A fractal is an object or quantity that displays self-similarity, in a somewhat technical sense, on all scales.
A fractal dimension is an index for characterizing fractal patterns or sets by quantifying their complexity as a ratio of the change in detail to the change in scale. Several types of fractal dimension can be measured theoretically and empirically (see Fig. 2).  Fractal. A fractal is an object or quantity that displays self-similarity, in a somewhat technical sense, on all scales. The object need not exhibit exactly the same structure at all scales, but the same type of structures must appear on all scales. A plot of the quantity on a log-log graph versus scale then gives a straight line, whose slope is said to be the fractal dimension From the Fractal FAQ: A fractal is a rough or fragmented geometric shape that can be subdivided in parts, each of which is (at least approximately) a reduced-size copy of the whole. Fractals are generally self-similar and independent of scale.. There are many mathematical structures that are fractals; e.g.  This shape and structure, later known as the Mandelbrot set, was an extraordinarily complex and beautiful example of a “fractal” object, fractal being the name coined by Mandelbrot in 1975 to describe such repeating or self-similar mathematical patterns.  ([2, Definition 3.1]) Let X be a topological space. A pre-fractal structure on X is a countable family of coverings called levels, γ={Γn:n∈N}γ={Γn:n∈N} , such that Uxγ is an open neighborhood base of x for each x∈Xx∈X. The main goal of this paper is to provide a generalized definition of fractal dimension for any space equipped with a fractal structure. This novel theory generalizes the classical box-counting dimension theory on the more general context of GF-spaces. A fractal is a rough or fragmented geometric shape that can be subdivided in parts, each of which is (at least approximately) a reduced-size copy of the whole. Fractals are generally self-similar and independent of scale. There are many mathematical structures that are fractals; e.g.  A Geometric pattern that is repeated at ever smaller scales to produce irregular shapes and surfaces that cannot be represented by classical geometry. Fractals are used especially in computer modeling of irregular patterns and structures in nature. [French from Latin.  The use of fractal structures provides a powerful tool to introduce new models for a definition of fractal dimension, since a fractal structure is a natural context in which the concept of fractal dimension can be performed. The main goal of this paper is to provide a generalized definition of fractal dimension for any space equipped with a fractal structure. This novel theory generalizes the classical box-counting dimension theory on the more general context of GF-spaces. The same fractal as above, magnified a 2000-fold, where the Mandelbrot set fine detail resembles the detail at low magnification. A fractal is a natural phenomenon or a mathematical set that exhibits a repeating pattern that displays at every scale. It is also known as expanding symmetry or evolving symmetry. If the replication is exactly the same at every scale, it is called a self-similar pattern. An example of this is the Menger Sponge. Fractals can also be nearly the same at different levels. This latter pattern is illustrated in the magnifications of the Mandelbrot set. Fractals also include the idea of a detailed pattern that repeats itself. Fractals are different from other geometric figures because of the way in which they scale
https://en.wikipedia.org/wiki/Fractal_dimension http://mathworld.wolfram.com/Fractal.html http://mathforum.org/alejandre/workshops/fractal/fractal3.html http://www-03.ibm.com/ibm/history/ibm100/us/en/icons/fractal/ http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0166864113003830 https://www.fractalus.com/fractal-art-faq/faq03.html http://users.wpi.edu/~goulet/fractals.htm http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0166864113003830 https://en.wikipedia.org/wiki/Fractal
what is a fractal structure
एक भग्न संरचना क्या है
एक भग्न एक वस्तु या मात्रा है जो कुछ हद तक तकनीकी अर्थों में, सभी पैमानों पर आत्म-समानता प्रदर्शित करता है।
एक भग्न आयाम भग्न पैटर्न या सेट को चिह्नित करने के लिए एक सूचकांक है, जो पैमाने में परिवर्तन के विस्तार से परिवर्तन के अनुपात के रूप में उनकी जटिलता को निर्धारित करता है। कई प्रकार के भग्न आयाम को सैद्धांतिक और अनुभवजन्य रूप से मापा जा सकता है (चित्र 2 देखें)।  भग्न। एक भग्न एक वस्तु या मात्रा है जो कुछ हद तक तकनीकी अर्थों में, सभी पैमानों पर आत्म-समानता प्रदर्शित करता है। वस्तु को सभी पैमानों पर बिल्कुल समान संरचना प्रदर्शित करने की आवश्यकता नहीं है, लेकिन सभी पैमानों पर एक ही प्रकार की संरचनाएं दिखाई देनी चाहिए। लॉग-लॉग ग्राफ बनाम स्केल पर मात्रा का एक प्लॉट तब एक सीधी रेखा देता है, जिसका ढलान भग्न आयाम कहा जाता है फ्रैक्टल एफएक्यू से: एक भग्न एक मोटा या खंडित ज्यामितीय आकार है जिसे भागों में विभाजित किया जा सकता है, जिनमें से प्रत्येक (कम से कम लगभग) पूरे की कम आकार की प्रतिलिपि है। भग्न आम तौर पर स्व-समान और पैमाने से स्वतंत्र होते हैं .. कई गणितीय संरचनाएं हैं जो भग्न हैं; उदाहरणस्‍वरूप।  यह आकार और संरचना, जिसे बाद में मंडेलब्रॉट सेट के रूप में जाना जाता है, एक "भग्न वस्तु" का एक असाधारण जटिल और सुंदर उदाहरण था, भग्न 1975 में मंडेलब्रॉट द्वारा इस तरह के दोहराए जाने वाले या स्व-समान गणितीय पैटर्न का वर्णन करने के लिए गढ़ा गया नाम था।  ([2, परिभाषा 3.1]) मान लीजिए X एक टोपोलॉजिकल स्पेस है। X पर एक पूर्व-भग्न संरचना स्तरों नामक कवरिंग का एक गणनीय परिवार है, γ={Γn:n∈N}γ={Γn:n∈N} , जैसे कि Uxγ प्रत्येक x∈Xx∈X के लिए x का एक खुला पड़ोस आधार है। इस पत्र का मुख्य लक्ष्य भग्न संरचना से लैस किसी भी स्थान के लिए भग्न आयाम की सामान्यीकृत परिभाषा प्रदान करना है। यह उपन्यास सिद्धांत जीएफ-रिक्त स्थान के अधिक सामान्य संदर्भ पर शास्त्रीय बॉक्स-गिनती आयाम सिद्धांत को सामान्यीकृत करता है। एक भग्न एक मोटा या खंडित ज्यामितीय आकार है जिसे भागों में विभाजित किया जा सकता है, जिनमें से प्रत्येक (कम से कम लगभग) पूरे की एक कम आकार की प्रति है। भग्न आम तौर पर स्व-समान और पैमाने से स्वतंत्र होते हैं। कई गणितीय संरचनाएं हैं जो भग्न हैं; उदाहरणस्‍वरूप।  एक ज्यामितीय पैटर्न जिसे अनियमित आकार और सतहों का उत्पादन करने के लिए छोटे पैमाने पर दोहराया जाता है जिसे शास्त्रीय ज्यामिति द्वारा दर्शाया नहीं जा सकता है। फ्रैक्टल्स का उपयोग विशेष रूप से प्रकृति में अनियमित पैटर्न और संरचनाओं के कंप्यूटर मॉडलिंग में किया जाता है। [लैटिन से फ्रेंच।  भग्न संरचनाओं का उपयोग भग्न आयाम की परिभाषा के लिए नए मॉडल पेश करने के लिए एक शक्तिशाली उपकरण प्रदान करता है, क्योंकि एक भग्न संरचना एक प्राकृतिक संदर्भ है जिसमें भग्न आयाम की अवधारणा का प्रदर्शन किया जा सकता है। इस पत्र का मुख्य लक्ष्य भग्न संरचना से लैस किसी भी स्थान के लिए भग्न आयाम की सामान्यीकृत परिभाषा प्रदान करना है। यह उपन्यास सिद्धांत जीएफ-रिक्त स्थान के अधिक सामान्य संदर्भ पर शास्त्रीय बॉक्स-गिनती आयाम सिद्धांत को सामान्यीकृत करता है। ऊपर के समान भग्न ने 2000 गुना बढ़ाया, जहां मंडेलब्रॉट सेट ठीक विवरण कम आवर्धन पर विस्तार जैसा दिखता है। एक भग्न एक प्राकृतिक घटना या एक गणितीय सेट है जो एक दोहराए जाने वाले पैटर्न को प्रदर्शित करता है जो हर पैमाने पर प्रदर्शित होता है। इसे समरूपता का विस्तार या समरूपता विकसित करने के रूप में भी जाना जाता है। यदि प्रतिकृति हर पैमाने पर बिल्कुल समान है, तो इसे स्व-समान पैटर्न कहा जाता है। इसका एक उदाहरण मेन्जर स्पंज है। भग्न भी विभिन्न स्तरों पर लगभग समान हो सकते हैं। यह बाद का पैटर्न मंडेलब्रॉट सेट के आवर्धन में चित्रित किया गया है। फ्रैक्टल्स में एक विस्तृत पैटर्न का विचार भी शामिल है जो खुद को दोहराता है। भग्न अन्य ज्यामितीय आंकड़ों से अलग होते हैं क्योंकि जिस तरह से वे पैमाने पर होते हैं