Généralité
Définition :
Une équation est une égalité dans laquelle un ou plusieurs nombres sont inconnus. Ces nombres sont appelés inconnus et remplacés par une ou des lettres. L'expression à gauche du signe = est le membre gauche et l'expression à droite est le membre droit.
Exemples :
4x + 2 = 10
3y - 4x = 2
(x + 7)(x - 5) = 0
Solution :
Pour qu'un nombre soit solution d'une équation, les deux membres de l'équation doivent être égaux lorsque le nombre est substitué à l'inconnu. Par exemple, pour 4x + 2 = 10, x = 2 est une solution car 4(2) + 2 = 10.
Cas avec plusieurs inconnues :
Pour une équation avec plusieurs inconnues, il faut trouver les valeurs de chaque inconnue qui satisfont l'équation.
Définition de résoudre une équation :
Résoudre une équation signifie trouver toutes les solutions de cette équation.
Résolution des équations x + a = b et ax = b
Règles :
On peut ajouter ou soustraire le même nombre dans les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
On peut multiplier ou diviser par le même nombre les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
Exemples :
x + 45 = 458
x = 458 - 45
x = 413
7 + x = 23
x = 23 - 7
x = 16
x - 5 = 12
x = 12 + 5
x = 17
Pour être sûr des calculs, il faut vérifier en testant la valeur trouvée :
413 + 45 = 458
7 + 16 = 23
17 - 5 = 12
Un palindrome est un nombre qui se lit de la même manière à l'endroit comme à l'envers. Si un palindrome à trois chiffres est choisi au hasard, quelle est la probabilité qu'il soit un multiple de 3 ?
Un palindrome à trois chiffres doit être de la forme $1\Box1, 2\Box2, \cdots 9\Box9$, où $\Box$ est un chiffre compris entre 0 et 9. Il existe donc $9\cdot10=90$ palindromes à trois chiffres. Voyons maintenant lesquels sont des multiples de 3. Rappelons qu'un entier positif est un multiple de 3 si et seulement si la somme de ses chiffres est un multiple de 3. Si nous regardons $1\Box1$, nous voulons que $1+1+\Box$ soit un multiple de 3, donc $\Box$ pourrait être 1, 4 ou 7. Avec $2\Box2$, $2+2+\Box$ devrait être un multiple de 3, donc $\Box$ pourrait être 2, 5 ou 8. Avec $3\Box3$, $\Box$ pourrait être 0, 3, 6 ou 9. Les valeurs possibles de $\Box$ se répètent alors, $4\Box4$ donnant 1, 4 ou 7, $5\Box5$ donnant 2, 5 ou 8, etc. Le nombre de multiples de 3 est donc $3\times (3+3+4)=30$. Comme il y a 90 palindromes à trois chiffres en tout, nous obtenons une probabilité de $\frac{30}{90}=\boxed{\frac{1}{3}}$.