

У теорії ймовірностей бета-негативний біноміальний розподіл є розподілом ймовірностей дискретної випадкової величини , що дорівнює кількості відмов, необхідних для отримання  успіхів в серії незалежних випробувань Бернуллі. Ймовірність  успіху в кожному випробуванні залишається незмінним у межах будь-якого експерименту, але змінюється в різних експериментах згідно бета-розподілу. Отже, розподіл є складеним розподілом ймовірностей.

Цей розподіл також називають зворотним розподілом Маркова-Пойя та узагальненим розподілом Варінга. Зміщену форму розподілу називають бета-розподілом Паскаля.

Якщо параметри бета-розподілу є  і , і якщо

: 

де

: 

тоді граничний розподіл  має бета-негативний біноміальний розподіл:

: 

У наведеному вище,  є від’ємним біноміальним розподілом і  є бета-розподіл.

Означення
Якщо  — ціле число, тоді функцію ймовірностей можна записати через бета-функцію:

:  .

Узагальнюючи можна записати

: 

або

:  .

Функція ймовірностей, виражена через гамма функцію
Використовуючи властивості бета-функції, функція ймовірності для цілого  можна переписати наступним чином:

:  .

У більш загальному вигляді можна записати

:  .

Вираження через символи Похамера
Функція ймовірностей часто також можна подати в термінах символів Похамера для цілого числа 

: 

Властивості

Неідентифіковність
Бета-негативний біноміальний розподіл є неідентифіковним, що можна легко помітити, просто міняючи місцями  і  у наведеній вище функції ймовірності чи характеристичній функції та відзначити, що вони незмінюються. Отже, оцінка вимагає встановлення обмеженнь на котрийсь з параметрів ,  або й на обидва.

Зв'язок з іншими розподілами
Бета-негативний біноміальний розподіл містить бета-геометричний розподіл як окремий випадок, коли  . Тому він може як завгодно добре апроксимувати геометричний розподіл. Він також дуже добре апроксимує негативний біноміальний розподіл для великих  і . Тому він може як завгодно добре апроксимувати розподіл Пуассона для великих ,  і .

Важкохвостий
За допомогою наближення Стірлінга бета-функції можна легко показати, що для великих 

: 

це означає, що бета-негативний біноміальний розподіл має важкі хвости і що моменти менші або рівні  не існують.

Бета-геометричний розподіл
Бета-геометричний розподіл є важливим окремим випадком бета-негативного біноміального розподілу, що виникає при . У цьому випадку функція ймовірності спрощується до

: .

Цей розподіл використовується в моделях Buy Till You Die (BTYD).

Далі, коли  бета-геометричний розподіл зводиться до розподілу Юля-Саймона. Однак більш поширеним є означення розподілу Юля-Саймона в термінах зміщеної версії бета-геометричного розподілу. Зокрема, якщо  потім .

Див. також

* Негативний біноміальний розподіл
* Негативний мультиноміальний розподіл Діріхле

Примітки


Список літератури

* Johnson, N.L.; Kotz, S.; Kemp, A.W. (1993) Univariate Discrete Distributions, 2nd edition, Wiley    (Section 6.2.3)
* Kemp, C.D.; Kemp, A.W. (1956) "Generalized hypergeometric distributions, Journal of the Royal Statistical Society, Series B, 18, 202–211 
* Wang, Zhaoliang (2011) "One mixed negative binomial distribution with application", Journal of Statistical Planning and Inference, 141 (3), 1153-1160 

Зовнішні посилання

* Інтерактивна графіка:  однофакторні співвідношення розподілу


