
In statistica, il clustering o analisi dei gruppi (dal termine inglese "cluster analysis" introdotto da Robert Tryon nel 1939) è un insieme di tecniche di analisi multivariata dei dati volte alla selezione e raggruppamento di elementi omogenei in un insieme di dati. Le tecniche di "clustering" si basano su misure relative alla somiglianza tra gli elementi. In molti approcci questa similarità, o meglio, dissimilarità, è concepita in termini di distanza in uno spazio multidimensionale. La bontà delle analisi ottenute dagli algoritmi di "clustering" dipende molto dalla scelta della metrica, e quindi da come è calcolata la distanza. Gli algoritmi di "clustering" raggruppano gli elementi sulla base della loro distanza reciproca, e quindi l'appartenenza o meno ad un insieme dipende da quanto l'elemento preso in esame è distante dall'insieme stesso.
Le tecniche di "clustering" si possono basare principalmente su due "filosofie":
Esistono varie classificazioni delle tecniche di clustering comunemente utilizzate. Una prima categorizzazione dipende dalla possibilità che un elemento possa o meno essere assegnato a più cluster:
Un'altra suddivisione delle tecniche di clustering tiene conto del tipo di algoritmo utilizzato per dividere lo spazio:
Queste due suddivisioni sono del tutto trasversali, e molti algoritmi nati come "esclusivi" sono stati in seguito adattati nel caso "non-esclusivo" e viceversa.
Gli algoritmi di clustering di questa famiglia creano una partizione delle osservazioni minimizzando una certa funzione di costo:
dove formula_2 è il numero dei cluster, formula_3 è il formula_4-esimo cluster e formula_5 è la funzione di costo associata al singolo cluster. L'algoritmo più famoso appartenente a questa famiglia è il k-means, proposto da MacQueen nel 1967. Un altro algoritmo abbastanza conosciuto appartenente a questa classe è il Partitioning Around Medioid (PAM).
Le tecniche di clustering gerarchico non producono un partizionamento "flat" dei punti, ma una rappresentazione gerarchica ad albero. 
Questi algoritmi sono a loro volta suddivisi in due classi:
Una rappresentazione grafica del processo di clustering è fornita dal dendrogramma.
In entrambi i tipi di clustering gerarchico sono necessarie funzioni per selezionare la coppia di cluster da fondere ("agglomerativo"), oppure il cluster da dividere ("divisivo").
Nel primo caso, sono necessarie funzioni che misurino la "similarità" (o, indistintamente, la "distanza") tra due cluster, in modo da fondere quelli più simili. Le funzioni utilizzate nel caso agglomerativo sono:
Nei 4 casi precedenti, formula_10 indica una qualsiasi funzione distanza su uno spazio metrico.
Invece nel clustering divisivo è necessario individuare il cluster da suddividere in due sottogruppi. Per questa ragione sono necessarie funzioni che misurino la compattezza del cluster, la densità o la sparsità dei punti assegnati ad un cluster. Le funzioni normalmente utilizzate nel caso divisivo sono:
Nel "Clustering density-based", il raggruppamento avviene analizzando l'intorno di ogni punto dello spazio. In particolare, viene considerata la densità di punti in un intorno di raggio fissato.
Un esempio è il metodo di clustering Dbscan.
Algoritmi di clustering molto usati sono:
Il QT ("Quality Threshold") Clustering (Heyer et al., 1999) è un metodo alternativo di partizionare i dati, inventato per il clustering dei geni. Richiede più potenza di calcolo rispetto al "K"-Means, ma non richiede di specificare il numero di cluster "a priori", e restituisce sempre lo stesso risultato quando si ripete diverse volte.
L'algoritmo è:
La distanza tra un punto ed un gruppo di punti è calcolata usando il concatenamento completo, cioè come la massima distanza dal punto di ciascun membro del gruppo (vedi il "Clustering gerarchico agglomerativo" sulla distanza tra i cluster nella sezione clustering gerarchico).


Lo scarto quadratico medio (o deviazione standard o scarto tipo) è un indice di dispersione statistico, vale a dire una stima della variabilità di una popolazione di dati o di una variabile casuale.
È uno dei modi per esprimere la dispersione dei dati intorno ad un indice di posizione, quale può essere, ad esempio, la media aritmetica o una sua stima. Ha pertanto la stessa unità di misura dei valori osservati (al contrario della varianza che ha come unità di misura il quadrato dell'unità di misura dei valori di riferimento). In statistica la precisione si può esprimere come lo scarto quadratico medio.
Il termine ""standard deviation"" è stato introdotto in statistica da Pearson nel 1894 assieme alla lettera greca formula_1 (sigma) che lo rappresenta. Il termine italiano "deviazione standard" ne è la traduzione più utilizzata nel linguaggio comune; il termine dell'Ente Nazionale Italiano di Unificazione è tuttavia "scarto tipo", definito come la radice quadrata positiva della varianza per lo meno fin dal 1984.
Se non indicato diversamente, lo scarto quadratico medio è la radice quadrata della varianza, la quale viene coerentemente rappresentata con il quadrato di sigma (formula_2).
In statistica lo scarto quadratico medio di un carattere rilevato su una popolazione di formula_3 unità statistiche si definisce esplicitamente come:
dove formula_5 è la media aritmetica di formula_6.
Formalmente lo scarto quadratico medio di una variabile può essere calcolata a partire dalla funzione generatrice dei momenti, in particolare è la radice quadrata della differenza tra il momento secondo ed il momento primo elevato al quadrato.
A partire dallo scarto quadratico medio si definisce anche il coefficiente di variazione o la "deviazione standard relativa" come il rapporto tra lo scarto tipo formula_7 e il valore assoluto della media aritmetica della variabile in esame:
Questo indice relativo (che viene spesso espresso in termini percentuali) consente di effettuare confronti tra dispersioni di dati di tipo diverso, indipendentemente dalle loro quantità assolute.
Nell'ambito della statistica inferenziale (dove è noto solo un campione della popolazione), soprattutto nell'ambito della teoria della stima, a volte si rimpiazza il denominatore formula_3 con formula_10 ottenendo:
Sostanzialmente, poiché non è nota la media dell'intera popolazione, ma solo una sua stima (la media del campione), bisogna utilizzare formula_10 per ottenere uno stimatore corretto formula_13 della varianza incognita formula_7 di formula_6 sull'intera popolazione a partire dai dati del campione. La sua radice quadrata diviene lo scarto quadratico medio "corretto".
Questa correzione al denominatore fa sì che la nuova definizione sia un po' più grande della precedente, correggendo così la tendenza della precedente a sottostimare le incertezze soprattutto nel caso in cui si lavori con pochi dati (formula_3 piccolo).
Osserviamo il caso limite di formula_17, cioè quando si ha un campione di un solo elemento: la prima definizione dà il risultato formula_18, che ovviamente non è molto ragionevole nell'ambito della statistica inferenziale, mentre quella "corretta" dà un risultato non definito del tipo formula_19, rispecchiando così la totale ignoranza inerente all'incertezza su una singola misura. In questo senso, si dice che la statistica non dice nulla sul singolo caso.
Osserviamo che la differenza tra le due definizioni per campioni molto estesi è spesso numericamente insignificante.
Il calcolo può essere semplificato come segue:
cioè, applicando il tutto alla formula originale:
Sia formula_6 una variabile aleatoria, lo scarto quadratico medio è definito come la radice quadrata della varianza di formula_6
Formalmente lo scarto quadratico medio di una variabile aleatoria può essere calcolato a partire dalla funzione generatrice dei momenti, in particolare è la radice quadrata della differenza tra il momento secondo ed il momento primo elevato al quadrato, cioè
dove formula_26 è il valore atteso di formula_6.
In ambito finanziario, lo scarto quadratico medio viene usato per indicare la variabilità di un'attività finanziaria e dei suoi payoff (rendimenti). Esso fornisce quindi, implicitamente, una misura della volatilità dell'attività, quindi del suo rischio.
In fisica, è un ottimo indice dell'errore casuale della misurazione di una grandezza fisica.
In ambito sportivo è utilizzato per valutare la prestazione di un giocatore di bowling in riferimento ad un certo numero di partite. Il valore trovato non incide sul punteggio ma sintetizza le capacità e i miglioramenti del giocatore.
In ingegneria, è uno dei parametri da considerare per valutare la capacità di un processo produttivo.
Nelle applicazioni informatiche, è a volte conveniente utilizzare la formula
che consente, con sole tre variabili formula_29, di calcolare lo scarto quadratico medio, oltre che la media, di un flusso di numeri di lunghezza formula_3 senza dover ricorrere ad una memorizzazione degli stessi.
