概率检验的一个特别简单的例子是费马素数检验，它依赖于以下事实（费马小定理）：如果p是素数，则任意n的np≡n（mod p）。如果我们有一个要测试素数的数字b，那么我们针对n的随机值计算nb（mod b）作为测试。该测试的一个缺陷是，即使它们不是质数，仍有一些复合数字（Carmichael数）可以满足Fermat身份，因此该测试无法区分质数和Carmichael数。但是，Carmichael数实际上比素数稀少，因此该测试对于实际目的可能是有用的。如果将Fermat素数检验的更强大扩展（例如Baillie-PSW，Miller-Rabin和Solovay-Strassen检验）应用到复合数，则至少在某些时候会失败。
哪种类型的数字证明了Carmichael素数测试的缺陷？