Droites Remarquables dans le Triangle
I. Médiatrice d'un Triangle
Définition :
La médiatrice d'un segment est la droite perpendiculaire à ce segment en son milieu. La médiatrice d'un triangle est la médiatrice de l'un de ses côtés.

Exemple :
Soit ABC un triangle. Tracons (d) la médiatrice du côté [AB].

Centre du Cercle Circonscrit au Triangle :

Propriété : Le centre du cercle circonscrit à un triangle est le point de rencontre de ses trois médiatrices.
Remarque Importante : Pour déterminer le centre du cercle circonscrit à un triangle, il suffit de tracer deux de ses médiatrices.
Exemple : Soit ABC un triangle. Construisons le cercle circonscrit de centre O.
II. Bissectrice d'un Triangle
Définition :
La bissectrice d'un angle est la demi-droite qui partage cet angle en deux angles de même mesure. La bissectrice d'un triangle est la bissectrice de l'un de ses angles.

Exemple :
Soit ABC un triangle. Tracons (BE) la bissectrice de l'angle ABC.

Centre du Cercle Inscrit au Triangle :

Propriété : Le centre du cercle inscrit dans un triangle est le point de rencontre de ses trois bissectrices.
Remarque Importante : Pour déterminer le centre du cercle inscrit dans un triangle, il suffit de tracer deux de ses bissectrices.
Exemple : Soit ABC un triangle. Construisons le cercle inscrit dans le triangle ABC de centre I.
III. Hauteur d'un Triangle
Définition :
Une hauteur d'un triangle est une droite qui passe par un sommet du triangle et qui est perpendiculaire au côté opposé à ce sommet.

Exemple :
Soit ABC un triangle. Tracons (AH) la hauteur du triangle ABC.

Orthocentre d'un Triangle :

Propriété : L'orthocentre d'un triangle est le point de rencontre de ses trois hauteurs.
Remarque Importante : Pour déterminer l'orthocentre d'un triangle, il suffit de tracer deux de ses hauteurs.
Exemple : Soit ABC un triangle. Construisons l'orthocentre du triangle ABC.
IV. Médiane d'un Triangle
Définition :
La médiane d'un triangle est la droite passant par un sommet du triangle et le milieu du côté opposé à ce sommet. La médiane du triangle est la médiane correspondant à l'un de ses côtés.

Exemple :
Soit ABC un triangle. Tracons (AM) la médiane du triangle ABC.

Centre de Gravité d'un Triangle :

Propriété : Le centre de gravité d'un triangle est le point de rencontre de ses trois médianes.
Remarque Importante : Pour déterminer le centre de gravité d'un triangle, il suffit de tracer deux de ses médianes.
Exemple : Soit ABC un triangle. Construisons le centre de gravité du triangle ABC.
1) Construire un triangle ABC quelconque.

2) a) Construire (AM) hauteur issue de A.
   b) Construire la droite (BN) hauteur issue de B.

3) Les deux droites (AM) et (BN) se coupent en H, placer le point H.

4) a) Construire la droite (B'C') passant par A et parallèle à (BC).
   b) Construire la droite (A'C') passant par B et parallèle à (AC).
   c) Construire la droite (B'A') passant par C et parallèle à (AB).

5) Démontrer que les quadrilatères ABCB', BCAC' et CABA' sont des parallélogrammes.

6) a) Démontrer que (AH) est la médiatrice de [B'C'].
   b) Démontrer que (BH) est la médiatrice de [A'C'].
   c) Démontrer que (CH) est la troisième médiatrice du triangle A'B'C'.

7) a) Que représentent les médiatrices du triangle A'B'C' ?
   b) Énoncer la propriété que tu viens de démontrer pour les hauteurs du triangle.

8) Que représente le point H pour le triangle ABC ?
1) Construction du triangle ABC :
   - Tracer un triangle ABC quelconque.

2) a) Construction de la hauteur (AM) issue de A :
   - Tracer une perpendiculaire à la base BC passant par le sommet A, nommée AM.

   b) Construction de la hauteur (BN) issue de B :
   - Tracer une perpendiculaire à la base AC passant par le sommet B, nommée BN.

3) Intersection des hauteurs :
   - Tracer les hauteurs AM et BN, leur intersection est le point H.

4) a) Construction de la droite (B'C') :
   - Tracer une parallèle à BC passant par A.

   b) Construction de la droite (A'C') :
   - Tracer une parallèle à AC passant par B.

   c) Construction de la droite (B'A') :
   - Tracer une parallèle à AB passant par C.

5) Démonstration des parallélogrammes :
   - Montrer que chaque quadrilatère possède ses côtés opposés parallèles.

6) a) Médiatrice (AH) de [B'C'] :
   - Montrer que AH est perpendiculaire à B'C' et coupe B'C' en son milieu.

   b) Médiatrice (BH) de [A'C'] :
   - Montrer que BH est perpendiculaire à A'C' et coupe A'C' en son milieu.

   c) Médiatrice (CH) de [A'B'] :
   - Montrer que CH est perpendiculaire à A'B' et coupe A'B' en son milieu.

7) a) Signification des médiatrices du triangle A'B'C' :
   - Les médiatrices de A'B'C' sont les hauteurs du triangle initial ABC.

   b) Propriété démontrée pour les hauteurs du triangle :
   - Les hauteurs d'un triangle sont concourantes en un point, nommé orthocentre.

8) Que représente le point H pour le triangle ABC ?
   - Le point H est l'orthocentre du triangle ABC.