Équations et Résolution de Problèmes

Définition d'une équation : Une équation est une égalité mathématique entre deux expressions contenant une ou plusieurs inconnues. Résoudre une équation consiste à trouver la valeur de l’inconnue qui rend l’égalité vraie. Exemple : 2x + 3 = 7. Pour résoudre cette équation, on cherche la valeur de x qui vérifie l’égalité.

Les types d’équations : 1. Équation du premier degré : L’inconnue apparaît avec un exposant 1. Exemple : 5x - 7 = 3. 2. Équation du deuxième degré : L’inconnue apparaît avec un exposant 2. Exemple : x² - 4x + 4 = 0.

Étapes de résolution d'une équation : 1. Isoler l'inconnue : Simplifier l’équation (réduire les termes similaires, éliminer les parenthèses). Transposer tous les termes contenant l'inconnue d'un côté de l'équation et les termes constants de l'autre côté. 2. Effectuer les opérations inverses : Si l’inconnue est multipliée, on divise. Si l’inconnue est additionnée, on soustrait. Si l’inconnue est au carré, on prend la racine carrée. 3. Vérifier la solution : Remplacer la solution trouvée dans l’équation initiale pour vérifier si l'égalité est respectée.

Exemple de résolution d'une équation du premier degré : 3x + 2 = 11. 1. On soustrait 2 des deux côtés : 3x = 11 - 2, donc 3x = 9. 2. On divise par 3 : x = 9 / 3, donc x = 3. 3. Vérification : 3(3) + 2 = 11, donc la solution est correcte.

Résolution de problèmes avec des équations : Pour résoudre un problème avec des équations, suivez ces étapes : 1. Comprendre le problème : Identifier les informations données et ce qu’on cherche à trouver. 2. Définir l’inconnue : Attribuer une lettre (souvent x) à l’élément inconnu. 3. Traduire le problème en équation : Utiliser les informations données pour créer une équation. 4. Résoudre l’équation : Appliquer les étapes de résolution d’une équation. 5. Interpréter la solution : Vérifier si la solution est cohérente avec le contexte du problème.

Exemple : Pierre a trois ans de plus que son frère. La somme de leurs âges est de 25 ans. Quel âge a Pierre ? 1. Compréhension : Pierre a un frère et la somme de leurs âges est 25. 2. Inconnue : Soit x l'âge du frère de Pierre. 3. Équation : x + (x + 3) = 25. 4. Résolution : 2x + 3 = 25, donc 2x = 25 - 3, donc 2x = 22, donc x = 22 / 2, donc x = 11. Pierre a donc 11 + 3 = 14 ans. 5. Interprétation : Pierre a 14 ans et son frère 11 ans. La somme est bien de 25.

Janet embauche six employés. Quatre d'entre eux sont des employés d'entrepôt qui gagnent 15 $/heure, et les deux autres sont des directeurs qui gagnent 20 $/heure. Janet doit payer 10 % du salaire de ses employés en taxes FICA. Si tout le monde travaille 25 jours par mois et 8 heures par jour, combien Janet doit-elle au total pour leurs salaires et leurs taxes pour un mois ?
Commencez par calculer le nombre d'heures travaillées par mois par chaque employé en multipliant le nombre de jours travaillés par le nombre d'heures travaillées par jour : 25 jours * 8 heures/jour = <<25*8=200>>200 heures 
Calculez ensuite le salaire mensuel d'un employé d'entrepôt en multipliant son taux horaire par le nombre d'heures travaillées : 200 heures * 15 $/heure = $<<200*15=3000>>3000 
Multipliez ensuite ce nombre par 4 pour connaître le salaire mensuel de tous les employés d'entrepôt : 3000 $/employé * 4 employés = $<<3000*4=12000>>12,000 
Multipliez ensuite le nombre d'heures travaillées par chaque responsable (également 200) par son salaire horaire pour connaître le salaire mensuel d'un responsable : 200 heures * 20 $/heure = $<<200*20=4000>>4,000 
Maintenant multipliez le salaire d'un manager par le nombre de managers (2) pour trouver le montant total de leur salaire : 4 000 $/manager * 2 managers = $<<4000*2=8000>>8,000 
Additionnez maintenant les salaires des managers et des travailleurs pour trouver le coût total des salaires : 8 000 $ + 12 000 $ = $<<8000+12000=20000>>20,000 
Multipliez maintenant la masse salariale totale par 10 % pour trouver le montant des taxes FICA : 20 000 $ * 0,1 = $<<20000*0,1=2000>>2,000 
Ajoutez maintenant la masse salariale totale au montant total des taxes pour trouver le total général : 2 000 $ + 20 000 $ = $<<2 000+20 000=22 000>>22 000 #### 22 000