
In fisica la legge di gravitazione universale afferma che nell'Universo due corpi si attraggono in modo direttamente proporzionale al prodotto delle loro masse e inversamente proporzionale alla loro distanza elevata al quadrato.
Si tratta di una legge fisica generale derivata per induzione da osservazioni empiriche. Fa parte della meccanica classica ed è stata formulata da Isaac Newton nell'opera "Philosophiae Naturalis Principia Mathematica" ("Principia"), pubblicata il 5 luglio 1687.
Una recente valutazione (di Ofer Gal) sulla storia iniziale della legge dell'inverso del quadrato sottolinea che "verso la fine degli anni 1660", l'ipotesi di una "proporzionalità inversa tra gravità e il quadrato della distanza era abbastanza comune ed era stata avanzata da un certo numero di persone per motivi diversi". Lo stesso autore accredita Robert Hooke di un contributo significativo, anche seminale, ma tratta come poco interessante la pretesa di priorità di Hooke sulla questione dell'inverso del quadrato, dal momento che diverse persone oltre a Newton e Hooke l'avevano almeno accennata, e sottolinea invece, come contributi significativi di Hooke, l'idea della "composizione dei moti celesti" e l'aver convertito il pensiero di Newton dalla 'forza centrifuga' alla 'forza centripeta'.
Nel 1686, quando il primo libro di Newton "Principia" fu presentato alla Royal Society, Robert Hooke accusò Newton di plagio, sostenendo che egli aveva preso da lui la "nozione" de "la regola della diminuzione della Gravità, agendo essa in modo reciproco come i quadrati delle distanze dal Centro". Allo stesso tempo (secondo un resoconto dell'epoca di Edmond Halley) Hooke ammetteva che "la Dimostrazione delle Curve con ciò generate" era completamente di Newton.
Robert Hooke pubblicò le sue idee sul "Sistema del Mondo" negli anni 1660, quando lesse alla Royal Society il 21 marzo 1666 un documento "Sulla gravità", "riguardante la flessione di un moto diretto in una curva da parte di una sopravveniente azione di attrazione", e le pubblicò nuovamente sotto forma più sviluppata nel 1674, come "Tentativo di Dimostrare il Moto della Terra dalle Osservazioni". Hooke annunciò nel 1674 che aveva progettato di "spiegare un sistema del mondo diverso sotto vari aspetti da qualsiasi altro fino allora conosciuto", basato su tre "Supposizioni": che "tutti i corpi celesti indistintamente hanno un'attrazione o forza che gravita verso i propri Centri" e che "essi attirano anche tutti gli altri Corpi Celesti che si trovano nella sfera della loro influenza"; che "tutti i corpi di qualsiasi tipo che vengono messi in un moto diretto e semplice, continueranno il loro moto rettilineo e uniforme, fino a quando non verranno deviati e piegati da qualche altra forza efficace..." e che "queste forze attraenti sono tanto più potenti nell'operare, quanto più vicino ai propri Centri si trova il corpo sul quale agiscono". Così Hooke postulava chiaramente mutue attrazioni tra il Sole e i pianeti, in un modo che aumentava con la vicinanza al corpo attraente, insieme con un principio di inerzia lineare.
Le dichiarazioni di Hooke fino al 1674 non facevano menzione, tuttavia, a una legge dell'inverso del quadrato che si applica, o potrebbe applicarsi, a queste attrazioni. Inoltre, la gravitazione di Hooke non era ancora universale, anche se si avvicinava all'universalità più da vicino delle ipotesi precedenti. Egli inoltre non fornì ulteriori prove o dimostrazioni matematiche. Su questi ultimi due aspetti, Hooke stesso dichiarò nel 1674: "Finora, ciò che questi diversi gradi [di attrazione] sono, non ho ancora verificato sperimentalmente", e per tutta la sua proposta: "Al momento questo è solo un accenno", "avendo io sottomano molte altre cose che vorrei prima completare, e pertanto non posso troppo prendermi cura" (cioè "proseguire questa indagine"). Fu in seguito, il 6 gennaio 1679 in uno scritto a Newton, che Hooke comunicò la sua "ipotesi... che l'Attrazione è sempre in una proporzione duplicata alla Distanza dal Centro Reciproco, e che di Conseguenza la Velocità sarà a sua volta in proporzione duplicata all'Attrazione e di Conseguenza, come Keplero Suppone, Reciproca alla Distanza." (La deduzione sulla velocità non era corretta.)
Nel carteggio con Newton del 1679-1680, Hooke citò non solo la supposizione sull'inverso del quadrato per la diminuzione dell'attrazione con l'aumentare della distanza, ma anche, nella sua lettera a Newton del 24 novembre 1679 a proposito del moto celeste dei pianeti, un approccio alla "composizione di un moto diretto per la tangente con un moto di attrazione verso il corpo centrale".
Nel maggio 1686 Newton, a fronte della rivendicazione di Hooke sulla legge dell'inverso del quadrato, negò che questi dovesse essere accreditato come autore dell'idea. Tra le ragioni addotte, Newton ricordò che l'idea era stata discussa con Sir Christopher Wren precedentemente alla lettera di Hooke del 1679. Inoltre Newton sottolineò e riconobbe la priorità del lavoro di altri, tra cui Bullialdus, (che suggerì, senza peraltro dimostrarlo, che ci fosse una forza attrattiva dal Sole in proporzione inversa al quadrato della distanza), e Borelli (il quale suggerì, anch'egli senza dimostrarlo, che c'era una tendenza centrifuga a controbilanciare un'attrazione gravitazionale verso il Sole, così da far muovere i pianeti lungo ellissi). Whiteside ha descritto il contributo al pensiero di Newton derivato dal libro di Borelli, una copia del quale era nella libreria di Newton alla sua morte
Newton inoltre difese il suo lavoro sostenendo che se anche avesse sentito Hooke parlare di proporzione inversa del quadrato, egli avrebbe ancora dei diritti derivanti dalle sue dimostrazioni circa l'accuratezza dell'idea. Hooke, senza prove a favore della supposizione, poteva solo immaginare che la legge dell'inverso del quadrato a grandi distanze dal centro fosse valida in modo approssimativo. Secondo Newton, mentre i 'Principia' non erano ancora stati pubblicati, c'erano a priori tante ragioni per dubitare della precisione della legge (specialmente nei pressi di un corpo sferico) che "senza le mie (di Newton) Dimostrazioni, alle quali il signor Hooke è estraneo, un Filosofo giudizioso non poteva credere che fosse precisa dappertutto".
Questa osservazione si riferisce tra l'altro alla scoperta di Newton, supportata da dimostrazione matematica, che se la legge dell'inverso del quadrato si applica a piccole particelle, allora anche una grande massa sferica simmetrica attrae masse esterne alla sua superficie, anche da molto vicino, proprio come se tutta la propria massa fosse concentrata nel suo centro. Così Newton dava una giustificazione, altrimenti mancante, per applicare la legge dell'inverso del quadrato a grandi masse sferiche planetarie come se fossero minuscole particelle. Inoltre, Newton aveva elaborato nelle proposizioni 43-45 del Libro 1, e le relative tre sezioni del libro 3, un complesso esame sulla precisione della legge dell'inverso del quadrato, in cui egli dimostrò che soltanto quando la forza è esattamente come l'inverso del quadrato della distanza che le direzioni di orientamento delle orbite ellittiche dei pianeti rimangono costanti, come si è osservato che fanno, a parte piccoli effetti attribuibili a perturbazioni interplanetarie.
Alcuni manoscritti di Newton degli anni 1660 dimostrano che egli era arrivato a provare che, nel caso di moto planetario circolare, 'il tentativo di recedere' (chiamato in seguito forza centrifuga) aveva un rapporto di inverso del quadrato con la distanza dal centro. Dopo il suo carteggio con Hooke degli anni 1679-1680, Newton adottò il linguaggio di forza verso l'interno o forza centripeta. Secondo lo studioso di Newton J Bruce Brackenridge, anche se molto è stato fatto nel cambiamento di linguaggio e di punti di vista, tra forza centrifuga e centripeta, i calcoli reali e le prove sono rimasti gli stessi in entrambi i modi. Esse implicavano anche la combinazione di spostamenti tangenziali e radiali, a cui Newton stava lavorando negli anni 1660. La lezione offerta da Hooke a Newton qui, anche se significativa, era di prospettiva e non cambiava l'analisi. Questo sottofondo dimostra che per Newton c'erano validi motivi per negare la paternità di Hooke sulla legge dell'inverso del quadrato.
D'altra parte, Newton accettò e riconobbe, in tutte le edizioni dei 'Principia', che Hooke (ma non soltanto lui) aveva per proprio conto mostrato apprezzamento per la legge dell'inverso del quadrato nel sistema solare. A questo proposito, Newton ebbe riconoscimenti anche per Wren e Halley alla Proposizione 4 del Libro 1. Ad Halley disse che il suo carteggio con Hooke del 1679-80 aveva risvegliato in lui un latente interesse in campo astronomico, ma ciò non significava che Hooke gli avesse detto qualcosa di nuovo o di originale: "non gli sono grato per avermi illuminato in questo lavoro, ma solo per avermi distolto da altri miei studi per riflettere su queste cose; è l'arroganza dei suoi scritti, come se avesse scoperto il moto nell'Ellisse, che mi ha spinto a studiarlo..."
Dai tempi di Newton e Hooke, gli studiosi si sono chiesti se l'accenno di Hooke del 1679 alla 'composizione dei moti' avesse fornito a Newton qualcosa di nuovo e di valido, anche se, all'epoca, questa in realtà non era una rivendicazione avanzata da Hooke. Come descritto sopra, i manoscritti di Newton degli anni 1660 mostrano che egli effettivamente combina il moto tangenziale con gli effetti della forza diretta radialmente, per esempio nel ricavare la relazione di inverso del quadrato nel caso di moto circolare. Essi mostrano inoltre che Newton esprime chiaramente il concetto di inerzia lineare per la quale era in obbligo verso un'opera di Cartesio pubblicata nel 1644, come probabilmente lo era lo stesso Hooke. Non sembra che Newton avesse appreso questi argomenti da Hooke.
Tuttavia, alcuni autori hanno avuto altro da dire su ciò che Newton aveva acquisito da Hooke, così qualche aspetto rimane controverso. Il fatto che la maggior parte degli scritti privati di Hooke sia scomparsa non aiuta a stabilire la verità.
Il ruolo di Newton in relazione alla legge dell'inverso del quadrato non fu come talvolta viene rappresentato. Egli non la concepì come una semplice idea. Ciò che Newton fece fu di dimostrare come la legge di attrazione dell'inverso del quadrato avesse diverse e indispensabili connessioni matematiche con le caratteristiche osservabili dei moti dei corpi del sistema solare, e che la correlazione era tale per cui le evidenze osservative e le dimostrazioni matematiche, considerate nel loro insieme, davano motivo di credere che la legge non era soltanto approssimativamente vera, ma lo era in modo esatto (con la precisione raggiungibile ai tempi di Newton e per i due secoli successivi, e con alcuni punti non risolti che allora non potevano certamente essere presi in esame, le cui implicazioni teoriche non erano ancora state adeguatamente identificate o calcolate).
Circa trenta anni dopo la morte di Newton nel 1727, Alexis Clairaut, un eminente astronomo matematico a pieno titolo nel campo degli studi gravitazionali, dopo aver esaminato ciò che Hooke aveva pubblicato, scrisse che "Non si deve pensare che questa idea... di Hooke diminuisca il merito di Newton"; e che " l'esempio di Hooke "serve" a mettere in evidenza che distanza c'è tra una verità solo intravista e una verità dimostrata".
In linguaggio moderno, la legge afferma quanto segue:
Considerando le unità di misura SI, "F" è misurata in Newton (N), "m" e "m" in chilogrammi (kg), "r" in metri (m), e la costante "G" è approssimativamente uguale a 6,674 x 10 N m kg.
Il valore della costante "G" è stato accuratamente determinato dai risultati dell'esperimento di Cavendish condotto dallo scienziato britannico Henry Cavendish nel 1798, anche se non fu proprio Cavendish a calcolare il valore numerico di "G".
Questo esperimento fu anche la prima verifica della teoria della gravitazione di Newton tra masse in laboratorio. Ebbe luogo 111 anni dopo la pubblicazione dei "Principia" di Newton e 71 anni dopo la sua morte, quindi nessuno dei calcoli di Newton poteva utilizzare il valore di "G"; egli poteva soltanto calcolare il valore di una forza rispetto ad un'altra.
Il teorema del guscio sferico dimostra che corpi rigidi con distribuzioni di massa sfericamente simmetriche attraggono e sono attratti come punti materiali con tutta la massa situata nei loro centri.
La legge della gravitazione di Newton assomiglia alla legge di Coulomb delle forze elettriche, usata per calcolare la grandezza della forza elettrica tra due corpi elettricamente carichi. Entrambe sono leggi dell'inverso del quadrato, in cui la forza è inversamente proporzionale al quadrato della distanza tra i corpi. La legge di Coulomb ha il prodotto di due cariche al posto del prodotto delle masse, e la costante elettrostatica al posto della costante gravitazionale.
La legge di Newton è stata successivamente sostituita dalla teoria di Einstein della relatività generale, ma continua ad essere utilizzata come un'eccellente approssimazione degli effetti della gravità. La relatività è richiesta solo quando c'è bisogno di estrema precisione, o quando si tratta di gravitazione per oggetti di "notevole" massa e densità.
La legge di gravitazione universale di Newton può essere scritta come un'equazione vettoriale per tener conto della direzione della forza gravitazionale oltre che della sua grandezza. In questa formula, le quantità in grassetto rappresentano vettori.
dove
Si può vedere che la forma vettoriale dell'equazione è la stessa della forma scalare indicata in precedenza, tranne che ora F è una quantità vettoriale, e il lato destro è moltiplicato per l'appropriato vettore unitario. Inoltre, si può vedere che F = −F.
Se i corpi in questione hanno un'estensione spaziale (piuttosto che essere dei punti materiali teorici), allora la forza gravitazionale tra loro viene calcolata sommando i contributi dei punti materiali che costituiscono i corpi. Al limite, quando i punti materiali componenti diventano "infinitamente piccoli", occorre eseguire l'integrazione della forza (sotto forma vettoriale, vedi sotto) sulle estensioni dei due corpi.
In questo modo si può dimostrare che un oggetto con una distribuzione sfericamente simmetrica della massa esercita su corpi esterni un'attrazione gravitazionale come se tutta la massa dell'oggetto fosse concentrata in un punto al suo centro. (Ciò non è in genere vero per corpi non sfericamente simmetrici).
Quando due oggetti solidi entrano in contatto, la forza gravitazionale che li attrae non diventa infinita perché fisicamente la distanza fra due masse non può essere zero. Pertanto la forza non potrà mai essere infinita in condizioni normali.
Per punti "all'interno" di materia con distribuzione sfericamente simmetrica, può essere utilizzato il teorema del guscio sferico per trovare la forza gravitazionale. Il teorema afferma che le diverse parti della distribuzione di massa influiscono sulla forza gravitazionale misurata in un punto situato a distanza r dal centro della distribuzione di massa:
Di conseguenza, ad esempio, all'interno di un guscio di spessore e densità uniformi non vi è alcuna accelerazione gravitazionale netta in alcun punto all'interno della sfera cava.
Inoltre, all'interno di una sfera uniforme la gravità aumenta linearmente con la distanza dal centro; l'aumento dovuto alla massa aggiuntiva è 1,5 volte la riduzione dovuta alla maggiore distanza dal centro. Pertanto, se un corpo con simmetria sferica presenta un nucleo uniforme e un mantello uniforme con una densità che è meno di 2/3 di quella del nucleo, allora la gravità diminuisce inizialmente verso l'esterno al di là del confine e, se la sfera è abbastanza grande, ancora verso l'esterno la gravità aumenta di nuovo, ed alla fine supera la gravità al confine nucleo/mantello. La gravità della Terra potrebbe raggiungere il massimo al confine nucleo/mantello.
Il "campo gravitazionale" è un campo vettoriale che descrive la forza gravitazionale che verrebbe applicata, per unità di massa, su un oggetto in un punto qualsiasi dello spazio. In pratica è uguale all'accelerazione di gravità in quel punto.
Si tratta di una generalizzazione della forma vettoriale, che diventa particolarmente utile se più di due oggetti sono coinvolti (come un razzo tra la Terra e la Luna). Per due oggetti (ad esempio l'oggetto 2 è un razzo, l'oggetto 1 la Terra), ci limitiamo a scrivere r al posto di r e "m" al posto di "m" e di definire il campo gravitazionale g(r) come:
in modo tale che possiamo scrivere:
Questa formulazione dipende dall’oggetto che causa il campo. Il campo ha unità di accelerazione; in SI, questa è m/s.
I campi gravitazionali sono anche conservativi; vale a dire che il lavoro compiuto dalla gravità da una posizione ad un'altra è indipendente dal cammino. Ciò ha la conseguenza che esiste un potenziale campo gravitazionale "V" (r) tale che
Se "m" è un punto materiale o la massa di una sfera con distribuzione di massa omogenea, il campo della forza g(r) all'esterno della sfera è isotropo, cioè, dipende solo dalla distanza "r" dal centro della sfera. Allora
La descrizione della gravità di Newton è sufficientemente accurata per svariati scopi pratici ed è quindi ampiamente utilizzata. Non cambia di molto quando le quantità adimensionali "φ"/"c" e "(v/c)" sono entrambe parecchio minori di uno, dove "φ" è il potenziale gravitazionale, "v" è la velocità degli oggetti analizzati, e "c" è la velocità della luce. Ad esempio, la gravità newtoniana fornisce un'accurata descrizione del sistema Terra/Sole, in quanto
dove "r" è il raggio dell'orbita della Terra attorno al Sole.
In situazioni in cui uno dei parametri adimensionale è grande, allora deve essere usata la relatività generale per descrivere il sistema. La relatività generale si riduce alla gravità newtoniana in presenza di potenziali piccoli e velocità basse, ed è per questa ragione che la legge della gravitazione di Newton è a volte citata come la relatività generale per basse gravità.
Il fatto che la "massa gravitazionale" e la "massa inerziale" sia la stessa per tutti gli oggetti rimane non spiegato nell'ambito delle teorie di Newton. La Relatività Generale considera ciò come un principio fondamentale (vedere il Principio di Equivalenza). Di fatto, gli esperimenti di Galileo, decenni prima di Newton, stabilirono che oggetti che hanno la stessa resistenza dell'aria o di un liquido vengono accelerati dalla forza di gravità della Terra allo stesso modo, indipendentemente dalle loro diverse masse "inerziali". Tuttavia, le forze e le energie necessarie per accelerare masse diverse dipendono strettamente dalle loro diverse masse" inerziali", come si può vedere dalla seconda legge del moto di Newton, F = ma.
Il problema è che le teorie di Newton e le sue formule matematiche spiegano e permettono il calcolo (impreciso) degli effetti della precessione del perielio delle orbite e della deflessione dei raggi luminosi. Tuttavia, esse non spiegano l'equivalenza di comportamento di masse diverse sotto l'influenza della gravità, a prescindere dalle quantità di materia interessate.
Mentre Newton fu in grado di formulare la legge di gravità nella sua monumentale opera, egli era profondamente a disagio con il concetto di "azione a distanza", che le sue equazioni implicavano. Nel 1692, nella sua terza lettera a Bentley, scrisse: ""Che nel vuoto un corpo possa agire a distanza su un altro senza la mediazione di qualsiasi altra cosa, per mezzo e attraverso la quale la loro azione e la loro forza possano essere trasferite dall'uno all'altro, è per me un'assurdità così grande a cui, credo, nessun uomo con competenze in questioni filosofiche potrebbe mai credere"".
Egli non riuscì mai, secondo le sue parole, "a stabilire la causa di questa forza". In tutti gli altri casi, egli usò il fenomeno del moto per spiegare l'origine delle varie forze che agiscono sui corpi, ma nel caso della gravità, non fu in grado di identificare sperimentalmente il moto che produce la forza di gravità (anche se inventò due ipotesi meccaniche nel 1675 e 1717). Inoltre, si rifiutò persino di offrire un'ipotesi alla causa di questa forza, con la motivazione che ciò sarebbe stato contrario alla sana scienza. Deplorò che, per trovare l'origine della forza di gravità, "i filosofi hanno finora tentato la ricerca della natura invano" poiché egli era convinto "per varie ragioni" che c'erano "cause fino ad oggi sconosciute" che erano fondamentali per tutti i "fenomeni della natura".
Questi fenomeni fondamentali sono ancora oggetto di indagine e, anche se le ipotesi abbondano, la risposta definitiva deve ancora essere trovata. E nel "General Scholium" di Newton del 1713 nella seconda edizione del "Principia": ""Non sono stato in grado finora di scoprire la causa di queste proprietà della gravità e hypotheses non fingo... È sufficiente che la gravità esista davvero e agisca secondo le leggi che ho spiegato, e che serva a tenere conto di tutti i moti dei corpi celesti"".
Queste obiezioni sono state spiegate dalla teoria della relatività generale di Einstein, nella quale la gravitazione è un attributo dello spaziotempo curvo invece di essere dovuta a una forza di propagazione tra i corpi. Nella teoria di Einstein, le masse distorcono lo spaziotempo nelle loro vicinanze, e altri corpi si muovono in traiettorie determinate dalla geometria dello spaziotempo. Ciò ha permesso una descrizione dei moti della luce e delle masse in linea con tutte le osservazioni disponibili. Nella relatività generale, la forza gravitazionale è una forza apparente dovuta alla curvatura dello spaziotempo, in quanto l'accelerazione di gravità di un corpo in caduta libera è dovuta alla sua linea di universo, essendo una geodetica dello spaziotempo.


I principi della dinamica sono i principi alla base della omonima branca della meccanica classica, che descrive le relazioni tra il moto di un corpo e gli enti che lo modificano. Sono validi in sistemi di riferimento inerziali e descrivono bene la fisica dei corpi che si muovono a velocità molto minore di quella della luce.
Sono anche detti "Principi di Newton" perché enunciati da Isaac Newton nel suo testo fondamentale "Philosophiae Naturalis Principia Mathematica", anche se sono il frutto di una lunga evoluzione da parte di numerosi scienziati che ne ha preceduto e seguito la pubblicazione. All'interno della formalizzazione logico-matematica della meccanica newtoniana svolgono il ruolo di assiomi.
Aristotele nella sua "Fisica" del IV secolo a.C. asseriva che lo stato naturale dei corpi fosse la quiete, ossia l'assenza di moto, e che qualsiasi oggetto in movimento tende a rallentare fino a fermarsi, a meno che non venga spinto a continuare il suo movimento.
Nel Medioevo, Guglielmo di Ockham e gli occamisti, e poi, nel Quattrocento, Nicola Cusano, nell'opera "Il gioco della palla", e Leonardo da Vinci ripensarono la meccanica aristotelica: cominciarono a sviluppare una diversa dinamica, fondata su diversi principi fisici e presupposti filosofici.
Il principio di inerzia non è di banale osservazione sulla Terra, dominata dagli attriti, anzi, è letteralmente impossibile. Infatti, considerando, per esempio, una biglia che rotola su una superficie piana orizzontale molto estesa, l'esperienza comune riporta che con il passare del tempo la biglia rallenta fino a fermarsi. Questo è dovuto al fatto che essa interagisce con il piano e con l'aria. Si può osservare, comunque, che facendo diminuire progressivamente questi attriti, ad esempio rarefacendo l'aria e lisciando il piano per diverse volte, la biglia percorre uno spazio sempre maggiore prima di fermarsi. Generalizzando, l'idea che sta alla base del primo principio è che, teoricamente, diminuendo gli attriti fino a renderli nulli, il corpo non rallenti più e quindi non si fermi mai, cioè persista nel suo stato di moto rettilineo uniforme. Riferendosi invece alla tendenza di ogni corpo a mantenere lo stato di quiete o di moto si usa parlare di "inerzia" e questo concetto può esser visto come una diretta conseguenza del principio di relatività galileiana.
Ciò viene dettagliatamente descritto da Galileo in due sue opere, rispettivamente, nel 1632 e nel 1638: il "Dialogo sopra i due massimi sistemi del mondo" e "Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze attenenti alla meccanica e i movimenti locali". Scrive Galileo:
Bisogna aggiungere, ad onor del vero, che, com’è noto, Galileo riteneva che un moto inerziale avrebbe assunto una direzione circolare e non rettilinea, come, invece, dedusse Newton. Infatti, secondo Galilei, i pianeti si muovono di moto circolare uniforme attorno al Sole, senza subire alcun tipo di effetto, gravitazionale o di altro tipo. Tuttavia, la sua prima enunciazione formale è nei "Principia" di Isaac Newton, che pur ne riconosce (impropriamente, come visto) la paternità galileiana. Newton chiarisce inoltre il concetto nella terza definizione:
La formula esplicita dell'uguaglianza fra la forza e il prodotto della massa inerziale per l'accelerazione apparve per la prima volta negli scritti di Eulero nel 1752.
I principi furono presentati tutti assieme da Newton nel 1687 nell'opera "Philosophiae Naturalis Principia Mathematica" ("I principi matematici della filosofia naturale"). Newton stesso chiamò i suoi principi "Axiomata, sive leges moti" ("Assiomi o leggi del moto"), a rimarcare che questi rappresentano la base fondante della meccanica, come gli assiomi di Euclide lo sono per la geometria, la cui validità può essere testata solo con esperimenti e a partire dai quali è possibile ricavare ogni altra legge sui moti dei corpi.
Il primo principio, detto d'inerzia, ha tradizionalmente origine con gli studi sulle orbite dei corpi celesti e sul moto dei corpi in caduta libera di Galileo. Il principio di inerzia si contrappone alla teoria fisica di Aristotele, il quale riteneva che lo stato naturale di tutti i corpi fosse quello di quiete e un agente esterno fosse necessario ad indurre il moto. Galileo ideò una serie di esperimenti, anche mentali, volti a dimostrare la non correttezza di questa assunzione. A simili conclusioni giunse anche Cartesio, nei suoi scritti riguardo alla fisica.
Il secondo principio della dinamica si deve a Newton, e introduce il concetto di forza come origine e causa del cambiamento dello stato di moto dei corpi. Nei secoli si sono susseguite numerose discussioni su come e su cosa di preciso Newton intendesse con "forza" e "cambio dello stato di moto", in relazione in particolare alla formulazione odierna del secondo principio della dinamica.
Il terzo principio esprime una importante proprietà delle forze e fu usato da Newton per dimostrare la conservazione della quantità di moto. Secondo il premio nobel Richard Feynman, il terzo principio ha una importante rilevanza nello sviluppo della meccanica:
I principi di Newton nella sua originaria formulazione sono validi per i corpi puntiformi, in quanto non considerano gli effetti che possono derivare dalla dimensione finita degli oggetti, come in particolare le rotazioni. I principi furono poi estesi ai corpi rigidi e ai corpi deformabili da Eulero nel 1750.
Nei "Principia" l'enunciato della "Lex I" è il seguente:
Questo principio, noto anche come "principio d'inerzia" o "principio di Galileo", afferma che se un corpo è fermo o si muove di moto rettilineo uniforme, allora la somma vettoriale delle forze che agiscono su di esso è nulla. Quindi, se la risultante delle forze agenti su un corpo è nulla, allora esso mantiene il proprio stato di moto. Nella realtà di tutti i giorni, si osserva che un corpo in moto tende lentamente a rallentare fino a fermarsi. Questo tuttavia non è in contraddizione con il primo principio, in quanto la forza di attrito, per esempio con l'aria o il terreno, sta agendo sul corpo modificando il proprio stato di moto. Se fosse possibile fare un esperimento in cui tutti gli attriti e le interazioni vengano annullate, ad esempio nello spazio vuoto lontano dalle galassie, allora si osserverebbe che il corpo continuerebbe a muoversi indefinitamente a velocità costante lungo una linea retta.
Gli esempi portati da Newton a proposito del cerchio in rotazione e del moto dei pianeti sono in realtà esempi di conservazione del momento angolare e rappresentano l'integrazione del principio di inerzia nel principio della conservazione della quantità di moto.
Il principio di inerzia rappresenta un punto di rottura con la fisica aristotelica in quanto l’assenza di forze è messa in relazione non solo con la quiete, ma anche con il moto rettilineo uniforme. Poiché la particolarità del moto rettilineo uniforme è che la velocità è vettorialmente costante, cioè in modulo, direzione e verso, si desume che la presenza di forze sia collegata alle variazioni di velocità. Ciò porta al secondo principio della dinamica.
Nei "Principia" l'enunciato della "Lex II" è il seguente:
Pertanto, il secondo principio, detto anche "principio di proporzionalità" o "principio di conservazione", afferma che:
Sia la forza che l'accelerazione sono dei vettori e sono indicati in grassetto nella formula. Nel testo, Newton prosegue affermando:La forza netta, o forza risultante, agente su un corpo è la somma vettoriale di tutte le forze applicate ad esso. L'accelerazione causata quindi dalle forze avrà come effetto una modifica del vettore velocità nel tempo. Questa modifica si può manifestare come un cambio della direzione della velocità, oppure come un aumento o diminuzione del suo modulo.
La massa che compare nel secondo principio della dinamica è chiamata massa inerziale, cioè misura quantitativamente la resistenza di un corpo ad essere accelerato. Infatti la stessa forza agente su un corpo di piccola massa, come ad esempio una spinta data ad un tavolo, produce un'accelerazione molto maggiore che su un corpo di grande massa, come un'automobile che con la stessa spinta cambierebbe la propria velocità di poco.
Se la massa inerziale del corpo non è costante, allora la seconda legge della dinamica può essere generalizzata con l'introduzione della quantità di moto. Ovvero, un punto materiale, cioè un corpo di dimensioni trascurabili rispetto al sistema di riferimento in esame e contemporaneamente dotato di massa, al quale sia applicata una forza, varia la quantità di moto in misura proporzionale alla forza e lungo la direzione della stessa. In altre parole, secondo una formulazione analoga a quella di Eulero: il tasso di aumento della quantità di moto è uguale e parallelo alla forza impressa:
cioè in base alla definizione di quantità di moto e di accelerazione e alla regola di Leibniz:
Per un sistema chiuso quindi il rapporto fra i moduli della forza applicata e dell'accelerazione è costante e pari alla massa inerziale:
Il secondo principio della dinamica fornisce una spiegazione per il fatto che tutti i corpi cadono con una velocità, che è indipendente dalla loro massa. Simile risultato fu raggiunto, secondo Newton, da Galileo Galilei con lo studio del piano inclinato e l'esperimento della caduta dei gravi. Tuttavia, ogni conoscitore delle opere galileiane sa che Galileo non giunse mai alla distinzione del concetto di massa da quello di peso. D’altra parte, ciò è comprensibile se si considera l’avversione galileiana nei confronti di ogni riferimento ad un'azione “a distanza” tra i corpi, come quella, per esempio, teorizzata da Keplero.
Nei "Principia" l'enunciato della "Lex III" è il seguente:Il terzo principio, detto anche "principio di azione e reazione", dove il termine "azione" deve essere inteso nell'accezione generale di forza o momento "reali", può essere riformulato come:
In termini matematici il terzo principio può essere riassunto come:
Nel proseguire del testo, Newton porta i seguenti esempi:Il terzo principio della dinamica in termini moderni implica che tutte le forze hanno origine dall'interazione di diversi corpi, in base al terzo principio se solo un corpo singolo si trovasse nello spazio, questo non potrebbe subire alcuna forza perché non vi sarebbe alcun corpo su cui la corrispondente reazione possa essere esercitata.
Un esempio chiaro è l'applicazione al sistema Terra-Luna, di cui sono sottosistemi la Terra e la Luna. La forza totale esercitata dalla Terra sulla Luna deve essere uguale, ma di senso opposto alla forza totale esercitata dalla Luna sulla Terra, in accordo con la legge di gravitazione universale.
Un esempio tipico che si può fare di applicazione controintuitiva del principio, è quello della semplice camminata: nella situazione noi imprimiamo forza al suolo all'indietro tramite il piede, il suolo reagisce con una forza uguale e contraria che poi è quella che ci spinge in avanti. Ma il suolo invece sembra non subire alcuna forza, poiché non accelera: la contraddizione si risolve considerando che la massa inerziale della Terra è enorme in confronto a quella dell'individuo, e perciò la forza si traduce in un'accelerazione piccola al punto da essere inosservabile.
Per un sistema fisico di "n" punti materiali (o corpi), il terzo principio della dinamica assieme al secondo implica la conservazione della quantità di moto e quindi la simmetria delle leggi fisiche rispetto a traslazioni spaziali. Considerando, ad esempio, due corpi isolati che interagiscono, allora in base al secondo principio della dinamica il terzo può essere riscritto come:
dove formula_11 e formula_12 sono rispettivamente le quantità di moto del corpo formula_5 e formula_6. Dato che gli incrementi possono essere sommati allora si ha:
da cui si ricava che è costante nel tempo la grandezza formula_16, che equivale alla quantità di moto totale del sistema formato dai corpi formula_5 e formula_6 considerati assieme. Questo ragionamento può essere esteso ad un numero arbitrario di corpi.
Nel caso del singolo punto materiale, la conservazione della quantità di moto deriva direttamente dal secondo principio della dinamica
Infatti è sufficiente che sul punto materiale non agisca alcuna forza esterna perché si conservi la quantità di moto. Si pensi, ad esempio, ad un razzo in volo nel vuoto spaziale. Consumando combustibile, questo riduce la sua massa e di conseguenza la sua velocità cresce di modo che il prodotto formula_20 sia costante, istante per istante.
Il testo "La fisica di Berkeley" riporta come principi fondanti la meccanica classica le seguenti (cit.):
Citando sempre dallo stesso libro, le 3 leggi di Newton sono così formulate:
Da quest'ultimo principio, integrando rispetto al tempo, discende il principio della conservazione della quantità di moto e viceversa.
"La fisica di Feynman" ha una impostazione "sui generis" che non consente di estrarre agevolmente un "corpus" di principi della dinamica espressi in maniera formale, poiché ha l'intento di costruire una visione unitaria della fisica, "filtrandola" col criterio della validità nella moderna teoria dei campi per non introdurre come invece si fa solitamente con l'approccio storico dei concetti che risultano in una teoria più ampia falsificati o particolari. Tuttavia riportiamo alcuni brani che a nostro avviso sono quanto più si avvicina ad una formulazione di tali principi. Citiamo quindi:
Per quanto riguarda il terzo principio della dinamica, Feynman lo considera, al pari della legge di gravitazione universale, una delle due sole cose sulla natura delle forze che Newton disse:
Secondo Feynman, Newton caratterizzò il concetto di forza tramite l'enunciazione di un principio generale, il terzo principio della dinamica appunto, e tramite la formulazione di una legge di forza particolare, ovvero quella gravitazionale.
I principi della dinamica non valgono in sistemi di riferimento non inerziali. Per studiare anche questi ultimi, infatti, è necessaria l'introduzione delle interazioni apparenti, ovvero forze e momenti dovuti alle accelerazioni del sistema di riferimento. Le forze apparenti, quali la forza centrifuga e la forza di Coriolis, non hanno alcuna reazione corrispondente, in altre parole il terzo principio della dinamica smette di essere vero nei sistemi di riferimento non inerziali.
La meccanica classica può essere vista come l'approssimazione a basse velocità rispetto a quella della luce della teoria della relatività ristretta. Il secondo principio della dinamica ad esempio non è più in grado di descrivere correttamente gli eventi che occorrono quando invece le velocità dei corpi sono vicine a quella della luce, dato che permette sempre di incrementare la velocità di un corpo con l'azione di una forza senza alcun limite. Inoltre, il terzo principio della dinamica richiede che l'azione e la reazione siano sempre opposte in ogni momento, generando un vincolo istantaneo fra punti lontani al di fuori dei rispettivi coni luce.
Per estendere la validità dei principi della dinamica, allargandoli ai sistemi "non inerziali" , il concetto di "azione" viene ristretto soltanto a forze e momenti, in meccanica razionale si parla di forze generalizzate, "reali" per cui vale questo principio, cioè che implicano la "reazione". Infine, per la simmetria tra i due concetti che scaturisce da questo principio si preferisce oggi parlare di interazione: ""l'interazione tra i corpi è reciproca, e unica sorgente di forza reale e momento meccanico reale. Una forza generalizzata applicata su un corpo formula_31 è "reale", se dovuta all'influenza di un qualsiasi altro corpo formula_37, e solo allora si manifesta su formula_32 con orientazione antiparallela"." Ricordando che un sistema inerziale è definito proprio in base a questo principio come sistema di riferimento in cui si manifestano solo interazioni tra i corpi, ovvero interazioni reali, e le interazioni apparenti sono appunto quelle che non provenendo dai corpi in quanto non reciproche, vengono imputate al sistema di riferimento, e non sono "reali" solo nel senso che non sono "assolute", e non nel senso di "ininfluenti" sui corpi quando presenti.
Nel 1981 Mordehai Milgrom propose una sua modifica volta a spiegare il problema delle curve di rotazione delle galassie a spirale in modo alternativo all'introduzione della materia oscura, denominata MOND dall'acronimo inglese per "Dinamica Newtoniana Modificata" che teneva conto dello strappo, che però gode di scarso consenso presso la comunità scientifica attuale, anche se le si può riconoscere di essere, popperianamente parlando, falsificabile al pari delle teorie a base di materia ed energia oscura.
