
Група називається скінченною -групою, якщо вона має порядок, рівний деякому степеню простого числа.

Основні властивості скінченних p-груп
Нехай  — скінченна -група, тоді

*  — нільпотентна;
* , де  — центр групи P;
* для будь-кого  в  існує нормальна підгрупа порядку ;
* якщо  нормальна в , то ;
* ;
* .

Деякі класи скінченних p-груп
У цьому розділі описано визначення та властивості деяких класів скінченних -груп, які найчастіше розглядаються в науковій літературі.

p-групи максимального класу
Скінченну -групу порядку називають групою максимального класу, якщо її степінь нільпотентності дорівнює .

Якщо  — скінченна -група максимального класу, то  і .

Єдиними 2-групами порядку  максимального класу є: діедральна група , узагальнена група кватерніонів  та напівдіедральна група  .

На відміну від 2-груп, випадок p-груп максимального класу при p>2 значно складніший.

p-центральні p-групи
Скінченну -групу називають -центральною, якщо . Поняття двоїсте, у певному сенсі, поняттю потужної -групи.

Потужні p-групи
Скінченну -групу називають потужною, якщо  при  і  при . Поняття двоїсте, у певному сенсі, поняттю -центральної -групи.

Регулярні p-групи
Скінченну -групу  називають регулярною, якщо для будь-яких  виконано , де . Регулярними є, наприклад, усі абелеві -групи. Групу, яка не є регулярною, називають нерегулярною.

* Будь-яка підгрупа та фактор-група регулярної -групи регулярна.
* Скінченна -група регулярна, якщо її підгрупа, породжена двома елементами, регулярна.
* Скінченна -група порядку не більшого  є регулярною.
* Скінченна -група, клас нільпотентності якої менше , є регулярною. Також регулярні всі групи класу нільпотентності 2 при .
* Будь-яка скінченна неабелева 2-група є нерегулярною.

Скінченні p-групи невеликих порядків

Число різних -груп порядку 

* Число неізоморфних груп порядку  дорівнює 1: група .
* Число неізоморфних груп порядку  дорівнює 2: групи  і .
* Число неізоморфних груп порядку  дорівнює 5, з них три абелеві групи: , ,  і дві неабелеві: при  —  і  ; при p = 2 — , .
* Число неізоморфних груп порядку  дорівнює 15 при , число груп порядку  дорівнює 14.
* Число неізоморфних груп порядку  дорівнює  при . Число груп порядку  дорівнює 51, число груп порядку  дорівнює 67.
* Число неізоморфних груп порядку  дорівнює  при . Число груп порядку  дорівнює 267, число груп порядку  дорівнює 504.
* Число неізоморфних груп порядку  дорівнює  при . Число груп порядку  дорівнює 2328, число груп порядку  дорівнює 9310, число груп порядку  дорівнює 34297.

p-групи порядку , асимптотика
При  число неізоморфних груп порядку  асимптотично дорівнює .

Відомі проблеми теорії кінцевих p-груп

Група автоморфізмів скінченної p-групи
Для груп -автоморфізмів скінченної -групи існують нескладні верхні оцінки, проте оцінки знизу значно складніші. Протягом понад півстоліття залишається відкритою така гіпотеза:

* Нехай  є нециклічною -групою порядку  тоді .

Цю гіпотезу підтверджено для великого класу -груп: абелевих груп, всіх груп порядків не більше , групи максимального класу. Однак загального підходу до цієї проблеми поки що не знайдено.

Гіпотеза Гігмена
Дж. Томпсон довів відому теорему, яка стверджує, що скінченна група з регулярним автоморфізмом простого порядку  нільпотентна.

* Нехай група  має регулярний автоморфізм простого порядку . Тоді її клас нільпотентності дорівнює .

Поки що доведено лише значно слабші оцінки:  (Кострикін, Крекнін).

Послаблена гіпотеза Бернсайда
Гіпотеза Бернсайда полягала в тому, що, якщо є група з  твірними та періодом  (тобто всі її елементи  задовольняють співвідношенню ), вона скінченна. Якщо це так, позначимо максимальну з цих груп через . Тоді всі інші групи з такою самою властивістю будуть її фактор-групами. Справді, як легко показати, група  є елементарною абелевою 2-групою. Ван дер Варден довів, що порядок групи  дорівнює . Однак, як показали Новіков і Адян, при  і за будь-якого непарного  група  нескінченна.

Послаблена гіпотеза Бернсайда стверджує, що порядки скінченних -породжених груп періоду  обмежені. Цю гіпотезу довів Юхим Зельманов. Для скінченних -груп вона означає, що існує лише скінченне число -груп даної експоненти та з цим числом твірних.

Нерегулярні p-групи
Класифікація нерегулярних -груп порядку 

Див. також

* GAP (система комп'ютерної алгебри)

Література

* Белоногов В. А. Задачник по теории групп — : Наука, 2000.
* 
* Холл М. Теория групп. Издательство иностранной литературы — , 1962.
* Хухро E.И. O p-группах автоморфизмов абелевых p-групп — Алгебра и логика, 39, N 3 (2000), 359—371.
* Berkovich Y. Groups of Prime Power Order, Parts I, II, (in preparation).
* Berkovich Y., Janko Z. Groups of Prime Power Order, Part III, (in preparation).
*  Finite groups — N.Y.: Harper and Row, 1968.
*  Endliche Gruppen I. — Berlin; Heidelberg; New York: Springer, 1967.
*  Groupes analytiques p-adiques — Publ. Math. Inst. Hautes Etud. Sci., 26 (1965), 389—603.
* , Mann A. Powerful p-groups, I: finite groups, J. Algebra, 105, N2 (1987), 484—505; II: p-adic analytic groups, ibid., 506—515.
* Weigel T. Combinatorial properties of p-central groups — Freiburg Univ., 1996, preprint.
* Weigel T. p-Central groups and Poincare duality — Freiburg Univ., 1996, preprint.

