{| class="infobox vcard"

Напрямок

Теорія Чисел


Автори


* Жозеф Остерле
* Девід Массер



Рік

1985


Еквівалентне 

Удосконалена Гіпотеза Шпіро


Наслідки


* Гіпотеза Біла
* Проблема Ердеша–Улама
* Гіпотеза Морделла
* Велика теорема Ферма
* Гіпотеза Ферма — Каталана
* Теорема Рота
* Теорема Тідждемана


 Математик Джозеф Остерле
 Математик Девід Массер
Abc-гіпотеза  (також відома як гіпотеза Естерле–Массера ) — це гіпотеза розділу теорії чисел, яка виникла як результат дискусій Джозефа Естерле та Девіда Массера в 1985 році   Вона виражається в термінах трьох натуральних чисел a, b і c (звідси й назва), які є взаємно простими та задовольняють умову a + b = c . Гіпотеза по суті стверджує, що добуток різних простих множників abc зазвичай не набагато менший за c . Низка  гіпотез і теорем теорії чисел випливають безпосередньо з  abc-гіпотези або її версій. Математик Доріан Голдфельд описав цю гіпотезу як «найважливішу невирішену проблему діофантового аналізу ». 

Abc-гіпотеза виникла як результат спроб Остерле та Массера зрозуміти гіпотезу Шпіро про еліптичні криві , що включає у своє твердження більше геометричних структур, ніж abc-гіпотеза . Було доведено, що abc-гіпотеза еквівалентна модифікованій гіпотезі Шпіро. 

Було зроблено багато спроб довести abc-гіпотезу, але наразі жодна з них не прийнята повністю математичною спільнотою, і станом на 2020 рік вона все ще вважається недоведеною.  

Формулювання
Перш ніж сформулювати гіпотезу, слід ввести поняття радикала цілого числа : для натурального числа n радикал n, позначається rad( n ), є добутком різних простих множників n . Наприклад:


Якщо a, b і c є взаємно простими  натуральними числами, такими що a + b = c, виявляється, що "зазвичай" c  1, такі як наведені у другому прикладі, доволі особливі, вони складаються з чисел, які діляться на великі степені малих простих чисел . Третє формулювання:Оскільки відомо, що існує нескінченна кількість трійок ( a, b, c ) взаємно простих натуральних чисел з умовою a + b = c таких, що q ( a, b, c ) > 1, то гіпотеза передбачає, що лише скінченна кількість із них мають q > 1,01 або q > 1,001 або навіть q > 1,0001 тощо. Зокрема, якщо гіпотеза вірна, то має існувати така трійка ( a, b, c ), яка досягає максимально можливої якості q ( a, b, c ).

Приклади трійок з малим радикалом
Умова ε > 0 є необхідною, оскільки існує нескінченна кількість трійок a, b, c з c > rad( abc ). Наприклад, нехай

Ціле число b ділиться на 9:

Використовуючи цей факт, виконуються такі обчислення:

Замінивши експоненту 6 n іншими експонентами, змусивши b мати більші квадратичні множники, співвідношення між радикалом і c можна зробити як завгодно малим. Зокрема, нехай p > 2 є простим числом і розглянемо

Тепер можна стверджувати, що b ділиться на p 2 :

Останній крок використовує той факт, що p 2 ділить 2 p ( p −1) − 1. Це напряму випливає з малої теореми Ферма, яка стверджує, що для p > 2, 2 p −1 = pk + 1 для деякого цілого числа k . Піднесення обох частин до степеня p показує, що 2 p ( p −1) = p 2 (...) + 1.

А тепер подібними обчисленнями, як описано вище, отримуємо:

Нижче наведено список трійок найвищої якості (трійок з особливо малим радикалом відносно c ); найвищу якість, 1,6299, виявив Ерік Рейссат    для


Abc-гіпотеза має велику кількість наслідків. До них належать як відомі результати (деякі з яких були доведені окремо уже після того, як гіпотеза була висловлена), так і гіпотези, для яких вона дає умовне доведення . Серед наслідків:

* Теорема Рота про діофантову апроксимацію алгебраїчних чисел .  
* Гіпотеза Морделла (уже доведена Гердом Фалтінгсом ). 
* Як еквівалент, гіпотеза Войта в розмірності 1. 
* Гіпотеза Ердеша–Вудса, яка допускає кінцеву кількість контрприкладів. 
* Існування нескінченної кількості невіферіхових простих чисел у кожній основі b > 1. 
* Слабка форма гіпотези Маршалла Холла про відокремлення квадратів і кубів цілих чисел. 
* Велика теорема Ферма має відомий складний доказ Ендрю Вайлза. Однак це випливає легко, принаймні для , від ефективної форми слабкої версії гіпотези abc . Гіпотеза abc говорить, що lim sup набору всіх якостей (визначених вище) дорівнює 1, що передбачає набагато слабше твердження про те, що існує кінцева верхня межа для якостей. Припущення, що 2 є такою верхньою межею, достатньо для дуже короткого доказу останньої теореми Ферма для  . 
* Гіпотеза Ферма-Каталана, узагальнення останньої теореми Ферма щодо степенів, які є сумами степенів. 
* L -функція L ( s, χ d ), утворена за допомогою символу Лежандра, не має нуля Зігеля, враховуючи уніфіковану версію  abc-гіпотези у числових полях, а не лише abc-гіпотезу, як сформульовано вище для раціональних цілих чисел. 
* Многочлен P ( x ) має лише скінченну кількість досконалих степенів для всіх цілих чисел x, якщо P має принаймні три прості нулі . 
* Узагальнення теореми Тідждемана щодо кількості розв’язків y m = x n + k (теорема Тідждемана відповідає випадку k = 1) і гіпотези Піллаї (1931) щодо кількості розв’язків Ay m = Bx n + k .
* Як еквівалент, гіпотеза Гранвіля–Ланжевена, що якщо f є бінарною формою без квадратів степеня n > 2, то для довільного дійсного β > 2 існує константа C ( f, β ), така що для всіх взаємно простих цілих чисел x, y, радикал f ( x, y ) перевищує C · max{| х |, | y

* Як еквівалент, модифікована гіпотеза Шпіро, яка дасть межу rad( abc ) 1,2+ ε . 
*  показав, що гіпотеза abc означає, що діофантове рівняння n ! + A = k 2 має лише скінченну кількість розв’язків для будь-якого даного цілого числа A .
* Існує ~ c f N додатних цілих чисел n ≤ N, для яких f ( n )/B' є вільним від квадратів, де c f > 0 додатна константа, визначена як: 
* Гіпотеза Біла, узагальнення великої теореми Ферма, яка припускає, що якщо A, B, C, x, y та z є натуральними числами з A x + B y = C z та x, y, z > 2, то A, B, і C мають спільний простий множник. Гіпотеза abc означатиме, що існує лише кінцева кількість контрприкладів.
* Гіпотеза Ленга, нижня межа для висоти раціональної точки без кручення еліптичної кривої.
* Від'ємний розв’язок проблеми Ердеша–Улама на щільних множинах евклідових точок із раціональними відстанями. 
* Ефективний варіант теореми Зігеля про цілі точки на алгебраїчних кривих. 

Теоретичні результати
Abc-гіпотеза  передбачає, що c може бути обмежено зверху майже лінійною функцією радикала abc . Відомо, що межі є експоненціальними . Зокрема, було доведено такі межі:
У даних межах K 1 і K 3 є константами, які не залежать від a, b чи c, а K 2 є константою, яка залежить від ε ( ефективно обчислюваним способом), але не залежить від a, b або c . Межі застосовуються до будь-яких трійок, для яких c > 2.

Результати обчислень
У 2006 році математичний факультет Лейденського університету в Нідерландах спільно з нідерландським науковим інститутом Kennislink запустив проект ABC@Home, грід- обчислювальну систему, метою якої є виявлення додаткових трійок a, b, c з rad( abc )  1



q > 1

q > 1.05

q > 1.1

q > 1.2

q > 1.3

q > 1.4


c 2

6

4

4

2

0

0


c 3

31

17

14

8

3

1


c 4

120

74

50

22

8

3


c 5

418

240

152

51

13

6


c 6

1,268

667

379

102

29

11


c 7

3,499

1,669

856

210

60

17


c 8

8,987

3,869

1,801

384

98

25


c 9

22,316

8,742

3,693

706

144

34


c 10

51,677

18,233

7,035

1,159

218

51


c 11

116,978

37,612

13,266

1,947

327

64


c 12

252,856

73,714

23,773

3,028

455

74


c 13

528,275

139,762

41,438

4,519

599

84


c 14

1,075,319

258,168

70,047

6,665

769

98


c 15

2,131,671

463,446

115,041

9,497

998

112


c 16

4,119,410

812,499

184,727

13,118

1,232

126


c 17

7,801,334

1,396,909

290,965

17,890

1,530

143


c 18

14,482,065

2,352,105

449,194

24,013

1,843

160


Станом на травень 2014 року ABC@Home знайшов 23,8 мільйона трійок. 


+

Rank

q

a

b

c

Discovered by


1

1.6299

2

310·109

235

Eric Reyssat


2

1.6260

112

32·56·73

221·23

Benne de Weger


3

1.6235

19·1307

7·292·318

28·322·54

Jerzy Browkin, Juliusz Brzezinski


4

1.5808

283

511·132

28·38·173

Jerzy Browkin, Juliusz Brzezinski, Abderrahmane Nitaj


5

1.5679

1

2·37

54·7

Benne de Weger

Примітка: якість q ( a, b, c ) трійки ( a, b, c ) визначена вище .

Уточнені форми, узагальнення та відповідні твердження
Гіпотеза abc є цілочисельним аналогом теореми Мейсона–Стозерса для поліномів.

Сильніша гіпотеза, запропонована , стверджує, що в гіпотезі abc можна замінити rad( abc ) на

де ω — загальна кількість різних простих чисел, що ділять a, b і c . 

Ендрю Гранвіль помітив, що мінімум функції  для  виникає при 

Це надихнуло  запропонувати чіткішу форму abc-гіпотези, а саме:



де κ є абсолютною константою. Після кількох обчислювальних експериментів він виявив, що значення  було допустимим для κ . Ця версія називається «явною гіпотезою abc ».

 також описав гіпотези Ендрю Гранвілья що б дало верхню межу на c виду:



де Ω( n ) — загальна кількість простих множників n, і



де Θ( n ) — кількість цілих чисел до n, які діляться лише на прості числа, що ділять n .

 запропонували більш точну нерівність базуючись на .
Нехай k = rad(abc). Вони припустили, що існує константа C1 така що



виконується, тоді коли існує стала C 2 така, що



виконується нескінченно часто.

 сформулювали n- гіпотезу—версію abc гіпотезу для цілих чисел n > 2 .

Заявлені доведення
Люсьєн Шпіро запропонував рішення в 2007 році, але невдовзі у ньому знайшли помилку. 

З серпня 2012 року Шінічі Мочізукі заявив про доведення гіпотези Шпіро, а отже, abc-гіпотези  .  Він випустив серію з чотирьох препринтів, які включали нову теорію, яку він назвав міжуніверсальною теорією Тейхмюллера (IUTT), яка в подальшому застосовується для підтвердження abc-гіпотези .  Статті не були прийняті математичною спільнотою як докази гіпотези.  Це відбулося не лише через їхню довжину та складність розуміння , а й тому, що принаймні один конкретний момент у аргументації був визначений як прогалина деякими іншими експертами.  Незважаючи на те, що кілька математиків ручалися за правильність доведення  і намагалися показати своє розуміння через семінари на IUTT, їм не вдалося переконати спільноту математиків теорії чисел.  

У березні 2018 року Пітер Шольце та Якоб Стікс відвідали Кіото для обговорення з Мочізукі.   Хоча вони не усунули розбіжності, вони чіткіше їх сформулювали. Шольце та Стікс написали звіт, в якому пояснювали помилку в логіці доведення та стверджували, що отримана прогалина була «настільки серйозною, що ... невеликі зміни не врятують стратегію доказу»;  Мочізукі стверджував, що вони неправильно зрозуміли життєво важливі аспекти теорії та зробили некоректні спрощення.   

3 квітня 2020 року двоє математиків з Кіотського науково-дослідного інституту, де працює Мочізукі, оголосили, що заявлене ним доведення буде опубліковано в публікаціях науково-дослідного інституту математичних наук, журналі інституту. Мочізукі є головним редактором цього журналу, але він відмовився від рецензування даної статті.  Кіран Кедлая та Едвард Френкель сприйняли цю заяву зі скептицизмом, а журнал Nature описав її як «навряд чи приведе багатьох дослідників до табору Мочізукі».  У березні 2021 року доведення Мочізукі було опубліковано в RIMS. 

Дивіться також

* Список нерозв'язаних задач з математики

Список літератури


Джерела

*
*
*
*
*
* 
*
*
* 
*
* 
* 
*
*
*
* 
* 
*
*
*
*
*
*
*
*
*
* 
*
*
*
*
*


Посилання

*  ABC@home Distributed computing project called ABC@Home.
*  Easy as ABC: Easy to follow, detailed explanation by Brian Hayes.
* 
* Abderrahmane Nitaj's  ABC conjecture home page
* Bart de Smit's  ABC Triples webpage
* http://www.math.columbia.edu/~goldfeld/ABC-Conjecture.pdf
*  The ABC's of Number Theory by Noam D. Elkies
*  Questions about Number by Barry Mazur
*  Philosophy behind Mochizuki’s work on the ABC conjecture on MathOverflow
*  ABC Conjecture Polymath project wiki page linking to various sources of commentary on Mochizuki's papers.
*  abc Conjecture Numberphile video
*  News about IUT by Mochizuki




