
Il potenziale elettrico (o potenziale coulombiano), in fisica e in particolare in elettromagnetismo, è il potenziale scalare associato al campo elettrostatico:
Il potenziale elettrico costituisce la componente temporale del quadripotenziale: insieme al potenziale magnetico, che ha natura vettoriale, forma il potenziale elettromagnetico.
Data una regione di spazio in cui è presente un campo elettrico conservativo, si definisce potenziale elettrico in un punto, il valore dato dal rapporto dell'energia potenziale elettrica rilevato da una carica elettrica di prova, posta in quel punto, e il valore della carica di prova. Il potenziale elettrico è dunque il rapporto tra l'energia potenziale elettrica, ossia il lavoro che deve compiere la forza dovuta al campo elettrico per spostare una o più cariche da quel punto fino all'infinito (ove si assume potenziale nullo), e la carica di prova.
Non potendo spostare una carica elettrica "fino all'infinito" si pone allora l'attenzione sulla energia "potenziale" liberabile da questa durante l'ipotetico movimento.
L'energia potenziale elettrica della carica è il livello di energia che la carica possiede a causa della sua posizione all'interno del campo elettrico, e pertanto il potenziale elettrico formula_2 della carica di prova è definito operativamente come il rapporto tra l'energia potenziale formula_3 e il valore della carica stessa, cioè:
Il potenziale è dunque una quantità scalare e non dipende dal valore della carica di prova. La sua unità di misura è inoltre il volt: il punto A è al potenziale di 1 volt quando la forza elettrica compirebbe il lavoro di un Joule per portare una carica di un Coulomb libera di muoversi da A a all'infinito. Per estensione, si dice che tra due punti A e B esiste una differenza di potenziale di un volt se una forza elettrica compisse pari lavoro, sulla stessa carica, nello spostamento tra i due punti. Il lavoro formula_5 svolto dal campo elettrico formula_6 per un percorso infinitesimo formula_7 su una carica formula_8 è dato da:
e per calcolare il lavoro lungo una linea formula_10 da un punto A ad un punto B:
Si definiscono superfici equipotenziali per il potenziale elettrico le superfici in ogni punto delle quali il potenziale elettrico assume lo stesso valore. Questo implica che il lavoro del campo elettrico lungo una superficie equipotenziale è nullo ovunque perché è nulla la componente del campo elettrico parallela alla superficie, cioè il campo elettrico è ortogonale alla superficie equipotenziale.
Si consideri il lavoro fatto dal campo elettrico creato da una carica puntiforme formula_12 nel portare una carica di prova formula_8 da un punto A ad un punto B:
dove formula_15 è la costante dielettrica nel vuoto, e:
con formula_17 l'angolo compreso fra i vettori formula_18 e formula_19. Si ha:
e tale formula mostra che il campo elettrostatico è conservativo, poiché il lavoro dipende solo dal valore della funzione formula_21 calcolata nei punti A e B e non dal particolare percorso seguito dalla carica formula_8. Si noti che la conservatività del campo elettrico viene tuttavia a mancare in condizioni non stazionarie.
Dal momento che per il teorema di Helmholtz si può sempre definire una funzione scalare formula_21 il cui gradiente, cambiato di segno, coincida con il campo formula_6:
il potenziale elettrico nel vuoto per una carica puntiforme è dato da:
Il potenziale elettrico è quindi definito a meno di una costante arbitraria, essendo il gradiente di una costante nullo. Questo non rappresenta un problema pratico, poiché normalmente interessa conoscere la differenza di potenziale formula_27, più che il valore del potenziale elettrico in un punto. Convenzionalmente, la costante viene determinata considerando nullo il potenziale che una carica puntiforme produce all'infinito.
In coordinate cartesiane, si ha:
Dalla definizione di potenziale elettrico in termini di lavoro, si ha che:
e quindi, le dimensioni del potenziale corrispondono a:
Una volta introdotta la definizione di potenziale per una carica puntiforme, per il principio di sovrapposizione lineare è possibile generalizzare la definizione del potenziale nel vuoto generato da una distribuzione di cariche puntiformi formula_31, disposte nello spazio nelle posizioni formula_32:
ovvero:
Poiché la carica elettrica è quantizzata, a rigore non esistono distribuzioni continue di carica elettrica. Tuttavia, in un corpo esteso le cariche elementari sono in numero talmente elevato che è conveniente utilizzare il formalismo infinitesimale ed introdurre la densità di carica volumetrica formula_35, superficiale formula_36 e lineare formula_37. In questo modo il potenziale elettrico in un punto dello spazio formula_38 generato da una sorgente estesa con carica totale
è dato dall'integrale:
in cui formula_41 è la distanza dall'origine del punto P e formula_42 è la distanza dall'origine del volume infinitesimale formula_43.


In fisica, il lavoro è l'energia scambiata tra due sistemi quando avviene uno spostamento attraverso l'azione di una forza, o una risultante di forze, che ha una componente non nulla nella direzione dello spostamento. Pertanto, ha le dimensioni di una forza applicata lungo una determinata distanza.
Dunque, il lavoro complessivo esercitato su un corpo è pari alla variazione della sua energia cinetica. In presenza, invece, di un campo di forza conservativo, cioè in assenza di effetti dissipativi, il lavoro svolto è pari alla variazione di energia potenziale tra gli estremi del percorso. Il lavoro compiuto da una forza è nullo se lo spostamento è nullo o se questa non ha componenti lungo la direzione dello spostamento.
Il termine "lavoro" è stato introdotto nel 1826 dal matematico francese Gaspard Gustave de Coriolis. Il simbolo più utilizzato per indicare il lavoro è la lettera formula_1, dall'inglese "work", anche se, spesso, nella letteratura italofona lo si indica con la lettera formula_2.
Nel Sistema Internazionale l'unità di misura del lavoro è il joule.
Il lavoro lineare elementare di un campo vettoriale, come una forza formula_3, associato allo spostamento elementare formula_4 è definito come:
che in termini di coordinate cartesiane, si può esprimere come:
Di conseguenza, il lavoro totale lungo una curva formula_7 è definito come l'integrale di linea di seconda specie dell'1-forma differenziale formula_8:
ovvero l'integrale di linea del campo vettoriale formula_3 lungo la curva formula_7.
Nel caso di un corpo che ruota, il lavoro elementare può essere espresso in funzione del momento meccanico, calcolato attorno a un polo formula_12, con formula_13 come braccio:
Pertanto, il lavoro totale del momento corrispondente ai due spostamenti angolari formula_15 e formula_16 è formalmente uguale all'integrale:
Dalla definizione di integrale curvilineo, si hanno le seguenti conseguenze immediate:
Per la proprietà di linearità dell'operatore integrale si ha che:
Per il teorema dell'energia cinetica, il lavoro compiuto dalla risultante delle forze agenti su un corpo è uguale alla variazione della sua energia cinetica: formula_27.
In generale, a causa della generalità del campo formula_28, che varia da punto a punto, il lavoro dipende dalla traiettoria per andare da formula_29 a formula_30. Vi sono però casi di notevole rilevanza fisica nei quali è possibile limitarsi a forze per le quali il lavoro non dipende dalla traiettoria seguita ma solo dalle posizioni iniziale e finale della traiettoria.
Nel caso di un campo di forza conservativo il lavoro è la variazione di energia potenziale tra gli estremi del percorso. In questo caso il lavoro non dipende dal particolare cammino seguito, ma solo dalla posizione iniziale formula_31 e dalla posizione finale formula_32.
A partire dal lavoro è possibile definire la conservatività di un campo di forze: il campo è conservativo "se e solo se" il lavoro della forza lungo una traiettoria chiusa qualsiasi è zero. Infatti:
Nel caso in cui la forza sia costante e il percorso rettilineo, il lavoro diventa pari al prodotto scalare del vettore forza per il vettore spostamento formula_45:
dove formula_47 l'angolo tra la direzione della forza e la direzione dello spostamento.
Il lavoro può essere sia positivo sia negativo, il segno dipende dall'angolo "formula_47" compreso tra il vettore forza formula_49 ed il vettore spostamento formula_45.
Il lavoro svolto dalla forza è positivo seformula_51ovvero se formula_52. Un lavoro positivo è causato da una forza detta "motrice", uno negativo (formula_53), invece, da una forza "resistente".
Il termine utilizzato in fisica differisce dalla definizione usuale di lavoro, che è decisamente legata all'esperienza quotidiana e si può ricondurre, ad esempio, alla fatica muscolare. Infatti si compie un lavoro se si ha uno spostamento: se per esempio si spinge contro un muro naturalmente esso rimarrà fermo e non si avrà lavoro.
Quando la forza ha la stessa direzione dello spostamento, il prodotto scalare equivale al prodotto aritmetico dei moduli dei due vettori:
Anche nel caso di forza parallela ma opposta allo spostamento, l'espressione del lavoro si riduce al prodotto aritmetico dei moduli, ma con segno opposto:
Quando forza e spostamento sono perpendicolari, il lavoro è nullo:
Per i campi conservativi è possibile definire una funzione scalare, detta energia potenziale, la cui variazione tra i punti formula_31 e formula_32 rappresenta il lavoro compiuto dalle forze per andare da formula_29 a formula_30, per quanto detto prima lungo un qualunque percorso.
si indica formula_62 perché, per convenzione, si considera solitamente la variazione di qualcosa dal punto finale a quello iniziale, cioè formula_63.
Il concetto continua a valere se formula_64 non dipende dalla "posizione" ma da uno "stato", ovvero da una posizione nello spazio delle fasi del sistema: ovviamente sostituendo formula_65 con l'equivalente nel caso in questione. Un esempio è il diagramma pressione/volume usato per le macchine termiche.
Considerando campi conservativi, dal teorema dell'energia cinetica (formula_66), si ha che la variazione di energia potenziale è contraria alla variazione di energia cinetica:
e quindi la somma dell'energia cinetica e dell'energia potenziale, detta energia meccanica, è costante in virtù del teorema dell'energia meccanica.
ovvero
L'esempio classico di campi non conservativi si ha considerando le forze d'attrito: l'attrito si oppone sempre al moto, quindi lungo qualsiasi traiettoria avremo l'integrale di una funzione costantemente negativa. E il risultato sarà un lavoro costantemente negativo anche lungo traiettorie chiuse.
Avremmo un lavoro pari a zero, e quindi un campo conservativo solo se l'attrito fosse zero lungo tutto il percorso, solo se, cioè, non avessimo attriti.
Scomponendo, nel teorema dell'energia cinetica, il lavoro in due addendi: formula_70 quello derivante da forze conservative, pari alla variazione di energia potenziale, e quello derivante da forze non conservative abbiamo:
e quindi:
cioè la variazione dell'energia meccanica, cioè la somma di energia cinetica e potenziale, è uguale al lavoro compiuto dalla forze non conservative.
Nel Sistema Internazionale l'unità di misura per il lavoro è il joule che corrisponde allo spostamento di un metro di una forza di un newton:
Tra le altre unità di misura del lavoro ricordiamo:
In termodinamica, il "lavoro" viene scomposto per comodità in due contributi: un contributo relativo alla variazione di volume, detto lavoro di volume, e un contributo indipendente dalla variazione di volume, che prende il nome di lavoro isocoro.
In termodinamica un gas esercita una pressione formula_78 interna sulle pareti del recipiente in cui è contenuto. Se una di queste pareti di superficie formula_79 è mobile e si sposta di una quantità infinitesima formula_80 sotto l'azione di questa pressione, allora il lavoro infinitesimo compiuto dal gas è dato da:
dove formula_82 è la variazione del volume corrispondente. Questo è vero se la trasformazione è reversibile, infatti solo se il sistema è in equilibrio termodinamico è possibile conoscere il valore della pressione formula_78 interna al contenitore. La notazione formula_84 è usata per indicare che il lavoro in fisica non è una funzione di stato, ed invece dipende dalla particolare trasformazione eseguita sul sistema: in termini matematici si dice che il lavoro non è, in generale, esprimibile come un differenziale esatto.
Infine, se il sistema termodinamico subisce una trasformazione generica, quindi per lo più irreversibile, allora possiamo ancora quantificare il lavoro fatto dal gas o dal sistema così:
lavoro fatto contro la pressione esterna formula_86.
Sotto il termine di lavoro isocoro si annoverano tutti i tipi di lavoro che non si riflettono in una variazione di volume, ad esempio: il lavoro elettrico, il lavoro di un campo magnetico, oppure il lavoro svolto da una girante.
In un circuito elettrico il lavoro infinitesimo compiuto dalla batteria che genera la differenza di potenziale formula_87 per far circolare una corrente elettrica formula_88 per un tempo infinitesimo formula_89 è data da formula_90, il segno di tale lavoro sarà positivo o negativo a seconda che rispettivamente la pila eroghi o assorba corrente.
Il valore del lavoro elettrico scambiato tra il tempo formula_91 e il tempo formula_92 si può ottenere integrando l'equazione precedente, dalla quale si ottiene:
nel caso in cui la differenza di potenziale "formula_87" rimanga costante durante l'intervallo di tempo considerato, si può scrivere:
essendo:
La forza che agisce su una particella carica in movimento, immersa in un campo magnetico, è detta forza di Lorentz, che in assenza di campi elettrici esterni è data da:
dove formula_100 è la carica della particella, formula_103 è la sua velocità, formula_104 è il vettore di campo magnetico, legati dal prodotto vettoriale.
Se il moto della carica avviene in senso parallelo alle linee di forza del campo magnetico, significa che la forza è ortogonale allo spostamento, dunque il lavoro è nullo.
