Bernstein's problem
வேறுபட்ட வடிவவியலில், பெர்ன்ஸ்டைனின் சிக்கல் பின்வருமாறுஃ Rn−1 இல் உள்ள ஒரு செயல்பாட்டின் வரைபடம் Rn இல் குறைந்தபட்ச மேற்பரப்பாக இருந்தால், இது செயல்பாடு நேரியல் என்பதைக் குறிக்கிறதா? இது அதிகபட்சம் n 8 க்கு உண்மை, ஆனால் குறைந்தது n 9 க்கு தவறானது. 1914 இல் n = 3 வழக்கைத் தீர்த்த செர்ஜி நடனோவிச் பெர்ன்ஸ்டைனின் பெயரால் இந்த சிக்கல் பெயரிடப்பட்டது. f என்பது n − 1 உண்மையான மாறிகளின் செயல்பாடு என்று வைத்துக்கொள்வோம். f இன் வரைபடம் Rn இல் உள்ள ஒரு மேற்பரப்பாகும், மேலும் இது ஒரு குறைந்தபட்ச மேற்பரப்பு என்ற நிபந்தனை என்னவென்றால், குறைந்தபட்ச மேற்பரப்பு சமன்பாட்டை f திருப்திப்படுத்துகிறது பெர்ன்ஸ்டைனின் சிக்கல் இந்த சமன்பாட்டைத் தீர்க்கும் ஒரு முழு செயல்பாடும் (Rn−1 முழுவதும் வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு செயல்பாடு) ஒரு டிகிரி-1 பல்லுறுப்புக்கோவை அவசியமா என்று கேட்கிறது. R2 இல் ஒரு உண்மையான செயல்பாட்டின் வரைபடம் R3 இல் குறைந்தபட்ச மேற்பரப்பாக இருக்க வேண்டும் என்பதை பெர்ன்ஸ்டைனின் தேற்றத்தை வரலாறு நிரூபித்தது. ஆர் 3 இல் பிளானர் அல்லாத பகுதி-குறைக்கும் கூம்பு இல்லை என்ற உண்மையிலிருந்து அதைக் கண்டறிந்து பெர்ன்ஸ்டைனின் தேற்றத்திற்கு ஒரு புதிய ஆதாரத்தை வழங்கினார். Rn−1 இல் பிளானர் பகுதி-குறைக்கும் கூம்பு இல்லையென்றால், பெர்ன்ஸ்டைனின் தேற்றத்தின் அனலாக் Rn இல் உள்ள வரைபடங்களுக்கு உண்மை என்று காட்டுகிறது, இது குறிப்பாக R4 இல் உண்மை என்பதைக் குறிக்கிறது. R4 இல் பிளானர் அல்லாத மினிமைசிங் கூம்புகள் இல்லை என்பதைக் காட்டியது, இதனால் பெர்ன்ஸ்டைனின் தேற்றத்தை R5 க்கு விரிவுபடுத்தியது. R7 இல் பிளானர் அல்லாத மினிமைசிங் கூம்புகள் இல்லை என்பதைக் காட்டியது, இதனால் பெர்ன்ஸ்டைனின் தேற்றத்தை R8 க்கு விரிவுபடுத்தியது. வரையறுக்கப்பட்ட மேற்பரப்பு R8 இல் உள்ளூரில் நிலையான கூம்பு என்றும் அவர் காட்டினார், மேலும் இது உலகளவில் பரப்பளவைக் குறைக்கிறதா என்றும் கேட்டார். சைமன்ஸ் கூம்பு உண்மையில் உலகளவில் குறைக்கப்படுவதாகக் காட்டியது, மேலும் rn இல் n ≤ 9 க்கு குறைந்தபட்சமாக இருக்கும் வரைபடங்கள் உள்ளன, ஆனால் ஹைப்பர்பிளேன்கள் அல்ல. சைமன்ஸின் முடிவுடன் இணைந்து, பெர்ன்ஸ்டைனின் தேற்றத்தின் அனலாக் n ≤ 8 க்கு Rn இல் உண்மை என்றும், அதிக பரிமாணங்களில் தவறானது என்றும் இது காட்டுகிறது. குறிப்புகள் வெளிப்புற இணைப்புகளில் ஜெர்மன் மொழிபெயர்ப்பு கணித கலைக்களஞ்சியம் பெர்ன்ஸ்டைன் தேற்றம் குறித்த கட்டுரை குறைந்தபட்ச மேற்பரப்புகள் செயல்பாடுகள் மற்றும் வரைபடங்கள் வேறுபட்ட வடிவவியலில் பரிமாண தேற்றம்