Généralité
Définition :
Une équation est une égalité dans laquelle un ou plusieurs nombres sont inconnus. Ces nombres sont appelés inconnus et remplacés par une ou des lettres. L'expression à gauche du signe = est le membre gauche et l'expression à droite est le membre droit.
Exemples :
4x + 2 = 10
3y - 4x = 2
(x + 7)(x - 5) = 0
Solution :
Pour qu'un nombre soit solution d'une équation, les deux membres de l'équation doivent être égaux lorsque le nombre est substitué à l'inconnu. Par exemple, pour 4x + 2 = 10, x = 2 est une solution car 4(2) + 2 = 10.
Cas avec plusieurs inconnues :
Pour une équation avec plusieurs inconnues, il faut trouver les valeurs de chaque inconnue qui satisfont l'équation.
Définition de résoudre une équation :
Résoudre une équation signifie trouver toutes les solutions de cette équation.
Résolution des équations x + a = b et ax = b
Règles :
On peut ajouter ou soustraire le même nombre dans les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
On peut multiplier ou diviser par le même nombre les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
Exemples :
x + 45 = 458
x = 458 - 45
x = 413
7 + x = 23
x = 23 - 7
x = 16
x - 5 = 12
x = 12 + 5
x = 17
Pour être sûr des calculs, il faut vérifier en testant la valeur trouvée :
413 + 45 = 458
7 + 16 = 23
17 - 5 = 12
Au début d'un programme, les 105 membres d'une fanfare se placent dans une formation rectangulaire appelée Formation $A$. Tous les membres de la fanfare se déplacent ensuite dans la Formation $B$, qui est une formation rectangulaire différente avec six rangées de plus, mais avec deux membres de la fanfare de moins par rangée. Combien de rangées y a-t-il dans la Formation $A$ ?
Soit $x$ lignes avec $y$ éléments de bande par ligne dans la formation $A$. Nous avons alors $xy=105$. D'après les informations sur la formation $B$, nous avons $(x+6)(y-2)=105$. En multipliant et en remplaçant $xy=105$, nous obtenons $xy-2x+6y-12=105-2x+6y-12=105\Leftrightarrow -2x+6y=12\Leftrightarrow x=3y-6$. Nous remplaçons maintenant $3y-6$ par $x$ dans $xy=105$ et utilisons la formule quadratique pour résoudre l'équation quadratique résultante, $3y^2-6y-105=0$. La solution positive, $y=7$, donne $x=15$. Ainsi, il y a $\boxed{15}$ lignes dans la formation $A$.