Généralité
Définition :
Une équation est une égalité dans laquelle un ou plusieurs nombres sont inconnus. Ces nombres sont appelés inconnus et remplacés par une ou des lettres. L'expression à gauche du signe = est le membre gauche et l'expression à droite est le membre droit.
Exemples :
4x + 2 = 10
3y - 4x = 2
(x + 7)(x - 5) = 0
Solution :
Pour qu'un nombre soit solution d'une équation, les deux membres de l'équation doivent être égaux lorsque le nombre est substitué à l'inconnu. Par exemple, pour 4x + 2 = 10, x = 2 est une solution car 4(2) + 2 = 10.
Cas avec plusieurs inconnues :
Pour une équation avec plusieurs inconnues, il faut trouver les valeurs de chaque inconnue qui satisfont l'équation.
Définition de résoudre une équation :
Résoudre une équation signifie trouver toutes les solutions de cette équation.
Résolution des équations x + a = b et ax = b
Règles :
On peut ajouter ou soustraire le même nombre dans les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
On peut multiplier ou diviser par le même nombre les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
Exemples :
x + 45 = 458
x = 458 - 45
x = 413
7 + x = 23
x = 23 - 7
x = 16
x - 5 = 12
x = 12 + 5
x = 17
Pour être sûr des calculs, il faut vérifier en testant la valeur trouvée :
413 + 45 = 458
7 + 16 = 23
17 - 5 = 12
Supposons que $ABC_4+200_{10}=ABC_9$, où $A$, $B$ et $C$ sont des chiffres valides en base 4 et 9. Quelle est la somme lorsque vous additionnez toutes les valeurs possibles de $A$, toutes les valeurs possibles de $B$ et toutes les valeurs possibles de $C$ ?
Tout d'abord, nous modifions le tout en base 10 : \begin{align*}
16A+4B+C+200&=81A+9B+C\quad\Rightarrow\\
200&=65A+5B.
\end{align*}Remarquez que $C$ s'annule des deux côtés, donc $C$ pourrait être n'importe quel chiffre valide qui fonctionne à la fois en base 4 et 9 (0, 1, 2, 3). Maintenant, nous maximisons $A$ avec $A=3$ et résolvons $200=65(3)+5B$ pour obtenir $B=1$. Si nous prenons une valeur plus petite pour $A$, alors $B$ sera trop grand pour être un chiffre. Il n'y a donc qu'une seule valeur de $A$, une seule valeur de $B$ et quatre valeurs possibles pour $C$. La somme est $3+1+0+1+2+3=\boxed{10}$.