Геометричне подання квадратного пірамідного числа: 
Квадра́тне пірамі́дне число́ (часто зване просто пірамі́дним число́м) — просторове фігурне число, що представляє піраміду, з квадратною основою. Квадратні пірамідні числа також виражають кількість квадратів зі сторонами, паралельними осям координат у ґраітці з N × N точок.

Початок послідовності:

: 1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385, 506, 650, 819, 1015, 1240, 1496, 1785, 2109, 2470, 2870, … ().

Формула
Загальна формула для -го за порядком квадратного пірамідного числа:

: 

Це окремий випадок , яку неважко довести за індукцією. Вперше рівносильну формулу наведено в Книзі абака Фібоначчі (XIII століття).

У сучасній математиці формалізація фігурних чисел відбувається за допомогою многочленів Ергарта. Многочлен Ергарта L(P,t) многогранника P — многочлен, який підраховує кількість цілих точок у копії многогранника P, який збільшується множенням усіх його координат на число t. Многочлен Ергарта піраміди, основою якої є квадрат зі стороною 1 із цілими координатами, а вершина міститьяс на висоті 1 над основою, обчислюється за формулою:

: .

Твірна функція
Твірна функція для квадратних пірамідних чисел має вигляд:

: 

Зв'язок з іншими фігурними числами
Квадратні пірамідні числа можна також виразити у вигляді суми біноміальних коефіцієнтів:

: 

Біноміальні коефіцієнти, що виникають у цьому виразі, це тетраедричні числа. Ця формула виражає квадратні пірамідні числа як суми двох чисел, так само, як і будь-яке квадратне число є сумою двох послідовних трикутних чисел. У цій сумі одне з двох тетраедричних чисел дорівнює кількості куль у складеній піраміді, розташованих вище або по один бік від діагоналі квадратної основи піраміди; а друге — розташованих по інший бік діагоналі. Квадратні пірамідні числа пов'язані з тетраедричними числами так:

: 

Сума двох послідовних квадратних пірамідних чисел є октаедричним числом.

Задача знаходження квадратних пірамідних чисел, які є одночасно квадратними числами, відома як задача про вкладання гарматних ядер. Сформулював її Люка (1875).

Примітки


Література
* 
* 
* 

Посилання
*  Фігурні числа 
* 
*  Geometric Proof of Tetrahedral Number Formula 
* 



