
In statistica, la funzione di verosimiglianza (o funzione di likelihood) è una funzione di probabilità condizionata, considerata come funzione del suo "secondo" argomento, mantenendo fissato il primo argomento.
In gergo colloquiale spesso "verosimiglianza" è usato come sinonimo di "probabilità", ma in campo statistico vi è una distinzione tecnica precisa. Questo esempio chiarisce la differenza tra i due concetti: una persona potrebbe chiedere "Se lanciassi una moneta non truccata 100 volte, qual è la probabilità che esca testa tutte le volte?" oppure "Dato che ho lanciato una moneta 100 volte ed è uscita testa 100 volte, qual è la verosimiglianza che la moneta sia truccata?". Scambiare tra loro, nelle due frasi, i termini "verosimiglianza" e "probabilità" sarebbe errato.
Una distribuzione di probabilità che dipende da un parametro può essere considerata in due modi differenti:
Formalmente la funzione di verosimiglianza è una funzione:
Si definisce ancora funzione di verosimiglianza ogni funzione proporzionale a tale probabilità. Dunque, la funzione di verosimiglianza per formula_2 è la classe delle funzioni:
per ogni costante formula_4. A causa di ciò, l'esatto valore di formula_5 non è in generale rilevante; ciò che è importante sono rapporti nella forma: formula_6, invarianti rispetto alla costante di proporzionalità.
A livello interpretativo, l'uso di una funzione di verosimiglianza trae giustificazione dal teorema di Bayes, in base al quale, per due qualsiasi eventi formula_7 e formula_2:
dove sia formula_10 che formula_11 sono funzioni di verosimiglianza. L'uso di funzioni di verosimiglianza ai fini dell'inferenza statistica costituisce un tratto distintivo dell'inferenza classica, o "frequentista"; esso rappresenta inoltre una fondamentale differenza rispetto alla scuola dell'inferenza bayesiana, in quanto lo statistico bayesiano conduce inferenza tramite la probabilità formula_12 nell'espressione sopra.
Alcune idee relative alla funzione di verosimiglianza sembrano essere state introdotte da T. N. Thiele in un lavoro del 1889. Il primo contributo in cui il concetto di funzione di verosimiglianza è esplicitamente formulato è tuttavia dovuto a Ronald Fisher in un suo lavoro del 1922. In tale lavoro, Fisher usa inoltre l'espressione metodo della massima verosimiglianza; argomenta inoltre contro il ricorso alla condizionata nella forma formula_13 nell'espressione sopra, da lui ritenuta ingiustificabile a causa dell'elemento di soggettività introdotto tramite la probabilità "a priori" (nel linguaggio che ora è proprio della statistica bayesiana) formula_14. 
Il metodo della massima verosimiglianza ha le sue applicazioni più rilevanti nella prassi come metodo di stima di modelli parametrici. Considerando un insieme di osservazioni formula_15, e una famiglia di funzioni di densità (o di massa, nel caso di distribuzioni discrete), parametrizzate tramite il vettore formula_16:
la funzione di verosimiglianza associata è:
Nel caso in cui, come normalmente si ipotizza, gli formula_19 siano indipendenti e identicamente distribuiti, inoltre:
Poiché l'espressione sopra può risultare scarsamente trattabile, specie nei problemi di massimizzazione collegati al metodo della massima verosimiglianza, spesso risulta preferibile lavorare sul logaritmo della funzione di verosimiglianza, in gergo chiamata "log-verosimiglianza":


In matematica, una funzione di densità di probabilità (o PDF dall'inglese "probability density function") è l'analogo della funzione di probabilità di una variabile casuale nel caso in cui la variabile casuale formula_1 sia continua, cioè l'insieme dei possibili valori che ha la potenza del continuo.
Essa descrive la "densità" di probabilità in ogni punto nello spazio campionario.
La funzione di densità di probabilità di una variabile casuale formula_1 è un'applicazione formula_3 non negativa integrabile secondo Lebesgue e reale di variabile reale tale che la probabilità dell'insieme "A" sia data da
per tutti i sottinsiemi "A" dello spazio campionario.
Intuitivamente, se una distribuzione di probabilità ha densità formula_3, allora l'intervallo formula_6 ha probabilità formula_7. Da ciò deriva che la funzione formula_3 è un'applicazione definita come
Assumendo formula_10, ciò corrisponde al limite della probabilità che formula_11 si trovi nell'intervallo formula_6 per formula_13 che tende a zero. Di qui il nome di funzione di 'densità', in quanto essa rappresenta il rapporto tra una probabilità e un'ampiezza.
Per la condizione di normalizzazione l'integrale su tutto lo spazio di formula_3 deve essere 1. Di conseguenza ogni funzione non negativa, integrabile secondo Lebesgue, con integrale su tutto lo spazio uguale a 1, è la funzione densità di probabilità di una ben definita distribuzione di probabilità. Una variabile casuale che possiede densità si dice "variabile casuale continua".
Per le variabili casuali multivariate (o vettoriali) la trattazione formale è assolutamente identica: formula_15 si dice assolutamente continua se esiste una funzione a valori reali definita in formula_16, detta densità congiunta, tale che per ogni sottoinsieme "A" dello spazio campionario
Essa conserva tutte le proprietà di una densità scalare: è una funzione non negativa a integrale unitario su tutto lo spazio. Una proprietà importante è che se formula_15 è assolutamente continua allora lo è ogni sua componente; il viceversa invece non vale. La densità di una componente, detta densità marginale, si ottiene con un ragionamento analogo al teorema della probabilità assoluta, cioè fissando l'insieme di suoi valori di cui si vuole determinare la probabilità e lasciando libere di variare tutte le altre componenti. Infatti (nel caso bivariato per semplicità) l'evento formula_19 è l'evento formula_20, dunque
utilizzando il teorema di Fubini. La densità marginale di formula_1 è data dunque da
La funzione di densità della variabile casuale normale di media 0
e varianza 1 (detta "normale standard"), di cui a destra è riportato il grafico e l'espressione analitica della corrispondente densità nel caso generico (media formula_24 e varianza formula_25).
Un altro esempio può essere dato dalla densità di probabilità uniforme su un segmento (0,1). Si può verificare immediatamente che è densità di probabilità facendo l'integrale tra (0,1).
