如何通俗地理解「采样定理」，该定理是如何提出的，有何价值与应用？
既然要通俗地理解采样定理，我尽量用大白话来说吧，相关的知识背景也会做简单的介绍，所以（大概）不用担心不了解背景知识，我尽可能用直观感受而不是公式和定理来解释（但有些地方还是需要），所以回答并不能算严谨，因此这个回答可能不太适合相关专业的同学，请自行分辨。 信号的书面解释是表示信息的物理量。通俗来说就是承载了一定信息的某个东西，比如下课铃就是承载了下课信息的声音，不管老师还是学生听到下课铃都知道这堂课已经结束了，可以进行其他活动了。 工程上经常处理的一类信号叫做时变信号，就是说某一个物理量随时间变化所产生的信号，这里举一个简单的例子，把我上午出门的时刻设置为0时刻，研究我离家距离与出门时间的关系，可以得到这样一个信号： 虽然我不知道研究这个信号有什么用，但这确实是一个时变信号。 在电子工程重，我们最常研究的时变信号是电压随时间变化的关系，也就是常说的电压波形，比如50Hz市电的电压波形如下图： 从宏观尺度上来看，我们生活在一个连续的物理世界中。 所谓连续的意思是物理量是连续变化的，比如我举的第一个例子，研究我出门时刻后，所用时间与离家距离的关系，这次回去拿好钥匙发现要迟到了，于是我发动了瞬间移动技能，我从半路瞬间移到了公司，这样在离家距离上就不连续了，这在现实世界中是不可能的。当然现实世界中时间也是连续的，不可能出现一份一份的时间。 虽然现实世界是连续的，但我们所使用的电子计算机，工作模式却不是连续的。比如某新式的CPU主频为3.6GHz，这说明这款CPU在1秒钟时间里可以执行3,600,000,000次某种操作，虽然这个CPU执行一次操作的耗时非常短，光也只能传播8cm，但仍然是离散的（时间上的离散）。比如新式SSD容量是500GB，也就是能存储4,000,000,000,000个0或者1，但仍然只能存储有限的数据（空间上的离散）。 这就带来了一个问题：为了让计算机能够处理真实的物理信号，需要把连续的物理信号离散化。我们习惯上把连续信号时间的离散化叫做采样，而把幅度上的离散化叫做量化，采样定理研究的是时间离散化的问题。 为了把信号从时间上离散化，我们以固定的时间间隔对信号幅度进行取样，这样我们就能得到一个序列来表示所需要的信号。也就是说采样后的信号，在时间上不连续了，相邻采样点之间的数据没有。 接一开始的例子，现在把信号进行采样，得到了[0,1,2,3,3.1,1,1.2,4,6,6,6,6,6]这样一个采样后的信号，一般把这样信号叫做离散时间信号（简称离散信号），与采样之前的连续时间信号区分开。采样所得到的离散信号很容易被计算机进行处理并存储。 需要注意连续信号和离散信号只是说信号在时间上是否连续，而不是是否拥有无限的长度，连续信号可以是有限长的，离散信号也可以是无限长的。 我们也看到采样后相邻采样点之间的数据没有了，这带来了一个新的问题：如何采样才能无失真的重构原始信号？ 接上面那个采样的例子，为了恢复相邻采样点之间的数据，我们把相邻的采样点用直线连起来，这种办法被叫做线性插值。重构后的信号出现了明显的问题：原始信号第一段的斜坡完美重构了，可是斜坡上的拐角没有被正确重构出来，回去取钥匙肯定要回到家里才能取到，可是重构后的信号看起来我在半路丢了钥匙，没到家就找到了，然后继续折返上班，当然到公司以后那一段又完美重构了... 也就是说这次采样并没有完整保留原始信号的所有信息，信息出现了丢失或者错误，这是不正确的采样，我们需要研究一种方法，使得采样后的离散信号能够完美（虽然现实不可能完美，但数学上可以）重构成采样前的连续信号。 针对上面的例子，很容易得到两种解决办法： 1.在拐点处单独进行采样：这样采样的时间间隔就非均匀了，虽然工程上也有应用，但这会带来很多其他的问题，属于进阶的内容，这里就不说了（其实是我不会）。 2.减小采样的时间间隔/增加单位时间采样点数：那么采样间隔要减小到多小才够用？单位时间采样点过多必然导致处理和存储的压力增大，但太少了又不能完美采样原始信号...是否有一个临界点恰好完美采样原始信号，又不会让单位时间采样点过多，浪费处理器和存储资源？这就是常说的采样定理要解决的问题。 虽然我尽力不引入公式或者定理，但这个我真的没办法了，不说真没法继续。这里就直接说个结论，有兴趣的读者可以自行差找相关资料。 从前有一位工程师叫做傅里叶，它认为工程上遇到的绝大多数时变信号，都能写成若干个正弦信号叠加，我们把这个叫做傅里叶展开。傅里叶在提出这个理论的时候并没有给出严格证明，不过大家发现这个没有被严格证明的定理非常好用，于是在没有严格证明的情况下使用了这个定理很长一段时间... 下图是理想方波与有限次正弦波叠加近似的方波，反正知道有这样一回事就好了，就是工程上见到的大多数信号，都能像这样近似展开成若干正弦波叠加。 说了那么多正篇终于可以开始了。 工程上为啥喜欢把信号展开成傅里叶级数？因为正弦信号有很多优良的特性，比如周期性。有了周期性以后，很多问题就变得简单了，比如：如何采样能够完美恢复一个正弦信号？因为正弦信号是周期信号，我们只需要看一个周期就可以了。 正弦的函数表达式如下，其中A是振幅， \omega 是角频率， \phi 是初相，也就是有三个常量就能唯一确定一个正弦信号： y(t)=Asin(\omega t+\phi) 一个函数三个未知数，所以需要代入三个不同的点解出三个未知数，得到唯一的表达式，所以一个周期需要取三个以上的点才能完美采样。 从图像上也能直观看出来：在等时间间隔的情况下，如果采样间隔恰好是正弦信号周期的一半，也就是一个信号周期内能采集到两个点，如果恰好采样到的两个点幅值都是0，那就恰好无法计算出正弦信号的表达式。 如果采样间隔比信号周期的一半还要小，那么一个信号周期内至少能采集到三个点，一定能够计算出正弦信号的表达式。 所以我们可以这么说：如果采样的时间间隔小于被采样正弦信号周期的一半，我们一定能无失真的恢复出被采样信号。 结合上一节得到的结论，即工程上大多数信号都能展开成若干正弦信号叠加，如果我的采样间隔能够完美采样周期最短的那个正弦信号，那当然能完美采样这个由若干正弦叠加出来的信号。 采样间隔的倒数是采样率，信号周期的倒数是信号频率，这样都倒过来，就得到了我们最常见的采样定理表达方法：当采样率大于被采样信号中频率最高信号频率的2倍时，采样后的信号能完美保留被采样信号的所有信息。 以上就是全部内容，写完以后不知道怎么结尾是正常现象，请放心使用。