Généralité
Définition :
Une équation est une égalité dans laquelle un ou plusieurs nombres sont inconnus. Ces nombres sont appelés inconnus et remplacés par une ou des lettres. L'expression à gauche du signe = est le membre gauche et l'expression à droite est le membre droit.
Exemples :
4x + 2 = 10
3y - 4x = 2
(x + 7)(x - 5) = 0
Solution :
Pour qu'un nombre soit solution d'une équation, les deux membres de l'équation doivent être égaux lorsque le nombre est substitué à l'inconnu. Par exemple, pour 4x + 2 = 10, x = 2 est une solution car 4(2) + 2 = 10.
Cas avec plusieurs inconnues :
Pour une équation avec plusieurs inconnues, il faut trouver les valeurs de chaque inconnue qui satisfont l'équation.
Définition de résoudre une équation :
Résoudre une équation signifie trouver toutes les solutions de cette équation.
Résolution des équations x + a = b et ax = b
Règles :
On peut ajouter ou soustraire le même nombre dans les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
On peut multiplier ou diviser par le même nombre les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
Exemples :
x + 45 = 458
x = 458 - 45
x = 413
7 + x = 23
x = 23 - 7
x = 16
x - 5 = 12
x = 12 + 5
x = 17
Pour être sûr des calculs, il faut vérifier en testant la valeur trouvée :
413 + 45 = 458
7 + 16 = 23
17 - 5 = 12
Dans ce problème, $a$ et $b$ sont des entiers positifs.

Lorsque $a$ est écrit en base $9$, son dernier chiffre est $5$.

Lorsque $b$ est écrit en base $6$, ses deux derniers chiffres sont $53$.

Lorsque $a-b$ est écrit en base $3$, quels sont ses deux derniers chiffres ? Supposons que $a-b$ soit positif.
En base $3$, les valeurs de position sont $\ldots\ldots, 3^4, 3^3, 3^2, 3, 1$. Notez que tous ces nombres, à l'exception des deux derniers, sont divisibles par $3^2=9$. Ainsi, les deux derniers chiffres de $a-b$ en base $3$ sont la représentation en base $3$ du reste lorsque $a-b$ est divisé par $9$. (C'est exactement comme les deux derniers chiffres d'un entier en base $10$ représentent son reste lorsqu'il est divisé par $100$.)

Pour des raisons similaires, nous savons que $a\equiv 5\pmod 9$ et $b\equiv 5\cdot 6+3=33\pmod{6^2}$. Cette dernière congruence nous dit que $b$ est $33$ supérieur à un multiple de $36$, mais tout multiple de $36$ est aussi un multiple de $9$, donc on peut conclure que $b\equiv 33\equiv 6\pmod 9$.

Enfin, on a $$a-b \equiv 5-6 \equiv -1 \equiv 8 \pmod 9.$$Ce reste, $8$, s'écrit en base $3$ comme $22_3$, donc les deux derniers chiffres de $a-b$ en base $3$ sont $\boxed{22}$.