代数幾何学
ルネ・デカルトは、多項式の零点を曲線として幾何学的に扱う発想を生みだしたが、これが代数幾何学の始まりとなったといえる。例えば、x, y を実変数として "x2 + ay2 − 1" という多項式を考えると、これの零点のなす R2 の中の集合は a の正、零、負によってそれぞれ楕円、平行な2直線、双曲線になる。このように、多項式の係数と多様体の概形の関係は非常に深いものがある。
数え上げ幾何学
数え上げ幾何学は、19世紀の終わりに(Hermann Schubert)により、大きな進展がみられた。 このために彼は、と呼ばれる方法を導入した。この計算で、彼は広い領域に基本的な幾何学的、トポロジー的な値を導入した。（当時は、）数え上げ幾何学に特別に必要なものは注目されなかったが、代数幾何学が全体で一般的な前提として、1960年代、1970年代になるとそれらが深い注目を集めるようになった。（例えば、(Steven Kleiman)が指摘している）。アンドレ・ヴェイユにより交点数が厳密に定義されたが、これは、1942–6年にヴェイユの基本的なプログラムの一部として厳密に定義がされ、さらにその後、確立されたものである。しかし、これは、数え上げ問題の固有な領域のすべてを解決するものではなかった。
次元の数え上げとベズーの定理のナイーブな適用は、誤った結果を導く。このことを次の例で示す。これらの問題の対応として、代数幾何学者たちは曖昧な『ファッジェ因子』（ぼんやりとした柔らかい因子とでも訳すべきか）を導入したが、この厳密な評価は何十年か後となってしまった。