Généralité
Définition :
Une équation est une égalité dans laquelle un ou plusieurs nombres sont inconnus. Ces nombres sont appelés inconnus et remplacés par une ou des lettres. L'expression à gauche du signe = est le membre gauche et l'expression à droite est le membre droit.
Exemples :
4x + 2 = 10
3y - 4x = 2
(x + 7)(x - 5) = 0
Solution :
Pour qu'un nombre soit solution d'une équation, les deux membres de l'équation doivent être égaux lorsque le nombre est substitué à l'inconnu. Par exemple, pour 4x + 2 = 10, x = 2 est une solution car 4(2) + 2 = 10.
Cas avec plusieurs inconnues :
Pour une équation avec plusieurs inconnues, il faut trouver les valeurs de chaque inconnue qui satisfont l'équation.
Définition de résoudre une équation :
Résoudre une équation signifie trouver toutes les solutions de cette équation.
Résolution des équations x + a = b et ax = b
Règles :
On peut ajouter ou soustraire le même nombre dans les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
On peut multiplier ou diviser par le même nombre les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
Exemples :
x + 45 = 458
x = 458 - 45
x = 413
7 + x = 23
x = 23 - 7
x = 16
x - 5 = 12
x = 12 + 5
x = 17
Pour être sûr des calculs, il faut vérifier en testant la valeur trouvée :
413 + 45 = 458
7 + 16 = 23
17 - 5 = 12
Le plus grand diviseur commun de deux entiers positifs inférieurs à 100 est égal à 3. Leur plus petit multiple commun est douze fois l'un des entiers. Quelle est la plus grande somme possible des deux entiers ?
Soit les deux entiers $a$ et $b$. Alors, $\gcd(a,b) = 3$ et, sans perte de généralité, soit $\mathop{\text{lcm}}[a,b] = 12a$. En multipliant les deux équations, on obtient $\mathop{\text{lcm}}[a,b] \cdot \gcd(a,b) = 36a$. En utilisant l'identité que $ab = \mathop{\text{lcm}}[a,b] \cdot \gcd(a,b)$, il s'ensuit que $ab = 36a$, et donc $b = 36$.

Puisque $\gcd(a,b) = 3$, nous savons que $a$ est divisible par 3. Cependant, $a$ ne peut pas être divisible par $3^2 = 9$, car si $a$ était divisible par 9, alors $\gcd(a,b)$ serait également divisible par 9, puisque 36 est divisible par 9. Cela ne peut pas se produire puisque $\gcd(a,b) = 3$. De même, $a$ ne peut pas être divisible par 2, car si $a$ était divisible par 2, alors $\gcd(a,b)$ serait également divisible par 2, puisque 36 est divisible par 2.

En résumé, $a$ est un multiple de 3, mais pas de 9, et $a$ n'est pas divisible par 2. Le plus grand nombre inférieur à 100 est 93. Nous pouvons vérifier que $\mathop{\text{lcm}}[93,36] = 1116 = 12 \cdot 93$, donc la plus grande somme possible de $a + b$ est $36 + 93 = \boxed{129}$.