Елементарний топос — категорія, в певному сенсі схожа на категорію множин, основний предмет вивчення теорії топосів. Засобами елементарних топосів можна описати аксіоматику як самої теорії множин, так і альтернативних теорій та логік, наприклад, інтуїціоністську логіку.

Визначення
Елементарний топос — це декартово замкнута повна категорія, в якій існує виділений об'єкт , званий ''класифікатором підоб'єктів'', і мономорфізм у нього з термінального об'єкта , званий істиною (також позначається ), такий що для будь-якого мономорфізму  існує єдиний морфізм , для якого діаграма
центр
є декартовим квадратом.

Інакше кажучи, елементарний топос — це категорія, що має термінальний об'єкт і розшаровані добутки, а також експоненціал  будь-яких двох об'єктів  і  та класифікатор підоб'єктів .

Властивості

* Будь-який елементарний топос є скінченнно повним (за визначенням) і скінченно коповним.

Приклади

* Основним прикладом топосу, властивості якого лягли в основу загального визначення, є топос множин. У ньому експоненціал множин  і  — це множина  відображень із  в . Класифікатор підоб'єктів — це множина , при цьому  — природне вкладення  в , а  — характеристична функція підмножини  множини , рівна 1 на елементах  та 0 на елементах . Подіб'єкти  — це її підмножини.
* Категорія скінченних множин також є топосом. Це типовий приклад елементарного топосу, що не є топосом Гротендіка.
* Для будь-якої категорії  категорія функторів  є топосом Гротендіка. Границі та кограниці функторів обчислюють поточково. Для функторів  функтор морфізмів  дають формулою

: 
: З леми Йонеди випливає, що класифікатор підоб'єктів  на об'єкті  дорівнює множині підфункторів подаваного функтора .

* Категорія пучків множин на будь-якому топологічному просторі є топосом Гротендіка. Якщо зіставити простору  його категорію відкритих підмножин, упорядкованих за вкладенням, , то структура топосу на категорії пучків описується точно так, як і в топосі . Єдина відмінність:  є множиною всіх підпучків подаваного пучка .
* Загальніше, для будь-якої категорії  із заданою топологією Гротендіка  категорія -пучків множин є топосом Гротендіка. Більш того, будь-який топос Гротендіка має такий вигляд.
* Взагалі, не будь-який топос Гротендіка є категорією пучків на деякому топологічному просторі. Наприклад, топос пучків на топологічному просторі має точки, відповідні точкам цього простору, тоді як загальний топос може мати жодної точки. Аналогію між топосами і просторами можна зробити точною, якщо як простори розглядати локалі, при цьому категорія топосів виявляється еквівалентною категорії локалей. Неформально, локаль — це те, що залишається від поняття топологічного простору, якщо забути про точки і розглядати лише ґратку його відкритих підмножин. Для топологічних просторів немає різниці між поглядом них як на простори і як на локалі. Проте, локаль має відповідати деякому топологічному простору. Зокрема, вона повинна мати точки.

Література
* 
* 
* 
* 

