
Il potenziale elettrico (o potenziale coulombiano), in fisica e in particolare in elettromagnetismo, è il potenziale scalare associato al campo elettrostatico:
Il potenziale elettrico costituisce la componente temporale del quadripotenziale: insieme al potenziale magnetico, che ha natura vettoriale, forma il potenziale elettromagnetico.
Data una regione di spazio in cui è presente un campo elettrico conservativo, si definisce potenziale elettrico in un punto, il valore dato dal rapporto dell'energia potenziale elettrica rilevato da una carica elettrica di prova, posta in quel punto, e il valore della carica di prova. Il potenziale elettrico è dunque il rapporto tra l'energia potenziale elettrica, ossia il lavoro che deve compiere la forza dovuta al campo elettrico per spostare una o più cariche da quel punto fino all'infinito (ove si assume potenziale nullo), e la carica di prova.
Non potendo spostare una carica elettrica "fino all'infinito" si pone allora l'attenzione sulla energia "potenziale" liberabile da questa durante l'ipotetico movimento.
L'energia potenziale elettrica della carica è il livello di energia che la carica possiede a causa della sua posizione all'interno del campo elettrico, e pertanto il potenziale elettrico formula_2 della carica di prova è definito operativamente come il rapporto tra l'energia potenziale formula_3 e il valore della carica stessa, cioè:
Il potenziale è dunque una quantità scalare e non dipende dal valore della carica di prova. La sua unità di misura è inoltre il volt: il punto A è al potenziale di 1 volt quando la forza elettrica compirebbe il lavoro di un Joule per portare una carica di un Coulomb libera di muoversi da A a all'infinito. Per estensione, si dice che tra due punti A e B esiste una differenza di potenziale di un volt se una forza elettrica compisse pari lavoro, sulla stessa carica, nello spostamento tra i due punti. Il lavoro formula_5 svolto dal campo elettrico formula_6 per un percorso infinitesimo formula_7 su una carica formula_8 è dato da:
e per calcolare il lavoro lungo una linea formula_10 da un punto A ad un punto B:
Si definiscono superfici equipotenziali per il potenziale elettrico le superfici in ogni punto delle quali il potenziale elettrico assume lo stesso valore. Questo implica che il lavoro del campo elettrico lungo una superficie equipotenziale è nullo ovunque perché è nulla la componente del campo elettrico parallela alla superficie, cioè il campo elettrico è ortogonale alla superficie equipotenziale.
Si consideri il lavoro fatto dal campo elettrico creato da una carica puntiforme formula_12 nel portare una carica di prova formula_8 da un punto A ad un punto B:
dove formula_15 è la costante dielettrica nel vuoto, e:
con formula_17 l'angolo compreso fra i vettori formula_18 e formula_19. Si ha:
e tale formula mostra che il campo elettrostatico è conservativo, poiché il lavoro dipende solo dal valore della funzione formula_21 calcolata nei punti A e B e non dal particolare percorso seguito dalla carica formula_8. Si noti che la conservatività del campo elettrico viene tuttavia a mancare in condizioni non stazionarie.
Dal momento che per il teorema di Helmholtz si può sempre definire una funzione scalare formula_21 il cui gradiente, cambiato di segno, coincida con il campo formula_6:
il potenziale elettrico nel vuoto per una carica puntiforme è dato da:
Il potenziale elettrico è quindi definito a meno di una costante arbitraria, essendo il gradiente di una costante nullo. Questo non rappresenta un problema pratico, poiché normalmente interessa conoscere la differenza di potenziale formula_27, più che il valore del potenziale elettrico in un punto. Convenzionalmente, la costante viene determinata considerando nullo il potenziale che una carica puntiforme produce all'infinito.
In coordinate cartesiane, si ha:
Dalla definizione di potenziale elettrico in termini di lavoro, si ha che:
e quindi, le dimensioni del potenziale corrispondono a:
Una volta introdotta la definizione di potenziale per una carica puntiforme, per il principio di sovrapposizione lineare è possibile generalizzare la definizione del potenziale nel vuoto generato da una distribuzione di cariche puntiformi formula_31, disposte nello spazio nelle posizioni formula_32:
ovvero:
Poiché la carica elettrica è quantizzata, a rigore non esistono distribuzioni continue di carica elettrica. Tuttavia, in un corpo esteso le cariche elementari sono in numero talmente elevato che è conveniente utilizzare il formalismo infinitesimale ed introdurre la densità di carica volumetrica formula_35, superficiale formula_36 e lineare formula_37. In questo modo il potenziale elettrico in un punto dello spazio formula_38 generato da una sorgente estesa con carica totale
è dato dall'integrale:
in cui formula_41 è la distanza dall'origine del punto P e formula_42 è la distanza dall'origine del volume infinitesimale formula_43.


In fisica, un campo è una grandezza esprimibile come funzione della posizione nello spazio e del tempo, o nel caso relativistico nello spaziotempo.
Un campo può essere scalare, spinoriale, vettoriale o tensoriale, a seconda che la grandezza rappresentata sia rispettivamente uno scalare, uno spinore di Dirac, un vettore o un tensore. Per esempio, il campo gravitazionale può essere modellato come campo vettoriale dove un vettore indica l'accelerazione esercitata su una massa per ogni punto. Questo intuitivamente, anche se il campo gravitazionale indica la forza che agisce su una massa unitaria e non un'accelerazione (un libro posto su un tavolo non subisce nessun accelerazione ma un campo di forza). Altri esempi possono essere il campo di temperatura o quello della pressione atmosferica, che sono spesso illustrati tramite le isoterme e le isobare collegando i punti che hanno rispettivamente la stessa temperatura o pressione.
Sotto questo punto di vista un campo può essere più semplicemente definito come l'insieme dei valori che una data grandezza fisica, scalare o vettoriale, assume nello spazio. Il teorema di Helmholtz è fondamentale per la comprensione dei campi in quanto fornisce una classe di parametri che li determinano univocamente.
Nel caso di un campo di forze, come il campo gravitazionale e il campo elettrico, il concetto di campo è strettamente correlato con quello di interazione a distanza.
La teoria dei campi descrive la dinamica di un campo, cioè la sua variazione nel tempo. Di solito questa viene descritta da una lagrangiana o una hamiltoniana di campo, trattate come un sistema con infiniti gradi di libertà. La teoria risultante può essere classica o quantistica. In fisica moderna i campi più studiati sono quelli relativi alle forze fondamentali.
La teoria della relatività generale afferma l'impossibilità di fenomeni simultanei (sempre distanziati a meno di un infinitesimo di spazio-tempo) e sostituisce con il concetto di campo le forze simultanee agenti a distanza utilizzate nella fisica newtoniana.
Fenomeni simultanei anche a grandi distanze sono invece possibili per l'entanglement quantistico, che negli esperimenti è misurato e riproducibile solo per singole particelle e che, in accordo con il teorema di non-comunicazione, non è sfruttabile a livello macroscopico per la trasmissione di dati.
Ci sono numerosi esempi di campi classici. La dinamica di questi campi è di solito specificata dalla densità di Lagrangiana in termini di componenti del campo; la dinamica può essere ottenuta usando il principio d'azione.
Michael Faraday per primo capì l'importanza del campo come oggetto fisico, durante la sua ricerca sul magnetismo. Egli capì che il campo elettrico e magnetico non erano solo campi di forza che influenzavano il moto delle particelle, ma avevano un'interpretazione fisica reale, perché essi possono trasportare energia.
Queste idee portarono alla creazione, da parte di James Clerk Maxwell, della prima teoria unificata dei campi con l'introduzione delle equazioni per il campo elettromagnetico. La versione moderna di queste equazioni sono chiamate equazioni di Maxwell. Alla fine del diciannovesimo secolo il campo elettromagnetico fu capito come una collezione di due campi vettoriali nello spazio. Oggi, questo è raggruppato in un singolo campo tensoriale del secondo ordine nello spaziotempo.
La teoria della gravità di Einstein, chiamata relatività generale, è un altro esempio di una teoria di campo. Qui il campo principale è un tensore metrico, un campo tensoriale del secondo ordine nello spaziotempo.
Si pensa attualmente che la meccanica quantistica sia alla base di tutti i fenomeni fisici; cosicché anche la teoria classica dei campi dovrebbe essere riformulata in modo da tenerne conto.
Ciò è stato fatto con la cosiddetta seconda quantizzazione che rende la funzione d'onda della meccanica quantistica (scalare, in quella sede) un operatore.
Tale meccanismo è stato applicato dapprima, con successo, al campo elettromagnetico; la corrispondente teoria di campo quantizzata è nota come elettrodinamica quantistica o QED.
Successivamente si sono ottenute le teorie di campo quantizzato per due delle altre forze fondamentali: la forza forte descritta dalla cromodinamica quantistica (QCD) e quella debole descritta dalla teoria elettrodebole (che mostra come in realtà la forza elettromagnetica e quella debole abbiano un'origine comune).
Queste tre teorie possono esse derivate come casi particolari del cosiddetto modello standard della fisica delle particelle.
A tutt'oggi non è stata invece trovata una soddisfacente teoria di campo quantizzato per il campo gravitazionale.
Le teorie di campo classico rimangono comunque utili per lo studio di fenomeni in cui le proprietà quantistiche della materia non siano rilevanti; ad esempio lo studio dell'elasticità dei materiali o la fluidodinamica.
I campi classici, come quello elettromagnetico, sono usualmente funzioni derivabili a tutti gli ordini, e in ogni caso almeno due volte. Al contrario le funzioni generalizzate non sono continue.
Il metodo dei campi casuali continui deve essere usato per uno studio dei campi classici a temperature finite, poiché un campo classico variabile con la temperatura è ovunque non differenziabile.
I campi casuali sono insiemi di variabili casuali munite di indice; un campo casuale continuo è un campo casuale i cui indici sono funzioni continue. In particolare, conviene talvolta considerare i campi casuali che hanno come insieme degli indici uno spazio di Schwartz di funzioni, nel qual caso il campo casuale continuo è una distribuzione temperata.
In modo (molto) rude possiamo pensare ai campi casuali continui come a funzioni ordinarie che valgano formula_1 quasi ovunque, e tali che quando si effettui una media pesata di tutti questi infiniti in una regione finita, si ottenga un risultato finito, e che può essere ben definito. Possiamo definire un campo casuale continuo in modo più preciso come una mappa lineare dallo spazio delle funzioni in quello dei numeri reali.
Un modo conveniente per classificare i campi (classici e quantistici) sono le simmetrie che possiedono. Le simmetrie sono di due tipi:
I campi sono spesso classificati per il loro comportamento rispetto a trasformazioni dello spaziotempo:
Nella relatività vale una classificazione simile, ad eccezione del fatto che i campi scalari, vettoriali e tensoriali sono definiti rispetto alla simmetria di Poincaré dello spaziotempo.
I campi possono avere simmetrie interne oltre a quelle spaziotemporali.
