Matrix completion
மேட்ரிக்ஸ் நிறைவு என்பது ஓரளவு கவனிக்கப்பட்ட மேட்ரிக்ஸின் காணாமல் போன உள்ளீடுகளை நிரப்புவதற்கான பணியாகும், இது புள்ளிவிவரங்களில் தரவு அனுமானத்தைச் செய்வதற்கு சமம். பரந்த அளவிலான தரவுத்தொகுப்புகள் இயற்கையாகவே மேட்ரிக்ஸ் வடிவத்தில் ஒழுங்கமைக்கப்பட்டுள்ளன. நெட்ஃபிக்ஸ் சிக்கலில் தோன்றுவது போல, திரைப்பட மதிப்பீட்டு மேட்ரிக்ஸ் ஒரு எடுத்துக்காட்டுஃ ஒவ்வொரு உள்ளீடும் வாடிக்கையாளரின் திரைப்பட மதிப்பீட்டைக் குறிக்கும் மதிப்பீட்டு மேட்ரிக்ஸைக் கொடுத்தால், வாடிக்கையாளர் திரைப்படத்தைப் பார்த்திருந்தால், இல்லையெனில் காணவில்லை என்றால், வாடிக்கையாளர்களுக்கு அடுத்து என்ன பார்க்க வேண்டும் என்பது குறித்து நல்ல பரிந்துரைகளை வழங்குவதற்காக மீதமுள்ள உள்ளீடுகளைக் கணிக்க விரும்புகிறோம். மற்றொரு உதாரணம் ஆவண-கால அணிஃ ஆவணங்களின் தொகுப்பில் பயன்படுத்தப்படும் சொற்களின் அதிர்வெண்களை ஒரு மேட்ரிக்ஸாக குறிப்பிடலாம், அங்கு ஒவ்வொரு உள்ளீடும் சுட்டிக்காட்டப்பட்ட ஆவணத்தில் தொடர்புடைய சொல் எத்தனை முறை தோன்றுகிறது என்பதற்கு ஒத்திருக்கிறது. முடிக்கப்பட்ட மேட்ரிக்ஸில் உள்ள டிகிரி ஆஃப் ஃப்ரீடம் எண்ணிக்கையில் எந்த கட்டுப்பாடுகளும் இல்லாமல், மறைக்கப்பட்ட உள்ளீடுகள் தன்னிச்சையான மதிப்புகளை ஒதுக்க முடியும் என்பதால் இந்த சிக்கல் குறைவாக தீர்மானிக்கப்படுகிறது. எனவே ஒரு நன்கு முன்வைக்கப்பட்ட சிக்கலை உருவாக்க மேட்ரிக்ஸில் சில அனுமானங்கள் தேவைப்படுகின்றன, அதாவது இது அதிகபட்ச தீர்மானிப்பதைக் கொண்டுள்ளது, நேர்மறை திட்டவட்டமானது அல்லது குறைந்த தரவரிசை என்று கருதுவது போன்றவை. எடுத்துக்காட்டாக, மேட்ரிக்ஸ் குறைந்த தரவரிசை கட்டமைப்பைக் கொண்டுள்ளது என்று ஒருவர் கருதலாம், பின்னர் மிகக் குறைந்த தரவரிசை மேட்ரிக்ஸைக் கண்டுபிடிக்கலாம் அல்லது, முடிக்கப்பட்ட மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசை தெரிந்தால், அறியப்பட்ட உள்ளீடுகளுடன் பொருந்தக்கூடிய தரவரிசை மேட்ரிக்ஸ். ஓரளவு வெளிப்படுத்தப்பட்ட தரவரிசை-1 மேட்ரிக்ஸை (இடதுபுறத்தில்) பூஜ்ஜிய-பிழையுடன் (வலதுபுறத்தில்) முடிக்க முடியும் என்பதை விளக்கப்படம் காட்டுகிறது, ஏனெனில் காணாமல் போன உள்ளீடுகளைக் கொண்ட அனைத்து வரிசைகளும் மூன்றாவது வரிசையைப் போலவே இருக்க வேண்டும். நெட்ஃபிக்ஸ் சிக்கலைப் பொறுத்தவரை, மதிப்பீட்டு மேட்ரிக்ஸ் குறைந்த தரவரிசையில் இருக்கும் என்று எதிர்பார்க்கப்படுகிறது, ஏனெனில் பயனர் விருப்பத்தேர்வுகள் பெரும்பாலும் திரைப்பட வகை மற்றும் வெளியீட்டு நேரம் போன்ற சில காரணிகளால் விவரிக்கப்படலாம். பிற பயன்பாடுகளில் கணினி பார்வை அடங்கும், அங்கு படங்களில் காணாமல் போன பிக்சல்கள் புனரமைக்கப்பட வேண்டும், பகுதி தூரத் தகவல்களிலிருந்து ஒரு நெட்வொர்க்கில் சென்சார்களின் உலகளாவிய நிலைப்பாட்டைக் கண்டறிதல் மற்றும் பன்முக கற்றல் ஆகியவை அடங்கும். மேட்ரிக்ஸ் நிறைவு சிக்கல் பொதுவாக NP-கடினமானது, ஆனால் கூடுதல் அனுமானங்களின் கீழ் அதிக நிகழ்தகவுடன் சரியான புனரமைப்பை அடையும் திறமையான வழிமுறைகள் உள்ளன. புள்ளியியல் கற்றல் கண்ணோட்டத்தில், மேட்ரிக்ஸ் நிறைவு சிக்கல் என்பது மேட்ரிக்ஸ் ஒழுங்குபடுத்தலின் பயன்பாடாகும், இது திசையன் ஒழுங்குபடுத்தலின் பொதுமைப்படுத்தலாகும். எடுத்துக்காட்டாக, குறைந்த தரவரிசை மேட்ரிக்ஸ் நிறைவு சிக்கலில் ஒருவர் அணு நெறிமுறை குறைந்த தரவரிசை மேட்ரிக்ஸ் நிறைவு வடிவத்தை எடுத்து ஒழுங்குபடுத்தும் அபராதத்தைப் பயன்படுத்தலாம் மேட்ரிக்ஸ் நிறைவு சிக்கலின் மாறுபாடுகளில் ஒன்று, மேட்ரிக்ஸுடன் பொருந்தக்கூடிய மிகக் குறைந்த தரவரிசை மேட்ரிக்ஸைக் கண்டுபிடிப்பதாகும், இது நாம் மீட்க விரும்பும், கவனிக்கப்பட்ட உள்ளீடுகளின் தொகுப்பில் உள்ள அனைத்து உள்ளீடுகளுக்கும். இந்த சிக்கலின் கணித சூத்திரம் பின்வருமாறுஃ கவனிக்கப்பட்ட உள்ளீடுகளின் மாதிரி பற்றிய அனுமானங்கள் மற்றும் போதுமான பல மாதிரி உள்ளீடுகள் மூலம் இந்த சிக்கல் அதிக நிகழ்தகவுடன் ஒரு தனித்துவமான தீர்வைக் கொண்டுள்ளது என்பதை கேண்டஸ் மற்றும் ரெக்ட் நிரூபித்தனர். ஒரு சமமான சூத்திரம், மீட்கப்பட வேண்டிய மேட்ரிக்ஸ் தரவரிசை என்று அறியப்படுகிறது, அனுமானங்கள் எங்கு தீர்க்கப்பட வேண்டும் என்பது கவனிக்கப்பட்ட உள்ளீடுகளின் மாதிரி மற்றும் மாதிரி உள்ளீடுகளின் எண்ணிக்கை குறித்த பல அனுமானங்கள் பகுப்பாய்வை எளிமைப்படுத்தவும், சிக்கல் குறைவாக இல்லை என்பதை உறுதிப்படுத்தவும் அடிக்கடி செய்யப்படுகின்றன. கவனிக்கப்பட்ட உள்ளீடுகளின் சீரான மாதிரி பகுப்பாய்வு செய்ய, கவனிக்கப்பட்ட உள்ளீடுகள் மற்றும் நிலையான கார்டினாலிட்டி ஆகியவற்றின் தொகுப்பு கார்டினாலிட்டி உள்ளீடுகளின் அனைத்து துணைக்குழுக்களின் தொகுப்பிலிருந்தும் சீரற்ற முறையில் ஒரே மாதிரியாக மாதிரியாக இருக்கும் என்று பெரும்பாலும் கருதப்படுகிறது. பகுப்பாய்வை மேலும் எளிமைப்படுத்த, அதற்கு பதிலாக பெர்னௌலி மாதிரியால் கட்டமைக்கப்பட்டதாக கருதப்படுகிறது, அதாவது. ஒவ்வொரு உள்ளீடும் நிகழ்தகவுடன் கவனிக்கப்படுகிறது. விரும்பிய கார்டினாலிட்டி எங்கு அமைக்கப்பட்டுள்ளது மற்றும் மேட்ரிக்ஸின் பரிமாணங்கள் (பொதுத்தன்மையை இழக்காமல் இருக்கட்டும்), அதிக நிகழ்தகவுடன் உள்ளது, எனவே பெர்னௌலி மாதிரி சீரான மாதிரிகளுக்கு ஒரு நல்ல தோராயமாகும். மற்றொரு எளிமைப்படுத்தல் என்னவென்றால், உள்ளீடுகள் சுயாதீனமாக மாதிரி எடுக்கப்பட்டு மாற்றப்படுகின்றன. கவனிக்கப்பட்ட உள்ளீடுகளின் எண்ணிக்கையில் குறைந்த வரம்பு நாம் மீட்டெடுக்க முயற்சிக்கும் மேட்ரிக்ஸ் மூலம் (உடன்) தரவரிசை உள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம். தனித்துவமாக புனரமைக்கப்படுவதற்கு முன்பு எத்தனை உள்ளீடுகளைக் கவனிக்க வேண்டும் என்பதற்கான தகவல் கோட்பாட்டு கீழ் வரம்பு உள்ளது. குறைவாகவோ அல்லது சமமாகவோ தரவரிசை கொண்ட மேட்ரிக்ஸின் தொகுப்பு பரிமாணத்துடன் கூடிய ஒரு இயற்கணித வகையாகும். இந்த முடிவைப் பயன்படுத்தி, ஒரு தனித்துவமான தீர்வைக் கொண்டிருக்க மேட்ரிக்ஸ் முடிக்க குறைந்தபட்சம் உள்ளீடுகளையாவது கவனிக்க வேண்டும் என்பதை ஒருவர் காட்டலாம். இரண்டாவதாக, ஒரு வரிசை மற்றும் நெடுவரிசைக்கு குறைந்தபட்சம் ஒரு கவனிக்கப்பட்ட உள்ளீடு இருக்க வேண்டும். இதன் ஒற்றை மதிப்பு சிதைவு இதன் மூலம் வழங்கப்படுகிறது. வரிசை கவனிக்கப்படாவிட்டால்,, இன் சரியான ஒருமை திசையனைக் காண்பது எளிது, சில தன்னிச்சையான மதிப்பிற்கு மாற்றப்படலாம், மேலும் கவனிக்கப்பட்ட உள்ளீடுகளின் தொகுப்புடன் பொருந்தக்கூடிய ஒரு மேட்ரிக்ஸை வழங்கலாம். இதேபோல், நெடுவரிசை கவனிக்கப்படாவிட்டால், இடது ஒருமை திசையன் தன்னிச்சையாக இருக்கலாம். கவனிக்கப்பட்ட உள்ளீடுகளின் தொகுப்பின் பெர்னௌலி மாதிரியை நாம் கருதினால், கூப்பன் சேகரிப்பாளர் விளைவு என்பது ஒவ்வொரு வரிசை மற்றும் நெடுவரிசையிலிருந்தும் அதிக நிகழ்தகவுடன் ஒரு அவதானிப்பு இருப்பதை உறுதிப்படுத்த வரிசையில் உள்ளீடுகள் கவனிக்கப்பட வேண்டும் என்பதைக் குறிக்கிறது. தேவையான நிபந்தனைகளை இணைத்து, (பல நடைமுறை பயன்பாடுகளுக்கு ஒரு செல்லுபடியாகும் அனுமானம்), மேட்ரிக்ஸ் நிறைவு சிக்கல் குறைவாக தீர்மானிக்கப்படுவதைத் தடுக்கத் தேவையான கவனிக்கப்பட்ட உள்ளீடுகளின் எண்ணிக்கையின் கீழ் வரம்பு வரிசையில் உள்ளது. ஒத்திசைவற்ற தன்மை என்ற கருத்து சுருக்கப்பட்ட உணர்தலில் உருவானது. ஒவ்வொரு ஒற்றை திசையனின் அனைத்து ஆயத்தொகுதிகளும் கணிசமாக பெரிய அளவுகளைக் கொண்ட ஒரு சில ஆயத்தொகுப்புகளுக்கு பதிலாக ஒப்பிடக்கூடிய அளவைக் கொண்டுள்ளன என்ற பொருளில் ஒருமை திசையன்கள் மிகவும் "குறைவாக" இல்லை என்பதை உறுதிப்படுத்த மேட்ரிக்ஸ் நிறைவு சூழலில் இது அறிமுகப்படுத்தப்படுகிறது. நிலையான அடிப்படை திசையன்கள் பின்னர் ஒருமை திசையன்களாக விரும்பத்தகாதவை, மேலும் திசையன் விரும்பத்தக்கது. ஒற்றை திசையன்கள் போதுமான அளவு "குறைவாக" இருந்தால் என்ன தவறு நடக்கக்கூடும் என்பதற்கான ஒரு எடுத்துக்காட்டாக, ஒற்றை மதிப்பு சிதைவுடன் மேட்ரிக்ஸ் மூலம் கருத்தில் கொள்ளுங்கள். கிட்டத்தட்ட அனைத்து உள்ளீடுகளும் மறுசீரமைக்கப்படுவதற்கு முன்பு மாதிரியாக இருக்க வேண்டும். கேண்டஸ் மற்றும் ரெக்ட் ஒரு மேட்ரிக்ஸின் ஒத்திசைவை நெடுவரிசை இடத்துடன் ஒரு பரிமாண துணை இடத்துடன் வரையறுக்கிறார்கள், அங்கு ஆர்த்தோகனல் திட்டம் உள்ளது. மேட்ரிக்ஸ் மூலம் ஒற்றை மதிப்பு சிதைவு கொடுக்கப்பட்டால், உள்ளீடுகள் சிலவற்றால் வரம்புக்குட்பட்ட அளவைக் கொண்டுள்ளன என்று ஒத்திசைவற்ற தன்மை வலியுறுத்துகிறது. நிஜ உலக பயன்பாட்டில், குறைந்தபட்சம் ஒரு சிறிய அளவிலான சத்தத்தால் சிதைந்த ஒரு சில உள்ளீடுகளை மட்டுமே ஒருவர் அடிக்கடி கவனிக்கிறார். எடுத்துக்காட்டாக, நெட்ஃபிக்ஸ் சிக்கலில், மதிப்பீடுகள் நிச்சயமற்றவை. அணு நெறிமுறை குறைப்பு மூலம் ஒரு சில சத்தம் மாதிரிகளிலிருந்து பெரிய குறைந்த தரவரிசை மேட்ரிக்ஸின் காணாமல் போன பல உள்ளீடுகளை நிரப்ப முடியும் என்பதை கேண்டஸ் மற்றும் பிளான் காட்டினர். சத்தம் மாதிரி ஒரு சத்தம் சொல் எங்கே என்பதை நாம் கவனிக்கிறோம் என்று கருதுகிறது. சத்தம் சீரற்றதாகவோ அல்லது தீர்மானகரமானதாகவோ இருக்கலாம் என்பதை நினைவில் கொள்க. மாற்றாக, சிலருக்கு உள்ளீடுகளுடன் ஒரு மேட்ரிக்ஸ் எங்கே என்று மாதிரியை வெளிப்படுத்தலாம். முழுமையற்ற மேட்ரிக்ஸை மீட்டெடுக்க, பின்வரும் உகப்பாக்கம் சிக்கலை தீர்க்க முயற்சிக்கிறோம்ஃ தரவுகளுடன் ஒத்துப்போகும் அனைத்து மேட்ரிக்ஸ்களிலும், குறைந்தபட்ச அணு நெறிமுறை கொண்ட ஒன்றைக் கண்டறியவும். இந்த மறுசீரமைப்பு துல்லியமானது என்பதை கேண்டஸ் மற்றும் பிளான் நிரூபித்துள்ளன. சரியான சத்தம் இல்லாத மீட்பு ஏற்படும் போது, மேட்ரிக்ஸ் நிறைவு ஒரு குழப்பங்களுக்கு எதிராக நிலையானது என்பதை அவர்கள் நிரூபித்துள்ளனர். பிழை சத்தம் நிலைக்கு விகிதாசாரமாக உள்ளது. எனவே, சத்தம் அளவு சிறியதாக இருக்கும்போது, பிழை சிறியதாக இருக்கும். இங்கே மேட்ரிக்ஸ் நிறைவு சிக்கல் கட்டுப்படுத்தப்பட்ட ஐசோமெட்ரி பண்புக்கு (ஆர்ஐபி) கீழ்ப்படியாது. மெட்ரிக்குகளைப் பொறுத்தவரை, ஆர்ஐபி மாதிரி ஆபரேட்டர் போதுமான அளவு சிறிய தரவரிசை மற்றும் போதுமான அளவு சிறிய அனைத்து மெட்ரிக்குகளுக்கும் கீழ்ப்படிகிறார் என்று கருதுகிறது. ஆர்ஐபி இல்லாத சிறிய சமிக்ஞை மீட்பு சிக்கல்களுக்கும் இந்த முறைகள் பொருந்தும். உயர் தரவரிசை மேட்ரிக்ஸ் நிறைவு பொதுவாக உயர் தரவரிசை மேட்ரிக்ஸ் நிறைவு NP-ஹார்ட் ஆகும். இருப்பினும், சில அனுமானங்களுடன், சில முழுமையற்ற உயர் தரவரிசை மேட்ரிக்ஸ் அல்லது முழு தரவரிசை மேட்ரிக்ஸ் கூட முடிக்கப்படலாம். எரிக்சன், பால்ஸானோ மற்றும் நோவாக் ஆகியோர் மேட்ரிக்ஸின் நெடுவரிசைகள் பல குறைந்த தரவரிசை துணை இடங்களின் சங்கமத்தைச் சேர்ந்தவை என்ற அனுமானத்துடன் ஒரு மேட்ரிக்ஸை நிறைவு செய்வதில் உள்ள சிக்கலைக் கருத்தில் கொண்டுள்ளனர். நெடுவரிசைகள் துணை இடங்களின் சங்கமத்தைச் சேர்ந்தவை என்பதால், சிக்கல் துணை இடக் கிளஸ்டரிங் சிக்கலின் காணாமல் போன தரவு பதிப்பாகக் கருதப்படலாம். ஒரு மேட்ரிக்ஸாக இருக்கட்டும், அதன் (முழுமையான) நெடுவரிசைகள் அதிகபட்ச துணை இடங்களின் சங்கமத்தில் உள்ளன, ஒவ்வொன்றும், மற்றும் அனுமானிக்கவும். எரிக்சன், பால்ஸானோ மற்றும் நோவாக் ஆகியோர் லேசான அனுமானங்களின் கீழ் ஒவ்வொரு நெடுவரிசையையும் ஒரு முழுமையற்ற பதிப்பிலிருந்து அதிக நிகழ்தகவுடன் முழுமையாக மீட்டெடுக்க முடியும் என்பதைக் காட்டினர், குறைந்தபட்சம் உள்ளீடுகள் சீரற்ற முறையில் ஒரே மாதிரியாகக் காணப்படுகின்றன, வழக்கமான ஒத்திசைவற்ற நிலைமைகள், வடிவியல் ஏற்பாட்டைப் பொறுத்து மாறிலி துணை இடங்களின், மற்றும் துணை இடங்களின் மீது நெடுவரிசைகளின் விநியோகம். இந்த வழிமுறை பல படிகளை உள்ளடக்கியதுஃ (1) உள்ளூர் சுற்றுப்புறங்கள்; (2) உள்ளூர் துணை இடங்கள்; (3) துணை இடம் சுத்திகரிப்பு; (4) முழு அணி நிறைவு. இந்த முறையை இணைய தூர மேட்ரிக்ஸ் நிறைவு மற்றும் இடவியல் அடையாளத்திற்கு பயன்படுத்தலாம். குறைந்த தரவரிசை மேட்ரிக்ஸ் நிறைவு வழிமுறைகள் பல்வேறு மேட்ரிக்ஸ் நிறைவு வழிமுறைகள் முன்மொழியப்பட்டுள்ளன. குவிந்த தளர்வு அடிப்படையிலான வழிமுறை, சாய்வு அடிப்படையிலான வழிமுறை மற்றும் மாற்று மினிமைசேஷன் அடிப்படையிலான வழிமுறை ஆகியவை இதில் அடங்கும். கன்வெக்ஸ் தளர்வு தரவரிசை குறைப்பு சிக்கல் NP-கடினமானது. கேண்டஸ் மற்றும் ரெக்ட் ஆகியோரால் முன்மொழியப்பட்ட ஒரு அணுகுமுறை, சிக்கலின் குவிந்த தளர்வை உருவாக்கி, அணு நெறிமுறையை (இது ஒருமை மதிப்புகளின் கூட்டுத்தொகையை அளிக்கிறது) குறைப்பதாகும் (இது பூஜ்ஜியமற்ற ஒருமை மதிப்புகளின் எண்ணிக்கையை கணக்கிடுகிறது). இது திசையன்களுக்கான L0-நெறிமுறையை விட L1-நெறிமுறையை குறைப்பதற்கு ஒத்ததாகும். உகப்பாக்கம் சிக்கல் குவிந்த தளர்வைத் தீர்க்க SDP ஐப் பயன்படுத்துவதன் சிக்கலானது சமம் என்பதைக் கவனிப்பதன் மூலம் குவிந்த தளர்வு அரை வரையறுக்கப்பட்ட நிரலாக்கத்தைப் (SDP) பயன்படுத்தி தீர்க்கப்படலாம். எஸ். டி. பி. டி. 3 போன்ற அதிநவீன தீர்வுகள் 100 முதல் 100 வரையிலான அளவுகோல்களை மட்டுமே கையாள முடியும் ஒரு மாற்று முதல் வரிசை முறையானது குவிந்த தளர்வுகளை தோராயமாக தீர்க்கிறது, இது காய், கேண்டெஸ் மற்றும் ஷென் ஆகியோரால் அறிமுகப்படுத்தப்பட்ட ஒற்றை மதிப்பு வரம்புக்குட்பட்ட வழிமுறையாகும். பானாச் இடைவெளிகளில் சீரற்ற மாறிகள் பற்றிய ஆய்வைப் பயன்படுத்தி கேண்டஸ் மற்றும் ரெக்ட், கவனிக்கப்பட்ட உள்ளீடுகளின் எண்ணிக்கை வரிசையில் இருந்தால் (பொதுத்தன்மையை இழக்காமல் வைத்துக்கொள்வோம்), தரவரிசை குறைப்பு சிக்கல் ஒரு தனித்துவமான தீர்வைக் கொண்டுள்ளது, இது தீர்வாகவும் நிகழ்கிறது சில மாறிலிகளுக்கான நிகழ்தகவுடன் அதன் குவிந்த தளர்வு. தரவரிசை சிறியதாக இருந்தால் (), அவதானிப்புகளின் தொகுப்பின் அளவு வரிசைக்கு குறைகிறது. இந்த முடிவுகள் உகந்தவை, ஏனெனில் மேட்ரிக்ஸ் நிறைவு சிக்கலை குறைத்து மதிப்பிடாமல் இருக்க குறைந்தபட்ச எண்ணிக்கையிலான உள்ளீடுகள் கவனிக்கப்பட வேண்டும். இந்த முடிவை கேண்டெஸ் மற்றும் தாவோ மேம்படுத்தினர். அவை அனுமானங்களை வலுப்படுத்துவதன் மூலம் பாலிலோகரிதமிக் காரணிகளால் மட்டுமே உகந்த வரம்புகளிலிருந்து வேறுபடும் வரம்புகளை அடைகின்றன. ஒத்திசைவற்ற பண்பு பதிலாக, அவர்கள் அளவுரு வலுவான ஒத்திசைவற்ற பண்பு கருதுகின்றனர். இந்த பண்பு பின்வருமாறு கூறுகிறதுஃ for and for உள்ளீடுகள் உள்ளுணர்வாக, ஒரு மேட்ரிக்ஸின் வலுவான ஒத்திசைவற்ற தன்மையால் வரம்புக்குட்பட்டவை, நிலையான அடிப்படை திசையன்களின் ஆர்த்தோகனல் கணிப்புகள் ஒற்றை திசையன்கள் சீரற்ற முறையில் விநியோகிக்கப்பட்டால் அதிக சாத்தியக்கூறுகளைக் கொண்ட அளவைக் கொண்டுள்ளன என்று வலியுறுத்துகிறது. கேண்டெஸ் மற்றும் தாவோ, எப்போது மற்றும் கவனிக்கப்பட்ட உள்ளீடுகளின் எண்ணிக்கை வரிசையில் உள்ளது என்பதைக் கண்டறிந்தனர், தரவரிசை குறைப்பு சிக்கல் ஒரு தனித்துவமான தீர்வைக் கொண்டுள்ளது, இது சில மாறிலிகளுக்கான நிகழ்தகவுடன் அதன் குவிந்த தளர்வுக்கான தீர்வாகவும் நிகழ்கிறது. தன்னிச்சையாக, இந்த கூற்றுக்கு போதுமான கவனிக்கப்பட்ட உள்ளீடுகளின் எண்ணிக்கை உண்மையாக உள்ளது மற்றொரு குவிந்த தளர்வு அணுகுமுறை ஒரு தரவரிசை கட்டுப்பாட்டின் கீழ் ஃப்ரோபீனியஸ் ஸ்கொயர் நெறிமுறையைக் குறைப்பதாகும். இது தீர்ப்பதற்கு சமம் ஒரு ஆர்த்தோகனல் ப்ரொஜெக்ஷன் மேட்ரிக்ஸை (பொருள்) அறிமுகப்படுத்துவதன் மூலம், இந்த சிக்கலின் குவிந்த தளர்வை மாதிரியாகக் கொண்டு, பின்வரும் அரை வரையறுக்கப்பட்ட நிரலைப் பெறுகிறோம். இல்லையெனில், இது ஒட்டுமொத்த நோக்கத்திற்கு செல்லுபடியாகும் குறைந்த வரம்பை வழங்குகிறது. மேலும், Y இன் ஐகென் மதிப்புகளை பேராசையுடன் வட்டமிடுவதன் மூலம் (சற்றே) பெரிய நோக்கத்துடன் இது ஒரு சாத்தியமான தீர்வாக மாற்றப்படலாம். குறிப்பிடத்தக்க வகையில், எந்தவொரு எஸ். டி. பி. களையும் தீர்க்காமல் எக்ஸ் மற்றும் ஒய் மீது மினிமைசேஷனை மாற்றுவதன் மூலம் இந்த குவிந்த தளர்வு தீர்க்கப்படலாம், இதனால் இது எஸ். டி. பி. டி 3 அல்லது மோசெக் போன்ற அதிநவீன எஸ். டி. பி தீர்வுகளின் வழக்கமான எண் வரம்புகளுக்கு அப்பால் அளவிடப்படுகிறது. இந்த அணுகுமுறை மிகவும் பொதுவான சீர்திருத்த நுட்பத்தின் ஒரு சிறப்பு நிகழ்வாகும், இது ஒரு ட்ரேஸ்-மேட்ரிக்ஸ்-கன்வெக்ஸ் நோக்கத்துடன் எந்தவொரு குறைந்த தரவரிசை சிக்கலிலும் செல்லுபடியாகும் குறைந்த வரம்பைப் பெற பயன்படுத்தப்படலாம். சாய்வு வம்சாவளியைச் சேர்ந்த கேசவன், மொண்டனாரி மற்றும் ஓ ஆகியோர் மேட்ரிக்ஸ் முடிவின் ஒரு மாறுபாட்டைக் கருத்தில் கொள்கிறார்கள், அங்கு மீட்டெடுக்கப்பட வேண்டிய மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசை அறியப்படுகிறது. பெர்னௌலி உள்ளீடுகளின் மாதிரி, நிலையான அம்ச விகிதம், உள்ளீடுகளின் வரம்புக்குட்பட்ட அளவு (மேல் வரம்பாக இருக்கட்டும்) மற்றும் நிலையான நிபந்தனை எண் (முறையே மிகப்பெரிய மற்றும் மிகச்சிறிய ஒருமை மதிப்புகள்) ஆகியவற்றை அவை கருதுகின்றன. மேலும், இரண்டு ஒத்திசைவற்ற நிபந்தனைகளும் திருப்தி அடைந்துள்ளன, எங்கே மற்றும் மாறிலிகள் என்று அவர்கள் கருதுகின்றனர். கவனிக்கப்பட்ட உள்ளீடுகளின் தொகுப்பில் பொருந்தக்கூடிய ஒரு மேட்ரிக்ஸ் மற்றும் வேறு இடங்களில் 0 ஆக இருக்கட்டும். பின்னர் அவர்கள் பின்வரும் வழிமுறையை முன்மொழிகிறார்கள்ஃ நெடுவரிசைகளில் உள்ளீடுகளை 0 ஆக அமைப்பதை விட டிகிரி பெரிய நெடுவரிசைகளிலிருந்து அனைத்து அவதானிப்புகளையும் அகற்றுவதன் மூலம் வரிசைப்படுத்தவும். இதேபோல் அதை விட பெரிய டிகிரி கொண்ட வரிசைகளிலிருந்து அனைத்து அவதானிப்புகளையும் அகற்றவும். அதன் முதல் முக்கிய கூறுகளில் திட்டமிடுங்கள். இதன் விளைவாக வரும் மேட்ரிக்ஸை அழைக்கவும். வரி தேடலுடன் சாய்வு வம்சத்தின் மூலம் சில ஒழுங்குமுறைப்படுத்தல் செயல்பாடு எங்கே என்பதைத் தீர்க்கவும். எங்கிருந்து என்பதை துவக்குங்கள். ஒத்திசைவற்றதாக இருந்தால், சாய்வு இறங்கு முழுவதும் ஒத்திசைவற்றதாக இருக்க கட்டாயப்படுத்தும் சில செயல்பாடுகளாக அமைக்கவும். மேட்ரிக்ஸைத் திருப்பித் தரவும். வழிமுறையின் 1 மற்றும் 2 படிகள் அதிக நிகழ்தகவுடன் உண்மையான மேட்ரிக்ஸுக்கு மிக நெருக்கமான ஒரு மேட்ரிக்ஸை (ரூட் சராசரி சதுர பிழையால் (ஆர். எம். எஸ். இ) அளவிடப்படுகிறது) வழங்குகின்றன. குறிப்பாக, நிகழ்தகவுடன், சில மாறிலிகளுக்கு. இது ஃப்ரோபீனியஸ் நெறிமுறையைக் குறிக்கிறது. இந்த முடிவை தக்கவைக்க முழு அனுமானங்களின் தொகுப்பு தேவையில்லை என்பதை நினைவில் கொள்க. எடுத்துக்காட்டாக, ஒத்திசைவற்ற நிலை, சரியான புனரமைப்பில் மட்டுமே செயல்படுகிறது. இறுதியாக, டிரிம்மிங் என்பது தகவல்களை வெளியேற்றுவதை உள்ளடக்கியது என்பதால் எதிர்மறையான உள்ளுணர்வாகத் தோன்றினாலும், அதன் முதல் முக்கிய கூறுகளில் திட்டமிடுவது கவனிக்கப்பட்ட உள்ளீடுகளை விட அடிப்படை மேட்ரிக்ஸ் பற்றிய கூடுதல் தகவல்களைத் தருவதை உறுதி செய்கிறது. படி 3 இல், உள் மினிமைசேஷன் சிக்கல் எங்கு அதே தீர்வைக் கொண்டுள்ளது மற்றும் மேட்ரிக்ஸ்களால் ஆர்த்தோனார்மல் என்பதைக் கவனிப்பதன் மூலம் கேண்டிடேட் மேட்ரிக்ஸின் இடத்தை குறைக்க முடியும். பின்னர் இரண்டு கிராஸ்மேன் பன்மடங்கு குறுக்கு விளைபொருளின் மீது சாய்வு வம்சாவளியை நிகழ்த்தலாம். கவனிக்கப்பட்ட நுழைவு தொகுப்பு வரிசையில் இருந்தால், படி 3 ஆல் திருப்பி அனுப்பப்பட்ட மேட்ரிக்ஸ் சரியாக இருக்கும். பின்னர் அல்காரிதம் வரிசை உகந்ததாகும், ஏனெனில் மேட்ரிக்ஸ் நிறைவு சிக்கலை குறைத்து மதிப்பிடக்கூடாது என்றால் உள்ளீடுகளின் எண்ணிக்கை வரிசையில் இருக்க வேண்டும் என்பதை நாம் அறிவோம். மாற்று குறைந்தபட்ச சதுரக் குறைப்பு என்பது கொடுக்கப்பட்ட தரவுகளுக்கு மிகவும் பொருத்தமான குறைந்த தரவரிசை மேட்ரிக்ஸ்களைக் கண்டுபிடிப்பதற்கான பரவலாக பொருந்தக்கூடிய மற்றும் அனுபவ ரீதியாக வெற்றிகரமான அணுகுமுறையைக் குறிக்கிறது. எடுத்துக்காட்டாக, குறைந்த தரவரிசை மேட்ரிக்ஸ் நிறைவு சிக்கலுக்கு, இந்த முறை மிகவும் துல்லியமான மற்றும் திறமையான ஒன்றாகும் என்று நம்பப்படுகிறது, மேலும் நெட்ஃபிக்ஸ் சிக்கலில் வெற்றி உள்ளீட்டின் முக்கிய அங்கமாக அமைந்தது. மாற்று மினிமைசேஷன் அணுகுமுறையில், குறைந்த தரவரிசை இலக்கு மேட்ரிக்ஸ் இருமுனை வடிவத்தில் எழுதப்பட்டுள்ளதுஃ வழிமுறை பின்னர் சிறந்த மற்றும் சிறந்ததைக் கண்டுபிடிப்பதற்கு இடையில் மாறி மாறி வருகிறது. ஒட்டுமொத்த சிக்கல் கன்வெக்ஸ் அல்லாததாக இருந்தாலும், ஒவ்வொரு துணைப் பிரச்சினையும் பொதுவாக கன்வெக்ஸ் மற்றும் திறம்பட தீர்க்கப்படலாம். மேட்ரிக்ஸ் நிறைவு மற்றும் மேட்ரிக்ஸ் உணர்தல் ஆகிய இரண்டிற்கும் மாறி மாறி மினிமைசேஷன் செயல்திறனுக்கான முதல் உத்தரவாதங்களில் ஒன்றை ஜெயின், நேத்ரபள்ளி மற்றும் சங்கவி வழங்கியுள்ளனர். மாற்று மினிமைசேஷன் அல்காரிதம் பின்வரும் கன்வெக்ஸ் அல்லாத சிக்கலைத் தீர்ப்பதற்கான தோராயமான வழியாகக் கருதப்படலாம்ஃ ஜெயின், நேத்ரபள்ளி மற்றும் சங்கவி ஆகியோரால் முன்மொழியப்பட்ட ஆல்ட்மின்கம்ப்லீட் அல்காரிதம் இங்கே பட்டியலிடப்பட்டுள்ளதுஃ உள்ளீடுஃ கவனிக்கப்பட்ட தொகுப்பு, பகிர்வை துணைக்குழுக்களாக மதிப்பிடுகிறது, ஒவ்வொரு உறுப்புக்கும் சமமான நிகழ்தகவுடன் (மாற்றுடன் மாதிரி) அதாவது, கிளிப்பிங்கின் மேல்-இடது ஒற்றை திசையன்கள்ஃ பூஜ்ஜியத்தை விட அதிகமான அளவைக் கொண்ட அனைத்து கூறுகளையும் அமைக்கவும், திரும்புவதற்கான டூ எண்டின் நெடுவரிசைகளை ஆர்த்தோனார்மலைஸ் செய்யவும் அவை ஒத்திசைவற்ற மேட்ரிக்ஸின் சீரற்ற உள்ளீடுகளைக் கவனிப்பதன் மூலம், ஆல்ட்மின்கம்ப்லீட் அல்காரிதம் படிகளில் மீட்க முடியும் என்பதைக் காட்டின. மாதிரி சிக்கலைப் பொறுத்தவரை, கோட்பாட்டளவில், மாற்று மினிமைசேஷனுக்கு கன்வெக்ஸ் ரிலாக்ஸேஷனை விட பெரியது தேவைப்படலாம். இருப்பினும் அனுபவ ரீதியாக இது மாதிரி சிக்கலான வரம்புகளை மேலும் இறுக்க முடியும் என்பதைக் குறிக்கும் வகையில் இல்லை. நேர சிக்கலைப் பொறுத்தவரை, ஆல்ட்மின்கம்ப்லீட்டுக்கு நேரம் தேவை என்பதை அவர்கள் காட்டினர். குவிந்த தளர்வு அடிப்படையிலான முறைகள் கடுமையான பகுப்பாய்வைக் கொண்டிருந்தாலும், மாற்று மினிமைசேஷன் அடிப்படையிலான வழிமுறைகள் நடைமுறையில் மிகவும் வெற்றிகரமாக உள்ளன என்பது கவனிக்கத்தக்கது. பயன்பாடுகள் மேட்ரிக்ஸ் முடிவின் பல பயன்பாடுகள் கேண்டெஸ் மற்றும் பிளானால் பின்வருமாறு சுருக்கமாகக் கூறப்படுகின்றனஃ கூட்டு வடிகட்டுதல் கூட்டு வடிகட்டுதல் என்பது பல பயனர்களிடமிருந்து சுவைத் தகவல்களைச் சேகரிப்பதன் மூலம் ஒரு பயனரின் ஆர்வங்களைப் பற்றி தானியங்கி கணிப்புகளைச் செய்யும் பணியாகும். ஆப்பிள், அமேசான், பார்ன்ஸ் அண்ட் நோபல் மற்றும் நெட்ஃபிக்ஸ் போன்ற நிறுவனங்கள் தங்கள் பயனர் விருப்பங்களை பகுதி அறிவிலிருந்து கணிக்க முயற்சிக்கின்றன. இந்த வகையான மேட்ரிக்ஸ் நிறைவு சிக்கலில், அறியப்படாத முழு மேட்ரிக்ஸ் பெரும்பாலும் குறைந்த தரவரிசையாகக் கருதப்படுகிறது, ஏனெனில் ஒரு சில காரணிகள் மட்டுமே பொதுவாக ஒரு நபரின் சுவை அல்லது விருப்பத்திற்கு பங்களிக்கின்றன. கணினி அடையாளக் கட்டுப்பாட்டில், உள்ளீடுகள் மற்றும் வெளியீடுகளின் வரிசைக்கு ஒரு தனித்துவமான நேர நேரியல் நேர மாறுபட்ட நிலை-விண்வெளி மாதிரியைப் பொருத்த ஒருவர் விரும்புகிறார். திசையன் என்பது நேரத்தில் அமைப்பின் நிலை மற்றும் அமைப்பு மாதிரியின் வரிசையாகும். உள்ளீடு/வெளியீடு ஜோடியிலிருந்து, ஒருவர் மேட்ரிக்ஸ்கள் மற்றும் ஆரம்ப நிலையை மீட்டெடுக்க விரும்புகிறார். இந்த சிக்கலை குறைந்த தரவரிசை மேட்ரிக்ஸ் நிறைவு சிக்கலாகவும் பார்க்கலாம். இன்டர்நெட் ஆஃப் திங்ஸ் (ஐஓடி) உள்ளூர்மயமாக்கல் ஐஓடி சென்சார் நெட்வொர்க்குகளில் உள்ளூர்மயமாக்கல் (அல்லது உலகளாவிய நிலைப்படுத்தல்) சிக்கல் இயற்கையாகவே வெளிப்படுகிறது. சிக்கல் என்னவென்றால், யூக்ளிடியன் இடத்தில் உள்ள சென்சார் வரைபடத்தை ஜோடி வாரியான தூரங்களின் உள்ளூர் அல்லது பகுதி தொகுப்பிலிருந்து மீட்டெடுப்பது. எனவே சென்சார்கள் 2-டி தளத்தில் அமைந்திருந்தால் தரவரிசை இரண்டிலும், அவை 3-டி இடத்தில் இருந்தால் மூன்றிலும் இது ஒரு மேட்ரிக்ஸ் நிறைவு சிக்கலாகும். சமூக வலைப்பின்னல்கள் மீட்பு நிஜ உலக சமூக வலைப்பின்னல்களில் பெரும்பாலானவை குறைந்த தரவரிசை தூர மேட்ரிக்ஸ்களைக் கொண்டுள்ளன. தனியார் முனைகள், வரையறுக்கப்பட்ட சேமிப்பு அல்லது கணக்கீட்டு வளங்கள் போன்ற காரணங்களால் முழுமையான நெட்வொர்க்கை அளவிட முடியாதபோது, எங்களிடம் அறியப்பட்ட தூர உள்ளீடுகளின் ஒரு பகுதி மட்டுமே உள்ளது. குற்றவியல் நெட்வொர்க்குகள் அத்தகைய நெட்வொர்க்குகளுக்கு ஒரு சிறந்த எடுத்துக்காட்டு. இந்த கவனிக்கப்படாத தூரங்களை மீட்டெடுக்க குறைந்த தரவரிசை மேட்ரிக்ஸ் நிறைவு பயன்படுத்தப்படலாம். மேட்ரிக்ஸ் முறைப்படுத்தல் நெட்ஃபிக்ஸ் பரிசு கூட்டு வடிகட்டுதல் அமைப்பு அடையாளம் கன்வெக்ஸ் ஆப்டிமைசேஷன் இம்ப்யூட்டேஷன் குறிப்புகள் மேட்ரிக்ஸ் கோட்பாட்டைப் பார்க்கவும்