Convexity in economics
பொருளாதாரத்தில் மூச்சுத்திணறல் ஒரு முக்கியமான தலைப்பாகும். பொதுவான பொருளாதார சமநிலையின் அம்பு-டெப்ரூ மாதிரியில், முகவர்கள் குவிந்த பட்ஜெட் தொகுப்புகள் மற்றும் குவிந்த விருப்பங்களைக் கொண்டுள்ளனர்ஃ சமநிலை விலைகளில், பட்ஜெட் ஹைப்பர்பிளேன் சிறந்த அடையக்கூடிய அலட்சிய வளைவை ஆதரிக்கிறது. இலாபச் செயல்பாடு என்பது செலவுச் செயல்பாட்டின் குவிந்த இணைப்பாகும். குவெக்ஸ் பகுப்பாய்வு என்பது பாடப்புத்தக பொருளாதாரத்தை பகுப்பாய்வு செய்வதற்கான நிலையான கருவியாகும். பொருளாதாரத்தில் குவிந்த அல்லாத நிகழ்வுகள் தெளிவற்ற பகுப்பாய்வுடன் ஆய்வு செய்யப்பட்டுள்ளன, இது குவிந்த பகுப்பாய்வை பொதுமைப்படுத்துகிறது. முதற்கட்டங்கள் பொருளாதாரம் பின்வரும் வரையறைகள் மற்றும் குவிந்த வடிவவியலின் முடிவுகளைப் பொறுத்தது. இரண்டு பரிமாணங்களைக் கொண்ட ஒரு உண்மையான திசையன் இடத்திற்கு ஒரு கார்ட்டீசியன் ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பு கொடுக்கப்படலாம், இதில் ஒவ்வொரு புள்ளியும் இரண்டு உண்மையான எண்களின் பட்டியலால் அடையாளம் காணப்படுகிறது, அவை "ஆயத்தொலைவுகள்" என்று அழைக்கப்படுகின்றன, அவை வழக்கமாக x மற்றும் y ஆல் குறிக்கப்படுகின்றன. கார்ட்டீசியன் தளத்தில் இரண்டு புள்ளிகளை ஒருங்கிணைப்பு வாரியாக (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2) சேர்க்கலாம்; மேலும், ஒரு புள்ளியை ஒவ்வொரு உண்மையான எண்ணாலும் பெருக்கலாம் λ ஒருங்கிணைப்பு வாரியாக λ (x, y) = (λx, λy). மேலும் பொதுவாக, (வரையறுக்கப்பட்ட) பரிமாணம் D இன் எந்தவொரு உண்மையான திசையன் இடத்தையும் இரண்டு செயல்பாடுகளுடன் சேர்ந்து D உண்மையான எண்களின் சாத்தியமான அனைத்து பட்டியல்களின் தொகுப்பாகக் காணலாம்ஃ திசையன் கூட்டல் மற்றும் ஒரு உண்மையான எண்ணால் பெருக்கம். வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாண திசையன் இடைவெளிகளுக்கு, கார்ட்டீசியன் தளத்தின் உதாரணத்தைப் பின்பற்றி, திசையன் கூட்டல் மற்றும் உண்மையான எண் பெருக்கத்தின் செயல்பாடுகள் ஒவ்வொன்றையும் ஒருங்கிணைப்பு வாரியாக வரையறுக்கலாம். ஒரு உண்மையான திசையன் இடத்தில், ஒரு தொகுப்பு, அதன் ஒவ்வொரு ஜோடி புள்ளிகளுக்கும், அவற்றுடன் இணைக்கும் கோடு பிரிவில் உள்ள ஒவ்வொரு புள்ளியும் தொகுப்பால் மூடப்பட்டிருந்தால், குவிந்ததாக வரையறுக்கப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு திடமான கனசதுரம் குவிந்தது; இருப்பினும், வெற்று அல்லது வளைந்திருக்கும் எதுவும், எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு பிறை வடிவம், குவிந்ததல்ல. சுருக்கமாக, வெற்று தொகுப்பு குவிந்தது. மேலும் முறைப்படி, Q இல் உள்ள அனைத்து புள்ளிகள் v0 மற்றும் v1 க்கும், அலகு இடைவெளியில் உள்ள ஒவ்வொரு உண்மையான எண்ணுக்கும் λ க்கு, புள்ளி (1−λ) v0 + λv1 என்பது Q இன் உறுப்பினராக இருந்தால், ஒரு தொகுப்பு Q குவிந்ததாக இருக்கும். கணித தூண்டல் மூலம், Q இன் உறுப்பினர்களின் ஒவ்வொரு குவிந்த கலவையும் Q க்கு சொந்தமானதாக இருந்தால் மட்டுமே ஒரு தொகுப்பு Q குவிந்ததாக இருக்கும். வரையறையின்படி, ஒரு குறியீட்டு துணைக்குழுவின் குவிந்த கலவை {v0, v1,... ஒரு திசையன் இடத்தின் vD} என்பது சமன்பாடு = 1 ஐ திருப்திப்படுத்தும் எதிர்மறை அல்லாத உண்மையான எண்களின் சில குறியீட்டு தொகுப்புக்கான எந்த எடையுள்ள சராசரியும் ஆகும். ஒரு குவிந்த தொகுப்பின் வரையறை இரண்டு குவிந்த தொகுப்புகளின் குறுக்குவெட்டு ஒரு குவிந்த தொகுப்பு என்பதைக் குறிக்கிறது. மேலும் பொதுவாக, குவிந்த தொகுப்புகளின் குடும்பத்தின் குறுக்குவெட்டு ஒரு குவிந்த தொகுப்பாகும். கன்வெக்ஸ் ஹல் ஒரு உண்மையான திசையன் இடத்தின் ஒவ்வொரு துணைக்குழுவிற்கும், இது Q ஐக் கொண்ட குறைந்தபட்ச குவிந்த தொகுப்பாகும். எனவே கான்வி (கியூ) என்பது கியூவை உள்ளடக்கிய அனைத்து குவிந்த தொகுப்புகளின் குறுக்குவெட்டு ஆகும். ஒரு தொகுப்பின் குவிந்த மேலோடு அனைத்து குவிந்த புள்ளிகளின் தொகுப்பாக சமமாக வரையறுக்கப்படலாம். இரட்டைத்தன்மைஃ அரை இடைவெளிகள் குறுக்கிடுதல் ஹைப்பர்பிளேனை ஆதரிப்பது வடிவவியலில் ஒரு கருத்தாகும். ஒரு ஹைப்பர்பிளேன் ஒரு இடத்தை இரண்டு அரை இடங்களாகப் பிரிக்கிறது. ஒரு ஹைப்பர்பிளேன் பின்வரும் இரண்டையும் சந்தித்தால் அது உண்மையான n-இடத்தில் ஒரு தொகுப்பை ஆதரிப்பதாகக் கூறப்படுகிறதுஃ ஹைப்பர்பிளேனால் தீர்மானிக்கப்படும் இரண்டு மூடிய அரை இடைவெளிகளில் ஒன்றில் ஹைப்பர்பிளேனில் குறைந்தது ஒரு புள்ளியைக் கொண்டுள்ளது. இங்கே, ஒரு மூடிய அரை இடைவெளி என்பது ஹைப்பர்பிளேனை உள்ளடக்கிய அரை இடைவெளி ஆகும். ஆதரவு ஹைப்பர்பிளேன் தேற்றம் இந்த தேற்றம் ஒரு மூடிய குவிந்த அமைப்பாகவும், அதன் எல்லையில் ஒரு புள்ளியாகவும் இருந்தால், ஒரு ஆதரவு ஹைப்பர்பிளேன் உள்ளது என்று கூறுகிறது. மூடிய தொகுப்பு குவிந்ததாக இல்லாவிட்டால், வலதுபுறத்தில் உள்ள மூன்றாவது படத்தில் விளக்கப்பட்டுள்ளபடி எல்லையின் அனைத்து புள்ளிகளிலும் தேற்றத்தின் அறிக்கை உண்மையாக இருக்காது. பொருளாதாரம் வரைபடத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளபடி, நுகர்வோரின் குவிந்த முன்னுரிமை தொகுப்பு வரவுசெலவுத் திட்டக் கட்டுப்பாட்டால் ஆதரிக்கப்படும் இடத்தில் ஒரு உகந்த கூடை பொருட்கள் நிகழ்கின்றன. முன்னுரிமை தொகுப்பு குவிந்ததாக இருந்தால், நுகர்வோரின் உகந்த முடிவுகளின் தொகுப்பு ஒரு குவிந்த தொகுப்பாகும், எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு தனித்துவமான உகந்த கூடை (அல்லது உகந்த கூடைகளின் ஒரு வரி பிரிவு கூட). எளிமையைப் பொறுத்தவரை, ஒரு நுகர்வோரின் விருப்பங்களை ஒரு பயன்பாட்டு செயல்பாட்டால் விவரிக்க முடியும் என்று நாம் கருதுவோம், இது ஒரு தொடர்ச்சியான செயல்பாடாகும், இது முன்னுரிமை தொகுப்புகள் மூடப்பட்டிருப்பதைக் குறிக்கிறது. (உகப்பாக்கம் பயன்பாடுகள் குறித்த உட்பிரிவில், "மூடிய தொகுப்பின்" அர்த்தங்கள் கீழே விளக்கப்பட்டுள்ளன.) ஒரு முன்னுரிமை தொகுப்பு குவிந்ததாக இல்லாவிட்டால், சில விலைகள் இரண்டு வெவ்வேறு உகந்த நுகர்வு முடிவுகளை ஆதரிக்கும் பட்ஜெட்டை உருவாக்குகின்றன. உதாரணமாக, உயிரியல் பூங்காக்களுக்கு, ஒரு சிங்கத்தின் விலை ஒரு கழுகு எவ்வளவு என்பதை நாம் கற்பனை செய்யலாம், மேலும் ஒரு மிருகக்காட்சிசாலையின் பட்ஜெட் ஒரு கழுகு அல்லது ஒரு சிங்கத்திற்கு போதுமானது. ஒரு மிருகக்காட்சிசாலையின் பராமரிப்பாளர் எந்தவொரு விலங்கையும் சமமாக மதிப்புமிக்கதாகக் கருதுகிறார் என்றும் நாம் கருதலாம். இந்த வழக்கில், மிருகக்காட்சிசாலை ஒரு சிங்கம் அல்லது ஒரு கழுகு வாங்கும். நிச்சயமாக, ஒரு சமகால மிருகக்காட்சிசாலையின் பராமரிப்பாளர் ஒரு அரை கழுகு மற்றும் ஒரு (அல்லது ஒரு கிரிஃபின்) வாங்க விரும்பவில்லை! எனவே, சமகால மிருகக்காட்சிசாலையின் பராமரிப்பாளரின் விருப்பத்தேர்வுகள் குவிந்தவை அல்லஃ மிருகக்காட்சிசாலையின் பராமரிப்பாளர் இரண்டின் கடுமையான குவிந்த கலவையைக் கொண்டிருப்பதை விட எந்த ஒரு விலங்கையும் வைத்திருக்க விரும்புகிறார். பொது பொருளாதார சமநிலை, சந்தை தோல்விகள் மற்றும் பொது பொருளாதாரம் ஆகியவற்றின் கோட்பாடுகளில் குவிந்த அல்லாத தொகுப்புகள் இணைக்கப்பட்டுள்ளன. இந்த முடிவுகள் நுண் பொருளாதாரம், பொது சமநிலைக் கோட்பாடு, விளையாட்டுக் கோட்பாடு, கணிதப் பொருளாதாரம் மற்றும் பயன்பாட்டு கணிதம் (பொருளாதார வல்லுநர்களுக்கு) ஆகியவற்றில் பட்டதாரி நிலை பாடப்புத்தகங்களில் விவரிக்கப்பட்டுள்ளன. ஷேப்லி-ஃபோக்மேன் லெம்மா முடிவுகள் குவிந்தவை அல்லாதவை பல நுகர்வோருடன் சந்தைகளில் தோராயமான சமநிலையுடன் இணக்கமாக இருப்பதை நிறுவுகின்றன; இந்த முடிவுகள் பல சிறிய நிறுவனங்களைக் கொண்ட உற்பத்தி பொருளாதாரங்களுக்கும் பொருந்தும். "தன்னலக்குழுக்களில்" (ஒரு சில உற்பத்தியாளர்களால் ஆதிக்கம் செலுத்தப்படும் சந்தைகள்), குறிப்பாக "ஏகபோகங்களில்" (ஒரு உற்பத்தியாளரால் ஆதிக்கம் செலுத்தப்படும் சந்தைகள்), நிலையற்ற தன்மைகள் முக்கியமானவையாக இருக்கின்றன. சந்தை சக்தியைப் பயன்படுத்திக் கொள்ளும் பெரிய உற்பத்தியாளர்களுடனான கவலைகள் உண்மையில் குவிந்த அல்லாத செட்களில் இலக்கியத்தைத் தொடங்கின, 1926 ஆம் ஆண்டில் பியரோ ஸ்ராஃபா பெருகிவரும் வருவாயைக் கொண்ட நிறுவனங்கள் பற்றி எழுதியபோது, அதன் பிறகு 1938 ஆம் ஆண்டில் ஹரோல்ட் ஹோட்டலிங் ஓரளவு செலவு விலை நிர்ணயம் பற்றி எழுதினார். ஸ்ரஃபா மற்றும் ஹோட்டலிங் ஆகிய இரண்டும் போட்டியாளர்கள் இல்லாத உற்பத்தியாளர்களின் சந்தை சக்தியை ஒளிரச் செய்தன, பொருளாதாரத்தின் வழங்கல் பக்கத்தில் ஒரு இலக்கியத்தை தெளிவாகத் தூண்டின. சுற்றுச்சூழல் பொருட்கள் (மற்றும் பிற வெளிப்புறங்கள்), தகவல் பொருளாதாரம் மற்றும் பங்குச் சந்தைகள் (மற்றும் பிற முழுமையற்ற சந்தைகள்) ஆகியவற்றிலும் குவிந்த செட்டுகள் எழுகின்றன. இத்தகைய பயன்பாடுகள் பொருளாதார வல்லுநர்களை குவிந்த அல்லாத தொகுப்புகளைப் படிக்க தொடர்ந்து ஊக்குவித்தன. முட்டாள்தனமான பகுப்பாய்வு பொருளாதார வல்லுநர்கள் குவிந்த அல்லாத தொகுப்புகளை முட்டாள்தனமான பகுப்பாய்வுடன் அதிகளவில் ஆய்வு செய்துள்ளனர், இது குவிந்த பகுப்பாய்வை பொதுமைப்படுத்துகிறது. "உற்பத்தி மற்றும் நுகர்வு ஆகிய இரண்டிலும் உள்ள குவியாத தன்மைகள். குவிந்த தன்மையைத் தாண்டிய கணிதக் கருவிகள் தேவைப்பட்டன, மேலும் மேம்பாடு மென்மையான கணக்கீட்டின் கண்டுபிடிப்புக்காக காத்திருக்க வேண்டியிருந்தது" (எடுத்துக்காட்டாக, பிரான்சிஸ் கிளார்க்கின் உள்ளூரில் உள்ள லிப்ஸிட்ச் கால்குலஸ்), மற்றும், படி விவரிக்கப்பட்டுள்ளது. "விலை நிர்ணய விதிகளைக் கொண்ட நிறுவனங்களின் பொதுவான சமநிலை பகுப்பாய்வில் முக்கிய முறைசார்ந்த கண்டுபிடிப்பு" என்பது "உலகளாவிய பகுப்பாய்வு (வேறுபட்ட இடவியல்) மற்றும் குவிந்த பகுப்பாய்வின் [தொகுப்பு] ஆக, சுமூகமற்ற பகுப்பாய்வு முறைகளை அறிமுகப்படுத்துவதாகும்" என்று எழுதினார். படி, "மென்மையான பகுப்பாய்வு தொடுகோட்டு தளங்கள் மூலம் பன்மடங்கு உள்ளூர் தோராயத்தை விரிவுபடுத்துகிறது [மற்றும் நீட்டிக்கிறது] தொடுகோட்டு கூம்புகள் மூலம் குவிந்த தொகுப்புகளின் ஒத்த தோராயத்தை செட்களுக்கு நீட்டிக்கிறது" அவை மென்மையானவை அல்ல அல்லது குவிந்தவை அல்ல. பொருளாதார வல்லுநர்கள் இயற்கணித இடவியலையும் பயன்படுத்தியுள்ளனர். மேலும் காண்கஃ கன்வெக்ஸ் டூயலிட்டி நோட்ஸ் குறிப்புகள் லுயென்பெர்கர், டேவிட் ஜி. மைக்ரோ எகனாமிக் தியரி, மெக்ரா-ஹில், இன்க், நியூயார்க், 1995. கன்வெக்ஸ் ஹல்ஸ் கன்வெக்ஸ் வடிவியல் பொது சமநிலைக் கோட்பாடு