Généralité
Définition :
Une équation est une égalité dans laquelle un ou plusieurs nombres sont inconnus. Ces nombres sont appelés inconnus et remplacés par une ou des lettres. L'expression à gauche du signe = est le membre gauche et l'expression à droite est le membre droit.
Exemples :
4x + 2 = 10
3y - 4x = 2
(x + 7)(x - 5) = 0
Solution :
Pour qu'un nombre soit solution d'une équation, les deux membres de l'équation doivent être égaux lorsque le nombre est substitué à l'inconnu. Par exemple, pour 4x + 2 = 10, x = 2 est une solution car 4(2) + 2 = 10.
Cas avec plusieurs inconnues :
Pour une équation avec plusieurs inconnues, il faut trouver les valeurs de chaque inconnue qui satisfont l'équation.
Définition de résoudre une équation :
Résoudre une équation signifie trouver toutes les solutions de cette équation.
Résolution des équations x + a = b et ax = b
Règles :
On peut ajouter ou soustraire le même nombre dans les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
On peut multiplier ou diviser par le même nombre les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
Exemples :
x + 45 = 458
x = 458 - 45
x = 413
7 + x = 23
x = 23 - 7
x = 16
x - 5 = 12
x = 12 + 5
x = 17
Pour être sûr des calculs, il faut vérifier en testant la valeur trouvée :
413 + 45 = 458
7 + 16 = 23
17 - 5 = 12
Les diviseurs propres de 12 sont 1, 2, 3, 4 et 6. Un diviseur propre d'un entier $N$ est un diviseur positif de $N$ qui est inférieur à $N$. Quelle est la somme des diviseurs propres de la somme des diviseurs propres de 284 ?
Factoriser en premier $284=2^2\cdot71$. La somme des diviseurs propres de $284$ est
\begin{align*}
1+2+2^2+71+2 \cdot 71 &= (1+2+2^2)(1+71)-284 \\
&= 220 \\
&= 2^2\cdot5\cdot11.
\end{align*}Ici, nous avons utilisé l'observation selon laquelle la multiplication de $(1+2+2^2)(1+71)$ par distribution donne une expression qui est la somme de tous les $6$ facteurs de $284.$ En appliquant à nouveau cette observation, nous constatons que la somme des diviseurs propres de $220$ est $$(1+2+2^2)(1+5)(1+11)-220=7\cdot 6\cdot 12-220=\boxed{284}.$$