Généralité
Définition :
Une équation est une égalité dans laquelle un ou plusieurs nombres sont inconnus. Ces nombres sont appelés inconnus et remplacés par une ou des lettres. L'expression à gauche du signe = est le membre gauche et l'expression à droite est le membre droit.
Exemples :
4x + 2 = 10
3y - 4x = 2
(x + 7)(x - 5) = 0
Solution :
Pour qu'un nombre soit solution d'une équation, les deux membres de l'équation doivent être égaux lorsque le nombre est substitué à l'inconnu. Par exemple, pour 4x + 2 = 10, x = 2 est une solution car 4(2) + 2 = 10.
Cas avec plusieurs inconnues :
Pour une équation avec plusieurs inconnues, il faut trouver les valeurs de chaque inconnue qui satisfont l'équation.
Définition de résoudre une équation :
Résoudre une équation signifie trouver toutes les solutions de cette équation.
Résolution des équations x + a = b et ax = b
Règles :
On peut ajouter ou soustraire le même nombre dans les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
On peut multiplier ou diviser par le même nombre les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
Exemples :
x + 45 = 458
x = 458 - 45
x = 413
7 + x = 23
x = 23 - 7
x = 16
x - 5 = 12
x = 12 + 5
x = 17
Pour être sûr des calculs, il faut vérifier en testant la valeur trouvée :
413 + 45 = 458
7 + 16 = 23
17 - 5 = 12
Les 2007 premiers entiers positifs sont chacun écrits en base 3. Combien de ces représentations en base 3 sont des palindromes ? (Un palindrome est un nombre qui se lit de la même manière à l'endroit et à l'envers.)
Comme $3^6=729<2007<2187=3^7$, il est pratique de commencer par compter le nombre de palindromes en base 3 comportant au plus 7 chiffres. Il existe deux palindromes de longueur 1, à savoir 1 et 2. Il existe également deux palindromes de longueur 2, à savoir 11 et 22. Pour $n\geq 1$, chaque palindrome de longueur $2n+1$ est obtenu en insérant l'un des chiffres $0$, $1$ ou $2$ immédiatement après le $n\text{ième}$ chiffre dans un palindrome de longueur $2n$. Chaque palindrome de longueur $2n+2$ est obtenu en insérant de la même manière l'une des chaînes $00$, $11$ ou $22$. Il y a donc 6 palindromes de chacune des longueurs 3 et 4, 18 de chacune des longueurs 5 et 6, et 54 de longueur 7. Étant donné que la représentation en base 3 de 2007 est 2202100, cet entier est inférieur à chacun des palindromes 2210122, 2211122, 2212122, 2220222, 2221222 et 2222222. Le total requis est donc $2+2+6+6+18+18+54-6=\boxed{100}$.