Tube domain
கணிதத்தில், குழாய் களம் என்பது சிக்கலான தளத்தில் ஒரு செங்குத்து துண்டு (அல்லது அரை தளம்) என்ற கருத்தை பல சிக்கலான மாறிகளுக்கு பொதுமைப்படுத்துவதாகும். ஒரு துண்டு என்பது சிக்கலான எண்களின் தொகுப்பாகக் கருதப்படலாம், அதன் உண்மையான பகுதி உண்மையான கோட்டின் கொடுக்கப்பட்ட துணைக்குழுவில் உள்ளது மற்றும் அதன் கற்பனையான பகுதி கட்டுப்பாடற்றது; அதேபோல், ஒரு குழாய் என்பது சிக்கலான திசையன்களின் தொகுப்பாகும், அதன் உண்மையான பகுதி உண்மையான திசையன்களின் சில தொகுப்புகளில் உள்ளது, மேலும் அதன் கற்பனையான பகுதி கட்டுப்பாடற்றது. குழாய் களங்கள் என்பது பல உண்மையான மாறிகளின் செயல்பாட்டின் லாப்லேஸ் உருமாற்றத்தின் களங்களாகும் (பன்முக லாப்லேஸ் உருமாற்றத்தைப் பார்க்கவும்). குழாய்களில் உள்ள கடினமான இடைவெளிகள் ஒரு மாறியில் இருந்து பாலே-வீனர் தேற்றத்தின் ஒரு பதிப்பு தொடர்ந்து வைத்திருக்கும் வகையில் வரையறுக்கப்படலாம், மேலும் ஹார்டி இடைவெளிகளின் கூறுகளை லாப்லேஸ் பொருத்தமான ஒருங்கிணைந்த பண்புகளுடன் செயல்பாடுகளை மாற்றுவதாக வகைப்படுத்துகிறது. குவிந்த செட்களுக்கு மேல் உள்ள குழாய்கள் ஹோலோமார்பியின் களங்களாகும். குவிந்த கூம்புகளின் மீது குழாய்களில் உள்ள ஹார்டி இடைவெளிகள் குறிப்பாக வளமான கட்டமைப்பைக் கொண்டுள்ளன, இதனால் Hp செயல்பாடுகளின் எல்லை மதிப்புகள் குறித்து துல்லியமான முடிவுகள் அறியப்படுகின்றன. கணித இயற்பியலில், எதிர்கால குழாய் என்பது மின்காவ்ஸ்கி இடத்தில் கடந்த பூஜ்ய கூம்பின் உட்புறத்துடன் தொடர்புடைய குழாய் களமாகும், மேலும் சார்பியல் கோட்பாடு மற்றும் குவாண்டம் ஈர்ப்பு ஆகியவற்றில் பயன்பாடுகளைக் கொண்டுள்ளது. கூம்புகளுக்கு மேல் உள்ள சில குழாய்கள் ஒரு பெர்க்மேன் அளவீட்டை ஆதரிக்கின்றன, இதன் அடிப்படையில் அவை வரம்புக்குட்பட்ட சமச்சீர் களங்களாக மாறுகின்றன. இவற்றில் ஒன்று சீகல் அரை-இடைவெளி, இது எண்கணிதத்தில் அடிப்படையானது. வரையறை Rn என்பது n பரிமாணத்தின் உண்மையான ஒருங்கிணைப்பு இடத்தைக் குறிக்கட்டும் மற்றும் Cn என்பது சிக்கலான ஒருங்கிணைப்பு இடத்தைக் குறிக்கும். பின்னர் Cn இன் எந்த உறுப்பும் உண்மையான மற்றும் கற்பனையான பகுதிகளாக சிதைக்கப்படலாம்ஃ A என்பது Rn இன் திறந்த துணைக்குழுவாக இருக்கட்டும். ஏ க்கு மேல் உள்ள குழாய், டிஏ என்று குறிக்கப்படுகிறது, இது சிஎன் இன் துணைக்குழுவாகும், இது அனைத்து உறுப்புகளையும் கொண்டுள்ளது, அதன் உண்மையான பகுதிகள் ஏ இல் உள்ளனஃ குழாய்கள் ஹோலோமார்பியின் களங்களாக ஏ ஒரு இணைக்கப்பட்ட திறந்த தொகுப்பு என்று வைத்துக்கொள்வோம். பின்னர் ஒரு குழாய் டி. ஏ. வில் ஹோலோமார்பிக் ஆக இருக்கும் எந்தவொரு சிக்கலான மதிப்புள்ள செயல்பாடும் குழாயின் குவிந்த மேலோட்டத்தில் உள்ள ஒரு ஹோலோமார்பிக் செயல்பாட்டிற்கு தனித்துவமாக நீட்டிக்கப்படலாம், இது ஒரு குழாயாகும், மேலும் உண்மையில் எந்த குவிந்த திறந்த தொகுப்பும் ஹோலோமார்பியின் (ஹோலோமார்பிக்கலாக குவிந்த) களமாக இருப்பதால், ஒரு குவிந்த குழாயும் ஹோலோமார்பியின் களமாகும். எனவே எந்தவொரு குழாயின் ஹோலோமார்பிக் உறை அதன் குவிந்த மேலோடு சமமாக இருக்கும். ஹார்டி ஸ்பேஸ்கள் ஏ ஆர்என் இல் ஒரு திறந்த தொகுப்பாக இருக்கட்டும். ஹார்டி ஸ்பேஸ் எச் பி (டிஏ) என்பது டிஏவில் உள்ள அனைத்து ஹோலோமார்பிக் செயல்பாடுகளின் தொகுப்பாகும், அதாவது ஏ இல் உள்ள அனைத்து x க்கும். p = 2 இன் சிறப்பு வழக்கில், H2 (டிஏ) இல் உள்ள செயல்பாடுகளை பின்வருமாறு வகைப்படுத்தலாம். f இன் ஃபோரியர்-லேப்ளேஸ் உருமாற்றம் வரையறுக்கப்படுகிறது, பின்னர் F நன்கு வரையறுக்கப்பட்டு H2 (டிஏ) க்கு சொந்தமானது. மாறாக, எச்2 (டிஏ) இன் ஒவ்வொரு உறுப்பும் இந்த வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது. இந்த குணாதிசயத்தின் ஒரு விளைவு என்னவென்றால், A க்கு நேர் கோடு இல்லையென்றால் மட்டுமே H2 (டிஏ) பூஜ்ஜியமற்ற செயல்பாட்டைக் கொண்டுள்ளது. கூம்புகளின் மீது உள்ள குழாய்கள் A என்பது Rn இல் திறந்த குவிந்த கூம்பாக இருக்கட்டும். இதன் பொருள் என்னவென்றால், A என்பது ஒரு திறந்த குவிந்த தொகுப்பாகும், அதாவது x என்பது A இல் இருக்கும் போதெல்லாம், தோற்றத்திலிருந்து x வரை முழு கதிரும் அவ்வாறு செய்கிறது. குறியீடாக, A ஒரு கூம்பு என்றால், H2 (டிஏ) இன் கூறுகள் L2 (பி) இல் இருக்கும் அர்த்தத்தில் L2 எல்லை வரம்புகளைக் கொண்டுள்ளன. எச். பி (டிஏ) க்கு ஒரு ஒத்த முடிவு உள்ளது, ஆனால் அதற்கு கூம்பின் கூடுதல் ஒழுங்குமுறை தேவைப்படுகிறது (குறிப்பாக, இரட்டை கூம்பு ஏ * வெற்று உட்புறத்தைக் கொண்டிருக்க வேண்டும்). ரெய்ன்ஹார்ட் டொமைன் சீகல் டொமைன் குறிப்புகள் மேற்கோள்கள் ஆதாரங்களையும் பார்க்கவும். . . . . ஃபோரியர் பகுப்பாய்வு ஹார்மோனிக் பகுப்பாய்வு பல சிக்கலான மாறிகள்