
variabili aleatorie "X" e "Y", la distribuzione condizionata di Y dato X è la probabilità di Y quando è conosciuto il valore assunto da X. A ogni distribuzione condizionata è associato un valore atteso condizionato e una varianza condizionata.
Nel caso di variabili aletorie discrete, la distribuzione condizionata di "Y" dato "X=x", è data da:
È necessario quindi che "P(X=x)>0".
Nel caso di variabili aleatorie continue, la densità condizionata di "Y" dato "X=x" è data da
Anche in questo caso, si deve avere che formula_3.
Se per due variabili aleatorie "X" e "Y" si ha che "P"("Y" = "y" | "X" = "x") = "P"("Y" = "y") per ogni "x" e "y" o, nel caso continuo, "f"("y" | "X=x") = "f"("y") per ogni "x" e "y", allora le due variabili sono dette indipendenti


In matematica, una funzione di densità di probabilità (o PDF dall'inglese "probability density function") è l'analogo della funzione di probabilità di una variabile casuale nel caso in cui la variabile casuale formula_1 sia continua, cioè l'insieme dei possibili valori che ha la potenza del continuo.
Essa descrive la "densità" di probabilità in ogni punto nello spazio campionario.
La funzione di densità di probabilità di una variabile casuale formula_1 è un'applicazione formula_3 non negativa integrabile secondo Lebesgue e reale di variabile reale tale che la probabilità dell'insieme "A" sia data da
per tutti i sottinsiemi "A" dello spazio campionario.
Intuitivamente, se una distribuzione di probabilità ha densità formula_3, allora l'intervallo formula_6 ha probabilità formula_7. Da ciò deriva che la funzione formula_3 è un'applicazione definita come
Assumendo formula_10, ciò corrisponde al limite della probabilità che formula_11 si trovi nell'intervallo formula_6 per formula_13 che tende a zero. Di qui il nome di funzione di 'densità', in quanto essa rappresenta il rapporto tra una probabilità e un'ampiezza.
Per la condizione di normalizzazione l'integrale su tutto lo spazio di formula_3 deve essere 1. Di conseguenza ogni funzione non negativa, integrabile secondo Lebesgue, con integrale su tutto lo spazio uguale a 1, è la funzione densità di probabilità di una ben definita distribuzione di probabilità. Una variabile casuale che possiede densità si dice "variabile casuale continua".
Per le variabili casuali multivariate (o vettoriali) la trattazione formale è assolutamente identica: formula_15 si dice assolutamente continua se esiste una funzione a valori reali definita in formula_16, detta densità congiunta, tale che per ogni sottoinsieme "A" dello spazio campionario
Essa conserva tutte le proprietà di una densità scalare: è una funzione non negativa a integrale unitario su tutto lo spazio. Una proprietà importante è che se formula_15 è assolutamente continua allora lo è ogni sua componente; il viceversa invece non vale. La densità di una componente, detta densità marginale, si ottiene con un ragionamento analogo al teorema della probabilità assoluta, cioè fissando l'insieme di suoi valori di cui si vuole determinare la probabilità e lasciando libere di variare tutte le altre componenti. Infatti (nel caso bivariato per semplicità) l'evento formula_19 è l'evento formula_20, dunque
utilizzando il teorema di Fubini. La densità marginale di formula_1 è data dunque da
La funzione di densità della variabile casuale normale di media 0
e varianza 1 (detta "normale standard"), di cui a destra è riportato il grafico e l'espressione analitica della corrispondente densità nel caso generico (media formula_24 e varianza formula_25).
Un altro esempio può essere dato dalla densità di probabilità uniforme su un segmento (0,1). Si può verificare immediatamente che è densità di probabilità facendo l'integrale tra (0,1).
