
Il momento meccanico, indicato con formula_1 o, in ambito anglosassone, con formula_2 (dall'inglese "torque"), esprime l'attitudine di una forza a imprimere una rotazione a un corpo rigido attorno a un asse quando questa non è applicata al suo centro di massa, altrimenti si avrebbe moto traslatorio. Costituisce quindi il momento della forza.
Il momento meccanico è uno pseudovettore, non uno scalare come l'energia o il lavoro. Per questo motivo l'unità di misura del momento meccanico nel SI è N·m ("newton per metro"), non il joule, anche se le due unità hanno le stesse dimensioni fisiche.
Una grandezza correlata al momento meccanico è il momento meccanico specifico formula_3 , il quale rappresenta il momento meccanico per unità di massa, ovvero il momento dell'accelerazione.
L'analisi dei momenti meccanici determina la condizione di equilibrio dei corpi estesi e serve allo studio dei moti rotazionali, infatti compaiono nella seconda equazione di Eulero.
Il momento meccanico rispetto a un determinato punto formula_4, detto "polo" o "centro di riduzione", è definito in meccanica newtoniana come il prodotto vettoriale tra il vettore posizione, rispetto al polo stesso, e la forza:
Il modulo di formula_6 è quindi definito da
Il vettore formula_8 è perpendicolare al piano definito da formula_9 e da formula_10 e il verso, come espresso dalla regola della mano destra, è quello di un osservatore che vede ruotare formula_9 in senso antiorario. La grandezza formula_12, distanza dell'asse di rotazione dalla retta su cui giace formula_9, è detta braccio formula_14 della forza formula_9.
Se formula_9 e formula_10 sono ortogonali tra loro, il braccio è esattamente pari al modulo di formula_10 e il modulo del momento è massimo (vedi leva). Il momento può essere nullo se la forza o il braccio sono nulli, oppure se formula_9 è parallela a formula_10.
Se il sistema è composto di più componenti puntiformi, il momento meccanico totale è la somma dei singoli momenti meccanici, ognuno dovuto alla forza sul singolo componente e al relativo braccio:
Nei sistemi continui si estende in modo naturale la definizione introducendo la densità formula_22 e il campo di accelerazioni formula_23:
Si definisce momento meccanico assiale di una forza rispetto a un asse formula_25 passante per un punto formula_4, la componente ortogonale del momento polare su un particolare asse formula_25, detto asse centrale:
dove formula_29 è un versore, vettore di lunghezza unitaria, che identifica l'asse. Il modulo sarà:
dove formula_31 è l'angolo formato dal vettore momento polare formula_32 con l'asse formula_33. In pratica è la proiezione ortogonale del momento polare sull'asse formula_33. Per questo il momento assiale è nullo se l'angolo formula_35 e massimo quando l'asse formula_25 coincide con l'asse di formula_32, in tal caso infatti: formula_38.
Il teorema di Varignon afferma che il momento risultante dalla somma dei momenti meccanici applicati in uno stesso punto, o equivalentemente la somma dei momenti assiali posti alla stessa distanza da un asse di riferimento, corrisponde al momento meccanico della risultante":"
Ciò risulta di particolare utilità nelle equazioni di Eulero.
Derivando rispetto al tempo il momento angolare formula_40 rispetto a un polo formula_41 di un sistema di formula_42 punti materiali si ottiene:
dove formula_44 è la quantità di moto, e formula_45 è la velocità del punto di applicazione, ma poiché:
segue che:
Nel caso in cui il polo formula_41 sia immobile, il momento meccanico è pari alla variazione del momento angolare attorno allo stesso centro o asse del primo:
Prendendo la relazione dimostrata nel precedente paragrafo, nel caso di un corpo rigido rotante, si può osservare che formula_50 rappresenta la velocità tangenziale del corpo rotante, pertanto si ha che:
in questo caso il momento angolare è correlato al moto rotatorio. Infatti, il momento angolare risulta proporzionale rispetto alla velocità angolare formula_52 attraverso il tensore d'inerzia formula_53:
Sostituendo si ottiene:
dove formula_56 è l'accelerazione angolare. Il momento angolare risulta proporzionale anche rispetto alla velocità areolare formula_57 attraverso la massa formula_58:
Sostituendo si ottiene:
dove formula_61 è l'accelerazione areolare.
L'equazione che lega il momento meccanico con la velocità angolare può essere riscritta attraverso la relazione di Poisson; infatti, il vettoriale del prodotto triplo può essere convertito in prodotto ordinario servendosi della matrice antisimmetrica della velocità angolare, in analogia per esempio con la definizione del tensore di Kong, definita per esempio in uno spazio tridimensionale come:
Risulta quindi che:
Si nota allora che il momento meccanico ha in generale due componenti, una a velocità angolare nulla, l'altra ad accelerazione angolare nulla:
Come esempio notevole si consideri un corpo è vincolato a un asse fisso baricentrico in un riferimento in cui è inclinato come l'asse formula_65, come per esempio una manovella:
formula_67 risulta in generale:
In meccanica dei solidi un momento meccanico si traduce in una tensione a seconda che esso sia "flettente", ovvero orientato parallelamente alla sezione, o "torcente, "se orientato perpendicolarmente alla sezione.
In una struttura planare su cui agiscano solo forze complanari ci sono solo "momenti flettenti".
Il lavoro rotazionale, compiuto dal momento meccanico risulta essere:
Come nel caso traslazionale, è possibile quindi per un momento compiere anche lavoro negativo, se si oppone allo spostamento angolare reale, o nullo, nel caso sia normale allo spostamento angolare reale. 
Un momento meccanico, analogamente a una forza, può essere conservativo e ammettere quindi un'energia potenziale in base al lemma di Poincaré:
In tal caso essa risulta per un sistema a un grado di libertà angolare:
Il valore dell'energia potenziale in formula_73 è definito arbitrariamente dal punto di vista matematico; si impone solitamente una condizione al contorno di Dirichlet, a cui non è applicabile la condizione di località dato che in generale l'energia potenziale rotazionale risulta sempre periodica nelle sue variabili angolari con periodo massimo formula_74.
Infine nel caso più generale coi tre gradi di libertà rotazionali:
Nel caso in cui il polo formula_41 sia immobile, la potenza rotazionale, posseduta dal momento meccanico risulta essere:
dove formula_78 è la velocità angolare del punto.
Un problema molto comune è misurare la forza che viene esplicata da qualcosa che gira. Il modo più naturale è fissare una sbarra al rotore e misurare la forza che questa esercita "ortogonalmente" a una certa distanza dal fulcro. Si potrebbe a questo punto definire, per convenzione, la "forza di un rotore" come quella misurata alla distanza, ad esempio, di 1 metro dal fulcro. In tal modo sarebbe possibile confrontare le forze di rotori diversi.
Per le leggi che regolano le leve è tuttavia evidente che il modulo del prodotto vettoriale fra la forza e la distanza dal fulcro, detta "braccio della forza", è una costante. Se si misura la forza esercitata, ortogonalmente alla sbarra, alla distanza di mezzo metro si trova che essa è pari al doppio di quella misurata a 1 metro; a 10 cm è 10 volte più grande; a 2 m la metà e così via. È quindi, in sintesi, rilevante per un corpo rigido solo il prodotto: "braccio × forza", e non i singoli valori delle due componenti.
La coppia è spesso usata nell'industria meccanica per quantificare la potenza generata da un motore secondo la formula:
dove:
Per misurare la coppia viene utilizzato un estensimetro a ponte intero.


In fisica, in particolare nel magnetismo, il campo magnetico è un campo vettoriale solenoidale generato nello spazio dal moto di una carica elettrica o da un campo elettrico variabile nel tempo. Insieme al campo elettrico esso costituisce il campo elettromagnetico, responsabile dell'interazione elettromagnetica.
In realtà, le equazioni relative al campo elettrico e quelle relative al campo magnetico sono solo in apparenza completamente separate: le stesse cariche elettriche, quando sono in movimento, danno luogo a una densità di corrente e divengono dunque sorgente di un campo magnetico. 
Tuttavia, poiché il fatto che le cariche siano ferme o si muovano è un fatto relativo (cioè dipendente dal sistema di riferimento scelto per descrivere il fenomeno), diviene ugualmente relativo il fatto che si abbia a che fare con un campo elettrico o con un campo magnetico. Appare dunque naturale interpretare il campo elettrico e il campo magnetico come manifestazioni diverse di un'unica entità fisica, detta campo elettromagnetico.
La scoperta della produzione di campi magnetici da parte di conduttori percorsi da corrente elettrica si deve a Ørsted nel 1820: sperimentalmente si verifica che la direzione del campo è la direzione indicata dalla posizione d'equilibrio dell'ago di una bussola immersa nel campo; lo strumento per la misura del campo magnetico è il magnetometro.
Il campo magnetico agisce su un oggetto elettricamente carico con la forza di Lorentz (nel caso di una carica elettrica in movimento) oppure tramite il momento torcente che agisce su un dipolo magnetico. L'evoluzione spaziale e temporale del campo magnetico è governata dalle equazioni di Maxwell, un sistema di quattro equazioni differenziali alle derivate parziali lineari che sta alla base della descrizione formale dell'interazione elettromagnetica.
In fisica il campo induzione magnetica (anche detto impropriamente campo magnetico) in un punto di un mezzo è individuato dal vettore formula_1 composto da una prima componente indicata con formula_2 e una seconda componente indicata con formula_3 dovuta a fenomeni microscopici che avvengono nel mezzo come tipicamente un determinato allineamento degli spin atomici. formula_1 si misura in tesla (T) o in Wb/m² ed è anche detto densità di flusso magnetico o induzione magnetica; formula_5 è detto "campo magnetizzante" e si misura in A/m (o anche in Oe); formula_6 è il "vettore di magnetizzazione", anch'esso in A/m; formula_7 è la permeabilità magnetica del vuoto pari a formula_8. In definitiva: formula_9.
formula_6 tiene conto del fatto che i momenti magnetici intrinseci (spin) degli elettroni legati si allineano mediamente in una certa direzione, spesso quella del campo applicato esternamente, e inoltre compiono dei moti medi di precessione attorno a tale direzione in senso orario o antiorario a seconda del segno della loro carica elettrica. Si tratta di moti rotatori nello stesso senso e con la stessa direzione perpendicolare, che forniscono un contributo alla corrente elettrica macroscopica soltanto sulla superficie del materiale: al suo interno i moti delle cariche affiancate tra di loro si compensano a vicenda in quanto ruotano tutte nello stesso senso e da ciò deriva il fatto che le correnti delle cariche legate agli atomi sono esprimibili come il rotore della magnetizzazione. Il legame tra formula_6 e formula_5 è generalmente spiegabile con delle trattazioni quantistiche della materia, che caratterizzano le proprietà magnetiche dei materiali come il paramagnetismo, il diamagnetismo, il ferromagnetismo, l'antiferromagnetismo, il ferrimagnetismo e il superparamagnetismo.
formula_5 è un campo magnetico che ha quattro possibili contributi: la corrente dovuta a cariche libere nel materiale, un campo magnetico applicato esternamente, la variazione nel tempo del campo elettrico e il campo demagnetizzante formula_14 che è sempre opposto in verso alla magnetizzazione infatti esso nasce qualora la magnetizzazione abbia dei punti di non uniformità lungo la propria direzione, ovvero quando formula_6 ha divergenza non nulla. L'esempio più caratteristico di necessità del campo demagnetizzante in assenza di campi magnetici applicati esternamente, di correnti elettriche libere e variazioni del campo elettrico è il fatto che in un ferromagnete formula_6 può essere comunque presente ma essendo nulla fuori dal materiale ha una discontinuità al bordo che la rende non solenoidale quindi se formula_5 fosse nullo anche formula_1 sarebbe non solenoidale e ciò contraddirebbe la seconda equazione di Maxwell :formula_19.
In ambito ingegneristico viene spesso utilizzata una convenzione diversa: le quantità fondamentali (campo elettrico e campo magnetico) sono rappresentate dalla coppia duale formula_20, mentre le induzioni corrispondenti, ovvero la coppia duale formula_21, vengono considerate la risposta del mezzo all'eccitazione elettromagnetica. Grazie a questa convenzione esiste una dualità sia a livello di unità di misura (ampere è duale di volt, weber è duale di coulomb), sia a livello di notazione. Difatti, introducendo le quantità fittizie "densità di carica magnetica" formula_22 e "densità di corrente magnetica" formula_23, è possibile scrivere delle equazioni di Maxwell perfettamente simmetriche, e ciò consente di enunciare il teorema di dualità elettromagnetica.
Sia data una carica elettrica puntiforme formula_24 in moto con velocità istantanea formula_25 in una regione caratterizzata dalla presenza di un campo elettrico formula_26 e un campo magnetico formula_1. La forza di Lorentz è la forza formula_28 esercitata dal campo elettromagnetico sulla carica, ed è proporzionale a formula_24 e al prodotto vettoriale tra formula_25 e formula_1 secondo la relazione:
dove formula_33 è la posizione della carica, formula_34 la sua velocità e formula_35 è il tempo.
Una carica positiva viene accelerata nella direzione di formula_26 e viene curvata nella direzione perpendicolare al piano formato da formula_25 e formula_1.
Si consideri il caso in cui sia presente il solo campo magnetico. La formula può essere applicata al caso di un circuito filiforme di lunghezza formula_39 percorso dalla corrente elettrica formula_40:
e sapendo che per definizione:
con formula_43 la densità di corrente, si può estendere al caso più generale di un volume formula_44 percorso da una corrente descritta dalla densità di corrente, per il quale si ha:
Dal momento che la forza di Lorentz è legata al campo magnetico tramite il prodotto vettoriale, la forza e il campo non hanno la stessa direzione, essendo perpendicolari. Come conseguenza di ciò, la forza di Lorentz non compie lavoro, infatti:
L'ultimo integrando è nullo perché è il prodotto misto di tre vettori, di cui due paralleli.
Una serie di evidenze sperimentali, tra le quali l'esperimento di Oersted del 1820, ha portato a concludere che il campo magnetico nel generico punto formula_47 generato nel vuoto da un elemento infinitesimo formula_48 di un circuito percorso da una corrente formula_40 è dato da:
dove formula_51 è la distanza tra la posizione formula_33 dell'elemento infinitesimo formula_48 del circuito e il punto formula_47 in cui è calcolato il campo, e formula_7 è la permeabilità magnetica nel vuoto.
L'integrazione su tutto il circuito della precedente espressione produce la Legge di Biot-Savart:
che rappresenta il campo magnetico totale generato dal circuito in formula_47. Nel caso più generale, in cui l'approssimazione di circuito filiforme non viene applicata, si ricorre alla densità formula_43 della corrente che attraversa una sezione di conduttore. L'espressione del campo diventa:
dove formula_60 è il volume infinitesimo, di lunghezza formula_61 e sezione formula_62, del conduttore nel punto formula_33.
Calcolando la divergenza del campo generato da un circuito si dimostra che essa è sempre nulla:
Questa proprietà costituisce la seconda equazione di Maxwell:
Il fatto che si tratti di un campo a divergenza nulla implica che il campo magnetico sia un campo solenoidale. Da questo fatto segue che, applicando il teorema del flusso di Gauss, il flusso formula_66 di formula_1 attraverso qualsiasi superficie chiusa formula_68 che contiene al suo interno il circuito è nullo:
dove formula_44 è il volume racchiuso dalla frontiera formula_68. Inoltre, il campo magnetostatico non è conservativo e quindi non è irrotazionale, cioè il suo rotore non è nullo ovunque. Partendo dalla più generale formulazione del campo magnetico, nella quale si sfrutta la densità di corrente, si dimostra che:
dove formula_43 indica il vettore densità di corrente. Questa espressione costituisce la quarta equazione di Maxwell nel caso stazionario. Applicando alla precedente espressione il teorema del rotore si ottiene la Legge di Ampère:
ovvero, la circuitazione lungo una linea chiusa del campo magnetostatico è pari alla somma algebrica delle correnti concatenate con essa.
Il potenziale vettore del campo magnetico, indicato solitamente con formula_75, è un campo vettoriale tale che formula_1 sia uguale al rotore di formula_75:
La definizione non è tuttavia univoca, dal momento che formula_5 resta invariato se ad formula_75 si somma il gradiente di una qualsiasi funzione scalare:
Il potenziale vettore definito in questo modo risulta soddisfare automaticamente le equazioni di Maxwell nel caso statico.
Nel caso elettrodinamico bisogna modificare le definizioni dei potenziali in modo da ottenere che due equazioni di Maxwell risultino immediatamente soddisfatte. Per quanto riguarda formula_75, si verifica ancora che è definito in modo che il suo rotore sia formula_1, mentre formula_44 è definito in modo che:
L'elettrostatica e la magnetostatica rappresentano due casi particolari di una teoria più generale, l'elettrodinamica, dal momento che trattano i casi in cui i campi elettrico e magnetico non variano nel tempo. In condizioni stazionarie i campi possono essere infatti trattati indipendentemente l'uno dall'altro, tuttavia in condizioni non stazionarie appaiono come le manifestazioni di una stessa entità fisica: il campo elettromagnetico.
Più precisamente, le leggi fisiche che correlano i fenomeni elettrici con quelli magnetici sono la legge di Ampere-Maxwell e la sua simmetrica legge di Faraday.
La legge di Faraday afferma che la forza elettromotrice indotta in un circuito chiuso da un campo magnetico è pari all'opposto della variazione del flusso magnetico del campo concatenato con il circuito nell'unità di tempo, ovvero:
Per la definizione di forza elettromotrice si ha, esplicitando la definizione integrale di flusso:
applicando il teorema di Stokes al primo membro:
e per quanto detto si giunge a:
Uguagliando gli integrandi segue la terza equazione di Maxwell:
Si noti che nel caso non stazionario la circuitazione del campo elettrico non è nulla, dal momento che si genera una forza elettromotrice che si oppone alla variazione del flusso del campo magnetico concatenato col circuito.
L'estensione della legge di Ampère al caso non stazionario mostra come un campo elettrico variabile nel tempo sia sorgente di un campo magnetico. Ponendo di essere nel vuoto, la forma locale della legge di Ampère costituisce la quarta equazione di Maxwell nel caso stazionario:
Tale relazione vale solamente nel caso stazionario poiché implica che la divergenza della densità di corrente sia nulla, contraddicendo in questo modo l'equazione di continuità per la corrente elettrica:
Per estendere la legge di Ampère al caso non stazionario è necessario inserire la prima legge di Maxwell nell'equazione di continuità:
Il termine
è detto corrente di spostamento, e deve essere aggiunto alla densità di corrente nel caso non stazionario.
Inserendo la densità di corrente generalizzata così ottenuta nella legge di Ampère:
si ottiene la quarta equazione di Maxwell nel vuoto. Tale espressione mostra come la variazione temporale di un campo elettrico sia sorgente di un campo magnetico.
Per descrivere il comportamento del campo magnetico nella materia è sufficiente introdurre nelle equazioni di Maxwell un termine aggiuntivo formula_96, che rappresenta la densità di corrente associata alla magnetizzazione del materiale:
Tuttavia, tale termine non è in generale noto: questo ha portato all'introduzione del vettore "intensità di magnetizzazione", anche detto vettore di "polarizzazione magnetica" e indicato con formula_6, una grandezza vettoriale macroscopica che descrive il comportamento globale del materiale soggetto alla presenza del campo magnetico. Il vettore rappresenta il momento di dipolo magnetico per unità di volume posseduto dal materiale. Definito come la media del valore medio del momento magnetico proprio formula_99 di "N" particelle contenute in un volume infinitesimo formula_100, è espresso dalla relazione:
Nel Sistema internazionale di unità di misura il vettore di polarizzazione magnetica si misura in Ampere su metro (A/m), e nella definizione il limite vale per un volume che contenga un numero significativo di atomi tale da poterne calcolare una proprietà media.
Nel caso in cui la polarizzazione atomica all'interno del materiale sia uniforme, le correnti di magnetizzazione sono descritte dalla "corrente di magnetizzazione superficiale" formula_102, data da:
ovvero la corrente di magnetizzazione è pari al flusso del vettore "densità di corrente di magnetizzazione superficiale" formula_104 attraverso una superficie formula_105. Nel caso in cui la polarizzazione atomica all'interno del materiale non sia uniforme, invece, si introduce la "corrente di magnetizzazione volumica" formula_102, data da:
ovvero la corrente di magnetizzazione volumica è pari al flusso del vettore "densità di corrente di magnetizzazione volumica" formula_108 attraverso una superficie formula_105. Le relazioni che legano la densità di corrente di magnetizzazione con il vettore di magnetizzazione sono:
dove nella prima equazione formula_111 è il versore che identifica la direzione normale alla superficie del materiale.
La presenza di materia costringe a tenere conto delle correnti amperiane nelle equazioni di Maxwell per il campo magnetico:
e porta a definire il vettore campo magnetico formula_113 nella materia come:
L'equazione di Maxwell può essere riscritta in modo equivalente:
La densità di corrente formula_43 presente nella precedente equazione si riferisce esclusivamente alle correnti elettriche, date dal moto dei soli elettroni liberi, e non alle correnti atomiche di magnetizzazione. Nel caso non stazionario, inoltre, la quarta equazione ha l'espressione:
La permeabilità magnetica è una grandezza fisica che esprime l'attitudine di una sostanza a polarizzarsi in seguito all'applicazione di un campo magnetico e si misura in henry al metro (H/m), equivalente a newton all'ampere quadrato (N/A). Nel caso in cui il materiale sia omogeneo e isotropo e la sua risposta sia lineare, i vettori formula_118 e formula_113 sono paralleli, e questo implica che la relazione tra di essi è di semplice proporzionalità:
dove formula_121 è la permeabilità magnetica del materiale considerato.
Dal momento che non tutti i materiali hanno una reazione lineare tra formula_1 e formula_5, i materiali magnetici si distinguono in tre categorie:
L'energia magnetica è l'energia associata al campo magnetico, e nel caso di materiali in cui la relazione tra formula_1 e formula_5 sia lineare l'energia magnetica contenuta in un volume formula_131 è data da:
dove il prodotto scalare:
è la densità di energia magnetica.
Per un circuito percorso da corrente la densità di energia magnetica può essere definita a partire dal potenziale vettore formula_75 del campo magnetico e il vettore densità di corrente formula_43:
Il campo elettromagnetico è dato dalla combinazione del campo elettrico formula_26 e del campo magnetico formula_1, solitamente descritti con vettori in uno spazio a tre dimensioni. Il campo elettromagnetico interagisce nello spazio con cariche elettriche e può manifestarsi anche in assenza di esse, trattandosi di un'entità fisica che può essere definita indipendentemente dalle sorgenti che l'hanno generata. In assenza di sorgenti il campo elettromagnetico è detto onda elettromagnetica, essendo un fenomeno ondulatorio che non richiede di alcun supporto materiale per diffondersi nello spazio e che nel vuoto viaggia alla velocità della luce. Secondo il modello standard, il quanto della radiazione elettromagnetica è il fotone, mediatore dell'interazione elettromagnetica.
La variazione temporale di uno dei due campi determina il manifestarsi dell'altro: campo elettrico e campo magnetico sono caratterizzati da una stretta connessione, stabilita dalle quattro equazioni di Maxwell. Le equazioni di Maxwell, insieme alla forza di Lorentz, definiscono formalmente il campo elettromagnetico e ne caratterizzano l'interazione con oggetti carichi. Le prime due equazioni di Maxwell sono omogenee e valgono sia nel vuoto sia nei mezzi materiali, e rappresentano in forma differenziale la Legge di Faraday e la legge di Gauss per il campo magnetico. Le altre due equazioni descrivono il modo in cui il materiale, nel quale avviene la propagazione, interagisce polarizzandosi con il campo elettrico e magnetico, che nella materia sono denotati con formula_139 e formula_5. Esse mostrano in forma locale la Legge di Gauss elettrica e la Legge di Ampère-Maxwell.
Le equazioni di Maxwell sono formulate anche in elettrodinamica quantistica, dove il campo elettromagnetico viene quantizzato. Nell'ambito della meccanica relativistica, i campi sono descritti dalla teoria dell'elettrodinamica classica in forma covariante, cioè invariante sotto trasformazione di Lorentz. Nell'ambito della teoria della Relatività il campo elettromagnetico è rappresentato dal tensore elettromagnetico, un tensore a due indici di cui i vettori campo elettrico e magnetico sono particolari componenti.
