Généralité
Définition :
Une équation est une égalité dans laquelle un ou plusieurs nombres sont inconnus. Ces nombres sont appelés inconnus et remplacés par une ou des lettres. L'expression à gauche du signe = est le membre gauche et l'expression à droite est le membre droit.
Exemples :
4x + 2 = 10
3y - 4x = 2
(x + 7)(x - 5) = 0
Solution :
Pour qu'un nombre soit solution d'une équation, les deux membres de l'équation doivent être égaux lorsque le nombre est substitué à l'inconnu. Par exemple, pour 4x + 2 = 10, x = 2 est une solution car 4(2) + 2 = 10.
Cas avec plusieurs inconnues :
Pour une équation avec plusieurs inconnues, il faut trouver les valeurs de chaque inconnue qui satisfont l'équation.
Définition de résoudre une équation :
Résoudre une équation signifie trouver toutes les solutions de cette équation.
Résolution des équations x + a = b et ax = b
Règles :
On peut ajouter ou soustraire le même nombre dans les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
On peut multiplier ou diviser par le même nombre les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
Exemples :
x + 45 = 458
x = 458 - 45
x = 413
7 + x = 23
x = 23 - 7
x = 16
x - 5 = 12
x = 12 + 5
x = 17
Pour être sûr des calculs, il faut vérifier en testant la valeur trouvée :
413 + 45 = 458
7 + 16 = 23
17 - 5 = 12
Dans la factorisation première de $109!$, quel est l'exposant de $3$ ? (Rappel : Le nombre $n!$ est le produit des entiers de 1 à $n$. Par exemple, $5!=5\cdot 4\cdot3\cdot2\cdot 1= 120$.)
Tout d'abord, nous vérifions combien de nombres de $1$ à $109$ sont des multiples de $3$. Nous divisons $109$ par $3$, et cela donne $36$ et un peu. Nous savons donc que cela nous donne $36$ fois le facteur $3$ qui apparaît, pour commencer.

Maintenant, certains nombres sont des multiples de $3^2=9$, donc ils ont $3$ comme facteur deux fois, et nous ne les avons comptés qu'une seule fois jusqu'à présent ! Il y a $12$ multiples de $9$ inférieurs à $109$, et nous devons ajouter un à notre exposant pour chacun d'eux. Cela donne $12$ supplémentaires à l'exposant.

Certains nombres sont également des multiples de $3^3=27$. (Horrible, n'est-ce pas ?) Nous avons en fait quatre de ces nombres : $27$, $54$, $81$ et $108$. Nous avons compté deux $3$ pour chacun d'eux, il nous faut donc maintenant en compter un de plus pour chacun, en ajoutant un autre $4$ à l'exposant.

Encore une fois. Que diriez-vous de $3^4=81$ ? Oui, nous avons bien un multiple de $81$ parmi nos nombres. Nous ajoutons donc un de plus à l'exposant, et nous les avons enfin tous.

Finalement, nous obtenons un total de $36+12+4+1=\boxed{53}$ dans l'exposant.