Équations et Résolution de Problèmes

Définition d'une équation : Une équation est une égalité mathématique entre deux expressions contenant une ou plusieurs inconnues. Résoudre une équation consiste à trouver la valeur de l’inconnue qui rend l’égalité vraie. Exemple : 2x + 3 = 7. Pour résoudre cette équation, on cherche la valeur de x qui vérifie l’égalité.

Les types d’équations : 1. Équation du premier degré : L’inconnue apparaît avec un exposant 1. Exemple : 5x - 7 = 3. 2. Équation du deuxième degré : L’inconnue apparaît avec un exposant 2. Exemple : x² - 4x + 4 = 0.

Étapes de résolution d'une équation : 1. Isoler l'inconnue : Simplifier l’équation (réduire les termes similaires, éliminer les parenthèses). Transposer tous les termes contenant l'inconnue d'un côté de l'équation et les termes constants de l'autre côté. 2. Effectuer les opérations inverses : Si l’inconnue est multipliée, on divise. Si l’inconnue est additionnée, on soustrait. Si l’inconnue est au carré, on prend la racine carrée. 3. Vérifier la solution : Remplacer la solution trouvée dans l’équation initiale pour vérifier si l'égalité est respectée.

Exemple de résolution d'une équation du premier degré : 3x + 2 = 11. 1. On soustrait 2 des deux côtés : 3x = 11 - 2, donc 3x = 9. 2. On divise par 3 : x = 9 / 3, donc x = 3. 3. Vérification : 3(3) + 2 = 11, donc la solution est correcte.

Résolution de problèmes avec des équations : Pour résoudre un problème avec des équations, suivez ces étapes : 1. Comprendre le problème : Identifier les informations données et ce qu’on cherche à trouver. 2. Définir l’inconnue : Attribuer une lettre (souvent x) à l’élément inconnu. 3. Traduire le problème en équation : Utiliser les informations données pour créer une équation. 4. Résoudre l’équation : Appliquer les étapes de résolution d’une équation. 5. Interpréter la solution : Vérifier si la solution est cohérente avec le contexte du problème.

Exemple : Pierre a trois ans de plus que son frère. La somme de leurs âges est de 25 ans. Quel âge a Pierre ? 1. Compréhension : Pierre a un frère et la somme de leurs âges est 25. 2. Inconnue : Soit x l'âge du frère de Pierre. 3. Équation : x + (x + 3) = 25. 4. Résolution : 2x + 3 = 25, donc 2x = 25 - 3, donc 2x = 22, donc x = 22 / 2, donc x = 11. Pierre a donc 11 + 3 = 14 ans. 5. Interprétation : Pierre a 14 ans et son frère 11 ans. La somme est bien de 25.

Janice peut taper 6 phrases par minute. Aujourd'hui au travail, Janice a continué à travailler sur un document qu'elle avait commencé à taper hier. Elle a tapé pendant 20 minutes, a fait une pause et a tapé 15 minutes de plus. Elle a ensuite dû effacer 40 phrases qu'elle avait tapées de manière incorrecte. Après une réunion, elle a tapé pendant 18 minutes de plus. Au total, le document contenait 536 phrases à la fin de la journée. Avec combien de phrases a-t-elle commencé aujourd'hui ?
Janice avait déjà tapé X phrases d'hier pour commencer aujourd'hui. 
Janice a tapé 6 * 20 = <<6*20=120>>120 phrases avant sa pause. 
Elle a tapé 6 * 15 = <<6*15=90>>90 phrases après sa pause. 
Elle a tapé 6 * 18 = <<6*18=108>>108 phrases après sa réunion. 
Par conséquent, elle a tapé 120 + 90 + 108 = <<120+90+108=318>>318 phrases aujourd'hui en tout. 
Elle a dû effacer 40 phrases, il lui restait donc 318 - 40 = <<318-40=278>>278 phrases qu'elle a tapées aujourd'hui. 
Le papier contenait X + 278 = 536 phrases à la fin de la journée. 
Ainsi, elle avait X = 536 - 278 = <<536-278=258>>258 phrases tapées sur le papier pour commencer aujourd'hui. 
#### 258