Triangle Rectangle et Cercle

I. Milieu de l’hypoténuse d’un triangle rectangle :
- Propriété : Le milieu de l’hypoténuse d’un triangle rectangle est équidistant de ses sommets.
- Exemple : Si ABC est un triangle rectangle en A, et I est le milieu du segment [BC], alors IA = IB = IC.
- Propriété réciproque : Si I est équidistant des trois sommets d’un triangle ABC, alors ce triangle est rectangle en A.

II. Cercle circonscrit à un triangle rectangle :
- Propriété : Si un triangle est rectangle, alors le milieu de l’hypoténuse est le centre de son cercle circonscrit.
- Exemple : Dans un triangle rectangle ABC en A, le milieu de [BC] est le centre du cercle circonscrit du triangle.

III. Théorème de Pythagore :
- Théorème : Si un triangle est rectangle, alors le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.
- Exemple : Si ABC est un triangle rectangle en A avec AB = 6 cm et AC = 8 cm, alors BC² = AB² + AC².
  * BC² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100 donc BC = 10 cm.

IV. Cosinus d’un angle aigu :
- Définition : Le cosinus d’un angle aigu est le quotient de la longueur du côté adjacent à cet angle par la longueur de l’hypoténuse.
- Exemple : Si ABC est un triangle rectangle en C avec AC = 3 cm et AB = 5 cm, alors cos A = AC / AB = 3 / 5 = 0,6.
- Remarque : Puisque l’hypoténuse est le plus grand côté d’un triangle rectangle, le cosinus d’un angle aigu est compris entre 0 et 1.

Compléter les tableaux en utilisant les touches \( x^2 \) et \( \sqrt{x} \) de la calculatrice:c. En utilisant \( x^2 \) ou \( \sqrt{x} \) (on arrondira éventuellement au dixième) :
- \( AB^2 \) = 81
  donc AB = ..........
- DE = 3 cm
  donc \( DE^2 \) = ..........
- IJ = 0,7 cm
  donc \( IJ^2 \) = ..........
- AC = 0,36
  donc AC = ..........
- MN = 8,4 cm
  donc \( MN^2 \) = ..........
- \( EF^2 \) = 144
  donc EF = ..........
- BC = 169
  donc \( BC \) = ..........
- JK = 3,4 cm
  donc \( JK^2 \) = ..........
- RT = 6,7 cm
  donc \( RT^2 \) = ..........
- XY = 1
  donc \( XY \) = ..........
- CB = 11,1 cm
  donc \( CB^2 \) = ..........
- AB = 214
  donc \( AB \) = ..........
c. En utilisant \( x^2 \) ou \( \sqrt{x} \) (on arrondira éventuellement au dixième) :
- \( AB^2 \) = 81
  donc AB = 9 cm
- DE = 3 cm
  donc \( DE^2 \) = 9 cm²
- IJ = 0,7 cm
  donc \( IJ^2 \) = 0,49 cm²
- AC = 0,36
  donc AC = 0,6 cm
- MN = 8,4 cm
  donc \( MN^2 \) = 70,56 cm²
- \( EF^2 \) = 144
  donc EF = 12 cm
- BC = 169
  donc \( BC \) = 13 cm
- JK = 3,4 cm
  donc \( JK^2 \) = 11,56 cm²
- RT = 6,7 cm
  donc \( RT^2 \) = 44,89 cm²
- XY = 1
  donc \( XY \) = 1 cm
- CB = 11,1 cm
  donc \( CB^2 \) = 123,21 cm²
- \( AB^2 \) = 214
  donc AB = 14,6 cm (en arrondissant au dixième)