代数幾何学
ルネ・デカルトは、多項式の零点を曲線として幾何学的に扱う発想を生みだしたが、これが代数幾何学の始まりとなったといえる。例えば、x, y を実変数として "x2 + ay2 − 1" という多項式を考えると、これの零点のなす R2 の中の集合は a の正、零、負によってそれぞれ楕円、平行な2直線、双曲線になる。このように、多項式の係数と多様体の概形の関係は非常に深いものがある。
三次方程式
ラファエル・ボンベリ("Rafael Bombelli")は、この場合を詳しく研究し1572年に出版した『代数学』("Algebra")に記した。形式的な計算ではあるものの、当時はまだ知られていない虚数の計算と同じであった。ボンベリは
という "x" = 4 を解に持つ方程式を例にあげた。この方程式をカルダノの公式で計算してみると
となるが、ボンベリはこの右辺は、今日でいうところの共役な複素数の和であると考え、負の数の平方根の演算規則を与えた上で
から "b" = 1 を求め、元の方程式が "x" = 4 を解に持つことを説明した。