Généralité
Définition :
Une équation est une égalité dans laquelle un ou plusieurs nombres sont inconnus. Ces nombres sont appelés inconnus et remplacés par une ou des lettres. L'expression à gauche du signe = est le membre gauche et l'expression à droite est le membre droit.
Exemples :
4x + 2 = 10
3y - 4x = 2
(x + 7)(x - 5) = 0
Solution :
Pour qu'un nombre soit solution d'une équation, les deux membres de l'équation doivent être égaux lorsque le nombre est substitué à l'inconnu. Par exemple, pour 4x + 2 = 10, x = 2 est une solution car 4(2) + 2 = 10.
Cas avec plusieurs inconnues :
Pour une équation avec plusieurs inconnues, il faut trouver les valeurs de chaque inconnue qui satisfont l'équation.
Définition de résoudre une équation :
Résoudre une équation signifie trouver toutes les solutions de cette équation.
Résolution des équations x + a = b et ax = b
Règles :
On peut ajouter ou soustraire le même nombre dans les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
On peut multiplier ou diviser par le même nombre les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
Exemples :
x + 45 = 458
x = 458 - 45
x = 413
7 + x = 23
x = 23 - 7
x = 16
x - 5 = 12
x = 12 + 5
x = 17
Pour être sûr des calculs, il faut vérifier en testant la valeur trouvée :
413 + 45 = 458
7 + 16 = 23
17 - 5 = 12
Avant de passer son dernier test en classe, la moyenne arithmétique des notes de Brian est de 91. Il a déterminé que s'il obtient 98 à son dernier test, la moyenne arithmétique de toutes ses notes de test sera exactement de 92. Combien de tests, y compris le dernier test, Brian passe-t-il pour ce cours ?
Soit $S$ la somme de tous les résultats de Brian aux tests jusqu'à ce point, et soit $n$ le nombre de tests que Brian a passés jusqu'à ce point. Ainsi, la moyenne arithmétique de ses résultats est maintenant $\frac{S}{n}$ et la moyenne arithmétique de ses résultats après avoir obtenu un 98 au dernier test sera $\frac{S+98}{n+1}$. Cela donne le système d'équations : \begin{align*}
\frac{S}{n} &= 91 & \frac{S+98}{n+1} & = 92
\end{align*} À partir de la première équation, nous avons $S = 91n$. En remplaçant cela dans la deuxième équation, on obtient : \begin{align*}
\frac{S+98}{n+1} &= 92\\
S+98 &= 92(n+1)\\
91n+98 &= 92n+92\\
92n-91n&= 98-92\\
n&= 6
\end{align*} Brian doit donc effectuer $n+1 = \boxed{7}$ tests.