Triangle Rectangle et Cercle

I. Milieu de l’hypoténuse d’un triangle rectangle :
- Propriété : Le milieu de l’hypoténuse d’un triangle rectangle est équidistant de ses sommets.
- Exemple : Si ABC est un triangle rectangle en A, et I est le milieu du segment [BC], alors IA = IB = IC.
- Propriété réciproque : Si I est équidistant des trois sommets d’un triangle ABC, alors ce triangle est rectangle en A.

II. Cercle circonscrit à un triangle rectangle :
- Propriété : Si un triangle est rectangle, alors le milieu de l’hypoténuse est le centre de son cercle circonscrit.
- Exemple : Dans un triangle rectangle ABC en A, le milieu de [BC] est le centre du cercle circonscrit du triangle.

III. Théorème de Pythagore :
- Théorème : Si un triangle est rectangle, alors le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.
- Exemple : Si ABC est un triangle rectangle en A avec AB = 6 cm et AC = 8 cm, alors BC² = AB² + AC².
  * BC² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100 donc BC = 10 cm.

IV. Cosinus d’un angle aigu :
- Définition : Le cosinus d’un angle aigu est le quotient de la longueur du côté adjacent à cet angle par la longueur de l’hypoténuse.
- Exemple : Si ABC est un triangle rectangle en C avec AC = 3 cm et AB = 5 cm, alors cos A = AC / AB = 3 / 5 = 0,6.
- Remarque : Puisque l’hypoténuse est le plus grand côté d’un triangle rectangle, le cosinus d’un angle aigu est compris entre 0 et 1.

Exercice 1 :
Dans un triangle rectangle, on connaît les longueurs de deux côtés de l'angle droit et on veut calculer la longueur de l'hypoténuse.
Méthode :

On écrit la propriété de Pythagore appliquée à notre triangle.
On remplace les noms des côtés connus par leur valeur.
On effectue les calculs.
Avec l'aide de la touche 
𝑥
x
​
  de la calculatrice, on retrouve la longueur de l'hypoténuse.
Exemple :
ABC est un triangle rectangle en A tel que :

AB = 3 cm et AC = 4 cm.Calculer BC
Exercice 1
ABC est un triangle rectangle en A tel que :

AB = 3 cm et AC = 4 cm
Calculer BC :
On sait que ABC est un triangle rectangle en A.
D'après le théorème de Pythagore :
BC² = AB² + AC²
BC² = 3² + 4²
BC² = 9 + 16
BC² = 25
BC = √25 = 5 cm