
In fisica, l'energia potenziale di un oggetto è l'energia che esso possiede a causa della sua posizione o del suo orientamento rispetto ad un campo di forze. Nel caso si tratti di un sistema, l'energia potenziale può dipendere dalla disposizione degli elementi che lo compongono. Si può vedere l'energia potenziale anche come la capacità di un oggetto (o sistema) di trasformare la propria energia in un'altra forma di energia, come ad esempio l'energia cinetica.
Il termine "energia potenziale" fu coniato da Rankine nel 1853.
Nel sistema internazionale è misurata in joule ("J").
Si tratta di una funzione scalare delle coordinate dell'oggetto nel sistema di riferimento utilizzato. Dato un campo vettoriale conservativo, l'energia potenziale è la sua capacità di compiere lavoro: il lavoro relativo a una forza che agisce su un oggetto è l'integrale di linea di seconda specie della forza valutato sul cammino compiuto dall'oggetto, e se essa è conservativa il valore di questo integrale non dipende dal tipo di cammino seguito. Quando si ha a che fare con forze conservative si può definire un potenziale scalare definito in tutto lo spazio, usualmente il potenziale è definito come l'energia potenziale fratto la variabile che è responsabile della forza. In particolare, dal punto di vista matematico tale potenziale esiste solo se la forza è conservativa, e del resto si assume che per tutte le forze conservative si può sempre definire fisicamente un'energia potenziale.
L'energia potenziale può essere definita anche per il campo magnetico, che non è conservativo, nelle regioni in cui vi è assenza di correnti elettriche. In tal caso, infatti, il rotore del campo è nullo. L'energia potenziale magnetica di un magnete in un campo magnetico è definita come il lavoro della forza magnetica (il momento meccanico) nel ri-allineare il momento di dipolo magnetico.
Se in una regione di spazio sono presenti una qualche forza e un oggetto che è sensibile alla presenza della forza, l'energia potenziale (associata alla forza) posseduta dall'oggetto è definita come la differenza tra l'energia che esso possiede a causa della forza in una data posizione nello spazio e l'energia posseduta in una posizione scelta come riferimento. Spesso nella posizione scelta come riferimento l'energia potenziale è nulla.
L'energia potenziale è definibile come il lavoro necessario a portare a distanza infinita due molecole, ed è pari a zero quando la distanza tra le molecole è infinita.
Data una forza formula_1, il lavoro formula_2 lungo una curva formula_3 è dato in generale dalla relazione:
che in forma locale si scrive:
Nel caso il campo di forze sia conservativo, il lavoro non dipende dal tipo di percorso compiuto, ma soltanto dall'entità della forza agli estremi del cammino (gli estremi di integrazione): il differenziale formula_6 è allora un differenziale esatto, e il campo conservativo corrisponde (per definizione) al gradiente di un campo scalare, chiamato potenziale. In questo caso, se l'oggetto si sposta da un punto formula_7 a un punto formula_8 la forza esercitata dal campo compie un lavoro pari all'opposto formula_9 della differenza formula_10 tra l'energia potenziale posseduta dall'oggetto nelle due posizioni iniziale e finale:
Il motivo del segno meno, per cui il lavoro è pari all'opposto dell'energia, è il fatto che in questo modo a un lavoro positivo corrisponde una riduzione del potenziale. Poiché è possibile fissare arbitrariamente il livello zero dell'energia potenziale, essa viene definita a meno di una costante additiva. Nel caso più semplice, in cui il moto si svolge in una sola direzione, l'energia potenziale di una forza conservativa è pari a una qualche primitiva della forza, cambiata di segno:
dove formula_13 è la costante additiva. Fissando formula_14 si determina qual è la primitiva, e pertanto si rende necessario imporre delle condizioni al contorno: per le forze nulle all'infinito si utilizza la condizione al contorno di Dirichlet formula_15, detta "condizione di località".
Nel caso tridimensionale, se il dominio è un insieme stellato il lemma di Poincaré fornisce una condizione sufficiente e necessaria affinché nel punto formula_16 la forza sia l'opposto formula_17 del gradiente formula_18 di un potenziale scalare formula_19 (ovvero sia conservativa):
Inoltre, l'integrale si può separare:
dove il punto formula_22 è scelto arbitrariamente e i vettori formula_23, formula_24 e formula_25 sono i versori canonici di formula_26.
formula_32 dove formula_33 è la costante di gravitazione universale e formula_34 la massa del corpo maggiore. In quest'ultima il livello di zero di formula_19 è posto a distanza infinita dal corpo celeste, e di conseguenza i valori di formula_19 sono sempre negativi.
Una forza di posizione agente su un punto materiale qualsiasi dello spazio tridimensionale in un sistema di riferimento viene definita in particolare come:
dove formula_46, formula_49, formula_50 sono le coordinate cartesiane di un generico punto nel riferimento, e agisce su un punto materiale di massa formula_27.
Si nota subito che questa forza è di tipo "non locale", in quanto non è nulla all'infinito:
Il calcolo del lavoro della forza lungo la curva formula_53 parametrizzata da:
avviene tramite un integrale curvilineo, oppure controllando che possa esistere una funzione energia potenziale associata alla forza formula_55. La forza è definita su tutto formula_56. Per il lemma di Poincaré se il campo è irrotazionale esiste una funzione energia potenziale associata. 
Il rotore di formula_55 è:
Il campo è quindi conservativo: ciò significa che il lavoro compiuto dalla forza non dipende dalla traiettoria del corpo. La funzione energia potenziale si calcola nel seguente modo:
Imponendo la condizione di località:
Risulta quindi che il campo di energia potenziale è di tipo "non locale" (come anche la forza che la origina).
Chiamando:
il lavoro compiuto dalla forza lungo la traiettoria formula_53 è funzione dei soli estremi del percorso e pari a:
Come si vede l'imposizione della condizione di località non ha alcun influsso sul lavoro (né l'avrebbe sulla forza). Inoltre, se la forza formula_55 è l'unica forza presente, si conserva l'energia meccanica del sistema formula_66, anche se risulta infinita:
e quindi la conservatività della quantità meccanica:
non dipende dalla condizione di località.


In fisica, in primo luogo in cinematica, la velocità (dal latino "vēlōcitās", a sua volta derivato da "vēlōx", cioè "veloce") è una grandezza vettoriale definita come la variazione della posizione di un corpo in funzione del tempo, ossia, in termini matematici, come la derivata del vettore posizione rispetto al tempo.
Nel Sistema Internazionale la velocità si misura in m·s (metri al secondo).
Quando non specificato, per "velocità" si intende la "velocità traslazionale", sottintendendo che lo spostamento a cui si fa riferimento è una traslazione nello spazio. Il termine, "velocità", infatti, può essere utilizzato con un significato più generale per indicare la variazione di una coordinata spaziale in funzione del tempo. Ad esempio, nella descrizione del moto rotatorio, per definire la "velocità di rotazione" si usano la velocità angolare e la velocità areolare.
Talvolta si usa il termine "rapidità" per indicare il modulo della velocità. Ciò viene fatto in analogia con la lingua inglese, nella quale si indica con "speed" la rapidità e con "velocity" la velocità in senso vettoriale.
La variazione della velocità, sia in aumento che in diminuzione, è l'accelerazione, anche se nel linguaggio comune a volte si parla di "decelerazione" quando la velocità diminuisce.
La velocità è un vettore che indica la rapidità del moto, la direzione e il verso di un punto materiale in movimento. Essa si riduce a una grandezza scalare soltanto in casi particolari, ad esempio, nel moto rettilineo uniforme, in cui il vettore ha una sola componente diversa da zero.
Si definisce "velocità media" formula_1 il rapporto tra lo spostamento, inteso come la variazione dello posizione, formula_2 e l'intervallo di tempo formula_3 impiegato a percorrerlo:
dove formula_5 e formula_6 sono i vettori posizione agli istanti iniziale formula_7 e finale formula_8. La velocità media può essere vista come il coefficiente angolare della retta in un grafico spazio-tempo. In particolare si parla di velocità positiva , se l'angolo che la retta forma con l'asse delle ascisse è acuto e di velocità negativa , se l'angolo che la retta forma con l'asse delle ascisse è ottuso. 
Si definisce "velocità istantanea" formula_9 il limite della velocità media per intervalli di tempo molto brevi, ovvero la derivata della posizione rispetto al tempo:. In parole povere la velocità istantanea è il valore limite della velocità media nell'intorno di un determinato istante quando la variazione di tempo formula_10 considerata tende al valore 0.
Si noti che la velocità media è proprio la media della velocità istantanea in un tempo finito formula_12:
avendo usato il teorema fondamentale del calcolo integrale.
In un contesto più formale, sia formula_14 la lunghezza di un arco della curva percorsa dall'oggetto in moto, ovvero lo spostamento dell'oggetto al tempo formula_15. La norma della velocità istantanea nel punto formula_16 è la derivata dello spostamento rispetto al tempo:
ed il vettore velocità ha la direzione del moto:
con formula_19 il vettore unitario tangente alla curva.
Utilizzando uno spazio bidimensionale, la velocità media e quella istantanea si possono scomporre nel seguente modo:
dove formula_21 e formula_22 sono due versori in direzione degli assi formula_23 e formula_24. Il modulo del vettore velocità è a sua volta scomponibile nei suoi componenti:
dove formula_26 è il momento statico e formula_27 la quantità di moto totale del sistema.
In caso di caduta di un oggetto immerso in un campo gravitazionale, la velocità finale dell'oggetto può essere determinata utilizzando la conservazione dell'energia, ottenendo così una semplice espressione:
dove formula_29 è la differenza di quota tra il punto di caduta e quello in cui l'oggetto si ferma.
In quest'ultimo caso si parla di velocità di impatto.
Per velocità terminale di caduta, o "velocità limite", si intende la velocità massima che raggiunge un corpo in caduta. Cadendo attraverso un fluido infatti il corpo incontra una crescente resistenza all'aumentare della velocità e quando l'attrito eguaglia la forza di attrazione gravitazionale la velocità si stabilizza.
La velocità della luce, o di qualsiasi altra onda elettromagnetica, è identica nel vuoto per tutti i sistemi di riferimento. Questa invarianza, implicita nelle simmetrie delle equazioni di Maxwell per la propagazione delle onde elettromagnetiche e verificata sperimentalmente alla fine del 1800 con l'esperimento di Michelson-Morley, ha portato alla necessità di modificare le equazioni del moto e della dinamica. Una delle conseguenze della teoria della relatività ristretta di Albert Einstein è che la velocità massima raggiungibile al limite da un qualunque oggetto fisico è quella della luce nel vuoto.
