Quin és el tema principal d'aquest text?
En matemàtiques, la constant de Catalan (denotada K (en aquest article),  G (per exemple, Borwein et al. 2004, p. 49), o C  (Wolfram Language)), anomenada així en honor del matemàtic franco-belga Eugène Charles Catalan, és el nombre definit per:

  
    
      
        K
        =
        β
        (
        2
        )
        =
        
          ∑
          
            n
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          
            
              (
              −
              1
              
                )
                
                  n
                
              
            
            
              (
              2
              n
              +
              1
              
                )
                
                  2
                
              
            
          
        
        =
        
          
            1
            
              1
              
                2
              
            
          
        
        −
        
          
            1
            
              3
              
                2
              
            
          
        
        +
        
          
            1
            
              5
              
                2
              
            
          
        
        −
        
          
            1
            
              7
              
                2
              
            
          
        
        +
        
          
            1
            
              9
              
                2
              
            
          
        
        −
        ⋯
      
    
    {\displaystyle K=\beta (2)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{2}}}={\frac {1}{1^{2}}}-{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}-{\frac {1}{7^{2}}}+{\frac {1}{9^{2}}}-\cdots }
  on 
  
    
      
        β
      
    
    {\displaystyle \beta }
   és la funció beta de Dirichlet.
El seu valor numèric és aproximadament:

  
    
      
        K
        =
        0
        ,
        915965594177219015054603514932384110774...
      
    
    {\displaystyle K=0,915965594177219015054603514932384110774...}
  (seqüència A006752, OEIS)No se sap si 
  
    
      
        K
      
    
    {\displaystyle K}
   és irracional, i molt menys transcendent.Concretament, la constant de Catalan es defineix com el valor numèric de la següent integral:

  
    
      
        
          
            1
            2
          
        
        
          ∫
          
            0
          
          
            1
          
        
        K
        (
        k
        )
         
        d
        k
        =
        
          
            1
            2
          
        
        
          ∫
          
            k
            =
            0
          
          
            1
          
        
        
          ∫
          
            θ
            =
            0
          
          
            π
            
              /
            
            2
          
        
        
          
            
              d
              θ
               
              d
              k
            
            
              1
              −
              
                k
                
                  2
                
              
              
                sin
                
                  2
                
              
              ⁡
              θ
            
          
        
        =
        
          
            1
            
              1
              
                2
              
            
          
        
        −
        
          
            1
            
              3
              
                2
              
            
          
        
        +
        
          
            1
            
              5
              
                2
              
            
          
        
        −
        ⋯
        =
        0
        ,
        915965594...
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}K(k)\ dk={\frac {1}{2}}\int _{k=0}^{1}\int _{\theta =0}^{\pi /2}{\frac {d\theta \ dk}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}={\frac {1}{1^{2}}}-{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}-\dots =0,915965594...}
  

on 
  
    
      
        K
        (
        k
        )
        
      
    
    {\displaystyle K(k)\;}
   és la integral el·líptica de primera espècie.
La sèrie similar, però aparentment més complicada

  
    
      
        
          ∑
          
            n
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          
            
              (
              −
              1
              
                )
                
                  n
                
              
            
            
              (
              2
              n
              +
              1
              
                )
                
                  3
                
              
            
          
        
        =
        
          
            1
            
              1
              
                3
              
            
          
        
        −
        
          
            1
            
              3
              
                3
              
            
          
        
        +
        
          
            1
            
              5
              
                3
              
            
          
        
        −
        
          
            1
            
              7
              
                3
              
            
          
        
        +
        
          
            1
            
              9
              
                3
              
            
          
        
        −
        ⋯
      
    
    {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{3}}}={\frac {1}{1^{3}}}-{\frac {1}{3^{3}}}+{\frac {1}{5^{3}}}-{\frac {1}{7^{3}}}+{\frac {1}{9^{3}}}-\cdots }
  es pot avaluar exactament i val 
  
    
      
        
          π
          
            3
          
        
        
          /
        
        32
      
    
    {\displaystyle \pi ^{3}/32}
   .
El text tracta sobre matemàtiques.