Monsky's theorem
வடிவவியலில், மான்ஸ்கியின் தேற்றம் ஒரு சதுரத்தை சம பரப்பளவு கொண்ட ஒற்றைப்படை எண்ணிக்கையிலான முக்கோணங்களாகப் பிரிக்க முடியாது என்று கூறுகிறது. வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், ஒரு சதுரத்திற்கு ஒற்றைப்படை சமவெளி இல்லை. இந்த சிக்கலை ஃப்ரெட் ரிச்மேன் 1965 ஆம் ஆண்டில் அமெரிக்க கணித மாத இதழில் முன்வைத்தார், மேலும் 1970 ஆம் ஆண்டில் பால் மான்ஸ்கியால் நிரூபிக்கப்பட்டது. சான்று மான்ஸ்கியின் ஆதாரம் ஒருங்கிணைந்த மற்றும் இயற்கணித நுட்பங்களை ஒருங்கிணைக்கிறது, மேலும் அவுட்லைனில் பின்வருமாறுஃ சதுரத்தை (0,0), (0,1), (1,0) மற்றும் (1,1) இல் செங்குத்துகளுடன் அலகு சதுரமாக எடுத்துக் கொள்ளுங்கள். சம பரப்பளவு கொண்ட n முக்கோணங்களில் ஒரு பிரிவு இருந்தால், ஒவ்வொரு முக்கோணத்தின் பரப்பளவு 1/n ஆகும். சதுரத்தில் உள்ள ஒவ்வொரு புள்ளிக்கும் அதன் ஆயத்தொகுதிகளின் 2-அடிக் மதிப்பீட்டைப் பொறுத்து மூன்று வண்ணங்களில் ஒன்றைக் கொண்டு வண்ணம் பூசவும். ஒரு நேர் கோடு இரண்டு வண்ணங்களின் புள்ளிகளை மட்டுமே கொண்டிருக்க முடியும் என்பதைக் காட்டுங்கள். சதுரத்தின் ஒவ்வொரு முக்கோணமும் விளிம்பிலிருந்து விளிம்பில் சந்திக்கும் முக்கோணங்களில் குறைந்தது ஒரு முக்கோணத்தைக் கொண்டிருக்க வேண்டும், அதன் செங்குத்துகள் மூன்று வெவ்வேறு வண்ணங்களைக் கொண்டிருக்க வேண்டும் என்பதைக் காட்ட ஸ்பெர்னரின் லெம்மாவைப் பயன்படுத்தவும். ஒரு முக்கோண முக்கோணம் சதுரத்தின் ஒவ்வொரு பிரிவிலும் முக்கோணங்களாக இருக்க வேண்டும், இது விளிம்பிலிருந்து விளிம்பை சந்திக்க வேண்டிய அவசியமில்லை என்று நேர் கோடு பண்பிலிருந்து முடிவு செய்யுங்கள். மூன்று வெவ்வேறு நிறங்களைக் கொண்ட ஒரு முக்கோணத்தின் பரப்பளவின் 2-அடி மதிப்பீடு 1 ஐ விட அதிகமாக உள்ளது என்பதைக் காட்ட கார்ட்டீசியன் வடிவவியலைப் பயன்படுத்தவும். எனவே சதுரத்தை முக்கோணங்களாகப் பிரிக்கும் ஒவ்வொரு பகுதியும் குறைந்தபட்சம் ஒரு முக்கோணத்தைக் கொண்டிருக்க வேண்டும், அதன் பரப்பளவு 1 ஐ விட 2-அடிக் மதிப்பீட்டைக் கொண்டிருக்க வேண்டும். n ஒற்றைப்படை என்றால், 1/n இன் 2-அடிக் மதிப்பீடு 1 ஆகும், எனவே சதுரத்தை முக்கோணங்களாகப் பிரிப்பது சாத்தியமில்லை, இவை அனைத்தும் 1/n பரப்பளவைக் கொண்டுள்ளன. மான்ஸ்கியின் தேற்றப்படி, ஒரு சதுரத்தை ஒற்றைப்படை எண்ணிக்கையிலான முக்கோணங்களாகப் பிரிக்க வெவ்வேறு பகுதிகளைக் கொண்ட முக்கோணங்களைக் கொண்டிருப்பது அவசியம். ஒரு சதுரத்தை ஒற்றைப்படை எண்ணிக்கையிலான முக்கோணங்களாகப் பிரிக்க வேண்டிய பரப்பளவு வேறுபாடுகளுக்கான கீழ் வரம்புகள் மற்றும் உகந்த விலகல்கள் ஆய்வு செய்யப்பட்டுள்ளன. பொதுமைப்படுத்தல்கள் தேற்றத்தை உயர் பரிமாணங்களுக்கு பொதுமைப்படுத்தலாம்ஃ ஒரு n-பரிமாண ஹைபர்க்யூப் சம அளவு கொண்ட எளிமைகளாக மட்டுமே பிரிக்க முடியும், எளிமைகளின் எண்ணிக்கை n! இன் பெருக்கமாக இருந்தால். குறிப்புகள் யூக்ளிடியன் தள வடிவியல் தனித்துவமான வடிவவியலில் கோட்பாடுகள் வடிவியல் பிரித்தல்