
In fisica un sistema di riferimento inerziale è un sistema di riferimento in cui è valido il primo principio della dinamica. Con un'accettabile approssimazione è considerato inerziale il sistema solidale con il Sole e le stelle (il cosiddetto sistema delle stelle fisse), ed ogni altro sistema che si muova di moto rettilineo uniforme rispetto ad esso (e che quindi né acceleri né ruoti): in questo modo si viene a definire una classe di equivalenza per questi sistemi.
Un sistema di riferimento inerziale è un sistema di riferimento caratterizzato dalla seguente condizione: se un punto materiale è libero, cioè non sottoposto a forze oppure sottoposto ad una risultante nulla di forze, allora persevererà il suo stato di quiete o di moto rettilineo uniforme finché esso non viene perturbato. In altre parole un osservatore S o sistema di riferimento si dice inerziale se, di un punto materiale isolato (P, m), misura accelerazione nulla, qualunque sia l'istante t in cui si effettua tale misura e qualunque sia lo stato cinematico (P, Ṗ) del punto nel medesimo istante t.
Si può verificare che gli osservatori, che di un punto materiale isolato misurano accelerazione nulla, sono tutti e solo quelli che si muovono di moto traslatorio rettilineo uniforme rispetto all'osservatore S sopra citato.
Un sistema di riferimento inerziale nella dinamica newtoniana è un sistema di riferimento in cui sia valida la prima legge della dinamica. Questo assunto è basato sull'osservazione e sulla geometria euclidea.
L'espressione (Forza = massa × accelerazione) formula_1 ha un importante valore: non menziona la velocità e quindi questa non fa parte del calcolo; in pratica la variazione di velocità dovuta a una forza è indipendente dalla velocità. Questa proprietà esprime una proprietà fondamentale del moto: le velocità sono indistinguibili. Pertanto un osservatore può scegliere un qualsiasi sistema di riferimento inerziale come sistema di coordinate per i calcoli, e può applicare le leggi del moto. I sistemi di riferimento inerziali sono gli unici sistemi di riferimento in cui sono valide le stesse leggi del moto.
Nel modello concettuale della dinamica newtoniana, è sufficiente definire il moto inerziale come moto a velocità costante lungo una linea retta.
La Terra non è un vero e proprio sistema di questo tipo, a causa dei suoi movimenti di rivoluzione e di rotazione. In particolare, il moto di rotazione sottopone gli oggetti sulla sua superficie lontani dai poli a una piccola forza centrifuga. Tuttavia questa accelerazione è irrilevante in certi casi, per cui la Terra è un sistema di riferimento che approssima un sistema di riferimento inerziale.
Il moto di rotazione sottopone inoltre i corpi lontani dall'equatore alla forza di Coriolis, che devia verso destra il moto di tutti i corpi dell'emisfero nord e verso sinistra quelli dell'emisfero sud, come dimostrato dal famoso pendolo di Foucault.
Gli osservatori posti in un sistema inerziale si dicono osservatori inerziali, ed assumono una particolare importanza nell'ambito della meccanica. Due osservatori in moto relativo uniforme osservano che una medesima massa, sottoposta alla medesima forza, varia nel medesimo modo il suo stato di moto. Nel linguaggio corrente si può dire che presenta la medesima inerzia nei confronti di un tentativo di variarne lo stato di moto. Le leggi della meccanica classica sono invarianti solo per osservatori inerziali. Un osservatore dentro una capsula in caduta libera verso la Terra non può verificare la legge di caduta dei gravi, che pure descrive la sua stessa caduta.
In formule possiamo dire che:
La terza forza si annulla e i due osservatori misurano la medesima forza agente su formula_4
Se questo accade i due osservatori sono detti "inerziali".
La Relatività Speciale non solo ha identificato nelle trasformazioni di Lorentz lo strumento appropriato di trasformazione tra sistemi di riferimento inerziali, ma ha anche introdotto il concetto che le leggi che valgono per tutti i sistemi di riferimento inerziali includono anche le leggi dell'elettrodinamica, non solo quelle della meccanica.
In dinamica relativistica si riconosce che l'assunzione che lo spazio sia euclideo non è giustificata in generale. È comunque possibile creare una dinamica coerente ed accurata sulla base del concetto di "sistema di riferimento inerziale", verificando se ci sia un'accelerazione causata da una forza applicata. Una scatola contenente un peso, collegato a tutte le pareti del contenitore con molle che lo tengono sospeso, agisce come un accelerometro. Quando l'accelerometro viene messo in movimento da una forza, il peso in esso "oscilla" in verso opposto alla forza, a causa della propria inerzia. Se non ci sono manifestazioni di inerzia, questo è un sistema di riferimento inerziale.
In relatività generale esso è così definito, perché l'osservazione che anche gli accelerometri più accurati danno misura "zero" quando sono in caduta libera in un campo gravitazionale è presa come indicazione che "fondamentalmente" non è presente accelerazione nello spazio che circonda un oggetto in caduta libera.
In relatività generale, sia la gravità che l'inerzia sono definite come interazioni di materia con la geometria dello spazio-tempo. Detto molto sinteticamente: la geometria dello spazio-tempo indica alla materia come muoversi, e la materia deforma la geometria dello spazio-tempo.
Quando la materia si sta muovendo attraverso dello spazio-tempo non deformato (in altre parole: spazio-tempo rettilineo), essa segue traiettorie analoghe alle linee rette euclidee. Queste linee sono rettilinee universalmente, nel senso che esse sono diritte anche se osservate a distanza: esse sono universalmente linee rette. Oggetti che si muovono in uno spazio-tempo rettilineo possono muoversi solo in linea retta e a velocità costante: esso è l'unico movimento libero che questa forma di spazio-tempo permette. Quando la velocità cambia in seguito all'esercizio di una forza, allora si manifesta l'inerzia.
Quando la materia si muove liberamente attraverso uno spazio-tempo deformato descrive delle geodetiche. Queste sono percorsi in cui l'inerzia non si manifesta. Quando una forza devia un oggetto dalla propria geodetica si manifesta l'inerzia. In uno spazio-tempo deformato, un sistema di riferimento inerziale è definibile solo localmente, a causa della deformazione dello spazio-tempo causata dalla materia. La materia è riunita nelle stelle, nei pianeti ecc., e nelle vicinanze di questi gravi si osserva una deformazione sferica della geometria dello spazio-tempo. Parte di questa è un'alterazione del ritmo del tempo. Un oggetto in caduta libera verso il centro di gravità di un grave si muove lungo la propria geodetica. Il sistema di riferimento locale, ancorato all'oggetto, è un sistema di riferimento inerziale locale.
Secondo la relatività generale, esiste un solo campo, che può essere chiamato gravito-inerziale.
L'interazione gravitazionale è mediata dalla deformazione di qualcosa che è comunque presente: la geometria dello spazio-tempo.
La proprietà dell'inerzia esiste a causa dell'universale presenza del campo gravito-inerziale; è l'interazione con la geometria dello spazio-tempo a dire a un pianeta rotante quanto si deve rigonfiare all'equatore.
Un accelerometro interagisce con la geometria locale dello spazio-tempo per misurare se sta accelerando rispetto ad essa. È importante notare che un accelerometro non misura la sua "velocità" rispetto a qualche sistema assoluto.
La velocità è fondamentalmente relativa.
Un giroscopio in rotazione interagisce con la geometria locale dello spazio-tempo per misurare se sta ruotando rispetto ad essa. Siccome è molto raro che la geometria locale dello spazio-tempo ruoti significativamente rispetto all'universo, un giroscopio in rotazione mostra effettivamente quale sistema di riferimento non sta ruotando rispetto all'universo.
Il concetto di sistema di riferimento inerziale, come riconosciuto nella relatività generale, viene presentato solitamente discutendo solamente i fenomeni cinematici: accelerometri e giroscopi.
Ma non si tratta solo di dinamica: nei sistemi di riferimento inerziale, come riconosciuti nella relatività generale, valgono tutte le leggi della fisica.


L'accezione matematica del termine distanza ha un significato analogo a quello dell'uso comune, cioè quello della misura della "lontananza" tra due punti di un insieme al quale si possa attribuire qualche carattere spaziale. In matematica però questa nozione assume caratteri astratti e si basa solo su proprietà formali che ne fanno perdere l'univocità: esistono esempi di insiemi anche comuni come formula_1 in cui possono essere date infinite definizioni di distanza, tutte soddisfacenti le proprietà generali. Si può dire che in matematica il termine distanza caratterizza strumenti computazionali con alcune caratteristiche comuni, ma utilizzabili per scopi diversificati.
Il concetto di distanza e quello collegato di lunghezza vengono generalizzati mediante la definizione della geodetica come il più breve percorso tra due punti di uno "spazio curvo".
Una distanza (o metrica) su un insieme formula_2 è una funzione 
che soddisfa le seguenti proprietà per ogni scelta di formula_4 in formula_2:
La coppia formula_10 è chiamata spazio metrico.
In realtà solo le proprietà 2,3,4 sono indipendenti tra loro. Questo significa che si possono definire delle funzioni che soddisfano alcune tra 2,3,4 ma non altre.
Per esempio, se formula_11 allora la funzione formula_12 per questi particolari valori soddisfa le 2,4 ma non la 3 e quindi in generale non soddisfa la 3.
La dimostrazione che le 3,4 implicano la 1 è molto semplice.
Infatti, sfruttando la 4 si ha
formula_13 e formula_14. Sommando ora membro a membro otteniamo
formula_15 infine (sfruttando la 3) l’espressione si semplifica in 
formula_16 che è appunto la 1, dopo aver diviso per 2 (e scambiato i membri).
Data una norma formula_17 è possibile definire una distanza formula_18 definendo
Si verifica che la funzione così definita è una distanza, infatti:
Si osserva che ogni distanza indotta da una norma è invariante per traslazioni (ovvero, per ogni tripletta di vettori formula_24).
La distanza normalmente considerata in formula_25 è quella euclidea, pari alla radice quadrata del quadrato della differenza orizzontale (tra i due punti) più il quadrato della differenza verticale:
Se si elimina la seconda dimensione questa funzione si riduce al modulo della differenza tra i due numeri: formula_27.
Più in generale nello spazio euclideo formula_28 si può definire la distanza tra due punti formula_29 e formula_30 nei seguenti modi:
La "2-distanza" in uno spazio a "n" dimensioni corrisponde al teorema di Pitagora applicato "n-1" volte: è la distanza di uno spazio euclideo, normalmente usata nel piano o nello spazio e viene detta anche distanza pitagorica. La "1-distanza", detta anche "distanza L1" o distanza Manhattan, genera invece una geometria diversa, detta geometria del taxi. La "∞-distanza (o distanza L∞)" è la cosiddetta distanza di Chebyshev.
Nel caso di uno spazio di Hilbert formula_45, il teorema della proiezione afferma che per ogni punto formula_46 e per ogni insieme convesso chiuso formula_47 esiste un unico formula_48 tale per cui formula_49 assume il valore minimo su formula_50. In particolare, questo è vero per ogni sottospazio chiuso formula_51 di formula_45: in tal caso una condizione necessaria e sufficiente per formula_53 è che il vettore formula_54 sia ortogonale a formula_51.
Data una distanza su un insieme si può definire come palla, o bolla, o disco, centrata in un punto formula_56 di un certo raggio formula_57 positivo l'insieme dei punti dell'insieme che distano da formula_56 meno di formula_57:
Solitamente la definizione si intende con il <; se però c'è bisogno di specificare, si dirà "disco aperto" l'insieme definito dalla relazione " < " e "disco chiuso" l'insieme definito dalla relazione " ≤ ".
Si definisce anche "bordo" del disco l'insieme
L'insieme dei dischi aperti centrati nei vari punti dello spazio soddisfa la definizione topologica di base: la topologia sull'insieme formula_62 determinata da questa base si dice "topologia generata" (o "indotta") dalla distanza formula_63.
È importante notare come il disco chiuso non coincida sempre con la chiusura del disco aperto, ma in generale ne sia solo un soprainsieme; in particolare nello spazio euclideo comunque le due nozioni coincidono.
Due distanze formula_63 e formula_65 si dicono equivalenti se l'applicazione identità
è un omeomorfismo.
Equivalentemente, esse si possono dire equivalenti se ogni disco della prima metrica contiene un qualche disco della seconda metrica e viceversa. Ad esempio una distanza "d" è equivalente a quella data dalla funzione formula_67 ed a quella data dalla funzione formula_68.
Due distanze equivalenti generano la stessa topologia.
Se si indeboliscono le richieste su formula_63 si ottengono spazi con proprietà più deboli e più poveri come possibilità algoritmiche:
Al contrario, rinforzando la disuguaglianza triangolare e imponendo che
si ottiene una cosiddetta ultrametrica.
