
L'urto anelastico è l'urto in cui l'energia meccanica totale non si conserva. Nel caso poi sia anelastico totale, i corpi, dopo la collisione, restano a contatto e possono essere considerati come un unico corpo ed essi viaggiano con la stessa velocità, come può essere il caso di un'automobile che urta contro un camion e rimane incastrata in esso: nel sistema, dopo l'urto, automobile e camion si fondono in un unico corpo, che continua a viaggiare con una velocità formula_1 diversa dalla velocità iniziale dell'automobile e da quella del camion.
La legge di conservazione della quantità di moto del sistema è:
formula_2
per gli "urti anelastici totali", si può scrivere 
formula_3 
dove formula_4 e formula_5 rappresentano le quantità di moto prima dell'urto rispettivamente del primo corpo di massa formula_6 e del secondo corpo di massa formula_7, mentre formula_8 è la quantità di moto dell'intero sistema dopo l'urto, cioè quando i due corpi si fondono in un unico corpo di massa pari alla somma delle precedenti, formula_9
formula_1, ricavabile dalla precedente espressione, rappresenta la velocità con cui si muovono i due corpi insieme dopo l'urto.
Se si suppone per semplicità che non vi siano variazioni di energia potenziale (caso più comune), allora la perdita di energia meccanica è dovuta alla sola variazione di energia cinetica.
L'energia cinetica dissipata durante l'urto completamente anelastico, è
formula_11
dove:
formula_12
si dice massa ridotta del sistema.
È possibile dimostrare che se l'urto è totalmente anelastico, l'energia cinetica dissipata è la massima possibile.


L'urto è il termine fisico con il quale si identifica la collisione di due corpi che si scontrano.
Un'interpretazione più corretta viene fornita dalla meccanica del continuo: i corpi sono dotati di "elasticità" e l'intervallo di tempo durante il quale tali oggetti sono a contatto si compone di un periodo di compressione, nel quale si compie una deformazione spesso impercettibile, e di un periodo di ritorno elastico durante il quale la forma torna allo stato iniziale.
Viene inizialmente presa in considerazione la classe degli urti "normali" a due corpi, cioè quelli in cui la direzione del moto avviene lungo la normale comune per il punto di contatto sia prima che dopo l'urto in quanto moto unidimensionale, e successivamente si può estendere lo studio agli urti "obliqui" a n>2 corpi in d>1 dimensioni.
Per un urto "normale" la velocità relativa dei corpi dopo l'urto è proporzionale a quella precedente l'urto attraverso un coefficiente di ritorno legato alle elasticità dei due corpi:
Se formula_3 l'urto è detto "totalmente anelastico";
se formula_4 l'urto è detto "elastico";
L'applicazione del principio di conservazione:
dove:
al caso di un urto tra due corpi a coefficiente di ritorno qualsiasi si ha:
dove:
La quantità di moto totale dopo l'urto è data dalla quantità di moto iniziale più l'impulso totale. Perciò le forze sono uguali e contrarie per i due corpi, e la loro somma vettoriale è nulla.
Dalle due equazioni precedenti si ricava che:
Che applicata al caso di urto totalmente anelastico si traduce in:
e quindi, :formula_11
in particolare se :formula_12, allora: formula_13
Applicata invece al caso di urto elastico si traduce in:
se poi :formula_16, allora: formula_17
Si capisce perciò meglio come ε sia un fattore legato all'elasticità dell'urto.
Dalle equazioni delle velocità:
dove:
Si può verificare facilmente infatti che :formula_19 il principio di conservazione della quantità di moto che abbiamo imposto precedentemente.
Se si considera un sistema di bersaglio 2 molto più grande del proiettile 1,
ma allora:
dove "formula_22" è l'accelerazione relativa: a parità di questa, la forza impulsiva è perciò massima e doppia per un urto elastico rispetto ad un urto perfettamente anelastico.
Affinché l'energia cinetica totale dei corpi rimanga invariata (e quindi le velocità dei due corpi dopo l'urto abbiano o direzione o verso o intensità diverse tra loro), si deve avere un urto elastico, e viceversa, come dimostra questa catena di doppie implicazioni:
Se l'energia cinetica dei corpi è stata parzialmente dissipata nell'urto, allora si parla genericamente di urto anelastico. In quest'ultimo caso, si può dimostrare analogamente che l'energia cinetica dissipata è la massima possibile (dovendo rispettare la conservazione della quantità di moto totale) nel caso di urto totalmente anelastico, poiché i due corpi procedono alla stessa velocità dopo l'urto.
Secondo il primo principio della termodinamica, la parte di energia cinetica dissipata viene convertita in energia interna dei corpi coinvolti nell'urto, cioè in generale in parte in calore e in parte in lavoro termodinamico dei corpi stessi.
