Fréchet inequalities
நிகழ்தகவு தர்க்கத்தில், ஃப்ரெச்செட் ஏற்றத்தாழ்வுகள், பூல்-ஃப்ரெச்செட் ஏற்றத்தாழ்வுகள் என்றும் அழைக்கப்படுகின்றன, அவை ஜார்ஜ் பூலின் படைப்புகளில் மறைமுகமாக உள்ளன மற்றும் மௌரிஸ் ஃப்ரெச்செட்டால் வெளிப்படையாக பெறப்பட்டன, அவை தர்க்கரீதியான முன்மொழிவுகள் அல்லது நிகழ்வுகள் பற்றிய நிகழ்தகவுகளின் கலவையை நிர்வகிக்கின்றன, அவை பூலியன் வெளிப்பாடுகள் அல்லது இடர் மதிப்பீடுகள், பொறியியல் வடிவமைப்பு மற்றும் செயற்கை நுண்ணறிவு ஆகியவற்றில் பொதுவான தவறு அல்லது நிகழ்வு மரங்களைப் போல இணைப்புகள் (AND செயல்பாடுகள்) அல்லது இணைப்புகள் (OR செயல்பாடுகள்) ஆகியவற்றில் தர்க்கரீதியாக ஒன்றாக இணைக்கப்பட்டுள்ளன. இந்த ஏற்றத்தாழ்வுகள் சுதந்திரத்தை எடுத்துக் கொள்ளாமல் அல்லது உண்மையில், எந்தவொரு சார்பு அனுமானங்களையும் செய்யாமல் நிகழ்தகவுகளை உள்ளடக்கிய கணக்கீடுகளை எவ்வாறு பிணைப்பது என்பது பற்றிய விதிகளாக கருதப்படலாம். ஃப்ரெச்செட் ஏற்றத்தாழ்வுகள் பூல்-போன்ஃபெரோனி-ஃப்ரெச்செட் ஏற்றத்தாழ்வுகள் மற்றும் ஃப்ரெச்செட் எல்லைகளுடன் நெருக்கமாக தொடர்புடையவை. தர்க்கரீதியான முன்மொழிவுகள் அல்லது நிகழ்வுகள் என்றால், ஃப்ரெச்செட் ஏற்றத்தாழ்வுகள் ஒரு தர்க்கரீதியான இணைப்பின் நிகழ்தகவு () ஒரு தர்க்கரீதியான பிரிவின் நிகழ்தகவு (), இதில் பி () ஒரு நிகழ்வு அல்லது முன்மொழிவுக்கான நிகழ்தகவைக் குறிக்கிறது. இரண்டு நிகழ்வுகள் மட்டுமே இருந்தால், ஏ மற்றும் பி என்று சொல்லுங்கள், ஏற்றத்தாழ்வுகள் ஒரு தர்க்கரீதியான இணைப்பின் நிகழ்தகவுக்கு குறைகின்றன () ஒரு தர்க்கரீதியான பிரிவின் நிகழ்தகவு () ஏற்றத்தாழ்வுகள் தனிப்பட்ட நிகழ்வுகளின் நிகழ்தகவுகளைக் கருத்தில் கொண்டு இரண்டு வகையான கூட்டு நிகழ்வுகளின் நிகழ்தகவுகளை பிணைக்கின்றன. எடுத்துக்காட்டாக, A க்கு "நுரையீரல் புற்றுநோய் உள்ளது", மற்றும் B க்கு "மெசோதெலியோமா உள்ளது" என்றால், A & B க்கு "நுரையீரல் புற்றுநோய் மற்றும் மெசோதெலியோமா இரண்டும் உள்ளன", மற்றும் A. B க்கு "நுரையீரல் புற்றுநோய் அல்லது மெசோதெலியோமா அல்லது இரண்டு நோய்களும் உள்ளன", மேலும் ஏற்றத்தாழ்வுகள் இந்த நிகழ்வுகளின் அபாயங்களுடன் தொடர்புடையவை. தர்க்கரீதியான இணைப்புகள் AND, &, & மற்றும் வரைகலை AND-வாயில்கள் உட்பட பல்வேறு துறைகளில் பல்வேறு வழிகளில் குறிக்கப்படுகின்றன என்பதை நினைவில் கொள்க. தர்க்கரீதியான வேறுபாடுகள் இதேபோல் OR, |, ′, மற்றும் வரைகலை OR-வாயில்கள் உட்பட பல்வேறு வழிகளில் குறிக்கப்படுகின்றன. நிகழ்வுகள் தர்க்கரீதியான முன்மொழிவுகளை விட தொகுப்புகளாக எடுத்துக் கொள்ளப்பட்டால், ஃப்ரெசெட் ஏற்றத்தாழ்வுகளின் தொகுப்பு-கோட்பாட்டு பதிப்புகள் நிகழ்வுகளின் குறுக்குவெட்டின் நிகழ்தகவு நிகழ்வுகளின் சங்கமத்தின் நிகழ்தகவு எண் எடுத்துக்காட்டுகள் ஒரு நிகழ்வின் நிகழ்தகவு A என்பது P (A) = a = 0.7 ஆகவும், B நிகழ்வின் நிகழ்தகவு P (B) = b = 0.8 ஆகவும் இருந்தால், இணைப்பின் நிகழ்தகவு, அதாவது கூட்டு நிகழ்வு A & B, நிச்சயமாக இடைவெளியில் இருக்கும். விளிம்பு நிகழ்தகவுகள் மிகவும் சிறியதாக (அல்லது பெரியதாக) இருக்கும்போது, சுதந்திரத்தின் கீழ் ஒத்த முடிவுகளைப் பற்றி ஃப்ரெச்செட் இடைவெளிகள் வலுவாக சமச்சீரற்றவை. எடுத்துக்காட்டாக, P (A) = 0.000002 = மற்றும் P (B) = 0.000003 = என்று வைத்துக்கொள்வோம். பின்னர் ஃப்ரெச்செட் ஏற்றத்தாழ்வுகள் பி (ஏ & பி) இடைவெளியில் உள்ளது [0,], மற்றும் பி (ஏ. பி) இடைவெளியில் உள்ளது [,]. எவ்வாறாயினும், ஏ மற்றும் பி சுயாதீனமாக இருந்தால், ஏ & பி இன் நிகழ்தகவு ஒப்பீட்டளவில், ஃப்ரெசெட் இடைவெளியின் குறைந்த வரம்பிற்கு (பூஜ்ஜியத்திற்கு) மிக அருகில் உள்ளது. இதேபோல், A * B இன் நிகழ்தகவு, இது ஃப்ரெச்செட் இடைவெளியின் மேல் வரம்பிற்கு மிக அருகில் உள்ளது. நம்பகத்தன்மை கோட்பாட்டில் பெரும்பாலும் பயன்படுத்தப்படும் அரிய-நிகழ்வு தோராயத்தை இது நியாயப்படுத்துகிறது. சான்றுகள் ஆதாரங்கள் அடிப்படையானவை. பி (ஏ) + பி (பி) − பி (ஏ & பி) என்பதைக் குறிக்கும் பி (ஏ) + பி (பி) − பி (ஏ) = பி (ஏ & பி) என்பதை நினைவில் கொள்க. அனைத்து நிகழ்தகவுகளும் 1 ஐ விட பெரியவை அல்ல என்பதால், பி (ஏ) பி) ≤ 1 ஐ நாம் அறிவோம், இது பி (ஏ) + பி (பி) −1 ≤ பி (ஏ & பி) என்பதைக் குறிக்கிறது. அனைத்து நிகழ்தகவுகளும் நேர்மறையாக இருப்பதால், இதேபோல் 0 ≤ பி (ஏ & பி) என்று சொல்லலாம், எனவே அதிகபட்சம் (0, பி (ஏ) + பி (பி) −1) ≤ பி (ஏ & பி). இது இணைப்பின் கீழ் வரம்பை வழங்குகிறது. மேல் வரியைப் பெற, P (A & B) = P (A|B) P (B) = P (B|A) P (A) என்பதை நினைவில் கொள்ளுங்கள். ஏனெனில் P (A|B) ≤1 மற்றும் P (B|A) ≤1, நமக்கு P (A & B) ≤ P (A) மற்றும் P (A & B) ≤ P (B) தெரியும். எனவே, பி (ஏ & பி) ≤ நிமிடம் (பி (ஏ), பி (பி)), இது மேல் வரம்பாகும். ஏ மற்றும் பி நிகழ்வுகளுக்கு இடையிலான சில சார்புகளால் அவை உணரப்படுகின்றன என்பதைக் கவனிப்பதன் மூலம் இந்த எல்லைகளின் சிறந்த-சாத்தியமான தன்மை பின்பற்றப்படுகிறது. பிரிவினையின் ஒப்பீட்டு வரம்புகளும் இதேபோல் பெறப்படுகின்றன. விரிவாக்கங்கள் உள்ளீட்டு நிகழ்தகவுகள் இடைவெளி வரம்புகளாக இருக்கும்போது, ஃப்ரெசெட் சூத்திரங்கள் இன்னும் நிகழ்தகவு வரம்பு பகுப்பாய்வாக செயல்படுகின்றன. சிக்கலான இணைப்புகள் மற்றும் வேறுபாடுகளில் பல நிகழ்வுகளை உள்ளடக்கிய நிகழ்தகவு பூலியன் வெளிப்பாடுகளை மதிப்பிடுவதில் உள்ள சிக்கலை ஹைல்பெரின் கருத்தில் கொண்டார். செயற்கை நுண்ணறிவின் பல்வேறு பயன்பாடுகளில் உள்ள ஏற்றத்தாழ்வுகளைப் பயன்படுத்த சிலர் பரிந்துரைத்துள்ளனர், மேலும் நிகழ்வுகளுக்கிடையேயான சார்பு பற்றிய பல்வேறு அனுமானங்களைக் கணக்கிட விதிகளை விரிவுபடுத்தியுள்ளனர். ஏற்றத்தாழ்வுகளை மற்ற தர்க்கரீதியான செயல்பாடுகளுக்கும் பொதுமைப்படுத்தலாம், இதில் மோடஸ் போனன்கள் கூட அடங்கும். வாக்னர், சி. ஜி. (2004). மோடஸ் டோலென்ஸ் சாத்தியமானது. பிரிட்டிஷ் ஜர்னல் ஃபார் தி ஃபிலோசிபி ஆஃப் சயின்ஸ் 55:747-753. உள்ளீட்டு நிகழ்தகவுகள் நிகழ்தகவு விநியோகங்களால் வகைப்படுத்தப்படும்போது, உள்ளீடுகளுக்கு இடையிலான சார்பு பற்றிய அனுமானங்கள் இல்லாமல் தர்க்கரீதியான மற்றும் எண்கணித சுருள்களை பொதுமைப்படுத்தும் ஒத்த செயல்பாடுகளை ஃப்ரெசெட் bounds.Weisstein, எரிக் டபிள்யூ. ஃப்ரெசெட் வரம்புகளின் தொடர்புடைய கருத்தின் அடிப்படையில் வரையறுக்க முடியும். மேத் வேர்ல்ட்-ஒரு வொல்ப்ராம் வலை வளம். குவாண்டம் ஃப்ரெச்செட் வரம்புகள் பிரிக்கக்கூடிய குவாண்டம் அமைப்புகளின் விஷயத்தில் குவாண்டம் இயக்கவியலிலும் இதே போன்ற வரம்புகள் உள்ளன, மேலும் சிக்கியுள்ள நிலைகள் இந்த வரம்புகளை மீறுகின்றன. ஒரு கலப்பு குவாண்டம் அமைப்பைக் கவனியுங்கள். குறிப்பாக, A மற்றும் B என குறிக்கப்படும் இரண்டு வரையறுக்கப்பட்ட துணை அமைப்புகளால் உருவாக்கப்பட்ட ஒரு கலப்பு குவாண்டம் அமைப்பு AB இல் நாம் கவனம் செலுத்துகிறோம். துணை அமைப்பு A இன் அடர்த்தி மேட்ரிக்ஸ் நமக்குத் தெரியும் என்று வைத்துக்கொள்வோம், அதாவது, இது ஒரு ட்ரேஸ்-ஒன் பாசிட்டிவ் திட்டவட்டமான மேட்ரிக்ஸ் (பரிமாணத்தின் ஹெர்மிடியன் மேட்ரிக்ஸின் இடைவெளி), மற்றும் துணை அமைப்பு B இன் அடர்த்தி மேட்ரிக்ஸ் நாம் நினைப்பது போல் குறிக்கப்படுகிறது மற்றும் துணை அமைப்புகள் A மற்றும் B இன் விளிம்புகளாக. இந்த விளிம்புகளைப் பற்றிய அறிவிலிருந்து, மூட்டை பற்றி ஏதாவது ஊகிக்க விரும்புகிறோம் நாம் பிரிக்கக்கூடிய மூட்டுகளில் நம் கவனத்தை கட்டுப்படுத்துகிறோம். ஒரு கலப்பு அமைப்பில் ஒரு அடர்த்தி அணி இருந்தால் பிரிக்கக்கூடியது, அவை அந்தந்த துணை அமைப்புகளின் கலப்பு நிலைகளாக இருந்தால், இல்லையெனில் சிக்கலான நிலை என்று அழைக்கப்படுகிறது. பின்வரும் ஃப்ரெச்செட் போன்ற வரம்புகளில் பிரிக்கக்கூடிய அடர்த்தி மேட்ரிக்ஸ்களுக்குஃ ஏற்றத்தாழ்வுகள் மேட்ரிக்ஸ் ஏற்றத்தாழ்வுகள், டென்சர் தயாரிப்பு மற்றும் பரிமாணத்தின் அடையாள மேட்ரிக்ஸைக் குறிக்கிறது. கட்டமைப்பு ரீதியாக மேற்கண்ட ஏற்றத்தாழ்வுகள் தர்க்கரீதியான இணைப்புக்கான கிளாசிக்கல் ஃப்ரெச்செட் வரம்புகளின் ஒப்புமைகள் என்பது தெளிவாகிறது. மேட்ரிக்ஸ்கள் மற்றும் மூலைவிட்டமாக கட்டுப்படுத்தப்படும்போது, நாம் கிளாசிக்கல் ஃப்ரெச்செட் வரம்புகளைப் பெறுகிறோம் என்பதையும் கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும். மேல் வரம்பு குவாண்டம் மெக்கானிக்ஸில் அடர்த்தி மேட்ரிக்ஸ்களுக்கான குறைப்பு அளவுகோலாக அறியப்படுகிறது; இது முதலில் நிரூபிக்கப்பட்டு சுயாதீனமாக வடிவமைக்கப்பட்டது. கீழ் எல்லை பெறப்பட்டுள்ளது, இது இந்த எல்லைகளைப் பற்றிய பேய்சியன் விளக்கத்தை வழங்குகிறது. எண் எடுத்துக்காட்டுகள் மேட்ரிக்ஸ்கள் மற்றும் அனைத்தும் மூலைவிட்டமாக இருக்கும்போது, கிளாசிக்கல் ஃப்ரெச்செட் வரம்புகளைப் பெறுவதை நாம் கவனித்தோம். அதைக் காட்ட, முந்தைய எண் உதாரணத்தை மீண்டும் கருத்தில் கொள்ளுங்கள்ஃ பின்னர் நம்மிடம் உள்ளதுஃ இதன் பொருள்ஃ சிக்கலான நிலைகள் மேலே உள்ள ஃப்ரெச்செட் வரம்புகளை மீறுகின்றன என்பதை சுட்டிக்காட்டுவது மதிப்பு. உதாரணமாக, சிக்கலான அடர்த்தி மேட்ரிக்ஸைக் கவனியுங்கள் (இது பிரிக்க முடியாதது): இது விளிம்பு சிக்கலான நிலைகளைக் கொண்டிருப்பதால் பிரிக்க முடியாதது, இதன் விளைவாக வரும் மேட்ரிக்ஸ்கள் ஒரு எதிர்மறை ஐகென் மதிப்பைக் கொண்டிருப்பதால் அதை எளிதாக சரிபார்க்க முடியும். நிகழ்தகவு வரம்புகளை மீறுவதற்கான மற்றொரு எடுத்துக்காட்டு புகழ்பெற்ற பெல்லின் சமத்துவமின்மையால் வழங்கப்படுகிறதுஃ சிக்கிய நிலைகள் வலுவான கிளாசிக்கல் சார்பை விட வலுவான சீரற்ற சார்பின் ஒரு வடிவத்தை வெளிப்படுத்துகின்றனஃ உண்மையில் அவை ஃப்ரெச்செட் போன்ற வரம்புகளை மீறுகின்றன. மேலும் காண்க நிகழ்தகவு தர்க்க தர்க்க தர்க்க இணைவு ஃப்ரெசெட் பூலின் சமத்துவமின்மையை கட்டுப்படுத்துகிறது போன்ஃபெரோனி சமத்துவமின்மை நிகழ்தகவு வரம்புகள் பகுப்பாய்வு ஜோடி வாரியாக சுயாதீன நிகழ்வுகளின் சங்கத்தின் நிகழ்தகவு குறிப்புகள் ஆதாரங்களைக் கொண்ட கட்டுரைகள் நிகழ்தகவு சமத்துவமின்மை புள்ளிவிவர சமத்துவமின்மை நிகழ்தகவு வரம்புகள் பகுப்பாய்வு