Généralité
Définition :
Une équation est une égalité dans laquelle un ou plusieurs nombres sont inconnus. Ces nombres sont appelés inconnus et remplacés par une ou des lettres. L'expression à gauche du signe = est le membre gauche et l'expression à droite est le membre droit.
Exemples :
4x + 2 = 10
3y - 4x = 2
(x + 7)(x - 5) = 0
Solution :
Pour qu'un nombre soit solution d'une équation, les deux membres de l'équation doivent être égaux lorsque le nombre est substitué à l'inconnu. Par exemple, pour 4x + 2 = 10, x = 2 est une solution car 4(2) + 2 = 10.
Cas avec plusieurs inconnues :
Pour une équation avec plusieurs inconnues, il faut trouver les valeurs de chaque inconnue qui satisfont l'équation.
Définition de résoudre une équation :
Résoudre une équation signifie trouver toutes les solutions de cette équation.
Résolution des équations x + a = b et ax = b
Règles :
On peut ajouter ou soustraire le même nombre dans les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
On peut multiplier ou diviser par le même nombre les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
Exemples :
x + 45 = 458
x = 458 - 45
x = 413
7 + x = 23
x = 23 - 7
x = 16
x - 5 = 12
x = 12 + 5
x = 17
Pour être sûr des calculs, il faut vérifier en testant la valeur trouvée :
413 + 45 = 458
7 + 16 = 23
17 - 5 = 12
Lors de la conversion de $\frac{31}{11111}$ en décimal, le décimal se révèle être un décimal répétitif. Combien de chiffres se répètent dans ce décimal répétitif ?

Par exemple, si vous obtenez le décimal répétitif $0.\overline{123},$, votre réponse devrait être $3,$ et si vous obtenez $0.436\overline{7},$, votre réponse devrait être $1.$
Commençons par noter que $$\frac{31}{11111} = \frac{31 \times 9}{11111 \times 9} = \frac{279}{99999}.$$Nous allons montrer que $$\frac{279}{99999} = 0.\overline{00279},$$donc notre réponse finale est $\boxed{5}.$

Preuve que $279/99999 = 0.\overline{00279}$ :

Soit $s = 0.\overline{00279}$. Ensuite, en multipliant les deux côtés par 10^5, on obtient 10^5 s = 279.\overline{00279}. En soustrayant le côté gauche par s et le côté droit par 0.\overline{00279}, on obtient 99999 s = 279, donc s = 279/99999. Il s'ensuit que 0.\overline{00279} = 279 / 99999, comme souhaité.