Généralité
Définition :
Une équation est une égalité dans laquelle un ou plusieurs nombres sont inconnus. Ces nombres sont appelés inconnus et remplacés par une ou des lettres. L'expression à gauche du signe = est le membre gauche et l'expression à droite est le membre droit.
Exemples :
4x + 2 = 10
3y - 4x = 2
(x + 7)(x - 5) = 0
Solution :
Pour qu'un nombre soit solution d'une équation, les deux membres de l'équation doivent être égaux lorsque le nombre est substitué à l'inconnu. Par exemple, pour 4x + 2 = 10, x = 2 est une solution car 4(2) + 2 = 10.
Cas avec plusieurs inconnues :
Pour une équation avec plusieurs inconnues, il faut trouver les valeurs de chaque inconnue qui satisfont l'équation.
Définition de résoudre une équation :
Résoudre une équation signifie trouver toutes les solutions de cette équation.
Résolution des équations x + a = b et ax = b
Règles :
On peut ajouter ou soustraire le même nombre dans les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
On peut multiplier ou diviser par le même nombre les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
Exemples :
x + 45 = 458
x = 458 - 45
x = 413
7 + x = 23
x = 23 - 7
x = 16
x - 5 = 12
x = 12 + 5
x = 17
Pour être sûr des calculs, il faut vérifier en testant la valeur trouvée :
413 + 45 = 458
7 + 16 = 23
17 - 5 = 12
Rappelons que si $b$ est un résidu $\pmod{m}$, alors l'inverse modulaire de $b$ est le résidu $c$ pour lequel $bc \equiv 1\pmod{m}$. Le tableau ci-dessous montre les inverses des 9 premiers résidus positifs modulo 47. \begin{tabular}{c|cccccccc}
$b$ & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ \hline
inverse de $\,b$ & 1 & 24 & 16 & 12 & 19 & 8 & 27 & 6 & 21
\end{tabular}Trouvez l'inverse modulaire de $35\pmod{47}$.

Exprimez votre réponse sous la forme d'un entier compris entre $0$ et $46$, inclus.
On veut trouver le résidu $c$ tel que $35c \equiv 1 \pmod{47}$. Rappelons que, puisque 35 est relativement premier à 47, cet inverse existe et est unique. Pour exploiter le tableau qui nous est donné, on remarque que $35 = 5\cdot 7$. On peut multiplier les deux côtés de $35c \equiv 1\pmod{47}$ par l'inverse de 5 pour obtenir \begin{align*}
19\cdot 5 \cdot 7 \cdot c &\equiv 19\cdot 1 \pmod{47} \implies \\
(19\cdot 5) \cdot 7 \cdot c &\equiv 19 \pmod{47} \implies \\
1 \cdot 7 \cdot c &\equiv 19 \pmod{47}. \\
\end{align*}Maintenant, nous pouvons multiplier les deux côtés par 27, l'inverse de 7, pour trouver \begin{align*}
27\cdot 7 \cdot c &\equiv 27\cdot 19 \pmod{47} \implies \\
c &\equiv 513 \pmod{47}.
\end{align*}La soustraction de 470 à 513 ne change pas son résidu (mod 47), nous avons donc $c\equiv 43\pmod{47}$. Puisque $0\leq 43 < 47$, $\boxed{43}$ est le résidu souhaité.

Remarque : Plus généralement, l'approche ci-dessus montre que $(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}$, où $b^{-1}$ désigne l'inverse modulaire de $b$.