A fractal that can be constructed using string rewriting beginning with a cell [0] and iterating the rules.
George Cantor (1845-1918) constructed the Cantor dust. The curve is a base motif fractal which uses a square segment as base. The motif is to divide the square into nine equal parts and let only the outer four remain: The fractal dimension of the Cantor dust is equal to log4/log3, what is about 1.26186. A variant on this curve is given by the box fractal: divide the square into 9 equal parts and let the five diagonal parts remain. This curve is also named the anticross-stitch : sift through megabytes of data in seconds rapidly conceptualize a file identify based on patterns, not headers break out embedded types visualize data tampering investigate structure, a priori isolate areas of interest make no assumptions about the underlying data type even arbitrary data has a visual fingerprint.  And when determining the dimension of the snowflake, we decided that the dimension of each line segment that makes up a fractal is the same as the dimension of the fractal itself. So for the capacity dimension of Cantor's dust, we can use P = 2 and S = 3: Just as expected, our result is between 0 and 1, somewhere between the dimension of a point and the dimension of a line. Georg Cantor invented this fractal to describe a set of numbers that he had defined, which is now called Cantor's set. It involves the unit interval in the ternary number system. As was stated in the fractal generation examples, this particular Lindenmayer fractal (shown above) is not so visually appealing but is mathematically interesting. This time, let's predict what type of value we will get for the capacity dimension of Cantor's dust. We have already noted that this fractal is produced by removing the middle third of every line at each iteration, and thus the limit of its length is zero (even though the limit of the number of lines is infinite) Cantor Set. The Cantor set, sometimes also called the Cantor comb or no middle third set (Cullen 1968, pp. 78-81), is given by taking the interval (set), removing the open middle third (), removing the middle third of each of the two remaining pieces (), and continuing this procedure ad infinitum. It is therefore the set of points in the interval whose ternary expansions do not contain 1, illustrated above. Cantor Dust. Cantor dust is a fractal that can be constructed using string rewriting beginning with a cell [0] and iterating the rules. (1). Let be the number of black boxes, the length of a side of a box, and the fractional area of black boxes after the th iteration, then. (2). As we created each level of Cantor Dust fractal, each segment was replaced by the motif that had 2 pieces. Therefore, the # of pieces in our formula is 2. In addition, each new segment was 1/3 the original size of the segment length from the previous level. The total length of the fractal is getting shorter at each level. We can find the total length of the Cantor Dust fractal by studying how much has been removed at each level. The total length removed = (1/3)s + (2/9)s + (4/27)s + … + 2n-1/3n + … =. (1/3)s[1 + 2/3 + (2/3)2 + (2/3)3 + …] =. Since the Cantor Dust Fractal began with length 1s, and also a length of 1s is then removed, the total length of the Cantor Dust Fractal is length = 0 (after an infinite number of levels). The total length of the fractal is getting shorter at each level. We can find the total length of the Cantor Dust fractal by studying how much has been removed at each level. The total length removed = (1/3)s + (2/9)s + (4/27)s + … + 2n-1/3n + … =. (1/3)s[1 + 2/3 + (2/3)2 + (2/3)3 + …] =. Cantor dust is a dynamic visualization tool us for numerous computer applications. Firmware, forensics, and proprietary data formats all use cantor dust.  One of the earliest, and simplest, fractals is the Cantor set, or Cantor dust, defined by mathematician Georg Cantor (1845-1918). To create it, begin with a line segment (say, the segment from 0 to 1 on a number line), and remove the middle third. The Cantor set The Cantor set is a good example of an elementary fractal. The object first used to demonstrate fractal dimensions, figure 1c, is actually the Cantor set. The process of generating this fractal is very simple. The set is generated by the iteration of a single operation on a line of unit lenght.
http://www.2dcurves.com/fractal/fractald.html https://sites.google.com/site/xxcantorxdustxx/ http://www.math.ubc.ca/%7ecass/courses/m308-03b/projects-03b/skinner/ex-dimension-cantors_dust.htm http://mathworld.wolfram.com/CantorSet.html http://mathworld.wolfram.com/CantorDust.html http://infohost.nmt.edu/%7Eblewis/html/cantordust-student.html http://infohost.nmt.edu/%7Eblewis/html/cantordust-student.html http://www.answers.com/Q/What_are_true_statements_about_cantor_dust http://mathed.uta.edu/kribs/fractal.html
what is cantor dust
कैंटर डस्ट क्या है
एक भग्न जिसका निर्माण स्ट्रिंग पुनर्लेखन का उपयोग करके किया जा सकता है, जो एक सेल [0] से शुरू होता है और नियमों को दोहराता है।
जॉर्ज कैंटर (1845-1918) ने कैंटर धूल का निर्माण किया। वक्र एक आधार आकृति भग्न है जो आधार के रूप में एक वर्ग खंड का उपयोग करता है। आकृति वर्ग को नौ बराबर भागों में विभाजित करना है और केवल बाहरी चार को रहने देना है: कैंटर धूल का भग्न आयाम log4/log3 के बराबर है, जो लगभग 1.26186 है। इस वक्र पर एक संस्करण बॉक्स भग्न द्वारा दिया गया है: वर्ग को 9 बराबर भागों में विभाजित करें और पांच विकर्ण भागों को रहने दें। इस वक्र को एंटीक्रॉस-सिलाई भी कहा जाता है: सेकंड में डेटा के मेगाबाइट के माध्यम से झारना, तेजी से पैटर्न के आधार पर एक फ़ाइल की पहचान की अवधारणा करना, हेडर नहीं, एम्बेडेड प्रकारों को तोड़ना, डेटा छेड़छाड़ की जांच संरचना की कल्पना करना, ब्याज के क्षेत्रों को अलग करना, अंतर्निहित डेटा प्रकार के बारे में कोई धारणा नहीं बनाना, यहां तक कि मनमाना डेटा में एक दृश्य फिंगरप्रिंट भी होता है।  और स्नोफ्लेक के आयाम का निर्धारण करते समय, हमने फैसला किया कि प्रत्येक रेखा खंड का आयाम जो एक भग्न बनाता है, भग्न के आयाम के समान है। तो कैंटर की धूल की क्षमता आयाम के लिए, हम पी = 2 और एस = 3 का उपयोग कर सकते हैं: जैसा कि अपेक्षित था, हमारा परिणाम 0 और 1 के बीच है, कहीं एक बिंदु के आयाम और एक रेखा के आयाम के बीच। जॉर्ज कैंटर ने इस भग्न का आविष्कार संख्याओं के एक सेट का वर्णन करने के लिए किया था जिसे उन्होंने परिभाषित किया था, जिसे अब कैंटर का सेट कहा जाता है। इसमें टर्नरी नंबर सिस्टम में यूनिट अंतराल शामिल है। जैसा कि भग्न पीढ़ी के उदाहरणों में कहा गया था, यह विशेष रूप से लिंडेनमेयर फ्रैक्टल (ऊपर दिखाया गया है) इतना आकर्षक नहीं है, लेकिन गणितीय रूप से दिलचस्प है। इस बार, आइए भविष्यवाणी करें कि कैंटर की धूल के क्षमता आयाम के लिए हमें किस प्रकार का मूल्य मिलेगा। हम पहले ही नोट कर चुके हैं कि यह भग्न प्रत्येक पुनरावृत्ति पर प्रत्येक पंक्ति के मध्य तीसरे को हटाकर उत्पन्न होता है, और इस प्रकार इसकी लंबाई की सीमा शून्य है (भले ही लाइनों की संख्या की सीमा अनंत हो) कैंटर सेट। कैंटर सेट, जिसे कभी-कभी कैंटर कंघी या कोई मध्य तीसरा सेट भी नहीं कहा जाता है (कुलेन 1968, पीपी 78-81), अंतराल (सेट) लेकर, खुले मध्य तीसरे () को हटाकर, दो शेष टुकड़ों में से प्रत्येक के मध्य तीसरे को हटाकर दिया जाता है (), और इस प्रक्रिया को विज्ञापन अनंत काल तक जारी रखना। इसलिए यह अंतराल में बिंदुओं का सेट है जिनके टर्नरी विस्तार में 1 नहीं है, ऊपर सचित्र है। कैंटर डस्ट। कैंटर डस्ट एक फ्रैक्टल है जिसे स्ट्रिंग रीराइटिंग का उपयोग करके बनाया जा सकता है, जो एक सेल [0] से शुरू होता है और नियमों को दोहराता है। (1)मान लीजिए कि ब्लैक बॉक्स की संख्या, एक बॉक्स के एक किनारे की लंबाई, और वें पुनरावृत्ति के बाद ब्लैक बॉक्स का आंशिक क्षेत्र, फिर। (2). जैसा कि हमने कैंटर डस्ट फ्रैक्टल के प्रत्येक स्तर को बनाया, प्रत्येक खंड को उस आकृति से बदल दिया गया जिसमें 2 टुकड़े थे। इसलिए, हमारे सूत्र में टुकड़ों का # 2 है। इसके अलावा, प्रत्येक नया खंड पिछले स्तर से खंड की लंबाई का मूल आकार 1/3 था। भग्न की कुल लंबाई प्रत्येक स्तर पर कम हो रही है। हम प्रत्येक स्तर पर कितना हटाया गया है, इसका अध्ययन करके कैंटर डस्ट फ्रैक्टल की कुल लंबाई ज्ञात कर सकते हैं। हटाई गई कुल लंबाई = (1/3)s + (2/9)s + (4/27)s + ... + 2n-1/3n + ... =. (1/3)s[1 + 2/3 + (2/3)2 + (2/3)3 + ...] =. चूंकि कैंटर डस्ट फ्रैक्टल लंबाई 1s के साथ शुरू हुआ, और 1s की लंबाई भी हटा दी गई, कैंटर डस्ट फ्रैक्टल की कुल लंबाई लंबाई = 0 (अनंत स्तरों के बाद) है। भग्न की कुल लंबाई प्रत्येक स्तर पर कम हो रही है। हम प्रत्येक स्तर पर कितना हटाया गया है, इसका अध्ययन करके कैंटर डस्ट फ्रैक्टल की कुल लंबाई ज्ञात कर सकते हैं। हटाई गई कुल लंबाई = (1/3)s + (2/9)s + (4/27)s + ... + 2n-1/3n + ... =. (1/3)s[1 + 2/3 + (2/3)2 + (2/3)3 + ...] =. कैंटर डस्ट कई कंप्यूटर अनुप्रयोगों के लिए एक गतिशील विज़ुअलाइज़ेशन टूल है। फर्मवेयर, फोरेंसिक और मालिकाना डेटा प्रारूप सभी कैंटर धूल का उपयोग करते हैं।  जल्द से जल्द और सबसे सरल, भग्न में से एक कैंटर सेट, या कैंटर धूल है, जिसे गणितज्ञ जॉर्ज कैंटर (1845-1918) द्वारा परिभाषित किया गया है। इसे बनाने के लिए, एक लाइन सेगमेंट से शुरू करें (जैसे, नंबर लाइन पर 0 से 1 तक का सेगमेंट), और मध्य तीसरे को हटा दें। कैंटर सेट कैंटर सेट एक प्राथमिक भग्न का एक अच्छा उदाहरण है। भग्न आयामों को प्रदर्शित करने के लिए पहली बार इस्तेमाल की जाने वाली वस्तु, आंकड़ा 1 सी, वास्तव में कैंटर सेट है। इस भग्न को उत्पन्न करने की प्रक्रिया बहुत सरल है। सेट इकाई लंबाई की एक पंक्ति पर एकल ऑपरेशन के पुनरावृत्ति द्वारा उत्पन्न होता है।
कॅन्टर डस्ट म्हणजे काय?
जॉर्ज कॅंटर (१८४५-१९१८) याने कॅन्टर धुळीची निर्मिती केली. वक्र हा एक बेस मोटिफ फ्रॅक्टल आहे जो बेस म्हणून चौकोनी विभाग वापरतो. चौकोनाची नऊ समान भागांत विभागणी करणे आणि केवळ बाहेरील चार भाग शिल्लक राहणे हा आकृतिबंध आहे: कॅन्टर धुळीचे फ्रॅक्टल परिमाण लॉग 4 / लॉग 3 इतके आहे, जे सुमारे 1.26186 आहे. या वक्रावरील एक प्रकार बॉक्स फ्रॅक्टलने दिला आहे: चौकोनाचे 9 समान भागांमध्ये विभाजन करा आणि पाच विकर्ण भाग राहू द्या. या वक्राला अँटीक्रॉस-स्टिच असेही नाव देण्यात आले आहे: सेकंदात मेगाबाइट डेटाच्या माध्यमातून नमुन्यांवर आधारित फाईल ओळखण्याची कल्पना वेगाने केली जाते, हेडर्स एम्बेडेड प्रकारांची कल्पना करत नाहीत, डेटा छेडछाड तपासणी संरचनेची कल्पना करतात, आवडीच्या क्षेत्रांना मूलभूत डेटा प्रकाराबद्दल कोणतेही अनुमान नसते अगदी मनमानी डेटामध्ये व्हिज्युअल फिंगरप्रिंट असतो.  आणि हिमकणाचे परिमाण ठरवताना फ्रॅक्टल बनवणाऱ्या प्रत्येक रेषेच्या विभागाचे परिमाण फ्रॅक्टलच्या परिमाणाइतकेच असते, असे आम्ही ठरविले. तर कॅंटरच्या धुळीच्या क्षमतेच्या परिमाणासाठी आपण P = 2 आणि S = 3 वापरू शकतो: अपेक्षेप्रमाणे, आपला परिणाम 0 ते 1 दरम्यान आहे, कुठेतरी बिंदूचे परिमाण आणि रेषेचे परिमाण यांच्यादरम्यान. जॉर्ज कॅंटर ने या फ्रॅक्टलचा शोध त्याने परिभाषित केलेल्या संख्यांच्या संचाचे वर्णन करण्यासाठी लावला, ज्याला आता कॅंटरचा संच म्हणतात. यात त्रिसूत्री संख्या प्रणालीतील एकक अंतराचा समावेश आहे. फ्रॅक्टल जनरेशन उदाहरणांमध्ये म्हटल्याप्रमाणे, हा विशिष्ट लिंडेनमेयर फ्रॅक्टल (वर दर्शविलेला) इतका आकर्षक नाही परंतु गणितीयदृष्ट्या मनोरंजक आहे. यावेळी कॅन्टरच्या धुळीच्या क्षमतेच्या परिमाणासाठी आपल्याला कोणत्या प्रकारचे मूल्य मिळेल याचा अंदाज घेऊया. प्रत्येक पुनरावृत्तीच्या वेळी प्रत्येक रेषेचा मधला तिसरा भाग काढून हा फ्रॅक्टल तयार होतो हे आपण आधीच लक्षात घेतले आहे आणि त्यामुळे त्याच्या लांबीची मर्यादा शून्य आहे (रेषांच्या संख्येची मर्यादा अनंत असली तरी) कॅन्टर सेट. कॅन्टर संच, ज्याला कधीकधी कॅन्टर कॉम्ब किंवा नो मिडल थर्ड सेट देखील म्हटले जाते (कुलेन 1968, पृष्ठ 78-81), अंतराल (संच), खुला मध्यम तिसरा (), उर्वरित दोन तुकड्यांपैकी प्रत्येकाचा मधला तिसरा काढून टाकून (), आणि ही प्रक्रिया चालू ठेवली जाते. म्हणून हा अंतरातील बिंदूंचा संच आहे ज्याच्या त्रिकोणात्मक विस्तारात वर दर्शविलेले 1 नसते. कॅन्टर डस्ट। कॅन्टोर धूळ एक फ्रॅक्टल आहे जी स्ट्रिंग पुनर्लेखन वापरून तयार केली जाऊ शकते ज्याची सुरुवात पेशीपासून होते [0] आणि नियमांचे पालन करणे. (१) ब्लॅक बॉक्सची संख्या, बॉक्सच्या एका बाजूची लांबी आणि तिसर् या पुनरावृत्तीनंतर ब्लॅक बॉक्सचे अंशात्मक क्षेत्र असू द्या. (2). आम्ही कॅंटर डस्ट फ्रॅक्टलची प्रत्येक पातळी तयार केली तेव्हा प्रत्येक विभागाची जागा 2 तुकडे असलेल्या आकृतिबंधाने घेतली. म्हणून, आमच्या सूत्रातील तुकड्यांची # 2 आहे. याव्यतिरिक्त, प्रत्येक नवीन विभाग मागील पातळीपेक्षा सेगमेंट लांबीच्या मूळ आकाराच्या 1/3 होता. फ्रॅक्टलची एकूण लांबी प्रत्येक स्तरावर कमी होत चालली आहे. प्रत्येक स्तरावर किती काढून टाकण्यात आले आहे याचा अभ्यास करून आपण कॅन्टर डस्ट फ्रॅक्टलची एकूण लांबी शोधू शकतो. काढलेली एकूण लांबी = (१/३)स + (२/९)स + (४/२७)स + ... + २ एन-१/३ एन + ... =. (१/३)स[१ + २/३ + (२/३)२ + (२/३)३ +...] =. कॅंटर डस्ट फ्रॅक्टलची सुरुवात लांबी १ सेकंदापासून होत असल्याने आणि नंतर १ सेकंदाची लांबी काढून टाकली जात असल्याने कॅन्टर डस्ट फ्रॅक्टलची एकूण लांबी = ० (अनंत पातळींनंतर) आहे. फ्रॅक्टलची एकूण लांबी प्रत्येक स्तरावर कमी होत चालली आहे. प्रत्येक स्तरावर किती काढून टाकण्यात आले आहे याचा अभ्यास करून आपण कॅन्टर डस्ट फ्रॅक्टलची एकूण लांबी शोधू शकतो. काढलेली एकूण लांबी = (१/३)स + (२/९)स + (४/२७)स + ... + २ एन-१/३ एन + ... =. (१/३)स[१ + २/३ + (२/३)२ + (२/३)३ +...] =. कॅन्टर डस्ट हे असंख्य संगणक अनुप्रयोगांसाठी एक गतिशील व्हिज्युअलायझेशन टूल आहे. फर्मवेअर, फॉरेन्सिक आणि प्रोप्रायटरी डेटा फॉर्मेट सर्व कॅन्टर धूळ वापरतात.  गणितज्ञ जॉर्ज कॅन्टर (१८४५-१९१८) यांनी परिभाषित केलेला कॅन्टर संच किंवा कॅन्टर धूळ हा सर्वात जुना आणि सोपा फ्रॅक्टल्स आहे. ते तयार करण्यासाठी, एक रेषा विभाग (समजा, संख्या रेषेवरील 0 ते 1 पर्यंतचा विभाग) पासून प्रारंभ करा आणि मधला तिसरा काढून टाका. कॅन्टोर सेट कॅन्टर संच हे प्राथमिक फ्रॅक्टलचे एक चांगले उदाहरण आहे. फ्रॅक्टल आयाम दर्शविण्यासाठी प्रथम वापरली जाणारी वस्तू, आकृती 1 सी, प्रत्यक्षात कॅन्टर संच आहे. हे फ्रॅक्टल तयार करण्याची प्रक्रिया अतिशय सोपी आहे. युनिट लांबीच्या रेषेवर एकाच ऑपरेशनच्या पुनरावृत्तीद्वारे संच तयार केला जातो.
एक फ्रॅक्टल जो स्ट्रिंग पुनर्लेखन वापरून तयार केला जाऊ शकतो ज्याची सुरुवात पेशीपासून होते [0] आणि नियमांचे पालन करणे.