Bochner's theorem (Riemannian geometry)
கணிதத்தில், சாலமன் போச்னர் 1946 ஆம் ஆண்டில் நிரூபித்தார், எதிர்மறை ரிச்சி வளைவுடன் கூடிய ஒரு சிறிய ரீமானியன் பன்மடங்கு எந்த கொல்லும் திசையன் புலமும் பூஜ்ஜியமாக இருக்க வேண்டும். இதன் விளைவாக பன்மடங்கு ஐசோமெட்ரி குழு வரையறுக்கப்பட்டதாக இருக்க வேண்டும். விவாதம் இந்த தேற்றம் போச்னரின் மிகவும் அடிப்படையான முடிவின் ஒரு இணைப்பாகும், இது எதிர்மறை ரிச்சி வளைவின் எந்தவொரு இணைக்கப்பட்ட ரீமானியன் பன்மடங்கு, பூஜ்ஜியமற்ற கொல்லும் திசையன் புலத்தின் நீளம் ஒரு உள்ளூர் அதிகபட்சத்தைக் கொண்டிருக்க முடியாது என்று கூறுகிறது. குறிப்பாக, எதிர்மறை ரிச்சி வளைவின் மூடிய ரீமானியன் பன்மடங்கு மீது, ஒவ்வொரு கில்லிங் வெக்டர் புலமும் ஒரே மாதிரியாக பூஜ்ஜியமாக இருக்கும். ஒரு முழுமையான ரீமானியன் பன்மடங்கு ஐசோமெட்ரி குழு ஒரு லை குழுவாக இருப்பதால், அதன் லை இயற்கணிதம் இயற்கையாகவே கில்லிங் வெக்டர் புலங்களின் திசையன் இடத்துடன் அடையாளம் காணப்படுகிறது, இது ஐசோமெட்ரி குழு பூஜ்ஜிய பரிமாணம் என்பதைப் பின்பற்றுகிறது. ஒரு மூடிய ரீமானியன் பன்மடங்கு ஐசோமெட்ரி குழு கச்சிதமானது என்ற உண்மையிலிருந்து போச்னரின் தேற்றம் பின்பற்றுகிறது. கில்லிங் வெக்டர் புலங்களில் போச்னரின் முடிவு பின்வருமாறு அதிகபட்ச கொள்கையின் பயன்பாடாகும். ரிச்சி பரிமாற்ற அடையாளங்களின் பயன்பாடாக, சூத்திரம் ஒரு போலி-ரீமானியன் பன்மடங்கு எந்த திசையன் புலத்திற்கும் பொருந்தும். ஒரு ரீமேனியன் மெட்ரிக் விஷயத்தில், இடது புறம் எந்த உள்ளூர் அதிகபட்ச நீளத்திலும் பாசிட்டிவ் அல்ல. இருப்பினும், எதிர்மறை ரிச்சி வளைவின் ரீமானியன் அளவீட்டில், பூஜ்ஜியமற்ற இடங்களில் வலது புறம் கண்டிப்பாக நேர்மறையாக இருக்கும். எனவே உள்ளூர் அதிகபட்சம் இருந்தால், அது ஒரு சுற்றுப்புறத்தில் ஒரே மாதிரியாக பூஜ்ஜியமாக இருக்க வேண்டும். இணைக்கப்பட்ட பன்மடங்கு திசையன் புலங்களைக் கொல்வது அவற்றின் மதிப்பு மற்றும் வழித்தோன்றலிலிருந்து ஒரே புள்ளியில் தனித்துவமாக தீர்மானிக்கப்படுவதால், அது ஒரே மாதிரியாக பூஜ்ஜியமாக இருக்க வேண்டும். குறிப்புகள் வேறுபட்ட வடிவவியலில் குறிப்புகள் கோட்பாடுகள்