Tate curve
கணிதத்தில், டேட் வளைவு என்பது முழு எண் குணகங்களுடன் முறையான சக்தி தொடரின் வளையத்தின் மீது வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு வளைவு ஆகும். q தலைகீழாக இருக்கும் திறந்த சப்ஷீமின் மீது, டேட் வளைவு ஒரு நீள்வட்ட வளைவாகும். டேட் வளைவை q க்கு 1 க்கும் குறைவான நெறிமுறை கொண்ட ஒரு முழுமையான புலத்தின் ஒரு உறுப்பு என்றும் வரையறுக்கலாம், இந்த விஷயத்தில் முறையான சக்தி தொடர் ஒன்றிணைகிறது. டேட் வளைவு 1959 ஆம் ஆண்டு கையெழுத்துப் பிரதியில் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது, முதலில் "ரேஷனல் பாயிண்ட்ஸ் ஆன் எலிப்டிக் கர்வ்ஸ் ஓவர் கம்ப்லீட் ஃபீல்ட்ஸ்" என்ற தலைப்பில்; பல ஆண்டுகளுக்குப் பிறகு அவர் தனது முடிவுகளை வெளியிடவில்லை, மேலும் அவரது படைப்புகள் முதன்முதலில் 1959 இல் தோன்றின. வரையறை டேட் வளைவு என்பது முறையான பவர் சீரிஸின் Z வளையத்தின் மீது உள்ள ப்ரொஜெக்டிவ் பிளேன் வளைவு ஆகும், இதில் முழு எண் குணகங்களுடன் பவர் சீரிஸ் இருக்கும் சமன்பாட்டின் மூலம் முழு எண் குணகங்கள் (ப்ரொஜெக்டிவ் பிளேனின் ஒரு அஃபைன் ஓபன் துணைக்குழுவில்) கொடுக்கப்படுகின்றன. ஒரு முழுமையான புலத்தின் மீது உள்ள டேட் வளைவு ஒரு முழுமையான மதிப்பு | | ஐப் பொறுத்தவரை புலம் k முழுமையானது என்றும், q என்பது |q | <1 உடன் புலம் k இன் பூஜ்ஜியமற்ற உறுப்பு என்றும் வைத்துக்கொள்வோம். பின்னர் மேலே உள்ள அனைத்து வரிசைகளும் ஒன்றிணைந்து, k மீது ஒரு நீள்வட்ட வளைவை வரையறுக்கின்றன. கூடுதலாக q பூஜ்ஜியமற்றதாக இருந்தால், k */qZ இலிருந்து இந்த நீள்வட்ட வளைவுக்கு குழுக்களின் ஒரு ஐசோமார்பிசம் உள்ளது, இது q இன் ஒரு சக்தி அல்ல, அங்கு q இன் சக்திகளை நீள்வட்ட வளைவின் முடிவிலியில் உள்ள புள்ளிக்கு எடுத்துக்கொள்வது. x (w) மற்றும் y (w) தொடர்கள் முறையான பவர் சீரிஸ் அல்ல. உள்ளுணர்வு எடுத்துக்காட்டு முழு புலத்தின் மீது உள்ள வளைவின் விஷயத்தில், காட்சிப்படுத்த எளிதான வழக்கு, ஒரு பெருக்க காலத்தால் உருவாக்கப்படும் தனித்துவமான துணைக்குழு எங்கே, அங்கு காலம். இது ஐசோமார்பிக் என்பதைக் கவனியுங்கள், கூட்டலின் கீழ் உள்ள சிக்கலான எண்கள் எங்கே உள்ளன. வழக்கமான நெறிமுறையுடன் புலம் C ஆக இருக்கும்போது டேட் வளைவு தார்மீக ரீதியாக ஒரு டோரஸுடன் ஏன் ஒத்திருக்கிறது என்பதைப் பார்க்க, ஏற்கனவே தனித்தனியாக காலமுறை உள்ளது; நீங்கள் மாற்றியமைக்கும் q இன் ஒருங்கிணைந்த சக்திகளால் மாற்றியமைக்கப்படுகிறது, இது ஒரு டோரஸ் ஆகும். வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், நம்மிடம் ஒரு அனுலஸ் உள்ளது, மேலும் உள் மற்றும் வெளிப்புற விளிம்புகளை பசை செய்கிறோம். ஆனால் வருடாந்திரம் ஒரு புள்ளியைக் கழித்தல் வட்டத்துடன் ஒத்திருக்காதுஃ வருடாந்திரம் என்பது q இன் இரண்டு தொடர்ச்சியான சக்திகளுக்கு இடையிலான சிக்கலான எண்களின் தொகுப்பாகும்; 1 மற்றும் q க்கு இடையில் அளவு கொண்ட அனைத்து சிக்கலான எண்களையும் சொல்லுங்கள். இது நமக்கு இரண்டு வட்டங்களைக் கொடுக்கிறது, அதாவது, ஒரு வருடாந்திரத்தின் உள் மற்றும் வெளிப்புற விளிம்புகள். இங்கே கொடுக்கப்பட்டுள்ள டோரஸின் உருவம், பொறிக்கப்பட்ட வட்டங்களின் ஒரு கொத்து, அவை தோற்றத்தை நெருங்கும்போது குறுகலாகவும் குறுகலாகவும் வருகின்றன. இது ஒரு தட்டையான தாள் காகிதத்தில் தொடங்கி வழக்கமான முறையிலிருந்து சற்று வித்தியாசமானது, மேலும் ஒரு சிலிண்டரை உருவாக்க பக்கங்களை ஒன்றாக இணைத்து, பின்னர் சிலிண்டரின் விளிம்புகளை ஒன்றாக இணைத்து ஒரு டோரஸை உருவாக்குகிறது. இது சற்று மிகைப்படுத்தப்பட்டுள்ளது. டேட் வளைவு உண்மையில் சி மீது ஒரு வளைவைக் காட்டிலும் முறையான சக்தி தொடர் வளையத்தின் மீது ஒரு வளைவு ஆகும். உள்ளுணர்வாக, இது ஒரு முறையான அளவுருவைப் பொறுத்து வளைவுகளின் குடும்பமாகும். அந்த முறையான அளவுரு பூஜ்ஜியமாக இருக்கும்போது அது ஒரு உறிஞ்சப்பட்ட டோரஸாக சீரழிகிறது, அது பூஜ்ஜியமற்றதாக இருக்கும்போது அது ஒரு டோரஸ் ஆகும்). பண்புகள் டேட் வளைவின் ஜே-மாறுபாடு q இல் ஒரு சக்தி தொடரால் கொடுக்கப்படுகிறது, இதில் முன்னணி சொல் q−1 ஆகும். ஒரு p-adic லோக்கல் ஃபீல்டில், எனவே, j ஒருங்கிணைந்ததல்ல மற்றும் டேட் வளைவு பெருக்க வகையின் அரை நிலை குறைப்பைக் கொண்டுள்ளது. மாறாக, ஒரு உள்ளூர் புலத்தின் மீது உள்ள ஒவ்வொரு செமிஸ்டபிள் நீள்வட்ட வளைவும் ஒரு டேட் வளைவுக்கு (இருபடி திருப்பம் வரை) ஐசோமார்பிக் ஆகும். குறிப்புகள் நீள்வட்ட வளைவுகள்