Itô calculus
கியோசி இட்டோவின் பெயரால் பெயரிடப்பட்ட இட்டோ கால்குலஸ், கால்குலஸின் முறைகளை பிரவுனியன் இயக்கம் போன்ற சீரற்ற செயல்முறைகளுக்கு விரிவுபடுத்துகிறது (வீனர் செயல்முறையைப் பார்க்கவும்). இது கணித நிதி மற்றும் சீரற்ற வேறுபாடு சமன்பாடுகளில் முக்கியமான பயன்பாடுகளைக் கொண்டுள்ளது. மையக் கருத்து இட்டோ சீரற்ற ஒருங்கிணைப்பாகும், இது பகுப்பாய்வில் ரீமன்-ஸ்டீல்ட்ஜெஸ் ஒருங்கிணைப்பின் சீரற்ற பொதுமைப்படுத்தலாகும். ஒருங்கிணைப்புகள் மற்றும் ஒருங்கிணைப்பாளர்கள் இப்போது சீரற்ற செயல்முறைகளாக உள்ளனஃ இங்கு H என்பது X ஆல் உருவாக்கப்படும் வடிகட்டலுக்கு ஏற்றவாறு உள்ளூரில் சதுர-ஒருங்கிணைந்த செயல்முறையாகும், இது ஒரு பிரவுனியன் இயக்கம் அல்லது, பொதுவாக, ஒரு செமிமார்டிங்கேல் ஆகும். ஒருங்கிணைப்பின் விளைவாக மற்றொரு சீரற்ற செயல்முறை உள்ளது. குறிப்பாக, 0 முதல் எந்தவொரு குறிப்பிட்ட t வரையிலான ஒருங்கிணைப்பு ஒரு சீரற்ற மாறி, இது சீரற்ற மாறிகளின் ஒரு குறிப்பிட்ட வரிசையின் வரம்பாக வரையறுக்கப்படுகிறது. பிரவுனியன் இயக்கத்தின் பாதைகள் கால்குலஸின் நிலையான நுட்பங்களைப் பயன்படுத்துவதற்கான தேவைகளைப் பூர்த்தி செய்யத் தவறிவிடுகின்றன. எனவே ஒருங்கிணைப்பு ஒரு சீரற்ற செயல்முறையுடன், இட்டோ சீரற்ற ஒருங்கிணைப்பு ஒரு செயல்பாட்டைப் பொறுத்தவரை ஒரு ஒருங்கிணைப்புக்கு சமம், இது எந்த நேரத்திலும் வேறுபடுத்த முடியாதது மற்றும் ஒவ்வொரு நேர இடைவெளியிலும் எல்லையற்ற மாறுபாட்டைக் கொண்டுள்ளது. முக்கிய நுண்ணறிவு என்னவென்றால், ஒருங்கிணைந்த எச் தழுவியிருக்கும் வரை ஒருங்கிணைப்பை வரையறுக்க முடியும், இது தளர்வாக பேசுவது என்பது நேரம் t இல் அதன் மதிப்பு இந்த நேரம் வரை கிடைக்கக்கூடிய தகவல்களை மட்டுமே சார்ந்திருக்க முடியும் என்பதாகும். தோராயமாகப் பார்த்தால், ஒருவர் 0 முதல் t வரையிலான இடைவெளியின் பகிர்வுகளின் வரிசையைத் தேர்ந்தெடுத்து ரீமன் தொகைகளை உருவாக்குகிறார். ஒவ்வொரு முறையும் நாம் ஒரு ரீமன் கூட்டுத்தொகையை கணக்கிடும்போது, ஒருங்கிணைப்பாளரின் ஒரு குறிப்பிட்ட இன்ஸ்டன்டேஷனை பயன்படுத்துகிறோம். செயல்பாட்டின் மதிப்பைக் கணக்கிட ஒவ்வொரு சிறிய இடைவெளியிலும் எந்த புள்ளி பயன்படுத்தப்படுகிறது என்பது முக்கியம். பகிர்வின் கண்ணி பூஜ்ஜியத்திற்குச் செல்வதால் வரம்பு நிகழ்தகவில் எடுக்கப்படுகிறது. இந்த வரம்பு உள்ளது மற்றும் பகிர்வுகளின் குறிப்பிட்ட வரிசையிலிருந்து சுயாதீனமாக உள்ளது என்பதைக் காட்ட ஏராளமான தொழில்நுட்ப விவரங்களை கவனித்துக் கொள்ள வேண்டும். பொதுவாக, இடைவெளியின் இடது முனை பயன்படுத்தப்படுகிறது. இட்டோ கால்குலஸின் முக்கியமான முடிவுகளில் பாகங்கள் சூத்திரம் மற்றும் இட்டோவின் லெம்மா மூலம் ஒருங்கிணைப்பு அடங்கும், இது மாறிகள் சூத்திரத்தின் மாற்றமாகும். இருபடி மாறுபாடு சொற்கள் காரணமாக இவை நிலையான கால்குலஸின் சூத்திரங்களிலிருந்து வேறுபடுகின்றன. கணித நிதியில், ஒருங்கிணைப்பின் விவரிக்கப்பட்ட மதிப்பீட்டு மூலோபாயம் முதலில் என்ன செய்வது என்பதை தீர்மானிப்பதாகவும், பின்னர் விலைகளில் ஏற்படும் மாற்றத்தைக் கவனிப்பதாகவும் கருதப்படுகிறது. ஒருங்கிணைப்பு என்பது நாம் வைத்திருக்கும் எவ்வளவு பங்கு, ஒருங்கிணைப்பாளர் விலைகளின் இயக்கத்தைக் குறிக்கிறது, மேலும் ஒருங்கிணைப்பு என்பது எந்த நேரத்திலும் நமது பங்கு மதிப்பு உட்பட மொத்தம் எவ்வளவு பணம் உள்ளது. பங்குகள் மற்றும் பிற வர்த்தக நிதி சொத்துக்களின் விலைகள் பிரவுனியன் இயக்கம் அல்லது, பெரும்பாலும், வடிவியல் பிரவுனியன் இயக்கம் (பிளாக்-ஷோல்ஸ் பார்க்கவும்) போன்ற சீரற்ற செயல்முறைகளால் மாதிரியாக இருக்கலாம். பின்னர், இட்டோ சீரற்ற ஒருங்கிணைப்பு என்பது ஒரு தொடர்ச்சியான நேர வர்த்தக மூலோபாயத்தின் கொடுப்பனவைக் குறிக்கிறது, இது நேரம் t இல் பங்கின் Ht தொகையை வைத்திருப்பதைக் கொண்டுள்ளது. இந்த சூழ்நிலையில், H மாற்றியமைக்கப்பட வேண்டும் என்ற நிபந்தனை வர்த்தக மூலோபாயம் எந்த நேரத்திலும் கிடைக்கக்கூடிய தகவல்களை மட்டுமே பயன்படுத்த முடியும் என்பதற்கான தேவையான கட்டுப்பாட்டிற்கு ஒத்திருக்கிறது. இது தெளிவான பார்வை மூலம் வரம்பற்ற ஆதாயங்களின் சாத்தியத்தைத் தடுக்கிறதுஃ சந்தையில் ஒவ்வொரு உயர்வுக்கும் சற்று முன்பு பங்குகளை வாங்குவது மற்றும் ஒவ்வொரு வீழ்ச்சிக்கும் முன் விற்பனை செய்வது. இதேபோல், எச் தழுவிய நிபந்தனை ரீமன் தொகைகளின் வரம்பாக கணக்கிடப்படும்போது சீரற்ற ஒருங்கிணைப்பு வேறுபடாது என்பதைக் குறிக்கிறது. குறிப்பு முன்பு வரையறுக்கப்பட்ட செயல்முறை Y என்பது நேர அளவுரு t உடன் ஒரு சீரற்ற செயல்முறையாகும், இது சில நேரங்களில் Y = H·X என்றும் எழுதப்படுகிறது. மாற்றாக, ஒருங்கிணைப்பு பெரும்பாலும் வேறுபட்ட வடிவத்தில் எழுதப்படுகிறது dY = H dX, இது Y − Y0 = H·X க்கு சமம். இட்டோ கால்குலஸ் தொடர்ச்சியான நேர சீரற்ற செயல்முறைகளுடன் தொடர்புடையது என்பதால், ஒரு அடிப்படை வடிகட்டப்பட்ட நிகழ்தகவு இடம் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது என்று கருதப்படுகிறது. σ-இயற்கணிதம் நேரம் t வரை கிடைக்கும் தகவல்களைக் குறிக்கிறது, மேலும் Xt-அளவிடக்கூடியதாக இருந்தால் ஒரு செயல்முறை X மாற்றியமைக்கப்படுகிறது. ஒரு பிரவுனியன் இயக்கம் B என்பது ஒரு-பிரவுனியன் இயக்கம் என்று புரிந்து கொள்ளப்படுகிறது, இது ஒரு நிலையான பிரவுனியன் இயக்கமாகும், இது Bt என்பது-அளவிடக்கூடியது மற்றும் Bt + s − Bt அனைத்து s க்கும் சுயாதீனமாக உள்ளது, t ≤ 0. பிரவுனியன் இயக்கத்தைப் பொறுத்தவரை ஒருங்கிணைப்பு இட்டோ ஒருங்கிணைப்பை ரீமன்-ஸ்டீல்ட்ஜெஸ் ஒருங்கிணைப்பைப் போலவே வரையறுக்கலாம், இது ரீமன் தொகைகளின் நிகழ்தகவின் வரம்பாகும்; அத்தகைய வரம்பு பாதை வாரியாக இருக்க வேண்டிய அவசியமில்லை. பி என்பது ஒரு வீனர் செயல்முறை (பிரவுனியன் இயக்கம்) என்றும், எச் என்பது ஒரு வலது-தொடர்ச்சியான (சிஏடிஎல்ஏஜி), தழுவிய மற்றும் உள்ளூரில் வரையறுக்கப்பட்ட செயல்முறை என்றும் வைத்துக்கொள்வோம். மெஷ் பூஜ்ஜியத்திற்குச் செல்லும் [0, t] பகிர்வுகளின் வரிசையாக இருந்தால், B ஐப் பொறுத்தவரை H இன் ஐட்டோ ஒருங்கிணைப்பு நேரம் t வரை ஒரு சீரற்ற மாறி ஆகும். மார்ட்டிங்கேல் பிரதிநிதித்துவ கோட்பாடுகள் மற்றும் உள்ளூர் நேரங்கள் போன்ற சில பயன்பாடுகளுக்கு, தொடர்ச்சியற்ற செயல்முறைகளுக்கு ஒருங்கிணைப்பு தேவைப்படுகிறது. கணிக்கக்கூடிய செயல்முறைகள் மிகச்சிறிய வகுப்பை உருவாக்குகின்றன, அவை வரிசைகளின் வரம்புகளின் கீழ் மூடப்படுகின்றன மற்றும் அனைத்து தழுவிய இடது-தொடர்ச்சியான செயல்முறைகளையும் கொண்டுள்ளன. H என்பது எந்தவொரு முன்கணிக்கப்பட்ட செயல்முறையாக இருந்தால், ஒவ்வொரு t ≤ 0 க்கும், H இன் ஒருங்கிணைப்பு B ஐப் பொறுத்தவரை வரையறுக்கப்படலாம், மேலும் H என்பது B-ஒருங்கிணைந்ததாகக் கூறப்படுகிறது. அத்தகைய எந்தவொரு செயல்முறையும் இடது-தொடர்ச்சியான, தழுவிய மற்றும் உள்ளூரில் வரையறுக்கப்பட்ட செயல்முறைகளின் வரிசையால் தோராயமாக மதிப்பிடப்படலாம், அதாவது நிகழ்தகவு. பின்னர், இட்டோ ஒருங்கிணைப்பு என்பது, மீண்டும், வரம்பு நிகழ்தகவில் ஒன்றிணைவதைக் காட்ட முடியும். சீரற்ற ஒருங்கிணைப்பு ஐட்டோ ஐசோமெட்ரியை திருப்திப்படுத்துகிறது, இது எச் வரம்புக்குட்பட்டதாக இருக்கும்போது அல்லது பொதுவாக, வலது புறத்தில் உள்ள ஒருங்கிணைப்பு வரையறுக்கப்பட்டதாக இருக்கும்போது வைத்திருக்கிறது. ஒரு இட்டோ செயல்முறை ஒரு தழுவிய சீரற்ற செயல்முறையாக வரையறுக்கப்படுகிறது, இது பிரவுனியன் இயக்கத்தைப் பொறுத்தவரை ஒரு ஒருங்கிணைப்பின் கூட்டுத்தொகையாகவும், நேரத்தைப் பொறுத்தவரை ஒரு ஒருங்கிணைந்ததாகவும் வெளிப்படுத்தப்படலாம், இங்கே, பி என்பது ஒரு பிரவுனியன் இயக்கமாகும், மேலும் σ என்பது கணிக்கக்கூடிய பி-ஒருங்கிணைந்த செயல்முறையாகும், மேலும் μ கணிக்கக்கூடிய மற்றும் (லெபெஸ்க்யூ) ஒருங்கிணைந்ததாகும். அதாவது, ஒவ்வொரு டி-க்கும். தற்செயலான ஒருங்கிணைப்பை அத்தகைய ஐடோ செயல்முறைகளுக்கு நீட்டிக்க முடியும், இது உள்ளூரில் வரையறுக்கப்பட்ட மற்றும் கணிக்கக்கூடிய ஒருங்கிணைப்புகள் அனைத்திற்கும் வரையறுக்கப்படுகிறது. மேலும் பொதுவாக, Hσ பி-ஒருங்கிணைந்ததாகவும், Hμ லெபெஸ்கூ ஒருங்கிணைந்ததாகவும் இருக்க வேண்டும், இதனால் அத்தகைய கணிக்கக்கூடிய செயல்முறைகள் H எக்ஸ்-ஒருங்கிணைந்தவை என்று அழைக்கப்படுகின்றன. இட்டோ செயல்முறைகள் பற்றிய ஆய்வுக்கு ஒரு முக்கியமான முடிவு இட்டோவின் லெம்மா ஆகும். அதன் எளிமையான வடிவத்தில், மேலே விவரிக்கப்பட்டுள்ளபடி உண்மையான மற்றும் இட்டோ செயல்முறை எக்ஸ் இல் இரண்டு முறை தொடர்ச்சியாக வேறுபடுத்தக்கூடிய செயல்பாட்டிற்கு, இது f (X) என்பது ஒரு இட்டோ செயல்முறையை திருப்திப்படுத்துவதாகக் கூறுகிறது. இது நிலையான முடிவிலிருந்து வேறுபடுகிறது, ஏனெனில் f இன் இரண்டாவது வழித்தோன்றலை உள்ளடக்கிய கூடுதல் சொல், இது பிரவுனியன் இயக்கம் பூஜ்ஜியமற்ற இருபடி மாறுபாட்டைக் கொண்டுள்ளது என்ற பண்பிலிருந்து வருகிறது. ஒருங்கிணைப்பாளர்களாக செமிமார்டிங்கேல்ஸ் இட்டோ ஒருங்கிணைப்பு ஒரு செமிமார்டிங்கேல் எக்ஸ் ஐப் பொறுத்தவரை வரையறுக்கப்படுகிறது. இவை உள்ளூர் மார்டிங்கேல் எம் மற்றும் வரையறுக்கப்பட்ட மாறுபாடு செயல்முறை ஏ க்கு எக்ஸ் = எம் + ஏ என சிதைக்கக்கூடிய செயல்முறைகள் ஆகும். இத்தகைய செயல்முறைகளின் முக்கியமான எடுத்துக்காட்டுகளில் பிரவுனியன் இயக்கம், இது ஒரு மார்டிங்கேல் மற்றும் லெவி செயல்முறைகள் அடங்கும். ஒரு இடது தொடர்ச்சியான, உள்ளூரில் வரையறுக்கப்பட்ட மற்றும் தழுவிய செயல்முறைக்கு H ஒருங்கிணைந்த H·X உள்ளது, மேலும் ரீமன் தொகைகளின் வரம்பாக கணக்கிடப்படலாம். மெஷ் பூஜ்ஜியத்திற்குச் செல்லும் [0, t] பகிர்வுகளின் வரிசையாக πn இருக்கட்டும், இந்த வரம்பு நிகழ்தகவில் ஒருங்கிணைக்கிறது. இடது-தொடர்ச்சியான செயல்முறைகளின் சீரற்ற ஒருங்கிணைப்பு சீரற்ற கால்குலஸின் பெரும்பகுதியைப் படிக்க போதுமான பொதுவானது. எடுத்துக்காட்டாக, இட்டோவின் லெம்மாவின் பயன்பாடுகள், கிர்சனோவின் தேற்றம் வழியாக அளவீட்டு மாற்றங்கள் மற்றும் சீரற்ற வேறுபாடு சமன்பாடுகளின் ஆய்வுக்கு இது போதுமானது. இருப்பினும், மார்ட்டிங்கேல் பிரதிநிதித்துவ கோட்பாடுகள் மற்றும் உள்ளூர் நேரங்கள் போன்ற பிற முக்கியமான தலைப்புகளுக்கு இது போதுமானதாக இல்லை. ஒருங்கிணைப்பு அனைத்து கணிக்கக்கூடிய மற்றும் உள்ளூரில் வரம்புக்குட்பட்ட ஒருங்கிணைப்புகளுக்கும் ஒரு தனித்துவமான வழியில் விரிவடைகிறது, இது ஆதிக்கம் செலுத்தும் ஒருங்கிணைப்பு தேற்றத்தைக் கொண்டுள்ளது. அதாவது, உள்ளூரில் வரையறுக்கப்பட்ட செயல்முறை J க்கு Hn →; H மற்றும் |Hn | ≤ J என்றால், நிகழ்தகவு. இடது-தொடர்ச்சியிலிருந்து கணிக்கக்கூடிய ஒருங்கிணைப்புகளுக்கு நீட்டிப்பின் தனித்துவம் மோனோடோன் வகுப்பு லெம்மாவின் விளைவாகும். பொதுவாக, கணிக்கக்கூடிய செயல்முறை H உள்ளூரில் வரம்புக்குட்பட்டதாக இல்லாத சந்தர்ப்பங்களில் கூட சீரற்ற ஒருங்கிணைந்த H·X ஐ வரையறுக்க முடியும். K = 1/(1 + |H |) என்றால், K மற்றும் KH ஆகியவை வரம்புக்குட்பட்டவை. Y0 = 0 மற்றும் K·Y = (KH) · X ஆக இருந்தால் மட்டுமே, தற்செயலான H·X = Y உடன் H என்பது X-ஒருங்கிணைக்கக்கூடியது என்பதை சீரற்ற ஒருங்கிணைப்பின் தொடர்புத்திறன் குறிக்கிறது. எக்ஸ்-ஒருங்கிணைந்த செயல்முறைகளின் தொகுப்பு எல் (எக்ஸ்) ஆல் குறிக்கப்படுகிறது. பண்புகள் பின்வரும் பண்புகளை மற்றும் போன்ற படைப்புகளில் காணலாம்ஃ சீரற்ற ஒருங்கிணைப்பு என்பது ஒரு செட்லாக் செயல்முறையாகும். மேலும், இது ஒரு அரை சந்தைப்படுத்தல் ஆகும். சீரற்ற ஒருங்கிணைப்பின் இடைநிறுத்தங்கள் ஒருங்கிணைப்பாளரின் தாவல்கள் ஒருங்கிணைப்பால் பெருக்கப்படுவதன் மூலம் வழங்கப்படுகின்றன. ஒரு நேரத்தில் t இல் ஒரு காட்லாக் செயல்முறையின் குதிப்பு Xt − Xt− ஆகும், மேலும் இது பெரும்பாலும் ΔXt ஆல் குறிக்கப்படுகிறது. இந்த குறியீட்டின் மூலம், δ (H·X) = H δX. இதன் ஒரு குறிப்பிட்ட விளைவு என்னவென்றால், ஒரு தொடர்ச்சியான செயல்முறையைப் பொறுத்தவரை ஒருங்கிணைப்புகள் எப்போதும் தொடர்ச்சியானவை. கூட்டுறவு. ஜே, கே ஆகியவை கணிக்கக்கூடிய செயல்முறைகளாகவும், கே எக்ஸ்-ஒருங்கிணைந்ததாகவும் இருக்கட்டும். பின்னர், ஜே எக்ஸ் ஒருங்கிணைந்ததாக இருந்தால் மட்டுமே ஜே எக்ஸ் ஒருங்கிணைந்ததாக இருக்கும், இந்த விஷயத்தில் ஆதிக்கம் செலுத்தும் ஒருங்கிணைப்பு. Hn → H மற்றும் |Hn | ≤ J என்று வைத்துக்கொள்வோம், இங்கு J என்பது ஒரு X-ஒருங்கிணைந்த செயல்முறையாகும். பின்னர் Hn·X → H·X. ஒருங்கிணைப்பு ஒவ்வொரு நேரத்திலும் நிகழ்தகவில் உள்ளது. உண்மையில், இது நிகழ்தகவில் கச்சிதமான தொகுப்புகளில் ஒரே மாதிரியாக இணைகிறது. சீரற்ற ஒருங்கிணைப்பு இருபடி கோவேரியேஷன்களை எடுக்கும் செயல்பாட்டுடன் பயணிக்கிறது. X மற்றும் Y அரைமுனைமுனைவுகளாக இருந்தால், எந்த X-ஒருங்கிணைந்த செயல்முறையும் [X, Y]-ஒருங்கிணைந்ததாகவும், [H·X, Y] = H· [X, Y] ஆகவும் இருக்கும். இதன் விளைவாக, ஒரு தற்செயலான ஒருங்கிணைப்பின் இருபடி மாறுபாடு செயல்முறை ஒரு இருபடி மாறுபாடு செயல்முறையின் ஒருங்கிணைப்புக்கு சமம், பகுதிகளால் ஒருங்கிணைப்பு சாதாரண கால்குலஸைப் போலவே, பகுதிகளால் ஒருங்கிணைப்பு என்பது தற்செயலான கால்குலஸில் ஒரு முக்கியமான விளைவாகும். இட்டோ ஒருங்கிணைப்புக்கான பாகங்கள் மூலம் ஒருங்கிணைப்பு சூத்திரம் ஒரு இருபடி கோவேரியேஷன் காலத்தைச் சேர்ப்பதன் காரணமாக நிலையான முடிவிலிருந்து வேறுபடுகிறது. இந்த சொல் இட்டோ கால்குலஸ் பூஜ்ஜியமற்ற இருபடி மாறுபாட்டைக் கொண்ட செயல்முறைகளைக் கையாள்கிறது என்ற உண்மையிலிருந்து வருகிறது, இது எல்லையற்ற மாறுபாடு செயல்முறைகளுக்கு மட்டுமே நிகழ்கிறது (பிரவுனியன் இயக்கம் போன்றவை). எக்ஸ் மற்றும் ஒய் செமிமார்டிங்கேல்களாக இருந்தால், [எக்ஸ், ஒய்] என்பது இருபடி இணைமாற்ற செயல்முறையாகும். இதன் விளைவாக ரீமன்-ஸ்டீல்ட்ஜெஸ் ஒருங்கிணைப்புக்கான பாகங்கள் தேற்றத்தின் மூலம் ஒருங்கிணைப்பு ஒத்திருக்கிறது, ஆனால் கூடுதல் இருபடி மாறுபாடு சொல் உள்ளது. இட்டோவின் லெம்மா என்பது சங்கிலி விதி அல்லது மாறி சூத்திரத்தின் மாற்றத்தின் பதிப்பாகும், இது இட்டோ ஒருங்கிணைப்புக்கு பொருந்தும். இது தற்செயலான கால்குலஸில் மிகவும் சக்திவாய்ந்த மற்றும் அடிக்கடி பயன்படுத்தப்படும் கோட்பாடுகளில் ஒன்றாகும். தொடர்ச்சியான n-பரிமாண அரைமுனைப்பு X = (X1,., Xn) மற்றும் Rn முதல் R வரை இரண்டு முறை தொடர்ச்சியாக வேறுபடுத்தக்கூடிய செயல்பாடு f க்கு, இது f (X) ஒரு அரைமுனைப்பு என்றும், இது இருபடி இணைமாற்றத்தை [xi, xj] உள்ளடக்கிய சொல் காரணமாக நிலையான கால்குலஸில் பயன்படுத்தப்படும் சங்கிலி விதியிலிருந்து வேறுபடுகிறது என்றும் கூறுகிறது. இந்த சூத்திரத்தை வெளிப்படையான நேர-சார்புநிலையையும் பிற வழிகளிலும் சேர்க்க பொதுமைப்படுத்தலாம் (இட்டோவின் லெம்மாவைப் பார்க்கவும்). மார்ட்டிங்கேல் ஒருங்கிணைப்பாளர்கள் லோக்கல் மார்ட்டிங்கேல்ஸ் இட்டோ ஒருங்கிணைப்பின் ஒரு முக்கியமான பண்பு என்னவென்றால், அது உள்ளூர் மார்ட்டிங்கேல் சொத்தை பாதுகாக்கிறது. எம் ஒரு உள்ளூர் மார்டிங்கேல் மற்றும் எச் என்பது உள்நாட்டில் வரம்புக்குட்பட்ட கணிக்கக்கூடிய செயல்முறையாக இருந்தால், எச்எம் ஒரு உள்ளூர் மார்டிங்கேல் ஆகும். உள்ளூரில் வரையறுக்கப்படாத ஒருங்கிணைப்புகளுக்கு, H·M ஒரு உள்ளூர் மார்ட்டிங்கேல் அல்ல என்பதற்கான எடுத்துக்காட்டுகள் உள்ளன. இருப்பினும், எம் தொடர்ச்சியாக இல்லாதபோது மட்டுமே இது நிகழ முடியும். M ஒரு தொடர்ச்சியான லோக்கல் மார்டிங்கேல் என்றால், ஒவ்வொரு t க்கும் H·M எப்போதும் ஒரு லோக்கல் மார்டிங்கேலாக இருந்தால் மட்டுமே கணிக்கக்கூடிய செயல்முறை H என்பது M-ஒருங்கிணைந்ததாகும். தொடர்ச்சியற்ற உள்ளூர் மார்டிங்கேல் எம்-க்கான மிகவும் பொதுவான கூற்று என்னவென்றால், (எச்2· [எம்]) 1/2 உள்ளூரில் ஒருங்கிணைக்கக்கூடியதாக இருந்தால், எச்·எம் உள்ளது மற்றும் ஒரு உள்ளூர் மார்டிங்கேல் ஆகும். சதுர ஒருங்கிணைந்த மார்டிங்கேல்கள் வரம்புக்குட்பட்ட ஒருங்கிணைப்புகளுக்கு, இட்டோ சீரற்ற ஒருங்கிணைந்த சதுர ஒருங்கிணைந்த மார்டிங்கேல்களின் இடத்தை பாதுகாக்கிறது, இது காட்லாக் மார்டிங்கேல்கள் M இன் தொகுப்பாகும், அதாவது E [Mt2] அனைத்து t க்கும் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது. அத்தகைய சதுர ஒருங்கிணைந்த மார்டிங்கேல் M க்கு, இருபடி மாறுபாடு செயல்முறை [M] ஒருங்கிணைந்ததாகும், மேலும் இட்டோ ஐசோமெட்ரி இந்த சமத்துவம் பொதுவாக எந்த மார்டிங்கேல் M க்கும் உள்ளது என்று கூறுகிறது, அதாவது H2· [M] t ஒருங்கிணைந்ததாகும். ஐடோ ஐசோமெட்ரி பெரும்பாலும் சீரற்ற ஒருங்கிணைப்பின் கட்டுமானத்தில் ஒரு முக்கியமான படியாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது, H·M ஐ இந்த ஐசோமெட்ரியின் தனித்துவமான நீட்டிப்பாக வரையறுப்பதன் மூலம் ஒரு குறிப்பிட்ட வகை எளிய ஒருங்கிணைப்புகளிலிருந்து அனைத்து வரம்புக்குட்பட்ட மற்றும் கணிக்கக்கூடிய செயல்முறைகளுக்கும். பி-ஒருங்கிணைந்த மார்ட்டிங்கேல்கள் எந்தவொரு பி> 1 க்கும், மற்றும் வரம்புக்குட்பட்ட கணிக்கக்கூடிய ஒருங்கிணைப்புக்கு, சீரற்ற ஒருங்கிணைந்த பி-ஒருங்கிணைந்த மார்ட்டிங்கேல்களின் இடத்தை பாதுகாக்கிறது. இவை அனைத்து t க்கும் E (|Mt |p) வரையறுக்கப்பட்டவை போன்ற காட்லாக் மார்டிங்கேல்கள் ஆகும். இருப்பினும், p = 1 என்ற விஷயத்தில் இது எப்போதும் உண்மையாக இருக்காது. மார்ட்டிங்கேல்கள் அல்லாத மார்ட்டிங்கேல்களைப் பொறுத்தவரை வரம்புக்குட்பட்ட கணிக்கக்கூடிய செயல்முறைகளின் ஒருங்கிணைப்புகளுக்கு எடுத்துக்காட்டுகள் உள்ளன. ஒரு காட்லாக் செயல்முறை M இன் அதிகபட்ச செயல்முறை M * t = sups ≤ t |Ms | என எழுதப்படுகிறது. எந்தவொரு p ±1 மற்றும் வரம்புக்குட்பட்ட கணிக்கக்கூடிய ஒருங்கிணைப்புக்கும், ஸ்டோக்காஸ்டிக் ஒருங்கிணைப்பு காட்லாக் மார்டிங்கேல்ஸ் M இன் இடத்தை பாதுகாக்கிறது, அதாவது E [(M * t) p] அனைத்து t க்கும் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது. p> 1 என்றால் இது p-ஒருங்கிணைந்த மார்டிங்கேல்களின் இடத்தைப் போலவே இருக்கும், டூப்பின் ஏற்றத்தாழ்வுகளால். பர்க்ஹோல்டர்-டேவிஸ்-குண்டி ஏற்றத்தாழ்வுகள், கொடுக்கப்பட்ட எந்த p ≤ 1 க்கும், நேர்மறை மாறிலிகள் c, C உள்ளன, அவை p ஐ சார்ந்துள்ளன, ஆனால் M அல்லது t ஐ சார்ந்து இல்லை, அதாவது அனைத்து உள்ளூர் மார்ட்டிங்கேல்கள் M. இவை (M * t) p ஒருங்கிணைந்ததாகவும், H என்பது ஒரு வரம்புக்குட்பட்ட கணிக்கக்கூடிய செயல்முறையாகவும் இருந்தால், H·M என்பது ஒரு p-ஒருங்கிணைந்த மார்ட்டிங்கேலாகும் என்பதைக் காட்டப் பயன்படுகின்றன. மேலும் பொதுவாக, (H2· [M]) p/2 ஒருங்கிணைந்ததாக இருக்கும் போதெல்லாம் இந்த அறிக்கை உண்மை. இட்டோ ஒருங்கிணைப்பு நன்கு வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது என்பதற்கான ஒருங்கிணைந்த சான்றுகளின் இருப்பு பொதுவாக ஒருங்கிணைப்பை வெளிப்படையாக எழுதக்கூடிய துண்டுப்பிரசுர மாறிலி, இடது தொடர்ச்சியான மற்றும் தழுவிய செயல்முறைகள் போன்ற மிக எளிய ஒருங்கிணைப்புகளைப் பார்ப்பதன் மூலம் தொடரும். இத்தகைய எளிய கணிக்கக்கூடிய செயல்முறைகள் Ht = A1 {t> T} வடிவத்தின் சொற்களின் நேரியல் சேர்க்கைகளாகும், இது T மற்றும் FT-அளவிடக்கூடிய சீரற்ற மாறிகள் A ஐ நிறுத்துகிறது, இதற்காக ஒருங்கிணைப்பு இது H இல் H·X இன் நேரியல் மூலம் அனைத்து எளிய கணிக்கக்கூடிய செயல்முறைகளுக்கும் நீட்டிக்கப்படுகிறது. ஒரு பிரவுனியன் இயக்கம் B க்கு, பூஜ்ஜிய சராசரி மற்றும் மாறுபாடு வார் (Bt) = t உடன் சுயாதீன அதிகரிப்புகளைக் கொண்ட பண்பு எளிய கணிக்கக்கூடிய ஒருங்கிணைப்புகளுக்கான ஐடோ ஐசோமெட்ரியை நிரூபிக்க பயன்படுத்தப்படலாம், தொடர்ச்சியான நேரியல் நீட்டிப்பு மூலம், ஒருங்கிணைப்பு ஐடோ ஐசோமெட்ரி இன்னும் வைத்திருக்கும் வகையில் திருப்திப்படுத்தும் அனைத்து கணிக்கக்கூடிய ஒருங்கிணைப்புகளுக்கும் தனித்துவமாக விரிவடைகிறது. இது உள்ளூர்மயமாக்கல் மூலம் அனைத்து பி-ஒருங்கிணைந்த செயல்முறைகளுக்கும் விரிவுபடுத்தப்படலாம். இந்த முறை எந்தவொரு இட்டோ செயல்முறையையும் பொறுத்து ஒருங்கிணைப்பை வரையறுக்க அனுமதிக்கிறது. ஒரு பொதுவான செமிமார்டிங்கேல் X க்கு, சிதைவு X = M + A ஒரு உள்ளூர் மார்டிங்கேல் M மற்றும் ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட மாறுபாடு செயல்முறை A ஐப் பயன்படுத்தலாம். பின்னர், ஒருங்கிணைப்பு M மற்றும் A ஐப் பொறுத்தவரை தனித்தனியாக இருப்பதைக் காட்டலாம் மற்றும் நேரியல், H·X = H·M + H·A ஐப் பயன்படுத்தி X ஐப் பொறுத்தவரை ஒருங்கிணைப்பைப் பெறலாம். நிலையான லெபெஸ்கூ-ஸ்டீல்ட்ஜெஸ் ஒருங்கிணைப்பு வரையறுக்கப்பட்ட மாறுபாடு செயல்முறைகளைப் பொறுத்து ஒருங்கிணைப்பை வரையறுக்க அனுமதிக்கிறது, எனவே உள்ளூர் மார்டிங்கேல்களுக்கான எந்தவொரு கட்டுமானத்திலிருந்தும் செமிமார்டிங்கேல்களுக்கான இட்டோ ஒருங்கிணைப்பின் இருப்பு தொடரும். ஒரு காட்லாக் சதுர ஒருங்கிணைந்த மார்டிங்கேல் எம் க்கு, இட்டோ ஐசோமெட்ரியின் பொதுவான வடிவத்தைப் பயன்படுத்தலாம். முதலாவதாக, டூப்-மேயர் சிதைவு தேற்றம் ஒரு சிதைவு உள்ளது என்பதைக் காட்டப் பயன்படுத்தப்படுகிறது, இதில் N என்பது ஒரு மார்டிங்கேல் மற்றும் பூஜ்ஜியத்தில் தொடங்கி வலது-தொடர்ச்சியான, அதிகரிக்கும் மற்றும் கணிக்கக்கூடிய செயல்முறையாகும். இது தனித்துவமாக வரையறுக்கிறது, இது எம் இன் கணிக்கக்கூடிய இருபடி மாறுபாடு என்று குறிப்பிடப்படுகிறது. சதுர ஒருங்கிணைந்த மார்டிங்கேல்களுக்கான ஐடோ ஐசோமெட்ரி பின்னர் எளிய கணிக்கக்கூடிய ஒருங்கிணைப்புகளுக்கு நேரடியாக நிரூபிக்க முடியும். பிரவுனியன் இயக்கத்திற்கு மேலே உள்ள வழக்கைப் போலவே, ஒரு தொடர்ச்சியான நேரியல் நீட்டிப்பை அனைத்து கணிக்கக்கூடிய ஒருங்கிணைப்புகளுக்கும் தனித்துவமாக விரிவுபடுத்த பயன்படுத்தலாம். இந்த முறையை உள்ளூர்மயமாக்கல் மூலம் அனைத்து உள்ளூர் சதுர ஒருங்கிணைந்த மார்ட்டிங்கேல்களுக்கும் நீட்டிக்க முடியும். இறுதியாக, டூப்-மேயர் சிதைவு எந்தவொரு உள்ளூர் மார்ட்டிங்கேலையும் ஒரு உள்ளூர் சதுர ஒருங்கிணைந்த மார்ட்டிங்கேல் மற்றும் ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட மாறுபாடு செயல்முறையின் கூட்டுத்தொகையாக சிதைக்க பயன்படுத்தப்படலாம், இது எந்தவொரு அரை மார்ட்டிங்கேலையும் பொறுத்தவரை இட்டோ ஒருங்கிணைப்பை உருவாக்க அனுமதிக்கிறது. இதே போன்ற முறைகளைப் பயன்படுத்தும் பல சான்றுகள் உள்ளன, ஆனால் அவை டூப்-மேயர் சிதைவு தேற்றத்தைப் பயன்படுத்த வேண்டியதன் அவசியத்தைத் தவிர்க்கின்றன, அதாவது இட்டோ ஐசோமெட்ரியில் இருபடி மாறுபாட்டைப் பயன்படுத்துதல் [எம்], சப்மார்டிங்கேல்களுக்கான டோலியன்ஸ் அளவீட்டைப் பயன்படுத்துதல் அல்லது இட்டோ ஐசோமெட்ரிக்கு பதிலாக பர்க்ஹோல்டர்-டேவிஸ்-குண்டி ஏற்றத்தாழ்வுகளைப் பயன்படுத்துதல். பிந்தையது முதலில் சதுர ஒருங்கிணைந்த மார்டிங்கேல் வழக்கைக் கையாளாமல் உள்ளூர் மார்டிங்கேல்களுக்கு நேரடியாகப் பொருந்தும். மாற்றுச் சான்றுகள் X என்பது செட்லாக், தழுவிக் கொள்ளப்பட்டது என்ற உண்மையைப் பயன்படுத்தி மட்டுமே உள்ளன, மேலும் தொகுப்பு {H·Xt: |H | ≤1 என்பது எளிய முன்னுரிமை} ஒவ்வொரு முறை t க்கும் நிகழ்தகவில் வரம்புக்குட்பட்டது, இது X ஒரு செமிமார்டிங்கேலாக இருப்பதற்கான மாற்று வரையறையாகும். எல்லா இடங்களிலும் சரியான வரம்புகளுடன் (காக்லாட் அல்லது எல்-செயல்முறைகள்) அனைத்து இடது-தொடர்ச்சியான மற்றும் தழுவிய ஒருங்கிணைப்புகளுக்கான ஒருங்கிணைப்பை உருவாக்க ஒரு தொடர்ச்சியான நேரியல் நீட்டிப்பைப் பயன்படுத்தலாம். இது இட்டோவின் லெம்மா போன்ற நுட்பங்களைப் பயன்படுத்தக்கூடிய அளவுக்கு பொதுவானது. மேலும், கின்ட்சைன் சமத்துவமின்மை ஆதிக்கம் செலுத்தும் ஒருங்கிணைப்புக் கோட்பாட்டை நிரூபிக்கவும், ஒருங்கிணைப்பை பொதுவான கணிக்கக்கூடிய ஒருங்கிணைப்புகளுக்கு விரிவுபடுத்தவும் பயன்படுத்தப்படலாம். இட்டோ கால்குலஸில் உள்ள வேறுபாடு இட்டோ கால்குலஸ் முதன்மையாக மேலே கோடிட்டுக் காட்டப்பட்டுள்ளபடி ஒரு ஒருங்கிணைந்த கால்குலஸாக வரையறுக்கப்படுகிறது. இருப்பினும், பிரவுனியன் இயக்கத்தைப் பொறுத்தவரை "வழித்தோன்றல்" பற்றிய வெவ்வேறு கருத்துக்களும் உள்ளனஃ மல்லியாவின் வழித்தோன்றல் மல்லியாவின் கால்குலஸ் வீனர் இடத்தில் வரையறுக்கப்பட்ட சீரற்ற மாறிகளுக்கான வேறுபாடு கோட்பாட்டை வழங்குகிறது, இதில் பகுதிகளின் சூத்திரத்தால் ஒருங்கிணைப்பு அடங்கும். மார்ட்டிங்கேல் பிரதிநிதித்துவம் மார்ட்டிங்கேல்களை இட்டோ ஒருங்கிணைப்புகளாக வெளிப்படுத்த பின்வரும் முடிவு அனுமதிக்கிறதுஃ ஒரு பிரவுனியன் இயக்கம் B ஆல் உருவாக்கப்படும் வடிகட்டலைப் பொறுத்தவரை ஒரு நேர இடைவெளியில் [0, T] M ஒரு சதுர-ஒருங்கிணைந்த மார்ட்டிங்கேலாக இருந்தால், [0, T] இல் ஒரு தனித்துவமான தழுவிய சதுர ஒருங்கிணைந்த செயல்முறை α உள்ளது, இது கிட்டத்தட்ட நிச்சயமாக, மற்றும் அனைத்து t ω [0, T] க்கும். இந்த பிரதிநிதித்துவ தேற்றத்தை பிரவுனியன் இயக்கம் B ஐப் பொறுத்தவரை M இன் "நேர வழித்தோன்றல்" என்று முறைப்படி விளக்கலாம், ஏனெனில் α என்பது துல்லியமாக Mt − M0 ஐப் பெற நேரம் t வரை ஒருங்கிணைக்கப்பட வேண்டிய செயல்முறையாகும், இது தீர்மானகரமான கால்குலஸைப் போலவே உள்ளது. இயற்பியலாளர்களுக்கான இட்டோ கால்குலஸ் இயற்பியலில், பொதுவாக லாங்கேவின் சமன்பாடுகள் போன்ற தற்செயலான வேறுபாடு சமன்பாடுகள் (எஸ். டி. இ), தற்செயலான ஒருங்கிணைப்புகளை விட பயன்படுத்தப்படுகின்றன. இங்கே ஒரு இட்டோ சீரற்ற வேறுபாடு சமன்பாடு (எஸ். டி. இ) பெரும்பாலும் காஸியன் வெள்ளை சத்தம் மற்றும் ஐன்ஸ்டீனின் கூட்டுத்தொகை மரபு பயன்படுத்தப்படுகிறது. xk இன் செயல்பாடு என்றால், Itö இன் லெம்மா பயன்படுத்தப்பட வேண்டும்ஃ மேலே உள்ளபடி ஒரு Itö SDE ஒரு ஸ்ட்ராட்டோனோவிச் SDE உடன் ஒத்திருக்கிறது, இது SDE களைப் படிக்கிறது, இது ஸ்ட்ராட்டோனோவிச் வடிவத்தில் இயற்பியலில் அடிக்கடி நிகழ்கிறது, ஏனெனில் சத்தம் காலத்தின் தொடர்பு நேரம் பூஜ்ஜியத்தை நெருங்கினால் வண்ண சத்தத்தால் இயக்கப்படும் சீரற்ற வேறுபாடு சமன்பாடுகளின் வரம்புகள். சீரற்ற வேறுபட்ட சமன்பாடுகளின் வெவ்வேறு விளக்கங்களின் சமீபத்திய சிகிச்சைக்கு எடுத்துக்காட்டாக பார்க்கவும். மேலும் காண்க ஸ்டோகேஸ்டிக் கால்குலஸ் இட்டோவின் லெம்மா ஸ்ட்ராட்டோனோவிச் ஒருங்கிணைந்த செமிமார்டிங்கேல் வீனர் செயல்முறை குறிப்புகள் ஹேகன் க்ளீனெர்ட் (2004). குவாண்டம் மெக்கானிக்ஸ், புள்ளியியல், பாலிமர் இயற்பியல் மற்றும் நிதிச் சந்தைகளில் பாதை ஒருங்கிணைப்புகள், 4 வது பதிப்பு, உலக அறிவியல் (சிங்கப்பூர்); பேப்பர்பேக். ஐந்தாவது பதிப்பு ஆன்லைனில் கிடைக்கிறதுஃ PDF-கோப்புகள், காஸியன் அல்லாத செயல்முறைகளுக்கான இட்டோவின் லெம்மாவின் பொதுமைப்படுத்தல்களுடன். டிஐ-அடிப்படையிலான கணித நிதி நிரலாக்கம், இது டிஐ-கால்குலேட்டர்களுக்கான இட்டோ கால்குலஸை செயல்படுத்துகிறது. கணித ஒருங்கிணைப்பின் வரையறைகள் தற்செயலான கால்குலஸ் கணித நிதி ஒருங்கிணைந்த கால்குலஸ்