Uniform 4-polytope
வடிவவியலில், ஒரு சீரான 4-பாலிடோப்பு (அல்லது சீரான பாலிகோரான்) என்பது 4 பரிமாண பாலிடோப்பு ஆகும், இது உச்சி-இடைநிலை மற்றும் அதன் செல்கள் சீரான பாலிஹெட்ரா மற்றும் முகங்கள் வழக்கமான பலகோணங்கள் ஆகும். 47 பிரிஸ்மாடிக் அல்லாத குவிந்த சீருடை 4-பாலிட்டோப்புகள் உள்ளன. குவிந்த பிரிஸ்மாடிக் வடிவங்களின் இரண்டு எல்லையற்ற தொகுப்புகள் உள்ளன, மேலும் 17 நிகழ்வுகள் குவிந்த சீரான பாலிஹெட்ராவின் ப்ரிஸங்களாக எழுகின்றன. அறியப்படாத எண்ணிக்கையிலான கன்வெக்ஸ் அல்லாத நட்சத்திர வடிவங்களும் உள்ளன. கண்டுபிடிப்பின் வரலாறு கன்வெக்ஸ் வழக்கமான பாலிடோப்புகள்ஃ 1852: லுட்விக் ஷ்லாஃப்லி தனது கையெழுத்துப் பிரதியில் தியோரி டெர் வியெல்ஃபாச்சென் காண்டினுயிட் 4 பரிமாணங்களில் சரியாக 6 வழக்கமான பாலிடோப்புகள் உள்ளன மற்றும் 5 அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட பரிமாணங்களில் 3 மட்டுமே உள்ளன என்பதை நிரூபித்தார். வழக்கமான நட்சத்திரம் 4-பாலிட்டோப்புகள் (நட்சத்திர பாலிஹெட்ரான் செல்கள் மற்றும்/அல்லது வெர்டெக்ஸ் புள்ளிவிவரங்கள்) 1852: லுட்விக் ஷ்லாஃப்லி 10 வழக்கமான நட்சத்திரம் 4-பாலிடோப்புகளில் 4 ஐக் கண்டுபிடித்தார், 6 ஐ செல்கள் அல்லது வெர்டெக்ஸ் புள்ளிவிவரங்களுடன் தள்ளுபடி செய்தார். 1883: எட்மண்ட் ஹெஸ் தனது புத்தகத்தில் (ஜெர்மன் மொழியில்) ஐன்லெய்டங் இன் டை லெஹ்ரே வான் டெர் குகெல்டீலங் மிட் பெஸோண்டெரர் பெராக்ஸிக்டிகுங் இஹ்ரேர் அன்வெண்டங் அவுஃப் டை தியோரி டெர் க்ளீச்ஃப்ளாச்சிகன் அண்ட் டெர் க்ளீசெக்கிஜென் பாலியடரில் 10 வழக்கமான 4-பாலிட்டோப்புகளின் பட்டியலை முடித்தார். கன்வெக்ஸ் செமிரெகுலர் பாலிடோப்ஸ்ஃ (காக்செட்டரின் சீருடை வகைக்கு முந்தைய பல்வேறு வரையறைகள்) 1900: தோரோல்ட் கோசெட் தனது வெளியீட்டில் வழக்கமான செல்கள் (பிளாட்டோனிக் திடங்கள்) கொண்ட பிரிஸ்மாடிக் அல்லாத செமிரெகுலர் குவிந்த பாலிடோப்புகளின் பட்டியலை கணக்கிடுகிறார். நான்கு பரிமாணங்களில், இது திருத்தப்பட்ட 5-செல், திருத்தப்பட்ட 600-செல் மற்றும் ஸ்னப் 24-செல் ஆகியவற்றை வழங்குகிறது. 1910: அலிசியா பூல் ஸ்டாட், வழக்கமான பாலிடோப்புகள் மற்றும் விண்வெளி நிரப்புதல்களிலிருந்து செமிரெகுலரின் வடிவியல் விலக்கு என்ற தனது வெளியீட்டில், ஆர்க்கிமீடியன் திட மற்றும் ப்ரிஸம் செல்களை அனுமதிப்பதன் மூலம் வரையறையை விரிவுபடுத்தினார். இந்த கட்டுமானம் கீழே பட்டியலிடப்பட்டுள்ள பிரிஸ்மாடிக் அல்லாத வடிவங்களுடன் தொடர்புடைய 45 செமிரெகுலர் 4-பாலிட்டோப்புகளைக் கணக்கிடுகிறது. ஸ்னப் 24-செல் மற்றும் கிராண்ட் ஆன்டிபிரிசம் அவரது பட்டியலில் இருந்து காணப்படவில்லை. 1911: பீட்டர் ஹென்ட்ரிக் ஷூட் வழக்கமான பாலிடோப்புகளிலிருந்து தவறாமல் பெறப்பட்ட பாலிடோப்புகளின் பகுப்பாய்வு சிகிச்சையை வெளியிட்டார், பூல்-ஸ்டாட்டின் குறியீடுகளைப் பின்பற்றினார், 5-செல், 8-செல்/16-செல் மற்றும் 24-செல் ஆகியவற்றின் அடிப்படையில் சமச்சீர் மூலம் குவிந்த சீரான பாலிடோப்புகளைக் கணக்கிடுகிறார். 1912: ஈ. எல். எல்டே கோசெட்டின் பட்டியலில் சுயாதீனமாக விரிவுபடுத்தினார், ஹைப்பர்ஸ்பேஸ்களின் செமிரெகுலர் பாலிடோப்ஸ் என்ற வெளியீட்டின் மூலம், ஒன்று அல்லது இரண்டு வகையான செமிரெகுலர் அம்சங்களைக் கொண்ட பாலிடோப்புகள். கன்வெக்ஸ் சீருடை பாலிட்டோப்புகள்ஃ 1940: எச். எஸ். எம் மூலம் தேடல் முறையாக விரிவுபடுத்தப்பட்டது. காக்செட்டர் தனது வெளியீடான ரெகுலர் அண்ட் செமி-ரெகுலர் பாலிடோப்ஸில். கன்வெக்ஸ் சீருடை 4-பாலிட்டோப்புகள்ஃ 1965: ஜான் ஹார்டன் கான்வே மற்றும் மைக்கேல் கை ஆகியோரால் குவிந்த வடிவங்களின் முழுமையான பட்டியல் இறுதியாக கணக்கிடப்பட்டது, கணினி பகுப்பாய்வால் நிறுவப்பட்ட நான்கு பரிமாண ஆர்க்கிமிடியன் பாலிடோப்ஸ் என்ற வெளியீட்டில், ஒரு அல்லாத வைத்தோஃபியன் குவிந்த 4-பாலிடோப்பை மட்டுமே சேர்த்தது, இது கிராண்ட் ஆன்டிபிரிசம். 1966 நார்மன் ஜான்சன் தனது முனைவர் பட்டத்தை முடித்தார். ஆலோசகர் காக்செட்டரின் கீழ் சீரான பாலிடோப்புகள் மற்றும் தேன்கூடுகளின் கோட்பாடு, பரிமாணங்கள் 4 மற்றும் அதற்கு மேற்பட்டவற்றிற்கான சீரான பாலிடோப்புகளின் அடிப்படை கோட்பாட்டை நிறைவு செய்கிறது. 1986 காக்செட்டர் ரெகுலர் மற்றும் செமி-ரெகுலர் பாலிடோப்ஸ் II என்ற கட்டுரையை வெளியிட்டார், இதில் தனித்துவமான ஸ்னப் 24-செல் அமைப்பு மற்றும் முரண்பாடான கிராண்ட் ஆன்டிபிரிசத்தின் சமச்சீர் பற்றிய பகுப்பாய்வு ஆகியவை அடங்கும். 1998-2000:4-பல்லுறுப்புக்கோவைகளுக்கு நார்மன் ஜான்சன் முறைப்படி பெயரிட்டார், மேலும் ஜார்ஜ் ஓல்ஷேவ்ஸ்கியின் ஆன்லைன் குறியீட்டு கணக்கீட்டால் வழங்கப்பட்டது (இந்த பட்டியலுக்கு ஒரு அடிப்படையாக பயன்படுத்தப்பட்டது). ஜான்சன் 4-பாலிட்டோப்புகளுக்கு பாலிகோரா என்று பெயரிட்டார், 3-பாலிட்டோப்புகளுக்கான பாலிஹெட்ரா போன்றது, கிரேக்க வேர்கள் பாலி ("பல") மற்றும் கோரோஸ் ("அறை" அல்லது "இடம்") ஆகியவற்றிலிருந்து வந்தது. சீரான பாலிகோராவின் பெயர்கள் காக்செட்டர் வரைபடங்களில் உள்ள வளையங்களின் அடிப்படையில் முன்னொட்டுகளுடன் 6 வழக்கமான பாலிகோராவுடன் தொடங்கின; துண்டித்தல் t0,1, கான்டெல்லேஷன், t0,2, ரன்சினேஷன் t0,3, ரெக்டிஃபைட் என்று அழைக்கப்படும் ஒற்றை வளைய வடிவங்களுடன், மற்றும் முதல் வளையம் இரண்டாவது அல்லது மூன்றாவது முனைகளில் இருக்கும்போது பை, ட்ரை-முன்னொட்டுகள் சேர்க்கப்பட்டன. 2004: கான்வே-கை தொகுப்பு முழுமையடைந்தது என்பதற்கான ஆதாரம் மார்கோ முல்லர் தனது ஆய்வறிக்கையான வைர்டைமென்ஷனல் ஆர்கிமெடிஷ் பாலிடோப்பில் வெளியிடப்பட்டது. முல்லர் தனது பட்டியலில் ஜான்சனின் பெயரிடும் முறையை மீண்டும் உருவாக்கினார். 2008: தி சிம்மெட்ரீஸ் ஆஃப் திங்ஸ் ஜான் எச். கான்வேயால் வெளியிடப்பட்டது, மேலும் காக்செட்டர் குழு குடும்பத்தால் குவிந்த சீருடை 4-பாலிட்டோப்புகள் மற்றும் உயர் பரிமாண பாலிடோப்புகளின் முதல் அச்சு-வெளியிடப்பட்ட பட்டியலைக் கொண்டுள்ளது, ஒவ்வொரு வளைய காக்செட்டர் வரைபட வரிசைமாற்றத்திற்கான பொதுவான உச்சி உருவம் வரைபடங்களுடன்-ஸ்னப், கிராண்ட் ஆன்டிபிரிசம் மற்றும் டூயோபிரிசம்-இதை அவர் தயாரிப்பு ப்ரிஸம்களுக்கான ப்ரோப்ரிசம் என்று அழைத்தார். அவர் தனது சொந்த ஐஜ்க்-அம்போ பெயரிடும் திட்டத்தை செருகப்பட்ட வளைய வரிசைமாற்றங்களுக்கு வெட்டுதல் மற்றும் பிட்ரன்கேஷனுக்கு அப்பால் பயன்படுத்தினார், மேலும் ஜான்சனின் பெயர்கள் அனைத்தும் புத்தகக் குறியீட்டில் சேர்க்கப்பட்டன. ஒழுங்கற்ற சீருடை நட்சத்திரம் 4-பாலிட்டோப்புகள்ஃ (நான்கான்வெக்ஸ் சீருடை பாலிஹெட்ராவைப் போலவே) 1966: ஜான்சன் தனது ஆய்வுக் கட்டுரையில் 4-இடத்தில் மூன்று நான்கான்வெக்ஸ் சீருடை ஆன்டிபிரிசங்களை விவரிக்கிறார். 1990-2006: ஒரு கூட்டுத் தேடலில், 2005 வரை மொத்தம் 1845 சீரான 4-பல்லுறுப்புக்கோவைகள் (குவிந்த மற்றும் அல்லாத குவிந்த) ஜொனாதன் போவர்ஸ் மற்றும் ஜார்ஜ் ஓல்ஷேவ்ஸ்கி ஆகியோரால் அடையாளம் காணப்பட்டன, மேலும் 2006 இல் மொத்தம் 1849 க்கு கூடுதலாக நான்கு கண்டுபிடிக்கப்பட்டன. இந்த எண்ணிக்கையில் 75 பிரிஸ்மாடிக் அல்லாத சீரான பாலிஹெட்ராவின் 74 ப்ரிஸம்கள் அடங்கும் (இது ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட தொகுப்பாக இருப்பதால்-கியூபிக் ப்ரிஸம் டெஸெராக்டை நகலெடுப்பதால் விலக்கப்பட்டுள்ளது), ஆனால் எல்லையற்ற வகை டூயோப்ரிஸம்கள் அல்லது ஆன்டிபிரிஸம்களின் ப்ரிஸம்கள் அல்ல. 2020-2023:342 புதிய பாலிகோராக்கள் கண்டுபிடிக்கப்பட்டன, இது அறியப்பட்ட சீருடை 4-பாலிட்டோப்புகளின் மொத்த எண்ணிக்கையை 2191 ஆக உயர்த்தியது. இந்த பட்டியல் முழுமையானது என்று நிரூபிக்கப்படவில்லை. வழக்கமான 4-பாலிடாப்ஸ் வழக்கமான 4-பாலிடாப்ஸ் என்பது சீரான 4-பாலிடாப்ஸின் துணைக்குழுவாகும், இது கூடுதல் தேவைகளை பூர்த்தி செய்கிறது. வழக்கமான 4-பாலிட்டோப்புகளை ஷ்லாஃப்லி சின்னம் {p, q, r} உடன் வெளிப்படுத்தலாம், அவை {p, q} வகை செல்கள், {p} வகை முகங்கள், விளிம்பு புள்ளிவிவரங்கள் {r} மற்றும் உச்சி புள்ளிவிவரங்கள் {q, r} ஆகியவற்றைக் கொண்டுள்ளன. ஒரு வழக்கமான 4-பாலிடோப்பின் இருப்பு வழக்கமான பாலிஹெட்ரா (p, q, r) இருப்பதால் கட்டுப்படுத்தப்படுகிறது, இது செல்களாக மாறுகிறது, மேலும் {q, r} இது உச்சி உருவமாக மாறுகிறது. ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட 4-பாலிடோப்பாக இருப்பது ஒரு சமத்துவமின்மையைப் பொறுத்ததுஃ 16 வழக்கமான 4-பாலிடோப்புகள், அனைத்து செல்கள், முகங்கள், விளிம்புகள் மற்றும் செங்குத்துகள் ஒத்திருக்கும் பண்பு கொண்டவைஃ 6 வழக்கமான குவிந்த 4-பாலிடோப்புகள்ஃ 5-செல் {3,3,3}, 8-செல் {4,3,3}, 16-செல் {3,3,4}, 24-செல் {3,4,3}, 120-செல் {5,3,3}, மற்றும் 600-செல் {3,3,5}. 10 வழக்கமான நட்சத்திர 4-பல்லுறுப்புக்கோவைகள்ஃ ஐகோசாஹெட்ரல் 120-செல் (3,5,5 2), சிறிய ஸ்டெல்லேட்டட் 120-செல் (5/2,5,3), கிரேட் 120-செல் (5,5/2,5), கிராண்ட் 120-செல் (5,3,5 2), கிரேட் ஸ்டெல்லேட்டட் 120-செல் (5/2,3,5), கிராண்ட் ஸ்டெல்லேட்டட் 120-செல் (5/2,5,5/2), கிரேட் கிராண்ட் 120-செல் (5,5/2,3), கிரேட் ஐகோசாஹெட்ரல் 120-செல் (3,5/2,5), கிராண்ட் 600-செல் (3,3,5/2), மற்றும் கிரேட் கிராண்ட் ஸ்டெல்லேட்டட் 120-செல் (5/2,3,3) கன்வெக்ஸ் சீரான 4-பாலிட்டோப்புகள் நான்கு பரிமாணங்களில் சீரான 4-பாலிட்டோப்புகளின் சமச்சீர் 4 பரிமாணங்களில் 5 அடிப்படை கண்ணாடி சமச்சீர் புள்ளி குழு குடும்பங்கள் உள்ளனஃ A4 =, B4 =, D4 =, F4 =, H4 =. 3 பிரிஸ்மாடிக் குழுக்களும் உள்ளன A3A1 =, B3A1 =, H3A1 =, மற்றும் டூயோபிரிஸ்மாடிக் குழுக்கள்ஃ I2 (p) × I2 (q) =. ஒவ்வொரு குழுவும் கண்ணாடி தளங்களால் சூழப்பட்ட ஒரு கோர்சட் டெட்ராஹெட்ரான் அடிப்படை களத்தால் வரையறுக்கப்படுகிறது. ஒவ்வொரு பிரதிபலிப்பு சீரான 4-பாலிட்டோப்பையும் ஒன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட பிரதிபலிப்பு புள்ளி குழுவில் 4 பரிமாணங்களில் ஒரு வைத்தாஃப் கட்டுமானத்தால் கட்டமைக்க முடியும், இது ஒரு காக்செட்டர் வரைபடத்தில் உள்ள முனைகளின் வரிசைமாற்றங்களைச் சுற்றியுள்ள வளையங்களால் குறிக்கப்படுகிறது. கண்ணாடி ஹைப்பர்பிளேன்களை வண்ண முனைகளால் பார்ப்பது போல், சம-கிளைகளால் பிரிக்கலாம். [a, b, a] வடிவத்தின் சமச்சீர் குழுக்கள், சமச்சீர் வரிசையை இரட்டிப்பாக்கும் நீட்டிக்கப்பட்ட சமச்சீர், [a, b, a] ஐக் கொண்டுள்ளன. இதில் [3,3,3], [3,4,3], மற்றும் [p, 2, p] ஆகியவை அடங்கும். சமச்சீர் வளையங்களைக் கொண்ட இந்த குழுவில் உள்ள சீரான பாலிட்டோப்புகள் இந்த நீட்டிக்கப்பட்ட சமச்சீர்மையைக் கொண்டுள்ளன. கொடுக்கப்பட்ட நிறத்தின் அனைத்து கண்ணாடிகளும் கொடுக்கப்பட்ட சீரான பாலிடோப்பில் வளையமில்லாமல் (செயலற்றவை) இருந்தால், அது அனைத்து செயலற்ற கண்ணாடிகளையும் அகற்றுவதன் மூலம் குறைந்த சமச்சீர் கட்டமைப்பைக் கொண்டிருக்கும். கொடுக்கப்பட்ட நிறத்தின் அனைத்து முனைகளும் வளையமாக (செயலில்) இருந்தால், ஒரு மாற்று செயல்பாடு சிரல் சமச்சீர் கொண்ட ஒரு புதிய 4-பாலிடோப்பை உருவாக்க முடியும், இது "வெற்று" வட்டமிடப்பட்ட முனைகள் "என்று காட்டப்படுகிறது, ஆனால் வடிவியல் பொதுவாக சீரான தீர்வுகளை உருவாக்க சரிசெய்ய முடியாது. கணக்கீடு 6 வழக்கமான குவிந்த 4-பன்முகங்கள் உட்பட 64 குவிந்த சீரான 4-பன்முகங்கள் உள்ளன, மேலும் டூயோப்ரிசங்களின் எல்லையற்ற தொகுப்புகள் மற்றும் ஆண்டிபிரிஸ்மாடிக் ப்ரிஸம்களைத் தவிர. 5 என்பது பிளாட்டோனிக் திடப்பொருட்களை அடிப்படையாகக் கொண்ட பாலிஹெட்ரல் ப்ரிஸம்கள் (1 கன ஹைப்பர்ப்ரிஸம் ஒரு டெஸெராக்ட் என்பதால் வழக்கமானவற்றுடன் ஒன்றுடன் ஒன்று) 13 ஆர்க்கிமிடியன் திடப்பொருட்களை அடிப்படையாகக் கொண்ட பாலிஹெட்ரல் ப்ரிஸம்கள் 9 சுய-இரட்டை வழக்கமான A4 [3,3,3] குழுவில் (5-செல்) உள்ளன. 9 சுய-இரட்டை வழக்கமான F4 [3,4,3] குழுவில் (24-செல்) உள்ளன. (ஸ்னப் 24-செல் தவிர) 15 வழக்கமான B4 [3,3,4] குழுவில் (டெஸெராக்ட்/16-செல்) குடும்பத்தில் உள்ளன (3 24-செல் குடும்பத்துடன் ஒன்றுடன் ஒன்று) 15 வழக்கமான H4 [3,3,5] குழுவில் உள்ளன (120-செல்/600-செல்) குடும்பம். [3,4,3] குழுவில் (24-செல்) 1 சிறப்பு ஸ்னப் வடிவம். 1 சிறப்பு அல்லாத வைத்தோஃபியன் 4-பாலிடோப், கிராண்ட் ஆன்டிபிரிசம். மொத்தம்ஃ 68−4 = 64 இந்த 64 சீருடை 4-பாலிட்டோப்புகள் ஜார்ஜ் ஓல்ஷேவ்ஸ்கியால் கீழே குறியிடப்பட்டுள்ளன. மீண்டும் மீண்டும் சமச்சீர் வடிவங்கள் அடைப்புக்குறிக்குள் குறியிடப்படுகின்றன. மேலே உள்ள 64 ஐத் தவிர, மீதமுள்ள குவிந்த வடிவங்கள் அனைத்தையும் உருவாக்கும் 2 எல்லையற்ற பிரிஸ்மாடிக் தொகுப்புகள் உள்ளனஃ சீரான ஆன்டிபிரிஸ்மாடிக் ப்ரிஸம்களின் தொகுப்பு-sr {p, 2} × {}-இரண்டு ஆன்டிபிரிஸம்களின் பாலிஹெட்ரல் ப்ரிஸம்கள். சீரான டூயோபிரிஸம்களின் தொகுப்பு-{p} × {q}-இரண்டு பலகோணங்களின் கார்ட்டீசியன் தயாரிப்பு. A4 குடும்பம் 5-செல் 120 வரிசையின் டிப்ளாய்டு பென்டாகோரிக் [3,3,3] சமச்சீர்மையைக் கொண்டுள்ளது, இது ஐந்து உறுப்புகளின் வரிசைமாற்றங்களுக்கு ஐசோமார்பிக் ஆகும், ஏனெனில் அனைத்து ஜோடி செங்குத்துகளும் ஒரே மாதிரியாக தொடர்புடையவை. முகங்கள் (செல்கள்) கொடுக்கப்பட்டுள்ளன, குறிப்பிட்ட முனைகளை அகற்றுவதன் மூலம் அவற்றின் காக்செட்டர் வரைபட இருப்பிடங்களில் தொகுக்கப்பட்டுள்ளன. ஒரு நட்சத்திரத்தால் குறிக்கப்பட்ட மூன்று சீரான 4-பல்லுயிர் வடிவங்கள், *, 240 வரிசையில் அதிக நீட்டிக்கப்பட்ட பென்டாகோரிக் சமச்சீர்மையைக் கொண்டுள்ளன, ஏனெனில் அடிப்படை 5-செல்லின் எந்த உறுப்புக்கும் தொடர்புடைய உறுப்பு அதன் இரட்டை உறுப்புடன் தொடர்புடையவற்றுடன் பரிமாறிக்கொள்ளப்படலாம். ஒரு சிறிய குறியீட்டு துணைக்குழு [3,3,3] +, வரிசை 60, அல்லது அதன் இரட்டை +, வரிசை 120 உள்ளது, இது ஒரு ஆம்னிஸ்னப் 5-செல்லை வரையறுக்கிறது, இது முழுமைக்கு பட்டியலிடப்பட்டுள்ளது, ஆனால் ஒரே மாதிரியாக இல்லை. B4 குடும்பம் இந்த குடும்பம் 24 × 16 = 384:4! = நான்கு அச்சுகளின் 24 வரிசைமாற்றங்களின் இரட்டை ஹெக்ஸாடெகாச்சோரிக் சமச்சீர், [4,3,3] ஐக் கொண்டுள்ளது, ஒவ்வொரு அச்சிலும் பிரதிபலிப்புக்கு 24 = 16 ஆகும். 3 சிறிய குறியீட்டு துணைக்குழுக்கள் உள்ளன, முதல் இரண்டு ஒரே சீரான 4-பாலிட்டோப்புகளை உருவாக்குகின்றன, அவை மற்ற குடும்பங்களிலும் மீண்டும் மீண்டும் செய்யப்படுகின்றன, [1 +, 4,3,3], [4, (3,3) +], மற்றும் [4,3,3] +, அனைத்தும் 192 வரிசையில் உள்ளன. டெஸெராக்ட் துண்டுகள் 16-செல் துண்டுகள் (*) டெட்ராஹெட்ரானை சரிசெய்வது எண்முகத்தை உருவாக்குவது போலவே, 16-உயிரணுவை சரிசெய்வது 24-உயிரணுவை உருவாக்குகிறது, இது பின்வரும் குடும்பத்தின் வழக்கமான உறுப்பினராகும். முழுமைக்காக ஸ்னப் 24 செல் இந்த குடும்பத்திற்கு மீண்டும் மீண்டும் செய்யப்படுகிறது. இது அரை சமச்சீர் குழு [(3,3) +, 4] உடன் கான்டிட்ரன்கேட்டட் 16-செல் அல்லது துண்டிக்கப்பட்ட 24-செல்லின் மாற்றாகும். துண்டிக்கப்பட்ட எண்முக செல்கள் ஐகோசாஹெட்ராவாக மாறுகின்றன. க்யூப்ஸ் டெட்ராஹெட்ரா ஆகின்றன, மேலும் அகற்றப்பட்ட செங்குத்துகளிலிருந்து இடைவெளிகளில் 96 புதிய டெட்ராஹெட்ரா உருவாக்கப்படுகின்றன. F4 குடும்பம் இந்த குடும்பம் 24 × 48 = 1152 வரிசையில் இருமுனை ஐகோசிடெட்ராகோரிக் சமச்சீர்மையைக் கொண்டுள்ளதுஃ 24 செல்களில் ஒவ்வொன்றிற்கும் எண்முகத்தின் 48 சமச்சீர்மைகள் உள்ளன. 3 சிறிய குறியீட்டு துணைக்குழுக்கள் உள்ளன, முதல் இரண்டு ஐசோமார்பிக் ஜோடிகள் சீரான 4-பாலிட்டோப்புகளை உருவாக்குகின்றன, அவை மற்ற குடும்பங்களிலும் மீண்டும் மீண்டும் செய்யப்படுகின்றன, [3 +, 4,3], [3,4,3 +], மற்றும் [3,4,3] +, அனைத்தும் 576 வரிசையில் உள்ளன. இங்குள்ள ஸ்னப் 24-செல், அதன் பொதுவான பெயர் இருந்தபோதிலும், ஸ்னப் கனசதுரத்திற்கு ஒத்ததாக இல்லை; மாறாக, இது துண்டிக்கப்பட்ட 24-செல்லின் மாற்றத்தால் பெறப்படுகிறது. அதன் சமச்சீர் எண் 576 மட்டுமே, (அயனி குறைக்கப்பட்ட ஐகோசிடெட்ராகோரிக் குழு, [3 +, 4,3]). 5-செல் போலவே, 24-செல் சுய-இரட்டை, எனவே பின்வரும் மூன்று வடிவங்கள் இரண்டு மடங்கு சமச்சீர்மைகளைக் கொண்டுள்ளன, அவற்றின் மொத்தத்தை 2304 ஆகக் கொண்டுவருகின்றன (நீட்டிக்கப்பட்ட ஐகோசிடெட்ராகோரிக் சமச்சீர்). H4 குடும்பம் இந்த குடும்பம் 120 டோடெகாஹெட்ரா ஒவ்வொன்றிற்கும் 120 × 120 = 24 × 600 = 14400:120 என்ற வரிசையில் டிப்ளாய்டு ஹெக்ஸாகோசிகோரிக் சமச்சீர்மையைக் கொண்டுள்ளது, அல்லது 600 டெட்ராஹெட்ரா ஒவ்வொன்றிற்கும் 24 ஆகும். ஒரு சிறிய குறியீட்டு துணைக்குழுக்கள் உள்ளன [5,3,3] +, அனைத்தும் 7200 வரிசையில் உள்ளன. 120-செல் துண்டுகள் 600-செல் துண்டுகள் டி4 குடும்பம் இந்த டெமிடெசெராக்ட் குடும்பம், [<ஐடி1], புதிய சீருடை 4-பாலிட்டோப்புகளை அறிமுகப்படுத்தவில்லை, ஆனால் இந்த மாற்று கட்டமைப்புகளை மீண்டும் செய்ய தகுதியானது. இந்த குடும்பத்திற்கு 12 × 16 = 192:4!/2 = நான்கு அச்சுகளின் 12 வரிசைமாற்றங்கள் உள்ளன, பாதி மாறி மாறி, ஒவ்வொரு அச்சிலும் பிரதிபலிப்புக்கு 24 = 16 ஆகும். ஒரு சிறிய குறியீட்டு துணைக்குழுக்கள் உள்ளன, அவை சீரான 4-பாலிட்டோப்புகளை உருவாக்குகின்றன, [31,1,1] +, வரிசை 96. 3 பிரிக்கப்பட்ட கிளை முனைகள் ஒரே மாதிரியாக வளையப்படும்போது, சமச்சீர் 6 ஆல் அதிகரிக்கப்படலாம், [3 [31,1,1] = [3,4,3], இதனால் இந்த பாலிடோப்புகள் 24-செல் குடும்பத்திலிருந்து மீண்டும் மீண்டும் செய்யப்படுகின்றன. இங்கே மீண்டும் ஸ்னப் 24-செல், இந்த முறை சமச்சீர் குழு [31,1,1] + உடன், நீக்கப்பட்ட செங்குத்துகளின் நிலையில் 96 புதிய டெட்ராஹெட்ராவை உருவாக்கும் துண்டிக்கப்பட்ட 24-செல்லின் மாற்று துண்டிக்கப்படுவதைக் குறிக்கிறது. முந்தைய குழுக்களுக்குள் ஓரளவு ஸ்னப் செய்யப்பட்ட 4-பாலிடோப்பாக அதன் தோற்றத்திற்கு மாறாக, இந்த சமச்சீர் குழுவிற்குள் மட்டுமே இது கெப்ளர் ஸ்னப்களுக்கு முழு ஒப்புமையைக் கொண்டுள்ளது, அதாவது. ஸ்னப் கியூப் மற்றும் ஸ்னப் டோடெகாஹெட்ரான். கிராண்ட் ஆன்டிபிரிசம் என்று அழைக்கப்படும் ஒரு விதோஃபியன் அல்லாத சீருடை குவிந்த 4-பாலிடோப் உள்ளது, இது கிராண்ட் ஆன்டிபிரிசம் என்று அழைக்கப்படுகிறது, இதில் 20 ஐங்கோண ஆன்டிபிரிசங்கள் உள்ளன, இது 300 டெட்ராஹெட்ராவுடன் இணைந்த இரண்டு செங்குத்தான வளையங்களை உருவாக்குகிறது. இது முக்கோணக் குழுவால் இணைக்கப்பட்ட இரண்டு இணையான பலகோணங்களைக் கொண்ட முப்பரிமாண எதிர்ப்புகளுக்கு ஒத்ததாக உள்ளது. இருப்பினும், அவற்றைப் போலல்லாமல், கிராண்ட் ஆன்டிபிரிசம் என்பது சீரான பாலிடோப்புகளின் எல்லையற்ற குடும்பத்தின் உறுப்பினர் அல்ல. அதன் சமச்சீர் அயனி குறைக்கப்பட்ட காக்செட்டர் குழு, [10,2 +, 10], வரிசை 400 ஆகும். பிரிஸ்மாடிக் சீருடை 4-பாலிடோப்புகள் ஒரு பிரஸ்மாடிக் பாலிடோப் என்பது குறைந்த பரிமாணம் கொண்ட இரண்டு பாலிடோப்புகளின் கார்ட்டீசியன் தயாரிப்பு ஆகும்; பழக்கமான எடுத்துக்காட்டுகள் 3 பரிமாண ப்ரிஸம்கள், அவை ஒரு பலகோணம் மற்றும் ஒரு கோடு பிரிவின் தயாரிப்புகளாகும். பிரிஸ்மாடிக் சீருடை 4-பாலிட்டோப்புகள் இரண்டு எல்லையற்ற குடும்பங்களைக் கொண்டுள்ளனஃ பாலிஹெட்ரல் ப்ரிஸம்கள்ஃ ஒரு கோடு பிரிவின் தயாரிப்புகள் மற்றும் ஒரு சீரான பாலிஹெட்ரான். இந்த குடும்பம் எல்லையற்றது, ஏனெனில் இது முப்பரிமாண ப்ரிஸம்கள் மற்றும் ஆன்டிபிரிஸம்களில் கட்டப்பட்ட ப்ரிஸம்களை உள்ளடக்கியது. டூயோபிரிஸம்கள்ஃ இரண்டு பலகோணங்களின் தயாரிப்புகள். கன்வெக்ஸ் பாலிஹெட்ரல் ப்ரிஸம்கள் பிரிஸ்மாடிக் 4-பாலிட்டோப்புகளின் மிகத் தெளிவான குடும்பம் பாலிஹெட்ரல் ப்ரிஸம்கள் ஆகும், அதாவது. ஒரு வரிப் பிரிவுடன் கூடிய பாலிஹெட்ரானின் தயாரிப்புகள். அத்தகைய 4-பாலிட்டோப்புகளின் செல்கள் இணையான ஹைப்பர்பிளேன்களில் (அடிப்படை செல்கள்) அமைந்துள்ள இரண்டு ஒத்த சீரான பாலிஹெட்ரா மற்றும் அவற்றை இணைக்கும் ப்ரிஸங்களின் ஒரு அடுக்கு (பக்கவாட்டு செல்கள்) ஆகும். இந்த குடும்பத்தில் 75 பிரிஸ்மாடிக் அல்லாத சீருடை பாலிஹெட்ராவுக்கான ப்ரிஸம்கள் உள்ளன (அவற்றில் 18 குவிந்தவை; இவற்றில் ஒன்று, கனசதுர-ப்ரிஸம், மேலே டெஸெராக்ட் என பட்டியலிடப்பட்டுள்ளது). 5 பிளாட்டோனிக் திடப்பொருட்கள் மற்றும் 13 ஆர்க்கிமிடியன் திடப்பொருட்கள் மற்றும் முப்பரிமாண ப்ரிஸம்கள் மற்றும் ஆன்டிபிரிசங்களின் எல்லையற்ற குடும்பங்களிலிருந்து 18 குவிந்த பன்முக ப்ரிஸம்கள் உருவாக்கப்பட்டுள்ளன. ஒரு பாலிஹெட்ரல் ப்ரிஸத்தின் சமச்சீர் எண் அடிப்படை பாலிஹெட்ரானை விட இரண்டு மடங்கு அதிகமாகும். முக்கோண முக்கோணங்கள்ஃ A3 × A1 இந்த முக்கோண முக்கோண சமச்சீர் [3,3,2], வரிசை 48 ஆகும். இரண்டு குறியீட்டு 2 துணைக்குழுக்கள் உள்ளன, [(3,3) +, 2] மற்றும் [3,3,2] +, ஆனால் இரண்டாவது ஒரு சீரான 4-பாலிடோப்பை உருவாக்காது. ஆக்டாஹெட்ரல் ப்ரிஸம்கள்ஃ B3 × A1 இந்த பிரிஸ்மாடிக் ஆக்டாஹெட்ரல் குடும்ப சமச்சீர் [4,3,2], வரிசை 96 ஆகும். குறியீடு 2, வரிசை 48 இல் 6 துணைக்குழுக்கள் உள்ளன, அவை கீழே உள்ள மாறி மாறி 4-பாலிட்டோப்புகளில் வெளிப்படுத்தப்படுகின்றன. சமச்சீர்கள் [(4,3) +, 2], [1 +, 4,3,2], [4,3,2 +], [4,3 +, 2], [4, (3,2) +], மற்றும் [4,3,2] + ஆகும். ஐகோசாஹெட்ரல் ப்ரிஸம்ஃ H3 × A1 இந்த ப்ரிஸ்மாடிக் ஐகோசாஹெட்ரல் சமச்சீர் [5,3,2], வரிசை 240 ஆகும். இரண்டு குறியீட்டு 2 துணைக்குழுக்கள் உள்ளன, [(5,3) +, 2] மற்றும் [5,3,2] +, ஆனால் இரண்டாவது ஒரு சீரான பாலிகோரானை உருவாக்காது. டூயோபிரிஸம்கள்ஃ [p] × [q] இரண்டாவது என்பது ஒரே சீரான டூயோபிரிஸம்களின் எல்லையற்ற குடும்பமாகும், இது இரண்டு வழக்கமான பலகோணங்களின் தயாரிப்புகளாகும். ஒரு இரட்டையரின் காக்செட்டர்-டின்கின் வரைபடம். அதன் உச்சி உருவம் ஒரு டிஸ்பீனாய்டு டெட்ராஹெட்ரான் ஆகும். இந்த குடும்பம் முதல் குடும்பத்துடன் ஒன்றுடன் ஒன்று இணைகிறதுஃ இரண்டு "காரணி" பலகோணங்களில் ஒன்று ஒரு சதுரமாக இருக்கும்போது, தயாரிப்பு ஒரு முப்பரிமாண ப்ரிஸம் அடித்தளமாக இருக்கும் ஹைப்பர்ப்ரிஸத்திற்கு சமம். p-கோன் மற்றும் q-கோன் (a "p, q-டூப்பிரிசம்") ஆகிய காரணிகளைக் கொண்ட ஒரு டூப்பிரிசத்தின் சமச்சீர் எண், p ≤ q என்றால் 4pq ஆகும்; காரணிகள் இரண்டும் p-கோன்களாக இருந்தால், சமச்சீர் எண் 8p2 ஆகும். டெஸெராக்ட்டை 4,4-டூயோபிரிஸமாகவும் கருதலாம். {p} × {q} இன் நீட்டிக்கப்பட்ட f-திசையன் (p, p, 1) * (q, q, 1) = (pq, 2pq, pq + p + q, p + q) ஆகும். செல்கள்ஃ p q-கோனல் ப்ரிஸம்கள், q p-கோனல் ப்ரிஸம்கள் முகங்கள்ஃ pq சதுரங்கள், p q-கோன்கள், q p-கோன்கள் விளிம்புகள்ஃ 2pq செங்குத்துகள்ஃ pq முப்பரிமாண ஆன்டிபிரிசங்களின் எல்லையற்ற குடும்பத்திற்கு நான்கு பரிமாணங்களில் ஒரே மாதிரியான அனலாக் இல்லை. p-q டூயோப்ரிஸத்தின் எல்லையற்ற தொகுப்பு-- p q-கோனல் ப்ரிஸம்கள், q p-கோனல் ப்ரிஸம்கள்ஃ மாற்றீடுகள் சாத்தியமாகும். = இரட்டையர்களின் குடும்பத்தை வழங்குகிறது, ஆனால் அவை பொதுவாக சீரானதாக இருக்க முடியாது. p = q = 2 என்பது ஒரே குவிந்த வழக்கு, இது சீரான 16-செல்லைக் கொடுக்கிறது. p = 5, q = 5/3 என்பது ஒரே கன்வெக்ஸ் அல்லாத வழக்கு, இது சீரானதாக மாற்றப்படலாம், இது கிரேட் டூவான்டிபிரிசம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. இது p-2q-கோனல் ப்ரிஸ்மன்டிபிரிஸ்மாய்டை (2p-4q டூயோப்ரிஸத்தின் ஒரு விளிம்பு-மாற்று) வழங்குகிறது, ஆனால் இதை எந்த சந்தர்ப்பத்திலும் ஒரே மாதிரியாக மாற்ற முடியாது. பலகோண பிரிஸ்மாடிக் ப்ரிஸம்கள்ஃ [p] × [] × [] எல்லையற்ற சீரான பிரிஸ்மாடிக் ப்ரிஸம்களின் தொகுப்பு 4-p டூயோப்ரிஸம்களுடன் ஒன்றுடன் ஒன்று இணைகிறதுஃ (p ≤ 3)-- p க்யூப்ஸ் மற்றும் 4 p-கோனல் ப்ரிஸம்கள்-(அனைத்தும் 4-p டூயோப்ரிஸத்திற்கு சமம்) இந்தத் தொடரில் இரண்டாவது பாலிடோப் வழக்கமான டெஸெராக்டின் குறைந்த சமச்சீர் ஆகும், {4} × {4}. பலகோண நுண்ணோக்கி எதிர்ப்பு முக்கோணங்கள்ஃ [p] × [] × [] சீரான நுண்ணோக்கி எதிர்ப்பு முக்கோணங்களின் எல்லையற்ற தொகுப்புகள் இரண்டு இணையான சீரான நுண்ணோக்கி எதிர்ப்பிகளிலிருந்து கட்டமைக்கப்பட்டுள்ளன): (p ≤ 2)-- 2 p-கோனல் எதிர்ப்புக்கள், 2 p-கோனல் முக்கோண முக்கோணங்கள் மற்றும் 2p முக்கோண முக்கோண முக்கோணங்களால் இணைக்கப்பட்டுள்ளன. ஒரு p-கோனல் ஆன்டிபிரிஸ்மாடிக் ப்ரிஸம் 4p முக்கோணம், 4p சதுரம் மற்றும் 4 p-கோன் முகங்களைக் கொண்டுள்ளது. இது 10p விளிம்புகள் மற்றும் 4p செங்குத்துகளைக் கொண்டுள்ளது. அனைத்து வளையங்களும் மாறி மாறி (வெற்று வட்ட முனைகளுடன் காட்டப்பட்டுள்ளது) தரவரிசை 4 காக்செட்டர் குழுக்களுக்கு ஒரே சீரான இரண்டு தீர்வுகளை மட்டுமே காக்செட்டர் காட்டினார். முதலாவது, s {21,1,1} இது ஒரு குறியீட்டு 24 துணைக்குழுவை (சமச்சீர் [2,2,2] +, வரிசை 8) டெமிடெசெராக்டின் வடிவத்தைக் குறிக்கிறது, h {4,3,3} (சமச்சீர் [1 +, 4,3,3] = [31,1,1], வரிசை 192). இரண்டாவது, s {31,1,1}, இது ஸ்னப் 24-செல்லின் குறியீட்டு 6 துணைக்குழு (சமச்சீர் [31,1,1 +, வரிசை 96) வடிவம், s {3,4,3}, (சமச்சீர் [3 +, 4,3], வரிசை 576). சமமான விளிம்பு நீளங்களுக்கான தீர்வுகள் பொதுவாக மிகைப்படுத்தப்பட்டவை (ஆறு சமன்பாடுகள் உள்ளன, ஆனால் நான்கு மாறிகள் மட்டுமே உள்ளன) என்பதால், ஓம்நிட்ரன்கேட்டட் டெஸெராக்டில் இருந்து ஒரு மாற்றாக, மற்ற மாற்றுகளை ஒரே மாதிரியாக மாற்ற முடியாது. இத்தகைய சீரான மாற்று உருவங்கள் முழு வளைய உருவத்தின் செங்குத்துகளின் இரண்டு அரை தொகுப்புகளில் ஒன்றை அகற்றுவதன் மூலம் உச்சி-இடைநிலை 4-பல்லுறுப்புகளாக கட்டமைக்கப்படலாம், ஆனால் சமமற்ற விளிம்பு நீளங்களைக் கொண்டிருக்கும். சீரான மாற்றங்களைப் போலவே, அவை சீரான உருவத்தின் சமச்சீரின் பாதியைக் கொண்டிருக்கும், [4,3,3] +, வரிசை 192, மாறி ஓம்நிட்ரன்கேட்டட் டெஸெராக்டின் சமச்சீர் ஆகும். மாற்றங்களுடன் கூடிய வைத்தாஃப் கட்டுமானங்கள் உச்சி-இடைநிலை உருவங்களை உருவாக்குகின்றன, அவை சமபக்கமாக்கப்படலாம், ஆனால் ஒரே மாதிரியாக இருக்காது, ஏனெனில் மாற்று இடைவெளிகள் (அகற்றப்பட்ட செங்குத்துகளைச் சுற்றி) வழக்கமான அல்லது அரைகுறையாக இல்லாத செல்களை உருவாக்குகின்றன. அத்தகைய உருவங்களுக்கு முன்மொழியப்பட்ட பெயர் ஸ்காலிபோர்ம் பாலிடோப்ஸ் ஆகும். இந்த வகை ஜான்சன் திடப்பொருட்களின் துணைக்குழுவை செல்களாக அனுமதிக்கிறது, எடுத்துக்காட்டாக முக்கோண குபோலா. ஜான்சன் திண்மத்திற்குள் உள்ள ஒவ்வொரு உச்சி அமைப்பும் உச்சி உருவத்திற்குள் இருக்க வேண்டும். எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு சதுர பிரமிடு இரண்டு உச்சி அமைப்புகளைக் கொண்டுள்ளதுஃ அடிப்பகுதியைச் சுற்றி 3.3.4 மற்றும் உச்சியில் 3.3.3.3. ஒவ்வொரு உச்சியையும் சுற்றியுள்ள செல்களின் பட்டியலுடன், நான்கு குவிந்த சமபக்க நிகழ்வுகளின் வலைகள் மற்றும் உச்சிகள் கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. 46 பிரிஸ்மாடிக் அல்லாத வைத்தோஃபியன் சீருடை பாலிகோராவுக்கான வடிவியல் வழித்தோன்றல்கள் 46 வைத்தோஃபியன் 4-பாலிட்டோப்புகளில் ஆறு குவிந்த வழக்கமான 4-பாலிட்டோப்புகள் அடங்கும். மற்ற நாற்பது வழக்கமான பாலிகோராவிலிருந்து வடிவியல் செயல்பாடுகளால் பெறப்படலாம், அவை அவற்றின் பெரும்பாலான அல்லது அனைத்து சமச்சீர்மைகளையும் பாதுகாக்கின்றன, எனவே அவை பொதுவான சமச்சீர் குழுக்களால் வகைப்படுத்தப்படலாம். வழக்கமான 4-பாலிட்டோப்புகளிலிருந்து 40 சீரான 4-பாலிட்டோப்புகளைப் பெறும் வடிவியல் செயல்பாடுகள் துண்டிக்கும் செயல்பாடுகளாகும். ஒரு 4-பாலிடோப் செங்குத்துகள், விளிம்புகள் அல்லது முகங்களில் துண்டிக்கப்படலாம், இது கீழே உள்ள அட்டவணைகளின் நெடுவரிசைகளில் காட்டப்பட்டுள்ளபடி, அந்த உறுப்புகளுடன் தொடர்புடைய செல்களைச் சேர்க்க வழிவகுக்கிறது. காக்செட்டர்-டைன்கின் வரைபடம் வைத்தோஃபியன் கெலிடோஸ்கோப்பின் நான்கு கண்ணாடிகளை முனைகளாக காட்டுகிறது, மேலும் முனைகளுக்கு இடையிலான விளிம்புகள் கண்ணாடிகளுக்கு இடையிலான கோணத்தைக் காட்டும் ஒரு முழு எண்ணால் பெயரிடப்படுகின்றன (π/n ரேடியன்கள் அல்லது 180/n டிகிரி). வட்டமான முனைகள் ஒவ்வொரு வடிவத்திற்கும் எந்த கண்ணாடிகள் செயலில் உள்ளன என்பதைக் காட்டுகின்றன; ஒரு கண்ணாடி அதன் மீது இல்லாத ஒரு உச்சியைப் பொறுத்து செயலில் உள்ளது. குவிந்த சீரான தேன்கூடுகளையும் பார்க்கவும், அவற்றில் சில வழக்கமான கனசதுர தேன்கூடுகளுக்கு பயன்படுத்தப்படும் இந்த செயல்பாடுகளை விளக்குகின்றன. இரண்டு பாலிடோப்புகள் ஒருவருக்கொருவர் இரட்டையர்களாக இருந்தால் (டெஸெராக்ட் மற்றும் 16-செல், அல்லது 120-செல் மற்றும் 600-செல் போன்றவை), பின்னர் பிட்ரன்கேட்டிங், ரன்சினேட்டிங் அல்லது ஓம்நிட்ரன்கேட்டிங் ஆகியவை மற்றொன்றுக்கு ஒரே செயல்பாட்டை உருவாக்குகின்றன. எனவே அட்டவணையில் பங்கேற்பு மட்டுமே தோன்றும் போது, அது இரு பெற்றோருக்கும் பொருந்தும் என்பதை புரிந்து கொள்ள வேண்டும். விரிவாக்கப்பட்ட சமச்சீர் மூலம் கட்டமைப்புகளின் சுருக்கம் A4, B4, F4, H4 சமச்சீர் மூலம் கட்டமைக்கப்பட்ட 46 சீரான பாலிகோராக்கள் அவற்றின் முழு நீட்டிக்கப்பட்ட சமச்சீர் மற்றும் காக்செட்டர் வரைபடங்களால் இந்த அட்டவணையில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. டி4 சமச்சீரும் சேர்க்கப்பட்டுள்ளது, இருப்பினும் இது நகல்களை மட்டுமே உருவாக்குகிறது. மாற்றீடுகள் அவற்றின் சிரல் சமச்சீர் மூலம் தொகுக்கப்படுகின்றன. அனைத்து மாற்றுகளும் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன, இருப்பினும் ஸ்னப் 24-செல், வெவ்வேறு குடும்பங்களிலிருந்து அதன் 3 கட்டமைப்புகளுடன் ஒரே சீரான ஒன்றாகும். அடைப்புக்குறிக்குள் உள்ள எண்ணிக்கைகள் மீண்டும் மீண்டும் அல்லது சீரானவை அல்ல. காக்செட்டர் வரைபடங்கள் 1 முதல் 46 வரையிலான சந்தா குறியீடுகளுடன் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. 3-3 மற்றும் 4-4 டூயோபிரிஸ்மாடிக் குடும்பம் சேர்க்கப்பட்டுள்ளது, இது பி 4 குடும்பத்துடன் அதன் உறவுக்கு இரண்டாவது ஆகும். சீரான நட்சத்திர பாலிகோரா மேற்கூறிய எல்லையற்ற டூயோபிரிஸம் மற்றும் ஆன்டிபிரிஸம் ப்ரிஸம் குடும்பங்களைத் தவிர, எண்ணற்ற பல கன்வெக்ஸ் அல்லாத உறுப்பினர்களைக் கொண்ட பல சீரான நட்சத்திர பாலிகோராக்கள் கண்டுபிடிக்கப்பட்டுள்ளன. 1852 ஆம் ஆண்டில், லுட்விக் ஷ்லாஃப்லி நான்கு வழக்கமான நட்சத்திர பாலிகோராவைக் கண்டுபிடித்தார்ஃ {5,3,5 2}, {5/2,3,5}, {3,3,5 2}, மற்றும் {5/2,3,3}. 1883 ஆம் ஆண்டில், எட்மண்ட் ஹெஸ் மற்ற ஆறு இடங்களைக் கண்டுபிடித்தார்ஃ {3,5,5 2}, {5/2,5,3}, {5,5/2,5}, {5/2,5,5/2}, {5,5/2,3}, மற்றும் {3,5/2,5}. நார்மன் ஜான்சன் 1966 ஆம் ஆண்டின் தனது முனைவர் ஆய்வறிக்கையில் மூன்று சீரான ஆன்டிபிரிசம் போன்ற நட்சத்திர பாலிகோராவை விவரித்தார்ஃ அவை வழக்கமான டோடெகாஹெட்ரானின் விளிம்புகள் மற்றும் செங்குத்துகளைப் பகிர்ந்து கொள்ளும் மூன்று டைட்ரிகோனல் பாலிஹெட்ராவை அடிப்படையாகக் கொண்டவை. அப்போதிருந்து ஜொனாதன் போவர்ஸ் மற்றும் ஜார்ஜ் ஓல்ஷேவ்ஸ்கி உள்ளிட்ட பிற ஆராய்ச்சியாளர்களால் மேலும் பல கண்டுபிடிக்கப்பட்டுள்ளன, தற்போது மொத்தம் 2125 அறியப்பட்ட சீரான நட்சத்திர பாலிகோரா எண்ணிக்கையை உருவாக்கியது (நட்சத்திர பலகோணங்களை அடிப்படையாகக் கொண்ட எல்லையற்ற டூயோப்ரிஸம்களை கணக்கிடவில்லை). தொகுப்பின் முழுமைக்கு தற்போது எந்த ஆதாரமும் இல்லை. யூக்ளிடியன் 3-இடத்தில் 4-விண்வெளி கன்வெக்ஸ் சீருடை தேன்கூடு-தொடர்புடைய எல்லையற்ற 4-பாலிட்டோப்புகளின் வழக்கமான வளைவு பாலிஹெட்ராவையும் பார்க்கவும். ஹைபர்போலிக் இடத்தில் கன்வெக்ஸ் சீரான தேன்கூடுகள்-ஹைபர்போலிக் 3-இடத்தில் தொடர்புடைய எல்லையற்ற 4-பாலிட்டோப்புகள். பாராகாம்பாக்ட் சீருடை தேன்கூடுகள் குறிப்புகள் ஏ. பூல் ஸ்டாட்ஃ வழக்கமான பாலிடோப்புகள் மற்றும் விண்வெளி நிரப்புதல்களிலிருந்து செமிரெகுலரின் வடிவியல் விலக்கு, கொனிங்லிஜ்கே அகாடமியின் வெர்ஹேண்டலிங்கன் வான் வெட்டன்சாப்பன் அகல அலகு ஆம்ஸ்டர்டாம், எர்ஸ்டீ செக்டி 11,1, ஆம்ஸ்டர்டாம், 1910 பி. கிரன்பாம் கன்வெக்ஸ் பாலிடோப்ஸ், நியூயார்க்; லண்டன்ஃ ஸ்பிரிங்கர், சி 2003. . வோல்கர் கைபெல், விக்டர் க்ளீ மற்றும் குண்டர் எம். ஜீக்லர் ஆகியோரால் தயாரிக்கப்பட்ட இரண்டாவது பதிப்பு. எச். எஸ். எம் காக்செட்டர்ஃ எச். எஸ். எம். காக்செட்டர், எம். எஸ். லாங்குயட்-ஹிக்கின்ஸ் மற்றும் ஜே. சி. பி. மில்லர்ஃ சீருடை பாலிஹெட்ரா, லண்டன் ராயல் சொசைட்டியின் தத்துவ பரிவர்த்தனைகள், லண்டன், 1954 எச். எஸ். எம். காக்செட்டர், ரெகுலர் பாலிடோப்ஸ், 3வது பதிப்பு, டோவர் நியூயார்க், 1973 கலிடோஸ்கோப்ஸ்ஃ செலக்டட் ரைட்டிங்ஸ் ஆஃப் எச். எஸ். எம். காக்செட்டர், எஃப். ஆர்தர் ஷெர்க், பீட்டர் மெக்முல்லன், அந்தோனி சி. தாம்சன், ஆசியா ஐவிக் வெயிஸ், வில்லி-இன்டர்சைன்ஸ் பப்ளிகேஷன், 1995, (காகிதம் 22) எச். எஸ். எம். காக்செட்டர், வழக்கமான மற்றும் அரை வழக்கமான பாலிடோப்ஸ் I, [கணிதம். ஜீத். 46 (1940) 380-407, எம்ஆர் 2,10] (தாள் 23) எச். எஸ். எம். காக்செட்டர், ரெகுலர் மற்றும் செமி-ரெகுலர் பாலிடோப்ஸ் II, [கணிதம். ஜீத். 188 (1985) 559-591] (தாள் 24) எச். எஸ். எம். காக்செட்டர், ரெகுலர் மற்றும் செமி-ரெகுலர் பாலிடோப்ஸ் III, [கணிதம். ஜீத். 200 (1988) 3-45 எச். எஸ். எம். காக்செட்டர் மற்றும் டபிள்யூ. ஓ. ஜே. மோசர். ஜெனரேட்டர்கள் மற்றும் டிஸ்கிரீட் குழுக்களுக்கான உறவுகள் 4 வது பதிப்பு, ஸ்பிரிங்கர்-வெர்லாக். நியூயார்க். 1980 பக்கம் 92, பக்கம் 122. ஜான் எச். கான்வே, ஹெய்டி பர்கியல், சைம் குட்மேன்-ஸ்ட்ராஸ், தி சிம்மெட்ரீஸ் ஆஃப் திங்ஸ் 2008, (அத்தியாயம் 26) ஜான் எச். கான்வே மற்றும் எம்ஜேடி. கைஃ நான்கு பரிமாண ஆர்க்கிமிடியன் பாலிடோப்ஸ், கோபன்ஹேகனில் மூச்சுத்திணறல் குறித்த சொற்பொழிவின் நடவடிக்கைகள், பக்கம் 38 மற்றும் 39,1965 என். டபிள்யூ. ஜான்சன்ஃ சீரான பாலிடோப்புகள் மற்றும் தேன்கூடுகளின் கோட்பாடு, பி. எச். டி. முனைவர் ஆய்வுக் கட்டுரை, டொராண்டோ பல்கலைக்கழகம், 1966 என். டபிள்யூ. ஜான்சன்ஃ வடிவவியல்கள் மற்றும் உருமாற்றங்கள், (2015) அத்தியாயம் 11: வரையறுக்கப்பட்ட சமச்சீர் குழுக்கள் ரிச்சர்ட் கிளிட்ஸிங், ஸ்னப்கள், மாற்று அம்சங்கள், மற்றும் ஸ்டாட்-காக்செட்டர்-டின்கின் வரைபடங்கள், சமச்சீர்ஃ கலாச்சாரம் மற்றும் அறிவியல், தொகுதி. 21, எண் 4,329-344, (2010) கூகிள் புக், 370-381 வெளிப்புற இணைப்புகள் கன்வெக்ஸ் சீருடை 4-பாலிட்டோப்புகள் சீருடை, நான்கு பரிமாணங்களில் குவிந்த பாலிடோப்புகள், மார்கோ முல்லர். ஜொனாதன் போவர்ஸ், ஜார்ஜ் ஓல்ஷேவ்ஸ்கி மற்றும் நார்மன் ஜான்சன் உள்ளிட்ட இந்த நபர்களுக்கான மாற்று பெயர்கள் இதில் அடங்கும். வழக்கமான மற்றும் அரை-வழக்கமான குவிந்த பாலிடோப்புகள் ஒரு குறுகிய வரலாற்று கண்ணோட்டம் ஜாவா 3டி ஆப்பிள்ட்ஸ் மூலங்களுடன் அல்லாத கன்வெக்ஸ் சீருடை 4-பாலிடோப்புகள் ஜோனாதன் போவர்ஸ் ஸ்டெல்லா 4டி ஸ்டெல்லா (மென்பொருள்) 64 குவிந்த வடிவங்கள் மற்றும் எல்லையற்ற பிரிஸ்மாடிக் குடும்பங்கள் உட்பட அறியப்பட்ட சீருடை பாலிகோராவின் ஊடாடும் காட்சிகளை உருவாக்குகிறது. நவீன இயற்பியலில் வடிவியல் முறைகளின் குவாட்டர்னியன்ஸ் இன்டர்நேஷனல் ஜர்னல் பிரதிநிதித்துவப்படுத்திய காக்செட்டர் குழு W (A4) இன் 4D-பாலிட்டோப்புகள் மற்றும் அவற்றின் இரட்டை பாலிடோப்புகள், தொகுதி. 9, இல்லை. 4 (2012) மெஹ்மத் கோகா, நசீஃப் ஓஸ்டெஸ் கோகா, முதாஹிர் அல்-அஜ்மி (2012) 4-பாலிடோப்ஸ்