Taylor's theorem
கால்குலஸில், டெய்லரின் தேற்றம் ஒரு குறிப்பிட்ட புள்ளியைச் சுற்றி ஒரு-மடங்கு வேறுபடுத்தக்கூடிய செயல்பாட்டை ஒரு டிகிரி பல்லுறுப்புக்கோவை மூலம் தோராயமாக வழங்குகிறது, இது-th-வரிசை டெய்லர் பல்லுறுப்புக்கோவை என்று அழைக்கப்படுகிறது. ஒரு மென்மையான செயல்பாட்டிற்கு, டெய்லர் பல்லுறுப்புக்கோவை என்பது செயல்பாட்டின் டெய்லர் தொடரின் வரிசையில் துண்டிக்கப்படுகிறது. முதல் வரிசை டெய்லர் பல்லுறுப்புக்கோவை என்பது செயல்பாட்டின் நேரியல் தோராயமாகும், மேலும் இரண்டாவது வரிசை டெய்லர் பல்லுறுப்புக்கோவை பெரும்பாலும் இருபடி தோராயமாக குறிப்பிடப்படுகிறது. டெய்லரின் தேற்றத்தின் பல பதிப்புகள் உள்ளன, அவற்றில் சில அதன் டெய்லர் பல்லுறுப்புக்கோவை மூலம் செயல்பாட்டின் தோராய பிழை பற்றிய வெளிப்படையான மதிப்பீடுகளை வழங்குகின்றன. டெய்லரின் தேற்றம் கணிதவியலாளர் ப்ரூக் டெய்லரின் பெயரால் அழைக்கப்படுகிறது, அவர் 1715 இல் அதன் ஒரு பதிப்பைக் கூறினார், இருப்பினும் முடிவின் முந்தைய பதிப்பு ஏற்கனவே 1671 இல் ஜேம்ஸ் கிரிகோரியால் குறிப்பிடப்பட்டது. டெய்லரின் தேற்றம் அறிமுக-நிலை கால்குலஸ் படிப்புகளில் கற்பிக்கப்படுகிறது மற்றும் கணித பகுப்பாய்வில் மைய அடிப்படை கருவிகளில் ஒன்றாகும். இது அதிவேக செயல்பாடு மற்றும் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகள் போன்ற பல ஆழ்நிலை செயல்பாடுகளின் மதிப்புகளை துல்லியமாக கணக்கிட எளிய எண்கணித சூத்திரங்களை வழங்குகிறது. இது பகுப்பாய்வு செயல்பாடுகளைப் பற்றிய ஆய்வின் தொடக்க புள்ளியாகும், மேலும் கணிதத்தின் பல்வேறு பகுதிகளிலும், எண் பகுப்பாய்வு மற்றும் கணித இயற்பியலிலும் அடிப்படையாக உள்ளது. டெய்லரின் தேற்றம் பன்முக மற்றும் திசையன் மதிப்புள்ள செயல்பாடுகளுக்கும் பொதுமைப்படுத்துகிறது. ஒரு உண்மையான மதிப்புள்ள செயல்பாடு புள்ளியில் வேறுபடுத்தக்கூடியதாக இருந்தால், அது இந்த புள்ளிக்கு அருகில் ஒரு நேரியல் தோராயத்தைக் கொண்டுள்ளது. இதன் பொருள் என்னவென்றால், ஒரு செயல்பாடு h1 (x) உள்ளது, இது a புள்ளிக்கு அருகிலுள்ள x இன் நேரியல் தோராயமாகும், அதன் வரைபடம் வரைபடத்திற்கான தொடுகோட்டு கோடு ஆகும். தோராயத்தில் உள்ள பிழை பின்வருமாறுஃ x ஒரு நோக்கிச் செல்லும்போது, இந்த பிழை பூஜ்ஜியத்திற்குச் செல்வதை விட மிக வேகமாகச் செல்கிறது, இது ஒரு பயனுள்ள தோராயத்தை உருவாக்குகிறது. ஒரு சிறந்த தோராயத்திற்கு, ஒரு நேரியல் செயல்பாட்டிற்கு பதிலாக ஒரு இருபடி பல்லுறுப்புக்கோவையை நாம் பொருத்தலாம்ஃ ஒரு வழித்தோன்றலுடன் பொருந்துவதற்குப் பதிலாக, இந்த பல்லுறுப்புக்கோவை அதே முதல் மற்றும் இரண்டாவது வழித்தோன்றல்களைக் கொண்டுள்ளது, இது வேறுபாட்டில் தெளிவாகத் தெரிகிறது. டெய்லரின் தேற்றம் இருபடி தோராயமானது, போதுமான சிறிய சுற்றுப்புறத்தில், நேரியல் தோராயத்தை விட மிகவும் துல்லியமானது என்பதை உறுதி செய்கிறது. குறிப்பாக, இங்கே தோராயத்தில் உள்ள பிழை என்னவென்றால், வரம்புக்குட்பட்ட நடத்தையைக் கருத்தில் கொண்டு, x என்பது a ஐ விட வேகமாக பூஜ்ஜியத்திற்குச் செல்கிறது. இதேபோல், நாம் அதிக டிகிரியின் பல்லுறுப்புக்கோவைகளைப் பயன்படுத்தினால் f க்கு இன்னும் சிறந்த தோராயங்களைப் பெறலாம், அதன் பிறகு தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட அடிப்படை புள்ளியில் f உடன் இன்னும் அதிக வழித்தோன்றல்களைப் பொருத்தலாம். பொதுவாக, டிகிரி k இன் பல்லுறுப்புக்கோவை மூலம் ஒரு செயல்பாட்டை தோராயமாக மதிப்பிடுவதில் உள்ள பிழை x என்பது a ஐ விட மிக வேகமாக பூஜ்ஜியத்திற்கு செல்லும். இருப்பினும், எண்ணற்ற வேறுபடுத்தக்கூடிய செயல்பாடுகள் கூட உள்ளன, இதற்காக தோராயமான பல்லுறுப்புக்கோவையின் அளவை அதிகரிப்பது தோராயத்தின் துல்லியத்தை அதிகரிக்காதுஃ அத்தகைய செயல்பாடு x = a இல் பகுப்பாய்வு செய்யத் தவறிவிட்டது என்று நாங்கள் கூறுகிறோம்ஃ இது (உள்ளூரில்) அதன் வழித்தோன்றல்களால் தீர்மானிக்கப்படுவதில்லை இந்த கட்டத்தில். டெய்லரின் தேற்றம் அறிகுறியற்ற இயல்புடையதுஃ ஒரு-வது வரிசை டெய்லர் பல்லுறுப்புக்கோவை Pk இன் தோராயத்தில் உள்ள பிழை எந்த பூஜ்ஜியமற்ற-வது டிகிரி பல்லுறுப்புக்கோவை விட வேகமாக பூஜ்ஜியமாக இருக்கும் என்று மட்டுமே இது நமக்குச் சொல்கிறது. விரிவாக்க மையத்தின் எந்தவொரு உறுதியான சுற்றுப்புறத்திலும் பிழை எவ்வளவு பெரியது என்பதை இது நமக்குச் சொல்லவில்லை, ஆனால் இந்த நோக்கத்திற்காக மீதமுள்ள காலத்திற்கு (கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ளது) வெளிப்படையான சூத்திரங்கள் உள்ளன, அவை f இல் சில கூடுதல் ஒழுங்குமுறை அனுமானங்களின் கீழ் செல்லுபடியாகும். டெய்லரின் தேற்றத்தின் இந்த மேம்பட்ட பதிப்புகள் பொதுவாக விரிவாக்க மையத்தின் ஒரு சிறிய சுற்றுப்புறத்தில் தோராயமான பிழையின் சீரான மதிப்பீடுகளுக்கு வழிவகுக்கின்றன, ஆனால் f செயல்பாடு பகுப்பாய்வு செய்யப்பட்டாலும் கூட, மதிப்பீடுகள் மிகப் பெரிய சுற்றுப்புறங்களுக்கு பொருந்தாது. அந்த சூழ்நிலையில், அசல் செயல்பாட்டின் நம்பகமான டெய்லர்-அணுகுமுறைகளைக் கொண்டிருக்க பல்வேறு விரிவாக்க மையங்களைக் கொண்ட பல டெய்லர் பல்லுறுப்புக்கோவைகளைத் தேர்ந்தெடுக்க வேண்டியிருக்கும் (வலதுபுறத்தில் உள்ள அனிமேஷனைப் பார்க்கவும்.) மீதமுள்ள சொல்லை நாம் பயன்படுத்த பல வழிகள் உள்ளனஃ கொடுக்கப்பட்ட இடைவெளியில் (a-r, a + r) மதிப்பிடும் டிகிரி k இன் பல்லுறுப்புக்கோவை Pk (x) க்கான பிழையை மதிப்பிடுங்கள். (இடைவெளி மற்றும் அளவைப் பொறுத்தவரை, பிழையைக் காண்கிறோம்.) கொடுக்கப்பட்ட இடைவெளியில் (a − r, a + r) கொடுக்கப்பட்ட பிழை சகிப்புத்தன்மைக்குள் பல்லுறுப்புக்கோவை Pk (x) தோராயமாக இருக்கும் மிகச்சிறிய டிகிரி k ஐக் கண்டறியவும். (இடைவெளி மற்றும் பிழை சகிப்புத்தன்மையைக் கருத்தில் கொண்டு, நாம் அளவைக் காண்கிறோம்.) கொடுக்கப்பட்ட பிழை சகிப்புத்தன்மைக்குள் Pk (x) தோராயமாக மதிப்பிடும் மிகப்பெரிய இடைவெளியைக் (a − r, a + r) கண்டறியவும். (அளவு மற்றும் பிழை சகிப்புத்தன்மையைக் கருத்தில் கொண்டு, இடைவெளியைக் காண்கிறோம்.) டெய்லரின் தேற்றத்தின் மிக அடிப்படையான பதிப்பின் துல்லியமான அறிக்கை பின்வருமாறுஃ டெய்லரின் தேற்றத்தில் தோன்றும் பல்லுறுப்புக்கோவை என்பது a புள்ளியில் f சார்பின்-வது வரிசை டெய்லர் பல்லுறுப்புக்கோவை ஆகும். டெய்லர் பல்லுறுப்புக்கோவை என்பது தனித்துவமான "அறிகுறியற்ற சிறந்த பொருத்தம்" பல்லுறுப்புக்கோவை ஆகும், அதாவது ஒரு செயல்பாடு மற்றும் a-th வரிசை பல்லுறுப்புக்கோவை p இருந்தால் p = Pk. டெய்லரின் தேற்றம் மீதமுள்ள காலத்தின் அறிகுறியற்ற நடத்தையை விவரிக்கிறது, இது அதன் டெய்லர் பல்லுறுப்புக்கோவையுடன் f ஐ தோராயமாக மதிப்பிடும்போது தோராயமான பிழையாகும். லிட்டில்-ஓ குறியீட்டைப் பயன்படுத்தி, டெய்லரின் தேற்றத்தில் உள்ள அறிக்கை மீதமுள்ளவற்றுக்கான தெளிவான சூத்திரங்களாகப் படிக்கிறது f இல் வலுவான ஒழுங்குமுறை அனுமானங்களின் கீழ் டெய்லர் பல்லுறுப்புக்கோவையின் மீதமுள்ள கால Rk க்கு பல துல்லியமான சூத்திரங்கள் உள்ளன, அவற்றில் மிகவும் பொதுவானவை பின்வருமாறு. டெய்லரின் தேற்றத்தின் இந்த சுத்திகரிப்புகள் பொதுவாக சராசரி மதிப்பு தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி நிரூபிக்கப்படுகின்றன, அதிலிருந்து பெயர். கூடுதலாக, இது துல்லியமாக சராசரி மதிப்பு தேற்றம் என்பதைக் கவனியுங்கள். இதே போன்ற பிற வெளிப்பாடுகளையும் காணலாம். எடுத்துக்காட்டாக, G (t) மூடிய இடைவெளியில் தொடர்ச்சியாகவும், மற்றும் இடையேயான திறந்த இடைவெளியில் மறைந்து போகாத வழித்தோன்றலுடன் வேறுபடுத்தக்கூடியதாகவும் இருந்தால், பின்னர் மற்றும் இடையே உள்ள சில எண்ணுக்கு. இந்த பதிப்பு மீதமுள்ள லாக்ரேஞ்ச் மற்றும் காச்சி வடிவங்களை சிறப்பு நிகழ்வுகளாக உள்ளடக்கியது, மேலும் காச்சியின் சராசரி மதிப்பு தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி கீழே நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது. லாக்ரேஞ்ச் வடிவம் எடுத்துக்கொள்வதன் மூலம் பெறப்படுகிறது மற்றும் எடுத்துக்கொள்வதன் மூலம் காச்சி வடிவம் பெறப்படுகிறது. எஞ்சியவற்றின் ஒருங்கிணைந்த வடிவத்திற்கான அறிக்கை முந்தையவற்றை விட மிகவும் மேம்பட்டது, மேலும் முழு பொதுவான தன்மைக்கு லெபெஸ்கூ ஒருங்கிணைப்புக் கோட்பாட்டைப் புரிந்துகொள்ள வேண்டும். இருப்பினும், f இன் (k + 1) வது வழித்தோன்றல் மூடிய இடைவெளியில் [a, x] தொடர்ச்சியாக இருந்தால் அது ரீமன் ஒருங்கிணைப்பு என்ற பொருளிலும் உள்ளது. மற்றும் இடையே உள்ள மூடிய இடைவெளியில் f இன் முழுமையான தொடர்ச்சியின் காரணமாக, அதன் வழித்தோன்றல் f ஒரு L-செயல்பாடாக உள்ளது, இதன் விளைவாக கால்குலஸின் அடிப்படை தேற்றம் மற்றும் பகுதிகளால் ஒருங்கிணைப்பு ஆகியவற்றைப் பயன்படுத்தி முறையான கணக்கீடு மூலம் நிரூபிக்க முடியும். மீதமுள்ளவற்றுக்கான மதிப்பீடுகள் டெய்லர் தோராயத்தில் தோன்றும் மீதமுள்ள காலத்தை மதிப்பிடுவது நடைமுறையில் பெரும்பாலும் பயனுள்ளதாக இருக்கும், அதற்கு ஒரு சரியான சூத்திரத்தைக் கொண்டிருப்பதை விட. a ஐக் கொண்ட I இடைவெளியில் f என்பது-முறை தொடர்ச்சியாக வேறுபடுத்தக்கூடியது என்று வைத்துக்கொள்வோம். I முழுவதும் உண்மையான மாறிலிகள் q மற்றும் Q உள்ளன என்று வைத்துக்கொள்வோம். பின்னர் மீதமுள்ள சொல் சமத்துவமின்மையை திருப்திப்படுத்துகிறது என்றால், மற்றும் இதேபோன்ற மதிப்பீடு என்றால். இது எஞ்சியவற்றின் லாக்ரேஞ்ச் வடிவத்தின் எளிய விளைவாகும். இரண்டாவது சமத்துவமின்மை ஒரு சீரான மதிப்பீடு என்று அழைக்கப்படுகிறது, ஏனெனில் இது இடைவெளியில் உள்ள அனைத்து x க்கும் ஒரே மாதிரியாக உள்ளது எடுத்துக்காட்டு தோராயத்தில் உள்ள பிழை 10−5 ஐ விட அதிகமாக இல்லை என்பதை உறுதிசெய்யும் போது இடைவெளியில் செயல்பாட்டின் தோராயமான மதிப்பைக் கண்டுபிடிக்க விரும்புகிறோம் என்று வைத்துக்கொள்வோம். இந்த எடுத்துக்காட்டில், அதிவேகச் செயல்பாட்டின் பின்வரும் பண்புகளை மட்டுமே நாம் அறிவோம் என்று பாசாங்கு செய்கிறோம்ஃ இந்த பண்புகளிலிருந்து இது அனைவருக்கும், குறிப்பாக, பின்பற்றுகிறது. எனவே அட் இன்-வது வரிசை டெய்லர் பல்லுறுப்புக்கோவை மற்றும் லாக்ரேஞ்ச் வடிவத்தில் அதன் மீதமுள்ள சொல் 0 மற்றும் x க்கு இடையில் உள்ள சில எண்களால் கொடுக்கப்படுகின்றன. ex என்பது () ஆல் அதிகரித்து வருவதால், துணை இடைவெளியில் மீதமுள்ளதை மதிப்பிடுவதற்கு நாம் பயன்படுத்தலாம். மீதமுள்ளவற்றுக்கு மேல் வரம்பைப் பெற, இரண்டாவது வரிசை டெய்லர் விரிவாக்கத்தைப் பயன்படுத்தி மதிப்பிடுவதற்கு பண்பைப் பயன்படுத்துகிறோம். பின்னர் எண்களை அதிகப்படுத்துவதன் மூலமும், வகுப்பைக் குறைப்பதன் மூலமும் அதைக் கண்டுபிடிப்பதற்காக ex ஐத் தீர்க்கிறோம். எக்ஸ்-க்கான இந்த மதிப்பீடுகளை இணைத்தால், தேவையான துல்லியம் நிச்சயமாக எட்டப்படுவதைக் காண்கிறோம், எப்போது (காரணி அல்லது கையால் கணக்கிடும் மதிப்புகள் மற்றும்). ஒரு முடிவாக, டெய்லரின் தேற்றம் தோராயத்திற்கு வழிவகுக்கிறது உதாரணமாக, இந்த தோராயமானது ஒரு தசம வெளிப்பாட்டை வழங்குகிறது, இது ஐந்து தசம இடங்கள் வரை சரியானது. பகுப்பாய்வுக்கான உறவு உண்மையான பகுப்பாய்வு செயல்பாடுகளின் டெய்லர் விரிவாக்கங்கள் IR ஒரு திறந்த இடைவெளியாக இருக்கட்டும். வரையறையின்படி, ஒரு செயல்பாடு f: I → R ஒரு ஒருங்கிணைந்த சக்தி தொடரால் உள்ளூரில் வரையறுக்கப்பட்டால் அது உண்மையான பகுப்பாய்வு ஆகும். இதன் பொருள் என்னவென்றால், ஒவ்வொரு a ω I க்கும் சில r> 0 மற்றும் குணகங்களின் வரிசை ck ω R உள்ளது, பொதுவாக, ஒரு சக்தி தொடரின் ஒருங்கிணைப்பின் ஆரம் காச்சி-ஹடாமார்ட் சூத்திரத்திலிருந்து கணக்கிடப்படலாம் இந்த முடிவு ஒரு வடிவியல் தொடருடன் ஒப்பிடுவதை அடிப்படையாகக் கொண்டது, மேலும் அதே முறை சில b ω R க்கு ஒரு ஒருங்கிணைப்பை அடிப்படையாகக் கொண்ட சக்தி தொடர் இருந்தால், அது மூடிய இடைவெளியில் ஒரே மாதிரியாக ஒன்றிணைய வேண்டும் என்பதைக் காட்டுகிறது. இங்கே பவர் சீரிஸின் ஒருங்கிணைப்பு மட்டுமே கருதப்படுகிறது, மேலும் அது f இன் களம் I க்கு அப்பால் நீட்டிக்கப்படலாம். a இல் உண்மையான பகுப்பாய்வு செயல்பாட்டின் டெய்லர் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் வெறுமனே அதன் உள்ளூரில் வரையறுக்கப்பட்ட பவர் சீரிஸின் வரையறுக்கப்பட்ட துண்டுகளாகும், மேலும் தொடர்புடைய மீதமுள்ள சொற்கள் உள்ளூரில் பகுப்பாய்வு செயல்பாடுகளால் வழங்கப்படுகின்றன. ஐ மற்றும் ஆர் <ஆர் என்று கருதினால், இந்த தொடர்கள் அனைத்தும் ஒரே மாதிரியாக இணைகின்றன. இயற்கையாகவே, பகுப்பாய்வு செயல்பாடுகளைப் பொறுத்தவரை, விரிவாக்கத்தின் மையத்தில் உள்ள f′ (a) வழித்தோன்றல்களின் வரிசையின் வால் மூலம் மீதமுள்ள காலத்தை ஒருவர் மதிப்பிடலாம், ஆனால் சிக்கலான பகுப்பாய்வைப் பயன்படுத்தி மற்றொரு சாத்தியமும் எழுகிறது, இது கீழே விவரிக்கப்பட்டுள்ளது. டெய்லரின் தேற்றம் மற்றும் டெய்லர் தொடரின் ஒருங்கிணைப்பு f இன் டெய்லர் தொடர் ஒரு குறிப்பிட்ட இடைவெளியில் ஒன்றிணைக்கும், இதில் அதன் அனைத்து வழித்தோன்றல்களும் வரம்புக்குட்பட்டவை மற்றும் k முடிவிலிக்குச் செல்லும்போது மிக வேகமாக வளராது. (இருப்பினும், டெய்லர் தொடர் ஒன்றிணைந்தாலும், அது கீழே விளக்கப்பட்டுள்ளபடி f ஆக ஒன்றிணைக்கப்படாமல் போகலாம்; f பின்னர் பகுப்பாய்வு அல்லாதது என்று கூறப்படுகிறது. எல்லையற்ற பல முறை வேறுபடுத்தக்கூடிய சார்பான f: R → R இன் டெய்லர் தொடரை a இல் அதன் "எல்லையற்ற வரிசை டெய்லர் பல்லுறுப்புக்கோவை" என்று ஒருவர் நினைக்கலாம். இப்போது மீதமுள்ளவற்றுக்கான மதிப்பீடுகள், எந்தவொரு r க்கும், f இன் வழித்தோன்றல்கள் (a − r, a + r) மீது வரம்புக்குட்பட்டவை என்று தெரிந்தால், எந்த வரிசைக்கும் k மற்றும் எந்த r> 0 க்கும் ஒவ்வொரு x ω (a − r, a + r) க்கும் ஒரு மாறிலி உள்ளது. சில நேரங்களில் நிலையான r மற்றும் அனைத்து k க்கும் மேலே வரம்புக்குட்பட்ட வகையில் மாறிலிகள் தேர்ந்தெடுக்கப்படலாம். பின்னர் f இன் டெய்லர் தொடர் சில பகுப்பாய்வு செயல்பாட்டிற்கு ஒரே மாதிரியாக இணைகிறது (ஒன்று மெதுவாக வளரும் வரை மேலே வரம்புக்குட்பட்டதாக இல்லாவிட்டாலும் கூட ஒன்றிணைப்பைப் பெறுகிறது.) வரம்பு செயல்பாடு வரையறையின்படி எப்போதும் பகுப்பாய்வு செய்யப்படுகிறது, ஆனால் இது அசல் செயல்பாடு f க்கு சமமாக இருக்க வேண்டிய அவசியமில்லை, f எல்லையற்ற வேறுபடுத்தக்கூடியதாக இருந்தாலும் கூட. இந்த விஷயத்தில், f என்பது பகுப்பாய்வு அல்லாத மென்மையான செயல்பாடு என்று நாம் கூறுகிறோம், எடுத்துக்காட்டாக ஒரு தட்டையான செயல்பாடுஃ சங்கிலி விதியை கணிதத் தூண்டல் மூலம் மீண்டும் மீண்டும் பயன்படுத்துவதன் மூலம், எந்த வரிசை k க்கும், டிகிரி 2 (k−1) இன் சில பல்லுறுப்புக்கோவை pk க்கு. செயல்பாடு எந்த பல்லுறுப்புக்கோவையையும் விட வேகமாக பூஜ்ஜியமாக மாற முனைகிறது, எனவே f என்பது எல்லையற்ற பல முறை வேறுபடுத்தக்கூடியது மற்றும் ஒவ்வொரு நேர்மறை முழு எண் k க்கும் மேலே உள்ள முடிவுகள் அனைத்தும் இந்த விஷயத்தில் உள்ளனஃ f இன் டெய்லர் தொடர் பூஜ்ஜிய செயல்பாடு Tf (x) = 0 க்கு ஒரே மாதிரியாக இணைகிறது, இது பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமான அனைத்து குணகங்களுடன் பகுப்பாய்வு செய்யப்படுகிறது. f என்ற சார்பு இந்த டெய்லர் தொடருக்கு சமமற்றது, எனவே பகுப்பாய்வு செய்யப்படாதது. எந்தவொரு வரிசைக்கும் k ω N மற்றும் ஆரம் r> 0 க்கு Mk உள்ளது, r> 0 மேலே உள்ள மீதமுள்ள வரம்பை () பூர்த்தி செய்கிறது. இருப்பினும், நிலையான r க்கு k அதிகரிக்கும் போது, Mk, r இன் மதிப்பு rk ஐ விட விரைவாக வளர்கிறது, மேலும் பிழை பூஜ்ஜியத்திற்கு செல்லாது. சிக்கலான பகுப்பாய்வில் டெய்லரின் தேற்றம் f: C → C செயல்பாடுகளை பொதுமைப்படுத்துகிறது, அவை சிக்கலான தளத்தின் திறந்த துணைக்குழுவில் சிக்கலான வேறுபடுத்தக்கூடியவை. இருப்பினும், சிக்கலான பகுப்பாய்வில் அதன் பயன்பாடு மற்ற பொதுவான கோட்பாடுகளால் குறைக்கப்படுகிறது. அதாவது, காச்சியின் ஒருங்கிணைந்த சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி சிக்கலான வேறுபடுத்தக்கூடிய செயல்பாடுகளுக்கு தொடர்புடைய முடிவுகளின் வலுவான பதிப்புகளைக் கண்டறியலாம் f: U → C பின்வருமாறு. மூடிய வட்டு B (z, r) ≤S (z, r) U இல் இருக்கும் வகையில் r> 0 ஆக இருக்கட்டும். பின்னர் S (z, r) வட்டத்தின் நேர்மறை அளவுருவுடன் காச்சியின் ஒருங்கிணைந்த சூத்திரம் இங்கே அனைத்து ஒருங்கிணைப்புகளும் S (z, r) வட்டத்தில் தொடர்ச்சியானவை, இது ஒருங்கிணைந்த அடையாளத்தின் கீழ் வேறுபாட்டை நியாயப்படுத்துகிறது. குறிப்பாக, திறந்த தொகுப்பு U இல் f ஒரு முறை சிக்கலான வேறுபடுத்தக்கூடியதாக இருந்தால், அது உண்மையில் U இல் எண்ணற்ற பல முறை சிக்கலான வேறுபடுத்தக்கூடியதாக இருக்கும். B (z, r) ≤S (c, r) ≤U போன்ற எந்த z ωU மற்றும் r> 0 க்கான காச்சியின் மதிப்பீடுகளையும் ஒருவர் பெறுகிறார். இந்த மதிப்பீடுகள் f இன் சிக்கலான டெய்லர் தொடர் எந்த திறந்த வட்டிலும் சில செயல்பாடு Tf உடன் ஒரே மாதிரியாக இணைகிறது என்பதைக் குறிக்கிறது. மேலும், f (c) வழித்தோன்றல்களுக்கான விளிம்பு ஒருங்கிணைந்த சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம், திறந்த தொகுப்பான U ற் C இல் உள்ள எந்தவொரு சிக்கலான வேறுபடுத்தக்கூடிய செயல்பாடும் உண்மையில் சிக்கலான பகுப்பாய்வு ஆகும். உண்மையான பகுப்பாய்வு செயல்பாடுகளுக்கு இங்கே கூறப்படுவது அனைத்தும் சிக்கலான பகுப்பாய்வு செயல்பாடுகளுக்கும் பொருந்தும், திறந்த இடைவெளி I க்கு பதிலாக திறந்த துணைக்குழு U ωC மற்றும் a-மைய இடைவெளிகள் (a − r, a + r) க்கு பதிலாக c-மைய வட்டுகள் B (c, r). குறிப்பாக, டெய்லர் விரிவாக்கம் Rk என்ற எஞ்சிய சொல் சிக்கலான பகுப்பாய்வு வடிவத்தில் உள்ளது. சிக்கலான பகுப்பாய்வு முறைகள் டெய்லர் விரிவாக்கங்கள் குறித்து சில சக்திவாய்ந்த முடிவுகளை வழங்குகின்றன. எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு பிராந்தியத்தின் எல்லையை அளவிடும் எந்தவொரு நேர்மறை சார்ந்த ஜோர்டான் வளைவுக்கும் காச்சியின் ஒருங்கிணைந்த சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி, ஒருவர் மேலே உள்ளபடி வழித்தோன்றல்களுக்கான வெளிப்பாடுகளைப் பெறுகிறார், மேலும் கணக்கீட்டை சற்று மாற்றியமைத்து, ஒருவர் சரியான சூத்திரத்திற்கு வருகிறார். இதேபோல், மீதமுள்ள தொடர் வெளிப்பாட்டிற்கு காச்சியின் மதிப்பீடுகளைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம், ஒருவர் சீரான மதிப்பீடுகளைப் பெறுகிறார் எடுத்துக்காட்டு செயல்பாடு உண்மையான பகுப்பாய்வு, அதாவது, அதன் டெய்லர் தொடரால் உள்ளூரில் தீர்மானிக்கப்படுகிறது. விரிவாக்க மையத்தின் சுற்றுப்புறங்களில் உள்ள டெய்லர் பல்லுறுப்புக்கோவைகளால் சில அடிப்படை செயல்பாடுகளை தோராயமாக மதிப்பிட முடியாது என்ற உண்மையை விளக்குவதற்காக இந்த செயல்பாடு மேலே திட்டமிடப்பட்டது. இந்த வகையான நடத்தை சிக்கலான பகுப்பாய்வின் கட்டமைப்பில் எளிதில் புரிந்து கொள்ளப்படுகிறது. அதாவது, f செயல்பாடு சுருக்கப்பட்ட சிக்கலான தளத்தில் ஒரு மெரோமார்பிக் செயல்பாட்டிற்கு விரிவடைகிறது. இது மற்றும் எளிய துருவங்களைக் கொண்டுள்ளது, மேலும் இது வேறு இடங்களில் பகுப்பாய்வு செய்யப்படுகிறது. இப்போது z0 ஐ மையமாகக் கொண்ட அதன் டெய்லர் தொடர் எந்த வட்டு B (z0, r) இல் r <|z −z0 | உடன் இணைகிறது, அங்கு அதே டெய்லர் தொடர் z ωC இல் இணைகிறது. எனவே, 0 ஐ மையமாகக் கொண்ட f இன் டெய்லர் தொடர் B (0,1) இல் இணைகிறது, மேலும் இது i மற்றும் −i இல் உள்ள துருவங்கள் காரணமாக |z |> 1 உடன் எந்த z ωC க்கும் இணைவதில்லை. அதே காரணத்திற்காக 1 ஐ மையமாகக் கொண்ட f இன் டெய்லர் தொடர் ஒன்றிணைகிறது மற்றும் எந்த z ωC க்கும் ஒன்றிணைக்காது. டெய்லரின் தேற்றத்தின் பொதுமைப்படுத்தல்கள் உயர்-வரிசை வேறுபாடு ஒரு செயல்பாடு f: Rn → R ஒரு நேரியல் செயல்பாடு L: Rn → R மற்றும் ஒரு செயல்பாடு h: Rn → R இருந்தால் மட்டுமே வேறுபடுத்தக்கூடியது. மேலும், f இன் பகுதி வழித்தோன்றல்கள் a இல் உள்ளன மற்றும் a இல் f இன் வேறுபாடு α ω Nn மற்றும் x ω Rn க்கான பல குறியீட்டு குறியீட்டை அறிமுகப்படுத்துவதன் மூலம் வழங்கப்படுகிறது. அனைத்து-வது வரிசை பகுதியளவு வழித்தோன்றல்களும் தொடர்ச்சியாக இருந்தால், பின்னர் க்ளைராட்டின் தேற்றத்தால், ஒருவர் கலப்பு வழித்தோன்றல்களின் வரிசையை a இல் மாற்றலாம், எனவே உயர் வரிசை பகுதி வழித்தோன்றல்களுக்கான குறியீடு இந்த சூழ்நிலையில் நியாயப்படுத்தப்படுகிறது. f இன் அனைத்து (k−1)-th வரிசை பகுதி வழித்தோன்றல்களும் a இன் சில சுற்றுப்புறங்களில் இருந்தால் மற்றும் a இல் வேறுபடுத்தக்கூடியதாக இருந்தால் இது பொருந்தும். பின்னர் f என்பது a புள்ளியில் k மடங்கு வேறுபடுத்தக்கூடியது என்று நாம் கூறுகிறோம். பல்வகை செயல்பாடுகளுக்கான டெய்லரின் தேற்றம் முந்தைய பிரிவின் குறியீடுகளைப் பயன்படுத்தி, பின்வரும் தேற்றத்தைக் கொண்டுள்ளது. ஒரு மூடிய பந்தில் செயல்பாடு k + 1 முறை தொடர்ச்சியாக வேறுபடுத்தக்கூடியதாக இருந்தால், இந்த சுற்றுப்புறத்தில் உள்ள f இன் வரிசை பகுதி வழித்தோன்றல்களின் அடிப்படையில் மீதமுள்ளவற்றுக்கு ஒரு சரியான சூத்திரத்தைப் பெறலாம். அதாவது, இந்த விஷயத்தில், சுருக்கமான தொகுப்பு B இல் (k + 1)-வது வரிசை பகுதி வழித்தோன்றல்களின் தொடர்ச்சியின் காரணமாக, ஒருவர் உடனடியாக சீரான மதிப்பீடுகளைப் பெறுகிறார் எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு மென்மையான செயல்பாட்டின் மூன்றாம் வரிசை டெய்லர் பல்லுறுப்புக்கோவை, ஒரு உண்மையான மாறியில் டெய்லரின் தேற்றத்திற்கான ஆதாரம் என்பதைக் குறிக்கிறது. ஒவ்வொருவருக்கும், என்பதைக் கவனியுங்கள். எனவே எண்களின் முதல் வழித்தோன்றல்கள் ஒவ்வொன்றும் மறைந்து விடுகின்றன, மேலும் வகுத்தல் விஷயத்திலும் இது பொருந்தும். மேலும், ஒரு கட்டத்தில் செயல்பாடு நேர வேறுபடுத்தக்கூடியதாக இருக்க வேண்டும் என்ற நிபந்தனைக்கு கூறப்பட்ட புள்ளியின் சுற்றுப்புறத்தில் வரிசை வரை வேறுபடுத்தும் தன்மை தேவைப்படுவதால் (இது உண்மை, ஏனெனில் வேறுபடுத்தும் தன்மைக்கு ஒரு புள்ளியின் முழு சுற்றுப்புறத்திலும் ஒரு செயல்பாடு வரையறுக்கப்பட வேண்டும்), எண் மற்றும் அதன் வழித்தோன்றல்கள் ஒரு சுற்றுப்புறத்தில் வேறுபடுத்தக்கூடியவை. தெளிவாக, வகுத்தல் கூறப்பட்ட நிபந்தனையை திருப்திப்படுத்துகிறது, மேலும் கூடுதலாக, எல் 'ஹோபிடலின் ஆட்சிக்குத் தேவையான அனைத்து நிபந்தனைகளும் பூர்த்தி செய்யப்பட்டு, அதன் பயன்பாடு நியாயப்படுத்தப்படாவிட்டால் மறைந்துவிடாது. எனவே இரண்டாவது முதல் கடைசி சமத்துவம் வழித்தோன்றலின் வரையறையைப் பின்பற்றுகிறது. ஒரு உண்மையான மாறியில் டெய்லரின் தேற்றத்திற்கான மாற்று ஆதாரம் டெய்லர் பல்லுறுப்புக்கோவையால் தோராயமாக மதிப்பிடப்பட வேண்டிய எந்தவொரு உண்மையான மதிப்புள்ள தொடர்ச்சியான செயல்பாடாகவும் இருக்கட்டும். படி 1: செயல்பாடுகளாக இருக்கட்டும். படி 2: பண்புகள் மற்றும்ஃ இதேபோல், படி 3: காச்சி சராசரி மதிப்பு தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தவும் மற்றும் தொடர்ச்சியான செயல்பாடுகளாக இருக்கட்டும். எனவே நாம் இடைவெளியுடன் வேலை செய்யலாம். வேறுபடுத்தக்கூடியதாக இருக்கட்டும். அனைவருக்காகவும் அனுமானியுங்கள். பின்னர் குறிப்புஃ இன் மற்றும் சிலருக்கு இது போன்றது உள்ளது. இதுவும் செய்யப்படலாம்ஃ சிலருக்கு. இதைத் தொடரலாம். இது பின்வருவனவற்றில் ஒரு பகிர்வைத் தருகிறதுஃ செட்ஃ படி 4: பவர் ரூல் மூலம் மீண்டும் மாற்றவும், மீண்டும் மீண்டும் வழித்தோன்றல்கள், எனவேஃ இது பின்வருவனவற்றிற்கு வழிவகுக்கிறதுஃ மறுசீரமைப்பதன் மூலம், நாம் பெறுகிறோம்ஃ அல்லது ஏனெனில் இறுதியில்ஃ மீதமுள்ள சராசரி மதிப்பு வடிவங்களுக்கான வழித்தோன்றல் G எந்த உண்மையான மதிப்புள்ள செயல்பாடாகவும் இருக்கட்டும், மற்றும் இடையே உள்ள மூடிய இடைவெளியில் தொடர்ச்சியானது மற்றும் வேறுபடுத்தக்கூடியது மற்றும் இடையே உள்ள திறந்த இடைவெளியில் மறைந்துபோகாத வழித்தோன்றலுடன், மற்றும் வரையறுக்கவும். பின்னர், காச்சியின் சராசரி மதிப்பு தேற்றத்தின் படி, சிலருக்கு மற்றும் இடையேயான திறந்த இடைவெளியில். இங்கே எண் சரியாக டெய்லர் பல்லுறுப்புக்கோவையின் எஞ்சிய பகுதி என்பதை நினைவில் கொள்க. டெய்லரின் தேற்றத்தின் உண்மையான அறிக்கைக்குப் பிறகு குறிப்பிடப்பட்ட மீதமுள்ள வார்த்தையின் வடிவம் இது என்பதைக் கண்டறிய அதை () இல் இணைத்து சொற்களை மறுசீரமைக்கவும், மீதமுள்ளவை சராசரி மதிப்பு வடிவத்தில் உள்ளன. மீதமுள்ளவற்றின் லாக்ரேஞ்ச் வடிவம் தேர்ந்தெடுப்பதன் மூலமும், காச்சி வடிவம் தேர்ந்தெடுப்பதன் மூலமும் காணப்படுகிறது. குறிப்பு. இந்த முறையைப் பயன்படுத்தி ஒருவர் மீதமுள்ள ஒருங்கிணைந்த வடிவத்தைத் தேர்ந்தெடுப்பதன் மூலமும் மீட்டெடுக்க முடியும், ஆனால் சராசரி மதிப்பு தேற்றத்தைப் பயன்படுத்துவதற்குத் தேவையான f க்கான தேவைகள் மிகவும் வலுவானவை, f முற்றிலும் தொடர்ச்சியானது என்ற வழக்கில் உரிமைகோரலை நிரூபிப்பதை ஒருவர் நோக்கமாகக் கொண்டால். இருப்பினும், லெபெஸ்கூ ஒருங்கிணைப்புக்கு பதிலாக ரீமன் ஒருங்கிணைப்பைப் பயன்படுத்தினால், அனுமானங்களை பலவீனப்படுத்த முடியாது. மீதமுள்ள ஒருங்கிணைந்த வடிவத்திற்கான வழித்தோன்றல் மூடிய இடைவெளியில் முழுமையான தொடர்ச்சியின் காரணமாக மற்றும் அதன் வழித்தோன்றல் ஒரு-செயல்பாடாக உள்ளது, மேலும் கால்குலஸ் மற்றும் பகுதிகளின் ஒருங்கிணைப்பின் அடிப்படை தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தலாம். இதே ஆதாரம் ரீமன் ஒருங்கிணைப்புக்கு பொருந்தும், இது மூடிய இடைவெளியில் தொடர்ச்சியானது மற்றும் மற்றும் இடையே திறந்த இடைவெளியில் வேறுபடுத்தக்கூடியது, மேலும் இது சராசரி மதிப்பு தேற்றத்தைப் பயன்படுத்துவதை விட அதே முடிவுக்கு வழிவகுக்கிறது. கால்குலஸின் அடிப்படை தேற்றம் கூறுகிறது, இப்போது நாம் பகுதிகளால் ஒருங்கிணைக்கலாம் மற்றும் கால்குலஸின் அடிப்படை தேற்றத்தை மீண்டும் பயன்படுத்தலாம், இது சரியாக டெய்லரின் தேற்றம் மற்றும் வழக்கில் ஒருங்கிணைந்த வடிவத்தில் எஞ்சியிருப்பதைக் காணலாம். பொது அறிக்கை தூண்டல் பயன்படுத்தி நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது. மீதமுள்ள காலத்தை பகுதிகளால் ஒருங்கிணைப்பது, இதை சூத்திரத்தில் மாற்றுவது என்பது அது மதிப்பைக் கொண்டிருந்தால், அது மதிப்பையும் வைத்திருக்க வேண்டும் என்பதைக் காட்டுகிறது என்று வைத்துக்கொள்வோம். எனவே, இது பொருந்தும் என்பதால், இது ஒவ்வொரு நேர்மறை முழு எண்ணுக்கும் பொருந்தும். மீதமுள்ள மல்டிவேரியேட் டெய்லர் பல்லுறுப்புக்கோவைகளுக்கான வழித்தோன்றல் நாம் சிறப்பு வழக்கை நிரூபிக்கிறோம், அங்கு மையத்துடன் சில மூடிய பந்தில் வரிசை வரை தொடர்ச்சியான பகுதி வழித்தோன்றல்கள் உள்ளன. ஆதாரத்தின் மூலோபாயம் டெய்லரின் தேற்றத்தின் ஒரு மாறி வழக்கை அருகிலுள்ள கோடு பிரிவின் கட்டுப்பாட்டிற்கு பயன்படுத்துவதாகும். டெய்லரின் தேற்றத்தின் ஒரு மாறுபாட்டு பதிப்பை செயல்பாட்டிற்கு நாம் பயன்படுத்துகிறோம்ஃ பல மாறிகளுக்கு சங்கிலி விதியைப் பயன்படுத்துவது பன்முக குணகம் எங்கே என்பதைக் கொடுக்கிறது. எனவே, நாம் பெறுவதுஃ மேலும் காண்க அடிக்குறிப்புகள் குறிப்புகள். . . . . . . . . . . வெளிப்புற இணைப்புகள் டெய்லர் தொடர் தோராயமாக கொசைன் கட்-தி-முடிச்சு டிரிகோனோமெட்ரிக் டெய்லர் விரிவாக்கம் ஊடாடும் செயல்விளக்கு டெய்லர் தொடர் முழுமையான எண் முறைகள் நிறுவனத்தில் மறுபரிசீலனை செய்யப்பட்ட உண்மையான பகுப்பாய்வு தோராயங்களில் கால்குலஸ் தேற்றங்களில் சான்றுகள் கோட்பாடுகளைக் கொண்ட கட்டுரைகள்