
In fisica, in primo luogo in cinematica, la velocità (dal latino "vēlōcitās", a sua volta derivato da "vēlōx", cioè "veloce") è una grandezza vettoriale definita come la variazione della posizione di un corpo in funzione del tempo, ossia, in termini matematici, come la derivata del vettore posizione rispetto al tempo.
Nel Sistema Internazionale la velocità si misura in m·s (metri al secondo).
Quando non specificato, per "velocità" si intende la "velocità traslazionale", sottintendendo che lo spostamento a cui si fa riferimento è una traslazione nello spazio. Il termine, "velocità", infatti, può essere utilizzato con un significato più generale per indicare la variazione di una coordinata spaziale in funzione del tempo. Ad esempio, nella descrizione del moto rotatorio, per definire la "velocità di rotazione" si usano la velocità angolare e la velocità areolare.
Talvolta si usa il termine "rapidità" per indicare il modulo della velocità. Ciò viene fatto in analogia con la lingua inglese, nella quale si indica con "speed" la rapidità e con "velocity" la velocità in senso vettoriale.
La variazione della velocità, sia in aumento che in diminuzione, è l'accelerazione, anche se nel linguaggio comune a volte si parla di "decelerazione" quando la velocità diminuisce.
La velocità è un vettore che indica la rapidità del moto, la direzione e il verso di un punto materiale in movimento. Essa si riduce a una grandezza scalare soltanto in casi particolari, ad esempio, nel moto rettilineo uniforme, in cui il vettore ha una sola componente diversa da zero.
Si definisce "velocità media" formula_1 il rapporto tra lo spostamento, inteso come la variazione dello posizione, formula_2 e l'intervallo di tempo formula_3 impiegato a percorrerlo:
dove formula_5 e formula_6 sono i vettori posizione agli istanti iniziale formula_7 e finale formula_8. La velocità media può essere vista come il coefficiente angolare della retta in un grafico spazio-tempo. In particolare si parla di velocità positiva , se l'angolo che la retta forma con l'asse delle ascisse è acuto e di velocità negativa , se l'angolo che la retta forma con l'asse delle ascisse è ottuso. 
Si definisce "velocità istantanea" formula_9 il limite della velocità media per intervalli di tempo molto brevi, ovvero la derivata della posizione rispetto al tempo:. In parole povere la velocità istantanea è il valore limite della velocità media nell'intorno di un determinato istante quando la variazione di tempo formula_10 considerata tende al valore 0.
Si noti che la velocità media è proprio la media della velocità istantanea in un tempo finito formula_12:
avendo usato il teorema fondamentale del calcolo integrale.
In un contesto più formale, sia formula_14 la lunghezza di un arco della curva percorsa dall'oggetto in moto, ovvero lo spostamento dell'oggetto al tempo formula_15. La norma della velocità istantanea nel punto formula_16 è la derivata dello spostamento rispetto al tempo:
ed il vettore velocità ha la direzione del moto:
con formula_19 il vettore unitario tangente alla curva.
Utilizzando uno spazio bidimensionale, la velocità media e quella istantanea si possono scomporre nel seguente modo:
dove formula_21 e formula_22 sono due versori in direzione degli assi formula_23 e formula_24. Il modulo del vettore velocità è a sua volta scomponibile nei suoi componenti:
dove formula_26 è il momento statico e formula_27 la quantità di moto totale del sistema.
In caso di caduta di un oggetto immerso in un campo gravitazionale, la velocità finale dell'oggetto può essere determinata utilizzando la conservazione dell'energia, ottenendo così una semplice espressione:
dove formula_29 è la differenza di quota tra il punto di caduta e quello in cui l'oggetto si ferma.
In quest'ultimo caso si parla di velocità di impatto.
Per velocità terminale di caduta, o "velocità limite", si intende la velocità massima che raggiunge un corpo in caduta. Cadendo attraverso un fluido infatti il corpo incontra una crescente resistenza all'aumentare della velocità e quando l'attrito eguaglia la forza di attrazione gravitazionale la velocità si stabilizza.
La velocità della luce, o di qualsiasi altra onda elettromagnetica, è identica nel vuoto per tutti i sistemi di riferimento. Questa invarianza, implicita nelle simmetrie delle equazioni di Maxwell per la propagazione delle onde elettromagnetiche e verificata sperimentalmente alla fine del 1800 con l'esperimento di Michelson-Morley, ha portato alla necessità di modificare le equazioni del moto e della dinamica. Una delle conseguenze della teoria della relatività ristretta di Albert Einstein è che la velocità massima raggiungibile al limite da un qualunque oggetto fisico è quella della luce nel vuoto.


In meccanica classica un urto elastico è un urto durante il quale si conserva l'energia meccanica totale del sistema, ed in particolare l'energia cinetica.
Nel caso di corpi prossimi a velocità della luce un urto elastico è un urto nel quale si conserva il quadrivettore quantità di moto.
In generale, nella risoluzione di un problema d'urto completamente elastico, si parte dalla conservazione della quantità di moto e dell'energia cinetica prima e dopo l'urto.
Nel caso di urti monodimensionali tra due corpi, le equazioni sono 2 equazioni scalari, mentre nel caso di urti in un piano esse sono 3 (le due componenti della quantità di moto e l'energia). Per quanto riguarda urti nello spazio tridimensionale, per la maggior parte dei problemi è valida l'assunzione che l'urto si svolga in un piano, perciò con un opportuno cambio di coordinate è possibile ricondursi al caso precedente; altrimenti si hanno 4 relazioni scalari.
Per problemi unidimensionali il numero di equazioni permette di risolvere completamente il moto, trovando cioè le velocità dei due corpi dopo l'urto; per problemi nel piano con corpi estesi queste non sempre bastano, ed è possibile trovare una soluzione solo per alcuni casi notevoli con geometrie semplici, come per esempio un urto elastico tra due sfere, per i quali si possono usare altre relazioni quali, per esempio, simmetrie del sistema.
Consideriamo due corpi approssimabili come punti materiali che urtino frontalmente. Mettiamoci in un sistema di riferimento "S". 
Indichiamo con:
Imponiamo la conservazione dell'energia cinetica "K" e della quantità di moto "P": otteniamo il sistema:
cioè:
Queste equazioni si risolvono facilmente raggruppando in ognuna di esse in un membro i termini con formula_5 e nell'altro membro i termini con formula_6, dividendo la prima equazione per la seconda e ricordando che formula_11.
Infatti dividendo la prima equazione per formula_12 e tenendo conto della proposizione precedente:
ovvero dividendo membro a membro:
formula_14
Da qui basterà risolvere un semplice sistema lineare per trovare le nostre due velocità finali:
ovvero:
Dalla soluzione appena trovata si vede nel caso di formula_17 e di un elevato valore di formula_18, il valore di formula_19 è piccolo se le masse sono approssimativamente uguali: colpendo un corpo con una particella molto più leggera non si modifica in maniera significativa la velocità, colpendolo con una particella di massa molto superiore, si induce la particella veloce a rimbalzare con velocità diminuita. Per questo motivo un moderatore (un mezzo che rallenta i neutroni veloci, trasformandoli in neutroni termici capaci di sostenere una reazione a catena) è costituito da un materiale formato da atomi con nuclei leggeri (con la proprietà aggiuntiva che non assorbano facilmente i neutroni): l'idrogeno, il più leggero, ha circa la stessa massa di un neutrone.
Dato che durante gli urti il sistema è isolato, il centro di massa si muove di moto rettilineo uniforme, con velocità media ponderata "<v>":
Di conseguenza abbiamo:
cioè:
Usando l'energia cinetica si può scrivere
Dividendo per la (*) otteniamo:
che si riscrive come
Da ciò notiamo che "la velocità relativa di una particella rispetto all'altra è invertita dall'urto". Nel caso di particelle con masse differenti, la particella più pesante si muove lentamente verso il centro di massa, e rimbalza con la stessa bassa velocità, mentre la particella più leggera si muove rapidamente verso il centro di massa e dopo l'urto se ne allontana con eguale velocità.
Si dimostra anche che "rispetto al centro di massa entrambe le velocità appaiono invertite dopo l'urto". Infatti, nel sistema di riferimento del centro di massa si ha:
da cui:
e analogamente:
Per evitare di ricadere nel caso banale di assenza d'urto avevamo imposto formula_35, che implica formula_36. Perciò otteniamo:
CVD.
La meccanica classica fornisce una buona approssimazione quando tratta oggetti con dimensioni macroscopiche che si muovono a velocità molto minore della velocità della luce. Oltre i limiti classici, fornisce dei risultati erronei. La quantità di moto totale di due corpi che si urtano è dipendente dal sistema di riferimento. Le equazioni che governano gli urti nel caso relativistico discendono dalla conservazione del quadrimpulso, o quadrivettore quantità di moto (per approfondimenti sulle leggi della dinamica relativistiche vedi "Teoria della relatività ristretta"). Distinguendo tra parte temporale e spaziale abbiamo:
formula_38
dove formula_39 è il fattore di Lorentz.
La prima equazione rappresenta la conservazione della parte spaziale della quantità di moto formula_40, alla quale diventa formalmente identica utilizzando la "massa relativistica", ora in disuso. Moltiplicando la seconda equazione per "c" riconosciamo invece la conservazione dell'energia relativistica formula_41. Possiamo quindi riscrivere il sistema come:
In generale risolvere direttamente le equazioni sovrastanti è molto difficile dal momento che il grado dell'equazione è troppo elevato. Come per il caso classico, un aiuto può venire da un cambio di sistema di riferimento, avendo cura di comporre le velocità non con la composizione galileiana ma con il loro equivalente nella relatività ristretta. Un buon sistema di riferimento può essere, ad esempio, quello del centro di massa; avendo chiamato con "v" la velocità di trascinamento tra un sistema e l'altro, dalla regola di composizione delle velocità in relatività speciale le velocità prima dell'urto nel sistema di riferimento del centro di massa formula_43 e formula_44 sono:
da cui:
Quando formula_51 e formula_52,
e perciò otteniamo:
I calcoli della meccanica classica risultano quindi corretti quando la velocità di entrambi i corpi è molto minore della velocità della luce (circa 3 x 10 m/s).
Un modo per schematizzare le interazioni tra particelle subatomiche è quello di considerare l'interazione come urto elastico. Supponiamo di avere due particelle entrambe di massa a riposo "m", supposta nota, che si muovono l'una contro l'altra a velocità formula_61 e formula_62. Dopo l'urto si forma un'unica particella. Troviamo la massa "M" e la velocità "v" di questa nuova particella. Le equazioni (IV) portano al sistema:
Ricaviamo i fattori γ delle due velocità iniziali:
Dalla conservazione dell'energia ricaviamo "M":
Sostituiamo nell'altra equazione:
Nota "v" sostituiamo nell'equazione per "M", che risulta essere:
Abbiamo scoperto che nell'interazione la massa della nuova particella non è uguale alla somma delle masse delle altre due, ma superiore. Infatti parte dell'energia dovuta alla velocità delle particelle si è tramutata in massa; come è noto, nella teoria della relatività la massa e l'energia sono intercambiabili (la celebre formula E=mc²): infatti durante le interazioni delle particelle subatomiche questi scambi si verificano continuamente.
Un'importante applicazione degli urti relativistici è l'effetto Compton, che collega l'angolo di deflessione di un fotone che interagisce con un'altra particella con la variazione di energia del fotone stesso, cioè della sua lunghezza d'onda. L'interazione è schematizzata come urto elastico, nel quale valgono le (IV). L'urto avviene sul piano, e la conservazione della quantità di moto implica la conservazione delle sue proiezioni lungo gli assi. Mettendo a sistema con la conservazione dell'energia, si ottiene:
dove formula_71 è l'angolo di deflessione del fotone e 
è detta "lunghezza d'onda di Compton".
La legge di Newton (come la conservazione della quantità di moto) si applica alle componenti della velocità risolte lungo le comuni superfici normali dei corpi collidenti al punto di contatto. Nel caso di due sfere le componenti della velocità coinvolte saranno le componenti risolte lungo la linea congiungente i centri nell'istante dell'urto. Di conseguenza, le componenti della velocità perpendicolari a questa linea resteranno invariate durante l'urto.
Per risolvere un'equazione che coinvolge due corpi che collidono in un sistema bidimensionale, la velocità complessiva di ciascun corpo deve essere scomposta in due velocità ortogonali: una tangente alla superficie comune normale dei due corpi collidenti nel punto di contatto, l'altra lungo la linea di collisione. Siccome l'urto imprime forze solo lungo la linea di collisione, le velocità tangenti al punto di collisione non cambiano. Per calcolare le velocità lungo la linea d'urto si possono utilizzare le stesse equazioni di un urto monodimensionale. Le velocità finali possono essere calcolate dalle due nuove componenti e dipenderanno dal punto di collisione. Sono stati condotti degli studi sugli urti bidimensionali per molti corpi nella struttura di un gas bidimensionale.
La quantità di moto di due corpi dipende dalle loro velocità effettive e masse, per cui non si può prevedere la quantità di moto di due corpi se le energie cinetiche dei due sono eguali.
Per le due monete in figura la componente che cambia si può trovare tramite il prodotto scalare della velocità con un versore che indica la direzione diretta dell'urto.
