У математиці квазіізометрія — це функція між двома метричними просторами, яка враховує великомасштабну геометрію цих просторів і нехтує їх дрібні деталі. Два метричні простори є квазіізометричними, якщо між ними існує квазіізометрія. Властивість бути квазіізометричним поводиться як відношення еквівалентності в класі метричних просторів.

Концепція квазіізометрії особливо важлива в геометричній теорії груп, що відбито в працях Громова.
ґратка квазіізометрична площині.

Визначення
Припустимо, що  є (не обов'язково неперервним) відображенням з одного метричного простору  у другий метричний простір .  називають квазіізометрією з  у , якщо існують сталі , , і  такі, що:

# для кожних двох точок  і  в :
#: 
# кожна точка  міститься в межах сталої відстані  від точки образу. Формальніше:
#: 

Два метричні простори  і  називають квазіізометричними, якщо існує квазіізометрія  з  у .

Відображення називають квазіізометричним вкладенням, якщо воно задовольняє першій умові, але не обов'язково другій (тобто воно є приблизно ліпшицевим, але може не бути приблизно сюр'єктивним). Іншими словами, якщо при відображенні  є квазіізометричним до підпростору .

Два метричні простори  і  називають квазіізометричними, що позначається , якщо існує квазіізометрія .

Приклади
Відображення між евклідовою площиною та площиною з мангеттенською відстанню, яке відображає кожну точку в себе, є квазіізометрією: у ній відстані помножені на коефіцієнт щонайбільше . Зверніть увагу, що тут не може бути ізометрії, оскільки, наприклад, манхеттенська відстань між точками однакова, але на евклідовій площині не існує 4 точок, які б були на однаковій відстані одна від одної.

Відображення  (обидва з евклідовою метрикою), яке переводить кожен -кортеж цілих чисел у самого себе є квазіізометрією: відстані зберігаються точно, і кожен дійсний кортеж лежить у межах  від цілочисельного кортежу. З іншого боку, розривна функція, яка округлює кожен кортеж дійсних чисел до найближчого цілого кортежу, також є квазіізометрією: кожна точка переводиться цим відображенням у точку в межах  від неї, тобто округлення змінює відстань між парами точок додавання або віднімання максимум .

Кожна пара скінченних або обмежених метричних просторів є квазіізометричною. У цьому випадку кожне відображення з одного простору в інший є квазіізометрією.

Відношення еквівалентності
Якщо  є квазіізометрією, то існує квазіізометрія . Дійсно,  можна визначити, взявши як  будь-яку точку на образі , розташовану в межах відстані  від , та як  будь-яку точку в .

Оскільки тотожне відображення є квазіізометрією, а композиція двох квазіізометрій є квазіізометрією, то властивість бути квазіізометричним поводиться в класі метричних просторів як відношення еквівалентності.

Використання в геометричній теорії груп
Якщо дано скінченну породжувальну множину S скінченнопородженої групи G, можна сформувати відповідний граф Келі S і G. Якщо оголосити довжину кожного ребра рівною 1, цей граф стає метричним простором. Взяття іншої скінченної породжувальної множини T приводить до іншого графа та іншого метричного простору, однак ці два простори є квазіізометричними. Отже, цей клас квазіізометрії є інваріантом групи G. Будь-яка властивість метричних просторів, яка залежить лише від класу квазіізометрії простору, негайно дає інший інваріант груп, відкриваючи галузь теорії груп для геометричних методів.

Загалом,  стверджує, що якщо група G діє цілком розривно з компактним фактором на властивому геодезичному просторі X, то G є квазіізометричною відносно X (це означає, що будь-який граф Кейлі для G є квазіізометричним). Це дає нові приклади груп, квазіізометричних одна одній:

* Якщо G — підгрупа скінченного індексу в G, то G є квазіізометричною G;
* Якщо G і H — фундаментальні групи двох компактних гіперболічних многовидів однакової розмірності d, то обидві вони квазіізометричні гіперболічному простору Hd і, отже, одна одній; з іншого боку, існує нескінченна кількість класів квазіізометрії фундаментальних груп скінченного об'єму.

Квазігеодезичні та лема Морса
Квазігеодезична в метричному просторі  є квазіізометричним вкладенням  в . Точніше відображення  таке, що існує  так що

: 

називають -квазігеодезичною. Очевидно, геодезичні (параметризовані довжиною дуги) є квазігеодезичними. Той факт, що в деяких просторах зворотне приблизно істинне, тобто що кожна квазігеодезична залишається на обмеженій відстані від справжньої геодезичної, називають лемою Морса (не плутати з, можливо, відомішою лемою Морса в диференціальній топології). Формальніше:

: Нехай  і  властивий . Існує  таке, що для будь-якої -квазігеодезичної  існує в  геодезична  така, що  для усіх .

Це важливий засіб у геометричній теорії груп. Безпосереднім застосуванням є те, що будь-яка квазіізометрія між власне гіперболічними просторами індукує гомеоморфізм між їхніми межами. Цей результат є першим кроком у доведенні теореми про жорсткість Мостова.

Приклади квазіізометричних інваріантів груп
Нижче наведено кілька прикладів властивостей графів груп Келі, які є інваріантними відносно квазіізометрії:

Гіперболічність
Групу називають гіперболічною, якщо один із її графів Келі є δ-гіперболічним простором для деякого δ. При переході між різними визначеннями гіперболічності конкретне значення δ може змінюватися, але отримані поняття гіперболічної групи виявляються еквівалентними.

Гіперболічні групи мають розв'язну . Вони є  та : справді, вони сильно геодезично автоматичні, тобто в групі існує автоматична структура, де мовою, прийнятою для акцептора слів, є набір усіх геодезичних слів.

Зростання
Ступінь зростання групи відносно симетричної породжувальної множини описує розмір куль у групі. Кожен елемент у групі можна записати як добуток твірних, а ступінь зростання підраховує кількість елементів, які можна записати як добуток довжини n.

За теоремою Громова, група поліноміального зростання є , тобто має нільпотентну підгрупу скінченного індексу. Зокрема, порядок зростання полінома  має бути натуральним числом і, фактично,  .

Якщо  зростає повільніше, ніж будь-яка експоненційна функція, G має субекспоненціальний ступінь зростання. Будь-яка така група .

Кінці
Кінці топологічного простору — це, грубо кажучи, сполучні компоненти «ідеальної межі» простору. Тобто кожен кінець представляє топологічно окремий спосіб переміщення до нескінченності в просторі. Додання точки на кожному кінці дає компактифікацію початкового простору, відому як кінцева компактифікація.

Кінці  визначаються як кінці відповідного графа Келі; це визначення не залежить від вибору скінченної породжувальної множини. Кожна скінченнопороджена нескінченна група має 0, 1, 2 або нескінченно багато кінців, а  забезпечує розкладання для груп з більш ніж одним кінцем.

Якщо два зв'язні локально скінченні графи є квазіізометричними, то вони мають однакову кількість кінців. Зокрема, дві квазіізометричні скінченно породжені групи мають однакову кількість кінців.

Аменабельність
Аменабельна група — локально компактна топологічна група G з операцію усереднення на обмежених функціях, яка є інваріантною відносно трансляції елементів групи. Оригінальне визначення в термінах скінченно адитивної інваріантної міри (або середнього) на підмножинах G увів Джон фон Нейман 1929 року під німецькою назвою «messbar» (вимірний) у відповідь на парадокс Банаха — Тарського. 1949 року Маглон М. Дей запропонував англійський переклад «amenable», мабуть, як гру слів.

У теорії дискретних груп, де G має дискретну топологію, використовується простіше визначення. У цьому випадку група є аменабельною, якщо можна сказати, яку частку G займає будь-яка дана підмножина.

Якщо група має , вона автоматично є аменабельною.

Асимптотичний конус
Ультрамежа — це геометрична побудова, яка визначає для послідовності метричних просторів Xn граничний метричний простір. Важливим класом ультрамеж є так звані асимптотичні конуси метричних просторів. Нехай (X,d) — метричний простір, ω — неголовний ультрафільтр на  і нехай pn ∈ X — послідовність базових точок. Тоді ω — ультрамежа послідовності  називають асимптотичним конусом X відносно ω і  і позначають . Часто приймають послідовність базових точок сталою, pn = p для деякого p ∈ X; в цьому випадку асимптотичний конус не залежить від вибору p ∈ X і позначається  або просто .

Поняття асимптотичного конуса відіграє важливу роль у геометричній теорії груп, оскільки асимптотичні конуси (або, точніше, їх топологічні типи та бі-ліпшицеві типи) забезпечують квазіізометричні інваріанти метричних просторів загалом і скінченно породжених груп зокрема. Асимптотичні конуси також виявляються корисним інструментом у вивченні  та їх узагальнень.

Див. також
* Ізометрія

Примітки



