Équations et Résolution de Problèmes

Définition d'une équation : Une équation est une égalité mathématique entre deux expressions contenant une ou plusieurs inconnues. Résoudre une équation consiste à trouver la valeur de l’inconnue qui rend l’égalité vraie. Exemple : 2x + 3 = 7. Pour résoudre cette équation, on cherche la valeur de x qui vérifie l’égalité.

Les types d’équations : 1. Équation du premier degré : L’inconnue apparaît avec un exposant 1. Exemple : 5x - 7 = 3. 2. Équation du deuxième degré : L’inconnue apparaît avec un exposant 2. Exemple : x² - 4x + 4 = 0.

Étapes de résolution d'une équation : 1. Isoler l'inconnue : Simplifier l’équation (réduire les termes similaires, éliminer les parenthèses). Transposer tous les termes contenant l'inconnue d'un côté de l'équation et les termes constants de l'autre côté. 2. Effectuer les opérations inverses : Si l’inconnue est multipliée, on divise. Si l’inconnue est additionnée, on soustrait. Si l’inconnue est au carré, on prend la racine carrée. 3. Vérifier la solution : Remplacer la solution trouvée dans l’équation initiale pour vérifier si l'égalité est respectée.

Exemple de résolution d'une équation du premier degré : 3x + 2 = 11. 1. On soustrait 2 des deux côtés : 3x = 11 - 2, donc 3x = 9. 2. On divise par 3 : x = 9 / 3, donc x = 3. 3. Vérification : 3(3) + 2 = 11, donc la solution est correcte.

Résolution de problèmes avec des équations : Pour résoudre un problème avec des équations, suivez ces étapes : 1. Comprendre le problème : Identifier les informations données et ce qu’on cherche à trouver. 2. Définir l’inconnue : Attribuer une lettre (souvent x) à l’élément inconnu. 3. Traduire le problème en équation : Utiliser les informations données pour créer une équation. 4. Résoudre l’équation : Appliquer les étapes de résolution d’une équation. 5. Interpréter la solution : Vérifier si la solution est cohérente avec le contexte du problème.

Exemple : Pierre a trois ans de plus que son frère. La somme de leurs âges est de 25 ans. Quel âge a Pierre ? 1. Compréhension : Pierre a un frère et la somme de leurs âges est 25. 2. Inconnue : Soit x l'âge du frère de Pierre. 3. Équation : x + (x + 3) = 25. 4. Résolution : 2x + 3 = 25, donc 2x = 25 - 3, donc 2x = 22, donc x = 22 / 2, donc x = 11. Pierre a donc 11 + 3 = 14 ans. 5. Interprétation : Pierre a 14 ans et son frère 11 ans. La somme est bien de 25.

Une femme essaie de décider s'il serait plus rapide de prendre l'avion ou de se rendre à un entretien d'embauche en voiture. Si elle conduit elle-même, le trajet lui prendra 3 heures et 15 minutes. Si elle prend l'avion, elle devra d'abord conduire 10 minutes jusqu'à l'aéroport, puis attendre 20 minutes pour monter à bord. Après cela, elle sera dans l'avion pendant un tiers du temps qu'il lui aurait fallu en conduisant elle-même avant d'atterrir dans la ville de destination. Enfin, il lui faudra 10 minutes supplémentaires pour descendre de l'avion et arriver sur le lieu de l'entretien après l'atterrissage. Compte tenu de ces informations, de combien de minutes lui faudra-t-il pour prendre l'avion ?
Premièrement, nous devons convertir le temps de conduite de 3 heures et 15 minutes en minutes. Comme il y a 60 minutes dans une heure, conduire prend au total 3*60 + 15 = <<3*60+15=195>>195 minutes. 
Ensuite, la femme sera dans l'avion pendant un tiers de 195 minutes, soit 195/3 = <<195/3=65>>65 minutes. 
Par conséquent, au total, le trajet en avion prendra à la femme 10 + 20 + 65 + 10 = <<10+20+65+10=105>>105 minutes. 
Ainsi, le trajet en avion est 195 - 105 = <<195-105=90>>90 minutes plus rapide que de se rendre à l'entretien en voiture. 
#### 90