Нері́вності Плюннеке — Ружі — класична лема адитивної комбінаторики. Описує обмеження на багаторазові множини сум за відомих обмежень на аналогічні короткі суми. Наприклад, обмеження на  за відомих обмежень на .

У доведеннях нерівностей Плюннеке — Ружі зазвичай не використовують структуру спільної множини, якій належать  і , а використовують тільки загальні аксіоми групової операції, що робить їх істинними для довільних груп (зокрема, для множин натуральних і дійсних чисел, а також остач від ділення на дане число).

Названі на честь німецького математика H. Plünnecke та угорського математика .

Формулювання
Нижче використовуються позначення







Для однієї множини
Нехай  — абелева група, . Тоді з  випливає 



Для двох множин
Для будь-яких  існує  таке, що якщо  — група, ,  то з

випливає





Узагальнення на довільну кількість множин
Нехай  — абелева група, , . Тоді 
Тоді існує непорожня підмножина  така, що



Основні наслідки
Якщо , то 

Якщо , то 

Отже, якщо для величин  і  відомий порядок зростання при зростанні , то



Застосування
Нерівність Плюннеке — Ружі використовують для доведення теореми сум-добутків

Примітки


Посилання

*  М. З. Гараєв, Суми та добутки множин та оцінки раціональних тригонометричних сум у полях простого порядку 
