Poincaré disk model
வடிவவியலில், பாயின்கேர் வட்டு மாதிரி, இணக்கமான வட்டு மாதிரி என்றும் அழைக்கப்படுகிறது, இது இரு பரிமாண ஹைபர்போலிக் வடிவவியலின் ஒரு மாதிரியாகும், இதில் அனைத்து புள்ளிகளும் அலகு வட்டத்திற்குள் உள்ளன, மேலும் நேர் கோடுகள் வட்டத்திற்குள் உள்ள வட்ட வளைவுகளாகும், அவை அலகு வட்டத்திற்கு ஆர்த்தோகனல் அல்லது அலகு வட்டத்தின் விட்டம். வட்டு மாதிரியின் நோக்குநிலையைப் பாதுகாக்கும் ஐசோமீட்டரிகளின் குழு ப்ரொஜெக்டிவ் சிறப்பு யூனிட்டரி குழுவால் வழங்கப்படுகிறது, இது அதன் மையத்தால் சிறப்பு யூனிட்டரி குழு எஸ்யூ (1,1) இன் ஈவு ஆகும். க்ளீன் மாதிரி மற்றும் பாயின்கேர் அரை-விண்வெளி மாதிரியுடன், யூஜெனியோ பெல்ட்ராமியால் முன்மொழியப்பட்டது, அவர் இந்த மாதிரிகளைப் பயன்படுத்தி ஹைபர்போலிக் வடிவியல் யூக்ளிடியன் வடிவவியலுக்கு சமமாக இருப்பதைக் காட்டினார். பதினான்கு ஆண்டுகளுக்குப் பிறகு இந்த பிரதிநிதித்துவத்தை அவர் மீண்டும் கண்டுபிடித்ததால், பெல்ட்ராமியின் அசல் படைப்பை விட இது ஹென்றி பாயின்கேரின் பெயரால் அழைக்கப்படுகிறது. போயின்கேர் பந்து மாதிரி என்பது 3 அல்லது n-பரிமாண ஹைபர்போலிக் வடிவவியலுக்கான ஒத்த மாதிரியாகும், இதில் வடிவவியலின் புள்ளிகள் n-பரிமாண அலகு பந்தில் உள்ளன. வட்டு மாதிரி முதன்முதலில் பெர்ன்ஹார்ட் ரீமானால் 1854 ஆம் ஆண்டு சொற்பொழிவில் (1868 இல் வெளியிடப்பட்டது) விவரிக்கப்பட்டது, இது 1868 ஆம் ஆண்டு யூஜெனியோ பெல்ட்ராமியின் ஆய்வறிக்கையை ஊக்கப்படுத்தியது. ஹென்றி பாயின்கரே தனது 1882 ஹைபர்போலிக், பரவளைய மற்றும் நீள்வட்ட செயல்பாடுகளின் சிகிச்சையில் இதைப் பயன்படுத்தினார், ஆனால் பாயின்கரே தனது 1905 தத்துவ நூலான அறிவியல் மற்றும் கருதுகோளில் வழங்கியதைத் தொடர்ந்து இது பரவலாக அறியப்பட்டது. அங்கு அவர் இப்போது போயின்கேர் வட்டு என்று அழைக்கப்படும் ஒரு உலகத்தை விவரிக்கிறார், அதில் இடம் யூக்ளிடியனாக இருந்தது, ஆனால் அது ஹைபர்போலிக் வடிவவியலின் கோட்பாடுகளை திருப்திப்படுத்த அதன் குடிமக்களுக்கு தோன்றியதுஃ "எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு பெரிய கோளத்தில் சூழப்பட்ட ஒரு உலகம் மற்றும் பின்வரும் சட்டங்களுக்கு உட்பட்டதுஃ வெப்பநிலை ஒரே மாதிரியாக இல்லை; அது அவற்றின் மையத்தில் மிகப்பெரியது, மேலும் கோளத்தின் சுற்றளவை நோக்கி நாம் செல்லும்போது படிப்படியாக குறைகிறது, அங்கு அது முழுமையான பூஜ்ஜியமாக உள்ளது. இந்த வெப்பநிலையின் விதி பின்வருமாறுஃ கோளத்தின் ஆரம் மற்றும் மையத்திலிருந்து கருதப்படும் புள்ளியின் தூரம் என்றால், முழுமையான வெப்பநிலைக்கு விகிதாசாரமாக இருக்கும். மேலும், இந்த உலகில் அனைத்து உடல்களும் ஒரே மாதிரியான விரிவடைதல் குணகத்தைக் கொண்டுள்ளன என்று நான் கருதுகிறேன், இதனால் எந்தவொரு பொருளின் நேரியல் விரிவடைதலும் அதன் முழுமையான வெப்பநிலைக்கு விகிதாசாரமாக இருக்கும். இறுதியாக, வெவ்வேறு வெப்பநிலையைக் கொண்ட ஒரு புள்ளியில் இருந்து மற்றொரு புள்ளிக்கு கொண்டு செல்லப்படும் ஒரு பொருள் அதன் புதிய சூழலுடன் உடனடியாக வெப்ப சமநிலையில் இருப்பதாக நான் கருதுகிறேன். . அவை ஒரு வடிவவியலை உருவாக்கினால், அது நம்மைப் போல இருக்காது, இது நமது மாறாத திடப்பொருட்களின் இயக்கங்களைப் பற்றிய ஆய்வாகும்; இது நிலையின் மாற்றங்களைப் பற்றிய ஆய்வாக இருக்கும், அவை இவ்வாறு வேறுபடுத்தப்படும், மேலும் அவை 'யூக்ளிடியன் அல்லாத இடப்பெயர்வுகளாக' இருக்கும், மேலும் இது யூக்ளிடியன் அல்லாத வடிவவியலாக இருக்கும். எனவே, அத்தகைய உலகில் படித்த நம்மைப் போன்ற மனிதர்கள், நம்மைப் போன்ற வடிவவியலைக் கொண்டிருக்க மாட்டார்கள் ". (pp.65-68) குறிப்பாக ருடால்ப் கார்னாப் மற்றும் ஹான்ஸ் ரெய்சென்பாக் ஆகியோரின் செல்வாக்குமிக்க தத்துவ விவாதங்களில், இடஞ்சார்ந்த வடிவவியலைத் தேர்ந்தெடுப்பது உண்மையை விட வழக்கமானதாகும் என்ற கருதுகோளுக்கு பாயின்கேரின் வட்டு ஒரு முக்கியமான சான்றாகும். பண்புகள் கோடுகள் ஹைபர்போலிக் நேர் கோடுகள் வட்டில் உள்ள யூக்ளிடியன் வட்டங்களின் அனைத்து வளைவுகளையும் கொண்டுள்ளன, அவை வட்டின் எல்லைக்கு செங்குத்தாக உள்ளன, மேலும் வட்டின் அனைத்து விட்டங்களும் உள்ளன. திசைகாட்டி மற்றும் நேரான விளிம்பு கட்டுமானம் எல்லை வட்டத்தின் விட்டத்தில் அல்லாமல் இரண்டு புள்ளிகள் வழியாக தனித்துவமான ஹைபர்போலிக் கோட்டை இவ்வாறு கட்டமைக்க முடியும்ஃ புள்ளியின் எல்லை வட்டத்தில் தலைகீழாக இருக்கட்டும், புள்ளியின் எல்லை வட்டத்தில் தலைகீழாக இருக்கட்டும், பிரிவின் நடுப்புள்ளியாக இருக்கட்டும். மையத்துடன் வட்டத்தை வரையவும் மற்றும் (மற்றும்) வழியாக செல்லவும். வட்டத்திற்குள் இருக்கும் வட்டத்தின் பகுதி ஹைபர்போலிக் கோடு ஆகும். பி மற்றும் க்யூ ஆகியவை எல்லை வட்டத்தின் விட்டத்தில் இருந்தால், அந்த விட்டம் ஹைபர்போலிக் கோடு ஆகும். மற்றொரு வழி என்னவென்றால்ஃ பிரிவின் நடுப்புள்ளியாக இருக்கட்டும், பிரிவின் செங்குத்தாக கோடு m ஐ வரையவும், பிரிவின் எல்லை வட்டத்தில் தலைகீழாக இருக்கட்டும், பிரிவின் நடுப்புள்ளியாக இருக்கட்டும். மையத்துடன் வட்டத்தை வரையவும் மற்றும் (மற்றும்) வழியாக செல்லவும். வட்டத்திற்குள் இருக்கும் வட்டத்தின் பகுதி ஹைபர்போலிக் கோடு ஆகும். இந்த மாதிரியில் உள்ள தூரங்கள் கெய்லி-க்ளீன் அளவீடுகள் ஆகும். வட்டில் உள்ள இரண்டு தனித்துவமான புள்ளிகள் p மற்றும் q கொடுக்கப்பட்டால், அவற்றை இணைக்கும் தனித்துவமான ஹைபர்போலிக் கோடு எல்லையை இரண்டு இலட்சிய புள்ளிகளான a மற்றும் b இல் வெட்டுகிறது, எனவே புள்ளிகள் வரிசையில், a, p, q, b மற்றும் மற்றும். செங்குத்து பட்டைகள் மாதிரியில் அவற்றுக்கிடையேயான புள்ளிகளை இணைக்கும் கோடு பிரிவின் யூக்ளிடியன் நீளத்தைக் குறிக்கின்றன (வட்ட வளைவில் அல்ல), ln என்பது இயற்கையான மடக்கை ஆகும். இரண்டு புள்ளிகளுக்கு இடையிலான ஹைபர்போலிக் தூரத்தைக் கணக்கிடுவதற்கான மற்றொரு வழி, வட்டின் மையத்திற்கு p மற்றும் q இன் தூரம், p மற்றும் q க்கு இடையிலான தூரம், வட்டின் எல்லை வட்டத்தின் ஆரம் மற்றும் ஹைபர்போலிக் கொசைனின் தலைகீழ் ஹைபர்போலிக் செயல்பாடு ஆகும். பயன்படுத்தப்படும் வட்டு திறந்த அலகு வட்டு மற்றும் புள்ளிகளில் ஒன்று தோற்றம் மற்றும் புள்ளிகளுக்கு இடையிலான யூக்ளிடியன் தூரம் r ஆக இருக்கும்போது ஹைபர்போலிக் தூரம்ஃ ஹைபர்போலிக் தொடுகோட்டின் தலைகீழ் ஹைபர்போலிக் செயல்பாடு எங்கே. பயன்படுத்தப்படும் வட்டு திறந்த அலகு வட்டு மற்றும் புள்ளி தோற்றம் மற்றும் புள்ளிக்கு இடையில் இருக்கும் போது (அதாவது. இரண்டு புள்ளிகளும் ஒரே ஆரத்தில் உள்ளன, ஒரே துருவ கோணத்தைக் கொண்டுள்ளன மற்றும்), அவற்றின் ஹைபர்போலிக் தூரம் இது முந்தைய சூத்திரத்திற்கு குறைகிறது. வட்டங்கள் ஒரு வட்டம் (ஒரு குறிப்பிட்ட புள்ளியில் இருந்து கொடுக்கப்பட்ட தூரத்தில் ஒரு தளத்தில் உள்ள அனைத்து புள்ளிகளின் தொகுப்பு, அதன் மையம்) என்பது வட்டத்திற்குள் அதன் எல்லையைத் தொடாத அல்லது வெட்டாத ஒரு வட்டமாகும். மாதிரியில் உள்ள வட்டத்தின் ஹைபர்போலிக் மையம் பொதுவாக வட்டத்தின் யூக்ளிடியன் மையத்துடன் ஒத்திருக்கவில்லை, ஆனால் அவை எல்லை வட்டத்தின் அதே ஆரத்தில் உள்ளன. ஹைப்பர்சைக்கிள்கள் ஒரு ஹைப்பர்சைக்கிள் (கொடுக்கப்பட்ட கோடு, அதன் அச்சிலிருந்து கொடுக்கப்பட்ட தூரத்தில் ஒரு பக்கத்தில் இருக்கும் ஒரு தளத்தின் அனைத்து புள்ளிகளின் தொகுப்பு) என்பது யூக்ளிடியன் வட்ட வளைவு அல்லது எல்லை வட்டத்தின் நாணல் ஆகும், இது எல்லை வட்டத்தை நேர்மறையான ஆனால் வலது அல்லாத கோணத்தில் வெட்டுகிறது. அதன் அச்சு அதே இரண்டு இலட்சிய புள்ளிகளைப் பகிர்ந்து கொள்ளும் ஹைபர்போலிக் கோடு ஆகும். இது சம தூர வளைவு என்றும் அழைக்கப்படுகிறது. ஒரு ஜாதக சுழற்சி (அதன் இயல்பான அல்லது செங்குத்தான புவியியல் அனைத்தும் ஒரே திசையில் அறிகுறியற்ற முறையில் ஒன்றிணைந்த ஒரு வளைவு), வட்டின் எல்லை வட்டத்தைத் தொடும் வட்டின் உள்ளே ஒரு வட்டம் ஆகும். அது எல்லை வட்டத்தைத் தொடும் புள்ளி ஜாதகத்தின் ஒரு பகுதியாக இல்லை. இது ஒரு சிறந்த புள்ளியாகும் மற்றும் ஜாதகத்தின் ஹைபர்போலிக் மையமாகும். யூக்ளிடிய சுருக்கம் ஒரு யூக்ளிடிய வட்டம்ஃ இது முற்றிலும் வட்டத்திற்குள் ஒரு ஹைபர்போலிக் வட்டமாகும். (வட்டின் மையம் வட்டத்திற்குள் இல்லாதபோது, யூக்ளிடியன் மையம் எப்போதும் ஹைபர்போலிக் மையத்தை விட வட்டின் மையத்திற்கு நெருக்கமாக இருக்கும், அதாவது. வைத்திருங்கள்.) வட்டுக்குள் இருக்கும் மற்றும் எல்லையைத் தொடும் ஒரு ஜாதகமாகும்; எல்லையை ஆர்த்தோகனலாக வெட்டுவது ஒரு ஹைபர்போலிக் கோடு; மற்றும் எல்லையை ஆர்த்தோகனலாக அல்லாமல் வெட்டுவது ஒரு ஹைபர்சைக்கிள் ஆகும். எல்லை வட்டத்தின் ஒரு யூக்ளிடியன் நாணல்ஃ மையத்தின் வழியாகச் செல்வது ஒரு ஹைபர்போலிக் கோடு; மையத்தின் வழியாகச் செல்லாதது ஒரு ஹைபர்சைக்கிள் ஆகும். அளவீட்டு மற்றும் வளைவு வழக்கமான யூக்ளிடியன் நெறிமுறையுடன் உண்மையான n-பரிமாண திசையன் இடைவெளி Rn இல் u மற்றும் v இரண்டு திசையன்களாக இருந்தால், இவை இரண்டும் 1 க்கும் குறைவான நெறிமுறையைக் கொண்டுள்ளன, பின்னர் வழக்கமான யூக்ளிடியன் நெறிமுறையைக் குறிக்கும் ஒரு ஐசோமெட்ரிக் மாறிலியை நாம் வரையறுக்கலாம். அத்தகைய தூரச் செயல்பாடு ஒன்றுக்கும் குறைவான நெறிமுறை கொண்ட எந்த இரண்டு திசையன்களுக்கும் வரையறுக்கப்படுகிறது, மேலும் அத்தகைய திசையன்களின் தொகுப்பை ஒரு மெட்ரிக் இடமாக ஆக்குகிறது, இது நிலையான வளைவின் ஹைபர்போலிக் இடத்தின் மாதிரியாகும்-1. ஹைபர்போலிக் இடத்தில் இரண்டு குறுக்குவெட்டு வளைவுகளுக்கு இடையிலான கோணம் மாதிரியில் உள்ள கோணத்திற்கு சமமாக இருக்கும் என்று மாதிரியில் இணக்கமான பண்பு உள்ளது. பாயின்கேர் வட்டு மாதிரியின் தொடர்புடைய மெட்ரிக் டென்சர் xi என்பது சுற்றுப்புற யூக்ளிடியன் இடத்தின் கார்ட்டீசியன் ஆயத்தொலைவுகள் ஆகும். வட்டு மாதிரியின் புவியியல் எல்லைக் கோளமான Sn−1 க்கு செங்குத்தாக வட்டங்கள் உள்ளன. இரண்டு பரிமாணங்களில், இந்த பிரேம்கள் மற்றும் லெவி-சிவிட்டா இணைப்பைப் பொறுத்தவரை, இணைப்பு வடிவங்கள் முறுக்கு இல்லாத 1-வடிவங்களின் தனித்துவமான வளைவு-சமச்சீர் மேட்ரிக்ஸ் மூலம் வழங்கப்படுகின்றன, அதாவது மேட்ரிக்ஸ் சமன்பாட்டை திருப்திப்படுத்தும். எனவே, ஹைபர்போலிக் வட்டின் வளைவு ஹைபர்போலிக் வடிவவியலின் பிற மாதிரிகளுடனான உறவு க்ளீன் வட்டு மாதிரியுடனான உறவு க்ளீன் வட்டு மாதிரி (பெல்ட்ராமி-க்ளீன் மாதிரி என்றும் அழைக்கப்படுகிறது) மற்றும் பாயின்கேர் வட்டு மாதிரி ஆகிய இரண்டும் ஒரு வட்டில் முழு ஹைபர்போலிக் தளத்தையும் முன்வைக்கும் மாதிரிகள் ஆகும். இரண்டு மாதிரிகளும் அரைக்கோள மாதிரியில் அல்லது அதிலிருந்து ஒரு திட்டத்தின் மூலம் தொடர்புடையவை. க்ளீன் வட்டு மாதிரி அரைக்கோள மாதிரியின் ஒரு ஆர்த்தோகிராஃபிக் திட்டமாகும், அதே நேரத்தில் போயின்கேர் வட்டு மாதிரி ஒரு ஸ்டீரியோகிராஃபிக் திட்டமாகும். க்ளீன் வட்டு மாதிரியின் ஒரு நன்மை என்னவென்றால், இந்த மாதிரியில் உள்ள கோடுகள் யூக்ளிடியன் நேரான வளையங்கள் ஆகும். ஒரு குறைபாடு என்னவென்றால், க்ளீன் வட்டு மாதிரி இணக்கமாக இல்லை (வட்டங்கள் மற்றும் கோணங்கள் சிதைக்கப்படுகின்றன). ஒரே வட்டில் இரண்டு மாதிரிகளிலும் ஒரே கோடுகளை முன்வைக்கும்போது, இரண்டு கோடுகளும் ஒரே இரண்டு இலட்சிய புள்ளிகள் வழியாக செல்கின்றன. (சிறந்த புள்ளிகள் ஒரே இடத்தில் உள்ளன) மேலும் க்ளீன் வட்டு மாதிரியில் உள்ள நாண் துருவமானது பாயின்கேர் வட்டு மாதிரியில் வளைவைக் கொண்ட வட்டத்தின் மையமாகும். போயின்கேர் வட்டு மாதிரியில் உள்ள ஒரு புள்ளி (x, y) க்ளீன் மாதிரியில் வரைபடமாக உள்ளது. க்ளீன் மாதிரியில் உள்ள ஒரு புள்ளி (x, y) போயின்கேர் வட்டு மாதிரியில் வரைபடமாக்கப்படுகிறது. சிறந்த புள்ளிகள் மற்றும் சூத்திரங்களுக்கு புள்ளிகள் சரிசெய்யப்படுகின்றன. பாயின்கேர் வட்டு மாதிரியின் ஒரு புள்ளியைக் குறிக்கும் ஒன்றுக்கும் குறைவான நெறிமுறை திசையன் என்றால், க்ளீன் வட்டு மாதிரியின் தொடர்புடைய புள்ளி பின்வருமாறு வழங்கப்படுகிறதுஃ இதற்கு நேர்மாறாக, பெல்ட்ராமி-க்ளீன் மாதிரியின் ஒரு புள்ளியைக் குறிக்கும் ஒன்றுக்கும் குறைவான நெறிமுறை திசையனிலிருந்து, பாயின்கேர் வட்டு மாதிரியின் தொடர்புடைய புள்ளி பின்வருமாறு வழங்கப்படுகிறதுஃ பாயின்கேர் அரை விமான மாதிரியுடன் தொடர்பு பாயின்கேர் வட்டு மாதிரி மற்றும் பாயின்கேர் அரை விமான மாதிரி இரண்டும் ஹென்றி பாயின்கேர் பெயரிடப்பட்டுள்ளன. பாயின்கேர் வட்டு மாதிரியின் ஒரு புள்ளியைக் குறிக்கும் ஒன்றுக்கு குறைவான நெறிமுறை ஒரு சிக்கலான எண்ணிக்கையாக இருந்தால், அரை-தள மாதிரியின் தொடர்புடைய புள்ளி கெய்லி உருமாற்றத்தின் தலைகீழ் மூலம் வழங்கப்படுகிறதுஃ வட்டு மாதிரியில் ஒரு புள்ளி (x, y) அரை விமான மாதிரியில் வரைபடங்கள். அரை விமான மாதிரியில் உள்ள ஒரு புள்ளி (x, y) வட்டு மாதிரியில் வரைபடமாக்கப்படுகிறது. ஹைபர்போலாய்டு மாதிரியுடனான தொடர்பு பாயின்கேர் வட்டு மாதிரியும், க்ளீன் மாதிரியும் ஹைபர்போலாய்டு மாதிரியுடன் திட்டவட்டமாக தொடர்புடையவை. ஹைபர்போலாய்டு மாதிரியின் ஹைபர்போலாய்டின் மேல் தாளில் ஒரு புள்ளி [t, x1,., xn] இருந்தால், அதன் மூலம் ஹைபர்போலாய்டு மாதிரியில் ஒரு புள்ளியை வரையறுத்தால், அதை [−1,0,., 0] வழியாக வரையப்பட்ட ஒரு கோட்டுடன் வெட்டுவதன் மூலம் ஹைப்பர்பிளேன் t = 0 இல் காட்டலாம். இதன் விளைவாக போயின்கேர் வட்டு மாதிரியின் தொடர்புடைய புள்ளி உள்ளது. ஹைபர்போலாய்டில் கார்ட்டீசியன் ஆயத்தொலைவுகள் (t, xi) மற்றும் தளத்தில் (yi), மாற்று சூத்திரங்கள் பின்வருமாறுஃ ஒரு கோளத்திற்கும் ஒரு தளத்திற்கும் இடையிலான ஸ்டீரியோகிராஃபிக் திட்டத்திற்கான சூத்திரங்களை ஒப்பிடுக. ஹைபர்போலிக் தளத்தில் பகுப்பாய்வு வடிவியல் கட்டமைப்புகள் பகுப்பாய்வு வடிவவியலின் அடிப்படை கட்டுமானம் என்பது கொடுக்கப்பட்ட இரண்டு புள்ளிகள் வழியாக ஒரு கோட்டைக் கண்டுபிடிப்பதாகும். பாயின்கேர் வட்டு மாதிரியில், தளத்தில் உள்ள கோடுகள் அலகு வட்டத்திற்கு ஆர்த்தோகனல் வட்டத்தின் பொதுவான வடிவமான வடிவத்தின் சமன்பாடுகளைக் கொண்ட வட்டங்களின் பகுதிகளால் வரையறுக்கப்படுகின்றன, அல்லது விட்டம் மூலம் வரையறுக்கப்படுகின்றன. ஒரு விட்டத்தில் இல்லாத வட்டில் உள்ள இரண்டு புள்ளிகள் u = (u1, u2) மற்றும் v = (v1, v2) கொடுக்கப்பட்டால், இரண்டு புள்ளிகளையும் கடந்து செல்லும் இந்த வடிவத்தின் வட்டத்திற்கு நாம் தீர்க்க முடியும், மேலும் பெறலாம். க்ளீன் மாதிரி மற்றும் பாயின்கேர் வட்டு மாதிரியில் சிறந்த புள்ளிகள் ஒரே மாதிரியாக இருப்பதால், ஒவ்வொரு மாதிரிக்கும் சூத்திரங்கள் ஒரே மாதிரியானவை. இரண்டு மாதிரிகளின் கோடுகளும் விட்டமாக இருந்தால், அதனால் v = −u மற்றும் t = −s, பின்னர் நாம் இரண்டு அலகு திசையன்களுக்கு இடையிலான கோணத்தைக் கண்டுபிடிப்போம், மேலும் கோணத்திற்கான சூத்திரம் θ ஆகும். கனேடிய கணிதவியலாளர் எச். எஸ். எம். உடன் கலந்துரையாடல் 1956 ஆம் ஆண்டில் காக்செட்டர் ஹைபர்போலிக் டெஸ்லேஷன்களில் எஷரின் ஆர்வத்தைத் தூண்டினார், அவை ஹைபர்போலிக் தளத்தின் வழக்கமான சாய்வுகளாகும். எஷரின் மரச் செதுக்கல்கள் வட்டம் வரம்பு I-IV 1958 மற்றும் 1960 க்கு இடையில் இந்த கருத்தை நிரூபிக்கிறது, கடைசியாக 1960 இல் வட்டம் வரம்பு IV: சொர்க்கம் மற்றும் நரகம். புருனோ எர்ன்ஸ்டின் கூற்றுப்படி, அவற்றில் சிறந்தது வட்டம் வரம்பு III ஆகும். ஹைபர்ராக், ஒரு முரட்டுத்தனமான விளையாட்டு, அதன் உலக வடிவவியலுக்கு ஹைபர்போலிக் தளத்தைப் பயன்படுத்துகிறது, மேலும் பாயின்கேர் வட்டு மாதிரியையும் பயன்படுத்துகிறது. ஹைபர்போலிக் வடிவியல் பெல்ட்ராமி-க்ளீன் மாதிரி பாயின்கேர் அரை விமான மாதிரி பாயின்கேர் மெட்ரிக் சூடோஸ்பியர் ஹைபர்போலாய்டு மாதிரி தலைகீழ் வடிவியல் ஹைபர்போலிக் விமானத்தில் சீரான சாய்வுகள் குறிப்புகள் மேலும் வாசிப்பு ஜேம்ஸ் டபிள்யூ. ஆண்டர்சன், ஹைபர்போலிக் வடிவியல், இரண்டாவது பதிப்பு, ஸ்பிரிங்கர், 2005. யூஜெனியோ பெல்ட்ராமி, தியோரியா ஃபாண்டமென்டல் டிக்லி ஸ்பாஜி டி கர்வடுரா கோஸ்டான்டே, அன்னாலி. டி மாட்., செர் II 2 (1868), 232-255. சவுல் ஸ்டால், தி பாயின்கேர் ஹாஃப்-பிளேன், ஜோன்ஸ் அண்ட் பார்ட்லெட், 1993. வெளிப்புற இணைப்புகள் பல பரிமாண வடிவியல் ஹைபர்போலிக் வடிவியல் வட்டு