Généralité
Définition :
Une équation est une égalité dans laquelle un ou plusieurs nombres sont inconnus. Ces nombres sont appelés inconnus et remplacés par une ou des lettres. L'expression à gauche du signe = est le membre gauche et l'expression à droite est le membre droit.
Exemples :
4x + 2 = 10
3y - 4x = 2
(x + 7)(x - 5) = 0
Solution :
Pour qu'un nombre soit solution d'une équation, les deux membres de l'équation doivent être égaux lorsque le nombre est substitué à l'inconnu. Par exemple, pour 4x + 2 = 10, x = 2 est une solution car 4(2) + 2 = 10.
Cas avec plusieurs inconnues :
Pour une équation avec plusieurs inconnues, il faut trouver les valeurs de chaque inconnue qui satisfont l'équation.
Définition de résoudre une équation :
Résoudre une équation signifie trouver toutes les solutions de cette équation.
Résolution des équations x + a = b et ax = b
Règles :
On peut ajouter ou soustraire le même nombre dans les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
On peut multiplier ou diviser par le même nombre les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
Exemples :
x + 45 = 458
x = 458 - 45
x = 413
7 + x = 23
x = 23 - 7
x = 16
x - 5 = 12
x = 12 + 5
x = 17
Pour être sûr des calculs, il faut vérifier en testant la valeur trouvée :
413 + 45 = 458
7 + 16 = 23
17 - 5 = 12
Jax a acheté exactement assez d'arbres pour planter huit rangées égales. Puis un arbre est mort et n'a pas pu être planté, mais il lui restait encore assez d'arbres pour planter exactement neuf rangées égales. Après cela, un arbre a été volé, mais il lui restait encore assez d'arbres pour planter exactement dix rangées égales. S'il a acheté le plus petit nombre d'arbres satisfaisant ces trois conditions, combien d'arbres a-t-il acheté ?
Soit $n$ le nombre d'arbres achetés par Jax. Les trois conditions peuvent s'écrire comme suit :

1. $n$ est un multiple de 8.

2. $n$ est 1 de plus qu'un multiple de 9

3. $n$ est 2 de plus qu'un multiple de 10.

En d'autres termes, $n = 8a = 9b + 1 = 10c + 2$ pour certains entiers non négatifs $a,$ $b,$ et $c.$

La troisième condition signifie que $n$ est l'un des $2,\, 12,\, 22,\, 32,\ldots$ et ainsi de suite. Le premier nombre de cette séquence qui est un de plus qu'un multiple de 9 est 82. Notez que si nous ajoutons un multiple de 90 à 82, le résultat est également un nombre qui est 2 de plus qu'un multiple de 10 et 1 de plus qu'un multiple de 9. De plus, ce sont les seuls nombres qui satisfont aux deux dernières conditions. Pour voir cela, nous pouvons regarder les équations $n = 9b + 1 = 10c + 2.$ Alors
\[n - 82 = 9b - 81 = 10c - 80,\]que nous pouvons écrire comme $n - 82 = 9(b - 9) = 10(c - 8).$ Cela nous indique que $n - 82$ est à la fois un multiple de 9 et de 10, donc $n - 82$ doit être un multiple de 90.

Ainsi, $n$ se trouve dans la séquence
\[82, 172, 262, 352, 442, \dots.\]Le premier nombre de cette séquence qui est un multiple de 8 est $\boxed{352}$.