У теорії категорій, категорія коми — спеціальна конструкція, що надає спосіб вивчення морфізмів не як співвіднесення об'єктів категорії один з одним, а як самостійних об'єктів. Назва «категорія коми» з'явилася через початкове (введене ) позначення, яке включало знак коми. Згодом стандартне позначення змінилося з міркувань зручності.

Визначення

Загальний випадок
Нехай  і  — категорії, а  і  — функтори

: 

Категорію коми  можна побудувати так:

* Об'єкти — всі трійки вигляду , де  — об'єкт ,  — Об'єкт , і  — морфізм у .
* Морфізм з  в  — всі пари , де ,  — морфізми в  і  відповідно, такі, що комутує така діаграма:



Якщо останній вираз визначено, композиція морфізмів  береться як . Тотожний морфізм об'єкта  — це  .

Два часткових випадки
Розглянемо два часткових випадки, які простіші й трапляються дуже часто.

Перший випадок — '''категорія об'єктів над '''. Нехай у попередньому визначенні ,  — тотожний функтор і  (категорія з одним об'єктом  та одним морфізмом). Тоді  для деякого об'єкта  категорії . У цьому випадку використовують позначення . Об'єкти вигляду  — це просто пари , де . Іноді в цій ситуації  позначають як . Морфізм з  в  — це морфізм , що замикає до комутативної таку діаграму:Двоїстиий випадок — '''категорія об'єктів під . Тут  — функтор з 1''' і  — тотожний функтор. У цьому випадку використовують позначення , де  — об'єкт , в який відображає . Об'єкти — пари , де . Морфізм між  і  — відображення , що замикає до комутативної таку діаграму:

Категорія стрілок
Ще один частковий випадок — коли  і  — тотожні функтори в  (так що ). У цьому випадку категорію коми називають категорією стрілок . Її об'єкти — морфізми , а її морфізми — комутативні квадрати в .

Властивості
Для будь-якої категорії стрілок визначено два забутливі функтори з неї:

* Функтор прообразу , який відображає:
** об'єкти: ;
** морфізми: ;
* Функтор образу, , який відображає:
** об'єкти: ;
** морфізми: .

Приклади

* Категорія множин із відміченою точкою — це категорія коми , де  — функтор, що вибирає деякий синґлетон, і  — Тотожний функтор у категорії множин. У подібний спосіб можна утворити категорію топологічних просторів із зазначеною точкою .
* Категорія графів — це категорія коми , де  — функтор, що відправляє  в . Об'єкти вигляду  складаються з двох множин та функції;  — індексує множину для ребер,  — множину вершин, тоді  вибирає пару елементів  для кожного , тобто  вибирає певне ребро зі множини можливих ребер . Морфізми в цій категорії — функції індексувальній множині і множині вершин, такі, що образи вершин, які відповідали даному ребру, відповідатимуть його образу.

Спряження
Функтори  і  спряжені тоді й лише тоді, коли категорії коми  і  ізоморфні, причому еквівалентні елементи проєктуються на той самий елемент . Це дозволяє описати сполучені функтори, не використовуючи множини, і це було головною причиною появи конструкції категорій коми.

Природні перетворення
Якщо образи  збігаються, то діаграма, що визначає морфізм у  з  збігається з діаграмою, що визначає натуральне перетворення . Відмінність між двома визначеннями полягає в тому, що натуральне перетворення — це певний клас морфізмів вигляду , тоді як об'єкти категорії коми — це все морфізми такого вигляду. Функтор у категорію коми може вибрати конкретне сімейство морфізмів. І справді, натуральному перетворенню , де  відповідає функтор , який відображає об'єкт  в  і морфізми  в . Це задає бієкцію між природними перетвореннями  та функторами , які є лівими оберненими обох забутливих функторів з .

Примітки


Література
* С. Маклейн Категории для работающего математика, — : ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4.

