Triangle Rectangle et Cercle

I. Milieu de l’hypoténuse d’un triangle rectangle :
- Propriété : Le milieu de l’hypoténuse d’un triangle rectangle est équidistant de ses sommets.
- Exemple : Si ABC est un triangle rectangle en A, et I est le milieu du segment [BC], alors IA = IB = IC.
- Propriété réciproque : Si I est équidistant des trois sommets d’un triangle ABC, alors ce triangle est rectangle en A.

II. Cercle circonscrit à un triangle rectangle :
- Propriété : Si un triangle est rectangle, alors le milieu de l’hypoténuse est le centre de son cercle circonscrit.
- Exemple : Dans un triangle rectangle ABC en A, le milieu de [BC] est le centre du cercle circonscrit du triangle.

III. Théorème de Pythagore :
- Théorème : Si un triangle est rectangle, alors le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.
- Exemple : Si ABC est un triangle rectangle en A avec AB = 6 cm et AC = 8 cm, alors BC² = AB² + AC².
  * BC² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100 donc BC = 10 cm.

IV. Cosinus d’un angle aigu :
- Définition : Le cosinus d’un angle aigu est le quotient de la longueur du côté adjacent à cet angle par la longueur de l’hypoténuse.
- Exemple : Si ABC est un triangle rectangle en C avec AC = 3 cm et AB = 5 cm, alors cos A = AC / AB = 3 / 5 = 0,6.
- Remarque : Puisque l’hypoténuse est le plus grand côté d’un triangle rectangle, le cosinus d’un angle aigu est compris entre 0 et 1.

Compléter les propriétés des triangles rectangles

a. « Si un triangle ABC est rectangle en B, alors ... »
b. « Si un triangle DEF est rectangle en D, alors ... »
c. « Si un triangle IJK est rectangle en K, alors ... »
d. « Si un triangle RST est rectangle en S, alors ... »
e. « Si un triangle ABC est rectangle en C, alors ... »
f. « Si un triangle DEF est rectangle en F, alors ... »
g. « Si un triangle IJK est rectangle en I, alors ... »
h. « Si un triangle RST est rectangle en T, alors ... »
i. « Si un triangle LMN est rectangle en L, alors ... »
j. « Si un triangle XYZ est rectangle en Y, alors ... »

a. « Si un triangle ABC est rectangle en B, alors \( AB^2 + BC^2 = AC^2 \) »
b. « Si un triangle DEF est rectangle en D, alors \( DE^2 + DF^2 = EF^2 \) »
c. « Si un triangle IJK est rectangle en K, alors \( IK^2 + JK^2 = IJ^2 \) »
d. « Si un triangle RST est rectangle en S, alors \( RS^2 + ST^2 = RT^2 \) »
e. « Si un triangle ABC est rectangle en C, alors \( AC^2 + BC^2 = AB^2 \) »
f. « Si un triangle DEF est rectangle en F, alors \( DF^2 + EF^2 = DE^2 \) »
g. « Si un triangle IJK est rectangle en I, alors \( IJ^2 + IK^2 = JK^2 \) »
h. « Si un triangle RST est rectangle en T, alors \( ST^2 + RT^2 = RS^2 \) »
i. « Si un triangle LMN est rectangle en L, alors \( LM^2 + LN^2 = MN^2 \) »
j. « Si un triangle XYZ est rectangle en Y, alors \( XY^2 + YZ^2 = XZ^2 \) »