set of line elements with a given reference orientation that do not change length and orientation during the deformation. A simple shear deformation is defined as an isochoric plane deformation in which there is a set of line elements with a given reference orientation that do not change length and orientation during the deformation.
It is defined as the ratio between the final length ℓ and the initial length L of the material line. The extension ratio is approximately related to the engineering strain by. This equation implies that the normal strain is zero, so that there is no deformation when the stretch is equal to unity. Deformation implies the change in shape and/or size of the body from an initial or undeformed configuration to a current or deformed configuration (Figure 1). If after a displacement of the continuum there is a relative displacement between particles, a deformation has occurred. The isochoric deformation gradient is defined as, resulting in the isochoric deformation gradient having a determinant of 1, in other words it is volume stretch free. Using this one can subsequently define the isochoric left Cauchy–Green deformation tensor tensor. For isotropic hyperelastic materials, the Cauchy stress can be expressed in terms of the invariants of the left Cauchy–Green deformation tensor (or right Cauchy–Green deformation tensor). The invariants of the isochoric (modified) elastic Green-Lagrange strain tensor are related to the invariants of the isochoric-elastic right Cauchy-Green deformation tensor. It turns out to be convenient for some classes of hyperelastic materials to split the strain energy density into volumetric (also called dilatational) and isochoric (also called distortional or volume-preserving) contributions. Deformation in continuum mechanics is the transformation of a body from a reference configuration to a current configuration. A configuration is a set containing the positions of all particles of the body. Deformation implies the change in shape and/or size of the body from an initial or undeformed configuration to a current or deformed configuration (Figure 1). If after a displacement of the continuum there is a relative displacement between particles, a deformation has occurred. In the special case of φ = 1, the strain energy reduces to a similar form of the Neo-Hookean model. Gao. Gao proposed (Ref. 16) a simple hyperelastic material where the strain energy density is defined by two parameters, a and n, and two invariants of the elastic right Cauchy-Green deformation tensors C el : The Ogden model is empirical, in the sense that it does not relate the material parameters α p and μ p to physical phenomena. The parameters α p and μ p are obtained by curve-fitting measured data, which can be difficult for N. with F evol as the volumetric elastic deformation (a diagonal tensor) and the isochoric elastic deformation gradient. Isochoric deformation means that the volume ratio is kept constant during deformation, so the isochoric elastic deformation is computed by scaling it by the elastic volume ratio. The elastic volume ratio is defined by. It turns out to be convenient for some classes of hyperelastic materials to split the strain energy density into volumetric (also called dilatational) and isochoric (also called distortional or volume-preserving) contributions. The simplest hyperelastic material model is the Saint Venant–Kirchhoff model which is just an extension of the linear elastic material model to the nonlinear regime. This model has the form. where is the second Piola–Kirchhoff stress and is the Lagrangian Green strain, and and are the Lame lamé. constants For isotropic hyperelastic materials, the Cauchy stress can be expressed in terms of the invariants of the left Cauchy–Green deformation tensor (or right Cauchy–Green deformation tensor). The most common example of this kind of material is rubber, whose stress-strain relationship can be defined as non-linearly elastic, isotropic, incompressible and generally independent of strain rate. Hyperelasticity provides a means of modeling the stress-strain behavior of such materials. For isotropic hyperelastic materials, the Cauchy stress can be expressed in terms of the invariants of the left Cauchy–Green deformation tensor (or right Cauchy–Green deformation tensor). A simple shear deformation is defined as an isochoric plane deformation in which there is a set of line elements with a given reference orientation that do not change length and orientation during the deformation. If is the fixed reference orientation in which line elements do not deform during the deformation then and. Deformation implies the change in shape and/or size of the body from an initial or undeformed configuration to a current or deformed configuration (Figure 1). If after a displacement of the continuum there is a relative displacement between particles, a deformation has occurred.
https://en.wikipedia.org/wiki/Deformation_(mechanics) https://en.wikipedia.org/wiki/Hyperelastic_material http://hpc.mtech.edu/comsol/html/nsm/nsm_ug_theory.3.09.html https://en.wikipedia.org/wiki/Deformation_(mechanics) http://hpc.mtech.edu/comsol/html/nsm/nsm_ug_theory.3.11.html http://hpc.mtech.edu/comsol/html/nsm/nsm_ug_theory.3.09.html https://en.wikipedia.org/wiki/Hyperelastic_material https://en.wikipedia.org/wiki/Hyperelastic_material https://en.wikipedia.org/wiki/Deformation_(mechanics)
define isochoric deformation
आइसोकोरिक विरूपण को परिभाषित करें
किसी दिए गए संदर्भ अभिविन्यास के साथ लाइन तत्वों का सेट जो विरूपण के दौरान लंबाई और अभिविन्यास को नहीं बदलता है।
इसे सामग्री रेखा की अंतिम लंबाई एल और प्रारंभिक लंबाई एल के बीच के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है। विस्तार अनुपात लगभग इंजीनियरिंग तनाव से संबंधित है। इस समीकरण का तात्पर्य है कि सामान्य तनाव शून्य है, ताकि खिंचाव एकता के बराबर होने पर कोई विरूपण न हो। विरूपण का तात्पर्य प्रारंभिक या विकृत विन्यास से वर्तमान या विकृत विन्यास(चित्रा 1)के लिए शरीर के आकार और/या आकार में परिवर्तन से है। यदि सातत्य के विस्थापन के बाद कणों के बीच एक सापेक्ष विस्थापन होता है, तो एक विरूपण हुआ है। आइसोकोरिक विरूपण ढाल को इस प्रकार परिभाषित किया गया है, जिसके परिणामस्वरूप आइसोकोरिक विरूपण ढाल में 1 का निर्धारक होता है, दूसरे शब्दों में यह आयतन खिंचाव मुक्त होता है। इसका उपयोग करके बाद में आइसोकोरिक बाएं कॉची-ग्रीन विरूपण टेंसर को परिभाषित किया जा सकता है। आइसोट्रोपिक हाइपरलास्टिक सामग्री के लिए, कॉची तनाव को बाएं कॉची-ग्रीन विरूपण टेंसर (या दाएं कॉची-ग्रीन विरूपण टेंसर) के अपरिवर्तनीय के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है। आइसोकोरिक (संशोधित) लोचदार ग्रीन-लैग्रेंज स्ट्रेन टेंसर के इनवेरिएंट आइसोकोरिक-इलास्टिक राइट कॉची-ग्रीन विरूपण टेंसर के इनवेरिएंट से संबंधित हैं। यह हाइपरलास्टिक सामग्री के कुछ वर्गों के लिए तनाव ऊर्जा घनत्व को वॉल्यूमेट्रिक (जिसे पतला भी कहा जाता है) और आइसोकोरिक (जिसे विकृत या वॉल्यूम-संरक्षण भी कहा जाता है) योगदान में विभाजित करने के लिए सुविधाजनक हो जाता है। सातत्य यांत्रिकी में विरूपण एक संदर्भ विन्यास से वर्तमान विन्यास में एक शरीर का परिवर्तन है। एक विन्यास एक सेट है जिसमें शरीर के सभी कणों की स्थिति होती है। विरूपण का तात्पर्य प्रारंभिक या विकृत विन्यास से वर्तमान या विकृत विन्यास(चित्रा 1)के लिए शरीर के आकार और/या आकार में परिवर्तन से है। यदि सातत्य के विस्थापन के बाद कणों के बीच एक सापेक्ष विस्थापन होता है, तो एक विरूपण हुआ है। φ = 1 के विशेष मामले में, तनाव ऊर्जा नव-हुकियन मॉडल के समान रूप में कम हो जाती है। गाओ। गाओ ने प्रस्तावित (रेफरी 16) एक साधारण हाइपरलास्टिक सामग्री जहां तनाव ऊर्जा घनत्व को दो मापदंडों, ए और एन, और लोचदार दाएं कॉची-ग्रीन विरूपण टेंसर के दो इनवेरिएंट द्वारा परिभाषित किया गया है: ओग्डेन मॉडल अनुभवजन्य है, इस अर्थ में कि यह भौतिक मापदंडों से संबंधित नहीं है α पी और μ पी भौतिक घटनाओं के लिए। पी और μ पी α पैरामीटर वक्र-फिटिंग मापा डेटा द्वारा प्राप्त किए जाते हैं, जो एन के लिए मुश्किल हो सकता है। एफ इवोल के साथ वॉल्यूमेट्रिक लोचदार विरूपण (एक विकर्ण टेंसर) और आइसोकोरिक लोचदार विरूपण ढाल के रूप में। आइसोकोरिक विरूपण का अर्थ है कि विरूपण के दौरान मात्रा अनुपात स्थिर रखा जाता है, इसलिए आइसोकोरिक लोचदार विरूपण की गणना लोचदार मात्रा अनुपात द्वारा इसे स्केल करके की जाती है। लोचदार मात्रा अनुपात द्वारा परिभाषित किया गया है। यह हाइपरलास्टिक सामग्री के कुछ वर्गों के लिए तनाव ऊर्जा घनत्व को वॉल्यूमेट्रिक (जिसे पतला भी कहा जाता है) और आइसोकोरिक (जिसे विकृत या वॉल्यूम-संरक्षण भी कहा जाता है) योगदान में विभाजित करने के लिए सुविधाजनक हो जाता है। सबसे सरल हाइपरलास्टिक सामग्री मॉडल सेंट वेनेंट-किरचॉफ मॉडल है जो नॉनलाइनियर शासन के लिए रैखिक लोचदार सामग्री मॉडल का विस्तार है। इस मॉडल का रूप है। जहां दूसरा पियोला-किरचॉफ तनाव है और लैग्रेंजियन ग्रीन स्ट्रेन है, और और लंगड़ा लंगड़ा है। आइसोट्रोपिक हाइपरलास्टिक सामग्री के लिए, कॉची तनाव को बाएं कॉची-ग्रीन विरूपण टेंसर (या दाएं कॉची-ग्रीन विरूपण टेंसर) के अपरिवर्तनीय के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है। इस तरह की सामग्री का सबसे आम उदाहरण रबर है, जिसका तनाव-तनाव संबंध गैर-रैखिक रूप से लोचदार, आइसोट्रोपिक, असंगत और आम तौर पर तनाव दर से स्वतंत्र के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। हाइपरलास्टिसिटी ऐसी सामग्रियों के तनाव-तनाव व्यवहार को मॉडलिंग करने का एक साधन प्रदान करती है। आइसोट्रोपिक हाइपरलास्टिक सामग्री के लिए, कॉची तनाव को बाएं कॉची-ग्रीन विरूपण टेंसर (या दाएं कॉची-ग्रीन विरूपण टेंसर) के अपरिवर्तनीय के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है। एक साधारण कतरनी विरूपण को एक आइसोकोरिक विमान विरूपण के रूप में परिभाषित किया गया है जिसमें किसी दिए गए संदर्भ अभिविन्यास के साथ रेखा तत्वों का एक सेट होता है जो विरूपण के दौरान लंबाई और अभिविन्यास को नहीं बदलता है। यदि निश्चित संदर्भ अभिविन्यास है जिसमें रेखा तत्व विरूपण के दौरान ख़राब नहीं होते हैं तो और। विरूपण का तात्पर्य प्रारंभिक या विकृत विन्यास से वर्तमान या विकृत विन्यास(चित्रा 1)के लिए शरीर के आकार और/या आकार में परिवर्तन से है। यदि सातत्य के विस्थापन के बाद कणों के बीच एक सापेक्ष विस्थापन होता है, तो एक विरूपण हुआ है।
आयसोकोरिक विकृती परिभाषित करा
भौतिक रेषेची अंतिम लांबी एल आणि प्रारंभिक लांबी एल यांच्यातील गुणोत्तर म्हणून त्याची व्याख्या केली जाते. विस्तार गुणोत्तर अंदाजे अभियांत्रिकी ताणाशी संबंधित आहे. या समीकरणाचा अर्थ असा होतो की सामान्य ताण शून्य आहे, जेणेकरून ताण एकतेच्या बरोबरीचा असेल तेव्हा विकृती होत नाही. विकृती म्हणजे शरीराच्या आकारात आणि / किंवा आकारात प्रारंभिक किंवा विकृत कॉन्फिगरेशनपासून वर्तमान किंवा विकृत कॉन्फिगरेशनमध्ये बदल (आकृती 1). सातत्याच्या विस्थापनानंतर कणांमध्ये सापेक्ष विस्थापन झाल्यास विकृती निर्माण झाली आहे. आयसोकोरिक विरूपण ग्रेडिएंट ची व्याख्या अशी केली जाते, परिणामी आयसोकोरिक विरूपण ग्रेडिएंटमध्ये 1 चा निर्धारक असतो, दुसर्या शब्दात तो व्हॉल्यूम स्ट्रेच फ्री असतो. याचा वापर करून नंतर आयसोकोरिक डाव्या कौची-ग्रीन विरूपण टेन्सर टेन्सरची व्याख्या केली जाऊ शकते. आयसोट्रोपिक हायपरइलास्टिक सामग्रीसाठी, कौची ताण डाव्या कौची-ग्रीन विरूपण टेन्सर (किंवा उजव्या कौची-ग्रीन विरूपण टेन्सर) च्या अपरिवर्तनीयतेच्या दृष्टीने व्यक्त केला जाऊ शकतो. आयसोकोरिक (सुधारित) लवचिक ग्रीन-लग्रांज स्ट्रेन टेन्सरचे अपरिवर्तनीय आयसोकोरिक-लवचिक उजव्या कौची-ग्रीन विरूपण टेन्सरच्या अपरिवर्तनीयांशी संबंधित आहेत. हायपरइलास्टिक सामग्रीच्या काही वर्गांसाठी ताण ऊर्जेची घनता वॉल्यूमेट्रिक (ज्याला डिलेशनल देखील म्हणतात) आणि आयसोकोरिक (ज्याला विकृत किंवा व्हॉल्यूम-संरक्षित देखील म्हणतात) योगदानांमध्ये विभाजित करणे सोयीस्कर ठरते. सातत्य यांत्रिकीतील विकृती म्हणजे संदर्भ कॉन्फिगरेशनमधून वर्तमान कॉन्फिगरेशनमध्ये शरीराचे रूपांतर होय. कॉन्फिगरेशन म्हणजे शरीराच्या सर्व कणांची स्थिती असलेला संच. विकृती म्हणजे शरीराच्या आकारात आणि / किंवा आकारात प्रारंभिक किंवा विकृत कॉन्फिगरेशनपासून वर्तमान किंवा विकृत कॉन्फिगरेशनमध्ये बदल (आकृती 1). सातत्याच्या विस्थापनानंतर कणांमध्ये सापेक्ष विस्थापन झाल्यास विकृती निर्माण झाली आहे. φ = १ च्या विशेष प्रकरणात, ताण ऊर्जा निओ-हुकीन मॉडेलच्या समान स्वरूपात कमी होते. गाओ. गाओ यांनी एक साधी हायपरइलास्टिक सामग्री प्रस्तावित केली (संदर्भ 16) जिथे ताण ऊर्जा घनता दोन मापदंडांद्वारे परिभाषित केली जाते, ए आणि एन आणि लवचिक उजव्या कौची-ग्रीन विरूपण टेन्सर सी एल : ओग्डेन मॉडेल अनुभवजन्य आहे, या अर्थाने की ते पी आणि μ पी α भौतिक मापदंडांचा भौतिक घटनांशी संबंध ठेवत नाही. पी आणि μ पी α मापदंड वक्र-फिटिंग मोजलेल्या डेटाद्वारे प्राप्त केले जातात, जे एनसाठी कठीण असू शकते. वॉल्यूमेट्रिक लवचिक विकृती (विकर्ण टेन्सर) आणि आयसोकोरिक लवचिक विकृती प्रवणता म्हणून एफ इव्होलसह. आयसोकोरिक विरूपण म्हणजे विकृती दरम्यान व्हॉल्यूम गुणोत्तर स्थिर ठेवले जाते, म्हणून आयसोकोरिक लवचिक विकृतीची गणना लवचिक व्हॉल्यूम गुणोत्तराने स्केल करून केली जाते. लवचिक व्हॉल्यूम गुणोत्तर याद्वारे परिभाषित केले जाते. हायपरइलास्टिक सामग्रीच्या काही वर्गांसाठी ताण ऊर्जेची घनता वॉल्यूमेट्रिक (ज्याला डिलेशनल देखील म्हणतात) आणि आयसोकोरिक (ज्याला विकृत किंवा व्हॉल्यूम-संरक्षित देखील म्हणतात) योगदानांमध्ये विभाजित करणे सोयीस्कर ठरते. सर्वात सोपे हायपरइलास्टिक मटेरियल मॉडेल म्हणजे सेंट व्हेनंट-किर्चॉफ मॉडेल जे नॉनलाइनर राजवटीसाठी रेखीय लवचिक सामग्री मॉडेलचा विस्तार आहे. या मॉडेलला फॉर्म आहे. दुसरा पिओला-किर्चॉफ ताण कोठे आहे आणि लॅग्रांगियन ग्रीन स्ट्रेन आहे आणि ते लंगडे लेमे आहेत. स्थिरांक आयसोट्रोपिक हायपरइलास्टिक सामग्रीसाठी, कौची ताण डाव्या कौची-ग्रीन विरूपण टेन्सर (किंवा उजव्या कौची-ग्रीन विरूपण टेन्सर) च्या अपरिवर्तनीयतेच्या दृष्टीने व्यक्त केला जाऊ शकतो. या प्रकारच्या सामग्रीचे सर्वात सामान्य उदाहरण म्हणजे रबर, ज्याचे ताण-ताण संबंध नॉन-रेखीयदृष्ट्या लवचिक, आयसोट्रोपिक, संकुचित आणि सामान्यत: ताण दरापासून स्वतंत्र म्हणून परिभाषित केले जाऊ शकतात. हायपरइलास्टिसिटी अशा सामग्रीच्या ताण-ताण वर्तनाचे मॉडेलिंग करण्याचे एक साधन प्रदान करते. आयसोट्रोपिक हायपरइलास्टिक सामग्रीसाठी, कौची ताण डाव्या कौची-ग्रीन विरूपण टेन्सर (किंवा उजव्या कौची-ग्रीन विरूपण टेन्सर) च्या अपरिवर्तनीयतेच्या दृष्टीने व्यक्त केला जाऊ शकतो. साध्या कतरणी विकृतीची व्याख्या आयसोकोरिक प्लेन विकृती म्हणून केली जाते ज्यामध्ये दिलेल्या संदर्भ अभिमुखतेसह रेषा घटकांचा एक संच असतो जो विकृतीदरम्यान लांबी आणि अभिमुखता बदलत नाही. जर निश्चित संदर्भ अभिमुखता असेल ज्यामध्ये विकृतीदरम्यान रेषा घटक विकृत होत नाहीत आणि विकृती म्हणजे शरीराच्या आकारात आणि / किंवा आकारात प्रारंभिक किंवा विकृत कॉन्फिगरेशनपासून वर्तमान किंवा विकृत कॉन्फिगरेशनमध्ये बदल (आकृती 1). सातत्याच्या विस्थापनानंतर कणांमध्ये सापेक्ष विस्थापन झाल्यास विकृती निर्माण झाली आहे.
दिलेल्या संदर्भ अभिमुखतेसह रेषा घटकांचा संच जो विकृतीदरम्यान लांबी आणि अभिमुखता बदलत नाही.