Negative binomial distribution
நிகழ்தகவுக் கோட்பாடு மற்றும் புள்ளிவிவரங்களில், எதிர்மறை இருபொருள் விநியோகம் என்பது ஒரு தனித்துவமான நிகழ்தகவு விநியோகமாகும், இது ஒரு குறிப்பிட்ட (சீரற்ற) எண்ணிக்கையிலான வெற்றிகள் (குறிக்கப்படுகிறது) ஏற்படுவதற்கு முன்பு சுயாதீனமான மற்றும் ஒரே மாதிரியாக விநியோகிக்கப்பட்ட பெர்னௌலி சோதனைகளின் வரிசையில் தோல்விகளின் எண்ணிக்கையை மாதிரியாகக் காட்டுகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு டை மீது 6 ஐ உருட்டுவதை ஒரு வெற்றி என்று வரையறுக்கலாம், மேலும் வேறு எந்த எண்ணையும் தோல்வியாக உருட்டலாம், மேலும் மூன்றாவது வெற்றியைப் பார்ப்பதற்கு முன்பு எத்தனை தோல்விப் சுருள்கள் ஏற்படும் என்று கேட்கலாம். அத்தகைய சந்தர்ப்பத்தில், தோன்றும் தோல்விகளின் எண்ணிக்கையின் நிகழ்தகவு விநியோகம் எதிர்மறை பைனாமியல் விநியோகமாக இருக்கும். மொத்த சோதனைகளின் எண்ணிக்கையை (தோல்விகளின் எண்ணிக்கைக்கு பதிலாக) மாதிரியாக்குவது ஒரு மாற்று சூத்திரமாகும். உண்மையில், ஒரு குறிப்பிட்ட (சீரற்ற) வெற்றிகளின் எண்ணிக்கைக்கு (r), தோல்விகளின் எண்ணிக்கை (n − r) சீரற்றது, ஏனெனில் மொத்த சோதனைகள் (n) சீரற்றவை. எடுத்துக்காட்டாக, எதிர்மறை பைனாமியல் விநியோகத்தைப் பயன்படுத்தி ஒரு குறிப்பிட்ட இயந்திரம் உடைவதற்கு முன்பு n (சீரற்ற) நாட்களின் எண்ணிக்கையை (r ஆல் குறிப்பிடப்பட்டுள்ளது) மாதிரியாக்கலாம். பாஸ்கல் விநியோகம் (பிளேஸ் பாஸ்கலுக்குப் பிறகு) மற்றும் போலியா விநியோகம் (ஜார்ஜ் போலியாவைப் பொறுத்தவரை) எதிர்மறை இருமப் பரவலின் சிறப்பு நிகழ்வுகளாகும். பொறியாளர்கள், காலநிலை நிபுணர்கள் மற்றும் பிறரிடையே ஒரு மரபு என்னவென்றால், ஒரு முழு எண் மதிப்புள்ள நிறுத்த நேர அளவுரு () வழக்கில் "எதிர்மறை இருமியல்" அல்லது "பாஸ்கல்" ஐப் பயன்படுத்துவதும், உண்மையான மதிப்புள்ள வழக்கில் "பொல்யா" ஐப் பயன்படுத்துவதும் ஆகும். சூறாவளி வெடிப்புகள் போன்ற தொடர்புடைய தனித்துவமான நிகழ்வுகளின் நிகழ்வுகளுக்கு, பொய்சோனைப் போலல்லாமல், சராசரி மற்றும் மாறுபாட்டை வேறுபடுத்த அனுமதிப்பதன் மூலம் பொய்சோன் விநியோகத்தை விட துல்லியமான மாதிரிகளைக் கொடுக்க பொல்யா விநியோகங்களைப் பயன்படுத்தலாம். எதிர்மறை பைனாமியல் விநியோகம் ஒரு மாறுபாட்டைக் கொண்டுள்ளது, விநியோகம் கொடுக்கப்பட்ட சராசரி வரம்பில் பாய்சானுக்கு ஒத்ததாக மாறுகிறது (அதாவது. தோல்விகள் பெருகிய முறையில் அரிதாக இருக்கும் போது). இது பாய்சான் விநியோகத்திற்கு ஒரு பயனுள்ள மிகைப்படுத்தப்பட்ட மாற்றாக விநியோகத்தை மாற்றும், எடுத்துக்காட்டாக பாய்சான் பின்னடைவின் வலுவான மாற்றத்திற்கு. தொற்றுநோயியலில், தொற்று நோய்களுக்கான நோய் பரவலை மாதிரியாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது, அங்கு நோய்த்தொற்றுகளின் எண்ணிக்கை தனிநபருக்கு நபர் மற்றும் அமைப்பில் இருந்து அமைப்புக்கு கணிசமாக மாறுபடும். மேலும் பொதுவாக, நிகழ்வுகள் நேர்மறையான தொடர்புள்ள நிகழ்வுகளைக் கொண்டிருப்பது பொருத்தமானதாக இருக்கலாம், இது நிகழ்வுகள் சுயாதீனமாக இருந்ததை விட பெரிய மாறுபாட்டை ஏற்படுத்துகிறது, இது ஒரு நேர்மறையான கோவேரியன்ஸ் சொல் காரணமாகும். "எதிர்மறை இருமியல்" என்ற சொல் விநியோகத்தின் நிகழ்தகவு வெகுஜன செயல்பாட்டிற்கான சூத்திரத்தில் தோன்றும் ஒரு குறிப்பிட்ட இருமியல் குணகம் எதிர்மறை எண்களுடன் மிகவும் எளிமையாக எழுதப்படலாம் என்பதன் காரணமாக இருக்கலாம். வரையறைகள் சுயாதீனமான பெர்னௌலி சோதனைகளின் வரிசையை கற்பனை செய்து பாருங்கள்ஃ ஒவ்வொரு சோதனையும் "வெற்றி" மற்றும் "தோல்வி" என்று அழைக்கப்படும் இரண்டு சாத்தியமான விளைவுகளைக் கொண்டுள்ளது. ஒவ்வொரு சோதனையிலும் வெற்றி மற்றும் தோல்வியின் நிகழ்தகவு உள்ளது. முன்னரே வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணிக்கையிலான வெற்றிகள் நிகழும் வரை இந்த வரிசையை நாம் கவனிக்கிறோம். பின்னர் காணப்பட்ட தோல்விகளின் சீரற்ற எண்ணிக்கை, எதிர்மறை பைனாமியல் (அல்லது பாஸ்கல்) விநியோகத்தைப் பின்பற்றுகிறதுஃ நிகழ்தகவு வெகுஜன செயல்பாடு எதிர்மறை பைனாமியல் விநியோகத்தின் நிகழ்தகவு வெகுஜன செயல்பாடு r என்பது வெற்றிகளின் எண்ணிக்கை, k என்பது தோல்விகளின் எண்ணிக்கை மற்றும் p என்பது ஒவ்வொரு சோதனையிலும் வெற்றிக்கான நிகழ்தகவு. k + r ஐ விட k + r − 1 சோதனைகளிலிருந்து k தோல்விகள் தேர்ந்தெடுக்கப்படுகின்றன, ஏனெனில் k + r சோதனைகளில் கடைசியாக வரையறையின்படி ஒரு வெற்றி. இந்த அளவை மாற்றாக பின்வரும் முறையில் எழுதலாம், இது "எதிர்மறை இருமியல்" என்ற பெயரை விளக்குகிறதுஃ கடைசி வெளிப்பாடு மற்றும் இருமியல் தொடரின் மூலம், ஒவ்வொன்றிற்கும், எனவே நிகழ்தகவு வெகுஜன செயல்பாட்டின் சொற்கள் உண்மையில் கீழே உள்ளபடி ஒன்றைச் சேர்க்கின்றன என்பதைக் கவனியுங்கள். நிகழ்தகவு வெகுஜன செயல்பாட்டின் மேற்கண்ட வரையறையைப் புரிந்துகொள்ள, r வெற்றிகள் மற்றும் k தோல்விகளின் ஒவ்வொரு குறிப்பிட்ட வரிசைக்கும் நிகழ்தகவு உள்ளது என்பதைக் கவனியுங்கள், ஏனெனில் k + r சோதனைகளின் முடிவுகள் சுயாதீனமாக நடக்க வேண்டும். rth வெற்றி எப்போதும் கடைசியாக வருவதால், மீதமுள்ள k + r−1 சோதனைகளில் தோல்விகளுடன் k சோதனைகளைத் தேர்ந்தெடுப்பது உள்ளது. மேலே உள்ள இருமக் குணகம், அதன் ஒருங்கிணைந்த விளக்கத்தின் காரணமாக, k + r−1 நீளத்தின் இந்த அனைத்து வரிசைகளின் எண்ணிக்கையையும் துல்லியமாக வழங்குகிறது. ஒட்டுமொத்த விநியோகச் செயல்பாடு ஒட்டுமொத்த விநியோகச் செயல்பாட்டை ஒழுங்குபடுத்தப்பட்ட முழுமையற்ற பீட்டா செயல்பாட்டின் அடிப்படையில் வெளிப்படுத்தலாம்ஃ (இந்த சூத்திரம் கட்டுரையின் அட்டவணையில் உள்ள அதே அளவுருவைப் பயன்படுத்துகிறது, r வெற்றிகளின் எண்ணிக்கை மற்றும் சராசரியுடன்.) பைனாமியல் டிஸ்ட்ரிபியூஷனின் ஒட்டுமொத்த டிஸ்ட்ரிபியூஷன் செயல்பாட்டின் அடிப்படையில் இது வெளிப்படுத்தப்படலாம்ஃ மாற்று சூத்திரங்கள் சில ஆதாரங்கள் எதிர்மறை பைனாமியல் டிஸ்ட்ரிபியூஷனை இங்குள்ள முதன்மை விநியோகத்திலிருந்து சற்று வித்தியாசமாக வரையறுக்கலாம். மிகவும் பொதுவான மாறுபாடுகள் சீரற்ற மாறி எக்ஸ் வெவ்வேறு விஷயங்களை எண்ணும் இடமாகும். இந்த மாறுபாடுகளை இங்கே அட்டவணையில் காணலாம்ஃ எதிர்மறை பைனாமியல் விநியோகத்தின் நான்கு வரையறைகளில் ஒவ்வொன்றையும் சற்று வித்தியாசமான ஆனால் சமமான வழிகளில் வெளிப்படுத்தலாம். முதல் மாற்று சூத்திரம் வெறுமனே இருமக் குணகத்தின் சமமான வடிவமாகும், அதாவதுஃ இரண்டாவது மாற்று சூத்திரம் சோதனைகளின் மொத்த எண்ணிக்கை வெறுமனே வெற்றிகள் மற்றும் தோல்விகளின் எண்ணிக்கை என்பதை அங்கீகரிப்பதன் மூலம் வெளிப்பாட்டை ஓரளவு எளிதாக்குகிறது, அதாவதுஃ இந்த இரண்டாவது சூத்திரங்கள் புரிந்துகொள்ள மிகவும் உள்ளுணர்வாக இருக்கலாம், இருப்பினும் அவை அதிக சொற்களைக் கொண்டிருப்பதால் அவை குறைவான நடைமுறைக்குரியவை. X என்பது கொடுக்கப்பட்ட எண்ணிக்கையிலான r வெற்றிகளுக்கு ஏற்படும் n சோதனைகளின் எண்ணிக்கை என்ற வரையறை முதன்மை வரையறையைப் போன்றது, தோல்விகளின் எண்ணிக்கைக்கு பதிலாக சோதனைகளின் எண்ணிக்கை வழங்கப்படுகிறது என்பதைத் தவிர. இது சீரற்ற மாறியின் மதிப்புக்கு r ஐச் சேர்க்கிறது, அதன் ஆதரவையும் சராசரியையும் மாற்றுகிறது. X என்பது கொடுக்கப்பட்ட எண்ணிக்கையிலான r தோல்விகளுக்கு ஏற்படும் k வெற்றிகளின் (அல்லது n சோதனைகள்) எண்ணிக்கை என்ற வரையறை இந்த கட்டுரையில் பயன்படுத்தப்படும் முதன்மை வரையறையைப் போன்றது, தவிர என்ன கணக்கிடப்படுகிறது மற்றும் என்ன வழங்கப்படுகிறது என்பதைக் கருத்தில் கொள்ளும்போது தோல்விகள் மற்றும் வெற்றிகளின் எண்ணிக்கை மாற்றப்படுகின்றன. இருப்பினும், அந்த p இன்னும் "வெற்றியின்" நிகழ்தகவைக் குறிக்கிறது என்பதை நினைவில் கொள்க. எதிர்மறை பைனாமியல் விநியோகத்தின் வரையறையை r அளவுரு நேர்மறை உண்மையான மதிப்பை எடுக்கக்கூடிய வழக்கு வரை நீட்டிக்க முடியும். "தோல்விகளின்" முழு எண் அல்லாத எண்ணைக் காட்சிப்படுத்துவது சாத்தியமற்றது என்றாலும், அதன் நிகழ்தகவு வெகுஜன செயல்பாட்டின் மூலம் விநியோகத்தை நாம் இன்னும் முறையாக வரையறுக்க முடியும். வரையறையை உண்மையான மதிப்புள்ள (நேர்மறை) r க்கு விரிவுபடுத்துவதில் உள்ள சிக்கல் காமா செயல்பாட்டின் அடிப்படையில் இருமக் குணகத்தை அதன் உண்மையான மதிப்புள்ள எதிரிக்கு விரிவுபடுத்துவது வரை கொதிக்கிறதுஃ இந்த வெளிப்பாட்டை அசல் வரையறையில் மாற்றிய பிறகு, X ஒரு நிகழ்தகவு வெகுஜன செயல்பாட்டைக் கொண்டிருந்தால் எதிர்மறை இருமக் (அல்லது போல்யா) பரவலைக் கொண்டுள்ளது என்று நாம் கூறுகிறோம்ஃ இங்கே r என்பது ஒரு உண்மையான, நேர்மறை எண். எதிர்மறை இருமியல் பின்னடைவில், விநியோகம் அதன் சராசரி அடிப்படையில் குறிப்பிடப்படுகிறது, இது பின்னர் நேரியல் பின்னடைவு அல்லது பிற பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட நேரியல் மாதிரிகள் போன்ற விளக்க மாறிகளுடன் தொடர்புடையது. சராசரி m க்கான வெளிப்பாட்டிலிருந்து, ஒருவர் மற்றும் பெறலாம். பின்னர், r உண்மையான மதிப்புடையதாக இருக்கும்போது நிகழ்தகவு வெகுஜன செயல்பாட்டிற்கு இந்த வெளிப்பாடுகளை மாற்றுவது, m இன் அடிப்படையில் நிகழ்தகவு வெகுஜன செயல்பாட்டின் இந்த அளவுருவை வழங்குகிறதுஃ மாறுபாட்டை பின்னர் இவ்வாறு எழுதலாம். சில எழுத்தாளர்கள் அமைக்க விரும்புகிறார்கள், மேலும் மாறுபாட்டை இவ்வாறு வெளிப்படுத்துகிறார்கள். இந்த சூழலில், மற்றும் ஆசிரியரைப் பொறுத்து, அளவுரு r அல்லது அதன் பரஸ்பர α "சிதறல் அளவுரு", "வடிவ அளவுரு" அல்லது "கிளஸ்டரிங் குணகம்" அல்லது "பன்முகத்தன்மை" அல்லது "திரட்டல்" அளவுரு என்று குறிப்பிடப்படுகிறது. தனிப்பட்ட உயிரினங்களின் எண்ணிக்கையை விவரிக்கும் போது "திரட்டல்" என்ற சொல் குறிப்பாக சூழலியலில் பயன்படுத்தப்படுகிறது. பூஜ்ஜியத்தை நோக்கிய திரட்டல் அளவுரு r இன் குறைப்பு உயிரினங்களின் திரட்டலை அதிகரிப்பதோடு ஒத்திருக்கிறது; முடிவிலியை நோக்கிய r இன் அதிகரிப்பு திரட்டல் இல்லாததற்கு ஒத்திருக்கிறது, இது பாய்சான் பின்னடைவால் விவரிக்கப்படலாம். மாற்று அளவுருக்கள் சில நேரங்களில் விநியோகம் அதன் சராசரி μ மற்றும் மாறுபாடு σ2 அடிப்படையில் அளவிடப்படுகிறதுஃ எடுத்துக்காட்டுகள் மருத்துவமனையில் தங்குவதற்கான நீளம் மருத்துவமனையில் தங்குவதற்கான நீளம் என்பது நிஜ உலக தரவுகளுக்கு ஒரு எடுத்துக்காட்டு, இது எதிர்மறை இருமியல் பின்னடைவு வழியாக எதிர்மறை இருமியல் விநியோகத்துடன் நன்கு வடிவமைக்கப்படலாம். 6 ஆம் வகுப்பு களப் பயணத்திற்கு பணம் திரட்ட மிட்டாய் பார்களை விற்க மிட்டாய் பாட் கோலிஸ் விற்பனை செய்ய வேண்டும். பாட் (சற்றே கடுமையாக) ஐந்து சாக்லேட் பார்கள் விற்கப்படும் வரை வீடு திரும்ப வேண்டியதில்லை. எனவே குழந்தை வீட்டிற்கு வீடு சென்று, சாக்லேட் பார்களை விற்கிறது. ஒவ்வொரு வீட்டிலும், ஒரு மிட்டாய் பட்டை விற்க 0.6 நிகழ்தகவும், எதுவும் விற்காத 0.40 நிகழ்தகவும் உள்ளது. n வது வீட்டில் கடைசி சாக்லேட் பட்டியை விற்பனை செய்வதற்கான நிகழ்தகவு என்ன? மிட்டாய்களை போதுமான அளவு வெற்றிகரமாக விற்பனை செய்வது நமது நிறுத்தும் அளவுகோலை வரையறுக்கிறது (அதை விற்கத் தவறியதற்கு மாறாக), எனவே இந்த விஷயத்தில் k என்பது தோல்விகளின் எண்ணிக்கையையும், r என்பது வெற்றிகளின் எண்ணிக்கையையும் குறிக்கிறது. நெக்பின் (r, p) விநியோகம் k + r பெர்னௌலி (p) சோதனைகளில் k தோல்விகள் மற்றும் r வெற்றிகளின் நிகழ்தகவை விவரிக்கிறது என்பதை நினைவில் கொள்ளுங்கள். ஐந்து கேண்டி பார்களை விற்பது என்பது ஐந்து வெற்றிகளைப் பெறுவதாகும். சோதனைகளின் எண்ணிக்கை (அதாவது. நாம் விரும்பும் சீரற்ற மாறி வீடுகளின் எண்ணிக்கை, எனவே நாம் k = n − 5 ஐ ஒரு நெக்பின் (5,0,4) வெகுஜன செயல்பாட்டிற்கு பதிலாக மாற்றி, வீடுகளின் விநியோகத்தின் பின்வரும் வெகுஜன செயல்பாட்டைப் பெறுகிறோம் (n ≤ 5 க்கு): பத்தாவது வீட்டில் பாட் முடிப்பதற்கான நிகழ்தகவு என்ன? பாட் எட்டாவது வீட்டை அடைவதற்கு முன்பு அல்லது அதற்கு முன் முடிப்பதற்கான நிகழ்தகவு என்ன? எட்டாவது வீட்டில் அல்லது அதற்கு முன் முடிக்க, பாட் ஐந்தாவது, ஆறாவது, ஏழாவது அல்லது எட்டாவது வீட்டில் முடிக்க வேண்டும். அந்த சாத்தியக்கூறுகளைச் சுருக்கவும்ஃ அக்கம்பக்கத்தில் நிற்கும் 30 வீடுகளையும் பாட் அழித்துவிடுவதற்கான நிகழ்தகவு என்ன? இது பாட் முப்பதாவது வீட்டில் ஐந்தாவது இடத்தில் முடிக்காத நிகழ்தகவாக வெளிப்படுத்தப்படலாம்ஃ பாட் ஒவ்வொரு வீட்டிற்கும் (60 சதவீதம்) விற்பனை செய்வதற்கான அதிக நிகழ்தகவு இருப்பதால், அவள் தனது தேடலை நிறைவேற்றாததற்கான நிகழ்தகவு மிகவும் குறைவாக உள்ளது. பண்புகள் எதிர்பார்ப்பு r வெற்றிகளைக் காண தேவையான மொத்த சோதனைகளின் எண்ணிக்கை எதிர்பார்க்கப்படுகிறது. எனவே, எதிர்பார்க்கப்படும் தோல்விகளின் எண்ணிக்கை இந்த மதிப்பாக இருக்கும், வெற்றிகளைக் கழித்தல்ஃ வெற்றிகளின் எதிர்பார்ப்பு அளவுருக்களுடன் கூடிய எதிர்மறை இருமியல் விநியோகத்தில் எதிர்பார்க்கப்படும் மொத்த தோல்விகளின் எண்ணிக்கை r (1−p)/p ஆகும். இதைப் பார்க்க, எதிர்மறை பைனாமியலை உருவகப்படுத்தும் ஒரு சோதனை பல முறை செய்யப்படுகிறது என்று கற்பனை செய்து பாருங்கள். அதாவது, வெற்றிகள் கிடைக்கும் வரை சோதனைகளின் தொகுப்பு செய்யப்படுகிறது, பின்னர் மற்றொரு சோதனைகள், பின்னர் மற்றொரு சோதனை போன்றவை. ஒவ்வொரு பரிசோதனையிலும் நிகழ்த்தப்பட்ட சோதனைகளின் எண்ணிக்கையை எழுதி அமைக்கவும். இப்போது நாம் மொத்த வெற்றிகளைப் பற்றி எதிர்பார்க்கலாம். சோதனை பல முறை செய்யப்பட்டது என்று வைத்துக்கொள்வோம். பின்னர் மொத்தத்தில் வெற்றிகள் உள்ளன. எனவே, நாம் எதிர்பார்க்கலாம். இது ஒரு பரிசோதனையின் சராசரி எண்ணிக்கையாகும் என்பதைப் பார்க்கவும். "எதிர்பார்ப்பு" என்பதன் அர்த்தம் இதுதான். ஒரு பரிசோதனையின் தோல்விகளின் சராசரி எண்ணிக்கை. இந்தப் பக்கத்தின் வலது புறத்தில் உள்ள பெட்டியில் கொடுக்கப்பட்டுள்ள சராசரியுடன் இது ஒத்துப்போகிறது. எதிர்மறை பைனாமியல் விநியோகத்தை காத்திருப்பு நேரங்களின் கூட்டுத்தொகையாகக் குறிப்பிடுவதன் மூலம் ஒரு கடுமையான வழித்தோன்றல் செய்யப்படலாம். மாநாட்டுடன் இருக்கட்டும் என்பது வெற்றிக்கு முன்பு காணப்பட்ட தோல்விகளின் எண்ணிக்கையையும் வெற்றியின் நிகழ்தகவையும் குறிக்கிறது. ஒரு வெற்றியைப் பார்ப்பதற்கு முன்பு தோல்விகளின் எண்ணிக்கையைக் குறிக்கும் இடமாக இருக்கட்டும். வெற்றிக்கும் வெற்றிக்கும் இடையிலான காத்திருப்பு நேரமாக (தோல்விகளின் எண்ணிக்கை) நாம் நினைக்கலாம். எனவே சராசரி என்பது உண்மையிலிருந்து பின்தொடர்கிறது. மாறுபாடு r-th வெற்றிக்கு முந்தைய தோல்விகளின் எண்ணிக்கையை கணக்கிடும்போது, மாறுபாடு r (1−p)/p2 ஆகும். r-th தோல்விக்கு முந்தைய வெற்றிகளின் எண்ணிக்கையை கணக்கிடும்போது, மேலே உள்ள மாற்று சூத்திரம் (3) இல் உள்ளதைப் போல, மாறுபாடு rp/(1−p) 2 ஆகும். பைனாமியல் தேற்றத்துடனான உறவு Y என்பது n மற்றும் p அளவுருக்களுடன் ஒரு பைனாமியல் விநியோகத்துடன் ஒரு சீரற்ற மாறி என்று வைத்துக்கொள்வோம். p + q = 1, p, q ≤ 0 உடன், பின்னர் நியூட்டனின் பைனாமியல் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி, இதை சமமாக எழுதலாம்ஃ இதில் கூட்டுத்தொகையின் மேல் எல்லை எல்லையற்றது. இந்த வழக்கில், n ஒரு நேர்மறை முழு எண்ணுக்கு பதிலாக ஒரு உண்மையான எண்ணாக இருக்கும்போது இருமக் குணகம் வரையறுக்கப்படுகிறது. இப்போது r> 0 என்று வைத்துக்கொள்வோம், நாம் ஒரு எதிர்மறை அடுக்கைப் பயன்படுத்துகிறோம்ஃ பின்னர் அனைத்து சொற்களும் நேர்மறையானவை, மேலும் இந்த சொல் r வது வெற்றிக்கு முன் தோல்விகளின் எண்ணிக்கை k க்கு சமமாக இருப்பதற்கான நிகழ்தகவு மட்டுமே, r ஒரு முழு எண். (r ஒரு எதிர்மறை அல்லாத முழு எண்ணாக இருந்தால், அதிர்வு ஒரு நேர்மறை அல்லாத முழு எண்ணாக இருந்தால், மேலே உள்ள தொகையில் உள்ள சில சொற்கள் எதிர்மறையாக இருக்கும், எனவே அனைத்து எதிர்மறை அல்லாத முழு எண்களின் தொகுப்பிலும் நமக்கு நிகழ்தகவு விநியோகம் இல்லை. இப்போது நாம் r இன் முழு எண் அல்லாத மதிப்புகளையும் அனுமதிக்கிறோம். பின்னர் நம்மிடம் சரியான எதிர்மறை இருமப் பரவல் உள்ளது, இது பாஸ்கல் விநியோகத்தின் பொதுமைப்படுத்தலாகும், இது r ஒரு நேர்மறை முழு எண்ணாக இருக்கும்போது பாஸ்கல் விநியோகத்துடன் ஒத்துப்போகிறது. மேலே இருந்து நினைவில் கொள்ளுங்கள் p அளவுருவின் அதே மதிப்புடன் சுயாதீனமான எதிர்மறை-இருமையாக விநியோகிக்கப்பட்ட சீரற்ற மாறிகள் r1 மற்றும் r2 இன் கூட்டுத்தொகை எதிர்மறை-இருமையாக அதே p உடன் விநியோகிக்கப்படுகிறது, ஆனால் r-மதிப்பு r1 + r2 உடன். வரையறை இவ்வாறு பொதுமைப்படுத்தப்படும்போது இந்த பண்பு தொடர்கிறது, மேலும் எதிர்மறை இருமியல் விநியோகம் எல்லையற்ற வகுபடும் என்பதைக் காண ஒரு விரைவான வழியை வழங்குகிறது. தொடர்ச்சியான உறவுகள் பின்வரும் தொடர்ச்சியான உறவுகள் உள்ளனஃ நிகழ்தகவு வெகுஜன செயல்பாட்டிற்கு தருணங்களுக்கு திரட்சிகள் தொடர்பான விநியோகங்களுக்கு வடிவியல் விநியோகம் ({0,1,2,3,.} இல்) என்பது எதிர்மறை இருமியல் விநியோகத்தின் ஒரு சிறப்பு வழக்கு, எதிர்மறை இருமியல் விநியோகம் என்பது தனித்த கட்ட வகை விநியோகத்தின் ஒரு சிறப்பு வழக்கு. எதிர்மறை பைனாமியல் விநியோகம் என்பது தனித்துவமான கலவை பாய்சான் விநியோகத்தின் ஒரு சிறப்பு வழக்கு ஆகும். பாய்சான் விநியோகம் எதிர்மறை இருமியல் சீரற்ற மாறிகளின் வரிசையைக் கவனியுங்கள், அங்கு நிறுத்தும் அளவுரு r முடிவிலிக்குச் செல்கிறது, அதே நேரத்தில் ஒவ்வொரு சோதனையிலும் வெற்றியின் நிகழ்தகவு p ஒன்றுக்குச் செல்கிறது, இது விநியோகத்தின் சராசரியை வைத்திருக்கும் வகையில் (அதாவது. தோல்விகளின் எதிர்பார்க்கப்பட்ட எண்ணிக்கை) நிலையானது. இந்த சராசரியை λ எனக் குறிப்பிடுகையில், அளவுரு p என்பது p = r/(r + λ) ஆக இருக்கும் இந்த அளவுருவின் கீழ் நிகழ்தகவு நிறைச் செயல்பாடு இருக்கும். வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், மாற்றாக அளவுருப்படுத்தப்பட்ட எதிர்மறை இருமப் பரவல் பாய்சான் விநியோகத்துடன் இணைகிறது மற்றும் r பாய்சானில் இருந்து விலகுவதைக் கட்டுப்படுத்துகிறது. இது பெரிய r க்கு பாய்சனை அணுகும், ஆனால் சிறிய r க்கு பாய்சனை விட பெரிய மாறுபாட்டைக் கொண்ட பாய்சனுக்கு ஒரு வலுவான மாற்றாக எதிர்மறை இருபடிமப் பரவலை பொருத்தமானதாக ஆக்குகிறது. காமா-பாய்சன் கலவை எதிர்மறை இருபடிமப் பகிர்வு பாய்சன் விநியோகங்களின் தொடர்ச்சியான கலவையாகவும் எழுகிறது (அதாவது. ஒரு கூட்டு நிகழ்தகவு விநியோகம்) இதில் பாய்சான் வீதத்தின் கலவை விநியோகம் ஒரு காமா விநியோகமாகும். அதாவது, எதிர்மறை பைனாமியலை ஒரு விநியோகமாக நாம் பார்க்கலாம், அங்கு λ என்பது ஒரு சீரற்ற மாறி, இது r வடிவம் மற்றும் அளவுகோல் θ = அல்லது அதற்கேற்ப விகிதம் β = உடன் காமா விநியோகமாக விநியோகிக்கப்படுகிறது. இந்த அறிக்கையின் பின்னணியில் உள்ள உள்ளுணர்வை வெளிப்படுத்த, இரண்டு சுயாதீனமான பாய்சான் செயல்முறைகளை கருத்தில் கொள்ளுங்கள், "வெற்றி" மற்றும் "தோல்வி", தீவிரங்கள் p மற்றும் 1-p உடன். ஒன்றாக, வெற்றி மற்றும் தோல்வி செயல்முறைகள் தீவிரம் 1 இன் ஒற்றை பாய்சான் செயல்முறைக்கு சமம், அங்கு ஒரு செயல்முறையின் நிகழ்வு வெற்றிகரமாக இருக்கும், அதனுடன் தொடர்புடைய சுயாதீனமான நாணயம் டாஸ் நிகழ்தகவு p உடன் தலைக்கு மேல் வந்தால்; இல்லையெனில், அது ஒரு தோல்வி. r ஒரு எண்ணும் எண்ணாக இருந்தால், நாணயம் வீசும் போது r வது தோல்விக்கு முந்தைய வெற்றிகளின் எண்ணிக்கை r மற்றும் p அளவுருக்களுடன் ஒரு எதிர்மறை இருபடி விநியோகத்தைப் பின்பற்றுகிறது என்பதைக் காட்டுகிறது. இருப்பினும், எண்ணிக்கை என்பது தோல்வியில் பாய்சன் செயல்பாட்டில் r வது நிகழ்வின் சீரற்ற நேரம் T இல் வெற்றி பாய்சன் செயல்முறையின் எண்ணிக்கையாகும். வெற்றி எண்ணிக்கை சராசரி pT உடன் பாய்சான் விநியோகத்தைப் பின்பற்றுகிறது, அங்கு T என்பது 1−p தீவிரம் கொண்ட பாய்சான் செயல்பாட்டில் r நிகழ்வுகளுக்கான காத்திருப்பு நேரம், அதாவது, T என்பது காமா-வடிவ அளவுரு r மற்றும் தீவிரம் 1−p உடன் விநியோகிக்கப்படுகிறது. எனவே, எதிர்மறை இருமியல் விநியோகம் சராசரி pT உடன் பாய்சான் விநியோகத்திற்கு சமம், அங்கு சீரற்ற மாறுபாடு T என்பது காமா-வடிவ அளவுரு r மற்றும் தீவிரத்துடன் விநியோகிக்கப்படுகிறது. முந்தைய பத்தி பின்வருமாறு, ஏனெனில் λ = pT என்பது வடிவ அளவுரு r மற்றும் தீவிரத்துடன் காமா-விநியோகிக்கப்படுகிறது. பின்வரும் முறையான வழித்தோன்றல் (இது r ஒரு எண்ணும் எண்ணைப் பொறுத்தது அல்ல) உள்ளுணர்வை உறுதிப்படுத்துகிறது. இதன் காரணமாக, எதிர்மறை பைனாமியல் விநியோகம் காமா-பொய்சான் (கலவை) விநியோகம் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது. எதிர்மறை பைனாமியல் விநியோகம் முதலில் காமா-பொய்சான் விநியோகத்தின் வரம்புக்குட்பட்ட நிகழ்வாக பெறப்பட்டது. வடிவியல் ரீதியாக விநியோகிக்கப்பட்ட சீரற்ற மாறிகளின் கூட்டுத்தொகை Yr என்பது r மற்றும் p அளவுருக்களுடன் எதிர்மறை இருமப் பகிர்வைத் தொடர்ந்து வரும் ஒரு சீரற்ற மாறி மற்றும் {0,1,2,.} ஐ ஆதரிக்கிறது என்றால், Yr என்பது வடிவியல் பகிர்வைத் தொடர்ந்து வரும் r சுயாதீன மாறிகளின் கூட்டுத்தொகையாகும் ({0,1,2,.} இல்) அளவுரு p உடன். மைய வரம்பு தேற்றத்தின் விளைவாக, Yr (சரியாக அளவிடப்பட்டு மாற்றப்பட்டது) எனவே போதுமான பெரிய r க்கு தோராயமாக இயல்பானது. மேலும், Bs + r என்பது s + r மற்றும் p அளவுருக்களுடன் இருமப் பகிர்வைத் தொடர்ந்து ஒரு சீரற்ற மாறி என்றால், இந்த அர்த்தத்தில், எதிர்மறை இருமப் பகிர்வு என்பது இருமப் பகிர்வின் "தலைகீழ்" ஆகும். p அளவுருவின் அதே மதிப்புடன் சுயாதீனமான எதிர்மறை-பைனாமியலாக விநியோகிக்கப்பட்ட சீரற்ற மாறிகள் r1 மற்றும் r2 ஆகியவற்றின் கூட்டுத்தொகை எதிர்மறை-பைனாமியலாக அதே p உடன் விநியோகிக்கப்படுகிறது, ஆனால் r-மதிப்பு r1 + r2 உடன். எதிர்மறை பைனாமியல் டிஸ்ட்ரிபியூஷன் எல்லையற்ற வகுபடும், அதாவது, Y ஒரு எதிர்மறை பைனாமியல் டிஸ்ட்ரிபியூஷனைக் கொண்டிருந்தால், எந்தவொரு நேர்மறை முழு எண் n க்கும், சுயாதீனமாக ஒரே மாதிரியாக விநியோகிக்கப்பட்ட சீரற்ற மாறிகள் Y1, Yn உள்ளன, அதன் கூட்டுத்தொகை Y இன் அதே விநியோகத்தைக் கொண்டுள்ளது. கலவை பாய்சான் விநியோகமாக பிரதிநிதித்துவம் எதிர்மறை இருபடிப்பு விநியோகம் என். பி. (ஆர், பி) ஒரு கலவை பாய்சான் விநியோகமாக குறிப்பிடப்படலாம்ஃ சுயாதீனமான மற்றும் ஒரே மாதிரியாக விநியோகிக்கப்பட்ட சீரற்ற மாறிகளின் வரிசையைக் குறிக்கலாம், ஒவ்வொன்றும் மடக்கைத் தொடர் விநியோகம் லாக் (பி) ஐக் கொண்டுள்ளன, நிகழ்தகவு வெகுஜன செயல்பாட்டுடன் என் ஒரு சீரற்ற மாறியாக இருக்கட்டும், வரிசையிலிருந்து சுயாதீனமாக, மற்றும் என் சராசரியுடன் பாய்சான் விநியோகத்தைக் கொண்டுள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம். பின்னர் சீரற்ற தொகை என்பி (ஆர், பி)-விநியோகிக்கப்படுகிறது. இதை நிரூபிக்க, X இன் நிகழ்தகவு உருவாக்கும் செயல்பாடு GX ஐக் கணக்கிடுகிறோம், இது GN மற்றும் GY1 நிகழ்தகவு உருவாக்கும் செயல்பாடுகளின் கலவையாகும். என். பி. (ஆர், பி) விநியோகத்தின் நிகழ்தகவு உருவாக்கும் செயல்பாட்டைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் நாம் பெறுகிறோம். பின்வரும் அட்டவணை சமநிலைகளின் வரிசையில் வெற்றிகளின் எண்ணிக்கை தொடர்பான நான்கு விநியோகங்களை விவரிக்கிறதுஃ (a, b, 0) விநியோகங்களின் வகை எதிர்மறை இருமியல், பாய்சான் மற்றும் இருமியல் விநியோகங்களுடன், (a, b, 0) விநியோகங்களின் வகுப்பில் உறுப்பினராக உள்ளது. இந்த மூன்று விநியோகங்களும் பஞ்சர் விநியோகத்தின் சிறப்பு நிகழ்வுகளாகும். அவர்கள் ஒரு இயற்கையான அதிவேக குடும்பத்தின் உறுப்பினர்களாகவும் உள்ளனர். p க்கான புள்ளிவிவர அனுமான அளவுரு மதிப்பீடு MVUE p அறியப்படவில்லை என்று வைத்துக்கொள்வோம், மேலும் ஒரு சோதனை நடத்தப்படுகிறது, அங்கு r வெற்றிகள் கண்டறியப்படும் வரை மாதிரி தொடரும் என்று நேரத்திற்கு முன்பே தீர்மானிக்கப்படுகிறது. சோதனைக்கு போதுமான புள்ளிவிவரம் k, தோல்விகளின் எண்ணிக்கை. p ஐ மதிப்பிடுவதில், குறைந்தபட்ச மாறுபாடு பக்கச்சார்பற்ற மதிப்பீட்டாளர் அதிகபட்ச நிகழ்தகவு மதிப்பீடு r அறியப்படும்போது, p இன் அதிகபட்ச நிகழ்தகவு மதிப்பீடு ஆனால் இது ஒரு பக்கச்சார்பான மதிப்பீடாகும். இருப்பினும், அதன் தலைகீழ் (r + k)/r, 1/p என்ற பக்கச்சார்பற்ற மதிப்பீடாகும். r அறியப்படாதபோது, p மற்றும் r க்கான அதிகபட்ச நிகழ்தகவு மதிப்பீட்டாளர் மாதிரி சராசரியை விட மாதிரி மாறுபாடு பெரியதாக இருக்கும் மாதிரிகளுக்கு மட்டுமே உள்ளது. N iid அவதானிப்புகளுக்கான சாத்தியக்கூறு செயல்பாடு (k1,., kN) இதிலிருந்து நாம் லாக்-லைக்லிஹுட் செயல்பாட்டைக் கணக்கிடுகிறோம் அதிகபட்சத்தைக் கண்டறிய r மற்றும் p ஐப் பொறுத்தவரை பகுதி வழித்தோன்றல்களை எடுத்து அவற்றை பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக அமைக்கிறோம்ஃ மேலும் திகம்மா செயல்பாடு எங்கே. p க்கான முதல் சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பது பின்வருமாறுஃ இதை இரண்டாவது சமன்பாட்டில் மாற்றுவது பின்வருமாறுஃ இந்த சமன்பாட்டை r க்கு மூடிய வடிவத்தில் தீர்க்க முடியாது. ஒரு எண் தீர்வு விரும்பினால், நியூட்டனின் முறை போன்ற ஒரு மறு செய்கை நுட்பத்தைப் பயன்படுத்தலாம். மாற்றாக, எதிர்பார்ப்பு-அதிகபட்சமாக்கல் வழிமுறையைப் பயன்படுத்தலாம். நிகழ்தகவு மற்றும் பயன்பாடுகள் ஒரு பெர்னௌலி செயல்முறையில் காத்திருக்கும் நேரம் r ஒரு முழு எண்ணாக இருக்கும் சிறப்பு வழக்கில், எதிர்மறை இருமியல் விநியோகம் பாஸ்கல் விநியோகம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. இது சுயாதீனமான மற்றும் ஒரே மாதிரியாக விநியோகிக்கப்பட்ட பெர்னௌலி சோதனைகளின் தொடரில் ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணிக்கையிலான தோல்விகள் மற்றும் வெற்றிகளின் நிகழ்தகவு விநியோகம் ஆகும். வெற்றி நிகழ்தகவு p உடன் k + r பெர்னௌலி சோதனைகளுக்கு, எதிர்மறை இருமியல் k வெற்றிகள் மற்றும் r தோல்விகளின் நிகழ்தகவை வழங்குகிறது, கடைசி சோதனையில் தோல்வியடைகிறது. வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், எதிர்மறை பைனாமியல் விநியோகம் என்பது பெர்னௌலி செயல்பாட்டில் r வது தோல்விக்கு முந்தைய வெற்றிகளின் எண்ணிக்கையின் நிகழ்தகவு விநியோகம் ஆகும், ஒவ்வொரு சோதனையிலும் வெற்றிகளின் நிகழ்தகவு p உடன். ஒரு பெர்னௌலி செயல்முறை ஒரு தனித்துவமான நேர செயல்முறையாகும், எனவே சோதனைகள், தோல்விகள் மற்றும் வெற்றிகளின் எண்ணிக்கை முழு எண்களாகும். பின்வரும் உதாரணத்தைக் கவனியுங்கள். நாம் மீண்டும் மீண்டும் ஒரு டை வீசி, 1 ஐ தோல்வியாகக் கருதுகிறோம் என்று வைத்துக்கொள்வோம். ஒவ்வொரு சோதனையிலும் வெற்றிக்கான நிகழ்தகவு 5/6 ஆகும். மூன்றாவது தோல்விக்கு முந்தைய வெற்றிகளின் எண்ணிக்கை எல்லையற்ற தொகுப்புக்கு சொந்தமானது {0,1,2,3,.}. அந்த வெற்றிகளின் எண்ணிக்கை எதிர்மறை-இருமையாக விநியோகிக்கப்பட்ட சீரற்ற மாறி ஆகும். r = 1 ஆக இருக்கும்போது, முதல் தோல்விக்கு முந்தைய வெற்றிகளின் எண்ணிக்கையின் நிகழ்தகவு விநியோகத்தைப் பெறுகிறோம் (அதாவது. (k + 1) வது சோதனையில் நிகழும் முதல் தோல்வியின் நிகழ்தகவு, இது ஒரு வடிவியல் விநியோகமாகும்ஃ மிகைப்படுத்தப்பட்ட பாய்சான் எதிர்மறை இருமியல் விநியோகம், குறிப்பாக மேலே விவரிக்கப்பட்ட அதன் மாற்று அளவுருவில், பாய்சான் விநியோகத்திற்கு மாற்றாக பயன்படுத்தப்படலாம். இது ஒரு வரம்பற்ற நேர்மறை வரம்பிற்கு மேற்பட்ட தனித்துவமான தரவுகளுக்கு குறிப்பாக பயனுள்ளதாக இருக்கும், அதன் மாதிரி மாறுபாடு மாதிரி சராசரியை விட அதிகமாக உள்ளது. இத்தகைய சந்தர்ப்பங்களில், ஒரு பாய்சான் விநியோகத்தைப் பொறுத்தவரை அவதானிப்புகள் மிகைப்படுத்தப்படுகின்றன, இதற்கு சராசரி மாறுபாட்டிற்கு சமம். எனவே பாய்சான் விநியோகம் பொருத்தமான மாதிரி அல்ல. எதிர்மறை பைனாமியல் விநியோகம் பாய்சனை விட ஒரு அளவுருவைக் கொண்டிருப்பதால், இரண்டாவது அளவுருவை சராசரியிலிருந்து சுயாதீனமாக மாறுபாட்டை சரிசெய்ய பயன்படுத்தலாம். சில தனித்துவமான நிகழ்தகவு விநியோகங்களின் தொகுப்புகளைப் பார்க்கவும். இதன் பயன்பாடு வடக்கு அட்லாண்டிக்கில் உள்ள வெப்பமண்டல சூறாவளிகளின் வருடாந்திர எண்ணிக்கையில் அல்லது ஐரோப்பாவில் குளிர்காலத்திற்கு அப்பாற்பட்ட வெப்பமண்டல சூறாவளிகளின் மாதாந்திர முதல் 6 மாதாந்திர எண்ணிக்கையில் உள்ளது, இதற்காக மாறுபாடு சராசரியை விட அதிகமாக உள்ளது. மிதமான அளவுக்கு அதிகமாக சிதறல் ஏற்பட்டால், இது அளவுக்கு அதிகமாக சிதறல் பாய்சான் விநியோகத்திற்கு கணிசமாக ஒத்த முடிவுகளைத் தரக்கூடும். எதிர்மறை பைனாமியல் விநியோகம் பொதுவாக உயர்-செயல்திறன் ஆர்என்ஏ மற்றும் டிஎன்ஏ வரிசைமுறை சோதனைகளிலிருந்து தனித்துவமான வரிசை வாசிப்பு எண்ணிக்கையின் வடிவத்தில் தரவை மாதிரியாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது. பன்முகக் கண்ணோட்டங்கள் (இயற்பியல்) எதிர்மறை இருபொருள் விநியோகம் துகள் மோதல் சோதனைகளில் பரந்த அளவிலான பன்முகக் கண்ணோட்டங்களுக்கு மிகவும் பயனுள்ள புள்ளிவிவர மாதிரியாக இருந்து வருகிறது, எ. கா., (ஒரு கண்ணோட்டத்தைப் பார்க்கவும்), மேலும் இது பொருளின் அளவுகோல்-மாறுபட்ட பண்பு என்று வாதிடப்படுகிறது, இது வானியல் அவதானிப்புகளுக்கு சிறந்த பொருத்தத்தை வழங்குகிறது, அங்கு அது ஒரு பிராந்தியத்தில் உள்ள விண்மீன் திரள்களின் எண்ணிக்கையை கணிக்கிறது. இந்த சூழல்களில் எதிர்மறை பைனாமியல் விநியோகத்தின் செயல்திறனுக்கான நிகழ்வியல் நியாயப்படுத்தல் ஐம்பது ஆண்டுகளாக அறியப்படவில்லை, 1973 இல் அவர்களின் முதல் அவதானிப்பிலிருந்து. 2023 ஆம் ஆண்டில், முதல் கொள்கைகளிலிருந்து ஒரு ஆதாரம் இறுதியில் ஸ்காட் வி. டெஸ்லாஃப் என்பவரால் நிரூபிக்கப்பட்டது, அங்கு மின்காவ்ஸ்கி இடத்தில் உள்ள துகள்களின் நியதிக் குழுமத்தின் இயக்கவியல் சமன்பாடுகளில் உள்ள சமச்சீர்களிலிருந்து எதிர்மறை இருமப் பரவல் வெளிப்படுகிறது என்று காட்டப்பட்டது. தோராயமாக, எதிர்பார்க்கப்படும் எண்ணிக்கையிலான சோதனைகள் மற்றும் எதிர்பார்க்கப்படும் எண்ணிக்கையிலான வெற்றிகளைக் கருத்தில் கொண்டு, ஒரு ஐசோமார்பிக் சமன்பாடுகளின் தொகுப்பை மாபெரும் துகள்களின் நியதி குழுமத்தின் சார்பியல் மின்னோட்ட அடர்த்தியின் அளவுருக்களுடன் அடையாளம் காண முடியும், இதன் மூலம் ஓய்வு அடர்த்தி எங்கே, சார்பியல் சராசரி சதுர அடர்த்தி, சார்பியல் சராசரி சதுர மின்னோட்ட அடர்த்தி, மற்றும், துகள் குழுமத்தின் சராசரி சதுர வேகம் எங்கே மற்றும் ஒளியின் வேகம் எங்கே-பின்வரும் புறநிலை வரைபடத்தை ஒருவர் நிறுவ முடியும்ஃ மேலே உள்ள கடிதத்தின் கடுமையான மாற்று ஆதாரமும் குவாண்டம் இயக்கவியல் மூலம் ஃபேய்ன்மேன் பாதை ஒருங்கிணைப்பு மூலம் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது. இந்த விநியோகம் முதன்முதலில் 1713 ஆம் ஆண்டில் பியர் ரெமோண்ட் டி மாண்ட்மார்ட் தனது எஸ்ஸே டி அனலைஸ் சர் லெஸ் ஜீக்ஸ் டி ஹஜார்ட் என்ற புத்தகத்தில் ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணிக்கையிலான வெற்றிகளைப் பெற ஒரு பரிசோதனையில் தேவைப்படும் சோதனைகளின் எண்ணிக்கையின் விநியோகமாக ஆய்வு செய்யப்பட்டது. இதற்கு முன்பு பாஸ்கல் இதைக் குறிப்பிட்டிருந்தார். கூப்பன் சேகரிப்பாளரின் சிக்கலையும் பார்க்கவும் பீட்டா எதிர்மறை இருபடிப்பு விநியோகம் நீட்டிக்கப்பட்ட எதிர்மறை பலபடிப்பு விநியோகம் பாய்சான் விநியோகம் கலவை பாய்சான் விநியோகம் எக்ஸ்பொனென்ஷியல் குடும்பம் எதிர்மறை இருபடிப்பு பின்னடைவு வெக்டர் பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட நேரியல் மாதிரி குறிப்புகள் தனித்துவமான விநியோகங்கள் எக்ஸ்பொனென்ஷியல் குடும்ப விநியோகம் கூட்டு நிகழ்தகவு விநியோகம் காரணி மற்றும் இருபடி தலைப்புகள் எல்லையற்ற வகுக்கக்கூடிய நிகழ்தகவு விநியோகங்கள்