Jet (mathematics)
கணிதத்தில், ஜெட் என்பது ஒரு வேறுபடுத்தக்கூடிய சார்பு f ஐ எடுத்து அதன் களத்தின் ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை, f இன் துண்டிக்கப்பட்ட டெய்லர் பல்லுறுப்புக்கோவை உருவாக்குகிறது. இது ஒரு ஜெட்டின் வரையறை என்றாலும், ஜெட் கோட்பாடு இந்த பல்லுறுப்புக்கோவைகளை பல்லுறுப்புக்கோவை செயல்பாடுகளை விட சுருக்க பல்லுறுப்புக்கோவைகளாக கருதுகிறது. இந்தக் கட்டுரை முதலில் ஒரு உண்மையான மாறியில் ஒரு உண்மையான மதிப்புள்ள செயல்பாட்டின் ஜெட் பற்றிய கருத்தை ஆராய்கிறது, அதைத் தொடர்ந்து பல உண்மையான மாறிகளுக்கு பொதுமைப்படுத்தல்கள் பற்றிய விவாதம். இது பின்னர் யூக்ளிடியன் இடங்களுக்கு இடையில் ஜெட் விமானங்கள் மற்றும் ஜெட் இடங்களின் கடுமையான கட்டுமானத்தை வழங்குகிறது. பன்மடங்கு இடையே ஜெட் விமானங்கள் பற்றிய விளக்கத்துடன் இது முடிவடைகிறது, மேலும் இந்த ஜெட் விமானங்களை எவ்வாறு உள்ளார்ந்த முறையில் கட்டமைக்க முடியும். இந்த மிகவும் பொதுவான சூழலில், வேறுபட்ட வடிவியல் மற்றும் வேறுபட்ட சமன்பாடுகளின் கோட்பாட்டிற்கு ஜெட் விமானங்களின் சில பயன்பாடுகளை இது சுருக்கமாகக் கூறுகிறது. யூக்ளிடியன் இடைவெளிகள் இடையே செயல்பாடுகளின் ஜெட் ஒரு ஜெட் ஒரு கடுமையான வரையறை கொடுக்க முன், சில சிறப்பு நிகழ்வுகள் ஆய்வு செய்ய பயனுள்ளதாக இருக்கும். ஒரு பரிமாண வழக்கு அது புள்ளியின் U க்கு அருகிலுள்ள குறைந்தபட்சம் k + 1 வழித்தோன்றல்களைக் கொண்ட ஒரு உண்மையான மதிப்புள்ள செயல்பாடு என்று வைத்துக்கொள்வோம். பின்னர் டெய்லரின் தேற்றத்தால், அங்கு புள்ளியில் உள்ள f இன் k-ஜெட் பல்லுறுப்புக்கோவை ஜெட் என்று வரையறுக்கப்படுகிறது, பொதுவாக z மாறியில் உள்ள சுருக்க பல்லுறுப்புக்கோவைகளாக கருதப்படுகின்றன, அந்த மாறியில் உள்ள உண்மையான பல்லுறுப்புக்கோவை செயல்பாடுகளாக அல்ல. வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், z என்பது ஒரு நிச்சயமற்ற மாறி, இது ஜெட் விமானங்களுக்கு இடையில் பல்வேறு இயற்கணித செயல்பாடுகளைச் செய்ய அனுமதிக்கிறது. இது உண்மையில் ஜெட் விமானங்கள் அவற்றின் செயல்பாட்டு சார்புநிலையைப் பெறும் அடிப்படை புள்ளியாகும். எனவே, அடிப்படை புள்ளியை மாற்றுவதன் மூலம், ஒரு ஜெட் ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் அதிகபட்சம் k வரிசையில் ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையை வழங்குகிறது. இது ஜெட் விமானங்களுக்கும் துண்டிக்கப்பட்ட டெய்லர் தொடர்களுக்கும் இடையிலான ஒரு முக்கியமான கருத்தியல் வேறுபாட்டைக் குறிக்கிறதுஃ பொதுவாக ஒரு டெய்லர் தொடர் அதன் அடிப்படை புள்ளியைக் காட்டிலும் அதன் மாறுபாட்டைச் சார்ந்து செயல்படுவதாகக் கருதப்படுகிறது. ஜெட்ஸ், மறுபுறம், டெய்லர் தொடரின் இயற்கணித பண்புகளை அவற்றின் செயல்பாட்டு பண்புகளிலிருந்து பிரிக்கிறது. இந்த பிரிவின் காரணங்கள் மற்றும் பயன்பாடுகளை கட்டுரையில் பின்னர் விவாதிப்போம். ஒரு யூக்ளிடியன் இடத்திலிருந்து இன்னொரு இடத்திற்கு வரைபடங்கள் இது ஒரு யூக்ளிடியன் இடத்திலிருந்து இன்னொரு இடத்திற்கு குறைந்தபட்சம் (k + 1) வழித்தோன்றல்களைக் கொண்ட ஒரு செயல்பாடு என்று வைத்துக்கொள்வோம். இந்த வழக்கில், டெய்லரின் தேற்றம் f இன் k-ஜெட் பின்னர் எங்கே உள்ள பல்லுறுப்புக்கோவை என்று வரையறுக்கப்படுகிறது என்று வலியுறுத்துகிறது. ஜெட் விமானங்களின் இயற்கணித பண்புகள் ஜெட் விமானங்கள் சுமக்கக்கூடிய இரண்டு அடிப்படை இயற்கணித கட்டமைப்புகள் உள்ளன. முதலாவது ஒரு தயாரிப்பு அமைப்பு, இருப்பினும் இது இறுதியில் மிகக் குறைவான முக்கியத்துவமாக மாறிவிடும். இரண்டாவது ஜெட் விமானங்களின் கலவையின் அமைப்பு. ஒரு ஜோடி உண்மையான மதிப்புள்ள செயல்பாடுகள் என்றால், அவற்றின் ஜெட் விமானங்களின் பெருக்கலை நாம் வரையறுக்கலாம் இங்கே நாம் தீர்மானிக்கப்படாத z ஐ அடக்கிவிட்டோம், ஏனெனில் ஜெட் விமானங்கள் முறையான பல்லுறுப்புக்கோவைகள் என்று புரிந்து கொள்ளப்படுகிறது. இந்த பெருக்கல் z, மாடுலோவில் உள்ள சாதாரண பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் பெருக்கல் மட்டுமே. வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், இது வளையத்தில் உள்ள பெருக்கமாகும், இங்கு ≤k + 1 வரிசையின் ஒரே மாதிரியான பல்லுறுப்புக்கோவைகளால் உருவாக்கப்படும் இலட்சியம் ஆகும். இப்போது நாம் ஜெட் விமானங்களின் கலவைக்கு செல்கிறோம். தேவையற்ற தொழில்நுட்பங்களைத் தவிர்க்க, தோற்றத்தின் தோற்றத்தை வரைபடமாக்கும் செயல்பாடுகளின் ஜெட் விமானங்களை நாங்கள் கருதுகிறோம். f (0) = 0 மற்றும் g (0) = 0 உடன் இருந்தால், பின்னர். ஜெட் விமானங்களின் கலவை வரையறுக்கப்படுகிறது இது சங்கிலி விதியைப் பயன்படுத்தி உடனடியாக சரிபார்க்கப்படுகிறது, இது தோற்றத்தில் ஜெட் விமானங்களின் இடத்தில் ஒரு துணை அல்லாத பரிமாற்ற செயல்பாட்டைக் கொண்டுள்ளது. உண்மையில், கே-ஜெட்டுகளின் கலவை என்பது பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் கலவையைத் தவிர வேறில்லை, இது வரிசையின் ஒரே மாதிரியான பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் இலட்சியமாகும். எடுத்துக்காட்டுகள்ஃ ஒரு பரிமாணத்தில், மற்றும். பின்னர் மற்றும் யூக்ளிடியன் இடத்தில் ஒரு கட்டத்தில் ஜெட்ஸ்ஃ கடுமையான வரையறைகள் பகுப்பாய்வு வரையறை பின்வரும் வரையறை ஜெட் மற்றும் ஜெட் இடங்களை வரையறுக்க கணித பகுப்பாய்விலிருந்து கருத்துக்களைப் பயன்படுத்துகிறது. பானாச் இடைவெளிகள், உண்மையான அல்லது சிக்கலான களங்களுக்கு இடையிலான பகுப்பாய்வு செயல்பாடுகள், p-adic பகுப்பாய்வு மற்றும் பகுப்பாய்வின் பிற பகுதிகளுக்கு இடையிலான செயல்பாடுகளை மென்மையாக்க இது பொதுமைப்படுத்தப்படலாம். மென்மையான செயல்பாடுகளின் திசையன் இடமாக இருக்கட்டும். k ஒரு எதிர்மறை அல்லாத முழு எண்ணாக இருக்கட்டும், p ஒரு புள்ளியாக இருக்கட்டும். f மற்றும் g ஆகியவை p இல் ஒரே மதிப்பைக் கொண்டிருந்தால், f மற்றும் g ஆகிய இரண்டு செயல்பாடுகள் k வரிசைக்கு சமமானவை என்றும், அவற்றின் பகுதி வழித்தோன்றல்கள் அனைத்தும் p இல் அவற்றின் k-வது வரிசை வழித்தோன்றல்கள் வரை (மற்றும் உட்பட) ஒப்புக்கொள்கின்றன என்றும் அறிவிப்பதன் மூலம் இந்த இடத்தில் ஒரு சமநிலை உறவை வரையறுக்கிறோம். சுருக்கமாக, iff முதல் k-th வரிசை வரை. p இல் உள்ள k-th-வரிசை ஜெட் இடம் சமநிலை வகுப்புகளின் தொகுப்பாக வரையறுக்கப்படுகிறது, மேலும் இது குறிக்கப்படுகிறது. ஒரு மென்மையான செயல்பாட்டின் p இல் உள்ள k-th-வரிசை ஜெட் f இன் சமநிலை வகுப்பாக வரையறுக்கப்படுகிறது. ஆல்ஜிப்ரோ-ஜியோமெட்ரிக் வரையறை பின்வரும் வரையறை ஒரு ஜெட் மற்றும் ஜெட் ஸ்பேஸ் என்ற கருத்தை நிறுவ இயற்கணித வடிவியல் மற்றும் பரிமாற்ற இயற்கணிதத்திலிருந்து கருத்துக்களைப் பயன்படுத்துகிறது. இந்த வரையறை இயற்கணித வடிவவியலில் பயன்படுத்த குறிப்பாக பொருத்தமாக இல்லை என்றாலும், இது மென்மையான பிரிவில் போடப்படுவதால், அத்தகைய பயன்பாடுகளுக்கு ஏற்ப அதை எளிதாக வடிவமைக்க முடியும். ஒரு புள்ளி p இல் மென்மையான செயல்பாடுகளின் கிருமிகளின் திசையன் இடமாக இருக்கட்டும். p இல் மறைந்துவிடும் செயல்பாடுகளின் கிருமிகளைக் கொண்ட இலட்சியமாக இருக்கட்டும். (இது உள்ளூர் வளையத்திற்கு அதிகபட்ச இலட்சியமாகும்.) பின்னர் இலட்சியம் அனைத்து செயல்பாட்டு கிருமிகளையும் கொண்டுள்ளது, அவை p இல் k ஐ வரிசைப்படுத்த மறைந்துவிடும். இப்போது p இல் ஜெட் இடத்தை வரையறுக்கலாம். இது ஒரு மென்மையான செயல்பாடாக இருந்தால், p இல் f இன் k-ஜெட்டை அமைப்பதன் மூலம் உறுப்பாக வரையறுக்கலாம். ஒரு-இடத்தைப் பொறுத்தவரை, கட்டமைப்பு உறையின் தண்டாக இருக்கட்டும் மற்றும் உள்ளூர் வளையத்தின் அதிகபட்ச இலட்சியமாக இருக்கட்டும். kth ஜெட் இடைவெளி வளையமாக வரையறுக்கப்படுகிறது (இது இலட்சியங்களின் பெருக்கல்). டெய்லரின் தேற்றம் வரையறையைப் பொருட்படுத்தாமல், டெய்லரின் தேற்றம் மற்றும் இடையே உள்ள திசையன் இடைவெளிகளின் நியதி ஐசோமார்பிசத்தை நிறுவுகிறது. எனவே யூக்ளிடியன் சூழலில், ஜெட் விமானங்கள் பொதுவாக இந்த ஐசோமார்பிசத்தின் கீழ் அவற்றின் பல்லுறுப்புக்கோவை பிரதிநிதிகளுடன் அடையாளம் காணப்படுகின்றன. ஒரு புள்ளியில் இருந்து ஒரு புள்ளி வரை ஜெட் இடைவெளிகள் ஒரு புள்ளியில் ஜெட் விமானங்களின் இடத்தை வரையறுத்துள்ளோம். M மற்றும் N இரண்டு மென்மையான பன்மடங்கு என்றால், ஒரு செயல்பாட்டின் ஜெட்டை எவ்வாறு வரையறுப்பது? எம் மற்றும் என் மீது உள்ளூர் ஆயத்தொகுதிகளைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் அத்தகைய ஜெட் விமானத்தை வரையறுக்க நாம் முயற்சி செய்யலாம். இதன் குறைபாடு என்னவென்றால், ஜெட் விமானங்களை மாறாத பாணியில் வரையறுக்க முடியாது. ஜெட் விமானங்கள் டென்சர்களாக மாறுவதில்லை. அதற்கு பதிலாக, இரண்டு பன்மடங்கு இடையே செயல்பாடுகளின் ஜெட் விமானங்கள் ஒரு ஜெட் மூட்டைக்குச் சொந்தமானவை. M என்பது ஒரு புள்ளி p ஐக் கொண்ட ஒரு மென்மையான பன்மடங்கு என்று வைத்துக்கொள்வோம். p வழியாக வளைவுகளின் ஜெட் விமானங்களை வரையறுப்போம், இதன் மூலம் இனிமேல் f (0) = p போன்ற மென்மையான செயல்பாடுகளைக் குறிக்கிறோம். பின்வருமாறு ஒரு சமநிலை உறவை வரையறுக்கவும். f மற்றும் g ஆகியவை p வழியாக ஒரு ஜோடி வளைவுகளாக இருக்கட்டும். பின்னர், ஒவ்வொரு மென்மையான செயல்பாட்டிற்கும், p இன் சில அண்டை U இருந்தால், f மற்றும் g ஆகியவை p இல் k வரிசைக்கு சமம் என்று கூறுவோம். இந்த ஜெட் விமானங்கள் கலப்பு செயல்பாடுகளிலிருந்து நன்கு வரையறுக்கப்பட்டுள்ளன என்பதை நினைவில் கொள்க, மேலும் அவை உண்மையான வரியிலிருந்து தனக்குத்தானே வரைபடங்கள் மட்டுமே. இந்த சமநிலை உறவு சில நேரங்களில் p இல் வளைவுகளுக்கு இடையிலான k-th-வரிசை தொடர்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது. இப்போது f முதல் p வரையிலான வளைவின் k-ஜெட்டை f இன் சமநிலை வகுப்பாக வரையறுக்கிறோம், குறிக்கப்படுகிறது அல்லது. k-th-வரிசை ஜெட் இடம் பின்னர் p இல் k-ஜெட்டுகளின் தொகுப்பாகும். p என்பது M க்கு மேல் மாறுபடுவதால், M க்கு மேல் ஒரு ஃபைபர் மூட்டை உருவாகிறதுஃ k-th-வரிசை தொடுகோடு மூட்டை, பெரும்பாலும் இலக்கியத்தில் Tkm ஆல் குறிக்கப்படுகிறது (இருப்பினும் இந்த குறியீடு எப்போதாவது குழப்பத்திற்கு வழிவகுக்கும்). k = 1 என்ற வழக்கில், முதல்-வரிசை தொடுகோடு மூட்டை வழக்கமான தொடுகோடு மூட்டை ஆகும்ஃ T1M = TM. டி. கே. எம் உண்மையில் ஒரு நார் மூட்டை என்பதை நிரூபிக்க, உள்ளூர் ஆயத்தொகுப்புகளின் பண்புகளை ஆராய்வது அறிவுறுத்தலாகும். (xi) = (x1,., xn) என்பது p இன் அருகிலுள்ள U இல் M க்கான ஒரு உள்ளூர் ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பாக இருக்கட்டும். குறியீட்டை சற்று தவறாகப் பயன்படுத்தினால், (xi) ஒரு உள்ளூர் டிப்ஃபியோமார்பிசமாக கருதலாம். கோரிக்கை. இரண்டு வளைவுகள் f மற்றும் g மூலம் p சமமான மாடுலோ என்றால் மற்றும் இருந்தால் மட்டுமே. உண்மையில், பகுதி தெளிவாக இருந்தால் மட்டுமே, ஒவ்வொரு n செயல்பாடுகளும் x1,., xn என்பது M முதல் M வரை ஒரு மென்மையான செயல்பாடாகும். எனவே சமநிலை உறவின் வரையறையின்படி, இரண்டு சமமான வளைவுகள் இருக்க வேண்டும். மாறாக, p இன் அருகிலுள்ள M இல் ஒரு மென்மையான உண்மையான மதிப்புள்ள செயல்பாடு என்று வைத்துக்கொள்வோம். ஒவ்வொரு மென்மையான செயல்பாடும் ஒரு உள்ளூர் ஒருங்கிணைப்பு வெளிப்பாட்டைக் கொண்டிருப்பதால், நாம் வெளிப்படுத்தலாம்; ஆயத்தொகுப்புகளில் ஒரு செயல்பாடாக. குறிப்பாக, q என்பது p க்கு அருகிலுள்ள M இன் ஒரு புள்ளியாக இருந்தால், n உண்மையான மாறிகளின் சில மென்மையான உண்மையான மதிப்புள்ள செயல்பாட்டிற்கு. எனவே, f மற்றும் g முதல் p வரையிலான இரண்டு வளைவுகளுக்கு, நம்மிடம் உள்ளது சங்கிலி விதி இப்போது உரிமைகோரலின் ஒரு பகுதியை நிறுவுகிறது. உதாரணமாக, f மற்றும் g ஆகியவை உண்மையான மாறி t இன் செயல்பாடுகளாக இருந்தால், f க்கு பதிலாக g க்கு எதிராக மதிப்பிடப்படும்போது அதே வெளிப்பாட்டிற்கு சமமாக இருக்கும், f (0) = g (0) = p மற்றும் f மற்றும் g ஆகியவை ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் (xi) k-வது வரிசையில் உள்ளன என்பதை நினைவுபடுத்துகிறது. எனவே வெளிப்படையான நார் மூட்டை டி. கே. எம் ஒவ்வொரு ஒருங்கிணைந்த சுற்றுப்புறத்திலும் ஒரு உள்ளூர் அற்பமான தன்மையை ஒப்புக்கொள்கிறது. இந்த கட்டத்தில், இந்த வெளிப்படையான ஃபைபர் மூட்டை உண்மையில் ஒரு ஃபைபர் மூட்டை என்பதை நிரூபிக்க, ஆயத்தொகுதிகளின் மாற்றத்தின் கீழ் இது ஒற்றை அல்லாத மாற்றம் செயல்பாடுகளைக் கொண்டுள்ளது என்பதை நிறுவ போதுமானது. ஒரு வித்தியாசமான ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பாக இருக்கட்டும், யூக்ளிடியன் இடத்தின் ஒருங்கிணைப்புகளின் வேறுபட்ட மாற்றத்துடன் தொடர்புடையதாக இருக்கட்டும். ஒரு அஃபைன் உருமாற்றத்தின் மூலம், பொதுவான தன்மையை இழக்காமல் ρ (0) = 0 என்று நாம் கருதலாம். இந்த அனுமானத்துடன், ஜெட் கலவையின் கீழ் ஒரு தலைகீழ் மாற்றம் என்பதை நிரூபிக்க போதுமானது. (ஜெட் குழுக்களையும் பார்க்கவும்.) ஆனால் ρ ஒரு டிஃபியோமார்பிசம் என்பதால், இது ஒரு மென்மையான வரைபடமாகும். எனவே, இது ஒற்றை அல்ல என்பதை நிரூபிக்கிறது. மேலும், இது மென்மையானது, இருப்பினும் அந்த உண்மையை நாம் இங்கே நிரூபிக்கவில்லை. உள்ளுணர்வாக, இதன் பொருள் என்னவென்றால், ஒரு வளைவின் ஜெட்டை p வழியாக அதன் டெய்லர் தொடரின் அடிப்படையில் M இல் உள்ள உள்ளூர் ஆயத்தொகுப்புகளில் வெளிப்படுத்தலாம். உள்ளூர் ஆயத்தொகுப்புகளில் எடுத்துக்காட்டுகள்ஃ முன்பு குறிப்பிட்டபடி, p வழியாக ஒரு வளைவின் 1-ஜெட் ஒரு தொடுகோட்டு திசையன் ஆகும். p இல் ஒரு தொடுகோட்டு திசையன் என்பது p இல் மென்மையான உண்மையான மதிப்புள்ள செயல்பாடுகளில் செயல்படும் முதல்-வரிசை வேறுபாடு ஆபரேட்டர் ஆகும். உள்ளூர் ஆயத்தொகுதிகளில், ஒவ்வொரு தொடுகோட்டு திசையனுக்கும் ஒரு வடிவம் உள்ளது அத்தகைய தொடுகோட்டு திசையன் v கொடுக்கப்பட்டால், xi ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் கொடுக்கப்பட்ட வளைவாக f இருக்கட்டும். φ என்பது p இன் சுற்றுப்புறத்தில் φ (p) = 0 உடன் ஒரு மென்மையான செயல்பாடாக இருந்தால், ஒரு மாறியின் மென்மையான உண்மையான மதிப்புள்ள செயல்பாடாகும், அதன் 1-ஜெட் வழங்கப்படுகிறது, இது ஒரு புள்ளியில் 1-ஜெட் வளைவுகளுடன் ஒரு புள்ளியில் தொடுகோட்டு திசையன்களை இயற்கையாகவே அடையாளம் காண முடியும் என்பதை நிரூபிக்கிறது. ஒரு புள்ளியின் வழியாக 2-ஜெட் வளைவுகளின் இடைவெளி. ஒரு புள்ளி p ஐ மையமாகக் கொண்ட ஒரு உள்ளூர் ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பு xi இல், ஒரு வளைவின் f (t) இன் இரண்டாவது வரிசை டெய்லர் பல்லுறுப்புக்கோவையை p மூலம் வெளிப்படுத்தலாம். ஒரு புள்ளியில் உள்ள தொடுகோட்டு திசையன்களைப் (வளைவுகளின் 1-ஜெட்) போலவே, வளைவுகளின் 2-ஜெட் ஒருங்கிணைப்பு மாற்ற செயல்பாடுகளைப் பயன்படுத்தும்போது ஒரு மாற்றச் சட்டத்திற்குக் கீழ்ப்படிகின்றன. (yi) மற்றொரு ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பாக இருக்கட்டும். சங்கிலி விதியின் படி, எனவே, இந்த இரண்டு வெளிப்பாடுகளையும் t = 0 இல் மதிப்பிடுவதன் மூலம் உருமாற்ற விதி வழங்கப்படுகிறது. 2-ஜெட்களுக்கான உருமாற்ற விதி ஒருங்கிணைப்பு மாற்றம் செயல்பாடுகளில் இரண்டாவது வரிசை என்பதை நினைவில் கொள்க. பன்மடங்கு முதல் பன்மடங்கு வரையிலான செயல்பாடுகளின் ஜெட் இப்போது ஒரு செயல்பாட்டின் ஜெட்டை பன்மடங்கு முதல் பன்மடங்கு வரை வரையறுக்க நாம் தயாராக உள்ளோம். எம் மற்றும் என் இரண்டு மென்மையான பன்மடங்கு என்று வைத்துக்கொள்வோம். p என்பது M இன் ஒரு புள்ளியாக இருக்கட்டும். p இன் சில சுற்றுப்புறங்களில் வரையறுக்கப்பட்ட மென்மையான வரைபடங்களைக் கொண்ட இடைவெளியைக் கவனியுங்கள். பின்வருமாறு ஒரு சமநிலை உறவை வரையறுக்கிறோம். இரண்டு வரைபடங்கள் f மற்றும் g சமமானவை என்று கூறப்படுகிறது, ஒவ்வொரு வளைவுக்கும் γ முதல் p வரை (எங்கள் மரபுகளால் இது ஒரு வரைபடம் என்பதை நினைவில் கொள்ளுங்கள்), 0 இன் சில சுற்றுப்புறங்களில் உள்ளது. ஜெட் இடைவெளி பின்னர் சமநிலை உறவின் மாடுலோவின் சமநிலை வகுப்புகளின் தொகுப்பாக வரையறுக்கப்படுகிறது. இலக்கு இடம் N எந்த இயற்கணித கட்டமைப்பையும் கொண்டிருக்க வேண்டியதில்லை என்பதால், அத்தகைய கட்டமைப்பும் தேவையில்லை என்பதை நினைவில் கொள்க. இது, உண்மையில், யூக்ளிடியன் இடைவெளிகளின் விஷயத்தில் ஒரு கூர்மையான முரண்பாடாகும். p க்கு அருகில் வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு மென்மையான செயல்பாடு என்றால், p இல் f இன் k-ஜெட்டை f மாடுலோவின் சமநிலை வகுப்பாக வரையறுக்கிறோம். மல்டிஜெட் ஜான் மேதர் மல்டிஜெட் என்ற கருத்தை அறிமுகப்படுத்தினார். மெதுவாகச் சொல்வதானால், மல்டிஜெட் என்பது வெவ்வேறு அடிப்படை புள்ளிகளுக்கு மேல் உள்ள ஜெட் விமானங்களின் வரையறுக்கப்பட்ட பட்டியல் ஆகும். மேதர் மல்டிஜெட் டிரான்ஸ்வெர்சாலிட்டி தேற்றத்தை நிரூபித்தார், இதை அவர் நிலையான வரைபடங்களைப் பற்றிய தனது ஆய்வில் பயன்படுத்தினார். பிரிவுகளின் ஜெட் E என்பது ஒரு பன்மடங்கு M க்கு மேல் ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாண மென்மையான திசையன் மூட்டை என்று வைத்துக்கொள்வோம். பின்னர் E இன் பிரிவுகள் மென்மையான செயல்பாடுகளாகும், அதாவது M இன் அடையாள தானியங்கி வடிவம். ஒரு புள்ளி p இன் சுற்றுப்புறத்தில் ஒரு பிரிவின் ஜெட் என்பது p இல் M முதல் E வரை இந்த மென்மையான செயல்பாட்டின் ஜெட் ஆகும். இந்த குறியீடு இரண்டு பன்மடங்கு செயல்பாடுகளுக்கு இடையிலான பொதுவான ஜெட் இடங்களுடன் குழப்பத்திற்கு வழிவகுக்கும் என்றாலும், சூழல் பொதுவாக அத்தகைய தெளிவின்மையை நீக்குகிறது. ஒரு பன்மடங்கு முதல் மற்றொரு பன்மடங்கு வரையிலான செயல்பாடுகளின் ஜெட் விமானங்களைப் போலல்லாமல், p இல் உள்ள பிரிவுகளின் ஜெட் விமானங்களின் இடைவெளி திசையன் விண்வெளி கட்டமைப்பிலிருந்து பெறப்பட்ட ஒரு திசையன் இடத்தின் கட்டமைப்பை பிரிவுகளில் கொண்டு செல்கிறது. M க்கு மேல் p மாறுபடுவதால், ஜெட் இடைவெளிகள் M க்கு மேல் ஒரு திசையன் மூட்டை உருவாக்குகின்றன, இது E இன் k-வது வரிசை ஜெட் மூட்டை, Jk (E) ஆல் குறிக்கப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டுஃ தொடுகோடு மூட்டையின் முதல் வரிசை ஜெட் மூட்டை. நாம் ஒரு புள்ளியில் உள்ளூர் ஆயத்தொகுப்புகளில் வேலை செய்கிறோம் மற்றும் ஐன்ஸ்டீன் குறியீட்டைப் பயன்படுத்துகிறோம். திசையன் புலத்தின் குணகங்களின் முதல் வரிசை டெய்லர் பல்லுறுப்புக்கோவையை எடுத்துக்கொள்வதன் மூலம் v இன் 1-ஜெட் பெறப்படுகிறதுஃ x ஆயத்தொகுப்புகளில், ஒரு புள்ளியில் 1-ஜெட்டை உண்மையான எண்களின் பட்டியலுடன் அடையாளம் காணலாம். ஒரு புள்ளியில் ஒரு தொடுகோட்டு திசையனை பட்டியல் (vi) உடன் அடையாளம் காண முடியும் அதே வழியில், ஒருங்கிணைப்பு மாற்றங்களின் கீழ் ஒரு குறிப்பிட்ட மாற்றச் சட்டத்திற்கு உட்பட்டு, ஒரு மாற்றத்தால் பட்டியல் எவ்வாறு பாதிக்கப்படுகிறது என்பதை நாம் அறிந்து கொள்ள வேண்டும். எனவே மற்றொரு ஒருங்கிணைப்பு அமைப்புக்கு அனுப்புவதில் உருமாற்றச் சட்டத்தை கருத்தில் கொள்ளுங்கள். y ஆயத்தொகுதிகளில் உள்ள திசையன் புலம் v இன் குணகங்களாக wk இருக்கட்டும். பின்னர் y ஆயத்தொகுதிகளில், v இன் 1-ஜெட் என்பது உண்மையான எண்களின் புதிய பட்டியலாகும். எனவே ஒரு டெய்லர் தொடர் மூலம் விரிவாக்கப்படுவதால், ஒருங்கிணைந்த மாற்றம் செயல்பாடுகளில் மாற்றம் விதி இரண்டாவது வரிசை என்பதை நாம் கவனிக்க வேண்டும். திசையன் மூட்டைகளுக்கு இடையிலான வேறுபட்ட இயக்கிகள் மேலும் காண்க ஜெட் குழு ஜெட் மூட்டை லாக்ராஞ்சியன் அமைப்பு குறிப்புகள் கிராஸில் 'ஷிக், ஐ. எஸ்., வினோகிராடோவ், ஏ. எம்., [மற்றும் பலர். ], கணித இயற்பியலின் வேறுபட்ட சமன்பாடுகளுக்கான சமச்சீர் மற்றும் பாதுகாப்பு சட்டங்கள், அமெரிக்க கணித சங்கம், பிராவிடன்ஸ், ஆர்ஐ, 1999,. கோலார், I., மைக்கோர், பி., ஸ்லோவாக், ஜே., வேறுபட்ட வடிவவியலில் இயற்கை செயல்பாடுகள். ஸ்ப்ரிங்கர்-வெர்லாக்ஃ பெர்லின் ஹைடெல்பெர்க், 1993., சாண்டர்ஸ், டி. ஜே., தி ஜியோமெட்ரி ஆஃப் ஜெட் பன்டில்ஸ், கேம்பிரிட்ஜ் யுனிவர்சிட்டி பிரஸ், 1989, ஆல்வர், பி. ஜே., ஈக்விவலன்ஸ், இன்வேரியன்ட்ஸ் அண்ட் சிம்மெட்ரி, கேம்பிரிட்ஜ் யுனிவர்சிட்டி பிரஸ், 1995, சர்தனாஷ்விலி, ஜி., கோட்பாட்டாளர்களுக்கான மேம்பட்ட வேறுபட்ட வடிவியல்ஃ ஃபைபர் மூட்டைகள், ஜெட் பன்மடங்கு மற்றும் லக்ராஞ்சியன் கோட்பாடு, லம்பேர்ட் அகாடமிக் பப்ளிஷிங், 2013; வேறுபட்ட வடிவியல் மென்மையான செயல்பாடுகள் ஒற்றுமை கோட்பாடு