Équations et Résolution de Problèmes

Définition d'une équation : Une équation est une égalité mathématique entre deux expressions contenant une ou plusieurs inconnues. Résoudre une équation consiste à trouver la valeur de l’inconnue qui rend l’égalité vraie. Exemple : 2x + 3 = 7. Pour résoudre cette équation, on cherche la valeur de x qui vérifie l’égalité.

Les types d’équations : 1. Équation du premier degré : L’inconnue apparaît avec un exposant 1. Exemple : 5x - 7 = 3. 2. Équation du deuxième degré : L’inconnue apparaît avec un exposant 2. Exemple : x² - 4x + 4 = 0.

Étapes de résolution d'une équation : 1. Isoler l'inconnue : Simplifier l’équation (réduire les termes similaires, éliminer les parenthèses). Transposer tous les termes contenant l'inconnue d'un côté de l'équation et les termes constants de l'autre côté. 2. Effectuer les opérations inverses : Si l’inconnue est multipliée, on divise. Si l’inconnue est additionnée, on soustrait. Si l’inconnue est au carré, on prend la racine carrée. 3. Vérifier la solution : Remplacer la solution trouvée dans l’équation initiale pour vérifier si l'égalité est respectée.

Exemple de résolution d'une équation du premier degré : 3x + 2 = 11. 1. On soustrait 2 des deux côtés : 3x = 11 - 2, donc 3x = 9. 2. On divise par 3 : x = 9 / 3, donc x = 3. 3. Vérification : 3(3) + 2 = 11, donc la solution est correcte.

Résolution de problèmes avec des équations : Pour résoudre un problème avec des équations, suivez ces étapes : 1. Comprendre le problème : Identifier les informations données et ce qu’on cherche à trouver. 2. Définir l’inconnue : Attribuer une lettre (souvent x) à l’élément inconnu. 3. Traduire le problème en équation : Utiliser les informations données pour créer une équation. 4. Résoudre l’équation : Appliquer les étapes de résolution d’une équation. 5. Interpréter la solution : Vérifier si la solution est cohérente avec le contexte du problème.

Exemple : Pierre a trois ans de plus que son frère. La somme de leurs âges est de 25 ans. Quel âge a Pierre ? 1. Compréhension : Pierre a un frère et la somme de leurs âges est 25. 2. Inconnue : Soit x l'âge du frère de Pierre. 3. Équation : x + (x + 3) = 25. 4. Résolution : 2x + 3 = 25, donc 2x = 25 - 3, donc 2x = 22, donc x = 22 / 2, donc x = 11. Pierre a donc 11 + 3 = 14 ans. 5. Interprétation : Pierre a 14 ans et son frère 11 ans. La somme est bien de 25.

La vitesse du véhicule de Chrystal est de 48 km/h. En montant la montagne, sa vitesse diminue de 50 % et en descendant, elle augmente de 20 %. Si la distance jusqu'au sommet de la montagne est de 96 km et la distance jusqu'au pied de la montagne est de 116 km, combien d'heures faudra-t-il à Crystal pour franchir toute la montagne ?
La vitesse du véhicule diminue à 30 x 0,50 = <<30*0,50=15>>15 miles par heure lors de la montée vers le sommet de la montagne. 
Ainsi, le temps total que Crystal devra passer pour atteindre le sommet de la montagne est de 60 / 15 = <<60/15=4>>4 heures. 
Et la vitesse du véhicule augmente de 30 x 0,20 = <<30*0,20=6>>6 miles par heure lors de la descente vers le pied de la montagne. 
Ainsi, la vitesse totale du véhicule lors de la descente est de 30 + 6 = <<30+6=36>>36 miles par heure. 
Ainsi, Chrystal devra passer 72 / 36 = <<72/36=2>>2 heures pour descendre de la montagne. 
Par conséquent, le nombre total d'heures qu'elle mettra pour franchir toute la montagne est de 4 + 2 = <<4+2=6>>6 heures. 
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