
In meccanica classica, un'equazione del moto è un'equazione che descrive il moto di un sistema fisico in funzione della posizione nello spazio e del tempo. In particolare, l'equazione che caratterizza l'andamento della posizione in funzione del tempo è detta legge oraria.
Un sistema meccanico con formula_1 gradi di libertà viene solitamente descritto attraverso un insieme di coordinate generalizzate formula_2. La conoscenza in un dato istante temporale delle coordinate generalizzate e delle velocità generalizzate formula_3, che sono le derivate rispetto al tempo delle coordinate generalizzate, consente una caratterizzazione completa dello stato meccanico del sistema. Con tali informazioni si possono determinare univocamente le accelerazioni formula_4, ed è quindi possibile prevedere l'evoluzione del sistema ad un tempo successivo a quello considerato. L'equazione del moto mette in relazione le quantità formula_5, formula_6 e formula_7, e se l'incognita è formula_5, come spesso accade, si tratta di un'equazione differenziale del secondo ordine le cui soluzioni sono le possibili leggi orarie formula_9 di un punto materiale, o un corpo, soggetto ad una interazione nota. Le equazioni del moto sono completate dalla definizione dei parametri iniziali, che definiscono il problema di Cauchy e che sotto opportune ipotesi consentono di determinare univocamente la soluzione.
Solitamente la legge oraria di un oggetto in moto è un'equazione che si ricava dall'applicazione al sistema delle leggi della dinamica di Newton o di leggi di conservazione, quali ad esempio la legge di conservazione dell'energia meccanica o del momento angolare. La legge oraria di un punto materiale può essere data sia rispetto ad un sistema di riferimento sia rispetto ad una ascissa curvilinea. Per esempio, se un punto materiale è vincolato su una guida per definirne la posizione si può sia indicare i valori della proiezione del punto sugli assi, sia la distanza da un punto di riferimento preso sulla guida.
Nella meccanica newtoniana un'equazione del moto è una funzione formula_10 che ha la forma di un'equazione differenziale ordinaria rispetto alla funzione che descrive la posizione in funzione del tempo formula_11:
Il problema di Cauchy è dato assegnando un valore alla posizione e alla sua derivata nell'istante formula_13:
Il secondo principio della dinamica può essere formulato sia attraverso la legge di Newton che con la prima equazioni di Eulero. Quest'ultima rappresenta la sua forma più generale:
dove formula_16 è la Lagrangiana del sistema. Le equazioni di Eulero-Lagrange:
si ottengono direttamente a partire dal principio variazionale, e sono equazioni del moto. Esse descrivono il moto di un oggetto che obbedisce al secondo principio della dinamica, mettendo in relazione la posizione e la velocità di ogni elemento che compone il sistema.
Le soluzioni dell'equazione del moto si rappresentano attraverso orbite nello spazio delle fasi. Una costante del moto è una funzione costante lungo ogni orbita del sistema. Dato un sistema di equazioni differenziali del primo ordine:
una funzione scalare formula_19 è una costante del moto o "quantità conservata" se per tutte le condizioni iniziali si ha:
La soluzione del sistema è tangente al campo vettoriale formula_21, che può essere ad esempio un campo di velocità, ed è l'intersezione di due superfici: esse sono gli integrali primi del sistema di equazioni differenziali. Utilizzando la regola della catena si mostra che il campo vettoriale formula_21 è ortogonale al gradiente della quantità conservata formula_23.
Un caso semplice di legge oraria è quello della traiettoria di una particella puntiforme vincolata a stare su una retta. Presa come sistema di riferimento la retta stessa, orientata e con un'origine, la legge oraria è una funzione formula_24 che associa ad ogni istante formula_25 un punto formula_26 della retta (in questo caso il sistema di riferimento ortonormale e l'ascissa curvilinea coincidono). Per esempio, si supponga di avere una particella di massa formula_27 spinta da una forza costante formula_28 nella direzione positiva della retta. Applicando il secondo principio della dinamica si ha l'equazione del moto:
da cui, integrando due volte (o ricordando la formula per il moto rettilineo uniformemente accelerato) si ha la legge oraria:
Un caso meno banale, nel quale si vede anche la differenza tra sistema di riferimento cartesiano e ascissa curvilinea, è quello di un corpo puntiforme su un piano inclinato liscio, con inclinazione formula_31, sottoposto alla forza di gravità, come in figura. Il sistema di riferimento è preso con l'asse formula_26 orizzontale da sinistra a destra e l'asse formula_33 verticale orientato verso l'alto.
Il secondo principio della dinamica, una volta sommate tutte le forze, reazione vincolare inclusa, fornisce le due seguenti equazioni:
che si risolvono indipendentemente come due moti uniformemente accelerati lungo gli assi formula_26 e formula_33:
L'insieme di queste due funzioni è la legge oraria cercata: dato un valore del tempo formula_25 si può conoscere la posizione del punto tramite le sue coordinate cartesiane. Un'altra espressione della posizione può però essere data nei termini di un'ascissa coincidente col piano e diretta verso il basso: in questo modo il moto, che prima era bidimensionale, si riduce ad un moto unidimensionale lungo il piano. Con questo sistema di riferimento, l'equazione del moto è:
e la legge oraria:
Per chiarire il formalismo vettoriale si può definire un vettore posizione formula_11 come:
e la legge oraria è espressa come una funzione vettoriale:
Questo vettore è ambientato nel piano verticale formato dagli assi formula_26 e formula_33 ed indica istante per istante la posizione della particella. Lo spostamento della particella tra due istanti formula_46 e formula_47 è dato semplicemente da:


L'accezione matematica del termine distanza ha un significato analogo a quello dell'uso comune, cioè quello della misura della "lontananza" tra due punti di un insieme al quale si possa attribuire qualche carattere spaziale. In matematica però questa nozione assume caratteri astratti e si basa solo su proprietà formali che ne fanno perdere l'univocità: esistono esempi di insiemi anche comuni come formula_1 in cui possono essere date infinite definizioni di distanza, tutte soddisfacenti le proprietà generali. Si può dire che in matematica il termine distanza caratterizza strumenti computazionali con alcune caratteristiche comuni, ma utilizzabili per scopi diversificati.
Il concetto di distanza e quello collegato di lunghezza vengono generalizzati mediante la definizione della geodetica come il più breve percorso tra due punti di uno "spazio curvo".
Una distanza (o metrica) su un insieme formula_2 è una funzione 
che soddisfa le seguenti proprietà per ogni scelta di formula_4 in formula_2:
La coppia formula_10 è chiamata spazio metrico.
In realtà solo le proprietà 2,3,4 sono indipendenti tra loro. Questo significa che si possono definire delle funzioni che soddisfano alcune tra 2,3,4 ma non altre.
Per esempio, se formula_11 allora la funzione formula_12 per questi particolari valori soddisfa le 2,4 ma non la 3 e quindi in generale non soddisfa la 3.
La dimostrazione che le 3,4 implicano la 1 è molto semplice.
Infatti, sfruttando la 4 si ha
formula_13 e formula_14. Sommando ora membro a membro otteniamo
formula_15 infine (sfruttando la 3) l’espressione si semplifica in 
formula_16 che è appunto la 1, dopo aver diviso per 2 (e scambiato i membri).
Data una norma formula_17 è possibile definire una distanza formula_18 definendo
Si verifica che la funzione così definita è una distanza, infatti:
Si osserva che ogni distanza indotta da una norma è invariante per traslazioni (ovvero, per ogni tripletta di vettori formula_24).
La distanza normalmente considerata in formula_25 è quella euclidea, pari alla radice quadrata del quadrato della differenza orizzontale (tra i due punti) più il quadrato della differenza verticale:
Se si elimina la seconda dimensione questa funzione si riduce al modulo della differenza tra i due numeri: formula_27.
Più in generale nello spazio euclideo formula_28 si può definire la distanza tra due punti formula_29 e formula_30 nei seguenti modi:
La "2-distanza" in uno spazio a "n" dimensioni corrisponde al teorema di Pitagora applicato "n-1" volte: è la distanza di uno spazio euclideo, normalmente usata nel piano o nello spazio e viene detta anche distanza pitagorica. La "1-distanza", detta anche "distanza L1" o distanza Manhattan, genera invece una geometria diversa, detta geometria del taxi. La "∞-distanza (o distanza L∞)" è la cosiddetta distanza di Chebyshev.
Nel caso di uno spazio di Hilbert formula_45, il teorema della proiezione afferma che per ogni punto formula_46 e per ogni insieme convesso chiuso formula_47 esiste un unico formula_48 tale per cui formula_49 assume il valore minimo su formula_50. In particolare, questo è vero per ogni sottospazio chiuso formula_51 di formula_45: in tal caso una condizione necessaria e sufficiente per formula_53 è che il vettore formula_54 sia ortogonale a formula_51.
Data una distanza su un insieme si può definire come palla, o bolla, o disco, centrata in un punto formula_56 di un certo raggio formula_57 positivo l'insieme dei punti dell'insieme che distano da formula_56 meno di formula_57:
Solitamente la definizione si intende con il <; se però c'è bisogno di specificare, si dirà "disco aperto" l'insieme definito dalla relazione " < " e "disco chiuso" l'insieme definito dalla relazione " ≤ ".
Si definisce anche "bordo" del disco l'insieme
L'insieme dei dischi aperti centrati nei vari punti dello spazio soddisfa la definizione topologica di base: la topologia sull'insieme formula_62 determinata da questa base si dice "topologia generata" (o "indotta") dalla distanza formula_63.
È importante notare come il disco chiuso non coincida sempre con la chiusura del disco aperto, ma in generale ne sia solo un soprainsieme; in particolare nello spazio euclideo comunque le due nozioni coincidono.
Due distanze formula_63 e formula_65 si dicono equivalenti se l'applicazione identità
è un omeomorfismo.
Equivalentemente, esse si possono dire equivalenti se ogni disco della prima metrica contiene un qualche disco della seconda metrica e viceversa. Ad esempio una distanza "d" è equivalente a quella data dalla funzione formula_67 ed a quella data dalla funzione formula_68.
Due distanze equivalenti generano la stessa topologia.
Se si indeboliscono le richieste su formula_63 si ottengono spazi con proprietà più deboli e più poveri come possibilità algoritmiche:
Al contrario, rinforzando la disuguaglianza triangolare e imponendo che
si ottiene una cosiddetta ultrametrica.
