
Альтернати́ва Ті́тса — теорема про будову скінченно породжених лінійних груп. Названа на честь .

Формулювання
Нехай  скінченно породжена лінійна група над деяким полем. Тоді для  виконується рівно одне з таких тверджень

:* Або  майже розв'язна, тобто містить розв'язну підгрупу скінченного індексу.
:* Або  містить підгрупу, ізоморфну вільній групі з двома твірними.

Наслідки

* Лінійна група не аменабельна, тоді й лише тоді, коли вона містить неабелеву вільну групу.
** Іншими словами, гіпотеза фон Неймана справедлива й для лінійних груп.
* Альтернатива Тітса є важливим компонентом у доведенні теореми Громова про групи поліноміального зростання.

Варіації та узагальнення
Кажуть, що група  задовольняє альтернативу Тітса, якщо кожна підгрупа  майже розв'язна або містить неабелеву вільну підгрупу. Іноді у визначенні додатково припускають, що  скінченно породжена.

Прикладами груп, що задовольняють альтернативу Тітса, є лінійні групи, а також:

* Гіперболічні групи
* Група класів перетворень поверхні
* 

Приклади груп, що не задовольняють альтернативу Тітса:

* Група Григорчука ;
* Група F Томпсона .

Про доведення
У доведенні розглядають замикання  групи  у топології Зариського. Якщо  розв'язна, то й група  розв'язна. В іншому випадку переходять до розгляду образу  в компоненті Леві . Якщо вона некомпактна, то пінг-понг лема завершує доведення. Якщо вона компактна, то або всі власні значення елементів у образі  є коренями одиниці, отже, образ  скінченний, або можна знайти вкладення, для якого застосовна пінг-понг лема.

Примітки


Посилання
* 



