Généralité
Définition :
Une équation est une égalité dans laquelle un ou plusieurs nombres sont inconnus. Ces nombres sont appelés inconnus et remplacés par une ou des lettres. L'expression à gauche du signe = est le membre gauche et l'expression à droite est le membre droit.
Exemples :
4x + 2 = 10
3y - 4x = 2
(x + 7)(x - 5) = 0
Solution :
Pour qu'un nombre soit solution d'une équation, les deux membres de l'équation doivent être égaux lorsque le nombre est substitué à l'inconnu. Par exemple, pour 4x + 2 = 10, x = 2 est une solution car 4(2) + 2 = 10.
Cas avec plusieurs inconnues :
Pour une équation avec plusieurs inconnues, il faut trouver les valeurs de chaque inconnue qui satisfont l'équation.
Définition de résoudre une équation :
Résoudre une équation signifie trouver toutes les solutions de cette équation.
Résolution des équations x + a = b et ax = b
Règles :
On peut ajouter ou soustraire le même nombre dans les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
On peut multiplier ou diviser par le même nombre les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
Exemples :
x + 45 = 458
x = 458 - 45
x = 413
7 + x = 23
x = 23 - 7
x = 16
x - 5 = 12
x = 12 + 5
x = 17
Pour être sûr des calculs, il faut vérifier en testant la valeur trouvée :
413 + 45 = 458
7 + 16 = 23
17 - 5 = 12
Jan pense à un entier positif. Son entier a exactement 16 diviseurs positifs, dont deux sont 12 et 15. Quel est le nombre de Jan ?
Appelons le nombre de Jan $J$. $12 = 2^2 \cdot 3$ et $15 = 3 \cdot 5$, donc $J$ a au moins deux facteurs de 2, un facteur de 3 et un facteur de 5 dans sa factorisation première. Si $J$ a exactement deux facteurs de 2, alors la factorisation première de $J$ est de la forme $2^2 \cdot 3^a \cdot 5^b \cdots$. En comptant le nombre de facteurs positifs de cela, on obtient $(2+1)(a+1)(b+1)\cdots = 3k$, où $k$ est un entier. Mais nous savons que $J$ a 16 facteurs, et comme 16 n'est pas divisible par 3, $16 \neq 3k$ pour tout entier $k$. Donc $J$ ne peut pas avoir exactement deux facteurs de 2, il doit donc en avoir au moins 3. Cela signifie que $J$ est divisible par $2^3 \cdot 3 \cdot 5 = 120$. Mais 120 a déjà $(3+1)(1+1)(1+1) = 16$ facteurs, donc $J$ doit être $\boxed{120}$ (sinon $J$ aurait plus de 16 facteurs).