बीजगणिते समूहसिद्धान्त
प्रकृतौ सर्वत्र समरूपता वर्तते। पद्मवत् पुष्पदलानि सममितानि भवन्ति । तथा पक्षिणः पक्षाः सममिताः भवन्ति । पत्रस्य अन्तः प्रतिमानाः अपि सममिताः भवन्ति । एवं सर्वेषु विषयेषु गणितं भवति । गणितं एतेषां प्रतिमानानाम्, समरूपतायाः च संख्यां ददाति । ततः वयं एतासां सङ्ख्यानां उपयोगेन समरूपतायाः विषये गणनां कर्तुं शक्नुमः । अन्ते एतासां गणनानां उपयोगेन वयं प्रकृतेः सौन्दर्यं बहुधा पुनः सृजितुं उपायान् अन्वेष्टुं शक्नुमः । सर्वेषु क्षेत्रेषु कला, चित्रकला, नृत्यं, संगीतं, विज्ञानं, निर्माणं, छायाचित्रणम् इत्यादयः सन्ति, बीजगणिते समूहसिद्धान्तस्य उपयोगं अज्ञात्वा कुर्वन्तु।

समूहसिद्धान्तस्य इतिहासः ३ स्रोतांशात् अस्ति । एते संख्यासिद्धान्तः, बीजगणितीयसमीकरणानि, ज्यामितिः च । एतेषां प्रत्येकं अवधारणाः प्राचीनकाले चिरकालात् पृथक् पृथक् प्रयुक्ताः आसन् । १८०० तमे वर्षे एताः ३ अवधारणाः बीजगणितक्षेत्रे संयोजिताः । एवं समूहसिद्धान्तस्य जन्म अभवत् । 

समूहसिद्धान्तः बीजगणितक्षेत्रे समरूपतायाः गणितीयं अध्ययनं निर्दिशति । भौतिकशास्त्रं रसायनशास्त्रं च इत्यादिषु शुद्धविज्ञानात् आरभ्य प्रतिबिम्बसंसाधनं, सामरिकपहेलिका इत्यादिषु आधुनिकप्रक्रियासु विविधक्षेत्रेषु अनुप्रयोगानाम् विशालसरण्याः कारणात् समूहसिद्धान्तः महत्त्वपूर्णा अवधारणा इति मन्यते।

यत्किमपि वस्तु सममितं दृश्यते तस्य विश्लेषणं समूहसिद्धान्तस्य साहाय्येन कर्तुं शक्यते । अत्र समरूपता तत् तत्त्वं निर्दिशति यत् परिवर्तनानन्तरं अविकारी एव तिष्ठति । एवं समूहस्य घटकाः संख्यातः कार्याणि यावत् मैट्रिक्सादितत्त्वानि यावत् प्रकृतौ भिन्नाः भवितुम् अर्हन्ति ।

बीजगणितसिद्धान्ते द्विचक्रीयक्रियाणां बीजगणितसंरचनानां च मूलभूतसंकल्पनाभ्यः समूहसिद्धान्तः उद्भवति ।

बीजगणितीयसंरचना एकः समुच्चयः यस्मिन् एकं वा अधिकं वा द्विचक्रीयक्रियाः परिभाषिताः सन्ति । एकः समूहः ४ भिन्नान् गुणान् पूरयति । एते गुणाः समापनगुणः, साहचर्यगुणः, तादात्म्यगुणः, विलोमगुणः च इति उच्यन्ते ।

बीजगणितीयसंरचना या निमीलनगुणं साहचर्यगुणं च पूरयति सा एकरूपी उच्यते । यत् बीजगणितीयसंरचना समापनगुणं, साहचर्यगुणं, तादात्म्यगुणं च तृप्तं करोति, सा अर्धसमूहः इति कथ्यते । 

यत् बीजगणितीयसंरचना समापनगुणं, साहचर्यगुणं, तादात्म्यगुणं, विलोमगुणं च तृप्तं करोति, सा समूहः इति कथ्यते।

समूहसिद्धान्तस्य अनेके अनुप्रयोगाः सन्ति । एते अनुप्रयोगाः प्रकृतौ निर्गच्छन्ति यत्र समरूपता भवति। 

यथा, सङ्गीतस्य भिन्न-भिन्न-धुनानां समरूपता भवति । रचनाकाराः समूहसिद्धान्तस्य उपयोगं कृत्वा भिन्न-भिन्न-रागेषु स्वगीतानां रचनां कर्तुं शक्नुवन्ति । समूहसिद्धान्तः रचनाकारं ज्ञातुं साहाय्यं करोति यत् के स्वराः एकत्र उत्तमं ध्वनिं करिष्यन्ति। 

चित्रचित्रणेऽपि समूहसिद्धान्तस्य प्रयोगः भवति । चित्रकलाद्वारा प्रकृतेः सौन्दर्यस्य पुनः सृष्टौ समरूपतायाः अनुपातेषु समूहसिद्धान्तः सम्मिलितः भवति । चित्रकला नियमितरूपेण समरूपतां शिक्षयति । ते नियमितरूपेण गणितं बीजगणितं च पाठयन्ति इति भावः । 

अन्यस्मिन् उदाहरणे बहवः प्रहेलिकाः क्रीडाः च समरूपतायाः उपयोगं कुर्वन्ति । एते क्रीडाः समूहसिद्धान्ते अपि आधारिताः सन्ति । क्रीडां कर्तुं भिन्नानि सोपानानि समूहस्य भागं निर्मान्ति । गणितस्य ज्ञानेन व्यक्तिः एतानि क्रीडाः उत्तमरीत्या क्रीडितुं शक्नोति । एवं एतानि क्रीडाः क्रीडितुं एतासां प्रहेलिकानां समाधानार्थं च बहवः गणितीयरणनीतयः सन्ति । 

सारांशेन समूहसिद्धान्तः गणितस्य अवधारणां सर्वेषु प्रकारेषु दृश्यमानेषु समरूपतायां प्रयोजयति । एतत् प्रतिमानानाम् संरचनां ददाति तथा च गणितज्ञः आवश्यकतानुसारं एतत् प्रतिमानं परिवर्तयितुं शक्नोति । एतेन अस्माकं दैनन्दिनजीवने समरूपतायाः विषये अनेकेषां रोचकप्रश्नानां उत्तरं दातुं साहाय्यं भवति । 

बीजगणित