
Nell'ottica geometrica la legge di Snell, nota anche come legge di Descartes o legge di Snell-Descartes (o legge di Cartesio o legge di Snell-Cartesio), descrive le modalità di rifrazione di un raggio luminoso nella transizione tra due mezzi con indice di rifrazione diverso, e deriva dall'equazione iconale.
Il nome della legge di Snell rispetta la legge dell'eponimia di Stigler. La legge è documentata per la prima volta in un manoscritto scritto intorno al 984 del matematico arabo Ibn Sahl, che la usò per ottenere i profili delle lenti asferiche (lenti che fuocheggiano la luce senza indurre aberrazioni geometriche). Fu poi scoperta di nuovo da Thomas Harriot nel 1602, che però non pubblicò il suo lavoro. Nel 1621, fu scoperta ancora una volta da Willebrord Snell, in una forma matematicamente equivalente, ma rimase inedita fino alla sua morte. René Descartes derivò indipendentemente la legge in termini di funzioni sinusoidali nel suo trattato "Discorso sul metodo" del 1637 e la usò per risolvere diversi problemi di ottica. In francese la legge di Snell è chiamata "di Descartes" o "di Snell-Descartes".
La luce si propaga nel vuoto alla velocità costante c.
La figura mostra due mezzi trasmissivi con indice di rifrazione "n" (a sinistra) e "n" (a destra) in contatto tra loro attraverso una superficie, che viene chiamata interfaccia (linea verticale in figura). Nel caso "n" > "n", la luce ha una velocità di fase più bassa nel secondo mezzo.
Il raggio luminoso PO proveniente dal mezzo di sinistra colpisce l'interfaccia nel punto O. A partire da tale punto O tracciamo una retta perpendicolare all'interfaccia stessa, che viene chiamata "normale" all'interfaccia (linea orizzontale in figura). L'angolo tra la normale e il raggio luminoso PO viene chiamato "angolo d'incidenza", θ.
Il raggio attraversa l'interfaccia e prosegue nel mezzo di destra, indicato come OQ. L'angolo che tale raggio (rifratto) forma con la normale si chiama "angolo di rifrazione", θ.
La legge di Snell fornisce la relazione tra gli angoli θ e θ:
formula_1
Si noti che nel caso θ = 0° (ovvero il raggio risulta perpendicolare all'interfaccia) la soluzione è θ = 0° per qualunque valore di "n" e "n". In altri termini, un raggio che entra in un mezzo in modo perpendicolare alla sua superficie non viene mai deviato.
Quanto detto sopra vale anche nel caso di un raggio luminoso che passa da un mezzo più denso a uno meno denso; la simmetria della legge di Snell mostra che gli stessi percorsi luminosi sono validi anche nella direzione opposta.
Una regola di carattere qualitativo per determinare la direzione della rifrazione è che il raggio luminoso è sempre più vicino alla normale dal lato del mezzo più denso.
La legge di Snell è valida in generale solo per mezzi isotropi, come il vetro. Nel caso di mezzi anisotropi (ad esempio alcuni cristalli) il fenomeno della birifrangenza può dividere in due il raggio rifratto. Si vengono allora ad avere due raggi, uno "ordinario" (raggio "o") che segue la legge di Snell, e uno "straordinario" (raggio "e") che può non essere complanare con quello incidente.
Si consideri l'equazione iconale nella forma:
formula_2
dove x è la ascissa curvilinea lungo il cammino ottico, n è l'indice di rifrazione e formula_3 il versore del raggio ottico ed effettuando il prodotto vettoriale per il versore formula_4 della posizione si ottiene:
formula_5
dato che la derivata è un operatore lineare, si può trasportare dentro nel modo più semplice il prodotto vettoriale:
formula_6
si arriva quindi alla legge di Snell:
formula_7
che si esprime nella forma più comune chiamando θ l'angolo fra la direzione della posizione e quella del raggio ottico:
formula_8
e considerando il fatto che la derivata parziale nulla equivale a un argomento costante rispetto alla variabile di derivazione:
formula_9
Il caso più semplice è quello in cui l'indice di rifrazione è uniforme lungo l'ascissa curvilinea:
formula_10
In questo caso si vede immediatamente che la traiettoria del raggio risulta rettilinea, con inclinazione uniforme:
formula_11
Nel caso invece l'indice di rifrazione sia lineare con l'ascissa curvilinea:
formula_12
il raggio risulta inclinato in ogni punto della sua traiettoria con legge:
formula_13
questa comporta uno smorzamento della deviazione lungo la traiettoria: col limite all'infinito si vede che l'inclinazione asintotica risulta nulla, qualunque sia l'inclinazione iniziale:
formula_14
quindi questo mezzo riesce ad allineare dei raggi ottici con qualsiasi direzione iniziale, anche se sempre in modo incompleto poiché fisicamente non può essere realizzato con un'estensione infinita, con efficienza proporzionale al cammino ottico e all'intensità dell'indice di rifrazione.
Nel passaggio da un mezzo più denso a uno meno denso (ovvero, "n" > "n") si può verificare facilmente che l'equazione formula_15 sia priva di soluzioni quando θ supera un valore che viene chiamato angolo critico:
Quando θ > θ non appare alcun raggio rifratto: la luce incidente subisce una riflessione interna totale ad opera dell'interfaccia. Si genera un'onda di superficie, o onda evanescente ("leaky wave"), che decade esponenzialmente all'interno del mezzo con indice di rifrazione "n".
Dal versore s del raggio luminoso incidente, e il versore p, normale all'interfaccia, è possibile ricavare i versori associati al raggio riflesso e rifratto:
La legge di Snell può essere legata al Principio di Fermat: 
Infatti si può verificare che il cammino seguito dalla luce è un punto stazionario per il cammino ottico, vale a dire che in corrispondenza di esso la derivata del cammino ottico si annulla. In alternativa, la relazione può essere ottenuta considerando l'interferenza di tutti i possibili percorsi che l'onda di luce può percorrere dalla sorgente all'osservatore - risulta che l'interferenza è distruttiva ovunque, eccetto che negli estremi di fase (dove è costruttiva) - che diventa il percorso effettivo.
In una classica analogia della brachistocrona proposta da Feynman una spiaggia è una regione a indice di rifrazione più basso del mare; il modo più rapido per un bagnino sulla spiaggia di raggiungere a velocità costante una persona che sta affogando è percorrere il cammino ottico ovvero seguire la legge di Snell.


In fisica con il termine onda si indica una perturbazione che nasce da una sorgente e si propaga nel tempo e nello spazio, trasportando energia o quantità di moto senza comportare un associato spostamento della materia.
Le onde possono propagarsi sia attraverso la materia, sia nel vuoto. Ad esempio la radiazione elettromagnetica e la radiazione gravitazionale possono esistere e propagarsi anche in assenza di materia, mentre altri fenomeni ondulatori esistono unicamente in un mezzo fisico, che deformandosi produce le forze elastiche di ritorno in grado di permettere all'onda di propagarsi.
Dal punto di vista matematico un'onda è una soluzione dell'equazione delle onde (o di altre equazioni più complicate), la cui espressione varia a seconda del tipo di perturbazione.
Non è semplice dare una definizione autonoma e precisa del termine "onda", sebbene questo termine sia comunemente molto usato in contesti molto differenti fra loro. La definizione delle caratteristiche necessarie e sufficienti che identificano il fenomeno ondulatorio è flessibile. Intuitivamente il concetto di onda è qualificato come il trasporto di una perturbazione nello spazio senza comportare un trasporto netto della materia del mezzo, qualora presente, che occupa lo spazio stesso. I fisici Albert Einstein e Leopold Infeld hanno cercato di rispondere alla domanda "Cos'è un'onda?" unendo questo fatto all'esperienza comune:
Una vibrazione può essere definita come il moto avanti e indietro intorno a un punto definito "x", tuttavia una vibrazione non è necessariamente un'onda. Infatti in un'onda sulla superficie dell'acqua, oppure lungo una stringa, l'energia vibrazionale si muove dalla sorgente sotto forma di perturbazione senza un moto collettivo delle particelle dell'acqua o della corda in cui si propaga. Questa rappresentazione diventa però problematica quando si ha a che fare con le onde stazionarie (per esempio le onde sulle corde di una chitarra), dove l'energia in tutte le direzioni è identica e non viene trasportata lungo lo spazio, perciò talvolta nella definizione di onda si cita solamente la propagazione di un disturbo senza richiedere il trasporto di energia o quantità di moto. Per le onde elettromagnetiche (ad esempio la luce) bisogna considerare ulteriormente che il concetto di mezzo non può essere applicato, in quanto queste si propagano anche nello spazio vuoto.
Per queste ragioni la teoria delle onde rappresenta una particolare branca della fisica teorica riguardante lo studio delle onde indipendentemente dalla loro origine fisica. Questa peculiarità deriva dal fatto che la teoria matematica delle onde si può applicare per descrivere fenomeni ondulatori in contesti anche molto differenti. Per esempio l'acustica si distingue dall'ottica per il fatto che la prima si occupa del trasporto vibrazionale di energia meccanica, mentre la seconda di perturbazioni del campo elettrico e magnetico. Concetti come massa, inerzia, quantità di moto, elasticità diventano quindi cruciali per descrivere i processi ondulatori acustici, al contrario dell'ottica. La struttura particolare del mezzo introduce inoltre alcuni fattori di cui bisogna tenere conto, come ad esempio i fenomeni vorticosi per l'aria e l'acqua o la complessa struttura cristallina nel caso di alcuni solidi.
Altre proprietà tuttavia possono essere usate per descrivere indifferentemente tutti i tipi di onde. Per esempio, basandosi sull'origine meccanica delle onde acustiche, ci può essere un movimento nello spazio e nel tempo di una perturbazione se e solo se il mezzo non è né infinitamente flessibile né infinitamente rigido. Se tutte le parti che compongono il mezzo si dispongono in modo rigido l'una rispetto all'altra, non sarà possibile alcun movimento infinitesimo e quindi non ci sarà alcuna onda (ad esempio l'idealizzazione del corpo rigido). Al contrario, se tutte le parti sono indipendenti l'una dall'altra senza alcun tipo di interazione reciproca, non vi sarà alcuna onda in quanto non ci sarà trasmissione di energia fra le varie parti componenti del corpo. Nonostante queste considerazioni non si possano applicare alle onde che non si propagano in alcun senso, si possono comunque trovare caratteristiche comuni a tutte le onde: ad esempio, in un'onda la fase è differente per punti adiacenti nello spazio, perché la vibrazione raggiunge questi punti in tempi differenti.
Similmente, alcuni fenomeni che si sono scoperti in determinati contesti, sono poi stati generalizzati ad altri fenomeni ondulatori. L'interferenza è stata studiata da Young nel caso particolare delle onde luminose, tuttavia è stata recentemente analizzata in alcuni problemi riguardanti le proprietà atomiche quantistiche dell'elettrone.
Un'onda può essere caratterizzata da una singola oscillazione oppure da un "treno" o successione di onde aventi caratteristiche simili, come ad esempio la periodicità intrinseca. In generale le onde sono caratterizzate da una "cresta" (punto alto), da un "ventre" (punto più basso) e da fronti d'onda di propagazione nel caso di treni di onde e sono in prima istanza classificabili come longitudinali o trasversali. Nelle onde trasversali la vibrazione è perpendicolare alla direzione di propagazione (ad esempio le onde su una corda, le parti infinitesime si muovono in alto e in basso in verticale, mentre l'onda si propaga orizzontalmente).
Le onde longitudinali sono invece caratterizzate da una vibrazione concorde con la direzione di propagazione dell'onda (ad esempio le onde sonore, le particelle dell'aria si muovono infinitesimamente nella stessa direzione di propagazione del suono). Esistono onde che sono sia longitudinali che trasversali e sono dette "onde miste" (ad esempio le onde sulla superficie del mare). Parametri di riferimento di un'onda sono l'ampiezza, la lunghezza d'onda, il periodo, la frequenza, la fase, la velocità di propagazione, l'energia e la potenza ad essa associata. Per quanto riguarda la velocità di un'onda sono definibili la velocità di fase e la velocità di gruppo.
Il mezzo in cui le onde viaggiano può essere classificato a seconda delle seguenti proprietà:
Durante la propagazione nel mezzo l'onda è soggetta ad attenuazione da parte del mezzo fino all'esaurimento dell'energia trasportata.
Tutte le onde hanno un comportamento comune in situazioni standard e possono subire i seguenti effetti o fenomeni:
Un'onda è polarizzata se può oscillare solo in una direzione. La polarizzazione di un'onda trasversale descrive la direzione di oscillazione, nel piano perpendicolare alla direzione di moto. Onde longitudinali come quelle sonore non hanno polarizzazione, in quanto per queste onde la direzione di oscillazione è lungo la direzione di moto. Un'onda può essere polarizzata con un filtro polarizzatore.
A seconda delle caratteristiche, le onde si possono classificare in molti modi.
Riguardo al tipo di mezzo:
Riguardo alle dimensioni del mezzo in cui si propagano:
Riguardo alla direzione del moto di oscillazione rispetto a quella di propagazione:
Riguardo alla propagazione:
A seconda del mezzo in cui si propagano e della caratteristica fisica che usiamo per rappresentarle:
Alcune onde caratteristiche sono:
I fenomeni ondulatori possono essere matematicamente descritti dall'equazione delle onde, almeno in prima approssimazione. Questa semplice equazione fornisce utili strumenti di analisi di tutte le onde e spesso, come nel caso di una stringa vibrante, le sue soluzioni rappresentano una prima approssimazione valida per piccole perturbazioni.
L'equazione delle onde per una funzione scalare formula_1 è un'equazione differenziale alle derivate parziali iperbolica della forma:
In una dimensione questa equazione si riduce a:
la cui soluzione generale si ottiene definendo le variabili:
e riscrivendo l'equazione:
la cui soluzione è dunque:
ovvero:
Tale soluzione di basa sul principio di Duhamel.
Una funzione formula_8 rappresenta quindi un'onda dotata di ampiezza costante che si propaga lungo l'asse formula_9 di un sistema di riferimento cartesiano se la dipendenza dallo spazio formula_9 e dal tempo formula_11 è data dalla sola combinazione formula_12:
dove formula_14 è una costante positiva. A seconda che l'argomento sia formula_15 o formula_16, l'onda si dice rispettivamente "regressiva" o "progressiva".
Un'onda progressiva di velocità formula_14 dipende dall'argomento formula_12 e trasla lungo spazio e nel tempo a velocità costante, senza cambiare la sua forma. Se si considera infatti la stessa perturbazione al tempo formula_19, si ha, per la definizione di onda:
Dato che l'onda è funzione solo di formula_21, allora la traslazione formula_22 può essere vista come una semplice traslazione spaziale di formula_23:
e quindi l'onda ad un istante successivo formula_25 non è altro che la stessa onda dell'istante formula_11, con la medesima forma, ma solo traslata di formula_27.
Si definisce fronte d'onda il luogo dei punti nello spazio in cui formula_21 assume il medesimo valore ad un determinato istante temporale.
Se formula_29 è periodica nel suo argomento allora descrive un'onda periodica. La periodicità dell'onda è identificata dal periodo formula_30, che rappresenta il tempo necessario affinché un ciclo completo di oscillazione venga completato. La frequenza formula_31 dell'onda è inoltre il numero di periodi per unità di tempo; se l'unità di tempo è il secondo la frequenza si misura in hertz.
Periodo e frequenza sono legate dalla relazione:
Ad un periodo temporale corrisponde un periodo spaziale detto lunghezza d'onda formula_33, e vale la relazione:
Nel caso di un'onda periodica, la rappresentazione in serie di Fourier permette di descrivere l'onda come somma di termini sinusoidali del tipo:
Equivalentemente, usando la formula di Eulero, questi termini possono essere rappresentati come la parte reale di una funzione immaginaria:
In queste formule formula_37 è il vettore d'onda, che identifica la direzione di propagazione dell'onda al posto della velocità di propagazione. Il suo modulo è chiamato "pulsazione spaziale", ed è legato alla lunghezza d'onda dalla relazione:
Lo scalare formula_39 è l'ampiezza dell'onda, e rappresenta il massimo valore della grandezza rappresentativa dell'onda in un periodo. Il termine formula_40 rappresenta la fase iniziale dell'onda.
Un'onda può essere descritta per mezzo della sua frequenza angolare, che è correlata alla frequenza formula_31 secondo la relazione:
In certi casi le onde presentano caratteristiche, come la dispersione (la velocità di propagazione dipende dalla frequenza) o la non linearità (il comportamento dell'onda dipende dalla sua ampiezza) che non possono essere descritte dalle soluzioni dell'equazione delle onde. Per questo motivo tali onde devono essere descritte da equazioni più complicate, come l'equazione di Sine-Gordon (che nel caso classico può descrivere la propagazione di un'onda di torsione in una stringa elastica, a cui è agganciato un sistema di pendoli che oscillano nel piano trasverso alla stringa), l'equazione di Schrödinger non lineare, l'equazione di Korteweg-de Vries o quella di Boussinesq. Tali equazioni permettono di descrivere fenomeni non previsti dall'equazione delle onde di D'Alembert, come i solitoni, le onde cnoidali o la turbolenza d'onda. Fenomeni di questo tipo si osservano in un gran numero di branche della fisica, come la fluidodinamica, la fisica dei plasmi, l'ottica non lineare, i condensati di Bose-Einstein o la relatività generale, anche se nei casi più semplici ci si può spesso ricondurre all'approssimazione lineare fornita dall'equazione delle onde di D'Alembert. 
I fenomeni ondulatori rappresentano una classe di fenomeni naturali estremamente importante in fisica; alcuni esempi di onde sono: le onde elastiche, le onde di pressione (onde acustiche e onde d'urto), le onde marine, le onde elettromagnetiche (la luce), le onde gravitazionali, le onde sismiche. In prima approssimazione, secondo il modello concettuale della fisica classica, si può affermare che in natura, al di là delle nozioni di spazio, tempo, energia e carica elettrica, tutto ciò che non è materia (cioè dotato di massa) è un'onda, cioè "energia in propagazione". La differenza sostanziale tra onda e corpuscolo materiale è che mentre il corpuscolo in un certo istante temporale è sempre "localizzato" in un preciso volume dello spazio, l'onda appare invece più "delocalizzata" nello spazio.
È solo con la fisica moderna che si raggiunge un punto di contatto nella realtà fisica tra le due diversissime classi di fenomeni, ondulatori e corpuscolari: agli inizi del XX secolo la meccanica quantistica, attraverso il principio di complementarità, sancisce infatti il cosiddetto dualismo onda-particella nei fenomeni fisici che avvengono a scala atomica e subatomica, secondo il quale le stesse particelle microscopiche dotate di massa propria, oltre alle proprietà classiche quali energia meccanica e quantità di moto, assumono proprietà ondulatorie nell'interpretazione di determinati contesti e fenomeni.
Un caso particolare di onda, descrivibile matematicamente a partire dall'equazione delle onde imponendo opportune condizioni al contorno, è l'onda stazionaria cioè un'onda che rimane in una posizione spaziale costante fissa nel tempo senza propagarsi oscillando tra punti fissi detti nodi. Questo fenomeno può accadere per esempio quando il mezzo si muove in direzione opposta all'onda oppure come risultato di una interferenza fra due onde, di eguale ampiezza e frequenza, che viaggiano in opposte direzioni.
In un'onda stazionaria vi sono alcuni punti, detti nodi, che restano fissi e non oscillano. Questo fatto determina a stretto rigore per questo tipo di perturbazione delle caratteristiche intrinsecamente differenti da una "onda" nel senso stretto del termine. In quanto tale, un'onda stazionaria può permettere per esempio di immagazzinare energia in una regione spaziale ma non rappresenta quindi alcun trasporto energetico netto fra differenti punti dello spazio.
La sovrapposizione di due onde che si muovono in direzione opposte con uguale ampiezza e frequenza, ma fase opposta è un fenomeno tipico indotto dalla riflessione di una singola onda contro un ostacolo fisso, esattamente quanto accade per esempio in una onda elettromagnetica che incide contro una lastra di materiale conduttore. Questo meccanismo è usato per generare onde stazionarie ed è alla base del funzionamento di alcuni strumenti musicali a corda, a fiato
e delle cavità risonanti.
Le onde che possono svilupparsi lungo una stringa sono di tipo trasversale e soddisfano l'equazione delle onde di d'Alembert solamente se l'ampiezza della perturbazione che genera il fenomeno ondulatorio è piccola. In questo limite si ricava che la velocità di propagazione è pari a:
dove formula_30 è la tensione a cui è sottoposta la stringa mentre formula_45 è la sua densità lineare o massa lineica, cioè la massa per unità di lunghezza. Un'onda su una stringa può essere riflessa in seguito all'urto contro un estremo fisso oppure essere parzialmente trasmessa e parzialmente riflessa in seguito all'incontro di una giunzione fra due stringhe di differente densità lineare formula_45. Questo tipo di onde, insieme al fenomeno delle onde stazionarie, sono alla base del funzionamento di molti strumenti a corda.
Un'onda elettromagnetica è un fenomeno ondulatorio dato dalla propagazione in fase del campo elettrico e del campo magnetico, oscillanti in piani tra loro ortogonali e ortogonali alla direzione di propagazione. Tale fenomeno è descritto matematicamente come soluzione dell'equazione delle onde, a sua volta ottenuta a partire dalle equazioni di Maxwell secondo la teoria dell'elettrodinamica classica. Questo tipo di radiazione viaggia nella direzione sempre perpendicolare alle direzioni di oscillazione dei campi, ed è quindi un'onda trasversale. Nel diciannovesimo secolo James Clerk Maxwell ha scoperto infatti che i campi elettrici e magnetici soddisfano l'equazione delle onde, con una velocità di propagazione vuoto pari alla velocità della luce, come determinato sperimentalmente da Heinrich Hertz. Le onde elettromagnetiche, come ad esempio la luce visibile, hanno caratteristiche di propagazione nei mezzi o in presenza di ostacoli dipendenti dalla frequenza (e quindi dalla lunghezza d'onda), alcuni materiali sono trasparenti al passaggio della radiazione elettromagnetica sulla lunghezza d'onda del visibile (come alcuni tipi di vetro), mentre le onde radio sono difficilmente ostacolate nella propagazione da oggetti di piccola dimensione, come anche piccoli edifici, infine la radiazione elettromagnetica a lunghezza d'onda inferiore a quella degli ultravioletti può essere dannosa per la salute dell'uomo. Un caso particolare di onda elettromagnetica è l'onda monocromatica.
Le onde gravitazionali sono distorsioni della curvatura dello spazio tempo che viaggiano come un'onda, propagandosi da una sorgente, come ad esempio un corpo massivo. La loro esistenza è stata prevista da Albert Einstein nel 1916 in base alla relatività generale e dovrebbero teoricamente trasportare energia sotto forma di radiazione gravitazionale. Le principali possibili sorgenti dovrebbero essere i sistemi binari composti da pulsar o buchi neri. L'11 febbraio 2016 il team del rivelatore Advanced LIGO ha annunciato di aver rilevato il 14 settembre 2015 onde gravitazionali causate dalla collisione di due buchi neri.
Le onde gravitazionali sono in generale non lineari e interagiscono con la materia e l'energia. Tuttavia questo fenomeno può essere lineare quando le onde sono molto lontane dalle sorgenti e per piccole perturbazioni dello spazio tempo.
Le onde hanno applicazioni diffusissime nella vita comune e in molti campi di studio tecnico-scientifico: dallo studio delle proprietà delle onde elettromagnetiche emesse da un corpo è possibile risalire alle caratteristiche chimico-fisiche del corpo (spettroscopia); le stesse onde elettromagnetiche (ad es. le onde portanti modulate oppure onda quadra) sono anche il mezzo utilizzato per veicolare informazione all'interno dei sistemi di telecomunicazioni attraverso segnali (es. onda radio nelle radiocomunicazioni); inoltre molte tecniche di diagnostica medica, prospezione geofisica, telerilevamento, applicazioni radar ecc., utilizzano particolari onde elettromagnetiche o acustiche.
