Гіперболі́чна нерухо́ма то́чка (гіперболі́чна то́чка) — фундаментальне поняття, що використовується в теорії динамічних систем стосовно відображень (дифеоморфізмів) і векторних полів. У разі відображення гіперболічною точкою називають нерухому точку, в якій усі мультиплікатори  (власні числа лінеаризації відображення в даній точці) за модулем відмінні від одиниці. У разі векторних полів гіперболічною точкою називають особливу точку, в якій усі власні числа лінеаризації поля  мають ненульові дійсні частини.
сідло.

Стійкий та нестійкий многовиди
У гіперболічній точці векторного поля (або дифеоморфізму) дотичний простір розкладається в пряму суму двох інваріантних підпросторів  і , інваріантних відносно оператора лінійної частини поля: . Підпростори  і  визначаються відповідно умовами ,  у разі векторних полів та умовами ,  у разі дифеоморфізмів. Ці підпростори є інваріантними многовидами лінеаризованого векторного поля (дифеоморфізму) у цій точці, вони називаються його нестійким та стійким відповідно.

Нестійким та стійким многовидами початкового нелінійного векторного поля (дифеоморфізму) називають його інваріантні многовиди  і , що дотикаються відповідно до підпросторів  і  у точці, що розглядається, і мають ті ж розмірності, що  і . Многовиди  і  визначаються в єдиний спосіб. Зазначимо, що мнгоговиди  і  існують у випадку гіперболічних особливих точок, проте у разі гіперболічної точки сума їх розмірностей дорівнює розмірності всього простору, й інших інваріантних многовидів, які проходять через цю особливу точку, немає.

Теореми про гіперболічні точки
. В околі гіперболічної точки нелінійного дифеоморфізму (векторного поля) динаміка відрізняється від такої для відповідного лінійного відображення (векторного поля) неперервною заміною координат.

Теорема Адамара — Перрона. В околі гіперболічної точки гладкого (або аналітичного) векторного поля або дифеоморфізму існують нестійкий та стійкий многовиди  і  такого ж класу гладкості (відповідно, аналітичні), що проходять через цю точку.

Теорема Ченя. Якщо в околі гіперболічної точки два -гладкі векторні поля (дифеоморфізм) формально еквівалентні (тобто, переводяться один в одного формальною заміною змінних, заданою формальними степеневими рядами), то вони -гладко еквівалентні.

Див. також

* Диффеоморфізм Аносова
* Гіперболічна множина
* 

Література

* 
*  В. И. Арнольд, Ю. С. Ильяшенко. Обыкновенные дифференциальные уравнения, Динамические системы — 1, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления, 1, ВИНИТИ, М., 1985, 7–140
* 
* 
* 

Примітки

