Dyadic transformation
டயாடிக் மாற்றம் (டயாடிக் வரைபடம், பிட் ஷிப்ட் வரைபடம், 2x மோட் 1 வரைபடம், பெர்னௌலி வரைபடம், இரட்டிப்பு வரைபடம் அல்லது சாட்டூத் வரைபடம் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது) என்பது விதியால் உருவாக்கப்பட்ட வரைபடம் (அதாவது, மீண்டும் நிகழும் உறவு) (வரிசைகளின் தொகுப்பு எங்கிருந்து வருகிறது) ஆகும். சமமாக, டயாடிக் மாற்றத்தை துண்டுப்பிரதியாக நேரியல் செயல்பாட்டின் மறு செய்கை செயல்பாட்டு வரைபடமாகவும் வரையறுக்கலாம் பிட் ஷிப்ட் வரைபடம் என்ற பெயர் எழுகிறது, ஏனெனில், ஒரு மறு செய்கையின் மதிப்பு பைனரி குறியீட்டில் எழுதப்பட்டால், அடுத்த மறு செய்கை பைனரி புள்ளியை ஒரு பிட் வலதுபுறமாக மாற்றுவதன் மூலம் பெறப்படுகிறது, மேலும் புதிய பைனரி புள்ளியின் இடதுபுறத்தில் உள்ள பிட் ஒரு "ஒன்று" என்றால், அதை பூஜ்ஜியத்துடன் மாற்றுகிறது. ஒரு எளிய 1 பரிமாண வரைபடம் எவ்வாறு குழப்பத்திற்கு வழிவகுக்கும் என்பதற்கு டயாடிக் மாற்றம் ஒரு உதாரணத்தை வழங்குகிறது. இந்த வரைபடம் மற்ற பலவற்றிற்கு எளிதில் பொதுமைப்படுத்துகிறது. முக்கியமான ஒன்று பீட்டா மாற்றம், என வரையறுக்கப்படுகிறது. இந்த வரைபடம் பல எழுத்தாளர்களால் விரிவாக ஆய்வு செய்யப்பட்டுள்ளது. இது 1957 ஆம் ஆண்டில் ஆல்ஃப்ரெட் ரெனியால் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது, மேலும் 1959 ஆம் ஆண்டில் அலெக்சாண்டர் கெல்ஃபோண்ட் மற்றும் 1960 ஆம் ஆண்டில் பில் பாரி ஆகியோரால் சுயாதீனமாக ஒரு மாறாத அளவீடு வழங்கப்பட்டது. பெர்னௌலி செயல்முறையுடன் தொடர்பு பெர்னௌலி செயல்முறையில் ஒரு ஒத்த உருவமாக வரைபடத்தைப் பெறலாம். எழுத்துக்கள் மற்றும் அனைத்து அரை எல்லையற்ற சரங்களின் தொகுப்பாக இருக்கட்டும். இவை தலைகள் அல்லது வால்கள் மேலே வரும் ஒரு நாணயத்தின் புரட்டல்கள் என்று புரிந்து கொள்ள முடியும். சமமாக, பைனரி பிட்களின் அனைத்து (அரை-) எல்லையற்ற சரங்களின் இடைவெளியை ஒருவர் எழுதலாம். "எல்லையற்றது" என்ற சொல் "அரை-" என்ற சொல்லுடன் தகுதியானது, ஏனெனில் அனைத்து இரட்டை-எல்லையற்ற (இரட்டை-முனை) சரங்களைக் கொண்ட வேறுபட்ட இடத்தையும் ஒருவர் வரையறுக்க முடியும்; இது பேக்கரின் வரைபடத்திற்கு வழிவகுக்கும். தகுதி "அரை-" கீழே கைவிடப்பட்டுள்ளது. இந்த இடம் ஒரு இயற்கையான ஷிப்ட் செயல்பாட்டைக் கொண்டுள்ளது, இது பைனரி இலக்கங்களின் எல்லையற்ற சரம். அத்தகைய சரம் கொடுக்கப்பட்டால், எழுதவும் இதன் விளைவாக அலகு இடைவெளியில் ஒரு உண்மையான எண் மாற்றம் அலகு இடைவெளியில் ஒரு ஹோமோமார்பிசத்தைத் தூண்டுகிறது, இது அழைக்கப்படுகிறது. இரு மடங்கு-எல்லையற்ற பிட்களின் வரிசைக்கு தூண்டப்பட்ட ஹோமோமார்பிசம் பேக்கரின் வரைபடம் என்பதை ஒருவர் எளிதாகக் காணலாம். டயாடிக் வரிசை பின்னர் வெறும் வரிசையாகும், அதாவது, கேன்டர் தொகுப்பு வழக்கமாக வரையறுக்கப்பட்டுள்ளபடி, தொகை கேன்டர் செயல்பாட்டை அளிக்கிறது என்பதை நினைவில் கொள்க. செட் சில நேரங்களில் கேன்டர் செட் என்று அழைக்கப்படுவதற்கு இது ஒரு காரணம். தகவல் இழப்பு விகிதம் மற்றும் ஆரம்ப நிலைமைகளில் உணர்திறன் சார்ந்திருப்பது குழப்பமான இயக்கவியலின் ஒரு தனிச்சிறப்பு உருவகப்படுத்துதல் நிகழும்போது தகவல் இழப்பு ஆகும். ஆரம்ப மறு செய்கையின் முதல் s பிட்கள் பற்றிய தகவல்களுடன் நாம் தொடங்கினால், m உருவகப்படுத்தப்பட்ட மறு செய்கைகளுக்குப் பிறகு (m <s) நம்மிடம் s − m பிட்கள் மட்டுமே உள்ளன. இவ்வாறு ஒரு மறு செய்கைக்கு ஒரு பிட் என்ற அதிவேக விகிதத்தில் தகவல்களை இழக்கிறோம். s மறு செய்கைகளுக்குப் பிறகு, உண்மையான மறு செய்கை மதிப்புகளைப் பொருட்படுத்தாமல், நமது உருவகப்படுத்துதல் நிலையான புள்ளி பூஜ்ஜியத்தை எட்டியுள்ளது; இதனால் நாம் முழுமையான தகவல்களை இழந்துவிட்டோம். இது ஆரம்ப நிலைமைகளின் மீது உணர்திறன் சார்ந்திருப்பதை விளக்குகிறது-துண்டிக்கப்பட்ட ஆரம்ப நிலையில் இருந்து வரைபடம் உண்மையான ஆரம்ப நிலையில் இருந்து வரைபடத்திலிருந்து அதிவேகமாக விலகிவிட்டது. எங்கள் உருவகப்படுத்துதல் ஒரு நிலையான புள்ளியை எட்டியுள்ளதால், கிட்டத்தட்ட அனைத்து ஆரம்ப நிபந்தனைகளுக்கும் இது தரமான சரியான வழியில் இயக்கவியலை குழப்பமானதாக விவரிக்காது. தகவல் இழப்பு என்ற கருத்தாக்கத்திற்கு சமமானது தகவல் ஆதாயம் என்ற கருத்தாக்கமாகும். நடைமுறையில் சில நிஜ உலக செயல்முறைகள் காலப்போக்கில் மதிப்புகளின் வரிசையை (xn) உருவாக்கலாம், ஆனால் இந்த மதிப்புகளை துண்டிக்கப்பட்ட வடிவத்தில் மட்டுமே நாம் கவனிக்க முடியும். எடுத்துக்காட்டாக, x0 = 0.1001 101 என்று வைத்துக்கொள்வோம், ஆனால் துண்டிக்கப்பட்ட மதிப்பு 0.1001 ஐ மட்டுமே நாம் கவனிக்கிறோம். x1 க்கான நமது கணிப்பு 0.001 ஆகும். நிஜ உலக செயல்முறை உண்மையான x1 மதிப்பு 0.0011 01 ஐ உருவாக்கும் வரை நாம் காத்திருந்தால், வெட்டப்பட்ட மதிப்பு 0.0011 ஐ நாம் கவனிக்க முடியும், இது நமது கணிக்கப்பட்ட மதிப்பு 0.001 ஐ விட மிகவும் துல்லியமானது. எனவே எங்களுக்கு ஒரு பிட் தகவல் ஆதாயம் கிடைத்துள்ளது. கூடார வரைபடம் மற்றும் தளவாட வரைபடத்துடன் தொடர்பு டயாடிக் மாற்றம் என்பது இடவியல் ரீதியாக அலகு-உயர கூடார வரைபடத்துடன் அரை இணைக்கப்பட்டுள்ளது. அலகு-உயர கூடார வரைபடம் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது என்பதை நினைவில் கொள்ளுங்கள் இணைவு வெளிப்படையாக இதன் மூலம் வழங்கப்படுகிறது, அதாவது, இது மறு செய்கையின் கீழ் நிலையானது, ஏனெனில் இது லாஜிஸ்டிக் வரைபடத்தின் குழப்பமான r = 4 வழக்குடன் இணைக்கப்பட்டுள்ளது. லாஜிஸ்டிக் வரைபடத்தின் r = 4 வழக்கு; இது மாறி x இல் உள்ள பிட் ஷிப்ட் வரைபடத்துடன் தொடர்புடையது. இங்கே, வரைபடம் திருப்பங்களில் அளவிடப்படும் கோணங்களை இரட்டிப்பாக்குகிறது. அதாவது, வரைபடம் காலமுறை மற்றும் காலமுறை அல்லாதவற்றால் வழங்கப்படுகிறது, ஏனெனில் பைனரி குறியீட்டில் மறு செய்கைகள் பார்க்கும்போது இயக்கவியலின் எளிய தன்மை இருப்பதால், ஆரம்ப நிலையின் அடிப்படையில் இயக்கவியலை வகைப்படுத்துவது எளிதுஃ ஆரம்ப நிலை பகுத்தறிவற்றதாக இருந்தால் (அலகு இடைவெளியில் உள்ள அனைத்து புள்ளிகளும் போல), இயக்கவியல் காலமுறை அல்லாதது-இது ஒரு பகுத்தறிவற்ற எண்ணின் வரையறையிலிருந்து நேரடியாகப் பின்பற்றுகிறது, இது மீண்டும் மீண்டும் நிகழாத பைனரி விரிவாக்கத்துடன் ஒன்று. இது குழப்பமான வழக்கு. x0 பகுத்தறிவுடையதாக இருந்தால், x0 இன் படம் [0,1] க்குள் வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணிக்கையிலான தனித்துவமான மதிப்புகளைக் கொண்டுள்ளது மற்றும் x0 இன் முன்னோக்கி சுற்றுப்பாதை இறுதியில் கால இடைவெளியில் உள்ளது, x0 இன் பைனரி விரிவாக்க காலத்திற்கு சமமான காலம். குறிப்பாக, ஆரம்ப நிபந்தனை k பிட்களின் வரையறுக்கப்பட்ட பைனரி விரிவாக்கத்துடன் ஒரு விகிதமுறு எண்ணாக இருந்தால், k மறு செய்கைகளுக்குப் பிறகு மறு செய்கைகள் நிலையான புள்ளி 0 ஐ அடைகின்றன; ஆரம்ப நிபந்தனை ஒரு k-பிட் நிலையற்ற (k ≤ 0) உடன் ஒரு விகிதமுறு எண்ணாக இருந்தால், அதைத் தொடர்ந்து ஒரு q-பிட் வரிசை (q> 1) எல்லையற்ற முறையில் மீண்டும் நிகழ்கிறது, பின்னர் k மறு செய்கைகளுக்குப் பிறகு மறு செய்கைகள் q நீள சுழற்சியை அடைகின்றன. எனவே அனைத்து நீளங்களின் சுழற்சிகளும் சாத்தியமாகும். எடுத்துக்காட்டாக, 11/24 இன் முன்னோக்கி சுற்றுப்பாதை பின்வருமாறுஃ இது காலம் 2 இன் சுழற்சியை எட்டியுள்ளது. [0,1] இன் எந்த துணை இடைவெளிக்குள்ளும், எவ்வளவு சிறியதாக இருந்தாலும், அதன் சுற்றுப்பாதைகள் இறுதியில் குறிப்பிட்ட கால இடைவெளியில் இருக்கும் எண்ணற்ற புள்ளிகள் உள்ளன, மேலும் அதன் சுற்றுப்பாதைகள் ஒருபோதும் குறிப்பிட்ட கால இடைவெளியில் இல்லாத எண்ணற்ற புள்ளிகள் உள்ளன. ஆரம்ப நிலைகளில் இந்த உணர்திறன் சார்ந்திருப்பது குழப்பமான வரைபடங்களின் சிறப்பியல்பாகும். பிட் ஷிஃப்ட்கள் வழியாக காலமுறை கால மற்றும் காலமற்ற சுற்றுப்பாதைகளை வரைபடத்துடன் நேரடியாக வேலை செய்வதன் மூலம் அல்ல, மாறாக கேன்டர் இடத்தில் வரையறுக்கப்பட்ட பிட் ஷிப்ட் வரைபடத்துடன் எளிதில் புரிந்து கொள்ள முடியும். அதாவது, ஹோமோமார்பிசம் என்பது அடிப்படையில் கேன்டர் தொகுப்பை உண்மையானவற்றில் வரைபடமாக்க முடியும் என்ற ஒரு அறிக்கையாகும். இது ஒரு சர்ஜெக்ஷன்ஃ ஒவ்வொரு டயாடிக் பகுத்தறிவுக்கும் ஒன்று இல்லை, ஆனால் கேன்டர் தொகுப்பில் இரண்டு தனித்துவமான பிரதிநிதித்துவங்கள் உள்ளன. எடுத்துக்காட்டாக, இது பிரபலமான 0.999. = 1 சிக்கலின் பைனரி-ஸ்ட்ரிங் பதிப்பாகும். இரட்டை பிரதிநிதித்துவங்கள் பொதுவாக உள்ளனஃ நீளத்தின் எந்தவொரு வரையறுக்கப்பட்ட-நீள ஆரம்ப வரிசைக்கும், ஒன்று உள்ளது ஆரம்ப வரிசை சுற்றுப்பாதையின் காலமுறை அல்லாத பகுதிக்கு ஒத்திருக்கிறது, அதன் பிறகு மறு செய்கை அனைத்து பூஜ்ஜியங்களுக்கும் (சமமாக, அனைத்து-ஒன்களுக்கும்) குடியேறுகிறது. பிட் சரங்களாக வெளிப்படுத்தப்படும் வரைபடத்தின் காலமுறை சுற்றுப்பாதைகளை பகுத்தறிவுகளுக்குக் காணலாம். அதாவது, ஒரு ஆரம்ப "குழப்பமான" வரிசைக்குப் பிறகு, ஒரு குறிப்பிட்ட சுற்றுப்பாதை நீளத்தின் தொடர்ச்சியான சரமாக நிலைபெறுகிறது. இத்தகைய தொடர்ச்சியான வரிசைகள் விகிதமுறு எண்களுடன் ஒத்திருப்பதைக் காண்பது கடினம் அல்ல. ஒன்றை எழுதுவது பின்னர் தெளிவாக உள்ளது ஆரம்ப மீண்டும் மீண்டும் செய்யாத வரிசையில் ஒட்டுதல், ஒருவர் தெளிவாக ஒரு விகிதமுறு எண்ணைக் கொண்டிருக்கிறார். உண்மையில், ஒவ்வொரு விகிதமுறு எண்ணையும் இந்த வழியில் வெளிப்படுத்தலாம்ஃ ஒரு ஆரம்ப "சீரற்ற" வரிசை, அதைத் தொடர்ந்து ஒரு சுழற்சி மீண்டும் நிகழ்கிறது. அதாவது, வரைபடத்தின் காலமுறை சுற்றுப்பாதைகள் பகுத்தறிவுகளுடன் ஒன்றுக்கு ஒன்று தொடர்புபடுத்தப்படுகின்றன. இந்த நிகழ்வு கவனிக்கத்தக்கது, ஏனென்றால் பல குழப்பமான அமைப்புகளில் இதே போன்ற ஒன்று நிகழ்கிறது. எடுத்துக்காட்டாக, சுருக்கமான பன்மடங்கு புவியியல் இந்த வழியில் செயல்படும் காலமுறை சுற்றுப்பாதைகளைக் கொண்டிருக்கலாம். இருப்பினும், பகுத்தறிவுகள் உண்மையான பூஜ்ஜிய அளவின் தொகுப்பாகும் என்பதை நினைவில் கொள்ளுங்கள். கிட்டத்தட்ட அனைத்து சுற்றுப்பாதைகளும் காலமுறை அல்ல! அபேரியோடிக் சுற்றுப்பாதைகள் பகுத்தறிவற்ற எண்களுடன் ஒத்திருக்கின்றன. இந்த பண்பு மிகவும் பொதுவான அமைப்பிலும் பொருந்தும். ஒரு திறந்த கேள்வி என்னவென்றால், காலமுறை சுற்றுப்பாதைகளின் நடத்தை ஒட்டுமொத்த அமைப்பின் நடத்தையை எந்த அளவிற்கு கட்டுப்படுத்துகிறது. அர்னால்ட் பரவல் போன்ற நிகழ்வுகள் பொதுவான பதில் "அதிகம் இல்லை" என்று கூறுகின்றன. அடர்த்தி உருவாக்கம் வரைபடத்தின் செயல்பாட்டின் கீழ் தனிப்பட்ட புள்ளிகளின் சுற்றுப்பாதைகளைப் பார்ப்பதற்குப் பதிலாக, வரைபடம் அலகு இடைவெளியில் அடர்த்திகளை எவ்வாறு பாதிக்கிறது என்பதை ஆராய்வது சமமாக பயனுள்ளது. அதாவது, அலகு இடைவெளியில் சில தூசிகளை தெளிக்க கற்பனை செய்து பாருங்கள்; இது மற்ற இடங்களை விட சில இடங்களில் அடர்த்தியாக உள்ளது. ஒன்று மீண்டும் நிகழும்போது இந்த அடர்த்திக்கு என்ன நடக்கும்? இந்த அடர்த்தியாக எழுதுங்கள், அதனால். இந்த அடர்த்தியின் செயல்பாட்டைப் பெற, ஒருவர் அனைத்து புள்ளிகளையும் கண்டுபிடித்து எழுத வேண்டும் மேலே உள்ள வகுத்தல் என்பது மாற்றத்தின் ஜாகோபியன் தீர்மானிப்பதாகும், இங்கே அது மற்றும் பலவற்றின் வழித்தோன்றல் மட்டுமே. மேலும், முன்னுரையில் இரண்டு புள்ளிகள் மட்டுமே உள்ளன, இவை மற்றும் அனைத்தையும் ஒன்றாக இணைத்தால், ஒன்று பெறுகிறது வழக்கமாக, அத்தகைய வரைபடங்கள் குறிக்கப்படுகின்றன, இதனால் இந்த விஷயத்தில், எழுதவும் வரைபடம் ஒரு நேரியல் ஆபரேட்டர், ஒருவர் அதை எளிதில் பார்க்கிறார் மற்றும் அலகு இடைவெளியில் உள்ள அனைத்து செயல்பாடுகளுக்கும், மற்றும் அனைத்து மாறிலிகளுக்கும். ஒரு லீனியர் ஆபரேட்டராகக் கருதப்படும், மிகவும் வெளிப்படையான மற்றும் அழுத்தமான கேள்விஃ அதன் ஸ்பெக்ட்ரம் என்ன? ஒரு ஐகென் மதிப்பு வெளிப்படையாக உள்ளதுஃ அனைவருக்கும் இருந்தால், மாற்றத்தின் கீழ் சீரான அடர்த்தி மாறாததாக இருக்கும். இது உண்மையில் ஆபரேட்டரின் மிகப்பெரிய ஐகென் மதிப்பு, இது ஃப்ரோபீனியஸ்-பெரான் ஐகென் மதிப்பு ஆகும். சீரான அடர்த்தி, உண்மையில், டயாடிக் மாற்றத்தின் மாறாத அளவைத் தவிர வேறில்லை. ஸ்பெக்ட்ரமின் ஸ்பெக்ட்ரமை மேலும் விரிவாக ஆராய, ஒருவர் முதலில் வேலை செய்ய பொருத்தமான செயல்பாடுகளின் இடத்திற்கு (அலகு இடைவெளியில்) தன்னை மட்டுப்படுத்திக் கொள்ள வேண்டும். இது லெபெஸ்கூ அளவிடக்கூடிய செயல்பாடுகளின் இடமாக இருக்கலாம், அல்லது ஒருவேளை சதுர ஒருங்கிணைந்த செயல்பாடுகளின் இடமாக இருக்கலாம், அல்லது ஒருவேளை பல்லுறுப்புக்கோவைகள் கூட இருக்கலாம். இந்த இடங்களில் ஏதேனும் ஒன்றுடன் வேலை செய்வது வியக்கத்தக்க வகையில் கடினம், இருப்பினும் ஒரு ஸ்பெக்ட்ரம் பெறப்படலாம். பொரெல் இடைவெளி அதற்கு பதிலாக கேன்டர் இடைவெளி மற்றும் செயல்பாடுகளுடன் பணிபுரிந்தால் ஒரு பெரிய அளவிலான எளிமைப்படுத்தல் விளைவுகள் சில எச்சரிக்கைகள் அறிவுறுத்தப்படுகின்றன, ஏனெனில் வரைபடம் உண்மையான எண் கோட்டின் அலகு இடைவெளியில் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது, இது உண்மையானவற்றில் இயற்கையான இடவியல் என்று கருதப்படுகிறது. இதற்கு மாறாக, வரைபடம் கேன்டர் இடத்தில் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது, இது மரபுப்படி மிகவும் மாறுபட்ட இடவியல், தயாரிப்பு இடவியல் வழங்கப்படுகிறது. இடவியல் மோதல்களின் சாத்தியக்கூறுகள் உள்ளன; சில கவனிப்பு எடுக்கப்பட வேண்டும். இருப்பினும், மேலே வழங்கப்பட்டபடி, கேன்டரில் இருந்து ஒரு ஹோமோமார்பிசம் உண்மையானவற்றில் அமைக்கப்பட்டுள்ளது; அதிர்ஷ்டவசமாக, இது திறந்த தொகுப்புகளை திறந்த தொகுப்புகளாக வரைபடமாக்குகிறது, இதனால் தொடர்ச்சியின் கருத்துக்களைப் பாதுகாக்கிறது. கேன்டர் தொகுப்புடன் வேலை செய்ய, ஒருவர் அதற்கு ஒரு இடவியல் வழங்க வேண்டும்; வழக்கமாக, இது தயாரிப்பு இடவியல். செட்-காம்ப்ளிமெண்ட்களை இணைப்பதன் மூலம், அதை ஒரு போரெல் இடைவெளி, அதாவது ஒரு சிக்மா இயற்கணிதத்திற்கு நீட்டிக்க முடியும். இடவியல் என்பது சிலிண்டர் செட் ஆகும். ஒரு சிலிண்டர் தொகுப்பு பொதுவான வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது, அங்கு அவை தன்னிச்சையான பிட் மதிப்புகள் (அனைத்தும் ஒரே மாதிரியாக இருக்க வேண்டிய அவசியமில்லை), மேலும் அவை எல்லையற்ற பிட்-சரத்தில் சிதறிக்கிடக்கும் குறிப்பிட்ட பிட்-மதிப்புகளின் வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணிக்கையாகும். இவை இடவியலின் திறந்த தொகுப்புகள் ஆகும். இந்த இடத்தில் நியதி அளவீடு நியாயமான நாணயம்-டாஸுக்கான பெர்னௌலி அளவீடு ஆகும். தன்னிச்சையான நிலைகளின் சரத்தில் ஒரு பிட் மட்டுமே குறிப்பிடப்பட்டிருந்தால், அளவீடு 1/2 ஆகும். இரண்டு பிட்கள் குறிப்பிடப்பட்டிருந்தால், அளவீடு 1/4, மற்றும் பல. ஒருவர் ஆர்வமாக இருக்க முடியும்ஃ ஒரு உண்மையான எண்ணைக் கொடுத்தால், வரிசையில் தலைகள் மற்றும் வால்கள் இருந்தால் ஒரு அளவீட்டை வரையறுக்க முடியும். அளவீடு விரும்பப்படுகிறது, ஏனெனில் இது வரைபடத்தால் பாதுகாக்கப்படுகிறது, எனவே, எடுத்துக்காட்டாக, இடைவெளிக்கு வரைபடங்கள் மற்றும் இடைவெளிக்கு வரைபடங்கள் மற்றும் இந்த இரண்டு இடைவெளிகளும் 1/2 அளவைக் கொண்டுள்ளன. இதேபோல், இன்னும் 1/2 அளவைக் கொண்ட இடைவெளிக்கு வரைபடம். அதாவது, மேலே உள்ள உட்பொதிப்பு அளவீட்டைப் பாதுகாக்கிறது. ஒரு மாற்று என்னவென்றால், அளவீட்டைப் பாதுகாக்கும் வகையில் எழுதுவது, அதாவது, அலகு இடைவெளியில் உள்ள அளவீடு மீண்டும் லெபெஸ்கூ அளவீடு ஆகும். ஃப்ரோபீனியஸ்-பெரான் ஆபரேட்டர் கேண்டரின் அனைத்து திறந்த செட்களின் தொகுப்பையும் குறிக்கவும் மற்றும் அனைத்து தன்னிச்சையான செயல்பாடுகளின் தொகுப்பையும் கருத்தில் கொள்ளுங்கள் ஷிப்ட் ஒரு புஷ்ஃபார்வர்டைத் தூண்டுகிறது இது மீண்டும் சில செயல்பாடாகும் இந்த வழியில், வரைபடம் அனைத்து செயல்பாடுகளின் இடத்திலும் மற்றொரு வரைபடத்தைத் தூண்டுகிறது, அதாவது சிலவற்றைக் கொடுத்தால், ஒருவர் வரையறுக்கிறார் இந்த நேரியல் ஆபரேட்டர் பரிமாற்ற ஆபரேட்டர் அல்லது ரூயெல்-ஃப்ரோபீனியஸ்-பெரான் ஆபரேட்டர் என்று அழைக்கப்படுகிறார். மிகப்பெரிய ஐகென் மதிப்பு ஃப்ரோபீனியஸ்-பெரான் ஐகென் மதிப்பு ஆகும், இந்த விஷயத்தில், இது 1 ஆகும். தொடர்புடைய ஈஜென்வெக்டர் மாறாத அளவீடு ஆகும்ஃ இந்த விஷயத்தில், இது பெர்னௌலி அளவீடு ஆகும். மீண்டும், ஸ்பெக்ட்ரம் ஸ்பெக்ட்ரம் பெற, ஒருவர் இடத்திற்கான பொருத்தமான அடிப்படை செயல்பாடுகளை வழங்க வேண்டும், அத்தகைய ஒரு தேர்வு அனைத்து பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் தொகுப்புக்கும் மட்டுப்படுத்தப்பட வேண்டும். இந்த வழக்கில், ஆபரேட்டர் ஒரு தனித்துவமான ஸ்பெக்ட்ரம் உள்ளது, மற்றும் ஈஜென் செயல்பாடுகள் (ஆர்வமாக) பெர்னௌலி பல்லுறுப்புக்கோவைகள் உள்ளன! (பெயரிடப்பட்ட இந்த தற்செயல் நிகழ்வு பெர்னோலிக்குத் தெரியாது.) உண்மையில், பெர்னௌலி பல்லுறுப்புக்கோவைகள் எங்கு உள்ளன என்பதை ஒருவர் எளிதாக சரிபார்க்க முடியும். இது பின்வருமாறு ஏனெனில் பெர்னௌலி பல்லுறுப்புக்கோவைகள் அடையாளக் குறிப்புக்குக் கீழ்ப்படிகின்றன மற்றொரு அடிப்படை ஹார் அடிப்படையால் வழங்கப்படுகிறது, மேலும் அந்த இடத்தில் பரவியிருக்கும் செயல்பாடுகள் ஹார் அலைவரிசைகள் ஆகும். இந்த வழக்கில், சிக்கலான தளத்தில் அலகு வட்டு கொண்ட ஒரு தொடர்ச்சியான நிறமாலையை ஒருவர் காண்கிறார். இது ஒரு முழுமையான அடிப்படையாகும், இதில் ஒவ்வொரு முழு எண்ணையும் பெர்னௌலி பல்லுறுப்புக்கோவைகள் அமைப்பதன் மூலம் மீட்டெடுக்கப்படுகின்றன, மேலும் ஒரு முழுமையான அடிப்படையை மற்ற வழிகளிலும் கொடுக்கலாம்; அவை ஹர்விட்ஸ் ஜீட்டா செயல்பாட்டின் அடிப்படையில் எழுதப்படலாம். மற்றொரு முழுமையான அடிப்படை தகாகி செயல்பாட்டால் வழங்கப்படுகிறது. இது ஒரு ஃப்ராக்டல், வேறுபடுத்தக்கூடிய-எங்கும் இல்லாத செயல்பாடு. ஐஜென் செயல்பாடுகள் முக்கோண அலை இருக்கும் வடிவத்தில் வெளிப்படையாக உள்ளன. ஒன்று, மீண்டும், இந்த வெவ்வேறு தளங்கள் அனைத்தையும் ஒன்று மற்றொன்றின் நேரியல் சேர்க்கைகளாக வெளிப்படுத்தலாம். இந்த அர்த்தத்தில், அவை சமமானவை. ஃப்ராக்டல் ஐகென்ஃபங்ஷன்கள் மாடுலர் குழுவின் ஃப்ராக்டல் குழுமத்தின் கீழ் ஒரு வெளிப்படையான சமச்சீர்மையைக் காட்டுகின்றன; இது தகாகி செயல்பாடு (பிளாங்க்மேஞ்ச் வளைவு) பற்றிய கட்டுரையில் அதிக விரிவாக உருவாக்கப்பட்டுள்ளது. ஒருவேளை ஆச்சரியம் இல்லை; கேன்டர் தொகுப்பு சரியாக அதே சமச்சீர் தொகுப்பைக் கொண்டுள்ளது (தொடர்ச்சியான பின்னங்களைப் போலவே). இது நீள்வட்ட சமன்பாடுகள் மற்றும் மட்டு வடிவங்களின் கோட்பாட்டிற்கு நேர்த்தியாக வழிவகுக்கிறது. ஐசிங் மாதிரியுடனான உறவு காலமுறை எல்லை நிபந்தனைகளுடன் கூடிய பூஜ்ஜிய-புலம் ஒரு பரிமாண ஐசிங் சுழற்சிகளின் ஹாமில்டோனியனை பொருத்தமாக தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட இயல்பாக்குதல் மாறிலியாகவும், அமைப்புக்கு தலைகீழ் வெப்பநிலையாகவும் எழுதலாம், இந்த மாதிரியின் பகிர்வு செயல்பாடு வழங்கப்படுகிறது மற்ற ஒவ்வொரு சுழற்சியையும் ஒருங்கிணைப்பதன் மூலம் மறுசீரமைப்பு குழுவை நாம் செயல்படுத்தலாம். அவ்வாறு செய்யும்போது, ஒரு சிறிய அமைப்பிற்கான பகிர்வு செயல்பாட்டுடன் சமன் செய்யப்படலாம், ஆனால் சுழல்கிறது, நாம் மாற்றியமைத்து, மறுசீரமைக்கப்பட்ட மதிப்புகளுடன் சமன்பாடுகளை திருப்திப்படுத்தினால், இப்போது நாம் சிக்கலானதாகவும், சிலருக்கு அது அனுமதிக்கப்படுவதாகவும் வைத்துக்கொள்வோம். அவ்வாறான நிலையில், சமன்பாட்டின் மூலம் தொடர்புடைய ஒரு அளவுருவை நாம் அறிமுகப்படுத்தலாம் மற்றும் அதன் விளைவாக ஏற்படும் மறுசீரமைப்பு குழு மாற்றம் துல்லியமாக டயாடிக் வரைபடமாக இருக்கும்ஃ பெர்னௌலி செயல்முறை பெர்னௌலி திட்டம் கில்பர்ட்-ஷானன்-ரீட்ஸ் மாதிரியையும் பார்க்கவும், இது அலகு இடைவெளியில் n ஒரே சீரான சீரற்ற புள்ளிகளின் தொகுப்பிற்கு இரட்டை வரைபடத்தைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் கொடுக்கப்பட்ட வரிசைமாற்றங்களில் ஒரு சீரற்ற விநியோகம் குறிப்புகள் டீன் ஜே. டிரைப், முழு குழப்பமான வரைபடங்கள் மற்றும் உடைந்த நேர சமச்சீர், (1999) க்ளூவர் அகாடமிக் வெளியீட்டாளர்கள், டோர்ட்ரெக்ட் நெதர்லாந்து லினாஸ் வெப்ஸ்டாஸ், தி பெர்னௌலி வரைபடம், காஸ்-குஸ்மின்-விர்சிங் ஆபரேட்டர் மற்றும் ரீமன் ஜீட்டா, (2004) குழப்பமான வரைபடங்கள்