Généralité
Définition :
Une équation est une égalité dans laquelle un ou plusieurs nombres sont inconnus. Ces nombres sont appelés inconnus et remplacés par une ou des lettres. L'expression à gauche du signe = est le membre gauche et l'expression à droite est le membre droit.
Exemples :
4x + 2 = 10
3y - 4x = 2
(x + 7)(x - 5) = 0
Solution :
Pour qu'un nombre soit solution d'une équation, les deux membres de l'équation doivent être égaux lorsque le nombre est substitué à l'inconnu. Par exemple, pour 4x + 2 = 10, x = 2 est une solution car 4(2) + 2 = 10.
Cas avec plusieurs inconnues :
Pour une équation avec plusieurs inconnues, il faut trouver les valeurs de chaque inconnue qui satisfont l'équation.
Définition de résoudre une équation :
Résoudre une équation signifie trouver toutes les solutions de cette équation.
Résolution des équations x + a = b et ax = b
Règles :
On peut ajouter ou soustraire le même nombre dans les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
On peut multiplier ou diviser par le même nombre les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
Exemples :
x + 45 = 458
x = 458 - 45
x = 413
7 + x = 23
x = 23 - 7
x = 16
x - 5 = 12
x = 12 + 5
x = 17
Pour être sûr des calculs, il faut vérifier en testant la valeur trouvée :
413 + 45 = 458
7 + 16 = 23
17 - 5 = 12
Un manuel de mathématiques comportant un nombre de pages à deux chiffres est divisé en sections. Chaque section compte exactement $12$ pages, à l'exception de l'épilogue, qui compte $11$ pages. Chaque page appartient à une section. De plus, au bas de chaque $5$e page, un fait anecdotique est présenté au bas de la page, à partir de la cinquième page. Si un fait anecdotique apparaît au bas de l'avant-dernière page, alors combien de pages le manuel compte-t-il ?
Supposons que le livre comporte $p$ pages. Il s'ensuit que $p \equiv 11 \pmod{12}$. De plus, comme l'avant-dernière page contient un fait anecdotique, alors $p-1$ est divisible par $5$, donc $p \equiv 1 \pmod{5}$. D'après le théorème des restes chinois, puisque $11 \equiv 1 \pmod{5}$, alors $p \equiv 11 \pmod{60}$. Maintenant, $p$ est un nombre à deux chiffres, il doit donc être soit $11$ soit $71$. Cependant, l'épilogue lui-même fait déjà $11$ pages, il s'ensuit donc qu'il doit y avoir $\boxed{71}$ pages dans le livre.