A normal subgroup is a subgroup which is invariant under conjugation by members of the group of which it is a part.
A subgroup N of a group G is called a normal subgroup if it is invariant under conjugation; that is, for each element n in N and each g in G, the element gng −1 is still in N. We write. For any subgroup, the following conditions are equivalent to normality. In other words, a subgroup H of a group G is normal in G if and only if gH = Hg for all g in G, i.e., the sets of left and right cosets coincide. Normal Subgroup. Let be a subgroup of a group. The similarity transformation of by a fixed element in not in always gives a subgroup. If. for every element in, then is said to be a normal subgroup of, written (Arfken 1985, p. 242; Scott 1987, p. 25). Normal subgroups are also known as invariant subgroups or self-conjugate subgroup (Arfken 1985, p. 242). All subgroups of Abelian groups are normal (Arfken 1985, p. 242).  (a) K is a normal subgroup of G. (b) The homomorphism is one-to-one if and only if K = {e}. (a) If H 1 is a subgroup of G 1, then (H 1) is a subgroup of G 2. If is onto and H 1 is normal in G 1, then (H 1) is normal in G 2. (b) If H 2 is a subgroup of G 2, then. is a subgroup of G 1.  Note if $a$ is an element of a normal subgroup $H$ of a group $G$, then the class of $a$ is contained in $H$, so that a normal subgroup can be viewed as the union of classes of $G$, and conversely, any union of classes of $G$ satisfying the group axioms form a normal subgroup of $G$. Example: The classes of $S_4$ are. Since $H h = h H$ for any $h\in H$ we see that $H$ commutes with every element of $G$ and hence is normal. Example: In the dihedral group $D_{2n}: \{ a, c | a^n = c^2 = (a c)^2 = 1 \}$ the cyclic subgroup $\langle a \rangle$ is normal. Example: The alternating group $A_n$ is normal in $S_n$ In particular, if $H$ is some subgroup of $G$, then we call $H$ a normal or invariant or self-conjugate subgroup of $G$. In general, if $A$ is some subgroup of $G$ then groups of the form $g^{-1} A g$ are called the conjugate subgroups of $A$. Since $H h = h H$ for any $h\in H$ we see that $H$ commutes with every element of $G$ and hence is normal. Example: In the dihedral group $D_{2n}: \{ a, c | a^n = c^2 = (a c)^2 = 1 \}$ the cyclic subgroup $\langle a \rangle$ is normal. Example: The alternating group $A_n$ is normal in $S_n Namely, a normal subgroup of a given group of rotations is effectively a subgroup which doesn't look like any other subgroup. For example, the group of 4 rotations of a cube along the x-axis basically looks the same as the group of 4 rotations of a cube along the y-axis, or along the z-axis for that matter. (This group of 12 rotations is isomorphic to A4 and is a normal subgroup of group 2 above.) 3) Group 3 is simple, and hence has no normal subgroups. You'll note that none of these subgroups is defined by picking a specific vertex, edge, or face of the solid, and then asserting something about it. SubgroupsDefinition: A subset H of a group G is a subgroup of G if H is itself a group under theoperation in G .Note: Every group G has at least two subgroups: G itself and the subgroup { e },containing only the identity element.  In abstract algebra, a normal subgroup is a subgroup which is invariant under conjugation by members of the group of which it is a part. In other words, a subgroup H of a group G is normal in G if and only if gH = Hg for all g in G, i.e., the sets of left and right cosets coincide. Normal subgroups (and only normal subgroups) can be used to construct quotient groups from a given group
https://en.wikipedia.org/wiki/Normal_subgroup http://mathworld.wolfram.com/NormalSubgroup.html http://www.math.niu.edu/~beachy/aaol/groups2.html http://crypto.stanford.edu/pbc/notes/group/normal.html http://crypto.stanford.edu/pbc/notes/group/normal.html http://www.math.ucr.edu/home/baez/normal.html http://www.ma.utexas.edu/users/rodin/343K/Subgroups.pdf https://en.wikipedia.org/wiki/Normal_subgroup
how is a subgroup normal
उपसमूह सामान्य कैसे है
एक सामान्य उपसमूह एक उपसमूह है जो उस समूह के सदस्यों द्वारा संयुग्मन के तहत अपरिवर्तनीय है जिसका यह एक हिस्सा है।
समूह जी के एक उपसमूह एन को एक सामान्य उपसमूह कहा जाता है यदि यह संयुग्मन के तहत अपरिवर्तनीय है; अर्थात्, N में प्रत्येक तत्व n और G में प्रत्येक g के लिए, तत्व gng -1 अभी भी N में है। किसी भी उपसमूह के लिए, निम्नलिखित स्थितियां सामान्यता के बराबर हैं। दूसरे शब्दों में, समूह G का एक उपसमूह H G में सामान्य है यदि और केवल यदि gH = Hg में सभी g के लिए G, अर्थात, बाएँ और दाएँ कोसेट के समुच्चय मेल खाते हैं। सामान्य उपसमूह। मान लीजिए किसी समूह का उपसमूह है. एक निश्चित तत्व द्वारा समानता परिवर्तन हमेशा में नहीं एक उपसमूह देता है। अगर। प्रत्येक तत्व के लिए, तब एक सामान्य उपसमूह कहा जाता है, लिखा जाता है (अर्फकेन 1985, पृष्ठ 242; स्कॉट 1987, पी। सामान्य उपसमूहों को अपरिवर्तनीय उपसमूह या स्व-संयुग्म उपसमूह के रूप में भी जाना जाता है (Arfken 1985, p. 242)। एबेलियन समूहों के सभी उपसमूह सामान्य हैं (अर्फकेन 1985, पृष्ठ 242)।  (a) K, G का एक सामान्य उपसमूह है। (b) समरूपता एक-से-एक है यदि और केवल यदि K = {e} है। (ए) यदि एच 1, जी 1 का उपसमूह है, तो (एच 1), जी 2 का एक उपसमूह है। यदि चालू है और H 1 G 1 में सामान्य है, तो G 2 में (H 1) सामान्य है। (b) यदि H 2, G 2 का उपसमूह है, तो। जी 1 का एक उपसमूह है।  ध्यान दें कि यदि $a$ एक समूह $G$ के सामान्य उपसमूह $H$ का एक तत्व है, तो $a$ का वर्ग $H$ में निहित है, ताकि एक सामान्य उपसमूह को $G$ के वर्गों के संघ के रूप में देखा जा सके, और इसके विपरीत, समूह स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करने वाले $G$ के वर्गों का कोई भी संघ $G$ का एक सामान्य उपसमूह बनाता है। उदाहरण: $S_4$ के वर्ग हैं। चूँकि $H h = h H$ किसी भी $h\in H$ के लिए हम देखते हैं कि $H$ $G$ के प्रत्येक तत्व के साथ आवागमन करता है और इसलिए सामान्य है। उदाहरण: डायहेड्रल समूह में $D_{2n}: \{ a, c | a^n = c^2 = (a c)^2 = 1 \}$ चक्रीय उपसमूह $\langle a \rangle$ सामान्य है। उदाहरण: प्रत्यावर्ती समूह $A_n$ $S_n$ में सामान्य है विशेष रूप से, यदि $H$ $G$ का कुछ उपसमूह है, तो हम $H$ को $G$ का एक सामान्य या अपरिवर्तनीय या स्व-संयुग्म उपसमूह कहते हैं। सामान्य तौर पर, यदि $A$ $G$ का कुछ उपसमूह है, तो फॉर्म $g^{-1} ए जी $ के समूह को $A $ के संयुग्म उपसमूह कहा जाता है। चूँकि $H h = h H$ किसी भी $h\in H$ के लिए हम देखते हैं कि $H$ $G$ के प्रत्येक तत्व के साथ आवागमन करता है और इसलिए सामान्य है। उदाहरण: डायहेड्रल समूह में $D_{2n}: \{ a, c | a^n = c^2 = (a c)^2 = 1 \}$ चक्रीय उपसमूह $\langle a \rangle$ सामान्य है। उदाहरण: प्रत्यावर्ती समूह $A_n$ $S_n में सामान्य है अर्थात्, रोटेशन के किसी दिए गए समूह का एक सामान्य उपसमूह प्रभावी रूप से एक उपसमूह है जो किसी अन्य उपसमूह की तरह नहीं दिखता है। उदाहरण के लिए, x-अक्ष के अनुदिश किसी घन के 4 घूर्णन का समूह मूलतः ल-अक्ष के अनुदिश किसी घन के 4 घूर्णन के समूह अथवा उस पदार्थ के लिए z-अक्ष के अनुदिश समान दिखाई देता है। (12 घुमावों का यह समूह ए 4 के लिए आइसोमोर्फिक है और ऊपर समूह 2 का एक सामान्य उपसमूह है। 3) समूह 3 सरल है, और इसलिए कोई सामान्य उपसमूह नहीं है। आप ध्यान देंगे कि इनमें से कोई भी उपसमूह ठोस के एक विशिष्ट शीर्ष, किनारे या चेहरे को चुनकर परिभाषित नहीं किया गया है, और फिर इसके बारे में कुछ जोर दे रहा है। उपसमूह परिभाषा: समूह जी का एक सबसेट एच जी का एक उपसमूह है यदि एच स्वयं जी में ऑपरेशन के तहत एक समूह है। नोट: प्रत्येक समूह G में कम से कम दो उपसमूह होते हैं: G स्वयं और उपसमूह {e }, जिसमें केवल पहचान तत्व होता है।  अमूर्त बीजगणित में, एक सामान्य उपसमूह एक उपसमूह है जो उस समूह के सदस्यों द्वारा संयुग्मन के तहत अपरिवर्तनीय है जिसका यह एक हिस्सा है। दूसरे शब्दों में, समूह G का एक उपसमूह H G में सामान्य है यदि और केवल यदि gH = Hg में सभी g के लिए G, अर्थात, बाएँ और दाएँ कोसेट के समुच्चय मेल खाते हैं। सामान्य उपसमूहों (और केवल सामान्य उपसमूहों) का उपयोग किसी दिए गए समूह से भागफल समूहों के निर्माण के लिए किया जा सकता है
उपसमूह सामान्य कसा आहे
जी गटातील उपसमूह एन ला सामान्य उपसमूह म्हणतात जर तो संयुग्मनाखाली अपरिवर्तनीय असेल; म्हणजे N मधील प्रत्येक मूलद्रव्य n आणि G मधील प्रत्येक G साठी जीएनजी −1 हे मूलद्रव्य अजूनही N मध्ये च आहे. आपण लिहितो. कोणत्याही उपसमूहासाठी, खालील अटी सामान्यतेच्या समतुल्य असतात. दुसर्या शब्दांत, जी गटातील उपसमूह एच जीमध्ये सामान्य आहे जर आणि जर जीमधील सर्व जीसाठी जीएच = एचजी असेल, म्हणजे डाव्या आणि उजव्या कोसेटचे संच जुळतात. सामान्य उपसमूह। एका गटाचा एक उपसमूह होऊ द्या. एका ठराविक मूलद्रव्याने केलेले साम्य परिवर्तन नेहमीच एक उपसमूह देते. जर। प्रत्येक घटकासाठी, मग लिहिलेला एक सामान्य उपसमूह आहे असे म्हटले जाते (आर्फकेन 1985, पृ. 242; स्कॉट 1987, पृष्ठ 25)। सामान्य उपसमूहांना अपरिवर्तनीय उपसमूह किंवा स्वयं-संयुग्मित उपसमूह म्हणून देखील ओळखले जाते (आर्फकेन 1985, पृष्ठ 242). एबेलियन गटांचे सर्व उपगट सामान्य आहेत (आर्फकेन 1985, पृष्ठ 242).  (अ) क हा जीचा एक सामान्य उपसमूह आहे. (ब) होमोमॉर्फिझम एक-एक आहे जर आणि फक्त के = {e} असेल तरच. (अ) जर एच १ हा जी १ चा उपसमूह असेल तर (एच १) हा जी २ चा उपसमूह आहे. जर जी १ मध्ये एच १ नॉर्मल असेल तर जी २ मध्ये (एच १) नॉर्मल आहे. (ब) जर एच २ हा जी २ चा उपसमूह असेल तर. जी 1 चा एक उपसमूह आहे.  लक्षात घ्या की जर $a$ हा एखाद्या समूहाच्या सामान्य उपसमूहाचा घटक असेल $H$ $G$), तर $a$ चा वर्ग $H$ मध्ये समाविष्ट आहे, जेणेकरून सामान्य उपसमूहाकडे $G$च्या वर्गांचे संघ म्हणून पाहिले जाऊ शकते आणि याउलट, $G$ च्या वर्गांचे कोणतेही संघ $G$चे सामान्य उपसमूह तयार करतात. उदाहरण: $S_4$ चे वर्ग आहेत. कोणत्याही $h\H$ साठी $H h = h H$ असल्याने आपण पाहतो की $H$ $G$ च्या प्रत्येक घटकासह प्रवास करतो आणि म्हणूनच सामान्य आहे. उदाहरण: डायहेड्रल गटात $D_{2n}: \{ a, c | a^n = c^2 = (a c)^2 = 1 \}$ चक्रीय उपसमूह $\लँगल ए \rंगल$ सामान्य आहे. उदाहरण: पर्यायी गट $A_n$ $S_n$ मध्ये सामान्य आहे विशेषतः, जर $H$ हा $G$चा काही उपसमूह असेल तर आपण $H$ ला $G$चा सामान्य किंवा अपरिवर्तनीय किंवा स्वयं-संयुग्मित उपसमूह म्हणतो. सर्वसाधारणपणे, जर $A$ $G$ चा काही उपसमूह असेल तर $g^{-1} ए जी $ फॉर्मच्या गटांना $A$चे संयुग्म उपसमूह म्हणतात. कोणत्याही $h\H$ साठी $H h = h H$ असल्याने आपण पाहतो की $H$ $G$ च्या प्रत्येक घटकासह प्रवास करतो आणि म्हणूनच सामान्य आहे. उदाहरण: डायहेड्रल गटात $D_{2n}: \{ a, c | a^n = c^2 = (a c)^2 = 1 \}$ चक्रीय उपसमूह $\लँगल ए \rंगल$ सामान्य आहे. उदाहरण: $A_n$ हा पर्यायी गट $S_n मध्ये सामान्य आहे म्हणजेच, परिभ्रमणांच्या दिलेल्या गटाचा सामान्य उपसमूह हा प्रभावीपणे एक उपसमूह आहे जो इतर कोणत्याही उपसमूहासारखा दिसत नाही. उदाहरणार्थ, क्ष-अक्षावरील घनाच्या ४ परिभ्रमणांचा समूह मुळात वाय-अक्षाच्या बाजूने किंवा त्या पदार्थासाठी झेड-अक्षाच्या बाजूने घनाच्या ४ परिभ्रमणांच्या गटासारखाच दिसतो. (१२ आवर्तनांचा हा गट ए ४ शी समरूप आहे आणि वरील गट २ चा सामान्य उपसमूह आहे.) 3) गट 3 सोपा आहे, आणि म्हणून सामान्य उपगट नाहीत. आपण लक्षात घ्याल की यापैकी कोणत्याही उपसमूहाची व्याख्या घनाचा विशिष्ट शिरोबिंदू, धार किंवा चेहरा निवडून आणि नंतर त्याबद्दल काहीतरी ठामपणे बोलून केली जात नाही. उपगटव्याख्या: गट जी चा उपसमूह एच हा जीचा एक उपसमूह आहे जर एच स्वत: जी मधील ऑपरेशनअंतर्गत एक गट आहे. टीप: प्रत्येक गट जी मध्ये कमीतकमी दोन उपगट असतात: जी स्वत: आणि उपगट { ई }, ज्यात फक्त ओळख घटक असतो.  अमूर्त बीजगणितात, सामान्य उपसमूह हा एक उपसमूह आहे जो ज्या गटाचा एक भाग आहे त्या गटाच्या सदस्यांद्वारे संयुग्मनाखाली अपरिवर्तनीय असतो. दुसर्या शब्दांत, जी गटातील उपसमूह एच जीमध्ये सामान्य आहे जर आणि जर जीमधील सर्व जीसाठी जीएच = एचजी असेल, म्हणजे डाव्या आणि उजव्या कोसेटचे संच जुळतात. सामान्य उपगट (आणि केवळ सामान्य उपगट) विशिष्ट गटातून कोशंट गट तयार करण्यासाठी वापरले जाऊ शकतात
सामान्य उपसमूह हा एक उपसमूह आहे जो ज्या गटाचा एक भाग आहे त्या गटाच्या सदस्यांद्वारे संयुग्मनाखाली अपरिवर्तनीय असतो.