Plancherel measure
கணிதத்தில், பிளான்செரல் அளவீடு என்பது உள்ளூரில் சுருக்கமான குழுவின் பகுக்கமுடியாத ஒற்றையாட்சி பிரதிநிதித்துவங்களின் தொகுப்பில் வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு அளவீடு ஆகும், இது வழக்கமான பிரதிநிதித்துவம் எவ்வாறு பகுக்கமுடியாத ஒற்றையாட்சி பிரதிநிதித்துவங்களாக உடைகிறது என்பதை விவரிக்கிறது. சில சந்தர்ப்பங்களில் பிளான்செரல் அளவீட்டு என்ற சொல் குறிப்பாக குழுவின் வரையறுக்கப்பட்ட சமச்சீர் குழுவின் சூழலில் பயன்படுத்தப்படுகிறது-கீழே காண்க. பிரதிநிதித்துவக் கோட்பாட்டில் அவரது பணிக்காக சுவிஸ் கணிதவியலாளர் மைக்கேல் பிளான்செரலின் பெயரால் இது பெயரிடப்பட்டுள்ளது. வரையறுக்கப்பட்ட குழுக்களுக்கான வரையறை ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட குழுவாக இருக்கட்டும், அதன் பகுக்கமுடியாத பிரதிநிதித்துவங்களின் தொகுப்பை நாம் குறிக்கிறோம். தொகுப்பின் மீது தொடர்புடைய பிளான்செரல் அளவீடு எங்கே வரையறுக்கப்படுகிறது, மேலும் பகுக்கமுடியாத பிரதிநிதித்துவத்தின் பரிமாணத்தைக் குறிக்கிறது. சமச்சீர் குழுவின் வரையறை ஒரு முக்கியமான சிறப்பு வழக்கு என்பது வரையறுக்கப்பட்ட சமச்சீர் குழுவின் வழக்கு, அங்கு ஒரு நேர்மறை முழு எண். இந்த குழுவிற்கு, பகுக்கமுடியாத பிரதிநிதித்துவங்களின் தொகுப்பு அதன் முழு எண் பகிர்வுகளின் தொகுப்புடன் இயற்கையான பைஜெக்ஷனில் உள்ளது. ஒரு முழு எண் பகிர்வுடன் தொடர்புடைய பகுக்கமுடியாத பிரதிநிதித்துவத்திற்கு, அதன் பரிமாணம் நிலையான இளம் அட்டவணைகளின் எண்ணிக்கைக்கு சமமாக அறியப்படுகிறது, எனவே இந்த விஷயத்தில் பிளான்செரல் அளவீடு பெரும்பாலும் கொடுக்கப்பட்ட வரிசை n இன் முழு எண் பகிர்வுகளின் தொகுப்பில் ஒரு அளவீடாக கருதப்படுகிறது. பயன்பாட்டு பிளான்செரல் அளவீடு இயற்கையாகவே ஒருங்கிணைந்த மற்றும் நிகழ்தகவு சிக்கல்களில் தோன்றுகிறது, குறிப்பாக சீரற்ற வரிசைமாற்றத்தின் மிக நீண்ட தொடர்ச்சியின் ஆய்வில். அந்த பகுதியில் அதன் முக்கியத்துவத்தின் விளைவாக, பல தற்போதைய ஆராய்ச்சிக் கட்டுரைகளில் பிளான்செரல் அளவீட்டு என்ற சொல் கிட்டத்தட்ட பிரத்தியேகமாக சமச்சீர் குழுவின் வழக்கைக் குறிக்கிறது. சீரான விநியோகத்திற்கு ஏற்ப தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட சீரற்ற வரிசைமாற்றத்தின் மிக நீண்ட தொடர்ச்சியின் நீளத்தை குறிக்கலாம். ராபின்சன்-ஷென்ஸ்டெட் கடிதப் பரிமாற்றத்தால் தொடர்புடைய இளம் அட்டவணைகளின் வடிவத்தைக் குறிக்கலாம். பின்னர் பின்வரும் அடையாளம் உள்ளதுஃ இது முதல் வரிசையின் நீளத்தைக் குறிக்கிறது. மேலும், ராபின்சன்-ஷென்ஸ்டெட் கடிதப் பரிமாற்றம் புறநிலை என்ற உண்மையிலிருந்து, அதன் விநியோகம் சரியாக பிளான்செரல் அளவீடு என்பதைப் பின்பற்றுகிறது. எனவே, இந்த இரண்டு சீரற்ற மாறிகளும் ஒரே நிகழ்தகவு விநியோகத்தைக் கொண்டிருப்பதால், அதன் நடத்தையைப் புரிந்துகொள்ள, பிளான்செரல் அளவின் படி தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டதைப் பார்ப்பது இயற்கையானது. ஒவ்வொரு முழு எண்ணுக்கும் பாய்சோனைஸ்ட் பிளான்செரெல் அளவீட்டு பிளான்செரெல் அளவீடு வரையறுக்கப்படுகிறது. அறிகுறியற்ற நடத்தை பற்றிய பல்வேறு ஆய்வுகளில், அனைத்து முழு எண் பகிர்வுகளின் தொகுப்பிலும் பாய்சோனைஸ் செய்யப்பட்ட பிளான்செரல் அளவீடு என்று அழைக்கப்படும் ஒரு அளவீட்டிற்கு அளவீட்டை விரிவுபடுத்துவது பயனுள்ளதாக நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது. எதற்கும், தொகுப்பில் அளவுருவுடன் பாய்சோனைஸ் செய்யப்பட்ட பிளான்செரல் அளவீடு அனைத்திற்கும் வரையறுக்கப்படுகிறது. பிளான்செரல் வளர்ச்சி செயல்முறை பிளான்செரல் வளர்ச்சி செயல்முறை என்பது இளம் வரைபடங்களின் சீரற்ற வரிசையாகும், அவை ஒவ்வொன்றும் வரிசையின் சீரற்ற இளம் வரைபடமாகும், அதன் நிகழ்தகவு விநியோகம் n வது பிளான்செரல் அளவீடு ஆகும், மேலும் ஒவ்வொரு அடுத்தடுத்தும் அதன் முன்னோடிகளிடமிருந்து ஒரு பெட்டியைச் சேர்ப்பதன் மூலம் பெறப்படுகிறது, எந்தவொரு கொடுக்கப்பட்ட இளம் வரைபடங்களுக்கும் மற்றும் முறையே n−1 மற்றும் n அளவுகளுக்கும் மாற்றம் நிகழ்தகவின் படி. எனவே, பிளான்செரெல் வளர்ச்சி செயல்முறையை அனைத்து சமச்சீர் குழுக்களின் வெவ்வேறு பிளான்செரெல் அளவீடுகளின் இயற்கையான இணைப்பாகவோ அல்லது மாற்றாக யங்கின் லட்டிஸில் சீரற்ற நடைப்பயணமாகவோ பார்க்க முடியும். இந்த நடைப்பயணத்தின் நிகழ்தகவு விநியோகம் பிளான்செரல் அளவீட்டுடன் ஒத்துப்போகிறது என்பதைக் காண்பிப்பது கடினம் அல்ல. சிறிய குழுக்களுக்கான பிளான்செரல் அளவீடு வரையறுக்கப்பட்ட குழுக்களுக்கான அளவீட்டைப் போன்றது, தவிர அளவீடு வரையறுக்கப்பட்டதாக இருக்க வேண்டியதில்லை. ஒற்றையாட்சி இரட்டை என்பது வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாண பிரதிநிதித்துவங்களின் தனித்துவமான தொகுப்பாகும், மேலும் பகுக்கமுடியாத வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாண பிரதிநிதித்துவத்தின் பிளான்செரல் அளவீடு அதன் பரிமாணத்திற்கு விகிதாசாரமாகும். அபெலியன் குழுக்கள் உள்ளூரில் கச்சிதமான அபெலியன் குழுவின் ஒற்றையாட்சி இரட்டை மற்றொரு உள்ளூரில் கச்சிதமான அபெலியன் குழுவாகும், மேலும் பிளான்செரல் அளவீடு இரட்டைக் குழுவின் ஹார் அளவீட்டுக்கு விகிதாசாரமாகும். அரை எளிய பொய் குழுக்களுக்கான பிளான்செரல் அளவீட்டை ஹரிஷ்-சந்திரா கண்டுபிடித்தார். ஆதரவு என்பது நிதானமான பிரதிநிதித்துவங்களின் தொகுப்பாகும், குறிப்பாக அனைத்து ஒற்றையாட்சி பிரதிநிதித்துவங்களும் ஆதரவில் ஏற்பட வேண்டியதில்லை. குறிப்புகள் பிரதிநிதித்துவக் கோட்பாடு