У математичному аналізі квазірівномірна збіжність є узагальненням поняття рівномірної збіжності. Нехай послідовність функцій  топологічного простору  у множину дійсних чисел (чи більш загально у метричний простір  ) поточково збігається до функції . Тоді збіжність називається квазірівномірною якщо для будь-якого  і будь-якого натурального числа  існує не більш ніж зліченне відкрите покриття  простору  і послідовність   натуральних чисел, де всі   що  для всіх  

Поняття квазірівномірної збіжності ввів італійський математик Чезаре Арцела при вивченні необхідних і достатніх умов при яких поточково збіжна послідовність неперервних функцій збігається до теж неперервної функції.

Із означення рівномірної збіжності випливає, що кожна рівномірно збіжна послідовність є квазірівномірно збіжною і при цьому для будь-яких  і  достатньо взяти покриття із єдиної множини  а за  — будь-яке натуральне число, що задовольняє нерівність  де  є натуральним числом, що відповідає  в означенні рівномірної збіжності.

Якщо топологічний простір є компактним, а послідовність  є зростаючою, то навпаки квазірівномірна збіжність є рівномірно. Дійсно із компактності випливає, що для будь-яких  і  покриття можна вибрати скінченним і тоді для  нерівність  виконується для всіх  Але тоді для всіх  також  для всіх  і тому  можна вибрати як число із означення рівномірної неперервності для . Як наслідок зокрема теорема Діні випливає із теореми Арцела нижче.

Теорема Арцела 

Для поточково збіжної послідовності  неперервних функцій квазірівномірна збіжність є необхідною та достатньою умовою неперервності граничної функції .

Доведення
Нехай  Якщо  є неперервною то відповідно і всі  є неперервними. Відповідно усі множини  для  є відкритими підмножинами простору . Множина цих відкритих підмножин є не більш, ніж зліченною. 
Точка  належить множині  якщо  тобто  Із умови поточкової збіжності випливає, що множини  утворюють відкрите покриття простору 

Якщо тепер  і  то для  і  згідно означень виконується нерівність  для всіх  Множини  для  і  теж утворюють відкрите покриття простору  Справді якщо  то із означення поточкової збіжності випливає, що для будь-якого  для всіх достатньо великих чисел   Зокрема можна вибрати для цього  і тоді  

Відповідно множини виду  для  і  утворюють не більш ніж зліченне покриття простору  і якщо для множини  вибрати число n це покриття задовольняє умову в означенні квазірівномірної збіжності. Тобто збіжність є квазірівномірною, що завершує доведення необхідності.

Нехай тепер збіжність  до граничної функції  є квазірівномірною. Достатньо довести, що для будь-якого відкритого проміжку   прообраз  є відкритою множиною. Це очевидно є  так, якщо прообраз є порожньою множиною. В іншому випадку існує  для якого  і можна вибрати числа  із умовами  і  Нехай  є довільним натуральним числом і розглянемо покриття із означення квазірівномірної збіжності для  і . Нехай  є елементом покриття, що містить  Тоді для деякого  для всіх  виконується нерівність  Зокрема звідси випливає, що  і як наслідок  Оскільки за умовою  є неперервною функцією, то  і тому також   є відкритими множинами, що містять  Але тоді для будь-якого  також  і  тому  Зокрема  і  є відкритою множиною, що міститься у  і містить точку  Із довільності вибору  випливає, що  є відкритою множиною і оскільки вибір  теж був довільним звідси випливає неперервність функції .

Див. також
* Поточкова збіжність
* Рівномірна збіжність
* Теорема Діні

Джерела
*

