Однорі́дний многогранник — вершинно транзитивний многогранник (транзитивний відносно вершин, а також ізогональний, тобто є рух, що переводить вершину в будь-яку іншу), грані якого є правильними многокутниками. Звідси випливає, що всі вершини конгруентні і многогранник має високий рівень дзеркальної й обертової симетрії.

Однорідні многогранники можна поділити на опуклі форми з гранями у вигляді правильних опуклих многокутників і зірчасті форми. Зірчасті форми мають грані у вигляді правильних зірчастих многокутників, вершинних фігур або обох видів разом.

Список включає:

* всі 75 непризматичних однорідних многогранників;
* деяких представників нескінченної множини призм та антипризм;
* один окремий випадок, многогранник Скілінга з ребрами, що перетинаються.

1970 року радянський учений Сопов довів, що існує лише 75 однорідних многогранників, які не входять до нескінченних серій призм і антипризм. Джон Скілінг (John Skilling) відкрив ще один многогранник, послабивши умову, що ребро може належати лише двом граням. Деякі автори не вважають цей многогранник однорідним, оскільки деякі пари ребер збігаються.

Не включено:

* 40 потенційних  вершинними фігурами, які мають ребра, що перетинаються (не перераховані Коксетером);
* Однорідні мозаїки (нескінченні многогранники)
** 11 евклідових 
** 14 евклідових 
** Нескінченна кількість однорідних мозаїк на гіперболічній площині .

Нумерація
Використовують чотири схеми нумерації однорідних многогранників, що відрізняються літерами:

* C Коксетер зі співавторами (1954). Список містить опуклі види з номерами від 15 до 32, три призматичні види (номери 33—35) та неопуклі види (номери 36—92).
* W Веннінджер (1974). Список містить 119 фігур: номери 1—5 для платонових тіл, 6—18 для архімедових тіл, 19—66 для зірчастих видів, включно з 4 правильними неопуклими многогранниками, та 67—119 для неопуклих однорідних многогранників.
* K Kaleido (програма, 1993). Список містить 80 фігур, номери згруповано за симетрією: 1—5 представляють нескінченні серії призматичних форм з , 6—9 з тетраедральною симетрією, 10—26 з , 46—80 з ікосаедральною симетрією.
* U Mathematica (програма, 1993). У програмі, загалом, використано таку ж нумерацію, як у програмі Kaleido, лише перші 5 призматичних види перенесено в кінець списку, отже непризматичні види отримали номери 1—75.

Список многогранників
Опуклі форми перераховано в порядку степенів вершинних конфігурацій від 3 граней/вершин і далі, і збільшення сторін грані. Таке впорядкування дозволяє показати топологічну схожість.

Опуклі однорідні багатогранники


Назва

Малюнок

Тип вершинної конфігурації

СимволВітгоффа

Сим.

C#

W#

U#

K#

Вер-шин

Ре-бер

Гра-ней



Щіль-ність

Граней за типами


Тетраедр

60x60пкс

50x50пкс3.3.3

 2 3

Td

C15

W001

U01

K06

4

6

4

2

1

4{3}


Трикутна призма

76x76пкс

50x50пкс3.4.4

 2

D3h

C33a

 --

U76a

K01a

6

9

5

2

1

2{3}+3{4}


Зрізаний тетраедр

60x60пкс

50x50пкс3.6.6

 3

Td

C16

W006

U02

K07

12

18

8

2

1

4{3}+4{6}


Зрізаний куб

60x60пкс

50x50пкс3.8.8

 4

Oh

C21

W008

U09

K14

24

36

14

2

1

8{3}+6{8}


Зрізаний додекаедр

60x60пкс

50x50пкс3.10.10

 5

Ih

C29

W010

U26

K31

60

90

32

2

1

20{3}+12{10}


Куб

60x60пкс

50x50пкс4.4.4

 2 4

Oh

C18

W003

U06

K11

8

12

6

2

1

6{4}


Пятикутна призма

60x60пкс

50x50пкс4.4.5

 2

D5h

C33b

 --

U76b

K01b

10

15

7

2

1

5{4}+2{5}


Шестикутна призма

60x60пкс

50x50пкс4.4.6

 2

D6h

C33c

 --

U76c

K01c

12

18

8

2

1

6{4}+2{6}


Восьмикутна призма

60x60пкс

50x50пкс4.4.8

 2

D8h

C33e

 --

U76e

K01e

16

24

10

2

1

8{4}+2{8}


Десятикутна призма

60x60пкс

50x50пкс4.4.10

 2

D10h

C33g

 --

U76g

K01g

20

30

12

2

1

10{4}+2{10}




60x60пкс

50x50пкс4.4.12

 2

D12h

C33i

 --

U76i

K01i

24

36

14

2

1

12{4}+2{12}


Зрізаний октаедр

60x60пкс

50x50пкс4.6.6

 3

Oh

C20

W007

U08

K13

24

36

14

2

1

6{4}+8{6}


Зрізаний кубооктаедр

60x60пкс

50x50пкс4.6.8



Oh

C23

W015

U11

K16

48

72

26

2

1

12{4}+8{6}+6{8}


Ромбозрізаний ікосододекаедр

60x60пкс

50x50пкс4.6.10



Ih

C31

W016

U28

K33

120

180

62

2

1

30{4}+20{6}+12{10}


Додекаедр

60x60пкс

50x50пкс5.5.5

 2 5

Ih

C26

W005

U23

K28

20

30

12

2

1

12{5}


Зрізаний ікосаедр

60x60пкс

50x50пкс5.6.6

 3

Ih

C27

W009

U25

K30

60

90

32

2

1

12{5}+20{6}


Октаедр

60x60пкс

50x50пкс3.3.3.3

 2 3

Oh

C17

W002

U05

K10

6

12

8

2

1

8{3}


Квадратна антипризма

60x60пкс

50x50пкс3.3.3.4


 2 2 4

D4d

C34a

 --

U77a

K02a

8

16

10

2

1

8{3}+2{4}


Пятикутна антипризма

60x60пкс

50x50пкс3.3.3.5


 2 2 5

D5d

C34b

 --

U77b

K02b

10

20

12

2

1

10{3}+2{5}


Шестикутна антипризма

60x60пкс

50x50пкс3.3.3.6


 2 2 6

D6d

C34c

 --

U77c

K02c

12

24

14

2

1

12{3}+2{6}




60x60пкс

50x50пкс3.3.3.8


 2 2 8

D8d

C34e

 --

U77e

K02e

16

32

18

2

1

16{3}+2{8}




60x60пкс

50x50пкс3.3.3.10


 2 2 10

D10d

C34g

 --

U77g

K02g

20

40

22

2

1

20{3}+2{10}


Дванадцятикутна антипризма

60x60пкс

50x50пкс3.3.3.12


 2 2 12

D12d

C34i

 --

U77i

K02i

24

48

26

2

1

24{3}+2{12}


Кубооктаедр

60x60пкс

50x50пкс3.4.3.4

 3 4

Oh

C19

W011

U07

K12

12

24

14

2

1

8{3}+6{4}


Ромбокубооктаедр

60x60пкс

50x50пкс3.4.4.4

 2

Oh

C22

W013

U10

K15

24

48

26

2

1

8{3}+(6+12){4}


Ромбоікосододекаедр

60x60пкс

50x50пкс3.4.5.4

 2

Ih

C30

W014

U27

K32

60

120

62

2

1

20{3}+30{4}+12{5}


Ікосододекаедр

60x60пкс

50x50пкс3.5.3.5

 3 5

Ih

C28

W012

U24

K29

30

60

32

2

1

20{3}+12{5}


Ікосаедр

63x63пкс

50x50пкс3.3.3.3.3

 2 3

Ih

C25

W004

U22

K27

12

30

20

2

1

20{3}


Кирпатий куб

60x60пкс

50x50пкс3.3.3.3.4


 2 3 4

O

C24

W017

U12

K17

24

60

38

2

1

(8+24){3}+6{4}


Кирпатий додекаедр

60x60пкс

50x50пкс3.3.3.3.5


 2 3 5

I

C32

W018

U29

K34

60

150

92

2

1

(20+60){3}+12{5}


Однорідні зірчасті многогранники



Назва

Малюнок

СимволВітгоффа

Тип вершинної конфігурації

Сим.

C#

W#

U#

K#

Вер-шин

Ре-бер

Гра-ней



Щіль-ність

Граней за типом




60x60пкс

 3

50x50пкс6.3/2.6.3

Oh

C37

W068

U03

K08

12

24

12

0



8{3}+4{6}


Тетрагемігексаедр

60x60пкс

 2

51x51пкс4.3/2.4.3

Td

C36

W067

U04

K09

6

12

7

1



4{3}+3{4}




60x60пкс

 3

50x50пкс6.4/3.6.4

Oh

C51

W078

U15

K20

12

24

10

 -2



6{4}+4{6}


Великийдодекаедр

64x64пкс

 2 5

51x51пкс(5.5.5.5.5)/2

Ih

C44

W021

U35

K40

12

30

12

 -6

3

12{5}


Великийікосаедр

64x64пкс

 2 3

52x52пкс(3.3.3.3.3)/2

Ih

C69

W041

U53

K58

12

30

20

2

7

20{3}




60x60пкс

 3 5

50x50пкс(5.3.5.3.5.3)/2

Ih

C61

W087

U47

K52

20

60

32

 -8

6

20{3}+12{5}




60x60пкс



50x50пкс4.8.4/3.8

Oh

C60

W086

U18

K23

24

48

18

 -6



12{4}+6{8}




60x60пкс

 4

50x50пкс8.3/2.8.4

Oh

C38

W069

U13

K18

24

48

20

 -4

2

8{3}+6{4}+6{8}




60x60пкс

 2

50x50пкс4.3/2.4.4

Oh

C59

W085

U17

K22

24

48

26

2

5

8{3}+(6+12){4}




60x60пкс

 5

50x50пкс10.5/4.10.5

Ih

C65

W091

U51

K56

30

60

18

 -12



12{5}+6{10}




60x60пкс

 3

50x50пкс6.5/4.6.5

Ih

C81

W102

U65

K70

30

60

22

 -8



12{5}+10{6}




60x60пкс

 5

50x50пкс10.3/2.10.3

Ih

C63

W089

U49

K54

30

60

26

 -4



20{3}+6{10}




60x60пкс



50x50пкс10.6.10/9.6/5

Ih

C64

W090

U50

K55

60

120

32

 -28



20{6}+12{10}




60x60пкс



50x50пкс10.4.10/9.4/3

Ih

C46

W074

U39

K44

60

120

42

 -18



30{4}+12{10}




60x60пкс

 5

50x50пкс10.3/2.10.5

Ih

C42

W072

U33

K38

60

120

44

 -16

2

20{3}+12{5}+12{10}




60x60пкс



50x50пкс6.4.6/5.4/3

Ih

C72

W096

U56

K61

60

120

50

 -10



30{4}+20{6}




60x60пкс

 3

50x50пкс6.3/2.6.5

Ih

C62

W088

U48

K53

60

120

52

 -8

6

20{3}+12{5}+20{6}


Пентаграмнапризма

60x60пкс

 2

50x50пкс5/2.4.4

D5h

C33b

 --

U78a

K03a

10

15

7

2

2

5{4}+2{5/2}


Гептаграмнапризма 7/2

60x60пкс

 2

50x50пкс7/2.4.4

D7h

C33d

 --

U78b

K03b

14

21

9

2

2

7{4}+2{7/2}


Гептаграмнапризма 7/3

60x60пкс

 2

50x50пкс7/3.4.4

D7h

C33d

 --

U78c

K03c

14

21

9

2

3

7{4}+2{7/3}




67x67пкс

 2

50x50пкс8/3.4.4

D8h

C33e

 --

U78d

K03d

16

24

10

2

3

8{4}+2{8/3}




60x60пкс


 2 2 5/2

50x50пкс5/2.3.3.3

D5h

C34b

 --

U79a

K04a

10

20

12

2

2

10{3}+2{5/2}




60x60пкс


 2 2 5/3

50x50пкс5/3.3.3.3

D5d

C35a

 --

U80a

K05a

10

20

12

2

3

10{3}+2{5/2}


Гептаграмнаантипризма 7/2

60x60пкс


 2 2 7/2

50x50пкс7/2.3.3.3

D7h

C34d

 --

U79b

K04b

14

28

16

2

3

14{3}+2{7/2}


Гептаграмнаантипризма 7/3

64x64пкс


 2 2 7/3

50x50пкс7/3.3.3.3

D7d

C34d

 --

U79c

K04c

14

28

16

2

3

14{3}+2{7/3}


Гептаграмнаперехрещенаантипризма

60x60пкс


 2 2 7/4

53x53пкс7/4.3.3.3

D7h

C35b

 --

U80b

K05b

14

28

16

2

4

14{3}+2{7/3}




60x60пкс


 2 2 8/3

50x50пкс8/3.3.3.3

D8d

C34e

 --

U79d

K04d

16

32

18

2

3

16{3}+2{8/3}




60x60пкс


 2 2 8/5

51x51пкс8/5.3.3.3

D8d

C35c

 --

U80c

K05c

16

32

18

2

5

16{3}+2{8/3}


Малийзірчастийдодекаедр

63x63пкс

 2 5/2

50x50пкс(5/2)5

Ih

C43

W020

U34

K39

12

30

12

 -6

3

12{5/2}


Великийзірчастийдодекаедр

60x60пкс

 2 5/2

54x54пкс(5/2)3

Ih

C68

W022

U52

K57

20

30

12

2

7

12{5/2}




60x60пкс

 5/3 5

50x50пкс(5/3.5)3

Ih

C53

W080

U41

K46

20

60

24

 -16

4

12{5}+12{5/2}




60x60пкс

 5/2 3

50x50пкс(5/2.3)3

Ih

C39

W070

U30

K35

20

60

32

 -8

2

20{3}+12{5/2}




60x60пкс

 4/3

50x50пкс8/3.8/3.3

Oh

C66

W092

U19

K24

24

36

14

2

7

8{3}+6{8/3}


Великийромбогексаедр

60x60пкс



50x50пкс4.8/3.4/3.8/5

Oh

C82

W103

U21

K26

24

48

18

 -6



12{4}+6{8/3}




60x60пкс

 4/3

50x50пкс8/3.3.8/3.4

Oh

C50

W077

U14

K19

24

48

20

 -4

4

8{3}+6{4}+6{8/3}




60x60пкс

 5/3

50x50пкс10/3.5/3.10/3.5/2

Ih

C86

W107

U70

K75

30

60

18

 -12



12{5/2}+6{10/3}




60x60пкс

 3

50x50пкс6.5/3.6.5/2

Ih

C78

W100

U62

K67

30

60

22

 -8



12{5/2}+10{6}


Додекододекаедр

60x60пкс

 5/2 5

50x50пкс(5/2.5)2

Ih

C45

W073

U36

K41

30

60

24

 -6

3

12{5}+12{5/2}




60x60пкс

 5/3

50x50пкс10/3.3/2.10/3.3

Ih

C85

W106

U71

K76

30

60

26

 -4



20{3}+6{10/3}


Великий ікосо-додекаедр

60x60пкс

 5/2 3

50x50пкс(5/2.3)2

Ih

C70

W094

U54

K59

30

60

32

2

7

20{3}+12{5/2}




60x60пкс



50x50пкс8/3.6.8

Oh

C52

W079

U16

K21

48

72

20

 -4

4

8{6}+6{8}+6{8/3}




60x60пкс



50x50пкс8/3.4.6/5

Oh

C67

W093

U20

K25

48

72

26

2

1

12{4}+8{6}+6{8/3}




60x60пкс

 5

50x50пкс10.10.5/2

Ih

C47

W075

U37

K42

60

90

24

 -6

3

12{5/2}+12{10}




60x60пкс

 5/3

50x50пкс10/3.10/3.5

Ih

C74

W097

U58

K63

60

90

24

 -6

9

12{5}+12{10/3}




60x60пкс

 5/3

50x50пкс10/3.10/3.3

Ih

C83

W104

U66

K71

60

90

32

2

13

20{3}+12{10/3}




60x60пкс

 3

50x50пкс6.6.5/2

Ih

C71

W095

U55

K60

60

90

32

2

7

12{5/2}+20{6}




60x60пкс



50x50пкс6.10/3.6/5.10/7

Ih

C79

W101

U63

K68

60

120

32

 -28



20{6}+12{10/3}




60x60пкс



50x50пкс4.10/3.4/3.10/7

Ih

C89

W109

U73

K78

60

120

42

 -18



30{4}+12{10/3}




60x60пкс

 3

50x50пкс6.5/3.6.5

Ih

C56

W083

U44

K49

60

120

44

 -16

4

12{5}+12{5/2}+20{6}




60x60пкс

 5

50x50пкс10.5/3.10.3

Ih

C55

W082

U43

K48

60

120

44

 -16

4

20{3}+12{;5/2}+12{10}




60x60пкс

 5/3

50x50пкс10/3.3.10/3.5

Ih

C54

W081

U42

K47

60

120

44

 -16

4

20{3}+12{5}+12{10/3}




60x60пкс

 5/3

50x50пкс10/3.5/2.10/3.3

Ih

C77

W099

U61

K66

60

120

44

 -16

10

20{3}+12{5/2}+12{10/3}




60x60пкс

 3

50x50пкс6.5/2.6.3

Ih

C40

W071

U31

K36

60

120

52

 -8

2

20{3}+12{5/2}+20{6}




60x60пкс

 2

50x50пкс4.5/2.4.5

Ih

C48

W076

U38

K43

60

120

54

 -6

3

30{4}+12{5}+12{5/2}




60x60пкс

 2

50x50пкс4.5/3.4.3

Ih

C84

W105

U67

K72

60

120

62

2

13

20{3}+30{4}+12{5/2}




60x60пкс



50x50пкс10/3.6.10

Ih

C57

W084

U45

K50

120

180

44

 -16

4

20{6}+12{10}+12{10/3}




60x60пкс



50x50пкс10/3.4.10/9

Ih

C75

W098

U59

K64

120

180

54

 -6

3

30{4}+12{10}+12{10/3}




60x60пкс



50x50пкс10/3.4.6

Ih

C87

W108

U68

K73

120

180

62

2

13

30{4}+20{6}+12{10/3}




60x60пкс


 2 5/2 5

50x50пкс3.3.5/2.3.5

I

C49

W111

U40

K45

60

150

84

 -6

3

60{3}+12{5}+12{5/2}




60x60пкс


 5/3 2 5

50x50пкс35/3.3.3.5

I

C76

W114

U60

K65

60

150

84

 -6

9

60{3}+12{5}+12{5/2}




60x60пкс


 2 5/2 3

50x50пкс34.5/2

I

C73

W116

U57

K62

60

150

92

2

7

(20+60){3}+12{5/2}




60x60пкс


 5/3 2 3

50x50пкс33.5/3

I

C88

W113

U69

K74

60

150

92

2

13

(20+60){3}+12{5/2}


Великийвывернутийоберненокирпатийікосододекаедр

60x60пкс


 3/25/3 2

50x50пкс(34.5/2)/2

I

C90

W117

U74

K79

60

150

92

2

37

(20+60){3}+12{5/2}




60x60пкс


 5/35/2 3

51x51пкс33.5/3.3.5/2

I

C80

W115

U64

K69

60

180

104

 -16

10

(20+60){3}+(12+12){5/2}




60x60пкс


 5/3 3 5

50x50пкс33.5.5/3

I

C58

W112

U46

K51

60

180

104

 -16

4

(20+60){3}+12{5}+12{5/2}




60x60пкс


 5/2 3 3

50x50пкс35.5/2

Ih

C41

W110

U32

K37

60

180

112

 -8

2

(40+60){3}+12{5/2}




60x60пкс


 3/23/25/2

61x61пкс(35.5/3)/2

Ih

C91

W118

U72

K77

60

180

112

 -8

38

(40+60){3}+12{5/2}




60x60пкс

 nowrap="" 

 3/25/3 3 5/2

50x50пкс(4.5/3.4.3. 4.5/2.4.3/2)/2

Ih

C92

W119

U75

K80

60

240

124

 -56



40{3}+60{4}+24{5/2}


Особливий випадок


Назва заБауером (Bower)

 Малюнок

 СимволВітгоффа

 Вершинна конфігурація

 Групасиметрії

 C#

 W#

 U#

 K#

 Вершин

 Ребер

 Граней

 

 Щіль-ність

 Граней за типами


 

60x60пкс

 (3/2) 5/3 (3) 5/2

50x50пкс(5/2.4.3.3.3.4.5/3.4.3/2.3/2.3/2.4)/2

 Ih

 -

 -

 -

 -

 60

 240 (*)

 204

 24



 120{3}+60{4}+24{5/2}


: (*): У Великому бікирпатому біромбобідодекаедрі 120 з 240 ребер належать чотирьом граням. Якщо ці 120 ребер рахувати як дві пари ребер, що збігаються, де кожне ребро належить тільки двом граням, то всього буде 360 ребер і характеристика ейлера стане рівною −88. Зважаючи на цю виродженість, ребер многогранник не всі визнають однорідним.

Позначення в стовпцях

* U# — однорідні номери: U01—U80 (тетраедр перший, призми з номерами 76+)
* K# — номери Kaleido software: K01—K80 (Kn = Un-5 для n від 6 до 80) (призми 1-5, тетраедр і далі 6+)
* W# — моделі Маґнуса Веннінґера: W001—W119
** 1—18 — 5 опуклих правильних і 13 опуклих напівправильних
** 20—22, 41 — 4 неопуклі правильні
** 19—66 — 48 зірчастих форм/з'єднань (неправильні відсутні в цьому списку)
** 67—109 — 43 неопуклих гостроносих однорідних многогранників
** 110—119 — 10 неопуклих плосконосих однорідних многогранників
*  — ейлерова характеристика. Однорідні мозаїки на площині відповідають топології тора з ейлеровою характеристикою нуль.
* Щільність —  представляє число обертів многогранника навколо центру. Число відсутнє для неорієнтовних многогранників і для  (многогранників, що мають грані, які проходять через центр многогранника), для яких немає чіткого визначення щільності.
* Зауваження про малюнки вершинних фігур:
** Світлими відрізками подано «вершинну фігуру» многогранника. Кольорові грані включено до малюнка вершинної фігури, щоб бачити їх зв'язки. Деякі грані, що перетинаються, намальовано візуально хибно, оскільки візуально вони не показують, які частини розташовані попереду.

Див. також
* Призматичний однорідний многогранник

Примітки


Література
* 
* 
* 
*  Third edition (1999) Tarquin ISBN 978-1-899618-32-3.
* 
* 

Посилання

*  — Software able to generate and print nets for all uniform polyhedra. Used to create most images on this page.
* 
*  Сопов С. П. Доказательство полноты перечня элементарных однородных многогранников Архивная копия от 7 ноября 2017 на Wayback Machine // Украинский геометрический сборник, выпуск 8, 1970 год, стр. 139—156.
* Нумерація однорідних: U1—U80, (тетраедр перший)
** 
** 
** 
*** 
** 
** 
** 
* Нумерація Kaleido: K1—K80 (п'ятикутна призма перша)
** 
*** 
** 
** 
** 


