Généralité
Définition :
Une équation est une égalité dans laquelle un ou plusieurs nombres sont inconnus. Ces nombres sont appelés inconnus et remplacés par une ou des lettres. L'expression à gauche du signe = est le membre gauche et l'expression à droite est le membre droit.
Exemples :
4x + 2 = 10
3y - 4x = 2
(x + 7)(x - 5) = 0
Solution :
Pour qu'un nombre soit solution d'une équation, les deux membres de l'équation doivent être égaux lorsque le nombre est substitué à l'inconnu. Par exemple, pour 4x + 2 = 10, x = 2 est une solution car 4(2) + 2 = 10.
Cas avec plusieurs inconnues :
Pour une équation avec plusieurs inconnues, il faut trouver les valeurs de chaque inconnue qui satisfont l'équation.
Définition de résoudre une équation :
Résoudre une équation signifie trouver toutes les solutions de cette équation.
Résolution des équations x + a = b et ax = b
Règles :
On peut ajouter ou soustraire le même nombre dans les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
On peut multiplier ou diviser par le même nombre les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
Exemples :
x + 45 = 458
x = 458 - 45
x = 413
7 + x = 23
x = 23 - 7
x = 16
x - 5 = 12
x = 12 + 5
x = 17
Pour être sûr des calculs, il faut vérifier en testant la valeur trouvée :
413 + 45 = 458
7 + 16 = 23
17 - 5 = 12
Combien de fractions sous la forme $\frac{n}{99}$, avec $0<n<99$, sont exprimées en termes les plus simples ?
La factorisation première de 99 est $3^2\cdot11$. Donc pour que $\frac{n}{99}$ soit exprimé au plus bas, $n$ ne peut pas être divisible par 3 ou 11. Les valeurs possibles de $n$ sont comprises entre 1 et 98, inclus, donc il y a 98 valeurs possibles pour $n$. On peut trouver le nombre de multiples de 3 et de multiples de 11 et soustraire à 98 pour obtenir le nombre de valeurs qui ne sont pas divisibles par 3 ou 11. Pour les multiples de 3, on passe de 3 à 96, ou $3\cdot1$ à $3\cdot32$, donc il y a 32 multiples de 3 de 1 à 98, inclus. Pour les multiples de 11, on passe de 11 à 88, donc il y a 8 multiples de 11 de 1 à 98, inclus. Nous devons nous assurer de ne pas compter deux fois les nombres qui sont multiples de 3 et de 11 : 33 et 66. Il y a donc $32+8-2=38$ valeurs de $n$ qui sont divisibles par 3 ou 11. Cela signifie qu'il y a $98-38=\boxed{60}$ valeurs de $n$ pour lesquelles $\frac{n}{99}$ est dans les termes les plus simples.