
У теорії ймовірностей, дробовий броунівський рух, також відомий як фрактальний броунівський рух, є узагальненням броунівського руху.

На відміну від класичного броунівського руху, прирости дробового не обов’язково будуть незалежними.

Дробовий броунівський рух — це гауссівський процес з неперервним часом  на , який починається з нуля, має нульове математичне сподівання для всіх  з , і має наступну коваріаційну функцію:

: 

де  — це дійсне число з , яке називають індексом або параметром Херста, асоційованим із .

Індекс Херста визначає грубість траекторій процесу, при цьому більше значення призводить до більш плавного руху.

Вперше дробовий броунівський рух з'являється у праці Мандельброта і Ван Несса (1968).

Значення  визначає тип дробового броунівського руху:

* якщо , то процес є звичайним броунівським рухом і має незалежні прирости;

* якщо , то прирости процесу мають додатню кореляцію;

* якщо , то прирости процесу від'ємну кореляцію.

Процес приростів, , називають дробовим гаусівським шумом.

Як і звичайний броунівський рух, названий на честь біолога 19 століття Роберт Броуна; дробовий гаусівський шум названий на честь математика Карла Фрідріха Гаусса.

Історя та означення
До появи дробового броунівського руху  використовував  для визначення процесу

: 

де інтегрування відбувається відносно  .

Цей інтеграл виявляється погано придатним для застосувань дробового броунівського руху .

Натомість треба використати інший дробовий інтеграл за білим шумом, який називають інтегралом Вейля

: 

для  (та аналогічно для ).

Властивості

Самоподібність
Процес є самоподібним, оскільки в термінах розподілу імовірностей:

: 

Ця властивість пов’язана з тим, що коваріаційна функція є однорідною порядку , і може розглядатися як фрактальна властивість.

Стаціонарність приростів
Процес має стаціонарні прирости:

: 

Дробовий броунівський рух можна визначити іншим (еквівалентним) чином як самоподібний гауссівський процес із нульовим середнім, що починається з нуля та має стаціонарні прирости.

Залежність на великих проміжках
Для :

: 

Регулярність
Траєкторії дробового броунівського руху майже напевно не диференційовні.

Тим не менш, майже всі траєкторії є локально гельдерові будь-якого порядку, строго меншого за індекс Херста : для кожної такої траєкторії, для будь-якого  та для будь-якого  існує (випадкова) константа  така, що для всіх 

: 

Траєкторії
Траєкторії дробового броунівського руху можна  моделювати на комп'ютері , проте це будуть лише наближення, які можна сприймати як скінченний набір значень процесу. Три траєкторії з 1000 точок та індексом Херста рівним  подано нижче.


, траєкторія 1

 траєкторія 2

 траєкторія 3

Нижче подано траєкторії з 1000 точок, але для різних індексів Херста. Чим більше індекс, тим гладкіша крива утворюється. Це відбувається в наслідок корельованості приростів.


"H" = 0.15

"H" = 0.55

"H" = 0.95


Перший спосіб моделювання
Траєкторії можна змоделювати за допомогою методів генерації стаціонарних гаусових процесів з відомою коваріаційною функцією.

Найпростіший спосіб покладається на розклад Холецького коваріаційної матриці (пояснено нижче), яка на сітці розміром  має складність порядку . Більш складним, але швидшим для обчислень є метод , який застосовує циркулянт.

Припустімо, що ми хочемо змоделювати значення процесу в моменти часу  за допомогою розкладу Холецького.

* Сформуємо матрицю , де .

* Обчислимо  --- квадратний корінь з матриці , тобто . Грубо кажучи,  — це матриця «стандартного відхилення», пов’язана з коваріаційною матрицею .

* Побудуємо вектор  з  чисел, отриманих як незалежні випадкові величини із стандартним гаусовим розподілом.

* Якщо ми визначимо , то  є шуканим наближенням.

Розклад Холецького потрібен для обчислення . Альтернативний метод використовує власні значення матриці :

* Оскільки  є симетричною, невід'ємно визначеною матрицею, то всі власні значення  з  задовільняють , ( ).

* Нехай  буде діагональною матрицею власних значень, тобто , де  — символ Кронекера. Ми визначаємо  як діагональну матрицю з елементами , тобто .

Зауважимо, що результат є дійсним числом, оскільки .

* Нехай  є власним вектором, пов’язаним із власним значенням . Визначимо  як матрицю, -й стовпець якої є власним вектором .

Оскільки власні вектори є лінійно незалежними, матриця  є оборотною.

* З цього випливає, що , оскільки .

Другий спосіб моделювання
Відомо також, що 

: 

де  - звичайний броунівський рух і

: 

Де  — гіпергеометрична функція.

Скажімо, ми хочемо змоделювати  в точках .

* Побудуємо вектор  чисел, отриманих як незалежні випадкові величини із стандартним гаусовим розподілом.

* Помножимо його покомпонентно на , щоб отримати прирости броунівського руху на . Позначимо цей вектор .

* Для кожного  обчислимо

: 

Цей інтеграл може бути ефективно обчислений за допомогою квадратури Гаусса.

Примітки



Див. також
* 
* 
* Мультифрактальна система
* Рожевий шум
* 

Література

* .
* Craigmile P.F. (2003), "Simulating a class of stationary Gaussian processes using the Davies–Harte Algorithm, with application to long memory processes", Journal of Times Series Analysis, 24: 505–511.
* 
* .
* .
* .
* .
* Perrin E. et al. (2001), " nth-order fractional Brownian motion and fractional Gaussian noises", IEEE Transactions on Signal Processing, 49: 1049-1059. 
* Samorodnitsky G., Taqqu M.S. (1994), Stable Non-Gaussian Random Processes, Chapter 7: "Self-similar processes" (Chapman & Hall).

Додаткова література

*.

