Généralité
Définition :
Une équation est une égalité dans laquelle un ou plusieurs nombres sont inconnus. Ces nombres sont appelés inconnus et remplacés par une ou des lettres. L'expression à gauche du signe = est le membre gauche et l'expression à droite est le membre droit.
Exemples :
4x + 2 = 10
3y - 4x = 2
(x + 7)(x - 5) = 0
Solution :
Pour qu'un nombre soit solution d'une équation, les deux membres de l'équation doivent être égaux lorsque le nombre est substitué à l'inconnu. Par exemple, pour 4x + 2 = 10, x = 2 est une solution car 4(2) + 2 = 10.
Cas avec plusieurs inconnues :
Pour une équation avec plusieurs inconnues, il faut trouver les valeurs de chaque inconnue qui satisfont l'équation.
Définition de résoudre une équation :
Résoudre une équation signifie trouver toutes les solutions de cette équation.
Résolution des équations x + a = b et ax = b
Règles :
On peut ajouter ou soustraire le même nombre dans les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
On peut multiplier ou diviser par le même nombre les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
Exemples :
x + 45 = 458
x = 458 - 45
x = 413
7 + x = 23
x = 23 - 7
x = 16
x - 5 = 12
x = 12 + 5
x = 17
Pour être sûr des calculs, il faut vérifier en testant la valeur trouvée :
413 + 45 = 458
7 + 16 = 23
17 - 5 = 12
Répondez par oui ou par non à chacune des questions suivantes, puis additionnez les nombres correspondant aux questions pour lesquelles la réponse est oui. Par exemple, si la réponse aux six questions était « oui », alors la réponse serait $1+2+3+4+5+6=21$.

1. Est-ce que $\frac{2}{3x}$ est équivalent à $\frac{2x}{3}$ ?

2. Est-ce que $\frac{1-h}{2h}$ est équivalent à $\frac{h-1}{2h}$ ?

3. Est-ce que $-(u+u^2)$ est équivalent à $-u-u^2$ ?

4. Est-ce que $-(3+y)$ est équivalent à $-3+y$ ?

5. Est-ce que $\frac{j}{2}$ est équivalent à $\frac{1}{2}j$ ?

6. Est-ce que $x+y+z$ est équivalent à $y+x+z$ ?
Rappelons que deux expressions sont équivalentes si elles sont égales pour tous les choix valides de la ou des variables concernées.

Question 1 : non, car les expressions données ne sont égales que pour certaines valeurs de $x$. Presque n'importe quel $x$ fera l'affaire : prenez $x=2$ et notez que $\frac{2}{3(2)}=\frac{1}{3}$ tandis que $\frac{2(2)}{3}=\frac{4}{3}$.

Question 2 : non, car la deuxième expression est $-1$ fois la première expression. Ainsi, elles ne sont égales que si chacune d'elles est égale à 0. Par exemple, si $h=3$, alors $\frac{1-h}{2h}=\frac{1-3}{2(3)}=\frac{-2}{6}=-\frac{1}{3}$, tandis que $\frac{h-1}{2h} = \frac{3-1}{2(3)} = \frac{2}{6}=\frac{1}{3}$.

Question 3 : oui, car nous obtenons la deuxième expression en distribuant le signe négatif sur les parenthèses de la première expression.

Question 4 : non, car le signe négatif n'a pas été correctement distribué. Pour confirmer que les expressions ne sont pas équivalentes, nous pouvons choisir une valeur comme $y=3$ pour constater que la première expression devient $-(3+3)=-6$ tandis que la deuxième expression est $-3+3=0$.

Question 5 : oui, car nous pouvons multiplier $\frac{1}{2}$ par $j$ de la manière habituelle en écrivant $j$ comme $\frac{j}{1}$. Nous obtenons \[
\frac{1}{2}j = \frac{1}{2}\cdot \frac{j}{1} = \frac{1\cdot j}{2\cdot 1} = \frac{j}{2}.
\]

Question 6 : oui, par la propriété commutative de l'addition.

Les questions dont les réponses sont oui sont 3, 5 et 6. La somme de ces nombres est $\boxed{14}$.