Unimodality
கணிதத்தில், ஒற்றுமை என்பது ஒரு தனித்துவமான முறையைக் கொண்டிருப்பதைக் குறிக்கிறது. மேலும் பொதுவாக, ஒற்றுமை என்பது சில கணிதப் பொருட்களின் ஒரே ஒரு மிக உயர்ந்த மதிப்பு மட்டுமே உள்ளது, எப்படியாவது வரையறுக்கப்படுகிறது. யூனிமோடல் நிகழ்தகவு விநியோகம் புள்ளிவிவரங்களில், ஒரு யூனிமோடல் நிகழ்தகவு விநியோகம் அல்லது யூனிமோடல் விநியோகம் என்பது ஒரு உச்சநிலையைக் கொண்ட ஒரு நிகழ்தகவு விநியோகமாகும். இந்த சூழலில் "முறை" என்ற சொல் விநியோகத்தின் எந்த உச்சத்தையும் குறிக்கிறது, புள்ளிவிவரங்களில் வழக்கமாக இருக்கும் முறையின் கடுமையான வரையறைக்கு மட்டுமல்ல. ஒற்றை முறை இருந்தால், விநியோக செயல்பாடு "யூனிமோடல்" என்று அழைக்கப்படுகிறது. இது அதிக முறைகளைக் கொண்டிருந்தால் அது "பைமோடல்" (2), "ட்ரைமோடல்" (3), அல்லது பொதுவாக, "மல்டிமோடல்" ஆகும். படம் 1 இயல்பான விநியோகங்களை விளக்குகிறது, அவை ஒரே மாதிரியானவை. காச்சி விநியோகம், மாணவரின் டி-விநியோகம், சி-ஸ்கொயர் விநியோகம் மற்றும் அதிவேக விநியோகம் ஆகியவை யூனிமோடல் விநியோகங்களின் பிற எடுத்துக்காட்டுகளாகும். தனித்துவமான விநியோகங்களில், பைனாமியல் டிஸ்ட்ரிபியூஷன் மற்றும் பாய்சான் டிஸ்ட்ரிபியூஷன் ஆகியவை ஒரே மாதிரியாகக் காணப்படுகின்றன, இருப்பினும் சில அளவுருக்களுக்கு அவை ஒரே நிகழ்தகவுடன் இரண்டு அருகிலுள்ள மதிப்புகளைக் கொண்டிருக்கலாம். படம் 2 மற்றும் படம் 3 பைமோடல் விநியோகங்களை விளக்குகின்றன. பிற வரையறைகள் விநியோக செயல்பாடுகளில் ஒற்றுமை பற்றிய பிற வரையறைகளும் உள்ளன. தொடர்ச்சியான விநியோகங்களில், ஒருங்கிணைந்த விநியோக செயல்பாட்டின் (சி. டி. எஃப்) நடத்தை மூலம் ஒற்றுமையை வரையறுக்க முடியும். சி. டி. எஃப் x <m க்கு குவிந்ததாகவும், x> m க்கு குழிவானதாகவும் இருந்தால், விநியோகம் ஒற்றை மாதிரி, m முறை. இந்த வரையறையின் கீழ் சீரான விநியோகம் ஒரே மாதிரியானது, அதே போல் மதிப்புகளின் வரம்பிற்கு அதிகபட்ச விநியோகம் அடையப்படும் வேறு எந்த விநியோகமும், எ. கா. ட்ரெப்சாய்டல் விநியோகம். வழக்கமாக இந்த வரையறை முறையில் ஒரு இடைநிறுத்தத்தை அனுமதிக்கிறது; வழக்கமாக ஒரு தொடர்ச்சியான விநியோகத்தில் எந்தவொரு ஒற்றை மதிப்பின் நிகழ்தகவும் பூஜ்ஜியமாக இருக்கும், அதே நேரத்தில் இந்த வரையறை பூஜ்ஜியமற்ற நிகழ்தகவு அல்லது பயன்முறையில் ஒரு "நிகழ்தகவின் அணு" ஐ அனுமதிக்கிறது. ஒரே மாதிரியான தன்மைக்கான அளவுகோல்களை விநியோகத்தின் சிறப்பியல்பு செயல்பாடு அல்லது அதன் லாப்லேஸ்-ஸ்டீல்ட்ஜெஸ் உருமாற்றம் மூலமாகவும் வரையறுக்கலாம். ஒரே மாதிரியான தனித்துவமான விநியோகத்தை வரையறுப்பதற்கான மற்றொரு வழி, நிகழ்தகவுகளின் வேறுபாடுகளின் வரிசையில் அடையாளம் மாற்றங்கள் ஏற்படுவதாகும். நிகழ்தகவு வெகுஜன செயல்பாட்டைக் கொண்ட ஒரு தனித்துவமான விநியோகம், வரிசை சரியாக ஒரு அடையாள மாற்றத்தைக் கொண்டிருந்தால் (பூஜ்ஜியங்கள் கணக்கிடப்படாதபோது) யூனிமோடல் என்று அழைக்கப்படுகிறது. பயன்பாடுகள் மற்றும் முடிவுகள் விநியோக ஒற்றுமையின் முக்கியத்துவத்திற்கு ஒரு காரணம், இது பல முக்கியமான முடிவுகளை அனுமதிக்கிறது. பல ஏற்றத்தாழ்வுகள் கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ளன, அவை ஒரே மாதிரியான விநியோகங்களுக்கு மட்டுமே செல்லுபடியாகும். எனவே, கொடுக்கப்பட்ட தரவு தொகுப்பு ஒரு ஒற்றை மாதிரி விநியோகத்திலிருந்து வந்ததா இல்லையா என்பதை மதிப்பிடுவது முக்கியம். ஒற்றைத்தன்மைக்கான பல சோதனைகள் பன்முக விநியோகம் குறித்த கட்டுரையில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. சமத்துவமின்மை காஸ் சமத்துவமின்மை முதல் முக்கியமான விளைவு காஸ் சமத்துவமின்மை ஆகும். காஸ் சமத்துவமின்மை ஒரு மதிப்பு அதன் பயன்முறையிலிருந்து கொடுக்கப்பட்ட எந்த தூரத்தையும் விட அதிகமாக உள்ளது என்பதற்கான நிகழ்தகவின் மேல் வரம்பை வழங்குகிறது. இந்த சமத்துவமின்மை ஒருமைப்பாட்டைப் பொறுத்தது. வைசோசான்ஸ்கி-பெட்டுனின் சமத்துவமின்மை இரண்டாவது வைசோசான்ஸ்கி-பெட்டுனின் சமத்துவமின்மை, இது செபிஷேவ் சமத்துவமின்மையின் சுத்திகரிப்பு ஆகும். எந்தவொரு நிகழ்தகவு விநியோகத்திலும், "கிட்டத்தட்ட அனைத்து" மதிப்புகளும் சராசரி மதிப்புக்கு "நெருக்கமாக" உள்ளன என்பதை செபிஷேவ் சமத்துவமின்மை உத்தரவாதம் செய்கிறது. வைசோசான்ஸ்கி-பெட்டுனின் சமத்துவமின்மை இதை இன்னும் நெருக்கமான மதிப்புகளுக்குச் செம்மைப்படுத்துகிறது, விநியோகச் செயல்பாடு தொடர்ச்சியானது மற்றும் ஒரே மாதிரியாக இருந்தால். மேலும் முடிவுகளை செல்கே மற்றும் செல்கே ஆகியோர் காட்டினர். முறை, சராசரி மற்றும் சராசரி காஸ் 1823 ஆம் ஆண்டில் ஒரு ஒற்றையாட்சி விநியோகத்திற்கு மற்றும் சராசரி ν ஆக இருக்கும் இடத்தில், சராசரி என்பது μ மற்றும் ω என்பது முறையிலிருந்து ரூட் சராசரி சதுர விலகல் என்பதைக் காட்டியது. சராசரி ν மற்றும் சராசரி μ ஒருவருக்கொருவர் நிலையான விலகல்களுக்குள் (3/5) 1/2 ≈ 0.7746 உள்ளன என்பதை ஒரு ஒற்றைப் பகிர்வுக்குக் காட்டலாம். சின்னங்களில், எங்கே |. | என்பது முழுமையான மதிப்பு. 2020 ஆம் ஆண்டில், பெர்னார்ட், காசி மற்றும் வாண்டஃபெல் ஆகியோர் சமச்சீர் அளவு சராசரிக்கும் சராசரிக்கும் இடையிலான அதிகபட்ச தூரத்தைப் பெறுவதன் மூலம் முந்தைய சமத்துவமின்மையை பொதுமைப்படுத்தினர், அதிகபட்ச தூரம் குறைக்கப்படுகிறது என்பது கவனிக்கத்தக்கது (அதாவது, சமச்சீர் அளவு சராசரி சமமாக இருக்கும்போது), இது உண்மையில் சராசரிக்கான வலுவான மதிப்பீட்டாளராக நடுத்தரத்தின் பொதுவான தேர்வை ஊக்குவிக்கிறது. மேலும், எப்போது, எல்லை சமமாக இருக்கும், இது ஒரு ஒற்றை விநியோகத்தின் சராசரிக்கும் சராசரிக்கும் இடையிலான அதிகபட்ச தூரமாகும். நடுத்தரத்திற்கும் முறை θ க்கும் இடையே இதேபோன்ற உறவு உள்ளதுஃ அவை ஒருவருக்கொருவர் 31/2 ≈ 1.732 நிலையான விலகல்களுக்குள் உள்ளனஃ சராசரி மற்றும் முறை ஒருவருக்கொருவர் 31/2 க்குள் உள்ளன என்பதையும் காட்டலாம்ஃ வளைவு மற்றும் குர்டோசிஸ் ரோஹத்கி மற்றும் ஸ்ஸெக்லி ஒரு ஒற்றை விநியோகத்தின் வளைவு மற்றும் குர்டோசிஸ் சமத்துவமின்மையால் தொடர்புடையதுஃ இங்கு κ என்பது குர்டோசிஸ் மற்றும் γ என்பது வளைவு. கிளாசென், மோக்வெல்ட் மற்றும் வான் எஸ் ஆகியோர் இது சில அமைப்புகளில் மட்டுமே பொருந்தும் என்பதைக் காட்டினர், அதாவது முறை மற்றும் சராசரி ஒத்துப்போகும் ஒற்றையாட்சி விநியோகங்களின் தொகுப்பு போன்றவை. அவர்கள் ஒரு பலவீனமான சமத்துவமின்மையைப் பெற்றனர், இது அனைத்து ஒரே மாதிரியான விநியோகங்களுக்கும் பொருந்தும்ஃ இந்த வரம்பு கூர்மையானது, ஏனெனில் இது [0,1] இல் உள்ள சீரான விநியோகத்தின் சம எடை கலவையாலும், {0} இல் உள்ள தனித்துவமான விநியோகத்தாலும் அடையப்படுகிறது. ஒற்றை மாதிரி செயல்பாடு "மாதிரி" என்ற சொல் தரவுத் தொகுப்புகள் மற்றும் நிகழ்தகவு விநியோகத்திற்கு பொருந்தும், பொதுவாக செயல்பாடுகளுக்கு அல்ல, மேலே உள்ள வரையறைகள் பொருந்தாது. "யூனிமோடல்" என்ற வரையறை உண்மையான எண்களின் செயல்பாடுகளுக்கும் நீட்டிக்கப்பட்டது. ஒரு பொதுவான வரையறை பின்வருமாறுஃ ஒரு செயல்பாடு f (x) என்பது ஒரு ஒற்றையாட்சி செயல்பாடாகும், சில மதிப்பு m க்கு, இது x ≤ m க்கு ஒரே மாதிரியாக அதிகரித்து, x ≤ m க்கு ஒரே மாதிரியாக குறைந்து வருகிறது. ஒருமைப்பாட்டை நிரூபிப்பது பெரும்பாலும் கடினம். அந்த சொத்தின் வரையறையைப் பயன்படுத்துவதில் ஒரு வழி உள்ளது, ஆனால் அது எளிய செயல்பாடுகளுக்கு மட்டுமே பொருத்தமானது. வழித்தோன்றல்களை அடிப்படையாகக் கொண்ட ஒரு பொதுவான முறை உள்ளது, ஆனால் அதன் எளிமை இருந்தபோதிலும் ஒவ்வொரு செயல்பாட்டிற்கும் அது வெற்றிபெறாது. ஒற்றை மாதிரி செயல்பாடுகளின் எடுத்துக்காட்டுகளில் எதிர்மறை இருபடி குணகம் கொண்ட இருபடி பல்லுறுப்புக்கோவை செயல்பாடுகள், கூடார வரைபட செயல்பாடுகள் மற்றும் பல அடங்கும். மேற்கூறியவை சில நேரங்களில் தொடர்புடையவை, மோனோடோனிசிட்டி என்பது வலுவான மோனோடோனிசிட்டி என்பதைக் குறிக்கிறது. ஒரு சார்பு f (x) என்பது m என்ற மதிப்பு இருந்தால், அது x ≤ m க்கு பலவீனமாக மோனோடோனிக்கலாக அதிகரித்து, x ≤ m க்கு பலவீனமாக மோனோடோனிக்கலாக குறைந்து வருகிறது. அப்படியானால், x இன் தொடர்ச்சியான வரம்பிற்கு அதிகபட்ச மதிப்பு f (m) ஐ அடைய முடியும். பாஸ்கலின் முக்கோணத்தில் உள்ள ஒவ்வொரு வரிசையும் வலுவாக ஒரே மாதிரியாக இல்லாத பலவீனமான ஒரே மாதிரியான செயல்பாட்டிற்கு ஒரு எடுத்துக்காட்டு. சூழலைப் பொறுத்து, யூனிமோடல் செயல்பாடு அதிகபட்சத்தை விட ஒரே ஒரு உள்ளூர் குறைந்தபட்சத்தைக் கொண்ட ஒரு செயல்பாட்டைக் குறிக்கலாம். எடுத்துக்காட்டாக, உள்ளூர் ஒற்றை மாதிரி மாதிரி, எண் உகப்பாக்கம் செய்வதற்கான ஒரு முறை, பெரும்பாலும் அத்தகைய செயல்பாட்டின் மூலம் நிரூபிக்கப்படுகிறது. இந்த விரிவாக்கத்தின் கீழ் ஒரு யூனிமோடல் செயல்பாடு என்பது ஒற்றை உள்ளூர் உச்சநிலையுடன் கூடிய செயல்பாடு என்று கூறலாம். ஒரே மாதிரியான செயல்பாடுகளின் ஒரு முக்கியமான பண்பு என்னவென்றால், தங்கப் பிரிவு தேடல், முக்கோணத் தேடல் அல்லது தொடர்ச்சியான பரவளைய இடைக்கணிப்பு போன்ற தேடல் வழிமுறைகளைப் பயன்படுத்தி உச்சநிலையைக் காணலாம். மற்ற நீட்டிப்புகள் ஒரு செயல்பாடு f (x) என்பது "S-யூனிமோடல்" (பெரும்பாலும் "S-யூனிமோடல் வரைபடம்" என்று குறிப்பிடப்படுகிறது) அதன் ஸ்வார்ஸியன் வழித்தோன்றல் அனைவருக்கும் எதிர்மறையாக இருந்தால், முக்கியமான புள்ளி எங்கே? கணக்கீட்டு வடிவவியலில் ஒரு செயல்பாடு ஒரே மாதிரியாக இருந்தால், அது செயல்பாட்டின் உச்சநிலையைக் கண்டறிய திறமையான வழிமுறைகளின் வடிவமைப்பை அனுமதிக்கிறது. ஒரு திசையன் மாறி X இன் f (X) செயல்பாட்டிற்கு பொருந்தக்கூடிய ஒரு பொதுவான வரையறை என்னவென்றால், f (G (Z)) குவிந்ததாக இருக்கும் வகையில் X = G (Z) ஐ ஒன்றுக்கு ஒன்று வேறுபடுத்தக்கூடிய வரைபடம் இருந்தால் f என்பது ஒற்றை மாதிரி ஆகும். வழக்கமாக ஒருவர் ஜி (இசட்) நான்ச்சிங்குலர் ஜாகோபியன் மேட்ரிக்ஸுடன் தொடர்ந்து வேறுபடுத்தப்பட வேண்டும் என்று விரும்புவார். குவாசிகோன்வெக்ஸ் செயல்பாடுகள் மற்றும் குவாசிகோன்கேவ் செயல்பாடுகள் உயர் பரிமாண யூக்ளிடியன் இடைவெளிகளைச் சேர்ந்த வாதங்களைக் கொண்ட செயல்பாடுகளுக்கு ஒற்றுமை என்ற கருத்தை விரிவுபடுத்துகின்றன. மேலும் காண்க பைமோடல் விநியோகம் குறிப்புகள் செயல்பாடுகள் மற்றும் வரைபடங்கள் கணித உறவுகள் நிகழ்தகவு விநியோகங்களின் கோட்பாடு