子群和商群的关系如下：G的一个子集H可以看作一个内射映射H→G，即。目标的任何元素最多有一个映射到它的元素。与内射映射相对应的是满射映射（目标的每一个元素都被映射到其中），例如根据这些同态解释子群和商的规范映射G→G/N.y[>强调了这些定义所固有的结构概念。一般来说，同态既不是内射的，也不是满射的。群同态的核与象和第一同构定理解决了这一现象。
什么理论处理同态既不是内射也不是满射的现象？
第一同构定理