Hilbert–Mumford criterion
கணிதத்தில், டேவிட் ஹில்பர்ட் மற்றும் டேவிட் மம்ஃபோர்ட் ஆகியோரால் அறிமுகப்படுத்தப்பட்ட ஹில்பர்ட்-மம்ஃபோர்ட் அளவுகோல், ஒரு திசையன் இடத்தில் ஒரு குழு நடவடிக்கையின் அரை நிலை மற்றும் நிலையான புள்ளிகளை 1-அளவுரு துணைக்குழுக்களின் ஐகென் மதிப்புகளின் அடிப்படையில் வகைப்படுத்துகிறது. நிலைத்தன்மையின் வரையறை G ஒரு திசையன் இடைவெளி V இல் நேர்கோட்டில் செயல்படும் ஒரு குறைப்புக் குழுவாக இருக்கட்டும், V இன் பூஜ்ஜியமற்ற புள்ளி அதன் சுற்றுப்பாதையின் மூடுதலில் 0 இல்லை என்றால் அரை நிலையானது என்றும், இல்லையெனில் நிலையற்றது என்றும் அழைக்கப்படுகிறது; அதன் சுற்றுப்பாதை மூடப்பட்டு, அதன் நிலைப்படுத்துபவர் வரையறுக்கப்பட்டிருந்தால் நிலையானது. ஒரு நிலையான புள்ளி ஒரு ஃபோர்டியோரி அரை நிலையானது. ஒரு அரை நிலையான ஆனால் நிலையான புள்ளி கண்டிப்பாக அரை நிலையான என்று அழைக்கப்படுகிறது. G பெருக்கக் குழுவாக இருக்கும்போது, எ. கா. சிக்கலான அமைப்பில் சி *, செயல் ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாண பிரதிநிதித்துவத்திற்கு சமம். நாம் V ஐ ஒரு நேரடி தொகையாக சிதைக்கலாம், அங்கு ஒவ்வொரு கூறு Vi இல் செயல்பாடு வழங்கப்படுகிறது. முழு எண் i எடை என்று அழைக்கப்படுகிறது. பின்னர் ஒவ்வொரு புள்ளி x க்கும், பூஜ்ஜியமற்ற கூறுகளைக் கொண்ட எடைகளின் தொகுப்பைப் பார்க்கிறோம். அனைத்து எடைகளும் கண்டிப்பாக நேர்மறையாக இருந்தால், எனவே 0 என்பது x இன் சுற்றுப்பாதையின் மூடுதலில் உள்ளது, அதாவது. x நிலையற்றது; அனைத்து எடைகளும் எதிர்மறையாக இல்லாவிட்டால், 0 ஒரு எடையாக இருந்தால், 0 மட்டுமே ஒரே எடை, இந்த விஷயத்தில் x என்பது C * ஆல் உறுதிப்படுத்தப்படுகிறது; அல்லது 0 க்கு அருகில் சில நேர்மறை எடைகள் உள்ளன, பின்னர் வரம்பு x இன் எடை-0 கூறுக்கு சமம், இது x இன் சுற்றுப்பாதையில் இல்லை. எனவே இரண்டு நிகழ்வுகளும் ஒரு நிலையான புள்ளியின் வரையறையில் இரண்டு நிபந்தனைகளின் அந்தந்த தோல்வியுடன் சரியாக ஒத்திருக்கின்றன, அதாவது. x கண்டிப்பாக அரை நிலையானது என்பதை நாம் காட்டியுள்ளோம். ஹில்பர்ட்-மம்ஃபோர்ட் அளவுகோல் அடிப்படையில் பெருக்கக் குழு வழக்கு பொதுவான சூழ்நிலை என்று கூறுகிறது. துல்லியமாக, ஒரு திசையன் இடைவெளி V இல் நேர்கோட்டில் செயல்படும் ஒரு பொதுவான குறைப்புக் குழுவிற்கு, ஒரு புள்ளி x இன் நிலைத்தன்மையை G இன் 1-அளவுரு துணைக்குழுக்களின் ஆய்வின் மூலம் வகைப்படுத்தலாம், அவை அற்பமான உருவங்கள் அல்ல. தலைகீழ்க்கான எடைகள் துல்லியமாக மைனஸ் ஆகும் என்பதைக் கவனியுங்கள், எனவே அறிக்கைகளை சமச்சீராக மாற்றலாம். G இன் 1-அளவுரு துணைக்குழு இருந்தால் மட்டுமே ஒரு புள்ளி x நிலையற்றது, அதற்கு x நேர்மறை எடைகள் அல்லது எதிர்மறை எடைகளை மட்டுமே ஏற்றுக்கொள்கிறது; சமமாக, அத்தகைய 1-அளவுரு துணைக்குழு இல்லையென்றால் மட்டுமே x அரை நிலையானதாக இருக்கும், அதாவது. ஒவ்வொரு 1-அளவுரு துணைக்குழுவிற்கும் நேர்மறை அல்லாத மற்றும் எதிர்மறை அல்லாத எடைகள் இரண்டும் உள்ளன; G இன் 1-அளவுரு துணைக்குழு இருந்தால் மட்டுமே ஒரு புள்ளி x கண்டிப்பாக அரை நிலையானது, அதற்கு x 0 ஐ ஒரு எடையாக ஏற்றுக்கொள்கிறது, அனைத்து எடைகளும் எதிர்மறை அல்லாதவை (அல்லது நேர்மறை அல்லாதவை); G இன் 1-அளவுரு துணைக்குழு இல்லையென்றால் மட்டுமே ஒரு புள்ளி x நிலையானது, அதற்கு x எதிர்மறை அல்லாத எடைகள் அல்லது நேர்மறை அல்லாத எடைகளை மட்டுமே ஒப்புக்கொள்கிறது, அதாவது. ஒவ்வொரு 1-அளவுரு துணைக்குழுவிற்கும் நேர்மறை மற்றும் எதிர்மறை எடைகள் உள்ளன. எடுத்துக்காட்டுகள் மற்றும் பயன்பாடுகள் விமானத்தில் சி * இன் செயல்பாடு நிலையான எடுத்துக்காட்டு சி 2 விமானத்தில் சி * இன் செயல்பாடு என வரையறுக்கப்படுகிறது. x-திசையில் உள்ள எடை 1 மற்றும் y-திசையில் உள்ள எடை-1 என்பது தெளிவாகிறது. எனவே ஹில்பர்ட்-மம்ஃபோர்ட் அளவுகோலால், x-அச்சில் பூஜ்ஜியமற்ற புள்ளி 1 ஐ அதன் ஒரே எடை என்று ஒப்புக்கொள்கிறது, மேலும் y-அச்சில் பூஜ்ஜியமற்ற புள்ளி-1 ஐ அதன் ஒரே எடை என்று ஒப்புக்கொள்கிறது, எனவே அவை இரண்டும் நிலையற்றவை; விமானத்தில் உள்ள ஒரு பொதுவான புள்ளி 1 மற்றும்-1 இரண்டையும் எடைகளாக ஒப்புக்கொள்கிறது, எனவே அது நிலையானது. P1 இல் உள்ள புள்ளிகள் மாடுலி சிக்கல்களில் பல எடுத்துக்காட்டுகள் எழுகின்றன. எடுத்துக்காட்டாக, பகுத்தறிவு வளைவு P1 இல் n புள்ளிகளின் தொகுப்பைக் கவனியுங்கள் (இன்னும் துல்லியமாக, P1 இன் நீளம்-n துணை). பி 1, பி. எஸ். எல் (2, சி) இன் தானியங்கி உருவம் குழு, அத்தகைய தொகுப்புகளில் (சப்ஷீம்கள்) செயல்படுகிறது, மேலும் ஹில்பர்ட்-மம்ஃபோர்ட் அளவுகோல் இந்த நடவடிக்கையின் கீழ் ஸ்திரத்தன்மையை தீர்மானிக்க அனுமதிக்கிறது. இரண்டு மாறிகளில் ஒரு டிகிரி-n ஒரே மாதிரியான பல்லுறுப்புக்கோவையுடன் n புள்ளிகளின் தொகுப்பை அடையாளம் காண்பதன் மூலம் சிக்கலை நேரியல் செய்யலாம். எனவே அத்தகைய ஒரே மாதிரியான பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் திசையன் இடத்தில் SL (2, C) இன் செயல்பாட்டை நாம் கருதுகிறோம். 1-அளவுரு துணைக்குழுவைப் பொறுத்தவரை, x மற்றும் y ஆயத்தொகுதிகளை நாம் தேர்வு செய்யலாம், இதனால் P1 இல் உள்ள செயல் பின்வருமாறு கொடுக்கப்படுகிறது. எனவே பல்லுறுப்புக்கோவை நேர்மறை மற்றும் எதிர்மறை (ரெஸ்ப்) இரண்டையும் ஏற்றுக்கொள்கிறது. i> n/2 மற்றும் i <n/2 (ரெஸ்ப்) உடன் சொற்கள் இருந்தால் மட்டுமே நேர்மறை மற்றும் எதிர்மறை அல்லாத) எடைகள். i ≤ n/2 மற்றும் i ≤ n/2). குறிப்பாக x அல்லது y இன் பெருக்கம் <n/2 (ரெப்ஸ். ≤ n/2) ஆக இருக்க வேண்டும். அனைத்து 1-அளவுரு துணைக்குழுக்களிலும் நாம் மீண்டும் செய்தால், பி 1 இல் உள்ள அனைத்து புள்ளிகளுக்கும் ஒரே மாதிரியான பெருக்க நிபந்தனையைப் பெறலாம். ஹில்பர்ட்-மம்ஃபோர்ட் அளவுகோலால், பல்லுறுப்புக்கோவை (எனவே n புள்ளிகளின் தொகுப்பு) நிலையானது (ரெஸ்ப். அரை-நிலையான) எந்தப் புள்ளியிலும் அதன் பெருக்கம் <n/2 ஆக இருந்தால் மட்டுமே. ≤ n/2). விமானக் கனசதுரங்களின் நிலைத்தன்மையைத் தீர்மானிக்க ஒரே மாதிரியான பல்லுறுப்புக்கோவையைப் பயன்படுத்தி இதேபோன்ற பகுப்பாய்வு மேற்கொள்ளப்படலாம். ஹில்பர்ட்-மம்ஃபோர்ட் அளவுகோல் ஒரு தள கனசதுரம் மென்மையாக இருந்தால் மட்டுமே அது நிலையானது என்பதைக் காட்டுகிறது; அது மோசமான சாதாரண இரட்டை புள்ளிகளில் ஒருமைப்பாடுகளாக ஒப்புக் கொண்டால் மட்டுமே அது அரை நிலையானது; மோசமான ஒருமைப்பாடுகளைக் கொண்ட ஒரு கனசதுரம் (எ. கா. ஒரு கஸ்ப்) நிலையற்றது. மேலும் காண்க வடிவியல் மாறாத கோட்பாடு ஜிஐடி அளவு குறிப்புகள் மாறாத கோட்பாடு