Complete lattice
கணிதத்தில், ஒரு முழுமையான லட்டிஸ் என்பது ஓரளவு வரிசைப்படுத்தப்பட்ட தொகுப்பாகும், இதில் அனைத்து துணைக்குழுக்களும் ஒரு மேல்நிலை (சேர்) மற்றும் ஒரு முடிவிலி (சந்திக்கும்) ஆகிய இரண்டையும் கொண்டுள்ளன. இந்த பண்புகளில் குறைந்தபட்சம் ஒன்றையாவது திருப்திப்படுத்தும் ஒரு லட்டிஸ் நிபந்தனைக்குட்பட்ட முழுமையான லட்டிஸ் என்று அழைக்கப்படுகிறது. ஒப்பீட்டிற்கு, ஒரு பொதுவான லட்டிஸில், ஜோடி உறுப்புகள் மட்டுமே ஒரு மேல்நிலை மற்றும் முடிவிலியைக் கொண்டிருக்க வேண்டும். காலியாக இல்லாத ஒவ்வொரு வரையறுக்கப்பட்ட ஜன்னலும் முழுமையானது, ஆனால் எல்லையற்ற ஜன்னல்கள் முழுமையடையாமல் இருக்கலாம். கணிதம் மற்றும் கணினி அறிவியலில் பல பயன்பாடுகளில் முழுமையான லட்டிஸ்கள் தோன்றும். லட்டிஸ்களின் ஒரு சிறப்பு எடுத்துக்காட்டு என்பதால், அவை வரிசைக் கோட்பாடு மற்றும் உலகளாவிய இயற்கணிதம் ஆகிய இரண்டிலும் ஆய்வு செய்யப்படுகின்றன. முழுமையான லட்டிஸ்கள் முழுமையான பகுதி வரிசைகளுடன் (சி. பி. ஓ. எஸ்) குழப்பமடையக்கூடாது, அவை ஓரளவு வரிசைப்படுத்தப்பட்ட தொகுப்புகளின் கடுமையான பொதுவான வகுப்பைக் கொண்டுள்ளன. முழுமையான பூலியன் ஆல்ஜிப்ராக்கள் மற்றும் முழுமையான ஹெய்டிங் ஆல்ஜிப்ராக்கள் (லோக்கல்கள்) மிகவும் குறிப்பிட்ட முழுமையான லட்டிஸ்கள் ஆகும். முறையான வரையறை ஒரு பகுதி வரிசைப்படுத்தப்பட்ட தொகுப்பு (எல், ≤) என்பது எல் இன் ஒவ்வொரு துணைக்குழுவும் (எல், ≤) இல் மிகப்பெரிய கீழ் வரம்பையும் (முடிவிலி, சந்திப்பு என்றும் அழைக்கப்படுகிறது) மற்றும் குறைந்தபட்ச மேல் வரம்பையும் (உச்சநிலை, சேர்க்கை என்றும் அழைக்கப்படுகிறது) கொண்டிருந்தால் ஒரு முழுமையான லட்டிஸ் ஆகும். சந்திப்பு குறிக்கப்படுகிறது, மற்றும் இணைத்தல் மூலம். A என்பது வெற்று தொகுப்பாக இருக்கும் சிறப்பு வழக்கில், A இன் சந்திப்பு L இன் மிகப்பெரிய உறுப்பாக இருக்கும். அதேபோல், வெற்று தொகுப்பின் சேர்க்கை மிகக் குறைந்த உறுப்பை வழங்குகிறது. வரையறை பைனரி சந்திப்புகள் மற்றும் இணைப்புகளின் இருப்பை உறுதிப்படுத்துவதால், முழுமையான லட்டிஸ்கள் இதனால் ஒரு சிறப்பு வகை வரம்புக்குட்பட்ட லட்டிஸ்களை உருவாக்குகின்றன. மேற்கண்ட வரையறையின் கூடுதல் தாக்கங்கள் வரிசைக் கோட்பாட்டில் முழுமையான பண்புகள் குறித்த கட்டுரையில் விவாதிக்கப்படுகின்றன. முழுமையான அரைக்கோளங்கள் வரிசைக் கோட்பாட்டில், தன்னிச்சையான சந்திப்புகளை தன்னிச்சையான இணைப்புகளின் அடிப்படையில் வெளிப்படுத்தலாம் மற்றும் நேர்மாறாகவும் (விவரங்களுக்கு, முழுமையைப் பார்க்கவும் (வரிசைக் கோட்பாடு)). நடைமுறையில், இதன் பொருள் என்னவென்றால், அனைத்து முழுமையான லட்டிஸ்களின் வகுப்பைப் பெறுவதற்கு அனைத்து சந்திப்புகளும் அல்லது அனைத்து இணைப்புகளும் இருக்க வேண்டும். இதன் விளைவாக, சில எழுத்தாளர்கள் முழுமையான மீட்-செமிலேட்டிஸ் அல்லது முழுமையான ஜாயின்-செமிலேட்டிஸ் என்ற சொற்களை முழுமையான லாட்டிஸ்களைக் குறிக்க மற்றொரு வழியாகப் பயன்படுத்துகின்றனர். பொருள்களில் ஒத்ததாக இருந்தாலும், சொற்கள் ஹோமோமார்பிசத்தின் வெவ்வேறு கருத்துக்களைக் கொண்டுள்ளன, அவை மார்ஃபிஸம்களின் கீழ் உள்ள பிரிவில் விளக்கப்பட்டுள்ளன. மறுபுறம், சில எழுத்தாளர்களுக்கு உருவகங்களின் இந்த வேறுபாட்டிற்கு எந்த பயனும் இல்லை (குறிப்பாக "முழுமையான அரைகுறை உருவகங்களின்" வளர்ந்து வரும் கருத்துக்கள் பொதுவான சொற்களிலும் குறிப்பிடப்படலாம் என்பதால்). இதன் விளைவாக, முழுமையான மீட்-செமிலேட்டிஸ்களும் அந்த மீட்-செமிலேட்டிஸ்கள் என்றும் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளன, அவை முழுமையான பகுதி வரிசைகளாகும். இந்த கருத்து விவாதிக்கக்கூடிய வகையில் ஒரு மீட்-செமிலட்டிஸின் "மிகவும் முழுமையான" கருத்தாகும், இது இன்னும் ஒரு லட்டிஸ் அல்ல (உண்மையில், மேல் உறுப்பு மட்டுமே இல்லாமல் இருக்கலாம்). இந்த விவாதம் செமிலட்டிஸஸ் பற்றிய கட்டுரையிலும் காணப்படுகிறது. முழுமையான சப்ளாட்டிஸ்கள் ஒரு முழுமையான லட்டிஸ் எல் இன் சப்ளாட்டிஸ் எம் என்பது எல் இன் முழுமையான சப்ளாட்டிஸ் என்று அழைக்கப்படுகிறது, எம் இன் ஒவ்வொரு துணைக்குழுவிற்கும் உறுப்புகள் மற்றும் எல் இல் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளபடி, உண்மையில் எம் இல் உள்ளன. மேற்கண்ட தேவை காலியாக இல்லாத சந்திப்பு மட்டுமே தேவை என்று குறைக்கப்பட்டு, எம் இல் இணைக்கப்பட்டால், சப்ளாட்டிஸ் எம் எல் இன் மூடிய சப்ளாட்டிஸ் என்று அழைக்கப்படுகிறது. நிபந்தனையுடன் முழுமையான லட்டிஸ்கள் ஒரு லட்டிஸ் பின்வரும் இரண்டு பண்புகளிலும் ஒன்று அல்லது இரண்டையும் திருப்திப்படுத்தினால் "நிபந்தனையுடன் முழுமையானது" என்று கூறப்படுகிறது. கொடுக்கப்பட்ட தொகுப்பின் சக்தி தொகுப்பு, சேர்ப்பதன் மூலம் வரிசைப்படுத்தப்படுகிறது. மேலாதிக்கம் தொழிற்சங்கத்தால் வழங்கப்படுகிறது மற்றும் துணைக்குழுக்களின் குறுக்குவெட்டு மூலம் முடிவிலி வழங்கப்படுகிறது. அலகு இடைவெளி [0,1] மற்றும் நீட்டிக்கப்பட்ட உண்மையான எண் வரி, பழக்கமான மொத்த வரிசை மற்றும் சாதாரண மேல்நிலை மற்றும் முடிவிலியுடன். உண்மையில், ஒரு முற்றிலும் வரிசைப்படுத்தப்பட்ட தொகுப்பு (அதன் வரிசை இடவியல் உடன்) ஒரு லட்டிஸாக முழுமையானதாக இருந்தால் ஒரு இடவியல் இடமாக கச்சிதமாக இருக்கும். எதிர்மறை அல்லாத முழு எண்கள், வகுத்தல் மூலம் வரிசைப்படுத்தப்படுகின்றன. இந்த லட்டிஸின் மிகக் குறைந்த உறுப்பு எண் 1 ஆகும், ஏனெனில் இது வேறு எந்த எண்ணையும் வகுக்கிறது. ஒருவேளை ஆச்சரியப்படத்தக்க வகையில், மிகப் பெரிய உறுப்பு 0 ஆகும், ஏனென்றால் அதை வேறு எந்த எண்ணாலும் வகுக்க முடியும். வரையறுக்கப்பட்ட தொகுப்புகளின் மேல்நிலை மிகக் குறைந்த பொதுவான பெருக்கத்தால் வழங்கப்படுகிறது மற்றும் மிகப் பெரிய பொதுவான வகுத்தினால் அதிகபட்சம் வழங்கப்படுகிறது. எல்லையற்ற தொகுப்புகளுக்கு, உச்சநிலை எப்போதும் 0 ஆக இருக்கும், அதே நேரத்தில் முடிவிலி 1 ஐ விட அதிகமாக இருக்கலாம். எடுத்துக்காட்டாக, அனைத்து சம எண்களின் தொகுப்பும் 2 ஐ மிகப் பெரிய பொதுவான வகுத்தியாகக் கொண்டுள்ளது. இந்த கட்டமைப்பிலிருந்து 0 அகற்றப்பட்டால் அது ஒரு லட்டிஸாக இருக்கும், ஆனால் அது முழுமையடையாது. சேர்க்கப்பட்டுள்ள எந்தவொரு குழுவின் துணைக்குழுக்களும். (இங்கே எல்லையற்றது வழக்கமான செட்-கோட்பாட்டு குறுக்குவெட்டு என்றாலும், துணைக்குழுக்களின் தொகுப்பின் மேலாதிக்கம் என்பது துணைக்குழுக்களின் செட்-கோட்பாட்டு ஒன்றிணைப்பால் உருவாக்கப்படும் துணைக்குழுவாகும், செட்-கோட்பாட்டு ஒன்றிணைப்பு அல்ல. e என்பது G இன் அடையாளமாக இருந்தால், அற்பமான குழு {e} என்பது G இன் குறைந்தபட்ச துணைக்குழுவாகும், அதே நேரத்தில் அதிகபட்ச துணைக்குழு G குழுவாகும். ஒரு தொகுதியின் துணை தொகுதிகள், சேர்ப்பதன் மூலம் வரிசைப்படுத்தப்படுகின்றன. மேல்நிலை துணை தொகுதிகளின் கூட்டுத்தொகையால் வழங்கப்படுகிறது மற்றும் குறுக்குவெட்டு மூலம் முடிவிலி. ஒரு வளையத்தின் இலட்சியங்கள், சேர்ப்பதன் மூலம் வரிசைப்படுத்தப்படுகின்றன. உச்சநிலை இலட்சியங்களின் கூட்டுத்தொகையால் வழங்கப்படுகிறது மற்றும் குறுக்குவெட்டு மூலம் முடிவிலி வழங்கப்படுகிறது. ஒரு இடவியல் இடத்தின் திறந்த தொகுப்புகள், சேர்ப்பதன் மூலம் வரிசைப்படுத்தப்படுகின்றன. மேலாதிக்கம் திறந்த செட்டுகளின் சங்கமத்தால் வழங்கப்படுகிறது மற்றும் குறுக்குவெட்டின் உட்புறத்தால் அதிகபட்சம் வழங்கப்படுகிறது. ஒரு உண்மையான அல்லது சிக்கலான திசையன் இடத்தின் குவிந்த துணைக்குழுக்கள், சேர்ப்பதன் மூலம் வரிசைப்படுத்தப்படுகின்றன. முடிவிலி குவிந்த செட்டுகளின் குறுக்குவெட்டு மற்றும் ஒன்றியத்தின் குவிந்த மேலோடு மூலம் மேல்நிலை மூலம் வழங்கப்படுகிறது. ஒரு தொகுப்பில் உள்ள இடவியல், சேர்ப்பதன் மூலம் வரிசைப்படுத்தப்படுகிறது. இடவியலின் குறுக்குவெட்டு மூலம் முடிவிலியும், இடவியலின் சங்கமத்தால் உருவாக்கப்பட்ட இடவியலின் மேலாதிக்கமும் வழங்கப்படுகிறது. ஒரு தொகுப்பில் உள்ள அனைத்து இடைநிலை உறவுகளின் லட்டிஸ். ஒரு மல்டிசெட்டின் அனைத்து துணை மல்டிசெட்களின் லட்டிஸ். ஒரு தொகுப்பில் உள்ள அனைத்து சமநிலை உறவுகளின் லட்டிஸ்; x ~ y எப்போதும் x ≈ y ஐக் குறிக்கிறது என்றால், சமநிலை உறவு ~ ≈ ஐ விட சிறியதாக (அல்லது "சிறந்ததாக") கருதப்படுகிறது. வான் நியூமன் இயற்கணிதத்தின் சுய-இணை கணிப்புகளின் லட்டிஸ் (ஆர்த்தோகனல் கணிப்புகள் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது). எந்தவொரு எல்லையற்ற துணைக்குழுவின் உச்சநிலை 1 க்கு சமமாக இருந்தால், அல்லது அதற்கு சமமாக, எந்தவொரு தொகுப்புக்கும் தொகுப்பு வரையறுக்கப்பட்டதாக இருந்தால், ஒரு முழுமையான லட்டிஸ் எல் உள்ளூரில் வரையறுக்கப்பட்டதாகக் கூறப்படுகிறது. லட்டிஸ் (N, |) உள்ளூரில் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது. இந்த லட்டிஸில், பொதுவாக "0" என்று குறிக்கப்படும் உறுப்பு உண்மையில் 1 மற்றும் நேர்மாறாக உள்ளது. முழுமையான ஜன்னல்களின் உருவகங்கள் முழுமையான ஜன்னல்களுக்கு இடையிலான பாரம்பரிய உருவகங்கள் முழுமையான உருவகங்கள் (அல்லது முழுமையான ஜன்னல் உருவகங்கள்) ஆகும். இவை அனைத்து இணைப்புகளையும் அனைத்து சந்திப்புகளையும் பாதுகாக்கும் செயல்பாடுகளாக வகைப்படுத்தப்படுகின்றன. வெளிப்படையாக, இதன் பொருள் என்னவென்றால், இரண்டு முழுமையான லட்டிஸ்கள் L மற்றும் M க்கு இடையில் ஒரு செயல்பாடு f: L → M என்பது ஒரு முழுமையான ஹோமோமார்பிசம் மற்றும், L இன் அனைத்து துணைக்குழுக்களுக்கும். அத்தகைய செயல்பாடுகள் தானாகவே மோனோடோனிக் ஆகும், ஆனால் ஒரு முழுமையான ஹோமோமார்பிசம் என்ற நிபந்தனை உண்மையில் மிகவும் குறிப்பிட்டது. இந்த காரணத்திற்காக, மார்ஃபிஸம்களின் பலவீனமான கருத்துக்களைக் கருத்தில் கொள்வது பயனுள்ளதாக இருக்கும், அவை அனைத்து இணைப்புகளையும் (ஒரு வகை சுபைக் கொடுப்பது) அல்லது அனைத்து சந்திப்புகளையும் (ஒரு வகை இன்பைக் கொடுப்பது) பாதுகாக்க மட்டுமே தேவைப்படுகின்றன, அவை உண்மையில் சமத்துவமற்ற நிலைமைகள். இந்த கருத்து முறையே முழுமையான சந்திப்பு-சமச்சீர் அல்லது முழுமையான இணை-சமச்சீர் ஆகியவற்றின் ஒரே மாதிரியாகக் கருதப்படலாம். மேலும், அனைத்து இணைப்புகளையும் பாதுகாக்கும் உருவங்கள் ஒரு தனித்துவமான கலோயிஸ் இணைப்பின் கீழ் அருகிலுள்ள பகுதியாக சமமாக வகைப்படுத்தப்படுகின்றன. எந்தவொரு ஜோடி முன்கூட்டிய வரிசைகளான P மற்றும் Q க்கும், இவை ஜோடி மோனோடோன் செயல்பாடுகளால் வழங்கப்படுகின்றன, அதாவது f என்பது கீழ் அட்ஜாயின்ட் என்றும் g என்பது மேல் அட்ஜாயின்ட் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது. அட்ஜாயின்ட் ஃபன்க்டர் தேற்றத்தின் படி, எந்தவொரு ஜோடி முன்கூட்டிய ஆர்டர்களுக்கும் இடையிலான ஒரு மோனோடோன் வரைபடம் அனைத்து இணைப்புகளையும் அது குறைந்த இணைப்பாக இருந்தால் மட்டுமே பாதுகாக்கிறது, மேலும் அது மேல் இணைப்பாக இருந்தால் மட்டுமே அனைத்தையும் சந்திக்கிறது. எனவே, இணைப்பைப் பாதுகாக்கும் ஒவ்வொரு உருவமும் அனைத்து சந்திப்புகளையும் பாதுகாக்கும் தலைகீழ் திசையில் ஒரு தனித்துவமான மேல் இணைப்பை தீர்மானிக்கிறது. எனவே, முழுமையான செமிலட்டிஸ் மார்ஃபிஸம்களைக் கொண்ட முழுமையான லாட்டிஸ்களைக் கருத்தில் கொள்வது கலோயிஸ் இணைப்புகளை மார்ஃபிஸம்களாகக் கருதுவதைக் குறிக்கிறது. அறிமுகப்படுத்தப்பட்ட உருவங்கள் அடிப்படையில் முழுமையான ஜாலங்களின் இரண்டு வெவ்வேறு வகைகளை மட்டுமே விவரிக்கின்றன என்ற நுண்ணறிவையும் இது அளிக்கிறதுஃ ஒன்று முழுமையான ஒத்த உருவங்களுடன் மற்றும் ஒன்று சந்திப்பு-பாதுகாக்கும் செயல்பாடுகளுடன் (மேல் இணைப்புகள்), இணைப்பைப் பாதுகாக்கும் வரைபடங்களுடன் (கீழ் இணைப்புகள்) இரட்டை. ஒரு முக்கியமான சிறப்பு வழக்கு P (X) மற்றும் P (Y) துணைக்குழுக்களின் லட்டிஸ்களுக்கும், X முதல் Y வரையிலான செயல்பாட்டிற்கும் ஆகும். இந்த வழக்கில், பவர் செட்களுக்கு இடையிலான நேரடி படம் மற்றும் தலைகீழ் பட வரைபடங்கள் முறையே ஒருவருக்கொருவர் மேல் மற்றும் கீழ் பக்கங்களில் உள்ளன. இலவச கட்டுமானம் மற்றும் நிறைவு இலவச "முழுமையான அரைக்கோளங்கள்" வழக்கம் போல், இலவச பொருட்களின் கட்டுமானம் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட வகை உருவகங்களைப் பொறுத்தது. அனைத்து இணைப்புகளையும் பாதுகாக்கும் செயல்பாடுகளை முதலில் கருத்தில் கொள்வோம் (அதாவது. காலோயிஸ் இணைப்புகளின் கீழ் பக்கவாட்டுகள்), ஏனெனில் இந்த வழக்கு முழுமையான ஒத்த உருவகங்களுக்கான சூழ்நிலையை விட எளிமையானது. மேற்கூறிய சொற்களைப் பயன்படுத்தி, இது ஒரு இலவச முழுமையான இணை-சமச்சீர் என்று அழைக்கப்படலாம். உலகளாவிய இயற்கணிதத்திலிருந்து நிலையான வரையறையைப் பயன்படுத்தி, S ஐ உருவாக்கும் தொகுப்பின் மீது ஒரு இலவச முழுமையான லட்டிஸ் என்பது ஒரு முழுமையான லட்டிஸ் L ஆகும், இது ஒரு செயல்பாடு i: S → L உடன் சேர்ந்து, S இலிருந்து எந்தவொரு செயல்பாடும் f ஒரு முழுமையான லட்டிஸ் M இன் அடிப்படை தொகுப்புக்கு L முதல் M வரை f ° ஒரு உருவவியல் மூலம் தனித்துவமாக காரணியாக இருக்கலாம். இந்த நிபந்தனைகள் அடிப்படையில் செட் மற்றும் செயல்பாடுகளின் வகையிலிருந்து முழுமையான லட்டிஸ்கள் மற்றும் ஜாயின்-பாதுகாக்கும் செயல்பாடுகளின் வகைக்கு ஒரு ஃபங்க்டர் உள்ளது என்று கூறுவதற்கு சமம், இது முழுமையான லட்டிஸ்களிலிருந்து அவற்றின் அடிப்படை செட்களுக்கு மறக்கும் ஃபங்க்டருக்கு அருகில் உள்ளது. இந்த அர்த்தத்தில் இலவச முழுமையான லட்டிஸ்களை மிக எளிதாக உருவாக்க முடியும்ஃ சில செட் எஸ் மூலம் உருவாக்கப்படும் முழுமையான லட்டிஸ் வெறும் பவர் செட் 2 எஸ் ஆகும், அதாவது. S இன் அனைத்து துணைக்குழுக்களின் தொகுப்பு, துணைக்குழு சேர்ப்பு மூலம் வரிசைப்படுத்தப்பட்டுள்ளது. தேவையான அலகு i: S → 2S S இன் எந்த உறுப்பு s ஐ சிங்கிள்டன் செட் {s} உடன் வரைபடமாக்குகிறது. மேலே உள்ளபடி ஒரு வரைபடம் f கொடுக்கப்பட்டால், செயல்பாடு f °: 2S → M வரையறுக்கப்படுகிறது. பின்னர் f° தொழிற்சங்கங்களை சுப்ரமாவாக மாற்றுகிறது, இதனால் இணைப்புகளைப் பாதுகாக்கிறது. எங்கள் கருத்துக்கள் இணைப்புகளுக்கு பதிலாக சந்திப்புகளைப் பாதுகாக்கும் உருவகங்களுக்கு ஒரு இலவச கட்டமைப்பைத் தருகின்றன (அதாவது. கலோயிஸ் இணைப்புகளின் மேல் பக்கங்கள்). உண்மையில், மேலே கூறப்பட்டதை நாம் இரட்டைப்படுத்த வேண்டும்ஃ இலவச பொருள்கள் தலைகீழ் சேர்ப்பதன் மூலம் வரிசைப்படுத்தப்பட்ட அதிகார தொகுப்புகளாக வழங்கப்படுகின்றன, அதாவது செட் யூனியன் சந்திப்பு செயல்பாட்டை வழங்குகிறது, மேலும் செயல்பாடு f° இணைப்புகளுக்கு பதிலாக சந்திப்புகளின் அடிப்படையில் வரையறுக்கப்படுகிறது. இந்த கட்டுமானத்தின் விளைவாக ஒரு இலவச முழுமையான சந்திப்பு-சமச்சீர் என்று அழைக்கப்படலாம். இந்த இலவச கட்டுமானங்கள் இலவச செமிலட்டிஸ்களைப் பெறுவதற்குப் பயன்படுத்தப்படுவதை எவ்வாறு விரிவுபடுத்துகின்றன என்பதையும் ஒருவர் கவனிக்க வேண்டும், அங்கு நாம் வரையறுக்கப்பட்ட தொகுப்புகளை மட்டுமே கருத்தில் கொள்ள வேண்டும். இலவச முழுமையான லட்டிஸ்கள் முழுமையான ஹோமோமார்பிசம்களைக் கொண்ட முழுமையான லட்டிஸ்களுக்கான நிலைமை வெளிப்படையாக மிகவும் சிக்கலானது. உண்மையில், இலவச முழுமையான லட்டிஸ்கள் பொதுவாக இல்லை. நிச்சயமாக, லாட்டிஸ்களின் விஷயத்தில் உள்ளதைப் போன்ற ஒரு சொல் சிக்கலை ஒருவர் உருவாக்கலாம், ஆனால் இந்த விஷயத்தில் சாத்தியமான அனைத்து சொற்களின் (அல்லது "சொற்கள்") தொகுப்பும் ஒரு சரியான வகுப்பாக இருக்கும், ஏனெனில் தன்னிச்சையான சந்திப்புகள் மற்றும் இணைப்புகள் ஒவ்வொரு கார்டினாலிட்டியின் வாத-தொகுப்புகளுக்கான செயல்பாடுகளைக் கொண்டுள்ளன. இந்த பண்பு தானாகவே ஒரு சிக்கல் அல்லஃ மேலே உள்ள இலவச முழுமையான அரைக்கோளங்களின் வழக்கு காட்டுவது போல, சிக்கல் என்ற வார்த்தையின் தீர்வு சமநிலை வகுப்புகளின் தொகுப்பை மட்டுமே விட்டுச்செல்லும். வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், அனைத்து சொற்களின் வகுப்பின் சரியான வகுப்புகள் ஒரே பொருளைக் கொண்டிருக்கலாம், இதனால் அவை இலவச கட்டுமானத்தில் அடையாளம் காணப்படுகின்றன. இருப்பினும், முழுமையான லட்டிஸின் சொல் சிக்கலுக்கான சமநிலை வகுப்புகள் "மிகவும் சிறியவை", அதாவது இலவச முழுமையான லட்டிஸ் இன்னும் சரியான வகுப்பாக இருக்கும், இது அனுமதிக்கப்படாது. ஒரு இலவச முழுமையான லட்டிஸ் இருப்பதற்கு ஜெனரேட்டர்களின் தொகுப்பு போதுமான அளவு சிறியதாக இருக்கும் சில பயனுள்ள நிகழ்வுகள் உள்ளன என்று இப்போது ஒருவர் நம்பலாம். துரதிர்ஷ்டவசமாக, அளவு வரம்பு மிகக் குறைவு மற்றும் நம்மிடம் பின்வரும் தேற்றம் உள்ளதுஃ மூன்று ஜெனரேட்டர்களில் இலவச முழுமையான லட்டிஸ் இல்லை; இது ஒரு சரியான வகுப்பு. இந்த அறிக்கையின் ஆதாரம் ஜான்ஸ்டோனால் வழங்கப்படுகிறது; அசல் வாதம் ஆல்ஃபிரட் டபிள்யூ. ஹேல்ஸுக்குக் காரணம்; இலவச லட்டிஸ்கள் பற்றிய கட்டுரையையும் பார்க்கவும். நிறைவு மேலே கருதப்பட்ட ஜெனரேட்டர்களின் தொகுப்புக்கு பதிலாக பயன்படுத்தப்படும் கொடுக்கப்பட்ட இடத்திலிருந்து ஒரு முழுமையான லட்டிஸ் சுதந்திரமாக உருவாக்கப்பட்டால், ஒருவர் இடத்தின் முடிவைப் பற்றி பேசுகிறார். இந்த செயல்பாட்டின் முடிவின் வரையறை இலவச பொருட்களின் மேலே உள்ள வரையறையைப் போன்றது, அங்கு "செட்" மற்றும் "செயல்பாடுகள்" "பொசெட்டுகள்" மற்றும் "மோனோடோன் வரைபடங்களால்" மாற்றப்படுகின்றன. அதேபோல், மோனோடோன் செயல்பாடுகளைக் கொண்ட பொசெட்டுகளின் வகையிலிருந்து சில வகை முழுமையான லட்டிஸ்கள் வரை பொருத்தமான மார்ஃபிஸம்களுடன் ஒரு செயல்பாட்டாளராக முடிக்கப்படும் செயல்முறையை விவரிக்கலாம், அவை எதிர் திசையில் மறக்கமுடியாத செயல்பாட்டுக்கு அருகில் உள்ளன. சந்திப்பு அல்லது இணைப்பைப் பாதுகாக்கும் செயல்பாடுகளை உருவகங்களாக ஒருவர் கருதும் வரை, டெடெக்கைண்ட்-மேக்நீல் நிறைவு என்று அழைக்கப்படுவதன் மூலம் இதை எளிதாக அடைய முடியும். இந்த செயல்முறைக்கு, நிலைப்பாட்டின் கூறுகள் (டெடெக்கிண்ட்-) வெட்டுக்களுக்கு வரைபடமாக்கப்படுகின்றன, பின்னர் அவை செட் மற்றும் மேலே உள்ள இலவச முழுமையான (அரை-) லட்டிஸ்களுக்கு செய்யப்பட்டதைப் போலவே தன்னிச்சையான முழுமையான லட்டிஸ்களின் அடிப்படை நிலைகளுக்கு வரைபடமாக்கப்படலாம். இலவச முழுமையான லட்டிஸ்கள் இல்லை என்ற மேற்கூறிய முடிவு, ஒரு நிலைப்பாட்டின் படி இலவச கட்டுமானமும் சாத்தியமில்லை என்பதைக் குறிக்கிறது. ஒவ்வொரு உறுப்பும் தன்னுடன் மட்டுமே தொடர்புடைய ஒரு தனித்துவமான வரிசையுடன் கூடிய நிலைகளை கருத்தில் கொள்வதன் மூலம் இது எளிதில் காணப்படுகிறது. இவை ஒரு அடிப்படை தொகுப்பில் உள்ள இலவச நிலைப்பாடுகளாகும். நிலைப்பாடுகளிலிருந்து முழுமையான லட்டிஸ்களின் இலவச கட்டுமானம் இருந்தால், பின்னர் இரண்டு கட்டுமானங்களையும் உருவாக்க முடியும், இது மேலே உள்ள எதிர்மறையான முடிவுக்கு முரணானது. ஏற்கனவே ஜி. பிர்காஃப்பின் லாட்டிஸ் தியரி புத்தகத்தில் மிகவும் பயனுள்ள பிரதிநிதித்துவ முறை உள்ளது. இது உறவிலிருந்து ஒரு காலோயிஸ் இணைப்பை உருவாக்குவதன் மூலம் இரண்டு செட்களுக்கு இடையிலான எந்தவொரு பைனரி உறவுக்கும் ஒரு முழுமையான லட்டிஸை தொடர்புபடுத்துகிறது, இது பின்னர் இரண்டு இரட்டை ஐசோமார்பிக் மூடல் அமைப்புகளுக்கு வழிவகுக்கிறது. மூடல் அமைப்புகள் செட்டுகளின் குறுக்குவெட்டு-மூடப்பட்ட குடும்பங்கள் ஆகும். துணைக்குழு உறவால் வரிசைப்படுத்தப்படும்போது, அவை முழுமையான லட்டிஸ்கள். பிர்காஃப்பின் கட்டுமானத்தின் ஒரு சிறப்பு உதாரணம் ஒரு தன்னிச்சையான நிலை (பி, ≤) இலிருந்து தொடங்கி, பி மற்றும் அதற்கும் இடையிலான வரிசை உறவிலிருந்து கலோயிஸ் இணைப்பை உருவாக்குகிறது. இதன் விளைவாக முழுமையான லட்டிஸ் டெடெக்கிண்ட்-மேக்நீல் நிறைவு ஆகும். இந்த நிறைவு ஏற்கனவே ஒரு முழுமையான லட்டிஸாக இருக்கும் ஒரு நிலைப்பாட்டிற்கு பயன்படுத்தப்படும்போது, இதன் விளைவாக அசல் ஒன்றுக்கு ஐசோமார்பிக் ஆகும். எனவே ஐசோமார்பிசம் வரை ஒவ்வொரு முழுமையான லட்டிஸும் பிர்காஃப்பின் முறையால் குறிப்பிடப்படுவதை நாம் உடனடியாகக் காண்கிறோம். கட்டமைப்பு முறையான கருத்து பகுப்பாய்வில் பயன்படுத்தப்படுகிறது, அங்கு ஒன்று பைனரி உறவுகளால் (முறையான சூழல்கள் என்று அழைக்கப்படுகிறது) உண்மையான சொல் தரவைக் குறிக்கிறது மற்றும் தரவு பகுப்பாய்விற்கு தொடர்புடைய முழுமையான லட்டிஸ்களைப் (கருத்து லட்டிஸ்கள் என்று அழைக்கப்படுகிறது) பயன்படுத்துகிறது. எனவே முறையான கருத்து பகுப்பாய்வின் பின்னணியில் உள்ள கணிதம் முழுமையான லட்டிஸ்களின் கோட்பாடாகும். மற்றொரு பிரதிநிதித்துவம் பின்வருமாறு பெறப்படுகிறதுஃ ஒரு முழுமையான லட்டிஸின் துணைக்குழு என்பது ஒரு முழுமையான லட்டிஸ் ஆகும் (தூண்டப்பட்ட வரிசையுடன் வரிசைப்படுத்தப்படும்போது) அது அதிகரித்து வரும் மற்றும் தனித்துவமான (ஆனால் விரிவானதாக இருக்க வேண்டிய அவசியமில்லை) சுய வரைபடத்தின் உருவமாக இருந்தால் மட்டுமே. அடையாள வரைபடம் வெளிப்படையாக இந்த இரண்டு பண்புகளையும் கொண்டுள்ளது. இவ்வாறு அனைத்து முழுமையான ஜன்னல்களும் ஏற்படுகின்றன. மேலும் முடிவுகள் முந்தைய பிரதிநிதித்துவ முடிவுகளைத் தவிர, முழுமையான லட்டிஸ்களைப் பற்றி செய்யக்கூடிய வேறு சில அறிக்கைகள் உள்ளன, அல்லது இந்த விஷயத்தில் குறிப்பாக எளிய வடிவத்தை எடுக்கின்றன. ஒரு உதாரணம் நாஸ்டர்-டார்ஸ்கி தேற்றம், இது ஒரு முழுமையான லட்டிஸில் ஒரு மோனோடோன் செயல்பாட்டின் நிலையான புள்ளிகளின் தொகுப்பு மீண்டும் ஒரு முழுமையான லட்டிஸ் என்று கூறுகிறது. இவை தேற்றத்தின் எடுத்துக்காட்டுகள் என்பதால், அதிகரித்து வரும் மற்றும் தனித்துவமான செயல்பாடுகளின் படங்களைப் பற்றிய மேற்கூறிய அவதானிப்பின் பொதுமைப்படுத்தலாக இது எளிதில் காணப்படுகிறது. குறிப்புகள் மூடல் ஆபரேட்டர்கள் லாட்டிஸ் கோட்பாடு