Définition : a, a', b, b', c, et c' sont des nombres réels non nuls. L'écriture de la forme ax + by = c s'appelle un système de deux équations. 2x + y = 4 est du premier degré à deux inconnues.

Résoudre un système : C'est trouver les couples (x, y) (s'ils existent) qui vérifient les deux équations.

Résolution algébrique

1. Méthode de substitution
   - Définition : Exprimer l'une des inconnues en fonction de l'autre dans une des équations, et la remplacer dans l'autre équation pour obtenir une équation à une inconnue.
   - Exemple : 
     1) 9x + y = 11 
     2) x + 3y = 8
   - Étapes :
     - On isole y dans l'équation (1) : y = 11 - 9x
     - On remplace dans l'équation (2) : x + 3(11 - 9x) = 8
     - Résolution : x = 3, y = -16

2. Méthode de combinaison linéaire
   - Définition : Multiplier chaque équation du système par un nombre convenable pour trouver deux coefficients opposés pour la même inconnue, ensuite additionner les deux équations simplifiées pour obtenir une équation à une inconnue.
   - Exemple : 
     1) 2x + 3y = 5
     2) 5x + 6y = 14
   - Étapes :
     - On multiplie (1) par 2 : 4x + 6y = 10
     - On multiplie (2) par 1 : 5x + 6y = 14
     - On soustrait (2) à (1) : x = -4, y = 1

Résolution graphique
- Définition : Représenter chaque équation du système par une droite, déterminer le couple de coordonnées de leur point d'intersection (s'il existe) et vérifier s'il est commun à toutes les droites.
- Exemple : 
  - Résoudre 4x - y = 20 et 2x + y = 10.
  - Construction graphique des droites.
  - Le point de solution est (5, 0).

Systèmes et problèmes
- Étapes de résolution d'un problème :
  1. Choix des inconnues : Traduire la question.
  2. Mise en système : Transformation des données en équations.
  3. Résolution du système : Algébriquement.
  4. Retour au problème : Vérification de la solution et réponse à la question.
Résolvez le système d'équations linéaires suivant : 4x + 2y = 10 2x - 3y = -8
Pour résoudre ce système d'équations linéaires, nous pouvons utiliser la méthode de substitution ou d'élimination. Dans ce cas, nous utiliserons la méthode d'élimination. Tout d'abord, nous allons multiplier la deuxième équation par 2 pour rendre les coefficients de x dans les deux équations égaux : 4x + 2y = 10 (Équation 1) 4x - 6y = -16 (Équation 2, après multiplication par 2) Maintenant, nous allons soustraire l'Équation 1 de l'Équation 2 pour éliminer x : (4x - 6y) - (4x + 2y) = -16 - 10 -8y = -26 Maintenant, nous allons résoudre pour y : y = -26 / -8 y = 13/4 Maintenant que nous avons la valeur de y, nous pouvons la substituer dans l'Équation 1 ou l'Équation 2 pour résoudre pour x. Nous utiliserons l'équation 1 : 4x + 2(13/4) = 10 4x + 13/2 = 10 Pour résoudre x, nous allons d'abord convertir tous les termes pour avoir un dénominateur commun, qui est 4 : 8x + 13 = 20 Maintenant, nous allons soustraire 13 des deux côtés : 8x = 7 Enfin, nous allons diviser par 8 pour obtenir la valeur de x : x = 7/8 Ainsi, la solution du système d'équations linéaires est x = 7/8 et y = 13/4.