Combinatorial principles
ஒருங்கிணைப்பில் முடிவுகளை நிரூபிப்பதில் பல பயனுள்ள ஒருங்கிணைந்த விதிகள் அல்லது ஒருங்கிணைந்த கொள்கைகள் பொதுவாக அங்கீகரிக்கப்பட்டு பயன்படுத்தப்படுகின்றன. கூட்டுத்தொகை விதி, விளைபொருளின் விதி மற்றும் உள்ளடக்கம்-விலக்கு கொள்கை ஆகியவை பெரும்பாலும் கணக்கீட்டு நோக்கங்களுக்காகப் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. இரண்டு தொகுப்புகள் ஒரே எண்ணிக்கையிலான உறுப்புகளைக் கொண்டுள்ளன என்பதை நிரூபிக்க புறநிலை சான்றுகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. புறா துளை கொள்கை பெரும்பாலும் ஏதோவொன்றின் இருப்பை உறுதிப்படுத்துகிறது அல்லது ஒரு தனித்துவமான சூழலில் எதையாவது குறைந்தபட்ச அல்லது அதிகபட்ச எண்ணிக்கையை தீர்மானிக்க பயன்படுத்தப்படுகிறது. இரட்டை எண்ணும் முறைகள் அல்லது வேறுபட்ட உறுப்புகளின் முறையிலிருந்து பல ஒருங்கிணைந்த அடையாளங்கள் எழுகின்றன. செயல்பாடுகளை உருவாக்குதல் மற்றும் மீண்டும் நிகழும் உறவுகள் ஆகியவை சக்திவாய்ந்த கருவிகளாகும், அவை வரிசைகளை கையாள பயன்படுத்தப்படலாம், மேலும் பல ஒருங்கிணைந்த சூழ்நிலைகளைத் தீர்க்காவிட்டாலும் விவரிக்க முடியும். கூட்டுத்தொகையின் விதி என்பது ஒரு நிகழ்வுக்கு சாத்தியமான விளைவுகள் (அல்லது ஏதாவது செய்வதற்கான வழிகள்) மற்றும் மற்றொரு நிகழ்வுக்கு சாத்தியமான விளைவுகள் (அல்லது மற்றொரு காரியத்தைச் செய்வதற்கான வழிகள்) இருந்தால், இரண்டு நிகழ்வுகளும் நிகழ முடியாது (அல்லது இரண்டு விஷயங்களையும் செய்ய முடியாது), பின்னர் நிகழ்வுகளுக்கு a + b மொத்த சாத்தியமான விளைவுகள் உள்ளன (அல்லது விஷயங்களில் ஒன்றைச் செய்வதற்கான மொத்த சாத்தியமான வழிகள்). மேலும் முறைப்படி, இரண்டு வேறுபட்ட தொகுப்புகளின் அளவுகளின் கூட்டுத்தொகை அவற்றின் ஒன்றியத்தின் அளவிற்கு சமம். உற்பத்தியின் விதி என்பது மற்றொரு உள்ளுணர்வுக் கொள்கையாகும், இது ஏதாவது செய்ய ஒரு வழிகள் மற்றும் மற்றொரு விஷயத்தைச் செய்ய ஒரு வழிகள் இருந்தால், இரண்டு விஷயங்களையும் செய்ய ஒரு வழிகள் உள்ளன. சேர்க்கை-விலக்கு கொள்கை சேர்க்கை-விலக்கு கொள்கை பல தொகுப்புகளின் சங்கத்தின் அளவு, ஒவ்வொரு தொகுப்பின் அளவு மற்றும் தொகுப்புகளின் ஒவ்வொரு சாத்தியமான குறுக்குவெட்டின் அளவு ஆகியவற்றை தொடர்புபடுத்துகிறது. இரண்டு தொகுப்புகள் இருக்கும்போது மிகச்சிறிய எடுத்துக்காட்டுஃ A மற்றும் B இன் சங்கமத்தில் உள்ள உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை A மற்றும் B இல் உள்ள உறுப்புகளின் எண்ணிக்கையின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம், அவற்றின் குறுக்குவெட்டில் உள்ள உறுப்புகளின் எண்ணிக்கையைக் கழித்தல். பொதுவாக, இந்தக் கொள்கையின்படி, A1,., ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட தொகுப்பாக இருந்தால், பின்னர் பிரிவின் விதி n வழிகளில் மேற்கொள்ளக்கூடிய ஒரு செயல்முறையைப் பயன்படுத்தி ஒரு பணியைச் செய்ய n/d வழிகள் உள்ளன என்றும், ஒவ்வொரு வழியிலும், n வழிகளில் சரியாக d என்பது வழி w உடன் ஒத்திருக்கிறது என்றும் பிரிவின் விதி கூறுகிறது. புறநிலை ஆதாரம் புறநிலை சான்றுகள் ஒரு தொகுப்பிலிருந்து மற்றொன்றுக்கு ஒரு புறநிலை செயல்பாட்டைக் கண்டுபிடிப்பதன் மூலம் இரண்டு தொகுப்புகள் ஒரே எண்ணிக்கையிலான கூறுகளைக் கொண்டுள்ளன என்பதை நிரூபிக்கின்றன. இரட்டை எண்ணிக்கை என்பது ஒரு தொகுப்பின் அளவை இரண்டு வழிகளில் கணக்கிடும் இரண்டு வெளிப்பாடுகளை சமன் செய்யும் ஒரு நுட்பமாகும். புறா துளை கொள்கை புறா துளை கொள்கை கூறுகிறது, ஒரு உருப்படிகள் ஒவ்வொன்றும் b பெட்டிகளில் ஒன்றில் வைக்கப்பட்டால், அங்கு a> b, பெட்டிகளில் ஒன்றில் ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட உருப்படிகள் உள்ளன. இதைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம், எடுத்துக்காட்டாக, சில குறிப்பிட்ட பண்புகளுடன் ஒரு தொகுப்பில் சில உறுப்புகளின் இருப்பை நிரூபிக்க முடியும். தனித்துவமான தனிமத்தின் முறை தனித்துவமான தனிமத்தின் முறை சில முடிவுகளை நிரூபிக்க ஒரு தொகுப்பின் "தனித்துவமான உறுப்பை" தனிமைப்படுத்துகிறது. செயல்பாடுகளை உருவாக்கும் செயல்பாடுகளை எண்ணற்ற பல சொற்களைக் கொண்ட பல்லுறுப்புக்கோவைகளாக கருதலாம், அதன் குணகங்கள் ஒரு வரிசையின் சொற்களுடன் ஒத்திருக்கின்றன. வரிசையின் இந்த புதிய பிரதிநிதித்துவம் சில வரிசைகள் தொடர்பான அடையாளங்கள் மற்றும் மூடிய வடிவங்களைக் கண்டுபிடிப்பதற்கான புதிய முறைகளைத் திறக்கிறது. ஒரு வரிசையின் (சாதாரண) உருவாக்கும் செயல்பாடு மறுநிகழ்வு உறவு ஒரு மறுநிகழ்வு உறவு ஒரு வரிசையின் ஒவ்வொரு சொல்லையும் முந்தைய சொற்களின் அடிப்படையில் வரையறுக்கிறது. தொடர்ச்சியான உறவுகள் ஒரு வரிசையின் முன்பு அறியப்படாத பண்புகளுக்கு வழிவகுக்கலாம், ஆனால் பொதுவாக ஒரு வரிசையின் விதிமுறைகளுக்கான மூடிய வடிவ வெளிப்பாடுகள் மிகவும் விரும்பப்படுகின்றன. குறிப்புகள் கணிதக் கோட்பாடுகள்