Généralité
Définition :
Une équation est une égalité dans laquelle un ou plusieurs nombres sont inconnus. Ces nombres sont appelés inconnus et remplacés par une ou des lettres. L'expression à gauche du signe = est le membre gauche et l'expression à droite est le membre droit.
Exemples :
4x + 2 = 10
3y - 4x = 2
(x + 7)(x - 5) = 0
Solution :
Pour qu'un nombre soit solution d'une équation, les deux membres de l'équation doivent être égaux lorsque le nombre est substitué à l'inconnu. Par exemple, pour 4x + 2 = 10, x = 2 est une solution car 4(2) + 2 = 10.
Cas avec plusieurs inconnues :
Pour une équation avec plusieurs inconnues, il faut trouver les valeurs de chaque inconnue qui satisfont l'équation.
Définition de résoudre une équation :
Résoudre une équation signifie trouver toutes les solutions de cette équation.
Résolution des équations x + a = b et ax = b
Règles :
On peut ajouter ou soustraire le même nombre dans les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
On peut multiplier ou diviser par le même nombre les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
Exemples :
x + 45 = 458
x = 458 - 45
x = 413
7 + x = 23
x = 23 - 7
x = 16
x - 5 = 12
x = 12 + 5
x = 17
Pour être sûr des calculs, il faut vérifier en testant la valeur trouvée :
413 + 45 = 458
7 + 16 = 23
17 - 5 = 12
Soit $S$ l'ensemble de tous les entiers $k$ tels que, si $k$ est dans $S$, alors $\frac{17k}{66}$ et $\frac{13k}{105}$ sont des décimales terminales. Quel est le plus petit entier de $S$ qui soit supérieur à 2010 ?
Analysons d'abord la fraction $\frac{17k}{66}$. Nous pouvons réécrire cette fraction comme $\frac{17k}{2 \cdot 3 \cdot 11}$. Comme le dénominateur ne peut contenir que des puissances de 2 et 5, nous avons que $k$ doit être un multiple de 33. Nous continuons maintenant à analyser la fraction $\frac{13k}{105}$. Nous réécrivons cette fraction comme $\frac{13k}{3 \cdot 5 \cdot 7}$, et déduisons donc en utilisant une logique similaire que $k$ doit être un multiple de 21. À partir de là, nous procédons à la recherche du plus petit multiple commun de 21 et 33. Puisque $21 = 3 \cdot 7$ et $33 = 3 \cdot 11$, nous concluons que le plus petit multiple commun de 21 et 33 est $3 \cdot 7 \cdot 11 = 231$.

Nous savons maintenant que $S$ contient exactement les multiples de 231. Le plus petit multiple de 231 qui est supérieur à 2010 est $231 \cdot 9 = \boxed{2079}$.