В теорії чисел, арифметична прогресія простих чисел — це будь-яка послідовність як мінімум трьох простих чисел, що утворюють арифметичну прогресію. Наприклад, послідовність простих 3, 7, 11 є арифметичною прогресією трьох простих із фіксованою різницею 4.

Згідно з теоремою Гріна-Тао, існує арифметична прогресія простих чисел довільної довжини. Деколи ця фраза може використовуватись для простих чисел, які належать до арифметичної прогресії, яка містить також складені числа. Наприклад, коли кажуть про прості числа в арифметичній прогресії виду , де a та b є взаємно-простими, яка, згідно теореми Діріхле про про арифметичні прогресії містить нескінченно багато простих чисел посеред нескінченно багато складених.

Для цілих чисел k ≥ 3, AP-k (також позначаються як PAP-k (Primes in Arithmetic Progression)) — це послідовність k простих в арифметичній прогресії. AP-k може бути записане як k простих чисел виду a·n + b для фіксованих цілих a (називається спільною різницею) та b, і k послідовних цілих значень n. Зазвичай під AP-k розуміється n від 0 до k − 1. Цього завжди можна досягти, якщо покласти у якості b перше просте з арифметичної прогресії.

Арифметичну прогресію простих 3, 7, 11, що наведено вище, можна записати як AP-3 у вигляді 3+4·n для n=0,1,2.

n=0; 3+4·0 = 3+0 = 3

n=1; 3+4·1 = 3+4 = 7

n=2; 3+4·2 = 3+8 = 11

Іншим прикладом арифметичної прогресії простих є AP-10 виду 199+210·n для n=0..9. Вона продукує наступну послідовність простих: 199, 409, 619, 829, 1039, 1249, 1459, 1669, 1879, 2089.

Мінімальні прості в АП
Мінімізуючи останній член прогресії.



+ Мінімальна AP-k


 k 

 Прості для n від 0 до k−1


 3

 3 + 2n


 4

 5 + 6n


 5

 5 + 6n


 6

 7 + 30n


 7

 7 + 150n


 8

 199 + 210n


 9

 199 + 210n


 10

 199 + 210n


 11

 110437 + 13860n


 12

 110437 + 13860n


 13

 4943 + 60060n


 14

 31385539 + 420420n


 15

 115453391 + 4144140n


 16

 53297929 + 9699690n


 17

 3430751869 + 87297210n


 18

 4808316343 + 717777060n


 19

 8297644387 + 4180566390n


 20

 214861583621 + 18846497670n


 21

 5749146449311 + 26004868890n


Найбільші відомі прості в АП
Для простого q, q# позначає прайморіал 2·3·5·7·...·q.

, дайдовшою відомою AP-k є AP-27. 23 вересня 2019 року у підпроєкті AP27 проєкту PrimeGrid було знайдено першу відому арифметичну прогресію 27 простих чисел:
:224584605939537911+81292139*23#*n для n=0..26 (), де 23#=2·3·5·7·11·13·17·19·23=223092870

Відомо декілька прикладів AP-26. Вперше AP-26 було знайдено 12 квітня 2010 року у підпроєкті AP26 проєкту PrimeGrid.
:43142746595714191 + 23681770·23#·n, для n=0..25 ()

Див. також
* Арифметична прогресія
* Теорема Діріхле про арифметичні прогресії
* PrimeGrid

Примітки


Література
* Chris Caldwell,  The Prime Glossary: arithmetic sequence,  The Top Twenty: Arithmetic Progressions of Primes and  The Top Twenty: Consecutive Primes in Arithmetic Progression
* 
* Jarosław Wróblewski,  How to search for 26 primes in arithmetic progression?
* P. Erdős and P. Turán, On some sequences of integers, J. London Math. Soc. 11 (1936), 261–264.

