Généralité
Définition :
Une équation est une égalité dans laquelle un ou plusieurs nombres sont inconnus. Ces nombres sont appelés inconnus et remplacés par une ou des lettres. L'expression à gauche du signe = est le membre gauche et l'expression à droite est le membre droit.
Exemples :
4x + 2 = 10
3y - 4x = 2
(x + 7)(x - 5) = 0
Solution :
Pour qu'un nombre soit solution d'une équation, les deux membres de l'équation doivent être égaux lorsque le nombre est substitué à l'inconnu. Par exemple, pour 4x + 2 = 10, x = 2 est une solution car 4(2) + 2 = 10.
Cas avec plusieurs inconnues :
Pour une équation avec plusieurs inconnues, il faut trouver les valeurs de chaque inconnue qui satisfont l'équation.
Définition de résoudre une équation :
Résoudre une équation signifie trouver toutes les solutions de cette équation.
Résolution des équations x + a = b et ax = b
Règles :
On peut ajouter ou soustraire le même nombre dans les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
On peut multiplier ou diviser par le même nombre les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
Exemples :
x + 45 = 458
x = 458 - 45
x = 413
7 + x = 23
x = 23 - 7
x = 16
x - 5 = 12
x = 12 + 5
x = 17
Pour être sûr des calculs, il faut vérifier en testant la valeur trouvée :
413 + 45 = 458
7 + 16 = 23
17 - 5 = 12
Chaque semaine, entre 30 et 50 élèves se présentent à un cours de tir à l'arc organisé par Betty et Wilma. Habituellement, les élèves se répartissent en groupes de taille égale pour s'entraîner au tir. Cependant, cette semaine, Betty a remarqué qu'elle ne pouvait pas diviser les élèves en plusieurs groupes de taille égale. Wilma a remarqué que même si Betty et elle se joignaient aux élèves pour s'entraîner, elles ne pouvaient toujours pas diviser les archers en groupes de taille égale. Combien d'élèves se sont présentés au cours de tir à l'arc cette semaine ?
Soit $n$ le nombre d'élèves de la classe. Betty a remarqué que $n$ n'a pas de diviseur entre 1 et lui-même, donc $n$ est premier. Wilma a remarqué que $n + 2$ est premier. Cela signifie que nous recherchons le plus petit des deux nombres premiers qui diffèrent de 2 et qui sont compris entre 30 et 50. Les nombres premiers dans cette plage sont 31, 37, 41, 43 et 47. Puisque 41 et 43 diffèrent de 2, $n = \boxed{41}$.