Triangle Rectangle et Cercle

I. Milieu de l’hypoténuse d’un triangle rectangle :
- Propriété : Le milieu de l’hypoténuse d’un triangle rectangle est équidistant de ses sommets.
- Exemple : Si ABC est un triangle rectangle en A, et I est le milieu du segment [BC], alors IA = IB = IC.
- Propriété réciproque : Si I est équidistant des trois sommets d’un triangle ABC, alors ce triangle est rectangle en A.

II. Cercle circonscrit à un triangle rectangle :
- Propriété : Si un triangle est rectangle, alors le milieu de l’hypoténuse est le centre de son cercle circonscrit.
- Exemple : Dans un triangle rectangle ABC en A, le milieu de [BC] est le centre du cercle circonscrit du triangle.

III. Théorème de Pythagore :
- Théorème : Si un triangle est rectangle, alors le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.
- Exemple : Si ABC est un triangle rectangle en A avec AB = 6 cm et AC = 8 cm, alors BC² = AB² + AC².
  * BC² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100 donc BC = 10 cm.

IV. Cosinus d’un angle aigu :
- Définition : Le cosinus d’un angle aigu est le quotient de la longueur du côté adjacent à cet angle par la longueur de l’hypoténuse.
- Exemple : Si ABC est un triangle rectangle en C avec AC = 3 cm et AB = 5 cm, alors cos A = AC / AB = 3 / 5 = 0,6.
- Remarque : Puisque l’hypoténuse est le plus grand côté d’un triangle rectangle, le cosinus d’un angle aigu est compris entre 0 et 1.

Exercice 3 :
On connaît les dimensions d'un triangle, et on veut savoir s'il est rectangle.
Méthode :

On identifie le plus grand des trois côtés.
On calcule le carré des longueurs des deux autres côtés.
Si la somme des carrés des deux autres côtés est égale au carré du plus grand côté, alors, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est rectangle. Sinon, il ne l'est pas.
Exemple :
On a un triangle tel que :

AB = 5 cm, AC = 12 cm, BC = 13 cm
Ce triangle est-il rectangle ?
Exercice 3
On a un triangle tel que :

AB = 5 cm, AC = 12 cm, BC = 13 cm
Ce triangle est-il rectangle ?
Le plus grand côté est [BC].
BC² = 13² = 169
AB² + AC² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169
Ainsi, AB² + AC² = BC²
D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle.