Taylor's law
டெய்லரின் அதிகாரச் சட்டம் என்பது சூழலியலில் ஒரு அனுபவச் சட்டமாகும், இது வாழ்விடத்தின் ஒரு அலகு பகுதிக்கு ஒரு இனத்தின் தனிநபர்களின் எண்ணிக்கையின் மாறுபாட்டை ஒரு அதிகாரச் சட்ட உறவின் மூலம் தொடர்புடைய சராசரியுடன் தொடர்புபடுத்துகிறது. 1961 ஆம் ஆண்டில் முதன்முதலில் இதை முன்மொழிந்த சுற்றுச்சூழல் நிபுணர் லியோனல் ராய் டெய்லர் (1924-2007) என்பவரின் பெயரால் இது பெயரிடப்பட்டுள்ளது. இந்த உறவுக்கான டெய்லரின் அசல் பெயர் சராசரி விதி. டெய்லர் விதி என்ற பெயர் 1966 ஆம் ஆண்டில் சவுத்வூட் என்பவரால் உருவாக்கப்பட்டது. வரையறை இந்த சட்டம் முதலில் சுற்றுச்சூழல் அமைப்புகளுக்கு வரையறுக்கப்பட்டது, குறிப்பாக உயிரினங்களின் இடஞ்சார்ந்த தொகுப்பை மதிப்பிடுவதற்காக. சராசரி மற்றும் மாறுபாட்டுடன் கூடிய மக்கள்தொகை எண்ணிக்கையில், a மற்றும் b இரண்டும் நேர்மறை மாறிலிகளாக இருக்கும் இடத்தில் டெய்லரின் விதி எழுதப்படுகிறது. டெய்லர் 1961 ஆம் ஆண்டில் இந்த உறவை முன்மொழிந்தார், இது ஒரு இனத்தின் குறிப்பிட்ட திரட்டலின் குறியீடாக கருதப்பட வேண்டும் என்று பரிந்துரைத்தது. இந்த அதிகாரச் சட்டம் பின்னர் பல நூற்றுக்கணக்கான உயிரினங்களுக்கு உறுதிப்படுத்தப்பட்டுள்ளது. மக்கள்தொகை விநியோகங்களின் நேரத்தை சார்ந்த மாற்றங்களை மதிப்பிடுவதற்கும் டெய்லரின் சட்டம் பயன்படுத்தப்பட்டுள்ளது. பல சூழலியல் அல்லாத அமைப்புகளிலும் அதிகாரச் சட்டங்களைக் குறிக்கும் தொடர்புடைய மாறுபாடுகள் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளனஃ புற்றுநோய் மெட்டாஸ்டாசிஸ் என்பது ஜப்பானில் டோனாமி சமவெளியில் கட்டப்பட்ட வீடுகளின் எண்ணிக்கை. தட்டம்மை தொற்றுநோயியல் எச். ஐ. வி தொற்றுநோயியல், குழந்தைப் பருவ லுகேமியா இரத்த ஓட்ட பன்முகத்தன்மையின் புவியியல் தொகுப்பு மெர்டன்ஸ் செயல்பாட்டின் தொடர்ச்சியான மதிப்புகளுடன் எண் கோட்பாட்டில் ஒற்றை-நியூக்ளியோடைடு பாலிமார்பிசம் (எஸ்என்பி) மரபணு கட்டமைப்புகளின் மரபணு விநியோகங்கள் மற்றும் காஸியன் ஆர்த்தோகனல் மற்றும் சீரற்ற மேட்ரிக்ஸ் கோட்பாட்டின் யூனிட்டரி குழுக்களின் ஐகென் மதிப்பு விலகல்களிலிருந்து பகா எண்களின் விநியோகத்துடன் வரலாறு இரட்டை பதிவு-பதிவு சதித்திட்டத்தின் முதல் பயன்பாடு 1879 இல் ரெனால்ட்ஸ் வெப்ப காற்றியக்கவியலில் இருந்தது. ஒரு மக்கள்தொகையின் விகிதம் மற்றும் அவர்களின் வருமானத்தை ஆய்வு செய்ய பாரேட்டோ இதேபோன்ற ஒரு நிலத்தைப் பயன்படுத்தினார். மாறுபாடு என்ற சொல் 1918 ஆம் ஆண்டில் ஃபிஷரால் உருவாக்கப்பட்டது. 1921 ஆம் ஆண்டில் உயிரியல் பியர்சன் 1938 ஆம் ஆண்டில் பயிர் விளைச்சலைப் படிக்கும்போது ஸ்மித் சமன்பாட்டை (நெய்மனால் ஆய்வு செய்யப்பட்டது) முன்மொழிந்தார், டெய்லரின் ஒத்த உறவை முன்மொழிந்தார். இந்த உறவில் Vx என்பது x அலகுகளின் அடுக்குகளுக்கான விளைச்சலின் மாறுபாடு, V1 என்பது ஒரு அலகு பகுதிக்கு விளைச்சலின் மாறுபாடு மற்றும் x என்பது அடுக்குகளின் அளவு. சாய்வு (b) என்பது பன்முகத்தன்மையின் குறியீடாகும். இந்த உறவில் b இன் மதிப்பு 0 மற்றும் 1 க்கு இடையில் உள்ளது. விளைச்சல் மிகவும் தொடர்புபடுத்தப்பட்ட இடத்தில் b 0 க்கு முனைகிறது; அவை தொடர்புபடுத்தப்படாதபோது b 1 க்கு முனைகிறது. 1941 இல் பிளிஸ், 1941 இல் ஃப்ராக்கர் மற்றும் பிரிஸ்சில் மற்றும் 1961 இல் ஹேமான் & லோவ் ஆகியோரும் இப்போது டெய்லரின் சட்டம் என்று அழைக்கப்படுவதை விவரித்தனர், ஆனால் ஒற்றை இனங்களின் தரவுகளின் சூழலில். டெய்லரின் 1961 ஆம் ஆண்டு ஆய்வறிக்கை 1936 மற்றும் 1960 க்கு இடையில் வெளியிடப்பட்ட 24 ஆவணங்களிலிருந்து தரவைப் பயன்படுத்தியது, அவை பல்வேறு உயிரியல் அமைப்புகளைக் கருத்தில் கொண்டனஃ வைரஸ் புண்கள், மேக்ரோ-சூப்ப்லாங்க்டன், மண்ணில் புழுக்கள் மற்றும் சிம்பிலிட்கள், மண்ணில் பூச்சிகள், தாவரங்கள் மற்றும் காற்றில், இலைகளில் பூச்சிகள், கடலில் செம்மறி ஆடுகள் மற்றும் மீன்கள் மீது உண்ணி. b மதிப்பு 1 மற்றும் 3 க்கு இடையில் உள்ளது. இந்த இனங்களின் இடஞ்சார்ந்த விநியோகத்தின் பொதுவான அம்சமாக டெய்லர் அதிகாரச் சட்டத்தை முன்மொழிந்தார். இந்த சட்டத்தை விளக்க ஒரு இயந்திரவியல் கருதுகோளையும் அவர் முன்மொழிந்தார். விலங்குகளின் இடஞ்சார்ந்த விநியோகத்தை விளக்குவதற்கான ஆரம்ப முயற்சிகள் பார்ட்லெட்டின் சீரற்ற மக்கள் தொகை மாதிரிகள் மற்றும் பிறப்பு-இறப்பு செயல்முறைகளின் விளைவாக ஏற்படக்கூடிய எதிர்மறை இருமப் பரவல் போன்ற அணுகுமுறைகளை அடிப்படையாகக் கொண்டிருந்தன. டெய்லரின் விளக்கம் விலங்குகளின் சீரான இடம்பெயர்வு மற்றும் கூட்ட நடத்தை பற்றிய அனுமானத்தை அடிப்படையாகக் கொண்டது. அவரது கருதுகோள் ஆரம்பத்தில் தரமானதாக இருந்தது, ஆனால் அது உருவாகும்போது அது அரை அளவு ஆனது மற்றும் உருவகப்படுத்துதல்களால் ஆதரிக்கப்பட்டது. அதிகாரச் சட்டத்திற்கான பல மாற்று கருதுகோள்கள் முன்வைக்கப்பட்டுள்ளன. ஹான்ஸ்கி ஒரு சீரற்ற நடை மாதிரியை முன்மொழிந்தார், இது இனப்பெருக்கத்தின் பெருக்க விளைவால் மாற்றியமைக்கப்பட்டது. ஹான்ஸ்கியின் மாதிரி பவர் லா எக்ஸ்போனன்ட் 2 இன் மதிப்பைப் பற்றி நெருக்கமாக வரம்புக்குட்பட்டதாக இருக்கும் என்று கணித்துள்ளது, இது பல அறிக்கையிடப்பட்ட மதிப்புகளுடன் சீரற்றதாகத் தோன்றியது. ஆண்டர்சன் மற்றும் பலர் ஒரு எளிய தற்செயலான பிறப்பு, இறப்பு, குடியேற்றம் மற்றும் இடம்பெயர்வு மாதிரியை உருவாக்கினர், இது இருபடி மாறுபாடு செயல்பாட்டை வழங்கியது. இந்த மாதிரிக்கு பதிலளிக்கும் விதமாக டெய்லர் அத்தகைய மார்கோவ் செயல்முறை பிரதி அவதானிப்புகளுக்கு இடையில் பவர் லா எக்ஸ்போனன்ட் கணிசமாக மாறுபடும் என்று கணிக்கும் என்றும், அத்தகைய மாறுபாடு காணப்படவில்லை என்றும் வாதிட்டார். கெம்ப் எதிர்மறை பைனாமியல், நெய்மன் வகை ஏ மற்றும் பொல்யா-எப்லி விநியோகங்களின் அடிப்படையில் பல தனித்துவமான சீரற்ற மாதிரிகளை மதிப்பாய்வு செய்தார், அவை அளவுருக்களின் பொருத்தமான சரிசெய்தல் மூலம் சக்தி சட்டத்தை குறிக்க ஒரு மாறுபாட்டை உருவாக்க முடியும். இருப்பினும், கெம்ப் தனது மாதிரிகளின் அளவுருக்களை இயந்திரவியல் அடிப்படையில் விளக்கவில்லை. டெய்லரின் சட்டத்திற்கான பிற ஒப்பீட்டளவில் சுருக்க மாதிரிகள் பின்பற்றப்பட்டன. டெய்லரின் விதி மற்றும் செயல்பாடுகளைக் குறிக்கும் பிற மாறுபாடுகளுக்கு இடையில் வேறுபடுத்துவதில் உண்மையான தரவுகளில் உள்ள சிரமம் மற்றும் நிலையான பின்னடைவு முறைகளின் தவறான தன்மை ஆகியவற்றின் அடிப்படையில் டெய்லரின் சட்டம் குறித்து புள்ளிவிவரக் கவலைகள் எழுப்பப்பட்டன. டெய்லரின் விதி நேரத் தொடர் தரவுகளுக்கு பயன்படுத்தப்பட்டுள்ளது, மேலும் பெர்ரி உருவகப்படுத்துதல்களைப் பயன்படுத்தி, குழப்பம் கோட்பாடு டெய்லரின் விதியை வழங்க முடியும் என்பதைக் காட்டினார். டெய்லரின் விதி தாவரங்கள் மற்றும் பாக்டீரியாக்களின் இடஞ்சார்ந்த விநியோகத்திற்கு பயன்படுத்தப்பட்டுள்ளது முன்பு குறிப்பிடப்பட்ட புகையிலை நெக்ரோசிஸ் வைரஸின் அவதானிப்புகளைப் பொறுத்தவரை, இந்த அவதானிப்புகள் டெய்லரின் விலங்கு நடத்தை மாதிரியுடன் ஒத்துப்போகவில்லை. ஆற்றல் செயல்பாட்டைக் குறிக்க ஒரு மாறுபாடு சுற்றுச்சூழல் அல்லாத அமைப்புகளுக்கு டெய்லரின் சட்டத்தின் கீழ் பயன்படுத்தப்பட்டது. அதிகாரச் சட்டத்தின் வெளிப்பாடுகளின் வரம்பிற்கான ஒரு பொதுவான விளக்கம், ட்வீடி விநியோகங்களின் அடிப்படையில் ஒரு கருதுகோள் முன்மொழியப்பட்டுள்ளது, இது மாறுபாட்டிற்கும் சராசரிக்கும் இடையிலான உள்ளார்ந்த சக்தி செயல்பாட்டு உறவை வெளிப்படுத்தும் நிகழ்தகவு மாதிரிகளின் குடும்பமாகும். அதிகாரச் சட்டத்திற்கான பல மாற்று கருதுகோள்கள் முன்மொழியப்பட்டுள்ளன. ஹான்ஸ்கி ஒரு சீரற்ற நடை மாதிரியை முன்மொழிந்தார், இது இனப்பெருக்கத்தின் பெருக்க விளைவால் மாற்றியமைக்கப்பட்டது. ஹான்ஸ்கியின் மாதிரி பவர் லா எக்ஸ்போனன்ட் 2 இன் மதிப்பைப் பற்றி நெருக்கமாக வரம்புக்குட்பட்டதாக இருக்கும் என்று கணித்துள்ளது, இது பல அறிக்கையிடப்பட்ட மதிப்புகளுடன் சீரற்றதாகத் தோன்றியது. ஆண்டர்சன் மற்றும் பலர் ஒரு எளிய தற்செயலான பிறப்பு, இறப்பு, குடியேற்றம் மற்றும் இடம்பெயர்வு மாதிரியை உருவாக்கினர், இது இருபடி மாறுபாடு செயல்பாட்டை வழங்கியது. லெவோன்டின் கோஹன் வளர்ச்சி மாதிரி. மற்றொரு முன்மொழியப்பட்ட விளக்கம். ஒரு சக்தி விதியின் அவதானிப்புகள் ஒரு இயந்திர செயல்முறையை விட அதிக கணித கலைப்பொருட்களை பிரதிபலிக்கும் வாய்ப்பு எழுப்பப்பட்டது. இருப்பினும், சுற்றுச்சூழல் மக்கள்தொகைக்கு பொருந்தும் டெய்லரின் சட்டத்தின் அடுக்குகளில் உள்ள மாறுபாட்டை புள்ளிவிவர அடிப்படையில் மட்டுமே விளக்கவோ அல்லது கணிக்கவோ முடியாது. வட கடல் மீன் சமூகத்திற்கான டெய்லரின் சட்ட அடுக்குகளுக்குள் உள்ள மாறுபாடு வெளிப்புற சூழலைப் பொறுத்து மாறுபடும் என்று ஆராய்ச்சி காட்டுகிறது, சுற்றுச்சூழல் செயல்முறைகள் குறைந்தபட்சம் ஓரளவு டெய்லரின் சட்டத்தின் வடிவத்தை தீர்மானிக்கின்றன. இயற்பியல் இலக்கியத்தில் டெய்லரின் விதி ஏற்ற இறக்க அளவீடு என்று குறிப்பிடப்படுகிறது. ஈஸ்லர் மற்றும் பலர், ஏற்ற இறக்க அளவீட்டிற்கான ஒரு பொதுவான விளக்கத்தைக் கண்டுபிடிப்பதற்கான மேலும் முயற்சியில், தாக்க சமத்துவமின்மை என்று அவர்கள் அழைத்த ஒரு செயல்முறையை முன்மொழிந்தனர், இதில் அடிக்கடி நிகழ்வுகள் பெரிய தாக்கங்களுடன் தொடர்புடையவை. எவ்வாறாயினும், ஐஸ்லர் கட்டுரையின் பிற்சேர்க்கை B இல், தாக்கத்தின் ஒத்திசைவற்ற தன்மைக்கான சமன்பாடுகள் ட்வீடி விநியோகங்களுடன் காணப்படும் அதே கணித உறவுகளை அளித்தன என்று ஆசிரியர்கள் குறிப்பிட்டனர். இயற்பியலாளர்களின் மற்றொரு குழுவான ஃப்ரான்சாக் மற்றும் ஃப்ரான்சாக், ஏற்ற இறக்க அளவீட்டிற்கான டெய்லரின் சக்தி விதியை சமநிலை மற்றும் சமநிலையற்ற புள்ளிவிவர இயற்பியல் கொள்கைகளிலிருந்து பெற்றனர். அவற்றின் வழித்தோன்றல் இலவச ஆற்றல் மற்றும் உயிரியல் உயிரினங்களின் தொகுப்பை ஏற்படுத்திய வெளிப்புற புலம் போன்ற இயற்பியல் அளவுகளின் அனுமானங்களை அடிப்படையாகக் கொண்டது. இருப்பினும், விலங்கு அல்லது தாவர திரட்டலுடனான உறவில் இந்த அனுமானிக்கப்பட்ட இயற்பியல் அளவுகளின் நேரடி சோதனை செயல்விளக்கம் இன்னும் அடையப்படவில்லை. அதன்பிறகு, ஃப்ரான்சாக் மற்றும் ஃப்ரான்சாக்கின் மாதிரியின் பகுப்பாய்வு வழங்கப்பட்டது, இது அவர்களின் சமன்பாடுகள் நேரடியாக ட்வீடி விநியோகங்களுக்கு வழிவகுப்பதாகக் காட்டியது, இது ஃப்ரான்சாக் மற்றும் ஃப்ரான்சாக் இந்த விநியோகங்களின் அதிகபட்ச என்ட்ரோபி வழித்தோன்றலை வழங்கியிருக்கலாம் என்று பரிந்துரைத்தது. கணித டெய்லரின் விதி கொடுக்கப்பட்ட உண்மையான எண்ணை மீறாத பகா எண்களுக்கு பொருந்தும் என்று காட்டப்பட்டுள்ளது. இந்த முடிவு முதல் 11 மில்லியன் பகா எண்களுக்கு பொருந்தும் என்று காட்டப்பட்டுள்ளது. ஹார்டி-லிட்டில்வுட் இரட்டை பகா எண்கள் அனுமானம் உண்மையாக இருந்தால், இந்த விதி இரட்டை பகா எண்களுக்கும் பொருந்தும். டெய்லர் தனது சுற்றுச்சூழல் அவதானிப்புகளை உறுதிப்படுத்திய நேரத்தில், பிரிட்டிஷ் புள்ளியியல் நிபுணரும் மருத்துவ இயற்பியலாளருமான எம். சி. கே ட்வீடி, இப்போது ட்வீடி விநியோகங்கள் என்று அழைக்கப்படும் நிகழ்தகவு மாதிரிகளின் குடும்பத்தை ஆராய்ந்தார். மேலே குறிப்பிட்டுள்ளபடி, இந்த விநியோகங்கள் அனைத்தும் டெய்லரின் விதிக்கு கணித ரீதியாக ஒத்த சக்தி விதியைக் குறிக்கும் ஒரு மாறுபாட்டால் வகைப்படுத்தப்படுகின்றன. சுற்றுச்சூழல் அவதானிப்புகளுக்கு மிகவும் பொருந்தக்கூடிய ட்வீடி விநியோகம் பாய்சான்-காமா கூட்டு விநியோகமாகும், இது காமா விநியோகத்துடன் N சுயாதீனமான மற்றும் ஒரே மாதிரியாக விநியோகிக்கப்பட்ட சீரற்ற மாறிகளின் கூட்டுத்தொகையைக் குறிக்கிறது, இதில் N என்பது பாய்சான் விநியோகத்திற்கு ஏற்ப விநியோகிக்கப்படும் சீரற்ற மாறி ஆகும். சேர்க்கை வடிவத்தில் அதன் ஒட்டுமொத்த உற்பத்தி செயல்பாடு (சிஜிஎஃப்): இங்கு κb (θ) என்பது ஒட்டுமொத்த செயல்பாடு, ட்வீட் எக்ஸ்போனன்ட் s என்பது உருவாக்கும் செயல்பாட்டு மாறி, மற்றும் θ மற்றும் λ முறையே நியமன மற்றும் குறியீட்டு அளவுருக்கள். இந்த கடைசி இரண்டு அளவுருக்கள் நிகழ்தகவு கோட்பாட்டில் பயன்படுத்தப்படும் அளவு மற்றும் வடிவ அளவுருக்களுக்கு ஒத்தவை. இந்த விநியோகத்தின் தொகுப்புகளை சிஜிஎஃப் இன் தொடர்ச்சியான வேறுபாடுகளால் தீர்மானிக்க முடியும், பின்னர் s = 0 ஐ விளைவு சமன்பாடுகளில் மாற்றலாம். முதல் மற்றும் இரண்டாவது குமுலேண்ட்கள் முறையே சராசரி மற்றும் மாறுபாடு ஆகும், இதனால் பாய்சான்-காமா சிஜிஎஃப் கலவை டெய்லரின் விதியை விகிதாசார மாறிலியுடன் வழங்குகிறது. டெய்லரின் விதி தொடர்பான ஆற்றல் விதிகளுக்கு மாறுபாட்டை நிரூபிக்கும் பல அமைப்புகள், பாய்சான்-காமா கலவை விநியோகத்திற்காக இதேபோல் சோதிக்கப்பட்டுள்ளன. ட்வீடி கருதுகோளுக்கான முக்கிய நியாயப்படுத்தல் ட்வீடி விநியோகங்களின் கணித ஒருங்கிணைப்பு பண்புகளுடன் உள்ளது. ட்வீட் ஒருங்கிணைப்பு தேற்றத்திற்கு ட்வீட் விநியோகங்கள் பரந்த அளவிலான புள்ளிவிவர செயல்முறைகளுக்கு ஒருங்கிணைப்பின் மையங்களாக செயல்பட வேண்டும். இந்த ஒருங்கிணைப்புக் கோட்பாட்டின் விளைவாக, பல சுயாதீனமான சிறிய தாவல்களின் கூட்டுத்தொகையை அடிப்படையாகக் கொண்ட செயல்முறைகள் டெய்லரின் விதியை வெளிப்படுத்தவும், ட்வீடி விநியோகத்திற்குக் கீழ்ப்படியவும் முனைகின்றன. ட்வீடி ஒருங்கிணைப்புக் கோட்பாட்டைப் போலவே, சுயாதீனமான மற்றும் ஒரே மாதிரியாக விநியோகிக்கப்பட்ட மாறிகளுக்கான ஒரு வரம்பு தேற்றம், தற்காலிக மக்கள்தொகை மாதிரிகள் அல்லது உருவகப்படுத்துதல் அல்லது தோராயத்தின் அடிப்படையில் முன்மொழியப்பட்ட மாதிரிகளுடன் தொடர்புடைய அடிப்படையாகக் கருதப்படலாம். இந்த கருதுகோள் சர்ச்சைக்குரியதாகவே உள்ளது; ட்வீடி கலவை பாய்சான் விநியோகம் மக்கள்தொகை மாறும் வழிமுறைகளுக்கு நேரடியாகப் பயன்படுத்தப்படலாம் என்ற உண்மை இருந்தபோதிலும், சுற்றுச்சூழல் நிபுணர்களிடையே மிகவும் வழக்கமான மக்கள்தொகை மாறும் அணுகுமுறைகள் விரும்பப்படுகின்றன. ட்வீட் கருதுகோளில் உள்ள ஒரு சிரமம் என்னவென்றால், b இன் மதிப்பு 0 மற்றும் 1 க்கு இடையில் இல்லை. b <1 இன் மதிப்புகள் அரிதானவை, ஆனால் அவை பதிவாகியுள்ளன. கணித சூத்திரம் குறியீடுகளில் si2 என்பது ith மாதிரியின் அடர்த்தியின் மாறுபாடு, mi என்பது ith மாதிரியின் சராசரி அடர்த்தி மற்றும் a மற்றும் b ஆகியவை மாறிலிகள். மடக்கை வடிவத்தில் அளவுகோல் மாறுபாட்டில் டெய்லரின் விதியில் உள்ள அடுக்கு அளவுகோல் மாறாததுஃ அளவீட்டு அலகு ஒரு நிலையான காரணியால் மாற்றப்பட்டால், அடுக்கு () மாறாமல் இருக்கும். இதைப் பார்க்க y = cx ஆக இருக்கட்டும். பின்னர் அசல் மாறி (x) இல் வெளிப்படுத்தப்பட்ட டெய்லரின் விதி மற்றும் மறுசீரமைக்கப்பட்ட மாறி (y) இல் இது எனவே, இன்னும் விகிதாசாரமாக உள்ளது (விகிதாசார மாறிலி மாறிவிட்டாலும்). அளவுகோல் மாறாத சராசரி மற்றும் மாறுபாட்டிற்கு இடையிலான ஒரே உறவு டெய்லரின் விதி என்று நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது. விரிவாக்கங்கள் மற்றும் சுத்திகரிப்புகள் சாய்வு b இன் மதிப்பீட்டில் ஒரு சுத்திகரிப்பு ரேனரால் முன்மொழியப்பட்டுள்ளது. பியர்சன் தருணம் தொடர்பு குணகம் மற்றும் இடையே எங்கே, மற்றும் மாதிரி மாறுபாடுகளின் விகிதம் மற்றும் மற்றும் பிழைகளின் விகிதம் ஆகும். சாதாரண குறைந்தபட்ச சதுர பின்னடைவு φ = φ என்று கருதுகிறது. இது b இன் மதிப்பை குறைத்து மதிப்பிடுகிறது, ஏனெனில் இரண்டின் மதிப்பீடுகளும் பிழைகளுக்கு உட்பட்டவை. பல மாதிரிகள் எடுக்கப்படும்போது டெய்லர் சட்டத்தின் நீட்டிப்பு ஃபெர்ரிஸ் மற்றும் பலர் முன்மொழிந்துள்ளனர், அங்கு s2 மற்றும் m முறையே மாறுபாடு மற்றும் சராசரி, b, c மற்றும் d மாறிலிகள் மற்றும் n என்பது எடுக்கப்பட்ட மாதிரிகளின் எண்ணிக்கை. இன்றுவரை, இந்த முன்மொழியப்பட்ட நீட்டிப்பு டெய்லரின் சட்டத்தின் அசல் பதிப்பைப் போலவே பொருந்தும் என்று சரிபார்க்கப்படவில்லை. சிறிய மாதிரிகள் சிறிய மாதிரிகளுக்கு இந்த சட்டத்தின் நீட்டிப்பு ஹான்ஸ்கியால் முன்மொழியப்பட்டுள்ளது. சிறிய மாதிரிகளுக்கு பாய்சான் மாறுபாடு (பி)-மாதிரி மாறுபாட்டிற்குக் காரணமான மாறுபாடு-குறிப்பிடத்தக்கதாக இருக்கலாம். S என்பது மொத்த மாறுபாடாகவும், V என்பது உயிரியல் (உண்மையான) மாறுபாடாகவும் இருக்கட்டும். பின்னர் டெய்லரின் சட்டத்தின் செல்லுபடியை எடுத்துக் கொண்டால், நம்மிடம் உள்ளது, ஏனெனில் பாய்சான் விநியோகத்தில் சராசரி மாறுபாட்டிற்கு சமம், நம்மிடம் உள்ளது இது பார்லெட்டின் அசல் ஆலோசனையை நெருக்கமாக ஒத்திருக்கிறது. மொழிபெயர்ப்பு சாய்வு மதிப்புகள் (ஆ) கணிசமாக> 1 என்பது உயிரினங்களின் ஒட்டுதலைக் குறிக்கிறது. பாய்சான்-விநியோகிக்கப்பட்ட தரவுகளில், b = 1. மக்கள்தொகை ஒரு லாக்னார்மல் அல்லது காமா பரவலைப் பின்பற்றினால், b = 2 ஆகும். நிலையான தனிநபர் சுற்றுச்சூழல் மாறுபாட்டை அனுபவிக்கும் மக்கள்தொகைக்கு, பதிவு (மாறுபாடு) மற்றும் பதிவு (சராசரி மிகுதி) ஆகியவற்றின் பின்னடைவு b = 2 உடன் ஒரு கோட்டைக் கொண்டிருக்க வேண்டும். ஆய்வு செய்யப்பட்ட பெரும்பாலான மக்கள்தொகையில் b <2 (பொதுவாக 1.5-1.6) உள்ளது, ஆனால் 2 இன் மதிப்புகள் பதிவாகியுள்ளன. எப்போதாவது பி> 2 உடன் வழக்குகள் பதிவாகியுள்ளன. 1 க்குக் கீழே உள்ள b மதிப்புகள் அசாதாரணமானவை, ஆனால் அவை பதிவாகியுள்ளன (b = 0.93). சட்டத்தின் எக்ஸ்போனன்ட் (பி) அடிப்படை விநியோகத்தின் வளைவுக்கு விகிதாசாரமாக இருப்பதாக பரிந்துரைக்கப்படுகிறது. இந்த முன்மொழிவு விமர்சித்துள்ளதுஃ கூடுதல் வேலை indicated.Random வளைந்த விநியோகங்களின் மாதிரி டெய்லரின் சட்டத்தை குறிக்க வேண்டிய அவசியமில்லை (2015) புரோக் நாடல் அகாட் அறிவியல் யு. எஸ். ஏ 112 (25) E3156 குறிப்புகள் இந்த பின்னடைவில் சாய்வு (பி) இன் தோற்றம் தெளிவாக இல்லை. இதை விளக்க இரண்டு கருதுகோள்கள் முன்மொழியப்பட்டுள்ளன. b என்பது இனங்களின் நடத்தையிலிருந்து எழுகிறது மற்றும் அந்த இனத்திற்கு ஒரு மாறிலி என்று ஒன்று கூறுகிறது. மாற்று இது மாதிரி மக்கள்தொகையைப் பொறுத்தது என்று கூறுகிறது. இந்த சட்டம் குறித்து கணிசமான எண்ணிக்கையிலான ஆய்வுகள் மேற்கொள்ளப்பட்ட போதிலும் (1000 க்கும் மேற்பட்டவை), இந்த கேள்வி திறந்த நிலையில் உள்ளது. வயது-குறிப்பிட்ட சிதறல், இறப்பு மற்றும் மாதிரி அலகு அளவு காரணமாக a மற்றும் b இரண்டும் மாற்றத்திற்கு உட்பட்டவை என்று அறியப்படுகிறது. மதிப்புகள் சிறியதாக இருந்தால் இந்த சட்டம் ஒரு மோசமான பொருத்தமாக இருக்கலாம். இந்த காரணத்திற்காக டெய்லர் விதிக்கு ஒரு நீட்டிப்பு ஹான்ஸ்கியால் முன்மொழியப்பட்டுள்ளது, இது குறைந்த அடர்த்திகளில் டெய்லர் விதியின் பொருத்தத்தை மேம்படுத்துகிறது. பைனரி தரவுகளின் கிளஸ்டர் மாதிரியின் விரிவாக்கம் கிளஸ்டர்களில் (எ. கா., குவாட்ராட்ஸ்) பைனரி தரவுகளுக்கு பொருந்தக்கூடிய டெய்லரின் சட்டத்தின் ஒரு வடிவம் முன்மொழியப்பட்டுள்ளது. ஒரு பைனாமியல் விநியோகத்தில், கோட்பாட்டு மாறுபாடு என்பது (வர்பின்) பைனாமியல் மாறுபாடு, n என்பது ஒரு கிளஸ்டருக்கு மாதிரி அளவு, மற்றும் p என்பது ஒரு பண்பு (நோய் போன்றவை) கொண்ட தனிநபர்களின் விகிதம், ஒரு தனிநபரின் நிகழ்தகவின் மதிப்பீடு அந்த பண்பு. பைனரி தரவுகளில் உள்ள ஒரு சிரமம் என்னவென்றால், சராசரி மற்றும் மாறுபாடு பொதுவாக ஒரு குறிப்பிட்ட உறவைக் கொண்டுள்ளனஃ பாதிக்கப்பட்ட நபர்களின் சராசரி விகிதம் 0.5 க்கு மேல் அதிகரிக்கும்போது, மாறுபாடு மறைகிறது. கவனிக்கப்பட்ட மாறுபாடு (வராப்ஸ்) (வர்பின்) இன் சக்தி செயல்பாடாக மாறுகிறது என்பது இப்போது அறியப்படுகிறது. விநியோகம் பாய்சன் என்றால், சராசரி மற்றும் மாறுபாடு சமமாக இருக்கும் என்று ஹியூஸ் மற்றும் மேடன் குறிப்பிட்டனர். பல கவனிக்கப்பட்ட விகிதாச்சார மாதிரிகளில் இது தெளிவாக இல்லை என்பதால், அதற்கு பதிலாக அவை ஒரு இருமப் பரவலைக் கருதின. அவர்கள் டெய்லர் சட்டத்தில் உள்ள சராசரியை பைனாமியல் மாறுபாட்டுடன் மாற்றி, பின்னர் இந்த கோட்பாட்டு மாறுபாட்டை கவனிக்கப்பட்ட மாறுபாட்டுடன் ஒப்பிட்டனர். பைனாமியல் தரவைப் பொறுத்தவரை, வரோப்கள் = அதிகப்படியான சிதறலுடன் வர்பின், வரோப்கள்> வர்பின் என்று அவர்கள் காட்டினர். குறியீடுகளில், ஹியூஸ் மற்றும் மேடன் ஆகியோர் டயலரின் சட்டத்திற்கு மாற்றியமைத்தது மடக்கை வடிவத்தில் இந்த உறவு இந்த பிந்தைய பதிப்பு பைனரி சக்தி சட்டம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. ஹியூஸ் மற்றும் மேடன் ஆகியோரால் பைனரி சக்தி சட்டத்தின் வழித்தோன்றலில் ஒரு முக்கிய படி பாட்டீல் மற்றும் ஸ்டிட்லர் ஆகியோரால் செய்யப்பட்ட அவதானிப்பாகும், ஒரு மாதிரியில் வரம்பற்ற எண்ணிக்கைகளின் அதிகப்படியான சிதறலை மதிப்பிடுவதற்கு பயன்படுத்தப்படும் மாறுபாடு-க்கு-பொருள் விகிதம் உண்மையில் இரண்டு மாறுபாடுகளின் விகிதமாகும்ஃ கவனிக்கப்பட்ட மாறுபாடு மற்றும் சீரற்ற விநியோகத்திற்கான கோட்பாட்டு மாறுபாடு. வரம்பற்ற எண்ணிக்கைகளுக்கு, சீரற்ற விநியோகம் பாய்சான் ஆகும். எனவே, மாதிரிகள் சேகரிப்புக்கான டெய்லர் சக்தி சட்டத்தை கவனிக்கப்பட்ட மாறுபாட்டிற்கும் பாய்சான் மாறுபாட்டிற்கும் இடையிலான உறவாகக் கருதலாம். இன்னும் பரவலாக, மேடன் மற்றும் ஹியூக்ஸ் அதிகாரச் சட்டத்தை இரண்டு மாறுபாடுகளுக்கு இடையிலான உறவு என்று கருதினர், கவனிக்கப்பட்ட மாறுபாடு மற்றும் சீரற்ற விநியோகத்திற்கான கோட்பாட்டு மாறுபாடு. பைனரி தரவுகளுடன், சீரற்ற விநியோகம் பைனாமியல் ஆகும் (பாய்சான் அல்ல). எனவே டெய்லர் பவர் லா மற்றும் பைனரி பவர் லா ஆகியவை பன்முகத்தன்மைக்கான பொதுவான பவர்-லா உறவுகளின் இரண்டு சிறப்பு நிகழ்வுகளாகும். a மற்றும் b இரண்டும் 1 க்கு சமமாக இருக்கும்போது, ஒரு சிறிய அளவிலான சீரற்ற இடஞ்சார்ந்த முறை பரிந்துரைக்கப்படுகிறது மற்றும் பைனாமியல் விநியோகத்தால் சிறப்பாக விவரிக்கப்படுகிறது. b = 1 மற்றும் a> 1 ஆக இருக்கும்போது, அதிகப்படியான சிதறல் (சிறிய அளவிலான திரட்டல்) உள்ளது. b> 1 ஆக இருக்கும்போது, திரட்டலின் அளவு p ஐப் பொறுத்து மாறுபடும். டூரெசெக் மற்றும் பலர் பைனரி சக்தி விதி தாவர நோயியலில் ஏராளமான தரவுத் தொகுப்புகளை விவரிக்கிறது என்பதைக் காட்டியுள்ளனர். பொதுவாக, b என்பது 1 ஐ விட பெரியதாகவும், 2 ஐ விடக் குறைவானதாகவும் இருக்கும். இந்த சட்டத்தின் பொருத்தம் உருவகப்படுத்துதல்கள் மூலம் சோதிக்கப்பட்டுள்ளது. தரவுத் தொகுப்பிற்கான ஒற்றை பின்னடைவு வரியைக் காட்டிலும், ஒரு பிரிவு பின்னடைவு உண்மையான சீரற்ற விநியோகங்களுக்கு ஒரு சிறந்த மாதிரியாக இருக்கலாம் என்று இந்த முடிவுகள் தெரிவிக்கின்றன. இருப்பினும், இந்த பிரிவினை மிகக் குறுகிய தூர சிதறல் தூரங்கள் மற்றும் பெரிய நாற்கர அளவுகளுக்கு மட்டுமே நிகழ்கிறது. கோட்டில் இடைவெளி 0 க்கு மிக அருகில் p இல் மட்டுமே நிகழ்கிறது. இந்தச் சட்டத்தின் விரிவாக்கம் முன்மொழியப்பட்டுள்ளது. இந்த சட்டத்தின் அசல் வடிவம் சமச்சீர் ஆனால் இது ஒரு சமச்சீரற்ற வடிவத்திற்கு நீட்டிக்கப்படலாம். உருவகப்படுத்துதல்களைப் பயன்படுத்தி, அண்டை நாடுகளின் நோய் நிலையின் நேர்மறையான தொடர்பு இருக்கும்போது சமச்சீர் வடிவம் தரவுகளுக்கு பொருந்துகிறது. அண்டை வீட்டுக்காரர்கள் பாதிக்கப்படுவதற்கான சாத்தியக்கூறுகளுக்கு இடையே எதிர்மறையான தொடர்பு இருக்கும்போது, சமச்சீரற்ற பதிப்பு தரவுகளுக்கு மிகவும் பொருத்தமானது. பயன்பாடுகள் உயிரியலில் டெய்லர் சட்டத்தின் எங்கும் நிகழும் நிகழ்வின் காரணமாக இது பல்வேறு பயன்பாடுகளைக் கண்டறிந்துள்ளது, அவற்றில் சில இங்கே பட்டியலிடப்பட்டுள்ளன. பயன்படுத்துவதற்கான பரிந்துரைகள் ஒரு தரவு மாதிரியில் டெய்லரின் சட்டத்தின் செல்லுபடியை சோதிக்கும் பயன்பாடுகளில் உள்ள உருவகப்படுத்துதல் ஆய்வுகளின் அடிப்படையில் இது பரிந்துரைக்கப்படுகிறதுஃ (1) ஆய்வு செய்யப்பட்ட உயிரினங்களின் மொத்த எண்ணிக்கை> 15 (2) ஆய்வு செய்யப்பட்ட உயிரினங்களின் குழுக்களின் குறைந்தபட்ச எண்ணிக்கை> 5 (3) உயிரினங்களின் அடர்த்தி குறைந்தபட்சம் 2 வரிசைகளால் மாறுபட வேண்டும். ஒரு மக்கள்தொகை சீரற்ற முறையில் விநியோகிக்கப்பட்டால், மக்கள்தொகையின் சராசரி (மீ) மற்றும் மாறுபாடு (எஸ் 2) சமமாக இருக்கும் மற்றும் குறைந்தபட்சம் ஒரு தனிநபர் (பி) கொண்ட மாதிரிகளின் விகிதம் ஒரு கிளம்ப்டு வடிவத்தைக் கொண்ட ஒரு இனத்தை சீரற்ற முறையில் சமமான ஒட்டுமொத்த அடர்த்திகளுடன் விநியோகிக்கப்படும் ஒரு இனத்துடன் ஒப்பிடும்போது, கிளம்ப்டு விநியோக முறையைக் கொண்ட இனங்களுக்கு பி குறைவாக இருக்கும். இதற்கு நேர்மாறாக, ஒரே மாதிரியான மற்றும் சீரற்ற முறையில் விநியோகிக்கப்பட்ட இனங்களை ஒப்பிடும்போது, ஆனால் சமமான ஒட்டுமொத்த அடர்த்திகளில், சீரற்ற முறையில் விநியோகிக்கப்பட்ட மக்கள்தொகைக்கு p அதிகமாக இருக்கும். இதை m க்கு எதிராக p ஐ வரைவதன் மூலம் வரைபடமாக சோதிக்கலாம். வில்சன் மற்றும் ரூம் டெய்லரின் விதியை உள்ளடக்கிய ஒரு இரும மாதிரி மாதிரியை உருவாக்கினர். அடிப்படை உறவு என்னவென்றால், பதிவு அடித்தளத்திற்கு கொண்டு செல்லப்படுகிறது e. டெய்லரின் விதியை இணைப்பதன் மூலம் இந்த உறவு சிதறல் அளவுரு மதிப்பீட்டாளராக மாறுகிறது எதிர்மறை பைனாமியல் விநியோகத்தின் பொதுவான சிதறல் அளவுரு (k) என்பது மாதிரி சராசரி மற்றும் மாறுபாடு ஆகும். 1/k என்பது> 0 என்றால் மக்கள் தொகை திரட்டப்பட்டதாகக் கருதப்படுகிறது; 1/k = 0 (s2 = m) மக்கள் தொகை தோராயமாக (பாய்சான்) விநியோகிக்கப்பட்டதாகக் கருதப்படுகிறது மற்றும் 1/k என்பது <0 என்றால் மக்கள் தொகை ஒரே மாதிரியாக விநியோகிக்கப்பட்டதாகக் கருதப்படுகிறது. k = 0 என்றால் விநியோகம் குறித்து எந்த கருத்தும் தெரிவிக்க முடியாது. வில்சன் மற்றும் ரூம் ஆகியோர் டெய்லரின் சட்டம் மக்கள்தொகைக்கு பொருந்தும் என்று கருதி k க்கு ஒரு மாற்று மதிப்பீட்டாளரைக் கொடுத்தனர்ஃ இதில் a மற்றும் b ஆகியவை டெய்லரின் சட்டத்திலிருந்து மாறிலிகள். வில்சன் மற்றும் ரூம் ஆகிய உறவுகளுடன் மேலே உள்ள k க்கான மதிப்பீட்டைப் பயன்படுத்தி ஜோன்ஸ் ஒரு மாதிரியைக் கண்டுபிடிப்பதற்கான நிகழ்தகவுக்காக உருவாக்கப்பட்டது, குறைந்தபட்சம் ஒரு தனிநபர் ஒரு மாதிரி அலகுக்கு x தனிநபர்களைக் கொண்ட ஒரு மாதிரியின் நிகழ்தகவுக்கான மதிப்பீட்டாளரைப் பெற்றார். ஜோன்ஸ் சூத்திரம் P (x) என்பது ஒரு மாதிரி அலகுக்கு x தனிநபர்களைக் கண்டுபிடிப்பதற்கான நிகழ்தகவு, k என்பது வில்லோன் மற்றும் ரூம் சமன்பாட்டிலிருந்து மதிப்பிடப்படுகிறது மற்றும் m என்பது மாதிரி சராசரி. பூஜ்ஜிய தனிநபர்களைக் கண்டுபிடிப்பதற்கான நிகழ்தகவு P (0) எதிர்மறை இருமப் பகிர்வுடன் மதிப்பிடப்பட்டுள்ளது ஜோன்ஸ் இந்த நிகழ்தகவுகளுக்கான நம்பிக்கை இடைவெளிகளையும் வழங்குகிறது. இங்கு CI என்பது நம்பிக்கை இடைவெளி, t என்பது t விநியோகத்திலிருந்து எடுக்கப்பட்ட முக்கியமான மதிப்பு மற்றும் N என்பது மொத்த மாதிரி அளவு. காட்ஸின் விநியோகங்களின் குடும்பம் 2 அளவுருக்களுடன் (டபிள்யூ1, டபிள்யூ2) விநியோகங்களின் குடும்பத்தை (காட்ஸின் குடும்பம்) முன்மொழிந்தது. இந்த விநியோகங்களின் குடும்பத்தில் பெர்னௌலி, வடிவியல், பாஸ்கல் மற்றும் பாய்சன் விநியோகங்கள் சிறப்பு நிகழ்வுகளாக அடங்கும். ஒரு காட்ஜ் பரவலின் சராசரி மற்றும் மாறுபாடு m என்பது சராசரி மற்றும் s2 என்பது மாதிரியின் மாறுபாடு ஆகும். ஒரு பாய்சன் விநியோகத்திற்கு w2 = 0 மற்றும் w1 = λ பொசன் விநியோகத்தின் அளவுருவாக இருக்கும் தருணங்களின் முறையால் அளவுருக்களை மதிப்பிடலாம். இந்த விநியோகக் குடும்பம் சில நேரங்களில் பஞ்சர் விநியோகக் குடும்பம் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது. கட்ஸ் குடும்பம் சன்ட்ட்-ஜூவல் குடும்ப விநியோகங்களுடன் தொடர்புடையதுஃ சன்ட்ட்-ஜூவல் குடும்பத்தின் ஒரே உறுப்பினர்கள் பாய்சான், இருமியல், எதிர்மறை இருமியல் (பாஸ்கல்), நீட்டிக்கப்பட்ட துண்டிக்கப்பட்ட எதிர்மறை இருமியல் மற்றும் மடக்கை தொடர் விநியோகங்கள் ஆகும். மக்கள் தொகை ஒரு காட்ஜ் விநியோகத்திற்குக் கீழ்ப்படிந்தால், டெய்லர் சட்டத்தின் குணகங்கள் காட்ஜ் ஒரு புள்ளிவிவர சோதனையையும் அறிமுகப்படுத்தியது, அங்கு Jn என்பது சோதனை புள்ளிவிவரம், s2 என்பது மாதிரியின் மாறுபாடு, m என்பது மாதிரியின் சராசரி மற்றும் n என்பது மாதிரி அளவு. Jn அறிகுறியற்ற முறையில் பொதுவாக பூஜ்ஜிய சராசரி மற்றும் அலகு மாறுபாட்டுடன் விநியோகிக்கப்படுகிறது. மாதிரி பாய்சான் விநியோகிக்கப்பட்ட Jn = 0 என்றால்; Jn <0 மற்றும்> 0 இன் மதிப்புகள் முறையே கீழ் மற்றும் மேல் சிதறலைக் குறிக்கின்றன. அதிகப்படியான சிதறல் பெரும்பாலும் மறைந்த பன்முகத்தன்மையால் ஏற்படுகிறது-மாதிரிகள் எடுக்கப்பட்ட மக்கள்தொகையில் பல துணை மக்கள் தொகை இருப்பது. இந்த புள்ளிவிவரம் நெய்மன்-ஸ்காட் புள்ளிவிவரத்துடன் தொடர்புடையது, இது அறிகுறியற்ற இயல்பானது என்று அறியப்படுகிறது மற்றும் நிபந்தனை சி-ஸ்கொயர் புள்ளிவிவரம் (பாய்சன் சிதறல் சோதனை) இது மக்கள் தொகை பாய்சன் விநியோகிக்கப்படும்போது n−1 டிகிரி சுதந்திரத்துடன் ஒரு அறிகுறியற்ற சி ஸ்கொயர் விநியோகத்தைக் கொண்டிருப்பதாக அறியப்படுகிறது. மக்கள் தொகை டெய்லரின் சட்டத்திற்குக் கீழ்ப்படிந்தால், அழிவுக்கான நேரம் டெய்லரின் சட்டம் பொருந்தும் என்று கருதப்பட்டால், உள்ளூர் அழிவுக்கான சராசரி நேரத்தை தீர்மானிக்க முடியும். இந்த மாதிரி சரியான நேரத்தில் ஒரு எளிய சீரற்ற நடை மற்றும் அடர்த்தி சார்ந்த மக்கள்தொகை கட்டுப்பாடு இல்லாதது என்று கருதுகிறது. Nt + 1 மற்றும் Nt ஆகியவை முறையே t + 1 மற்றும் t நேரத்தில் மக்கள்தொகை அளவுகள் மற்றும் r என்பது வருடாந்திர அதிகரிப்புக்கு (மக்கள்தொகையில் குறைவு) சமமான அளவுருவாக இருக்கட்டும். பின்னர் மாறுபாடு எங்கே? இனங்களின் மிகுதியின் அளவீடாக இருக்கட்டும் (ஒரு அலகு பகுதிக்கு உயிரினங்கள்). பின்னர் உள்ளூர் அழிவுக்கான சராசரி நேரம் டிஇ ஆகும். ஒரு மக்கள்தொகை இயல்பாக விநியோகிக்கப்பட்டிருந்தால், மக்கள்தொகை அளவு (எச்) இன் ஒத்திசைவான சராசரி எண்கணித சராசரி (எம்) உடன் தொடர்புடையது, மக்கள் தொகை தொடர எச்> 0 ஆக இருக்க வேண்டும், பின்னர் நம்மிடம் உள்ள மறுசீரமைப்பு என்பது இனங்கள் தொடர குறைந்தபட்ச மக்கள்தொகை அளவு ஆகும். ஒரு லாக்னார்மல் விநியோகத்தின் அனுமானம் 544 இனங்களின் மாதிரியில் பாதிக்கு பொருந்தும் என்று தோன்றுகிறது. இது குறைந்தபட்சம் ஒரு நம்பத்தகுந்த அனுமானம் என்று பரிந்துரைக்கிறது. மாதிரி அளவு மதிப்பீட்டாளர்கள் துல்லியத்தின் அளவு (டி) s/m என வரையறுக்கப்படுகிறது, இதில் s என்பது நிலையான விலகல் மற்றும் m என்பது சராசரி. துல்லியத்தின் அளவு மற்ற சூழல்களில் மாறுபாட்டின் குணகம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. சூழலியல் ஆராய்ச்சியில் டி 10-25% வரம்பில் இருக்க வேண்டும் என்று பரிந்துரைக்கப்படுகிறது. டெய்லரின் சட்டம் தரவுகளுக்கு பொருந்துமா என்பதை ஒரு புலனாய்வாளர் சோதிக்க விரும்பும் இடத்தில் தேவையான மாதிரி அளவை மதிப்பிடுவதில் துல்லியத்தின் விரும்பிய அளவு முக்கியமானது. தேவையான மாதிரி அளவு பல எளிய விநியோகங்களுக்கு மதிப்பிடப்பட்டுள்ளது, ஆனால் மக்கள்தொகை விநியோகம் அறியப்படாத அல்லது மிகவும் சிக்கலான சூத்திரங்களாக கருத முடியாத இடங்களில் தேவையான மாதிரி அளவை தீர்மானிக்க தேவைப்படலாம். மக்கள்தொகை பாய்சன் விநியோகிக்கப்பட்ட இடத்தில் மாதிரி அளவு (n) தேவைப்படுகிறது, அங்கு t என்பது சராசரி (m) கணக்கிடப்பட்ட சுதந்திரத்தின் அளவுகளுடன் வகை 1 பிழையின் t விநியோகத்தின் முக்கியமான நிலை. மக்கள்தொகை எதிர்மறை பைனாமியல் விநியோகமாக விநியோகிக்கப்பட்டால், தேவையான மாதிரி அளவு k என்பது எதிர்மறை பைனாமியல் விநியோகத்தின் அளவுருவாகும். டெய்லரின் சட்டத்திலிருந்து a மற்றும் b பெறப்பட்ட ஒரு பொதுவான மாதிரி அளவு மதிப்பீட்டாளரும் முன்மொழியப்பட்டுள்ளது. சவுத்வூடால் ஒரு மாற்று முன்மொழியப்பட்டுள்ளது, அங்கு n என்பது தேவையான மாதிரி அளவு, a மற்றும் b ஆகியவை டெய்லரின் சட்ட குணகங்கள் மற்றும் D என்பது துல்லியத்தின் விரும்பிய அளவு. கரண்டினோஸ் n க்கு இரண்டு ஒத்த மதிப்பீட்டாளர்களை முன்மொழிந்தார். முதல் டெய்லரின் சட்டத்தை இணைக்க ரூசிங்கால் மாற்றியமைக்கப்பட்டது. இங்கு d என்பது விரும்பிய நம்பிக்கை இடைவெளி (CI) மற்றும் சராசரி ஆகியவற்றின் விகிதமாகும். குறியீடுகளில் இரண்டாவது மதிப்பீட்டாளர் இருமியல் (இருப்பு-இல்லாதது) மாதிரியில் பயன்படுத்தப்படுகிறது. விரும்பிய மாதிரி அளவு (n) என்பது dp என்பது தனிநபர்களுடன் மாதிரி அலகுகளின் விகிதத்திற்கு விரும்பிய நம்பிக்கை இடைவெளியின் பாதி விகிதமாகும், p என்பது தனிநபர்களைக் கொண்ட மாதிரிகளின் விகிதம் மற்றும் q = 1 − p. குறியீடுகளில் பைனரி (இருப்பு/இல்லாதது) மாதிரிகளுக்கு, ஷுல்தெஸ் மற்றும் பலர் மாற்றியமைக்கப்பட்ட கரண்டினோஸ் சமன்பாடு, இதில் N என்பது தேவையான மாதிரி அளவு, p என்பது ஆர்வமுள்ள உயிரினங்களைக் கொண்ட அலகுகளின் விகிதம், t என்பது தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட முக்கியத்துவம் நிலை மற்றும் டிப் என்பது டெய்லரின் சட்டத்திலிருந்து பெறப்பட்ட அளவுரு ஆகும். வரிசை மாதிரி வரிசை பகுப்பாய்வு என்பது புள்ளிவிவர பகுப்பாய்வின் ஒரு முறையாகும், அங்கு மாதிரி அளவு முன்கூட்டியே நிர்ணயிக்கப்படவில்லை. அதற்கு பதிலாக முன் வரையறுக்கப்பட்ட நிறுத்த விதியின்படி மாதிரிகள் எடுக்கப்படுகின்றன. டெய்லரின் விதி பல நிறுத்தும் விதிகளைப் பெற பயன்படுத்தப்பட்டுள்ளது. டெய்லரின் விதியை சோதிக்க வரிசை மாதிரியில் நிலையான துல்லியத்திற்கான ஒரு சூத்திரம் 1970 இல் கிரீன் மூலம் பெறப்பட்டது. இதில் டி என்பது ஒட்டுமொத்த மாதிரி மொத்தம், டி என்பது துல்லியத்தின் நிலை, என் என்பது மாதிரி அளவு மற்றும் ஏ மற்றும் பி ஆகியவை டெய்லரின் விதியிலிருந்து பெறப்படுகின்றன. பூச்சிக் கட்டுப்பாட்டுக்கு உதவியாக வில்சன் மற்றும் பலர் ஒரு சோதனையை உருவாக்கினர், இது நடவடிக்கை எடுக்கப்பட வேண்டிய ஒரு நுழைவாயில் அளவை உள்ளடக்கியது. தேவையான மாதிரி அளவு என்னவென்றால், a மற்றும் b ஆகியவை டெய்லர் குணகங்கள், | | என்பது முழுமையான மதிப்பு, m என்பது மாதிரி சராசரி, T என்பது நுழைவாயில் நிலை மற்றும் t என்பது t விநியோகத்தின் முக்கியமான நிலை. டெய்லரின் விதியின் அடிப்படையில் தொடர்ச்சியான மாதிரியைக் கண்டுபிடிப்பதற்கான மற்றொரு மாதிரி சூத்திரத்தை பச்சை பெறுகிறது, இதில் டி என்பது துல்லியத்தின் அளவு, ஏ மற்றும் பி என்பது டெய்லரின் விதியின் குணகங்கள், என் என்பது மாதிரி அளவு மற்றும் டி என்பது மாதிரிகள் எடுக்கப்பட்ட மொத்த நபர்களின் எண்ணிக்கை. செர்ரா மற்றும் பலர் டெய்லரின் சட்டத்தின் அடிப்படையில் ஒரு நிறுத்தும் விதியை முன்மொழிந்துள்ளனர். a மற்றும் b ஆகியவை டெய்லர் விதியின் அளவுருக்கள், D என்பது துல்லியத்தின் விரும்பிய நிலை மற்றும் Tn என்பது மொத்த மாதிரி அளவு. செர்ரா மற்றும் பலர் இவோவாவின் பின்னடைவின் அடிப்படையில் இரண்டாவது நிறுத்த விதியை முன்மொழிந்தனர், அங்கு α மற்றும் β ஆகியவை பின்னடைவு கோட்டின் அளவுருக்கள், D என்பது துல்லியத்தின் விரும்பிய நிலை மற்றும் Tn என்பது மொத்த மாதிரி அளவு. மக்கள் தொகை இயக்கவியல் ஆய்வுகளுக்கு D ஐ 0.01 ஆகவும், பூச்சிக் கட்டுப்பாட்டுக்கு D = 0.25 ஆகவும் அமைக்க வேண்டும் என்று ஆசிரியர்கள் பரிந்துரைத்தனர். தொடர்புடைய பகுப்பாய்வுகள் குறைந்தபட்சம் ஒரு கூடுதல் திரட்டல் பகுப்பாய்வையாவது மதிப்பிடுவது நல்ல நடைமுறையாக கருதப்படுகிறது (டெய்லரின் சட்டத்தைத் தவிர) ஏனெனில் ஒரு குறியீட்டை மட்டுமே பயன்படுத்துவது தவறாக வழிநடத்தும். உயிரியல் மாதிரிகளில் உள்ள மாறுபாடு மற்றும் சராசரிக்கு இடையிலான உறவுகளைக் கண்டறிவதற்கான பல முறைகள் முன்மொழியப்பட்டிருந்தாலும், இன்றுவரை எதுவும் டெய்லரின் விதியின் பிரபலத்தை அடையவில்லை. டெய்லரின் சட்டத்துடன் இணைந்து பயன்படுத்தப்படும் மிகவும் பிரபலமான பகுப்பாய்வு அநேகமாக இவோவின் பேட்ச்னஸ் பின்னடைவு சோதனை ஆகும், ஆனால் இங்கே பட்டியலிடப்பட்டுள்ள அனைத்து முறைகளும் இலக்கியத்தில் பயன்படுத்தப்பட்டுள்ளன. 1936 இல் பார்லெட்-இவோ மாடல் பார்லெட் மற்றும் பின்னர் 1968 இல் இவோ சுதந்திரமாக வேறுபாடு மற்றும் சராசரிக்கு இடையே ஒரு மாற்று உறவை முன்மொழிந்தது. குறியீடுகளில் s என்பது ith மாதிரியில் உள்ள மாறுபாடு மற்றும் mi என்பது ith மாதிரியின் சராசரி ஆகும், மக்கள் தொகை எதிர்மறை இருமப் பரவலைப் பின்பற்றும்போது, a = 1 மற்றும் b = k (எதிர்மறை இருமப் பரவலின் அடுக்கு). இந்த மாற்று சூத்திரம் பெரும்பாலான ஆய்வுகளில் டெய்லரின் விதியைப் போல பொருத்தமாக இல்லை. நாச்மேன் மாதிரி நாச்மேன் சராசரி அடர்த்தி மற்றும் பூஜ்ஜிய எண்ணிக்கையுடன் கூடிய மாதிரிகளின் விகிதத்திற்கு இடையிலான உறவை முன்மொழிந்தார்ஃ இங்கு p0 என்பது பூஜ்ஜிய எண்ணிக்கையுடன் மாதிரியின் விகிதம், m என்பது சராசரி அடர்த்தி, a என்பது ஒரு அளவுகோல் அளவுரு மற்றும் b என்பது சிதறல் அளவுரு. a = b = 1 என்றால் விநியோகம் சீரற்றதாக இருக்கும். இந்த உறவு வழக்கமாக அதன் மடக்கை வடிவத்தில் சோதிக்கப்படுகிறது, ஆல்ஸோப் ஒரு மாதிரியில் பாதிக்கப்பட்ட அலகுகளின் விகிதத்திற்கான ஒரு வெளிப்பாட்டைப் பெற டெய்லரின் சட்டத்துடன் இந்த உறவைப் பயன்படுத்தினார், அங்கு D2 என்பது துல்லியத்தின் அளவு விரும்பப்படுகிறது, zα/2 என்பது இயல்பான விநியோகத்தின் மேல் α/2 ஆகும், a மற்றும் b ஆகியவை டெய்லரின் சட்ட குணகங்கள், c மற்றும் d என்பது நாச்மேன் குணகங்கள், n என்பது மாதிரி அளவு மற்றும் N என்பது பாதிக்கப்பட்ட அலகுகளின் எண்ணிக்கை. கோனோ-சுகினோ சமன்பாடு பைனரி மாதிரி சூழலியலில் வழக்கத்திற்கு மாறாக பயன்படுத்தப்படுவதில்லை. 1958 ஆம் ஆண்டில் கோனோ மற்றும் சுகினோ ஒரு சமன்பாட்டைப் பெற்றனர், இது தனிநபர்கள் இல்லாத மாதிரிகளின் விகிதத்தை மாதிரிகளின் சராசரி அடர்த்தியுடன் தொடர்புபடுத்துகிறது. p0 என்பது தனிநபர்கள் இல்லாத மாதிரியின் விகிதம், m என்பது சராசரி மாதிரி அடர்த்தி, a மற்றும் b ஆகியவை மாறிலிகள். டெய்லரின் சட்டத்தைப் போலவே இந்த சமன்பாடும் டெய்லரின் சட்டத்திற்குக் கீழ்ப்படிபவர்கள் உட்பட பல்வேறு வகையான மக்களுடன் பொருந்துவதாகக் கண்டறியப்பட்டுள்ளது. எதிர்மறை பைனாமியல் விநியோகத்தைப் போலல்லாமல் இந்த மாதிரி சராசரி அடர்த்தியிலிருந்து சுயாதீனமாக உள்ளது. இந்த சமன்பாட்டின் வழித்தோன்றல் நேரடியானது. வெற்று அலகுகளின் விகிதம் p0 ஆக இருக்கட்டும், இவை அதிவேகமாக விநியோகிக்கப்படுகின்றன என்று வைத்துக்கொள்வோம். பின்னர் இரண்டு முறை பதிவுகளை எடுத்து மறுசீரமைத்து, மேலே உள்ள சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம். இந்த மாடல் நாச்மேன் முன்மொழிந்ததைப் போன்றது. இந்த மாதிரியின் நன்மை என்னவென்றால், இதற்கு தனிநபர்களை எண்ண வேண்டிய அவசியமில்லை, மாறாக அவர்களின் இருப்பு அல்லது இல்லாமை. தனிநபர்களை எண்ணுவது பல சந்தர்ப்பங்களில் சாத்தியமில்லை, குறிப்பாக பூச்சிகள் ஆய்வுக்கு உட்பட்டவை. பாதிக்கப்பட்ட தொடர் அரிசி மலைகளின் P விகிதத்திற்கும், நோய்த்தொற்றின் சராசரி தீவிரத்திற்கும் இடையிலான உறவை ஆராயும் போது இந்த சமன்பாடு பெறப்பட்டது. இந்த மாதிரியின் அடிப்படையில் a மற்றும் b மாறிலிகள் பெறப்பட்டன மற்றும் P மற்றும் mU களின் மதிப்புகளுடன் தொடர்புடைய ஒரு அட்டவணை தயாரிக்கப்பட்டது இந்த சமன்பாட்டிலிருந்து m இன் கணிக்கப்பட்ட மதிப்பீடுகள் சார்புக்கு உட்பட்டவை, அதற்கு பதிலாக சரிசெய்யப்பட்ட சராசரி (மா) பயன்படுத்தப்பட வேண்டும் என்று பரிந்துரைக்கப்படுகிறது. சராசரி மதிப்பீடுகளுக்கு ஒரு மாற்று சரிசெய்தல் என்னவென்றால், எம்எஸ்இ என்பது பின்னடைவின் சராசரி சதுர பிழையாகும். கணக்கீட்டு (தொடர்ச்சியான) மாதிரிகளுக்கான நிறுத்தக் கோடுகளை மதிப்பிடுவதற்கும் இந்த மாதிரி பயன்படுத்தப்படலாம். மதிப்பிடப்பட்ட வழிமுறைகளின் மாறுபாடு என்னவென்றால், எம்எஸ்இ என்பது பின்னடைவின் சராசரி சதுர பிழை, α மற்றும் β முறையே பின்னடைவின் மாறிலி மற்றும் சாய்வு, sβ2 என்பது பின்னடைவின் சாய்வின் மாறுபாடு, N என்பது பின்னடைவில் உள்ள புள்ளிகளின் எண்ணிக்கை, n என்பது மாதிரி அலகுகளின் எண்ணிக்கை மற்றும் p என்பது பின்னடைவில் p0 இன் சராசரி மதிப்பு. a மற்றும் b அளவுருக்கள் டெய்லரின் சட்டத்திலிருந்து மதிப்பிடப்படுகின்றனஃ ஹியூஸ்-மேடன் சமன்பாடு ஹியூஸ் மற்றும் மேடன் ஆகியோர் கிளஸ்டரில் பைனரி அவதானிப்புகளுக்கு பொருந்தக்கூடிய ஒத்த உறவை சோதிக்க முன்மொழிந்துள்ளனர், அங்கு ஒவ்வொரு கிளஸ்டரிலும் 0 முதல் n தனிநபர்கள் உள்ளனர். a, b மற்றும் c ஆகியவை மாறிலிகள், வரோப்கள் என்பது கவனிக்கப்படும் மாறுபாடு, மற்றும் p என்பது ஒரு பண்பு (நோய் போன்றவை) கொண்ட தனிநபர்களின் விகிதம், இது ஒரு பண்பு கொண்ட ஒரு நபரின் நிகழ்தகவின் மதிப்பீடாகும். மடக்கை வடிவத்தில், இந்த உறவு பெரும்பாலான சந்தர்ப்பங்களில், b = c, ஒரு எளிய மாதிரிக்கு வழிவகுக்கிறது என்று கருதப்படுகிறது இந்த உறவு டெய்லரின் விதியை விட குறைவான விரிவான சோதனைக்கு உட்படுத்தப்பட்டுள்ளது. இருப்பினும், இது 100 க்கும் மேற்பட்ட தரவுத் தொகுப்புகளை துல்லியமாக விவரித்துள்ளது, மேலும் இது செயல்படவில்லை என்று தெரிவிக்கும் வெளியிடப்பட்ட எடுத்துக்காட்டுகள் எதுவும் இல்லை. இந்த சமன்பாட்டின் மாறுபாட்டை ஷியோமி மற்றும் பலர் முன்மொழிந்தனர். () பின்னடைவைச் சோதிக்க பரிந்துரைத்தவர், அங்கு வரோப்கள் மாறுபாடு, a மற்றும் b பின்னடைவின் மாறிலிகள், n இங்கே மாதிரி அளவு (ஒரு கிளஸ்டருக்கு மாதிரி அல்ல) மற்றும் p என்பது குறைந்தது ஒரு நபரைக் கொண்ட ஒரு மாதிரியின் நிகழ்தகவு. எதிர்மறை இருமியல் விநியோக மாதிரியும் ஒரு எதிர்மறை இருமியல் மாதிரியும் முன்மொழியப்பட்டுள்ளது. தருணங்களின் முறையைப் பயன்படுத்தும் சிதறல் அளவுரு (k) m2/(s2-m) மற்றும் பை என்பது எண்கள்> 0 கொண்ட மாதிரிகளின் விகிதமாகும். k இன் கணக்கீட்டில் பயன்படுத்தப்படும் s2 என்பது டெய்லரின் சட்டத்தால் கணிக்கப்பட்ட மதிப்புகள் ஆகும். பை 1− (k (k + m) −1) k க்கு எதிராக திட்டமிடப்பட்டுள்ளது மற்றும் தரவுகளின் பொருத்தம் பார்வைக்கு பரிசோதிக்கப்படுகிறது. பெர்ரி மற்றும் டெய்லர் ஆகியோர் டெய்லரின் சட்டத்தின் அடிப்படையில் k இன் மாற்று மதிப்பீட்டாளரை முன்மொழிந்துள்ளனர். சிதறல் அளவுருவின் சிறந்த மதிப்பீட்டை அதிகபட்ச சாத்தியக்கூறு முறையின் மூலம் செய்ய முடியும். எதிர்மறை பைனாமியலுக்கு இது சமன்பாட்டிலிருந்து மதிப்பிடப்படலாம், அங்கு Ax என்பது x க்கும் மேற்பட்ட தனிநபர்களைக் கொண்ட மொத்த மாதிரிகளின் எண்ணிக்கை, N என்பது தனிநபர்களின் மொத்த எண்ணிக்கை, x என்பது ஒரு மாதிரியில் உள்ள தனிநபர்களின் எண்ணிக்கை, m என்பது ஒரு மாதிரியின் தனிநபர்களின் சராசரி எண்ணிக்கை மற்றும் k என்பது அடுக்கு. k இன் மதிப்பு எண்ணியல் ரீதியாக மதிப்பிடப்பட வேண்டும். இந்த மாதிரியின் பொருத்தத்தின் நன்மையை சி சதுர சோதனையைப் பயன்படுத்துவது உட்பட பல வழிகளில் சோதிக்கலாம். இவை சிறிய மாதிரிகளால் பக்கச்சார்பானவை என்பதால் ஒரு மாற்று U புள்ளிவிவரமாகும்-எதிர்மறை இருமப் பரவலின் கீழ் எதிர்பார்க்கப்படும் மாறுபாட்டிற்கும் மாதிரியின் மாறுபாட்டிற்கும் இடையிலான வேறுபாடு. இந்த விநியோகத்தின் எதிர்பார்க்கப்படும் மாறுபாடு m + m2/k மற்றும் s2 என்பது மாதிரி மாறுபாடு, m என்பது மாதிரி சராசரி மற்றும் k என்பது எதிர்மறை இரும அளவுரு ஆகும். U இன் மாறுபாடு p = m/k, q = 1 + p, R = p/q மற்றும் N என்பது மாதிரியில் உள்ள தனிநபர்களின் மொத்த எண்ணிக்கை. U இன் எதிர்பார்க்கப்படும் மதிப்பு 0 ஆகும். பெரிய மாதிரி அளவுகளுக்கு U பொதுவாக விநியோகிக்கப்படுகிறது. குறிப்புஃ எதிர்மறை இருமியல் என்பது உண்மையில் a மற்றும் p மாறிலிகளாக இருக்கும் சராசரி மற்றும் மாறுபாட்டின் உறவின் மூலம் வரையறுக்கப்படும் விநியோகங்களின் குடும்பமாகும். a = 0 ஆக இருக்கும்போது இது பாய்சான் விநியோகத்தை வரையறுக்கிறது. பி = 1 மற்றும் பி = 2 உடன், விநியோகம் முறையே என். பி 1 மற்றும் என். பி 2 விநியோகம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. இந்த மாடல் பார்லெட்டால் முன்மொழியப்பட்ட ஒரு பதிப்பாகும். ஒரு பொதுவான சிதறல் அளவுருக்கான சோதனைகள் சிதறல் அளவுரு (k) என்பது m என்பது மாதிரி சராசரி மற்றும் s2 என்பது மாறுபாடு. k−1 என்பது> 0 ஆக இருந்தால், மக்கள் தொகை திரட்டப்பட்டதாகக் கருதப்படுகிறது; k−1 = 0 என்பது சீரற்றதாகக் கருதப்படுகிறது; k−1 என்பது <0 ஆக இருந்தால், மக்கள் தொகை ஒரே மாதிரியாக விநியோகிக்கப்பட்டதாகக் கருதப்படுகிறது. சவுத்வூட் ஒரு பொதுவான சிதறல் அளவுரு (கேசி) இருப்பதை சோதிக்க முறையே கி மற்றும் மை ஆகியவை சிதறல் அளவுருவாகவும், ஐத் மாதிரியின் சராசரியாகவும் இருக்கும் சராசரி மற்றும் மாறிலிக்கு எதிராக k ஐ பின்னோக்கி பரிந்துரைக்கிறார். ஒரு சாய்வு (b) மதிப்பு கணிசமாக> 0 என்பது சராசரி அடர்த்தியில் k இன் சார்பைக் குறிக்கிறது. எலியட் ஒரு மாற்று முறையை முன்மொழிந்தார், அவர் (m2−s2/n) க்கு எதிராக (s2−m) சதி செய்ய பரிந்துரைத்தார். kc என்பது இந்த பின்னடைவின் 1/சாய்வுக்கு சமம். சார்லிர் குணகம் இந்த குணகம் (சி) என வரையறுக்கப்படுகிறது மக்கள்தொகை எதிர்மறை இருமியல் பாணியில் விநியோகிக்கப்படுவதாகக் கருதலாம் என்றால், சி = 100 (1/கே) 0.5 இங்கு கே என்பது விநியோகத்தின் சிதறல் அளவுரு ஆகும். இந்த குறியீட்டின் வழக்கமான விளக்கம் பின்வருமாறுஃ Ic <1, = 1,> 1 இன் மதிப்புகள் ஒரு சீரான விநியோகம், சீரற்ற விநியோகம் அல்லது ஒருங்கிணைந்த விநியோகம் என்று பொருள்படும். டெய்லரின் விதி வைத்திருப்பதாகக் கருதலாம் என்றால், லாயிட்டின் குறியீடுகள் லாயிட்டின் சராசரி கூட்டத்தின் குறியீடு (ஐ. எம். சி) என்பது தோராயமாக தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட புள்ளியைக் கொண்ட மாதிரி அலகில் உள்ள மற்ற புள்ளிகளின் சராசரி எண்ணிக்கையாகும். இங்கு m என்பது மாதிரி சராசரி மற்றும் s2 என்பது மாறுபாடு. லாயிட்ஸின் ஒட்டுதல் குறியீடு (ஐபி) இது மெல்லியதாக (புள்ளிகளை சீரற்ற முறையில் அகற்றுதல்) பாதிக்கப்படாத வடிவத்தின் தீவிரத்தின் அளவீடு ஆகும். இந்த குறியீட்டை 1988 ஆம் ஆண்டில் பியோலோவும் முன்மொழிந்தார், மேலும் சில நேரங்களில் இந்த பெயராலும் அழைக்கப்படுகிறார். ஐபி-யின் மாறுபாட்டை மதிப்பிடுவது சூத்திரத்திலிருந்தே மதிப்பிடுவது மிகவும் கடினம் என்பதால், எல். எல். யோட் தரவுகளுக்கு எதிர்மறை பைனாமியல் விநியோகத்தை பொருத்த பரிந்துரைத்தார். இந்த முறை ஒரு அளவுரு k ஐ வழங்குகிறது பின்னர் ஒட்டுதல் குறியீட்டின் நிலையான பிழை எங்கே, அளவுரு k இன் மாறுபாடு மற்றும் q என்பது மாதிரி செய்யப்பட்ட நாற்கரங்களின் எண்ணிக்கை. மக்கள் தொகை டெய்லரின் சட்டத்திற்குக் கீழ்ப்படிந்தால், ஒட்டுதல் பின்னடைவு சோதனை இவோ ஒரு ஒட்டுதல் பின்னடைவை முன்மொழிந்தார். y க்கு எதிராக mi இன் சாதாரண குறைந்தபட்ச சதுர பின்னடைவைச் செய்யுங்கள். இந்த பின்னடைவில் சாய்வு (b) இன் மதிப்பு கிளம்பிங்கின் ஒரு குறிகாட்டியாகும்ஃ தரவு பாய்சான்-விநியோகிக்கப்பட்டிருந்தால் சாய்வு = 1 ஆகும். மாறிலி (a) என்பது எல்லையற்ற அடர்த்தியில் வாழ்விடத்தின் ஒரு அலகு பகிர்ந்து கொள்ளும் தனிநபர்களின் எண்ணிக்கை மற்றும் <0,0 அல்லது> 0 ஆக இருக்கலாம். இந்த மதிப்புகள் முறையே இடஞ்சார்ந்த வடிவங்களில் மக்கள்தொகையின் ஒழுங்குமுறை, சீரற்ற தன்மை மற்றும் திரட்டல் ஆகியவற்றைக் குறிக்கின்றன. <1 இன் மதிப்பு என்பது விநியோகத்தின் அடிப்படை அலகு ஒரு தனிநபர் என்று பொருள்படும். புள்ளிவிவரம் s2/m நிலையானதாக இல்லாத இடத்தில், a மற்றும் b மாறிலிகளாக இருக்கும் இடத்தில் am + bm2 க்கு எதிராக லாயிட்டின் குறியீட்டைக் குறைக்க பயன்படுத்த பரிந்துரைக்கப்படுகிறது. இந்த பின்னடைவுக்கான குறிப்பிட்ட அளவு துல்லியத்திற்கான (டி) மாதிரி அளவு (என்) இந்த பின்னடைவில் a என்பது மாறிலி, b என்பது சாய்வு, m என்பது சராசரி மற்றும் t என்பது t விநியோகத்தின் முக்கியமான மதிப்பு. இந்த பின்னடைவின் அடிப்படையில் ஒரு தொடர்ச்சியான மாதிரி சோதனையை இவோ முன்மொழிந்துள்ளார். இந்த சோதனையின் மேல் மற்றும் கீழ் வரம்புகள் முக்கியமான அடர்த்தி எம். சி. யை அடிப்படையாகக் கொண்டவை, அங்கு ஒரு பூச்சியைக் கட்டுப்படுத்த நடவடிக்கை எடுக்க வேண்டும். இங்கு நியூ மற்றும் என்எல் முறையே மேல் மற்றும் கீழ் வரம்புகள், a என்பது பின்னடைவிலிருந்து மாறிலி, b என்பது சாய்வு மற்றும் i என்பது மாதிரிகளின் எண்ணிக்கை. இந்த பின்னடைவின் அடிப்படையில் ஒரு மாற்று தொடர்ச்சியான நிறுத்த சோதனையையும் குனோ முன்மொழிந்துள்ளார். இங்கு Tn என்பது மொத்த மாதிரி அளவு, D என்பது துல்லியத்தின் அளவு, n என்பது மாதிரி அலகுகளின் எண்ணிக்கை, a என்பது மாறிலி மற்றும் b என்பது முறையே பின்னடைவிலிருந்து வரும் சாய்வு. குனோவின் சோதனை ஒரு மாற்று ஆனால் தொடர்புடைய நிறுத்தக் கோட்டை முன்மொழிந்த நிபந்தனைக்கு உட்பட்டது, அங்கு a மற்றும் b பின்னடைவின் அளவுருக்கள், N என்பது அதிகபட்ச மாதிரி அலகுகள் மற்றும் n என்பது தனிப்பட்ட மாதிரி அளவு. மொரிசிட்டாவின் சிதறல் குறியீடு (இம்) என்பது முழு மக்கள்தொகையிலிருந்தும் சீரற்ற முறையில் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட இரண்டு புள்ளிகள் ஒரே மாதிரியில் இருப்பதற்கான அளவிடப்பட்ட நிகழ்தகவு ஆகும். அதிக மதிப்புகள் அதிக திரட்டப்பட்ட விநியோகத்தைக் குறிக்கின்றன. ஒரு மாற்று சூத்திரம் என்னவென்றால், n என்பது மொத்த மாதிரி அளவு, m என்பது மாதிரி சராசரி மற்றும் x என்பது முழு மாதிரியிலும் எடுக்கப்பட்ட கூட்டுத்தொகையுடன் தனிப்பட்ட மதிப்புகள். இது ஐ. எம். சி என்பது லாயிட்டின் கூட்டத்தின் குறியீடாக இருக்கும் இடத்திற்கும் சமம். இந்த குறியீடு மக்கள்தொகை அடர்த்தியிலிருந்து ஒப்பீட்டளவில் சுயாதீனமாக உள்ளது, ஆனால் மாதிரி அளவால் பாதிக்கப்படுகிறது. மதிப்புகள்> 1 என்பது கிளம்பிங்கைக் குறிக்கிறது; மதிப்புகள் <1 என்பது விநியோகத்தின் சீரான தன்மையைக் குறிக்கிறது மற்றும் 1 இன் மதிப்பு சீரற்ற மாதிரியைக் குறிக்கிறது. புள்ளிவிவரம் n−1 டிகிரி சுதந்திரத்துடன் ஒரு சி ஸ்கொயர் மாறியாக விநியோகிக்கப்படுகிறது என்பதை மோரிசிட்டா காட்டினார். இந்த குறியீட்டிற்கான மாற்று முக்கியத்துவம் சோதனை பெரிய மாதிரிகளுக்கு உருவாக்கப்பட்டுள்ளது. இங்கு m என்பது ஒட்டுமொத்த மாதிரி சராசரி, n என்பது மாதிரி அலகுகளின் எண்ணிக்கை மற்றும் z என்பது இயல்பான விநியோக அப்சிஸா ஆகும். இயல்பான விநியோகத்தின் மதிப்புகளுக்கு எதிராக z இன் மதிப்பை ஒப்பிடுவதன் மூலம் முக்கியத்துவம் சோதிக்கப்படுகிறது. அதன் கணக்கீட்டிற்கான ஒரு செயல்பாடு சைவ தொகுப்பில் புள்ளிவிவர ஆர் மொழியில் கிடைக்கிறது. மோரிசிட்டாவின் ஒன்றுடன் ஒன்று குறியீட்டுடன் குழப்பமடையக்கூடாது என்பதை நினைவில் கொள்க. தரப்படுத்தப்பட்ட மோரிசிட்டாவின் குறியீடு ஸ்மித்-கில் மோரிசிட்டாவின் குறியீட்டை அடிப்படையாகக் கொண்ட ஒரு புள்ளிவிவரத்தை உருவாக்கியது, இது மாதிரி அளவு மற்றும் மக்கள்தொகை அடர்த்தி ஆகிய இரண்டிலிருந்தும் சுயாதீனமானது மற்றும்-1 மற்றும் + 1 ஆல் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது. இந்த புள்ளிவிவரம் பின்வருமாறு கணக்கிடப்படுகிறது முதலில் மோரிசிட்டாவின் குறியீட்டை (ஐடி) வழக்கமான பாணியில் தீர்மானிக்கவும். பின்னர் k என்பது மக்கள் தொகை மாதிரியாக எடுக்கப்பட்ட அலகுகளின் எண்ணிக்கையாக இருக்கட்டும். இரண்டு முக்கியமான மதிப்புகளைக் கணக்கிடுங்கள், அங்கு χ2 என்பது 97.5% இல் n−1 டிகிரி ஆஃப் ஃப்ரீடம் மற்றும் 2.5 சதவீதம் நம்பிக்கை நிலைகளுக்கு சி சதுர மதிப்பு ஆகும். தரப்படுத்தப்பட்ட குறியீடு (ஐபி) பின்னர் கீழே உள்ள சூத்திரங்களில் ஒன்றிலிருந்து கணக்கிடப்படுகிறது. ஐ. டி. ஐ. டி. ஐ. டி. ஐ. டி. ஐ. டி. ஐ. டி. ஐ. டி. ஐ. டி. ஐ. டி. ஐ. டி. ஐ. டி. ஐ. டி. ஐ. டி. ஐ. டி. ஐ. டி. ஐ. டி. ஐ. டி. ஐ. டி. ஐ. டி. ஐ. டி. ஐ. டி. ஐ. டி. ஐ. டி. ஐ. டி. ஐ. ஐ. டி. ஐ. டி. ஐ. ஐ. டி. ஐ. ஐ. டி. ஐ. ஐ. டி. ஐ. ஐ. டி. ஐ. ஐ. டி. ஐ. ஐ. டி. ஐ. ஐ. டி. ஐ. ஐ. டி. ஐ. ஐ. டி. ஐ. ஐ. டி. ஐ. ஐ. டி. ஐ. ஐ. டி. ஐ. ஐ. டி. ஐ. ஐ. டி. ஐ. ஐ. டி. ஐ. ஐ. முறை சீரற்றதாக இருந்தால் ஐபி 0 இன் மதிப்பைக் கொண்டுள்ளது; முறை ஒரே மாதிரியாக இருந்தால், ஐபி <0 மற்றும் முறை திரட்டலைக் காட்டினால், ஐபி> 0. சவுத்வூட்டின் இடஞ்சார்ந்த திரட்டலின் குறியீடு சவுத்வூட்டின் இடஞ்சார்ந்த திரட்டலின் குறியீடு (k) வரையறுக்கப்படுகிறது, அங்கு m என்பது மாதிரியின் சராசரி மற்றும் m * என்பது லாயிட்டின் கூட்டத்தின் குறியீடாகும். ஃபிஷரின் சிதறல் குறியீடு ஃபிஷரின் சிதறல் குறியீடுஃபிஷர் ஆர்ஏ (1925) ஆராய்ச்சி ஊழியர்களுக்கான புள்ளிவிவர முறைகள். ஹாஃப்னர், நியூயார்க் இந்த குறியீடு மக்கள்தொகையின் அதிகப்படியான சிதறலை சோதிக்க பயன்படுத்தப்படலாம். பயன்பாடுகளில் n> 5 மற்றும் மாதிரி மொத்தத்தை மாதிரிகளின் எண்ணிக்கையால் வகுத்தால்> 3 என்று பரிந்துரைக்கப்படுகிறது. குறியீடுகளில் x என்பது ஒரு தனிப்பட்ட மாதிரி மதிப்பு. குறியீட்டின் எதிர்பார்ப்பு n க்கு சமம் மற்றும் அது மக்கள் தொகை பாய்சான் விநியோகிக்கப்படும் போது n-1 டிகிரி சுதந்திரத்துடன் கை-சதுர விநியோகமாக விநியோகிக்கப்படுகிறது. மக்கள் தொகை காமா விநியோகத்திற்குக் கீழ்ப்படியும்போது இது அளவுகோல் அளவுருவுக்கு சமம். இது ஒட்டுமொத்த மக்கள்தொகைக்கும் தனித்தனியாக மாதிரி எடுக்கப்பட்ட தனிப்பட்ட பகுதிகளுக்கும் பயன்படுத்தப்படலாம். தனிப்பட்ட மாதிரி பகுதிகளில் இந்த சோதனையின் பயன்பாடு ஒரு பான்ஃபெரோனி திருத்த காரணியின் பயன்பாட்டையும் உள்ளடக்கியதாக இருக்க வேண்டும். மக்கள் தொகை டெய்லரின் சட்டத்திற்குக் கீழ்ப்படிந்தால், கொத்து அளவின் குறியீடு கொத்து அளவின் குறியீடு (ஐ. சி. எஸ்) டேவிட் மற்றும் மூர் ஆகியோரால் உருவாக்கப்பட்டது. சீரற்ற (பாய்சன்) விநியோகத்தின் கீழ் ஐசிஎஸ் 0 க்கு சமமாக இருக்கும் என்று எதிர்பார்க்கப்படுகிறது. நேர்மறை மதிப்புகள் ஒரு தொகுக்கப்பட்ட விநியோகத்தைக் குறிக்கின்றன; எதிர்மறை மதிப்புகள் ஒரு சீரான விநியோகத்தைக் குறிக்கின்றன. இங்கு s2 என்பது மாறுபாடு மற்றும் m என்பது சராசரி. மக்கள் தொகை டெய்லரின் சட்டத்திற்குக் கீழ்ப்படிந்தால், ICS என்பது காட்ஸின் சோதனை புள்ளிவிவரத்தை (n/2) 1/2 ஆல் வகுப்பதற்கு சமம், அங்கு n என்பது மாதிரி அளவு. இது கிளாபாமின் சோதனை புள்ளிவிவரத்துடனும் தொடர்புடையது. இது சில நேரங்களில் கிளம்பிங் குறியீடு என்றும் குறிப்பிடப்படுகிறது. கிரீன்ஸ் இன்டெக்ஸ் கிரீன்ஸ் இன்டெக்ஸ் (ஜிஐ) என்பது கிளஸ்டர் அளவின் குறியீட்டின் மாற்றமாகும், இது மாதிரி அலகுகளின் எண்ணிக்கையிலிருந்து சுயாதீனமாக உள்ளது. விநியோகம் சீரற்றதாக இருந்தால் இந்த குறியீடு 0 க்கும், அதிகபட்சமாக திரட்டப்பட்டால் 1 க்கும், சீரானதாக இருந்தால் −1/(nm−1) க்கும் சமம். கிரீன்ஸ் குறியீட்டின் விநியோகம் தற்போது அறியப்படவில்லை, எனவே புள்ளிவிவர சோதனைகள் அதை உருவாக்குவது கடினம். மக்கள் தொகை டெய்லரின் சட்டத்திற்குக் கீழ்ப்படிந்தால் பைனரி சிதறல் குறியீடு பைனரி மாதிரி (இருப்பு/இல்லாமை) அடிக்கடி பயன்படுத்தப்படுகிறது, அங்கு துல்லியமான எண்ணிக்கையைப் பெறுவது கடினம். சிதறல் குறியீடு (டி) ஆய்வின் மக்கள்தொகை சம மாதிரிகளின் வரிசையாக பிரிக்கப்படும் போது பயன்படுத்தப்படுகிறது (அலகுகளின் எண்ணிக்கை = என்ஃ ஒரு மாதிரிக்கு அலகுகளின் எண்ணிக்கை = என்ஃ மொத்த மக்கள் தொகை அளவு = என் x என்). ஒரு பைனாமியல் டிஸ்ட்ரிபியூஷன் கொண்ட மக்கள்தொகையிலிருந்து ஒரு மாதிரியின் தத்துவார்த்த மாறுபாடு என்னவென்றால், s2 என்பது மாறுபாடு, n என்பது மாதிரி செய்யப்பட்ட அலகுகளின் எண்ணிக்கை மற்றும் p என்பது குறைந்தபட்சம் ஒரு தனிநபர் இருக்கும் மாதிரி அலகுகளின் சராசரி விகிதம். சிதறல் குறியீடு (டி) என்பது கவனிக்கப்பட்ட மாறுபாட்டின் விகிதம் மற்றும் எதிர்பார்க்கப்பட்ட மாறுபாட்டின் விகிதம் என வரையறுக்கப்படுகிறது. குறியீடுகளில் வராப்ஸ் என்பது கவனிக்கப்படும் மாறுபாடு மற்றும் வர்பின் என்பது எதிர்பார்க்கப்படும் மாறுபாடு. எதிர்பார்க்கப்படும் மாறுபாடு மக்கள்தொகையின் ஒட்டுமொத்த சராசரியுடன் கணக்கிடப்படுகிறது. டி> 1 இன் மதிப்புகள் திரட்டலை பரிந்துரைப்பதாகக் கருதப்படுகின்றன. D (n−1) என்பது n−1 டிகிரி ஆஃப் ஃப்ரீடம் கொண்ட கை ஸ்கொயர் மாறியாக விநியோகிக்கப்படுகிறது, இதில் n என்பது மாதிரியான அலகுகளின் எண்ணிக்கை. ஒரு மாற்று சோதனை சி சோதனை ஆகும். இங்கு D என்பது சிதறல் குறியீடு, n என்பது ஒரு மாதிரியின் அலகுகளின் எண்ணிக்கை மற்றும் N என்பது மாதிரிகளின் எண்ணிக்கை. சி பொதுவாக விநியோகிக்கப்படுகிறது. C இன் புள்ளிவிவர ரீதியாக குறிப்பிடத்தக்க மதிப்பு population.D இன் அதிகப்படியான சிதறல் இன்ட்ரா கிளாஸ் தொடர்புடன் (ρ) தொடர்புடையது என்பதைக் குறிக்கிறது, இதில் T என்பது ஒரு மாதிரிக்கு உயிரினங்களின் எண்ணிக்கை, p என்பது உயிரினம் விரும்பிய பண்பைக் கொண்டிருப்பதற்கான வாய்ப்பு (நோயுற்ற, பூச்சி இல்லாதது போன்றவை), மற்றும் xi என்பது இந்த பண்புடன் ith யூனிட்டில் உள்ள உயிரினங்களின் எண்ணிக்கை. அனைத்து மாதிரி அலகுகளுக்கும் T ஒரே மாதிரியாக இருக்க வேண்டும். இந்த விஷயத்தில் n மாறிலி தரவை பீட்டா-பைனாமியல் விநியோகத்துடன் பொருத்த முடியும் என்றால், θ என்பது விநியோகத்தின் அளவுருவாகும். மாவின் மக்கள்தொகை திரட்டல் முக்கியமான அடர்த்தி மா ஒரு அளவுருவை (m0) முன்மொழிந்துள்ளது-மக்கள் தொகை திரட்டல் முக்கியமான அடர்த்தி-மக்கள் தொகை அடர்த்தியை டெய்லரின் சட்டத்துடன் தொடர்புபடுத்த. தொடர்புடைய புள்ளிவிவரங்கள் பயன்பாடுகளில் பயன்படுத்தக்கூடிய பல புள்ளிவிவர சோதனைகள் அறியப்படுகின்றன. டி ஒலிவேரியாவின் புள்ளிவிவரம் டி ஒலிவேரியாவால் பரிந்துரைக்கப்பட்ட ஒரு தொடர்புடைய புள்ளிவிவரம் மாறுபாடு மற்றும் சராசரி வேறுபாடு ஆகும். மக்கள்தொகை பாய்சான் விநியோகிக்கப்பட்டிருந்தால், t என்பது பாய்சான் அளவுருவாக இருந்தால், s2 என்பது மாறுபாடு, m என்பது சராசரி மற்றும் n என்பது மாதிரி அளவு. s2-m இன் எதிர்பார்க்கப்படும் மதிப்பு பூஜ்ஜியமாகும். இந்த புள்ளிவிவரம் பொதுவாக விநியோகிக்கப்படுகிறது. இந்த சமன்பாட்டில் உள்ள பாய்சான் அளவுருவை t = m வைப்பதன் மூலம் மதிப்பிடப்பட்டால், ஒரு சிறிய கையாளுதலுக்குப் பிறகு இந்த புள்ளிவிவரத்தை எழுத முடியும் இது காட்ஸின் புள்ளிவிவரத்துடன் கிட்டத்தட்ட ஒத்திருக்கிறது (n-1) n ஐ மாற்றுகிறது. மீண்டும் OT பொதுவாக சராசரி 0 மற்றும் பெரிய n க்கு அலகு மாறுபாட்டுடன் விநியோகிக்கப்படுகிறது. இந்த புள்ளிவிவரம் நெய்மன்-ஸ்காட் புள்ளிவிவரத்தைப் போன்றது. குறிப்பு டி ஒலிவேரியா உண்மையில் s2-m இன் மாறுபாடு (1-2t1/2 + 3t)/n என்று பரிந்துரைத்தார், அங்கு t என்பது பாய்சான் அளவுருவாகும். மாதிரியின் சராசரி (மீ) க்கு சமமாக வைப்பதன் மூலம் t ஐ மதிப்பிட முடியும் என்று அவர் பரிந்துரைத்தார். போனிங்கின் மேலும் விசாரணையில் மாறுபாட்டின் இந்த மதிப்பீடு தவறானது என்பதைக் காட்டியது. போஹிங்கின் திருத்தம் மேலே உள்ள சமன்பாடுகளில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. 1936 ஆம் ஆண்டில் கிளாபாமின் சோதனை, சராசரிக்கு மாறுபாட்டின் விகிதத்தை ஒரு சோதனை புள்ளிவிவரமாக (உறவினர் மாறுபாடு) பயன்படுத்த முன்மொழிந்தது. குறியீடுகளில் ஒரு உடைமை விநியோகத்திற்கு இந்த விகிதம் 1 க்கு சமம். இந்த மதிப்பிலிருந்து விலகல்களைச் சோதிக்க, சி சதுர விநியோகத்திற்கு எதிராக அதன் மதிப்பை n டிகிரி ஆஃப் ஃப்ரீடம் மூலம் சோதிக்க அவர் முன்மொழிந்தார், அங்கு n என்பது மாதிரி அலகுகளின் எண்ணிக்கை. இந்த புள்ளிவிவரத்தின் விநியோகம் பிளாக்மேனால் மேலும் ஆய்வு செய்யப்பட்டது, அவர் இது தோராயமாக சராசரியாக 1 மற்றும் ஒரு மாறுபாட்டுடன் (Vθ) விநியோகிக்கப்படுவதாகக் குறிப்பிட்டார். இந்த சோதனை பிற்கால காட்ஸின் Jn புள்ளிவிவரத்துடன் தொடர்புடையது. மக்கள் தொகை டெய்லரின் சட்டத்திற்குக் கீழ்ப்படிந்தால், இந்த சோதனையின் குறிப்பு ஒரு சுத்திகரிப்பும் வெளியிடப்பட்டுள்ளது இந்த ஆசிரியர்கள், தரவுகளில் இல்லாதபோது கூட அசல் சோதனை அதிக அளவுகளில் அதிகப்படியான சிதறலைக் கண்டறிய முனைகிறது என்று குறிப்பிட்டுள்ளனர். அத்தகைய தரவுகளுக்கு பாய்சான் விநியோகத்தைப் பயன்படுத்துவதை விட மல்டினாமியல் விநியோகத்தைப் பயன்படுத்துவது மிகவும் பொருத்தமானதாக இருக்கலாம் என்று அவர்கள் குறிப்பிட்டனர். புள்ளிவிவரம் θ என்பது N என்பது மாதிரி அலகுகளின் எண்ணிக்கை, n என்பது பரிசோதிக்கப்பட்ட மாதிரிகளின் மொத்த எண்ணிக்கை மற்றும் xi என்பது தனிப்பட்ட தரவு மதிப்புகள். பெரிய N க்கு, E (θ) தோராயமாக 1 ஆகும் மற்றும் மாதிரி செய்யப்பட்ட தனிநபர்களின் எண்ணிக்கை (n ") அதிகமாக இருந்தால், மாறுபாட்டின் இந்த மதிப்பீடு முன்பு பெறப்பட்டவற்றுடன் ஒத்துப்போகிறது. இருப்பினும், சிறிய மாதிரிகளுக்கு இந்த பிந்தைய மதிப்பீடுகள் மிகவும் துல்லியமானவை மற்றும் பயன்படுத்தப்பட வேண்டும். மோரிசிட்டாவின் ஒன்றுடன் ஒன்று குறியீட்டைப் பார்க்கவும் ஆக்கிரமிப்பின் இயற்கை அதிவேக குடும்ப அளவீட்டு முறை இடஞ்சார்ந்த சூழலியல் வாட்சனின் சக்தி சட்டம் அடர்த்தி-நிறை அலோமெட்ரி மாறுபாடு-நிறை அலோமெட்ரி சூழலியல் உயிரியல் சட்டங்கள் சக்தி சட்டங்கள் புள்ளிவிவர விலகல் மற்றும் சிதறல் புள்ளிவிவர சட்டங்கள் சுற்றுச்சூழல் புள்ளிவிவரங்கள்