
L'accelerazione di gravità, o "accelerazione gravitazionale" è l'accelerazione che un corpo subisce quando è lasciato libero di muoversi in caduta libera in un campo gravitazionale. 
Di solito si studia il valore che ha questa accelerazione sul suolo terrestre, che costituisce uno standard per le applicazioni tecniche più diffuse. Si può misurare in moltissimi modi, e si può derivare dai valori dei parametri che compaiono in leggi fisiche più generali, come la legge di gravitazione universale.
Per avere un'idea della grandezza o meno di un valore di accelerazione, si usa confrontarla con il valore di accelerazione che il campo gravitazionale terrestre provoca sugli oggetti che si trovano superficie terrestre. Infatti tutti gli uomini, gli animali, le piante e gli oggetti sulla Terra sono sottoposti a questa accelerazione, chi consapevolmente e chi inconsapevolmente.
Per questo parametro è stato fissato un valore convenzionale, che nelle unità di misura del Sistema Internazionale risulta pari a:
Notevolmente, questa scelta sul valore della costante è rimasta invariata dalla terza CGPM nel 1901.
Il valore standard di cui sopra è indicato con formula_1 o formula_2, talvolta anche con formula_3, e viene spesso impropriamente riportato tra le costanti "fisiche", per quanto sia più propriamente una costante tecnica, o costante definita (in inglese: "defined constant").
Il simbolo deve essere scritto con formula_4 minuscolo per distinguerlo dalla costante gravitazionale formula_5 che compare nella equazione di Newton.
Quando si valuta per esempio l'effetto di accelerazioni importanti su persone e strutture, per esempio nei terremoti, è una ottima consuetudine rapportare il valore ottenuto con questo valore standard esatto.
Si tratta di un valore medio, che approssima il valore dell'accelerazione di gravità presente al livello del mare a una latitudine di 45,5°. Il valore dell'accelerazione di gravità sulla superficie terrestre (formula_4) in effetti varia molto leggermente attorno al valore formula_1 a seconda del luogo. In particolare è influenzato dalla latitudine e dall'altitudine, ma viene influenzato per esempio anche dal tipo di rocce sottostanti.
L'accelerazione di gravità è misurabile semplicemente guardando un corpo in caduta libera, trascurando la resistenza dell'aria.
Il vettore dell'accelerazione di gravità terrestre ha sempre la direzione verticale ed è orientato verso il centro della Terra.
L'effettiva accelerazione che la Terra produce su un corpo in caduta varia al variare del luogo in cui questa è misurata.
Il valore dell'accelerazione aumenta con la latitudine per due ragioni:
La combinazione di questi due effetti rende il valore di formula_4 misurato ai poli circa lo 0,5% più grande di quello misurato all'equatore.
Il valore di formula_4 cui è sottoposto un corpo che si trova in aria ad altezza formula_11 sul livello del mare è calcolabile con la "formula tecnica" (che contiene cioè delle implicite unità di misura):
dove:
L'ultimo termine, h è una correzione dovuta all'altezza.
Se il corpo è sulla verticale della terraferma, viene aggiunta un'ulteriore correzione dovuta alla maggiore massa di un volume di terra rispetto all'acqua; tale maggiore massa può essere approssimata con una superficie orizzontale infinita dando luogo a un fattore di correzione (la "correzione di Bouguer", si veda Anomalia di Bouguer) pari a formula_18 volte la massa per unità di area, ovvero m·s·kg.
La gravità al di sotto della superficie terrestre viene invece calcolata sottraendo dalla massa totale della Terra la massa del guscio esterno al punto di misurazione. La forza di gravità diminuisce progressivamente all'aumentare della profondità e al centro della Terra è zero perché l'intera massa del pianeta attira il corpo in tutte le direzioni attorno a esso.
Anche variazioni locali nella composizione delle rocce e delle superfici possono alterare localmente l'accelerazione di gravità; queste anomalie sono generalmente misurate e mappate.
La costante di accelerazione gravitazionale terrestre trova inoltre grande impiego dal punto di vista fisico nello studio dei comportamenti dei corpi sottoposti a certe condizioni.
L'accelerazione standard formula_1 è spesso usata come unità di misura tecnica. Non è in effetti una unità di misura accettata dal Sistema internazionale, ma è molto comoda nella quotidianità per dare un'idea pratica della grandezza di una accelerazione. 
In questo contesto il parametro tecnico "formula_1" viene indicato semplicemente con la lettera "g", e utilizzata come unità di misura tecnica. Veniva in passato chiamata dai tecnici anche con l'espressione impropria di "forza g". Viene impiegata così anche in campo aerospaziale, per esprimere le accelerazioni alle quali sono sottoposti i velivoli, i veicoli spaziali e gli eventuali passeggeri.
Con l'espressione colloquiale forza g utilizzata in aeronautica ci si riferisce invece al fattore di carico lungo l'asse verticale di un aeromobile, unità di misura delle accelerazioni a cui astronauti e piloti sono soggetti, moltiplicato per l'accelerazione di gravità terrestre, con simbolo appunto "g".
La forza g non va quindi confusa con l'accelerazione di gravità sulla superficie terrestre. Nonostante il nome, non è una forza, ma una accelerazione; sebbene, nei casi di cui sopra sia una accelerazione relativa al riferimento considerato, determina una forza fittizia (es. la forza centrifuga). 
In questo contesto, quando ci si riferisce a "1 g" si indica un'accelerazione pari all'accelerazione di gravità media misurata sulla Terra, che vale 9,80665 m·s.
Una persona normale mediamente riesce a sopportare accelerazioni verticali di circa 5 g positivi e 2÷3 g negativi. 
Per g positivo si intende una accelerazione che produce lo stesso effetto soggettivo causato dalla gravità terrestre su un soggetto in posizione eretta; questo effetto è prodotto da una accelerazione nel senso che va dai piedi verso la testa, quindi di senso contrario alla forza di gravità cui si è soggetti stando in piedi. Per g negativi si intendono accelerazioni ed effetti soggettivi di senso inverso. I g positivi, quindi, causano il deflusso del sangue dalla testa verso i piedi, i negativi viceversa. Si calcola che un'accelerazione di 5 "g", se prolungata per vari secondi, provochi perdita di conoscenza e valori superiori possono danneggiare il corpo umano anche mortalmente, se non adeguatamente protetto.. A valori critici di g negativi infatti uno dei primi effetti è che il campo visivo diventa rosso, a causa del maggiore apporto di sangue nei capillari nei globi oculari dovuta all'aumento della pressione sanguigna. 
Con la combinazione di speciali tute anti-g e di forze applicate ai muscoli per tenerli in tensione, entrambi con lo scopo di ridurre il deflusso sanguigno dal cervello, i piloti moderni possono sopportare oltre 10 "g positivi" (100 m·s). La resistenza a "g negativi" rimane invece molto inferiore, e comunque nell'intervallo fra i 2 e i 3 "g".
L'accelerazione standard g è usata anche in campo automobilistico. In particolare, si usa per esprimere le accelerazioni che agiscono sul veicolo in curva, accelerazione, frenata, e per l'analisi delle collisioni.
L'accelerazione di gravità sulla Terra si può anche misurare in modo indiretto servendosi di un pendolo preciso, a patto che ci si limiti a misurare delle piccole oscillazioni. Per le piccole oscillazioni infatti vale la formula del pendolo "matematico" (il più semplice):
formula_21
dove:
In fisica il valore di g è deducibile come un caso particolare dalla legge della gravitazione universale.
Il valore dell'accelerazione corrisponde infatti al prodotto di alcuni dei termini nell'equazione di gravitazione:
Inserendo i valori della costante di gravitazione universale formula_5, della massa, e del raggio della Terra si ottiene infatti:
Questa è una buona approssimazione del valore medio dell'accelerazione di gravità formula_4, ma si vede subito che non è il valore che si è scelto come standard. Le differenze del valore appena calcolato col valore standard sono dovute a diversi fattori, tra cui:


In matematica, un vettore è un elemento di uno spazio vettoriale. I vettori sono quindi elementi che possono essere sommati fra loro e moltiplicati per dei numeri, detti "scalari".
I vettori sono comunemente usati in fisica per indicare grandezze che sono completamente definite solo quando sono specificati sia una magnitudine (o modulo) che una direzione ed un verso rispetto ad un altro vettore o un sistema di vettori. Le grandezze che possono essere descritte in questo modo sono chiamate grandezze vettoriali, in contrapposizione alle grandezze scalari che sono caratterizzate unicamente dallo loro magnitudine.
Il concetto matematico di vettore nasce dall'idea intuitiva di una grandezza fisica (come ad esempio spostamento, accelerazione e forza) caratterizzata da intensità, direzione e verso nello spazio tridimensionale. A seguito dell'introduzione delle coordinate cartesiane una grandezza di questo tipo poteva essere rappresentata da una terna di numeri reali: le componenti relative a tre direzioni spaziali di riferimento. Nella successiva formalizzazione matematica si è giunti a definire il concetto generale di spazio vettoriale, come insieme in cui è definita l'operazione di combinazione lineare di due o più elementi.
In vari settori della matematica e della fisica, come l'analisi funzionale o la meccanica quantistica, il concetto di spazio vettoriale è applicato agli spazi di funzioni, in cui i vettori sono funzioni, come gli spazi di Hilbert e gli spazi di Banach.
La più semplice e riduttiva rappresentazione di vettore è il segmento orientato. In geometria un segmento orientato formula_1, o "vettore applicato", è un segmento formula_2 dotato di un'orientazione, che rende formula_1 diverso da formula_4. Nello spazio bidimensionale può essere visualizzato con un punto "iniziale" formula_5 e un punto "finale" formula_6, e viene anche denotato con formula_7. Nell'insieme di tutti i segmenti orientati si definisce una relazione di equivalenza, detta di "equipollenza", convenendo che due segmenti orientati sono equipollenti se hanno la stessa direzione, la stessa lunghezza e lo stesso verso. La classe di equivalenza definisce un vettore. La classe di equipollenza individuata da un vettore applicato formula_7 è di solito denotata con il simbolo formula_9; si dice anche che formula_7 è un rappresentante (non certamente unico) del vettore libero formula_9. In questo modo è possibile definire in maniera naturale la somma formula_12.
I vettori sono definiti come facenti parte di uno spazio vettoriale; il piano cartesiano formula_13, inteso come piano affine con un punto fissato formula_14, è un esempio di spazio vettoriale (isomorfo allo spazio tangente in formula_14): un vettore è rappresentato in tal caso come un punto del piano cartesiano determinato da una coppia di numeri reali formula_16. Disegnando una freccia che parte nell'origine formula_17 e arriva in formula_16, si ottiene la "rappresentazione geometrica" del vettore formula_16. Nello spazio tridimensionale un vettore è analogamente una terna di numeri reali formula_20.
In generale, in dimensione formula_21 arbitraria (finita), l'insieme:
è uno spazio vettoriale di dimensione formula_21, i cui vettori sono ennuple di numeri reali:
Numerosi esempi di spazi vettoriali possono essere costruiti sostituendo il campo formula_25 dei numeri reali con un campo qualsiasi formula_26, ad esempio il campo formula_27 dei numeri complessi. Una ennupla di numeri complessi è quindi un vettore dello spazio vettoriale formula_28. Ogni spazio vettoriale formula_29 (sopra il campo formula_26) di dimensione finita è in effetti identificabile con formula_31, dopo aver fissato una opportuna base.
In molti spazi vettoriali di dimensione infinita un vettore può essere descritto come una successione (infinita) di numeri: questo argomento necessita però di strumenti più sofisticati, quali ad esempio la struttura di spazio di Hilbert.
In quanto elementi di uno spazio vettoriale, i vettori possono essere sommati fra loro e moltiplicati per uno scalare secondo le operazioni che definiscono lo spazio vettoriale stesso.
In due dimensioni i vettori possono essere sommati con la regola del parallelogramma, che corrisponde alla somma formula_32 di due vettori formula_33 e formula_34.
In generale, la somma di due vettori formula_35 e formula_36 in formula_31 è definita nel modo seguente:
La somma è associativa, commutativa e possiede l'elemento neutro che è il vettore nullo; inoltre ogni elemento ha un opposto. In altre parole, i vettori con la somma formano un gruppo abeliano.
Il prodotto di uno scalare formula_39 in formula_26 per un vettore formula_41 in formula_31 è definito nel modo seguente:
In particolare, formula_44. Il prodotto è associativo e gode della proprietà distributiva rispetto alla somma.
L'estensione del concetto di coordinate rispetto agli assi di un piano cartesiano è quello di coordinate di un vettore rispetto ad una base. Una base è un insieme di vettori tale per cui ogni elemento dello spazio vettoriale può essere scritto in modo unico come combinazione lineare dei vettori appartenenti a tale insieme. Una base del piano cartesiano sono ad esempio i vettori formula_45, poiché ogni vettore del piano si può scrivere come somma di essi moltiplicati ciascuno per un opportuno scalare.
Nello specifico, dato uno spazio vettoriale formula_29 su un campo formula_26, l'insieme formula_48 di vettori di formula_29 è una base di formula_29 se tali vettori sono linearmente indipendenti in formula_26 e generano formula_29, ovvero:
In particolare, per ogni vettore formula_54 di formula_29 gli scalari formula_56 sono le sue coordinate rispetto alla base scelta.
Data quindi una base formula_57, un qualsiasi vettore formula_58 può essere espresso come combinazione lineare:
La scomposizione di vettori è una procedura utilizzata ad esempio in fisica per scomporre le forze lungo direzioni particolari (ad esempio parallele e perpendicolari a determinati vincoli).
Un caso particolare di sistema di riferimento è quello ortonormale, in cui i vettori scelti come base sono tra loro ortogonali (base ortogonale) e tutti di lunghezza unitaria, cioè versori. Nel caso del piano o dello spazio euclideo, un tale sistema di coordinate è detto cartesiano. Un vettore viene dunque scomposto nelle sue "componenti cartesiane" e, convenzionalmente, i versori sono denominati con i simboli formula_60, formula_61 e formula_62 rispettivamente per gli assi formula_63, formula_64 e formula_65. I versori sono tali che:
con formula_67 il prodotto vettoriale. Un vettore formula_68 può allora essere scritto come combinazione lineare dei versori canonici:
In generale, in un sistema di riferimento cartesiano, le componenti di un vettore coincidono con i coefficienti di Fourier.
Gli elementi di uno spazio vettoriale non hanno automaticamente una "lunghezza", questa è definita solo se si aggiunge un'ulteriore struttura matematica: la norma (o modulo) di un vettore, quindi il modulo non è una proprietà intrinseca del vettore.
Uno spazio vettoriale in cui è definita la norma di un vettore è uno spazio normato. Su un qualsiasi spazio vettoriale è possibile definire vari tipi di norme. Ad esempio la norma euclidea di un vettore formula_70 è il numero reale non negativo:
Questa quantità è geometricamente interpretata come la lunghezza del vettore. Ovviamente è possibile anche definire una norma differente da quella euclidea su formula_72 in tal caso si ottengono geometrie non euclidee.
Un altro esempio è il seguente: lo spazio delle funzioni continue a valori reali definite su un intervallo chiuso formula_73 può essere dotato della norma :
Definendo una forma quadratica formula_75 nello spazio vettoriale considerato si associa ad ogni coppia di vettori formula_76 e formula_77 uno scalare formula_78. Ad esempio la norma formula_79 caratterizza la "lunghezza" del vettore formula_76. Spesso la forma quadratica considerata è un prodotto scalare, che caratterizza la struttura dello spazio euclideo: così due vettori formula_76 e formula_77 sono ortogonali se formula_83, mentre sono paralleli quando formula_84 assume valore massimo.
Il prodotto scalare "standard" di due vettori formula_54 e formula_86 in formula_72 è il numero:
Il prodotto scalare tra due vettori viene indicato usualmente con uno dei simboli seguenti:
dove formula_90 fa riferimento al prodotto matriciale tra un vettore riga e un vettore colonna, con formula_91 la trasposta di formula_54, che è equivalente al prodotto scalare standard.
Importanti spazi muniti di prodotto interno sono lo spazio euclideo (reale) e lo spazio di Hilbert (complesso).
Tramite il prodotto scalare standard è possibile scrivere la norma euclidea come:
Le applicazioni che agiscono su uno spazio vettoriale e restituiscono un numero sono dette funzionali. L'insieme dei funzionali lineari definiti sui vettori di uno spazio vettoriale formula_29 è lo spazio duale formula_95, i cui elementi però, non essendo vettori, non subiscono una trasformazione controvariante al cambiamento di coordinate, bensì una trasformazione covariante (sono quindi covettori). Ad esempio, l'impulso o il momento angolare sono covettori.
Il prodotto scalare definisce in modo naturale un isomorfismo tra vettori e covettori, cioè tra lo spazio vettoriale e il suo duale. Se il prodotto scalare è euclideo e la base è ortonormale allora le componenti di vettori e covettori coincidono, motivo per cui la loro distinzione è spesso trascurata nei testi di fisica più elementari.
Nello spazio tridimensionale sono particolarmente utilizzate alcune operazioni aggiuntive fra i vettori.
Il prodotto vettoriale è un'operazione definita tra due vettori formula_54 e formula_97 di formula_98 che restituisce un terzo vettore formula_99 che ha la direzione della retta perpendicolare al piano individuato da formula_54 e formula_97, e il suo modulo è dato dalla formula:
dove formula_103 è l'angolo fra formula_54 e formula_97. Il verso del vettore formula_86 è dato dalla regola della mano destra: disponendo pollice, indice e medio perpendicolari tra loro, se il pollice indica la direzione di formula_54 e l'indice la direzione di formula_97, allora il medio indica la direzione di formula_86 (si veda la figura a lato).
Esplicitamente il prodotto vettoriale è dato da:
dove formula_112 indica il determinante e formula_113 sono i versori degli assi. Il prodotto vettoriale si indica talvolta anche con la notazione formula_114.
Si nota che il prodotto vettoriale è nullo se almeno uno dei due vettori è il vettore nullo, oppure se i vettori sono tra loro paralleli. Inoltre il prodotto vettoriale soddisfa l'identità ciclica di Jacobi, è distributivo rispetto alla somma:
ed anticommutativo:
Un prodotto misto è un'espressione in cui compaiono contemporaneamente prodotti scalari e vettoriali di vettori. Ad esempio, il prodotto misto di tre vettori formula_117, formula_118, formula_119 è del tipo formula_120 ed è uno scalare. Il valore assoluto di questo scalare non dipende dall'ordine dei tre vettori e misura il volume del parallelepipedo costruito su di essi.
Un prodotto misto che comprende due o più prodotti vettoriali è sempre riconducibile ad una somma di prodotti misti più semplici, ciascuno avente al più un prodotto vettoriale. Ad esempio:
Una matrice costituita da una sola riga, ovvero di dimensione formula_122, viene detta vettore riga; una matrice costituita da una sola colonna, ovvero di dimensione formula_123, viene detta vettore colonna. L'operatore di trasposizione, denotato generalmente con una formula_124 ad esponente (formula_125) trasforma vettori riga in vettori colonna e viceversa. Spesso i vettori di formula_72 vengono descritti come vettori colonna, per poter descrivere le trasformazioni lineari come prodotto con una matrice.
I vettori di formula_31 possono essere considerati delle matrici a una riga o una colonna. Per questo motivo è lecito parlare di moltiplicazioni tra matrici e vettori; in ossequio alle regole della moltiplicazione di matrici, un vettore colonna formula_54 (di dimensione formula_123) sarà moltiplicabile "a sinistra" per una matrice formula_130 a condizione che il numero di colonne di formula_130 sia formula_21.
Generalmente si intende e si usa questo tipo di moltiplicazione, anche se in linea di principio è anche possibile moltiplicare "a destra" un vettore formula_122 per una matrice con formula_21 righe.
Il prodotto di Kronecker, definibile come prodotto tensoriale fra un vettore e uno trasposto rispettivamente in formula_31 e formula_136, è la matrice formula_137:
dove la formula_124 ad apice indica l'operazione di trasposizione. Ad esempio per formula_140:
Più in generale, dati due vettori formula_54 e formula_86 appartenenti a due spazi vettoriali formula_29 e formula_145 sopra lo stesso campo formula_26, il prodotto tensoriale tra i due vettori è un tensore di rango formula_147
Se formula_29 e formula_145 sono spazi vettoriali di dimensione formula_21 e formula_152, fissate due basi, il prodotto tensoriale formula_153 è descrivibile come uno spazio di matrici ed il prodotto tensoriale in coordinate si scrive come sopra.
In uno spazio di dimensione finita un vettore può essere definito come una ennupla di numeri formula_154 che in seguito ad un cambio di sistema di riferimento subiscono una trasformazione controvariante, ovvero passando dal sistema di coordinate formula_155 al sistema formula_156 si ha:
dove si è utilizzata la notazione di Einstein, e formula_158 sono le componenti del vettore nel nuovo sistema di riferimento. Un vettore è dunque un tensore di tipo formula_159. Uno scalare può del resto essere pensato come un vettore di una sola componente, e coincide con un tensore di rango formula_160.
