Généralité
Définition :
Une équation est une égalité dans laquelle un ou plusieurs nombres sont inconnus. Ces nombres sont appelés inconnus et remplacés par une ou des lettres. L'expression à gauche du signe = est le membre gauche et l'expression à droite est le membre droit.
Exemples :
4x + 2 = 10
3y - 4x = 2
(x + 7)(x - 5) = 0
Solution :
Pour qu'un nombre soit solution d'une équation, les deux membres de l'équation doivent être égaux lorsque le nombre est substitué à l'inconnu. Par exemple, pour 4x + 2 = 10, x = 2 est une solution car 4(2) + 2 = 10.
Cas avec plusieurs inconnues :
Pour une équation avec plusieurs inconnues, il faut trouver les valeurs de chaque inconnue qui satisfont l'équation.
Définition de résoudre une équation :
Résoudre une équation signifie trouver toutes les solutions de cette équation.
Résolution des équations x + a = b et ax = b
Règles :
On peut ajouter ou soustraire le même nombre dans les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
On peut multiplier ou diviser par le même nombre les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
Exemples :
x + 45 = 458
x = 458 - 45
x = 413
7 + x = 23
x = 23 - 7
x = 16
x - 5 = 12
x = 12 + 5
x = 17
Pour être sûr des calculs, il faut vérifier en testant la valeur trouvée :
413 + 45 = 458
7 + 16 = 23
17 - 5 = 12
Un entier positif $n$ est bon s'il existe un entier positif $m$ avec exactement quatre diviseurs positifs (dont $1$ et $m$) tels que la somme des quatre diviseurs soit égale à $n.$ Trouvez la somme de tous les nombres bons dans l'ensemble $\{ 2010,2011,2012,\dots,2019 \}.$
Les entiers positifs ayant exactement quatre diviseurs positifs sont les entiers de la forme $p^3$, où $p$ est un nombre premier, ou $p \cdot q$, où $p$ et $q$ sont des nombres premiers distincts. Considérons chaque cas :

Supposons que $m = p^3$ pour un nombre premier $p$. Alors la somme des diviseurs de $m$ est $1 + p + p^2 + p^3.$ Pour $p = 11,$ cette valeur de $m$ est trop faible, et pour $p = 13,$ la valeur de $m$ est trop élevée ; par conséquent, aucun nombre premier $p$ ne donne une valeur de $n$ dans l'ensemble donné.

Par conséquent, nous devons avoir $m = p \cdot q$, pour des nombres premiers distincts $p$ et $q.$ Alors la somme des diviseurs de $m$ est $1 + p + q + pq$, que nous pouvons factoriser comme $(1+p)(1+q)$. Supposons d'abord que l'un des nombres $p$ et $q$ soit égal à $2$ ; sans perte de généralité, soit $p = 2$. Alors $(1+p)(1+q) = 3(1+q).$ Puisque $q \neq p = 2$, on voit que $q$ est impair, et donc que $1+q$ est pair. Ainsi, $3(1+q)$ est divisible par $6,$ donc il doit être soit $2010$ soit $2016.$ En essayant les deux cas, nous voyons que $3(1+q) = 2010$ et $3(1 + q) = 2016$ donnent tous deux une valeur non première de $q.$

Si ni $p$ ni $q$ ne sont égaux à $2$, alors les deux sont des nombres premiers impairs, donc $(1+p)(1+q)$ est le produit de deux nombres pairs, qui doivent être divisibles par $4.$ Les seuls multiples de $4$ dans la plage donnée sont $2012$ et $2016$. Nous avons $2012 = 2^2 \cdot 503,$ donc la seule façon d'écrire $2012$ comme le produit de deux entiers positifs pairs est $2012 = 2 \cdot 1006.$ Mais nous ne pouvons pas avoir $1+p=2$ ou $1+q=2$, puisque $2-1=1$ n'est pas premier. Notez que $2016 = (1 + 3)(1 + 503).$ Puisque 3 et 503 sont tous deux premiers, 2016 est un bon nombre.

Ainsi, $\boxed{2016}$ est le seul bon nombre dans l'ensemble donné.