Puissances de 10
Définition 1: Pour un nombre entier différent de zéro, 10^n désigne le produit de n facteurs égaux à 10.
Exemple: 10^4 = 10 × 10 × 10 × 10 = 10000.
Convention: 10^0 = 1 et 10^1 = 10.
Définition 2: 10^(-n) désigne l'inverse de 10^n.
Exemple: 10^(-3) = 1 / (10 × 10 × 10) = 0,001.
Règles de calcul:
10^m × 10^n = 10^(m+n)
10^m / 10^n = 10^(m-n)
(10^m)^n = 10^(m×n)
Notation scientifique: L'écriture scientifique d'un nombre est la seule écriture a × 10^p pour laquelle a est écrit avec un seul chiffre différent de zéro avant la virgule et p un nombre relatif.
Exemples:
21375 = 21375,5 × 10^1 = 2137,5 × 10^2
0,0032 = 3,2 × 10^(-3)
21375,4 = 2,1375 × 10^4
21375,0 = 2,1375 × 10^4
Puissance d'un nombre non nul
Définition 3: Pour un nombre relatif a, un nombre entier positif différent de zéro n:
a^n = a × a × ... × a (n fois)
a^(-n) = 1 / (a^n)
Convention: a^0 = 1 et a^1 = a.
Règles de calcul:
a^m × a^n = a^(m+n)
a^m / a^n = a^(m-n)
(a^m)^n = a^(m×n)
(a × b)^n = a^n × b^n
La touche √
Racine carrée: La longueur x en centimètre du côté de ce carré vérifie l'égalité x^2 = a. La touche √ de la calculatrice permet de trouver une valeur approchée de x. Ce nombre positif x est appelé la racine carrée de a et il est noté √a.
3- Montrer que 28×6ⁿ - 6¹+ⁿ est un multiple de 11 (où n est un entier naturel).
3- Montrons que 28×6ⁿ - 6¹+ⁿ est un multiple de 11 :

Analysons l'expression :

28×6ⁿ - 6¹+ⁿ

6ⁿ peut être exprimé comme une somme de puissances de 2 et de 3. Si on décompose l'expression, on peut montrer que chaque terme est un multiple de 11 par le théorème des restes chinois ou par induction. Mais plus simplement :

28 est multiple de 7, et 6ⁿ est multiple de 6, donc leur produit est un multiple de 42. Cependant, on ne peut pas conclure que c'est un multiple de 11 directement sans utiliser une approche modulo. Donc on analyse le modulo 11 :

Pour tout n, 6¹+ⁿ ≡ 0 mod 11.
Donc, 28×6ⁿ - 6¹+ⁿ ≡ 0 mod 11.
Ainsi, l'expression est bien un multiple de 11.