Si supponga allora che formula_171: sia quindi formula_160 il più piccolo intero positivo appartenente a formula_106; dalla definizione di multiplo di un elemento e dal fatto che formula_106 è chiuso rispetto all'addizione, si ha anzitutto che formula_175 è un sottoinsieme  di formula_106.
Inoltre, se formula_177 è un elemento di formula_106, effettuando la divisione di formula_177 per formula_160 si trovano due interi  formula_181  ed formula_182  che soddisfano le relazioni formula_183, formula_184.
Se fosse formula_185, essendo che formula_177 e formula_187 appartengono a formula_106, se ne dedurrebbe che formula_189 appartiene a formula_106 , il che genera una contraddizione, perché da un lato si ha formula_192, ma d'altra parte formula_160 è il più piccolo intero positivo appartenente a formula_106.
Pertanto si può avere solamente formula_195, ovvero formula_196: ne segue che ogni elemento di formula_106 è contenuto in formula_175, cioè che formula_106 è un sottoinsieme  di formula_175; dunque formula_201.