Équations et Résolution de Problèmes

Définition d'une équation : Une équation est une égalité mathématique entre deux expressions contenant une ou plusieurs inconnues. Résoudre une équation consiste à trouver la valeur de l’inconnue qui rend l’égalité vraie. Exemple : 2x + 3 = 7. Pour résoudre cette équation, on cherche la valeur de x qui vérifie l’égalité.

Les types d’équations : 1. Équation du premier degré : L’inconnue apparaît avec un exposant 1. Exemple : 5x - 7 = 3. 2. Équation du deuxième degré : L’inconnue apparaît avec un exposant 2. Exemple : x² - 4x + 4 = 0.

Étapes de résolution d'une équation : 1. Isoler l'inconnue : Simplifier l’équation (réduire les termes similaires, éliminer les parenthèses). Transposer tous les termes contenant l'inconnue d'un côté de l'équation et les termes constants de l'autre côté. 2. Effectuer les opérations inverses : Si l’inconnue est multipliée, on divise. Si l’inconnue est additionnée, on soustrait. Si l’inconnue est au carré, on prend la racine carrée. 3. Vérifier la solution : Remplacer la solution trouvée dans l’équation initiale pour vérifier si l'égalité est respectée.

Exemple de résolution d'une équation du premier degré : 3x + 2 = 11. 1. On soustrait 2 des deux côtés : 3x = 11 - 2, donc 3x = 9. 2. On divise par 3 : x = 9 / 3, donc x = 3. 3. Vérification : 3(3) + 2 = 11, donc la solution est correcte.

Résolution de problèmes avec des équations : Pour résoudre un problème avec des équations, suivez ces étapes : 1. Comprendre le problème : Identifier les informations données et ce qu’on cherche à trouver. 2. Définir l’inconnue : Attribuer une lettre (souvent x) à l’élément inconnu. 3. Traduire le problème en équation : Utiliser les informations données pour créer une équation. 4. Résoudre l’équation : Appliquer les étapes de résolution d’une équation. 5. Interpréter la solution : Vérifier si la solution est cohérente avec le contexte du problème.

Exemple : Pierre a trois ans de plus que son frère. La somme de leurs âges est de 25 ans. Quel âge a Pierre ? 1. Compréhension : Pierre a un frère et la somme de leurs âges est 25. 2. Inconnue : Soit x l'âge du frère de Pierre. 3. Équation : x + (x + 3) = 25. 4. Résolution : 2x + 3 = 25, donc 2x = 25 - 3, donc 2x = 22, donc x = 22 / 2, donc x = 11. Pierre a donc 11 + 3 = 14 ans. 5. Interprétation : Pierre a 14 ans et son frère 11 ans. La somme est bien de 25.

Une enseignante d'école primaire fabrique des sacs cadeaux d'Halloween pour sa classe. Elle souhaite que les sacs soient personnalisés, elle demande donc à ses élèves s'ils préfèrent un sac sur le thème des vampires ou un sac sur le thème des citrouilles. Sur ses 25 élèves, 11 indiquent qu'ils veulent le sac sur le thème des vampires et 14 indiquent qu'ils veulent le sac sur le thème des citrouilles. Le magasin où l'enseignante fait ses courses vend des paquets de 5 de chaque thème au prix de 3 $ l'unité, ainsi que des sacs individuels de chaque thème au prix de 1 $ chacun. Quel est le montant minimum que l'enseignante peut dépenser pour les sacs si elle achète à chaque élève le thème qu'il a demandé ?
Comme il est moins cher d'acheter les paquets de 5, le professeur doit satisfaire les 11 élèves qui veulent le thème des vampires avec 2 paquets de 5 et 1 sac individuel. Cela coûtera au professeur 2*3 + 1*1 = $<<2*3+1*1=7>>7. 
De même, les 14 élèves qui veulent un sac sur le thème des citrouilles peuvent être satisfaits par 2 paquets de 5 et 4 sacs individuels au prix de 2*3 + 4*1 = $<<2*3+4*1=10>>10. 
Par conséquent, le professeur doit dépenser 7 + 10 = $<<7+10=17>>17. 
#### 17