ε-мережа (епсилон-мережа, ε-щільна множина) для підмножини  метричного простору  — множина  з того ж простору  така, що для будь-якої точки  знайдеться точка , віддалена від  не більше ніж на .

Пов'язані визначення

* Метричний простір, у якому для кожного  існує скінченна -мережа, називається цілком обмеженим.
* Метрика  на множині  називається цілком обмеженою, якщо  — цілком обмежений метричний простір.
* Сімейство метричних просторів  таких, що для будь-кого  існує натуральне число  таке, що кожен простір  допускає -мережу з не більш ніж  точок називається універсально цілком обмеженим.
** Для таких сімейств виконується аналог теореми Громова про компактність.
* Топологічний простір, гомеоморфний цілком обмеженому метричному простору, називається метризованим цілком обмеженою метрикою.

Приклади

* Для стандартної метрики множина раціональних чисел є -мережею для множини дійсних чисел для будь-якого .
* Множина цілих чисел є -мережею для множини дійсних чисел для .

Властивості

* Метричний простір має еквівалентну цілком обмежену метрику тоді й лише тоді, коли він сепарабельний.
* Топологічний простір метризується цілком обмеженою метрикою тоді й лише тоді, коли він регулярний і задовольняє другій аксіомі зліченності.
* Метричний простір компактний тоді й лише тоді, коли він повний і цілком обмежений. У трохи загальнішому формулюванні, теорема Гаусдорфа про компактність стверджує, що для відносної компактності підмножини  метричного простору  необхідно, а в разі повноти простору  і достатньо, щоб за будь-якого  існувала скінченна  -мережа з елементів множини .


* Повний метричний простір компактний тоді й лише тоді, коли для будь-кого  в ньому існує компактна -мережа.

Примітки


Література
* Д. Ю. Бураго, Ю. Д. Бураго, С. В. Иванов. Курс метрической геометрии. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004, 512 стр. ISBN 5-93972-300-4.
* 


