Droites Remarquables dans le Triangle
I. Médiatrice d'un Triangle
Définition :
La médiatrice d'un segment est la droite perpendiculaire à ce segment en son milieu. La médiatrice d'un triangle est la médiatrice de l'un de ses côtés.

Exemple :
Soit ABC un triangle. Tracons (d) la médiatrice du côté [AB].

Centre du Cercle Circonscrit au Triangle :

Propriété : Le centre du cercle circonscrit à un triangle est le point de rencontre de ses trois médiatrices.
Remarque Importante : Pour déterminer le centre du cercle circonscrit à un triangle, il suffit de tracer deux de ses médiatrices.
Exemple : Soit ABC un triangle. Construisons le cercle circonscrit de centre O.
II. Bissectrice d'un Triangle
Définition :
La bissectrice d'un angle est la demi-droite qui partage cet angle en deux angles de même mesure. La bissectrice d'un triangle est la bissectrice de l'un de ses angles.

Exemple :
Soit ABC un triangle. Tracons (BE) la bissectrice de l'angle ABC.

Centre du Cercle Inscrit au Triangle :

Propriété : Le centre du cercle inscrit dans un triangle est le point de rencontre de ses trois bissectrices.
Remarque Importante : Pour déterminer le centre du cercle inscrit dans un triangle, il suffit de tracer deux de ses bissectrices.
Exemple : Soit ABC un triangle. Construisons le cercle inscrit dans le triangle ABC de centre I.
III. Hauteur d'un Triangle
Définition :
Une hauteur d'un triangle est une droite qui passe par un sommet du triangle et qui est perpendiculaire au côté opposé à ce sommet.

Exemple :
Soit ABC un triangle. Tracons (AH) la hauteur du triangle ABC.

Orthocentre d'un Triangle :

Propriété : L'orthocentre d'un triangle est le point de rencontre de ses trois hauteurs.
Remarque Importante : Pour déterminer l'orthocentre d'un triangle, il suffit de tracer deux de ses hauteurs.
Exemple : Soit ABC un triangle. Construisons l'orthocentre du triangle ABC.
IV. Médiane d'un Triangle
Définition :
La médiane d'un triangle est la droite passant par un sommet du triangle et le milieu du côté opposé à ce sommet. La médiane du triangle est la médiane correspondant à l'un de ses côtés.

Exemple :
Soit ABC un triangle. Tracons (AM) la médiane du triangle ABC.

Centre de Gravité d'un Triangle :

Propriété : Le centre de gravité d'un triangle est le point de rencontre de ses trois médianes.
Remarque Importante : Pour déterminer le centre de gravité d'un triangle, il suffit de tracer deux de ses médianes.
Exemple : Soit ABC un triangle. Construisons le centre de gravité du triangle ABC.
1) Construire un triangle ABC quelconque.

2) a) Construire la droite (m1) médiatrice de [AB].
   b) Construire la droite (m2) médiatrice de [BC].

3) a) Les droites (m1) et (m2) se coupent en O.
   b) Démontrer que : OA = OB = OC.

4) En déduire que la droite (m3) médiatrice de [AC] passe par O.

5) Énoncer la propriété que tu viens de démontrer pour les médiatrices.

6) Que représente le point O pour le triangle ABC ?
1) Construction du triangle ABC :
   - Tracer un triangle ABC quelconque.

2) a) Construction de la médiatrice (m1) de [AB] :
   - Trouver le milieu de [AB] et tracer la droite perpendiculaire à [AB] passant par ce milieu.
   - Cette droite est la médiatrice (m1) de [AB].

   b) Construction de la médiatrice (m2) de [BC] :
   - Trouver le milieu de [BC] et tracer la droite perpendiculaire à [BC] passant par ce milieu.
   - Cette droite est la médiatrice (m2) de [BC].

3) a) Intersection des médiatrices :
   - Tracer les médiatrices (m1) et (m2), leur intersection est le point O.

   b) Démontrer que OA = OB = OC :
   - Le point O est à égale distance des sommets A, B et C car il est sur les médiatrices de [AB] et [BC].

4) En déduire que la médiatrice (m3) de [AC] passe par O :
   - Le point O est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC.
   - La médiatrice de [AC] passe donc par O.

5) Propriété démontrée pour les médiatrices :
   - Les trois médiatrices d'un triangle sont concourantes et leur point de concours est le centre du cercle circonscrit au triangle.

6) Que représente le point O pour le triangle ABC ?
   - Le point O est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC.