代数幾何学
ルネ・デカルトは、多項式の零点を曲線として幾何学的に扱う発想を生みだしたが、これが代数幾何学の始まりとなったといえる。例えば、x, y を実変数として "x2 + ay2 − 1" という多項式を考えると、これの零点のなす R2 の中の集合は a の正、零、負によってそれぞれ楕円、平行な2直線、双曲線になる。このように、多項式の係数と多様体の概形の関係は非常に深いものがある。
微分位相幾何学
"微分幾何学"はカール・フリードリヒ・ガウスやベルンハルト・リーマン等による曲率の研究に、"位相幾何学"（"トポロジー"）はゴットフリート・ライプニッツやレオンハルト・オイラー等による位置の解析に端を発するが、微分幾何学と位相幾何学の初期の学際はアンリ・ポアンカレによる三（多）体問題の解析がある。三（多）体問題とは天体力学から派出したもので静かな空間に3つ（もしくはそれ以上）の物体が浮かんでいるときその物体はどのような運動をするかという力学系（従って解析学）の問題である。ポアンカレはこの力学系を定める微分方程式のベクトル場がある多様体を作ることに注目して、その多様体にトポロジー的知見から迫ることでニュートンの時代からある難問を解いた。ポアンカレはカオス的な振る舞いをする力学系を初めて発見した解析学者であり、トポロジーを1つの学問として定式化したトポロジストでもある。