Définition : a, a', b, b', c, et c' sont des nombres réels non nuls. L'écriture de la forme ax + by = c s'appelle un système de deux équations. 2x + y = 4 est du premier degré à deux inconnues.

Résoudre un système : C'est trouver les couples (x, y) (s'ils existent) qui vérifient les deux équations.

Résolution algébrique

1. Méthode de substitution
   - Définition : Exprimer l'une des inconnues en fonction de l'autre dans une des équations, et la remplacer dans l'autre équation pour obtenir une équation à une inconnue.
   - Exemple : 
     1) 9x + y = 11 
     2) x + 3y = 8
   - Étapes :
     - On isole y dans l'équation (1) : y = 11 - 9x
     - On remplace dans l'équation (2) : x + 3(11 - 9x) = 8
     - Résolution : x = 3, y = -16

2. Méthode de combinaison linéaire
   - Définition : Multiplier chaque équation du système par un nombre convenable pour trouver deux coefficients opposés pour la même inconnue, ensuite additionner les deux équations simplifiées pour obtenir une équation à une inconnue.
   - Exemple : 
     1) 2x + 3y = 5
     2) 5x + 6y = 14
   - Étapes :
     - On multiplie (1) par 2 : 4x + 6y = 10
     - On multiplie (2) par 1 : 5x + 6y = 14
     - On soustrait (2) à (1) : x = -4, y = 1

Résolution graphique
- Définition : Représenter chaque équation du système par une droite, déterminer le couple de coordonnées de leur point d'intersection (s'il existe) et vérifier s'il est commun à toutes les droites.
- Exemple : 
  - Résoudre 4x - y = 20 et 2x + y = 10.
  - Construction graphique des droites.
  - Le point de solution est (5, 0).

Systèmes et problèmes
- Étapes de résolution d'un problème :
  1. Choix des inconnues : Traduire la question.
  2. Mise en système : Transformation des données en équations.
  3. Résolution du système : Algébriquement.
  4. Retour au problème : Vérification de la solution et réponse à la question.
Résoudre le système d'équations linéaires : 2x - y = 5 3x + 2y = 12
Pour résoudre le système d'équations linéaires, nous pouvons utiliser la méthode de substitution ou d'élimination. Dans ce cas, nous utiliserons la méthode d'élimination. Tout d'abord, nous allons multiplier la première équation par 2 pour que les coefficients de y dans les deux équations soient égaux : (2x - y) * 2 = 5 * 2 4x - 2y = 10 Nous avons maintenant les deux équations : 4x - 2y = 10 3x + 2y = 12 Ensuite, nous allons additionner les deux équations pour éliminer la variable y : (4x - 2y) + (3x + 2y) = 10 + 12 4x + 3x = 22 7x = 22 Maintenant, nous allons résoudre pour x : x = 22 / 7 Maintenant que nous avons la valeur de x, nous pouvons la remplacer dans l'une des équations d'origine pour trouver la valeur de y. Nous allons utiliser la première équation : 2x - y = 5 2(22/7) - y = 5 44/7 - y = 5 Pour résoudre y, nous allons d'abord soustraire 44/7 des deux côtés de l'équation : -y = 5 - 44/7 -y = (35 - 44)/7 -y = -9/7 Maintenant, nous allons multiplier les deux côtés par -1 pour trouver la valeur de y : y = 9/7 Donc la solution du système d'équations linéaires est : x = 22/7 y = 9/7