Équations et Résolution de Problèmes

Définition d'une équation : Une équation est une égalité mathématique entre deux expressions contenant une ou plusieurs inconnues. Résoudre une équation consiste à trouver la valeur de l’inconnue qui rend l’égalité vraie. Exemple : 2x + 3 = 7. Pour résoudre cette équation, on cherche la valeur de x qui vérifie l’égalité.

Les types d’équations : 1. Équation du premier degré : L’inconnue apparaît avec un exposant 1. Exemple : 5x - 7 = 3. 2. Équation du deuxième degré : L’inconnue apparaît avec un exposant 2. Exemple : x² - 4x + 4 = 0.

Étapes de résolution d'une équation : 1. Isoler l'inconnue : Simplifier l’équation (réduire les termes similaires, éliminer les parenthèses). Transposer tous les termes contenant l'inconnue d'un côté de l'équation et les termes constants de l'autre côté. 2. Effectuer les opérations inverses : Si l’inconnue est multipliée, on divise. Si l’inconnue est additionnée, on soustrait. Si l’inconnue est au carré, on prend la racine carrée. 3. Vérifier la solution : Remplacer la solution trouvée dans l’équation initiale pour vérifier si l'égalité est respectée.

Exemple de résolution d'une équation du premier degré : 3x + 2 = 11. 1. On soustrait 2 des deux côtés : 3x = 11 - 2, donc 3x = 9. 2. On divise par 3 : x = 9 / 3, donc x = 3. 3. Vérification : 3(3) + 2 = 11, donc la solution est correcte.

Résolution de problèmes avec des équations : Pour résoudre un problème avec des équations, suivez ces étapes : 1. Comprendre le problème : Identifier les informations données et ce qu’on cherche à trouver. 2. Définir l’inconnue : Attribuer une lettre (souvent x) à l’élément inconnu. 3. Traduire le problème en équation : Utiliser les informations données pour créer une équation. 4. Résoudre l’équation : Appliquer les étapes de résolution d’une équation. 5. Interpréter la solution : Vérifier si la solution est cohérente avec le contexte du problème.

Exemple : Pierre a trois ans de plus que son frère. La somme de leurs âges est de 25 ans. Quel âge a Pierre ? 1. Compréhension : Pierre a un frère et la somme de leurs âges est 25. 2. Inconnue : Soit x l'âge du frère de Pierre. 3. Équation : x + (x + 3) = 25. 4. Résolution : 2x + 3 = 25, donc 2x = 25 - 3, donc 2x = 22, donc x = 22 / 2, donc x = 11. Pierre a donc 11 + 3 = 14 ans. 5. Interprétation : Pierre a 14 ans et son frère 11 ans. La somme est bien de 25.

En Alaska, la saison de pêche commerciale à la morue s'étend du 1er janvier au 1er août et dure exactement 7 mois, soit 213 jours si l'année n'est pas bissextile. Deux pêcheurs s'affrontent pour voir qui peut faire le plus de bénéfices. Le premier pêcheur prévoit d'attraper 3 poissons par jour pendant toute la saison. Le deuxième pêcheur est un novice qui devra commencer plus lentement. Il prévoit d'attraper 1 poisson par jour pendant les 30 premiers jours, 2 poissons par jour pendant les 60 jours suivants, puis 4 poissons par jour pendant le reste de la saison. À la fin de la saison, combien de poissons supplémentaires seront capturés par le pêcheur qui aura capturé le plus grand nombre de poissons ?
Le premier pêcheur attrapera 3*213 = <<3*213=639>>639 poissons pendant la saison. 
Le deuxième pêcheur attrapera 1*30 + 2*60 = <<1*30+2*60=150>>150 poissons pendant les 90 premiers jours de la saison. 
Ensuite, pendant les 213 - 90 = 123 jours restants de la saison, le deuxième pêcheur pêchera 4*123 = <<4*123=492>>492 poissons supplémentaires. 
Ainsi, le deuxième pêcheur attrapera un total de 150 + 492 = <<150+492=642>>642 poissons. 
Par conséquent, le deuxième pêcheur attrapera 642 - 639 = <<642-639=3>>3 poissons de plus que le premier pêcheur à la fin de la saison. 
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