
L'analisi delle componenti principali (in inglese "principal component analysis" o abbreviata "PCA"), anche nota come trasformata di Karhunen-Loève, trasformata di Hotelling o decomposizione ortogonale propria, è una tecnica per la semplificazione dei dati utilizzata nell'ambito della statistica multivariata. Questo metodo fu proposto per la prima volta nel 1901 da Karl Pearson e sviluppato poi da Harold Hotelling nel 1933, e fa parte dell'analisi fattoriale. Lo scopo della tecnica è quello di ridurre il numero più o meno elevato di variabili che descrivono un insieme di dati a un numero minore di variabili latenti, limitando il più possibile la perdita di informazioni.
Ciò avviene tramite una trasformazione lineare delle variabili che proietta quelle originarie in un nuovo sistema cartesiano in cui la nuova variabile con la maggiore varianza viene proiettata sul primo asse, la variabile nuova, seconda per dimensione della varianza, sul secondo asse e così via.
La riduzione della complessità avviene limitandosi ad analizzare le principali, per varianza, tra le nuove variabili.
Diversamente da altre trasformazioni lineari di variabili praticate nell'ambito della statistica, in questa tecnica sono gli stessi dati che determinano i vettori di trasformazione.
Assumendo che a ciascuna delle variabili originarie venga sottratta la loro media e pertanto la nuova variabile (X) abbia media nulla,
Dove arg max indica l'insieme degli argomenti "w" in cui è raggiunto il massimo. Con i primi (k-1) componenti, il k-esimo componente può essere trovato sottraendo i primi (k-1) componenti principali a "X"
e sostituendo questo
Un metodo più semplice per calcolare la componente w utilizza la matrice delle covarianze di x. La stessa operazione può essere eseguita partendo dalla matrice dei coefficienti di correlazione anziché dalla matrice di varianza-covarianza delle variabili "x".
Innanzitutto si devono trovare gli autovalori della matrice di covarianza o della matrice dei coefficienti di correlazione. Si ottengono tanti autovalori quante sono le variabili x. Se viene utilizzata la matrice di correlazione, l'autovalore relativo alla prima componente principale, ossia quella con varianza massima, sarà pari ad 1. In ogni caso l'autovalore con il maggiore valore corrisponde alla dimensione w che ha la maggiore varianza: esso sarà dunque la varianza della componente principale 1. In ordine decrescente, il secondo autovalore sarà la varianza della componente principale 2, e così via per gli n autovalori. Per ciascun autovalore viene calcolato il corrispondente autovettore, ossia la matrice (riga vettore) dei coefficienti che moltiplicano le vecchie variabili x nella combinazione lineare per l'ottenimento delle nuove variabili w. Questi coefficienti sono anche definiti loading. La matrice degli autovettori, ossia la matrice che ha per riga ciascun autovettore prima calcolato, è la cosiddetta matrice di rotazione V. Eseguendo l'operazione matriciale formula_4, dove W è il vettore colonna avente come elementi le nuove variabili w1, w2, ..., wn e X è il vettore colonna avente come elementi le "vecchie variabili" x1, x2, ..., xn, si possono trovare le coordinate di ciascun punto nel nuovo spazio vettoriale. Utilizzando le coordinate per ciascun punto relative alle componenti principali si costruisce il grafico denominato score plot. Se le componenti principali sono 3 si avrà un grafico tridimensionale, se sono 2 sarà bidimensionale, se invece si è scelta una sola componente principale lo score plot sarà allora monodimensionale. Mediante lo score plot è possibile verificare quali dati sono simili tra di loro e quindi si può ad esempio dedurre quali campioni presentano la medesima composizione.
In PCA esiste anche un altro tipo di grafico, definito loading plot, in cui sono le variabili x ad essere riportate nel nuovo sistema avente per assi le componenti principali. Con questo tipo di grafico è possibile osservare se due variabili sono simili, e pertanto forniscono lo stesso tipo di informazione, oppure se sono distanti (e quindi non sono simili).
Quindi gli elementi dell'autovettore colonna corrispondente a un autovalore esprimono il legame tra le variabili di partenza e la componente considerata attraverso dei pesi. Il numero di variabili latenti da considerare come componenti principali si fonda sulla grandezza relativa di un autovalore rispetto agli altri. Invece nel caso in cui sia l'operatore a scegliere le componenti principali senza considerare la relativa varianza espressa dai rispettivi autovalori, si ha un supervised pattern recognition.
Si può costruire la matrice dei fattori, in pratica una matrice modale, che elenca per riga le variabili originarie e per colonna le variabili latenti: ogni valore, compreso tra 0 e 1, dice quanto le seconde incidano sulle prime.
Invece la matrice del punteggio fattoriale ha la stessa struttura della precedente, ma dice quanto le singole variabili originarie abbiano pesato sulla determinazione della grandezza di quelle latenti.
Si supponga di disporre di un'indagine che riporta per 10 soggetti: voto medio (da 0 a 33), intelligenza (da 0 a 10), media ore studiate in un giorno e zona d'origine, che varia da 1 a 3. Si standardizzino i valori con la formula:
formula_5
E(x) è il valore atteso di X, ovvero il valor medio, SD è la deviazione standard.
La matrice dei coefficienti di correlazione è:
La diagonale principale è composta da valori uguali ad 1 perché è il coefficiente di correlazione di una variabile con se stessa. È pure una matrice simmetrica perché il coefficiente di correlazione tra la variabile "x" e la variabile "y" è uguale a quello tra "y" e "x". Si vede come ci sia un forte legame tra voto, media ore studio e intelligenza.
Dall'analisi degli autovalori si possono trarre conclusioni:
Gli autovalori sono in ordine decrescente e il loro rapporto con la somma degli autovalori dà la percentuale di varianza che spiegano. Sono stati selezionati arbitrariamente solo quelli che hanno valore maggiore di 1 in quanto più significativi, che spiegano il 70,708% e il 26,755% rispettivamente.
Si osservi alla matrice delle componenti principali:
Il fattore 1 pesa fortemente sul voto medio. Sembrerebbe pure che pesi in maniera negativa sulla variabile della zona di origine; chiaramente questa affermazione non ha senso perché inverte il nesso di causalità: spetta allo statistico dare una spiegazione e una lettura sensate.
Si calcoli quindi la matrice di punteggio fattoriale:
Come si vede la variabile provenienza continua ad avere un influsso di segno negativo sull'autovalore principale. Le altre variabili invece hanno peso positivo.


Il data mining (letteralmente dall'inglese "estrazione di dati") è l'insieme di tecniche e metodologie che hanno per oggetto l'estrazione di informazioni utili da grandi quantità di dati (es. database, datawarehouse ecc...), attraverso metodi automatici o semi-automatici (es. machine learning) e l'utilizzo scientifico, aziendale/industriale o operativo delle stesse.
La statistica può essere definita altrimenti come ""estrazione di informazione utile da insiemi di dati"".
Il concetto di "data mining" è simile, ma con una sostanziale differenza: la statistica permette di elaborare informazioni generali riguardo ad una popolazione (es. percentuali di disoccupazione, nascite), mentre il "data mining "viene utilizzato per cercare correlazioni tra più variabili relativamente ai singoli individui; ad esempio conoscendo il comportamento medio dei clienti di una compagnia telefonica cerco di prevedere quanto spenderà il cliente medio nell'immediato futuro.
In sostanza il data mining è ""l'analisi, da un punto di vista matematico, eseguita su database di grandi dimensioni"", preceduta tipicamente da altre fasi di preparazione/trasformazione/filtraggio dei dati come il data cleaning. Il termine "data mining" è diventato popolare nei tardi anni novanta come versione abbreviata della definizione appena esposta; oggi il "data mining" ha una duplice valenza:
In entrambi i casi i concetti di informazione e di significato sono legati strettamente al dominio applicativo in cui si esegue data mining, in altre parole un dato può essere interessante o trascurabile a seconda del tipo di applicazione in cui si vuole operare.
Questo tipo di attività è cruciale in molti ambiti della ricerca scientifica, ma anche in altri settori (per esempio in quello delle ricerche di mercato). Nel mondo professionale è utilizzata per risolvere problematiche diverse tra loro, che vanno dalla gestione delle relazioni con i clienti (CRM), all'individuazione di comportamenti fraudolenti, fino all'ottimizzazione di siti web.
I fattori principali che hanno contribuito allo sviluppo del data mining sono:
Le tecniche di data mining sono fondate su specifici algoritmi. I pattern identificati possono essere, a loro volta, il punto di partenza per ipotizzare e quindi verificare nuove relazioni di tipo causale fra fenomeni; in generale, possono servire in senso statistico per formulare previsioni su nuovi insiemi di dati.
Un concetto correlato al data mining è quello di apprendimento automatico ("Machine learning"); infatti, l'identificazione di pattern può paragonarsi all'apprendimento, da parte del sistema di data mining, di una relazione causale precedentemente ignota, cosa che trova applicazione in ambiti come quello degli algoritmi euristici e dell'intelligenza artificiale. Tuttavia, occorre notare che il processo di data mining è sempre sottoposto al rischio di rivelare relazioni causali che poi si rivelano inesistenti.
Tra le tecniche maggiormente utilizzate in questo ambito vi sono:
Un'altra tecnica molto diffusa per il data mining è l'apprendimento mediante classificazione. Questo schema di apprendimento parte da un insieme ben definito di esempi di classificazione per casi noti, dai quali ci si aspetta di dedurre un modo per classificare esempi non noti. Tale approccio viene anche detto "con supervisione" ("supervised"), nel senso che lo schema di apprendimento opera sotto la supervisione fornita implicitamente dagli esempi di classificazione per i casi noti; tali esempi, per questo motivo, vengono anche detti "training examples", ovvero "esempi per l'addestramento". La conoscenza acquisita per apprendimento mediante classificazione può essere rappresentata con un albero di decisione.
L'estrazione dei dati vera e propria giunge quindi al termine di un processo che comporta numerose fasi: si individuano le fonti di dati; si crea un unico set di dati aggregati; si effettua una pre-elaborazione (data cleaning, analisi esplorative, selezione, ecc.); si estraggono i dati con l'algoritmo scelto; si interpretano e valutano i pattern; l'ultimo passaggio va dai pattern alla nuova conoscenza così acquisita.
Vi sono diverse proposte e tecniche aventi ognuna specifiche caratteristiche e vantaggi.
Che cosa "è" "data mining"?
Che cosa "non è" "data mining"?
È una forma particolare di data mining nella quale i dati consistono in testi in lingua naturale, in altre parole, documenti "destrutturati". Il text mining unisce la tecnologia della lingua con gli algoritmi del data mining. L'obiettivo è sempre lo stesso: l'estrazione di informazione implicita contenuta in un insieme di documenti.
Ha avuto un notevole sviluppo, grazie ai progressi delle tecniche di elaborazione del linguaggio naturale (NLP in inglese), della disponibilità di applicazioni complesse attraverso gli "Application service provider" (ASP) e dell'interesse verso le tecniche automatiche di gestione della lingua mostrato sia dagli accademici, sia dai produttori di software, sia dai gestori dei motori di ricerca.
Una delle evoluzioni più recenti del data mining è la "data visualisation". Settore specialistico dell'infografica, la data visualisation si occupa non solamente di rendere graficamente intelligibile un testo, ma entra in relazione più diretta con la strutturazione dei database e l'esportazione di grafici dai dati.
Un'altra nuova frontiera è il «social data mining»: l'analisi di informazioni generate dalle reti sociali online, come ad esempio l'analisi del sentiment.
L'utilizzo del data mining nella ricerca di mercato è volto ad ampliare la conoscenza su cui basare i processi decisionali. Nel contesto aziendale il data mining è considerato parte del processo che porta alla creazione di un data warehouse. È efficace soprattutto per la valorizzazione delle informazioni aziendali residenti in questi grandi depositi di dati. Affinché l'informazione estratta dai dati esistenti sia significativa, e quindi potenzialmente utile, deve essere:
In questo contesto, un pattern (schema) non è altro che la rappresentazione delle relazioni chiave che vengono scoperte durante il processo di estrazione dati: sequenze ripetute, omogeneità, emergenza di regole, ecc. Per esempio, se un pattern mostra che i clienti di una certa area demografica sono molto propensi ad acquistare uno specifico prodotto, allora un'interrogazione ("query") selettiva ad un data warehouse di probabili compratori può essere usata per generare un elenco di indirizzi promozionali.
L'esempio classico spesso usato nei corsi universitari è quello di una catena non meglio specificata di supermercati (probabilmente statunitense) che avrebbe scoperto, analizzando gli scontrini, qualcosa altrimenti difficilmente immaginabile: le persone che acquistavano pannolini spesso compravano più birra degli altri, per cui mettendo la birra più costosa non lontano dai pannolini, poteva incrementarne le vendite. Infatti quelle persone che avevano figli piccoli passavano più serate in casa a guardare la TV bevendo birra in casa non potendo uscire con gli amici. È doveroso tuttavia precisare che non è chiaro quale sia la catena di supermercati in questione, e l'esempio, seppur ottimo per scopi didattici e largamente utilizzato anche in ambito giornalistico, potrebbe essere stato inventato così come potrebbe essere vero.
