Définition d'une équation : Une équation est une égalité mathématique entre deux expressions contenant une ou plusieurs inconnues. Résoudre une équation consiste à trouver la valeur de l’inconnue qui rend l’égalité vraie. Exemple : 2x + 3 = 7. Pour résoudre cette équation, on cherche la valeur de x qui vérifie l’égalité.

Les types d’équations : 1. Équation du premier degré : L’inconnue apparaît avec un exposant 1. Exemple : 5x - 7 = 3. 2. Équation du deuxième degré : L’inconnue apparaît avec un exposant 2. Exemple : x² - 4x + 4 = 0.

Étapes de résolution d'une équation : 1. Isoler l'inconnue : Simplifier l’équation (réduire les termes similaires, éliminer les parenthèses). Transposer tous les termes contenant l'inconnue d'un côté de l'équation et les termes constants de l'autre côté. 2. Effectuer les opérations inverses : Si l’inconnue est multipliée, on divise. Si l’inconnue est additionnée, on soustrait. Si l’inconnue est au carré, on prend la racine carrée. 3. Vérifier la solution : Remplacer la solution trouvée dans l’équation initiale pour vérifier si l'égalité est respectée.

Exemple de résolution d'une équation du premier degré : 3x + 2 = 11. 1. On soustrait 2 des deux côtés : 3x = 11 - 2, donc 3x = 9. 2. On divise par 3 : x = 9 / 3, donc x = 3. 3. Vérification : 3(3) + 2 = 11, donc la solution est correcte.
Résoudre pour x : $\frac{x+2}{x-5} + \frac{x-5}{x+2} = \frac{10}{x^2-3x-10}$
Tout d'abord, nous pouvons remarquer que le dénominateur des deux premières fractions est le même que le dénominateur de la troisième fraction, qui est $(x-5)(x+2)$. Cela facilitera nos calculs. Maintenant, multiplions les deux côtés de l'équation par $(x-5)(x+2)$ pour éliminer les dénominateurs : $(x+2)(x-5)(x+2) + (x-5)(x+2)(x-5) = 10$ Maintenant, développons les expressions : $(x+2)^2(x-5) + (x-5)^2(x+2) = 10$ $(x^2+4x+4)(x-5) + (x^2-10x+25)(x+2) = 10$ Maintenant, développons et simplifions l'équation : $x^3 - x^2 - 20x + 20 + x^3 + 2x^2 - 10x^2 - 20x = 10$ Combinez les termes semblables : $2x^3 - 9x^2 - 40x + 20 = 10$ Soustrayons 10 des deux côtés : $2x^3 - 9x^2 - 40x + 10 = 0$ Maintenant, nous avons une équation cubique. Malheureusement, il n'existe pas de formule générale pour résoudre les équations cubiques comme la formule quadratique. Cependant, nous pouvons essayer de trouver une racine rationnelle en utilisant le théorème des racines rationnelles. Le théorème des racines rationnelles stipule que si un polynôme a une racine rationnelle p/q, alors p est un facteur du terme constant et q est un facteur du coefficient dominant. Dans notre cas, le terme constant est 10 et le coefficient dominant est 2. Les racines rationnelles possibles sont : ±1, ±2, ±5, ±10, ±1/2, ±5/2 Nous pouvons tester ces valeurs pour voir si l'une d'entre elles est une racine de l'équation. Après avoir testé, nous constatons que x = 2 est une racine : $2(2)^3 - 9(2)^2 - 40(2) + 10 = 0$ Maintenant que nous avons trouvé une racine, nous pouvons effectuer une division polynomiale pour trouver le facteur quadratique restant. Nous allons diviser le polynôme $2x^3 - 9x^2 - 40x + 10$ par $(x-2)$ : $2x^3 - 9x^2 - 40x + 10 = (x-2)(2x^2 - 5x - 5)$ Maintenant, nous avons une équation quadratique : $2x^2 - 5x - 5 = 0$ Nous pouvons utiliser la formule quadratique pour résoudre x : $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ Dans notre cas, a = 2, b = -5 et c = -5 : $x = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4(2)(-5)}}{2(2)}$ $x = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 40}}{4}$ $x = \frac{5 \pm \sqrt{65}}{4}$ Ainsi, les solutions pour x sont : $x = 2, \frac{5 + \sqrt{65}}{4}, \frac{5 - \sqrt{65}}{4}$