Généralité
Définition :
Une équation est une égalité dans laquelle un ou plusieurs nombres sont inconnus. Ces nombres sont appelés inconnus et remplacés par une ou des lettres. L'expression à gauche du signe = est le membre gauche et l'expression à droite est le membre droit.
Exemples :
4x + 2 = 10
3y - 4x = 2
(x + 7)(x - 5) = 0
Solution :
Pour qu'un nombre soit solution d'une équation, les deux membres de l'équation doivent être égaux lorsque le nombre est substitué à l'inconnu. Par exemple, pour 4x + 2 = 10, x = 2 est une solution car 4(2) + 2 = 10.
Cas avec plusieurs inconnues :
Pour une équation avec plusieurs inconnues, il faut trouver les valeurs de chaque inconnue qui satisfont l'équation.
Définition de résoudre une équation :
Résoudre une équation signifie trouver toutes les solutions de cette équation.
Résolution des équations x + a = b et ax = b
Règles :
On peut ajouter ou soustraire le même nombre dans les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
On peut multiplier ou diviser par le même nombre les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
Exemples :
x + 45 = 458
x = 458 - 45
x = 413
7 + x = 23
x = 23 - 7
x = 16
x - 5 = 12
x = 12 + 5
x = 17
Pour être sûr des calculs, il faut vérifier en testant la valeur trouvée :
413 + 45 = 458
7 + 16 = 23
17 - 5 = 12
Quelle est la somme de tous les entiers positifs qui ont deux fois plus de chiffres lorsqu'ils sont écrits en base $2$ que lorsqu'ils sont écrits en base $3$ ? Exprimez votre réponse en base $10$.
Considérons d'abord les entiers qui ont $2$ chiffres en base $2$ et $1$ chiffre en base $3$. Un tel entier doit être supérieur ou égal à $10_2 = 2$, mais strictement inférieur à $10_3 = 3$. Le seul entier de ce type est $2$.

Considérons ensuite les entiers qui ont $4$ chiffres en base $2$ et $2$ chiffres en base $3$. Un tel entier doit être supérieur ou égal à $1000_2 = 2^3$, mais strictement inférieur à $100_3 = 3^2$. Le seul entier de ce type est $8$.

Considérons ensuite les entiers qui ont $6$ chiffres en base $2$ et $3$ chiffres en base $3$. Un tel entier doit être supérieur ou égal à $100000_2 = 2^5$, mais strictement inférieur à $1000_3 = 3^3$. Il n'existe pas de tels entiers, car $2^5 > 3^3$.

Si nous continuons de cette façon, nous pouvons en venir à penser qu'il n'existe plus de solutions de quelque longueur que ce soit. Prouvons-le. Si un entier $N$ a $2d$ chiffres en base $2$, alors $N\ge 2^{2d-1}$. Mais si $N$ n'a que $d$ chiffres en base $3$, alors $N<3^d$. Une solution mutuelle n'est possible que si $$2^{2d-1}<3^d.$$Nous pouvons réarranger cette inégalité comme $$\left(\frac 43\right)^d < 2.$$Par inspection, cette inégalité est valide pour $d=1,2$ mais invalide pour $d=3$, et également invalide pour tout $d$ plus grand puisque le côté gauche augmente lorsque $d$ augmente. Ceci montre qu'il n'y a pas de solutions $N$ au-delà de celles que nous avons déjà trouvées : $2$ et $8$, dont la somme est $\boxed{10}$.