I. Comparaison de deux nombres relatifs :
- Définition : Comparer deux nombres relatifs a et b, c’est déterminer si a est inférieur, supérieur ou égal à b.
- Symboles : 
  * a < b signifie que a est inférieur à b.
  * a > b signifie que a est supérieur à b.
  * a = b signifie que a est égal à b.
- Exemples : 
  * 8 ≥ 5 signifie que 8 est supérieur ou égal à 5.
  * -4 < 3 signifie que -4 est inférieur à 3.
  * 7 ≥ -2 signifie que 7 est supérieur ou égal à -2.
- Propriétés : 
  * Si a < b alors a + c < b + c
  * Si a < b et c > 0 alors ac < bc
  * Si a < b et c < 0 alors ac > bc

II. Ordre et opérations :
- Addition et soustraction : 
  * Si a < b alors a + c < b + c
  * Si a < b et c < 0 alors a + c < b + c
- Multiplication et division : 
  * Si a < b et k > 0 alors ak < bk
  * Si a < b et k < 0 alors ak > bk
- Exemples : 
  * 3 < 5 donc 3 + 2 < 5 + 2 soit 5 < 7
  * -4 < -2 donc -4 × 3 < -2 × 3 soit -12 < -6

III. Encadrement :
- Définition : Encadrer un nombre, c’est trouver deux nombres relatifs a et b tels que a ≤ x ≤ b.
- Exemples : 
  * 4,85 est une valeur approchée de 13/3 par excès à 0,01 près.
  * -2,7 est une valeur approchée de -8/3 par défaut à 0,01 près.
- Encadrement d’une somme :
  * Si a ≤ x ≤ b et c ≤ y ≤ d alors a + c ≤ x + y ≤ b + d
- Encadrement d’un produit :
  * Si 0 ≤ a ≤ b et 0 ≤ c ≤ d alors ac ≤ x ≤ bd

IV. Inéquations :
- Définition : Une inéquation est une inégalité qui contient une ou plusieurs inconnues.
- Résolution : Trouver les valeurs de l’inconnue qui vérifient l’inéquation.
- Méthodes de résolution :
  * Isoler l’inconnue en utilisant les opérations inverses.
  * Utiliser les propriétés de l’addition, la soustraction, la multiplication et la division.
- Exemples : 
  * 2x + 3 > 7
  * 2x > 4
  * x > 2
- Cas de solution :
  * Expression fausse : (ex: 3 > 5) Pas de solution.
  * Expression vraie : (ex: 0 < 5) Toute valeur est solution.

Soit x un nombre rationnel positif (x ≥ 0). Comparer les nombres suivants

1. x + 7 et x + 9
2. 4x - 1 et 3x - 2
3. x^2 - x + 1 et (x + 1)^2
1. x + 7 et x + 9
   - Comparons les deux expressions :
     x + 7 et x + 9
     Comme 9 > 7, x + 9 > x + 7
     Donc, x + 7 < x + 9

2. 4x - 1 et 3x - 2
   - Comparons les deux expressions :
     4x - 1 et 3x - 2
     4x - 1 - (3x - 2) = x + 1
     Comme x ≥ 0, x + 1 ≥ 1 > 0
     Donc, 4x - 1 > 3x - 2

3. x^2 - x + 1 et (x + 1)^2
   - Comparons les deux expressions :
     x^2 - x + 1 et (x + 1)^2
     (x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1
     x^2 - x + 1 - (x^2 + 2x + 1) = -3x
     Comme x ≥ 0, -3x ≤ 0
     Donc, x^2 - x + 1 ≤ (x + 1)^2