
In fisica la radiazione elettromagnetica (o radiazione γ, gamma) è la radiazione dell'energia nel campo elettromagnetico.
Si tratta di un fenomeno sia ondulatorio, sia corpuscolare:
La radiazione elettromagnetica può propagarsi nel vuoto, come ad esempio lo spazio interplanetario, in mezzi poco densi come l'atmosfera, oppure in strutture guidanti come le guide d'onda. Le applicazioni tecnologiche che sfruttano la radiazione elettromagnetica sono svariate. In generale si possono distinguere due macrofamiglie applicative: nella prima figurano le onde elettromagnetiche utilizzate per trasportare informazioni (radiocomunicazioni come radio, televisione, telefoni cellulari, satelliti artificiali, radar, radiografie), nella seconda quelle per trasportare energia, come il forno a microonde.
Le onde elettromagnetiche furono predette teoricamente prima di essere rilevate sperimentalmente: le equazioni di Maxwell, che riassumono l'elettromagnetismo classico, ammettono una soluzione ondulatoria propagantesi nel vuoto alla velocità della luce. Furono poi le esperienze di Hertz a confermare l'esistenza delle cosiddette "onde hertziane", ed a misurarne la velocità. L'esperimento di Michelson-Morley provò l'indipendenza della velocità della luce dalla direzione di propagazione e, grazie ad altre esperienze che attualmente si considerano sufficienti a falsificare le cosiddette teorie balistiche della luce, viene oggi considerata l'esperienza cruciale che mise in crisi la meccanica classica richiedendo la formulazione della relatività ristretta. È sulla base di tale teoria, una delle teorie meglio controllate empiricamente, che è possibile enunciare le proprietà della radiazione elettromagnetica nel vuoto.
Gli studi sull'effetto fotoelettrico, tra i quali spicca il contributo del 1905 di Albert Einstein (che gli valse il premio Nobel), evidenziarono l'esistenza di una frequenza di soglia sotto la quale tale effetto non ha luogo, indipendentemente dall'intensità (ampiezza) della radiazione incidente. Esperienze correlate, quali la misura dello spettro di corpo nero, ed i relativi tentativi di giustificazione teorica, indussero i fisici dell'inizio del secolo scorso a riaprire il secolare dibattito sulla natura della luce, di cui le equazioni di Maxwell sembravano costituire la soluzione definitiva, introducendo la nozione di quanto di energia. Il quanto di radiazione elettromagnetica prende il nome di fotone ed è una particella (nel senso della meccanica quantistica) che segue la statistica di Bose-Einstein, ovvero un bosone.
L'equazione che descrive la propagazione di un'onda elettromagnetica è l'equazione delle onde, che può essere scritta a partire dai campi elettrico e magnetico ed è un'equazione omogenea. In modo equivalente, l'equazione delle onde può essere espressa in termini delle sorgenti del campo: in questo caso si ricorre all'utilizzo dei potenziali, e si tratta di un'equazione non omogenea.
Si supponga di trovarsi in un dielettrico omogeneo ed isotropo, elettricamente neutro e perfetto e privo di cariche libere localizzate, sorgenti del campo elettromagnetico. Le equazioni che descrivono la propagazione del campo sono le equazioni delle onde per il campo elettrico e magnetico, due equazioni differenziali alle derivate parziali vettoriali:
cioè formula_2 è il versore della propagazione dell'onda.
Un generico campo elettromagnetico con frequenza formula_3 è una somma di soluzioni di tali equazioni, che si possono esprimere utilizzando l'espansione in armoniche sferiche con coefficienti proporzionali alle funzioni di Bessel sferiche. Per ottenere soluzioni a divergenza nulla il termine che si sviluppa in armoniche è formula_4 o formula_5, ottenendo:
dove formula_8 e formula_9 sono i campi di multipolo dell'ordine formula_10, formula_11 e formula_12 sono i corrispondenti campi magnetici, mentre formula_13 e formula_14 sono i coefficienti dell'espansione. I campi sono dati da:
dove formula_17 sono le funzioni di Hankel sferiche, formula_18 e formula_19 sono le condizioni al contorno e:
sono le armoniche sferiche vettoriali, che sono normalizzate in modo tale che:
Si consideri il piano definito dal versore perpendicolare ad esso:
Le soluzioni planari dell'equazione d'onda sono:
dove formula_24 è la posizione. Entrambe le espressioni soddisfano l'Equazione di Helmholtz:
Soluzioni di questo tipo rappresentano onde piane che si propagano nella direzione del versore normale al piano. Se si pone "z" la direzione del versore e "x" la direzione del campo elettrico, allora il campo magnetico ha direzione "y" e si ha che formula_26. Inoltre, essendo nulla la divergenza del campo magnetico non vi sono campi nella direzione di propagazione.
Le equazioni di Maxwell forniscono diverse informazioni riguardanti la propagazione delle onde elettromagnetiche. Si consideri un generico campo:
dove formula_28 è l'ampiezza costante, formula_29 è una funzione differenziabile al secondo ordine, formula_30 è il versore della direzione di propagazione e formula_31 la posizione. Si osserva che formula_32 è una generica soluzione dell'equazione delle onde, cioè:
per un'onda generica che si propaga nella direzione formula_34. Tale funzione deve inoltre soddisfare le equazioni di Maxwell:
La prima equazione implica quindi che il campo elettrico è ortogonale alla direzione di propagazione, mentre la seconda definisce il campo magnetico, ortogonale sia al campo elettrico che alla direzione di propagazione.
Dalle equazioni di Maxwell si evince dunque che in un'onda elettromagnetica i campi sono ortogonali fra loro e ortogonali alla direzione di propagazione, che le loro ampiezze sono proporzionali, e che la costante di tale proporzionalità è la velocità di propagazione, che dipende dalle caratteristiche del mezzo in cui si propaga.
Ogni onda elettromagnetica è in grado di trasferire energia tra due punti dello spazio. Si consideri il caso di un'onda piana, e si prenda un volume arbitrario τ contenente un campo elettromagnetico. Al suo interno la densità di energia elettrica vale:
mentre la densità di energia magnetica vale:
L'energia totale all'interno del volume sarà quindi:
Derivando quest'equazione e sfruttando le relazioni tra gli operatori rotore e divergenza si ottiene:
Il termine:
è il vettore di Poynting, mentre il secondo integrale al secondo membro rappresenta il contributo dell'energia del campo elettrico per la presenza della carica contenuta nel volume formula_42. Dal punto di vista fisico la precedente espressione esprime il fatto che la variazione nel tempo dell'energia contenuta nel volume formula_42 delimitato dalla superficie formula_44 è pari al flusso del vettore di Poynting attraverso la superficie, più l'energia dissipata per effetto Joule nella materia contenuta all'interno. In generale, dunque, secondo l'interpretazione classica ondulatoria l'energia posseduta del campo è riconducibile all'ampiezza (precisamente al quadrato dell'ampiezza) dell'onda che ne descrive la propagazione.
Nel caso di un'onda piana, sapendo che i campi elettrico e magnetico sono ortogonali tra loro:
e che oscillano ortogonali alla direzione di propagazione dell'onda, ponendo che non vi siano effetti dissipativi si ha:
dove formula_47 è la velocità di propagazione dell'onda. Oppure, in termini di campo elettrico:
dove formula_49 è il versore che identifica la direzione di propagazione dell'onda e:
è l'impedenza caratteristica del materiale entro cui si propaga l'onda.
Il modulo del vettore di Poynting è l'intensità dell'onda, cioè l'energia che attraversa la superficie ortogonale alla velocità di propagazione, nell'unità di tempo:
Se l'onda piana è approssimabile con un'onda monocromatica, essa è caratterizzata da un andamento sinusoidale del tipo:
e lo stesso vale per il campo magnetico. Segue che l'intensità dell'onda è anch'essa una funzione sinusoidale negli stessi argomenti, e deve essere mediata su un periodo:
dove formula_54 è il valore medio dell'intensità d'onda calcolato su un periodo.
Nel caso di un'onda sferica il fronte d'onda è una superficie sferica e la velocità è radiale. Per cui l'intensità d'onda dipende da formula_55:
dunque essa diminuisce come l'inverso del quadrato della distanza.
Un'onda elettromagnetica che incide o si propaga in un materiale trasferisce ad esso una certa quantità di energia, e la sua forma cambia a seconda delle caratteristiche del mezzo considerato.
Si consideri un'onda elettromagnetica incidente su un certo materiale, la forza esercitata dal campo elettromagnetico per unità di volume è data dalla forza di Lorentz generalizzata:
dove formula_58 è il numero di cariche formula_59 contenute nel volume formula_60, e formula_61 la loro velocità di deriva media.
La potenza trasferita dall'onda elettromagnetica per unità di volume al materiale è dovuta solamente al campo elettrico, in quanto la forza relativa al campo magnetico non compie lavoro. Moltiplicando scalarmente la precedente espressione per la velocità, che è ortogonale al vettore formula_62, si ottiene infatti l'espressione della densità di potenza:
dove formula_64 è la densità di corrente, che è proporzionale al campo:
La costante di proporzionalità, detta conducibilità elettrica, è un numero complesso. Si ha quindi in generale:
Nel caso considerevole in cui l'onda ha una rappresentazione sinusoidale, anche la densità di corrente ha una dipendenza sinusoidale, per cui la densità di potenza deve essere mediata su un periodo:
dove si è sviluppato il prodotto scalare, e "α" è l'angolo tra il campo elettrico e il vettore densità di corrente.
Oltre all'energia, un'onda trasferisce una certa quantità di moto formula_68, il cui modulo è pari all'energia trasferita all'unità di volume del materiale e per unità di tempo divisa per la velocità di propagazione. La quantità di moto è data dalla media temporale della forza subita dall'unità di volume definita in precedenza:
diretta lungo la direzione di propagazione dell'onda. Nel vuoto si ha:
dove formula_71 è la velocità della luce.
Avendo definito la quantità di moto di un'onda elettromagnetica, è possibile ricavare il relativo momento angolare:
Inoltre, l'onda possiede anche un momento angolare intrinseco quando essa è polarizzata circolarmente, dato da:
dove il segno dipende dal verso della rotazione e la direzione è longitudinale alla direzione di propagazione dell'onda.
Lo studio della propagazione delle radiazione in un materiale cambia a seconda ci si trovi in presenza di un conduttore o di un dielettrico.
Un'onda elettromagnetica che incide su un conduttore elettrico ha come effetto di accelerare gli elettroni di conduzione, che effettuano un moto oscillatorio dipendente dalla forma dell'onda. L'onda non penetra oltre gli strati superficiali del conduttore, e viene per la maggior parte riflessa o dissipata per effetto Joule. Lo studio del comportamento dei campi nel conduttore si basa sull'estensione delle equazioni di Maxwell al caso in cui la radiazione si propaghi in un conduttore elettrico, le quali permettono di ricavare l'equazione delle onde per il campo elettrico ed il campo magnetico all'interno di un conduttore.
Si consideri un conduttore ohmico omogeneo e isotropo, l'equazione delle onde elettromagnetiche ha la forma:
dove formula_76 è la conducibilità elettrica. L'equazione delle onde si può ricavare introducendo nelle equazioni di Maxwell la legge di Ohm generalizzata:
dove formula_78 è la densità di corrente. La precedente relazione locale vale anche nel caso non stazionario, sebbene la conducibilità elettrica dipenda in generale dal campo.
La soluzione generale nel caso di onda piana che si propaga nella direzione x è:
dove formula_80 è l'unità immaginaria e la funzione complessa formula_81 ha soluzione del tipo:
dove:
con parte reale e immaginaria data da:
In definitiva l'onda piana assume una soluzione del tipo:
A questo punto l'onda trasferisce un'oscillazione smorzata per formula_87 con coefficiente di attenuazione formula_88.
Nelle misure reali dei campi elettromagnetici, tipicamente ad alta frequenza, si utilizza la relazione tra il campo magnetico ed il campo elettrico espressa attraverso l'impedenza caratteristica del mezzo nel quale si propaga la radiazione. L'impedenza d'onda formula_89 è espressa attraverso i parametri dell'onda elettromagnetica e del mezzo in cui essa si propaga:
dove formula_91 è la permeabilità magnetica, formula_92 la permittività elettrica e formula_76 la conducibilità elettrica del materiale in cui l'onda si propaga. In questa equazione, formula_80 è l'unità immaginaria, e formula_3 la frequenza angolare dell'onda.
Nel caso di un dielettrico, in cui la conducibilità è trascurabile, l'equazione si riduce nella seguente:
Nel vuoto, e quindi approssimativamente anche in aria, tale rapporto vale circa 377 ohm:
La relazione tra i campi in tale caso diventa:
Questa formula può essere utilizzata solo in campo lontano dalla sorgente, e viene utilizzata in particolare per la valutazione dell'esposizione umana ai campi elettromagnetici.
La velocità di propagazione di un'onda elettromagnetica è indipendente dalla velocità della sorgente, dalla direzione di propagazione, e dalla velocità dell'osservatore. La velocità dipende soltanto dal mezzo in cui si propaga la radiazione, e nel vuoto è pari alla velocità della luce, la quale è l'esempio più noto di onda elettromagnetica.
La velocità della luce nel vuoto si indica in genere con la lettera formula_71 ed il suo valore numerico, misurato con grande precisione, in unità del sistema internazionale è 299 792 458 m/s. È importante notare che tale valore è stato assunto come esatto: ciò vuol dire che la velocità della luce è posta per definizione uguale a formula_71, e per questo motivo essa non è affetta da alcuna incertezza, al contrario di ciò che avviene per i valori che derivano da un processo di misura. Quest'assunzione ha comportato anche la modifica della definizione del metro.
Nei mezzi materiali e nelle guide d'onda la propagazione della radiazione elettromagnetica diviene un fenomeno più complesso. Innanzitutto la sua velocità è diversa rispetto a quella nel vuoto secondo un fattore che dipende dalle proprietà del mezzo o della guida d'onda. Può dipendere inoltre dalla frequenza della radiazione, secondo una relazione di dispersione. Restano definite due velocità, dette velocità di gruppo e velocità di fase.
L'astronomo danese Ole Rømer fu il primo a determinare empiricamente la velocità della luce per mezzo dell'osservazione del satellite di Giove di nome "Io". Annunciò la sua scoperta nel 1675.
Romer misurò il tempo che il satellite impiegava ad attraversare il cono d'ombra provocato da Giove notando che il tempo impiegato era diverso ad ogni misurazione. Questo perché quando "Io" entrava nel cono d'ombra di Giove la distanza di questi dalla terra era una, mentre, quando "Io" usciva dal cono d'ombra, la distanza dalla terra era diversa. Così ogni volta che la misura viene ripetuta il tempo impiegato appare diverso (a seconda che la terra si stia avvicinando a Giove, tempo più breve del reale, o che si stia allontanando, tempo più lungo). Attraverso l'osservazione di questo fenomeno riuscì infine a calcolare la velocità della luce ottenendo un valore () molto simile al valore reale (299 792 458 m/s).
Oggi la velocità della luce viene misurata direttamente, calcolando il tempo che impiega un impulso luminoso emesso da un laser a percorrere un determinato spazio. Dal momento che questa procedura è molto precisa e la velocità della luce è costante nel vuoto, si è pensato di definire il metro in termini di velocità della luce (vedere in proposito metro).
Gli effetti della radiazione elettromagnetica sugli esseri viventi dipendono principalmente da due fattori: 
Per quanto riguarda la frequenza della radiazione si usa distinguere tra:
Si ritiene comunemente, vedere in proposito la voce elettrosmog, che le radiazioni non ionizzanti possano avere effetti sui viventi non solo per i loro effetti termici, ma possedendo effetti interferenti con i sistemi biologici, presentino quindi il potenziale mutageno e cancerogeno delle radiazioni ionizzanti, anche se in termini diversi e sicuramente in minor misura.
Le radiazioni non ionizzanti come le onde radio, in diversi intervalli di frequenza sono considerate possibilmente cancerogene e classificate come tali dalla IARC, che nel 2011 ha indicato i campi elettromagnetici a radiofrequenza, tipici dei telefoni cellulari come possibili cause di alcuni tipi di cancro. La conseguenza è stata l'inserimento delle radiofrequenze nella classe 2B, che include gli agenti con possibili effetti carcinogeni. Nel 2012 nel "volume 102 Radiofrequency electromagnetic fields", si è poi esposto compiutamente lo stato dell'arte delle indagini relative. Altri agenti non ionizzanti, come campi elettrici e magnetici a estremamente bassa frequenza erano già stati esaminati e pubblicati nel volume 80, classificandosi rispettivamente di classe 3 (impossibilità con gli studi finora svolti di classificazione degli agenti come cancerogeno o non cancerogeno), e di classe 2B.
Le radiazioni non ionizzanti, dette NIR dall'acronimo inglese Non Ionizing Radiation, comprendono tutte le radiazioni elettromagnetiche non ionizzanti, dalle ELF fino all'ultravioletto vicino.
Per quanto riguarda gli effetti biologici e sanitari, una certezza è data dal fatto che un'onda e.m. trasferisce calore e quindi un effetto dell'interazione di un'onda e.m. con un sistema vivente è che parte dell'energia viene rilasciata, con un aumento della temperatura locale o di tutto il sistema. Per quanto riguarda gli effetti termici, occorre verificare quanto l'organismo umano è in grado di sostenere un rialzo termico. Poiché il principale "scambiatore" di calore presente nel corpo umano è costituito dal sangue, si può pensare che gli organismi meno vascolarizzati costituiscano organi critici per quanto riguarda l'esposizione alle radiazioni e.m., in quanto, se riscaldati dall'esterno non hanno più modo di ridistribuire il calore ricevuto tramite un'idonea circolazione sanguigna. Da questo punto di vista gli organi critici per eccellenza sono il cristallino e le gonadi maschili.
L'Istituto Ramazzini nel 2018 ha terminato uno studio pluriennale condotto su topi di laboratorio sottoposti a radio frequenze riscontrando evidenze significative della comparsa di tumori rari al cuore e al cervello.
Negli ultimi anni sono andati crescendo gli interrogativi sui possibili effetti sulla salute legati all'esposizione a campi elettromagnetici a radiofrequenze (RF) e microonde (MW). Nuove tecnologie si vanno diffondendo a tutti i livelli nella società, con una varietà di applicazioni mai viste prima. In molti laboratori si sta lavorando intorno a interrogativi quali l'effetto della applicazione di un campo elettromagnetico sulla permeabilità delle membrane cellulari a determinate specie ioniche e su quali basi biofisiche sia ipotizzabile un'influenza diretta del campo elettromagnetico sull'integrazione e l'elaborazione dei segnali nervosi.
Un'onda elettromagnetica che si propaga nello spazio trasporta energia che viene in parte assorbita e in parte riflessa dagli oggetti che tale onda incontra sul suo percorso. L'assorbimento avviene con modalità ed in misura diversa a seconda delle caratteristiche del mezzo. L'effetto sugli organismi viventi di tale assorbimento di energia da un campo elettromagnetico a radiofrequenza e microonde è oggetto di numerose indagini scientifiche.
A livello microscopico, manca ancora uno schema interpretativo soddisfacente dell'azione di un campo elettromagnetico sulle cellule degli organismi viventi. Questo dipende innanzitutto dall'incompleta conoscenza dei fenomeni a livello di membrana cellulare legati allo scambio di materiali ed informazioni tra cellule e ambiente esterno. In secondo luogo, la complessità strutturale dei tessuti biologici e la loro disomogeneità, rende assai problematico un calcolo dettagliato della deposizione locale di energia nei tessuti da parte dell'onda elettromagnetica incidente.
La controversia sulla possibilità di manifestazione di effetti non termici, cioè dovuti ad esposizioni a livelli di campo elettromagnetico a radiofrequenze e microonde non abbastanza elevati da produrre riscaldamento dei tessuti, si riflette nella scelta degli standard ammissibili di esposizione per lavoratori e popolazione civile da parte di Stati ed Organizzazioni internazionali diversi.
Le ricerche compiute nei Paesi occidentali hanno condotto alla conclusione (ANSI, 1982) che l'esposizione protratta per un periodo inferiore ad 1 ora, e comportante un tasso di assorbimento specifico medio al corpo intero inferiore a 4 W/kg non è in grado di produrre effetti sulla salute. Per cautelarsi dai possibili effetti cumulativi dovuti ad esposizioni prolungate (giorni oppure settimane) si è considerato per l'uomo un valore limite di SAR 10 volte inferiore, pari quindi a 0.4 W/kg


In fisica, il campo elettrico è un campo di forze generato nello spazio dalla presenza di una o più cariche elettriche o di un campo magnetico variabile nel tempo. Insieme al campo magnetico esso costituisce il campo elettromagnetico, responsabile dell'interazione elettromagnetica.
Introdotto da Michael Faraday, il campo elettrico si propaga alla velocità della luce ed esercita una forza su ogni oggetto elettricamente carico. Nel sistema internazionale di unità di misura si misura in newton su coulomb (N/C), o in volt su metro (V/m). Se è generato dalla sola distribuzione stazionaria di carica spaziale, il campo elettrico è detto elettrostatico ed è conservativo.
Sperimentalmente si verifica l'attrazione o la repulsione tra corpi dotati di carica elettrica, corrispondente a due stati di elettrizzazione della materia. La carica si definisce positiva quando vi è una carenza di elettroni nell'oggetto, negativa in presenza di un eccesso. Corpi elettrizzati entrambi positivamente o entrambi negativamente si respingono, mentre corpi elettrizzati in modo opposto si attraggono.
Per misurare l'elettrizzazione di un corpo si usa uno strumento chiamato elettroscopio a foglie, costituito da un'ampolla di vetro nella quale è inserita un'asta metallica la quale, all'interno dell'ampolla, ha due linguette metalliche molto sottili, dette "foglie", mentre all'esterno essa può essere messa a contatto con un corpo carico. Mettendo a contatto con l'asta un corpo carico, le linguette si allontanano l'una dall'altra in proporzione all'elettrizzazione del corpo che è stato messo a contatto.
A partire da tali evidenze sperimentali, nella seconda metà del diciottesimo secolo Charles Augustin de Coulomb formulò la legge di Coulomb, che quantifica la forza elettrica attrattiva o repulsiva che due corpi puntiformi carichi elettricamente si scambiano a distanza. A partire da tale legge si può affermare che un corpo carico elettricamente produce nello spazio circostante un campo tale per cui, se si introduce una carica elettrica, questa risente dell'effetto di una forza, detta forza di Coulomb, direttamente proporzionale al prodotto delle due cariche e inversamente proporzionale al quadrato della loro distanza.
Nel vuoto, il campo elettrico formula_1 in un punto dello spazio è definito come la forza per unità di carica elettrica positiva alla quale è soggetta una carica puntiforme formula_2, detta carica "di prova", se posta nel punto:
Il vettore campo elettrico formula_1 in un punto è quindi definito come il rapporto tra la forza elettrica agente sulla carica di prova ed il valore della carica stessa, purché la carica di prova sia sufficientemente piccola da provocare una perturbazione trascurabile sull'eventuale distribuzione di carica che genera il campo. Il campo è dunque indipendente dal valore della carica di prova usata, essendone indipendente il rapporto tra la forza e la carica stessa, e questo mostra che il campo elettrico è una proprietà caratteristica dello spazio. Dalla definizione si ricava che l'unità di misura del campo elettrico è formula_5, che equivale a formula_6.
Dalla legge di Coulomb segue che una carica formula_7 posta in formula_8 genera un campo elettrico che in un punto qualsiasi formula_9 è definito dalla seguente espressione:
dove formula_11 è la costante dielettrica del vuoto.
Per un numero "n" di cariche puntiformi formula_12 distribuite nello spazio il campo elettrostatico nella posizione formula_9 è dato da:
In generale, per una distribuzione continua di carica si ha:
dove formula_16 rappresenta la densità di carica nello spazio:
e formula_18 rappresenta la regione di spazio occupata dalla distribuzione di carica. Il campo elettrico si può esprimere come gradiente di un potenziale scalare, il potenziale elettrico:
Essendo il potenziale elettrico un campo scalare, il campo elettrico è conservativo.
Il campo elettrico è un campo vettoriale rappresentato attraverso linee di campo: una carica puntiforme positiva produce le linee di campo radiali uscenti da essa, ed è definita sorgente delle linee di forza, mentre per una carica puntiforme negativa le linee di campo sono radiali ed entranti verso la carica, che è così definita pozzo di linee di forza. Le linee di livello a potenziale elettrico costante sono dette superfici equipotenziali, e sono perpendicolari alle linee di flusso del campo elettrico.
Il fatto che una superficie chiusa che racchiuda la sorgente del campo sia attraversata da tutte le linee di forza generate dalla sorgente, si formalizza attraverso il teorema del flusso, anche detto teorema di Gauss, che definisce una proprietà matematica generale per il campo vettoriale elettrico. Nel vuoto il teorema afferma che il flusso del campo elettrico attraverso una superficie chiusa contenente una distribuzione di carica caratterizzata dalla densità di carica volumetrica formula_20 è pari alla carica totale contenuta nel volume racchiuso dalla superficie diviso per la costante dielettrica del vuoto:
Applicando il teorema della divergenza alla prima relazione ed uguagliando gli integrandi si ottiene:
Tale equazione è la prima delle equazioni di Maxwell, e costituisce la forma locale del teorema di Gauss per il campo elettrico.
Il campo elettrostatico viene generato da una distribuzione di carica indipendente dal tempo. Condizione necessaria e sufficiente perché un campo vettoriale sia conservativo in un insieme semplicemente connesso, ad esempio, un insieme stellato o convesso, è che la circuitazione del campo, cioè l'integrale del campo lungo una linea chiusa, sia nulla:
Questo avviene solamente in condizioni stazionarie.
In maniera equivalente, il campo elettrostatico è conservativo dal momento che esiste una funzione scalare, il potenziale elettrico, tale che l'integrale per andare da un punto A ad un punto B non dipenda dal cammino percorso ma solo dal valore della funzione agli estremi:
Dal teorema della divergenza e dal teorema del flusso si ricava la prima equazione di Maxwell nel vuoto:
Per la conservatività del campo elettrostatico è possibile enunciare la terza equazione di Maxwell nel vuoto nelle forme:
Combinando la prima con la seconda si ottiene l'equazione di Poisson:
dove con formula_28 si indica l'operatore differenziale laplaciano. La soluzione dell'equazione di Poisson è unica se sono date le condizioni al contorno. In particolare, un potenziale che soddisfi l'equazione di Poisson e che sia nullo a distanza infinita dalle sorgenti del campo coincide necessariamente con il potenziale elettrico, dato dall'espressione:
In assenza di cariche sorgenti del campo l'equazione diventa omogenea, e prende il nome di equazione di Laplace:
dalla quale risulta che in assenza di cariche il potenziale è una funzione armonica.
Risolvere l'equazione di Poisson in regioni di spazio limitate significa risolvere il problema generale dell'elettrostatica per opportune condizioni al contorno, come l'assenza o la presenza di conduttori e cariche elettriche localizzate. In particolare se ne distinguono tre tipi:
In questo caso non sono presenti cariche localizzate, ed il campo elettrostatico è generato da un sistema di conduttori di geometria nota e potenziale noto. In questo caso vale l'equazione di Laplace, dove le condizioni al contorno sono che il potenziale sia nullo all'infinito e valga formula_31 sulla superficie dei conduttori. Una volta ricavati i potenziali per ogni punto nello spazio risolvendo l'equazione di Laplace, si ricava il campo elettrostatico, ed è possibile determinare la densità di carica superficiali formula_32 sui conduttori mediante il teorema di Coulomb. Infine, si può trovare la carica netta totale su tutti i conduttori e i coefficienti di capacità su questi tramite il seguente sistema, che consente di ricavare i coefficienti.
In questo caso il campo elettrostatico è dato da un sistema di conduttori di geometria nota di cui sono note le cariche su ognuno. Si danno quindi dei potenziali arbitrari sui conduttori formula_34 e si risolve il "problema di Dirichlet" come sopra. Dal momento che le cariche sono note ed i coefficienti di capacità sono indipendenti dalle cariche e dai potenziali, essendo dipendenti solo dal loro rapporto, dal sistema del caso precedente si ricavano i reali potenziali formula_35.
Un esempio può essere quello di avere una distribuzione di carica formula_20 nota nello spazio ed un sistema di conduttori di cui si conoscono solo le cariche su ognuno. Il problema è quello di risolvere l'equazione di Poisson, e dal momento che non si conoscono i potenziali il problema diventa un sistema di equazioni del tipo:
dove i numeri formula_38 sono i coefficienti della matrice di potenziale. Per calcolare i potenziali si utilizza poi il metodo dei potenziali di prova.
L'elettrostatica e la magnetostatica rappresentano due casi particolari di una teoria più generale, l'elettrodinamica, dal momento che trattano i casi in cui i campi elettrico e magnetico non variano nel tempo. In condizioni stazionarie il campo elettrico ed il campo magnetico possono essere infatti trattati indipendentemente l'uno dall'altro, tuttavia in condizioni non stazionarie i due campi appaiono come le manifestazioni di una stessa entità fisica: il campo elettromagnetico.
Le stesse cariche che sono sorgente del campo elettrico, infatti, quando sono in moto generano un campo magnetico. Questo fatto è descritto dalle due leggi fisiche che correlano i fenomeni elettrici con quelli magnetici: la legge di Ampere-Maxwell e la sua simmetrica legge di Faraday, descritte nel seguito.
La legge di Faraday afferma che la forza elettromotrice indotta in un circuito chiuso da un campo magnetico è pari all'opposto della variazione del flusso magnetico del campo attraverso l'area abbracciata dal circuito nell'unità di tempo:
dove formula_40 è il flusso del campo magnetico formula_41. Dalla definizione di forza elettromotrice la precedente relazione può essere scritta come:
applicando il teorema del rotore al primo membro:
si giunge a:
Uguagliando gli integrandi segue la forma locale della legge di Faraday, che rappresenta la terza equazione di Maxwell:
Ovvero il campo elettrico può essere generato da un campo magnetico variabile nel tempo. Una conseguenza fondamentale della legge di Faraday è che il campo elettrico in condizioni non stazionarie non è più conservativo, dal momento che la sua circuitazione non è più nulla. Inoltre, avendo definito:
dove formula_47 è il potenziale vettore magnetico, dalla legge di Faraday segue che:
Dal momento che il rotore è definito a meno di un gradiente, si ha:
Il campo elettrico è così scritto in funzione dei potenziali associati al campo elettromagnetico.
L'estensione della legge di Ampère al caso non stazionario mostra come un campo elettrico variabile nel tempo sia sorgente di un campo magnetico. Ponendo di essere nel vuoto, la forma locale della legge di Ampère costituisce la quarta equazione di Maxwell nel caso stazionario:
Tale relazione vale solamente nel caso stazionario poiché implica che la divergenza della densità di corrente sia nulla, contraddicendo in questo modo l'equazione di continuità per la corrente elettrica:
Per estendere la legge di Ampère al caso non stazionario è necessario inserire la prima legge di Maxwell nell'equazione di continuità:
Il termine
è detto corrente di spostamento, e deve essere aggiunto alla densità di corrente nel caso non stazionario.
Inserendo la densità di corrente generalizzata così ottenuta nella legge di Ampère:
si ottiene la quarta equazione di Maxwell nel vuoto. Tale espressione mostra come la variazione temporale di un campo elettrico sia sorgente di un campo magnetico.
La presenza di materiale dielettrico nello spazio ove esista un campo elettrico formula_1 modifica il campo stesso. Questo è dovuto al fatto che gli atomi e le molecole che compongono il materiale si comportano come dipoli microscopici e si polarizzano in seguito all'applicazione di un campo elettrico esterno. L'effetto della polarizzazione elettrica può essere descritto riconducendo la polarizzazione dei dipoli microscopici ad una grandezza vettoriale macroscopica, che descriva il comportamento globale del materiale soggetto alla presenza di un campo elettrico esterno. Il vettore "intensità di polarizzazione", anche detto vettore di "polarizzazione elettrica" e indicato con formula_56, è il dipolo elettrico per unità di volume posseduto dal materiale.
La polarizzazione del dielettrico crea entro il materiale una certa quantità di carica elettrica indotta, detta carica di polarizzazione formula_57. Introducendo tale distribuzione di carica nella prima delle equazioni di Maxwell, che esprime la forma locale del teorema del flusso per il campo elettrico, si ha:
dove formula_59 è la densità di cariche libere e nel secondo passaggio si è utilizzata la relazione tra la densità volumica di carica di polarizzazione ed il vettore di polarizzazione. Si ha quindi:
L'argomento dell'operatore differenziale è il vettore induzione elettrica, definito come:
E la prima equazione di Maxwell assume la forma:
La maggior parte dei materiali isolanti può essere trattata come un dielettrico lineare omogeneo ed isotropo, questo significa che tra il dipolo indotto nel materiale ed il campo elettrico esterno sussista una relazione lineare. Si tratta di un'approssimazione di largo utilizzo, ed in tal caso i campi formula_63 e formula_64 sono equivalenti a meno di un fattore di scala:
e di conseguenza:
La grandezza formula_67 è la costante dielettrica relativa, e dipende dalle caratteristiche microscopiche del materiale. Se il materiale non è omogeneo, lineare ed isotropo, allora formula_68 dipende da fattori come la posizione all'interno del mezzo, la temperatura o la frequenza del campo applicato.
Nel dominio delle frequenze, per un mezzo lineare e indipendente dal tempo sussiste la relazione:
dove formula_70 è la frequenza del campo.
Inserendo il vettore di induzione elettrica nelle equazioni di Maxwell nei materiali, considerando il caso in cui il dielettrico sia perfetto e isotropo e ponendo che anche per il campo magnetico nei materiali sussista una relazione di linearità, si ha:
dove formula_72 è il campo magnetico nei materiali, e costituisce l'analogo del vettore induzione elettrica per la polarizzazione magnetica.
Considerando dielettrici perfetti ed isotropi, è possibile definire le condizioni di raccordo del campo elettrostatico quando attraversa due dielettrici di costante dielettrica relativa formula_73 e formula_74. Sulla superficie di separazione si consideri una superficie cilindrica di basi formula_75 e altezza formula_76 infinitesima, di ordine di grandezza superiore alla base. Applicando il flusso di Gauss uscente dalle basi si evince che il flusso infinitesimo è nullo poiché non vi sono cariche libere localizzate al suo interno:
dove formula_78 sono le componenti normali del campo di spostamento elettrico. In termini di campo elettrico si ha quindi:
Per la componente tangenziale del campo elettrico vale il teorema di Coulomb, ovvero la direzione del campo elettrico è normale alla superficie del conduttore, e pertanto la componente tangenziale si conserva:
In termini di campo di spostamento elettrico:
Attraversando la superficie di separazione tra due dielettrici perfetti ed isotropi, quindi, la componente normale del campo elettrico subisce una discontinuità mentre quella tangenziale non si modifica, viceversa per il campo di spostamento elettrico. Unendo le due relazioni si ottiene la legge di rifrazione delle linee di forza del campo elettrico:
e dunque:
dove
è l'angolo di rifrazione.
Il campo elettromagnetico è dato dalla combinazione del campo elettrico formula_1 e del campo magnetico formula_41, solitamente descritti con vettori in uno spazio a tre dimensioni. Il campo elettromagnetico interagisce nello spazio con cariche elettriche e può manifestarsi anche in assenza di esse, trattandosi di un'entità fisica che può essere definita indipendentemente dalle sorgenti che l'hanno generata. In assenza di sorgenti il campo elettromagnetico è detto onda elettromagnetica, essendo un fenomeno ondulatorio che non richiede di alcun supporto materiale per diffondersi nello spazio e che nel vuoto viaggia alla velocità della luce. Secondo il modello standard, il quanto della radiazione elettromagnetica è il fotone, mediatore dell'interazione elettromagnetica.
La variazione temporale di uno dei due campi determina il manifestarsi dell'altro: campo elettrico e campo magnetico sono caratterizzati da una stretta connessione, stabilita dalle quattro equazioni di Maxwell. Le equazioni di Maxwell, insieme alla forza di Lorentz, definiscono formalmente il campo elettromagnetico e ne caratterizzano l'interazione con oggetti carichi. Le prime due equazioni di Maxwell sono omogenee e valgono sia nel vuoto che nei mezzi materiali, e rappresentano in forma differenziale la Legge di Faraday e la legge di Gauss per il campo magnetico. Le altre due equazioni descrivono il modo con cui il materiale in cui avviene la propagazione interagisce, polarizzandosi, con il campo elettrico e magnetico, che nella materia sono denotati con formula_87 e formula_88. Esse mostrano in forma locale la Legge di Gauss elettrica e la Legge di Ampère-Maxwell.
La forza di Lorentz è la forza formula_89 che il campo elettromagnetico genera su una carica formula_2 puntiforme:
dove formula_92 è la velocità della carica.
Le equazioni di Maxwell sono formulate anche in elettrodinamica quantistica, dove il campo elettromagnetico viene quantizzato. Nell'ambito della meccanica relativistica, i campi sono descritti dalla teoria dell'elettrodinamica classica in forma covariante, cioè invariante sotto trasformazione di Lorentz. Nell'ambito della teoria della Relatività il campo elettromagnetico è rappresentato dal tensore elettromagnetico, un tensore a due indici di cui i vettori campo elettrico e magnetico sono particolari componenti.
