Généralité
Définition :
Une équation est une égalité dans laquelle un ou plusieurs nombres sont inconnus. Ces nombres sont appelés inconnus et remplacés par une ou des lettres. L'expression à gauche du signe = est le membre gauche et l'expression à droite est le membre droit.
Exemples :
4x + 2 = 10
3y - 4x = 2
(x + 7)(x - 5) = 0
Solution :
Pour qu'un nombre soit solution d'une équation, les deux membres de l'équation doivent être égaux lorsque le nombre est substitué à l'inconnu. Par exemple, pour 4x + 2 = 10, x = 2 est une solution car 4(2) + 2 = 10.
Cas avec plusieurs inconnues :
Pour une équation avec plusieurs inconnues, il faut trouver les valeurs de chaque inconnue qui satisfont l'équation.
Définition de résoudre une équation :
Résoudre une équation signifie trouver toutes les solutions de cette équation.
Résolution des équations x + a = b et ax = b
Règles :
On peut ajouter ou soustraire le même nombre dans les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
On peut multiplier ou diviser par le même nombre les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
Exemples :
x + 45 = 458
x = 458 - 45
x = 413
7 + x = 23
x = 23 - 7
x = 16
x - 5 = 12
x = 12 + 5
x = 17
Pour être sûr des calculs, il faut vérifier en testant la valeur trouvée :
413 + 45 = 458
7 + 16 = 23
17 - 5 = 12
Linda, Sherry, June et Connie se promenaient dans leurs quartiers pour vendre des biscuits aux filles scouts. Linda a gagné 27,47 $, Sherry 35,23 $, June 37,37 $ et Connie 26,52 $. Après la vente, elles ont mis leur argent en commun et sont allées à la banque pour convertir les pièces en dollars. Combien d'argent, en cents, restait-il après avoir converti autant de pièces que possible en billets ?
Au lieu d'additionner de grands nombres, nous pouvons trouver le résidu pour chaque personne pour un calcul plus facile. Nous convertissons le montant qu'ils ont gagné en centimes et trouvons le modulo $100$ pour chacun. \begin{align*}
2747 &\equiv 47 \pmod{100},\\
3523 &\equiv 23 \pmod{100},\\
3737 &\equiv 37 \pmod{100},\\
2652 &\equiv 52 \pmod{100}
\end{align*}Nous voulons trouver le modulo $100$ du nombre total de centimes. Nous pouvons additionner les résidus séparés pour obtenir $$47+23+37+52 \equiv 159 \equiv 59 \pmod{100}$$Par conséquent, il leur reste $\boxed{59}$ cents après avoir converti autant d'argent que possible en billets.