Symbolic integration
கால்குலஸில், குறியீட்டு ஒருங்கிணைப்பு என்பது கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாட்டின் f (x), அதாவது காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்புக்கான ஒரு சூத்திரத்தைக் கண்டுபிடிப்பதில் உள்ள சிக்கலாகும். ஒரு வேறுபடுத்தக்கூடிய செயல்பாட்டைக் கண்டறிய F (x) இது விவாதம் என்றும் குறிக்கப்படுகிறது குறியீட்டு என்ற சொல் இந்த சிக்கலை எண் ஒருங்கிணைப்பிலிருந்து வேறுபடுத்த பயன்படுத்தப்படுகிறது, அங்கு F இன் மதிப்பு ஒரு குறிப்பிட்ட உள்ளீடு அல்லது உள்ளீடுகளின் தொகுப்பில் தேடப்படுகிறது, F க்கான ஒரு பொதுவான சூத்திரத்தை விட. இரண்டு சிக்கல்களும் டிஜிட்டல் கணினிகளின் காலத்திற்கு முன்பே நடைமுறை மற்றும் தத்துவார்த்த முக்கியத்துவம் வாய்ந்தவை என்று கருதப்பட்டன, ஆனால் அவை இப்போது பொதுவாக கணினி அறிவியலின் களமாக கருதப்படுகின்றன, ஏனெனில் கணினிகள் தற்போது பெரும்பாலும் தனிப்பட்ட நிகழ்வுகளைச் சமாளிக்க பயன்படுத்தப்படுகின்றன. ஒரு வெளிப்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிப்பது ஒரு நேரடியான செயல்முறையாகும், இதற்காக ஒரு வழிமுறையை உருவாக்குவது எளிது. ஒருங்கிணைப்பைக் கண்டுபிடிப்பதற்கான தலைகீழ் கேள்வி மிகவும் கடினம். ஒப்பீட்டளவில் எளிமையான பல வெளிப்பாடுகள் மூடிய வடிவத்தில் வெளிப்படுத்தக்கூடிய ஒருங்கிணைப்புகளைக் கொண்டிருக்கவில்லை. மேலும் விவரங்களுக்கு ஆன்ட்ட்டெரிவேடிவ் மற்றும் நோன்லிமென்டரி இன்டெக்ரலை பார்க்கவும். ரிஷ் வழிமுறை என்று அழைக்கப்படும் ஒரு செயல்முறை உள்ளது, இது ஒரு அடிப்படை செயல்பாட்டின் ஒருங்கிணைப்பு (நான்கு அடிப்படை செயல்பாடுகளைப் பயன்படுத்தி கலவை மற்றும் சேர்க்கைகள் மூலம் வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணிக்கையிலான அதிர்வெண்கள், மடக்கை, மாறிலிகள் மற்றும் n வது வேர்களிலிருந்து கட்டப்பட்ட செயல்பாடு) அடிப்படை மற்றும் இருந்தால் அதைத் திருப்புகிறதா என்பதை தீர்மானிக்கும் திறன் கொண்டது. அதன் அசல் வடிவத்தில், ரிஷ் வழிமுறை ஒரு நேரடி செயல்படுத்தலுக்கு பொருத்தமானதாக இல்லை, மேலும் அதன் முழுமையான செயல்படுத்தல் நீண்ட நேரம் எடுத்தது. முற்றிலும் ஆழ்நிலை செயல்பாடுகளின் விஷயத்தில் இது முதன்முதலில் ரெடியூஸில் செயல்படுத்தப்பட்டது; முற்றிலும் இயற்கணித செயல்பாடுகளின் வழக்கு ஜேம்ஸ் எச். டேவன்போர்டால் ரெடியூஸில் தீர்க்கப்பட்டு செயல்படுத்தப்பட்டது; பொது வழக்கு மானுவல் ப்ரோன்ஸ்டைனால் தீர்க்கப்பட்டது, அவர் கிட்டத்தட்ட அனைத்தையும் ஆக்ஸியத்தில் செயல்படுத்தினார், இருப்பினும் இன்றுவரை ரிஷ் வழிமுறையை செயல்படுத்தவில்லை, இது அனைத்து சிறப்பு நிகழ்வுகளையும் கிளைகளையும் கையாள முடியும். இருப்பினும், ரிஷ் வழிமுறை காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்புகளுக்கு மட்டுமே பொருந்தும், அதே நேரத்தில் இயற்பியலாளர்கள், கோட்பாட்டு வேதியியலாளர்கள் மற்றும் பொறியாளர்களுக்கு ஆர்வமுள்ள பெரும்பாலான ஒருங்கிணைப்புகள் பெரும்பாலும் லாப்லேஸ் உருமாற்றங்கள், ஃபோரியர் உருமாற்றங்கள் மற்றும் மெலின் உருமாற்றங்களுடன் தொடர்புடைய திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்புகளாகும். ஒரு பொதுவான வழிமுறை இல்லாததால், கணினி இயற்கணித அமைப்புகளின் உருவாக்குநர்கள் முறை-பொருத்தம் மற்றும் சிறப்பு செயல்பாடுகளின் சுரண்டல், குறிப்பாக முழுமையற்ற காமா செயல்பாட்டின் அடிப்படையில் ஹூரிஸ்டிக்ஸை செயல்படுத்தியுள்ளனர். இந்த அணுகுமுறை அல்காரிதம் அல்லாமல் ஹூரிஸ்டிக் என்றாலும், நடைமுறை பொறியியல் பயன்பாடுகளால் எதிர்கொள்ளும் பல திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்புகளைத் தீர்ப்பதற்கான ஒரு பயனுள்ள முறையாகும். மேக்சிமா போன்ற முந்தைய அமைப்புகள் ஒரு தேடல் அட்டவணைக்குள் சிறப்பு செயல்பாடுகள் தொடர்பான சில திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்புகளைக் கொண்டிருந்தன. இருப்பினும், இந்த குறிப்பிட்ட முறை, அதன் அளவுருக்கள், மாறி மாற்றம், முறை பொருத்தம் மற்றும் பிற கையாளுதல்கள் தொடர்பாக சிறப்பு செயல்பாடுகளை வேறுபடுத்துவதை உள்ளடக்கியது, மேப்பிள் அமைப்பின் டெவலப்பர்களால் முன்னோடியாக இருந்தது, பின்னர் கணிதம், ஆக்ஸியம், முபாட் மற்றும் பிற அமைப்புகளால் பின்பற்றப்பட்டது. சமீபத்திய முன்னேற்றங்கள் குறியீட்டு ஒருங்கிணைப்பின் கிளாசிக்கல் அணுகுமுறையில் உள்ள முக்கிய சிக்கல் என்னவென்றால், ஒரு செயல்பாடு மூடிய வடிவத்தில் குறிப்பிடப்பட்டால், பொதுவாக, அதன் ஆன்டிடெரிவேட்டிவ் ஒத்த பிரதிநிதித்துவத்தைக் கொண்டிருக்கவில்லை. வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், மூடிய வடிவத்தில் குறிப்பிடக்கூடிய செயல்பாடுகளின் வகுப்பு ஆன்டிடரிவேஷனின் கீழ் மூடப்படவில்லை. ஹோலனோமிக் செயல்பாடுகள் என்பது ஒரு பெரிய வகை செயல்பாடுகளாகும், இது ஆன்டிடெரிவேஷனின் கீழ் மூடப்பட்டுள்ளது மற்றும் ஒருங்கிணைப்பு கணினிகளில் வழிமுறை செயல்படுத்தல் மற்றும் கால்குலஸின் பல செயல்பாடுகளை அனுமதிக்கிறது. இன்னும் துல்லியமாக, ஒரு முழுமையான செயல்பாடு என்பது பல்லுறுப்புக்கோவை குணகங்களுடன் ஒரே மாதிரியான நேரியல் வேறுபாடு சமன்பாட்டின் தீர்வாகும். முழுமையான செயல்பாடுகள் கூட்டல் மற்றும் பெருக்கம், வழித்தோன்றல் மற்றும் எதிர்மறை செயல்பாடு ஆகியவற்றின் கீழ் மூடப்படுகின்றன. அவை இயற்கணித செயல்பாடுகள், அதிவேக செயல்பாடு, மடக்கை, சைன், கொசைன், தலைகீழ் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகள், தலைகீழ் ஹைபர்போலிக் செயல்பாடுகள் ஆகியவற்றை உள்ளடக்கியது. அவை ஏர் செயல்பாடு, பிழை செயல்பாடு, பெசல் செயல்பாடுகள் மற்றும் அனைத்து ஹைப்பர்ஜியோமெட்ரிக் செயல்பாடுகள் போன்ற மிகவும் பொதுவான சிறப்பு செயல்பாடுகளையும் உள்ளடக்கியது. முழுமையான செயல்பாடுகளின் ஒரு அடிப்படை பண்பு என்னவென்றால், அவற்றின் டெய்லர் தொடரின் குணகங்கள் எந்த நேரத்திலும் பல்லுறுப்புக்கோவை குணகங்களுடன் ஒரு நேரியல் மீண்டும் நிகழும் உறவை திருப்திப்படுத்துகின்றன, மேலும் இந்த மீண்டும் நிகழும் உறவு செயல்பாட்டை வரையறுக்கும் வேறுபட்ட சமன்பாட்டிலிருந்து கணக்கிடப்படலாம். இதற்கு நேர்மாறாக, ஒரு பவர் சீரிஸின் குணகங்களுக்கிடையேயான அத்தகைய மறுநிகழ்வு உறவைப் பொறுத்தவரை, இந்த பவர் சீரிஸ் ஒரு ஹோலனோமிக் செயல்பாட்டை வரையறுக்கிறது, அதன் வேறுபட்ட சமன்பாடு வழிமுறையாக கணக்கிடப்படலாம். இந்த மறுநிகழ்வு உறவு டெய்லர் தொடரின் விரைவான கணக்கீட்டை அனுமதிக்கிறது, இதனால் எந்த நேரத்திலும் செயல்பாட்டின் மதிப்பை ஒரு தன்னிச்சையான சிறிய சான்றளிக்கப்பட்ட பிழையுடன் அனுமதிக்கிறது. இது கால்குலஸின் பெரும்பாலான செயல்பாடுகளை, அவற்றின் வேறுபட்ட சமன்பாடு மற்றும் ஆரம்ப நிபந்தனைகளால் குறிப்பிடப்படும் முழுமையான செயல்பாடுகளுக்கு மட்டுப்படுத்தப்படும்போது, வழிமுறையாக ஆக்குகிறது. இது ஆன்டிடெரிவேட்டிவ்கள் மற்றும் திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்புகளின் கணக்கீட்டை உள்ளடக்கியது (இது ஒருங்கிணைப்பு இடைவெளியின் இறுதிப் புள்ளிகளில் ஆன்டிடெரிவேட்டிவ் மதிப்பீடு செய்வதற்கு சமம்). முடிவிலியில் செயல்பாட்டின் அறிகுறியற்ற நடத்தையின் கணக்கீடும் இதில் அடங்கும், இதனால் வரம்பற்ற இடைவெளிகளில் திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்புகள் உள்ளன. இந்த செயல்பாடுகள் அனைத்தும் மேப்பிளுக்கான அல்கோலிப் நூலகத்தில் செயல்படுத்தப்படுகின்றன. கணித செயல்பாடுகளின் இயக்கவியல் அகராதியையும் பார்க்கவும். எடுத்துக்காட்டாகஃ காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்புக்கான குறியீட்டு விளைவாகும் (இங்கே சி என்பது ஒருங்கிணைப்பின் மாறிலி), இது ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்புக்கான குறியீட்டு விளைவாகும், மேலும் அதே திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்புக்கான எண் முடிவாகும். மேலும் காண்க குறிப்புகள் வெளிப்புற இணைப்புகள் வொல்ப்ராம் ஒருங்கிணைப்பாளர்-கணித கணினி இயற்கணிதத்துடன் இலவச ஆன்லைன் குறியீட்டு ஒருங்கிணைப்பு வேறுபட்ட இயற்கணிதம்