                        x             →             ∞                             B         (         x         )         =         1.08366                 {\displaystyle \lim _{x\to \infty }B(x)=1.08366}   .... és la seqüència A228211 de l'OEIS. O, cosa que és el mateix:                                    lim                        n             →             ∞                                        (                        ln             ⁡             (             n             )             −                                             n                                    π                   (                   n                   )                                                                   )                  =         B                 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(\ln(n)-{n \over \pi (n)}\right)=B}   on B és la constant de Legendre. Va donar un valor a B de 1.08366, però més enllà del seu valor exacte, l'existència de B implica el teorema dels nombres primers. Pafnuti Txebixov va demostrar l'any 1849 que si el límit B existeix, llavors ha de ser igual a 1. Una demostració més senzilla va ser desenvolupada per Pintz l'any 1980.És una conseqüència immediata del teorema dels nombres primers, en una forma determinada i una estimació explícita del terme de l'error:                         π         (         x         )         =                                 L             i                             (         x         )         +         O                    (                        x                            e                                −                 a                                                         ln                     ⁡                     x                                                                                      )                                      a mesura que                   x         →         ∞                 {\displaystyle \pi (x)={\rm {Li}}(x)+O\left(xe^{-a{\sqrt {\ln x}}}\right)\quad {\text{a mesura que }}x\to \infty }   (per una certa constant positiva a, on O(…) és la notació de Landau), com va demostrar Charles de La Vallée Poussin l'any 1899, que B en efecte és igual a 1. (El teorema dels nombres primers havia estat demostrat l'any 1896, independentment per Jacques Hadamard i La Vallée Poussin, però sense cap estimació del valor del terme error. Tenint com a valor un nombre tan simple com la unitat, la constant de Legendre ha acabat tenint únicament valor històric, i algun cop (de forma tècnicament incorrecta) s'ha arribat a utilitzar per denotar el primer valor que li va donar Legendre 1.08366... enlloc de 1. Pierre Dusart va demostrar, l'any 2010 que:                                                 x                            ln               ⁡               x               −               1                                          <         π         (         x         )                 {\displaystyle {\frac {x}{\ln x-1}}<\pi (x)}    per                         x         ≥         5393                 {\displaystyle x\geq 5393}   , i                        π         (         x         )         <                                 x                            ln               ⁡               x               −               1.1                                                  {\displaystyle \pi (x)<{\frac {x}{\ln x-1.1}}}    per                         x         ≥         60184                 {\displaystyle x\geq 60184}   . Això té la mateixa forma que:                        π         (         x         )         =                                 x                            ln               ⁡               (               x               )               −               B               (               x               )                                                  {\displaystyle \pi (x)={\frac {x}{\ln(x)-B(x)}}}    amb                         1         <         B         (         x         )         <         1.1                 {\displaystyle 1<B(x)<1.1}   .
El text tracta sobre matemàtiques.