Généralité
Définition :
Une équation est une égalité dans laquelle un ou plusieurs nombres sont inconnus. Ces nombres sont appelés inconnus et remplacés par une ou des lettres. L'expression à gauche du signe = est le membre gauche et l'expression à droite est le membre droit.
Exemples :
4x + 2 = 10
3y - 4x = 2
(x + 7)(x - 5) = 0
Solution :
Pour qu'un nombre soit solution d'une équation, les deux membres de l'équation doivent être égaux lorsque le nombre est substitué à l'inconnu. Par exemple, pour 4x + 2 = 10, x = 2 est une solution car 4(2) + 2 = 10.
Cas avec plusieurs inconnues :
Pour une équation avec plusieurs inconnues, il faut trouver les valeurs de chaque inconnue qui satisfont l'équation.
Définition de résoudre une équation :
Résoudre une équation signifie trouver toutes les solutions de cette équation.
Résolution des équations x + a = b et ax = b
Règles :
On peut ajouter ou soustraire le même nombre dans les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
On peut multiplier ou diviser par le même nombre les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
Exemples :
x + 45 = 458
x = 458 - 45
x = 413
7 + x = 23
x = 23 - 7
x = 16
x - 5 = 12
x = 12 + 5
x = 17
Pour être sûr des calculs, il faut vérifier en testant la valeur trouvée :
413 + 45 = 458
7 + 16 = 23
17 - 5 = 12
Un escalier de stade de 150 marches est numéroté de 1 à 150. Jan commence à la marche 130 et descend jusqu'à la marche numéro 127, puis jusqu'à la marche numéro 124, et continue jusqu'à la marche 13 en ne marchant qu'une fois sur trois. Jen commence à la marche numéro 3 et monte jusqu'à la marche numéro 7, puis jusqu'à la marche numéro 11, et continue jusqu'à la marche 139 en ne marchant qu'une fois sur quatre. Combien de marches ont été foulées par Jan et Jen (pas nécessairement en même temps) ?
Jan marche sur le pas numéro $s$ si $13\leq s \leq 130$ et $s$ laisse un reste de $1$ lorsqu'il est divisé par $3$. Jen marche sur le pas numéro $s$ si $3\leq s \leq 139$ et $s$ laisse un reste de $3$ lorsqu'il est divisé par $4$. Par conséquent, nous comptons le nombre d'entiers compris entre $13$ et $130$ qui laissent un reste de $1$ lorsqu'ils sont divisés par $3$ et un reste de $3$ lorsqu'ils sont divisés par $4$. Vérifions les restes des premiers pas de Jan lorsqu'ils sont divisés par 4. \[
13 \rightarrow 1
\] \[
16 \rightarrow 0
\] \[
19 \rightarrow 3
\] \[
22 \rightarrow 2
\] \[
25 \rightarrow 1
\] \[
\vdots
\] Nous voyons que les restes des pas de Jan lorsqu'ils sont divisés par 4 parcourent la liste $1,0,3,2$. Par conséquent, seulement chaque quatrième pas sur lequel Jan marche sera également marché par Jen, nous comptons donc le nombre d'éléments dans $\{19,31,43,\ldots,127\}$. En écrivant cette liste sous la forme \[\{19+0\cdot12,19+1\cdot12,19+2\cdot12,\ldots,19+9\cdot12\},\] nous voyons que $\boxed{10}$ marches sont parcourues à la fois par Jen et Jan.

Remarque : ce problème est essentiellement une application du théorème des restes chinois.