Map projection
வரைபடத்தில், ஒரு வரைபடத் திட்டம் என்பது ஒரு கோளத்தின் வளைந்த இரு பரிமாண மேற்பரப்பை ஒரு தளத்தில் குறிக்கப் பயன்படுத்தப்படும் பரந்த அளவிலான மாற்றங்களின் தொகுப்பாகும். ஒரு வரைபடத் திட்டத்தில், பெரும்பாலும் அட்சரேகை மற்றும் தீர்க்கரேகையாக வெளிப்படுத்தப்படும், பூகோளத்தின் மேற்பரப்பில் இருந்து வரும் இடங்களின் ஆயத்தொலைவுகள் ஒரு தளத்தில் உள்ள ஆயத்தொலைவுகளாக மாற்றப்படுகின்றன. இரு பரிமாண வரைபடத்தை உருவாக்குவதற்கு திட்டமிடல் ஒரு அவசியமான படியாகும், மேலும் இது வரைபடத்தின் அத்தியாவசிய கூறுகளில் ஒன்றாகும். ஒரு தரையில் ஒரு கோளத்தின் அனைத்து கணிப்புகளும் மேற்பரப்பை ஏதோ ஒரு வகையில் ஓரளவுக்கு சிதைக்க வேண்டும். வரைபடத்தின் நோக்கத்தைப் பொறுத்து, சில சிதைவுகள் ஏற்றுக்கொள்ளத்தக்கவை, மற்றவை அல்ல; எனவே, மற்ற பண்புகளின் இழப்பில் கோளம் போன்ற உடலின் சில பண்புகளைப் பாதுகாப்பதற்காக வெவ்வேறு வரைபட கணிப்புகள் உள்ளன. வரைபட கணிப்புகளின் ஆய்வு முதன்மையாக அவற்றின் சிதைவுகளின் தன்மை பற்றியது. சாத்தியமான வரைபட கணிப்புகளின் எண்ணிக்கைக்கு வரம்பு இல்லை. மேலும் பொதுவாக, வேறுபட்ட வடிவியல், திட்ட வடிவியல் மற்றும் பன்மடங்கு உட்பட தூய கணிதத்தின் பல துறைகளில் கணிப்புகள் கருதப்படுகின்றன. இருப்பினும், "வரைபடத் திட்டம்" என்ற சொல் குறிப்பாக ஒரு வரைபடத் திட்டத்தைக் குறிக்கிறது. பெயரின் நேரடி அர்த்தம் இருந்தபோதிலும், ஒரு திரையில் ஒரு நிழலை வார்ப்பதன் விளைவாக ஏற்படும் முன்னோக்கு கணிப்புகள் அல்லது ஒரு தட்டையான படலத் தட்டில் ஒரு முள் துளை கேமராவால் தயாரிக்கப்படும் செவ்வக படம் போன்ற முன்னோக்கு கணிப்புகளுடன் இது மட்டுப்படுத்தப்படவில்லை. மாறாக, வளைந்த மேற்பரப்பிலிருந்து கோஆர்டினேட்ஸ்களை தனித்தனியாகவும் சீராகவும் பிளேனுக்கு மாற்றும் எந்தவொரு கணித செயல்பாடும் ஒரு ப்ரொஜெக்ஷன் ஆகும். நடைமுறை பயன்பாட்டில் சில கணிப்புகள் முன்னோக்கு ஆகும். இந்த கட்டுரையின் பெரும்பகுதி வரைபடமாக்கப்பட வேண்டிய மேற்பரப்பு ஒரு கோளத்தின் மேற்பரப்பு என்று கருதுகிறது. பூமி மற்றும் பிற பெரிய வான உடல்கள் பொதுவாக ஓப்ளேட் ஸ்பீராய்டுகளாக சிறப்பாக வடிவமைக்கப்பட்டுள்ளன, அதே நேரத்தில் சிறுகோள்கள் போன்ற சிறிய பொருள்கள் பெரும்பாலும் ஒழுங்கற்ற வடிவங்களைக் கொண்டுள்ளன. கிரக உடல்களின் மேற்பரப்புகள் ஒரு கோளம் அல்லது நீள்வட்டத்துடன் நன்கு வடிவமைக்கப்படுவதற்கு மிகவும் ஒழுங்கற்றதாக இருந்தாலும் அவற்றை வரைபடமாக்க முடியும். எனவே, பொதுவாக, ஒரு வரைபடத் திட்டம் என்பது ஒரு தொடர்ச்சியான வளைந்த மேற்பரப்பை ஒரு தளத்தின் மீது தட்டையாக்கும் எந்த முறையும் ஆகும். மிகவும் நன்கு அறியப்பட்ட வரைபடத் திட்டம் மெர்கேட்டர் திட்டமாகும். இந்த வரைபடத் திட்டம் இணக்கமாக இருக்கும் பண்பைக் கொண்டுள்ளது. இருப்பினும், இது 20 ஆம் நூற்றாண்டு முழுவதும் பூமத்திய ரேகைக்கு அப்பால் உள்ள பகுதிகளை விரிவுபடுத்தியதற்காக விமர்சிக்கப்பட்டுள்ளது. இதற்கு மாறாக, சைனுசாய்டல் திட்டம் மற்றும் கால்-பீட்டர்ஸ் திட்டம் போன்ற சம-பகுதி கணிப்புகள் ஒருவருக்கொருவர் தொடர்புடைய நாடுகளின் சரியான அளவுகளைக் காட்டுகின்றன, ஆனால் கோணங்களை சிதைக்கிறது. நேஷனல் ஜியோகிராஃபிக் சொசைட்டி மற்றும் பெரும்பாலான அட்லஸ்கள் ராபின்சன் ப்ரொஜெக்ஷன் மற்றும் வின்கெல் டிரிபல் ப்ரொஜெக்ஷன் போன்ற பகுதி மற்றும் கோண சிதைவுக்கு இடையில் சமரசம் செய்யும் வரைபட கணிப்புகளை ஆதரிக்கின்றன. வரைபடங்களின் அளவீட்டு பண்புகள் பூமியின் மேற்பரப்பில் அதன் புவியியலிலிருந்து சுயாதீனமாக பல பண்புகளை அளவிட முடியும்ஃ பகுதி வடிவ திசை தாங்கும் தூர வரைபட கணிப்புகள் இந்த பண்புகளில் சிலவற்றை மற்றவர்களின் இழப்பில் பாதுகாக்க கட்டமைக்கப்படலாம். பூமியின் வளைந்த மேற்பரப்பு ஒரு தளத்திற்கு ஐசோமெட்ரிக் அல்ல என்பதால், வடிவங்களைப் பாதுகாப்பதற்கு தவிர்க்க முடியாமல் ஒரு மாறுபட்ட அளவு தேவைப்படுகிறது, இதன் விளைவாக, பகுதிகளின் விகிதாசாரமற்ற விளக்கக்காட்சி தேவைப்படுகிறது. இதேபோல், ஒரு பகுதி-பாதுகாக்கும் திட்டம் இணக்கமாக இருக்க முடியாது, இதன் விளைவாக வரைபடத்தின் பெரும்பாலான இடங்களில் வடிவங்கள் மற்றும் தாங்கு உருளைகள் சிதைக்கப்படுகின்றன. ஒவ்வொரு திட்டமும் அடிப்படை மெட்ரிக் பண்புகளை வெவ்வேறு வழிகளில் பாதுகாக்கிறது, சமரசம் செய்கிறது அல்லது தோராயமாக மதிப்பிடுகிறது. வரைபடத்தின் நோக்கம் எந்த திட்டமானது வரைபடத்திற்கான அடித்தளத்தை உருவாக்க வேண்டும் என்பதை தீர்மானிக்கிறது. வரைபடங்கள் பல்வேறு நோக்கங்களைக் கொண்டிருப்பதால், அந்த நோக்கங்களுக்கு ஏற்ப பன்முகத்தன்மை கொண்ட கணிப்புகள் உருவாக்கப்பட்டுள்ளன. ஒரு ப்ரொஜெக்ஷனின் உள்ளமைவில் மற்றொரு பரிசீலனை வரைபடத்தில் பயன்படுத்தப்பட வேண்டிய தரவுத் தொகுப்புகளுடன் அதன் பொருந்தக்கூடியது. தரவுத் தொகுப்புகள் புவியியல் தகவல்களாகும்; அவற்றின் சேகரிப்பு பூமியின் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட தரவு (மாதிரி) ஐப் பொறுத்தது. வெவ்வேறு தரவுத்தொகுப்புகள் ஒரே இடத்திற்கு சற்று மாறுபட்ட ஆயத்தொகுப்புகளை ஒதுக்குகின்றன, எனவே தேசிய வரைபட அமைப்புகள் போன்ற பெரிய அளவிலான வரைபடங்களில், தரவுத்தொகுப்பை திட்டத்துடன் பொருத்துவது முக்கியம். வெவ்வேறு தரவுகளுக்கு இடையிலான ஒருங்கிணைப்பு ஒதுக்கீட்டில் உள்ள சிறிய வேறுபாடுகள் உலக வரைபடங்களுக்கோ அல்லது பெரிய பிராந்தியங்களுக்கோ ஒரு கவலையாக இல்லை, அங்கு அத்தகைய வேறுபாடுகள் புலனுணர்வுக்கு குறைக்கப்பட்டுள்ளன. ஒரு கோளத்தின் மேற்பரப்பை சிதைவு இல்லாமல் ஒரு விமானத்தில் பிரதிநிதித்துவப்படுத்த முடியாது என்பதை கார்ல் ஃப்ரெட்ரிக் காஸின் தேற்றம் எக்ரெஜியம் நிரூபித்தது. பூமியின் மாதிரிகளாகப் பயன்படுத்தப்படும் மற்ற குறிப்பு மேற்பரப்புகளுக்கும் இது பொருந்தும், அதாவது ஓப்ளேட் ஸ்பீராய்டுகள், எலிப்சாய்டுகள் மற்றும் ஜியோயிட்ஸ் போன்றவை. எந்தவொரு வரைபட திட்டமும் ஒரு விமானத்தில் உள்ள மேற்பரப்புகளில் ஒன்றின் பிரதிநிதித்துவம் என்பதால், அனைத்து வரைபட கணிப்புகளும் சிதைக்கப்படுகின்றன. ஒரு திட்டவட்டத்தில் உள்ளார்ந்த சிதைவைக் காண்பிப்பதற்கான பாரம்பரிய வழி டிஸ்ஸாட்டின் இண்டிகாட்ரிக்ஸைப் பயன்படுத்துவதாகும். ஒரு குறிப்பிட்ட புள்ளிக்கு, மெரிடியனில் உள்ள அளவுகோல் காரணி h ஐப் பயன்படுத்தி, இணையாக உள்ள அளவுகோல் காரணி k மற்றும் அவற்றுக்கிடையேயான கோணம் θ′ ஆகியவற்றைப் பயன்படுத்தி, நிக்கோலஸ் டிஸ்ஸாட் சிதைவின் கூறுகளின் அளவு மற்றும் நோக்குநிலையை விளக்கும் ஒரு நீள்வட்டத்தை எவ்வாறு உருவாக்குவது என்பதை விவரித்தார். நீள்வட்டங்களை மெரிடியன்கள் மற்றும் இணைகளுடன் தவறாமல் இடைவெளி செய்வதன் மூலம், குறிகாட்டிகளின் நெட்வொர்க் வரைபடம் முழுவதும் சிதைவு எவ்வாறு மாறுபடுகிறது என்பதைக் காட்டுகிறது. பிற விலகல் அளவீடுகள் கணிப்புகளில் உள்ள விலகல்களைக் காண்பிப்பதற்கான பல வழிகள் விவரிக்கப்பட்டுள்ளன. டிஸ்ஸாட்டின் இண்டிகேட்ரிக்ஸைப் போலவே, கோல்ட்பர்க்-காட் இண்டிகேட்ரிக்ஸும் எல்லையற்றவற்றை அடிப்படையாகக் கொண்டது, மேலும் வளைவு மற்றும் வளைவு (வளைவு மற்றும் ஒருதலைப்பட்சம்) சிதைவுகளை சித்தரிக்கிறது. டிஸ்ஸாட்டின் இண்டிகாட்ரிக்ஸ் போன்ற அசல் (விரிவாக்கப்பட்ட) எல்லையற்ற வட்டத்திற்கு பதிலாக, சில காட்சி முறைகள் வரைபடத்தின் ஒரு பகுதியை பரப்பும் வரையறுக்கப்பட்ட வடிவங்களை முன்வைக்கின்றன. எடுத்துக்காட்டாக, நிலையான ஆரம் கொண்ட ஒரு சிறிய வட்டம் (எ. கா., 15 டிகிரி கோண ஆரம்). சில நேரங்களில் கோள முக்கோணங்கள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. 20 ஆம் நூற்றாண்டின் முதல் பாதியில், ஒரு மனித தலையை வெவ்வேறு கணிப்புகளில் முன்வைப்பது பொதுவானது, இது ஒரு திட்டத்திற்கு இடையே மற்றொரு திட்டத்துடன் ஒப்பிடும்போது சிதைவு எவ்வாறு மாறுபடுகிறது என்பதைக் காட்டுகிறது. மாறும் ஊடகங்களில், பழக்கமான கடற்கரைகள் மற்றும் எல்லைகளின் வடிவங்கள் ஒரு ஊடாடும் வரைபடத்தின் குறுக்கே இழுக்கப்படலாம், இது வரைபடத்தில் உள்ள நிலைக்கு ஏற்ப அளவு மற்றும் வடிவங்களை எவ்வாறு சிதைக்கிறது என்பதைக் காட்டுகிறது. உள்ளூர் சிதைவைக் காட்சிப்படுத்துவதற்கான மற்றொரு வழி சாம்பல் அல்லது வண்ண தரப்படுத்தல்கள் வழியாகும், அதன் நிழல் கோண சிதைவு அல்லது பகுதி பணவீக்கத்தின் அளவைக் குறிக்கிறது. சில நேரங்களில் இரண்டும் ஒரே நேரத்தில் இரண்டு வண்ணங்களை கலப்பதன் மூலம் இரு வேறுபட்ட வரைபடத்தை உருவாக்குகின்றன. ஒரு கட்டத்தில் மட்டுமல்லாமல் பிராந்தியங்கள் முழுவதும் உலகளவில் சிதைவை அளவிடுவது ஒரு சமரசத்தை அடைய முன்னுரிமைகளைத் தேர்ந்தெடுப்பதை உள்ளடக்கியது. சில திட்டங்கள் கோண சிதைவு மற்றும் ஏரியல் பணவீக்கத்தின் கலவையை தொலைதூர விலகலாக பயன்படுத்துகின்றன; அத்தகைய முறைகள் தன்னிச்சையாக எந்த பாதைகளை அளவிட வேண்டும் மற்றும் ஒரு முடிவை வழங்குவதற்காக அவற்றை எவ்வாறு எடைபோட வேண்டும் என்பதைத் தேர்ந்தெடுக்கின்றன. பலர் விவரிக்கப்பட்டுள்ளனர். வடிவமைப்பு மற்றும் கட்டுமானம் ஒரு வரைபடத் திட்டத்தை உருவாக்குவது இரண்டு படிகளை உள்ளடக்கியதுஃ பூமி அல்லது கிரக உடலின் வடிவத்திற்கான ஒரு மாதிரியைத் தேர்ந்தெடுப்பது (பொதுவாக ஒரு கோளம் அல்லது நீள்வட்டத்திற்கு இடையில் தேர்வு செய்வது). பூமியின் உண்மையான வடிவம் ஒழுங்கற்றதாக இருப்பதால், இந்த கட்டத்தில் தகவல்கள் இழக்கப்படுகின்றன. புவியியல் ஆயத்தொகுதிகளை (தீர்க்கரேகை மற்றும் அட்சரேகை) கார்ட்டீசியன் (x, y) அல்லது துருவ (r, θ) தள ஆயத்தொகுதிகளாக மாற்றுதல். பெரிய அளவிலான வரைபடங்களில், கார்ட்டீசியன் ஆயத்தொலைவுகள் பொதுவாக கிழக்கு மற்றும் வடக்குப் பகுதிகளுடன் ஒரு எளிய தொடர்பைக் கொண்டுள்ளன, அவை திட்டத்தின் மீது மிகைப்படுத்தப்பட்ட கட்டமாக வரையறுக்கப்படுகின்றன. சிறிய அளவிலான வரைபடங்களில், கிழக்கு மற்றும் வடக்கு பகுதிகள் அர்த்தமுள்ளவை அல்ல, மேலும் கட்டங்கள் மிகைப்படுத்தப்படவில்லை. சில எளிய வரைபட கணிப்புகள் நேரடி கணிப்புகளாகும், இது ஒரு ஒளி மூலத்தை பூகோளத்துடன் தொடர்புடைய ஒரு திட்டவட்டமான கட்டத்தில் வைப்பதன் மூலமும், அதன் அம்சங்களை ஒரு குறிப்பிட்ட மேற்பரப்பில் முன்வைப்பதன் மூலமும் பெறப்படுகிறது. பெரும்பாலான கணிப்புகள் இந்த வழியில் வரையறுக்கப்படவில்லை என்றாலும், ஒளி மூல-புவி மாதிரியை சித்தரிப்பது ஒரு வரைபடத் திட்டத்தின் அடிப்படை கருத்தைப் புரிந்துகொள்ள உதவியாக இருக்கும். ஒரு ப்ரொஜெக்ஷன் மேற்பரப்பைத் தேர்ந்தெடுப்பது ஒரு தளம் அல்லது தாளுக்குள் நீட்டவோ, கிழிக்கவோ அல்லது சுருங்கவோ இல்லாமல் அவிழ்க்கவோ அல்லது உருட்டவோக்கூடிய மேற்பரப்பு வளர்ச்சியடையக்கூடிய மேற்பரப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது. உருளை, கூம்பு மற்றும் தளம் அனைத்தும் வளர்ச்சியடையக்கூடிய மேற்பரப்புகள் ஆகும். கோளம் மற்றும் நீள்வட்டத்தில் வளர்ச்சியடையக்கூடிய மேற்பரப்புகள் இல்லை, எனவே ஒரு விமானத்தில் அவற்றை எந்த திட்டமும் படத்தை சிதைக்க வேண்டும். (ஒப்பிடுகையில், ஒரு ஆரஞ்சு தோலை கிழித்து வளைக்காமல் தட்டையாக மாற்ற முடியாது.) ஒரு திட்டத்தை விவரிப்பதற்கான ஒரு வழி, முதலில் பூமியின் மேற்பரப்பில் இருந்து உருளை அல்லது கூம்பு போன்ற வளர்ச்சியடையக்கூடிய மேற்பரப்புக்கு முன்னோக்கிச் செல்வதும், பின்னர் மேற்பரப்பை ஒரு தளத்திற்குள் உருட்டுவதும் ஆகும். முதல் படி தவிர்க்க முடியாமல் பூகோளத்தின் சில பண்புகளை சிதைக்கும் அதே வேளையில், வளர்ச்சியடையக்கூடிய மேற்பரப்பை மேலும் சிதைக்காமல் வெளிப்படுத்தலாம். ஒரு உருளை, கூம்பு அல்லது தளத்தின் மீது முன்நோக்கிச் செல்வதற்கு இடையே ஒரு தேர்வு செய்யப்பட்டவுடன், வடிவத்தின் அம்சம் குறிப்பிடப்பட வேண்டும். வளர்ச்சியடையக்கூடிய மேற்பரப்பு பூகோளத்துடன் ஒப்பிடுகையில் எவ்வாறு வைக்கப்படுகிறது என்பதை இந்த அம்சம் விவரிக்கிறதுஃ இது இயல்பானதாக இருக்கலாம் (அதாவது மேற்பரப்பின் சமச்சீர் அச்சு பூமியின் அச்சுடன் ஒத்துப்போகிறது), குறுக்கு (பூமியின் அச்சுக்கு சரியான கோணங்களில்) அல்லது சாய்ந்திருக்கலாம் (இடையில் எந்த கோணமும்). குறிப்பிடத்தக்க கோடுகள் வளர்ச்சியடையக்கூடிய மேற்பரப்பு கோளம் அல்லது நீள்வட்டத்திற்கு தொடுகோடு அல்லது மறைமுகமாகவும் இருக்கலாம். தொடுகோடு என்றால் மேற்பரப்பு தொடுகிறது, ஆனால் பூகோளத்தின் வழியாக வெட்டுவதில்லை; செகண்ட் என்றால் மேற்பரப்பு பூகோளத்தின் வழியாக வெட்டுகிறது. வளர்ச்சியடையக்கூடிய மேற்பரப்பை பூகோளத்துடன் தொடர்புகொள்வதிலிருந்து நகர்த்துவது ஒருபோதும் மெட்ரிக் பண்புகளைப் பாதுகாப்பதில்லை அல்லது மேம்படுத்துவதில்லை, எனவே அந்த சாத்தியம் இங்கே மேலும் விவாதிக்கப்படவில்லை. தொடுகோட்டு மற்றும் செகண்ட் கோடுகள் (நிலையான கோடுகள்) பட்டியலிடப்படாமல் குறிப்பிடப்படுகின்றன. இந்த கோடுகள் அட்சரேகைக்கு இணையாக இருந்தால், கூம்பு கணிப்புகளைப் போலவே, இது ஒரு நிலையான இணையாக அழைக்கப்படுகிறது. மத்திய மெரிடியன் என்பது பூகோளத்தை முன்நோக்கி சுழற்றும் மெரிடியன் ஆகும். மைய மெரிடியன் (பொதுவாக எழுதப்பட்ட λ) மற்றும் தோற்றத்தின் இணையான (பொதுவாக எழுதப்பட்ட φ) பெரும்பாலும் வரைபடத் திட்டத்தின் தோற்றத்தை வரையறுக்கப் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. அனைத்து திசைகளிலும் முழு வரைபடத்திலும் நிலையான அளவுடன் பூமியைக் குறிக்க ஒரே வழி ஒரு கோளம். ஒரு வரைபடம் எவ்வளவு சிறியதாக இருந்தாலும், எந்தப் பகுதிக்கும் அந்த சொத்தை அடைய முடியாது. இருப்பினும், இது குறிப்பிட்ட கோடுகளில் நிலையான அளவை அடைய முடியும். சில சாத்தியமான பண்புகள்ஃ அளவுகோல் இருப்பிடத்தைப் பொறுத்தது, ஆனால் திசையைப் பொறுத்தது அல்ல. இது கோணங்களைப் பாதுகாப்பதற்கு சமம், இது ஒரு இணக்கமான வரைபடத்தின் வரையறுக்கும் பண்பு. இணையான திசையில் எந்த இணையிலும் அளவுகோல் நிலையானது. இது இயல்பான அம்சத்தில் எந்த உருளை அல்லது சூடோசைலிண்ட்ரிகல் திட்டத்திற்கும் பொருந்தும். மேலே உள்ளவற்றின் இணைப்புஃ அளவுகோல் அட்சரேகையை மட்டுமே சார்ந்துள்ளது, தீர்க்கரேகை அல்லது திசையை சார்ந்தது அல்ல. இது சாதாரண அம்சத்தில் மெர்கேட்டர் திட்டத்திற்கு பொருந்தும். ஒரு குறிப்பிட்ட புவியியல் இடத்திலிருந்து வெளிப்படும் அனைத்து நேர் கோடுகளிலும் அளவுகோல் நிலையானது. இது அசிமுத்தல் சம தூரத் திட்டம் போன்ற சம தூரத் திட்டத்தின் வரையறுக்கும் பண்பு ஆகும். இரண்டு புள்ளிகளிலிருந்து உண்மையான தூரங்கள் பாதுகாக்கப்படும் கணிப்புகளும் (மௌரரின் இரண்டு புள்ளி சம தூரத் திட்டம், நெருக்கமானது) உள்ளன. உடலின் வடிவத்திற்கு ஒரு மாதிரியைத் தேர்ந்தெடுப்பது பூமியின் அல்லது கிரக உடலின் வடிவம் எவ்வாறு தோராயமாக மதிப்பிடப்படுகிறது என்பதன் மூலம் பாதிக்கப்படுகிறது. திட்டப் பிரிவுகள் பற்றிய பின்வரும் பிரிவில், விவாதத்தை எளிதாக்குவதற்காக பூமி ஒரு கோளமாக எடுத்துக் கொள்ளப்படுகிறது. இருப்பினும், பூமியின் உண்மையான வடிவம் ஒரு புற நீள்வட்டத்திற்கு நெருக்கமாக உள்ளது. கோளமாக இருந்தாலும் சரி நீள்வட்டமாக இருந்தாலும் சரி, விவாதிக்கப்பட்ட கோட்பாடுகள் பொதுவான தன்மையை இழக்காமல் உள்ளன. பூமியின் வடிவத்திற்கு ஒரு மாதிரியைத் தேர்ந்தெடுப்பது என்பது ஒரு கோளத்தின் நன்மைகள் மற்றும் தீமைகள் மற்றும் ஒரு நீள்வட்டத்திற்கு இடையில் தேர்வு செய்வதை உள்ளடக்கியது. உலக அட்லஸ்கள் மற்றும் கோளங்கள் போன்ற சிறிய அளவிலான வரைபடங்களுக்கு கோள மாதிரிகள் பயனுள்ளதாக இருக்கும், ஏனெனில் அந்த அளவில் உள்ள பிழை பொதுவாக கவனிக்கப்படுவதில்லை அல்லது மிகவும் சிக்கலான நீள்வட்டத்தைப் பயன்படுத்துவதை நியாயப்படுத்தும் அளவுக்கு முக்கியமானது அல்ல. நீள்வட்ட மாதிரி பொதுவாக நிலப்பரப்பு வரைபடங்களை உருவாக்குவதற்கும், நில மேற்பரப்பை துல்லியமாக சித்தரிக்க வேண்டிய பிற பெரிய மற்றும் நடுத்தர அளவிலான வரைபடங்களுக்கும் பயன்படுத்தப்படுகிறது. துணை அட்சரேகைகள் பெரும்பாலும் நீள்வட்டத்தை முன்வைப்பதில் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. மூன்றாவது மாதிரி ஜியோயிட் ஆகும், இது பூமியின் வடிவத்தின் மிகவும் சிக்கலான மற்றும் துல்லியமான பிரதிநிதித்துவம், காற்று, அலைகள் அல்லது நிலம் இல்லையென்றால் கடல் மட்டம் என்னவாக இருக்கும் என்பதோடு ஒத்துப்போகிறது. சிறந்த பொருத்தமான நீள்வட்டத்துடன் ஒப்பிடும்போது, ஒரு புவியியல் மாதிரி தூரம், இணக்கம் மற்றும் சமநிலை போன்ற முக்கியமான பண்புகளின் தன்மையை மாற்றும். எனவே, அத்தகைய பண்புகளைப் பாதுகாக்கும் புவியியல் கணிப்புகளில், வரைபடம் செய்யப்பட்ட கிராடிகுல் ஒரு வரைபட நீள்வட்ட கிராடிகுலிலிருந்து விலகிச் செல்லும். இருப்பினும், பூமியின் வடிவம் மிகவும் வழக்கமானதாக இருப்பதால், பூமியின் ஆரம் 63 லட்சம் மீட்டரில் இருந்து நீள்வட்ட மாதிரியிலிருந்து 100 மீட்டருக்கும் குறைவான புவி வடிவத்தின் அலைவரிசையுடன் பொதுவாக புவியியல் பூமியின் மாதிரியாக பயன்படுத்தப்படுவதில்லை. இருப்பினும், சிறுகோள்கள் போன்ற ஒழுங்கற்ற கிரக உடல்களுக்கு, சில நேரங்களில் ஜியோடை ஒத்த மாதிரிகள் வரைபடங்களை முன்வைக்க பயன்படுத்தப்படுகின்றன. பிற வழக்கமான திடப்பொருட்கள் சில நேரங்களில் சிறிய உடல்களின் புவியியல் சமமானவற்றுக்கான பொதுமைப்படுத்தல்களாகப் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. எடுத்துக்காட்டாக, ஐஓ முக்கோண நீள்வட்டத்தால் அல்லது சிறிய விசித்திரங்களுடன் புரோலேட்டட் ஸ்பைராய்டால் சிறப்பாக வடிவமைக்கப்பட்டுள்ளது. ஹ்யூமியாவின் வடிவம் ஒரு ஜாகோபி நீள்வட்டமாகும், அதன் முக்கிய அச்சு அதன் சிறியதை விட இரண்டு மடங்கு நீளமாகவும், அதன் நடுத்தர அச்சு அதன் சிறியதை விட ஒன்றரை மடங்கு நீளமாகவும் உள்ளது. மேலும் தகவல்களுக்கு முக்கோண நீள்வட்டத்தின் வரைபடத் திட்டத்தைப் பார்க்கவும். வகைப்பாடு வரைபடக் கணிப்புகளை வகைப்படுத்துவதற்கான ஒரு வழி, பூகோளத்தின் மேற்பரப்பின் வகையை அடிப்படையாகக் கொண்டது. இந்த திட்டத்தில், திட்ட செயல்முறை ஒரு கற்பனையான திட்ட மேற்பரப்பை பூமியின் ஒரு பகுதியுடன் தொடர்பு கொண்டு விரும்பிய ஆய்வு பகுதியின் அளவை வைப்பது, பூமியின் மேற்பரப்பின் அம்சங்களை திட்ட மேற்பரப்பில் மாற்றுவது, பின்னர் திட்ட மேற்பரப்பை அவிழ்த்து அளவிடுவது என்று விவரிக்கப்படுகிறது. மிகவும் பொதுவான திட்ட மேற்பரப்புகள் உருளை (எ. கா., மெர்கேட்டர்), கூம்பு (எ. கா., ஆல்பர்ஸ்) மற்றும் பிளானர் (எ. கா., ஸ்டீரியோகிராஃபிக்) ஆகும். இருப்பினும், பல கணித கணிப்புகள் இந்த மூன்று திட்ட முறைகளில் எதற்கும் நேர்த்தியாக பொருந்தவில்லை. எனவே பிற சக பிரிவுகள் இலக்கியத்தில் விவரிக்கப்பட்டுள்ளன, அதாவது சூடோகோனிக், சூடோசைலிண்ட்ரிக்கல், சூடோஅசிமுத்தல், ரெட்ரோஅசிமுத்தல் மற்றும் பாலிகோனிக். கணிப்புகளை வகைப்படுத்துவதற்கான மற்றொரு வழி அவை பாதுகாக்கும் மாதிரியின் பண்புகளின்படி உள்ளது. மிகவும் பொதுவான வகைகளில் சில பின்வருமாறுஃ ஒன்று அல்லது இரண்டு புள்ளிகளிலிருந்து ஒவ்வொரு புள்ளிக்கும் மட்டுமே சாத்தியமான திசையைப் பாதுகாத்தல் (அசிமுதல் அல்லது ஜெனிதல்), ஒரு பண்பு உள்ளூரில் வடிவத்தைப் பாதுகாத்தல் (இணக்கமான அல்லது ஆர்த்தோமார்பிக்) பாதுகாக்கும் பரப்பளவு (சமமான பகுதி அல்லது சமமான அல்லது சமமான அல்லது ஆக்கபூர்வமான) தூரத்தைப் பாதுகாத்தல் (சமமான தூரம்), ஒன்று அல்லது இரண்டு புள்ளிகளுக்கு இடையில் மட்டுமே சாத்தியமான ஒரு பண்பு மற்றும் ஒவ்வொரு புள்ளிக்கும் குறுகிய பாதையைப் பாதுகாத்தல், க்னோமோனிக் திட்டத்தால் மட்டுமே பாதுகாக்கப்படும் ஒரு பண்பு, கோளம் ஒரு வளர்ச்சியடையக்கூடிய மேற்பரப்பு அல்ல என்பதால், சமமான பகுதி மற்றும் இணக்கமான ஒரு வரைபடத் திட்டத்தைக் கட்டுவது சாத்தியமில்லை. மேற்பரப்பு மூலம் கணிப்புகள் மூன்று வளர்ச்சியடையக்கூடிய மேற்பரப்புகள் (தளம், உருளை, கூம்பு) வரைபட கணிப்புகளைப் புரிந்துகொள்வதற்கும், விவரிப்பதற்கும், உருவாக்குவதற்கும் பயனுள்ள மாதிரிகளை வழங்குகின்றன. இருப்பினும், இந்த மாதிரிகள் இரண்டு அடிப்படை வழிகளில் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளன. ஒரு விஷயம் என்னவென்றால், பயன்பாட்டில் உள்ள பெரும்பாலான உலக கணிப்புகள் அந்த வகைகளில் எதிலும் இல்லை. மற்றொரு விஷயம் என்னவென்றால், அந்த வகைகளுக்குள் வரும் பெரும்பாலான கணிப்புகள் கூட இயற்பியல் திட்டத்தின் மூலம் இயற்கையாகவே அடைய முடியாது. எல். பி. லீ குறிப்பிடுவது போல், லீயின் ஆட்சேபனை என்பது உருளை, கூம்பு மற்றும் பிளானர் (அஜீமுதல்) என்ற சொற்கள் வரைபட கணிப்புகளின் துறையில் சுருக்கமாக குறிப்பிடப்பட்ட விதத்தைக் குறிக்கிறது. ஒரு வளரும் மேற்பரப்பில் ஒரு கோளத்தின் வழியாக பிரகாசிக்கும் ஒளியைப் போல வரைபடங்கள் திட்டமிடப்பட்டால், இணைகளின் இடைவெளி மிகவும் வரையறுக்கப்பட்ட சாத்தியக்கூறுகளைப் பின்பற்றும். அத்தகைய உருளைத் திட்டம் (எடுத்துக்காட்டாக) இதுஃ செவ்வக வடிவமானது; நேராக செங்குத்து மெரிடியன்களைக் கொண்டுள்ளது, சம இடைவெளியில் உள்ளது; பூமத்திய ரேகைப் பற்றி நேராக இணையாக சமச்சீராக வைக்கப்பட்டுள்ளது; பூகோளத்தின் வழியாக உருளை மீது ஒளி பிரகாசிக்கும்போது அவை விழும் இடத்திற்கு இணையாக உள்ளன, ஒளி மூலத்துடன் பூமத்திய ரேகை மற்றும் கோளத்தின் மையத்துடன் பிரதான மெரிடியனின் குறுக்குவெட்டால் உருவாக்கப்பட்ட கோட்டில் எங்காவது ஒளி மூலத்துடன். (நீங்கள் முன்நோக்கிச் செல்வதற்கு முன்பு பூகோளத்தை சுழற்றினால், இணைகளும் மெரிடியன்களும் இன்னும் நேர் கோடுகளாக இருக்க வேண்டிய அவசியமில்லை. சுழற்சிகள் பொதுவாக வகைப்பாட்டின் நோக்கத்திற்காக புறக்கணிக்கப்படுகின்றன.) இந்த கடைசி தடையில் விவரிக்கப்பட்டுள்ள கோடு வழியாக ஒளி ஆதாரம் வெளிப்படும் இடத்தில் தான் பல்வேறு "இயற்கை" உருளை கணிப்புகளுக்கு இடையிலான வேறுபாடுகளை வழங்குகிறது. ஆனால் வரைபட கணிப்புகளின் துறையில் பயன்படுத்தப்படும் உருளை என்ற சொல் கடைசி தடையை முற்றிலும் தளர்த்துகிறது. அதற்கு பதிலாக வரைபடத்தின் தேவைகளுக்கு ஏற்ப வடிவமைப்பாளர் முடிவு செய்த எந்தவொரு வழிமுறையின் படி இணைகளை வைக்கலாம். புகழ்பெற்ற மெர்கேட்டர் ப்ரொஜெக்ஷன் என்பது இணைகளை அமைப்பது ப்ரொஜெக்ஷன் மூலம் எழாத ஒன்றாகும்; அதற்கு பதிலாக இணைகள் வைக்கப்படுகின்றன, அவை நிலையான தாங்கி ஒரு போக்கை எப்போதும் ஒரு நேர்கோட்டாக திட்டமிடும் பண்பை திருப்திப்படுத்த அவை எப்படி இருக்க வேண்டும். உருளை இயல்பான உருளை ஒரு இயல்பான உருளைத் திட்டம் என்பது எந்த ஒரு திட்டமாகும், இதில் மெரிடியன்கள் சம இடைவெளி செங்குத்து கோடுகளுடன் வரைபடமாக்கப்படுகின்றன மற்றும் அட்சரேகையின் வட்டங்கள் (இணைகள்) கிடைமட்ட கோடுகளுடன் வரைபடமாக்கப்படுகின்றன. செங்குத்து கோடுகளுக்கு மெரிடியன்களின் வரைபடத்தை ஒரு உருளை கற்பனை செய்வதன் மூலம் காட்சிப்படுத்தலாம், அதன் அச்சு பூமியின் சுழற்சி அச்சுடன் ஒத்துப்போகிறது. இந்த உருளை பூமியைச் சுற்றி மூடப்பட்டு, அதன் மீது செலுத்தப்பட்டு, பின்னர் அவிழ்க்கப்படுகிறது. அவற்றின் கட்டுமானத்தின் வடிவவியலின் படி, உருளை கணிப்புகள் கிழக்கு-மேற்கு தூரத்தை நீட்டிக்கின்றன. அனைத்து உருளை கணிப்புகளிலும் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட எந்த அட்சரேகையிலும் நீட்சியின் அளவு ஒரே மாதிரியாக இருக்கும், மேலும் இது பூமத்திய ரேகை அளவின் பெருக்கமாக அட்சரேகையின் செகண்ட் மூலம் வழங்கப்படுகிறது. பல்வேறு உருளை கணிப்புகள் அவற்றின் வடக்கு-தெற்கு நீட்சியால் மட்டுமே ஒருவருக்கொருவர் வேறுபடுகின்றன (அங்கு அட்சரேகை φ ஆல் வழங்கப்படுகிறது): வடக்கு-தெற்கு நீட்சி கிழக்கு-மேற்கு நீட்சிக்கு சமம் (செக் φ): கிழக்கு-மேற்கு அளவுகோல் வடக்கு-தெற்கு அளவுகோலுடன் பொருந்துகிறதுஃ இணக்கமான உருளை அல்லது மெர்கேட்டர்; இது அதிக அட்சரேகைகளில் அதிகப்படியான பகுதிகளை சிதைக்கிறது. வடக்கு-தெற்கு நீட்சி கிழக்கு-மேற்கு நீட்சி (செகண்ட் φ) ஐ விட அட்சரேகையுடன் வேகமாக வளர்கிறதுஃ உருளை முன்னோக்கு (அல்லது மத்திய உருளை) திட்டம்; பொருத்தமற்றது, ஏனெனில் விலகல் மெர்கேட்டர் திட்டத்தை விட மோசமாக உள்ளது. வடக்கு-தெற்கு நீட்சி அட்சரேகையுடன் வளர்கிறது, ஆனால் கிழக்கு-மேற்கு நீட்சியை விட குறைவான வேகத்தில்ஃ மில்லர் உருளைத் திட்டம் (செக் φ) போன்றவை. வடக்கு-தெற்கு தூரங்கள் நீட்டப்படவோ அல்லது சுருக்கப்படவோ இல்லை (1): சமமான செவ்வகத் திட்டம் அல்லது "தட்டு கேரி". வடக்கு-தெற்கு சுருக்கம் அட்சரேகையின் கொசைனுக்கு சமம் (கிழக்கு-மேற்கு நீட்சியின் பரஸ்பரம்): சம-பகுதி உருளை. இந்த திட்டமானது கோல்-பீட்டர்ஸ் அல்லது கால் ஆர்த்தோகிராஃபிக் (45 டிகிரி இணைகளில் பட்டியலிடப்படாதது), பெர்மான் (30 டிகிரி இணைகளில் பட்டியலிடப்படாதது) மற்றும் லம்பேர்ட் உருளை சம பகுதி (பூமத்திய ரேகைக்கு பட்டியலிடப்படாதது) போன்ற அளவீட்டு மாறிலியில் மட்டுமே வேறுபடும் பல பெயரிடப்பட்ட சிறப்புகளைக் கொண்டுள்ளது. இந்த திட்டம் வடக்கு-தெற்கு தூரங்களை கிழக்கு-மேற்கு நீட்சியின் பரஸ்பரத்தால் அளவிடுவதால், இது வடிவங்களின் செலவில் பரப்பளவைப் பாதுகாக்கிறது. முதல் வழக்கில் (மெர்கேட்டர்), கிழக்கு-மேற்கு அளவுகோல் எப்போதும் வடக்கு-தெற்கு அளவுகோலுக்கு சமமாக இருக்கும். இரண்டாவது வழக்கில் (மத்திய உருளை), வட-தெற்கு அளவுகோல் பூமத்திய ரேகைக்கு அப்பால் உள்ள எல்லா இடங்களிலும் கிழக்கு-மேற்கு அளவை விட அதிகமாக உள்ளது. மீதமுள்ள ஒவ்வொரு வழக்கிலும் ஒரு ஜோடி செகண்ட் கோடுகள் உள்ளன-எதிர் அடையாளத்தின் ஒத்த அட்சரேகைகளின் ஒரு ஜோடி (அல்லது பூமத்திய ரேகை) இதில் கிழக்கு-மேற்கு அளவுகோல் வடக்கு-தெற்கு அளவுடன் பொருந்துகிறது. சாதாரண உருளை கணிப்புகள் முழு பூமியையும் ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட செவ்வகமாக வரைபடமாக்குகின்றன, முதல் இரண்டு நிகழ்வுகளைத் தவிர, செவ்வகம் நிலையான அகலத்தைத் தக்க வைத்துக் கொண்டு எல்லையற்ற உயரத்தை நீட்டிக்கிறது. குறுக்கு உருளை ஒரு குறுக்கு உருளைத் திட்டம் என்பது ஒரு உருளைத் திட்டமாகும், இது தொடுகோடு வழக்கில் ஒரு மெரிடியனுடன் ஒரு பெரிய வட்டத்தை உருளைக்கான தொடர்புக் கோடாகப் பயன்படுத்துகிறது. பார்க்கஃ குறுக்கு மெர்கேட்டர். சாய்ந்த உருளை ஒரு சாய்ந்த உருளைத் திட்டம் ஒரு பெரிய வட்டத்துடன் சீரமைக்கிறது, ஆனால் பூமத்திய ரேகை அல்ல, ஒரு மெரிடியன் அல்ல. சூடோசைலிண்டிரிக்கல் சூடோசைலிண்டிரிக்கல் கணிப்புகள் மைய மெரிடியனை ஒரு நேர் கோடு பிரிவாக பிரதிநிதித்துவப்படுத்துகின்றன. மற்ற மெரிடியன்கள் மத்திய மெரிடியனை விட நீளமானவை மற்றும் மத்திய மெரிடியனில் இருந்து விலகி வெளிப்புறமாக வளைகின்றன. சூடோசைலிண்ட்ரிகல் கணிப்புகள் வரைபடம் நேர் கோடுகளாக இணையாக உள்ளன. இணையாக, மேற்பரப்பில் இருந்து ஒவ்வொரு புள்ளியும் மத்திய தீர்க்கரேகையிலிருந்து தொலைவில் வரைபடமாக்கப்பட்டுள்ளது, இது மத்திய தீர்க்கரேகையிலிருந்து தீர்க்கரேகையில் உள்ள வேறுபாட்டிற்கு விகிதாசாரமாகும். எனவே, மெரிடியன்கள் கொடுக்கப்பட்ட இணையாக சமமாக உள்ளன. ஒரு சூடோசைலிண்ட்ரிகல் வரைபடத்தில், பூமத்திய ரேகைக்கு அப்பால் உள்ள எந்த புள்ளியும் மற்ற புள்ளியை விட அதிக அட்சரேகையைக் கொண்டுள்ளது, இது வடக்கு-தெற்கு உறவுகளைப் பாதுகாக்கிறது. காலநிலை போன்ற அட்சரேகையை சார்ந்த நிகழ்வுகளை விளக்கும் போது இந்த பண்பு பயனுள்ளதாக இருக்கும். சூடோசைலிண்டிரிக்கல் திட்டங்களின் எடுத்துக்காட்டுகள் பின்வருமாறுஃ சைனுசாய்டல், இது உருவாக்கப்பட்ட முதல் சூடோசைலிண்டிரிக்கல் திட்டமாகும். வரைபடத்தில், உண்மையில், ஒவ்வொரு இணையின் நீளமும் அட்சரேகையின் கொசைனுக்கு விகிதாசாரமாக இருக்கும். எந்தவொரு பிராந்தியத்தின் பரப்பளவு உண்மை. கொலிக்னான் திட்டம், அதன் மிகவும் பொதுவான வடிவங்களில் ஒவ்வொரு மெரிடியனையும் இரண்டு நேர் கோடு பிரிவுகளாகக் குறிக்கிறது, ஒவ்வொரு துருவத்திலிருந்தும் பூமத்திய ரேகைக்கு ஒன்று. ஹைப்ரிட் ஹீல்பிக்ஸ் ப்ரொஜெக்ஷன் பூமத்திய ரேகைப் பகுதிகளில் உள்ள சம-பகுதி உருளைத் திட்டத்தையும் துருவப் பகுதிகளில் உள்ள கொலிக்னான் திட்டத்தையும் ஒருங்கிணைக்கிறது. கோனிக் ப்ரொஜெக்ஷன் என்ற சொல் எந்த திட்டத்தையும் குறிக்கப் பயன்படுத்தப்படுகிறது, இதில் மெரிடியன்கள் உச்சியில் இருந்து வெளியேறும் சமமான இடைவெளி கோடுகளுக்கு வரைபடமாக்கப்படுகின்றன மற்றும் அட்சரேகை வட்டங்கள் (இணைகள்) உச்சியை மையமாகக் கொண்ட வட்ட வளைவுகளுக்கு வரைபடமாக்கப்படுகின்றன. ஒரு கூம்பு வரைபடத்தை உருவாக்கும் போது, வரைபடம் தயாரிப்பாளர் தன்னிச்சையாக இரண்டு நிலையான இணைகளை தேர்வு செய்கிறார். அந்த நிலையான இணைகள் கூம்பு பூகோளத்தை வெட்டுகின்ற செகண்ட் கோடுகளாகக் காட்சிப்படுத்தப்படலாம்-அல்லது, வரைபடம் தயாரிப்பாளர் அதே இணையை இரண்டு முறை தேர்வுசெய்தால், கூம்பு பூகோளத்திற்கு தொடுகோடு இருக்கும் தொடுகோடு கோடு போல. இதன் விளைவாக வரும் கூம்பு வரைபடம் அந்த நிலையான இணைகளுக்கு அருகிலுள்ள அளவு, வடிவம் மற்றும் பரப்பளவில் குறைந்த சிதைவைக் கொண்டுள்ளது. நிலையான இணைகளின் வடக்கே அல்லது இரண்டு நிலையான இணைகளின் தெற்கே உள்ள இணைகளில் உள்ள தூரங்கள் நீட்டிக்கப்பட்டுள்ளன; நிலையான இணைகளுக்கு இடையிலான இணைகளில் உள்ள தூரங்கள் சுருக்கப்படுகின்றன. ஒரு நிலையான இணையைப் பயன்படுத்தும்போது, மற்ற அனைத்து இணைகளிலும் உள்ள தூரங்கள் நீட்டிக்கப்படுகின்றன. பொதுவாகப் பயன்படுத்தப்படும் கூம்பு கணிப்புகள்ஃ சம தூர கூம்பு, இது ஒவ்வொரு மெரிடியனிலும் ஒரு நிலையான தூர அளவைப் பாதுகாக்க மெரிடியன்களுடன் சமமாக இடைவெளியில் இணையாக வைத்திருக்கிறது, பொதுவாக நிலையான இணைகளில் உள்ள அதே அல்லது ஒத்த அளவு. ஆல்பர்ஸ் கூம்பு, இது கிழக்கு-மேற்கு நீட்சி அல்லது சுருக்கத்தை ஈடுசெய்ய தரமற்ற இணைகளுக்கு இடையிலான வடக்கு-தெற்கு தூரத்தை சரிசெய்கிறது, இது ஒரு சம-பகுதி வரைபடத்தை வழங்குகிறது. லம்பேர்ட் இணக்கமான கூம்பு, இது கிழக்கு-மேற்கு நீட்சிக்கு சமமாக தரமற்ற இணைகளுக்கு இடையிலான வடக்கு-தெற்கு தூரத்தை சரிசெய்கிறது, இது ஒரு இணக்கமான வரைபடத்தை அளிக்கிறது. சூடோகோனிக் போன், ஒரு சம-பகுதி திட்டம், இதில் பெரும்பாலான மெரிடியன்கள் மற்றும் இணைகள் வளைந்த கோடுகளாகத் தோன்றுகின்றன. இது ஒரு கட்டமைக்கக்கூடிய நிலையான இணையைக் கொண்டுள்ளது, அதில் எந்த விலகலும் இல்லை. வெர்னர் கார்டிஃபார்ம், இதன் மீது ஒரு துருவத்திலிருந்து தூரங்கள் சரியானவை, அதே போல் அனைத்து இணைகளிலும். பாலிகோனிக் ப்ரொஜெக்ஷன் வகுப்பில் அமெரிக்க பாலிகோனிக் மற்றும் பிற கணிப்புகள். அசிமுத்தல் (ஒரு விமானத்தில் உள்ள கணிப்புகள்) அசிமுத்தல் கணிப்புகள் ஒரு மைய புள்ளியில் இருந்து திசைகள் பாதுகாக்கப்படும் பண்பைக் கொண்டுள்ளன, எனவே மையப் புள்ளியின் வழியாக பெரிய வட்டங்கள் வரைபடத்தில் நேரான கோடுகளால் குறிப்பிடப்படுகின்றன. இந்த கணிப்புகள் அளவுகோல்களில் ரேடியல் சமச்சீர்மையையும் கொண்டுள்ளன, எனவே சிதைவுகளில்ஃ மையப் புள்ளியில் இருந்து வரைபட தூரங்கள் கோணத்திலிருந்து சுயாதீனமாக உண்மையான தூரம் d இன் r (d) செயல்பாட்டால் கணக்கிடப்படுகின்றன; அதற்கேற்ப, மையப் புள்ளியை மையமாகக் கொண்ட வட்டங்கள் வரைபடத்தில் மையப் புள்ளியைக் கொண்ட வட்டங்களாக வரைபடமாக்கப்படுகின்றன. ரேடியல் கோடுகளின் வரைபடத்தை பூமிக்கு ஒரு சமதள தொடுகோடைக் கற்பனை செய்வதன் மூலம் காட்சிப்படுத்தலாம், மையப் புள்ளி தொடுகோடாக இருக்கும். ரேடியல் அளவுகோல் r′ (d) மற்றும் குறுக்கு அளவுகோல் r (d)/(R sin) இதில் R என்பது பூமியின் ஆரம். சில அசிமுத்தல் கணிப்புகள் உண்மையான முன்னோக்கு கணிப்புகளாகும்; அதாவது, அவை இயந்திர ரீதியாக கட்டமைக்கப்படலாம், பூமியின் மேற்பரப்பை ஒரு கண்ணோட்டத்தில் (எல்லையற்ற கோடு வழியாக தொடுகோட்டு புள்ளி மற்றும் தொடுகோட்டு புள்ளியின் எதிர் முனை வழியாக) கோடுகளை விமானத்தில் விரிவுபடுத்துவதன் மூலம் அவற்றை முன்வைக்கலாம்ஃ க்னோமோனிக் திட்டம் பெரிய வட்டங்களை நேர் கோடுகளாகக் காட்டுகிறது. பூமியின் மையத்தில் ஒரு முன்னோக்கு புள்ளியைப் பயன்படுத்தி கட்டமைக்கப்படலாம். r (d) = c டான்; இதனால் ஒரு அரைக்கோளம் கூட ஏற்கனவே எல்லையற்ற அளவில் உள்ளது. ஆர்த்தோகிராஃபிக் ப்ரொஜெக்ஷன் பூமியில் உள்ள ஒவ்வொரு புள்ளியையும் விமானத்தின் மிக நெருக்கமான புள்ளிக்கு வரைபடமாக்குகிறது. தொடுகோட்டு புள்ளியில் இருந்து எல்லையற்ற தூரத்தை ஒரு கண்ணோட்டத்தில் கட்டமைக்க முடியும்; r (d) = c sin. ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட வட்டத்தில் ஒரு அரைக்கோளம் வரை காட்ட முடியும். சந்திரன் போன்ற தொலைதூரத்திலிருந்து பூமியின் புகைப்படங்கள் இந்த கண்ணோட்டத்தை தோராயமாக மதிப்பிடுகின்றன. அருகிலுள்ள பக்க முன்னோக்கு திட்டம், இது ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட தூரத்தில் விண்வெளியில் இருந்து பார்வையை உருவகப்படுத்துகிறது, எனவே நீல பளிங்கு 2012 இல் பயன்படுத்தப்பட்டதைப் போல ஒரு முழு அரைக்கோளத்திற்கும் குறைவாகவே காட்டுகிறது). பூமிக்கு வெளியே ஒரு முன்னோக்கு புள்ளியைப் பயன்படுத்தி பொது முன்னோக்கு திட்டத்தைக் கட்டமைக்க முடியும். பூமியின் புகைப்படங்கள் (சர்வதேச விண்வெளி நிலையத்திலிருந்து எடுக்கப்பட்டவை போன்றவை) இந்த கண்ணோட்டத்தை அளிக்கின்றன. இது சாய்வதை அனுமதிக்கும் அருகிலுள்ள பக்க முன்னோக்கு திட்டத்தின் பொதுமைப்படுத்தலாகும். ஸ்டீரியோகிராஃபிக் ப்ரொஜெக்ஷன், இணக்கமானது, தொடுகோட்டு புள்ளியின் ஆன்டிபோட்டை முன்னோக்கு புள்ளியாகப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் கட்டமைக்கப்படலாம். r (d) = c டன்; அளவுகோல் c/(2R cos) ஆகும். கிட்டத்தட்ட முழு கோளத்தின் மேற்பரப்பையும் ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட வட்டத்தில் காட்ட முடியும். கோளத்தின் முழு மேற்பரப்புக்கு எல்லையற்ற வரைபடம் தேவைப்படுகிறது. பிற அசிமுத்தல் கணிப்புகள் உண்மையான முன்னோக்கு கணிப்புகள் அல்லஃ அசிமுத்தல் சம தூரம்ஃ r (d) = cd; இது தன்னார்வ வானொலி ஆபரேட்டர்களால் தங்கள் ஆண்டெனாக்களை ஒரு புள்ளியை நோக்கி சுட்டிக்காட்டவும், அதற்கு தூரத்தைக் காணவும் திசையை அறிய பயன்படுத்தப்படுகிறது. வரைபடத்தில் உள்ள தொடுகோட்டு புள்ளியில் இருந்து தூரம் பூமியின் மேற்பரப்பு தூரத்திற்கு விகிதாசாரமாக உள்ளது (வட துருவத்தில் தொடுகோட்டு புள்ளி இருந்தால், ஐக்கிய நாடுகளின் கொடியைப் பார்க்கவும்) லம்பேர்ட் அசிமுத்தல் சம பகுதி. வரைபடத்தில் உள்ள தொடுகோட்டு புள்ளியில் இருந்து தூரம் பூமியின் வழியாக நேரான கோடு தூரத்திற்கு விகிதாசாரமாக உள்ளதுஃ r (d) = c சைன் லோகரிதமிக் அஜீமுதல் கட்டப்பட்டுள்ளது, இதனால் வரைபடத்தின் மையத்திலிருந்து ஒவ்வொரு புள்ளியின் தூரமும் பூமியில் உள்ள தொடுகோட்டு புள்ளியில் இருந்து அதன் தூரத்தின் மடக்கை ஆகும். r (d) = c ln); மாறிலி d0 க்கு சமமான தூரத்தை விட நெருக்கமான இடங்கள் காட்டப்படவில்லை. பாலிஹெட்ரல் பாலிஹெட்ரல் வரைபட கணிப்புகள் பூகோளத்தை முகங்களாகப் பிரிக்க ஒரு பாலிஹெட்ரானைப் பயன்படுத்துகின்றன, பின்னர் ஒவ்வொரு முகத்தையும் பூகோளத்திற்கு முன்வைக்கின்றன. மிகவும் நன்கு அறியப்பட்ட பாலிஹெட்ரல் வரைபடத் திட்டம் பக்மின்ஸ்டர் ஃபுல்லரின் டைமாக்சியன் வரைபடமாகும். ஒரு மெட்ரிக் பண்பைப் பாதுகாப்பதன் மூலம் கணிப்புகள் முறைசாரா அல்லது ஆர்த்தோமார்ஃபிக், வரைபட கணிப்புகள் உள்ளூரில் கோணங்களைப் பாதுகாக்கின்றன, அவை பூமியில் எங்கும் நிலையான அளவின் எல்லையற்ற வட்டங்களை வரைபடத்தில் மாறுபட்ட அளவுகளின் எல்லையற்ற வட்டங்களுக்கு வரைபடமாக்குகின்றன என்பதைக் குறிக்கிறது. இதற்கு மாறாக, இணக்கமற்ற வரைபடங்கள் அத்தகைய பெரும்பாலான சிறிய வட்டங்களை சிதைவின் நீள்வட்டங்களாக சிதைக்கிறது. இணக்கத்தின் ஒரு முக்கியமான விளைவு என்னவென்றால், வரைபடத்தின் ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் தொடர்புடைய கோணங்கள் சரியானவை, மேலும் எந்தவொரு ஒரு புள்ளியையும் சுற்றி ஒவ்வொரு திசையிலும் உள்ள உள்ளூர் அளவு (வரைபடம் முழுவதும் மாறுபடும் என்றாலும்) நிலையானது. இவை சில இணக்கமான கணிப்புகள்ஃ மெர்கேட்டர்ஃ ரம்ப் கோடுகள் நேரான பிரிவுகளால் குறிக்கப்படுகின்றன குறுக்கு மெர்கேட்டர் ஸ்டீரியோகிராஃபிக்ஃ ஒரு கோளத்தின் எந்த வட்டமும், பெரியது மற்றும் சிறியது, ஒரு வட்டம் அல்லது நேர் கோட்டின் வரைபடங்கள். ரௌஸ்சில் லம்பேர்ட் கான்ஃபார்மல் கோனிக் பியர்ஸ் குயின்கன்சியல் ப்ரொஜெக்ஷன் ஆடம்ஸ் அரைக்கோளத்தில் ஒரு சதுரம் ப்ரொஜெக்ஷன் கயூ அரைக்கோளத்தில் ஒரு சதுரம் ப்ரொஜெக்ஷன் சம-பகுதி சம-பகுதி வரைபடங்கள் பரப்பளவு அளவைப் பாதுகாக்கின்றன, பொதுவாக அவ்வாறு செய்ய வடிவங்களை சிதைக்கிறது. சம-பகுதி வரைபடங்கள் சமமானவை அல்லது ஆக்கபூர்வமானவை என்றும் அழைக்கப்படுகின்றன. பரப்பளவைப் பாதுகாக்கும் சில கணிப்புகள் இவைஃ ஆல்பர்ஸ் கூம்பு பாட்டம்லி கொலிக்னான் உருளை சம-பகுதி எக்கர்ட் II, IV மற்றும் VI சம பூமி கால் ஆர்த்தோகிராஃபிக் (கால்-பீட்டர்ஸ், அல்லது பீட்டர்ஸ், ப்ரொஜெக்ஷன் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது) குடேயின் ஹோமோலோசின் ஹேமர் ஹோபோ-டையர் லம்பேர்ட் அஜீமுதல் சம-பகுதி லம்பேர்ட் உருளை சம-பகுதி மோல்வீட் சைனுசாய்டல் ஸ்ட்ரெப் 1995 ஸ்னைடரின் சம-பகுதி பாலிஹெட்ரல் ப்ரொஜெக்ஷன், ஜியோடெசிக் கட்டங்களுக்கு பயன்படுத்தப்படுகிறது. விமானத்தில் இரண்டு திட்டமிடப்பட்ட புள்ளிகளை இணைக்கும் கோடு பிரிவின் நீளம் பூகோளத்தில் திட்டமிடப்படாத இரண்டு புள்ளிகளுக்கு இடையிலான புவியியல் (குறுகிய மேற்பரப்பு) தூரத்திற்கு விகிதாசாரமாக இருந்தால், அந்த இரண்டு புள்ளிகளுக்கு இடையிலான தூரம் பாதுகாக்கப்பட்டுள்ளது என்று நாம் கூறுகிறோம். ஒரு சம தூரத் திட்டம் ஒன்று அல்லது இரண்டு சிறப்பு புள்ளிகளிலிருந்து மற்ற அனைத்து புள்ளிகளுக்கும் உள்ள தூரத்தைப் பாதுகாக்கிறது. சிறப்பு புள்ளி அல்லது புள்ளிகள் திட்டமிடப்படும்போது ஒரு கோடு அல்லது வளைவு பிரிவில் நீட்டப்படலாம். அவ்வாறான நிலையில், அளவிடப்படும் புள்ளிக்கு மிக நெருக்கமான கோடு அல்லது வளைவு பிரிவில் உள்ள புள்ளி தூரத்தை அளவிட பயன்படுத்தப்பட வேண்டும். பிளேட் கேரிஃ இரண்டு துருவங்களிலிருந்தும் உள்ள தூரங்கள் பூமத்திய ரேகை அம்சத்தில் பாதுகாக்கப்பட்டுள்ளன. அசிமுத்தல் சம தூரம்ஃ மையம் மற்றும் விளிம்பிலிருந்து உள்ள தூரங்கள் பாதுகாக்கப்பட்டுள்ளன. சம தூர கூம்புஃ இரண்டு துருவங்களிலிருந்தும் உள்ள தூரங்கள் பூமத்திய ரேகை அம்சத்தில் பாதுகாக்கப்பட்டுள்ளன. வட துருவத்திலிருந்து வெர்னர் கார்டிஃபார்ம் தூரங்கள் பூமத்திய ரேகை அம்சத்தில் பாதுகாக்கப்பட்டுள்ளன. இரண்டு புள்ளி சம தூரம்ஃ இரண்டு "கட்டுப்பாட்டு புள்ளிகள்" வரைபடம் தயாரிப்பாளரால் தன்னிச்சையாக தேர்ந்தெடுக்கப்படுகின்றன; ஒவ்வொரு கட்டுப்பாட்டு புள்ளியிலிருந்தும் தூரங்கள் பாதுகாக்கப்படுகின்றன. க்னோமோனிக் பெரிய வட்டங்கள் நேர் கோடுகளாகக் காட்டப்படுகின்றனஃ க்னோமோனிக் ப்ரொஜெக்ஷன் ரெட்ரோஅசிமுத்தல் திசை ஒரு நிலையான இடம் B க்கு (குறுகிய பாதையின் தொடக்க இடத்தில் தாங்கி) வரைபடத்தில் உள்ள திசையை A முதல் B வரை ஒத்திருக்கிறதுஃ லிட்ரோ-ஒரே இணக்கமான ரெட்ரோஅசிமுத்தல் ப்ரொஜெக்ஷன் ஹாமர் ரெட்ரோஅசிமுத்தல்-மைய புள்ளியான கிரெய்க் ரெட்ரோஅசிமுத்தல் அல்லது மெக்கா அல்லது கிப்லாவிலிருந்து தூரத்தையும் பாதுகாக்கிறது-செங்குத்து மெரிடியன்களையும் கொண்டுள்ளது சமரச கணிப்புகள் சமரச கணிப்புகள் குறைபாடுகளுக்கு இடையில் சமநிலையைத் தாக்குவதற்குப் பதிலாக மெட்ரிக் பண்புகளை முழுமையாகப் பாதுகாக்கும் யோசனையை விட்டுவிடுகின்றன, அல்லது விஷயங்களை சரியாகத் தோற்றுவிக்கின்றன. இந்த வகையான கணிப்புகளில் பெரும்பாலானவை பூமத்திய ரேகை விட துருவப் பகுதிகளில் வடிவத்தை சிதைக்கிறது. இவை சில சமரசமான கணிப்புகள்ஃ ராபின்சன் வான் டெர் கிரின்டன் மில்லர் உருளை வடிவ வின்கெல் டிரிபெல் பக்மின்ஸ்டர் ஃபுல்லரின் டைமாக்சியன் பி. ஜே. எஸ். காஹிலின் பட்டாம்பூச்சி வரைபடம் கவ்ரேஸ்கி VII திட்டம் வாக்னர் VI திட்டம் சேம்பர்லின் ட்ரைமெட்ரிக் ஆரன்ஸ் ஃபைனின் கார்டிஃபார்ம் அத்தாகிராஃப் திட்டம் பயன்பாட்டிற்கான கணிப்புகளின் பொருத்தப்பாடு திட்ட கணிதம் எந்தவொரு குறிப்பிட்ட வரைபட திட்டத்தையும் எல்லாவற்றிற்கும் சிறந்ததாக இருக்க அனுமதிக்காது. எப்போதும் ஏதோவொன்று சிதைந்து கொண்டே இருக்கும். எனவே, வரைபடங்களின் பல பயன்பாடுகள் மற்றும் அவற்றின் பரந்த அளவிலான அளவுகோல்களுக்கு சேவை செய்ய பல கணிப்புகள் உள்ளன. நவீன தேசிய வரைபட அமைப்புகள் பொதுவாக சிறிய பகுதிகளில் இணக்கம் மற்றும் அளவில் குறைந்த மாறுபாட்டைப் பாதுகாப்பதற்காக பெரிய அளவிலான வரைபடங்களுக்கு ஒரு குறுக்கு மெர்கேட்டர் அல்லது நெருக்கமான மாறுபாட்டைப் பயன்படுத்துகின்றன. கண்டங்கள் அல்லது முழு உலகிலும் பரவியிருக்கும் சிறிய அளவிலான வரைபடங்களுக்கு, வின்கெல் டிரிபெல், ராபின்சன் மற்றும் மோல்வைட் போன்ற பல கணிப்புகள் இந்த நோக்கத்திற்காக அவற்றின் தகுதியின் படி பொதுவான பயன்பாட்டில் உள்ளன. உலகின் குறிப்பு வரைபடங்கள் பெரும்பாலும் சமரச கணிப்புகளில் தோன்றும். உலகின் எந்த வரைபடத்திலும் உள்ளார்ந்த சிதைவுகள் காரணமாக, திட்டத்தைத் தேர்ந்தெடுப்பது பெரும்பாலும் அழகியலில் ஒன்றாகும். கருப்பொருள் வரைபடங்களுக்கு பொதுவாக சமமான பரப்பளவு திட்டம் தேவைப்படுகிறது, இதனால் ஒரு அலகு பகுதிக்கு நிகழ்வுகள் சரியான விகிதத்தில் காட்டப்படுகின்றன. இருப்பினும், பரப்பளவு விகிதங்களை சரியாக பிரதிநிதித்துவப்படுத்துவது சமமான பகுதி இல்லாத பல வரைபடங்களை விட வடிவங்களை சிதைக்கிறது. வழிசெலுத்தல் நோக்கங்களுக்காக உருவாக்கப்பட்ட மெர்கேட்டர் திட்டம், பெரும்பாலும் உலக வரைபடங்களில் பயன்படுத்தப்படுகிறது, அங்கு மற்ற கணிப்புகள் மிகவும் பொருத்தமானதாக இருந்திருக்கும். தொழில்முறை வட்டங்களுக்கு வெளியே கூட இந்த சிக்கல் நீண்ட காலமாக அங்கீகரிக்கப்பட்டுள்ளது. எடுத்துக்காட்டாக, 1943 நியூயார்க் டைம்ஸின் தலையங்கம் பின்வருமாறு கூறுகிறதுஃ "1980களில் பீட்டரின் வரைபடம் தொடர்பாக ஏற்பட்ட ஒரு சர்ச்சை அமெரிக்க வரைபடவியல் சங்கத்தை (இப்போது வரைபடவியல் மற்றும் புவியியல் தகவல் சங்கம்) வரைபடக் கணிப்புகள் மற்றும் வரைபடங்களில் உள்ள சிதைவுகள் பற்றி பொதுமக்களுக்குக் கற்பிப்பதற்காக வடிவமைக்கப்பட்ட தொடர்ச்சியான கையேடுகளை (எந்த வரைபடம் சிறந்தது என்பது உட்பட) தயாரிக்க தூண்டியது. 1989 மற்றும் 1990 ஆம் ஆண்டுகளில், சில உள் விவாதங்களுக்குப் பிறகு, ஏழு வட அமெரிக்க புவியியல் அமைப்புகள் உலகின் குறிப்பு வரைபடங்களுக்கு எந்தவொரு செவ்வக திட்டத்தையும் (மெர்கேட்டர் மற்றும் கால்-பீட்டர்ஸ் உட்பட) பயன்படுத்துவதற்கு எதிராக பரிந்துரைக்கும் தீர்மானத்தை ஏற்றுக்கொண்டன. மேலும் காண்க குறிப்புகள் மேற்கோள்கள் ஆதாரங்கள் ஃபிரான் இவானிஸ்கோ, அமெரிக்கன் ரிவர் கல்லூரி, புவியியல் 20 க்கான விரிவுரைகள்ஃ "ஜிஐஎஸ்-க்கான கார்டோகிராஃபிக் வடிவமைப்பு", வீழ்ச்சி 2002 வரைபட கணிப்புகள்-பல கணிப்புகளின் பி. டி. எஃப் பதிப்புகள், பால் பி. ஆண்டர்சன் உருவாக்கி பொது களத்தில் வெளியிட்டார். வரைபட கணிப்புகள் வெளிப்புற இணைப்புகள் குறித்த சர்வதேச கார்டோகிராஃபிக் சங்கத்தின் ஆணையத்தின் உறுப்பினர், அமெரிக்க புவியியல் ஆய்வு தொழில்முறை காகிதம் 1453, ஜான் பி. ஸ்னைடர் (யு. எஸ். ஜி. எஸ்) மற்றும் பிலிப் எம். வோக்ஸ்லேண்ட் (யு மினசோட்டா), 1989. வரைபடத் திட்டங்களின் ஒரு கார்னுகோபியா, ஒரு படத்தில் வரைபடத் திட்டங்களின் பரந்த வரிசையில் சிதைவின் காட்சிப்படுத்தல். G.Projector, இலவச மென்பொருள் பல கணிப்புகளை வழங்க முடியும் (NASA GISS). வரைபட கணிப்புகள் மற்றும் சிதைவுகளின் வண்ணப் படங்கள் (Mapthematics.com). வரைபடத்தின் வடிவியல் அம்சங்கள்ஃ வரைபடத் திட்டம் (KartoWeb.itc.nl). ஜாவா உலக வரைபட கணிப்புகள், ஹென்றி பாட்டம்லி (SE16.info). வரைபட கணிப்புகள் (கணித உலகம்). மேப் ரெஃப்ஃ ஐரோப்பாவில் வரைபட கணிப்புகள் மற்றும் குறிப்பு அமைப்புகளின் இணைய சேகரிப்பு PROJ.4-கார்டோகிராஃபிக் கணிப்புகள் நூலகம். அனைத்து பொதுவான கணிப்புகளின் எடுத்துக்காட்டுகள் மற்றும் பண்புகளின் திட்ட குறிப்பு அட்டவணை (RadicalCartography.net). , மெலிட்டா கென்னடி (எஸ்ரி). உலக வரைபட கணிப்புகள், ஸ்டீபன் வொல்ப்ராம் யு-சுங் சாங் (வொல்ப்ராம் ஆர்ப்பாட்டங்கள் திட்டம்) படைப்புகளை அடிப்படையாகக் கொண்டது. ஒப்பீடு வரைபட கணிப்புகள் "உண்மையான அளவு" பக்கம் மெர்கேட்டர் திட்டத்திலிருந்து சிதைவு இல்லாமல் நாடுகளின் அளவைக் காட்டுகிறது கார்டோகிராஃபி இன்போ கிராபிக்ஸ் விளக்க வடிவியல் ஜியோடெஸி