facts:
Sachverhalt:
A.
X._ (geb. 1969) stammt aus der Mongolei. Sie reiste am 8. Oktober 2005 in die Schweiz ein und heiratete am 2. Februar 2006 den im Kanton Zürich niedergelassenen portugiesischen Staatsangehörigen Y._ (geb. 1963). Ihr wurde im Familiennachzug eine Aufenthaltsbewilligung EG/EFTA erteilt. Aus der Ehe ging am 26. Oktober 2006 die Tochter A.X._ hervor, die über eine Niederlassungsbewilligung EG/EFTA verfügt. Am 9. April 2007 zog X._ ihren Sohn aus einer früheren Beziehung, B.X._ (geb. 1994), in die Schweiz nach; diesem wurde eine bis zum 1. Februar 2011 gültige Aufenthaltsbewilligung EG/EFTA ausgestellt.
B.
Am 30. April 2010 widerrief das Migrationsamt des Kantons Zürich die Aufenthaltsbewilligungen von X._ und ihrem Sohn B.X._, da sich das Ehepaar X.Y._ getrennt habe und die eheliche Beziehung nur noch formell und ohne Aussicht auf Wiedervereinigung fortdauere. Ein von der Ehe losgelöster nachehelicher Bewilligungsanspruch bestehe nicht; der hier niederlassungsberechtigten Tochter, die sich noch in einem anpassungsfähigen Alter befinde und zu welcher der Vater keinerlei Beziehung mehr unterhalte, sei es zumutbar, mit der sorgeberechtigten Mutter und dem Stiefbruder auszureisen. Die kantonalen Rechtsmittelinstanzen bestätigten die Nichtverlängerung der (inzwischen abgelaufenen) umstrittenen Aufenthaltsbewilligungen am 4. Mai (Regierungsrat) bzw. 30. November 2011 (Verwaltungsgericht). Beide unterstrichen, dass X._ nicht als integriert gelten könne, da sie und ihre Familie in erheblicher Weise von der öffentlichen Fürsorge hätten unterstützt werden müssen. Eine Wiedereingliederung in der Heimat falle ihr und ihren Kindern sicher nicht leicht, doch liege mit Blick auf die Dauer der Anwesenheit und die familiären Beziehungen kein Grund vor, der einen weiteren Aufenthalt in der Schweiz erforderlich mache. Die trennungsbedingten psychischen Probleme von X._ könnten in deren Heimat sachgerecht behandelt werden.
C.
X._ und ihre beiden Kinder beantragen vor Bundesgericht, das Urteil des Verwaltungsgerichts aufzuheben und das Migrationsamt des Kantons Zürich anzuweisen, ihre Aufenthaltsbewilligungen zu verlängern. Eventuell sei das Migrationsamt zu verpflichten, die Angelegenheit dem Bundesamt für Migration zur Prüfung einer vorläufigen Aufnahme zu unterbreiten. Für das regierungsrätliche Verfahren sei ihnen die unentgeltliche Prozessführung und Verbeiständung zu gewähren. X._ und ihre Kinder machen geltend, die Vorinstanzen hätten das Freizügigkeitsrecht falsch angewandt; im Übrigen liege ein nachehelicher Härtefall vor, da eine Rückkehr und eine soziale Wiedereingliederung aus familiären und medizinischen Gründen nicht möglich seien.
Das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich beantragt, die Beschwerde bezüglich der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung im Verfahren vor dem Regierungsrat als gegenstandslos abzuschreiben, da es den entsprechenden Antrag am 30. Januar 2012 erläuterungsweise gutgeheissen habe; im Übrigen sei die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden könne. Die Staatskanzlei ersucht im Namen des Regierungsrats des Kantons Zürich, die Beschwerde abzuweisen. Denselben Antrag stellt das Bundesamt für Migration.
D.
Der Abteilungspräsident legte der Beschwerde am 30. Januar 2012 aufschiebende Wirkung bei.
E.
Das Bundesgericht hat die Angelegenheit am 22. März 2013 öffentlich beraten.

considerations:
Erwägungen:
1.
1.1. Auf dem Gebiet des Ausländerrechts ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen Entscheide ausgeschlossen, welche Bewilligungen betreffen, auf die weder das Bundesrecht noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumen (Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG). Für das Eintreten genügt, wenn die betroffene Person in vertretbarer Weise dartut, dass potenziell ein solcher Anspruch besteht (BGE 136 II 177 E. 1.1 S. 179 f., 497 E. 3.3 S. 500 f.). Die Beschwerdeführer berufen sich in einer nicht zum Vornherein aussichtslosen Weise als Angehörige eines EU-Bürgers (bzw. als portugiesisch-mongolische Doppelbürgerin [A.X._]) auf Rechtsansprüche aus dem Abkommen vom 21. Juni 1999 zwischen der Schweizerischen Eidgenossenschaft einerseits und der Europäischen Gemeinschaft und ihren Mitgliedstaaten andererseits über die Freizügigkeit (FZA; SR 0.142.112.681). Sie machen zudem in ausreichend begründeter Weise (vgl. Art. 42 BGG) geltend, es liege bei ihnen aufgrund der besonderen Umstände ein nachehelicher Härtefall vor (Art. 50 AuG; SR 142.20). Ob die jeweiligen Voraussetzungen tatsächlich gegeben sind, bildet praxisgemäss eine Frage der materiellen Beurteilung.
1.2.
Auf die frist- und grundsätzlich auch formgerecht eingereichte Eingabe ist mit folgenden Vorbehalten einzutreten:
1.2.1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist unzulässig in Bezug auf die vorläufige Aufnahme, die Wegweisung sowie gegen Entscheide über Abweichungen von den ausländerrechtlichen Zulassungsvoraussetzungen (Art. 83 lit. c Ziff. 3 - 5 BGG). In diesen Punkten kann gegen letztinstanzliche kantonale Urteile ausschliesslich mit der subsidiären Verfassungsbeschwerde an das Bundesgericht gelangt werden, wobei eine qualifizierte Begründungspflicht zu beachten ist (Art. 106 Abs. 2 BGG; BGE 137 II 305 E. 3.3 S. 310). Soweit die Beschwerdeführer den angefochtenen Entscheid in diesen Punkten beanstanden, ohne im Einzelnen darzulegen, dass und inwiefern sie diesbezüglich über ein rechtlich geschütztes Interesse verfügen bzw. der angefochtene Entscheid besondere Grundrechte verletzen würde, ist auf ihre Anträge und unzulässigen appellatorischen Darlegungen mangels einer den gesetzlichen Anforderungen genügenden Begründung nicht weiter einzugehen (vgl. BGE 137 II 305 E. 3 mit Hinweisen).
1.2.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, wie die Vorinstanz ihn festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann diesen bloss berichtigen oder ergänzen, falls er offensichtlich unrichtig oder in Verletzung wesentlicher Verfahrensrechte ermittelt worden ist (Art. 105 Abs. 2 BGG). Die Beschwerdeführer kritisieren die Sachverhaltsfeststellung und die Beweiswürdigung des Verwaltungsgerichts, legen indessen nicht dar, dass und inwiefern diese klar und eindeutig mangelhaft wären. Es ist im Folgenden deshalb von den Vorgaben im angefochtenen Entscheid auszugehen. Soweit die Beschwerdeführer am 16. Februar 2012 zusätzliche Unterlagen (Ärztlicher Bericht vom 7. Februar 2012 bzw. Stellungnahme des Sozialzentrums Q._ vom 20. Januar 2012) nachgereicht haben, können diese nicht berücksichtigt werden. Es handelt sich dabei um im bundesgerichtlichen Verfahren unzulässige echte Noven (vgl. Art. 99 Abs. 1 BGG; BGE 133 IV 342 E. 2 S. 343 f.). Dasselbe gilt für den vom Migrationsamt des Kantons Zürich am 25. Oktober 2012 übermittelten Strafbefehl gegen die Beschwerdeführerin 1 vom 13. September 2012.
1.2.3. Das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich hat am 1. Februar 2012 seinen Entscheid vom 30. November 2011 insofern ergänzt, als es das Gesuch der Beschwerdeführer um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung auch für das Rekursverfahren vor dem Regierungsrat guthiess. Die entsprechende Problematik bildet deshalb nicht mehr Gegenstand des vorliegenden Verfahrens.
2.
2.1. Die Beschwerdeführerin 1 hat als Ehegattin eines EU-Bürgers gestützt auf das Freizügigkeitsrecht grundsätzlich einen (abgeleiteten) Anspruch auf die Verlängerung ihrer Bewilligung, solange die Ehe formell fortdauert (Art. 7 lit. d FZA i.V.m. Art. 3 Anhang I FZA; Urteil des EuGH vom 13. Februar 1985 C-267/83 Diatta, Rec. 1985 S. 567; BGE 130 II 113 E. 8 S. 127 ff.). Dieses Recht steht unter dem Vorbehalt des Rechtsmissbrauchs (BGE 130 II 113 E. 9 S. 129 ff.); fehlt der Wille zur Gemeinschaft und dient das formelle Eheband ausschliesslich (noch) dazu, die ausländerrechtlichen Zulassungsvorschriften zu umgehen, fällt der Anspruch dahin (Urteil 2A.557/2002 vom 3. Juni 2004 E. 5; vgl. auch Art. 35 der RL 2004/38/EG [Unionsbürgerrichtlinie], ABl. L 229 vom 29. Juni 2004 S. 35 ff.). Die vom originär anwesenheitsberechtigten EU-Bürger abgeleitete Bewilligung des Drittstaatsangehörigen kann in diesem Fall mangels Fortdauerns der Bewilligungsvoraussetzungen gestützt auf Art. 23 Abs. 1 VEP (SR 142.203) i.V.m. Art. 62 lit. d AuG (Nichteinhalten einer mit der Verfügung verbundenen Bedingung) widerrufen oder nicht (mehr) verlängert werden, da das Freizügigkeitsabkommen diesbezüglich keine eigenen abweichenden Bestimmungen enthält (vgl. Art. 2 Abs. 2 AuG; vgl. die Urteile 2A.569/2004 vom 7. Oktober 2004 E. 2.2; 2C_886/2011 vom 28. Februar 2012 E. 3 u. 4 sowie 2C_13/2012 vom 8. Januar 2013 E. 2.1).
2.2. Die Beschwerdeführerin 1 und ihr portugiesischer Ehemann haben sich nach zwei Jahren und neun Monaten Ehe im Dezember 2008 definitiv getrennt. Auch wenn der Gatte sein Hab und Gut erst im März 2009 aus der gemeinsamen Wohnung abgeholt haben sollte, war die Ehe bereits vorher ihres Inhalts entleert. Die Beschwerdeführerin 1 hat wiederholt erklärt, dass sie und die gemeinsame Tochter ihren Gatten bzw. Vater ab Dezember 2008 nicht mehr gesehen hätten. Auch dieser hat bestätigt, dass die Trennung im Dezember 2008 erfolgt und eine Wiederaufnahme der Beziehung nicht infrage gekommen sei. Unter diesen Umständen durfte das Migrationsamt am 30. April 2010 davon ausgehen, dass sich die Beschwerdeführerin 1 auf eine inhaltsleere, nur noch formell bestehende Ehe berief, um ihr Anwesenheitsrecht zu sichern. Hierzu dient die freizügigkeitsrechtliche Nachzugsregelung für Drittstaatsangehörige nicht. Nur wenn die Voraussetzungen eines Verbleiberechts (vgl. Art. 4 des Anhangs 1 FZA und die Verordnung EWG Nr. 1251/70 vom 29. Juni 1970 [ABl. Nr. L 142 vom 30. Juni 1970 S. 24 ff.] sowie die Richtlinie 75/34/EWG vom 17. Dezember 1974 [ABl. Nr. L 014 vom 20. Januar 1975 S. 10 ff.]) oder eines eigenständigen Anwesenheitsrechts erfüllt sind, gilt freizügigkeitsrechtlich ein entsprechender Anspruch fort (vgl. das Urteil 2C_13/2012 vom 8. Januar 2013 E. 2.2).
3.
3.1. Die Beschwerdeführer berufen sich in diesem Zusammenhang auf Art. 3 Abs. 6 Anhang I FZA. Danach dürfen die Kinder eines Staatsangehörigen einer Vertragspartei unabhängig davon, ob dieser im Hoheitsgebiet der anderen Vertragspartei eine Erwerbstätigkeit ausübt, eine solche ausgeübt hat oder erwerbslos ist, unter den gleichen Bedingungen am allgemeinen Unterricht sowie an der Lehrlings- und Berufsausbildung teilnehmen wie die Staatsangehörigen des Aufnahmestaates. Die Regelung ist Art. 12 der von der Schweiz als Acquis communautaire übernommenen Verordnung Nr. 1612/68 des Rates vom 15. Oktober 1968 über die Freizügigkeit der Arbeitnehmer innerhalb der Gemeinschaft (ABl. L 257 vom 19. Oktober 1968 S. 2 ff.) nachgebildet und stimmt mit dieser fast wörtlich überein.
3.2. Im Urteil Baumbast gegen das Vereinigte Königreich (Rs C-413/99) vom 17. September 2002 (Slg. 2002 I-7091) hat der EuGH in Auslegung dieser Bestimmung entschieden, dass die Kinder eines EU-Bürgers, die in einem Mitgliedstaat seit einem Zeitpunkt wohnen, zu dem jener ein Aufenthaltsrecht als Wanderarbeitnehmer hatte, sich dort weiter aufhalten dürfen, um am allgemeinen Unterricht teilnehmen zu können; dabei sei nicht von Belang, ob die Eltern der Kinder inzwischen geschieden wurden, nur einer von ihnen Bürger der Europäischen Union sei oder der Wanderarbeitnehmer seinerseits das Land verlassen habe bzw. die Kinder selber nicht über die EU-Bürgerschaft verfügten (Randnr. 63). Könnten die Kinder ein entsprechendes Aufenthaltsrecht geltend machen, erlaube Art. 12 der Verordnung Nr. 1612/68 auch dem die Sorge ausübenden Elternteil - losgelöst von dessen Staatsangehörigkeit - sich bei diesen aufzuhalten, um ihnen zu ermöglichen, ihr Recht auf Bildung wahrzunehmen (Randnr. 75).
3.3. In zwei Urteilen vom 23. Februar 2010 hat der EuGH diese Rechtsprechung bestätigt und präzisiert, dass dem Elternteil, der die elterliche Sorge für die Kinder tatsächlich wahrnimmt, ein Anspruch auf Aufenthalt in Anwendung von Art. 12 der Verordnung Nr. 1612/68 zukommt, ohne dass dieser von ausreichenden Existenzmitteln abhängig gemacht werden dürfte und der Bezug von Sozialhilfeleistungen ausgeschlossen wäre (Urteile vom 23. Februar 2010 Ibrahim [C-310/08] und Teixeira [C-480/08] gegen Vereinigtes Königreich, Randnr. 25 ff. bzw. Randnr. 34 ff.; FERDINAND WOLLENSCHLÄGER, Aktuelle Fragen der EU-Personenfreizügigkeit, in: Achermann et al. [Hrsg.], Jahrbuch für Migrationsrecht 2009/2010, S. 3 ff., dort 23 ff.). Das abgeleitete Anwesenheitsrecht des die Sorge tatsächlich wahrnehmenden Elternteils ende mit dem Eintritt der Volljährigkeit des Kindes, sofern dieses nicht weiterhin der Anwesenheit und Fürsorge des betreuenden Elternteils bedürfe, um seine Ausbildung fortsetzen bzw. abschliessen zu können (Urteil Teixeira, a.a.O., Randnr. 76 ff.; vgl. auch das Urteil 2A.475/2004 vom 25. Mai 2005 E. 4).
4.
4.1.
4.1.1. Das Freizügigkeitsabkommen ist gestützt auf die völkerrechtliche Methodik nach Treu und Glauben in Übereinstimmung mit der gewöhnlichen, seinen Bestimmungen in ihrem Zusammenhang zukommenden Bedeutung und im Lichte seines Zieles und Zweckes auszulegen (vgl. Art. 31 ff. des Wiener Übereinkommens über das Recht der Verträge vom 23. Mai 1969 [SR 0.111]; vgl. ASTRID EPINEY, Freizügigkeitsabkommen Schweiz - EU: Erfahrungen, Herausforderungen und Perspektiven, in: Achermann et al. [Hrsg.], Jahrbuch für Migrationsrecht 2011/2012, 2012, S. 81 ff., dort 83 ff. mit weiteren Hinweisen). Gemäss Art. 16 Abs. 2 FZA ist für die Anwendung des Freizügigkeitsabkommens die einschlägige Rechtsprechung des EuGH vor dem Zeitpunkt der Unterzeichnung (21. Juni 1999) massgebend. Da es Ziel des Abkommens ist, die Freizügigkeit auf der Grundlage der in der Europäischen Gemeinschaft geltenden Bestimmungen zu verwirklichen (Präambel) und die Vertragsstaaten übereingekommen sind, in den vom Abkommen erfassten Bereichen alle erforderlichen Massnahmen zu treffen, damit in ihren Beziehungen eine möglichst parallele Rechtslage besteht (Art. 16 Abs. 1 FZA), weicht das Bundesgericht praxisgemäss von der Auslegung abkommensrelevanter unionsrechtlicher Bestimmungen durch den EuGH nicht leichthin, sondern nur beim Vorliegen "triftiger" Gründe ab (BGE 136 II 65 E. 3.1 S. 70 f., 5 E. 3.4 S. 12 f. mit Hinweisen auf die Doktrin). Bezüglich "neuer" Entwicklungen besteht gestützt auf Art. 16 Abs. 2 FZA keine Befolgungspflicht, sondern höchstens ein Beachtungsgebot in dem Sinn, dass diese nicht ohne sachliche Gründe unbeachtet bleiben sollen, aber aus der Sicht der Vertragspartner auch nicht zu einer nachträglichen Änderung des Vertragsinhalts führen dürfen. Für eine solche sind die Verfahren nach Art. 17 (Entwicklung des Rechts) und Art. 18 (Revision) FZA vorgesehen. Der Schweizer Richter muss die Tragweite der neuen Rechtsprechung des EuGH jeweils auf dem Stand des 1999 übernommenen "Acquis communautaire" würdigen und auslegungsweise klären, ob deren Gehalt (noch) dem Regelungsgegenstand des an sich statisch ausgestalteten FZA entspricht oder ausschliesslich Teil der dynamischen Weiterbildung des Unionsrechts seit dem 21. Juni 1999 bildet und jenen damit sprengt.
4.1.2. Nicht anwendbar sind in der Regel nach dem Stichdatum ergangene Entscheide, soweit die Ausführungen des Gerichtshofs sich auf die Bestimmungen über die Unionsbürgerschaft und deren Kernbereich beziehen ("Kernbereichsdoktrin"; vgl. Art. 20 ff. AEUV; vgl. die Urteile vom 8. März 2011 C-34/09 Zambrano, vom 5. Mai 2011 oder vom 15. November 2011 C-256/11 Dereci; HAILBRONNER/THYM, Ruiz Zambrano - Die Entdeckung des Kernbereichs der Unionsbürgerschaft, in: NJW 2011 S. 2008 ff.; VÉRONIQUE BOILLET, La détermination du champ d'application de l'Accord sur la libre circulation des personnes au regard de la jurisprudence de la Cour européenne de justice: les implications des arrêts Zambrano et McCarthy, AJP 2012 S. 49 ff., S. 53 ff.; NATHALIE CHRISTEN, Le développement du regroupement familial inversé par la jurisprudence suisse et européenne, in: Amarelle/Christen/Nguyen [Hrsg.], Migrations et regroupement familial, 2012, S. 71 ff., dort 90; Florence Aubry Girardin, L'interprétation et l'application de l'Accord sur la libre circulation des personnes du point de vue de la jurisprudence, in: Epiney/Metz/Mosters [Hrsg.], Das Personenfreizügigkeitsabkommen Schweiz-EU: Auslegung und Anwendung in der Praxis, 2011, S. 29 ff., dort 41 ff.); dasselbe gilt für mit der Richtlinie 2004/38/EG neu eingeführte Rechte für die Unionsbürger wie etwa den bedingungslosen Anspruch auf Daueranwesenheit nach ununterbrochenem fünfjährigem (rechtmässigem) Aufenthalt (Art. 16 der RL 2004/38/EG) oder das voraussetzungslose Aufenthaltsrecht von bis zu drei Monaten (vgl. Art. 6 der Richtlinie 2004/38/EG; vgl. BGE 136 II 65 E. 4.2 S. 74 mit Hinweisen; Urteil 2C_487/2012 vom 2. April 2013 E. 4.4).
4.2.
4.2.1. In der Doktrin wird mehrheitlich die Auffassung vertreten, dass - obwohl nach dem 21. Juni 1999 ergangen - sowohl das Urteil Baumbast wie die entsprechenden, die Praxis präzisierenden Entscheide Ibrahim und Teixeira im Rahmen des FZA zu übernehmen seien (vgl. MARC SPESCHA, in: Spescha/Thür/Zünd/Bolzli [Hrsg.], Migrationsrecht, 3. Aufl. 2012, N. 20 zu Art. 3 und N. 7 zu Art. 4 FZA; ASTRID EPINEY, Zur schweizerischen Rechtsprechung zum Personenfreizügigkeitsabkommen, in: Achermann et al. [Hrsg.], Jahrbuch für Migrationsrecht 2011/2012, 2012, S. 223 ff., dort 246 mit weiteren Hinweisen; SARAH PROGIN-THEURKAUF, Aufenthaltsrecht für Eltern von Kindern in Ausbildung, in: Asyl 4/10, S. 25 f.; Christina Schnell, Arbeitnehmerfreizügigkeit in der Schweiz, 2010, S. 173 f.). Wie es sich damit verhält, braucht hier nicht abschliessend entschieden zu werden. Aufgrund der spezifischen Umstände besteht im vorliegenden Fall - so oder anders - kein entsprechender Anspruch.
4.2.2. Sinn und Zweck des in Art. 3 Abs. 6 des Anhangs I zum FZA übernommenen selbständigen Anwesenheitsrechts für Kinder von Bürgern aus EU- oder EFTA-Staaten bzw. deren Partnern ist es, über die Teilnahme am allgemeinen Unterricht die Integration in der Aufnahmegesellschaft zu fördern (vgl. das EuGH-Urteil Baumbast, a.a.O. Randnr. 60), was voraussetzt, dass die Kinder tatsächlich über diesen (bzw. anschliessend während der Lehrlings- und Berufsausbildung) bei (noch) intakter Familiengemeinschaft bereits in nennenswerter Weise begonnen haben, sich zu integrieren bzw. massgebliche Beziehungen ausserhalb der Kernfamilie auszubilden. Das ist bei Kleinkindern, die noch in erster Linie auf den familiären Bereich bezogen leben, nicht der Fall, auch wenn sie - wie die Beschwerdeführerin 3 - in eine Tageskrippe oder allenfalls in den Kindergarten gehen.
4.2.3. Der entsprechende Unterricht (Kindergarten) kann ohne Beeinträchtigung der freizügigkeitsrechtlichen Ansprüche (vgl. EuGH-Urteil Baumbast, a.a.O., Randnr. 62) im Drittstaat erfolgen, wenn das Sorgerecht über das Kind - wie hier - dem Drittstaatsangehörigen zugesprochen worden ist (Urteile 2A.130/2005 vom 12. April 2005 E. 1.2.1; 2A.475/2004 vom 25. Mai 2005 E. 4.7; LAURENT MERZ, Le droit de séjour selon l'ALCP et la jurisprudence du Tribunal fédéral, RDAF 2009 I S. 293). Mit der Abmeldung ins Ausland bzw. dem Ablauf von sechs Monaten nach der Ausreise mit dem sorgeberechtigten Elternteil fällt die gestützt auf den Familiennachzug im Rahmen des FZA an das Kind erteilte Niederlassungsbewilligung dahin (vgl. die Urteile 2C_656/2011 vom 8. Mai 2012 E. 3 und 2C_830/2010 vom 10. Juni 2011 E. 4). Das unmündige Kind teilt aus familienrechtlichen Gründen (Art. 25 Abs. 1 und Art. 301 Abs. 3 ZGB; Urteil 2C_31/2007 vom 27. Juli 2007 E. 2.5) das ausländerrechtliche Schicksal des sorgeberechtigten Elternteils und hat gegebenenfalls mit diesem das Land zu verlassen, wenn jener seinerseits sein vom freizügigkeitsberechtigten Arbeitnehmer abgeleitetes (derivatives) Anwesenheitsrecht verloren (vgl. das Urteil 2C_930/2012 vom 10. Januar 2013 E. 4.4.4) und kein eigenständiges Aufenthalts- oder Verbleiberecht erworben hat. Dies ist bei der Beschwerdeführerin 3 trotz ihrer EU-Bürgerschaft nicht der Fall, da sie über keine ausreichenden finanziellen Mittel verfügt, welche es ihr erlauben würden, sich als Freizügigkeitsberechtigte ohne Erwerbstätigkeit in der Schweiz aufzuhalten (vgl. Art. 24 FZA); sie kann auch keine Verbleiberechtssituation geltend machen (vgl. Art. 4 Anhang I FZA i.V.m. Art. 3 und 2 der Verordnung [EWG] Nr. 1251/70 [ABl Nr. L 142 vom 30. Juni 1970, S. 24 ff.]).
4.2.4. Der Beschwerdeführer 2 verfügt seinerseits nicht über die Staatsbürgerschaft eines EU-/EFTA-Staats. Er ist zwar im Familiennachzug des portugiesischen Freizügigkeitsberechtigten gestützt auf Art. 3 Abs. 2 lit. a FZA in die Schweiz eingereist. Mit seinem hier lebenden und arbeitenden (Stief-) Vater hat er aber kaum zusammengelebt. Im Zeitpunkt, als er seine Ausbildung als Elektriker begann, war die eheliche Gemeinschaft längst aufgelöst und bestand zwischen seiner Mutter und dem Stiefvater nur noch das formelle Eheband fort, dessen Anrufung ohne jegliche Aussicht auf eine Wiederannäherung als rechtsmissbräuchlich zu gelten hatte. Er könnte sich für den weiteren Aufenthalt, um seine Ausbildung abzuschliessen, allenfalls dann auf Art. 3 Abs. 6 des Anhangs I FZA in der Auslegung des EuGH zu Art. 12 der Verordnung Nr. 1612/68 berufen, wenn ihm die Rückkehr in die Heimat nicht zuzumuten wäre (Urteil des EuGH vom 15. März 1989 C-389/87 / C-390/87 Echternach und Moritz, Randnr. 23) und es darum ginge, eine vor dem Dahinfallen der das abgeleitete Anwesenheitsrecht begründenden Familiengemeinschaft begonnene Ausbildung (noch) abzuschliessen. Dem ist hier nicht so: Der Beschwerdeführer 2 hat bis zum 9. April 2007 in der mongolischen Grossfamilie in Ulaanbaatar gelebt. Die Eheleute haben sich im Dezember 2008 getrennt. Seine Ausbildung begann er, nachdem er den Haushalt seiner (sorgeberechtigten) Mutter im April 2010 verlassen hatte und sich - so oder anders - nicht mehr als Stiefsohn eines EU-Bürgers auf sein (über die Mutter zweifach) abgeleitetes freizügigkeitsrechtliches Aufenthaltsrecht berufen konnte.
4.2.5. Ein aus dem Anwesenheitsrecht des Kindes, welches diesem zum Zwecke des Abschlusses der Ausbildung eingeräumt wird, abgeleitetes Anwesenheitsrecht eines Elternteils setzt voraus, dass dieser das Sorgerecht tatsächlich wahrnimmt. Vorliegend fehlt es - wie dargelegt - bereits am Anwesenheitsrecht des Kindes; im Übrigen nimmt die Beschwerdeführerin 1 das Sorgerecht über ihren Sohn nicht mehr wahr. Wegen zahlreicher Spannungen hat dieser den elterlichen Haushalt Mitte April 2010 verlassen. Er lebt in einem Lehrlingsheim in I._, wo er betreut wird; durch dessen Vermittlung hat er im August 2011 schliesslich eine Lehrstelle gefunden. Die Beschwerdeführerin 1 kann sich deshalb für ihren weiteren Verbleib nicht auf einen (allenfalls von ihrem Sohn) abgeleiteten Anspruch aus Art. 3 Abs. 6 des Anhangs I FZA berufen, da sie sich - entgegen der Rechtsprechung des EuGH zu Art. 12 der Verordnung Nr.1612/68 - nicht mehr um diesen kümmert, selbst wenn er über einen Aufenthaltsanspruch verfügen würde. Die EuGH-Rechtsprechung i.S. Zhu und Chen (C-200/02 vom 19. Oktober 2004) fände auf sie im Rahmen von Art. 24 Anhang I FZA keine Anwendung, da weder ihre Kinder noch sie selber hinreichende finanzielle Mittel besitzen, um für die Familie in der Schweiz aufkommen zu können. Auch aus dem freizügigkeitsrechtlichen Diskriminierungsverbot von Art. 2 FZA ergibt sich nichts anderes: Verfügt keines der Kinder über ein freizügigkeitsrechtliches Aufenthaltsrecht in der Schweiz, kann sich die Frage einer Ungleichbehandlung vom sorgeberechtigten Drittstaatsangehörigen im umgekehrten Familiennachzug (zu Schweizer Kindern) nicht stellen; im Übrigen bleibt diesbezüglich regelmässig ebenfalls eine fortgesetzte und erhebliche Sozialhilfeabhängigkeit vorbehalten (Urteile 2C_234/2010 vom 11. Juli 2011 E. 2.4.3; 2C_54/2011 vom 16. Juni 2011 E. 2.2; 2C_327/2010 / 2C_328/2010 vom 19. Mai 2011 E. 5.2.5).
5.
5.1. Auch aus Art. 8 Ziff. 1 EMRK ergibt sich für die Beschwerdeführer kein Aufenthaltsanspruch. Keiner von ihnen verfügt nach dem Gesagten über ein gefestigtes freizügigkeits- oder nationalrechtliches Anwesenheitsrecht; sie haben das Land gemeinsam zu verlassen und können ihr Familienleben in der gemeinsamen Heimat pflegen (vgl. BGE 122 II 289 E. 3b S. 297). Ein konventionsrechtlicher Anwesenheitsanspruch setzt eine tatsächlich gelebte familiäre Beziehung voraus: Zwischen Mutter und Sohn, der inzwischen auch volljährig geworden ist, besteht keine solche mehr, auch ist kein Abhängigkeitsverhältnis ersichtlich. Die in der Schweiz geborene Beschwerdeführerin 3 ist erst sechs Jahre alt. Sie befindet sich noch in einem anpassungsfähigen Alter (vgl. BGE 122 II 289 E. 3c S. 298) und hat noch keine über die engeren Familienbande reichenden sozialen Kontakte geknüpft, die eigenständig im Rahmen des Schutzes des Privatlebens von Art. 8 EMRK bzw. Art. 13 BV ins Gewicht fallen würden. Sie teilt ausländerrechtlich das Schicksal ihrer sorgeberechtigten Mutter.
5.2.
5.2.1. Die Beschwerdeführerin 1 lebt erst seit rund sieben Jahren im Land. Sie ist im Alter von 27 Jahren in die Schweiz eingereist und mit den Verhältnissen in ihrer Heimat, wo sie aufgewachsen und sozialisiert worden ist, vertraut. Sie hat dort als Künstlerin, Schauspielerin und Synchronsprecherin gearbeitet und vor der Ausreise in die Schweiz über eine eigene Wohnung verfügt, die sie verkauft hat. In Ulaanbaatar halten sich weitere Angehörige (Mutter/Geschwister) auf, welche ihr beistehen und Halt bieten können. Zwar ist sie durch das Scheitern der Ehe und wegen ihrer unsicheren Zukunft zurzeit psychisch beeinträchtigt; wie die Vorinstanz für das Bundesgericht indessen verbindlich (vgl. Art. 105 Abs. 2 BGG) festgestellt hat, ist ihre medizinische Behandlung auch in der Mongolei sichergestellt. Es bestehen dort neben 35 ambulanten Kliniken, 7 Tageskliniken, 21 stationäre Einrichtungen und ein Spital für psychische Krankheiten. Diverse Psychopharmaka und Antidepressiva sind ebenfalls erhältlich (vgl. das Urteil des BVGer. D-4257/2008 vom 5. Oktober 2009 E. 6.3).
5.2.2. Der Umstand, dass die Beschwerdeführerin mittelgradig depressiv ist und im Zusammenhang mit ihrer Rückkehr zurzeit Selbstmordgedanken hegt, begründet für sich allein keinen Anspruch auf einen weiteren Verbleib im Land. Die schweizerischen Behörden sind gehalten, im Rahmen der konkreten Rückkehrmassnahmen alles ihnen Zumutbare vorzukehren, um medizinisch bzw. betreuungsweise sicherzustellen, dass das Leben und die Gesundheit der Beschwerdeführerin und ihrer Kinder nicht beeinträchtigt werden; sie sind indessen nicht verpflichtet, im Hinblick auf die momentan kritische Situation in Abweichung von den gesetzlichen Vorgaben dem Ansinnen der Beschwerdeführerin 1 auf Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung (und den damit verbundenen weiteren Fürsorgeleistungen) im Rahmen von Art. 8 EMRK zu entsprechen.
6.
Bei dieser Ausgangslage können sich die Beschwerdeführer auch nicht auf einen nachehelichen Härtefall im Sinne von Art. 50 Abs. 1 lit. b AuG berufen: Danach besteht der Bewilligungsanspruch nach einer gescheiterten Ehe bzw. Familiengemeinschaft fort, falls wichtige persönliche Gründe einen weiteren Aufenthalt der ausländischen Familienmitglieder in der Schweiz erforderlich machen (vgl. BGE 137 II 345 E. 3.2 S. 348 ff.). Entscheidend ist, ob die persönliche, berufliche und familiäre Eingliederung der betroffenen ausländischen Person bei einer Rückkehr in ihre Heimat als stark gefährdet zu gelten hätte, und nicht, ob ein Leben in der Schweiz einfacher wäre und - aus welchen Gründen auch immer - vorgezogen würde (vgl. BGE 137 II 345 E. 3.2.3 S. 350). Ein persönlicher, nachehelicher Härtefall setzt aufgrund der gesamten Umstände eine erhebliche Intensität der Konsequenzen für das Privat- und Familienleben voraus, die mit der Lebenssituation nach dem Dahinfallen der abgeleiteten Anwesenheitsberechtigung verbunden sein muss (vgl. BGE 137 II 345 E. 3.2.3 S. 350). Zwar mag der Beschwerdeführerin 1 aufgrund ihrer derzeitigen gesundheitlichen Probleme die Pflicht schwerfallen, das Land verlassen zu müssen. Der blosse Umstand, dass das Gesundheits- oder Sozialversicherungswesen in einem anderen Staat nicht mit jenem in der Schweiz vergleichbar ist und die hiesige medizinische Versorgung einem höheren Standard entspricht, hat jedoch nicht bereits die Unzumutbarkeit einer Rückkehr in die früheren Verhältnisse zur Folge (vgl. das Urteil 2C_833/2011 vom 6. Juni 2012 E. 3.3.2; BGE 128 II 200 E. 5.3). Es handelt sich hierbei um keinen wichtigen persönlichen Grund, der einen weiteren Aufenthalt in der Schweiz erforderlich machen würde. Auch wenn die Beschwerdeführerin heute etwas Deutsch spricht und punktuell Reinigungsarbeiten nachgeht bzw. nachgegangen ist, liegen keine persönlichen Umstände vor, welche einen nachehelichen Härtefall begründen; dies auch dann nicht, wenn die Situation der Kinder mitberücksichtigt wird.
7.
7.1. Die Beschwerdeführer verfügen über keinen Rechtsanspruch auf die beantragte weitere Anwesenheit in der Schweiz. Ob und wieweit ihnen oder einem Teil von ihnen gestützt auf Art. 30 Abs. 1 lit. b AuG allenfalls eine allgemeine Härtefallbewilligung erteilt werden könnte, wofür gewisse Gründe sprechen mögen (begonnene Ausbildung des Beschwerdeführers 2 usw.), kann das Bundesgericht nicht prüfen, da sich seine Zuständigkeit auf Anspruchsbewilligungen beschränkt (vgl. Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG und Art. 96 AuG; vgl. oben E. 1.2.1). Die Beschwerde ist deshalb abzuweisen, soweit sie nicht gegenstandslos geworden ist (vgl. E. 1.2.3) und darauf eingetreten werden kann.
7.2. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend würden die Beschwerdeführer kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG). Da ihre Eingabe jedoch nicht zum Vornherein aussichtslos war, ist dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung zu entsprechen (Art. 64 BGG).

rulings:
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten und sie nicht gegenstandslos geworden ist.
2.
Den Beschwerdeführern wird die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung gewährt.
2.1. Es werden keine Kosten erhoben.
2.2. Rechtsanwältin Antonia Kerland, wird als unentgeltliche Rechtsbeiständin der Beschwerdeführer bestellt und aus der Gerichtskasse mit Fr. 3'000.-- entschädigt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten sowie dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 2. Kammer, und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 22. März 2013
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Hugi Yar


facts:
Sachverhalt:
Sachverhalt:
A. A.a Mit Beschluss vom 16. Dezember 1997 nahm der Regierungsrat des Kantons Zug unter anderem die von der Klinik X._ AG betriebene Klinik X._ "mit 50 Betten, zuzüglich Säuglings- und Spezialbetten" in die Spitalliste auf. Im beigefügten Antrag der Sanitätsdirektion wurde ausgeführt, die Aufnahme sei an die Bedingung geknüpft, dass nur 50 Betten betrieben würden; entsprechend laute auch das Gesuch. Am 1. März 1998 nahm die Klinik ihren Betrieb auf und unterhielt in der Folge 52 Betten, was weder vom Regierungsrat noch von den Krankenversicherern beanstandet wurde.
Im Jahr 1999 kam es zwischen dem Zentralschweizer Krankenversicherer-Verband (ZKV) und der Klinik X._ AG zu Tarifstreitigkeiten. Nachdem die Tarifverhandlungen zu keiner Einigung geführt hatten, legte der Regierungsrat am 30. Januar 2001 nach Art. 47 KVG die Tarife fest. Dagegen führten sowohl santésuisse (als Rechtsnachfolgerin des ZKV) als auch die Klinik X._ AG Beschwerde beim Bundesrat. Im Rahmen dieses Beschwerdeverfahrens äusserte sich das Bundesamt für Justiz am 24. Dezember 2002 in einem an den Rechtsvertreter der Klinik X._ AG gerichteten Schreiben dahingehend, dass eine Überprüfung der von der Klinik geltend gemachten Kosten für die Anlagennutzung nur mittels einer Expertise möglich wäre, deren Anordnung indessen unverhältnismässig sei. Stattdessen biete sich ein - von der Klinik akzeptierter - Vergleich mit der von der Zentralstelle für Medizinaltarife UVG vorgenommenen Berechnung der normativen Investitions- und Grundstückskosten an, welche zwar erst ab 2000 (auf der Grundlage von 66 Betten) vorliege, aber auch für das Jahr 1999 (in welchem Jahr die Klinik nur über 52 Betten verfügt habe) herangezogen werden könne. Die Klinik X._ AG machte von der ihr eingeräumten Gelegenheit zur Stellungnahme am 27. Januar 2003 Gebrauch und führte unter anderem zur Bettenzahl aus, dass sie grundsätzlich 52 durchschnittlich betriebene, KVG-relevante Betten (gemäss Spitalliste) habe und effektiv 66 Betten im Haus seien, um die saisonalen Schwankungen auffangen und auf den wechselnden Patientenmix in der Versicherungsklasse (Einbettzimmer, welche auch als Zweibettzimmer genutzt werden können) flexibel reagieren zu können; für die Berechnung der Anlagennutzungskosten seien daher die effektiven Betten massgebend. Diese Stellungnahme wurde in der Folge den übrigen Verfahrensparteien (Regierungsrat sowie santésuisse) zugestellt. Mit Eingabe vom 18. Februar 2003 an das Bundesamt für Justiz vertrat die Gesundheitsdirektion die Auffassung, es sei nicht haltbar, die Planbettenzahl gemäss Spitalliste nach Gutdünken der Klinik auf 66 aufzustocken. Der Rechtsvertreter von santésuisse wies mit Schreiben vom 24. Februar 2003 "mit allem Nachdruck" darauf hin, dass bloss 50 Betten in die Spitalliste aufgenommen worden seien, weshalb sich das Berechnungsmodell nicht auf eine höhere Bettenzahl beziehen dürfe. Ob effektiv 66 Betten im Haus seien, sei nicht von Bedeutung. Diese Auffassung bekräftigte er mit Eingabe vom 13. März 2003. Mit Entscheid vom 2. Juli 2003 hiess der Bundesrat die beiden Beschwerden teilweise gut und legte die Tagespauschale für die allgemeine Abteilung neu fest. Dabei ging er für die Berechnung der Anlagennutzungskosten von einer bereits seit 1998 bestehenden Bettenzahl von 66 aus mit der Begründung, für die Tarifberechnung sei von den effektiven Verhältnissen auszugehen, auch wenn sie der Spitalliste klar widersprächen.
A.b Anlässlich des Antrittsbesuchs des neuen Direktors der Klinik X._ am 13. März 2003 konfrontierte die Gesundheitsdirektion die Vertreter der Klinik mit der Aussage betreffend die effektive Bettenzahl gemäss Rechtsschrift vom 27. Januar 2003. Am 9. April 2003 richtete die Gesundheitsdirektion sodann ein Schreiben an die Klinik X._ AG, in welchem sie unter Bezugnahme auf die erwähnte Rechtsschrift vom 27. Januar 2003, die seitherigen Gespräche sowie einen Artikel in der Neuen Zuger Zeitung vom 3. April 2003 ausführte, dass sie sich veranlasst sehe, ein Verfahren betreffend Bettenzahl einzuleiten. In ihrem Antwortschreiben vom 28. April 2003 stellte sich die Klinik X._ AG auf den Standpunkt, es sei bereits seit längerem bekannt, dass sie 66 Betten betreibe, und verwies dazu unter anderem auf einen Artikel in der Neuen Zuger Zeitung vom 15. Mai 2001, in welchem bereits von 66 Betten zu Spitzenzeiten (durchschnittlich 52 Betten) die Rede war. Die Spitalplanung beziehe sich nur auf Betten der Allgemeinabteilung; der Kanton sei nicht befugt, die Bettenzahl auf den Zusatzversicherungsabteilungen zahlenmässig zu beschränken. Sie habe die KVG-relevante Auslastungsgrenze von Betten in all den Jahren ihres Bestehens nie überschritten. Am 5. Mai 2003 reichte sie eine Jahresstatistik nach, gemäss welcher sie in den Jahren von 1998-2003 in Bezug auf die Zahl von 50 Betten eine Auslastung von 39.36-76.02 % erzielt habe. Am 27. Mai 2003 beschloss der Regierungsrat, gemäss rechtskräftiger Spitalliste dürfe die Klinik X._ maximal 50 Krankenbetten für Erwachsene, zuzüglich Säuglings- und Spezialbetten, betreiben, was für alle Versicherungsklassen gelte; die Klinik wurde aufgefordert, den Kapazitätsbeschränkungen innert vier Monaten uneingeschränkt Beachtung zu schenken. Gegen diesen Beschluss erhob die Klinik X._ AG am 1. Juli 2003 Beschwerde an den Bundesrat. Darin führte sie aus, sie betreibe, was seit langem bekannt sei, 66 Betten. Die Spitalplanung und die darin festgelegte Bettenzahl gelte nicht für die Zusatzversicherungsbetten. Zudem überschreite sie die festgelegte Zahl von 50 Betten nicht, da es sich bei 17 ihrer Betten um Spezialbetten handle, welche zusätzlich zu den 50 Betten zulässig seien. Der Bundesrat folgte der Auffassung der Klinik X._ AG, wonach im Bereich der Zusatzversicherungsbetten keine Planungshoheit bestehe, nicht und wies die Beschwerde mit Entscheid vom 13. April 2005 ab. Auf die von der Klinik X._ AG hiergegen eingereichte Verwaltungsgerichtsbeschwerde trat das damalige Eidgenössische Versicherungsgericht (seit 1. Januar 2007: Bundesgericht) mit Urteil K 71/05 vom 28. Dezember 2005 (publiziert in BGE 132 V 6) nicht ein.
A.c Mit Schreiben vom 18. Juli 2003 verlangte santésuisse Zentralschweiz von der Klinik X._ AG eine Rückforderung ungerechtfertigt erbrachter Leistungen im Umfang von Fr. 11'437'541.-, weil gemäss Darstellung der Klinik X._ AG im Tariffestsetzungsverfahren vor dem Bundesrat entgegen der Spitalliste 66 statt 50 Betten betrieben worden seien.
A.c Mit Schreiben vom 18. Juli 2003 verlangte santésuisse Zentralschweiz von der Klinik X._ AG eine Rückforderung ungerechtfertigt erbrachter Leistungen im Umfang von Fr. 11'437'541.-, weil gemäss Darstellung der Klinik X._ AG im Tariffestsetzungsverfahren vor dem Bundesrat entgegen der Spitalliste 66 statt 50 Betten betrieben worden seien.
B. Am 31. März 2004 erhoben die im Rubrum erwähnten Krankenversicherer, vertreten durch santésuisse Zentralschweiz, Klage beim Verwaltungsgericht des Kantons Zug als Schiedsgericht nach Art. 89 KVG mit dem Rechtsbegehren, es sei der Rückforderungsbetrag, welchen die Klinik X._ AG als Beklagte wegen Verstosses gegen die Spitalliste für die Jahre 1998 bis 2003 rückzuerstatten habe, zu ermitteln, und die Beklagte zu verpflichten, diesen Betrag nebst 5 % Zins seit 1. Januar 2001 zurückzuerstatten. Den Klägern sei Gelegenheit zu geben, ihre Ansprüche nach Abschluss des Beweisverfahrens zu präzisieren; unter Kosten- und Entschädigungsfolge zulasten der Beklagten.
Die Klinik X._ AG beantragte die Abweisung der Klage, soweit darauf einzutreten sei. Sie bestritt bezüglich einiger Klägerinnen die sachliche Zuständigkeit des Schiedsgerichts, da das vertraglich vereinbarte Schlichtungsverfahren nicht durchgeführt worden sei. Des Weitern machte sie Verwirkung der Forderung geltend. Replicando erweiterten die Kläger ihr Rückforderungsbegehren auf das Jahr 2004; die Klinik X._ AG beantragte duplicando Nichteintreten auf die Klageerweiterung und hielt im Übrigen an den in der Klageantwort gestellten Anträgen fest.
Mit Entscheid vom 19. April 2006 wies das Schiedsgericht die Klage ab, soweit es darauf eintrat. Zur Zuständigkeit führte es aus, ein lediglich vertraglich vereinbartes Vermittlungsverfahren schliesse die direkte Einreichung einer Klage beim Schiedsgericht nicht aus; ohnehin habe im Zeitpunkt der Klageeinreichung keine entsprechende Vereinbarung mehr bestanden. In der Sache erwog es, spätestens mit der Zustellung der Eingabe der Beklagten vom 27. Januar 2003 hätten die Kläger Kenntnis erhalten, dass die Beklagte 66 Betten betreibe. Die am 31. März 2004 eingereichte Klage sei demnach verwirkt. Zudem könnten in Kenntnis der Unrechtmässigkeit vorbehaltlos ausgerichtete Leistungen nicht mehr zurückgefordert werden, was mindestens für die ab Anfang Februar 2003 geleisteten Zahlungen zutreffe. Die Frage nach der Zulässigkeit der Klageerweiterung für die Leistungen des Jahres 2004 sei unter diesen Umständen nicht mehr von entscheidender Bedeutung. Da das Schiedsgericht in seiner Praxis die Klageerweiterung nicht zulasse, stelle sich einzig die Frage, ob das Gericht nicht gehalten gewesen wäre, die Kläger auf die Unzulässigkeit der Klageerweiterung hinzuweisen; selbst wenn man dies annähme, wäre aber die Rückforderung der in Kenntnis der Unrechtmässigkeit erbrachten Leistungen ausgeschlossen.
Mit Entscheid vom 19. April 2006 wies das Schiedsgericht die Klage ab, soweit es darauf eintrat. Zur Zuständigkeit führte es aus, ein lediglich vertraglich vereinbartes Vermittlungsverfahren schliesse die direkte Einreichung einer Klage beim Schiedsgericht nicht aus; ohnehin habe im Zeitpunkt der Klageeinreichung keine entsprechende Vereinbarung mehr bestanden. In der Sache erwog es, spätestens mit der Zustellung der Eingabe der Beklagten vom 27. Januar 2003 hätten die Kläger Kenntnis erhalten, dass die Beklagte 66 Betten betreibe. Die am 31. März 2004 eingereichte Klage sei demnach verwirkt. Zudem könnten in Kenntnis der Unrechtmässigkeit vorbehaltlos ausgerichtete Leistungen nicht mehr zurückgefordert werden, was mindestens für die ab Anfang Februar 2003 geleisteten Zahlungen zutreffe. Die Frage nach der Zulässigkeit der Klageerweiterung für die Leistungen des Jahres 2004 sei unter diesen Umständen nicht mehr von entscheidender Bedeutung. Da das Schiedsgericht in seiner Praxis die Klageerweiterung nicht zulasse, stelle sich einzig die Frage, ob das Gericht nicht gehalten gewesen wäre, die Kläger auf die Unzulässigkeit der Klageerweiterung hinzuweisen; selbst wenn man dies annähme, wäre aber die Rückforderung der in Kenntnis der Unrechtmässigkeit erbrachten Leistungen ausgeschlossen.
C. Die im Rubrum erwähnten Krankenversicherer erheben Verwaltungsgerichtsbeschwerde mit dem Antrag, es sei der Entscheid des Schiedsgerichts aufzuheben und die Sache zur Ermittlung der Rückforderungssumme an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Die Klinik X._ AG schliesst auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.
Die Klinik X._ AG schliesst auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.
D. Die Beschwerdeführer reichten am 10. November 2006 Gegenbemerkungen zur Vernehmlassung ein, zu welchen die Beschwerdegegnerin am 1. Dezember 2006 Stellung nahm.

considerations:
Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. 1.1 Das Bundesgesetz über das Bundesgericht vom 17. Juni 2005 (BGG; SR 173.110) ist am 1. Januar 2007 in Kraft getreten (AS 2006 1205, 1243). Mit diesem Gesetz ist die bisherige organisatorische Selbstständigkeit des Eidgenössischen Versicherungsgerichts aufgehoben und dieses mit dem Bundesgericht fusioniert worden (Seiler/von Werdt/Güngerich, Kommentar zum BGG, Bern 2007, Art. 1 N 4 und Art. 132 N 15). Weil der angefochtene Entscheid jedoch vor dem 1. Januar 2007 ergangen ist, richtet sich das Verfahren noch nach dem bis zum 31. Dezember 2006 in Kraft gewesenen Bundesgesetz vom 16. Dezember 1943 über die Organisation der Bundesrechtspflege (OG; Art. 131 Abs. 1 und Art. 132 Abs. 1 BGG; BGE 132 V 393 E. 1.2 S. 395).
1.2 Für den Streit über die Rückforderung von zu Unrecht erbrachten Leistungen der Krankenversicherer ist das in Art. 89 KVG vorgesehene Schiedsgericht zuständig (Urteil K 119/04 vom 6. Oktober 2005, E. 2.2 und 4.1), dessen Entscheid beim Bundesgericht (bis Ende 2006: Eidgenössisches Versicherungsgericht) angefochten werden kann (Art. 91 KVG). Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde ist mithin zulässig.
1.3 Beim Rückforderungsstreit zwischen Krankenversicherern und Leistungserbringern geht es nicht um Versicherungsleistungen im Sinne von Art. 132 OG (BGE 119 V 448 E. 1 S. 449; RKUV 2003 Nr. KV 250 S. 216 E. 4.1 [Urteil K 9/00 vom 24. April 2003]). Das Bundesgericht prüft daher nur, ob das vorinstanzliche Gericht Bundesrecht verletzte, einschliesslich Überschreitung oder Missbrauch des Ermessens, oder ob der rechtserhebliche Sachverhalt offensichtlich unrichtig, unvollständig oder unter Verletzung wesentlicher Verfahrensbestimmungen festgestellt wurde (Art. 132 in Verbindung mit Art. 104 lit. a und b sowie Art. 105 Abs. 2 OG).
1.3 Beim Rückforderungsstreit zwischen Krankenversicherern und Leistungserbringern geht es nicht um Versicherungsleistungen im Sinne von Art. 132 OG (BGE 119 V 448 E. 1 S. 449; RKUV 2003 Nr. KV 250 S. 216 E. 4.1 [Urteil K 9/00 vom 24. April 2003]). Das Bundesgericht prüft daher nur, ob das vorinstanzliche Gericht Bundesrecht verletzte, einschliesslich Überschreitung oder Missbrauch des Ermessens, oder ob der rechtserhebliche Sachverhalt offensichtlich unrichtig, unvollständig oder unter Verletzung wesentlicher Verfahrensbestimmungen festgestellt wurde (Art. 132 in Verbindung mit Art. 104 lit. a und b sowie Art. 105 Abs. 2 OG).
2. Die Beschwerdegegnerin macht in ihrer Vernehmlassung wie im kantonalen Verfahren geltend, die Vorinstanz hätte auf die Klage in Bezug auf einige der Beschwerdeführer wegen vertraglicher Schiedsabreden nicht eintreten dürfen.
2.1 Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen, ob die Vorinstanz zu Recht auf eine Klage eingetreten ist (BGE 128 V 89 E. 2a S. 89 f.). Die Frage ist daher zu prüfen, auch wenn die Beschwerdegegnerin selber kein Rechtsmittel eingelegt hat.
2.2 Nach Art. 25 Abs. 4 des bis Ende 1995 in Kraft gewesenen Bundesgesetzes über die Krankenversicherung vom 13. Juni 1911 (KUVG) hatte der Klage vor dem Schiedsgericht ein Vermittlungsverfahren vorauszugehen, sofern nicht schon eine vertraglich eingesetzte Vermittlungsinstanz geamtet hatte. Art. 89 KVG hat diese Regelung nicht übernommen, so dass das Bundesrecht kein Vermittlungsverfahren mehr vorschreibt (RKUV 2005 Nr. KV 318 S. 71 E. 5.1 [Urteil K 97/04 vom 22. Dezember 2004]).
Das (damalige) Eidgenössische Versicherungsgericht hat in RKUV 2004 Nr. KV 289 S. 309 E. 8 (Urteil K 143/03 vom 30. April 2004) entschieden, es sei unter der Herrschaft von Art. 89 KVG bundesrechtlich nicht zu beanstanden, wenn die Kantone weiterhin ein Schiedsgerichtsverfahren vorsehen, welchem ein Schlichtungs- oder Vermittlungsverfahren voranzugehen hat (vgl. auch RKUV 2005 Nr. KV 318 S. 71 E. 5 [Urteil K 97/04 vom 22. Dezember 2004]). Es hat aber ausdrücklich offen gelassen, wie vorzugehen ist, wenn das Erfordernis, ein Vermittlungsverfahren zu durchlaufen, nicht mehr im kantonalen Recht verankert ist, wie das im Kanton Zug unbestrittenermassen der Fall ist.
2.3 Die Beschwerdegegnerin hat auszugsweise Verträge mit einigen der beschwerdeführenden Krankenversicherern vorgelegt, in welchen als Schlichtungsinstanz eine paritätische Ad-hoc-Kommission vorgesehen ist. Aus den eingereichten Vertragsauszügen ergibt sich jedoch nur, dass die Parteien eine solche Schlichtungsinstanz anrufen, nicht aber, dass vor der Klage beim Schiedsgericht zwingend an diese Instanz zu gelangen wäre.
2.4 Im Unterschied zum Privatrecht, wo aufgrund der Privatautonomie eine Schieds- oder auch eine Gerichtsstandsvereinbarung möglich ist, wird im öffentlichen Recht die Zuständigkeit der Gerichte grundsätzlich zwingend durch das Gesetz festgelegt (vgl. Art. 7 VwVG; Benoît Bovay, Procédure administrative, Bern 2000, S. 88, 94; Fritz Gygi, Bundesverwaltungsrechtspflege, 2. Aufl., Bern 1983, S. 80; Kölz/Häner, Verwaltungsverfahren und Verwaltungsrechtspflege des Bundes, 2. Aufl., Zürich 1998, S. 85 Rz. 231). Die Zulässigkeit von gesetzlich nicht vorgesehenen, rein vertraglich vereinbarten Schiedsgerichten ist daher im öffentlichen Recht fraglich und umstritten und jedenfalls nicht ohne weiteres zu bejahen (vgl. Urteil 2A.269/1988 vom 14. Dezember 1989, E. 1b; Kölz/Häner, a.a.O., S. 85 Rz. 231; Adrian Staehelin, Das öffentlich-rechtliche Schiedsgericht, in: Privatrecht/Öffentliches Recht/ Strafrecht, Festgabe zum Schweizerischen Juristentag 1985, Basel 1985, S. 381 ff.; Thibault Blanchard, Le partage du contentieux administratif entre le juge civil et le juge administratif, Lausanne 2005, S. 125 ff.; Merkli/Aeschlimann/Herzog, Kommentar zum Gesetz vom 23. Mai 1989 über die Verwaltungsrechtspflege des Kantons Bern, Bern 1997, N 11 zu Art. 3; Kölz/Bosshard/Röhl, Kommentar zum Verwaltungsrechtspflegegesetz des Kantons Zürich, 2. Aufl., Zürich 1999, N 2 zu § 5). Zumindest muss aber im Hinblick auf die zwingende Natur der gesetzlichen Zuständigkeitsordnung verlangt werden, dass nur mit einer unzweideutigen vertraglichen Regelung ein zwingendes Schiedsgericht vereinbart werden kann. Dem genügen die vorgelegten Vertragsklauseln nicht, soweit ein Schieds- oder Schlichtungsverfahren im massgeblichen (Art. 89 Abs. 5 KVG) kantonalen Recht nicht vorgesehen ist. Sie regeln eine Schlichtungsinstanz, die ohne weiteres im beidseitigen Einvernehmen der Parteien angerufen werden kann. Doch kann gestützt darauf einer Partei nicht das Recht verwehrt werden, direkt das staatliche Gericht anzurufen. Die Vorinstanz ist daher mit Recht auf die Klage eingetreten.
2.4 Im Unterschied zum Privatrecht, wo aufgrund der Privatautonomie eine Schieds- oder auch eine Gerichtsstandsvereinbarung möglich ist, wird im öffentlichen Recht die Zuständigkeit der Gerichte grundsätzlich zwingend durch das Gesetz festgelegt (vgl. Art. 7 VwVG; Benoît Bovay, Procédure administrative, Bern 2000, S. 88, 94; Fritz Gygi, Bundesverwaltungsrechtspflege, 2. Aufl., Bern 1983, S. 80; Kölz/Häner, Verwaltungsverfahren und Verwaltungsrechtspflege des Bundes, 2. Aufl., Zürich 1998, S. 85 Rz. 231). Die Zulässigkeit von gesetzlich nicht vorgesehenen, rein vertraglich vereinbarten Schiedsgerichten ist daher im öffentlichen Recht fraglich und umstritten und jedenfalls nicht ohne weiteres zu bejahen (vgl. Urteil 2A.269/1988 vom 14. Dezember 1989, E. 1b; Kölz/Häner, a.a.O., S. 85 Rz. 231; Adrian Staehelin, Das öffentlich-rechtliche Schiedsgericht, in: Privatrecht/Öffentliches Recht/ Strafrecht, Festgabe zum Schweizerischen Juristentag 1985, Basel 1985, S. 381 ff.; Thibault Blanchard, Le partage du contentieux administratif entre le juge civil et le juge administratif, Lausanne 2005, S. 125 ff.; Merkli/Aeschlimann/Herzog, Kommentar zum Gesetz vom 23. Mai 1989 über die Verwaltungsrechtspflege des Kantons Bern, Bern 1997, N 11 zu Art. 3; Kölz/Bosshard/Röhl, Kommentar zum Verwaltungsrechtspflegegesetz des Kantons Zürich, 2. Aufl., Zürich 1999, N 2 zu § 5). Zumindest muss aber im Hinblick auf die zwingende Natur der gesetzlichen Zuständigkeitsordnung verlangt werden, dass nur mit einer unzweideutigen vertraglichen Regelung ein zwingendes Schiedsgericht vereinbart werden kann. Dem genügen die vorgelegten Vertragsklauseln nicht, soweit ein Schieds- oder Schlichtungsverfahren im massgeblichen (Art. 89 Abs. 5 KVG) kantonalen Recht nicht vorgesehen ist. Sie regeln eine Schlichtungsinstanz, die ohne weiteres im beidseitigen Einvernehmen der Parteien angerufen werden kann. Doch kann gestützt darauf einer Partei nicht das Recht verwehrt werden, direkt das staatliche Gericht anzurufen. Die Vorinstanz ist daher mit Recht auf die Klage eingetreten.
3. 3.1 Die Vorinstanz hat erwogen, grundsätzlich könnten die Krankenversicherer gemäss Art. 25 ATSG (in Verbindung mit Art. 1 Abs. 1 KVG) bzw. nach dem in der Krankenversicherung vor Inkrafttreten des ATSG analog anwendbaren aArt. 47 AHVG (in Kraft bis 31. Dezember 2002; vgl. BGE 126 V 23 E. 4a; zur zeitlichen Anwendbarkeit dieser beiden Bestimmungen: BGE 130 V 318) Leistungen zurückverlangen, soweit die Beschwerdegegnerin mehr Patienten zu Lasten der obligatorischen Krankenpflegeversicherung behandelt habe, als in der Spitalliste Betten zugelassen waren.
3.2 Die obligatorische Krankenpflegeversicherung vergütet nur Leistungen, welche von zugelassenen Leistungserbringern erbracht werden (Art. 35 ff. sowie Art. 41 Abs. 1 KVG; Gebhard Eugster, Krankenversicherung, in: Schweizerisches Bundesverwaltungsrecht [SBVR], Soziale Sicherheit, 2. Aufl., Basel 2007, S. 652 f. Rz. 772). Werden Vergütungen an nicht zugelassene Leistungserbringer ausgerichtet, sind sie unrechtmässig erbracht und deshalb gemäss Art. 25 ATSG in Verbindung mit Art. 1 Abs. 1 KVG zurückzuerstatten. Dies entsprach auch bereits der Rechtsprechung des damaligen Eidgenössischen Versicherungsgerichts vor Inkrafttreten des ATSG in analoger Anwendung von aArt. 47 AHVG (RKUV 1993 Nr. K 924 S. 172 E. 3 und 4 [Urteil K 84/92 vom 25. August 1993]; Urteil K 170/97 vom 23. Juni 1999, E. 5; vgl. auch Urteil K 119/04 vom 6. Oktober 2005, E. 5).
3.3 Dieser Grundsatz gilt auch für Spitäler: Wird ein Spital nicht in die Spitalliste (Art. 39 Abs. 1 lit. e KVG) aufgenommen oder widerspricht es der kantonalen Planung, so hat es keinen Anspruch auf Leistungen der obligatorischen Krankenpflegeversicherung (BGE 132 V 6 E. 2.4.1 S. 11 f., 125 V 448 E. 3b S. 453 f.; Eugster, a.a.O., S. 648 f. Rz. 762 f. und S. 652 f. Rz. 772; Alfred Maurer, Das neue Krankenversicherungsrecht, Basel 1996, S. 69; Thomas Mattig, Grenzen der Spitalplanung aus verfassungsrechtlicher Sicht, Zürich 2003, S. 38; Paul Richli, Die Spitalliste - Ein Planungsinstrument mit staats- und verwaltungsrechtlichen Geburtsgebrechen?, in: Das Recht in Raum und Zeit, Festschrift für Martin Lendi, Zürich 1998, S. 407 ff., 411; kritisch dazu Jean-Louis Duc, Révisions de la LAMal, in: Bettina Kahil-Wolff [Hrsg.], Les assurances sociales en révision, Lausanne 2002, S. 157 ff., 179 ff., mit der Argumentation, die Versicherten würden mit dieser Konsequenz ihres in Art. 41 KVG statuierten Rechts auf freie Wahl der Leistungserbringer beraubt, wobei er aber übersieht, dass Art. 41 KVG dieses Recht ausdrücklich nur in Bezug auf die zugelassenen Leistungserbringer festhält). Werden trotzdem solche Leistungen ausbezahlt, erfolgen diese unrechtmässig und sind nach Art. 25 ATSG zurückzuerstatten.
3.4 Dem kann auch nicht entgegengehalten werden, dass die Patienten, welche im planungswidrigen Spital behandelt worden sind, eine Behandlung erhalten haben, die sie sonst in einem anderen Spital (ebenfalls zu Lasten der Krankenversicherung) erhalten hätten. Denn die Spitalplanung bezweckt unter anderem eine Eindämmung der Kosten, indem der Gesetzgeber davon ausgeht, dass ein Überangebot an Betten tendenziell zu einer vermehrten Inanspruchnahme von Leistungen führt (BBl 1992 I 166 f.; BGE 132 V 6 E. 2.4.1 S. 12, 125 V 448 E. 3b S. 453 f.; E. II.3.1 des in RKUV 1997 Nr. KV 2 S. 1 publizierten Entscheids des Bundesrates vom 2. Dezember 1996; Eugster, a.a.O., S. 642 f., S. 706 Rz. 914; Maurer, a.a.O., S. 69; Richli, a.a.O., S. 411). Der Grundsatz, dass nur die in der Spitalliste enthaltenen Spitäler zugelassene Leistungserbringer sein können, dient damit auch dem Wirtschaftlichkeitsziel (Art. 32 KVG), dessen Verletzung durch Art. 56 KVG sanktioniert wird. Wurde eine Vergütung an ein nicht auf der Liste aufgeführtes Spital bezahlt, erfolgte diese zu Unrecht; die erbrachte Leistung kann aufgrund von Art. 56 Abs. 2 KVG, dessen Wortlaut nicht etwa bloss von Ärzten, sondern generell von Leistungserbringern (und damit auch von Spitälern) spricht, zurückverlangt werden.
3.5 Im angefochtenen Entscheid wird daher mit Recht von einer grundsätzlich bestehenden Rückerstattungspflicht ausgegangen.
3.5 Im angefochtenen Entscheid wird daher mit Recht von einer grundsätzlich bestehenden Rückerstattungspflicht ausgegangen.
4. Das kantonale Schiedsgericht hat indessen erwogen, die Beschwerdeführer hätten spätestens mit der Zustellung der Eingabe der Beschwerdegegnerin vom 27. Januar 2003 (Ende Januar oder Anfang Februar 2003) gewusst, dass diese mehr Spitalbetten betrieb als gemäss Spitalliste zugelassen. Die erst am 31. März 2004 erhobene Klage sei daher gemäss Art. 25 Abs. 2 ATSG bzw. aArt. 47 Abs. 2 AHVG verwirkt.
4.1 Nach Art. 25 Abs. 2 Satz 1 ATSG erlischt der Rückforderungsanspruch mit dem Ablauf eines Jahres, nachdem die Versicherungseinrichtung davon Kenntnis erhalten hat, spätestens aber mit dem Ablauf von fünf Jahren nach Entrichtung der einzelnen Leistung. Dasselbe galt nach aArt. 47 Abs. 2 Satz 1 AHVG, in welcher Bestimmung zwar von einer Verjährungsfrist die Rede war, welche aber vom Eidgenössischen Versicherungsgericht in ständiger Praxis als Verwirkungsfrist betrachtet wurde (BGE 119 V 431 E. 3a S. 433). Die gleiche Verwirkungsfrist findet auch Anwendung, soweit der Rückforderungsanspruch statt auf Art. 25 ATSG auf Art. 56 Abs. 2 KVG gestützt wird (vgl. zum Verhältnis zwischen dieser Bestimmung und Art. 25 ATSG bzw. aArt. 47 AHVG: RKUV 2002 Nr. KV 230 S. 468 E. 2.2 [Urteil K 25/02 vom 23. September 2002]), weil rechtsprechungsgemäss auch auf die dort geregelte Rückforderung die Verwirkungsfrist von aArt. 47 Abs. 2 AHVG (bzw. neu Art. 25 Abs. 2 ATSG) analog angewendet wird (RKUV 2003 Nr. KV 250 S. 216 E. 2.1 [Urteil K 9/00 vom 24. April 2003]).
4.2 Die Beschwerdeführer machen in ihrer Replik geltend, es sei nicht die Frist von Art. 25 Abs. 2 ATSG massgebend, sondern eine zehnjährige Frist, da der Betrieb von zu vielen Betten eine Verletzung des Tarifvertrags (Art. 49 KVG) darstelle und somit vertragsrechtliche Verjährungsfristen anwendbar seien. Dieser Betrachtung kann nicht gefolgt werden: Das (damalige) Eidgenössische Versicherungsgericht hat bereits entschieden, dass Rückforderungen zu Unrecht erbachter Leistungen auch dann nach aArt. 47 AHVG zu beurteilen sind und der dort enthaltenen Verwirkungsregelung unterstehen, wenn es um Rückforderungen aufgrund eines Tarifvertrags geht (RKUV 1993 Nr. K 924 S. 172 E. 3b [Urteil K 84/92 vom 25. August 1993]). Dies muss auch in Bezug auf die heute in Kraft stehende Bestimmung von Art. 25 ATSG gelten. Die Beschwerdeführer setzen sich mit dieser Rechtsprechung nicht auseinander. Es besteht kein Anlass, sie zu überprüfen, zumal die Beschwerdeführer ihren Rückforderungsanspruch daraus herleiten, dass die Beschwerdegegnerin zu viele Betten betrieben habe, die Anzahl der zugelassenen Betten jedoch nicht im Tarifvertrag, sondern in der vom Kanton erlassenen Spitalliste geregelt ist, so dass ohnehin keine Vertragsverletzung zur Diskussion steht (abgesehen davon, dass ab Juli 2000 ein vertragsloser Zustand bestand).
4.3 Die Beschwerdeführer stellen sich in ihrer Replik sodann auf den Standpunkt, bereits mit dem Schreiben vom 18. Juli 2003 sei die Frist gewahrt worden.
4.3.1 Im Privatrecht kann die Verjährung nur durch die in Art. 135 OR genannten Handlungen unterbrochen werden, wobei der dort enthaltene Begriff der Klageanhebung analog für die Wahrung einer Verwirkungsfrist gilt (BGE 110 II 387 E. 2b S. 389 f.). Im öffentlichen Recht genügen demgegenüber für die Unterbrechung der Verjährung bzw. Wahrung einer Verwirkungsfrist neben den in Art. 135 OR genannten Handlungen alle Akte, namentlich einfache schriftliche Erklärungen, mit denen die Forderung gegenüber dem Schuldner in geeigneter Weise geltend gemacht wird (BGE 87 I 411 E. 2 S. 413 ff., 85 I 180 E. 3 S. 183 f.; Urteile 1A.15/1997 vom 25. August 1997, E. 3 [ZBl 99/1998 S. 489]; 1A.315/1995 vom 10. September 1996, E. 3b [ZBl 98/1997 S. 524]; 2C.3/2005 vom 10. Januar 2007, E. 4.2, 5.4 und 5.7; 2A.553/2002 vom 22. August 2003, E. 4.7 und 4.8; SVR 2007 BVG Nr. 18 S. 61 E. 4.2.3 [Urteil B 55/05 vom 16. Oktober 2006]; Häfelin/Müller/Uhlmann, Allgemeines Verwaltungsrecht, 5. Aufl., Zürich 2006, S. 165 N 777; Attilio Gadola, Verjährung und Verwirkung im öffentlichen Recht, AJP 1995 S. 47 ff., 54; André Grisel, Traité de droit administratif, Bd. II, Neuchâtel 1984, S. 666 f.; Andrea Braconi, Prescription et péremption dans l'assurance sociale, in: Droit privé et assurances sociales, Fribourg 1990, S. 215 ff., 232; Pierre Moor, Droit administratif, Bd. II, 2. Aufl., Bern 2002, S. 86 f.), ausser wenn das anwendbare Gesetz etwas anderes (Klage usw.) vorsieht (vgl. Urteil 1A.127/1999 vom 22. Dezember 1999, E. 5b und c). Das gilt grundsätzlich auch für die Unterbrechung von Verjährungsfristen bzw. die Wahrung von Verwirkungsfristen im Sozialversicherungsrecht, insbesondere für die Geltendmachung von Leistungen, wo bereits die - auch formlose bzw. fehlerhafte - Anmeldung im Sinne von Art. 29 ATSG zur Fristwahrung ausreicht (BGE 111 V 261 E. 3b S. 264 f., 103 V 69 E. 1a S. 70; André Pierre Holzer, Verjährung und Verwirkung der Leistungsansprüche im Sozialversicherungsrecht, Zürich 2005, S. 73; Thomas Locher, Grundriss des Sozialversicherungsrechts, 3. Aufl., Bern 2003, S. 277; Ueli Kieser, ATSG-Kommentar, Zürich 2003, N 13 f. zu Art. 24, N 27 zu Art. 29). Im Beitragsrecht wird freilich zur Fristwahrung eine Verfügung verlangt (BGE 119 V 431 E. 3c S. 434). Dasselbe gilt im Bereich der Arbeitgeberhaftpflicht nach Art. 52 AHVG (BGE 119 V 89 E. 4c S. 96), wo sich dieses Erfordernis ausdrücklich aus aArt. 82 AHVV (in Kraft bis 31. Dezember 2002) ergab. In der Invalidenversicherung hat allerdings das (damalige) Eidgenössische Versicherungsgericht erkannt, dass unter der Herrschaft des Vorbescheidverfahrens bereits der Vorbescheid die Frist wahrt (BGE 119 V 431 E. 3c S. 434). Im Bereich der beruflichen Vorsorge kann demgegenüber die Frist nur mit einer der in Art. 135 OR genannten Handlungen gewahrt werden; dies wird damit begründet, dass erstens die Rückforderung sich dort nach Art. 62 ff. OR richtet, so dass das Privatrecht anwendbar ist, zweitens die Vorsorgeeinrichtungen keine Verfügungen erlassen können, sondern den Klageweg einzuschlagen haben, und drittens das BVG in aArt. 41 Abs. 1 BVG (in der bis 31. Dezember 2004 in Kraft gestandenen Fassung, welche Bestimmung mit Wirkung ab 1. Januar 2005 zu Art. 41 Abs. 2 BVG wurde) ausdrücklich auf Art. 129-142 OR verweist (SVR 2007 BVG Nr. 18 S. 61 E. 4.2.3 [Urteil B 55/05 vom 16. Oktober 2006]).
4.3.2 In der Krankenversicherung wird nach bisheriger Rechtsprechung die Verwirkungsfrist für die Rückerstattung einer vom Versicherten zu Unrecht erhaltenen Leistung durch ein formloses Schreiben der rückerstattungsberechtigten Kasse gewahrt; dies wird damit begründet, dass die Krankenversicherer nicht verpflichtet sind, die Leistungen in jedem Fall mittels Verfügung festzulegen (Art. 80 KVG; RKUV 1998 Nr. K 990 S. 251 E. 2 [Urteil K 4/97 vom 6. Februar 1998], 1990 Nr. K 835 S. 80 E. 2b [Urteil K 22/89 vom 18. Januar 1990]). In der Lehre wird allerdings die Auffassung vertreten, dass bei der Rückerstattung gemäss Art. 25 ATSG eine formlose Rückforderung nicht mehr genüge (Eugster, a.a.O., S. 616 Rz. 655; Kieser, a.a.O., N 30 zu Art. 25 ATSG). Dies lässt sich im Verhältnis zwischen Versicherer und versicherter Person allenfalls damit begründen, dass gemäss Art. 3 Abs. 1 ATSV die Rückforderung verfügt werden muss.
4.3.3 Gegenüber den Leistungserbringern kann indessen der Krankenversicherer - anders als die Versicherungsträger in anderen Bereichen der Sozialversicherung - die Rückerstattung zu viel erbrachter Leistungen nicht durch Verfügung, sondern nur durch Klage beim Schiedsgericht geltend machen (Art. 89 KVG; Urteil K 119/04 vom 6. Oktober 2005, E. 2.2 und 4.1). Auch fehlt - anders als in der beruflichen Vorsorge - ein Verweis auf privatrechtliche Bestimmungen. Die Überlegungen, welche dazu geführt haben, in einzelnen Bereichen der Sozialversicherung in Abweichung vom allgemeinen Verwaltungsrecht eine formlose Rückforderung nicht als fristwahrend gelten zu lassen, sind insoweit nicht massgebend.
4.3.4 Im Bereich der Rückerstattung von Leistungen der Krankenversicherung wegen Überarztung gemäss Art. 56 KVG bzw. Art. 23 KUVG hat das damalige Eidgenössische Versicherungsgericht in BGE 103 V 145 E. 4 S. 154 erkannt, dass die "Verjährungsfrist" rechtsgültig unterbrochen wird mit dem an die Paritätische Vertrauenskommission gerichteten Gesuch, die Rechnung eines Arztes zu überprüfen und zu kürzen. In der späteren Rechtsprechung wurde jeweils unter Berufung auf diesen Entscheid ausgeführt, zur Fristwahrung müsse das Rückforderungsbegehren bei einer vertraglichen Schlichtungsinstanz oder der gesetzlichen Vermittlungsbehörde oder direkt beim Schiedsgericht eingereicht werden (RKUV 2003 Nr. KV 250 S. 216 E. 2.2.1 [Urteil K 9/00 vom 24. April 2003]; Urteile K 50/00 vom 30. Juli 2001, E. 3a, und K 39/95 vom 11. Juli 1996, E. 5g; in RSKV 1982 Nr. 505 S. 201 auszugsweise publiziertes Urteil K 73/80 vom 4. Februar 1982, E. 4b). Im nicht publizierten Urteil K 167/04 vom 18. März 2005, E. 4.2.2, hat das damalige Eidgenössische Versicherungsgericht erkannt, eine formlose Rückerstattungsforderung sei nicht fristwahrend.
4.3.5 Die Frage nach der fristwahrenden Wirkung anderer Handlungsweisen ist entgegen dem zuletzt genannten Entscheid dort zu bejahen, wo - wie vorliegend - kein obligatorisches Schiedsverfahren besteht. Denn dies entspricht einerseits dem im öffentlichen Recht Üblichen (vgl. vorne E. 4.3.1) und ergibt sich andererseits aus folgender Überlegung: Die Gesetzgebung geht offensichtlich davon aus, dass es dem Gläubiger möglich sein soll, die Frist durch Handlungen zu wahren, die kein grosses Kostenrisiko enthalten. So kann nach Privatrecht die Frist nicht nur durch Klage, sondern auch bereits durch Schuldbetreibung oder Ladung zu einem Sühneversuch gewahrt werden (Art. 135 Ziff. 2 OR). Soweit der Rückerstattungsberechtigte eine Verfügung erlassen kann, ist auch dies für ihn ohne erhebliches Kostenrisiko. Dasselbe gilt im Bereich der Krankenversicherung, soweit eine fristwahrende Anrufung einer obligatorischen Schlichtungsinstanz möglich ist. Wenn hingegen die Frist nur durch Klage gewahrt werden könnte, wäre der Rückerstattungsberechtigte gehalten, bereits zur Fristwahrung ein Verfahren einzuleiten, welches regelmässig ein erhebliches Kostenrisiko mit sich bringt. Das erscheint im Lichte der in den einschlägigen gesetzlichen Regelungen enthaltenen Wertungen als unzumutbar. Zudem wäre die im Interesse des Rechtsfriedens und der Prozessökonomie anzustrebende und zu fördernde gütliche Regelung erheblich erschwert, wenn zwingend innert der relativ kurzen einjährigen Frist eine Klage eingereicht werden müsste; dabei ist zu berücksichtigen, dass angesichts des Verwirkungscharakters der Frist auch keine Verjährungsverzichtsvereinbarung möglich ist, wie sie sonst im Hinblick auf aussergerichtliche Vergleichsverhandlungen üblich ist. Aus diesen Gründen ist in denjenigen Fällen, in denen kein obligatorisches Schlichtungsverfahren besteht und demzufolge direkt Klage beim Gericht zu erheben ist, bereits ein vorangehender Akt, mit welchem der Gläubiger seine Forderung gegenüber dem Schuldner in geeigneter Form geltend macht, als fristwahrend zu betrachten.
4.4 Mit Schreiben vom 18. Juli 2003 haben die Beschwerdeführer von der Beschwerdegegnerin eine Rückforderung im Betrag von Fr. 11'437'541.- verlangt mit der Begründung, die Beschwerdegegnerin habe gemäss ihren eigenen Angaben 66 Betten betrieben; die Krankenversicherer hätten daher für Spitalbehandlungen Leistungen ausgerichtet, für welche teilweise die gesetzlichen Voraussetzungen fehlten. Die Beschwerdeführer haben damit ihre Forderung unmissverständlich geltend gemacht. Bei dieser Sachlage ist die einjährige Verwirkungsfrist mithin gewahrt, sofern sie nicht vor dem 19. Juli 2002 zu laufen begonnen hat.
4.4 Mit Schreiben vom 18. Juli 2003 haben die Beschwerdeführer von der Beschwerdegegnerin eine Rückforderung im Betrag von Fr. 11'437'541.- verlangt mit der Begründung, die Beschwerdegegnerin habe gemäss ihren eigenen Angaben 66 Betten betrieben; die Krankenversicherer hätten daher für Spitalbehandlungen Leistungen ausgerichtet, für welche teilweise die gesetzlichen Voraussetzungen fehlten. Die Beschwerdeführer haben damit ihre Forderung unmissverständlich geltend gemacht. Bei dieser Sachlage ist die einjährige Verwirkungsfrist mithin gewahrt, sofern sie nicht vor dem 19. Juli 2002 zu laufen begonnen hat.
5. Zu prüfen ist somit der Fristbeginn.
5.1 Im Unterschied etwa zur Regelung von Art. 67 OR beginnt die einjährige Verwirkungsfrist gemäss Art. 25 Abs. 2 ATSG bzw. aArt. 47 Abs. 2 AHVG nicht erst mit der tatsächlichen Kenntnis. Massgebend für die Auslösung der einjährigen Verwirkungsfrist ist vielmehr der Zeitpunkt, in dem der Gläubiger bei Beachtung der ihm zumutbaren Aufmerksamkeit hätte erkennen müssen, dass die Voraussetzungen für eine Rückforderung gegeben waren (BGE 124 V 380 E. 1 S. 383, 122 V 270 E. 5a S. 274 f., 119 V 431 E. 3a S. 433, 110 V 304 E. 2b S. 305 ff.). Dies ist der Fall, wenn alle im konkreten Einzelfall erheblichen Umstände zugänglich sind, aus deren Kenntnis sich der Rückforderungsanspruch dem Grundsatz nach und in seinem Ausmass gegenüber einem bestimmten Rückerstattungspflichtigen ergibt. Es genügt nicht, dass bloss Umstände bekannt sind, die möglicherweise zu einem Rückforderungsanspruch führen können, oder dass der Anspruch nur dem Grundsatz nach, nicht aber in masslicher Hinsicht feststeht (BGE 128 V 10 E. 5a S. 12 f., 112 V 180 E. 4a S. 181 f.). Verfügt die Kasse über hinreichende, aber noch unvollständige Hinweise auf einen möglichen Rückforderungsanspruch, hat sie allenfalls noch erforderliche Abklärungen innert angemessener Zeit vorzunehmen. Unterlässt sie dies, ist der Beginn der Verwirkungsfrist auf den Zeitpunkt festzusetzen, in welchem die Verwaltung ihre unvollständige Kenntnis mit dem erforderlichen und zumutbaren Einsatz so zu ergänzen im Stande war, dass der Rückforderungsanspruch hätte geltend gemacht werden können (BGE 112 V 180 E. 4b S. 182; SVR 2001 IV Nr. 30 S. 93 E. 2e [Urteil I 609/98 vom 19. Oktober 2000]). Ergibt sich jedoch aus den vorliegenden Akten bereits die Unrechtmässigkeit der Leistungserbringung, beginnt die einjährige Frist, ohne dass Zeit für eine weitere Abklärung zugestanden würde (BGE 119 V 431 E. 3b S. 433 f.; Ulrich Meyer-Blaser, Die Rückerstattung von Sozialversicherungsleistungen, ZBJV 131/1995 S. 473 ff., 480; vgl. auch für das Privatrecht BGE 127 III 421 E. 4b S. 427 f.). Bei der Rückforderung von Leistungen gegenüber Ärzten (Art. 56 Abs. 2 KVG) ist nach der Rechtsprechung der fristauslösende Zeitpunkt die Kenntnis der Behandlungsfall-Statistik des Konkordates der Schweizerischen Krankenkassen (KSK-Statistik [heute: Rechnungsstellerstatistik der santésuisse]), weil dies eine genügende Grundlage für die geltend gemachte Rückforderung darstellt (BGE 103 V 145 E. 4 S. 154; RKUV 2003 Nr. KV 250 S. 216 E. 2.2.1 m.H. [Urteil K 9/00 vom 24. April 2003]). Ob der Vorwurf unwirtschaftlicher Behandlung effektiv auch gerechtfertigt ist und in welchem Umfang gegebenenfalls die Rückerstattung zu Unrecht erbrachter Leistungen verlangt werden kann, ist alsdann Gegenstand des (schiedsgerichtlichen) Beweisverfahrens (Urteil K 39/95 vom 11. Juli 1996, E. 5b; vgl. BGE 116 II 215 E. 4a S. 219).
5.2 Die streitige Rückforderung wird damit begründet, dass die Beschwerdegegnerin mehr Betten als gemäss Spitalliste zulässig betrieben habe. Da der Rückforderungsanspruch nicht nur in grundsätzlicher, sondern auch in masslicher Hinsicht hinreichend gewiss sein muss (vorne E. 5.1), ist somit für den Fristbeginn entscheidend, in welchem Zeitpunkt die Beschwerdeführer hinreichend gewisse Kenntnis davon hatten oder zumutbarerweise hätten haben können, dass und in welchem Umfang die Beschwerdegegnerin zu viele Betten betrieb.
5.3 Die Vorinstanz erwog, bereits im Jahre 2001 hätten erste Anzeichen dafür vorgelegen, dass die Beschwerdegegnerin zumindest zeitweilig mehr als 50 Betten betrieb. So habe die Beschwerdegegnerin im Jahresbericht 2000 eine durchschnittliche Bettenauslastung von 106,6 % bei 52 betriebenen Betten ausgewiesen, was denn auch die Gesundheitsdirektion zu entsprechenden Rückfragen veranlasst habe. Es seien jedoch keine weiteren Schritte unternommen worden, obwohl am 15. Mai 2001 auch in einem Zeitungsartikel, von dem die Beschwerdeführer zumindest hätten Kenntnis nehmen können, berichtet worden sei, dass der Beschwerdegegnerin in Spitzenzeiten 66 Betten zur Verfügung stünden. Auch in den Folgejahren seien regelmässig Bettenauslastungen von über 100 % ausgewiesen worden. Zwar sei damit der Sachverhalt noch nicht klar erstellt gewesen, doch hätten die vorhandenen Anzeichen die Beschwerdeführer immerhin zu entsprechenden Nachforschungen veranlassen müssen. Spätestens mit Kenntnisnahme der Eingabe der Beschwerdegegnerin vom 27. Januar 2003 (Ende Januar bzw. Anfang Februar 2003) hätten die Beschwerdeführer hinreichend sichere Kenntnis gehabt, dass die Beschwerdegegnerin statt der gemäss Spitalliste bewilligten Betten deren 66 betrieben habe. Auch die Beschwerdegegnerin macht geltend, sie habe die tatsächliche Bettenzahl schon immer offen gelegt. Die Beschwerdeführer hätten bereits vor der besagten Eingabe von der Zahl der effektiv betriebenen Betten Kenntnis gehabt, spätestens aber seit Erhalt der Kopie des im Rahmen des Tariffestsetzungsverfahrens an die Beschwerdegegnerin gerichteten Schreibens des Bundesamtes für Justiz vom 24. Dezember 2002.
5.4 Die Feststellungen einer gerichtlichen Vorinstanz, was die Parteien in einem bestimmten Zeitpunkt gewusst oder nicht gewusst haben, sind tatsächlicher Natur (BGE 130 IV 58 E. 8.5 S. 62, 124 III 182 E. 3 S. 184) und werden vom Bundesgericht nur im Rahmen von Art. 105 Abs. 2 OG überprüft (vorne E. 1.3). Rechtsfragen sind hingegen Folgerungen, die ausschliesslich - losgelöst vom konkreten Sachverhalt - auf die allgemeine Lebenserfahrung gestützt werden (BGE 132 V 393 E. 3.3 S. 399; Urteil I 708/06 vom 23. November 2006, E. 3.1 und 3.2; Peter Münch, Berufung und zivilrechtliche Nichtigkeitsbeschwerde, in: Geiser/Münch [Hrsg.], Prozessieren vor Bundesgericht, 2. Aufl., Basel 1998, S. 135 f. Rz. 4.43; Fabienne Hohl, Procédure civile, Bd. 2, Bern 2002, S. 297 Rz. 3227), oder die Frage, ob aus festgestellten Tatsachen oder Indizien mit Recht auf bestimmte Umstände oder Rechtsfolgen geschlossen worden ist (BGE 130 IV 58 E. 8.5 S. 62, 125 III 435 E. 2a/aa S. 436 f.; Urteile 5P.199/2006 vom 13. Juli 2006, E. 4.1; 2A.545/1999 vom 31. Januar 2000, E. 2b). Rechtsfrage ist namentlich auch, wie weit eine bestimmte Sorgfaltspflicht geht (Urteil 4C.307/2005 vom 25. Januar 2006, E. 4.3).
5.5 Die Vorinstanz stellte nicht etwa fest, die Beschwerdeführer hätten vor dem Januar 2003 bereits hinreichende Kenntnis über die Voraussetzungen der Rückforderung gehabt, sondern ging davon aus, dass sie aufgrund der vorhandenen Anzeichen weitere Nachforschungen hätten anstellen müssen. Sie begründet dies einerseits mit dem Zeitungsbericht vom 15. Mai 2001, andererseits damit, dass eine Bettenbelegung von mehr als 100 % ausgewiesen worden sei. Die Beschwerdeführer bestreiten indessen, dass sie Kenntnis vom Zeitungsbericht gehabt haben; Entsprechendes wird auch von der Vorinstanz nicht festgestellt. Sodann muss entgegen der Annahme der Vorinstanz und der Beschwerdegegnerin aus einer Auslastung von mehr als 100 % nicht geschlossen werden, dass mehr als 52 Betten betrieben werden. Denn wie die Vertreter der Beschwerdegegnerin im Strafverfahren ausgeführt haben (vgl. Einstellungsverfügung des Untersuchungsrichteramts Zug vom 24. Januar 2006), werden bei der von der Beschwerdegegnerin angewendeten Berechnungsmethode sowohl der Eintritts- als auch der Austrittstag als Pflegetag erfasst, weshalb ein Kalendertag in der Statistik als zwei Pflegetage erscheinen kann und somit ein Auslastungsgrad von mehr als 100 % durchaus möglich ist. Die Krankenversicherer, denen diese Berechnungsmethode bekannt war, mussten daher aus einer Bettenbelegung von mehr als 100 % nicht auf eine zu hohe Bettenzahl schliessen. Freilich ersuchte die Gesundheitsdirektion die Beschwerdegegnerin am 28. Februar 2001 um schriftliche Stellungnahme zur durchschnittlichen Bettenauslastung von 106,6 %, weil zu vermuten sei, dass mehr als die in der kantonalen Spitalplanung vorgesehenen 52 Betten im Einsatz seien. In der Folge war dies offenbar ein Diskussionspunkt innerhalb der Gesundheitsdirektion (vgl. Einstellungsverfügung des Untersuchungsrichteramts Zug vom 24. Januar 2006). Daraus folgt aber nicht, dass auch die Beschwerdeführer entsprechende Abklärungen hätten treffen müssen. Dazu gab auch die Beschwerdegegnerin keinen Anlass: Sie wies nur in einer ersten Version der Patientenstatistik für das Jahr 1999 für einige Monate bis zu 60 Betten aus. In der später korrigierten Fassung wie auch in den Statistiken der Folgejahre waren immer bloss 52 Betten aufgeführt. In den von der Gesundheitsdirektion herausgegebenen gesamtkantonalen Patientenstatistiken 1999-2002 sind für die Beschwerdegegnerin ebenfalls durchwegs 52 Betten angegeben, ebenso in den Jahresberichten der Beschwerdegegnerin für die Jahre 1998-2002. Die Beschwerdegegnerin hat übrigens in ihrer vorinstanzlichen Klageantwort vom 23. September 2004 selber ausgeführt, die scheinbaren Widersprüche in ihren Angaben seien auf unterschiedliche Berechnungsmethoden zurückzuführen; auch aus der Aufstellung über die Parkplatzerweiterung lasse sich nicht ableiten, wie viele Betten sie ab 2002 tatsächlich betrieben habe. Auch die kantonale Gesundheitsdirektion war offenbar bis zur Eingabe der Beschwerdegegnerin vom 27. Januar 2003 der Meinung, es würden nur 52 Betten betrieben (Vernehmlassung an den Bundesrat vom 12. September 2003).
5.6 Insgesamt hatten somit die Beschwerdeführer jedenfalls bis im Jahr 2002 nicht nur keine hinreichende Kenntnis von Bestand und Umfang des Rückerstattungsanspruchs, sondern auch keinen begründeten Anlass für weitere Abklärungen. Mit der Eingabe vom 18. Juli 2003 war somit die einjährige Verwirkungsfrist gewahrt.
5.6 Insgesamt hatten somit die Beschwerdeführer jedenfalls bis im Jahr 2002 nicht nur keine hinreichende Kenntnis von Bestand und Umfang des Rückerstattungsanspruchs, sondern auch keinen begründeten Anlass für weitere Abklärungen. Mit der Eingabe vom 18. Juli 2003 war somit die einjährige Verwirkungsfrist gewahrt.
6. 6.1 Gemäss Art. 25 Abs. 2 Satz 1 ATSG verwirkt der Rückerstattungsanspruch spätestens mit dem Ablauf von fünf Jahren nach der Entrichtung der einzelnen Leistung. Da die Frist mit der Eingabe vom 18. Juli 2003 gewahrt wurde, können somit grundsätzlich die ab 19. Juli 1998 erbrachten Leistungen zurückverlangt werden. Wird der Rückerstattungsanspruch aus einer strafbaren Handlung hergeleitet, für welche das Strafrecht eine längere Verjährung vorsieht, ist gemäss Art. 25 Abs. 2 Satz 2 ATSG (analog Art. 60 Abs. 2 OR und ähnlichen Gesetzesbestimmungen) diese längere Frist massgebend. Eine Rückforderung der vor dem 19. Juli 1998 erbrachten Leistungen ist somit nur möglich, wenn - wie die Beschwerdeführer geltend machen - die längere strafrechtliche Frist zum Tragen kommt.
6.2 Die längere strafrechtliche Frist gilt auch für die Haftung der juristischen Person, deren Organe die strafbare Handlung begangen haben (BGE 125 III 339 E. 3b S. 341, 122 III 225 E. 4a S. 226 f., 118 V 193 E. 4b S. 199, 112 II 172 E. II.2c S. 190). Die Parteien stellen nicht in Abrede, dass die Personen, deren Handeln zur Diskussion steht, als Organe der Beschwerdegegnerin zu betrachten sind. Umstritten ist aber, ob für die Anwendung der längeren strafrechtlichen Verjährungsfristen nur die objektiven oder auch die subjektiven Tatbestandsmerkmale erfüllt sein müssen. Die bundesgerichtliche Rechtsprechung zu dieser Frage war lange Zeit schwankend (siehe dazu die Übersicht in BGE 106 II 213 E. 4a S. 217 f.; vgl. auch 112 II 172 E. II.2b S. 188 f.). Demgegenüber setzt nach der Rechtsprechung des (ehemaligen) Eidgenössischen Versicherungsgerichts zu aArt. 82 Abs. 2 AHVV (in Kraft gewesen bis 31. Dezember 2002) die Anwendbarkeit der längeren strafrechtlichen Verjährungsfrist die Erfüllung sowohl der objektiven als auch der subjektiven Tatbestandselemente voraus (BGE 118 V 193 E. 4a S. 197 f., 113 V 256 E. 4a S. 258 f.). Der gleichen Auffassung ist auch die neuere zivilrechtliche Rechtsprechung (BGE 121 III 204 E. 2c S. 209; in SJ 2006 I S. 221 veröffentlichtes Urteil 4C.156/2005 vom 28. September 2005, E. 3.3; Urteil 4P.105/2005 vom 31. August 2005, E. 4). Erforderlich ist zudem, dass die strafbare Handlung für den eingetretenen Schaden natürlich und adäquat kausal ist (BGE 122 III 5 E. 2c S. 8; Urteil 4C.156/2005 vom 28. September 2005, E. 3.3).
6.3 Gemäss Einstellungsverfügung des Untersuchungsrichteramts Zug vom 24. Januar 2006 wurde das gegen die verantwortlichen Personen der Beschwerdegegnerin betreffend Betrug (Art. 146 StGB) sowie unwahre Angaben über kaufmännische Gewerbe (Art. 152 StGB) eingeleitete Verfahren mangels Erfüllung des subjektiven Tatbestands eingestellt, weil den betreffenden Personen kein Vorsatz zur Last gelegt werden konnte. Zum Vorliegen des objektiven Tatbestands äussert sich die Einstellungsverfügung nicht.
6.4 Das Gericht, welches über den Haftungs- bzw. Rückerstattungsanspruch entscheidet, muss grundsätzlich vorfrageweise darüber befinden, ob eine strafbare Handlung vorliegt. Dabei gelten die gleichen beweisrechtlichen Anforderungen wie im Strafverfahren, so dass der sonst im Sozialversicherungsrecht geltende Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit nicht anwendbar ist (BGE 113 V 256 E. 4a S. 259). Liegt bereits ein verurteilendes oder freisprechendes Strafurteil vor, so ist das über den Haftungsanspruch urteilende Gericht daran gebunden. Dasselbe gilt für eine Einstellungsverfügung der zuständigen strafrechtlichen Untersuchungsbehörden, wenn sie die gleiche definitive Wirkung wie ein freisprechendes Urteil hat (BGE 118 V 193 E. 4a S. 197 f., 106 II 213 E. 3 S. 216; in SJ 2000 I S. 421 veröffentlichtes Urteil 4C.234/1999 vom 12. Januar 2000, E. 5c/aa).
6.5 Ob dies für die zugerische Einstellungsverfügung zutrifft, kann offen bleiben: Denn auch eine freie Sachverhaltswürdigung der aktenkundigen Umstände führt zum Ergebnis, dass eine Arglist im Sinne von Art. 146 StGB (Betrug) oder Art. 151 StGB (arglistige Vermögensschädigung) oder eine Absicht im Sinne von Art. 251 StGB (Urkundenfälschung) nicht vorliegt. Auch sind die Angaben der Beschwerdegegnerin zur Bettenzahl zwar nicht durchwegs konsistent und klar, ohne dass jedoch der Nachweis einer vorsätzlich unwahren oder unvollständigen Angabe im Sinne von Art. 152 StGB (unwahre Angaben über kaufmännische Gewerbe) erbracht ist.
6.6 Die Beschwerdeführer machen sodann eine Verletzung der Strafbestimmungen von Art. 92-93a KVG geltend, welche in der Einstellungsverfügung nicht geprüft wurden. Selbst wenn diese Straftatbestände als erwiesen betrachtet würden, änderte dies aber an der fünfjährigen Verwirkungsfrist nichts: Die Delikte von Art. 93 und 93a KVG verjähren in längstens drei Jahren (Art. 109 und 333 StGB; Art. 11 VStrR). Für die Delikte nach Art. 92 KVG gilt seit 1. Oktober 2002 eine Verfolgungsverjährung von siebeneinhalb Jahren (aArt. 333 Abs. 5 lit. a StGB [in der Fassung vom 22. März 2002, in Kraft gewesen vom 1. Oktober 2002 bis 31. Dezember 2006] i.V.m. aArt. 70 Abs. 3 StGB [in Kraft gewesen bis 30. September 2002]; vgl. BGE 129 IV 49 E. 5.5.1 S. 52 f.). Vor diesem Zeitpunkt galt eine Verjährungsfrist von fünf Jahren (Art. 70 StGB in der ursprünglichen Fassung). Diese Frist gilt als lex mitior (Art. 2 Abs. 2 StGB) auch für die vor dem 1. Oktober 2002 begangenen Handlungen (aArt. 337 StGB; BGE 129 IV 49 E. 5.1 S. 50 f.; Urteil 6P.184/2004 vom 9. März 2005, E. 8.1). Da die längere strafrechtliche Frist mit der Begehung der Tat beginnt (Art. 98, aArt. 71 StGB; BGE 126 III 382 E. 4a/bb S. 384), die ihrerseits für den eingetretenen Schaden natürlich und adäquat kausal sein muss (BGE 122 III 5 E. 2c S. 8; in SJ 2006 I S. 221 veröffentlichtes Urteil 4C.156/2005 vom 28. September 2005, E. 3.3), können in Bezug auf den vor dem 19. Juli 1998 entstandenen Schaden höchstens die bis zu diesem Zeitpunkt erfolgten allfälligen Verletzungen von Art. 92 lit. b KVG massgeblich sein; denn spätere falsche Angaben können nicht dazu geführt haben, dass die Beschwerdegegnerin vorher ihr nicht zukommende Leistungen erwirkt hat. Für diese Handlungen gilt aber - wie ausgeführt - auch strafrechtlich noch die fünfjährige Verjährungsfrist.
6.7 Die Rückforderung der vor dem 19. Juli 1998 erbrachten Leistungen ist demnach verwirkt.
6.7 Die Rückforderung der vor dem 19. Juli 1998 erbrachten Leistungen ist demnach verwirkt.
7. Die Vorinstanz hat sodann erwogen, die Beschwerdeführer hätten auch nach Kenntnis des Rückforderungstatbestandes ab Februar 2003 weiterhin vorbehaltlos die Rechnungen der Beschwerdegegnerin beglichen. Insoweit sei die Rückforderung deshalb unzulässig, weil in Kenntnis des Rückforderungsrechts vorbehaltlos ausgerichtete Leistungen nicht der Rückforderungspflicht unterlägen. Sie stützt ihre Auffassung auf Art. 63 OR sowie BGE 118 V 214 E. 3b S. 219 ff.
7.1 Nach Art. 63 Abs. 1 OR kann, wer eine Nichtschuld freiwillig bezahlt, das Geleistete nur dann zurückfordern, wenn er nachzuweisen vermag, dass er sich über die Schuldpflicht im Irrtum befunden hat. Das (damalige) Eidgenössische Versicherungsgericht hat diese Bestimmung auf Rückforderungsansprüche im Rahmen der beruflichen Vorsorge angewendet, weil sich hier die Rückforderung ungerechtfertigt bezogener Leistungen vor dem Inkrafttreten von Art. 35a BVG generell nach Art. 62 ff. OR richtete (BGE 128 V 236 E. 2 S. 239 f.).
7.2 In der Invalidenversicherung müssen diejenigen Rentenleistungen nicht zurückerstattet werden, welche die Verwaltung zu Unrecht ausgerichtet hat, obwohl die versicherte Person die ihr obliegenden Meldungen betreffend Änderung der Anspruchsvoraussetzungen korrekt erstattet hat. Der Grund liegt aber nicht in einer analogen Anwendung von Art. 63 OR, sondern darin, dass Art. 88bis Abs. 2 lit. b IVV für die rückwirkende Aufhebung oder Herabsetzung einer Rente klar eine Kausalität zwischen einer Meldepflichtverletzung und dem eingetretenen Schaden (unrechtmässiger Bezug von Versicherungsleistungen) voraussetzt; eine rückwirkende Aufhebung der Rente scheidet daher für die Zeit nach erfolgter Meldung aus (BGE 118 V 214 E. 3b S. 219 ff., 119 V 431 E. 4 S. 434 f.).
7.3 Demgegenüber schliesst die im Bereich der Krankenversicherung geltende Rückerstattungsordnung von aArt. 47 AHVG bzw. Art. 25 ATSG die Berufung auf Art. 62 ff. OR, namentlich auch auf Art. 63 OR, aus (RKUV 1993 Nr. K 924 S. 172 E. 4a [Urteil K 84/92 vom 25. August 1993]). Des Weitern besteht im Bereich der Krankenversicherung keine mit Art. 88bis Abs. 2 lit. b IVV vergleichbare Sonderregelung. In der Rechtsprechung wurde die Pflicht zur Rückerstattung von Leistungen, welche ein Krankenversicherer freiwillig oder irrtümlich erbracht hatte, allenfalls unter dem Blickwinkel von Treu und Glauben (Art. 9 BV bzw. Art. 4 aBV) verneint (RKUV 1999 Nr. KV 97 S. 521 E. 5 [Urteil K 19/99 vom 17. September 1999]; Urteil K 181/93 vom 11. August 1994, E. 4). Die Voraussetzungen dafür liegen hier jedoch klarerweise nicht vor, wie sich aus dem Folgenden ergibt:
7.3.1 Im System des tiers payant sind die Krankenversicherer grundsätzlich verpflichtet, die vom Leistungserbringer ausgestellten Rechnungen zu vergüten. Gemäss dem zwischen dem Kantonalverband Zugerischer Krankenversicherer und der Beschwerdegegnerin geschlossenen Tarifvertrag vom 9. März 1998 (der zwar in der Folge wegen Nichteinigung in Bezug auf die Tarifhöhe gekündigt wurde, wobei jedoch eine Übergangsregelung vereinbart wurde) muss der Krankenversicherer die einzelnen Rechnungen innert dreissig Tagen begleichen, wenn er sie nicht innert derselben Frist beanstandet. Diese Beanstandungsmöglichkeit bezieht sich zwangsläufig auf die einzelnen Patientenrechnungen. Vorliegend werfen die Beschwerdeführer der Beschwerdegegnerin jedoch nicht vor, für einzelne Patienten überhöhte Rechnungen gestellt zu haben, sondern zu viele Betten betrieben bzw. zu viele Patienten behandelt zu haben. In dieser Situation konnte es nicht in Frage kommen, einen Teil der gestellten Rechnungen nicht zu begleichen, weil ja nicht festgestellt werden kann, welche Patienten in den nicht bewilligten Betten liegen.
7.3.2 Hinzu kommt, dass auch im Nachgang zur Eröffnung des Verfahrens betreffend Bettenzahl noch lange Zeit keine Klarheit über die genaue Zahl der betriebenen Betten bestand: In der Eingabe vom 28. April 2003 stellte sich zwar die Beschwerdegegnerin auf den Standpunkt, es sei seit längerem bekannt, dass sie 66 Betten betreibe. Hauptsächlich vertrat sie darin aber die Auffassung, die Spitalplanungskompetenz der Kantone beziehe sich nicht auf die Zusatzversicherungsbetten. Eine klare Aussage, wie viele Betten unter welchen rechtlichen Annahmen betrieben werden, findet sich in dieser Stellungnahme nicht. Am 5. Mai 2003 reichte die Beschwerdegegnerin - basierend auf dieser Rechtsauffassung - der Gesundheitsdirektion eine Jahresstatistik für die Jahre 1998-2003 ein, gemäss welcher sie betreffend KVG-Betten, auf 50 Betten bezogen, eine Auslastung von weit unter 100 % (zwischen 39,36 und 76,02 %) hatte; die gesamte Bettenzahl oder Auslastung ist nicht angegeben. Mit Schreiben vom 19. Mai 2003 übermittelte sie sodann eine Patientenstatistik für das erste Quartal 2003, in welcher 52 E-Betten und 20 S-Betten, total 72 Betten, ausgewiesen wurden. In der Beschwerde vom 1. Juli 2003 an den Bundesrat führte sie einerseits aus, es sei bereits im Jahr 2001 bekannt gewesen, dass sie zu Spitzenzeiten 66 Betten betreibe. Andererseits machte sie geltend, dass sie selbst beim heutigen Betrieb mit 66 Betten die vom Regierungsrat (damaliger Beschwerdegegner) als massgeblich angesehene Bettenzahl nicht überschreite, weil sie neben den maximal 50 OKP-Betten noch Spezialbetten führen könne, wobei es sich bei 17 ihrer Betten um solche handle.
Insgesamt sind die Angaben der Beschwerdegegnerin im Nachgang zur Eingabe vom 27. Januar 2003 widersprüchlich und nicht geeignet, Klarheit zu schaffen. Es stand immer fest, dass die Spezialbetten zusätzlich zu den 50 bewilligten Betten zulässig waren. Die früher gemachten Angaben bezogen sich denn offensichtlich immer auf die Nicht-Spezialbetten, hier jedoch nicht bloss auf die Betten für Allgemeinversicherte, sondern auf die Betten über alle Kategorien. Dies ergibt sich unter anderem auch aus dem Gesuch vom 10. Oktober 2002 um Erhöhung der "in der Spitalliste festgelegte[n] Bettenzahl" auf 97 Betten. Zur Begründung wurde darin angeführt, die Klinik sei mit 50 Betten in die Spitalplanung aufgenommen worden und nun immer öfters damit konfrontiert, dass sie Patienten nicht aufnehmen könne, weil die Bettenzahl nicht ausreiche. Offensichtlich seien im Kanton Zug nicht "genügend Spitalbetten mit freier Arztwahl" vorhanden. Zwecks Wahrung einer bedarfsgerechten Spitalversorgung beantrage sie daher eine Erhöhung der "durchschnittlich betriebenen Betten von 52 auf 97 Betten". Die Zahl von 50 bzw. 97 Betten musste sich dabei offensichtlich auf die Betten sämtlicher Kategorien beziehen, denn es wäre sinnlos gewesen, die Bettenzahl ausschliesslich für Allgemeinversicherte auf über 50 zu erhöhen, wenn dafür die Auslastung deutlich unter 100 % lag. In diesem Kontext musste sich auch die Angabe der Beschwerdegegnerin in der Stellungnahme vom 27. Januar 2003, sie betreibe durchschnittlich 52 Betten, effektiv aber bis zu 66, auf die Erwachsenen-Betten sämtlicher Kategorien beziehen, ebenso die 52 deklarierten Betten gemäss Eingabe vom 19. Mai 2003. Wenn nun die Beschwerdegegnerin in diesem Zusammenhang in der Beschwerde vom 1. Juli 2003 an den Bundesrat plötzlich ausführte, von den 66 effektiv betriebenen Betten seien deren 17 Spezialbetten (die klarerweise immer zusätzlich zu den 50 Betten, welche Streitthema gebildet hatten, zulässig waren), weshalb sie auch die vom Regierungsrat (als Beschwerdegegner) als massgeblich betrachtete Bettenanzahl gar nicht überschreite, dann konnte dies nach Treu und Glauben nur so verstanden werden, dass die Beschwerdegegnerin förmlich bestritt, mehr als die auch nach Auffassung des Regierungsrates zulässige Bettenzahl zu betreiben. Insgesamt waren somit die Stellungnahmen der Beschwerdegegnerin nicht darauf ausgerichtet, die Zweifel und Fragen, die nach dem 27. Januar 2003 auftauchten, zu klären. Über die effektiv betriebene Bettenzahl und das Ausmass der Rückforderung konnte nicht einmal Mitte 2003 hinreichende Gewissheit bestehen.
7.3.3 Dass die Beschwerdeführer mit ihrem Schreiben vom 18. Juli 2003 an die Beschwerdegegnerin eine Quantifizierung des Rückforderungsanspruchs vornahmen, ändert daran nichts. Die Beschwerdegegnerin hat denn auch in ihrer Klageantwort vom 23. September 2004 diesen Rückforderungsanspruch im Quantitativ bestritten. Diese Bestreitung ist insoweit berechtigt, als die Rückerstattung entgegen der Auffassung der Beschwerdeführer nicht so berechnet werden kann, dass die Anzahl der zu Unrecht betriebenen Betten (Differenz zwischen 66 und 52, d.h. 14) mit der durchschnittlichen Auslastung multipliziert wird. Umgekehrt ist auch die auf die durchschnittliche Gesamtauslastung abstellende Methode der Beschwerdegegnerin nicht richtig. Wenn die Beschwerdegegnerin 50 beziehungsweise - wie offenbar von den Behörden und den Beschwerdeführern zugestanden - 52 Betten betreiben durfte, so sind nur, aber immerhin, für diejenigen Tage, an welchen mehr als 52 Betten belegt waren, Patiententage zu Unrecht in Rechnung gestellt worden und dies nur in dem Umfang, in welchem die Zahl der belegten Betten 52 überschritt.
Indessen konnte diese (korrekte) Berechnung aufgrund der damals bekannten Informationen nicht angestellt werden. Wenn die Beschwerdeführer unter diesen Umständen die Rechnungen vorderhand gemäss der vertraglichen Regelung weiterhin bezahlt haben, kann ihnen daraus kein Vorwurf gemacht werden, zumal sie mit der Eingabe vom 18. Juli 2003 der Beschwerdegegnerin ihre Rückforderungsabsicht klar zum Ausdruck gebracht haben. Nach Treu und Glauben musste unter diesen Umständen vielmehr die Beschwerdegegnerin erkennen, dass die Beschwerdeführer ihre Zahlungen nur unter dem Vorbehalt der Rückforderung leisteten, auch wenn im Schreiben vom 18. Juli 2003 ein solcher Vorbehalt für die künftigen Leistungen nicht ausdrücklich enthalten war.
7.4 Der angefochtene Entscheid ist daher auch in Bezug auf die Rückforderung für die ab Februar 2003 erbrachten Leistungen aufzuheben.
7.4 Der angefochtene Entscheid ist daher auch in Bezug auf die Rückforderung für die ab Februar 2003 erbrachten Leistungen aufzuheben.
8. 8.1 Die Beschwerdeführer beantragten in der an die Vorinstanz gerichteten Klage die Rückerstattung für die Jahre 1998-2003 und dehnten das Begehren in der Replik vom 6. Dezember 2004 auf das Jahr 2004 aus. Die Beschwerdegegnerin bestritt in der Duplik vom 31. Januar 2005 die Zulässigkeit einer solchen Klageänderung.
Die Vorinstanz erwog, die Frage nach der Zulässigkeit der Klageerweiterung sei nicht mehr von entscheidender Bedeutung, weil die Leistungen für das Jahr 2004 in Kenntnis des Rückforderungstatbestandes vorbehaltlos erbracht worden seien, weshalb eine Rückforderung derselben ohnehin nicht in Betracht falle. Das kantonale Recht enthalte zwar keine einschlägige Bestimmung, doch sei eine Klageerweiterung nach der Praxis des Schiedsgerichts nicht möglich, so dass an sich auf die Klage, soweit sei das Jahr 2004 betreffe, nicht einzutreten wäre. Es könne sich allerdings die Frage stellen, ob das Verwaltungsgericht nicht gehalten gewesen wäre, die Klägerinnen auf die Unzulässigkeit der Erweiterung hinzuweisen und ihnen die Möglichkeit zur separaten Klageeinreichung zu geben. Dieser Schritt habe aber unterbleiben können, nachdem festgestellt worden sei, dass eine Rückforderung der in Kenntnis der Unrechtmässigkeit weiterhin erbrachten Leistungen ohnehin nicht mehr möglich sei. - Im Dispositiv des angefochtenen Entscheids wies die Vorinstanz sodann die gesamte Klage ab, soweit sie darauf eintrat. Dabei geht nicht eindeutig hervor, ob sie auf die Klage in Bezug auf die Forderungen für das Jahr 2004 nicht eingetreten ist oder diese abgewiesen hat.
8.2 Im Verfahren der nachträglichen Verwaltungsrechtspflege ist es zulässig, die Frage des Eintretens auf eine Beschwerde offen zu lassen mit der Begründung, das Rechtsmittel sei ohnehin materiell abzuweisen. Denn es besteht hier ein angefochtener Entscheid, welcher rechtskräftig wird, unabhängig davon, ob auf die dagegen erhobene Beschwerde nicht eingetreten oder diese abgewiesen wird. Im Klageverfahren verhält es sich anders: Die Kläger haben Anspruch darauf, dass über ihr Begehren klar entweder mit einem Sach- oder einem Nichteintretensentscheid befunden wird, denn je nachdem ergeht ein rechtskraftfähiger Entscheid, welcher eine erneute Klage ausschliesst (res iudicata), oder es wird kein Sachentscheid gefällt mit der Folge, dass der geltend gemachte Anspruch erneut eingeklagt werden kann. Die Vorinstanz hat daher zu Unrecht offen gelassen, ob auf die Klageerweiterung einzutreten ist, weshalb ihr Entscheid auch in dieser Hinsicht aufzuheben ist.
8.3 Nach dem vorne in E. 7 Gesagten ist zudem festzuhalten, dass die blosse Tatsache, dass die Beschwerdeführer auch im Jahre 2004 noch Leistungen erbracht haben, die Rückerstattung nicht ausschliesst.
8.3 Nach dem vorne in E. 7 Gesagten ist zudem festzuhalten, dass die blosse Tatsache, dass die Beschwerdeführer auch im Jahre 2004 noch Leistungen erbracht haben, die Rückerstattung nicht ausschliesst.
9. Insgesamt ergibt sich, dass die Rückforderung für die ab 19. Juli 1998 erbrachten Leistungen nicht verwirkt ist. Der angefochtene Entscheid ist aufzuheben und die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen, damit sie materiell über den Rückforderungsanspruch entscheidet.
9. Insgesamt ergibt sich, dass die Rückforderung für die ab 19. Juli 1998 erbrachten Leistungen nicht verwirkt ist. Der angefochtene Entscheid ist aufzuheben und die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen, damit sie materiell über den Rückforderungsanspruch entscheidet.
10. Das Verfahren ist kostenpflichtig (Art. 134 OG e contrario). Die unterliegende Beschwerdegegnerin trägt die Gerichtskosten (Art. 156 OG) und hat den obsiegenden Beschwerdeführern eine Parteientschädigung zu bezahlen (Art. 159 OG). Die Beschwerdeführer unterlagen zwar in Bezug auf die strafrechtliche Verjährung (vorne E. 6), doch betrifft dies nur einen sehr untergeordneten Anteil der in Frage kommenden Leistungen, so dass sich eine Aufteilung nicht rechtfertigt.

rulings:
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. In teilweiser Gutheissung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird der Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Zug als Schiedsgericht gemäss Art. 89 KVG vom 19. April 2006 aufgehoben und die Sache an die Vorinstanz zurückgewiesen, damit sie im Sinne der Erwägungen über die Klage entscheide.
1. In teilweiser Gutheissung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird der Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Zug als Schiedsgericht gemäss Art. 89 KVG vom 19. April 2006 aufgehoben und die Sache an die Vorinstanz zurückgewiesen, damit sie im Sinne der Erwägungen über die Klage entscheide.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 50'000.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 50'000.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3. Der geleistete Kostenvorschuss von Fr. 50'000.- wird den Beschwerdeführern zurückerstattet.
3. Der geleistete Kostenvorschuss von Fr. 50'000.- wird den Beschwerdeführern zurückerstattet.
4. Die Beschwerdegegnerin hat den Beschwerdeführern für das Verfahren vor dem Bundesgericht eine Parteientschädigung von Fr. 15'000.- (einschliesslich Mehrwertsteuer) zu bezahlen.
4. Die Beschwerdegegnerin hat den Beschwerdeführern für das Verfahren vor dem Bundesgericht eine Parteientschädigung von Fr. 15'000.- (einschliesslich Mehrwertsteuer) zu bezahlen.
5. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Zug als Schiedsgericht gemäss Art. 89 KVG und dem Bundesamt für Gesundheit zugestellt.
Luzern, 30. Juli 2007
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin:

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