Généralité
Définition :
Une équation est une égalité dans laquelle un ou plusieurs nombres sont inconnus. Ces nombres sont appelés inconnus et remplacés par une ou des lettres. L'expression à gauche du signe = est le membre gauche et l'expression à droite est le membre droit.
Exemples :
4x + 2 = 10
3y - 4x = 2
(x + 7)(x - 5) = 0
Solution :
Pour qu'un nombre soit solution d'une équation, les deux membres de l'équation doivent être égaux lorsque le nombre est substitué à l'inconnu. Par exemple, pour 4x + 2 = 10, x = 2 est une solution car 4(2) + 2 = 10.
Cas avec plusieurs inconnues :
Pour une équation avec plusieurs inconnues, il faut trouver les valeurs de chaque inconnue qui satisfont l'équation.
Définition de résoudre une équation :
Résoudre une équation signifie trouver toutes les solutions de cette équation.
Résolution des équations x + a = b et ax = b
Règles :
On peut ajouter ou soustraire le même nombre dans les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
On peut multiplier ou diviser par le même nombre les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
Exemples :
x + 45 = 458
x = 458 - 45
x = 413
7 + x = 23
x = 23 - 7
x = 16
x - 5 = 12
x = 12 + 5
x = 17
Pour être sûr des calculs, il faut vérifier en testant la valeur trouvée :
413 + 45 = 458
7 + 16 = 23
17 - 5 = 12
Supposons que nous ayons quatre entiers dont aucun n'est congruent $\pmod 6$. Soit $N$ le produit des quatre entiers.

Si $N$ n'est pas un multiple de $6$, quel est le reste de $N$ lorsque $N$ est divisé par $6$ ?
Comme aucun des quatre entiers n'est congruent modulo 6, ils doivent représenter quatre des résidus possibles $0,1,2,3,4,5$.

Aucun des entiers ne peut être $0\pmod 6$, car cela ferait de leur produit un multiple de 6.

Les résidus possibles restants sont $1,2,3,4,5$. Nos entiers doivent couvrir tous ces entiers sauf un, donc 2 ou 4 doivent figurer parmi les résidus de nos quatre entiers. Par conséquent, au moins un des entiers est pair, ce qui exclut d'avoir également un multiple de 3 (car cela ferait à nouveau de $N$ un multiple de 6). Tout entier qui laisse un reste de 3 (mod 6) est un multiple de 3, donc de tels entiers ne sont pas autorisés.

Par conséquent, les quatre entiers doivent être congruents à $1,2,4,$ et $5\pmod 6$. Leur produit est congru modulo 6 à $1\cdot 2\cdot 4\cdot 5=40$, ce qui laisse un reste de $\boxed{4}$.