
In fisica un sistema di riferimento inerziale è un sistema di riferimento in cui è valido il primo principio della dinamica. Con un'accettabile approssimazione è considerato inerziale il sistema solidale con il Sole e le stelle (il cosiddetto sistema delle stelle fisse), ed ogni altro sistema che si muova di moto rettilineo uniforme rispetto ad esso (e che quindi né acceleri né ruoti): in questo modo si viene a definire una classe di equivalenza per questi sistemi.
Un sistema di riferimento inerziale è un sistema di riferimento caratterizzato dalla seguente condizione: se un punto materiale è libero, cioè non sottoposto a forze oppure sottoposto ad una risultante nulla di forze, allora persevererà il suo stato di quiete o di moto rettilineo uniforme finché esso non viene perturbato. In altre parole un osservatore S o sistema di riferimento si dice inerziale se, di un punto materiale isolato (P, m), misura accelerazione nulla, qualunque sia l'istante t in cui si effettua tale misura e qualunque sia lo stato cinematico (P, Ṗ) del punto nel medesimo istante t.
Si può verificare che gli osservatori, che di un punto materiale isolato misurano accelerazione nulla, sono tutti e solo quelli che si muovono di moto traslatorio rettilineo uniforme rispetto all'osservatore S sopra citato.
Un sistema di riferimento inerziale nella dinamica newtoniana è un sistema di riferimento in cui sia valida la prima legge della dinamica. Questo assunto è basato sull'osservazione e sulla geometria euclidea.
L'espressione (Forza = massa × accelerazione) formula_1 ha un importante valore: non menziona la velocità e quindi questa non fa parte del calcolo; in pratica la variazione di velocità dovuta a una forza è indipendente dalla velocità. Questa proprietà esprime una proprietà fondamentale del moto: le velocità sono indistinguibili. Pertanto un osservatore può scegliere un qualsiasi sistema di riferimento inerziale come sistema di coordinate per i calcoli, e può applicare le leggi del moto. I sistemi di riferimento inerziali sono gli unici sistemi di riferimento in cui sono valide le stesse leggi del moto.
Nel modello concettuale della dinamica newtoniana, è sufficiente definire il moto inerziale come moto a velocità costante lungo una linea retta.
La Terra non è un vero e proprio sistema di questo tipo, a causa dei suoi movimenti di rivoluzione e di rotazione. In particolare, il moto di rotazione sottopone gli oggetti sulla sua superficie lontani dai poli a una piccola forza centrifuga. Tuttavia questa accelerazione è irrilevante in certi casi, per cui la Terra è un sistema di riferimento che approssima un sistema di riferimento inerziale.
Il moto di rotazione sottopone inoltre i corpi lontani dall'equatore alla forza di Coriolis, che devia verso destra il moto di tutti i corpi dell'emisfero nord e verso sinistra quelli dell'emisfero sud, come dimostrato dal famoso pendolo di Foucault.
Gli osservatori posti in un sistema inerziale si dicono osservatori inerziali, ed assumono una particolare importanza nell'ambito della meccanica. Due osservatori in moto relativo uniforme osservano che una medesima massa, sottoposta alla medesima forza, varia nel medesimo modo il suo stato di moto. Nel linguaggio corrente si può dire che presenta la medesima inerzia nei confronti di un tentativo di variarne lo stato di moto. Le leggi della meccanica classica sono invarianti solo per osservatori inerziali. Un osservatore dentro una capsula in caduta libera verso la Terra non può verificare la legge di caduta dei gravi, che pure descrive la sua stessa caduta.
In formule possiamo dire che:
La terza forza si annulla e i due osservatori misurano la medesima forza agente su formula_4
Se questo accade i due osservatori sono detti "inerziali".
La Relatività Speciale non solo ha identificato nelle trasformazioni di Lorentz lo strumento appropriato di trasformazione tra sistemi di riferimento inerziali, ma ha anche introdotto il concetto che le leggi che valgono per tutti i sistemi di riferimento inerziali includono anche le leggi dell'elettrodinamica, non solo quelle della meccanica.
In dinamica relativistica si riconosce che l'assunzione che lo spazio sia euclideo non è giustificata in generale. È comunque possibile creare una dinamica coerente ed accurata sulla base del concetto di "sistema di riferimento inerziale", verificando se ci sia un'accelerazione causata da una forza applicata. Una scatola contenente un peso, collegato a tutte le pareti del contenitore con molle che lo tengono sospeso, agisce come un accelerometro. Quando l'accelerometro viene messo in movimento da una forza, il peso in esso "oscilla" in verso opposto alla forza, a causa della propria inerzia. Se non ci sono manifestazioni di inerzia, questo è un sistema di riferimento inerziale.
In relatività generale esso è così definito, perché l'osservazione che anche gli accelerometri più accurati danno misura "zero" quando sono in caduta libera in un campo gravitazionale è presa come indicazione che "fondamentalmente" non è presente accelerazione nello spazio che circonda un oggetto in caduta libera.
In relatività generale, sia la gravità che l'inerzia sono definite come interazioni di materia con la geometria dello spazio-tempo. Detto molto sinteticamente: la geometria dello spazio-tempo indica alla materia come muoversi, e la materia deforma la geometria dello spazio-tempo.
Quando la materia si sta muovendo attraverso dello spazio-tempo non deformato (in altre parole: spazio-tempo rettilineo), essa segue traiettorie analoghe alle linee rette euclidee. Queste linee sono rettilinee universalmente, nel senso che esse sono diritte anche se osservate a distanza: esse sono universalmente linee rette. Oggetti che si muovono in uno spazio-tempo rettilineo possono muoversi solo in linea retta e a velocità costante: esso è l'unico movimento libero che questa forma di spazio-tempo permette. Quando la velocità cambia in seguito all'esercizio di una forza, allora si manifesta l'inerzia.
Quando la materia si muove liberamente attraverso uno spazio-tempo deformato descrive delle geodetiche. Queste sono percorsi in cui l'inerzia non si manifesta. Quando una forza devia un oggetto dalla propria geodetica si manifesta l'inerzia. In uno spazio-tempo deformato, un sistema di riferimento inerziale è definibile solo localmente, a causa della deformazione dello spazio-tempo causata dalla materia. La materia è riunita nelle stelle, nei pianeti ecc., e nelle vicinanze di questi gravi si osserva una deformazione sferica della geometria dello spazio-tempo. Parte di questa è un'alterazione del ritmo del tempo. Un oggetto in caduta libera verso il centro di gravità di un grave si muove lungo la propria geodetica. Il sistema di riferimento locale, ancorato all'oggetto, è un sistema di riferimento inerziale locale.
Secondo la relatività generale, esiste un solo campo, che può essere chiamato gravito-inerziale.
L'interazione gravitazionale è mediata dalla deformazione di qualcosa che è comunque presente: la geometria dello spazio-tempo.
La proprietà dell'inerzia esiste a causa dell'universale presenza del campo gravito-inerziale; è l'interazione con la geometria dello spazio-tempo a dire a un pianeta rotante quanto si deve rigonfiare all'equatore.
Un accelerometro interagisce con la geometria locale dello spazio-tempo per misurare se sta accelerando rispetto ad essa. È importante notare che un accelerometro non misura la sua "velocità" rispetto a qualche sistema assoluto.
La velocità è fondamentalmente relativa.
Un giroscopio in rotazione interagisce con la geometria locale dello spazio-tempo per misurare se sta ruotando rispetto ad essa. Siccome è molto raro che la geometria locale dello spazio-tempo ruoti significativamente rispetto all'universo, un giroscopio in rotazione mostra effettivamente quale sistema di riferimento non sta ruotando rispetto all'universo.
Il concetto di sistema di riferimento inerziale, come riconosciuto nella relatività generale, viene presentato solitamente discutendo solamente i fenomeni cinematici: accelerometri e giroscopi.
Ma non si tratta solo di dinamica: nei sistemi di riferimento inerziale, come riconosciuti nella relatività generale, valgono tutte le leggi della fisica.


In meccanica classica un urto elastico è un urto durante il quale si conserva l'energia meccanica totale del sistema, ed in particolare l'energia cinetica.
Nel caso di corpi prossimi a velocità della luce un urto elastico è un urto nel quale si conserva il quadrivettore quantità di moto.
In generale, nella risoluzione di un problema d'urto completamente elastico, si parte dalla conservazione della quantità di moto e dell'energia cinetica prima e dopo l'urto.
Nel caso di urti monodimensionali tra due corpi, le equazioni sono 2 equazioni scalari, mentre nel caso di urti in un piano esse sono 3 (le due componenti della quantità di moto e l'energia). Per quanto riguarda urti nello spazio tridimensionale, per la maggior parte dei problemi è valida l'assunzione che l'urto si svolga in un piano, perciò con un opportuno cambio di coordinate è possibile ricondursi al caso precedente; altrimenti si hanno 4 relazioni scalari.
Per problemi unidimensionali il numero di equazioni permette di risolvere completamente il moto, trovando cioè le velocità dei due corpi dopo l'urto; per problemi nel piano con corpi estesi queste non sempre bastano, ed è possibile trovare una soluzione solo per alcuni casi notevoli con geometrie semplici, come per esempio un urto elastico tra due sfere, per i quali si possono usare altre relazioni quali, per esempio, simmetrie del sistema.
Consideriamo due corpi approssimabili come punti materiali che urtino frontalmente. Mettiamoci in un sistema di riferimento "S". 
Indichiamo con:
Imponiamo la conservazione dell'energia cinetica "K" e della quantità di moto "P": otteniamo il sistema:
cioè:
Queste equazioni si risolvono facilmente raggruppando in ognuna di esse in un membro i termini con formula_5 e nell'altro membro i termini con formula_6, dividendo la prima equazione per la seconda e ricordando che formula_11.
Infatti dividendo la prima equazione per formula_12 e tenendo conto della proposizione precedente:
ovvero dividendo membro a membro:
formula_14
Da qui basterà risolvere un semplice sistema lineare per trovare le nostre due velocità finali:
ovvero:
Dalla soluzione appena trovata si vede nel caso di formula_17 e di un elevato valore di formula_18, il valore di formula_19 è piccolo se le masse sono approssimativamente uguali: colpendo un corpo con una particella molto più leggera non si modifica in maniera significativa la velocità, colpendolo con una particella di massa molto superiore, si induce la particella veloce a rimbalzare con velocità diminuita. Per questo motivo un moderatore (un mezzo che rallenta i neutroni veloci, trasformandoli in neutroni termici capaci di sostenere una reazione a catena) è costituito da un materiale formato da atomi con nuclei leggeri (con la proprietà aggiuntiva che non assorbano facilmente i neutroni): l'idrogeno, il più leggero, ha circa la stessa massa di un neutrone.
Dato che durante gli urti il sistema è isolato, il centro di massa si muove di moto rettilineo uniforme, con velocità media ponderata "<v>":
Di conseguenza abbiamo:
cioè:
Usando l'energia cinetica si può scrivere
Dividendo per la (*) otteniamo:
che si riscrive come
Da ciò notiamo che "la velocità relativa di una particella rispetto all'altra è invertita dall'urto". Nel caso di particelle con masse differenti, la particella più pesante si muove lentamente verso il centro di massa, e rimbalza con la stessa bassa velocità, mentre la particella più leggera si muove rapidamente verso il centro di massa e dopo l'urto se ne allontana con eguale velocità.
Si dimostra anche che "rispetto al centro di massa entrambe le velocità appaiono invertite dopo l'urto". Infatti, nel sistema di riferimento del centro di massa si ha:
da cui:
e analogamente:
Per evitare di ricadere nel caso banale di assenza d'urto avevamo imposto formula_35, che implica formula_36. Perciò otteniamo:
CVD.
La meccanica classica fornisce una buona approssimazione quando tratta oggetti con dimensioni macroscopiche che si muovono a velocità molto minore della velocità della luce. Oltre i limiti classici, fornisce dei risultati erronei. La quantità di moto totale di due corpi che si urtano è dipendente dal sistema di riferimento. Le equazioni che governano gli urti nel caso relativistico discendono dalla conservazione del quadrimpulso, o quadrivettore quantità di moto (per approfondimenti sulle leggi della dinamica relativistiche vedi "Teoria della relatività ristretta"). Distinguendo tra parte temporale e spaziale abbiamo:
formula_38
dove formula_39 è il fattore di Lorentz.
La prima equazione rappresenta la conservazione della parte spaziale della quantità di moto formula_40, alla quale diventa formalmente identica utilizzando la "massa relativistica", ora in disuso. Moltiplicando la seconda equazione per "c" riconosciamo invece la conservazione dell'energia relativistica formula_41. Possiamo quindi riscrivere il sistema come:
In generale risolvere direttamente le equazioni sovrastanti è molto difficile dal momento che il grado dell'equazione è troppo elevato. Come per il caso classico, un aiuto può venire da un cambio di sistema di riferimento, avendo cura di comporre le velocità non con la composizione galileiana ma con il loro equivalente nella relatività ristretta. Un buon sistema di riferimento può essere, ad esempio, quello del centro di massa; avendo chiamato con "v" la velocità di trascinamento tra un sistema e l'altro, dalla regola di composizione delle velocità in relatività speciale le velocità prima dell'urto nel sistema di riferimento del centro di massa formula_43 e formula_44 sono:
da cui:
Quando formula_51 e formula_52,
e perciò otteniamo:
I calcoli della meccanica classica risultano quindi corretti quando la velocità di entrambi i corpi è molto minore della velocità della luce (circa 3 x 10 m/s).
Un modo per schematizzare le interazioni tra particelle subatomiche è quello di considerare l'interazione come urto elastico. Supponiamo di avere due particelle entrambe di massa a riposo "m", supposta nota, che si muovono l'una contro l'altra a velocità formula_61 e formula_62. Dopo l'urto si forma un'unica particella. Troviamo la massa "M" e la velocità "v" di questa nuova particella. Le equazioni (IV) portano al sistema:
Ricaviamo i fattori γ delle due velocità iniziali:
Dalla conservazione dell'energia ricaviamo "M":
Sostituiamo nell'altra equazione:
Nota "v" sostituiamo nell'equazione per "M", che risulta essere:
Abbiamo scoperto che nell'interazione la massa della nuova particella non è uguale alla somma delle masse delle altre due, ma superiore. Infatti parte dell'energia dovuta alla velocità delle particelle si è tramutata in massa; come è noto, nella teoria della relatività la massa e l'energia sono intercambiabili (la celebre formula E=mc²): infatti durante le interazioni delle particelle subatomiche questi scambi si verificano continuamente.
Un'importante applicazione degli urti relativistici è l'effetto Compton, che collega l'angolo di deflessione di un fotone che interagisce con un'altra particella con la variazione di energia del fotone stesso, cioè della sua lunghezza d'onda. L'interazione è schematizzata come urto elastico, nel quale valgono le (IV). L'urto avviene sul piano, e la conservazione della quantità di moto implica la conservazione delle sue proiezioni lungo gli assi. Mettendo a sistema con la conservazione dell'energia, si ottiene:
dove formula_71 è l'angolo di deflessione del fotone e 
è detta "lunghezza d'onda di Compton".
La legge di Newton (come la conservazione della quantità di moto) si applica alle componenti della velocità risolte lungo le comuni superfici normali dei corpi collidenti al punto di contatto. Nel caso di due sfere le componenti della velocità coinvolte saranno le componenti risolte lungo la linea congiungente i centri nell'istante dell'urto. Di conseguenza, le componenti della velocità perpendicolari a questa linea resteranno invariate durante l'urto.
Per risolvere un'equazione che coinvolge due corpi che collidono in un sistema bidimensionale, la velocità complessiva di ciascun corpo deve essere scomposta in due velocità ortogonali: una tangente alla superficie comune normale dei due corpi collidenti nel punto di contatto, l'altra lungo la linea di collisione. Siccome l'urto imprime forze solo lungo la linea di collisione, le velocità tangenti al punto di collisione non cambiano. Per calcolare le velocità lungo la linea d'urto si possono utilizzare le stesse equazioni di un urto monodimensionale. Le velocità finali possono essere calcolate dalle due nuove componenti e dipenderanno dal punto di collisione. Sono stati condotti degli studi sugli urti bidimensionali per molti corpi nella struttura di un gas bidimensionale.
La quantità di moto di due corpi dipende dalle loro velocità effettive e masse, per cui non si può prevedere la quantità di moto di due corpi se le energie cinetiche dei due sono eguali.
Per le due monete in figura la componente che cambia si può trovare tramite il prodotto scalare della velocità con un versore che indica la direzione diretta dell'urto.
