Généralité
Définition :
Une équation est une égalité dans laquelle un ou plusieurs nombres sont inconnus. Ces nombres sont appelés inconnus et remplacés par une ou des lettres. L'expression à gauche du signe = est le membre gauche et l'expression à droite est le membre droit.
Exemples :
4x + 2 = 10
3y - 4x = 2
(x + 7)(x - 5) = 0
Solution :
Pour qu'un nombre soit solution d'une équation, les deux membres de l'équation doivent être égaux lorsque le nombre est substitué à l'inconnu. Par exemple, pour 4x + 2 = 10, x = 2 est une solution car 4(2) + 2 = 10.
Cas avec plusieurs inconnues :
Pour une équation avec plusieurs inconnues, il faut trouver les valeurs de chaque inconnue qui satisfont l'équation.
Définition de résoudre une équation :
Résoudre une équation signifie trouver toutes les solutions de cette équation.
Résolution des équations x + a = b et ax = b
Règles :
On peut ajouter ou soustraire le même nombre dans les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
On peut multiplier ou diviser par le même nombre les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
Exemples :
x + 45 = 458
x = 458 - 45
x = 413
7 + x = 23
x = 23 - 7
x = 16
x - 5 = 12
x = 12 + 5
x = 17
Pour être sûr des calculs, il faut vérifier en testant la valeur trouvée :
413 + 45 = 458
7 + 16 = 23
17 - 5 = 12
Emma joue avec ses tuiles carrées en les disposant toutes en figures rectangulaires de formes différentes. (Par exemple, un rectangle de 5 x 7 utiliserait 35 tuiles et serait considéré comme le même rectangle qu'un rectangle de 7 x 5). Emma peut former exactement dix figures rectangulaires différentes qui utilisent chacune toutes ses tuiles. Quel est le plus petit nombre de tuiles qu'Emma pourrait avoir ?
Soit $k$ le nombre de tuiles. Il y a deux cas : si $k$ a vingt diviseurs, alors nous pouvons les diviser en dix paires, ce qui nous donne 10 façons d'écrire $k$ comme le produit de deux entiers positifs. Alternativement, si $k$ a 19 diviseurs, alors $k$ est un carré. Donc, en dehors du cas carré, il y a $(19 - 1)/2 = 9$ façons d'écrire $k$ comme le produit de deux entiers positifs, ce qui nous donne un total de $9 + 1 = 10$ façons.

Si la factorisation première de $k$ est $p_1^{e_1} p_2^{e_2} \dotsm p_n^{e_n},$ alors le nombre de diviseurs de $k$ est
\[(e_1 + 1)(e_2 + 1) \dotsm (e_n + 1).\]Notez que $e_i \ge 1$ pour chaque $i,$ donc chaque facteur $e_i + 1$ est au moins égal à 2.

Si $k$ a 19 diviseurs, alors $k$ doit être de la forme $p^{18},$ où $p$ est premier. Le plus petit nombre de cette forme est $2^{18} = 262144.$

Sinon, $k$ a 20 diviseurs. Nous voulons écrire 20 comme le produit de facteurs dont chacun est au moins égal à 2. Voici toutes les manières possibles :
\[20 = 2 \cdot 10 = 4 \cdot 5 = 2 \cdot 2 \cdot 5.\]Ainsi, nous avons les cas suivants :

(i). $k=p^{19}$ pour un nombre premier $p.$ Le plus petit de ces $k$ est atteint lorsque $p=2,$ ce qui donne $k=2^{19}.$

(ii). $k=pq^9$ pour des nombres premiers distincts $p$ et $q.$ Le plus petit de ces $k$ est atteint lorsque $p = 3$ et $q = 2$ ce qui donne $k=2^9\cdot3.$

(iii). $k=p^3 q^4$ pour des nombres premiers distincts $p$ et $q.$ Le plus petit de ces $k$ est atteint lorsque $p = 3$ et $q = 2,$ ce qui donne $k=2^4\cdot3^3=432.$

(iv). $k=pqr^4$ pour des nombres premiers distincts $p,$ $q,$ et $r.$ Le plus petit de ces $k$ est atteint lorsque $p = 3,$ $q = 5,$ et $r = 2,$ ce qui donne $k=2^4\cdot3\cdot5=240.$

Par conséquent, le plus petit nombre de tuiles qu'Emma pourrait avoir est $\boxed{240}$ tuiles.