Généralité
Définition :
Une équation est une égalité dans laquelle un ou plusieurs nombres sont inconnus. Ces nombres sont appelés inconnus et remplacés par une ou des lettres. L'expression à gauche du signe = est le membre gauche et l'expression à droite est le membre droit.
Exemples :
4x + 2 = 10
3y - 4x = 2
(x + 7)(x - 5) = 0
Solution :
Pour qu'un nombre soit solution d'une équation, les deux membres de l'équation doivent être égaux lorsque le nombre est substitué à l'inconnu. Par exemple, pour 4x + 2 = 10, x = 2 est une solution car 4(2) + 2 = 10.
Cas avec plusieurs inconnues :
Pour une équation avec plusieurs inconnues, il faut trouver les valeurs de chaque inconnue qui satisfont l'équation.
Définition de résoudre une équation :
Résoudre une équation signifie trouver toutes les solutions de cette équation.
Résolution des équations x + a = b et ax = b
Règles :
On peut ajouter ou soustraire le même nombre dans les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
On peut multiplier ou diviser par le même nombre les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
Exemples :
x + 45 = 458
x = 458 - 45
x = 413
7 + x = 23
x = 23 - 7
x = 16
x - 5 = 12
x = 12 + 5
x = 17
Pour être sûr des calculs, il faut vérifier en testant la valeur trouvée :
413 + 45 = 458
7 + 16 = 23
17 - 5 = 12
Supposons que $\overline{abcd}$ soit un entier à quatre chiffres dont aucun chiffre n'est égal à zéro tel que $\overline{ab}$, $\overline{bc}$ et $\overline{cd}$ soient des entiers distincts qui se divisent chacun en $\overline{abcd}$. Trouvez la plus petite valeur possible de $\overline{abcd}$.
Puisque $\overline{ab} | \overline{abcd} = 100 \cdot \overline{ab} + \overline{cd}$, alors $\overline{ab}$ se divise aussi en $\overline{abcd} - 100 \cdot \overline{ab} = \overline{cd}$. De même, puisque $\overline{cd} | \overline{abcd} = 100 \cdot \overline{ab} + \overline{cd}$, alors $\overline{cd}$ doit se diviser en $\overline{abcd} - \overline{cd} = 100 \cdot \overline{ab}$. Pour minimiser $\overline{abcd}$, nous aimerions alors essayer $a = b = 1$. Il s'ensuit que $\overline{cd}$ est divisible par $11$, et se divise aussi en $100 \cdot \overline{ab} = 1100$. Ainsi, $\overline{cd} = 11,22,44,55$, mais nous pouvons éliminer le premier en raison de la condition de distinction. En essayant chacun des autres, nous voyons que $1122 = 2 \cdot 3 \cdot 11 \cdot 17$ n'est pas divisible par $12$; $1144 = 2^3 \cdot 11 \cdot 13$ n'est pas divisible par $14$; et $\boxed{1155} = 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11$ est en effet divisible par $15$.