It is a general type of statistical distribution that is related to the beta distribution and arises naturally in processes for which the waiting times between Poisson distributed events are relevant.
In particular, the arrival times in the Poisson process have gamma distributions, and the chi-square distribution in statistics is a special case of the gamma distribution. Also, the gamma distribution is widely used to model physical quantities that take positive values. The. \(\Gamma \) is defined as follows \[ \Gamma(k) = \int_0^\infty x^{k-1} e^{-x} \, dx, \quad k \in (0, \infty) \] The function is well defined, that is, the integral converges for any \(k \gt 0\). Template:Probability distribution In probability theory and statistics, the gamma distribution is a two-parameter family of continuous probability distributions. It has a scale parameter θ and a shape parameter k. 1 If is an integer, the gamma distribution is an Erlang distribution and is the probability distribution of the waiting time until the-th arrival in a one-dimensional Poisson process with intensity 1/θ. 2  If, then X has a Maxwell-Boltzmann distribution with parameter a. In probability theory and statistics, the gamma distribution is a two-parameter family of continuous probability distributions. The common exponential distribution and chi-squared distribution are special cases of the gamma distribution. There are three different parametrizations in common use: 1  With a shape parameter k and a scale parameter θ. 2  With a shape parameter α = k and an inverse scale parameter β = 1/θ, called a rate parameter. In Bayesian inference, the gamma distribution is the conjugate prior to many likelihood distributions: the Poisson, exponential, normal (with known mean), Pareto, gamma with known shape σ, inverse gamma with known shape parameter, and Gompertz with known scal The probability density function of the gamma distribution can be expressed in terms of the gamma function : (This parameterization is used in the infobox and the plots.). Alternatively, the gamma distribution can be parameterized in terms of a shape parameter and an inverse scale parameter, called a rate parameter: 1 If is an integer, the gamma distribution is an Erlang distribution and is the probability distribution of the waiting time until the-th arrival in a one-dimensional Poisson process with intensity 1/θ. 2  If, then X has a Maxwell-Boltzmann distribution with parameter a. Probability Density Function. The general formula for the probability density function of the gamma distribution is. where γ is the shape parameter, μ is the location parameter, β is the scale parameter, and γ is the gamma function which has the formula. The equation for the standard gamma distribution reduces to. Since the general form of probability functions can be expressed in terms of the standard distribution, all subsequent formulas in this section are given for the standard form of the function. Cumulative Distribution Function. The formula for the cumulative distribution function of the gamma distribution is. where γ is the gamma function defined above and \(\Gamma_{x}(a)\) is the incomplete gamma function. The incomplete gamma function has the formula. The equation for the standard gamma distribution reduces to. Since the general form of probability functions can be expressed in terms of the standard distribution, all subsequent formulas in this section are given for the standard form of the function. Definition. The. \(\Gamma \) is defined as follows \[ \Gamma(k) = \int_0^\infty x^{k-1} e^{-x} \, dx, \quad k \in (0, \infty) \] The function is well defined, that is, the integral converges for any \(k \gt 0\). On the other hand, the integral diverges to \(\infty \) for \(k \le 0 \) This is the probability function for the gamma distribution, and the corresponding distribution function is. (14). where is a regularized gamma function. It is implemented in the Wolfram Language as the function. [ alpha, theta ]. (39). (40). The sum therefore has the distribution. (41). which is a gamma distribution, and the ratio has the distribution. (42). (43). (44). where is the beta function, which is a beta distribution. If and are gamma variates with parameters and, the is a variate with a beta prime distribution with parameters and. The Gamma Distribution. The gamma distribution is a continuous probability distribution that is popular for a range of phylogenetic applications. The gamma distribution is popular in part because its a bit of a shape shifter that can assume a range of shapes, from exponential to normal.  A gamma distribution is a general type of statistical distribution that is related to the beta distribution and arises naturally in processes for which the waiting times between Poisson distributed events are relevant. Gamma distributions have two free parameters, labeled and, a few of which are illustrated above. (39). (40). The sum therefore has the distribution. (41). which is a gamma distribution, and the ratio has the distribution. (42). (43). (44). where is the beta function, which is a beta distribution. If and are gamma variates with parameters and, the is a variate with a beta prime distribution with parameters and.
http://www.math.uah.edu/stat/special/Gamma.html http://math.wikia.com/wiki/Gamma_distribution https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_distribution http://math.wikia.com/wiki/Gamma_distribution http://itl.nist.gov/div898/handbook/eda/section3/eda366b.htm http://itl.nist.gov/div898/handbook/eda/section3/eda366b.htm http://www.math.uah.edu/stat/special/Gamma.html http://mathworld.wolfram.com/GammaDistribution.html http://treethinkers.org/tutorials/the-gamma-distribution/ http://mathworld.wolfram.com/GammaDistribution.html
what is gamma distribution
गामा वितरण क्या है
यह एक सामान्य प्रकार का सांख्यिकीय वितरण है जो बीटा वितरण से संबंधित है और स्वाभाविक रूप से उन प्रक्रियाओं में उत्पन्न होता है जिनके लिए पॉइसन वितरित घटनाओं के बीच प्रतीक्षा समय प्रासंगिक है।
विशेष रूप से, पॉइसन प्रक्रिया में आगमन के समय में गामा वितरण होता है, और आंकड़ों में ची-स्क्वायर वितरण गामा वितरण का एक विशेष मामला है। इसके अलावा, गामा वितरण का व्यापक रूप से भौतिक मात्रा को मॉडल करने के लिए उपयोग किया जाता है जो सकारात्मक मूल्य लेते हैं। वही। \(\Gamma \) को निम्नानुसार परिभाषित किया गया है \[ \Gamma(k) = \int_0^\infty x^{k-1} e^{-x} \, dx, \quad k \in (0, \infty) \] फ़ंक्शन अच्छी तरह से परिभाषित है, अर्थात, किसी भी \(k \gt 0\) के लिए अभिन्न अभिसरण। साँचा:संभाव्यता वितरण संभाव्यता सिद्धांत और सांख्यिकी में, गामा वितरण निरंतर संभाव्यता वितरण का एक दो-पैरामीटर परिवार है। इसमें एक स्केल पैरामीटर θ और एक आकार पैरामीटर k है। 1 यदि एक पूर्णांक है, तो गामा वितरण एक एर्लांग वितरण है और तीव्रता 1/θ के साथ एक-आयामी पॉइसन प्रक्रिया में वें आगमन तक प्रतीक्षा समय का प्रायिकता वितरण है। 2 यदि, तो X में पैरामीटर a के साथ मैक्सवेल-बोल्ट्जमैन वितरण है। संभाव्यता सिद्धांत और सांख्यिकी में, गामा वितरण निरंतर संभाव्यता वितरण का एक दो-पैरामीटर परिवार है। सामान्य घातीय वितरण और ची-वर्ग वितरण गामा वितरण के विशेष मामले हैं। आम उपयोग में तीन अलग-अलग पैरामेट्रिज़ेशन हैं: 1 एक आकृति पैरामीटर k और एक स्केल पैरामीटर θ के साथ। 2 एक आकृति पैरामीटर के साथ α = k और एक व्युत्क्रम स्केल पैरामीटर β = 1/θ, जिसे दर पैरामीटर कहा जाता है। बायेसियन अनुमान में, गामा वितरण कई संभावना वितरणों से पहले संयुग्म है: पॉइसन, घातीय, सामान्य (ज्ञात माध्य के साथ), पेरेटो, ज्ञात आकार σ के साथ गामा, ज्ञात आकार पैरामीटर के साथ व्युत्क्रम गामा, और ज्ञात स्कैल के साथ गोम्पर्ट्ज़ गामा वितरण के संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन को गामा फ़ंक्शन के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है: (यह पैरामीटराइजेशन इन्फोबॉक्स और प्लॉट में उपयोग किया जाता है। वैकल्पिक रूप से, गामा वितरण को एक आकार पैरामीटर और एक व्युत्क्रम पैमाने पैरामीटर के संदर्भ में पैरामीटर किया जा सकता है, जिसे दर पैरामीटर कहा जाता है: 1 यदि एक पूर्णांक है, तो गामा वितरण एक एर्लांग वितरण है और प्रतीक्षा समय का प्रायिकता वितरण है जब तक कि तीव्रता 1/θ के साथ एक-आयामी पॉइसन प्रक्रिया में वें आगमन तक प्रतीक्षा समय का प्रायिकता वितरण है। 2 यदि,  तो एक्स में पैरामीटर ए के साथ मैक्सवेल-बोल्ट्जमैन वितरण है। संभाव्यता घनत्व समारोह। गामा वितरण के संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन के लिए सामान्य सूत्र है। जहां γ आकार पैरामीटर है, μ स्थान पैरामीटर है, β स्केल पैरामीटर है, और γ गामा फ़ंक्शन है जिसमें सूत्र है। मानक गामा वितरण के लिए समीकरण कम हो जाता है। चूंकि संभाव्यता कार्यों के सामान्य रूप को मानक वितरण के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है, इसलिए इस खंड में बाद के सभी सूत्र फ़ंक्शन के मानक रूप के लिए दिए गए हैं। संचयी वितरण फ़ंक्शन। गामा वितरण के संचयी वितरण फ़ंक्शन का सूत्र है। जहाँ γ गामा फ़ंक्शन ऊपर परिभाषित है और \(\Gamma_{x}(a)\) अपूर्ण गामा फ़ंक्शन है। अपूर्ण गामा फ़ंक्शन में सूत्र है। मानक गामा वितरण के लिए समीकरण कम हो जाता है। चूंकि संभाव्यता कार्यों के सामान्य रूप को मानक वितरण के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है, इसलिए इस खंड में बाद के सभी सूत्र फ़ंक्शन के मानक रूप के लिए दिए गए हैं। परिभाषा। वही। \(\Gamma \) को निम्नानुसार परिभाषित किया गया है \[ \Gamma(k) = \int_0^\infty x^{k-1} e^{-x} \, dx, \quad k \in (0, \infty) \] फ़ंक्शन अच्छी तरह से परिभाषित है, अर्थात, किसी भी \(k \gt 0\) के लिए अभिन्न अभिसरण। दूसरी ओर, अभिन्न \(\infty \) के लिए \(k \le 0 \) में विचलन करता है यह गामा वितरण के लिए संभाव्यता फ़ंक्शन है, और संबंधित वितरण फ़ंक्शन है। (14). जहां एक नियमित गामा फ़ंक्शन है। इसे फ़ंक्शन के रूप में वोल्फ्राम भाषा में लागू किया गया है। [अल्फा, थीटा]। (39). (40). इसलिए राशि का वितरण होता है। (41). जो एक गामा वितरण है, और अनुपात में वितरण है। (42). (43). बीटा फ़ंक्शन कहां है, जो एक बीटा वितरण है। यदि और गामा पैरामीटर के साथ भिन्न होता है और, पैरामीटर के साथ बीटा प्राइम वितरण के साथ एक भिन्नता है और। गामा वितरण। गामा वितरण एक निरंतर संभाव्यता वितरण है जो फ़ाइलोजेनेटिक अनुप्रयोगों की एक श्रृंखला के लिए लोकप्रिय है। गामा वितरण भाग में लोकप्रिय है क्योंकि यह एक आकार शिफ्टर का एक सा है जो घातीय से सामान्य तक कई आकृतियों को ग्रहण कर सकता है।  एक गामा वितरण एक सामान्य प्रकार का सांख्यिकीय वितरण है जो बीटा वितरण से संबंधित है और स्वाभाविक रूप से उन प्रक्रियाओं में उत्पन्न होता है जिनके लिए पॉइसन वितरित घटनाओं के बीच प्रतीक्षा समय प्रासंगिक है। गामा वितरण में दो मुक्त पैरामीटर होते हैं, जिन्हें लेबल किया जाता है और, जिनमें से कुछ ऊपर चित्रित किए गए हैं। (39). (40). इसलिए राशि का वितरण होता है। (41). जो एक गामा वितरण है, और अनुपात में वितरण है। (42). (43). बीटा फ़ंक्शन कहां है, जो एक बीटा वितरण है। यदि और गामा पैरामीटर के साथ भिन्न होता है और, पैरामीटर के साथ बीटा प्राइम वितरण के साथ एक भिन्नता है और।
गॅमा वितरण म्हणजे काय?
विशेषतः, पॉइसन प्रक्रियेतील आगमन ाच्या वेळेस गॅमा वितरण असते आणि सांख्यिकीतील ची-चौरस वितरण हे गामा वितरणाचे एक विशेष प्रकरण आहे. तसेच, गॅमा वितरणाचा वापर सकारात्मक मूल्ये घेणार्या भौतिक राशींचे मॉडेल तयार करण्यासाठी मोठ्या प्रमाणात केला जातो. द. \(\गामा \) ची व्याख्या खालीलप्रमाणे केली जाते \[ \गामा (के) = \int_0^\fty x^{k-1} e^{-x} \, dx, \क्वाड के \इन (0, \अनंत) \] फंक्शन व्यवस्थित परिभाषित केले ले आहे, म्हणजेच कोणत्याही \(k \gt 0\) साठी अविभाज्य एकत्र येते. साचा:संभाव्यता वितरण संभाव्यता सिद्धांत आणि सांख्यिकीमध्ये, गॅमा वितरण हे सतत संभाव्यता वितरणाचे दोन-पॅरामीटर कुटुंब आहे. यात स्केल पॅरामीटर θ आणि आकार पॅरामीटर k. 1 जर पूर्णांक असेल तर गॅमा वितरण हे एर्लांग वितरण आहे आणि तीव्रतेसह एकमितीय पॉइसन प्रक्रियेत येईपर्यंत प्रतीक्षा कालावधीचे संभाव्य वितरण आहे. 2 जर, एक्समध्ये पॅरामीटर ए सह मॅक्सवेल-बोल्ट्झमन वितरण आहे. संभाव्यता सिद्धांत आणि सांख्यिकीमध्ये, गॅमा वितरण हे सतत संभाव्यता वितरणाचे दोन-पॅरामीटर कुटुंब आहे. सामान्य घातांकीय वितरण आणि ची-स्क्वेअर वितरण ही गामा वितरणाची विशेष प्रकरणे आहेत. सामान्य वापरात तीन भिन्न पॅरामेट्रिझेशन आहेत: 1 आकार पॅरामीटर के आणि स्केल पॅरामीटर सह θ. 2 आकार पॅरामीटर α = के आणि एक उलटा स्केल पॅरामीटर β = 1/θ, ज्याला रेट पॅरामीटर म्हणतात. बायेसियन अनुमानात, गॅमा वितरण हे बर्याच संभाव्य वितरणांपूर्वीचे संयुग्म आहे: पॉइसन, एक्सपोनेन्शियल, नॉर्मल (ज्ञात सरासरीसह), परेटो, ज्ञात आकार σ असलेले गॅमा, ज्ञात आकार पॅरामीटरसह विलोम गॅमा आणि ज्ञात स्केलसह गोम्पर्ट्झ गॅमा वितरणाची संभाव्यता घनता फंक्शन गॅमा फंक्शनच्या दृष्टीने व्यक्त करता येते : (हे प्रमाण इन्फोबॉक्स आणि प्लॉटमध्ये वापरले जाते.). वैकल्पिकरित्या, गॅमा वितरण आकार पॅरामीटर आणि प्रतिलोम स्केल पॅरामीटरच्या दृष्टीने पॅरामीटर केले जाऊ शकते, ज्याला रेट पॅरामीटर म्हणतात: 1 जर पूर्णांक असेल तर गॅमा वितरण एक एर्लांग वितरण आहे आणि तीव्रतेसह एकमितीय पॉइसन प्रक्रियेत येईपर्यंत प्रतीक्षा कालावधीचे संभाव्य वितरण आहे. 2 जर,  मग एक्समध्ये पॅरामीटर ए सह मॅक्सवेल-बोल्ट्झमन वितरण आहे. संभाव्यता घनता कार्य। गॅमा वितरणाच्या संभाव्यता घनतेच्या कार्याचे सामान्य सूत्र आहे. जेथे γ आकार पॅरामीटर आहे, μ स्थान पॅरामीटर आहे, β स्केल पॅरामीटर आहे आणि γ गॅमा फंक्शन आहे ज्याचे सूत्र आहे. मानक गामा वितरणाचे समीकरण कमी होते. संभाव्यता फंक्शन्सचे सामान्य स्वरूप मानक वितरणाच्या दृष्टीने व्यक्त करता येत असल्याने या विभागातील पुढील सर्व सूत्रे फंक्शनच्या मानक स्वरूपासाठी दिलेली आहेत. संचयी वितरण कार्य। गॅमा वितरणाच्या संचयी वितरण कार्याचे सूत्र आहे. जिथे वर परिभाषित केलेले गामा फंक्शन γ आहे आणि \(\Gamma_{x}(a)\) हे अपूर्ण गॅमा फंक्शन आहे. अपूर्ण गॅमा फंक्शनमध्ये सूत्र आहे. मानक गामा वितरणाचे समीकरण कमी होते. संभाव्यता फंक्शन्सचे सामान्य स्वरूप मानक वितरणाच्या दृष्टीने व्यक्त करता येत असल्याने या विभागातील पुढील सर्व सूत्रे फंक्शनच्या मानक स्वरूपासाठी दिलेली आहेत. व्याख्या। द. \(\गामा \) ची व्याख्या खालीलप्रमाणे केली जाते \[ \गामा (के) = \int_0^\fty x^{k-1} e^{-x} \, dx, \क्वाड के \इन (0, \अनंत) \] फंक्शन व्यवस्थित परिभाषित केले ले आहे, म्हणजेच कोणत्याही \(k \gt 0\) साठी अविभाज्य एकत्र येते. दुसरीकडे, अविभाज्य \(\fty \) साठी \(k \le 0 \) पर्यंत विभक्त होते हे गॅमा वितरणासाठी संभाव्यता फंक्शन आहे आणि संबंधित वितरण फंक्शन आहे. (14). नियमित गॅमा फंक्शन कोठे आहे. हे कार्य म्हणून वुल्फराम भाषेत अंमलात आणले जाते. [अल्फा, थेटा]। (39). (40). त्यामुळे या रकमेचे वितरण होते. (४१). जे एक गॅमा वितरण आहे आणि गुणोत्तरात वितरण आहे. (42). (43). (44). बीटा फंक्शन कोठे आहे, जे बीटा वितरण आहे. जर गॅमा पॅरामीटर्ससह भिन्न असेल आणि असेल तर, पॅरामीटर्ससह बीटा प्राइम वितरण ासह एक भिन्नता आहे आणि. गामा वितरण। गॅमा वितरण एक निरंतर संभाव्यता वितरण आहे जे फायटोजेनेटिक अनुप्रयोगांच्या श्रेणीसाठी लोकप्रिय आहे. गॅमा वितरण काही प्रमाणात लोकप्रिय आहे कारण ते थोडे से आकार शिफ्टर आहे जे एक्सपोनेन्शियल ते नॉर्मल पर्यंत अनेक आकार धारण करू शकते.  गॅमा वितरण हा सांख्यिकीय वितरणाचा एक सामान्य प्रकार आहे जो बीटा वितरणाशी संबंधित आहे आणि नैसर्गिकरित्या अशा प्रक्रियांमध्ये उद्भवतो ज्यासाठी पॉइसन वितरित घटनांमधील प्रतीक्षा वेळ प्रासंगिक आहे. गॅमा वितरणात दोन विनामूल्य मापदंड आहेत, लेबल आहेत आणि, त्यापैकी काही वर चित्रित केले आहेत. (39). (40). त्यामुळे या रकमेचे वितरण होते. (४१). जे एक गॅमा वितरण आहे आणि गुणोत्तरात वितरण आहे. (42). (43). (44). बीटा फंक्शन कोठे आहे, जे बीटा वितरण आहे. जर गॅमा पॅरामीटर्ससह भिन्न असेल आणि असेल तर, पॅरामीटर्ससह बीटा प्राइम वितरण ासह एक भिन्नता आहे आणि.
हा सांख्यिकीय वितरणाचा एक सामान्य प्रकार आहे जो बीटा वितरणाशी संबंधित आहे आणि नैसर्गिकरित्या अशा प्रक्रियांमध्ये उद्भवतो ज्यासाठी पॉइसन वितरित घटनांमधील प्रतीक्षा वेळ प्रासंगिक आहे.