 Конфігурація тіл у задачі Ситникова
Задача Ситникова — варіант задачи трьох тіл, названий на честь радянського математика Кирила Олександровича Ситникова, що стосується руху трьох тіл під впливом взаємного гравітаційного тяжіння. Окремий випадок завдання Ситникова розглянув у 1911 році американський учений Вільям МакМіллан, але в сучасному сенсі задача була досліджена Ситниковим у 1961 році.

Визначення
Система складається з двох головних тіл із однаковою масою , що рухаються по круговій або еліптичній кеплеровій орбіті навколо загального центру мас. Третє тіло значно менше головних тіл, його масу можна вважати нульовою , воно рухається під дією головних тіл по осі z, перпендикулярній площині орбіти головних тіл. Початок координат системи знаходиться у центрі мас. Сумарна маса головних тіл , орбітальний період дорівнює , велика піввісь орбіти головних тіл  . Гравітаційна стала у вибраній системі одиниць дорівнює 1.

Рівняння руху
Для отримання рівнянь руху у разі кругових орбіт головних тіл використовуємо вираз для повної енергії :

: 

Після диференціювання за часом рівняння має вигляд

: 

Також справедлива рівність

: 

Отже, рівняння руху представимо у вигляді

: 

який визначає точно розв'язувану систему, оскільки вона має лише один ступінь свободи і допускає інтеграл руху - енергію.

Якщо ж головні тіла рухаються еліптичними орбітами, то рівняння руху має вигляд

: 

де  - відстань від головного тіла до загального центру мас. У такому випадку система є хаотичною.

Значення
Хоча майже неможливо в реальності виявити або створити таку систему трьох небесних тіл, яка розглядається в задачі Ситникова, все ж таки задача має важливе значення, бо дозволяє дослідити різні характеристики хаотичних систем.

Література

* KA Sitnikov: The existence of oscillatory motions in the three-body problems. In: Doklady Akademii Nauk SSSR, 133/1960, pp. 303–306,  (English Translation in Soviet Physics. Doklady., 5/1960, S. 647-650)
* K. Wodnar: The original Sitnikov article - new insights. In: Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy, 56/1993, pp. 99-101, ,  pdf
* D. Hevia, F. Rañada: Chaos в три-body питання: Sitnikov case . In: European Journal of Physics, 17/1996, pp. 295-302, ,  pdf
* Rudolf Dvorak, Florian Freistetter, J. Kurths, Chaos and Stability in Planetary Systems., Springer, 2005, ISBN 3540282084
* J. Moser: "Stable and Random Motion", Princeton Univ. Press, 1973, ISBN 978-0691089102
* R. Dvorak, C. Lhotka,  "Sitnikov problem", Scholarpedia



