Droites des Milieux dans un Triangle

La droite passant par les milieux de deux côtés d'un triangle

Propriété 1 :
La droite passant par les milieux de deux côtés d'un triangle est parallèle au troisième côté.
Exemple : Soit ABC un triangle. M est le milieu de [AB] et N est le milieu de [AC]. Alors, (MN) // (BC).

Propriété 2 :
La distance entre les milieux de deux côtés d'un triangle est égale à la moitié de la longueur du troisième côté.
Autrement dit : Si M est le milieu de [AB] et N est le milieu de [AC], alors MN = 1/2 BC.
Exemple : Soit ABC un triangle. M est le milieu de [AB] et N est le milieu de [AC]. Alors, MN = 1/2 BC.

Propriété 3 :
Milieu + Milieu = Parallélisme. La droite passant par les milieux de deux côtés est parallèle au troisième côté.

La droite passant par le milieu d'un côté d'un triangle et parallèle au deuxième côté

Propriété 1 :
La droite passant par le milieu d'un côté d'un triangle et parallèle à un autre côté coupe le troisième côté en son milieu.
Autrement dit : Si M est le milieu de [AB] et (d) // (AC), alors d coupe (BC) en son milieu.
Exemple : Soit ABC un triangle. M est le milieu de [AB] et (d) // (AC). Alors, d coupe (BC) en son milieu.

Propriété 2 :
Milieu // Parallélisme. La droite passant par le milieu d'un côté d'un triangle et parallèle à un autre côté coupe le troisième côté en son milieu.

La droite parallèle à un côté dans un triangle

Propriété de Thalès :
Dans un triangle ABC, si une droite (d) parallèle à (BC) coupe [AB] en M et [AC] en N, alors AM/AB = AN/AC.
Exemple : Dans un triangle ABC, si (d) // (BC) et coupe [AB] en M et [AC] en N, alors AM/AB = AN/AC.

Résumé des propriétés :

La droite passant par les milieux de deux côtés d'un triangle est parallèle au troisième côté.
La droite passant par le milieu d'un côté d'un triangle et parallèle à un autre côté coupe le troisième côté en son milieu.
La droite parallèle à un côté dans un triangle respecte la propriété de Thalès.
1. Trace un triangle ABC rectangle en B.
2. Place le milieu D de [AC].
3. Construis le point E, projection orthogonale de D sur la droite (BC). Démontre que E est le milieu de [BC].
4. K, projection orthogonale de D sur la droite (BC). Que représente le point K pour [AB] ? Justifie.
5. Quelle est la nature du quadrilatère DEBK ? Justifie.
1. Tracez un triangle ABC avec un angle droit en B.
2. Identifiez le milieu D de [AC].
3. Projetez D orthogonalement sur (BC) pour obtenir le point E.
   - E est le milieu de [BC] car les projections orthogonales d'un segment sur une droite parallèle passent par le milieu du segment.
4. Projetez D orthogonalement sur (BC) pour obtenir le point K.
   - Le point K se trouve sur (BC), ce qui signifie qu'il est également une projection orthogonale.
5. Le quadrilatère DEBK est un rectangle car :
   - Les côtés opposés sont parallèles et de longueur égale.
   - Les angles sont droits en raison des projections orthogonales.