
La frequenza è una grandezza che riguarda fenomeni periodici o processi ripetitivi. 
In fisica la frequenza di un fenomeno che presenta un andamento costituito da eventi che nel tempo si ripetono identici o quasi identici, viene data dal numero degli eventi che vengono ripetuti in una data unità di tempo; inoltre la velocità angolare rientra nel concetto generale di velocità (variazione di una grandezza), in questo caso esprime la variazione di un angolo nel tempo. Un modo per calcolare una tale frequenza consiste nel fissare un intervallo di tempo, nel contare il numero di occorrenze dell'evento che si ripete in tale intervallo di tempo e nel dividere quindi il risultato di questo conteggio per l'ampiezza dell'intervallo di tempo. In alternativa, si può misurare l'intervallo di tempo tra gli istanti iniziali di due eventi successivi (il periodo) e quindi calcolare la frequenza come grandezza inversa di questa durata.
dove "T" esprime il periodo. Il risultato è dato nell'unità di misura chiamata hertz (Hz), dal fisico tedesco Heinrich Rudolf Hertz, dove 1 Hz caratterizza un evento che occorre una volta in un secondo. Quindi formula_2
Gli strumenti usati per la misura sono l'oscilloscopio e il frequenzimetro: il primo permette una misurazione complementare ad altre, in circostanze non impegnative; per misure accurate e precise occorre usare il secondo, il quale è uno strumento elettronico specializzato per misure di frequenza e di tempo e talvolta in grado di generare fenomeni periodici a frequenze impostate.
Nel misurare la frequenza del suono, di onde elettromagnetiche (come le onde radio o la luce), di segnali elettrici oscillatori o di altre onde simili, la frequenza in hertz è il numero di cicli della forma d'onda ripetitiva per secondo.
Poiché il prodotto tra la frequenza di un'onda elettromagnetica e la sua lunghezza d'onda è uguale al valore della velocità della luce (formula_3 ), si ha che
In altre parole, in un'onda elettromagnetica tra lunghezza d'onda e frequenza esiste un rapporto di proporzionalità inversa.
La frequenza di campionamento è uno dei parametri fondamentali che caratterizzano il processo di conversione analogico-digitale nei sistemi elettronici di elaborazione dell'informazione.
In un sistema elettronico, l'informazione è usualmente codificata in un segnale di tensione variabile nel tempo. Si parla di segnale analogico se esso varia in modo continuo in ciascun istante di tempo, di segnale numerico se esso può assumere solo un numero finito di valori discreti oppure di segnale digitale se i valori che può assumere sono solo 0 ed 1, in precisi istanti di tempo. Il processo di campionamento consente di convertire un segnale analogico in un segnale digitale e consiste nel misurare e registrare, in precisi istanti di tempo (istanti di campionamento) il valore istantaneo del segnale analogico in esame. La sequenza di tali valori, detti campioni, costituisce il segnale digitale. Il dispositivo che realizza la conversione da segnale analogico a segnale digitale viene detto convertitore A/D. La frequenza di campionamento indica il numero di campioni registrati in un secondo: il Teorema di Nyquist-Shannon stabilisce che, affinché sia possibile ricostruire il segnale analogico a partire dai suoi campioni, è necessario che la frequenza di campionamento sia almeno il doppio della frequenza più alta contenuta nello spettro del segnale di partenza: formula_5.
Ad esempio, un segnale audio ha uno spettro compreso fra 20 Hz e 20 kHz: per poter registrare il segnale su un supporto digitale (come, un CD audio) la frequenza di campionamento deve essere almeno di 40 kHz. Usualmente, tale campionamento viene effettuato a 44.1 kHz, valore che soddisfa appieno il teorema di Nyquist-Shannon e che consente di ricostruire fedelmente il segnale analogico di partenza.


Mentre nella meccanica classica l'energia è un continuo, la meccanica quantistica prevede la possibilità che ci siano solo certi valori (livelli) dell'energia accessibili al sistema.
Sin dalle origini della chimica come scienza era stato osservato che l'assorbimento della luce da parte dei gas non varia in maniera morbida con la lunghezza d'onda ma è caratterizzato dalla presenza di un gran numero di picchi estremamente sottili e disposti in maniera complicata.
Una prima trattazione fenomenologica del problema venne fatta nel 1885 da Johann Balmer che notò come la disposizione di un gruppo di righe di assorbimento dell'atomo di idrogeno venisse ben descritta dalla formula:
Questa formula venne successivamente generalizzata da Johannes Rydberg e Walther Ritz in modo da poter descrivere la posizione di tutte le righe di assorbimento ma questa rimaneva una descrizione fenomenologica, per quanto accurata, senza un vero fondamento scientifico.
Il tentativo di spiegare la natura dei picchi di assorbimento fu alla base del Modello atomico di Bohr: già Rutherford aveva proposto l'idea che l'atomo fosse composto da un piccolo nucleo carico positivamente attorno al quale ruotavano in orbite circolari gli elettroni. Tuttavia un sistema del genere non è stabile perché un elettrone accelerato emette radiazione e quindi perde energia. Per risolvere il problema Bohr, seguendo le idee proposte da Planck e Einstein, ipotizzò che gli elettroni potessero trovarsi solo su determinati "livelli energetici" e potessero muoversi dall'uno all'altro solo per passi discreti. Questo semplice (ma rivoluzionario) modello permette di descrivere molto bene le righe di assorbimento di molti gas e fu una delle basi per lo sviluppo della meccanica quantistica.
In meccanica quantistica il sistema più semplice nel quale sia possibile ottenere una "quantizzazione dell'energia" (ovvero il fatto che solo certi livelli discreti siano accessibili) è la cosiddetta buca di potenziale infinita. Se prendiamo una particella di massa formula_2 in una dimensione e consideriamo un potenziale della forma:
e quindi l'equazione di Schrödinger stazionaria sarà data dall'equazione differenziale
formula_4
Per formula_5 il potenziale ha un valore infinito e quindi l'unica soluzione del problema è formula_6. All'interno della buca invece il potenziale è nullo e quindi la particella è libera e sarà descritta dalla funzione d'onda
Per individuare i valori delle costanti di scala A e B dobbiamo imporre la continuità della funzione d'onda. Facendolo si osserva che questa condizione può essere soddisfatta solamente per un insieme discreto di valori dell'energia "E" dati da
dove "n" è un numero intero.
Un esempio molto chiaro è quello dell'oscillatore armonico in una dimensione. Nel caso della meccanica classica un oscillatore armonico di costante elastica "k" ha un'energia
dove L è l'ampiezza dell'oscillazione. Come si vede sono accettabili tutte le energie da zero (dove L=0 ovvero non c'è alcuna oscillazione) a quella associata alla massima elongazione che il sistema può sostenere senza danneggiarsi e queste energie formano un continuo.
Nel caso quantistico invece si ottiene che è possibile imporre le condizioni al contorno solo quando l'energia assume i valori
dove formula_11 è la frequenza dell'oscillazione, formula_12 è pari alla costante di Planck divisa per formula_13 e formula_14 è un numero intero.
In questo caso sono accettabili solo alcuni valori dell'energia (infiniti ma numerabili con l'indice "n"), equispaziati tra loro (motivo per cui l'oscillatore, in analogia al caso delle onde acustiche, è chiamato "armonico"). La ragione per la quale nella vita di tutti i giorni non ci accorgiamo di questa "quantizzazione" dei livelli dell'energia è che formula_12 è piccolissima (circa formula_16 J formula_17 s) e quindi la separazione fra i vari stati non è apprezzabile.
Il modello della particella su una sfera è utilizzato per descrivere il moto rotazionale di una particella nello spazio tridimensionale. Come noto dalla meccanica classica, l'energia di una particella che ruota su un piano xy lungo un asse z è data dalla relazione:
dove "J" è la componente del momento angolare lungo l'asse z e "I" è il momento di inerzia. In base alla relazione di de Broglie si ricava
Le condizioni al contorno ciclico impongono che la funzione d'onda assuma lo stesso valore lungo un percorso passante per i poli così come lungo l'equatore. Ciò equivale alla quantizzazione dell'energia. Risolvendo l'equazione di Schrödinger, dopo avere separato le variabili ed espresso la funzione d'onda come prodotto "Θ(θ)Φ(φ)", si ottiene l'energia che in termini quantomeccanici assume i valori
dove "l" è il numero quantico azimutale. Esistendo per ogni valore del numero quantico magnetico "2l+1" differenti funzioni d'onda caratterizzate dalla medesima energia, segue che un livello con numero quantico "l" è "2l+1" volte degenere. Da notare come invece nel caso dell'espressione dell'energia per la rotazione in due dimensioni (particella su un anello) nella formulazione quantomeccanica compaia il numero quantico magnetico:
In questo caso la condizione al contorno ciclico è solo una e impone che la funzione d'onda torni ad assumere il medesimo valore iniziando un nuovo "giro".
