
In statistica, in particolare in statistica descrittiva, data una distribuzione di un carattere quantitativo oppure qualitativo ordinabile (ovvero le cui modalità possano essere ordinate in base a qualche criterio), si definisce la mediana (o valore mediano) come il valore/modalità (o l'insieme di valori/modalità) assunto dalle unità statistiche che si trovano nel mezzo della distribuzione.
La mediana è un indice di posizione e rientra nell'insieme delle statistiche d'ordine.
Il termine "mediano" venne introdotto da Antoine Augustin Cournot e adottato da Francis Galton.
Gustav Theodor Fechner sviluppò l'uso della mediana come sostituto della media in quanto riteneva che il calcolo della media fosse troppo laborioso rispetto al vantaggio in termini di precisioni che offriva.
Se si procede al riordinamento delle unità in base ai valori crescenti del carattere da esse detenuto, in sostanza la mediana bipartisce la distribuzione in due sotto-distribuzioni: la prima a sinistra della mediana (costituita dalla metà delle unità la cui modalità è minore o uguale alla mediana) e la seconda a destra della mediana (costituita dalla metà delle unità la cui modalità è maggiore o uguale alla mediana). Tecnicamente si afferma che la mediana è il valore/modalità per il quale la frequenza relativa cumulata vale (o supera) 0,5, cioè il secondo quartile, ossia il 50° percentile. Usualmente si indica la mediana con Me.
Per calcolare la mediana di formula_1 dati:
Se le modalità sono raggruppate in classi non si definisce un valore univoco, ma una classe mediana formula_7.
La determinazione di tale classe avviene considerando le frequenze cumulate; indicando con formula_8 la generica frequenza cumulata relativa dell'osservazione i-esima sarà:formula_9 e formula_10. Pur essendo corretto considerare un qualsiasi elemento dell'intervallo formula_7 un valore mediano si è soliti procedere, al fine di avere una misura unica del valore, a un'approssimazione della mediana con la seguente formula:
se si assume che la distribuzione dei dati all'interno della classe sia uniforme, che corrisponde ad un processo di interpolazione.
Una proprietà della mediana è di rendere minima la somma dei valori assoluti degli scarti delle formula_13 da un generico valore
Infatti, sia formula_15 la variabile aleatoria alla quale si riferiscono le osservazioni formula_13. Per la linearità del valore atteso e dell'operatore di derivazione si ha
dove formula_18 è la funzione segno di formula_19. Per la definizione di valore atteso
dove formula_21 indica la probabilità che formula_15 sia minore di formula_23 e formula_24 quella che formula_15 sia maggiore di formula_23. Per le proprietà di normalizzazione della probabilità, cioè formula_27, l'equazione diventa
Quindi
cioè formula_23 è la mediana.
In un sondaggio fatto all'interno di una facoltà composta da 250 studenti (la popolazione statistica), si intende rilevare il carattere "Gradimento dei professori", secondo le cinque modalità "molto deluso", "insoddisfatto", "parzialmente soddisfatto", "soddisfatto", "entusiasta". Risulta che 10 studenti si dicono entusiasti dell'operato dei professori, 51 si dicono soddisfatti, 63 parzialmente soddisfatti, 90 insoddisfatti, 36 molto delusi.
La distribuzione di frequenza viene rappresentata con una tabella come la seguente:
Nel caso ipotizzato, la mediana è rappresentata dalla modalità "insoddisfatto". Questo significa che "almeno" la metà degli studenti non è soddisfatto dei professori.


L'algoritmo K-means è un algoritmo di clustering partizionale che permette di suddividere un insieme di oggetti in K gruppi sulla base dei loro attributi. È una variante dell'algoritmo di aspettativa-massimizzazione (EM) il cui obiettivo è determinare i K gruppi di dati generati da distribuzioni gaussiane. Si assume che gli attributi degli oggetti possano essere rappresentati come vettori, e che quindi formino uno spazio vettoriale.
L'obiettivo che l'algoritmo si prepone è di minimizzare la varianza totale intra-cluster. Ogni cluster viene identificato mediante un centroide o punto medio. L'algoritmo segue una procedura iterativa. Inizialmente crea K partizioni e assegna ad ogni partizione i punti d'ingresso o casualmente o usando alcune informazioni euristiche. Quindi calcola il centroide di ogni gruppo. Costruisce quindi una nuova partizione associando ogni punto d'ingresso al cluster il cui centroide è più vicino ad esso. Quindi vengono ricalcolati i centroidi per i nuovi cluster e così via, finché l'algoritmo non converge.
Dati N oggetti con formula_1 attributi, modellizzati come vettori in uno spazio vettoriale formula_1-dimensionale, definiamo formula_3 come insieme degli oggetti. Ricordiamo che si definisce partizione degli oggetti il gruppo di insiemi formula_4 che soddisfano le seguenti proprietà:
Ovviamente deve valere anche che formula_8; non avrebbe infatti senso né cercare un solo cluster né avere un numero di cluster pari al numero di oggetti.
Una partizione viene rappresentata mediante una matrice formula_9, il cui generico elemento formula_10 indica l'appartenenza dell'oggetto formula_11 al cluster formula_1.
Indichiamo quindi con formula_13 l'insieme dei formula_14 centroidi.
A questo punto definiamo la funzione obiettivo come:
e di questa calcoliamo il minimo seguendo la procedura iterativa vista sopra:
Tipici criteri di convergenza sono i seguenti:
L'algoritmo ha acquistato notorietà dato che converge molto velocemente. Infatti, si è osservato che generalmente il numero di iterazioni è minore del numero di punti. Comunque, l'algoritmo può essere molto lento nel caso peggiore: D. Arthur e S. Vassilvitskii hanno mostrato che esistono certi insiemi di punti per i quali l'algoritmo impiega un tempo superpolinomiale, formula_24, a convergere. Più recentemente, A. Vattani ha migliorato questo risultato mostrando che l'algoritmo può impiegare tempo esponenziale, formula_25, a convergere anche per certi insiemi di punti sul piano. D'altra parte, D. Arthur, B. Manthey e H. Roeglin hanno mostrato che la smoothed complexity dell'algoritmo è polinomiale, la qual cosa è a supporto del fatto che l'algoritmo è veloce in pratica.
In termini di qualità delle soluzioni, l'algoritmo non garantisce il raggiungimento dell'ottimo globale. La qualità della soluzione finale dipende largamente dal set di cluster iniziale e può, in pratica, ottenere una soluzione ben peggiore dell'ottimo globale. Dato che l'algoritmo è di solito estremamente veloce, è possibile applicarlo più volte e fra le soluzioni prodotte scegliere quella più soddisfacente.
Un altro svantaggio dell'algoritmo è che esso richiede di scegliere il numero di cluster(k) da trovare. Se i dati non sono naturalmente partizionati si ottengono risultati strani. Inoltre l'algoritmo funziona bene solo quando sono individuabili cluster sferici nei dati.
È possibile applicare l'algoritmo K-means in Matlab utilizzando la funzione kmeans(DATA, N_CLUSTER), che individua N_CLUSTER numeri di cluster nel data set DATA. Il seguente m-file mostra una possibile applicazione dell'algoritmo per la clusterizzazione di immagini basata sui colori.
"img_segm.m"
La funzione legge l'immagine utilizzando la funzione Matlab imread, che riceve in ingresso il nome del file contenente l'immagine e restituisce una matrice il cui elemento formula_26 contiene il codice di colore del pixel i,j. Successivamente costruisce la matrice delle osservazioni con due semplici cicli for. Viene infine passata in ingresso all'algoritmo di clustering la matrice delle osservazioni e, dopo aver generato le matrici utili per visualizzare i cluster prodotti in un'immagine, queste vengono mostrate a video con la funzione image.
Ad esempio, eseguendo il comando:
img_segm('kmeans0.jpg',2);
si ottiene il seguente risultato:
