I. Translation - Égalité vectorielle

a. Introduction :
Dans cette partie du cours, nous allons voir vecteurs et translation pour les étudiants de deuxième année collège.

b. Écriture vectorielle d’une translation :
- Composée de deux translations :
  * A pour image B par une translation, de vecteur AB.
  * B pour image C par une translation, de vecteur BC.
  * La composée de ces deux translations est la translation qui transforme directement A en C, de vecteur AC.
  * Cette égalité s’appelle la Relation de Chasles : AB + BC = AC.

c. Vecteur nul :
- Le vecteur nul, noté O, est le vecteur AA, BB, etc.
- D’après la relation de Chasles, pour tout vecteur AB, on a : AB + BA = AA = O.

d. Opposé d’un vecteur :
- On dit que le vecteur BA est l’opposé du vecteur AB.
- En effet, d’après la relation de Chasles : AB + BA = O.

e. Notation particulière (exemple) :
- Par commodité, on note parfois 2AB à la place de la somme AB + AB.
- Dans le parallélogramme ABCD, on peut aussi écrire les égalités suivantes :
  * AB = DC
  * AC = BD
  * CA = DB

III. Composition de deux symétries centrales :
- On ne peut pas voir les vecteurs et translations sans parler de la symétrie centrale.
- M1 et N1 sont les symétriques respectifs de M et N par rapport à A.
- M2 et N2 sont les symétriques respectifs de M1 et N1 par rapport à B.
- Les points M2 et N2 sont les symétriques respectifs de M et N par la composée des deux symétries centrales précédentes.
- On dirait bien que MN2 = MN = 2AB.
- En effet, cette composition de deux symétries de centres A puis B revient en fait à une translation de vecteur 2AB.

IV. Caractérisation d’une égalité vectorielle :
a. Parallélogramme :
- Dans la mesure où l’égalité AB = CD revient à dire que ABDC est un parallélogramme, on peut écrire les propositions suivantes :
  * Si AB = CD, alors les segments [AD] et [BC] ont le même milieu.
  * Si les segments [AD] et [BC] ont le même milieu, alors on a AB = CD et AC = BD.

b. Milieu d’un segment :
- Si AB = BC, alors B est le milieu du segment [AC].
- Si B est le milieu du segment [AC], alors AB = BC.

5. b. Exprimer le vecteur \(\overrightarrow{v}\) en fonction de \(\overrightarrow{CA}\) et \(\overrightarrow{BC}\) :
1. \(\overrightarrow{v} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}\)
2. \(\overrightarrow{v} = \overrightarrow{AC} - 3 \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{CB}\)
3. \(\overrightarrow{v} = 2 \overrightarrow{CB} + 3 \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{CA}\)
5. b. Exprimer le vecteur \(\overrightarrow{v}\) en fonction de \(\overrightarrow{CA}\) et \(\overrightarrow{BC}\) :
1. \(\overrightarrow{v} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}\)
   - En utilisant la relation de Chasles : \(\overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{BA}\)
   - Donc, \(\overrightarrow{v} = -\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC}\)

2. \(\overrightarrow{v} = \overrightarrow{AC} - 3 \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{CB}\)
   - En utilisant la relation de Chasles : \(\overrightarrow{CB} = -\overrightarrow{BC}\)
   - Donc, \(\overrightarrow{v} = \overrightarrow{AC} - 3 \overrightarrow{BA} - \overrightarrow{BC}\)

3. \(\overrightarrow{v} = 2 \overrightarrow{CB} + 3 \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{CA}\)
   - En utilisant la relation de Chasles : \(\overrightarrow{CB} = -\overrightarrow{BC}\)
   - Donc, \(\overrightarrow{v} = 2 (-\overrightarrow{BC}) + 3 (\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{CA}) = -2 \overrightarrow{BC} + 3 \overrightarrow{BA} + 3 \overrightarrow{CA}\)