Droites Remarquables dans le Triangle
I. Médiatrice d'un Triangle
Définition :
La médiatrice d'un segment est la droite perpendiculaire à ce segment en son milieu. La médiatrice d'un triangle est la médiatrice de l'un de ses côtés.

Exemple :
Soit ABC un triangle. Tracons (d) la médiatrice du côté [AB].

Centre du Cercle Circonscrit au Triangle :

Propriété : Le centre du cercle circonscrit à un triangle est le point de rencontre de ses trois médiatrices.
Remarque Importante : Pour déterminer le centre du cercle circonscrit à un triangle, il suffit de tracer deux de ses médiatrices.
Exemple : Soit ABC un triangle. Construisons le cercle circonscrit de centre O.
II. Bissectrice d'un Triangle
Définition :
La bissectrice d'un angle est la demi-droite qui partage cet angle en deux angles de même mesure. La bissectrice d'un triangle est la bissectrice de l'un de ses angles.

Exemple :
Soit ABC un triangle. Tracons (BE) la bissectrice de l'angle ABC.

Centre du Cercle Inscrit au Triangle :

Propriété : Le centre du cercle inscrit dans un triangle est le point de rencontre de ses trois bissectrices.
Remarque Importante : Pour déterminer le centre du cercle inscrit dans un triangle, il suffit de tracer deux de ses bissectrices.
Exemple : Soit ABC un triangle. Construisons le cercle inscrit dans le triangle ABC de centre I.
III. Hauteur d'un Triangle
Définition :
Une hauteur d'un triangle est une droite qui passe par un sommet du triangle et qui est perpendiculaire au côté opposé à ce sommet.

Exemple :
Soit ABC un triangle. Tracons (AH) la hauteur du triangle ABC.

Orthocentre d'un Triangle :

Propriété : L'orthocentre d'un triangle est le point de rencontre de ses trois hauteurs.
Remarque Importante : Pour déterminer l'orthocentre d'un triangle, il suffit de tracer deux de ses hauteurs.
Exemple : Soit ABC un triangle. Construisons l'orthocentre du triangle ABC.
IV. Médiane d'un Triangle
Définition :
La médiane d'un triangle est la droite passant par un sommet du triangle et le milieu du côté opposé à ce sommet. La médiane du triangle est la médiane correspondant à l'un de ses côtés.

Exemple :
Soit ABC un triangle. Tracons (AM) la médiane du triangle ABC.

Centre de Gravité d'un Triangle :

Propriété : Le centre de gravité d'un triangle est le point de rencontre de ses trois médianes.
Remarque Importante : Pour déterminer le centre de gravité d'un triangle, il suffit de tracer deux de ses médianes.
Exemple : Soit ABC un triangle. Construisons le centre de gravité du triangle ABC.
Soit ABC un triangle tel que :
AB = 6 cm ; AC = 7 cm et BC = 8 cm.

Les points L, M et N sont les milieux respectifs des côtés [BC], [AB] et [AC] d'un triangle ABC.
G est le centre de gravité.

1) Faire une figure complète.

2) Démontrer que MLNA est un parallélogramme. Soit K son centre. 
En déduire que : AK = 1/2 AL puis KG = 1/6 AL

1) Faire une figure complète :
   - Dessiner le triangle ABC avec AB = 6 cm, AC = 7 cm et BC = 8 cm.
   - Placer les milieux L, M et N des côtés [BC], [AB] et [AC] respectivement.
   - Tracer les segments [LM], [LN] et [MN].

2) Démontrer que MLNA est un parallélogramme. Soit K son centre :
   - Dans un triangle, les segments joignant les milieux de deux côtés sont parallèles au troisième côté et égaux à la moitié de ce côté (théorème de la droite des milieux).
   - Ainsi, [LN] // [AB] et [LN] = 1/2 [AB].
   - De même, [ML] // [AC] et [ML] = 1/2 [AC].
   - Donc MLNA est un parallélogramme par définition (côtés opposés parallèles et égaux).
   - K est le centre de ce parallélogramme et est également le centre de gravité du triangle ABC car il divise chaque médiane en deux segments, l'un desquels est le double de l'autre.

En déduire que : AK = 1/2 AL puis KG = 1/6 AL :
   - AK = 1/2 AL parce que K est le centre de MLNA et les diagonales d'un parallélogramme se coupent en leur milieu.
   - KG = 1/6 AL car G est le centre de gravité et divise chaque médiane en deux segments dans le rapport 2:1.