Lp space
கணிதத்தில், இடைவெளிகள் என்பது வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாண திசையன் இடைவெளிகளுக்கான-நெறிமுறையின் இயற்கையான பொதுமைப்படுத்தலைப் பயன்படுத்தி வரையறுக்கப்பட்ட செயல்பாட்டு இடைவெளிகள் ஆகும். அவை சில நேரங்களில் லெபெஸ்கூ இடங்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன, அவை ஹென்றி லெபெஸ்கூவின் பெயரால் பெயரிடப்பட்டுள்ளன, இருப்பினும் போர்பாக்கி குழுவின் கூற்றுப்படி அவை முதன்முதலில் ஃப்ரிகிஸ் ரைஸால் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டன. செயல்பாட்டு பகுப்பாய்வு மற்றும் இடவியல் திசையன் இடைவெளிகள் ஆகியவற்றில் பானாச் இடைவெளிகளின் ஒரு முக்கியமான வகுப்பை இடைவெளிகள் உருவாக்குகின்றன. அளவீட்டு மற்றும் நிகழ்தகவு இடைவெளிகளின் கணித பகுப்பாய்வில் அவற்றின் முக்கிய பங்கு காரணமாக, இயற்பியல், புள்ளிவிவரங்கள், பொருளாதாரம், நிதி, பொறியியல் மற்றும் பிற துறைகளில் உள்ள சிக்கல்களின் தத்துவார்த்த விவாதத்திலும் லெபெஸ்கூ இடைவெளிகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. பயன்பாடுகள் புள்ளியியல் புள்ளியியலில், சராசரி, சராசரி மற்றும் நிலையான விலகல் போன்ற மையப் போக்கு மற்றும் புள்ளிவிவர சிதறலின் அளவீடுகள் அளவீடுகளின் அடிப்படையில் வரையறுக்கப்படுகின்றன, மேலும் மையப் போக்கின் அளவீடுகள் மாறுபட்ட சிக்கல்களுக்கான தீர்வுகளாக வகைப்படுத்தப்படலாம். தண்டிக்கப்பட்ட பின்னடைவில், "எல் 1 அபராதம்" மற்றும் "எல் 2 அபராதம்" என்பது ஒரு தீர்வின் அளவுரு மதிப்புகளின் திசையனின் நெறிமுறையை (அதாவது. அதன் முழுமையான மதிப்புகளின் கூட்டுத்தொகை), அல்லது அதன் நெறிமுறை (அதன் யூக்ளிடியன் நீளம்). லாஸ்ஸோ போன்ற எல்1 அபராதத்தைப் பயன்படுத்தும் நுட்பங்கள், பல அளவுருக்கள் பூஜ்ஜியமாக இருக்கும் இடங்களில் தீர்வுகளை ஊக்குவிக்கின்றன. ரிட்ஜ் பின்னடைவு போன்ற எல் 2 அபராதத்தைப் பயன்படுத்தும் நுட்பங்கள், பெரும்பாலான அளவுரு மதிப்புகள் சிறியதாக இருக்கும் இடங்களில் தீர்வுகளை ஊக்குவிக்கின்றன. நெகிழ்வான நிகர ஒழுங்குமுறைப்படுத்தல் ஒரு அபராத வார்த்தையைப் பயன்படுத்துகிறது, இது நெறிமுறை மற்றும் அளவுரு திசையனின் நெறிமுறை ஆகியவற்றின் கலவையாகும். ஹவுஸ்டோர்ஃப்-யங் சமத்துவமின்மை உண்மையான கோட்டின் ஃபோரியர் உருமாற்றம் (அல்லது, குறிப்பிட்ட செயல்பாடுகளுக்கு, ஃபோரியர் தொடரைப் பார்க்கவும்), முறையே (அல்லது) வரைபடங்கள், எங்கே மற்றும் இது ரீஸ்-தோரின் இடைக்கணிப்பு தேற்றத்தின் விளைவாகும், மேலும் இது ஹவுஸ்டோர்ஃப்-யங் சமத்துவமின்மையுடன் துல்லியமாக செய்யப்படுகிறது. இதற்கு மாறாக, ஃபோரியர் உருமாற்றம் ஹில்பர்ட் இடைவெளிகளாக வரைபடமாக்கப்படாவிட்டால், ஹில்பர்ட் இடைவெளிகள் குவாண்டம் இயக்கவியல் முதல் சீரற்ற கால்குலஸ் வரை பல பயன்பாடுகளுக்கு மையமாக உள்ளன. இடைவெளிகள் மற்றும் இரண்டும் ஹில்பர்ட் இடைவெளிகள். உண்மையில், ஒரு ஹில்பர்ட் அடிப்படையைத் தேர்ந்தெடுப்பதன் மூலம், அதாவது ஹில்பர்ட் இடத்தின் அதிகபட்ச ஆர்த்தோனார்மல் துணைக்குழு அல்லது எந்தவொரு ஹில்பர்ட் இடமும், ஒவ்வொரு ஹில்பர்ட் இடமும் ஐசோமெட்ரிக் முறையில் ஐசோமார்பிக் (மேலே உள்ளதைப் போலவே), அதாவது, ஒரு ஹில்பர்ட் இடைவெளி வகை வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாணங்களில் தி-நார்ம் ஒரு திசையனின் நீளம் பொதுவாக யூக்ளிடியன் நெறிமுறையால் வழங்கப்படுகிறதுஃ இரண்டு புள்ளிகளுக்கு இடையிலான யூக்ளிடியன் தூரம் மற்றும் இரண்டு புள்ளிகளுக்கு இடையிலான நேர் கோட்டின் நீளம். பல சூழ்நிலைகளில், யூக்ளிடியன் தூரம் ஒரு குறிப்பிட்ட இடத்தில் உள்ள உண்மையான தூரங்களைப் பிடிக்க போதுமானதாக இல்லை. இதற்கு ஒரு ஒப்புமை ஒரு கிரிட் தெரு திட்டத்தில் டாக்ஸி ஓட்டுநர்களால் பரிந்துரைக்கப்படுகிறது, அவர்கள் தங்கள் இலக்கை நோக்கிய நேர் கோட்டின் நீளத்தின் அடிப்படையில் அல்ல, ஆனால் செவ்வக தூரத்தின் அடிப்படையில் தூரத்தை அளவிட வேண்டும், இது தெருக்கள் ஆர்த்தோகனல் அல்லது இணையாக இருப்பதை கணக்கில் எடுத்துக்கொள்கிறது. நெறிமுறைகளின் வகுப்பு இந்த இரண்டு எடுத்துக்காட்டுகளையும் பொதுமைப்படுத்துகிறது மற்றும் கணிதம், இயற்பியல் மற்றும் கணினி அறிவியலின் பல பகுதிகளில் ஏராளமான பயன்பாடுகளைக் கொண்டுள்ளது. வரையறை ஒரு உண்மையான எண்ணுக்கு-நெறிமுறை அல்லது-நெறிமுறை வரையறுக்கப்படுகிறது முழுமையான மதிப்பு பார்கள் அதன் குறைக்கப்பட்ட வடிவத்தில் ஒரு இரட்டை எண் கொண்ட ஒரு விகிதமுறு எண்ணாக இருக்கும்போது கைவிடப்படலாம், மேலும் இது உண்மையான எண்களின் தொகுப்பிலிருந்து அல்லது அதன் துணைக்குழுக்களில் ஒன்றிலிருந்து வரையப்படுகிறது. மேலே இருந்து வரும் யூக்ளிடியன் நெறிமுறை இந்த வகுப்பிற்குள் வருகிறது மற்றும்-நெறிமுறை, மற்றும்-நெறிமுறை என்பது செவ்வக தூரத்துடன் ஒத்திருக்கும் நெறிமுறை. - நெறிமுறை அல்லது அதிகபட்ச நெறிமுறை (அல்லது சீரான நெறிமுறை) என்பது-விதிமுறைகளின் வரம்பாகும், இது இந்த வரம்பு பின்வரும் வரையறைக்கு சமம் என்று மாறிவிடும்ஃ பார்க்க-முடிவிலி. மேலே வரையறுக்கப்பட்ட அனைத்து-நெறிமுறைகள் மற்றும் அதிகபட்ச நெறிமுறை உண்மையில் ஒரு "நீளம் செயல்பாடு" (அல்லது நெறிமுறை) இன் பண்புகளை பூர்த்தி செய்கின்றன, அவை பின்வருமாறுஃ பூஜ்ஜிய திசையன் மட்டுமே பூஜ்ஜிய நீளத்தைக் கொண்டுள்ளது, திசையனின் நீளம் ஒரு அளவிடுதலால் (நேர்மறை ஒரே மாதிரியான) பெருக்கத்தைப் பொறுத்தவரை நேர்மறை ஒரே மாதிரியாக இருக்கும், மேலும் இரண்டு திசையன்களின் கூட்டுத்தொகையின் நீளம் திசையன்களின் நீளங்களின் கூட்டுத்தொகையை (முக்கோண சமத்துவமின்மை) விட பெரியதாக இருக்காது. சுருக்கமாகப் பார்த்தால், இதன் பொருள் என்னவென்றால்,-நெறிமுறையுடன் சேர்ந்து ஒரு நெறிமுறைப்படுத்தப்பட்ட திசையன் இடைவெளி. மேலும், இந்த இடம் முழுமையானது, இதனால் இது ஒரு பானாச் இடமாக மாறுகிறது. இரண்டு புள்ளிகளுக்கு இடையிலான கட்ட தூரம் அல்லது செவ்வக தூரம் (சில நேரங்களில் "மன்ஹாட்டன் தூரம்" என்று அழைக்கப்படுகிறது) அவற்றுக்கிடையேயான கோடு பிரிவின் நீளத்தை விட ஒருபோதும் குறைவாக இருக்காது (யூக்ளிடியன் அல்லது "காகம் பறக்கும் தூரம்"). முறைப்படி, இதன் பொருள் என்னவென்றால், எந்தவொரு திசையனின் யூக்ளிடியன் நெறிமுறை அதன் 1-நெறிமுறையால் கட்டுப்படுத்தப்படுகிறதுஃ இந்த உண்மை-நெறிமுறைகளுக்கு பொதுமைப்படுத்துகிறது, இதில் கொடுக்கப்பட்ட எந்த திசையனின்-நெறிமுறை வளராதுஃ எதிர் திசையில்,-நெறிமுறைக்கும்-நெறிமுறைக்கும் இடையிலான பின்வரும் உறவு அறியப்படுகிறதுஃ இந்த சமத்துவமின்மை அடிப்படை திசையன் இடத்தின் பரிமாணத்தைப் பொறுத்தது மற்றும் காச்சி-ஸ்வார்ஸ் சமத்துவமின்மையிலிருந்து நேரடியாகப் பின்பற்றுகிறது. பொதுவாக, இது ஹோல்டரின் சமத்துவமின்மையின் விளைவாக இருக்கும் திசையன்களுக்கு. சூத்திரத்தில் ஒரு முற்றிலும் ஒரே மாதிரியான செயல்பாட்டை வரையறுக்கும் போது, இதன் விளைவாக வரும் செயல்பாடு ஒரு நெறிமுறையை வரையறுக்காது, ஏனெனில் அது துணை சேர்க்கை அல்ல. மறுபுறம், இந்த சூத்திரம் முழுமையான ஒற்றுமையை இழக்கும் செலவில் ஒரு துணை சேர்க்கை செயல்பாட்டை வரையறுக்கிறது. இது ஒரு எஃப்-நெறிமுறையை வரையறுக்கிறது, இருப்பினும், இது டிகிரியின் ஒரே மாதிரியானது எனவே, செயல்பாடு ஒரு மெட்ரிக் வரையறுக்கிறது. இந்த அளவீட்டில் தோற்றத்தைச் சுற்றியுள்ள-அலகு பந்து "குழிவானது" என்றாலும், அளவீட்டால் வரையறுக்கப்பட்ட இடவியல் வழக்கமான திசையன் விண்வெளி இடவியல் ஆகும், எனவே இது உள்ளூரில் குவிந்த இடவியல் திசையன் இடமாகும். இந்த தரமான கூற்றுக்கு அப்பால், குவிந்த தன்மையின் பற்றாக்குறையை அளவிடுவதற்கான ஒரு அளவு வழி,-அலகு பந்தின் அளவிடக்கூடிய மடங்கு குவிந்த மேலோடு சமமாக இருக்கும் வகையில் மிகச்சிறிய மாறிலியைக் குறிக்கிறது. ஒரு நெறிமுறை மற்றும் "நெறிமுறை" என்று அழைக்கப்படும் மற்றொரு செயல்பாடு இருக்கும்போது (மேற்கோள் மதிப்பெண்களுடன்). நெறிமுறையின் கணித வரையறை பானாக்கின் நேரியல் செயல்பாடுகளின் கோட்பாட்டால் நிறுவப்பட்டது. வரிசைகளின் இடம் எஃப்-நெறிமுறையால் வழங்கப்பட்ட ஒரு முழுமையான மெட்ரிக் இடவியலைக் கொண்டுள்ளது, இது மெட்ரிக் லீனியர் ஸ்பேஸ்களில் ஸ்டீபன் ரோல்விக்ஸால் விவாதிக்கப்படுகிறது. இயல்பான இடம் செயல்பாட்டு பகுப்பாய்வு, நிகழ்தகவு கோட்பாடு மற்றும் ஹார்மோனிக் பகுப்பாய்வு ஆகியவற்றில் ஆய்வு செய்யப்படுகிறது. மற்றொரு செயல்பாடு டேவிட் டோனோஹோவால் "நெறிமுறை" என்று அழைக்கப்பட்டது-அதன் மேற்கோள் குறிப்புகள் இந்த செயல்பாடு சரியான நெறிமுறை அல்ல என்று எச்சரிக்கிறது-இது திசையனின் பூஜ்ஜியமற்ற உள்ளீடுகளின் எண்ணிக்கை பல ஆசிரியர்கள் மேற்கோள் குறிப்புகளைத் தவிர்ப்பதன் மூலம் சொற்களஞ்சியத்தை துஷ்பிரயோகம் செய்கிறார்கள். பூஜ்ஜிய "நெறிமுறை" ஐ வரையறுப்பது சமம் இது ஒரு நெறிமுறை அல்ல, ஏனெனில் இது ஒரே மாதிரியானது அல்ல. எடுத்துக்காட்டாக, திசையனை ஒரு நேர்மறை மாறிலி மூலம் அளவிடுவது "நெறிமுறையை" மாற்றாது. ஒரு கணித நெறிமுறையாக இந்த குறைபாடுகள் இருந்தபோதிலும், பூஜ்ஜியமற்ற எண்ணும் "நெறிமுறை" அறிவியல் கணினி, தகவல் கோட்பாடு மற்றும் புள்ளிவிவரங்களில் பயன்படுத்தப்படுகிறது-குறிப்பாக சமிக்ஞை செயலாக்கம் மற்றும் கணக்கீட்டு ஹார்மோனிக் பகுப்பாய்வில் சுருக்கப்பட்ட உணர்தலில். ஒரு நெறிமுறையாக இல்லாவிட்டாலும், தொடர்புடைய மெட்ரிக், ஹாமிங் தூரம் என்று அழைக்கப்படுகிறது, இது ஒரு செல்லுபடியாகும் தூரமாகும், ஏனெனில் தூரங்களுக்கு ஒரே மாதிரியான தன்மை தேவையில்லை. எல்லையற்ற பரிமாணங்கள் மற்றும் இடைவெளிகளில்-நெறிமுறை வரிசை இடைவெளி-நெறிமுறை எல்லையற்ற எண்ணிக்கையிலான கூறுகளைக் (வரிசைகள்) கொண்ட திசையன்களுக்கு நீட்டிக்கப்படலாம், இது இடத்தை வழங்குகிறது இது சிறப்பு நிகழ்வுகளாகக் கொண்டுள்ளதுஃ வரிசைகளின் இடைவெளி அதன் தொடர் முற்றிலும் ஒன்றிணைந்திருக்கும், சதுர-கூட்டுத்தொகை வரிசைகளின் இடைவெளி, இது ஒரு ஹில்பர்ட் இடைவெளி, மற்றும் வரம்புக்குட்பட்ட வரிசைகளின் இடைவெளி. வரிசைகளின் இடைவெளி ஒருங்கிணைப்பு மூலம் கூட்டல் மற்றும் அளவிடுதல் பெருக்கல் ஒருங்கிணைப்பைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் இயற்கையான திசையன் இடைவெளி கட்டமைப்பைக் கொண்டுள்ளது. வெளிப்படையாக, உண்மையான (அல்லது சிக்கலான) எண்களின் எல்லையற்ற வரிசைகளுக்கான திசையன் கூட்டுத்தொகை மற்றும் அளவிடுதல் நடவடிக்கை பின்வருமாறு கொடுக்கப்பட்டுள்ளனஃ-நெறிமுறையை வரையறுக்கவும்ஃ இங்கே, ஒரு சிக்கல் எழுகிறது, அதாவது வலதுபுறத்தில் உள்ள தொடர் எப்போதும் ஒன்றிணைவதில்லை, எனவே எடுத்துக்காட்டாக, ஒன்றுகளால் ஆன வரிசை, எல்லையற்ற-நெறிமுறையைக் கொண்டிருக்கும். செட் அதிகரிக்கும் போது, செட் பெரிதாக வளர்கிறது என்பதை ஒருவர் சரிபார்க்கலாம். எடுத்துக்காட்டாக, வரிசை (ஹார்மோனிக் தொடர்) க்கு வேறுபடுவதால் வரிசை இல்லை, ஆனால் அது உள்ளது, ஆனால் ஒன்றுடன் ஒன்று இணைகிறது-உச்சநிலையைப் பயன்படுத்தி நெறிமுறைஃ மற்றும் அனைத்து வரம்புக்குட்பட்ட வரிசைகளின் தொடர்புடைய இடத்தையும் வரையறுக்கிறது. வலது புறம் வரையறுக்கப்பட்டதாக இருந்தால், அல்லது இடது புறம் எல்லையற்றதாக இருந்தால் அது மாறிவிடும். எனவே, இவ்வாறு வரையறுக்கப்பட்ட தி-நார்முக்கான இடைவெளிகள் உண்மையில் ஒரு நெறிமுறை என்று நாம் கருதுவோம், மேலும் இந்த நெறிமுறையுடன் சேர்ந்து ஒரு பானாச் இடைவெளி உள்ளது. முழுமையான பொது இடைவெளி பெறப்படுகிறது-கீழே காணப்படுவது போல-திசையன்களைக் கருத்தில் கொள்வதன் மூலம், இறுதியாக அல்லது எண்ணக்கூடிய எண்ணற்ற பல கூறுகளுடன் மட்டுமல்லாமல், "தன்னிச்சையாக பல கூறுகளுடன்"; வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், செயல்பாடுகள். - நெறிமுறையை வரையறுக்க ஒரு கூட்டுத்தொகைக்கு பதிலாக ஒரு ஒருங்கிணைப்பு பயன்படுத்தப்படுகிறது. முந்தைய வரையறையின் முழுமையான ஒப்புமையில், ஒரு பொதுவான குறியீட்டு தொகுப்பின் (மற்றும்) மீது உள்ள இடத்தை வரையறுக்க முடியும், அங்கு வலதுபுறத்தில் ஒருங்கிணைப்பு என்பது எண்ணற்ற பல கூட்டுத்தொகைகள் மட்டுமே பூஜ்ஜியமற்றவை (நிபந்தனையற்ற ஒருங்கிணைப்பையும் பார்க்கவும்). விதிமுறைப்படி இடம் ஒரு பானாச் இடமாக மாறுகிறது. கூறுகளுடன் வரையறுக்கப்பட்ட விஷயத்தில், இந்த கட்டுமானம் மேலே வரையறுக்கப்பட்ட-நெறிமுறையுடன் விளைகிறது. எண்ணத்தக்க வகையில் எல்லையற்றதாக இருந்தால், இது மேலே வரையறுக்கப்பட்ட வரிசை இடைவெளி. எண்ணற்ற தொகுப்புகளுக்கு இது பிரிக்க முடியாத பானாச் இடமாகும், இது-வரிசை இடைவெளிகளின் உள்ளூரில் குவிந்த நேரடி வரம்பாகக் காணலாம். - நெறிமுறைக்கு தி என்று அழைக்கப்படும் ஒரு நியமன உள் விளைபொருளால் கூட தூண்டப்படுகிறது, அதாவது இது அனைத்து திசையன்களுக்கும் பொருந்தும் இந்த உள் விளைபொருள் துருவமுனைப்பு அடையாளத்தைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் நெறிமுறையின் அடிப்படையில் வெளிப்படுத்தப்படலாம். அனைத்து சதுர-ஒருங்கிணைந்த செயல்பாடுகளையும் கொண்ட ஒரு அளவீட்டு இடத்துடன் தொடர்புடைய இடத்திற்கான நேரத்தால் அதை வரையறுக்க முடியும், அது இப்போது வழக்கைக் கவனியுங்கள் அனைத்து குறியீட்டு தொகுப்புக்கும் தனித்துவமான σ-இயற்கணிதம் மற்றும் எண்ணும் அளவீட்டைக் கொடுப்பதன் மூலம் ஒரு அளவீட்டு இடமாக மாற்ற முடியும். பின்னர் இடைவெளி என்பது மிகவும் பொதுவான-இடத்தின் ஒரு சிறப்பு வழக்கு (கீழே வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது). Lp இடைவெளிகள் மற்றும் லெபெஸ்கூ ஒருங்கிணைப்புகள் ஒரு இடத்தை அளவிடக்கூடிய செயல்பாடுகளின் இடைவெளி என்று வரையறுக்கலாம், இதற்காக முழுமையான மதிப்பின்-th சக்தி லெபெஸ்கூ ஒருங்கிணைந்ததாகும், அங்கு கிட்டத்தட்ட எல்லா இடங்களிலும் உடன்படும் செயல்பாடுகள் அடையாளம் காணப்படுகின்றன. மேலும் பொதுவாக, ஒரு அளவீட்டு இடமாக இருக்கட்டும் மற்றும் எப்போது உண்மையானது (அதாவது,), அளவிடக்கூடிய அனைத்து செயல்பாடுகளின் தொகுப்பையும் கருத்தில் கொள்ளுங்கள் அல்லது அதன் முழுமையான மதிப்பு-th சக்திக்கு உயர்த்தப்பட்ட ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட ஒருங்கிணைப்பைக் கொண்டுள்ளது, அல்லது சின்னங்களில்ஃ தொகுப்பை வரையறுக்க, இரண்டு செயல்பாடுகள் மற்றும் வரையறுக்கப்பட்டவை என்று நினைவுகூரும் தொகுப்பை வரையறுக்க, தொகுப்பு அளவிடக்கூடியது மற்றும் பூஜ்ஜிய அளவீடு இருந்தால், எழுதப்பட்டதாகக் கூறப்படுகிறது. இதேபோல், அளவிடக்கூடிய தொகுப்பில் பூஜ்ஜிய அளவீடு இருந்தால், அளவிடக்கூடிய செயல்பாடு (மற்றும் அதன் முழுமையான மதிப்பு) என்பது (அல்லது) ஒரு உண்மையான எண்ணால் எழுதப்படுகிறது. இடைவெளி என்பது கிட்டத்தட்ட எல்லா இடங்களிலும் (சில உண்மையானவற்றால்) வரையறுக்கப்பட்ட அளவிடக்கூடிய அனைத்து செயல்பாடுகளின் தொகுப்பாகும், மேலும் இந்த வரம்புகளின் முடிவிலியாக வரையறுக்கப்படுகிறதுஃ அப்படியானால் இது முழுமையான மதிப்பின் அத்தியாவசிய மேலாதிக்கத்திற்கு சமமாக இருக்கும்ஃ எடுத்துக்காட்டாக, அளவிடக்கூடிய செயல்பாடு என்றால் கிட்டத்தட்ட எல்லா இடங்களுக்கும் சமமாக இருந்தால், ஒவ்வொன்றிற்கும், எனவே அனைவருக்கும் ஒவ்வொரு நேர்மறைக்கும் அளவிடக்கூடிய செயல்பாட்டின் கீழ் உள்ள மதிப்பு மற்றும் அதன் முழுமையான மதிப்பு எப்போதும் ஒரே மாதிரியாக இருக்கும் (அதாவது, அனைவருக்கும்), எனவே அளவிடக்கூடிய செயல்பாடு அதன் முழுமையான மதிப்பு இருந்தால் மட்டுமே, அதன் முழுமையான மதிப்பு இருந்தால் மட்டுமே. இதன் காரணமாக,-நெறிமுறைகளை உள்ளடக்கிய பல சூத்திரங்கள் எதிர்மறை அல்லாத உண்மையான மதிப்புள்ள செயல்பாடுகளுக்கு மட்டுமே கூறப்படுகின்றன. எடுத்துக்காட்டாக, அளவிடக்கூடிய போதெல்லாம் வைத்திருக்கும் அடையாளம் உண்மையானது மற்றும் (இங்கே எப்போது) என்பதைக் கவனியுங்கள். எதிர்மறை அல்லாத தேவையை மாற்றுவதன் மூலம் அகற்றலாம், இது குறிப்பாக வரையறுக்கப்பட்டிருக்கும் போது சூத்திரம்-நெறிமுறையை-நெறிமுறையுடன் தொடர்புபடுத்துகிறது என்பதைக் குறிக்கிறது. கூட்டல் மற்றும் அளவிடுதல் பெருக்கம் புள்ளி வாரியாக வரையறுக்கப்படும்போது-th சக்தி ஒருங்கிணைந்த செயல்பாடுகளின் செமினார்ம் செய்யப்பட்ட இடம் ஒவ்வொரு செயல்பாடுகளின் தொகுப்பும் ஒரு திசையன் இடத்தை உருவாக்குகிறது. இரண்டு-வது சக்தி ஒருங்கிணைந்த செயல்பாடுகளின் கூட்டுத்தொகை மற்றும் மீண்டும்-வது சக்தி ஒருங்கிணைந்ததாக இருந்தாலும், இது மின்காவ்ஸ்கியின் சமத்துவமின்மையின் விளைவாகும், இது முக்கோண சமத்துவமின்மையை திருப்திப்படுத்துகிறது (முக்கோண சமத்துவமின்மை இல்லை). அளவிடுதல் பெருக்கத்தின் கீழ் மூடப்பட்டிருப்பது முற்றிலும் ஒரே மாதிரியாக இருப்பதன் காரணமாகும், அதாவது ஒவ்வொரு அளவிடுதல் மற்றும் ஒவ்வொரு செயல்பாட்டிற்கும் முழுமையான ஒற்றுமை, முக்கோண சமத்துவமின்மை மற்றும் எதிர்மறை அல்லாதவை ஒரு செமினார்மின் வரையறுக்கும் பண்புகளாகும். இவ்வாறு ஒரு செமினார்ம் மற்றும்-th சக்தி ஒருங்கிணைந்த செயல்பாடுகளின் தொகுப்பு செயல்பாட்டுடன் சேர்ந்து ஒரு செமினார்ம் செய்யப்பட்ட திசையன் இடத்தை வரையறுக்கிறது. பொதுவாக, செமினார்ம் ஒரு நெறிமுறை அல்ல, ஏனெனில் அளவிடக்கூடிய செயல்பாடுகள் இருக்கலாம், அவை திருப்தி அளிக்கின்றன, ஆனால் சமமாக இல்லை (அது இல்லை என்றால் மட்டுமே ஒரு நெறிமுறை). பூஜ்ஜிய செட்-செமினார்ம்கள் அளவிடக்கூடியதாக இருந்தால் மற்றும் a. e. க்கு சமம். மறுபுறம், அளவிடக்கூடிய செயல்பாடாக இருந்தால், அது போன்ற சில உள்ளன, பின்னர் கிட்டத்தட்ட எல்லா இடங்களிலும். வரையறுக்கப்பட்ட போது, இது வழக்கு மற்றும் மேலே குறிப்பிட்டுள்ள சூத்திரத்திலிருந்து பின்பற்றப்படுகிறது. எனவே நேர்மறையாகவும் அளவிடக்கூடிய செயல்பாடாகவும் இருந்தால், கிட்டத்தட்ட எல்லா இடங்களிலும் இருந்தால் மட்டுமே. வலது புறத்திலிருந்து (a. e.) அனைத்திற்கும் ஒரே பூஜ்ஜிய தொகுப்பு உள்ளது என்பதை இது குறிப்பிடவில்லை (இது சார்ந்தது அல்ல). எனவே இந்த பொதுவான தொகுப்பை குறிக்கவும் இந்த தொகுப்பு ஒவ்வொரு நேர்மறையான அளவு திசையன் இடத்திற்கும் ஒரு திசையன் துணைப்பகுதி ஒவ்வொரு செமினார்மைப் போலவே, செமினார்ம் அதன் திசையன் துணைப்பகுதி மூலம் நியமன அளவு திசையன் இடத்தில் ஒரு நெறிமுறையைத் தூண்டுகிறது (விரைவில் வரையறுக்கப்படுகிறது) இந்த நெறிமுறையான அளவு இடைவெளி அழைக்கப்படுகிறது மற்றும் இது இந்த கட்டுரையின் பொருள். ஈவு திசையன் இடத்தை வரையறுப்பதன் மூலம் தொடங்குகிறோம். எந்தவொரு கோசெட்டிலும் அளவிடக்கூடிய அனைத்து செயல்பாடுகளும் உள்ளன, அவை கிட்டத்தட்ட எல்லா இடங்களிலும் சமமாக உள்ளன. அனைத்து கோசெட்டுகளின் தொகுப்பும், பொதுவாக திசையன் கூட்டல் மற்றும் அளவிடுதல் பெருக்கம் வரையறுக்கப்படும் போது தோற்றத்துடன் ஒரு திசையன் இடத்தை உருவாக்குகிறது மற்றும் இந்த குறிப்பிட்ட ஈவு திசையன் இடைவெளி இரண்டு கோசெட்களால் குறிக்கப்படும், இது சமமாக இருந்தால் மட்டுமே (அல்லது சமமாக,), இது கிட்டத்தட்ட எல்லா இடங்களிலும் மட்டுமே நிகழ்கிறது; இது அப்படியானால் மற்றும் ஈவு இடத்தில் அடையாளம் காணப்பட்டால். ஈவு திசையன் இடத்தில்-நெறிமுறை கோசெட்டில் உள்ள செமினார்மின் எந்தவொரு மதிப்பையும் நிலையானதாகவும், இந்த தனித்துவமான மதிப்பைக் குறிக்க சமமாகவும் இருப்பதால்ஃ இந்த பணி ஒரு வரைபடத்தை வரையறுக்கிறது, இது ஈவு திசையன் இடத்திலும் குறிக்கப்படும். ஒரு கொசெட்டின் மதிப்பு கொசட்டைக் குறிக்கத் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட குறிப்பிட்ட செயல்பாட்டிலிருந்து சுயாதீனமாக உள்ளது, அதாவது ஏதேனும் கொசெட் இருந்தால் ஒவ்வொருவருக்கும் (ஒவ்வொருவருக்கும் என்பதால்). லெபெஸ்க்யூ இடைவெளி நெறிமுறைப்படுத்தப்பட்ட திசையன் இடைவெளி அழைக்கப்படுகிறது அல்லது-th சக்தி ஒருங்கிணைந்த செயல்பாடுகள் மற்றும் இது ஒவ்வொருவருக்கும் ஒரு பானாச் இடைவெளி (அதாவது இது ஒரு முழுமையான மெட்ரிக் இடைவெளி, இதன் விளைவாக சில நேரங்களில் [[ரைஸ்-ஃபிஷர் theorem#Completeness Lp இன், 0 <p ≤ φ |Riesz-ஃபிஷர் தேற்றம்]] என்று அழைக்கப்படுகிறது). அடிப்படை அளவீட்டு இடத்தை புரிந்து கொள்ளும்போது, பெரும்பாலும் சுருக்கமாக அல்லது எழுத்தாளரைப் பொறுத்து கூட, சந்தா குறியீடு ஒன்றைக் குறிக்கலாம் அல்லது செமினார்ம் ஒரு நெறிமுறையாக இருந்தால் (இது நடந்தால் மட்டுமே நடக்கும்) பின்னர் நெறிமுறை செய்யப்பட்ட இடைவெளி நியதி வரைபடத்தின் மூலம் நெறிமுறை செய்யப்பட்ட ஈவு இடத்திற்கு நேரியல் ஐசோமெட்ரிக் ஐசோமார்பிக் ஆக இருக்கும் (ஏனெனில்); வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், அவை ஒரு நேரியல் ஐசோமெட்ரி வரை, அதே நெறிமுறை இடமாக இருக்கும், எனவே அவை இரண்டும் "இடைவெளி" என்று அழைக்கப்படலாம். மேற்கண்ட வரையறைகள் போச்னர் இடங்களுக்கு பொதுமைப்படுத்தப்படுகின்றன. பொதுவாக, இந்த செயல்முறையை மாற்றியமைக்க முடியாதுஃ இன் இன் ஒவ்வொரு கோசெட்டிற்கும் ஒரு "நியதி" பிரதிநிதியை வரையறுக்க நிலையான வழி இல்லை இருப்பினும், அத்தகைய மீட்புக்கு உதவும் லிஃப்ட் கோட்பாடு உள்ளது. இடங்களைப் போன்ற சிறப்பு நிகழ்வுகள், இடங்களுக்கிடையே உள்ள ஒரே ஹில்பர்ட் இடமாகும். சிக்கலான வழக்கில், உள் தயாரிப்பு வரையறுக்கப்படுகிறது கூடுதல் உள் தயாரிப்பு அமைப்பு ஒரு பணக்கார கோட்பாட்டை அனுமதிக்கிறது, பயன்பாடுகளுடன், எடுத்துக்காட்டாக, ஃபோரியர் தொடர் மற்றும் குவாண்டம் இயக்கவியல். செயல்பாடுகள் சில நேரங்களில் சதுர-ஒருங்கிணைந்த செயல்பாடுகள், நாற்கர ஒருங்கிணைந்த செயல்பாடுகள் அல்லது சதுர-கூட்டுத்தொகை செயல்பாடுகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன, ஆனால் சில நேரங்களில் இந்த சொற்கள் ரீமன் ஒருங்கிணைப்பு போன்ற வேறு சில அர்த்தங்களில் சதுர-ஒருங்கிணைந்த செயல்பாடுகளுக்கு ஒதுக்கப்பட்டுள்ளன. சிக்கலான மதிப்புள்ள செயல்பாடுகளை நாம் பயன்படுத்தினால், இடைவெளி என்பது புள்ளிவழி பெருக்கம் மற்றும் இணைப்புடன் கூடிய ஒரு பரிமாற்ற சி *-இயற்கணிதம் ஆகும். அனைத்து சிக்மா-ஃபைனைட் இடைவெளிகள் உட்பட பல அளவீட்டு இடைவெளிகளுக்கு, இது உண்மையில் ஒரு பரிமாற்ற வான் நியூமன் இயற்கணிதமாகும். ஒரு உறுப்பு எந்த இடத்திலும் ஒரு வரம்புக்குட்பட்ட ஆபரேட்டரை பெருக்குவதன் மூலம் வரையறுக்கிறது. மேலும் பொதுவாக, எண்ணும் அளவீட்டுடன் எந்தவொரு தொகுப்பையும் ஒருவர் கருத்தில் கொண்டால், இதன் விளைவாக வரும் இடைவெளி குறிக்கப்படுகிறது எடுத்துக்காட்டாக, இடைவெளி என்பது முழு எண்களால் குறியிடப்பட்ட அனைத்து வரிசைகளின் இடைவெளி, அத்தகைய இடத்தில்-நெறிமுறையை வரையறுக்கும்போது, அனைத்து முழு எண்களின் கூட்டுத்தொகையும் ஒன்று. கூறுகளுடன் கூடிய தொகுப்பு இருக்கும் இடம், மேலே வரையறுக்கப்பட்டுள்ளபடி அதன்-நெறிமுறையுடன் உள்ளது. எந்தவொரு ஹில்பர்ட் இடத்தையும் போலவே, ஒவ்வொரு இடமும் ஒரு பொருத்தமான நேரியல் ஐசோமெட்ரிக் ஆகும், அங்கு தொகுப்பின் கார்டினாலிட்டி Lp இடைவெளிகளின் இந்த குறிப்பிட்ட பண்புகளுக்கான தன்னிச்சையான ஹில்பெர்டியன் அடிப்படையின் கார்டினாலிட்டி ஆகும். பின்னர் மற்றும் பின்னர் மற்றும் ஹோல்டரின் சமத்துவமின்மை என்று அழைக்கப்படும் இந்த சமத்துவமின்மை, ஒருவிதத்தில் உகந்ததாக இருப்பதால் (அப்படியானால்) மற்றும் அளவிடக்கூடிய செயல்பாடாகும், அதாவது முக்கோண சமத்துவமின்மையை திருப்திப்படுத்தும் மின்காவ்ஸ்கி சமத்துவமின்மை, முக்கோண சமத்துவமின்மையை திருப்திப்படுத்தும் மின்காவ்ஸ்கி சமத்துவமின்மை, பொதுமைப்படுத்தப்படலாம்ஃ அளவிடக்கூடிய செயல்பாடு எதிர்மறை அல்லாததாக இருந்தால், அனைத்து அணு சிதைவுக்கும், அதாவது ஒவ்வொரு எதிர்மறை அல்லாதவையும் ஒரு வரிசை உள்ளது, அதாவது எதிர்மறை அல்லாத உண்மையான எண்களின் வரிசை மற்றும் எதிர்மறை அல்லாத செயல்பாடுகளின் வரிசை உள்ளது, அதன் ஆதரவுகள் ஜோடி வாரியாக வேறுபட்ட அளவீடுகளின் தொகுப்புகள் மற்றும் ஒவ்வொரு முழு எண்ணுக்கும், மேலும் எங்கு, செயல்பாடுகளின் வரிசை மட்டுமே சார்ந்துள்ளது (அது) இந்த ஏற்றத்தாழ்வுகள் அனைத்து முழு எண்களுக்கும் உத்தரவாதம் அளிக்கின்றன, அதே நேரத்தில் ஜோடி வாரியாக இணைந்திருப்பதன் ஆதரவு என்பது ஒவ்வொரு முழு எண்ணையும் முதலில் வரையறுப்பதன் மூலம் ஒரு அணு சிதைவை வெளிப்படையாக வழங்க முடியும் (இந்த முடிவிலி அதன் மூலம் அடையப்படுகிறது, வைத்திருக்கிறது) பின்னர் செட்டின் அளவைக் குறிக்கிறது மற்றும் செட்டின் காட்டி செயல்பாட்டைக் குறிக்கிறது. அதன் நிரப்பு ஒட்டுமொத்த விநியோகச் செயல்பாடு பலவீனமான-நெறிமுறை (கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ளது) வரையறையிலும் தோன்றுகிறது என்பதை வரையறுக்கப் பயன்படுத்தப்பட்டது, மேலும் இரட்டை இடைவெளிகளில் வழக்கமான லெபெஸ்கூ அளவீட்டைப் பொறுத்தவரை ஒருங்கிணைப்பு இருக்கும் ஒருங்கிணைப்பாக-நெறிமுறை (for) ஐ வெளிப்படுத்த பயன்படுத்தலாம். ). இந்த ஐசோமார்பிசம் ஒவ்வொருவருக்கும் வரையறுக்கப்பட்ட செயல்பாட்டுடன் தொடர்புடையது நன்கு வரையறுக்கப்பட்ட மற்றும் தொடர்ச்சியான உண்மை ஹோல்டரின் சமத்துவமின்மையிலிருந்து பின்பற்றப்படுகிறது. இது ஒரு லீனியர் மேப்பிங் ஆகும், இது ஹோல்டரின் சமத்துவமின்மையின் உச்சநிலை வழக்கில் ஒரு ஐசோமெட்ரி ஆகும். (எடுத்துக்காட்டாக ரேடான்-நிகோடிம் தேற்றத்துடன், பார்க்கவும்) எதையும் இந்த வழியில் வெளிப்படுத்த முடியும் என்பதைக் காட்டவும் முடியும்ஃ அதாவது, அது மீது உள்ளது. ஆன்டூ மற்றும் ஐசோமெட்ரிக் என்பதால், இது பானாச் இடைவெளிகளின் ஐசோமார்பிசம் ஆகும். இந்த (ஐசோமெட்ரிக்) ஐசோமார்பிசத்தை மனதில் கொண்டு, அதன் தொடர்ச்சியான இரட்டை இடைவெளி என்று வெறுமனே சொல்வது வழக்கம். மேலே உள்ளபடி இருக்கட்டும், அதனுடன் தொடர்புடைய நேரியல் ஐசோமெட்ரியாக இருக்கட்டும். இந்த வரைபடத்தின் தலைகீழ் இடமாற்றத்துடன் (அல்லது அருகிலுள்ள) தொகுப்பதன் மூலம் பெறப்பட்ட வரைபடத்தைக் கவனியுங்கள் இந்த வரைபடம் அதன் இருமையில் நியமன உட்பொதிப்புடன் ஒத்துப்போகிறது. மேலும், ஐசோமீட்டரிகளில் இரண்டின் கலவையாக வரைபடம் உள்ளது, மேலும் இது பிரதிபலிப்பை நிரூபிக்கிறது. மேலே உள்ள அளவீடு சிக்மா-ஃபைனைட் என்றால், அதன் டூயல் ஐசோமெட்ரிக் ஐசோமார்பிக் ஆகும் (இன்னும் துல்லியமாக, அதனுடன் தொடர்புடைய வரைபடம் ஒரு ஐசோமெட்ரி ஆகும். மேலும் விவரங்களுக்கு சீ பா இடத்தை பொறுத்தவரை முற்றிலும் தொடர்ச்சியான வரம்புக்குட்பட்ட கையொப்பமிடப்பட்ட இறுதியான சேர்க்கை நடவடிக்கைகளுடன் கூறுகளை அடையாளம் காணலாம். விருப்பத்தின் கோட்பாட்டை நாம் கருதினால், சில அற்பமான நிகழ்வுகளைத் தவிர இந்த இடம் மிகப் பெரியது. இருப்பினும், ஜெர்மெலோ-ஃப்ரான்கெல் தொகுப்புக் கோட்பாட்டின் ஒப்பீட்டளவில் நிலையான விரிவாக்கங்கள் உள்ளன என்பதை சஹரோன் ஷெலா நிரூபித்தார் (ZF + DC + "உண்மையான எண்களின் ஒவ்வொரு துணைக்குழுவிற்கும் பேயர் பண்பு உள்ளது") இதில் இரட்டை உட்பொருள்கள் பேச்சுவழக்கில் உட்பொதிக்கப்பட்டுள்ளன, பின்னர் உள்ளூரில் ஒருமைப்பாடாக இருக்கும் செயல்பாடுகளைக் கொண்டிருந்தால், அதன் கூறுகள் மேலும் பரவலாக இருக்கலாம். அரை கோட்டில் உள்ள லெபெஸ்கூ அளவீட்டைக் கவனியுங்கள் ஒரு தொடர்ச்சியான செயல்பாடு அருகில் வெடிக்கக்கூடும், ஆனால் முடிவிலியை நோக்கி போதுமான வேகமாக சிதைவடைய வேண்டும். மறுபுறம், தொடர்ச்சியான செயல்பாடுகள் சிதைவடைய வேண்டிய அவசியமில்லை, ஆனால் எந்த வீச்சும் அனுமதிக்கப்படுவதில்லை. துல்லியமான தொழில்நுட்ப முடிவு பின்வருமாறு. பின்னர்ஃ வரையறுக்கப்பட்ட ஆனால் தன்னிச்சையாக பெரிய அளவீடுகளின் தொகுப்புகளைக் கொண்டிருக்கவில்லை என்றால் மட்டுமே (எடுத்துக்காட்டாக, எந்த வரையறுக்கப்பட்ட அளவும்). பூஜ்ஜியமற்ற ஆனால் தன்னிச்சையாக சிறிய அளவின் தொகுப்புகளைக் கொண்டிருக்காவிட்டால் மட்டுமே (எடுத்துக்காட்டாக, எண்ணும் அளவீடு). இரண்டு நிபந்தனைகளும் எந்தவொரு வரையறுக்கப்பட்ட தொகுப்பிலும் எண்ணும் அளவீட்டிற்கு பொருந்தும் அதே நேரத்தில் லெபெஸ்கூ அளவீட்டுடன் உண்மையான கோட்டிற்கு எந்த நிபந்தனையும் இல்லை. இரண்டு நிகழ்வுகளிலும் உட்பொதிப்பு தொடர்ச்சியானது, அதில் அடையாள ஆபரேட்டர் முதல் வழக்கில் இருந்து இரண்டாவது வரை ஒரு வரம்புக்குட்பட்ட நேரியல் வரைபடமாகும். (இது மூடிய வரைபட தேற்றம் மற்றும் இடைவெளிகளின் பண்புகளின் விளைவாகும்.) உண்மையில், களத்திற்கு வரையறுக்கப்பட்ட அளவீடு இருந்தால், ஹோல்டரின் சமத்துவமின்மையைப் பயன்படுத்தி பின்வரும் வெளிப்படையான கணக்கீட்டை ஒருவர் செய்யலாம் மேலே உள்ள சமத்துவமின்மையில் மாறிலி தோன்றுவது உகந்ததாகும், அதாவது அடையாளத்தின் ஆபரேட்டர் நெறிமுறை துல்லியமாக சமத்துவம் அடையப்படும் போது-கிட்டத்தட்ட-எல்லா இடங்களிலும். இந்த பகுதி முழுவதும் அடர்த்தியான உட்பகுதிகள் ஒரு அளவீட்டு இடமாக இருக்கட்டும் என்று கருதுகிறோம். ஒருங்கிணைந்த எளிய செயல்பாடு என்பது அளவீடுகள், வரையறுக்கப்பட்ட அளவீடு மற்றும் தொகுப்பின் காட்டி செயல்பாடு கொண்ட வடிவங்களில் ஒன்றாகும் ஒருங்கிணைப்பின் கட்டுமானத்தின் மூலம், ஒருங்கிணைந்த எளிய செயல்பாடுகளின் திசையன் இடைவெளி அடர்த்தியாக உள்ளது மேலும் ஒரு சாதாரண இடவியல் இடைவெளி மற்றும் அதன் போரெல்-இயற்கணிதம், அதாவது, திறந்த தொகுப்புகளைக் கொண்ட துணைக்குழுக்களின் மிகச்சிறிய-இயற்கணிதம். வரையறுக்கப்பட்ட அளவீட்டைக் கொண்ட திறந்த தொகுப்புகளின் தொடர்ச்சியான வரிசையால் மூடப்பட்டிருந்தால், பின்னர் ஒருங்கிணைந்த தொடர்ச்சியான செயல்பாடுகளின் இடைவெளி அடர்த்தியாக இருக்கும் மேலும் துல்லியமாக, திறந்த தொகுப்புகளில் ஒன்றுக்கு வெளியே மறைந்துவிடும் வரம்புக்குட்பட்ட தொடர்ச்சியான செயல்பாடுகளை ஒருவர் பயன்படுத்தலாம். இதேபோல், ஒருங்கிணைந்த படி செயல்பாடுகளின் இடைவெளி இந்த இடத்தில் அடர்த்தியாக உள்ளது, இது வரம்புக்குட்பட்ட செவ்வகங்களின் போது வரம்புக்குட்பட்ட இடைவெளிகளின் காட்டி செயல்பாடுகளின் நேரியல் இடைவெளி மற்றும் பொதுவாக வரம்புக்குட்பட்ட இடைவெளிகளின் தயாரிப்புகள் ஆகும். பொது செயல்பாடுகளின் பல பண்புகள் முதலில் தொடர்ச்சியான மற்றும் சுருக்கமாக ஆதரிக்கப்படும் செயல்பாடுகளுக்கு (சில நேரங்களில் படி செயல்பாடுகளுக்கு) நிரூபிக்கப்படுகின்றன, பின்னர் அனைத்து செயல்பாடுகளுக்கும் அடர்த்தி மூலம் நீட்டிக்கப்படுகின்றன. எடுத்துக்காட்டாக, மொழிபெயர்ப்புகள் பின்வரும் அர்த்தத்தில் தொடர்ச்சியானவை என்று இந்த வழியில் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளதுஃ மூடப்பட்ட துணை இடைவெளிகள் ஏதேனும் நேர்மறை உண்மையான எண் என்றால், அளவிடக்கூடிய இடத்தில் ஒரு நிகழ்தகவு அளவீடு (எனவே), மற்றும் ஒரு திசையன் துணைவெளி, பின்னர் ஒரு மூடிய துணைவெளி என்றால் மற்றும் வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாணமாக இருந்தால் மட்டுமே (சுயாதீனமாக தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டது). அலெக்சாண்டர் கிரோதெண்டிக் காரணமாக இருக்கும் இந்த தேற்றத்தில், திசையன் இடைவெளி ஒரு துணைக்குழுவாக இருப்பது முக்கியம், ஏனெனில் எல்லையற்ற பரிமாண மூடிய திசையன் துணைப்பகுதியை (இது ஒரு துணைக்குழு கூட) உருவாக்க முடியும், அங்கு அலகு வட்டத்தில் லெபெஸ்கூ அளவீடு மற்றும் அதன் வெகுஜனத்தால் வகுப்பதன் விளைவாக ஏற்படும் நிகழ்தகவு அளவீடு. மேலே உள்ளபடி வரையறுக்க முடிந்தால்ஃ இது அளவிடக்கூடிய செயல்பாடுகளின் ஈவு திசையன் இடமாகும், முன்பு போலவே, நாம்-நெறிமுறையை அறிமுகப்படுத்தலாம், ஆனால் இந்த விஷயத்தில் முக்கோண சமத்துவமின்மையை திருப்திப்படுத்தாது, மேலும் ஒரு அரை-நெறிமுறையை மட்டுமே வரையறுக்கிறது. செல்லுபடியாகும் சமத்துவமின்மை அதைக் குறிக்கிறது, எனவே செயல்பாடு ஒரு மெட்ரிக் ஆகும் இதன் விளைவாக மெட்ரிக் இடைவெளி முடிந்தது; சரிபார்ப்பு இந்த இடவியல் தோற்றத்தில் பந்துகள் ஒரு உள்ளூர் தளத்தை உருவாக்கும் போது பழக்கமான வழக்கைப் போன்றது, நேர்மறை யதார்த்தங்களுக்கு மேல் வரம்புகள். இந்த பந்துகள் அனைத்து உண்மையானவற்றையும் திருப்திப்படுத்துகின்றன, இது குறிப்பாக தோற்றத்தின் எல்லைக்குட்பட்ட சுற்றுப்புறம் என்பதைக் காட்டுகிறது; வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், இந்த இடம் ஒரு நெறிமுறையாக இல்லாவிட்டாலும், ஒவ்வொரு நெறிமுறை இடத்தையும் போலவே உள்ளூரில் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது. இந்த அமைப்பில் ஒரு தலைகீழ் மின்காவ்ஸ்கி சமத்துவமின்மையை திருப்திப்படுத்துகிறது, அதாவது இந்த முடிவு கிளார்க்சனின் ஏற்றத்தாழ்வுகளை நிரூபிக்க பயன்படுத்தப்படலாம், அவை இடைவெளிகளின் சீரான குவிந்த தன்மையை நிறுவ பயன்படுத்தப்படுகின்றன. ஒரு F-இடத்திற்கான இடைவெளிஃ இது ஒரு முழுமையான மொழிபெயர்ப்பு-மாறுபட்ட அளவீட்டை ஏற்றுக்கொள்கிறது, இது திசையன் விண்வெளி செயல்பாடுகள் தொடர்ச்சியானவை. இது ஒரு எஃப்-இடத்தின் முன்மாதிரி எடுத்துக்காட்டு, பெரும்பாலான நியாயமான அளவீட்டு இடங்களுக்கு, உள்ளூரில் குவிந்ததாக இல்லைஃ இன் அல்லது செயல்பாட்டைக் கொண்ட ஒவ்வொரு திறந்த குவிந்த தொகுப்பும்-அரை-நெறிமுறைக்கு வரம்பற்றது; எனவே, திசையன் குவிந்த சுற்றுப்புறங்களின் அடிப்படை அமைப்பைக் கொண்டிருக்கவில்லை. குறிப்பாக, அளவீட்டு இடத்தில் வரையறுக்கப்பட்ட நேர்மறை அளவின் வேறுபட்ட அளவிடக்கூடிய தொகுப்புகளின் எல்லையற்ற குடும்பம் இருந்தால் இது உண்மை. முழு இடமும் மட்டுமே காலியாக இல்லாத குவிந்த திறந்த தொகுப்பாகும். ஒரு குறிப்பிட்ட விளைவாக, பூஜ்ஜிய இடைவெளியில் தொடர்ச்சியான இரட்டை இடத்தில் பூஜ்ஜியமற்ற தொடர்ச்சியான நேரியல் செயல்பாடுகள் எதுவும் இல்லை. இயற்கையான எண்களில் எண்ணும் அளவீட்டைப் பொறுத்தவரை (வரிசை இடத்தை உருவாக்குகிறது), வரம்புக்குட்பட்ட நேரியல் செயல்பாடுகள் துல்லியமாக வரம்புக்குட்பட்டவை, அதாவது வரிசைகளால் கொடுக்கப்பட்டவை, அற்பமான குவிந்த திறந்த தொகுப்புகளைக் கொண்டிருந்தாலும், அவை போதுமானதாக இல்லை இடவியல் ஒரு அடித்தளத்தை கொடுக்க. நேரியல் செயல்பாடுகள் இல்லாத சூழ்நிலை பகுப்பாய்வு செய்வதற்கான நோக்கங்களுக்கு மிகவும் விரும்பத்தகாதது. லெபெஸ்கூ அளவைப் பொறுத்தவரை, வேலை செய்வதை விட வேலை செய்வது பொதுவானது, ஏனெனில் இது முடிந்தவரை ஹார்டி இடத்துடன் வேலை செய்வது பொதுவானது, ஏனெனில் இது சில நேரியல் செயல்பாடுகளைக் கொண்டுள்ளதுஃ ஒருவருக்கொருவர் புள்ளிகளை வேறுபடுத்திக் காட்ட போதுமானது. இருப்பினும், ஹான்-பானாக் தேற்றம் இன்னும் தோல்வியடைகிறது. அளவிடக்கூடிய செயல்பாடுகளின் இடைவெளி அளவிடக்கூடிய செயல்பாடுகளின் (சமநிலை வகுப்புகளின்) திசையன் இடைவெளி குறிக்கப்படுகிறது. வரையறையின்படி, இது அனைத்தையும் கொண்டுள்ளது மற்றும் அளவில் ஒருங்கிணைப்பின் இடவியல் பொருத்தப்பட்டுள்ளது. நிகழ்தகவு அளவீடு (அதாவது,) என்றால், இந்த ஒருங்கிணைப்பு முறை நிகழ்தகவில் ஒருங்கிணைப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது. வரையறுக்கப்பட்டதாக இருக்கும்போது விளக்கம் எளிதானது. செயல்பாட்டின் ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட அளவீடு என்றால், பின்வரும் சுற்றுப்புறங்களின் அடிப்படை அமைப்பை அளவின் ஒருங்கிணைப்புக்கு ஒப்புக்கொள்கிறது இடவியல் என்பது தொடர்ச்சியான குழிவான மற்றும் எப்போது குறைக்கப்படாத வடிவத்தின் எந்த மெட்ரிக் மூலமும் வரையறுக்கப்படலாம் (எடுத்துக்காட்டாக, அத்தகைய மெட்ரிக் லெவி-மெட்ரிக் என்று அழைக்கப்படுகிறது இந்த மெட்ரிக் கீழ் இடைவெளி முழுமையடைகிறது (இது மீண்டும் ஒரு எஃப்-ஸ்பேஸ்). இந்த இடம் பொதுவாக உள்ளூரில் எல்லைக்குட்பட்டதாக இல்லை, மேலும் உள்ளூரில் குவிந்ததாக இல்லை. சுற்றுப்புறங்களின் அடிப்படை அமைப்பின் வரையறையில் எல்லையற்ற லெபெஸ்க்யூ அளவீட்டை பின்வருமாறு மாற்றியமைக்க முடியும் இதன் விளைவாக வரும் இடம் எந்தவொரு நேர்மறை-ஒருங்கிணைந்த அடர்த்தி பொதுமைப்படுத்தல்கள் மற்றும் நீட்டிப்புகளுக்கான இடவியல் திசையன் இடத்துடன் ஒத்துப்போகிறது பலவீனமானது ஒரு அளவீட்டு இடமாக இருக்கட்டும், மேலும் உண்மையான அல்லது சிக்கலான மதிப்புகளுடன் அளவிடக்கூடிய செயல்பாடாக இருக்கட்டும். முக்கோண சமத்துவமின்மை தக்கவைத்துக் கொள்ளத் தவறியதால்,-நெறிமுறை ஒரு உண்மையான நெறிமுறை அல்ல. ஆயினும்கூட, குறிப்பாக, உண்மையில், ஒருவர் அதிகாரத்திற்கு உயர்ந்து, மேலாதிக்கத்தை ஒருவரிடம் எடுத்துக்கொள்வது இரண்டு செயல்பாடுகள் கிட்டத்தட்ட எல்லா இடங்களிலும் சமமாக இருந்தால், இடைவெளிகள் முழுமையடையும் என்ற மரபின் கீழ் உள்ளது. எதற்கும் வெளிப்பாடு-நெறிமுறையுடன் ஒப்பிடத்தக்கது. மேலும் இந்த விஷயத்தில் இந்த வெளிப்பாடு ஒரு நெறிமுறையை வரையறுக்கிறது எனவே பலவீனமான இடங்களுக்கு பானாச் இடங்கள் உள்ளன. - இடங்களைப் பயன்படுத்தும் ஒரு முக்கிய விளைவாக மார்ஸின்கீவிக்ஸ் இடைக்கணிப்பு தேற்றம் உள்ளது, இது ஹார்மோனிக் பகுப்பாய்வு மற்றும் ஒருமை ஒருங்கிணைப்புகளின் ஆய்வுக்கு பரந்த பயன்பாடுகளைக் கொண்டுள்ளது. எடை இடைவெளிகள் முன்பு போலவே, ஒரு அளவீட்டு இடத்தை ஒரு அளவிடக்கூடிய செயல்பாடாக இருக்கட்டும். ஆனால் அவை ஹார்மோனிக் பகுப்பாய்வில் பல முடிவுகளுக்கு இயற்கையான கட்டமைப்பாகும்; அவை முகென்ஹாப்ட் தேற்றத்தில் எடுத்துக்காட்டாகத் தோன்றுகின்றனஃ கிளாசிக்கல் ஹில்பர்ட் உருமாற்றம் அலகு வட்டம் மற்றும் லெபெஸ்கூ அளவைக் குறிக்கும் இடத்தில் வரையறுக்கப்படுகிறது; (நேரியல் அல்லாத) ஹார்டி-லிட்டில்வுட் அதிகபட்ச ஆபரேட்டர் முகென்ஹாப்டின் தேற்றத்தில் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது, ஹில்பர்ட் உருமாற்றம் வரம்புக்குட்பட்டதாக இருக்கும் எடைகளை விவரிக்கிறது மற்றும் பன்மடங்கு இடைவெளிகளில் அதிகபட்ச ஆபரேட்டர் ஒரு பன்மடங்கு இடைவெளிகளையும் வரையறுக்கலாம் திசையன்-மதிப்புள்ள இடைவெளிகள் ஒரு அளவீட்டு இடம் மற்றும் உள்ளூரில் குவிந்த இடைவெளி (இங்கே முழுமையானதாகக் கருதப்படுகிறது) கொடுக்கப்பட்டால், ஒருங்கிணைந்த-மதிப்புள்ள செயல்பாடுகளின் இடைவெளிகளை பல வழிகளில் வரையறுக்க முடியும். ஒரு வழி என்னவென்றால், போச்னர் ஒருங்கிணைந்த மற்றும் பெட்டிஸ் ஒருங்கிணைந்த செயல்பாடுகளின் இடைவெளிகளை வரையறுத்து, பின்னர் அவர்களுக்கு உள்ளூரில் குவிந்த டிவிஎஸ்-இடவமைப்புகளை வழங்குவதாகும், அவை (ஒவ்வொன்றும் அவற்றின் சொந்த வழியில்) வழக்கமான இடவியலின் இயற்கையான பொதுமைப்படுத்தல் ஆகும். மற்றொரு வழி வெக்டர் ஸ்பேஸின் எலிமென்ட் கொண்ட டோபோலாஜிக்கல் டென்சர் தயாரிப்புகளை உள்ளடக்கியது எளிய டென்சர்களின் வரையறுக்கப்பட்ட கூட்டுத்தொகையாகும், அங்கு ஒவ்வொரு எளிய டென்சர் அனுப்பும் செயல்பாட்டுடன் அடையாளம் காணப்படலாம் இந்த டென்சர் தயாரிப்பு பின்னர் அதை ஒரு டோபோலாஜிக்கல் டென்சர் தயாரிப்பாக மாற்றும் உள்ளூரில் குவிந்த இடவியல் மூலம் வழங்கப்படுகிறது, அவற்றில் மிகவும் பொதுவானவை ப்ரொஜெக்டிவ் டென்சர் தயாரிப்பு, மற்றும் இன்ஜெக்டிவ் டென்சர் தயாரிப்பு, பொதுவாக குறிக்கப்படுகின்றன. அலெக்சாண்டர் கிரோதெண்டிக் ஒரு அணு விண்வெளி (அவர் அறிமுகப்படுத்திய ஒரு கருத்து) என்றால், இந்த இரண்டு கட்டமைப்புகளும் முறையே, போச்னர் மற்றும் பெட்டிஸ் ஒருங்கிணைந்த செயல்பாடுகளின் இடைவெளிகளுடன் முறையே டிவிஎஸ்-ஐசோமார்பிக் என்று காட்டியது; சுருக்கமாக, அவை பிரித்தறிய முடியாதவை. குறிப்புகள் குறிப்புகளையும் பார்க்கவும். . . . . . வெளிப்புற இணைப்புகள் Lp இடைவெளிகள் முழுமையான பானாச் இடைவெளிகள் செயல்பாட்டு இடைவெளிகள் என்பதற்கான சான்று கணிதத் தொடர் அளவீட்டுக் கோட்பாடு வரையறுக்கப்பட்ட இடைவெளிகள் Lp இடைவெளிகள்