Smooth scheme
இயற்கணித வடிவவியலில், ஒரு புலத்தின் மீது ஒரு மென்மையான திட்டம் என்பது எந்த புள்ளிக்கும் அருகிலுள்ள அஃபைன் இடத்தால் நன்கு தோராயமாக மதிப்பிடப்படும் ஒரு திட்டமாகும். மென்மை என்பது ஒற்றை புள்ளிகள் இல்லாத ஒரு திட்டத்தின் கருத்தை துல்லியமாக உருவாக்குவதற்கான ஒரு வழியாகும். ஒரு சிறப்பு வழக்கு ஒரு புலத்தின் மீது ஒரு மென்மையான வகை பற்றிய கருத்தாகும். இடவியலில் பன்மடங்கு இயற்கணித வடிவவியலில் மென்மையான திட்டங்கள் பங்கு வகிக்கின்றன. வரையறை முதலில், X என்பது ஒரு புலம் k மீது வரையறுக்கப்பட்ட வகையின் ஒரு இணைப்புத் திட்டமாக இருக்கட்டும். சமமாக, X என்பது இணைப்பு இடைவெளியில் ஒரு மூடிய மூழ்கலைக் கொண்டுள்ளது சில இயற்கை எண் n க்கு K க்கு மேல் ஒரு. பின்னர் X என்பது சில சமன்பாடுகளால் வரையறுக்கப்படும் மூடிய சப்ஷீம் ஆகும் g1 = 0,., gr = 0, இதில் ஒவ்வொரு giவும் பல்லுறுப்புக்கோவை வளையத்தில் உள்ளது k [x1,., xn]. X ஒவ்வொரு புள்ளியின் அருகிலும் குறைந்தபட்சம் m பரிமாணத்தைக் கொண்டிருந்தால், அஃபைன் திட்டமான X ஆனது k க்கு மேல் m பரிமாணத்தின் மென்மையானது, மேலும் வழித்தோன்றல்களின் மேட்ரிக்ஸ் (ஷ்ணுவ/ஷ்ணுவ xj) X இல் எல்லா இடங்களிலும் குறைந்தபட்சம் n−m தரவரிசையைக் கொண்டுள்ளது. (ஒவ்வொரு புள்ளியின் அருகிலும் m க்கு சமமான பரிமாணத்தை X கொண்டுள்ளது.) மென்மை என்பது X ஐ அஃபைன் இடத்தில் மூழ்கடிப்பதில் இருந்து சுயாதீனமாக உள்ளது. வழித்தோன்றல்களின் மேட்ரிக்ஸில் உள்ள நிபந்தனை என்னவென்றால், வழித்தோன்றல்களின் மேட்ரிக்ஸின் அனைத்து (n−m) × (n−m) மைனர்களும் பூஜ்ஜியமாக இருக்கும் X இன் மூடிய துணைக்குழு வெற்று தொகுப்பாகும். சமமாக, அனைத்து ஜி மற்றும் அந்த மைனர்களால் உருவாக்கப்படும் பல்லுறுப்புக்கோவை வளையத்தில் உள்ள ஐடியல் முழு பல்லுறுப்புக்கோவை வளையமாகும். வடிவியல் அடிப்படையில் பார்த்தால், X இல் p என்ற புள்ளியில் உள்ள வழித்தோன்றல்களின் அணி Fn → Fr என்ற நேரியல் வரைபடத்தைக் கொடுக்கிறது, இதில் F என்பது p இன் எஞ்சிய புலம். இந்த வரைபடத்தின் கர்னல் p இல் X இன் ஜாரிஸ்கி தொடுகோடு இடைவெளி என்று அழைக்கப்படுகிறது. X இன் மென்மை என்பது ஜாரிஸ்கி தொடுகோடு இடத்தின் பரிமாணம் ஒவ்வொரு புள்ளிக்கும் அருகிலுள்ள X இன் பரிமாணத்திற்கு சமம் என்பதாகும்; ஒரு ஒற்றை புள்ளியில், ஜாரிஸ்கி தொடுகோடு இடைவெளி பெரியதாக இருக்கும். மேலும் பொதுவாக, X இன் ஒவ்வொரு புள்ளியும் திறந்த சுற்றுப்புறத்தைக் கொண்டிருந்தால், ஒரு புலம் k க்கு மேல் ஒரு திட்டம் X என்பது k க்கு மேல் மென்மையானது, இது k க்கு மேல் சில பரிமாணங்களின் மென்மையான இணைப்பு திட்டமாகும். குறிப்பாக, k க்கு மேல் ஒரு மென்மையான திட்டம் உள்ளூரில் வரையறுக்கப்பட்ட வகையாகும். திட்டங்களின் மென்மையான உருவகம் பற்றிய பொதுவான கருத்து உள்ளது, இது தோராயமாக மென்மையான இழைகளுடன் கூடிய உருவகம் ஆகும். குறிப்பாக, எக்ஸ்-ஸ்பெக் கே என்ற உருவகம் மென்மையாக இருந்தால் மட்டுமே, ஒரு எக்ஸ் திட்டம் ஒரு புலம் கே மீது மென்மையாக இருக்கும். பண்புகள் ஒரு புலத்தின் மீது ஒரு மென்மையான திட்டம் வழக்கமான மற்றும் எனவே சாதாரணமானது. குறிப்பாக, ஒரு வயலின் மீது ஒரு மென்மையான திட்டம் குறைக்கப்படுகிறது. ஒரு புலம் k இல் உள்ள வகையை k க்கு மேல் வரையறுக்கப்பட்ட வகையின் ஒருங்கிணைந்த பிரிக்கப்பட்ட திட்டமாக வரையறுக்கவும். பின்னர் k க்கு மேல் வரையறுக்கப்பட்ட வகையின் எந்த மென்மையான பிரிக்கப்பட்ட திட்டமும் k க்கு மேல் மென்மையான வகைகளின் வரையறுக்கப்பட்ட வேறுபட்ட ஒன்றிணைப்பாகும். சிக்கலான எண்களின் மீது மென்மையான வகை X க்கு, X இன் சிக்கலான புள்ளிகளின் இடைவெளி X (C) ஒரு சிக்கலான பன்மடங்கு, கிளாசிக்கல் (யூக்ளிடியன்) இடவியலைப் பயன்படுத்துகிறது. இதேபோல், உண்மையான எண்களின் மீது ஒரு மென்மையான வகை X க்கு, உண்மையான புள்ளிகளின் இடைவெளி X (R) ஒரு உண்மையான பன்மடங்கு, ஒருவேளை காலியாக இருக்கலாம். ஒரு புலம் k மீது உள்ளூரில் வரையறுக்கப்பட்ட வகையைச் சேர்ந்த எந்தவொரு திட்டத்திற்கும், X இல் வேறுபாடுகளின் ஒத்திசைவான உறை ω1 உள்ளது. ஒவ்வொரு புள்ளிக்கும் அருகிலுள்ள X இன் பரிமாணத்திற்கு சமமான தரவரிசையின் திசையன் மூட்டையாக இருந்தால் மட்டுமே X திட்டம் k க்கு மேல் மென்மையாக இருக்கும். அவ்வாறான நிலையில், ω1 என்பது X இன் கோட்டான்ஜென்ட் மூட்டை என்று அழைக்கப்படுகிறது. k க்கு மேல் ஒரு மென்மையான திட்டத்தின் தொடுகோடு மூட்டை இரட்டை மூட்டை, TX = (ω1) * என வரையறுக்கப்படலாம். மென்மை என்பது ஒரு வடிவியல் பண்பு, அதாவது எந்தவொரு புலம் நீட்டிப்புக்கும் K இன் E க்கு, ஒரு திட்டம் X என்பது K க்கு மேல் மென்மையாக இருந்தால் மட்டுமே, XE: = X × ஸ்பெக் k ஸ்பெக் E திட்டம் E க்கு மேல் மென்மையாக இருந்தால் மட்டுமே. ஒரு சரியான புலம் k க்கு, ஒரு திட்டம் X என்பது k க்கு மேல் மென்மையாக இருக்கும், X என்பது k க்கு மேல் வரையறுக்கப்பட்ட வகையாக இருந்தால் மட்டுமே மற்றும் X வழக்கமானதாக இருந்தால். X இல் n க்கு மேல் k பரிமாணத்தில் மென்மையான திறந்த அடர்த்தியான துணைக்குழுவைக் கொண்டிருந்தால் பொதுவான மென்மை ஒரு திட்டம் X பொதுவாக n க்கு மேல் k பரிமாணத்தில் மென்மையானது என்று கூறப்படுகிறது. ஒரு சரியான புலத்தின் மீது உள்ள ஒவ்வொரு வகையும் (குறிப்பாக ஒரு இயற்கணித மூடிய புலம்) பொதுவாக மென்மையானது. எடுத்துக்காட்டுகள் அஃபைன் ஸ்பேஸ் மற்றும் ப்ரொஜெக்டிவ் ஸ்பேஸ் ஒரு புலம் k மீது மென்மையான திட்டங்களாகும். ப்ரொஜெக்டிவ் ஸ்பேஸ் Pn ஓவர் k இல் ஒரு மென்மையான ஹைப்பர்சர்ஃபேஸின் எடுத்துக்காட்டு ஃபெர்மாட் ஹைப்பர்சர்ஃபேஸ் x0d +. + xnd = 0, k இல் தலைகீழாக இருக்கும் எந்த நேர்மறை முழு எண் d க்கும். ஒரு புலம் k மீது ஒரு ஒற்றை (மென்மையானது அல்ல) திட்டத்திற்கு ஒரு எடுத்துக்காட்டு மூடிய சப்ஷீம் x2 = 0 ஆகும். ஒரு களம் k க்கு எதிரான 0 பரிமாண வகை X என்பது X = ஸ்பெக் E வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது, இதில் E என்பது k இன் வரையறுக்கப்பட்ட விரிவாக்க புலம். E என்பது k இன் பிரிக்கக்கூடிய நீட்டிப்பாக இருந்தால் மட்டுமே X வகை k க்கு மேல் மென்மையாக இருக்கும். எனவே, E என்பது k க்கு மேல் பிரிக்க முடியாவிட்டால், X ஒரு வழக்கமான திட்டமாகும், ஆனால் k க்கு மேல் மென்மையாக இருக்காது. எடுத்துக்காட்டாக, k என்பது ஒரு பகா எண்ணுக்கு Fp (t) விகிதமுறு செயல்பாடுகளின் புலமாக இருக்கட்டும், மேலும் E = Fp (t1/p) ஆக இருக்கட்டும். பின்னர் ஸ்பெக் E என்பது ஒரு வழக்கமான திட்டமாகும், ஆனால் k க்கு மேல் மென்மையாக இல்லை. ஷுபர்ட் வகைகள் பொதுவாக மென்மையாக இல்லை. குறிப்புகள் குறிப்புகள் டி. கைட்ஸ்கோரியின் தட்டையான தன்மை மற்றும் மென்மை பற்றிய குறிப்புகள் http://www.math.harvard.edu ~ கைட்ஸ்ஜிடி/ஸ்கீம்ஸ் _ 2009/பிஆர்/ஸ்மூத்மாப்ஸ். பி. டி. எஃப். மேலும் காண்க ஒரு இயற்கணித வகையின் பரிமாணம் திட்டக் கோட்பாட்டின் சொற்களஞ்சியம் மென்மையான நிறைவு