Généralité
Définition :
Une équation est une égalité dans laquelle un ou plusieurs nombres sont inconnus. Ces nombres sont appelés inconnus et remplacés par une ou des lettres. L'expression à gauche du signe = est le membre gauche et l'expression à droite est le membre droit.
Exemples :
4x + 2 = 10
3y - 4x = 2
(x + 7)(x - 5) = 0
Solution :
Pour qu'un nombre soit solution d'une équation, les deux membres de l'équation doivent être égaux lorsque le nombre est substitué à l'inconnu. Par exemple, pour 4x + 2 = 10, x = 2 est une solution car 4(2) + 2 = 10.
Cas avec plusieurs inconnues :
Pour une équation avec plusieurs inconnues, il faut trouver les valeurs de chaque inconnue qui satisfont l'équation.
Définition de résoudre une équation :
Résoudre une équation signifie trouver toutes les solutions de cette équation.
Résolution des équations x + a = b et ax = b
Règles :
On peut ajouter ou soustraire le même nombre dans les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
On peut multiplier ou diviser par le même nombre les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
Exemples :
x + 45 = 458
x = 458 - 45
x = 413
7 + x = 23
x = 23 - 7
x = 16
x - 5 = 12
x = 12 + 5
x = 17
Pour être sûr des calculs, il faut vérifier en testant la valeur trouvée :
413 + 45 = 458
7 + 16 = 23
17 - 5 = 12
Soit $n$ le plus petit entier positif tel que $mn$ soit une puissance $k$-ième parfaite d'un entier pour un certain $k \ge 2$, où $m=2^{1980} \cdot 3^{384} \cdot 5^{1694} \cdot 7^{343}$. Quel est l'équation $n+k$ ?
Notez que $1980 = 2^23^25^111^1$, $384=2^7 3^1$, $1694 = 2^1 7^1 11^2$ et $343=7^3$. Leur PGCD est $1$, donc l'entier $m$ n'est pas une puissance parfaite (c'est-à-dire que nous ne pouvons pas prendre $n=1$). Nous avons besoin de $n=2^a3^b5^c7^d$ (tout autre facteur premier de $n$ serait superflu) tel que $(1980+a,384+b,1694+c,343+d)$ ait un PGCD supérieur à $1$ (c'est-à-dire que nous devons utiliser $n$ pour « modifier » les exposants des nombres premiers dans la factorisation première afin d'obtenir un entier $mn$ qui est en fait une puissance parfaite).

Premièrement, nous cherchons un nombre premier qui divise au moins trois des exposants $1980$, $384$, $1694$ et $343$, ce qui signifie que nous n'avons qu'à modifier l'un d'entre eux (donc que $n$ soit une puissance première). Ceci, cependant, n'est vrai que pour le nombre premier $2$, et l'exposant non divisible par $2$ est $343$, qui est l'exposant de 7 dans $m$. Par conséquent, pour modifier un seul des exposants, nous aurions besoin de $(a,b,c,d)=(0,0,0,1)$, ce qui donne $n=7$. Mais il existe un nombre inférieur à $7$ qui a plus d'un diviseur premier, et c'est $6$. De plus, $7 \mid 1694, 343$ et $1980 \equiv 384 \equiv -1 \mod{7}$, donc si on pose $a=b=1$ et $c=d=0$, on trouve que $(1980+a,384+b,1694+c,343+d)$ a $7$ comme diviseur.

Cela donne $n=6$, qui est donc la plus petite valeur telle que $mn$ soit une puissance parfaite. Dans ce cas, $mn$ est une puissance $7$ième parfaite, donc $k=7$. Ainsi $n+k=6+7=\boxed{13}$.