Les inéquations
1. Définition d’une inéquation
Une inéquation est une expression algébrique qui compare deux termes ou expressions à l'aide des symboles suivants :

> : strictement supérieur
< : strictement inférieur
>= : supérieur ou égal
<= : inférieur ou égal
L'objectif de la résolution d'une inéquation est de trouver les valeurs de la variable pour lesquelles cette inégalité est vérifiée.

2. Résolution d'une inéquation
La résolution d'une inéquation se fait généralement en suivant des étapes similaires à celles des équations, avec quelques différences lorsqu'on multiplie ou divise par un nombre négatif.

Règles importantes :

Si on multiplie ou divise les deux membres d’une inéquation par un nombre négatif, il faut inverser le sens de l'inéquation.
Étapes de résolution :

Simplification : Simplifiez chaque membre de l’inéquation (regrouper les termes similaires).
Transposition : Déplacer tous les termes contenant la variable d’un côté de l’inéquation et les constantes de l’autre côté.
Division ou multiplication : Résoudre pour isoler la variable en multipliant ou en divisant par un coefficient si nécessaire.
Représentation graphique : Les solutions peuvent être représentées sur une droite graduée (point plein si l'inéquation est large, point ouvert si elle est stricte).
3. Opérations avec les inéquations
Addition ou soustraction : Vous pouvez ajouter ou soustraire la même quantité aux deux membres de l'inéquation sans changer le sens de l'inégalité.

Exemple : a + c > b + c reste une inéquation correcte, et de même pour la soustraction.
Multiplication ou division :

Si vous multipliez ou divisez les deux membres de l'inéquation par un nombre positif, le sens de l'inéquation reste le même.

Si vous multipliez ou divisez par un nombre négatif, il faut inverser le sens de l'inégalité.

Exemple : Si a > b et vous multipliez par -1, alors cela devient -a < -b.

4. Systèmes d’inéquations
Un système d'inéquations est un ensemble de plusieurs inéquations qui doivent être résolues simultanément. La solution d'un système est l'ensemble des valeurs qui satisfont toutes les inéquations du système.

5. Représentation graphique des solutions
Les solutions d'une inéquation peuvent être représentées sur une droite graduée :

Si l'inéquation contient <= ou >=, on utilise un point plein pour indiquer que la valeur est incluse dans la solution.
Si l'inéquation contient < ou >, on utilise un point ouvert pour indiquer que la valeur n'est pas incluse dans la solution.

Un bureau d’études emploie 18 ingénieurs et 7 topographes. On envisage d’embaucher le même nombre 
x d’ingénieurs et de topographes. Combien faut-il embaucher de spécialistes de chaque sorte pour que le nombre de topographes soit au moins égal aux trois quarts du nombre d’ingénieurs ?
On sait qu'il y a 18 ingénieurs et 7 topographes. Après l'embauche de 
𝑥
x ingénieurs et de 
𝑥
x topographes, le nombre total d’ingénieurs sera 18 + x et le nombre total de topographes sera 7 + x. On veut que le nombre de topographes soit au moins égal aux trois quarts du nombre d’ingénieurs, ce qui donne l'inéquation suivante :
7 + x >= (3/4) * (18 + x). Résolution : Multiplier chaque terme par 4 pour se débarrasser du dénominateur :
4 * (7 + x) >= 3 * (18 + x)

Développons les deux côtés :
28 + 4x >= 54 + 3x

En soustrayant 3x des deux côtés :
28 + x >= 54

En soustrayant 28 des deux côtés :
x >= 26

Conclusion : Il faut embaucher au moins 26 ingénieurs et 26 topographes pour que le nombre de topographes soit au moins égal aux trois quarts du nombre d’ingénieurs.

