Généralité
Définition :
Une équation est une égalité dans laquelle un ou plusieurs nombres sont inconnus. Ces nombres sont appelés inconnus et remplacés par une ou des lettres. L'expression à gauche du signe = est le membre gauche et l'expression à droite est le membre droit.
Exemples :
4x + 2 = 10
3y - 4x = 2
(x + 7)(x - 5) = 0
Solution :
Pour qu'un nombre soit solution d'une équation, les deux membres de l'équation doivent être égaux lorsque le nombre est substitué à l'inconnu. Par exemple, pour 4x + 2 = 10, x = 2 est une solution car 4(2) + 2 = 10.
Cas avec plusieurs inconnues :
Pour une équation avec plusieurs inconnues, il faut trouver les valeurs de chaque inconnue qui satisfont l'équation.
Définition de résoudre une équation :
Résoudre une équation signifie trouver toutes les solutions de cette équation.
Résolution des équations x + a = b et ax = b
Règles :
On peut ajouter ou soustraire le même nombre dans les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
On peut multiplier ou diviser par le même nombre les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
Exemples :
x + 45 = 458
x = 458 - 45
x = 413
7 + x = 23
x = 23 - 7
x = 16
x - 5 = 12
x = 12 + 5
x = 17
Pour être sûr des calculs, il faut vérifier en testant la valeur trouvée :
413 + 45 = 458
7 + 16 = 23
17 - 5 = 12
La somme de tous les chiffres utilisés pour écrire les nombres entiers de 10 à 13 est 1 + 0 + 1 + 1 + 1 + 2 + 1 + 3 = 10. Quelle est la somme de tous les chiffres utilisés pour écrire les nombres entiers de 1 à 110 inclus ?
Nous calculons d'abord la somme de tous les chiffres utilisés pour écrire les nombres entiers de 0 à 99. Si nous considérons tous ces nombres comme des nombres à deux chiffres (par exemple, écrivons 04 au lieu de 4), la somme des chiffres restera inchangée. Nous voyons ensuite que chaque chiffre apparaît un nombre égal de fois à la position des unités, et de même pour la position des dizaines, ce qui signifie qu'il apparaît un total de $2\cdot \frac{100}{10} = 20$ fois. Ainsi, la somme de tous les chiffres utilisés pour écrire les nombres entiers de 00 à 99 est $20\cdot (0 + 1 +\cdots + 8 + 9) = 900$. La somme des chiffres de 100 à 110 est simplement $(1 + 0) + (1 + 1) + (1 + 2) + \cdots + (1+9) + 2 = 57$. Ainsi, notre réponse finale est $900 + 57 = \boxed{957}$.