Généralité
Définition :
Une équation est une égalité dans laquelle un ou plusieurs nombres sont inconnus. Ces nombres sont appelés inconnus et remplacés par une ou des lettres. L'expression à gauche du signe = est le membre gauche et l'expression à droite est le membre droit.
Exemples :
4x + 2 = 10
3y - 4x = 2
(x + 7)(x - 5) = 0
Solution :
Pour qu'un nombre soit solution d'une équation, les deux membres de l'équation doivent être égaux lorsque le nombre est substitué à l'inconnu. Par exemple, pour 4x + 2 = 10, x = 2 est une solution car 4(2) + 2 = 10.
Cas avec plusieurs inconnues :
Pour une équation avec plusieurs inconnues, il faut trouver les valeurs de chaque inconnue qui satisfont l'équation.
Définition de résoudre une équation :
Résoudre une équation signifie trouver toutes les solutions de cette équation.
Résolution des équations x + a = b et ax = b
Règles :
On peut ajouter ou soustraire le même nombre dans les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
On peut multiplier ou diviser par le même nombre les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
Exemples :
x + 45 = 458
x = 458 - 45
x = 413
7 + x = 23
x = 23 - 7
x = 16
x - 5 = 12
x = 12 + 5
x = 17
Pour être sûr des calculs, il faut vérifier en testant la valeur trouvée :
413 + 45 = 458
7 + 16 = 23
17 - 5 = 12
Un $\textit{palindrome}$ est un entier qui se lit de la même manière dans le bon sens et dans le mauvais sens. Combien de palindromes positifs à 3 chiffres sont des multiples de $3$ ?
Un palindrome à 3 chiffres doit être de la forme $aba$, où $a$ et $b$ sont des chiffres et $a\neq 0$. Pour que $aba$ soit divisible par $3$, nous exigeons que $a + b + a = 2a + b$ soit divisible par $3$. Puisque $0 < a\leq 9$ et $0 \leq b \leq 9$, la valeur maximale possible de $2a+b$ est $2\cdot 9 + 9 = 27$. Nous allons lister tous les multiples de $3$ de $0$ à $27$ et déterminer combien de possibilités pour $a, b$ rendent $2a + b$ égal à ce multiple.

Si $2a + b = 0$, alors il n'y a pas de solutions telles que $a \neq 0$.
Si $2a+b=3$, alors $b=3-2a$, donc $a=1$ est la seule solution.
Si $2a+b=6$, alors $b=6-2a$, donc $a=1,2,3$, puisque $a\ge 4$ rendra $b$ négatif.
Si $2a+b=9$, alors $b=9-2a$, donc $a=1,2,3,4$, puisque $a\ge 5$ rendra $b$ négatif.
Si $2a+b=12$, alors $b=12-2a$, donc $a=2,3,4,5,6$, puisque $a\le 1$ rendra $b\ge 10$, et $a\ge 7$ rendra $b$ négatif.
Si $2a+b=15$, alors $b=15-2a$, donc $a=3,4,5,6,7$, puisque $a\le 2$ rendra $b\ge 10$, et $a\ge 8$ rendra $b$ négatif.
Si $2a+b=18$, alors $b=18-2a$, donc $a=5,6,7,8,9$, puisque $a\le 4$ fera $b\ge 10$, et $a$ doit être inférieur à $10$.
Si $2a+b=21$, alors $b=21-2a$, donc $a=6,7,8,9$, puisque $a\le 5$ fera $b\ge 10$, et $a$ doit être inférieur à $10$.
Si $2a+b=24$, alors $b=24-2a$, donc $a=8,9$, puisque $a\le 7$ fera $b\ge 10$, et $a$ doit être inférieur à $10$.
Si $2a+b=27$, alors $b=27-2a$, donc $a=9$, puisque comme nous l'avons vu, $a$ et $b$ doivent tous deux être aussi grands que possible.

Dans chaque cas, une valeur de $a$ détermine de manière unique une valeur de $b$, nous n'avons donc oublié aucun palindrome. Ainsi, le nombre total est $1+3+4+5+5+5+4+2+1=\boxed{30}$.