Cayley–Klein metric
கணிதத்தில், கெய்லி-க்ளீன் மெட்ரிக் என்பது ஒரு திட்ட இடத்தில் ஒரு நிலையான நாற்கரத்தின் நிரப்பு மீது ஒரு மெட்ரிக் ஆகும், இது ஒரு குறுக்கு விகிதத்தைப் பயன்படுத்தி வரையறுக்கப்படுகிறது. ஆர்தர் கெய்லியின் "ஆன் தி தியரி ஆஃப் டிஸ்டன்ஸ்" என்ற கட்டுரையில் இந்த கட்டுமானம் உருவானது, அங்கு அவர் நாற்கரத்தை முழுமையானது என்று அழைக்கிறார். 1871 மற்றும் 1873 ஆம் ஆண்டுகளில் ஃபெலிக்ஸ் க்ளீன் ஆவணங்களிலும், அதைத் தொடர்ந்து வந்த புத்தகங்கள் மற்றும் ஆவணங்களிலும் கட்டுமானம் மேலும் விரிவாக உருவாக்கப்பட்டது. கெய்லி-க்ளீன் அளவீடுகள் வடிவவியலில் ஒரு ஒருங்கிணைந்த யோசனையாகும், ஏனெனில் இந்த முறை ஹைபர்போலிக் வடிவியல், நீள்வட்ட வடிவியல் மற்றும் யூக்ளிடியன் வடிவவியலில் அளவீடுகளை வழங்க பயன்படுத்தப்படுகிறது. யூக்ளிடியன் அல்லாத வடிவவியலின் புலம் பெரும்பாலும் கெய்லி-க்ளீன் அளவீடுகளால் வழங்கப்பட்ட அடித்தளத்தில் உள்ளது. கார்ல் வான் ஸ்டாட் (1847) எழுதிய எறிதலின் இயற்கணிதம் என்பது அளவீட்டில் இருந்து சுயாதீனமான வடிவவியலுக்கான அணுகுமுறையாகும். ஒரு கோட்டில் உள்ள அளவீட்டுக்கு அடிப்படையாக ப்ரொஜெக்டிவ் ஹார்மோனிக் கான்ஜுகேட்டுகள் மற்றும் குறுக்கு விகிதங்களின் உறவைப் பயன்படுத்துவதே யோசனையாக இருந்தது. மற்றொரு முக்கியமான நுண்ணறிவு எட்மண்ட் லாகூர் (1853) எழுதிய லாகூர் சூத்திரமாகும், அவர் இரண்டு கோடுகளுக்கு இடையிலான யூக்ளிடியன் கோணத்தை ஒரு குறுக்கு விகிதத்தின் மடக்கை என வெளிப்படுத்த முடியும் என்பதைக் காட்டினார். இறுதியில், கெய்லி (1859) ஒரு திட்ட அளவீட்டின் அடிப்படையில் தூரத்தை வெளிப்படுத்த உறவுகளை உருவாக்கி, அவற்றை வடிவவியலின் முழுமையானதாக செயல்படும் பொதுவான நாற்கரங்கள் அல்லது கூம்புகளுடன் தொடர்புபடுத்தினார். க்ளீன் (1871,1873) வான் ஸ்டாட்டின் படைப்புகளில் இருந்து மெட்ரிக் கருத்தாக்கங்களின் கடைசி எச்சங்களை அகற்றி, அதை கெய்லியின் கோட்பாட்டுடன் இணைத்தார், இதனால் கெய்லியின் புதிய மெட்ரிக் மடக்கை மற்றும் குறுக்கு விகிதத்தை நான்கு புள்ளிகளின் வடிவியல் ஏற்பாட்டால் உருவாக்கப்பட்ட எண்ணாக அடிப்படையாகக் கொண்டது. குறுக்கு விகிதம் முன்பு வரையறுக்கப்பட்ட தூரங்களின் இரட்டை விகிதமாக இருந்தால், தூரத்தின் வட்ட வரையறையைத் தவிர்க்க இந்த செயல்முறை அவசியம். குறிப்பாக, யூக்ளிடியன் அல்லாத வடிவவியல்கள் கெய்லி-க்ளீன் அளவீட்டை அடிப்படையாகக் கொண்டிருக்கலாம் என்பதை அவர் காட்டினார். கெய்லி-க்ளீன் வடிவியல் என்பது கெய்லி-க்ளீன் மெட்ரிக் மாறுபாட்டை விட்டு வெளியேறும் இயக்கங்களின் குழுவைப் பற்றிய ஆய்வு ஆகும். இது இடத்தின் முழுமையானதாக மாறும் ஒரு நாற்கர அல்லது கூம்பு தேர்வை சார்ந்துள்ளது. இந்த குழு முழுமையான நிலையானதாக இருக்கும் கொலினேஷன்களாக பெறப்படுகிறது. உண்மையில், குறுக்கு விகிதம் எந்தவொரு கொலினேஷனின் கீழும் மாறாதது, மேலும் நிலையான முழுமையானது மெட்ரிக் ஒப்பீட்டை செயல்படுத்துகிறது, இது சமமாக இருக்கும். எடுத்துக்காட்டாக, அலகு வட்டம் என்பது பாயின்கேர் வட்டு மாதிரியின் முழுமையானது மற்றும் ஹைபர்போலிக் வடிவவியலில் பெல்ட்ராமி-க்ளீன் மாதிரியாகும். இதேபோல், உண்மையான கோடு போயின்கேர் அரை விமான மாதிரியின் முழுமையானது. கெய்லி-க்ளீன் வடிவவியலின் அளவு 2004 ஆம் ஆண்டில் ஹோர்ஸ்ட் மற்றும் ரோல்ஃப் ஸ்ட்ரூவ் ஆகியோரால் சுருக்கமாகக் கூறப்பட்டதுஃ உண்மையான ப்ரொஜெக்டிவ் கோட்டில் மூன்று முழுமையானவை உள்ளன, உண்மையான ப்ரொஜெக்டிவ் தளத்தில் ஏழு மற்றும் உண்மையான ப்ரொஜெக்டிவ் இடத்தில் 18 உள்ளன. ஹைபர்போலிக், எலிப்டிக், கலிலியன் மற்றும் மின்காவ்ஸ்கியன் போன்ற அனைத்து கிளாசிக்கல் யூக்ளிடியன் அல்லாத ப்ரொஜெக்டிவ் ஸ்பேஸ்களும் அவற்றின் டூயல்களும் இந்த வழியில் வரையறுக்கப்படலாம். கெய்லி-க்ளீன் வோரோனோய் வரைபடங்கள் நேரியல் ஹைப்பர்பிளேன் இரு பிரிவுகளுடன் தொடர்புடைய வரைபடங்கள் ஆகும். குறுக்கு விகிதம் மற்றும் தூரம் கெய்லி-க்ளீன் மெட்ரிக் முதலில் உண்மையான ப்ரொஜெக்டிவ் கோடு பி (ஆர்) மற்றும் ப்ரொஜெக்டிவ் ஆயத்தொகுப்புகளில் விளக்கப்பட்டுள்ளது. பொதுவாக ப்ரொஜெக்டிவ் வடிவியல் மெட்ரிக் வடிவவியலுடன் தொடர்புடையது அல்ல, ஆனால் ஹோமோகிராஃபி மற்றும் இயற்கை மடக்கை கொண்ட ஒரு சாதனம் இணைப்பை உருவாக்குகிறது. P (R) இல் p மற்றும் q என்ற இரண்டு புள்ளிகளுடன் தொடங்குங்கள். நியதி உட்பொதிப்பில் அவை [p: 1] மற்றும் [q: 1] ஆகும். ஹோமோகிராஃபிக் வரைபடம் p ஐ பூஜ்ஜியமாகவும், q ஐ முடிவிலியாகவும் எடுத்துக்கொள்கிறது. மேலும், நடுப்புள்ளி (p + q)/2 [1:1] க்கு செல்கிறது. இயற்கையான மடக்கை இடைவெளி [p, q] இன் படத்தை உண்மையான கோட்டிற்கு எடுத்துச் செல்கிறது, நடுப்புள்ளியின் படத்தின் பதிவு 0 ஆக உள்ளது. இடைவெளியில் இரண்டு புள்ளிகளுக்கு இடையிலான தூரத்திற்கு, கெய்லி-க்ளீன் மெட்ரிக் புள்ளிகளின் விகிதத்தின் மடக்கைப் பயன்படுத்துகிறது. எண் மற்றும் வகுத்தல் சமமாக மறு விகிதத்தில் இருக்கும்போது ஒரு விகிதம் பாதுகாக்கப்படுவதால், அத்தகைய விகிதங்களின் மடக்கை பாதுகாக்கப்படுகிறது. விகிதங்களின் இந்த நெகிழ்வுத்தன்மை பூஜ்ஜிய புள்ளியின் இயக்கத்தை தூரத்திற்கு செயல்படுத்துகிறதுஃ அதை a க்கு நகர்த்த, மேலே உள்ள ஹோமோகிராஃபியைப் பயன்படுத்துங்கள், w ஐப் பெறுவதாகக் கூறவும். பின்னர் இந்த ஹோமோகிராஃபியை உருவாக்கவும்ஃ இது [w, 1] முதல் [1:1] வரை எடுக்கும். முதல் மற்றும் இரண்டாவது ஹோமோகிராஃபிகளின் கலவை a முதல் 1 வரை எடுக்கும், இதனால் இடைவெளியில் ஒரு தன்னிச்சையான a ஐ இயல்பாக்குகிறது. தொகுக்கப்பட்ட ஹோமோகிராஃபிகள் p, q மற்றும் a இன் குறுக்கு விகிதம் ஹோமோகிராஃபி என்று அழைக்கப்படுகின்றன. அடிக்கடி குறுக்கு விகிதம் நான்கு மதிப்புகளின் செயல்பாடாக அறிமுகப்படுத்தப்படுகிறது. இங்கே மூன்று ஒரு ஹோமோகிராஃபியை வரையறுக்கின்றன, நான்காவது ஹோமோகிராஃபியின் வாதமாகும். 0 இலிருந்து இந்த நான்காவது புள்ளியின் தூரம் மதிப்பிடப்பட்ட ஹோமோகிராஃபியின் மடக்கை ஆகும். பி (ஆர்) கொண்ட ஒரு ப்ரொஜெக்டிவ் இடத்தில், கே மீது பி மற்றும் க்யூ உடன் ஒரு கூம்பு கே கொடுக்கப்பட்டுள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம். பெரிய இடத்தில் ஒரு ஹோமோகிராஃபி கே ஒரு மாறாத தொகுப்பாக இருக்கலாம், ஏனெனில் அது இடத்தின் புள்ளிகளை வரிசைப்படுத்துகிறது. அத்தகைய ஹோமோகிராஃபி P (R) இல் ஒன்றைத் தூண்டுகிறது, மேலும் p மற்றும் q K இல் இருப்பதால், குறுக்கு விகிதம் மாறாமல் உள்ளது. உயர் ஹோமோகிராஃபிகள் K ஆல் சூழப்பட்ட பிராந்தியத்தின் இயக்கங்களை வழங்குகின்றன, இயக்கத்தைப் பாதுகாக்கும் தூரத்துடன், ஒரு ஐசோமெட்ரி. வட்டு பயன்பாடுகள் முழுமையானதற்கு ஒரு அலகு வட்டம் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டுள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம். மறுபுறம், சாதாரண சிக்கலான தளத்தில் உள்ள அலகு வட்டம் சிக்கலான எண் எண்கணிதத்தைப் பயன்படுத்துகிறது மற்றும் சிக்கலான ப்ரொஜெக்டிவ் கோடு P (C) இல் காணப்படுகிறது, இது உண்மையான ப்ரொஜெக்டிவ் தளமான P2 (R) இலிருந்து வேறுபட்டது. முந்தைய பிரிவில் அறிமுகப்படுத்தப்பட்ட பி (ஆர்) க்கான தூரக் கருத்து பி (ஆர்) பி 2 (ஆர்) மற்றும் பி (சி) இரண்டிலும் சேர்க்கப்பட்டுள்ளதால் கிடைக்கிறது. a மற்றும் b ஆகியவை P2 (R) இல் வட்டத்திற்கு உட்புறமாக உள்ளன என்று வைத்துக்கொள்வோம். பின்னர் அவை p மற்றும் q இல் வட்டத்தை வெட்டுகின்ற ஒரு கோட்டில் உள்ளன. a முதல் b வரையிலான தூரம் என்பது ஹோமோகிராஃபியின் மதிப்பின் மடக்கைக் குறிக்கிறது, இது b க்கு பயன்படுத்தப்படும்போது p, q மற்றும் a ஆல் மேலே உருவாக்கப்படுகிறது. இந்த நிகழ்வில் வட்டில் உள்ள புவியியல் கோடுகள் கோடு பிரிவுகளாகும். மறுபுறம், புவியியல் என்பது சிக்கலான தளத்தின் வட்டில் உள்ள பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட வட்டங்களின் வளைவுகள் ஆகும். இந்த வகை வளைவுகள் மோபியஸ் உருமாற்றங்களால் வரிசைப்படுத்தப்படுகின்றன, இது இந்த வட்டின் இயக்கங்களின் மூலமாகும், இது அலகு வட்டத்தை ஒரு மாறாத தொகுப்பாக விட்டுச்செல்கிறது. இந்த வட்டில் a மற்றும் b கொடுக்கப்பட்டால், ஒரு தனித்துவமான பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட வட்டம் உள்ளது, இது அலகு வட்டத்தை சரியான கோணங்களில் சந்திக்கிறது, அதை p மற்றும் q இல் வெட்டுகிறது. மீண்டும், a முதல் b வரையிலான தூரத்திற்கு ஒருவர் முதலில் p, q மற்றும் a க்கான ஹோமோகிராஃபியை உருவாக்கி, பின்னர் அதை b இல் மதிப்பீடு செய்து, இறுதியாக மடக்கைப் பயன்படுத்துகிறார். இந்த பாணியில் பெறப்பட்ட ஹைபர்போலிக் தளத்தின் இரண்டு மாதிரிகள் கெய்லி-க்ளீன் மாதிரி மற்றும் போயின்கேர் வட்டு மாதிரி ஆகும். 1926 ஆம் ஆண்டு மரணத்திற்குப் பிறகு வெளியிடப்பட்ட கணிதத்தின் வரலாறு குறித்த தனது சொற்பொழிவுகளில், க்ளீன் எழுதினார்ஃ நான்கு பரிமாண உலகில் வழக்கு அல்லது (மூன்று பரிமாணங்களில் இருப்பது மற்றும் ஒரே மாதிரியான ஆயத்தொகுதிகளைப் பயன்படுத்துவது) சமீபத்தில் இயற்பியலின் சார்பியல் கோட்பாட்டின் மூலம் சிறப்பு முக்கியத்துவத்தைப் பெற்றுள்ளது. அதாவது, முழுமையான அல்லது ஹைபர்போலிக் வடிவவியலில் (மேலே விவாதிக்கப்பட்டபடி), இடைவெளிகள் அல்லது விண்வெளி நேரத்துடன் ஒத்திருக்கிறது, மேலும் முழுமையான மாறுபாட்டை விட்டு வெளியேறும் அதன் மாற்றம் லோரெண்ட்ஸ் உருமாற்றங்களுடன் தொடர்புடையதாக இருக்கலாம். இதேபோல், ஹைபர்போலிக் வடிவவியலில் அலகு வட்டம் அல்லது அலகு கோளத்தின் சமன்பாடுகள் இயற்பியல் வேகங்கள் அல்லது சார்பியலில் ஒத்திருக்கின்றன, அவை ஒளியின் வேகத்தால் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளன, இதனால் எந்தவொரு இயற்பியல் வேகத்திற்கும், விகிதம் ஒரு அலகு கோளத்தின் உட்புறத்துடன் மட்டுப்படுத்தப்பட்டுள்ளது, மேலும் கோளத்தின் மேற்பரப்பு வடிவவியலுக்கு கெய்லி முழுமையானதை உருவாக்குகிறது. ஹைபர்போலிக் இடத்திற்கான கெய்லி-க்ளீன் மெட்ரிக் மற்றும் சிறப்பு சார்பியல் மின்காவ்ஸ்கி இடைவெளி ஆகியவற்றுக்கு இடையிலான உறவு பற்றிய கூடுதல் விவரங்கள் 1910 ஆம் ஆண்டில் க்ளீனால் சுட்டிக்காட்டப்பட்டன, அதே போல் யூக்ளிடியன் அல்லாத வடிவியல் குறித்த அவரது விரிவுரைகளின் 1928 பதிப்பில் சுட்டிக்காட்டப்பட்டன. 2008 ஆம் ஆண்டில் ஹார்ஸ்ட் மார்டினி மற்றும் மார்கரிட்டா ஸ்பிரோவா ஆகியோர் கிளிஃபோர்டின் முதல் வட்டக் கோட்பாடுகள் மற்றும் பிற யூக்ளிடியன் வடிவவியலை கெய்லி அப்சல்யூட்டுடன் தொடர்புடைய அஃபைன் வடிவவியலைப் பயன்படுத்தி பொதுமைப்படுத்தினர்ஃ அப்சல்யூட் ஒரு கோட்டைக் கொண்டிருந்தால், ஒருவர் அஃபைன் கெய்லி-க்ளைன் வடிவவியல்களின் துணைக்குடும்பத்தைப் பெறுகிறார். முழுமையானது ஒரு கோடு f மற்றும் f இல் ஒரு புள்ளி F ஐக் கொண்டிருந்தால், நம்மிடம் ஐசோட்ரோபிக் வடிவியல் உள்ளது. ஒரு ஐசோட்ரோபிக் வட்டம் என்பது F இல் f ஐத் தொடும் கூம்பு ஆகும். ஒரே மாதிரியான ஆயத்தொகுதிகளைப் பயன்படுத்தவும் (x, y, z). முடிவிலியில் f என்ற கோடு z = 0 ஆகும். F = (0,1,0) என்றால், y-அச்சுக்கு இணையாக விட்டம் கொண்ட ஒரு பரவளையம் ஒரு ஐசோட்ரோபிக் வட்டமாகும். P = (1,0,0) மற்றும் Q = (0,1,0) ஆகியவை முழுமையானதாக இருக்கட்டும், எனவே மேலே உள்ளபடி f. (x, y) தளத்தில் உள்ள ஒரு செவ்வக ஹைப்பர்போலா முடிவிலியில் உள்ள கோட்டில் P மற்றும் Q வழியாக செல்வதாகக் கருதப்படுகிறது. இந்த வளைவுகள் போலி-யூக்ளிடிய வட்டங்கள் ஆகும். மார்ட்டினி மற்றும் ஸ்பிரோவா ஆகியோரின் சிகிச்சை ஐசோட்ரோபிக் வடிவவியலுக்கு இரட்டை எண்களையும், போலி-யூக்ளிடியன் வடிவவியலுக்கு பிளவு-சிக்கலான எண்களையும் பயன்படுத்துகிறது. இந்த பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட சிக்கலான எண்கள் யூக்ளிடிய வடிவவியலுடன் சாதாரண சிக்கலான எண்களைப் போலவே அவற்றின் வடிவவியலுடன் தொடர்புபடுத்தப்படுகின்றன. வரலாறு கெய்லி ஆர்தர் கெய்லி (1859) தனது திட்ட அளவீட்டை இரண்டாவது டிகிரி மேற்பரப்பின் பொதுவான சமன்பாடாக ஒரே மாதிரியான ஆயத்தொகுதிகளின் அடிப்படையில் அடிப்படையாகக் கொண்ட "முழுமையான" என்பதை வரையறுத்தார்ஃ இரண்டு புள்ளிகளுக்கு இடையிலான தூரம் பின்னர் வழங்கப்படுகிறது. க்ளீன் ஃபெலிக்ஸ் க்ளீன் (1871) கெய்லியின் வெளிப்பாடுகளை பின்வருமாறு மறுசீரமைத்தார்ஃ அவர் முழுமையானதை (அவர் அடிப்படை கூம்பு பிரிவு என்று அழைத்தார்) ஒரே மாதிரியான ஆயத்தொகுதிகளின் அடிப்படையில் எழுதினார்ஃ மேலும் முழுமையான மற்றும் இரண்டு கூறுகளை உருவாக்குவதன் மூலம், அவற்றுக்கிடையேயான அளவீட்டு தூரத்தை குறுக்கு விகிதத்தின் அடிப்படையில் வரையறுத்தார்ஃ தளத்தில், அளவீட்டு தூரங்களுக்கான அதே உறவுகள் உள்ளன, அதைத் தவிர, இப்போது அவை ஒவ்வொன்றும் மூன்று ஆயத்தொகுதிகளுடன் தொடர்புடையவை. அடிப்படை கூம்பு பிரிவாக அவர் சிறப்பு வழக்கைப் பற்றி விவாதித்தார், இது உண்மையான போது ஹைபர்போலிக் வடிவவியலுடனும், கற்பனையாக இருக்கும்போது நீள்வட்ட வடிவவியலுடனும் தொடர்புடையது. இந்த வடிவத்தை மாறாமல் விட்டுச்செல்லும் உருமாற்றங்கள் அந்தந்த யூக்ளிடியன் அல்லாத இடத்தில் உள்ள இயக்கங்களைக் குறிக்கின்றன. மாற்றாக, அவர் வட்டத்தின் சமன்பாட்டை வடிவத்தில் பயன்படுத்தினார், இது நேர்மறையாக இருக்கும்போது ஹைபர்போலிக் வடிவவியலுடனோ (பெல்ட்ராமி-க்ளீன் மாதிரி) அல்லது எதிர்மறையாக இருக்கும்போது நீள்வட்ட வடிவவியலுடனோ தொடர்புடையது. விண்வெளியில், அவர் இரண்டாவது டிகிரியின் அடிப்படை மேற்பரப்புகளைப் பற்றி விவாதித்தார், அதன்படி கற்பனையானவை நீள்வட்ட வடிவவியலைக் குறிக்கின்றன, உண்மையான மற்றும் செவ்வகமானவை மூன்று முக்கிய வடிவவியல்களில் ஒன்றுடன் எந்த தொடர்பும் இல்லாத ஒரு தாள் ஹைபர்போலாய்டுடன் ஒத்திருக்கின்றன, அதே நேரத்தில் உண்மையான மற்றும் செவ்வகமற்றவை ஹைபர்போலிக் இடத்தை குறிக்கின்றன. தனது 1873 கட்டுரையில் அவர் கெய்லி மெட்ரிக் மற்றும் உருமாற்றக் குழுக்களுக்கு இடையிலான உறவை சுட்டிக்காட்டினார். குறிப்பாக, இரண்டாவது டிகிரி மேற்பரப்புகளுடன் தொடர்புடைய உண்மையான குணகங்களைக் கொண்ட இருபடி சமன்பாடுகளை சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகையாக மாற்றலாம், இதில் நேர்மறை மற்றும் எதிர்மறை அறிகுறிகளின் எண்ணிக்கைக்கு இடையிலான வேறுபாடு சமமாக இருக்கும் (இது இப்போது சில்வெஸ்டரின் மந்தநிலை விதி என்று அழைக்கப்படுகிறது). அனைத்து சதுரங்களின் அடையாளமும் ஒரே மாதிரியாக இருந்தால், மேற்பரப்பு நேர்மறை வளைவுடன் கற்பனையாக இருக்கும். ஒரு அடையாளம் மற்றவற்றிலிருந்து வேறுபட்டால், மேற்பரப்பு எதிர்மறை வளைவுடன் ஒரு நீள்வட்ட அல்லது இரண்டு தாள் ஹைபர்போலாய்டு ஆகிறது. குளிர்கால செமஸ்டர் 1889/90 இல் யூக்ளிடியன் அல்லாத வடிவியல் குறித்த அவரது சொற்பொழிவுகளின் முதல் தொகுதியில் (வெளியிடப்பட்ட 1892/1893), அவர் யூக்ளிடியன் அல்லாத தளத்தைப் பற்றி விவாதித்தார், இந்த வெளிப்பாடுகளைப் பயன்படுத்தி முழுமையானதுஃ மற்றும் யூக்ளிடியன் அல்லாத இடங்களில் இயக்கங்களைக் குறிக்கும் கொலினேஷன்கள் மற்றும் மோபியஸ் உருமாற்றங்கள் தொடர்பாக அவற்றின் மாறுபாட்டைப் பற்றி விவாதித்தார். 1890 கோடைகால செமஸ்டர் விரிவுரைகளைக் கொண்ட இரண்டாவது தொகுதியில் (மேலும் வெளியிடப்பட்டது 1892/1893), க்ளீன் கெய்லி மெட்ரிக் உடன் யூக்ளிடியன் அல்லாத இடத்தைப் பற்றி விவாதித்தார், மேலும் இந்த நாற்கர இருபடி வடிவத்தின் மாறுபாடுகளை பின்வரும் ஐந்து வடிவங்களில் ஒன்றிற்குள் உண்மையான நேரியல் மாற்றங்களால் கொண்டு வர முடியும் என்பதைக் காட்டினார். யூக்ளிடியன் அல்லாத இடங்களில் இயக்கங்களைக் குறிக்கும் கொலினேஷன்கள் மற்றும் மோபியஸ் உருமாற்றங்கள் தொடர்பாக அவற்றின் மாறாத தன்மையைப் பற்றி அவர் இறுதியில் விவாதித்தார். ராபர்ட் ஃப்ரிக்கும் க்ளீனும் 1897 ஆம் ஆண்டில் தானியங்கி செயல்பாடுகள் குறித்த முதல் தொகுதி விரிவுரைகளின் அறிமுகத்தில் இவை அனைத்தையும் சுருக்கமாகக் கூறினர், இதில் அவர்கள் விமான வடிவவியலில் முழுமையானதாகவும், ஹைபர்போலிக் இடமாகவும் பயன்படுத்தினர். யூக்ளிடியன் அல்லாத வடிவியல் குறித்த க்ளீனின் சொற்பொழிவுகள் மரணத்திற்குப் பிறகு ஒரு தொகுதியாக மீண்டும் வெளியிடப்பட்டன, மேலும் 1928 இல் வால்தர் ரோஸ்மனால் கணிசமாக திருத்தப்பட்டன. யூக்ளிடியன் அல்லாத வடிவியல் குறித்த க்ளீனின் பணியின் வரலாற்று பகுப்பாய்வு ஏ 'காம்போ மற்றும் பாப்படோபோலோஸ் (2014) ஆகியோரால் வழங்கப்பட்டது. ஹில்பர்ட் மெட்ரிக் குறிப்புகள் குறிப்புகள் வரலாற்று (இரண்டாவது அச்சு, 1892 இல் முதல் அச்சு) (இரண்டாவது அச்சு, 1892 இல் முதல் அச்சு) இரண்டாம் நிலை ஆதாரங்கள் பெர்ட்ராண்ட் ரஸ்ஸல் (1898) வடிவவியலின் அடித்தளங்கள் குறித்த ஒரு கட்டுரை, டோவர் பப்ளிகேஷன்ஸ், இன்க். ஆல்ஃபிரட் நார்த் வைட்ஹெட் (1898) யுனிவர்சல் ஆல்ஜிப்ரா, புத்தகம் VI அத்தியாயம் 1: தூரக் கோட்பாடு, pp 347-70, குறிப்பாக பிரிவு 199 கேலியின் தூரக் கோட்பாடு. டங்கன் சோமர்வில் (1910/11) "n-பரிமாண இடத்தில் கெய்லி-க்ளீன் அளவீடுகள்", எடின்பர்க் கணித சங்கத்தின் செயல்முறைகள் 28:25-41. டேவிட் டெல்பெனிச் ஆங்கில மொழிபெயர்ப்பில் மறுபதிப்பு செய்தார்ஃ லோரென்ட்ஸ் குழுவின் வடிவியல் அடித்தளங்களில்; ஆங்கில மொழிபெயர்ப்புஃ எம். அக்கர்மேன் எழுதிய 19 ஆம் நூற்றாண்டில் கணிதத்தின் வளர்ச்சி, கணித அறிவியல் பிரஸ் ஹார்வி லிப்கின் (1985) ஜார்ஜியா இன்ஸ்டிடியூட் ஆஃப் டெக்னாலஜியில் இருந்து அளவீட்டு வடிவியல் மேலும் வாசிப்பு ஜான் டிராஸ்லர் (1979) "கெய்லி-க்ளீன் வடிவவியலில் பன்முக அளவீட்டு அளவீட்டின் அடித்தளங்கள்", பிரிட்டிஷ் ஜர்னல் ஆஃப் மேத்தமேட்டிக்கல் அண்ட் ஸ்டாடிஸ்டிக்கல் சைக்காலஜி 32 (2); 185-211 திட்ட வடிவியல் மெட்ரிக் வடிவியல்