Généralité
Définition :
Une équation est une égalité dans laquelle un ou plusieurs nombres sont inconnus. Ces nombres sont appelés inconnus et remplacés par une ou des lettres. L'expression à gauche du signe = est le membre gauche et l'expression à droite est le membre droit.
Exemples :
4x + 2 = 10
3y - 4x = 2
(x + 7)(x - 5) = 0
Solution :
Pour qu'un nombre soit solution d'une équation, les deux membres de l'équation doivent être égaux lorsque le nombre est substitué à l'inconnu. Par exemple, pour 4x + 2 = 10, x = 2 est une solution car 4(2) + 2 = 10.
Cas avec plusieurs inconnues :
Pour une équation avec plusieurs inconnues, il faut trouver les valeurs de chaque inconnue qui satisfont l'équation.
Définition de résoudre une équation :
Résoudre une équation signifie trouver toutes les solutions de cette équation.
Résolution des équations x + a = b et ax = b
Règles :
On peut ajouter ou soustraire le même nombre dans les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
On peut multiplier ou diviser par le même nombre les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
Exemples :
x + 45 = 458
x = 458 - 45
x = 413
7 + x = 23
x = 23 - 7
x = 16
x - 5 = 12
x = 12 + 5
x = 17
Pour être sûr des calculs, il faut vérifier en testant la valeur trouvée :
413 + 45 = 458
7 + 16 = 23
17 - 5 = 12
Si $n>1$ est un entier, la notation $a\equiv b\pmod{n}$ signifie que $(a-b)$ est un multiple de $n$. Trouvez la somme de toutes les valeurs possibles de $n$ telles que les deux affirmations suivantes soient vraies : $171\equiv80\pmod{n}$ et $468\equiv13\pmod{n}$.
Comme on nous l'a dit, nous voulons trouver toutes les valeurs de $n>1$ telles que $n$ se divise en $171-80 = 91$ et $n$ se divise aussi en $468 - 13 = 455$. Nous remarquons que $455 = 5 \cdot 91$, il s'ensuit donc que si $n$ se divise en $91$, alors il doit se diviser en $455$. Ensuite, il nous suffit de trouver les facteurs de $91$, qui sont $\{1,7,13,91\}$. La somme des facteurs autres que $1$ donne $7 + 13 + 91 = \boxed{111}$.