
У математиці,
особливо у ,
схрещений модуль складається з груп  та , де  діє на  за допомогою автоморфізмів (дію будемо записувати зліва, ), і гомоморфізму цих груп

: 

який є  відносно дії  групи  на себе:

: 

а також задовольняє рівності Пфайфера
	
: 
	
Історія

Схоже, що перша згадка рівності Пфайфера для схрещеного модуля була в статті 1941 року Д.Г.К. Уайтхеда 'On adding relations to homotopy groups'.
Означення схрещеного модуля було введено в його статті 1946 року. Ці ідеї були добре пророблені в його роботі 'Combinatorial homotopy II' 1949 року, в якій також було введено важливе поняття вільного схрещеного модуля.
Ідеї Уайтхеда про схрещені модулі та їх застосування розроблені та пояснені в книзі Брауна, Хіггінса, Сівери 'Nonabelian algebraic topology: filtered spaces, crossed complexes, cubical homotopy groupoids'.
Деякі узагальнені ідеї схрещених модулів розглянуті в статті Джанелідзе.

Приклади

Нехай  — нормальна підгрупа групи . Тоді вкладення
: 
є схрещеним моделем з дією групи  на  спряженнями.

Для довільної групи , модулі над груповим кільцем є схрещеними -модулями з .

Для довільної групи , гомоморфізм з  до , який відправляє кожний елемент з  у відповідний внутрішній автоморфізм є схрещеним модулем.

Якщо задане центральне розширення груп
: 
то гомоморфізм: 
разом з дією  на  визначає схрещений модуль. Тому центральні розширення можна розглядати як спеціальні схрещені модулі. Навпаки, схрещений модуль з сюр'єктивним гомоморфізмом визначає центральне розширення.

Нехай  є відміченою парою топологічних просторів (тобто  є підпростором , і  є точкою в ), тоді граничний гомоморфізм
: 
з другої відносної гомотопічної групи до фундаментальної групи можна наділити структурою схрещеного модуля. Функтор
: 
задовольняє узагальненій теоремі ван Кампена, тобто зберігає певні кодобутки.

Результат на схрещеному модулі пари може бути інтерпретований наступним чином: якщо 
:  
є відміченим розшаруванням просторів, то індукованому відображенню фундаментальних груп 
:  
можна надати структуру схрещеного модуля. Цей приклад є корисним в алгебраїчній К-теорії. 
Існують версії цього факту у вищих розмірностях, які використовують поняття -кубів просторів.

Ці приклади наводять на думку, що схрещені модулі можна мислити як 2-вимірні групи. 
Ця ідея може бути формалізована в термінах теорії категорій. Можна показати, що схрещений модуль це те саме що категоріальна група або 2-група, тобто груповий об'єкт в категорії категорій, що еквівалетно категорному об'єкту в категорії груп.
Це означає, що концепт схрещеного модуля є результатом поєднання ідей групи та категорії. Це еквівалентність є важливою для версій вищих розмірностей для груп.

Класифікувальний простір

Кожний схрещений модуль 
: 
має класифікувальний простір  з властивістю, що його гомотопічні групи це  у розмірності ,  у розмірності , і тривіальні групи в розмірностях вище 2. Можливо описати гомотопічні класи відображень з -комплексу в . Це дозволяє довести, що (відмічені, слабкі) гомотопічні 2-типи повністю описуються схрещеними модулями.

Зовнішні лінки


*
*
*
*
*
*


Література

*
*
*
*


