Monotonic function
கணிதத்தில், ஒரு மோனோடோனிக் செயல்பாடு (அல்லது மோனோடோன் செயல்பாடு) என்பது கொடுக்கப்பட்ட வரிசையைப் பாதுகாக்கும் அல்லது மாற்றியமைக்கும் வரிசைப்படுத்தப்பட்ட தொகுப்புகளுக்கு இடையிலான செயல்பாடு ஆகும். இந்த கருத்து முதலில் கால்குலஸில் உருவானது, பின்னர் வரிசைக் கோட்பாட்டின் மிகவும் சுருக்கமான அமைப்புக்கு பொதுமைப்படுத்தப்பட்டது. கால்குலஸ் மற்றும் பகுப்பாய்வில், உண்மையான மதிப்புகளுடன் கூடிய உண்மையான எண்களின் துணைக்குழுவில் வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு செயல்பாடு, அது முற்றிலும் அதிகரிக்காததாகவோ அல்லது முற்றிலும் குறையாததாகவோ இருந்தால் மட்டுமே மோனோடோனிக் என்று அழைக்கப்படுகிறது. அதாவது, படத்தின்படி. 1, சலிப்பாக அதிகரிக்கும் ஒரு செயல்பாடு பிரத்தியேகமாக அதிகரிக்க வேண்டியதில்லை, அது வெறுமனே குறையக்கூடாது. ஒரு செயல்பாடு மோனோடோனிக்கலாக அதிகரிக்கும் (மேலும் அதிகரிக்கும் அல்லது குறையாதது) என்று அழைக்கப்படுகிறது, அனைவருக்கும் மற்றும் ஒருவரிடம் இருந்தால், எனவே வரிசையைப் பாதுகாக்கிறது (படம் 1 ஐப் பார்க்கவும்). அதேபோல், ஒரு செயல்பாடு, எப்போது வேண்டுமானாலும், அது வரிசையை மாற்றியமைத்தால் (படம் 2 ஐப் பார்க்கவும்) ஒரே மாதிரியாகக் குறைகிறது (குறைகிறது அல்லது அதிகரிக்கவில்லை) என்று அழைக்கப்படுகிறது. மோனோடோனிசிட்டி வரையறையில் உள்ள வரிசை கடுமையான வரிசையால் மாற்றப்பட்டால், ஒருவர் வலுவான தேவையைப் பெறுகிறார். இந்த பண்பு கொண்ட ஒரு செயல்பாடு கண்டிப்பாக அதிகரிக்கும் (மேலும் அதிகரிக்கும்) என்று அழைக்கப்படுகிறது. மீண்டும், வரிசை சின்னத்தை தலைகீழாக மாற்றுவதன் மூலம், கண்டிப்பாக குறைவது (குறைவதும்) என்று அழைக்கப்படும் ஒரு தொடர்புடைய கருத்தை ஒருவர் காண்கிறார். இரண்டு பண்புகளையும் கொண்ட ஒரு செயல்பாடு கண்டிப்பாக மோனோடோன் என்று அழைக்கப்படுகிறது. கண்டிப்பாக மோனோடோன் கொண்ட செயல்பாடுகள் ஒன்றுக்கு ஒன்று (ஏனென்றால், மோனோடோனிசிட்டி மூலம், ஒன்று அல்லது அதற்கு சமமாக இல்லை, அல்லது, எனவே.) தெளிவின்மையைத் தவிர்க்க, பலவீனமான மோனோடோன், பலவீனமாக அதிகரிப்பது மற்றும் பலவீனமாக குறைவது ஆகிய சொற்கள் பெரும்பாலும் கடுமையான மோனோடோனிசிட்டியைக் குறிக்கப் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. "குறையாதது" மற்றும் "அதிகரிக்காதது" என்ற சொற்கள் (மிகவும் பலவீனமான) எதிர்மறை தகுதிகளான "குறையாதது" மற்றும் "அதிகரிக்காதது" ஆகியவற்றுடன் குழப்பமடையக்கூடாது. எடுத்துக்காட்டாக, படம் 3 இல் காட்டப்பட்டுள்ள மோனோடோனிக் அல்லாத செயல்பாடு முதலில் விழுகிறது, பின்னர் உயர்கிறது, பின்னர் மீண்டும் விழுகிறது. எனவே இது குறையவோ அதிகரிக்கவோ இல்லை, ஆனால் அது குறையவோ அதிகரிக்கவோ இல்லை. இடைவேளையின் அனைத்து புள்ளிகளிலும் அனைத்து வரிசைகளின் வழித்தோன்றல்களும் எதிர்மறை அல்லாதவை அல்லது அனைத்து நேர்மறை அல்லாதவை என்றால் ஒரு செயல்பாடு ஒரு இடைவெளியில் முற்றிலும் மோனோடோனிக் என்று கூறப்படுகிறது. செயல்பாட்டின் தலைகீழ் அனைத்து கண்டிப்பாக மோனோடோனிக் செயல்பாடுகளும் தலைகீழாக இருக்கும், ஏனெனில் அவை அவற்றின் வரம்பிலிருந்து அவற்றின் களத்திற்கு ஒருவருக்கொருவர் வரைபடம் இருப்பதை உறுதி செய்கின்றன. இருப்பினும், பலவீனமாக மோனோடோன் மட்டுமே இருக்கும் செயல்பாடுகள் தலைகீழாக இருக்காது, ஏனெனில் அவை சில இடைவெளியில் நிலையானவை (எனவே ஒன்றுக்கு ஒன்று அல்ல). ஒரு செயல்பாடு வரையறுக்கப்பட்ட மதிப்புகளின் வரம்பிற்கு மேல் கண்டிப்பாக மோனோடோனிக் ஆக இருக்கலாம், எனவே அது எல்லா இடங்களிலும் கண்டிப்பாக மோனோடோனிக் அல்ல என்றாலும் அந்த வரம்பில் தலைகீழாக இருக்கலாம். எடுத்துக்காட்டாக, வரம்பில் கண்டிப்பாக அதிகரித்தால், அது வரம்பில் ஒரு தலைகீழ் உள்ளது. மோனோடோனிக் என்ற சொல் சில நேரங்களில் கண்டிப்பாக மோனோடோனிக் என்பதற்கு பதிலாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது, எனவே அனைத்து மோனோடோனிக் செயல்பாடுகளும் உண்மையில் அனைத்து கண்டிப்பாக மோனோடோனிக் செயல்பாடுகளும் தலைகீழாக இருக்கும்போது அவை தலைகீழாக இருக்கும் என்று ஒரு ஆதாரம் கூறலாம். மோனோடோனிக் மாற்றம் மோனோடோனிக் மாற்றம் (அல்லது மோனோடோன் மாற்றம்) என்ற சொல் குழப்பத்தை ஏற்படுத்தலாம், ஏனெனில் இது கண்டிப்பாக அதிகரிக்கும் செயல்பாட்டின் மூலம் ஒரு மாற்றத்தைக் குறிக்கிறது. பொருளாதாரத்தில் இது ஒரு பயன்பாட்டு செயல்பாட்டின் வரிசை பண்புகளைப் பொறுத்தவரை ஒரு மோனோடோனிக் உருமாற்றத்தின் குறுக்கே பாதுகாக்கப்படுகிறது (மோனோடோன் விருப்பங்களையும் பார்க்கவும்). இந்த சூழலில், "மோனோடோனிக் மாற்றம்" என்ற சொல் ஒரு நேர்மறை மோனோடோனிக் மாற்றத்தைக் குறிக்கிறது, மேலும் இது எண்களின் வரிசையை மாற்றியமைக்கும் "எதிர்மறை மோனோடோனிக் மாற்றத்திலிருந்து" வேறுபடுத்துவதை நோக்கமாகக் கொண்டுள்ளது. சில அடிப்படை பயன்பாடுகள் மற்றும் முடிவுகள் ஒரு மோனோடோனிக் செயல்பாட்டிற்கு பின்வரும் பண்புகள் சரியானவைஃ அதன் களத்தின் ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் வலது மற்றும் இடதுபுறத்தில் இருந்து வரம்புகளைக் கொண்டுள்ளது; ஒரு உண்மையான எண்ணின் நேர்மறை அல்லது எதிர்மறை முடிவிலி () இல் வரம்பைக் கொண்டுள்ளது, அல்லது. ஜம்ப் இடைநிறுத்தங்களை மட்டுமே கொண்டிருக்கலாம்; அதன் களத்தில் எண்ணற்ற பல இடைநிறுத்தங்களை மட்டுமே கொண்டிருக்க முடியும். இருப்பினும், இடைநிறுத்தங்கள் தனிமைப்படுத்தப்பட்ட புள்ளிகளைக் கொண்டிருக்க வேண்டிய அவசியமில்லை, மேலும் ஒரு இடைவெளியில் (a, b) அடர்த்தியாக கூட இருக்கலாம். எடுத்துக்காட்டாக, நேர்மறை எண்களின் எந்தவொரு கூட்டுத்தொகை வரிசைக்கும் மற்றும் விகிதமுறு எண்களின் எந்தவொரு கணக்கீட்டிற்கும், ஒரே மாதிரியாக அதிகரிக்கும் செயல்பாடு ஒவ்வொரு விகிதமுறு எண்ணிலும் (cf. படம்). இது விகிதமுறு எண்களின் மீது தனித்துவமான அளவின் ஒட்டுமொத்த விநியோக செயல்பாடாகும், இதன் எடை எங்கே? பகுப்பாய்வில் தொழில்நுட்ப வேலைகளில் மோனோடோனிக் செயல்பாடுகள் பயனுள்ளதாக இருப்பதற்கு இந்த பண்புகள்தான் காரணம். இந்த செயல்பாடுகளின் பிற முக்கிய பண்புகள் பின்வருமாறுஃ ஒரு இடைவெளியில் வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு மோனோடோனிக் செயல்பாடு என்றால், கிட்டத்தட்ட எல்லா இடங்களிலும் வேறுபடுத்தக்கூடியது; அதாவது. லெபெஸ்கூ அளவீட்டு பூஜ்ஜியத்தில் வேறுபடுத்த முடியாத எண்களின் தொகுப்பு உள்ளது. கூடுதலாக, இந்த முடிவை எண்ணக்கூடியதாக மேம்படுத்த முடியாதுஃ கேன்டர் செயல்பாட்டைப் பார்க்கவும். இந்த தொகுப்பு கணக்கிடக்கூடியதாக இருந்தால், ஒரு இடைவெளியில் வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு மோனோடோனிக் செயல்பாடு என்றால் முற்றிலும் தொடர்ச்சியானது, பின்னர் ரீமன் ஒருங்கிணைந்ததாகும். மோனோடோனிக் செயல்பாடுகளின் ஒரு முக்கியமான பயன்பாடு நிகழ்தகவு கோட்பாட்டில் உள்ளது. ஒரு சீரற்ற மாறி என்றால், அதன் ஒட்டுமொத்த விநியோக செயல்பாடு ஒரு சலிப்பான முறையில் அதிகரிக்கும் செயல்பாடாகும். ஒரு செயல்பாடு ஒரு புள்ளிக்கு (முறை) ஒரே மாதிரியாக அதிகரித்து பின்னர் ஒரே மாதிரியாகக் குறைந்துவிட்டால் அது ஒரே மாதிரியாக இருக்கும். கண்டிப்பாக மோனோடோனிக் செயல்பாடு எப்போது, அதன் களத்தில் உட்செலுத்தப்படுகிறது, மற்றும் வரம்பு என்றால், பின்னர் ஒரு தலைகீழ் செயல்பாடு உள்ளது. இதற்கு மாறாக, ஒவ்வொரு நிலையான செயல்பாடும் மோனோடோனிக், ஆனால் ஊசி அல்ல, எனவே ஒரு தலைகீழ் இருக்க முடியாது. கிராஃபிக் ஆறு மோனோடோனிக் செயல்பாடுகளைக் காட்டுகிறது. அவற்றின் எளிய வடிவங்கள் வரைபடப் பகுதியில் காட்டப்பட்டுள்ளன, மேலும் அவற்றை உருவாக்கப் பயன்படுத்தப்படும் வெளிப்பாடுகள் y-அச்சில் காட்டப்பட்டுள்ளன. இடவியலில் ஒரு வரைபடம் அதன் ஒவ்வொரு இழைகளும் இணைக்கப்பட்டிருந்தால் மோனோடோன் என்று கூறப்படுகிறது; அதாவது, ஒவ்வொரு உறுப்புக்கும் (காலியாக இருக்கலாம்) தொகுப்பு செயல்பாட்டு பகுப்பாய்வில், ஒரு இடவியல் திசையன் இடத்தில் செயல்பாட்டு பகுப்பாய்வில், கச்சுரோவ்ஸ்கியின் தேற்றம் பானாச் இடங்களில் குவிந்த செயல்பாடுகள் மோனோடோனிக் ஆபரேட்டர்களை அவற்றின் வழித்தோன்றல்களாக கொண்டிருப்பதைக் காட்டினால், ஒரு (நேரியல் அல்லாத) ஆபரேட்டர் ஒரு மோனோடோன் ஆபரேட்டர் என்று கூறப்படுகிறது. செட் சேர்ப்பின் அர்த்தத்தில் அனைத்து மோனோடோன் செட்களிலும் அதிகபட்சமாக இருந்தால், ஒவ்வொரு ஜோடிக்கும் அதிகபட்ச மோனோடோன் செட் என்று கூறப்பட்டால், ஒரு துணைக்குழு ஒரு மோனோடோன் செட் என்று கூறப்படுகிறது. ஒரு மோனோடோன் இயக்கியின் வரைபடம் ஒரு மோனோடோன் தொகுப்பாகும். ஒரு மோனோடோன் இயக்குபவர் அதன் வரைபடம் அதிகபட்ச மோனோடோன் தொகுப்பாக இருந்தால் அதிகபட்ச மோனோடோன் என்று கூறப்படுகிறது. வரிசைக் கோட்பாட்டில் வரிசைக் கோட்பாடு தன்னிச்சையான ஓரளவு வரிசைப்படுத்தப்பட்ட தொகுப்புகள் மற்றும் முன்கூட்டியே வரிசைப்படுத்தப்பட்ட தொகுப்புகளை உண்மையான எண்களின் பொதுமைப்படுத்தலாகக் கையாள்கிறது. மோனோடோனிசிட்டியின் மேற்கண்ட வரையறை இந்த நிகழ்வுகளிலும் பொருத்தமானது. இருப்பினும், "அதிகரித்து" மற்றும் "குறைந்து" என்ற சொற்கள் தவிர்க்கப்படுகின்றன, ஏனெனில் அவற்றின் வழக்கமான சித்திர பிரதிநிதித்துவம் மொத்தமாக இல்லாத வரிசைகளுக்கு பொருந்தாது. மேலும், கடுமையான உறவுகள் மற்றும் பல மொத்தமற்ற வரிசைகளில் சிறிய பயன்பாட்டைக் கொண்டுள்ளன, எனவே அவற்றுக்கு கூடுதல் சொற்கள் எதுவும் அறிமுகப்படுத்தப்படவில்லை. ஐசோடோன் என்றும் அழைக்கப்படும் ஒரு மோனோடோன் செயல்பாட்டின், ஓரளவு வரிசைப்படுத்தப்பட்ட தொகுப்பின் பகுதி வரிசை உறவை குறிக்கிறது, அல்லது, அனைவருக்கும் மற்றும் அதன் களத்தில் உள்ள பண்புகளை திருப்திப்படுத்துகிறது. இரண்டு மோனோடோன் வரைபடங்களின் கலவையும் மோனோடோன் ஆகும். இரட்டைக் கருத்து பெரும்பாலும் ஆன்டிடோன், ஆன்டி-மோனோடோன் அல்லது ஆர்டர்-ரிவர்சிங் என்று அழைக்கப்படுகிறது. எனவே, ஒரு ஆன்டிடோன் செயல்பாடு அனைவருக்கும் மற்றும் அதன் களத்தில் உள்ள பண்புகளை திருப்திப்படுத்துகிறது. ஒரு நிலையான செயல்பாடு மோனோடோன் மற்றும் ஆன்டிடோன் ஆகும்; இதற்கு நேர்மாறாக, மோனோடோன் மற்றும் ஆன்டிடோன் இரண்டும் இருந்தால், மற்றும் களம் ஒரு லட்டிஸ் என்றால், பின்னர் நிலையானதாக இருக்க வேண்டும். மோனோடோன் செயல்பாடுகள் வரிசை கோட்பாட்டில் மையமாக உள்ளன. அவை இந்த விஷயத்தில் பெரும்பாலான கட்டுரைகளில் தோன்றும் மற்றும் சிறப்பு பயன்பாடுகளின் எடுத்துக்காட்டுகள் இந்த இடங்களில் காணப்படுகின்றன. சில குறிப்பிடத்தக்க சிறப்பு மோனோடோன் செயல்பாடுகள் வரிசை உட்பொதிப்புகள் (செயல்பாடுகள் என்றால் மற்றும் ஐசோமார்பிசம்களை வரிசைப்படுத்தினால் மட்டுமே (சர்ஜெக்டிவ் வரிசை உட்பொதிப்புகள்). தேடல் வழிமுறைகளின் சூழலில் தேடல் வழிமுறைகளின் சூழலில் மோனோடோனிசிட்டி (நிலைத்தன்மை என்றும் அழைக்கப்படுகிறது) என்பது ஹூரிஸ்டிக் செயல்பாடுகளுக்கு பயன்படுத்தப்படும் ஒரு நிபந்தனையாகும். ஒவ்வொரு முனைக்கும், எந்தவொரு செயலாலும் உருவாக்கப்பட்ட ஒவ்வொரு வாரிசுக்கும், இலக்கை அடைவதற்கான மதிப்பிடப்பட்ட செலவு, இலக்கை அடைவதற்கான படி செலவு மற்றும் இலக்கை அடைவதற்கான மதிப்பிடப்பட்ட செலவை விட அதிகமாக இல்லாவிட்டால், ஒரு ஹூரிஸ்டிக் மோனோடோனிக் ஆகும், இது முக்கோண சமத்துவமின்மையின் ஒரு வடிவம், உடன், மற்றும் இலக்கை நெருங்குகிறது. ஒவ்வொரு மோனோடோனிக் ஹூரிஸ்டிக்கும் ஏற்றுக்கொள்ளத்தக்கது என்பதால், மோனோடோனிசிட்டி என்பது ஏற்றுக்கொள்ளக்கூடிய தன்மையை விட கடுமையான தேவையாகும். A * போன்ற சில ஹூரிஸ்டிக் வழிமுறைகள் உகந்தவை என்று நிரூபிக்க முடியும், அவை பயன்படுத்தும் ஹூரிஸ்டிக் மோனோடோனிக் ஆகும். பூலியன் செயல்பாடுகளில் பூலியன் இயற்கணிதத்தில், ஒரு மோனோடோனிக் செயல்பாடு என்பது அனைவருக்கும் மற்றும், என்றால்,,., (அதாவது. கார்ட்டீசியன் தயாரிப்பு ஒருங்கிணைந்த திசையில் வரிசைப்படுத்தப்படுகிறது), பின்னர். வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், ஒரு பூலியன் செயல்பாடு மோனோடோனிக் ஆகும், ஒவ்வொரு உள்ளீடுகளின் கலவையிலும், உள்ளீடுகளில் ஒன்றை பொய்யானதிலிருந்து உண்மைக்கு மாற்றுவது வெளியீட்டை பொய்யானதிலிருந்து உண்மைக்கு மாற்றும் மற்றும் உண்மையிலிருந்து பொய்யானதற்கு மாறாது. வரைபட ரீதியாக, இதன் பொருள் என்னவென்றால், ஒரு-ஆரி பூலியன் செயல்பாடு உண்மை மதிப்புகளுடன் பெயரிடப்பட்ட ஒரு-கனசதுரமாக அதன் பிரதிநிதித்துவம் உண்மை முதல் பொய் வரை மேல்நோக்கிய விளிம்பைக் கொண்டிருக்கவில்லை. (இந்த பெயரிடப்பட்ட ஹாஸ் வரைபடம் செயல்பாட்டின் பெயரிடப்பட்ட வென் வரைபடத்தின் இரட்டை ஆகும், இது மிகவும் பொதுவான பிரதிநிதித்துவமாகும். மோனோடோனிக் பூலியன் செயல்பாடுகள் துல்லியமாக ஆபரேட்டர்கள் மற்றும் அல்லது (குறிப்பாக தடைசெய்யப்படவில்லை) மட்டுமே பயன்படுத்தி உள்ளீடுகளை (இது ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட முறை தோன்றலாம்) இணைக்கும் ஒரு வெளிப்பாட்டின் மூலம் வரையறுக்க முடியும். உதாரணமாக, "குறைந்தது இரண்டு,, ஹோல்ட்" என்பது,, இன் மோனோடோனிக் செயல்பாடாகும், ஏனெனில் இது எடுத்துக்காட்டாக (மற்றும்) அல்லது (மற்றும்) அல்லது (மற்றும்) என எழுதப்படலாம். மாறிகளில் இத்தகைய செயல்பாடுகளின் எண்ணிக்கை டெடெக்கிண்ட் எண் என்று அழைக்கப்படுகிறது. மோனோடோன் கன இடைக்கணிப்பு சூடோ-மோனோடோன் ஆபரேட்டர் ஸ்பியர்மேனின் தரவரிசை தொடர்பு குணகம்-தரவுகளின் தொகுப்பில் மோனோடோனிசிட்டியின் அளவீடு மொத்த மோனோடோனிசிட்டி சுழற்சி மோனோடோனிசிட்டி ஆபரேட்டர் மோனோடோன் செட் செயல்பாடு குறிப்புகள் நூலியல் (வரையறை 9.31) வெளிப்புற இணைப்புகள் அனிக் தேப்நாத் மற்றும் தாமஸ் ரோக்ஸ்லோ (தி ஹார்கர் ஸ்கூல்) ஆகியோரின் மோனோடோனிக் வரிசையின் ஒருங்கிணைப்பு, வொல்ப்ராம் செயல்விளக்க திட்டம். செயல்பாட்டு பகுப்பாய்வு வரிசை கோட்பாடு உண்மையான பகுப்பாய்வு செயல்பாடுகளின் வகைகள்