
In fisica, in primo luogo in cinematica, l'accelerazione è una grandezza vettoriale che rappresenta la variazione della velocità nell'unità di tempo. In termini differenziali, è pari alla derivata rispetto al tempo del vettore velocità.
Nel SI l'unità di misura del modulo dell'accelerazione è il m/s², ovvero metro al secondo quadrato.
Quando non specificato, per "accelerazione" si intende l'"accelerazione traslazionale", sottintendendo che lo spostamento a cui si fa riferimento è una traslazione nello spazio. Il termine, "accelerazione", infatti, può essere utilizzato con un significato più generale per indicare la variazione di una velocità in funzione del tempo. Ad esempio, nella descrizione del moto rotatorio, per definire l"'accelerazione di rotazione" si usano l'accelerazione angolare e l'accelerazione areolare.
Le derivate temporali della velocità di ordine superiore al primo vengono studiate nel moto vario.
L'accelerazione di un punto materiale è la variazione della sua velocità rispetto al tempo. Il modo più immediato per quantificare tale variazione consiste nel definire l"'accelerazione media" formula_1 come il rapporto tra la variazione di velocità formula_2 al tempo finale formula_3 e iniziale formula_4 posseduta dall'oggetto, e l'intervallo finito di tempo formula_5 di durata del moto:
Un modo preciso per caratterizzare l'accelerazione si ottiene considerando la velocità in ogni istante di tempo, ovvero esprimendo la velocità in funzione del tempo e, ove la funzione è continua, calcolandone la derivata. Si definisce in questo modo l"'accelerazione istantanea":
Si tratta del limite per l'intervallo di tempo tendente a zero del rapporto incrementale che definisce l'accelerazione media:
L'accelerazione media coincide con l'accelerazione istantanea quando quest'ultima è costante nel tempo (formula_9), e si parla in tal caso di "moto uniformemente accelerato".
Nel moto del punto materiale su di una curva, il vettore accelerazione in un punto è orientato verso la concavità della traiettoria in quel punto. Può succedere che durante il moto il vettore velocità cambi soltanto in direzione e verso, restando costante in modulo, come ad esempio nel caso di moto circolare uniforme. La componente del vettore accelerazione nella direzione del moto è in questo caso nulla, e il vettore è quindi radiale (perpendicolare alla traiettoria). Data una traiettoria curvilinea arbitraria e continua, per individuare la direzione ed il verso dell'accelerazione di un oggetto che la percorre si utilizza il metodo del cerchio osculatore.
In un contesto più formale, sia formula_10 la lunghezza di un arco della curva percorsa dall'oggetto in moto. Se formula_11 è lo spostamento dell'oggetto nel tempo formula_12, la norma della velocità istantanea nel punto formula_13 è la derivata dello spostamento rispetto al tempo:
con il vettore velocità che è quindi scritto come:
dove formula_16 è il vettore unitario tangente alla curva. Il modulo dell'accelerazione istantanea è allora:
ed il vettore accelerazione è dato da:
dove formula_19 è la curvatura e si sono evidenziate la componente in direzione del moto e la componente in direzione perpendicolare, con formula_20 vettore unitario normale alla curva. In generale è possibile introdurre una terna di versori ortonormali, detta triedro di Frenet, costituita ortogonalizzando i vettori velocità, accelerazione ed un terzo vettore, generato dal prodotto vettoriale dei primi due. I versori così generati prendono il nome di "versore tangente", "normale" e "binormale". L'accelerazione giace sempre, per costruzione, nel piano individuato dal versore tangente e da quello normale. La geometria differenziale sfrutta il triedro di Frenet per permettere di calcolare in ogni punto la curvatura e la torsione della traiettoria.
In uno spazio a tre dimensioni si può scrivere l'accelerazione come:
dove formula_22, formula_23 e formula_24 sono i versori del sistema di riferimento cartesiano utilizzato. Poiché, nella sua definizione generale, l'accelerazione è il vettore che quantifica la variazione di direzione e modulo della velocità, data una traiettoria qualsiasi, è sempre possibile scomporre l'accelerazione del corpo in una componente ad essa tangente, detta "accelerazione tangenziale", e in una componente perpendicolare, detta "accelerazione normale":
L'accelerazione tangenziale descrive il cambiamento in norma della velocità, mentre quella normale è associata alla variazione della direzione della velocità.
Sapendo che la velocità lineare formula_26, che è sempre tangente alla traiettoria, è legata alla velocità angolare formula_27 dalla relazione:
dove formula_29 denota il prodotto vettoriale, formula_27 la velocità angolare e formula_31 il raggio di curvatura della traiettoria nel punto considerato. Pertanto formula_26 è ortogonale al piano formato da formula_27 e da formula_31, e viceversa, il vettore formula_27 è ortogonale al piano formato da formula_26 e da formula_31, cioè dal piano sul quale avviene il moto.
Data una traiettoria formula_38 giacente in un piano, e tracciato per un punto formula_39 in moto il cerchio osculatore, ovvero la circonferenza tangente in ogni istante alla traiettoria in "formula_39", la quale approssima al meglio la traiettoria in quel punto, si trova che:
dove formula_42 è l'accelerazione angolare. Considerando la derivata del vettore velocità formula_43, si ha:
Eguagliando quanto ottenuto dalle equazioni precedenti e identificando i termini si ha che le componenti sono:
In due dimensioni il versore normale è univocamente determinato, mentre in tre dimensioni bisogna specificarlo; infatti, esso risulta parallelo al raggio del cerchio osculatore.
Da quanto mostrato segue inoltre che se la componente normale dell'accelerazione è nulla, allora il moto si svolge su una retta; infatti, la direzione del vettore velocità è costante, e dato che la velocità è sempre tangente alla traiettoria, quest'ultima è rettilinea. Nel caso in cui l'accelerazione tangenziale sia costante si ha un moto rettilineo uniformemente accelerato. Se, invece, anche la componente tangenziale dell'accelerazione sia nulla, il vettore velocità è allora costante e si ha un moto rettilineo uniforme.
Viceversa, se a essere costante è la componente normale la traiettoria risulterà circolare. In questo caso, essa prenderà il nome di "accelerazione centripeta" perché punta istante per istante verso il centro della circonferenza. Se l'accelerazione angolare, quindi anche l'accelerazione tangenziale, è costante, si ha un moto circolare uniformemente accelerato. Invece, nel caso di moto circolare uniforme l'accelerazione angolare è nulla, per cui l'accelerazione si riduce alla sola componente centripeta, pertanto la velocità angolare sarà costante nel tempo. 
Un osservatore solidale a un sistema di riferimento non inerziale sperimenterà delle accelerazioni apparenti. Per il teorema delle accelerazioni di Coriolis, le accelerazioni apparenti dall'osservatore sono due: la prima detta "accelerazione centrifuga", avente modulo e direzione identici all'accelerazione centripeta, ma con verso opposto, e la seconda che prende il nome di "accelerazione complementare", o "accelerazione di Coriolis", il cui valore è: 
L'accelerazione media si rappresenta con il grafico velocità-tempo, dal quale si comprende come l'accelerazione media sia uguale alla pendenza della retta che congiunge i punti iniziale e finale del grafico velocità-tempo in cui andiamo a calcolare la media.
L'accelerazione istantanea è la tangente alla curva velocità-tempo nel punto fissato, così come è il significato geometrico della derivata prima. Essa è quindi uguale alla pendenza della retta tangente alla curva nel punto in cui viene calcolata.
Attraverso lo studio della curva nel grafico velocità-tempo si possono ricavare ulteriori importanti informazioni: dall'angolo che la tangente forma con l'asse del tempo si evince che l'accelerazione è negativa se la tangente forma un angolo superiore ai 90 gradi con l'asse delle ascisse, è positiva se rimane sotto i 90 gradi mentre è nulla se la tangente è parallela all'asse. Inoltre, si noti come a valori positivi della curva accelerazione-tempo corrispondano valori crescenti della curva velocità-tempo. Poiché l'accelerazione è la derivata seconda della posizione, si può anche ricavare l'andamento della relazione accelerazione-tempo anche studiando la concavità del grafico.
Se gli formula_47 punti materiali di un sistema sono in movimento, solitamente, la posizione del centro di massa varia. Pertanto, nell'ipotesi in cui la massa totale formula_48 sia costante, l'accelerazione del centro di massa sarà:
dove formula_50 la quantità di moto totale del sistema e formula_51 è la sommatoria delle forze esterne.


In fisica, l'energia potenziale di un oggetto è l'energia che esso possiede a causa della sua posizione o del suo orientamento rispetto ad un campo di forze. Nel caso si tratti di un sistema, l'energia potenziale può dipendere dalla disposizione degli elementi che lo compongono. Si può vedere l'energia potenziale anche come la capacità di un oggetto (o sistema) di trasformare la propria energia in un'altra forma di energia, come ad esempio l'energia cinetica.
Il termine "energia potenziale" fu coniato da Rankine nel 1853.
Nel sistema internazionale è misurata in joule ("J").
Si tratta di una funzione scalare delle coordinate dell'oggetto nel sistema di riferimento utilizzato. Dato un campo vettoriale conservativo, l'energia potenziale è la sua capacità di compiere lavoro: il lavoro relativo a una forza che agisce su un oggetto è l'integrale di linea di seconda specie della forza valutato sul cammino compiuto dall'oggetto, e se essa è conservativa il valore di questo integrale non dipende dal tipo di cammino seguito. Quando si ha a che fare con forze conservative si può definire un potenziale scalare definito in tutto lo spazio, usualmente il potenziale è definito come l'energia potenziale fratto la variabile che è responsabile della forza. In particolare, dal punto di vista matematico tale potenziale esiste solo se la forza è conservativa, e del resto si assume che per tutte le forze conservative si può sempre definire fisicamente un'energia potenziale.
L'energia potenziale può essere definita anche per il campo magnetico, che non è conservativo, nelle regioni in cui vi è assenza di correnti elettriche. In tal caso, infatti, il rotore del campo è nullo. L'energia potenziale magnetica di un magnete in un campo magnetico è definita come il lavoro della forza magnetica (il momento meccanico) nel ri-allineare il momento di dipolo magnetico.
Se in una regione di spazio sono presenti una qualche forza e un oggetto che è sensibile alla presenza della forza, l'energia potenziale (associata alla forza) posseduta dall'oggetto è definita come la differenza tra l'energia che esso possiede a causa della forza in una data posizione nello spazio e l'energia posseduta in una posizione scelta come riferimento. Spesso nella posizione scelta come riferimento l'energia potenziale è nulla.
L'energia potenziale è definibile come il lavoro necessario a portare a distanza infinita due molecole, ed è pari a zero quando la distanza tra le molecole è infinita.
Data una forza formula_1, il lavoro formula_2 lungo una curva formula_3 è dato in generale dalla relazione:
che in forma locale si scrive:
Nel caso il campo di forze sia conservativo, il lavoro non dipende dal tipo di percorso compiuto, ma soltanto dall'entità della forza agli estremi del cammino (gli estremi di integrazione): il differenziale formula_6 è allora un differenziale esatto, e il campo conservativo corrisponde (per definizione) al gradiente di un campo scalare, chiamato potenziale. In questo caso, se l'oggetto si sposta da un punto formula_7 a un punto formula_8 la forza esercitata dal campo compie un lavoro pari all'opposto formula_9 della differenza formula_10 tra l'energia potenziale posseduta dall'oggetto nelle due posizioni iniziale e finale:
Il motivo del segno meno, per cui il lavoro è pari all'opposto dell'energia, è il fatto che in questo modo a un lavoro positivo corrisponde una riduzione del potenziale. Poiché è possibile fissare arbitrariamente il livello zero dell'energia potenziale, essa viene definita a meno di una costante additiva. Nel caso più semplice, in cui il moto si svolge in una sola direzione, l'energia potenziale di una forza conservativa è pari a una qualche primitiva della forza, cambiata di segno:
dove formula_13 è la costante additiva. Fissando formula_14 si determina qual è la primitiva, e pertanto si rende necessario imporre delle condizioni al contorno: per le forze nulle all'infinito si utilizza la condizione al contorno di Dirichlet formula_15, detta "condizione di località".
Nel caso tridimensionale, se il dominio è un insieme stellato il lemma di Poincaré fornisce una condizione sufficiente e necessaria affinché nel punto formula_16 la forza sia l'opposto formula_17 del gradiente formula_18 di un potenziale scalare formula_19 (ovvero sia conservativa):
Inoltre, l'integrale si può separare:
dove il punto formula_22 è scelto arbitrariamente e i vettori formula_23, formula_24 e formula_25 sono i versori canonici di formula_26.
formula_32 dove formula_33 è la costante di gravitazione universale e formula_34 la massa del corpo maggiore. In quest'ultima il livello di zero di formula_19 è posto a distanza infinita dal corpo celeste, e di conseguenza i valori di formula_19 sono sempre negativi.
Una forza di posizione agente su un punto materiale qualsiasi dello spazio tridimensionale in un sistema di riferimento viene definita in particolare come:
dove formula_46, formula_49, formula_50 sono le coordinate cartesiane di un generico punto nel riferimento, e agisce su un punto materiale di massa formula_27.
Si nota subito che questa forza è di tipo "non locale", in quanto non è nulla all'infinito:
Il calcolo del lavoro della forza lungo la curva formula_53 parametrizzata da:
avviene tramite un integrale curvilineo, oppure controllando che possa esistere una funzione energia potenziale associata alla forza formula_55. La forza è definita su tutto formula_56. Per il lemma di Poincaré se il campo è irrotazionale esiste una funzione energia potenziale associata. 
Il rotore di formula_55 è:
Il campo è quindi conservativo: ciò significa che il lavoro compiuto dalla forza non dipende dalla traiettoria del corpo. La funzione energia potenziale si calcola nel seguente modo:
Imponendo la condizione di località:
Risulta quindi che il campo di energia potenziale è di tipo "non locale" (come anche la forza che la origina).
Chiamando:
il lavoro compiuto dalla forza lungo la traiettoria formula_53 è funzione dei soli estremi del percorso e pari a:
Come si vede l'imposizione della condizione di località non ha alcun influsso sul lavoro (né l'avrebbe sulla forza). Inoltre, se la forza formula_55 è l'unica forza presente, si conserva l'energia meccanica del sistema formula_66, anche se risulta infinita:
e quindi la conservatività della quantità meccanica:
non dipende dalla condizione di località.
