Généralité
Définition :
Une équation est une égalité dans laquelle un ou plusieurs nombres sont inconnus. Ces nombres sont appelés inconnus et remplacés par une ou des lettres. L'expression à gauche du signe = est le membre gauche et l'expression à droite est le membre droit.
Exemples :
4x + 2 = 10
3y - 4x = 2
(x + 7)(x - 5) = 0
Solution :
Pour qu'un nombre soit solution d'une équation, les deux membres de l'équation doivent être égaux lorsque le nombre est substitué à l'inconnu. Par exemple, pour 4x + 2 = 10, x = 2 est une solution car 4(2) + 2 = 10.
Cas avec plusieurs inconnues :
Pour une équation avec plusieurs inconnues, il faut trouver les valeurs de chaque inconnue qui satisfont l'équation.
Définition de résoudre une équation :
Résoudre une équation signifie trouver toutes les solutions de cette équation.
Résolution des équations x + a = b et ax = b
Règles :
On peut ajouter ou soustraire le même nombre dans les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
On peut multiplier ou diviser par le même nombre les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
Exemples :
x + 45 = 458
x = 458 - 45
x = 413
7 + x = 23
x = 23 - 7
x = 16
x - 5 = 12
x = 12 + 5
x = 17
Pour être sûr des calculs, il faut vérifier en testant la valeur trouvée :
413 + 45 = 458
7 + 16 = 23
17 - 5 = 12
Deux frères ont emmené $x$ vaches au marché et ont vendu chaque vache pour $x$ dollars. Après avoir vendu les vaches, ils ont divisé l'argent en donnant 10 $ au frère aîné, 10 $ au frère cadet, 10 $ au frère aîné, 10 $ au frère cadet, et ainsi de suite. Lors de la dernière répartition de l'argent, le frère aîné a reçu 10 $, mais le frère cadet a reçu moins de 10 $. Combien de dollars le frère cadet a-t-il dû recevoir lors de la dernière répartition ?
Écrivez $x$ sous la forme $10a + b$, où $b$ est le chiffre des unités de $x$ et $a$ est la partie « restante » de $x$. (Par exemple, si $x = 5718$, alors $a = 571$ et $b = 8$.) Alors \[x^2 = 100a^2 + 20ab + b^2.\]Comme le frère aîné était le dernier frère à recevoir un paiement complet de $\$10$, le chiffre des dizaines de $x^2$ doit être impair. Le chiffre des dizaines de $100a^2$ est 0, et le chiffre des dizaines de $20ab$ est pair, donc pour que le chiffre des dizaines de \[x^2 = 100a^2 + 20ab + b^2\]soit impair, le chiffre des dizaines de $b^2$ doit être impair.

Nous savons que $b$ est un chiffre compris entre 0 et 9. En vérifiant ces chiffres, nous constatons que le chiffre des dizaines de $b^2$ est impair uniquement pour $b = 4$ et $b = 6$.

Nous constatons également que le chiffre des unités de $x^2$ est le même que le chiffre des unités de $b^2$. Pour $b = 4$ et $b = 6$, le chiffre des unités de $b^2$ est 6. Par conséquent, le dernier paiement au frère cadet était de $\boxed{6}$ dollars.