Теорема Кіршбрауна про продовження (іноді називають теоремою Валентайна) — теорема про існування продовження ліпшицевої функції, визначеної на підмножині евклідового простору, на весь простір.

Формулювання
Нехай  — довільна підмножина евклідового простору , тоді довільне коротке відображення  можна продовжити до короткого відображення ; інакше кажучи, існує коротке відображення  таке, що .

Варіації та узагальнення

* Природно узагальнюється на:
** відображення з підмоножини гільбертового простору в гільбертів простір;
** відображення з підмоножини простору Лобачевського в простір Лобачевського тієї ж кривини
* Аналогічний результат для відображення між сферами хибний, проте теорема залишається істинною для:
** відображення з підмоножини сфери в півсферу тієї ж кривини;
** відображення з підмоножини сфери у сферу тієї ж кривини не меншої розмірності.
* Аналогічний результат для банахових просторів є хибним.

Метрична геометрія

* Узагальнення теореми Кіршбрауна на метричні простори дали Ленг та Шредер.
* Будь-яке коротке відображення на підмножині довільного метричного простору зі значеннями в ін'єктивному просторі допускає коротке продовження на весь простір. Це дає інше узагальнення теореми на метричні простори. До ін'єктивних просторів належать дійсні прямі та метричні дерева, а також -простори.
* Для метричних просторів із властивістю подвоєння виконується слабкий варіант теореми Кіршбрауна. А саме, якщо  — метричний простір із властивістю подвоєння та  і  — банахів простір, то будь-яке -ліпшицеве відображення  продовжується до -ліпшицевого відображення , де стала  залежить лише від параметра у властивості подвоєння.

Історія
Доведено в дисертації Мойжеша Кіршбрауна (захищено 1930). Пізніше цю теорему передовів Фредерік Валентайн.

Див. також
* Теорема Тітце про продовження

Примітки



