Droites des Milieux dans un Triangle

La droite passant par les milieux de deux côtés d'un triangle

Propriété 1 :
La droite passant par les milieux de deux côtés d'un triangle est parallèle au troisième côté.
Exemple : Soit ABC un triangle. M est le milieu de [AB] et N est le milieu de [AC]. Alors, (MN) // (BC).

Propriété 2 :
La distance entre les milieux de deux côtés d'un triangle est égale à la moitié de la longueur du troisième côté.
Autrement dit : Si M est le milieu de [AB] et N est le milieu de [AC], alors MN = 1/2 BC.
Exemple : Soit ABC un triangle. M est le milieu de [AB] et N est le milieu de [AC]. Alors, MN = 1/2 BC.

Propriété 3 :
Milieu + Milieu = Parallélisme. La droite passant par les milieux de deux côtés est parallèle au troisième côté.

La droite passant par le milieu d'un côté d'un triangle et parallèle au deuxième côté

Propriété 1 :
La droite passant par le milieu d'un côté d'un triangle et parallèle à un autre côté coupe le troisième côté en son milieu.
Autrement dit : Si M est le milieu de [AB] et (d) // (AC), alors d coupe (BC) en son milieu.
Exemple : Soit ABC un triangle. M est le milieu de [AB] et (d) // (AC). Alors, d coupe (BC) en son milieu.

Propriété 2 :
Milieu // Parallélisme. La droite passant par le milieu d'un côté d'un triangle et parallèle à un autre côté coupe le troisième côté en son milieu.

La droite parallèle à un côté dans un triangle

Propriété de Thalès :
Dans un triangle ABC, si une droite (d) parallèle à (BC) coupe [AB] en M et [AC] en N, alors AM/AB = AN/AC.
Exemple : Dans un triangle ABC, si (d) // (BC) et coupe [AB] en M et [AC] en N, alors AM/AB = AN/AC.

Résumé des propriétés :

La droite passant par les milieux de deux côtés d'un triangle est parallèle au troisième côté.
La droite passant par le milieu d'un côté d'un triangle et parallèle à un autre côté coupe le troisième côté en son milieu.
La droite parallèle à un côté dans un triangle respecte la propriété de Thalès.
Construire le triangle ABC tel que AB=5cm, AC=4cm et CÂB=55°.

Place les points I et J milieux respectifs des côtés [BA] et [BC].
Calcule la longueur IJ en justifiant clairement la démarche utilisée.
1. Construction du triangle ABC
   a. Trace le segment [AB] de 5 cm.
   b. Utilise un rapporteur pour mesurer un angle de 55° au point A.
   c. Trace un segment de 4 cm à partir de A dans la direction de l'angle mesuré pour obtenir le point C.
   d. Relie les points B et C pour compléter le triangle ABC.

2. Placement des milieux I et J
   a. Trouve le milieu I de [BA]. 
      - I est à 2,5 cm de B et de A (milieu de 5 cm).
   b. Trouve le milieu J de [BC]. 
      - Utilise la loi des cosinus pour trouver la longueur de [BC].

Calcul de BC :
BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 * AB * AC * cos(55°)
BC^2 = 5^2 + 4^2 - 2 * 5 * 4 * cos(55°)
BC^2 = 25 + 16 - 40 * 0.5736
BC^2 = 41 - 22.944
BC^2 = 18.056
BC = sqrt(18.056) ≈ 4.25 cm

   - J est à 2.125 cm de B et de C (milieu de 4.25 cm).

3. Calcul de IJ
   a. Utilise le théorème de Thalès dans les triangles semblables AIJ et ABC.
      IJ = 1/2 * BC
      IJ = 1/2 * 4.25
      IJ = 2.125 cm

Donc, la longueur de IJ est de 2.125 cm.