Généralité
Définition :
Une équation est une égalité dans laquelle un ou plusieurs nombres sont inconnus. Ces nombres sont appelés inconnus et remplacés par une ou des lettres. L'expression à gauche du signe = est le membre gauche et l'expression à droite est le membre droit.
Exemples :
4x + 2 = 10
3y - 4x = 2
(x + 7)(x - 5) = 0
Solution :
Pour qu'un nombre soit solution d'une équation, les deux membres de l'équation doivent être égaux lorsque le nombre est substitué à l'inconnu. Par exemple, pour 4x + 2 = 10, x = 2 est une solution car 4(2) + 2 = 10.
Cas avec plusieurs inconnues :
Pour une équation avec plusieurs inconnues, il faut trouver les valeurs de chaque inconnue qui satisfont l'équation.
Définition de résoudre une équation :
Résoudre une équation signifie trouver toutes les solutions de cette équation.
Résolution des équations x + a = b et ax = b
Règles :
On peut ajouter ou soustraire le même nombre dans les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
On peut multiplier ou diviser par le même nombre les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
Exemples :
x + 45 = 458
x = 458 - 45
x = 413
7 + x = 23
x = 23 - 7
x = 16
x - 5 = 12
x = 12 + 5
x = 17
Pour être sûr des calculs, il faut vérifier en testant la valeur trouvée :
413 + 45 = 458
7 + 16 = 23
17 - 5 = 12
Quel est le plus petit entier positif à cinq chiffres, dont tous les chiffres sont différents, qui est divisible par chacun de ses chiffres non nuls ? Notez que l'un des chiffres de l'entier d'origine peut être un zéro.
Nous savons que le nombre à cinq chiffres doit être divisible par chacun de ses chiffres non nuls. Nous devons inclure le chiffre zéro car il n'a pas besoin d'être inclus comme diviseur possible et il gardera l'entier plus petit. Sachant cela, le plus petit nombre à cinq chiffres possible que nous pourrions essayer est $10,234$. Tout nombre que nous choisirons sera divisible par un. Nous voyons également qu'il est pair, et donc divisible par deux. Cependant, le nombre à deux chiffres formé par ses deux derniers chiffres ($34$) n'est pas divisible par quatre, et donc, le nombre à cinq chiffres non plus. Nous voyons également que la somme des cinq chiffres est $10$, et comme $10$ n'est pas divisible par trois, le nombre à cinq chiffres ne l'est pas non plus. Cependant, remarquez qu'en augmentant le nombre à cinq chiffres de deux pour former le nombre $10,236$, nous créons un autre nombre pair et augmentons la somme des chiffres à $12$ (ce qui fait en sorte que le nombre soit divisible par trois). Nous avons maintenant éliminé le chiffre quatre et ajouté le chiffre six, ce qui est bien car $10,236$ étant divisible par deux et trois signifie qu'il est divisible par six. Notre nombre à cinq chiffres est $\boxed{10,\!236}$.