Triangle Rectangle et Cercle

I. Milieu de l’hypoténuse d’un triangle rectangle :
- Propriété : Le milieu de l’hypoténuse d’un triangle rectangle est équidistant de ses sommets.
- Exemple : Si ABC est un triangle rectangle en A, et I est le milieu du segment [BC], alors IA = IB = IC.
- Propriété réciproque : Si I est équidistant des trois sommets d’un triangle ABC, alors ce triangle est rectangle en A.

II. Cercle circonscrit à un triangle rectangle :
- Propriété : Si un triangle est rectangle, alors le milieu de l’hypoténuse est le centre de son cercle circonscrit.
- Exemple : Dans un triangle rectangle ABC en A, le milieu de [BC] est le centre du cercle circonscrit du triangle.

III. Théorème de Pythagore :
- Théorème : Si un triangle est rectangle, alors le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.
- Exemple : Si ABC est un triangle rectangle en A avec AB = 6 cm et AC = 8 cm, alors BC² = AB² + AC².
  * BC² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100 donc BC = 10 cm.

IV. Cosinus d’un angle aigu :
- Définition : Le cosinus d’un angle aigu est le quotient de la longueur du côté adjacent à cet angle par la longueur de l’hypoténuse.
- Exemple : Si ABC est un triangle rectangle en C avec AC = 3 cm et AB = 5 cm, alors cos A = AC / AB = 3 / 5 = 0,6.
- Remarque : Puisque l’hypoténuse est le plus grand côté d’un triangle rectangle, le cosinus d’un angle aigu est compris entre 0 et 1.

 Compléter les propriétés des triangles rectangles

a. « Si \( AB^2 + AC^2 = BC^2 \) alors le triangle ABC est rectangle en A. »
b. « Si \( DE^2 + DF^2 = EF^2 \) alors le triangle DEF est rectangle en ... »
c. « Si \( IJ^2 + IK^2 = JK^2 \) alors le triangle IJK est rectangle en ... »
d. « Si \( RS^2 + ST^2 = RT^2 \) alors le triangle RST est rectangle en ... »
e. « Si \( LM^2 + NM^2 = LN^2 \) alors le triangle LMN est rectangle en ... »
f. « Si \( CA^2 + BC^2 = BA^2 \) alors le triangle ABC est rectangle en ... »
g. « Si \( FE^2 + ED^2 = DF^2 \) alors le triangle DEF est rectangle en ... »
h. « Si \( BA^2 + CA^2 = CB^2 \) alors le triangle ABC est rectangle en ... »
i. « Si \( IK^2 + KJ^2 = IJ^2 \) alors le triangle IJK est rectangle en ... »
j. « Si \( XY^2 + ZX^2 = ZY^2 \) alors le triangle XYZ est rectangle en ... »

a. « Si \( AB^2 + AC^2 = BC^2 \) alors le triangle ABC est rectangle en A. »
b. « Si \( DE^2 + DF^2 = EF^2 \) alors le triangle DEF est rectangle en D. »
c. « Si \( IJ^2 + IK^2 = JK^2 \) alors le triangle IJK est rectangle en K. »
d. « Si \( RS^2 + ST^2 = RT^2 \) alors le triangle RST est rectangle en S. »
e. « Si \( LM^2 + NM^2 = LN^2 \) alors le triangle LMN est rectangle en M. »
f. « Si \( CA^2 + BC^2 = BA^2 \) alors le triangle ABC est rectangle en C. »
g. « Si \( FE^2 + ED^2 = DF^2 \) alors le triangle DEF est rectangle en F. »
h. « Si \( BA^2 + CA^2 = CB^2 \) alors le triangle ABC est rectangle en B. »
i. « Si \( IK^2 + KJ^2 = IJ^2 \) alors le triangle IJK est rectangle en J. »
j. « Si \( XY^2 + ZX^2 = ZY^2 \) alors le triangle XYZ est rectangle en Y. »
