Généralité
Définition :
Une équation est une égalité dans laquelle un ou plusieurs nombres sont inconnus. Ces nombres sont appelés inconnus et remplacés par une ou des lettres. L'expression à gauche du signe = est le membre gauche et l'expression à droite est le membre droit.
Exemples :
4x + 2 = 10
3y - 4x = 2
(x + 7)(x - 5) = 0
Solution :
Pour qu'un nombre soit solution d'une équation, les deux membres de l'équation doivent être égaux lorsque le nombre est substitué à l'inconnu. Par exemple, pour 4x + 2 = 10, x = 2 est une solution car 4(2) + 2 = 10.
Cas avec plusieurs inconnues :
Pour une équation avec plusieurs inconnues, il faut trouver les valeurs de chaque inconnue qui satisfont l'équation.
Définition de résoudre une équation :
Résoudre une équation signifie trouver toutes les solutions de cette équation.
Résolution des équations x + a = b et ax = b
Règles :
On peut ajouter ou soustraire le même nombre dans les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
On peut multiplier ou diviser par le même nombre les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
Exemples :
x + 45 = 458
x = 458 - 45
x = 413
7 + x = 23
x = 23 - 7
x = 16
x - 5 = 12
x = 12 + 5
x = 17
Pour être sûr des calculs, il faut vérifier en testant la valeur trouvée :
413 + 45 = 458
7 + 16 = 23
17 - 5 = 12
Le plus petit multiple commun de $1!+2!$, $2!+3!$, $3!+4!$, $4!+5!$, $5!+6!$, $6!+7!$, $7!+8!$ et $8!+9!$ peut être exprimé sous la forme $a\cdot b!$, où $a$ et $b$ sont des entiers et $b$ est aussi grand que possible. Quel est $a+b$ ?
Notez que nous pouvons factoriser $n!+(n+1)!$ comme $n!\cdot [1+(n+1)] = n!\cdot(n+2)$. Ainsi, nous avons \begin{align*}
1!+2! &= 1!\cdot 3 \\
2!+3! &= 2!\cdot 4 \\
3!+4! &= 3!\cdot 5 \\
4!+5! &= 4!\cdot 6 \\
5!+6! &= 5!\cdot 7 \\
6!+7! &= 6!\cdot 8 \\
7!+8! &= 7!\cdot 9 \\
8!+9! &= 8!\cdot 10
\end{align*}Les deux derniers nombres sont $9\cdot 7!$ et $(8\cdot 10)\cdot 7!$, donc leur plus petit multiple commun est égal à $\mathop{\text{lcm}}[9,8\cdot 10]\cdot 7!$. Puisque $9$ et $8\cdot 10$ sont premiers entre eux, on a $\mathop{\text{lcm}}[9,8\cdot 10] = 9\cdot 8\cdot 10$, et donc $$\mathop{\text{lcm}}[7!+8!,8!+9!] = 9\cdot 8\cdot 10\cdot 7! = 10!.$$Enfin, nous remarquons que tous les autres nombres de notre liste ($1!+2!,2!+3!,\ldots,6!+7!$) sont clairement des diviseurs de $10!$. Ainsi, le plus petit multiple commun de tous les nombres de notre liste est $10!$. En écrivant cela sous la forme spécifiée dans le problème, nous obtenons $1\cdot 10!$, donc $a=1$ et $b=10$ et leur somme est $\boxed{11}$.