Quin és el tema principal del text següent?
Un quadrat màgic és la disposició d'una sèrie de nombres enters en una taula quadrada o matriu de forma que la suma dels nombres per columnes, files i diagonals sigui la mateixa, la constant màgica. Usualment, els nombres emprats per a omplir les caselles són consecutius de l'1 a n², essent n el nombre de columnes i files del quadrat.

Sigui la successió aritmètica 1, 2, 3, 4 ... 36 (quadrat d'ordre 6), disposats ordenadament en dues sèries en zig-zag:

Resulta evident que qualsevol parell de nombres alineats verticalment suma el mateix, ja que a mesura que ens desplacem per les columnes en la fila superior s'hi afegeix una unitat mentre que en la inferior se n'hi resta una. La suma és, en tots els casos, la dels extrems:

  
    
      
        
          n
          
            2
          
        
        +
        1
        =
        36
        +
        1
        =
        37
      
    
    {\displaystyle n^{2}+1=36+1=37}
  
Si es disposen el conjunt de nombres en sis files (vegeu la taula a la dreta), fàcilment es pot apreciar que les sumes en les diferents columnes han de ser necessàriament iguals, ja que els nombres es troben agrupats per parelles tal com ho estaven en el primer cas (compareu les parelles de files 1a-6a, 2a-5a i 3a-4a amb la disposició original). Ara, tanmateix, per ser tres (n/2) les parelles de files, la suma resulta:

  
    
      
        
          M
          
            2
          
        
        (
        n
        )
        =
        
          
            
              n
              (
              
                n
                
                  2
                
              
              +
              1
              )
            
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle M_{2}(n)={\frac {n(n^{2}+1)}{2}}}
  quantitat anomenada constant màgica, i que en aquest cas és n×(n² + 1)/2 = 6×(36 + 1)/2 = 111.

El quadrat anterior no és pas un quadrat màgic, ja que com s'han disposat les files en forma consecutiva, les sumes de cada fila són cada cop més grans. No obstant això, s'han trobat sis sèries de nombres compresos entre 1 i 36 de forma tal que, sense repetir-se'n cap, les sumes de les sèries són la constant màgica. Però, és més, la suma de les xifres de la diagonal principal en un quadrat així construït és també la constant màgica: els nombres de la diagonal principal es poden escriure de la forma (a-1)×n + a.
Calculant la suma, sabent que les files a van d'1 a n:

  
    
      
        
          ∑
          
            a
            =
            1
          
          
            n
          
        
        (
        a
        −
        1
        )
        
          n
        
        +
        a
        =
        (
        n
        +
        1
        )
        
          ∑
          
            a
            =
            1
          
          
            n
          
        
        a
        −
        
          ∑
          
            a
            =
            1
          
          
            n
          
        
        n
        =
        (
        n
        +
        1
        )
        
          
            
              n
              (
              1
              +
              n
              )
            
            2
          
        
        −
        
          n
          
            2
          
        
        =
        
          
            
              
                n
                
                  3
                
              
              +
              2
              
                n
                
                  2
                
              
              +
              n
              −
              2
              
                n
                
                  2
                
              
            
            2
          
        
        =
        
          
            
              n
              (
              
                n
                
                  2
                
              
              +
              1
              )
            
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \sum _{a=1}^{n}(a-1){n}+a=(n+1)\sum _{a=1}^{n}a-\sum _{a=1}^{n}n=(n+1){\frac {n(1+n)}{2}}-n^{2}={\frac {n^{3}+2n^{2}+n-2n^{2}}{2}}={\frac {n(n^{2}+1)}{2}}}
  
que és la constant màgica. Però això no és tot: qualsevol sèrie de valors on no hi hagi dos nombres de la mateixa fila o columna sumarà la constant màgica. Escrivint el terme i, j de la matriu com (i-1)×n + j, i prenent 6 termes qualssevol amb la condició que ni i, ni j es repeteixin i variïn d'1 a n, l'equació resultant obtinguda és exactament l'escrita per al cas anterior, que condueix de la mateixa manera cap a la constant màgica.
Com es pot demostrar, la quantitat de sèries possibles de n nombres que compleixin la condició anterior és n!, 720 en quadrats d'ordre 6, i ni tan sols són totes les possibles, ja que abans s'havien obtingut sis sèries no incloses entre elles. En definitiva, sent possible construir (n²)! matrius en les que cap terme es repeteixi i existent almenys només n! (en realitat, moltes més) combinacions de nombres que sumin la constant màgica, s'intueix que podria ser impossible construir quadrats màgics.
D'ordre 3, existeix un únic quadrat màgic (lògicament amb les seves variacions que es poden obtenir per rotació o reflexió). El 1693 Bernard Frenicle de Bessy va establir que hi ha 880 quadrats màgics d'ordre 4 [1]. Posteriorment s'ha trobat que existeixen 275.305.224 quadrats màgics d'ordre 5. El nombre de quadrats màgics d'ordre major, es desconeix amb exactitud, però segons estimacions de Klaus Pinn y C. Wieczerkowski realitzades el 1998 mitjançant mètodes de Monte Carlo i de mecànica estadística existeixen (1,7745 ± 0,0016) × 1019 quadrats d'ordre 6 i (3,7982 ± 0,0004) × 1034 quadrats d'ordre 7.
Pel que fa a ordres inferiors, és evident que d'ordre 1 existeix un únic quadrat màgic,   1  , mentre que d'ordre 2, no n'existeix cap, cosa fàcilment demostrable considerant el quadrat màgic a, b, c, d de la figura i imposant les següents equacions (on M és la constant màgica, no fixada a priori), condició de quadrat màgic:

resolent el sistema d'equacions es veu que el sistema tan sols té la solució trivial a = b = c = d = M/2, de manera que resulta impossible construir un quadrat màgic amb les seves xifres diferents.
El text tracta sobre matemàtiques.