Généralité
Définition :
Une équation est une égalité dans laquelle un ou plusieurs nombres sont inconnus. Ces nombres sont appelés inconnus et remplacés par une ou des lettres. L'expression à gauche du signe = est le membre gauche et l'expression à droite est le membre droit.
Exemples :
4x + 2 = 10
3y - 4x = 2
(x + 7)(x - 5) = 0
Solution :
Pour qu'un nombre soit solution d'une équation, les deux membres de l'équation doivent être égaux lorsque le nombre est substitué à l'inconnu. Par exemple, pour 4x + 2 = 10, x = 2 est une solution car 4(2) + 2 = 10.
Cas avec plusieurs inconnues :
Pour une équation avec plusieurs inconnues, il faut trouver les valeurs de chaque inconnue qui satisfont l'équation.
Définition de résoudre une équation :
Résoudre une équation signifie trouver toutes les solutions de cette équation.
Résolution des équations x + a = b et ax = b
Règles :
On peut ajouter ou soustraire le même nombre dans les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
On peut multiplier ou diviser par le même nombre les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
Exemples :
x + 45 = 458
x = 458 - 45
x = 413
7 + x = 23
x = 23 - 7
x = 16
x - 5 = 12
x = 12 + 5
x = 17
Pour être sûr des calculs, il faut vérifier en testant la valeur trouvée :
413 + 45 = 458
7 + 16 = 23
17 - 5 = 12
Combien y a-t-il de paires d'entiers positifs $(a,b)$ tels que $\gcd(a,b)=1$ et \[ \frac{a}{b}+\frac{14b}{9a}
\]est un entier ?
Soit $u=a/b$. Le problème est alors équivalent à trouver tous les nombres rationnels positifs $u$ tels que \[
u+\frac{14}{9u}=k
\]pour un entier $k$. Cette équation est équivalente à $9u^2-9uk+14=0$, dont les solutions sont \[
u=\frac{9k\pm\sqrt{81k^2-504}}{18}=
\frac{k}{2}\pm\frac{1}{6}\sqrt{9k^2-56}.
\]Ainsi, $u$ est rationnel si et seulement si $\sqrt{9k^2-56}$ est rationnel, ce qui est vrai si et seulement si $9k^2-56$ est un carré parfait. Supposons que $9k^2-56=s^2$ pour un entier positif $s$. Alors $(3k-s)(3k+s)=56$. Les seuls facteurs de $56$ sont $1$, $2$, $4$, $7$, $8$, $14$, $28$ et $56$, donc $(3k-s,3k+s)$ est l'une des paires ordonnées $(1,56)$, $(2,28)$, $(4,14)$ ou $(7,8)$. Les cas $(1,56)$ et $(7,8)$ ne donnent aucune solution entière. Les cas $(2,28)$ et $(4,14)$ donnent respectivement $k=5$ et $k=3$. Si $k=5$, alors $u=1/3$ ou $u=14/3$. Si $k=3$, alors $u=2/3$ ou $u=7/3$. Par conséquent, les paires $(a,b)$ qui satisfont les conditions données sont $(1,3),(2,3), (7,3),$ et $(14,3)$, pour un total de $\boxed{4}$ paires.