
In fisica, il campo gravitazionale è il campo associato all'interazione gravitazionale.
In meccanica classica, il campo gravitazionale è trattato come un campo di forze conservativo. Secondo la relatività generale esso è espressione della curvatura dello spazio-tempo creata dalla presenza di massa o energia, quindi la forza di gravità sarebbe una forza apparente, ed è rappresentato matematicamente da un tensore metrico legato allo spazio-tempo curvo attraverso il tensore di Riemann. 
Il campo gravitazionale generato dalla Terra, ad esempio, in prossimità della superficie terrestre assume valori prossimi a 9,8 m·s e per convenzione si adotta tale valore di riferimento per l'accelerazione di gravità.
Il campo gravitazionale è un campo di forze conservativo. Il vettore del campo gravitazionale generato nel punto formula_1 nello spazio dalla presenza di una massa nel punto formula_2, origine del riferimento, è definito come:
dove formula_4 è la costante di gravitazione universale e formula_5 la massa. È quindi possibile esprimere la forza esercitata sul corpo di massa "m" come:
L'unità di misura del campo gravitazionale nel Sistema internazionale è:
dove formula_8 è il modulo di formula_9.
Il campo gravitazionale è descritto dal potenziale gravitazionale, definito come il valore dell'energia gravitazionale rilevato da una massa posta in un punto dello spazio per unità di massa. L'energia gravitazionale della massa è il livello di energia che la massa possiede a causa della sua posizione all'interno del campo gravitazionale; pertanto il potenziale gravitazionale della massa è il rapporto tra l'energia gravitazionale e il valore della massa stessa, cioè: 
Essendo il campo gravitazionale conservativo, è sempre possibile definire una funzione scalare "V" il cui gradiente, cambiato di segno, coincida con il campo:
Per ogni campo gravitazionale è possibile definire delle superfici ortogonali al campo in ogni punto dello spazio, dette superfici equipotenziali. Il significato fisico di queste superfici è chiaro se si considera il lavoro della forza di gravità lungo un cammino appartenente alla superficie: dato che lo spostamento è punto per punto ortogonale alla forza, il lavoro lungo questo cammino è nullo. Ciò vuol dire che masse uguali sulla stessa superficie equipotenziale hanno la stessa energia potenziale. Per esempio, nel caso di una sorgente sferica, le superfici equipotenziali sono sfere concentriche e le linee di flusso sono l'insieme delle semirette entranti nel centro delle sfere.
Indicato il campo gravitazionale come formula_12, a meno di fattori moltiplicativi e traslazionali, con formula_13 vettore posizione, si osserva che la sua divergenza in tre dimensioni è nulla. Infatti:
Il campo gravitazionale assume nell'ambito della teoria della relatività generale di Einstein una struttura molto più complessa. Esso rappresenta la differenza tra il tensore metrico dello spazio-tempo e il tensore metrico dello spazio-tempo piatto, o spazio-tempo di Minkowski. La deformazione dello spazio-tempo data dal campo gravitazionale viene talvolta rappresentata graficamente come la deformazione di un materasso, o di un telo elastico, ad opera di una palla pesante posta su di esso: qui lo spazio-tempo piatto è rappresentato dal telo perfettamente teso e, appunto, piatto.
Il tensore metrico dello spazio-tempo deformato dalla presenza di masse, oppure semplicemente energia, viene calcolato attraverso l'equazione di campo di Einstein:
dove formula_16 è il tensore metrico, formula_17 e formula_18 sono rispettivamente la curvatura scalare e il Tensore di Ricci, ottenuti come contrazione dal Tensore di Riemann, legato alle derivate del tensore metrico e formula_4 è la costante di gravitazione universale.


L'accezione matematica del termine distanza ha un significato analogo a quello dell'uso comune, cioè quello della misura della "lontananza" tra due punti di un insieme al quale si possa attribuire qualche carattere spaziale. In matematica però questa nozione assume caratteri astratti e si basa solo su proprietà formali che ne fanno perdere l'univocità: esistono esempi di insiemi anche comuni come formula_1 in cui possono essere date infinite definizioni di distanza, tutte soddisfacenti le proprietà generali. Si può dire che in matematica il termine distanza caratterizza strumenti computazionali con alcune caratteristiche comuni, ma utilizzabili per scopi diversificati.
Il concetto di distanza e quello collegato di lunghezza vengono generalizzati mediante la definizione della geodetica come il più breve percorso tra due punti di uno "spazio curvo".
Una distanza (o metrica) su un insieme formula_2 è una funzione 
che soddisfa le seguenti proprietà per ogni scelta di formula_4 in formula_2:
La coppia formula_10 è chiamata spazio metrico.
In realtà solo le proprietà 2,3,4 sono indipendenti tra loro. Questo significa che si possono definire delle funzioni che soddisfano alcune tra 2,3,4 ma non altre.
Per esempio, se formula_11 allora la funzione formula_12 per questi particolari valori soddisfa le 2,4 ma non la 3 e quindi in generale non soddisfa la 3.
La dimostrazione che le 3,4 implicano la 1 è molto semplice.
Infatti, sfruttando la 4 si ha
formula_13 e formula_14. Sommando ora membro a membro otteniamo
formula_15 infine (sfruttando la 3) l’espressione si semplifica in 
formula_16 che è appunto la 1, dopo aver diviso per 2 (e scambiato i membri).
Data una norma formula_17 è possibile definire una distanza formula_18 definendo
Si verifica che la funzione così definita è una distanza, infatti:
Si osserva che ogni distanza indotta da una norma è invariante per traslazioni (ovvero, per ogni tripletta di vettori formula_24).
La distanza normalmente considerata in formula_25 è quella euclidea, pari alla radice quadrata del quadrato della differenza orizzontale (tra i due punti) più il quadrato della differenza verticale:
Se si elimina la seconda dimensione questa funzione si riduce al modulo della differenza tra i due numeri: formula_27.
Più in generale nello spazio euclideo formula_28 si può definire la distanza tra due punti formula_29 e formula_30 nei seguenti modi:
La "2-distanza" in uno spazio a "n" dimensioni corrisponde al teorema di Pitagora applicato "n-1" volte: è la distanza di uno spazio euclideo, normalmente usata nel piano o nello spazio e viene detta anche distanza pitagorica. La "1-distanza", detta anche "distanza L1" o distanza Manhattan, genera invece una geometria diversa, detta geometria del taxi. La "∞-distanza (o distanza L∞)" è la cosiddetta distanza di Chebyshev.
Nel caso di uno spazio di Hilbert formula_45, il teorema della proiezione afferma che per ogni punto formula_46 e per ogni insieme convesso chiuso formula_47 esiste un unico formula_48 tale per cui formula_49 assume il valore minimo su formula_50. In particolare, questo è vero per ogni sottospazio chiuso formula_51 di formula_45: in tal caso una condizione necessaria e sufficiente per formula_53 è che il vettore formula_54 sia ortogonale a formula_51.
Data una distanza su un insieme si può definire come palla, o bolla, o disco, centrata in un punto formula_56 di un certo raggio formula_57 positivo l'insieme dei punti dell'insieme che distano da formula_56 meno di formula_57:
Solitamente la definizione si intende con il <; se però c'è bisogno di specificare, si dirà "disco aperto" l'insieme definito dalla relazione " < " e "disco chiuso" l'insieme definito dalla relazione " ≤ ".
Si definisce anche "bordo" del disco l'insieme
L'insieme dei dischi aperti centrati nei vari punti dello spazio soddisfa la definizione topologica di base: la topologia sull'insieme formula_62 determinata da questa base si dice "topologia generata" (o "indotta") dalla distanza formula_63.
È importante notare come il disco chiuso non coincida sempre con la chiusura del disco aperto, ma in generale ne sia solo un soprainsieme; in particolare nello spazio euclideo comunque le due nozioni coincidono.
Due distanze formula_63 e formula_65 si dicono equivalenti se l'applicazione identità
è un omeomorfismo.
Equivalentemente, esse si possono dire equivalenti se ogni disco della prima metrica contiene un qualche disco della seconda metrica e viceversa. Ad esempio una distanza "d" è equivalente a quella data dalla funzione formula_67 ed a quella data dalla funzione formula_68.
Due distanze equivalenti generano la stessa topologia.
Se si indeboliscono le richieste su formula_63 si ottengono spazi con proprietà più deboli e più poveri come possibilità algoritmiche:
Al contrario, rinforzando la disuguaglianza triangolare e imponendo che
si ottiene una cosiddetta ultrametrica.
