В математиці пове́рхня Зе́йферта — поверхня, межею якої є заданий вузол або зачеплення. Такі поверхні часто бувають корисними при дослідженні відповідного вузла або зачеплення. Зокрема, за її допомогою найпростіше обчислюються багато інваріантів вузлів. Поверхні Зейферта цікаві й самі собою, як об'єкти дослідження. Названо на честь німецького математика .

Визначення
Нехай  — ручний орієнтований вузол або зачеплення в тривимірному просторі (або на тривимірній сфері). Поверхнею Зейферта називають компактно зв'язну орієнтовану поверхню , вкладену в тривимірний простір так, що її межею є , причому орієнтація на поверхні  індукує початкову орієнтацію на .

Підкреслимо, що поверхня Зейферта має бути орієнтованою.

Приклади

* Будь-яка компактна зв'язна орієнтована поверхня з непорожньою межею в тривимірному просторі є поверхнею Зейферта своєї межі.

* Стандартний лист Мебіуса має як межу тривіальний вузол, проте не є його поверхнею Зейферта, оскільки лист Мебіуса неорієнтований.

Рід вузла
Поверхня Зейферта даного вузла або зачеплення визначена неоднозначно: той самий вузол (або зачеплення)  може мати кілька різних поверхонь Зейферта, мінімально можливий рід такої поверхні називають родом вузла, є його інваріантом і позначається через .

Наприклад:

* Рід тривіального вузла дорівнює 0 (оскільки він є межею диска); навпаки, якщо рід вузла дорівнює нулю, то вузол тривіальний.
* Трилисник, як і вісімка, мають рід 1.
* Рід торичного вузла типу  дорівнює .
* Степінь многочлена Александера є оцінкою знизу на подвійний рід вузла.

Фундаментальною властивістю роду є його адитивність відносно зв'язної суми вузлів:

: 

Примітки


Посилання
*  SeifertView programme — побудова поверхонь Зейферта для різних вузлів.



