Définition
Symétrie centrale :
Soit M et N deux points. L'image du point M par la symétrie centrale de centre I est le point N tel que I soit le milieu du segment [MN].

L'image du point M par une symétrie centrale est le point N tel que le segment [MN] soit coupé en son milieu par le point I.

Constructions et Propriétés
Construction 1 :
Soit I le centre de la symétrie. L'image du point M par la symétrie centrale de centre I est le point N. On trace le point N tel que I soit le milieu du segment [MN].

Construction 2 :
Soit I le centre. Construire l'image du segment [MP] par la symétrie centrale de centre I. On construit l'image des points M et P pour obtenir l'image du segment [MP].

Propriété :
L'image d'un segment par une symétrie centrale est un segment de même longueur (conservation des distances).

Construction 3 :
Soit I le centre. Construire l'image du point M par la symétrie centrale de centre I. On trace le point N tel que I soit le milieu du segment [MN].

Propriété :
L'image d'un angle par une symétrie centrale est un angle de même mesure. Chaque côté de l'angle est conservé en longueur et les deux angles (l'original et l'image) sont égaux.

Construction 4 :
Soit I un point du segment. Construire l'image du point M par la symétrie centrale de centre I. On place le point N tel que I soit le milieu du segment [MN].

Construction 5 :
Soit I le centre de la symétrie. Construire l'image de la figure M par la symétrie centrale de centre I.

Ces constructions et propriétés permettent de comprendre et de réaliser des symétries centrales, en conservant les distances et les mesures angulaires.
Soit ABCD un carré de côté 4cm.
1) Construire le point O centre de symétrique de ABCD.
2) Construire les points E; F; et G symétriques respectifs des pointsB; C ;  et D par rapport à A.
3) a) Quelle est le symétrique de ABCD par rapport à A.
b) En utilisant la figure compléter : 
SA(A)=…; 
SA(CD)=…; 
SA([AD))=…
4) Quelle est la nature de AEFG puis calculer son aire.
1-Construisons le point O centre de symétrie de ABCD. C’est le point de rencontre des deux diagonales.

2-Construisons les points E, F et G symétriques respectifs des points B, C et D par rapport à A.

3-a) On a : S_A[A] = A, S_A[B] = E, S_A[C] = F et S_A[D] = G
Donc, S_A(ABCD) = AEFG

Par suite, AEFG est le symétrique du carré ABCD par rapport à A.

b) En utilisant la figure complétions :
S_A(A) = A ; S_A(CD) = (FG) ; S_A([AD]) = ([AG])

Le symétrique d’un carré est un carré de même dimension.
Donc, AEFG est un carré de côté 4 cm.

Son aire A est donnée par :
A = côté × côté
= 4 cm × 4 cm
= 16 cm²