Existential theory of the reals
கணித தர்க்கம், கணக்கீட்டு சிக்கலான கோட்பாடு மற்றும் கணினி அறிவியலில், யதார்த்தங்களின் இருத்தலியல் கோட்பாடு என்பது வடிவத்தின் அனைத்து உண்மையான வாக்கியங்களின் தொகுப்பாகும், அங்கு மாறிகள் உண்மையான எண் மதிப்புகளைக் கொண்டுள்ளன என்று விளக்கப்படுகிறது, மேலும் உண்மையான பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் சமத்துவங்கள் மற்றும் ஏற்றத்தாழ்வுகளை உள்ளடக்கிய அளவீட்டு-இல்லாத சூத்திரம் எங்கே. இந்த வடிவத்தின் ஒரு வாக்கியம் அனைத்து மாறிகளுக்கான மதிப்புகளையும் கண்டுபிடிக்க முடிந்தால், அது சூத்திரமாக மாற்றப்படும்போது, அது உண்மையாக மாறும். யதார்த்தங்களின் இருத்தலியல் கோட்பாட்டிற்கான முடிவு சிக்கல், அத்தகைய ஒவ்வொரு வாக்கியத்திற்கும், அது உண்மையா அல்லது பொய்யா என்பதை தீர்மானிக்கும் ஒரு வழிமுறையைக் கண்டுபிடிப்பதில் உள்ள சிக்கலாகும். சமமாக, கொடுக்கப்பட்ட அரை இயற்கணித தொகுப்பு காலியாக இல்லையா என்பதை சோதிப்பதில் சிக்கல் உள்ளது. இந்த முடிவு சிக்கல் NP-கடினமானது மற்றும் PSPACE இல் உள்ளது, இது இருத்தலியல் அளவீடுகளுக்கு கட்டுப்பாடு இல்லாமல் யதார்த்தங்களின் முதல் வரிசை கோட்பாட்டில் அறிக்கைகளை தீர்மானிப்பதற்கான ஆல்பிரட் டார்ஸ்கியின் அளவீட்டு நீக்க நடைமுறையை விட கணிசமாக குறைந்த சிக்கலை அளிக்கிறது. இருப்பினும், நடைமுறையில், முதல்-வரிசை கோட்பாட்டிற்கான பொதுவான முறைகள் இந்த சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கான விருப்பமான தேர்வாக உள்ளன. இந்த வடிவத்தின் சமமான வாக்கியங்களாக மொழிபெயர்க்கக்கூடிய கணக்கீட்டு சிக்கல்களின் வகுப்பை விவரிக்க சிக்கலான வகுப்பு வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது. கட்டமைப்பு சிக்கலான கோட்பாட்டில், இது NP மற்றும் PSPACE க்கு இடையில் உள்ளது. வடிவியல் வரைபடக் கோட்பாட்டில் உள்ள பல இயற்கையான சிக்கல்கள், குறிப்பாக வடிவியல் குறுக்குவெட்டு வரைபடங்களை அங்கீகரிப்பதிலும், குறுக்குவெட்டுகளுடன் வரைபட வரைபடங்களின் விளிம்புகளை நேராக்குவதிலும் உள்ள சிக்கல்கள், இந்த வகுப்பிற்கு சொந்தமானவை மற்றும் முழுமையானவை. இங்கே, முழுமை என்பது எதிர் திசையில் ஒரு மொழிபெயர்ப்பு உள்ளது, உண்மையான ஒரு தன்னிச்சையான வாக்கியத்திலிருந்து கொடுக்கப்பட்ட சிக்கலின் சமமான நிகழ்வாக உள்ளது. பின்னணி கணித தர்க்கத்தில், ஒரு கோட்பாடு என்பது ஒரு நிலையான குறியீடுகளைப் பயன்படுத்தி எழுதப்பட்ட வாக்கியங்களின் தொகுப்பைக் கொண்ட ஒரு முறையான மொழியாகும். உண்மையான மூடிய புலங்களின் முதல்-வரிசைக் கோட்பாடு பின்வரும் குறியீடுகளைக் கொண்டுள்ளதுஃ மாறிகளின் எண்ணிக்கையை கணக்கிடக்கூடிய தொகுப்பு, 0 மற்றும் 1 மாறிலிகள், கூட்டல், கழித்தல், பெருக்கம் மற்றும் (விருப்பப்படி) பிரிவு செயல்பாடுகள், குறியீடுகள் <, ≤, =, ±,>, மற்றும் உண்மையான மதிப்புகளின் ஒப்பீடுகளுக்கு ≤, தர்க்கரீதியான இணைப்புகள், ≤, ≤, மற்றும் ≤, அடைப்புக்குறிகள், மற்றும் உலகளாவிய அளவீட்டாளர் β மற்றும் இருத்தலியல் அளவீட்டாளர் ≤ இந்த குறியீடுகளின் வரிசை ஒரு வாக்கியத்தை உருவாக்குகிறது, இது இலக்கண ரீதியாக நன்கு உருவாக்கப்பட்டிருந்தால், அதன் மாறிகள் அனைத்தும் சரியாக அளவிடப்படுகின்றன, மேலும் (உண்மையான எண்களைப் பற்றிய கணித அறிக்கையாக விளக்கும் போது) இது ஒரு வாக்கியமாகும். தார்ஸ்கி காட்டியபடி, இந்தக் கோட்பாட்டை ஒரு கோட்பாடு திட்டம் மற்றும் முழுமையான மற்றும் பயனுள்ள ஒரு முடிவு செயல்முறை மூலம் விவரிக்க முடியும்ஃ ஒவ்வொரு முழுமையாக அளவிடப்பட்ட மற்றும் இலக்கண வாக்கியத்திற்கும், வாக்கியம் அல்லது அதன் மறுப்பு (ஆனால் இரண்டும் அல்ல) கோட்பாடுகளிலிருந்து பெறப்படலாம். அதே கோட்பாடு உண்மையான எண்களை மட்டுமல்ல, ஒவ்வொரு உண்மையான மூடிய புலத்தையும் விவரிக்கிறது. இருப்பினும், இந்த கோட்பாடுகளால் துல்லியமாக விவரிக்கப்படாத பிற எண் அமைப்புகள் உள்ளன; குறிப்பாக, உண்மையான எண்களுக்கு பதிலாக முழு எண்களுக்கும் அதே வழியில் வரையறுக்கப்பட்ட கோட்பாடு தீர்மானிக்க முடியாதது, மெட்டியாசெவிச்சின் தேற்றத்தால் இருத்தலியல் வாக்கியங்களுக்கு (டியோஃபாண்டைன் சமன்பாடுகள்) கூட. யதார்த்தங்களின் இருத்தலியல் கோட்பாடு என்பது முதல்-வரிசை கோட்பாட்டின் ஒரு பகுதியாகும், இதில் அனைத்து அளவீடுகளும் இருத்தலியல் மற்றும் அவை வேறு எந்த சின்னங்களுக்கும் முன் தோன்றும். அதாவது, இது வடிவத்தின் அனைத்து உண்மையான வாக்கியங்களின் தொகுப்பாகும், அங்கு உண்மையான பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் சமத்துவங்கள் மற்றும் ஏற்றத்தாழ்வுகளை உள்ளடக்கிய ஒரு அளவீட்டு-இல்லாத சூத்திரமாகும். யதார்த்தங்களின் இருத்தலியல் கோட்பாட்டிற்கான முடிவு சிக்கல் என்பது கொடுக்கப்பட்ட வாக்கியம் இந்தக் கோட்பாட்டைச் சேர்ந்ததா என்பதைச் சோதிப்பதற்கான வழிமுறை சிக்கலாகும்; சமமாக, அடிப்படை தொடரியல் சோதனைகளில் தேர்ச்சி பெறும் சரங்களுக்கு (அவை சரியான தொடரியல் கொண்ட சரியான குறியீடுகளைப் பயன்படுத்துகின்றன, மேலும் அளவிடப்படாத மாறிகள் எதுவும் இல்லை) இது வாக்கியம் உண்மையான எண்களைப் பற்றிய உண்மையான அறிக்கையா என்பதைச் சோதிக்கும் சிக்கலாகும். உண்மையான எண்களின்-டப்பிள்களின் தொகுப்பு ஒரு அரை இயற்கணித தொகுப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது, எனவே உண்மையானவற்றின் இருத்தலியல் கோட்பாட்டிற்கான முடிவு சிக்கலை கொடுக்கப்பட்ட அரை இயற்கணித தொகுப்பு காலியாக இல்லையா என்பதை சோதிக்கும் வகையில் மறுபரிசீலனை செய்யலாம். யதார்த்தங்களின் இருத்தலியல் கோட்பாட்டிற்கான முடிவு சிக்கலுக்கான வழிமுறைகளின் நேர சிக்கலைத் தீர்மானிப்பதில், உள்ளீட்டின் அளவை அளவிடுவது முக்கியம். இந்த வகையின் எளிய அளவீடு ஒரு வாக்கியத்தின் நீளம்ஃ அதாவது அதில் உள்ள சின்னங்களின் எண்ணிக்கை. இருப்பினும், இந்த சிக்கலுக்கான வழிமுறைகளின் நடத்தை பற்றிய மிகவும் துல்லியமான பகுப்பாய்வை அடைய, உள்ளீட்டு அளவை பல மாறிகளாகப் பிரிப்பது வசதியானது, அளவிட வேண்டிய மாறிகளின் எண்ணிக்கை, வாக்கியத்திற்குள் உள்ள பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் எண்ணிக்கை மற்றும் இந்த பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் அளவு. எடுத்துக்காட்டுகள் தங்க விகிதத்தை பல்லுறுப்புக்கோவையின் வேர் என்று வரையறுக்கலாம். இந்த பல்லுறுப்புக்கோவைக்கு இரண்டு வேர்கள் உள்ளன, அவற்றில் ஒன்று மட்டுமே (தங்க விகிதம்) ஒன்றுக்கு மேல் உள்ளது. எனவே, தங்க விகிதத்தின் இருப்பை வாக்கியத்தால் வெளிப்படுத்தலாம், ஏனெனில் தங்க விகிதம் ஆழ்நிலை அல்ல, இது ஒரு உண்மையான வாக்கியம், மேலும் இது யதார்த்தங்களின் இருத்தலியல் கோட்பாட்டைச் சேர்ந்தது. யதார்த்தங்களின் இருத்தலியல் கோட்பாட்டிற்கான முடிவு சிக்கலுக்கான பதில், இந்த வாக்கியத்தை உள்ளீடாகக் கொடுத்தால், பூலியன் மதிப்பு உண்மை. எண்கணித மற்றும் வடிவியல் சமத்துவமின்மை ஒவ்வொரு இரண்டு எதிர்மறை அல்லாத எண்களுக்கும் பின்வரும் சமத்துவமின்மை உள்ளது என்று கூறுகிறதுஃ மேலே குறிப்பிட்டுள்ளபடி, இது உண்மையான எண்களைப் பற்றிய முதல் வரிசை வாக்கியமாகும், ஆனால் இருத்தலியல் அளவீடுகளைக் காட்டிலும் உலகளாவிய ஒன்றைக் கொண்டுள்ளது, மேலும் பிரிவு, சதுர வேர்கள் மற்றும் உண்மையான முதல் வரிசைக் கோட்பாட்டில் அனுமதிக்கப்படாத எண் 2 க்கு கூடுதல் சின்னங்களைப் பயன்படுத்தும் ஒன்று. இருப்பினும், இரு பக்கங்களையும் வர்க்கப்படுத்துவதன் மூலம் அதை பின்வரும் இருத்தலியல் அறிக்கையாக மாற்றலாம், இது சமத்துவமின்மைக்கு ஏதேனும் எதிர் எடுத்துக்காட்டுகள் உள்ளதா என்று கேட்பது போல் விளக்கப்படலாம்ஃ உண்மையான இருத்தலியல் கோட்பாட்டிற்கான முடிவு சிக்கலுக்கான பதில், இந்த வாக்கியத்தை உள்ளீடாகக் கொடுத்தால், பூலியன் மதிப்பு தவறானதுஃ எதிர் உதாரணங்கள் எதுவும் இல்லை. எனவே, இந்த வாக்கியம் சரியான இலக்கண வடிவத்தில் இருந்தபோதிலும், யதார்த்தங்களின் இருத்தலியல் கோட்பாட்டைச் சேர்ந்ததல்ல. ஆல்ஃபிரட் டார்ஸ்கியின் அளவீட்டு நீக்க முறை (1948) வழிமுறைகள் யதார்த்தங்களின் இருத்தலியல் கோட்பாட்டை (மேலும் பொதுவாக யதார்த்தங்களின் முதல் வரிசை கோட்பாடு) வழிமுறையாக தீர்க்கக்கூடியதாக இருப்பதைக் காட்டியது, ஆனால் அதன் சிக்கலில் ஒரு அடிப்படை கட்டுப்பாடு இல்லாமல் இருந்தது. ஜார்ஜ் ஈ. காலின்ஸ் (1975) எழுதிய உருளை இயற்கணித சிதைவு முறை, நேர சார்பை இரு மடங்கு அதிவேகமாக மேம்படுத்தியது, வாக்கியத்தில் உள்ள குணகங்களைக் குறிக்கத் தேவையான பிட்களின் எண்ணிக்கை, அதன் மதிப்பு தீர்மானிக்கப்பட வேண்டும், வாக்கியத்தில் உள்ள பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் எண்ணிக்கை, அவற்றின் மொத்த டிகிரி மற்றும் மாறிகளின் எண்ணிக்கை. 1988 வாக்கில், டிமா கிரிகோரியேவ் மற்றும் நிக்கலாய் வோரோப்ஜோவ் ஆகியோர் சிக்கலை ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையில் அதிவேகமாக காட்டியிருந்தனர், மேலும் 1992 இல் வெளியிடப்பட்ட ஆவணங்களின் வரிசையில் ஜேம்ஸ் ரெனேகர் இதை ஒரு ஒற்றை அதிவேக சார்புக்கு மேம்படுத்தினார். இதற்கிடையில், 1988 ஆம் ஆண்டில், ஜான் கேனி மற்றொரு வழிமுறையை விவரித்தார், இது அதிவேக நேர சார்பைக் கொண்டுள்ளது, ஆனால் பல்லுறுப்புக்கோவை விண்வெளி சிக்கலை மட்டுமே கொண்டுள்ளது; அதாவது, சிக்கலை பி. எஸ். பி. ஏ. சி. இ இல் தீர்க்க முடியும் என்பதை அவர் காட்டினார். இந்த வழிமுறைகளின் அறிகுறியற்ற கணக்கீட்டு சிக்கலானது தவறாக வழிநடத்தப்படலாம், ஏனென்றால் நடைமுறையில் அவை மிகச் சிறிய அளவிலான உள்ளீடுகளில் மட்டுமே இயக்க முடியும். 1991 ஆம் ஆண்டின் ஒப்பீட்டில், ஹூன் ஹாங், காலின்ஸின் இரட்டை அதிவேக செயல்முறையானது மேலே உள்ள அனைத்து அளவுருக்களையும் ஒரு வினாடிக்குள் 2 ஆக அமைப்பதன் மூலம் விவரிக்கப்படும் ஒரு சிக்கலை தீர்க்க முடியும் என்று மதிப்பிட்டார், அதே நேரத்தில் கிரிகோரியேவ், வோர்ப்ஜோவ் மற்றும் ரெனேகர் ஆகியோரின் வழிமுறைகள் அதற்கு பதிலாக ஒரு மில்லியன் ஆண்டுகளுக்கு மேல் எடுக்கும். 1993 ஆம் ஆண்டில், ஜூஸ், ராய் மற்றும் சோலெர்னோ ஆகியோர் உருளை இயற்கணித முடிவை விட நடைமுறையில் விரைவாகவும், கோட்பாட்டில் வேகமாகவும் இருக்க அதிவேக-நேர நடைமுறைகளில் சிறிய மாற்றங்களைச் செய்ய முடியும் என்று பரிந்துரைத்தனர். இருப்பினும், 2009 ஆம் ஆண்டு நிலவரப்படி, யதார்த்தங்களின் முதல்-வரிசை கோட்பாட்டிற்கான பொதுவான முறைகள் யதார்த்தங்களின் இருத்தலியல் கோட்பாட்டிற்கு சிறப்பு வாய்ந்த ஒற்றை அதிவேக வழிமுறைகளை விட நடைமுறையில் உயர்ந்ததாக இருந்தன. முழுமையான சிக்கல்கள் கணக்கீட்டு சிக்கல் மற்றும் வடிவியல் வரைபடக் கோட்பாட்டில் உள்ள பல சிக்கல்கள் யதார்த்தங்களின் இருத்தலியல் கோட்பாட்டிற்கு முழுமையானவை என்று வகைப்படுத்தப்படலாம். அதாவது, யதார்த்தங்களின் இருத்தலியல் கோட்பாட்டில் உள்ள ஒவ்வொரு சிக்கலும் இந்த சிக்கல்களில் ஒன்றின் உதாரணத்திற்கு ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை-நேர பல-ஒரு குறைப்பைக் கொண்டுள்ளது, இதையொட்டி இந்த சிக்கல்கள் யதார்த்தங்களின் இருத்தலியல் கோட்பாட்டிற்கு குறைக்கப்படும். இந்த வகையின் பல சிக்கல்கள் ஒரு குறிப்பிட்ட வகையின் குறுக்குவெட்டு வரைபடங்களின் அங்கீகாரத்தைப் பற்றியது. இந்த சிக்கல்களில், உள்ளீடு ஒரு திசைதிருப்பப்படாத வரைபடமாகும்; ஒரு குறிப்பிட்ட வகை வடிவங்களிலிருந்து வடிவியல் வடிவங்கள் வரைபடத்தின் செங்குத்துகளுடன் தொடர்புடையதா என்பதைத் தீர்மானிப்பதே குறிக்கோள், அவற்றின் தொடர்புடைய வடிவங்கள் காலியாக இல்லாத குறுக்குவெட்டைக் கொண்டிருந்தால் மட்டுமே இரண்டு செங்குத்துகள் வரைபடத்தில் அருகிலேயே இருக்கும். யதார்த்தங்களின் இருத்தலியல் கோட்பாட்டிற்கு முழுமையான இந்த வகை சிக்கல்களில் விமானத்தில் உள்ள கோடு பிரிவுகளின் குறுக்குவெட்டு வரைபடங்களை அங்கீகரித்தல், அலகு வட்டு வரைபடங்களை அங்கீகரித்தல் மற்றும் விமானத்தில் உள்ள குவிந்த தொகுப்புகளின் குறுக்குவெட்டு வரைபடங்களை அங்கீகரித்தல் ஆகியவை அடங்கும். குறுக்கீடுகள் இல்லாமல் விமானத்தில் வரையப்பட்ட வரைபடங்களுக்கு, ஃபேரியின் தேற்றம், வரைபடத்தின் விளிம்புகள் நேர் கோடு பிரிவுகளாக வரையப்பட்டதா அல்லது தன்னிச்சையான வளைவுகளாக வரையப்பட்டதா என்பதைப் பொருட்படுத்தாமல் ஒருவர் அதே வகை சமதள வரைபடங்களைப் பெறுகிறார் என்று கூறுகிறது. ஆனால் இந்த சமநிலை மற்ற வகை வரைபடங்களுக்கு பொருந்தாது. எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு வரைபடத்தின் குறுக்குவெட்டு எண் (தன்னிச்சையாக வளைந்த விளிம்புகளுடன் ஒரு வரைபடத்தில் குறுக்குவெட்டுகளின் குறைந்தபட்ச எண்ணிக்கை) NP இல் தீர்மானிக்கப்படலாம் என்றாலும், செவ்வகக் குறுக்குவெட்டு எண்ணில் கொடுக்கப்பட்ட வரம்பை அடைவதற்கு ஒரு வரைபடம் இருக்கிறதா என்பதைத் தீர்மானிப்பது யதார்த்தங்களின் இருத்தலியல் கோட்பாட்டிற்கு முழுமையானது (விமானத்தில் நேர் கோடு பிரிவுகளாக வரையப்பட்ட விளிம்புகளுடன் எந்த வரைபடத்திலும் கடக்கும் குறைந்தபட்ச ஜோடி விளிம்புகளின் எண்ணிக்கை). நேரான கோடு விளிம்புகள் கொண்ட விமானத்தில் கொடுக்கப்பட்ட வரைபடத்தை வரைய முடியுமா மற்றும் கொடுக்கப்பட்ட விளிம்பு ஜோடிகளை அதன் குறுக்குவெட்டுகளாக வரைய முடியுமா அல்லது அதற்கு சமமாக, குறுக்குவெட்டுகளைக் கொண்ட வளைந்த வரைபடத்தை அதன் குறுக்குவெட்டுகளைப் பாதுகாக்கும் வகையில் நேராக்க முடியுமா என்பதைச் சோதிப்பது யதார்த்தங்களின் இருத்தலியல் கோட்பாட்டிற்கும் முழுமையானது. யதார்த்தங்களின் இருத்தலியல் கோட்பாட்டிற்கான பிற முழுமையான சிக்கல்கள் பின்வருமாறுஃ கொடுக்கப்பட்ட பலகோணத்தின் அனைத்து புள்ளிகளும் காணக்கூடிய மிகச்சிறிய எண்ணிக்கையிலான புள்ளிகளைக் கண்டுபிடிப்பதற்கான ஆர்ட் கேலரி சிக்கல். நரம்பியல் நெட்வொர்க்குகள் பயிற்சி. கொடுக்கப்பட்ட சதுர கொள்கலனில் கொடுக்கப்பட்ட பலகோணங்களின் தொகுப்பு பொருந்த முடியுமா என்பதை தீர்மானிக்கும் பேக்கிங் சிக்கல். அலகு தூர வரைபடங்களை அங்கீகரித்தல் மற்றும் ஒரு வரைபடத்தின் பரிமாணம் அல்லது யூக்ளிடியன் பரிமாணம் அதிகபட்சமாக கொடுக்கப்பட்ட மதிப்புள்ளதா என்பதை சோதிப்பது. சூட்டோலின்களின் நீட்சி (அதாவது, விமானத்தில் வளைவுகளின் குடும்பத்தைக் கொடுத்தால், அவை ஒரு கோடு ஏற்பாட்டிற்கு ஹோமியோமார்பிக் என்பதை தீர்மானிக்கின்றன); எந்தவொரு நிலையான பரிமாணத்திலும் வடிவியல் குவாண்டம் தர்க்கத்தின் பலவீனமான மற்றும் வலுவான திருப்தி> 2; தெளிவான தானியங்கியைப் பொறுத்தவரை மாதிரி சோதனை இடைவெளி மார்கோவ் சங்கிலிகள். அல்காரிதம் ஸ்டெய்னிட்ஸ் சிக்கல் (ஒரு லட்டிஸ் கொடுக்கப்பட்டால், அது ஒரு குவிந்த பாலிடோப்பின் முகம் லட்டிஸ் என்பதைத் தீர்மானிக்கவும்), 4 பரிமாண பாலிடோப்புகளுடன் கட்டுப்படுத்தப்பட்டாலும் கூட; சில குவிந்த உடல்களின் ஏற்பாடுகளின் உணர்தல் இடைவெளிகள் நாஷ் சமநிலையின் பல்வேறு பண்புகள் கொடுக்கப்பட்ட முக்கோணங்கள் மற்றும் நாற்கரங்களின் சுருக்க வளாகத்தை முப்பரிமாண யூக்ளிடியன் இடத்தில் உட்பொதிக்கும் பல பிளேயர் விளையாட்டுகள்; அனைத்து வரைபடங்களும் குறுக்கிடாமல் வரையப்படுவதற்காக விமானத்தில் பகிரப்பட்ட உச்சியில் பல வரைபடங்களை உட்பொதிப்பது; பிளானர் புள்ளி தொகுப்புகளின் தெரிவுநிலை வரைபடங்களை அங்கீகரித்தல்; (திட்டவட்டமான அல்லது அற்பமற்ற இணைப்பு) குறுக்கு தயாரிப்பு மீது இரண்டு சொற்களுக்கு இடையிலான சமன்பாட்டின் திருப்தி; குறைந்தபட்ச சாய்வு எண்ணை தீர்மானித்தல் குறைந்த தரவரிசை மேட்ரிக்ஸ் நிறைவு சிக்கல். இதன் அடிப்படையில், சிக்கலான வகுப்பு என்பது யதார்த்தங்களின் இருத்தலியல் கோட்பாட்டிற்கு ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை-நேர பல-ஒரு குறைப்பைக் கொண்ட சிக்கல்களின் தொகுப்பாக வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது. ஹில்பர்ட்டின் பத்தாவது சிக்கலையும் பார்க்கவும், முழு எண்களின் (தீர்மானிக்க முடியாத) இருத்தலியல் கோட்பாடு குறிப்புகள் எண்கணிதக் கணக்கீட்டு சிக்கலான கோட்பாட்டின் முறையான கோட்பாடுகள் உண்மையான இயற்கணித வடிவியல்