Quasisymmetric map
கணிதத்தில், மெட்ரிக் இடைவெளிகளுக்கு இடையிலான ஒரு குவாசிசிமெட்ரிக் ஹோமியோமார்பிசம் என்பது இரு-லிப்ஸிட்ச் வரைபடங்களை பொதுமைப்படுத்தும் ஒரு வரைபடமாகும். இரு-லிப்ஸ்கிட்ஸ் வரைபடங்கள் ஒரு தொகுப்பின் விட்டத்தை ஒரு பெருக்கக் காரணிக்கு மேல் சுருக்கவோ அல்லது விரிவுபடுத்தவோ செய்யாதபோது, குவாசிசிமெட்ரிக் வரைபடங்கள் பலவீனமான வடிவியல் பண்புகளை திருப்திப்படுத்துகின்றன, அவை தொகுப்புகளின் ஒப்பீட்டு அளவுகளைப் பாதுகாக்கின்றனஃ இரண்டு தொகுப்புகள் A மற்றும் B ஆகியவை விட்டம் t ஐக் கொண்டிருந்தால் மற்றும் தூரம் t ஐ விட அதிகமாக இல்லாவிட்டால், அவற்றின் அளவுகளின் விகிதம் ஒரு பெருக்க மாறிலிக்கு மேல் மாறாது. பல சூழ்நிலைகளில் அவை உண்மையில் சமமானவை என்பதால், இந்த வரைபடங்கள் குவாஸிகோஃபார்மல் வரைபடங்களுடன் தொடர்புடையவை. வரையறை (X, dX) மற்றும் (Y, dY) இரண்டு மெட்ரிக் இடைவெளிகளாக இருக்கட்டும். ஒரு ஹோமோமார்பிசம் f: X → Y என்பது η-குவாசிசிம்மெட்ரிக் என்று கூறப்படுகிறது, அதாவது X இல் உள்ள தனித்துவமான புள்ளிகளின் எந்த மூன்று x, y, z க்கும், நம்மிடம் அடிப்படை பண்புகள் உள்ளன. இருப்பினும், இணைக்கப்பட்டு இரட்டிப்பாகும் என்றால், அனைத்து பலவீனமான குவாசிசிம்மெட்ரிக் வரைபடங்களும் குவாசிசிம்மெட்ரிக் ஆகும். இந்த முடிவின் முறையீடு என்னவென்றால், பலவீனமான-குவாசிசிமெட்ரியை நிரூபிப்பது குவாசிசிமெட்ரியை நேரடியாக நிரூபிப்பதை விட மிகவும் எளிதானது, மேலும் பல இயற்கையான அமைப்புகளில் இரண்டு கருத்துக்களும் சமமானவை. δ-மோனோடோன் வரைபடங்கள் ஒரு மோனோடோன் வரைபடம் ஒரு ஹில்பர்ட் இடத்தில் f: H → H என்பது δ-மோனோடோன் ஆகும், H இல் உள்ள அனைத்து x மற்றும் y க்கும், இந்த நிபந்தனை வடிவியல் ரீதியாக என்ன அர்த்தம் என்பதைப் புரிந்துகொள்ள, f (0) = 0 என்று வைத்துக்கொள்வோம் மற்றும் y = 0 ஆக இருக்கும்போது மேலே உள்ள மதிப்பீட்டைக் கருத்தில் கொள்ளுங்கள். பின்னர் இது திசையன் x க்கும் அதன் படம் f (x) க்கும் இடையிலான கோணம் 0 மற்றும் ஆர்க்கோஸ் δ <π/2 க்கு இடையில் உள்ளது என்பதைக் குறிக்கிறது. இந்த வரைபடங்கள் குவாசிசிமெட்ரிக் வரைபடங்களின் மிகவும் குறுகிய துணைப்பிரிவாக இருந்தாலும் அவை குவாசிசிமெட்ரிக் வரைபடங்களாகும். எடுத்துக்காட்டாக, சிக்கலான தளத்தில் உள்ள ஒரு பொதுவான குவாசிசிம்மெட்ரிக் வரைபடம் உண்மையான கோட்டை ஹவுஸ்டோர்ஃப் பரிமாணத்தின் தொகுப்பிற்கு கண்டிப்பாக ஒன்றுக்கு மேல் வரைபடமாக்க முடியும், ஒரு δ-மோனோடோன் எப்போதும் உண்மையான கோட்டை ஒரு லிப்ஸ்கிட்ஸ் செயல்பாட்டின் சுழற்றப்பட்ட வரைபடத்திற்கு வரைபடமாக்கும் L: R → R. இரட்டை அளவீடுகள் உண்மையான கோட்டின் குவாசிசிமெட்ரிக் ஹோமியோமார்பிசம்களை அவற்றின் வழித்தோன்றல்களின் அடிப்படையில் வகைப்படுத்தலாம். ஒரு நிலையான சி> 0 மற்றும் யூக்ளிடியன் இடைவெளி போன்ற உண்மையான கோட்டில் ஒரு இரட்டை அளவீட்டு அளவீடு இருந்தால் மட்டுமே அதிகரித்து வரும் ஹோமியோமார்பிசம் f: R → R என்பது குவாசிசிம்மெட்ரிக் ஆகும். C = 0 என்று வைத்துக்கொள்வோம், மேலே உள்ள சமன்பாட்டை f க்கு மீண்டும் எழுதுகிறோம், அதே ஒருங்கிணைப்பைப் பயன்படுத்தி ஒரு வரைபடத்தை வரையறுக்க முயற்சி செய்யலாம், ஆனால் அதற்கு பதிலாக Rn மீது ஒருங்கிணைக்க (இப்போது ஒரு திசையன் மதிப்புள்ள ஒருங்கிணைப்பு): Rn இல் ஒரு இரட்டை அளவீடு என்றால், பின்னர் வரைபடம் குவாசிசிம்மெட்ரிக் (உண்மையில், இது அளவீட்டைப் பொறுத்து சில δ க்கு δ-மோனோடோன்). யூக்ளிடியன் இடத்தில் குவாசிஸிமெட்ரி மற்றும் குவாசிகோன்ஃபார்மாலிட்டி Rn இன் திறந்த துணைக்குழுக்களாக இருக்கட்டும். f: ω → ω 'என்பது η-குவாஸ்சிம்மெட்ரிக் என்றால், அது K-குவாஸிகான்ஃபார்மல் ஆகும், அங்கு ஒரு மாறிலி உள்ளது. இதற்கு நேர்மாறாக, f: ω → ω 'என்பது K-குவாசிகோன்ஃபார்மல் மற்றும் அதில் அடங்கியிருந்தால், அது η-குவாசிஸிமெட்ரிக் ஆகும், இது அதை மட்டுமே சார்ந்துள்ளது. குவாசி-மோபியஸ் வரைபடங்கள் ஒரு தொடர்புடைய ஆனால் பலவீனமான நிபந்தனை என்பது குவாசி-மோபியஸ் வரைபடங்களின் கருத்தாகும், அங்கு விகிதத்திற்கு பதிலாக குறுக்கு விகிதம் மட்டுமே கருதப்படுகிறதுஃ வரையறை (X, dX) மற்றும் (Y, dY) இரண்டு மெட்ரிக் இடைவெளிகளாக இருக்கட்டும் மற்றும் η: [0, ≤) → [0, ≤) ஒரு அதிகரிக்கும் செயல்பாடாக இருக்கட்டும். ஒரு η-குவாசி-மோபியஸ் ஹோமியோமார்பிசம் f: X → Y என்பது ஒரு ஹோமியோமார்பிசம் ஆகும், இதற்கு X இல் உள்ள தனித்துவமான புள்ளிகளின் ஒவ்வொரு நான்கு மடங்கு x, y, z, t க்கும், நம்மிடம் உள்ளது.