Équations et Résolution de Problèmes

Définition d'une équation : Une équation est une égalité mathématique entre deux expressions contenant une ou plusieurs inconnues. Résoudre une équation consiste à trouver la valeur de l’inconnue qui rend l’égalité vraie. Exemple : 2x + 3 = 7. Pour résoudre cette équation, on cherche la valeur de x qui vérifie l’égalité.

Les types d’équations : 1. Équation du premier degré : L’inconnue apparaît avec un exposant 1. Exemple : 5x - 7 = 3. 2. Équation du deuxième degré : L’inconnue apparaît avec un exposant 2. Exemple : x² - 4x + 4 = 0.

Étapes de résolution d'une équation : 1. Isoler l'inconnue : Simplifier l’équation (réduire les termes similaires, éliminer les parenthèses). Transposer tous les termes contenant l'inconnue d'un côté de l'équation et les termes constants de l'autre côté. 2. Effectuer les opérations inverses : Si l’inconnue est multipliée, on divise. Si l’inconnue est additionnée, on soustrait. Si l’inconnue est au carré, on prend la racine carrée. 3. Vérifier la solution : Remplacer la solution trouvée dans l’équation initiale pour vérifier si l'égalité est respectée.

Exemple de résolution d'une équation du premier degré : 3x + 2 = 11. 1. On soustrait 2 des deux côtés : 3x = 11 - 2, donc 3x = 9. 2. On divise par 3 : x = 9 / 3, donc x = 3. 3. Vérification : 3(3) + 2 = 11, donc la solution est correcte.

Résolution de problèmes avec des équations : Pour résoudre un problème avec des équations, suivez ces étapes : 1. Comprendre le problème : Identifier les informations données et ce qu’on cherche à trouver. 2. Définir l’inconnue : Attribuer une lettre (souvent x) à l’élément inconnu. 3. Traduire le problème en équation : Utiliser les informations données pour créer une équation. 4. Résoudre l’équation : Appliquer les étapes de résolution d’une équation. 5. Interpréter la solution : Vérifier si la solution est cohérente avec le contexte du problème.

Exemple : Pierre a trois ans de plus que son frère. La somme de leurs âges est de 25 ans. Quel âge a Pierre ? 1. Compréhension : Pierre a un frère et la somme de leurs âges est 25. 2. Inconnue : Soit x l'âge du frère de Pierre. 3. Équation : x + (x + 3) = 25. 4. Résolution : 2x + 3 = 25, donc 2x = 25 - 3, donc 2x = 22, donc x = 22 / 2, donc x = 11. Pierre a donc 11 + 3 = 14 ans. 5. Interprétation : Pierre a 14 ans et son frère 11 ans. La somme est bien de 25.

Cadence a travaillé pour sa nouvelle entreprise cinq mois de plus que pour son ancienne entreprise. Si elle a travaillé dans son ancienne entreprise pendant 3 ans en gagnant 5 000 $ par mois et qu'elle gagne maintenant 20 % de plus dans la nouvelle entreprise, calculez le montant total d'argent qu'elle a gagné dans les deux entreprises pendant la période où elle a travaillé pour elles ?
Dans son ancienne entreprise, si elle a travaillé pendant trois ans, le nombre total de mois pour lesquels elle a été payée est de 3 ans*12, ce qui correspond au nombre de mois dans une année = <<3*12=36>>36 mois. 
Si chaque mois elle était payée 5000$, ses gains totaux dans l'ancienne entreprise étaient de 5000$*36 =$<<5000*36=180000>>180000 
Dans sa nouvelle entreprise, elle est payée 20% de plus, soit 20/100*5000$ = $<<20/100*5000=1000>>1000 par mois de plus que ce qu'elle était payée dans l'ancienne entreprise. 
Au total, elle gagne 5000$+1000$ = $<<5000+1000=6000>>6000 par mois dans sa nouvelle entreprise. 
Comme elle a travaillé cinq mois de plus dans la nouvelle entreprise que dans l'ancienne, elle a travaillé 36+5 = <<36+5=41>>41 mois dans la nouvelle entreprise. 
Le montant total qu'elle a gagné dans la nouvelle entreprise est de 6 000 $*41 = $<<6 000*41=246 000>>246 000 
Le total combiné des deux entreprises est de 246 000 $+180 000 $ = $<<246 000+180 000=426 000>>426 000 
#### 426 000