Complete measure
கணிதத்தில், ஒரு முழுமையான அளவீடு (அல்லது, இன்னும் துல்லியமாக, ஒரு முழுமையான அளவீட்டு இடம்) என்பது ஒவ்வொரு பூஜ்ய தொகுப்பின் ஒவ்வொரு துணைக்குழுவும் அளவிடக்கூடிய (பூஜ்ஜிய அளவீடு கொண்ட) ஒரு அளவீட்டு இடமாகும். மேலும் முறைப்படி, ஒரு அளவீட்டு இடம் (எக்ஸ், எஸ், மியூ) உந்துதல் இருந்தால் மட்டுமே முழுமையடைகிறது தயாரிப்பு இடங்களின் சிக்கலைக் கருத்தில் கொண்டு முழுமையின் கேள்விகளைக் கருத்தில் கொள்ள வேண்டிய அவசியம் விளக்கப்படலாம். நாம் ஏற்கனவே உண்மையான கோட்டில் லெபெஸ்கூ அளவீட்டைக் கட்டமைத்துள்ளோம் என்று வைத்துக்கொள்வோம்ஃ இந்த அளவீட்டு இடத்தை ஒரு தயாரிப்பு அளவீடாக விமானத்தில் சில இரு பரிமாண லெபெஸ்கூ அளவீட்டை உருவாக்க விரும்புகிறோம். இந்த அணுகுமுறை ஒரு அளவீட்டு இடத்தை வரையறுக்கிறது என்றாலும், அது ஒரு குறைபாட்டைக் கொண்டுள்ளது,-இயற்கணிதத்தை அளவிடக்கூடிய அனைத்து "செவ்வகங்களையும்" கொண்ட மிகச்சிறிய-இயற்கணிதமாக நாம் எடுத்துக்கொள்வோம். இருப்பினும், ஒவ்வொரு சிங்கிள்டன் செட்டும் ஒரு பரிமாண லெபெஸ்கூ அளவீட்டு பூஜ்ஜியத்தைக் கொண்டிருப்பதால், இது விட்டாலி செட் போன்ற உண்மையான கோட்டின் அளவிட முடியாத துணைக்குழு என்று வைத்துக்கொள்வோம். பின்னர்-அளவீடு வரையறுக்கப்படவில்லை, ஆனால் இந்த பெரிய தொகுப்பில்-அளவீட்டு பூஜ்ஜியம் உள்ளது. எனவே இப்போது வரையறுக்கப்பட்டுள்ளபடி இந்த "இரு பரிமாண லெபெஸ்க்யூ நடவடிக்கை" முழுமையானது அல்ல, மேலும் ஒருவித நிறைவு நடைமுறை தேவைப்படுகிறது. ஒரு முழுமையான அளவின் கட்டுமானம் ஒரு (முழுமையடையாத) அளவீட்டு இடத்தை (எக்ஸ், எஸ், மியூ) கொடுத்தால், இந்த அளவீட்டு இடத்தின் ஒரு நீட்டிப்பு (எக்ஸ், எஸ், மியூ) உள்ளது. அத்தகைய மிக சிறிய நீட்டிப்பு (அதாவது. மிகச்சிறிய σ-இயற்கணிதம்) அளவீட்டு இடத்தை நிறைவு செய்வது என்று அழைக்கப்படுகிறது. நிறைவு பின்வருமாறு கட்டமைக்கப்படலாம்ஃ Z என்பது X இன் பூஜ்ஜிய-μ-அளவீட்டு துணைக்குழுக்களின் அனைத்து துணைக்குழுக்களின் தொகுப்பாக இருக்கட்டும் (உள்ளுணர்வாக, Z இன் கூறுகள் ஏற்கனவே σ இல் இல்லாதவை முழுமையை உண்மையாக வைத்திருப்பதைத் தடுக்கின்றன); σ0 என்பது σ மற்றும் Z ஆல் உருவாக்கப்பட்ட σ-இயற்கணிதமாக இருக்கட்டும் (அதாவது. மிகச்சிறிய σ-இயற்கணிதம், இது σ மற்றும் Z இன் ஒவ்வொரு உறுப்பையும் கொண்டுள்ளது; μ க்கு ஒரு நீட்டிப்பு உள்ளது (இது σ-எல்லையாக இருந்தால் தனித்துவமானது), இது μ இன் வெளிப்புற அளவீடு என்று அழைக்கப்படுகிறது, இது முடிவிலியால் வழங்கப்படுகிறது. மேலே உள்ள கட்டமைப்பில், σ0 இன் ஒவ்வொரு உறுப்பினரும் சில A ω மற்றும் சில B ω Z க்கு A ω B வடிவத்தில் இருப்பதைக் காட்டலாம், மேலும் உண்மையான கோட்டின் திறந்த இடைவெளிகளால் உருவாக்கப்படும் போரெல் σ-இயற்கணிதத்தில் வரையறுக்கப்பட்டுள்ள போரெல் அளவீட்டின் எடுத்துக்காட்டுகள் முழுமையானவை அல்ல, எனவே முழுமையான லெபெஸ்கூ அளவீட்டை வரையறுக்க மேலே உள்ள நிறைவு செயல்முறை பயன்படுத்தப்பட வேண்டும். உண்மையானவற்றின் மீது அனைத்து போரெல் செட்களின் தொகுப்பும் உண்மையானவற்றின் அதே கார்டினாலிட்டியைக் கொண்டுள்ளன என்பதன் மூலம் இது விளக்கப்படுகிறது. கேன்டர் செட் ஒரு போரெல் செட் என்றாலும், பூஜ்ஜிய அளவீட்டைக் கொண்டுள்ளது, மேலும் அதன் சக்தி செட் உண்மையானதை விட கண்டிப்பாக அதிக கார்டினாலிட்டியைக் கொண்டுள்ளது. எனவே கேன்டர் தொகுப்பின் ஒரு துணைக்குழு உள்ளது, அது போரெல் தொகுப்புகளில் இல்லை. எனவே, போரெல் அளவீடு முழுமையடையவில்லை. n-பரிமாண லெபெஸ்கூ அளவீடு என்பது ஒரு பரிமாண லெபெஸ்கூ இடத்தின் n-மடங்கு உற்பத்தியை தன்னுடன் நிறைவு செய்வதாகும். இது ஒரு பரிமாண வழக்கைப் போலவே போரெல் அளவின் நிறைவு ஆகும். மஹாராமின் தேற்றம் கூறுகிறது, ஒவ்வொரு முழுமையான அளவீட்டு இடமும் தொடர்ச்சியான அளவுகளாக சிதைக்கப்படுகிறது, மேலும் ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட அல்லது எண்ணக்கூடிய எண்ணும் அளவீடு ஆகும். மேலும் காண்க குறிப்புகள் அளவீடுகள் (அளவீட்டுக் கோட்பாடு)