Les inéquations
1. Définition d’une inéquation
Une inéquation est une expression algébrique qui compare deux termes ou expressions à l'aide des symboles suivants :

> : strictement supérieur
< : strictement inférieur
>= : supérieur ou égal
<= : inférieur ou égal
L'objectif de la résolution d'une inéquation est de trouver les valeurs de la variable pour lesquelles cette inégalité est vérifiée.

2. Résolution d'une inéquation
La résolution d'une inéquation se fait généralement en suivant des étapes similaires à celles des équations, avec quelques différences lorsqu'on multiplie ou divise par un nombre négatif.

Règles importantes :

Si on multiplie ou divise les deux membres d’une inéquation par un nombre négatif, il faut inverser le sens de l'inéquation.
Étapes de résolution :

Simplification : Simplifiez chaque membre de l’inéquation (regrouper les termes similaires).
Transposition : Déplacer tous les termes contenant la variable d’un côté de l’inéquation et les constantes de l’autre côté.
Division ou multiplication : Résoudre pour isoler la variable en multipliant ou en divisant par un coefficient si nécessaire.
Représentation graphique : Les solutions peuvent être représentées sur une droite graduée (point plein si l'inéquation est large, point ouvert si elle est stricte).
3. Opérations avec les inéquations
Addition ou soustraction : Vous pouvez ajouter ou soustraire la même quantité aux deux membres de l'inéquation sans changer le sens de l'inégalité.

Exemple : a + c > b + c reste une inéquation correcte, et de même pour la soustraction.
Multiplication ou division :

Si vous multipliez ou divisez les deux membres de l'inéquation par un nombre positif, le sens de l'inéquation reste le même.

Si vous multipliez ou divisez par un nombre négatif, il faut inverser le sens de l'inégalité.

Exemple : Si a > b et vous multipliez par -1, alors cela devient -a < -b.

4. Systèmes d’inéquations
Un système d'inéquations est un ensemble de plusieurs inéquations qui doivent être résolues simultanément. La solution d'un système est l'ensemble des valeurs qui satisfont toutes les inéquations du système.

5. Représentation graphique des solutions
Les solutions d'une inéquation peuvent être représentées sur une droite graduée :

Si l'inéquation contient <= ou >=, on utilise un point plein pour indiquer que la valeur est incluse dans la solution.
Si l'inéquation contient < ou >, on utilise un point ouvert pour indiquer que la valeur n'est pas incluse dans la solution.

Un cinéma propose plusieurs tarifs :

Formule A : 9 € par film.

Formule B : un abonnement annuel de 55 € puis 4 € par film.

1-À partir de combien de films la formule B est-elle plus avantageuse que la formule A ?  Ce cinéma propose aussi un troisième tarif.

Formule C : un abonnement annuel de 162 € pour un nombre illimité de films.

2-À partir de combien de films la formule C est-elle plus avantageuse que la formule B ?
On désigne par x le nombre de tickets achetés au cours d’une année.

Le prix payé avec la formule A en fonction de x est : P_A = 9x

Le prix payé avec la formule B en fonction de x est : P_B = 55 + 4x

La formule B est donc plus avantageuse lorsque P_B < P_A, soit : 55 + 4x < 9x

Résolution de l’inéquation :

55 + 4x < 9x

55 < 9x - 4x

55 < 5x

x > 11

Conclusion : La formule B devient plus avantageuse que la formule A lorsqu’on achète plus de 11 tickets par an.Le prix payé avec la formule C est constant : P_C = 162

La formule C est donc plus avantageuse que la formule B lorsque P_C < P_B, soit : 162 < 55 + 4x

Résolution de l’inéquation :

162 < 55 + 4x

162 - 55 < 4x

107 < 4x

x > 26,75

Conclusion : La formule C devient plus avantageuse que la formule B lorsqu’on achète plus de 27 tickets par an.