Псі-функція Дедекінда — мультиплікативна арифметична функція, яку ввів німецький математик Ріхард Дедекінд для вивчення  модулярних функцій. 

Значення функції ψ(n) для перших кількох натуральних чисел n:

: 1, 3, 4, 6, 6, 12, 8, 12, 12, 18, 12, 24 ... ().

Означення
Псі-функція Дедекінда є арифметичною функцією, тобто є визначеною на множині натуральних чисел. За означенням ψ(1)  = 1. Для інших чисел можна дати кілька еквівалентних означень:

* Для 

: 
: де добуток береться за всіма простими числами p, що ділять n.

* Якщо розклад числа  на прості множники є  де всі  то значення функції є рівним:

:: 

* Функцію ψ для степенів простих чисел p є рівною  і, до того ж вона є мультиплікативною, тобто для двох взаємно простих чисел  і  виконується рівність  Ці дві властивості дозволяють визначити значення функції для довільного натурального числа.
* Означення функції Дедекінда можна дати також за допомогою згортки Діріхле

:: 
: де , а  є функцією Мебіуса.

* Якщо  нехай  позначає найбільший спільний дільник чисел  і  Тоді:
 
:: 
: де  — функція Ейлера.

Властивості

* Значення функції ψ(n) є більшим, ніж n для всіх n більших 1 і є парним для всіх n більших, ніж 2.

* Псі-функція Дедекінда є мультиплікативною.

* Якщо n є вільним від квадратів числом, то ψ(n) = σ(n).

* Ряд Діріхле функції Дедекінда пов'язаний  із дзета-функцією Рімана співвідношенням

:: 

Функції Дедекінда вищих порядків
Узагальненням псі-функції є функції

: 
: де k є натуральними числами, а  є арифметичними функціями Жордана: 

Еквівалентно можна дати означення через згортку Діріхле:

: .

Ряди Діріхле для цих функцій пов'язані із дзета-функцією співвідношеннями:

: .

Якщо позначити

: 

характеристичну функцію квадратів, то згортка цієї функції із узагальненою функцією Діріхле є рівною функції σk,

: .

Див. також

* Дзета-функція Рімана.
* Функція Ейлера
* Функція Мебіуса

Посилання

* 

Джерела

*  (page 25, equation (1))
*  Section 3.13.2
*  is ψ2,  is ψ3, and  is ψ4

