If $(a_n)$ is positive and $\sum\limits_n \frac{a_n}{1+a_n}$ converges then $\sum\limits_n a_n$ converges
Positive series problem: $\sum\limits_{n\geq1}a_n=+\infty$ implies $\sum_{n\geq1}\frac{a_n}{1+a_n}=+\infty$