
Il potenziale elettrico (o potenziale coulombiano), in fisica e in particolare in elettromagnetismo, è il potenziale scalare associato al campo elettrostatico:
Il potenziale elettrico costituisce la componente temporale del quadripotenziale: insieme al potenziale magnetico, che ha natura vettoriale, forma il potenziale elettromagnetico.
Data una regione di spazio in cui è presente un campo elettrico conservativo, si definisce potenziale elettrico in un punto, il valore dato dal rapporto dell'energia potenziale elettrica rilevato da una carica elettrica di prova, posta in quel punto, e il valore della carica di prova. Il potenziale elettrico è dunque il rapporto tra l'energia potenziale elettrica, ossia il lavoro che deve compiere la forza dovuta al campo elettrico per spostare una o più cariche da quel punto fino all'infinito (ove si assume potenziale nullo), e la carica di prova.
Non potendo spostare una carica elettrica "fino all'infinito" si pone allora l'attenzione sulla energia "potenziale" liberabile da questa durante l'ipotetico movimento.
L'energia potenziale elettrica della carica è il livello di energia che la carica possiede a causa della sua posizione all'interno del campo elettrico, e pertanto il potenziale elettrico formula_2 della carica di prova è definito operativamente come il rapporto tra l'energia potenziale formula_3 e il valore della carica stessa, cioè:
Il potenziale è dunque una quantità scalare e non dipende dal valore della carica di prova. La sua unità di misura è inoltre il volt: il punto A è al potenziale di 1 volt quando la forza elettrica compirebbe il lavoro di un Joule per portare una carica di un Coulomb libera di muoversi da A a all'infinito. Per estensione, si dice che tra due punti A e B esiste una differenza di potenziale di un volt se una forza elettrica compisse pari lavoro, sulla stessa carica, nello spostamento tra i due punti. Il lavoro formula_5 svolto dal campo elettrico formula_6 per un percorso infinitesimo formula_7 su una carica formula_8 è dato da:
e per calcolare il lavoro lungo una linea formula_10 da un punto A ad un punto B:
Si definiscono superfici equipotenziali per il potenziale elettrico le superfici in ogni punto delle quali il potenziale elettrico assume lo stesso valore. Questo implica che il lavoro del campo elettrico lungo una superficie equipotenziale è nullo ovunque perché è nulla la componente del campo elettrico parallela alla superficie, cioè il campo elettrico è ortogonale alla superficie equipotenziale.
Si consideri il lavoro fatto dal campo elettrico creato da una carica puntiforme formula_12 nel portare una carica di prova formula_8 da un punto A ad un punto B:
dove formula_15 è la costante dielettrica nel vuoto, e:
con formula_17 l'angolo compreso fra i vettori formula_18 e formula_19. Si ha:
e tale formula mostra che il campo elettrostatico è conservativo, poiché il lavoro dipende solo dal valore della funzione formula_21 calcolata nei punti A e B e non dal particolare percorso seguito dalla carica formula_8. Si noti che la conservatività del campo elettrico viene tuttavia a mancare in condizioni non stazionarie.
Dal momento che per il teorema di Helmholtz si può sempre definire una funzione scalare formula_21 il cui gradiente, cambiato di segno, coincida con il campo formula_6:
il potenziale elettrico nel vuoto per una carica puntiforme è dato da:
Il potenziale elettrico è quindi definito a meno di una costante arbitraria, essendo il gradiente di una costante nullo. Questo non rappresenta un problema pratico, poiché normalmente interessa conoscere la differenza di potenziale formula_27, più che il valore del potenziale elettrico in un punto. Convenzionalmente, la costante viene determinata considerando nullo il potenziale che una carica puntiforme produce all'infinito.
In coordinate cartesiane, si ha:
Dalla definizione di potenziale elettrico in termini di lavoro, si ha che:
e quindi, le dimensioni del potenziale corrispondono a:
Una volta introdotta la definizione di potenziale per una carica puntiforme, per il principio di sovrapposizione lineare è possibile generalizzare la definizione del potenziale nel vuoto generato da una distribuzione di cariche puntiformi formula_31, disposte nello spazio nelle posizioni formula_32:
ovvero:
Poiché la carica elettrica è quantizzata, a rigore non esistono distribuzioni continue di carica elettrica. Tuttavia, in un corpo esteso le cariche elementari sono in numero talmente elevato che è conveniente utilizzare il formalismo infinitesimale ed introdurre la densità di carica volumetrica formula_35, superficiale formula_36 e lineare formula_37. In questo modo il potenziale elettrico in un punto dello spazio formula_38 generato da una sorgente estesa con carica totale
è dato dall'integrale:
in cui formula_41 è la distanza dall'origine del punto P e formula_42 è la distanza dall'origine del volume infinitesimale formula_43.


In fisica, l'energia potenziale di un oggetto è l'energia che esso possiede a causa della sua posizione o del suo orientamento rispetto ad un campo di forze. Nel caso si tratti di un sistema, l'energia potenziale può dipendere dalla disposizione degli elementi che lo compongono. Si può vedere l'energia potenziale anche come la capacità di un oggetto (o sistema) di trasformare la propria energia in un'altra forma di energia, come ad esempio l'energia cinetica.
Il termine "energia potenziale" fu coniato da Rankine nel 1853.
Nel sistema internazionale è misurata in joule ("J").
Si tratta di una funzione scalare delle coordinate dell'oggetto nel sistema di riferimento utilizzato. Dato un campo vettoriale conservativo, l'energia potenziale è la sua capacità di compiere lavoro: il lavoro relativo a una forza che agisce su un oggetto è l'integrale di linea di seconda specie della forza valutato sul cammino compiuto dall'oggetto, e se essa è conservativa il valore di questo integrale non dipende dal tipo di cammino seguito. Quando si ha a che fare con forze conservative si può definire un potenziale scalare definito in tutto lo spazio, usualmente il potenziale è definito come l'energia potenziale fratto la variabile che è responsabile della forza. In particolare, dal punto di vista matematico tale potenziale esiste solo se la forza è conservativa, e del resto si assume che per tutte le forze conservative si può sempre definire fisicamente un'energia potenziale.
L'energia potenziale può essere definita anche per il campo magnetico, che non è conservativo, nelle regioni in cui vi è assenza di correnti elettriche. In tal caso, infatti, il rotore del campo è nullo. L'energia potenziale magnetica di un magnete in un campo magnetico è definita come il lavoro della forza magnetica (il momento meccanico) nel ri-allineare il momento di dipolo magnetico.
Se in una regione di spazio sono presenti una qualche forza e un oggetto che è sensibile alla presenza della forza, l'energia potenziale (associata alla forza) posseduta dall'oggetto è definita come la differenza tra l'energia che esso possiede a causa della forza in una data posizione nello spazio e l'energia posseduta in una posizione scelta come riferimento. Spesso nella posizione scelta come riferimento l'energia potenziale è nulla.
L'energia potenziale è definibile come il lavoro necessario a portare a distanza infinita due molecole, ed è pari a zero quando la distanza tra le molecole è infinita.
Data una forza formula_1, il lavoro formula_2 lungo una curva formula_3 è dato in generale dalla relazione:
che in forma locale si scrive:
Nel caso il campo di forze sia conservativo, il lavoro non dipende dal tipo di percorso compiuto, ma soltanto dall'entità della forza agli estremi del cammino (gli estremi di integrazione): il differenziale formula_6 è allora un differenziale esatto, e il campo conservativo corrisponde (per definizione) al gradiente di un campo scalare, chiamato potenziale. In questo caso, se l'oggetto si sposta da un punto formula_7 a un punto formula_8 la forza esercitata dal campo compie un lavoro pari all'opposto formula_9 della differenza formula_10 tra l'energia potenziale posseduta dall'oggetto nelle due posizioni iniziale e finale:
Il motivo del segno meno, per cui il lavoro è pari all'opposto dell'energia, è il fatto che in questo modo a un lavoro positivo corrisponde una riduzione del potenziale. Poiché è possibile fissare arbitrariamente il livello zero dell'energia potenziale, essa viene definita a meno di una costante additiva. Nel caso più semplice, in cui il moto si svolge in una sola direzione, l'energia potenziale di una forza conservativa è pari a una qualche primitiva della forza, cambiata di segno:
dove formula_13 è la costante additiva. Fissando formula_14 si determina qual è la primitiva, e pertanto si rende necessario imporre delle condizioni al contorno: per le forze nulle all'infinito si utilizza la condizione al contorno di Dirichlet formula_15, detta "condizione di località".
Nel caso tridimensionale, se il dominio è un insieme stellato il lemma di Poincaré fornisce una condizione sufficiente e necessaria affinché nel punto formula_16 la forza sia l'opposto formula_17 del gradiente formula_18 di un potenziale scalare formula_19 (ovvero sia conservativa):
Inoltre, l'integrale si può separare:
dove il punto formula_22 è scelto arbitrariamente e i vettori formula_23, formula_24 e formula_25 sono i versori canonici di formula_26.
formula_32 dove formula_33 è la costante di gravitazione universale e formula_34 la massa del corpo maggiore. In quest'ultima il livello di zero di formula_19 è posto a distanza infinita dal corpo celeste, e di conseguenza i valori di formula_19 sono sempre negativi.
Una forza di posizione agente su un punto materiale qualsiasi dello spazio tridimensionale in un sistema di riferimento viene definita in particolare come:
dove formula_46, formula_49, formula_50 sono le coordinate cartesiane di un generico punto nel riferimento, e agisce su un punto materiale di massa formula_27.
Si nota subito che questa forza è di tipo "non locale", in quanto non è nulla all'infinito:
Il calcolo del lavoro della forza lungo la curva formula_53 parametrizzata da:
avviene tramite un integrale curvilineo, oppure controllando che possa esistere una funzione energia potenziale associata alla forza formula_55. La forza è definita su tutto formula_56. Per il lemma di Poincaré se il campo è irrotazionale esiste una funzione energia potenziale associata. 
Il rotore di formula_55 è:
Il campo è quindi conservativo: ciò significa che il lavoro compiuto dalla forza non dipende dalla traiettoria del corpo. La funzione energia potenziale si calcola nel seguente modo:
Imponendo la condizione di località:
Risulta quindi che il campo di energia potenziale è di tipo "non locale" (come anche la forza che la origina).
Chiamando:
il lavoro compiuto dalla forza lungo la traiettoria formula_53 è funzione dei soli estremi del percorso e pari a:
Come si vede l'imposizione della condizione di località non ha alcun influsso sul lavoro (né l'avrebbe sulla forza). Inoltre, se la forza formula_55 è l'unica forza presente, si conserva l'energia meccanica del sistema formula_66, anche se risulta infinita:
e quindi la conservatività della quantità meccanica:
non dipende dalla condizione di località.
