Généralité
Définition :
Une équation est une égalité dans laquelle un ou plusieurs nombres sont inconnus. Ces nombres sont appelés inconnus et remplacés par une ou des lettres. L'expression à gauche du signe = est le membre gauche et l'expression à droite est le membre droit.
Exemples :
4x + 2 = 10
3y - 4x = 2
(x + 7)(x - 5) = 0
Solution :
Pour qu'un nombre soit solution d'une équation, les deux membres de l'équation doivent être égaux lorsque le nombre est substitué à l'inconnu. Par exemple, pour 4x + 2 = 10, x = 2 est une solution car 4(2) + 2 = 10.
Cas avec plusieurs inconnues :
Pour une équation avec plusieurs inconnues, il faut trouver les valeurs de chaque inconnue qui satisfont l'équation.
Définition de résoudre une équation :
Résoudre une équation signifie trouver toutes les solutions de cette équation.
Résolution des équations x + a = b et ax = b
Règles :
On peut ajouter ou soustraire le même nombre dans les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
On peut multiplier ou diviser par le même nombre les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
Exemples :
x + 45 = 458
x = 458 - 45
x = 413
7 + x = 23
x = 23 - 7
x = 16
x - 5 = 12
x = 12 + 5
x = 17
Pour être sûr des calculs, il faut vérifier en testant la valeur trouvée :
413 + 45 = 458
7 + 16 = 23
17 - 5 = 12
Exprimez le terme suivant de la séquence sous forme décimale : $$0, 0,5, 0,\overline{6}, 0,75 \dots $$
Pour trouver le modèle de la séquence, nous commençons par convertir chacune des valeurs décimales en une fraction commune. Le premier terme $0$ est égal à $\frac{0}{1}$. Le terme suivant, $0,5$, peut s'écrire comme $\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$. Pour exprimer $0.\overline{6}$ sous forme de fraction commune, nous l'appelons $x$ et le soustrayons de $10x$ :

$$\begin{array}{r r c r@{}l}
&10x &=& 6&.66666\ldots \\
- &x &=& 0&.66666\ldots \\
\hline
&9x &=& 6 &
\end{array}$$

Cela montre que $0.\overline{6} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$. Le quatrième terme de la série, $0,75$, devient $\frac{75}{100}=\frac{3}{4}$. Ainsi, lorsque nous écrivons des fractions au lieu de décimales, notre séquence est : $$\frac{0}{1}, \frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \cdots$$ En observant cette séquence, nous réalisons que le premier terme de la séquence est $\frac{0}{1}$ et que chaque terme successif est trouvé en ajoutant $1$ au numérateur et au dénominateur du terme précédent. Ainsi, le terme suivant de la séquence est $\frac{3+1}{4+1}=\frac{4}{5}=\boxed{0,8}$.