Généralité
Définition :
Une équation est une égalité dans laquelle un ou plusieurs nombres sont inconnus. Ces nombres sont appelés inconnus et remplacés par une ou des lettres. L'expression à gauche du signe = est le membre gauche et l'expression à droite est le membre droit.
Exemples :
4x + 2 = 10
3y - 4x = 2
(x + 7)(x - 5) = 0
Solution :
Pour qu'un nombre soit solution d'une équation, les deux membres de l'équation doivent être égaux lorsque le nombre est substitué à l'inconnu. Par exemple, pour 4x + 2 = 10, x = 2 est une solution car 4(2) + 2 = 10.
Cas avec plusieurs inconnues :
Pour une équation avec plusieurs inconnues, il faut trouver les valeurs de chaque inconnue qui satisfont l'équation.
Définition de résoudre une équation :
Résoudre une équation signifie trouver toutes les solutions de cette équation.
Résolution des équations x + a = b et ax = b
Règles :
On peut ajouter ou soustraire le même nombre dans les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
On peut multiplier ou diviser par le même nombre les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
Exemples :
x + 45 = 458
x = 458 - 45
x = 413
7 + x = 23
x = 23 - 7
x = 16
x - 5 = 12
x = 12 + 5
x = 17
Pour être sûr des calculs, il faut vérifier en testant la valeur trouvée :
413 + 45 = 458
7 + 16 = 23
17 - 5 = 12
Dalila écrit les facteurs positifs de $12$ sur un morceau de papier qu'elle donne à Ézéchiel. À côté de chaque facteur, Ézéchiel écrit tous les entiers positifs qui sont inférieurs ou égaux à ce nombre et qui ne partagent aucun diviseur avec le facteur autre que $1$. (Ainsi, par exemple, Ézéchiel écrira $``1"$ à côté de chacun des facteurs que Dalila écrit.) Combien de nombres au total Ézéchiel écrit-il ?
Voici à quoi devrait ressembler le papier après qu'Ézéchiel ait écrit son nombre final : \begin{tabular}{l|l}
1 & 1\\
2 & 1 \\
3 & 1, 2\\
4 & 1, 3\\
6 & 1, 5\\
12 & 1, 5, 7, 11
\end{tabular} La colonne de gauche contient les facteurs positifs de $12$ et la colonne de droite contient les nombres d'Ézéchiel. Nous voyons qu'Ézéchiel a écrit $\boxed{12}$ nombres.

Remarque : Notez que le nombre de nombres avec lesquels Ézéchiel se retrouve est le même que celui de Dalila. Cela se produira-t-il toujours ? Supposons que Dalila commence avec $n$. Ézéchiel se retrouvera-t-il avec $n$ nombres ?