
In matematica, un vettore è un elemento di uno spazio vettoriale. I vettori sono quindi elementi che possono essere sommati fra loro e moltiplicati per dei numeri, detti "scalari".
I vettori sono comunemente usati in fisica per indicare grandezze che sono completamente definite solo quando sono specificati sia una magnitudine (o modulo) che una direzione ed un verso rispetto ad un altro vettore o un sistema di vettori. Le grandezze che possono essere descritte in questo modo sono chiamate grandezze vettoriali, in contrapposizione alle grandezze scalari che sono caratterizzate unicamente dallo loro magnitudine.
Il concetto matematico di vettore nasce dall'idea intuitiva di una grandezza fisica (come ad esempio spostamento, accelerazione e forza) caratterizzata da intensità, direzione e verso nello spazio tridimensionale. A seguito dell'introduzione delle coordinate cartesiane una grandezza di questo tipo poteva essere rappresentata da una terna di numeri reali: le componenti relative a tre direzioni spaziali di riferimento. Nella successiva formalizzazione matematica si è giunti a definire il concetto generale di spazio vettoriale, come insieme in cui è definita l'operazione di combinazione lineare di due o più elementi.
In vari settori della matematica e della fisica, come l'analisi funzionale o la meccanica quantistica, il concetto di spazio vettoriale è applicato agli spazi di funzioni, in cui i vettori sono funzioni, come gli spazi di Hilbert e gli spazi di Banach.
La più semplice e riduttiva rappresentazione di vettore è il segmento orientato. In geometria un segmento orientato formula_1, o "vettore applicato", è un segmento formula_2 dotato di un'orientazione, che rende formula_1 diverso da formula_4. Nello spazio bidimensionale può essere visualizzato con un punto "iniziale" formula_5 e un punto "finale" formula_6, e viene anche denotato con formula_7. Nell'insieme di tutti i segmenti orientati si definisce una relazione di equivalenza, detta di "equipollenza", convenendo che due segmenti orientati sono equipollenti se hanno la stessa direzione, la stessa lunghezza e lo stesso verso. La classe di equivalenza definisce un vettore. La classe di equipollenza individuata da un vettore applicato formula_7 è di solito denotata con il simbolo formula_9; si dice anche che formula_7 è un rappresentante (non certamente unico) del vettore libero formula_9. In questo modo è possibile definire in maniera naturale la somma formula_12.
I vettori sono definiti come facenti parte di uno spazio vettoriale; il piano cartesiano formula_13, inteso come piano affine con un punto fissato formula_14, è un esempio di spazio vettoriale (isomorfo allo spazio tangente in formula_14): un vettore è rappresentato in tal caso come un punto del piano cartesiano determinato da una coppia di numeri reali formula_16. Disegnando una freccia che parte nell'origine formula_17 e arriva in formula_16, si ottiene la "rappresentazione geometrica" del vettore formula_16. Nello spazio tridimensionale un vettore è analogamente una terna di numeri reali formula_20.
In generale, in dimensione formula_21 arbitraria (finita), l'insieme:
è uno spazio vettoriale di dimensione formula_21, i cui vettori sono ennuple di numeri reali:
Numerosi esempi di spazi vettoriali possono essere costruiti sostituendo il campo formula_25 dei numeri reali con un campo qualsiasi formula_26, ad esempio il campo formula_27 dei numeri complessi. Una ennupla di numeri complessi è quindi un vettore dello spazio vettoriale formula_28. Ogni spazio vettoriale formula_29 (sopra il campo formula_26) di dimensione finita è in effetti identificabile con formula_31, dopo aver fissato una opportuna base.
In molti spazi vettoriali di dimensione infinita un vettore può essere descritto come una successione (infinita) di numeri: questo argomento necessita però di strumenti più sofisticati, quali ad esempio la struttura di spazio di Hilbert.
In quanto elementi di uno spazio vettoriale, i vettori possono essere sommati fra loro e moltiplicati per uno scalare secondo le operazioni che definiscono lo spazio vettoriale stesso.
In due dimensioni i vettori possono essere sommati con la regola del parallelogramma, che corrisponde alla somma formula_32 di due vettori formula_33 e formula_34.
In generale, la somma di due vettori formula_35 e formula_36 in formula_31 è definita nel modo seguente:
La somma è associativa, commutativa e possiede l'elemento neutro che è il vettore nullo; inoltre ogni elemento ha un opposto. In altre parole, i vettori con la somma formano un gruppo abeliano.
Il prodotto di uno scalare formula_39 in formula_26 per un vettore formula_41 in formula_31 è definito nel modo seguente:
In particolare, formula_44. Il prodotto è associativo e gode della proprietà distributiva rispetto alla somma.
L'estensione del concetto di coordinate rispetto agli assi di un piano cartesiano è quello di coordinate di un vettore rispetto ad una base. Una base è un insieme di vettori tale per cui ogni elemento dello spazio vettoriale può essere scritto in modo unico come combinazione lineare dei vettori appartenenti a tale insieme. Una base del piano cartesiano sono ad esempio i vettori formula_45, poiché ogni vettore del piano si può scrivere come somma di essi moltiplicati ciascuno per un opportuno scalare.
Nello specifico, dato uno spazio vettoriale formula_29 su un campo formula_26, l'insieme formula_48 di vettori di formula_29 è una base di formula_29 se tali vettori sono linearmente indipendenti in formula_26 e generano formula_29, ovvero:
In particolare, per ogni vettore formula_54 di formula_29 gli scalari formula_56 sono le sue coordinate rispetto alla base scelta.
Data quindi una base formula_57, un qualsiasi vettore formula_58 può essere espresso come combinazione lineare:
La scomposizione di vettori è una procedura utilizzata ad esempio in fisica per scomporre le forze lungo direzioni particolari (ad esempio parallele e perpendicolari a determinati vincoli).
Un caso particolare di sistema di riferimento è quello ortonormale, in cui i vettori scelti come base sono tra loro ortogonali (base ortogonale) e tutti di lunghezza unitaria, cioè versori. Nel caso del piano o dello spazio euclideo, un tale sistema di coordinate è detto cartesiano. Un vettore viene dunque scomposto nelle sue "componenti cartesiane" e, convenzionalmente, i versori sono denominati con i simboli formula_60, formula_61 e formula_62 rispettivamente per gli assi formula_63, formula_64 e formula_65. I versori sono tali che:
con formula_67 il prodotto vettoriale. Un vettore formula_68 può allora essere scritto come combinazione lineare dei versori canonici:
In generale, in un sistema di riferimento cartesiano, le componenti di un vettore coincidono con i coefficienti di Fourier.
Gli elementi di uno spazio vettoriale non hanno automaticamente una "lunghezza", questa è definita solo se si aggiunge un'ulteriore struttura matematica: la norma (o modulo) di un vettore, quindi il modulo non è una proprietà intrinseca del vettore.
Uno spazio vettoriale in cui è definita la norma di un vettore è uno spazio normato. Su un qualsiasi spazio vettoriale è possibile definire vari tipi di norme. Ad esempio la norma euclidea di un vettore formula_70 è il numero reale non negativo:
Questa quantità è geometricamente interpretata come la lunghezza del vettore. Ovviamente è possibile anche definire una norma differente da quella euclidea su formula_72 in tal caso si ottengono geometrie non euclidee.
Un altro esempio è il seguente: lo spazio delle funzioni continue a valori reali definite su un intervallo chiuso formula_73 può essere dotato della norma :
Definendo una forma quadratica formula_75 nello spazio vettoriale considerato si associa ad ogni coppia di vettori formula_76 e formula_77 uno scalare formula_78. Ad esempio la norma formula_79 caratterizza la "lunghezza" del vettore formula_76. Spesso la forma quadratica considerata è un prodotto scalare, che caratterizza la struttura dello spazio euclideo: così due vettori formula_76 e formula_77 sono ortogonali se formula_83, mentre sono paralleli quando formula_84 assume valore massimo.
Il prodotto scalare "standard" di due vettori formula_54 e formula_86 in formula_72 è il numero:
Il prodotto scalare tra due vettori viene indicato usualmente con uno dei simboli seguenti:
dove formula_90 fa riferimento al prodotto matriciale tra un vettore riga e un vettore colonna, con formula_91 la trasposta di formula_54, che è equivalente al prodotto scalare standard.
Importanti spazi muniti di prodotto interno sono lo spazio euclideo (reale) e lo spazio di Hilbert (complesso).
Tramite il prodotto scalare standard è possibile scrivere la norma euclidea come:
Le applicazioni che agiscono su uno spazio vettoriale e restituiscono un numero sono dette funzionali. L'insieme dei funzionali lineari definiti sui vettori di uno spazio vettoriale formula_29 è lo spazio duale formula_95, i cui elementi però, non essendo vettori, non subiscono una trasformazione controvariante al cambiamento di coordinate, bensì una trasformazione covariante (sono quindi covettori). Ad esempio, l'impulso o il momento angolare sono covettori.
Il prodotto scalare definisce in modo naturale un isomorfismo tra vettori e covettori, cioè tra lo spazio vettoriale e il suo duale. Se il prodotto scalare è euclideo e la base è ortonormale allora le componenti di vettori e covettori coincidono, motivo per cui la loro distinzione è spesso trascurata nei testi di fisica più elementari.
Nello spazio tridimensionale sono particolarmente utilizzate alcune operazioni aggiuntive fra i vettori.
Il prodotto vettoriale è un'operazione definita tra due vettori formula_54 e formula_97 di formula_98 che restituisce un terzo vettore formula_99 che ha la direzione della retta perpendicolare al piano individuato da formula_54 e formula_97, e il suo modulo è dato dalla formula:
dove formula_103 è l'angolo fra formula_54 e formula_97. Il verso del vettore formula_86 è dato dalla regola della mano destra: disponendo pollice, indice e medio perpendicolari tra loro, se il pollice indica la direzione di formula_54 e l'indice la direzione di formula_97, allora il medio indica la direzione di formula_86 (si veda la figura a lato).
Esplicitamente il prodotto vettoriale è dato da:
dove formula_112 indica il determinante e formula_113 sono i versori degli assi. Il prodotto vettoriale si indica talvolta anche con la notazione formula_114.
Si nota che il prodotto vettoriale è nullo se almeno uno dei due vettori è il vettore nullo, oppure se i vettori sono tra loro paralleli. Inoltre il prodotto vettoriale soddisfa l'identità ciclica di Jacobi, è distributivo rispetto alla somma:
ed anticommutativo:
Un prodotto misto è un'espressione in cui compaiono contemporaneamente prodotti scalari e vettoriali di vettori. Ad esempio, il prodotto misto di tre vettori formula_117, formula_118, formula_119 è del tipo formula_120 ed è uno scalare. Il valore assoluto di questo scalare non dipende dall'ordine dei tre vettori e misura il volume del parallelepipedo costruito su di essi.
Un prodotto misto che comprende due o più prodotti vettoriali è sempre riconducibile ad una somma di prodotti misti più semplici, ciascuno avente al più un prodotto vettoriale. Ad esempio:
Una matrice costituita da una sola riga, ovvero di dimensione formula_122, viene detta vettore riga; una matrice costituita da una sola colonna, ovvero di dimensione formula_123, viene detta vettore colonna. L'operatore di trasposizione, denotato generalmente con una formula_124 ad esponente (formula_125) trasforma vettori riga in vettori colonna e viceversa. Spesso i vettori di formula_72 vengono descritti come vettori colonna, per poter descrivere le trasformazioni lineari come prodotto con una matrice.
I vettori di formula_31 possono essere considerati delle matrici a una riga o una colonna. Per questo motivo è lecito parlare di moltiplicazioni tra matrici e vettori; in ossequio alle regole della moltiplicazione di matrici, un vettore colonna formula_54 (di dimensione formula_123) sarà moltiplicabile "a sinistra" per una matrice formula_130 a condizione che il numero di colonne di formula_130 sia formula_21.
Generalmente si intende e si usa questo tipo di moltiplicazione, anche se in linea di principio è anche possibile moltiplicare "a destra" un vettore formula_122 per una matrice con formula_21 righe.
Il prodotto di Kronecker, definibile come prodotto tensoriale fra un vettore e uno trasposto rispettivamente in formula_31 e formula_136, è la matrice formula_137:
dove la formula_124 ad apice indica l'operazione di trasposizione. Ad esempio per formula_140:
Più in generale, dati due vettori formula_54 e formula_86 appartenenti a due spazi vettoriali formula_29 e formula_145 sopra lo stesso campo formula_26, il prodotto tensoriale tra i due vettori è un tensore di rango formula_147
Se formula_29 e formula_145 sono spazi vettoriali di dimensione formula_21 e formula_152, fissate due basi, il prodotto tensoriale formula_153 è descrivibile come uno spazio di matrici ed il prodotto tensoriale in coordinate si scrive come sopra.
In uno spazio di dimensione finita un vettore può essere definito come una ennupla di numeri formula_154 che in seguito ad un cambio di sistema di riferimento subiscono una trasformazione controvariante, ovvero passando dal sistema di coordinate formula_155 al sistema formula_156 si ha:
dove si è utilizzata la notazione di Einstein, e formula_158 sono le componenti del vettore nel nuovo sistema di riferimento. Un vettore è dunque un tensore di tipo formula_159. Uno scalare può del resto essere pensato come un vettore di una sola componente, e coincide con un tensore di rango formula_160.


In fisica, il campo elettrico è un campo di forze generato nello spazio dalla presenza di una o più cariche elettriche o di un campo magnetico variabile nel tempo. Insieme al campo magnetico esso costituisce il campo elettromagnetico, responsabile dell'interazione elettromagnetica.
Introdotto da Michael Faraday, il campo elettrico si propaga alla velocità della luce ed esercita una forza su ogni oggetto elettricamente carico. Nel sistema internazionale di unità di misura si misura in newton su coulomb (N/C), o in volt su metro (V/m). Se è generato dalla sola distribuzione stazionaria di carica spaziale, il campo elettrico è detto elettrostatico ed è conservativo.
Sperimentalmente si verifica l'attrazione o la repulsione tra corpi dotati di carica elettrica, corrispondente a due stati di elettrizzazione della materia. La carica si definisce positiva quando vi è una carenza di elettroni nell'oggetto, negativa in presenza di un eccesso. Corpi elettrizzati entrambi positivamente o entrambi negativamente si respingono, mentre corpi elettrizzati in modo opposto si attraggono.
Per misurare l'elettrizzazione di un corpo si usa uno strumento chiamato elettroscopio a foglie, costituito da un'ampolla di vetro nella quale è inserita un'asta metallica la quale, all'interno dell'ampolla, ha due linguette metalliche molto sottili, dette "foglie", mentre all'esterno essa può essere messa a contatto con un corpo carico. Mettendo a contatto con l'asta un corpo carico, le linguette si allontanano l'una dall'altra in proporzione all'elettrizzazione del corpo che è stato messo a contatto.
A partire da tali evidenze sperimentali, nella seconda metà del diciottesimo secolo Charles Augustin de Coulomb formulò la legge di Coulomb, che quantifica la forza elettrica attrattiva o repulsiva che due corpi puntiformi carichi elettricamente si scambiano a distanza. A partire da tale legge si può affermare che un corpo carico elettricamente produce nello spazio circostante un campo tale per cui, se si introduce una carica elettrica, questa risente dell'effetto di una forza, detta forza di Coulomb, direttamente proporzionale al prodotto delle due cariche e inversamente proporzionale al quadrato della loro distanza.
Nel vuoto, il campo elettrico formula_1 in un punto dello spazio è definito come la forza per unità di carica elettrica positiva alla quale è soggetta una carica puntiforme formula_2, detta carica "di prova", se posta nel punto:
Il vettore campo elettrico formula_1 in un punto è quindi definito come il rapporto tra la forza elettrica agente sulla carica di prova ed il valore della carica stessa, purché la carica di prova sia sufficientemente piccola da provocare una perturbazione trascurabile sull'eventuale distribuzione di carica che genera il campo. Il campo è dunque indipendente dal valore della carica di prova usata, essendone indipendente il rapporto tra la forza e la carica stessa, e questo mostra che il campo elettrico è una proprietà caratteristica dello spazio. Dalla definizione si ricava che l'unità di misura del campo elettrico è formula_5, che equivale a formula_6.
Dalla legge di Coulomb segue che una carica formula_7 posta in formula_8 genera un campo elettrico che in un punto qualsiasi formula_9 è definito dalla seguente espressione:
dove formula_11 è la costante dielettrica del vuoto.
Per un numero "n" di cariche puntiformi formula_12 distribuite nello spazio il campo elettrostatico nella posizione formula_9 è dato da:
In generale, per una distribuzione continua di carica si ha:
dove formula_16 rappresenta la densità di carica nello spazio:
e formula_18 rappresenta la regione di spazio occupata dalla distribuzione di carica. Il campo elettrico si può esprimere come gradiente di un potenziale scalare, il potenziale elettrico:
Essendo il potenziale elettrico un campo scalare, il campo elettrico è conservativo.
Il campo elettrico è un campo vettoriale rappresentato attraverso linee di campo: una carica puntiforme positiva produce le linee di campo radiali uscenti da essa, ed è definita sorgente delle linee di forza, mentre per una carica puntiforme negativa le linee di campo sono radiali ed entranti verso la carica, che è così definita pozzo di linee di forza. Le linee di livello a potenziale elettrico costante sono dette superfici equipotenziali, e sono perpendicolari alle linee di flusso del campo elettrico.
Il fatto che una superficie chiusa che racchiuda la sorgente del campo sia attraversata da tutte le linee di forza generate dalla sorgente, si formalizza attraverso il teorema del flusso, anche detto teorema di Gauss, che definisce una proprietà matematica generale per il campo vettoriale elettrico. Nel vuoto il teorema afferma che il flusso del campo elettrico attraverso una superficie chiusa contenente una distribuzione di carica caratterizzata dalla densità di carica volumetrica formula_20 è pari alla carica totale contenuta nel volume racchiuso dalla superficie diviso per la costante dielettrica del vuoto:
Applicando il teorema della divergenza alla prima relazione ed uguagliando gli integrandi si ottiene:
Tale equazione è la prima delle equazioni di Maxwell, e costituisce la forma locale del teorema di Gauss per il campo elettrico.
Il campo elettrostatico viene generato da una distribuzione di carica indipendente dal tempo. Condizione necessaria e sufficiente perché un campo vettoriale sia conservativo in un insieme semplicemente connesso, ad esempio, un insieme stellato o convesso, è che la circuitazione del campo, cioè l'integrale del campo lungo una linea chiusa, sia nulla:
Questo avviene solamente in condizioni stazionarie.
In maniera equivalente, il campo elettrostatico è conservativo dal momento che esiste una funzione scalare, il potenziale elettrico, tale che l'integrale per andare da un punto A ad un punto B non dipenda dal cammino percorso ma solo dal valore della funzione agli estremi:
Dal teorema della divergenza e dal teorema del flusso si ricava la prima equazione di Maxwell nel vuoto:
Per la conservatività del campo elettrostatico è possibile enunciare la terza equazione di Maxwell nel vuoto nelle forme:
Combinando la prima con la seconda si ottiene l'equazione di Poisson:
dove con formula_28 si indica l'operatore differenziale laplaciano. La soluzione dell'equazione di Poisson è unica se sono date le condizioni al contorno. In particolare, un potenziale che soddisfi l'equazione di Poisson e che sia nullo a distanza infinita dalle sorgenti del campo coincide necessariamente con il potenziale elettrico, dato dall'espressione:
In assenza di cariche sorgenti del campo l'equazione diventa omogenea, e prende il nome di equazione di Laplace:
dalla quale risulta che in assenza di cariche il potenziale è una funzione armonica.
Risolvere l'equazione di Poisson in regioni di spazio limitate significa risolvere il problema generale dell'elettrostatica per opportune condizioni al contorno, come l'assenza o la presenza di conduttori e cariche elettriche localizzate. In particolare se ne distinguono tre tipi:
In questo caso non sono presenti cariche localizzate, ed il campo elettrostatico è generato da un sistema di conduttori di geometria nota e potenziale noto. In questo caso vale l'equazione di Laplace, dove le condizioni al contorno sono che il potenziale sia nullo all'infinito e valga formula_31 sulla superficie dei conduttori. Una volta ricavati i potenziali per ogni punto nello spazio risolvendo l'equazione di Laplace, si ricava il campo elettrostatico, ed è possibile determinare la densità di carica superficiali formula_32 sui conduttori mediante il teorema di Coulomb. Infine, si può trovare la carica netta totale su tutti i conduttori e i coefficienti di capacità su questi tramite il seguente sistema, che consente di ricavare i coefficienti.
In questo caso il campo elettrostatico è dato da un sistema di conduttori di geometria nota di cui sono note le cariche su ognuno. Si danno quindi dei potenziali arbitrari sui conduttori formula_34 e si risolve il "problema di Dirichlet" come sopra. Dal momento che le cariche sono note ed i coefficienti di capacità sono indipendenti dalle cariche e dai potenziali, essendo dipendenti solo dal loro rapporto, dal sistema del caso precedente si ricavano i reali potenziali formula_35.
Un esempio può essere quello di avere una distribuzione di carica formula_20 nota nello spazio ed un sistema di conduttori di cui si conoscono solo le cariche su ognuno. Il problema è quello di risolvere l'equazione di Poisson, e dal momento che non si conoscono i potenziali il problema diventa un sistema di equazioni del tipo:
dove i numeri formula_38 sono i coefficienti della matrice di potenziale. Per calcolare i potenziali si utilizza poi il metodo dei potenziali di prova.
L'elettrostatica e la magnetostatica rappresentano due casi particolari di una teoria più generale, l'elettrodinamica, dal momento che trattano i casi in cui i campi elettrico e magnetico non variano nel tempo. In condizioni stazionarie il campo elettrico ed il campo magnetico possono essere infatti trattati indipendentemente l'uno dall'altro, tuttavia in condizioni non stazionarie i due campi appaiono come le manifestazioni di una stessa entità fisica: il campo elettromagnetico.
Le stesse cariche che sono sorgente del campo elettrico, infatti, quando sono in moto generano un campo magnetico. Questo fatto è descritto dalle due leggi fisiche che correlano i fenomeni elettrici con quelli magnetici: la legge di Ampere-Maxwell e la sua simmetrica legge di Faraday, descritte nel seguito.
La legge di Faraday afferma che la forza elettromotrice indotta in un circuito chiuso da un campo magnetico è pari all'opposto della variazione del flusso magnetico del campo attraverso l'area abbracciata dal circuito nell'unità di tempo:
dove formula_40 è il flusso del campo magnetico formula_41. Dalla definizione di forza elettromotrice la precedente relazione può essere scritta come:
applicando il teorema del rotore al primo membro:
si giunge a:
Uguagliando gli integrandi segue la forma locale della legge di Faraday, che rappresenta la terza equazione di Maxwell:
Ovvero il campo elettrico può essere generato da un campo magnetico variabile nel tempo. Una conseguenza fondamentale della legge di Faraday è che il campo elettrico in condizioni non stazionarie non è più conservativo, dal momento che la sua circuitazione non è più nulla. Inoltre, avendo definito:
dove formula_47 è il potenziale vettore magnetico, dalla legge di Faraday segue che:
Dal momento che il rotore è definito a meno di un gradiente, si ha:
Il campo elettrico è così scritto in funzione dei potenziali associati al campo elettromagnetico.
L'estensione della legge di Ampère al caso non stazionario mostra come un campo elettrico variabile nel tempo sia sorgente di un campo magnetico. Ponendo di essere nel vuoto, la forma locale della legge di Ampère costituisce la quarta equazione di Maxwell nel caso stazionario:
Tale relazione vale solamente nel caso stazionario poiché implica che la divergenza della densità di corrente sia nulla, contraddicendo in questo modo l'equazione di continuità per la corrente elettrica:
Per estendere la legge di Ampère al caso non stazionario è necessario inserire la prima legge di Maxwell nell'equazione di continuità:
Il termine
è detto corrente di spostamento, e deve essere aggiunto alla densità di corrente nel caso non stazionario.
Inserendo la densità di corrente generalizzata così ottenuta nella legge di Ampère:
si ottiene la quarta equazione di Maxwell nel vuoto. Tale espressione mostra come la variazione temporale di un campo elettrico sia sorgente di un campo magnetico.
La presenza di materiale dielettrico nello spazio ove esista un campo elettrico formula_1 modifica il campo stesso. Questo è dovuto al fatto che gli atomi e le molecole che compongono il materiale si comportano come dipoli microscopici e si polarizzano in seguito all'applicazione di un campo elettrico esterno. L'effetto della polarizzazione elettrica può essere descritto riconducendo la polarizzazione dei dipoli microscopici ad una grandezza vettoriale macroscopica, che descriva il comportamento globale del materiale soggetto alla presenza di un campo elettrico esterno. Il vettore "intensità di polarizzazione", anche detto vettore di "polarizzazione elettrica" e indicato con formula_56, è il dipolo elettrico per unità di volume posseduto dal materiale.
La polarizzazione del dielettrico crea entro il materiale una certa quantità di carica elettrica indotta, detta carica di polarizzazione formula_57. Introducendo tale distribuzione di carica nella prima delle equazioni di Maxwell, che esprime la forma locale del teorema del flusso per il campo elettrico, si ha:
dove formula_59 è la densità di cariche libere e nel secondo passaggio si è utilizzata la relazione tra la densità volumica di carica di polarizzazione ed il vettore di polarizzazione. Si ha quindi:
L'argomento dell'operatore differenziale è il vettore induzione elettrica, definito come:
E la prima equazione di Maxwell assume la forma:
La maggior parte dei materiali isolanti può essere trattata come un dielettrico lineare omogeneo ed isotropo, questo significa che tra il dipolo indotto nel materiale ed il campo elettrico esterno sussista una relazione lineare. Si tratta di un'approssimazione di largo utilizzo, ed in tal caso i campi formula_63 e formula_64 sono equivalenti a meno di un fattore di scala:
e di conseguenza:
La grandezza formula_67 è la costante dielettrica relativa, e dipende dalle caratteristiche microscopiche del materiale. Se il materiale non è omogeneo, lineare ed isotropo, allora formula_68 dipende da fattori come la posizione all'interno del mezzo, la temperatura o la frequenza del campo applicato.
Nel dominio delle frequenze, per un mezzo lineare e indipendente dal tempo sussiste la relazione:
dove formula_70 è la frequenza del campo.
Inserendo il vettore di induzione elettrica nelle equazioni di Maxwell nei materiali, considerando il caso in cui il dielettrico sia perfetto e isotropo e ponendo che anche per il campo magnetico nei materiali sussista una relazione di linearità, si ha:
dove formula_72 è il campo magnetico nei materiali, e costituisce l'analogo del vettore induzione elettrica per la polarizzazione magnetica.
Considerando dielettrici perfetti ed isotropi, è possibile definire le condizioni di raccordo del campo elettrostatico quando attraversa due dielettrici di costante dielettrica relativa formula_73 e formula_74. Sulla superficie di separazione si consideri una superficie cilindrica di basi formula_75 e altezza formula_76 infinitesima, di ordine di grandezza superiore alla base. Applicando il flusso di Gauss uscente dalle basi si evince che il flusso infinitesimo è nullo poiché non vi sono cariche libere localizzate al suo interno:
dove formula_78 sono le componenti normali del campo di spostamento elettrico. In termini di campo elettrico si ha quindi:
Per la componente tangenziale del campo elettrico vale il teorema di Coulomb, ovvero la direzione del campo elettrico è normale alla superficie del conduttore, e pertanto la componente tangenziale si conserva:
In termini di campo di spostamento elettrico:
Attraversando la superficie di separazione tra due dielettrici perfetti ed isotropi, quindi, la componente normale del campo elettrico subisce una discontinuità mentre quella tangenziale non si modifica, viceversa per il campo di spostamento elettrico. Unendo le due relazioni si ottiene la legge di rifrazione delle linee di forza del campo elettrico:
e dunque:
dove
è l'angolo di rifrazione.
Il campo elettromagnetico è dato dalla combinazione del campo elettrico formula_1 e del campo magnetico formula_41, solitamente descritti con vettori in uno spazio a tre dimensioni. Il campo elettromagnetico interagisce nello spazio con cariche elettriche e può manifestarsi anche in assenza di esse, trattandosi di un'entità fisica che può essere definita indipendentemente dalle sorgenti che l'hanno generata. In assenza di sorgenti il campo elettromagnetico è detto onda elettromagnetica, essendo un fenomeno ondulatorio che non richiede di alcun supporto materiale per diffondersi nello spazio e che nel vuoto viaggia alla velocità della luce. Secondo il modello standard, il quanto della radiazione elettromagnetica è il fotone, mediatore dell'interazione elettromagnetica.
La variazione temporale di uno dei due campi determina il manifestarsi dell'altro: campo elettrico e campo magnetico sono caratterizzati da una stretta connessione, stabilita dalle quattro equazioni di Maxwell. Le equazioni di Maxwell, insieme alla forza di Lorentz, definiscono formalmente il campo elettromagnetico e ne caratterizzano l'interazione con oggetti carichi. Le prime due equazioni di Maxwell sono omogenee e valgono sia nel vuoto che nei mezzi materiali, e rappresentano in forma differenziale la Legge di Faraday e la legge di Gauss per il campo magnetico. Le altre due equazioni descrivono il modo con cui il materiale in cui avviene la propagazione interagisce, polarizzandosi, con il campo elettrico e magnetico, che nella materia sono denotati con formula_87 e formula_88. Esse mostrano in forma locale la Legge di Gauss elettrica e la Legge di Ampère-Maxwell.
La forza di Lorentz è la forza formula_89 che il campo elettromagnetico genera su una carica formula_2 puntiforme:
dove formula_92 è la velocità della carica.
Le equazioni di Maxwell sono formulate anche in elettrodinamica quantistica, dove il campo elettromagnetico viene quantizzato. Nell'ambito della meccanica relativistica, i campi sono descritti dalla teoria dell'elettrodinamica classica in forma covariante, cioè invariante sotto trasformazione di Lorentz. Nell'ambito della teoria della Relatività il campo elettromagnetico è rappresentato dal tensore elettromagnetico, un tensore a due indici di cui i vettori campo elettrico e magnetico sono particolari componenti.
