Généralité
Définition :
Une équation est une égalité dans laquelle un ou plusieurs nombres sont inconnus. Ces nombres sont appelés inconnus et remplacés par une ou des lettres. L'expression à gauche du signe = est le membre gauche et l'expression à droite est le membre droit.
Exemples :
4x + 2 = 10
3y - 4x = 2
(x + 7)(x - 5) = 0
Solution :
Pour qu'un nombre soit solution d'une équation, les deux membres de l'équation doivent être égaux lorsque le nombre est substitué à l'inconnu. Par exemple, pour 4x + 2 = 10, x = 2 est une solution car 4(2) + 2 = 10.
Cas avec plusieurs inconnues :
Pour une équation avec plusieurs inconnues, il faut trouver les valeurs de chaque inconnue qui satisfont l'équation.
Définition de résoudre une équation :
Résoudre une équation signifie trouver toutes les solutions de cette équation.
Résolution des équations x + a = b et ax = b
Règles :
On peut ajouter ou soustraire le même nombre dans les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
On peut multiplier ou diviser par le même nombre les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
Exemples :
x + 45 = 458
x = 458 - 45
x = 413
7 + x = 23
x = 23 - 7
x = 16
x - 5 = 12
x = 12 + 5
x = 17
Pour être sûr des calculs, il faut vérifier en testant la valeur trouvée :
413 + 45 = 458
7 + 16 = 23
17 - 5 = 12
Quel est le produit du plus petit multiple commun et du plus grand facteur commun de 22 et 48 ?
En écrivant les facteurs premiers de $22$ et $48$, nous voyons que $22 = 2 \cdot 11$ et $48 = 16 \cdot 3 = 2^4 \cdot 3$. Puisque $11$ ne divise pas $48$ et que $3$ ne divise pas $22$, il s'ensuit que le plus grand facteur commun de $22$ et $48$ est $2$.

Le plus petit multiple commun, d'autre part, doit rendre compte des facteurs premiers de $22$ et $48$. La plus grande puissance de $2$ présente dans l'un ou l'autre terme est $2^4 = 16$, celle de $3$ est $3^1 = 3$ et celle de $11$ est $11^1 = 11$. Ainsi, le PPCM sera $2^4 \cdot 3 \cdot 11 = 528$. Le produit du plus grand facteur commun et du plus petit multiple commun est donc $2 \cdot 528 = \boxed{1056}$.