
L'urto anelastico è l'urto in cui l'energia meccanica totale non si conserva. Nel caso poi sia anelastico totale, i corpi, dopo la collisione, restano a contatto e possono essere considerati come un unico corpo ed essi viaggiano con la stessa velocità, come può essere il caso di un'automobile che urta contro un camion e rimane incastrata in esso: nel sistema, dopo l'urto, automobile e camion si fondono in un unico corpo, che continua a viaggiare con una velocità formula_1 diversa dalla velocità iniziale dell'automobile e da quella del camion.
La legge di conservazione della quantità di moto del sistema è:
formula_2
per gli "urti anelastici totali", si può scrivere 
formula_3 
dove formula_4 e formula_5 rappresentano le quantità di moto prima dell'urto rispettivamente del primo corpo di massa formula_6 e del secondo corpo di massa formula_7, mentre formula_8 è la quantità di moto dell'intero sistema dopo l'urto, cioè quando i due corpi si fondono in un unico corpo di massa pari alla somma delle precedenti, formula_9
formula_1, ricavabile dalla precedente espressione, rappresenta la velocità con cui si muovono i due corpi insieme dopo l'urto.
Se si suppone per semplicità che non vi siano variazioni di energia potenziale (caso più comune), allora la perdita di energia meccanica è dovuta alla sola variazione di energia cinetica.
L'energia cinetica dissipata durante l'urto completamente anelastico, è
formula_11
dove:
formula_12
si dice massa ridotta del sistema.
È possibile dimostrare che se l'urto è totalmente anelastico, l'energia cinetica dissipata è la massima possibile.


L'energia cinetica è l'energia che possiede un corpo per il movimento che ha o che acquista.
Dal punto di vista tecnico equivale al lavoro necessario per portare un corpo da una velocità nulla a una velocità nota. Quando un corpo di massa "m" varia la sua velocità, con questa varia anche la sua energia cinetica. Il lavoro equivale a questa variazione di energia cinetica. L'energia cinetica quindi è associata alla massa e alla velocità di un corpo in movimento. L'energia cinetica che possiede un corpo di massa "m" nel suo moto di caduta è uguale al lavoro compiuto per fermarsi.
Nella meccanica newtoniana l'energia cinetica formula_1 di una particella di velocità formula_2 è definita come il lavoro fatto da una forza esterna per aumentare la velocità della particella da zero al valore formula_2. Cioè:
dove formula_5 è il lavoro fatto dalla forza formula_6 nello spostare di formula_7 la particella. Per semplicità, possiamo limitare il moto a una sola dimensione, per esempio la formula_8. Allora, classicamente:
con formula_10 massa della particella.
L'energia cinetica di un punto materiale può essere espressa matematicamente dal semiprodotto della sua massa per il quadrato del modulo della sua velocità; in coordinate cartesiane si esprime di consueto come:
L'energia cinetica di un corpo rigido a simmetria assiale in rotazione attorno all'asse di simmetria con velocità angolare formula_12 e che trasla nello spazio con velocità formula_2 (velocità del centro di massa) è:
dove formula_10 è la massa totale del corpo e formula_16 il momento d'inerzia rispetto all'asse di rotazione.
L'energia cinetica dipende dal sistema inerziale di riferimento. In un sistema di riferimento stazionario l'energia cinetica assume un valore inferiore di quello assumibile in un sistema di riferimento in movimento. L'energia cinetica aggiuntiva è quella corrispondente all'energia cinetica di traslazione della massa m alla velocità v di spostamento del sistema inerziale di riferimento.
Una utile relazione tra l'energia cinetica "E" e il modulo della quantità di moto "p" è data dalle seguenti equazioni:
La dimostrazione è immediata sostituendo nell'espressione di "E" quella di "p".
In determinati casi può essere utile definire la grandezza "energia cinetica specifica" formula_1, definita come energia cinetica per unità di volume:
In meccanica classica, l'energia cinetica di un corpo di massa "m" è il lavoro necessario per portarlo da una velocità iniziale nulla a una velocità finale "v". Questa definizione può essere formalizzata grazie a quello che storicamente prende il nome di teorema delle forze vive, oggi più noto come "teorema dell'energia cinetica".
A livello globale il lavoro compiuto dalla forza F quando il corpo si sposta da uno stato iniziale a uno stato finale è uguale alla variazione dell'energia cinetica del corpo.
In meccanica analitica (non relativistica) è possibile estendere il concetto di energia cinetica, mantenendo al contempo inalterato il suo peculiare aspetto di funzione dipendente dal modulo quadrato della velocità.
Per fare questo, è necessario passare dalle consuete coordinate cartesiane a un sistema generico di coordinate: siano dunque
le coordinate generalizzate, tutte dipendenti dal tempo. Queste coordinate individuano la posizione di un punto materiale in uno spazio formula_22-dimensionale detto spazio delle configurazioni. Formalizzando il concetto, si definisce la funzione
che cioè manda un numero reale nello spazio delle configurazioni e che descrive le traiettoria della particella in tale spazio. È bene notare che non si sta parlando di traiettorie della particella nello spazio-tempo, bensì nello spazio delle configurazioni. Un cambiamento di coordinate è allora una funzione
in generale dipendente sia dal vettore posizione sia dal tempo, con particolari caratteristiche (un diffeomorfismo), che esprime la relazione esistente tra le vecchie coordinate e le nuove.
Introduciamo l'energia cinetica
che a questo punto ha una forma diversa rispetto a quella solitamente usata: la differenza discende dalla nuova forma che assume la velocità, che sebbene sia come al solito definita da
stavolta è una funzione composta, dunque
Calcolando esplicitamente l'energia cinetica grazie alle proprietà di linearità e simmetria del prodotto scalare standard, si ha
Abbiamo così ottenuto una forma quadratica operando le sostituzioni
Il risultato è davvero notevole se si pensa alla generalità da cui si è partiti nella trattazione: è bastato fornire alcune condizioni di regolarità (di norma verificate nel caso di condizioni fisiche) per ottenere una formula che amplia quella di uso comune. Nel caso in cui si tratti di particella libera, perciò, possiamo scrivere immediatamente la lagrangiana:
formula_30
mentre l'eventuale presenza di energia potenziale formula_32 dipendente dalla sola posizione, non fa altro che aggiungere un termine:
Un'altra caratteristica interessante discende dal considerare cambiamenti di coordinate indipendenti dal tempo: in questi casi l'energia cinetica diventa semplicemente un caso particolare di quella già trovata sopra
ma dato che i versori coordinati dello spazio delle configurazioni sono per definizione
i coefficienti formula_36 costituiscono una matrice quadrata che rappresenta il prodotto scalare rispetto alla base coordinata scelta.
La naturale estensione a un sistema costituito da più punti viene eseguita assegnando a ognuno di essi un vettore velocità e un vettore posizione: quindi per formula_37 particelle libere vengono prodotti formula_38 vettori, ciascuno di formula_22 coordinate e poi si procede come si è fatto per la particella singola, ottenendo il risultato che l'energia cinetica totale è la somma delle energie cinetiche delle singole particelle:
Nella meccanica relativistica di Einstein (impiegata particolarmente nelle velocità prossime alla velocità della luce) la massa è sempre costante, ma il lavoro necessario a portare a una velocità "v" una particella di massa (propria) "m" inizialmente in quiete non dipende dal quadrato della velocità come nel caso classico, anzi diverge per formula_41. Posti:
il lavoro "W" necessario per accelerare una particella di massa "m" inizialmente in quiete fino a una velocità "v" è pari a:
in cui formula_48 è il fattore di Lorentz:
Espandendo in serie di Taylor per piccoli formula_50:
Lo sviluppo in serie rende evidente che per valori piccoli della velocità formula_2 tutti i termini superiori al primo sono trascurabili e la serie assume il valore
che, tenendo conto della velocità iniziale nulla, è proprio l'espressione del teorema dell'energia cinetica in meccanica classica. La formula di Einstein generalizza quindi l'energia cinetica alle alte velocità.
È immediato dallo sviluppo in serie notare che quando formula_2 tende a 0 il rapporto tra l'energia cinetica relativistica e quella newtoniana data da formula_55 si approssima a 1:
La teoria della relatività afferma che l'energia cinetica di un oggetto tende all'infinito per velocità che si avvicinano alla velocità della luce, e diventa pertanto impossibile accelerare il corpo fino a raggiungere tale velocità. In altri termini la velocità della luce non può essere raggiunta da alcun corpo materiale mediante accelerazione.
