Généralité
Définition :
Une équation est une égalité dans laquelle un ou plusieurs nombres sont inconnus. Ces nombres sont appelés inconnus et remplacés par une ou des lettres. L'expression à gauche du signe = est le membre gauche et l'expression à droite est le membre droit.
Exemples :
4x + 2 = 10
3y - 4x = 2
(x + 7)(x - 5) = 0
Solution :
Pour qu'un nombre soit solution d'une équation, les deux membres de l'équation doivent être égaux lorsque le nombre est substitué à l'inconnu. Par exemple, pour 4x + 2 = 10, x = 2 est une solution car 4(2) + 2 = 10.
Cas avec plusieurs inconnues :
Pour une équation avec plusieurs inconnues, il faut trouver les valeurs de chaque inconnue qui satisfont l'équation.
Définition de résoudre une équation :
Résoudre une équation signifie trouver toutes les solutions de cette équation.
Résolution des équations x + a = b et ax = b
Règles :
On peut ajouter ou soustraire le même nombre dans les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
On peut multiplier ou diviser par le même nombre les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
Exemples :
x + 45 = 458
x = 458 - 45
x = 413
7 + x = 23
x = 23 - 7
x = 16
x - 5 = 12
x = 12 + 5
x = 17
Pour être sûr des calculs, il faut vérifier en testant la valeur trouvée :
413 + 45 = 458
7 + 16 = 23
17 - 5 = 12
Quel est le plus grand entier inférieur à $2010$ qui a un reste de $5$ lorsqu'il est divisé par $7, un reste de $10$ lorsqu'il est divisé par $11, et un reste de $10$ lorsqu'il est divisé par $13$ ?
Nous voulons un reste de 10 divisé par 11 et 13. Le plus petit multiple commun de 11 et 13 est 143. Nous ajoutons 10 au nombre de telle sorte que le reste soit 10 divisé par 11 et 13, ce qui nous donne 143+10=153. Cependant, cela ne donne pas un reste de 5 divisé par 7, nous ajoutons donc d'autres 143 jusqu'à obtenir une valeur qui fonctionne. Nous obtenons que 153+143+143=439 donne un reste de 5 divisé par 7.

Comme nous voulons le plus grand entier inférieur à 2010, nous continuons à ajouter le plus petit multiple commun de 7, 11 et 13 jusqu'à ce que nous ayons dépassé. Le plus petit multiple commun est 7 \cdot 11 \cdot 13 = 1001. Nous l'ajoutons à $439$ pour obtenir $1440$, l'ajouter à nouveau donnerait une valeur supérieure à $2010$, donc notre réponse est $\boxed{1440}$.