Généralité
Définition :
Une équation est une égalité dans laquelle un ou plusieurs nombres sont inconnus. Ces nombres sont appelés inconnus et remplacés par une ou des lettres. L'expression à gauche du signe = est le membre gauche et l'expression à droite est le membre droit.
Exemples :
4x + 2 = 10
3y - 4x = 2
(x + 7)(x - 5) = 0
Solution :
Pour qu'un nombre soit solution d'une équation, les deux membres de l'équation doivent être égaux lorsque le nombre est substitué à l'inconnu. Par exemple, pour 4x + 2 = 10, x = 2 est une solution car 4(2) + 2 = 10.
Cas avec plusieurs inconnues :
Pour une équation avec plusieurs inconnues, il faut trouver les valeurs de chaque inconnue qui satisfont l'équation.
Définition de résoudre une équation :
Résoudre une équation signifie trouver toutes les solutions de cette équation.
Résolution des équations x + a = b et ax = b
Règles :
On peut ajouter ou soustraire le même nombre dans les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
On peut multiplier ou diviser par le même nombre les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
Exemples :
x + 45 = 458
x = 458 - 45
x = 413
7 + x = 23
x = 23 - 7
x = 16
x - 5 = 12
x = 12 + 5
x = 17
Pour être sûr des calculs, il faut vérifier en testant la valeur trouvée :
413 + 45 = 458
7 + 16 = 23
17 - 5 = 12
À Mathopolis, un adulte est une personne âgée de 21 ans ou plus et un enfant est une personne âgée de moins de 21 ans. Exactement la moitié des adultes de Mathopolis sont des femmes, et exactement la moitié des femmes adultes ont exactement un enfant biologique. Personne d'autre n'a d'enfant, et il n'y a pas d'autres enfants. Quel pourcentage de la population de Mathopolis est composée d'enfants ?
Soit $x$ le pourcentage d'enfants de Mathopolis. Le pourcentage d'adultes est alors $1-x$. La moitié des adultes sont des femmes, et la moitié des femmes ont exactement un enfant, donc le pourcentage de femmes ayant un enfant est $\frac{1}{4}(1-x)$. Ce pourcentage est égal au pourcentage d'enfants, puisqu'il y a une correspondance entre une mère et un enfant. Nous avons donc l'équation $x=\frac{1}{4}(1-x)$. La résolution de $x$ donne $x=1/5$, soit $\boxed{20}$ pour cent.