Droites Remarquables dans le Triangle
I. Médiatrice d'un Triangle
Définition :
La médiatrice d'un segment est la droite perpendiculaire à ce segment en son milieu. La médiatrice d'un triangle est la médiatrice de l'un de ses côtés.

Exemple :
Soit ABC un triangle. Tracons (d) la médiatrice du côté [AB].

Centre du Cercle Circonscrit au Triangle :

Propriété : Le centre du cercle circonscrit à un triangle est le point de rencontre de ses trois médiatrices.
Remarque Importante : Pour déterminer le centre du cercle circonscrit à un triangle, il suffit de tracer deux de ses médiatrices.
Exemple : Soit ABC un triangle. Construisons le cercle circonscrit de centre O.
II. Bissectrice d'un Triangle
Définition :
La bissectrice d'un angle est la demi-droite qui partage cet angle en deux angles de même mesure. La bissectrice d'un triangle est la bissectrice de l'un de ses angles.

Exemple :
Soit ABC un triangle. Tracons (BE) la bissectrice de l'angle ABC.

Centre du Cercle Inscrit au Triangle :

Propriété : Le centre du cercle inscrit dans un triangle est le point de rencontre de ses trois bissectrices.
Remarque Importante : Pour déterminer le centre du cercle inscrit dans un triangle, il suffit de tracer deux de ses bissectrices.
Exemple : Soit ABC un triangle. Construisons le cercle inscrit dans le triangle ABC de centre I.
III. Hauteur d'un Triangle
Définition :
Une hauteur d'un triangle est une droite qui passe par un sommet du triangle et qui est perpendiculaire au côté opposé à ce sommet.

Exemple :
Soit ABC un triangle. Tracons (AH) la hauteur du triangle ABC.

Orthocentre d'un Triangle :

Propriété : L'orthocentre d'un triangle est le point de rencontre de ses trois hauteurs.
Remarque Importante : Pour déterminer l'orthocentre d'un triangle, il suffit de tracer deux de ses hauteurs.
Exemple : Soit ABC un triangle. Construisons l'orthocentre du triangle ABC.
IV. Médiane d'un Triangle
Définition :
La médiane d'un triangle est la droite passant par un sommet du triangle et le milieu du côté opposé à ce sommet. La médiane du triangle est la médiane correspondant à l'un de ses côtés.

Exemple :
Soit ABC un triangle. Tracons (AM) la médiane du triangle ABC.

Centre de Gravité d'un Triangle :

Propriété : Le centre de gravité d'un triangle est le point de rencontre de ses trois médianes.
Remarque Importante : Pour déterminer le centre de gravité d'un triangle, il suffit de tracer deux de ses médianes.
Exemple : Soit ABC un triangle. Construisons le centre de gravité du triangle ABC.
Construire un triangle ABC tel que :
AB = 5 cm, AC = 4 cm et BC = 6 cm.

1) I et J sont les milieux respectifs de [AB] et [AC].
2) Montrer que les droites (IJ) et (BC) sont parallèles puis calculer IJ.
3) Les demi-droites [BJ) et [CI) se coupent en G.
4) a) Que représentent les demi-droites [BJ) et [CI) pour le triangle ABC ?
   b) Que représente le point G pour le triangle ABC ?
5) Soit K le milieu du segment [BC]. Montrer que les points A, G et K sont alignés.
6) On donne AK = 3 cm. Calculer AG et GK.
1) Construction du triangle ABC :
   - Tracer un segment AB de 5 cm.
   - Avec un compas, tracer un cercle de centre A et de rayon 4 cm.
   - Avec le même compas, tracer un cercle de centre B et de rayon 6 cm.
   - Les deux cercles se coupent en deux points, choisir l'un de ces points comme C.
   - Tracer les segments AC et BC pour compléter le triangle ABC.
   - Marquer I et J les milieux de [AB] et [AC] respectivement.

2) Montrer que les droites (IJ) et (BC) sont parallèles :
   - En utilisant le théorème de Thalès, si I et J sont les milieux de [AB] et [AC], alors (IJ) // (BC).
   - Calculer la longueur de IJ en utilisant la proportionnalité donnée par le théorème de Thalès.

3) Intersection des demi-droites [BJ) et [CI) :
   - Tracer les demi-droites [BJ) et [CI), leur intersection est le point G.

4) a) Que représentent les demi-droites [BJ) et [CI) pour le triangle ABC ?
   - [BJ) et [CI) sont les médianes du triangle ABC.

   b) Que représente le point G pour le triangle ABC ?
   - Le point G est le centre de gravité du triangle ABC.

5) Montrer que les points A, G et K sont alignés :
   - K est le milieu de [BC], et G est le centre de gravité.
   - Dans un triangle, les médianes se coupent en G et les points A, G et K sont alignés.

6) Calculer AG et GK :
   - AK est donné comme 3 cm.
   - Dans un triangle, G divise chaque médiane en une proportion de 2:1.
   - Ainsi, AG = 2/3 * AK = 2/3 * 3 cm = 2 cm.
   - GK = 1/3 * AK = 1/3 * 3 cm = 1 cm.