Droites Remarquables dans le Triangle
I. Médiatrice d'un Triangle
Définition :
La médiatrice d'un segment est la droite perpendiculaire à ce segment en son milieu. La médiatrice d'un triangle est la médiatrice de l'un de ses côtés.

Exemple :
Soit ABC un triangle. Tracons (d) la médiatrice du côté [AB].

Centre du Cercle Circonscrit au Triangle :

Propriété : Le centre du cercle circonscrit à un triangle est le point de rencontre de ses trois médiatrices.
Remarque Importante : Pour déterminer le centre du cercle circonscrit à un triangle, il suffit de tracer deux de ses médiatrices.
Exemple : Soit ABC un triangle. Construisons le cercle circonscrit de centre O.
II. Bissectrice d'un Triangle
Définition :
La bissectrice d'un angle est la demi-droite qui partage cet angle en deux angles de même mesure. La bissectrice d'un triangle est la bissectrice de l'un de ses angles.

Exemple :
Soit ABC un triangle. Tracons (BE) la bissectrice de l'angle ABC.

Centre du Cercle Inscrit au Triangle :

Propriété : Le centre du cercle inscrit dans un triangle est le point de rencontre de ses trois bissectrices.
Remarque Importante : Pour déterminer le centre du cercle inscrit dans un triangle, il suffit de tracer deux de ses bissectrices.
Exemple : Soit ABC un triangle. Construisons le cercle inscrit dans le triangle ABC de centre I.
III. Hauteur d'un Triangle
Définition :
Une hauteur d'un triangle est une droite qui passe par un sommet du triangle et qui est perpendiculaire au côté opposé à ce sommet.

Exemple :
Soit ABC un triangle. Tracons (AH) la hauteur du triangle ABC.

Orthocentre d'un Triangle :

Propriété : L'orthocentre d'un triangle est le point de rencontre de ses trois hauteurs.
Remarque Importante : Pour déterminer l'orthocentre d'un triangle, il suffit de tracer deux de ses hauteurs.
Exemple : Soit ABC un triangle. Construisons l'orthocentre du triangle ABC.
IV. Médiane d'un Triangle
Définition :
La médiane d'un triangle est la droite passant par un sommet du triangle et le milieu du côté opposé à ce sommet. La médiane du triangle est la médiane correspondant à l'un de ses côtés.

Exemple :
Soit ABC un triangle. Tracons (AM) la médiane du triangle ABC.

Centre de Gravité d'un Triangle :

Propriété : Le centre de gravité d'un triangle est le point de rencontre de ses trois médianes.
Remarque Importante : Pour déterminer le centre de gravité d'un triangle, il suffit de tracer deux de ses médianes.
Exemple : Soit ABC un triangle. Construisons le centre de gravité du triangle ABC.
1) Construis un triangle ABC tel que AB = 14 cm, AC = 10 cm et BC = 12 cm.

2) Construis ses médiatrices en rouge, ses médianes en vert, ses hauteurs en bleu et ses bissectrices en noir.

3) Place le point G centre de gravité du triangle, le point O centre du cercle circonscrit, le point I centre du cercle inscrit et le point H orthocentre du triangle.

4) Pour ce triangle ABC, construis les cercles circonscrit et inscrit.

5) Trace la droite qui passe par O et G.
   Vérifie qu'elle passe par H.
1) Construire un triangle ABC :
   - Dessiner un segment [AB] de 14 cm.
   - À partir des extrémités A et B, tracer deux arcs de cercle respectivement de 10 cm et 12 cm de rayon.
   - L'intersection des arcs de cercle donne le point C.
   - Relier les points A, B et C pour former le triangle ABC.

2) Construire les médiatrices, médianes, hauteurs et bissectrices :
   - Médiatrices (en rouge) : Perpendiculaires aux segments [AB], [AC] et [BC] passant par leurs milieux.
   - Médianes (en vert) : Segments reliant chaque sommet aux milieux des côtés opposés.
   - Hauteurs (en bleu) : Droites perpendiculaires aux côtés passant par les sommets opposés.
   - Bissectrices (en noir) : Droites divisant les angles en deux parties égales.

3) Placer les centres :
   - G centre de gravité : Intersection des médianes.
   - O centre du cercle circonscrit : Intersection des médiatrices.
   - I centre du cercle inscrit : Intersection des bissectrices.
   - H orthocentre : Intersection des hauteurs.

4) Construire les cercles circonscrit et inscrit :
   - Cercle circonscrit : Cercle passant par les sommets A, B et C, de centre O et de rayon OA, OB ou OC.
   - Cercle inscrit : Cercle tangent aux côtés du triangle, de centre I et de rayon la distance de I à un côté du triangle.

5) Vérification de la droite passant par O et G :
   - Tracer la droite OG.
   - Vérifier qu'elle passe par H en vérifiant l'alignement des points O, G et H.