Généralité
Définition :
Une équation est une égalité dans laquelle un ou plusieurs nombres sont inconnus. Ces nombres sont appelés inconnus et remplacés par une ou des lettres. L'expression à gauche du signe = est le membre gauche et l'expression à droite est le membre droit.
Exemples :
4x + 2 = 10
3y - 4x = 2
(x + 7)(x - 5) = 0
Solution :
Pour qu'un nombre soit solution d'une équation, les deux membres de l'équation doivent être égaux lorsque le nombre est substitué à l'inconnu. Par exemple, pour 4x + 2 = 10, x = 2 est une solution car 4(2) + 2 = 10.
Cas avec plusieurs inconnues :
Pour une équation avec plusieurs inconnues, il faut trouver les valeurs de chaque inconnue qui satisfont l'équation.
Définition de résoudre une équation :
Résoudre une équation signifie trouver toutes les solutions de cette équation.
Résolution des équations x + a = b et ax = b
Règles :
On peut ajouter ou soustraire le même nombre dans les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
On peut multiplier ou diviser par le même nombre les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
Exemples :
x + 45 = 458
x = 458 - 45
x = 413
7 + x = 23
x = 23 - 7
x = 16
x - 5 = 12
x = 12 + 5
x = 17
Pour être sûr des calculs, il faut vérifier en testant la valeur trouvée :
413 + 45 = 458
7 + 16 = 23
17 - 5 = 12
Notez que \[35\cdot40=1400.\]Trouvez un entier $n$ avec $0\leq n<1399$ tel que $n$ soit l'inverse multiplicatif de 160 modulo 1399.
En prenant l'équation donnée modulo 1399, on obtient \[35\cdot40\equiv1\pmod{1399},\]donc nous savons que 35 est l'inverse multiplicatif de 40. Nous voulons utiliser cela pour trouver l'inverse multiplicatif de $4\cdot40=160$, donc nous voulons essayer de « diviser » 35 par 4.

La difficulté de la division par 4 est que 35 est impair. Nous savons cependant que \[35\equiv35+1399\equiv1434\pmod{1399}\]et ce nombre est pair ! Allons encore plus loin pour trouver un multiple de 4 : \[35\equiv35+3\cdot1399\equiv4232\pmod{1399}.\]En factorisant 4, nous obtenons \[35\equiv4\cdot1058\pmod{1399}.\]Enfin, nous multiplions par 40 : \[1\equiv 40\cdot35\equiv40\cdot4\cdot1058\equiv160\cdot1058\pmod{1399}.\]Cet argument est inélégant. Écrivons-le dans un ordre plus clair : \begin{align*}
1058\cdot160&\equiv1058\cdot(4\cdot40)\\
&\equiv(1058\cdot4)\cdot40\\
&\equiv35\cdot40\\
&\equiv1\pmod{1399}.
\end{align*}L'inverse multiplicatif de 160 modulo 1399 est $\boxed{1058}$.