Généralité
Définition :
Une équation est une égalité dans laquelle un ou plusieurs nombres sont inconnus. Ces nombres sont appelés inconnus et remplacés par une ou des lettres. L'expression à gauche du signe = est le membre gauche et l'expression à droite est le membre droit.
Exemples :
4x + 2 = 10
3y - 4x = 2
(x + 7)(x - 5) = 0
Solution :
Pour qu'un nombre soit solution d'une équation, les deux membres de l'équation doivent être égaux lorsque le nombre est substitué à l'inconnu. Par exemple, pour 4x + 2 = 10, x = 2 est une solution car 4(2) + 2 = 10.
Cas avec plusieurs inconnues :
Pour une équation avec plusieurs inconnues, il faut trouver les valeurs de chaque inconnue qui satisfont l'équation.
Définition de résoudre une équation :
Résoudre une équation signifie trouver toutes les solutions de cette équation.
Résolution des équations x + a = b et ax = b
Règles :
On peut ajouter ou soustraire le même nombre dans les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
On peut multiplier ou diviser par le même nombre les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
Exemples :
x + 45 = 458
x = 458 - 45
x = 413
7 + x = 23
x = 23 - 7
x = 16
x - 5 = 12
x = 12 + 5
x = 17
Pour être sûr des calculs, il faut vérifier en testant la valeur trouvée :
413 + 45 = 458
7 + 16 = 23
17 - 5 = 12
Quel est le plus petit entier $n$, supérieur à $1$, tel que $n^{-1}\pmod{130}$ et $n^{-1}\pmod{231}$ soient tous deux définis ?
Pour que $n$ ait une inverse $\pmod{130}$, il faut que $n$ soit premier à 130. Inversement, si $n$ est premier à 130, alors $n$ a une inverse $\pmod{130}$. Il en va de même pour 231. Nous recherchons donc le plus petit nombre positif $n$ qui soit premier à 130 et 231.

Nous pouvons factoriser $130=2\cdot5\cdot13$ et $231=3\cdot7\cdot11$. Ce sont tous les nombres premiers jusqu'à 13, donc aucun des entiers $2-16$ n'est premier à la fois à 130 et 231. Cependant, 17 est premier à ces deux nombres. Ainsi, le plus petit nombre positif supérieur à 1 qui a une inverse multiplicative modulo 130 et 231 est $\boxed{17}$.