Généralité
Définition :
Une équation est une égalité dans laquelle un ou plusieurs nombres sont inconnus. Ces nombres sont appelés inconnus et remplacés par une ou des lettres. L'expression à gauche du signe = est le membre gauche et l'expression à droite est le membre droit.
Exemples :
4x + 2 = 10
3y - 4x = 2
(x + 7)(x - 5) = 0
Solution :
Pour qu'un nombre soit solution d'une équation, les deux membres de l'équation doivent être égaux lorsque le nombre est substitué à l'inconnu. Par exemple, pour 4x + 2 = 10, x = 2 est une solution car 4(2) + 2 = 10.
Cas avec plusieurs inconnues :
Pour une équation avec plusieurs inconnues, il faut trouver les valeurs de chaque inconnue qui satisfont l'équation.
Définition de résoudre une équation :
Résoudre une équation signifie trouver toutes les solutions de cette équation.
Résolution des équations x + a = b et ax = b
Règles :
On peut ajouter ou soustraire le même nombre dans les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
On peut multiplier ou diviser par le même nombre les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
Exemples :
x + 45 = 458
x = 458 - 45
x = 413
7 + x = 23
x = 23 - 7
x = 16
x - 5 = 12
x = 12 + 5
x = 17
Pour être sûr des calculs, il faut vérifier en testant la valeur trouvée :
413 + 45 = 458
7 + 16 = 23
17 - 5 = 12
Étant donné qu'un entier positif particulier est un palindrome à quatre chiffres, quelle est la probabilité qu'il soit un multiple de 99 ? Exprimez votre réponse sous forme de fraction commune.
Premièrement, nous trouvons le nombre de palindromes à 4 chiffres. Il y a dix palindromes pour chaque millième chiffre distinct de 1 à 9, car il y a 10 nombres de 0 à 9 que nous pourrions choisir pour le deuxième et le troisième chiffre. Cela nous donne un total de 9 \cdot 10 palindromes.

Ensuite, nous pouvons obtenir que tous les palindromes sont des multiples de 11. La règle de divisibilité pour 11 nous dit que pour qu'un nombre $abcd$ soit divisible par 11, alors a-b+c-d est divisible par 11. Puisque a=d et b=c, a-b+c-d est toujours divisible par 11, donc tous les palindromes à quatre chiffres sont divisibles par 11.

Maintenant, nous voulons trouver combien de ces palindromes sont divisibles par 9. Pour qu'un nombre soit divisible par $9$, la somme des chiffres doit être divisible par $9$.$ Il est impossible que la somme des chiffres soit égale à $9$ ou $27$ car il faut que ce soit un nombre pair (la somme est $a+b+c+d=2(a+b)$). On trouve le nombre de palindromes dont la somme des chiffres est $18$.$ Puisque $a+b+c+d=2(a+b)=18,$ on obtient que $a+b=9.$ Il y a $9$ réponses possibles, où $a$ va de $1$ à $9$ et $b=9-a$. Nous trouvons ensuite le nombre de palindromes dont la somme des chiffres est $36.$ Il n'y a qu'un seul nombre à quatre chiffres qui le fait, $9999.$

Nous avons donc qu'il y a $9+1=10$ palindromes à quatre chiffres qui sont divisibles par $99.$

Puisqu'il y a un total de $90$ palindromes, la probabilité qu'il soit divisible par $99$ est $\frac{10}{90}=\boxed{\frac19}$.