Généralité
Définition :
Une équation est une égalité dans laquelle un ou plusieurs nombres sont inconnus. Ces nombres sont appelés inconnus et remplacés par une ou des lettres. L'expression à gauche du signe = est le membre gauche et l'expression à droite est le membre droit.
Exemples :
4x + 2 = 10
3y - 4x = 2
(x + 7)(x - 5) = 0
Solution :
Pour qu'un nombre soit solution d'une équation, les deux membres de l'équation doivent être égaux lorsque le nombre est substitué à l'inconnu. Par exemple, pour 4x + 2 = 10, x = 2 est une solution car 4(2) + 2 = 10.
Cas avec plusieurs inconnues :
Pour une équation avec plusieurs inconnues, il faut trouver les valeurs de chaque inconnue qui satisfont l'équation.
Définition de résoudre une équation :
Résoudre une équation signifie trouver toutes les solutions de cette équation.
Résolution des équations x + a = b et ax = b
Règles :
On peut ajouter ou soustraire le même nombre dans les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
On peut multiplier ou diviser par le même nombre les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
Exemples :
x + 45 = 458
x = 458 - 45
x = 413
7 + x = 23
x = 23 - 7
x = 16
x - 5 = 12
x = 12 + 5
x = 17
Pour être sûr des calculs, il faut vérifier en testant la valeur trouvée :
413 + 45 = 458
7 + 16 = 23
17 - 5 = 12
Soit $n = 3^{17} + 3^{10}$. On sait que $11$ se divise en $n+1$. Si $n$ peut s'écrire en base $10$ sous la forme $ABCACCBAB$, où $A,B,C$ sont des chiffres distincts tels que $A$ et $C$ sont impairs et $B$ n'est pas divisible par $3$, trouver $100A + 10B + C$.
Notez que $3^{17} + 3^{10} = 3^{10} \cdot (3^7 + 1)$ ; ainsi $9$ se divise en $3^{17} + 3^{10}$. De plus, en utilisant la factorisation de la somme des puissances septièmes, il s'ensuit que $3+1 = 4$ se divise en $3^7 + 1$.

En utilisant le critère de divisibilité pour $4$, nous savons que $\overline{AB}$ doit être divisible par $4$. Ainsi, $B$ est pair et non divisible par $3$. De plus, $A$ est impair, donc $\overline{AB} = 10A + B$, où $4$ ne se divise pas en $10A$. Ainsi, $4$ ne peut pas non plus se diviser en $B$, sinon $10A + B$ ne serait pas divisible par $4$. Alors, $B$ doit être égal à $2$.

En utilisant le critère de divisibilité pour $9$, il s'ensuit que $3(A+B+C)$ est divisible par $9$, c'est-à-dire que $3$ se divise en $A+C+2$. Ainsi, $A+C = 4,7,10,13,16 \quad (*)$. En utilisant le critère de divisibilité pour $11$, puisque \begin{align*}10^{8} \cdot A + 10^7 \cdot B + \cdots + B &\equiv (-1)^8 \cdot A + (-1)^7 \cdot B + \cdots + B \\ &\equiv A - B + \cdots + B \\ &\equiv -1 \pmod{11},\end{align*}alors la somme alternée des chiffres, qui donne $B+C-A \equiv -1 \pmod{11}$. Ainsi, $2+C-A$ est égal à $10$ ou $-1$, donc $A-C = 3,-8$.

Dans le premier cas, lorsque $A-C = 3$, la somme avec $(*)$ donne que $2A \in \{7,10,13,16,19\}$, dont seulement $A = 5$ correspondent aux conditions du problème. Cela donne que $C = 2$. Cependant, nous savons que $B$ et $C$ sont distincts, nous pouvons donc éliminer cette possibilité. Ainsi, $A-C = -8$, dont seulement $C = 9, A = 1$ fonctionne. La réponse est $\boxed{129}$.