Équations et Résolution de Problèmes

Définition d'une équation : Une équation est une égalité mathématique entre deux expressions contenant une ou plusieurs inconnues. Résoudre une équation consiste à trouver la valeur de l’inconnue qui rend l’égalité vraie. Exemple : 2x + 3 = 7. Pour résoudre cette équation, on cherche la valeur de x qui vérifie l’égalité.

Les types d’équations : 1. Équation du premier degré : L’inconnue apparaît avec un exposant 1. Exemple : 5x - 7 = 3. 2. Équation du deuxième degré : L’inconnue apparaît avec un exposant 2. Exemple : x² - 4x + 4 = 0.

Étapes de résolution d'une équation : 1. Isoler l'inconnue : Simplifier l’équation (réduire les termes similaires, éliminer les parenthèses). Transposer tous les termes contenant l'inconnue d'un côté de l'équation et les termes constants de l'autre côté. 2. Effectuer les opérations inverses : Si l’inconnue est multipliée, on divise. Si l’inconnue est additionnée, on soustrait. Si l’inconnue est au carré, on prend la racine carrée. 3. Vérifier la solution : Remplacer la solution trouvée dans l’équation initiale pour vérifier si l'égalité est respectée.

Exemple de résolution d'une équation du premier degré : 3x + 2 = 11. 1. On soustrait 2 des deux côtés : 3x = 11 - 2, donc 3x = 9. 2. On divise par 3 : x = 9 / 3, donc x = 3. 3. Vérification : 3(3) + 2 = 11, donc la solution est correcte.

Résolution de problèmes avec des équations : Pour résoudre un problème avec des équations, suivez ces étapes : 1. Comprendre le problème : Identifier les informations données et ce qu’on cherche à trouver. 2. Définir l’inconnue : Attribuer une lettre (souvent x) à l’élément inconnu. 3. Traduire le problème en équation : Utiliser les informations données pour créer une équation. 4. Résoudre l’équation : Appliquer les étapes de résolution d’une équation. 5. Interpréter la solution : Vérifier si la solution est cohérente avec le contexte du problème.

Exemple : Pierre a trois ans de plus que son frère. La somme de leurs âges est de 25 ans. Quel âge a Pierre ? 1. Compréhension : Pierre a un frère et la somme de leurs âges est 25. 2. Inconnue : Soit x l'âge du frère de Pierre. 3. Équation : x + (x + 3) = 25. 4. Résolution : 2x + 3 = 25, donc 2x = 25 - 3, donc 2x = 22, donc x = 22 / 2, donc x = 11. Pierre a donc 11 + 3 = 14 ans. 5. Interprétation : Pierre a 14 ans et son frère 11 ans. La somme est bien de 25.

1 800 poissons nagent vers l'ouest, 3 200 vers l'est et 500 vers le nord. Quel est le nombre de poissons restant dans la mer si les pêcheurs capturent 2/5 des poissons qui ont nagé vers l'est et 3/4 des poissons qui ont nagé vers l'ouest ?
Lorsque les pêcheurs ont attrapé 3/4 des poissons qui ont nagé vers l'ouest, leur nombre total a diminué de 3/4 * 1800 poissons = <<3/4*1800=1350>>1350 
Le nombre total de poissons qui sont restés du nombre total de poissons qui ont nagé vers l'est est de 1800 poissons - 1350 poissons = <<1800-1350=450>>450 poissons 
Si les pêcheurs ont attrapé 2/5 des poissons qui ont nagé vers l'est, leur nombre total a diminué de 2/5 * 3200 poissons = <<2/5*3200=1280>>1280 poissons 
3200 poissons - 1280 poissons = <<3200-1280=1920>>1920 poissons sont restés dans la mer du nombre de poissons qui ont nagé vers l'ouest.
Le nombre total de poissons dans la mer après que les pêcheurs en aient attrapé est de 500 de ceux qui sont allés au nord + 450 de ceux qui ont nagé vers l'ouest + 1920 de ceux qui ont nagé vers l'est = <<500+450+1920=2870>>2870 poissons 
#### 2870