Triangle Rectangle et Cercle

I. Milieu de l’hypoténuse d’un triangle rectangle :
- Propriété : Le milieu de l’hypoténuse d’un triangle rectangle est équidistant de ses sommets.
- Exemple : Si ABC est un triangle rectangle en A, et I est le milieu du segment [BC], alors IA = IB = IC.
- Propriété réciproque : Si I est équidistant des trois sommets d’un triangle ABC, alors ce triangle est rectangle en A.

II. Cercle circonscrit à un triangle rectangle :
- Propriété : Si un triangle est rectangle, alors le milieu de l’hypoténuse est le centre de son cercle circonscrit.
- Exemple : Dans un triangle rectangle ABC en A, le milieu de [BC] est le centre du cercle circonscrit du triangle.

III. Théorème de Pythagore :
- Théorème : Si un triangle est rectangle, alors le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.
- Exemple : Si ABC est un triangle rectangle en A avec AB = 6 cm et AC = 8 cm, alors BC² = AB² + AC².
  * BC² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100 donc BC = 10 cm.

IV. Cosinus d’un angle aigu :
- Définition : Le cosinus d’un angle aigu est le quotient de la longueur du côté adjacent à cet angle par la longueur de l’hypoténuse.
- Exemple : Si ABC est un triangle rectangle en C avec AC = 3 cm et AB = 5 cm, alors cos A = AC / AB = 3 / 5 = 0,6.
- Remarque : Puisque l’hypoténuse est le plus grand côté d’un triangle rectangle, le cosinus d’un angle aigu est compris entre 0 et 1.

7- IJK est un triangle tel que : IJ = 2,04 cm IK = 5,96 cm JK = 5,6 cm
Démontrer que IJK est un triangle rectangle.
Pour démontrer que le triangle IJK est un triangle rectangle, nous devons vérifier si le théorème de Pythagore est respecté. Ce théorème stipule que, dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.

Formule : IK² = IJ² + JK² (ou toute autre combinaison selon quelle longueur pourrait être l'hypoténuse)

Calculons :
IJ² = (2,04)² = 4,1616
IK² = (5,96)² = 35,5216
JK² = (5,6)² = 31,36

Vérifions l'une des égalités possibles :
IK² = IJ² + JK²
35,5216 ≈ 4,1616 + 31,36
35,5216 ≈ 35,5216

L'égalité est respectée, donc le théorème de Pythagore est vérifié. Par conséquent, le triangle IJK est un triangle rectangle.