Équations et Résolution de Problèmes

Définition d'une équation : Une équation est une égalité mathématique entre deux expressions contenant une ou plusieurs inconnues. Résoudre une équation consiste à trouver la valeur de l’inconnue qui rend l’égalité vraie. Exemple : 2x + 3 = 7. Pour résoudre cette équation, on cherche la valeur de x qui vérifie l’égalité.

Les types d’équations : 1. Équation du premier degré : L’inconnue apparaît avec un exposant 1. Exemple : 5x - 7 = 3. 2. Équation du deuxième degré : L’inconnue apparaît avec un exposant 2. Exemple : x² - 4x + 4 = 0.

Étapes de résolution d'une équation : 1. Isoler l'inconnue : Simplifier l’équation (réduire les termes similaires, éliminer les parenthèses). Transposer tous les termes contenant l'inconnue d'un côté de l'équation et les termes constants de l'autre côté. 2. Effectuer les opérations inverses : Si l’inconnue est multipliée, on divise. Si l’inconnue est additionnée, on soustrait. Si l’inconnue est au carré, on prend la racine carrée. 3. Vérifier la solution : Remplacer la solution trouvée dans l’équation initiale pour vérifier si l'égalité est respectée.

Exemple de résolution d'une équation du premier degré : 3x + 2 = 11. 1. On soustrait 2 des deux côtés : 3x = 11 - 2, donc 3x = 9. 2. On divise par 3 : x = 9 / 3, donc x = 3. 3. Vérification : 3(3) + 2 = 11, donc la solution est correcte.

Résolution de problèmes avec des équations : Pour résoudre un problème avec des équations, suivez ces étapes : 1. Comprendre le problème : Identifier les informations données et ce qu’on cherche à trouver. 2. Définir l’inconnue : Attribuer une lettre (souvent x) à l’élément inconnu. 3. Traduire le problème en équation : Utiliser les informations données pour créer une équation. 4. Résoudre l’équation : Appliquer les étapes de résolution d’une équation. 5. Interpréter la solution : Vérifier si la solution est cohérente avec le contexte du problème.

Exemple : Pierre a trois ans de plus que son frère. La somme de leurs âges est de 25 ans. Quel âge a Pierre ? 1. Compréhension : Pierre a un frère et la somme de leurs âges est 25. 2. Inconnue : Soit x l'âge du frère de Pierre. 3. Équation : x + (x + 3) = 25. 4. Résolution : 2x + 3 = 25, donc 2x = 25 - 3, donc 2x = 22, donc x = 22 / 2, donc x = 11. Pierre a donc 11 + 3 = 14 ans. 5. Interprétation : Pierre a 14 ans et son frère 11 ans. La somme est bien de 25.

Teresa commande 2 sandwichs au jambon et au fromage à 7,75 $ chacun dans un magasin local. Une fois sur place, elle décide d’acheter du salami à 4 $, plus de brie qui coûte trois fois le prix du salami, 1/4 livre d’olives à 10 $ la livre, 1/2 livre de fromage feta à 8 $ la livre et une autre miche de pain français à 2 $. Combien dépense-t-elle dans le magasin local ?
Elle commande 2 sandwichs à 7,75 $ donc ils coûtent 2*7,75 $ = $<<2*7,75=15,50>>15,50 
Le brie est trois fois plus cher que le salami à 4,00 $ donc le brie coûte 3*4 $ = $<<3*4=12,00>>12,00 
Elle achète 1/4 livre d'olives qui coûtent 10,00 $ la livre donc elles coûtent 0,25*10 $ = $<<1/4*10=2,50>>2,50 
Elle achète 1/2 livre de feta qui coûte 8,00 $ la livre donc elle coûte 0,5*8 $ = $<<1/2*8=4,00>>4,00 
Le salami coûte 4,00 $, le brie 12,00 $, les olives 2,50 $ et la feta 4,00 $ et les sandwichs sont à 15,50 $ pour un total de 4 $ + 12 $ + 2,50 $ + 4 $ + 15,50 $ = $<<4+12+2,5+4+15,50=38,00>>38,00 
En ajoutant le pain français, on obtient 38,00 $ + 2,00 $ = $<<38+2=40>>40 
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