Mellin inversion theorem
கணிதத்தில், மெல்லின் தலைகீழ் சூத்திரம் (ஹஜல்மார் மெல்லின் பெயரால் பெயரிடப்பட்டது) எந்த நிபந்தனைகளின் கீழ் தலைகீழ் மெல்லின் உருமாற்றம், அல்லது அதற்கு சமமாக தலைகீழ் இரு பக்க லாப்லேஸ் உருமாற்றம், வரையறுக்கப்பட்டு மாற்றப்பட்ட செயல்பாட்டை மீட்டெடுக்கிறது என்பதை நமக்குக் கூறுகிறது. முறை துண்டு வடிவில் பகுப்பாய்வு செய்யப்பட்டால், அது a மற்றும் b க்கு இடையிலான எந்தவொரு உண்மையான மதிப்பையும் போலவே ஒரே மாதிரியாக பூஜ்ஜியமாக இருந்தால், அத்தகைய கோட்டில் அதன் ஒருங்கிணைப்பு முற்றிலும் ஒன்றிணைந்தால், அதற்கு நேர்மாறாக, நேர்மறை உண்மையான எண்களில் துண்டுகளாக தொடர்ச்சியானது என்று வைத்துக்கொள்வோம், எந்த ஜம்ப் இடைநிறுத்தங்களிலும் வரம்பு மதிப்புகளுக்கு இடையில் ஒரு மதிப்பை எடுத்துக்கொள்வோம், மேலும் ஒருங்கிணைப்பு எப்போது முற்றிலும் ஒன்றிணைகிறது என்று வைத்துக்கொள்வோம். பின்னர் அதன் மெல்லின் உருமாற்றத்திலிருந்து தலைகீழ் மெல்லின் உருமாற்றம் வழியாக மீட்டெடுக்கப்படுகிறது. மெல்லின் உருமாற்றத்தை ஃபோரியர் உருமாற்றத்துடன் தொடர்புபடுத்துவதன் மூலம் மாறிகளின் மாற்றத்தின் மூலம் இந்த முடிவுகளைப் பெறலாம், பின்னர் ஃபோரியர் தலைகீழ் தேற்றத்தின் பொருத்தமான பதிப்பைப் பயன்படுத்தலாம். எல்லை நிபந்தனை தொடர்ச்சியாக இருந்தால் எல்லை நிபந்தனையை வலுப்படுத்த முடியும். துண்டில் பகுப்பாய்வு செய்யப்பட்டால், மற்றும் K ஒரு நேர்மறை மாறிலி என்றால், தலைகீழ் ஒருங்கிணைப்பால் வரையறுக்கப்பட்டபடி உள்ளது மற்றும் தொடர்ச்சியானது; மேலும் மெல்லின் உருமாற்றம் குறைந்தபட்சம் உள்ளது. மறுபுறம், ஒரு பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட செயல்பாடான அசலை நாம் ஏற்க விரும்பினால், திறந்த துண்டில் உள்ள எந்த மூடிய துண்டிலும் பல்லுறுப்புக்கோவை வளர்ச்சியை வெறுமனே செய்ய எல்லைக்குட்பட்ட நிபந்தனையை தளர்த்தலாம். இந்த தேற்றத்தின் பானாச் விண்வெளி பதிப்பையும் நாம் வரையறுக்கலாம். நேர்மறை யதார்த்தங்களில் சிக்கலான மதிப்புள்ள செயல்பாடுகளின் எடையுள்ள Lp இடத்தால் நாம் அழைத்தால், ν மற்றும் p நிலையான உண்மையான எண்களுடன் இருந்தால், பின்னர் அதனுடன் இருந்தால், பூஜ்ஜிய அளவீட்டு தொகுப்பைத் தவிர எல்லா இடங்களிலும் ஒரே மாதிரியான செயல்பாடுகள் அடையாளம் காணப்படுகின்றன. இரு பக்க லாப்லேஸ் உருமாற்றத்தை வரையறுக்க முடியும் என்பதால், இந்த கோட்பாடுகளை உடனடியாக அதற்கும் பயன்படுத்தலாம். மெல்லின் டிரான்ஸ்ஃபார்ம் நாச்ச்பினின் தேற்றம் குறிப்புகள் வெளிப்புற இணைப்புகள் ஈக்யூ வேர்ல்டில் ஒருங்கிணைந்த மாற்றங்களின் அட்டவணைகள்ஃ கணித சமன்பாடுகளின் உலகம் ஆகியவற்றையும் பார்க்கவும். ஒருங்கிணைந்த உருமாற்றங்கள் சிக்கலான பகுப்பாய்வில் கோட்பாடுகளை லாப்லேஸ் உருமாற்றங்கள்