Узага́льнена арифмети́чна прогре́сія — множина чисел або елементів довільної групи , подавана у вигляді

: 

для деяких .

Пов'язана термінологія
Прогресію називають власною, якщо всі числа вигляду  різні, тобто вона містить  елементів.

Рангом (або розмірністю) прогресії називають кількість доданків у поданні кожного елемента (в позначеннях вище — число ).

При  узагальнену арифметичну прогресію також називають -вимірним кубом (оскільки в нього існує лінійне відображення з ).

При  множина являє собою звичайну арифметичну прогресію.

Галузь використання
Узагальнені арифметичні прогресії є конструкцією менш структурованою, ніж звичайна арифметична прогресія, проте їхня структура все ж нетривіальна (коли розмір прогресії великий, а ранг малий). Це робить їх зручним інструментом для вивчення та узагальнення теорем арифметичної комбінаторики, пов'язаних із виведенням структури з числових характеристик множини, таких як адитивна енергія, коефіцієнт подвоєння тощо.

Деякі структурні теореми адитивної комбінаторики доводять існування узагальненої арифметичної прогресії досить малого рангу і великого розміру в достатньо впорядкованих множинах або можливість покриття такої множини узагальненою арифметичною прогресією невеликого рангу і невеликого (обмеженого деякою формулою від розміру множини) розміру.

Узагальнені арифметичні прогресії можна використати для доведення теореми Рота.

Взагалі, довести присутність у множині узагальнених арифметичних прогресій, виходячи з якихось відомих фактів про цю множину, часто легше, ніж довести присутність звичайних арифметичних прогресій.

Див. також
* Адитивна комбінаторика
* Теорема Фреймана

Примітки


Література
* 

