Droites des Milieux dans un Triangle

La droite passant par les milieux de deux côtés d'un triangle

Propriété 1 :
La droite passant par les milieux de deux côtés d'un triangle est parallèle au troisième côté.
Exemple : Soit ABC un triangle. M est le milieu de [AB] et N est le milieu de [AC]. Alors, (MN) // (BC).

Propriété 2 :
La distance entre les milieux de deux côtés d'un triangle est égale à la moitié de la longueur du troisième côté.
Autrement dit : Si M est le milieu de [AB] et N est le milieu de [AC], alors MN = 1/2 BC.
Exemple : Soit ABC un triangle. M est le milieu de [AB] et N est le milieu de [AC]. Alors, MN = 1/2 BC.

Propriété 3 :
Milieu + Milieu = Parallélisme. La droite passant par les milieux de deux côtés est parallèle au troisième côté.

La droite passant par le milieu d'un côté d'un triangle et parallèle au deuxième côté

Propriété 1 :
La droite passant par le milieu d'un côté d'un triangle et parallèle à un autre côté coupe le troisième côté en son milieu.
Autrement dit : Si M est le milieu de [AB] et (d) // (AC), alors d coupe (BC) en son milieu.
Exemple : Soit ABC un triangle. M est le milieu de [AB] et (d) // (AC). Alors, d coupe (BC) en son milieu.

Propriété 2 :
Milieu // Parallélisme. La droite passant par le milieu d'un côté d'un triangle et parallèle à un autre côté coupe le troisième côté en son milieu.

La droite parallèle à un côté dans un triangle

Propriété de Thalès :
Dans un triangle ABC, si une droite (d) parallèle à (BC) coupe [AB] en M et [AC] en N, alors AM/AB = AN/AC.
Exemple : Dans un triangle ABC, si (d) // (BC) et coupe [AB] en M et [AC] en N, alors AM/AB = AN/AC.

Résumé des propriétés :

La droite passant par les milieux de deux côtés d'un triangle est parallèle au troisième côté.
La droite passant par le milieu d'un côté d'un triangle et parallèle à un autre côté coupe le troisième côté en son milieu.
La droite parallèle à un côté dans un triangle respecte la propriété de Thalès.
EFG est un triangle rectangle en F tel que EF = 5 cm et FG = 3,5 cm. Soit A le milieu de [EF] et B le milieu de [EG].
1. Fais un dessin en vraie grandeur et code-le.2. Montre que (AB) est parallèle à (FG).2. Montre que (AB) est parallèle à (FG).
1. Fais un dessin en vraie grandeur et code-le.
   - Dessinez un triangle rectangle EFG avec l'angle droit en F.
   - Marquez les longueurs: EF = 5 cm, FG = 3,5 cm.
   - Indiquez les points A et B comme étant les milieux de [EF] et [EG] respectivement.

2. Montre que (AB) est parallèle à (FG).
   - Puisque A est le milieu de [EF] et B est le milieu de [EG], par le théorème de la droite des milieux, (AB) est parallèle à (FG).

3. Déduis-en que (AB) est perpendiculaire à (EF).
   - Étant donné que (FG) est perpendiculaire à (EF) dans un triangle rectangle, et que (AB) est parallèle à (FG), il en découle que (AB) est également perpendiculaire à (EF).