代数幾何学
ルネ・デカルトは、多項式の零点を曲線として幾何学的に扱う発想を生みだしたが、これが代数幾何学の始まりとなったといえる。例えば、x, y を実変数として "x2 + ay2 − 1" という多項式を考えると、これの零点のなす R2 の中の集合は a の正、零、負によってそれぞれ楕円、平行な2直線、双曲線になる。このように、多項式の係数と多様体の概形の関係は非常に深いものがある。
幾何学的不変式論
幾何学的不変式論はマンフォード(Mumford)の1965年に最初に出版された単行本により発見され発展した。この本では、ダヴィッド・ヒルベルトの結果を含む、現代代数幾何学の問題へ19世紀のアイデアを適用した（本は後日出版された第二版では、フォガルティ(Fogarty)とマンフォード(Mumford)により付録が付けられ、カーワン(Kirwan)によりシンプレクティック商の章が追加され、大きく拡張されている）。本はスキーム論と例の中で有効な計算機テクニックの双方を使っている。
本の中で使われた抽象的な設定は、スキーム X 上の群作用という設定である。軌道空間(orbit space)
つまり、群作用による X の商空間という単純な考え方のアイデアで、抽象的な説明が可能なある理由によって代数幾何学の困難さへ挑戦した。実際、何故、同値性が（厳密な）正則函数(regular function)（多項式函数）と相互作用するという理由は何もなく、このことは代数幾何学の心臓部である。考えるべき軌道空間 formula_3 上の函数は、G の作用の下で不変となる X 上の函数である。直接のアプローチは、函数体の方法（つまり、有理函数）により可能である。その上の(G-invariant)な有理函数を、(quotient variety)の函数体として取ることを考える。不幸にして、双有理幾何学の観点からは、これは求める答えの第一近似のみを与えることができる。マンフォードはこのことを本の序に記載している。