
Then, using the interpolation inequality (cf. [1]}),
(), () and ()
we get
\(\Vert \mathring{R}^u_{q+1}\Vert _{C_tC^1_x}\lesssim & \Vert u_{q+1}\Vert _{C^2_{t,x}}+ \Vert  u_{q+1}\Vert _{C_tL^6_x}^{\frac{3-2{\alpha }_1}{4}} \Vert  u_{q+1}\Vert _{C_t W^{4,6}_x}^{\frac{2{\alpha }_1+1}{4}} \\& + \sum \limits _{0\le N_1+N_2\le 2}\left(\Vert u_{q+1}\Vert _{C^{N_1}_{t,x}}\Vert u_{q+1}\Vert _{C^{N_2}_{t,x}}+ \Vert B_{q+1}\Vert _{C^{N_1}_{t,x}}\Vert B_{q+1}\Vert _{C^{N_2}_{t,x}} \right) \\\lesssim & \lambda _{q+1}^{14}. \) 
