
Una rete bayesiana (BN, "Bayesian network") è un modello grafico probabilistico che rappresenta un insieme di variabili stocastiche con le loro dipendenze condizionali attraverso l'uso di un grafo aciclico diretto (DAG). Per esempio una rete Bayesiana potrebbe rappresentare la relazione probabilistica esistente tra i sintomi e le malattie. Dati i sintomi, la rete può essere usata per calcolare la probabilità della presenza di diverse malattie.
Il termine "modello gerarchico" è talvolta considerato un particolare tipo di rete Bayesiana, ma non ha nessuna definizione formale. Qualche volta viene usato per modelli con tre o più livelli di variabili stocastiche; in altri casi viene usato per modelli con variabili latenti. Comunque in generale qualsiasi rete Bayesiana moderatamente complessa viene usualmente detta "gerarchica".
Formalmente le reti Bayesiane sono grafi diretti aciclici i cui nodi rappresentano variabili casuali in senso Bayesiano: possono essere quantità osservabili, variabili latenti, parametri sconosciuti o ipotesi. Gli archi rappresentano condizioni di dipendenza; i nodi che non sono connessi rappresentano variabili che sono condizionalmente indipendenti tra di loro. Ad ogni nodo è associata una funzione di probabilità che prende in input un particolare insieme di valori per le variabili del nodo genitore e restituisce la probabilità della variabile rappresentata dal nodo. Per esempio, se i genitori del nodo sono variabili booleane allora la funzione di probabilità può essere rappresentata da una tabella in cui ogni entry rappresenta una possibile combinazione di valori vero o falso che i suoi genitori possono assumere.
Esistono algoritmi efficienti che effettuano inferenza e apprendimento a partire dalle reti Bayesiane. Le reti Bayesiane che modellano sequenze di variabili che variano nel tempo sono chiamate reti Bayesiane dinamiche.
Matematicamente, una rete bayesiana è un grafo aciclico orientato in cui:
Una rete bayesiana rappresenta la distribuzione della probabilità congiunta di un insieme di variabili.


In probabilità, date due variabili aleatorie "X" e "Y", definite sullo stesso spazio di probabilità, si definisce la loro distribuzione congiunta come la distribuzione di probabilità associata al vettore formula_1. Nel caso di due sole variabili, si parla di distribuzione bivariata, mentre nel caso di più variabili si parla di distribuzione multivariata.
La funzione di ripartizione di una distribuzione congiunta è definita come
o più generalmente
Nel caso di variabili aleatorie discrete, la densità discreta congiunta (o funzione di massa di probabilità congiunta) è data da
Siccome la densità congiunta è anch'essa una densità, è soddisfatta la seguente equazione:
Nel caso di variabili aleatorie continue, la densità congiunta è data da
dove "f"("y"|"x") e "f"("x"|"y") sono le distribuzioni condizionate di Y dato X=x e di X dato Y=y, mentre "f"("x") e "f"("y") sono le distribuzioni marginali della densità congiunta, rispettivamente per X e Y.
Anche in questo caso, è soddisfatto
