
In fisica, in primo luogo in cinematica, la velocità (dal latino "vēlōcitās", a sua volta derivato da "vēlōx", cioè "veloce") è una grandezza vettoriale definita come la variazione della posizione di un corpo in funzione del tempo, ossia, in termini matematici, come la derivata del vettore posizione rispetto al tempo.
Nel Sistema Internazionale la velocità si misura in m·s (metri al secondo).
Quando non specificato, per "velocità" si intende la "velocità traslazionale", sottintendendo che lo spostamento a cui si fa riferimento è una traslazione nello spazio. Il termine, "velocità", infatti, può essere utilizzato con un significato più generale per indicare la variazione di una coordinata spaziale in funzione del tempo. Ad esempio, nella descrizione del moto rotatorio, per definire la "velocità di rotazione" si usano la velocità angolare e la velocità areolare.
Talvolta si usa il termine "rapidità" per indicare il modulo della velocità. Ciò viene fatto in analogia con la lingua inglese, nella quale si indica con "speed" la rapidità e con "velocity" la velocità in senso vettoriale.
La variazione della velocità, sia in aumento che in diminuzione, è l'accelerazione, anche se nel linguaggio comune a volte si parla di "decelerazione" quando la velocità diminuisce.
La velocità è un vettore che indica la rapidità del moto, la direzione e il verso di un punto materiale in movimento. Essa si riduce a una grandezza scalare soltanto in casi particolari, ad esempio, nel moto rettilineo uniforme, in cui il vettore ha una sola componente diversa da zero.
Si definisce "velocità media" formula_1 il rapporto tra lo spostamento, inteso come la variazione dello posizione, formula_2 e l'intervallo di tempo formula_3 impiegato a percorrerlo:
dove formula_5 e formula_6 sono i vettori posizione agli istanti iniziale formula_7 e finale formula_8. La velocità media può essere vista come il coefficiente angolare della retta in un grafico spazio-tempo. In particolare si parla di velocità positiva , se l'angolo che la retta forma con l'asse delle ascisse è acuto e di velocità negativa , se l'angolo che la retta forma con l'asse delle ascisse è ottuso. 
Si definisce "velocità istantanea" formula_9 il limite della velocità media per intervalli di tempo molto brevi, ovvero la derivata della posizione rispetto al tempo:. In parole povere la velocità istantanea è il valore limite della velocità media nell'intorno di un determinato istante quando la variazione di tempo formula_10 considerata tende al valore 0.
Si noti che la velocità media è proprio la media della velocità istantanea in un tempo finito formula_12:
avendo usato il teorema fondamentale del calcolo integrale.
In un contesto più formale, sia formula_14 la lunghezza di un arco della curva percorsa dall'oggetto in moto, ovvero lo spostamento dell'oggetto al tempo formula_15. La norma della velocità istantanea nel punto formula_16 è la derivata dello spostamento rispetto al tempo:
ed il vettore velocità ha la direzione del moto:
con formula_19 il vettore unitario tangente alla curva.
Utilizzando uno spazio bidimensionale, la velocità media e quella istantanea si possono scomporre nel seguente modo:
dove formula_21 e formula_22 sono due versori in direzione degli assi formula_23 e formula_24. Il modulo del vettore velocità è a sua volta scomponibile nei suoi componenti:
dove formula_26 è il momento statico e formula_27 la quantità di moto totale del sistema.
In caso di caduta di un oggetto immerso in un campo gravitazionale, la velocità finale dell'oggetto può essere determinata utilizzando la conservazione dell'energia, ottenendo così una semplice espressione:
dove formula_29 è la differenza di quota tra il punto di caduta e quello in cui l'oggetto si ferma.
In quest'ultimo caso si parla di velocità di impatto.
Per velocità terminale di caduta, o "velocità limite", si intende la velocità massima che raggiunge un corpo in caduta. Cadendo attraverso un fluido infatti il corpo incontra una crescente resistenza all'aumentare della velocità e quando l'attrito eguaglia la forza di attrazione gravitazionale la velocità si stabilizza.
La velocità della luce, o di qualsiasi altra onda elettromagnetica, è identica nel vuoto per tutti i sistemi di riferimento. Questa invarianza, implicita nelle simmetrie delle equazioni di Maxwell per la propagazione delle onde elettromagnetiche e verificata sperimentalmente alla fine del 1800 con l'esperimento di Michelson-Morley, ha portato alla necessità di modificare le equazioni del moto e della dinamica. Una delle conseguenze della teoria della relatività ristretta di Albert Einstein è che la velocità massima raggiungibile al limite da un qualunque oggetto fisico è quella della luce nel vuoto.


In meccanica classica, un'equazione del moto è un'equazione che descrive il moto di un sistema fisico in funzione della posizione nello spazio e del tempo. In particolare, l'equazione che caratterizza l'andamento della posizione in funzione del tempo è detta legge oraria.
Un sistema meccanico con formula_1 gradi di libertà viene solitamente descritto attraverso un insieme di coordinate generalizzate formula_2. La conoscenza in un dato istante temporale delle coordinate generalizzate e delle velocità generalizzate formula_3, che sono le derivate rispetto al tempo delle coordinate generalizzate, consente una caratterizzazione completa dello stato meccanico del sistema. Con tali informazioni si possono determinare univocamente le accelerazioni formula_4, ed è quindi possibile prevedere l'evoluzione del sistema ad un tempo successivo a quello considerato. L'equazione del moto mette in relazione le quantità formula_5, formula_6 e formula_7, e se l'incognita è formula_5, come spesso accade, si tratta di un'equazione differenziale del secondo ordine le cui soluzioni sono le possibili leggi orarie formula_9 di un punto materiale, o un corpo, soggetto ad una interazione nota. Le equazioni del moto sono completate dalla definizione dei parametri iniziali, che definiscono il problema di Cauchy e che sotto opportune ipotesi consentono di determinare univocamente la soluzione.
Solitamente la legge oraria di un oggetto in moto è un'equazione che si ricava dall'applicazione al sistema delle leggi della dinamica di Newton o di leggi di conservazione, quali ad esempio la legge di conservazione dell'energia meccanica o del momento angolare. La legge oraria di un punto materiale può essere data sia rispetto ad un sistema di riferimento sia rispetto ad una ascissa curvilinea. Per esempio, se un punto materiale è vincolato su una guida per definirne la posizione si può sia indicare i valori della proiezione del punto sugli assi, sia la distanza da un punto di riferimento preso sulla guida.
Nella meccanica newtoniana un'equazione del moto è una funzione formula_10 che ha la forma di un'equazione differenziale ordinaria rispetto alla funzione che descrive la posizione in funzione del tempo formula_11:
Il problema di Cauchy è dato assegnando un valore alla posizione e alla sua derivata nell'istante formula_13:
Il secondo principio della dinamica può essere formulato sia attraverso la legge di Newton che con la prima equazioni di Eulero. Quest'ultima rappresenta la sua forma più generale:
dove formula_16 è la Lagrangiana del sistema. Le equazioni di Eulero-Lagrange:
si ottengono direttamente a partire dal principio variazionale, e sono equazioni del moto. Esse descrivono il moto di un oggetto che obbedisce al secondo principio della dinamica, mettendo in relazione la posizione e la velocità di ogni elemento che compone il sistema.
Le soluzioni dell'equazione del moto si rappresentano attraverso orbite nello spazio delle fasi. Una costante del moto è una funzione costante lungo ogni orbita del sistema. Dato un sistema di equazioni differenziali del primo ordine:
una funzione scalare formula_19 è una costante del moto o "quantità conservata" se per tutte le condizioni iniziali si ha:
La soluzione del sistema è tangente al campo vettoriale formula_21, che può essere ad esempio un campo di velocità, ed è l'intersezione di due superfici: esse sono gli integrali primi del sistema di equazioni differenziali. Utilizzando la regola della catena si mostra che il campo vettoriale formula_21 è ortogonale al gradiente della quantità conservata formula_23.
Un caso semplice di legge oraria è quello della traiettoria di una particella puntiforme vincolata a stare su una retta. Presa come sistema di riferimento la retta stessa, orientata e con un'origine, la legge oraria è una funzione formula_24 che associa ad ogni istante formula_25 un punto formula_26 della retta (in questo caso il sistema di riferimento ortonormale e l'ascissa curvilinea coincidono). Per esempio, si supponga di avere una particella di massa formula_27 spinta da una forza costante formula_28 nella direzione positiva della retta. Applicando il secondo principio della dinamica si ha l'equazione del moto:
da cui, integrando due volte (o ricordando la formula per il moto rettilineo uniformemente accelerato) si ha la legge oraria:
Un caso meno banale, nel quale si vede anche la differenza tra sistema di riferimento cartesiano e ascissa curvilinea, è quello di un corpo puntiforme su un piano inclinato liscio, con inclinazione formula_31, sottoposto alla forza di gravità, come in figura. Il sistema di riferimento è preso con l'asse formula_26 orizzontale da sinistra a destra e l'asse formula_33 verticale orientato verso l'alto.
Il secondo principio della dinamica, una volta sommate tutte le forze, reazione vincolare inclusa, fornisce le due seguenti equazioni:
che si risolvono indipendentemente come due moti uniformemente accelerati lungo gli assi formula_26 e formula_33:
L'insieme di queste due funzioni è la legge oraria cercata: dato un valore del tempo formula_25 si può conoscere la posizione del punto tramite le sue coordinate cartesiane. Un'altra espressione della posizione può però essere data nei termini di un'ascissa coincidente col piano e diretta verso il basso: in questo modo il moto, che prima era bidimensionale, si riduce ad un moto unidimensionale lungo il piano. Con questo sistema di riferimento, l'equazione del moto è:
e la legge oraria:
Per chiarire il formalismo vettoriale si può definire un vettore posizione formula_11 come:
e la legge oraria è espressa come una funzione vettoriale:
Questo vettore è ambientato nel piano verticale formato dagli assi formula_26 e formula_33 ed indica istante per istante la posizione della particella. Lo spostamento della particella tra due istanti formula_46 e formula_47 è dato semplicemente da:
