
Il campo gravitazionale terrestre è un fenomeno naturale presente sulla Terra, per il quale il pianeta esercita un'attrazione sui corpi che si manifesta attraverso il peso. La forza attrattiva del nostro pianeta, rispetto ad un altro corpo, deriva dalla sua massa 
e dalla distanza, secondo la legge universale di Newton. 
Dove G è la costante gravitazionale che vale circa 6,67 × 10  m³kgs. M ed m sono le due masse prese in considerazione e d² è la distanza fra le due masse. formula_2 è il versore che indica la congiungente dei due corpi e punta da un corpo in direzione dell'altro: la forza gravitazionale è, infatti, attrattiva.
Einstein, nella sua relatività generale, era giunto a questa conclusione matematica per definire il campo gravitazionale: 
dove:formula_4 è il tensore di Ricci e indica la curvatura del vettore nello spazio
formula_5 la curvatura scalare
formula_6 è il tensore metrico
formula_7 è il tensore energetico o tensore energia impulso
formula_8 è la costante cosmologica pensata per rendere statico l'universo
formula_9 la velocità della luce e G la costante gravitazionale.
Il vettore del campo, l'accelerazione di gravità, varia a seconda non solo della distanza dal centro della Terra (e quindi dall'altitudine), ma anche dalla latitudine. Questo determina disomogeneità del campo gravitazionale stesso, che risulta essere meno forte all'equatore e più forte ai poli.
Il 17 marzo 2009 è stato lanciato in orbita bassa (circa 250 km dalla superficie terrestre) il satellite GOCE, realizzato dall'ESA in collaborazione con un consorzio di 45 aziende europee, allo scopo di ottenere una mappatura precisa del campo gravitazionale del pianeta.
Il peso di un corpo non è sempre costante sulla superficie della Terra ma cambia in base alla sua posizione, alla latitudine e all'altezza, oltre che al materiale sottostante. Si deve, inoltre, considerare l'influsso che dà al peso dei corpi la forza centrifuga generata dal nostro pianeta nel suo movimento. Il peso infatti è il risultato tra la forza di attrazione e la forza centrifuga che è massima all'equatore e diventa praticamente nulla ai poli; di conseguenza, il peso di un corpo all'equatore sarà minore del peso del medesimo corpo misurato ai poli. 
Il secondo fattore da tener conto è la forma distorta del geoide Terra, essendo la superficie terrestre, all'equatore, più distante dal centro del pianeta che ai poli. L'accelerazione di gravità varia da g = 9,7799 m/s² all'equatore a g = 9,83217 m/s² ai poli. Si è perciò assegnato all'accelerazione di gravità un valore medio convenzionale pari a g = 9,80665 m/s²
G è la costante di gravitazione universale e fra i primi a darne una misura concreta fu Henry Cavendish nel 1798 che pose due masse in equilibrio sospese ad un filo in torsione e di fronte a queste altre due masse più grandi in modo da poter apprezzare la debole attrazione. In realtà fu John Michell che concepì prima del 1783 l'esperimento oggi noto come Esperimento Cavendish e fu questi il primo a misurare la forza di gravità fra due corpi in laboratorio formulando la prima valutazione accurata della massa della Terra e della costante "g".I risultati ci dimostrano la debolezza della forza gravitazionale; il rapporto tra la forza gravitazionale e quella elettrica colombiana che si esercita tra un elettrone e un protone è pari a 10 e spiega così perché oggetti posti in prossimità e liberi di muoversi non si avvicinano di fatto come avviene per le cariche elettriche.
L'assenza di Gravità è un concetto improprio perché la forza di gravità è un tipo di fenomeno impossibile da schermare o neutralizzare; qualsiasi barriera interposta la potenzia e non esistono in termini dimostrabili forze antigravitazionali a meno di non considerare l'esistenza di oggetti con velocità superluminale. In ogni caso il concetto di forza necessita di un riferimento locale e per il campo gravitazionale terrestre la condizione apparente dell'assenza di gravità si realizza se il corpo è in caduta libera, cioè se cade con la stessa accelerazione di gravità. Un esempio teorico e poi uno pratico chiarirà il concetto. Poniamoci sopra un'alta montagna dell'Antartide e iniziamo a lanciare sassi sempre più distanti verso l'equatore; se gli fornissimo una velocità sufficiente a fargli superare la linea dell'equatore e se l'aria non facesse attrito, dopo alcune ore il sasso ci colpirebbe alle spalle, cioè dalla parte opposta dopo aver fatto il giro della terra. Abbiamo messo in orbita, a bassissima quota, un oggetto; meglio: il sasso è in caduta libera attorno al nostro pianeta. Per evitare l'attrito con l'aria un satellite artificiale viene posto in orbita geostazionaria a centinaia di km di altezza. E ora il secondo esempio facilmente realizzabile. Se ad un bicchiere di plastica pieno di acqua pratichiamo un forellino alla base vediamo subito uscire il liquido ma se lo stesso bicchiere nelle stesse condizioni viene fatto cadere, dal foro non fuoriesce nulla perché l'oggetto è in caduta libera verso il centro della Terra. Il liquido non esercita nessuna pressione sul forellino. In missilistica la condizione di assenza di gravità si simula o in grandi piscine sfruttando il principio di Archimede oppure per brevi tratti dentro aerei in caduta libera verso la terra. Gli oggetti in caduta libera circolare intorno al nostro pianeta, come i satelliti o la stazione spaziale ISS, sono sistemi non inerziali in quanto accelerati dalla forza di gravità che funge da forza centripeta. Se all'improvviso il campo gravitazionale sparisse, tali oggetti si allontanerebbero dalla Terra per inerzia lungo una linea tangente alla traiettoria circolare. I corpi e le persone al loro interno risultano in una condizione apparente di assenza di gravità; dal punto di vista del sistema di riferimento non inerziale, ad esempio l'ISS in orbita attorno alla Terra, ciò è dovuto all'equilibrio tra la forza di gravità del campo terrestre e la spinta della forza centrifuga verso l'esterno dell'orbita, una forza apparente che dipende dalla velocità angolare e dal raggio dell'orbita ed è uguale e opposta alla forza centripeta.
Dal punto di vista di un sistema inerziale, ad esempio le cosiddette stelle fisse, l'astronauta è in "caduta libera" assieme all'ISS, ovvero sono ambedue sottoposti alla stessa accelerazione gravitazionale, un'accelerazione centripeta che li vincola ad orbitare attorno alla Terra e non gli permette di allontanarsi per inerzia lungo una linea tangente all'orbita. La stessa apparente assenza di gravità si riscontrerebbe in un ascensore in caduta libera: i corpi nell'ascensore fluttuerebbero apparentemente privi di peso perché in caduta libera assieme all'ascensore.
I satelliti geostazionari ruotano insieme alla terra su un'orbita con periodo pari 
a T secondo la formula:
dove:
Per cui essi appaiono fissi da un osservatore terrestre e diventano essenziali per le comunicazioni telefoniche e radiotelevisive.
Le maree sono movimenti periodici del mare e nascono dall'equilibrio dinamico tra la forza gravitazionale della Terra e quella dei corpi massivi più vicini come il Sole e la Luna. Caratteristica unica della forza di Gravità è quella di essere sempre attrattiva e di non conoscere ostacoli, anzi un ostacolo diventa un potenziamento e una sommatoria al vettore iniziale. Inoltre la forza di Gravità come il campo elettromagnetico agisce a distanza infinita per cui si tratta la Gravità come una forza elettromagnetica considerando la quasi totale analogia matematica. Le maree sono spostamenti di masse oceaniche che si verificano al passaggio, sul meridiano del luogo, del Sole o della Luna, tutte le altre componenti astrali di fatto non hanno nessuna influenza e questo perché, secondo la formula dettata da Newton, la distanza incide molto più della massa nel generare la forza di marea. Lo spostamento della massa liquida non avviene per diretto sollevamento, questo sarebbe molto esiguo, ma per scivolamento degli strati più superficiali dell'acqua, dalla regola del parallelogramma vettoriale, ed ecco perché in alcune zone favorevoli le maree raggiungono anche i 15 metri mentre nei mari chiusi, come il Mediterraneo, l'oscillazione non supera il mezzo metro. È come se la massa fluida cercasse di seguire lo spostamento apparente del Sole o della Luna.
I dislivelli di marea si possono considerare come un insieme di movimenti periodici che a volte si sommano e altre volte si compensano. Dal punto di vista matematico una marea è la sommatoria di tante onde che si rinforzano del tipo sinusoidale semplice e la formula di base risulta:
dove:
Anche la rotazione della Terra ha quindi un'influenza sul fenomeno, infatti le maree sono doppie perché nel punto opposto in cui si forma la marea dovuta all'attrazione del Sole o della Luna, la forza centrifuga ha la predominanza poiché la distanza è maggiore e si forma anche lì una seconda marea. Anche la litosfera subisce l'attrazione del Sole e della Luna ma i movimenti si apprezzano in pochi millimetri di spostamento. Lo stesso vale per l'atmosfera dove a causa della fluidità si formano onde elastiche simili a quelle oceaniche.
L'affermazione, ormai consolidata, che tutti i corpi attirano gli altri verso il loro centro di massa è in realtà inesatta, essi, infatti, interagiscono fra loro e diventano di fatto un'unica massa in equilibrio dinamico con il loro comune centro di massa, o baricentro, che è spesso difficile da dirimere anche matematicamente (problema dei tre corpi). Questa stessa affermazione avrebbe bisogno anche del calcolo dell'impulso di moto delle masse e del loro versore. Anche lo stesso Newton si pose il problema se al centro della Terra la gravità esistesse ancora e concluse che al centro questa forza si annullava perché da tutti i punti possibili veniva esercitata un'attrazione che veniva poi neutralizzata dalla parte opposta. Quindi, al centro della Terra, la forza di Gravità è zero. A rigor di logica, bisogna ricordare che sul centro della terra interagisce, anche se in modo praticamente ininfluente, tutta la gravità universale e, in particolare, quella della Luna e del Sole, che, per la loro vicinanza, sono capaci di spostare in modo tangibile il centro di massa del sistema Terra, per cui, le due cose, centro della Terra e centro del sistema Terra- Luna -Sole, non coincidono.
Immaginando un tunnel che attraversa il nostro pianeta da una parte all'altra e nel quale viene lasciato cadere un oggetto, questo comincia a precipitare verso il centro della Terra ma nello stesso tempo diminuisce la sua accelerazione fino a raggiungere il centro della Terra e attraversarlo (anche se la forza di gravità è nulla al centro della Terra, l'oggetto attraverserà il centro con una velocità non nulla!) cominciando a sentire una decelerazione che lo porterà all'altro capo della terra a velocità nulla (uguale a quando l'oggetto era stato lasciato cadere). L'oggetto, in assenza di attrito, per inerzia continuerà in un moto oscillatorio perpetuo.
Se si volesse tenere in considerazione la forza di attrito, l'oggetto avrà un moto oscillatorio smorzato.
La legge universale di Newton ci dice che le masse si attraggano fra di loro con una forza proporzionale alla loro grandezza e inversamente al quadrato della loro distanza, il tutto moltiplicato per una costante K che di fatto è un numero piccolissimo. Tale formulazione rimane valida se si considerano i corpi puntiformi e di forma sferica e in pratica incapaci di produrre fenomeni di tipo mareale. Nella realtà le cose non stanno proprio in questi termini perché spesso le masse non sono sferiche e le loro dimensioni sono enormi come le galassie.
Lo stesso Newton aveva anche stabilito, con il secondo principio della dinamica, che una forza dipende dalla massa e dalla accelerazione
In questo caso la massa rappresenta l'inerzia all'accelerazione; ora il quesito è se questa massa inerziale la si può identificare con quella gravitazionale. Dall'esperienza di Henry Cavendish i valori delle masse delle sfere prese a campione per stabilire la forza gravitazionale e in particolare la costante "g" sono masse inerziali per cui le due cose si identificano. Ma anche se numericamente ciò non dà variazioni, è dal punto di vista fenomenologico che emerge un comportamento diverso. Due masse dello stesso peso, a forma discoide, ma con densità diversa avranno una forma spaziale diversa dove la meno densa occuperà più spazio. Ciò vuol dire che a parità di impulso e per il principio della conservazione del moto, una girerà più velocemente dell'altra.
Secondo il principio di equivalenza le due masse debbono coincidere assolutamente perché i corpi in caduta libera devono avere la medesima accelerazione a prescindere dalla loro forma e dalla loro peso. Il principio di equivalenza poi si scinde in forte e debole .
Secondo la fisica classica di Galilei e Newton il campo gravitazionale terrestre era un tipo di energia istantanea che non aveva bisogno di intermediari per agire da un corpo all'altro. Newton infatti nella sua formula non inserisce il tempo ma semplicemente le masse e la loro distanza. Secondo invece la Fisica relativistica einsteiniana ogni forza è generata da un campo e ogni campo energetico deve rispettare le equazioni di Lorentz e quindi non può esistere l'istantaneità ma una qualsiasi forma di energia per agire su un'altra particella ha bisogno di un tempo. Einstein applicando alla forza gravitazionale la trasformazioni del gruppo di Lorentz e il concetto di spaziotempo di Minkowski, lo studioso che per primo affermò che il tempo e lo spazio si potevano annullare singolarmente e perché il concetto potesse continuare a vivere occorreva unirle nella nuova definizione di spazio-tempo, considera il campo gravitazionale uno spazio simile a quello elettromagnetico e per conseguenza ha bisogno di una particella mediatrice – il gravitone o gravifotone – in grado muoversi alla velocità di 300.000 km/s.
Le trasformazioni di Lorentz assumono la forma:
dove
è chiamato fattore di Lorentz e formula_9 è la velocità della luce nel vuoto. Introducendo il quadrivettore:
le quattro equazioni riportate sopra possono essere espresse insieme sotto forma di matrice come:
Da questa formulazione è possibile dimostrare che rimane invariato l'intervallo:
che è quindi un invariante di Lorentz.
Il conflitto relativistico nasce poi quando nella relatività generale si considera il campo gravitazionale non più un vero campo di forza ma un sistema, unico in tutta la storia della scienza, capace di modificare il tempo e lo spazio, secondo il modello matematico di Minkowski e quindi non necessita più di nessuna particella mediatrice.
È pur vero che in matematica si possono percorrere più strade per raggiungere il medesimo risultato ma è anche vero che le due interpretazioni negano o ammettono una particella energetica, in questo caso il gravitone. Secondo perciò la fisica classica se un corpo sparisse all'istante cesserebbe anche la forza di attrazione che questo genera; secondo invece la relatività generale, la forza continuerebbe ad agire fino all'esaurimento della sua corsa verso le altre masse. In pratica se sparisse il Sole, la Terra si accorgerebbe dell'assenza della forza gravitazionale della nostra stella dopo circa otto minuti e mezzo, il tempo cioè che le particelle della gravitazione dal Sole impiegano per raggiungere la Terra. 
 
Empedocle da Agrigento (490 a.C.) individuava nei quattro elementi fondamentali - acqua, aria, terra e fuoco – tutta la realtà che circondava l'uomo. Tali principi venivano da lui denominati infatti "radici". Secondo Talete invece tutto traeva origine dall'acqua ma Aristotele accettò l'impostazione di Empedocle e la convinzione che i quattro elementi costituivano tutta la realtà che circondava l'uomo, resistette quasi fino ai tempi moderni. Gli antichi si erano posti il problema della caduta dei corpi concludendo in modo empirico che gli oggetti più pesanti "cadono" e quelli più leggeri "salgono".
Per spiegare poi come mai dal cielo piovesse l'acqua, che era più pesante dell'aria, si era immaginato un mare sopra le nuvole che ogni tanto si apriva per lasciare cadere la pioggia. Aristotele era dell'idea che oggetti di peso diverso cadevano in modo diverso ma tale convinzione fu contraddetta da Giovanni Filopono nel VI secolo d.C., questi aveva realizzato una serie di esperimenti a proposito dimostrando che oggetti di peso diverso cadono alla medesima velocità introducendo così la costante dell'accelerazione di gravità. Galileo Galilei riprese tali studi e li confermò con una serie di medesimi esperimenti. Newton, costruendo un tubo di vetro dal quale estraeva l'aria, dimostrò che oggetti leggeri come una piuma, non trovando resistenza del mezzo, cadono con la stessa accelerazione di altri corpi più pesanti. Tutti questi esperimenti prendono in considerazione oggetti relativamente piccoli e in assenza di impulso, cioè in quiete. Applicando la legge universale di Newton sulla forza di gravità si dimostra che tutti i corpi si attirano l'un l'altro verso il loro comune centro di massa e per conseguenza salta il concetto che la terra possa attirare tutti i corpi con la medesima accelerazione o velocità. Occorre specificare la grandezza della massa e la presenza dell'impulso e la caduta della cometa Shoemaker-Levy 9 (video) sul pianeta Giove e ripresa dalla sonda Galileo nel 1993 lo dimostra.


In matematica, un vettore è un elemento di uno spazio vettoriale. I vettori sono quindi elementi che possono essere sommati fra loro e moltiplicati per dei numeri, detti "scalari".
I vettori sono comunemente usati in fisica per indicare grandezze che sono completamente definite solo quando sono specificati sia una magnitudine (o modulo) che una direzione ed un verso rispetto ad un altro vettore o un sistema di vettori. Le grandezze che possono essere descritte in questo modo sono chiamate grandezze vettoriali, in contrapposizione alle grandezze scalari che sono caratterizzate unicamente dallo loro magnitudine.
Il concetto matematico di vettore nasce dall'idea intuitiva di una grandezza fisica (come ad esempio spostamento, accelerazione e forza) caratterizzata da intensità, direzione e verso nello spazio tridimensionale. A seguito dell'introduzione delle coordinate cartesiane una grandezza di questo tipo poteva essere rappresentata da una terna di numeri reali: le componenti relative a tre direzioni spaziali di riferimento. Nella successiva formalizzazione matematica si è giunti a definire il concetto generale di spazio vettoriale, come insieme in cui è definita l'operazione di combinazione lineare di due o più elementi.
In vari settori della matematica e della fisica, come l'analisi funzionale o la meccanica quantistica, il concetto di spazio vettoriale è applicato agli spazi di funzioni, in cui i vettori sono funzioni, come gli spazi di Hilbert e gli spazi di Banach.
La più semplice e riduttiva rappresentazione di vettore è il segmento orientato. In geometria un segmento orientato formula_1, o "vettore applicato", è un segmento formula_2 dotato di un'orientazione, che rende formula_1 diverso da formula_4. Nello spazio bidimensionale può essere visualizzato con un punto "iniziale" formula_5 e un punto "finale" formula_6, e viene anche denotato con formula_7. Nell'insieme di tutti i segmenti orientati si definisce una relazione di equivalenza, detta di "equipollenza", convenendo che due segmenti orientati sono equipollenti se hanno la stessa direzione, la stessa lunghezza e lo stesso verso. La classe di equivalenza definisce un vettore. La classe di equipollenza individuata da un vettore applicato formula_7 è di solito denotata con il simbolo formula_9; si dice anche che formula_7 è un rappresentante (non certamente unico) del vettore libero formula_9. In questo modo è possibile definire in maniera naturale la somma formula_12.
I vettori sono definiti come facenti parte di uno spazio vettoriale; il piano cartesiano formula_13, inteso come piano affine con un punto fissato formula_14, è un esempio di spazio vettoriale (isomorfo allo spazio tangente in formula_14): un vettore è rappresentato in tal caso come un punto del piano cartesiano determinato da una coppia di numeri reali formula_16. Disegnando una freccia che parte nell'origine formula_17 e arriva in formula_16, si ottiene la "rappresentazione geometrica" del vettore formula_16. Nello spazio tridimensionale un vettore è analogamente una terna di numeri reali formula_20.
In generale, in dimensione formula_21 arbitraria (finita), l'insieme:
è uno spazio vettoriale di dimensione formula_21, i cui vettori sono ennuple di numeri reali:
Numerosi esempi di spazi vettoriali possono essere costruiti sostituendo il campo formula_25 dei numeri reali con un campo qualsiasi formula_26, ad esempio il campo formula_27 dei numeri complessi. Una ennupla di numeri complessi è quindi un vettore dello spazio vettoriale formula_28. Ogni spazio vettoriale formula_29 (sopra il campo formula_26) di dimensione finita è in effetti identificabile con formula_31, dopo aver fissato una opportuna base.
In molti spazi vettoriali di dimensione infinita un vettore può essere descritto come una successione (infinita) di numeri: questo argomento necessita però di strumenti più sofisticati, quali ad esempio la struttura di spazio di Hilbert.
In quanto elementi di uno spazio vettoriale, i vettori possono essere sommati fra loro e moltiplicati per uno scalare secondo le operazioni che definiscono lo spazio vettoriale stesso.
In due dimensioni i vettori possono essere sommati con la regola del parallelogramma, che corrisponde alla somma formula_32 di due vettori formula_33 e formula_34.
In generale, la somma di due vettori formula_35 e formula_36 in formula_31 è definita nel modo seguente:
La somma è associativa, commutativa e possiede l'elemento neutro che è il vettore nullo; inoltre ogni elemento ha un opposto. In altre parole, i vettori con la somma formano un gruppo abeliano.
Il prodotto di uno scalare formula_39 in formula_26 per un vettore formula_41 in formula_31 è definito nel modo seguente:
In particolare, formula_44. Il prodotto è associativo e gode della proprietà distributiva rispetto alla somma.
L'estensione del concetto di coordinate rispetto agli assi di un piano cartesiano è quello di coordinate di un vettore rispetto ad una base. Una base è un insieme di vettori tale per cui ogni elemento dello spazio vettoriale può essere scritto in modo unico come combinazione lineare dei vettori appartenenti a tale insieme. Una base del piano cartesiano sono ad esempio i vettori formula_45, poiché ogni vettore del piano si può scrivere come somma di essi moltiplicati ciascuno per un opportuno scalare.
Nello specifico, dato uno spazio vettoriale formula_29 su un campo formula_26, l'insieme formula_48 di vettori di formula_29 è una base di formula_29 se tali vettori sono linearmente indipendenti in formula_26 e generano formula_29, ovvero:
In particolare, per ogni vettore formula_54 di formula_29 gli scalari formula_56 sono le sue coordinate rispetto alla base scelta.
Data quindi una base formula_57, un qualsiasi vettore formula_58 può essere espresso come combinazione lineare:
La scomposizione di vettori è una procedura utilizzata ad esempio in fisica per scomporre le forze lungo direzioni particolari (ad esempio parallele e perpendicolari a determinati vincoli).
Un caso particolare di sistema di riferimento è quello ortonormale, in cui i vettori scelti come base sono tra loro ortogonali (base ortogonale) e tutti di lunghezza unitaria, cioè versori. Nel caso del piano o dello spazio euclideo, un tale sistema di coordinate è detto cartesiano. Un vettore viene dunque scomposto nelle sue "componenti cartesiane" e, convenzionalmente, i versori sono denominati con i simboli formula_60, formula_61 e formula_62 rispettivamente per gli assi formula_63, formula_64 e formula_65. I versori sono tali che:
con formula_67 il prodotto vettoriale. Un vettore formula_68 può allora essere scritto come combinazione lineare dei versori canonici:
In generale, in un sistema di riferimento cartesiano, le componenti di un vettore coincidono con i coefficienti di Fourier.
Gli elementi di uno spazio vettoriale non hanno automaticamente una "lunghezza", questa è definita solo se si aggiunge un'ulteriore struttura matematica: la norma (o modulo) di un vettore, quindi il modulo non è una proprietà intrinseca del vettore.
Uno spazio vettoriale in cui è definita la norma di un vettore è uno spazio normato. Su un qualsiasi spazio vettoriale è possibile definire vari tipi di norme. Ad esempio la norma euclidea di un vettore formula_70 è il numero reale non negativo:
Questa quantità è geometricamente interpretata come la lunghezza del vettore. Ovviamente è possibile anche definire una norma differente da quella euclidea su formula_72 in tal caso si ottengono geometrie non euclidee.
Un altro esempio è il seguente: lo spazio delle funzioni continue a valori reali definite su un intervallo chiuso formula_73 può essere dotato della norma :
Definendo una forma quadratica formula_75 nello spazio vettoriale considerato si associa ad ogni coppia di vettori formula_76 e formula_77 uno scalare formula_78. Ad esempio la norma formula_79 caratterizza la "lunghezza" del vettore formula_76. Spesso la forma quadratica considerata è un prodotto scalare, che caratterizza la struttura dello spazio euclideo: così due vettori formula_76 e formula_77 sono ortogonali se formula_83, mentre sono paralleli quando formula_84 assume valore massimo.
Il prodotto scalare "standard" di due vettori formula_54 e formula_86 in formula_72 è il numero:
Il prodotto scalare tra due vettori viene indicato usualmente con uno dei simboli seguenti:
dove formula_90 fa riferimento al prodotto matriciale tra un vettore riga e un vettore colonna, con formula_91 la trasposta di formula_54, che è equivalente al prodotto scalare standard.
Importanti spazi muniti di prodotto interno sono lo spazio euclideo (reale) e lo spazio di Hilbert (complesso).
Tramite il prodotto scalare standard è possibile scrivere la norma euclidea come:
Le applicazioni che agiscono su uno spazio vettoriale e restituiscono un numero sono dette funzionali. L'insieme dei funzionali lineari definiti sui vettori di uno spazio vettoriale formula_29 è lo spazio duale formula_95, i cui elementi però, non essendo vettori, non subiscono una trasformazione controvariante al cambiamento di coordinate, bensì una trasformazione covariante (sono quindi covettori). Ad esempio, l'impulso o il momento angolare sono covettori.
Il prodotto scalare definisce in modo naturale un isomorfismo tra vettori e covettori, cioè tra lo spazio vettoriale e il suo duale. Se il prodotto scalare è euclideo e la base è ortonormale allora le componenti di vettori e covettori coincidono, motivo per cui la loro distinzione è spesso trascurata nei testi di fisica più elementari.
Nello spazio tridimensionale sono particolarmente utilizzate alcune operazioni aggiuntive fra i vettori.
Il prodotto vettoriale è un'operazione definita tra due vettori formula_54 e formula_97 di formula_98 che restituisce un terzo vettore formula_99 che ha la direzione della retta perpendicolare al piano individuato da formula_54 e formula_97, e il suo modulo è dato dalla formula:
dove formula_103 è l'angolo fra formula_54 e formula_97. Il verso del vettore formula_86 è dato dalla regola della mano destra: disponendo pollice, indice e medio perpendicolari tra loro, se il pollice indica la direzione di formula_54 e l'indice la direzione di formula_97, allora il medio indica la direzione di formula_86 (si veda la figura a lato).
Esplicitamente il prodotto vettoriale è dato da:
dove formula_112 indica il determinante e formula_113 sono i versori degli assi. Il prodotto vettoriale si indica talvolta anche con la notazione formula_114.
Si nota che il prodotto vettoriale è nullo se almeno uno dei due vettori è il vettore nullo, oppure se i vettori sono tra loro paralleli. Inoltre il prodotto vettoriale soddisfa l'identità ciclica di Jacobi, è distributivo rispetto alla somma:
ed anticommutativo:
Un prodotto misto è un'espressione in cui compaiono contemporaneamente prodotti scalari e vettoriali di vettori. Ad esempio, il prodotto misto di tre vettori formula_117, formula_118, formula_119 è del tipo formula_120 ed è uno scalare. Il valore assoluto di questo scalare non dipende dall'ordine dei tre vettori e misura il volume del parallelepipedo costruito su di essi.
Un prodotto misto che comprende due o più prodotti vettoriali è sempre riconducibile ad una somma di prodotti misti più semplici, ciascuno avente al più un prodotto vettoriale. Ad esempio:
Una matrice costituita da una sola riga, ovvero di dimensione formula_122, viene detta vettore riga; una matrice costituita da una sola colonna, ovvero di dimensione formula_123, viene detta vettore colonna. L'operatore di trasposizione, denotato generalmente con una formula_124 ad esponente (formula_125) trasforma vettori riga in vettori colonna e viceversa. Spesso i vettori di formula_72 vengono descritti come vettori colonna, per poter descrivere le trasformazioni lineari come prodotto con una matrice.
I vettori di formula_31 possono essere considerati delle matrici a una riga o una colonna. Per questo motivo è lecito parlare di moltiplicazioni tra matrici e vettori; in ossequio alle regole della moltiplicazione di matrici, un vettore colonna formula_54 (di dimensione formula_123) sarà moltiplicabile "a sinistra" per una matrice formula_130 a condizione che il numero di colonne di formula_130 sia formula_21.
Generalmente si intende e si usa questo tipo di moltiplicazione, anche se in linea di principio è anche possibile moltiplicare "a destra" un vettore formula_122 per una matrice con formula_21 righe.
Il prodotto di Kronecker, definibile come prodotto tensoriale fra un vettore e uno trasposto rispettivamente in formula_31 e formula_136, è la matrice formula_137:
dove la formula_124 ad apice indica l'operazione di trasposizione. Ad esempio per formula_140:
Più in generale, dati due vettori formula_54 e formula_86 appartenenti a due spazi vettoriali formula_29 e formula_145 sopra lo stesso campo formula_26, il prodotto tensoriale tra i due vettori è un tensore di rango formula_147
Se formula_29 e formula_145 sono spazi vettoriali di dimensione formula_21 e formula_152, fissate due basi, il prodotto tensoriale formula_153 è descrivibile come uno spazio di matrici ed il prodotto tensoriale in coordinate si scrive come sopra.
In uno spazio di dimensione finita un vettore può essere definito come una ennupla di numeri formula_154 che in seguito ad un cambio di sistema di riferimento subiscono una trasformazione controvariante, ovvero passando dal sistema di coordinate formula_155 al sistema formula_156 si ha:
dove si è utilizzata la notazione di Einstein, e formula_158 sono le componenti del vettore nel nuovo sistema di riferimento. Un vettore è dunque un tensore di tipo formula_159. Uno scalare può del resto essere pensato come un vettore di una sola componente, e coincide con un tensore di rango formula_160.
