Équations et Résolution de Problèmes

Définition d'une équation : Une équation est une égalité mathématique entre deux expressions contenant une ou plusieurs inconnues. Résoudre une équation consiste à trouver la valeur de l’inconnue qui rend l’égalité vraie. Exemple : 2x + 3 = 7. Pour résoudre cette équation, on cherche la valeur de x qui vérifie l’égalité.

Les types d’équations : 1. Équation du premier degré : L’inconnue apparaît avec un exposant 1. Exemple : 5x - 7 = 3. 2. Équation du deuxième degré : L’inconnue apparaît avec un exposant 2. Exemple : x² - 4x + 4 = 0.

Étapes de résolution d'une équation : 1. Isoler l'inconnue : Simplifier l’équation (réduire les termes similaires, éliminer les parenthèses). Transposer tous les termes contenant l'inconnue d'un côté de l'équation et les termes constants de l'autre côté. 2. Effectuer les opérations inverses : Si l’inconnue est multipliée, on divise. Si l’inconnue est additionnée, on soustrait. Si l’inconnue est au carré, on prend la racine carrée. 3. Vérifier la solution : Remplacer la solution trouvée dans l’équation initiale pour vérifier si l'égalité est respectée.

Exemple de résolution d'une équation du premier degré : 3x + 2 = 11. 1. On soustrait 2 des deux côtés : 3x = 11 - 2, donc 3x = 9. 2. On divise par 3 : x = 9 / 3, donc x = 3. 3. Vérification : 3(3) + 2 = 11, donc la solution est correcte.

Résolution de problèmes avec des équations : Pour résoudre un problème avec des équations, suivez ces étapes : 1. Comprendre le problème : Identifier les informations données et ce qu’on cherche à trouver. 2. Définir l’inconnue : Attribuer une lettre (souvent x) à l’élément inconnu. 3. Traduire le problème en équation : Utiliser les informations données pour créer une équation. 4. Résoudre l’équation : Appliquer les étapes de résolution d’une équation. 5. Interpréter la solution : Vérifier si la solution est cohérente avec le contexte du problème.

Exemple : Pierre a trois ans de plus que son frère. La somme de leurs âges est de 25 ans. Quel âge a Pierre ? 1. Compréhension : Pierre a un frère et la somme de leurs âges est 25. 2. Inconnue : Soit x l'âge du frère de Pierre. 3. Équation : x + (x + 3) = 25. 4. Résolution : 2x + 3 = 25, donc 2x = 25 - 3, donc 2x = 22, donc x = 22 / 2, donc x = 11. Pierre a donc 11 + 3 = 14 ans. 5. Interprétation : Pierre a 14 ans et son frère 11 ans. La somme est bien de 25.

Yolanda quitte la maison pour aller au travail à 7h00 du matin, en vélo à 32 km/h. Quinze minutes après son départ, son mari se rend compte qu'elle a oublié son déjeuner et saute dans la voiture pour le lui apporter. S'il conduit à 64 km/h et suit exactement le même itinéraire que Yolanda, combien de minutes lui faudra-t-il pour la rattraper ?
Soit x le nombre de minutes qu'il faut au mari de Yolanda pour la rattraper. 
Nous savons que Yolanda passera au total x + 15 minutes à faire du vélo puisqu'elle est partie 15 minutes avant son mari. 
La distance parcourue par chaque personne est égale à sa vitesse de déplacement multipliée par le nombre de minutes passées à voyager. Cela signifie que la distance de Yolanda est égale à 20 mph * (x + 15) et que la distance de son mari est égale à 40 mph * x 
Le mari de Yolanda la rattrape lorsqu'ils ont tous deux parcouru la même distance, c'est-à-dire lorsque 20(x + 15) = 40x 
Nous pouvons simplifier cette équation en multipliant 20 par les parenthèses pour obtenir 20x + 300 = 40x 
Ensuite, nous pouvons soustraire 20x de chaque côté pour obtenir 300 = 20x 
Enfin, nous divisons les deux côtés par 20 pour trouver que x = 15. 
#### 15