Нері́вність Фі́шера — це необхідна умова існування зрівноваженої неповної блок-схеми, тобто системи підмножин, які задовольняють певним умовам, вказаним у комбінаторній математиці. Нерівність описав Рональд Фішер, фахівець з популяційної генетики та статистики, який вивчав планування експерименту, досліджуючи відмінності серед деяких різновидів рослин за різних умов проростання, званих блоками.

Нехай:

*  — числом різновидів рослин;
*  — числом блоків.

Щоб бути зрівноваженою неповною блок-схемою, необхідно, щоб:

*  різних різновидів у кожному блоці, , ніякий різновид не зустрічається в блоці двічі
* будь-які два різновиди зустрічаються разом рівно в  блоках
* кожен різновид зустрічається рівно в  блоках.

Нерівність Фішера стверджує, що

:: .

Доведення
Нехай матриця суміжності  є  матрицею, визначеною так, що  дорівнює 1, якщо елемент  міститься в блоці , і 0 в іншому разі. Тоді  є  матрицею, такою, що  і  для . Оскільки , так що . З іншого боку, , так що .

Узагальнення
Нерівність Фішера істинна для загальніших класів блок-схем. Попарно зрівноважена схема (ПЗС, ) — це множина  разом із сімейством непорожніх підмножин  (які не обов'язково мають бути одного розміру і можуть містити повторення), така, що будь-яка пара різних елементів  міститься рівно в  (додатне ціле число) підмножин. Множині  дозволено бути однією з підмножин і, якщо всі підмножини є копіями , ПЗС називають «тривіальною». Нехай розмір множини  дорівнює , а число підмножин у сімействі (з урахуванням кратності) дорівнює .

Теорема: Для будь-якої нетривіальної ПЗС .

Цей результат узагальнює теорему де Брейна — Ердеша: Для ПЗС з , яка не має блоків розміру 1 або розміру , з рівністю тоді й лише тоді, коли ПЗС є проєктивною площиною або майже пучком (що означає, що рівно  точок колінеарні).

З іншого боку, 1975 року Рей Чадхурі та Вільсон довели, що в схемі  число блоків не менше ніж .

Примітки


Література

* 
* 
* 
* 
* 



