
Mentre nella meccanica classica l'energia è un continuo, la meccanica quantistica prevede la possibilità che ci siano solo certi valori (livelli) dell'energia accessibili al sistema.
Sin dalle origini della chimica come scienza era stato osservato che l'assorbimento della luce da parte dei gas non varia in maniera morbida con la lunghezza d'onda ma è caratterizzato dalla presenza di un gran numero di picchi estremamente sottili e disposti in maniera complicata.
Una prima trattazione fenomenologica del problema venne fatta nel 1885 da Johann Balmer che notò come la disposizione di un gruppo di righe di assorbimento dell'atomo di idrogeno venisse ben descritta dalla formula:
Questa formula venne successivamente generalizzata da Johannes Rydberg e Walther Ritz in modo da poter descrivere la posizione di tutte le righe di assorbimento ma questa rimaneva una descrizione fenomenologica, per quanto accurata, senza un vero fondamento scientifico.
Il tentativo di spiegare la natura dei picchi di assorbimento fu alla base del Modello atomico di Bohr: già Rutherford aveva proposto l'idea che l'atomo fosse composto da un piccolo nucleo carico positivamente attorno al quale ruotavano in orbite circolari gli elettroni. Tuttavia un sistema del genere non è stabile perché un elettrone accelerato emette radiazione e quindi perde energia. Per risolvere il problema Bohr, seguendo le idee proposte da Planck e Einstein, ipotizzò che gli elettroni potessero trovarsi solo su determinati "livelli energetici" e potessero muoversi dall'uno all'altro solo per passi discreti. Questo semplice (ma rivoluzionario) modello permette di descrivere molto bene le righe di assorbimento di molti gas e fu una delle basi per lo sviluppo della meccanica quantistica.
In meccanica quantistica il sistema più semplice nel quale sia possibile ottenere una "quantizzazione dell'energia" (ovvero il fatto che solo certi livelli discreti siano accessibili) è la cosiddetta buca di potenziale infinita. Se prendiamo una particella di massa formula_2 in una dimensione e consideriamo un potenziale della forma:
e quindi l'equazione di Schrödinger stazionaria sarà data dall'equazione differenziale
formula_4
Per formula_5 il potenziale ha un valore infinito e quindi l'unica soluzione del problema è formula_6. All'interno della buca invece il potenziale è nullo e quindi la particella è libera e sarà descritta dalla funzione d'onda
Per individuare i valori delle costanti di scala A e B dobbiamo imporre la continuità della funzione d'onda. Facendolo si osserva che questa condizione può essere soddisfatta solamente per un insieme discreto di valori dell'energia "E" dati da
dove "n" è un numero intero.
Un esempio molto chiaro è quello dell'oscillatore armonico in una dimensione. Nel caso della meccanica classica un oscillatore armonico di costante elastica "k" ha un'energia
dove L è l'ampiezza dell'oscillazione. Come si vede sono accettabili tutte le energie da zero (dove L=0 ovvero non c'è alcuna oscillazione) a quella associata alla massima elongazione che il sistema può sostenere senza danneggiarsi e queste energie formano un continuo.
Nel caso quantistico invece si ottiene che è possibile imporre le condizioni al contorno solo quando l'energia assume i valori
dove formula_11 è la frequenza dell'oscillazione, formula_12 è pari alla costante di Planck divisa per formula_13 e formula_14 è un numero intero.
In questo caso sono accettabili solo alcuni valori dell'energia (infiniti ma numerabili con l'indice "n"), equispaziati tra loro (motivo per cui l'oscillatore, in analogia al caso delle onde acustiche, è chiamato "armonico"). La ragione per la quale nella vita di tutti i giorni non ci accorgiamo di questa "quantizzazione" dei livelli dell'energia è che formula_12 è piccolissima (circa formula_16 J formula_17 s) e quindi la separazione fra i vari stati non è apprezzabile.
Il modello della particella su una sfera è utilizzato per descrivere il moto rotazionale di una particella nello spazio tridimensionale. Come noto dalla meccanica classica, l'energia di una particella che ruota su un piano xy lungo un asse z è data dalla relazione:
dove "J" è la componente del momento angolare lungo l'asse z e "I" è il momento di inerzia. In base alla relazione di de Broglie si ricava
Le condizioni al contorno ciclico impongono che la funzione d'onda assuma lo stesso valore lungo un percorso passante per i poli così come lungo l'equatore. Ciò equivale alla quantizzazione dell'energia. Risolvendo l'equazione di Schrödinger, dopo avere separato le variabili ed espresso la funzione d'onda come prodotto "Θ(θ)Φ(φ)", si ottiene l'energia che in termini quantomeccanici assume i valori
dove "l" è il numero quantico azimutale. Esistendo per ogni valore del numero quantico magnetico "2l+1" differenti funzioni d'onda caratterizzate dalla medesima energia, segue che un livello con numero quantico "l" è "2l+1" volte degenere. Da notare come invece nel caso dell'espressione dell'energia per la rotazione in due dimensioni (particella su un anello) nella formulazione quantomeccanica compaia il numero quantico magnetico:
In questo caso la condizione al contorno ciclico è solo una e impone che la funzione d'onda torni ad assumere il medesimo valore iniziando un nuovo "giro".


L'energia meccanica è la somma di energia cinetica ed energia potenziale attinenti allo stesso sistema, da distinguere dall'energia totale del sistema in cui rientra anche l'energia interna.
Quando due sistemi si scambiano tra loro energia meccanica, tale energia in transito è definita lavoro. Dunque l'energia meccanica può essere posseduta da un sistema e scambiata con altri sistemi, mentre il lavoro corrisponde solamente alla parte di energia meccanica che è scambiata.
Per un sistema scleronomo e in presenza di sole forze conservative si dimostra che l'energia meccanica costituisce un integrale di moto, cioè si conserva, e coincide con l'hamiltoniana meccanica. La dimostrazione più semplice discende direttamente dal teorema dell'energia cinetica: se il lavoro compiuto dalle forze è pari alla variazione di energia cinetica del sistema:
Se le forze sono conservative è possibile esprimere il lavoro come variazione di energia potenziale:
si ottiene che la variazione di energia cinetica più la variazione di energia potenziale è identicamente nulla, cioè:
avendo battezzato la quantità "T+U" energia meccanica totale del sistema.
Un corpo in un campo gravitazionale (conservativo) è dotato di una certa energia potenziale dipendente unicamente dall'altezza rispetto ad un punto di riferimento. Se lo lasciamo libero, in assenza di forze dissipative come l'attrito con l'aria, l'energia potenziale iniziale, a mano a mano che cade, si trasforma in energia cinetica (cresce la velocità) mentre la somma delle due energie rimane la stessa.
Chiamando formula_5 e formula_6 rispettivamente la quota rispetto ad un riferimento fisso e la velocità di un corpo all'istante "t", e formula_7 e formula_8 le stesse quantità all'istante iniziale "t"=0, abbiamo:
cioè
che possiamo scrivere come
Il primo membro della precedente esprime l'energia meccanica totale "T + U" del sistema al tempo "t", che è costante ed uguale all'energia meccanica formula_12 del sistema all'istante "t"=0. Quindi:
Alla fine della caduta, quando il corpo urta il pavimento ed è di nuovo fermo, l'energia cinetica è nuovamente nulla, e poiché anche l'energia potenziale è diminuita, concludiamo che in questo evento l'energia meccanica si sia dissipata (in seguito ad un urto anelastico). In realtà l'energia meccanica "scomparsa" risulta essersi convertita in energia termica e, eventualmente, onde sonore: misurando la temperatura dell'oggetto possiamo infatti riscontrarne un lieve aumento, oltre a notare, nel caso in cui sia presente, una perturbazione dell'eventuale mezzo in cui avviene l'urto. Questo è un fatto generale: le leggi di conservazione della fisica implicano la conservazione dell'energia nei sistemi isolati.
Il "pendolo di Maxwell" fornisce un ottimo esempio del principio di conservazione dell'energia meccanica. Il sistema è costituito da un volano. Due fili sono avvolti nello stesso verso attorno all'asse del volano, mentre le estremità opposte sono collegate ad un sostegno orizzontale. Il volano è "caricato" avvolgendo i fili attorno all'asse, in modo tale che il volano si trovi ad una certa altezza rispetto al piano di riferimento. Se lasciato andare, il volano inizia a scendere ed acquista velocità. Arrivato al punto più basso consentito dallo srotolamento dei fili, il pendolo si riavvolge nel verso opposto e risale. In condizioni ideali, esso tornerebbe alla stessa quota di partenza; tuttavia, per la presenza di attriti con i fili e con il mezzo (l'aria), il moto risulta essere invece smorzato, e dopo un certo numero di oscillazioni il pendolo si ferma nel punto più basso consentito dai fili.
Per determinare il periodo di tale pendolo, ovvero il tempo impiegato dal volano per scendere e risalire, si utilizza il principio di conservazione dell'energia:
ovvero le variazioni di energia cinetica, sia di traslazione che rotazionale, compensano le variazioni di energia potenziale. Avendo preso come asse di riferimento l'asse h diretto verso l'alto e come piano di riferimento quel piano orizzontale sul quale giace il punto più basso raggiunto dal volano, alla massima altezza "h" l'energia è tutta potenziale, mentre nel punto più basso ("h" = 0) l'energia è tutta cinetica. Se h e v sono le generiche altezza e velocità all'istante "t", possiamo esplicitare la conservazione dell'energia:
Se esprimiamo "I", il momento di inerzia del volano, come "kmr", con "k" coefficiente adimensionale, la precedente può essere scritta nel seguente modo (ricordando che "v" = ω "r"):
Deriviamo ambo i membri rispetto al tempo (ricordando di includere tutte le dipendenze temporali e di applicare correttamente la regola di derivazione delle funzioni composte):
La legge oraria di un corpo uniformemente accelerato è data da:
Imponendo che Δh sia pari alla massima estensione del volano (cioè "h"("t") = 0), si ricava il tempo "t" nel quale il volano raggiunge il fondo (il periodo "T" è esattamente il doppio):
Quindi, in definitiva:
Consideriamo un corpo di massa "m" con velocità iniziale formula_21 che urti elasticamente un altro corpo, inizialmente fermo, di massa "M".
Dato che l'urto è elastico, l'energia meccanica dell'intero sistema deve conservarsi. Dato che in un urto agiscono forze impulsive è possibile trascurare le altre forze in gioco (es. gravitazionale), quindi l'energia del sistema è data dalla somma delle energie cinetiche dei corpi. Inoltre, dato che in un urto, per definizione, si considera il sistema come isolato, si conserva la quantità di moto. Chiamando "v" la velocità finale del bersaglio, otteniamo il sistema:
Si ricava facilmente, ricavando "v" dalla seconda equazione e sostituendo nella prima:
dove μ è un coefficiente adimensionale che indica il rapporto tra la velocità finale e quella iniziale. Si ricava immediatamente l'energia cinetica finale del proiettile
ovvero
l'energia cinetica del corpo, dopo l'urto, è uguale a quella iniziale per un coefficiente positivo μ detto "di restituzione".
Non sempre le forze che agiscono su un sistema sono conservative, e non sempre l'energia meccanica, dunque, si conserva. Siano allora F e F rispettivamente la somma di tutte le forze conservative e non conservative. Il lavoro da esse compiuto è allora:
Per il teorema dell'energia cinetica, il lavoro corrisponde alla variazione totale di energia cinetica del sistema:
mentre, essendo F forze conservative, è possibile ad esse associare una funzione potenziale "U" tale che il lavoro di tali forze possa essere espresso come:
In questo modo, sostituendo nell'espressione del lavoro, si ha:
Ora a primo membro si riconosce la variazione di energia meccanica del sistema, prova che le variazioni di energia meccanica di un sistema sono dovute esclusivamente al lavoro compiuto dalle forze non conservative sul sistema.
Un esempio di forza non conservativa, preso dall'esperienza di tutti i giorni, è la forza d'attrito. Sebbene in natura non esistano forze non conservative (a livello microscopico), la forza d'attrito è considerata non conservativa, in primo luogo perché essa, in generale, non è costante, perlomeno in direzione e verso; in secondo luogo perché gli effetti che essa produce (generalmente surriscaldamento delle parti a contatto) non sono conteggiati nel computo dell'energia meccanica. Analogamente, non sono conteggiati i contributi del campo elettromagnetico che produce un lavoro non conservativo e dipendente dallo spostamento.
