Généralité
Définition :
Une équation est une égalité dans laquelle un ou plusieurs nombres sont inconnus. Ces nombres sont appelés inconnus et remplacés par une ou des lettres. L'expression à gauche du signe = est le membre gauche et l'expression à droite est le membre droit.
Exemples :
4x + 2 = 10
3y - 4x = 2
(x + 7)(x - 5) = 0
Solution :
Pour qu'un nombre soit solution d'une équation, les deux membres de l'équation doivent être égaux lorsque le nombre est substitué à l'inconnu. Par exemple, pour 4x + 2 = 10, x = 2 est une solution car 4(2) + 2 = 10.
Cas avec plusieurs inconnues :
Pour une équation avec plusieurs inconnues, il faut trouver les valeurs de chaque inconnue qui satisfont l'équation.
Définition de résoudre une équation :
Résoudre une équation signifie trouver toutes les solutions de cette équation.
Résolution des équations x + a = b et ax = b
Règles :
On peut ajouter ou soustraire le même nombre dans les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
On peut multiplier ou diviser par le même nombre les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
Exemples :
x + 45 = 458
x = 458 - 45
x = 413
7 + x = 23
x = 23 - 7
x = 16
x - 5 = 12
x = 12 + 5
x = 17
Pour être sûr des calculs, il faut vérifier en testant la valeur trouvée :
413 + 45 = 458
7 + 16 = 23
17 - 5 = 12
Il y a dix suricates dans une colonie. Chaque nuit, deux suricates montent la garde pendant que les autres dorment. Pendant une certaine période de nuits, chaque suricate monte la garde avec tous les autres suricates exactement une fois. Pendant cette période, combien de nuits de sommeil chaque suricate a-t-il ?
Premièrement, nous déterminons combien de nuits il faut à chaque suricate pour monter la garde avec tous les autres suricates exactement une fois. Il y a $10$ possibilités pour le premier garde et $9$ possibilités pour le deuxième garde, ce qui fait $10\cdot 9$ paires ; mais cela compte en fait chaque paire deux fois (puisque peu importe quel garde est « premier » et lequel est « deuxième »). Ainsi, le nombre de nuits dans une période complète est $(10\cdot 9)/2$, ce qui fait $45$.

Pendant cette période, chaque suricate doit monter la garde pendant $9$ nuits. Ainsi, chaque suricate obtient $\boxed{36}$ nuits de sommeil.

Solution alternative : disons que nous voulons savoir combien de nuits de sommeil un suricate particulier (appelons-le Max) obtient. Cela est égal au nombre de paires de suricates qui n'incluent pas Max. Pour former une telle paire, on peut choisir le premier suricate (non-Max) de $9$ façons et le second de $8$ façons, mais encore une fois, cela surcomptabilise d'un facteur $2$. Le nombre de paires sans Max est donc $(9\cdot 8)/2$, ce qui donne $\boxed{36}$.