
In teoria della probabilità la probabilità condizionata di un evento "A" rispetto a un evento "B" è la probabilità che si verifichi "A", sapendo che "B" è verificato. Questa probabilità, indicata formula_1 o formula_2, esprime una "correzione" delle aspettative per "A", dettata dall'osservazione di "B".
Poiché, come si vedrà nella successiva definizione, formula_3 compare al denominatore, formula_1 ha senso solo se "B" ha una probabilità non nulla di verificarsi. 
È utile osservare che la notazione con il simbolo "Barra verticale" è comune con la definizione del connettivo logico NAND.
Per esempio, la probabilità di ottenere "4" con il lancio di un dado a sei facce (evento "A") ha probabilità "P(A)=1/6" di verificarsi. "Sapendo" però che il risultato del lancio è un numero tra "4", "5" e "6" (evento "B"), la probabilità di "A" diventa 
Si consideri questo secondo esempio, la probabilità di ottenere "1" con il lancio di un comune dado (evento "A") ha probabilità "P(A)=1/6" di verificarsi. "Sapendo" però che il risultato del lancio è un numero tra "4", "5" e "6" (evento "B"), la probabilità di "A" diventa 
La probabilità di "A" condizionata da "B" è
dove formula_8 è la probabilità congiunta dei due eventi, ovvero la probabilità che si verifichino entrambi.
In termini più rigorosi, dato uno spazio misurabile formula_9 di misura "P", ogni evento "B" eredita una struttura di spazio misurato formula_10, restringendo gli insiemi misurabili a quelli contenuti in "B", ed induce una nuova misura formula_11 su formula_9, con formula_13.
Se formula_14 è uno spazio probabilizzato (formula_15) e "B" non è trascurabile (formula_16), allora riscalando formula_17 a formula_18 si ottiene lo spazio probabilizzato formula_19 delle probabilità condizionate da "B".
La formula della probabilità condizionata permette di descrivere la probabilità congiunta come
Ovvero, la probabilità che si verifichino sia "A" sia "B" è pari alla probabilità che si verifichi "B" moltiplicata per la probabilità che si verifichi "A" supponendo che "B" sia verificato.
Due eventi "A" e "B" sono indipendenti quando vale una delle tre equazioni equivalenti
Per trovare la probabilità dell'evento a destra negato si può usare la seguente formula:
formula_24.
Se "A" e "B" sono eventi disgiunti, cioè se formula_25, le loro probabilità condizionate sono nulle: sapendo che uno dei due eventi si è verificato, è impossibile che si sia verificato "anche" l'altro.
Se l'evento "A" implica l'evento "B", cioè se formula_26, allora la loro intersezione è "A", per cui formula_27 e:
Nel caso di una misura di probabilità uniforme su uno spazio Ω finito, questa formula per "P(A|B)" esprime la definizione classica di probabilità come "casi favorevoli ("A") su casi possibili ("B")". 
Invece, per "P(B|A)" otteniamo il valore 1 che, per un numero finito di valori lo stesso Bayes interpretò in senso lato come la certezza che il tutto sia condizionato dalla parte.
La speranza condizionata formula_30 di una variabile aleatoria "X" ad un evento "B" è la speranza di "X" calcolata sulle probabilità formula_31 (condizionate da "B").
La probabilità di un evento "A" può essere condizionata da una variabile aleatoria discreta "X", originando una nuova variabile aleatoria, formula_32, che per "X=x" assume il valore formula_33.
Il teorema di Bayes esprime l'uguaglianza simmetrica formula_34 del teorema della probabilità composta come
Questo teorema è alla base dell'inferenza bayesiana in statistica, dove "P" è detta "probabilità "a priori" di "B"" e "P" "probabilità "a posteriori" di "B"".
Molti paradossi sono legati alla probabilità condizionata e derivano sia da un'errata formulazione del problema sia dalla confusione di "P(A|B)" con "P(A)" o con "P(B|A)".
Esempi particolari sono il paradosso delle due buste, il paradosso dei due bambini, il problema di Monty Hall e il paradosso di Simpson.


In statistica la significatività è la possibilità rilevante che compaia un determinato valore. Ci si riferisce anche come "statisticamente differente da zero"; ciò non significa che la "significatività" sia rilevante, o vasta, come indurrebbe a pensare la parola. Ma solo che è diversa dal numero limite.
Il livello di significatività di un test è dato solitamente da una verifica del test d'ipotesi. Nel caso più semplice è definita come la probabilità di accettare o rigettare l'ipotesi nulla.
I livelli di significatività sono solitamente rappresentati con la lettera greca α (alfa). I livelli più usati sono 5% (α=0,05) e 1% (α=0,01); nel caso di ipotesi a carattere prevalentemente esplorativo è consuetudine adoperare un livello di significatività al 10% (α=0,1). Se il test di verifica d'ipotesi dà un valore p minore del livello α, l'ipotesi nulla è rifiutata.
Tali risultati sono informalmente riportati come 'statisticamente significativi'. Per esempio se si sostiene che "c'è solo una possibilità su mille che ciò possa accadere per coincidenza," viene usato un livello di significatività dello 0,1%. Più basso è il livello di significatività, maggiore è l'evidenza. In alcune situazioni conviene esprimere la significatività statistica con 1 − α. In generale, quando si interpreta una significatività stabilita, bisogna stare attenti nell'indicare che cosa, precisamente è stato testato statisticamente.
Differenti livelli di α hanno differenti vantaggi e svantaggi. α-livelli più bassi danno maggiore confidenza nella determinazione della significatività, ma corrono maggiori rischi di errore nel respingere una falsa ipotesi nulla (un errore di tipo II, o "falsa determinazione negativa"), e così hanno maggiore potenza statistica. La selezione di un α-livello inevitabilmente implica un compromesso fra significatività e potenza, e di conseguenza, fra errore tipo I ed errore tipo II.
In alcuni campi, per esempio nella fisica nucleare ed in quella delle particelle, si usa esprimere la significatività statistica in unità di "σ" (sigma), la deviazione standard di una distribuzione gaussiana. Una significatività statistica di "formula_1" può essere convertita in un valore di α usando la funzione errore:
L'uso di σ è motivato dalla onnipresenza della distribuzione gaussiana nella 
misura delle incertezze. Per esempio se una teoria prevede che un parametro abbia un valore, ad esempio 100, e ad una misurazione indica che il parametro è 100 ± 3, allora bisogna riportare la misura come una "deviazione 3σ" dalla previsione teorica. in termini di α, questa situazione è equivalente al dire che "supponendo vera la teoria, la possibilità di ottenere che il risultato sperimentale coincida è dello 0,27%" (poiché 1  − erf(3/√2) = 0.0027).
Fissati i livelli di significatività come quelli menzionati in seguito possono essere considerati come utili nelle analisi di dati esploratorie. Comunque, la moderna statistica è dell'avviso che, dove il risultato di un test è essenzialmente il risultato finale di un esperimento o di altro studio, il p-valore deve essere considerato esplicitamente. Inoltre, ed è importante, bisogna considerare se e come il p-valore è significativo o meno. Questo consente di accedere al massimo delle informazioni che devono essere trasferiti da un riassunto degli studi nelle meta-analisi.
Un errore comune è ritenere che un risultato statisticamente significativo sia sempre di significatività pratica, o dimostri un largo effetto nella popolazione. Sfortunatamente, questo problema si incontra diffusamente negli scritti scientifici. Dato un campione sufficientemente grande, per esempio, si può scoprire che differenze estremamente piccole e non visibili sono statisticamente significative, ma la significatività statistica non dice niente di una significatività pratica di una differenza.
Uno dei problemi più comuni nel testare la significatività è la tendenza delle comparazioni multiple a tendere a significative differenze spurie anche dove l'ipotesi nulla è vera. Per esempio, in uno studio di venti comparazioni, usando un 
α-livello del 5%, una comparazione può effettivamente riportare un risultato significativo nonostante sia vera l'ipotesi di nullità. in questi casi i p-valori sono corretti al fine di controllare o il valore falso o l'errore familiare.
Un problema addizionale è che si ritiene che le analisi frequentiste dei p-valori esagerino la ""significatività statistica"". Si veda il fattore di Bayes per i dettagli.
J. Scott Armstrong, negli articoli "Significance Tests Harm Progress in Forecasting," e "Statistical Significance Tests are Unnecessary Even When Properly Done," espone la sua posizione secondo cui in alcuni casi, seppure eseguiti correttamente, i test di significatività statistica non sarebbero utili. A suo parere, un certo numero di tentativi ha fallito nel trovare prove empiriche che sostenessero l'uso di test di significatività, ed i test di significatività statistica usati da soli potrebbero essere nocivi allo sviluppo della conoscenza scientifica perché distrarrebbero i ricercatori dall'uso di metodi statistici in alcuni casi più adatti. 
Armstrong suggerisce quindi che secondo lui i ricercatori dovrebbero evitare i test di significatività statistica, e dovrebbero piuttosto fare uso di strumenti di area di effetto, intervalli di fiducia, ripetizioni/estensioni, e meta-analisi.
La significatività statistica può essere considerata come la fiducia che si ha in un dato risultato. In uno studio di comparazione, essa dipende dalla differenza relativa tra i gruppi confrontati, la quantità delle misurazioni e il rumore associato alle misurazioni. In altre parole, la fiducia che si ha che un dato risultato sia non casuale (cioè non una conseguenza di un caso) dipende dal rapporto segnale-rumore (SNR) e misura campione. Esprimendosi matematicamente, la fiducia che un risultato non sia casuale è dato dalla seguente formula di Sackett:
Per chiarezza, la succitata formula è rappresentata tabularmente qui di seguito.
Dipendenza della fiducia con rumore, segnale e misura campione (forma tabulare)
In parole la dipendenza di una fiducia è maggiore se il rumore è basso o la misura campione è estesa o l'ampiezza effettiva (del segnale) è larga. La fiducia di un risultato (e l'associato intervallo di fiducia) "non" dipende dagli effetti della sola ampiezza effettiva del segnale. Se la misura campione è grande e il rumore e piccolo un'ampiezza effettiva di segnale può essere misurata con grande fiducia. Sebbene un'ampiezza effettiva viene considerata importante essa dipende nel contesto degli eventi comparati.
In medicina, piccole ampiezze effettive (riflesse da piccoli aumenti di rischio) sono spesso considerate clinicamente rilevanti e sono frequentemente usati per guidare decisioni di trattamento (se c'è una grande fiducia in essi). Sebbene un dato trattamento è considerato un giusto tentativo esso dipende dai rischi, dai benefici e dai costi.
