
In teoria della probabilità la probabilità condizionata di un evento "A" rispetto a un evento "B" è la probabilità che si verifichi "A", sapendo che "B" è verificato. Questa probabilità, indicata formula_1 o formula_2, esprime una "correzione" delle aspettative per "A", dettata dall'osservazione di "B".
Poiché, come si vedrà nella successiva definizione, formula_3 compare al denominatore, formula_1 ha senso solo se "B" ha una probabilità non nulla di verificarsi. 
È utile osservare che la notazione con il simbolo "Barra verticale" è comune con la definizione del connettivo logico NAND.
Per esempio, la probabilità di ottenere "4" con il lancio di un dado a sei facce (evento "A") ha probabilità "P(A)=1/6" di verificarsi. "Sapendo" però che il risultato del lancio è un numero tra "4", "5" e "6" (evento "B"), la probabilità di "A" diventa 
Si consideri questo secondo esempio, la probabilità di ottenere "1" con il lancio di un comune dado (evento "A") ha probabilità "P(A)=1/6" di verificarsi. "Sapendo" però che il risultato del lancio è un numero tra "4", "5" e "6" (evento "B"), la probabilità di "A" diventa 
La probabilità di "A" condizionata da "B" è
dove formula_8 è la probabilità congiunta dei due eventi, ovvero la probabilità che si verifichino entrambi.
In termini più rigorosi, dato uno spazio misurabile formula_9 di misura "P", ogni evento "B" eredita una struttura di spazio misurato formula_10, restringendo gli insiemi misurabili a quelli contenuti in "B", ed induce una nuova misura formula_11 su formula_9, con formula_13.
Se formula_14 è uno spazio probabilizzato (formula_15) e "B" non è trascurabile (formula_16), allora riscalando formula_17 a formula_18 si ottiene lo spazio probabilizzato formula_19 delle probabilità condizionate da "B".
La formula della probabilità condizionata permette di descrivere la probabilità congiunta come
Ovvero, la probabilità che si verifichino sia "A" sia "B" è pari alla probabilità che si verifichi "B" moltiplicata per la probabilità che si verifichi "A" supponendo che "B" sia verificato.
Due eventi "A" e "B" sono indipendenti quando vale una delle tre equazioni equivalenti
Per trovare la probabilità dell'evento a destra negato si può usare la seguente formula:
formula_24.
Se "A" e "B" sono eventi disgiunti, cioè se formula_25, le loro probabilità condizionate sono nulle: sapendo che uno dei due eventi si è verificato, è impossibile che si sia verificato "anche" l'altro.
Se l'evento "A" implica l'evento "B", cioè se formula_26, allora la loro intersezione è "A", per cui formula_27 e:
Nel caso di una misura di probabilità uniforme su uno spazio Ω finito, questa formula per "P(A|B)" esprime la definizione classica di probabilità come "casi favorevoli ("A") su casi possibili ("B")". 
Invece, per "P(B|A)" otteniamo il valore 1 che, per un numero finito di valori lo stesso Bayes interpretò in senso lato come la certezza che il tutto sia condizionato dalla parte.
La speranza condizionata formula_30 di una variabile aleatoria "X" ad un evento "B" è la speranza di "X" calcolata sulle probabilità formula_31 (condizionate da "B").
La probabilità di un evento "A" può essere condizionata da una variabile aleatoria discreta "X", originando una nuova variabile aleatoria, formula_32, che per "X=x" assume il valore formula_33.
Il teorema di Bayes esprime l'uguaglianza simmetrica formula_34 del teorema della probabilità composta come
Questo teorema è alla base dell'inferenza bayesiana in statistica, dove "P" è detta "probabilità "a priori" di "B"" e "P" "probabilità "a posteriori" di "B"".
Molti paradossi sono legati alla probabilità condizionata e derivano sia da un'errata formulazione del problema sia dalla confusione di "P(A|B)" con "P(A)" o con "P(B|A)".
Esempi particolari sono il paradosso delle due buste, il paradosso dei due bambini, il problema di Monty Hall e il paradosso di Simpson.


Nella teoria delle decisioni (per esempio nella gestione dei rischi), un albero di decisione è un grafo di decisioni e delle loro possibili conseguenze, (incluso i relativi costi, risorse e rischi) utilizzato per creare un 'piano di azioni' ("plan") mirato ad uno scopo ("goal"). Un albero di decisione è costruito al fine di supportare l'azione decisionale ("decision making").
Nel machine learning un albero di decisione è un modello predittivo, dove ogni nodo interno rappresenta una variabile, un arco verso un nodo figlio rappresenta un possibile valore per quella proprietà e una foglia il valore predetto per la variabile obiettivo a partire dai valori delle altre proprietà, che nell'albero è rappresentato dal cammino ("path") dal nodo radice ("root") al nodo foglia.
Normalmente un albero di decisione viene costruito utilizzando tecniche di apprendimento a partire dall'insieme dei dati iniziali ("data set"), il quale può essere diviso in due sottoinsiemi: il "training set" sulla base del quale si crea la struttura dell'albero e il "test set" che viene utilizzato per testare l'accuratezza del modello predittivo così creato.
Nel data mining un albero di decisione viene utilizzato per classificare le istanze di grandi quantità di dati (per questo viene anche chiamato albero di classificazione). In questo ambito un albero di decisione descrive una struttura ad albero dove i nodi foglia rappresentano le classificazioni e le ramificazioni l'insieme delle proprietà che portano a quelle classificazioni. Di conseguenza ogni nodo interno risulta essere una macro-classe costituita dall'unione delle classi associate ai suoi nodi figli.
Il predicato che si associa ad ogni nodo interno (sulla base del quale avviene la ripartizione dei dati) è chiamato "condizione di split".
In molte situazioni è utile definire un criterio di arresto ("halting"), o anche "criterio di potatura" ("pruning") al fine di determinarne la profondità massima. Questo perché il crescere della profondità di un albero (ovvero della sua dimensione) non influisce direttamente sulla bontà del modello. Infatti, una crescita eccessiva della dimensione dell'albero potrebbe portare solo ad aumento sproporzionato della complessità computazionale rispetto ai benefici riguardanti l'accuratezza delle previsioni/classificazioni.
Una sua evoluzione è la tecnica foresta casuale ("random forest").
I parametri più largamente usati per le condizioni di split sono:
formula_1
L'indice di Gini raggiunge il suo minimo (zero) quando il nodo appartiene ad una singola categoria. 
formula_2
In entrambe le formule "f" rappresenta la frequenza del valore "j" nel nodo "i".
L'indice di Gini e la variazione di entropia sono i parametri che vengono usualmente utilizzati per guidare la costruzione dell'albero, mentre la valutazione del tasso di errore nella classificazione viene utilizzato per effettuare una ottimizzazione dell'albero nota come processo di "pruning" ("potatura" dei nodi superflui). Poiché, in generale, in un buon albero di decisione i nodi foglia dovrebbero essere il più possibile "puri" (ovvero contenere solo istanze di dati che appartengono ad una sola classe), un'ottimizzazione dell'albero consiste nel cercare di minimizzare il livello di entropia man mano che si scende dalla radice verso le foglie. In tal senso, la valutazione dell'entropia determina quali sono, fra le varie scelte a disposizione, le condizioni di split ottimali per l'albero di classificazione.
