代数幾何学
代数幾何学（だいすうきかがく、）とは、多項式の零点のなすような図形を代数的手法を用いて（代数多様体として）研究する数学の一分野である。大別して、「多変数代数函数体に関する幾何学論」「射影空間上での複素多様体論」とに分けられる。前者は代数学の中の可換環論と関係が深く、後者は幾何学の中の多様体論と関係が深い。20世紀に入って外観を一新し、大きく発展した数学の分野といわれる。
数論幾何学
数論幾何（すうろんきか、）あるいは数論的代数幾何学（）は数論の一分野であり、数論の問題を解くために代数幾何の道具を用い、初等的でない定義を使う。スキーム論の出現後、数論幾何は整数環 のスペクトル上の"有限型"のアレクサンドル・グロタンディークのスキームの研究として合理的に定義できよう。この視点は半世紀以上に渡って非常に影響的である。それは（可換環論の現在のことばを用いるために）数論を整数上の多項式環の商である環だけで扱おうとするレオポルト・クロネッカーの野望をはたすものと非常に広くみなされている。実はスキーム論は全く「有限的」にはみえないあらゆる種類の補助的構成を用いるので、「構成主義派」の思想とはそのようなものとして関係が薄い。スキーム論がそうではないことは、進数とは違って素イデアルから来ない「無限素点」（実と複素の局所体）への継続的な興味から現れる。