Теорема Бруна — Тічмарша — твердження аналітичної теорії чисел, яке визначає верхню межу розподілу арифметичної прогресії простих чисел. Названа на честь математиків Віґґо Бруна та .

Теорема стверджує, що якщо  дорівнює кількості простих чисел , порівнюваних з  за модулем  при , то:
:
для всіх .
Історія
Теорему доведено за допомогою   та Дороті Воном . Результат Бруна та Тічмарша, створений раніше, є слабшою версією цієї нерівності (з додатковим множником ).
Посилення
Якщо  відносно мале, тобто, , то існує краща границя:
:.
Це показав Мотохасі, використавши білінійну структуру у залишковому члені , яку було відкрито ним же. Пізніше ідея використання структур у залишковому члені решета, завдяки розширенням комбінаторного решета Генриком Іванцем, була розвинена до основного методу аналітичної теорії чисел.
Порівняння з теоремою Діріхлє
На відміну від теореми Бруна — Тічмарша теорема Діріхле про арифметичні прогресії дає асимптотичну оцінку, яку можна представити у вигляді:
:,
але ця оцінка може бути доведена лише при сильніших обмеженнях на  і для константи , і це .
Примітки

Література
*Yoichi Motohashi. Sieve Methods and Prime Number Theory. — Tata IFR and Springer-Verlag, 1983. — ISBN 3-540-12281-8.
*Christopher Hooley. Applications of sieve methods to the theory of numbers. — Cambridge University Press, 1976. — С. 10. — ISBN 0-521-20915-3.
*H. Mikawa. Encyclopedia of Mathematics. — Springer. — ISBN 978-1-55608-010-4.
*H. L. Montgomery, R. C. Vaughan. The large sieve // Mathematika. — 1973. — Т. 20. — С. 119—134. — doi:10.1112/s0025579300004708.


