Définition : a, a', b, b', c, et c' sont des nombres réels non nuls. L'écriture de la forme ax + by = c s'appelle un système de deux équations. 2x + y = 4 est du premier degré à deux inconnues.

Résoudre un système : C'est trouver les couples (x, y) (s'ils existent) qui vérifient les deux équations.

Résolution algébrique

1. Méthode de substitution
   - Définition : Exprimer l'une des inconnues en fonction de l'autre dans une des équations, et la remplacer dans l'autre équation pour obtenir une équation à une inconnue.
   - Exemple : 
     1) 9x + y = 11 
     2) x + 3y = 8
   - Étapes :
     - On isole y dans l'équation (1) : y = 11 - 9x
     - On remplace dans l'équation (2) : x + 3(11 - 9x) = 8
     - Résolution : x = 3, y = -16

2. Méthode de combinaison linéaire
   - Définition : Multiplier chaque équation du système par un nombre convenable pour trouver deux coefficients opposés pour la même inconnue, ensuite additionner les deux équations simplifiées pour obtenir une équation à une inconnue.
   - Exemple : 
     1) 2x + 3y = 5
     2) 5x + 6y = 14
   - Étapes :
     - On multiplie (1) par 2 : 4x + 6y = 10
     - On multiplie (2) par 1 : 5x + 6y = 14
     - On soustrait (2) à (1) : x = -4, y = 1

Résolution graphique
- Définition : Représenter chaque équation du système par une droite, déterminer le couple de coordonnées de leur point d'intersection (s'il existe) et vérifier s'il est commun à toutes les droites.
- Exemple : 
  - Résoudre 4x - y = 20 et 2x + y = 10.
  - Construction graphique des droites.
  - Le point de solution est (5, 0).

Systèmes et problèmes
- Étapes de résolution d'un problème :
  1. Choix des inconnues : Traduire la question.
  2. Mise en système : Transformation des données en équations.
  3. Résolution du système : Algébriquement.
  4. Retour au problème : Vérification de la solution et réponse à la question.
Le problème est : Résoudre le système d'équations linéaires suivant en utilisant la méthode de substitution : 5x + 3y = 11 2x - y = 3
Tout d’abord, nous allons résoudre l’une des équations pour l’une des variables. Nous pouvons choisir l'une ou l'autre équation, mais résolvons la deuxième équation pour y : 2x - y = 3 Ajoutez y des deux côtés : 2x = y + 3 Soustrayez 3 des deux côtés : y = 2x - 3 Maintenant que nous avons y en fonction de x, nous pouvons substituer cette expression dans la première équation : 5x + 3(2x - 3) = 11 Maintenant, résolvons pour x : 5x + 6x - 9 = 11 Combinez les termes semblables : 11x - 9 = 11 Ajoutez 9 des deux côtés : 11x = 20 Divisez par 11 : x = 20/11 Maintenant que nous avons la valeur de x, nous pouvons la substituer dans l'expression que nous avons trouvée pour y : y = 2(20/11) - 3 Multipliez : y = 40/11 - 3 Pour soustraire, nous avons besoin d'un dénominateur commun, qui est 11 : y = 40/11 - 33/11 Soustrayez : y = 7/11 Donc la solution du système d'équations linéaires est : x = 20/11 et y = 7/11