title: 数学a,b,c,d∈R+证明：∑√[a/(a+b)]≤2√2要求 
desc: a,b,c,d∈R+证明：∑√[a/(a+b)]≤2√2 
  要求能用笔算出来，不借助， 
  最好不要将不等式化简做差，我的计算能力以及对∑在计算中的应用不是很熟
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answer: a,b,c,d∈R+证明：∑√[a/(a+b)]≤2√2 
  证明：简证设α,β,γ,θ∈(0,π/2); 
  √[a/(a+b)]=sinα,……,√[d/(d+a)]=sinθ 
  则有∏(1/sin²α-1)=1 
  即∏cot²α=1 
  亦即∏cotα=1 
  ∴∏cosα=∏sinα 
  ∴∏cos²α=∏(sinαcosα) 
  =∏(sin2α)/2 
  ≤1/16 
  ∴∑sinα≤√[4(∑sin²α)] 
  =√[4(4-∑cos²α)] 
  ≤√[4(4-4√√∏cos²α)](√√表示四次方根 
  =√[4(4-4*1/2)] 由于不会打四次方根 
  =2√2 不好意思啊） 
  
  ∴∑sinα≤2√2 
  ∴∑√[a/(a+b)]≤2√2 
  
  
  