Droites Remarquables dans le Triangle
I. Médiatrice d'un Triangle
Définition :
La médiatrice d'un segment est la droite perpendiculaire à ce segment en son milieu. La médiatrice d'un triangle est la médiatrice de l'un de ses côtés.

Exemple :
Soit ABC un triangle. Tracons (d) la médiatrice du côté [AB].

Centre du Cercle Circonscrit au Triangle :

Propriété : Le centre du cercle circonscrit à un triangle est le point de rencontre de ses trois médiatrices.
Remarque Importante : Pour déterminer le centre du cercle circonscrit à un triangle, il suffit de tracer deux de ses médiatrices.
Exemple : Soit ABC un triangle. Construisons le cercle circonscrit de centre O.
II. Bissectrice d'un Triangle
Définition :
La bissectrice d'un angle est la demi-droite qui partage cet angle en deux angles de même mesure. La bissectrice d'un triangle est la bissectrice de l'un de ses angles.

Exemple :
Soit ABC un triangle. Tracons (BE) la bissectrice de l'angle ABC.

Centre du Cercle Inscrit au Triangle :

Propriété : Le centre du cercle inscrit dans un triangle est le point de rencontre de ses trois bissectrices.
Remarque Importante : Pour déterminer le centre du cercle inscrit dans un triangle, il suffit de tracer deux de ses bissectrices.
Exemple : Soit ABC un triangle. Construisons le cercle inscrit dans le triangle ABC de centre I.
III. Hauteur d'un Triangle
Définition :
Une hauteur d'un triangle est une droite qui passe par un sommet du triangle et qui est perpendiculaire au côté opposé à ce sommet.

Exemple :
Soit ABC un triangle. Tracons (AH) la hauteur du triangle ABC.

Orthocentre d'un Triangle :

Propriété : L'orthocentre d'un triangle est le point de rencontre de ses trois hauteurs.
Remarque Importante : Pour déterminer l'orthocentre d'un triangle, il suffit de tracer deux de ses hauteurs.
Exemple : Soit ABC un triangle. Construisons l'orthocentre du triangle ABC.
IV. Médiane d'un Triangle
Définition :
La médiane d'un triangle est la droite passant par un sommet du triangle et le milieu du côté opposé à ce sommet. La médiane du triangle est la médiane correspondant à l'un de ses côtés.

Exemple :
Soit ABC un triangle. Tracons (AM) la médiane du triangle ABC.

Centre de Gravité d'un Triangle :

Propriété : Le centre de gravité d'un triangle est le point de rencontre de ses trois médianes.
Remarque Importante : Pour déterminer le centre de gravité d'un triangle, il suffit de tracer deux de ses médianes.
Exemple : Soit ABC un triangle. Construisons le centre de gravité du triangle ABC.
Soit ABCD un parallélogramme de centre H. La perpendiculaire à (DB) passant par A et la perpendiculaire à (AC) passant par B se coupent en G.

1) Faire une figure.

2) Que représente le point H pour le triangle AGB.

3) Montrer que les droites (GH) et (AB) sont perpendiculaires.

4) Montrer que les droites (GH) et (DC) sont perpendiculaires.
1) Faire une figure :
   - Dessiner le parallélogramme ABCD avec H comme centre.
   - Tracer les perpendiculaires à (DB) passant par A et à (AC) passant par B, se coupant en G.

2) Que représente le point H pour le triangle AGB :
   - H est le centre de gravité du triangle AGB car il est aussi le centre du parallélogramme ABCD.

3) Montrer que les droites (GH) et (AB) sont perpendiculaires :
   - Par définition du centre de gravité dans un parallélogramme, le centre H est le point de rencontre des médianes.
   - (GH) étant une médiane, elle est perpendiculaire à la base (AB).

4) Montrer que les droites (GH) et (DC) sont perpendiculaires :
   - (GH) étant aussi une médiane du triangle formé par les diagonales du parallélogramme, elle est perpendiculaire à (DC).