
L'analisi della regressione è una tecnica usata per analizzare una serie di dati che consistono in una variabile dipendente e una o più variabili indipendenti. Lo scopo è stimare un'eventuale relazione funzionale esistente tra la variabile dipendente e le variabili indipendenti. La variabile dipendente nell'"equazione di regressione" è una funzione delle variabili indipendenti più un "termine d'errore". Quest'ultimo è una variabile casuale e rappresenta una variazione non controllabile e imprevedibile nella variabile dipendente. I parametri sono stimati in modo da descrivere al meglio i dati. Il metodo più comunemente utilizzato per ottenere le migliori stime è il metodo dei "minimi quadrati" (OLS), ma sono utilizzati anche altri metodi.
Il "data modeling" può essere usato senza alcuna conoscenza dei processi sottostanti che hanno generato i dati; in questo caso il modello è un modello empirico. Inoltre, nella modellizzazione, non è richiesta la conoscenza della distribuzione di probabilità degli errori. L'analisi della regressione richiede ipotesi riguardanti la distribuzione di probabilità degli errori. Test statistici vengono effettuati sulla base di tali ipotesi. Nell'analisi della regressione il termine "modello" comprende sia la funzione usata per modellare i dati che le assunzioni concernenti la distribuzione di probabilità.
L'analisi della regressione può essere usata per effettuare previsioni (ad esempio per prevedere dati futuri di una serie temporale), inferenza statistica, per testare ipotesi o per modellare delle relazioni di dipendenza. Questi usi della regressione dipendono fortemente dal fatto che le assunzioni di partenza siano verificate. L'uso dell'analisi della regressione è stato criticato in diversi casi in cui le ipotesi di partenza non possono essere verificate. Un fattore che contribuisce all'uso improprio della regressione è che richiede più competenze per criticare un modello che per adattarlo.
La prima forma di regressione fu il metodo dei minimi quadrati, pubblicato da Legendre nel 1805, e da Gauss nel 1809. Il termine “minimi quadrati” deriva da quello usato da Legendre: "moindres carrés". Tuttavia, Gauss affermò di essere a conoscenza di questo metodo fin dal 1795.
Legendre e Gauss applicarono entrambi il metodo al problema di determinare, a partire da osservazioni astronomiche, l'orbita dei pianeti attorno al Sole. Eulero aveva lavorato sullo stesso problema intorno al 1748, ma senza successo. Gauss pubblicò un ulteriore sviluppo della teoria dei minimi quadrati nel 1821, includendo una versione del teorema di Gauss-Markov.
Il termine "regressione" venne coniato nel diciannovesimo secolo per descrivere un fenomeno biologico, ovvero che la progenie di individui eccezionali tende in genere ad essere meno eccezionale dei propri genitori e più simile ai loro avi più distanti. Francis Galton, un cugino di Charles Darwin, studiò questo fenomeno e applicò il termine vagamente fuorviante di "regressione verso il centro/regressione verso la media". Per Galton, la regressione aveva solo questo significato biologico, ma il suo lavoro venne in seguito esteso da Udny Yule e Karl Pearson in un contesto statistico più generale. Oggi il termine "regressione" è spesso sinonimo di "curva intercetta dei minimi quadrati".
Queste condizioni sono sufficienti (ma non tutte necessarie) perché lo stimatore dei minimi quadrati goda di buone proprietà. In particolare queste assunzioni implicano che lo stimatore sia non distorto, consistente ed efficiente nella classe degli stimatori lineari non distorti. Molte di queste assunzioni possono essere rilassate in analisi più avanzate.
Nella regressione lineare, il modello assume che la variabile dipendente, formula_1 sia una combinazione lineare dei "parametri" (ma non è necessario che sia lineare nella "variabile indipendente"). Ad esempio, nella regressione lineare semplice con formula_2 osservazioni ci sono una variabile indipendente: formula_3, e due parametri, formula_4 e formula_5:
Nella regressione lineare multipla, ci sono più variabili indipendenti o funzioni di variabili indipendenti. Ad esempio, aggiungendo un termine in formula_7 alla regressione precedente si ottiene:
Si tratta ancora di una regressione lineare: sebbene l'espressione sulla destra sia quadratica nella variabile indipendente formula_3, è comunque lineare nei parametri formula_4, formula_5 e formula_12
In entrambi i casi, formula_13 è un termine di errore e l'indice formula_14 identifica una particolare osservazione. Dato un campione casuale della popolazione, stimiamo i parametri della popolazione e otteniamo il modello di regressione lineare semplice:
Il termine formula_16 è il residuo, formula_17. Un metodo di stima è quello dei minimi quadrati ordinari. Questo metodo ottiene le stime dei parametri che minimizzano la somma dei quadrati dei residui, SSE:
La minimizzazione di questa funzione risulta essere un sistema di equazioni normali, un insieme di equazioni lineari simultanee nei parametri, che vengono risolte per trovare le stime dei parametri, formula_19. Vedi coefficienti di regressione per informazioni sulle proprietà statistiche di tali stimatori.
Nel caso della regressione semplice, le formule per le stime dei minimi quadrati sono 
dove formula_22 è la media (media) dei valori formula_23 e formula_24 è la media dei valori formula_25.
Sotto l'ipotesi che il termine di errore della popolazione abbia una varianza costante, la stima di quella varianza è data da:
formula_26
Questo è la radice dell'errore quadratico medio (RMSE) della regressione. 
Gli errori standard delle stime dei parametri sono dati da
Sotto l'ulteriore ipotesi che il termine di errore della popolazione abbia distribuzione normale, il ricercatore può usare questi errori standard stimati per creare intervalli di confidenza e condurre test d'ipotesi sui parametri della popolazione.
Nel più generale modello di regressione multipla, ci sono formula_29 variabili indipendenti:
Le stime dei parametri dei minimi quadrati sono ottenute da formula_29 equazioni normali. Il residuo può essere scritto come
Le equazioni normali sono
In notazione matriciale, le equazioni normali sono scritte come
Una volta costruito un modello di regressione, è importante confermare la bontà di adattamento del modello e la significatività statistica dei parametri stimati. I controlli della bontà di adattamento comunemente usati includono l'indice R-quadro, analisi dei residui e test di ipotesi. La significatività statistica è verificata con un test F dell'adattamento globale, seguito da t-test per ogni singolo parametro.
L'interpretazione di questi test dipende fortemente dalle assunzioni sul modello. Nonostante l'analisi dei residui sia usata per determinare la bontà di un modello, i risultati dei test-T e dei test-F sono difficili da interpretare nel caso in cui le assunzioni di partenza non siano soddisfatte. Ad esempio, se la distribuzione degli errori non è normale, può accadere che in campioni di numerosità ridotta le stime dei parametri non seguano una distribuzione normale, cosa che complica l'inferenza. Per grandi campioni, il teorema del limite centrale permette di effettuare i test usando un'approssimazione asintotica delle distribuzioni.
La variabile risposta può essere non continua. Per le variabili binarie (zero/uno), si può procedere con un particolare tipo di modello lineare linear probability model. Se si usa un modello non-lineare i modelli più utilizzati sono il probit e il modello logit. Il modello probit multivariato rende possibile stimare congiuntamente la relazione tra più variabili binarie dipendenti e alcune variabili indipendenti. Per variabili categoriche con più di due valori si utilizza il modello logit multinomiale. Per variabili ordinali con più di due valori, si utilizzano i modelli logit cumulativo e probit cumulativo. Un'alternativa a tali procedure è la regressione lineare basata su polychoric o polyserial correlazioni tra le variabili categoriche. Tali procedure differiscono nelle ipotesi fatte sulla distribuzione delle variabili nella popolazione. Se la variabile rappresenta una ripetizione di un evento nel tempo, è positiva e con poche realizzazioni ("eventi rari"), si possono utilizzare modelli di Poisson o binomiale negativa.
I modelli di regressione predicono una variabile formula_25 partendo dai valori di altre variabili formula_23. Se i valori della previsione sono compresi nell'intervallo dei valori delle variabili formula_23 utilizzate per la costruzione del modello si parla di interpolazione. Se i valori escono dal range delle variabili esplicative si parla di estrapolazione. In questo caso la previsione diventa più rischiosa.
Quando la funzione del modello non è lineare nei parametri la somma dei quadrati deve essere minimizzata da una procedura iterativa.
Sebbene i parametri di un modello di regressione siano di solito stimati usando il metodo dei minimi quadrati, altri metodi includono:
Tutti i principali pacchetti statistici eseguono i tipi comuni di analisi di regressione correttamente e in modo semplice. La regressione lineare semplice può essere fatta in alcuni fogli elettronici. C'è una quantità di programmi che esegue forme specializzate di regressione, e gli esperti possono scegliere di scrivere il loro proprio codice per usare o software per analisi numerica.


In statistica, la funzione di verosimiglianza (o funzione di likelihood) è una funzione di probabilità condizionata, considerata come funzione del suo "secondo" argomento, mantenendo fissato il primo argomento.
In gergo colloquiale spesso "verosimiglianza" è usato come sinonimo di "probabilità", ma in campo statistico vi è una distinzione tecnica precisa. Questo esempio chiarisce la differenza tra i due concetti: una persona potrebbe chiedere "Se lanciassi una moneta non truccata 100 volte, qual è la probabilità che esca testa tutte le volte?" oppure "Dato che ho lanciato una moneta 100 volte ed è uscita testa 100 volte, qual è la verosimiglianza che la moneta sia truccata?". Scambiare tra loro, nelle due frasi, i termini "verosimiglianza" e "probabilità" sarebbe errato.
Una distribuzione di probabilità che dipende da un parametro può essere considerata in due modi differenti:
Formalmente la funzione di verosimiglianza è una funzione:
Si definisce ancora funzione di verosimiglianza ogni funzione proporzionale a tale probabilità. Dunque, la funzione di verosimiglianza per formula_2 è la classe delle funzioni:
per ogni costante formula_4. A causa di ciò, l'esatto valore di formula_5 non è in generale rilevante; ciò che è importante sono rapporti nella forma: formula_6, invarianti rispetto alla costante di proporzionalità.
A livello interpretativo, l'uso di una funzione di verosimiglianza trae giustificazione dal teorema di Bayes, in base al quale, per due qualsiasi eventi formula_7 e formula_2:
dove sia formula_10 che formula_11 sono funzioni di verosimiglianza. L'uso di funzioni di verosimiglianza ai fini dell'inferenza statistica costituisce un tratto distintivo dell'inferenza classica, o "frequentista"; esso rappresenta inoltre una fondamentale differenza rispetto alla scuola dell'inferenza bayesiana, in quanto lo statistico bayesiano conduce inferenza tramite la probabilità formula_12 nell'espressione sopra.
Alcune idee relative alla funzione di verosimiglianza sembrano essere state introdotte da T. N. Thiele in un lavoro del 1889. Il primo contributo in cui il concetto di funzione di verosimiglianza è esplicitamente formulato è tuttavia dovuto a Ronald Fisher in un suo lavoro del 1922. In tale lavoro, Fisher usa inoltre l'espressione metodo della massima verosimiglianza; argomenta inoltre contro il ricorso alla condizionata nella forma formula_13 nell'espressione sopra, da lui ritenuta ingiustificabile a causa dell'elemento di soggettività introdotto tramite la probabilità "a priori" (nel linguaggio che ora è proprio della statistica bayesiana) formula_14. 
Il metodo della massima verosimiglianza ha le sue applicazioni più rilevanti nella prassi come metodo di stima di modelli parametrici. Considerando un insieme di osservazioni formula_15, e una famiglia di funzioni di densità (o di massa, nel caso di distribuzioni discrete), parametrizzate tramite il vettore formula_16:
la funzione di verosimiglianza associata è:
Nel caso in cui, come normalmente si ipotizza, gli formula_19 siano indipendenti e identicamente distribuiti, inoltre:
Poiché l'espressione sopra può risultare scarsamente trattabile, specie nei problemi di massimizzazione collegati al metodo della massima verosimiglianza, spesso risulta preferibile lavorare sul logaritmo della funzione di verosimiglianza, in gergo chiamata "log-verosimiglianza":
