Équations et Résolution de Problèmes

Définition d'une équation : Une équation est une égalité mathématique entre deux expressions contenant une ou plusieurs inconnues. Résoudre une équation consiste à trouver la valeur de l’inconnue qui rend l’égalité vraie. Exemple : 2x + 3 = 7. Pour résoudre cette équation, on cherche la valeur de x qui vérifie l’égalité.

Les types d’équations : 1. Équation du premier degré : L’inconnue apparaît avec un exposant 1. Exemple : 5x - 7 = 3. 2. Équation du deuxième degré : L’inconnue apparaît avec un exposant 2. Exemple : x² - 4x + 4 = 0.

Étapes de résolution d'une équation : 1. Isoler l'inconnue : Simplifier l’équation (réduire les termes similaires, éliminer les parenthèses). Transposer tous les termes contenant l'inconnue d'un côté de l'équation et les termes constants de l'autre côté. 2. Effectuer les opérations inverses : Si l’inconnue est multipliée, on divise. Si l’inconnue est additionnée, on soustrait. Si l’inconnue est au carré, on prend la racine carrée. 3. Vérifier la solution : Remplacer la solution trouvée dans l’équation initiale pour vérifier si l'égalité est respectée.

Exemple de résolution d'une équation du premier degré : 3x + 2 = 11. 1. On soustrait 2 des deux côtés : 3x = 11 - 2, donc 3x = 9. 2. On divise par 3 : x = 9 / 3, donc x = 3. 3. Vérification : 3(3) + 2 = 11, donc la solution est correcte.

Résolution de problèmes avec des équations : Pour résoudre un problème avec des équations, suivez ces étapes : 1. Comprendre le problème : Identifier les informations données et ce qu’on cherche à trouver. 2. Définir l’inconnue : Attribuer une lettre (souvent x) à l’élément inconnu. 3. Traduire le problème en équation : Utiliser les informations données pour créer une équation. 4. Résoudre l’équation : Appliquer les étapes de résolution d’une équation. 5. Interpréter la solution : Vérifier si la solution est cohérente avec le contexte du problème.

Exemple : Pierre a trois ans de plus que son frère. La somme de leurs âges est de 25 ans. Quel âge a Pierre ? 1. Compréhension : Pierre a un frère et la somme de leurs âges est 25. 2. Inconnue : Soit x l'âge du frère de Pierre. 3. Équation : x + (x + 3) = 25. 4. Résolution : 2x + 3 = 25, donc 2x = 25 - 3, donc 2x = 22, donc x = 22 / 2, donc x = 11. Pierre a donc 11 + 3 = 14 ans. 5. Interprétation : Pierre a 14 ans et son frère 11 ans. La somme est bien de 25.

Mary et ses deux amies ont eu l'idée de ramasser des billes chaque jour pour jouer le week-end. Du lundi au vendredi, Mary a ramassé deux fois plus de billes rouges que Jenny et la moitié du nombre de billes bleues ramassées par Anie, qui a ramassé 20 billes rouges de plus que Mary et deux fois plus de billes bleues que Jenny. Si Jenny a ramassé 30 billes rouges et 25 billes bleues, quel est le nombre total de billes bleues ramassées par les amies ensemble ?
Si Mary a ramassé deux fois plus de billes rouges que Jenny, elle a obtenu 2*30 = <<2*30=60>>60 billes rouges. 
Anie a ramassé 20 billes rouges de plus que Mary, soit 60+20 = 80 billes rouges. 
Le nombre total de billes rouges est de 60+80+30 = <<60+80+30=170>>170 billes rouges. 
Si Anie a ramassé deux fois plus de billes bleues que Jenny, elle a obtenu 2*25 = <<2*25=50>>50 billes bleues. 
Mary a ramassé la moitié du nombre de billes bleues ramassées par Anie, donc 1/2*50 = 25 billes 
Le nombre total de billes bleues ramassées est de 50+25+25 = <<50+25+25=100>>100 billes bleues 
#### 100