La racine carrée d’un nombre est un autre nombre qui, multiplié par lui-même, donne le nombre initial. On note la racine carrée d’un nombre positif a par "racine carrée de a". Par exemple, "racine carrée de 16" est égale à 4, car 4 multiplié par 4 donne 16.

Les principales propriétés des racines carrées sont les suivantes :

Positivité : La racine carrée d’un nombre positif est toujours positive ou nulle. Par exemple, "racine carrée de 0" est égale à 0, et "racine carrée de 25" est égale à 5.

Produit de racines : La racine carrée du produit de deux nombres est égale au produit des racines carrées de ces deux nombres. Autrement dit, "racine carrée de (a fois b)" est égale à "racine carrée de a" multipliée par "racine carrée de b". Par exemple, "racine carrée de (9 fois 4)" est égale à "racine carrée de 9" fois "racine carrée de 4", ce qui donne 3 fois 2, donc 6.

Division de racines : La racine carrée du quotient de deux nombres est égale au quotient des racines carrées de ces deux nombres. Cela signifie que "racine carrée de (a divisé par b)" est égale à "racine carrée de a" divisée par "racine carrée de b", avec b non nul. Par exemple, "racine carrée de (16 divisé par 4)" est égale à "racine carrée de 16" divisé par "racine carrée de 4", ce qui donne 4 divisé par 2, donc 2.

Certaines racines carrées sont des nombres entiers. Par exemple :

"racine carrée de 1" est égale à 1 ;
"racine carrée de 4" est égale à 2 ;
"racine carrée de 9" est égale à 3 ;
"racine carrée de 16" est égale à 4 ;
"racine carrée de 25" est égale à 5.
Pour les nombres qui ne sont pas des carrés parfaits (comme 2, 3 ou 5), leurs racines carrées ne sont pas des entiers. On utilise donc une approximation :

"racine carrée de 2" est environ égale à 1,41 ;
"racine carrée de 3" est environ égale à 1,73.
La simplification des racines carrées consiste à extraire les facteurs carrés. Par exemple, "racine carrée de 50" est égale à "racine carrée de (25 fois 2)", ce qui donne 5 fois "racine carrée de 2".

Dans certaines équations, il est nécessaire d’utiliser la racine carrée pour résoudre. Par exemple, pour résoudre x^2=25, on trouve que x est égal à "plus ou moins racine carrée de 25", donc x est égal à plus ou moins 5.

Les racines carrées sont également utilisées dans des applications pratiques, comme dans le théorème de Pythagore en géométrie, pour calculer la longueur des côtés d’un triangle rectangle, ou dans des calculs de distances en physique.
Simplifiez l'expression radicale : $\sqrt{75}$
Pour simplifier l'expression radicale $\sqrt{75}$, nous devons trouver la factorisation première de 75, puis simplifier la racine carrée. La factorisation première de 75 est $3 \times 5^2$. Nous pouvons maintenant réécrire l'expression comme suit : $\sqrt{75} = \sqrt{3 \times 5^2}$ Puisque la racine carrée d'un produit est égale au produit des racines carrées, nous pouvons réécrire l'expression comme suit : $\sqrt{75} = \sqrt{3} \times \sqrt{5^2}$ Maintenant, nous pouvons simplifier la racine carrée de $5^2$ : $\sqrt{75} = \sqrt{3} \times 5$ Ainsi, l'expression radicale simplifiée est : $\sqrt{75} = 5\sqrt{3}$