代数幾何学
ルネ・デカルトは、多項式の零点を曲線として幾何学的に扱う発想を生みだしたが、これが代数幾何学の始まりとなったといえる。例えば、x, y を実変数として "x2 + ay2 − 1" という多項式を考えると、これの零点のなす R2 の中の集合は a の正、零、負によってそれぞれ楕円、平行な2直線、双曲線になる。このように、多項式の係数と多様体の概形の関係は非常に深いものがある。
幾何学
純粋幾何学における新概念は、遠近法を発端として17世紀にデザルグとパスカルらによって始められた射影幾何学が挙げられる。18世紀にはモンジュ(画報幾何学で有名である)とポンスレらにより、射影幾何学は更に研究され、19世紀に入ってもシュタイナーは総合幾何学を重視している。20世紀に入っても総合幾何学を重視した者としてコクセターが挙げられる。ほかにも、ラングレーの問題などは20世紀に入ってから出された問題である。
長らく原論の平行線公理は幾何学において問題となったが、この公理を他の公理から導出しようとする試みは全て頓挫した。もし平行線公理が公理でなければ、ほかの公理系から導出できるはずだと試みられて失敗したわけである。19世紀に入ってようやく、他の公理はそのままに平行線公理のみをその否定命題に置換してもユークリッド幾何学に似た幾何学が成立することがボヤイ、ロバチェフスキーらによって示され、非ユークリッド幾何学が誕生した。