
Ґратка Е8 або ґратка Коркінас — Золотарьова — коренева ґратка групи . Вона реалізує в розмірності 8:

* найбільше можливе контактне число;
* найщільніше пакування куль.

Зазвичай позначається , як і група .

Історія
Існування цієї ґратки довів  1867 року. Першу явну побудову надали  і  1873 року.

Опис
Ґратку  можна реалізувати як дискретну підгрупу  з векторів, що мають такий набір властивостей:

* всі координати будь-якої точки — або цілі числа, або напівцілі числа (тобто ціле число з половиною);
* сума всіх восьми координат є парним цілим числом.

Інакше кажучи,

: 

Неважко перевірити, що сума та різниця будь-яких двох векторів з  міститься в , отже  є підгрупою .

Ґратку  можна також реалізувати як множину всіх точок в  у  таких, що

* всі координати — цілі числа з парною сумою або
* всі координати — напівцілі з непарною сумою.

Інакше кажучи

: 

або

: 

Ґратки  і  ізоморфні, одну можна отримати з іншої, змінивши знак однієї з координат.

Властивості

Характеризація
Ґратку  можна охарактеризувати як єдину ґратку в , що має такі властивості:

* Це унімодулярна ґратка, тобто
** з її базису можна скласти матрицю  із визначником ±1.
** Інакше кажучи, об'єм фундаментальної області цієї ґратки дорівнює 1.
** Еквівалентно,  є самодвоїстою, тобто вона збігається зі своєю оберненою ґраткою.
* Ця ґратка парна, тобто норма будь-якого її вектора — парне ціле число.

Парні унімодулярні ґратки існують тільки в розмірностях, кратних 8. У розмірності 16 таких ґраток дві:  і  (остання будується аналогічно  у розмірності 16). У розмірності 24 існує 24 такі ґратки, найважливішою з них є .

Базис
Один із можливих базисів для  задається стовпцями такої верхньотрикутної матриці

: 

Тобто  складається з усіх цілих лінійних комбінацій стовпців. Усі інші базиси виходять з одного множенням праворуч на матрицю GL(8, Z).

Мінімальна норма
Найкоротший ненульовий вектор  має норму 2, всього ґратка містить 240 таких векторів. Ці вектори утворюють кореневу систему групи . Тобто ґратка  є кореневою ґраткою . Будь-який вибір із 8 простих коренів дає базис .

Фундаментальна область
Комірками Вороного ґратки  є .

Група симетрій
Група симетрій ґратки в Rn визначається як підгрупа ортогональної групи O(n), яка зберігає ґратку. Група симетрій ґратки  породжена відбиттями в гіперплощинах, ортогональних 240 кореням ґратки. Її порядок дорівнює

: 

Ця група містить підгрупу порядку 128 8!, що складається з усіх перестановок координат та парного числа змін знаків. Повна група симетрій породжується цією підгрупою та блоково-діагональною матрицею , де  — матриця Адамара

: 

Пакування куль
У задачі про пакування куль питається, як найщільніше упакувати без накладань кулі фіксованого радіуса в простір. У R8 розміщення куль радіуса  у точках ґратки  дає пакування найбільшої щільності, що дорівнює

: 

Те, що ця щільність найбільша для ґратчастих пакувань, було відомо давно. Крім того, було відомо, що така ґратка єдина з точністю до подібності. Марина Вязовська нещодавно довела, що це пакування є оптимальним навіть серед усіх пакувань.

Розв'язки задачі пакування куль відомі тільки в розмірностях 1, 2, 3, 8, і 24. Той факт, що розв'язки відомі в розмірностях 8 і 24, пов'язаний з особливими властивостями ґратки  та її 24-вимірного аналога — ґратки Ліча.

Контактне число
У задачі про контактне число запитується, яка найбільша кількість куль фіксованого радіуса може торкнутися центральної кулі такого ж радіуса. У розмірності 8 відповідь — 240; таку конфігурацію можна отримати, якщо розмістити кулі в точках ґратки  із мінімальною нормою. Це доведено 1979 року.

Розв'язки задачі про контактне число відомі тільки в розмірностях 1, 2, 3, 4, 8, і 24. Той факт, що розв'язки відомі в розмірностях 8 і 24, також пов'язаний із особливими властивостями ґратки  та її 24-вимірного аналога — ґратки Ліча.

Тета-функція
Тета-функція решітки Λ визначається як сума

: 

Вона є голоморфною функцією на верхній півплощині. Крім того, тета-функція парної унімодулярної ґратки рангу  є модульною формою ваги .

З точністю до нормалізації є єдина модульна форма ваги 4: це ряд Ейзенштейна . Тобто тета-функція решітки  має бути пропорційною . Це дає

: 

де  є функцією дільників s .

Звідси випливає, що число векторів норми  у ґратках  дорівнює (сума кубів дільників ). Це :

: 

Тета-функцію ґратки  можна записати в термінах тета-функцій Якобі:

: 

де

: 

Код Гемінга
Код Гемінга  — це двійковий код довжини 8 і 4-го рангу; тобто, це 4-вимірний підпростір фінітного векторного простору (F2)8. Записавши елементи (F2)8 як 8-бітові цілі числа в шістнадцятковій системі, код  можна явно подати як

: {00, 0F, 33, 3C, 55, 5A, 66, 69, 96, 99, A5, AA, C3, CC, F0, FF}.

Код  є самодвоїстим кодом типу II. Він має мінімальну вагу Гемінга 4; це означає, що будь-які два кодові слова відрізняються принаймні 4-ма бітами. Це найбільший двійковий код довжини 8 з такою властивістю.

За двійковим кодом  довжини  можна побудувати ґратку , взявши множину векторів  таких, що  збігається (за модулем 2) з кодовими словами із . Часто зручно масштабувати  з коефіцієнтом ,

: 

Застосування цієї конструкції до самодвоїстого коду типу II дає парну, унімодулярну ґратку. Зокрема, для коду Гемінга  отримуємо ґратку .

Задача відшукання явного ізоморфізму між отриманою ґраткою і ґраткою , визначеною вище, не цілком тривіальна.

Цілі октоніони
Ґратка  використовується при визначенні цілих октоніонів аналогічно цілим кватерніонам.

Цілі октоніони, природно, утворюють ґратку в O. Ця ґратка подібна до ґратки  із коефіцієнтом . (Мінімальна норма у цілих октоніонах дорівнює 1, а не 2).

Цілі октоніони утворюють неасоціативне кільце.

Застосування

* 1982 року Фрідман побудував топологічний чотиривимірний многовид, званий -многовидом, чия форма перетинів задається ґраткою . Цей многовид є прикладом топологічного многовиду, який допускає гладку структуру і навіть тріангульовний.
* У теорії струн гетеротична струна — це своєрідний гібрид 26-вимірних бозонних струн і 10-вимірних суперструн. Для того, щоб теорія працювала правильно, 16 зайвих розмірностей мають бути компактифіковані парними унімодулярними ґратками рангу 16. Є дві такі ґратки:  і  (побудована аналогічно ). Це приводить до двох версій гетеротичних струн, відомих як  та .

Див. також
* Ґратка Ліча
* Група Лі Е 8
* E8-многовид

Примітки


Література
* 
* 
*  У розділі 9 обговорюються цілі октиніони та ґратка E8.



