Généralité
Définition :
Une équation est une égalité dans laquelle un ou plusieurs nombres sont inconnus. Ces nombres sont appelés inconnus et remplacés par une ou des lettres. L'expression à gauche du signe = est le membre gauche et l'expression à droite est le membre droit.
Exemples :
4x + 2 = 10
3y - 4x = 2
(x + 7)(x - 5) = 0
Solution :
Pour qu'un nombre soit solution d'une équation, les deux membres de l'équation doivent être égaux lorsque le nombre est substitué à l'inconnu. Par exemple, pour 4x + 2 = 10, x = 2 est une solution car 4(2) + 2 = 10.
Cas avec plusieurs inconnues :
Pour une équation avec plusieurs inconnues, il faut trouver les valeurs de chaque inconnue qui satisfont l'équation.
Définition de résoudre une équation :
Résoudre une équation signifie trouver toutes les solutions de cette équation.
Résolution des équations x + a = b et ax = b
Règles :
On peut ajouter ou soustraire le même nombre dans les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
On peut multiplier ou diviser par le même nombre les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
Exemples :
x + 45 = 458
x = 458 - 45
x = 413
7 + x = 23
x = 23 - 7
x = 16
x - 5 = 12
x = 12 + 5
x = 17
Pour être sûr des calculs, il faut vérifier en testant la valeur trouvée :
413 + 45 = 458
7 + 16 = 23
17 - 5 = 12
La somme des diviseurs propres de 18 est 21. Quelle est la somme des diviseurs propres de 198 ?
Il existe de nombreuses façons de résoudre ce problème, la plus évidente étant de lister tous les diviseurs propres et de les additionner. Il existe cependant une solution créative qui utilise le fait que la somme des diviseurs propres de 18 est 21. Notez que nous pouvons factoriser 198 en $11\cdot 18=11\cdot 2\cdot 3\cdot 3$. Chaque diviseur propre sera composé de trois de ces facteurs ou moins. Les diviseurs qui ne contiennent pas le facteur 11 seront soit les diviseurs propres de 18, soit 18 lui-même, contribuant respectivement à 21 et 18 dans la somme. Les diviseurs qui contiennent le facteur 11 seront à nouveau les diviseurs propres de 18, mais multipliés par 11. La somme de ces diviseurs est donc $11\cdot 21=231$. Comme ce sont tous des diviseurs possibles, la somme des diviseurs propres de 198 est $21+18+231=\boxed{270}$.