Généralité
Définition :
Une équation est une égalité dans laquelle un ou plusieurs nombres sont inconnus. Ces nombres sont appelés inconnus et remplacés par une ou des lettres. L'expression à gauche du signe = est le membre gauche et l'expression à droite est le membre droit.
Exemples :
4x + 2 = 10
3y - 4x = 2
(x + 7)(x - 5) = 0
Solution :
Pour qu'un nombre soit solution d'une équation, les deux membres de l'équation doivent être égaux lorsque le nombre est substitué à l'inconnu. Par exemple, pour 4x + 2 = 10, x = 2 est une solution car 4(2) + 2 = 10.
Cas avec plusieurs inconnues :
Pour une équation avec plusieurs inconnues, il faut trouver les valeurs de chaque inconnue qui satisfont l'équation.
Définition de résoudre une équation :
Résoudre une équation signifie trouver toutes les solutions de cette équation.
Résolution des équations x + a = b et ax = b
Règles :
On peut ajouter ou soustraire le même nombre dans les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
On peut multiplier ou diviser par le même nombre les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
Exemples :
x + 45 = 458
x = 458 - 45
x = 413
7 + x = 23
x = 23 - 7
x = 16
x - 5 = 12
x = 12 + 5
x = 17
Pour être sûr des calculs, il faut vérifier en testant la valeur trouvée :
413 + 45 = 458
7 + 16 = 23
17 - 5 = 12
Un nombre carré parfait à quatre chiffres est créé en plaçant deux nombres carrés parfaits positifs à deux chiffres l'un à côté de l'autre. Quel est le nombre carré à quatre chiffres ?
Soient $m^2$ et $n^2$ les nombres carrés à deux chiffres ; nous avons alors $4 \leq m, n \leq 9$. En les plaçant l'un à côté de l'autre, nous obtenons un nombre $100m^2 + n^2$, qui doit être égal à un autre carré $x^2$. En réarrangeant, nous avons $100m^2 = x^2 - n^2 = (x+n)(x-n)$, donc le RHS contient un facteur de 100. Le plus grand carré possible est 8181, dont la racine carrée est d'environ 90,5, et le plus petit est 1616, dont la racine carrée est d'environ 40,2, donc $41 \leq x \leq 90$. Pour obtenir le facteur 100, nous avons deux cas :

1. $x+n$ et $x-n$ doivent tous deux être des multiples de 5. En fait, cela signifie que $n = 5$, $x$ est un multiple de 5 et $x-n$, $x$ et $x+n$ sont des multiples consécutifs de 5. En essayant des possibilités jusqu'à $x = 85$, nous voyons que ce cas ne fonctionne pas.

2. L'un des deux $x+n$ et $x-n$ est un multiple de 25. Puisque $x+n = 25$ est impossible, les possibilités les plus simples sont $x-n = 50$ et $x + n = 50$. Le cas $x - n = 25$ implique que $x + n = 4p^2$ pour que $(x+n)(x-n)$ soit un carré parfait multiple de 100, et donc $57 \leq 4p^2 \leq 77$ pour $41 \leq x \leq 90$. La seule possibilité est $4p^2 = 64$, ce qui conduit à des $x$ et $n$ non entiers. Le cas $x + n = 50$ nécessite que $x -n = 2p^2$ pour que $(x+n)(x-n)$ soit un carré parfait. Pour avoir $x \geq 41$ nous devons avoir $x - n \geq 32$, et en fait la borne inférieure fonctionne : $(50)(32) = 1600 = 40^2$. Ainsi $x = 41$, et $x^2 = \boxed{1681}$.