
In fisica, per diffusione ottica (o dispersione; comune anche il termine inglese scattering, che significa letteralmente "sparpagliamento") si intende un'ampia classe di fenomeni di interazione radiazione-materia in cui onde o particelle vengono deflesse (ovvero cambiano traiettoria) a causa della collisione con altre particelle o onde (dal punto di vista quantistico). La deflessione avviene in maniera disordinata e in buona misura casuale e per questo la diffusione si distingue dalla riflessione e dalla rifrazione, che invece cambiano le traiettorie in maniera regolare e determinata. Sono considerati processi di scattering solo le interazioni elastiche o quasi elastiche, che cioè non comportino rilevanti cessioni o guadagni di energia (la diffusione o dispersione di cui si parla qui non hanno nulla a che fare con la diffusione termica (moto casuale di particelle microscopiche) o con la dispersione cromatica (separazione della luce nei suoi vari colori).
In ottica la diffusione ottica rientra nei fenomeni di interazione radiazione-materia ed è di solito riferito alla dispersione della luce da parte di oggetti più o meno microscopici come le particelle colloidali in liquidi o i solidi polverizzati o il pulviscolo o le molecole dell'atmosfera.
Un esempio molto comune di diffusione della luce (scattering di Rayleigh) è dato dal colore blu del cielo: la luce (bianca) del sole incide sull'atmosfera terrestre, le cui molecole diffondono con più facilità le frequenze più alte (ovvero i colori più vicini al blu e al violetto); di conseguenza, mentre il grosso della luce ci arriva direttamente dal sole, la luce blu diffusa ci proviene da tutte le direzioni. E il sole che, quasi per definizione, dovrebbe essere perfettamente bianco, ci appare giallastro, perché gli è stata sottratta un po' di luce blu.
Un altro esempio tipico è il colore bianco del latte o della farina o delle nuvole: in questo caso le particelle del latte o della farina, o le goccioline d'acqua delle nuvole, diffondono uniformemente tutte le frequenze e, siccome il processo si ripete moltissime volte all'interno del mezzo, la direzione di provenienza della luce non è più riconoscibile e il mezzo assume un colore bianco.
Ma la diffusione che ci è di gran lunga più familiare è la "riflessione diffusa" che viene dalla superficie dei solidi che influenza quasi tutto ciò che noi vediamo quotidianamente. Tranne gli oggetti riflettenti e quelli trasparenti (o comunque "limpidi", anche se colorati), come vetri, specchi, liquidi limpidi, metalli lucidati, tutte le altre cose "opache" mandano al nostro occhio quasi solo luce diffusa, bianca, grigia o colorata a seconda se sulla loro superficie la luce incidente è stata solo dispersa o anche assorbita più o meno selettivamente. Possiamo anzi dire che se non ci fosse la diffusione l'aspetto del mondo sarebbe completamente diverso, e ci sembrerebbe di vivere in un gigantesco magazzino di cristallerie, sia pure con parecchi oggetti neri e qualche vetro colorato.
La teoria che sta alla base degli esperimenti con una diffusione finale si basa sul calcolo della sezione d'urto, una misura dell'area coperta dalle particelle presenti nello stato finale (le particelle deflesse o sparpagliate). Una sua semplice definizione è il rapporto tra il numero di particelle che vengono deviate nell'angolo solido (dΩ) in 1 secondo e il numero di particelle che in 1 secondo attraversano l'unità di superficie.
Detto "b" il parametro d'impatto (le dimensioni del bersaglio o il raggio dell'interazione studiata), un buon modo di vedere la sezione d'urto è uguagliare la superficie a disposizione del fascio prima e dopo l'impatto:
dove "Ω" è l'angolo solido, "θ" l'angolo rispetto alla direzione di moto del fascio, "φ" quello sul piano x-y, "σ" la sezione d'urto, funzione degli angoli "θ" e "φ".
Un semplice esempio di diffusione può essere l'urto contro una sfera rigida. In questo caso il parametro d'impatto sarà:
dove "R" è il raggio della sfera.
Ora, poiché la simmetria è sferica, la prima equazione si riduce a:
È semplice, quindi, calcolare la sezione d'urto angolare:
e da questa la sezione d'urto totale:
La sezione d'urto, però, può essere calcolata anche e soprattutto utilizzando la meccanica quantistica. In questo caso ci si dovrà dimenticare del parametro d'impatto, essendo legato al concetto di traiettoria, non sempre definibile in quantistica. Da un punto di vista operazionale, bisogna innanzitutto saper distinguere un caso in cui può essere applicato l'approccio classico fin qui visto da uno in cui è necessario applicare l'approccio quantistico. Il discriminante è, giustamente, l'energia, e più precisamente si distingue tra le basse energie, in cui va bene il regime classico (ottica fisica, ovvero la lunghezza d'onda de Broglie della particella incidente "λ"»"L" dimensioni della targhetta), mentre alle alte energie si applicherà il regime quantistico (ottica geometrica, "λ"«"L").
Per rappresentare i fasci di particelle bisogna, necessariamente, utilizzare le cosiddette funzioni d'onda. Il fascio incidente, ad esempio, può essere caratterizzato da una funzione del tipo "onda piana":
Per il fascio deflesso si utilizzerà un'onda sferica:
La funzione d'onda complessiva risulta quindi:
dove si è scelto di chiamare "z" la direzione privilegiata, ovvero quella lungo il quale si svolge l'urto (la direzione del fascio incidente).
Questa funzione è la "soluzione asintotica" dell'equazione di Schrödinger, ovvero "fotografa" la situazione molto prima e molto dopo l'urto. L'informazione su quest'ultimo sarà contenuta all'interno del fattore f ("θ", "φ").
Innanzitutto è bene sapere che le funzioni d'onda possono essere descritte attraverso alcuni numeri quantici, tra cui il numero quantico azimutale "l", che può assumere solo valori interi positivi. Per scrivere la sezione d'urto, però, è più che sufficiente fermarsi allo sviluppo in "onda S", ovvero con "l" = 0. In questo caso la funzione d'onda totale risulta essere:
dove
Ora, poiché in "onda S" una possibile funzione totale soluzione dell'equazione di Schrödinger libera è l'armonica sferica
si può tranquillamente affermare che mentre la parte entrante (con il segno -) rimane invariata, quella uscente viene alterata di un vettore "S", comunemente detto matrice S, poiché in problemi d'urto complessi diventa una matrice. Tra le proprietà si "S" c'è che il suo quadrato vale l'identità e poi risulta essere unitaria.
Ora, dall'equazione di continuità, posta nulla la variazione di densità di carica nel tempo, si ottiene che il flusso di corrente è pari a:
e poiché la divergenza di quest'ultima è nulla, si ricava proprio la prima proprietà della "S", che può così essere scritta come fattore di fase:
ottenendo come risultato della collisione uno spostamento di fase.
Manipolando, quindi, la "u" si ottiene per il fattore f una semplice espressione dipendente da "δ":
e quindi
La sezione d'urto totale quantistica, integrando sull'angolo solido Ω, risulta essere semplicemente:
Diffusione degli elettroni nell'atmosfera
Prendiamo come esempio un elettrone, e ipotizziamo l'azione di un campo elettrico E non polarizzato, come quello della normale luce solare. Sull'elettrone è presente una forza F dovuta a E, una reazione uguale e opposta dovuta all'attrazione del nucleo, e un certo coefficiente di smorzamento γ. Si ha anche una forza dovuta al campo magnetico, ma la sua intensità, essendo B pari a "eε/c" E, risulta piccola e possiamo trascurarla in prima approssimazione.
Abbiamo dunque il moto di un oscillatore forzato con smorzamento, cioè se poniamo "k = γ m", per la frequenza di risonanza si ha
e abbiamo
F è pari a q(E + ν × B), dove q è la carica dell'elettrone.
Prendiamo "F" come la parte reale di " F e" e "x" come parte reale di " x e".
Sostituendo e dividendo per " e" ottengo la soluzione di questa equazione differenziale
dove ω è la frequenza del campo elettrico e ω la frequenza di risonanza dell'elettrone.
Se F è "Fcos(ωt + Δ)", la x avrà un ulteriore sfasamento θ, la cui tangente è
Possiamo ignorare lo sfasamento in quanto andremo a utilizzare solo la media dello spostamento.
In generale, però, un elettrone o qualsiasi altra particella avrà più di un singolo modo di oscillazione, quindi avremo in realtà una serie di modi di oscillazione. Il modo k-esimo sarà dunque
dove f è una costante di proporzionalità, inferiore a 1, per il modo di oscillazione.
Consideriamo ora l'energia irradiata da un elettrone che oscilla. Il campo elettrico a un angolo φ rispetto all'asse di oscillazione, a distanza "r", dipenderà dal tempo, e dalla posizione "ritardata" della carica, in quanto l'effetto della carica si propaga a velocità c.
Risulta allora
dove ε è la costante dielettrica del vuoto, e "c" la velocità della luce
La potenza irradiata lungo l'angolo φ a distanza "r" è "εcE(r,t)", ossia
Per una variazione dφ su una superficie sferica di raggio "r", il settore di superficie sferica è "dA = 2 π rsenφ dφ", l'energia irradiata su dA è "P(φ)dA", integrando sulla superficie si ha
l'integrale vale 4/3 e quindi
Se deriviamo due volte rispetto al tempo la x ricavata sopra, ottengo
Il valore medio del quadrato del coseno, su un periodo vale 1/2, come si può anche vedere disegnando la funzione "y =" cos"x" e notando che è simmetrica rispetto alle rette "y = 1/2" e "x = π". La potenza media su un ciclo irradiata su una superficie unitaria sarà allora
Vediamo se possiamo trovare un'altra relazione per la potenza. Per la definizione di sezione d'urto,
dove "U" è la densità di energia incidente e σs la sezione d'urto.
Ora, se consideriamo il raggio classico dell'elettrone
e posto
sostituendo nella (1) e sommando su tutti i modi di oscillazione ottengo
Se considero il vettore di Poynting, la densità di energia di un campo elettrico incidente è
Sostituendo questo valore nella (2) ottengo
Questo risultato è valido per i modi di oscillazione per un singolo elettrone. Facendo la media pesata di tutti i tipi di atomi presenti nell'atmosfera, possiamo ottenere la diffusione totale dell'atmosfera.
Le equazioni che descrivono la diffusione sono molto complesse e, specialmente quando questo fenomeno si ripete molte volte, impossibili da risolvere esattamente nel caso generale.
Una soluzione approssimata molto usata è quella detta di Rayleigh:
nel caso in cui le particelle responsabili della diffusione abbiano dimensioni molto minori della lunghezza d'onda della luce incidente la dispersione della luce è isotropa e il coefficiente di diffusione è dato dalla formula:
dove "n" è il numero di centri di diffusione presenti, "d" il loro diametro, "m" il loro indice di rifrazione e formula_35 la lunghezza d'onda della luce incidente.
Nel caso in cui le particelle responsabili della diffusione della luce siano sfere perfette esiste una soluzione matematicamente rigorosa per le equazioni che regolano la diffusione singola detta "soluzione di Mie" dal nome dello scopritore Gustav Mie, che spiegò anche l'effetto Tyndall.
Osservato per la prima volta da Arthur Compton nel 1922, divenne ben presto uno dei risultati sperimentali decisivi in favore della descrizione quantistica della radiazione elettromagnetica. Compton osservò che la radiazione elettromagnetica di alta frequenza (fra gli 0,5 e i 3,5 MeV) che attraversa un bersaglio subisce un aumento di lunghezza d'onda (ossia 'vira' verso il rosso), in misura diversa a seconda dell'angolo di cui viene deflessa la sua direzione di propagazione.
Il cosiddetto effetto Compton può essere spiegato semplicemente se, adottando l'ipotesi dei quanti di luce di Einstein, si pensa alla radiazione elettromagnetica come composta di fotoni che perdono energia nell'urto contro gli elettroni. Questa spiegazione contraddice, apparentemente, la teoria ondulatoria della luce, che sulla base delle equazioni di Maxwell dà conto degli effetti di interferenza. La soluzione del paradosso sta nell'introduzione di una teoria quantistica della radiazione.
La diffusione Thomson non lineare è una generalizzazione della diffusione Thomson, introdotta per studiare lo scattering di impulsi di raggi X ultracorti. Nella diffusione Thomson non lineare, l'intensità della diffusione dell'elettrone da parte di un fotone varia secondo l'ampiezza e la fase a cui l'elettrone vede il campo elettrico del laser impiegato.
La diffusione coulombiana prende il suo nome dal fatto che l'unica forza che si esercita sulle particelle è la forza di Coulomb. Questo tipo di scattering è noto anche come diffusione Rutherford dal celeberrimo esperimento compiuto da Ernest Rutherford nel 1911 allorquando inviò un fascio di particelle alfa (un nucleo di elio) contro una collezione di atomi d'oro (una lamina sottile). L'idea era quella di determinare la struttura dell'atomo e capire se la sua struttura era quella supposta da Thomson (atomo senza nucleo, noto anche come atomo a "panettone") o se c'era qualcosa di diverso.
In particolare, se l'atomo avesse avuto un nucleo al suo interno separato dagli elettroni esterni, allora si sarebbero dovuti osservare anche eventi, ovvero particelle, a grande angolo di deviazione. Ottenuti, effettivamente, questi risultati, il fisico neozelandese concluse allora che l'atomo era costituito da un centro piccolo ma con alta densità di carica circondato da una nuvola elettronica.
Quando la luce propagantesi in un mezzo (aria, acqua, cristalli ecc.) trova una variazione di indice di rifrazione può subire un urto (spesso anelastico) e cambiare la propria direzione di propagazione. Questo tipo di urto è chiamata diffusione di Brillouin.
In particolare le variazioni di indice di rifrazione possono essere dovute, specialmente nei mezzi comprimibili ma anche nelle strutture cristalline, da onde di tipo meccanico che si propagano nel mezzo stesso. Dal punto di vista della meccanica quantistica questo fenomeno viene visto come un'interazione fra i fotoni che compongono la luce con i fononi che compongono l'onda meccanica.
In seguito alla diffusione di Brillouin la luce può subire uno spostamento in frequenza di alcuni GHz (shift di Brillouin).
L'effetto Raman (dal nome del suo scopritore C.V. Raman che nel 1928 lo osservò per primo) è un esempio di diffusione anelastica, ovvero di un urto in cui le particelle che interagiscono si scambiano energia. Nella diffusione Raman un fotone incidente su di una molecola può perdere energia per dare vita a un quanto di oscillazione) o può annichilirne uno, sottraendo energia al materiale, e cambiare così la propria frequenza.
Questo tipo di scattering è ampiamente utilizzato in chimica (spettroscopia Raman) per studiare i modi rotazionali e vibrazionali delle molecole.
Si definiscono fenomeni di diffusione multipla quei casi dove le particelle (o la luce) subiscono, all'interno del mezzo, un numero molto alto di eventi di diffusione. In questi casi gli effetti complessivi sono spesso dominati più da effetti di media che dalle proprietà particolare dei singoli eventi.
Un parametro fondamentale per descrivere la diffusione multipla è il cammino libero medio formula_36, definito come la distanza media fra due eventi di urto successivi.
Data l'estrema complicazione matematica questi fenomeni vengono di solito trattati attraverso delle ipotesi semplificative. Nel novembre 2004, ad esempio, è stato proposto un modello che spiega la polarizzazione della luce diffusa dal cielo sereno tramite un'equazione di quarto grado, ottenuta tramite la teoria delle singolarità.
Quando sia le dimensioni degli scatteratori sia il cammino libero medio sono molto minori della lunghezza d'onda della luce questa non è in grado di risolvere le variazioni microscopiche della polarizzabilità e quindi "vede" un mezzo omogeneo. In questo caso vale l'approssimazione del mezzo effettivo equivalente (EMT, "Effective Medium Theory"), ovvero si può pensare di sostituire al mezzo reale un mezzo omogeneo le cui caratteristiche (prima fra tutte l'indice di rifrazione) dipendono dalla media delle proprietà microscopiche del mezzo reale. Quest'approssimazione è valida in genere per i liquidi e per i solidi amorfi (vetri), che sono di solito omogenei e hanno distanze interatomiche molto minori della lunghezza d'onda della luce, e porta, come soluzione, alle ben note leggi dell'ottica geometrica. La maggior parte dei solidi, invece, sono policristallini o, se organici, sono composti di fibre o di cellule che li rendono disomogenei su una scala che, anche se è microscopica, è superiore o confrontabile con la lunghezza d'onda della luce. Questa approssimazione non è quasi mai verificata per lo scattering multiplo delle particelle perché la lunghezza d'onda di Schrödinger a esse associata è dell'ordine delle distanze interatomiche o minore.
Quando il cammino libero medio formula_36 è molto maggiore della lunghezza d'onda della luce i singoli eventi di scattering possono essere considerati come indipendenti e casuali. A meno che la sezione d'urto non abbia delle divergenze (come accade ad esempio nei cristalli liquidi) il teorema del limite centrale ci dice che la sezione d'urto media vista dalla luce sarà di tipo gaussiano e quindi potremo descrivere la propagazione della luce tramite l'equazione di diffusione.
Nel caso di particelle classiche il processo diffusivo si ha come conseguenza del moto browniano che la particella segue a causa degli urti (statisticamente indipendenti) con le particelle che costituiscono il mezzo in cui si muove.
Quando il cammino libero medio formula_36 è confrontabile con la lunghezza d'onda della luce o delle particelle diffuse le approssimazioni discusse qui sopra non sono più valide. In questi casi gli effetti di interferenza giocano un ruolo cruciale e sorgono molti fenomeni controintuitivi e, a oggi, soggetti a un'intensa attività di ricerca.
Se la lunghezza di coerenza della luce è superiore alle dimensioni caratteristiche coinvolte nel fenomeno, come per esempio la dimensione del campione o la lunghezza del percorso della luce, allora i fenomeni di interferenza si mostrano appieno. Se inoltre le dimensioni più piccole coinvolte sono più lunghe della lunghezza d'onda della luce, allora delle proprietà microscopiche sopravvive solo la media. Quando queste due condizioni sono soddisfatte contemporaneamente, si parla di regime mesoscopico.
È un fenomeno ben noto in ottica sin dai primi studi sui laser. Illuminando con una sorgente di luce coerente, come un laser, una lastra di un materiale fortemente disperdente (in molti casi basta un foglio di carta bianca) si osserva che la luce trasmessa non è distribuita in maniera continua, come ci si aspetterebbe dal modello diffusivo, ma è composta da picchi di intensità molto grande su di uno sfondo quasi nero. Questi sono l'effetto dell'interferenza fra i vari cammini che la luce può seguire all'interno del mezzo e che si sommano costruttivamente solo per alcune direzioni e non per altre.
Quando un'onda incide su di un sistema disordinato e subisce un gran numero di eventi di dispersione c'è una probabilità non nulla che riemerga dalla stessa faccia del mezzo da cui è entrata (in questo caso si dice che l'onda è riflessa). Durante il percorso all'interno del mezzo quest'onda subirà una certa variazione di fase, in parte dovuta ai singoli eventi di scattering, in parte dovuta alla propagazione libera e quindi il fascio incidente e quello riflesso non avranno una relazione di fase ben definita (si dice che i due fasci non sono coerenti). Per via della simmetria per inversione temporale delle leggi fisiche che regolano lo scattering un'onda che percorresse esattamente lo stesso percorso, ma in senso contrario, subirebbe la stessa variazione di fase; questo vuol dire che le due onde che percorrono esattamente lo stesso cammino ma in senso opposto mantengono il proprio accordo di fase e quindi andranno a dare interferenza costruttiva.
Assumendo di prendere in considerazione tre punti (formula_39) i possibili cammini per le onde riflesse saranno: 
Simbolicamente possiamo scrivere l'intensità totale riflessa come:
dove formula_43 rappresenta il complesso coniugato.
I termini misti del tipo formula_44 rappresentano la parte di interferenza casuale dovuta alla particolare realizzazione del disordine nel campione e alla scelta arbitraria dei punti e dà luogo allo "speckle". Questi termini si annullano se facciamo una media su tutte le possibili configurazioni del sistema. Al contrario i termini del tipo formula_45 danno sempre luogo a interferenza costruttiva per ogni configurazione. Ricordandosi che all'interno del mezzo i due fasci subiranno la stessa variazione di fase è facile vedere che se A e B hanno la stessa ampiezza in entrata (ovvero provengono dalla stessa sorgente) si può scrivere
dove formula_47 e formula_48 sono i vettori d'onda iniziali e finali dei due fasci. Ovviamente questo termine sarà massimo quando formula_49 (ovvero formula_50) e andrà a diminuire all'aumentare dell'angolo fra i due fasci. In questo senso si può parlare di un cono di retrodiffusione coerente.
Il profilo angolare del cono può essere calcolato sommando su tutti i possibili percorsi che la luce può compiere nel mezzo e integrando sul tempo. Misure di apertura angolare del cono di retrodiffusione coerente vengono utilizzate per misurare il coefficiente di diffusione di materia di mezzi fortemente disperdenti.
Ci sono situazioni, ad esempio la presenza di un forte campo magnetico, che rendono il sistema non reciproco, ovvero la fase accumulata percorrendo un dato cammino in un senso o in un altro è diversa. In questi casi non si osserva il fenomeno del cono di retrodiffusione coerente.
Proposta per la prima volta da P.W. Anderson nel 1958 (in un articolo che gli valse il Premio Nobel per la fisica nel 1977) la localizzazione di Anderson è un fenomeno dove il normale trasporto diffusivo delle onde (non solo elettromagnetiche ma anche onde di Schrödinger, ovvero elettroni, onde di spin e così via) viene inibito dalla presenza di un forte disordine. Le onde vengono in effetti confinate in una regione limitata del sistema.
Questo ha alcune conseguenze decisamente controintuitive come ad esempio il fatto che il sistema non possa raggiungere l'equilibrio termodinamico e che la resistenza di un mezzo in regime di localizzazione cresca esponenzialmente (invece che linearmente come previsto dalla celeberrima legge di Ohm).
Attualmente la localizzazione di Anderson è oggetto di un acceso dibattito nella comunità scientifica internazionale e molte delle sue proprietà non sono ancora chiare.


In fisica con il termine onda si indica una perturbazione che nasce da una sorgente e si propaga nel tempo e nello spazio, trasportando energia o quantità di moto senza comportare un associato spostamento della materia.
Le onde possono propagarsi sia attraverso la materia, sia nel vuoto. Ad esempio la radiazione elettromagnetica e la radiazione gravitazionale possono esistere e propagarsi anche in assenza di materia, mentre altri fenomeni ondulatori esistono unicamente in un mezzo fisico, che deformandosi produce le forze elastiche di ritorno in grado di permettere all'onda di propagarsi.
Dal punto di vista matematico un'onda è una soluzione dell'equazione delle onde (o di altre equazioni più complicate), la cui espressione varia a seconda del tipo di perturbazione.
Non è semplice dare una definizione autonoma e precisa del termine "onda", sebbene questo termine sia comunemente molto usato in contesti molto differenti fra loro. La definizione delle caratteristiche necessarie e sufficienti che identificano il fenomeno ondulatorio è flessibile. Intuitivamente il concetto di onda è qualificato come il trasporto di una perturbazione nello spazio senza comportare un trasporto netto della materia del mezzo, qualora presente, che occupa lo spazio stesso. I fisici Albert Einstein e Leopold Infeld hanno cercato di rispondere alla domanda "Cos'è un'onda?" unendo questo fatto all'esperienza comune:
Una vibrazione può essere definita come il moto avanti e indietro intorno a un punto definito "x", tuttavia una vibrazione non è necessariamente un'onda. Infatti in un'onda sulla superficie dell'acqua, oppure lungo una stringa, l'energia vibrazionale si muove dalla sorgente sotto forma di perturbazione senza un moto collettivo delle particelle dell'acqua o della corda in cui si propaga. Questa rappresentazione diventa però problematica quando si ha a che fare con le onde stazionarie (per esempio le onde sulle corde di una chitarra), dove l'energia in tutte le direzioni è identica e non viene trasportata lungo lo spazio, perciò talvolta nella definizione di onda si cita solamente la propagazione di un disturbo senza richiedere il trasporto di energia o quantità di moto. Per le onde elettromagnetiche (ad esempio la luce) bisogna considerare ulteriormente che il concetto di mezzo non può essere applicato, in quanto queste si propagano anche nello spazio vuoto.
Per queste ragioni la teoria delle onde rappresenta una particolare branca della fisica teorica riguardante lo studio delle onde indipendentemente dalla loro origine fisica. Questa peculiarità deriva dal fatto che la teoria matematica delle onde si può applicare per descrivere fenomeni ondulatori in contesti anche molto differenti. Per esempio l'acustica si distingue dall'ottica per il fatto che la prima si occupa del trasporto vibrazionale di energia meccanica, mentre la seconda di perturbazioni del campo elettrico e magnetico. Concetti come massa, inerzia, quantità di moto, elasticità diventano quindi cruciali per descrivere i processi ondulatori acustici, al contrario dell'ottica. La struttura particolare del mezzo introduce inoltre alcuni fattori di cui bisogna tenere conto, come ad esempio i fenomeni vorticosi per l'aria e l'acqua o la complessa struttura cristallina nel caso di alcuni solidi.
Altre proprietà tuttavia possono essere usate per descrivere indifferentemente tutti i tipi di onde. Per esempio, basandosi sull'origine meccanica delle onde acustiche, ci può essere un movimento nello spazio e nel tempo di una perturbazione se e solo se il mezzo non è né infinitamente flessibile né infinitamente rigido. Se tutte le parti che compongono il mezzo si dispongono in modo rigido l'una rispetto all'altra, non sarà possibile alcun movimento infinitesimo e quindi non ci sarà alcuna onda (ad esempio l'idealizzazione del corpo rigido). Al contrario, se tutte le parti sono indipendenti l'una dall'altra senza alcun tipo di interazione reciproca, non vi sarà alcuna onda in quanto non ci sarà trasmissione di energia fra le varie parti componenti del corpo. Nonostante queste considerazioni non si possano applicare alle onde che non si propagano in alcun senso, si possono comunque trovare caratteristiche comuni a tutte le onde: ad esempio, in un'onda la fase è differente per punti adiacenti nello spazio, perché la vibrazione raggiunge questi punti in tempi differenti.
Similmente, alcuni fenomeni che si sono scoperti in determinati contesti, sono poi stati generalizzati ad altri fenomeni ondulatori. L'interferenza è stata studiata da Young nel caso particolare delle onde luminose, tuttavia è stata recentemente analizzata in alcuni problemi riguardanti le proprietà atomiche quantistiche dell'elettrone.
Un'onda può essere caratterizzata da una singola oscillazione oppure da un "treno" o successione di onde aventi caratteristiche simili, come ad esempio la periodicità intrinseca. In generale le onde sono caratterizzate da una "cresta" (punto alto), da un "ventre" (punto più basso) e da fronti d'onda di propagazione nel caso di treni di onde e sono in prima istanza classificabili come longitudinali o trasversali. Nelle onde trasversali la vibrazione è perpendicolare alla direzione di propagazione (ad esempio le onde su una corda, le parti infinitesime si muovono in alto e in basso in verticale, mentre l'onda si propaga orizzontalmente).
Le onde longitudinali sono invece caratterizzate da una vibrazione concorde con la direzione di propagazione dell'onda (ad esempio le onde sonore, le particelle dell'aria si muovono infinitesimamente nella stessa direzione di propagazione del suono). Esistono onde che sono sia longitudinali che trasversali e sono dette "onde miste" (ad esempio le onde sulla superficie del mare). Parametri di riferimento di un'onda sono l'ampiezza, la lunghezza d'onda, il periodo, la frequenza, la fase, la velocità di propagazione, l'energia e la potenza ad essa associata. Per quanto riguarda la velocità di un'onda sono definibili la velocità di fase e la velocità di gruppo.
Il mezzo in cui le onde viaggiano può essere classificato a seconda delle seguenti proprietà:
Durante la propagazione nel mezzo l'onda è soggetta ad attenuazione da parte del mezzo fino all'esaurimento dell'energia trasportata.
Tutte le onde hanno un comportamento comune in situazioni standard e possono subire i seguenti effetti o fenomeni:
Un'onda è polarizzata se può oscillare solo in una direzione. La polarizzazione di un'onda trasversale descrive la direzione di oscillazione, nel piano perpendicolare alla direzione di moto. Onde longitudinali come quelle sonore non hanno polarizzazione, in quanto per queste onde la direzione di oscillazione è lungo la direzione di moto. Un'onda può essere polarizzata con un filtro polarizzatore.
A seconda delle caratteristiche, le onde si possono classificare in molti modi.
Riguardo al tipo di mezzo:
Riguardo alle dimensioni del mezzo in cui si propagano:
Riguardo alla direzione del moto di oscillazione rispetto a quella di propagazione:
Riguardo alla propagazione:
A seconda del mezzo in cui si propagano e della caratteristica fisica che usiamo per rappresentarle:
Alcune onde caratteristiche sono:
I fenomeni ondulatori possono essere matematicamente descritti dall'equazione delle onde, almeno in prima approssimazione. Questa semplice equazione fornisce utili strumenti di analisi di tutte le onde e spesso, come nel caso di una stringa vibrante, le sue soluzioni rappresentano una prima approssimazione valida per piccole perturbazioni.
L'equazione delle onde per una funzione scalare formula_1 è un'equazione differenziale alle derivate parziali iperbolica della forma:
In una dimensione questa equazione si riduce a:
la cui soluzione generale si ottiene definendo le variabili:
e riscrivendo l'equazione:
la cui soluzione è dunque:
ovvero:
Tale soluzione di basa sul principio di Duhamel.
Una funzione formula_8 rappresenta quindi un'onda dotata di ampiezza costante che si propaga lungo l'asse formula_9 di un sistema di riferimento cartesiano se la dipendenza dallo spazio formula_9 e dal tempo formula_11 è data dalla sola combinazione formula_12:
dove formula_14 è una costante positiva. A seconda che l'argomento sia formula_15 o formula_16, l'onda si dice rispettivamente "regressiva" o "progressiva".
Un'onda progressiva di velocità formula_14 dipende dall'argomento formula_12 e trasla lungo spazio e nel tempo a velocità costante, senza cambiare la sua forma. Se si considera infatti la stessa perturbazione al tempo formula_19, si ha, per la definizione di onda:
Dato che l'onda è funzione solo di formula_21, allora la traslazione formula_22 può essere vista come una semplice traslazione spaziale di formula_23:
e quindi l'onda ad un istante successivo formula_25 non è altro che la stessa onda dell'istante formula_11, con la medesima forma, ma solo traslata di formula_27.
Si definisce fronte d'onda il luogo dei punti nello spazio in cui formula_21 assume il medesimo valore ad un determinato istante temporale.
Se formula_29 è periodica nel suo argomento allora descrive un'onda periodica. La periodicità dell'onda è identificata dal periodo formula_30, che rappresenta il tempo necessario affinché un ciclo completo di oscillazione venga completato. La frequenza formula_31 dell'onda è inoltre il numero di periodi per unità di tempo; se l'unità di tempo è il secondo la frequenza si misura in hertz.
Periodo e frequenza sono legate dalla relazione:
Ad un periodo temporale corrisponde un periodo spaziale detto lunghezza d'onda formula_33, e vale la relazione:
Nel caso di un'onda periodica, la rappresentazione in serie di Fourier permette di descrivere l'onda come somma di termini sinusoidali del tipo:
Equivalentemente, usando la formula di Eulero, questi termini possono essere rappresentati come la parte reale di una funzione immaginaria:
In queste formule formula_37 è il vettore d'onda, che identifica la direzione di propagazione dell'onda al posto della velocità di propagazione. Il suo modulo è chiamato "pulsazione spaziale", ed è legato alla lunghezza d'onda dalla relazione:
Lo scalare formula_39 è l'ampiezza dell'onda, e rappresenta il massimo valore della grandezza rappresentativa dell'onda in un periodo. Il termine formula_40 rappresenta la fase iniziale dell'onda.
Un'onda può essere descritta per mezzo della sua frequenza angolare, che è correlata alla frequenza formula_31 secondo la relazione:
In certi casi le onde presentano caratteristiche, come la dispersione (la velocità di propagazione dipende dalla frequenza) o la non linearità (il comportamento dell'onda dipende dalla sua ampiezza) che non possono essere descritte dalle soluzioni dell'equazione delle onde. Per questo motivo tali onde devono essere descritte da equazioni più complicate, come l'equazione di Sine-Gordon (che nel caso classico può descrivere la propagazione di un'onda di torsione in una stringa elastica, a cui è agganciato un sistema di pendoli che oscillano nel piano trasverso alla stringa), l'equazione di Schrödinger non lineare, l'equazione di Korteweg-de Vries o quella di Boussinesq. Tali equazioni permettono di descrivere fenomeni non previsti dall'equazione delle onde di D'Alembert, come i solitoni, le onde cnoidali o la turbolenza d'onda. Fenomeni di questo tipo si osservano in un gran numero di branche della fisica, come la fluidodinamica, la fisica dei plasmi, l'ottica non lineare, i condensati di Bose-Einstein o la relatività generale, anche se nei casi più semplici ci si può spesso ricondurre all'approssimazione lineare fornita dall'equazione delle onde di D'Alembert. 
I fenomeni ondulatori rappresentano una classe di fenomeni naturali estremamente importante in fisica; alcuni esempi di onde sono: le onde elastiche, le onde di pressione (onde acustiche e onde d'urto), le onde marine, le onde elettromagnetiche (la luce), le onde gravitazionali, le onde sismiche. In prima approssimazione, secondo il modello concettuale della fisica classica, si può affermare che in natura, al di là delle nozioni di spazio, tempo, energia e carica elettrica, tutto ciò che non è materia (cioè dotato di massa) è un'onda, cioè "energia in propagazione". La differenza sostanziale tra onda e corpuscolo materiale è che mentre il corpuscolo in un certo istante temporale è sempre "localizzato" in un preciso volume dello spazio, l'onda appare invece più "delocalizzata" nello spazio.
È solo con la fisica moderna che si raggiunge un punto di contatto nella realtà fisica tra le due diversissime classi di fenomeni, ondulatori e corpuscolari: agli inizi del XX secolo la meccanica quantistica, attraverso il principio di complementarità, sancisce infatti il cosiddetto dualismo onda-particella nei fenomeni fisici che avvengono a scala atomica e subatomica, secondo il quale le stesse particelle microscopiche dotate di massa propria, oltre alle proprietà classiche quali energia meccanica e quantità di moto, assumono proprietà ondulatorie nell'interpretazione di determinati contesti e fenomeni.
Un caso particolare di onda, descrivibile matematicamente a partire dall'equazione delle onde imponendo opportune condizioni al contorno, è l'onda stazionaria cioè un'onda che rimane in una posizione spaziale costante fissa nel tempo senza propagarsi oscillando tra punti fissi detti nodi. Questo fenomeno può accadere per esempio quando il mezzo si muove in direzione opposta all'onda oppure come risultato di una interferenza fra due onde, di eguale ampiezza e frequenza, che viaggiano in opposte direzioni.
In un'onda stazionaria vi sono alcuni punti, detti nodi, che restano fissi e non oscillano. Questo fatto determina a stretto rigore per questo tipo di perturbazione delle caratteristiche intrinsecamente differenti da una "onda" nel senso stretto del termine. In quanto tale, un'onda stazionaria può permettere per esempio di immagazzinare energia in una regione spaziale ma non rappresenta quindi alcun trasporto energetico netto fra differenti punti dello spazio.
La sovrapposizione di due onde che si muovono in direzione opposte con uguale ampiezza e frequenza, ma fase opposta è un fenomeno tipico indotto dalla riflessione di una singola onda contro un ostacolo fisso, esattamente quanto accade per esempio in una onda elettromagnetica che incide contro una lastra di materiale conduttore. Questo meccanismo è usato per generare onde stazionarie ed è alla base del funzionamento di alcuni strumenti musicali a corda, a fiato
e delle cavità risonanti.
Le onde che possono svilupparsi lungo una stringa sono di tipo trasversale e soddisfano l'equazione delle onde di d'Alembert solamente se l'ampiezza della perturbazione che genera il fenomeno ondulatorio è piccola. In questo limite si ricava che la velocità di propagazione è pari a:
dove formula_30 è la tensione a cui è sottoposta la stringa mentre formula_45 è la sua densità lineare o massa lineica, cioè la massa per unità di lunghezza. Un'onda su una stringa può essere riflessa in seguito all'urto contro un estremo fisso oppure essere parzialmente trasmessa e parzialmente riflessa in seguito all'incontro di una giunzione fra due stringhe di differente densità lineare formula_45. Questo tipo di onde, insieme al fenomeno delle onde stazionarie, sono alla base del funzionamento di molti strumenti a corda.
Un'onda elettromagnetica è un fenomeno ondulatorio dato dalla propagazione in fase del campo elettrico e del campo magnetico, oscillanti in piani tra loro ortogonali e ortogonali alla direzione di propagazione. Tale fenomeno è descritto matematicamente come soluzione dell'equazione delle onde, a sua volta ottenuta a partire dalle equazioni di Maxwell secondo la teoria dell'elettrodinamica classica. Questo tipo di radiazione viaggia nella direzione sempre perpendicolare alle direzioni di oscillazione dei campi, ed è quindi un'onda trasversale. Nel diciannovesimo secolo James Clerk Maxwell ha scoperto infatti che i campi elettrici e magnetici soddisfano l'equazione delle onde, con una velocità di propagazione vuoto pari alla velocità della luce, come determinato sperimentalmente da Heinrich Hertz. Le onde elettromagnetiche, come ad esempio la luce visibile, hanno caratteristiche di propagazione nei mezzi o in presenza di ostacoli dipendenti dalla frequenza (e quindi dalla lunghezza d'onda), alcuni materiali sono trasparenti al passaggio della radiazione elettromagnetica sulla lunghezza d'onda del visibile (come alcuni tipi di vetro), mentre le onde radio sono difficilmente ostacolate nella propagazione da oggetti di piccola dimensione, come anche piccoli edifici, infine la radiazione elettromagnetica a lunghezza d'onda inferiore a quella degli ultravioletti può essere dannosa per la salute dell'uomo. Un caso particolare di onda elettromagnetica è l'onda monocromatica.
Le onde gravitazionali sono distorsioni della curvatura dello spazio tempo che viaggiano come un'onda, propagandosi da una sorgente, come ad esempio un corpo massivo. La loro esistenza è stata prevista da Albert Einstein nel 1916 in base alla relatività generale e dovrebbero teoricamente trasportare energia sotto forma di radiazione gravitazionale. Le principali possibili sorgenti dovrebbero essere i sistemi binari composti da pulsar o buchi neri. L'11 febbraio 2016 il team del rivelatore Advanced LIGO ha annunciato di aver rilevato il 14 settembre 2015 onde gravitazionali causate dalla collisione di due buchi neri.
Le onde gravitazionali sono in generale non lineari e interagiscono con la materia e l'energia. Tuttavia questo fenomeno può essere lineare quando le onde sono molto lontane dalle sorgenti e per piccole perturbazioni dello spazio tempo.
Le onde hanno applicazioni diffusissime nella vita comune e in molti campi di studio tecnico-scientifico: dallo studio delle proprietà delle onde elettromagnetiche emesse da un corpo è possibile risalire alle caratteristiche chimico-fisiche del corpo (spettroscopia); le stesse onde elettromagnetiche (ad es. le onde portanti modulate oppure onda quadra) sono anche il mezzo utilizzato per veicolare informazione all'interno dei sistemi di telecomunicazioni attraverso segnali (es. onda radio nelle radiocomunicazioni); inoltre molte tecniche di diagnostica medica, prospezione geofisica, telerilevamento, applicazioni radar ecc., utilizzano particolari onde elettromagnetiche o acustiche.
