title: 如图，已知点Q是三角形ABC三个内角平分线的交点，P是三角形AB? 
desc: 如图，在三角形AB中，角C=90，点M在BC上，且BM=AC,点N在AC上，且AN=MC,AM与BN相交于P求证：角BPM=45
answer: 过M作A的平行线，过A作BC的平行线，两线交于Q。连结NQ。QM与BN交于S。
  容易知道∠AQN=∠BQN=45,∴∠BQN=90º=∠MQA,
  又AQ:QN=QM:QB,
  ∴△QAM∽△QNB,
  ∴∠AMQ=NBQ,
  又∠PSM=∠QSB,
  ∴根据三角形内角和等于180，得
  ∠MPS=∠BQS，
  ∵∠BQS=45,
  ∴∠BPM=∠MPS=∠BQS=45°，
  
  参考:
  
  
  
  证法一（初中知识证法）： 
  证：已知在△ABC中,∠C=90°,点M在BC上,且BM=AC,点N在AC上,且AN=MC，AM与BN相交于点P。 
  设AC=BM=X，MC=AN=Y，则 
  BC=BM+MC=X+Y，CN=AC-AN=X-Y 
  AM=√（AC^2+MC^2）=√（X^2+Y^2） 
  
  过N点作NE⊥AM，交AM于E点，则△AEN∽△ACB 
  AE/AN=AC/AM，NE/AN=MC/AM 
  AE=AN*AC/AM=Y*X/√（X^2+Y^2） 
  NE=AN*MC/AM=Y^2/√（X^2+Y^2） 
  
  过P点作PF⊥BC，交BC于F点，则△PFM∽△ACM，△BPF∽△BNC 
  PF/FM=AC/MC，PF=FM*AC/MC=FM*X/Y 
  PF/BF=CN/BC，PF=BF*CN/BC=BF*（X-Y）/（X+Y） 
  
  BF*（X-Y）/（X+Y）=FM*X/Y 
  BF=（FM*X/Y）*[（X+Y）/（X-Y）]=FM*X*（X+Y）/[Y*（X-Y）] 
  BF=BM+FM=X+FM 
  FM*X*（X+Y）/[Y*（X-Y）]=X+FM 
  FM=XY*（X-Y）/（X^2+Y^2） 
  
  PM/FM=AM/CM 
  PM=FM*AM/MC=[XY*（X-Y）/（X^2+Y^2）]*[√（X^2+Y^2）/Y] 
  =X*（X-Y）/√（X^2+Y^2） 
  
  PE=AM-AE-PM 
  =√（X^2+Y^2）-Y*X/√（X^2+Y^2）-X*（X-Y）/√（X^2+Y^2） 
  =Y^2/√（X^2+Y^2） 
  =NE 
  因为NE⊥AM，即NE⊥PE 
  可知在直角△NEP中，NE=PE 
  故 ∠EPN=45° 
  但∠BPM=∠EPN 
  所以∠BPM=45° 
  
  证法二： 
  证：已知在△ABC中,∠C=90°,点M在BC上,且BM=AC,点N在AC上,且AN=MC，AM与BN相交于点P。 
  设AC=BM=X，MC=AN=Y，则 
  BC=BM+MC=X+Y，CN=AC-AN=X-Y 
  tan∠AMC=AC/MC=X/Y 
  tan∠NBC=CN/BC=（X-Y）/（X+Y） 
  ∠AMC=∠BPM+∠NBC 
  ∠BPM=∠AMC-∠NBC 
  tan∠BPM=tan（∠AMC-∠NBC） 
  =（tan∠AMC-tan∠NBC）/（1+tan∠AMC*tan∠NBC） 
  =[X/Y-（X-Y）/（X+Y）]/[1+（X/Y）*（X-Y）/（X+Y）] 
  =[X*（X+Y）-Y*（X-Y）]/[Y*（X+Y）+X*（X-Y）] 
  =（X ^2+Y ^2）/（X ^2+Y ^2） 
  =1 
  因为∠BPM<180° 
  所以∠BPM=45° 
  