代数幾何学
代数幾何学（だいすうきかがく、）とは、多項式の零点のなすような図形を代数的手法を用いて（代数多様体として）研究する数学の一分野である。大別して、「多変数代数函数体に関する幾何学論」「射影空間上での複素多様体論」とに分けられる。前者は代数学の中の可換環論と関係が深く、後者は幾何学の中の多様体論と関係が深い。20世紀に入って外観を一新し、大きく発展した数学の分野といわれる。
双有理幾何学
代数幾何学では、双有理幾何学(birational geometry)の目標は、2つの代数多様体が（多様体の次元）より低い次元の部分を除き、どのようなときに同型となるかを決定することである。このことは、多項式というよりも、有理函数により与えられる写像を研究することを意味し、有理函数が極を持つ場合は(写像を）定義することができないかもしれない。
ある（既約(irreducible)な）代数多様体 "X" から別の多様体 "Y" へのは、ダッシュ付矢印で "X" – → "Y" と書かれ、"X" の空ではない開集合 "U" から "Y" への(morphism)として定義される。代数幾何学で使用されるザリスキ位相の定義により、空ではない開部分集合 U は常に X の低い次元の部分集合の補集合である。具体的には、有理写像は有理函数を使って座標で記述することができる。