Généralité
Définition :
Une équation est une égalité dans laquelle un ou plusieurs nombres sont inconnus. Ces nombres sont appelés inconnus et remplacés par une ou des lettres. L'expression à gauche du signe = est le membre gauche et l'expression à droite est le membre droit.
Exemples :
4x + 2 = 10
3y - 4x = 2
(x + 7)(x - 5) = 0
Solution :
Pour qu'un nombre soit solution d'une équation, les deux membres de l'équation doivent être égaux lorsque le nombre est substitué à l'inconnu. Par exemple, pour 4x + 2 = 10, x = 2 est une solution car 4(2) + 2 = 10.
Cas avec plusieurs inconnues :
Pour une équation avec plusieurs inconnues, il faut trouver les valeurs de chaque inconnue qui satisfont l'équation.
Définition de résoudre une équation :
Résoudre une équation signifie trouver toutes les solutions de cette équation.
Résolution des équations x + a = b et ax = b
Règles :
On peut ajouter ou soustraire le même nombre dans les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
On peut multiplier ou diviser par le même nombre les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
Exemples :
x + 45 = 458
x = 458 - 45
x = 413
7 + x = 23
x = 23 - 7
x = 16
x - 5 = 12
x = 12 + 5
x = 17
Pour être sûr des calculs, il faut vérifier en testant la valeur trouvée :
413 + 45 = 458
7 + 16 = 23
17 - 5 = 12
Un entier de base 10 $n$ peut être représenté par $32_a$ dans une base et $23_b$ dans une autre base, où $a$ et $b$ sont des bases entières supérieures à 3. Quelle est la plus petite somme possible $a$+$b$ ?
Nous commençons par changer les expressions en base 10 en termes de $a$ et $b$. Nous savons également que les deux expressions doivent être égales puisqu'elles représentent le même nombre. \begin{align*}
32_a&=23_b\quad\Rightarrow\\
3\cdot a+2\cdot 1&=2\cdot b +3\cdot1\quad\Rightarrow\\
3a+2&=2b+3\quad\Rightarrow\\
3a&=2b+1.
\end{align*}Pour la plus petite somme $a+b$, nous voudrions les plus petites bases $a$ et $b$. $a$ et $b$ doivent être supérieurs à 3, nous allons donc laisser $a=4$ et cela signifie que $12=2b+1$ et que $b$ n'est pas un entier. Ensuite, nous essayons $a=5$ et cela signifie que $15=2b+1$ et $b=7$. Cela signifie que notre somme est $5+7=\boxed{12}$. Nous pouvons vérifier que les deux expressions fonctionnent : $32_5=3\cdot5+2=17$ et $23_7=2\cdot7+3=17$.
Il est également logique que $a=5$ fonctionne alors que $a=4$ ne fonctionne pas puisque $3a$ doit être impair pour que $b$ soit un entier ($3a-1=2b$ signifie que $3a$ doit être pair après avoir soustrait 1), et pour que $3a$ soit impair, $a$ doit aussi être impair.

Alternativement, nous pouvons simplement essayer différentes bases. La plus petite valeur possible pour $a$ et $b$ est 4. Si nous posons $b=4$, nous aurions besoin d'une base plus petite pour $a$ (puisque nous avons $3\cdot a\approx2\cdot b$), ce qui n'est pas possible. Si l'on pose $a=4$, on obtient $32_4=14$ et on essaie de trouver un $b$ tel que $23_b=14$. Cela signifie que $2b+3=14$ et que $b$ n'est pas un entier. Si l'on pose $a=5$, on obtient $32_5=17$ et on essaie de trouver un $b$ tel que $23_b=17$. Si $2b+3=17$, alors $b=7$ et on obtient toujours $a+b=\boxed{12}$.