
 Одиничну гіперболу позначено синім, її спряжену зеленим, асимптоти червоним.
В геометрії одинична гіпербола — це набір точок  декартової площини, які задовольняють рівняння  У теорії невизначених ортогональних груп одинична гіпербола є основою для альтернативної радіальної довжини (довжина вектора від початку координат до точки)

: 

Одиничне коло  повністю оточує свій центр, тоді як одиничну гіперболу  для цього необхідно доповнити її спряженою . Ця пара гіпербол має спільні асимптоти  і . Коли мова йде про спряжену одиничну гіперболу, альтернативна радіальна довжина визначається як 

Одинична гіпербола є частковим випадком прямокутної гіперболи з конкретними орієнтацією, розташуванням і масштабом. Отже, її ексцентриситет може бути однозначно обчислений і дорівнює  

Одинична гіпербола знаходить застосування в задачах аналітичної геометрії, де коло доводиться замінити гіперболою. Яскравим прикладом є зображення простору-часу як псевдоевклідового простору, де асимптоти одиничної гіперболи утворюють світловий конус. Крім того, результатом вивчення Ґреґуаром де Сен-Венсаном площ гіперболічних секторів стали функція логаритмування та сучасна параметризація гіперболи площами секторів.

Коли розуміються поняття спряжених гіпербол і гіперболічних кутів, класичні комплексні числа, побудовані на понятті одиничного кола, можна замінити числами, побудованими на понятті одиничної гіперболи.

Асимптоти
Зазвичай асимптоти визначаються як лінії, що збігаються до кривої. В алгебраїчній геометрії і теорії алгебраїчних кривих існує інший підхід. Крива спочатку розглядається як крива деякої проєктивної площини в однорідних координатах. Тоді асимптоти – це лінії, котрі є дотичними до проєктивної кривої в нескінченній точці, таким чином зникає потреба в концепції відстані та збіжності. У стандартних однорідних координатах  пряма на нескінченності задається рівнянням z = 0. Наприклад, К. Г. Гібсон писав: 

: Для стандартної прямокутної гіперболи  у ℝ2, відповідна проєктивна крива це  що проходить через   у точках  і . І , і  прості на  з дотичними , ; таким чином ми отримуємо вже знайоме поняття асимптот.

Діаграма Мінковського
Діаграму Мінковського малюють у просторово-часовій площині, де простір обмежують лише одним виміром (у координатах  та ). Як одиниці відстані і часу на такій площині використовують

* одиниці довжини по 30 сантиметрів і наносекунди
* астрономічні одиниці та інтервали 8 хвилин 20 секунд
* світлові роки й роки

У кожному із зазначених масштабів координат рух фотонів утворює світові лінії, що йдуть під кутом  до кожної осі (кутовий коефіцієнт ). Герман Мінковський використовував для опису перетворень Лоренца п'ять елементів: одинична гіпербола, її спряжена гіпербола, її осі, діаметр та спряжений діаметр. Осі гіперболи є осями координат статичної системи відліку. Діаметр одиничної гіперболи відповідає системі відліку, що рухається зі стрімкістю , де , а  — кінцева точка діаметра, що лежить на одиничній гіперболі. Спряжений діаметр є просторовою гіперплощиною одночасності (на якій лежать одночасні події) у системі відліку, що відповідає стрімкості a. Ця одинична гіпербола є калібрувальною гіперболою  . Зазвичай у теорії відносності гіпербола з вертикальною віссю вважається основною:

: Вісь часу йде від низу до верху графіка — формальність, прийнята Річардом Фейнманом у його знаменитих діаграмах. Просторові осі йдуть перпендикулярно до осі часу. Подія, що відповідає "тут і зараз", лежить у початку координат. 

Домовленість малювати вісь часу вертикально закріпилася через Мінковського в 1908 році, а також була використана в ілюстрації на 48 сторінці книги Еддінгтона «Природа фізичного світу» (1928).

Параметризація
 Гілки одиничної гіперболи утворюються точками  і  залежно від параметра гіперболічного кута .
Почнімо з параметризації повернутої одиничної гіперболи  за допомогою експоненціальної функції: 

Ця гіпербола може бути приведена до традиційної одиничної гіперболи  за допомогою лінійного відображення (повороту), що має матрицю 

: 

Параметр  називається гіперболічним кутом і є аргументом гіперболічних функцій.

Можна знайти ранню згадку параметризації одиничної гіперболи в "Елементи Динаміки" (1878) Вільяма Кліфорда. Він описує квазігармонійний рух по гіперболі наступним чином:

: Рух  має деякі цікаві аналогії з еліптичним гармонійним рухом. ... Прискорення , отже, воно завжди пропорційне відстані від центру, як і в еліптичному гармонійному русі, але спрямоване від центру. 

Як частковий випадок конічного перерізу, гіпербола може бути параметризована шляхом додавання точок на ній.

: Зафіксуймо точку Е на гіперболі. Точки, в яких пряма, проведена через E паралельно AB, перетинає гіперболу вдруге, називатимемо сумою точок A і B .
: Для гіперболи  з фіксованою точкою  сума точок  і  це точка . У параметризації  і  це додавання відповідає додаванню параметра t.

Алгебра на комплексній площині
Тоді як одиничне коло має велике значення на комплексній площині, одинична гіпербола є ключовим поняттям для площини подвійних чисел, що мають вигляд , де . Легко показати, що . Отже, дія  на площину полягає в тому, щоб поміняти місцями координати. Зокрема, ця дія міняє місцями одиничну гіперболу та її спряжену, а також пари спряжених діаметрів гіпербол.

Усі точки гіперболи можна виразити через параметр гіперболічного кута  як

: , де j = (0,1).

Права гілка одиничної гіперболи відповідає додатному коефіцієнту. Фактично ця гілка є образом експоненціального відображення, що діє на вісь j. Оскільки

: ,

ця гілка є групою відносно множення. На відміну від групи, що утворює коло, група, що утворює одиничну гіперболу, не є компактною. Подібно до звичайної комплексної площини, точка не на діагоналях має полярний розклад за допомогою параметра гіперболічного кута  та альтернативної радіальної довжини 

: 

Наведені варіанти запису називають алгебраїчний, тригонометричний та експоненціальний відповідно.

Список літератури


* F. Reese Harvey (1990) Spinors and calibrations, Figure 4.33, page 70, Academic Press, .

