I. Translation - Égalité vectorielle

a. Introduction :
Dans cette partie du cours, nous allons voir vecteurs et translation pour les étudiants de deuxième année collège.

b. Écriture vectorielle d’une translation :
- Composée de deux translations :
  * A pour image B par une translation, de vecteur AB.
  * B pour image C par une translation, de vecteur BC.
  * La composée de ces deux translations est la translation qui transforme directement A en C, de vecteur AC.
  * Cette égalité s’appelle la Relation de Chasles : AB + BC = AC.

c. Vecteur nul :
- Le vecteur nul, noté O, est le vecteur AA, BB, etc.
- D’après la relation de Chasles, pour tout vecteur AB, on a : AB + BA = AA = O.

d. Opposé d’un vecteur :
- On dit que le vecteur BA est l’opposé du vecteur AB.
- En effet, d’après la relation de Chasles : AB + BA = O.

e. Notation particulière (exemple) :
- Par commodité, on note parfois 2AB à la place de la somme AB + AB.
- Dans le parallélogramme ABCD, on peut aussi écrire les égalités suivantes :
  * AB = DC
  * AC = BD
  * CA = DB

III. Composition de deux symétries centrales :
- On ne peut pas voir les vecteurs et translations sans parler de la symétrie centrale.
- M1 et N1 sont les symétriques respectifs de M et N par rapport à A.
- M2 et N2 sont les symétriques respectifs de M1 et N1 par rapport à B.
- Les points M2 et N2 sont les symétriques respectifs de M et N par la composée des deux symétries centrales précédentes.
- On dirait bien que MN2 = MN = 2AB.
- En effet, cette composition de deux symétries de centres A puis B revient en fait à une translation de vecteur 2AB.

IV. Caractérisation d’une égalité vectorielle :
a. Parallélogramme :
- Dans la mesure où l’égalité AB = CD revient à dire que ABDC est un parallélogramme, on peut écrire les propositions suivantes :
  * Si AB = CD, alors les segments [AD] et [BC] ont le même milieu.
  * Si les segments [AD] et [BC] ont le même milieu, alors on a AB = CD et AC = BD.

b. Milieu d’un segment :
- Si AB = BC, alors B est le milieu du segment [AC].
- Si B est le milieu du segment [AC], alors AB = BC.

4. Compléter les égalités vectorielles :
1. \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AE} + \ldots \overrightarrow{B}\)
2. \(\overrightarrow{IJ} = \overrightarrow{IL} + \ldots\)
3. \(\overrightarrow{RT} = \ldots + \overrightarrow{AT}\)
4. \(\overrightarrow{SD} = \overrightarrow{TD} + \ldots\)
5. \(\overrightarrow{RE} = \ldots + \overrightarrow{RS}\)
6. \(\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{C} + \ldots \overrightarrow{KL} + \ldots \overrightarrow{D}\)
7. \(\overrightarrow{FA} = \overrightarrow{C} + \ldots \overrightarrow{FG} + \ldots\)
8. \(\overrightarrow{AT} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{RT} + \overrightarrow{BS} + \ldots\)
9. \(\overrightarrow{AB} = \ldots + \overrightarrow{JK} + \ldots\)
4. Compléter les égalités vectorielles :
1. \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{EB}\)
2. \(\overrightarrow{IJ} = \overrightarrow{IL} + \overrightarrow{LJ}\)
3. \(\overrightarrow{RT} = \overrightarrow{RA} + \overrightarrow{AT}\)
4. \(\overrightarrow{SD} = \overrightarrow{TD} + \overrightarrow{SD}\)
5. \(\overrightarrow{RE} = \overrightarrow{RS} + \overrightarrow{SE}\)
6. \(\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{CK} + \overrightarrow{KL} + \overrightarrow{LD}\)
7. \(\overrightarrow{FA} = \overrightarrow{FC} + \overrightarrow{CG} + \overrightarrow{GA}\)
8. \(\overrightarrow{AT} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BT} + \overrightarrow{TS}\)
9. \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AJ} + \overrightarrow{JK} + \overrightarrow{KB}\)