
L'interazione gravitazionale (o gravitazione o gravità nel linguaggio comune) è una delle quattro interazioni fondamentali note in fisica.
Nella fisica classica newtoniana la gravità è interpretata come una forza conservativa di attrazione a distanza agente fra corpi dotati di massa, secondo la legge di gravitazione universale; la sua manifestazione più evidente nell'esperienza quotidiana è la forza peso. 
Nella fisica moderna l'attuale teoria più completa, la relatività generale, interpreta l'interazione gravitazionale come una conseguenza della curvatura dello spaziotempo creata dalla presenza di corpi dotati di massa o energia (una piccola massa a grande velocità o una grande massa in quiete hanno lo stesso effetto di deformazione sulla curvatura dello spaziotempo circostante). Il campo gravitazionale che ne deriva è rappresentato matematicamente da un tensore metrico legato alla curvatura dello spaziotempo attraverso il tensore di Riemann. In tale contesto la forza peso diventa una forza apparente, conseguenza della geometria dello spaziotempo indotta dalla massa terrestre.
Le prime spiegazioni di una forza agente capace di aggregare i corpi vennero formulate, nella filosofia greca, all'interno di una visione animistica della natura, come nella dottrina di Empedocle, in cui domina l'alternanza di due princìpi, Amore e Odio, o in quella di Anassagora, dove prevale l'azione ordinatrice di una Mente suprema ("Nous"). 
Platone riteneva che la materia fosse pervasa da una "dynamis", cioè un'energia intrinseca, che spinge il simile ad attrarre il simile; concezione ripresa da Aristotele, per il quale tutto l'universo anela alla perfezione del primo motore immobile (Dio). Questo anelito si esprime nel movimento circolare di stelle, Sole, Luna e pianeti, giungendo tuttavia a corrompersi progressivamente fino a diventare rettilineo nella dimensione terrestre sublunare. Soltanto in quest'ambito, dunque, alcuni corpi, quelli che Platone e Aristotele chiamavano "gravi", risultano soggetti alla gravità: si trattava di composti dei quattro elementi fondamentali (fuoco, aria, acqua, terra), mentre l'etere fluttuava al di sopra di essi. Secondo la teoria aristotelica dei luoghi naturali, tutto ciò che è terra tende a ritornare lì dove risiede la terra, ovvero al centro dell'universo; al di sopra vi è la sfera dell'acqua che attrae tutto ciò che è liquido; analogamente si comportano i cerchi dell'aria e del fuoco. 
Come i suoi contemporanei, Aristotele interpretava la fisica dell'universo deducendola dalla fisiologia umana, sostenendo ad esempio che oggetti di peso diverso cadessero a velocità diverse, in analogia all'esperienza dell'uomo che tenti di contrastare il peso di un sasso, adottando così una prospettiva che, seppur contraddetta nel VI secolo d.C. da Giovanni Filopono, continuerà ad essere insegnata fino all'epoca di Galileo. Con lo stoicismo lo studio della gravità portò a scoprire una relazione tra il moto delle maree e i movimenti del Sole della Luna: l'universo è infatti concepito dagli stoici come un unico organismo vivente, animato dal "pneuma", forza vitale che tutto pervade, e che si esprime nella reciproca azione di un elemento attivo ("heghemonikòn") e di uno passivo ("hypàrchon") che ne subisce l'attrazione.
Anche per la dottrina neoplatonica, ripresa dalla teologia cristiana, il cosmo è animato dal "Logos" divino, dal quale le stelle e i pianeti risultano attratti: nel Medioevo il loro movimento viene spiegato in particolare con l'azione di intelligenze motrici, ordinate gerarchicamente in un coro di angeli. Si tratta di un universo retto da un principio armonico che si irradia in ogni sua parte, e strutturato perciò in maniera concentrica secondo l'insegnamento aristotelico. A fondamento di quest'ordine geometrico è posto Dio, il quale lo governa attraverso un atto d'amore: la gravità, dunque, come forza d'amore, così descritta ad esempio da Dante nell'ultimo verso della "Divina Commedia".
L'analogia neoplatonica tra Dio e il Sole condurrà tuttavia la filosofia rinascimentale a fare di quest'ultimo il centro di attrazione della Terra e dei pianeti. In Keplero, il primo a descrivere in maniera ellittica le loro orbite, permane la concezione animistica e astrologica dell'universo, basata sulla corrispondenza armonica tra i cieli e la terra; egli interpretava la forza immateriale della gravità come una sorta di emanazione magnetica.
A partire dal Seicento la visione animistica della gravità verrà progressivamente sostituita da una puramente meccanicista; Galileo Galilei ne fornì una descrizione limitata all'aspetto quantitativo, e riprendendo l'antica idea di Filopono teorizzò che, facendo cadere due corpi di masse differenti nello stesso momento, entrambi sarebbero arrivati al suolo in contemporanea. 
Cartesio negò che la gravità consistesse in una forza intrinseca, spiegandola sulla base di vortici di etere, e riconducendo ogni fenomeno fisico al principio di conservazione del moto, dato dalla massa per la velocità ("mv"). Leibniz obietterà a Cartesio che la quantità di moto non bastava a definire l'essenza di una forza, e ripristinò il concetto vitalistico di energia o "vis viva", espressa dal prodotto della massa per la velocità al quadrato ("e=mv"): era questa per lui ad essere conservata in natura.
Un concetto di forza affine a quello di Cartesio era stato peraltro espresso da Newton, che fece della massa, cioè della quantità di materia (data dal volume per la densità) il concetto fondamentale della meccanica gravitazionale: quanto più è grande la massa di un corpo, tanto più potente è la sua forza di gravità. Newton capì che la stessa forza che causa la caduta di una mela sulla Terra mantiene i pianeti in orbita attorno al Sole, e la Luna attorno alla Terra. Nel libro "Philosophiae Naturalis Principia Mathematica", del 1687, egli enunciò la legge di gravitazione universale, che dimostrò con il "metodo delle flussioni", un procedimento analogo alla derivazione. In seguito Huygens, nel suo "Horologium oscillatorium", chiarificò la natura delle forze centrifughe che impediscono ai pianeti di cadere sul sole pur essendone attratti.
Restava aperto tuttavia il problema di spiegare l'azione a distanza tra i corpi celesti, priva di contatto materiale, al quale verrà data una soluzione soltanto ai primi del Novecento da parte di Einstein, che sostituì l'etere con la tessitura dello spazio-tempo.
In meccanica classica l'interazione gravitazionale è generata da un campo vettoriale conservativo e descritta da una forza, detta forza peso, che agisce sugli oggetti dotati di massa.
La legge di gravitazione universale afferma che due punti materiali si attraggono con una forza di intensità direttamente proporzionale al prodotto delle masse dei singoli corpi e inversamente proporzionale al quadrato della loro distanza. Questa legge, espressa vettorialmente, diventa:
dove formula_2 è la forza con cui l'oggetto 1 è attratto dall'oggetto 2, "G" è la costante di gravitazione universale, che vale circa 6,67 × 10 Nm²/kg, "m" e "m" sono le masse dei due corpi, formula_3
è il vettore congiungente i due corpi (supposti puntiformi) e formula_4 è il suo modulo; nella seconda espressione della forza (che evidenzia il fatto che il modulo della forza è inversamente proporzionale al quadrato della distanza) formula_5 rappresenta il "versore (unitario)" che individua la retta congiungente i due punti materiali.
Definito il vettore accelerazione di gravità:
la legge di gravitazione universale può essere espressa come:
In prossimità della superficie terrestre il valore di formula_8 è convenzionalmente:
anche espressa in newton su chilogrammo.
Il campo gravitazionale è un campo di forze conservativo. Il campo generato nel punto formula_10 nello spazio dalla presenza di una massa nel punto formula_11 è definito come:
dove "G" è la costante di gravitazione universale e "M" la massa. È quindi possibile esprimere la forza esercitata sul corpo di massa "m" come:
L'unità di misura del campo gravitazionale nel Sistema internazionale è:
Il campo gravitazionale è descritto dal potenziale gravitazionale, definito come il valore dell'energia gravitazionale rilevato da una massa posta in un punto dello spazio per unità di massa. L'energia gravitazionale della massa è il livello di energia che la massa possiede a causa della sua posizione all'interno del campo gravitazionale; pertanto il potenziale gravitazionale della massa è il rapporto tra l'energia gravitazionale e il valore della massa stessa, cioè:
Essendo il campo gravitazionale conservativo, è sempre possibile definire una funzione scalare "V" il cui gradiente, cambiato di segno, coincida con il campo:
Nel precedente paragrafo si è detto che il valore medio dell'accelerazione di gravità nei pressi della superficie terrestre è stimato in 9,81 m/s². In realtà questo valore è diverso da quello reale perché non tiene conto di fattori, come la forza centrifuga causata dalla rotazione terrestre e la non perfetta sfericità della terra (la terra ha la forma di un geoide). Il valore convenzionalmente assunto è quindi "g" = 9,80665 m/s², deciso nella terza CGPM nel 1901 e corrisponde all'accelerazione subita da un corpo alla latitudine 45,5°.
Per molte applicazioni fisiche e ingegneristiche è quindi utile utilizzare una versione approssimata della forza di gravità, valida nei pressi della superficie terrestre:
dove formula_18 è un versore diretto lungo la "verticale". In sostanza la forza di gravità è approssimata con una forza di modulo costante, indipendente dalla quota del corpo, e come direzione il "basso", nel senso comune del termine. Naturalmente anche in questa approssimazione corpi con masse diverse hanno la stessa accelerazione di gravità.
L'energia potenziale gravitazionale "U" è data da:
dove "h" è la quota del corpo rispetto a un riferimento fisso.
In questo caso approssimato è molto semplice ricavare le leggi del moto, mediante integrazioni successive: per un corpo in caduta libera, chiamando "z" l'asse verticale (sempre diretto verso il basso) e proiettando il moto su di esso, valgono le seguenti leggi:
Inoltre, dalla conservazione dell'energia meccanica si ottiene un risultato notevole per corpi in caduta libera inizialmente fermi. Scriviamo l'energia meccanica del sistema a un tempo generico:
dove "v" è la velocità del corpo e "z" la sua quota. Supponiamo ora che all'istante iniziale formula_24 il corpo si trovi a una quota formula_25 e all'istante finale formula_26 abbia una velocità formula_27 e si trovi a quota formula_28; scriviamo quindi l'energia del sistema ai due istanti:
Dato che l'energia meccanica si conserva possiamo uguagliare le due ultime equazioni e ricavarci il modulo della velocità dopo una caduta di una quota "h":
Il problema generale della gravitazione, cioè la determinazione del campo gravitazionale creato da un insieme di masse, si può esprimere con il teorema di Gauss e il teorema della divergenza.
Essendo la forza di gravità conservativa, si può esprimere formula_8 come:
dove formula_34 è proporzionale all'energia potenziale gravitazionale come segue:
Dal teorema di Gauss:
Per il teorema della divergenza, il primo integrale, cioè il flusso della forza gravitazionale, è esprimibile come integrale di volume della sua divergenza:
Sostituendo a formula_8 la sua espressione come gradiente:
che, dovendo valere per ogni volume di integrazione, implica:
Quest'ultima è una equazione differenziale alle derivate parziali del secondo ordine, detta equazione di Poisson, da completare con le opportune condizioni al contorno.
La teoria di Newton della gravitazione ha permesso di descrivere con accuratezza la grande maggioranza dei fenomeni gravitazionali nel Sistema Solare.
Tuttavia, da un punto di vista sperimentale essa presenta alcuni punti deboli, successivamente affrontati a partire dalla teoria della relatività generale: 
Einstein sviluppò una nuova teoria della gravitazione, denominata relatività generale, pubblicata nel 1915.
Nella teoria di Einstein, la gravità non è una forza, come tutte le altre, ma è la proprietà della materia di deformare lo spazio-tempo. Propriamente, la gravità non è un'interazione a distanza fra due masse, ma è un "fenomeno mediato" da una deformazione dello spazio-tempo. La presenza di massa (più in generale, di energia e impulso) determina una curvatura della geometria (più esattamente, della struttura metrica) dello spazio-tempo: poiché i corpi che si muovono in "caduta libera" seguono nello spazio-tempo traiettorie geodetiche, e queste ultime non sono rettilinee se lo spazio-tempo è curvo, ecco che il moto degli altri corpi (indipendentemente dalla loro massa) subisce le accelerazioni che classicamente sono attribuite alla "forza di gravità".
I pianeti del Sistema Solare quindi hanno orbite ellittiche non per effetto di una forza di attrazione esercitata direttamente dal Sole, ma perché la massa del Sole incurva lo spazio-tempo. Il campo gravitazionale attorno a una stella è rappresentato dalla soluzione di Schwarzschild delle equazioni di Einstein, soluzione che si ottiene semplicemente assumendo le proprietà di simmetria sferica nello spazio tridimensionale di indipendenza dal tempo. Le equazioni del moto geodetico nella metrica di Schwarzschild permettono di calcolare l'orbita di un pianeta attorno a una stella: per quasi tutti i pianeti del Sistema Solare, la differenza fra queste orbite e i moti descritti dalle leggi di Keplero (soluzioni delle equazioni di Newton) non è osservabile in quanto è molto più piccola degli effetti perturbativi dovuti all'interazione dei pianeti fra loro. L'unica eccezione è rappresentata dal moto di Mercurio, in cui la precessione dell'asse dell'orbita che si osserva è molto maggiore di quanto previsto dalla gravità newtoniana (anche tenendo conto dell'influenza degli altri pianeti), ed è invece in perfetto accordo con la previsione delle equazioni relativistiche. L'osservazione della precessione del perielio di Mercurio è quindi una delle evidenze a favore della relatività generale rispetto alla teoria gravitazionale newtoniana.
Un'ulteriore evidenza osservativa, riscontrata per la prima volta nel corso dell'eclissi solare del 1919 (ma definitivamente confermata da osservazioni su scala extragalattica a partire dal 1980), consiste nell'effetto detto lente gravitazionale: l'immagine di un corpo celeste visto dalla Terra appare spostata rispetto alla posizione reale del corpo (talvolta l'immagine è anche sdoppiata) a causa della deflessione che la luce subisce quando rasenta una regione dello spazio con alta densità di massa. Questo conferma il fatto che la gravitazione deforma lo spazio-tempo, e che tale deformazione è avvertita anche da particelle prive di massa (i fotoni).
Un diverso approccio meccanicistico della gravità è dato dalla teoria del "Loop Quantum Gravity" e, nell'ambito della teoria delle stringhe, dall'esistenza dei gravitoni.
Il fisico matematico Erik Verlinde propone, rivedendo idee già in circolazione, che la gravità sia interpretabile come la manifestazione di una forza emergente in senso entropico: citando le sue parole la gravità altro non è che un ""effetto collaterale della propensione naturale verso il disordine"". Verlinde, con assoluta moderazione suggerisce che si tratta "di idee che dovrebbero servire da guida per ulteriori studi". Allo stato attuale degli studi, la teoria di Verlinde si delinea come l'ultima e la più motivata delle ipotesi speculative tra, e per, gli addetti ai lavori. Nel luglio 2010 la sua teoria è passata al grande pubblico, tramite la diffusione mediatica e attraverso internet, esautorando la teoria gravitazionale propagandata dal motto: "la gravità non esiste".
Nel 2009, Erik Verlinde formalizzò un modello concettuale che descrive la gravità come una forza entropica, che suggerisce che la gravità è una conseguenza del comportamento statistico dell'informazione associata alla posizione dei corpi materiali. Questo modello combina l'approccio termodinamico della gravità con il principio olografico, e implica che la gravità non sia una interazione fondamentale, ma un fenomeno che emerge dal comportamento statistico dei gradi di libertà microscopici codificati su uno schermo olografico.
La legge di gravità può essere derivata dalla meccanica statistica classica applicata al principio olografico, che afferma che la descrizione di un volume di spazio può essere rappresentato come formula_41 bit d'informazione binaria, codificata ai confini della regione, una superficie di area formula_42. 
L'informazione è distribuita casualmente su tale superficie e ciascun bit immagazzinato in una superficie elementare dell'area.
dove formula_44 è la lunghezza di Planck.
Il teorema statistico di equipartizione lega la temperatura formula_45 di un sistema (espressa in joule, basandosi sulla costante di Boltzmann) con la sua energia media:
Questa energia può essere identificata con la massa formula_47 per la relazione di equivalenza di massa ed energia:
La temperatura effettiva sperimentata da un rivelatore uniformemente accelerato in un campo di vuoto o stato di vuoto è data dall'effetto Unruh.
Questa temperatura è:
dove formula_50 è la costante di Planck ridotta,
e formula_51 è l'accelerazione locale, 
che è legata alla forza formula_52 dalla seconda legge di Newton del moto:
Assumendo ora che lo schermo olografico sia una sfera di raggio formula_4, la sua superficie è data da:
Da questi principi si deriva la legge di gravitazione universale di Newton:
L'iter è reversibile: leggendolo dal basso, dalla legge di gravitazione, risalendo per i principi della termodinamica si ricava l'equazione che descrive il principio olografico.


In fisica la legge di gravitazione universale afferma che nell'Universo due corpi si attraggono in modo direttamente proporzionale al prodotto delle loro masse e inversamente proporzionale alla loro distanza elevata al quadrato.
Si tratta di una legge fisica generale derivata per induzione da osservazioni empiriche. Fa parte della meccanica classica ed è stata formulata da Isaac Newton nell'opera "Philosophiae Naturalis Principia Mathematica" ("Principia"), pubblicata il 5 luglio 1687.
Una recente valutazione (di Ofer Gal) sulla storia iniziale della legge dell'inverso del quadrato sottolinea che "verso la fine degli anni 1660", l'ipotesi di una "proporzionalità inversa tra gravità e il quadrato della distanza era abbastanza comune ed era stata avanzata da un certo numero di persone per motivi diversi". Lo stesso autore accredita Robert Hooke di un contributo significativo, anche seminale, ma tratta come poco interessante la pretesa di priorità di Hooke sulla questione dell'inverso del quadrato, dal momento che diverse persone oltre a Newton e Hooke l'avevano almeno accennata, e sottolinea invece, come contributi significativi di Hooke, l'idea della "composizione dei moti celesti" e l'aver convertito il pensiero di Newton dalla 'forza centrifuga' alla 'forza centripeta'.
Nel 1686, quando il primo libro di Newton "Principia" fu presentato alla Royal Society, Robert Hooke accusò Newton di plagio, sostenendo che egli aveva preso da lui la "nozione" de "la regola della diminuzione della Gravità, agendo essa in modo reciproco come i quadrati delle distanze dal Centro". Allo stesso tempo (secondo un resoconto dell'epoca di Edmond Halley) Hooke ammetteva che "la Dimostrazione delle Curve con ciò generate" era completamente di Newton.
Robert Hooke pubblicò le sue idee sul "Sistema del Mondo" negli anni 1660, quando lesse alla Royal Society il 21 marzo 1666 un documento "Sulla gravità", "riguardante la flessione di un moto diretto in una curva da parte di una sopravveniente azione di attrazione", e le pubblicò nuovamente sotto forma più sviluppata nel 1674, come "Tentativo di Dimostrare il Moto della Terra dalle Osservazioni". Hooke annunciò nel 1674 che aveva progettato di "spiegare un sistema del mondo diverso sotto vari aspetti da qualsiasi altro fino allora conosciuto", basato su tre "Supposizioni": che "tutti i corpi celesti indistintamente hanno un'attrazione o forza che gravita verso i propri Centri" e che "essi attirano anche tutti gli altri Corpi Celesti che si trovano nella sfera della loro influenza"; che "tutti i corpi di qualsiasi tipo che vengono messi in un moto diretto e semplice, continueranno il loro moto rettilineo e uniforme, fino a quando non verranno deviati e piegati da qualche altra forza efficace..." e che "queste forze attraenti sono tanto più potenti nell'operare, quanto più vicino ai propri Centri si trova il corpo sul quale agiscono". Così Hooke postulava chiaramente mutue attrazioni tra il Sole e i pianeti, in un modo che aumentava con la vicinanza al corpo attraente, insieme con un principio di inerzia lineare.
Le dichiarazioni di Hooke fino al 1674 non facevano menzione, tuttavia, a una legge dell'inverso del quadrato che si applica, o potrebbe applicarsi, a queste attrazioni. Inoltre, la gravitazione di Hooke non era ancora universale, anche se si avvicinava all'universalità più da vicino delle ipotesi precedenti. Egli inoltre non fornì ulteriori prove o dimostrazioni matematiche. Su questi ultimi due aspetti, Hooke stesso dichiarò nel 1674: "Finora, ciò che questi diversi gradi [di attrazione] sono, non ho ancora verificato sperimentalmente", e per tutta la sua proposta: "Al momento questo è solo un accenno", "avendo io sottomano molte altre cose che vorrei prima completare, e pertanto non posso troppo prendermi cura" (cioè "proseguire questa indagine"). Fu in seguito, il 6 gennaio 1679 in uno scritto a Newton, che Hooke comunicò la sua "ipotesi... che l'Attrazione è sempre in una proporzione duplicata alla Distanza dal Centro Reciproco, e che di Conseguenza la Velocità sarà a sua volta in proporzione duplicata all'Attrazione e di Conseguenza, come Keplero Suppone, Reciproca alla Distanza." (La deduzione sulla velocità non era corretta.)
Nel carteggio con Newton del 1679-1680, Hooke citò non solo la supposizione sull'inverso del quadrato per la diminuzione dell'attrazione con l'aumentare della distanza, ma anche, nella sua lettera a Newton del 24 novembre 1679 a proposito del moto celeste dei pianeti, un approccio alla "composizione di un moto diretto per la tangente con un moto di attrazione verso il corpo centrale".
Nel maggio 1686 Newton, a fronte della rivendicazione di Hooke sulla legge dell'inverso del quadrato, negò che questi dovesse essere accreditato come autore dell'idea. Tra le ragioni addotte, Newton ricordò che l'idea era stata discussa con Sir Christopher Wren precedentemente alla lettera di Hooke del 1679. Inoltre Newton sottolineò e riconobbe la priorità del lavoro di altri, tra cui Bullialdus, (che suggerì, senza peraltro dimostrarlo, che ci fosse una forza attrattiva dal Sole in proporzione inversa al quadrato della distanza), e Borelli (il quale suggerì, anch'egli senza dimostrarlo, che c'era una tendenza centrifuga a controbilanciare un'attrazione gravitazionale verso il Sole, così da far muovere i pianeti lungo ellissi). Whiteside ha descritto il contributo al pensiero di Newton derivato dal libro di Borelli, una copia del quale era nella libreria di Newton alla sua morte
Newton inoltre difese il suo lavoro sostenendo che se anche avesse sentito Hooke parlare di proporzione inversa del quadrato, egli avrebbe ancora dei diritti derivanti dalle sue dimostrazioni circa l'accuratezza dell'idea. Hooke, senza prove a favore della supposizione, poteva solo immaginare che la legge dell'inverso del quadrato a grandi distanze dal centro fosse valida in modo approssimativo. Secondo Newton, mentre i 'Principia' non erano ancora stati pubblicati, c'erano a priori tante ragioni per dubitare della precisione della legge (specialmente nei pressi di un corpo sferico) che "senza le mie (di Newton) Dimostrazioni, alle quali il signor Hooke è estraneo, un Filosofo giudizioso non poteva credere che fosse precisa dappertutto".
Questa osservazione si riferisce tra l'altro alla scoperta di Newton, supportata da dimostrazione matematica, che se la legge dell'inverso del quadrato si applica a piccole particelle, allora anche una grande massa sferica simmetrica attrae masse esterne alla sua superficie, anche da molto vicino, proprio come se tutta la propria massa fosse concentrata nel suo centro. Così Newton dava una giustificazione, altrimenti mancante, per applicare la legge dell'inverso del quadrato a grandi masse sferiche planetarie come se fossero minuscole particelle. Inoltre, Newton aveva elaborato nelle proposizioni 43-45 del Libro 1, e le relative tre sezioni del libro 3, un complesso esame sulla precisione della legge dell'inverso del quadrato, in cui egli dimostrò che soltanto quando la forza è esattamente come l'inverso del quadrato della distanza che le direzioni di orientamento delle orbite ellittiche dei pianeti rimangono costanti, come si è osservato che fanno, a parte piccoli effetti attribuibili a perturbazioni interplanetarie.
Alcuni manoscritti di Newton degli anni 1660 dimostrano che egli era arrivato a provare che, nel caso di moto planetario circolare, 'il tentativo di recedere' (chiamato in seguito forza centrifuga) aveva un rapporto di inverso del quadrato con la distanza dal centro. Dopo il suo carteggio con Hooke degli anni 1679-1680, Newton adottò il linguaggio di forza verso l'interno o forza centripeta. Secondo lo studioso di Newton J Bruce Brackenridge, anche se molto è stato fatto nel cambiamento di linguaggio e di punti di vista, tra forza centrifuga e centripeta, i calcoli reali e le prove sono rimasti gli stessi in entrambi i modi. Esse implicavano anche la combinazione di spostamenti tangenziali e radiali, a cui Newton stava lavorando negli anni 1660. La lezione offerta da Hooke a Newton qui, anche se significativa, era di prospettiva e non cambiava l'analisi. Questo sottofondo dimostra che per Newton c'erano validi motivi per negare la paternità di Hooke sulla legge dell'inverso del quadrato.
D'altra parte, Newton accettò e riconobbe, in tutte le edizioni dei 'Principia', che Hooke (ma non soltanto lui) aveva per proprio conto mostrato apprezzamento per la legge dell'inverso del quadrato nel sistema solare. A questo proposito, Newton ebbe riconoscimenti anche per Wren e Halley alla Proposizione 4 del Libro 1. Ad Halley disse che il suo carteggio con Hooke del 1679-80 aveva risvegliato in lui un latente interesse in campo astronomico, ma ciò non significava che Hooke gli avesse detto qualcosa di nuovo o di originale: "non gli sono grato per avermi illuminato in questo lavoro, ma solo per avermi distolto da altri miei studi per riflettere su queste cose; è l'arroganza dei suoi scritti, come se avesse scoperto il moto nell'Ellisse, che mi ha spinto a studiarlo..."
Dai tempi di Newton e Hooke, gli studiosi si sono chiesti se l'accenno di Hooke del 1679 alla 'composizione dei moti' avesse fornito a Newton qualcosa di nuovo e di valido, anche se, all'epoca, questa in realtà non era una rivendicazione avanzata da Hooke. Come descritto sopra, i manoscritti di Newton degli anni 1660 mostrano che egli effettivamente combina il moto tangenziale con gli effetti della forza diretta radialmente, per esempio nel ricavare la relazione di inverso del quadrato nel caso di moto circolare. Essi mostrano inoltre che Newton esprime chiaramente il concetto di inerzia lineare per la quale era in obbligo verso un'opera di Cartesio pubblicata nel 1644, come probabilmente lo era lo stesso Hooke. Non sembra che Newton avesse appreso questi argomenti da Hooke.
Tuttavia, alcuni autori hanno avuto altro da dire su ciò che Newton aveva acquisito da Hooke, così qualche aspetto rimane controverso. Il fatto che la maggior parte degli scritti privati di Hooke sia scomparsa non aiuta a stabilire la verità.
Il ruolo di Newton in relazione alla legge dell'inverso del quadrato non fu come talvolta viene rappresentato. Egli non la concepì come una semplice idea. Ciò che Newton fece fu di dimostrare come la legge di attrazione dell'inverso del quadrato avesse diverse e indispensabili connessioni matematiche con le caratteristiche osservabili dei moti dei corpi del sistema solare, e che la correlazione era tale per cui le evidenze osservative e le dimostrazioni matematiche, considerate nel loro insieme, davano motivo di credere che la legge non era soltanto approssimativamente vera, ma lo era in modo esatto (con la precisione raggiungibile ai tempi di Newton e per i due secoli successivi, e con alcuni punti non risolti che allora non potevano certamente essere presi in esame, le cui implicazioni teoriche non erano ancora state adeguatamente identificate o calcolate).
Circa trenta anni dopo la morte di Newton nel 1727, Alexis Clairaut, un eminente astronomo matematico a pieno titolo nel campo degli studi gravitazionali, dopo aver esaminato ciò che Hooke aveva pubblicato, scrisse che "Non si deve pensare che questa idea... di Hooke diminuisca il merito di Newton"; e che " l'esempio di Hooke "serve" a mettere in evidenza che distanza c'è tra una verità solo intravista e una verità dimostrata".
In linguaggio moderno, la legge afferma quanto segue:
Considerando le unità di misura SI, "F" è misurata in Newton (N), "m" e "m" in chilogrammi (kg), "r" in metri (m), e la costante "G" è approssimativamente uguale a 6,674 x 10 N m kg.
Il valore della costante "G" è stato accuratamente determinato dai risultati dell'esperimento di Cavendish condotto dallo scienziato britannico Henry Cavendish nel 1798, anche se non fu proprio Cavendish a calcolare il valore numerico di "G".
Questo esperimento fu anche la prima verifica della teoria della gravitazione di Newton tra masse in laboratorio. Ebbe luogo 111 anni dopo la pubblicazione dei "Principia" di Newton e 71 anni dopo la sua morte, quindi nessuno dei calcoli di Newton poteva utilizzare il valore di "G"; egli poteva soltanto calcolare il valore di una forza rispetto ad un'altra.
Il teorema del guscio sferico dimostra che corpi rigidi con distribuzioni di massa sfericamente simmetriche attraggono e sono attratti come punti materiali con tutta la massa situata nei loro centri.
La legge della gravitazione di Newton assomiglia alla legge di Coulomb delle forze elettriche, usata per calcolare la grandezza della forza elettrica tra due corpi elettricamente carichi. Entrambe sono leggi dell'inverso del quadrato, in cui la forza è inversamente proporzionale al quadrato della distanza tra i corpi. La legge di Coulomb ha il prodotto di due cariche al posto del prodotto delle masse, e la costante elettrostatica al posto della costante gravitazionale.
La legge di Newton è stata successivamente sostituita dalla teoria di Einstein della relatività generale, ma continua ad essere utilizzata come un'eccellente approssimazione degli effetti della gravità. La relatività è richiesta solo quando c'è bisogno di estrema precisione, o quando si tratta di gravitazione per oggetti di "notevole" massa e densità.
La legge di gravitazione universale di Newton può essere scritta come un'equazione vettoriale per tener conto della direzione della forza gravitazionale oltre che della sua grandezza. In questa formula, le quantità in grassetto rappresentano vettori.
dove
Si può vedere che la forma vettoriale dell'equazione è la stessa della forma scalare indicata in precedenza, tranne che ora F è una quantità vettoriale, e il lato destro è moltiplicato per l'appropriato vettore unitario. Inoltre, si può vedere che F = −F.
Se i corpi in questione hanno un'estensione spaziale (piuttosto che essere dei punti materiali teorici), allora la forza gravitazionale tra loro viene calcolata sommando i contributi dei punti materiali che costituiscono i corpi. Al limite, quando i punti materiali componenti diventano "infinitamente piccoli", occorre eseguire l'integrazione della forza (sotto forma vettoriale, vedi sotto) sulle estensioni dei due corpi.
In questo modo si può dimostrare che un oggetto con una distribuzione sfericamente simmetrica della massa esercita su corpi esterni un'attrazione gravitazionale come se tutta la massa dell'oggetto fosse concentrata in un punto al suo centro. (Ciò non è in genere vero per corpi non sfericamente simmetrici).
Quando due oggetti solidi entrano in contatto, la forza gravitazionale che li attrae non diventa infinita perché fisicamente la distanza fra due masse non può essere zero. Pertanto la forza non potrà mai essere infinita in condizioni normali.
Per punti "all'interno" di materia con distribuzione sfericamente simmetrica, può essere utilizzato il teorema del guscio sferico per trovare la forza gravitazionale. Il teorema afferma che le diverse parti della distribuzione di massa influiscono sulla forza gravitazionale misurata in un punto situato a distanza r dal centro della distribuzione di massa:
Di conseguenza, ad esempio, all'interno di un guscio di spessore e densità uniformi non vi è alcuna accelerazione gravitazionale netta in alcun punto all'interno della sfera cava.
Inoltre, all'interno di una sfera uniforme la gravità aumenta linearmente con la distanza dal centro; l'aumento dovuto alla massa aggiuntiva è 1,5 volte la riduzione dovuta alla maggiore distanza dal centro. Pertanto, se un corpo con simmetria sferica presenta un nucleo uniforme e un mantello uniforme con una densità che è meno di 2/3 di quella del nucleo, allora la gravità diminuisce inizialmente verso l'esterno al di là del confine e, se la sfera è abbastanza grande, ancora verso l'esterno la gravità aumenta di nuovo, ed alla fine supera la gravità al confine nucleo/mantello. La gravità della Terra potrebbe raggiungere il massimo al confine nucleo/mantello.
Il "campo gravitazionale" è un campo vettoriale che descrive la forza gravitazionale che verrebbe applicata, per unità di massa, su un oggetto in un punto qualsiasi dello spazio. In pratica è uguale all'accelerazione di gravità in quel punto.
Si tratta di una generalizzazione della forma vettoriale, che diventa particolarmente utile se più di due oggetti sono coinvolti (come un razzo tra la Terra e la Luna). Per due oggetti (ad esempio l'oggetto 2 è un razzo, l'oggetto 1 la Terra), ci limitiamo a scrivere r al posto di r e "m" al posto di "m" e di definire il campo gravitazionale g(r) come:
in modo tale che possiamo scrivere:
Questa formulazione dipende dall’oggetto che causa il campo. Il campo ha unità di accelerazione; in SI, questa è m/s.
I campi gravitazionali sono anche conservativi; vale a dire che il lavoro compiuto dalla gravità da una posizione ad un'altra è indipendente dal cammino. Ciò ha la conseguenza che esiste un potenziale campo gravitazionale "V" (r) tale che
Se "m" è un punto materiale o la massa di una sfera con distribuzione di massa omogenea, il campo della forza g(r) all'esterno della sfera è isotropo, cioè, dipende solo dalla distanza "r" dal centro della sfera. Allora
La descrizione della gravità di Newton è sufficientemente accurata per svariati scopi pratici ed è quindi ampiamente utilizzata. Non cambia di molto quando le quantità adimensionali "φ"/"c" e "(v/c)" sono entrambe parecchio minori di uno, dove "φ" è il potenziale gravitazionale, "v" è la velocità degli oggetti analizzati, e "c" è la velocità della luce. Ad esempio, la gravità newtoniana fornisce un'accurata descrizione del sistema Terra/Sole, in quanto
dove "r" è il raggio dell'orbita della Terra attorno al Sole.
In situazioni in cui uno dei parametri adimensionale è grande, allora deve essere usata la relatività generale per descrivere il sistema. La relatività generale si riduce alla gravità newtoniana in presenza di potenziali piccoli e velocità basse, ed è per questa ragione che la legge della gravitazione di Newton è a volte citata come la relatività generale per basse gravità.
Il fatto che la "massa gravitazionale" e la "massa inerziale" sia la stessa per tutti gli oggetti rimane non spiegato nell'ambito delle teorie di Newton. La Relatività Generale considera ciò come un principio fondamentale (vedere il Principio di Equivalenza). Di fatto, gli esperimenti di Galileo, decenni prima di Newton, stabilirono che oggetti che hanno la stessa resistenza dell'aria o di un liquido vengono accelerati dalla forza di gravità della Terra allo stesso modo, indipendentemente dalle loro diverse masse "inerziali". Tuttavia, le forze e le energie necessarie per accelerare masse diverse dipendono strettamente dalle loro diverse masse" inerziali", come si può vedere dalla seconda legge del moto di Newton, F = ma.
Il problema è che le teorie di Newton e le sue formule matematiche spiegano e permettono il calcolo (impreciso) degli effetti della precessione del perielio delle orbite e della deflessione dei raggi luminosi. Tuttavia, esse non spiegano l'equivalenza di comportamento di masse diverse sotto l'influenza della gravità, a prescindere dalle quantità di materia interessate.
Mentre Newton fu in grado di formulare la legge di gravità nella sua monumentale opera, egli era profondamente a disagio con il concetto di "azione a distanza", che le sue equazioni implicavano. Nel 1692, nella sua terza lettera a Bentley, scrisse: ""Che nel vuoto un corpo possa agire a distanza su un altro senza la mediazione di qualsiasi altra cosa, per mezzo e attraverso la quale la loro azione e la loro forza possano essere trasferite dall'uno all'altro, è per me un'assurdità così grande a cui, credo, nessun uomo con competenze in questioni filosofiche potrebbe mai credere"".
Egli non riuscì mai, secondo le sue parole, "a stabilire la causa di questa forza". In tutti gli altri casi, egli usò il fenomeno del moto per spiegare l'origine delle varie forze che agiscono sui corpi, ma nel caso della gravità, non fu in grado di identificare sperimentalmente il moto che produce la forza di gravità (anche se inventò due ipotesi meccaniche nel 1675 e 1717). Inoltre, si rifiutò persino di offrire un'ipotesi alla causa di questa forza, con la motivazione che ciò sarebbe stato contrario alla sana scienza. Deplorò che, per trovare l'origine della forza di gravità, "i filosofi hanno finora tentato la ricerca della natura invano" poiché egli era convinto "per varie ragioni" che c'erano "cause fino ad oggi sconosciute" che erano fondamentali per tutti i "fenomeni della natura".
Questi fenomeni fondamentali sono ancora oggetto di indagine e, anche se le ipotesi abbondano, la risposta definitiva deve ancora essere trovata. E nel "General Scholium" di Newton del 1713 nella seconda edizione del "Principia": ""Non sono stato in grado finora di scoprire la causa di queste proprietà della gravità e hypotheses non fingo... È sufficiente che la gravità esista davvero e agisca secondo le leggi che ho spiegato, e che serva a tenere conto di tutti i moti dei corpi celesti"".
Queste obiezioni sono state spiegate dalla teoria della relatività generale di Einstein, nella quale la gravitazione è un attributo dello spaziotempo curvo invece di essere dovuta a una forza di propagazione tra i corpi. Nella teoria di Einstein, le masse distorcono lo spaziotempo nelle loro vicinanze, e altri corpi si muovono in traiettorie determinate dalla geometria dello spaziotempo. Ciò ha permesso una descrizione dei moti della luce e delle masse in linea con tutte le osservazioni disponibili. Nella relatività generale, la forza gravitazionale è una forza apparente dovuta alla curvatura dello spaziotempo, in quanto l'accelerazione di gravità di un corpo in caduta libera è dovuta alla sua linea di universo, essendo una geodetica dello spaziotempo.
