
In meccanica dei materiali, la legge di Hooke è la più semplice relazione costitutiva di comportamento dei materiali elastici. Essa è formulata dicendo che un corpo elastico subisce una deformazione direttamente proporzionale allo sforzo a esso applicato. La costante di proporzionalità che dipende dalla natura del materiale stesso.
I materiali per i quali la legge di Hooke è un'utile approssimazione del reale comportamento sono detti "materiali elastico-lineari". Definisce perciò un solido elastico allo stesso modo in cui la legge di Pascal definisce un fluido ideale.
Robert Hooke cominciò il suo studio sull'elasticità partendo dalla caratterizzazione del comportamento della "molla perfetta" o "ideale", cioè una molla priva di massa, di spessore trascurabile quando completamente compressa e in totale assenza di attrito e di altri fenomeni dissipativi; infatti, la molla ideale rappresenta il modello classico di elasticità lineare. La legge fu prima formulata nel 1675, nella forma dell'anagramma latino «"ceiiinosssttuv"», la cui soluzione fu pubblicata da Hooke nel 1678 come «"Ut tensio, sic vis"» («"come l'estensione, così la forza"»).
A partire dall'enunciato fornito originariamente da Hooke, l'equazione che esprime la forza elastica esercitata da una molla sollecitata longitudinalmente, in trazione o in compressione, lungo un asse formula_1 è:
quindi la forza formula_3 con cui la molla reagisce alla sollecitazione è direttamente proporzionale all'allungamento formula_4. La costante formula_5 rappresenta la "costante elastica longitudinale" della molla, espressa in formula_6.
In modo del tutto analogo, si ricava l'equazione che esprime il momento elastico, diretto lungo un asse formula_7 ortogonale al piano di torsione, esercitato da una molla torsionale sollecitata tangenzialmente:
quindi il momento meccanico formula_9 con cui la molla reagisce alla sollecitazione è direttamente proporzionale alla variazione dell'angolo formula_10. La costante formula_11 rappresenta la "costante elastica tangenziale" del corpo, espressa in formula_12.
Tuttavia, la formulazione odierna della legge di Hooke si serve di due grandezze vettoriali, la tensione formula_13 e la deformazione formula_14, legate tra loro da una relazione tensoriale.
Nel caso monodimensionale la relazione longitudinale diventa:
dove formula_16 è il "coefficiente di dilatazione lineare" e formula_17 è il modulo di elasticità longitudinale di Young, mentre la relazione inversa è:
dove l'inverso del modulo di Young è detto "modulo di cedevolezza longitudinale" formula_19.
Mentre il caso monodimensionale della relazione tangenziale diventa:
dove formula_21 è il c"oefficiente di scorrimento angolare" e formula_22 è il modulo di elasticità tangenziale.
Dalle relazioni precedenti si può dedurre che formula_23 e che formula_24, dove formula_25 è la sezione, formula_26 è la dimensione longitudinale e formula_27 è il braccio della forza che causa il momento.
Dato un sistema di riferimento cartesiano centrato un punto formula_28 appartenente ad un corpo deformabile, con formula_29 e detto formula_30, si ha che la cinematica del punto formula_31 è data dall'equazione:
mentre la trattazione statica di formula_31 la si ottiene attraverso il teorema di Cauchy-Poisson:
dove formula_35 è il vettore spostamento, formula_36 la giacitura e formula_37 e formula_38 sono, rispettivamente i tensori delle deformazioni e delle tensioni, che risultano entrambi simmetrici. Facendo uso della notazione di Voigt, a questi due tensori è possibile associare, rispettivamente, il vettore deformazione formula_14 e il vettore tensione formula_13.
In campo elastico, deformando un volume infinitesimo unitario formula_41, portandolo da uno stato formula_42 a uno stato formula_43, si applica un lavoro formula_44. Pertanto, il materiale rilascia tutta l'energia accumulata e ciò permette che si verifichi l'assenza di deformazioni residue.
Per i materiali iperelastici, l'energia di deformazione è definita come una funzione continua:
quindi essa rappresenta il "potenziale delle tensioni", mentre il "potenziale delle deformazioni" è rappresentato dall'energia complementare:
Essendo entrambe dei potenziali, entrambe le funzioni devono rispettare le condizioni di Schwarz.
A partire da queste considerazioni energetiche è possibile ricavare la legge di Hooke in termini tensoriali:
dove l'operatore lineare formula_48 è il "tensore di elasticità", la legge inversa, invece, è definita come:
dove l'operatore lineare formula_50 è il "tensore di cedevolezza". Pertanto si ha che:
Nonostante siano state ricavate per materiali iperelastici, queste leggi sono valide per tutti i tipi di materiali elastici.
Sia formula_48 che formula_50 sono tensori del quarto ordine, pertanto hanno 81 coefficienti scalari. In generale, entrambi i tensori hanno 36 coefficienti indipendenti, che si riducono a 21 nel caso di materiale iperelastico e a soli 2 nel caso il materiale sia anche omogeneo e isotropo. 
In tale ultimo caso il legame costitutivo è dato dalla relazione:
mentre, l'espressione inversa del legame costitutivo è la seguente:
dove formula_56 è la matrice identità e i due parametri scalari sono la costante di Lamé formula_57 e il modulo di elasticità tangenziale formula_22, che si legano al modulo di Young formula_17 e al modulo di Poisson formula_60 attraverso le relazioni:
La validità della legge di Hooke per una molla può essere verificata in laboratorio anche tramite semplici attrezzature. In genere, l'obiettivo dell'esperimento è la determinazione del valore della costante elastica longitudinale formula_5 di una molla. 
Per fare ciò occorre sottoporre la molla a carichi crescenti, misurando il relativo allungamento formula_4, pari alla differenza tra la lunghezza della molla sottoposta al carico, crescente, e la lunghezza della molla a riposo, ovvero non sottoposta ad alcun carico verticale, a meno del peso della molla stessa. Il rapporto tra la forza formula_3 applicata e l'allungamento formula_4 rappresenta esattamente il valore della costante elastica formula_5 di quella data molla. A questo punto occorre applicare forze verticali crescenti alla molla che, seguendo la legge di Hooke, produrrà allungamenti formula_4 direttamente proporzionali alle forze formula_3 applicate. I singoli valori di costante elastica formula_5 così determinati, se l'esperimento è svolto correttamente, risulteranno costanti, a meno di eventuali errori di misura da determinarsi con la teoria degli errori. 
Nel caso in cui formula_70 molle fossero poste in serie si può dimostrare e verificare sperimentalmente che il valore della costante elastica equivalente totale sarà pari a: 


La frequenza è una grandezza che riguarda fenomeni periodici o processi ripetitivi. 
In fisica la frequenza di un fenomeno che presenta un andamento costituito da eventi che nel tempo si ripetono identici o quasi identici, viene data dal numero degli eventi che vengono ripetuti in una data unità di tempo; inoltre la velocità angolare rientra nel concetto generale di velocità (variazione di una grandezza), in questo caso esprime la variazione di un angolo nel tempo. Un modo per calcolare una tale frequenza consiste nel fissare un intervallo di tempo, nel contare il numero di occorrenze dell'evento che si ripete in tale intervallo di tempo e nel dividere quindi il risultato di questo conteggio per l'ampiezza dell'intervallo di tempo. In alternativa, si può misurare l'intervallo di tempo tra gli istanti iniziali di due eventi successivi (il periodo) e quindi calcolare la frequenza come grandezza inversa di questa durata.
dove "T" esprime il periodo. Il risultato è dato nell'unità di misura chiamata hertz (Hz), dal fisico tedesco Heinrich Rudolf Hertz, dove 1 Hz caratterizza un evento che occorre una volta in un secondo. Quindi formula_2
Gli strumenti usati per la misura sono l'oscilloscopio e il frequenzimetro: il primo permette una misurazione complementare ad altre, in circostanze non impegnative; per misure accurate e precise occorre usare il secondo, il quale è uno strumento elettronico specializzato per misure di frequenza e di tempo e talvolta in grado di generare fenomeni periodici a frequenze impostate.
Nel misurare la frequenza del suono, di onde elettromagnetiche (come le onde radio o la luce), di segnali elettrici oscillatori o di altre onde simili, la frequenza in hertz è il numero di cicli della forma d'onda ripetitiva per secondo.
Poiché il prodotto tra la frequenza di un'onda elettromagnetica e la sua lunghezza d'onda è uguale al valore della velocità della luce (formula_3 ), si ha che
In altre parole, in un'onda elettromagnetica tra lunghezza d'onda e frequenza esiste un rapporto di proporzionalità inversa.
La frequenza di campionamento è uno dei parametri fondamentali che caratterizzano il processo di conversione analogico-digitale nei sistemi elettronici di elaborazione dell'informazione.
In un sistema elettronico, l'informazione è usualmente codificata in un segnale di tensione variabile nel tempo. Si parla di segnale analogico se esso varia in modo continuo in ciascun istante di tempo, di segnale numerico se esso può assumere solo un numero finito di valori discreti oppure di segnale digitale se i valori che può assumere sono solo 0 ed 1, in precisi istanti di tempo. Il processo di campionamento consente di convertire un segnale analogico in un segnale digitale e consiste nel misurare e registrare, in precisi istanti di tempo (istanti di campionamento) il valore istantaneo del segnale analogico in esame. La sequenza di tali valori, detti campioni, costituisce il segnale digitale. Il dispositivo che realizza la conversione da segnale analogico a segnale digitale viene detto convertitore A/D. La frequenza di campionamento indica il numero di campioni registrati in un secondo: il Teorema di Nyquist-Shannon stabilisce che, affinché sia possibile ricostruire il segnale analogico a partire dai suoi campioni, è necessario che la frequenza di campionamento sia almeno il doppio della frequenza più alta contenuta nello spettro del segnale di partenza: formula_5.
Ad esempio, un segnale audio ha uno spettro compreso fra 20 Hz e 20 kHz: per poter registrare il segnale su un supporto digitale (come, un CD audio) la frequenza di campionamento deve essere almeno di 40 kHz. Usualmente, tale campionamento viene effettuato a 44.1 kHz, valore che soddisfa appieno il teorema di Nyquist-Shannon e che consente di ricostruire fedelmente il segnale analogico di partenza.
