Ptolemy's theorem
யூக்ளிடிய வடிவவியலில், டோலமியின் தேற்றம் என்பது ஒரு சுழற்சி நாற்கரத்தின் நான்கு பக்கங்களுக்கும் இரண்டு மூலைவிட்டங்களுக்கும் இடையிலான உறவாகும். இந்த தேற்றம் கிரேக்க வானியலாளரும் கணிதவியலாளருமான டோலெமியின் (கிளாடியஸ் டோலெமியஸ்) பெயரால் அழைக்கப்படுகிறது. டோலமி இந்த தேற்றத்தை தனது வளையங்களின் அட்டவணையை உருவாக்க உதவியாகப் பயன்படுத்தினார், இது அவர் வானியலுக்குப் பயன்படுத்திய முக்கோணவியல் அட்டவணையாகும். சுழற்சி நாற்கரத்தின் செங்குத்துகள் வரிசையில் A, B, C மற்றும் D ஆக இருந்தால், தேற்றம் பின்வருமாறு கூறுகிறதுஃ இந்த உறவை வாய்மொழியாக பின்வருமாறு வெளிப்படுத்தலாம்ஃ ஒரு நாற்கரமானது சுழற்சியாக இருந்தால், அதன் மூலைவிட்டங்களின் நீளங்களின் பெருக்கல் எதிர் பக்கங்களின் ஜோடிகளின் நீளங்களின் பெருக்கல்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம். மேலும், டோலமியின் தேற்றத்தின் நேர்மாறும் உண்மைதான்ஃ ஒரு நாற்கரத்தில், அதன் இரண்டு ஜோடி எதிர் பக்கங்களின் நீளங்களின் பெருக்கல்களின் கூட்டுத்தொகை அதன் மூலைவிட்டங்களின் நீளங்களின் பெருக்கலுக்கு சமமாக இருந்தால், நாற்கரத்தை ஒரு வட்டத்தில் பொறிக்க முடியும், அதாவது. இது ஒரு சுழற்சி நாற்கரமாகும். எழுதப்பட்ட பலகோணங்கள் சமபக்க முக்கோணத்தின் கரோலரிகள் டோலமியின் தேற்றம் ஒரு வட்டத்தில் பொறிக்கப்பட்ட ஒரு சமபக்க முக்கோணத்தைப் பற்றிய ஒரு அழகான தேற்றத்தை ஒரு கரோலரியாக வழங்குகிறது. கொடுக்கப்பட்ட ஒரு சமபக்க முக்கோணம் ஒரு வட்டத்தில் பொறிக்கப்பட்டுள்ளது மற்றும் வட்டத்தில் ஒரு புள்ளி. முக்கோணத்தின் மிகவும் தொலைதூர உச்சிக்கு புள்ளியில் இருந்து உள்ள தூரம் என்பது புள்ளியில் இருந்து இரண்டு அருகிலுள்ள செங்குத்துகளுக்கு உள்ள தூரங்களின் கூட்டுத்தொகையாகும். சான்றுஃ டோலமியின் தேற்றத்திலிருந்து உடனடியாகப் பின்பற்றப்படுகிறதுஃ எந்த சதுரத்தையும் சதுரத்தின் மையமாக இருக்கும் ஒரு வட்டத்தில் பொறிக்க முடியும். அதன் நான்கு பக்கங்களின் பொதுவான நீளம் சமமாக இருந்தால், பித்தகோரியன் தேற்றத்தின்படி மூலைவிட்டத்தின் நீளம் சமமாக இருக்கும், மேலும் டோலமியின் உறவு வெளிப்படையாக உள்ளது. செவ்வகம் மேலும் பொதுவாக, நாற்கரமானது பக்கங்கள் a மற்றும் b மற்றும் மூலைவிட்டம் d கொண்ட செவ்வகமாக இருந்தால், டோலமியின் தேற்றம் பித்தகோரியன் தேற்றத்திற்கு குறைகிறது. இந்த வழக்கில் வட்டத்தின் மையம் மூலைவிட்டங்களின் குறுக்குவெட்டு புள்ளியுடன் ஒத்துப்போகிறது. முக்கோணங்களின் பெருக்கல் பின்னர் d2 ஆகும், டோலமியின் உறவின் வலது புறம் கூட்டுத்தொகை a2 + b2 ஆகும். தனது முக்கோண அளவீட்டுப் படைப்பில் டோலமியின் தேற்றத்தை விரிவாகப் பயன்படுத்திய கோப்பர்நிக்கஸ், இந்த முடிவை ஒரு 'போரிஸம்' அல்லது சுய-தெளிவான விளைவு என்று குறிப்பிடுகிறார்ஃ மேலும், ஒரு வளைவை உட்படுத்தும் நாணல் கொடுக்கப்படும்போது, மீதமுள்ள அரை வட்டத்தை உட்படுத்தும் நாணலையும் காணலாம் என்பது தெளிவாகிறது. பென்டகன் ஒரு சுவாரஸ்யமான உதாரணம் பக்கத்தின் நீளம் a க்கும் வழக்கமான ஐங்கோணத்தில் உள்ள 5 வளையங்களின் (பொதுவான) நீளம் b க்கும் இடையிலான உறவு. சதுரத்தை நிறைவு செய்வதன் மூலம், உறவு தங்க விகிதத்தை அளிக்கிறதுஃ டிகாகனின் பக்கம் இப்போது டிஎஃப் மற்றும் சிஎஃப் ஒரு பொறிக்கப்பட்ட டிகாகனின் பக்கங்கள் சி ஆக இருக்கும் வகையில் டி. சி. யை இரண்டாகப் பிரிக்கும் ஏஎஃப் விட்டம் வரையப்பட்டால், டோலமியின் தேற்றத்தை மீண்டும் பயன்படுத்தலாம்-இந்த முறை சுழற்சி நாற்கர ஏ. டி. எஃப். சி. க்கு விட்டம் டி அதன் மூலைவிட்டங்களில் ஒன்றாக உள்ளதுஃ தங்க விகிதம் எங்கே? இங்கிருந்து பொறிக்கப்பட்ட டெக்ககோனின் பக்கம் வட்ட விட்டத்தின் அடிப்படையில் பெறப்படுகிறது. பித்தாகரஸின் தேற்றம் வலது முக்கோணமான ஏஎஃப்டிக்கு பயன்படுத்தப்படுகிறது, பின்னர் விட்டத்தின் அடிப்படையில் "பி" ஐ அளிக்கிறது, பின்னர் ஐங்கோணத்தின் பக்கம் பின்னர் கணக்கிடப்படுகிறது கோபர்னிகஸ் (டோலமியைப் பின்தொடர்ந்து) எழுதியது போல், "ஒரு வட்டத்தின் விட்டம் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது, முக்கோணத்தின் பக்கங்கள், நாற்கர, ஐங்கோணம், அறுகோண மற்றும் டெக்ககோன், அதே வட்டம் சுற்றிலும் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன". சான்று காட்சி சான்று டெரிக் & ஹெர்ஸ்டீன் (2012) ஐ அடிப்படையாகக் கொண்ட டோலமியின் தேற்றத்தின் காட்சி செயல்விளக்கத்தை இங்கே அனிமேஷன் காட்டுகிறது. முக்கோணங்களின் ஒற்றுமையின் சான்று ABCD ஒரு சுழற்சி நாற்கரமாக இருக்கட்டும். கிமு நாணல் மீது, பொறிக்கப்பட்ட கோணங்கள்  anth BAC =  anth BDC, மற்றும் AB இல்,  anth ADB =  anth ACB. AC இல் K ஐ கட்டியெழுப்புங்கள், அதாவது  anth ABK =  anth CBD; ஏனெனில்  anth ABK +  anth CBK =  anth ABC =  anth CBD +  anth ABD,  anth CBK =  anth ABD. இப்போது, பொதுவான கோணங்களில் ABK என்பது DBC ஐப் போன்றது, அதேபோல் ABD என்பது KBC ஐப் போன்றது. எனவே ஏ. கே/ஏபி = சிடி/பிடி, மற்றும் சி. கே/பிசி = டிஏ/பிடி; சமமாக, ஏகே. பிடி = ஏபி. சிடி, மற்றும் சி. கே. பிடி = பிசி. டி. ஏ. இரண்டு சமன்பாடுகளைச் சேர்ப்பதன் மூலம் நம்மிடம் AK ⋅ BD + CK ⋅ BD = AB ⋅ CD + BC ⋅ DA உள்ளது, மேலும் இதைக் காரணியாக்குவது (AK + CK) · BD = AB ⋅ CD + BC ⋅ DA ஐ வழங்குகிறது. ஆனால் ஏ. கே. + சி. கே. = ஏ. சி., எனவே ஏ. சி. பி. டி. = ஏ. பி. சி. டி. + பி. சி. டி. ஏ., க்யூ. இ. டி. எழுதப்பட்ட ஆதாரம் எளிய சுழற்சி நாற்கரங்களுக்கு மட்டுமே செல்லுபடியாகும். நாற்கரமானது சுயமாக குறுக்கிட்டால், கே கோடு பிரிவு ஏசி-க்கு வெளியே அமைந்திருக்கும். ஆனால் இந்த விஷயத்தில், ஏ. கே − சி. கே = ±ஏசி, எதிர்பார்க்கப்பட்ட முடிவை அளிக்கிறது. முக்கோணவியல் அடையாளங்கள் மூலம் சான்று பொறிக்கப்பட்ட கோணங்கள் முறையே, மற்றும் இருக்க வேண்டும், மற்றும், மற்றும் வட்டத்தின் ஆரம் இருக்கட்டும், பின்னர் நம்மிடம் உள்ளது,, மற்றும், மற்றும் நிரூபிக்கப்பட வேண்டிய அசல் சமத்துவம் சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் வகுப்பதன் மூலம் காரணி மறைந்துவிட்டது. இப்போது கூட்டுத்தொகை சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம், மேலே உள்ள சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களும் Q. E. D க்கு சமம் என்பதைக் காண்பிப்பது அற்பமானது. அடிப்படை முக்கோணவியல் பயன்படுத்தி மற்றொரு, ஒருவேளை மிகவும் வெளிப்படையான, ஆதாரம் இங்கே. அதே வட்டத்தில் பொறிக்கப்பட்ட ஒரு புதிய நாற்கரத்தை வரையறுக்கவும், அங்கு அவை உள்ளதைப் போலவே இருக்கும், மேலும், அதே வளையத்தில் கிடப்பது, வரையறுக்கப்படுகிறது. பின்னர், அதே விளிம்புகளின் நீளங்களைக் கொண்டுள்ளது, இதன் விளைவாக அதே பொறிக்கப்பட்ட கோணங்கள் தொடர்புடைய விளிம்புகளால் உட்படுத்தப்படுகின்றன, ஏனெனில், வேறு வரிசையில் மட்டுமே. அதாவது, மற்றும், முறையே, மற்றும். மேலும், அதே பகுதியை வைத்திருங்கள். பின்னர், கியூ. இ. டி. தலைகீழ் மூலம் சான்று ABCD இன் சுற்றளவு ஒரு கோட்டில் தலைகீழாக இருக்கும் D ஐ மையமாகக் கொண்ட ஆரம் கொண்ட துணை வட்டத்தைத் தேர்ந்தெடுக்கவும் (படத்தைப் பார்க்கவும்). பின்னர் பின்னர் மற்றும் முறையே, மற்றும் என வெளிப்படுத்தப்படலாம். ஒவ்வொரு சொல்லையும் பெருக்கி பயன்படுத்துவது டோலமியின் சமத்துவத்தை அளிக்கிறது. கே. இ. டி. நாற்கரமானது சுழற்சியாக இல்லாவிட்டால், A ', B' மற்றும் C 'ஒரு முக்கோணத்தை உருவாக்குகின்றன, எனவே A' B '+ B' C '> A' C ', டோலமியின் சமத்துவமின்மைக்கு மிகவும் எளிமையான ஆதாரத்தை நமக்கு வழங்குகிறது, இது கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. சிக்கலான எண்களைப் பயன்படுத்தி ஆதாரம் நான்கு தனித்துவமான புள்ளிகளாக அடையாளம் காண்பதன் மூலம் ஏபிசிடி உட்பொதிக்கப்பட்டது. குறுக்கு விகிதத்தை வரையறுக்கவும். பின்னர் சமத்துவத்துடன் இருந்தால் மட்டுமே. இது பொதுவாக டோலமியின் சமத்துவமின்மையை நிரூபிக்கிறது, ஏனெனில் இது ஒரு வட்டத்தில் தொடர்ச்சியாக ஒழுங்கமைக்கப்பட்டிருப்பதைக் காட்ட மட்டுமே உள்ளது (ஒருவேளை எல்லையற்ற ஆரம், அதாவது. ஒரு வரி) என்றால் மற்றும் இருந்தால் மட்டுமே. ஒரு சிக்கலான எண்ணின் துருவ வடிவத்திலிருந்து, ஏபிசிடி சுழற்சியாக இருந்தால் மட்டுமே அது கடைசி சமத்துவத்துடன் பின்தொடர்கிறது, ஏனெனில் ஒரு நாற்கரமானது எதிர் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை இருந்தால் மட்டுமே சுழற்சியாக இருக்கும். கே. இ. டி. ஏபிசிடி-யின் சுழற்சி, அதாவது. கூடுதல் மற்றும், நிபந்தனைக்கு சமம்; குறிப்பாக இது 0 ஆக இருக்கும் ஒரு சுழற்சி உள்ளது (அதாவது. மூன்று விளைபொருள்களும் நேர்மறை உண்மையான எண்கள்), இதன் மூலம் டோலமியின் தேற்றம் பின்னர் எளிய இயற்கணித அடையாளத்திலிருந்து நேரடியாக நிறுவப்படுகிறது கரோலரிகள் அலகு விட்டம் கொண்ட ஒரு வட்டத்தைப் பொறுத்தவரை எந்த சுழற்சி நாற்கர ஏபிசிடியின் பக்கங்களும் எண்ணியல் ரீதியாக கோணங்களின் சைன்களுக்கு சமம் மற்றும் அவை உட்படுத்தப்படுகின்றன. இதேபோல் மூலைவிட்டங்கள் அவை உட்படுத்தும் எந்த ஜோடி கோணங்களின் கூட்டுத்தொகையின் சைனுக்கு சமம். பின்னர் நாம் பின்வரும் முக்கோணவியல் வடிவத்தில் டோலமியின் தேற்றத்தை எழுதலாம்ஃ உட்படுத்தப்பட்ட கோணங்களுக்கு சில நிபந்தனைகளைப் பயன்படுத்துவது மற்றும் மேலே உள்ளவற்றை நமது தொடக்க புள்ளியாகப் பயன்படுத்தி பல முக்கியமான இணைப்புகளைப் பெற முடியும். பின்வருவனவற்றில் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை என்பதை நினைவில் கொள்வது முக்கியம். கரோலரி 1. பித்தாகரஸின் தேற்றம் மற்றும். பின்னர் (ஒரு சுழற்சி நாற்கரத்தின் எதிர் கோணங்கள் துணை என்பதால்). பின்னர்ஃ கரோலரி 2. கொசைன்களின் விதி லெட். கரோலரி 1 இன் செவ்வகம் இப்போது சமமான மூலைவிட்டங்கள் மற்றும் ஒரு ஜோடி சம பக்கங்களைக் கொண்ட ஒரு சமச்சீர் ட்ரெபீசியமாக உள்ளது. இணையான பக்கங்கள் அலகுகளால் நீளத்தில் வேறுபடுகின்றனஃ இந்த விஷயத்தில் டோலமியின் தேற்றத்தின் நிலையான அறிக்கைக்கு திரும்புவது எளிதாக இருக்கும்ஃ முக்கோண ABC க்கான கொசைன் விதி. கரோலரி 3. கூட்டு கோணம் சைன் (+) எனவே, கூட்டு கோணத்திற்கான சூத்திரம் சைன் (+). கரோலரி 4. கூட்டு கோணம் சைன் (−) என்று வைத்துக்கொள்வோம். பிறகு. எனவே, கூட்டு கோணத்திற்கான சூத்திரம் சைன் (−). இந்த வழித்தோன்றல் அல்மாஜெஸ்டில் டோலமியைத் தொடர்ந்து கோப்பர்நிக்கஸ் எழுதிய மூன்றாம் தேற்றத்துடன் ஒத்திருக்கிறது. குறிப்பாக ஒரு ஐங்கோணத்தின் பக்கங்கள் (சுற்றளவில் 36 டிகிரி உட்பட்டு) மற்றும் ஒரு அறுகோணத்தின் (சுற்றளவில் 30 டிகிரி உட்பட்டு) கொடுக்கப்பட்டால், 6 டிகிரி உட்பட்டு ஒரு நாணல் கணக்கிடப்படலாம். வளையங்களின் அட்டவணைகளை கணக்கிடும் பண்டைய முறையில் இது ஒரு முக்கியமான படியாகும். கரோலரி 5. கூட்டு கோண கொசைன் (+) இந்த இணைவு ஐந்தாவது தேற்றத்தின் மையமாகும், இது கோபர்னிக்கஸ் ஆல்மாஜெஸ்டில் டோலமியைத் தொடர்ந்து விவரிக்கப்பட்டுள்ளது. விடுங்கள். பிறகு. எனவே கூட்டு கோணத்திற்கான சூத்திரம் கொசைன் (+) நமது நவீன முக்கோணவியல் குறியீட்டின் திறமை இல்லாவிட்டாலும், டோலமியின் தேற்றத்தில் (அல்லது இன்னும் எளிமையாக இரண்டாவது தேற்றம்) பண்டைய உலகில் மிகவும் நெகிழ்வான மற்றும் சக்திவாய்ந்த முக்கோணவியல் கருவி இருந்தது என்பது மேற்கூறிய கூற்றுகளிலிருந்து தெளிவாக இருக்க வேண்டும், இது அந்தக் காலத்தின் அறிவாற்றலை துல்லியமான வளையங்களின் அட்டவணைகளை (சைன்களின் அட்டவணைகளுடன் தொடர்புடையது) வரையவும், பிரபஞ்சத்தைப் புரிந்துகொள்வதற்கும் வரைபடமாக்குவதற்கும் அவர்கள் செய்த முயற்சிகளில் இவற்றைப் பயன்படுத்தவும் உதவியது. டோலமிக்கு மூன்று நூற்றாண்டுகளுக்கு முன்பு ஹிப்பார்கஸால் வளையங்களின் அட்டவணைகள் வரையப்பட்டதால், அவர் 'இரண்டாவது தேற்றம்' மற்றும் அதன் வழித்தோன்றல்களை அறிந்திருந்தார் என்று நாம் கருத வேண்டும். பண்டைய வானியலாளர்களின் பாதையைத் தொடர்ந்து, அலெக்ஸாண்ட்ரியாவின் டிமோச்சாரிஸின் நட்சத்திரப் பட்டியலை வரலாறு பதிவு செய்கிறது. அத்தகைய பட்டியல்களின் தொகுப்புக்கு 'இரண்டாவது தேற்றம்' பற்றிய புரிதல் தேவைப்பட்டால், பிந்தையவற்றின் உண்மையான தோற்றம் அதன் பிறகு பழங்காலத்தின் மூடுபனியில் மறைந்துவிடும், ஆனால் பண்டைய எகிப்தின் வானியலாளர்கள், கட்டிடக் கலைஞர்கள் மற்றும் கட்டுமான பொறியாளர்கள் அதைப் பற்றி ஓரளவு அறிந்திருக்கலாம் என்று கருதுவது நியாயமற்றது. டோலமியின் சமத்துவமின்மை டோலமியின் தேற்றத்தில் உள்ள சமன்பாடு சுழற்சி அல்லாத நாற்கரங்களுடன் ஒருபோதும் உண்மையாக இருக்காது. டோலமியின் சமத்துவமின்மை இந்த உண்மையின் விரிவாக்கமாகும், மேலும் இது டோலமியின் தேற்றத்தின் மிகவும் பொதுவான வடிவமாகும். ஒரு நாற்கர ஏபிசிடி கொடுக்கப்பட்டால், நாற்கரமானது சுழற்சியாக இருந்தால் மட்டுமே சமத்துவம் இருக்கும் என்று அது கூறுகிறது. இந்த சிறப்பு வழக்கு டோலமியின் தேற்றத்திற்கு சமமானது. முக்கோணங்களின் விகிதத்தைப் பற்றிய தொடர்புடைய தேற்றம் டோலமியின் தேற்றம் பக்கங்களை அறிந்திருக்கும் மூலைவிட்டங்களின் (ஒரு சுழற்சி நாற்கரத்தின்) பெருக்கத்தைக் கொடுக்கிறது, பின்வரும் தேற்றம் மூலைவிட்டங்களின் விகிதத்திற்கு அதே விளைவை அளிக்கிறது. சான்றுஃ விட்டம் கொண்ட வட்டத்தில் பொறிக்கப்பட்ட ஒரு முக்கோணத்தின் பரப்பளவு என்னவென்று அறியப்படுகிறதுஃ நாற்கரத்தின் பரப்பளவை ஒரே சுற்றளவு வட்டத்தைப் பகிர்ந்து கொள்ளும் இரண்டு முக்கோணங்களின் கூட்டுத்தொகையாக எழுதினால், ஒவ்வொரு சிதைவுக்கும் இரண்டு உறவுகளைப் பெறுகிறோம். சமன் செய்தால், நாம் அறிவிக்கப்பட்ட சூத்திரத்தைப் பெறுகிறோம். விளைவுஃ முக்கோணங்களின் பெருக்கல் மற்றும் விகிதம் இரண்டையும் அறிந்தால், அவற்றின் உடனடி வெளிப்பாடுகளை நாம் கண்டறிகிறோம்ஃ கேசியின் கோட்பாடு கிரேக்க கணித குறிப்புகள் குறிப்புகள் காக்செட்டர், எச். எஸ். எம் மற்றும் எஸ். எல். கிரேட்ஸர் (1967) "டோலமியின் தேற்றம் மற்றும் அதன் நீட்டிப்புகள்" ஆகியவற்றையும் பார்க்கவும். § 2.6 வடிவியல் மறுபரிசீலனை, அமெரிக்க கணித சங்கம் pp. 42-43. கோப்பர்நிக்கஸ் (1543) டி ரெவல்யூஷனிபஸ் ஆர்பியம் கோலெஸ்டியம், ஆங்கில மொழிபெயர்ப்பு ஸ்டீபன் ஹாக்கிங் தொகுத்த ஆன் தி ஷோல்டர்ஸ் ஆஃப் ஜெயண்ட்ஸ் (2002), பெங்குயின் புக்ஸ் அமரசிங்கே, ஜி. டபிள்யூ. ஐ. எஸ். (2013) டோலமியின் தேற்றத்திற்கான ஒரு சுருக்கமான அடிப்படை ஆதாரம், கிளாசிக்கல் மற்றும் நவீன வடிவவியல்கள் குறித்த மேம்பட்ட ஆராய்ச்சியின் உலகளாவிய இதழ் (ஜிஜேஏஆர்சிஎம்ஜி) 2 (1): 20-25 (பிடிஎஃப்). வெளிப்புற இணைப்புகள் சுழற்சி நாற்கர கணிதப் பக்கங்களுக்கான டோலெமியின் தேற்றத்தின் சான்று-டோலெமியின் தேற்றம் டோலெமியின் தேற்றம் கட்-தி-முடிச்சு கூட்டு கோணத்தில் சான்று டோலெமியின் தேற்றம் பிளானட்டில் கட்-தி-முடிச்சு டோலெமியின் தேற்றம் ஹார்வர்டில் உள்ள கணித உலக டி ரெவல்யூஷனிபஸ் ஆர்பியம் கோலெஸ்டியத்தில் டோலெமி சமத்துவமின்மை. ஆழமான ரகசியங்கள்ஃ தி கிரேட் பிரமிட், தி கோல்டன் ரேஷியோ மற்றும் ஜே வேர்ன்டோர்ஃப் எழுதிய ராயல் கியூபிட் டோலமியின் தேற்றம், தி வொல்ப்ராம் டெமன்ஸ்ட்ரேஷன்ஸ் ப்ராஜெக்ட். யூக்ளிடின் மூலக்கூறுகளின் பதின்மூன்றாம் புத்தகம் நாற்கரங்கள் மற்றும் வட்டங்கள் பற்றிய கோட்பாடுகள் யூக்ளிடியன் சமதள வடிவவியலின் சான்றுகளைக் கொண்ட கோட்பாடுகள்