《星际穿越》（Interstellar）中外星球一小时为什么等于地球七年呢？
先说结论：假设巨浪星[1]处于旋转黑洞外的稳定圆轨道上[2]，则当黑洞角动量趋向于理论允许的极大值时，原则上可以获得任意大的时间膨胀系数[3]。 考虑Boyer-Lindquist坐标系中的Kerr时空度规（取 G=c=\hbar=1 的自然单位制） \mathrm{d}s^2=-(1-\dfrac{2Mr}{\Sigma})\mathrm{d}t^2-\dfrac{4Mar\sin^2\theta}{\Sigma}\mathrm{d}t\mathrm{d}\phi+\dfrac{\Sigma}{\Delta}\mathrm{d}r^2+\Sigma\mathrm{d}\theta^2+(r^2+a^2+\dfrac{2Mra^2\sin^2\theta}{\Sigma})\sin^2\theta\mathrm{d}\phi^2\,\ , 其中 M 是黑洞质量， a=J/M 是其单位质量的角动量， \Delta=r^2-2Mr+a^2 , \Sigma=r^2+a^2\cos^2\theta 。该黑洞的事件视界由方程 \Delta=0 的较大根给出： r_+=M+(M^2-a^2)^{1/2}\, , 由此不难看出只有 a\leq M 时才存在黑洞（视界），否则则会导致裸奇点。我们将在下文中看到角动量 a 的取值也是“巨浪星上一小时最多等于地球上多少年”的限制因素。 下面我们跟随Bardeen et al. (1972) [4] 推导绕Kerr黑洞运动的测地线圆轨道，进而讨论怎样让巨浪星上的一小时等于地球上的七年。开始计算之前我们首先要明确巨浪星和地球之间的比钟方法才能使时间膨胀的说法有意义。将地球理想化为无限远处的静止观者，显然其固有时可以认同为坐标时 t 。不妨令巨浪星上的观者每绕黑洞转一圈到相同位置时向地球发送一次光信号，并将时间膨胀因子定义为地球观者收到两次信号之间的固有时间隔与巨浪星观者发送两次信号之间的固有时间隔的比值。由于我们选择的坐标系具有关于 t 平移的对称性（度规分量不含时，\partial/\partial t 是Killing矢量），不难看出发送信号的坐标时间隔与接收信号的坐标时间隔是相等的（推导过程参见另一回答：学物理的学生能硬核到什么程度？），因此如果我们能求得巨浪星圆轨道四速的坐标时分量 \gamma=\mathrm{d}t/\mathrm{d}\tau ，这就是由上述比钟方案给出的时间膨胀因子。 考虑有质量粒子在 \theta=\pi/2 赤道面内的测地线运动，利用守恒量 E=-p_t （总能量）和 L=p_\phi （角动量）不难写出 t 和 r 分量的运动方程： \begin{align} \Sigma \dfrac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}\tau}=&-a(aE-L)+(r^2+a^2)T/\Delta\, ,\\ \Sigma \dfrac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}\tau}=&\pm(V_r)^{1/2}\, , \end{align} 其中 T=E(r^2+a^2)-La ，径向等效势能定义为 V_r=T^2-\Delta[r^2+(L-aE)^2] 。注意到代求的时间膨胀因子可以表示为 \gamma= \dfrac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}\tau}=\dfrac{1}{\Sigma}\left[-a(aE-L)+(r^2+a^2)T/\Delta\right]\,。 现在考虑圆轨道，它满足 \mathrm{d}r/\mathrm{d}\tau=0\,, V_r'(r)=0\,, 由此可确定守恒量的表达式 \begin{align} E =& \dfrac{r^{3/2}-2Mr^{1/2}\pm aM^{1/2}}{r^{3/4}(r^{3/2}-3Mr^{1/2}\pm 2aM^{1/2})^{1/2}}\,,\\ L =& \dfrac{\pm M^{1/2}(r^2\mp 2aM^{1/2}r^{1/2}+a^2)}{r^{3/4}(r^{3/2}-3Mr^{1/2}\pm 2aM^{1/2})^{1/2}}\, , \end{align} 其中在上的符号对应顺行（角动量和黑洞同方向）轨道，在下的对应逆行，下同。注意圆轨道 r 的取值必须使以上两式的分母为实数，否则不存在圆轨道。另一方面，稳定的圆轨道需要满足 V_r''(r)\leq 0 ，由此可求得最小稳定圆轨道的坐标半径 r\geq r_\mathrm{ms} （ms代表marginally stable）, r_\mathrm{ms}=M\{ 3+Z_2\mp[(3-Z_1)(3+Z_1+2Z_2)]^{1/2} \}\,, 其中 \begin{align} Z_1 =& 1 + (1-a^2/M^2)^{1/3}[(1+a/M)^{1/3}+(1-a/M)^{1/3}]\,,\\ Z_2=&(3a^2/M^2+Z_1^2)^{1/2}\,, \end{align} 可以看出顺行轨道可以给出更小的环绕半径（和更大的时间膨胀因子，因为它离黑洞更近且环绕速度更快），因此以下我们舍去逆行解。注意到 r_\mathrm{ms} 由黑洞角动量 a 唯一确定，而将 r_\mathrm{ms}, E, L 带入 \gamma 表达式后时间膨因子（的上限）也将被 a 唯一确定，由此我们可作出以下两图 可见 a=0 给出施瓦西黑洞的情形：最小稳定圆轨道处于 r=6M 处，而相应的时间膨胀因子只有 \gamma=\sqrt{2}\simeq1.414 ，和 @寻风 的计算结果（星际穿越米勒的星球上一小时等于七年，如果库珀在米勒星球上放置一个同步摄像机，那么飞船上的人会看到啥？）一致；而 a\rightarrow M 时 \gamma 趋于无穷大， r_\mathrm{ms} 趋于M 。 那么 a 等于多少时可以让 \gamma=7\times365\times24=61320 （地球上七年的小时数）呢？解得 a/M \simeq 1-10^{-13.8753}\simeq 1-10^{-14}, 和Kip Thorne在书里写的相吻合。 此时的轨道坐标半径为 r_\mathrm{ms}=1.00004M ，四舍五入就算是在Horizon 上了（不过Ref[4]指出了这只是坐标系的投影方式导致的表象，事实上这一轨道距离视界的固有径向距离还很远），不妨为这句电影台词点个赞： 最后，我们验证一下男主提出的让空间站在更高轨道绕行黑洞从而避开“时间变化区”的方案是否可行。 令 a/M = 1-10^{-13.8753} ，可以画出此时其他圆轨道半径 r 值对应的时间膨胀因子 \gamma 的图像： 可见 \gamma 随 r 迅速减小到 10 以下，所以这的确是可行的（只要能找到合适的变轨方式）。