I. Comparaison de deux nombres relatifs :
- Définition : Comparer deux nombres relatifs a et b, c’est déterminer si a est inférieur, supérieur ou égal à b.
- Symboles : 
  * a < b signifie que a est inférieur à b.
  * a > b signifie que a est supérieur à b.
  * a = b signifie que a est égal à b.
- Exemples : 
  * 8 ≥ 5 signifie que 8 est supérieur ou égal à 5.
  * -4 < 3 signifie que -4 est inférieur à 3.
  * 7 ≥ -2 signifie que 7 est supérieur ou égal à -2.
- Propriétés : 
  * Si a < b alors a + c < b + c
  * Si a < b et c > 0 alors ac < bc
  * Si a < b et c < 0 alors ac > bc

II. Ordre et opérations :
- Addition et soustraction : 
  * Si a < b alors a + c < b + c
  * Si a < b et c < 0 alors a + c < b + c
- Multiplication et division : 
  * Si a < b et k > 0 alors ak < bk
  * Si a < b et k < 0 alors ak > bk
- Exemples : 
  * 3 < 5 donc 3 + 2 < 5 + 2 soit 5 < 7
  * -4 < -2 donc -4 × 3 < -2 × 3 soit -12 < -6

III. Encadrement :
- Définition : Encadrer un nombre, c’est trouver deux nombres relatifs a et b tels que a ≤ x ≤ b.
- Exemples : 
  * 4,85 est une valeur approchée de 13/3 par excès à 0,01 près.
  * -2,7 est une valeur approchée de -8/3 par défaut à 0,01 près.
- Encadrement d’une somme :
  * Si a ≤ x ≤ b et c ≤ y ≤ d alors a + c ≤ x + y ≤ b + d
- Encadrement d’un produit :
  * Si 0 ≤ a ≤ b et 0 ≤ c ≤ d alors ac ≤ x ≤ bd

IV. Inéquations :
- Définition : Une inéquation est une inégalité qui contient une ou plusieurs inconnues.
- Résolution : Trouver les valeurs de l’inconnue qui vérifient l’inéquation.
- Méthodes de résolution :
  * Isoler l’inconnue en utilisant les opérations inverses.
  * Utiliser les propriétés de l’addition, la soustraction, la multiplication et la division.
- Exemples : 
  * 2x + 3 > 7
  * 2x > 4
  * x > 2
- Cas de solution :
  * Expression fausse : (ex: 3 > 5) Pas de solution.
  * Expression vraie : (ex: 0 < 5) Toute valeur est solution.

La société ALO propose un abonnement téléphonique de 98 F par mois et 1,30 F la minute de communication.
La société LAO propose un abonnement téléphonique de 95 F par mois et 1,45 F la minute de communication.
On désigne par x le nombre de minutes de communication par mois.
1. Exprimer en fonction de x le montant d’une facture de ALO, puis le montant d’une facture de LAO.
2. Pour quelles durées de communications mensuelles a-t-on intérêt à choisir ALO ?
1. Exprimer en fonction de x le montant d’une facture de ALO, puis le montant d’une facture de LAO.

   - Facture de ALO :
     Coût de l'abonnement mensuel : 98 F
     Coût par minute de communication : 1,30 F
     Montant de la facture de ALO en fonction de x : 
     \( f_{ALO}(x) = 98 + 1,30x \)

   - Facture de LAO :
     Coût de l'abonnement mensuel : 95 F
     Coût par minute de communication : 1,45 F
     Montant de la facture de LAO en fonction de x :
     \( f_{LAO}(x) = 95 + 1,45x \)

2. Pour quelles durées de communications mensuelles a-t-on intérêt à choisir ALO ?

   Il faut déterminer les valeurs de x pour lesquelles la facture de ALO est inférieure à celle de LAO :
   \( 98 + 1,30x < 95 + 1,45x \)

   Résolvons cette inégalité :

   \( 98 + 1,30x < 95 + 1,45x \)

   Soustrayons 1,30x des deux côtés :

   \( 98 < 95 + 0,15x \)

   Soustrayons 95 des deux côtés :

   \( 3 < 0,15x \)

   Divisons par 0,15 des deux côtés :

   \( \frac{3}{0,15} < x \)

   \( 20 < x \)

   Donc, il est avantageux de choisir ALO lorsque la durée de communication mensuelle est supérieure à 20 minutes.

