Еквівалентність категорій у теорії категорій — відношення між категоріями, яке показує, що дві категорії «по суті однакові». Встановлення еквівалентності свідчить про глибокий зв'язок відповідних математичних концепцій та дозволяє «переносити» теореми з одних структур на інші.

Визначення
Для двох категорій і  задана їх еквівалентність, якщо задано функтор , функтор , і два природних ізоморфізми  та . Тут  та  — тотожні функтори  і  відповідно. Якщо  та  — контраваріантні функтори, це визначає двоїстість категорій.

Еквівалентні формулювання
Можна показати, що функтор  визначає еквівалентність категорій тоді й лише тоді, коли він:

* цілком унівалентний і
* щільний, тобто в класі ізоморфізму будь-якого елемента  категорії  існує об'єкт, що має прообраз у  під дією .

Це найчастіше застосовуваний критерій, оскільки він не вимагає явно сконструювати «обернений» функтор і два природних перетворення. З іншого боку, хоча наведена вище властивість гарантує існування еквівалентності, частина даних втрачається, оскільки іноді еквівалентність можна провести різними способами. Тому функтор  із такими властивостями іноді називають слабкою еквівалентністю категорій.

Ще одне формулювання використовує поняття спряжених функторів:  та  задають еквівалентність категорій тоді й лише тоді, коли вони обидва цілком унівалентні і є спряженими.

Приклади

* Між категорією  з одного об'єкта  та одного морфізму  та категорією  із двох об'єктів ,  і чотирьох морфізмів: двох тотожних  і , та двох ізоморфізмів  і , можна встановити еквівалентність, наприклад взяти , що відображає  в , і , що відображає обидва об'єкти  в . Однак, наприклад, категорія  не еквівалентна категорії з двох об'єктів та двох тотожних морфізмів.
* Нехай категорія  складається з одного об'єкта  і двох морфізмів , де . Тоді  задає природний ізоморфізм  із собою (нетривіальний, тому що він діє на морфізмах не тотожно).
* Еквівалентна категорія  скінченновимірних дійсних векторних просторів та категорія  (об'єкти — натуральні числа, морфізми — матриці відповідної розмірності): функтор  зіставляє векторному простору його розмірність (що відповідає вибору в кожному просторі базису).
* Одна з центральних тем алгебричної геометрії — двоїстість категорій афінних схем і комутативних кілець. Відповідний функтор відображає кільце в його спектр — схему, утворену простими ідеалами.

Властивості
За еквівалентності категорій зберігаються всі «категорійні» властивості: наприклад, властивість бути початковим об'єктом, мономорфізмом, границею або властивість категорії бути топосом.

* об'єкт c з C є початковим об'єктом (або термінальним об'єктом, або нульовим об'єктом), тоді й лише тоді, коли Fc є початковим об'єктом (або термінальним об'єктом, або нульовим об'єктом) у D;
* морфізм α в C є мономорфізмом (або епіморфізмом, або ізоморфізмом), тоді й лише тоді, коли Fα є мономорфізмом (або епіморфізмом, або ізоморфізмом) в D;
* функтор H : I → C має границю (або кограницю) l тоді й лише тоді, коли функтор FH : I → D має границю (або кограницю) Fl . Це, зокрема, можна застосувати до , добутків і кодобутків серед іншого. Застосовуючи до ядер і коядер, бачимо, що еквівалентність F є точним функтором.
* C є декартовою замкнутою категорією (або топосом) тоді й лише тоді, коли D є декартово замкнутою (або топосом).

Двоїстість «перевертає всі поняття»: вони перетворюють початкові об'єкти на термінальні об'єкти, мономорфізми на епіморфізми, ядра на коядра, границі на кограниці тощо.

Якщо F : C → D — еквівалентність категорій, а G1 і G2 — дві інверсії F, то G1 і G2 природно ізоморфні.

Якщо F : C → D — еквівалентність категорій, і якщо C —  (або , або абелева категорія), то D можна перетворити на преадитивну категорію (або адитивну категорію, або абелеву категорію) так, що F стає . З іншого боку, будь-яка еквівалентність між адитивними категоріями обов'язково є адитивною. (Зверніть увагу, що останнє твердження хибне для еквівалентності між преадитивними категоріями.)

Автоеквівалентність категорії C є еквівалентністю F : C → C. Автоеквівалентності C утворюють групу за композицією, якщо ми вважаємо дві автоеквівалентності, які природно ізоморфні, ідентичними. Ця група фіксує основні «симетрії» C. (Застереження: якщо C не є малою категорією, то автоеквівалентності C можуть утворювати належний клас, а не множину.)

Література
* 
* Маклейн С. Глава 4. Сопряжённые функторы // Категории для работающего математика = Categories for the working mathematician / Пер. с англ. под ред. В. А. Артамонова. — : Физматлит, 2004. — С. 95—128. — 352 с. — .

