Bring's curve
கணிதத்தில், பிரிங்கின் வளைவு (பிரிங்கின் மேற்பரப்பு என்றும் அழைக்கப்படுகிறது, மேலும் க்ளீன் குவார்டிக் உடன் ஒப்பீட்டளவில், பிரிங் செக்ஸ்டிக் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது) என்பது ஒரே மாதிரியான சமன்பாடுகளால் வெட்டப்பட்ட வளைவு ஆகும், இது 1786 ஆம் ஆண்டில் லண்ட் பல்கலைக்கழகத்திற்கு சமர்ப்பிக்கப்பட்ட விளம்பரச் சுருக்கத்தில் இதேபோன்ற கட்டுமானத்தைப் படித்த எர்லேண்ட் சாமுவேல் பிரிங்கின் பெயரால் பெயரிடப்பட்டது. பிரிங் குவிண்டிக்கின் வேர்கள் xi பிரிங்கின் வளைவை திருப்திப்படுத்துகிறது என்பதை நினைவில் கொள்க வளைவின் தானியங்கி உருவம் குழு 120 வரிசையின் சமச்சீர் குழு S5 ஆகும், இது 5 ஆயத்தொகுதிகளின் வரிசைமாற்றங்களால் வழங்கப்படுகிறது. இது ஒரு பேரினம் 4 சிக்கலான வளைவின் மிகப்பெரிய தானியங்கி குழுவாகும். இந்த வளைவை 12 புள்ளிகளில் கிளைக்கப்பட்ட கோளத்தின் மூன்று மறைப்பாக உணர முடியும், மேலும் இது சிறிய ஸ்டெல்லேட்டட் டோடெகாஹெட்ரானுடன் தொடர்புடைய ரீமன் மேற்பரப்பாகும். இது பேரினம் 4 ஐக் கொண்டுள்ளது. சமச்சீர்களின் முழுக் குழுவும் (பிரதிபலிப்புகள் உட்பட) 240 வரிசையைக் கொண்ட நேரடி பெருக்கல் ஆகும். ஒரு ஹைபர்போலிக் ஐகோசகோனின் பக்கங்களை இணைப்பதன் மூலம் அடிப்படை களம் மற்றும் சிஸ்டோல் பிரிங் வளைவை ஒரு ரீமன் மேற்பரப்பாகப் பெறலாம் (அடிப்படை பலகோணத்தைப் பார்க்கவும்). அடையாள முறை அருகிலுள்ள வரைபடத்தில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. ஐகோசகோன் (பரப்பளவு, காஸ்-பானெட் தேற்றத்தால்) 240 (2,4,5) முக்கோணங்களால் முத்திரையிடப்படலாம். இந்த முக்கோணங்களில் ஒன்றை மற்றொரு முக்கோணத்திற்கு கொண்டு செல்லும் செயல்கள் மேற்பரப்பின் முழு தானியங்கி உருமாற்றங்களையும் (பிரதிபலிப்புகள் உட்பட) அளிக்கின்றன. பிரதிபலிப்புகளை தள்ளுபடி செய்தால், அறிமுகத்தில் குறிப்பிடப்பட்டுள்ள 120 தானியங்கி உருமாற்றங்களைப் பெறுகிறோம். 120 என்பது 252 க்கும் குறைவாக உள்ளது என்பதைக் கவனியுங்கள், இது ஹர்விட்ஸின் ஆட்டோமார்ஃபிஸம் தேற்றத்தால் ஒரு பேரினம் 4 மேற்பரப்புக்கு அனுமதிக்கப்பட்ட அதிகபட்ச எண்ணிக்கையிலான நோக்குநிலைகளைப் பாதுகாக்கிறது. எனவே, பிரிங்கின் மேற்பரப்பு ஒரு ஹர்விட்ஸ் மேற்பரப்பு அல்ல. இது 4ஆம் பேரினத்தின் ஹர்விட்ஸ் மேற்பரப்பு இல்லை என்பதையும் நமக்குச் சொல்கிறது. சமச்சீர்களின் முழுக் குழுவும் பின்வரும் விளக்கக்காட்சியைக் கொண்டுள்ளதுஃ அடையாளச் செயல் என்பது அடிப்படை பலகோணத்தின் மையத்தைச் சுற்றி வரிசை 5 இன் சுழற்சியாகும், இது 4 (2,4,5) முக்கோணங்கள் சந்திக்கும் உச்சியில் வரிசை 2 இன் சுழற்சியாகும். இந்த விளக்கக்காட்சியிலிருந்து, பிரிங் மேற்பரப்பின் சமச்சீர் குழுவின் நேரியல் பிரதிநிதித்துவக் கோட்பாட்டைப் பற்றிய தகவல்களை GAP ஐப் பயன்படுத்தி கணக்கிட முடியும். குறிப்பாக, குழுவில் நான்கு 1 பரிமாணம், நான்கு 4 பரிமாணம், நான்கு 5 பரிமாணம் மற்றும் இரண்டு 6 பரிமாண பகுக்கமுடியாத பிரதிநிதித்துவங்கள் உள்ளன, மேலும் நாம் எதிர்பார்த்தபடி உள்ளன. மேற்பரப்பின் சிஸ்டோல் நீளம் மற்றும் பெருக்கம் 20 ஐக் கொண்டுள்ளது, இது 240 (2,4,5) முக்கோணங்களில் பன்னிரண்டு இணைக்கப்பட்ட உயரங்களைக் கொண்ட அந்த நீளத்தின் புவியியல் வளையமாகும். இதேபோல் க்ளீன் குவார்டிக், பிரிங்கின் மேற்பரப்பு அதன் இடவியல் பிரிவில் (அதாவது, ஒரே இனத்தைக் கொண்ட மேற்பரப்புகள்) சிறிய ரீமன் மேற்பரப்புகளுக்கு இடையில் சிஸ்டோல் நீளத்தை அதிகரிக்காது. M4 இன் என்று குறிப்பிடப்படும் மேற்பரப்பால் சிஸ்டோல் அதிகபட்சமாக அதிகரிக்கப்படுகிறது. M4 இன் சிஸ்டோல் நீளம் மற்றும் பெருக்கம் 36 ஆகும். ஸ்பெக்ட்ரல் கோட்பாடு பிரிங்கின் மேற்பரப்பின் ஸ்பெக்ட்ரல் கோட்பாட்டைப் பற்றி அதிகம் அறியப்படவில்லை, இருப்பினும், இது இந்தத் துறையில் ஆர்வமாக இருக்கலாம். போல்சா மேற்பரப்பு மற்றும் க்ளீன் குவார்டிக் ஆகியவை முறையே 2 மற்றும் 3 இனங்களில் நிலையான எதிர்மறை வளைவின் சிறிய ரீமன் மேற்பரப்புகளில் மிகப்பெரிய சமச்சீர் குழுக்களைக் கொண்டுள்ளன, எனவே அவை லாப்லேஸ் நிறமாலையில் முதல் நேர்மறை ஐகென் மதிப்பை அதிகரிக்கின்றன என்று ஊகிக்கப்படுகிறது. இந்த கருதுகோளை ஆதரிக்க வலுவான எண் சான்றுகள் உள்ளன, குறிப்பாக போல்சா மேற்பரப்பைப் பொறுத்தவரை, கடுமையான ஆதாரத்தை வழங்குவது இன்னும் ஒரு திறந்த பிரச்சினையாகும். இந்த வடிவத்தைப் பின்பற்றி, பிரிங்கின் மேற்பரப்பு லாப்லாசியனின் முதல் நேர்மறையான ஐகென் மதிப்பை (அதன் இடவியல் வகுப்பில் உள்ள மேற்பரப்புகளில்) அதிகரிக்கிறது என்று ஒருவர் நியாயமான முறையில் ஊகிக்கலாம். மேலும் காண்க போல்சா மேற்பரப்பு க்ளீன் குவார்டிக் மேக்பீத் மேற்பரப்பு முதல் ஹர்விட்ஸ் மூன்று குறிப்புகள் இயற்கணித வளைவுகள்