
Il moto parabolico è un tipo di moto bidimensionale esprimibile attraverso la combinazione di due moti rettilinei simultanei ed indipendenti:
Il moto parabolico può essere descritto mediante le relazioni della cinematica che legano i vettori posizione, velocità, ed accelerazione.
La più significativa realizzazione di tale moto è fornita dal "moto del proiettile" in cui si utilizzano le seguenti semplificazioni (approssimazioni della fisica e della geometria del problema):
Si supponga che un corpo sia lanciato all'istante "t=0" nell'origine "O" di un sistema di coordinate cartesiano "Oxy", e che la velocità iniziale abbia modulo "v" e formi un angolo θ con l'asse "x" orizzontale.
Dalle leggi del moto uniformemente accelerato si ha:
Ipotizzando che il corpo si trovi in prossimità della terra, è possibile considerare la funzione formula_2 come costante, con valore pari a formula_3 diretta lungo la perpendicolare al terreno (asse y), per cui si ha:
Come si può notare dalla formula, la velocità giace sempre nel piano formato dai vettori costanti formula_5 e formula_6, ovvero quello su cui si svolge il moto.
Il vettore velocità può essere scomposto lungo le due componenti "x" e "y":
Dalla relazione precedente, si ricava:
Proiettando le velocità sugli assi si ottengono le componenti:
costante nel tempo, e
da cui, integrando, si ricavano le leggi orarie dei moti lungo gli assi "x" e "y":
La traiettoria viene ricavata eliminando la variabile temporale, ossia, esprimendo il rapporto:
e esplicitando il parametro formula_13 dalla legge oraria formula_14:
In tal modo si arriva all'equazione cartesiana:
da cui, moltiplicando per x ambo i membri, si ottiene
che rappresenta una parabola con concavità rivolta verso il basso, il cui grafico è rappresentato in figura. Inoltre se la posizione del lancio del corpo non si trova nell'origine, quindi ad esempio nel punto formula_18 si può approssimare la curva con una traslazione degli assi paralleli agli assi cartesiani con origine in formula_19 (l'approssimazione è dovuta al fatto che stiamo considerando il corpo in prossimità della terra, ergo g è costante)
La gittata è la distanza percorsa in orizzontale dal corpo prima che tocchi terra.
Se consideriamo la traiettoria espressa in un piano cartesiano Oxy, per calcolare la gittata possiamo utilizzare la funzione y(x) vista sopra. Ci interessa sapere a che coordinata x si ha la coordinata y pari a zero, cioè:
Si tratta di una parabola, ci aspettiamo quindi due soluzioni. Se il corpo parte da terra una delle due soluzioni sarà proprio la posizione di partenza e può essere scartata. Se il corpo non parte da terra, una delle due soluzioni si troverà "dietro" la posizione di partenza e non ha significato fisico. Svolgiamo l'equazione di secondo grado per ottenere la gittata x
Studiamo ora il caso in cui l'altezza di partenza non è zero. Non ci servirà altro che riutilizzare la funzione y(x) aggiungendo la costante formula_22. Svolgiamo quest'altra equazione di secondo grado per ottenere:
formula_23
Sono necessarie varie semplificazioni e trasformazioni, ma in questa forma è facile notare come questo risultato vale sia per un corpo lanciato da terra che per un corpo lanciato da un'altezza data. 
A questo punto è possibile ricavare l'angolo di massima gittata. Fissati formula_24 per un punto lanciato da terra, ci si chiede per quale angolo la gittata è massima. formula_25 ha massimo relativo per l'argomento del seno uguale a formula_26 quindi per formula_27°
Siccome il moto parabolico è simmetrico rispetto all'asse passante per il vertice e parallelo all'asse y ("proprietà della parabola"), l'ascissa del punto di atterraggio è due volte l'ascissa del vertice della parabola, ovvero il doppio dell'ascissa del punto di massima altezza. Tale ascissa è dunque:
Sostituendo nell'equazione della parabola esplicitata precedentemente si ha che:
Gli stessi risultati si ottengono considerando il fatto che il punto di altezza massima è un punto di massimo della curva della traiettoria e quindi il punto di massimo della parabola. Trovarlo quindi consiste nel porre la derivata prima dell'equazione della traiettoria uguale a zero e ricavare dall'equazione ottenuta l'ascissa del punto cercato formula_30(Che sarebbe la gittata) sostituendo nell'equazione della traiettoria si ottiene anche l'ordinata formula_31.
Il tempo di volo è il tempo fra l'istante di lancio e quello di arrivo del corpo, che coincide con il tempo necessario a percorrere il tratto OG con la velocità v:
Un tipico esempio di moto parabolico è quello del proiettile, di cui si occupa la balistica. Un proiettile in volo è sottoposto alla forza di gravità della Terra. Nell'ipotesi di attrito dell'aria trascurabile, il secondo principio della dinamica porta ad un'accelerazione che può essere scomposta nel seguente modo:
Se il proiettile viene sparato con velocità iniziale v secondo un angolo θ, si ottengono le seguenti componenti di velocità:
Le componenti della posizione del proiettile sono quindi:
Il moto lungo l'asse x è quindi uniforme, e quello lungo l'asse y accelerato. Se la velocità iniziale fosse stata pari a zero, il moto sarebbe stato di caduta libera.


L'accezione matematica del termine distanza ha un significato analogo a quello dell'uso comune, cioè quello della misura della "lontananza" tra due punti di un insieme al quale si possa attribuire qualche carattere spaziale. In matematica però questa nozione assume caratteri astratti e si basa solo su proprietà formali che ne fanno perdere l'univocità: esistono esempi di insiemi anche comuni come formula_1 in cui possono essere date infinite definizioni di distanza, tutte soddisfacenti le proprietà generali. Si può dire che in matematica il termine distanza caratterizza strumenti computazionali con alcune caratteristiche comuni, ma utilizzabili per scopi diversificati.
Il concetto di distanza e quello collegato di lunghezza vengono generalizzati mediante la definizione della geodetica come il più breve percorso tra due punti di uno "spazio curvo".
Una distanza (o metrica) su un insieme formula_2 è una funzione 
che soddisfa le seguenti proprietà per ogni scelta di formula_4 in formula_2:
La coppia formula_10 è chiamata spazio metrico.
In realtà solo le proprietà 2,3,4 sono indipendenti tra loro. Questo significa che si possono definire delle funzioni che soddisfano alcune tra 2,3,4 ma non altre.
Per esempio, se formula_11 allora la funzione formula_12 per questi particolari valori soddisfa le 2,4 ma non la 3 e quindi in generale non soddisfa la 3.
La dimostrazione che le 3,4 implicano la 1 è molto semplice.
Infatti, sfruttando la 4 si ha
formula_13 e formula_14. Sommando ora membro a membro otteniamo
formula_15 infine (sfruttando la 3) l’espressione si semplifica in 
formula_16 che è appunto la 1, dopo aver diviso per 2 (e scambiato i membri).
Data una norma formula_17 è possibile definire una distanza formula_18 definendo
Si verifica che la funzione così definita è una distanza, infatti:
Si osserva che ogni distanza indotta da una norma è invariante per traslazioni (ovvero, per ogni tripletta di vettori formula_24).
La distanza normalmente considerata in formula_25 è quella euclidea, pari alla radice quadrata del quadrato della differenza orizzontale (tra i due punti) più il quadrato della differenza verticale:
Se si elimina la seconda dimensione questa funzione si riduce al modulo della differenza tra i due numeri: formula_27.
Più in generale nello spazio euclideo formula_28 si può definire la distanza tra due punti formula_29 e formula_30 nei seguenti modi:
La "2-distanza" in uno spazio a "n" dimensioni corrisponde al teorema di Pitagora applicato "n-1" volte: è la distanza di uno spazio euclideo, normalmente usata nel piano o nello spazio e viene detta anche distanza pitagorica. La "1-distanza", detta anche "distanza L1" o distanza Manhattan, genera invece una geometria diversa, detta geometria del taxi. La "∞-distanza (o distanza L∞)" è la cosiddetta distanza di Chebyshev.
Nel caso di uno spazio di Hilbert formula_45, il teorema della proiezione afferma che per ogni punto formula_46 e per ogni insieme convesso chiuso formula_47 esiste un unico formula_48 tale per cui formula_49 assume il valore minimo su formula_50. In particolare, questo è vero per ogni sottospazio chiuso formula_51 di formula_45: in tal caso una condizione necessaria e sufficiente per formula_53 è che il vettore formula_54 sia ortogonale a formula_51.
Data una distanza su un insieme si può definire come palla, o bolla, o disco, centrata in un punto formula_56 di un certo raggio formula_57 positivo l'insieme dei punti dell'insieme che distano da formula_56 meno di formula_57:
Solitamente la definizione si intende con il <; se però c'è bisogno di specificare, si dirà "disco aperto" l'insieme definito dalla relazione " < " e "disco chiuso" l'insieme definito dalla relazione " ≤ ".
Si definisce anche "bordo" del disco l'insieme
L'insieme dei dischi aperti centrati nei vari punti dello spazio soddisfa la definizione topologica di base: la topologia sull'insieme formula_62 determinata da questa base si dice "topologia generata" (o "indotta") dalla distanza formula_63.
È importante notare come il disco chiuso non coincida sempre con la chiusura del disco aperto, ma in generale ne sia solo un soprainsieme; in particolare nello spazio euclideo comunque le due nozioni coincidono.
Due distanze formula_63 e formula_65 si dicono equivalenti se l'applicazione identità
è un omeomorfismo.
Equivalentemente, esse si possono dire equivalenti se ogni disco della prima metrica contiene un qualche disco della seconda metrica e viceversa. Ad esempio una distanza "d" è equivalente a quella data dalla funzione formula_67 ed a quella data dalla funzione formula_68.
Due distanze equivalenti generano la stessa topologia.
Se si indeboliscono le richieste su formula_63 si ottengono spazi con proprietà più deboli e più poveri come possibilità algoritmiche:
Al contrario, rinforzando la disuguaglianza triangolare e imponendo che
si ottiene una cosiddetta ultrametrica.
