Généralité
Définition :
Une équation est une égalité dans laquelle un ou plusieurs nombres sont inconnus. Ces nombres sont appelés inconnus et remplacés par une ou des lettres. L'expression à gauche du signe = est le membre gauche et l'expression à droite est le membre droit.
Exemples :
4x + 2 = 10
3y - 4x = 2
(x + 7)(x - 5) = 0
Solution :
Pour qu'un nombre soit solution d'une équation, les deux membres de l'équation doivent être égaux lorsque le nombre est substitué à l'inconnu. Par exemple, pour 4x + 2 = 10, x = 2 est une solution car 4(2) + 2 = 10.
Cas avec plusieurs inconnues :
Pour une équation avec plusieurs inconnues, il faut trouver les valeurs de chaque inconnue qui satisfont l'équation.
Définition de résoudre une équation :
Résoudre une équation signifie trouver toutes les solutions de cette équation.
Résolution des équations x + a = b et ax = b
Règles :
On peut ajouter ou soustraire le même nombre dans les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
On peut multiplier ou diviser par le même nombre les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
Exemples :
x + 45 = 458
x = 458 - 45
x = 413
7 + x = 23
x = 23 - 7
x = 16
x - 5 = 12
x = 12 + 5
x = 17
Pour être sûr des calculs, il faut vérifier en testant la valeur trouvée :
413 + 45 = 458
7 + 16 = 23
17 - 5 = 12
Supprimez les entiers congruents à 3 (mod 7) de la liste suivante de cinq entiers et additionnez les entiers restants. $$
85 \qquad 49,\!479 \qquad -67 \qquad 12,\!000,\!003 \qquad -3
$$
Rappelons que $a\equiv 3 \pmod{7}$ si et seulement si $a-3$ est divisible par 7. En soustrayant 3 de chaque élément de la liste, on obtient $$
82 \qquad 49,\!476 \qquad -70 \qquad 12,\!000,\!000 \qquad -6
$$En divisant, on voit que 82 et $-6$ ne sont pas divisibles par 7, alors que $-70$ et $49,\!476$ sont divisibles par 7. Pour voir que $12,\!000,\!000$ n'est pas divisible par 7, notez que sa factorisation première est $(12)(10^6)=(2^2\cdot 3)(2\cdot 5)^6 = 2^8\cdot 3\cdot 5^6$. Ainsi, après avoir rayé les nombres congruents à 3 (mod 7), la liste originale devient $$
85 \qquad \cancel{49,\!479} \qquad \cancel{-67} \qquad 12,\!000,\!003 \qquad -3
$$La somme des entiers restants est $\boxed{12,\!000,\!085}$.