I. Translation - Égalité vectorielle

a. Introduction :
Dans cette partie du cours, nous allons voir vecteurs et translation pour les étudiants de deuxième année collège.

b. Écriture vectorielle d’une translation :
- Composée de deux translations :
  * A pour image B par une translation, de vecteur AB.
  * B pour image C par une translation, de vecteur BC.
  * La composée de ces deux translations est la translation qui transforme directement A en C, de vecteur AC.
  * Cette égalité s’appelle la Relation de Chasles : AB + BC = AC.

c. Vecteur nul :
- Le vecteur nul, noté O, est le vecteur AA, BB, etc.
- D’après la relation de Chasles, pour tout vecteur AB, on a : AB + BA = AA = O.

d. Opposé d’un vecteur :
- On dit que le vecteur BA est l’opposé du vecteur AB.
- En effet, d’après la relation de Chasles : AB + BA = O.

e. Notation particulière (exemple) :
- Par commodité, on note parfois 2AB à la place de la somme AB + AB.
- Dans le parallélogramme ABCD, on peut aussi écrire les égalités suivantes :
  * AB = DC
  * AC = BD
  * CA = DB

III. Composition de deux symétries centrales :
- On ne peut pas voir les vecteurs et translations sans parler de la symétrie centrale.
- M1 et N1 sont les symétriques respectifs de M et N par rapport à A.
- M2 et N2 sont les symétriques respectifs de M1 et N1 par rapport à B.
- Les points M2 et N2 sont les symétriques respectifs de M et N par la composée des deux symétries centrales précédentes.
- On dirait bien que MN2 = MN = 2AB.
- En effet, cette composition de deux symétries de centres A puis B revient en fait à une translation de vecteur 2AB.

IV. Caractérisation d’une égalité vectorielle :
a. Parallélogramme :
- Dans la mesure où l’égalité AB = CD revient à dire que ABDC est un parallélogramme, on peut écrire les propositions suivantes :
  * Si AB = CD, alors les segments [AD] et [BC] ont le même milieu.
  * Si les segments [AD] et [BC] ont le même milieu, alors on a AB = CD et AC = BD.

b. Milieu d’un segment :
- Si AB = BC, alors B est le milieu du segment [AC].
- Si B est le milieu du segment [AC], alors AB = BC.

Soit [IJ] un segment et M un point du cercle de diamètre [IJ]. Faire une figure.

1. Que dire de l’angle \(\widehat{IMJ}\) ? Justifier.
2. Construire le point K tel que \(\overrightarrow{MK} = \overrightarrow{IM}\).
3. Construire le point L tel que \(\overrightarrow{JL} = \overrightarrow{JI} + \overrightarrow{JK}\).
4. Déterminer la nature du quadrilatère IJKL.

1. Que dire de l’angle \(\widehat{IMJ}\) ? Justifier.
   - L’angle \(\widehat{IMJ}\) est un angle droit (90°).
   - Justification : Dans un cercle, l'angle inscrit qui intercepte un diamètre est toujours un angle droit.

2. Construire le point K tel que \(\overrightarrow{MK} = \overrightarrow{IM}\).
   - Tracer le point K tel que le vecteur \(\overrightarrow{MK}\) soit égal au vecteur \(\overrightarrow{IM}\) en termes de direction et de longueur.

3. Construire le point L tel que \(\overrightarrow{JL} = \overrightarrow{JI} + \overrightarrow{JK}\).
   - Tracer le point L en ajoutant les vecteurs \(\overrightarrow{JI}\) et \(\overrightarrow{JK}\).

4. Déterminer la nature du quadrilatère IJKL.
   - Pour déterminer la nature du quadrilatère IJKL, il faut examiner les longueurs des côtés et les angles.
   - Vérifier si les côtés opposés sont égaux et parallèles, ce qui indiquerait un parallélogramme.
   - Vérifier si les angles sont droits, ce qui indiquerait un rectangle ou un carré.
   - Si tous les côtés sont égaux et tous les angles sont droits, alors IJKL est un carré.
   - Si seulement les côtés opposés sont égaux et les angles droits, alors IJKL est un rectangle.
   - Si les côtés opposés sont égaux mais les angles ne sont pas droits, alors IJKL est un parallélogramme.
