代数幾何学
代数幾何学（だいすうきかがく、）とは、多項式の零点のなすような図形を代数的手法を用いて（代数多様体として）研究する数学の一分野である。大別して、「多変数代数函数体に関する幾何学論」「射影空間上での複素多様体論」とに分けられる。前者は代数学の中の可換環論と関係が深く、後者は幾何学の中の多様体論と関係が深い。20世紀に入って外観を一新し、大きく発展した数学の分野といわれる。
曲線
代数曲線は代数幾何学で扱われる曲線である。平面代数曲線は、各座標 が適当な体 上の二変数多項式 を用いて を満たすような点全体の成す軌跡を言う。通例、代数幾何学においては に座標をとる点だけを見るのではなく、適当な代数閉体 に座標をとる点すべてを考える。曲線 が -係数多項式 によって定義されているとき、曲線 は 上定義されていると言う。曲線 の点は、その各座標がすべて一つの体 に属しているとき、 上の有理点あるいは短く -有理点と呼ぶ。 の -有理点全体の成す集合は と書かれる。 が有理数全体の成す体であるときは、単に「有理点」と呼ぶ。例えば、フェルマーの最終定理を「 に対して、次数 のの任意の有理点は必ず何れかの座標が零に等しい」と言い換えることができる。