Нері́вність трику́тника Ружі пов'язує всі попарні множини різниць трьох множин у довільній групі.

Формулювання
Нехай  — група і .

Тоді , де .

Нерівність трикутника із додаванням
Є ще одна нерівність, аналогічна нерівності трикутника Ружі, яка, однак, доводиться складніше, ніж класична — з використанням нерівності Плюннеке — Ружі, яку саму доводять зі використанням класичної нерівності Ружі.

: 

Доведення
Розглянемо функцію , що визначається як . Тоді для кожного образу  існує не менше  різних прообразів вигляду . Це означає, що загальна кількість прообразів не менша, ніж  . Значить, .

Аналогія з нерівністю трикутника
Розглянемо функцію, що визначає «відстань між множинами» в термінах різниці Мінковського:



Ця функція не є метрикою, тому що для неї не виконується рівність , але вона, очевидно, симетрична, і з нерівності Ружі безпосередньо випливає нерівність трикутника для неї:



Наслідки
Підставивши , отримаємо

: 
: 
: 

Підставивши , отримаємо

: 

Підставивши , отримаємо

: .

Див. також
* Нерівність Плюннеке — Ружі

Примітки


