代数幾何学
ルネ・デカルトは、多項式の零点を曲線として幾何学的に扱う発想を生みだしたが、これが代数幾何学の始まりとなったといえる。例えば、x, y を実変数として "x2 + ay2 − 1" という多項式を考えると、これの零点のなす R2 の中の集合は a の正、零、負によってそれぞれ楕円、平行な2直線、双曲線になる。このように、多項式の係数と多様体の概形の関係は非常に深いものがある。
ヴェイユコホモロジー
代数幾何学において、ヴェイユコホモロジー (Weil cohomology) あるいは ヴェイユコホモロジー論 (Weil cohomology theory) とは、代数的サイクルとコホモロジー群の関係性についてのある公理系を満たすコホモロジーのことを言う。名前はアンドレ・ヴェイユ (André Weil) にちなむ。周モチーフを通してヴェィユコホモロジーが分解するという意味で、周モチーフの圏が普遍ヴェイユコホモロジー論である限りは、ヴェィユコホモロジー論がモチーフの理論で重要な役割を演じる。しかしながら、周モチーフの圏はアーベル圏ではないので、ヴェィユコホモロジー論をもたらさないことにも注意する必要がある。
ヴェイユコホモロジー(Weil cohomology)は、反変函手
で、以下の公理に従う。体 "K" は "k" とは異なっているので混乱しないでほしい。体 "K" は標数 0 であり、係数体と言われるのに対し、基礎体 "k" は任意である。"X" を次元 "n" の滑らかな射影代数多様体とすると、次数付き (K-algebra) formula_1 は次の条件を満たす。
4つの古典的ヴェイユコホモロジー論がある。