Généralité
Définition :
Une équation est une égalité dans laquelle un ou plusieurs nombres sont inconnus. Ces nombres sont appelés inconnus et remplacés par une ou des lettres. L'expression à gauche du signe = est le membre gauche et l'expression à droite est le membre droit.
Exemples :
4x + 2 = 10
3y - 4x = 2
(x + 7)(x - 5) = 0
Solution :
Pour qu'un nombre soit solution d'une équation, les deux membres de l'équation doivent être égaux lorsque le nombre est substitué à l'inconnu. Par exemple, pour 4x + 2 = 10, x = 2 est une solution car 4(2) + 2 = 10.
Cas avec plusieurs inconnues :
Pour une équation avec plusieurs inconnues, il faut trouver les valeurs de chaque inconnue qui satisfont l'équation.
Définition de résoudre une équation :
Résoudre une équation signifie trouver toutes les solutions de cette équation.
Résolution des équations x + a = b et ax = b
Règles :
On peut ajouter ou soustraire le même nombre dans les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
On peut multiplier ou diviser par le même nombre les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
Exemples :
x + 45 = 458
x = 458 - 45
x = 413
7 + x = 23
x = 23 - 7
x = 16
x - 5 = 12
x = 12 + 5
x = 17
Pour être sûr des calculs, il faut vérifier en testant la valeur trouvée :
413 + 45 = 458
7 + 16 = 23
17 - 5 = 12
Si l'année 2004 est divisée après le troisième chiffre en un entier à trois chiffres et un entier à un chiffre, alors les deux entiers, 200 et 4, ont un facteur commun supérieur à un. Les années 2005 et 2006 ont également cette même propriété. Quelle est la première année impaire après 2006 qui possède cette propriété ?
Nous remarquons que $2013$ a la propriété : puisque la somme des chiffres de 201, $2+0+1=3$, est divisible par $3$, $201$ est elle-même divisible par $3$. Nous devons maintenant vérifier si des années impaires avant $2013$ ont cette propriété. $200$ n'est pas divisible par le nombre premier $7$, donc $2007$ n'a pas cette propriété. De même, la somme des chiffres de $200$ est $2$, qui n'est pas divisible par $3$, donc $200$ et $9=3^2$ sont premiers entre eux. Il est clair que $2011$ n'a pas la propriété souhaitée puisque tout nombre naturel est premier entre eux à $1$. Ainsi, la première année impaire après $2006$ qui a la propriété souhaitée est $\boxed{2013}$.