Ікосіани — некомутативна алгебрична структура, яку 1856 року виявив ірландський математик Вільям Ровен Гамільтон. У сучасній термінології він знайшов задання  за допомогою генераторів та зв'язків.

Відкриття Гамільтона виникло з його спроб знайти алгебру «трійок» (3-кортежів), які, як він вірив, відбиватимуть осі координат. Ікосіани можна ототожнити з переміщеннями по вершинах додекаедра. Робота Гамільтона в цій галузі опосередковано призвела до гамільтонових циклів і гамільтонових шляхів у теорії графів. Для ілюстрування та популяризації свого відкриття він також винайшов гру «Ікосіан».

Неформальне визначення
 Стереографічна проєкція додекаедра, яку Гамільтон використав для гри «Ікосіан»
Алгебра ґрунтується на трьох символах, які є коренями з одиниці, так що послідовне застосування будь-якого з них через кілька кроків приводить до одиниці. Це:

: 

Гамільтон також дав інший зв'язок між символами:

: 

(В сучасних термінах це (2,3,5) група трикутника.)

Операція асоціативна, але не комутативна. Вона утворює групу 60-го порядку, ізоморфну групі обертань правильного ікосаедра або додекаедра, а тому знакозмінної групи п'ятого степеня.

Хоча алгебра існує як цілком абстрактна побудова, її можна наочно подати в термінах операцій із вершинами додекаедра. Гамільтон сам використав плоске подання додекаедра як основу гри.

Уявімо жука, що повзе вздовж певного ребра додекаедра (з позначеними вершинами) у певному напрямку, скажімо, від  до  . Ми можемо подати це як орієнтовану дугу .
 Геометричне подання операції  для ікосіанів

* Ікосіан  прирівнюється до зміни напрямку будь-якого ребра, так що жук буде повзти від  до  (в напрямку дуги ).

* Ікосіан  прирівнюється до обертання поточного напрямку жука проти годинникової стрілки навколо кінцевої вершини. У прикладі це означає зміна поточного напрями  на  .

* Ікосіан  прирівнюється до правого повороту в кінцевій точці, тобто переході від  до .

Спадщина
Ікосіани є одним із найраніших прикладів багатьох математичних ідей, зокрема:

* подання та вивчення груп за допомогою генераторів та зв'язків;
* групи трикутника, пізніше узагальненої групи Коксетера;
* візуалізації групи за допомогою графа, що привела до , а пізніше — до геометричної теорії груп;
* гамільтонових циклів та шляхів у теорії графів;
* .

Примітки



