Généralité
Définition :
Une équation est une égalité dans laquelle un ou plusieurs nombres sont inconnus. Ces nombres sont appelés inconnus et remplacés par une ou des lettres. L'expression à gauche du signe = est le membre gauche et l'expression à droite est le membre droit.
Exemples :
4x + 2 = 10
3y - 4x = 2
(x + 7)(x - 5) = 0
Solution :
Pour qu'un nombre soit solution d'une équation, les deux membres de l'équation doivent être égaux lorsque le nombre est substitué à l'inconnu. Par exemple, pour 4x + 2 = 10, x = 2 est une solution car 4(2) + 2 = 10.
Cas avec plusieurs inconnues :
Pour une équation avec plusieurs inconnues, il faut trouver les valeurs de chaque inconnue qui satisfont l'équation.
Définition de résoudre une équation :
Résoudre une équation signifie trouver toutes les solutions de cette équation.
Résolution des équations x + a = b et ax = b
Règles :
On peut ajouter ou soustraire le même nombre dans les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
On peut multiplier ou diviser par le même nombre les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
Exemples :
x + 45 = 458
x = 458 - 45
x = 413
7 + x = 23
x = 23 - 7
x = 16
x - 5 = 12
x = 12 + 5
x = 17
Pour être sûr des calculs, il faut vérifier en testant la valeur trouvée :
413 + 45 = 458
7 + 16 = 23
17 - 5 = 12
La suite infinie $T=\{t_0,t_1,t_2,\ldots\}$ est définie comme $t_0=0,$ $t_1=1,$ et $t_n=t_{n-2}+t_{n-1}$ pour tous les entiers $n>1.$ Si $a,$ $b,$ $c$ sont des entiers fixes non négatifs tels que \begin{align*}
a&\equiv 5\pmod {16}\\
b&\equiv 10\pmod {16}\\
c&\equiv 15\pmod {16},
\end{align*}alors quel est le reste lorsque $t_a+t_b+t_c$ est divisé par $7 ?$
Nous devons d'abord trouver un modèle dans $T$. Vous en avez peut-être entendu parler sous le nom de suite de Fibonacci. Réduit modulo $7$ (on peut toujours utiliser la relation de récurrence), cela ressemble à \[T\equiv \{0,1,1,2,3,5,1,6,0,6,6,5,4,2,6,1,0,1\ldots\}.\]Les $16$ premiers termes sont $\{0,1,1,2,3,5,1,6,0,6,6,5,4,2,6,1\}.$ Comme les deux suivants sont $0$ et $1$ et comme la suite est définie par récursivité sur les deux termes les plus récents, la suite de Fibonacci modulo $7$ est constituée de répétitions de $0,$ $1,$ $1,$ $2,$ $3,$ $5,$ $1,$ $6,$ $0,$ $6,$ $6,$ $5,$ $4,$ $2,$ $6,$ $1.$ Maintenant \[\begin{cases}
a\equiv 5\pmod {16}\implies t_a\equiv 5\pmod 7\\
b\equiv 10\pmod {16}\implies t_b\equiv 6\pmod 7\\
c\equiv 15\pmod {16}\implies t_c\equiv 1\pmod 7
\end{cases}~.\]Ainsi, $$t_a+t_b+t_c\equiv 5+6+1\equiv 12\equiv \boxed{5}\pmod 7.$$