Нерівність Бішопа — Громова — теорема порівняння в рімановій геометрії. Є ключовим твердженням у доведенні теореми Громова про компактність.

Нерівність названа на честь  та Михайла Громова.

Формулювання
Нехай  — повний n-вимірний ріманів многовид з обмеженою знизу кривиною Річчі, тобто

: 

для сталої .

Позначимо через  кулю радіуса r навколо точки p, визначену відносно ріманової функції відстані.

Нехай  позначає n-вимірний модельний простір. Тобто  — повний n-вимірний однозв'язний простір сталої секційної кривини . Таким чином,

*  є n-сферою радіуса , якщо , або
* n-вимірним евклідовим простором, якщо , або
* простором Лобачевського з кривиною .

Тоді для будь-яких  і  функція

: 

не зростає в інтервалі .

Зауваження

* При  нерівність можна записати так
*: 

: при  .

* Якщо r прямує до нуля, то співвідношення наближається до одиниці, отже разом із монотонністю це означає, що
*: 

: Цю версію вперше довів Бішоп.

Див. також
* Теорема Маєрса

Примітки

