Poincaré–Birkhoff theorem
சிம்ப்லெக்டிக் இடவியல் மற்றும் இயக்கவியல் அமைப்புகளில், பாயின்கேர்-பிர்காஃப் தேற்றம் (பாயின்கேர்-பிர்காஃப் நிலையான புள்ளி தேற்றம் மற்றும் பாயின்கேர் கடைசி வடிவியல் தேற்றம் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது) இரண்டு எல்லைகளை எதிர் திசைகளில் சுழற்றும் ஒரு வருடாந்திரத்தின் ஒவ்வொரு பகுதி-பாதுகாக்கும், நோக்குநிலை-பாதுகாக்கும் ஹோமியோமார்பிசமும் குறைந்தது இரண்டு நிலையான புள்ளிகளைக் கொண்டுள்ளன என்று கூறுகிறது. பாயின்கேர்-பிர்காஃப் தேற்றத்தை ஹென்றி பாயின்கேர் கண்டுபிடித்தார், அவர் அதை 1912 ஆம் ஆண்டு "சுர் யுன் தியோரெம் டி ஜியோமெட்ரி" என்ற தலைப்பில் வெளியிட்டார், மேலும் சில சிறப்பு நிகழ்வுகளுக்கு அதை நிரூபித்தார். ஜார்ஜ் டி. பிர்காஃப் 1913 ஆம் ஆண்டு "பாயின்கேரின் வடிவியல் தேற்றத்தின் ஆதாரம்" என்ற தலைப்பில் தனது ஆய்வறிக்கையில் இந்த பொதுவான வழக்கை நிரூபித்தார். மேற்கோள்கள் மேலும் வாசிப்பு எம். பிரவுன்; டபிள்யூ. டி. நியூமன். "போயின்கேர்-பிர்காஃப் நிலையான-புள்ளி தேற்றத்தின் ஆதாரம்". மிச்சிகன் கணிதம். ஜே. தொகுதி. 24, 1977, பக். 21-31. பி. லே கால்வேஸ்; ஜே. வாங். "பாயின்கேர்-பிர்காஃப் தேற்றம் பற்றிய சில கருத்துக்கள்". புரோக். அமீர். கணிதம். சொ. தொகுதி. 138, எண் 2,2010, பக். 703-715. ஜே. ஃபிராங்க்ஸ். "பாயின்கேர்-பிர்காஃப் தேற்றத்தின் பொதுமைப்படுத்தல்கள்", அனல்ஸ் ஆஃப் மேத்தமேட்டிக்ஸ், இரண்டாவது தொடர், தொகுதி. 128, எண். 1 (ஜூலை, 1988), பக். 139-151. அறிகுறி இடவியல் இயக்கவியல் அமைப்புகள் நிலையான-புள்ளி கோட்பாடுகள்