
L'analisi della regressione è una tecnica usata per analizzare una serie di dati che consistono in una variabile dipendente e una o più variabili indipendenti. Lo scopo è stimare un'eventuale relazione funzionale esistente tra la variabile dipendente e le variabili indipendenti. La variabile dipendente nell'"equazione di regressione" è una funzione delle variabili indipendenti più un "termine d'errore". Quest'ultimo è una variabile casuale e rappresenta una variazione non controllabile e imprevedibile nella variabile dipendente. I parametri sono stimati in modo da descrivere al meglio i dati. Il metodo più comunemente utilizzato per ottenere le migliori stime è il metodo dei "minimi quadrati" (OLS), ma sono utilizzati anche altri metodi.
Il "data modeling" può essere usato senza alcuna conoscenza dei processi sottostanti che hanno generato i dati; in questo caso il modello è un modello empirico. Inoltre, nella modellizzazione, non è richiesta la conoscenza della distribuzione di probabilità degli errori. L'analisi della regressione richiede ipotesi riguardanti la distribuzione di probabilità degli errori. Test statistici vengono effettuati sulla base di tali ipotesi. Nell'analisi della regressione il termine "modello" comprende sia la funzione usata per modellare i dati che le assunzioni concernenti la distribuzione di probabilità.
L'analisi della regressione può essere usata per effettuare previsioni (ad esempio per prevedere dati futuri di una serie temporale), inferenza statistica, per testare ipotesi o per modellare delle relazioni di dipendenza. Questi usi della regressione dipendono fortemente dal fatto che le assunzioni di partenza siano verificate. L'uso dell'analisi della regressione è stato criticato in diversi casi in cui le ipotesi di partenza non possono essere verificate. Un fattore che contribuisce all'uso improprio della regressione è che richiede più competenze per criticare un modello che per adattarlo.
La prima forma di regressione fu il metodo dei minimi quadrati, pubblicato da Legendre nel 1805, e da Gauss nel 1809. Il termine “minimi quadrati” deriva da quello usato da Legendre: "moindres carrés". Tuttavia, Gauss affermò di essere a conoscenza di questo metodo fin dal 1795.
Legendre e Gauss applicarono entrambi il metodo al problema di determinare, a partire da osservazioni astronomiche, l'orbita dei pianeti attorno al Sole. Eulero aveva lavorato sullo stesso problema intorno al 1748, ma senza successo. Gauss pubblicò un ulteriore sviluppo della teoria dei minimi quadrati nel 1821, includendo una versione del teorema di Gauss-Markov.
Il termine "regressione" venne coniato nel diciannovesimo secolo per descrivere un fenomeno biologico, ovvero che la progenie di individui eccezionali tende in genere ad essere meno eccezionale dei propri genitori e più simile ai loro avi più distanti. Francis Galton, un cugino di Charles Darwin, studiò questo fenomeno e applicò il termine vagamente fuorviante di "regressione verso il centro/regressione verso la media". Per Galton, la regressione aveva solo questo significato biologico, ma il suo lavoro venne in seguito esteso da Udny Yule e Karl Pearson in un contesto statistico più generale. Oggi il termine "regressione" è spesso sinonimo di "curva intercetta dei minimi quadrati".
Queste condizioni sono sufficienti (ma non tutte necessarie) perché lo stimatore dei minimi quadrati goda di buone proprietà. In particolare queste assunzioni implicano che lo stimatore sia non distorto, consistente ed efficiente nella classe degli stimatori lineari non distorti. Molte di queste assunzioni possono essere rilassate in analisi più avanzate.
Nella regressione lineare, il modello assume che la variabile dipendente, formula_1 sia una combinazione lineare dei "parametri" (ma non è necessario che sia lineare nella "variabile indipendente"). Ad esempio, nella regressione lineare semplice con formula_2 osservazioni ci sono una variabile indipendente: formula_3, e due parametri, formula_4 e formula_5:
Nella regressione lineare multipla, ci sono più variabili indipendenti o funzioni di variabili indipendenti. Ad esempio, aggiungendo un termine in formula_7 alla regressione precedente si ottiene:
Si tratta ancora di una regressione lineare: sebbene l'espressione sulla destra sia quadratica nella variabile indipendente formula_3, è comunque lineare nei parametri formula_4, formula_5 e formula_12
In entrambi i casi, formula_13 è un termine di errore e l'indice formula_14 identifica una particolare osservazione. Dato un campione casuale della popolazione, stimiamo i parametri della popolazione e otteniamo il modello di regressione lineare semplice:
Il termine formula_16 è il residuo, formula_17. Un metodo di stima è quello dei minimi quadrati ordinari. Questo metodo ottiene le stime dei parametri che minimizzano la somma dei quadrati dei residui, SSE:
La minimizzazione di questa funzione risulta essere un sistema di equazioni normali, un insieme di equazioni lineari simultanee nei parametri, che vengono risolte per trovare le stime dei parametri, formula_19. Vedi coefficienti di regressione per informazioni sulle proprietà statistiche di tali stimatori.
Nel caso della regressione semplice, le formule per le stime dei minimi quadrati sono 
dove formula_22 è la media (media) dei valori formula_23 e formula_24 è la media dei valori formula_25.
Sotto l'ipotesi che il termine di errore della popolazione abbia una varianza costante, la stima di quella varianza è data da:
formula_26
Questo è la radice dell'errore quadratico medio (RMSE) della regressione. 
Gli errori standard delle stime dei parametri sono dati da
Sotto l'ulteriore ipotesi che il termine di errore della popolazione abbia distribuzione normale, il ricercatore può usare questi errori standard stimati per creare intervalli di confidenza e condurre test d'ipotesi sui parametri della popolazione.
Nel più generale modello di regressione multipla, ci sono formula_29 variabili indipendenti:
Le stime dei parametri dei minimi quadrati sono ottenute da formula_29 equazioni normali. Il residuo può essere scritto come
Le equazioni normali sono
In notazione matriciale, le equazioni normali sono scritte come
Una volta costruito un modello di regressione, è importante confermare la bontà di adattamento del modello e la significatività statistica dei parametri stimati. I controlli della bontà di adattamento comunemente usati includono l'indice R-quadro, analisi dei residui e test di ipotesi. La significatività statistica è verificata con un test F dell'adattamento globale, seguito da t-test per ogni singolo parametro.
L'interpretazione di questi test dipende fortemente dalle assunzioni sul modello. Nonostante l'analisi dei residui sia usata per determinare la bontà di un modello, i risultati dei test-T e dei test-F sono difficili da interpretare nel caso in cui le assunzioni di partenza non siano soddisfatte. Ad esempio, se la distribuzione degli errori non è normale, può accadere che in campioni di numerosità ridotta le stime dei parametri non seguano una distribuzione normale, cosa che complica l'inferenza. Per grandi campioni, il teorema del limite centrale permette di effettuare i test usando un'approssimazione asintotica delle distribuzioni.
La variabile risposta può essere non continua. Per le variabili binarie (zero/uno), si può procedere con un particolare tipo di modello lineare linear probability model. Se si usa un modello non-lineare i modelli più utilizzati sono il probit e il modello logit. Il modello probit multivariato rende possibile stimare congiuntamente la relazione tra più variabili binarie dipendenti e alcune variabili indipendenti. Per variabili categoriche con più di due valori si utilizza il modello logit multinomiale. Per variabili ordinali con più di due valori, si utilizzano i modelli logit cumulativo e probit cumulativo. Un'alternativa a tali procedure è la regressione lineare basata su polychoric o polyserial correlazioni tra le variabili categoriche. Tali procedure differiscono nelle ipotesi fatte sulla distribuzione delle variabili nella popolazione. Se la variabile rappresenta una ripetizione di un evento nel tempo, è positiva e con poche realizzazioni ("eventi rari"), si possono utilizzare modelli di Poisson o binomiale negativa.
I modelli di regressione predicono una variabile formula_25 partendo dai valori di altre variabili formula_23. Se i valori della previsione sono compresi nell'intervallo dei valori delle variabili formula_23 utilizzate per la costruzione del modello si parla di interpolazione. Se i valori escono dal range delle variabili esplicative si parla di estrapolazione. In questo caso la previsione diventa più rischiosa.
Quando la funzione del modello non è lineare nei parametri la somma dei quadrati deve essere minimizzata da una procedura iterativa.
Sebbene i parametri di un modello di regressione siano di solito stimati usando il metodo dei minimi quadrati, altri metodi includono:
Tutti i principali pacchetti statistici eseguono i tipi comuni di analisi di regressione correttamente e in modo semplice. La regressione lineare semplice può essere fatta in alcuni fogli elettronici. C'è una quantità di programmi che esegue forme specializzate di regressione, e gli esperti possono scegliere di scrivere il loro proprio codice per usare o software per analisi numerica.


statistica, quando si stima un parametro, la semplice individuazione di un singolo valore è spesso non sufficiente.
È opportuno allora accompagnare la stima di un parametro con un intervallo di valori plausibili per quel parametro, che viene definito intervallo di confidenza (o intervallo di fiducia).
Se formula_1 e formula_2 sono variabili casuali con distribuzioni di probabilità che dipendono da qualche parametro formula_3 e formula_4 (dove formula_5 è un numero tra 0 e 1), allora l'intervallo casuale formula_6 è un intervallo di confidenza al formula_7 per formula_8. I valori estremi dell'intervallo di confidenza si chiamano "limiti di confidenza".
Ad esso si associa quindi un valore di probabilità cumulativa che caratterizza, indirettamente in termini di probabilità, la sua ampiezza rispetto ai valori massimi assumibili dalla variabile aleatoria misurando cioè la probabilità che l'evento casuale descritto dalla variabile aleatoria in oggetto cada all'interno di tale intervallo, graficamente pari all'area sottesa dalla curva di distribuzione di probabilità della variabile aleatoria nell'intervallo considerato.
È bene non confondere l'intervallo di confidenza con la probabilità. Data l'espressione "vi è un livello di confidenza del 95% che formula_9 sia nell'intervallo", nulla si può dire sulla probabilità che l'intervallo ottenuto contenga formula_10
Si ipotizzi di voler calcolare l'età media degli abitanti di un luogo. Supponiamo che non si conosca l'età per ogni singolo abitante. Viene allora estratto un campione casuale di abitanti di cui è possibile sapere l'età, e dal campione si tenta di inferire ("predire") l'età media per tutta la popolazione residente e la variabilità di tale dato. Questo può essere fatto calcolando, ad esempio, l'età media delle persone presenti nel campione e ipotizzando che questo valore coincida con l'età media di tutta la popolazione inclusa quella non scelta nel campione. In questo caso si è fatta una "stima puntuale". Alternativamente, a partire dalle età delle persone nel campione, si può calcolare un intervallo di valori entro il quale si ritenga ci sia il valore della media di tutta la popolazione e, se la procedura è fatta in modo rigoroso e statisticamente corretto, è possibile stabilire un valore di "confidenza" di quanto sia "credibile" che l'intervallo ottenuto contenga effettivamente il valore cercato. In questo caso si è fatta una "stima per intervalli" e l'intervallo ottenuto è detto "intervallo di confidenza".
Riassumendo: la stima puntuale fornisce un valore singolo che varia a seconda del campione, e difficilmente coincide con il valore vero della popolazione; la stima per intervalli fornisce un insieme di valori (intervallo) che con una certa "confidenza" contiene il valore vero della popolazione.
Se formula_11 è una variabile aleatoria di media formula_9 e varianza formula_13 con formula_14 si indica la variabile campionaria corrispondente che ha media aritmetica degli formula_15 dati osservati nel campione
e deviazione standard
Il livello di confidenza è fissato dal ricercatore. Il valore scelto più di frequente è 95%. Tuttavia, meno di frequente, viene scelto anche un livello di confidenza del 90%, oppure del 99%.
Se il valore di formula_18 non differisce molto dalla variabilità formula_19 della popolazione, può essere assunto come suo stimatore (ad esempio con un numero di soggetti osservati e replicazioni complessivamente maggiore di 60; in alternativa si ipotizza una distribuzione t di Student caratterizzata da una maggiore dispersione rispetto alla normale standard). In questa prima ipotesi, l'intervallo di confidenza per la media formula_9 ("vera media", della popolazione) al 99% (al livello formula_21), è dato da:
Al 95% è dato da:
Prima della diffusione dei computer si cercava di utilizzare l’approssimazione normale ogni qualvolta possibile. Adesso non è più strettamente necessario, e nella formula possono essere utilizzati percentili di altre distribuzioni, facendo rifierimento a campioni di dimensione più ridotta).
Dalle formule risulta che i due intervalli di confidenza possono essere scritti in funzione dei "soli dati campionari" formula_24.
Oltre a diminuire con il livello di confidenza, l'ampiezza dell'intervallo dipende dall'errore della stima formula_25 e diminuisce se:
Qualora la popolazione non segua il modello gaussiano, se il campione è grande a sufficienza, la variabile campionaria tende a seguire comunque una legge normale (teorema centrale del limite). In altre parole, le due formule precedenti per l'intervallo di confidenza si possono usare anche nel caso in cui non è nota la sua legge di probabilità.
Il livello di confidenza o copertura è il complemento a uno del livello di significatività formula_27: ad esempio, un intervallo di confidenza al formula_28 corrisponde a un livello di significatività di formula_29.
Gli intervalli di confidenza sono spesso confusi con altri concetti della statistica, e talora oggetto di errate interpretazioni anche da parte di ricercatori professionisti. Alcuni errori comuni:
Gli intervalli di confidenza furono introdotti da Jerzy Neyman in un articolo pubblicato nel 1937.
C'è un metodo agevole per il calcolo degli intervalli di confidenza attraverso il test di verifica d'ipotesi (secondo l'impostazione di Neyman).
Un intervallo di confidenza al 95% si può quindi ricavare da un test di verifica d'ipotesi di significatività 5%.
