Définition d'une équation : Une équation est une égalité mathématique entre deux expressions contenant une ou plusieurs inconnues. Résoudre une équation consiste à trouver la valeur de l’inconnue qui rend l’égalité vraie. Exemple : 2x + 3 = 7. Pour résoudre cette équation, on cherche la valeur de x qui vérifie l’égalité.

Les types d’équations : 1. Équation du premier degré : L’inconnue apparaît avec un exposant 1. Exemple : 5x - 7 = 3. 2. Équation du deuxième degré : L’inconnue apparaît avec un exposant 2. Exemple : x² - 4x + 4 = 0.

Étapes de résolution d'une équation : 1. Isoler l'inconnue : Simplifier l’équation (réduire les termes similaires, éliminer les parenthèses). Transposer tous les termes contenant l'inconnue d'un côté de l'équation et les termes constants de l'autre côté. 2. Effectuer les opérations inverses : Si l’inconnue est multipliée, on divise. Si l’inconnue est additionnée, on soustrait. Si l’inconnue est au carré, on prend la racine carrée. 3. Vérifier la solution : Remplacer la solution trouvée dans l’équation initiale pour vérifier si l'égalité est respectée.

Exemple de résolution d'une équation du premier degré : 3x + 2 = 11. 1. On soustrait 2 des deux côtés : 3x = 11 - 2, donc 3x = 9. 2. On divise par 3 : x = 9 / 3, donc x = 3. 3. Vérification : 3(3) + 2 = 11, donc la solution est correcte.
Résoudre pour x : $\frac{2}{x-3} + \frac{3}{2x+1} = \frac{7}{3x-4}$
Pour résoudre l'équation $\frac{2}{x-3} + \frac{3}{2x+1} = \frac{7}{3x-4}$, nous allons d'abord trouver un dénominateur commun aux trois fractions. Le dénominateur commun est le produit des trois dénominateurs : $(x-3)(2x+1)(3x-4)$. Maintenant, nous allons multiplier chaque terme par ce dénominateur commun pour éliminer les fractions : $2(2x+1)(3x-4) + 3(x-3)(3x-4) = 7(x-3)(2x+1)$ Maintenant, nous allons développer les termes : $2(6x^2 - 5x - 4) + 3(3x^2 - 13x + 12) = 7(2x^2 - 5x - 3)$ $12x^2 - 10x - 8 + 9x^2 - 39x + 36 = 14x^2 - 35x - 21$ Maintenant, nous allons combiner les termes similaires et déplacer tout d'un côté de l'équation : $12x^2 + 9x^2 - 14x^2 - 10x - 39x + 35x - 8 + 36 + 21 = 0$ $7x^2 - 14x + 49 = 0$ Maintenant, nous allons essayer de factoriser l'équation quadratique : $7x^2 - 14x + 49 = 7(x^2 - 2x + 7)$ Malheureusement, l'équation quadratique $x^2 - 2x + 7$ ne se factorise pas correctement, nous allons donc utiliser la formule quadratique pour trouver les solutions pour x : $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ Pour notre équation, $a = 1$, $b = -2$ et $c = 7$. En insérant ces valeurs dans la formule quadratique, nous obtenons : $x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(7)}}{2(1)}$ $x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 28}}{2}$ $x = \frac{2 \pm \sqrt{-24}}{2}$ Puisque nous avons une valeur négative à l'intérieur de la racine carrée, les solutions pour x sont complexes : $x = \frac{2 \pm 2i\sqrt{6}}{2}$ $x = 1 \pm i\sqrt{6}$ Ainsi, les solutions pour x sont $x = 1 + i\sqrt{6}$ et $x = 1 - i\sqrt{6}$.