
L'energia meccanica è la somma di energia cinetica ed energia potenziale attinenti allo stesso sistema, da distinguere dall'energia totale del sistema in cui rientra anche l'energia interna.
Quando due sistemi si scambiano tra loro energia meccanica, tale energia in transito è definita lavoro. Dunque l'energia meccanica può essere posseduta da un sistema e scambiata con altri sistemi, mentre il lavoro corrisponde solamente alla parte di energia meccanica che è scambiata.
Per un sistema scleronomo e in presenza di sole forze conservative si dimostra che l'energia meccanica costituisce un integrale di moto, cioè si conserva, e coincide con l'hamiltoniana meccanica. La dimostrazione più semplice discende direttamente dal teorema dell'energia cinetica: se il lavoro compiuto dalle forze è pari alla variazione di energia cinetica del sistema:
Se le forze sono conservative è possibile esprimere il lavoro come variazione di energia potenziale:
si ottiene che la variazione di energia cinetica più la variazione di energia potenziale è identicamente nulla, cioè:
avendo battezzato la quantità "T+U" energia meccanica totale del sistema.
Un corpo in un campo gravitazionale (conservativo) è dotato di una certa energia potenziale dipendente unicamente dall'altezza rispetto ad un punto di riferimento. Se lo lasciamo libero, in assenza di forze dissipative come l'attrito con l'aria, l'energia potenziale iniziale, a mano a mano che cade, si trasforma in energia cinetica (cresce la velocità) mentre la somma delle due energie rimane la stessa.
Chiamando formula_5 e formula_6 rispettivamente la quota rispetto ad un riferimento fisso e la velocità di un corpo all'istante "t", e formula_7 e formula_8 le stesse quantità all'istante iniziale "t"=0, abbiamo:
cioè
che possiamo scrivere come
Il primo membro della precedente esprime l'energia meccanica totale "T + U" del sistema al tempo "t", che è costante ed uguale all'energia meccanica formula_12 del sistema all'istante "t"=0. Quindi:
Alla fine della caduta, quando il corpo urta il pavimento ed è di nuovo fermo, l'energia cinetica è nuovamente nulla, e poiché anche l'energia potenziale è diminuita, concludiamo che in questo evento l'energia meccanica si sia dissipata (in seguito ad un urto anelastico). In realtà l'energia meccanica "scomparsa" risulta essersi convertita in energia termica e, eventualmente, onde sonore: misurando la temperatura dell'oggetto possiamo infatti riscontrarne un lieve aumento, oltre a notare, nel caso in cui sia presente, una perturbazione dell'eventuale mezzo in cui avviene l'urto. Questo è un fatto generale: le leggi di conservazione della fisica implicano la conservazione dell'energia nei sistemi isolati.
Il "pendolo di Maxwell" fornisce un ottimo esempio del principio di conservazione dell'energia meccanica. Il sistema è costituito da un volano. Due fili sono avvolti nello stesso verso attorno all'asse del volano, mentre le estremità opposte sono collegate ad un sostegno orizzontale. Il volano è "caricato" avvolgendo i fili attorno all'asse, in modo tale che il volano si trovi ad una certa altezza rispetto al piano di riferimento. Se lasciato andare, il volano inizia a scendere ed acquista velocità. Arrivato al punto più basso consentito dallo srotolamento dei fili, il pendolo si riavvolge nel verso opposto e risale. In condizioni ideali, esso tornerebbe alla stessa quota di partenza; tuttavia, per la presenza di attriti con i fili e con il mezzo (l'aria), il moto risulta essere invece smorzato, e dopo un certo numero di oscillazioni il pendolo si ferma nel punto più basso consentito dai fili.
Per determinare il periodo di tale pendolo, ovvero il tempo impiegato dal volano per scendere e risalire, si utilizza il principio di conservazione dell'energia:
ovvero le variazioni di energia cinetica, sia di traslazione che rotazionale, compensano le variazioni di energia potenziale. Avendo preso come asse di riferimento l'asse h diretto verso l'alto e come piano di riferimento quel piano orizzontale sul quale giace il punto più basso raggiunto dal volano, alla massima altezza "h" l'energia è tutta potenziale, mentre nel punto più basso ("h" = 0) l'energia è tutta cinetica. Se h e v sono le generiche altezza e velocità all'istante "t", possiamo esplicitare la conservazione dell'energia:
Se esprimiamo "I", il momento di inerzia del volano, come "kmr", con "k" coefficiente adimensionale, la precedente può essere scritta nel seguente modo (ricordando che "v" = ω "r"):
Deriviamo ambo i membri rispetto al tempo (ricordando di includere tutte le dipendenze temporali e di applicare correttamente la regola di derivazione delle funzioni composte):
La legge oraria di un corpo uniformemente accelerato è data da:
Imponendo che Δh sia pari alla massima estensione del volano (cioè "h"("t") = 0), si ricava il tempo "t" nel quale il volano raggiunge il fondo (il periodo "T" è esattamente il doppio):
Quindi, in definitiva:
Consideriamo un corpo di massa "m" con velocità iniziale formula_21 che urti elasticamente un altro corpo, inizialmente fermo, di massa "M".
Dato che l'urto è elastico, l'energia meccanica dell'intero sistema deve conservarsi. Dato che in un urto agiscono forze impulsive è possibile trascurare le altre forze in gioco (es. gravitazionale), quindi l'energia del sistema è data dalla somma delle energie cinetiche dei corpi. Inoltre, dato che in un urto, per definizione, si considera il sistema come isolato, si conserva la quantità di moto. Chiamando "v" la velocità finale del bersaglio, otteniamo il sistema:
Si ricava facilmente, ricavando "v" dalla seconda equazione e sostituendo nella prima:
dove μ è un coefficiente adimensionale che indica il rapporto tra la velocità finale e quella iniziale. Si ricava immediatamente l'energia cinetica finale del proiettile
ovvero
l'energia cinetica del corpo, dopo l'urto, è uguale a quella iniziale per un coefficiente positivo μ detto "di restituzione".
Non sempre le forze che agiscono su un sistema sono conservative, e non sempre l'energia meccanica, dunque, si conserva. Siano allora F e F rispettivamente la somma di tutte le forze conservative e non conservative. Il lavoro da esse compiuto è allora:
Per il teorema dell'energia cinetica, il lavoro corrisponde alla variazione totale di energia cinetica del sistema:
mentre, essendo F forze conservative, è possibile ad esse associare una funzione potenziale "U" tale che il lavoro di tali forze possa essere espresso come:
In questo modo, sostituendo nell'espressione del lavoro, si ha:
Ora a primo membro si riconosce la variazione di energia meccanica del sistema, prova che le variazioni di energia meccanica di un sistema sono dovute esclusivamente al lavoro compiuto dalle forze non conservative sul sistema.
Un esempio di forza non conservativa, preso dall'esperienza di tutti i giorni, è la forza d'attrito. Sebbene in natura non esistano forze non conservative (a livello microscopico), la forza d'attrito è considerata non conservativa, in primo luogo perché essa, in generale, non è costante, perlomeno in direzione e verso; in secondo luogo perché gli effetti che essa produce (generalmente surriscaldamento delle parti a contatto) non sono conteggiati nel computo dell'energia meccanica. Analogamente, non sono conteggiati i contributi del campo elettromagnetico che produce un lavoro non conservativo e dipendente dallo spostamento.


L'energia cinetica è l'energia che possiede un corpo per il movimento che ha o che acquista.
Dal punto di vista tecnico equivale al lavoro necessario per portare un corpo da una velocità nulla a una velocità nota. Quando un corpo di massa "m" varia la sua velocità, con questa varia anche la sua energia cinetica. Il lavoro equivale a questa variazione di energia cinetica. L'energia cinetica quindi è associata alla massa e alla velocità di un corpo in movimento. L'energia cinetica che possiede un corpo di massa "m" nel suo moto di caduta è uguale al lavoro compiuto per fermarsi.
Nella meccanica newtoniana l'energia cinetica formula_1 di una particella di velocità formula_2 è definita come il lavoro fatto da una forza esterna per aumentare la velocità della particella da zero al valore formula_2. Cioè:
dove formula_5 è il lavoro fatto dalla forza formula_6 nello spostare di formula_7 la particella. Per semplicità, possiamo limitare il moto a una sola dimensione, per esempio la formula_8. Allora, classicamente:
con formula_10 massa della particella.
L'energia cinetica di un punto materiale può essere espressa matematicamente dal semiprodotto della sua massa per il quadrato del modulo della sua velocità; in coordinate cartesiane si esprime di consueto come:
L'energia cinetica di un corpo rigido a simmetria assiale in rotazione attorno all'asse di simmetria con velocità angolare formula_12 e che trasla nello spazio con velocità formula_2 (velocità del centro di massa) è:
dove formula_10 è la massa totale del corpo e formula_16 il momento d'inerzia rispetto all'asse di rotazione.
L'energia cinetica dipende dal sistema inerziale di riferimento. In un sistema di riferimento stazionario l'energia cinetica assume un valore inferiore di quello assumibile in un sistema di riferimento in movimento. L'energia cinetica aggiuntiva è quella corrispondente all'energia cinetica di traslazione della massa m alla velocità v di spostamento del sistema inerziale di riferimento.
Una utile relazione tra l'energia cinetica "E" e il modulo della quantità di moto "p" è data dalle seguenti equazioni:
La dimostrazione è immediata sostituendo nell'espressione di "E" quella di "p".
In determinati casi può essere utile definire la grandezza "energia cinetica specifica" formula_1, definita come energia cinetica per unità di volume:
In meccanica classica, l'energia cinetica di un corpo di massa "m" è il lavoro necessario per portarlo da una velocità iniziale nulla a una velocità finale "v". Questa definizione può essere formalizzata grazie a quello che storicamente prende il nome di teorema delle forze vive, oggi più noto come "teorema dell'energia cinetica".
A livello globale il lavoro compiuto dalla forza F quando il corpo si sposta da uno stato iniziale a uno stato finale è uguale alla variazione dell'energia cinetica del corpo.
In meccanica analitica (non relativistica) è possibile estendere il concetto di energia cinetica, mantenendo al contempo inalterato il suo peculiare aspetto di funzione dipendente dal modulo quadrato della velocità.
Per fare questo, è necessario passare dalle consuete coordinate cartesiane a un sistema generico di coordinate: siano dunque
le coordinate generalizzate, tutte dipendenti dal tempo. Queste coordinate individuano la posizione di un punto materiale in uno spazio formula_22-dimensionale detto spazio delle configurazioni. Formalizzando il concetto, si definisce la funzione
che cioè manda un numero reale nello spazio delle configurazioni e che descrive le traiettoria della particella in tale spazio. È bene notare che non si sta parlando di traiettorie della particella nello spazio-tempo, bensì nello spazio delle configurazioni. Un cambiamento di coordinate è allora una funzione
in generale dipendente sia dal vettore posizione sia dal tempo, con particolari caratteristiche (un diffeomorfismo), che esprime la relazione esistente tra le vecchie coordinate e le nuove.
Introduciamo l'energia cinetica
che a questo punto ha una forma diversa rispetto a quella solitamente usata: la differenza discende dalla nuova forma che assume la velocità, che sebbene sia come al solito definita da
stavolta è una funzione composta, dunque
Calcolando esplicitamente l'energia cinetica grazie alle proprietà di linearità e simmetria del prodotto scalare standard, si ha
Abbiamo così ottenuto una forma quadratica operando le sostituzioni
Il risultato è davvero notevole se si pensa alla generalità da cui si è partiti nella trattazione: è bastato fornire alcune condizioni di regolarità (di norma verificate nel caso di condizioni fisiche) per ottenere una formula che amplia quella di uso comune. Nel caso in cui si tratti di particella libera, perciò, possiamo scrivere immediatamente la lagrangiana:
formula_30
mentre l'eventuale presenza di energia potenziale formula_32 dipendente dalla sola posizione, non fa altro che aggiungere un termine:
Un'altra caratteristica interessante discende dal considerare cambiamenti di coordinate indipendenti dal tempo: in questi casi l'energia cinetica diventa semplicemente un caso particolare di quella già trovata sopra
ma dato che i versori coordinati dello spazio delle configurazioni sono per definizione
i coefficienti formula_36 costituiscono una matrice quadrata che rappresenta il prodotto scalare rispetto alla base coordinata scelta.
La naturale estensione a un sistema costituito da più punti viene eseguita assegnando a ognuno di essi un vettore velocità e un vettore posizione: quindi per formula_37 particelle libere vengono prodotti formula_38 vettori, ciascuno di formula_22 coordinate e poi si procede come si è fatto per la particella singola, ottenendo il risultato che l'energia cinetica totale è la somma delle energie cinetiche delle singole particelle:
Nella meccanica relativistica di Einstein (impiegata particolarmente nelle velocità prossime alla velocità della luce) la massa è sempre costante, ma il lavoro necessario a portare a una velocità "v" una particella di massa (propria) "m" inizialmente in quiete non dipende dal quadrato della velocità come nel caso classico, anzi diverge per formula_41. Posti:
il lavoro "W" necessario per accelerare una particella di massa "m" inizialmente in quiete fino a una velocità "v" è pari a:
in cui formula_48 è il fattore di Lorentz:
Espandendo in serie di Taylor per piccoli formula_50:
Lo sviluppo in serie rende evidente che per valori piccoli della velocità formula_2 tutti i termini superiori al primo sono trascurabili e la serie assume il valore
che, tenendo conto della velocità iniziale nulla, è proprio l'espressione del teorema dell'energia cinetica in meccanica classica. La formula di Einstein generalizza quindi l'energia cinetica alle alte velocità.
È immediato dallo sviluppo in serie notare che quando formula_2 tende a 0 il rapporto tra l'energia cinetica relativistica e quella newtoniana data da formula_55 si approssima a 1:
La teoria della relatività afferma che l'energia cinetica di un oggetto tende all'infinito per velocità che si avvicinano alla velocità della luce, e diventa pertanto impossibile accelerare il corpo fino a raggiungere tale velocità. In altri termini la velocità della luce non può essere raggiunta da alcun corpo materiale mediante accelerazione.
