Généralité
Définition :
Une équation est une égalité dans laquelle un ou plusieurs nombres sont inconnus. Ces nombres sont appelés inconnus et remplacés par une ou des lettres. L'expression à gauche du signe = est le membre gauche et l'expression à droite est le membre droit.
Exemples :
4x + 2 = 10
3y - 4x = 2
(x + 7)(x - 5) = 0
Solution :
Pour qu'un nombre soit solution d'une équation, les deux membres de l'équation doivent être égaux lorsque le nombre est substitué à l'inconnu. Par exemple, pour 4x + 2 = 10, x = 2 est une solution car 4(2) + 2 = 10.
Cas avec plusieurs inconnues :
Pour une équation avec plusieurs inconnues, il faut trouver les valeurs de chaque inconnue qui satisfont l'équation.
Définition de résoudre une équation :
Résoudre une équation signifie trouver toutes les solutions de cette équation.
Résolution des équations x + a = b et ax = b
Règles :
On peut ajouter ou soustraire le même nombre dans les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
On peut multiplier ou diviser par le même nombre les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
Exemples :
x + 45 = 458
x = 458 - 45
x = 413
7 + x = 23
x = 23 - 7
x = 16
x - 5 = 12
x = 12 + 5
x = 17
Pour être sûr des calculs, il faut vérifier en testant la valeur trouvée :
413 + 45 = 458
7 + 16 = 23
17 - 5 = 12
L'expression $2\cdot 3 \cdot 4\cdot 5+1$ est égale à 121, puisque la multiplication est effectuée avant l'addition. Cependant, nous pouvons obtenir d'autres valeurs que 121 pour cette expression si nous sommes autorisés à la modifier en insérant des parenthèses. Par exemple, nous pouvons obtenir 144 en écrivant \[
(2\cdot (3\cdot 4)) \cdot (5+1) = 144.
\]Au total, combien de valeurs peut-on obtenir à partir de l'expression $2\cdot 3\cdot 4 \cdot 5 + 1$ en insérant des parenthèses ? (Notez que la réorganisation des termes n'est pas autorisée, seule l'insertion de parenthèses est autorisée).
En raison de la propriété associative de la multiplication, il n'est pas utile d'insérer des parenthèses qui précisent l'ordre de multiplication. Par exemple, la propriété associative nous indique que $(2\cdot(3\cdot 4))\cdot (5+1)$ est identique à $2\cdot3\cdot4\cdot (5+1)$. La seule façon d'obtenir des valeurs différentes est donc de regrouper +1 avec un nombre différent de facteurs. Nous obtenons \begin{align*}
2\cdot 3 \cdot 4 \cdot (5 + 1) &= 144, \\
2\cdot 3 \cdot (4 \cdot 5 + 1) &= 126,\\
2\cdot (3 \cdot 4 \cdot 5 + 1) &= 122, \\
(2\cdot 3 \cdot 4 \cdot 5) + 1 \hphantom{)} &= 121.
\end{align*}Au total, il y a $\boxed{4}$ valeurs possibles pour l'expression.