title: 初中数学证明问题：已知如图，D、E、F是BC、CA、AB上的点且? 
desc: 初中证明问题：已知如图，D、E、F是BC、CA、AB上的点 
  且AF／FB=BD/DC=CE/E△A，求证：△ABC和△DEF有相同的重心
   
  
answer: 初中证明问题：已知如图，D、E、F是BC、CA、AB上的点 
  且AF／FB=BD/DC=CE/EA，求证：△ABC和△DEF有相同的重心 .
  
  证明 设AF/FB=BD/DC=CE/EA=m/n，则
  S(AEF)/S(ABC)=AE*AF/AB*AC=mn/(m+n)^2;
  同理得:
  S(BDF)=S(CED)=S(AEF)=[mn/(m+n)^2]*S(ABC).   (1)
  令G为△ABC的重心，连结GA,GB,GC;GD,GE,GF.则
  S(AFG)/S(ABG)=AF/AB=m/(m+n),
  S(AFG)=[m/(m+n)]*S(ABG)=(1/3)*[m/(m+n)]*S(ABC)
  同理得:
  S(BDG)=S(CEG)=S(AFG)=(1/3)*[m/(m+n)]*S(ABC)  (2)
  S(BFG)=S(CDG)=S(AEG)=(1/3)*[n/(m+n)]*S(ABC)  (3)
  (2)+(3)得:
  S(BDGF)=S(CEGD)=S(AFGE)=S(ABC)/3    (4).
  (4)-(1)得:
  S(FGD)=S(DGE)=S(EGF)=(1/3)*[(m^2-mn+n^2)/(m+n)^2]*S(ABC).
  根据三角形重心定理，即知G为△DEF的重心.
  
  
  
  