Généralité
Définition :
Une équation est une égalité dans laquelle un ou plusieurs nombres sont inconnus. Ces nombres sont appelés inconnus et remplacés par une ou des lettres. L'expression à gauche du signe = est le membre gauche et l'expression à droite est le membre droit.
Exemples :
4x + 2 = 10
3y - 4x = 2
(x + 7)(x - 5) = 0
Solution :
Pour qu'un nombre soit solution d'une équation, les deux membres de l'équation doivent être égaux lorsque le nombre est substitué à l'inconnu. Par exemple, pour 4x + 2 = 10, x = 2 est une solution car 4(2) + 2 = 10.
Cas avec plusieurs inconnues :
Pour une équation avec plusieurs inconnues, il faut trouver les valeurs de chaque inconnue qui satisfont l'équation.
Définition de résoudre une équation :
Résoudre une équation signifie trouver toutes les solutions de cette équation.
Résolution des équations x + a = b et ax = b
Règles :
On peut ajouter ou soustraire le même nombre dans les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
On peut multiplier ou diviser par le même nombre les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
Exemples :
x + 45 = 458
x = 458 - 45
x = 413
7 + x = 23
x = 23 - 7
x = 16
x - 5 = 12
x = 12 + 5
x = 17
Pour être sûr des calculs, il faut vérifier en testant la valeur trouvée :
413 + 45 = 458
7 + 16 = 23
17 - 5 = 12
Quelle est la valeur de $a+b+c+d+e+f$ pour la représentation décimale de $\frac{4}{37}+\frac{3}{11}+\frac{23}{9}=2.abcdef\ldots$ ?
Nous pourrions utiliser la division longue pour trouver les représentations décimales des trois fractions, mais il existe une méthode plus astucieuse.

Nous commençons par trouver une fraction équivalente dont le dénominateur est 1 moins une puissance de 10. Prenons $\frac{3}{11}$, par exemple. Nous pouvons multiplier le numérateur et le dénominateur par 9 pour réécrire ce nombre sous la forme $\frac{27}{99}$. Maintenant, nous pouvons réécrire cette fraction sous la forme $0.\overline{27}$. Pour comprendre pourquoi, soit $x=0.\overline{27}$, et soustrayons $x$ de $100x$ : $$\begin{array}{r r c r@{}l}
&100x &=& 27&.272727\ldots \\
- &x &=& 0&.272727\ldots \\
\hline
&99x &=& 27 &
\end{array}$$ Cela montre que $0.\overline{27} = \frac{27}{99}$.

Nous pouvons appliquer la même astuce à nos autres fractions. Pour $\frac{4}{37}$, nous devons reconnaître que $37\cdot 27 = 999$, ce qui nous permet d'écrire $\frac{4}{37}$ comme $\frac{4\cdot 27}{37\cdot 27} = \frac{108}{999}$. Maintenant, l'astuce ci-dessus donne $\frac{4}{37} = 0.\overline{108}$.

Pour traiter $\frac{23}{9}$, nous l'écrivons d'abord comme $2+\frac{5}{9}$. L'astuce que nous avons utilisée pour les deux autres fractions donne alors $\frac{23}{9} = 2+0.\overline{5} = 2.\overline{5}$.

Enfin, nous trouvons les six premiers chiffres après la virgule décimale de la somme. $$ \begin{array}{c@{}c@{\;}c@{}c@{}c@{}c@{}c@{}c@{}c@{}c@{}c}& & 2 &. &\stackrel{1}{5} & \stackrel{1}{5} & \stackrel{1}{5} & 5 & \stackrel{2}{5} & 5\\& & &. &2 &7 & 2 & 7& 2 & 7\\&+ & &. & 1 &0 & 8 & 1 & 0 & 8\\ \hline & &2 & .& 9 &3 & 6 & 3 & 9 & 0\\ \end{array} $$ Nous devrions vérifier qu'en ajoutant les septièmes chiffres après la virgule, rien n'est reporté pour affecter le sixième chiffre. Notez que si l'on continue l'addition au-delà des six premiers chiffres, on obtient des blocs répétés des mêmes six chiffres ($.555555+.272727+.108108=.936390$). Cela signifie que le septième chiffre sera un 9 (le même que le premier chiffre après la virgule) et qu'il n'y a rien de reporté pour affecter le sixième chiffre. Ainsi, la somme $a+b+c+d+e+f$ est $9+3+6+3+9+0=\boxed{30}$.