Abaixo está uma instrução que descreve uma tarefa de geração de SQL, combinada com uma entrada que fornece mais contexto sobre os esquemas de tabela disponíveis. Escreva o código SQL que responda adequadamente à solicitação
 ###Instrução: Qual é o número médio de publicações de pesquisa por membros do corpo docente em cada departamento?
 ###Tabelas: 
CREATE TABLE departments (id INT, name TEXT); CREATE TABLE faculty (id INT, name TEXT, department_id INT); CREATE TABLE publications (id INT, faculty_id INT, year INT, journal TEXT);  INSERT INTO departments (id, name) VALUES (1, 'Mathematics'), (2, 'Computer Science'); INSERT INTO faculty (id, name, department_id) VALUES (1, 'Alice', 1), (2, 'Bob', 2), (3, 'Charlie', 1); INSERT INTO publications (id, faculty_id, year, journal) VALUES (1, 1, 2020, 'JMLR'), (2, 1, 2019, 'NeurIPS'), (3, 2, 2021, 'ICML'), (4, 3, 2020, 'ICLR'), (5, 1, 2021, 'KDD');
SELECT d.name, AVG(p.count) as avg_publications FROM departments d JOIN ( SELECT f.department_id, COUNT(p.id) as count FROM faculty f JOIN publications p ON f.id = p.faculty_id GROUP BY f.department_id ) p ON d.id = p.department_id GROUP BY d.name;