Généralité
Définition :
Une équation est une égalité dans laquelle un ou plusieurs nombres sont inconnus. Ces nombres sont appelés inconnus et remplacés par une ou des lettres. L'expression à gauche du signe = est le membre gauche et l'expression à droite est le membre droit.
Exemples :
4x + 2 = 10
3y - 4x = 2
(x + 7)(x - 5) = 0
Solution :
Pour qu'un nombre soit solution d'une équation, les deux membres de l'équation doivent être égaux lorsque le nombre est substitué à l'inconnu. Par exemple, pour 4x + 2 = 10, x = 2 est une solution car 4(2) + 2 = 10.
Cas avec plusieurs inconnues :
Pour une équation avec plusieurs inconnues, il faut trouver les valeurs de chaque inconnue qui satisfont l'équation.
Définition de résoudre une équation :
Résoudre une équation signifie trouver toutes les solutions de cette équation.
Résolution des équations x + a = b et ax = b
Règles :
On peut ajouter ou soustraire le même nombre dans les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
On peut multiplier ou diviser par le même nombre les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
Exemples :
x + 45 = 458
x = 458 - 45
x = 413
7 + x = 23
x = 23 - 7
x = 16
x - 5 = 12
x = 12 + 5
x = 17
Pour être sûr des calculs, il faut vérifier en testant la valeur trouvée :
413 + 45 = 458
7 + 16 = 23
17 - 5 = 12
Pour un entier positif $n$ tel que $n < 10{,}000$, le nombre $n+2005$ a exactement 21 facteurs positifs. Quelle est la somme de toutes les valeurs possibles de $n$ ?
Soit $k = n+2005$. Puisque $1 \le n \le 9999$, on a $2006 \le k \le 12004$. On sait que $k$ a exactement 21 facteurs positifs. Le nombre de facteurs positifs d'un entier positif de factorisation première $p_1^{e_1}p_2^{e_2} \cdots p_r^{e_r}$ est $(e_1+1)(e_2+1)\cdots(e_r+1)$. Puisque $21 = 7 \cdot 3$ et que 7 et 3 sont premiers, la factorisation première de $k$ est soit de la forme $p^{20}$ soit de la forme $p^6 q^2$, où $p$ et $q$ sont des nombres premiers distincts. Puisque $p^{20} \geq 2^{20} > 12004$ pour tout nombre premier $p$, on ne peut pas avoir la première forme. Donc $k = p^6 q^2$ pour des nombres premiers distincts $p$ et $q$.

Si $p=2$, alors $k=64q^2$. Donc $2006 \le 64q^2 \le 12004 \Rightarrow 31.34375 \le q^2 \le 187.5625$. Pour $q$ un entier, ceci est vrai lorsque $6 \le q \le 13$. Puisque $q$ est premier, $q$ est 7, 11 ou 13. Donc si $p=2$, les valeurs possibles de $k$ sont $2^6 7^2 = 3136$, $2^6 11^2 = 7744$ et $2^6 13^2 = 10816$.

Si $p=3$, alors $k = 729q^2$. Donc $2006 \le 729q^2 \le 12004 \Rightarrow 2.75\ldots \le q^2 \le 16.46\ldots$. Pour $q$ un entier, ceci est vrai lorsque $2 \le q \le 4$. Puisque $q$ est un nombre premier distinct de $p=3$, nous avons $q=2$. Donc si $p=3$, $k = 3^6 2^2 = 2916$.

Si $p \ge 5$, alors $k \ge 15625q^2 > 12004$, une contradiction. Nous avons donc trouvé toutes les valeurs possibles de $k$. La somme des valeurs possibles de $n = k - 2005$ est donc \begin{align*}
&(3136-2005) \\
+ &(7744-2005)\\
+ &(10816-2005)\\
+ &(2916-2005)\\
= &\boxed{16592}.
\end{align*}