Il rapporto con il padre, dotato di grande personalità, fu d'altra parte sempre piuttosto difficile; inizialmente la famiglia decise che Carlos dovesse studiare chimica e tal scopo fu mandato in Svizzera al Politecnico di Zurigo dove rimase due anni dal 1949 al 1950; dopo questo periodo infruttuoso egli chiese al padre di rientrare in Argentina per studiare musica.
Erich gli impose un anno di studio intensivo per saggiare le sue vere capacità e tal scopo fu affidato al direttore d'orchestra Roberto Kinsky che gli insegnò la lettura della partitura.
Studiò in seguito armonia con Erwin Leuchter e pianoforte con Leo Schwarz e Ljerko Spiller.
A sorpresa il 25 maggio 1961 Kleiber sposò la ballerina slovena Stanislava Brezovar da cui ebbe due figli, Marko e Lillian.