Généralité
Définition :
Une équation est une égalité dans laquelle un ou plusieurs nombres sont inconnus. Ces nombres sont appelés inconnus et remplacés par une ou des lettres. L'expression à gauche du signe = est le membre gauche et l'expression à droite est le membre droit.
Exemples :
4x + 2 = 10
3y - 4x = 2
(x + 7)(x - 5) = 0
Solution :
Pour qu'un nombre soit solution d'une équation, les deux membres de l'équation doivent être égaux lorsque le nombre est substitué à l'inconnu. Par exemple, pour 4x + 2 = 10, x = 2 est une solution car 4(2) + 2 = 10.
Cas avec plusieurs inconnues :
Pour une équation avec plusieurs inconnues, il faut trouver les valeurs de chaque inconnue qui satisfont l'équation.
Définition de résoudre une équation :
Résoudre une équation signifie trouver toutes les solutions de cette équation.
Résolution des équations x + a = b et ax = b
Règles :
On peut ajouter ou soustraire le même nombre dans les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
On peut multiplier ou diviser par le même nombre les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
Exemples :
x + 45 = 458
x = 458 - 45
x = 413
7 + x = 23
x = 23 - 7
x = 16
x - 5 = 12
x = 12 + 5
x = 17
Pour être sûr des calculs, il faut vérifier en testant la valeur trouvée :
413 + 45 = 458
7 + 16 = 23
17 - 5 = 12
Si les chiffres représentés par $A$ et $B$ satisfont le problème de soustraction suivant $$ \begin{array}{c@{}c@{\;}c@{}c@{}c@{}c} & & & & A & B_4\\ &- & & & B & A_4\\ \cline{2-6} & & & & & 3_4\\ \end{array} $$quelle est la différence non négative des chiffres représentés par $A$ et $B$ ?
Dans le problème de soustraction, nous pouvons commencer par examiner la colonne de gauche. Le premier cas possible est que $A-B=0$, donc que $A=B$. Cependant, si $A=B$, cela ne fonctionne pas dans la colonne de droite, car $B-A$ serait égal à 0 et non à 3. Nous devons donc opter pour la deuxième possibilité pour la colonne de gauche, dans laquelle la colonne de droite emprunte à la colonne de gauche et nous nous retrouvons avec $(A-1)-B=0$. Cela nous indique que $A-1=B$, donc la différence non négative de $A$ et $B$ est $\boxed{1}$.

Notez que nous ne sommes pas en mesure de résoudre les chiffres réels $A$ et $B$ même si nous considérons le chiffre des unités. Maintenant que nous savons que la colonne de droite emprunte à la colonne de gauche, nous obtenons que $$ \begin{array}{c@{}c@{\;}c@{}c@{}c@{}c} & & & & 1 & B_4\\ &- & & & & A_4\\ \cline{2-6} & & & & & 3_4.\\ \end{array} $$Cela signifie également $A+3=1B_4=4+B$, ce qui est le même que $A-1=B$. Nous ne pouvons pas résoudre pour $A$ et $B$ car tous les chiffres qui satisfont $A-1=B$ fonctionneront, comme $A=3, B=2$ ou $A=2, B=1$.