
sica, l'indice di rifrazione di un materiale è una grandezza adimensionale che quantifica la diminuzione della velocità di propagazione della radiazione elettromagnetica quando attraversa un materiale. La diminuzione della velocità di propagazione viene accompagnata dalla variazione della sua direzione, secondo il fenomeno della rifrazione.
Si tratta di una grandezza utilizzata in svariati ambiti della scienza, e la sua misura può essere usata per identificare la natura del materiale in cui si propaga la radiazione. Ad esempio, in chimica vengono comunemente effettuate misure dell'indice di rifrazione con lo scopo di trarne indicazioni analitiche. In funzione dei parametri solvente, lunghezza d'onda incidente e temperatura, si effettua la misura del parametro utilizzando un rifrattometro. Questa metodica analitica viene utilizzata in vari campi: in campo medico per analisi del sangue e delle urine, in ambito industriale nell'analisi dei materiali, per determinare la concentrazione zuccherina in succhi di frutta o il grado alcolico di bevande, per certificare il livello qualitativo o evidenziare sofisticazioni di alimenti quali l'olio, il latte e il burro.
La radiazione viaggia alla massima velocità formula_1, detta velocità della luce, quando si trova nel vuoto. L'indice di rifrazione è il rapporto tra formula_1 e la velocità formula_3 della radiazione nel mezzo:
Dipende in generale dalla frequenza della radiazione, e pertanto si tratta di un numero complesso strettamente legato alla permittività elettrica.
Si consideri un'onda elettromagnetica monocromatica, che scritta in funzione del campo elettrico formula_5 ha la forma:
dove formula_7 è l'ampiezza e formula_8 è la frequenza angolare dell'onda. Il vettore d'onda è dato da formula_9, con formula_10 la direzione di propagazione e formula_11 il numero d'onda:
in cui il numero:
è la lunghezza d'onda della radiazione quando si propaga nel vuoto. La lunghezza d'onda nel materiale è data da:
e l'indice di rifrazione (in assenza di assorbimento) è:
dove formula_16 è la velocità di fase, cioè la velocità alla quale si propagano le creste dell'onda.
Le equazioni di Maxwell in un materiale possono essere scritte come:
assieme alle equazioni costitutive:
che descrivono la reazione nel mezzo alla presenza di un campo elettromagnetico.
Per risolvere queste equazioni è necessario formulare delle ipotesi (che rappresentano inevitabilmente un'approssimazione) sulla dipendenza di formula_20 ed formula_21 da formula_5 e da formula_23. Assumendo formula_24, un'approssimazione al primo ordine è che la polarizzazione del mezzo sia lineare con il campo elettrico:
dove formula_26 è la suscettività elettrica. Questa approssimazione è valida a meno che non si considerino campi estremamente intensi, come quelli che si possono ottenere con un laser: quando non è più valida si entra nel regime dell'ottica non lineare. Si assume inoltre che non ci siano cariche libere, ovvero che formula_27 e formula_28:
derivando rispetto al tempo la quarta equazione e facendo il rotore della seconda si ottiene:
Uguagliando allora il rotore della derivata nel tempo di formula_23 (dalla prima relazione) con la derivata nel tempo del rotore di formula_23 (primo termine della seconda relazione) si ha:
La prima equazione implica che la divergenza del campo elettrico è nulla. Dall'analisi differenziale è noto che per un generico vettore formula_36 si ha:
Da queste segue che il rotore del rotore del campo elettrico è pari all'opposto del laplaciano del campo stesso:
Ricordandosi che la velocità della luce può essere scritta come:
questa diventa:
ossia l'equazione di un'onda che si propaga, non a velocità formula_1 ma ad una velocità di fase inferiore pari a:
Il fattore formula_43 è l'indice di rifrazione, e può essere riscritto in funzione della costante dielettrica e della permeabilità magnetica del mezzo come:
Nel caso in cui sia formula_45 che formula_46 siano negativi la soluzione corretta delle equazioni di Maxwell impone che si debba scegliere come indice di rifrazione la radice negativa, e quindi formula_47. Questa condizione non viene mai raggiunta nei materiali reali ma è stata dimostrata la possibilità di usare dei metamateriali per ottenerla.
La legge di Snell descrive quanto la direzione di propagazione della luce è deviata nel passare da un mezzo ad un altro. Essa afferma che se il raggio proviene da una regione con indice di rifrazione formula_48 ed entra in un mezzo ad indice formula_49, gli angoli di incidenza formula_50 e di rifrazione formula_51 sono legati dall'espressione:
dove formula_53 e formula_54 sono le velocità nei mezzi, e la velocità della radiazione deve cambiare da formula_55 a formula_56. Se non vi è nessun angolo formula_51 che soddisfa la relazione, ovvero:
la luce non viene trasmessa nel secondo mezzo e si verifica il fenomeno di riflessione interna totale.
A partire dalle equazioni di Maxwell è possibile dimostrare, sfruttando il fatto che il campo elettrostatico è conservativo, che passando da un mezzo ad un altro la componente del campo elettrico tangente all'interfaccia è continua. Questo si relaziona al fatto che, dal momento che l'intensità del vettore d'onda formula_59 è proporzionale all'energia del fotone incidente, la sua componente trasversale si deve conservare. Dato che la componente trasversale del vettore d'onda resta uguale, si ha che formula_60 e quindi:
da cui formula_62.
Quando un'onda elettromagnetica incide sul materiale, parte di essa viene riflessa. La quantità di luce che viene riflessa dipende dalla riflettanza della superficie. Tale grandezza può essere calcolata a partire dall'indice di rifrazione e dall'angolo di incidenza per mezzo dell'equazione di Fresnel, secondo la quale la componente normale della riflessione viene ridotta di:
Per il vetro immerso in aria formula_64 e formula_65, che significa che il 4% della potenza viene riflessa.
Vi è un angolo formula_66, detto angolo di Brewster, per cui la radiazione polarizzata lungo il piano di incidenza viene totalmente trasmessa:
e non vi è dunque riflessione.
In tutti i sistemi reali l'indice di rifrazione varia con la frequenza dell'onda incidente, e per la legge di Snell a frequenze diverse corrispondono angoli di rifrazione diversi. Un esempio ben noto di questo fenomeno è il fatto che la luce bianca (contenente tutte le componenti spettrali) viene scomposta da un prisma.
Quando un materiale presenta assorbimento non è più possibile descrivere l'indice di rifrazione tramite un numero reale ma bisogna definire un indice di rifrazione complesso:
dove formula_69 definisce la velocità di fase con cui si propaga l'onda e formula_70 è proporzionale al coefficiente di assorbimento del sistema. L'assorbimento dell'energia della radiazione da parte del materiale è strettamente legato al fenomeno della dispersione, e le quantità formula_69 e formula_70 sono legate dalla relazione di Kramers-Kronig.
Per mostrare che formula_70 quantifica l'assorbimento dell'energia del campo è sufficiente inserire formula_69 nell'espressione del campo elettrico in un'onda piana che si propaga in direzione "z":
Considerando il vettore d'onda come numero complesso formula_76, la cui parte reale è formula_77, si ha:
Si nota che formula_70 fornisce un decadimento esponenziale, come previsto dalla Legge di Lambert-Beer. Dato che l'intensità dell'onda è proporzionale al quadrato dell'intensità del campo elettrico, il coefficiente di assorbimento diventa formula_80.
In alcune condizioni particolari (ad esempio vicino a delle risonanze dell'assorbimento) è possibile che formula_81 sia minore di 1. In questi casi la velocità di fase può essere superiore alla velocità della luce. Questo però non viola la relatività ristretta perché la velocità del segnale è la velocità di gruppo la quale rimane sempre inferiore a "c".
L'assorbimento di un materiale è la sua capacità di assorbire l'energia associata alla radiazione elettromagnetica che si propaga all'interno di esso. Si tratta dell'energia dei fotoni che viene ceduta agli elettroni, atomi e molecole del materiale: l'energia del campo elettromagnetico si trasforma in questo modo in energia interna del materiale, come ad esempio la sua energia termica. Solitamente l'intensità dell'onda elettromagnetica non influisce sull'assorbimento (in caso contrario si parla di "assorbimento non lineare"), e la sua riduzione è anche detta attenuazione.
L'assorbimento dipende sia dalla natura del materiale, sia dalla frequenza della radiazione, e può essere quantificato attraverso la permittività elettrica: si tratta di una funzione complessa della frequenza dell'onda, attraverso la quale è possibile trattare la propagazione del campo elettromagnetico in mezzi dissipativi. Normalmente il valore della permittività elettrica viene scritto come il prodotto formula_82 della permittività relativa formula_83 e della permettività del vuoto formula_84, detta anche costante dielettrica del vuoto. Poiché varia a seconda della direzione del campo elettrico rispetto al mezzo, essa è rappresentata attraverso un tensore, e solo nel caso di un dielettrico perfetto tutte le componenti del tensore hanno lo stesso valore, chiamato impropriamente "costante dielettrica".
La permittività e l'indice di rifrazione sono legati dalla relazione:
dove formula_86 è la permeabilità magnetica relativa e formula_83 la permittività elettrica relativa, un numero complesso:
In un mezzo con formula_89 (approssimazione valida per la maggior parte dei materiali), la permittività elettrica è dunque il quadrato dell'indice di rifrazione complesso. Valgono le seguenti relazioni:
Quando si analizza la permittività dal punto di vista della frequenza del campo si nota che essa può presentare un comportamento anomalo in corrispondenza di certe lunghezze d'onda. Infatti, la parte immaginaria della permittività elettrica segue un andamento risonante in corrispondenza dei suoi poli, dove presenta uno o più picchi. In corrispondenza di questi picchi l'assorbimento da parte del materiale dell'energia posseduta dal campo è massimo.
Nei materiali anisotropi la polarizzazione formula_92 non dipende solo dall'intensità del campo elettrico ma anche dalla sua polarizzazione, ovvero la costante dielettrica non è uguale sui tre assi del sistema di riferimento. Di conseguenza la costante dielettrica non può più essere descritta tramite uno scalare ma deve essere rappresentato tramite una matrice (o, più formalmente, tramite un tensore). In questo caso si ha il fenomeno detto di birifrangenza dove fasci di luce con polarizzazione diversa ed incidenti ad angoli diversi "vedono" un indice di rifrazione diverso e quindi vengono rifratti in direzioni diverse. Storicamente questo fenomeno è stato osservato per la prima volta nella calcite.
La birifrangenza è molto sfruttata sia nell'ottica non lineare che per la realizzazione di dispositivi elettro-ottici, per esempio lamine che funzionano da ritardatore di fase (lamine a mezz'onda o quarto d'onda), o dispositivi per la generazione di seconda armonica in un laser.


L'accezione matematica del termine distanza ha un significato analogo a quello dell'uso comune, cioè quello della misura della "lontananza" tra due punti di un insieme al quale si possa attribuire qualche carattere spaziale. In matematica però questa nozione assume caratteri astratti e si basa solo su proprietà formali che ne fanno perdere l'univocità: esistono esempi di insiemi anche comuni come formula_1 in cui possono essere date infinite definizioni di distanza, tutte soddisfacenti le proprietà generali. Si può dire che in matematica il termine distanza caratterizza strumenti computazionali con alcune caratteristiche comuni, ma utilizzabili per scopi diversificati.
Il concetto di distanza e quello collegato di lunghezza vengono generalizzati mediante la definizione della geodetica come il più breve percorso tra due punti di uno "spazio curvo".
Una distanza (o metrica) su un insieme formula_2 è una funzione 
che soddisfa le seguenti proprietà per ogni scelta di formula_4 in formula_2:
La coppia formula_10 è chiamata spazio metrico.
In realtà solo le proprietà 2,3,4 sono indipendenti tra loro. Questo significa che si possono definire delle funzioni che soddisfano alcune tra 2,3,4 ma non altre.
Per esempio, se formula_11 allora la funzione formula_12 per questi particolari valori soddisfa le 2,4 ma non la 3 e quindi in generale non soddisfa la 3.
La dimostrazione che le 3,4 implicano la 1 è molto semplice.
Infatti, sfruttando la 4 si ha
formula_13 e formula_14. Sommando ora membro a membro otteniamo
formula_15 infine (sfruttando la 3) l’espressione si semplifica in 
formula_16 che è appunto la 1, dopo aver diviso per 2 (e scambiato i membri).
Data una norma formula_17 è possibile definire una distanza formula_18 definendo
Si verifica che la funzione così definita è una distanza, infatti:
Si osserva che ogni distanza indotta da una norma è invariante per traslazioni (ovvero, per ogni tripletta di vettori formula_24).
La distanza normalmente considerata in formula_25 è quella euclidea, pari alla radice quadrata del quadrato della differenza orizzontale (tra i due punti) più il quadrato della differenza verticale:
Se si elimina la seconda dimensione questa funzione si riduce al modulo della differenza tra i due numeri: formula_27.
Più in generale nello spazio euclideo formula_28 si può definire la distanza tra due punti formula_29 e formula_30 nei seguenti modi:
La "2-distanza" in uno spazio a "n" dimensioni corrisponde al teorema di Pitagora applicato "n-1" volte: è la distanza di uno spazio euclideo, normalmente usata nel piano o nello spazio e viene detta anche distanza pitagorica. La "1-distanza", detta anche "distanza L1" o distanza Manhattan, genera invece una geometria diversa, detta geometria del taxi. La "∞-distanza (o distanza L∞)" è la cosiddetta distanza di Chebyshev.
Nel caso di uno spazio di Hilbert formula_45, il teorema della proiezione afferma che per ogni punto formula_46 e per ogni insieme convesso chiuso formula_47 esiste un unico formula_48 tale per cui formula_49 assume il valore minimo su formula_50. In particolare, questo è vero per ogni sottospazio chiuso formula_51 di formula_45: in tal caso una condizione necessaria e sufficiente per formula_53 è che il vettore formula_54 sia ortogonale a formula_51.
Data una distanza su un insieme si può definire come palla, o bolla, o disco, centrata in un punto formula_56 di un certo raggio formula_57 positivo l'insieme dei punti dell'insieme che distano da formula_56 meno di formula_57:
Solitamente la definizione si intende con il <; se però c'è bisogno di specificare, si dirà "disco aperto" l'insieme definito dalla relazione " < " e "disco chiuso" l'insieme definito dalla relazione " ≤ ".
Si definisce anche "bordo" del disco l'insieme
L'insieme dei dischi aperti centrati nei vari punti dello spazio soddisfa la definizione topologica di base: la topologia sull'insieme formula_62 determinata da questa base si dice "topologia generata" (o "indotta") dalla distanza formula_63.
È importante notare come il disco chiuso non coincida sempre con la chiusura del disco aperto, ma in generale ne sia solo un soprainsieme; in particolare nello spazio euclideo comunque le due nozioni coincidono.
Due distanze formula_63 e formula_65 si dicono equivalenti se l'applicazione identità
è un omeomorfismo.
Equivalentemente, esse si possono dire equivalenti se ogni disco della prima metrica contiene un qualche disco della seconda metrica e viceversa. Ad esempio una distanza "d" è equivalente a quella data dalla funzione formula_67 ed a quella data dalla funzione formula_68.
Due distanze equivalenti generano la stessa topologia.
Se si indeboliscono le richieste su formula_63 si ottengono spazi con proprietà più deboli e più poveri come possibilità algoritmiche:
Al contrario, rinforzando la disuguaglianza triangolare e imponendo che
si ottiene una cosiddetta ultrametrica.
