Généralité
Définition :
Une équation est une égalité dans laquelle un ou plusieurs nombres sont inconnus. Ces nombres sont appelés inconnus et remplacés par une ou des lettres. L'expression à gauche du signe = est le membre gauche et l'expression à droite est le membre droit.
Exemples :
4x + 2 = 10
3y - 4x = 2
(x + 7)(x - 5) = 0
Solution :
Pour qu'un nombre soit solution d'une équation, les deux membres de l'équation doivent être égaux lorsque le nombre est substitué à l'inconnu. Par exemple, pour 4x + 2 = 10, x = 2 est une solution car 4(2) + 2 = 10.
Cas avec plusieurs inconnues :
Pour une équation avec plusieurs inconnues, il faut trouver les valeurs de chaque inconnue qui satisfont l'équation.
Définition de résoudre une équation :
Résoudre une équation signifie trouver toutes les solutions de cette équation.
Résolution des équations x + a = b et ax = b
Règles :
On peut ajouter ou soustraire le même nombre dans les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
On peut multiplier ou diviser par le même nombre les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
Exemples :
x + 45 = 458
x = 458 - 45
x = 413
7 + x = 23
x = 23 - 7
x = 16
x - 5 = 12
x = 12 + 5
x = 17
Pour être sûr des calculs, il faut vérifier en testant la valeur trouvée :
413 + 45 = 458
7 + 16 = 23
17 - 5 = 12
Sally, Wei-Hwa et Zoe jouent à un jeu de billes qui consiste à disposer d'abord autant de piles de 10 billes que possible. Sally a apporté 239 billes, Wei-Hwa 174 billes et Zoe 83 billes. Si toutes leurs billes sont regroupées, combien doivent être retirées pour commencer la partie ?
Les billes seront groupées en piles de 10. Nous pourrions aussi bien regrouper le nombre de billes que Sally, Wei-Hwa et Zoe ont apportées en autant de piles de 10 que possible avant de trier le reste. Cela signifie que nous devons uniquement considérer les résidus modulo 10 du nombre de billes que chacune d'elles a apportées : \begin{align*} 239 &\equiv 9 \pmod{10} \\
174 &\equiv 4 \pmod{10} \\
83 &\equiv 3 \pmod{10}
\end{align*} Notre objectif est de trouver le résidu modulo 10 du nombre total de billes. Nous le trouvons en additionnant les résidus ci-dessus : $9 + 4 + 3 = 16 \equiv \boxed{6} \pmod{10}$. Comme nous travaillons en modulo 10, cela revient au même qu'un calcul de chiffres d'unités.