Ознака Єрмакова — критерій збіжності числових рядів з додатніми членами, встановлений українським математиком Василем Єрмаковим.

Формулювання теореми
Нехай функція  неперервна, додатня і монотонно спадна для . Тоді, якщо для достатньо великих  (для ) виконується нерівність:то ряд  є збіжним, якщо ж (для ):то ряд є розбіжним.

Доведення теореми

# Нехай виконується нерівність:

Домножимо обидві частини нерівності на  і проінтегруємо використовуючи підстановкузвідситак як , зменшуване в останніх дужках є додатнім. Тому розділивши нерівність наДодамо до обох частин інтеграл  отримаємо



Враховуючи, що , при 

Оскільки зі зростанням  інтеграл зростає, то існує для нього кінцева границя при :Так як цей інтеграл є збіжним, то згідно з інтегральною ознакою Коші — Маклорена ряд  також збігається.

# Нехай тепер має місце нерівність:Домножимо обидві частини цієї нерівності  проінтегруємо, використовуємо в лівій частині підстановку: , отримаємо:Додамо до обох частин інтеграл Оскільки , то . Визначимо послідовність  наступним чином:Використовуючи цю послідовність останню нерівність можна записати у вигляді:Сумуємо інтеграл за принципом тобто цей інтеграл необмежений при . Тому:

Оскільки цей інтеграл розбіжний, то згідно з інтегральною ознакою Коші — Маклорена ряд  є розбіжним.

Література
# Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — М.: Наука, 1970.
# .D. Polyanin, A.V. Manzhirov. Handbook of Mathematics for Engineers and Scientists. — 2006. — С. 340. — 1544 с. — .

Посилання



