Властивість подвоєння — умова, що накладається на міри, визначені на метричних просторах, а також самі метричні простори.

Визначення

Міри
Нагадаємо, що в довільному метричному просторі  позначає кулю з центром  та радіусом .

Ненульова міра  на метричному просторі задовольняє властивості подвоєння, якщо існує стала  така, що

: 

для всіх  і .

Метричні простори
Метричний простір  задовольняє властивості подвоєння, якщо існує стала , така, що будь-яку кулю радіуса  у  можна покрити  кулями радіуса .

Зауваження
Іноді розглядають слабший варіант властивості подвоєння, за якого потрібно, щоб радіус  не перевищував деякого додатного сталого .

Властивості
* Будь-який метричний простір із мірою, що задовольняє властивості подвоєння, сам задовольняє властивості подвоєння.
** І навпаки, на будь-якому повному метричному просторі з властивістю подвоєння існує міра з властивістю подвоєння.
* (Теорема Асада) Нехай метричний простір  задовольняє властивості подвоєння, тоді для будь-кого , простір  допускає біліпшицеве вкладення в евклідів простір досить високої розмірності.
* Для метричних просторів із властивістю подвоєння виконується слабкий варіант теореми Кіршбрауна. А саме, якщо  — метричний простір із властивістю подвоєння та  і  — банахів простір, то будь-яке  -ліпшицеве відображення  продовжується до -ліпшицевого відображення , де стала  залежить лише від параметра у властивості подвоєння.

Приклади
* Міра Лебега в евклідовому просторі задовольняє якості подвоєння. Стала дорівнює , де  позначає розмірність.

Примітки


