Maschke's theorem
கணிதத்தில், ஹென்ரிச் மாஸ்கேவின் பெயரால் பெயரிடப்பட்ட மாஸ்கேவின் தேற்றம், குழு பிரதிநிதித்துவக் கோட்பாட்டில் ஒரு தேற்றமாகும், இது ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட குழுவின் பிரதிநிதித்துவங்களை பகுக்கமுடியாத துண்டுகளாக சிதைப்பதைப் பற்றியது. மாஸ்கேயின் தேற்றம் ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட குழு G இன் பிரதிநிதித்துவங்களைப் பற்றி உண்மையில் கணக்கிடாமல் பொதுவான முடிவுகளை எடுக்க அனுமதிக்கிறது. இது அனைத்து பிரதிநிதித்துவங்களையும் பகுக்கமுடியாத பிரதிநிதித்துவங்களை வகைப்படுத்தும் மிகவும் நிர்வகிக்கக்கூடிய பணியாக வகைப்படுத்தும் பணியைக் குறைக்கிறது, ஏனெனில் தேற்றம் பொருந்தும் போது, எந்தவொரு பிரதிநிதித்துவமும் பகுக்கமுடியாத துண்டுகளின் (கூறுகள்) நேரடி கூட்டுத்தொகையாகும். மேலும், இது ஜோர்டான்-ஹோல்டர் தேற்றத்திலிருந்து பின்பற்றப்படுகிறது, பகுக்கமுடியாத துணை பிரதிநிதித்துவங்களின் நேரடி கூட்டுத்தொகையாக சிதைவு தனித்துவமாக இருக்காது என்றாலும், பகுக்கமுடியாத துண்டுகள் நன்கு வரையறுக்கப்பட்ட பெருக்கங்களைக் கொண்டுள்ளன. குறிப்பாக, பண்பு பூஜ்ஜியத்தின் புலத்தின் மீது ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட குழுவின் பிரதிநிதித்துவம் ஐசோமார்பிசம் வரை அதன் தன்மையால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது. சூத்திரங்கள் மாஸ்கேவின் தேற்றம் இந்த கேள்வியை நிவர்த்தி செய்கிறதுஃ நேரடி கூட்டுத்தொகை செயல்பாட்டைப் பயன்படுத்தி பகுக்கமுடியாத துணை பிரதிநிதித்துவங்களிலிருந்து ஒரு பொதுவான (வரையறுக்கப்பட்ட-பரிமாண) பிரதிநிதித்துவம் எப்போது கட்டப்படுகிறது? இந்தக் கேள்வியும் (அதன் பதிலும்) குழு பிரதிநிதித்துவக் கோட்பாட்டின் வெவ்வேறு கண்ணோட்டங்களுக்கு வித்தியாசமாக வடிவமைக்கப்பட்டுள்ளன. குழு-கோட்பாட்டு மாஸ்கேயின் தேற்றம் பொதுவாக பின்வரும் முடிவுக்கு ஒரு இணையாக வடிவமைக்கப்பட்டுள்ளதுஃ பின்னர் இதன் விளைவு ஒரு குழுவின் சிக்கலான மதிப்புள்ள வகுப்பு செயல்பாடுகளின் திசையன் இடம் இயற்கையான மாறுபட்ட உள் தயாரிப்பு கட்டமைப்பைக் கொண்டுள்ளது, இது ஷூர் ஆர்த்தோகனாலிட்டி உறவுகள் என்ற கட்டுரையில் விவரிக்கப்பட்டுள்ளது. மாஸ்கேயின் தேற்றம் முதலில் இந்த உள் உற்பத்தியின் கீழ் ஆர்த்தோகனல் நிரப்பாக கட்டமைப்பதன் மூலம் பிரதிநிதித்துவங்களின் விஷயத்தில் நிரூபிக்கப்பட்டது. தொகுதி-கோட்பாட்டு வரையறை வரையறுக்கப்பட்ட குழுக்களின் பிரதிநிதித்துவங்களுக்கான அணுகுமுறைகளில் ஒன்று தொகுதி கோட்பாடு வழியாகும். ஒரு குழுவின் பிரதிநிதித்துவங்கள் அதன் குழு இயற்கணிதத்தின் மீது தொகுதிகளால் மாற்றப்படுகின்றன (துல்லியமாக, மற்றும், பிரதிநிதித்துவங்களின் வகைக்கு இடையில் வகைகளின் ஐசோமார்பிசம் உள்ளது). குறைக்கமுடியாத பிரதிநிதித்துவங்கள் எளிய தொகுதிகளுடன் ஒத்திருக்கின்றன. தொகுதி-கோட்பாட்டு மொழியில், மாஸ்கேவின் தேற்றம் கேட்கிறதுஃ ஒரு தன்னிச்சையான தொகுதி அரை எளியதா? இந்த சூழலில், தேற்றத்தை பின்வருமாறு மறுசீரமைக்கலாம்ஃ இந்த முடிவின் முக்கியத்துவம் நன்கு வளர்ந்த அரை எளிய வளையங்களின் கோட்பாட்டிலிருந்து உருவாகிறது, குறிப்பாக, வெடர்பர்ன்-ஆர்ட்டின் தேற்றத்தால் வழங்கப்பட்ட அவற்றின் வகைப்பாடு. சிக்கலான எண்களின் புலம் எப்போது, இது இயற்கணிதம் என்பது சிக்கலான அணி ஆல்ஜிப்ராக்களின் பல பிரதிகளின் பெருக்கல் என்பதைக் காட்டுகிறது, ஒவ்வொரு பகுக்கமுடியாத பிரதிநிதித்துவத்திற்கும் ஒன்று. புலம் பண்பு பூஜ்ஜியத்தைக் கொண்டிருந்தாலும், இயற்கணித ரீதியாக மூடப்படவில்லை என்றால், எடுத்துக்காட்டாக, உண்மையான அல்லது விகிதமுறு எண்களின் புலம் என்றால், சற்றே சிக்கலான அறிக்கை பின்வருமாறுஃ குழு இயற்கணிதம் என்பது பிரிப்பு வளையங்களுக்கு மேல் உள்ள அணி ஆல்ஜிப்ராக்களின் பெருக்கமாகும். கூட்டுத்தொகைகள் ஓவர் இன் பகுக்கமுடியாத பிரதிநிதித்துவங்களுடன் ஒத்திருக்கின்றன. அரை எளிய வகைகளின் மொழியில் மறுசீரமைக்கப்பட்ட வகை-கோட்பாட்டு மாஸ்கேயின் தேற்றம், ப்ரூஃப்ஸ் குரூப்-கோட்பாட்டு யூ, டபிள்யூ இன் வி நிரப்பு ஒரு துணை இடமாக இருக்கட்டும் என்று கூறுகிறது. வரையறுக்கவும், W மற்றும் V இல் G இன் பிரதிநிதித்துவத்துடன் ஒரு சுருக்கம் எங்கே. பின்னர், பிரதிநிதித்துவத்தின் கீழ் G ஆல் பாதுகாக்கப்படுகிறதுஃ எதற்கும், எனவே அதைக் குறிக்கிறது. எனவே ஆன் கட்டுப்பாடு ஒரு பிரதிநிதித்துவமாகும். வரையறையின்படி, எதற்கும், எனவே, மற்றும் எதற்கும், எனவே, மற்றும். எனவே, தொகுதி-கோட்பாட்டு V ஒரு K [G]-துணை தொகுதியாக இருக்கட்டும். V என்பது ஒரு நேரடி கூட்டுத்தொகை என்பதை நாம் நிரூபிப்போம். வரைபடத்தைக் கருத்தில் கொள்ளுங்கள் பின்னர் φ மீண்டும் ஒரு திட்டமாகும்ஃ இது தெளிவாக K-நேரியல், K [G] ஐ V க்கு வரைபடமாக்குகிறது, மேலும் V இல் அடையாளத்தைத் தூண்டுகிறது (எனவே, K [G] ஐ V க்குள் வரைபடமாக்குகிறது). மேலும் நம்மிடம் φ உண்மையில் K [G]-லீனியர் ஆகும். பிளவுபடுத்தும் லெம்மாவால், ஒவ்வொரு துணை தொகுதியும் ஒரு நேரடி கூட்டுத்தொகை என்பதை இது நிரூபிக்கிறது, அதாவது, K [G] அரை எளியதாகும். மேற்கூறிய ஆதாரம் #G என்பது K இல் தலைகீழாக மாறக்கூடியது என்ற உண்மையைப் பொறுத்தது. இது மாஸ்கேயின் தேற்றத்தின் தலைகீழ் கூட வைத்திருக்கிறதா என்று கேட்க வழிவகுக்கும்ஃ K இன் பண்பு G இன் வரிசையை வகுத்தால், அது K [G] அரை எளிமையானது அல்ல என்பதைப் பின்பற்றுகிறதா? பதில் ஆம். சான்று. வரையறுக்க. விடுங்கள். பின்னர் I என்பது ஒரு K [G]-துணை தொகுதி. K [G] இன் ஒவ்வொரு அற்பமான துணை தொகுதி V க்கும், என்பதை நிரூபிப்போம். V கொடுக்கப்பட வேண்டும், மேலும் V இன் பூஜ்ஜியமற்ற உறுப்பாக இருக்கட்டும். இல்லையென்றால் விடுங்கள். பின்னர் அது I மற்றும் V ஆகிய இரண்டின் பூஜ்ஜியமற்ற உறுப்பாகும். இது V என்பது அனைத்து V க்கும் I இன் நேரடி நிரப்பு அல்ல என்பதை நிரூபிக்கிறது, எனவே K [G] அரை எளிமையானது அல்ல. எடுத்துக்காட்டுகள் அல்லாதவை G எல்லையற்றதாக இருக்கும் சந்தர்ப்பத்திற்கு அல்லது K புலம் #G ஐ வகுக்கும் பண்புகளைக் கொண்டிருக்கும்போது தேற்றம் பொருந்தாது. எடுத்துக்காட்டாக, எல்லையற்ற குழுவையும் இதன் மூலம் வரையறுக்கப்பட்ட பிரதிநிதித்துவத்தையும் கருத்தில் கொள்ளுங்கள். இதன் மூலம் பரவியிருக்கும் ஒரு 1 பரிமாண துணைப்பகுதி என்று வைத்துக்கொள்வோம். பின்னர் W இன் கட்டுப்பாடு ஒரு அற்பமான துணை பிரதிநிதித்துவமாகும். இருப்பினும், W, U இரண்டும் மற்றும் U இன் துணை பிரதிநிதித்துவங்களாக இருக்கும் வகையில் U இல்லை, அத்தகைய எந்தவொரு U யும் 1 பரிமாணமாக இருக்க வேண்டும், ஆனால் பாதுகாக்கப்பட்ட எந்த 1 பரிமாண துணை இடமும் ஒரு ஐகென் வெக்டரால் பரப்பப்பட வேண்டும், அதற்கான ஒரே ஐகென் வெக்டர் ஆகும். ஒரு பகா p, மற்றும் குழு, புலம் மற்றும் வரையறுக்கப்பட்ட பிரதிநிதித்துவம் ஆகியவற்றைக் கவனியுங்கள். எளிய கணக்கீடுகள் இங்கு ஒரே ஒரு ஐகென் வெக்டர் மட்டுமே இருப்பதைக் காட்டுகின்றன, எனவே அதே வாதத்தால், 1 பரிமாண துணை பிரதிநிதித்துவம் தனித்துவமானது, மேலும் இரண்டு 1 பரிமாண துணை பிரதிநிதித்துவங்களின் நேரடி கூட்டுத்தொகையாக சிதைக்க முடியாது. குறிப்புகள் வரையறுக்கப்பட்ட குழுக்களின் பிரதிநிதித்துவக் கோட்பாடு குழுக் கோட்பாட்டில் கோட்பாடுகள் பிரதிநிதித்துவக் கோட்பாட்டில் கோட்பாடுகள்