Теорема Каратеодорі — твердження у комплексному аналізі, що у певному сенсі доповнює теорему Рімана про відображення. Доведена у 1913 році грецьким математиком Костантином Каратеодорі, на честь якого вона названа.

Твердження теореми

Нехай f відображає відкритий одиничний круг D конформно на обмежену область U у C (тобто відображення є голоморфним і ін'єктивним). Якщо границя ∂U області U є простою жордановою кривою, то для f існує неперервне продовження на замкнутий одиничний круг і це продовження буде гомеоморфізмом. 

Доведення

Нехай ∂U є жорданова крива. Спершу доведемо, що f неперервно продовжується на одиничний круг. Це продовження існує якщо і тільки якщо f є рівномірно неперервною на D: якщо продовження існує то воно є неперервним на замкнутому крузі, що є компактною множиною і тому рівномірно неперервним. Навпаки якщо якщо f є рівномірно неперервною, то неважко помітити, що вона має границі на одиничному колі і на замкнутому крузі виконуються ті ж нерівності рівномірної неперервності.

Припустимо, що f не є рівномірно неперервною. Тоді існує число ε > 0, точка ζ на одиничному колі і послідовності z'n, wn що прямують до ζ але |f(zn) − f(wn)| ≥ 2ε для всіх n. 

Для 0 r позначає дугу кола | z − ζ | = r, що належить D. Тоді f ∘ γr є жордановою кривою. Її довжину можна оцінити за допомогою нерівності Коші — Буняковського:

: 

Звідси можна одержати обмеження:

: 

Із скінченності інтеграла у лівій частині випливає існування послідовності rn спадної до 0 для якої  прямує до 0. Але довжина кривої g(t) для t із проміжку (a, b) є рівною

: 

Із скінченності  випливає, що крива має дві граничні точки an, bn на двох кінцях і |an – bn| ≤  , тож ця відстань, як і діаметр кривої, прямують до 0. Ці дві граничні точки належать ∂U, оскільки f є гомеоморфізмом між D і U і тому послідовність, що збігається у U є образом послідовності, що збігається у D. Згідно припущення між колом ∂D і ∂U існує гомеоморфізм β. Оскільки β−1 є рівномірно неперервним, відстань між двома точками ξn і ηn, що є образами an і bn із ∂U при відображенні β−1 прямує до 0. Тож зрештою можна визначити меншу дугу кола ∂D між точками ξn і ηn. Нехай τn позначає образ цієї дуги при відображенні β. Із рівномірної неперервності β випливає, що діаметр множини τn у ∂U прямує до 0. Разом τn і f ∘ γrn утворюють замкнуту жорданову криву. Множина її внутрішніх точок Un міститься у U згідно властивостей жорданових кривих для ∂U і ∂Un: справді U є внутрішньою областю для ∂U'' оскільки вона є обмеженою, зв'язаною і є відкритою і замкнутою у доповненні до ∂U; отже зовнішня область для ∂U є необмеженою, зв'язаною і не перетинається із ∂U'n, тому її замикання міститься у замиканні зовнішньої області для ∂Un; після переходу до доповнень одержується необхідне включення. Діаметр ∂Un прямує до 0 оскільки діаметри множин τn і f ∘ γrn прямують до 0. Тому і діаметр множини Un прямує до 0. (Оскільки  є компактною множиною, то  містить дві точки u і v відстань між якими є максимальною. Легко бачити, що u і v належать ∂U і діаметри множин U і ∂U є рівними .)

Якщо Vn позначає перетин одиничного круга D і круга |z − ζ| n, то для всіх достатньо великих n  справедливою є рівність f(Vn) = Un. Справді, дуга γrn ділить D на Vn і доповнюючу область , отже оскільки f є конформним гомеоморфізмом то крива f ∘ γrn ділить U на  і доповнюючу область . Un'' є компонентою зв'язності U \ f ∘ γr'n'', оскільки вона є зв'язаною і є відкритою і замкнутою у цій множині. Тому  є рівною або  або . Діаметр множини  не зменшується із зростанням n, оскільки із  випливає . Оскільки діаметр множини U'n прямує до 0 при зростанні n до безмежності, він зрештою стає меншим, ніж діаметр множини  і тоді f(Vn) = Un.

Отож діаметр множини f(Vn) прямує до 0. З іншого боку, розглядаючи при необхідності підпослідовності послідовностей (zn) і (wn),можна вважати, що zn і wn належать Vn. Але це приводить до суперечності адже |f(zn) − f(wn)| ≥ ε. Тому f є рівномірно неперервною на U.

Отож f неперервно продовжується на замкнутий круг. Оскільки f(D) = U, із компактності замкнутого круга випливає, що його образом при відображенні f є замикання U і відповідно образом кола ∂D є жорданова крива ∂U. Якщо f'' не є ін'єктивним, то існують точки u, v на ∂D для яких u ≠ v і f(u) = f(v). Нехай X і Y є радіусами із 0 до точок u і v. Тоді f(X ∪ Y) є замкнутою жордановою кривою. Подібно як і вище доводиться, що внутрішня область для V міститься у U і є компонентою зв'язності для U \ f(X ∪ Y). З іншого боку D \ (X ∪ Y) є диз'юнктним об'єднанням двох відкритих секторів
W1 і W2. Тому для одного з них, наприклад для W1 виконується рівність f(W1) = V. Нехай Z позначає частину границі ∂W1 на одиничному колі. Z є замкнутою дугою і f(Z) є підмножиною ∂U і замикання V. Але їх перетин є одною точкою і тому f є константою на Z. 

Але у цьому випадку f має бути константою на всьому одиничному крузі, що не є можливим. Справді нехай  f є константою на Z і нехай довжина дуги Z є рівною , де  Розглядаючи функцію f - z0  якщо потрібно, можна вважати, що f = 0. Якщо  є  цілим числом для якого , то для будь якого комплексного числа , числа  для  розташовані рівномірно на одиничному колі і довжини дуг між ними є рівними  тож хоча б одне із цих чисел належить дузі Z.

Якщо тепер визначити функцію , то із попереднього  один із аргументів функцій у добутку належить Z і тому один із множників і весь добуток є рівним нулю, тобто  для  Оскільки функція  є голоморфною у відкритому одиничному крузі, то з інтегральної формули Коші випливає, що для будь-якого   і будь-якого числа 



Але функція  є неперервною і, відповідно, рівномірно неперервною на замкнутому крузі і тому для довільного  для  достатньо близьких до одиниці  для  Для таких  справедливим є обмеження  і тому також  Із довільності  випливає, що  є як завгодно малим і тому  для всіх . Але якщо  f  є ненульовою голоморфною у відкритому одиничному кузі функцією то її нулі є ізольованими, а тому у будь-якому замкнутому крузі з центром у точці 0  і радіусом меншим 1, кількість нулів є скінченною. Це ж тоді є справедливим і для всіх   і також їх добутку. Але їх добуток є функцією  яка, як щойно доведено є всюди рівною 0. Ця суперечність доводить, що і  є всюди рівною 0.

Тому f є ін'єктивним, бієктивним неперервним відображенням із замкнутого одиничного круга у замикання області U. Оскільки одиничний круг є компактним, а U є гаусдорфовим, то із загальної топологічної теореми випливає, що f також є гомеоморфізмом.

Див. також

* Однолиста функція
* Теорема Рімана про відображення

Література

* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 


