O-minimal theory
கணித தர்க்கத்தில், மேலும் குறிப்பாக மாதிரி கோட்பாட்டில், ஒரு எல்லையற்ற அமைப்பு (எம், <,.) <ஆல் முற்றிலும் வரிசைப்படுத்தப்படுகிறது, ஒவ்வொரு வரையறுக்கக்கூடிய துணைக்குழுவும் எக்ஸ்-எம் (எம் இலிருந்து எடுக்கப்பட்ட அளவுருக்களுடன்) இடைவெளிகள் மற்றும் புள்ளிகளின் வரையறுக்கப்பட்ட ஒன்றிணைப்பாக இருந்தால் மட்டுமே ஓ-மினிமல் அமைப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது. ஓ-மினிமாலிட்டியை அளவீட்டு நீக்கத்தின் பலவீனமான வடிவமாகக் கருதலாம். ஒரு கட்டமைப்பு எம் என்பது ஓ-மினிமல் ஆகும், எம் இல் ஒரு இலவச மாறி மற்றும் அளவுருக்கள் கொண்ட ஒவ்வொரு சூத்திரமும் வரிசைப்படுத்தலை மட்டுமே உள்ளடக்கிய அளவீட்டு-இல்லாத சூத்திரத்திற்கு சமமாக இருந்தால், எம் இல் உள்ள அளவுருக்களுடன் இது குறைந்தபட்ச கட்டமைப்புகளுக்கு ஒத்ததாக இருக்கும், அவை சமத்துவத்திற்கு கீழே உள்ள ஒத்த பண்பு. T இன் ஒவ்வொரு மாதிரியும் o-குறைந்தபட்சமாக இருந்தால் ஒரு கோட்பாடு T என்பது ஒரு o-குறைந்தபட்ச கோட்பாடாகும். ஓ-மினிமல் கட்டமைப்பின் முழுமையான கோட்பாடு டி என்பது ஓ-மினிமல் கோட்பாடு என்று அறியப்படுகிறது. இந்த முடிவு குறிப்பிடத்தக்கது, ஏனெனில், இதற்கு மாறாக, ஒரு குறைந்தபட்ச கட்டமைப்பின் முழுமையான கோட்பாடு ஒரு வலுவான குறைந்தபட்ச கோட்பாடாக இருக்க வேண்டியதில்லை, அதாவது, குறைந்தபட்சம் இல்லாத ஒரு அடிப்படை சமமான அமைப்பு இருக்கலாம். செட்-கோட்பாட்டு வரையறை O-குறைந்தபட்ச கட்டமைப்புகளை மாதிரி கோட்பாட்டைப் பயன்படுத்தாமல் வரையறுக்க முடியும். இங்கே நாம் ஒரு செட்-கோட்பாட்டு முறையில் ஒரு செட்-கோட்பாட்டு முறையில் ஒரு அமைப்பை வரையறுக்கிறோம், ஒரு வரிசை S = (Sn), n = 0,1,2, அதாவது Sn என்பது Mn இன் துணைக்குழுக்களின் பூலியன் இயற்கணிதம் ஆகும், பின்னர் M × A மற்றும் A × M ஆகியவை Sn + 1 இல் உள்ளன, செட் {(x1,, xn) ωMn: x1 = xn} Sn இல் இருந்தால் A ωSn + 1 மற்றும் π: Mn + 1 → Mn முதல் n ஆயத்தொகுப்புகளில் ப்ரொஜெக்ஷன் வரைபடம், பின்னர் π (A) ωSn. M அதன் மீது இறுதிப் புள்ளிகள் இல்லாமல் ஒரு அடர்த்தியான நேரியல் வரிசையைக் கொண்டிருந்தால், சொல்லுங்கள் <, பின்னர் M இல் உள்ள ஒரு அமைப்பு S என்பது கூடுதல் கோட்பாடுகளை பூர்த்தி செய்தால் o-மினிமல் என்று அழைக்கப்படுகிறது <Li> தொகுப்பு <(= {(x, y) bul M2: x <y}) S2 இல் உள்ளது <Li> S1 இல் உள்ள தொகுப்புகள் துல்லியமாக இடைவெளிகள் மற்றும் புள்ளிகளின் வரையறுக்கப்பட்ட தொழிற்சங்கங்களாகும். "ஓ" என்பது "வரிசை" என்பதைக் குறிக்கிறது, ஏனெனில் எந்தவொரு ஓ-குறைந்தபட்ச கட்டமைப்புக்கும் அடிப்படை தொகுப்பில் ஒரு வரிசை தேவைப்படுகிறது. மாதிரி கோட்பாட்டு வரையறை O-குறைந்தபட்ச கட்டமைப்புகள் மாதிரி கோட்பாட்டில் தோன்றியது, எனவே மாதிரி கோட்பாட்டின் மொழியைப் பயன்படுத்தி எளிமையான ஆனால் சமமான வரையறையைக் கொண்டுள்ளன. குறிப்பாக எல் ஒரு பைனரி உறவு உட்பட ஒரு மொழியாக இருந்தால், மற்றும் (எம், <,.) ஒரு எல்-கட்டமைப்பாக இருந்தால், அங்கு அடர்த்தியான நேரியல் வரிசையின் கோட்பாடுகளை திருப்திப்படுத்த விளக்கப்படுகிறது, பின்னர் (எம், <,.) ஒரு ஓ-மினிமல் அமைப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது, எந்தவொரு வரையறுக்கக்கூடிய தொகுப்புக்கும் எக்ஸ், எம் இறுதியாக பல திறந்த இடைவெளிகள் I1,., எம் இல் ஐஆர் மற்றும் ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட தொகுப்பு எக்ஸ் 0 ஆகியவை ஓ-மினிமல் கோட்பாடுகளின் எடுத்துக்காட்டுகள்ஃ வெறும் வரிசையுடன் மொழியில் அடர்த்தியான நேரியல் வரிசைகளின் முழுமையான கோட்பாடு. RCF, உண்மையான மூடிய புலங்களின் கோட்பாடு. கட்டுப்படுத்தப்பட்ட பகுப்பாய்வு செயல்பாடுகளுடன் கூடிய உண்மையான புலத்தின் முழுமையான கோட்பாடு சேர்க்கப்பட்டது (அதாவது. [0,1] n க்கு மட்டுப்படுத்தப்பட்ட [0,1] n இன் சுற்றுப்புறத்தில் பகுப்பாய்வு செயல்பாடுகள்; கட்டுப்பாடற்ற சைன் செயல்பாடு எண்ணற்ற பல வேர்களைக் கொண்டுள்ளது என்பதைக் கவனியுங்கள், எனவே ஒரு o-குறைந்தபட்ச கட்டமைப்பில் வரையறுக்க முடியாது. வில்கியின் தேற்றத்தின் மூலம் அதிவேக செயல்பாட்டிற்கான சின்னத்துடன் உண்மையான புலத்தின் முழுமையான கோட்பாடு. மேலும் பொதுவாக, ஃபாஃபியன் செயல்பாடுகளுடன் கூடிய உண்மையான எண்களின் முழுமையான கோட்பாடு சேர்க்கப்பட்டது. கடைசி இரண்டு எடுத்துக்காட்டுகளை இணைக்க முடியும்ஃ உண்மையான புலத்தின் ஓ-குறைந்தபட்ச விரிவாக்கம் கொடுக்கப்பட்டால் (கட்டுப்படுத்தப்பட்ட பகுப்பாய்வு செயல்பாடுகளுடன் கூடிய உண்மையான புலம் போன்றவை), ஒருவர் அதன் ஃபாஃபியன் மூடலை வரையறுக்க முடியும், இது மீண்டும் ஓ-குறைந்தபட்ச கட்டமைப்பாகும். (ஒரு கட்டமைப்பின் ஃபாஃபியன் மூடல், குறிப்பாக, ஃபாஃபியன் சங்கிலிகளின் கீழ் மூடப்படுகிறது, அங்கு பல்லுறுப்புக்கோவைகளுக்கு பதிலாக தன்னிச்சையாக வரையறுக்கக்கூடிய செயல்பாடுகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.) ஆர். சி. எஃப் விஷயத்தில், வரையறுக்கக்கூடிய தொகுப்புகள் அரை இயற்கணித தொகுப்புகள் ஆகும். இவ்வாறு ஓ-குறைந்தபட்ச கட்டமைப்புகள் மற்றும் கோட்பாடுகள் பற்றிய ஆய்வு உண்மையான இயற்கணித வடிவவியலை பொதுமைப்படுத்துகிறது. தற்போதைய ஆராய்ச்சியின் ஒரு முக்கிய வரிசை o-குறைந்தபட்சமான உண்மையான வரிசைப்படுத்தப்பட்ட புலத்தின் விரிவாக்கங்களைக் கண்டுபிடிப்பதை அடிப்படையாகக் கொண்டது. பயன்பாட்டின் பொதுவான தன்மை இருந்தபோதிலும், ஓ-குறைந்தபட்ச கட்டமைப்புகளில் வரையறுக்கக்கூடிய தொகுப்பின் வடிவவியலைப் பற்றி ஒருவர் நிறையக் காட்ட முடியும். ஒரு செல் சிதைவு தேற்றம், விட்னி மற்றும் வெர்டியர் அடுக்கு கோட்பாடுகள் மற்றும் பரிமாணம் மற்றும் ஆய்லர் பண்பு பற்றிய நல்ல கருத்து உள்ளது. மேலும், ஓ-மினிமல் கட்டமைப்பில் தொடர்ந்து வேறுபடுத்தக்கூடிய வரையறுக்கக்கூடிய செயல்பாடுகள் லோஜாசிவிக்ஸ் சமத்துவமின்மையின் பொதுமைப்படுத்தலை திருப்திப்படுத்துகின்றன, இது தற்செயலான துணை சாய்வு முறை (சில லேசான அனுமானங்களின் கீழ்) போன்ற சில மென்மையான உகப்பாக்கம் அல்லாத முறைகளின் ஒருங்கிணைப்புக்கு உத்தரவாதம் அளிக்கப் பயன்படுத்தப்படுகிறது. மேலும் காண்க அரை இயற்கணித தொகுப்பு உண்மையான இயற்கணித வடிவியல் வலுவான குறைந்தபட்ச கோட்பாடு பலவீனமான ஓ-குறைந்தபட்ச அமைப்பு சி-குறைந்தபட்ச கோட்பாடு கட்டுப்படுத்தும் இடவியல் குறிப்புகள் வெளிப்புற இணைப்புகள் மாதிரி கோட்பாடு முன் அச்சு சேவையகம் உண்மையான இயற்கணித மற்றும் பகுப்பாய்வு வடிவியல் முன் அச்சு சேவையகம் கணித தர்க்க மாதிரி கோட்பாடு உண்மையான இயற்கணித வடிவியல் இடவியல்