Généralité
Définition :
Une équation est une égalité dans laquelle un ou plusieurs nombres sont inconnus. Ces nombres sont appelés inconnus et remplacés par une ou des lettres. L'expression à gauche du signe = est le membre gauche et l'expression à droite est le membre droit.
Exemples :
4x + 2 = 10
3y - 4x = 2
(x + 7)(x - 5) = 0
Solution :
Pour qu'un nombre soit solution d'une équation, les deux membres de l'équation doivent être égaux lorsque le nombre est substitué à l'inconnu. Par exemple, pour 4x + 2 = 10, x = 2 est une solution car 4(2) + 2 = 10.
Cas avec plusieurs inconnues :
Pour une équation avec plusieurs inconnues, il faut trouver les valeurs de chaque inconnue qui satisfont l'équation.
Définition de résoudre une équation :
Résoudre une équation signifie trouver toutes les solutions de cette équation.
Résolution des équations x + a = b et ax = b
Règles :
On peut ajouter ou soustraire le même nombre dans les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
On peut multiplier ou diviser par le même nombre les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
Exemples :
x + 45 = 458
x = 458 - 45
x = 413
7 + x = 23
x = 23 - 7
x = 16
x - 5 = 12
x = 12 + 5
x = 17
Pour être sûr des calculs, il faut vérifier en testant la valeur trouvée :
413 + 45 = 458
7 + 16 = 23
17 - 5 = 12
Un sac contient 3 boules étiquetées 2, 4 et 8. Il faut choisir une boule, noter la valeur inscrite sur l'étiquette, puis remettre la boule dans le sac. Cette opération est effectuée trois fois, puis les valeurs sont additionnées. Quelle est la somme de toutes les sommes distinctes possibles ?
Toute somme formée par une combinaison des nombres $2,4$ et $8$ doit être divisible par $2$. La plus petite valeur possible d'une telle somme est égale à $3 \cdot 2 = 6$, et la plus grande valeur possible d'une telle somme est égale à $3 \cdot 8 = 24$. Après avoir testé, nous trouvons que \begin{align*}6 = 2+2+2,\8 = 4+2+2,\10 = 4+4+2,\12 = 4+4+4,\14 = 8+4+2,\16 = 8+4+4,\18 = 8+8+2,\20 = 8+8+4,\24 = 8+8+8.\end{align*} Cependant, nous ne pouvons pas trouver une combinaison dont la somme soit $22$ : si deux des nombres ne sont pas $8$, alors la somme maximale possible est $4 + 4 + 8 = 16$. Ainsi, deux des nombres tirés doivent être $8$, mais la troisième boule doit alors avoir le nombre $6$, ce qui n'est pas possible. Ainsi, la réponse est la somme des nombres pairs de $6$ à $24$ excluant $22$, ce qui est $\boxed{128}$.