title: 高二数学,导数,切线
desc: 1 已知f(x)=x^3+ax^2+bx(a,b∈R)的图像过点P(1,2),且在点P处的切线斜率为8 
  
  (1),求a,b的值
  (2),求函数f(x)的但单调区间
  
  2.已知函数f(x)=2x+2/x-3lnx。 求函数f（x)的最小值
  
  3已知关于x的方程sinx/x=k(k∈(0,1))在(-3π,o)∪(0,3π)内且仅有4个根 ,从小到大依次为x1,x2,x3,x4.
  (1)求证:x4=tanx4
  (2)是否存在常数k,使得x2,x3,x4成等差数列?若存在,求出k的值,否则说明理由
  
  
  
answer: 1.
  已知f(x)经过P(1,2)，则：f(1)=1+a+b=2
  所以，a+b=1……………………………………………………（1）
  又，f'(x)=3x^2+2ax+b
  且，f'(1)=8
  则，3+2a+b=8
  所以：2a+b=5…………………………………………………（2）
  联立(1)(2)得到：a=4，b=-3
  
  所以，f(x)=x^3+4x^2-3x
  则，f'(x)=3x^2+8x-3=(3x-1)(x+3)
  那么，当f'(x)=0时，有x1=-3，x2=1/3
  当x＞1/3时，f'(x)＞0，f(x)单调递增；
  当-3＜x＜1/3时，f'(x)＜0，f(x)单调递减；
  当x＜-3时，f'(x)＞0，f(x)单调递增。
  
  2.
  f(x)表达式中，分式的分母具体是什么？加上括号！
  f(x)=2x+(2/x)-3lnx
  定义域为x＞0
  且，f'(x)=2-(2/x^2)-(3/x)=(2x^2-3x-2)/x^2
  则当f'(x)=0时有：2x^2-3x-2=0
  ===> (2x+1)(x-2)=0
  ===> x=2
  即，当x＞2时，f'(x)＞0，f(x)单调递增；
  当0＜x＜2时，f'(x)＜0，f(x)单调递减
  所以，在x＞0时，f(x)在x=2处取得最小值
  即，f(x)有最小值f(2)=4+1-3ln2=5-ln2.
  
  3.
  (1)方程sinx/x=k（k∈(0,1)）在(-3π,0)∪(0,3π)上有且仅有4个根
  即，说明曲线y=sinx与直线y=kx（k∈(0,1)）在(0,3π)上有且仅有2个实数根
  由草图上可以发现：直线y=kx在x=x4点与曲线y=sinx相切
  曲线y=sinx在(x4,sinx4)点的切线的斜率为k=y'(x4)=cosx4
  而，k=(sinx4-0)/(x4-0)=sinx4/x4
  所以：cosx4=sinx4/x4
  则，x4=sinx4/cosx4=tanx4
  (2)
  假设存在k，使得x2、x3、x4成等差数列
  则，2x3=x2+x4
  而x2、x3关于原点对称，即x2=-x3
  所以，3x3=x4
  因为点(x3,sinx3)和点(x4,sinx4)均在直线y=kx上
  所以，sinx3/x3=sinx4/x4=k
  ===> sinx3/x3=sin(3x3)/(3x3)
  ===> 3sinx3=sin(3x3)
  ===> 3sinx3=3sinx3-4sin^3(x3)
  ===> sin(x3)=0
  ===> x3=0（舍去），x3=π，或者x3=2π
  那么，x4=3x3=3π，或者x4=6π
  此时，x4均不包含在(0,3π)内
  所以，这样的k不存在。