
Розши́рення гру́пи — група, що містить задану групу як нормальну підгрупу. У задачі розширення зазвичай задано нормальну підгрупу  і факторгрупу , і шукається розширення  таке, що , або, що еквівалентно, така  що існує коротка точна послідовність:

: .

У цьому випадку кажуть, що  є розширенням  за допомогою  (іноді використовується інше формулювання: група  є розширенням  за допомогою ).

Розширення називають центральним розширенням, якщо підгрупа  лежить у центрі групи .

Приклади
Групи  так само як  є розширеннями  за допомогою .

Очевидне розширення — прямий добуток: якщо , то  є як розширенням , так і . Якщо  є напівпрямим добутком груп  і  (), то  є розширенням  за допомогою .

 дають інші приклади розширень.

Властивості
Якщо вимагати, щоб  і  були абелевими групами, то множина класів ізоморфізмів розширення групи  за допомогою заданої (абелевої) групи , фактично, є групою, яка ізоморфна:

: 

(функтор Ext). Деякі інші загальні класи розширень відомі, але немає теорії, яка розглядає всі можливі розширення одночасно, у цьому сенсі задача розширення групи зазвичай вважається складною.

Оскільки будь-яка скінченна група  має максимальну нормальну підгрупу  із простою фактор-групою , усі скінченні групи можна побудувати як композиційні ряди  де кожна група  є розширенням  за допомогою деякої простої групи. Цей факт став одним із важливих стимулів для розв'язання задачі класифікації простих скінченних груп.

Класифікація розширень
Розв'язання задачі розширення означає класифікацію всіх розширень групи  за допомогою , або, конкретніше, вираження всіх таких розширень у термінах математичних об'єктів, які в якомусь сенсі простіші (легко обчислювані або добре вивчені). У загальному випадку ця задача дуже складна, і всі найкорисніші результати класифікують розширення, які задовольняють деяким додатковим умовам.

Для задачі класифікації важливим поняттям є еквівалентність розширень; кажуть, що розширення:

: 

і

: 

еквівалентні (або конгруентні), якщо існує ізоморфізм групи , що робить комутативною діаграму:

: 250x250пкс

Фактично, достатньо мати групу гомоморфізмів. Внаслідок передбачуваної комутативності діаграми відображення обов'язково буде ізоморфізмом за .

Може статися, що розширення  і  не еквівалентні, але  і  ізоморфні як групи. Наприклад, є  нееквівалентних розширень 4-групи Кляйна за допомогою  але існують, з точністю до ізоморфізму, тільки чотири групи порядку 8, що містять нормальну підгрупу порядку  з фактор-групою, ізоморфною 4-групі Кляйна.

Тривіальні розширення
Тривіальне розширення — це розширення:

: ,

яке еквівалентне розширенню:

: ,

де ліва і права стрілки є відповідно включенням та проєкцією кожного множника .

Класифікації розщеплюваних розширень
Розщеплюване розширення — це розширення:

: 

з гомоморфізмом , таким що перехід від  до  за допомогою , а потім назад до  за фактор-відображенням короткої точної послідовності породжує тотожне відображення на , тобто . У цій ситуації зазвичай кажуть, що  розщеплює згадану вище точну послідовність.

Розщеплювані розширення дуже легко класифікувати, оскільки розширення розщеплюване тоді й лише тоді, коли група  є напівпрямим добутком  і . Самі напівпрямі добутки легко класифікувати, оскільки вони взаємно однозначно відповідають гомоморфізмам , де  є групою автоморфізмів .

Центральне розширення
Центральне розширення групи  є короткою точною послідовністю груп

: 

такою, що  лежить у  (центрі групи ). Множина класів ізоморфізмів центральних розширень групи  за допомогою  (де  діє тривіально на ) є взаємно-однозначною відповідністю з групою когомологій .

Приклади центральних розширень можна побудувати, взявши будь-яку групу  та будь-яку абелеву групу , вважаючи  рівним . Цей вид розщеплюваного прикладу, (розщеплюване розширення в сенсі задачі розширення, оскільки  є підгрупою ) не становить особливого інтересу, оскільки він відповідає елементу  в  згідно зі згаданою вище відповідністю. Серйозніші приклади знайдено в теорії  у випадках, коли проєктивні представлення неможливо підняти до звичайних лінійних представлень.

У разі скінченних досконалих груп є .

Аналогічно, центральне розширення алгебри Лі  є точною послідовністю

: 

такою що  міститься в центрі .

Існує загальна теорія центральних розширень у многовидах Мальцева .

Групи Лі
У теорії груп Лі центральні розширення виникають у зв'язку з алгебричною топологією. Грубо кажучи, центральні розширення груп Лі за допомогою дискретних груп це те саме, що . Точніше, зв'язний накривний простір  зв'язної групи Лі  є природним центральним розширенням групи , при цьому проєкція

: 

є групою гомоморфізмів та сюр'єктивна. (Структура групи на  залежить від вибору відображення тотожного елемента в тотожний елемент .) Наприклад, коли  є універсальним накриттям групи , ядро  є фундаментальною групою групи , яке, як відомо, абелеве (H-простір). І навпаки, якщо дано групу Лі  та дискретну центральну підгрупу , факторгрупа  є групою Лі, а  є її накривним простором.

Загальніше, якщо групи ,  і  в центральному розширенні є групами Лі та відображення між ними є гомоморфізмами групи Лі, то, якщо алгеброю Лі групи  є , алгеброю  є , а алгеброю  є , то  є   за допомогою . У термінології теоретичної фізики генератори алгебри  називають . Ці генератори лежать у центрі алгебри . За теоремою Нетер генератори груп симетрії відповідають величинам, що зберігаються. Їх називають зарядами.

Основні приклади центральних розширень як накривних груп:

* спінорні групи, які двічі накривають спеціальні ортогональні групи, які (в парній розмірності) двічі накривають ;
* , які двічі накривають симплектичні групи.

Випадок  залучає фундаментальну групу, яка є нескінченною циклічною групою; тут центральне розширення добре відоме з теорії модулярних форм для випадку форм з вагою . Відповідне проєктивне представлення є , побудованим з перетворення Фур'є, у цьому разі, на дійсній осі. Метаплектичні групи з'являються також у квантовій механіці.

Див. також

* 
* 
* 
* 
* 

Примітки


Література
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
