Généralité
Définition :
Une équation est une égalité dans laquelle un ou plusieurs nombres sont inconnus. Ces nombres sont appelés inconnus et remplacés par une ou des lettres. L'expression à gauche du signe = est le membre gauche et l'expression à droite est le membre droit.
Exemples :
4x + 2 = 10
3y - 4x = 2
(x + 7)(x - 5) = 0
Solution :
Pour qu'un nombre soit solution d'une équation, les deux membres de l'équation doivent être égaux lorsque le nombre est substitué à l'inconnu. Par exemple, pour 4x + 2 = 10, x = 2 est une solution car 4(2) + 2 = 10.
Cas avec plusieurs inconnues :
Pour une équation avec plusieurs inconnues, il faut trouver les valeurs de chaque inconnue qui satisfont l'équation.
Définition de résoudre une équation :
Résoudre une équation signifie trouver toutes les solutions de cette équation.
Résolution des équations x + a = b et ax = b
Règles :
On peut ajouter ou soustraire le même nombre dans les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
On peut multiplier ou diviser par le même nombre les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
Exemples :
x + 45 = 458
x = 458 - 45
x = 413
7 + x = 23
x = 23 - 7
x = 16
x - 5 = 12
x = 12 + 5
x = 17
Pour être sûr des calculs, il faut vérifier en testant la valeur trouvée :
413 + 45 = 458
7 + 16 = 23
17 - 5 = 12
À chaque face d'un cube est attribué un nombre entier différent. Ensuite, à chaque sommet est attribuée la somme des valeurs entières des faces qui se rencontrent au sommet. Enfin, les numéros des sommets sont additionnés. Quel est le plus grand nombre qui doit diviser la somme finale pour chaque numérotation possible des faces ?
Soit la somme totale $S$. Le nombre sur chaque face est ajouté à $S$ quatre fois distinctes, puisque chaque face borde $4$ sommets. Il y a $8$ sommets, et chacun est la somme de $3$ numéros de face puisque chaque sommet borde $3$ faces. Ainsi, $S$ est la somme de $8\cdot 3=24$ numéros de face. Puisque chaque face est ajoutée $4$ fois, et qu'il y a $6$ faces, nous savons qu'aucune des faces n'est répétée ou omise et chacune est ajoutée exactement $4$ fois, donc $S=4(\text{somme des nombres sur les faces})$. Ainsi, quelle que soit la somme des nombres sur les faces, la somme totale $S$ est toujours divisible par $\boxed{4}$.