Многогранник Клі — побудова, що дозволяє отримати новий многогранник за даним. Названа на честь американського математика .

Опис
Нехай  — опуклий многогранник у просторі будь-якої розмірності. Тоді многогранник Клі  многогранника  утворений додаванням до кожної грані  невисокої піраміди з основою в цій грані.

Зауваження

* Зазвичай під час побудови многогранника Клі нові вершини вибирають поруч із серединою кожної з граней початкового многогранника. У цьому випадку мнгогранник Клі опуклого многогранника можна визначити як опуклу оболонку вершин початкового многогранника та додаткових вершин.

* Многогранник Клі можна також визначити за допомогою двоїстості як двоїстий многогранник зрізання многогранника, двоїстого початковому.

Приклади
Триакістетраедр є многогранником Клі тетраедра, триакісоктаедр — многогранником Клі октаедра, а триакісікосаедр — ікосаедра. У всіх цих випадках многогранник Клі утворено доданням трикутної піраміди до кожної грані початкового многогранника. Конвей використав для такої операції введений Кеплером префікс kis (), що можна помітити в назвах многогранників Клі.


+Многогранники Клі правильних многогранників

169x169пксТриакістетраедр— многогранник Клі тетраедра

150x150пксТетракісгексаедр — многогранник Клі куба

165x165пксТриакісікосаедр — многогранник Клі октаедра

150x150пкс Пентакісдодекаедр — многогранник Клі додекаедра

155x155пксТриакісікосаедр— многогранник Клі ікосаедра

Тетракісгексаедр є многогранником Клі куба, утвореним додаванням квадратних пірамід до кожної грані, а пентакісдодекаедр є многогранником Клі додекаедра, утвореним додаванням п'ятикутних пірамід.


+Деякі інші многогранники Клі

189x189пксГекзакісоктаедр— многогранник Кліромбододекаедра

188x188пксГекзакісікосаедр— многогранник Клі ромботриаконтаедра

190x190пкс — многогранник Клі ікосододекаедра

Базовий многогранник для многогранника Клі не обов'язково має бути правильним. Наприклад, гекзакісоктаедр є многогранником Клі ромбододекаедра, утвореним заміною кожної ромбічної грані додекаедра ромбічною пірамідою, а гекзакісікосаедр — многогранник Клі ромботриаконтаедра. Власне, базовий многогранник не мусить бути гранетранзитивним тілом, як видно на прикладі трипентакісікосододекаедра вище.

Граф Голднера — Харарі можна подати як граф вершин і ребер многогранника Клі трикутної біпіраміди.


+Деякі неопуклі многогранники Клі на базі тіл Кеплера — Пуансо

180x180пкс — многогранник Клімалого зірчастого додекаедра

180x180пкс — многогранник Клівеликого зірчастого додекаедра

180x180пкс — многогранник Клівеликого додекаедра

180x180пкс — многогранник Клівеликого ікосаедра


Властивості та застосування
Якщо  має достатньо вершин відносно його розмірності, то многогранник Клі многогранника  розмірнісно однозначний — граф, утворений його ребрами і вершинами, не є графом іншого многогранника в іншій розмірності. Конкретніше, якщо кількість вершин -вимірного многогранника  не менша ніж , то  розмірнісно однозначний.

Якщо будь-яка -вимірна фасета -вимірного многогранника  є симплексом, і якщо , то будь-яка -вимірна фасета  також є симплексом. Зокрема, многогранник Клі будь-якого тривимірного многогранника є симпліційним многогранником, тобто, всі його грані є трикутниками.

Многогранник Клі можна використовувати для генерування многогранників, що не містять будь-яких гамільтонових циклів — будь-який шлях через одну з вершин, доданих при побудові многогранника Клі, повинен увійти у вершину і вийти з неї через її сусідів, що належать початковому многограннику, і якщо нових вершин буде більше, ніж вершин початкового многогранника, то не буде достатньої кількості вершин, щоб шлях існував. Зокрема, граф Голднера — Харарі, многогранник Клі трикутної біпіраміди, має шість вершин, доданих при побудові многогранника Клі, і лише п'ять вершин у біпіраміді, з якої многогранник Клі створено, тому граф не є гамільтоновим. Це найпростіший негамільтонів симпліційний многогранник. Якщо многогранник з  вершинами утворено багаторазовою побудовою многогранника Клі, починаючи з тетраедра, його найдовший шлях має довжину . Тобто показник короткості цих графів дорівнює , приблизно 0.630930. Та ж техніка показує, що в будь-якій вищій розмірності  існують симпліційні многогранники з показником короткості . Пламмер використав побудову многогранника Клі для створення нескінченного сімейства прикладів симпліційних многогранників із парним числом вершин, що не мають досконалих парувань.

Многогранники Клі мають деякі екстремальні властивості, пов'язані з їхніми степенями вершин — якщо будь-яке ребро в планарному графі інцидентне принаймні семи іншим ребрам, то має існувати вершина степеня, що не перевищує 5, але одна з її сусідів матиме ступінь 20 або більше. Многогранник Клі многогранника Клі ікосаедра дає приклад, у якому степінь вершин з високим степенем дорівнює рівно 20.

Примітки


Література
* 
*  Див. також той самий журнал 6(2):33 (1975) і 8:104-106 (1977). Посилання зі  статті Харарі.
* 
* 
* 
* 
