Alternating group
கணிதத்தில், ஒரு மாற்றுக் குழு என்பது ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட தொகுப்பின் சம வரிசைமாற்றங்களின் குழுவாகும். ஒரு தனிமங்களின் தொகுப்பில் மாறி மாறி வரும் குழு, அல்லது எழுத்துக்களில் மாறி மாறி வரும் குழு என்று அழைக்கப்படுகிறது மற்றும் அடிப்படை பண்புகளால் குறிக்கப்படுகிறது. ஏனெனில், குழு A என்பது குறியீடு 2 உடன் சமச்சீர் குழு Sn இன் பரிமாற்ற துணைக்குழுவாகும், எனவே n!/2 உறுப்புகளைக் கொண்டுள்ளது. இது சமச்சீர் குழுவின் கீழ் விளக்கப்பட்ட கையொப்பக் குழு ஹோமோமார்பிசத்தின் கர்னல் ஆகும். குழு A என்றால் மற்றும் இருந்தால் மட்டுமே அபெலியன் மற்றும் இருந்தால் மற்றும் இருந்தால் மட்டுமே எளிய. A5 என்பது சிறிய அபேலியன் அல்லாத எளிய குழுவாகும், இது வரிசை 60 ஐக் கொண்டுள்ளது, மேலும் தீர்க்கமுடியாத மிகச்சிறிய குழுவாகும். A4 குழுவில் க்ளீன் நான்கு குழு V ஒரு சரியான இயல்பான துணைக்குழுவாக உள்ளது, அதாவது அடையாளம் மற்றும் இரட்டை இடமாற்றங்கள், அதாவது A4 இன் மேற்பரப்பின் கர்னல். நம்மிடம் சரியான வரிசை உள்ளது. கலோயிஸ் கோட்பாட்டில், இந்த வரைபடம், அல்லது அதனுடன் தொடர்புடைய வரைபடம், லாக்ரேஞ்ச் தீர்க்கும் கனசதுரத்தை ஒரு குவார்டிக்குடன் தொடர்புபடுத்துவதற்கு ஒத்திருக்கிறது, இது லோடோவிக்கோ ஃபெராரியால் நிறுவப்பட்டபடி, குவார்டிக் பல்லுறுப்புக்கோவையை ரேடிக்கல்களால் தீர்க்க அனுமதிக்கிறது. இணைவு வகுப்புகள் சமச்சீர் குழுவில் உள்ளதைப் போல, ஒரு தனிமத்தின் ஒரு உறுப்பால் இணைக்கப்படும் ஒரு தனிமத்தின் எந்த இரண்டு உறுப்புகளும் ஒரே சுழற்சி வடிவத்தைக் கொண்டிருக்க வேண்டும். இருப்பினும், இதற்கு நேர்மாறாக இருப்பது உண்மையாக இருக்க வேண்டிய அவசியமில்லை. சுழற்சி வடிவம் ஒற்றைப்படை நீளமுள்ள சுழற்சிகளைக் கொண்டிருந்தால், இரண்டு சுழற்சிகள் ஒரே நீளத்தில் இல்லை என்றால், நீளத்தின் சுழற்சிகள் சுழற்சி வகைகளில் சேர்க்கப்பட்டுள்ளன, பின்னர் இந்த சுழற்சி வடிவத்திற்கு சரியாக இரண்டு இணை வகுப்புகள் உள்ளன. எடுத்துக்காட்டுகள்ஃ இரண்டு வரிசைமாற்றங்களும் (123) மற்றும் (132) A3 இல் உள்ள இணைப்புகள் அல்ல, இருப்பினும் அவை ஒரே சுழற்சி வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளன, எனவே அவை S3 இல் இணைக்கப்படுகின்றன. இரண்டு வரிசைமாற்றங்களும் ஒரே சுழற்சி வடிவத்தைக் கொண்டிருந்தாலும், வரிசைமாற்றமானது (123) (45678) A8 இல் அதன் தலைகீழ் (132) (48765) உடன் இணைக்கப்படவில்லை, எனவே அவை S8 இல் இணைக்கப்படுகின்றன. சமச்சீர் குழுவுடன் உறவு சமச்சீர் குழுவைப் பார்க்கவும். வரையறுக்கப்பட்ட சமச்சீர் குழுக்கள் என்பது வரையறுக்கப்பட்ட கூறுகளைக் கொண்ட ஒரு தொகுப்பின் அனைத்து வரிசைமாற்றங்களின் குழுக்களாகவும், மாறி வரும் குழுக்கள் சம வரிசைமாற்றங்களின் குழுக்களாகவும் இருப்பதால், மாறி வரும் குழுக்கள் வரையறுக்கப்பட்ட சமச்சீர் குழுக்களின் துணைக்குழுக்களாகும். ஜெனரேட்டர்கள் மற்றும் உறவுகள் n ≤ 3 க்கு, ஒரு 3-சுழற்சிகளால் உருவாக்கப்படுகிறது, ஏனெனில் 3-சுழற்சிகளை ஜோடி இடமாற்றங்களை இணைப்பதன் மூலம் பெறலாம். இந்த உருவாக்கும் தொகுப்பு பெரும்பாலும் ஒரு எளிய என்று நிரூபிக்க பயன்படுத்தப்படுகிறது. தானியங்கி உருவகப்படுத்துதல் குழு, தவிர, ஒரு தானியங்கி உருவகப்படுத்துதல் குழு Sn சமச்சீர் குழு, உள் தானியங்கி உருவகப்படுத்துதல் குழு A மற்றும் வெளிப்புற தானியங்கி உருவகப்படுத்துதல் குழு Z2; வெளிப்புற தானியங்கி உருவகப்படுத்துதல் ஒரு ஒற்றைப்படை வரிசைமாற்றத்தின் மூலம் இணைப்பிலிருந்து வருகிறது. மற்றும் 2 க்கு, ஆட்டோமார்ஃபிஸம் குழு அற்பமானது. ஆட்டோமார்ஃபிஸம் குழுவைப் பொறுத்தவரை Z2, அற்பமான உள் ஆட்டோமார்ஃபிஸம் குழு மற்றும் வெளிப்புற ஆட்டோமார்ஃபிஸம் குழு Z2. A6 இன் வெளிப்புற ஆட்டோமார்பிசம் குழு க்ளீன் நான்கு குழு ஆகும், மேலும் இது S6 இன் வெளிப்புற ஆட்டோமார்பிசத்துடன் தொடர்புடையது. A6 இல் உள்ள கூடுதல் வெளிப்புற ஆட்டோமார்ஃபிஸம் 3-சுழற்சிகளை ((123 போன்றவை) 32 (போன்ற) வடிவத்தின் கூறுகளுடன் மாற்றுகிறது. தனித்துவமான ஐசோமார்பிசம் சில சிறிய மாற்று குழுக்கள் மற்றும் லை வகையின் சிறிய குழுக்களுக்கு இடையில் சில விதிவிலக்கான ஐசோமார்பிசம்கள் உள்ளன, குறிப்பாக ப்ரொஜெக்டிவ் சிறப்பு நேரியல் குழுக்கள். இவை பின்வருமாறுஃ A4 என்பது பி. எஸ். எல் 2 (3) க்கு ஐசோமார்பிக் மற்றும் சிரல் டெட்ராஹெட்ரல் சமச்சீரின் சமச்சீர் குழு. ஏ5 என்பது பி. எஸ். எல்2 (4), பி. எஸ். எல்2 (5) மற்றும் சிரல் ஐகோசாஹெட்ரல் சமச்சீரின் சமச்சீர் குழுவிற்கு ஐசோமார்பிக் ஆகும். (வரிசை 60 இன் எளிய குழுக்களின் வகைப்பாட்டைப் பயன்படுத்துவதற்கான மறைமுக ஐசோமார்பிசத்தைப் பார்க்கவும், இங்கே ஒரு நேரடி ஆதாரத்திற்கு). ஏ6 என்பது பி. எஸ். எல். 2 (9) மற்றும் பி. எஸ். பி. 4 (2) 'க்கு ஐசோமார்பிக் ஆகும். ஏ8 என்பது பி. எஸ். எல். 4 (2) க்கு ஐசோமார்பிக் ஆகும். மேலும் வெளிப்படையாக, A3 என்பது சுழற்சி குழு Z3 க்கு ஐசோமார்பிக் ஆகும், மேலும் A0, A1 மற்றும் A2 ஆகியவை அற்பமான குழுவிற்கு ஐசோமார்பிக் ஆகும் (இது எந்த q க்கும் கூட). எடுத்துக்காட்டுகள் S4 மற்றும் A4 எடுத்துக்காட்டு A5 என்பது 3-இடைவெளி சுழற்சிகளின் துணைக்குழுவாக A5 என்பது 3-இடைவெளியில் உள்ள ஒரு டோடெகாஹெட்ரானின் ஐசோமெட்ரிகளின் குழுவாகும், எனவே ஒரு பிரதிநிதித்துவம் உள்ளது. இந்த படத்தில் பாலிஹெட்ராவின் செங்குத்துகள் குழுவின் கூறுகளைக் குறிக்கின்றன, கோளத்தின் மையம் அடையாள உறுப்பைக் குறிக்கிறது. ஒவ்வொரு உச்சியும் மையத்திலிருந்து அந்த உச்சிக்கு சுட்டிக்காட்டும் அச்சைப் பற்றிய சுழற்சியைக் குறிக்கிறது, ரேடியன்களில், தோற்றத்திலிருந்து தூரத்திற்கு சமமான கோணத்தால். ஒரே பாலிஹெட்ரானில் உள்ள செங்குத்துகள் ஒரே இணை வகுப்பில் உள்ளன. A5 க்கான இணை வகுப்பு சமன்பாடு என்பதால், நாம் நான்கு தனித்துவமான (அற்பமான) பாலிஹெட்ராவைப் பெறுகிறோம். வெளிப்புற மேற்பரப்பில் ஒரு ஐகோசிடோடெகாஹெட்ரான் மூலம் குறிக்கப்படும் (2,2)-சுழற்சிகளின் கான்ஜுகேசி வகுப்பைத் தவிர, ஒவ்வொரு பாலிஹெட்ரானின் செங்குத்துகளும் அதன் கான்ஜுகேசி வகுப்பின் கூறுகளுடன் இருதரப்பு தொடர்புகளில் உள்ளன, அதன் ஆன்டிபோடல் செங்குத்துகள் ஒருவருக்கொருவர் அடையாளம் காணப்படுகின்றன. இந்த பணிநீக்கத்திற்கான காரணம் என்னவென்றால், தொடர்புடைய சுழற்சிகள் ரேடியன்களால் செய்யப்படுகின்றன, எனவே இரண்டு திசைகளிலும் நீளத்தின் திசையன் மூலம் குறிப்பிடப்படலாம். இவ்வாறு (2,2)-சுழற்சிகளின் வகுப்பில் 15 உறுப்புகள் உள்ளன, அதே நேரத்தில் ஐகோசிடோடெகாஹெட்ரான் 30 செங்குத்துகளைக் கொண்டுள்ளது. A5 இல் உள்ள பன்னிரண்டு 5-சுழற்சிகளின் இரண்டு இணை வகுப்புகள் முறையே 2/5 மற்றும் 4/5 ஆரம் கொண்ட இரண்டு ஐகோசாஹெட்ராவால் குறிப்பிடப்படுகின்றன. அற்பமான வெளிப்புற ஆட்டோமார்ஃபிஸம் இந்த இரண்டு வகுப்புகளையும் அதனுடன் தொடர்புடைய ஐகோசாஹெட்ராவையும் ஒன்றோடொன்று மாற்றுகிறது. எடுத்துக்காட்டுஃ 15 புதிர் 15 புதிர், நெகிழ் புதிரின் பிரபலமான எடுத்துக்காட்டு, மாற்று குழு A15 ஆல் குறிப்பிடப்படலாம் என்பதை நிரூபிக்க முடியும், ஏனெனில் 15 புதிரின் கலவையை 3 சுழற்சிகளால் உருவாக்க முடியும். உண்மையில், சம அளவிலான சதுர ஓடுகளைக் கொண்ட எந்த நெகிழ் புதிரையும் A2k−1 ஆல் குறிப்பிடலாம். துணைக்குழுக்கள் A4 என்பது லாக்ராஞ்சின் தேற்றத்தின் எதிர் பொதுவாக உண்மை இல்லை என்பதை நிரூபிக்கும் மிகச்சிறிய குழுவாகும்ஃ ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட குழு G மற்றும் ஒரு வகுத்தி d கொடுக்கப்பட்டால், d வரிசையுடன் G இன் துணைக்குழு இருக்க வேண்டிய அவசியமில்லைஃ வரிசை 12 இன் குழு, வரிசை 6 இன் துணைக்குழு இல்லை. எந்தவொரு தனித்துவமான அற்பமான உறுப்புடனும் மூன்று உறுப்புகளின் துணைக்குழு (மூன்று பொருட்களின் சுழற்சி சுழற்சியால் உருவாக்கப்படுகிறது) முழு குழுவையும் உருவாக்குகிறது. எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, அன்-க்கு அற்பமான (அதாவது, சரியான) இயல்பான துணைக்குழுக்கள் இல்லை. எனவே, ஆன் என்பது அனைவருக்கும் ஒரு எளிய குழு. A5 என்பது தீர்க்க முடியாத மிகச்சிறிய குழுவாகும். குழு ஒத்திசைவு மாறி மாறி வரும் குழுக்களின் குழு ஒத்திசைவு நிலைத்தன்மையை வெளிப்படுத்துகிறது, நிலையான ஒரே மாதிரியான கோட்பாட்டைப் போலஃ போதுமான பெரிய n க்கு, இது நிலையானது. இருப்பினும், சில குறைந்த பரிமாண விதிவிலக்கான ஒத்திசைவுகள் உள்ளன. சமச்சீர் குழுவின் ஒத்திசைவு இதேபோன்ற உறுதிப்படுத்தலை வெளிப்படுத்துகிறது என்பதை நினைவில் கொள்க, ஆனால் குறைந்த பரிமாண விதிவிலக்குகள் இல்லாமல் (கூடுதல் ஒத்திசைவு கூறுகள்). H1: அபெலியனைசேஷன் முதல் ஹோமோலஜி குழு அபெலியனைசேஷனுடன் ஒத்துப்போகிறது, மேலும் (மேற்கோள் காட்டப்பட்ட விதிவிலக்குகளைத் தவிர, ஒரு சரியானது என்பதால்) பின்வருமாறுஃ H1 (ஒரு, Z) = n = 0,1,2 க்கு Z1; H1 (A3, Z) = A = A3 = Z3; H1 (A4, Z) = A = Z3; H1 (ஒரு, Z) = n ≤ 5 க்கு Z1. இதை பின்வருமாறு நேரடியாகப் பார்க்க முடியும். ஒரு 3-சுழற்சிகளால் உருவாக்கப்படுகிறது-எனவே அற்பமான அபெலியனைசேஷன் வரைபடங்கள் மட்டுமே உள்ளன, ஏனெனில் வரிசை-3 கூறுகள் வரிசை-3 கூறுகளுக்கு வரைபடமாக்கப்பட வேண்டும்-மேலும் அனைத்து 3-சுழற்சிகளும் இணைக்கப்பட்டுள்ளன, எனவே அவை அபெலியனைசேஷனில் ஒரே உறுப்புக்கு வரைபடமாக்கப்பட வேண்டும், ஏனெனில் அபெலியன் குழுக்களில் இணைவு அற்பமானது. எனவே (123) போன்ற ஒரு 3-சுழற்சி அதன் தலைகீழ் (321) அதே உறுப்புக்கு வரைபடமாக்க வேண்டும், ஆனால் எனவே அடையாளத்திற்கு வரைபடமாக்க வேண்டும், ஏனெனில் அது 2 மற்றும் 3 ஐ வகுக்கும் வரிசையைக் கொண்டிருக்க வேண்டும், எனவே அபெலியனைசேஷன் அற்பமானது. ஏனெனில், ஆன் என்பது அற்பமானது, எனவே அற்பமான அபெலியனைசேஷன் உள்ளது. A3 மற்றும் A4 ஐப் பொறுத்தவரை ஒருவர் நேரடியாக அபெலியனைசேஷனை கணக்கிட முடியும், 3-சுழற்சிகள் இரண்டு இணை வகுப்புகளை உருவாக்குகின்றன (அனைத்தும் இணைக்கப்படுவதை விட) மற்றும் அற்பமான வரைபடங்கள் உள்ளன (உண்மையில் ஒரு ஐசோமார்பிசம்) மற்றும். H2: ஷூர் பெருக்கிகள் மாற்றுக் குழுக்களின் ஷூர் பெருக்கிகள் A (n குறைந்தது 5 ஆக இருந்தால்) என்பது வரிசை 2 இன் சுழற்சி குழுக்களாகும், n என்பது 6 அல்லது 7 ஆக இருந்தால் தவிர, இந்த விஷயத்தில் மூன்று மடங்கு உறையும் உள்ளது. இந்த சந்தர்ப்பங்களில், ஷூர் பெருக்கி என்பது வரிசை 6 இன் (சுழற்சி குழு) ஆகும். இவை முதலில் கணக்கிடப்பட்டன. n = 1,2,3 க்கு H2 (an, Z) = Z1; n = 4,5 க்கு H2 (an, Z) = Z2; n = 6,7 க்கு H2 (an, Z) = Z6; n ≤ 8 க்கு H2 (an, Z) = Z2. குறிப்புகள் வெளிப்புற இணைப்புகள் வரையறுக்கப்பட்ட குழுக்கள் வரிசைமாற்ற குழுக்கள்