Généralité
Définition :
Une équation est une égalité dans laquelle un ou plusieurs nombres sont inconnus. Ces nombres sont appelés inconnus et remplacés par une ou des lettres. L'expression à gauche du signe = est le membre gauche et l'expression à droite est le membre droit.
Exemples :
4x + 2 = 10
3y - 4x = 2
(x + 7)(x - 5) = 0
Solution :
Pour qu'un nombre soit solution d'une équation, les deux membres de l'équation doivent être égaux lorsque le nombre est substitué à l'inconnu. Par exemple, pour 4x + 2 = 10, x = 2 est une solution car 4(2) + 2 = 10.
Cas avec plusieurs inconnues :
Pour une équation avec plusieurs inconnues, il faut trouver les valeurs de chaque inconnue qui satisfont l'équation.
Définition de résoudre une équation :
Résoudre une équation signifie trouver toutes les solutions de cette équation.
Résolution des équations x + a = b et ax = b
Règles :
On peut ajouter ou soustraire le même nombre dans les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
On peut multiplier ou diviser par le même nombre les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
Exemples :
x + 45 = 458
x = 458 - 45
x = 413
7 + x = 23
x = 23 - 7
x = 16
x - 5 = 12
x = 12 + 5
x = 17
Pour être sûr des calculs, il faut vérifier en testant la valeur trouvée :
413 + 45 = 458
7 + 16 = 23
17 - 5 = 12
Supposons que $a$ et $b$ soient des entiers positifs tels que le chiffre des unités de $a$ soit $2$, le chiffre des unités de $b$ soit $4$ et le plus grand diviseur commun de $a$ et $b$ soit $6$.

Quelle est la plus petite valeur possible du plus petit multiple commun de $a$ et $b$ ?
$a$ et $b$ doivent tous deux être divisibles par $6$, donc les choix pour $a$ sont $$12, 42, 72, 102, 132, \ldots\phantom{~.}$$et les choix pour $b$ sont $$24, 54, 84, 114, 144, \ldots~.$$Nous savons que $\mathop{\text{lcm}}[a,b]\cdot \gcd(a,b)=ab$ (puisque cette identité est vraie pour tous les entiers positifs $a$ et $b$). Par conséquent, $$\mathop{\text{lcm}}[a,b] = \frac{ab}{6},$$donc afin de minimiser $\mathop{\text{lcm}}[a,b]$, nous devons rendre $ab$ aussi petit que possible. Mais nous ne pouvons pas prendre $a=12$ et $b=24$, car alors $\gcd(a,b)$ serait $12$, et non $6$. Le meilleur choix suivant est soit $a=12,b=54$, soit $a=42,b=24$. L'une ou l'autre de ces paires donne $\gcd(a,b)=6$ comme souhaité, mais le premier choix, $a=12$ et $b=54$, donne un produit plus petit. C'est donc le choix optimal, et la plus petite valeur possible pour $\mathop{\text{lcm}}[a,b]$ est $$\mathop{\text{lcm}}[12,54] = \frac{12\cdot 54}{6} = 2\cdot 54 = \boxed{108}.$$