В теорії чисел простим числом Віферіха називається просте число , таке, що  ділить  , що є посиленням твердждення малої теореми Ферма, яка стверджує, що будь-яке непарне просте  ділить . Ці прості числа вперше описані  (нім. Arthur Wieferich).

Незважаючи на численні пошуки, донині відомо лише про 2 простих числа Віферіха — це 1093 та 3511 ().

Властивості простих чисел Віферіха

Посилений варіянт малої теореми Ферма, якій задовільняють прості числа Віферіха, зазвичай записується у вигляді порівняння по модулю . Із визначення порівняння випливає, що ця властивість еквивалентна визначенню, що наведено на початку статті. Таким чином, якщо просте p задовільняє порівнянню, це просте ділить частку Ферма .

Наведемо два приклади:

Для p = 11 ми отримуємо , що дає число 93, яке має залишок від ділення на 11, рівний 5.
Таким чином, 11 не є простим числом Віферіха.

Для p = 1093, ми отримуємо  або 485439490310...852893958515 (302 цифри з середини випущено) і це число дає залишок 0 при діленні на 1093, отже 1093 є простим числом Віферіха.

Історія та статус пошуку
В 1902 році німецький математик Франц Мейєр (Wilhelm Franz Meyer) довів теорему про розв'язок конгруєнції a'p − 1 ≡ 1 (mod pr''). Десятиріччям пізніше Артур Віферіх (нім. Arthur Wieferich) в 1909 році в праці, що стосується великої теореми Ферма, у якій він довів, що якщо перша частина останньої теореми Ферма не виконується для деякої експоненти , тоді  задовільняє умові  для . Іншими словами, якщо існує розв'язок рівняння x'p + yp + zp = 0 в цілих числах, x, y, z та p є непарними простими, такими, що p ∤ xyz, тоді p задовільняє умові 2p − 1 ≡ 1 (mod p2).

Перше просте Віферіха, число 1093, було знайдене В. Мейснером (Waldemar Meissner) в 1913 році і підтверджено, що це єдине просте Віферіха серед чисел менших за 2000.

Друге просте, число 3511, було віднайдено Біґером (N. G. W. H. Beeger) в 1922 році.

В 2007–2016 роках пошук простих Віферіха виконувався проєктом розподілених обчислень Wieferich@Home. В 2011–2017 роках інший пошук був організований проєктом PrimeGrid. Нажаль пізніше робота, виконана в цьому проекті, була визнана марною. Хоча ці проекти досягли меж пошуку понад 1017, жоден із них не повідомив про результати, яким можна довіряти.

В листопаді 2020 року PrimeGrid розпочав новий проєкт з одночасним пошуком простих Віферіха та Волла-Суня-Суня. Новий проєкт використовує чексуми для незалежної подвійної перевірки кожного інтервалу, що мінімізує ризик пропуску простого через збої обладнання. Станом на серпень 2022 року PrimeGrid дійшов до межі у 14,4⋅1018 та продовжує пошук майже простих Віферіха.

Майже прості Віферіха
Просте число p, що задовільняє рівнянню  для малих значень , називається майже простим Віферіха (). 

Посилання
* 
*  Fermat-/Euler-quotients (ap−1 − 1)/pk with arbitrary k''
*  A note on the two known Wieferich primes
* PrimeGrid's  Wieferich Prime Search project page

Див. також
* Просте число Волла-Суня-Суня
* PrimeGrid

Примітки


Віферіх
Віферіх
