Généralité
Définition :
Une équation est une égalité dans laquelle un ou plusieurs nombres sont inconnus. Ces nombres sont appelés inconnus et remplacés par une ou des lettres. L'expression à gauche du signe = est le membre gauche et l'expression à droite est le membre droit.
Exemples :
4x + 2 = 10
3y - 4x = 2
(x + 7)(x - 5) = 0
Solution :
Pour qu'un nombre soit solution d'une équation, les deux membres de l'équation doivent être égaux lorsque le nombre est substitué à l'inconnu. Par exemple, pour 4x + 2 = 10, x = 2 est une solution car 4(2) + 2 = 10.
Cas avec plusieurs inconnues :
Pour une équation avec plusieurs inconnues, il faut trouver les valeurs de chaque inconnue qui satisfont l'équation.
Définition de résoudre une équation :
Résoudre une équation signifie trouver toutes les solutions de cette équation.
Résolution des équations x + a = b et ax = b
Règles :
On peut ajouter ou soustraire le même nombre dans les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
On peut multiplier ou diviser par le même nombre les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
Exemples :
x + 45 = 458
x = 458 - 45
x = 413
7 + x = 23
x = 23 - 7
x = 16
x - 5 = 12
x = 12 + 5
x = 17
Pour être sûr des calculs, il faut vérifier en testant la valeur trouvée :
413 + 45 = 458
7 + 16 = 23
17 - 5 = 12
Supposons que $N$ puisse s'écrire en base $6$ sous la forme $531340_6$ et en base $8$ sous la forme $124154_8$. En base $10$, quel est le reste lorsque $N$ est divisé par $210$ ?
La factorisation première de $210 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7$. D'après le théorème des restes chinois, il suffit de trouver les résidus de $N$ modulo $5$, $6$ et $7$. Puisque le chiffre des unités de $N$ en base $6$ est égal à $0$, il s'ensuit que $N$ est divisible par $6$. De plus, on remarque que $N$ est congru modulo $b-1$ à la somme de ses chiffres en base $b$. En effet, si $N$ peut être représenté par $(\overline{a_ka_{k-1}\cdots a_0})_b$, alors \begin{align*}N &\equiv a_k \cdot b^k + a_{k-1} \cdot b^{k-1} + \cdots + a_1 \cdot b + a_0 \\ &\equiv a_k \cdot ((b-1) + 1)^k + \cdots + a_1 \cdot ((b-1) + 1) + a_0 \\
& \equiv a_k + a_{k-1} + \cdots + a_1 + a_0 \pmod{b-1}.
\end{align*}Il s'ensuit que $N \equiv 5+3+1+3+4+0 \equiv 1 \pmod{5}$ et que $N \equiv 1 + 2 + 4 + 1 + 5 + 4 \equiv 3 \pmod{7}.$ Par le théorème des restes chinois et l'inspection, nous déterminons que $N \equiv 31 \pmod{35}$, de sorte que (par le théorème des restes chinois à nouveau) $N \equiv \boxed{66} \pmod{210}$.