Généralité
Définition :
Une équation est une égalité dans laquelle un ou plusieurs nombres sont inconnus. Ces nombres sont appelés inconnus et remplacés par une ou des lettres. L'expression à gauche du signe = est le membre gauche et l'expression à droite est le membre droit.
Exemples :
4x + 2 = 10
3y - 4x = 2
(x + 7)(x - 5) = 0
Solution :
Pour qu'un nombre soit solution d'une équation, les deux membres de l'équation doivent être égaux lorsque le nombre est substitué à l'inconnu. Par exemple, pour 4x + 2 = 10, x = 2 est une solution car 4(2) + 2 = 10.
Cas avec plusieurs inconnues :
Pour une équation avec plusieurs inconnues, il faut trouver les valeurs de chaque inconnue qui satisfont l'équation.
Définition de résoudre une équation :
Résoudre une équation signifie trouver toutes les solutions de cette équation.
Résolution des équations x + a = b et ax = b
Règles :
On peut ajouter ou soustraire le même nombre dans les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
On peut multiplier ou diviser par le même nombre les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
Exemples :
x + 45 = 458
x = 458 - 45
x = 413
7 + x = 23
x = 23 - 7
x = 16
x - 5 = 12
x = 12 + 5
x = 17
Pour être sûr des calculs, il faut vérifier en testant la valeur trouvée :
413 + 45 = 458
7 + 16 = 23
17 - 5 = 12
Vous avez sept sacs de pièces d'or. Chaque sac contient le même nombre de pièces d'or. Un jour, vous trouvez un sac de 53 pièces. Vous décidez de redistribuer le nombre de pièces que vous avez afin que les huit sacs que vous détenez contiennent le même nombre de pièces. Vous réussissez à redistribuer toutes les pièces et vous constatez également que vous avez plus de 200 pièces. Quel est le plus petit nombre de pièces que vous auriez pu avoir avant de trouver le sac de 53 pièces ?
S'il y a $b$ pièces d'or dans chacun des 7 sacs d'origine, alors $7b+53$ est divisible par 8. En d'autres termes, $7b + 53 \equiv 0 \pmod{8}$. Puisque $53 \equiv 5 \pmod{8}$ et $7 \equiv -1 \pmod{8}$, nous avons que $-b \equiv -5 \pmod{8}$. En multipliant les deux côtés par $-1$, nous obtenons que $b \equiv 5 \pmod{8}$. Maintenant, nous voulons que $7b + 53 > 200$, donc en conséquence, $b > \frac{200-53}{7} \implies b > 21$. Par conséquent, nous voulons un entier supérieur à 21 qui laisse un reste de 5 lorsqu'il est divisé par 8. Le plus petit entier de ce type est 29, vous aviez donc $29 \cdot 7 = \boxed{203}$ pièces avant de trouver le sac de 53 pièces.