Projective bundle
கணிதத்தில், ஒரு ப்ரொஜெக்டிவ் மூட்டை என்பது ஒரு ஃபைபர் மூட்டை ஆகும், அதன் இழைகள் ப்ரொஜெக்டிவ் இடைவெளிகள். வரையறையின்படி, ஒரு நொய்தேரியன் திட்டமான எஸ் மீது ஒரு திட்டம் எக்ஸ் என்பது உள்ளூரில் ஒரு ப்ரொஜெக்டிவ் என்-ஸ்பேஸ் என்றால் ஒரு பி. என்-கட்டு; அதாவது, மற்றும் மாற்றம் தானியங்கிகள் நேரியல். ஒரு மென்மையான வகை போன்ற ஒரு வழக்கமான திட்ட S இல், ஒவ்வொரு ப்ரொஜெக்டிவ் மூட்டை சில திசையன் மூட்டை (உள்ளூரில் இலவச உறை) E. ஒரு திசையன் மூட்டை ஒரு ப்ரொஜெக்டிவ் மூட்டை ஒரு வகை X மீது ஒவ்வொரு திசையன் மூட்டை இழைகள் ப்ரொஜெக்டிவ் இடங்கள் எடுத்து ஒரு ப்ரொஜெக்டிவ் மூட்டை கொடுக்கிறது, ஆனால் அனைத்து ப்ரொஜெக்டிவ் மூட்டைகள் இந்த வழியில் எழவில்லைஃ கோஹோமோலஜி குழு H2 (X, O *) ஒரு தடை உள்ளது. ஏன் என்பதைப் பார்க்க, ஒரு ப்ரொஜெக்டிவ் மூட்டை பொருத்தமான திறந்த அட்டையின் இரட்டை குறுக்குவெட்டுகளில் மாற்றம் செயல்பாடுகளைக் கொண்டுள்ளது என்பதை நினைவில் கொள்ளுங்கள். மூன்று மேலடுக்குகளில், இந்த மாற்ற செயல்பாடுகளின் எந்த லிப்டும் ஒரு தலைகீழ் செயல்பாடு வரை கோசைக்கிள் நிலையை திருப்திப்படுத்துகிறது. இந்த செயல்பாடுகளின் தொகுப்பு ஒரு 2-சுழற்சியை உருவாக்குகிறது, இது ஒரு திசையன் மூட்டையின் திட்டமயமாக்கலாக இருந்தால் மட்டுமே H2 (X, O *) இல் மறைந்துவிடும். குறிப்பாக, எக்ஸ் ஒரு கச்சிதமான ரீமன் மேற்பரப்பாக இருந்தால், எச் 2 (எக்ஸ், ஓ *) = 0, எனவே இந்த தடை மறைந்துவிடும். ஒரு திசையன் மூட்டை E இன் ப்ரொஜெக்டிவ் மூட்டை E இல் உள்ள 1-பிளேன்களின் கிராஸ்மேன் மூட்டைக்கு ஒத்ததாகும். ஒரு திசையன் மூட்டை E இன் ப்ரொஜெக்டிவ் மூட்டை P (E) என்பது உலகளாவிய பண்பு மூலம் வகைப்படுத்தப்படுகிறதுஃ ஒரு உருவவியல் f: T → X கொடுக்கப்பட்டால், ப்ரொஜெக்ஷன் வரைபடத்தின் மூலம் f ஐ காரணிப்படுத்துவது f * E இன் ஒரு கோடு சப் பண்டிலைக் குறிப்பிடுவதாகும். எடுத்துக்காட்டாக, f ஐ p ஆக எடுத்துக் கொண்டால், ஒருவர் p * E இன் கோடு சப் பண்டிலை O (-1) ஐப் பெறுகிறார், இது P (E) இல் டாட்டாலஜிக்கல் கோடு மூட்டை என்று அழைக்கப்படுகிறது. மேலும், இந்த O (-1) ஒரு உலகளாவிய மூட்டை, அதாவது ஒரு கோடு மூட்டை L ஒரு காரணியாக்கம் f = p ° g ஐக் கொடுக்கும்போது, L என்பது g உடன் O (-1) இன் புல்பேக் ஆகும். மேலும் பார்க்கவும் Cone#O (1) O (-1) இன் இன்னும் வெளிப்படையான கட்டமைப்பிற்கு. பி (ஈ) இல், ஒரு இயற்கையான துல்லியமான வரிசை உள்ளது (டாட்டோலாஜிக்கல் துல்லியமான வரிசை என்று அழைக்கப்படுகிறது): இதில் க்யூ டாட்டோலாஜிக்கல் ஈவு-கட்டு என்று அழைக்கப்படுகிறது. X மற்றும் G = F/E இல் உள்ள திசையன் மூட்டைகளாக (வரையறுக்கப்பட்ட தரவரிசையின் உள்ளூரில் இலவச உறைகள்) ERF இருக்கட்டும். q: P (F) → X என்பது திட்டமாக இருக்கட்டும். பின்னர் இயற்கை வரைபடம் ஷீஃப் ஹோமின் உலகளாவிய பகுதியாகும். மேலும், இந்த இயற்கை வரைபடம் E இல் ஒரு கோடு இருக்கும்போது சரியாக ஒரு கட்டத்தில் மறைந்துவிடும்; வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், இந்த பிரிவின் பூஜ்ஜிய-இடம் P (E) ஆகும். இந்த கட்டமைப்பின் ஒரு குறிப்பாக பயனுள்ள உதாரணம், F என்பது E இன் நேரடி கூட்டுத்தொகை E மற்றும் அற்பமான கோடு மூட்டை (அதாவது, கட்டமைப்பு உறை) ஆகும். பின்னர் P (E) என்பது P இல் உள்ள ஒரு ஹைப்பர்பிளேன் ஆகும், இது முடிவிலியில் ஹைப்பர்பிளேன் என்று அழைக்கப்படுகிறது, மேலும் P (E) இன் நிரப்பு E உடன் அடையாளம் காணலாம். இந்த வழியில், P (E) என்பது E இன் ப்ரொஜெக்டிவ் நிறைவு (அல்லது "சுருக்குதல்") என்று குறிப்பிடப்படுகிறது. ப்ரொஜெக்டிவ் மூட்டை P (E) ஒரு வரி மூட்டை மூலம் E ஐ முறுக்குவதன் கீழ் நிலையானது; துல்லியமாக, ஒரு வரி மூட்டை L கொடுக்கப்பட்டால், இயற்கையான ஐசோமார்பிசம் உள்ளதுஃ அதாவது (உண்மையில், வலதுபுறத்தில் உள்ள வரி மூட்டைக்கு பயன்படுத்தப்படும் உலகளாவிய பண்பு மூலம் ஒருவர் g ஐப் பெறுகிறார்). எடுத்துக்காட்டுகள் லெஃப்ஷெட்ஸ் இழைகள் போன்ற இழைகளைப் பயன்படுத்தி ப்ரொஜெக்டிவ் மூட்டைகளின் பல அற்பமான எடுத்துக்காட்டுகளைக் காணலாம். எடுத்துக்காட்டாக, நீள்வட்ட K3 மேற்பரப்பு என்பது இழைகளைக் கொண்ட ஒரு K3 மேற்பரப்பாகும், அதாவது இழைகள் பொதுவாக நீள்வட்ட வளைவுகளாக இருக்கும். ஒவ்வொரு நீள்வட்ட வளைவும் ஒரு தனித்துவமான புள்ளியுடன் ஒரு பேரினம் 1 வளைவாக இருப்பதால், இழையின் உலகளாவிய பிரிவு உள்ளது. இந்த உலகளாவிய பிரிவின் காரணமாக, வீயர்ஸ்ட்ராஸ் சமன்பாட்டால் வரையறுக்கப்பட்ட திட்டவட்டமான தொகுப்புக்கு ஒரு உருவகத்தை வழங்குவதற்கான ஒரு மாதிரி உள்ளது, அங்கு முறையே உள்ளூர் ஆயத்தொகுதிகளைக் குறிக்கிறது, மேலும் குணகங்கள் உறைகளின் பிரிவுகளாகும். இந்த சமன்பாடு நன்கு வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது என்பதைக் கவனியுங்கள், ஏனெனில் வீயர்ஸ்ட்ராஸ் சமன்பாட்டில் உள்ள ஒவ்வொரு சொல்லும் மொத்த டிகிரியைக் கொண்டுள்ளது (அதாவது குணகத்தின் டிகிரி மற்றும் மோனோமியலின் டிகிரி. உதாரணத்திற்கு). கோஹோமோலஜி வளையம் மற்றும் சோவ் குழு X ஒரு சிக்கலான மென்மையான ப்ரொஜெக்டிவ் வகையாகவும், E அதன் மீது r தரவரிசையின் சிக்கலான திசையன் மூட்டையாகவும் இருக்கட்டும். பின்னர் கோஹோமோலஜி வளையம் H * (P (E)) என்பது புல்பேக் p * வழியாக H * (X) க்கு மேல் ஒரு இயற்கணிதமாகும். பின்னர் முதல் செர்ன் வகுப்பு ζ = c1 (O (1)) H * (P (E)) ஐ உருவாக்குகிறது, அங்கு ci (E) என்பது E இன் i-வது செர்ன் வகுப்பு. இந்த விளக்கத்தின் ஒரு சுவாரஸ்யமான அம்சம் என்னவென்றால், செர்ன் வகுப்புகளை உறவில் உள்ள குணகங்களாக வரையறுக்க முடியும்; இது கிரோதெண்டிக் எடுத்த அணுகுமுறை. சிக்கலான புலத்தைத் தவிர மற்ற புலங்களில், கோஹோமோலஜி வளையத்திற்கு பதிலாக சோ வளையத்தில் அதே விளக்கம் உண்மையாக உள்ளது (இன்னும் எக்ஸ் மென்மையானது என்று கருதுகிறது). குறிப்பாக, சோ குழுக்களுக்கு, நேரடி கூட்டுத்தொகை சிதைவு உள்ளது, இது மாறிவிட்டதால், எக்ஸ் மென்மையாகவோ அல்லது திட்டவட்டமாகவோ இல்லாவிட்டாலும் இந்த சிதைவு செல்லுபடியாகும். இதற்கு மாறாக, அக் (ஈ) = அக்-ஆர் (எக்ஸ்), கைசின் ஹோமோமார்பிசம் வழியாக, தார்மீக ரீதியாக ஏனெனில் ஈ இன் இழைகள், திசையன் இடைவெளிகள், சுருங்கக்கூடியவை. மேலும் காண்கஃ புரோஜ் கட்டுமான கூம்பு (இயற்கணித வடிவியல்) ஆளப்பட்ட மேற்பரப்பு (ஒரு ப்ரொஜெக்டிவ் மூட்டைக்கு ஒரு எடுத்துக்காட்டு) செவேரி-ப்ராவர் வகை ஹிர்ஸெப்ரூச் மேற்பரப்பு குறிப்புகள் இயற்கணித இடவியல் இயற்கணித வடிவியல்