facts:
Faits :
A.
Né en 2009, A.A._ est atteint d'hémiplégie droite et d'une infirmité motrice cérébrale de type spastique. L'Office de l'assurance-invalidité du canton de Genève (ci-après: l'office AI) a pris en charge des mesures médicales en raison d'une infirmité congénitale. Par la suite, il a alloué à l'assuré une allocation pour impotence de degré faible depuis le 1er janvier 2012, puis de degré moyen dès le 1er août 2012 (décisions du 6 mai 2013), ainsi qu'une contribution d'assistance d'un montant maximal de 8672 fr. 95 par année à partir du 1er octobre 2012 (décision du 9 octobre 2013).
A la suite d'un échange de correspondance avec la mère de l'assuré quant au cadre dans lequel celui-ci poursuivait sa scolarité pour l'année 2014-2015, puis 2015-2016, 2016-2017 et 2017-2018, l'office AI a mis en oeuvre une enquête à domicile. Dans son rapport du 11 février 2019, la collaboratrice de l'office AI a mentionné que A.A._ était inscrit depuis l'année scolaire 2016-2017 à l'école C._ qui était une école spécialisée, privée et subventionnée. Informé par l'office AI de son intention de supprimer la contribution d'assistance (préavis du 13 février 2019), l'assuré a fait valoir qu'il fréquentait une classe ordinaire, en produisant une attestation du 28 février 2019 du directeur de l'école C._. Par décision du 25 mars 2019, l'office AI a supprimé la contribution d'assistance à partir de la fin du mois suivant la notification de son prononcé, au motif que l'assuré ne suivait plus une classe ordinaire.
B.
Statuant le 30 janvier 2020 sur le recours formé par A.A._ contre cette décision, la Cour de justice de la République et canton de Genève l'a rejeté.
C.
Agissant par la voie du recours en matière de droit public, A.A._ demande au Tribunal fédéral d'annuler l'arrêt cantonal et de le mettre au bénéfice de la contribution d'assistance. Il sollicite par ailleurs l'assistance judiciaire.
L'office AI a renoncé à répondre, tandis que l'Office fédéral des assurances sociales (OFAS) propose le rejet du recours. L'assuré s'est exprimé sur la détermination de l'autorité de surveillance.

considerations:
Considérant en droit :
1.
Le recours en matière de droit public peut être formé notamment pour violation du droit fédéral (<ref-law>), que le Tribunal fédéral applique d'office (<ref-law>), n'étant limité ni par les arguments de la partie recourante, ni par la motivation de l'autorité précédente. Le Tribunal fédéral fonde son raisonnement sur les faits retenus par la juridiction de première instance (<ref-law>), sauf s'ils ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>).
2.
2.1. Le litige porte sur le droit du recourant au maintien d'une contribution d'assistance, au sens de l'<ref-law>, au-delà du 30 avril 2019 (compte tenu de la date de la notification de la décision du 25 mars 2019 retenue par la juridiction cantonale). Selon le premier alinéa de cette disposition, l'assuré a droit à une contribution d'assistance aux conditions suivantes: a) il perçoit une allocation pour impotent de l'AI conformément à l'art. 42 al. 1 à 4; b) il vit chez lui; c) il est majeur. En vertu de l'<ref-law>, le Conseil fédéral fixe les conditions auxquelles les mineurs ont droit à la contribution d'assistance.
2.2. Conformément à cette délégation de compétence, le Conseil fédéral a édicté l'<ref-law> qui prévoit que l'assuré mineur a droit à une contribution d'assistance (notamment) s'il remplit les conditions prévues à l'art. 42quater al. 1 let. a et b LAI et s'il suit de façon régulière l'enseignement scolaire obligatoire dans une classe ordinaire, une formation professionnelle sur le marché ordinaire de l'emploi ou une autre formation du degré secondaire II (let. a).
Le désaccord des parties concerne exclusivement l'application de l'<ref-law> (les deux autres éventualités prévues par les let. b et c n'étant pas déterminantes en l'espèce). Il s'agit singulièrement d'examiner si la juridiction cantonale a à juste titre considéré que le recourant n'avait pas droit à la prestation en cause, au motif que la condition de la fréquentation d'une "classe ordinaire" n'était pas réalisée en l'occurrence.
3.
La juridiction cantonale a constaté que le recourant était inscrit à l'école primaire C._ depuis l'année scolaire 2016-2017. Il s'agissait d'un "externat de pédagogie spécialisé" s'adressant aux enfants présentant des troubles envahissants du développement, des troubles spécifiques du développement du langage ou des troubles du développement des acquisitions scolaires. Destinée aux élèves atteints de troubles psychiques, cette école était subventionnée par l'Etat de Genève, faisait partie du réseau genevois de l'enseignement spécialisé et était placée sous la surveillance de la Direction générale de l'office genevois de l'enfance et de la jeunesse (DGOEJ). Selon les données de l'école, C._ suivait le programme scolaire obligatoire pour les élèves du canton de Genève, partageait le même complexe qu'une école régulière et proposait de la logopédie, mais aussi, selon les besoins des élèves, une prise en charge "pédago-thérapeutique". L'établissement était par ailleurs reconnu depuis 1999 par l'OFAS comme "école spécialisée auprès de l'assurance-invalidité" et était classé, selon le site Internet de l'Etat de Genève, dans la liste des "centres médico-pédagogiques et institutions assimilées", tout en y étant décrit comme "un dispositif d'enseignement spécialisé (ES) du cycle moyen subventionné, situé sur la commune de U._" (<https://www.ge.ch/document/liste-centres-medico-pedagogiques-institutions-assimilees>). Les premiers juges ont déduit de ces éléments que la classe fréquentée par le recourant ne pouvait pas être considérée comme une classe ordinaire au sens de l'<ref-law> et que celui-ci avait été intégré au sein d'un établissement spécialisé. Son droit à la contribution d'assistance s'était dès lors éteint conformément à l'<ref-law>.
En outre, le fait de ne pas intégrer dans la notion de "classe ordinaire" les classes dites "inclusives", à l'instar de celle fréquentée par le recourant, ne constituait pas une inégalité de traitement au sens de l'art. 8 Cst. ou de l'<ref-law> (RS 151.3). Compte tenu du but principal des dispositions légales sur la contribution d'assistance, qui était de favoriser l'autonomie et la responsabilité des personnes handicapées, les conditions de l'<ref-law> reposaient sur un motif sérieux et objectif ou n'opéraient pas de distinctions juridiques injustifiées, cette disposition - en relation avec la let. c - ayant été considérée comme conforme au droit par le Tribunal fédéral (cf. <ref-ruling>).
4.
4.1. Invoquant une interprétation arbitraire de l'<ref-law>, le recourant soutient tout d'abord que la notion de "classe ordinaire" constitue un indice "non absolu" permettant de déterminer le degré d'autonomie du mineur concerné, ce que la juridiction cantonale aurait manqué de retenir en n'analysant pas ladite notion en fonction de la volonté du législateur mais de celle de l'administration, exprimée dans la Circulaire de l'OFAS sur la contribution d'assistance (ch. 7005). Selon lui, dès lors que l'autorité cantonale de recours s'est fondée uniquement sur le "critère de la classe ordinaire", son interprétation conduit à un résultat arbitraire, puisqu'il présente un degré d'autonomie et de responsabilité suffisants, ainsi que le potentiel pour intégrer le marché du travail. Il fait ainsi valoir qu'il avait déjà été en mesure de suivre sa scolarité dans une "classe ordinaire" pendant les années 2013 à 2015 et que les conditions de la scolarité n'avaient pas été fondamentalement modifiées au moment de son entrée dans l'établissement C._. Sa soeur jumelle, qui ne présentait aucune affection, suivait d'ailleurs la même école. Or les conditions concrètes de la scolarisation étaient "bien plus importantes" que la qualification de l'établissement comme "classe ordinaire".
Se plaignant ensuite d'une violation de l'art. 8 Cst., le recourant fait valoir qu'admettre que l'intégration dans un système scolaire inclusif - dont le but était précisément d'éviter une séparation entre enseignement ordinaire et spécialisé - excluait d'emblée que l'élève en cause disposât d'une autonomie suffisante pour bénéficier de la contribution d'assistance était contraire à l'égalité de traitement. Dès lors qu'il ne bénéficiait d'aucun encadrement "supérieur" à celui dont il aurait bénéficié dans un établissement ordinaire, le droit à la contribution d'assistance aurait dû être maintenu, la seule référence à la "dénomination" de l'école ne constituant pas un facteur objectif.
4.2. A l'appui du rejet du recours, l'OFAS invoque tout d'abord l'objectif principal de la contribution d'assistance qu'est le renforcement de l'autonomie de l'assuré, en soutenant que le mineur susceptible de bénéficier d'une contribution d'assistance doit disposer d'une certaine autonomie, ce que la condition prévue par l'<ref-law> permet justement de déterminer. Selon l'autorité de surveillance, le critère de la fréquentation d'une "classe ordinaire" - notion opposée à celle de "classe spéciale" - prime donc sur le degré d'autonomie et de participation de l'assuré. Elle soutient par ailleurs qu'on ne saurait exiger, comme le voudrait le recourant, que les organes d'exécution de l'assurance-invalidité effectuent un examen sur place des conditions concrètes de scolarisation dans chaque classe d'école concernée pour déterminer le droit à la prestation en cause, ce d'autant moins que l'organisation et le financement de la formation scolaire spéciale relèvent de la responsabilité exclusive des cantons auxquels il appartient de définir le statut des établissements scolaires. L'OFAS est, cela dit, de l'avis que l'assuré est scolarisé dans une école spécialisée, comme cela ressortirait du droit cantonal et des informations du directeur de l'école C._, seule la pratique de l'établissement au regard de son statut étant déterminante et non pas "ce qui se pratique sur place". Enfin, il fait valoir que le principe de l'interdiction de l'inégalité de traitement ne peut pas conduire à imposer de considérer les classes spéciales comme des classes ordinaires, dès lors qu'un enfant suivant les premières se trouve dans une situation différente de celui qui suivrait sa scolarité dans le cadre d'un programme d'inclusion dans les secondes.
5.
Conformément au texte clair de l'<ref-law>, le Conseil fédéral s'est vu déléguer la compétence de fixer les conditions auxquelles les mineurs ont droit à une contribution d'assistance. Le législateur n'a prévu aucune prescription explicite quant au contenu matériel de ces conditions (<ref-ruling> consid. 4.2).
L'<ref-law> (fondé sur l'<ref-law>) constitue une règle relevant d'une ordonnance dépendante, non pas d'exécution mais de substitution (sur cette notion, voir AUER/MALINVERNI/HOTTELIER, Droit constitutionnel suisse, vol. I, 3e éd., 2013, p. 539 ss n° 1594 ss; HÄFELIN/MÜLLER/UHLMANN, Allgemeines Verwaltungsrecht, 8e éd. 2020, p. 22 ss n° 93 ss). En présence d'une telle ordonnance, le Tribunal fédéral examine si l'autorité exécutive est restée dans les limites des pouvoirs qui lui ont été conférés par la loi. Dans la mesure où la délégation législative ne l'autorise pas à déroger à la Constitution fédérale, le Tribunal fédéral est également habilité à revoir la constitutionnalité des règles contenues dans l'ordonnance en cause. Lorsque la délégation législative accorde à l'autorité exécutive un très large pouvoir d'appréciation pour fixer les dispositions d'exécution, cette clause lie le Tribunal fédéral en vertu de l'art. 190 Cst. Dans un tel cas, le Tribunal fédéral ne saurait substituer sa propre appréciation à celle du Conseil fédéral et doit se borner à examiner si l'ordonnance en question sort manifestement du cadre de la délégation législative octroyée à l'autorité exécutive ou si, pour d'autres raisons, elle apparaît contraire à la loi ou à la Constitution fédérale. Il ne revient pas au Tribunal fédéral d'examiner l'opportunité de l'ordonnance ou de prendre position au sujet de l'adéquation politique, économique ou autre d'une disposition d'une ordonnance (<ref-ruling> consid. 6.2.2 et les références; <ref-ruling> consid. 4.1 et les références).
6.
En relation tout d'abord avec la délégation législative de l'<ref-law>, l'assuré indique dans son recours qu'il ne soulève pas le grief d'inconstitutionnalité de l'<ref-law> ni ne conteste que cette disposition repose sur une délégation législative valable. Il revient toutefois sur ce point dans ses observations sur la détermination de l'autorité de surveillance, en faisant valoir que la "question du respect de la délégation législative" prévue par l'<ref-law> se poserait si l'interprétation de l'<ref-law> préconisée par la juridiction cantonale, l'intimé et l'OFAS "devait s'imposer".
Pour autant qu'il puisse être considéré comme suffisamment motivé, un tel grief formé après l'expiration du délai de recours est irrecevable. La motivation du recours doit en effet être complète et il n'est pas possible, sous réserve d'exceptions non réalisées en l'espèce, de présenter de nouveaux griefs passé le délai de recours (cf. arrêt 2C_347/2012 du 28 mars 2013 consid. 2.6, non publié in <ref-ruling>). Lorsqu'une réplique est déposée, le recourant peut certes compléter sa motivation, mais uniquement dans la mesure où cela s'avère nécessaire pour répondre aux déterminations des autres participants à la procédure (<ref-ruling> consid. 2.2; arrêts 2C_1022/2015 du 29 mars 2017 consid. 1.2; 1C_128/2013 du 17 juin 2014 consid. 2). En l'espèce, la question du cadre de la délégation législative octroyée au Conseil fédéral pour édicter l'<ref-law> a fait l'objet d'un développement (en relation avec l'<ref-ruling>) dans l'arrêt attaqué - et n'a pas été reprise dans la détermination de l'OFAS en instance fédérale -, de sorte qu'il appartenait au recourant de la critiquer d'emblée et pas uniquement au stade de la réplique.
7.
Eu égard ensuite au reproche du recourant à l'encontre des premiers juges selon lequel ils auraient manqué d'analyser le terme "«classe ordinaire» à la lueur de la volonté du législateur", il convient de rappeler les motifs qui ont guidé celui-ci lors de l'introduction de la contribution d'assistance pour les mineurs, que le Tribunal fédéral a déjà eu l'occasion d'exposer dans l'<ref-ruling>.
7.1. Introduite par la 6e révision de la LAI (premier volet) au 1er janvier 2012 à la suite du projet pilote "Budget d'assistance" (cf. RO 2005 3529), la contribution d'assistance constitue une prestation en complément de l'allocation pour impotent et de l'aide prodiguée par les proches, conçue comme une alternative à l'aide institutionnelle et permettant à des handicapés d'engager eux-mêmes des personnes leur fournissant l'aide dont ils ont besoin et de gérer leur besoin d'assistance de manière plus autonome et responsable. L'accent mis sur les besoins a pour objectif d'améliorer la qualité de vie de l'assuré, d'augmenter la probabilité qu'il puisse rester à domicile malgré son handicap et de faciliter son intégration sociale et professionnelle; parallèlement, la contribution d'assistance permet de décharger les proches qui prodiguent des soins (<ref-ruling> consid. 2.2; Message du 24 février 2010 relatif à la modification de la loi fédérale sur l'assurance-invalidité, 6e révision, premier volet, FF 2010 1692 ch. 1.3.4).
7.2. Initialement, le Conseil fédéral a proposé de soumettre le droit à la contribution d'assistance à la condition que l'assuré ait l'exercice des droits civils au sens de l'<ref-law> (al. 1 let. c de l'art. 42quater P-LAI; FF 2010 1771); là où cette condition fait défaut - ainsi pour les mineurs et les personnes dont la capacité de discernement est restreinte -, le droit à la prestation doit être lié à l'exigence que, par ce moyen, l'intéressé puisse mener une vie autonome et responsable, la décision dépendant de l'importance des limites à l'exercice des droits civils et des domaines concernés par ces limites. Selon le Conseil fédéral, la délégation de compétence en sa faveur lui permet d'édicter des "critères sur mesure et applicables en pratique, en vertu desquels les mineurs et les personnes dont l'exercice des droits civils est partiellement limité pourront bénéficier de la nouvelle prestation" (message cité, FF 2010 1727 ch. 2, ad art. 42quater al. 2 P-LAI).
Au terme des délibérations parlementaires, suivant l'avis de la Commission de la sécurité sociale et de la santé publique du Conseil des Etats qui entendait supprimer la discrimination des personnes dont la capacité d'exercer les droit civils est restreinte, les Chambres fédérales ont adopté les modifications proposées de l'art. 42quater al. 1 let. c et des al. 2 et 3 (BO 2010 CE 658 s.; BO 2010 CN 2102 ss). La compétence de régler les conditions auxquelles les personnes dont la capacité d'exercer les droits civils est restreinte n'ont droit à aucune contribution d'assistance a été déléguée au Conseil fédéral (art. 42quater al. 2), de même que celle de fixer les conditions auxquelles les personnes mineures ont droit à une contribution d'assistance (art. 42quater al. 3).
7.3. En ce qui concerne en particulier les mineurs, un exemple concret du besoin d'assistance a été évoqué pendant les débats au Conseil des Etats. Le Conseiller aux Etats David a mentionné le cas d'un jeune homme, entre 15 et 18 ans, qui suivrait un apprentissage ou l'école et nécessiterait de l'aide (par exemple pour se rendre aux toilettes) : le point central est qu'une personne l'assiste pour une aide relativement modeste également au lieu d'apprentissage ou à l'école, que les parents ne pourraient pas forcément fournir. Selon le Conseiller aux Etats, la voie doit être ouverte le plus possible pour de tels jeunes, qui pourraient effectivement entrer dans le processus du travail, afin de leur permettre d'avoir accès à une vie indépendante (BO 2010 CE 659). Le Chef du Département concerné (le Conseiller fédéral Burkhalter) a attiré l'attention des députés sur les conditions financières, qui nécessitent une "ouverture" de la disposition par étapes ("commencer avec l'alinéa 1 [de l'<ref-law>] et [é]largir la disposition, dans la mesure du possible, à mesure que les conséquences deviennent clairement visibles"), l'intention étant de "mettre en place un monitoring et avancer par étapes" (BO 2010 CE 659; cf. aussi <ref-ruling> consid. 4.3.2).
En amont, lors des discussions au sein des deux Commissions de la sécurité sociale et de la santé publique, la possibilité pour le Conseil fédéral de définir les conditions du droit à la contribution d'assistance pour les mineurs a été évoquée en relation avec la nécessité de rester restrictif - pour maintenir les objectifs fixés en termes financiers -, avec l'idée d'étendre progressivement ces conditions en fonction de l'évolution de l'assurance-invalidité et du projet même de la contribution d'assistance (procès-verbaux de la séance des 19 et 20 mai 2010 de la Commission de la sécurité sociale et de la santé publique du Conseil des Etats [p. 43, 45 et 56 s.] et de la séance des 4 et 5 novembre 2010 de la Commission de la sécurité sociale et de la santé publique du Conseil national [p. 56 s.]).
7.4. Comme l'a déjà rappelé la juridiction cantonale, en relation avec la situation des personnes disposant d'une capacité d'exercer les droits civils restreinte et des mineurs, la discussion au cours des débats parlementaires a aussi porté sur la possibilité d'introduire la contribution d'assistance sans exigence supplémentaire par rapport aux assurés majeurs. Une minorité de la Commission de la sécurité sociale et de la santé publique du Conseil national (Prelicz-Huber et autres) a proposé d'ouvrir le droit à la contribution d'assistance à toute personne avec un handicap, indépendamment du point de savoir si elle a l'exercice des droits civils ou si l'exercice d'une activité lucrative respectivement l'intégration dans le marché du travail est envisageable, une intégration sociale et avant tout plus d'autodétermination étant toujours possibles (BO 2010 CN 2102 s. et 2108; cf. en particulier aussi la déclaration de la Conseillère nationale Weber-Gobet, BO 2010 CN 2104 s.). Une telle extension de la prestation, qui aurait lié le droit à celle-ci uniquement à la perception d'une allocation pour impotent et au fait de vivre chez soi, a été refusée par la majorité de la Commission - suivie ensuite par la majorité du Conseil national - pour des raisons financières; elle aurait entraîné une augmentation du cercle des bénéficiaires de 20'000 à 38'000 et une augmentation des coûts de près du double, ce qui n'aurait pas été compatible avec le but de l'ensemble de la révision ("rééquilibrer les finances de l'AI"; déclaration du Conseiller national Cassis, BO 2010 CN 2108; cf. aussi la déclaration du Conseiller national Bortoluzzi, BO 2010 CN 2105 s.).
8.
8.1. Au regard de la procédure législative et des débats parlementaires exposés, il y a lieu de constater que la compétence déléguée au Conseil fédéral de régler les conditions du droit à la contribution d'entretien pour les mineurs lui confère une marge de manoeuvre très étendue (cf. <ref-ruling> consid. 5.2), alors que le législateur a fait le choix explicite de ne pas ouvrir cette nouvelle prestation à l'ensemble des assurés mineurs percevant une allocation pour impotent et vivant chez eux, mais de laisser place à une ouverture par étapes.
8.2. Le choix du législateur de soumettre le droit à la contribution d'assistance des mineurs à des conditions supplémentaires à celles de l'art. 42quater al. 1 let. a et b LAI implique forcément que l'organe compétent pour édicter celles-ci détermine certaines exigences quant à l'autonomie ou à la responsabilité nécessaire pour bénéficier de la prestation.
Or en posant la condition que l'assuré mineur doive suivre de façon régulière l'enseignement obligatoire dans une classe ordinaire, l'auteur de l'ordonnance a prévu un critère qui s'inscrit dans le cadre du but de la contribution d'assistance, à savoir améliorer la qualité de vie de l'assuré, augmenter la probabilité qu'il puisse rester à domicile malgré son handicap et faciliter son intégration sociale et professionnelle. Il s'agit par ailleurs d'un critère de délimitation clair et objectif qui permet d'admettre un degré d'autonomie et de capacité de se responsabiliser de l'assuré mineur concerné. Quoi qu'en dise le recourant, il ne s'agit en effet pas de reconnaître le droit à la prestation en fonction du "type" ou du "statut" de l'établissement scolaire, mais de s'assurer que l'intéressé dispose d'une autonomie et de capacités nécessaires en vue d'une vie la plus indépendante et responsable possible, d'un point de vue objectif (cf. aussi Commentaire de la modification du RAI du 16 novembre 2011, OFAS, ad art. 39a [nouveau] RAI, p. 12 s., sous www.bsv.admin.ch/assurances sociales/Assurance-invalidité/Informations de base & législation/Lois et ordonnances, consulté le 20 avril 2021). Ce critère ne saurait être remplacé par "un examen concret des conditions de scolarisation" de l'intéressé, qui supposerait au préalable de définir le seuil d'autonomie en cause autrement qu'au regard de "l'aptitude à suivre l'école normale", laquelle correspond précisément à une délimitation objective et praticable. Lorsqu'un enfant est intégré dans une classe ordinaire, on peut en effet partir de l'idée qu'il dispose d'un degré d'autonomie certain, des besoins éducatifs particuliers nécessitant un soutien pédagogique spécialisé n'étant alors pas avérés. L'argument du recourant selon lequel sa soeur jumelle est inscrite dans le même établissement n'y change rien. Si l'école C._ n'accueille pas exclusivement des enfants nécessitant des besoins particuliers, il n'en demeure pas moins que le recourant n'est pas intégré dans une classe ordinaire au sens de la disposition en cause.
8.3. A l'inverse de ce que prétend par ailleurs le recourant, l'exigence prévue par l'<ref-law> quant au suivi de l'enseignement scolaire obligatoire dans une classe ordinaire ne contrevient pas au principe de l'égalité de traitement (art. 8 al. 1 Cst.). Comme le relève l'OFAS, un enfant qui fréquente une école spécialisée se trouve dans une situation différente de celui qui suit l'enseignement dans une classe ordinaire, puisque la prise en charge dans une structure ou institution de pédagogie spécialisée vise à apporter des réponses pédagogiques aux élèves qui ont des besoins éducatifs particuliers ou présentent un handicap (cf. par exemple art. 33 de la loi cantonale genevoise du 17 septembre 2015 sur l'instruction publique [LIP; RSG C 1 10]).
On ajoutera que la question d'une éventuelle extension du droit à la contribution d'assistance a été déposée au Conseil national, l'auteur de l'interpellation admettant cependant que "le critère en matière d'assistance est, à juste titre, la fréquentation de l'école ordinaire" (19.3682 Interpellation Quadranti du 19 juin 2019, Contribution d'assistance - Éliminer les incohérences dans la réglementation scolaire; état "non encore traité au conseil", consulté le 20 avril 2021). Une telle ouverture du droit à la contribution d'entretien relève d'un choix politique sur lequel le Tribunal fédéral n'a pas à se prononcer.
9.
En conséquence de ce qui précède, la juridiction cantonale était en droit de nier le maintien du droit du recourant à une contribution d'assistance au-delà du 30 avril 2019. Le recours est mal fondé.
10.
Vu l'issue de la procédure, les frais judiciaires sont à la charge du recourant (<ref-law>). Celui-ci a cependant sollicité le bénéfice de l'assistance judiciaire gratuite pour l'instance fédérale. Dès lors que les conditions en sont réalisées (art. 64 al. 1 et 2 LTF), l'assistance judiciaire lui est accordée. L'attention du recourant est attirée sur le fait qu'il devra rembourser la Caisse du Tribunal fédéral s'il devient en mesure de le faire ultérieurement (<ref-law>).

rulings:
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
L'assistance judiciaire est accordée et Maître Andres Perez est désigné comme avocat d'office du recourant.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 800 fr., sont mis à la charge du recourant. Ils sont toutefois supportés provisoirement par la Caisse du Tribunal fédéral.
4.
Une indemnité de 2800 fr. est allouée à l'avocat du recourant à titre d'honoraires à payer par la Caisse du Tribunal fédéral.
5.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 2 juin 2021
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Parrino
Le Greffier : Bleicker


facts:
Sachverhalt:
A.
Das Bezirksgericht Dielsdorf wies mit Urteil vom 4. Dezember 2019 die Klage von A._ (Gesuchsteller) gegen die B._ AG wegen mangelnder Aktivlegitimation ab. Gleichentags beschloss es die Abweisung seines Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege und Rechtsverbeiständung wegen Aussichtslosigkeit. Es auferlegte ihm die Entscheidgebühr von Fr. 8'200.-- und verpflichtete ihn, der B._ AG eine Parteientschädigung von Fr. 10'362.-- zu bezahlen.
B.
Dagegen erhob der Gesuchsteller am 27. Januar 2020 Berufung beim Obergericht des Kantons Zürich.
B.a. Am 27. Januar 2020 beantragte der Gesuchsteller die unentgeltliche Rechtspflege für das Berufungsverfahren.
Das Obergericht wies das Gesuch mit Beschluss vom 13. März 2020 ab. Es forderte den Gesuchsteller auf, innert zehn Tagen einen Vorschuss von Fr. 8'200.-- für die Kosten des Berufungsverfahrens zu leisten.
B.b. Am 29. April 2020 beantragte der Gesuchsteller ein zweites Mal die unentgeltliche Rechtspflege. Er stellte den Antrag, er sei im Berufungsverfahren von der Pflicht zu befreien, für die Gerichtskosten und die Parteientschädigung Sicherheit zu leisten, und es sei Rechtsanwalt Pierre André Rosselet als unentgeltlicher Rechtsbeistand zu bestellen.
Mit Beschluss vom 18. Mai 2020 wies das Obergericht auch das zweite Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ab, soweit es darauf eintrat. Es setzte dem Gesuchsteller eine letzte, nicht erstreckbare Frist zur Leistung eines Kostenvorschusses von Fr. 8'200.-- und drohte ihm an, dass es bei Säumnis nicht auf das Rechtsmittel eintreten werde.
C.
Dagegen führt der Gesuchsteller Beschwerde in Zivilsachen und subsidiäre Verfassungsbeschwerde mit dem Antrag, den obergerichtlichen Beschluss vom 18. Mai 2020 aufzuheben und ihm die unentgeltliche Rechtspflege und Rechtsverbeiständung für das Berufungsverfahren ab dem Zeitpunkt der Einreichung des zweiten Gesuchs zu gewähren. Eventualiter sei das Obergericht anzuweisen, eine neue Frist zur Zahlung des Kostenvorschusses anzusetzen. Es sei die unentgeltliche Rechtspflege für das Verfahren vor Bundesgericht zu gewähren.
Dem Gesuch des Beschwerdeführers entsprechend wurde der Beschwerde mit Präsidialverfügung vom 3. September 2020 die aufschiebende Wirkung erteilt.
Auf die Einholung von Vernehmlassungen zur Beschwerde in der Sache wurde verzichtet.

considerations:
Erwägungen:
1.
1.1. Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob ein Rechtsmittel zulässig ist. (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1 S. 143; <ref-ruling> E. 2.1 S. 397; je mit Hinweisen).
1.2. Gemäss <ref-law> ist die Beschwerde gegen selbständig eröffnete Zwischenentscheide zulässig, wenn sie einen nicht wiedergutzumachenden Nachteil bewirken können. Mit dem angefochtenen Entscheid verweigerte die Vorinstanz die unentgeltliche Rechtspflege für das Berufungsverfahren. Derartige Entscheide bewirken in der Regel einen nicht wiedergutzumachenden Nachteil im Sinne von <ref-law> (<ref-ruling> E. 4 S. 338; <ref-ruling> E. 1.1 S. 131; Urteil 4A_326/2019 vom 4. Februar 2020 E. 1.3).
Nach dem Grundsatz der Einheit des Verfahrens sind Zwischenentscheide mit dem in der Hauptsache zulässigen Rechtsmittel anzufechten (<ref-ruling> E. 1.1 S. 382; <ref-ruling> E. 2.2 S. 647 f.). In der Hauptsache klagte der Beschwerdeführer auf Leistung von Fr. 189'759.--. Es handelt sich um eine Zivilsache (<ref-law>), die den erforderlichen Streitwert von Fr. 30'000.-- (<ref-law>) überschreitet. Da die erforderliche Streitwertgrenze überschritten wird, ist auf die gleichzeitig erhobene subsidiäre Verfassungsbeschwerde nicht einzutreten (<ref-law>).
1.3. Da auch die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen erfüllt sind und zu keinen Bemerkungen Anlass geben, ist unter Vorbehalt einer rechtsgenüglichen Begründung (vgl. E. 2 hiernach) auf die Beschwerde einzutreten.
1.4. Der Beschwerdeführer beantragte vor der Vorinstanz, er sei im Berufungsverfahren von der Pflicht zu befreien, für die Gerichtskosten und die Parteientschädigung Sicherheit zu leisten, und es sei Rechtsanwalt Pierre André Rosselet als unentgeltlicher Rechtsbeistand zu bestellen. Mit der vorliegenden Beschwerde verlangt er, die unentgeltliche Rechtspflege und Rechtsverbeiständung sei ihm ab dem Zeitpunkt der Einreichung des zweiten Gesuchs zu gewähren. Zwar sind neue Begehren im bundesgerichtlichen Verfahren unzulässig (<ref-law>), dies schadet dem Beschwerdeführer aber nicht, da die Einschränkung eines vorinstanzlich bereits gestellten Begehrens zulässig bleibt.
2.
2.1. Mit Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen nach Art. 95 und 96 BGG gerügt werden. Die Beschwerde ist hinreichend zu begründen, andernfalls wird darauf nicht eingetreten (<ref-ruling> E. 2 S. 116; <ref-ruling> E. 2.1 S. 245 f.). In der Beschwerdeschrift ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (<ref-law>). Unerlässlich ist, dass die Beschwerde auf die Begründung des angefochtenen Entscheids eingeht und im Einzelnen aufzeigt, worin eine Verletzung von Bundesrecht liegt. Die beschwerdeführende Partei soll in der Beschwerdeschrift nicht bloss die Rechtsstandpunkte, die sie im kantonalen Verfahren eingenommen hat, erneut bekräftigen, sondern mit ihrer Kritik an den als rechtsfehlerhaft erachteten Erwägungen der Vorinstanz ansetzen (<ref-ruling> E. 2 S. 89, 115 E. 2 S. 116).
2.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Dazu gehören sowohl die Feststellungen über den streitgegenständlichen Lebenssachverhalt als auch jene über den Ablauf des vor- und erstinstanzlichen Verfahrens, also die Feststellungen über den Prozesssachverhalt (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 17 f. mit Hinweisen). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (<ref-ruling> E. 2.3.1 S. 244; <ref-ruling> E. 2 S. 117, 264 E. 2.3 S. 266). Überdies muss die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein können (<ref-law>).
2.3. Für eine Kritik am festgestellten Sachverhalt gilt das strenge Rügeprinzip von <ref-law> (<ref-ruling> E. 2.3 S. 266 mit Hinweisen). Die Partei, welche die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz anfechten will, muss klar und substanziiert aufzeigen, inwiefern die genannten Voraussetzungen erfüllt sein sollen (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 18 mit Hinweisen). Wenn sie den Sachverhalt ergänzen will, hat sie zudem mit präzisen Aktenhinweisen darzulegen, dass sie entsprechende rechtsrelevante Tatsachen und taugliche Beweismittel bereits bei den Vorinstanzen prozesskonform eingebracht hat (<ref-ruling> E. 2 S. 90). Genügt die Kritik diesen Anforderungen nicht, können Vorbringen mit Bezug auf einen Sachverhalt, der vom angefochtenen Entscheid abweicht, nicht berücksichtigt werden (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 18).
3.
Der Beschwerdeführer wendet sich gegen die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege.
3.1. Weder die Bundesverfassung (<ref-law>) noch <ref-law> verlangen, dass nach Abweisung eines ersten Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege gleichsam voraussetzungslos ein neues Gesuch gestellt werden kann (Urteile 5A_299/2015 vom 22. September 2015 E. 3.2; 4A_410/2013 vom 5. Dezember 2013 E. 3.2). Aus verfassungsrechtlicher Sicht genügt, wenn die betroffene Partei im Rahmen des gleichen Zivilprozesses einmal die Gelegenheit erhält, die unentgeltliche Rechtspflege zu erlangen (Urteil 4P.170/1996 vom 16. Oktober 1996 E. 2a). Ein zweites Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege auf der Basis desselben Sachverhalts hat den Charakter eines Wiedererwägungsgesuchs, auf dessen Beurteilung weder gestützt auf <ref-law> noch von Verfassung wegen ein Anspruch besteht (zit. Urteil 4A_410/2013 E. 3.2 in fine; ALFRED BÜHLER, Berner Kommentar, Bd. I 2012, N. 64 ff. und insbesondere N. 69 und 71 zu <ref-law>, mit Verweis auf <ref-ruling>). Das Bundesgericht statuierte indes in <ref-ruling> E. 6 S. 137 einen unbedingten verfassungsmässigen Anspruch auf Revision, wenn der Gesuchsteller erhebliche Tatsachen oder Beweismittel anführt, die ihm im früheren Verfahren nicht bekannt waren oder die schon damals geltend zu machen für ihn rechtlich oder tatsächlich unmöglich war oder keine Veranlassung bestand. Ein Anspruch auf Wiedererwägung besteht somit, wenn sogenannte unechte Noven vorliegen (siehe dazu auch die seither ergangene Rechtsprechung <ref-ruling> E. 2.1 S. 181). Von der Wiedererwägung zu unterscheiden ist das neue Gesuch. Dieses ist zulässig, wenn sich die Verhältnisse seit dem Entscheid über das erste Gesuch aufgrund neuer nach dem ersten Entscheid eingetretener Tatsachen und Beweismittel geändert haben. Es ist somit auf der Basis echter Noven möglich (zit. Urteil 5A_430/2010 E. 2.4). Die Zulässigkeit eines neuen Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege aufgrund geänderter Verhältnisse ergibt sich aus dem Umstand, dass der Entscheid über die unentgeltliche Rechtspflege als prozessleitender Entscheid nur formell, jedoch nicht materiell in Rechtskraft erwächst (Urteile 5A_430/2010 vom 13. August 2010 E. 2.4; I 302/96 vom 23. Dezember 1997 E. 7b, publ. in SVR 1998 IV Nr. 13 S. 47).
3.2. Zur Begründung seines zweiten Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege reichte der Beschwerdeführer der Vorinstanz folgende Unterlagen ein: Betreibungsregisterauszug der Gemeinde U._ vom 26. März 2020 über Fr. 949'122.--, wobei Fr. 846'936.-- eine Grundpfandbetreibung betreffen und die Verwertung des Grundstücks bereits verlangt worden sei; Auszug der Bank C._ über das Konto der D._ AG vom 1. April 2020 mit einem Negativsaldo von Fr. 54'324.--; Auszug der Bank C._ über das Konto des Beschwerdeführers vom 28. April 2020 für die Monate Januar bis April 2020 mit einem Positivsaldo von Fr. 194.--; Abrechnung der Bank C._ über eine variable Hypothek vom 1. April 2020 mit einem Negativsaldo von Fr. 23'356.--; Steuererklärung vom 17. April 2019 mit einem steuerbaren Einkommen von Fr. 0.--; Liste der Einkünfte des Jahres 2020, aufgeschlüsselt nach Monaten sowie Büchern und Vorträgen sowie eine Rechnung des Beschwerdeführers für die Organisation einer Gruppenreise vom 14. Januar 2020 über USD 4'000.--.
Weiter erklärte der Beschwerdeführer im Berufungsverfahren, eine Abrechnung der Arbeitslosenkasse könne er nicht vorlegen, da er ausgesteuert sei. Ebenso wenig sei er in der Lage, eine Unterstützungsbestätigung der Sozialbehörde vorzulegen, da er wegen erniedrigender Erfahrungen bei einer früheren Anmeldung nicht angemeldet sei. Seine sehr spärlichen Einnahmen stammten aus Buchverkäufen, Vorträgen und der Organisation von Gruppenreisen. Wegen der Pandemielage könne er derzeit weder bezahlte Vorträge halten noch Gruppenreisen organisieren. Es sei für das gesamte Jahr nicht mehr mit solchen Einnahmen zu rechnen. Die bisher grosszügig bemessenen durchschnittlichen monatlichen Einkünfte von rund Fr 1'500.-- hielten sich etwa die Waage mit dem Grundbetrag des betreibungsrechtlichen Existenzminimums (Fr. 1'200.--), zuzüglich Zahlungen an die Krankenkasse (Fr. 286.--). Die Einkünfte für die Organisation von Gruppenreisen seien seit Januar jedoch weggebrochen, womit die Einnahmen bis auf weiteres unter dem Grundbetrag von Fr. 1'200.- liegen würden, weshalb er bald gezwungen sein werde, sich widerwillig neu bei den sozialen Diensten anzumelden. Die Pandemielage sei ein Novum, welches eine gegenüber dem Zeitpunkt des ersten Gesuchs vom 27. Januar 2020 neue Situation ergebe. Anderseits handle es sich bei den vorliegend ins Recht gelegten Unterlagen um echte Noven im Sinne des Gesetzes. Damit sei die Prozessarmut im Zeitpunkt des Gesuchs dargetan und belegt.
3.3. Die Vorinstanz erwog, der Beschwerdeführer vermöge keine unechten Noven darzutun. Soweit er sich auf echte Noven berufe, liege keine wesentliche Veränderung seiner finanziellen Verhältnisse vor. Sein Gesuch sei daher abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei.
3.4. Die vorinstanzlichen Erwägungen sind nicht zu beanstanden.
3.4.1. Die Vorinstanz stellte fest, die Abweisung des ersten Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege sei damit begründet worden, dass der Beschwerdeführer zur relevanten Vermögenssituation per Ende 2019 keine Angaben gemacht und keine Unterlagen eingereicht habe. Zudem seien die Angaben des Beschwerdeführers zu seinem Einkommen als ungenügend taxiert worden. Schliesslich sei bemängelt worden, es sei nicht bekannt, ob eine im Jahr 2018 ausbezahlte Kapitalleistung von Fr. 59'400.-- im Zeitpunkt der Gesuchstellung noch vorhanden gewesen sei.
3.4.2. Wie die Vorinstanz zutreffend erwog, bestanden die meisten Angaben, die der Beschwerdeführer in seinem zweiten Gesuch machte, schon bei der Stellung des ersten Gesuchs. Zu erwähnen sind hier die hängigen Betreibungen, der Negativsaldo des Kontos der D._ AG, der Positivsaldo des Kontokorrents des Beschwerdeführers, die variable Hypothek über Fr. 763'250.--, das Einkommen des Jahres 2019 und die Vermögenslage per 31. Dezember 2019.
3.4.3. Was die Einnahmen des Beschwerdeführers von Januar bis April 2020 betrifft, stellte die Vorinstanz fest, es bestünden Einkünfte aus dem Bücherverkauf von Fr. 2'062.91 und der Organisation einer Gruppenreise in Ägypten von USD 4'000.--. Der Beschwerdeführer errechne daraus durchschnittliche monatliche Erträge von Fr. 1'500.--. Zudem mache er geltend, wegen der Pandemielage könne er keine weiteren Vorträge halten oder Gruppenreisen organisieren. Daraus leite er ab, dass seine Erwerbseinkünfte bis auf weiteres unter den Grundbetrag von Fr. 1'200.-- sänken.
Bei diesen Angaben des Beschwerdeführers handelt es sich um echte Noven, weil sie nach der Abweisung seines ersten Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege entstanden. Doch wie die Vorinstanz zutreffend erwog, legte der Beschwerdeführer nicht dar, inwiefern sich seine Verhältnisse seit der Einreichung des ersten Gesuchs oder seit dem ersten Beschluss vom 13. März 2020 massgebend verändert hätten. Denn der Beschwerdeführer erzielte gemäss Steuererklärung bereits im Jahr 2019 aus selbständiger Erwerbstätigkeit bloss ein monatliches Einkommen von Fr. 925.--. Damit lag sein Einkommen bereits bei der Stellung des ersten Gesuchs unter dem Grundbetrag von Fr. 1'200.--. Daran ändert nichts, dass der Beschwerdeführer im Jahr 2019 für eine beschränkte Zeit Arbeitslosentaggelder bezog. Eine relevante Verschlechterung der Verhältnisse seit dem ersten Gesuch oder dem ersten Beschluss vom 13. März 2020 liegt nicht vor. Auch bei der Hypothek haben sich die Verhältnisse nicht entscheidend verändert. Hierzu erwog die Vorinstanz, zwar weise die Kreditabrechnung per 31. März 2020 neben der Grundschuld von Fr. 763'250.-- weitere Ausstände von Fr. 23'356.70 aus, doch bedeute dies nicht eine relevante Veränderung der finanziellen Verhältnisse. In den ersten vier Monaten des Jahres 2020 habe sich das durchschnittliche Erwerbseinkommen des Beschwerdeführers im Vergleich zur Steuererklärung 2019 auf Fr. 1'500.-- pro Monat erhöht; selbst wenn der Beschwerdeführer für den Rest des Jahres 2020 keine Vorträge mehr halten oder Reisen organisieren könnte, sondern nur noch Bücher verkaufen würde und die Einnahmen daraus auf das Jahr hochgerechnet würden, würde sich sein Erwerbseinkommen in ähnlicher Höhe wie im Jahr 2019 bewegen.
3.5. Was der Beschwerdeführer gegen die vorinstanzlichen Erwägungen vorbringt, dringt nicht durch.
3.5.1. Der Beschwerdeführer trägt vor, drei Tage nach dem ersten Beschluss vom 13. März 2020 habe der Bundesrat die ausserordentliche Lage nach dem Bundesgesetz vom 28. September 2012 über die Bekämpfung übertragbarer Krankheiten des Menschen (Epidemiengesetz, EpG; SR 818.101) erklärt und die Massnahmen weiter verschärft. Hier übersieht er, dass die Vorinstanz seine Einkünfte der Jahre 2019 und 2020 gegenüberstellte und zum Schluss kam, eine relevante Veränderung der Verhältnisse liege selbst dann nicht vor, wenn er für den Rest des Jahres 2020 wegen der Pandemielage keinerlei Einkünfte aus Vorträgen oder der Organisation von Reisen mehr erziele.
3.5.2. Soweit sich der Beschwerdeführer unter Berufung auf das Äquivalenzprinzip gegen die Höhe des Kostenvorschusses wendet, genügt er den Begründungsanforderungen nicht (vgl. E. 2 hiervor). Indem er unter Hinweis auf sein geringes Einkommen verlangt, ihm müsse mit Blick auf das Äquivalenzprinzip der Kostenvorschuss erlassen und so der Zugang zur Justiz gewährt werden, versucht er die einschränkenden Voraussetzungen, unter denen ein Anspruch auf Wiedererwägung eines abgewiesenen oder Stellung eines neuen Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege besteht (vgl. E. 3.1 hiervor), zu umgehen. Damit ist er nicht zu hören.
3.5.3. Der Beschwerdeführer beantragt eventualiter, die Vorinstanz sei anzuweisen, eine neue Frist zur Zahlung des Kostenvorschusses anzusetzen. Auch hier genügt die Beschwerde den Begründungsanforderungen (vgl. E. 2 hiervor) nicht, indem der Beschwerdeführer bloss auf BGE 142 II [recte: III] 798 E. 2.3.2 sowie eine Lehrmeinung verweist (FELIX UHLMANN, in: Basler Kommentar, Bundesgerichtsgesetz, 3. Aufl. 2018, N. 11 zu <ref-law>).
4.
Nach dem Gesagten ist auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde nicht einzutreten.
Die Beschwerde in Zivilsachen ist abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren ist abzuweisen, weil die Beschwerde als von vornherein aussichtslos erscheint (<ref-law>). Darüber musste unter den gegebenen Umständen nicht vorgängig separat entschieden werden (vgl. Urteile 4A_429/2019 vom 13. November 2019 E. 6; 4A_20/2011 vom 11. April 2011 E. 7.2.2).
Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>). Dem Beschwerdegegner steht keine Parteientschädigung zu (<ref-law>).

rulings:
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Beschwerde in Zivilsachen wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
3.
Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird abgewiesen.
4.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
5.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, und der B._ AG, Zürich, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 23. September 2020
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Luczak

canton: CH

region: Federation


facts:
Sachverhalt:
A.
Mit Schreiben vom 8. März 2019 stellte B._ (Gesuchsteller, Beschwerdegegner) beim Verwaltungsrat der A._ AG (Gesuchsgegnerin, Beschwerdeführerin) den Antrag, eine ausserordentliche Generalversammlung einzuberufen. Der Verwaltungsrat wies den Antrag am 28. März 2019 ab, mit der Begründung, der Gesuchsteller verfüge nicht über die Stellung eines Aktionärs der Gesuchsgegnerin.
B.
Am 20. April 2019 ersucht der Gesuchsteller am Kantonsgericht Appenzell Ausserrhoden um Einberufung einer ausserordentlichen Generalversammlung der Gesuchsgegnerin. Mit Urteil vom 15. Oktober 2019 entschied der Einzelrichter des Kantonsgerichts, für die Gesuchsgegnerin eine ausserordentliche Generalversammlung einzuberufen mit den im Dispositiv spezifizierten Traktanden.
Dagegen erhob die Gesuchsgegnerin Berufung an das Obergericht Appenzell Ausserrhoden. Sie rügte die mangelnde Aktionärsstellung des Gesuchstellers. Das Obergericht kam mit Urteil vom 12. Februar 2020 zum Schluss, mit dem zur Anwendung kommenden Beweismass der Glaubhaftmachung sei die Aktionärsstellung des Gesuchstellers hinreichend nachgewiesen. Das Kantonsgericht habe zu Recht entschieden, eine ausserordentliche Generalversammlung einzuberufen. Die Berufung sei unbegründet und folglich abzuweisen.
C.
Gegen das Urteil des Obergerichts erhob die Beschwerdeführerin Beschwerde in Zivilsachen an das Bundesgericht. Sie beantragte, das Urteil des Obergerichts sei aufzuheben und die Sache sei zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen, eventualiter an die Erstin stanz.
Der Beschwerdegegner beantragte, die Beschwerde sei abzuweisen. Die Vorinstanz verzichtete auf Vernehmlassung. Die Beschwerdeführerin replizierte.
Mit Präsidialverfügung vom 3. April 2020 stellte die Präsidentin fest, dass der Beschwerde von Gesetzes wegen die aufschiebende Wirkung zukommt.

considerations:
Erwägungen:
1.
Die Sachurteilsvoraussetzungen sind erfüllt und geben zu keinen Bemerkungen Anlass. Unter Vorbehalt einer rechtsgenüglichen Begründung (Art. 42 Abs. 2 und <ref-law>; vgl. Erwägung 2) ist daher auf die Beschwerde einzutreten.
2.
2.1. Mit Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen nach Art. 95 und 96 BGG gerügt werden. Die Beschwerde ist hinreichend zu begründen, andernfalls wird darauf nicht eingetreten (<ref-ruling> E. 2.1). In der Beschwerdeschrift ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (<ref-law>). Unerlässlich ist, dass die Beschwerde auf die Begründung des angefochtenen Entscheids eingeht und im Einzelnen aufzeigt, worin eine Verletzung von Bundesrecht liegt. Die beschwerdeführende Partei soll in der Beschwerdeschrift nicht bloss die Rechtsstandpunkte, die sie im kantonalen Verfahren eingenommen hat, erneut bekräftigen, sondern mit ihrer Kritik an den als rechtsfehlerhaft erachteten Erwägungen der Vorinstanz ansetzen (<ref-ruling> E. 2 S. 89, 115 E. 2 S. 116).
2.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Dazu gehören sowohl die Feststellungen über den streitgegenständlichen Lebenssachverhalt als auch jene über den Ablauf des vor- und erstinstanzlichen Verfahrens, also die Feststellungen über den Prozesssachverhalt (<ref-ruling> E. 1.3.1 mit Hinweisen). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (<ref-ruling> E. 2 S. 117; <ref-ruling> E. 1.5). Überdies muss die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein können (<ref-law>).
Für eine Kritik am festgestellten Sachverhalt gilt das strenge Rügeprinzip von <ref-law> (<ref-ruling> E. 2.3 S. 266 mit Hinweisen). Die Partei, welche die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz anfechten will, muss klar und substanziiert aufzeigen, inwiefern diese Voraussetzungen erfüllt sein sollen (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 18 mit Hinweisen). Wenn sie den Sachverhalt ergänzen will, hat sie zudem mit präzisen Aktenhinweisen darzulegen, dass sie entsprechende rechtsrelevante Tatsachen und taugliche Beweismittel bereits bei den Vorinstanzen prozesskonform eingebracht hat (<ref-ruling> E. 2 S. 90). Genügt die Kritik diesen Anforderungen nicht, können Vorbringen mit Bezug auf einen Sachverhalt, der vom angefochtenen Entscheid abweicht, nicht berücksichtigt werden (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 18).
3.
3.1. Die Beschwerdeführerin moniert, die Vorinstanz komme ohne weitere Begründung gestützt auf falsche und unvollständige Sachverhaltsfeststellungen zum Schluss, der Beschwerdegegner sei als Inhaber der Aktien zur Einberufung der Generalversammlung legitimiert. Der Beschwerdegegner habe ihr den Erwerb der Inhaberaktien nicht fristgerecht im Sinne von <ref-law> gemeldet. Er verfüge damit nicht über die nötigen Mitgliedschaftsrechte. Sie habe dies vor der Vorinstanz vorgebracht, aber die Vorinstanz gehe bezüglich der mangelnden Mitgliedschaftsrechte zu Unrecht von einem unzulässigen unechten Novum aus. Bei unechten Noven müsse sich die betreffende Partei für die Verspätung mit sachlichen Gründen entschuldigen, "es sei denn, die Zulassung des Novums sei offensichtlich, wie vorliegend". Der Beschwerdegegner habe erst in der Berufungsschrift zum ersten Mal realisiert, dass er eine Meldepflicht habe. Er habe anschliessend eine Meldung eingereicht. Die neuen Tatsachen und Beweismittel würden als zulässige Noven gemäss <ref-law> gelten. Sie seien insoweit relevant, als der Beschwerdegegner damit implizit zugestanden habe, dass er im Zeitpunkt des Antrags auf Einberufung der ausserordentlichen Generalversammlung über keine Mitgliedschaftsrechte verfügte.
3.2.
3.2.1. Diese Rügen gehen fehl. Zunächst ist es nicht so, dass die Vorinstanz "ohne weitere Begründung" zum Schluss gekommen wäre, dass der Beschwerdegegner als Inhaber der Aktien legitimiert wäre, die Einberufung einer Generalversammlung zu verlangen. Im Gegenteil, die Vorinstanz setzte sich ausführlich mit den Argumenten der Beschwerdeführerin auseinander. Das gilt auch für das Vorbringen der behaupteten, fehlenden Mitgliedschaftsrechte des Beschwerdegegners (angefochtener Entscheid Erwägungen 2.5.1 - 2.5.7). Diesbezüglich kam die Vorinstanz zum Schluss, dass es sich bei den dieser Argumentation zugrundeliegenden Tatsachen um unechte Noven handle. <ref-law> bestimme, dass neue Tatsachen und Beweismittel im Berufungsverfahren nur noch berücksichtigt werden, wenn sie ohne Verzug vorgebracht werden und trotz zumutbarer Sorgfalt nicht schon vor erster Instanz vorgebracht werden konnten. Entschuldbare, sachliche Gründe, welche die Verspätung allenfalls rechtfertigen könnten, würde die Beschwerdeführerin nicht nennen. Die Beachtung der vorgebrachten Tatsachenbehauptungen bleibe damit aufgrund des Novenverbots nach <ref-law> verwehrt.
Vor Bundesgericht wäre es nun an der Beschwerdeführerin aufzuzeigen, dass sie entgegen der Auffassung der Vorinstanz ihrer Begründungsobliegenheit für das Einbringen von unechten Noven im kantonale n Berufungsverfahren nachgekommen wäre und sie Entschuldigungsgründe für das späte Vorbringen ihrer Tatsachen vorgebracht hätte. Das zeigt sie nicht auf. Sie könnte sodann darlegen, dass die Vorinstanz die Anforderungen von <ref-law> bundesrechtswidrig überspannt hätte. Auch das legt sie nicht dar. Zumindest ist es nicht rechtsgenüglich (Erwägung 2.1), bloss ohne Weiteres zu behaupten, die Zulassung des Novums müsse im vorliegenden Fall nicht begründet werden, da sie offensichtlich sei. Im Übrigen ist diese Argumentation unzutreffend. Die Beschwerdeführerin, die sich im kantonalen Berufungsverfahren auf neue Tatsachen und Beweismittel stützt, hat darzulegen, dass sie diese trotz zumutbarer Sorgfalt nicht schon vor erster Instanz hat vorbringen können (vgl. <ref-ruling> E. 4.2.1 S. 351; <ref-ruling> E. 4.1). Von einer fehlerhaften Feststellung des Sachverhalts durch die Vorinstanz kann somit keine Rede sein.
3.2.2. Nicht zielführend ist es, wenn die Beschwerdeführerin versucht ihre Tatsachen bezüglich der Meldepflicht des Beschwerdegegners vor Bundesgericht ins Verfahren einzuführen. Nach <ref-law> dürfen neue Tatsachen und Beweismittel vor Bundesgericht nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt, was in der Beschwerde näher darzulegen ist (<ref-ruling> E. 1.2 S. 23; <ref-ruling> E. 4.1 S. 266). Der vorinstanzliche Verfahrensausgang allein bildet noch keinen hinreichenden Anlass im Sinne von <ref-law> für die Zulässigkeit von unechten Noven, die bereits im kantonalen Verfahren ohne Weiteres hätten vorgebracht werden können (<ref-ruling> E. 1.2 S. 23). Das Vorbringen von Tatsachen, die sich erst nach dem angefochtenen Entscheid ereigneten oder entstanden (echte Noven), ist vor Bundesgericht unzulässig (<ref-ruling> E. 1.2 S. 23; <ref-ruling> E. 3.2.2.2 S. 548).
Die Beschwerdeführerin stützt sich bezüglich der Meldepflicht des Beschwerdegegners einerseits auf Dokumente, die nach dem Tag der Fällung des angefochtenen Entscheids der Vorinstanz vom 12. Februar 2020 entstanden sind. Diese echte Noven können vor Bundesgericht von vornherein nicht berücksichtigt werden. Das Gleiche gilt für die weiteren vorgebrachten Tatsachen und Beweismittel zu den fehlenden Mitgliedschaftsrechten des Beschwerdegegners, denn zu diesen Vorbringen gab nicht erst der Entscheid der Vorinstanz Anlass. Vielmehr hätten die diesbezüglichen tatsächlichen Elemente bereits ohne Weiteres im kantonalen Verfahren vorgebracht werden können.
3.3. Die Beschwerdeführerin trägt vor, die Vorinstanz begnüge sich beim Nachweis der Aktionärsstellung des Beschwerdegegners mit dem Beweismass der Glaubhaftmachung. Sie habe damit ihrem Entscheid irrümlicherweise ein reduziertes Beweismass zugrundegelegt. Notwendig sei das Regelbeweismass des strikten Beweises. Die Vorinstanz habe damit auch <ref-law> verletzt.
Für das Begehren um Einberufung einer Generalversammlung im Sinne von <ref-law> genügt es, wenn der Gesuchsteller dem Richter glaubhaft macht, dass er Aktionär ist (<ref-ruling> E. 2 S. 210; Urteile 4A_184/2019 vom 15. Juli 2019 E. 2.1; 4A_507/2014 vom 15. April 2015 E. 5.6). Dementsprechend hat die Vorinstanz für den Nachweis der Aktionärsstellung des Beschwerdegegners das richtige Beweismass (Glaubhaftmachung) zu Grunde gelegt.
Dass der Beschwerdegegner seine Aktionärsstellung entgegen der Beweiswürdigung der Vorinstanz nicht glaubhaft gemacht hätte, macht die Beschwerdeführerin nicht rechtsgenüglich geltend (Erwägung 2.1), indem sie bloss pauschal entgegen der Vorinstanz behauptet, dass die Aktionärsstellung nicht glaubhaft gemacht worden sei.
Soweit die Beschwerdeführerin mit der Anrufung von <ref-law> eine Verletzung der Beweislastverteilung rügen möchte, ist ihre Rüge unbegründet. Die Vorinstanz kam in Würdigung der Beweise zu einem positiven Beweisergebnis, nämlich dass die Aktionärsstellung des Be schwerdegegners glaubhaft gemacht sei. Damit wird die Beweislastverteilung gegenstandslos, welche die Folgen der Beweislosigkeit regelt (<ref-ruling> E. 3.2 mit Hinweisen).
3.4. Die Beschwerdeführerin moniert, dass der Entscheid der Vorinstanz "offensichtlich unhaltbar und willkürlich" und daher aufzuheben sei. Damit genügt sie den Begründungsanforderungen offensichtlich nicht. Für eine Verletzung des Willkürverbots von <ref-law> ist es nicht ausreichend, ohne nähere Begründung bloss zu behaupten, der angefochtene Entscheid sei willkürlich (<ref-ruling> E. 3 S. 352; <ref-ruling> E. 5.5).
3.5. Die Beschwerdeführerin bringt in ihrer freiwillig eingereichten Replik schliesslich vor, die Aktionärseigenschaft sei eine unabdingbare Voraussetzung für die Aktivlegitimation, welche das Gericht "von Amtes wegen als Prozessvoraussetzung" prüfen müsse.
Auch diese Rüge ist unbegründet. Zunächst ist die Beschwerde am Bundesgericht innert der Beschwerdefrist vollständig begründet einzureichen (vgl. <ref-law>). Mit Rügen, welche die beschwerdeführende Partei bereits in der Beschwerde hätte erheben können, ist sie nach Ablauf der Beschwerdefrist ausgeschlossen (<ref-ruling> E. 2.2; <ref-ruling> E. 1.7). Darüberhinaus beruht die Argumentation der Beschwerdeführerin auf einem Missverständnis hinsichtlich der Bedeutung der Aktivlegitimation. Diese stellt keine Prozessvoraussetzung im Sinne von <ref-law> dar, welche das Gericht von Amtes wegen zu beurteilen hat. Die Sachlegitimation betrifft vielmehr das materielle Recht (vgl. <ref-ruling> E. 1.2 S. 507).
4.
Nach dem Ausgeführten ist die Beschwerde abzuweisen, soweit auf sie überhaupt eingetreten werden kann. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird die Beschwerdeführerin kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1, Art. 68 Abs. 1 BGG).

rulings:
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 6'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdeführerin hat den Beschwerdegegner für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 7'000.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht Appenzell Ausserrhoden, Einzelrichter, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 15. Juni 2020
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Brugger


facts:
Sachverhalt:
A.
A.a. Die 1965 geborene A._ bezieht seit dem 1. April 2006 eine ganze Invalidenrente (Verfügungen vom 27. April und 13. Mai 2009; Diagnosen: chronifizierte depressive Störung, Angststörung, Somatisierungsstörung, Persönlichkeit mit anakastischen Zügen). Am 31. Januar 2011 meldete sie sich zum Bezug einer Hilflosenentschädigung an. Mit Verfügung vom 6. Juni 2011 sprach ihr die IV-Stelle Luzern rückwirkend ab 1. Februar 2010 eine Entschädigung infolge Hilflosigkeit leichten Grades zu. Diese wurde mit Verfügung vom 26. September 2013 ab 1. Mai 2013 auf eine Hilflosenentschädigung mittleren Grades erhöht.
A.b. Im Juni 2016 leitete die IV-Stelle eine Revision der Hilflosenentschädigung ein. Nach Abklärungen - insbesondere einer psychiatrischen Untersuchung durch den Regionalen Ärztlichen Dienst (RAD; Bericht vom 28. April 2017) und einer Abklärung bei der Versicherten zu Hause (Bericht vom 19. Juni 2017) - setzte die IV-Stelle die Hilflosenentschädigung mit Verfügung vom 13. Juni 2018 ab 1. August 2018 auf eine Entschädigung infolge Hilflosigkeit leichten Grades herab.
B.
Die hiegegen erhobene Beschwerde wies das Kantonsgericht Luzern mit Entscheid vom 27. Dezember 2019 ab.
C.
A._ lässt mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten folgende Rechtsbegehren stellen:
"1. Die Verfügung der Beschwerdegegnerin vom 13. Juni 2018 sowie das vorinstanzliche Urteil vom 27. Dezember 2019 seien aufzuheben.
2.1. Die Beschwerdegegnerin habe der Beschwerdeführerin ab 1. August 2018 weiterhin eine Hilflosenentschädigung für eine mittlere Hilflosigkeit auszurichten.
2.2. Eventualiter sei die Sache zur weiteren Abklärung der Hilfsbedürftigkeit der Beschwerdeführerin an die Vorinstanz zurückzuweisen.
3. Unter Kosten- und Entschädigungsfolgen (inkl. MWSt) im vorinstanzlichen Verfahren und im bundesgerichtlichen Verfahren zulasten der Beschwerdegegnerin, eventualiter zulasten des Staates."

considerations:
Erwägungen:
1.
1.1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann eine Rechtsverletzung nach Art. 95 f. BGG gerügt werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Dennoch prüft es - offensichtliche Fehler vorbehalten - nur die in seinem Verfahren gerügten Rechtsmängel (Art. 42 Abs. 1 f. BGG; <ref-ruling> E. 2.2.1 S. 389). Es legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann ihre Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Verfahrensausgang entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG).
1.2. Eine Sachverhaltsfeststellung ist nicht schon dann offensichtlich unrichtig, wenn sich Zweifel anmelden, sondern erst, wenn sie eindeutig und augenfällig unzutreffend ist. Eine offensichtlich unrichtige Sachverhaltsfeststellung weist damit die Tragweite von Willkür auf. Es liegt noch keine offensichtliche Unrichtigkeit vor, nur weil eine andere Lösung ebenfalls in Betracht fällt, selbst wenn diese als die plausiblere erscheint. Eine Sachverhaltsfeststellung ist etwa dann offensichtlich unrichtig, wenn das kantonale Gericht den Sinn und die Tragweite eines Beweismittels offensichtlich falsch eingeschätzt, ohne sachlichen Grund ein wichtiges und für den Ausgang des Verfahrens entscheidendes Beweismittel nicht beachtet oder aus den abgenommenen Beweisen unhaltbare Schlüsse gezogen hat (<ref-ruling> E. 4.2 S. 53 mit Hinweisen; Urteil 9C_752/2018 vom 12. April 2019 E. 1.2).
2.
Eine sachgerechte Anfechtung des vorinstanzlichen Entscheids war möglich; es kann somit nicht von einer Verletzung der Begründungspflicht resp. des Anspruchs auf rechtliches Gehör gesprochen werden (vgl. <ref-ruling> E. 4.3.2 S. 436 mit Hinweisen).
3.
3.1. Das kantonale Gericht hat festgehalten, massgebender Vergleichszeitpunkt sei die rechtskräftige Verfügung vom 26. September 2013, mit welcher der Beschwerdeführerin eine Hilflosenentschädigung mittleren Grades zugesprochen worden sei. Es hat den RAD-Bericht von Dr. med. B._, Fachärztin für Psychiatrie und Psychotherapie, vom 28. April 2017 als hinreichende Grundlage für die Beurteilung der in Frage stehenden Streitpunkte beurteilt, da dieser insgesamt ein nachvollziehbares Bild über die bei der Beschwerdeführerin vorliegenden psychischen Erkrankungen vermittle. Gestützt auf eine Verbesserung hinsichtlich der Suizidalität hat es einen Revisionsgrund nach <ref-law> bejaht und den Anspruch auf eine Hilflosenentschädigung neu beurteilt. Es hat den Bedarf an lebenspraktischer Begleitung im Sinne von Art. 38 Abs. 1 lit. a und b IVV (im Umfang von rund drei Stunden pro Woche) bejaht. Eine regelmässige und erhebliche Dritthilfe in den Lebensverrichtungen Verrichten der Notdurft, Körperpflege sowie An- und Auskleiden hat es dagegen verneint. Gestützt hierauf hat es auf den Anspruch auf eine Hilflosenentschädigung für eine leichte Hilflosigkeit geschlossen.
3.2. Strittig und damit zu prüfen ist, ob das kantonale Gericht zu Recht einen Revisionsgrund angenommen und neu eine Hilflosigkeit leichten Grades bestätigt hat.
4.
Die Vorinstanz hat die entscheidwesentlichen Rechtsgrundlagen zum Anspruch auf eine Hilflosenentschädigung bei Hilflosigkeit mittelschweren oder leichten Grades, namentlich zu den massgebenden sechs alltäglichen Lebensverrichtungen (Aufstehen, Absitzen, Abliegen; An- und Auskleiden; Essen; Körperpflege; Verrichten der Notdurft; Fortbewegung und Kontaktaufnahme) und zur lebenspraktischen Begleitung (<ref-law>; Art. 42 bis 42ter IVG in Verbindung mit <ref-law>; <ref-ruling>), sowie zur Revision der Hilflosenentschädigung (<ref-law>; <ref-ruling> E. 3.1 S. 428 mit Hinweis; <ref-ruling> E. 5.4 S. 114 mit Hinweis; <ref-ruling> E. 2b in fine S. 372 mit Hinweisen; vgl. ferner Art. 35 Abs. 2 Satz 1 in Verbindung mit Art. 87 bis 88bis IVV) zutreffend wiedergegeben. Gleiches gilt für die Grundlagen zur Beweiskraft von Arzt- und Abklärungsberichten (<ref-ruling> E. 3.2.1 S. 546 f. mit Hinweisen; <ref-ruling> E. 5.2 S. 229 mit Hinweisen; <ref-ruling> E. 5.1 S. 232 f. mit Hinweisen; <ref-ruling> E. 3a S. 352 und E. 3b/ee S. 353 f., je mit Hinweis). Darauf wird verwiesen.
5.
5.1. Bei den gerichtlichen Feststellungen zum Gesundheitszustand und zur Arbeitsfähigkeit resp. deren Veränderung in einem bestimmten Zeitraum handelt es sich grundsätzlich um Tatfragen (<ref-ruling> E. 3.2 S. 397 ff.). Gleiches gilt für die konkrete Beweiswürdigung. Dagegen sind frei überprüfbare Rechtsfragen (Urteil 9C_194/2017 vom 29. Januar 2018 E. 3.2) die unvollständige Feststellung rechtserheblicher Tatsachen sowie die Missachtung des Untersuchungsgrundsatzes (Art. 43 Abs. 1, Art. 61 lit. c ATSG) und der Anforderungen an den Beweiswert ärztlicher Berichte und Gutachten (BGE <ref-ruling> E. 5.1 S. 232). Gleiches gilt für die Frage, ob mit dem veränderten Gesundheitszustand ein Revisionsgrund nach <ref-law> vorliegt.
5.2.
5.2.1. Wie die Beschwerdeführerin selbst darlegt, ist das kantonale Gericht Dr. med. B._ hinsichtlich der beanstandeten Punkte nicht gefolgt. Inwiefern auf den versicherungsinternen Bericht insbesondere bezüglich der Befundaufnahme und der hieraus gezogenen Schlussfolgerungen zum Gesundheitszustand nicht hätte abgestellt werden dürfen, ist hingegen nicht ersichtlich. Die vorinstanzliche Beweiswürdigung ist demnach nicht in Frage zu stellen - der Verzicht auf weitere Abklärungen ist in zulässiger antizipierter Beweiswürdigung (<ref-ruling> E. 5.3 S. 236; <ref-ruling> E. 4b S. 94) und damit ohne Verletzung des Untersuchungsgrundsatzes erfolgt.
5.2.2. Ob ein Revisionsgrund vorliegt, beurteilt sich (unter anderem) aufgrund einer Veränderung des Gesundheitszustandes. Diese muss geeignet sein, den Grad der Hilflosigkeit und damit den Umfang des Anspruchs auf Hilflosenentschädigung zu beeinflussen. Die konkrete Hilflosigkeit in einzelnen Bereichen betrifft dagegen die Folgen einer allfälligen Veränderung und ist als solche im Rahmen der Vorfrage nach einem Revisionsgrund unbeachtlich. Aus den diesbezüglichen Vorbringen kann die Beschwerdeführerin daher nichts zu ihren Gunsten ableiten.
Die Verbesserung hinsichtlich der Suizidalität (vorinstanzliche Erwägung 5.5. S. 11; Dr. med. B._ stellte eine nahezu vollständige Remission der depressiven Symptomatik fest) eignet sich durchaus, Auswirkungen auf den Hilfebedarf zu zeitigen. So kann insbesondere ein erhöhter Antrieb die Motivation zur selbständigen Vornahme einzelner Lebensverrichtungen steigern, sich aber auch positiv auf den Bedarf an persönlicher Überwachung und/oder lebenspraktischer Begleitung auswirken. Eine revisionsweise Prüfung ist daher zulässig.
6.
6.1. Die depressive Symptomatik, auf welche die Beschwerdeführerin im Zusammenhang mit dem Hilfebedarf in der Lebensverrichtung Körperpflege verweist, hat sich - wie dargelegt (E. 5.2) - eindeutig verbessert, hielt ja Dr. med. B._ fest, die depressive Störung sei nahezu vollständig remittiert (Bericht S. 18); es gebe keine Hinweise darauf, dass die Beschwerdeführerin in ihrer Selbstfürsorge, der Fähigkeit, angemessen für die eigenen Bedürfnisse zu sorgen, wesentlich beeinträchtigt wäre (Bericht S. 19). Der Gesundheitszustand rechtfertigt es somit von vornherein nicht, in den Lebensverrichtungen wie Körperpflege und An- und Auskleiden eine Hilflosigkeit anzunehmen. Dass der Ehemann dennoch zufolge aktenmässig belegter Überbehütung dazu Hilfestellung leistet, vermag an der fehlenden medizinischen Indikation nichts zu ändern. Eine Verletzung von Bundesrecht liegt nicht vor. Eine Hilfsbedürftigkeit in den sechs Lebensverrichtungen liegt klarerweise auch sonst nicht mehr vor, wie sich aus dem Nachfolgenden ergibt.
6.2. Die Hilfe ist regelmässig, wenn sie die versicherte Person täglich oder eventuell (nicht voraussehbar) täglich benötigt (Urteil 9C_562/2016 vom 13. Januar 2017 E. 5.3 mit Hinweisen). Es ist nicht ersichtlich, dass und inwiefern hinsichtlich des Verrichtens der Notduft die Voraussetzung der Regelmässigkeit erfüllt sein sollte. Sämtliche Vorbringen in der Beschwerde ändern daran nichts.
6.3. Der angefochtene Entscheid verletzt weder das Gleichbehandlungsgebot noch das Diskriminierungsverbot. Weiterungen erübrigen sich.
7.
Als unterliegende Partei hat die Beschwerdeführerin die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens zu tragen (<ref-law>).

rulings:
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Kantonsgericht Luzern und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 20. Mai 2020
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Parrino
Die Gerichtsschreiberin: Nünlist


facts:
Faits :
A.
Par jugement du 15 août 2018, le Tribunal correctionnel de l'arrondissement de l'Est vaudois a libéré A._ des infractions d'escroquerie, gestion déloyale, violation de l'obligation de tenir une comptabilité, infraction à la LAVS et infraction à la LPP, et l'a condamné pour abus de confiance et gestion fautive à une peine privative de liberté de 12 mois, avec sursis durant trois ans.
B.
Par jugement du 29 janvier 2019, la Cour d'appel pénale du Tribunal cantonal vaudois a rejeté l'appel formé par A._ et a confirmé le jugement de première instance.
C.
Par arrêt 6B_417/2019 du 13 septembre 2019, le Tribunal fédéral a partiellement admis le recours de A._, annulé le jugement attaqué s'agissant de la peine et renvoyé la cause à la cour cantonale pour qu'elle indique les conséquences de la violation du principe de célérité sur celle-ci. Il a rejeté le recours pour le surplus.
D.
Statuant sur renvoi, la Cour d'appel pénale a rejeté l'appel de A._, par jugement du 12 novembre 2019, et a confirmé la peine privative de liberté de 12 mois avec sursis durant trois ans prononcée par le premier juge.
E.
A._ forme un recours en matière pénale au Tribunal fédéral contre ce jugement. Il conclut, avec suite de frais et dépens, à la réforme du jugement attaqué en ce sens qu'il est renoncé à lui infliger une peine compte tenu du défaut de célérité. Subsidiairement, il conclut à la réforme du jugement attaqué en ce sens que sa peine est réduite compte tenu du défaut de célérité. Plus subsidiairement, il conclut à l'annulation du jugement attaqué et au renvoi de la cause à la cour cantonale pour nouvelle décision dans le sens des considérants. Il sollicite par ailleurs le bénéfice de l'assistance judiciaire.

considerations:
Considérant en droit :
1.
Le recourant se plaint d'une violation du principe de la célérité. Il soutient que la violation de ce principe n'a pas été réellement prise en compte dans le cadre de la fixation de la peine ni par le tribunal de première instance, ni par la cour cantonale. Il fait également grief à la cour cantonale d'avoir violé le principe de l'autorité de l'arrêt de renvoi en persistant à affirmer que la violation du principe de célérité avait été prise en compte dans la fixation de la peine " sans toutefois expliquer quelle était la peine infligée spécialement et quelle était alors la réduction précisément opérée " (mémoire de recours, p. 7).
1.1. Les <ref-law> et 29 al. 1 Cst. garantissent notamment à toute personne le droit à ce que sa cause soit traitée dans un délai raisonnable. Ces dispositions consacrent le principe de la célérité et prohibent le retard injustifié à statuer. L'autorité viole cette garantie lorsqu'elle ne rend pas une décision qu'il lui incombe de prendre dans le délai prescrit par la loi ou dans le délai que la nature de l'affaire et les circonstances font apparaître comme raisonnable (<ref-ruling> consid. 1.3.1 p. 377; cf. <ref-ruling> consid. 5.1 p. 331 s.). La violation du principe de la célérité peut avoir pour conséquence la diminution de la peine, parfois l'exemption de toute peine ou encore une ordonnance de classement en tant qu'ultima ratio dans les cas les plus extrêmes (<ref-ruling> consid. 1.4.1 p. 377 s.; <ref-ruling> consid. 3.6 p. 26; arrêt 6B_1086/2019 du 6 mai 2020 consid. 7.3.1).
L'autorité judiciaire doit mentionner expressément la violation du principe de célérité dans le dispositif du jugement et, le cas échéant, indiquer comment et dans quelle mesure elle a tenu compte de cette violation (arrêts 6B_1385/2019 du 27 février 2020 consid. 5.1; 6B_790/2017 du 18 décembre 2017 consid. 2.3.2 et les références citées, en particulier <ref-ruling> consid. 2.3 p. 278).
Pour déterminer les conséquences adéquates de la violation du principe de la célérité, il convient de prendre en considération la gravité de l'atteinte que le retard dans la procédure a causé au prévenu, la gravité des infractions qui sont reprochées, les intérêts des lésés, la complexité du cas et à qui le retard de procédure doit être imputé (<ref-ruling> consid. 4e p. 129 s.; arrêts 6B_1463/2019 du 20 février 2020 consid. 2.1; 6B_790/2017 du 18 décembre 2017 consid. 2.3.2).
1.2. Le principe de l'autorité de l'arrêt de renvoi découle du droit fédéral non écrit (<ref-ruling> consid. 5.3.3 p. 222). Conformément à ce principe, l'autorité cantonale à laquelle la cause est renvoyée par le Tribunal fédéral est tenue de fonder sa nouvelle décision sur les considérants de droit de l'arrêt du Tribunal fédéral. Elle est ainsi liée par ce qui a déjà été définitivement tranché par le Tribunal fédéral et par les constatations de fait qui n'ont pas été attaquées devant lui ou l'ont été sans succès (<ref-ruling> consid. 5.2.1 p. 220; <ref-ruling> consid. 5.2 p. 94). La motivation de l'arrêt de renvoi détermine dans quelle mesure l'autorité précédente est liée à la première décision et fixe aussi bien le cadre du nouvel état de fait que celui de la nouvelle motivation juridique (<ref-ruling> consid. 2 p. 335).
1.3. Dans l'arrêt 6B_417/2019 du 13 septembre 2019 (consid. 4.2), le Tribunal fédéral a indiqué que tant dans le jugement de première instance - auquel se référait la cour cantonale - que dans le jugement attaqué, le juge n'avait pas indiqué, comme l'exige la jurisprudence, comment et dans quelle mesure il avait tenu compte de la violation du principe de célérité.
1.4. En l'espèce, il n'est pas contesté que le fait qu'il n'y avait eu aucune opération entre le 23 décembre 2013 et le 10 juillet 2017 violait le principe de célérité (cf. arrêt 6B_417/2019 précité consid. 4.2).
Il ressort du jugement de première instance que, dans le cadre de la fixation de la peine, les juges ont relevé que " la durée de la procédure sera[it] également prise en considération à décharge " (consid. 9), sans toutefois expressément retenir une violation du principe de célérité, ni indiquer dans quelle mesure une telle violation était prise en compte dans la fixation dans la peine. En définitive, ils ont condamné le recourant à une peine privative de liberté de 12 mois avec sursis durant trois ans.
Dans le jugement attaqué, la cour cantonale a confirmé la peine de 12 mois avec sursis prononcée en première instance. Elle a précisé que, compte tenu notamment du concours entre deux infractions graves, c'était une peine privative de liberté de deux ans qui devait être fixée. Elle a expliqué que la peine était réduite à un an pour tenir compte de la violation du principe de célérité dans la fixation de la peine, ce qui correspondait à une réduction de l'ordre de 50 % (cf. jugement de la Cour d'appel pénale du 12 novembre 2019, consid. 2.3).
Dans ces conditions, le recourant ne saurait être suivi lorsqu'il soutient que la violation du principe de célérité n'a pas été réellement prise en compte par la cour cantonale dans le cadre de la fixation de la peine, étant pour le surplus rappelé que le jugement de première instance n'est pas l'objet du recours en matière pénale (<ref-law>). Par ailleurs, on ne saurait non plus reprocher à la cour cantonale d'avoir violé le principe de l'autorité de l'arrêt de renvoi, dès lors qu'elle a expliqué dans quelle mesure elle avait tenu compte de la violation du principe de célérité dans la fixation de la peine.
1.5. Au demeurant, c'est en vain que le recourant reproche à la cour cantonale d'avoir estimé que le fait que certaines infractions auraient été atteintes par la prescription " suffirait - ou du moins participerait - à la réparation du principe de célérité ". En effet, si la cour cantonale a constaté que la violation du principe de célérité, donc l'écoulement du temps, avait eu pour effet la prescription de certains délits, qui n'ont dès lors pas été retenus à la charge du recourant, elle n'a pas dit que la prescription atteinte " réparait " la violation du principe de célérité, ni qu'elle avait un effet sur la peine (cf. arrêt 6B_189/2017 du 7 décembre 2017 consid. 5.3.3). Le grief du recourant est rejeté dans la mesure où il est recevable.
1.6. Dès lors qu'elle a indiqué dans quelle mesure elle avait tenu compte de la violation du principe de célérité, la cour cantonale n'a pas violé le droit fédéral en confirmant la peine privative de liberté de 12 mois avec sursis.
2.
Le recours doit être rejeté dans la mesure où il est recevable. Comme il était dénué de chances de succès, la demande d'assistance judiciaire doit être rejetée (<ref-law>). Le recourant, qui succombe, supporte les frais judiciaires, dont le montant sera fixé en tenant compte de sa situation financière, laquelle n'apparaît pas favorable (art. 65 al. 2 et 66 al. 1 LTF).

rulings:
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
La demande d'assistance judiciaire est rejetée.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 1'200 fr., sont mis à la charge du recourant.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour d'appel pénale du Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Lausanne, le 15 décembre 2020
Au nom de la Cour de droit pénal
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Denys
La Greffière : Thalmann


facts:
Faits :
A.
A.a. A la suite de la plainte pénale de A._ du 14 juillet 2018, le Ministère public de la République et canton de Neuchâtel a ouvert, le 13 août 2018, une instruction contre B._ pour violation d'une obligation d'entretien (art. 217 al. 1 CP; cause MP_1). Le 25 septembre suivant, ce dernier a également déposé une plainte pénale contre A._ pour violation du devoir d'assistance et d'éducation (art. 219 CP), ainsi que pour enlèvement de mineur (art. 220 CP). L'instruction de la cause MP_1 a été, le 19 novembre 2018, étendue contre A._ pour les chefs de prévention précités.
Au cours de l'instruction, le Ministère public a notamment procédé à l'audition de plusieurs personnes appelées à donner des renseignements. Il a également tenté en vain de faire comparaître A._, laquelle ne donnait pas suite aux citations ou mandats de comparaître, respectivement les contestait; elle remettait aussi en cause le choix des témoins à entendre. L'entraide a été sollicitée auprès des autorités fribourgeoises en vue d'une audition.
Par courrier du 11 février 2020, le Ministère public a notamment informé A._ que sa plainte serait classée si elle refusait de déférer au prochain mandat de comparution qui lui serait adressé.
A.b. A._ a saisi l'Autorité de recours en matière pénale du Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel (ci-après : l'Autorité de recours en matière pénale) d'un recours contre un mandat de comparution du Ministère public daté du 11 février 2020, lequel l'invitait à se présenter personnellement pour être entendue en qualité de partie plaignante et de prévenue.
Le 13 mars 2020 (cause ARMP_1), l'Autorité de recours en matière pénale - composée des Juges David Glassey, Président, Jeanine de Vries Reilingh et Olivier Babaïantz - a considéré qu'au vu des conséquences de l'art. 205 CPP (amende ou mandat d'amener), un mandat de comparution pouvait être contesté. Sur le fond, la cour cantonale a en substance considéré que rien ne justifiait dans le cas d'espèce de procéder par écrit et de faire une exception à l'interrogatoire oral; certains éléments au dossier étaient de nature à éveiller des doutes au sujet de la responsabilité pénale de l'intéressée (cf. notamment l'évaluation du 22 mai 2017 du docteur C._ du Centre de psychiatrie forensique du Réseau fribourgeois de santé mentale, les écrits prolixes déposées au cours de la procédure et les craintes émises en lien avec un "guet-apens" de la part du Ministère public afin de "kidnapper" sa fille). Le recours formé contre cet arrêt par A._ a été déclaré irrecevable par le Tribunal fédéral le 15 juillet 2020 (cause 1B_358/2020).
A.c. Par courrier daté du 18 juin 2020, A._ a saisi l'Autorité de recours en matière pénale et le Ministère public d'une demande de récusation concernant les Procureures Sarah Weingart et Ludivine Ferreira Broquet, ainsi que le Juge cantonal David Glassey, au motif de "l'utilisation de documents annulés (peu importe que ce soit par négligence ou par discrimination consciente), avec conséquences très lourdes pour la mère et l'enfant".
La Procureure Sarah Weingart a conclu au rejet de cette requête.
A.d. En parallèle à la procédure pénale, différentes mesures ont été mises en oeuvre dans l'intérêt de l'enfant par l'Autorité de protection de l'enfant et de l'adulte du canton de Neuchâtel (APEA), laquelle avait repris en son for la mesure de curatelle aux relations personnelles instituées par les autorités fribourgeoises, sans que le droit de visite du père puisse être mis en place.
B.
Le 1er juillet 2020, l'Autorité de recours en matière pénale - composée des Juges Jeanine de Vries Reilingh, Juge présidant, Olivier Babaïantz et Arabelle Scyboz - a rejeté la demande de récusation déposée par A._ le 19 juin 2020 dans la mesure de sa recevabilité (cause ARMP.2020.82).
C.
Par courrier du 11 septembre 2020, A._ forme un recours en matière pénale au Tribunal fédéral contre cet arrêt, concluant à la récusation des Juges David Glassey, Jeanine de Vries Reilingh et Olivier Babaïantz, ainsi qu'à celle des Procureures Sarah Weingart et Ludivine Ferreira Broquet. La recourante demande que tous les actes auxquels les précités ont participé soient annulés, soit notamment l'arrêt ARMP_1 du 13 mars 2020 et les actes de la Procureure Sarah Weingart, "bien qu'elle ait ensuite transmis le dossier à la Procureure Ferreira Broquet". A titre subsidiaire, la recourante sollicite le renvoi de la cause à l'autorité précédente, afin qu'elle statue dans le sens des considérants s'agissant des Procureures Sarah Weingart, ainsi que Ludivine Ferreira Broquet et que la cause soit transmise à la juridiction d'appel pour qu'elle statue dans le sens des considérants s'agissant de la requête visant les juges cantonaux, "auteurs de la décision du 13.03.20". A la suite de la demande d'avance de frais, la recourante a requis, le 30 septembre 2020, l'octroi de l'assistance judiciaire et, sur invitation du Tribunal fédéral, a déposé dans le délai imparti des pièces relatives à sa situation financière.
La Procureure Sarah Weingart a conclu au rejet du recours, relevant notamment avoir été en charge de ce dossier de janvier au 22 août 2019 et que la requête de récusation la concernant serait donc tardive. Le Juge David Glassey s'est déterminé le 21 octobre 2020. La Procureure Ludivine Ferreira Broquet a conclu au rejet du recours dans la mesure de sa recevabilité. Quant à l'autorité précédente, elle a renoncé à formuler des observations. Le 3 décembre 2020, la recourante a en substance persisté dans ses conclusions. Sur requête du Tribunal fédéral du 10 février 2021, le Président de l'Autorité de recours en matière pénale - le Juge David Glassey - a transmis une copie du dossier ARMP_2. Dans le délai prolongé accordé pour se déterminer - notamment sur la recevabilité de son recours -, la recourante s'est déterminée le 25 mars 2021.

considerations:
Considérant en droit :
1.
Le Tribunal fédéral examine d'office sa compétence (art. 29 al. 1 LTF) et librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (<ref-ruling> consid. 2 p. 241).
1.1. Conformément aux art. 78, 79 et 92 al. 1 LTF, une décision cantonale relative à la compétence ou à la récusation de magistrats pénaux peut faire immédiatement l'objet d'un recours en matière pénale (arrêt 1B_468/2020 du 25 novembre 2020 consid. 1 et les arrêts cités). Le recours a été interjeté en temps utile (art. 45 al. 1, 46 al. 1 let. b et 100 al. 1 LTF) contre une décision rendue en instance cantonale unique (art. 80 al. 2 in fine LTF).
1.2. L'objet de la contestation porté devant le Tribunal fédéral est déterminé par l'arrêt attaqué. L'objet du litige, délimité par les conclusions des parties (art. 107 al. 1 LTF), ne saurait s'étendre au-delà de l'objet de la contestation (<ref-ruling> consid. 4.4.2 p. 156), à savoir le rejet, dans la mesure de leur recevabilité, des demandes de récusation formées contre le Juge David Glassey, contre la Procureure Sarah Weingart et contre la Procureure Ludivine Ferreira Broquet.
Partant, faute d'être l'objet du litige, la conclusion tendant à la récusation des Juges Jeanine de Vries Reilingh et Olivier Babaïantz est irrecevable (cf. également art. 99 al. 2 LTF). Cela vaut d'autant plus que la recourante ne se plaint pas d'un déni de justice à cet égard. Elle reconnaît d'ailleurs expressément n'avoir pas visé les deux magistrats susmentionnés dans sa requête du 18 juin 2020 (cf. p. 2 de son recours), celle-ci ne pouvant dès lors être interprétée comme une requête "en bloc".
Il en va de même des arguments tendant à contester d'autres décisions - dont celle du 3 février 2021 de la Cour pénale de la République et canton de Neuchâtel (ci-après : la Cour pénale; causes CPEN_1/1B_137/2021 [cf. notamment ad 3 p. 2 s., 7 p. 4 s. et 10 p. 6 s. des observations du 25 mars 2021]) -, ceux sans lien avec l'objet de la présente procédure ou dénués de pertinence pour l'issue du litige, soit en particulier la rectification des faits demandée (chronologie de l'instruction, historique de la reprise de for, date du mandat de comparution en lien avec la procédure 1B_358/2020) et les explications données par rapport au droit de visite (cf. notamment p. 8 ss du recours).
1.3. S'agissant des conditions de recevabilité d'un recours, elles doivent généralement être réunies lors du dépôt du recours et l'être encore lorsque le Tribunal fédéral statue (<ref-ruling> consid. 3.3 p. 500). Dans le cadre de cet examen, peuvent ainsi notamment être prises en compte des pièces ultérieures à l'arrêt attaqué (arrêt 1B_108/2020 du 25 novembre 2020 consid. 2.3).
En revanche, les documents postérieurs au jugement entrepris, en particulier sans lien avec la problématique susmentionnée, sont irrecevables (art. 99 al. 1 LTF). Il en va ainsi notamment du courrier du 6 novembre 2020 joint aux déterminations du 3 décembre 2020, de la copie du jugement de la Cour pénale du 3 février 2021 (CPEN_1) produit par l'autorité précédente en sus de son dossier ARMP_2 et du recours formé par la recourante le 17 mars 2021 contre cette décision.
1.4. Dans la mesure où la recourante entend obtenir la récusation du Juge David Glassey pour la cause ARMP.2020.82 - soit celle à l'origine de la présente cause -, elle ne dispose d'aucun intérêt juridique pratique et actuel à obtenir la modification ou l'annulation de la décision attaquée, puisque celui-ci n'y a pas participé (cf. la composition de l'autorité précédente, ainsi que les observations de ce magistrat du 21 octobre 2020 indiquant avoir été en vacances de l'entrée du recours au prononcé de l'arrêt en cause). Il n'est ainsi pas nécessaire d'examiner de manière plus approfondie si l'Autorité de recours en matière pénale, notamment dans la composition ayant rendu l'arrêt attaqué, était compétente ou pas pour statuer sur une demande de récusation sans objet. La recourante ne peut pas non plus prétendre avoir eu, au jour du dépôt de son mémoire de recours au Tribunal fédéral le 11 septembre 2020, un intérêt encore actuel et pratique à l'examen de sa demande de récusation concernant le Juge David Glasseyen lien avec la procédure ARMP_2 (cf. p. 3 de son recours). En effet, il ressort du dossier de cette procédure que la recourante a retiré son recours par courrier du 14 juillet 2020 et que cette procédure a dès lors été classée par ordonnance du 30 juillet 2020, rendue de plus par la Vice-présidente de l'Autorité de recours en matière pénale Jeanine de Vries Reilingh. En lien avec la récusation du Juge David Glassey, la recourante ne disposait donc d'aucun intérêt actuel et pratique au moment du dépôt de son recours au Tribunal fédéral et, sous cet angle, celui-ci doit être déclaré irrecevable (<ref-ruling> consid. 1.3.1 p. 43; <ref-ruling> consid. 1.1 p. 208).
La recourante conserve cependant un tel intérêt dans la mesure où elle entend également obtenir la récusation des deux Procureures intimées, vu que l'instruction pénale à son encontre n'est a priori pas terminée. Dans cette mesure, la qualité pour recourir doit lui être reconnue (art. 81 al. 1 LTF).
1.5. Dans les limites précitées, il y a lieu d'entrer en matière.
2.
La recourante reproche à l'autorité précédente d'avoir écarté ses demandes de récusation des Procureures Sarah Weingart et Ludivine Ferreira Broquet.
2.1. Un magistrat est récusable, selon l'art. 56 let. f CPP, "lorsque d'autres motifs, notamment un rapport d'amitié étroit ou d'inimitié avec une partie ou son conseil, sont de nature à le rendre suspect de prévention". Cette disposition a la portée d'une clause générale recouvrant tous les motifs de récusation non expressément prévus aux lettres précédentes. Elle correspond à la garantie d'un tribunal indépendant et impartial instituée par les art. 30 al. 1 Cst. et 6 par. 1 CEDH. Elle n'impose pas la récusation seulement lorsqu'une prévention effective du magistrat est établie, car une disposition interne de sa part ne peut guère être prouvée. Il suffit que les circonstances donnent l'apparence de la prévention et fassent redouter une activité partiale du magistrat. Seules les circonstances constatées objectivement doivent être prises en considération. Les impressions purement individuelles d'une des parties au procès ne sont pas décisives (<ref-ruling> consid. 4.3 p. 162; <ref-ruling> consid. 3.2 p. 74).
Des décisions ou des actes de procédure qui se révèlent par la suite erronés ne fondent pas en soi une apparence objective de prévention; seules des erreurs particulièrement lourdes ou répétées, constitutives de violations graves des devoirs du magistrat, peuvent fonder une suspicion de partialité, pour autant que les circonstances dénotent que le juge est prévenu ou justifient à tout le moins objectivement l'apparence de prévention. En effet, la fonction judiciaire oblige à se déterminer rapidement sur des éléments souvent contestés et délicats. Il appartient en outre aux juridictions de recours normalement compétentes de constater et de redresser les erreurs éventuellement commises dans ce cadre. La procédure de récusation n'a donc pas pour objet de permettre aux parties de contester la manière dont est menée l'instruction et de remettre en cause les différentes décisions incidentes prises notamment par la direction de la procédure (ATF <ref-ruling> consid. 3.2 p. 74 s. et les arrêts cités).
2.2. La cour cantonale a en substance retenu que la recourante se plaignait avant tout du maintien au dossier de deux documents, soit la décision du 8 mai 2017 de la Justice de paix de l'arrondissement de la Sarine et le rapport d'expertise du docteur C._. L'autorité précédente a relevé qu'indépendamment de savoir si ces pièces avaient été effectivement "annulées", il s'agissait de griefs qu'il convenait de faire valoir dans une procédure de recours, "en l'occurrence selon les indications données au bas de l'arrêt du 13 mars 2020" (ARMP_1). Selon les juges cantonaux, la récusation ne saurait être obtenue, quoi qu'il en soit, sur la seule base de ces deux prétendues erreurs, qui relevaient de plus de questions largement soumises à appréciation, en particulier s'agissant de la valeur probante d'une expertise. La cour cantonale a encore indiqué que la recourante n'alléguait pas des actes, expressions, dires ou autres comportements concrets des magistrates visées qui laisseraient à penser que leur activité ne pourrait plus s'exercer de manière impartiale; la recourante ne rendait ainsi vraisemblable aucune circonstance objective et concrète dénotant un parti-pris. Les Juges cantonaux ont en particulier relevé qu'un soupçon de prévention ne résultait pas du fait qu'un procureur prenne des renseignements auprès d'autorités scolaires.
2.3. Ce raisonnement ne prête pas le flanc à la critique et la recourante ne développe aucune argumentation propre à le remettre en cause.
En particulier, la voie de la récusation ne s'impose pas eu égard à l'issue du recours formé au Tribunal fédéral par la recourante contre la décision cantonale du 13 mars 2020 (cause ARMP_1 et arrêt 1B_358/2020 du 15 juillet 2020). En effet, c'est dans ce cadre que la recourante pouvait remettre en cause le raisonnement tenu dans le prononcé cantonal ARMP_1, notamment quant à l'appréciation effectuée des pièces figurant au dossier. En outre, le fait que la recourante n'a pas obtenu gain de cause ne résulte pas de l'absence de voie de droit (cf. art. 78 ss LTF), mais du défaut de réalisation de l'une des conditions de recevabilité du recours en matière pénale (cf. art. 93 al. 1 let. a LTF); le Tribunal fédéral a ainsi considéré qu'elle n'avait pas démontré subir un préjudice irréparable à la suite du refus du Ministère public de procéder par le biais de la procédure écrite (cf. art. 145 CPP; arrêt 1B_358/2020 du 15 juillet 2020 consid. 2). La voie de la récusation ne tend pas non plus à permettre à la recourante d'obtenir le retrait du dossier de pièces, dont notamment (1) le rapport d'expertise du docteur C._ - allégué annulé à la suite de la procédure de récusation dans la cause 1B_96/2017 -, (2) la décision du 8 mai 2017 de la Justice de paix de l'arrondissement de la Sarine - a priori annulée par le Tribunal cantonal fribourgeois le 12 septembre 2017 en raison de la reprise de for par les autorités neuchâteloises - et/ou (3) les renseignements obtenus auprès des autorités scolaires.
L'essentiel de l'argumentation développée par la recourante dans son recours se fonde en outre sur le contenu de l'arrêt du 13 mars 2020 de l'Autorité de recours en matière pénale (ARMP_1). Il n'est ainsi pas d'emblée évident de comprendre quel (s) serai (en) t le (s) acte (s) reproché (s) aux deux Procureures intimées; cela vaut en particulier s'agissant de la Procureure Sarah Weingart, puisqu'elle n'est plus en charge du dossier depuis le 22 août 2019 (cf. ses observations du 25 septembre 2020). Si la recourante semble faire grief à la Procureure Ludivine Ferreira Broquet de ne pas donner suite à ses requêtes (cf. p. 2 des déterminations de la première précitée du 3 décembre 2020), elle ne fait pas état, en particulier dans son recours au Tribunal fédéral, de courriers contenant de telles demandes qui viendraient étayer ses affirmations. C'est le lieu de rappeler qu'il n'est pas admissible de renvoyer à d'autres écritures à titre de motivation (<ref-ruling> consid. 5.1 p. 144) et que le droit de répliquer ou de se déterminer n'a pas vocation à permettre à la recourante de pallier une argumentation défaillante ou de compléter son recours (<ref-ruling> consid. 1.2.3 p. 286). Tel semble notamment être le cas de certaines des pièces invoquées - a priori en outre pour la première fois devant le Tribunal fédéral - dans les déterminations du 25 mars 2021 (cf. par exemple ad 6 p. 4 de cette écriture indiquant les courriers de la recourante des 4 et 15 mai 2019); or, ces observations ont été requises à la suite de la réception du dossier ARMP_2 afin que la recourante se détermine notamment sur la recevabilité de son recours au Tribunal fédéral.
En tout état de cause, la lecture de l'arrêt ARMP_1 ne permet pas de retenir que les représentantes du Ministère public auraient été définitivement influencées par la décision de la Justice de paix du 8 mai 2017 - a priori uniquement mentionnée dans la partie en fait (cf. let. K/a p. 6 s. de cet arrêt) -, ainsi que par le rapport d'expertise litigieux. En effet, les Juges cantonaux ont relevé que l'audition de la recourante par le Ministère public - objet du litige qui leur était soumis - peut, le cas échéant, venir dissiper les doutes quant à sa responsabilité pénale que la procédure - en sus du rapport d'expertise - laissait entrevoir (cf. consid. 3.2/b p. 12 s. de l'arrêt ARMP_1). Il est ainsi évident que l'appréciation effectuée au 13 mars 2020 du dossier pouvait évoluer en fonction des mesures d'instruction qui seraient entreprises; une audition par le Ministère public constitue manifestement une possibilité pour la recourante de venir s'expliquer et non pas un "guet-apens". L'arrêt du 13 mars 2020 n'ordonne pas non plus, de manière liante, à la Procureure Ludivine Ferreira Broquet de procéder à une expertise psychiatrique. Si une telle mesure devait néanmoins s'imposer, la mise en oeuvre de ce moyen de preuve ne constitue pas en soi un motif de récusation; cela a d'ailleurs été clairement exclu dans l'arrêt 1B_96/2017 du 13 juin 2017 (cf. consid. 2.2) où ce sont des considérations émises en lien avec cette mesure d'instruction qui ont conduit à la récusation ordonnée alors (cf. en particulier consid. 2.4 de cet arrêt). La recourante ne peut d'ailleurs pas non plus se prévaloir des remarques formulées dans ce cadre particulier pour démontrer une partialité d'autres autorités, respectivement des experts psychiatres qui pourraient être requis.
3.
Il s'ensuit que le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
La recourante a demandé l'octroi de l'assistance judiciaire (art. 64 al. 1 LTF). Pour démontrer sa situation financière, la recourante a produit les avis de taxation des années 2019 et 2018; il en ressort qu'elle ne perçoit aucun revenu imposable. La recourante n'établit cependant pas quelles seraient ses charges. Elle affirme au contraire bénéficier du soutien de son entourage, sans prétendre devoir rembourser ladite aide. Une telle manière de procéder ne permet pas un contrôle concret de la situation économique et, partant, la requête d'assistance judiciaire doit être rejetée. La recourante, qui succombe, supporte dans les frais judiciaires (art. 66 al. 1 LTF). Il n'y a pas lieu d'allouer de dépens (art. 68 al. 3 LTF).

rulings:
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
La requête d'assistance judiciaire est rejetée.
3.
Les frais judiciaires, fixés à 500 fr., sont mis à la charge de la recourante.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à l'Autorité de recours en matière pénale du Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel.
Lausanne, le 15 avril 2021
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Juge présidant: Chaix
La Greffière : Kropf