Факториза́ція многочле́на — подання многочлена у вигляді добутку многочленів менших степенів.

Основна теорема алгебри стверджує, що кожен многочлен над полем комплексних чисел можна подати у вигляді добутку лінійних многочленів, причому єдиним чином з точністю до сталого множника та порядку слідування співмножників.

Протилежністю факторизації многочленів є їх розширення, перемноження поліноміальних множників для отримання «розширеного» многочлена, записаного у вигляді суми доданків.

Квадратичні многочлени
 Ілюстрація многочлена , де  дорівнює  і  дорівнює .
Будь-який квадратичний многочлен на комплексних числах (многочлени вигляду , де: , , і  ∈ ) можна факторизувати виразами вигляду , використовуючи квадратне рівняння. Цей метод використовують так:

: 

де  і  — два корені многочлена, знайдені при розв'язуванні квадратного рівняння.

Многочлени на цілих числах

: 

де:

: 

і

: 

Можна кожен двочлен прирівняти до нуля і знайти для  два корені. При факторизації достатньо використати саме ці формули для розв'язування квадратного рівняння. Візьмемо для прикладу рівняння . Оскільки  і , , що означає, що  і  дорівнюють 1 і 2. Тепер ми маємо . Оскільки  і , , що означає, що p і q дорівнюють 1 і 2, або один з них −1, а інший −2. Підставляючи 1 та 2, або −1 і −2 замість p і q (оскільки ), бачимо, що  факторизується в , даючи корені .

Зауваження: швидкий спосіб визначення, чи є другий член додатним, чи від'ємним (як у наведеному прикладі, 1 і 2 чи − 1 і − 2) полягає у перевірці другої операції тричлена (+ чи −). Якщо стоїть +, то перевіряємо першу операцію: якщо вона теж +, член буде додатним, а якщо операція −, то член буде від'ємним. Якщо друга операція − то один член буде додатним, другий — від'ємним. Така перевірка є єдиним способом визначення який член буде додатним, а який від'ємним.

Якщо многочлен із цілими коефіцієнтами має дискримінант, який є повним квадратом, то многочлен факторизується цілими числами.

Розглянемо, наприклад, поліном . Якщо підставити значення у квадратичну формулу, то дискримінант  буде  і дорівнює 100. Число 100 є повним квадратом, тому поліном  факторизується цілими числами; ці фактори дорівнюють 2,  та .

Тепер розглянемо поліном . Його дискримінант  дорівнює 8657, що не є повним квадратом. Тому вираз  неможливо факторизувати цілими числами.

Повний квадратний тричлен
 Ілюстрація ідентичності 
Деякі квадратні тричлени можна факторизувати двома однаковими двочленами. Їх називають повними квадратними тричленами. Повний квадратний тричлен можна факторизувати так:

: 

і

: 

Сума/різниця двох квадратів
Інший загальний метод алгебричної факторизації називають різницею двох квадратів. Він полягає у застосуванні формули

: 

У випадку додавання обидва двочлени матимуть уявний член:

: 

Наприклад,  можна факторизувати як .

Групування
Ще одним методом розкладання на множники деяких многочленів є факторизація групованням.

Факторизація групуванням робиться шляхом розташування членів многочлена на дві або більше груп, кожну з яких можна факторизувати відомим способом. Результати цих факторизацій іноді можна скомбінувати так, щоб отримати простіший вираз. Наприклад, щоб факторизувати многочлен

,

згрупуємо подібні члени: ,

факторизуємо через найбільший спільний дільник 

і факторизуємо на біноми 

AC метод
Якщо квадратний тричлен має корені на раціональних числах, можна знайти p і q такі, що  і . (Якщо дискримінант є квадратом числа, то вони існують, інакше ми матимемо ірраціональні або комплексні корені, і припущення про раціональний корінь є неприпустимим.)

: 

Верхні члени будуть мати спільні фактори, які можна використати для позбавлення від знаменника, якщо він не дорівнює 1. Як приклад розглянемо квадратичний многочлен

: 

Перевірка факторів  приводить до .

: 

Інші многочлени

Сума/різниця двох кубів
Виконаємо факторизацію суми та різниці двох кубів. Суму двох кубів можна подати у вигляді:

: 

а різницю:

: 

Наприклад,  (або ) можна факторизувати у вигляді: .

Див. також
* Факторизація
* Формули скороченого множення


