
L'energia potenziale elettrica, anche detta energia potenziale elettrostatica, in fisica ed in elettrotecnica, è l'energia potenziale del campo elettrostatico. Si tratta dell'energia posseduta da una distribuzione di carica elettrica, ed è legata alla forza esercitata dal campo generato dalla distribuzione stessa. Insieme all'energia magnetica, l'energia potenziale elettrica costituisce l'energia del campo elettromagnetico.
L'energia potenziale elettrostatica può essere definita come il lavoro svolto per creare una distribuzione di carica partendo da una configurazione iniziale in cui ogni componente della distribuzione non interagisce con gli altri. Ad esempio, per un sistema discreto di cariche essa coincide con il lavoro svolto per portare le singole cariche da una posizione in cui esse hanno potenziale elettrico nullo alla loro disposizione finale. L'energia potenziale elettrostatica può anche essere definita a partire dal campo elettrostatico generato dalla distribuzione stessa, ed in tale caso la sua espressione è indipendente dalla sorgente del campo.
Si tratta di una quantità che può essere sia negativa che positiva, a seconda che il lavoro svolto per portarle nella configurazione assunta sia positivo o negativo. Due cariche interagenti dello stesso segno hanno energia positiva, poiché il lavoro svolto per avvicinarle deve vincere la loro repulsione, mentre per lo stesso motivo due cariche di segno opposto hanno energia negativa.
L'energia potenziale elettrica formula_1 posseduta da una carica elettrica puntiforme formula_2 nella posizione formula_3 in presenza di un campo elettrico formula_4 è l'opposto del lavoro formula_5 compiuto dalla forza elettrostatica formula_6 per portare formula_2 da una posizione di riferimento formula_8, in cui la carica ha un'energia nota, alla posizione formula_3.
L'energia elettrostatica è definita come il lavoro necessario per portare un sistema di cariche elettriche, o più in generale una distribuzione di carica, in una data configurazione spaziale.
Si consideri dunque un sistema di cariche puntiformi. Per disporre nello spazio la prima carica elettrica formula_10 non si compie lavoro, e quindi formula_11. Per portare la seconda carica, tenendo conto della prima, il lavoro è:
dove formula_13 è la distanza tra le posizioni formula_14 e formula_15 di formula_10 e formula_17. Per la terza si ha, analogamente:
Considerando un sistema di cariche puntiformi si ha in definitiva:
con formula_20. In una forma più simmetrica:
dove il termine formula_22 è introdotto in quanto in tale sommatoria il lavoro per formula_23, che è lo stesso per formula_24, è contato due volte. Separando le due sommatorie si riconosce il potenziale elettrico:
e l'energia potenziale elettrostatica è data da:
L'estensione al caso continuo mostra che, data una distribuzione continua di cariche descritta da una densità di carica formula_27 contenuta nel volume formula_28, l'energia elettrostatica associata alla distribuzione è data dall'integrale:
dove formula_30 è il potenziale elettrico nel punto formula_31.
L'energia di sistemi elettricamente interagenti, così come le altre proprietà meccaniche, può essere descritta in modo analogo in termini del campo elettrico. Tale approccio, equivalente al precedente, permette di descrivere l'energia del sistema attraverso il campo che esso genera, indipendentemente dalle sue sorgenti.
Considerando un volume formula_28, l'energia del campo elettrostatico contenuta in tale regione è:
dove:
è la densità di energia elettrica nel vuoto.
Nel caso ci si trovi in presenza di un dielettrico, tramite gli stessi passaggi si ottiene:
dove formula_36 è il vettore di spostamento elettrico, e:
è la densità di energia elettrica nella materia.
Nel caso di distribuzioni continue di carica si ha:
con formula_27 densità di carica e formula_40 volume infinitesimo. Sfruttando la prima equazione di Maxwell formula_41 si ha:
applicando al contrario l'identità vettoriale formula_43 si ottiene:
Dalla definizione di potenziale tale espressione è pari a:
ed applicando il teorema della divergenza:
A questo punto, si può estendere il dominio di integrazione su tutta la regione dello spazio nel quale il campo elettrico sia apprezzabilmente diverso da zero, e quindi trascurare il primo dei due integrali. Dal punto di vista fisico, l'integrale di flusso che si è trascurato rappresenta il termine energetico aggiuntivo che si deve considerare nel caso la superficie di integrazione non sia sufficientemente estesa da contenere tutto lo spazio in cui il campo non è nullo.
L'utilizzo dell'energia elettrica è diffusissimo nella società moderna e attuale attraverso l'allaccio alla rete elettrica oppure tramite batterie o accumulatori: basta pensare all'uso nell'illuminazione di edifici (pubblici e privati) e strade, nell'alimentazione elettrica degli elettrodomestici e dei computer nonché nei processi produttivi-industriali ovvero nelle macchine elettriche quali i motori elettrici. 
La sua scoperta ha rappresentato dunque una vera e propria rivoluzione tecnologica, economica e sociale innescando una forte e irreversibile dipendenza/pervasività grazie ai suoi vantaggi rispetto all'energia meccanica prodotta dai motori endotermici. Tra questi si ricorda il fatto di poter essere trasportata a distanza, il basso rumore di esercizio delle apparecchiature elettriche, l'assenza di fumi di scarico nei luoghi di utilizzazione e il minor ingombro di una macchina elettrica. 
Tra gli svantaggi si annovera invece proprio il fatto di non essere una fonte primaria e quindi la necessità di una infrastruttura di conversione che inevitabilmente introduce una perdita di efficienza nel processo di conversione a monte e nel trasporto lungo le linee elettriche.
L'energia elettrica, se si eccettua l'elettricità atmosferica dei fulmini e il potenziale debolmente negativo della Terra, non è una fonte di energia primaria sulla Terra per cui deve essere prodotta per trasformazione a partire da una fonte di energia primaria, risultando così una fonte di energia secondaria. Il processo di trasformazione, a rendimento sempre inferiore al 100%, avviene all'interno di centrali elettriche. In queste, escludendo il fotovoltaico, qualunque altra sia la fonte da cui si intende generare energia, tre sono le macchine indispensabili allo scopo che si vuole ottenere:
Altro elemento del quale non si poteva fare a meno per produrre energia elettrica è l'acqua, in forma liquida (come nelle centrali idroelettriche) o di vapore (nelle centrali termoelettriche, geotermoelettriche, a fissione nucleare ed a solare termodinamico), ma sempre ad alta pressione, allo scopo di far girare le turbine ad un numero di giri tale da produrre in maniera il più possibile costante la "corrente alternata" per mezzo dell'alternatore.
L'utilizzo di acqua che, in quasi tutti i casi, deve essere riscaldata fino a divenire vapore presenta due ordini di problemi:
Una volta raggiunta la produzione di energia elettrica, il trasporto su vasta scala e la distribuzione dell'energia elettrica prodotta dalle centrali fino agli utenti finali avviene attraverso la rete di trasmissione e la rete di distribuzione.


In matematica, un vettore è un elemento di uno spazio vettoriale. I vettori sono quindi elementi che possono essere sommati fra loro e moltiplicati per dei numeri, detti "scalari".
I vettori sono comunemente usati in fisica per indicare grandezze che sono completamente definite solo quando sono specificati sia una magnitudine (o modulo) che una direzione ed un verso rispetto ad un altro vettore o un sistema di vettori. Le grandezze che possono essere descritte in questo modo sono chiamate grandezze vettoriali, in contrapposizione alle grandezze scalari che sono caratterizzate unicamente dallo loro magnitudine.
Il concetto matematico di vettore nasce dall'idea intuitiva di una grandezza fisica (come ad esempio spostamento, accelerazione e forza) caratterizzata da intensità, direzione e verso nello spazio tridimensionale. A seguito dell'introduzione delle coordinate cartesiane una grandezza di questo tipo poteva essere rappresentata da una terna di numeri reali: le componenti relative a tre direzioni spaziali di riferimento. Nella successiva formalizzazione matematica si è giunti a definire il concetto generale di spazio vettoriale, come insieme in cui è definita l'operazione di combinazione lineare di due o più elementi.
In vari settori della matematica e della fisica, come l'analisi funzionale o la meccanica quantistica, il concetto di spazio vettoriale è applicato agli spazi di funzioni, in cui i vettori sono funzioni, come gli spazi di Hilbert e gli spazi di Banach.
La più semplice e riduttiva rappresentazione di vettore è il segmento orientato. In geometria un segmento orientato formula_1, o "vettore applicato", è un segmento formula_2 dotato di un'orientazione, che rende formula_1 diverso da formula_4. Nello spazio bidimensionale può essere visualizzato con un punto "iniziale" formula_5 e un punto "finale" formula_6, e viene anche denotato con formula_7. Nell'insieme di tutti i segmenti orientati si definisce una relazione di equivalenza, detta di "equipollenza", convenendo che due segmenti orientati sono equipollenti se hanno la stessa direzione, la stessa lunghezza e lo stesso verso. La classe di equivalenza definisce un vettore. La classe di equipollenza individuata da un vettore applicato formula_7 è di solito denotata con il simbolo formula_9; si dice anche che formula_7 è un rappresentante (non certamente unico) del vettore libero formula_9. In questo modo è possibile definire in maniera naturale la somma formula_12.
I vettori sono definiti come facenti parte di uno spazio vettoriale; il piano cartesiano formula_13, inteso come piano affine con un punto fissato formula_14, è un esempio di spazio vettoriale (isomorfo allo spazio tangente in formula_14): un vettore è rappresentato in tal caso come un punto del piano cartesiano determinato da una coppia di numeri reali formula_16. Disegnando una freccia che parte nell'origine formula_17 e arriva in formula_16, si ottiene la "rappresentazione geometrica" del vettore formula_16. Nello spazio tridimensionale un vettore è analogamente una terna di numeri reali formula_20.
In generale, in dimensione formula_21 arbitraria (finita), l'insieme:
è uno spazio vettoriale di dimensione formula_21, i cui vettori sono ennuple di numeri reali:
Numerosi esempi di spazi vettoriali possono essere costruiti sostituendo il campo formula_25 dei numeri reali con un campo qualsiasi formula_26, ad esempio il campo formula_27 dei numeri complessi. Una ennupla di numeri complessi è quindi un vettore dello spazio vettoriale formula_28. Ogni spazio vettoriale formula_29 (sopra il campo formula_26) di dimensione finita è in effetti identificabile con formula_31, dopo aver fissato una opportuna base.
In molti spazi vettoriali di dimensione infinita un vettore può essere descritto come una successione (infinita) di numeri: questo argomento necessita però di strumenti più sofisticati, quali ad esempio la struttura di spazio di Hilbert.
In quanto elementi di uno spazio vettoriale, i vettori possono essere sommati fra loro e moltiplicati per uno scalare secondo le operazioni che definiscono lo spazio vettoriale stesso.
In due dimensioni i vettori possono essere sommati con la regola del parallelogramma, che corrisponde alla somma formula_32 di due vettori formula_33 e formula_34.
In generale, la somma di due vettori formula_35 e formula_36 in formula_31 è definita nel modo seguente:
La somma è associativa, commutativa e possiede l'elemento neutro che è il vettore nullo; inoltre ogni elemento ha un opposto. In altre parole, i vettori con la somma formano un gruppo abeliano.
Il prodotto di uno scalare formula_39 in formula_26 per un vettore formula_41 in formula_31 è definito nel modo seguente:
In particolare, formula_44. Il prodotto è associativo e gode della proprietà distributiva rispetto alla somma.
L'estensione del concetto di coordinate rispetto agli assi di un piano cartesiano è quello di coordinate di un vettore rispetto ad una base. Una base è un insieme di vettori tale per cui ogni elemento dello spazio vettoriale può essere scritto in modo unico come combinazione lineare dei vettori appartenenti a tale insieme. Una base del piano cartesiano sono ad esempio i vettori formula_45, poiché ogni vettore del piano si può scrivere come somma di essi moltiplicati ciascuno per un opportuno scalare.
Nello specifico, dato uno spazio vettoriale formula_29 su un campo formula_26, l'insieme formula_48 di vettori di formula_29 è una base di formula_29 se tali vettori sono linearmente indipendenti in formula_26 e generano formula_29, ovvero:
In particolare, per ogni vettore formula_54 di formula_29 gli scalari formula_56 sono le sue coordinate rispetto alla base scelta.
Data quindi una base formula_57, un qualsiasi vettore formula_58 può essere espresso come combinazione lineare:
La scomposizione di vettori è una procedura utilizzata ad esempio in fisica per scomporre le forze lungo direzioni particolari (ad esempio parallele e perpendicolari a determinati vincoli).
Un caso particolare di sistema di riferimento è quello ortonormale, in cui i vettori scelti come base sono tra loro ortogonali (base ortogonale) e tutti di lunghezza unitaria, cioè versori. Nel caso del piano o dello spazio euclideo, un tale sistema di coordinate è detto cartesiano. Un vettore viene dunque scomposto nelle sue "componenti cartesiane" e, convenzionalmente, i versori sono denominati con i simboli formula_60, formula_61 e formula_62 rispettivamente per gli assi formula_63, formula_64 e formula_65. I versori sono tali che:
con formula_67 il prodotto vettoriale. Un vettore formula_68 può allora essere scritto come combinazione lineare dei versori canonici:
In generale, in un sistema di riferimento cartesiano, le componenti di un vettore coincidono con i coefficienti di Fourier.
Gli elementi di uno spazio vettoriale non hanno automaticamente una "lunghezza", questa è definita solo se si aggiunge un'ulteriore struttura matematica: la norma (o modulo) di un vettore, quindi il modulo non è una proprietà intrinseca del vettore.
Uno spazio vettoriale in cui è definita la norma di un vettore è uno spazio normato. Su un qualsiasi spazio vettoriale è possibile definire vari tipi di norme. Ad esempio la norma euclidea di un vettore formula_70 è il numero reale non negativo:
Questa quantità è geometricamente interpretata come la lunghezza del vettore. Ovviamente è possibile anche definire una norma differente da quella euclidea su formula_72 in tal caso si ottengono geometrie non euclidee.
Un altro esempio è il seguente: lo spazio delle funzioni continue a valori reali definite su un intervallo chiuso formula_73 può essere dotato della norma :
Definendo una forma quadratica formula_75 nello spazio vettoriale considerato si associa ad ogni coppia di vettori formula_76 e formula_77 uno scalare formula_78. Ad esempio la norma formula_79 caratterizza la "lunghezza" del vettore formula_76. Spesso la forma quadratica considerata è un prodotto scalare, che caratterizza la struttura dello spazio euclideo: così due vettori formula_76 e formula_77 sono ortogonali se formula_83, mentre sono paralleli quando formula_84 assume valore massimo.
Il prodotto scalare "standard" di due vettori formula_54 e formula_86 in formula_72 è il numero:
Il prodotto scalare tra due vettori viene indicato usualmente con uno dei simboli seguenti:
dove formula_90 fa riferimento al prodotto matriciale tra un vettore riga e un vettore colonna, con formula_91 la trasposta di formula_54, che è equivalente al prodotto scalare standard.
Importanti spazi muniti di prodotto interno sono lo spazio euclideo (reale) e lo spazio di Hilbert (complesso).
Tramite il prodotto scalare standard è possibile scrivere la norma euclidea come:
Le applicazioni che agiscono su uno spazio vettoriale e restituiscono un numero sono dette funzionali. L'insieme dei funzionali lineari definiti sui vettori di uno spazio vettoriale formula_29 è lo spazio duale formula_95, i cui elementi però, non essendo vettori, non subiscono una trasformazione controvariante al cambiamento di coordinate, bensì una trasformazione covariante (sono quindi covettori). Ad esempio, l'impulso o il momento angolare sono covettori.
Il prodotto scalare definisce in modo naturale un isomorfismo tra vettori e covettori, cioè tra lo spazio vettoriale e il suo duale. Se il prodotto scalare è euclideo e la base è ortonormale allora le componenti di vettori e covettori coincidono, motivo per cui la loro distinzione è spesso trascurata nei testi di fisica più elementari.
Nello spazio tridimensionale sono particolarmente utilizzate alcune operazioni aggiuntive fra i vettori.
Il prodotto vettoriale è un'operazione definita tra due vettori formula_54 e formula_97 di formula_98 che restituisce un terzo vettore formula_99 che ha la direzione della retta perpendicolare al piano individuato da formula_54 e formula_97, e il suo modulo è dato dalla formula:
dove formula_103 è l'angolo fra formula_54 e formula_97. Il verso del vettore formula_86 è dato dalla regola della mano destra: disponendo pollice, indice e medio perpendicolari tra loro, se il pollice indica la direzione di formula_54 e l'indice la direzione di formula_97, allora il medio indica la direzione di formula_86 (si veda la figura a lato).
Esplicitamente il prodotto vettoriale è dato da:
dove formula_112 indica il determinante e formula_113 sono i versori degli assi. Il prodotto vettoriale si indica talvolta anche con la notazione formula_114.
Si nota che il prodotto vettoriale è nullo se almeno uno dei due vettori è il vettore nullo, oppure se i vettori sono tra loro paralleli. Inoltre il prodotto vettoriale soddisfa l'identità ciclica di Jacobi, è distributivo rispetto alla somma:
ed anticommutativo:
Un prodotto misto è un'espressione in cui compaiono contemporaneamente prodotti scalari e vettoriali di vettori. Ad esempio, il prodotto misto di tre vettori formula_117, formula_118, formula_119 è del tipo formula_120 ed è uno scalare. Il valore assoluto di questo scalare non dipende dall'ordine dei tre vettori e misura il volume del parallelepipedo costruito su di essi.
Un prodotto misto che comprende due o più prodotti vettoriali è sempre riconducibile ad una somma di prodotti misti più semplici, ciascuno avente al più un prodotto vettoriale. Ad esempio:
Una matrice costituita da una sola riga, ovvero di dimensione formula_122, viene detta vettore riga; una matrice costituita da una sola colonna, ovvero di dimensione formula_123, viene detta vettore colonna. L'operatore di trasposizione, denotato generalmente con una formula_124 ad esponente (formula_125) trasforma vettori riga in vettori colonna e viceversa. Spesso i vettori di formula_72 vengono descritti come vettori colonna, per poter descrivere le trasformazioni lineari come prodotto con una matrice.
I vettori di formula_31 possono essere considerati delle matrici a una riga o una colonna. Per questo motivo è lecito parlare di moltiplicazioni tra matrici e vettori; in ossequio alle regole della moltiplicazione di matrici, un vettore colonna formula_54 (di dimensione formula_123) sarà moltiplicabile "a sinistra" per una matrice formula_130 a condizione che il numero di colonne di formula_130 sia formula_21.
Generalmente si intende e si usa questo tipo di moltiplicazione, anche se in linea di principio è anche possibile moltiplicare "a destra" un vettore formula_122 per una matrice con formula_21 righe.
Il prodotto di Kronecker, definibile come prodotto tensoriale fra un vettore e uno trasposto rispettivamente in formula_31 e formula_136, è la matrice formula_137:
dove la formula_124 ad apice indica l'operazione di trasposizione. Ad esempio per formula_140:
Più in generale, dati due vettori formula_54 e formula_86 appartenenti a due spazi vettoriali formula_29 e formula_145 sopra lo stesso campo formula_26, il prodotto tensoriale tra i due vettori è un tensore di rango formula_147
Se formula_29 e formula_145 sono spazi vettoriali di dimensione formula_21 e formula_152, fissate due basi, il prodotto tensoriale formula_153 è descrivibile come uno spazio di matrici ed il prodotto tensoriale in coordinate si scrive come sopra.
In uno spazio di dimensione finita un vettore può essere definito come una ennupla di numeri formula_154 che in seguito ad un cambio di sistema di riferimento subiscono una trasformazione controvariante, ovvero passando dal sistema di coordinate formula_155 al sistema formula_156 si ha:
dove si è utilizzata la notazione di Einstein, e formula_158 sono le componenti del vettore nel nuovo sistema di riferimento. Un vettore è dunque un tensore di tipo formula_159. Uno scalare può del resto essere pensato come un vettore di una sola componente, e coincide con un tensore di rango formula_160.
