
In fisica, l"'elasticità" è la proprietà che permette ad un corpo di deformarsi sotto l'azione di una forza esterna e di riacquisire, se le deformazioni non risultano eccessive, la sua forma originale al venir meno della causa sollecitante. Se il corpo, cessata la sollecitazione, riassume esattamente la configurazione iniziale è detto perfettamente elastico. 
L'elasticità riguarda sia i corpi solidi che i fluidi. I primi possiedono sia elasticità di forma che di volume, reagiscono cioè elasticamente alle sollecitazioni che tendono a deformare il volume del corpo e a cambiare i suoi angoli; i fluidi invece presentano solo elasticità di volume, in quanto reagiscono elasticamente a una compressione o espansione ma non oppongono resistenza al cambiamento di forma, che dipende dal recipiente.
La sollecitazione massima che garantisce il comportamento elastico del materiale è detta limite di elasticità e, nel caso venga superata, si entra nella regione di comportamento plastico del pezzo, che consiste nel cedimento o nel flusso del materiale, a seconda che sia fragile o duttile rispettivamente. Il limite di elasticità trattandosi di una pressione è misurato in Pascal, ovvero una forza per unità di superficie: 
formula_1
Se il materiale è duttile, ovvero che permette plasticizzazioni, il limite elastico è la tensione di snervamento, mentre nel caso di materiali fragili, che sono privi del campo plastico, il limite elastico è la rottura del materiale.
Il modello matematico più semplice di rappresentazione del comportamento elastico è quello lineare della legge di Hooke (e della legge di Hooke generalizzata nel caso di stati tensionali pluriassiali), che nel caso di stato di sforzo monoassiale, tipico delle prove di trazione, è: formula_2 dove formula_3 è lo sforzo agente nel provino raffigurato in figura con formula_4 forza applicata alle sue estremità ed formula_5 superficie della sezione trasversale iniziale, formula_6 la deformazione del provino ovvero il suo allungamento relativo, con formula_7allungamento assoluto del provino, ossia la differenza fra la lunghezza finale formula_8 e quella iniziale formula_9 ed formula_10 il modulo di Young (o elastico), che è la costante di proporzionalità fra gli sforzi e le deformazioni in campo elastico.
Tale modello riveste un aspetto fondamentale sia in ambito teorico, per la possibilità di pervenire ad uno studio matematico completo dei problemi formulati, sia in ambito ingegneristico, per la ricaduta che esso ha nella modellazione e risoluzione di problemi di interesse tecnico e scientifico. Altri più complessi modelli matematici di elasticità nonlineare, importanti per la rappresentazione del comportamento delle gomme, fanno riferimento al modello di materiale iperelastico, mentre per mezzi porosi il modello si declina nella poroelasticità.
Lo studio dei corpi solidi elastici è oggetto della teoria dell'elasticità, una branca della meccanica dei solidi.
Il comportamento elastico dei diversi materiali ha origini microscopiche che si distinguono in base al particolare tipo di materiale. Possiamo parlare infatti di "elasticità entalpica" ed "elasticità entropica".
L'elasticità entalpica è caratteristica dei materiali cristallini, e deriva da un fenomeno che avviene a livello atomico. Le proprietà elastiche di questi materiali derivano dal tipo di interazione che si instaura fra i loro atomi costituenti, quando questi sono sottoposti ad un carico esterno. Se tali interazioni determinano un dislocamento degli atomi contenuto, questi, una volta rimosso il carico, riescono a rioccupare la loro posizione iniziale ed il materiale è detto elastico; se perdipiù il dislocamento è sufficientemente piccolo, è garantita la diretta proporzionalità fra deformazione e carico ed è valida pertanto la legge di Hooke. 
Il fitto reticolo cristallino di questi materiali permette solamente piccole deformazioni e spostamenti locali, da cui derivano l'alto limite di elasticità ed il grande modulo elastico. Questo comporta la necessità di esercitare elevate tensioni per ottenere deformazioni rilevanti. Nel caso in cui si rimanga al di sotto dello sforzo di snervamento del materiale, il rapporto tra sforzo e deformazione è pari alla costante modulo elastico o modulo di Young, che rappresenta la proporzionalità fra sforzo e deformazione nel campo lineare del materiale, descritta dalla legge di Hooke, e determina la pendenza del tratto rettilineo nel diagramma sforzo-tensione della prova monoassiale rappresentata in figura. 
L'elasticità dipende quindi dalla struttura microscopica del materiale e dalle forze di interazione che agiscono fra gli atomi che lo compongono. In particolare va considerata l'energia potenziale esistente tra ogni coppia di atomi, che può essere espressa in funzione della loro distanza. A una certa distanza d i due atomi sono in equilibrio, ossia la risultante delle forze di interazione tra i due è nulla. La variazione di tali forze (a causa della sollecitazione esterna) fa variare la distanza reciproca tra le particelle (producendo a livello macroscopico la deformazione del corpo: nel caso di trazione, per esempio, si ha uno "stiramento" dei legami). Per livelli relativamente bassi delle sollecitazioni, il lavoro meccanico necessario viene accumulato come energia elastica, all'interno del materiale, e viene restituito interamente al venir meno della causa sollecitante mentre le particelle ritornano alla loro posizione iniziale (il corpo riacquista la sua forma e dimensioni originarie). L'energia immagazzinata nel materiale è quantificabile dalla seguente relazione: formula_11 che graficamente è rappresentata dall'area sottesa alla curva tensione-deformazione rappresentata in figura, dove formula_12 è il lavoro svolto di deformazione, immagazzinato nel materiale come energia elastica, formula_13è l'andamento dello sforzo in funzione della deformazione formula_14, ed formula_15 è la deformazione finale che si raggiunge applicando il carico esterno.
Questo meccanismo è alla base del comportamento elastico macroscopico dei diversi materiali, ma al variare del tipo di materiale, e dunque della struttura microscopica, si delineano comportamenti elastici differenti.
L'elasticità entropica è caratteristica dei materiali polimerici costituiti a livello molecolare da catene; tale elasticità scaturisce da un movimento delle catene da uno stato ad elevata entropia (lo stato più probabile, in cui le catene sono aggrovigliate) a uno stato a bassa entropia (uno stato meno probabile, più ordinato, in cui le catene sono allineate), che avviene durante l'allungamento del materiale.
Materiali polimerici come la gomma, essendo costituiti a livello microscopico da molecole a catena, permettono grandi scorrimenti e deformazioni, e pertanto sono caratterizzati da bassi limiti di elasticità e piccolo modulo di elasticità. Ciò significa che a sforzi e tensioni relativamente bassi corrispondono già deformazioni apprezzabili macroscopicamente, così come punti di snervamento o rottura molto bassi. Questi materiali sono detti elastomeri, con un comportamento cosiddetto ad ""alta elasticità"" rispetto alla ""vera elasticità"" dei cristallini. Inoltre, a causa del precoce stiramento delle catene, causato da un ulteriore allungamento quando queste sono già state allineate, gli elastomeri hanno un comportamento elastico non lineare.
I materiali cellulari, come il legno, reagiscono in modo differente alla compressione e alla trazione. Grazie alla presenza di cavità nel materiale, la compressione mostra completa rigidità fino a quando le pareti di tali cavità non sono soggette a inflessione elastica, che permette di avere una notevole deformazione senza grande incremento di sforzo. Tali deformazioni inoltre, sono in gran parte recuperabili, ma una volta avvenute riportano il corpo a uno stato di rigidità, essendosi annullate le cavità. D'altra parte, queste non hanno la stessa influenza sulla trazione, che non permette la flessione elastica delle pareti nello stesso modo.
Per studiarne il comportamento se sottoposti a sforzo, i materiali possono essere modellati come privi di struttura interna e costituiti da un continuo solido. Rappresentando il corpo in un sistema di riferimento cartesiano, si può indicare la posizione di ogni suo punto tramite il vettore posizione: formula_16ed il loro spostamento con il vettore formula_17. Il vettore spostamento descrive come si deforma il corpo sotto carico, infatti: formula_18 è la distanza cartesiana fra due punti del corpo e formula_19è la stessa distanza dopo che il corpo si sia deformato ed è chiaramente funzione di formula_20. Si introduce la grandezza formula_21 detta deformazione, che al variare di formula_22 forma un tensore di rango 2, detto tensore delle deformazioni: formula_23dove i termini diagonali formula_24con formula_25 sono dette deformazioni normali e descrivono gli allungamenti o le contrazioni, le restanti formula_26con formula_27 sono detti scorrimenti e descrivono la variazione di forma, quindi degli angoli, rispetto al riferimento cartesiano.
Lo stato di sforzo è generalmente, e nella maggior parte dei casi, tridimensionale. Per studiarlo si sfrutta il Teorema di Cauchy ponendo una terna cartesiana sul punto formula_28 sotto studio e tagliando il corpo con un piano inclinato di normale formula_29 a distanza infinitesima formula_30 da formula_28, che individua insieme ai tre piani di riferimento un tetraedro, detto di Cauchy, rappresentato in figura. La faccia di normale formula_29ha superficie pari a formula_33, mentre le altre, di normale formula_34formula_35e formula_36, hanno superficie rispettivamente pari a formula_37, formula_38e formula_39dove formula_40, formula_41e formula_42sono i coseni direttori di formula_29. Il generico sforzo agente sul piano di normale formula_29 è formula_45, e sulle altre facce formula_46, formula_47 e formula_48, che per convenzione sono considerati positivi se entranti e quindi il meno sta ad indicare che sono uscenti dal volume infinitesimo. Per studiare il generico stato di sforzo formula_45di un punto appartenente al corpo basta imporre l'equilibrio statico nel tetraedro (I equazione cardinale della statica): 
formula_50 
che nel caso siano noti i tre vettori formula_46, formula_47 e formula_48si può determinare lo sforzo formula_45in qualsiasi punto del corpo. 
Si possono ora proiettare tutti e tre i vettori formula_46, formula_47 e formula_48nelle tre direzioni formula_58, formula_59e formula_60ed il vettore formula_45nella direzione normale e tangenziale del piano di normale formula_29, ottenendo: 
formula_63 
formula_64 
dove due delle tre componenti saranno tangenziali alla faccia di applicazione dello sforzo e la rimanente sarà normale alla faccia. Si compone infine il tensore degli sforzi, che descrive il generico stato di sforzo: 
formula_65
La densità di energia di deformazione è l'energia elastica immagazzinata dal materiale per unità di volume, e vale la relazione: formula_66ovvero l'incremento della densità di energia di deformazione formula_67è pari al lavoro svolto dagli sforzi formula_68per alterare le deformazioni formula_26. Si ricava allora che: formula_70.
La relazione formula_66 può essere espansa in serie con Taylor nell'intorno di formula_72nel caso di solido lineare e di stato iniziale scarico ed indeformato, ovvero con formula_73, ottenendo:
formula_74 alla quale se applichiamo formula_70 otteniamo la legge di Hooke generalizzata: formula_76 che nel caso di materiale isotropo diviene:
formula_77
dove formula_10 è il modulo elastico e formula_79 è il coefficiente di Poisson.


La fatica è un fenomeno meccanico di progressiva degradazione di un materiale sottoposto a carichi variabili nel tempo (in maniera regolare o casuale) che può portare alla sua rottura (cedimento a fatica o rottura per fatica) anche se sia rimasto nel suo limite d'elasticità, cioè nonostante durante la vita utile del materiale l'intensità massima dei carichi in questione si sia mantenuta ad un valore sensibilmente inferiore alla tensione di rottura o di snervamento statico (in assenza di cicli di sforzo) del materiale stesso.
Storicamente scoperta e studiata come fenomeno prettamente metallurgico (quindi nell'ambito dei materiali metallici), in seguito il termine "fatica" è stato usato anche per le altre classi di materiali, come i materiali polimerici o i materiali ceramici.
Si stima che la fatica sia il fenomeno responsabile della grande maggioranza dei cedimenti degli organi di macchine in materiale metallico in fase di esercizio: approssimativamente il 90% delle rotture segue i tratti caratteristici del cedimento a fatica.
A seconda della causa scatenante il fenomeno della fatica si può distinguere in:
I primi studi intorno alla fatica vennero compiuti alla fine del secolo XIX, in seguito a una serie di rotture "inspiegabili" di assi ferroviari progettati per resistere a carichi (statici) ben superiori a quelli cui invece avveniva la loro rottura improvvisa in esercizio. August Wöhler intuì che il fenomeno era dovuto alla natura ciclica del carico cui l'assale era sottoposto (flessione rotante) e tentò di ricostruire lo stato di sollecitazione in laboratorio, mettendo in relazione l'ampiezza massima del ciclo di sollecitazione con il numero di cicli che il pezzo sopportava prima della rottura: ne ricavò una serie di curve su base statistica che sono chiamate "diagrammi di Wöhler" e costituiscono lo strumento base per la progettazione di componenti meccanici sollecitati a fatica.
Ad esempio un pezzo in grado di resistere a 50 kg/mm² in maniera statica (cioè in assenza di cicli di sforzo) può scendere a soli 10–12 kg/mm² se sottoposto a oltre 100 milioni di cicli. La curva di Wöhler divide il piano in due parti: per qualsiasi condizione al di sopra della curva il pezzo va incontro a rottura per fatica, mentre per qualsiasi condizione al di sotto della curva il pezzo non va incontro a rottura per fatica.
Da questi diagrammi si evidenzia per alcuni materiali l'esistenza di un limite inferiore di sforzo massimo al di sotto del quale il materiale non si rompe per effetto di fatica nemmeno per un numero "molto alto" (idealmente infinito) di cicli. Questo valore dello sforzo è detto limite di fatica del materiale. Nella pratica ingegneristica, il limite di fatica viene determinato per un numero ben preciso di cicli, che anche se non è infinito, corrisponde ad un numero particolare elevato. Ad esempio nel caso di leghe di rame il limite di fatica si riferisce a 100 milioni di cicli.
Va sottolineato che i valori ottenuti tramite la curva di Wöhler sono relativi ai provini adoperati durante la prova; per lo specifico componente meccanico, si introducono diversi coefficienti correttivi che tengono conto di processi di lavorazione (e possibili stati tensionali residui), dimensioni, condizioni di esercizio, intensificazione delle tensioni in corrispondenza di intagli, e altri fattori che possono influenzare la resistenza a fatica del componente stesso.
Nel caso dei materiali metallici, la fatica è legata ai fenomeni di micro-deformazioni plastiche cicliche locali indotte dal ciclo di sollecitazioni. Esse sono dovute al fatto che, per effetto di vari tipi di microintagli e/o discontinuità (bordi di grano, inclusioni non metalliche, composti interstiziali, rugosità superficiali), il valore dello sforzo può superare localmente il carico di snervamento, anche se il carico macroscopico esterno rimane sempre al di sotto di esso.
In particolare il danneggiamento per fatica procede attraverso i seguenti stadi:
La propagazione della frattura è facilmente osservabile in qualunque oggetto rotto a fatica. Un oggetto rotto a fatica presenterà infatti due superfici diverse in corrispondenza della sezione di rottura:
Il limite di fatica è correlato alla tensione di rottura R e indirettamente ai fattori che la modificano, che sono:
Dunque le strutture non omogenee e lamellari creano maggiori concentrazioni di sforzi nel materiale e sono quindi più rischiose; ad esempio la perlite ha una struttura che peggiora la resistenza alla fatica.
In genere gli acciai da bonifica sono più resistenti a frattura fragile.
Le inclusioni sono dannose se in quantità e con geometria lamellare. In linea di massima è quindi più resistente un pezzo ottenuto per solidificazione sottovuoto rispetto ad un pezzo ottenuto per colata.
Si considerano come fattori meccanici tutti quelli legati all'esercizio e al dimensionamento del pezzo metallico.
È necessario eliminare i solchi lasciati dagli utensili di lavorazione, in quanto in essi si crea una concentrazione di tensioni. Comunque una superficie ben levigata apporta significativi vantaggi solo su pezzi in acciai ad alta resistenza, per i quali è quindi indispensabile una accurata lavorazione. Si sottolinea poi che è importante pure evitare che una successiva corrosione crei irregolarità superficiali.
La cosa più importante comunque è la finitura superficiale.
Si ha una diminuzione notevole del limite di fatica man mano che aumentano le irregolarità superficiali.
Un'azione molto accentuata nell'abbassare il limite di fatica è svolta da una corrosione che sia contemporanea alla sollecitazione di fatica tanto è vero che il danneggiamento continua a crescere con il numero di cicli qualunque sia la sollecitazione applicata.
Anche la forma del pezzo ha importanza sulla vita a fatica: ogni lieve variazione di sezione, determinando delle concentrazioni di tensioni e localizzando le deformazioni, agisce sempre nel senso di una netta diminuzione del limite di fatica, per questo hanno un'azione dannosa fori, intagli e spigoli vivi.
Le cricche di fatica nucleano quasi sempre (eccetto alcuni casi tipici, come la fatica per contatto ciclico negli ingranaggi) su una superficie libera del pezzo in questione: questo per un concorso di cause (in superficie sono in genere massimi gli sforzi dovuti a flessione o torsione; in superficie sono in genere presenti difetti microscopici come la rugosità superficiale che fungono da microintagli e favoriscono l'innesco...). Per prevenire il danneggiamento per fatica o per migliorare la resistenza ad esso in genere si ricorre a trattamenti quali:
È inoltre necessario, in fase di progettazione di un componente che dovrà resistere a fatica, curare bene il disegno dello stesso in modo che non presenti intagli o brusche variazioni di sezione che possano amplificare localmente gli sforzi e in tal modo favorire la nucleazione di cricche di fatica.
Un pistone in alluminio di un motore diesel ad iniezione diretta, presenta una cricca all'interno di una cava del segmento; in prossimità si trova pure un foro di lubrificazione.
La causa di innesco della cricca può ragionevolmente essere la concentrazione degli sforzi, infatti localmente sono presenti diversi spigoli vivi.
Sezionando il pezzo in questione ed osservando la superficie fessurata si possono notare i segni caratteristici di una rottura per fatica: le linee di cresta e le linee di arresto frontali (linee di spiaggia).
Nell'immagine sono evidenziate in rosso le linee di cresta, tipiche della nucleazione: infatti hanno origine proprio dalla gola, e si nota un'intensificazione in prossimità del foro (effetto intaglio). 
Le linee nere, dette linee di arresto frontali, rappresentano l'avanzamento del fronte di frattura.
Un ingrandimento al microscopio metallografico permette di visualizzare ancora più in dettaglio le linee di cresta alla periferia, mentre le linee di arresto si possono notare come variazione di luminosità della superficie (dovuta al cambio di piano).
La zona di cedimento fragile non si nota in quanto non si è avuta rottura completa del pezzo: infatti la sezione resistente a geometria toroidale ha conservato la sua integrità per un settore ben maggiore di quello fessurato.
Evidentemente i carichi statici non hanno superato il limite di resistenza della sezione residua, quindi non si è avuto una rottura di schianto.
Per i materiali polimerici, il fenomeno della fatica è complicato dalla loro natura viscoelastica. La dipendenza dal tempo della risposta del materiale in termini di deformazioni ad uno sforzo applicato fa sì che, sottoposto ad un carico ciclico variabile sinusoidalmente, a regime, un materiale polimerico presenterà uno sfasamento "delta" tra l'andamento degli sforzi applicati e quello delle deformazioni. L'entità di questo sfasamento dipende da quanto il comportamento sia elastico piuttosto che viscoso: nei casi limite, lo sfasamento sarà nullo (comportamento perfettamente elastico) o pari a un quarto di periodo (comportamento perfettamente viscoso).
Questo sfasamento fa sì che, ad ogni ciclo di sollecitazione, il materiale rilasci energia a causa dell'isteresi viscoelastica: questa energia viene dissipata sotto forma di calore, che può anche essere considerevole e portare il polimero, localmente, a superare la temperatura di transizione vetrosa.
L'insorgere di fenomeni termici di questa entità sposta il problema dal piano puramente meccanico della fatica a quello dei fenomeni termici: il materiale scaldandosi sempre di più cede per creep, o per rammollimento locale, piuttosto che per fatica. In questo caso si parla di ""cedimento termico per fatica"".
Se invece il ciclo di isteresi è sufficientemente ridotto o il materiale ha proprietà termiche tali da consentirgli di dissipare il calore prodotto in maniera stabile, raggiungendo una temperatura di equilibrio non troppo elevata, allora a prevalere è l'aspetto meccanico del fenomeno, e si parla di ""cedimento meccanico per fatica"".
