Généralité
Définition :
Une équation est une égalité dans laquelle un ou plusieurs nombres sont inconnus. Ces nombres sont appelés inconnus et remplacés par une ou des lettres. L'expression à gauche du signe = est le membre gauche et l'expression à droite est le membre droit.
Exemples :
4x + 2 = 10
3y - 4x = 2
(x + 7)(x - 5) = 0
Solution :
Pour qu'un nombre soit solution d'une équation, les deux membres de l'équation doivent être égaux lorsque le nombre est substitué à l'inconnu. Par exemple, pour 4x + 2 = 10, x = 2 est une solution car 4(2) + 2 = 10.
Cas avec plusieurs inconnues :
Pour une équation avec plusieurs inconnues, il faut trouver les valeurs de chaque inconnue qui satisfont l'équation.
Définition de résoudre une équation :
Résoudre une équation signifie trouver toutes les solutions de cette équation.
Résolution des équations x + a = b et ax = b
Règles :
On peut ajouter ou soustraire le même nombre dans les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
On peut multiplier ou diviser par le même nombre les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
Exemples :
x + 45 = 458
x = 458 - 45
x = 413
7 + x = 23
x = 23 - 7
x = 16
x - 5 = 12
x = 12 + 5
x = 17
Pour être sûr des calculs, il faut vérifier en testant la valeur trouvée :
413 + 45 = 458
7 + 16 = 23
17 - 5 = 12
Rick pense à un facteur positif de 14 et Steve à un facteur positif de 42. Si Rick et Steve pensent au même nombre, à combien de nombres possibles pourraient-ils penser ?
Nous trouverons les diviseurs positifs de 14 en trouvant des paires qui se multiplient par 14. Nous commençons notre liste comme suit, $$1 \quad \underline{\hphantom{10}} \quad \dots \quad \underline{\hphantom{10}} \quad 14.$$ En vérifiant $2$, nous constatons que $2\cdot 7=14$, donc notre liste devient $$1 \quad 2 \quad \underline{\hphantom{10}} \quad \dots \quad \underline{\hphantom{10}} \quad 7 \quad 14.$$ En vérifiant $3$, $4$, $5$ et $6$, nous constatons qu'aucun de ceux-ci n'est un diviseur de $14$, donc notre liste finale est $$1 \quad 2 \quad 7 \quad 14.$$ Ensuite, nous utilisons la méthode du copain pour déterminer les facteurs de 42$. Nous commençons notre liste comme suit, $$1\quad \underline{\hphantom{10}} \quad \dots \quad \underline{\hphantom{10}} \quad 42.$$ En vérifiant $2$, nous trouvons que $2\cdot 21=42$, donc notre liste devient $$1\quad 2 \quad \underline{\hphantom{10}} \quad \dots \quad \underline{\hphantom{10}} \quad 21 \quad 42.$$ En vérifiant $3$, nous trouvons que $3\cdot 14=42$, donc notre liste devient $$1\quad 2 \quad 3 \quad \underline{\hphantom{10}} \quad \dots \quad \underline{\hphantom{10}} \quad 14 \quad 21 \quad 42.$$ En vérifiant $4$ et $5$ nous constatons que $4$ et $5$ ne sont pas des diviseurs de $42$. En vérifiant $6$, nous trouvons que $6\cdot 7=42$, donc notre liste devient $$1\quad 2 \quad 3 \quad 6 \quad \underline{\hphantom{10}} \quad \dots \quad \underline{\hphantom{10}} \quad 7 \quad 14 \quad 21 \quad 42.$$ Puisque $7$ est déjà sur notre liste, notre liste finale est $$1\quad 2 \quad 3 \quad 6 \quad 7 \quad 14 \quad 21 \quad 42.$$ Nous comparons nos listes pour les facteurs de $14$ et les facteurs de $42$ pour voir que les facteurs que $14$ et $42$ partagent sont $1$, $2$, $7$ et $14$. Par conséquent, Rick et Steve pourraient penser à $\boxed{4}$ nombres possibles. Notez que puisque 14 est un facteur de 42, tous les facteurs de 14 sont également des facteurs de 42.