Abstract cell complex
கணிதத்தில், ஒரு சுருக்க செல் காம்ப்ளக்ஸ் என்பது அலெக்ஸாண்ட்ரோவ் இடவியல் கொண்ட ஒரு சுருக்க தொகுப்பாகும், இதில் ஒவ்வொரு புள்ளிக்கும் பரிமாணம் எனப்படும் எதிர்மறை அல்லாத முழு எண் ஒதுக்கப்படுகிறது. "செல்கள்" என்று அழைக்கப்படும் அதன் புள்ளிகள், யூக்ளிடியன் மற்றும் சி. டபிள்யூ வளாகங்களில் உள்ளதைப் போல ஒரு ஹவுஸ்டோர்ஃப் இடத்தின் துணைக்குழுக்கள் அல்ல என்பதால் இந்த வளாகம் "சுருக்க" என்று அழைக்கப்படுகிறது. சுருக்க செல் வளாகங்கள் பட பகுப்பாய்வு மற்றும் கணினி கிராபிக்ஸ் ஆகியவற்றில் முக்கிய பங்கு வகிக்கின்றன. சுருக்க செல் வளாகங்களின் யோசனை (சுருக்க செல்லுலார் வளாகங்கள் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது) J உடன் தொடர்புடையது. பட்டியலிடுதல் (1862) மற்றும் ஈ. ஸ்டெய்னிட்ஸ் (1908). மேலும் ஏ. டபிள்யூ டக்கர் (1933), கே. ரீடெமிஸ்டர் (1938), பி. எஸ். அலெக்ஸாண்ட்ரோவ் (1956) மற்றும் ஆர். கிளெட் மற்றும் ஏ. ரோசன்ஃபீல்ட் (2004) ஆகியோர் சுருக்க செல் வளாகங்களை விவரித்துள்ளனர். E. ஸ்டெய்னிட்ஸ் ஒரு சுருக்க செல் வளாகத்தை வரையறுத்துள்ளார், அங்கு E என்பது ஒரு சுருக்க தொகுப்பு, B என்பது ஒரு சமச்சீரற்ற, நெகிழ்வான மற்றும் இடைநிலை பைனரி உறவு, இது E இன் உறுப்புகளுக்கிடையேயான எல்லை உறவு என்று அழைக்கப்படுகிறது மற்றும் மங்கலானது E இன் ஒவ்வொரு உறுப்புக்கும் எதிர்மறை அல்லாத முழு எண்ணை ஒதுக்கும் ஒரு செயல்பாடாகும். வி. கோவலேவ்ஸ்கி (1989) 3டி மற்றும் உயர் பரிமாணங்களுக்கான சுருக்க செல் வளாகங்களை விவரித்தார். பட பகுப்பாய்விற்கு ஏராளமான பயன்பாடுகளையும் அவர் பரிந்துரைத்தார். தனது புத்தகத்தில் (2008) அவர் உள்ளூரில் வரையறுக்கப்பட்ட இடவியல் இடைவெளிகளின் ஒரு கோட்பாட்டை பரிந்துரைத்துள்ளார், அவை சுருக்க செல் வளாகங்களின் பொதுமைப்படுத்தலாகும். இந்த புத்தகத்தில் மற்றவற்றுடன், அளவிலிருந்து சுயாதீனமான இடவியல் பந்துகள் மற்றும் கோளங்களின் புதிய வரையறைகள், ஒருங்கிணைந்த பன்மடங்கு பற்றிய புதிய வரையறை மற்றும் பட பகுப்பாய்விற்கு பயனுள்ள பல வழிமுறைகள் உள்ளன. அடிப்படை முடிவுகள் சுருக்க செல் வளாகங்களின் இடவியல் அதன் புள்ளிகள் அல்லது செல்களின் தொகுப்பில் ஒரு பகுதி வரிசையை அடிப்படையாகக் கொண்டது. இ. ஸ்டெய்னிட்ஸால் வரையறுக்கப்பட்ட சுருக்க செல் காம்ப்ளக்ஸ் பற்றிய கருத்து ஒரு சுருக்கமான எளிய காம்ப்ளக்ஸ் என்ற கருத்துடன் தொடர்புடையது, மேலும் இது ஒரு எளிய காம்ப்ளக்ஸிலிருந்து வேறுபடுகிறது, அதன் கூறுகள் எளிமையானவை அல்ல என்ற பண்பு மூலம் வேறுபடுகிறதுஃ ஒரு சுருக்க காம்ப்ளக்ஸின் ஒரு n-பரிமாண உறுப்பு n + 1 பூஜ்ஜிய பரிமாண பக்கங்களைக் கொண்டிருக்கக்கூடாது, மேலும் ஒரு செல்லின் பூஜ்ஜிய பரிமாண பக்கங்களின் தொகுப்பின் ஒவ்வொரு துணைக்குழுவும் ஒரு செல் அல்ல. இது முக்கியமானது, ஏனெனில் ஒரு சுருக்க செல் வளாகங்களின் கருத்தை படச் செயலாக்கத்தில் பயன்படுத்தப்படும் இரு பரிமாண மற்றும் முப்பரிமாண கட்டங்களுக்கு பயன்படுத்தலாம், இது எளிமையான வளாகங்களுக்கு பொருந்தாது. ஒரு எளிமைப்படுத்தப்படாத சிக்கலானது ஒரு பொதுமைப்படுத்தலாகும், இது செல் ஆயத்தொகுதிகளை அறிமுகப்படுத்துவதை சாத்தியமாக்குகிறதுஃ அத்தகைய "நேரியல்" ஒரு பரிமாண வளாகங்களின் கார்ட்டீசியன் தயாரிப்புகளாக இருக்கும் எளிமைப்படுத்தப்படாத வளாகங்கள் உள்ளன, அங்கு ஒவ்வொரு பூஜ்ஜிய பரிமாண உயிரணுவும், அவற்றில் இரண்டைத் தவிர, சரியாக இரண்டு ஒரு பரிமாண உயிரணுக்களைக் கட்டுப்படுத்துகிறது. அத்தகைய கார்ட்டீசியன் வளாகங்கள் மட்டுமே ஒவ்வொரு உயிரணுவும் ஒரு ஆயத்தொகுப்புகளின் தொகுப்பைக் கொண்டிருப்பதற்கும், எந்த இரண்டு வெவ்வேறு உயிரணுக்களும் வெவ்வேறு ஆயத்தொகுப்பு தொகுப்புகளைக் கொண்டிருப்பதற்கும் அத்தகைய ஆயத்தொகுப்புகளை அறிமுகப்படுத்துவதை சாத்தியமாக்குகின்றன. ஒருங்கிணைப்பு தொகுப்பு வளாகத்தின் ஒவ்வொரு கலத்தின் பெயராகவும் செயல்பட முடியும், இது செயலாக்க வளாகங்களுக்கு முக்கியமானது. சுருக்க வளாகங்கள் டிஜிட்டல் பட செயலாக்கத்தின் அடிப்படையாக கட்டங்களில் கிளாசிக்கல் டோபோலஜியை (அலெக்ஸாண்ட்ரோவ்-டோபோலஜி) அறிமுகப்படுத்த அனுமதிக்கின்றன. இந்த சாத்தியம் சுருக்க செல் வளாகங்களின் பெரும் நன்மையை வரையறுக்கிறதுஃ இணைப்பு மற்றும் துணைக்குழுக்களின் எல்லை பற்றிய கருத்துக்களை சரியாக வரையறுக்க முடியும். செல்கள் மற்றும் வளாகங்களின் பரிமாணத்தின் வரையறை பொதுவாக எளிமையான வளாகங்களிலிருந்து வேறுபட்டது (கீழே காண்க). ஒரு சுருக்க செல் காம்ப்ளக்ஸ் பற்றிய கருத்து ஒரு சி. டபிள்யூ-காம்ப்ளக்ஸிலிருந்து அடிப்படையில் வேறுபடுகிறது, ஏனெனில் ஒரு சுருக்க செல் காம்ப்ளக்ஸ் ஹவுஸ்டோர்ஃப் இடம் அல்ல. கணினி அறிவியலின் பார்வையில் இது முக்கியமானது, ஏனெனில் ஒரு கணினியில் தனித்துவமற்ற ஹவுஸ்டோர்ஃப் இடத்தை வெளிப்படையாக பிரதிநிதித்துவப்படுத்துவது சாத்தியமில்லை. (அத்தகைய இடத்தில் உள்ள ஒவ்வொரு புள்ளியின் அருகிலும் எண்ணற்ற பல புள்ளிகள் இருக்க வேண்டும்). வி. கோவலேவ்ஸ்கியின் புத்தகத்தில் உள்ளூரில் வரையறுக்கப்பட்ட இடைவெளிகளின் கோட்பாட்டின் விளக்கம் உள்ளது, அவை சுருக்க செல் வளாகங்களின் பொதுமைப்படுத்தலாகும். உள்ளூரில் வரையறுக்கப்பட்ட இடைவெளி S என்பது S இன் ஒவ்வொரு புள்ளி P க்கும் S இன் துணைக்குழு வரையறுக்கப்படும் புள்ளிகளின் தொகுப்பாகும். வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணிக்கையிலான புள்ளிகளைக் கொண்ட இந்த துணைக்குழு P இன் மிகச்சிறிய சுற்றுப்புறம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. ஒரு பைனரி சுற்றுப்புற உறவு உள்ளூரில் வரையறுக்கப்பட்ட இடைவெளி S இன் புள்ளிகளின் தொகுப்பில் வரையறுக்கப்படுகிறதுஃ உறுப்பு (புள்ளி) b என்பது உறுப்பு a இன் மிகச்சிறிய சுற்றுப்புறத்தைச் சேர்ந்ததாக இருந்தால் உறுப்பு a உடன் அண்டை உறவில் உள்ளது. உள்ளூரில் வரையறுக்கப்பட்ட இடத்தின் புதிய கோட்பாடுகள் வகுக்கப்பட்டுள்ளன, மேலும் அக்கம்பக்க உறவு சமச்சீர் மற்றும் இடைநிலைக்கு எதிரானதாக இருந்தால் மட்டுமே S இடம் கோட்பாடுகளுக்கு ஏற்ப இருக்கும் என்பது நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது. அருகிலுள்ள உறவு என்பது தலைகீழ் எல்லை உறவின் பிரதிபலிப்பு மேலோடு ஆகும். இடவியலின் பாரம்பரிய கோட்பாடுகளை புதிய கோட்பாடுகளிலிருந்து கோட்பாடுகளாகக் கணிக்க முடியும் என்று காட்டப்பட்டது. எனவே, புதிய கோட்பாடுகளை திருப்திப்படுத்தும் ஒரு உள்ளூரில் வரையறுக்கப்பட்ட இடைவெளி ஒரு கிளாசிக்கல் இடவியல் இடத்தின் ஒரு குறிப்பிட்ட நிகழ்வாகும். இதன் இடவியல் ஒரு நிலை இடவியல் அல்லது அலெக்ஸாண்ட்ரோவ் இடவியல் ஆகும். ஒரு சுருக்க செல் காம்ப்ளக்ஸ் என்பது ஒவ்வொரு புள்ளிக்கும் பரிமாணம் வரையறுக்கப்படும் உள்ளூரில் வரையறுக்கப்பட்ட இடத்தின் ஒரு குறிப்பிட்ட வழக்கு ஆகும். ஒரு சுருக்க செல் வளாகத்தின் ஒரு செல் சி இன் பரிமாணம் வளாகத்தின் எந்த செல்லிலிருந்தும் செல்லுக்குச் செல்லும் அதிகபட்ச எல்லை பாதையின் நீளத்திற்கு (செல்களின் எண்ணிக்கை கழித்தல் 1) சமம் என்று நிரூபிக்கப்பட்டது. இந்த புத்தகத்தில் 2டி வளாகங்களில் டிஜிட்டல் நேரான பிரிவுகளின் கோட்பாடு, 2டி மற்றும் 3டியில் எல்லைகளைக் கண்டுபிடிப்பதற்கான ஏராளமான வழிமுறைகள், பொருளாதார ரீதியாக எல்லைகளை குறியாக்கம் செய்வதற்கும், அதன் எல்லையின் குறியீட்டிலிருந்து ஒரு துணைக்குழுவை சரியாக மறுகட்டமைப்பதற்கும் உள்ளன. சுருக்க செல் வளாகங்களைப் பயன்படுத்தி, தடமறிதல், குறியீடு மற்றும் எல்லைகளின் பலகோணமயமாக்கல் மற்றும் விளிம்பைக் கண்டறிவதற்கான திறமையான வழிமுறைகள், சுருக்க செல் காம்ப்ளக்ஸ் டிஜிட்டல் பட பிரதிநிதித்துவம் என்ற புத்தகத்தில் உருவாக்கப்பட்டு விவரிக்கப்பட்டுள்ளன. ஒரு டிஜிட்டல் படத்தை 2டி சுருக்க செல் காம்ப்ளக்ஸ் (ஏ. சி. சி) மூலம் அதன் ஏ. சி. சி பரிமாண கூறுகளாக சிதைப்பதன் மூலம் பிரதிநிதித்துவப்படுத்தலாம்ஃ புள்ளிகள் (0-செல்), விரிசல்கள்/விளிம்புகள் (1-செல்), மற்றும் பிக்சல்கள்/முகங்கள் (2-செல்). பட பிக்சல்களில் இருந்து பரிமாண கூறுகளுக்கு ஒருங்கிணைப்புகளை சந்தேகத்திற்கு இடமின்றி ஒதுக்குவதற்கான ஒருங்கிணைப்பு அசைன்மென்ட் விதியுடன் இந்த சிதைவு, கிராக் பௌண்டரி ட்ரேசிங், டிஜிட்டல் நேரான பிரிவு உட்பிரிவு போன்ற நேர்த்தியான வழிமுறைகளுடன் படத்தில் சில பட பகுப்பாய்வு செயல்பாடுகளை மேற்கொள்ள அனுமதிக்கிறது. அத்தகைய ஒரு விதி புள்ளிகள், விரிசல்கள் மற்றும் முகங்களை பிக்சலின் மேல் இடது ஒருங்கிணைப்புக்கு வரைபடமாக்குகிறது. இந்த பரிமாண கூறுகளுக்கு அவற்றின் சொந்த தரவு கட்டமைப்புகளில் வெளிப்படையான மொழிபெயர்ப்பு தேவையில்லை, ஆனால் மறைமுகமாக புரிந்து கொள்ளப்பட்டு டிஜிட்டல் படத்தின் வழக்கமான தரவு அமைப்பு பிரதிநிதித்துவமான 2D வரிசையுடன் தொடர்புடையதாக இருக்கலாம். இந்த ஒருங்கிணைப்பு அசைன்மென்ட் விதி மற்றும் இந்த படத்திற்கு ஒவ்வொரு செல் சம்பவத்தின் விளக்கங்களும் வலதுபுறத்தில் உள்ள படத்தில் சித்தரிக்கப்பட்டுள்ளன. மேலும் காண்கஃ எளிமையான சிக்கலான கியூபிக்கல் சிக்கலான குறிப்புகள் இடவியல்