стану матричного добутку п’яти частинок.
У математиці та фізиці графічне позначення Пенроуза або тензорна діаграма — це (як правило рукописне) візуальне зображення мультилінійних функцій або тензорів, запропоноване Роджером Пенроузом у 1971 році.  Діаграма в нотації складається з кількох фігур, з’єднаних між собою лініями. Нотація була широко вивчена Предрагом Цвітановичем, який використовував її, діаграми Фейнмана та інші пов’язані нотації для розробки нотації «пташиного сліду» (теоретико-групова версія діаграм Фейнмана) для класифікації класичних груп Лі.  Позначення Пенроуза також було узагальнено за допомогою теорії представлень до спінових мереж у фізиці та за допомогою груп матриць до діаграм сліду в лінійній алгебрі. Цей графічний запис широко застосовується в сучасній квантовій теорії, зокрема в станах матричного добутку та квантових схемах .

Інтерпретації

Мультилінійна алгебра
Мовою мультилінійної алгебри кожна фігура представляє мультилінійну функцію. Лінії, прикріплені до фігур, представляють вхідні або вихідні дані функції, а приєднання фігур певним чином є, по суті, композицією функцій.

Тензори
Мовою тензорної алгебри окремий тензор асоціюється з певною формою з багатьма лініями, які виходять вгору та вниз, що відповідає абстрактним верхнім та нижнім індексам тензору відповідно. Сполучні лінії між двома фігурами відповідають згортці за відповідними індексами. Однією з переваг цієї нотації є те, що не потрібно винаходити нові букви для позначення нових індексів. Ця нотація також явно не залежить від базису. 

Матриці
Кожна фігура представляє матрицю, тензорний добуток позначається горизонтально, а множення матриць виконується вертикально.

Зображення спеціальних тензорів

Метричний тензор
Метричний тензор представлений U-подібною петлею або перевернутою U-подібною петлею, залежно від типу тензора, що використовується.


 метричний тензор 

 метричний тензор 


Тензор Леві-Чивіти
Антисиметричний тензор Леві-Чивіти представлений товстою горизонтальною смужкою з ніжками, спрямованими вниз або вгору, залежно від типу тензора, що використовується.









Структурна константа
 структурна константа 
Структурні константи (  ) алгебри Лі представлені невеликим трикутником з однією лінією, напрямленою вгору, і двома лініями, напрямленими вниз.

Тензорні операції

Згортка індексів
Згортка індексів представлена за допомогою з'єднання індексних ліній. Наприклад, наступними є позначення дельти Кронекера та скалярного добутку:


Дельта Кронекера 

 Скалярний добуток 

 


Симетризація
Симетризація індексів представлена товстою зиґзаґоподібною або хвилястою смужкою, що горизонтально перетинає індексні лінії.


 Симетризація(де  )


Антисиметризація
Антисиметризація індексів представлена товстою прямою смужкою, яка перетинає індексні лінії горизонтально.


 Антисиметризація (де  )


Визначник
Визначник формується шляхом застосування антисиметризації до індексів.


 Визначник 

 Обернена матриця 


Коваріантна похідна
Коваріантну похідну (  ) представлено колом навколо тензора (або декількох), що диференціюється, та лінією, з’єднаною з колом, яка вказує вниз, щоб представити нижній індекс похідної.


 Коваріантна похідна 


Тензорні маніпуляції
Діаграматична нотація корисна для маніпулювання тензорною алгеброю. Зазвичай це включає кілька простих «тотожностей» тензорних маніпуляцій.

Наприклад, , де n є кількістю вимірів, є загальновживаною тотожністю в тензорних маніпуляціях.

Тензор кривини Рімана
Тотожності Річчі та Б’янкі, задані в термінах тензора кривини Рімана, ілюструють потужність такого позначення


тензора кривини Рімана

 Тензор Річчі 

 Тотожність Річчі 

Тотожність Б'янкі 


Розширення
Позначення було розширено завдяки спінорам і твісторам .  

Дивіться також

* Діаграми Фейнмана
* Мультилінійна алгебра
* Стан матричного добутку
* Тензор
* Тензорні мережі

Примітки




