Інтегра́льний опера́тор Фредгольма — цілком неперервний лінійний інтегральний оператор вигляду

: 

що відображає один простір функцій в інший. Тут  — область в евклідовому просторі ,  — функція, задана на декартовому квадраті , звана ядром інтегрального оператора. Для цілком неперервності оператора  на ядро  накладаються додаткові обмеження. Найчастіше розглядають неперервні ядра, -ядра, а також полярні ядра. Інтегральний оператор Фредгольма та його властивості використовують при розв'язуванні інтегрального рівняння Фредгольма.

Властивості

Лінійність
Інтегральний оператор Фредгольма є лінійним, тобто .

Неперервність
Інтегральний оператор з неперервним на  ядром , переводить  в  (і, отже,  в  і  в ) і обмежений (неперервний), причому

: 
: 
: 

де

: .

Інтегральний оператор з -ядром:

: 

переводить  в , неперервний і задовольняє оцінці:

: 

Існують умови неперервності інтегральних операторів з  в .

Цілком неперервність
Інтегральний оператор із неперервним ядром  є цілком неперервним з  в  тобто переводить будь-яку множину, обмежену в  у множину, передкомпактну в . Цілком неперервні оператори чудові тим, що для них справедлива альтернатива Фредгольма. Інтегральний оператор з неперервним ядром є границею послідовності скіняенних операторів із виродженими ядрами. Аналогічні твердження справедливі для інтегрального оператора з -ядром.

Існують також слабші достатні умови цілком неперервності (компактності) інтегрального оператора з  в .

Спряжений оператор
Споряжений оператор до оператора  з -ядром у гільбертовому просторі  має вигляд

: 

Якщо , то інтегральний оператор Фредгольма  є самоспряженим.

Обернений оператор
За досить малих значень  оператор  (де  — одиничний оператор) має обернений вигляду , де  — інтегральний оператор Фредгольма з ядром  — резольвентою ядра .

Див. також
* Інтегральне рівняння Фредгольму
* Ядро інтегрального оператора
* Теорія Фредгольма
* Альтернатива Фредгольма
* Цілком неперервний оператор

Примітки


Література
*  Хведелидзе Б. В. Интегральный оператор // Математическая энциклопедия: в 5 т. / Гл. ред. И. М. Виноградов. — : Советская энциклопедия, 1979. — Т. 2: Д — Коо. — 1104 стб. : ил. — 150 000 экз.
* 
* 
* 
* 

