Généralité
Définition :
Une équation est une égalité dans laquelle un ou plusieurs nombres sont inconnus. Ces nombres sont appelés inconnus et remplacés par une ou des lettres. L'expression à gauche du signe = est le membre gauche et l'expression à droite est le membre droit.
Exemples :
4x + 2 = 10
3y - 4x = 2
(x + 7)(x - 5) = 0
Solution :
Pour qu'un nombre soit solution d'une équation, les deux membres de l'équation doivent être égaux lorsque le nombre est substitué à l'inconnu. Par exemple, pour 4x + 2 = 10, x = 2 est une solution car 4(2) + 2 = 10.
Cas avec plusieurs inconnues :
Pour une équation avec plusieurs inconnues, il faut trouver les valeurs de chaque inconnue qui satisfont l'équation.
Définition de résoudre une équation :
Résoudre une équation signifie trouver toutes les solutions de cette équation.
Résolution des équations x + a = b et ax = b
Règles :
On peut ajouter ou soustraire le même nombre dans les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
On peut multiplier ou diviser par le même nombre les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
Exemples :
x + 45 = 458
x = 458 - 45
x = 413
7 + x = 23
x = 23 - 7
x = 16
x - 5 = 12
x = 12 + 5
x = 17
Pour être sûr des calculs, il faut vérifier en testant la valeur trouvée :
413 + 45 = 458
7 + 16 = 23
17 - 5 = 12
Quel est le plus grand nombre de facteurs entiers positifs distincts qu'un entier positif inférieur à 20 peut avoir ?
Un entier $n$ de la forme $p^e$, pour un nombre premier $p$ et un entier positif $e$, a $(e+1)$ facteurs positifs. Pour maximiser $e$, soit $p=2$, le plus petit nombre premier. Puisque $n$ est inférieur à 20, $e$ vaut au plus 4, ce qui signifie que $n$ peut avoir 5 facteurs. Si $n$ est de la forme $p_1^{e_1}\cdot p_2^{e_2}$, alors soit $p_1=2$ et $p_2=3$ pour trouver le maximum possible de $e_1$ et $e_2$. Les deux ne peuvent pas être 2 (sinon $n=36$), donc $e_1, e_2=1, 2$ donnent le plus de facteurs : $(2+1)(1+1)=\boxed{6}$ facteurs. Finalement, $n$ ne peut être divisible par aucun autre nombre premier puisque $2\cdot3\cdot5=30>20$. Ainsi, le plus grand nombre de facteurs entiers positifs distincts qu'un entier positif inférieur à 20 peut avoir est de 6. Bien sûr, nous aurions pu résoudre ce problème en trouvant le nombre de facteurs de chaque entier positif inférieur à 20, mais en général notre approche est plus efficace.