Généralité
Définition :
Une équation est une égalité dans laquelle un ou plusieurs nombres sont inconnus. Ces nombres sont appelés inconnus et remplacés par une ou des lettres. L'expression à gauche du signe = est le membre gauche et l'expression à droite est le membre droit.
Exemples :
4x + 2 = 10
3y - 4x = 2
(x + 7)(x - 5) = 0
Solution :
Pour qu'un nombre soit solution d'une équation, les deux membres de l'équation doivent être égaux lorsque le nombre est substitué à l'inconnu. Par exemple, pour 4x + 2 = 10, x = 2 est une solution car 4(2) + 2 = 10.
Cas avec plusieurs inconnues :
Pour une équation avec plusieurs inconnues, il faut trouver les valeurs de chaque inconnue qui satisfont l'équation.
Définition de résoudre une équation :
Résoudre une équation signifie trouver toutes les solutions de cette équation.
Résolution des équations x + a = b et ax = b
Règles :
On peut ajouter ou soustraire le même nombre dans les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
On peut multiplier ou diviser par le même nombre les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
Exemples :
x + 45 = 458
x = 458 - 45
x = 413
7 + x = 23
x = 23 - 7
x = 16
x - 5 = 12
x = 12 + 5
x = 17
Pour être sûr des calculs, il faut vérifier en testant la valeur trouvée :
413 + 45 = 458
7 + 16 = 23
17 - 5 = 12
Le plus grand diviseur commun de deux entiers est $(x+3)$ et leur plus petit multiple commun est $x(x+3)$, où $x$ est un entier positif. Si l'un des entiers est 40, quelle est la plus petite valeur possible de l'autre ?
Nous savons que $\gcd(m,n) \cdot \mathop{\text{lcm}}[m,n] = mn$ pour tous les entiers positifs $m$ et $n$. Par conséquent, dans ce cas, l'autre nombre est \[\frac{(x + 3) \cdot x(x + 3)}{40} = \frac{x(x + 3)^2}{40}.\] Pour minimiser ce nombre, nous minimisons $x$.

Cette expression n'est pas un entier pour $x =$ 1, 2, 3 ou 4, mais lorsque $x = 5$, cette expression est $5 \cdot 8^2/40 = 8$.

Notez que le plus grand diviseur commun de 8 et 40 est 8, et $x + 3 = 5 + 3 = 8$. Le plus petit multiple commun est 40, et $x(x + 3) = 5 \cdot (5 + 3) = 40$, donc $x = 5$ est une valeur possible. Par conséquent, la plus petite valeur possible pour l'autre nombre est $\boxed{8}$.