
L'accezione matematica del termine distanza ha un significato analogo a quello dell'uso comune, cioè quello della misura della "lontananza" tra due punti di un insieme al quale si possa attribuire qualche carattere spaziale. In matematica però questa nozione assume caratteri astratti e si basa solo su proprietà formali che ne fanno perdere l'univocità: esistono esempi di insiemi anche comuni come formula_1 in cui possono essere date infinite definizioni di distanza, tutte soddisfacenti le proprietà generali. Si può dire che in matematica il termine distanza caratterizza strumenti computazionali con alcune caratteristiche comuni, ma utilizzabili per scopi diversificati.
Il concetto di distanza e quello collegato di lunghezza vengono generalizzati mediante la definizione della geodetica come il più breve percorso tra due punti di uno "spazio curvo".
Una distanza (o metrica) su un insieme formula_2 è una funzione 
che soddisfa le seguenti proprietà per ogni scelta di formula_4 in formula_2:
La coppia formula_10 è chiamata spazio metrico.
In realtà solo le proprietà 2,3,4 sono indipendenti tra loro. Questo significa che si possono definire delle funzioni che soddisfano alcune tra 2,3,4 ma non altre.
Per esempio, se formula_11 allora la funzione formula_12 per questi particolari valori soddisfa le 2,4 ma non la 3 e quindi in generale non soddisfa la 3.
La dimostrazione che le 3,4 implicano la 1 è molto semplice.
Infatti, sfruttando la 4 si ha
formula_13 e formula_14. Sommando ora membro a membro otteniamo
formula_15 infine (sfruttando la 3) l’espressione si semplifica in 
formula_16 che è appunto la 1, dopo aver diviso per 2 (e scambiato i membri).
Data una norma formula_17 è possibile definire una distanza formula_18 definendo
Si verifica che la funzione così definita è una distanza, infatti:
Si osserva che ogni distanza indotta da una norma è invariante per traslazioni (ovvero, per ogni tripletta di vettori formula_24).
La distanza normalmente considerata in formula_25 è quella euclidea, pari alla radice quadrata del quadrato della differenza orizzontale (tra i due punti) più il quadrato della differenza verticale:
Se si elimina la seconda dimensione questa funzione si riduce al modulo della differenza tra i due numeri: formula_27.
Più in generale nello spazio euclideo formula_28 si può definire la distanza tra due punti formula_29 e formula_30 nei seguenti modi:
La "2-distanza" in uno spazio a "n" dimensioni corrisponde al teorema di Pitagora applicato "n-1" volte: è la distanza di uno spazio euclideo, normalmente usata nel piano o nello spazio e viene detta anche distanza pitagorica. La "1-distanza", detta anche "distanza L1" o distanza Manhattan, genera invece una geometria diversa, detta geometria del taxi. La "∞-distanza (o distanza L∞)" è la cosiddetta distanza di Chebyshev.
Nel caso di uno spazio di Hilbert formula_45, il teorema della proiezione afferma che per ogni punto formula_46 e per ogni insieme convesso chiuso formula_47 esiste un unico formula_48 tale per cui formula_49 assume il valore minimo su formula_50. In particolare, questo è vero per ogni sottospazio chiuso formula_51 di formula_45: in tal caso una condizione necessaria e sufficiente per formula_53 è che il vettore formula_54 sia ortogonale a formula_51.
Data una distanza su un insieme si può definire come palla, o bolla, o disco, centrata in un punto formula_56 di un certo raggio formula_57 positivo l'insieme dei punti dell'insieme che distano da formula_56 meno di formula_57:
Solitamente la definizione si intende con il <; se però c'è bisogno di specificare, si dirà "disco aperto" l'insieme definito dalla relazione " < " e "disco chiuso" l'insieme definito dalla relazione " ≤ ".
Si definisce anche "bordo" del disco l'insieme
L'insieme dei dischi aperti centrati nei vari punti dello spazio soddisfa la definizione topologica di base: la topologia sull'insieme formula_62 determinata da questa base si dice "topologia generata" (o "indotta") dalla distanza formula_63.
È importante notare come il disco chiuso non coincida sempre con la chiusura del disco aperto, ma in generale ne sia solo un soprainsieme; in particolare nello spazio euclideo comunque le due nozioni coincidono.
Due distanze formula_63 e formula_65 si dicono equivalenti se l'applicazione identità
è un omeomorfismo.
Equivalentemente, esse si possono dire equivalenti se ogni disco della prima metrica contiene un qualche disco della seconda metrica e viceversa. Ad esempio una distanza "d" è equivalente a quella data dalla funzione formula_67 ed a quella data dalla funzione formula_68.
Due distanze equivalenti generano la stessa topologia.
Se si indeboliscono le richieste su formula_63 si ottengono spazi con proprietà più deboli e più poveri come possibilità algoritmiche:
Al contrario, rinforzando la disuguaglianza triangolare e imponendo che
si ottiene una cosiddetta ultrametrica.


In elettrotecnica, la capacità elettrica è una grandezza fisica scalare che quantifica l'attitudine di un corpo conduttore ad accumulare carica elettrica qualora sia dotato di un potenziale elettrico rispetto all'ambiente o sia soggetto di una differenza di potenziale elettrico rispetto ad altri corpi conduttori. Il corpo conduttore deve essere elettricamente isolato rispetto all'ambiente od agli altri corpi conduttori, affinché sia possibile mantenere costante il potenziale.
La capacità di un corpo conduttore non dipende dalla sostanza da cui è costituito ma solo dalle sue caratteristiche geometriche, come forma e dimensioni, e dalla sua posizione rispetto ad altri conduttori, soprattutto rispetto a conduttori vicini messi a terra. Ad esempio, la capacità di un conduttore diviene grandissima quanto più se ne avvicini la superficie a quella parallela di un altro corpo conduttore collegato a terra. Questa configurazione definisce il condensatore elettrico. Se invece il corpo conduttore è isolato e, ad esempio, ha forma sferica, la capacità è proporzionale al raggio.
Un dispositivo elettrico dotato di capacità è detto "capacitivo". Un dispositivo puramente capacitivo è il condensatore, che riveste grande importanza in elettronica ed elettrotecnica, e rappresenta un elemento circuitale di base.
In elettrostatica, un corpo conduttore carico immerso in un ambiente privo di altre cariche e altri corpi assume un potenziale elettrico determinato dalla sua distribuzione di carica, secondo l'equazione di Poisson. Non essendovi altri corpi, il riferimento del potenziale è posto all'infinito, che si assume abbia potenziale nullo.
Il potenziale elettrico del corpo è uniforme al suo interno e sulla superficie; in tal modo il campo elettrico nel corpo è nullo e non vi è movimento di cariche dentro e sul bordo del conduttore, che sarebbe in contrasto con l'ipotesi elettrostatica. Pertanto, il potenziale del corpo è pari ad un unico valore "V". Inoltre, la carica elettrica "Q" nel corpo conduttore si distribuisce solo sulla superficie, infatti una carica all'interno del conduttore determinerebbe un campo elettrico nello stesso, ed il suo valore è proporzionale al potenziale del corpo e ciò è dovuto alla linearità dell'equazione di Poisson rispetto alla distribuzione di carica.
La capacità elettrica "C" di un conduttore isolato, cioè posto a sufficiente distanza da altri conduttori, è definita come il rapporto tra la carica elettrica "q" e il suo potenziale elettrico "V":
Tale rapporto, sempre positivo, dipende dalla forma e dalle dimensioni geometriche del corpo considerato, oltre che dalla permittività elettrica dell'ambiente nel quale è immerso. La grandezza inversa è detta elastanza elettrica ed è definita come:
formula_2
In presenza di due corpi conduttori isolati tra loro che abbiano carica elettrica uguale in modulo ma di segno opposto (formula_3), le linee del campo elettrico collegano le superfici dei due corpi, determinando una differenza di potenziale tra di essi formula_4 (in questo caso il potenziale è calcolato rispetto ad un riferimento di massa), proporzionale alla carica. Pertanto la capacità si definisce come:
Anche in questo caso la capacità è sempre positiva.
In presenza di più corpi conduttori isolati tra loro, la carica che ognuno di essi assume è linearmente dipendente dai potenziali di tutti i conduttori rispetto ad un riferimento di massa. Si può scrivere pertanto:
dove formula_7 è detta "mutua capacità" tra il conduttore "i" e il conduttore "j", mentre formula_8 è detta "autocapacità". Si dimostra che le mutue capacità sono simmetriche formula_9 e che sono negative, mentre le autocapacità sono positive: formula_10.
L'unità di misura della capacità elettrica nel Sistema internazionale di unità di misura è il farad, corrispondente alla capacità assunta da un conduttore di forma tale da assumere, con la carica di un Coulomb, il potenziale di un Volt, mentre l'elastanza elettrica si misura in F.
In realtà il farad è un'unità di misura di enorme grandezza: la capacità di 1 F è quella di una sfera conduttrice dal raggio pari a 9x10 m. Per questo motivo, le unità usate nella pratica sono i suoi sottomultipli, come il microfarad ("μF"), corrispondente a un milionesimo di Farad.
Nella pratica, per ottenere una carica netta uguale ed opposta su una coppia di conduttori isolati inizialmente neutri, si collegano galvanicamente tra loro e si avvicinano ad un corpo elettricamente carico; questo crea una separazione di cariche sulla superficie dei conduttori per induzione elettrostatica. Eliminando poi la connessione galvanica, si ottengono due conduttori con cariche uguali ed opposte (dato che il sistema dei due conduttori è rimasto complessivamente neutro). In alternativa, si possono collegare i due conduttori tramite una batteria, che impone una differenza di potenziale fissa tra di essi; questo provoca un movimento di cariche tra i corpi finché non si raggiunge una separazione di carica proporzionale alla tensione della batteria.
Sebbene la capacità sia definita in elettrostatica, anche in presenza di campi variabili lentamente (come la tensione alternata ad una frequenza di 50 Hz) il concetto di capacità rimane valido (dato che il tempo di riconfigurazione delle cariche è molto più rapido rispetto alla variazione del campo). Un condensatore ideale collegato in un circuito a tensione alternata permette il passaggio di corrente ai suoi capi, perché sebbene i due conduttori (solitamente piastre metalliche) siano isolati tra loro, vi è un continuo processo di carica e scarica degli stessi che crea una corrente alternata. Dato che tutti gli oggetti metallici sono dotati di capacità (rispetto ad altri conduttori ed alla terra), questo processo avviene in tutti componenti di una rete elettrica in c.a..
La capacità di un corpo che si comporta da condensatore dipende dalla forma e dalle dimensioni dei suoi elementi, e dalla permittività del dielettrico che li separa.
Per alcuni tipi di condensatore è possibile determinare la capacità in modo esatto.
La tabella seguente illustra alcuni esempi.
! Tipo di condensatore
! Capacità
! width="200" | Schema
dove formula_16 è l'induzione elettrica ed formula_17 è quello del campo elettrico.
In un mezzo lineare come il vuoto si semplifica e si ottiene:
Il significato fisico di capacità è stato utilizzato, in matematica, per dar vita a un concetto analogo nella teoria del potenziale, quello di capacità di un insieme, introdotto da Gustave Choquet nel 1950.
