Droites Remarquables dans le Triangle
I. Médiatrice d'un Triangle
Définition :
La médiatrice d'un segment est la droite perpendiculaire à ce segment en son milieu. La médiatrice d'un triangle est la médiatrice de l'un de ses côtés.

Exemple :
Soit ABC un triangle. Tracons (d) la médiatrice du côté [AB].

Centre du Cercle Circonscrit au Triangle :

Propriété : Le centre du cercle circonscrit à un triangle est le point de rencontre de ses trois médiatrices.
Remarque Importante : Pour déterminer le centre du cercle circonscrit à un triangle, il suffit de tracer deux de ses médiatrices.
Exemple : Soit ABC un triangle. Construisons le cercle circonscrit de centre O.
II. Bissectrice d'un Triangle
Définition :
La bissectrice d'un angle est la demi-droite qui partage cet angle en deux angles de même mesure. La bissectrice d'un triangle est la bissectrice de l'un de ses angles.

Exemple :
Soit ABC un triangle. Tracons (BE) la bissectrice de l'angle ABC.

Centre du Cercle Inscrit au Triangle :

Propriété : Le centre du cercle inscrit dans un triangle est le point de rencontre de ses trois bissectrices.
Remarque Importante : Pour déterminer le centre du cercle inscrit dans un triangle, il suffit de tracer deux de ses bissectrices.
Exemple : Soit ABC un triangle. Construisons le cercle inscrit dans le triangle ABC de centre I.
III. Hauteur d'un Triangle
Définition :
Une hauteur d'un triangle est une droite qui passe par un sommet du triangle et qui est perpendiculaire au côté opposé à ce sommet.

Exemple :
Soit ABC un triangle. Tracons (AH) la hauteur du triangle ABC.

Orthocentre d'un Triangle :

Propriété : L'orthocentre d'un triangle est le point de rencontre de ses trois hauteurs.
Remarque Importante : Pour déterminer l'orthocentre d'un triangle, il suffit de tracer deux de ses hauteurs.
Exemple : Soit ABC un triangle. Construisons l'orthocentre du triangle ABC.
IV. Médiane d'un Triangle
Définition :
La médiane d'un triangle est la droite passant par un sommet du triangle et le milieu du côté opposé à ce sommet. La médiane du triangle est la médiane correspondant à l'un de ses côtés.

Exemple :
Soit ABC un triangle. Tracons (AM) la médiane du triangle ABC.

Centre de Gravité d'un Triangle :

Propriété : Le centre de gravité d'un triangle est le point de rencontre de ses trois médianes.
Remarque Importante : Pour déterminer le centre de gravité d'un triangle, il suffit de tracer deux de ses médianes.
Exemple : Soit ABC un triangle. Construisons le centre de gravité du triangle ABC.
Construire un triangle MNP tel que :
MN = 6 cm ; NP = 5 cm et MP = 7 cm.

1) La bissectrice de l'angle M̂ coupe [NP] en E.
2) La bissectrice de l'angle N̂ coupe (ME) en I.
3) Démontrer que (IP) est la bissectrice de l'angle MPN̂.
1) Construction du triangle MNP :
   - Tracer un segment MN de 6 cm.
   - Avec un compas, tracer un cercle de centre M et de rayon 7 cm.
   - Avec le même compas, tracer un cercle de centre N et de rayon 5 cm.
   - Les deux cercles se coupent en deux points, choisir l'un de ces points comme P.
   - Tracer les segments MP et NP pour compléter le triangle MNP.

2) Tracer la bissectrice de l'angle M̂ et la faire couper [NP] en E :
   - Diviser l'angle M̂ en deux angles égaux en utilisant un rapporteur.
   - Tracer la ligne passant par M et l'intersection de l'angle M̂ pour couper [NP] en E.

3) Tracer la bissectrice de l'angle N̂ et la faire couper (ME) en I :
   - Diviser l'angle N̂ en deux angles égaux en utilisant un rapporteur.
   - Tracer la ligne passant par N et l'intersection de l'angle N̂ pour couper (ME) en I.

4) Démontrer que (IP) est la bissectrice de l'angle MPN̂ :
   - Par définition de la bissectrice, (IP) divise l'angle MPN̂ en deux angles égaux.
   - Puisque (ME) et (IE) sont des bissectrices, alors I est équidistant des côtés de l'angle MPN̂.
   - Par conséquent, (IP) est la bissectrice de l'angle MPN̂.