Généralité
Définition :
Une équation est une égalité dans laquelle un ou plusieurs nombres sont inconnus. Ces nombres sont appelés inconnus et remplacés par une ou des lettres. L'expression à gauche du signe = est le membre gauche et l'expression à droite est le membre droit.
Exemples :
4x + 2 = 10
3y - 4x = 2
(x + 7)(x - 5) = 0
Solution :
Pour qu'un nombre soit solution d'une équation, les deux membres de l'équation doivent être égaux lorsque le nombre est substitué à l'inconnu. Par exemple, pour 4x + 2 = 10, x = 2 est une solution car 4(2) + 2 = 10.
Cas avec plusieurs inconnues :
Pour une équation avec plusieurs inconnues, il faut trouver les valeurs de chaque inconnue qui satisfont l'équation.
Définition de résoudre une équation :
Résoudre une équation signifie trouver toutes les solutions de cette équation.
Résolution des équations x + a = b et ax = b
Règles :
On peut ajouter ou soustraire le même nombre dans les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
On peut multiplier ou diviser par le même nombre les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
Exemples :
x + 45 = 458
x = 458 - 45
x = 413
7 + x = 23
x = 23 - 7
x = 16
x - 5 = 12
x = 12 + 5
x = 17
Pour être sûr des calculs, il faut vérifier en testant la valeur trouvée :
413 + 45 = 458
7 + 16 = 23
17 - 5 = 12
Euclide, Pythagore, Ptolémée et Hypatie jouent à un jeu dans lequel ils doivent tous penser à un nombre, puis le mettre au cube 20 fois. Hypatie ne veut pas mettre au cube de grands nombres, alors elle choisit le nombre 1. Euclide pense la même chose et choisit également le nombre 1. Cependant, Pythagore et Ptolémée ne réfléchissent pas à l'avance et Pythagore choisit 2 et Ptolémée choisit -2. Après avoir fini de mettre au cube leurs nombres (Pythagore et Ptolémée prennent un certain temps), les quatre joueurs écrivent leurs nombres finaux sur un morceau de papier. Quelle est la somme des nombres qu'ils ont écrits sur le morceau de papier ?
Le nombre 1 à n'importe quelle puissance est toujours 1, donc peu importe combien de fois Hypatie et Euclide mettent leur nombre au cube, ils auront tous les deux toujours le nombre 1. Ainsi, Hypatie et Euclide écrivent tous les deux le nombre 1.

Maintenant, regardons Pythagore. Il continue à mettre son résultat au cube 20 fois en commençant par le nombre 2. Les nombres qu'il a sont \begin{align*}
2^3&\underset{\swarrow}{=}8 \\
8^3&\underset{\swarrow}{=}512 \\
512^3&\underset{\swarrow}{=}134217728 \\
\vdots
\end{align*}Nous pouvons voir que ces nombres deviennent rapidement incontrôlables (pas étonnant que cela leur ait pris autant de temps), donc à la place, nous regardons la somme des résultats parce que c'est ce que nous essayons de trouver. Rappelons que $(-a)^3=-a^3$. Comme le nombre choisi par Ptolémée est la négation de celui choisi par Pythagore, après un certain nombre de cubes, quel que soit le nombre que Pythagore possède, Ptolémée aura l'opposé de ce nombre. Ainsi, quel que soit le nombre gigantesque que Pythagore possède à la fin du jeu, Ptolémée aura la négation de ce nombre, et leur somme sera égale à zéro.

Ainsi, notre somme souhaitée est \begin{align*}1+1&+(\text{un nombre énorme}) + (-\text{le même nombre énorme})\\
&=1+1+0=\boxed{2}.
\end{align*}