Coefficient of determination
புள்ளிவிவரங்களில், தீர்மானத்தின் குணகம், R2 அல்லது r2 எனக் குறிக்கப்பட்டு, "R ஸ்கொயர்" என்று உச்சரிக்கப்படுகிறது, இது சுயாதீன மாறி (களிலிருந்து) கணிக்கக்கூடிய சார்பு மாறியின் மாறுபாட்டின் விகிதமாகும். இது புள்ளிவிவர மாதிரிகளின் சூழலில் பயன்படுத்தப்படும் ஒரு புள்ளிவிவரமாகும், இதன் முக்கிய நோக்கம் எதிர்கால விளைவுகளை கணிப்பது அல்லது பிற தொடர்புடைய தகவல்களின் அடிப்படையில் கருதுகோள்களைச் சோதிப்பது ஆகும். மாதிரியால் விளக்கப்பட்ட விளைவுகளின் மொத்த மாறுபாட்டின் விகிதத்தின் அடிப்படையில், மாதிரியால் எவ்வளவு நன்கு கவனிக்கப்பட்ட விளைவுகள் பிரதிபலிக்கப்படுகின்றன என்பதற்கான அளவீட்டை இது வழங்குகிறது. R2 க்கு பல வரையறைகள் உள்ளன, அவை சில நேரங்களில் மட்டுமே சமமானவை. அத்தகைய நிகழ்வுகளில் ஒரு வகை எளிய நேரியல் பின்னடைவை உள்ளடக்கியது, அங்கு R2 க்கு பதிலாக r2 பயன்படுத்தப்படுகிறது. ஒரு இடைமறிப்பு மட்டுமே சேர்க்கப்படும்போது, r2 என்பது வெறுமனே கவனிக்கப்பட்ட விளைவுகளுக்கும் கவனிக்கப்பட்ட முன்கணிப்பு மதிப்புகளுக்கும் இடையிலான மாதிரி தொடர்பு குணகத்தின் (அதாவது, r) சதுரமாகும். கூடுதல் பின்னடைவுகள் சேர்க்கப்பட்டால், R2 என்பது பல தொடர்புகளின் குணகத்தின் சதுரமாகும். இத்தகைய இரண்டு நிகழ்வுகளிலும், தீர்மானத்தின் குணகம் பொதுவாக 0 முதல் 1 வரை இருக்கும். R2 எதிர்மறை மதிப்புகளை வழங்கக்கூடிய நிகழ்வுகள் உள்ளன. தொடர்புடைய விளைவுகளுடன் ஒப்பிடப்படும் கணிப்புகள் அந்த தரவைப் பயன்படுத்தி ஒரு மாதிரி-பொருத்தமான நடைமுறையிலிருந்து பெறப்படாதபோது இது எழலாம். ஒரு மாதிரி-பொருத்துதல் செயல்முறை பயன்படுத்தப்பட்டிருந்தாலும், R2 இன்னும் எதிர்மறையாக இருக்கலாம், எடுத்துக்காட்டாக நேரியல் பின்னடைவு ஒரு இடைமறிப்பைச் சேர்க்காமல் நடத்தப்படும்போது அல்லது தரவைப் பொருத்த ஒரு நேரியல் அல்லாத செயல்பாடு பயன்படுத்தப்படும்போது. எதிர்மறை மதிப்புகள் எழும் சந்தர்ப்பங்களில், இந்த குறிப்பிட்ட அளவுகோலின் படி, பொருத்தப்பட்ட செயல்பாட்டு மதிப்புகளை விட தரவின் சராசரி விளைவுகளுக்கு சிறந்த பொருத்தத்தை வழங்குகிறது. பின்னடைவு பகுப்பாய்வு மதிப்பீட்டில் தீர்மானத்தின் குணகம் எம். ஏ. இ, எம். ஏ. பி. இ, எம். எஸ். இ மற்றும் ஆர். எம். எஸ். இ ஆகியவற்றை விட (உள்ளுணர்வாக) தகவலறிந்ததாக இருக்கலாம், ஏனெனில் முந்தையது ஒரு சதவீதமாக வெளிப்படுத்தப்படலாம், அதே நேரத்தில் பிந்தைய நடவடிக்கைகள் தன்னிச்சையான வரம்புகளைக் கொண்டுள்ளன. கட்டுரையில் உள்ள சோதனைத் தரவுத்தொகுப்புகளில் உள்ள SMAPE உடன் ஒப்பிடும்போது மோசமான பொருத்தங்களுக்கு இது மிகவும் வலுவானது என்பதை நிரூபித்தது. உருவகப்படுத்தப்பட்ட (Ypred) மற்றும் அளவிடப்பட்ட (Yobs) மதிப்புகளின் பொருத்தத்தின் நன்மையை மதிப்பிடும்போது, நேரியல் பின்னடைவின் R2 ஐ அடிப்படையாகக் கொண்டிருப்பது பொருத்தமானதல்ல (அதாவது, Yobs = m·Ypred + b). ஆர் 2 யோப்ஸ் மற்றும் யிப்ரெட் இடையேயான எந்தவொரு நேரியல் தொடர்பின் அளவையும் அளவிடுகிறது, அதே நேரத்தில் நல்ல-பொருத்தம் மதிப்பீட்டிற்கு ஒரு குறிப்பிட்ட நேரியல் தொடர்பு மட்டுமே கவனத்தில் கொள்ளப்பட வேண்டும்ஃ யோப்ஸ் = 1 · யிப்ரெட் + 0 (அதாவது, 1:1 வரி). வரையறைகள் ஒரு தரவுத்தொகுப்பில் y1,., yn (கூட்டாக yi அல்லது ஒரு திசையன் y = [y1,., yn] T என அழைக்கப்படுகிறது) என்று குறிக்கப்பட்ட n மதிப்புகள் உள்ளன, ஒவ்வொன்றும் பொருத்தப்பட்ட (அல்லது மாதிரியான, அல்லது கணிக்கப்பட்ட) மதிப்பு f1,., fn (ஃபை என்று அழைக்கப்படுகிறது, அல்லது சில நேரங்களில் ஒரு திசையன் f என அழைக்கப்படுகிறது) உடன் தொடர்புடையது. எஞ்சியவற்றை ei = yi − fi (ஒரு திசையன் e ஐ உருவாக்குகிறது) என வரையறுக்கவும். கவனிக்கப்பட்ட தரவுகளின் சராசரி என்றால்ஃ தரவுத் தொகுப்பின் மாறுபாட்டை இரண்டு கூட்டுத்தொகை வர்க்க சூத்திரங்களுடன் அளவிட முடியும்ஃ எஞ்சிய வர்க்கங்களின் கூட்டுத்தொகை, எஞ்சிய வர்க்கங்களின் கூட்டுத்தொகை என்றும் அழைக்கப்படுகிறதுஃ வர்க்கங்களின் மொத்த கூட்டுத்தொகை (தரவுகளின் மாறுபாட்டிற்கு விகிதாசாரமாக): தீர்மானத்தின் குணகத்தின் மிகவும் பொதுவான வரையறை சிறந்த வழக்கில், மாதிரியான மதிப்புகள் கவனிக்கப்பட்ட மதிப்புகளுடன் சரியாக பொருந்துகின்றன, இதன் விளைவாக மற்றும். எப்போதும் கணிக்கும் ஒரு அடிப்படை மாதிரி இருக்கும். இந்த அடிப்படையை விட மோசமான கணிப்புகளைக் கொண்ட மாதிரிகள் எதிர்மறையைக் கொண்டிருக்கும். ஒரு பொதுவான வடிவத்தில், R2 விவரிக்கப்படாத மாறுபாட்டின் (FVU) பின்னத்துடன் தொடர்புடையதாகக் காணலாம், ஏனெனில் இரண்டாவது சொல் விவரிக்கப்படாத மாறுபாட்டை (மாதிரியின் பிழைகளின் மாறுபாடு) மொத்த மாறுபாட்டுடன் (தரவுகளின்) ஒப்பிடுகிறதுஃ விளக்கப்பட்ட மாறுபாடு R2 = 0.49 என்று வைத்துக்கொள்வோம். தரவுத் தொகுப்பில் சார்பு மாறியின் மாறுபாட்டின் 49 சதவீதம் கணக்கிடப்பட்டுள்ளது, மீதமுள்ள 51 சதவீதம் மாறுபாடு இன்னும் கணக்கிடப்படவில்லை என்பதை இது குறிக்கிறது. பின்னடைவு மாதிரிகளைப் பொறுத்தவரை, வர்க்கங்களின் பின்னடைவு கூட்டுத்தொகை, வர்க்கங்களின் விளக்கப்பட்ட கூட்டுத்தொகை என்றும் அழைக்கப்படுகிறது, சில சந்தர்ப்பங்களில், எளிய நேரியல் பின்னடைவைப் போலவே, வர்க்கங்களின் மொத்த கூட்டுத்தொகை மேலே வரையறுக்கப்பட்ட மற்ற இரண்டு வர்க்கங்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம்ஃ பொதுவான OLS மாதிரியில் பகிர்வைப் பார்க்கவும். இந்த உறவு இருக்கும்போது, R2 இன் மேலே உள்ள வரையறை n என்பது மாறிகள் மீதான அவதானிப்புகளின் (நிகழ்வுகள்) எண்ணிக்கைக்கு சமம். இந்த வடிவத்தில் R2 என்பது விளக்கப்பட்ட மாறுபாட்டின் (மாதிரியின் கணிப்புகளின் மாறுபாடு, இது SSreg/n) மொத்த மாறுபாட்டின் (சார்பு மாறியின் மாதிரி மாறுபாடு, இது SStot/n) விகிதமாக வெளிப்படுத்தப்படுகிறது. சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகையின் இந்த பகிர்வு எடுத்துக்காட்டாக, மாதிரி மதிப்புகள் ஃபை நேரியல் பின்னடைவு மூலம் பெறப்படும் போது உள்ளது. ஒரு லேசான போதுமான நிபந்தனை பின்வருமாறு கூறுகிறதுஃ மாதிரியில் qi என்பது தன்னிச்சையான மதிப்புகள், அவை i அல்லது பிற இலவச அளவுருக்களைச் சார்ந்து இருக்கலாம் அல்லது இல்லாமலும் இருக்கலாம் (பொதுவான தேர்வு qi = xi என்பது ஒரு சிறப்பு வழக்கு மட்டுமே), மற்றும் குணகம் மதிப்பீடுகள் மற்றும் மீதமுள்ள வர்க்கங்களின் கூட்டுத்தொகையைக் குறைப்பதன் மூலம் பெறப்படுகின்றன. இந்த நிபந்தனைகளின் தொகுப்பு ஒரு முக்கியமான ஒன்றாகும், மேலும் இது பொருத்தப்பட்ட எஞ்சியவற்றின் பண்புகள் மற்றும் மாதிரியான மதிப்புகளுக்கு பல தாக்கங்களைக் கொண்டுள்ளது. குறிப்பாக, இந்த நிபந்தனைகளின் கீழ்ஃ வர்க்க தொடர்பு குணகம் ஒரு மதிப்பிடப்பட்ட இடைமறிப்பு சொல்லுடன் நேரியல் குறைந்தபட்ச சதுரங்கள் பல பின்னடைவுகளில், R2 என்பது சார்பு மாறியின் கவனிக்கப்பட்ட மற்றும் மாதிரியான (கணிக்கப்பட்ட) தரவு மதிப்புகளுக்கு இடையிலான பியர்சன் தொடர்பு குணகத்தின் சதுரத்திற்கு சமம். ஒற்றை விளக்கத்துடன் ஒரு நேரியல் குறைந்தபட்ச சதுர பின்னடைவில், ஆனால் ஒரு இடைமறிப்பு சொல் இல்லாமல், இது சார்பு மாறி மற்றும் விளக்கமளிக்கும் மாறியின் சதுர பியர்சன் தொடர்பு குணகத்திற்கும் சமம் இது இரண்டு விளக்கமளிக்கும் மாறிகளுக்கு இடையிலான தொடர்பு குணகத்துடன் குழப்பமடையக்கூடாது, இரண்டு குணக மதிப்பீடுகளுக்கு இடையிலான சகவாழ்வு மற்றும் அவற்றின் நிலையான விலகல்கள், குணக மதிப்பீடுகளின் சகவாழ்வு மேட்ரிக்ஸிலிருந்து பெறப்படுகின்றன. மிகவும் பொதுவான மாடலிங் நிலைமைகளின் கீழ், நேரியல் குறைந்தபட்ச சதுர பின்னடைவிலிருந்து வேறுபட்ட ஒரு மாதிரியிலிருந்து கணிக்கப்பட்ட மதிப்புகள் உருவாக்கப்படலாம், ஒரு R2 மதிப்பை அசல் மற்றும் மாதிரியான தரவு மதிப்புகளுக்கு இடையிலான தொடர்பு குணகத்தின் சதுரமாக கணக்கிட முடியும். இந்த விஷயத்தில், மதிப்பு என்பது மாதிரியான மதிப்புகள் எவ்வளவு நல்லவை என்பதற்கான ஒரு அளவீடு அல்ல, மாறாக மாதிரியான மதிப்புகளிலிருந்து ஒரு முன்கணிப்பாளர் எவ்வளவு சிறப்பாக கட்டமைக்கப்படலாம் என்பதற்கான ஒரு அளவீடு (α + βfi வடிவத்தின் திருத்தப்பட்ட முன்கணிப்பாளரை உருவாக்குவதன் மூலம்). எவெரிட்டின் கூற்றுப்படி, இந்த பயன்பாடு குறிப்பாக "தீர்மானத்தின் குணகம்" என்ற வார்த்தையின் வரையறையாகும்ஃ இரண்டு (பொதுவான) மாறிகளுக்கு இடையிலான தொடர்பின் வர்க்கம். விளக்கம் R2 என்பது ஒரு மாதிரியின் பொருத்தத்தின் நன்மையின் அளவீடு ஆகும். பின்னடைவில், தீர்மானத்தின் R2 குணகம் என்பது பின்னடைவு கணிப்புகள் உண்மையான தரவு புள்ளிகளை எவ்வளவு நன்றாக தோராயமாக மதிப்பிடுகின்றன என்பதற்கான புள்ளிவிவர அளவீடு ஆகும். 1 இன் R2 என்பது பின்னடைவு கணிப்புகள் தரவுகளுக்கு சரியாக பொருந்துகின்றன என்பதைக் குறிக்கிறது. 0 முதல் 1 வரம்பிற்கு வெளியே உள்ள R2 இன் மதிப்புகள், மாதிரி தரவை மோசமான குறைந்தபட்ச-சதுர முன்கணிப்பாளரை விட மோசமாக பொருந்தும் போது நிகழ்கிறது (கவனிக்கப்பட்ட தரவின் சராசரிக்கு சமமான உயரத்தில் ஒரு கிடைமட்ட ஹைப்பர்பிளேனுக்கு சமம்). ஒரு தவறான மாதிரி தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டபோது அல்லது முட்டாள்தனமான கட்டுப்பாடுகள் தவறுதலாக பயன்படுத்தப்பட்டபோது இது நிகழ்கிறது. க்வால்செத்தின் சமன்பாடு 1 பயன்படுத்தப்பட்டால் (இது பெரும்பாலும் பயன்படுத்தப்படும் சமன்பாடு), R2 பூஜ்ஜியத்தை விட குறைவாக இருக்கலாம். க்வால்செத்தின் சமன்பாடு 2 ஐப் பயன்படுத்தினால், R2 ஒன்றுக்கு மேற்பட்டதாக இருக்கலாம். R2 பயன்படுத்தப்படும் அனைத்து நிகழ்வுகளிலும், முன்கணிப்பாளர்கள் சாதாரண குறைந்தபட்ச-சதுர பின்னடைவு மூலம் கணக்கிடப்படுகிறார்கள்ஃ அதாவது, எஸ்எஸ்ஆர்களைக் குறைப்பதன் மூலம். இந்த விஷயத்தில், மாதிரியில் உள்ள மாறிகளின் எண்ணிக்கை அதிகரிக்கும் போது R2 அதிகரிக்கிறது (R2 என்பது சேர்க்கப்பட்ட மாறிகளின் எண்ணிக்கையுடன் மோனோடோன் அதிகரிப்பதாகும்-இது ஒருபோதும் குறையாது). இது R2 இன் ஒரு சாத்தியமான பயன்பாட்டிற்கான ஒரு குறைபாட்டை விளக்குகிறது, அங்கு ஒருவர் R2 மதிப்பை அதிகரிக்க மாறிகளை (சமையலறை மடு பின்னடைவு) சேர்க்கலாம். எடுத்துக்காட்டாக, காரின் எரிவாயு மைலேஜ், விலை மற்றும் என்ஜின் சக்தி ஆகியவற்றிலிருந்து ஒரு கார் மாடலின் விற்பனையை ஒருவர் கணிக்க முயற்சிக்கிறார் என்றால், மாடலின் பெயரின் முதல் எழுத்து அல்லது காரை வடிவமைக்கும் முன்னணி பொறியாளரின் உயரம் போன்ற பொருத்தமற்ற காரணிகளை ஒருவர் சேர்க்கலாம், ஏனெனில் மாறிகள் சேர்க்கப்படுவதால் ஆர் 2 ஒருபோதும் குறையாது, மேலும் வாய்ப்பு காரணமாக மட்டுமே அதிகரிப்பை அனுபவிக்கும். இது சரிசெய்யப்பட்ட R2 ஐப் பார்ப்பதற்கான மாற்று அணுகுமுறைக்கு வழிவகுக்கிறது. இந்த புள்ளிவிவரத்தின் விளக்கம் கிட்டத்தட்ட R2 ஐப் போன்றது, ஆனால் மாதிரியில் கூடுதல் மாறிகள் சேர்க்கப்பட்டுள்ளதால் இது புள்ளிவிவரத்தை தண்டிக்கிறது. சாதாரண குறைந்தபட்ச சதுரங்களால் பொருத்தப்படுவதைத் தவிர வேறு சந்தர்ப்பங்களில், ஆர் 2 புள்ளிவிவரத்தை மேலே உள்ளபடி கணக்கிடலாம், மேலும் இது ஒரு பயனுள்ள நடவடிக்கையாக இருக்கலாம். பொருத்துதல் எடை குறைந்த சதுரங்கள் அல்லது பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட குறைந்த சதுரங்கள் மூலம் இருந்தால், R2 இன் மாற்று பதிப்புகள் அந்த புள்ளிவிவர கட்டமைப்புகளுக்கு பொருத்தமாக கணக்கிடப்படலாம், அதே நேரத்தில் "மூல" R2 இன்னும் எளிதாக விளக்கப்பட்டால் பயனுள்ளதாக இருக்கும். R2 க்கான மதிப்புகள் எந்த வகையான முன்கணிப்பு மாதிரிக்கும் கணக்கிடப்படலாம், அவை புள்ளிவிவர அடிப்படையைக் கொண்டிருக்க வேண்டியதில்லை. ஒரு பல நேரியல் மாதிரியில், ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட விளக்கமளிக்கும் மாறியைக் கொண்ட ஒரு நேரியல் மாதிரியைக் கவனியுங்கள், இதில், ith வழக்கில், மறுமொழி மாறி, p பின்னடைவுகள் மற்றும் சராசரி பூஜ்ஜிய பிழை சொல். அளவுகள் அறியப்படாத குணகங்கள், அவற்றின் மதிப்புகள் குறைந்தபட்ச சதுரங்களால் மதிப்பிடப்படுகின்றன. R2 தீர்மானத்தின் குணகம் என்பது மாதிரியின் உலகளாவிய பொருத்தத்தின் அளவீடு ஆகும். குறிப்பாக, R2 என்பது [0,1] இன் ஒரு உறுப்பு மற்றும் Yi இல் உள்ள மாறுபாட்டின் விகிதத்தைக் குறிக்கிறது, இது X இல் உள்ள பின்னடைவுகளின் (விளக்க மாறிகள்) சில நேரியல் கலவையாக இருக்கலாம். R2 பெரும்பாலும் மாதிரியில் உள்ள பின்னடைவுகளால் "விளக்கப்பட்ட" மறுமொழி மாறுபாட்டின் விகிதமாக விளக்கப்படுகிறது. எனவே, பொருத்தப்பட்ட மாதிரி அனைத்து மாறுபாடுகளையும் விளக்குகிறது என்பதை R2 = 1 குறிக்கிறது, அதே நேரத்தில் R2 = 0 என்பது 'நேரியல்' உறவைக் குறிக்கவில்லை (நேர் கோடு பின்னடைவுக்கு, இதன் பொருள் நேர் கோடு மாதிரி ஒரு நிலையான கோடு (சாய்வு = 0, இடைமறிப்பு =) மறுமொழி மாறி மற்றும் பின்னடைவுகளுக்கு இடையில்). R2 = 0.7 போன்ற ஒரு உள் மதிப்பை பின்வருமாறு விளக்கலாம்ஃ "மறுமொழி மாறியின் மாறுபாட்டின் எழுபது சதவீதத்தை விளக்க மாறிகளால் விளக்க முடியும். மீதமுள்ள முப்பது சதவீதம் அறியப்படாத, மறைந்திருக்கும் மாறிகள் அல்லது உள்ளார்ந்த மாறுபாட்டிற்கு காரணமாக இருக்கலாம். தொடர்பு மற்றும் சங்கத்தின் பிற புள்ளிவிவர விளக்கங்களைப் பொறுத்தவரை, R2 க்கு பொருந்தும் ஒரு எச்சரிக்கை என்னவென்றால், "தொடர்பு காரணத்தை குறிக்காது". வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், தொடர்புகள் சில நேரங்களில் மாறிகளுக்கிடையேயான காரண உறவுகளைக் கண்டுபிடிப்பதில் மதிப்புமிக்க தடயங்களை வழங்கக்கூடும் என்றாலும், இரண்டு மாறிகளுக்கு இடையிலான பூஜ்ஜியமற்ற மதிப்பிடப்பட்ட தொடர்பு, ஒரு மாறியின் மதிப்பை மாற்றுவது மற்ற மாறிகளின் மதிப்புகளில் மாற்றங்களை ஏற்படுத்தும் என்பதற்கான சான்றாக இல்லை. எடுத்துக்காட்டாக, போட்டிகளை (அல்லது இலகுவான) எடுத்துச் செல்லும் நடைமுறை நுரையீரல் புற்றுநோயின் நிகழ்வுடன் தொடர்புடையது, ஆனால் போட்டிகளை எடுத்துச் செல்வது புற்றுநோயை ஏற்படுத்தாது ("காரணம்" என்ற நிலையான அர்த்தத்தில்). குறைந்தபட்ச சதுரங்களால் பொருத்தப்பட்ட ஒற்றை பின்னடைவைப் பொறுத்தவரை, R2 என்பது பின்னடைவு மற்றும் மறுமொழி மாறி தொடர்பான பியர்சன் தயாரிப்பு-தருண தொடர்பு குணகத்தின் சதுரமாகும். மேலும் பொதுவாக, R2 என்பது கட்டமைக்கப்பட்ட முன்கணிப்பாளருக்கும் மறுமொழி மாறிக்கும் இடையிலான தொடர்பின் சதுரமாகும். ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட பின்னடைவுகளுடன், ஆர் 2 ஐ பல தீர்மானத்தின் குணகம் என்று குறிப்பிடலாம். R2 இன் பணவீக்கம் வழக்கமான தரவைப் பயன்படுத்தி குறைந்தபட்சம் சதுர பின்னடைவில், R2 குறைந்தபட்சம் மாதிரியில் உள்ள பின்னடைவுகளின் எண்ணிக்கையில் அதிகரிப்புடன் பலவீனமாக அதிகரித்து வருகிறது. பின்னடைவுகளின் எண்ணிக்கையில் அதிகரிப்பு R2 இன் மதிப்பை அதிகரிப்பதால், R2 மட்டும் மிகவும் மாறுபட்ட எண்ணிக்கையிலான சுயாதீன மாறிகள் கொண்ட மாதிரிகளின் அர்த்தமுள்ள ஒப்பீடாகப் பயன்படுத்த முடியாது. இரண்டு மாதிரிகளுக்கு இடையிலான ஒரு அர்த்தமுள்ள ஒப்பீட்டிற்கு, கிரெஞ்சர் காரணத்தில் உள்ள எஃப்-சோதனைகளைப் போலவே, மீதமுள்ள சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகையில் ஒரு எஃப்-சோதனை செய்யப்படலாம், இருப்பினும் இது எப்போதும் பொருத்தமானது அல்ல. இதற்கு ஒரு நினைவூட்டலாக, சில எழுத்தாளர்கள் R2 ஐ Rq2 ஆல் குறிக்கின்றனர், அங்கு q என்பது X இல் உள்ள நெடுவரிசைகளின் எண்ணிக்கை (மாறிலி உட்பட விளக்கங்களின் எண்ணிக்கை). இந்த பண்பை நிரூபிக்க, குறைந்தபட்ச சதுர நேரியல் பின்னடைவின் நோக்கம் என்னவென்றால், xi என்பது வழக்கு i மற்றும் b க்கான விளக்க மாறிகளின் மதிப்புகளின் வரிசை திசையன் ஆகும், இது xi இன் அந்தந்த கூறுகளின் குணகங்களின் நெடுவரிசை திசையன் ஆகும். குறிக்கோளின் உகந்த மதிப்பு பலவீனமாக சிறியதாக இருப்பதால், அதிக விளக்கமளிக்கும் மாறிகள் சேர்க்கப்படுகின்றன, எனவே (விளக்கமளிக்கும் தரவு மேட்ரிக்ஸ் அதன் ith வரிசை xi ஆகும்) கூடுதல் நெடுவரிசைகள் சேர்க்கப்படுகின்றன, குறைந்த கட்டுப்படுத்தப்பட்ட மினிமைசேஷன் உகந்த செலவுக்கு வழிவகுக்கிறது, இது பலவீனமாக சிறியது மேலும் கட்டுப்படுத்தப்பட்ட மினிமைசேஷன் செய்கிறது. முந்தைய முடிவைப் பொறுத்தவரை மற்றும் y ஐ மட்டுமே சார்ந்துள்ளது என்பதைக் குறிப்பிடுகையில், R2 இன் குறைக்கப்படாத பண்பு மேலே உள்ள வரையறையிலிருந்து நேரடியாகப் பின்பற்றுகிறது. கூடுதல் விளக்க மாறியைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் R2 ஐக் குறைக்க முடியாது என்பதற்கான உள்ளுணர்வு காரணம் இதுதான்ஃ குறைப்பது என்பது R2 ஐ அதிகரிப்பதற்கு சமம். கூடுதல் மாறி சேர்க்கப்படும்போது, தரவு எப்போதும் பூஜ்ஜியத்தின் மதிப்பிடப்பட்ட குணகத்தைக் கொடுக்கும் விருப்பத்தைக் கொண்டுள்ளது, இதனால் கணிக்கப்பட்ட மதிப்புகள் மற்றும் R2 மாறாமல் இருக்கும். உகப்பாக்கம் சிக்கல் பூஜ்ஜியமற்ற குணகத்தைக் கொடுக்கும் ஒரே வழி, அவ்வாறு செய்வது R2 ஐ மேம்படுத்துகிறது. கேவியட்ஸ் ஆர் 2 பின்வருவனவற்றைக் குறிக்கவில்லைஃ சுயாதீன மாறிகள் சார்பு மாறியின் மாற்றங்களுக்கு ஒரு காரணம்; நீக்கப்பட்ட-மாறி சார்பு உள்ளது; சரியான பின்னடைவு பயன்படுத்தப்பட்டது; சுயாதீன மாறிகளின் மிகவும் பொருத்தமான தொகுப்பு தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டுள்ளது; விளக்க மாறிகள் குறித்த தரவுகளில் கொலினியாரிட்டி உள்ளது; தற்போதுள்ள சுயாதீன மாறிகளின் தொகுப்பின் மாற்றப்பட்ட பதிப்புகளைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் மாதிரியை மேம்படுத்தலாம்; ஒரு திடமான முடிவை எடுக்க போதுமான தரவு புள்ளிகள் உள்ளன. விரிவாக்கங்கள் சரிசெய்யப்பட்ட R2 ஒரு சரிசெய்யப்பட்ட R2 இன் பயன்பாடு (ஒரு பொதுவான குறியீடு, "R பார் ஸ்கொயர்" என்று உச்சரிக்கப்படுகிறது; மற்றொன்று அல்லது) மாதிரியில் கூடுதல் விளக்க மாறிகள் சேர்க்கப்படும்போது R2 இன் நிகழ்வு தானாகவே அதிகரிக்கும் என்பதைக் கணக்கிடும் முயற்சியாகும். () ஐ சரிசெய்ய பல்வேறு வழிகள் உள்ளன. இதுவரை மிகவும் பயன்படுத்தப்பட்ட ஒன்று, இது பொதுவாக சரிசெய்யப்பட்ட ஆர் என்று குறிப்பிடப்படுகிறது, இது மொர்தெகாய் எசேக்கியேலால் முன்மொழியப்பட்ட திருத்தமாகும். சரிசெய்யப்பட்ட R2 வரையறுக்கப்படுகிறது, அங்கு dfres என்பது மாதிரியைச் சுற்றியுள்ள மக்கள்தொகை மாறுபாட்டின் மதிப்பீட்டின் சுதந்திரத்தின் அளவுகளாகும், மேலும் dftot என்பது சராசரியைச் சுற்றியுள்ள மக்கள்தொகை மாறுபாட்டின் மதிப்பீட்டின் சுதந்திரத்தின் அளவுகளாகும். மாதிரியின் அளவு n மற்றும் மாதிரியில் உள்ள மாறிகளின் எண்ணிக்கை ஆகியவற்றின் அடிப்படையில் dfres கொடுக்கப்பட்டுள்ளது, dfres = n − p. dftot அதே வழியில் வழங்கப்படுகிறது, ஆனால் p என்பது சராசரிக்கு ஒற்றுமையாக இருப்பதால், அதாவது. dftot = n − 1. சுதந்திரத்தின் அளவுகளைச் செருகுவதும், R2 இன் வரையறையைப் பயன்படுத்துவதும், இதை இவ்வாறு மீண்டும் எழுதலாம்ஃ இங்கு p என்பது மாதிரியில் உள்ள விளக்க மாறிகளின் மொத்த எண்ணிக்கை, மற்றும் n என்பது மாதிரி அளவு. சரிசெய்யப்பட்ட R2 எதிர்மறையாக இருக்கலாம், மேலும் அதன் மதிப்பு எப்போதும் R2 ஐ விட குறைவாகவோ அல்லது சமமாகவோ இருக்கும். R2 ஐப் போலல்லாமல், R2 இன் அதிகரிப்பு (ஒரு புதிய விளக்க மாறியின் சேர்ப்பின் காரணமாக) ஒருவர் தற்செயலாகப் பார்க்க எதிர்பார்க்கும் ஒன்றுக்கு மேற்பட்டதாக இருக்கும்போது மட்டுமே சரிசெய்யப்பட்ட R2 அதிகரிக்கிறது. முன்னரே தீர்மானிக்கப்பட்ட முக்கியத்துவத்தின் படிநிலையைக் கொண்ட விளக்க மாறிகளின் தொகுப்பு ஒரு நேரத்தில் ஒரு பின்னடைவில் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டால், ஒவ்வொரு முறையும் சரிசெய்யப்பட்ட R2 கணக்கிடப்பட்டால், சரிசெய்யப்பட்ட R2 அதிகபட்சத்தை அடைந்து, பின்னர் குறைகிறது, அதிகப்படியான/தேவையற்ற சொற்கள் இல்லாமல் சிறந்த பொருத்தத்தைக் கொண்ட சிறந்த கலவையுடன் பின்னடைவாக இருக்கும். சரிசெய்யப்பட்ட R2 மக்கள் தொகை R2 இன் குறைவான பக்கச்சார்பான மதிப்பீட்டாளராக விளக்கப்படலாம், அதேசமயம் கவனிக்கப்பட்ட மாதிரி R2 மக்கள் தொகை மதிப்பின் நேர்மறையான பக்கச்சார்பான மதிப்பீடாகும். மாதிரி பொருத்தத்தை மதிப்பிடும் போது (சுயாதீன மாறிகளால் கணக்கிடப்படும் சார்பு மாறியின் மாறுபாடு) மற்றும் மாதிரி கட்டமைப்பின் அம்சத் தேர்வு கட்டத்தில் மாற்று மாதிரிகளை ஒப்பிடும்போது சரிசெய்யப்பட்ட R2 மிகவும் பொருத்தமானது. சரிசெய்யப்பட்ட R2 புள்ளிவிவரத்தின் பின்னணியில் உள்ள கொள்கையை சாதாரண R2 ஐ முறையே மதிப்பிடப்பட்ட எஞ்சிய மற்றும் சார்பு மாறியின் மாதிரி மாறுபாடுகளை எங்கே மற்றும் எங்கே என்று மீண்டும் எழுதுவதன் மூலம் காணலாம், இது பிழைகள் மற்றும் சார்பு மாறியின் மக்கள்தொகை மாறுபாடுகளின் பக்கச்சார்பான மதிப்பீடுகளாகக் காணலாம். இந்த மதிப்பீடுகள் புள்ளிவிவர ரீதியாக பக்கச்சார்பற்ற பதிப்புகளால் மாற்றப்படுகின்றனஃ மற்றும். பிழை மற்றும் சார்பு மாறியின் மக்கள்தொகை மாறுபாடுகளுக்கு பக்கச்சார்பற்ற மதிப்பீட்டாளர்களைப் பயன்படுத்தினாலும், சரிசெய்யப்பட்ட R2 என்பது R2 மக்கள்தொகையின் ஒரு பக்கச்சார்பற்ற மதிப்பீட்டாளர் அல்ல, இதன் விளைவாக பிழைகள் மற்றும் சார்பு மாறியின் மக்கள்தொகை மாறுபாடுகளை மதிப்பிடுவதற்குப் பதிலாக அவற்றைப் பயன்படுத்துகிறது. இங்க்ராம் ஓல்கின் மற்றும் ஜான் டபிள்யூ. பிராட் ஆகியோர் R2 மக்கள்தொகைக்கான குறைந்தபட்ச-மாறுபாடு பக்கச்சார்பற்ற மதிப்பீட்டைப் பெற்றனர், இது ஓல்கின்-பிராட் மதிப்பீட்டாளர் என்று அழைக்கப்படுகிறது. R2 ஐ சரிசெய்வதற்கான வெவ்வேறு அணுகுமுறைகளின் ஒப்பீடுகள் பெரும்பாலான சூழ்நிலைகளில் ஓல்கின்-பிராட் மதிப்பீட்டாளரின் தோராயமான பதிப்பு அல்லது சரியான ஓல்கின்-பிராட் மதிப்பீட்டாளர் (எசேக்கியல்) சரிசெய்யப்பட்ட R2 ஐ விட முன்னுரிமை அளிக்கப்பட வேண்டும் என்று முடிவு செய்தன. பகுதியளவு தீர்மானத்தின் குணகம் பகுதியளவு தீர்மானத்தின் குணகம் என்பது குறைக்கப்பட்ட மாதிரியில் விளக்க முடியாத மாறுபாட்டின் விகிதமாக வரையறுக்கப்படலாம், ஆனால் ஒரு முழு (எர்) மாதிரியில் குறிப்பிடப்பட்டுள்ள முன்கணிப்பாளர்களால் விளக்கப்படலாம். இந்த குணகம் ஒன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட கூடுதல் முன்கணிப்பாளர்கள் இன்னும் முழுமையாக குறிப்பிடப்பட்ட பின்னடைவு மாதிரியில் பயனுள்ளதாக இருக்க முடியுமா இல்லையா என்பதைப் பற்றிய நுண்ணறிவை வழங்க பயன்படுத்தப்படுகிறது. இரண்டு மாதிரிகளை மதிப்பீடு செய்து அவற்றுக்கான ஏஎன்ஓவிஏ அட்டவணைகளை உருவாக்கிய பிறகு பகுதி ஆர் 2 க்கான கணக்கீடு ஒப்பீட்டளவில் நேரடியானது. பகுதி R2 க்கான கணக்கீடு வழக்கமான தீர்மானக் குணகத்திற்கு ஒத்ததாகும்ஃ R2 ஐ பொதுமைப்படுத்துதல் மற்றும் சிதைத்தல் மேலே விளக்கப்பட்டுள்ளபடி, சரிசெய்யப்பட்ட அளவுகோல் மற்றும் F-சோதனை போன்ற மாதிரி தேர்வு ஹூரிஸ்டிக்ஸ் மாதிரியில் ஒரு புதிய பின்னடைவைச் சேர்க்க வேண்டுமா என்பதைத் தீர்மானிக்க மொத்தம் போதுமான அளவு அதிகரிக்கிறதா என்பதை ஆராய்கிறது. ஏற்கனவே சேர்க்கப்பட்டுள்ள பிற பின்னடைவுகளுடன் மிகவும் தொடர்புபடுத்தப்பட்ட மாதிரியில் ஒரு பின்னடைவு சேர்க்கப்பட்டால், புதிய பின்னடைவு பொருத்தமாக இருந்தாலும் கூட, மொத்த எண்ணிக்கை அதிகரிக்காது. இதன் விளைவாக, குறுக்கு-தொடர்புகள் அதிகமாக இருக்கும்போது மேற்கூறிய ஹூரிஸ்டிக்ஸ் தொடர்புடைய பின்னடைவுகளை புறக்கணிக்கும். மாற்றாக, ஒரு கருதுகோளிலிருந்து விலகுவதன் பொருத்தத்தை அளவிடுவதற்கு ஒரு பொதுவான பதிப்பை ஒருவர் சிதைக்கலாம். ஹூர்ன்வெக் (2018) காட்டுவது போல், பேய்சியன் நேரியல் பின்னடைவு, ரிட்ஜ் பின்னடைவு மற்றும் (தகவமைப்பு) லாசோ போன்ற பல ஷ்ரிங்கேஜ் மதிப்பீட்டாளர்கள், கட்டுப்பாடற்ற OLS தீர்வுகளிலிருந்து கருதுகோள் மதிப்புகளை நோக்கி அளவுருக்களை படிப்படியாக சுருக்கும்போது இந்த சிதைவைப் பயன்படுத்துகின்றனர். முதலில் நேரியல் பின்னடைவு மாதிரியை வரையறுப்போம், ஏனெனில் மேட்ரிக்ஸ் Z-மதிப்பெண்களுடன் தரப்படுத்தப்பட்டுள்ளது என்றும் நெடுவரிசை திசையன் பூஜ்ஜியத்தின் சராசரியைக் கொண்டிருக்க மையமாக உள்ளது என்றும் கருதப்படுகிறது. நெடுவரிசை திசையன் கருதுகோள் பின்னடைவு அளவுருக்களைக் குறிக்கட்டும் மற்றும் நெடுவரிசை திசையன் மதிப்பிடப்பட்ட அளவுருக்களைக் குறிக்கட்டும். பின்னர் நாம் 75 சதவீதத்தின் ஒரு வரையறையை வரையறுக்கலாம், அதாவது கருதுகோள் மதிப்புகளுக்கு பதிலாக தரவு-உகந்த தீர்வுகள் பயன்படுத்தப்பட்டால் மாதிரி துல்லியம் 75 சதவீதம் அதிகரிக்கிறது. பூஜ்ஜியங்களின் திசையனாக இருக்கும் சிறப்பு வழக்கில், நாம் மீண்டும் பாரம்பரியத்தைப் பெறுகிறோம். ஒரு கருதுகோளிலிருந்து விலகுவதன் தனிப்பட்ட விளைவை ('ஆர்-ரூட்டர்') மூலம் கணக்கிடலாம். இந்த நேர மேட்ரிக்ஸ் எங்கிருந்து வழங்கப்படுகிறது. முக்கோண கூறுகள் சரியாக வரை சேர்க்கின்றன. பின்னடைவுகள் தொடர்பில்லாதவை மற்றும் பூஜ்ஜியங்களின் திசையனாக இருந்தால், அதன் மூலைவிட்ட உறுப்பு வெறுமனே மற்றும் இடையே உள்ள மதிப்புடன் ஒத்திருக்கிறது. பின்னடைவுகள் மற்றும் ஒன்றோடொன்று தொடர்புடையதாக இருக்கும்போது, குறைப்பின் செலவில் அதிகரிக்கலாம். இதன் விளைவாக, இன் மூலைவிட்ட கூறுகள் 0 ஐ விட சிறியதாகவும், மிகவும் விதிவிலக்கான சந்தர்ப்பங்களில், 1 ஐ விட பெரியதாகவும் இருக்கலாம். இத்தகைய நிச்சயமற்ற தன்மைகளைச் சமாளிக்க, பல சுருக்க மதிப்பீட்டாளர்கள் ஒரு கருதுகோள் மதிப்பிலிருந்து விலகுவதன் பொருத்தத்தை அளவிடுவதற்கு மூலைவிட்ட கூறுகளின் எடையுள்ள சராசரியை மறைமுகமாக எடுத்துக்கொள்கிறார்கள். உதாரணத்திற்கு லாசோவை சொடுக்கவும். லாஜிஸ்டிக் பின்னடைவில் R2 லாஜிஸ்டிக் பின்னடைவின் விஷயத்தில், பொதுவாக அதிகபட்ச சாத்தியக்கூறுகளால் பொருந்துகிறது, போலி-R2 இன் பல தேர்வுகள் உள்ளன. ஒன்று காக்ஸ் & ஸ்னெல்லால் முதலில் முன்மொழியப்பட்ட பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட ஆர் 2, மற்றும் மாகியால் சுயாதீனமாகஃ இடைமறிப்பு மட்டுமே கொண்ட மாதிரியின் சாத்தியக்கூறு எங்கே, மதிப்பிடப்பட்ட மாதிரியின் சாத்தியக்கூறு (அதாவது, கொடுக்கப்பட்ட அளவுரு மதிப்பீடுகளின் தொகுப்பைக் கொண்ட மாதிரி) மற்றும் n என்பது மாதிரி அளவு. இது எளிதில் மீண்டும் எழுதப்படுகிறதுஃ இங்கு டி என்பது நிகழ்தகவு விகித சோதனையின் சோதனை புள்ளிவிவரமாகும். இது பின்வரும் பண்புகளைக் கொண்டுள்ளது என்று நிக்கோ நாகெல்கே குறிப்பிட்டார்ஃ இரண்டையும் கணக்கிடும்போது இது தீர்மானத்தின் பாரம்பரிய குணகத்துடன் ஒத்துப்போகிறது; ஒரு மாதிரியின் அதிகபட்ச நிகழ்தகவு மதிப்பீட்டால் அதன் மதிப்பு அதிகரிக்கிறது; இது மாதிரி அளவிலிருந்து அறிகுறியற்ற முறையில் சுயாதீனமாக உள்ளது; விளக்கம் என்பது மாதிரியால் விளக்கப்பட்ட மாறுபாட்டின் விகிதமாகும்; மதிப்புகள் 0 மற்றும் 1 க்கு இடையில் உள்ளன, 0 என்பது அந்த மாதிரியை எந்த மாறுபாட்டையும் விளக்கவில்லை மற்றும் 1 என்பது கவனிக்கப்பட்ட மாறுபாட்டை சரியாக விளக்குகிறது என்பதைக் குறிக்கிறது; அதற்கு எந்த அலகு இல்லை. இருப்பினும், ஒரு லாஜிஸ்டிக் மாதிரியைப் பொறுத்தவரை, 1 ஐ விட அதிகமாக இருக்க முடியாது, R2 என்பது 0 மற்றும்ஃ க்கு இடையில் உள்ளது, எனவே, ஒரு அளவிடப்பட்ட R2 ஐ R2/R2max என வரையறுக்கும் சாத்தியத்தை நாகெல்கே பரிந்துரைத்தார். எஞ்சியவற்றின் நெறிமுறையுடன் ஒப்பிடுகையில், எப்போதாவது, எஞ்சியவற்றின் நெறிமுறை பொருத்தத்தின் நன்மையைக் குறிக்கப் பயன்படுத்தப்படுகிறது. இந்த சொல் எஞ்சிய வர்க்கங்களின் கூட்டுத்தொகையின் சதுர-வேர் என கணக்கிடப்படுகிறதுஃ R2 மற்றும் எஞ்சியவற்றின் நெறிமுறை இரண்டும் அவற்றின் ஒப்பீட்டு தகுதிகளைக் கொண்டுள்ளன. குறைந்தபட்ச சதுர பகுப்பாய்விற்கு R2 0 மற்றும் 1 க்கு இடையில் மாறுபடும், பெரிய எண்கள் சிறந்த பொருத்தங்களைக் குறிக்கின்றன மற்றும் 1 சரியான பொருத்தத்தைக் குறிக்கிறது. எஞ்சியவற்றின் நெறிமுறை 0 முதல் முடிவிலி வரை வேறுபடுகிறது, சிறிய எண்கள் சிறந்த பொருத்தங்களைக் குறிக்கின்றன மற்றும் பூஜ்ஜியம் சரியான பொருத்தத்தைக் குறிக்கிறது. R2 இன் ஒரு நன்மை மற்றும் தீமை என்னவென்றால், இந்த சொல் மதிப்பை இயல்பாக்குகிறது. yi மதிப்புகள் அனைத்தும் ஒரு மாறிலியால் பெருக்கப்பட்டால், எஞ்சியவற்றின் நெறிமுறையும் அந்த மாறிலியால் மாறும், ஆனால் R2 அப்படியே இருக்கும். ஒரு அடிப்படை எடுத்துக்காட்டாக, நேரியல் குறைந்தபட்ச சதுரங்கள் தரவுகளின் தொகுப்பிற்கு பொருந்துகின்றனஃ R2 = 0.998, மற்றும் எஞ்சியவற்றின் நெறிமுறை = 0.302. y இன் அனைத்து மதிப்புகளும் 1000 ஆல் பெருக்கப்பட்டால் (எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு எஸ். ஐ முன்னொட்டு மாற்றத்தில்), R2 அப்படியே இருக்கும், ஆனால் எஞ்சியவற்றின் நெறிமுறை = 302. பொருத்தத்தின் மற்றொரு ஒற்றை அளவுரு காட்டி எஞ்சியவற்றின் ஆர்எம்எஸ்இ அல்லது எஞ்சியவற்றின் நிலையான விலகல் ஆகும். மேலே உள்ள எடுத்துக்காட்டுக்கு இது 0.135 மதிப்பைக் கொண்டிருக்கும், ஏனெனில் பொருத்தம் ஒரு கட்டாயப்படுத்தப்படாத இடைமறிப்புடன் நேரியல் ஆகும். தீர்மானத்தின் குணகத்தின் உருவாக்கம் மரபியல் நிபுணர் செவால் ரைட்டிற்குக் காரணம் என்று கூறப்படுகிறது, இது முதன்முதலில் 1921 இல் வெளியிடப்பட்டது. நாஷ்-சட்க்ளிஃப் மாதிரி செயல்திறன் குணகம் (நீரியல் பயன்பாடுகள்) பியர்சன் தயாரிப்பு-தருண தொடர்பு குணகம் இழப்பு பின்னடைவு மாதிரி சரிபார்ப்பில் விகிதாசாரக் குறைப்பு ரூட் சராசரி சதுர விலகல் படிப்படியான பின்னடைவு குறிப்புகள் மேலும் வாசிப்பு பின்னடைவு நோயறிதல் புள்ளிவிவர விகிதங்கள் குறைந்த சதுரங்கள்