Differential calculus
கணிதத்தில், வேறுபட்ட கால்குலஸ் என்பது அளவுகள் மாறும் விகிதங்களைப் படிக்கும் கால்குலஸின் துணைப்புலமாகும். இது கால்குலஸின் இரண்டு பாரம்பரிய பிரிவுகளில் ஒன்றாகும், மற்றொன்று ஒருங்கிணைந்த கால்குலஸ்-ஒரு வளைவுக்குக் கீழே உள்ள பகுதியைப் பற்றிய ஆய்வு. வேறுபட்ட கால்குலஸில் ஆய்வின் முதன்மை பொருள்கள் ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல், வேறுபாடு போன்ற தொடர்புடைய கருத்துக்கள் மற்றும் அவற்றின் பயன்பாடுகள் ஆகும். தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட உள்ளீட்டு மதிப்பில் ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் அந்த உள்ளீட்டு மதிப்புக்கு அருகிலுள்ள செயல்பாட்டின் மாற்ற விகிதத்தை விவரிக்கிறது. ஒரு வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிக்கும் செயல்முறை வேறுபாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது. வடிவியல் ரீதியாக, ஒரு புள்ளியில் உள்ள வழித்தோன்றல் என்பது அந்த கட்டத்தில் செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு தொடுகோட்டின் சாய்வு ஆகும், இது வழித்தோன்றல் உள்ளது மற்றும் அந்த கட்டத்தில் வரையறுக்கப்படுகிறது. ஒற்றை உண்மையான மாறியின் உண்மையான மதிப்புள்ள செயல்பாட்டிற்கு, ஒரு புள்ளியில் ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் பொதுவாக அந்த கட்டத்தில் செயல்பாட்டிற்கான சிறந்த நேரியல் தோராயத்தை தீர்மானிக்கிறது. வேறுபட்ட கால்குலஸ் மற்றும் ஒருங்கிணைந்த கால்குலஸ் ஆகியவை கால்குலஸின் அடிப்படை தேற்றத்தால் இணைக்கப்பட்டுள்ளன, இது வேறுபாடு என்பது ஒருங்கிணைப்புக்கான தலைகீழ் செயல்முறை என்று கூறுகிறது. வேறுபாடு கிட்டத்தட்ட அனைத்து அளவு துறைகளிலும் பயன்பாடுகளைக் கொண்டுள்ளது. இயற்பியலில், நேரத்தைப் பொறுத்து நகரும் பொருளின் இடப்பெயர்ச்சியின் வழித்தோன்றல் பொருளின் திசைவேகமாகும், மேலும் நேரத்தைப் பொறுத்தவரை திசைவேகத்தின் வழித்தோன்றல் முடுக்கம் ஆகும். நேரத்தைப் பொறுத்து ஒரு பொருளின் வேகத்தின் வழித்தோன்றல் உடலுக்கு பயன்படுத்தப்படும் சக்திக்கு சமம்; இந்த வழித்தோன்றல் அறிக்கையை மறுசீரமைப்பது நியூட்டனின் இரண்டாவது இயக்க விதியுடன் தொடர்புடைய புகழ்பெற்ற சமன்பாட்டிற்கு வழிவகுக்கிறது. ஒரு இரசாயன எதிர்வினையின் எதிர்வினை விகிதம் ஒரு வழித்தோன்றலாகும். செயல்பாட்டு ஆராய்ச்சியில், பொருட்களை கொண்டு செல்வதற்கும் தொழிற்சாலைகளை வடிவமைப்பதற்கும் மிகவும் திறமையான வழிகளை வழித்தோன்றல்கள் தீர்மானிக்கின்றன. ஒரு செயல்பாட்டின் அதிகபட்சம் மற்றும் மினிமாவைக் கண்டறிய வழித்தோன்றல்கள் அடிக்கடி பயன்படுத்தப்படுகின்றன. வழித்தோன்றல்களை உள்ளடக்கிய சமன்பாடுகள் வேறுபட்ட சமன்பாடுகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன மற்றும் இயற்கை நிகழ்வுகளை விவரிப்பதில் அடிப்படையானவை. சிக்கலான பகுப்பாய்வு, செயல்பாட்டு பகுப்பாய்வு, வேறுபட்ட வடிவியல், அளவீட்டுக் கோட்பாடு மற்றும் சுருக்க இயற்கணிதம் போன்ற கணிதத்தின் பல துறைகளில் வழித்தோன்றல்களும் அவற்றின் பொதுமைப்படுத்தல்களும் காணப்படுகின்றன. வழித்தோன்றல் புள்ளியில் உள்ள வழித்தோன்றல் என்பது தொடுகோட்டின் சாய்வு ஆகும். இதற்கு ஒரு உள்ளுணர்வைப் பெற, வடிவத்தில் எழுதப்பட்ட ஒரு நேரியல் சமன்பாட்டின் சாய்வைக் கண்டுபிடிப்பதில் ஒருவர் முதலில் நன்கு அறிந்திருக்க வேண்டும். ஒரு சமன்பாட்டின் சாய்வு அதன் செங்குத்தான தன்மை ஆகும். ஏதேனும் இரண்டு புள்ளிகளைத் தேர்ந்தெடுத்து, மாற்றத்தை மாற்றத்தால் வகுப்பதன் மூலம் அதைக் காணலாம், அதாவது. ஏனெனில், கீழே உள்ள வரைபடத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளபடி, இன் வரைபடம் ஒரு சாய்வைக் கொண்டுள்ளதுஃ சுருக்கத்திற்கு, பெரும்பாலும் கிரேக்க எழுத்து டெல்டா என்று எழுதப்படுகிறது, அதாவது 'மாற்றம்'. ஒரு நேரியல் சமன்பாட்டின் சாய்வு நிலையானது, அதாவது செங்குத்தான தன்மை எல்லா இடங்களிலும் ஒரே மாதிரியாக இருக்கும். இருப்பினும், இது போன்ற பல வரைபடங்கள் அவற்றின் செங்குத்தான தன்மையில் வேறுபடுகின்றன. இதன் பொருள் என்னவென்றால், நீங்கள் இனி இரண்டு தன்னிச்சையான புள்ளிகளைத் தேர்ந்தெடுத்து சாய்வைக் கணக்கிட முடியாது. அதற்கு பதிலாக, ஒரு குறிப்பிட்ட புள்ளியை 'தொடும்' ஒரு கோடு-தொடுகோட்டைக் கருத்தில் கொண்டு வரைபடத்தின் சாய்வைக் கணக்கிடலாம். ஒரு குறிப்பிட்ட புள்ளியில் ஒரு வளைவின் சாய்வு அந்த புள்ளியில் தொடுகோட்டின் சாய்வுக்கு சமம். எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு சாய்வு உள்ளது, ஏனெனில் அந்த புள்ளிக்கு தொடுகோட்டு கோட்டின் சாய்வு இதற்கு சமம்ஃ ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் பின்னர் வெறுமனே இந்த தொடுகோட்டு கோட்டின் சாய்வு ஆகும். தொடுகோட்டு கோடு தொடுகோட்டு புள்ளியில் ஒரு புள்ளியை மட்டுமே தொட்டாலும், அதை இரண்டு புள்ளிகள் வழியாக செல்லும் ஒரு கோடு மூலம் தோராயமாக மதிப்பிடலாம். இது ஒரு செகண்ட் கோடு என்று அழைக்கப்படுகிறது. செகண்ட் கோடு செல்லும் இரண்டு புள்ளிகளும் ஒன்றோடொன்று நெருக்கமாக இருந்தால், செகண்ட் கோடு தொடுகோட்டை நெருக்கமாக ஒத்திருக்கிறது, இதன் விளைவாக, அதன் சாய்வும் மிகவும் ஒத்திருக்கிறதுஃ ஒரு செகண்ட் கோட்டைப் பயன்படுத்துவதன் நன்மை என்னவென்றால் அதன் சாய்வை நேரடியாகக் கணக்கிட முடியும். வரைபடத்தில் உள்ள இரண்டு புள்ளிகளைக் கவனியுங்கள், ஒரு சிறிய எண் எங்கே. முன்பு போலவே, இந்த இரண்டு புள்ளிகளையும் கடந்து செல்லும் கோட்டின் சாய்வை இந்த சூத்திரத்துடன் கணக்கிடலாம். இது நெருக்கமாக நெருங்கும்போது, செகண்ட் கோட்டின் சாய்வு தொடுகோட்டு கோட்டின் சாய்வுக்கு நெருக்கமாக நெருங்குகிறது. மேற்கண்ட வெளிப்பாட்டின் பொருள் '0 க்கு நெருக்கமாகவும் நெருக்கமாகவும் வரும்போது, செகண்ட் கோட்டின் சாய்வு ஒரு குறிப்பிட்ட மதிப்புக்கு நெருக்கமாகவும் நெருக்கமாகவும் வருகிறது'. அணுகப்படும் மதிப்பு இதன் வழித்தோன்றல் ஆகும்; இதை இவ்வாறு எழுதலாம். என்றால், வழித்தோன்றலை ஒரு மிகச்சிறிய மாற்றத்தைக் குறிக்கும் வகையில் எழுதலாம். எடுத்துக்காட்டாக, x இல் ஒரு எண்ணற்ற மாற்றத்தைக் குறிக்கிறது. சுருக்கமாக, என்றால், அதன் வழித்தோன்றல் அத்தகைய வரம்பு உள்ளது. இவ்வாறு ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலை சரியாக வரையறுப்பதில் நாம் வெற்றி பெற்றோம், அதாவது 'தொடுகோட்டு கோட்டின் சாய்வு' இப்போது ஒரு துல்லியமான கணித அர்த்தத்தைக் கொண்டுள்ளது. மேற்கண்ட வரையறையைப் பயன்படுத்தி ஒரு செயல்பாட்டை வேறுபடுத்துவது முதல் கொள்கைகளிலிருந்து வேறுபடுத்துதல் என்று அழைக்கப்படுகிறது. முதல் கொள்கைகளிலிருந்து வேறுபாட்டைப் பயன்படுத்தி, இதன் வழித்தோன்றல்ஃ அணுகும்போது, அணுகுகிறது என்பதற்கு இங்கே ஒரு சான்று உள்ளது. எனவே, இந்த ஆதாரம் என்றால் மற்றும் நிலையானவை என்பதைக் காட்ட பொதுமைப்படுத்தப்படலாம். இது அதிகார விதி என்று அழைக்கப்படுகிறது. உதாரணமாக,. இருப்பினும், பல செயல்பாடுகளை பல்லுறுப்புக்கோவை செயல்பாடுகளைப் போல எளிதில் வேறுபடுத்த முடியாது, அதாவது சில நேரங்களில் ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறிய மேலும் நுட்பங்கள் தேவைப்படுகின்றன. இந்த நுட்பங்களில் சங்கிலி விதி, தயாரிப்பு விதி மற்றும் ஈவு விதி ஆகியவை அடங்கும். மற்ற செயல்பாடுகளை வேறுபடுத்திப் பார்க்க முடியாது, இது வேறுபாடு என்ற கருத்தை உருவாக்குகிறது. ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலுடன் நெருக்கமாக தொடர்புடைய கருத்து அதன் வேறுபாடு ஆகும். எப்போது மற்றும் உண்மையான மாறிகள், இன் வழித்தோன்றல் என்பது இன் வரைபடத்திற்கு தொடுகோட்டு கோட்டின் சாய்வு ஆகும். மூலமும் இலக்கும் ஒரு பரிமாணமாக இருப்பதால், அதன் வழித்தோன்றல் ஒரு உண்மையான எண். மற்றும் திசையன்கள் என்றால், வரைபடத்தின் சிறந்த நேரியல் தோராயமானது ஒரே நேரத்தில் பல திசைகளில் எவ்வாறு மாறுகிறது என்பதைப் பொறுத்தது. ஒரு திசையில் சிறந்த நேரியல் தோராயத்தை எடுத்துக்கொள்வது ஒரு பகுதி வழித்தோன்றலை தீர்மானிக்கிறது, இது பொதுவாக குறிக்கப்படுகிறது. ஒரே நேரத்தில் அனைத்து திசைகளிலும் உள்ள நேரியல் மொத்த வழித்தோன்றல் என்று அழைக்கப்படுகிறது. யூக்ளிட் (கிமு 300), ஆர்க்கிமிடீஸ் (கிமு 287-212) மற்றும் பெர்காவின் அப்பல்லோனியஸ் (கிமு 262-190) போன்ற பண்டைய கிரேக்க கணிதவியலாளர்களுக்கு நன்கு தெரிந்த ஒரு தொடுகோட்டு கோடு என்ற பொருளில் ஒரு வழித்தோன்றலின் கருத்து மிகவும் பழமையானது. ஆர்க்கிமிடீஸ் பிரிக்க முடியாதவற்றையும் பயன்படுத்தினார், இருப்பினும் இவை முதன்மையாக வழித்தோன்றல்கள் மற்றும் தொடுகோடுகளைக் காட்டிலும் பகுதிகள் மற்றும் தொகுதிகளைப் படிக்கப் பயன்படுத்தப்பட்டன (இயந்திரக் கோட்பாடுகளின் முறையைப் பார்க்கவும்). மாற்ற விகிதங்களைக் கணக்கிட எல்லையற்ற எண்களின் பயன்பாடு இரண்டாம் பாஸ்கராவால் (1114-1185) கணிசமாக உருவாக்கப்பட்டது; உண்மையில், "ரோலின் தேற்றம்" போன்ற வேறுபட்ட கால்குலஸின் பல முக்கிய கருத்துக்களை அவரது படைப்புகளில் காணலாம் என்று வாதிடப்பட்டுள்ளது. கணிதவியலாளர் ஷராப் அல்-தின் அல்-துஸி (1135-1213), சமன்பாடுகள் குறித்த தனது ஆய்வறிக்கையில், பொருத்தமான கன பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் அதிகபட்ச அளவைக் கண்டுபிடிப்பதன் மூலம் சில கன சமன்பாடுகளுக்கு தீர்வுகளைக் கொண்டிருப்பதற்கான நிபந்தனைகளை நிறுவினார். எடுத்துக்காட்டாக, கனசதுரத்தின் அதிகபட்சம் (நேர்மறைக்கு) எப்போது நிகழ்கிறது என்பதை அவர் பெற்றார், அதிலிருந்து சமன்பாடு சரியாக ஒரு நேர்மறை தீர்வை எப்போது, மற்றும் இரண்டு நேர்மறை தீர்வுகளை எப்போது வேண்டுமானாலும் கொண்டுள்ளது என்று முடிவு செய்தார். இந்த முடிவைப் பெற அல்-துஸி கனசதுரத்தின் வழித்தோன்றலைப் பயன்படுத்தியிருக்க வேண்டும் என்று அறிவியல் வரலாற்றாசிரியர் ரோஷ்டி ராஷத் வாதிட்டார். ராஷேதின் முடிவை மற்ற அறிஞர்கள் எதிர்த்தனர், இருப்பினும், செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் அறியப்பட வேண்டிய அவசியமில்லாத பிற முறைகளால் அவர் முடிவைப் பெற்றிருக்கலாம் என்று வாதிடுகின்றனர். கால்குலஸின் நவீன வளர்ச்சி பொதுவாக ஐசக் நியூட்டன் (1643-1727) மற்றும் காட்ஃபிரைட் வில்ஹெல்ம் லீப்னிஸ் (1646-1716) ஆகியோருக்கு வரவு வைக்கப்படுகிறது, அவர்கள் வேறுபாடு மற்றும் வழித்தோன்றல்களுக்கு சுயாதீனமான மற்றும் ஒருங்கிணைந்த அணுகுமுறைகளை வழங்கினர். எவ்வாறாயினும், அவர்களுக்கு இந்த நற்பெயரைப் பெற்ற முக்கிய நுண்ணறிவு, வேறுபாடு மற்றும் ஒருங்கிணைப்பு தொடர்பான கால்குலஸின் அடிப்படை தேற்றமாகும்ஃ இது பகுதிகள் மற்றும் தொகுதிகளைக் கணக்கிடுவதற்கான முந்தைய முறைகளில் வழக்கற்றுப் போய்விட்டது. வழித்தோன்றல்கள் பற்றிய அவர்களின் கருத்துக்களுக்காக, நியூட்டன் மற்றும் லீப்னிஸ் இருவரும் பியர் டி ஃபெர்மாட் (1607-1665), ஐசக் பாரோ (1630-1677), ரெனே டெஸ்கார்ட்ஸ் (1596-1650), கிறிஸ்டியன் ஹைஜென்ஸ் (1629-1695), பிளேஸ் பாஸ்கல் (1623-1662) மற்றும் ஜான் வாலிஸ் (1616-1703) போன்ற கணிதவியலாளர்களின் குறிப்பிடத்தக்க முந்தைய படைப்புகளை உருவாக்கினர். ஃபெர்மாட்டின் செல்வாக்கைப் பற்றி, நியூட்டன் ஒருமுறை ஒரு கடிதத்தில் எழுதினார், "ஃபெர்மாட்டின் தொடுகோடுகளை வரைவதற்கான முறையிலிருந்து இந்த முறையின் (ஃப்ளக்சன்களின்) குறிப்பு எனக்கு இருந்தது, மேலும் அதை சுருக்க சமன்பாடுகளுக்கு நேரடியாகவும் தலைகீழாகவும் பயன்படுத்துவதன் மூலம், நான் அதை பொதுவானதாக்கினேன்". ஐசக் பாரோ பொதுவாக வழித்தோன்றலின் ஆரம்ப வளர்ச்சிக்கு கடன் வழங்கப்படுகிறது. ஆயினும்கூட, நியூட்டனும் லீப்னிஸும் வேறுபாடு வரலாற்றில் முக்கிய நபர்களாக உள்ளனர், குறைந்தது நியூட்டன் தான் கோட்பாட்டு இயற்பியலுக்கு வேறுபாட்டை முதன்முதலில் பயன்படுத்தியதால் அல்ல, அதே நேரத்தில் லீப்னிஸ் இன்றும் பயன்படுத்தப்படும் பெரும்பாலான குறியீடுகளை முறையாக உருவாக்கினார். 17 ஆம் நூற்றாண்டிலிருந்து பல கணிதவியலாளர்கள் வேறுபாடு கோட்பாட்டிற்கு பங்களித்துள்ளனர். 19 ஆம் நூற்றாண்டில், அகஸ்டின் லூயிஸ் காச்சி (1789-1857), பெர்ன்ஹார்ட் ரீமன் (1826-1866), மற்றும் கார்ல் வியர்ஸ்ட்ராஸ் (1815-1897) போன்ற கணிதவியலாளர்களால் கால்குலஸ் மிகவும் கடுமையான நிலையில் வைக்கப்பட்டது. இந்தக் காலகட்டத்தில்தான் யூக்ளிடியன் இடம் மற்றும் சிக்கலான தளத்திற்கு வேறுபாடு பொதுமைப்படுத்தப்பட்டது. 20 ஆம் நூற்றாண்டு நமது தற்போதைய புரிதல் மற்றும் வழித்தோன்றல் நடைமுறையை நோக்கி இரண்டு முக்கிய படிகளைக் கொண்டு வந்ததுஃ லெபெஸ்கூ ஒருங்கிணைப்பு, மேலும் பல செயல்பாடுகளுக்கு ஒருங்கிணைந்த கால்குலஸை விரிவுபடுத்துவதோடு மட்டுமல்லாமல், முழுமையான தொடர்ச்சியின் கருத்துடன் வழித்தோன்றலுக்கும் ஒருங்கிணைப்புக்கும் இடையிலான உறவை தெளிவுபடுத்தியது. பின்னர் விநியோகக் கோட்பாடு (லாரண்ட் ஸ்வார்ட்ஸுக்குப் பிறகு) பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட செயல்பாடுகளுக்கு வழித்தோன்றலை விரிவுபடுத்தியது (எ. கா., முன்பு குவாண்டம் மெக்கானிக்ஸில் அறிமுகப்படுத்தப்பட்ட டைராக் டெல்டா செயல்பாடு) மற்றும் இப்போதெல்லாம் பயன்பாட்டு பகுப்பாய்விற்கு அடிப்படையாக மாறியது, குறிப்பாக பகுதி வேறுபாடு சமன்பாடுகளுக்கு பலவீனமான தீர்வுகளைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம். வழித்தோன்றல்களின் பயன்பாடுகள் உகப்பாக்கம் ஒரு வேறுபடுத்தக்கூடிய செயல்பாடு (அல்லது திறந்த இடைவெளி) மற்றும் ஒரு உள்ளூர் அதிகபட்சம் அல்லது ஒரு உள்ளூர் குறைந்தபட்சம் என்றால், பின்னர் at இன் வழித்தோன்றல் பூஜ்ஜியமாகும். முக்கியமான புள்ளிகள் அல்லது நிலையான புள்ளிகள் என்று அழைக்கப்படும் புள்ளிகள் (மற்றும் at இன் மதிப்பு முக்கியமான மதிப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது). எல்லா இடங்களிலும் வேறுபடுத்தக்கூடியதாக கருதப்படாவிட்டால், அது வேறுபடுத்தக்கூடியதாக இல்லாத புள்ளிகளும் முக்கியமான புள்ளிகளாக குறிப்பிடப்படுகின்றன. இரண்டு முறை வேறுபடுத்தக்கூடியதாக இருந்தால், அதற்கு நேர்மாறாக, ஒரு முக்கியமான புள்ளியை இரண்டாவது வழித்தோன்றலைக் கருத்தில் கொண்டு பகுப்பாய்வு செய்யலாம்ஃ அது நேர்மறையாக இருந்தால், ஒரு உள்ளூர் குறைந்தபட்சம்; அது எதிர்மறையாக இருந்தால், ஒரு உள்ளூர் அதிகபட்சம்; அது பூஜ்ஜியமாக இருந்தால், ஒரு உள்ளூர் குறைந்தபட்சம், ஒரு உள்ளூர் அதிகபட்சம் அல்லது இரண்டுமே இருக்க முடியாது. (எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு முக்கியமான புள்ளியைக் கொண்டுள்ளது, ஆனால் அதற்கு அதிகபட்சம் அல்லது குறைந்தபட்சம் இல்லை, அதேசமயம் ஒரு முக்கியமான புள்ளி மற்றும் குறைந்தபட்சம் மற்றும் அதிகபட்சம் முறையே உள்ளது. இது இரண்டாவது வழித்தோன்றல் சோதனை என்று அழைக்கப்படுகிறது. முதல் வழித்தோன்றல் சோதனை என்று அழைக்கப்படும் ஒரு மாற்று அணுகுமுறை, முக்கியமான புள்ளியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள அடையாளத்தை கருத்தில் கொள்வதை உள்ளடக்கியது. எனவே வழித்தோன்றல்களை எடுத்துக்கொள்வது மற்றும் முக்கியமான புள்ளிகளைத் தீர்ப்பது பெரும்பாலும் உள்ளூர் மினிமா அல்லது அதிகபட்சத்தைக் கண்டறிய ஒரு எளிய வழியாகும், இது உகப்பாக்கத்தில் பயனுள்ளதாக இருக்கும். தீவிர மதிப்பு தேற்றத்தின் படி, ஒரு மூடிய இடைவெளியில் ஒரு தொடர்ச்சியான செயல்பாடு அதன் குறைந்தபட்ச மற்றும் அதிகபட்ச மதிப்புகளை குறைந்தபட்சம் ஒரு முறையாவது அடைய வேண்டும். செயல்பாடு வேறுபடுத்தக்கூடியதாக இருந்தால், மினிமா மற்றும் அதிகபட்சம் முக்கியமான புள்ளிகள் அல்லது இறுதிப் புள்ளிகளில் மட்டுமே நிகழ முடியும். இது வரைபட ஓவியத்திலும் பயன்பாடுகளைக் கொண்டுள்ளதுஃ ஒரு வேறுபடுத்தக்கூடிய செயல்பாட்டின் உள்ளூர் மினிமாவும் அதிகபட்சமும் கண்டுபிடிக்கப்பட்டவுடன், முக்கியமான புள்ளிகளுக்கு இடையில் அது அதிகரிக்கும் அல்லது குறையும் என்ற அவதானிப்பிலிருந்து வரைபடத்தின் தோராயமான வரைபடத்தைப் பெறலாம். உயர் பரிமாணங்களில், அளவிடக்கூடிய மதிப்புள்ள செயல்பாட்டின் முக்கியமான புள்ளி என்பது சாய்வு பூஜ்ஜியமாக இருக்கும் ஒரு புள்ளியாகும். இரண்டாவது வழித்தோன்றல் சோதனை இன்னும் முக்கியமான புள்ளியில் செயல்பாட்டின் இரண்டாவது பகுதி வழித்தோன்றல்களின் ஹெஸியன் மேட்ரிக்ஸின் ஐகென் மதிப்புகளைக் கருத்தில் கொண்டு முக்கியமான புள்ளிகளை பகுப்பாய்வு செய்ய பயன்படுத்தப்படலாம். அனைத்து ஐகென் மதிப்புகளும் நேர்மறையாக இருந்தால், புள்ளி ஒரு உள்ளூர் குறைந்தபட்சம்; அனைத்தும் எதிர்மறையாக இருந்தால், அது ஒரு உள்ளூர் அதிகபட்சம். சில நேர்மறை மற்றும் சில எதிர்மறை ஐகென் மதிப்புகள் இருந்தால், முக்கியமான புள்ளி "சேடல் பாயிண்ட்" என்று அழைக்கப்படுகிறது, மேலும் இந்த நிகழ்வுகள் எதுவும் இல்லை என்றால் (அதாவது, சில ஐகென் மதிப்புகள் பூஜ்ஜியமாக இருந்தால்) சோதனை முடிவற்றதாகக் கருதப்படுகிறது. மாறுபாடுகளின் கணக்கீடு ஒரு உகப்பாக்கம் சிக்கலின் ஒரு எடுத்துக்காட்டுஃ ஒரு மேற்பரப்பில் இரண்டு புள்ளிகளுக்கு இடையில் குறுகிய வளைவைக் கண்டறியவும், வளைவு மேற்பரப்பில் இருக்க வேண்டும் என்று வைத்துக்கொள்வோம். மேற்பரப்பு ஒரு தளமாக இருந்தால், குறுகிய வளைவு ஒரு கோடு ஆகும். ஆனால் மேற்பரப்பு, எடுத்துக்காட்டாக, முட்டை வடிவத்தில் இருந்தால், குறுகிய பாதை உடனடியாக தெளிவாக இல்லை. இந்த பாதைகள் புவியியல் என்று அழைக்கப்படுகின்றன, மேலும் மாறுபாடுகளின் கால்குலஸில் மிகவும் அடிப்படை சிக்கல்களில் ஒன்று புவியியலைக் கண்டுபிடிப்பதாகும். மற்றொரு எடுத்துக்காட்டுஃ விண்வெளியில் ஒரு மூடிய வளைவில் நிரப்பப்படும் மிகச்சிறிய பரப்பளவு மேற்பரப்பைக் கண்டறியவும். இந்த மேற்பரப்பு குறைந்தபட்ச மேற்பரப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது, மேலும் இது மாறுபாடுகளின் கால்குலஸைப் பயன்படுத்தி காணலாம். இயற்பியலில் இயற்பியல் கால்குலஸ் மிக முக்கியமானதுஃ பல இயற்பியல் செயல்முறைகள் வேறுபட்ட சமன்பாடுகள் எனப்படும் வழித்தோன்றல்களை உள்ளடக்கிய சமன்பாடுகளால் விவரிக்கப்படுகின்றன. இயற்பியல் குறிப்பாக காலப்போக்கில் அளவுகள் மாறும் மற்றும் வளரும் விதத்தில் அக்கறை கொண்டுள்ளது, மேலும் "நேர வழித்தோன்றல்" என்ற கருத்து-காலப்போக்கில் மாற்றத்தின் விகிதம்-பல முக்கியமான கருத்தாக்கங்களின் துல்லியமான வரையறைக்கு அவசியம். குறிப்பாக, ஒரு பொருளின் நிலையின் நேர வழித்தோன்றல்கள் நியூட்டனின் இயற்பியலில் குறிப்பிடத்தக்கவைஃ திசைவேகம் என்பது ஒரு பொருளின் இடப்பெயர்ச்சி (அசல் நிலையிலிருந்து தூரம்) முடுக்கம் என்பது ஒரு பொருளின் வேகத்தின் வழித்தோன்றல் (நேரத்தைப் பொறுத்தவரை), அதாவது, ஒரு பொருளின் நிலையின் இரண்டாவது வழித்தோன்றல் (நேரத்தைப் பொறுத்தவரை). எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு கோட்டில் ஒரு பொருளின் நிலை கொடுக்கப்பட்டால், பொருளின் திசைவேகம் மற்றும் பொருளின் முடுக்கம் நிலையானது. வேறுபட்ட சமன்பாடுகள் ஒரு வேறுபட்ட சமன்பாடு என்பது செயல்பாடுகளின் தொகுப்புக்கும் அவற்றின் வழித்தோன்றல்களுக்கும் இடையிலான உறவாகும். ஒரு சாதாரண வேறுபட்ட சமன்பாடு என்பது ஒரு மாறியின் செயல்பாடுகளை அந்த மாறியைப் பொறுத்து அவற்றின் வழித்தோன்றல்களுடன் தொடர்புபடுத்தும் ஒரு வேறுபட்ட சமன்பாடாகும். ஒரு பகுதி வேறுபாடு சமன்பாடு என்பது ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட மாறிகளின் செயல்பாடுகளை அவற்றின் பகுதி வழித்தோன்றல்களுடன் தொடர்புபடுத்தும் ஒரு வேறுபாடு சமன்பாடாகும். வேறுபட்ட சமன்பாடுகள் இயற்கையாகவே இயற்பியல் அறிவியலிலும், கணித மாதிரியிலும், கணிதத்திலும் எழுகின்றன. எடுத்துக்காட்டாக, முடுக்கம் மற்றும் விசைக்கு இடையிலான உறவை விவரிக்கும் நியூட்டனின் இரண்டாவது விதி, சாதாரண வேறுபாடு சமன்பாடு என்று கூறலாம் ஒரு இடைவெளி மாறியில் உள்ள வெப்ப சமன்பாடு, இது ஒரு நேரான கம்பியின் மூலம் வெப்பம் எவ்வாறு பரவுகிறது என்பதை விவரிக்கிறது, இது பகுதி வேறுபாடு சமன்பாடு இங்கே நிலை மற்றும் நேரத்தில் கம்பியின் வெப்பநிலை மற்றும் கம்பியின் வழியாக வெப்பம் எவ்வளவு வேகமாக பரவுகிறது என்பதைப் பொறுத்து ஒரு மாறிலி. சராசரி மதிப்பு தேற்றம் வழித்தோன்றலின் மதிப்புகளுக்கும் அசல் செயல்பாட்டின் மதிப்புகளுக்கும் இடையிலான உறவை வழங்குகிறது. ஒரு உண்மையான மதிப்புள்ள செயல்பாடு மற்றும் மற்றும் எண்களுடன் இருந்தால், சராசரி மதிப்பு தேற்றம் லேசான கருதுகோள்களின் கீழ், இரண்டு புள்ளிகளுக்கு இடையிலான சாய்வு மற்றும் மற்றும் இடையே ஒரு கட்டத்தில் தொடுகோட்டு கோட்டின் சாய்வுக்கு சமம் என்று கூறுகிறது. வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், நடைமுறையில், சராசரி மதிப்பு தேற்றம் என்ன செய்கிறது என்பது ஒரு செயல்பாட்டை அதன் வழித்தோன்றலின் அடிப்படையில் கட்டுப்படுத்துவதாகும். உதாரணமாக, ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமான வழித்தோன்றல் உள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம். இதன் பொருள் என்னவென்றால், அதன் தொடுகோட்டு ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் கிடைமட்டமாக உள்ளது, எனவே செயல்பாடும் கிடைமட்டமாக இருக்க வேண்டும். சராசரி மதிப்பு தேற்றம் இது உண்மையாக இருக்க வேண்டும் என்பதை நிரூபிக்கிறதுஃ இன் வரைபடத்தில் ஏதேனும் இரண்டு புள்ளிகளுக்கு இடையிலான சாய்வு இன் தொடுகோட்டுகளில் ஒன்றின் சாய்வுக்கு சமமாக இருக்க வேண்டும். அந்த சரிவுகள் அனைத்தும் பூஜ்ஜியமாக உள்ளன, எனவே வரைபடத்தில் ஒரு புள்ளியில் இருந்து மற்றொரு புள்ளிக்கு எந்த வரியும் சாய்வு பூஜ்ஜியத்தைக் கொண்டிருக்கும். ஆனால் அது செயல்பாடு மேலே அல்லது கீழே நகரவில்லை என்று கூறுகிறது, எனவே அது ஒரு கிடைமட்ட கோடு இருக்க வேண்டும். வழித்தோன்றலில் மிகவும் சிக்கலான நிலைமைகள் அசல் செயல்பாட்டைப் பற்றிய குறைவான துல்லியமான ஆனால் இன்னும் மிகவும் பயனுள்ள தகவல்களுக்கு வழிவகுக்கின்றன. டெய்லர் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் மற்றும் டெய்லர் தொடர் வழித்தோன்றல் ஒரு குறிப்பிட்ட புள்ளியில் ஒரு செயல்பாட்டின் சிறந்த நேரியல் தோராயத்தை வழங்குகிறது, ஆனால் இது அசல் செயல்பாட்டிலிருந்து மிகவும் வித்தியாசமாக இருக்கலாம். தோராயத்தை மேம்படுத்துவதற்கான ஒரு வழி இருபடி தோராயத்தை எடுத்துக்கொள்வதாகும். அதாவது, புள்ளியில் ஒரு உண்மையான மதிப்புள்ள செயல்பாட்டின் நேரியல் ஒரு நேரியல் பல்லுறுப்புக்கோவை, மேலும் ஒரு இருபடி பல்லுறுப்புக்கோவை கருத்தில் கொள்வதன் மூலம் சிறந்த தோராயத்தைப் பெற முடியும். இன்னும் சிறப்பாக ஒரு கன பல்லுறுப்புக்கோவையாக இருக்கலாம், மேலும் இந்த யோசனையை தன்னிச்சையாக உயர் டிகிரி பல்லுறுப்புக்கோவைகளுக்கு நீட்டிக்க முடியும். இந்த பல்லுறுப்புக்கோவைகள் ஒவ்வொன்றிற்கும், குணகங்களின் சிறந்த தேர்வு இருக்க வேண்டும்,, இது தோராயத்தை முடிந்தவரை சிறப்பாக ஆக்குகிறது. அருகிலேயே, சிறந்த தேர்வு எப்போதும் இருக்கும், மேலும் சிறந்த தேர்வு எப்போதும் இருக்கும். , மற்றும் உயர்-டிகிரி குணகங்களுக்கு, இந்த குணகங்கள் உயர் வழித்தோன்றல்களால் தீர்மானிக்கப்படுகின்றன. எப்போதும் இருக்க வேண்டும், எப்போதும் இருக்க வேண்டும். இந்த குணகங்களைப் பயன்படுத்துவது டெய்லர் பல்லுறுப்புக்கோவையை வழங்குகிறது. டிகிரியின் டெய்லர் பல்லுறுப்புக்கோவை என்பது டிகிரியின் பல்லுறுப்புக்கோவை ஆகும், இது சிறந்த தோராயமாக உள்ளது, மேலும் அதன் குணகங்களை மேலே உள்ள சூத்திரங்களின் பொதுமைப்படுத்தல் மூலம் காணலாம். டெய்லரின் தேற்றம் தோராயமானது எவ்வளவு சிறந்தது என்பதற்கான துல்லியமான வரம்பை வழங்குகிறது. டிகிரி குறைவாகவோ அல்லது சமமாகவோ இருந்தால், டிகிரியின் டெய்லர் பல்லுறுப்புக்கோவை சமமாக இருக்கும். டெய்லர் பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் வரம்பு டெய்லர் தொடர் என்று அழைக்கப்படும் எல்லையற்ற தொடர் ஆகும். டெய்லர் தொடர் பெரும்பாலும் அசல் செயல்பாட்டிற்கு ஒரு நல்ல தோராயமாக உள்ளது. அவற்றின் டெய்லர் தொடருக்கு சமமான செயல்பாடுகள் பகுப்பாய்வு செயல்பாடுகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. இடைநிறுத்தங்கள் அல்லது கூர்மையான மூலைகளைக் கொண்ட செயல்பாடுகள் பகுப்பாய்வு செய்யப்படுவது சாத்தியமற்றது; மேலும், பகுப்பாய்வு செய்யாத மென்மையான செயல்பாடுகளும் உள்ளன. மறைமுக செயல்பாட்டு தேற்றம் வட்டங்கள் போன்ற சில இயற்கையான வடிவியல் வடிவங்களை ஒரு செயல்பாட்டின் வரைபடமாக வரைய முடியாது. உதாரணமாக, என்றால், வட்டம் என்பது அனைத்து ஜோடிகளின் தொகுப்பாகும். இந்த தொகுப்பு பூஜ்ஜிய தொகுப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது, மேலும் இது ஒரு பரவளையமான வரைபடத்தைப் போன்றது அல்ல. மறைமுக செயல்பாட்டு தேற்றம் போன்ற உறவுகளை செயல்பாடுகளாக மாற்றுகிறது. தொடர்ச்சியாக வேறுபடுத்தக்கூடியதாக இருந்தால், பெரும்பாலான புள்ளிகளைச் சுற்றி, பூஜ்ஜிய தொகுப்பு ஒன்றாக ஒட்டப்பட்ட செயல்பாடுகளின் வரைபடங்களைப் போல தோற்றமளிக்கிறது என்று அது கூறுகிறது. இது உண்மையாக இல்லாத புள்ளிகள் வழித்தோன்றலின் நிபந்தனையால் தீர்மானிக்கப்படுகின்றன. உதாரணமாக, வட்டத்தை இரண்டு செயல்பாடுகளின் வரைபடங்களிலிருந்து ஒன்றாக ஒட்டலாம். வட்டத்தில் உள்ள ஒவ்வொரு புள்ளியின் அருகிலும், மற்றும் தவிர, இந்த இரண்டு செயல்பாடுகளில் ஒன்று வட்டத்தைப் போல தோற்றமளிக்கும் வரைபடத்தைக் கொண்டுள்ளது. (இந்த இரண்டு செயல்பாடுகளும் சந்திக்கின்றன மற்றும், ஆனால் இது மறைமுக செயல்பாட்டு தேற்றத்தால் உத்தரவாதம் அளிக்கப்படவில்லை. மறைமுக செயல்பாட்டு தேற்றம் தலைகீழ் செயல்பாட்டு தேற்றத்துடன் நெருக்கமாக தொடர்புடையது, இது ஒரு செயல்பாடு தலைகீழ் செயல்பாடுகளின் வரைபடங்களைப் போல ஒன்றாக ஒட்டப்படும் போது கூறுகிறது. மேலும் காண்க வேறுபாடு (கால்குலஸ்) கணக்கீட்டு தலைப்புகளின் பட்டியல் வேறுபாடு குறிப்புகள் குறிப்புகள் மேற்கோள்கள் படைப்புகள் மேற்கோள் காட்டப்பட்ட பிற ஆதாரங்கள் போமன், யூஜின் மற்றும் ராபர்ட் ரோஜர்ஸ். வேறுபட்ட கணக்கீடுஃ நடைமுறையிலிருந்து கோட்பாட்டிற்கு. 2022, personal.psu.edu/ecb5/DiffCalc.pdf. கணக்கீடு