Équations et Résolution de Problèmes

Définition d'une équation : Une équation est une égalité mathématique entre deux expressions contenant une ou plusieurs inconnues. Résoudre une équation consiste à trouver la valeur de l’inconnue qui rend l’égalité vraie. Exemple : 2x + 3 = 7. Pour résoudre cette équation, on cherche la valeur de x qui vérifie l’égalité.

Les types d’équations : 1. Équation du premier degré : L’inconnue apparaît avec un exposant 1. Exemple : 5x - 7 = 3. 2. Équation du deuxième degré : L’inconnue apparaît avec un exposant 2. Exemple : x² - 4x + 4 = 0.

Étapes de résolution d'une équation : 1. Isoler l'inconnue : Simplifier l’équation (réduire les termes similaires, éliminer les parenthèses). Transposer tous les termes contenant l'inconnue d'un côté de l'équation et les termes constants de l'autre côté. 2. Effectuer les opérations inverses : Si l’inconnue est multipliée, on divise. Si l’inconnue est additionnée, on soustrait. Si l’inconnue est au carré, on prend la racine carrée. 3. Vérifier la solution : Remplacer la solution trouvée dans l’équation initiale pour vérifier si l'égalité est respectée.

Exemple de résolution d'une équation du premier degré : 3x + 2 = 11. 1. On soustrait 2 des deux côtés : 3x = 11 - 2, donc 3x = 9. 2. On divise par 3 : x = 9 / 3, donc x = 3. 3. Vérification : 3(3) + 2 = 11, donc la solution est correcte.

Résolution de problèmes avec des équations : Pour résoudre un problème avec des équations, suivez ces étapes : 1. Comprendre le problème : Identifier les informations données et ce qu’on cherche à trouver. 2. Définir l’inconnue : Attribuer une lettre (souvent x) à l’élément inconnu. 3. Traduire le problème en équation : Utiliser les informations données pour créer une équation. 4. Résoudre l’équation : Appliquer les étapes de résolution d’une équation. 5. Interpréter la solution : Vérifier si la solution est cohérente avec le contexte du problème.

Exemple : Pierre a trois ans de plus que son frère. La somme de leurs âges est de 25 ans. Quel âge a Pierre ? 1. Compréhension : Pierre a un frère et la somme de leurs âges est 25. 2. Inconnue : Soit x l'âge du frère de Pierre. 3. Équation : x + (x + 3) = 25. 4. Résolution : 2x + 3 = 25, donc 2x = 25 - 3, donc 2x = 22, donc x = 22 / 2, donc x = 11. Pierre a donc 11 + 3 = 14 ans. 5. Interprétation : Pierre a 14 ans et son frère 11 ans. La somme est bien de 25.

James essaie d'éviter de consommer trop de sodium. Il prépare une recette qui nécessite 2 cuillères à café de sel et 230 g de parmesan. Le sel contient 50 mg de sodium par cuillère à café et le parmesan 25 mg de sodium par once. S'il ne peut pas réduire la quantité de sel, combien d'onces de parmesan en moins doit-il utiliser pour réduire la quantité totale de sodium d'un tiers ?
Commencez par trouver la quantité totale de sodium contenue dans le parmesan en multipliant la quantité de sodium par once par le nombre d'onces : 25 mg/once * 8 onces = <<25*8=200>>200 mg 
Ensuite, utilisez le même procédé pour trouver la quantité de sodium contenue dans le sel : 50 mg/cuillère à café * 2 cuillères à café = <<50*2=100>>100 mg 
Ensuite, trouvez la quantité totale de sodium dans la recette en additionnant le sodium du fromage et du sel : 100 mg + 200 mg = <<100+200=300>>300 mg 
Ensuite, multipliez la quantité totale de sodium par 1/3 pour trouver la quantité de sodium en moins que James souhaite consommer : 300 mg * 1/3 = <<300*1/3=100>>100 mg 
Ensuite, divisez cette quantité par la quantité de sodium par once de fromage pour trouver le nombre d'onces de fromage en moins dont il a besoin : 100 mg / 25 mg/oz = <<100/25=4>>4 oz 
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