代数幾何学
代数幾何学（だいすうきかがく、）とは、多項式の零点のなすような図形を代数的手法を用いて（代数多様体として）研究する数学の一分野である。大別して、「多変数代数函数体に関する幾何学論」「射影空間上での複素多様体論」とに分けられる。前者は代数学の中の可換環論と関係が深く、後者は幾何学の中の多様体論と関係が深い。20世紀に入って外観を一新し、大きく発展した数学の分野といわれる。
平面曲線
もっともよく調べられる平面曲線は、微分幾何学において調べられる可微分な場合（滑らかな曲線、区分的に滑らかな曲線）や代数幾何学において調べられる曲線の陰伏方程式が多項式で与えられる場合（代数曲線）である。代数曲線は18世紀以降広汎に研究されてきた。滑らかな平面曲線、すなわち望ましい正則性条件を満足する一次元のひものような対象としての曲線（「局所的に直線に見える」平面曲線）を表し研究するためには、連続性条件は十分ではない。追加の条件として平面曲線は 上とする。媒介表示された平面曲線 formula_7 が微分可能であるとは、二つの函数 がともに任意の において微分可能であることを言う。滑らかな平面曲線は平面に含まれる一次元の滑らかな多様体であり、この意味で各点の近傍において滑らかな函数によって直線に写される。