Généralité
Définition :
Une équation est une égalité dans laquelle un ou plusieurs nombres sont inconnus. Ces nombres sont appelés inconnus et remplacés par une ou des lettres. L'expression à gauche du signe = est le membre gauche et l'expression à droite est le membre droit.
Exemples :
4x + 2 = 10
3y - 4x = 2
(x + 7)(x - 5) = 0
Solution :
Pour qu'un nombre soit solution d'une équation, les deux membres de l'équation doivent être égaux lorsque le nombre est substitué à l'inconnu. Par exemple, pour 4x + 2 = 10, x = 2 est une solution car 4(2) + 2 = 10.
Cas avec plusieurs inconnues :
Pour une équation avec plusieurs inconnues, il faut trouver les valeurs de chaque inconnue qui satisfont l'équation.
Définition de résoudre une équation :
Résoudre une équation signifie trouver toutes les solutions de cette équation.
Résolution des équations x + a = b et ax = b
Règles :
On peut ajouter ou soustraire le même nombre dans les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
On peut multiplier ou diviser par le même nombre les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
Exemples :
x + 45 = 458
x = 458 - 45
x = 413
7 + x = 23
x = 23 - 7
x = 16
x - 5 = 12
x = 12 + 5
x = 17
Pour être sûr des calculs, il faut vérifier en testant la valeur trouvée :
413 + 45 = 458
7 + 16 = 23
17 - 5 = 12
Chacun des entiers $1,$ $2,$ $3,$ $\dots,$ $16$ est écrit sur un morceau de papier séparé et ces morceaux sont placés dans une pile. Jillian tirera au hasard des morceaux de papier de la pile sans remise et continuera à tirer jusqu'à ce que deux des nombres qu'elle a tirés de la pile aient un produit qui est un carré parfait. Quel est le nombre maximum de morceaux que Jillian peut tirer sans obtenir un produit qui est un carré parfait ?
Rappelons qu'un entier est dit sans carré si le seul exposant qui apparaît dans la factorisation première de l'entier est $1.$ Par exemple, $2\cdot3\cdot11$ est sans carré, mais $7^3\cdot13$ et $2^2\cdot3$ ne le sont pas. Nous définissons la « partie sans carré » d'un entier positif qui n'est pas un carré parfait comme étant le plus grand facteur sans carré de l'entier. Par exemple, la partie sans carré de $18$ est $6,$ et la partie sans carré de $54$ est $6.$ Les carrés parfaits ont une partie sans carré de $1.$

Remarquez que deux entiers positifs se multiplient pour donner un carré parfait si et seulement si leurs parties sans carré sont égales ou si les entiers sont tous deux des carrés parfaits. Par conséquent, si nous regardons les parties sans carré des entiers compris entre $1$ et $16,$ le nombre maximum de fiches que Jillian peut tirer est le nombre de parties sans carré distinctes qui apparaissent. Le tableau ci-dessous (divisé en deux lignes) montre les parties sans carré des entiers compris entre $1$ et $16.$ \begin{tabular}{cccccccc}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ \hline
1 & 2 & 3 & 1 & 5 & 6 & 7 & 2
\end{tabular} \begin{tabular}{cccccccc}
9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 \\ \hline
1 & 10 & 11 & 3 & 13 & 14 & 15 & 1
\end{tabular} Jillian peut tirer les fiches marquées $5,$ $6,$ $7,$ $10,$ $11,$ $13,$ $14,$ et $15,$ ainsi qu'une de chacun des ensembles $\{1,4,9,16\},$ $\{2,8\},$ et $\{3,12\}$ pour un total de $\boxed{11}$ feuillets.