Музеї науки в Лондоні
вершинної фігурою 35.5/2
Однорі́дний зірча́стий многогра́нник — самоперетинний однорідний многогранник. Ці многогранники називають також неопуклими многогранниками, підкреслюючи наявність самоперетинів. Кожен многогранник може мати грані у вигляді зірчастих многокутників або зірчасті вершинні фігури, але може містити і те, й інше.

Повний набір 57 непризматичних однорідних зірчастих многогранників включає 4 правильних, званих тілами Кеплера — Пуансо, 5 квазіправильних, і 48 напівправильних.

Існує також дві нескінченні множини однорідних зірчастих призм і антипризм.

Так само, як (невироджені) зірчасті многокутники (які мають  більшу 1) відповідають круговим многокутникам з перекривними частинами, зірчасті многогранники, які не проходять через центр, мають щільність більшу 1, і відповідають сферичним многогранникам із перекривними частинами. Існує 48 таких непризматичних однорідних зірчастих многогранників. Решта 9 непризматичних однорідних зірчастих многогранників мають грані, що проходять через центр, є  і не відповідають сферичним многогранникам, оскільки центр не можна однозначно спроєктувати на сферу.

Неопуклі форми будують із трикутників Шварца.

Всі трикутники, перераховані нижче, згруповано за їхніми групами симетрії, а всередині згруповано за розташуванням вершин.

Правильні многогранники позначено їхніми символами Шлефлі. Для інших, неправильних однорідних многогранників, зазначено їхню вершинну конфігурацію або номер однорідного многогранника (Uniform polyhedron index, U (1-80)).

Примітка: для неопуклих форм нижче наведено додатковий опис Неоднорідний, коли опукла оболонка  має таку ж топологію, але має неправильні грані. Наприклад, неоднорідне скошування (видалення ребер) може дати на місцях віддалених ребер прямокутник, а не квадрат.

Діедральна симетрія
Див. Призматичний однорідний многогранник.

Тетраедральна симетрія
 Трикутники (3 3 2) на сфері
Існує один неопуклий вид, тетрагемігексаедр, який має тетраедральну симетрію (з фундаментальною областю трикутник Мебіуса (3 3 2)).

Існує два трикутники Шварца, з яких утворюються унікальні неопуклі однорідні многогранники — прямокутний трикутник (3/232) і один трикутник загального вигляду (3/233). Трикутник (3/2 3 3) генерує  , наведений нижче в розділі .


(опукла оболонка)

Неопуклі види


64x64пксТетраедр




64x64пксСпрямлений тетраедрОктаедр

64x64пкс(4.3/2.4.3)


64x64пксЗрізаний тетраедр

 


64x64пксСкошений тетраедр(кубооктаедр)

 


64x64пксВсезрізаний тетраедр(зрізаний октаедр)

 


64x64пксКирпатий тетраедр(ікосаедр)

 


Октаедральна симетрія
 Трикутники (4 3 2) на сфері
Існує 8 опуклих форм і 10 непуклих із  (з фундаментальною областю трикутник Мебіуса (4 3 2)).

Існує чотири трикутники Шварца, які утворюють неопуклі форми, два прямокутні, (3/2 4 2) і (4/3 3 2), і два загального вигляду, (4/3 4 3) та (3/2 4 4).


(опукла оболонка)

Неопуклі види


64x64пксКуб

 


64x64пксОктаедр

 


64x64пксКубооктаедр

64x64пкс

64x64пкс


64x64пксЗрізаний куб

64x64пкс4.8/3.4/3.8/5) 2 4/3 (3/2 4/2)  

64x64пкс

64x64пкс


64x64пксЗрізаний октаедр

 


64x64пксРомбокубооктаедр

64x64пкс

64x64пкс

64x64пкс


64x64пксНеодноріднийзрізаний кубооктаедр

64x64пкс


64x64пксНеоднорідний зрізаний кубооктаедр

64x64пкс


64x64пксКирпатий куб

 


Ікосаедральна симетрія
 Трикутники (5 3 2) на сфері
Є 8 опуклих форм та 46 непуклих із ікосаедральною симетрією (з фундаментальною областю трикутник Мебіуса (5 3 2)) (або 47 неопуклих форм, якщо включати фігуру Скіллінга). Деякі неопуклі кирпаті види мають дзеркальну вершинну симетрію.


(опукла оболонка)

Невыпуклі види


67x67пксІкосаедр

68x68пкс{5,5/2}

68x68пкс{5/2,5}

68x68пкс{3,5/2}


64x64пксНеодноріднийЗрізаний ікосаедр

64x64пкс

64x64пкс

64x64пкс

64x64пкс


64x64пксНеодноріднийЗрізаний ікосаедр

64x64пкс

64x64пкс

64x64пкс


64x64пксНеодноріднийЗрізаний ікосаедр

64x64пкс


64x64пксІкосододекаедр

64x64пкс

64x64пкс 

64x64пксU54 

64x64пкс

64x64пкс

64x64пксU36

64x64пкс 

64x64пкс


64x64пксЗрізаний додекаедр

64x64пкс

64x64пкс

64x64пкс


64x64пксНеодноріднийЗрізаний додекаедр

64x64пкс


64x64пксДодекаедр

64x64пкс{5/2,3}

64x64пкс

64x64пкс

64x64пкс


64x64пксРомбоікосододекаедр

64x64пкс

64x64пкс

64x64пкс


64x64пксДодекаедрзі знятими краями

64x64пкс


64x64пксНеодноріднийРомбоікосододекаедр

64x64пкс

64x64пкс

64x64пкс

64x64пкс


64x64пксНеодноріднийРомбоікосододекаедр

64x64пкс

64x64пкс

64x64пкс(див. нижче)


64x64пксНеодноріднийРомбозрізаний ікосододекаедр

64x64пкс


64x64пксНеодноріднийРомбозрізаний ікосододекаедр

64x64пкс


64x64пксНеоднорідний Зрізаний ікосододекаедр

64x64пкс


64x64пксНеоднорідний Кирпатий додекаедр

64x64пкс

64x64пкс

64x64пкс

64x64пкс

64x64пкс

64x64пксU74


Тіло Скіллінга
Ще один неопуклий многогранник — , відомий також як тіло Скіллінга, яке вершинно однорідне, але має спільні для граней пари ребер, так що чотири грані мають одне спільне ребро. Іноді його відносять до однорідних многогранників. Тіло має симетрію Ih.

128x128пкс

Вироджені випадки
Коксетер за допомогою побудови Вітгоффа визначив деяку кількість вироджених зірчастих многогранників, які мають ребра або вершини, що перекриваються. До цих вироджених форм належать:

* 
* 
* 
* 
* 

Див. також
* Зірчастий многокутник
* Список однорідних многогранників
* Список однорідних многогранників за породжувальними трикутниками Шварца

Примітки


Література

* 
* 
* 
* 
* 
* Har'El, Z.  Uniform Solution for Uniform Polyhedra., Geometriae Dedicata 47, 57-110, 1993.  Zvi Har'El,  Kaleido software,  Images,  dual images
*   
* 
* Richard Klitzing, 3D,  uniform polyhedra 


Посилання
* 


