Généralité
Définition :
Une équation est une égalité dans laquelle un ou plusieurs nombres sont inconnus. Ces nombres sont appelés inconnus et remplacés par une ou des lettres. L'expression à gauche du signe = est le membre gauche et l'expression à droite est le membre droit.
Exemples :
4x + 2 = 10
3y - 4x = 2
(x + 7)(x - 5) = 0
Solution :
Pour qu'un nombre soit solution d'une équation, les deux membres de l'équation doivent être égaux lorsque le nombre est substitué à l'inconnu. Par exemple, pour 4x + 2 = 10, x = 2 est une solution car 4(2) + 2 = 10.
Cas avec plusieurs inconnues :
Pour une équation avec plusieurs inconnues, il faut trouver les valeurs de chaque inconnue qui satisfont l'équation.
Définition de résoudre une équation :
Résoudre une équation signifie trouver toutes les solutions de cette équation.
Résolution des équations x + a = b et ax = b
Règles :
On peut ajouter ou soustraire le même nombre dans les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
On peut multiplier ou diviser par le même nombre les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
Exemples :
x + 45 = 458
x = 458 - 45
x = 413
7 + x = 23
x = 23 - 7
x = 16
x - 5 = 12
x = 12 + 5
x = 17
Pour être sûr des calculs, il faut vérifier en testant la valeur trouvée :
413 + 45 = 458
7 + 16 = 23
17 - 5 = 12
Dans mon équipe de ping-pong, il y a quatre fois plus de garçons droitiers que de garçons gauchers. Parmi les élèves gauchers de l'équipe, il y a deux fois plus de filles que de garçons. La moitié des filles de l'équipe sont gauchères. S'il y a 36 personnes dans l'équipe, combien sont des garçons droitiers ? (Supposons qu'aucun joueur ne joue au ping-pong aussi bien avec les deux mains.)
Soit $x$ le nombre de garçons gauchers. Puisqu'il y a quatre fois plus de garçons droitiers, le nombre de garçons droitiers est $4x$. Puisqu'il y a deux fois plus de filles gauchères que de garçons gauchers, et qu'il y a $x$ garçons gauchers, il y a $2x$ filles gauchères. Nous plaçons tout cela dans un diagramme de Venn :



Nous savons également que la moitié des filles de l'équipe sont gauchères. Puisqu'il y a $2x$ filles gauchères, il y a aussi $2x$ filles droitières.



Il y a au total \[36=2x+x+4x+2x=9x\]personnes dans l'équipe, donc $x=4$. Nous essayons de trouver le nombre de garçons droitiers. Ce nombre est \[4x=4\cdot4=\boxed{16}.\]