Généralité
Définition :
Une équation est une égalité dans laquelle un ou plusieurs nombres sont inconnus. Ces nombres sont appelés inconnus et remplacés par une ou des lettres. L'expression à gauche du signe = est le membre gauche et l'expression à droite est le membre droit.
Exemples :
4x + 2 = 10
3y - 4x = 2
(x + 7)(x - 5) = 0
Solution :
Pour qu'un nombre soit solution d'une équation, les deux membres de l'équation doivent être égaux lorsque le nombre est substitué à l'inconnu. Par exemple, pour 4x + 2 = 10, x = 2 est une solution car 4(2) + 2 = 10.
Cas avec plusieurs inconnues :
Pour une équation avec plusieurs inconnues, il faut trouver les valeurs de chaque inconnue qui satisfont l'équation.
Définition de résoudre une équation :
Résoudre une équation signifie trouver toutes les solutions de cette équation.
Résolution des équations x + a = b et ax = b
Règles :
On peut ajouter ou soustraire le même nombre dans les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
On peut multiplier ou diviser par le même nombre les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
Exemples :
x + 45 = 458
x = 458 - 45
x = 413
7 + x = 23
x = 23 - 7
x = 16
x - 5 = 12
x = 12 + 5
x = 17
Pour être sûr des calculs, il faut vérifier en testant la valeur trouvée :
413 + 45 = 458
7 + 16 = 23
17 - 5 = 12
Betty a entre 40 et 50 centimes qu'elle souhaite disposer en un ensemble rectangulaire. Elle remarque qu'elle peut disposer les centimes de trois manières différentes sans aucun espace. Cependant, si Betty ajoute deux centimes supplémentaires à sa collection, elle ne peut disposer les centimes que d'une seule manière sans aucun espace : en ligne droite. Combien de centimes Betty avait-elle à l'origine ?

Remarque : un rectangle $a \times b$ est considéré comme identique à un rectangle $b \times a$.
Soit $n le nombre de centimes que possède Betty. Si après avoir ajouté deux centimes supplémentaires, Betty ne peut disposer les centimes que sur une ligne droite, alors $n+2$ doit être premier. Puisque tous les nombres premiers supérieurs à $2$ sont impairs, $n$ doit être impair également. Comme elle peut disposer $n$ centimes de trois manières différentes, $n$ doit avoir quatre facteurs autres que $1$ et lui-même. Par conséquent, nous examinons les nombres impairs entre $40$ et $50 :$

$\bullet$ $41$ se divise en $1 \cdot 41$ seulement.

$\bullet$ $43$ se divise en $1 \cdot 43$ seulement.

$\bullet$ $45$ se divise en $1 \cdot 45$ ou $3 \cdot 15$ ou $5 \cdot 9$.

$\bullet$ $47$ se divise en $1 \cdot 47$ seulement.

$\bullet$ $49$ se divise en $1 \cdot 49$ ou $7 \cdot 7$.

Le seul nombre avec quatre facteurs autres que $1$ ou lui-même est $45.$ Si nous ajoutons $2$ à $45,$ nous obtenons $47,$ qui est effectivement premier. Par conséquent, Betty a $\boxed{45}$ centimes.