
L'energia meccanica è la somma di energia cinetica ed energia potenziale attinenti allo stesso sistema, da distinguere dall'energia totale del sistema in cui rientra anche l'energia interna.
Quando due sistemi si scambiano tra loro energia meccanica, tale energia in transito è definita lavoro. Dunque l'energia meccanica può essere posseduta da un sistema e scambiata con altri sistemi, mentre il lavoro corrisponde solamente alla parte di energia meccanica che è scambiata.
Per un sistema scleronomo e in presenza di sole forze conservative si dimostra che l'energia meccanica costituisce un integrale di moto, cioè si conserva, e coincide con l'hamiltoniana meccanica. La dimostrazione più semplice discende direttamente dal teorema dell'energia cinetica: se il lavoro compiuto dalle forze è pari alla variazione di energia cinetica del sistema:
Se le forze sono conservative è possibile esprimere il lavoro come variazione di energia potenziale:
si ottiene che la variazione di energia cinetica più la variazione di energia potenziale è identicamente nulla, cioè:
avendo battezzato la quantità "T+U" energia meccanica totale del sistema.
Un corpo in un campo gravitazionale (conservativo) è dotato di una certa energia potenziale dipendente unicamente dall'altezza rispetto ad un punto di riferimento. Se lo lasciamo libero, in assenza di forze dissipative come l'attrito con l'aria, l'energia potenziale iniziale, a mano a mano che cade, si trasforma in energia cinetica (cresce la velocità) mentre la somma delle due energie rimane la stessa.
Chiamando formula_5 e formula_6 rispettivamente la quota rispetto ad un riferimento fisso e la velocità di un corpo all'istante "t", e formula_7 e formula_8 le stesse quantità all'istante iniziale "t"=0, abbiamo:
cioè
che possiamo scrivere come
Il primo membro della precedente esprime l'energia meccanica totale "T + U" del sistema al tempo "t", che è costante ed uguale all'energia meccanica formula_12 del sistema all'istante "t"=0. Quindi:
Alla fine della caduta, quando il corpo urta il pavimento ed è di nuovo fermo, l'energia cinetica è nuovamente nulla, e poiché anche l'energia potenziale è diminuita, concludiamo che in questo evento l'energia meccanica si sia dissipata (in seguito ad un urto anelastico). In realtà l'energia meccanica "scomparsa" risulta essersi convertita in energia termica e, eventualmente, onde sonore: misurando la temperatura dell'oggetto possiamo infatti riscontrarne un lieve aumento, oltre a notare, nel caso in cui sia presente, una perturbazione dell'eventuale mezzo in cui avviene l'urto. Questo è un fatto generale: le leggi di conservazione della fisica implicano la conservazione dell'energia nei sistemi isolati.
Il "pendolo di Maxwell" fornisce un ottimo esempio del principio di conservazione dell'energia meccanica. Il sistema è costituito da un volano. Due fili sono avvolti nello stesso verso attorno all'asse del volano, mentre le estremità opposte sono collegate ad un sostegno orizzontale. Il volano è "caricato" avvolgendo i fili attorno all'asse, in modo tale che il volano si trovi ad una certa altezza rispetto al piano di riferimento. Se lasciato andare, il volano inizia a scendere ed acquista velocità. Arrivato al punto più basso consentito dallo srotolamento dei fili, il pendolo si riavvolge nel verso opposto e risale. In condizioni ideali, esso tornerebbe alla stessa quota di partenza; tuttavia, per la presenza di attriti con i fili e con il mezzo (l'aria), il moto risulta essere invece smorzato, e dopo un certo numero di oscillazioni il pendolo si ferma nel punto più basso consentito dai fili.
Per determinare il periodo di tale pendolo, ovvero il tempo impiegato dal volano per scendere e risalire, si utilizza il principio di conservazione dell'energia:
ovvero le variazioni di energia cinetica, sia di traslazione che rotazionale, compensano le variazioni di energia potenziale. Avendo preso come asse di riferimento l'asse h diretto verso l'alto e come piano di riferimento quel piano orizzontale sul quale giace il punto più basso raggiunto dal volano, alla massima altezza "h" l'energia è tutta potenziale, mentre nel punto più basso ("h" = 0) l'energia è tutta cinetica. Se h e v sono le generiche altezza e velocità all'istante "t", possiamo esplicitare la conservazione dell'energia:
Se esprimiamo "I", il momento di inerzia del volano, come "kmr", con "k" coefficiente adimensionale, la precedente può essere scritta nel seguente modo (ricordando che "v" = ω "r"):
Deriviamo ambo i membri rispetto al tempo (ricordando di includere tutte le dipendenze temporali e di applicare correttamente la regola di derivazione delle funzioni composte):
La legge oraria di un corpo uniformemente accelerato è data da:
Imponendo che Δh sia pari alla massima estensione del volano (cioè "h"("t") = 0), si ricava il tempo "t" nel quale il volano raggiunge il fondo (il periodo "T" è esattamente il doppio):
Quindi, in definitiva:
Consideriamo un corpo di massa "m" con velocità iniziale formula_21 che urti elasticamente un altro corpo, inizialmente fermo, di massa "M".
Dato che l'urto è elastico, l'energia meccanica dell'intero sistema deve conservarsi. Dato che in un urto agiscono forze impulsive è possibile trascurare le altre forze in gioco (es. gravitazionale), quindi l'energia del sistema è data dalla somma delle energie cinetiche dei corpi. Inoltre, dato che in un urto, per definizione, si considera il sistema come isolato, si conserva la quantità di moto. Chiamando "v" la velocità finale del bersaglio, otteniamo il sistema:
Si ricava facilmente, ricavando "v" dalla seconda equazione e sostituendo nella prima:
dove μ è un coefficiente adimensionale che indica il rapporto tra la velocità finale e quella iniziale. Si ricava immediatamente l'energia cinetica finale del proiettile
ovvero
l'energia cinetica del corpo, dopo l'urto, è uguale a quella iniziale per un coefficiente positivo μ detto "di restituzione".
Non sempre le forze che agiscono su un sistema sono conservative, e non sempre l'energia meccanica, dunque, si conserva. Siano allora F e F rispettivamente la somma di tutte le forze conservative e non conservative. Il lavoro da esse compiuto è allora:
Per il teorema dell'energia cinetica, il lavoro corrisponde alla variazione totale di energia cinetica del sistema:
mentre, essendo F forze conservative, è possibile ad esse associare una funzione potenziale "U" tale che il lavoro di tali forze possa essere espresso come:
In questo modo, sostituendo nell'espressione del lavoro, si ha:
Ora a primo membro si riconosce la variazione di energia meccanica del sistema, prova che le variazioni di energia meccanica di un sistema sono dovute esclusivamente al lavoro compiuto dalle forze non conservative sul sistema.
Un esempio di forza non conservativa, preso dall'esperienza di tutti i giorni, è la forza d'attrito. Sebbene in natura non esistano forze non conservative (a livello microscopico), la forza d'attrito è considerata non conservativa, in primo luogo perché essa, in generale, non è costante, perlomeno in direzione e verso; in secondo luogo perché gli effetti che essa produce (generalmente surriscaldamento delle parti a contatto) non sono conteggiati nel computo dell'energia meccanica. Analogamente, non sono conteggiati i contributi del campo elettromagnetico che produce un lavoro non conservativo e dipendente dallo spostamento.


In fisica, l'energia potenziale di un oggetto è l'energia che esso possiede a causa della sua posizione o del suo orientamento rispetto ad un campo di forze. Nel caso si tratti di un sistema, l'energia potenziale può dipendere dalla disposizione degli elementi che lo compongono. Si può vedere l'energia potenziale anche come la capacità di un oggetto (o sistema) di trasformare la propria energia in un'altra forma di energia, come ad esempio l'energia cinetica.
Il termine "energia potenziale" fu coniato da Rankine nel 1853.
Nel sistema internazionale è misurata in joule ("J").
Si tratta di una funzione scalare delle coordinate dell'oggetto nel sistema di riferimento utilizzato. Dato un campo vettoriale conservativo, l'energia potenziale è la sua capacità di compiere lavoro: il lavoro relativo a una forza che agisce su un oggetto è l'integrale di linea di seconda specie della forza valutato sul cammino compiuto dall'oggetto, e se essa è conservativa il valore di questo integrale non dipende dal tipo di cammino seguito. Quando si ha a che fare con forze conservative si può definire un potenziale scalare definito in tutto lo spazio, usualmente il potenziale è definito come l'energia potenziale fratto la variabile che è responsabile della forza. In particolare, dal punto di vista matematico tale potenziale esiste solo se la forza è conservativa, e del resto si assume che per tutte le forze conservative si può sempre definire fisicamente un'energia potenziale.
L'energia potenziale può essere definita anche per il campo magnetico, che non è conservativo, nelle regioni in cui vi è assenza di correnti elettriche. In tal caso, infatti, il rotore del campo è nullo. L'energia potenziale magnetica di un magnete in un campo magnetico è definita come il lavoro della forza magnetica (il momento meccanico) nel ri-allineare il momento di dipolo magnetico.
Se in una regione di spazio sono presenti una qualche forza e un oggetto che è sensibile alla presenza della forza, l'energia potenziale (associata alla forza) posseduta dall'oggetto è definita come la differenza tra l'energia che esso possiede a causa della forza in una data posizione nello spazio e l'energia posseduta in una posizione scelta come riferimento. Spesso nella posizione scelta come riferimento l'energia potenziale è nulla.
L'energia potenziale è definibile come il lavoro necessario a portare a distanza infinita due molecole, ed è pari a zero quando la distanza tra le molecole è infinita.
Data una forza formula_1, il lavoro formula_2 lungo una curva formula_3 è dato in generale dalla relazione:
che in forma locale si scrive:
Nel caso il campo di forze sia conservativo, il lavoro non dipende dal tipo di percorso compiuto, ma soltanto dall'entità della forza agli estremi del cammino (gli estremi di integrazione): il differenziale formula_6 è allora un differenziale esatto, e il campo conservativo corrisponde (per definizione) al gradiente di un campo scalare, chiamato potenziale. In questo caso, se l'oggetto si sposta da un punto formula_7 a un punto formula_8 la forza esercitata dal campo compie un lavoro pari all'opposto formula_9 della differenza formula_10 tra l'energia potenziale posseduta dall'oggetto nelle due posizioni iniziale e finale:
Il motivo del segno meno, per cui il lavoro è pari all'opposto dell'energia, è il fatto che in questo modo a un lavoro positivo corrisponde una riduzione del potenziale. Poiché è possibile fissare arbitrariamente il livello zero dell'energia potenziale, essa viene definita a meno di una costante additiva. Nel caso più semplice, in cui il moto si svolge in una sola direzione, l'energia potenziale di una forza conservativa è pari a una qualche primitiva della forza, cambiata di segno:
dove formula_13 è la costante additiva. Fissando formula_14 si determina qual è la primitiva, e pertanto si rende necessario imporre delle condizioni al contorno: per le forze nulle all'infinito si utilizza la condizione al contorno di Dirichlet formula_15, detta "condizione di località".
Nel caso tridimensionale, se il dominio è un insieme stellato il lemma di Poincaré fornisce una condizione sufficiente e necessaria affinché nel punto formula_16 la forza sia l'opposto formula_17 del gradiente formula_18 di un potenziale scalare formula_19 (ovvero sia conservativa):
Inoltre, l'integrale si può separare:
dove il punto formula_22 è scelto arbitrariamente e i vettori formula_23, formula_24 e formula_25 sono i versori canonici di formula_26.
formula_32 dove formula_33 è la costante di gravitazione universale e formula_34 la massa del corpo maggiore. In quest'ultima il livello di zero di formula_19 è posto a distanza infinita dal corpo celeste, e di conseguenza i valori di formula_19 sono sempre negativi.
Una forza di posizione agente su un punto materiale qualsiasi dello spazio tridimensionale in un sistema di riferimento viene definita in particolare come:
dove formula_46, formula_49, formula_50 sono le coordinate cartesiane di un generico punto nel riferimento, e agisce su un punto materiale di massa formula_27.
Si nota subito che questa forza è di tipo "non locale", in quanto non è nulla all'infinito:
Il calcolo del lavoro della forza lungo la curva formula_53 parametrizzata da:
avviene tramite un integrale curvilineo, oppure controllando che possa esistere una funzione energia potenziale associata alla forza formula_55. La forza è definita su tutto formula_56. Per il lemma di Poincaré se il campo è irrotazionale esiste una funzione energia potenziale associata. 
Il rotore di formula_55 è:
Il campo è quindi conservativo: ciò significa che il lavoro compiuto dalla forza non dipende dalla traiettoria del corpo. La funzione energia potenziale si calcola nel seguente modo:
Imponendo la condizione di località:
Risulta quindi che il campo di energia potenziale è di tipo "non locale" (come anche la forza che la origina).
Chiamando:
il lavoro compiuto dalla forza lungo la traiettoria formula_53 è funzione dei soli estremi del percorso e pari a:
Come si vede l'imposizione della condizione di località non ha alcun influsso sul lavoro (né l'avrebbe sulla forza). Inoltre, se la forza formula_55 è l'unica forza presente, si conserva l'energia meccanica del sistema formula_66, anche se risulta infinita:
e quindi la conservatività della quantità meccanica:
non dipende dalla condizione di località.
