Плю́керові координа́ти — координати (набори чисел), що визначають підпростори  (довільної розмірності) векторного або проєктивного простору . Є узагальненням однорідних координат точок проєктивного простору та також визначені з точністю до множення на довільний ненульовий множник. Уперше ввів Плюккер у окремому випадку проєктивних прямих у тривимірному проєктивному просторі, що для векторних просторів відповідає випадку  і .

Визначення в координатах
Нехай  — -вимірний підпростір -вимірного векторного простору . Для визначення плюкерових координат підпростору  виберемо довільний базис  в  і довільний базис  в . Кожен вектор  має в базисі  координати , тобто . Записуючи координати векторів  у вигляді рядків, отримаємо матрицю

: 

ранг якої дорівнює . Позначимо через  мінор матриці , що складається зі стовпців з номерами , які набувають значень від  до . Числа  незалежні: якщо набір індексів  отримано з  за допомогою перестановки , то виконується рівність , де знак «плюс» або «мінус» відповідає тому, чи є перестановка  парною, чи непарною. Розглянута з точністю до множення на спільний ненульовий множник сукупність  чисел  для всіх упорядкованих наборів індексів , що набувають значень від  до , називають плюккеровими координатами підпростору .

Властивості
1. Незалежність від вибору базису.

Якщо в підпросторі  вибрано інший базис , то новий набір плюккерових координат  матиме вигляд , де  — деякий ненульовий множник. Справді, новий базис пов'язаний зі старими співвідношеннями , і визначник матриці  відмінний від нуля. Відповідно до визначення плюккерових координат і теореми про визначник добутку матриць, маємо , де .

2. Грассманіан.

Ставлячи у відповідність кожному -вимірному підпростору  набір його плюккерових координат , ми зіставляємо  деяку точку проєктивного простору  розмірності . Побудоване в такий спосіб відображення  ін'єктивне, але не сюр'єктивне (тобто його образ не збігається з усім простором ). Образ множини всіх -вимірних підпросторів -вимірного простору при відображенні  є -вимірним проєктивним алгебричним многовидом , що називається многовидом Грассмана або грассманіаном і позначається  або .

3. Співвідношення Плюккера.

Критерієм, за яким можна визначити, чи належить точка проєктивного простору  грасманіану  є так звані співвідношення Плюккера:

: 

де всі індекси в наборах  і  набувають значень від  до , знак  позначає пропуск індексу, що стоїть під ним. Ця сума виходить, якщо із сукупності  викинути почергово по одному індексу і цей індекс приписати праворуч до набору , потім два числа, що вийшли  перемножити (зауважимо, що ці числа є мінорами матриці , але не обов'язково є плюккеровими координатами, оскільки набори їхніх індексів не обов'язково впорядковані за зростанням) і потім взяти суму всіх таких добутків зі знаками, що чергуються. Співвідношення Плюккера виконуються для кожного -вимірного підпростору . І навпаки, якщо однорідні координати , , деякої точки проєктивного простору  задовольняють цим співвідношенням, то ця точка при відображенні  відповідає деякому підпростору , тобто належить .

Мовою матриць це означає: якщо числа  задовольняють співвідношенням Плюккера, існує матриця, для якої вони є мінорами максимального порядку, а якщо ні, то не існує такої матриці. Це розв'язує задачу про можливість відновлення матриці за її мінорами максимального порядку з точністю до лінійного перетворення рядків.

Приклад
У разі  і  маємо , і отже, кожна площина  у 4-вимірному векторному просторі має  плюккерових координат: , , , , , . Вибираючи в площині  базис  так, що  і , отримуємо матрицю

: 

звідки знаходимо:

: , , , , ,  .

Очевидно, що виконується співвідношення

:  ,

яке зберігається при множенні всіх  на будь-який спільний множник, тобто не залежить від вибору базису. Це і є співвідношення Плюккера, яке визначає проєктивну квадрику  у 5-вимірному проєктивному просторі.

Див. також
* Задача Кіркмана про школярок

Література
* 
* 
*  (Тут плюккерові координати названо грассмановими).
* 
* 


