
In fluidodinamica ed aerodinamica con il termine onda d'urto si indica un sottile strato di forte variazione dei campi di pressione, temperatura, densità e velocità del fluido. Tale sottile spessore, dell'ordine di 10 nm, viene modellato matematicamente come una discontinuità.
Un'onda d'urto può essere normale oppure obliqua alla direzione della velocità relativa tra onda e corrente, e può altresì essere stazionaria oppure spostarsi rispetto ad un corpo che la genera. Le onde sonore, essendo identificabili come "piccoli disturbi" di pressione e di velocità, in quanto queste ultime grandezze sono legate nelle equazioni che governano il fenomeno, rappresentano delle onde d'urto che, per la loro bassa intensità, possono essere considerate isoentropiche, cioè onde che non modificano sensibilmente l'entropia del flusso che le attraversa o che attraversano (sono anche dette onde di Mach). Il meccanismo delle onde d'urto oblique è in grado di deviare un flusso supersonico.
Di particolare interesse sono anche le onde d'urto adiabatiche, cioè quelle che si possono verificare in una corrente di fluido animata da moto omoenergetico.
 Si consideri la figura a destra. Si immagini un serbatoio a monte del condotto di figura che per qualche motivo si svuoti generando un flusso di fluido (che considereremo gas perfetto) all'interno del condotto. Dette 1 e 2 le due sezioni di controllo, detta "T" la temperatura totale nel serbatoio, e "p" la pressione totale, detto "τ" il volume di controllo, e siano le variazioni di sezione fra 1 e 2 trascurabili, individuando con formula_1 la normale alla sezione 1 e con formula_2 alla sezione 2, si immagini che, a causa delle condizioni di pressione a valle del condotto, o delle condizioni di raccordo del condotto stesso, il fluido sia costretto a cambiare repentinamente le sue proprietà di pressione, velocità e temperatura all'interno di un piccolo volume (indicato appunto con "τ").
Chiameremo questa zona di discontinuità onda d'urto normale.
Supponendo il flusso stazionario, e cioè nulle le derivate delle quantità rispetto al tempo, facciamo il bilancio della massa e della quantità di moto. Ipotizzando un flusso all'ingresso del volume di controllo supersonico unidimensionale, indicheremo con "ρ" la densità del fluido, con u la velocità e con A la sezione.
Bilancio di massa:
Coincidendo formula_4 con formula_5 il bilancio diviene
dove G è una costante invariante a monte e a valle del volume di controllo.
Bilancio della quantità di moto:
Abbiamo indicato con formula_8 la risultante delle azioni del condotto sul fluido, con M la massa di fluido, e con formula_9 l'accelerazione di gravità.
Trascuriamo ora il peso del fluido e l'azione del condotto sul fluido stesso, agendo essa sull'area laterale del volume, di ordine inferiore rispetto alle aree frontali. Dunque poiché formula_10 e formula_11 allora il bilancio della quantità di moto diviene semplicemente formula_12 invariante a monte e a valle del volume di controllo.
Facciamo ora il bilancio dell'energia:
Abbiamo dunque tre invarianti: G, I, e formula_14. Ricordiamo la definizione di velocità del suono critica formula_19:
Si è indicata con formula_21 la velocità del suono ad entalpia totale e formula_22.
Inoltre formula_23 e dunque giungiamo all'equazione che regola le onde d'urto normali:
Chiamiamo formula_25 e formula_26 le due soluzioni dell'equazione (reali e distinte oppure reali e coincidenti), poiché per la nota proprietà delle equazioni di secondo grado formula_27, allora in un urto normale è formula_28, dove con formula_29 abbiamo indicato il numero di Mach critico, definito come formula_30. Da questa relazione notiamo subito che un flusso attraverso un'onda d'urto normale passa da supersonico a subsonico o viceversa (ma quest'ultima alternativa è impossibile perché viola il 2º principio della termodinamica). 
La relazione che lega i numeri di Mach "veri" è la seguente:
Osservando tale relazione si nota che per formula_32 allora anche formula_33 (in questo caso avremo una zona di debole discontinuità, fenomeno quasi isoentropico chiamato "onda di Mach"). Se invece formula_34 allora formula_35.
Per quanto riguarda le velocità:
La velocità dunque attraverso un urto normale diminuisce.
Per le pressioni:
La pressione aumenta, dunque, attraverso l'onda.
Dalle leggi di Poisson si ricava poi:
Se formula_39 allora anche formula_40 e viceversa se formula_41. Indicando con formula_42 l'entropia, poiché formula_43 e che formula_44 per il secondo principio della termodinamica, allora è che formula_45 e dunque formula_39. Sono dunque possibili onde d'urto normali solo con flusso in ingresso supersonico. 
Per quanto riguarda la temperatura:
Da cui formula_48 perché il primo membro dell'equazione detta è negativo. Dunque la temperatura aumenta attraverso l'onda.
 Le onde d'urto oblique sono zone di discontinuità del campo fluidodinamico poste con un angolo diverso da 90° rispetto al flusso. Considerando la figura a destra, si chiami v la velocità di un sistema di riferimento che trasli senza accelerare rispetto ad un'onda d'urto normale. Chiamo formula_25 la velocità del fluido in ingresso rispetto ad un riferimento fermo, mentre formula_50 la velocità vista secondo il sistema di riferimento traslante. L'osservatore solidale con il sistema di riferimento traslante vede entrare un flusso con angolo formula_51 rispetto all'onda, e lo vede uscire deviato di un angolo formula_52. Rispetto alla trattazione fatta nel paragrafo precedente, cambieranno le quantità relative alle velocità, ma non quelle relative all'entalpia o all'entropia. Chiamo formula_53 la nuova entalpia totale, sempre invariante, mentre individuo in formula_54 l'entalpia totale relativa alla parte normale della velocità del fluido. Poiché energeticamente non è cambiato nulla rispetto alla situazione precedente, il salto di entropia sarà lo stesso.
Dunque la relazione che lega il numero di Mach d'entrata e uscita nel sistema di riferimento mobile sarà:
Il salto di densità è dato da:
La pressione varia secondo la relazione:
 La relazione tra formula_61 e formula_62, il cui grafico troviamo a sinistra, è la seguente:
Fissato un certo Mach in ingresso, come si vede dal grafico data la svolta formula_61 esistono due possibili soluzioni: una con il flusso in uscita supersonico ed una con flusso in uscita subsonico (una con formula_62 maggiore, ed una con formula_62 minore). Inoltre si individua un angolo di svolta massimo, indicato nel grafico come formula_67. Il significato fisico di questo angolo massimo è molto importante e si intuisce immediatamente che un flusso supersonico deviato da un'onda obliqua non potrà effettuare svolte superiori al formula_67 indicato in figura.


L'accezione matematica del termine distanza ha un significato analogo a quello dell'uso comune, cioè quello della misura della "lontananza" tra due punti di un insieme al quale si possa attribuire qualche carattere spaziale. In matematica però questa nozione assume caratteri astratti e si basa solo su proprietà formali che ne fanno perdere l'univocità: esistono esempi di insiemi anche comuni come formula_1 in cui possono essere date infinite definizioni di distanza, tutte soddisfacenti le proprietà generali. Si può dire che in matematica il termine distanza caratterizza strumenti computazionali con alcune caratteristiche comuni, ma utilizzabili per scopi diversificati.
Il concetto di distanza e quello collegato di lunghezza vengono generalizzati mediante la definizione della geodetica come il più breve percorso tra due punti di uno "spazio curvo".
Una distanza (o metrica) su un insieme formula_2 è una funzione 
che soddisfa le seguenti proprietà per ogni scelta di formula_4 in formula_2:
La coppia formula_10 è chiamata spazio metrico.
In realtà solo le proprietà 2,3,4 sono indipendenti tra loro. Questo significa che si possono definire delle funzioni che soddisfano alcune tra 2,3,4 ma non altre.
Per esempio, se formula_11 allora la funzione formula_12 per questi particolari valori soddisfa le 2,4 ma non la 3 e quindi in generale non soddisfa la 3.
La dimostrazione che le 3,4 implicano la 1 è molto semplice.
Infatti, sfruttando la 4 si ha
formula_13 e formula_14. Sommando ora membro a membro otteniamo
formula_15 infine (sfruttando la 3) l’espressione si semplifica in 
formula_16 che è appunto la 1, dopo aver diviso per 2 (e scambiato i membri).
Data una norma formula_17 è possibile definire una distanza formula_18 definendo
Si verifica che la funzione così definita è una distanza, infatti:
Si osserva che ogni distanza indotta da una norma è invariante per traslazioni (ovvero, per ogni tripletta di vettori formula_24).
La distanza normalmente considerata in formula_25 è quella euclidea, pari alla radice quadrata del quadrato della differenza orizzontale (tra i due punti) più il quadrato della differenza verticale:
Se si elimina la seconda dimensione questa funzione si riduce al modulo della differenza tra i due numeri: formula_27.
Più in generale nello spazio euclideo formula_28 si può definire la distanza tra due punti formula_29 e formula_30 nei seguenti modi:
La "2-distanza" in uno spazio a "n" dimensioni corrisponde al teorema di Pitagora applicato "n-1" volte: è la distanza di uno spazio euclideo, normalmente usata nel piano o nello spazio e viene detta anche distanza pitagorica. La "1-distanza", detta anche "distanza L1" o distanza Manhattan, genera invece una geometria diversa, detta geometria del taxi. La "∞-distanza (o distanza L∞)" è la cosiddetta distanza di Chebyshev.
Nel caso di uno spazio di Hilbert formula_45, il teorema della proiezione afferma che per ogni punto formula_46 e per ogni insieme convesso chiuso formula_47 esiste un unico formula_48 tale per cui formula_49 assume il valore minimo su formula_50. In particolare, questo è vero per ogni sottospazio chiuso formula_51 di formula_45: in tal caso una condizione necessaria e sufficiente per formula_53 è che il vettore formula_54 sia ortogonale a formula_51.
Data una distanza su un insieme si può definire come palla, o bolla, o disco, centrata in un punto formula_56 di un certo raggio formula_57 positivo l'insieme dei punti dell'insieme che distano da formula_56 meno di formula_57:
Solitamente la definizione si intende con il <; se però c'è bisogno di specificare, si dirà "disco aperto" l'insieme definito dalla relazione " < " e "disco chiuso" l'insieme definito dalla relazione " ≤ ".
Si definisce anche "bordo" del disco l'insieme
L'insieme dei dischi aperti centrati nei vari punti dello spazio soddisfa la definizione topologica di base: la topologia sull'insieme formula_62 determinata da questa base si dice "topologia generata" (o "indotta") dalla distanza formula_63.
È importante notare come il disco chiuso non coincida sempre con la chiusura del disco aperto, ma in generale ne sia solo un soprainsieme; in particolare nello spazio euclideo comunque le due nozioni coincidono.
Due distanze formula_63 e formula_65 si dicono equivalenti se l'applicazione identità
è un omeomorfismo.
Equivalentemente, esse si possono dire equivalenti se ogni disco della prima metrica contiene un qualche disco della seconda metrica e viceversa. Ad esempio una distanza "d" è equivalente a quella data dalla funzione formula_67 ed a quella data dalla funzione formula_68.
Due distanze equivalenti generano la stessa topologia.
Se si indeboliscono le richieste su formula_63 si ottengono spazi con proprietà più deboli e più poveri come possibilità algoritmiche:
Al contrario, rinforzando la disuguaglianza triangolare e imponendo che
si ottiene una cosiddetta ultrametrica.
