Ricci calculus
கணிதத்தில், ரிச்சி கால்குலஸ் என்பது ஒரு மெட்ரிக் டென்சர் அல்லது இணைப்புடன் அல்லது இல்லாமல், வேறுபடுத்தக்கூடிய பன்மடங்கு மீது டென்சர்கள் மற்றும் டென்சர் புலங்களுக்கான குறியீட்டு குறியீடு மற்றும் கையாளுதலின் விதிகளை உருவாக்குகிறது. கிரிகோரியோ ரிச்சி-கர்பாஸ்ட்ரோ 1887-1896 இல் உருவாக்கிய முழுமையான வேறுபட்ட கால்குலஸ் (டென்சர் கால்குலஸின் அடித்தளம்) என்று அழைக்கப்படும் நவீன பெயரும் இதுவாகும், பின்னர் 1900 இல் அவரது மாணவர் டுலியோ லெவி-சிவிடாவுடன் எழுதப்பட்ட ஒரு கட்டுரையில் பிரபலப்படுத்தப்பட்டது. ஜான் அர்னால்டஸ் ஷூட்டன் இந்த கணித கட்டமைப்பிற்கான நவீன குறியீடு மற்றும் சம்பிரதாயத்தை உருவாக்கினார், மேலும் இருபதாம் நூற்றாண்டின் முற்பகுதியில் பொது சார்பியல் மற்றும் வேறுபட்ட வடிவவியலுக்கான அதன் பயன்பாடுகளின் போது கோட்பாட்டிற்கு பங்களிப்புகளை வழங்கினார். டென்சரின் ஒரு கூறு என்பது ஒரு உண்மையான எண் ஆகும், இது டென்சர் இடத்திற்கான அடிப்படை தனிமத்தின் குணகமாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது. டென்சர் என்பது அதன் கூறுகளின் கூட்டுத்தொகையாகும், அவற்றின் தொடர்புடைய அடிப்படை கூறுகளால் பெருக்கப்படுகிறது. டென்சர்கள் மற்றும் டென்சர் புலங்களை அவற்றின் கூறுகளின் அடிப்படையில் வெளிப்படுத்தலாம், மேலும் டென்சர்கள் மற்றும் டென்சர் புலங்களில் உள்ள செயல்பாடுகளை அவற்றின் கூறுகளின் செயல்பாடுகளின் அடிப்படையில் வெளிப்படுத்தலாம். டென்சர் புலங்கள் மற்றும் அவற்றின் செயல்பாடுகளை அவற்றின் கூறுகளின் அடிப்படையில் விவரிப்பது ரிச்சி கால்குலஸின் மையமாகும். இந்த குறியீடு அத்தகைய இழுவிசை புலங்கள் மற்றும் செயல்பாடுகளின் திறமையான வெளிப்பாட்டை அனுமதிக்கிறது. பெரும்பாலான குறியீடுகள் எந்த டென்சர்களுடனும் பயன்படுத்தப்படலாம் என்றாலும், வேறுபட்ட அமைப்பு தொடர்பான செயல்பாடுகள் டென்சர் புலங்களுக்கு மட்டுமே பொருந்தும். தேவைப்படும் இடங்களில், குறியீடு டென்சர்கள் அல்லாத கூறுகளுக்கு, குறிப்பாக பன்முக வரிசைகளுக்கு விரிவடைகிறது. திசையன் மற்றும் கோவெக்டர் அடிப்படைக் கூறுகளின் டென்சர் பெருக்கலின் நேரியல் கூட்டுத்தொகையாக ஒரு டென்சர் வெளிப்படுத்தப்படலாம். இதன் விளைவாக வரும் டென்சர் கூறுகள் அடிப்படையின் குறியீடுகளால் பெயரிடப்படுகின்றன. ஒவ்வொரு குறியீடும் அடிப்படை திசையன் இடத்தின் ஒரு பரிமாணத்திற்கு ஒரு சாத்தியமான மதிப்பைக் கொண்டுள்ளது. குறியீடுகளின் எண்ணிக்கை டென்சரின் டிகிரி (அல்லது வரிசை) க்கு சமம். சுருக்கத்திற்கும் வசதிக்கும், ரிச்சி கால்குலஸ் ஐன்ஸ்டீன் குறியீட்டை உள்ளடக்கியது, இது ஒரு காலத்திற்குள் மீண்டும் மீண்டும் குறியீடுகளின் கூட்டுத்தொகை மற்றும் இலவச குறியீடுகளின் மீது உலகளாவிய அளவீட்டைக் குறிக்கிறது. ரிச்சி கால்குலஸின் குறியீட்டில் உள்ள வெளிப்பாடுகள் பொதுவாக கூறுகளை பன்மடங்கு செயல்பாடுகளாக தொடர்புபடுத்தும் ஒரே நேரத்தில் சமன்பாடுகளின் தொகுப்பாக விளக்கப்படலாம், பொதுவாக குறிப்பாக பன்மடங்கு ஆயத்தொகுதிகளின் செயல்பாடுகளாக. இது ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட விதிகளின் தொகுப்பை மட்டுமே நன்கு அறிந்த வெளிப்பாடுகளின் உள்ளுணர்வு கையாளுதலை அனுமதிக்கிறது. குறியீடுகளுக்கான குறிப்பு அடிப்படை தொடர்பான வேறுபாடுகள் இடம் மற்றும் நேர ஆயத்தங்கள் கிளாசிக்கல் இயற்பியலின் நான்கு பரிமாண இடநேரத்தில் இடம் போன்ற அடிப்படை கூறுகளுக்கும் நேரம் போன்ற உறுப்புக்கும் இடையில் ஒரு வேறுபாடு செய்யப்பட வேண்டிய இடத்தில், இது வழக்கமாக குறியீடுகள் மூலம் பின்வருமாறு செய்யப்படுகிறதுஃ சிறிய எழுத்து லத்தீன் எழுத்துக்கள் முப்பரிமாண யூக்ளிடியன் இடத்திற்கான கட்டுப்பாட்டைக் குறிக்கப் பயன்படுத்தப்படுகின்றன, அவை இடஞ்சார்ந்த கூறுகளுக்கு 1,2,3 மதிப்புகளை எடுத்துக்கொள்கின்றன; மற்றும் நேரம் போன்ற உறுப்பு, 0 ஆல் குறிக்கப்படுகிறது, தனித்தனியாக காட்டப்படுகிறது. சிறிய எழுத்து கிரேக்க எழுத்துக்கள் 4 பரிமாண இடைவெளி நேரத்திற்கு பயன்படுத்தப்படுகின்றன, இது பொதுவாக நேர கூறுகளுக்கு 0 மற்றும் இடஞ்சார்ந்த கூறுகளுக்கு 1,2,3 மதிப்புகளை எடுக்கும். சில ஆதாரங்கள் நேரத்துடன் தொடர்புடைய குறியீட்டு மதிப்பாக 0 க்கு பதிலாக 4 ஐப் பயன்படுத்துகின்றன; இந்த கட்டுரையில், 0 பயன்படுத்தப்படுகிறது. இல்லையெனில், பொதுவான கணிதச் சூழல்களில், பொதுவாக திசையன் இடத்தின் அனைத்து பரிமாணங்களிலும் இயங்கும் குறியீடுகளுக்கு எந்த குறியீடுகளையும் பயன்படுத்தலாம். ஒருங்கிணைப்பு மற்றும் குறியீட்டு குறியீடு ஒரு சந்தா ஒரு குறியீடாக அல்லது ஒரு லேபிளாக கருதப்படுகிறதா என்பதை ஆசிரியர் (கள்) பொதுவாக தெளிவுபடுத்துவார். எடுத்துக்காட்டாக, 3-டி யூக்ளிடியன் இடத்தில் மற்றும் கார்ட்டீசியன் ஆயத்தொகுதிகளைப் பயன்படுத்தி; ஒருங்கிணைப்பு திசையன் 1,2,3 சந்தாக்களுக்கும் லேபிள்களுக்கும் இடையிலான நேரடி தொடர்பைக் காட்டுகிறது. வெளிப்பாட்டில், 1,2,3 மதிப்புகளைக் கொண்ட ஒரு குறியீடாக விளக்கப்படுகிறது, அதே நேரத்தில், சந்தாக்கள் லேபிள்கள் மட்டுமே, மாறிகள் அல்ல. இடநேரத்தின் சூழலில், குறியீட்டு மதிப்பு 0 வழக்கமாக லேபிளுக்கு ஒத்திருக்கிறது. அடிப்படை குறியீடுகளுக்கான குறிப்பு, அந்த குறியீட்டிற்கான வேறுபட்ட அடிப்படையைக் குறிக்க, தொப்பி (̃), பட்டை (̃), டில்டே (̃) அல்லது பகா எண் (′) போன்ற டயாக்ரிடிக் போன்ற சின்னங்களைப் பயன்படுத்தி பெயரிடப்படலாம். ஒரு எடுத்துக்காட்டு லோரெண்ட்ஸ் உருமாற்றங்களில் ஒரு குறிப்புச் சட்டகத்திலிருந்து மற்றொன்றுக்கு உள்ளது, அங்கு ஒரு சட்டகம் முதன்மைப்படுத்தப்படாததாகவும் மற்றொன்று முதன்மைப்படுத்தப்பட்டதாகவும் இருக்கலாம், பின்வருமாறுஃ இது சுழற்சிகளுக்கான வான் டெர் வேர்டன் குறியீட்டுடன் குழப்பமடையக்கூடாது, இது ஒரு சுழற்சியின் சிராலிட்டியை பிரதிபலிக்க குறியீடுகளில் தொப்பிகள் மற்றும் மிகைப்படுத்தல்களைப் பயன்படுத்துகிறது. மேல் மற்றும் கீழ் குறியீடுகள் ரிச்சி கால்குலஸ் மற்றும் குறியீட்டு குறியீடு பொதுவாக, குறைந்த குறியீடுகள் (சந்தாக்கள்) மற்றும் மேல் குறியீடுகள் (மேல்நிலை குறியீடுகள்) இடையே வேறுபடுகின்றன; பிந்தையவை அடுக்குகள் அல்ல, அவை வாசகருக்கு கணிதத்தின் பிற பகுதிகளை மட்டுமே நன்கு அறிந்திருந்தாலும் கூட. மெட்ரிக் டென்சர் எல்லா இடங்களிலும் அடையாள மேட்ரிக்ஸுக்கு சமமாக இருக்கும் சிறப்பு வழக்கில், மேல் மற்றும் கீழ் குறியீடுகளுக்கு இடையிலான வேறுபாட்டைக் குறைக்க முடியும், பின்னர் அனைத்து குறியீடுகளையும் கீழ் நிலையில் எழுதலாம். மேட்ரிக்ஸின் பெருக்கல் போன்ற நேரியல் இயற்கணிதத்தில் ஒருங்கிணைந்த சூத்திரங்கள் இதற்கு எடுத்துக்காட்டுகளாக இருக்கலாம். ஆனால் பொதுவாக, மேல் மற்றும் கீழ் குறியீடுகளுக்கு இடையிலான வேறுபாட்டை பராமரிக்க வேண்டும். கோவேறியன்ட் டென்சர் கூறுகள் ஒரு குறைந்த குறியீடு (சப்ஸ்கிரிப்ட்) அந்த குறியீட்டைப் பொறுத்தவரை கூறுகளின் கோவேறியன்ஸைக் குறிக்கிறதுஃ மாறுபட்ட டென்சர் கூறுகள் ஒரு மேல் குறியீடு (சூப்பர்ஸ்கிரிப்ட்) அந்த குறியீட்டைப் பொறுத்தவரை கூறுகளின் முரண்பாட்டைக் குறிக்கிறதுஃ கலப்பு-மாறுபாடு டென்சர் கூறுகள் ஒரு டென்சர் மேல் மற்றும் கீழ் குறியீடுகள் இரண்டையும் கொண்டிருக்கலாம்ஃ குறியீடுகளின் வரிசைப்படுத்தல் குறிப்பிடத்தக்கது, வேறுபட்ட மாறுபாட்டின் போது கூட. இருப்பினும், அடிப்படை குறியீட்டைத் தக்கவைக்கும் போது எந்த குறியீடுகளும் உயர்த்தப்படவோ அல்லது குறைக்கப்படவோ மாட்டாது என்று புரிந்து கொள்ளும்போது, மாறுபட்ட குறியீடுகள் சில நேரங்களில் குறியீட்டு வசதிக்காக மாறுபட்ட குறியீடுகளுக்கு கீழே வைக்கப்படுகின்றன (எ. கா. பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட க்ரோனெக்கர் டெல்டாவுடன்). டென்சர் வகை மற்றும் டிகிரி ஒரு டென்சரின் ஒவ்வொரு மேல் மற்றும் கீழ் குறியீடுகளின் எண்ணிக்கையும் அதன் வகையை அளிக்கிறதுஃ மேல் மற்றும் கீழ் குறியீடுகளைக் கொண்ட ஒரு டென்சர் வகை அல்லது வகை-டென்சர் என்று கூறப்படுகிறது. ஒரு டென்சரின் குறியீடுகளின் எண்ணிக்கை, மாறுபாட்டைப் பொருட்படுத்தாமல், டென்சரின் டிகிரி என்று அழைக்கப்படுகிறது (மாற்றாக, அதன் வேலன்ஸ், வரிசை அல்லது தரவரிசை, தரவரிசை தெளிவற்றதாக இருந்தாலும்). எனவே, ஒரு வகை டென்சருக்கு டிகிரி உள்ளது. ஒரு காலத்திற்குள் இரண்டு முறை (ஒரு மேல் மற்றும் ஒரு கீழ்) நிகழும் அதே சின்னம் ஒரு ஜோடி குறியீடுகளைக் குறிக்கிறதுஃ அத்தகைய கூட்டுத்தொகையால் குறிக்கப்படும் செயல்பாடு டென்சர் சுருக்கம் என்று அழைக்கப்படுகிறதுஃ இந்த கூட்டுத்தொகை ஒரு ஜோடி குறியீடுகளுக்கு ஒரு தனித்துவமான சின்னத்துடன் ஒரு காலத்திற்குள் ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட முறை நிகழலாம், எடுத்துக்காட்டாகஃ ஒரு காலத்திற்குள் மீண்டும் மீண்டும் குறியீடுகளின் பிற சேர்க்கைகள் சரியாக இல்லை என்று கருதப்படுகின்றன, அதாவது {|-| | | | | (இரண்டு நிகழ்வுகளும் குறைவாக உள்ளன; நன்றாக இருக்கும்) |-| | (குறைந்த குறியீடாக இரண்டு முறை நிகழ்கிறது; அல்லது நன்றாக இருக்கும்). |} அத்தகைய சூத்திரங்களைத் தவிர்ப்பதற்கான காரணம் என்னவென்றால், இந்த அளவுகளை எண்களின் வரிசைகளாக கணக்கிட முடியும் என்றாலும், அவை பொதுவாக அடிப்படையின் மாற்றத்தின் கீழ் டென்சர்களாக மாறாது. பல குறியீட்டு குறியீடு ஒரு டென்சர் அனைத்து மேல் அல்லது கீழ் குறியீடுகளின் பட்டியலைக் கொண்டிருந்தால், ஒரு சுருக்கெழுத்து பட்டியலுக்கு ஒரு பெரிய எழுத்தைப் பயன்படுத்துவதாகும்ஃ எங்கே மற்றும். வரிசைச் சுருக்கம் அனைத்து உயர் குறியீடுகள் அல்லது அனைத்து குறைந்த குறியீடுகளின் தொகுப்பைச் சுற்றியுள்ள ஒரு ஜோடி செங்குத்து பட்டைகள் (ஆனால் இரண்டும் அல்ல), இரண்டு குறியீடுகளின் தொகுப்புகளில் ஒவ்வொன்றிலும் வெளிப்பாடு முற்றிலும் சமச்சீரற்றதாக இருக்கும்போது மற்றொரு குறியீடுகளின் தொகுப்புடன் சுருக்கத்துடன் தொடர்புடையதுஃ குறியீட்டு மதிப்புகளை விட கட்டுப்படுத்தப்பட்ட தொகை என்று பொருள்படும், அங்கு ஒவ்வொரு குறியீடும் அடுத்ததை விட கண்டிப்பாக குறைவாக இருக்க வேண்டும். ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட குழுக்களை இந்த வழியில் சுருக்கலாம், எடுத்துக்காட்டாகஃ பல குறியீட்டு குறியீட்டைப் பயன்படுத்தும் போது, குறியீடுகளின் தொகுதியின் கீழ் ஒரு கீழ் அம்பு வைக்கப்படுகிறதுஃ இங்கு குறியீடுகளை உயர்த்துவதும் குறைப்பதும் ஒரு குறியீட்டை ஒற்றை அல்லாத மெட்ரிக் டென்சருடன் சுருங்குவதன் மூலம், ஒரு டென்சரின் வகையை மாற்றலாம், குறைந்த குறியீட்டை மேல் குறியீடாக மாற்றலாம் அல்லது நேர்மாறாகவும்ஃ பல சந்தர்ப்பங்களில் அடிப்படை சின்னம் தக்கவைக்கப்படுகிறது (எ. கா. இங்கே தோன்றும் இடத்தைப் பயன்படுத்துதல்), மற்றும் தெளிவின்மை இல்லாதபோது, இந்த செயல்பாட்டைக் குறிக்க ஒரு குறியீட்டை மாற்றுவது எடுக்கப்படலாம். குறியீட்டு நிலைகளுக்கும் மாறாத தன்மைக்கும் இடையிலான தொடர்புகள் இந்த அட்டவணை, மாறாத மற்றும் மாறாத குறியீடுகளின் கையாளுதல் தளங்களுக்கு இடையில் ஒரு செயலற்ற மாற்றத்தின் கீழ் மாறாத தன்மையுடன் எவ்வாறு பொருந்துகிறது என்பதை சுருக்கமாகக் கூறுகிறது, ஒவ்வொரு அடிப்படையின் கூறுகளும் மற்றொன்றின் அடிப்படையில் முதல் நெடுவரிசையில் பிரதிபலிக்கின்றன. தடைசெய்யப்பட்ட குறியீடுகள் மாற்றத்திற்குப் பிறகு இறுதி ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பைக் குறிக்கின்றன. க்ரோனெக்கர் டெல்டா பயன்படுத்தப்படுகிறது, கீழே உள்ளவற்றையும் பார்க்கவும். {| வகுப்பு = "விக்கி செய்யக்கூடியது" |-! ! அடிப்படை மாற்றம்! கூறு மாற்றம்! மாறாத தன்மை |-! கோவேக்டர், கோவேறியன்ட் வெக்டர், 1-வடிவம் | | | |-! திசையன், மாறுபட்ட திசையன் | | | | | குறியீட்டு குறியீடு மற்றும் செயல்பாடுகளுக்கான பொதுவான வெளிப்பாடுகள் ஒவ்வொரு தொடர்புடைய கூறுகளும் சமமாக இருந்தால் மட்டுமே டென்சர்கள் சமமாக இருக்கும்; எ. கா., டென்சர் அனைவருக்கும் இருந்தால் மட்டுமே டென்சருக்கு சமம். இதன் விளைவாக, ஒரு சமன்பாடு அர்த்தமுள்ளதா என்பதைச் சரிபார்க்க பயனுள்ள குறியீட்டின் அம்சங்கள் உள்ளன (பரிமாண பகுப்பாய்விற்கு ஒத்த செயல்முறை). சுதந்திர மற்றும் போலி குறியீடுகள் சுருக்கங்களில் ஈடுபடாத குறியீடுகள் சுதந்திர குறியீடுகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. சுருக்கங்களில் பயன்படுத்தப்படும் குறியீடுகள் போலி குறியீடுகள் அல்லது கூட்டுத்தொகை குறியீடுகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. ஒரு டென்சர் சமன்பாடு பல சாதாரண (உண்மையான மதிப்புள்ள) சமன்பாடுகளைக் குறிக்கிறது டென்சர்களின் கூறுகள் (போன்றவை, போன்றவை) அவை உண்மையான எண்கள் மட்டுமே. டென்சர்களின் குறிப்பிட்ட கூறுகளைத் தேர்ந்தெடுக்க குறியீடுகள் பல்வேறு முழு எண் மதிப்புகளை எடுத்துக்கொள்வதால், ஒற்றை டென்சர் சமன்பாடு பல சாதாரண சமன்பாடுகளைக் குறிக்கிறது. ஒரு டென்சர் சமத்துவம் இலவச குறியீடுகளைக் கொண்டிருந்தால், அடிப்படை திசையன் இடத்தின் பரிமாணம் இருந்தால், சமத்துவம் சமன்பாடுகளைக் குறிக்கிறதுஃ ஒவ்வொரு குறியீடும் ஒரு குறிப்பிட்ட மதிப்புகளின் தொகுப்பின் ஒவ்வொரு மதிப்பையும் எடுத்துக்கொள்கிறது. உதாரணமாக, நான்கு பரிமாணங்களில் இருந்தால் (அதாவது, ஒவ்வொரு குறியீடும் 0 முதல் 3 வரை அல்லது 1 முதல் 4 வரை இயங்குகிறது), பின்னர் மூன்று இலவச குறியீடுகள் () இருப்பதால், 43 = 64 சமன்பாடுகள் உள்ளன. இவற்றில் மூன்று பின்வருமாறுஃ குறியீட்டு குறியீட்டைப் பயன்படுத்துவதன் சுருக்கத்தையும் செயல்திறனையும் இது விளக்குகிறதுஃ ஒரே மாதிரியான கட்டமைப்பைப் பகிர்ந்து கொள்ளும் பல சமன்பாடுகளை ஒரு எளிய டென்சர் சமன்பாடாக சேகரிக்க முடியும். குறியீடுகள் என்பது மாற்றக்கூடிய லேபிள்கள், எந்தவொரு குறியீட்டு சின்னத்தையும் மற்றொரு குறியீட்டால் மாற்றுவது டென்சர் சமன்பாட்டை மாற்றாது (ஏற்கனவே பயன்படுத்தப்பட்ட பிற குறியீடுகளுடன் எந்த முரண்பாடும் இல்லை என்றால்). குறிகாட்டிகளை கையாளும் போது இது பயனுள்ளதாக இருக்கும், அதாவது திசையன் கால்குலஸ் அடையாளங்கள் அல்லது க்ரோனெக்கர் டெல்டா மற்றும் லெவி-சிவிட்டா சின்னத்தின் அடையாளங்களை சரிபார்க்க குறியீட்டு குறியீட்டைப் பயன்படுத்துவது (கீழே காண்க). ஒரு சரியான மாற்றத்திற்கு ஒரு எடுத்துக்காட்டுஃ அதேசமயம் ஒரு தவறான மாற்றம் என்னவென்றால்ஃ முதல் மாற்றீட்டில், எல்லா இடங்களிலும் மாற்றப்பட்டு மாற்றப்படுகிறது, எனவே வெளிப்பாடு இன்னும் அதே பொருளைக் கொண்டுள்ளது. இரண்டாவதாக, முழுமையாக மாற்றப்படவில்லை, மேலும் முழுமையாக மாற்றப்படவில்லை (தற்செயலாக, குறியீட்டில் உள்ள சுருக்கம் ஒரு டென்சர் தயாரிப்பாக மாறியது), இது அடுத்ததாக காட்டப்பட்ட காரணங்களுக்காக முற்றிலும் சீரற்றது. ஒரு டென்சர் வெளிப்பாட்டில் உள்ள இலவச குறியீடுகள் எப்போதும் ஒவ்வொரு காலத்திலும் ஒரே (மேல் அல்லது கீழ்) நிலையில் தோன்றும், மேலும் ஒரு டென்சர் சமன்பாட்டில் இலவச குறியீடுகள் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் ஒரே மாதிரியாக இருக்கும். டம்மி குறியீடுகள் (இது அந்த குறியீட்டின் மீது ஒரு கூட்டுத்தொகையைக் குறிக்கிறது) ஒரே மாதிரியாக இருக்க வேண்டியதில்லை, எடுத்துக்காட்டாகஃ ஒரு தவறான வெளிப்பாட்டைப் பொறுத்தவரைஃ வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு காலத்திலும் மீண்டும் மீண்டும் செய்யப்படாத குறியீடுகள் ஒரே வகையாக இருக்க வேண்டும். மேலே உள்ள அடையாளத்தில், ஒரு சுருக்கத்தின் காரணமாக (ஒரு முறை மேல் குறியீடாகவும், ஒரு முறை குறைந்த குறியீடாகவும்) ஒரு பதவிக்காலத்தில் இரண்டு முறை வரிசைப்படுத்தப்பட்டு நிகழ்கிறது, எனவே இது ஒரு சரியான வெளிப்பாடாகும். செல்லுபடியாகாத வெளிப்பாட்டில், வரிசையாக இருக்கும்போது, மற்றும் இல்லை, மற்றும் ஒரு பதத்தில் இரண்டு முறை (சுருக்கம்) மற்றும் மற்றொரு பதத்தில் ஒரு முறை தோன்றும், இது சீரற்றது. பல குறியீடுகளுக்கு (வேறுபாடு, சமச்சீர் போன்றவை, அடுத்து காட்டப்பட்டுள்ளது) ஒரு விதியைப் பயன்படுத்தும்போது, விதிகளைக் குறிக்கும் அடைப்புக்குறி அல்லது நிறுத்தற்குறி சின்னங்கள் அவை பொருந்தும் குறியீடுகளின் ஒரு குழுவில் மட்டுமே காட்டப்படுகின்றன. அடைப்புக்குறிகள் மாறுபட்ட குறியீடுகளை இணைத்தால்-இந்த விதி அடைப்புக்குறிக்குள் இணைக்கப்பட்டுள்ள அனைத்து மாறுபட்ட குறியீடுகளுக்கும் மட்டுமே பொருந்தும், அடைப்புக்குறிக்கு இடையில் உடனடியாக வைக்கப்படும் எந்தவொரு மாறுபட்ட குறியீடுகளுக்கும் பொருந்தாது. இதேபோல் அடைப்புக்குறிகள் மாறுபட்ட குறியீடுகளை இணைத்தால்-விதி அனைத்து இணைக்கப்பட்ட மாறுபட்ட குறியீடுகளுக்கும் மட்டுமே பொருந்தும், உடனடியாக வைக்கப்பட்ட கோவேரியன்ட் குறியீடுகளுக்கு அல்ல. சமச்சீர் மற்றும் சமச்சீரற்ற பாகங்கள் பல குறியீடுகளைச் சுற்றியுள்ள டென்சர் அடைப்புக்குறியின் சமச்சீர் பகுதி, (), டென்சரின் சமச்சீர் பகுதியைக் குறிக்கிறது. குறியீடுகளை சமச்சீர்ப்படுத்தும்போது, எண்களின் வரிசைமாற்றங்களுக்கு மேல் வரம்பைப் பயன்படுத்தும்போது, அந்த குறியீடுகளின் வரிசைமாற்றங்களுக்கு மேல் ஒரு கூட்டுத்தொகையை எடுத்து, பின்னர் வரிசைமாற்றங்களின் எண்ணிக்கையால் வகுக்கிறதுஃ எடுத்துக்காட்டாக, இரண்டு சமச்சீர் குறியீடுகள் என்பது வரிசைப்படுத்த மற்றும் கூட்டுவதற்கு இரண்டு குறியீடுகள் உள்ளனஃ மூன்று சமச்சீர் குறியீடுகளுக்கு, கூட்டல் மற்றும் வரிசைப்படுத்த மூன்று குறியீடுகள் உள்ளனஃ சமச்சீர் கூட்டல் மீது விநியோகிக்கப்படுகிறது; குறியீடுகள் சமச்சீரின் ஒரு பகுதியாக இல்லை அவை இருக்கும்போதுஃ ஒரே மட்டத்தில் அல்ல, எடுத்துக்காட்டாக; அடைப்புக்குறிக்குள் மற்றும் செங்குத்து கம்பிகளுக்கு இடையில் (அதாவது. முந்தைய உதாரணத்தை மாற்றியமைத்தல்; இங்கே மற்றும் குறியீடுகள் சமச்சீரமைக்கப்பட்டுள்ளன, இல்லை. பல குறியீடுகளைச் சுற்றியுள்ள டென்சர் சதுர அடைப்புகளின் சமச்சீரற்ற அல்லது மாற்று பகுதி, [], டென்சரின் சமச்சீரற்ற பகுதியை குறிக்கிறது. சமச்சீரற்ற குறியீடுகளுக்கு-அந்த குறியீடுகளின் வரிசைமாற்றங்களின் கூட்டுத்தொகை வரிசைமாற்றத்தின் கையொப்பத்தால் பெருக்கப்படுகிறது, பின்னர் வரிசைமாற்றங்களின் எண்ணிக்கையால் வகுக்கப்படுகிறதுஃ கீழே வரையறுக்கப்பட்டுள்ளபடி அளவீட்டுடன், டிகிரியின் பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட க்ரோனெக்கர் டெல்டா எங்கே. எடுத்துக்காட்டாக, இரண்டு சமச்சீரற்ற குறியீடுகள் குறிக்கின்றனஃ மூன்று சமச்சீரற்ற குறியீடுகள் குறிக்கின்றனஃ ஒரு குறிப்பிட்ட உதாரணத்தைப் பொறுத்தவரை, மின்காந்த டென்சரைக் குறிக்கிறது என்றால், சமன்பாடு காந்தத்திற்கான காஸ் விதி மற்றும் ஃபாரடேயின் தூண்டல் விதியைக் குறிக்கிறது. முன்பு போலவே, சமச்சீர் எதிர்ப்பு கூட்டல் மீது விநியோகிக்கப்படுகிறது; சமச்சீர் போன்ற, குறியீடுகள் அவை இருக்கும்போது சமச்சீரற்றவை அல்லஃ அதே மட்டத்தில் இல்லை, எடுத்துக்காட்டாக; சதுர அடைப்புக்குறிக்குள் மற்றும் செங்குத்து கம்பிகளுக்கு இடையில் (அதாவது. முந்தைய உதாரணத்தை மாற்றியமைத்தல்; இங்கே மற்றும் குறியீடுகள் சமச்சீரற்றவை, இல்லை. சமச்சீர் மற்றும் சமச்சீரற்ற பகுதிகளின் கூட்டுத்தொகை எந்த டென்சரையும் அதன் சமச்சீர் மற்றும் சமச்சீரற்ற பகுதிகளின் கூட்டுத்தொகையாக இரண்டு குறியீடுகளில் எழுதலாம்ஃ மேலே உள்ள வெளிப்பாடுகளை மற்றும் சேர்ப்பதன் மூலம் காணலாம். இது இரண்டு குறியீடுகளைத் தவிர வேறு எதற்கும் பொருந்தாது. வேறுபாடு சுருக்கத்திற்கு, ஒரு கமா அல்லது செமிகோலனுக்குப் பிறகு குறியீடுகளைச் சேர்ப்பதன் மூலம் வழித்தோன்றல்களைக் குறிக்கலாம். பகுதி வழித்தோன்றல் ரிச்சி கால்குலஸின் பெரும்பாலான வெளிப்பாடுகள் தன்னிச்சையான தளங்களுக்கு செல்லுபடியாகும் என்றாலும், ஆயத்தொகுதிகளைப் பொறுத்தவரை டென்சர் கூறுகளின் பகுதி வழித்தோன்றல்களை உள்ளடக்கிய வெளிப்பாடுகள் ஒரு ஒருங்கிணைப்பு அடிப்படையுடன் மட்டுமே பொருந்தும்ஃ ஆயத்தொகுதிகளைப் பொறுத்தவரை வேறுபாடு மூலம் வரையறுக்கப்படும் ஒரு அடிப்படை. ஒருங்கிணைப்புகள் பொதுவாக குறிக்கப்படுகின்றன, ஆனால் பொதுவாக ஒரு திசையனின் கூறுகளை உருவாக்குவதில்லை. நேரியல் ஒருங்கிணைப்புடன் தட்டையான இடநேரத்தில், ஆயத்தொகுப்புகளில் உள்ள வேறுபாடுகளின் டப்பிள், ஒரு மாறுபட்ட திசையனாகக் கருதப்படலாம். இடத்திலும் ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பின் தேர்விலும் அதே கட்டுப்பாடுகளுடன், ஆயத்தொகுதிகளைப் பொறுத்தவரை பகுதி வழித்தோன்றல்கள் திறம்பட கோவேறியன்ட் முடிவுகளைத் தருகின்றன. இந்த சிறப்பு வழக்கில் பயன்படுத்தப்படுவதைத் தவிர, டென்சர்களின் கூறுகளின் பகுதி வழித்தோன்றல்கள் பொதுவாக மாறுபடாமல் மாறுவதில்லை, ஆனால் கீழே உள்ள கோவேறியன்ட், வெளிப்புற மற்றும் லை வழித்தோன்றல்களைப் போலவே, பகுதி வழித்தோன்றல்கள் வெளிப்படையாகப் பயன்படுத்தப்பட்டால், ஒரு ஒருங்கிணைப்பு அடிப்படையுடன் இருந்தாலும், கோவேறியன்ட் வெளிப்பாடுகளை உருவாக்குவதில் பயனுள்ளதாக இருக்கும். ஒரு ஒருங்கிணைப்பு மாறியைப் பொறுத்தவரை ஒரு டென்சர் புலத்தின் கூறுகளின் பகுதியளவு வேறுபாட்டைக் குறிக்க, ஒருங்கிணைப்பு மாறியின் இணைக்கப்பட்ட குறைந்த குறியீட்டிற்கு முன் ஒரு கமா வைக்கப்படுகிறது. இது மீண்டும் மீண்டும் செய்யப்படலாம் (மேலும் காற்புள்ளிகளைச் சேர்க்காமல்): வேறுபடுத்தப்படும் வெளிப்பாடு ஒரு அளவிடுபொறியாக இல்லாவிட்டால், இந்த கூறுகள் மாறுபடாது. இந்த வழித்தோன்றல் தயாரிப்பு விதி மற்றும் க்ரோனெக்கர் டெல்டா இருக்கும் ஆயங்களின் வழித்தோன்றல்களால் வகைப்படுத்தப்படுகிறது. ஒரு இணைப்பு வரையறுக்கப்பட்டால் மட்டுமே கோவேரியன்ட் வழித்தோன்றல் வரையறுக்கப்படுகிறது. எந்தவொரு இழுவிசை புலத்திற்கும், இணைக்கப்பட்ட குறைந்த (கோவேறியன்ட்) குறியீட்டிற்கு முன் வைக்கப்படும் ஒரு செமிகோலன் () கோவேறியன்ட் வேறுபாட்டைக் குறிக்கிறது. செமிகோலனுக்கு குறைவான பொதுவான மாற்றுகளில் ஒரு முன்னோக்கி ஸ்லாஷ் () அல்லது முப்பரிமாண வளைந்த இடத்தில் ஒற்றை செங்குத்து பட்டை () அடங்கும். ஒரு அளவிடுதல் சார்பு, ஒரு மாறுபட்ட திசையன் மற்றும் ஒரு மாறுபட்ட திசையன் ஆகியவற்றின் கோவேறியன்ட் வழித்தோன்றல் பின்வருமாறுஃ இணைப்பு குணகங்கள் எங்கே. ஒரு தன்னிச்சையான டென்சருக்குஃ எந்தவொரு டென்சரின் கோவேரியன்ட் வழித்தோன்றலுக்கான மாற்று குறியீடு சந்தா நப்லா சின்னமாகும். ஒரு திசையன் புலத்தின் விஷயத்தில்ஃ ஒரு திசையனுடன் எந்த டென்சர் புலத்தின் திசை வழித்தோன்றலின் கோவேறியன்ட் உருவாக்கம் கோவேறியன்ட் வழித்தோன்றலுடன் அதன் சுருக்கமாக வெளிப்படுத்தப்படலாம், எ. கா. : ஒரு டென்சர் புலத்தின் இந்த வழித்தோன்றலின் கூறுகள் மாறுபடுகின்றன, எனவே துணை வெளிப்பாடுகள் (பகுதி வழித்தோன்றல் மற்றும் இணைப்பு குணகங்கள்) தனித்தனியாக மாறாமல் இருந்தபோதிலும், மற்றொரு டென்சர் புலத்தை உருவாக்குகின்றன. இந்த வழித்தோன்றல் தயாரிப்பு விதியால் வகைப்படுத்தப்படுகிறதுஃ இணைப்பு வகைகள் ஒரு வேறுபடுத்தக்கூடிய பன்மடங்கு தொடுகோடு மூட்டையில் ஒரு கோஸுல் இணைப்பு ஒரு அஃபைன் இணைப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது. ஒரு இணைப்பு என்பது மெட்ரிக் டென்சரின் கோவேரியன்ட் வழித்தோன்றல் மறைந்துவிடும் போது ஒரு மெட்ரிக் இணைப்பாகும்ஃ மெட்ரிக் இணைப்பாக இருக்கும் ஒரு அஃபைன் இணைப்பு ரீமானியன் இணைப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது. முறிவு இல்லாத ஒரு ரீமானியன் இணைப்பு (அதாவது, முறிவு இழுவிசை மறைந்துவிடும்ஃ) ஒரு லெவி-சிவிட்டா இணைப்பு ஆகும். ஒரு ஒருங்கிணைந்த அடிப்படையில் ஒரு லெவி-சிவிட்டா இணைப்புக்கான இரண்டாவது வகையான கிறிஸ்டோஃபெல் சின்னங்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. உட்பொருள்களுடன் கூடிய முற்றிலும் சமச்சீரற்ற வகை டென்சர் புலத்தின் வெளிப்புற வழித்தோன்றல் (வேறுபட்ட வடிவம் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது) என்பது அடிப்படை மாற்றங்களின் கீழ் மாறுபட்ட ஒரு வழித்தோன்றலாகும். இது ஒரு மெட்ரிக் டென்சர் அல்லது ஒரு இணைப்பைச் சார்ந்தது அல்லஃ இதற்கு ஒரு வேறுபடுத்தக்கூடிய பன்மடங்கு அமைப்பு மட்டுமே தேவைப்படுகிறது. ஒரு ஒருங்கிணைப்பு அடிப்படையில், இது டென்சர் கூறுகளின் பகுதி வழித்தோன்றல்களின் சமச்சீர் எதிர்ப்பு என வெளிப்படுத்தப்படலாம்ஃ இந்த வழித்தோன்றல் முரண்பட்ட குறியீடுகளுடன் எந்த டென்சர் புலத்திலும் வரையறுக்கப்படவில்லை அல்லது முற்றிலும் சமச்சீர் எதிர்ப்பு அல்ல. இது ஒரு தரப்படுத்தப்பட்ட தயாரிப்பு விதியால் வகைப்படுத்தப்படுகிறது. லை வழித்தோன்றல் லை வழித்தோன்றல் என்பது மற்றொரு வழித்தோன்றலாகும், இது அடிப்படை மாற்றங்களின் கீழ் மாறுபடுகிறது. வெளிப்புற வழித்தோன்றலைப் போலவே, இது ஒரு மெட்ரிக் டென்சர் அல்லது இணைப்பைச் சார்ந்தது அல்ல. ஒரு மாறுபட்ட திசையன் புலத்துடன் (ஓட்டம்) ஒரு வகை டென்சர் புலத்தின் லை வழித்தோன்றல் ஒரு ஒருங்கிணைப்பு அடிப்படையைப் பயன்படுத்தி வெளிப்படுத்தப்படலாம் இந்த வழித்தோன்றல் தயாரிப்பு விதியால் வகைப்படுத்தப்படுகிறது மற்றும் ஒரு மாறுபட்ட திசையன் புலத்தின் லை வழித்தோன்றல் அதனுடன் பூஜ்ஜியமாக உள்ளதுஃ குறிப்பிடத்தக்க டென்சர்கள் க்ரோனெக்கர் டெல்டா பெருக்கி சுருங்கும் போது க்ரோனெக்கர் டெல்டா அடையாள மேட்ரிக்ஸ் போன்றதுஃ கூறுகள் எந்த அடிப்படையிலும் ஒரே மாதிரியானவை மற்றும் வகையின் மாறாத டென்சரை உருவாக்குகின்றன, அதாவது. அடிப்படை பன்மடங்கு அடையாள வரைபடத்தின் மீது தொடுகோடு மூட்டையின் அடையாளம், எனவே அதன் சுவடு ஒரு மாறாதது. அதன் சுவடு இடத்தின் பரிமாணமாகும்; எடுத்துக்காட்டாக, நான்கு பரிமாண இடநேரத்தில், க்ரோனெக்கர் டெல்டா என்பது பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட க்ரோனெக்கர் டெல்டாக்களின் குடும்பங்களில் ஒன்றாகும். டிகிரியின் பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட க்ரோனெக்கர் டெல்டாவை க்ரோனெக்கர் டெல்டாவின் அடிப்படையில் வரையறுக்கலாம் (ஒரு பொதுவான வரையறை வலதுபுறத்தில் ஒரு கூடுதல் பெருக்கியை உள்ளடக்கியது): மற்றும் குறியீடுகளில் ஒரு ஆண்ட்சிம்மெட்ரைசராக செயல்படுகிறதுஃ முறுக்கு டென்சர் ஒரு அஃபைன் இணைப்பு ஒரு முறிவு டென்சரைக் கொண்டுள்ளதுஃ அங்கு உள்ளூர் அடிப்படையின் லை அடைப்புக்குறியின் கூறுகளால் கொடுக்கப்படுகின்றன, அவை ஒருங்கிணைப்பு அடிப்படையாக இருக்கும்போது மறைந்துவிடும். ஒரு லெவி-சிவிட்டா இணைப்புக்கு இந்த டென்சர் பூஜ்ஜியமாக வரையறுக்கப்படுகிறது, இது ஒரு ஒருங்கிணைப்பு அடிப்படையில் ரீமன் வளைவு டென்சர் சமன்பாடுகளை வழங்குகிறது. ஒரு தன்னிச்சையான டென்சரின் இரண்டு கோவேரியன்ட் வழித்தோன்றல்களுக்கான கம்யூட்டேட்டரைப் பெற இதை பின்வருமாறு பொதுமைப்படுத்தலாம்ஃ அவை பெரும்பாலும் ரிச்சி அடையாளங்கள் என்று குறிப்பிடப்படுகின்றன. மெட்ரிக் டென்சர் குறியீடுகளைக் குறைக்க மெட்ரிக் டென்சர் பயன்படுத்தப்படுகிறது மற்றும் பாதையின் எந்த மென்மையான கண்டிப்பாக மோனோடோன் அளவுருவாக இருக்கும் எந்த இடைவெளி போன்ற வளைவின் நீளத்தையும் கொடுக்கிறது. இது எந்த நேரத்தைப் போன்ற வளைவின் கால அளவையும் வழங்குகிறது, அங்கு பாதையின் எந்த மென்மையான கண்டிப்பாக மோனோடோன் அளவுருவாகும். மேலும் பார்க்கவும் வரி உறுப்பு. மெட்ரிக் டென்சரின் தலைகீழ் அணி மற்றொரு முக்கியமான டென்சர் ஆகும், இது குறியீடுகளை உயர்த்துவதற்குப் பயன்படுத்தப்படுகிறதுஃ சுருக்கக் குறியீட்டு குறியீடு இணைப்பு வெளிப்புற இயற்கணிதம் வேறுபட்ட வடிவம் ஹோட்ஜ் ஸ்டார் ஆபரேட்டர் முழுமையான அடிப்படையிலான மெட்ரிக் டென்சர் பென்ரோஸ் வரைகலை குறியீடு ரெஜ் கால்குலஸ் ரிச்சி சிதைவு டென்சர் (உள்ளார்ந்த வரையறை) டென்சர் கால்குலஸ் டென்சர் புலம் குறிப்புகள் குறிப்புகள் கால்குலஸ் வேறுபட்ட வடிவியல் டென்சர்கள்