
In statistica, la funzione di verosimiglianza (o funzione di likelihood) è una funzione di probabilità condizionata, considerata come funzione del suo "secondo" argomento, mantenendo fissato il primo argomento.
In gergo colloquiale spesso "verosimiglianza" è usato come sinonimo di "probabilità", ma in campo statistico vi è una distinzione tecnica precisa. Questo esempio chiarisce la differenza tra i due concetti: una persona potrebbe chiedere "Se lanciassi una moneta non truccata 100 volte, qual è la probabilità che esca testa tutte le volte?" oppure "Dato che ho lanciato una moneta 100 volte ed è uscita testa 100 volte, qual è la verosimiglianza che la moneta sia truccata?". Scambiare tra loro, nelle due frasi, i termini "verosimiglianza" e "probabilità" sarebbe errato.
Una distribuzione di probabilità che dipende da un parametro può essere considerata in due modi differenti:
Formalmente la funzione di verosimiglianza è una funzione:
Si definisce ancora funzione di verosimiglianza ogni funzione proporzionale a tale probabilità. Dunque, la funzione di verosimiglianza per formula_2 è la classe delle funzioni:
per ogni costante formula_4. A causa di ciò, l'esatto valore di formula_5 non è in generale rilevante; ciò che è importante sono rapporti nella forma: formula_6, invarianti rispetto alla costante di proporzionalità.
A livello interpretativo, l'uso di una funzione di verosimiglianza trae giustificazione dal teorema di Bayes, in base al quale, per due qualsiasi eventi formula_7 e formula_2:
dove sia formula_10 che formula_11 sono funzioni di verosimiglianza. L'uso di funzioni di verosimiglianza ai fini dell'inferenza statistica costituisce un tratto distintivo dell'inferenza classica, o "frequentista"; esso rappresenta inoltre una fondamentale differenza rispetto alla scuola dell'inferenza bayesiana, in quanto lo statistico bayesiano conduce inferenza tramite la probabilità formula_12 nell'espressione sopra.
Alcune idee relative alla funzione di verosimiglianza sembrano essere state introdotte da T. N. Thiele in un lavoro del 1889. Il primo contributo in cui il concetto di funzione di verosimiglianza è esplicitamente formulato è tuttavia dovuto a Ronald Fisher in un suo lavoro del 1922. In tale lavoro, Fisher usa inoltre l'espressione metodo della massima verosimiglianza; argomenta inoltre contro il ricorso alla condizionata nella forma formula_13 nell'espressione sopra, da lui ritenuta ingiustificabile a causa dell'elemento di soggettività introdotto tramite la probabilità "a priori" (nel linguaggio che ora è proprio della statistica bayesiana) formula_14. 
Il metodo della massima verosimiglianza ha le sue applicazioni più rilevanti nella prassi come metodo di stima di modelli parametrici. Considerando un insieme di osservazioni formula_15, e una famiglia di funzioni di densità (o di massa, nel caso di distribuzioni discrete), parametrizzate tramite il vettore formula_16:
la funzione di verosimiglianza associata è:
Nel caso in cui, come normalmente si ipotizza, gli formula_19 siano indipendenti e identicamente distribuiti, inoltre:
Poiché l'espressione sopra può risultare scarsamente trattabile, specie nei problemi di massimizzazione collegati al metodo della massima verosimiglianza, spesso risulta preferibile lavorare sul logaritmo della funzione di verosimiglianza, in gergo chiamata "log-verosimiglianza":


In statistica bayesiana, la probabilità a posteriori di un evento aleatorio o di una proposizione incerta, è la probabilità condizionata che è assegnata dopo che si è tenuto conto dell'informazione rilevante o degli antefatti relativi a tale evento aleatorio o a tale proposizione incerta. Similmente, la distribuzione di probabilità a posteriori è la distribuzione di una quantità incognita, trattata come una variabile casuale, condizionata sull'informazione posta in evidenza da un esperimento o da un processo di raccolta di informazione rilevanti (es. un'ispezione, un'indagine conoscitiva, ecc.).
La probabilità a posteriori è la probabilità dei parametri formula_1 data la conoscenza di formula_2: formula_3.
Essa differisce dalla funzione di verosimiglianza, che è la probabilità di possedere una data conoscenza una volta dati i parametri: formula_4.
I due concetti sono però tra loro collegati:
Supponiamo di avere una credenza a priori che la funzione di distribuzione di probabilità sia formula_5 e i dati osservati formula_2 con una verosimiglianza formula_4, allora la probabilità a posteriori è definita come
La probabilità a posteriori può essere scritta in una forma mnemonica come
Consideriamo una scuola mista composta dal 60% di ragazzi e dal 40% di ragazze. Le ragazze indossano pantaloni o gonne in numeri eguali, i ragazzi indossano tutti pantaloni. Un osservatore vede da distante uno studente (a caso); tutto quello che può dire è che indossa pantaloni. Qual è la probabilità che lo studente sia una ragazza? La risposta corretta può essere dedotta applicando il teorema di Bayes.
L'evento "G" è quello in cui lo studente visto è una ragazza, e l'evento "T" è quello in cui lo studente visto indossa pantaloni. Per calcolare P("G"|"T") abbiamo prima bisogno di sapere:
Una volta ottenute tutte queste informazioni, la probabilità che l'osservatore abbia individuato una ragazza una volta visto uno studente che indossa pantaloni può essere calcolata sostituendo i valori nella formula:
La distribuzione di probabilità a posteriori di una variabile casuale dato il valore di un'altra, può essere calcolata con il teorema di Bayes moltiplicando la distribuzione di probabilità a priori per la funzione di verosimiglianza, e quindi dividendo per una costante di normalizzazione come segue:
la quale fornisce la funzione di densità di probabilità per una variabile casuale "X" una volta dato "Y" = "y", dove
Nell'ambito della classificazione statistica le probabilità a posteriori riflettono l'incertezza nell'assegnare un'osservazione ad una classe particolare.
Mentre i metodi di classificazione statistica per definizione generano probabilità a posteriori, gli apprenditori automatici solitamente forniscono valori di appartenenza che non inducono alcuna confidenza di tipo probabilistico. È desiderabile trasformare o convertire i valori di appartenenza a valori di probabilità di appartenenza ad una certa classe in quanto tali classi sono, in confronto ai primi, di più facile trattamento in susseguenti elaborazioni.
