Généralité
Définition :
Une équation est une égalité dans laquelle un ou plusieurs nombres sont inconnus. Ces nombres sont appelés inconnus et remplacés par une ou des lettres. L'expression à gauche du signe = est le membre gauche et l'expression à droite est le membre droit.
Exemples :
4x + 2 = 10
3y - 4x = 2
(x + 7)(x - 5) = 0
Solution :
Pour qu'un nombre soit solution d'une équation, les deux membres de l'équation doivent être égaux lorsque le nombre est substitué à l'inconnu. Par exemple, pour 4x + 2 = 10, x = 2 est une solution car 4(2) + 2 = 10.
Cas avec plusieurs inconnues :
Pour une équation avec plusieurs inconnues, il faut trouver les valeurs de chaque inconnue qui satisfont l'équation.
Définition de résoudre une équation :
Résoudre une équation signifie trouver toutes les solutions de cette équation.
Résolution des équations x + a = b et ax = b
Règles :
On peut ajouter ou soustraire le même nombre dans les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
On peut multiplier ou diviser par le même nombre les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
Exemples :
x + 45 = 458
x = 458 - 45
x = 413
7 + x = 23
x = 23 - 7
x = 16
x - 5 = 12
x = 12 + 5
x = 17
Pour être sûr des calculs, il faut vérifier en testant la valeur trouvée :
413 + 45 = 458
7 + 16 = 23
17 - 5 = 12
Quel est le plus petit entier positif $n$ tel que, parmi les $n$ fractions unitaires $\frac{1}{k}$ où $1 \le k \le n$, exactement la moitié des fractions donnent une décimale terminale ?
Si $\frac{1}{k}$ possède une représentation décimale terminale, alors $k$ peut s'écrire sous la forme $2^a5^b$ pour les entiers non négatifs $a$ et $b$. Pour le voir, notez qu'en multipliant et en divisant par une puissance suffisamment grande de 10, nous pouvons écrire une décimale terminale sous la forme $r/10^s$ pour certains entiers $r$ et $s$. Puisque la factorisation en nombres premiers du dénominateur ne contient que des deux et des cinq, elle peut également ne contenir que des deux et des cinq après simplification. Nous commençons donc par lister les premiers entiers qui ne sont divisibles par aucun nombre premier autre que 2 et 5. Les sept premières valeurs de $k$ sont 1, 2, 4, 5, 8, 10 et 16. Étant donné que la liste contient six éléments précédant le grand espace entre 10 et 16, nous supposons que $2\times 6=12$ est le plus petit entier positif jusqu'à lequel la moitié des entiers positifs donnent des décimales terminales. En vérifiant que la proportion est supérieure à 1/2 pour $n=10, 8, 6, 4,$ et $2$, nous constatons que $\boxed{12}$ est en effet le plus petit entier satisfaisant la condition donnée.