facts:
Faits :
A.
A.a. Le Ministère public neuchâtelois a ouvert une instruction pénale à l'encontre de A._ née en 1957, à raison des faits survenus dans la nuit du 2 au 3 juin 2019 et décrits dans le rapport de police établi le 9 septembre 2019. Selon ce document, le 2 juin 2019 vers 23h40, A._ circulait au volant d'un véhicule Hyundai sans phares à La Chaux-de-Fonds, lorsque des agents lui ont fait signe en vain de s'arrêter; ils ont dû contraindre la conductrice à s'arrêter, celle-ci n'ayant pas obtempéré au signal " stop police ", puis aux feux bleus. Les agents ont constaté qu'une odeur d'alcool planait dans l'habitacle du véhicule, mais A._ a refusé de souffler dans un éthylotest. Le rapport de police ajoute que, lors de son interpellation, elle a été sommée à plusieurs reprises de rester tranquille et de garder ses mains visibles sur le volant; elle n'a pas obtempéré, ce qui a contraint les agents à l'extirper de force du véhicule, puis à la menotter, compte tenu de son opposition (A._ criait et se laissait tomber par terre). Le Ministère public a ordonné la mise en oeuvre d'une prise de sang et un examen médical, mesures que A._ a refusées. Le rapport de police indique ensuite que cette dernière s'est opposée de manière virulente à ce que la gendarme B._ procède à sa fouille, dans le local prévu à cet effet, avant sa mise en cellule ordonnée par le Ministère public; elle a notamment hurlé et tenté de donner un coup de pied à la fonctionnaire de police; de plus, alors que cette dernière avait saisi A._ par le bras pour tenter de la plaquer contre un mur en attendant l'arrivée de renforts, elle s'est débattue de manière à faire perdre l'équilibre à la gendarme B._, dont la tête a percuté le mur.
A.b. Le lendemain (3 juin 2019), A._ a été entendue par la police en qualité de prévenue, assistée de Me Cyril Kleger. Elle a notamment déclaré avoir dit à la gendarme B._ qu'elle n'était pas d'accord qu'elle lui " touche les parties intimes " et lui avoir demandé qu'elle lui enlève les menottes afin qu'elle puisse se déshabiller. La prévenue a ajouté que l'agente avait refusé et l'avait saisie à la tête et qu'elle-même avait tenté de lui donner un coup de pied; l'agente l'avait alors cognée contre le mur et elle s'était ensuite débattue et avait refusé d'être fouillée. Il ressort du procès-verbal d'audition que A._ n'est pas parvenue, lors de cet interrogatoire, à souffler correctement dans cet appareil, malgré une dizaine de tentatives. Elle a encore déclaré avoir bu uniquement deux verres de mousseux de toute la soirée et avoir immobilisé immédiatement son véhicule à la vue du gyrophare.
A.c. Le 26 novembre 2019, Me Cyril Kleger a écrit au Ministère public que sa mandante s'était sentie désarçonnée par le fait que les agents avaient tenté de la soumettre " à une fouille à même la peau ", de surcroît alors qu'elle avait les mains entravées et qu'une telle démarche n'était pas adaptée aux circonstances; il a ajouté que rien ne permettait de considérer que la prévenue ait voulu se soustraire à un contrôle d'usage et que l'alcoolémie qualifiée n'était pas établie à satisfaction.
A.d. La police a établi un rapport complémentaire le 18 décembre 2019 confirmant et précisant le rapport du 9 septembre 2019.
A.e. Le 27 février 2020, Me Cyril Kleger s'est déterminé au sujet du rapport complémentaire en faisant notamment valoir que la pratique de procéder systématiquement à la fouille corporelle intégrale avant une mise en cellule était contraire au droit fédéral, que le comportement des agents avait conduit A._ à se débattre et à opposer une résistance et que la mesure de contrainte exercée par les agents avait porté atteinte à la dignité humaine de sa cliente, laquelle entendait obtenir une juste indemnité au sens de l'<ref-law>, qu'elle chiffrait à 500 francs.
B.
Le 13 janvier 2020, le Ministère public neuchâtelois a accepté de reprendre la procédure pénale bernoise qui avait été ouverte contre A._ pour des infractions à la loi fédérale sur la circulation routière (LCR; violation des règles de la circulation [<ref-law>]; violation des obligations en cas d'accident [<ref-law>], entrave aux mesures de constatation de l'incapacité de conduire [<ref-law>] et conduite sans autorisation [<ref-law>]). Il lui était reproché d'avoir à Spiez, le 22 juillet 2019, percuté et endommagé un véhicule correctement stationné sur une place de parking, puis d'avoir poursuivi sa route sans avertir le lésé ou la police; la prévenue était en outre sous le coup d'un retrait de permis pour une durée indéterminée depuis le 2 juin 2019. Entendue par la police, A._ a reconnu avoir percuté un véhicule déjà parqué.
C.
Par ordonnance pénale du 10 mars 2020, le Ministère public neuchâtelois a condamné A._ à 120 jours-amende à 30 francs le jour sans sursis, ainsi qu'à une amende de 1'350 francs avec une peine privative de liberté de substitution de 14 jours, à raison des faits survenus dans la nuit du 2 au 3 juin 2019 et le 22 juillet 2019. Le Ministère public neuchâtelois a renoncé à révoquer le sursis de quatre ans prononcé par le Ministère public de Bern-Mittelland le 18 septembre 2019 (condamnation à 96 jours-amende à 30 francs pour des faits commis le 23 juillet 2019 dont conduite sans autorisation et en incapacité de conduire [taux d'alcool d'au moins 1,8 o/oo], ainsi que violation des obligations en cas d'accident). Le Ministère public neuchâtelois a considéré que l'intéressée avait contrevenu aux dispositions suivantes: <ref-law>, art 37 et 45 du code pénal neuchâtelois (CPN), art. 10, 31, 41 al. 1, 51, 55, 90 al. 1, 91a, 92 al. 1 et 95 al. 1 let. b LCR, art. 30 et 39 de l'ordonnance sur les règles de la circulation routière (OCR).
Dans son ordonnance pénale, le Ministère public neuchâtelois a retenu en substance que A._ avait, le 2 juin 2019 vers 23h40, circulé au volant de son véhicule sans avoir enclenché les feux, qu'elle n'avait pas obtempéré au signal lumineux " stop police " et qu'elle ne s'était pas arrêtée malgré les feux bleus enclenchés, obligeant la police à lui barrer la route avec le véhicule de police. Au moment de son interpellation, A._ avait désobéi aux injonctions de la police, tout en créant du scandale. De plus, elle avait refusé de se soumettre à l'éthylotest ainsi qu'à une prise de sang, malgré une décision émanant de la procureure de permanence. Lors de sa fouille de contrôle en vue de la mise en cellule en raison de son comportement, A._ s'était montrée agressive verbalement et avait voulu donner un coup de pied à l'intervenante féminine qui s'en chargeait, rendant impossible l'accomplissement de la fouille. Le Ministère public a encore constaté que, le 22 juillet 2019, l'intéressée avait circulé à Spiez, au volant de son véhicule, alors qu'elle était sous le coup d'un retrait de permis pour une durée indéterminée depuis le 2 juin 2019 et qu'en voulant sortir d'une place de parc, elle avait touché avec sa voiture l'arrière gauche d'un véhicule stationné correctement, puis avait quitté les lieux sans aviser le lésé ou la police, violant ses devoirs en cas d'accident et se soustrayant ainsi aux examens d'usage qui auraient été ordonnés.
A._ a formé opposition contre cette ordonnance, le 23 mars 2020.
D.
Le 30 avril 2020, A._ a demandé à être mise au bénéfice de l'assistance judiciaire au vu de la peine infligée sans sursis mais également de la fouille corporelle qui, selon elle, prêtait le flanc à la critique. Le 5 mai 2020, le Ministère public neuchâtelois a rejeté cette requête aux motifs que la requérante n'avait pas démontré être indigente, qu'elle n'avait pas été condamnée à une peine pécuniaire supérieure à 120 jours-amende et que l'affaire n'était complexe ni en fait, ni en droit, si bien que l'intervention d'un avocat n'était pas nécessaire.
Par arrêt du 11 juin 2020, l'Autorité de recours en matière pénale du canton de Neuchâtel a, sur recours de l'intéressée, confirmé que celle-ci n'avait pas droit à l'assistance judiciaire.
E.
Agissant par la voie du recours en matière pénale, A._ demande au Tribunal fédéral d'annuler l'arrêt du 11 juin 2020, d'ordonner une défense d'office et de désigner Me Cyril Kleger en tant qu'avocat d'office. Elle requiert aussi l'assistance judiciaire pour la procédure devant le Tribunal fédéral.
Invités à se déterminer, le Tribunal cantonal et le Ministère public neuchâtelois ont indiqué ne pas avoir d'observations à formuler, le second concluant néanmoins au rejet du recours.

considerations:
Considérant en droit :
1.
Conformément à l'<ref-law>, une décision relative à la défense d'office dans une cause pénale peut faire l'objet d'un recours en matière pénale. La recourante, prévenue et auteure de la demande de désignation d'un défenseur d'office, a qualité pour recourir (<ref-law>). Le refus de désigner un avocat d'office à la prévenue est susceptible de lui causer un préjudice irréparable au sens de l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 2.2 p. 205; <ref-ruling> consid. 4 p. 338 s.).
Pour le surplus, le recours est formé en temps utile (<ref-law>) contre une décision rendue en dernière instance cantonale (<ref-law>) et les conclusions présentées sont recevables au regard de l'<ref-law>.
2.
Invoquant une violation de l'<ref-law>, la recourante se plaint du refus de l'instance précédente de lui désigner un avocat d'office. Elle prétend que sa cause présenterait des difficultés sur le plan des faits ou du droit qu'elle ne serait pas en mesure de surmonter seule. Ces difficultés seraient liées notamment à la question de la reprise du for et de la jonction de la procédure, ainsi qu'à celle de la fouille corporelle complète envisagée lors de son interpellation; sur ce dernier point, elle soutient de surcroît ne pas être en mesure de procéder seule à un contre-interrogatoire des agents.
2.1. En vertu de l'art. 29 al. 3 Cst., toute personne qui ne dispose pas de ressources suffisantes a droit, à moins que sa cause ne paraisse dépourvue de toute chance de succès, à l'assistance judiciaire gratuite. Si la sauvegarde de ses droits le requiert, elle a en outre le droit à la commission d'office d'un conseil juridique.
En dehors des cas de défense obligatoire visés à l'<ref-law>, l'<ref-law> soumet le droit à l'assistance d'un défenseur d'office aux conditions que le prévenu soit indigent et que la sauvegarde de ses intérêts justifie une telle assistance. S'agissant de la seconde condition, elle s'interprète à l'aune des critères mentionnés à l'art. 132 al. 2 et 3 CPP. Ainsi, les intérêts du prévenu justifient une défense d'office notamment lorsque la cause n'est pas de peu de gravité et qu'elle présente, sur le plan des faits ou du droit, des difficultés que le prévenu seul ne pourrait pas surmonter (<ref-law>). En tout état de cause, une affaire n'est pas de peu de gravité lorsque le prévenu est passible d'une peine privative de liberté de plus de quatre mois ou d'une peine pécuniaire de plus de 120 jours-amende (<ref-law>).
Si les deux conditions mentionnées à l'<ref-law> doivent être réunies cumulativement, il n'est pas exclu que l'intervention d'un défenseur soit justifiée par d'autres motifs (comme l'indique l'adverbe "notamment "), en particulier dans les cas où cette mesure est nécessaire pour garantir l'égalité des armes ou parce que l'issue de la procédure pénale a une importance particulière pour le prévenu, par exemple s'il est en détention, s'il encourt une révocation de l'autorisation d'exercer sa profession ou s'il risque de perdre la garde de ses enfants (arrêts 1B_12/2020 du 24 janvier 2020 consid. 3.1; 1B_374/2018 du 4 septembre 2018 consid. 2.1). La désignation d'un défenseur d'office peut ainsi s'imposer selon les circonstances, lorsque le prévenu encourt une peine privative de liberté de quelques semaines à quelques mois si, à la gravité relative du cas, s'ajoutent des difficultés particulières du point de vue de l'établissement des faits ou des questions juridiques soulevées, qu'il ne serait pas en mesure de résoudre seul. En revanche, lorsque l'infraction n'est manifestement qu'une bagatelle, en ce sens que son auteur ne s'expose qu'à une amende ou à une peine privative de liberté de courte durée, la jurisprudence considère que l'auteur n'a pas de droit constitutionnel à l'assistance judiciaire (<ref-ruling> consid. 3.5 p. 174).
2.2. Pour évaluer si l'affaire présente des difficultés que le prévenu ne pourrait pas surmonter sans l'aide d'un avocat, il y a lieu d'apprécier l'ensemble des circonstances concrètes. La nécessité de l'intervention d'un conseil juridique doit ainsi reposer sur des éléments objectifs, tenant principalement à la nature de la cause, et sur des éléments subjectifs, fondés sur l'aptitude concrète du requérant à mener seul la procédure (arrêt 1B_494/2019 du 20 décembre 2019 consid. 3.1 et les arrêts cités).
S'agissant de la difficulté objective de la cause, à l'instar de ce qu'elle a développé en rapport avec les chances de succès d'un recours (<ref-ruling> consid. 1.2 p. 397; <ref-ruling> consid. 2.3.1 p. 135 s.), la jurisprudence impose de se demander si une personne raisonnable et de bonne foi, qui présenterait les mêmes caractéristiques que le requérant mais disposerait de ressources suffisantes, ferait ou non appel à un avocat (<ref-ruling> consid. 9.1 p. 537). La difficulté objective d'une cause est admise sur le plan juridique lorsque la subsomption des faits donne lieu à des doutes, que ce soit de manière générale ou dans le cas particulier (arrêt 1B_538/2019 du 10 décembre 2019 consid. 3.1 et l'arrêt cité).
Quant à la difficulté subjective d'une cause, il faut tenir compte des capacités du prévenu, notamment de son âge, de sa formation, de sa plus ou moins grande familiarité avec la pratique judiciaire, de sa maîtrise de la langue de la procédure, ainsi que des mesures qui paraissent nécessaires, dans le cas particulier, pour assurer sa défense, notamment en ce qui concerne les preuves qu'il devra offrir (arrêt 1B_538/2019 du 10 décembre 2019 consid. 3.1 et les arrêts cités).
2.3. S'agissant de la première condition posée par l'<ref-law> (gravité de la cause), la cour cantonale a retenu que la présente cause n'était pas de peu de gravité, dès lors que la peine infligée dans l'ordonnance pénale du 10 mars 2020 se situait à la limite fixée à l'article 132 al. 3 CPP et que le tribunal éventuellement appelé à statuer n'était pas lié par cette peine. Il n'était pas d'emblée exclu qu'une peine supérieure soit prononcée si la recourante devait être déclarée coupable à raison de l'ensemble des faits qui lui sont reprochés. En effet, tant la conduite d'un véhicule automobile sans autorisation (<ref-law>) que l'entrave aux mesures de constatation de l'incapacité de conduire (<ref-law>) et les violences contre les autorités et les fonctionnaires (<ref-law>) étaient des délits au sens de l'article 10 al. 3 CP, susceptibles d'entrer en concours. De plus, la recourante avait un antécédent pénal (condamnation à 80 jours-amende à 30 francs en 2015 pour lésions corporelles simples et menaces).
En revanche, la juridiction précédente a considéré que la seconde condition exigée par l'<ref-law> n'était pas remplie, la présente cause ne présentant à ses yeux aucune complexité en fait ou en droit. Elle a notamment estimé qu'aucun élément du dossier ne permettait de retenir que la police aurait voulu soumettre la recourante à une fouille intégrale. Les rapports de police évoquent une " fouille complète ", respectivement une " fouille ", mais surtout, selon le premier rapport, " la gendarme a expliqué calmement comment se déroulerait la fouille. Il n'a pas été possible de finir l'explication qu[e A._] s'est mise à hurler qu'elle ne voulait pas qu'on lui «touche la chatte». Elle a continué de vociférer envers l'intervenante et a commencé à se montrer virulente (...) ". Pour la cour cantonale, la policière n'avait donc pas été en mesure d'expliquer à la recourante à quel type de fouille elle entendait procéder, si bien que les allégués d'examen des " parties intimes " ou de " fouille à même la peau " reposaient uniquement sur des extrapolations de la part de la recourante, voire des tentatives de justification a posteriori de son comportement. Quant à la question de la reprise du for par les autorités neuchâteloises, elle ne justifiait pas non plus l'assistance d'un avocat. Enfin, aucune cause ayant trait à sa propre personne (notamment son état de santé, son âge, sa formation ou son inexpérience de la pratique judiciaire) ne justifiait l'intervention d'un avocat aux côtés de la prévenue.
2.4. En l'occurrence, à l'instar de l'instance précédente, il y a lieu d'admettre que la cause n'est pas de peu de gravité. Les considérations émises sur ce point par l'instance précédente peuvent être reprises. En revanche, contrairement à l'avis de cette autorité, la présente cause n'est pas dépourvue de toute complexité et elle nécessitait l'intervention d'un avocat. En effet, il ressort de l'ordonnance pénale que la recourante a été condamnée le 10 mars 2020, sur la base de nombreuses dispositions légales fédérales et cantonales, pour des infractions - commises les 2 et 3 juin 2019 ainsi que le 22 juillet 2019 - protégeant des biens juridiques de nature différente, ce qui entraîne l'application des règles sur le concours (<ref-law>), à propos desquelles le système légal et la jurisprudence ne sont pas simples à comprendre pour une personne non juriste (cf. arrêts 1B_210/2019 du 29 juillet 2019 consid. 2.3 et 1B_481/2019 du 27 novembre 2019 consid. 2.3). De plus, le fait que la recourante a été condamnée le 18 septembre 2019 par le Ministère public de Bern-Mittelland pour des faits survenus le 23 juillet 2019 pourrait impliquer le prononcé d'une peine complémentaire au sens de l'<ref-law>, thématique non évoquée dans l'ordonnance pénale du 10 mars 2020.
A ces éléments s'ajoute le fait que la procédure revêt un enjeu important pour la recourante puisqu'il s'agit également de contester la proportionnalité de la fouille corporelle complète à laquelle les agents de police auraient tenté de la contraindre et à laquelle elle s'est opp osée avec violence dans la nuit du 2 au 3 juin 2019. Cette problématique présente des difficultés particulières tant au niveau de l'établissement des faits que du droit. En l'occurrence, contrairement à ce que retient l'instance précédente, la lecture du rapport de police et de son complément (tous deux rédigés plusieurs mois après les faits) ne permet pas d'emblée d'exclure que l'agente de police entendait procéder à une fouille complète impliquant le déshabillage de la prévenue. Le premier document rapporte en effet que " comme la procédure l'exige avant une mise en cellule, nous devions effectué [sic] une fouille complète sur la prévenue " et surtout le rapport complémentaire mentionne que " la volonté de la prévenue de se dévêtir d'elle-même n'était pas des plus explicite sur le moment contrairement à sa volonté d'administrer un coup de pied à la gendarme ". De plus, le cas échéant, il y a lieu de répondre à la question juridique délicate - en particulier pour une personne non juriste - de savoir si, au regard de la jurisprudence (cf. arrêts 1B_115/2019 du 18 décembre 2019 consid. 2 destiné à la publication; 1B_176/2016 du 11 avril 2017 consid. 6 et les réf. cit.), une telle fouille aurait été proportionnée en l'espèce ou si par exemple une simple palpation de la prévenue par-dessus ses habits auraient été suffisante, puis de déterminer les conséquences d'une éventuelle disproportion de la mesure de contrainte du point de vue de la quotité de la peine prononcée et d'une éventuelle indemnité au sens de l'<ref-law>. Au vu des éléments précités, il apparaît que la présente cause présente des difficultés particulières que la recourante, ressortissante camerounaise âgée de 63 ans, dénuée de toute formation juridique et à l'aide sociale, ne serait pas apte à appréhender sans l'aide d'un mandataire professionnel.
2.5. Quant à la condition de l'indigence de la recourante, elle a été laissée indécise par l'instance précédente, au motif que l'intervention d'un avocat n'était pas nécessaire en l'espèce à la sauvegarde des intérêts de l'intéressée (cf. arrêt entrepris consid. 3). Malgré la production d'une attestation de l'Office communal de l'aide sociale de La Chaux-de-Fonds, la cour cantonale a en effet exprimé des doutes quant à l'indigence de la recourante en raison de plusieurs éléments qui tendraient, selon elle, à démontrer le contraire (propriété d'un imposant véhicule SUV; vacances de deux mois au Cameroun). Faute d'éléments de fait suffisants sur ce point dans l'arrêt attaqué, il y a lieu de renvoyer la cause à cette autorité pour quelle statue sur ce point (<ref-law>).
3.
Le recours doit dès lors être admis. L'arrêt entrepris est annulé et la cause est renvoyée à l'instance précédente pour examen de la condition de l'indigence de la recourante.
En vertu de l'art. 68 al. 1 et 2 LTF, la recourante, qui obtient gain de cause avec l'aide d'un avocat, a droit à des dépens à la charge du canton de Neuchâtel. Conformément à l'<ref-law>, il n'est pas perçu de frais judiciaires. La demande d'assistance judiciaire pour la présente procédure est par conséquent sans objet.

rulings:
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est admis; l'arrêt attaqué est annulé et la cause est renvoyée à l'Autorité de recours en matière pénale du Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel pour nouvelle décision dans le sens des considérants.
2.
Une indemnité de dépens de 1'500 francs est allouée à l'avocat de la recourante, à la charge de la République et canton de Neuchâtel.
3.
Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
4.
Le présent arrêt est communiqué au mandataire de la recourante, au Ministère public de la République et canton de Neuchâtel, Parquet général, et au Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel, Autorité de recours en matière pénale.
Lausanne, le 4 septembre 2020
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Chaix
La Greffière : Arn


facts:
Sachverhalt:
A.
Mit Verfügung des Verwaltungsgerichts des Kantons Aargau vom 15. Juni 2017 wurde Rechtsanwalt Dr. A._ im Rahmen der unentgeltlichen Verbeiständung des Sozialhilfeempfängers B._ eine Gesamtentschädigung von Fr. 1'000.- (inklusive Auslagen und Mehrwertsteuer) für die Vertretung im mit Entscheid des Verwaltungsgerichts vom 30. Mai 2017 erledigten Beschwerdeverfahren des B._ betreffend Kürzung von Sozialhilfeleistungen zugesprochen. Auf die gegen diese Zwischenverfügung erhobenen Beschwerden vom 11. Juli 2017 und 11. Januar 2018 trat das Bundesgericht nicht ein, da die Voraussetzungen von Art. 93 Abs. 1 BGG im Hauptverfahren nicht erfüllt waren (Urteile 8C_490/2017 vom 28. Juli 2017 und 8C_31/2018 vom 26. Januar 2018).
Nachdem B._ von der Invalidenversicherung rückwirkend ab 1. Juni 2016 eine ganze Rente in Aussicht gestellt worden war, schrieb das Departement Gesundheit und Soziales, Kantonaler Sozialdienst, Beschwerdestelle SPG (nachfolgend: Beschwerdestelle SPG) die Beschwerde in der Hauptsache (Kürzung von Sozialhilfeleistungen) als gegenstandslos ab, soweit darauf einzutreten war (Entscheid vom 27. November 2018).
B.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragt Dr. A._ vor Bundesgericht erneut, die Verfügung des Verwaltungsgerichts des Kantons Aargau vom 15. Juni 2017 sei aufzuheben und dieses sei zu verpflichten, ihn für seinen Aufwand als unentgeltlicher Rechtsvertreter mit Fr. 3'951.20 zu entschädigen; eventualiter sei die Sache an das kantonale Gericht zurückzuweisen, damit dieses die Entschädigung für ihn als unentgeltlichen Rechtsvertreter neu festlege.
Das Verwaltungsgericht des Kantons Aargau hat sich nicht vernehmen lassen.

considerations:
Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob die Eintretensvoraussetzungen gegeben sind (<ref-ruling> E. 1 S. 143).
Im Hauptverfahren ging es um den Umfang des Anspruchs einer unterstützungsbedürftigen Person auf Sozialhilfe, bzw. um die Kürzung von deren Sozialhilfeleistungen. Die Kostenverfügung betrifft einen Nebenpunkt, folgt aber betreffend Qualifikation dem Hauptstreit um Sozialhilfe. Es handelt sich somit ebenfalls um eine öffentlich-rechtliche Angelegenheit im Sinne von Art. 82 lit. a BGG. Die angefochtene Verfügung des kantonalen Gerichts vom 15. Juni 2017, welche die Entschädigung des Beschwerdeführers als unentgeltlicher Rechtsbeistand festsetzt, ist nun, nachdem die Hauptsache durch den Entscheid der Beschwerdestelle SPG vom 27. November 2018 als gegenstandslos abgeschrieben wurde, als Endentscheid (Art. 90 BGG) einer letzten kantonalen Instanz (Art. 86 Abs. 1 lit. d BGG) zu qualifizieren. Das Rechtsmittel wurde innert 30 Tagen nach Gegenstandsloserklärung des Hauptverfahrens mit Entscheid vom 27. November 2018 - und damit rechtzeitig (Art. 100 Abs. 1 BGG) - beim Bundesgericht anhängig gemacht. Da sich der Beschwerde führende Rechtsanwalt gegen die von der Vorinstanz zugesprochene Entschädigung für seine Tätigkeit als unentgeltlicher Rechtsbeistand wendet, ist er zur Beschwerde in eigenem Namen legitimiert (Art. 89 Abs. 1 BGG; SVR 2013 IV Nr. 26 S. 75, 8C_54/2013 E. 1 mit Hinweis; vgl. auch Urteil 8C_278/2017 vom 29. Juni 2017 E. 1 mit Hinweisen). Auf die Beschwerde ist einzutreten.
2.
Streitig und zu prüfen ist, ob die vorinstanzliche Kürzung der Entschädigung aus unentgeltlicher Verbeiständung auf Fr. 1'000.- (inklusive Auslagen und Mehrwertsteuer) gegen Bundesrecht verstösst.
Die Vorinstanz setzte das strittige Honorar gestützt auf das Dekret des Kantons Aargau über die Entschädigung der Anwälte vom 10. November 1987 (Anwaltstarif, AnwT; SAR 291.150) fest. Gemäss § 12 Abs. 1 in Verbindung mit § 8a Abs. 1 AnwT setzt in Verwaltungssachen die als letzte urteilende kantonale Instanz, bei Kollegialbehörden deren Präsidentin oder Präsident, die der unentgeltlichen Rechtsvertretung aus der Gerichts- oder Staatskasse auszurichtende Entschädigung aufgrund einer Rechnung der Anwältin oder des Anwaltes fest, wobei sich die Entschädigung in vermögensrechtlichen Streitigkeiten nach dem Streitwert berechnet.
2.1. Nach den kantonalgerichtlichen Erwägungen betrug der Streitwert in der Hauptsache, entsprechend der von der Sozialhilfe angeordneten Kürzung, Fr. 439.-. Ein Streitwert in dieser Höhe ergebe einen tarifären Entschädigungsrahmen von Fr. 600.- bis Fr. 4'000.- (§ 8a Abs. 1 lit. a Ziff. 1 AnwT) und aufgrund der geringen vermögenswerten Bedeutung des Falles liege die tarifgemässe Entschädigung in der Regel innerhalb eines Bandes von Fr. 600.- bis Fr. 700.-. Der massgebende Aufwand wie auch der Schwierigkeitsgrad könne im Verhältnis zum Entschädigungsband als hoch beurteilt werden. Für ein vollständig durchgeführtes Verfahren sei die berechnete Grundentschädigung deshalb auf Fr. 1'000.- zu erhöhen. Damit werde ermessensweise die tiefe Rahmenentschädigung aufgrund des geringen Streitwerts ausgeglichen. Im verwaltungsgerichtlichen Verfahren sei ausser der Beschwerde kein zusätzlicher Aufwand entstanden. Die Replik vom 1. März 2017 sei unaufgefordert eingereicht worden und eine Verhandlung habe nicht stattgefunden. Eine Gesamtentschädigung in der festgesetzten Höhe für die Streitsache, in der es vorab um grundsätzliche Rechtsfragen gegangen sei, bewege sich in einem (noch) vertretbaren Rahmen.
2.2. Der Beschwerdeführer wendet ein, der angefochtene Entscheid verletze namentlich die Wirtschaftsfreiheit nach Art. 27 BV sowie den Anspruch von bedürftigen Personen auf einen unentgeltlichen Rechtsvertreter gemäss Art. 29 Abs. 3 BV und er sei willkürlich im Sinne von Art. 9 BV. Die Entschädigung wäre im Rahmen des Ermessens des kantonalen Gerichts durchaus zulässig, wenn tatsächlich nur die Vorgaben des AnwT zu beachten wären. Allerdings berechne sich die Höhe der Parteientschädigung einer entgeltlich vertretenen Beschwerdepartei anders als die Entschädigung des unentgeltlichen Rechtsvertreters einer bedürftigen Beschwerdepartei. Decke eine Parteientschädigung den tatsächlichen Aufwand des Rechtsvertreters nicht, dann könne der entgeltlich arbeitende Rechtsanwalt die Differenz zwischen Parteientschädigung und tatsächlichem Aufwand direkt bei seiner Mandantschaft einfordern. Der unentgeltliche Rechtsvertreter sei hingegen darauf angewiesen, dass sein tatsächlicher Aufwand vollumfänglich vom Staat übernommen werde. Gemäss der gefestigten bundesgerichtlichen Rechtsprechung dürfe die Entschädigung des unentgeltlichen Rechtsvertreters einen Stundenansatz von Fr. 180.- nicht unterschreiten, sonst sei sie willkürlich tief. Im vorliegenden Fall sei diese Willkürgrenze deutlich überschritten, da sich bei einer Entschädigung von Fr. 1'000.- und einem tatsächlichen Aufwand von 16 Stunden und 15 Minuten ein Stundenansatz von lediglich Fr. 61.50 ergebe.
3.
3.1. Der unentgeltliche Rechtsvertreter und die unentgeltliche Rechtsvertreterin erfüllen eine staatliche Aufgabe, welche durch das kantonale öffentliche Recht geregelt wird. Mit ihrer Einsetzung entsteht zwischen ihnen und dem Staat ein besonderes Rechtsverhältnis. Gestützt darauf haben sie eine öffentlich-rechtliche Forderung gegen den Staat auf Entschädigung im Rahmen der kantonalen Bestimmungen. Sie können aus Art. 29 Abs. 3 BV einen Anspruch auf Entschädigung und Rückerstattung ihrer Auslagen herleiten. Dieser umfasst aber nicht alles, was für die Wahrnehmung der Interessen ihrer Mandanten von Bedeutung ist. Ein verfassungsrechtlicher Anspruch besteht nur, soweit der Aufwand zur Wahrung der Rechte notwendig ist (<ref-ruling> E. 3.1 S. 126), somit nicht schon, soweit er bloss vertretbar erscheint.
3.2. Es ist Sache der kantonalen Behörden, die Angemessenheit anwaltlicher Bemühungen zu beurteilen (<ref-ruling> E. 3.2 S. 126 mit Hinweisen). Das Honorar muss allerdings so festgesetzt werden, dass die unentgeltliche Rechtsvertretung über den Handlungsspielraum verfügt, den sie zur wirksamen Ausübung des Mandates benötigt. Die Kantone haben auch hinsichtlich der Ansätze für die unentgeltliche Rechtsvertretung eine gewisse Gestaltungsfreiheit. So ist es zulässig, das Honorar für amtliche Mandate im Vergleich zu jenem der freien Mandate tiefer anzusetzen (<ref-ruling> E. 5.2 S. 188). Eine Verletzung des Willkürverbots liegt aber dann vor, wenn die zugesprochene Entschädigung nur die Selbstkosten abgilt und damit nicht einmal einen zwar bescheidenen, aber mehr als bloss symbolischen Verdienst zu gewährleisten vermag. Im Sinne einer Faustregel hat das Bundesgericht festgehalten, dass sich die Entschädigung für einen unentgeltlichen Anwalt im schweizerischen Durchschnitt in der Grössenordnung von Fr. 180.- pro Stunde (zuzüglich Mehrwertsteuer) bewegen muss, um vor der Verfassung standzuhalten (<ref-ruling> E. 3.2 S. 127; <ref-ruling> E. 5.4 S. 190 f.; <ref-ruling> E. 8.6 und 8.7 S. 217).
4.
4.1. Soweit sich der Beschwerdeführer auf die Wirtschaftsfreiheit beruft, kann er nichts zu seinen Gunsten daraus ableiten. Art. 27 Abs. 2 BV schützt ausdrücklich den freien Zugang zu einer privatwirtschaftlichen Erwerbstätigkeit. Dazu zählt auch die Anwaltstätigkeit im Monopolbereich (<ref-ruling> E. 4; <ref-ruling> E. 3). Nicht in den Geltungsbereich von Art. 27 BV fällt indessen die eigentliche Tätigkeit als amtlicher (unentgeltlicher) Verteidiger, weil es sich dabei um eine staatliche Aufgabe des betroffenen Rechtsanwalts handelt (<ref-ruling> E. 4.1 S. 127 mit Hinweisen).
4.2.
4.2.1. Das kantonale Gericht setzte hier die Entschädigung aus unentgeltlicher Verbeiständung pauschal anhand der Vorgaben in § 8a Abs. 1 lit. a Ziff. 1 AnwT fest. Nur am Rand erwähnte es, dass verschiedene Positionen im Leistungsausweis des Rechtsvertreters nicht nachvollziehbar seien, darunter das "Studium Urteil", die "Besprechung mit Klient" (90 Minuten) sowie zahlreiche Telefonate, ohne allerdings näher darauf einzugehen. Nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung ist es zulässig, für das Honorar der unentgeltlichen Rechtsvertreter Pauschalen vorzusehen. Dies entbindet die rechtsanwendende Behörde jedoch nicht, im Einzelfall zu prüfen, ob damit die effektiv entstandenen und von der Vertretung objektiv gerechtfertigten Kosten und Aufwendungen, wenn auch nicht vollumfänglich, so doch in angemessener Weise, abgegolten werden (SVR 2018 IV Nr. 17 S. 51, 8C_98/2017 E. 5.2; Urteil 8C_63/2014 vom 12. Mai 2014 E. 6.2 f.). Von einer Prüfung der Frage, ob ein mit einer Kostennote ausgewiesener Zeitaufwand notwendig war, darf dabei nur solange Abstand genommen werden, als mit dem pauschalisierten Vorgehen der Mindestansatz von Fr. 180.- auch im Falle einer Anerkennung des gesamten ausgewiesenen Zeitaufwandes eingehalten wird (Urteil 5A_157/2015 vom 12. November 2015 E. 3.3.2). Soll hingegen eine Entschädigung zugesprochen werden, welche - gemessen am geltend gemachten, noch nicht auf seine effektive Notwendigkeit hin überprüften Zeitaufwand - im Ergebnis zu einem Stundenansatz von deutlich unter Fr. 180.- führen würde, so besteht aus verfassungsmässiger Sicht kein Spielraum mehr für eine abstrahierende Bemessungsweise. Klar ist, dass der zur gehörigen Mandatsführung erforderliche, allein zu entschädigende Zeitaufwand sich erst dann konkret bestimmen lässt, wenn dieser nach einzelnen Aufwandpositionen wie etwa "Verfassen der Beschwerdeschrift" unterscheidet. Hat der Rechtsvertreter hierzu eine Honorarnote eingereicht, welche näher nach solchen Aufwandpositionen unterscheidet, wird die Behörde kurz aber bestimmt zu erläutern haben, welche der in der Honorarnote aufgeführten Aufwandspositionen inwiefern ungerechtfertigt sind und daher ausser Betracht bleiben müssen (SVR 2018 IV Nr. 17 S. 51, 8C_98/2017 E. 5.2; Urteil 5A_157/2015 vom 12. November 2015 E. 3.3.3).
4.2.2. Der Beschwerdeführer rügt zu Recht, dass die vorinstanzlich zugesprochene Entschädigung für unentgeltliche Rechtsvertretung in der Höhe von Fr. 1'000.- (inklusive Mehrwertsteuer und Auslagen) angesichts des geltend gemachten Zeitaufwandes von 16 Stunden und 15 Minuten zu einer den Richtwert von Fr. 180.- deutlich unterschreitenden Stundenabgeltung von Fr. 61.50 führen würde. Mit Blick darauf, dass im Pauschalbetrag auch die Mehrwertsteuer und die Auslagen enthalten sind, fällt die effektive Entschädigung sogar noch tiefer aus, als sie in der Beschwerde berechnet worden ist. Das kantonale Gericht hat nicht dargelegt, welche der in der Honorarnote aufgeführten Aufwandspositionen inwiefern ungerechtfertigt sind und daher ausser Betracht bleiben müssen (vgl. E. 4.2.1 hiervor). Folglich hat der angefochtene Kostenentscheid solange als willkürlich (Art. 9 BV) zu gelten, wie nicht dargetan ist, inwiefern ein Teil des geltend gemachten Aufwandes nicht unter den verfassungsmässig garantierten Umfang der Entschädigung fällt.
5.
5.1. Ist das Honorar eines unentgeltlichen Rechtsvertreters willkürlich bemessen, so trägt das Bundesgericht dem Ermessensspielraum des kantonalen Gerichts Rechnung, indem es die Sache entweder zur willkürfreien Neubemessung an die Vorinstanz zurückweist oder aber selber diejenige Entschädigung zuspricht, welche gerade noch als willkürfrei bemessen zu anerkennen gewesen wäre, wenn die Vorinstanz sie so festgesetzt hätte (Urteil 5A_157/2015 vom 12. November 2015 E. 3.4.2 mit Hinweis). Ein reformatorischer Entscheid scheidet hier aus, weil es an entscheidungserheblichen Sachverhaltsfeststellungen fehlt (vgl. Art. 105 Abs. 1 BGG). Das kantonale Gericht weist zwar darauf hin, dass verschiedene Positionen in der Honorarnote "nicht nachvollziehbar" seien. Indessen legt es nicht dar, welcher Teil der einzelnen Aufwandpositionen allenfalls nicht notwendig gewesen wäre.
5.2. Dem Eventualantrag des Beschwerdeführers folgend ist die Sache zur neuen Festsetzung der Entschädigung im Sinne der Erwägungen an die Vorinstanz zurückzuweisen.
6.
Dem Kanton Aargau sind keine Gerichtskosten aufzuerlegen (vgl. Art. 66 Abs. 1 und 4 BGG). Indessen hat der Kanton den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren zu entschädigen (Art. 68 Abs. 2 BGG; <ref-ruling> E. 5.5 S. 519; Urteile 9C_334/2012 vom 30. Juli 2012 E. 3 und 5D_145/2007 vom 5. Februar 2008).

rulings:
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen. Der Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Aargau vom 15. Juni 2017 wird aufgehoben und die Sache wird zur neuen Beurteilung und Festsetzung des Honorars des unentgeltlichen Rechtsvertreters im Sinne der Erwägungen an die Vorinstanz zurückgewiesen. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Der Kanton Aargau hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'800.- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 6. Juni 2019
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Maillard
Die Gerichtsschreiberin: Berger Götz

canton: CH

region: Federation


facts:
Sachverhalt:
A.
Der portugiesische Staatsangehörige A._ (geb. 1975) reiste am 17. Februar 2008 zur Aufnahme einer Erwerbstätigkeit in die Schweiz ein, wo ihm eine Aufenthaltsbewilligung EU/EFTA erteilt wurde. Am 21. Februar bzw. 27. Juli 2009 zog er seine Ehefrau (geb. 1975) und die gemeinsamen Kinder (geb. 1997 und 2004) nach. Die Ehegattin und die beiden Töchter verfügen heute über Niederlassungsbewilligungen EU/EFTA.
B.
B.a. A._ machte sich in der Schweiz wiederholt strafbar: Unter anderem verurteilte ihn das Amtsgericht Willisau am 2. Dezember 2010 wegen mehrfachen Führens eines Personenwagens in angetrunkenem Zustand, mehrfachen Führens eines Motorfahrzeuges ohne den erforderlichen Führerausweis sowie wegen Überschreitens der zulässigen Höchstgeschwindigkeit zu einer unbedingten Freiheitsstrafe von 1 Jahr, welche es zugunsten einer stationären therapeutischen Massnahme aufschob (Suchtbehandlung). A._ befand sich vom 14. Januar 2011 bis zum 12. Januar 2014 im Massnahmenvollzug (vom 9. Februar 2011 bis zum 12. Januar 2014 im offenen Vollzug, Wohn- und/oder Arbeitsexternat). Am 28. Januar 2011 wurde er ausländerrechtlich verwarnt. Am 25. Juli 2013 weigerte sich das Amt für Migration des Kantons Luzern, A._ die Niederlassungsbewilligung EU/EFTA zu erteilen; gleichzeitig drohte es ihm den Widerruf der Aufenthaltsbewilligung EU/EFTA und die Wegweisung an.
B.b. Das Bezirksgericht Zofingen verurteilte A._ am 1. September 2016 wegen mehrfacher Entwendungen eines Motorfahrzeuges zum Gebrauch sowie mehrfachen Führens eines Motorfahrzeuges ohne Führerschein zu einer Freiheitsstrafe von 18 Monaten und versetzte ihn in die stationäre therapeutische Massnahme zurück. Er befand sich zwischen dem 18. Dezember 2015 und 1. September 2016 in Untersuchungs- bzw. Sicherheitshaft und anschliessend im Massnahmenvollzug (vom 12. Januar 2017 bis zum 25. Januar 2018 im offenen Vollzug bzw. Arbeitsexternat). Der Vollzugs- und Bewährungsdienst des Kantons Luzern hob am 20. Februar 2018 die stationäre therapeutische Massnahme wegen Aussichtslosigkeit auf.
B.c. Am 8. Januar 2019 lehnte das Amt für Migration des Kantons Luzern es ab, die Aufenthaltsbewilligung EU/EFTA von A._ zu verlängern; es wies ihn weg und forderte ihn auf, die Schweiz zu verlassen. Die hiergegen gerichteten kantonalen Rechtsmittel blieben ohne Erfolg (Entscheid des Justiz- und Sicherheitsdepartements des Kantons Luzern vom 11. Juli 2019 und Urteil des Kantonsgerichts des Kantons Luzern vom 31. August 2020). Die kantonalen Behörden gingen davon aus, dass wegen des ungelösten Alkoholproblems eine aktuelle Rückfallgefahr bestehe; A._ sei eine Rückkehr nach Portugal zumutbar.
C.
A._ beantragt vor Bundesgericht, das Urteil des Kantonsgerichts aufzuheben und ihm die Aufenthaltsbewilligung B EU/EFTA zu erteilen; allenfalls sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. A._ macht geltend, dass sein Anspruch auf rechtliches Gehör (<ref-law>) verletzt worden sei und die Nichtverlängerung seiner Bewilligung als unverhältnismässig zu gelten habe (Art. 96 AuG [ab 1. Januar 2019: AIG] und Art. 8 Ziff. 2 EMRK).
Das Kantonsgericht Luzern verzichtet unter Hinweis auf seine Begründung im angefochtenen Entscheid darauf, sich zur Beschwerde zu äussern. Von den anderen Verfahrensbeteiligten und dem Staatssekretariat für Migration (SEM) sind keine Stellungnahmen eingegangen. A._ hat an seinen Anträgen und deren Begründung festgehalten.
Der Abteilungspräsident legte der Beschwerde am 26. Oktober 2020 antragsgemäss aufschiebende Wirkung bei.

considerations:
Erwägungen:
1.
Auf dem Gebiet des Ausländerrechts ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen Entscheide ausgeschlossen, welche Bewilligungen betreffen, auf die weder das Bundesrecht noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumen (<ref-law>) :
1.1. Der Beschwerdeführer ist portugiesischer Staatsbürger; er kann gestützt auf das Freizügigkeitsabkommen einen Anspruch darauf geltend machen, dass sein Aufenthaltsrecht in der Schweiz anerkannt und ihm die damit verbundene deklaratorisch wirkende Bewilligung ausgestellt wird (Abkommen vom 21. Juni 1999 zwischen der Schweizerischen Eidgenossenschaft einerseits und der Europäischen Gemeinschaft und ihren Mitgliedstaaten andererseits über die Freizügigkeit [Freizügigkeitsabkommen; FZA; SR 0.142.112.681]; zur Rechtswirkung der Bewilligung: vgl. <ref-ruling> E. 2.2 in fine; <ref-ruling> E. 4 S. 58).
1.2. Der Beschwerdeführer kann sich zudem in vertretbarer Weise auf Art. 8 EMRK bzw. <ref-law> (Schutz des Familien- und des Privatlebens) berufen, nachdem seine Gattin und die Kinder hier über ein gefestigtes Anwesenheitsrecht verfügen bzw. er sich inzwischen über zehn Jahre in der Schweiz aufhält (vgl. <ref-ruling> ff.). Ob die Bewilligung zu Recht nicht verlängert wurde, bildet Gegenstand der materiellen Beurteilung und nicht des Eintretens (vgl. <ref-ruling> E. 1.1 S. 332 mit Hinweisen).
1.3. Da auch die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen gegeben sind, ist die Beschwerde in öffentlichrechtlichen Angelegenheiten an die Hand zu nehmen (vgl. Art. 42, Art. 82 lit. a i.V.m. Art. 86 Abs. 1 lit. d, Art. 89 Abs. 1, Art. 90 und Art. 100 Abs. 1 BGG).
2.
2.1. Das Bundesgericht wendet das Recht grundsätzlich von Amtes wegen an (<ref-law>). Es prüft - unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungspflicht der Parteien - jedoch nur die vorgebrachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu ins Auge springen (<ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254). Es ist nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich potentiell stellenden Fragen zu prüfen, wenn diese ihm nicht mehr formell korrekt unterbreitet werden (vgl. <ref-ruling> E. 1.2.2 S. 286; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254). Eine qualifizierte Rügepflicht gilt hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten und von kantonalem sowie interkantonalem Recht. Es ist dabei jeweils darzulegen, welches Grundrecht die Vorinstanz inwiefern missachtet haben soll (<ref-ruling> E. 2.2 S. 232 mit Hinweisen).
2.2.
2.2.1. Das Bundesgericht ist an den Sachverhalt gebunden, wie die Vorinstanz ihn festgestellt hat (<ref-law>), es sei denn, dieser erweise sich in einem entscheidwesentlichen Punkt als offensichtlich falsch oder unvollständig (<ref-law>). Zur Sachverhaltsfeststellung gehört auch die auf Indizien gestützte Beweiswürdigung (<ref-ruling> E. 2.3 S. 265 ff.; Urteil 2C_634/2018 vom 5. Februar 2019 E. 2.2). Inwiefern die vorinstanzliche Beweiswürdigung und die Sachverhaltsfeststellung offensichtlich unhaltbar sein sollen, muss in der Beschwerdeschrift klar und detailliert aufgezeigt werden (<ref-ruling> E. 4.2 S. 53 mit Hinweisen; <ref-ruling> E. 2.2 S. 246; <ref-ruling> E. 1.3 S. 262); es besteht auch in diesem Zusammenhang eine qualifizierte Rügepflicht (<ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 1.4.3 S. 254 f.).
2.2.2. Die Sachverhaltsfeststellung bzw. die Beweiswürdigung erweist sich als willkürlich im Sinne von <ref-law>, wenn sie offensichtlich unhaltbar oder aktenwidrig ist, wenn das Gericht Sinn und Tragweite eines Beweismittels offensichtlich verkannt hat, wenn es ohne sachlichen Grund ein wichtiges und entscheidwesentliches Beweismittel unberücksichtigt gelassen oder es auf der Grundlage der festgestellten Tatsachen unhaltbare Schlussfolgerungen gezogen hat (<ref-ruling> E. 2.3 S. 266; Urteile 2C_1072/2014 vom 9. Juli 2015 E. 1.4 und 2C_310/2014 vom 25. November 2014 E. 1.2).
2.2.3. Es genügt dabei nicht, lediglich einzelne Elemente anzuführen, die anders als im angefochtenen Entscheid hätten gewichtet werden können, und dem Bundesgericht in appellatorischer Kritik diesbezüglich bloss die eigene Auffassung zu unterbreiten, ohne darzutun, dass und inwiefern der Sachverhalt in Verletzung von <ref-law> festgestellt worden ist bzw. die Beweiswürdigung sich als offensichtlich fehlerhaft erweist (vgl. <ref-ruling> E. 1.4.3 S. 254 f.; <ref-ruling> E. 2b S. 88). Auf die ungenügend begründeten, rein appellatorisch vorgebrachten Darlegungen in der Beschwerdeschrift wird im Folgenden nicht weiter eingegangen.
3.
3.1. Der Beschwerdeführer kritisiert, das Kantonsgericht habe seinen Anspruch auf rechtliches Gehör verletzt (vgl. zu dessen Inhalt: <ref-ruling> E. 9.2 S. 65; <ref-ruling> E. 3.4 S. 102; <ref-ruling> E. 5.1 S. 293) : Es habe seine Ausführungen nicht hinreichend gewürdigt und den Sachverhalt unvollständig festgestellt. Die kantonalen Instanzen hätten keine verkehrspsychologische oder verkehrsdiagnostische Beurteilung zur Frage der Rückfallgefahr bezüglich eines erneuten Fahrens ohne Ausweis eingeholt und zu Unrecht lediglich auf die Gutachten zur Alkoholabhängigkeit abgestellt. Die von ihm eingereichten verkehrspsychologischen und verkehrsdiagnostischen Berichte seien von den kantonalen Behörden nicht oder nur ungenügend berücksichtigt worden. Die strafrechtlichen Massnahmen seien auf das Erreichen der Totalabstinenz ausgerichtet gewesen, was gescheitert sei, jedoch nicht darauf, dass der Beschwerdeführer sich inzwischen bewusst sei, dass er keine Fahrzeuge mehr führen dürfe, womit eine Rückfallgefahr - trotz weiteren Konsums von Alkohol - entfalle.
3.2.
3.2.1. Die Kritik ist unbegründet: Grundsätzlich kann auf die Abnahme beantragter Beweise verzichtet werden, wenn die Vorinstanz gestützt auf die Aktenlage oder aufgrund bereits abgenommener Beweise ihre Überzeugung gebildet hat und willkürfrei davon ausgehen darf, dass weitere Beweiserhebungen hieran nichts mehr zu ändern vermögen ("antizipierte Beweiswürdigung"; vgl. <ref-ruling> E. 5.3 S. 236 f.; <ref-ruling> E. 5.3 S. 148; <ref-ruling> E. 3 S. 157).
3.2.2. Die Vorinstanz durfte ohne in Willkür zu verfallen (vgl. vorstehende E. 2.2.2) auf die Gutachten abstellen, welche zur Annahme des Vollzugs- und Bewährungsdienstes des Kantons Luzern geführt haben, dass die angeordnete stationäre Massnahme "infolge Aussichtslosigkeit" aufzuheben sei. In der Begründung der Verfügung vom 20. Februar 2018 fasste der Dienst die verschiedenen Fachberichte zusammen und kam dabei mit diesen zum Schluss, dass es beim Beschwerdeführer trotz langjähriger stationärer Massnahmen nicht gelungen sei, eine Einsicht in die Problematik und Schwere seiner Alkoholabhängigkeit zu erreichen. Der Beizug der Originalakten war - entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers - nicht erforderlich, nachdem der Inhalt der verschiedenen Berichte und Gutachten weitestgehend in die Verfügung vom 20. Februar 2018 aufgenommen wurde und deren Gehalt nicht grundsätzlich bestritten war.
3.2.3. Die Vorinstanz durfte im Rahmen ihrer Beweiswürdigung (vgl. vorstehende E. 2.2.2) ohne Verletzung von <ref-law> (Willkür) auch auf die Einschätzung des Vollzugs- und Bewährungsdienstes abstellen, wonach der Beschwerdeführer jegliche intrinsische Motivation hinsichtlich einer anhaltenden Alkoholabstinenz verloren habe; bei Betrachtung des gesamten Massnahmenverlaufs müsse - so die Verfügung vom 20. Februar 2018 - von einer gewissen Therapieunwilligkeit und/oder -resistenz ausgegangen werden; es bestehe deswegen eine "höchst ungünstige Legalprognose".
3.2.4. Die Annahme der Vorinstanz, dass ohne Einsicht in die grundsätzliche Problematik der Alkoholabhängigkeit weitere einschlägige SVG-Delikte nicht ausgeschlossen werden könnten, ist ihrerseits nicht zu beanstanden (vgl. vorstehende E. 2.2.2) : Die vom Beschwerdeführer eingereichten verkehrspädagogischen bzw. verkehrsdiagnostischen Berichte vom 7. April 2019 und 11. November 2019 wurden durch die Vorinstanz berücksichtigt (E. 3.4 3. Abschnitt und 6.3.2 des angefochtenen Entscheids), im Rahmen der freien Beweiswürdigung aber nicht als entscheidend gewertet, da sie sich in ihrem Inhalt zumindest teilweise mit den früheren Berichten deckten. Auch der verkehrspädagogische und verkehrsdiagnostische Bericht vom 7. April 2019 hält fest, dass der "Umgang mit Alkohol" eine Ursache des Problems sei, die andere "der lockere Umgang" mit Verkehrsvorschriften. Es ist schliesslich nicht rechtswidrig, wenn die Vorinstanz den Parteigutachten weniger Bedeutung beigemessen hat als den Berichten und Einschätzungen der Experten in den Strafverfahren und im Massnahmenvollzug; es handelt sich bei Parteigutachten grundsätzlich bloss um Parteivorbringen (vgl. <ref-ruling> E. 2.6 S. 437 f.; <ref-ruling> E. 3.4 S. 87 f.; vgl. auch die Urteile 4A_247/2020 vom 7. Dezember 2020 E. 4.1 und 4A_9/2018 vom 31. Oktober 2018 E. 5.3).
3.2.5. Der Beschwerdeführer hat im Rahmen eines Alkoholkonsums Ende April/anfangs Mai 2019 nach eigenen Angaben in Portugal die "Kontrolle" über seine "Trinkmenge verloren"; wenn die Vorinstanz gestützt hierauf im Rahmen ihrer Beweiswürdigung angenommen hat, dass trotz der verkehrspsychologischen und verkehrspädagogischen Einschätzung eine Rückfallgefahr nicht ausgeschlossen werden könne, verletzt dies weder Art. 9 (Willkür) noch <ref-law> (Anspruch auf rechtliches Gehör). Falls der Beschwerdeführer sich inzwischen bewusst geworden ist, dass er nicht mehr Auto fahren darf, ist dies zwar positiv zu werten, doch handelt es sich dabei nur um einen Aspekt der Problematik; der andere ist die nach wie vor bestehende Alkoholabhängigkeit.
3.2.6. Nachdem die Verfügung bezüglich der Beendigung der Massnahme am 20. Februar 2018 erging und sich aus dem Bericht des Verkehrstherapeuten vom 11. November 2019 ergab, dass der Beschwerdeführer weiterhin (teilweise) übermässig Alkohol zu sich genommen hat (Konsum Ende April/anfangs Mai 2019 in Portugal), war eine zusätzliche "aktuellere" zeitliche Beurteilung der Situation nicht erforderlich und durfte die Vorinstanz diesbezüglich in antizipierter Beweiswürdigung gestützt auf die Akten entscheiden. Weitere Abklärungen erübrigten sich.
3.3. Der Anspruch des Beschwerdeführers auf rechtliches Gehör wurde somit nicht verletzt und es ist vom Sachverhalt auszugehen, wie die Vorinstanz ihn für das Bundesgericht verbindlich festgestellt hat (<ref-law>).
4.
4.1. Eine kantonale Behörde kann davon absehen, eine Aufenthaltsbewilligung EU/EFTA zu verlängern, wenn die betroffene ausländische Person zu einer längerfristigen Freiheitsstrafe, d.h. zu einer solchen von mehr als einem Jahr, verurteilt oder gegen sie eine strafrechtliche Massnahme im Sinne der Art. 59-61 oder 64 StGB angeordnet worden ist. Dabei spielt keine Rolle ob die Sanktion bedingt, teilbedingt oder unbedingt ausgesprochen wurde (Art. 62 Abs. 1 lit. b AuG; <ref-ruling> E. 2.1 S. 32; <ref-ruling> E. 4.2 S. 381; <ref-ruling> E. 2). Verfügt eine ausländische Person über nahe Verwandte mit einem gefestigten Anwesenheitsrecht in der Schweiz und wird die intakte familiäre Beziehung tatsächlich gelebt, kann es Art. 8 EMRK bzw. <ref-law> verletzen, wenn ihr die Anwesenheit untersagt und damit ihr Familienleben vereitelt wird (<ref-ruling> E. 3 S. 271 ff.; <ref-ruling> E. 3.1 S. 285 f. mit Hinweisen).
4.2. Die Prüfung der Verhältnismässigkeit der aufenthaltsbeendenden Massnahme (<ref-law>; Art. 96 AuG) entspricht inhaltlich jener, welche bei eröffnetem Schutzbereich für die rechtmässige Einschränkung der konventionsrechtlichen Garantie gemäss Art. 8 Ziff. 2 EMRK vorausgesetzt wird (vgl. <ref-ruling> E. 2.2.1 S. 19, E. 2.2.2 S. 20; <ref-ruling> E. 2.3.1 S. 33, E. 2.3.3 S. 34 f.). Massgebliche Kriterien sind dabei die Schwere des Delikts - wobei besonders ins Gewicht fällt, ob die Taten als Jugendlicher oder als Erwachsener begangen wurden bzw. ob es sich dabei um Gewaltdelikte gehandelt hat -, das Verschulden des Betroffenen, der seit der Tat vergangene Zeitraum und das Verhalten des Betroffenen während diesem, der Grad seiner Integration bzw. die sozialen, kulturellen und familiären Bindungen zum Aufenthalts- und zum Heimatstaat, die Dauer der bisherigen Anwesenheit, die ihm und seiner Familie drohenden Nachteile, insbesondere unter gesundheitlichen Aspekten, sowie die mit der aufenthaltsbeendenden Massnahme verbundene Dauer der Fernhaltung (<ref-ruling> E. 2.2.1 S. 19, E. 2.2.2 S. 20; <ref-ruling> E. 2.3.1 S. 33, E. 2.3.3 S. 34 f.). Das öffentliche Interesse, dass die betroffene Person die Schweiz verlässt, ist gegen die privaten Interessen an deren Verbleib im Land abzuwägen.
4.3. Nach den gemäss Art. 5 Anhang I FZA zu beachtenden Grundsätzen ist für eine aufenthaltsbeendende Massnahme freizügigkeitsrechtlich zudem erforderlich, dass von der betroffenen Person eine gegenwärtige, tatsächliche und hinreichend schwere Gefahr ausgeht, die ein grundlegendes Schutzinteresse der Gesellschaft berührt; ausschliesslich generalpräventive oder wirtschaftliche Überlegungen rechtfertigen eine aufenthaltsbeendende Massnahme in Anwendung des Freizügigkeitsabkommens nicht. Die entsprechende Regelung schliesst aber nicht aus, den Grad der fortbestehenden Bedrohung aufgrund des bisherigen Verhaltens abzuschätzen. Die Bejahung einer Rückfallgefahr setzt nicht voraus, dass ein Straftäter mit an Sicherheit grenzender Wahrscheinlichkeit wieder delinquieren wird; ebensowenig kann für die Verneinung einer Rückfallgefahr verlangt werden, dass überhaupt kein Restrisiko besteht. Es ist eine nach Art und Ausmass der möglichen Rechtsgüterverletzung zu differenzierende hinreichende Wahrscheinlichkeit zu verlangen, dass die ausländische Person die öffentliche Sicherheit oder Ordnung weiter stören könnte (<ref-ruling> E. 4.3.1 S. 186). Je schwerer die befürchtete bzw. vernünftigerweise absehbare Verletzung wichtiger Rechtsgüter wiegt, umso weniger ist die Möglichkeit eines Rückfalls freizügigkeitsrechtlich hinzunehmen (<ref-ruling> E. 5.3 S. 125 f.; <ref-ruling> E. 4.2 S. 20; <ref-ruling> E. 4.3.1 S. 185 f.; Urteile 2C_1008/2016 vom 14. November 2017 E. 4.1 und 2C_406/2014 vom 2. Juli 2015 E. 4.2). Als schwerwiegend gelten Beeinträchtigungen der physischen, psychischen und sexuellen Integrität Dritter, der qualifizierte Drogenhandel aus rein pekuniären Motiven und die organisierte Kriminalität sowie Terrorismus oder Menschenhandel (<ref-ruling> E. 6.3 S. 130 f.; Urteil 2C_1008/2016 vom 14. November 2017 E. 4.1). Wie die Vorinstanz zutreffend festhält, können auch wiederholte Verstösse gegen das Strassenverkehrsgesetz zu einer Gefährdung der öffentlichen Ordnung und Sicherheit im Sinne von Art. 5 Anhang I FZA führen, insbesondere, wenn eine wiederholte Verurteilung wegen Trunkenheit am Steuer vorliegt (Urteil 2C_628/2019 vom 18. November 2019 E. 5.1 ff. und 2C_864/2018 vom 18. Februar 2019 E. 5.4).
5.
5.1. Es ist unbestritten, dass der Beschwerdeführer den Widerrufsgrund von Art. 62 Abs. 1 lit. b AuG erfüllt. Es besteht grundsätzlich ein beträchtliches öffentliches Interesse daran, dass er die Schweiz verlässt: Der Beschwerdeführer wurde im Zeitraum vom 2. Dezember 2010 bis zum 1. September 2016 insgesamt zehn Mal verurteilt - dabei zweimal zu längerfristigen Freiheitsstrafen (1 Jahr [2010]; 18 Monate [2016]). Es handelte sich bei seinen Taten mehrheitlich um Delikte im Bereich des Strassenverkehrs, die im Zusammenhang mit seiner Alkoholabhängigkeit standen (vgl. die Auflistung in E. 5.3.1 des angefochtenen Entscheids). Der Beschwerdeführer gefährdete die körperliche Unversehrtheit Dritter (mehrfaches Führen eines Personenwagens in angetrunkenem Zustand oder ohne den erforderlichen Führerausweis bzw. deutliches Überschreiten von zulässigen Höchstgeschwindigkeiten). Trotz der verschiedenen strafrechtlichen Verurteilungen, der in diesem Zusammenhang gegen ihn ausgesprochenen ausländerrechtlichen Verwarnung (28. Januar 2011) und der erneuten Androhung, dass seine Aufenthaltsbewilligung EU/EFTA widerrufen und er weggewiesen werden könnte (25. Juli 2013), ist der Beschwerdeführer immer wieder rückfällig geworden. Die verschiedenen therapeutischen Massnahmen blieben ohne Erfolg: Der Beschwerdeführer wurde während des ersten Massnahmenvollzugs - in der Zeit des offenen Vollzugs bzw. des Wohn-/Arbeitsexternats vom 9. Februar 2011 bis zum 12. Januar 2014 - insgesamt acht Mal rückfällig. Auch nach seiner bedingten Entlassung aus dem ersten Massnahmenvollzug machte er sich noch in der Probezeit wieder einschlägig strafbar.
5.2. Der Beschwerdeführer hat sich zwar seit dem Strafurteil vom 1. September 2016 soweit ersichtlich nichts mehr zu Schulden kommen lassen. Dies ist indessen insofern zu relativieren, als er sich vom 18. Dezember 2015 bis zum 1. September 2016 in Untersuchungs- bzw. Sicherheitshaft und anschliessend im Massnahmenvollzug befunden hat und insofern gar nicht oder nur während des offenen Vollzugs bzw. Arbeitsexternats zwischen dem 12. Januar 2017 und dem 25. Januar 2018 überhaupt hätte delinquieren können. Die stationäre Suchtbehandlung, in die er 2016 aufgrund seines erneuten Alkoholmissbrauchs und der daraus entstandenen Delinquenz zurückversetzt wurde, musste am 20. Februar 2018 wegen Aussichtslosigkeit abgebrochen werden, wobei aufgrund der verschiedenen Vollzugsberichte und Gutachten von einer "höchst ungünstigen Legalprognose" auszugehen war. Der gerichtliche Gutachter stellte im Strafverfahren fest, "dass unter Zusammenschau aller vorliegenden Befunde [...] in einer Gesamtbeurteilung von einer ungünstigen Legalprognose bezüglich weiterer Strassenverkehrsdelikt" auszugehen sei; für andere Straftaten bestehe hingegen kein signifikant höheres Risiko im Vergleich zur Normalbevölkerung. Ohne eine fachgerechte Entwöhnungstherapie sei die Wahrscheinlichkeit für einen Rückfall (erneuter Alkoholkonsum) mit > 90 % sehr hoch.
5.3. Dem Beschwerdeführer ist es in viereinhalb Jahren Massnahmenvollzug nicht gelungen, alkoholabstinent zu leben. Einzig während der Zeiten des geschlossenen Vollzugs konsumierte er - mangels Erhältlichkeit - keinen Alkohol. Die Vorinstanz durfte gestützt hierauf im Rahmen ihrer Beweiswürdigung (vgl. vorstehende E. 2.2.2) zum Schluss kommen, dass es dem Beschwerdeführer nicht gelungen ist, sein Alkoholproblem sowie dessen Schwere zu erkennen (chronisches Alkoholabhängigkeitssyndrom), weshalb eine aktuelle konkrete Gefahr fortbesteht, dass er wieder straffällig werden könnte, zumal er nach eigenen Angaben bei einem Aufenthalt in Portugal Ende April/anfangs Mai 2019 die Kontrolle über seine Trinkmenge verloren haben will. Das Verschulden des Beschwerdeführers wiegt angesichts der wiederholten Tatbegehung sowie der Höhe der verhängten Strafen relativ schwer.
5.4. Das Bundesgericht teilt die Ansicht der Vorinstanz, dass aufgrund des akzentuierten inneren Widerstands gegen die Abstinenzforderung eine nicht vernachlässigbare Wahrscheinlichkeit besteht, dass der Beschwerdeführer künftig wieder übermässig Alkohol konsumieren und mangels Einsichtsfähigkeit den Unrechtsgehalt seines Verhaltens verkennen und erneut das grundlegende Rechtsgut der körperlichen Integrität Dritter gefährden könnte. Die Annahme der Vorinstanz im Rahmen der Würdigung der verschiedenen Berichte der Fachleute (vgl. vorstehende E. 2.2.2), dass ohne eine Entwöhnungstherapie keine Abkehr von der bisherigen Alkoholabhängigkeit möglich sei, was gegen eine dauerhafte und nachhaltige Änderung des Verhaltens des Beschwerdeführers spreche, ist nicht willkürlich. Dass er inzwischen die Einsicht haben will, dass er - ohne Führerschein und in angetrunkenem Zustand - nicht Auto fahren soll, ist zwar positiv zu werten, indessen erscheint zweifelhaft, ob er sich dessen auch nach einem übermässigen Alkoholkonsum - wie er etwa Ende April/anfangs Mai 2019 vorgekommen ist - noch bewusst sein wird. Der Beschwerdeführer hat mit seinen Fahrten in angetrunkenem Zustand und mit übersetzter Geschwindigkeit eine erhebliche Gefahr für Leib und Leben und die körperliche Integrität von Dritten geschaffen. Es fehlt ihm nach wie vor die Krankheitseinsicht. Die entsprechende Rückfallgefahr ist deshalb aktuell und hinreichend relevant, sodass sie im Rahmen von Art. 5 Anhang 1 FZA nicht (weiter) hingenommen werden muss.
6.
Dem entsprechenden nicht zu unterschätzenden öffentlichen Interesse ist das private Interesse des Beschwerdeführers gegenüberzustellen, in der Schweiz verbleiben zu können:
6.1. Der Beschwerdeführer ist im Alter von 32 Jahren in die Schweiz eingereist und hat seine Straftaten als Erwachsener begangen. Er hält sich zwar seit über 10 Jahren im Land auf, doch befand er sich während fünf Jahren in Untersuchungs- bzw. Sicherheitshaft oder im Massnahmenvollzug und damit von seiner Familie getrennt. Weder diese noch seine gute wirtschaftliche und soziale Integration hinderten ihn daran, trotz Verwarnungen und Mahnungen immer wieder einschlägig straffällig zu werden. Er vermochte die ihm gebotenen Chancen, sich von seiner Alkoholabhängigkeit und der damit verbundenen Delinquenz zu lösen, nicht zu nutzen.
6.2. Eine Rückkehr nach Portugal ist dem Beschwerdeführer zumutbar, auch wenn sie ihm allenfalls schwerfallen mag: Er hat seine Kinder- und Jugendjahre in Venezuela und in Portugal verbracht und ist mit der Sprache und der Kultur in seinem Heimatland nach wie vor vertraut; auch hat er Portugal während seines Aufenthalts in der Schweiz ferienhalber besucht und dort seinen Militärdienst absolviert. Er arbeitete in seiner Heimat und in Spanien als Saisonnier auf dem Bau; es dürfte ihm möglich sein, mit seiner in der Schweiz erworbenen zusätzlichen Erfahrung in diesem Bereich auch in Portugal wieder ein Auskommen zu finden. In der Heimat leben noch weitere Familienangehörige und insbesondere seine Mutter, womit er bei einer Rückkehr sozial nicht auf sich allein gestellt sein wird; auch seine Familienangehörigen in der Schweiz können ihm zur Seite stehen und seine Wiedereingliederung fördern.
6.3. Der portugiesischen Ehegattin und den Kindern ist ein Rückkehr in die Heimat grundsätzlich zwar möglich, doch dürfte ihnen dies im Hinblick auf die Dauer ihrer Anwesenheit in der Schweiz kaum zumutbar sein. Sollten sie hier verbleiben, wird der Beschwerdeführer die Beziehungen zu ihnen besuchsweise oder über die heutigen Kommunikationsmittel aufrechterhalten können. Im Hinblick auf die Untersuchungs- und Sicherheitshaft bzw. den Massnahmenvollzug des Beschwerdeführers konnte das Familienleben in der Schweiz bereits bisher nur punktuell gepflegt werden. Eine der Töchter ist inzwischen volljährig, die andere wird es bald sein, was die wechselseitigen Besuche vereinfachen wird.
6.4. Ins Gewicht fällt im Hinblick auf die Verhältnismässigkeit der aufenthaltsbeendenden Massnahme, dass der Beschwerdeführer zu gegebener Zeit darum wird ersuchen können, im Rahmen seines Freizügigkeitsanspruchs eine Neuerteilung seiner Bewilligung zu prüfen: Eine ausländische Person, gegen die eine Entfernungsmassnahme ergriffen wurde und die - wie der Beschwerdeführer - über einen Rechtsanspruch auf die Erteilung einer Anwesenheitsberechtigung verfügt, kann nach einer gewissen Bewährungszeit - in der Regel nach fünf Jahren, aber bei besonderen Umständen auch schon früher ( Wegfall der Rückfallgefahr; vgl. MARC SPESCHA, in: Spescha et al. [Hrsg.], Kommentar Migrationsrecht, 5. Aufl. 2019, N. 7 zu Art. 5 Anhang I FZA) - um eine Neubeurteilung ihrer Situation ersuchen, falls sie das Land verlassen und sich in der Heimat bewährt hat (Urteil 2C_846/2018 vom 26. März 2019 E. 7.4.3 mit zahlreichen Hinweisen). Es ist somit nicht ausgeschlossen, dass der Beschwerdeführer trotz der aufenthaltsbeendenden Massnahme seine familiären Beziehungen künftig wieder in der Schweiz wird leben können.
7.
7.1. Zusammengefasst ergibt sich, dass der Beschwerdeführer grundsätzlich über einen freizügigkeitsrechtlichen Aufenthaltsanspruch als Arbeitnehmer verfügt (Art. 6 Abs. 1 Anhang I FZA), dieser aber gestützt auf sein Verhalten bzw. wegen seiner damit verbundenen Delinquenz aus Gründen der öffentlichen Ordnung, Sicherheit und Gesundheit eingeschränkt werden darf (Art. 5 Anhang I FZA). Der Beschwerdeführer erfüllt den Widerrufsgrund von Art. 62 Abs. 1 lit. b AuG; die zeitlich beschränkte Nichtverlängerung seiner Aufenthaltsbewilligung EU/EFTA erweist sich als verhältnismässig sowohl im Sinn von Art. 96 Abs. 1 AuG als auch im Lichte von Art. 8 EMRK (Schutz des Familien- und Privatlebens). Für eine Zurückweisung der Sache an die Vorinstanz besteht keine Veranlassung; mildere Massnahmen als die Aufenthaltsbeendigung blieben ohne Erfolg, weshalb es sich erübrigt, weitere solche zu prüfen.
7.2. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend hat der Beschwerdeführer die bundesgerichtlichen Kosten zu tragen (<ref-law>). Es sind keine Parteientschädigungen geschuldet (<ref-law>).

rulings:
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Kantonsgericht Luzern, 4. Abteilung, sowie dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 4. Februar 2021
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Hugi Yar


facts:
Considérant en fait et en droit :
1.
Par acte daté du 25 janvier 2021, A._ recourt en matière pénale au Tribunal fédéral contre une ordonnance du 30 décembre 2020 par laquelle le Juge unique de la Chambre pénale du Tribunal cantonal valaisan a rejeté le recours interjeté par l'intéressé contre une ordonnance du 3 avril 2020. Par cette dernière, le ministère public a refusé d'entrer en matière sur une plainte visant plusieurs personnes, pour lésions corporelles par négligence, en relation avec des manquements allégués à leur obligation d'entretien de l'immeuble dans lequel vivait le plaignant.
2.

considerations:
Selon l'art. 81 al. 1 let. a et b ch. 5 LTF, la partie plaignante qui a participé à la procédure de dernière instance cantonale est habilitée à recourir au Tribunal fédéral, si la décision attaquée peut avoir des effets sur le jugement de ses prétentions civiles. Constituent de telles prétentions celles qui sont fondées sur le droit civil et doivent en conséquence être déduites ordinairement devant les tribunaux civils. Il s'agit principalement des prétentions en réparation du dommage et du tort moral au sens des <ref-law>. En vertu de l'<ref-law>, il incombe à la partie recourante d'alléguer les faits qu'elle considère comme propres à fonder sa qualité pour recourir. Lorsque le recours est dirigé contre une décision de non-entrée en matière ou de classement de l'action pénale, la partie plaignante n'a pas nécessairement déjà pris des conclusions civiles. Quand bien même la partie plaignante aurait déjà déclaré des conclusions civiles (cf. <ref-law>), il n'en reste pas moins que le ministère public qui refuse d'entrer en matière ou prononce un classement n'a pas à statuer sur l'aspect civil (cf. <ref-law>). Dans tous les cas, il incombe par conséquent à la partie plaignante d'expliquer dans son mémoire au Tribunal fédéral quelles prétentions civiles elle entend faire valoir contre l'intimé. Comme il n'appartient pas à la partie plaignante de se substituer au ministère public ou d'assouvir une soif de vengeance, la jurisprudence entend se montrer restrictive et stricte, de sorte que le Tribunal fédéral n'entre en matière que s'il ressort de façon suffisamment précise de la motivation du recours que les conditions précitées sont réalisées, à moins que l'on puisse le déduire directement et sans ambiguïté compte tenu notamment de la nature de l'infraction alléguée (<ref-ruling> consid. 1.1 p. 4).
En l'espèce, le recourant ne dit mot d'éventuelles prétentions pécuniaires dans sa très brève écriture de recours et la seule allégation, dans sa plainte, d'être tombé et souffrir de vertiges depuis lors ne permet aucune déduction dépourvue d'ambiguïté sur ce point. Il ne démontre donc pas à satisfaction de droit avoir qualité pour recourir en application de l'art. 81 al. 1 let. a et b ch. 5 LTF.
3.
Le recourant n'invoque expressément aucune violation éventuelle de son droit à la plainte (art. 81 al. 1 let. a et b ch. 6 LTF) ou d'un droit de procédure entièrement séparé du fond (cf. <ref-ruling> consid. 1.1 p. 5; <ref-ruling> consid. 1.9 p. 40 et les références citées). Le recours n'est pas recevable sous ces deux angles non plus.
4.
Par surabondance, les motifs du recours au sens de l'<ref-law> doivent exposer succinctement en quoi la décision attaquée viole le droit (<ref-law>). Selon la jurisprudence, pour répondre à cette exigence, la partie recourante est tenue de discuter au moins sommairement les considérants de l'arrêt entrepris (<ref-ruling> consid. 2.4 p. 367 s. et les arrêts cités); en particulier, la motivation doit être topique, c'est-à-dire se rapporter à la question juridique tranchée par l'autorité cantonale (<ref-ruling>; arrêt 6B_970/2017 du 17 octobre 2017 consid. 4). Le Tribunal fédéral n'examine, par ailleurs, la violation de droits fondamentaux que si ce moyen est invoqué et motivé par le recourant (<ref-law>), c'est-à-dire s'il a été expressément soulevé et exposé de manière claire et détaillée (<ref-ruling> consid. 2.4 p. 368 et les références citées).
En l'espèce, les autorités cantonales ont jugé, en substance, que les allégations du recourant relatives à des défauts de l'immeuble dans lequel il vivait ne revêtaient aucun caractère pénal et qu'il n'existait pas le moindre soupçon que la chute alléguée, dont on ignorait tout, ait pu avoir été en relation avec des actes ou omissions fautifs. Dans son écriture du 25 janvier 2021, le recourant se plaint, en résumé, de l'absence de mesures d'instructions, soit de constatations sur les mensurations de son appartement et la température qui y règne. Il exprime aussi son désespoir et ses problèmes de santé liés à l'âge. On recherche en vain, dans ces développements, toute discussion pertinente des motifs de l'ordonnance querellée. L'insuffisance de la motivation est patente.
5.
L'irrecevabilité du recours est manifeste. Elle doit être constatée dans la procédure prévue par l'art. 108 al. 1 let. a et b LTF. Le recourant supporte les frais de la procédure (art. 65 al. 2 et 66 al. 1 LTF).

rulings:
Par ces motifs, le Juge présidant prononce :
1.
Le recours est irrecevable.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 800 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et au Tribunal cantonal du canton du Valais, Chambre pénale.
Lausanne, le 3 mars 2021
Au nom de la Cour de droit pénal
du Tribunal fédéral suisse
Le Juge présidant : Denys
Le Greffier : Vallat


facts:
Faits :
A.
A._ est la mère d'un enfant né en 2010 et scolarisé à Genève.
L'association B._ est une association au sens des art. 60 ss du Code civil, ayant son siège à Genève (art. 1 et 2 des statuts). Elle a pour but statutaire d'assurer la promotion de l'éducation physique et du sport (art. 3.1 des statuts), la défense des intérêts et la profession des maîtres d'éducation physique, des projets sportifs et de la place de l'éducation physique dans les cursus scolaires obligatoires et post-obligatoires (art. 3.2 des statuts), ainsi que de représenter les maîtres d'éducation physique devant diverses autorités (art. 3.3 des statuts). A cette fin, elle entreprend toute action qu'elle juge appropriée (art. 4.2 des statuts). Est notamment admis en qualité de membre tout maître d'éducation physique en activité à Genève (art. 5.1.1 des statuts).
B.
B.a. La loi fédérale du 17 juin 2011 sur l'encouragement du sport et de l'activité physique (loi sur l'encouragement du sport; LESp; RS 415.0) est entrée en vigueur le 1er octobre 2012. D'après l'<ref-law>, "l'enseignement à l'école obligatoire doit prévoir au moins trois périodes hebdomadaires d'éducation physique".
B.b. Dans un arrêt du 19 mai 2016, la Chambre constitutionnelle de la Cour de justice de la République et canton de Genève (ci-après: la Cour de justice) a rejeté, dans la mesure où il était recevable, un recours formé notamment par A._ et l'Association B._ tendant à ce qu'il soit fait injonction au Grand Conseil de Genève d'adopter une réglementation prévoyant au moins trois périodes hebdomadaires d'éducation physique à l'école obligatoire genevoise.
En substance, la Chambre constitutionnelle de la Cour de justice a retenu que l'obligation prévue à l'<ref-law> ne nécessitait pas de transposition par les cantons dans un acte de rang législatif. Directement applicable, cette obligation s'imposait indépendamment de toute considération d'ordre financier, organisationnel ou ayant trait aux infrastructures en place.
B.c. A la suite de cet arrêt, différents parents d'élèves et l'Association B._ ont adressé un courrier à la Conseillère d'Etat en charge du Département de l'instruction publique, de la culture et du sport, devenu le Département de l'instruction publique, de la formation et de la jeunesse de la République et canton de Genève (ci-après: la Conseillère d'Etat et le Département) mettant celle-ci en demeure de procéder à la mise en oeuvre d'une troisième période hebdomadaire d'éducation physique. Le 15 juin 2016, la Conseillère d'Etat a répondu que l'instauration de trois périodes hebdomadaires d'éducation physique ne pourrait pas avoir lieu à la rentrée scolaire 2016.
Par arrêt du 23 août 2016 (ATA/693/2016), la Chambre administrative de la Cour de justice a rejeté dans la mesure de sa recevabilité le recours formé contre ce courrier notamment par A._ et l'Association B._. Par arrêt du 24 mai 2017 (2C_901/2016), le Tribunal fédéral a rejeté, dans la mesure de sa recevabilité, le recours interjeté contre cet arrêt. En substance, le Tribunal fédéral a considéré que la confirmation par la Cour de justice du courrier du Département du 15 juin 2016 indiquant aux recourants que la troisième période d'éducation physique ne pourrait pas être introduite à la rentrée 2016, respectivement au cours de l'année scolaire 2016/2017, ne violait pas l'<ref-law>, qui ne fixait notamment pas de calendrier de mise en oeuvre. Le Tribunal fédéral a toutefois précisé qu'il appartenait au canton d'introduire une troisième période d'éducation physique hebdomadaire pour tous les niveaux de l'école obligatoire dans les plus brefs délais (consid. 6.4).
B.d. Courant 2016 et 2017, divers échanges entre l'Association B._ et la Conseillère d'Etat ont eu lieu au sujet du calendrier de mise en oeuvre de la troisième période d'éducation physique hebdomadaire.
Les 23 février et 27 mars 2017, la Conseillère d'Etat a confirmé à l'Association B._ qu'une troisième période hebdomadaire d'éducation physique au cycle d'orientation (degré secondaire), en "9e R1 et R2" serait prévue à la rentrée scolaire 2017, puis étendue à l'ensemble des classes dès la révision de la grille horaire, prévue à l'horizon de la rentrée scolaire 2018 ou 2019.
Le 4 décembre 2017, l'Association B._ s'est enquise auprès de la Conseillère d'Etat de l'avancement de ses engagements.
Le 20 décembre 2017, celle-ci a répondu que le déploiement partiel de la troisième heure de sport hebdomadaire pour les élèves du cycle d'orientation lors de la rentrée scolaire 2017-2018 serait poursuivi lors de l'adaptation de la grille horaire prévue à la rentrée 2018-2019.
Par courrier du 22 décembre 2017, l'Association B._ a mis en demeure la Conseillère d'Etat de lui proposer un calendrier précis de mise en oeuvre. Le 9 janvier 2018, la Conseillère d'Etat a fait savoir à l'association qu'elle l'associerait aux travaux liés à la révision de la grille horaire au plus tard avant la fin de l'année scolaire 2017-2018.
Le 11 janvier 2018, l'Association B._ a réitéré ses précédentes demandes.
B.e. Le 17 janvier 2018, A._, notamment, et l'Association B._ ont saisi la Chambre administrative de la Cour de justice d'un recours pour déni de justice, concluant au renvoi de la cause au Département aux fins de la mise en oeuvre dans les plus brefs délais de la troisième période d'éducation physique dans tous les degrés de l'école obligatoire à Genève, à défaut, que le Département rende une décision sujette à recours.
Par arrêt du 24 avril 2018 (ATA/386/2018), la Cour de justice a déclaré le recours irrecevable. Cet arrêt est entré en force.
B.f. Le 10 juillet 2018, l'Association B._ a écrit à la Conseillère d'Etat en lui indiquant ne pas avoir été invitée à participer à la réforme de la grille horaire en cours. Elle a souligné que la mise en oeuvre projetée n'était toujours pas conforme au droit fédéral, tout en lui impartissant un délai pour ce faire.
Le 18 juillet 2018, la Conseillère d'Etat lui a proposé une rencontre. Celle-ci a eu lieu le 3 septembre 2018.
Le 19 septembre 2018, la Conseillère d'Etat a confirmé à l'Association B._ le déploiement progressif d'un dispositif permettant à tous les élèves du cycle d'orientation de bénéficier de trois périodes d'éducation physique sur les deux des trois années de scolarité (soit en sus des élèves des sections "R1 et R2" en 9e année, les élèves de la section "LS" en 10e année, puis l'ensemble des élèves de 11e année), étant précisé qu'au regard des contraintes organisationnelles, matérielles et budgétaires, la perspective d'étendre la mesure à l'ensemble des élèves sur les trois années du cycle d'orientation était complexe. Afin de trouver des solutions alternatives, elle l'invitait à participer à un groupe de travail.
Le 17 décembre 2018, A._ et l'Association B._ ont répondu à la Conseillère d'Etat que le calendrier qu'elle proposait ne respectait pas les exigences du Tribunal fédéral. Ils la mettaient ainsi en demeure de leur transmettre un calendrier précis, prévoyant une mise en oeuvre effective de la mesure.
Le 15 janvier 2019, la Conseillère d'Etat leur a répondu que la révision de la grille horaire se poursuivait et a réitéré l'invitation faite à l'Association B._ de participer à un groupe de travail.
Le 26 février 2019, l'Association B._ a répété sa demande consistant à obtenir de la Conseillère d'Etat un planning précis de mise en oeuvre. Le 1er mars 2019, la Conseillère d'Etat a renvoyé à la teneur de ses précédents courriers, précisant que la proposition d'un travail concret impliquait que l'Association B._ prenne contact avec ses services en vue de participer aux séances de travail projetées, afin de définir les modalités pratiques de la mise en oeuvre de la troisième heure de sport.
C.
C.a. Le 9 janvier 2020, A._ et l'Association B._ ont invité la Conseillère d'Etat à rendre une décision formelle au sujet de la situation, notamment au regard de l'arrêt du Tribunal fédéral du 24 mai 2017 (cf. <ref-law>), et à confirmer qu'une troisième période d'éducation physique hebdomadaire pour tous les niveaux de l'école obligatoire serait introduite à la rentrée 2020.
Le 28 janvier 2020, la Conseillère d'Etat s'est référée à la teneur de ses précédents courriers, précisant qu'au vu de la décision du Grand Conseil refusant le budget, les options prises avaient dû être reconsidérées. Elle avait maintenu l'introduction de la troisième période d'éducation physique pour les élèves de 10e année en section "LS", mais la finalisation de la mise en oeuvre de cette troisième heure pour tous les élèves du cycle d'orientation à compter de la rentrée scolaire 2021 était dépendante du budget devant être voté en fin d'année.
C.b. Le 2 mars 2020, A._ et l'Association B._ ont saisi la Chambre administrative de la Cour de justice d'un recours pour déni de justice, concluant à ce que ce déni soit constaté et au renvoi de la cause au Département pour prise d'une décision formelle.
Par arrêt du 30 juin 2020, la Cour de justice a déclaré le recours pour déni de justice irrecevable.
D.
Contre l'arrêt du 30 juin 2020, A._ (ci-après: la recourante 1) et l'Association B._ (ci-après: l'association ou la recourante 2) forment un recours en matière de droit public au Tribunal fédéral. Elles concluent à l'annulation de l'arrêt attaqué, au constat de la recevabilité de leur recours formé le 2 mars 2020 et au renvoi de la cause à la Cour de justice pour instruction complémentaire et nouvelle décision dans le sens des considérants.
La Cour de justice s'en rapporte à justice quant à la recevabilité du recours et persiste dans les considérants et le dispositif de son arrêt. Le Département demande au Tribunal fédéral, sous suite de frais, de déclarer irrecevable le recours et de le rejeter sur le fond. Les recourantes ont répliqué, en persistant intégralement dans les termes et conclusions de leur recours.

considerations:
Considérant en droit :
1.
Le Tribunal fédéral examine d'office et librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (<ref-ruling> consid. 3).
1.1. Dans une procédure administrative, l'auteur d'un recours déclaré irrecevable, notamment pour défaut de qualité pour recourir, est habilité à contester l'arrêt d'irrecevabilité par un recours en matière de droit public lorsque l'arrêt au fond aurait pu être déféré au Tribunal fédéral par cette voie de droit (<ref-ruling> consid. 3.2; <ref-ruling> consid. 1; <ref-ruling> consid. 1b; arrêt 2C_711/2018 du 7 juin 2019 consid. 1.1, non publié in <ref-ruling>).
En l'espèce, le litige porte au fond sur le droit à l'obtention d'une décision du Département s'agissant de la mise en oeuvre de la troisième période d'éducation physique hebdomadaire à l'école obligatoire à Genève. La matière relève donc du droit public (<ref-law>) et ne tombe pas sous le coup des exceptions de l'<ref-law>. Sur le principe, l'arrêt au fond, en tant que décision finale (<ref-law>) rendue dans une cause de droit public par une autorité cantonale de dernière instance (art. 86 al. 1 let. d et al. 2 LTF), aurait pu faire l'objet d'un recours en matière de droit public, de sorte que cette voie de droit est ouverte pour contester l'arrêt d'irrecevabilité.
1.2. En tant que représentante légale de son enfant (<ref-law>), la recourante 1 est habilitée à former un recours aussi bien en son nom qu'au nom de son enfant (arrêt 2C_824/2019 du 31 janvier 2020 consid. 1.2 et les arrêts cités). Les recourantes ont toutes deux participé à la procédure devant la Cour de justice et sont particulièrement touchées par le refus d'entrer en matière sur leur recours pour déni de justice (art. 89 al. 1 let. a et b LTF). Elles ont en outre un intérêt digne de protection (art. 89 al. 1 let. c LTF) à ce qu'il soit statué sur le point de savoir si c'est à juste titre que la Cour de justice a nié leur qualité pour recourir devant elle. Elles ont donc la qualité pour recourir au sens de l'<ref-law>. Il convient de préciser que le motif d'irrecevabilité retenu par la Cour de justice constitue l'objet de la contestation devant le Tribunal fédéral, à l'exclusion du fond de l'affaire (<ref-ruling> consid. 3.1; <ref-ruling> consid. 4; arrêt 2C_711/2018 du 7 juin 2019 consid. 1.2; non publié in <ref-ruling>). En effet, si la Cour de justice a relevé, s'agissant du recours de la mère de l'enfant, que "même à admettre la recevabilité du recours, celui-ci devrait en tout état de cause être rejeté" (p. 13 de l'arrêt attaqué), laissant entendre qu'elle avait procédé aussi à un examen matériel subsidiaire (cf., sur ce cas de figure, <ref-ruling> consid. 3.2), les arguments qu'elle a développés se rapportent tous à l'entrée en matière.
1.3. Pour le surplus, le recours a été formé en temps utile compte tenu des féries (art. 46 al. 1 let. b et 100 LTF) et dans les formes prescrites (<ref-law>). Il est donc en principe recevable.
2.
Saisi d'un recours en matière de droit public, le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>). Conformément à l'<ref-law>, il ne connaît toutefois de la violation des droits fondamentaux, ainsi que de celle de dispositions de droit cantonal et intercantonal, que si ce grief a été invoqué et motivé par la partie recourante, c'est-à-dire s'il a été expressément soulevé et exposé de façon claire et détaillée (<ref-ruling> consid. 2.4; <ref-ruling> consid. 1.3; <ref-ruling> consid. 1.2).
3.
Le litige porte sur le point de savoir si c'est à juste titre que la Cour de justice a refusé d'entrer en matière sur le recours formé devant elle par les intéressées.
3.1. Dans leur demande du 9 janvier 2020, les recourantes ont invité la Conseillère d'Etat à rendre une décision formelle s'agissant de la mise en oeuvre de la troisième période d'éducation physique hebdomadaire à l'école obligatoire à Genève. Dans son courrier du 28 janvier 2020, la Conseillère d'Etat ne s'est pas explicitement prononcée sur la demande de décision, se référant seulement à de précédents courriers et faisant état de contraintes budgétaires.
3.2. Dans leur recours du 2 mars 2020 devant la Cour de justice, les recourantes se sont plaintes d'un déni de justice, en relevant que les mesures organisationnelles prises par le Département relatives à la troisième période d'éducation physique hebdomadaire avaient des effets sur leur situation juridique et devaient pouvoir faire l'objet d'une décision sujette à un contrôle juridictionnel. La Cour de justice a déclaré ce recours irrecevable. En résumé, s'agissant de la recourante 1, la Cour de justice a relevé que son enfant, né en 2010, était encore au degré primaire de la scolarité, où trois périodes d'éducation physique hebdomadaires étaient dispensées. Elle n'avait donc pas d'intérêt direct, actuel et concret à recourir. Elle a aussi noté que l'enfant, pour le même motif, n'était pas touché de manière directe, concrète et avec une intensité plus grande que les autres élèves par l'absence de mesure organisationnelle relative à la troisième période d'éducation physique au degré secondaire. Partant, selon la Cour de justice, même si le recours était recevable, il devrait être rejeté, car la recourante ne pouvait pas prétendre au prononcé d'une décision au sens de l'art. 4A de la loi genevoise sur la procédure administrative du 12 septembre 1985 (LPA/GE; RS/GE E 5 10).
S'agissant de la recourante 2, la Cour de justice a retenu, en se référant à son précédent arrêt du 24 avril 2018, que celle-ci n'avait pas qualité pour recourir en l'absence d'intérêt digne de protection tant de ses membres que d'elle-même à la mise en oeuvre de la troisième période hebdomadaire d'éducation physique, un tel intérêt ne pouvant être reconnu qu'aux élèves concernés par l'école obligatoire.
3.3. Les recourantes dénoncent la violation de l'<ref-law> en lien avec l'<ref-law> dans la mesure où la Cour de justice leur a dénié un intérêt digne de protection à recourir pour déni de justice formel et a partant déclaré irrecevable leur recours faute de qualité pour recourir.
4.
4.1. En vertu de l'art. 4A LPA/GE, toute personne qui a un intérêt digne de protection peut exiger que l'autorité compétente pour des actes fondés sur le droit fédéral, cantonal ou communal et touchant à des droits ou des obligations: a) s'abstienne d'actes illicites, cesse de les accomplir, ou les révoque; b) élimine les conséquences d'actes illicites; c) constate le caractère illicite de tels actes (al. 1). L'autorité statue par décision (al. 2).
L'art. 4A LPA/GE, qui est formulé de manière presque identique à l'art. 25a de la loi fédérale du 20 décembre 1968 sur la procédure administrative (PA; RS 172.021), met en oeuvre, au niveau cantonal, le droit à l'accès au juge garanti par l'art. 29a Cst. s'agissant du contrôle des actes matériels de l'administration (arrêt 1C_150/2020 du 24 septembre 2020 consid. 5.3; cf. arrêt 8C_775/2019 du 17 mars 2020 consid. 3.1). La disposition s'interprète de la même manière que l'<ref-law> (cf. arrêt 1C_150/2020 du 24 septembre 2020 consid. 5.3).
En vertu de l'art. 4 al. 4 LPA/GE, lorsqu'une autorité mise en demeure refuse sans droit de statuer ou tarde à se prononcer, son silence est assimilé à une décision. Une partie peut recourir en tout temps à la chambre administrative pour déni de justice ou retard non justifié si l'autorité concernée ne donne pas suite rapidement à la mise en demeure prévue à l'art. 4 al. 4 LPA/GE (art. 62 al. 6 LPA/GE).
4.2. La qualité pour recourir devant la Cour de justice est définie par l'art. 60 LPA/GE. Toutefois, aux termes de l'<ref-law>, la qualité de partie à la procédure devant toute autorité cantonale précédente doit être reconnue à quiconque a qualité pour recourir devant le Tribunal fédéral. Il résulte de cette disposition que la qualité pour recourir devant les autorités cantonales ne peut pas s'apprécier de manière plus restrictive que la qualité pour recourir devant le Tribunal fédéral, les cantons demeurant libres de concevoir cette qualité de manière plus large (<ref-ruling> consid. 2.1.1; <ref-ruling> consid. 5). Le droit genevois ne conçoit pas la qualité pour recourir de façon plus large que l'<ref-law>, de sorte qu'il convient d'examiner la qualité pour recourir sous l'angle de cette dernière disposition (<ref-ruling> consid. 2.1). S'agissant de droit fédéral (<ref-law>), le Tribunal fédéral examine librement cette question (<ref-ruling> consid. 2.1).
4.3. La qualité pour recourir au sens de l'<ref-law> exige notamment que la partie recourante soit particulièrement atteinte par la décision attaquée et qu'elle ait un intérêt digne de protection à l'annulation ou à la modification de celle-ci (let. b et c). L'intérêt digne de protection suppose que la personne qui l'invoque soit touchée de manière directe, concrète et dans une mesure et avec une intensité plus grandes que la généralité des administrés; l'intérêt invoqué - qui peut être un intérêt de pur fait - doit se trouver, avec l'objet de la contestation, dans un rapport étroit, spécial et digne d'être pris en considération (cf. <ref-ruling> consid. 4.2). Ces exigences visent à éviter l'action populaire (<ref-ruling> consid. 2.3). L'intérêt digne de protection doit en outre être actuel et pratique (<ref-ruling> consid. 1.3; <ref-ruling> consid. 1.3.1; <ref-ruling> consid. 1.2).
4.4. En vertu de l'<ref-law>, l'enseignement à l'école obligatoire doit prévoir de manière obligatoire au moins trois périodes hebdomadaires d'éducation physique (cf. arrêt 2C_824/2019 du 31 janvier 2020 consid. 7.1). La scolarité obligatoire comprend les écoles enfantines, dans la mesure où elles sont obligatoires, le degré primaire et le degré secondaire I (cf. art. 48 al. 1 de l'ordonnance du 23 mai 2012 sur l'encouragement du sport et de l'activité physique [ordonnance sur l'encouragement du sport, OESp; RS 415.01], qui correspond à la jurisprudence fédérale rendue à propos de l'art. 19 en lien avec l'art. 62 Cst.; cf. <ref-ruling> consid. 2.3.1; cf. arrêt 2C_824/2019 du 31 janvier 2020 consid. 7.1).
Dès lors qu'il existe une obligation pour les cantons de mise en oeuvre de trois périodes hebdomadaires d'éducation physique, imposée par le droit fédéral, les mesures prises par les autorités administratives du canton de Genève en lien avec l'introduction de la troisième période hebdomadaire doivent, sur le principe, pouvoir faire l'objet d'un contrôle judiciaire en vertu de l'art. 29a Cst. (cf. arrêt 2C_272/2012 du 9 juillet 2012 consid. 4 à propos de la suppression d'heures de sport imposées par le droit fédéral dans des écoles professionnelles cantonales). A fortiori, un contrôle judiciaire s'impose lorsque l'autorité administrative, comme en l'espèce, invoque des obstacles à la concrétisation de cette obligation, mais ne rend pas de décision formelle (qu'il s'agisse d'une non-entrée en matière ou d'un rejet), alors qu'il lui est demandé de prendre formellement position. La Cour de justice devait donc, a priori, entrer en matière sur le recours pour déni de justice formé par les recourantes au motif que le Département n'avait pas rendu de décision formelle à la suite de leur (énième) demande tendant à ce que la troisième période d'éducation physique hebdomadaire soit mise en oeuvre. La question qui se pose est de savoir si la Cour de justice pouvait néanmoins refuser en l'espèce d'entrer en matière pour défaut de qualité pour recourir.
4.5. La Cour de céans relève que, dans son arrêt du 24 mai 2017 qui portait sur l'introduction de la troisième période d'éducation physique à l'école obligatoire à Genève à la rentrée 2016, elle a déjà admis la qualité pour recourir de la recourante 1. On ne voit pas qu'il puisse en aller différemment dans le cadre du présent litige, relatif à l'absence de décision concernant la mise en oeuvre de la troisième période d'éducation physique. Il faut partant reconnaître à la recourante 1 un intérêt digne de protection à obtenir qu'une autorité judiciaire contrôle la conformité au droit du courrier du Département du 20 janvier 2020, eu égard notamment à l'arrêt de la Cour constitutionnelle de la Cour de justice du 19 mai 2016 retenant que la mise en oeuvre de la troisième période d'éducation physique hebdomadaire s'impose indépendamment des considérations d'ordre financier, organisationnel ou ayant trait aux infrastructures, d'une part, et à l'arrêt du Tribunal fédéral du 24 mai 2017 donnant pour injonction aux autorités de mettre en oeuvre la troisième période d'éducation physique hebdomadaire dans les plus brefs délais, d'autre part.
La Cour de justice ne pouvait partant pas refuser d'entrer en matière sur le recours en tant qu'il était formé par la recourante 1.
4.6. En ce qui concerne la recourante 2, celle-ci est une association qui a pour buts statutaires d'assurer la promotion de l'éducation physique et du sport, ainsi que de défendre les intérêts des maîtres d'éducation physique et la place de l'éducation physique dans les cursus scolaires obligatoires genevois. La recourante 2 met en doute le fait que le canton de Genève respecte la loi fédérale sur l'encouragement du sport et de l'activité physique, en particulier l'<ref-law> relatif au nombre d'heures d'éducation physique hebdomadaires imposées à l'école obligatoire. Or, eu égard à ses buts de promotion de l'éducation physique et de défense de la place de l'éducation physique dans les cursus scolaires obligatoires, on doit admettre que la recourante 2 a un intérêt digne de protection propre à ce qu'une autorité judiciaire vérifie la conformité de la position du Département au regard des exigences posées par le droit fédéral et des injonctions des autorités judiciaires. C'est partant également à tort que la Cour de justice a dénié à la recourante 2 la qualité pour recourir pour déni de justice. L'association ayant qualité pour recourir à titre personnel, il n'est pas nécessaire d'examiner si les conditions du recours au nom des membres de l'association (recours corporatif) sont également réunies (cf. <ref-ruling> consid. 1.4.3; arrêt 2C_168/2019 du 15 avril 2019 consid. 1.3).
4.7. En définitive, la Cour de justice a violé l'<ref-law> en lien avec l'<ref-law> en déniant aux recourantes la qualité pour recourir pour déni de justice. Le recours doit donc être admis et la cause renvoyée à la Cour de justice pour qu'elle entre en matière, sans qu'il ne soit nécessaire de trancher l'autre grief, tiré de la violation de l'art. 49 Cst., développé dans le recours.
5.
Les considérants qui précèdent conduisent à l'admission du recours. L'arrêt de la Cour de justice du 30 juin 2020 doit être annulé et la cause renvoyée à cette autorité pour qu'elle entre en matière sur le recours formé pour déni de justice.
Succombant dans l'exercice de ses attributions officielles sans que son intérêt patrimonial ne soit en cause, le canton de Genève ne peut pas être condamné au paiement des frais de justice (<ref-law>). Ayant obtenu gain de cause avec l'aide d'un mandataire professionnel, les recourantes, créancières solidaires, ont droit à des dépens, à la charge du canton de Genève (art. 68 al. 1 et 2 LTF).

rulings:
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est admis. L'arrêt de la Cour de justice du 30 juin 2020 est annulé. La cause est renvoyée à cette autorité pour qu'elle entre en matière sur le recours interjeté devant elle.
2.
Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
3.
Le canton de Genève versera aux recourantes, créancières solidaires, une indemnité de 2'500 fr. à titre de dépens.
4.
Le présent arrêt est communiqué au mandataire des recourantes, au Département de l'instruction publique, de la formation et de la jeunesse et à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre administrative, ainsi qu'au Département fédéral de la défense, de la protection de la population et des sports (DDPS).
Lausanne, le 18 juin 2021
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Seiler
La Greffière : Kleber