Généralité
Définition :
Une équation est une égalité dans laquelle un ou plusieurs nombres sont inconnus. Ces nombres sont appelés inconnus et remplacés par une ou des lettres. L'expression à gauche du signe = est le membre gauche et l'expression à droite est le membre droit.
Exemples :
4x + 2 = 10
3y - 4x = 2
(x + 7)(x - 5) = 0
Solution :
Pour qu'un nombre soit solution d'une équation, les deux membres de l'équation doivent être égaux lorsque le nombre est substitué à l'inconnu. Par exemple, pour 4x + 2 = 10, x = 2 est une solution car 4(2) + 2 = 10.
Cas avec plusieurs inconnues :
Pour une équation avec plusieurs inconnues, il faut trouver les valeurs de chaque inconnue qui satisfont l'équation.
Définition de résoudre une équation :
Résoudre une équation signifie trouver toutes les solutions de cette équation.
Résolution des équations x + a = b et ax = b
Règles :
On peut ajouter ou soustraire le même nombre dans les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
On peut multiplier ou diviser par le même nombre les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
Exemples :
x + 45 = 458
x = 458 - 45
x = 413
7 + x = 23
x = 23 - 7
x = 16
x - 5 = 12
x = 12 + 5
x = 17
Pour être sûr des calculs, il faut vérifier en testant la valeur trouvée :
413 + 45 = 458
7 + 16 = 23
17 - 5 = 12
Le chiffre 4 est écrit sur mon tableau blanc. Chaque fois qu'il pleut, je multiplie le chiffre inscrit sur le tableau blanc par $\frac{2}{3}$, j'efface le chiffre d'origine et j'écris le nouveau chiffre sur le tableau blanc. Lorsqu'il neige, je multiplie le chiffre inscrit sur le tableau blanc par $\frac{3}{5}$ et je remplace le chiffre d'origine par le nouveau chiffre. Il a plu 5 fois et neigé 4 fois ce mois-ci. À la fin du mois, quel chiffre est inscrit sur le tableau blanc ?
Comme il a plu 5 fois, j'ai multiplié par $\frac{2}{3}$ un total de 5 fois. Cela revient à multiplier par $\left(\frac{2}{3}\right)^5$, par définition de l'exposant. De même, j'ai multiplié par $\frac{3}{5}$ quatre fois, ou multiplié par $\left(\frac{3}{5}\right)^4$.

Comme j'ai commencé avec 4 sur le tableau blanc au début du mois, le nombre sur le tableau à la fin du mois est $\displaystyle 4\left(\frac{2}{3}\right)^5\left(\frac{3}{5}\right)^4$.

Nous savons que $\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}$, nous avons donc $$4\left(\frac{2}{3}\right)^5\left(\frac{3}{5}\right)^4=4\left(\frac{2^5}{3^5}\right)\left(\frac{3^4}{5^4}\right).$$Nous pouvons simplifier ce calcul en réécrivant l'expression et en utilisant la loi des exposants $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$, comme indiqué ci-dessous : \begin{align*} 4\left(\frac{2^5}{3^5}\right)\left(\frac{3^4}{5^4}\right)&=\left(\frac{4\cdot2^5}{5^4}\right)\left(\frac{3^4}{3^5}\right) \\ &=\left(\frac{4\cdot2^5}{5^4}\right)\left(3^{-1}\right)=\left(\frac{4\cdot2^5}{5^4}\right)\left(\frac{1}{3}\right). \end{align*}Nous évaluons maintenant les expressions restantes : $$\left(\frac{4\cdot2^5}{5^4}\right)\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{4\cdot32}{625}\cdot\frac{1}{3}=\boxed{\frac{128}{1875}}.$$