Фуксова модель — це подання гіперболічної ріманової поверхні R як фактор-поверхні верхньої півплощини H за фуксовою групою. Будь-яка гіперболічна ріманова поверхня дозволяє таке подання. Концепцію названо іменем Лазаруса Фукса.

Точніше визначення
За теоремою уніформізації будь-яка ріманова поверхня є еліптичною,  або гіперболічною. Точніше, ця теорема стверджує, що ріманова поверхня , яка не ізоморфна або рімановій сфері (в еліптичному випадку), або фактор-поверхні комплексної поверхні за дискретною підгрупою (у параболічному випадку), повинна бути фактор-поверхнею гіперболічної площини  за підгрупою , що діє цілком розривно та вільно.

У моделі Пуанкаре у верхній півплощині для гіперболічної площини група  є групою , що діє гомографією, а теорема уніформізації означає, що існує дискретна підгрупа без скруту , така, що ріманова поверхня  ізоморфна . Таку групу називають фуксовою групою, а ізоморфізм  — фуксовою моделлю для .

Фуксові моделі та простір Тейхмюллера
Нехай  — замкнена гіперболічна поверхня і нехай  — фуксова група, така, що  є фуксовою моделлю для . Нехай

: .

Тут  — множина всіх  ефективних та дискретних подань із топологією, породженою точковою збіжністю (іноді званою «алгебричною збіжністю»). У цьому випадку топологію найпростіше визначити так: група  є  оскільки вона ізоморфна фундаментальній групі . Нехай  — породжувальна множина, тоді будь-яке  визначається елементами  і можна ототожнити  з підмножиною  відображенням . Тим самим ми задамо топологію підпростору.

Теорема Нільсена про ізоморфізм (це не стандартна термінологія і цей результат не пов'язаний безпосередньо з ) тоді стверджує таке:

: Для будь-якого подання  існує автогомеоморфізм (фактично, )  верхньої півплощини , таке, що  для будь-кого .

Доведення дуже просте — виберемо гомеоморфізм  і піднімемо його на гіперболічну площину. Взяття дифеоморфізму дає квазіконформне відображення, оскільки  компактна.

Це можна розглядати як еквівалентність між двома моделями для простору Тайхмюллера  — множини дискретних ефективних подань фундаментальної групи  у класи суміжності  і множини відмічених ріманових поверхонь , де  — квазіконформний гомеоморфізм природного відношення еквівалентності.

Див. також
* Модель Кляйна, аналогічна побудова для 3D-многовидів
* 

Примітки


Література

* 



