
In meccanica classica un urto elastico è un urto durante il quale si conserva l'energia meccanica totale del sistema, ed in particolare l'energia cinetica.
Nel caso di corpi prossimi a velocità della luce un urto elastico è un urto nel quale si conserva il quadrivettore quantità di moto.
In generale, nella risoluzione di un problema d'urto completamente elastico, si parte dalla conservazione della quantità di moto e dell'energia cinetica prima e dopo l'urto.
Nel caso di urti monodimensionali tra due corpi, le equazioni sono 2 equazioni scalari, mentre nel caso di urti in un piano esse sono 3 (le due componenti della quantità di moto e l'energia). Per quanto riguarda urti nello spazio tridimensionale, per la maggior parte dei problemi è valida l'assunzione che l'urto si svolga in un piano, perciò con un opportuno cambio di coordinate è possibile ricondursi al caso precedente; altrimenti si hanno 4 relazioni scalari.
Per problemi unidimensionali il numero di equazioni permette di risolvere completamente il moto, trovando cioè le velocità dei due corpi dopo l'urto; per problemi nel piano con corpi estesi queste non sempre bastano, ed è possibile trovare una soluzione solo per alcuni casi notevoli con geometrie semplici, come per esempio un urto elastico tra due sfere, per i quali si possono usare altre relazioni quali, per esempio, simmetrie del sistema.
Consideriamo due corpi approssimabili come punti materiali che urtino frontalmente. Mettiamoci in un sistema di riferimento "S". 
Indichiamo con:
Imponiamo la conservazione dell'energia cinetica "K" e della quantità di moto "P": otteniamo il sistema:
cioè:
Queste equazioni si risolvono facilmente raggruppando in ognuna di esse in un membro i termini con formula_5 e nell'altro membro i termini con formula_6, dividendo la prima equazione per la seconda e ricordando che formula_11.
Infatti dividendo la prima equazione per formula_12 e tenendo conto della proposizione precedente:
ovvero dividendo membro a membro:
formula_14
Da qui basterà risolvere un semplice sistema lineare per trovare le nostre due velocità finali:
ovvero:
Dalla soluzione appena trovata si vede nel caso di formula_17 e di un elevato valore di formula_18, il valore di formula_19 è piccolo se le masse sono approssimativamente uguali: colpendo un corpo con una particella molto più leggera non si modifica in maniera significativa la velocità, colpendolo con una particella di massa molto superiore, si induce la particella veloce a rimbalzare con velocità diminuita. Per questo motivo un moderatore (un mezzo che rallenta i neutroni veloci, trasformandoli in neutroni termici capaci di sostenere una reazione a catena) è costituito da un materiale formato da atomi con nuclei leggeri (con la proprietà aggiuntiva che non assorbano facilmente i neutroni): l'idrogeno, il più leggero, ha circa la stessa massa di un neutrone.
Dato che durante gli urti il sistema è isolato, il centro di massa si muove di moto rettilineo uniforme, con velocità media ponderata "<v>":
Di conseguenza abbiamo:
cioè:
Usando l'energia cinetica si può scrivere
Dividendo per la (*) otteniamo:
che si riscrive come
Da ciò notiamo che "la velocità relativa di una particella rispetto all'altra è invertita dall'urto". Nel caso di particelle con masse differenti, la particella più pesante si muove lentamente verso il centro di massa, e rimbalza con la stessa bassa velocità, mentre la particella più leggera si muove rapidamente verso il centro di massa e dopo l'urto se ne allontana con eguale velocità.
Si dimostra anche che "rispetto al centro di massa entrambe le velocità appaiono invertite dopo l'urto". Infatti, nel sistema di riferimento del centro di massa si ha:
da cui:
e analogamente:
Per evitare di ricadere nel caso banale di assenza d'urto avevamo imposto formula_35, che implica formula_36. Perciò otteniamo:
CVD.
La meccanica classica fornisce una buona approssimazione quando tratta oggetti con dimensioni macroscopiche che si muovono a velocità molto minore della velocità della luce. Oltre i limiti classici, fornisce dei risultati erronei. La quantità di moto totale di due corpi che si urtano è dipendente dal sistema di riferimento. Le equazioni che governano gli urti nel caso relativistico discendono dalla conservazione del quadrimpulso, o quadrivettore quantità di moto (per approfondimenti sulle leggi della dinamica relativistiche vedi "Teoria della relatività ristretta"). Distinguendo tra parte temporale e spaziale abbiamo:
formula_38
dove formula_39 è il fattore di Lorentz.
La prima equazione rappresenta la conservazione della parte spaziale della quantità di moto formula_40, alla quale diventa formalmente identica utilizzando la "massa relativistica", ora in disuso. Moltiplicando la seconda equazione per "c" riconosciamo invece la conservazione dell'energia relativistica formula_41. Possiamo quindi riscrivere il sistema come:
In generale risolvere direttamente le equazioni sovrastanti è molto difficile dal momento che il grado dell'equazione è troppo elevato. Come per il caso classico, un aiuto può venire da un cambio di sistema di riferimento, avendo cura di comporre le velocità non con la composizione galileiana ma con il loro equivalente nella relatività ristretta. Un buon sistema di riferimento può essere, ad esempio, quello del centro di massa; avendo chiamato con "v" la velocità di trascinamento tra un sistema e l'altro, dalla regola di composizione delle velocità in relatività speciale le velocità prima dell'urto nel sistema di riferimento del centro di massa formula_43 e formula_44 sono:
da cui:
Quando formula_51 e formula_52,
e perciò otteniamo:
I calcoli della meccanica classica risultano quindi corretti quando la velocità di entrambi i corpi è molto minore della velocità della luce (circa 3 x 10 m/s).
Un modo per schematizzare le interazioni tra particelle subatomiche è quello di considerare l'interazione come urto elastico. Supponiamo di avere due particelle entrambe di massa a riposo "m", supposta nota, che si muovono l'una contro l'altra a velocità formula_61 e formula_62. Dopo l'urto si forma un'unica particella. Troviamo la massa "M" e la velocità "v" di questa nuova particella. Le equazioni (IV) portano al sistema:
Ricaviamo i fattori γ delle due velocità iniziali:
Dalla conservazione dell'energia ricaviamo "M":
Sostituiamo nell'altra equazione:
Nota "v" sostituiamo nell'equazione per "M", che risulta essere:
Abbiamo scoperto che nell'interazione la massa della nuova particella non è uguale alla somma delle masse delle altre due, ma superiore. Infatti parte dell'energia dovuta alla velocità delle particelle si è tramutata in massa; come è noto, nella teoria della relatività la massa e l'energia sono intercambiabili (la celebre formula E=mc²): infatti durante le interazioni delle particelle subatomiche questi scambi si verificano continuamente.
Un'importante applicazione degli urti relativistici è l'effetto Compton, che collega l'angolo di deflessione di un fotone che interagisce con un'altra particella con la variazione di energia del fotone stesso, cioè della sua lunghezza d'onda. L'interazione è schematizzata come urto elastico, nel quale valgono le (IV). L'urto avviene sul piano, e la conservazione della quantità di moto implica la conservazione delle sue proiezioni lungo gli assi. Mettendo a sistema con la conservazione dell'energia, si ottiene:
dove formula_71 è l'angolo di deflessione del fotone e 
è detta "lunghezza d'onda di Compton".
La legge di Newton (come la conservazione della quantità di moto) si applica alle componenti della velocità risolte lungo le comuni superfici normali dei corpi collidenti al punto di contatto. Nel caso di due sfere le componenti della velocità coinvolte saranno le componenti risolte lungo la linea congiungente i centri nell'istante dell'urto. Di conseguenza, le componenti della velocità perpendicolari a questa linea resteranno invariate durante l'urto.
Per risolvere un'equazione che coinvolge due corpi che collidono in un sistema bidimensionale, la velocità complessiva di ciascun corpo deve essere scomposta in due velocità ortogonali: una tangente alla superficie comune normale dei due corpi collidenti nel punto di contatto, l'altra lungo la linea di collisione. Siccome l'urto imprime forze solo lungo la linea di collisione, le velocità tangenti al punto di collisione non cambiano. Per calcolare le velocità lungo la linea d'urto si possono utilizzare le stesse equazioni di un urto monodimensionale. Le velocità finali possono essere calcolate dalle due nuove componenti e dipenderanno dal punto di collisione. Sono stati condotti degli studi sugli urti bidimensionali per molti corpi nella struttura di un gas bidimensionale.
La quantità di moto di due corpi dipende dalle loro velocità effettive e masse, per cui non si può prevedere la quantità di moto di due corpi se le energie cinetiche dei due sono eguali.
Per le due monete in figura la componente che cambia si può trovare tramite il prodotto scalare della velocità con un versore che indica la direzione diretta dell'urto.


Una forza è una grandezza fisica vettoriale che si manifesta nell'interazione reciproca di due o più corpi, sia a livello macroscopico, sia a livello delle particelle elementari. Quantifica il fenomeno di induzione di una variazione dello stato di quiete o di moto dei corpi stessi; in presenza di più forze, è la risultante della loro composizione vettoriale a determinare la variazione del moto. La forza è descritta classicamente dalla seconda legge di Newton come derivata temporale della quantità di moto di un corpo rispetto al tempo.
In formule:
che, nel caso la massa del corpo sia costante, si riduce a:
La legge evidenzia immediatamente il carattere vettoriale della forza, in quanto la derivata di un vettore è ancora un vettore.
Tenendo conto del secondo principio della dinamica, possiamo quindi affermare che una forza di 1 N imprime ad un corpo con la massa di 1 kg l'accelerazione di 1 m/s².
Nel sistema CGS la forza si misura in dyne.
Le forze sono quindi leettere in moto un corpo che si trovava precedentemente in stato di quiete, modificare il movimento di un corpo già precedentemente in moto, o riportare il corpo in stato di quiete.
A livello pratico, le forze applicate ad un dato corpo possono avere due diversi tipi di effetti:
Si dice "ambiente" di un corpo proprio l'insieme delle forze che altri corpi esercitano su di esso.
Da un punto di vista operativo, è possibile affermare che se un corpo è deformato rispetto al suo stato di riposo, allora è sottoposto all'azione di una forza.
Una definizione statica di forza è possibile misurando la deformazione di un corpo che segua la legge di Hooke, cioè tali che la deformazione sia direttamente proporzionale alla forza applicata. Ciò vuol dire che se si sospende ad una molla ideale un peso campione si ottiene un certo allungamento "x", mentre se alla stessa molla si sospendono due pesi campione, uguali al precedente, l'allungamento risulta uguale a 2"x". Utilizzando questa proprietà lineare delle molle è possibile costruire degli strumenti di misura delle forze, detti dinamometri. Ogni volta che un dinamometro si allunga, significa che ad esso è applicata una forza.
Utilizzando un dinamometro si ottiene una misura indiretta della forza, in quanto la grandezza che viene misurata non è direttamente la forza, ma la deformazione della molla contenuta nel dinamometro; osserviamo tuttavia che la stessa situazione sperimentale ricorre nella misura della temperatura (ciò che si misura in realtà è la dilatazione del mercurio) o della pressione (viene misurata l'altezza di una colonna di liquido).
La forza generalizzata associata ad un grado di libertà del sistema "i" è:
Dove W è il lavoro della risultante attiva F agente sul sistema. Si tratta quindi in termini newtoniani per variabili lunghezza e angolo rispettivamente delle grandezze forza e momento meccanico prese lungo la variabile, nel caso più generale di una combinazione delle due.
Nel caso di vincoli bilaterali permettono di ignorare nell'analisi del sistema le reazioni vincolari (di risultante R), anche per sistemi scleronomi: dato uno spostamento virtuale formula_4, ottenuto considerando solo gli spostamenti ammissibili con i vincoli considerati come "fissi" all'istante di riferimento, il lavoro virtuale agente sull'n-esima particella del sistema vale:
Se i vincoli del sistema sono bilaterali, per il principio delle reazioni vincolari i lavori virtuali vincolari sono nulli, e cioè le reazioni sono ortogonali agli spostamenti virtuali:
Esprimendo formula_7 in funzione delle coordinate generalizzate formula_8, e ricordando che formula_9 per definizione di spostamento virtuale:
Il lavoro virtuale sulla particella sottoposta a vincoli bilaterali è cioè interamente calcolabile tramite le forze generalizzate agenti su di essa. 
A livello ingegneristico dove è necessario risalire allo sforzo che dovrebbe essere fatto da tutte le forze non vincolari se il sistema subisse uno spostamento virtuale formula_11, oppure alle sollecitazioni esterne imposte realmente dai vincoli, l'approccio Lagrangiano risulta quindi particolarmente utile.
In base alle equazioni di Lagrange del I tipo e in forma di Nielsen si può legare la forza generalizzata all'energia cinetica del sistema:
formula_12,
Si noti quindi che le forze generalizzate differiscono quindi per il secondo termine formula_13 dalle formula_14 cui si arriverebbe generalizzando la definizione newtoniana di forza come derivata totale temporale della quantità di moto, cioè il secondo principio della dinamica.
La forza è una grandezza vettoriale, ovvero è descritta da un punto di vista matematico da un vettore (vedi immagine a fianco). Ciò significa che la misura di una forza, ovvero la sua intensità misurata in newton, rappresenta solo il modulo della forza, che per essere definita necessita anche della specificazione di un punto di applicazione (il punto del corpo dove la forza agisce), di una direzione (fascio di rette parallele) e di un verso (indicato dall'orientamento del vettore).
Il carattere vettoriale della forza si manifesta anche nel modo in cui è possibile sommare le forze. Come è possibile verificare sperimentalmente, due forze formula_15 e formula_15 con lo stesso punto di applicazione, ma direzioni diverse si sommano con la regola del parallelogramma (vedi figura a fianco). Ciò significa che se ad un corpo vengono contemporaneamente applicate le forze formula_15 e formula_15, esso si muoverà lungo la direzione della diagonale del parallelogramma, come se ad esso fosse applicata solo la forza formula_19, detta, appunto somma o risultante.
Una forza può esercitarsi non necessariamente a contatto di un corpo, ma può anche esserci un campo di forze, cioè una regione in cui un corpo esercita la propria forza, esistente indipendentemente da un secondo corpo che ne subisca gli effetti.
Alcune forze possiedono una struttura tale che il lavoro compiuto su un corpo sia sempre esprimibile tramite una funzione scalare, chiamata potenziale, dipendente unicamente dagli estremi dello spostamento e non dalla traiettoria. Tali forze sono dette forze conservative e ammettono un'energia potenziale. L'energia potenziale (solitamente indicata con il simbolo "U") rappresenta un campo scalare pari alla funzione potenziale cambiata di segno, di cui la forza è il gradiente:
Esempi classici di forze conservative sono la forza di gravità e la forza elettrica o di Coulomb. Esse sono caratterizzate dalle relazioni:
Il significato geometrico del gradiente di una funzione si può facilmente interpretare, almeno nel caso di funzioni in due variabili come nell'esempio in figura, come il vettore che indica, punto per punto, la massima pendenza, nella direzione crescente; il fatto che una forza conservativa sia pari a meno il gradiente dell'energia significa che è indirizzata in modo da minimizzare la stessa.
La definizione operativa sopra presentata è quella più comune nei libri di testo, ma notiamo che non è soddisfacente, in quanto richiede l'introduzione della legge di Hooke e della forza peso, incappando in una definizione circolare (la definizione della legge di Hooke è dipendente dalla forza). In altre esposizioni della dinamica la forza è proprio definita dalla seconda legge della dinamica, oppure col rischio di incappare in un vero e proprio truismo. In altri trattati la forza viene introdotta come un concetto intuitivo, legato alle impressioni connesse allo sforzo muscolare: per evidenziare l'inadeguatezza di tale impostazione è sufficiente notare la pericolosità insita nella confusione tra concetti fisici appartenenti ad una teoria e concetti provenienti dall'esperienza ingenua: ad esempio mantenere sollevato un peso fermo comporta sforzo muscolare, ma non lavoro (nel senso fisico del termine).
In molte esposizioni recenti della meccanica, la forza è normalmente definita implicitamente in termini di equazioni che lavorano con essa: questa impostazione, qualora si vada a considerare la necessità di specificare il riferimento in cui tali equazioni valgono, non è completamente soddisfacente nel risolvere le problematiche associate alla definizione "classica". Alcuni fisici, filosofi e matematici, come Ernst Mach, Clifford Truesdell e Walter Noll, hanno trovato problematico questo fatto e hanno cercato una definizione più esplicita di forza, evidenziando peraltro la non essenzialità di questo concetto per la comprensione della meccanica. Ernst Mach criticò peraltro anche l'idea, a suo avviso metafisica, che le forze siano le cause del moto: solo i corpi possono influire sullo stato di moto di altri corpi e difficilmente si può pensare che la forza, un concetto astratto, possa essere la causa di alcunché.
Nella relazione
derivata dalla seconda legge del moto di Newton, formula_24 è la forza (il cui modulo è espresso usualmente in Newton), "m" la massa in chilogrammi e formula_25 è l'accelerazione (il cui modulo è espresso in metri su secondo al quadrato). Per un fisico, il chilogrammo è l'unita di massa, ma nell'uso comune "chilogrammo" è un'abbreviazione per "il peso di un corpo di un chilogrammo di massa a livello del mare sulla terra". A livello del mare, l'accelerazione dovuta alla gravità ("a" nell'equazione di cui sopra) è 9,807 metri per secondo quadrato, quindi il peso di un chilogrammo è 1 kg × 9,807 m/s² = 9,807 N.
A volte, soprattutto in contesti di tipo ingegneristico, si distingue il "chilogrammo massa" (indicato con "kgm") per indicare il kg e il "chilogrammo forza" (o "chilogrammo peso", indicato con "kgf") per indicare il valore di 9,807 N. Il chilogrammo peso non è tuttavia riconosciuto come unità di misura del Sistema Internazionale e sarebbe opportuno non usarlo per non creare confusione tra i concetti di massa e di peso.
Infatti la massa è una proprietà intrinseca dell'oggetto mentre il peso dipende dalla gravità.
Secondo le teorie scientifiche attualmente più accreditate, in natura esistono quattro forze, o meglio interazioni fondamentali che operano sui corpi: la gravità, l'interazione elettromagnetica, l'interazione nucleare forte e l'interazione debole. La prima, secondo la teoria della relatività generale è un effetto della geometria dello spazio-tempo, mentre le altre tre interazioni, che sono delle teorie di gauge, sono dovute a scambi di particelle, dette bosoni di gauge, secondo la seguente tabella:
Il modello standard fornisce un riquadro coerente nel quale sono inserite le tre teorie di gauge, mentre ad oggi è stato impossibile ricondurre ad esso una versione quantistica della gravità, sebbene sia stata teorizzata una particella mediatrice (il gravitone) della quale non si hanno evidenze empiriche.
