A normal subgroup is a subgroup which is invariant under conjugation by members of the group of which it is a part.
A subgroup N of a group G is called a normal subgroup if it is invariant under conjugation; that is, for each element n in N and each g in G, the element gng −1 is still in N. We write. For any subgroup, the following conditions are equivalent to normality. In other words, a subgroup H of a group G is normal in G if and only if gH = Hg for all g in G, i.e., the sets of left and right cosets coincide. Normal Subgroup. Let be a subgroup of a group. The similarity transformation of by a fixed element in not in always gives a subgroup. If. for every element in, then is said to be a normal subgroup of, written (Arfken 1985, p. 242; Scott 1987, p. 25). Normal subgroups are also known as invariant subgroups or self-conjugate subgroup (Arfken 1985, p. 242). All subgroups of Abelian groups are normal (Arfken 1985, p. 242).  (a) K is a normal subgroup of G. (b) The homomorphism is one-to-one if and only if K = {e}. (a) If H 1 is a subgroup of G 1, then (H 1) is a subgroup of G 2. If is onto and H 1 is normal in G 1, then (H 1) is normal in G 2. (b) If H 2 is a subgroup of G 2, then. is a subgroup of G 1.  Note if $a$ is an element of a normal subgroup $H$ of a group $G$, then the class of $a$ is contained in $H$, so that a normal subgroup can be viewed as the union of classes of $G$, and conversely, any union of classes of $G$ satisfying the group axioms form a normal subgroup of $G$. Example: The classes of $S_4$ are. Since $H h = h H$ for any $h\in H$ we see that $H$ commutes with every element of $G$ and hence is normal. Example: In the dihedral group $D_{2n}: \{ a, c | a^n = c^2 = (a c)^2 = 1 \}$ the cyclic subgroup $\langle a \rangle$ is normal. Example: The alternating group $A_n$ is normal in $S_n$ In particular, if $H$ is some subgroup of $G$, then we call $H$ a normal or invariant or self-conjugate subgroup of $G$. In general, if $A$ is some subgroup of $G$ then groups of the form $g^{-1} A g$ are called the conjugate subgroups of $A$. Since $H h = h H$ for any $h\in H$ we see that $H$ commutes with every element of $G$ and hence is normal. Example: In the dihedral group $D_{2n}: \{ a, c | a^n = c^2 = (a c)^2 = 1 \}$ the cyclic subgroup $\langle a \rangle$ is normal. Example: The alternating group $A_n$ is normal in $S_n Namely, a normal subgroup of a given group of rotations is effectively a subgroup which doesn't look like any other subgroup. For example, the group of 4 rotations of a cube along the x-axis basically looks the same as the group of 4 rotations of a cube along the y-axis, or along the z-axis for that matter. (This group of 12 rotations is isomorphic to A4 and is a normal subgroup of group 2 above.) 3) Group 3 is simple, and hence has no normal subgroups. You'll note that none of these subgroups is defined by picking a specific vertex, edge, or face of the solid, and then asserting something about it. SubgroupsDefinition: A subset H of a group G is a subgroup of G if H is itself a group under theoperation in G .Note: Every group G has at least two subgroups: G itself and the subgroup { e },containing only the identity element.  In abstract algebra, a normal subgroup is a subgroup which is invariant under conjugation by members of the group of which it is a part. In other words, a subgroup H of a group G is normal in G if and only if gH = Hg for all g in G, i.e., the sets of left and right cosets coincide. Normal subgroups (and only normal subgroups) can be used to construct quotient groups from a given group
https://en.wikipedia.org/wiki/Normal_subgroup http://mathworld.wolfram.com/NormalSubgroup.html http://www.math.niu.edu/~beachy/aaol/groups2.html http://crypto.stanford.edu/pbc/notes/group/normal.html http://crypto.stanford.edu/pbc/notes/group/normal.html http://www.math.ucr.edu/home/baez/normal.html http://www.ma.utexas.edu/users/rodin/343K/Subgroups.pdf https://en.wikipedia.org/wiki/Normal_subgroup
how is a subgroup normal
उपसमूह सामान्य कैसे है
एक सामान्य उपसमूह एक उपसमूह है जो उस समूह के सदस्यों द्वारा संयुग्मन के तहत अपरिवर्तनीय है जिसका यह एक हिस्सा है।
समूह जी के एक उपसमूह एन को एक सामान्य उपसमूह कहा जाता है यदि यह संयुग्मन के तहत अपरिवर्तनीय है; अर्थात्, N में प्रत्येक तत्व n और G में प्रत्येक g के लिए, तत्व gng -1 अभी भी N में है। किसी भी उपसमूह के लिए, निम्नलिखित स्थितियां सामान्यता के बराबर हैं। दूसरे शब्दों में, समूह G का एक उपसमूह H G में सामान्य है यदि और केवल यदि gH = Hg में सभी g के लिए G, अर्थात, बाएँ और दाएँ कोसेट के समुच्चय मेल खाते हैं। सामान्य उपसमूह। मान लीजिए किसी समूह का उपसमूह है. एक निश्चित तत्व द्वारा समानता परिवर्तन हमेशा में नहीं एक उपसमूह देता है। अगर। प्रत्येक तत्व के लिए, तब एक सामान्य उपसमूह कहा जाता है, लिखा जाता है (अर्फकेन 1985, पृष्ठ 242; स्कॉट 1987, पी। सामान्य उपसमूहों को अपरिवर्तनीय उपसमूह या स्व-संयुग्म उपसमूह के रूप में भी जाना जाता है (Arfken 1985, p. 242)। एबेलियन समूहों के सभी उपसमूह सामान्य हैं (अर्फकेन 1985, पृष्ठ 242)।  (a) K, G का एक सामान्य उपसमूह है। (b) समरूपता एक-से-एक है यदि और केवल यदि K = {e} है। (ए) यदि एच 1, जी 1 का उपसमूह है, तो (एच 1), जी 2 का एक उपसमूह है। यदि चालू है और H 1 G 1 में सामान्य है, तो G 2 में (H 1) सामान्य है। (b) यदि H 2, G 2 का उपसमूह है, तो। जी 1 का एक उपसमूह है।  ध्यान दें कि यदि $a$ एक समूह $G$ के सामान्य उपसमूह $H$ का एक तत्व है, तो $a$ का वर्ग $H$ में निहित है, ताकि एक सामान्य उपसमूह को $G$ के वर्गों के संघ के रूप में देखा जा सके, और इसके विपरीत, समूह स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करने वाले $G$ के वर्गों का कोई भी संघ $G$ का एक सामान्य उपसमूह बनाता है। उदाहरण: $S_4$ के वर्ग हैं। चूँकि $H h = h H$ किसी भी $h\in H$ के लिए हम देखते हैं कि $H$ $G$ के प्रत्येक तत्व के साथ आवागमन करता है और इसलिए सामान्य है। उदाहरण: डायहेड्रल समूह में $D_{2n}: \{ a, c | a^n = c^2 = (a c)^2 = 1 \}$ चक्रीय उपसमूह $\langle a \rangle$ सामान्य है। उदाहरण: प्रत्यावर्ती समूह $A_n$ $S_n$ में सामान्य है विशेष रूप से, यदि $H$ $G$ का कुछ उपसमूह है, तो हम $H$ को $G$ का एक सामान्य या अपरिवर्तनीय या स्व-संयुग्म उपसमूह कहते हैं। सामान्य तौर पर, यदि $A$ $G$ का कुछ उपसमूह है, तो फॉर्म $g^{-1} ए जी $ के समूह को $A $ के संयुग्म उपसमूह कहा जाता है। चूँकि $H h = h H$ किसी भी $h\in H$ के लिए हम देखते हैं कि $H$ $G$ के प्रत्येक तत्व के साथ आवागमन करता है और इसलिए सामान्य है। उदाहरण: डायहेड्रल समूह में $D_{2n}: \{ a, c | a^n = c^2 = (a c)^2 = 1 \}$ चक्रीय उपसमूह $\langle a \rangle$ सामान्य है। उदाहरण: प्रत्यावर्ती समूह $A_n$ $S_n में सामान्य है अर्थात्, रोटेशन के किसी दिए गए समूह का एक सामान्य उपसमूह प्रभावी रूप से एक उपसमूह है जो किसी अन्य उपसमूह की तरह नहीं दिखता है। उदाहरण के लिए, x-अक्ष के अनुदिश किसी घन के 4 घूर्णन का समूह मूलतः ल-अक्ष के अनुदिश किसी घन के 4 घूर्णन के समूह अथवा उस पदार्थ के लिए z-अक्ष के अनुदिश समान दिखाई देता है। (12 घुमावों का यह समूह ए 4 के लिए आइसोमोर्फिक है और ऊपर समूह 2 का एक सामान्य उपसमूह है। 3) समूह 3 सरल है, और इसलिए कोई सामान्य उपसमूह नहीं है। आप ध्यान देंगे कि इनमें से कोई भी उपसमूह ठोस के एक विशिष्ट शीर्ष, किनारे या चेहरे को चुनकर परिभाषित नहीं किया गया है, और फिर इसके बारे में कुछ जोर दे रहा है। उपसमूह परिभाषा: समूह जी का एक सबसेट एच जी का एक उपसमूह है यदि एच स्वयं जी में ऑपरेशन के तहत एक समूह है। नोट: प्रत्येक समूह G में कम से कम दो उपसमूह होते हैं: G स्वयं और उपसमूह {e }, जिसमें केवल पहचान तत्व होता है।  अमूर्त बीजगणित में, एक सामान्य उपसमूह एक उपसमूह है जो उस समूह के सदस्यों द्वारा संयुग्मन के तहत अपरिवर्तनीय है जिसका यह एक हिस्सा है। दूसरे शब्दों में, समूह G का एक उपसमूह H G में सामान्य है यदि और केवल यदि gH = Hg में सभी g के लिए G, अर्थात, बाएँ और दाएँ कोसेट के समुच्चय मेल खाते हैं। सामान्य उपसमूहों (और केवल सामान्य उपसमूहों) का उपयोग किसी दिए गए समूह से भागफल समूहों के निर्माण के लिए किया जा सकता है