Semidirect product
கணிதத்தில், குறிப்பாக குழு கோட்பாட்டில், ஒரு அரை மறைமுக தயாரிப்பு என்ற கருத்து ஒரு நேரடி உற்பத்தியின் பொதுமைப்படுத்தலாகும். அரை மறைமுக தயாரிப்பு பற்றி இரண்டு நெருக்கமான தொடர்புடைய கருத்துக்கள் உள்ளனஃ ஒரு உள் அரை மறைமுக தயாரிப்பு என்பது ஒரு குழுவை இரண்டு துணைக்குழுக்களால் உருவாக்கக்கூடிய ஒரு குறிப்பிட்ட வழியாகும், அவற்றில் ஒன்று சாதாரண துணைக்குழுவாகும். ஒரு வெளிப்புற அரை மறைமுக தயாரிப்பு என்பது கார்ட்டீசியன் தயாரிப்பை ஒரு தொகுப்பாகவும் ஒரு குறிப்பிட்ட பெருக்க செயல்பாடாகவும் பயன்படுத்துவதன் மூலம் கொடுக்கப்பட்ட இரண்டு குழுக்களிலிருந்து ஒரு புதிய குழுவை உருவாக்குவதற்கான ஒரு வழியாகும். நேரடி தயாரிப்புகளைப் போலவே, உள் மற்றும் வெளிப்புற அரை மறைமுக தயாரிப்புகளுக்கு இடையே இயற்கையான சமநிலை உள்ளது, மேலும் இரண்டும் பொதுவாக அரை மறைமுக தயாரிப்புகள் என்று குறிப்பிடப்படுகின்றன. வரையறுக்கப்பட்ட குழுக்களுக்கு, ஷுர்-ஸாசென்ஹாஸ் தேற்றம் ஒரு சிதைவு ஒரு அரை மறைமுக விளைபொருளாக இருப்பதற்கு போதுமான நிபந்தனையை வழங்குகிறது (பிளவு நீட்டிப்பு என்றும் அழைக்கப்படுகிறது). உள் அரை மறைமுக தயாரிப்பு வரையறைகள் அடையாள உறுப்பு, ஒரு துணைக்குழு மற்றும் ஒரு சாதாரண துணைக்குழுவைக் கொண்ட ஒரு குழுவைப் பொறுத்தவரை, பின்வரும் அறிக்கைகள் சமமானவைஃ துணைக்குழுக்களின் பெருக்கல், மற்றும் இந்த துணைக்குழுக்கள் அற்பமான குறுக்குவெட்டுகளைக் கொண்டுள்ளனஃ ஒவ்வொருவருக்கும், தனித்துவமான மற்றும் அத்தகையவை உள்ளன. ஒவ்வொருவருக்கும், தனித்துவமான மற்றும் அத்தகையவை உள்ளன. இயற்கையான திட்டத்துடன் இயற்கையான உட்பொதிப்பின் கலவையானது மற்றும் ஈவுக் குழுவிற்கு இடையிலான ஒரு ஐசோமார்பிசம் ஆகும். ஒரு ஹோமோமார்பிசம் உள்ளது, அது அடையாளம் மற்றும் அதன் கர்னல். வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், குழுக்களின் பிளவு சரியான வரிசை உள்ளது (இது குழுவின் நீட்டிப்பு என்றும் அழைக்கப்படுகிறது). இந்த அறிக்கைகளில் ஏதேனும் ஒன்று இருந்தால் (எனவே அவை அனைத்தும் அவற்றின் சமநிலையால் வைத்திருக்கின்றன), எழுதப்பட்ட அல்லது அல்லது பிரிந்த அரை மறைமுக தயாரிப்பு என்று நாம் கூறுகிறோம்; இது செயல்பாட்டின் அரை மறைமுக தயாரிப்பு அல்லது மற்றும் அரை மறைமுக தயாரிப்பு கூட என்று ஒருவர் கூறுகிறார். தெளிவின்மையைத் தவிர்க்க, சாதாரண துணைக்குழு எது என்பதைக் குறிப்பிடுவது நல்லது. இருந்தால், ஒரு குழு ஹோமோமார்பிசம் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது, மற்றும், நம்மிடம் உள்ளது. உள் மற்றும் வெளிப்புற அரை மறைமுக விளைபொருள்களை முதலில் உள் அரை மறைமுக விளைபொருளைக் கருத்தில் கொள்வோம். இந்த விஷயத்தில், ஒரு குழுவைப் பொறுத்தவரை, அதன் இயல்பான துணைக்குழு மற்றும் துணைக்குழுவைக் கவனியுங்கள் (இயல்பானதாக இருக்க வேண்டிய அவசியமில்லை). மேலே உள்ள பட்டியலில் உள்ள நிபந்தனைகள் பொருந்தும் என்று வைத்துக்கொள்வோம். அனைத்து தானியங்கிகளின் குழுவையும் குறிக்கலாம், இது கலவையின் கீழ் உள்ள ஒரு குழுவாகும். உள்ளேயும் உள்ளேயும் உள்ள அனைத்திற்கும், இணைப்பால் வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு குழு ஹோமோமார்பிசத்தை உருவாக்கவும். இந்த வழியில், உள்ளேயும் உள்ளேயும் வரையறுக்கப்பட்ட குழு செயல்பாட்டுடன் ஒரு குழுவை உருவாக்க முடியும். துணைக்குழுக்கள் மற்றும் ஐசோமார்பிசம் வரை தீர்மானிக்கப்படுகின்றன, நாம் பின்னர் காண்பிப்போம். இந்த வழியில், அதன் துணைக்குழுக்களிலிருந்து குழுவை நாம் உருவாக்க முடியும். இந்த வகையான கட்டுமானம் உள் அரை மறைமுக தயாரிப்பு (உள் அரை மறைமுக தயாரிப்பு என்றும் அழைக்கப்படுகிறது) என்று அழைக்கப்படுகிறது. இப்போது வெளிப்புற அரை மறைமுக தயாரிப்பைக் கருத்தில் கொள்வோம். ஏதேனும் இரண்டு குழுக்கள் மற்றும் ஒரு குழு ஹோமோமார்பிசம் கொடுக்கப்பட்டால், ஒரு புதிய குழுவை நாம் உருவாக்க முடியும், இது வெளிப்புற அரை மறைமுக தயாரிப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது, இது பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறதுஃ இது ஒரு குழுவை வரையறுக்கிறது, இதில் அடையாள உறுப்பு மற்றும் உறுப்பின் தலைகீழ் உள்ளது. ஜோடிகள் ஒரு சாதாரண துணைக்குழு ஐசோமார்பிக்கை உருவாக்குகின்றன, அதே நேரத்தில் ஜோடிகள் ஒரு துணைக்குழு ஐசோமார்பிக்கை உருவாக்குகின்றன. முழு குழுவும் முன்பு கொடுக்கப்பட்ட அர்த்தத்தில் அந்த இரண்டு துணைக்குழுக்களின் அரை மறைமுக தயாரிப்பு ஆகும். இதற்கு நேர்மாறாக, ஒரு சாதாரண துணைக்குழு மற்றும் ஒரு துணைக்குழுவைக் கொண்ட ஒரு குழு நமக்கு வழங்கப்பட்டுள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம், அதாவது ஒவ்வொரு உறுப்பும் இருக்கும் மற்றும் இருக்கும் வடிவத்தில் தனித்துவமாக எழுதப்படலாம். அனைவருக்கும் வழங்கப்பட்ட ஹோமோமார்பிசம் (எழுதப்பட்ட) ஆக இருக்கட்டும். பின்னர் அரை மறைமுக விளைபொருளுக்கு ஐசோமார்பிக் ஆகும். சிதைவின் தனித்துவம் காரணமாக ஐசோமார்பிசம் நன்கு வரையறுக்கப்படுகிறது. இதில், நம்மிடம் உள்ளது எனவே, மற்றும் நாம் பெறுவது இது ஒரு ஹோமோமார்பிசம் என்பதை நிரூபிக்கிறது. இது வெளிப்படையாக ஒரு எபிமார்பிசம் மற்றும் மோனோமார்பிசம் என்பதால், அது உண்மையில் ஒரு ஐசோமார்பிசம் ஆகும். இது பெருக்கல் விதியின் வரையறையையும் விளக்குகிறது. நேரடி தயாரிப்பு என்பது அரை மறைமுக உற்பத்தியின் ஒரு சிறப்பு வழக்கு. இதைப் பார்க்க, அற்பமான ஹோமோமார்பிசமாக இருக்கட்டும் (அதாவது, ஒவ்வொரு உறுப்பையும் அடையாள தானியங்கியலுக்கு அனுப்புவது) பின்னர் நேரடி தயாரிப்பு ஆகும். குழுக்களுக்கான பிளவு லெம்மாவின் ஒரு பதிப்பு, ஒரு குழு இரண்டு குழுக்களின் அரை மறைமுக பெருக்கலுக்கு ஐசோமார்பிக் என்றும், ஒரு குறுகிய துல்லியமான வரிசை மற்றும் ஒரு குழு ஹோமோமார்பிசம் இருந்தால் மட்டுமே, அடையாள வரைபடம் இருக்கும் என்றும் கூறுகிறது. இந்த வழக்கில், மூலம் வழங்கப்படுகிறது, எடுத்துக்காட்டுகள் டைஹெட்ரல் குழு உறுப்புகளுடன் கூடிய டைஹெட்ரல் குழு சுழற்சி குழுக்களின் அரை மறைமுக தயாரிப்புக்கு ஐசோமார்பிக் ஆகும் மற்றும். இங்கே, உறுப்புகளை தலைகீழாக மாற்றுவதன் மூலம் செயல்பாடுகளின் அடையாளம் அல்லாத உறுப்பு; இது அபெலியன் என்பதால் இது ஒரு தானியங்கி உருவகம். இந்த குழுவிற்கான விளக்கக்காட்சி பின்வருமாறுஃ சுழற்சி குழுக்கள் மேலும் பொதுவாக, ஜெனரேட்டருடன் மற்றும் ஜெனரேட்டருடன் எந்த இரண்டு சுழற்சி குழுக்களின் அரை மறைமுக தயாரிப்பு ஒரு கூடுதல் உறவால் வழங்கப்படுகிறது, உடன் மற்றும் கோப்ரைம், மற்றும்; அதாவது, விளக்கக்காட்சிஃ கோப்ரைம் என்றால், ஒரு ஜெனரேட்டர் மற்றும், எனவே விளக்கக்காட்சிஃ முந்தைய குழுவிற்கு ஒரு குழு ஐசோமார்பிக் கொடுக்கிறது. ஒரு குழுவின் ஹோலோமார்ப் ஒரு அரை-நேரடி பெருக்கலாக வெளிப்படுத்தப்படும் குழுவின் ஒரு நியமன எடுத்துக்காட்டு ஒரு குழுவின் ஹோலோமார்ப் ஆகும். இது ஒரு குழுவின் தானியங்கி குழு எங்கே என்று வரையறுக்கப்படுகிறது மற்றும் கட்டமைப்பு வரைபடம் சரியான செயல்பாட்டிலிருந்து வருகிறது. உறுப்புகளின் பெருக்கத்தைப் பொறுத்தவரை, இது குழு கட்டமைப்பை க்ளீன் பாட்டிலின் அடிப்படை குழுவை வழங்குகிறது க்ளீன் பாட்டிலின் அடிப்படை குழுவை வடிவத்தில் வழங்க முடியும், எனவே இது முழு எண்களின் குழுவின் அரை மறைமுக தயாரிப்பு ஆகும். தொடர்புடைய ஹோமோமார்பிசம் இதன் மூலம் வழங்கப்படுகிறது. மேல் முக்கோண மேட்ரிக்ஸ்கள் பூஜ்ஜியமற்ற தீர்மானிப்பதைக் கொண்ட மேல் முக்கோண மேட்ரிக்ஸ்களின் குழு, அதாவது மூலைவிட்டத்தில் பூஜ்ஜியமற்ற உள்ளீடுகளுடன், அரை மறைமுக பெருக்கலாக ஒரு சிதைவைக் கொண்டுள்ளது, அங்கு மூலைவிட்டத்தில் மட்டுமே உள்ள மேட்ரிக்ஸின் துணைக் குழு, இது மேல் யூனிட்டிரியங்குலர் மேட்ரிக்ஸ் குழு என்று அழைக்கப்படுகிறது, மேலும் இது மூலைவிட்ட மேட்ரிக்ஸின் துணைக் குழுவாகும். ஆன் இன் குழு நடவடிக்கை மேட்ரிக்ஸ் பெருக்கத்தால் தூண்டப்படுகிறது. நாம் அமைத்தால், பின்னர் அவற்றின் மேட்ரிக்ஸ் தயாரிப்பு இது தூண்டப்பட்ட குழு நடவடிக்கையை வழங்குகிறது ஒரு மேட்ரிக்ஸை மேட்ரிக்ஸ்களால் குறிக்க முடியும் மற்றும். எனவே. தளத்தில் உள்ள ஐசோமீட்டரிகளின் குழு தளத்தின் அனைத்து கடினமான இயக்கங்களின் (ஐசோமீட்டரிகள்) யூக்ளிடியன் குழு (வரைபடங்கள், யூக்ளிடியன் தூரம் மற்றும் அனைத்திற்கும் மற்றும் அனைத்திற்கும் இடையிலான தூரத்திற்கு சமம்) அபெலியன் குழுவின் (மொழிபெயர்ப்புகளை விவரிக்கும்) மற்றும் ஆர்த்தோகனல் மேட்ரிக்ஸின் குழுவின் (தோற்றத்தை நிலையாக வைத்திருக்கும் சுழற்சிகள் மற்றும் பிரதிபலிப்புகளை விவரிக்கும்) அரை மறைமுக பெருக்கலுக்கு ஐசோமார்பிக் ஆகும். ஒரு மொழிபெயர்ப்பைப் பயன்படுத்துவது, பின்னர் ஒரு சுழற்சி அல்லது பிரதிபலிப்பு முதலில் சுழற்சி அல்லது பிரதிபலிப்பைப் பயன்படுத்துவது போன்ற அதே விளைவைக் கொண்டுள்ளது, பின்னர் சுழற்றப்பட்ட அல்லது பிரதிபலித்த மொழிபெயர்ப்பு திசையன் (அதாவது. அசல் மொழிபெயர்ப்பின் இணைப்பைப் பயன்படுத்துதல்). மொழிபெயர்ப்புகளின் குழு யூக்ளிடியன் குழுவின் ஒரு இயல்பான துணைக்குழு என்றும், யூக்ளிடியன் குழு மொழிபெயர்ப்புக் குழுவின் அரை மறைமுக தயாரிப்பு என்றும், அதனுடன் தொடர்புடைய ஒத்த உருவகம் அணி பெருக்கத்தால் வழங்கப்படுகிறது என்றும் இது காட்டுகிறதுஃ ஆர்த்தோகனல் குழு O (n) அனைத்து ஆர்த்தோகனல் ரியல் மேட்ரிக்ஸின் ஆர்த்தோகனல் குழு (உள்ளுணர்வாக அனைத்து சுழற்சிகள் மற்றும் தோற்றத்தை நிலையானதாக வைத்திருக்கும் பரிமாண இடைவெளியின் பிரதிபலிப்புகளின் தொகுப்பு) குழுவின் அரை மறைமுக பெருக்கலுக்கு ஐசோமார்பிக் ஆகும் (அனைத்து ஆர்த்தோகனல் மேட்ரிக்ஸ்களையும் தீர்மானிப்பவர்களுடன், உள்ளுணர்வாக பரிமாண இடைவெளியின் சுழற்சிகளைக் கொண்டுள்ளது) மற்றும். மேட்ரிக்ஸின் பெருக்கக் குழுவாக நாம் பிரதிநிதித்துவப்படுத்தினால், தோற்றத்தை நிலையாக வைத்திருக்கும் பரிமாண இடைவெளியின் பிரதிபலிப்பு எங்கே (அதாவது, ஒரு ஈடுபாட்டைக் குறிக்கும் தீர்மானிப்பதைக் கொண்ட ஒரு ஆர்த்தோகனல் மேட்ரிக்ஸ்), பின்னர் உள்ள மற்றும் உள்ள அனைத்து H க்கும் வழங்கப்படுகிறது. அற்பமான வழக்கில் (அடையாளம் அல்ல) இதன் பொருள் பிரதிபலிப்பு மூலம் செயல்பாடுகளை இணைத்தல் (முப்பரிமாண இடத்தில் ஒரு சுழற்சி அச்சு மற்றும் சுழற்சியின் திசை அவற்றின் "கண்ணாடி படம்" மூலம் மாற்றப்படுகிறது). அரை-நேரியல் உருமாற்றங்கள் ஒரு புலத்தின் மீது ஒரு திசையன் இடத்தில் அரை-நேரியல் உருமாற்றங்களின் குழு, பெரும்பாலும் குறிக்கப்படுகிறது, நேரியல் குழுவின் (ஒரு சாதாரண துணைக்குழு) அரை-நேரடி பெருக்கலுக்கு ஐசோமார்பிக் ஆகும். படிகவியல் குழுக்கள் படிகவியலில், ஒரு படிகத்தின் விண்வெளி குழு புள்ளி குழு மற்றும் மொழிபெயர்ப்புக் குழுவின் அரை மறைமுக தயாரிப்பாகப் பிரிகிறது, விண்வெளி குழு சிம்மார்பிக் ஆக இருந்தால் மட்டுமே. சமச்சீரற்ற விண்வெளி குழுக்கள் புள்ளி குழுக்களைக் கொண்டுள்ளன, அவை விண்வெளி குழுவின் துணைக்குழுவாகக் கூட இல்லை, இது அவற்றின் பகுப்பாய்வில் உள்ள பெரும்பாலான சிக்கல்களுக்கு காரணமாகும். எடுத்துக்காட்டுகள் அல்லாதவை நிச்சயமாக, எந்த எளிய குழுவையும் அரை-நேரடி தயாரிப்பாக வெளிப்படுத்த முடியாது (ஏனெனில் அவை அற்பமான இயல்பான துணைக்குழுக்களைக் கொண்டிருக்கவில்லை), ஆனால் அற்பமான இயல்பான துணைக்குழுவைக் கொண்ட குழுக்களின் சில பொதுவான எதிர் எடுத்துக்காட்டுகள் உள்ளன, இருப்பினும் அவற்றை அரை-நேரடி தயாரிப்பாக வெளிப்படுத்த முடியாது. ஒவ்வொரு குழுவையும் ஒரு பிளவு நீட்டிப்பாக வெளிப்படுத்த முடியாது என்றாலும், அத்தகைய குழுவை உலகளாவிய உட்பொதிக்கும் தேற்றத்தால் மாலை உற்பத்தியில் உட்பொதிக்க முடியும் என்பதை இது காட்டுகிறது. Z4 சுழற்சி குழு ஒரு எளிய குழு அல்ல, ஏனெனில் இது வரிசை 2 இன் துணைக்குழுவைக் கொண்டுள்ளது, அதாவது ஒரு துணைக்குழு மற்றும் அவற்றின் ஈவு, எனவே ஒரு நீட்டிப்பு உள்ளது. நீட்டிப்பு பிரிக்கப்பட்டால், குழு ஐசோமார்பிக் ஆக இருக்கும். கேள்வி 8 எட்டு குவாட்டர்னியன்களின் குழு எங்கே மற்றும், அற்பமான இயல்பான துணைக்குழுக்களைக் கொண்ட ஒரு குழுவின் மற்றொரு எடுத்துக்காட்டு இன்னும் பிரிக்கப்படவில்லை. எடுத்துக்காட்டாக, இதன் மூலம் உருவாக்கப்படும் துணைக்குழு ஐசோமார்பிக் மற்றும் இயல்பானது. இது உருவாக்கப்பட்ட வரிசையின் துணைக்குழுவையும் கொண்டுள்ளது. இதன் பொருள் பின்வரும் கற்பனையான சரியான குழுக்களின் வரிசையில் ஒரு பிளவு நீட்டிப்பாக இருக்க வேண்டும்ஃ, ஆனால் அத்தகைய சரியான வரிசை இல்லை. குணகங்களுடன் முதல் குழு ஒத்திசைவியல் குழுவைக் கணக்கிடுவதன் மூலம் இதைக் காட்டலாம், எனவே இந்த நீட்டிப்புகளில் உள்ள இரண்டு குழுக்களையும் டைஹெட்ரல் குழுவையும் குறிப்பிடலாம். ஆனால், இந்த குழுக்கள் எதுவும் ஐசோமார்பிக் ஆக இல்லாததால், குவாட்டர்னியன் குழு பிரிக்கப்படவில்லை. ஐசோமார்பிசம்களின் இந்த இல்லாத தன்மையை அற்பமான நீட்டிப்பு அபெலியன் என்றாலும் அபெலியன் அல்லாதது என்பதைக் குறிப்பிடுவதன் மூலம் சரிபார்க்கலாம், மேலும் சாதாரண துணைக்குழுக்கள் மட்டுமே உள்ளன மற்றும், ஆனால் மூன்று துணைக்குழுக்களுக்கு ஐசோமார்பிக் உள்ளது. பண்புகள் இயல்பான துணைக்குழு மற்றும் துணைக்குழுவின் அரை மறைமுக தயாரிப்பு மற்றும் இரண்டும் வரையறுக்கப்பட்ட மற்றும் வரையறுக்கப்பட்டதாக இருந்தால், அதன் வரிசை மற்றும் வரிசைகளின் பெருக்கலுக்கு சமம். இது கார்ட்டீசியன் உற்பத்தியின் அடிப்படை தொகுப்பாகும் மற்றும் வெளிப்புற அரை மறைமுக உற்பத்தியின் அதே வரிசையில் உள்ளது என்பதிலிருந்து இது பின்பற்றப்படுகிறது. நேரடி தயாரிப்புகளுடனான உறவு சாதாரண துணைக்குழு மற்றும் துணைக்குழுவின் அரை மறைமுக தயாரிப்பு என்று வைத்துக்கொள்வோம். கர்னலில் உள்ள அடையாளமாக ஒரு ஹோமோமார்பிசம் இருந்தால், அது இயல்பானதாகவோ அல்லது அதற்கு சமமாகவோ இருந்தால், அது மற்றும் இன் நேரடி பெருக்கல் ஆகும். இரண்டு குழுக்களின் நேரடி தயாரிப்பு மற்றும் அனைத்திற்கும் அரை மறைமுக தயாரிப்பு என்று கருதலாம். ஒரு நேரடி பெருக்கத்தில், காரணிகளின் வரிசை முக்கியமல்ல என்பதை நினைவில் கொள்க, ஏனெனில் இது ஐசோமார்பிக் ஆகும். இரண்டு காரணிகளும் வெவ்வேறு பாத்திரங்களை வகிப்பதால், அரை மறைமுக தயாரிப்புகளுக்கு இது பொருந்தாது. மேலும், காரணி குழுக்கள் அபெலியனாக இருந்தாலும், ஒரு (சரியான) அரை மறைமுக உற்பத்தியின் விளைவு ஒருபோதும் ஒரு அபெலியன் குழுவாக இருக்காது. அரை மறைமுக விளைபொருள்களின் தனித்துவம் இல்லாதது (மேலும் எடுத்துக்காட்டுகள்) நேரடி விளைபொருளின் விஷயத்தில் மாறாக, இரண்டு குழுக்களின் அரை மறைமுக விளைபொருள் பொதுவாக தனித்துவமானது அல்ல; இரண்டு குழுக்களும் ஒரு சாதாரண துணைக்குழுவாகவும் ஒரு துணைக்குழுவாகவும் ஐசோமார்பிக் நகல்களைக் கொண்டிருந்தால், இரண்டும் மற்றும் இன் அரை மறைமுக விளைபொருளாகும், பின்னர் அது அதைப் பின்பற்றாது மற்றும் ஐசோமார்பிக் ஆகும், ஏனெனில் அரை மறைமுக விளைபொருளும் ஆன் செயல்பாட்டின் தேர்வைப் பொறுத்தது. எடுத்துக்காட்டாக, வரிசை 16 இன் நான்கு ஐசோமார்பிக் அல்லாத குழுக்கள் உள்ளன, அவை மற்றும் இன் அரை மறைமுக தயாரிப்புகளாகும்; இந்த விஷயத்தில், இது ஒரு சாதாரண துணைக்குழுவாக இருக்க வேண்டும், ஏனெனில் இது குறியீடு 2 ஐக் கொண்டுள்ளது. இந்த நான்கு அரை மறைமுக தயாரிப்புகளில் ஒன்று நேரடி தயாரிப்பு, மற்ற மூன்று அபேலியன் அல்லாத குழுக்கள்ஃ வரிசையின் டைஹெட்ரல் குழு 16 வரிசையின் குவாசிடிஹெட்ரல் குழு 16 வரிசையின் இவாசாவா குழு 16 கொடுக்கப்பட்ட குழு ஒரு அரை மறைமுக தயாரிப்பு என்றால், இந்த சிதைவு தனித்துவமானது என்பதற்கு எந்த உத்தரவாதமும் இல்லை. எடுத்துக்காட்டாக, வரிசை 24 இன் ஒரு குழு உள்ளது (வரிசை 4 இன் ஆறு கூறுகள் மற்றும் வரிசை 6 இன் ஆறு கூறுகளைக் கொண்ட ஒரே ஒன்று) இது பின்வரும் வழிகளில் அரை மறைமுக விளைபொருளாக வெளிப்படுத்தப்படலாம்ஃ பொதுவாக, குழுக்களில் அரை மறைமுக தயாரிப்புகள் இருப்பதற்கு அறியப்பட்ட தன்மை (அதாவது, அவசியமான மற்றும் போதுமான நிபந்தனை) இல்லை. இருப்பினும், சில போதுமான நிபந்தனைகள் அறியப்பட்டுள்ளன, அவை சில சந்தர்ப்பங்களில் இருப்பதை உறுதி செய்கின்றன. வரையறுக்கப்பட்ட குழுக்களுக்கு, ஷுர்-ஸாசென்ஹாஸ் தேற்றம் இயல்பான துணைக்குழுவின் வரிசை ஈவுக் குழுவின் வரிசைக்கு இணையாக இருக்கும்போது ஒரு அரை மறைமுக தயாரிப்பு இருப்பதை உறுதி செய்கிறது. எடுத்துக்காட்டாக, ஷுர்-ஸாசென்ஹாஸ் தேற்றம் வரிசை 6 இன் குழுக்களுக்கு இடையில் ஒரு அரை-நேரடி தயாரிப்பு இருப்பதைக் குறிக்கிறது; அத்தகைய இரண்டு தயாரிப்புகள் உள்ளன, அவற்றில் ஒன்று நேரடி தயாரிப்பு, மற்றொன்று ஒரு டைஹெட்ரல் குழு. இதற்கு மாறாக, ஷுர்-ஸாசென்ஹாஸ் தேற்றம் 4ஆம் வரிசையின் குழுக்கள் அல்லது 8ஆம் வரிசையின் குழுக்கள் பற்றி எதுவும் கூறவில்லை. பொதுமைப்படுத்தல்கள் குழு கோட்பாட்டிற்குள், அரை மறைமுக தயாரிப்புகளின் கட்டுமானத்தை இன்னும் அதிகமாகத் தள்ள முடியும். குழுக்களின் சப்பா-செப் தயாரிப்பு ஒரு பொதுமைப்படுத்தலாகும், அதன் உள் பதிப்பில், இரண்டு துணைக்குழுக்களும் இயல்பானவை என்று கருதவில்லை. வளையக் கோட்பாட்டில் ஒரு கட்டுமானமும் உள்ளது, வளையங்களின் குறுக்கு விளைபொருள். இது குழுக்களின் அரை மறைமுக தயாரிப்புக்கான குழு வளையத்திலிருந்து இயற்கையான வழியில் கட்டப்பட்டுள்ளது. வளைய-கோட்பாட்டு அணுகுமுறையை லை ஆல்ஜிப்ராக்களின் அரை மறைமுக கூட்டுத்தொகைக்கு மேலும் பொதுமைப்படுத்தலாம். வடிவவியலைப் பொறுத்தவரை, ஒரு இடவியல் இடத்தில் குழு நடவடிக்கைகளுக்கு ஒரு குறுக்கு விளைபொருளும் உள்ளது; துரதிர்ஷ்டவசமாக, குழு அபெலியனாக இருந்தாலும் இது பொதுவாக பரிமாற்றமற்றது. இந்த சூழலில், அரை மறைமுக தயாரிப்பு என்பது குழு நடவடிக்கையின் சுற்றுப்பாதைகளின் இடமாகும். பிந்தைய அணுகுமுறை வழக்கமான இடவியல் நுட்பங்களின் அணுகுமுறைகளுக்கு மாற்றாக அலைன் கோன்ஸ் என்பவரால் வெற்றிபெறுகிறது; c. f. பரிமாற்றமற்ற வடிவியல். அரை மறைமுக தயாரிப்பு என்பது வகைக் கோட்பாட்டில் கிரோதெண்டிக் கட்டுமானத்தின் ஒரு சிறப்பு வழக்கு ஆகும். குறிப்பாக, ஒரு செயல் (குழுவை மதிப்பது, அல்லது மோனாய்டு அமைப்பு கூட) என்பது H உடன் தொடர்புடைய குழுவிலிருந்து (ஒரு பொருள் * ஐக் கொண்டிருப்பது, அதன் எண்டோமார்பிசம் H ஆகும்) தனித்துவமான பொருள் வரைபடமாக்கப்பட்ட வகைகளின் வகைக்கு ஒரு செயல்பாட்டைப் போன்றது. இந்த ஃபன்க்டரின் கிரோதெண்டிக் கட்டுமானம் அரை மறைமுக தயாரிப்புக்கு (குரூபாய்டு தொடர்புடையது) சமம். குரூபாய்டுகள் மற்றொரு பொதுமைப்படுத்தல் குரூபாய்டுகளுக்கு ஆகும். இது இடவியலில் நிகழ்கிறது, ஏனெனில் ஒரு குழு ஒரு இடத்தில் செயல்பட்டால் அது இடத்தின் அடிப்படை குழுவிலும் செயல்படுகிறது. அரை மறைமுக தயாரிப்பு பின்னர் சுற்றுப்பாதை இடத்தின் அடிப்படை குழுவைக் கண்டுபிடிப்பதற்கு பொருத்தமானது. முழு விவரங்களுக்கு கீழே குறிப்பிடப்பட்டுள்ள புத்தகத்தின் அத்தியாயம் 11 ஐப் பார்க்கவும், மேலும் ncatlab இல் அரை மறைமுக தயாரிப்பில் சில விவரங்களையும் பார்க்கவும். அபெலியன் பிரிவுகள் அற்பமான அரை மறைமுக தயாரிப்புகள் தொகுதிகளின் வகை போன்ற அபெலியன் பிரிவுகளில் எழுவதில்லை. இந்த வழக்கில், பிளவு லெம்மா ஒவ்வொரு அரை மறைமுக தயாரிப்பு ஒரு நேரடி தயாரிப்பு என்று காட்டுகிறது. இவ்வாறு அரை மறைமுக தயாரிப்புகளின் இருப்பு வகை அபெலியனாக இருப்பதில் ஏற்பட்ட தோல்வியை பிரதிபலிக்கிறது. குறிப்பு பொதுவாக ஒரு குழுவில் செயல்படும் ஒரு குழுவின் அரை மறைமுக தயாரிப்பு (பெரும்பாலான சந்தர்ப்பங்களில் ஒரு பொதுவான குழுவின் துணைக்குழுக்களாக இணைப்பதன் மூலம்) அல்லது மூலம் குறிக்கப்படுகிறது. இருப்பினும், சில ஆதாரங்கள் இந்த சின்னத்தை எதிர் அர்த்தத்துடன் பயன்படுத்தலாம். நடவடிக்கை வெளிப்படையாக செய்யப்பட வேண்டும் என்றால், ஒருவர் எழுதுகிறார். சின்னத்தைப் பற்றி சிந்திக்க ஒரு வழி சாதாரண துணைக்குழு () க்கான சின்னம் மற்றும் தயாரிப்பு () க்கான சின்னத்தின் கலவையாகும். பாரி சைமன், குழு பிரதிநிதித்துவக் கோட்பாடு குறித்த தனது புத்தகத்தில், அரை மறைமுக தயாரிப்புக்கான அசாதாரண குறியீட்டைப் பயன்படுத்துகிறார். யூனிகோட் நான்கு வகைகளை பட்டியலிடுகிறதுஃ {| வகுப்பு = "விக்கி செய்யக்கூடியது"! ! ! மதிப்பு! ! mathML! ! யூனிகோட் விளக்கம் |-| | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | LaTeX இல், கட்டளைகள் \rtimes மற்றும் \ltimes தொடர்புடைய எழுத்துக்களை உருவாக்குகின்றன. ஏஎம்எஸ் குறியீடுகள் தொகுப்பு ஏற்றப்பட்டவுடன், \leftthrietthymes உருவாகிறது மற்றும் \reftthrietthymes உருவாகிறது. அஃபைன் லை அல்ஜிப்ரா கிரோதெண்டிக் கட்டுமானத்தையும் பார்க்கவும், இது அரை மறைமுக தயாரிப்பு ஹோலோமார்ப் லை அல்ஜிப்ரா அரை மறைமுக தொகை துணை மறைமுக தயாரிப்பு மலர் தயாரிப்பு சப்பா-செப் தயாரிப்பு குறுக்கு தயாரிப்பு குறிப்புகள் குறிப்புகள் குழு தயாரிப்புகளை பொதுமைப்படுத்தும் ஒரு வகைப்படுத்தப்பட்ட கட்டுமானமாகும்.