Hackenbush
ஹேக்கன்பஷ் என்பது கணிதவியலாளர் ஜான் ஹார்டன் கான்வே கண்டுபிடித்த இரண்டு வீரர்கள் கொண்ட விளையாட்டு ஆகும். இது ஒருவருக்கொருவர் அவற்றின் இறுதிப் புள்ளிகள் மற்றும் ஒரு "கிரவுண்ட்" கோடு மூலம் இணைக்கப்பட்ட வண்ணக் கோடு பிரிவுகளின் எந்த உள்ளமைவிலும் விளையாடப்படலாம். விளையாட்டு வீரர்கள் ஒரு "கிரவுண்ட்" கோட்டை (வழக்கமாக, ஆனால் அவசியமில்லை, காகிதத்தின் அடிப்பகுதியில் அல்லது பிற விளையாட்டு பகுதியில் ஒரு கிடைமட்ட கோடு) மற்றும் பல வரி பிரிவுகளை வரைவதன் மூலம் தொடங்குகிறது, அதாவது ஒவ்வொரு வரி பிரிவும் தரையுடன் இணைக்கப்பட்டுள்ளது, நேரடியாக ஒரு இறுதிப் புள்ளியில், அல்லது மறைமுகமாக, இறுதிப் புள்ளிகளால் இணைக்கப்பட்ட பிற பிரிவுகளின் சங்கிலி வழியாக. எத்தனை பிரிவுகளும் ஒரு கட்டத்தில் சந்திக்கலாம், இதனால் தரையில் பல பாதைகள் இருக்கலாம். தங்கள் முறைப்படி, ஒரு வீரர் தங்களுக்கு விருப்பமான எந்த லைன் பிரிவையும் "வெட்டுகிறார்" (அழிக்கிறார்). ஒவ்வொரு கோடு பிரிவும் இனி எந்த பாதை "ஃபால்ஸ்" மூலம் தரையுடன் இணைக்கப்படாது (அதாவது, அழிக்கப்படுகிறது). ஒருங்கிணைந்த விளையாட்டு கோட்பாட்டின் சாதாரண விளையாட்டு மரபுகளின்படி, நகர்த்த முடியாத முதல் வீரர் தோல்வியடைகிறார். ஹேக்கன்பஷ் பலகைகள் இறுதியாக பல (ஒரு "வரையறுக்கப்பட்ட பலகையின்" விஷயத்தில்) அல்லது எல்லையற்ற பல (ஒரு "எல்லையற்ற பலகையின்" விஷயத்தில்) வரி பிரிவுகளைக் கொண்டிருக்கலாம். எல்லையற்ற எண்ணிக்கையிலான வரி பிரிவுகள் இருப்பது ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட நேரத்திற்குள் விளையாட்டை முடிக்க முடியும் என்ற விளையாட்டு கோட்பாட்டு அனுமானத்தை மீறுவதில்லை, வரையறுக்கப்பட்ட பல வரி பிரிவுகள் மட்டுமே நேரடியாக தரையைத் தொடுகின்றன. எல்லையற்ற பலகையில், பலகையின் அமைப்பை அடிப்படையாகக் கொண்டு, தரையைத் தொடும் எண்ணற்ற புள்ளிகள் உள்ளன என்று கருதி, விளையாட்டு என்றென்றும் தொடரலாம். மாறுபாடுகள் ஹேக்கன்பஷின் அசல் நாட்டுப்புற பதிப்பில், எந்த வீரரும் எந்த விளிம்பையும் வெட்ட அனுமதிக்கப்படுகிறார்ஃ இது ஒரு பக்கச்சார்பற்ற விளையாட்டு என்பதால், ஸ்ப்ரேக்-கிரண்டி தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி முழுமையான பகுப்பாய்வு செய்வது ஒப்பீட்டளவில் நேரடியானது. எனவே ஒருங்கிணைந்த விளையாட்டு கோட்பாட்டில் ஆர்வமுள்ள ஹேக்கன்பஷின் பதிப்புகள் மிகவும் சிக்கலான பக்கச்சார்பான விளையாட்டுகளாகும், அதாவது ஒரு வீரருக்கு கிடைக்கும் விருப்பங்கள் (நகர்வுகள்) மற்ற வீரருக்கு கிடைக்க வேண்டிய அவசியமில்லை, அதே நிலையில் நகர்வது அவர்களின் முறை என்றால். இது இரண்டு வழிகளில் ஒன்றில் அடையப்படுகிறதுஃ அசல் ஹேக்கன்பஷ்ஃ அனைத்து வரி பிரிவுகளும் ஒரே நிறத்தில் உள்ளன, மேலும் இரு வீரர்களாலும் வெட்டப்படலாம். இதன் பொருள் ஊதியங்கள் சமச்சீர் மற்றும் ஒவ்வொரு வீரரும் போர்டில் நிலையின் அடிப்படையில் ஒரே செயல்பாடுகளைக் கொண்டுள்ளனர் (இந்த விஷயத்தில் வரைபடத்தின் அமைப்பு) நீல-சிவப்பு ஹேக்கன்பஷ்ஃ ஒவ்வொரு வரி பிரிவும் சிவப்பு அல்லது நீல நிறத்தில் இருக்கும். ஒரு வீரர் (வழக்கமாக முதல், அல்லது இடது, வீரர்) நீல கோடு பிரிவுகளை வெட்ட மட்டுமே அனுமதிக்கப்படுகிறார், அதே நேரத்தில் மற்ற வீரர் (பொதுவாக இரண்டாவது, அல்லது வலது, வீரர்) சிவப்பு கோடு பிரிவுகளை வெட்ட மட்டுமே அனுமதிக்கப்படுகிறார். நீல-சிவப்பு-பச்சை ஹேக்கன்பஷ்ஃ ஒவ்வொரு வரி பிரிவும் சிவப்பு, நீலம் அல்லது பச்சை நிறத்தில் இருக்கும். நீல-சிவப்பு ஹேக்கன்பஷைப் போலவே விதிகளும் உள்ளன, பச்சை கோடு பிரிவுகளை எந்த வீரரும் வெட்டலாம் என்ற கூடுதல் நிபந்தனையுடன். ப்ளூ-ரெட் ஹேக்கன்பஷ் என்பது ப்ளூ-ரெட்-கிரீன் ஹேக்கன்பஷின் ஒரு சிறப்பு வழக்கு மட்டுமே, ஆனால் அதன் பகுப்பாய்வு பெரும்பாலும் மிகவும் எளிமையானது என்பதால் இது தனித்தனியாக கவனிக்கத்தக்கது. ஏனென்றால், ப்ளூ-ரெட் ஹேக்கன்பஷ் ஒரு குளிர் விளையாட்டு என்று அழைக்கப்படுகிறது, அதாவது, அடிப்படையில், முதல் நகர்வை மேற்கொள்வது ஒருபோதும் ஒரு நன்மையாக இருக்க முடியாது. பகுப்பாய்வு ஹேக்கன்பஷ் பெரும்பாலும் ஒருங்கிணைந்த விளையாட்டுக் கோட்பாட்டில் வரையறைகள் மற்றும் கருத்துக்களை நிரூபிக்க ஒரு எடுத்துக்காட்டு விளையாட்டாக பயன்படுத்தப்படுகிறது, இது ஆன் நம்பர்ஸ் அண்ட் கேம்ஸ் மற்றும் வின்னிங் வேஸ் ஃபார் யுவர் மேத்தமேட்டிக்கல் பிளேஸ் புத்தகங்களில் புலத்தின் சில நிறுவனர்களால் பயன்படுத்தப்படுகிறது. குறிப்பாக நீல-சிவப்பு ஹேக்கன்பஷ் சர்ரியல் எண்களை உருவாக்க பயன்படுத்தப்படலாம்ஃ வரையறுக்கப்பட்ட நீல-சிவப்பு ஹேக்கன்பஷ் பலகைகள் டயாடிக் விகிதமுறு எண்களை உருவாக்க முடியும், அதே நேரத்தில் எல்லையற்ற நீல-சிவப்பு ஹேக்கன்பஷ் பலகைகளின் மதிப்புகள் உண்மையான எண்கள், வரிசைமுறைகள் மற்றும் பல பொதுவான மதிப்புகளுக்கு காரணமாகின்றன. நீல-சிவப்பு-பச்சை ஹேக்கன்பஷ் நட்சத்திரம் மற்றும் பிற அனைத்து நிம்பர்கள் போன்ற உண்மையான எண்கள் இல்லாத கூடுதல் விளையாட்டுகளை உருவாக்க அனுமதிக்கிறது. பலகையை செங்குத்துகள் மற்றும் விளிம்புகளின் தொகுப்பாகக் கருதி, தரையில் உள்ள ஒவ்வொரு உச்சிக்கும் பாதைகளை ஆராய்வதன் மூலம் வரைபடக் கோட்பாட்டைப் பயன்படுத்தி விளையாட்டைப் பற்றி மேலும் பகுப்பாய்வு செய்யலாம் (இது ஒரு தனித்துவமான உச்சியாகக் கருதப்பட வேண்டும்-அனைத்து தரை புள்ளிகளையும் ஒன்றாக அடையாளம் காண்பது எந்தத் தீங்கும் செய்யாது-வரைபடத்தில் ஒரு கோடு அல்ல). ஹேக்கன்பஷின் பக்கச்சார்பற்ற பதிப்பில் (வீரர் குறிப்பிட்ட வண்ணங்கள் இல்லாத ஒன்று), விளையாட்டை செங்குத்து, ஒருங்கிணைந்த மற்றும் மாறுபட்ட பல நிகழ்வுகளாக உடைப்பதன் மூலம் நிம் குவியல்களைப் பயன்படுத்துவதைப் பற்றி சிந்திக்கலாம். மூங்கில் தண்டுகள் என்றும் குறிப்பிடப்படும் வரி பிரிவுகளின் செங்குத்து அடுக்குகளுடன் பிரத்தியேகமாக விளையாடப்படும் இந்த விளையாட்டு நேரடியாக நிம் ஆகி, நேரடியாக பகுப்பாய்வு செய்யப்படலாம். வேறுபட்ட பிரிவுகள் அல்லது மரங்கள், விளையாட்டில் கூடுதல் சுருக்கங்களைச் சேர்க்கின்றன, மேலும் ஒரு உச்சியில் கிளைகள் ஒன்றாக வரும்போது, கிளைகளை அவற்றின் நிம் தொகைக்கு சமமான நீளமுள்ள கிளைகள் அல்லாத தண்டால் மாற்றலாம் என்று குறிப்பிடும் பெருங்குடல் கொள்கையைப் பயன்படுத்த வேண்டும். இந்தக் கோட்பாடு விளையாட்டின் பிரதிநிதித்துவத்தை மூங்கில் தண்டுகளின் மிகவும் அடிப்படை பதிப்பாக மாற்றுகிறது. உருவாக்கக்கூடிய கடைசி சாத்தியமான வரைபடங்களின் தொகுப்பு ஒருங்கிணைந்தவை, அவை தன்னிச்சையாக வேரூன்றிய வரைபடங்கள் என்றும் அழைக்கப்படுகின்றன. இணைவுக் கொள்கையைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம், எந்தவொரு சுழற்சியிலும் உள்ள அனைத்து செங்குத்துகளும் வரைபடத்தின் மதிப்பை மாற்றாமல் ஒன்றாக இணைக்கப்படலாம் என்று நாம் கூறலாம். எனவே, எந்தவொரு ஒருங்கிணைந்த வரைபடத்தையும் ஒரு எளிய மூங்கில் தண்டு வரைபடமாகவும் விளக்கலாம். மூன்று வகையான வரைபடங்களையும் இணைப்பதன் மூலம், விளையாட்டின் சிக்கலைச் சேர்க்கலாம், விளையாட்டின் நிம் கூட்டுத்தொகையை எப்போதும் மாற்றாமல், இதன் மூலம் விளையாட்டை நிமின் உத்திகளை எடுக்க அனுமதிக்கிறது. கொலோன் கோட்பாட்டின் சான்று கொலோன் கோட்பாடு கூறுகிறது, கிளைகள் ஒரு உச்சியில் ஒன்றாக வரும்போது, ஒருவர் கிளைகளை அவற்றின் நிம் தொகைக்கு சமமான நீளமுள்ள கிளை அல்லாத தண்டால் மாற்றலாம். ஒரு நிலையான ஆனால் தன்னிச்சையான வரைபடமான G ஐக் கருத்தில் கொண்டு, G இல் ஒரு தன்னிச்சையான உச்சியை, x ஐத் தேர்ந்தெடுக்கவும். H1 மற்றும் H2 ஆகியவை ஒரே ஸ்பிராக்-கிரண்டி மதிப்பைக் கொண்ட தன்னிச்சையான மரங்களாக (அல்லது வரைபடங்களாக) இருக்கட்டும். G1 = Gx: H1 மற்றும் G2 = Gx: H2 ஆகிய இரண்டு வரைபடங்களைக் கவனியுங்கள், இங்கு Gx: Hi என்பது G வரைபடத்தின் உச்சி x உடன் மரம் Hi ஐ இணைப்பதன் மூலம் கட்டப்பட்ட வரைபடத்தைக் குறிக்கிறது. இரண்டு விளையாட்டுகளின் கூட்டுத்தொகையைக் கவனியுங்கள். G1 மற்றும் G2 ஒரே ஸ்ப்ரேக்-கிரண்டி மதிப்பைக் கொண்டுள்ளன என்ற கூற்று இரண்டு விளையாட்டுகளின் கூட்டுத்தொகை ஸ்ப்ரேக்-கிரண்டி மதிப்பு 0 என்ற கூற்றுக்கு சமம். வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், கூட்டுத்தொகை G1 + G2 ஒரு P-நிலை என்பதை நாம் காட்ட வேண்டும். G1 + G2 இல் நகரும் இரண்டாவது வீரராக இருந்தால் ஒரு வீரர் வெற்றி பெறுவது உறுதி. முதல் வீரர் ஒரு விளையாட்டில் G இல் உள்ள விளிம்புகளில் ஒன்றை வெட்டுவதன் மூலம் நகர்ந்தால், இரண்டாவது வீரர் மற்ற விளையாட்டில் G இல் அதே விளிம்பை வெட்டுகிறார். (இத்தகைய ஒரு ஜோடி நகர்வுகள் விளையாட்டுகளில் இருந்து H1 மற்றும் H2 ஐ நீக்கலாம், இல்லையெனில் H1 மற்றும் H2 தொந்தரவு செய்யப்படாது.) முதல் வீரர் H1 அல்லது H2 இல் ஒரு விளிம்பை வெட்டுவதன் மூலம் நகர்ந்தால், H1 மற்றும் H2 இன் ஸ்ப்ரேக்-கிரண்டி மதிப்புகள் இனி சமமாக இருக்காது, இதனால் H1 அல்லது H2 இல் ஒரு நகர்வு உள்ளது, இது ஸ்ப்ரேக்-கிரண்டி மதிப்புகளை ஒரே மாதிரியாக வைத்திருக்கிறது. இந்த வழியில் அவர் செய்யும் ஒவ்வொரு நகர்வுக்கும் நீங்கள் எப்போதும் பதிலளிப்பீர்கள். இதன் பொருள் நீங்கள் கடைசி நகர்வை மேற்கொள்வீர்கள், எனவே வெற்றி பெறுவீர்கள். குறிப்புகள் ஜான் எச். கான்வே, எண்கள் மற்றும் விளையாட்டுகளில், 2 வது பதிப்பு, ஏ. கே. பீட்டர்ஸ், 2000. வெளிப்புற இணைப்புகள் Hackenstrings, மற்றும் 0.999. எதிராக 1 Hackenbush பென்சில் மற்றும் காகித விளையாட்டுகள் கணித விளையாட்டுகள் சுருக்கம் மூலோபாயம் விளையாட்டுகள் ஒருங்கிணைந்த விளையாட்டு கோட்பாடு காகிதம் மற்றும் பென்சில் விளையாட்டுகள் ஜான் ஹார்டன் கான்வே