Droites Remarquables dans le Triangle
I. Médiatrice d'un Triangle
Définition :
La médiatrice d'un segment est la droite perpendiculaire à ce segment en son milieu. La médiatrice d'un triangle est la médiatrice de l'un de ses côtés.

Exemple :
Soit ABC un triangle. Tracons (d) la médiatrice du côté [AB].

Centre du Cercle Circonscrit au Triangle :

Propriété : Le centre du cercle circonscrit à un triangle est le point de rencontre de ses trois médiatrices.
Remarque Importante : Pour déterminer le centre du cercle circonscrit à un triangle, il suffit de tracer deux de ses médiatrices.
Exemple : Soit ABC un triangle. Construisons le cercle circonscrit de centre O.
II. Bissectrice d'un Triangle
Définition :
La bissectrice d'un angle est la demi-droite qui partage cet angle en deux angles de même mesure. La bissectrice d'un triangle est la bissectrice de l'un de ses angles.

Exemple :
Soit ABC un triangle. Tracons (BE) la bissectrice de l'angle ABC.

Centre du Cercle Inscrit au Triangle :

Propriété : Le centre du cercle inscrit dans un triangle est le point de rencontre de ses trois bissectrices.
Remarque Importante : Pour déterminer le centre du cercle inscrit dans un triangle, il suffit de tracer deux de ses bissectrices.
Exemple : Soit ABC un triangle. Construisons le cercle inscrit dans le triangle ABC de centre I.
III. Hauteur d'un Triangle
Définition :
Une hauteur d'un triangle est une droite qui passe par un sommet du triangle et qui est perpendiculaire au côté opposé à ce sommet.

Exemple :
Soit ABC un triangle. Tracons (AH) la hauteur du triangle ABC.

Orthocentre d'un Triangle :

Propriété : L'orthocentre d'un triangle est le point de rencontre de ses trois hauteurs.
Remarque Importante : Pour déterminer l'orthocentre d'un triangle, il suffit de tracer deux de ses hauteurs.
Exemple : Soit ABC un triangle. Construisons l'orthocentre du triangle ABC.
IV. Médiane d'un Triangle
Définition :
La médiane d'un triangle est la droite passant par un sommet du triangle et le milieu du côté opposé à ce sommet. La médiane du triangle est la médiane correspondant à l'un de ses côtés.

Exemple :
Soit ABC un triangle. Tracons (AM) la médiane du triangle ABC.

Centre de Gravité d'un Triangle :

Propriété : Le centre de gravité d'un triangle est le point de rencontre de ses trois médianes.
Remarque Importante : Pour déterminer le centre de gravité d'un triangle, il suffit de tracer deux de ses médianes.
Exemple : Soit ABC un triangle. Construisons le centre de gravité du triangle ABC.
1) Construire un triangle ABC quelconque.

2) 
a) Construire (b₂) bissectrice de l'angle Â ; elle coupe (BC) en A'.
b) Construire la droite (b₁) bissectrice de l'angle B̂ ; elle coupe (AC) en B'.
c) a) (b₁) et (b₂) se coupent en O, marque O.

3)
a) La droite perpendiculaire à (AB) et passant par O coupe la droite (AB) en I.
b) La droite perpendiculaire à (BC) et passant par O coupe la droite (BC) en J.
c) La perpendiculaire à (AC) et passant par O coupe la droite (AC) en K.

4)
a) Démontrer que : OI = OJ = OK.
b) En déduire que (b₃) bissectrice de Ĉ passe par O.
c) Énoncer la propriété que tu viens de démontrer pour les bissectrices.
d) Que représente le point O pour le triangle ABC ?
1) Tracer un triangle quelconque ABC.

2)
a) Tracer la bissectrice de l'angle Â, qui coupe BC en A'.
b) Tracer la bissectrice de l'angle B̂, qui coupe AC en B'.
c) Les bissectrices (b₁) et (b₂) se coupent en un point O, marquez ce point O.

3)
a) Tracer la droite perpendiculaire à AB passant par O, qui coupe AB en I.
b) Tracer la droite perpendiculaire à BC passant par O, qui coupe BC en J.
c) Tracer la droite perpendiculaire à AC passant par O, qui coupe AC en K.

4)
a) Démontrer que les segments OI, OJ et OK sont égaux :
   - Par définition des bissectrices, O est à égale distance des côtés du triangle ABC.
   - Donc, OI = OJ = OK.
b) En déduire que la bissectrice de Ĉ passe par O :
   - Si OI = OJ = OK, alors O est le centre du cercle inscrit dans le triangle ABC.
   - Donc, la bissectrice de l'angle Ĉ passe également par O.
c) Énoncer la propriété :
   - Les trois bissectrices d'un triangle sont concourantes en un point qui est le centre du cercle inscrit dans ce triangle.
d) Que représente le point O :
   - Le point O est le centre du cercle inscrit dans le triangle ABC.