Campbell's theorem (probability)
நிகழ்தகவுக் கோட்பாடு மற்றும் புள்ளிவிவரங்களில், காம்ப்பெல் தேற்றம் அல்லது காம்ப்பெல்-ஹார்டி தேற்றம் என்பது ஒரு குறிப்பிட்ட சமன்பாடு அல்லது முடிவுகளின் தொகுப்பாகும், இது ஒரு புள்ளி செயல்முறையின் மீது தொகுக்கப்பட்ட ஒரு செயல்பாட்டின் எதிர்பார்ப்பு, புள்ளி செயல்முறையின் சராசரி அளவீட்டை உள்ளடக்கிய ஒரு ஒருங்கிணைப்புக்கு, இது கணக்கிட அனுமதிக்கிறது. இந்தக் கோட்பாட்டின் ஒரு பதிப்பு, காம்ப்பெல்லின் சூத்திரம் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது, இது ஒரு பொதுவான புள்ளி செயல்முறையின் மீது மேற்கூறிய தொகைக்கான ஒருங்கிணைந்த சமன்பாட்டைக் குறிக்கிறது, மேலும் இது ஒரு பாய்சான் புள்ளி செயல்முறை அல்ல. காம்ப்பெல்லின் சூத்திரத்தின் பதிப்புகளாகக் கருதப்படும் தருண அளவீடுகள் மற்றும் காரணி தருண அளவீடுகளை உள்ளடக்கிய சமன்பாடுகளும் உள்ளன. இந்த முடிவுகள் அனைத்தும் புள்ளி செயல்முறைகள் மற்றும் வரிசைக் கோட்பாட்டின் கோட்பாடு மற்றும் தொடர்புடைய புலங்கள் சீரற்ற வடிவியல், தொடர்ச்சியான ஊடுருவல் கோட்பாடு மற்றும் இடஞ்சார்ந்த புள்ளிவிவரங்கள் ஆகியவற்றில் ஒரு குறிப்பிட்ட முக்கியத்துவத்துடன் நிகழ்தகவு மற்றும் புள்ளிவிவரங்களில் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. காம்ப்பெல்லின் தேற்றம் என்ற பெயரில் மற்றொரு முடிவு குறிப்பாக பாய்சான் புள்ளி செயல்முறைக்கானது மற்றும் தருணங்களைக் கணக்கிடுவதற்கான ஒரு முறையையும், பாய்சான் புள்ளி செயல்முறையின் லாப்லேஸ் செயல்பாட்டையும் வழங்குகிறது. இரண்டு கோட்பாடுகளின் பெயரும் வெற்றிடக் குழாய்களில் ஷாட் சத்தம் என்றும் அழைக்கப்படும் தெர்மியோனிக் சத்தம் குறித்த நார்மன் ஆர். காம்ப்பெல்லின் படைப்புகளிலிருந்து உருவாகிறது, இது ஆல்பா துகள் கண்டறிதல் குறித்த எர்னஸ்ட் ரதர்ஃபோர்ட் மற்றும் ஹான்ஸ் கீகர் ஆகியோரின் பணிகளால் ஓரளவு ஈர்க்கப்பட்டது, அங்கு ஹாரி பேட்மேனின் வேறுபட்ட சமன்பாடுகளின் குடும்பத்திற்கு ஒரு தீர்வாக பாய்சன் புள்ளி செயல்முறை உருவானது. காம்ப்பெல்லின் படைப்பில், அவர் ஒரு பாய்சன் செயல்முறையின் சீரற்ற கூட்டுத்தொகையின் தருணங்கள் மற்றும் உருவாக்கும் செயல்பாடுகளை உண்மையான கோட்டில் முன்வைக்கிறார், ஆனால் முக்கிய கணித வாதம் ஜி. எச். ஹார்டியின் காரணமாக இருந்தது என்று குறிப்பிடுகிறார், இது சில நேரங்களில் காம்ப்பெல்-ஹார்டி தேற்றம் என்று அழைக்கப்படும் முடிவை ஊக்கப்படுத்தியுள்ளது. பின்னணி டி-பரிமாண யூக்ளிடியன் இடத்தில் வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு புள்ளி செயல்முறைக்கு, காம்ப்பெல்லின் தேற்றம் ஒரு உண்மையான மதிப்புள்ள செயல்பாட்டின் எதிர்பார்ப்புகளைக் கணக்கிட ஒரு வழியை வழங்குகிறது, அதில் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது மற்றும் சுருக்கமாகக் கூறப்பட்டுள்ளது, அதாவதுஃ எதிர்பார்ப்பு மற்றும் செட் குறியீட்டைக் குறிக்கிறது, இது ஒரு சீரற்ற தொகுப்பாகக் கருதப்படுகிறது (புள்ளி செயல்முறை குறியீட்டைப் பார்க்கவும்). ஒரு புள்ளி செயல்முறையைப் பொறுத்தவரை, காம்ப்பெல்லின் தேற்றம் மேற்கண்ட எதிர்பார்ப்பை தீவிர அளவீட்டுடன் தொடர்புபடுத்துகிறது. ஒரு போரெல் தொகுப்பு B ஐப் பொறுத்தவரை, அதன் தீவிர அளவீடு பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறதுஃ அளவீட்டு குறியீடு பயன்படுத்தப்படும் இடத்தில் இது ஒரு சீரற்ற எண்ணும் நடவடிக்கையாகக் கருதப்படுகிறது. தொகுப்பு B இல் அமைந்துள்ள புள்ளி செயல்முறையின் புள்ளிகளின் சராசரி எண்ணிக்கையாக அளவை விளக்கலாம். முதல் வரையறைஃ பொது புள்ளி செயல்முறை காம்ப்பெல்லின் தேற்றத்தின் ஒரு பதிப்பு தீவிர அளவீட்டுடன் கூடிய ஒரு பொதுவான (எளியதாக இருக்க வேண்டிய அவசியமில்லை) புள்ளி செயல்முறைக்கானதுஃ இது காம்ப்பெல்லின் சூத்திரம் அல்லது காம்ப்பெல்லின் தேற்றம் என்று அழைக்கப்படுகிறது, இது உண்மையான கோட்டின் வரம்புகளுடன் அளவிடக்கூடிய செயல்பாடுகளின் தொகைகளின் எதிர்பார்ப்புகளைக் கணக்கிடுவதற்கான ஒரு முறையை வழங்குகிறது. மேலும் குறிப்பாக, ஒரு புள்ளி செயல்முறைக்கும் அளவிடக்கூடிய செயல்பாட்டிற்கும், புள்ளி செயல்முறையின் கூட்டுத்தொகை சமன்பாட்டால் வழங்கப்படுகிறதுஃ சமன்பாட்டின் ஒரு பக்கம் வரையறுக்கப்பட்டிருந்தால், மறுபுறமும் அப்படித்தான். இந்த சமன்பாடு அடிப்படையில் ஃபுபினியின் தேற்றத்தின் ஒரு பயன்பாடாகும், மேலும் இது எளிய அல்லது அல்லாத பரந்த வகை புள்ளி செயல்முறைகளுக்கு பொருந்தும். ஒருங்கிணைந்த குறியீட்டைப் பொறுத்து, இந்த ஒருங்கிணைப்பை இவ்வாறு எழுதலாம்ஃ ஒரு புள்ளி செயல்முறையின் தீவிர அளவீடு அடர்த்தியைக் கொண்டிருந்தால், காம்ப்பெல்லின் சூத்திரம் பின்வருமாறு மாறும்ஃ நிலையான புள்ளி செயல்முறை நிலையான அடர்த்தியுடன் ஒரு நிலையான புள்ளி செயல்முறைக்கு, காம்ப்பெல்லின் தேற்றம் அல்லது சூத்திரம் ஒரு தொகுதி ஒருங்கிணைப்பாக குறைகிறதுஃ இந்த சமன்பாடு இயற்கையாகவே ஒரே மாதிரியான பாய்சான் புள்ளி செயல்முறைகளுக்கு பொருந்தும், இது ஒரு நிலையான சீரற்ற செயல்முறைக்கு ஒரு எடுத்துக்காட்டு. பயன்பாடுகள்ஃ பொது புள்ளி செயல்முறைகளுக்கான காம்ப்பெல்லின் சீரற்ற கூட்டுத்தொகை தேற்றம் புள்ளி செயல்பாட்டில் உள்ள அனைத்து புள்ளிகளுக்கும் சுருக்கமாக ஒரு புள்ளியின் (ஒரு புள்ளி செயல்முறையின்) செயல்பாட்டின் எதிர்பார்ப்பைக் கணக்கிடுவதற்கான ஒரு முறையை வழங்குகிறது. புள்ளி செயல்முறைகளின் மீது இந்த சீரற்ற தொகைகள் பல பகுதிகளில் பயன்பாடுகளைக் கொண்டுள்ளன, அங்கு அவை கணித மாதிரிகளாகப் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. ஷாட் சத்தம் காம்ப்பெல் முதலில் வால்வுகளில் உள்ள தெர்மியோனிக் சத்தத்தைப் புரிந்துகொள்வதன் மூலம் உந்தப்பட்ட சீரற்ற தொகைகளின் சிக்கலை ஆய்வு செய்தார், இது ஷாட்-சத்தம் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது. இதன் விளைவாக, புள்ளி செயல்முறைகளின் மீது சீரற்ற செயல்பாடுகளின் கூட்டுத்தொகையைப் பற்றிய ஆய்வு நிகழ்தகவில் ஷாட் சத்தம் என்றும், குறிப்பாக, புள்ளி செயல்முறை கோட்பாடு என்றும் அழைக்கப்படுகிறது. வயர்லெஸ் நெட்வொர்க்குகளில் குறுக்கீடு வயர்லெஸ் நெட்வொர்க் தகவல்தொடர்புகளில், ஒரு டிரான்ஸ்மிட்டர் ஒரு ரிசீவருக்கு ஒரு சமிக்ஞையை அனுப்ப முயற்சிக்கும்போது, நெட்வொர்க்கில் உள்ள மற்ற அனைத்து டிரான்ஸ்மிட்டர்களும் குறுக்கீடாகக் கருதப்படலாம், இது தகவல் கோட்பாட்டின் அடிப்படையில் தரவை அனுப்பும் திறனின் அடிப்படையில் பாரம்பரிய கம்பி தொலைத்தொடர்பு நெட்வொர்க்குகளில் சத்தம் செய்வது போன்ற ஒத்த சிக்கலை ஏற்படுத்துகிறது. குறுக்கிடும் டிரான்ஸ்மிட்டர்களின் நிலைப்பாடு சில புள்ளி செயல்முறையை உருவாக்குவதாகக் கருதப்பட்டால், ஷாட் சத்தத்தை அவற்றின் குறுக்கிடும் சமிக்ஞைகளின் கூட்டுத்தொகையை மாதிரியாகப் பயன்படுத்தலாம், இது வயர்லெஸ் நெட்வொர்க்குகளின் சீரற்ற வடிவியல் மாதிரிகளுக்கு வழிவகுத்தது. பொதுவான புள்ளி செயல்முறைகளுக்கு, காம்ப்பெல்லின் தேற்றத்தின் பிற பொதுவான பதிப்புகள் சீரற்ற கூட்டுத்தொகையின் தன்மை மற்றும் குறிப்பாக புள்ளி செயல்முறையின் மீது சுருக்கப்படும் செயல்பாட்டைப் பொறுத்து உள்ளன. பல புள்ளிகளின் செயல்பாடுகள் பாயிண்ட் செயல்முறையின் ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட புள்ளிகளின் செயல்பாடாக செயல்பாடு இருந்தால், பாயிண்ட் செயல்முறையின் மொமெண்ட் அளவீடுகள் அல்லது காரணி மொமெண்ட் அளவீடுகள் தேவைப்படுகின்றன, அவை சீரற்ற மாறிகளின் தருணங்கள் மற்றும் காரணி ஆகியவற்றுடன் ஒப்பிடப்படலாம். தேவையான அளவீட்டு வகை சீரற்ற தொகையில் புள்ளி செயல்முறையின் புள்ளிகள் தனித்துவமாக இருக்க வேண்டுமா அல்லது மீண்டும் நிகழலாமா என்பதைப் பொறுத்தது. புள்ளிகள் மீண்டும் செய்ய அனுமதிக்கப்படும்போது மீண்டும் மீண்டும் புள்ளிகள் தருணம் அளவீடுகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. புள்ளிகள் மீண்டும் மீண்டும் அனுமதிக்கப்படாதபோது தனித்துவமான புள்ளிகள் காரணி தருணம் அளவீடுகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன, எனவே புள்ளிகள் தனித்துவமானவை. புள்ளிகளின் செயல்பாடுகள் மற்றும் புள்ளி செயல்முறை பொது புள்ளி செயல்முறைகளுக்கு, காம்ப்பெல்லின் தேற்றம் புள்ளி செயல்முறையின் ஒரு புள்ளியின் செயல்பாடுகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு மட்டுமே. ஒரு புள்ளியின் செயல்பாடு மற்றும் முழு புள்ளி செயல்முறையின் கூட்டுத்தொகையைக் கணக்கிட, பின்னர் பனை கோட்பாடு அல்லது பனை கால்குலஸ் எனப்படும் நிகழ்தகவின் கிளையை அடிப்படையாகக் கொண்ட புள்ளி செயல்முறையின் பனை விநியோகத்தைப் பயன்படுத்தி பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட காம்ப்பெல்லின் கோட்பாடுகள் தேவைப்படுகின்றன. இரண்டாவது வரையறைஃ பாய்சன் புள்ளி செயல்முறை காம்ப்பெல்லின் தேற்றத்தின் மற்றொரு பதிப்பு, தீவிர அளவீட்டு மற்றும் அளவிடக்கூடிய செயல்பாட்டைக் கொண்ட ஒரு பாய்சன் புள்ளி செயல்முறைக்கு, சீரற்ற தொகை நிகழ்தகவு ஒன்றுடன் முற்றிலும் ஒன்றிணைகிறது, இந்த ஒருங்கிணைப்பு வரையறுக்கப்பட்டதாக இருந்தால் மட்டுமே, பின்னர் எந்தவொரு சிக்கலான மதிப்பிற்கும் சமன்பாடு வலது புறத்தில் உள்ள ஒருங்கிணைப்பு ஒன்றிணைந்தால், இது முற்றிலும் கற்பனையானது என்று தேற்றம் மேலும் வலியுறுத்துகிறது. மேலும், இந்த ஒருங்கிணைப்பு ஒன்றிணைந்தால், சீரற்ற தொகையின் மாறுபாட்டை எங்கே குறிக்கிறது. இந்த தேற்றத்திலிருந்து பாய்சான் புள்ளி செயல்முறைக்கான சில எதிர்பார்ப்பு முடிவுகள் பின்பற்றப்படுகின்றன, இதில் அதன் லாப்லேஸ் செயல்பாடு அடங்கும். பயன்பாடுஃ லாப்லேஸ் செயல்பாடு தீவிர அளவீட்டுடன் கூடிய பாய்சான் புள்ளி செயல்முறைக்கு, லாப்லேஸ் செயல்பாடு என்பது காம்ப்பெல்லின் தேற்றத்தின் மேற்கண்ட பதிப்பின் விளைவாகும், மேலும் இது பின்வருமாறு வழங்கப்படுகிறதுஃ இது ஒரே மாதிரியான நிகழ்வுக்குஃ குறிப்புகள் குறிப்புகள் நிகழ்தகவு கோட்பாடுகள்