A fractal is an object or quantity that displays self-similarity, in a somewhat technical sense, on all scales.
A fractal dimension is an index for characterizing fractal patterns or sets by quantifying their complexity as a ratio of the change in detail to the change in scale. Several types of fractal dimension can be measured theoretically and empirically (see Fig. 2).  Fractal. A fractal is an object or quantity that displays self-similarity, in a somewhat technical sense, on all scales. The object need not exhibit exactly the same structure at all scales, but the same type of structures must appear on all scales. A plot of the quantity on a log-log graph versus scale then gives a straight line, whose slope is said to be the fractal dimension From the Fractal FAQ: A fractal is a rough or fragmented geometric shape that can be subdivided in parts, each of which is (at least approximately) a reduced-size copy of the whole. Fractals are generally self-similar and independent of scale.. There are many mathematical structures that are fractals; e.g.  This shape and structure, later known as the Mandelbrot set, was an extraordinarily complex and beautiful example of a “fractal” object, fractal being the name coined by Mandelbrot in 1975 to describe such repeating or self-similar mathematical patterns.  ([2, Definition 3.1]) Let X be a topological space. A pre-fractal structure on X is a countable family of coverings called levels, γ={Γn:n∈N}γ={Γn:n∈N} , such that Uxγ is an open neighborhood base of x for each x∈Xx∈X. The main goal of this paper is to provide a generalized definition of fractal dimension for any space equipped with a fractal structure. This novel theory generalizes the classical box-counting dimension theory on the more general context of GF-spaces. A fractal is a rough or fragmented geometric shape that can be subdivided in parts, each of which is (at least approximately) a reduced-size copy of the whole. Fractals are generally self-similar and independent of scale. There are many mathematical structures that are fractals; e.g.  A Geometric pattern that is repeated at ever smaller scales to produce irregular shapes and surfaces that cannot be represented by classical geometry. Fractals are used especially in computer modeling of irregular patterns and structures in nature. [French from Latin.  The use of fractal structures provides a powerful tool to introduce new models for a definition of fractal dimension, since a fractal structure is a natural context in which the concept of fractal dimension can be performed. The main goal of this paper is to provide a generalized definition of fractal dimension for any space equipped with a fractal structure. This novel theory generalizes the classical box-counting dimension theory on the more general context of GF-spaces. The same fractal as above, magnified a 2000-fold, where the Mandelbrot set fine detail resembles the detail at low magnification. A fractal is a natural phenomenon or a mathematical set that exhibits a repeating pattern that displays at every scale. It is also known as expanding symmetry or evolving symmetry. If the replication is exactly the same at every scale, it is called a self-similar pattern. An example of this is the Menger Sponge. Fractals can also be nearly the same at different levels. This latter pattern is illustrated in the magnifications of the Mandelbrot set. Fractals also include the idea of a detailed pattern that repeats itself. Fractals are different from other geometric figures because of the way in which they scale
https://en.wikipedia.org/wiki/Fractal_dimension http://mathworld.wolfram.com/Fractal.html http://mathforum.org/alejandre/workshops/fractal/fractal3.html http://www-03.ibm.com/ibm/history/ibm100/us/en/icons/fractal/ http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0166864113003830 https://www.fractalus.com/fractal-art-faq/faq03.html http://users.wpi.edu/~goulet/fractals.htm http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0166864113003830 https://en.wikipedia.org/wiki/Fractal
what is a fractal structure
एक भग्न संरचना क्या है
एक भग्न एक वस्तु या मात्रा है जो कुछ हद तक तकनीकी अर्थों में, सभी पैमानों पर आत्म-समानता प्रदर्शित करता है।
एक भग्न आयाम भग्न पैटर्न या सेट को चिह्नित करने के लिए एक सूचकांक है, जो पैमाने में परिवर्तन के विस्तार से परिवर्तन के अनुपात के रूप में उनकी जटिलता को निर्धारित करता है। कई प्रकार के भग्न आयाम को सैद्धांतिक और अनुभवजन्य रूप से मापा जा सकता है (चित्र 2 देखें)।  भग्न। एक भग्न एक वस्तु या मात्रा है जो कुछ हद तक तकनीकी अर्थों में, सभी पैमानों पर आत्म-समानता प्रदर्शित करता है। वस्तु को सभी पैमानों पर बिल्कुल समान संरचना प्रदर्शित करने की आवश्यकता नहीं है, लेकिन सभी पैमानों पर एक ही प्रकार की संरचनाएं दिखाई देनी चाहिए। लॉग-लॉग ग्राफ बनाम स्केल पर मात्रा का एक प्लॉट तब एक सीधी रेखा देता है, जिसका ढलान भग्न आयाम कहा जाता है फ्रैक्टल एफएक्यू से: एक भग्न एक मोटा या खंडित ज्यामितीय आकार है जिसे भागों में विभाजित किया जा सकता है, जिनमें से प्रत्येक (कम से कम लगभग) पूरे की कम आकार की प्रतिलिपि है। भग्न आम तौर पर स्व-समान और पैमाने से स्वतंत्र होते हैं .. कई गणितीय संरचनाएं हैं जो भग्न हैं; उदाहरणस्‍वरूप।  यह आकार और संरचना, जिसे बाद में मंडेलब्रॉट सेट के रूप में जाना जाता है, एक "भग्न वस्तु" का एक असाधारण जटिल और सुंदर उदाहरण था, भग्न 1975 में मंडेलब्रॉट द्वारा इस तरह के दोहराए जाने वाले या स्व-समान गणितीय पैटर्न का वर्णन करने के लिए गढ़ा गया नाम था।  ([2, परिभाषा 3.1]) मान लीजिए X एक टोपोलॉजिकल स्पेस है। X पर एक पूर्व-भग्न संरचना स्तरों नामक कवरिंग का एक गणनीय परिवार है, γ={Γn:n∈N}γ={Γn:n∈N} , जैसे कि Uxγ प्रत्येक x∈Xx∈X के लिए x का एक खुला पड़ोस आधार है। इस पत्र का मुख्य लक्ष्य भग्न संरचना से लैस किसी भी स्थान के लिए भग्न आयाम की सामान्यीकृत परिभाषा प्रदान करना है। यह उपन्यास सिद्धांत जीएफ-रिक्त स्थान के अधिक सामान्य संदर्भ पर शास्त्रीय बॉक्स-गिनती आयाम सिद्धांत को सामान्यीकृत करता है। एक भग्न एक मोटा या खंडित ज्यामितीय आकार है जिसे भागों में विभाजित किया जा सकता है, जिनमें से प्रत्येक (कम से कम लगभग) पूरे की एक कम आकार की प्रति है। भग्न आम तौर पर स्व-समान और पैमाने से स्वतंत्र होते हैं। कई गणितीय संरचनाएं हैं जो भग्न हैं; उदाहरणस्‍वरूप।  एक ज्यामितीय पैटर्न जिसे अनियमित आकार और सतहों का उत्पादन करने के लिए छोटे पैमाने पर दोहराया जाता है जिसे शास्त्रीय ज्यामिति द्वारा दर्शाया नहीं जा सकता है। फ्रैक्टल्स का उपयोग विशेष रूप से प्रकृति में अनियमित पैटर्न और संरचनाओं के कंप्यूटर मॉडलिंग में किया जाता है। [लैटिन से फ्रेंच।  भग्न संरचनाओं का उपयोग भग्न आयाम की परिभाषा के लिए नए मॉडल पेश करने के लिए एक शक्तिशाली उपकरण प्रदान करता है, क्योंकि एक भग्न संरचना एक प्राकृतिक संदर्भ है जिसमें भग्न आयाम की अवधारणा का प्रदर्शन किया जा सकता है। इस पत्र का मुख्य लक्ष्य भग्न संरचना से लैस किसी भी स्थान के लिए भग्न आयाम की सामान्यीकृत परिभाषा प्रदान करना है। यह उपन्यास सिद्धांत जीएफ-रिक्त स्थान के अधिक सामान्य संदर्भ पर शास्त्रीय बॉक्स-गिनती आयाम सिद्धांत को सामान्यीकृत करता है। ऊपर के समान भग्न ने 2000 गुना बढ़ाया, जहां मंडेलब्रॉट सेट ठीक विवरण कम आवर्धन पर विस्तार जैसा दिखता है। एक भग्न एक प्राकृतिक घटना या एक गणितीय सेट है जो एक दोहराए जाने वाले पैटर्न को प्रदर्शित करता है जो हर पैमाने पर प्रदर्शित होता है। इसे समरूपता का विस्तार या समरूपता विकसित करने के रूप में भी जाना जाता है। यदि प्रतिकृति हर पैमाने पर बिल्कुल समान है, तो इसे स्व-समान पैटर्न कहा जाता है। इसका एक उदाहरण मेन्जर स्पंज है। भग्न भी विभिन्न स्तरों पर लगभग समान हो सकते हैं। यह बाद का पैटर्न मंडेलब्रॉट सेट के आवर्धन में चित्रित किया गया है। फ्रैक्टल्स में एक विस्तृत पैटर्न का विचार भी शामिल है जो खुद को दोहराता है। भग्न अन्य ज्यामितीय आंकड़ों से अलग होते हैं क्योंकि जिस तरह से वे पैमाने पर होते हैं
फ्रॅक्टल स्ट्रक्चर म्हणजे काय?
फ्रॅक्टल डायमेंशन म्हणजे फ्रॅक्टल पॅटर्न किंवा संचांची गुंतागुंत तपशीलवार बदल आणि स्केलमधील बदलाचे गुणोत्तर म्हणून मोजण्याचा निर्देशांक आहे. फ्रॅक्टल परिमाणाचे अनेक प्रकार सैद्धांतिक आणि प्रायोगिकदृष्ट्या मोजता येतात (आ. २ पहा).  फ्रॅक्टल. फ्रॅक्टल ही एक वस्तू किंवा मात्रा आहे जी काही प्रमाणात तांत्रिक अर्थाने, सर्व पातळ्यांवर स्व-साम्य दर्शविते. वस्तूला सर्व पातळ्यांवर एकच रचना दर्शविण्याची आवश्यकता नाही, परंतु सर्व स्केलवर एकाच प्रकारची रचना दिसली पाहिजे. त्यानंतर लॉग-लॉग ग्राफ विरुद्ध स्केल वरील प्रमाणाचे कथानक एक सरळ रेषा देते, ज्याच्या उताराला फ्रॅक्टल आयाम म्हणतात फ्रॅक्टल एफएक्यूमधून: फ्रॅक्टल हा एक रुक्ष किंवा खंडित भौमितिक आकार आहे जो भागांमध्ये विभागला जाऊ शकतो, त्यापैकी प्रत्येक (कमीतकमी) संपूर्णाची कमी आकाराची प्रत आहे. फ्रॅक्टल्स सामान्यत: स्वयं-समान आणि स्केलपासून स्वतंत्र असतात. फ्रॅक्टल असलेल्या अनेक गणिती रचना आहेत; उदा.  हा आकार आणि रचना, ज्याला नंतर मंडेलब्रोट संच म्हणून ओळखले जाते, "फ्रॅक्टल" वस्तूचे एक विलक्षण गुंतागुंतीचे आणि सुंदर उदाहरण होते, फ्रॅक्टल हे नाव अशा पुनरावृत्ती किंवा स्वयं-समान गणितीय नमुन्यांचे वर्णन करण्यासाठी 1975 मध्ये मंडेलब्रोटने तयार केले.  ([२, परिभाषा ३.१]) एक्स ला एक टोपोलॉजिकल स्पेस असू द्या. एक्सवरील प्री-फ्रॅक्टल स्ट्रक्चर म्हणजे लेव्हल्स, γ={γn:n∈N}γ={Γn:n∈N} या आवरणांचे मोजण्याजोगे कुटुंब आहे, जसे की एक्सγ हा प्रत्येक एक्स∈एक्सएक्स∈एक्ससाठी एक्सचा खुला शेजारचा आधार आहे. फ्रॅक्टल रचनेने सुसज्ज असलेल्या कोणत्याही जागेसाठी फ्रॅक्टल परिमाणाची सामान्यीकृत व्याख्या प्रदान करणे हे या पेपरचे मुख्य उद्दीष्ट आहे. हा कादंबरी सिद्धांत जीएफ-स्पेसच्या अधिक सामान्य संदर्भात शास्त्रीय बॉक्स-मोजणी आयाम सिद्धांताचे सामान्यीकरण करतो. फ्रॅक्टल हा एक रुक्ष किंवा खंडित भौमितिक आकार आहे जो भागांमध्ये विभागला जाऊ शकतो, त्यापैकी प्रत्येक (कमीतकमी) संपूर्णाची कमी आकाराची प्रत आहे. फ्रॅक्टल्स सामान्यत: स्वयं-समान आणि स्केलपासून स्वतंत्र असतात. फ्रॅक्टल असलेल्या अनेक गणिती रचना आहेत; उदा.  एक भौमितिक नमुना जो अनियमित आकार आणि पृष्ठभाग तयार करण्यासाठी कधीही लहान स्केलवर पुनरावृत्ती केली जाते जी शास्त्रीय भूमितीद्वारे दर्शविली जाऊ शकत नाही. फ्रॅक्टल्सचा वापर विशेषत: निसर्गातील अनियमित नमुने आणि संरचनांच्या संगणक मॉडेलिंगमध्ये केला जातो. [लॅटिन मधून फ्रेंच.  फ्रॅक्टल संरचनेचा वापर फ्रॅक्टल परिमाणाच्या व्याख्येसाठी नवीन मॉडेल्स सादर करण्यासाठी एक शक्तिशाली साधन प्रदान करतो, कारण फ्रॅक्टल रचना हा एक नैसर्गिक संदर्भ आहे ज्यामध्ये फ्रॅक्टल परिमाणाची संकल्पना केली जाऊ शकते. फ्रॅक्टल रचनेने सुसज्ज असलेल्या कोणत्याही जागेसाठी फ्रॅक्टल परिमाणाची सामान्यीकृत व्याख्या प्रदान करणे हे या पेपरचे मुख्य उद्दीष्ट आहे. हा कादंबरी सिद्धांत जीएफ-स्पेसच्या अधिक सामान्य संदर्भात शास्त्रीय बॉक्स-मोजणी आयाम सिद्धांताचे सामान्यीकरण करतो. वरीलप्रमाणेच फ्रॅक्टलने २००० पटीने वाढ केली, जिथे मॅन्डेलब्रोट सेट बारीक तपशील कमी मॅग्निफिकेशनवर तपशीलासारखा दिसतो. फ्रॅक्टल ही एक नैसर्गिक घटना किंवा गणिती संच आहे जो प्रत्येक स्केलवर प्रदर्शित होणारा पुनरावृत्ती पॅटर्न दर्शवितो. हे विस्तारित समरूपता किंवा विकसित समरूपता म्हणून देखील ओळखले जाते. जर प्रतिकृती प्रत्येक स्केलवर अगदी समान असेल तर त्याला स्वयं-समान पॅटर्न म्हणतात. याचे उदाहरण म्हणजे मेंगर स्पंज. फ्रॅक्टल्स देखील वेगवेगळ्या पातळ्यांवर जवळजवळ समान असू शकतात. हा नंतरचा पॅटर्न मंडेलब्रोट संचाच्या आवर्धनांमध्ये स्पष्ट केला आहे. फ्रॅक्टल्समध्ये स्वत: ची पुनरावृत्ती करणार्या तपशीलवार पॅटर्नची कल्पना देखील समाविष्ट आहे. फ्रॅक्टल्स इतर भौमितिक आकृत्यांपेक्षा भिन्न आहेत कारण ते ज्या प्रकारे स्केल करतात
फ्रॅक्टल ही एक वस्तू किंवा मात्रा आहे जी काही प्रमाणात तांत्रिक अर्थाने, सर्व पातळ्यांवर स्व-साम्य दर्शविते.