
In fisica con il termine onda si indica una perturbazione che nasce da una sorgente e si propaga nel tempo e nello spazio, trasportando energia o quantità di moto senza comportare un associato spostamento della materia.
Le onde possono propagarsi sia attraverso la materia, sia nel vuoto. Ad esempio la radiazione elettromagnetica e la radiazione gravitazionale possono esistere e propagarsi anche in assenza di materia, mentre altri fenomeni ondulatori esistono unicamente in un mezzo fisico, che deformandosi produce le forze elastiche di ritorno in grado di permettere all'onda di propagarsi.
Dal punto di vista matematico un'onda è una soluzione dell'equazione delle onde (o di altre equazioni più complicate), la cui espressione varia a seconda del tipo di perturbazione.
Non è semplice dare una definizione autonoma e precisa del termine "onda", sebbene questo termine sia comunemente molto usato in contesti molto differenti fra loro. La definizione delle caratteristiche necessarie e sufficienti che identificano il fenomeno ondulatorio è flessibile. Intuitivamente il concetto di onda è qualificato come il trasporto di una perturbazione nello spazio senza comportare un trasporto netto della materia del mezzo, qualora presente, che occupa lo spazio stesso. I fisici Albert Einstein e Leopold Infeld hanno cercato di rispondere alla domanda "Cos'è un'onda?" unendo questo fatto all'esperienza comune:
Una vibrazione può essere definita come il moto avanti e indietro intorno a un punto definito "x", tuttavia una vibrazione non è necessariamente un'onda. Infatti in un'onda sulla superficie dell'acqua, oppure lungo una stringa, l'energia vibrazionale si muove dalla sorgente sotto forma di perturbazione senza un moto collettivo delle particelle dell'acqua o della corda in cui si propaga. Questa rappresentazione diventa però problematica quando si ha a che fare con le onde stazionarie (per esempio le onde sulle corde di una chitarra), dove l'energia in tutte le direzioni è identica e non viene trasportata lungo lo spazio, perciò talvolta nella definizione di onda si cita solamente la propagazione di un disturbo senza richiedere il trasporto di energia o quantità di moto. Per le onde elettromagnetiche (ad esempio la luce) bisogna considerare ulteriormente che il concetto di mezzo non può essere applicato, in quanto queste si propagano anche nello spazio vuoto.
Per queste ragioni la teoria delle onde rappresenta una particolare branca della fisica teorica riguardante lo studio delle onde indipendentemente dalla loro origine fisica. Questa peculiarità deriva dal fatto che la teoria matematica delle onde si può applicare per descrivere fenomeni ondulatori in contesti anche molto differenti. Per esempio l'acustica si distingue dall'ottica per il fatto che la prima si occupa del trasporto vibrazionale di energia meccanica, mentre la seconda di perturbazioni del campo elettrico e magnetico. Concetti come massa, inerzia, quantità di moto, elasticità diventano quindi cruciali per descrivere i processi ondulatori acustici, al contrario dell'ottica. La struttura particolare del mezzo introduce inoltre alcuni fattori di cui bisogna tenere conto, come ad esempio i fenomeni vorticosi per l'aria e l'acqua o la complessa struttura cristallina nel caso di alcuni solidi.
Altre proprietà tuttavia possono essere usate per descrivere indifferentemente tutti i tipi di onde. Per esempio, basandosi sull'origine meccanica delle onde acustiche, ci può essere un movimento nello spazio e nel tempo di una perturbazione se e solo se il mezzo non è né infinitamente flessibile né infinitamente rigido. Se tutte le parti che compongono il mezzo si dispongono in modo rigido l'una rispetto all'altra, non sarà possibile alcun movimento infinitesimo e quindi non ci sarà alcuna onda (ad esempio l'idealizzazione del corpo rigido). Al contrario, se tutte le parti sono indipendenti l'una dall'altra senza alcun tipo di interazione reciproca, non vi sarà alcuna onda in quanto non ci sarà trasmissione di energia fra le varie parti componenti del corpo. Nonostante queste considerazioni non si possano applicare alle onde che non si propagano in alcun senso, si possono comunque trovare caratteristiche comuni a tutte le onde: ad esempio, in un'onda la fase è differente per punti adiacenti nello spazio, perché la vibrazione raggiunge questi punti in tempi differenti.
Similmente, alcuni fenomeni che si sono scoperti in determinati contesti, sono poi stati generalizzati ad altri fenomeni ondulatori. L'interferenza è stata studiata da Young nel caso particolare delle onde luminose, tuttavia è stata recentemente analizzata in alcuni problemi riguardanti le proprietà atomiche quantistiche dell'elettrone.
Un'onda può essere caratterizzata da una singola oscillazione oppure da un "treno" o successione di onde aventi caratteristiche simili, come ad esempio la periodicità intrinseca. In generale le onde sono caratterizzate da una "cresta" (punto alto), da un "ventre" (punto più basso) e da fronti d'onda di propagazione nel caso di treni di onde e sono in prima istanza classificabili come longitudinali o trasversali. Nelle onde trasversali la vibrazione è perpendicolare alla direzione di propagazione (ad esempio le onde su una corda, le parti infinitesime si muovono in alto e in basso in verticale, mentre l'onda si propaga orizzontalmente).
Le onde longitudinali sono invece caratterizzate da una vibrazione concorde con la direzione di propagazione dell'onda (ad esempio le onde sonore, le particelle dell'aria si muovono infinitesimamente nella stessa direzione di propagazione del suono). Esistono onde che sono sia longitudinali che trasversali e sono dette "onde miste" (ad esempio le onde sulla superficie del mare). Parametri di riferimento di un'onda sono l'ampiezza, la lunghezza d'onda, il periodo, la frequenza, la fase, la velocità di propagazione, l'energia e la potenza ad essa associata. Per quanto riguarda la velocità di un'onda sono definibili la velocità di fase e la velocità di gruppo.
Il mezzo in cui le onde viaggiano può essere classificato a seconda delle seguenti proprietà:
Durante la propagazione nel mezzo l'onda è soggetta ad attenuazione da parte del mezzo fino all'esaurimento dell'energia trasportata.
Tutte le onde hanno un comportamento comune in situazioni standard e possono subire i seguenti effetti o fenomeni:
Un'onda è polarizzata se può oscillare solo in una direzione. La polarizzazione di un'onda trasversale descrive la direzione di oscillazione, nel piano perpendicolare alla direzione di moto. Onde longitudinali come quelle sonore non hanno polarizzazione, in quanto per queste onde la direzione di oscillazione è lungo la direzione di moto. Un'onda può essere polarizzata con un filtro polarizzatore.
A seconda delle caratteristiche, le onde si possono classificare in molti modi.
Riguardo al tipo di mezzo:
Riguardo alle dimensioni del mezzo in cui si propagano:
Riguardo alla direzione del moto di oscillazione rispetto a quella di propagazione:
Riguardo alla propagazione:
A seconda del mezzo in cui si propagano e della caratteristica fisica che usiamo per rappresentarle:
Alcune onde caratteristiche sono:
I fenomeni ondulatori possono essere matematicamente descritti dall'equazione delle onde, almeno in prima approssimazione. Questa semplice equazione fornisce utili strumenti di analisi di tutte le onde e spesso, come nel caso di una stringa vibrante, le sue soluzioni rappresentano una prima approssimazione valida per piccole perturbazioni.
L'equazione delle onde per una funzione scalare formula_1 è un'equazione differenziale alle derivate parziali iperbolica della forma:
In una dimensione questa equazione si riduce a:
la cui soluzione generale si ottiene definendo le variabili:
e riscrivendo l'equazione:
la cui soluzione è dunque:
ovvero:
Tale soluzione di basa sul principio di Duhamel.
Una funzione formula_8 rappresenta quindi un'onda dotata di ampiezza costante che si propaga lungo l'asse formula_9 di un sistema di riferimento cartesiano se la dipendenza dallo spazio formula_9 e dal tempo formula_11 è data dalla sola combinazione formula_12:
dove formula_14 è una costante positiva. A seconda che l'argomento sia formula_15 o formula_16, l'onda si dice rispettivamente "regressiva" o "progressiva".
Un'onda progressiva di velocità formula_14 dipende dall'argomento formula_12 e trasla lungo spazio e nel tempo a velocità costante, senza cambiare la sua forma. Se si considera infatti la stessa perturbazione al tempo formula_19, si ha, per la definizione di onda:
Dato che l'onda è funzione solo di formula_21, allora la traslazione formula_22 può essere vista come una semplice traslazione spaziale di formula_23:
e quindi l'onda ad un istante successivo formula_25 non è altro che la stessa onda dell'istante formula_11, con la medesima forma, ma solo traslata di formula_27.
Si definisce fronte d'onda il luogo dei punti nello spazio in cui formula_21 assume il medesimo valore ad un determinato istante temporale.
Se formula_29 è periodica nel suo argomento allora descrive un'onda periodica. La periodicità dell'onda è identificata dal periodo formula_30, che rappresenta il tempo necessario affinché un ciclo completo di oscillazione venga completato. La frequenza formula_31 dell'onda è inoltre il numero di periodi per unità di tempo; se l'unità di tempo è il secondo la frequenza si misura in hertz.
Periodo e frequenza sono legate dalla relazione:
Ad un periodo temporale corrisponde un periodo spaziale detto lunghezza d'onda formula_33, e vale la relazione:
Nel caso di un'onda periodica, la rappresentazione in serie di Fourier permette di descrivere l'onda come somma di termini sinusoidali del tipo:
Equivalentemente, usando la formula di Eulero, questi termini possono essere rappresentati come la parte reale di una funzione immaginaria:
In queste formule formula_37 è il vettore d'onda, che identifica la direzione di propagazione dell'onda al posto della velocità di propagazione. Il suo modulo è chiamato "pulsazione spaziale", ed è legato alla lunghezza d'onda dalla relazione:
Lo scalare formula_39 è l'ampiezza dell'onda, e rappresenta il massimo valore della grandezza rappresentativa dell'onda in un periodo. Il termine formula_40 rappresenta la fase iniziale dell'onda.
Un'onda può essere descritta per mezzo della sua frequenza angolare, che è correlata alla frequenza formula_31 secondo la relazione:
In certi casi le onde presentano caratteristiche, come la dispersione (la velocità di propagazione dipende dalla frequenza) o la non linearità (il comportamento dell'onda dipende dalla sua ampiezza) che non possono essere descritte dalle soluzioni dell'equazione delle onde. Per questo motivo tali onde devono essere descritte da equazioni più complicate, come l'equazione di Sine-Gordon (che nel caso classico può descrivere la propagazione di un'onda di torsione in una stringa elastica, a cui è agganciato un sistema di pendoli che oscillano nel piano trasverso alla stringa), l'equazione di Schrödinger non lineare, l'equazione di Korteweg-de Vries o quella di Boussinesq. Tali equazioni permettono di descrivere fenomeni non previsti dall'equazione delle onde di D'Alembert, come i solitoni, le onde cnoidali o la turbolenza d'onda. Fenomeni di questo tipo si osservano in un gran numero di branche della fisica, come la fluidodinamica, la fisica dei plasmi, l'ottica non lineare, i condensati di Bose-Einstein o la relatività generale, anche se nei casi più semplici ci si può spesso ricondurre all'approssimazione lineare fornita dall'equazione delle onde di D'Alembert. 
I fenomeni ondulatori rappresentano una classe di fenomeni naturali estremamente importante in fisica; alcuni esempi di onde sono: le onde elastiche, le onde di pressione (onde acustiche e onde d'urto), le onde marine, le onde elettromagnetiche (la luce), le onde gravitazionali, le onde sismiche. In prima approssimazione, secondo il modello concettuale della fisica classica, si può affermare che in natura, al di là delle nozioni di spazio, tempo, energia e carica elettrica, tutto ciò che non è materia (cioè dotato di massa) è un'onda, cioè "energia in propagazione". La differenza sostanziale tra onda e corpuscolo materiale è che mentre il corpuscolo in un certo istante temporale è sempre "localizzato" in un preciso volume dello spazio, l'onda appare invece più "delocalizzata" nello spazio.
È solo con la fisica moderna che si raggiunge un punto di contatto nella realtà fisica tra le due diversissime classi di fenomeni, ondulatori e corpuscolari: agli inizi del XX secolo la meccanica quantistica, attraverso il principio di complementarità, sancisce infatti il cosiddetto dualismo onda-particella nei fenomeni fisici che avvengono a scala atomica e subatomica, secondo il quale le stesse particelle microscopiche dotate di massa propria, oltre alle proprietà classiche quali energia meccanica e quantità di moto, assumono proprietà ondulatorie nell'interpretazione di determinati contesti e fenomeni.
Un caso particolare di onda, descrivibile matematicamente a partire dall'equazione delle onde imponendo opportune condizioni al contorno, è l'onda stazionaria cioè un'onda che rimane in una posizione spaziale costante fissa nel tempo senza propagarsi oscillando tra punti fissi detti nodi. Questo fenomeno può accadere per esempio quando il mezzo si muove in direzione opposta all'onda oppure come risultato di una interferenza fra due onde, di eguale ampiezza e frequenza, che viaggiano in opposte direzioni.
In un'onda stazionaria vi sono alcuni punti, detti nodi, che restano fissi e non oscillano. Questo fatto determina a stretto rigore per questo tipo di perturbazione delle caratteristiche intrinsecamente differenti da una "onda" nel senso stretto del termine. In quanto tale, un'onda stazionaria può permettere per esempio di immagazzinare energia in una regione spaziale ma non rappresenta quindi alcun trasporto energetico netto fra differenti punti dello spazio.
La sovrapposizione di due onde che si muovono in direzione opposte con uguale ampiezza e frequenza, ma fase opposta è un fenomeno tipico indotto dalla riflessione di una singola onda contro un ostacolo fisso, esattamente quanto accade per esempio in una onda elettromagnetica che incide contro una lastra di materiale conduttore. Questo meccanismo è usato per generare onde stazionarie ed è alla base del funzionamento di alcuni strumenti musicali a corda, a fiato
e delle cavità risonanti.
Le onde che possono svilupparsi lungo una stringa sono di tipo trasversale e soddisfano l'equazione delle onde di d'Alembert solamente se l'ampiezza della perturbazione che genera il fenomeno ondulatorio è piccola. In questo limite si ricava che la velocità di propagazione è pari a:
dove formula_30 è la tensione a cui è sottoposta la stringa mentre formula_45 è la sua densità lineare o massa lineica, cioè la massa per unità di lunghezza. Un'onda su una stringa può essere riflessa in seguito all'urto contro un estremo fisso oppure essere parzialmente trasmessa e parzialmente riflessa in seguito all'incontro di una giunzione fra due stringhe di differente densità lineare formula_45. Questo tipo di onde, insieme al fenomeno delle onde stazionarie, sono alla base del funzionamento di molti strumenti a corda.
Un'onda elettromagnetica è un fenomeno ondulatorio dato dalla propagazione in fase del campo elettrico e del campo magnetico, oscillanti in piani tra loro ortogonali e ortogonali alla direzione di propagazione. Tale fenomeno è descritto matematicamente come soluzione dell'equazione delle onde, a sua volta ottenuta a partire dalle equazioni di Maxwell secondo la teoria dell'elettrodinamica classica. Questo tipo di radiazione viaggia nella direzione sempre perpendicolare alle direzioni di oscillazione dei campi, ed è quindi un'onda trasversale. Nel diciannovesimo secolo James Clerk Maxwell ha scoperto infatti che i campi elettrici e magnetici soddisfano l'equazione delle onde, con una velocità di propagazione vuoto pari alla velocità della luce, come determinato sperimentalmente da Heinrich Hertz. Le onde elettromagnetiche, come ad esempio la luce visibile, hanno caratteristiche di propagazione nei mezzi o in presenza di ostacoli dipendenti dalla frequenza (e quindi dalla lunghezza d'onda), alcuni materiali sono trasparenti al passaggio della radiazione elettromagnetica sulla lunghezza d'onda del visibile (come alcuni tipi di vetro), mentre le onde radio sono difficilmente ostacolate nella propagazione da oggetti di piccola dimensione, come anche piccoli edifici, infine la radiazione elettromagnetica a lunghezza d'onda inferiore a quella degli ultravioletti può essere dannosa per la salute dell'uomo. Un caso particolare di onda elettromagnetica è l'onda monocromatica.
Le onde gravitazionali sono distorsioni della curvatura dello spazio tempo che viaggiano come un'onda, propagandosi da una sorgente, come ad esempio un corpo massivo. La loro esistenza è stata prevista da Albert Einstein nel 1916 in base alla relatività generale e dovrebbero teoricamente trasportare energia sotto forma di radiazione gravitazionale. Le principali possibili sorgenti dovrebbero essere i sistemi binari composti da pulsar o buchi neri. L'11 febbraio 2016 il team del rivelatore Advanced LIGO ha annunciato di aver rilevato il 14 settembre 2015 onde gravitazionali causate dalla collisione di due buchi neri.
Le onde gravitazionali sono in generale non lineari e interagiscono con la materia e l'energia. Tuttavia questo fenomeno può essere lineare quando le onde sono molto lontane dalle sorgenti e per piccole perturbazioni dello spazio tempo.
Le onde hanno applicazioni diffusissime nella vita comune e in molti campi di studio tecnico-scientifico: dallo studio delle proprietà delle onde elettromagnetiche emesse da un corpo è possibile risalire alle caratteristiche chimico-fisiche del corpo (spettroscopia); le stesse onde elettromagnetiche (ad es. le onde portanti modulate oppure onda quadra) sono anche il mezzo utilizzato per veicolare informazione all'interno dei sistemi di telecomunicazioni attraverso segnali (es. onda radio nelle radiocomunicazioni); inoltre molte tecniche di diagnostica medica, prospezione geofisica, telerilevamento, applicazioni radar ecc., utilizzano particolari onde elettromagnetiche o acustiche.


In fisica, il campo elettrico è un campo di forze generato nello spazio dalla presenza di una o più cariche elettriche o di un campo magnetico variabile nel tempo. Insieme al campo magnetico esso costituisce il campo elettromagnetico, responsabile dell'interazione elettromagnetica.
Introdotto da Michael Faraday, il campo elettrico si propaga alla velocità della luce ed esercita una forza su ogni oggetto elettricamente carico. Nel sistema internazionale di unità di misura si misura in newton su coulomb (N/C), o in volt su metro (V/m). Se è generato dalla sola distribuzione stazionaria di carica spaziale, il campo elettrico è detto elettrostatico ed è conservativo.
Sperimentalmente si verifica l'attrazione o la repulsione tra corpi dotati di carica elettrica, corrispondente a due stati di elettrizzazione della materia. La carica si definisce positiva quando vi è una carenza di elettroni nell'oggetto, negativa in presenza di un eccesso. Corpi elettrizzati entrambi positivamente o entrambi negativamente si respingono, mentre corpi elettrizzati in modo opposto si attraggono.
Per misurare l'elettrizzazione di un corpo si usa uno strumento chiamato elettroscopio a foglie, costituito da un'ampolla di vetro nella quale è inserita un'asta metallica la quale, all'interno dell'ampolla, ha due linguette metalliche molto sottili, dette "foglie", mentre all'esterno essa può essere messa a contatto con un corpo carico. Mettendo a contatto con l'asta un corpo carico, le linguette si allontanano l'una dall'altra in proporzione all'elettrizzazione del corpo che è stato messo a contatto.
A partire da tali evidenze sperimentali, nella seconda metà del diciottesimo secolo Charles Augustin de Coulomb formulò la legge di Coulomb, che quantifica la forza elettrica attrattiva o repulsiva che due corpi puntiformi carichi elettricamente si scambiano a distanza. A partire da tale legge si può affermare che un corpo carico elettricamente produce nello spazio circostante un campo tale per cui, se si introduce una carica elettrica, questa risente dell'effetto di una forza, detta forza di Coulomb, direttamente proporzionale al prodotto delle due cariche e inversamente proporzionale al quadrato della loro distanza.
Nel vuoto, il campo elettrico formula_1 in un punto dello spazio è definito come la forza per unità di carica elettrica positiva alla quale è soggetta una carica puntiforme formula_2, detta carica "di prova", se posta nel punto:
Il vettore campo elettrico formula_1 in un punto è quindi definito come il rapporto tra la forza elettrica agente sulla carica di prova ed il valore della carica stessa, purché la carica di prova sia sufficientemente piccola da provocare una perturbazione trascurabile sull'eventuale distribuzione di carica che genera il campo. Il campo è dunque indipendente dal valore della carica di prova usata, essendone indipendente il rapporto tra la forza e la carica stessa, e questo mostra che il campo elettrico è una proprietà caratteristica dello spazio. Dalla definizione si ricava che l'unità di misura del campo elettrico è formula_5, che equivale a formula_6.
Dalla legge di Coulomb segue che una carica formula_7 posta in formula_8 genera un campo elettrico che in un punto qualsiasi formula_9 è definito dalla seguente espressione:
dove formula_11 è la costante dielettrica del vuoto.
Per un numero "n" di cariche puntiformi formula_12 distribuite nello spazio il campo elettrostatico nella posizione formula_9 è dato da:
In generale, per una distribuzione continua di carica si ha:
dove formula_16 rappresenta la densità di carica nello spazio:
e formula_18 rappresenta la regione di spazio occupata dalla distribuzione di carica. Il campo elettrico si può esprimere come gradiente di un potenziale scalare, il potenziale elettrico:
Essendo il potenziale elettrico un campo scalare, il campo elettrico è conservativo.
Il campo elettrico è un campo vettoriale rappresentato attraverso linee di campo: una carica puntiforme positiva produce le linee di campo radiali uscenti da essa, ed è definita sorgente delle linee di forza, mentre per una carica puntiforme negativa le linee di campo sono radiali ed entranti verso la carica, che è così definita pozzo di linee di forza. Le linee di livello a potenziale elettrico costante sono dette superfici equipotenziali, e sono perpendicolari alle linee di flusso del campo elettrico.
Il fatto che una superficie chiusa che racchiuda la sorgente del campo sia attraversata da tutte le linee di forza generate dalla sorgente, si formalizza attraverso il teorema del flusso, anche detto teorema di Gauss, che definisce una proprietà matematica generale per il campo vettoriale elettrico. Nel vuoto il teorema afferma che il flusso del campo elettrico attraverso una superficie chiusa contenente una distribuzione di carica caratterizzata dalla densità di carica volumetrica formula_20 è pari alla carica totale contenuta nel volume racchiuso dalla superficie diviso per la costante dielettrica del vuoto:
Applicando il teorema della divergenza alla prima relazione ed uguagliando gli integrandi si ottiene:
Tale equazione è la prima delle equazioni di Maxwell, e costituisce la forma locale del teorema di Gauss per il campo elettrico.
Il campo elettrostatico viene generato da una distribuzione di carica indipendente dal tempo. Condizione necessaria e sufficiente perché un campo vettoriale sia conservativo in un insieme semplicemente connesso, ad esempio, un insieme stellato o convesso, è che la circuitazione del campo, cioè l'integrale del campo lungo una linea chiusa, sia nulla:
Questo avviene solamente in condizioni stazionarie.
In maniera equivalente, il campo elettrostatico è conservativo dal momento che esiste una funzione scalare, il potenziale elettrico, tale che l'integrale per andare da un punto A ad un punto B non dipenda dal cammino percorso ma solo dal valore della funzione agli estremi:
Dal teorema della divergenza e dal teorema del flusso si ricava la prima equazione di Maxwell nel vuoto:
Per la conservatività del campo elettrostatico è possibile enunciare la terza equazione di Maxwell nel vuoto nelle forme:
Combinando la prima con la seconda si ottiene l'equazione di Poisson:
dove con formula_28 si indica l'operatore differenziale laplaciano. La soluzione dell'equazione di Poisson è unica se sono date le condizioni al contorno. In particolare, un potenziale che soddisfi l'equazione di Poisson e che sia nullo a distanza infinita dalle sorgenti del campo coincide necessariamente con il potenziale elettrico, dato dall'espressione:
In assenza di cariche sorgenti del campo l'equazione diventa omogenea, e prende il nome di equazione di Laplace:
dalla quale risulta che in assenza di cariche il potenziale è una funzione armonica.
Risolvere l'equazione di Poisson in regioni di spazio limitate significa risolvere il problema generale dell'elettrostatica per opportune condizioni al contorno, come l'assenza o la presenza di conduttori e cariche elettriche localizzate. In particolare se ne distinguono tre tipi:
In questo caso non sono presenti cariche localizzate, ed il campo elettrostatico è generato da un sistema di conduttori di geometria nota e potenziale noto. In questo caso vale l'equazione di Laplace, dove le condizioni al contorno sono che il potenziale sia nullo all'infinito e valga formula_31 sulla superficie dei conduttori. Una volta ricavati i potenziali per ogni punto nello spazio risolvendo l'equazione di Laplace, si ricava il campo elettrostatico, ed è possibile determinare la densità di carica superficiali formula_32 sui conduttori mediante il teorema di Coulomb. Infine, si può trovare la carica netta totale su tutti i conduttori e i coefficienti di capacità su questi tramite il seguente sistema, che consente di ricavare i coefficienti.
In questo caso il campo elettrostatico è dato da un sistema di conduttori di geometria nota di cui sono note le cariche su ognuno. Si danno quindi dei potenziali arbitrari sui conduttori formula_34 e si risolve il "problema di Dirichlet" come sopra. Dal momento che le cariche sono note ed i coefficienti di capacità sono indipendenti dalle cariche e dai potenziali, essendo dipendenti solo dal loro rapporto, dal sistema del caso precedente si ricavano i reali potenziali formula_35.
Un esempio può essere quello di avere una distribuzione di carica formula_20 nota nello spazio ed un sistema di conduttori di cui si conoscono solo le cariche su ognuno. Il problema è quello di risolvere l'equazione di Poisson, e dal momento che non si conoscono i potenziali il problema diventa un sistema di equazioni del tipo:
dove i numeri formula_38 sono i coefficienti della matrice di potenziale. Per calcolare i potenziali si utilizza poi il metodo dei potenziali di prova.
L'elettrostatica e la magnetostatica rappresentano due casi particolari di una teoria più generale, l'elettrodinamica, dal momento che trattano i casi in cui i campi elettrico e magnetico non variano nel tempo. In condizioni stazionarie il campo elettrico ed il campo magnetico possono essere infatti trattati indipendentemente l'uno dall'altro, tuttavia in condizioni non stazionarie i due campi appaiono come le manifestazioni di una stessa entità fisica: il campo elettromagnetico.
Le stesse cariche che sono sorgente del campo elettrico, infatti, quando sono in moto generano un campo magnetico. Questo fatto è descritto dalle due leggi fisiche che correlano i fenomeni elettrici con quelli magnetici: la legge di Ampere-Maxwell e la sua simmetrica legge di Faraday, descritte nel seguito.
La legge di Faraday afferma che la forza elettromotrice indotta in un circuito chiuso da un campo magnetico è pari all'opposto della variazione del flusso magnetico del campo attraverso l'area abbracciata dal circuito nell'unità di tempo:
dove formula_40 è il flusso del campo magnetico formula_41. Dalla definizione di forza elettromotrice la precedente relazione può essere scritta come:
applicando il teorema del rotore al primo membro:
si giunge a:
Uguagliando gli integrandi segue la forma locale della legge di Faraday, che rappresenta la terza equazione di Maxwell:
Ovvero il campo elettrico può essere generato da un campo magnetico variabile nel tempo. Una conseguenza fondamentale della legge di Faraday è che il campo elettrico in condizioni non stazionarie non è più conservativo, dal momento che la sua circuitazione non è più nulla. Inoltre, avendo definito:
dove formula_47 è il potenziale vettore magnetico, dalla legge di Faraday segue che:
Dal momento che il rotore è definito a meno di un gradiente, si ha:
Il campo elettrico è così scritto in funzione dei potenziali associati al campo elettromagnetico.
L'estensione della legge di Ampère al caso non stazionario mostra come un campo elettrico variabile nel tempo sia sorgente di un campo magnetico. Ponendo di essere nel vuoto, la forma locale della legge di Ampère costituisce la quarta equazione di Maxwell nel caso stazionario:
Tale relazione vale solamente nel caso stazionario poiché implica che la divergenza della densità di corrente sia nulla, contraddicendo in questo modo l'equazione di continuità per la corrente elettrica:
Per estendere la legge di Ampère al caso non stazionario è necessario inserire la prima legge di Maxwell nell'equazione di continuità:
Il termine
è detto corrente di spostamento, e deve essere aggiunto alla densità di corrente nel caso non stazionario.
Inserendo la densità di corrente generalizzata così ottenuta nella legge di Ampère:
si ottiene la quarta equazione di Maxwell nel vuoto. Tale espressione mostra come la variazione temporale di un campo elettrico sia sorgente di un campo magnetico.
La presenza di materiale dielettrico nello spazio ove esista un campo elettrico formula_1 modifica il campo stesso. Questo è dovuto al fatto che gli atomi e le molecole che compongono il materiale si comportano come dipoli microscopici e si polarizzano in seguito all'applicazione di un campo elettrico esterno. L'effetto della polarizzazione elettrica può essere descritto riconducendo la polarizzazione dei dipoli microscopici ad una grandezza vettoriale macroscopica, che descriva il comportamento globale del materiale soggetto alla presenza di un campo elettrico esterno. Il vettore "intensità di polarizzazione", anche detto vettore di "polarizzazione elettrica" e indicato con formula_56, è il dipolo elettrico per unità di volume posseduto dal materiale.
La polarizzazione del dielettrico crea entro il materiale una certa quantità di carica elettrica indotta, detta carica di polarizzazione formula_57. Introducendo tale distribuzione di carica nella prima delle equazioni di Maxwell, che esprime la forma locale del teorema del flusso per il campo elettrico, si ha:
dove formula_59 è la densità di cariche libere e nel secondo passaggio si è utilizzata la relazione tra la densità volumica di carica di polarizzazione ed il vettore di polarizzazione. Si ha quindi:
L'argomento dell'operatore differenziale è il vettore induzione elettrica, definito come:
E la prima equazione di Maxwell assume la forma:
La maggior parte dei materiali isolanti può essere trattata come un dielettrico lineare omogeneo ed isotropo, questo significa che tra il dipolo indotto nel materiale ed il campo elettrico esterno sussista una relazione lineare. Si tratta di un'approssimazione di largo utilizzo, ed in tal caso i campi formula_63 e formula_64 sono equivalenti a meno di un fattore di scala:
e di conseguenza:
La grandezza formula_67 è la costante dielettrica relativa, e dipende dalle caratteristiche microscopiche del materiale. Se il materiale non è omogeneo, lineare ed isotropo, allora formula_68 dipende da fattori come la posizione all'interno del mezzo, la temperatura o la frequenza del campo applicato.
Nel dominio delle frequenze, per un mezzo lineare e indipendente dal tempo sussiste la relazione:
dove formula_70 è la frequenza del campo.
Inserendo il vettore di induzione elettrica nelle equazioni di Maxwell nei materiali, considerando il caso in cui il dielettrico sia perfetto e isotropo e ponendo che anche per il campo magnetico nei materiali sussista una relazione di linearità, si ha:
dove formula_72 è il campo magnetico nei materiali, e costituisce l'analogo del vettore induzione elettrica per la polarizzazione magnetica.
Considerando dielettrici perfetti ed isotropi, è possibile definire le condizioni di raccordo del campo elettrostatico quando attraversa due dielettrici di costante dielettrica relativa formula_73 e formula_74. Sulla superficie di separazione si consideri una superficie cilindrica di basi formula_75 e altezza formula_76 infinitesima, di ordine di grandezza superiore alla base. Applicando il flusso di Gauss uscente dalle basi si evince che il flusso infinitesimo è nullo poiché non vi sono cariche libere localizzate al suo interno:
dove formula_78 sono le componenti normali del campo di spostamento elettrico. In termini di campo elettrico si ha quindi:
Per la componente tangenziale del campo elettrico vale il teorema di Coulomb, ovvero la direzione del campo elettrico è normale alla superficie del conduttore, e pertanto la componente tangenziale si conserva:
In termini di campo di spostamento elettrico:
Attraversando la superficie di separazione tra due dielettrici perfetti ed isotropi, quindi, la componente normale del campo elettrico subisce una discontinuità mentre quella tangenziale non si modifica, viceversa per il campo di spostamento elettrico. Unendo le due relazioni si ottiene la legge di rifrazione delle linee di forza del campo elettrico:
e dunque:
dove
è l'angolo di rifrazione.
Il campo elettromagnetico è dato dalla combinazione del campo elettrico formula_1 e del campo magnetico formula_41, solitamente descritti con vettori in uno spazio a tre dimensioni. Il campo elettromagnetico interagisce nello spazio con cariche elettriche e può manifestarsi anche in assenza di esse, trattandosi di un'entità fisica che può essere definita indipendentemente dalle sorgenti che l'hanno generata. In assenza di sorgenti il campo elettromagnetico è detto onda elettromagnetica, essendo un fenomeno ondulatorio che non richiede di alcun supporto materiale per diffondersi nello spazio e che nel vuoto viaggia alla velocità della luce. Secondo il modello standard, il quanto della radiazione elettromagnetica è il fotone, mediatore dell'interazione elettromagnetica.
La variazione temporale di uno dei due campi determina il manifestarsi dell'altro: campo elettrico e campo magnetico sono caratterizzati da una stretta connessione, stabilita dalle quattro equazioni di Maxwell. Le equazioni di Maxwell, insieme alla forza di Lorentz, definiscono formalmente il campo elettromagnetico e ne caratterizzano l'interazione con oggetti carichi. Le prime due equazioni di Maxwell sono omogenee e valgono sia nel vuoto che nei mezzi materiali, e rappresentano in forma differenziale la Legge di Faraday e la legge di Gauss per il campo magnetico. Le altre due equazioni descrivono il modo con cui il materiale in cui avviene la propagazione interagisce, polarizzandosi, con il campo elettrico e magnetico, che nella materia sono denotati con formula_87 e formula_88. Esse mostrano in forma locale la Legge di Gauss elettrica e la Legge di Ampère-Maxwell.
La forza di Lorentz è la forza formula_89 che il campo elettromagnetico genera su una carica formula_2 puntiforme:
dove formula_92 è la velocità della carica.
Le equazioni di Maxwell sono formulate anche in elettrodinamica quantistica, dove il campo elettromagnetico viene quantizzato. Nell'ambito della meccanica relativistica, i campi sono descritti dalla teoria dell'elettrodinamica classica in forma covariante, cioè invariante sotto trasformazione di Lorentz. Nell'ambito della teoria della Relatività il campo elettromagnetico è rappresentato dal tensore elettromagnetico, un tensore a due indici di cui i vettori campo elettrico e magnetico sono particolari componenti.
