
In meccanica dei materiali, la legge di Hooke è la più semplice relazione costitutiva di comportamento dei materiali elastici. Essa è formulata dicendo che un corpo elastico subisce una deformazione direttamente proporzionale allo sforzo a esso applicato. La costante di proporzionalità che dipende dalla natura del materiale stesso.
I materiali per i quali la legge di Hooke è un'utile approssimazione del reale comportamento sono detti "materiali elastico-lineari". Definisce perciò un solido elastico allo stesso modo in cui la legge di Pascal definisce un fluido ideale.
Robert Hooke cominciò il suo studio sull'elasticità partendo dalla caratterizzazione del comportamento della "molla perfetta" o "ideale", cioè una molla priva di massa, di spessore trascurabile quando completamente compressa e in totale assenza di attrito e di altri fenomeni dissipativi; infatti, la molla ideale rappresenta il modello classico di elasticità lineare. La legge fu prima formulata nel 1675, nella forma dell'anagramma latino «"ceiiinosssttuv"», la cui soluzione fu pubblicata da Hooke nel 1678 come «"Ut tensio, sic vis"» («"come l'estensione, così la forza"»).
A partire dall'enunciato fornito originariamente da Hooke, l'equazione che esprime la forza elastica esercitata da una molla sollecitata longitudinalmente, in trazione o in compressione, lungo un asse formula_1 è:
quindi la forza formula_3 con cui la molla reagisce alla sollecitazione è direttamente proporzionale all'allungamento formula_4. La costante formula_5 rappresenta la "costante elastica longitudinale" della molla, espressa in formula_6.
In modo del tutto analogo, si ricava l'equazione che esprime il momento elastico, diretto lungo un asse formula_7 ortogonale al piano di torsione, esercitato da una molla torsionale sollecitata tangenzialmente:
quindi il momento meccanico formula_9 con cui la molla reagisce alla sollecitazione è direttamente proporzionale alla variazione dell'angolo formula_10. La costante formula_11 rappresenta la "costante elastica tangenziale" del corpo, espressa in formula_12.
Tuttavia, la formulazione odierna della legge di Hooke si serve di due grandezze vettoriali, la tensione formula_13 e la deformazione formula_14, legate tra loro da una relazione tensoriale.
Nel caso monodimensionale la relazione longitudinale diventa:
dove formula_16 è il "coefficiente di dilatazione lineare" e formula_17 è il modulo di elasticità longitudinale di Young, mentre la relazione inversa è:
dove l'inverso del modulo di Young è detto "modulo di cedevolezza longitudinale" formula_19.
Mentre il caso monodimensionale della relazione tangenziale diventa:
dove formula_21 è il c"oefficiente di scorrimento angolare" e formula_22 è il modulo di elasticità tangenziale.
Dalle relazioni precedenti si può dedurre che formula_23 e che formula_24, dove formula_25 è la sezione, formula_26 è la dimensione longitudinale e formula_27 è il braccio della forza che causa il momento.
Dato un sistema di riferimento cartesiano centrato un punto formula_28 appartenente ad un corpo deformabile, con formula_29 e detto formula_30, si ha che la cinematica del punto formula_31 è data dall'equazione:
mentre la trattazione statica di formula_31 la si ottiene attraverso il teorema di Cauchy-Poisson:
dove formula_35 è il vettore spostamento, formula_36 la giacitura e formula_37 e formula_38 sono, rispettivamente i tensori delle deformazioni e delle tensioni, che risultano entrambi simmetrici. Facendo uso della notazione di Voigt, a questi due tensori è possibile associare, rispettivamente, il vettore deformazione formula_14 e il vettore tensione formula_13.
In campo elastico, deformando un volume infinitesimo unitario formula_41, portandolo da uno stato formula_42 a uno stato formula_43, si applica un lavoro formula_44. Pertanto, il materiale rilascia tutta l'energia accumulata e ciò permette che si verifichi l'assenza di deformazioni residue.
Per i materiali iperelastici, l'energia di deformazione è definita come una funzione continua:
quindi essa rappresenta il "potenziale delle tensioni", mentre il "potenziale delle deformazioni" è rappresentato dall'energia complementare:
Essendo entrambe dei potenziali, entrambe le funzioni devono rispettare le condizioni di Schwarz.
A partire da queste considerazioni energetiche è possibile ricavare la legge di Hooke in termini tensoriali:
dove l'operatore lineare formula_48 è il "tensore di elasticità", la legge inversa, invece, è definita come:
dove l'operatore lineare formula_50 è il "tensore di cedevolezza". Pertanto si ha che:
Nonostante siano state ricavate per materiali iperelastici, queste leggi sono valide per tutti i tipi di materiali elastici.
Sia formula_48 che formula_50 sono tensori del quarto ordine, pertanto hanno 81 coefficienti scalari. In generale, entrambi i tensori hanno 36 coefficienti indipendenti, che si riducono a 21 nel caso di materiale iperelastico e a soli 2 nel caso il materiale sia anche omogeneo e isotropo. 
In tale ultimo caso il legame costitutivo è dato dalla relazione:
mentre, l'espressione inversa del legame costitutivo è la seguente:
dove formula_56 è la matrice identità e i due parametri scalari sono la costante di Lamé formula_57 e il modulo di elasticità tangenziale formula_22, che si legano al modulo di Young formula_17 e al modulo di Poisson formula_60 attraverso le relazioni:
La validità della legge di Hooke per una molla può essere verificata in laboratorio anche tramite semplici attrezzature. In genere, l'obiettivo dell'esperimento è la determinazione del valore della costante elastica longitudinale formula_5 di una molla. 
Per fare ciò occorre sottoporre la molla a carichi crescenti, misurando il relativo allungamento formula_4, pari alla differenza tra la lunghezza della molla sottoposta al carico, crescente, e la lunghezza della molla a riposo, ovvero non sottoposta ad alcun carico verticale, a meno del peso della molla stessa. Il rapporto tra la forza formula_3 applicata e l'allungamento formula_4 rappresenta esattamente il valore della costante elastica formula_5 di quella data molla. A questo punto occorre applicare forze verticali crescenti alla molla che, seguendo la legge di Hooke, produrrà allungamenti formula_4 direttamente proporzionali alle forze formula_3 applicate. I singoli valori di costante elastica formula_5 così determinati, se l'esperimento è svolto correttamente, risulteranno costanti, a meno di eventuali errori di misura da determinarsi con la teoria degli errori. 
Nel caso in cui formula_70 molle fossero poste in serie si può dimostrare e verificare sperimentalmente che il valore della costante elastica equivalente totale sarà pari a: 


In fisica, l"'elasticità" è la proprietà che permette ad un corpo di deformarsi sotto l'azione di una forza esterna e di riacquisire, se le deformazioni non risultano eccessive, la sua forma originale al venir meno della causa sollecitante. Se il corpo, cessata la sollecitazione, riassume esattamente la configurazione iniziale è detto perfettamente elastico. 
L'elasticità riguarda sia i corpi solidi che i fluidi. I primi possiedono sia elasticità di forma che di volume, reagiscono cioè elasticamente alle sollecitazioni che tendono a deformare il volume del corpo e a cambiare i suoi angoli; i fluidi invece presentano solo elasticità di volume, in quanto reagiscono elasticamente a una compressione o espansione ma non oppongono resistenza al cambiamento di forma, che dipende dal recipiente.
La sollecitazione massima che garantisce il comportamento elastico del materiale è detta limite di elasticità e, nel caso venga superata, si entra nella regione di comportamento plastico del pezzo, che consiste nel cedimento o nel flusso del materiale, a seconda che sia fragile o duttile rispettivamente. Il limite di elasticità trattandosi di una pressione è misurato in Pascal, ovvero una forza per unità di superficie: 
formula_1
Se il materiale è duttile, ovvero che permette plasticizzazioni, il limite elastico è la tensione di snervamento, mentre nel caso di materiali fragili, che sono privi del campo plastico, il limite elastico è la rottura del materiale.
Il modello matematico più semplice di rappresentazione del comportamento elastico è quello lineare della legge di Hooke (e della legge di Hooke generalizzata nel caso di stati tensionali pluriassiali), che nel caso di stato di sforzo monoassiale, tipico delle prove di trazione, è: formula_2 dove formula_3 è lo sforzo agente nel provino raffigurato in figura con formula_4 forza applicata alle sue estremità ed formula_5 superficie della sezione trasversale iniziale, formula_6 la deformazione del provino ovvero il suo allungamento relativo, con formula_7allungamento assoluto del provino, ossia la differenza fra la lunghezza finale formula_8 e quella iniziale formula_9 ed formula_10 il modulo di Young (o elastico), che è la costante di proporzionalità fra gli sforzi e le deformazioni in campo elastico.
Tale modello riveste un aspetto fondamentale sia in ambito teorico, per la possibilità di pervenire ad uno studio matematico completo dei problemi formulati, sia in ambito ingegneristico, per la ricaduta che esso ha nella modellazione e risoluzione di problemi di interesse tecnico e scientifico. Altri più complessi modelli matematici di elasticità nonlineare, importanti per la rappresentazione del comportamento delle gomme, fanno riferimento al modello di materiale iperelastico, mentre per mezzi porosi il modello si declina nella poroelasticità.
Lo studio dei corpi solidi elastici è oggetto della teoria dell'elasticità, una branca della meccanica dei solidi.
Il comportamento elastico dei diversi materiali ha origini microscopiche che si distinguono in base al particolare tipo di materiale. Possiamo parlare infatti di "elasticità entalpica" ed "elasticità entropica".
L'elasticità entalpica è caratteristica dei materiali cristallini, e deriva da un fenomeno che avviene a livello atomico. Le proprietà elastiche di questi materiali derivano dal tipo di interazione che si instaura fra i loro atomi costituenti, quando questi sono sottoposti ad un carico esterno. Se tali interazioni determinano un dislocamento degli atomi contenuto, questi, una volta rimosso il carico, riescono a rioccupare la loro posizione iniziale ed il materiale è detto elastico; se perdipiù il dislocamento è sufficientemente piccolo, è garantita la diretta proporzionalità fra deformazione e carico ed è valida pertanto la legge di Hooke. 
Il fitto reticolo cristallino di questi materiali permette solamente piccole deformazioni e spostamenti locali, da cui derivano l'alto limite di elasticità ed il grande modulo elastico. Questo comporta la necessità di esercitare elevate tensioni per ottenere deformazioni rilevanti. Nel caso in cui si rimanga al di sotto dello sforzo di snervamento del materiale, il rapporto tra sforzo e deformazione è pari alla costante modulo elastico o modulo di Young, che rappresenta la proporzionalità fra sforzo e deformazione nel campo lineare del materiale, descritta dalla legge di Hooke, e determina la pendenza del tratto rettilineo nel diagramma sforzo-tensione della prova monoassiale rappresentata in figura. 
L'elasticità dipende quindi dalla struttura microscopica del materiale e dalle forze di interazione che agiscono fra gli atomi che lo compongono. In particolare va considerata l'energia potenziale esistente tra ogni coppia di atomi, che può essere espressa in funzione della loro distanza. A una certa distanza d i due atomi sono in equilibrio, ossia la risultante delle forze di interazione tra i due è nulla. La variazione di tali forze (a causa della sollecitazione esterna) fa variare la distanza reciproca tra le particelle (producendo a livello macroscopico la deformazione del corpo: nel caso di trazione, per esempio, si ha uno "stiramento" dei legami). Per livelli relativamente bassi delle sollecitazioni, il lavoro meccanico necessario viene accumulato come energia elastica, all'interno del materiale, e viene restituito interamente al venir meno della causa sollecitante mentre le particelle ritornano alla loro posizione iniziale (il corpo riacquista la sua forma e dimensioni originarie). L'energia immagazzinata nel materiale è quantificabile dalla seguente relazione: formula_11 che graficamente è rappresentata dall'area sottesa alla curva tensione-deformazione rappresentata in figura, dove formula_12 è il lavoro svolto di deformazione, immagazzinato nel materiale come energia elastica, formula_13è l'andamento dello sforzo in funzione della deformazione formula_14, ed formula_15 è la deformazione finale che si raggiunge applicando il carico esterno.
Questo meccanismo è alla base del comportamento elastico macroscopico dei diversi materiali, ma al variare del tipo di materiale, e dunque della struttura microscopica, si delineano comportamenti elastici differenti.
L'elasticità entropica è caratteristica dei materiali polimerici costituiti a livello molecolare da catene; tale elasticità scaturisce da un movimento delle catene da uno stato ad elevata entropia (lo stato più probabile, in cui le catene sono aggrovigliate) a uno stato a bassa entropia (uno stato meno probabile, più ordinato, in cui le catene sono allineate), che avviene durante l'allungamento del materiale.
Materiali polimerici come la gomma, essendo costituiti a livello microscopico da molecole a catena, permettono grandi scorrimenti e deformazioni, e pertanto sono caratterizzati da bassi limiti di elasticità e piccolo modulo di elasticità. Ciò significa che a sforzi e tensioni relativamente bassi corrispondono già deformazioni apprezzabili macroscopicamente, così come punti di snervamento o rottura molto bassi. Questi materiali sono detti elastomeri, con un comportamento cosiddetto ad ""alta elasticità"" rispetto alla ""vera elasticità"" dei cristallini. Inoltre, a causa del precoce stiramento delle catene, causato da un ulteriore allungamento quando queste sono già state allineate, gli elastomeri hanno un comportamento elastico non lineare.
I materiali cellulari, come il legno, reagiscono in modo differente alla compressione e alla trazione. Grazie alla presenza di cavità nel materiale, la compressione mostra completa rigidità fino a quando le pareti di tali cavità non sono soggette a inflessione elastica, che permette di avere una notevole deformazione senza grande incremento di sforzo. Tali deformazioni inoltre, sono in gran parte recuperabili, ma una volta avvenute riportano il corpo a uno stato di rigidità, essendosi annullate le cavità. D'altra parte, queste non hanno la stessa influenza sulla trazione, che non permette la flessione elastica delle pareti nello stesso modo.
Per studiarne il comportamento se sottoposti a sforzo, i materiali possono essere modellati come privi di struttura interna e costituiti da un continuo solido. Rappresentando il corpo in un sistema di riferimento cartesiano, si può indicare la posizione di ogni suo punto tramite il vettore posizione: formula_16ed il loro spostamento con il vettore formula_17. Il vettore spostamento descrive come si deforma il corpo sotto carico, infatti: formula_18 è la distanza cartesiana fra due punti del corpo e formula_19è la stessa distanza dopo che il corpo si sia deformato ed è chiaramente funzione di formula_20. Si introduce la grandezza formula_21 detta deformazione, che al variare di formula_22 forma un tensore di rango 2, detto tensore delle deformazioni: formula_23dove i termini diagonali formula_24con formula_25 sono dette deformazioni normali e descrivono gli allungamenti o le contrazioni, le restanti formula_26con formula_27 sono detti scorrimenti e descrivono la variazione di forma, quindi degli angoli, rispetto al riferimento cartesiano.
Lo stato di sforzo è generalmente, e nella maggior parte dei casi, tridimensionale. Per studiarlo si sfrutta il Teorema di Cauchy ponendo una terna cartesiana sul punto formula_28 sotto studio e tagliando il corpo con un piano inclinato di normale formula_29 a distanza infinitesima formula_30 da formula_28, che individua insieme ai tre piani di riferimento un tetraedro, detto di Cauchy, rappresentato in figura. La faccia di normale formula_29ha superficie pari a formula_33, mentre le altre, di normale formula_34formula_35e formula_36, hanno superficie rispettivamente pari a formula_37, formula_38e formula_39dove formula_40, formula_41e formula_42sono i coseni direttori di formula_29. Il generico sforzo agente sul piano di normale formula_29 è formula_45, e sulle altre facce formula_46, formula_47 e formula_48, che per convenzione sono considerati positivi se entranti e quindi il meno sta ad indicare che sono uscenti dal volume infinitesimo. Per studiare il generico stato di sforzo formula_45di un punto appartenente al corpo basta imporre l'equilibrio statico nel tetraedro (I equazione cardinale della statica): 
formula_50 
che nel caso siano noti i tre vettori formula_46, formula_47 e formula_48si può determinare lo sforzo formula_45in qualsiasi punto del corpo. 
Si possono ora proiettare tutti e tre i vettori formula_46, formula_47 e formula_48nelle tre direzioni formula_58, formula_59e formula_60ed il vettore formula_45nella direzione normale e tangenziale del piano di normale formula_29, ottenendo: 
formula_63 
formula_64 
dove due delle tre componenti saranno tangenziali alla faccia di applicazione dello sforzo e la rimanente sarà normale alla faccia. Si compone infine il tensore degli sforzi, che descrive il generico stato di sforzo: 
formula_65
La densità di energia di deformazione è l'energia elastica immagazzinata dal materiale per unità di volume, e vale la relazione: formula_66ovvero l'incremento della densità di energia di deformazione formula_67è pari al lavoro svolto dagli sforzi formula_68per alterare le deformazioni formula_26. Si ricava allora che: formula_70.
La relazione formula_66 può essere espansa in serie con Taylor nell'intorno di formula_72nel caso di solido lineare e di stato iniziale scarico ed indeformato, ovvero con formula_73, ottenendo:
formula_74 alla quale se applichiamo formula_70 otteniamo la legge di Hooke generalizzata: formula_76 che nel caso di materiale isotropo diviene:
formula_77
dove formula_10 è il modulo elastico e formula_79 è il coefficiente di Poisson.
