Адити́вна ене́ргія — чисельна характеристика підмножини групи, що ілюструє структурованість множини відносно групової операції. Термін увели Теренс Тао та .

Визначення
Нехай  — група.

Адитивна енергія множин  і  позначається як  і дорівнює кількості розв'язків такого рівняння:

: 

Аналогічно можна визначити мультиплікати́вну ене́ргію (наприклад, у кільці) як кількість  розв'язків рівняння:

: 

Екстремальні значення
Найменшого значення  досягає, коли всі суми  різні (оскільки тоді рівність виконується тільки за ) — наприклад, коли  і  — множина різних твірних групи  з якоїсь мінімальної породжувальної множини. Тоді .

Найбільшого значення  досягає, коли  і  є підгрупою . У цьому випадку для будь-якого  число розв'язків рівняння  дорівнює , так що .

Відповідно, проміжні величини порядку зростання  між  і  можна розглядати як більший чи менший показник близькості структури  до структури підгрупи. Для деяких груп  визначені обмеження на адитиву енергію дозволяють доводити структурні теореми про існування досить великих підгруп  всередині  (або якоїсь похідної від неї множини) і про вкладаність  (або якоїсь похідної від неї множини) в досить маленькі підгрупи . Обмеження на  для цих теорем пов'язані з показником скруту групи  та окремих її твірних. Однак для циклічних груп та груп без скруту існують аналогічні теореми, які розглядають замість підгруп узагальнені арифметичні прогресії .

: 

: , де 


Для кільця лишків за простим модулем  адитивну енергію можна виразити через тригонометричні суми. Позначимо . Тоді

: 


Застосування
Адитивну та мультиплікативну енергії використовують у адитивній та арифметичній комбінаториці для аналізу комбінаторних сум та добутків множин , зокрема, для доведення теореми сум-добутків.

Старші енергії
Існують два основних узагальнення рівняння, яке визначає адитивну енергію, — за кількістю доданків та за кількістю рівностей:

: 

: 

Їх називають старшими енергіями й іноді можна отримати їх оцінки, не отримуючи оцінок звичайної адитивної енергії. Разом з тим, нерівність Гельдера дозволяє (із значним погіршенням) оцінювати звичайну енергію через старші.

Для параметра  в  іноді розглядаються і дійсні, а не лише цілі числа (просто підстановкою в останній вираз).

Див. також
* Теорема сум-добутків
* Структурна теорема Чанг

Примітки


Література
* 
* 


