
In fisica, un campo è una grandezza esprimibile come funzione della posizione nello spazio e del tempo, o nel caso relativistico nello spaziotempo.
Un campo può essere scalare, spinoriale, vettoriale o tensoriale, a seconda che la grandezza rappresentata sia rispettivamente uno scalare, uno spinore di Dirac, un vettore o un tensore. Per esempio, il campo gravitazionale può essere modellato come campo vettoriale dove un vettore indica l'accelerazione esercitata su una massa per ogni punto. Questo intuitivamente, anche se il campo gravitazionale indica la forza che agisce su una massa unitaria e non un'accelerazione (un libro posto su un tavolo non subisce nessun accelerazione ma un campo di forza). Altri esempi possono essere il campo di temperatura o quello della pressione atmosferica, che sono spesso illustrati tramite le isoterme e le isobare collegando i punti che hanno rispettivamente la stessa temperatura o pressione.
Sotto questo punto di vista un campo può essere più semplicemente definito come l'insieme dei valori che una data grandezza fisica, scalare o vettoriale, assume nello spazio. Il teorema di Helmholtz è fondamentale per la comprensione dei campi in quanto fornisce una classe di parametri che li determinano univocamente.
Nel caso di un campo di forze, come il campo gravitazionale e il campo elettrico, il concetto di campo è strettamente correlato con quello di interazione a distanza.
La teoria dei campi descrive la dinamica di un campo, cioè la sua variazione nel tempo. Di solito questa viene descritta da una lagrangiana o una hamiltoniana di campo, trattate come un sistema con infiniti gradi di libertà. La teoria risultante può essere classica o quantistica. In fisica moderna i campi più studiati sono quelli relativi alle forze fondamentali.
La teoria della relatività generale afferma l'impossibilità di fenomeni simultanei (sempre distanziati a meno di un infinitesimo di spazio-tempo) e sostituisce con il concetto di campo le forze simultanee agenti a distanza utilizzate nella fisica newtoniana.
Fenomeni simultanei anche a grandi distanze sono invece possibili per l'entanglement quantistico, che negli esperimenti è misurato e riproducibile solo per singole particelle e che, in accordo con il teorema di non-comunicazione, non è sfruttabile a livello macroscopico per la trasmissione di dati.
Ci sono numerosi esempi di campi classici. La dinamica di questi campi è di solito specificata dalla densità di Lagrangiana in termini di componenti del campo; la dinamica può essere ottenuta usando il principio d'azione.
Michael Faraday per primo capì l'importanza del campo come oggetto fisico, durante la sua ricerca sul magnetismo. Egli capì che il campo elettrico e magnetico non erano solo campi di forza che influenzavano il moto delle particelle, ma avevano un'interpretazione fisica reale, perché essi possono trasportare energia.
Queste idee portarono alla creazione, da parte di James Clerk Maxwell, della prima teoria unificata dei campi con l'introduzione delle equazioni per il campo elettromagnetico. La versione moderna di queste equazioni sono chiamate equazioni di Maxwell. Alla fine del diciannovesimo secolo il campo elettromagnetico fu capito come una collezione di due campi vettoriali nello spazio. Oggi, questo è raggruppato in un singolo campo tensoriale del secondo ordine nello spaziotempo.
La teoria della gravità di Einstein, chiamata relatività generale, è un altro esempio di una teoria di campo. Qui il campo principale è un tensore metrico, un campo tensoriale del secondo ordine nello spaziotempo.
Si pensa attualmente che la meccanica quantistica sia alla base di tutti i fenomeni fisici; cosicché anche la teoria classica dei campi dovrebbe essere riformulata in modo da tenerne conto.
Ciò è stato fatto con la cosiddetta seconda quantizzazione che rende la funzione d'onda della meccanica quantistica (scalare, in quella sede) un operatore.
Tale meccanismo è stato applicato dapprima, con successo, al campo elettromagnetico; la corrispondente teoria di campo quantizzata è nota come elettrodinamica quantistica o QED.
Successivamente si sono ottenute le teorie di campo quantizzato per due delle altre forze fondamentali: la forza forte descritta dalla cromodinamica quantistica (QCD) e quella debole descritta dalla teoria elettrodebole (che mostra come in realtà la forza elettromagnetica e quella debole abbiano un'origine comune).
Queste tre teorie possono esse derivate come casi particolari del cosiddetto modello standard della fisica delle particelle.
A tutt'oggi non è stata invece trovata una soddisfacente teoria di campo quantizzato per il campo gravitazionale.
Le teorie di campo classico rimangono comunque utili per lo studio di fenomeni in cui le proprietà quantistiche della materia non siano rilevanti; ad esempio lo studio dell'elasticità dei materiali o la fluidodinamica.
I campi classici, come quello elettromagnetico, sono usualmente funzioni derivabili a tutti gli ordini, e in ogni caso almeno due volte. Al contrario le funzioni generalizzate non sono continue.
Il metodo dei campi casuali continui deve essere usato per uno studio dei campi classici a temperature finite, poiché un campo classico variabile con la temperatura è ovunque non differenziabile.
I campi casuali sono insiemi di variabili casuali munite di indice; un campo casuale continuo è un campo casuale i cui indici sono funzioni continue. In particolare, conviene talvolta considerare i campi casuali che hanno come insieme degli indici uno spazio di Schwartz di funzioni, nel qual caso il campo casuale continuo è una distribuzione temperata.
In modo (molto) rude possiamo pensare ai campi casuali continui come a funzioni ordinarie che valgano formula_1 quasi ovunque, e tali che quando si effettui una media pesata di tutti questi infiniti in una regione finita, si ottenga un risultato finito, e che può essere ben definito. Possiamo definire un campo casuale continuo in modo più preciso come una mappa lineare dallo spazio delle funzioni in quello dei numeri reali.
Un modo conveniente per classificare i campi (classici e quantistici) sono le simmetrie che possiedono. Le simmetrie sono di due tipi:
I campi sono spesso classificati per il loro comportamento rispetto a trasformazioni dello spaziotempo:
Nella relatività vale una classificazione simile, ad eccezione del fatto che i campi scalari, vettoriali e tensoriali sono definiti rispetto alla simmetria di Poincaré dello spaziotempo.
I campi possono avere simmetrie interne oltre a quelle spaziotemporali.


In fisica, in primo luogo in cinematica, l'accelerazione è una grandezza vettoriale che rappresenta la variazione della velocità nell'unità di tempo. In termini differenziali, è pari alla derivata rispetto al tempo del vettore velocità.
Nel SI l'unità di misura del modulo dell'accelerazione è il m/s², ovvero metro al secondo quadrato.
Quando non specificato, per "accelerazione" si intende l'"accelerazione traslazionale", sottintendendo che lo spostamento a cui si fa riferimento è una traslazione nello spazio. Il termine, "accelerazione", infatti, può essere utilizzato con un significato più generale per indicare la variazione di una velocità in funzione del tempo. Ad esempio, nella descrizione del moto rotatorio, per definire l"'accelerazione di rotazione" si usano l'accelerazione angolare e l'accelerazione areolare.
Le derivate temporali della velocità di ordine superiore al primo vengono studiate nel moto vario.
L'accelerazione di un punto materiale è la variazione della sua velocità rispetto al tempo. Il modo più immediato per quantificare tale variazione consiste nel definire l"'accelerazione media" formula_1 come il rapporto tra la variazione di velocità formula_2 al tempo finale formula_3 e iniziale formula_4 posseduta dall'oggetto, e l'intervallo finito di tempo formula_5 di durata del moto:
Un modo preciso per caratterizzare l'accelerazione si ottiene considerando la velocità in ogni istante di tempo, ovvero esprimendo la velocità in funzione del tempo e, ove la funzione è continua, calcolandone la derivata. Si definisce in questo modo l"'accelerazione istantanea":
Si tratta del limite per l'intervallo di tempo tendente a zero del rapporto incrementale che definisce l'accelerazione media:
L'accelerazione media coincide con l'accelerazione istantanea quando quest'ultima è costante nel tempo (formula_9), e si parla in tal caso di "moto uniformemente accelerato".
Nel moto del punto materiale su di una curva, il vettore accelerazione in un punto è orientato verso la concavità della traiettoria in quel punto. Può succedere che durante il moto il vettore velocità cambi soltanto in direzione e verso, restando costante in modulo, come ad esempio nel caso di moto circolare uniforme. La componente del vettore accelerazione nella direzione del moto è in questo caso nulla, e il vettore è quindi radiale (perpendicolare alla traiettoria). Data una traiettoria curvilinea arbitraria e continua, per individuare la direzione ed il verso dell'accelerazione di un oggetto che la percorre si utilizza il metodo del cerchio osculatore.
In un contesto più formale, sia formula_10 la lunghezza di un arco della curva percorsa dall'oggetto in moto. Se formula_11 è lo spostamento dell'oggetto nel tempo formula_12, la norma della velocità istantanea nel punto formula_13 è la derivata dello spostamento rispetto al tempo:
con il vettore velocità che è quindi scritto come:
dove formula_16 è il vettore unitario tangente alla curva. Il modulo dell'accelerazione istantanea è allora:
ed il vettore accelerazione è dato da:
dove formula_19 è la curvatura e si sono evidenziate la componente in direzione del moto e la componente in direzione perpendicolare, con formula_20 vettore unitario normale alla curva. In generale è possibile introdurre una terna di versori ortonormali, detta triedro di Frenet, costituita ortogonalizzando i vettori velocità, accelerazione ed un terzo vettore, generato dal prodotto vettoriale dei primi due. I versori così generati prendono il nome di "versore tangente", "normale" e "binormale". L'accelerazione giace sempre, per costruzione, nel piano individuato dal versore tangente e da quello normale. La geometria differenziale sfrutta il triedro di Frenet per permettere di calcolare in ogni punto la curvatura e la torsione della traiettoria.
In uno spazio a tre dimensioni si può scrivere l'accelerazione come:
dove formula_22, formula_23 e formula_24 sono i versori del sistema di riferimento cartesiano utilizzato. Poiché, nella sua definizione generale, l'accelerazione è il vettore che quantifica la variazione di direzione e modulo della velocità, data una traiettoria qualsiasi, è sempre possibile scomporre l'accelerazione del corpo in una componente ad essa tangente, detta "accelerazione tangenziale", e in una componente perpendicolare, detta "accelerazione normale":
L'accelerazione tangenziale descrive il cambiamento in norma della velocità, mentre quella normale è associata alla variazione della direzione della velocità.
Sapendo che la velocità lineare formula_26, che è sempre tangente alla traiettoria, è legata alla velocità angolare formula_27 dalla relazione:
dove formula_29 denota il prodotto vettoriale, formula_27 la velocità angolare e formula_31 il raggio di curvatura della traiettoria nel punto considerato. Pertanto formula_26 è ortogonale al piano formato da formula_27 e da formula_31, e viceversa, il vettore formula_27 è ortogonale al piano formato da formula_26 e da formula_31, cioè dal piano sul quale avviene il moto.
Data una traiettoria formula_38 giacente in un piano, e tracciato per un punto formula_39 in moto il cerchio osculatore, ovvero la circonferenza tangente in ogni istante alla traiettoria in "formula_39", la quale approssima al meglio la traiettoria in quel punto, si trova che:
dove formula_42 è l'accelerazione angolare. Considerando la derivata del vettore velocità formula_43, si ha:
Eguagliando quanto ottenuto dalle equazioni precedenti e identificando i termini si ha che le componenti sono:
In due dimensioni il versore normale è univocamente determinato, mentre in tre dimensioni bisogna specificarlo; infatti, esso risulta parallelo al raggio del cerchio osculatore.
Da quanto mostrato segue inoltre che se la componente normale dell'accelerazione è nulla, allora il moto si svolge su una retta; infatti, la direzione del vettore velocità è costante, e dato che la velocità è sempre tangente alla traiettoria, quest'ultima è rettilinea. Nel caso in cui l'accelerazione tangenziale sia costante si ha un moto rettilineo uniformemente accelerato. Se, invece, anche la componente tangenziale dell'accelerazione sia nulla, il vettore velocità è allora costante e si ha un moto rettilineo uniforme.
Viceversa, se a essere costante è la componente normale la traiettoria risulterà circolare. In questo caso, essa prenderà il nome di "accelerazione centripeta" perché punta istante per istante verso il centro della circonferenza. Se l'accelerazione angolare, quindi anche l'accelerazione tangenziale, è costante, si ha un moto circolare uniformemente accelerato. Invece, nel caso di moto circolare uniforme l'accelerazione angolare è nulla, per cui l'accelerazione si riduce alla sola componente centripeta, pertanto la velocità angolare sarà costante nel tempo. 
Un osservatore solidale a un sistema di riferimento non inerziale sperimenterà delle accelerazioni apparenti. Per il teorema delle accelerazioni di Coriolis, le accelerazioni apparenti dall'osservatore sono due: la prima detta "accelerazione centrifuga", avente modulo e direzione identici all'accelerazione centripeta, ma con verso opposto, e la seconda che prende il nome di "accelerazione complementare", o "accelerazione di Coriolis", il cui valore è: 
L'accelerazione media si rappresenta con il grafico velocità-tempo, dal quale si comprende come l'accelerazione media sia uguale alla pendenza della retta che congiunge i punti iniziale e finale del grafico velocità-tempo in cui andiamo a calcolare la media.
L'accelerazione istantanea è la tangente alla curva velocità-tempo nel punto fissato, così come è il significato geometrico della derivata prima. Essa è quindi uguale alla pendenza della retta tangente alla curva nel punto in cui viene calcolata.
Attraverso lo studio della curva nel grafico velocità-tempo si possono ricavare ulteriori importanti informazioni: dall'angolo che la tangente forma con l'asse del tempo si evince che l'accelerazione è negativa se la tangente forma un angolo superiore ai 90 gradi con l'asse delle ascisse, è positiva se rimane sotto i 90 gradi mentre è nulla se la tangente è parallela all'asse. Inoltre, si noti come a valori positivi della curva accelerazione-tempo corrispondano valori crescenti della curva velocità-tempo. Poiché l'accelerazione è la derivata seconda della posizione, si può anche ricavare l'andamento della relazione accelerazione-tempo anche studiando la concavità del grafico.
Se gli formula_47 punti materiali di un sistema sono in movimento, solitamente, la posizione del centro di massa varia. Pertanto, nell'ipotesi in cui la massa totale formula_48 sia costante, l'accelerazione del centro di massa sarà:
dove formula_50 la quantità di moto totale del sistema e formula_51 è la sommatoria delle forze esterne.
