
In meccanica dei materiali, la legge di Hooke è la più semplice relazione costitutiva di comportamento dei materiali elastici. Essa è formulata dicendo che un corpo elastico subisce una deformazione direttamente proporzionale allo sforzo a esso applicato. La costante di proporzionalità che dipende dalla natura del materiale stesso.
I materiali per i quali la legge di Hooke è un'utile approssimazione del reale comportamento sono detti "materiali elastico-lineari". Definisce perciò un solido elastico allo stesso modo in cui la legge di Pascal definisce un fluido ideale.
Robert Hooke cominciò il suo studio sull'elasticità partendo dalla caratterizzazione del comportamento della "molla perfetta" o "ideale", cioè una molla priva di massa, di spessore trascurabile quando completamente compressa e in totale assenza di attrito e di altri fenomeni dissipativi; infatti, la molla ideale rappresenta il modello classico di elasticità lineare. La legge fu prima formulata nel 1675, nella forma dell'anagramma latino «"ceiiinosssttuv"», la cui soluzione fu pubblicata da Hooke nel 1678 come «"Ut tensio, sic vis"» («"come l'estensione, così la forza"»).
A partire dall'enunciato fornito originariamente da Hooke, l'equazione che esprime la forza elastica esercitata da una molla sollecitata longitudinalmente, in trazione o in compressione, lungo un asse formula_1 è:
quindi la forza formula_3 con cui la molla reagisce alla sollecitazione è direttamente proporzionale all'allungamento formula_4. La costante formula_5 rappresenta la "costante elastica longitudinale" della molla, espressa in formula_6.
In modo del tutto analogo, si ricava l'equazione che esprime il momento elastico, diretto lungo un asse formula_7 ortogonale al piano di torsione, esercitato da una molla torsionale sollecitata tangenzialmente:
quindi il momento meccanico formula_9 con cui la molla reagisce alla sollecitazione è direttamente proporzionale alla variazione dell'angolo formula_10. La costante formula_11 rappresenta la "costante elastica tangenziale" del corpo, espressa in formula_12.
Tuttavia, la formulazione odierna della legge di Hooke si serve di due grandezze vettoriali, la tensione formula_13 e la deformazione formula_14, legate tra loro da una relazione tensoriale.
Nel caso monodimensionale la relazione longitudinale diventa:
dove formula_16 è il "coefficiente di dilatazione lineare" e formula_17 è il modulo di elasticità longitudinale di Young, mentre la relazione inversa è:
dove l'inverso del modulo di Young è detto "modulo di cedevolezza longitudinale" formula_19.
Mentre il caso monodimensionale della relazione tangenziale diventa:
dove formula_21 è il c"oefficiente di scorrimento angolare" e formula_22 è il modulo di elasticità tangenziale.
Dalle relazioni precedenti si può dedurre che formula_23 e che formula_24, dove formula_25 è la sezione, formula_26 è la dimensione longitudinale e formula_27 è il braccio della forza che causa il momento.
Dato un sistema di riferimento cartesiano centrato un punto formula_28 appartenente ad un corpo deformabile, con formula_29 e detto formula_30, si ha che la cinematica del punto formula_31 è data dall'equazione:
mentre la trattazione statica di formula_31 la si ottiene attraverso il teorema di Cauchy-Poisson:
dove formula_35 è il vettore spostamento, formula_36 la giacitura e formula_37 e formula_38 sono, rispettivamente i tensori delle deformazioni e delle tensioni, che risultano entrambi simmetrici. Facendo uso della notazione di Voigt, a questi due tensori è possibile associare, rispettivamente, il vettore deformazione formula_14 e il vettore tensione formula_13.
In campo elastico, deformando un volume infinitesimo unitario formula_41, portandolo da uno stato formula_42 a uno stato formula_43, si applica un lavoro formula_44. Pertanto, il materiale rilascia tutta l'energia accumulata e ciò permette che si verifichi l'assenza di deformazioni residue.
Per i materiali iperelastici, l'energia di deformazione è definita come una funzione continua:
quindi essa rappresenta il "potenziale delle tensioni", mentre il "potenziale delle deformazioni" è rappresentato dall'energia complementare:
Essendo entrambe dei potenziali, entrambe le funzioni devono rispettare le condizioni di Schwarz.
A partire da queste considerazioni energetiche è possibile ricavare la legge di Hooke in termini tensoriali:
dove l'operatore lineare formula_48 è il "tensore di elasticità", la legge inversa, invece, è definita come:
dove l'operatore lineare formula_50 è il "tensore di cedevolezza". Pertanto si ha che:
Nonostante siano state ricavate per materiali iperelastici, queste leggi sono valide per tutti i tipi di materiali elastici.
Sia formula_48 che formula_50 sono tensori del quarto ordine, pertanto hanno 81 coefficienti scalari. In generale, entrambi i tensori hanno 36 coefficienti indipendenti, che si riducono a 21 nel caso di materiale iperelastico e a soli 2 nel caso il materiale sia anche omogeneo e isotropo. 
In tale ultimo caso il legame costitutivo è dato dalla relazione:
mentre, l'espressione inversa del legame costitutivo è la seguente:
dove formula_56 è la matrice identità e i due parametri scalari sono la costante di Lamé formula_57 e il modulo di elasticità tangenziale formula_22, che si legano al modulo di Young formula_17 e al modulo di Poisson formula_60 attraverso le relazioni:
La validità della legge di Hooke per una molla può essere verificata in laboratorio anche tramite semplici attrezzature. In genere, l'obiettivo dell'esperimento è la determinazione del valore della costante elastica longitudinale formula_5 di una molla. 
Per fare ciò occorre sottoporre la molla a carichi crescenti, misurando il relativo allungamento formula_4, pari alla differenza tra la lunghezza della molla sottoposta al carico, crescente, e la lunghezza della molla a riposo, ovvero non sottoposta ad alcun carico verticale, a meno del peso della molla stessa. Il rapporto tra la forza formula_3 applicata e l'allungamento formula_4 rappresenta esattamente il valore della costante elastica formula_5 di quella data molla. A questo punto occorre applicare forze verticali crescenti alla molla che, seguendo la legge di Hooke, produrrà allungamenti formula_4 direttamente proporzionali alle forze formula_3 applicate. I singoli valori di costante elastica formula_5 così determinati, se l'esperimento è svolto correttamente, risulteranno costanti, a meno di eventuali errori di misura da determinarsi con la teoria degli errori. 
Nel caso in cui formula_70 molle fossero poste in serie si può dimostrare e verificare sperimentalmente che il valore della costante elastica equivalente totale sarà pari a: 


Il termine lunghezza, nell'uso comune, indica una delle dimensioni di un oggetto, ovvero una sua estensione nello spazio. Nelle varie discipline tecniche e scientifiche il termine ha un utilizzo definito più rigorosamente o assume un significato leggermente diverso.
In geometria euclidea, la lunghezza di un segmento è la distanza tra gli estremi del segmento. Si veda la voce lunghezza di un arco per l'estensione di questo concetto ad archi di curva.
In matematica e in fisica il termine lunghezza è utilizzato anche come sinonimo di norma o valore assoluto di un vettore. In altri campi, questo termine può essere impiegato come sinonimo di distanza. Per esempio, in cartografia, la lunghezza di una strada è la "distanza" che bisogna percorrere per spostarsi da un'estremità di essa all'altra.
La lunghezza è assunta come una delle grandezze fisiche fondamentali, nel senso che non può essere definita in termini di altre grandezze. La lunghezza come grandezza fisica non è una proprietà intrinseca ad alcun oggetto. Infatti due osservatori possono misurare lo stesso oggetto e ottenere risultati differenti. Questa strana proprietà dello spazio viene spiegata nella teoria della relatività speciale di Albert Einstein.
L'unità di misura attuale nel SI della lunghezza è il metro ma questo fu definito solo nel 1791 e prima di allora si sono susseguite nel tempo innumerevoli unità di misura della lunghezza.
Le prime unità di misura di essa erano associate al corpo umano. Gli egiziani avevano stabilito il cubito che equivaleva alla distanza fra il gomito e l'estremità del dito medio. In modo simile il piede rappresentò la misurazione dopo la prima metà del Seicento ed equivaleva infatti alla lunghezza del piede reale di Luigi XIV.
Altre misure che si possono ricordare sono il piede e il miglio anche se quest'ultimo è un multiplo. Nel 1791 però si cercò una misura più oggettiva e si scelse quella del metro che, nella definizione attuale, è pari alla distanza coperta dalla luce, nel vuoto, in un intervallo di tempo pari a di secondo.
