
In meccanica classica, un'equazione del moto è un'equazione che descrive il moto di un sistema fisico in funzione della posizione nello spazio e del tempo. In particolare, l'equazione che caratterizza l'andamento della posizione in funzione del tempo è detta legge oraria.
Un sistema meccanico con formula_1 gradi di libertà viene solitamente descritto attraverso un insieme di coordinate generalizzate formula_2. La conoscenza in un dato istante temporale delle coordinate generalizzate e delle velocità generalizzate formula_3, che sono le derivate rispetto al tempo delle coordinate generalizzate, consente una caratterizzazione completa dello stato meccanico del sistema. Con tali informazioni si possono determinare univocamente le accelerazioni formula_4, ed è quindi possibile prevedere l'evoluzione del sistema ad un tempo successivo a quello considerato. L'equazione del moto mette in relazione le quantità formula_5, formula_6 e formula_7, e se l'incognita è formula_5, come spesso accade, si tratta di un'equazione differenziale del secondo ordine le cui soluzioni sono le possibili leggi orarie formula_9 di un punto materiale, o un corpo, soggetto ad una interazione nota. Le equazioni del moto sono completate dalla definizione dei parametri iniziali, che definiscono il problema di Cauchy e che sotto opportune ipotesi consentono di determinare univocamente la soluzione.
Solitamente la legge oraria di un oggetto in moto è un'equazione che si ricava dall'applicazione al sistema delle leggi della dinamica di Newton o di leggi di conservazione, quali ad esempio la legge di conservazione dell'energia meccanica o del momento angolare. La legge oraria di un punto materiale può essere data sia rispetto ad un sistema di riferimento sia rispetto ad una ascissa curvilinea. Per esempio, se un punto materiale è vincolato su una guida per definirne la posizione si può sia indicare i valori della proiezione del punto sugli assi, sia la distanza da un punto di riferimento preso sulla guida.
Nella meccanica newtoniana un'equazione del moto è una funzione formula_10 che ha la forma di un'equazione differenziale ordinaria rispetto alla funzione che descrive la posizione in funzione del tempo formula_11:
Il problema di Cauchy è dato assegnando un valore alla posizione e alla sua derivata nell'istante formula_13:
Il secondo principio della dinamica può essere formulato sia attraverso la legge di Newton che con la prima equazioni di Eulero. Quest'ultima rappresenta la sua forma più generale:
dove formula_16 è la Lagrangiana del sistema. Le equazioni di Eulero-Lagrange:
si ottengono direttamente a partire dal principio variazionale, e sono equazioni del moto. Esse descrivono il moto di un oggetto che obbedisce al secondo principio della dinamica, mettendo in relazione la posizione e la velocità di ogni elemento che compone il sistema.
Le soluzioni dell'equazione del moto si rappresentano attraverso orbite nello spazio delle fasi. Una costante del moto è una funzione costante lungo ogni orbita del sistema. Dato un sistema di equazioni differenziali del primo ordine:
una funzione scalare formula_19 è una costante del moto o "quantità conservata" se per tutte le condizioni iniziali si ha:
La soluzione del sistema è tangente al campo vettoriale formula_21, che può essere ad esempio un campo di velocità, ed è l'intersezione di due superfici: esse sono gli integrali primi del sistema di equazioni differenziali. Utilizzando la regola della catena si mostra che il campo vettoriale formula_21 è ortogonale al gradiente della quantità conservata formula_23.
Un caso semplice di legge oraria è quello della traiettoria di una particella puntiforme vincolata a stare su una retta. Presa come sistema di riferimento la retta stessa, orientata e con un'origine, la legge oraria è una funzione formula_24 che associa ad ogni istante formula_25 un punto formula_26 della retta (in questo caso il sistema di riferimento ortonormale e l'ascissa curvilinea coincidono). Per esempio, si supponga di avere una particella di massa formula_27 spinta da una forza costante formula_28 nella direzione positiva della retta. Applicando il secondo principio della dinamica si ha l'equazione del moto:
da cui, integrando due volte (o ricordando la formula per il moto rettilineo uniformemente accelerato) si ha la legge oraria:
Un caso meno banale, nel quale si vede anche la differenza tra sistema di riferimento cartesiano e ascissa curvilinea, è quello di un corpo puntiforme su un piano inclinato liscio, con inclinazione formula_31, sottoposto alla forza di gravità, come in figura. Il sistema di riferimento è preso con l'asse formula_26 orizzontale da sinistra a destra e l'asse formula_33 verticale orientato verso l'alto.
Il secondo principio della dinamica, una volta sommate tutte le forze, reazione vincolare inclusa, fornisce le due seguenti equazioni:
che si risolvono indipendentemente come due moti uniformemente accelerati lungo gli assi formula_26 e formula_33:
L'insieme di queste due funzioni è la legge oraria cercata: dato un valore del tempo formula_25 si può conoscere la posizione del punto tramite le sue coordinate cartesiane. Un'altra espressione della posizione può però essere data nei termini di un'ascissa coincidente col piano e diretta verso il basso: in questo modo il moto, che prima era bidimensionale, si riduce ad un moto unidimensionale lungo il piano. Con questo sistema di riferimento, l'equazione del moto è:
e la legge oraria:
Per chiarire il formalismo vettoriale si può definire un vettore posizione formula_11 come:
e la legge oraria è espressa come una funzione vettoriale:
Questo vettore è ambientato nel piano verticale formato dagli assi formula_26 e formula_33 ed indica istante per istante la posizione della particella. Lo spostamento della particella tra due istanti formula_46 e formula_47 è dato semplicemente da:


In cinematica si definisce spostamento il cambiamento di posizione di un punto nello spazio.
Date due posizioni formula_1 e formula_2 dello stesso punto, lo spostamento è dato da:
in pratica è il vettore differenza dei due vettori posizione formula_2 e formula_5 in quanto:
Utilizzando i versori, il vettore spostamento si può ricavare componendo il vettore. Ad esempio in due dimensioni si avrà:
Ovvero abbiamo che la differenza tra due coordinate lungo un asse di riferimento (ad esempio "x") denota un segmento formula_9 che ha un orientamento determinato dal segno della differenza, ovvero un segmento orientato, o anche è un vettore formula_10.
Lo possiamo vedere anche dal fatto che è un prodotto tra uno scalare formula_11 per un vettore formula_12 di lunghezza formula_13, che per il prodotto di uno scalare per un vettore restituisce un vettore lungo formula_14 di lunghezza formula_11 e lungo il verso formula_12.
La composizione dei vettori formula_10 e formula_18
mi dà il vettore spostamento formula_19, come la composizione delle posizioni formula_20, formula_21.
Analogamente in uno spazio a tre dimensioni:
Lo spostamento risulta così indipendente dalla traiettoria effettivamente percorsa per muoversi fra i due punti.
Lo spostamento non è mai tangente alla traiettoria, tranne che nel semplice caso di traiettoria rettilinea.
Sappiamo che la velocità media formula_24 è il rapporto tra lo spostamento, formula_25,
e l'intervallo di tempo impiegato per compierlo formula_26
