Généralité
Définition :
Une équation est une égalité dans laquelle un ou plusieurs nombres sont inconnus. Ces nombres sont appelés inconnus et remplacés par une ou des lettres. L'expression à gauche du signe = est le membre gauche et l'expression à droite est le membre droit.
Exemples :
4x + 2 = 10
3y - 4x = 2
(x + 7)(x - 5) = 0
Solution :
Pour qu'un nombre soit solution d'une équation, les deux membres de l'équation doivent être égaux lorsque le nombre est substitué à l'inconnu. Par exemple, pour 4x + 2 = 10, x = 2 est une solution car 4(2) + 2 = 10.
Cas avec plusieurs inconnues :
Pour une équation avec plusieurs inconnues, il faut trouver les valeurs de chaque inconnue qui satisfont l'équation.
Définition de résoudre une équation :
Résoudre une équation signifie trouver toutes les solutions de cette équation.
Résolution des équations x + a = b et ax = b
Règles :
On peut ajouter ou soustraire le même nombre dans les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
On peut multiplier ou diviser par le même nombre les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
Exemples :
x + 45 = 458
x = 458 - 45
x = 413
7 + x = 23
x = 23 - 7
x = 16
x - 5 = 12
x = 12 + 5
x = 17
Pour être sûr des calculs, il faut vérifier en testant la valeur trouvée :
413 + 45 = 458
7 + 16 = 23
17 - 5 = 12
$T$ est le plus petit multiple positif de 14 dont les chiffres sont tous des 1 et des 0. Quel est le quotient lorsque $T$ est divisé par 14 ?
Puisque $T$ doit être divisible par $14$, il doit être divisible par $2$ et $7$. Puisqu'il est divisible par $2$, le dernier chiffre doit être pair, donc le chiffre des unités doit être $0$. $T$ doit aussi être divisible par $7$. Soit $R$ le nombre obtenu en prenant $T$ et en coupant le dernier chiffre, $0$. Pour que $T$ soit divisible par $7$, $R$ doit être divisible par $7$, et $R$ doit aussi être composé de $1$ et de $0$. Si $R$ a un chiffre, il doit être $1$ (puisque $T\neq 0$), qui n'est pas divisible par $7$. Si $R$ a $2$ chiffres, il doit être $10$ ou $11$, aucun des deux n'étant divisible par $7$. Si $R$ a $3$ chiffres, il doit être $100$, $101$, $110$ ou $111$. Ici, nous pouvons utiliser la règle de divisibilité pour $7$, en coupant le dernier chiffre, en le multipliant par deux et en le soustrayant du reste, pour voir qu'aucune de ces valeurs n'est divisible par $7$ non plus. Si $R$ a $4$ chiffres, nous pouvons vérifier au fur et à mesure : si $R=1000$, alors la règle de divisibilité réduit notre vérification à savoir si $100$ est divisible par $7$, et nous savons déjà que ce n'est pas le cas. Si $R=1001$, alors la règle de divisibilité demande si $98$ est divisible par $7$ - et c'est le cas ! Donc $R=1001$ fonctionne. Cela signifie que $T=10010$. Nous voulons le quotient $\frac{10010}{14}=\boxed{715}$.