Généralité
Définition :
Une équation est une égalité dans laquelle un ou plusieurs nombres sont inconnus. Ces nombres sont appelés inconnus et remplacés par une ou des lettres. L'expression à gauche du signe = est le membre gauche et l'expression à droite est le membre droit.
Exemples :
4x + 2 = 10
3y - 4x = 2
(x + 7)(x - 5) = 0
Solution :
Pour qu'un nombre soit solution d'une équation, les deux membres de l'équation doivent être égaux lorsque le nombre est substitué à l'inconnu. Par exemple, pour 4x + 2 = 10, x = 2 est une solution car 4(2) + 2 = 10.
Cas avec plusieurs inconnues :
Pour une équation avec plusieurs inconnues, il faut trouver les valeurs de chaque inconnue qui satisfont l'équation.
Définition de résoudre une équation :
Résoudre une équation signifie trouver toutes les solutions de cette équation.
Résolution des équations x + a = b et ax = b
Règles :
On peut ajouter ou soustraire le même nombre dans les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
On peut multiplier ou diviser par le même nombre les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
Exemples :
x + 45 = 458
x = 458 - 45
x = 413
7 + x = 23
x = 23 - 7
x = 16
x - 5 = 12
x = 12 + 5
x = 17
Pour être sûr des calculs, il faut vérifier en testant la valeur trouvée :
413 + 45 = 458
7 + 16 = 23
17 - 5 = 12
Quelle est la moyenne des deux plus petites solutions entières positives de la congruence $$14u \equiv 46 \pmod{100}~?$$
Notez que $14$, $46$ et $100$ ont tous un facteur commun de $2$, nous pouvons donc les diviser : les solutions à $$14u \equiv 46 \pmod{100}$$ sont identiques aux solutions à $$7u \equiv 23 \pmod{50}.$$ Assurez-vous de comprendre pourquoi c'est le cas.

Nous pouvons maintenant multiplier les deux côtés de la congruence par $7$ pour obtenir $$49u \equiv 161 \pmod{50},$$ qui a également les mêmes solutions que la congruence précédente, puisque nous pourrions inverser l'étape ci-dessus en multipliant les deux côtés par $7^{-1}$. (Nous savons que $7^{-1}$ existe modulo $50$ car $7$ et $50$ sont premiers entre eux.)

En remplaçant chaque côté de $49u\equiv 161$ par un équivalent $\pmod{50}$, nous avons $$-u \equiv 11\pmod{50},$$ et donc $$u \equiv -11\pmod{50}.$$ Voici l'ensemble des solutions à notre congruence initiale. Les deux plus petites solutions positives sont $-11+50 = 39$ et $-11+2\cdot 50 = 89$. Leur moyenne est $\boxed{64}$.