Généralité
Définition :
Une équation est une égalité dans laquelle un ou plusieurs nombres sont inconnus. Ces nombres sont appelés inconnus et remplacés par une ou des lettres. L'expression à gauche du signe = est le membre gauche et l'expression à droite est le membre droit.
Exemples :
4x + 2 = 10
3y - 4x = 2
(x + 7)(x - 5) = 0
Solution :
Pour qu'un nombre soit solution d'une équation, les deux membres de l'équation doivent être égaux lorsque le nombre est substitué à l'inconnu. Par exemple, pour 4x + 2 = 10, x = 2 est une solution car 4(2) + 2 = 10.
Cas avec plusieurs inconnues :
Pour une équation avec plusieurs inconnues, il faut trouver les valeurs de chaque inconnue qui satisfont l'équation.
Définition de résoudre une équation :
Résoudre une équation signifie trouver toutes les solutions de cette équation.
Résolution des équations x + a = b et ax = b
Règles :
On peut ajouter ou soustraire le même nombre dans les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
On peut multiplier ou diviser par le même nombre les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
Exemples :
x + 45 = 458
x = 458 - 45
x = 413
7 + x = 23
x = 23 - 7
x = 16
x - 5 = 12
x = 12 + 5
x = 17
Pour être sûr des calculs, il faut vérifier en testant la valeur trouvée :
413 + 45 = 458
7 + 16 = 23
17 - 5 = 12
Soit A = 1, B = 2, C = 3, ..., Z = 26. La valeur du produit d'un mot est égale au produit des valeurs de ses lettres. Par exemple, CAB a une valeur de produit de 3 $\times$ 1 $\times$ 2 = 6. Quel mot anglais courant a une valeur de produit de 715 ? Il n'est pas nécessaire qu'il ait une longueur de 3.
Factorisez 715 en facteurs premiers pour trouver $715=5\cdot11\cdot13$. Les seules façons d'écrire 715 comme un produit d'entiers positifs supérieurs à 1 sont les différentes manières de regrouper les facteurs premiers : \begin{align*}
(5)\cdot (11) \cdot (13) &= 5\cdot 11\cdot 13 \\
(5\cdot11)\cdot 13&=55\cdot 13 \\
5\cdot(11\cdot 13) &= 5\cdot 143 \\
(5\cdot 13) \cdot 11 &= 65 \cdot 11\text{, et}\\
(5\cdot11\cdot13)&=715,
\end{align*} où le dernier est un produit avec un seul facteur. Comme les lettres ne peuvent pas représenter des nombres supérieurs à 26, seul $5\cdot11\cdot 13$ pourrait provenir du calcul de la valeur du produit d'un mot. Les 5e, 11e et 13e lettres de l'alphabet sont E, K et M. Comme E, K et M ne forment pas un mot, nous introduisons la lettre A (qui n'affecte pas le produit puisque sa valeur est 1) pour former le mot $\boxed{\text{MAKE}}$.