
Nell'ottica geometrica la legge di Snell, nota anche come legge di Descartes o legge di Snell-Descartes (o legge di Cartesio o legge di Snell-Cartesio), descrive le modalità di rifrazione di un raggio luminoso nella transizione tra due mezzi con indice di rifrazione diverso, e deriva dall'equazione iconale.
Il nome della legge di Snell rispetta la legge dell'eponimia di Stigler. La legge è documentata per la prima volta in un manoscritto scritto intorno al 984 del matematico arabo Ibn Sahl, che la usò per ottenere i profili delle lenti asferiche (lenti che fuocheggiano la luce senza indurre aberrazioni geometriche). Fu poi scoperta di nuovo da Thomas Harriot nel 1602, che però non pubblicò il suo lavoro. Nel 1621, fu scoperta ancora una volta da Willebrord Snell, in una forma matematicamente equivalente, ma rimase inedita fino alla sua morte. René Descartes derivò indipendentemente la legge in termini di funzioni sinusoidali nel suo trattato "Discorso sul metodo" del 1637 e la usò per risolvere diversi problemi di ottica. In francese la legge di Snell è chiamata "di Descartes" o "di Snell-Descartes".
La luce si propaga nel vuoto alla velocità costante c.
La figura mostra due mezzi trasmissivi con indice di rifrazione "n" (a sinistra) e "n" (a destra) in contatto tra loro attraverso una superficie, che viene chiamata interfaccia (linea verticale in figura). Nel caso "n" > "n", la luce ha una velocità di fase più bassa nel secondo mezzo.
Il raggio luminoso PO proveniente dal mezzo di sinistra colpisce l'interfaccia nel punto O. A partire da tale punto O tracciamo una retta perpendicolare all'interfaccia stessa, che viene chiamata "normale" all'interfaccia (linea orizzontale in figura). L'angolo tra la normale e il raggio luminoso PO viene chiamato "angolo d'incidenza", θ.
Il raggio attraversa l'interfaccia e prosegue nel mezzo di destra, indicato come OQ. L'angolo che tale raggio (rifratto) forma con la normale si chiama "angolo di rifrazione", θ.
La legge di Snell fornisce la relazione tra gli angoli θ e θ:
formula_1
Si noti che nel caso θ = 0° (ovvero il raggio risulta perpendicolare all'interfaccia) la soluzione è θ = 0° per qualunque valore di "n" e "n". In altri termini, un raggio che entra in un mezzo in modo perpendicolare alla sua superficie non viene mai deviato.
Quanto detto sopra vale anche nel caso di un raggio luminoso che passa da un mezzo più denso a uno meno denso; la simmetria della legge di Snell mostra che gli stessi percorsi luminosi sono validi anche nella direzione opposta.
Una regola di carattere qualitativo per determinare la direzione della rifrazione è che il raggio luminoso è sempre più vicino alla normale dal lato del mezzo più denso.
La legge di Snell è valida in generale solo per mezzi isotropi, come il vetro. Nel caso di mezzi anisotropi (ad esempio alcuni cristalli) il fenomeno della birifrangenza può dividere in due il raggio rifratto. Si vengono allora ad avere due raggi, uno "ordinario" (raggio "o") che segue la legge di Snell, e uno "straordinario" (raggio "e") che può non essere complanare con quello incidente.
Si consideri l'equazione iconale nella forma:
formula_2
dove x è la ascissa curvilinea lungo il cammino ottico, n è l'indice di rifrazione e formula_3 il versore del raggio ottico ed effettuando il prodotto vettoriale per il versore formula_4 della posizione si ottiene:
formula_5
dato che la derivata è un operatore lineare, si può trasportare dentro nel modo più semplice il prodotto vettoriale:
formula_6
si arriva quindi alla legge di Snell:
formula_7
che si esprime nella forma più comune chiamando θ l'angolo fra la direzione della posizione e quella del raggio ottico:
formula_8
e considerando il fatto che la derivata parziale nulla equivale a un argomento costante rispetto alla variabile di derivazione:
formula_9
Il caso più semplice è quello in cui l'indice di rifrazione è uniforme lungo l'ascissa curvilinea:
formula_10
In questo caso si vede immediatamente che la traiettoria del raggio risulta rettilinea, con inclinazione uniforme:
formula_11
Nel caso invece l'indice di rifrazione sia lineare con l'ascissa curvilinea:
formula_12
il raggio risulta inclinato in ogni punto della sua traiettoria con legge:
formula_13
questa comporta uno smorzamento della deviazione lungo la traiettoria: col limite all'infinito si vede che l'inclinazione asintotica risulta nulla, qualunque sia l'inclinazione iniziale:
formula_14
quindi questo mezzo riesce ad allineare dei raggi ottici con qualsiasi direzione iniziale, anche se sempre in modo incompleto poiché fisicamente non può essere realizzato con un'estensione infinita, con efficienza proporzionale al cammino ottico e all'intensità dell'indice di rifrazione.
Nel passaggio da un mezzo più denso a uno meno denso (ovvero, "n" > "n") si può verificare facilmente che l'equazione formula_15 sia priva di soluzioni quando θ supera un valore che viene chiamato angolo critico:
Quando θ > θ non appare alcun raggio rifratto: la luce incidente subisce una riflessione interna totale ad opera dell'interfaccia. Si genera un'onda di superficie, o onda evanescente ("leaky wave"), che decade esponenzialmente all'interno del mezzo con indice di rifrazione "n".
Dal versore s del raggio luminoso incidente, e il versore p, normale all'interfaccia, è possibile ricavare i versori associati al raggio riflesso e rifratto:
La legge di Snell può essere legata al Principio di Fermat: 
Infatti si può verificare che il cammino seguito dalla luce è un punto stazionario per il cammino ottico, vale a dire che in corrispondenza di esso la derivata del cammino ottico si annulla. In alternativa, la relazione può essere ottenuta considerando l'interferenza di tutti i possibili percorsi che l'onda di luce può percorrere dalla sorgente all'osservatore - risulta che l'interferenza è distruttiva ovunque, eccetto che negli estremi di fase (dove è costruttiva) - che diventa il percorso effettivo.
In una classica analogia della brachistocrona proposta da Feynman una spiaggia è una regione a indice di rifrazione più basso del mare; il modo più rapido per un bagnino sulla spiaggia di raggiungere a velocità costante una persona che sta affogando è percorrere il cammino ottico ovvero seguire la legge di Snell.


L'accezione matematica del termine distanza ha un significato analogo a quello dell'uso comune, cioè quello della misura della "lontananza" tra due punti di un insieme al quale si possa attribuire qualche carattere spaziale. In matematica però questa nozione assume caratteri astratti e si basa solo su proprietà formali che ne fanno perdere l'univocità: esistono esempi di insiemi anche comuni come formula_1 in cui possono essere date infinite definizioni di distanza, tutte soddisfacenti le proprietà generali. Si può dire che in matematica il termine distanza caratterizza strumenti computazionali con alcune caratteristiche comuni, ma utilizzabili per scopi diversificati.
Il concetto di distanza e quello collegato di lunghezza vengono generalizzati mediante la definizione della geodetica come il più breve percorso tra due punti di uno "spazio curvo".
Una distanza (o metrica) su un insieme formula_2 è una funzione 
che soddisfa le seguenti proprietà per ogni scelta di formula_4 in formula_2:
La coppia formula_10 è chiamata spazio metrico.
In realtà solo le proprietà 2,3,4 sono indipendenti tra loro. Questo significa che si possono definire delle funzioni che soddisfano alcune tra 2,3,4 ma non altre.
Per esempio, se formula_11 allora la funzione formula_12 per questi particolari valori soddisfa le 2,4 ma non la 3 e quindi in generale non soddisfa la 3.
La dimostrazione che le 3,4 implicano la 1 è molto semplice.
Infatti, sfruttando la 4 si ha
formula_13 e formula_14. Sommando ora membro a membro otteniamo
formula_15 infine (sfruttando la 3) l’espressione si semplifica in 
formula_16 che è appunto la 1, dopo aver diviso per 2 (e scambiato i membri).
Data una norma formula_17 è possibile definire una distanza formula_18 definendo
Si verifica che la funzione così definita è una distanza, infatti:
Si osserva che ogni distanza indotta da una norma è invariante per traslazioni (ovvero, per ogni tripletta di vettori formula_24).
La distanza normalmente considerata in formula_25 è quella euclidea, pari alla radice quadrata del quadrato della differenza orizzontale (tra i due punti) più il quadrato della differenza verticale:
Se si elimina la seconda dimensione questa funzione si riduce al modulo della differenza tra i due numeri: formula_27.
Più in generale nello spazio euclideo formula_28 si può definire la distanza tra due punti formula_29 e formula_30 nei seguenti modi:
La "2-distanza" in uno spazio a "n" dimensioni corrisponde al teorema di Pitagora applicato "n-1" volte: è la distanza di uno spazio euclideo, normalmente usata nel piano o nello spazio e viene detta anche distanza pitagorica. La "1-distanza", detta anche "distanza L1" o distanza Manhattan, genera invece una geometria diversa, detta geometria del taxi. La "∞-distanza (o distanza L∞)" è la cosiddetta distanza di Chebyshev.
Nel caso di uno spazio di Hilbert formula_45, il teorema della proiezione afferma che per ogni punto formula_46 e per ogni insieme convesso chiuso formula_47 esiste un unico formula_48 tale per cui formula_49 assume il valore minimo su formula_50. In particolare, questo è vero per ogni sottospazio chiuso formula_51 di formula_45: in tal caso una condizione necessaria e sufficiente per formula_53 è che il vettore formula_54 sia ortogonale a formula_51.
Data una distanza su un insieme si può definire come palla, o bolla, o disco, centrata in un punto formula_56 di un certo raggio formula_57 positivo l'insieme dei punti dell'insieme che distano da formula_56 meno di formula_57:
Solitamente la definizione si intende con il <; se però c'è bisogno di specificare, si dirà "disco aperto" l'insieme definito dalla relazione " < " e "disco chiuso" l'insieme definito dalla relazione " ≤ ".
Si definisce anche "bordo" del disco l'insieme
L'insieme dei dischi aperti centrati nei vari punti dello spazio soddisfa la definizione topologica di base: la topologia sull'insieme formula_62 determinata da questa base si dice "topologia generata" (o "indotta") dalla distanza formula_63.
È importante notare come il disco chiuso non coincida sempre con la chiusura del disco aperto, ma in generale ne sia solo un soprainsieme; in particolare nello spazio euclideo comunque le due nozioni coincidono.
Due distanze formula_63 e formula_65 si dicono equivalenti se l'applicazione identità
è un omeomorfismo.
Equivalentemente, esse si possono dire equivalenti se ogni disco della prima metrica contiene un qualche disco della seconda metrica e viceversa. Ad esempio una distanza "d" è equivalente a quella data dalla funzione formula_67 ed a quella data dalla funzione formula_68.
Due distanze equivalenti generano la stessa topologia.
Se si indeboliscono le richieste su formula_63 si ottengono spazi con proprietà più deboli e più poveri come possibilità algoritmiche:
Al contrario, rinforzando la disuguaglianza triangolare e imponendo che
si ottiene una cosiddetta ultrametrica.
