Ring (mathematics)
கணிதத்தில், வளையங்கள் என்பது புலங்களை பொதுமைப்படுத்தும் இயற்கணித கட்டமைப்புகள் ஆகும்ஃ பெருக்கம் பரிமாற்றமாக இருக்க வேண்டிய அவசியமில்லை மற்றும் பெருக்கல் தலைகீழ்கள் இருக்க வேண்டிய அவசியமில்லை. வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், ஒரு வளையம் என்பது முழு எண்களின் கூட்டல் மற்றும் பெருக்கத்திற்கு ஒத்த பண்புகளை திருப்திப்படுத்தும் இரண்டு பைனரி செயல்பாடுகளைக் கொண்ட ஒரு தொகுப்பாகும். வளைய உறுப்புகள் முழு எண்கள் அல்லது சிக்கலான எண்கள் போன்ற எண்களாக இருக்கலாம், ஆனால் அவை பல்லுறுப்புக்கோவைகள், சதுர மேட்ரிக்ஸ்கள், செயல்பாடுகள் மற்றும் பவர் சீரிஸ் போன்ற எண் அல்லாத பொருள்களாகவும் இருக்கலாம். முறைப்படி, ஒரு வளையம் என்பது ஒரு அபெலியன் குழுவாகும், அதன் செயல்பாடு கூட்டல் என்று அழைக்கப்படுகிறது, இது பெருக்கம் எனப்படும் இரண்டாவது பைனரி செயல்பாட்டைக் கொண்டுள்ளது, இது கூட்டல் செயல்பாட்டின் மீது விநியோகிக்கப்படுகிறது, மேலும் ஒரு பெருக்க அடையாள உறுப்பைக் கொண்டுள்ளது. (சில எழுத்தாளர்கள் இந்த கடைசி தேவையை தவிர்க்கும் மிகவும் பொதுவான கட்டமைப்பைக் குறிக்க "காணாமல் போன" i "என்ற வார்த்தையைப் பயன்படுத்துகின்றனர்; பார்க்கவும்.) ஒரு வளையம் பரிமாற்றமாக இருக்கிறதா (அதாவது, இரண்டு உறுப்புகள் பெருக்கப்படும் வரிசை முடிவை மாற்ற முடியுமா) அதன் நடத்தையில் ஆழமான தாக்கங்களை ஏற்படுத்துகிறது. பரிமாற்ற வளையங்களின் கோட்பாடான பரிமாற்ற இயற்கணிதம் வளையக் கோட்பாட்டின் ஒரு முக்கிய கிளையாகும். அதன் வளர்ச்சி இயற்கணித எண் கோட்பாடு மற்றும் இயற்கணித வடிவவியலின் சிக்கல்கள் மற்றும் கருத்துக்களால் பெரிதும் பாதிக்கப்பட்டுள்ளது. எளிமையான பரிமாற்ற வளையங்கள் பூஜ்ஜியமற்ற உறுப்புகளால் வகுக்கப்படுவதை ஒப்புக்கொள்கின்றன; அத்தகைய வளையங்கள் புலங்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. பரிமாற்ற வளையங்களின் எடுத்துக்காட்டுகளில் அவற்றின் நிலையான கூட்டல் மற்றும் பெருக்கத்துடன் கூடிய முழு எண்களின் தொகுப்பு, அவற்றின் கூட்டல் மற்றும் பெருக்கத்துடன் கூடிய பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் தொகுப்பு, ஒரு அஃபைன் இயற்கணித வகையின் ஒருங்கிணைப்பு வளையம் மற்றும் ஒரு எண் புலத்தின் முழு எண்களின் வளையம் ஆகியவை அடங்கும். பரிமாற்றமற்ற வளையங்களின் எடுத்துக்காட்டுகளில் உண்மையான சதுர மேட்ரிக்ஸின் வளையம், பிரதிநிதித்துவக் கோட்பாட்டில் குழு வளையங்கள், செயல்பாட்டு பகுப்பாய்வில் ஆபரேட்டர் ஆல்ஜிப்ராக்கள், வேறுபட்ட ஆபரேட்டர்களின் வளையங்கள் மற்றும் இடவியலில் கோஹோமோலஜி வளையங்கள் ஆகியவை அடங்கும். வளையங்களின் கருத்தாக்கம் 1870 முதல் 1920 வரை நீடித்தது, டெடெகிண்ட், ஹில்பர்ட், ஃப்ரான்கெல் மற்றும் நோதர் ஆகியோரின் முக்கிய பங்களிப்புகளுடன். எண் கோட்பாட்டில் நிகழும் டெடெக்கிண்ட் களங்கள் மற்றும் இயற்கணித வடிவியல் மற்றும் மாறாத கோட்பாட்டில் நிகழும் பல்லுறுப்புக்கோவை வளையங்கள் மற்றும் மாறாத வளையங்களின் பொதுமைப்படுத்தலாக வளையங்கள் முதலில் முறைப்படுத்தப்பட்டன. அவை பின்னர் வடிவியல் மற்றும் பகுப்பாய்வு போன்ற கணிதத்தின் பிற பிரிவுகளில் பயனுள்ளதாக இருந்தன. வரையறை ஒரு வளையம் என்பது இரண்டு பைனரி செயல்பாடுகள் + (கூட்டல்) மற்றும் ⋅ (பெருக்கம்) கொண்ட ஒரு தொகுப்பாகும், இது பின்வரும் மூன்று தொகுப்பு கோட்பாடுகளை திருப்திப்படுத்துகிறது, இது வளைய கோட்பாடுகள் என்று அழைக்கப்படுகிறது, இது கூட்டலின் கீழ் ஒரு அபெலியன் குழுவாகும், அதாவதுஃ அனைத்திற்கும் (அதாவது, துணை). அனைத்திற்கும் (அதாவது, பரிமாற்றமாகும்). அனைத்திலும் ஒரு உறுப்பு உள்ளது (அதாவது, சேர்க்கை அடையாளம்). அதில் உள்ள ஒவ்வொன்றும் (அதாவது, அதன் சேர்க்கை தலைகீழ்) உள்ளது. பெருக்கத்தின் கீழ் ஒரு மோனாய்டு உள்ளது, அதாவதுஃ அனைத்திற்கும் (அதாவது, துணை). அத்தகைய ஒரு உறுப்பு உள்ளது மற்றும் அனைவருக்கும் (அதாவது, பெருக்க அடையாளம்). பெருக்கம் என்பது கூட்டலைப் பொறுத்தவரை விநியோகிக்கப்படுகிறது, அதாவதுஃ அனைத்திற்கும் (இடது விநியோகம்). அனைத்திற்கும் (சரியான விநியோகம்). வரையறை குறித்த குறிப்புகள் இந்தக் கட்டுரையின் சொற்களில், ஒரு வளையம் ஒரு பெருக்கல் அடையாளத்தைக் கொண்டிருப்பதாக வரையறுக்கப்படுகிறது, அதே நேரத்தில் அதே கோட்பாட்டு வரையறையைக் கொண்ட ஆனால் பெருக்கல் அடையாளத்திற்கான தேவை இல்லாத ஒரு அமைப்பு அதற்கு பதிலாக rng (IPA:) என்று அழைக்கப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, வழக்கமான + மற்றும் ⋅ உடன் கூடிய இரட்டை முழு எண்களின் தொகுப்பு ஒரு rng ஆகும், ஆனால் ஒரு வளையம் அல்ல. கீழே விளக்கப்பட்டுள்ளபடி, பல எழுத்தாளர்கள் பெருக்கல் அடையாளம் தேவையில்லாமல் "வளையம்" என்ற வார்த்தையைப் பயன்படுத்துகின்றனர். பெருக்கல் சின்னம் பொதுவாக தவிர்க்கப்படுகிறது; எடுத்துக்காட்டாக, பொருள். வளைய கூட்டல் என்பது பரிமாற்றமாக இருந்தாலும், வளைய பெருக்கம் பரிமாற்றமாக இருக்க வேண்டிய அவசியமில்லைஃ அது சமமாக இருக்க வேண்டிய அவசியமில்லை. பெருக்கத்திற்கான பரிமாற்றத்தையும் திருப்திப்படுத்தும் வளையங்கள் (முழு எண்களின் வளையம் போன்றவை) பரிமாற்ற வளையங்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. பரிமாற்ற இயற்கணிதம் அல்லது இயற்கணித வடிவியல் பற்றிய புத்தகங்கள் பெரும்பாலும் சொற்களஞ்சியத்தை எளிமைப்படுத்த வளையம் என்றால் பரிமாற்ற வளையம் என்ற நடைமுறையை ஏற்றுக்கொள்கின்றன. ஒரு வளையத்தில், பெருக்கல் தலைகீழ்கள் இருக்க வேண்டிய அவசியமில்லை. பூஜ்ஜியமற்ற ஒவ்வொரு உறுப்புக்கும் பெருக்கல் தலைகீழ் இருக்கும் பூஜ்ஜியமற்ற பரிமாற்ற வளையம் புலம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. ஒரு வளையத்தின் சேர்க்கைக் குழு என்பது கூட்டலின் செயல்பாட்டை மட்டுமே கொண்ட அடிப்படை தொகுப்பாகும். சேர்க்கைக் குழு அபெலியனாக இருக்க வேண்டும் என்று வரையறை தேவைப்பட்டாலும், இதை மற்ற வளைய கோட்பாடுகளிலிருந்து ஊகிக்க முடியும். ஆதாரம் "," ஐப் பயன்படுத்துகிறது மற்றும் ஒரு rng இல் வேலை செய்யாது. (ஒரு rng ஐப் பொறுத்தவரை, கூட்டலின் பரிமாற்றத்தின் கோட்பாட்டைத் தவிர்ப்பது மீதமுள்ள rng அனுமானங்களிலிருந்து விளைபொருள்களாக இருக்கும் உறுப்புகளுக்கு மட்டுமே ஊகிக்க வைக்கிறதுஃ) பெரும்பாலான நவீன எழுத்தாளர்கள் இங்கே வரையறுக்கப்பட்டுள்ளபடி "வளையம்" என்ற வார்த்தையைப் பயன்படுத்தினாலும், பெருக்கம் இணைப்பாக இருக்க வேண்டிய அவசியமில்லாத பொதுவான கட்டமைப்புகளைக் குறிக்க இந்த வார்த்தையைப் பயன்படுத்தும் சிலர் உள்ளனர். இந்த எழுத்தாளர்களுக்கு, ஒவ்வொரு இயற்கணிதமும் ஒரு "வளையம்" ஆகும். எடுத்துக்காட்டு ஒரு வளையத்தின் மிகவும் பழக்கமான எடுத்துக்காட்டு எண்களைக் கொண்ட அனைத்து முழு எண்களின் தொகுப்பாகும் ஒரு வளையத்தின் கோட்பாடுகள் முழு எண்களின் கூட்டல் மற்றும் பெருக்கத்தின் பழக்கமான பண்புகளின் பொதுமைப்படுத்தலாக விரிவுபடுத்தப்பட்டன. சில பண்புகள் ஒரு வளையத்தின் சில அடிப்படை பண்புகள் இந்த கோட்பாடுகளிலிருந்து உடனடியாகப் பின்பற்றப்படுகின்றனஃ சேர்க்கை அடையாளம் தனித்துவமானது. ஒவ்வொரு தனிமத்தின் சேர்க்கை தலைகீழ் தனித்துவமானது. பெருக்கல் அடையாளம் தனித்துவமானது. ஒரு வளையத்தில் உள்ள எந்தவொரு உறுப்புக்கும், ஒன்று உள்ளது (பூஜ்ஜியம் என்பது பெருக்கத்தைப் பொறுத்தவரை உறிஞ்சும் உறுப்பு) மற்றும். ஒரு வளையத்தில் (அல்லது பொதுவாக, ஒரு அலகு உறுப்பு) இருந்தால், ஒரே ஒரு உறுப்பு மட்டுமே உள்ளது, அது பூஜ்ஜிய வளையம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. ஒரு வளையத்தில் பூஜ்ஜிய வளையம் ஒரு துணை வளையமாக இருந்தால், அதுவே பூஜ்ஜிய வளையமாகும். பைனாமியல் சூத்திரம் எந்தவொரு மற்றும் திருப்திகரமானவற்றிற்கும் பொருந்தும். எடுத்துக்காட்டுஃ ஒருங்கிணைப்புகள் மாடுலோ 4 பின்வரும் செயல்பாடுகளுடன் தொகுப்பை சித்தப்படுத்துகிறதுஃ முழு எண்ணை வகுக்கும்போது மீதமுள்ள தொகை ஆகும் (எப்போதும் 8 ஐ விட சிறியதாக இருக்கும் போது, இந்த மீதமுள்ள ஒன்று அல்லது). எடுத்துக்காட்டாக, முழு எண்ணை வகுக்கும் போது உள்ள பெருக்கல் என்பது மீதமுள்ளதாகும். எடுத்துக்காட்டாக, மற்றும் பின்னர் ஒரு வளையம்ஃ ஒவ்வொரு கோட்பாடும் தொடர்புடைய கோட்பாட்டிலிருந்து பின்தொடர்கிறது ஒரு முழு எண் என்றால், 4 ஆல் வகுக்கப்படும்போது மீதமுள்ளவை ஒரு உறுப்பாகக் கருதப்படலாம், மேலும் இந்த உறுப்பு பெரும்பாலும் குறிக்கப்படுகிறது அல்லது அதன் குறியீட்டுடன் ஒத்துப்போகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, 2-ஆல்-2 மேட்ரிக்ஸ்கள் ஒரு புலத்தில் உள்ளீடுகளுடன் 2-ஆல்-2 சதுர மேட்ரிக்ஸ்களின் தொகுப்பு மேட்ரிக்ஸ் கூட்டல் மற்றும் மேட்ரிக்ஸ் பெருக்கத்தின் செயல்பாடுகளுடன், மேலே உள்ள வளைய கோட்பாடுகளை திருப்திப்படுத்துகிறது. உறுப்பு என்பது வளையத்தின் பெருக்க அடையாளம் ஆகும். இந்த எடுத்துக்காட்டு வளையம் பரிமாற்றமற்றது என்பதைக் காட்டுகிறது. மேலும் பொதுவாக, எந்தவொரு வளையத்திற்கும், பரிமாற்ற அல்லது இல்லை, மற்றும் எந்தவொரு எதிர்மறை அல்லாத முழு எண்ணுக்கும், ஒரு வளைய வடிவத்தில் உள்ளீடுகளுடன் பரிமாணத்தின் சதுர மேட்ரிக்ஸ்கள்ஃ மேட்ரிக்ஸ் வளையத்தைப் பார்க்கவும். வளையங்களின் ஆய்வு பல்லுறுப்புக்கோவை வளையங்களின் கோட்பாடு மற்றும் இயற்கணித முழு எண்களின் கோட்பாட்டிலிருந்து உருவானது. 1871 ஆம் ஆண்டில், ரிச்சர்ட் டெடெகிண்ட் ஒரு எண் புலத்தின் முழு எண்களின் வளையத்தின் கருத்தை வரையறுத்தார். இந்த சூழலில், அவர் "இலட்சியம்" (இலட்சியம் எண் பற்றிய எர்ன்ஸ்ட் கும்மரின் கருத்தால் ஈர்க்கப்பட்ட) மற்றும் "தொகுதி" என்ற சொற்களை அறிமுகப்படுத்தி அவற்றின் பண்புகளை ஆய்வு செய்தார். டெடெகிண்ட் "மோதிரம்" என்ற வார்த்தையைப் பயன்படுத்தவில்லை மற்றும் ஒரு பொதுவான அமைப்பில் ஒரு வளையத்தின் கருத்தை வரையறுக்கவில்லை. ஹில்பர்ட் "ஜாஹ்ல்ரிங்" (எண் வளையம்) என்ற சொல் 1892 ஆம் ஆண்டில் டேவிட் ஹில்பர்ட் என்பவரால் உருவாக்கப்பட்டது மற்றும் 1897 இல் வெளியிடப்பட்டது. 19 ஆம் நூற்றாண்டின் ஜெர்மன் மொழியில், "ரிங்" என்ற சொல் "சங்கம்" என்று பொருள்படும், இது இன்றும் ஆங்கிலத்தில் ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட அர்த்தத்தில் பயன்படுத்தப்படுகிறது (எடுத்துக்காட்டாக, உளவு வளையம்), எனவே அது சொற்பிறப்பியல் என்றால், அது "குழு" கணிதத்தில் நுழைந்த விதத்திற்கு ஒத்ததாக இருக்கும், இது "தொடர்புடைய விஷயங்களின் தொகுப்பு" என்பதற்கான தொழில்நுட்பமற்ற வார்த்தையாக இருக்கும். ஹார்வி கோனின் கூற்றுப்படி, ஹில்பர்ட் ஒரு வளையத்திற்கு இந்த வார்த்தையைப் பயன்படுத்தினார், இது ஒரு உறுப்புக்கு (ஒரு சமநிலையின் அர்த்தத்தில்) "நேரடியாக மீண்டும் வட்டமிடும்" பண்பைக் கொண்டிருந்தது. குறிப்பாக, இயற்கணித முழு எண்களின் வளையத்தில், ஒரு இயற்கணித முழு எண்ணின் அனைத்து உயர் சக்திகளும் குறைந்த சக்திகளின் நிலையான தொகுப்பின் ஒருங்கிணைந்த கலவையாக எழுதப்படலாம், இதனால் சக்திகள் "சுழற்சி மீண்டும்". உதாரணமாக, என்றால்ஃ மற்றும் பல; பொதுவாக, மற்றும் ஒரு ஒருங்கிணைந்த நேரியல் கலவையாக இருக்கப் போகிறது. ஒரு வளையத்தின் முதல் தன்னியக்க வரையறை 1915 இல் அடால்ஃப் ஃப்ரான்கெல் என்பவரால் வழங்கப்பட்டது, ஆனால் அவரது கோட்பாடுகள் நவீன வரையறையில் உள்ளதை விட கடுமையானவை. உதாரணமாக, பூஜ்ஜியமற்ற ஒவ்வொரு வகுக்கும் பெருக்கல் தலைகீழ் இருக்க வேண்டும் என்று அவர் கோரினார். 1921 ஆம் ஆண்டில், எம்மி நோதர் பரிமாற்ற வளையங்கள் (1 உடன் மற்றும் இல்லாமல்) பற்றிய நவீன தன்னியக்க வரையறையை வழங்கினார், மேலும் ரிங்பெரீச்செனில் உள்ள தனது கட்டுரையான ஐடியல்டியோரியில் பரிமாற்ற வளையக் கோட்பாட்டின் அடித்தளத்தை உருவாக்கினார். பெருக்கல் அடையாளம் மற்றும் "வளையம்" என்ற சொல் ஒரு "வளையத்திற்கான" ஃப்ரான்கெலின் கோட்பாடுகள் ஒரு பெருக்கல் அடையாளத்தை உள்ளடக்கியது, அதேசமயம் நோய்தரின் இல்லை. 1960 வரை இயற்கணிதம் குறித்த பெரும்பாலான அல்லது அனைத்து புத்தகங்களும் ஒரு "வளையத்திற்கு" a தேவையில்லை என்ற நோதெரின் மரபைப் பின்பற்றின. 1960 களில் தொடங்கி, "வளையத்தின்" வரையறையில் 1 இன் இருப்பு உள்ளிட்ட புத்தகங்களைப் பார்ப்பது பெருகிய முறையில் பொதுவானதாகிவிட்டது, குறிப்பாக ஆர்ட்டின், போர்பாக்கி, ஐசென்பட் மற்றும் லாங் போன்ற குறிப்பிடத்தக்க எழுத்தாளர்களின் மேம்பட்ட புத்தகங்களில். 2022 ஆம் ஆண்டின் பிற்பகுதியில் வெளியிடப்பட்ட புத்தகங்களும் உள்ளன, அவை ஒரு தேவை இல்லாமல் இந்த வார்த்தையைப் பயன்படுத்துகின்றன. கார்ட்னர் மற்றும் விகாண்ட்ட், வளையங்களின் பிரிவில் உள்ள பல பொருள்களைக் கையாளும் போது (ஒரு நிலையான வளையத்துடன் வேலை செய்வதற்கு மாறாக), அனைத்து வளையங்களும் ஒரு வளையத்தைக் கொண்டிருக்க வேண்டும் என்றால், சில விளைவுகளில் எல்லையற்ற நேரடி வளையங்கள் இல்லாதது அடங்கும், மேலும் வளையங்களின் சரியான நேரடி கூட்டுத்தொகை துணை வளையங்கள் அல்ல. "வளையக் கோட்பாட்டின் பல, ஒருவேளை பெரும்பாலான கிளைகளில், ஒரு ஒற்றுமை உறுப்பு இருப்பதற்கான தேவை விவேகமானதல்ல, எனவே ஏற்றுக்கொள்ள முடியாதது" என்று அவர்கள் முடிவு செய்கிறார்கள். வளையங்களுக்கான இயல்பான கருத்து நேரடி கூட்டுத்தொகையை விட நேரடி தயாரிப்பு என்று பூனென் எதிர் வாதம் செய்கிறார். பெருக்கல் அடையாளம் இல்லாத வளையங்கள் முற்றிலும் தொடர்புபடுத்தப்படுவதில்லை என்று அவர் மேலும் வாதிடுகிறார் (வெற்று வரிசை உட்பட வளைய கூறுகளின் எந்தவொரு வரையறுக்கப்பட்ட வரிசையின் பெருக்கல் நன்கு வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது, செயல்பாடுகளின் வரிசையிலிருந்து சுயாதீனமாக உள்ளது) மேலும் "தொடர்புபடுத்தலின் இயற்கையான நீட்டிப்பு வளையங்கள் ஒரு வெற்று உற்பத்தியைக் கொண்டிருக்க வேண்டும் என்று கோருகிறது, எனவே வளையங்கள் 1 ஐக் கொண்டிருப்பது இயற்கையானது" என்று எழுதுகிறார். "மோதிரம்" என்ற வார்த்தையைப் பயன்படுத்துவதற்கு எந்தவொரு மரபையும் பின்பற்றும் எழுத்தாளர்கள் மற்ற மரபுகளை திருப்திப்படுத்தும் பொருள்களைக் குறிக்க பின்வரும் சொற்களில் ஒன்றைப் பயன்படுத்தலாம்ஃ ஒரு பெருக்க அடையாளத்திற்கான தேவையை சேர்க்கஃ "யூனிடல் வளையம்", "யூனிடரி வளையம்", "யூனிட் வளையம்", "ஒற்றுமையுடன் வளையம்", "அடையாளத்துடன் வளையம்", "ஒரு அலகுடன் வளையம்" அல்லது "1 உடன் வளையம்". ஒரு பெருக்க அடையாளத்திற்கான தேவையை நீக்குவதற்குஃ "rng" அல்லது "போலி-வளையம்", இருப்பினும் பிந்தையது குழப்பமாக இருக்கலாம், ஏனெனில் அதற்கு வேறு அர்த்தங்களும் உள்ளன. அடிப்படை எடுத்துக்காட்டுகள் பரிமாற்ற வளையங்கள் முன்மாதிரி உதாரணம் கூட்டல் மற்றும் பெருக்கல் ஆகிய இரண்டு செயல்பாடுகளுடன் கூடிய முழு எண்களின் வளையமாகும். விகிதமுறு, உண்மையான மற்றும் சிக்கலான எண்கள் புலங்கள் எனப்படும் ஒரு வகையின் பரிமாற்ற வளையங்களாகும். ஒரு பரிமாற்ற வளையத்தின் மீது ஒரு ஒருங்கிணைந்த துணை இயற்கணிதம் ஒரு வளையமாகவும் ஒரு-தொகுதியாகவும் உள்ளது. சில எடுத்துக்காட்டுகள்ஃ குணகங்களுடன் கூடிய பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் இயற்கணிதம். உள்ள குணகங்களுடன் முறையான சக்தி தொடரின் இயற்கணிதம். உண்மையான கோட்டில் வரையறுக்கப்பட்ட அனைத்து தொடர்ச்சியான உண்மையான மதிப்புள்ள செயல்பாடுகளின் தொகுப்பு ஒரு பரிமாற்ற-இயற்கணிதத்தை உருவாக்குகிறது. செயல்பாடுகள் புள்ளி வாரியாக கூட்டல் மற்றும் செயல்பாடுகளின் பெருக்கம் ஆகும். ஒரு தொகுப்பாக இருக்கட்டும், ஒரு வளையமாக இருக்கட்டும். பின்னர் அனைத்து செயல்பாடுகளின் தொகுப்பும் ஒரு வளையத்தை உருவாக்குகிறது, இது பரிமாற்றமாக இருந்தால் பரிமாற்றமாகும். இருபடி முழு எண்களின் வளையம், அதன் இருபடி விரிவாக்கத்தில் ஒருங்கிணைந்த மூடல் இது அனைத்து இயற்கணித முழு எண்களின் வளையத்தின் துணை வளையமாகும். எல்லையற்ற முழு எண்களின் வளையம் அனைத்து பகா எண்களின் மீதும் உள்ள-அடிக் முழு எண்களின் வளையங்களின் (எல்லையற்ற) பெருக்கல் ஆகும். ஹெக் வளையம், ஹெக் ஆபரேட்டர்களால் உருவாக்கப்பட்ட வளையம். ஒரு தொகுப்பாக இருந்தால், கூட்டல் என்பது செட்டுகளின் சமச்சீர் வேறுபாடு மற்றும் குறுக்குவெட்டு பெருக்கம் என்று வரையறுத்தால் பவர் செட் ஒரு வளையமாக மாறும். இது பூலியன் வளையத்திற்கு ஒரு எடுத்துக்காட்டு. எந்தவொரு வளையத்திற்கும் எந்தவொரு இயற்கை எண்ணுக்கும், உள்ளீடுகளுடன் கூடிய அனைத்து சதுர-மூலம்-மேட்ரிக்ஸின் தொகுப்பு, மேட்ரிக்ஸ் கூட்டல் மற்றும் மேட்ரிக்ஸ் பெருக்கம் ஆகியவற்றை செயல்பாடுகளாகக் கொண்ட ஒரு வளையத்தை உருவாக்குகிறது. ஏனெனில், இந்த மேட்ரிக்ஸ் வளையம் ஐசோமார்பிக் ஆகும். (பூஜ்ஜிய வளையம் அல்ல), இந்த மேட்ரிக்ஸ் வளையம் பரிமாற்றமற்றது. G ஒரு அபெலியன் குழுவாக இருந்தால், G இன் எண்டோமார்பிசம் ஒரு வளையத்தை உருவாக்குகிறது, G இன் எண்டோமார்பிசம் வளையம். இந்த வளையத்தில் உள்ள செயல்பாடுகள் எண்டோமார்பிசங்களின் கூட்டல் மற்றும் கலவை ஆகும். மேலும் பொதுவாக, ஒரு வளையத்தின் மீது ஒரு இடது தொகுதி இருந்தால், அனைத்து-நேரியல் வரைபடங்களின் தொகுப்பு ஒரு வளையத்தை உருவாக்குகிறது, இது எண்டோமார்பிசம் வளையம் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது மற்றும் இதன் மூலம் குறிக்கப்படுகிறது. நீள்வட்ட வளைவின் எண்டோமார்பிசம் வளையம். சிறப்பியல்பு பூஜ்ஜிய புலத்தின் மீது நீள்வட்ட வளைவு வரையறுக்கப்பட்டால் இது ஒரு பரிமாற்ற வளையமாகும். ஒரு குழு மற்றும் ஒரு வளையமாக இருந்தால், G ஓவர் இன் குழு வளையம் G ஐ அடிப்படையாகக் கொண்ட ஒரு இலவச தொகுதியாகும். பெருக்கம் என்பது பயணத்தின் கூறுகள் குழுவில் உள்ளதைப் போலவே கூறுகளுடன் சேர்ந்து பெருக்கி பெருக்கும் விதிகளால் வரையறுக்கப்படுகிறது. வேறுபட்ட இயக்கிகளின் வளையம் (சூழலைப் பொறுத்து). உண்மையில், பகுப்பாய்வில் தோன்றும் பல வளையங்கள் பரிமாற்றமற்றவை. எடுத்துக்காட்டாக, பெரும்பாலான பானாச் ஆல்ஜிப்ராக்கள் பரிமாற்றமற்றவை. வளையங்கள் அல்லாதவை வழக்கமான செயல்பாடுகளுடன் கூடிய இயற்கை எண்களின் தொகுப்பு ஒரு வளையம் அல்ல, ஏனெனில் இது ஒரு குழு கூட அல்ல (கூட்டலைப் பொறுத்தவரை அனைத்து உறுப்புகளும் தலைகீழாக இல்லை-எடுத்துக்காட்டாக, 3 உடன் சேர்க்கக்கூடிய இயற்கை எண் எதுவும் இல்லை இதன் விளைவாக 0 ஐப் பெறலாம்). முழு எண்களின் வளையத்தை உருவாக்க எதிர்மறை எண்களைச் சேர்ப்பதன் மூலம் அதை ஒரு வளையமாக பெரிதாக்க ஒரு இயற்கையான வழி உள்ளது இயற்கையான எண்கள் (0 உட்பட) செமிரிங் எனப்படும் இயற்கணித கட்டமைப்பை உருவாக்குகின்றன (இது ஒரு சேர்க்கை தலைகீழ் தவிர ஒரு வளையத்தின் அனைத்து கோட்பாடுகளையும் கொண்டுள்ளது). செயல்பாட்டைப் பொறுத்து ஒரு வரம்புக்குட்பட்ட இடைவெளிக்கு வெளியே மறைந்துவிடும் உண்மையான கோட்டில் உள்ள அனைத்து தொடர்ச்சியான செயல்பாடுகளின் தொகுப்பாக இருக்கட்டும், வழக்கம் போல் கூட்டல் ஆனால் பெருக்கம் என வரையறுக்கப்படுகிறதுஃ பின்னர் ஒரு rng, ஆனால் ஒரு வளையம் அல்லஃ டைராக் டெல்டா செயல்பாடு ஒரு பெருக்க அடையாளத்தின் பண்பைக் கொண்டுள்ளது, ஆனால் இது ஒரு செயல்பாடு அல்ல, எனவே இது ஒரு உறுப்பு அல்ல. அடிப்படை கருத்துக்கள் தயாரிப்புகள் மற்றும் சக்திகள் ஒவ்வொரு எதிர்மறை அல்லாத முழு எண்ணுக்கும், கூறுகளின் வரிசையைக் கொடுத்தால், ஒருவர் தயாரிப்பை மீண்டும் மீண்டும் வரையறுக்கலாம்ஃ ஒரு சிறப்பு நிகழ்வாக, ஒரு வளையத்தின் ஒரு உறுப்பின் எதிர்மறை அல்லாத முழு எண் சக்திகளை வரையறுக்க முடியும்ஃ மற்றும். பின்னர் அனைவருக்காகவும். ஒரு வளையத்தில் உள்ள கூறுகள் ஒரு வளையத்தின் இடது பூஜ்ஜிய வகுத்தி என்பது வளையத்தில் உள்ள ஒரு உறுப்பு, அத்தகைய பூஜ்ஜியமற்ற உறுப்பு உள்ளது. ஒரு வலது பூஜ்ஜிய வகுத்தி இதேபோல் வரையறுக்கப்படுகிறது. ஒரு நில்போட்டன்ட் உறுப்பு என்பது சிலருக்கு அத்தகைய ஒரு உறுப்பு ஆகும். நில்போட்டன்ட் தனிமத்தின் ஒரு எடுத்துக்காட்டு நில்போட்டன்ட் மேட்ரிக்ஸ் ஆகும். பூஜ்ஜியமற்ற வளையத்தில் உள்ள ஒரு நில்பொடென்ட் உறுப்பு ஒரு பூஜ்ஜிய வகுத்தி ஆகும். ஒரு ஐடிம்போட்டன்ட் என்பது அத்தகைய ஒரு உறுப்பு ஆகும். ஒரு தனித்துவமான தனிமத்தின் ஒரு எடுத்துக்காட்டு நேரியல் இயற்கணிதத்தில் ஒரு திட்டமாகும். ஒரு அலகு என்பது பெருக்கல் தலைகீழ் கொண்ட ஒரு உறுப்பு; இந்த விஷயத்தில் தலைகீழ் தனித்துவமானது, மேலும் இதன் மூலம் குறிக்கப்படுகிறது. ஒரு வளையத்தின் அலகுகளின் தொகுப்பு வளைய பெருக்கத்தின் கீழ் ஒரு குழுவாகும்; இந்த குழு அல்லது அல்லது மூலம் குறிக்கப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு புலத்தின் மீது உள்ள அனைத்து சதுர மேட்ரிக்ஸின் வளையமாக இருந்தால், பின்னர் அனைத்து தலைகீழ் அளவுகளின் தொகுப்பைக் கொண்டுள்ளது, மேலும் இது பொதுவான நேரியல் குழு என்று அழைக்கப்படுகிறது. பின்வரும் சமமான நிபந்தனைகளில் ஏதேனும் ஒன்று இருந்தால் ஒரு துணைக்குழு ஒரு துணை வளையம் என்று அழைக்கப்படுகிறதுஃ அதே பெருக்க அடையாளத்துடன் ஒரு வளையத்தை உருவாக்கும் செயல்பாடுகளை வழங்க கட்டுப்பாட்டின் கூட்டல் மற்றும் பெருக்கம். ; மற்றும் அனைத்திற்கும், கூறுகள், மற்றும் உள்ளன. சேர்க்கை வரைபடம் ஒரு வளைய ஹோமோமார்பிசமாக இருக்கும் வகையில் அதை ஒரு வளையமாக மாற்றும் செயல்பாடுகளைக் கொண்டிருக்கலாம். எடுத்துக்காட்டாக, முழு எண்களின் வளையம் என்பது உண்மையான எண்களின் புலத்தின் துணை வளையமாகும், மேலும் பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் வளையத்தின் துணை வளையமாகும் (இரண்டு நிகழ்வுகளிலும், 1 ஐக் கொண்டுள்ளது, இது பெரிய வளையங்களின் பெருக்க அடையாளமாகும்). மறுபுறம், ஈவன் முழு எண்களின் துணைக்குழுவில் அடையாள உறுப்பு இல்லை, எனவே ஒரு துணை வளையமாக தகுதி பெறாது, இருப்பினும் ஒரு சப்ரங் என்று அழைக்கலாம். துணை வளையங்களின் குறுக்குவெட்டு ஒரு துணை வளையமாகும். ஒரு துணைக்குழுவைப் பொறுத்தவரை, கொண்டிருக்கும் மிகச்சிறிய துணை வளையம் என்பது கொண்டிருக்கும் அனைத்து துணை வளையங்களின் குறுக்குவெட்டு ஆகும், மேலும் இது உருவாக்கப்படும் துணை வளையம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. ஒரு வளையத்தைப் பொறுத்தவரை, அதன் மிகச்சிறிய துணை வளையம் அதன் சிறப்பியல்பு துணை வளையம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. மற்றும் இன் நகல்களைச் சேர்ப்பதன் மூலம் இதை உருவாக்க முடியும். (நேரங்கள்) பூஜ்ஜியமாக இருக்கலாம். இது நிகழும் மிகச்சிறிய நேர்மறை முழு எண் என்றால், அதன் பண்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது. சில வளையங்களில், எந்தவொரு நேர்மறை முழு எண்ணுக்கும் பூஜ்ஜியமாக இருக்காது, மேலும் அந்த வளையங்கள் பண்பு பூஜ்ஜியத்தைக் கொண்டிருப்பதாகக் கூறப்படுகிறது. ஒரு வளையத்தைக் கொடுத்தால், உள்ள ஒவ்வொரு உறுப்புடனும் பயணிக்கும் அனைத்து உறுப்புகளின் தொகுப்பைக் குறிக்கலாம்ஃ ஏதேனும் உள்ளதற்கு. பின்னர் ஒரு துணை வளையம், மையம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. இன்னும் பொதுவாக, ஒரு துணைக்குழுவைக் கொடுத்தால், ஒவ்வொரு உறுப்புடனும் அந்த பயணத்தில் உள்ள அனைத்து கூறுகளின் தொகுப்பாக இருக்கட்டும். பின்னர் ஒரு துணை வளையம் உள்ளது, இது சென்ட்ரலைசர் (அல்லது கம்யூட்டன்ட்) என்று அழைக்கப்படுகிறது. மையமானது முழு வளையத்தின் மையமாக உள்ளது. மையத்தின் கூறுகள் அல்லது துணைக்குழுக்கள் மையமாக இருப்பதாகக் கூறப்படுகிறது; அவை (ஒவ்வொன்றும் தனித்தனியாக) மையத்தின் ஒரு துணை வளையத்தை உருவாக்குகின்றன. சிறந்த ஒரு மோதிரமாக இருக்கட்டும். ஒரு லெஃப்ட் ஐடியல் என்பது ஏதேனும் உள்ள மற்றும் உள்ள உறுப்புகள் மற்றும் உள்ளவை போன்ற ஒரு காலியாக இல்லாத துணைக்குழுவாகும். இதேபோல், ஒரு வலது ஐடியல் என்பது ஒரு துணைக்குழுவாகும், அதாவது ஒரு துணைக்குழு இரு பக்க ஐடியல் என்று கூறப்படுகிறது அல்லது அது இடது ஐடியல் மற்றும் வலது ஐடியல் என இருந்தால் வெறுமனே ஐடியல் ஆகும். ஒரு பக்க அல்லது இரு பக்க இலட்சியம் பின்னர் ஒரு சேர்க்கை துணைக்குழுவாகும். ஒரு துணைக்குழுவாக இருந்தால், அது ஒரு இடது ஐடியல் ஆகும், இது உருவாக்கப்பட்ட இடது ஐடியல் என்று அழைக்கப்படுகிறது; இது மிகச்சிறிய இடது ஐடியல் ஆகும். இதேபோல், ஒரு துணைக்குழுவால் உருவாக்கப்பட்ட சரியான ஐடியல் அல்லது இரு பக்க ஐடியலை ஒருவர் கருத்தில் கொள்ளலாம். அதில் இருந்தால், அவை முறையே இடது இலட்சியங்கள் மற்றும் வலது இலட்சியங்கள்; அவை முதன்மை இடது இலட்சியங்கள் மற்றும் வலது இலட்சியங்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. முதன்மை இலட்சியம் இவ்வாறு எழுதப்பட்டுள்ளது. எடுத்துக்காட்டாக, அனைத்து நேர்மறை மற்றும் எதிர்மறை பெருக்கிகளின் தொகுப்பு முழு எண்களின் ஒரு இலட்சியத்தை உருவாக்குகிறது, மேலும் இந்த இலட்சியம் முழு எண்ணால் உருவாக்கப்படுகிறது. உண்மையில், முழு எண்களின் வளையத்தின் ஒவ்வொரு சீர்மமும் முதன்மையானது. ஒரு குழுவைப் போலவே, ஒரு வளையம் பூஜ்ஜியமற்றதாகவும், சரியான பூஜ்ஜியமற்ற இரு பக்க இலட்சியங்களைக் கொண்டிருக்கவில்லை என்றால் அது எளிமையானது என்று கூறப்படுகிறது. ஒரு பரிமாற்ற எளிய வளையம் துல்லியமாக ஒரு புலம். வளையங்கள் பெரும்பாலும் அவற்றின் இலட்சியங்களின் அடிப்படையில் அமைக்கப்பட்ட சிறப்பு நிபந்தனைகளுடன் ஆய்வு செய்யப்படுகின்றன. எடுத்துக்காட்டாக, இடது இலட்சியங்களின் கண்டிப்பாக அதிகரிக்கும் எல்லையற்ற சங்கிலி இல்லாத ஒரு வளையம் இடது நொய்தேரியன் வளையம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. இடது இலட்சியங்களின் கண்டிப்பாக குறைந்து வரும் எல்லையற்ற சங்கிலி இல்லாத ஒரு வளையம் இடது ஆர்டினியன் வளையம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. ஒரு இடது ஆர்டினியன் வளையம் நொய்தேரியன் (ஹாப்கின்ஸ்-லெவிட்ஸ்கி தேற்றம்) விட்டுச் செல்வது சற்றே ஆச்சரியமான உண்மை. இருப்பினும், முழு எண்கள் ஆர்டினியன் அல்லாத ஒரு நொய்தேரியன் வளையத்தை உருவாக்குகின்றன. பரிமாற்ற வளையங்களைப் பொறுத்தவரை, இலட்சியங்கள் இயற்கணிதத்தில் ஒரு முழு எண்ணை பகா எண்களாக வகுத்தல் மற்றும் சிதைத்தல் பற்றிய பாரம்பரிய கருத்தை பொதுமைப்படுத்துகின்றன. நம்மிடம் உள்ள எந்தவொரு ஐடியல்களுக்கும் ஒன்று அல்லது அதற்கு சமமாக, பிரைம் என்றால் ஒரு சரியான ஐடியல் ஒரு பிரைம் ஐடியல் என்று அழைக்கப்படுகிறது அல்லது இந்த பிந்தைய சூத்திரம் ஐடியல்களை கூறுகளின் பொதுமைப்படுத்தல்கள் என்ற கருத்தை விளக்குகிறது. ஒரு வளையத்திலிருந்து ஒரு வளையத்திற்கு ஒரு ஹோமோமார்பிசம் என்பது வளைய செயல்பாடுகளைப் பாதுகாக்கும் ஒரு செயல்பாடாகும்; அதாவது, பின்வரும் அடையாளங்களில் உள்ள அனைவருக்கும் இது பொருந்தும்ஃ ஒருவர் rng களுடன் பணிபுரிகிறார் என்றால், மூன்றாவது நிபந்தனை கைவிடப்படுகிறது. ஒரு வளைய ஹோமோமார்பிசம் ஒரு ஐசோமார்பிசம் என்று கூறப்படுகிறது, இதற்கு ஒரு தலைகீழ் ஹோமோமார்பிசம் இருந்தால் (அதாவது, ஒரு வளைய ஹோமோமார்பிசம் ஒரு தலைகீழ் செயல்பாடு). எந்தவொரு புறநிலை வளைய ஹோமோமார்பிசமும் ஒரு வளைய ஐசோமார்பிசம் ஆகும். இரண்டு வளையங்களுக்கு இடையில் ஒரு ஐசோமார்பிசம் இருந்தால் அவை ஐசோமார்பிக் என்று கூறப்படுகிறது, அந்த விஷயத்தில் ஒருவர் எழுதுகிறார் அதே வளையத்திற்கு இடையில் ஒரு வளைய ஹோமோமார்பிசம் எண்டோமார்பிசம் என்றும், அதே வளையத்திற்கு இடையில் ஒரு ஐசோமார்பிசம் ஒரு ஆட்டோமார்ஃபிஸம் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டுகள்ஃ ஒவ்வொரு முழு எண்ணையும் அதன் மீதமுள்ள மாடுலோ 4 (ஒரு எண்) உடன் வரைபடமாக்கும் செயல்பாடு வளையத்திலிருந்து ஈவு வளையம் வரை ஒரு ஒத்த உருவமாகும் ("ஈவு வளையம்" கீழே வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது). ஒரு வளையத்தில் ஒரு அலகு உறுப்பு இருந்தால், அது ஒரு வளைய ஹோமோமார்பிசம் ஆகும், இது ஒரு உள் ஆட்டோமார்ஃபிஸம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. முதன்மை பண்பு கொண்ட ஒரு பரிமாற்ற வளையமாக இருக்கட்டும். பின்னர் ஃப்ரோபீனியஸ் ஹோமோமார்பிசம் என்று அழைக்கப்படும் ஒரு வளைய எண்டோமார்பிசம் ஆகும். ஒரு புலம் விரிவாக்கத்தின் கலோயிஸ் குழு என்பது அனைத்து தானியங்கி உருமாற்றங்களின் தொகுப்பாகும், அதன் கட்டுப்பாடுகள் அடையாளமாக இருக்கும். எந்தவொரு வளையத்திற்கும், ஒரு தனித்துவமான வளைய ஹோமோமார்பிசம் மற்றும் ஒரு தனித்துவமான வளைய ஹோமோமார்பிசம் உள்ளன. வளையங்களின் எபிமார்பிசம் (அதாவது, வலது-ரத்துசெய்யக்கூடிய மார்ஃபிசம்) சர்ஜெக்டிவ் ஆக இருக்க வேண்டியதில்லை. எடுத்துக்காட்டாக, தனித்துவமான வரைபடம் ஒரு எபிமார்பிசம் ஆகும். ஒரு-இயற்கணிதத்திலிருந்து ஒரு திசையன் இடத்தின் எண்டோமார்பிசம் இயற்கணிதம் வரை ஒரு இயற்கணித காப்பமைவியம் இயற்கணிதத்தின் பிரதிநிதித்துவம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. ஒரு வளைய ஹோமோமார்பிசத்தைப் பொறுத்தவரை, 0 ஆல் வரைபடமாக்கப்பட்ட அனைத்து உறுப்புகளின் தொகுப்பும் இன் கர்னல் என்று அழைக்கப்படுகிறது. கர்னல் என்பது இரு பக்க ஐடியல் ஆகும். மறுபுறம், உருவம் எப்போதும் ஒரு இலட்சியமாக இருக்காது, ஆனால் அது எப்போதும் ஒரு துணை வளையமாக இருக்கும். ஒரு ரிங் ஹோமோமார்பிசத்தை ஒரு பரிமாற்ற வளையத்திலிருந்து ஒரு வளையத்திற்கு மையத்தில் உள்ள படத்துடன் கொடுப்பது ஒரு இயற்கணிதத்தின் கட்டமைப்பைக் கொடுப்பதற்கு சமம் (இது குறிப்பாக ஒரு-தொகுதியின் கட்டமைப்பைக் கொடுக்கிறது). ஈவு வளையம் ஈவு வளையத்தின் கருத்து ஒரு ஈவு குழுவின் கருத்துக்கு ஒத்ததாகும். ஒரு வளையம் மற்றும் இரு பக்க இலட்சியம் கொடுக்கப்பட்டால், அதன் துணைக்குழுவாகப் பார்க்கவும்; பின்னர் ஈவு வளையம் என்பது அனைத்திற்கும் செயல்பாடுகளுடன் ஒன்றாக உள்ள கோசெட்டுகளின் தொகுப்பாகும். வளையம் ஒரு காரணி வளையம் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது. ஒரு ஈவுக் குழுவைப் போலவே, ஒரு நியதி ஒத்த உருவம் உள்ளது, இது சர்ஜெக்டிவ் மற்றும் பின்வரும் உலகளாவிய பண்புகளை திருப்திப்படுத்துகிறதுஃ ஒரு வளைய ஒத்த உருவம் என்றால், ஒரு தனித்துவமான ஒத்த உருவம் உள்ளது, அதாவது எந்த வளைய ஒத்த உருவகத்திற்கும், உலகளாவிய சொத்தை அழைப்பது ஒரு ஒத்த உருவகத்தை உருவாக்குகிறது, இது ஒரு ஐசோமார்பிசத்தை அதன் உருவத்திலிருந்து கொடுக்கிறது. தொகுதி ஒரு வளையத்தின் மீது ஒரு தொகுதியின் கருத்து ஒரு திசையன் இடைவெளி (ஒரு புலத்தின் மீது) என்ற கருத்தை ஒரு புலத்தின் கூறுகளுடன் திசையன்களின் பெருக்கத்திலிருந்து (அளவிடுதல் பெருக்கம்) ஒரு வளையத்தின் கூறுகளுடன் பெருக்குவதற்கு பொதுமைப்படுத்துவதன் மூலம் பொதுமைப்படுத்துகிறது. இன்னும் துல்லியமாக, ஒரு வளையத்தைப் பொறுத்தவரை, ஒரு-தொகுதி என்பது ஒரு செயல்பாட்டைக் கொண்ட ஒரு அபெலியன் குழுவாகும் (ஒரு உறுப்பு மற்றும் ஒரு உறுப்பின் ஒவ்வொரு ஜோடியுடனும் ஒரு உறுப்பை இணைக்கிறது) இது சில கோட்பாடுகளை திருப்திப்படுத்துகிறது. இந்த செயல்பாடு பொதுவாக இணைப்பால் குறிக்கப்படுகிறது மற்றும் பெருக்கம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. தொகுதிகளின் கோட்பாடுகள் பின்வருமாறுஃ அனைத்திற்கும் மற்றும் அனைத்திற்கும், கூட்டலின் கீழ் ஒரு அபெலியன் குழு உள்ளது. வளையம் பரிமாற்றமற்றதாக இருக்கும்போது இந்த கோட்பாடுகள் இடது தொகுதிகளை வரையறுக்கின்றன; வலது தொகுதிகள் அதற்கு பதிலாக எழுதுவதன் மூலம் வரையறுக்கப்படுகின்றன. வலது தொகுதிக்கு இடது பெருக்கம் (வளைய உறுப்புகளால்) பயன்படுத்தப்பட்டால், வலது தொகுதிகளின் (அதாவது) கடைசி கோட்பாடு ஆகிவிடுவதால், இது குறியீட்டின் மாற்றம் மட்டுமல்ல. தொகுதிகளின் அடிப்படை எடுத்துக்காட்டுகள் வளையம் உட்பட இலட்சியங்கள் ஆகும். இதேபோல் வரையறுக்கப்பட்டாலும், தொகுதிகளின் கோட்பாடு திசையன் இடத்தை விட மிகவும் சிக்கலானது, முக்கியமாக, ஏனெனில், திசையன் இடைவெளிகள் போலல்லாமல், தொகுதிகள் ஒரு ஒற்றை மாறிலி (ஒரு திசையன் இடத்தின் பரிமாணம்) மூலம் (ஒரு ஐசோமார்பிசம் வரை) வகைப்படுத்தப்படுவதில்லை. குறிப்பாக, அனைத்து தொகுதிகளுக்கும் ஒரு அடிப்படை இல்லை. தொகுதிகளின் கோட்பாடுகள், முதல் கழித்தல் வளையத்தில் உள்ள சேர்க்கை தலைகீழையும், இரண்டாவது கழித்தல் தொகுதியில் உள்ள சேர்க்கை தலைகீழையும் குறிக்கிறது. இதைப் பயன்படுத்துவதும், ஒரு நேர்மறை முழு எண்ணால் பெருக்குவதன் மூலம் மீண்டும் மீண்டும் கூட்டப்படுவதைக் குறிக்கவும், முழு எண்களின் வளையத்தின் மீது தொகுதிகளைக் கொண்ட அபெலியன் குழுக்களை அடையாளம் காண அனுமதிக்கிறது. எந்த வளைய ஹோமோமார்பிசமும் ஒரு தொகுதியின் கட்டமைப்பைத் தூண்டுகிறதுஃ ஒரு வளைய ஹோமோமார்பிசம் என்றால், பெருக்கத்தால் இடது தொகுதிஃ பரிமாற்றமாக இருந்தால் அல்லது மையத்தில் இருந்தால், வளையம் ஒரு-இயற்கணிதம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. குறிப்பாக, ஒவ்வொரு வளையமும் முழு எண்களுக்கு மேல் ஒரு இயற்கணிதமாகும். கட்டமைப்புகள் நேரடி தயாரிப்பு வளையங்களாக இருக்கட்டும். பின்னர் தயாரிப்பு பின்வரும் இயற்கை வளைய கட்டமைப்பைக் கொண்டிருக்கலாம்ஃ உள்ளேயும் உள்ளேயும் உள்ள அனைவருக்கும். கூட்டல் மற்றும் பெருக்கத்தின் மேற்கண்ட செயல்பாடுகள் மற்றும் பெருக்க அடையாளத்தைக் கொண்ட வளையம் உடன் நேரடி பெருக்கல் என்று அழைக்கப்படுகிறது. அதே கட்டுமானம் வளையங்களின் தன்னிச்சையான குடும்பத்திற்கும் வேலை செய்கிறதுஃ ஒரு தொகுப்பால் குறியிடப்பட்ட வளையங்கள் என்றால், கூறு வாரியாக கூட்டல் மற்றும் பெருக்கம் கொண்ட ஒரு வளையம். ஒரு பரிமாற்ற வளையமாக இருக்கட்டும், எப்போது வேண்டுமானாலும் இலட்சியங்களாக இருக்கட்டும். பின்னர் சீன எஞ்சிய தேற்றம் ஒரு நியதி வளைய ஐசோமார்பிசம் இருப்பதாகக் கூறுகிறதுஃ ஒரு "வரையறுக்கப்பட்ட" நேரடி பெருக்கல் இலட்சியங்களின் நேரடி கூட்டுத்தொகையாகவும் பார்க்கப்படலாம். அதாவது, மோதிரங்களாக இருக்கட்டும், படங்களுடன் சேர்க்கப்பட்டவை (குறிப்பாக வளையங்கள், ஆனால் துணை வளையங்கள் அல்ல). பின்னர் அபெலியன் குழுக்களின் நேரடி கூட்டுத்தொகையாக இலட்சியங்கள் உள்ளன (ஏனெனில் அபெலியன் குழுக்களுக்கு வரையறுக்கப்பட்ட விளைபொருள்கள் நேரடி தொகைகளுக்கு சமம்). அத்தகைய இலட்சியங்களின் நேரடி கூட்டுத்தொகை ஐசோமார்பிக் வளையங்களின் பெருக்கத்தையும் வரையறுக்கிறது என்பது தெளிவாகிறது. இதேபோல், மேற்கூறியவற்றை சென்ட்ரல் ஐடெம்போடண்ட்ஸ் மூலம் செய்யலாம். மேலே உள்ள சிதைவு உள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம். பின்னர் நாம் எழுதலாம் நிபந்தனைகளின் படி ஒன்று உள்ளது அவை மைய ஐடிம்போட்டண்டுகள் மற்றும், (ஆர்த்தோகனல்). மீண்டும், ஒருவர் கட்டுமானத்தை மாற்றியமைக்கலாம். அதாவது, ஆர்த்தோகனல் சென்ட்ரல் ஐடிம்போட்டன்ட்களில் 1 இன் பகிர்வு கொடுக்கப்பட்டால், அவை இரு பக்க இலட்சியங்களாக இருக்கட்டும். ஒவ்வொன்றும் ஆர்த்தோகனல் சென்ட்ரல் ஐடெம்பொடென்ட்களின் கூட்டுத்தொகை இல்லையென்றால், அவற்றின் நேரடி கூட்டுத்தொகை ஐசோமார்பிக் ஆகும். எல்லையற்ற நேரடி உற்பத்தியின் ஒரு முக்கியமான பயன்பாடு வளையங்களின் திட்ட வரம்பின் கட்டுமானமாகும் (கீழே காண்க). மற்றொரு பயன்பாடு வளையங்களின் குடும்பத்தின் தடைசெய்யப்பட்ட தயாரிப்பு ஆகும் (cf. அடேல் ரிங்). ஒரு சின்னம் (மாறி என்று அழைக்கப்படுகிறது) மற்றும் ஒரு பரிமாற்ற வளையம் கொடுக்கப்பட்டால், பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் தொகுப்பு வழக்கமான கூட்டல் மற்றும் பெருக்கத்துடன் ஒரு பரிமாற்ற வளையத்தை உருவாக்குகிறது, இது ஒரு துணை வளையமாக உள்ளது. இது பல்லுறுப்புக்கோவை வளையம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. மேலும் பொதுவாக, மாறிகளில் உள்ள அனைத்து பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் தொகுப்பும் ஒரு பரிமாற்ற வளையத்தை உருவாக்குகிறது, இது துணை வளையங்களாக உள்ளது. ஒரு ஒருங்கிணைந்த களம் என்றால், அது ஒரு ஒருங்கிணைந்த களமும் கூட; அதன் பின்னங்களின் புலம் பகுத்தறிவு செயல்பாடுகளின் புலமாகும். ஒரு நொய்தேரியன் வளையம் என்றால், அது ஒரு நொய்தேரியன் வளையம். ஒரு தனித்துவமான காரணிமயமாக்கல் களம் என்றால், அது ஒரு தனித்துவமான காரணிமயமாக்கல் களமாகும். இறுதியாக, ஒரு முதன்மை இலட்சிய களமாக இருந்தால் மட்டுமே அது ஒரு புலமாகும். பரிமாற்ற வளையங்களாக இருக்கட்டும். ஒரு உறுப்பு கொடுக்கப்பட்டால், ஒருவர் வளைய ஹோமோமார்பிசத்தை (அதாவது, மாற்று) கருத்தில் கொள்ளலாம். மற்றும் என்றால், பின்னர். இதன் காரணமாக, பல்லுறுப்புக்கோவை பெரும்பாலும் குறிக்கப்படுகிறது. வரைபடத்தின் படம் குறிக்கப்படுகிறது; இது மற்றும் மூலம் உருவாக்கப்பட்ட துணை வளையத்தைப் போன்றது. எடுத்துக்காட்டுஃ ஹோமோமார்பிசத்தின் உருவத்தைக் குறிக்கிறது வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், இது மற்றும் ஆல் உருவாக்கப்பட்ட துணை இயற்கணிதமாகும். எடுத்துக்காட்டுஃ ஒரு மாறியில் ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை இருக்கட்டும், அதாவது, ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை வளையத்தில் ஒரு உறுப்பு. பின்னர் ஒரு உறுப்பு உள்ளது மற்றும் அந்த வளையத்தில் வகுக்கப்படுகிறது. பூஜ்ஜியத்தை in க்கு மாற்றுவதன் விளைவாக, at இன் வழித்தோன்றல் ஆகும். மாற்று என்பது ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை வளையத்தின் உலகளாவிய பண்பு பற்றிய ஒரு சிறப்பு வழக்கு. பண்பு கூறுகிறதுஃ கொடுக்கப்பட்ட ஒரு வளைய ஹோமோமார்பிசம் மற்றும் அங்கு ஒரு உறுப்பு ஒரு தனித்துவமான வளைய ஹோமோமார்பிசம் உள்ளது மற்றும் கட்டுப்படுத்துகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு அடிப்படையைத் தேர்ந்தெடுப்பது, ஒரு சமச்சீர் இயற்கணிதம் உலகளாவிய பண்புகளை திருப்திப்படுத்துகிறது, அதேபோல் ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை வளையமாகும். ஒரு உதாரணத்திற்கு, அனைத்து செயல்பாடுகளின் வளையமாக இருக்கட்டும்; கூட்டல் மற்றும் பெருக்கம் ஆகியவை செயல்பாடுகளின் வளையமாகும். அடையாள செயல்பாடாக இருக்கட்டும். ஒவ்வொன்றும் ஒரு நிலையான செயல்பாட்டை வரையறுத்து, ஹோமோமார்பிசத்திற்கு வழிவகுக்கிறது. உலகளாவிய பண்பு இந்த வரைபடம் தனித்துவமாக (வரைபடங்களுக்கு) வரையறுக்கப்பட்ட பல்லுறுப்புக்கோவை செயல்பாடு எங்குள்ளது என்று கூறுகிறது. முடிவற்றதாக இருந்தால் மட்டுமே இதன் விளைவாக வரும் வரைபடம் உட்செலுத்தப்படுகிறது. ஒரு நிலையான மோனிக் பல்லுறுப்புக்கோவை கொடுக்கப்பட்டால், அதில் நேரியல் காரணிகளின் பெருக்கல் போன்ற ஒரு வளையம் உள்ளது. இயற்கணித ரீதியாக மூடிய புலமாக இருக்கட்டும். ஹில்பர்ட்டின் நல்ஸ்டெல்லென்சாட்ஸ் (பூஜ்ஜியங்களின் தேற்றம்) அனைத்து பகா இலட்சியங்களின் தொகுப்புக்கும் அவற்றின் மூடிய துணை வகைகளின் தொகுப்புக்கும் இடையே இயற்கையான ஒன்றுக்கு ஒன்று தொடர்பு இருப்பதாகக் கூறுகிறது. குறிப்பாக, இயற்கணித வடிவவியலில் உள்ள பல உள்ளூர் சிக்கல்கள் ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை வளையத்தில் ஒரு இலட்சியத்தின் ஜெனரேட்டர்களைப் படிப்பதன் மூலம் தாக்கப்படலாம். (cf. கிராப்னர் அடிப்படை.) இது தொடர்பான வேறு சில கட்டுமானங்களும் உள்ளன. ஒரு முறையான பவர் சீரிஸ் வளையம் முறையான பவர் சீரிஸுடன் பெருக்கம் மற்றும் கூட்டல் ஆகியவற்றைக் கொண்டுள்ளது, அவை ஒருங்கிணைந்த தொடர்களைப் பிரதிபலிக்கின்றன. இது ஒரு துணை வளையமாக உள்ளது. ஒரு முறையான சக்தி தொடர் வளையத்திற்கு ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை வளையத்தின் உலகளாவிய பண்பு இல்லை; ஒரு மாற்றீட்டிற்குப் பிறகு ஒரு தொடர் ஒன்றிணைக்கப்படாமல் போகலாம். ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை வளையத்தின் மீது ஒரு முறையான சக்தி தொடர் வளையத்தின் முக்கிய நன்மை என்னவென்றால், அது உள்ளூர் (உண்மையில், முழுமையானது). மேட்ரிக்ஸ் வளையம் மற்றும் எண்டோமார்பிசம் வளையம் ஒரு வளையமாக இருக்கட்டும் (பரிமாற்ற வேண்டிய அவசியமில்லை). உள்ளீடுகளுடன் அனைத்து சதுர மேட்ரிக்ஸின் தொகுப்பும் நுழைவு வாரியான கூட்டல் மற்றும் வழக்கமான மேட்ரிக்ஸ் பெருக்கத்துடன் ஒரு வளையத்தை உருவாக்குகிறது. இது மேட்ரிக்ஸ் வளையம் என்று அழைக்கப்படுகிறது மற்றும் குறிக்கப்படுகிறது. ஒரு வலது-தொகுதி கொடுக்கப்பட்டால், அனைத்து-நேரியல் வரைபடங்களின் தொகுப்பு தன்னிடமிருந்து ஒரு வளையத்தை உருவாக்குகிறது, இது செயல்பாடு மற்றும் பெருக்கத்தின் கூட்டல் ஆகும், இது செயல்பாடுகளின் கலவையாகும்; இது எண்டோமார்ஃபிஸம் வளையம் என்று அழைக்கப்படுகிறது மற்றும் இதன் மூலம் குறிக்கப்படுகிறது. நேரியல் இயற்கணிதத்தைப் போலவே, ஒரு மேட்ரிக்ஸ் வளையத்தை ஒரு எண்டோமார்பிசம் வளையமாக நியதி ரீதியாக விளக்கலாம்ஃ இது பின்வரும் உண்மையின் ஒரு சிறப்பு வழக்குஃ ஒரு-நேரியல் வரைபடமாக இருந்தால், உள்ளீடுகளுடன் ஒரு மேட்ரிக்ஸாக எழுதப்படலாம், இதன் விளைவாக வளைய ஐசோமார்பிசம் ஏற்படுகிறதுஃ எந்த வளைய ஹோமோமார்பிசமும் தூண்டுகிறது. ஷூரின் லெம்மா ஒரு எளிய வலது-தொகுதி என்றால், அது ஒரு பிரிவு வளையம் என்று கூறுகிறது. எளிய-தொகுதிகளின்-நகல்களின் நேரடி கூட்டுத்தொகை என்றால், ஆர்ட்டின்-வெடர்பர்ன் தேற்றம் எந்த அரை எளிய வளையத்தையும் (cf. கீழே) இந்த வடிவத்தில் உள்ளது. ஒரு வளையமும் அதன் மீது உள்ள மேட்ரிக்ஸ் வளையமும் மோரிட்டாவுக்கு சமமானவைஃ சரியான தொகுதிகளின் வகை சரியான தொகுதிகளின் வகைக்கு சமம். குறிப்பாக, இரு பக்க சீர்மங்கள் ஒன்று முதல் ஒன்று வரை இரு பக்க சீர்மங்களுடன் ஒத்திருக்கின்றன. வளையங்களின் வரம்புகள் மற்றும் கோலிமிட்டுகள் அனைத்திற்கும் ஒரு துணை வளையமாக இருக்கும் வளையங்களின் வரிசையாக இருக்கட்டும். பின்னர் யூனியன் (அல்லது வடிகட்டப்பட்ட கோலிமிட்) என்பது பின்வருமாறு வரையறுக்கப்பட்ட வளையமாகும்ஃ இது அனைவரின் மாடுலோவின் சமன்பாடு உறவின் வேறுபட்ட ஒன்றிணைப்பாகும், இது போதுமான அளவு பெரியதாக இருந்தால் மட்டுமே. கோலிமிட்டுகளின் எடுத்துக்காட்டுகள்ஃ எண்ணற்ற பல மாறிகளில் ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை வளையம்ஃ ஒரே பண்பு கொண்ட வரையறுக்கப்பட்ட புலங்களின் இயற்கணித மூடல் ஒரு புலத்தின் மீது முறையான லாரன்ட் தொடரின் புலம்ஃ (இது முறையான சக்தி தொடர் வளையத்தின் பின்னங்களின் புலம்) ஒரு புலத்தின் மீது ஒரு இயற்கணித வகையின் செயல்பாட்டு புலம் என்பது வரம்பு காலியாக இல்லாத திறந்த துணைக்குழுக்களின் அனைத்து ஒருங்கிணைப்பு வளையங்களுக்கும் மேல் செல்லும் இடமாகும் (மேலும் சுருக்கமாக இது பொதுவான புள்ளியில் உள்ள கட்டமைப்பு உறையின் தண்டு ஆகும்). எந்தவொரு பரிமாற்ற வளையமும் இறுதியாக உருவாக்கப்பட்ட துணை வளையங்களின் கோலிமிட் ஆகும். வளையங்களின் திட்ட வரம்பு (அல்லது வடிகட்டப்பட்ட வரம்பு) பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது. நேர்மறை முழு எண்கள், சொல்லுங்கள், மற்றும் வளைய ஹோமோமார்பிசம்களின் மீது இயங்கும் வளையங்களின் குடும்பம் நமக்கு வழங்கப்பட்டுள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம், அவை அனைத்தும் அடையாளங்கள் மற்றும் எப்போது வேண்டுமானாலும் இருக்கும். பின்னர் கீழே உள்ள வரைபடத்தை உள்ளடக்கிய துணை வளையம்,. ஒரு திட்ட வரம்பின் எடுத்துக்காட்டுக்கு, பார்க்கவும். உள்ளூர்மயமாக்கல் ஒரு ஒருங்கிணைந்த களத்தின் பின்னங்களின் புலத்தை ஒரு தன்னிச்சையான வளையம் மற்றும் தொகுதிகளுக்கு கட்டமைப்பதை உள்ளூர்மயமாக்கல் பொதுமைப்படுத்துகிறது. ஒரு (கட்டாயமாக பரிமாற்ற அல்ல) வளையம் மற்றும் ஒரு துணைக்குழுவைப் பொறுத்தவரை, வளைய ஹோமோமார்பிசத்துடன் ஒன்றாக ஒரு வளையம் உள்ளது, அது "தலைகீழாக" மாறுகிறது; அதாவது, ஹோமோமார்பிசம் கூறுகளை அலகு கூறுகளாக வரைபடமாக்குகிறது, மேலும், அந்த "தலைகீழாக" இருந்து எந்தவொரு வளைய ஹோமோமார்பிசமும் தனித்துவமான காரணிகள் மூலம் வளையம். எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு பரிமாற்ற வளையம் மற்றும் ஒரு உறுப்பு இருந்தால், உள்ளூர்மயமாக்கல் வடிவத்தின் கூறுகளைக் கொண்டுள்ளது (துல்லியமாக இருக்க வேண்டும்,) உள்ளூர்மயமாக்கல் அடிக்கடி ஒரு பகா இலட்சியத்தின் (அல்லது பகா இலட்சியங்களின் ஒன்றிணைப்பு) நிரப்பு தொடர்பாக ஒரு பரிமாற்ற வளையத்திற்கு பயன்படுத்தப்படுகிறது. அவ்வாறான நிலையில் ஒருவர் அடிக்கடி எழுதுவது அதிகபட்ச இலட்சியத்துடன் ஒரு உள்ளூர் வளையமாகும் இது "உள்ளூர்மயமாக்கல்" என்ற சொற்களுக்கு காரணமாகும். ஒரு ஒருங்கிணைந்த களத்தின் பின்னங்களின் புலம் முதன்மை இலட்சிய பூஜ்ஜியத்தின் உள்ளூர்மயமாக்கல் ஆகும். ஒரு பரிமாற்ற வளையத்தின் முதன்மை இலட்சியமாக இருந்தால், பின்னங்களின் புலம் உள்ளூர் வளையத்தின் எஞ்சிய புலத்தைப் போலவே இருக்கும், மேலும் இது குறிக்கப்படுகிறது இடது-தொகுதி என்றால், அதன் உள்ளூர்மயமாக்கல் வளையங்களின் மாற்றத்தால் வழங்கப்படுகிறது உள்ளூர்மயமாக்கலின் மிக முக்கியமான பண்புகள் பின்வருமாறுஃ ஒரு பரிமாற்ற வளையம் மற்றும் பெருக்க ரீதியாக மூடப்பட்ட துணைக்குழு என்பது அனைத்து பகா இலட்சியங்களின் தொகுப்பிற்கும் இடையே ஒரு பைஜெக்ஷன் ஆகும். உள்ளூர்மயமாக்கல் துல்லியமானதுஃ துல்லியமாக முடிந்த போதெல்லாம் துல்லியமாக இருக்கும். மாறாக, எந்தவொரு அதிகபட்ச ஐடியலுக்கும் துல்லியமாக இருந்தால் அது துல்லியமானது. ஒரு குறிப்புஃ உலகளாவிய இருப்பை நிரூபிப்பதில் உள்ளூர்மயமாக்கல் எந்த உதவியும் இல்லை. இதற்கு ஒரு எடுத்துக்காட்டு என்னவென்றால், இரண்டு தொகுதிகள் அனைத்து பகா இலட்சியங்களிலும் ஐசோமார்பிக் ஆக இருந்தால், அவை ஐசோமார்பிக் என்று பின்பற்றப்படுவதில்லை. (இதை விளக்குவதற்கான ஒரு வழி என்னவென்றால், உள்ளூர்மயமாக்கல் ஒரு தொகுதியை முதன்மை இலட்சியங்களுக்கு மேல் ஒரு உறையாக பார்க்க அனுமதிக்கிறது, மேலும் ஒரு உறையாக இருப்பது இயல்பாகவே ஒரு உள்ளூர் கருத்தாகும்.) வகைக் கோட்பாட்டில், ஒரு வகையின் உள்ளூர்மயமாக்கல் சில உருவவியல் ஐசோமார்பிசம்களை உருவாக்குவதற்கு சமம். ஒரு பரிமாற்ற வளையத்தில் உள்ள ஒரு உறுப்பு எந்த-தொகுதியின் எண்டோமார்பிசமாகவும் கருதப்படலாம். எனவே, திட்டவட்டமாக, ஒரு துணைக்குழுவைப் பொறுத்தவரை உள்ளூர்மயமாக்கல் என்பது-தொகுதிகளின் வகையிலிருந்து ஒரு செயல்பாடாகும், இது எண்டோமார்பிசம்களாகக் கருதப்படும் கூறுகளை தானியங்கிகளுக்கு அனுப்புகிறது மற்றும் இந்த பண்பைப் பொறுத்தவரை உலகளாவியது. (நிச்சயமாக, பின்னர் வரைபடம் மற்றும்-தொகுதிகள் வரைபடம்-தொகுதிகள்.) நிறைவு ஒரு பரிமாற்ற வளையமாக இருக்கட்டும், மேலும் ஒரு இலட்சியமாக இருக்கட்டும். at இன் நிறைவு என்பது திட்ட வரம்பாகும், இது ஒரு பரிமாற்ற வளையமாகும். பிந்தைய ஹோமோமார்பிசம் ஒரு நொய்தேரியன் ஒருங்கிணைந்த களமாக இருந்தால் மற்றும் ஒரு சரியான இலட்சியமாக இருந்தால், அல்லது அதிகபட்ச இலட்சியத்துடன் ஒரு நொய்தேரியன் உள்ளூர் வளையமாக இருந்தால், க்ரல்லின் குறுக்குவெட்டு தேற்றத்தின் படி ஊசி போடப்படுகிறது. அதிகபட்ச இலட்சியமாக இருக்கும்போது கட்டுமானம் குறிப்பாக பயனுள்ளதாக இருக்கும். அடிப்படை உதாரணம் ஒரு பகா எண்ணால் உருவாக்கப்படும் முதன்மை இலட்சியத்தில் நிறைவு செய்வது; இது-adic முழு எண்களின் வளையம் என்று அழைக்கப்படுகிறது மற்றும் குறிக்கப்படுகிறது இந்த விஷயத்தில் நிறைவு என்பது-adic முழுமையான மதிப்பிலிருந்தும் கட்டமைக்கப்படலாம். இது ஒரு தொலைதூர செயல்பாட்டை வரையறுக்கிறது மற்றும் ஒரு மெட்ரிக் இடமாக நிறைவு செய்வது குறிக்கப்படுகிறது இது மீண்டும் ஒரு புலம், ஏனெனில் புல செயல்பாடுகள் நிறைவு வரை நீட்டிக்கப்படுகின்றன. இதேபோல், முறையான சக்தி தொடர் வளையம் என்பது ஒரு முழுமையான வளையத்தின் நிறைவு (ஹென்சலின் லெம்மாவையும் பார்க்கவும்) ஒரு முழுமையான வளையம் ஒரு பரிமாற்ற வளையத்தை விட மிகவும் எளிமையான கட்டமைப்பைக் கொண்டுள்ளது. இது கோஹன் கட்டமைப்பு தேற்றத்திற்கு சொந்தமானது, இது தோராயமாக, ஒரு முழுமையான உள்ளூர் வளையம் ஒரு முறையான சக்தி தொடர் வளையம் அல்லது அதன் ஈவு போல தோற்றமளிக்கிறது என்று கூறுகிறது. மறுபுறம், ஒருங்கிணைந்த மூடல் மற்றும் நிறைவு ஆகியவற்றுக்கு இடையிலான தொடர்பு நவீன பரிமாற்ற வளையக் கோட்பாட்டை நோதர் போன்றவர்களால் உருவாக்கப்பட்ட கிளாசிக்கல் கோட்பாட்டிலிருந்து வேறுபடுத்தும் மிக முக்கியமான அம்சங்களில் ஒன்றாகும். நாகதாவால் கண்டுபிடிக்கப்பட்ட நோயியல் எடுத்துக்காட்டுகள் நொய்தேரியன் வளையங்களின் பாத்திரங்களை மறுபரிசீலனை செய்ய வழிவகுத்தன, மேலும் மற்றவற்றுடன், சிறந்த வளையத்தின் வரையறையையும் ஊக்குவித்தன. ஜெனரேட்டர்கள் மற்றும் உறவுகளுடன் வளையங்கள் ஒரு வளையத்தை உருவாக்குவதற்கான மிகவும் பொதுவான வழி ஜெனரேட்டர்கள் மற்றும் உறவுகளைக் குறிப்பிடுவதாகும். குறியீடுகளின் தொகுப்புடன் ஒரு இலவச வளையமாக (அதாவது, முழு எண்களுக்கு மேல் இலவச இயற்கணிதம்) இருக்கட்டும், அதாவது, பரிமாற்றமற்ற மாறிகளில் ஒருங்கிணைந்த குணகங்களைக் கொண்ட பல்லுறுப்புக்கோவைகளைக் கொண்டுள்ளது. ஒரு இலவச வளையம் உலகளாவிய பண்புகளை திருப்திப்படுத்துகிறதுஃ தொகுப்பிலிருந்து வளைய காரணிகள் வரை எந்த செயல்பாடும் தனித்துவமான வளைய காப்பமைவியம் ஆகும். குழு வழக்கைப் போலவே, ஒவ்வொரு வளையத்தையும் ஒரு இலவச வளையத்தின் ஈவு என குறிப்பிடலாம். இப்போது, ஒரு மேற்கோளை எடுத்துக்கொள்வதன் மூலம் சின்னங்களுக்கிடையேயான உறவுகளை நாம் திணிக்க முடியும். வெளிப்படையாக, ஒரு துணைக்குழுவாக இருந்தால், அதன் மூலம் உருவாக்கப்படும் இலட்சியத்தின் ஈவு வளையம் ஜெனரேட்டர்கள் மற்றும் உறவுகளுடன் கூடிய வளையம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. நாம் ஒரு வளையத்தைப் பயன்படுத்தினால், அதற்கு பதிலாக ஒரு அடிப்படை வளையமாக இருந்தால், இதன் விளைவாக வரும் வளையம் முடிந்துவிடும். எடுத்துக்காட்டாக, இதன் விளைவாக வரும் வளையம் வழக்கமான பல்லுறுப்புக்கோவை வளையமாக இருக்கும், அவை மாறிகளில் உள்ள குணகங்களைக் கொண்ட உறுப்புகளாகும் (இது குறியீடுகளுடன் கூடிய சமச்சீர் இயற்கணிதத்தைப் போன்றது). வகை-கோட்பாட்டு சொற்களில், உருவாக்கம் என்பது வளையங்களின் வகையிலிருந்து செட் வரை மறந்துபோன செயல்பாட்டாளரின் இடது பக்க இணை செயல்பாட்டாளராகும் (மேலும் இது பெரும்பாலும் ஃப்ரீ ரிங் செயல்பாட்டாளர் என்று அழைக்கப்படுகிறது). ஒரு பரிமாற்ற வளையத்தின் மீது ஆல்ஜிப்ராக்கள் இருக்கட்டும். பின்னர்-தொகுதிகளின் டென்சர் பெருக்கல் ஒரு-இயற்கணிதம் ஆகும், இது சிறப்பு வகையான வளையங்கள் களங்களால் வகைப்படுத்தப்படுகிறது, பூஜ்ஜியமற்ற பூஜ்ஜிய-வகுத்திகள் இல்லாத பூஜ்ஜியமற்ற வளையம் ஒரு களம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. ஒரு பரிமாற்ற களம் ஒரு ஒருங்கிணைந்த களம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. மிக முக்கியமான ஒருங்கிணைந்த களங்கள் முதன்மை இலட்சிய களங்கள், குறுகிய காலத்திற்கு பிஐடி மற்றும் புலங்கள் ஆகும். ஒரு முதன்மை இலட்சிய களம் என்பது ஒரு ஒருங்கிணைந்த களமாகும், இதில் ஒவ்வொரு இலட்சியமும் முதன்மையானது. ஒரு பிஐடி கொண்ட ஒருங்கிணைந்த களங்களின் ஒரு முக்கியமான வகுப்பு ஒரு தனித்துவமான காரணிமயமாக்கல் களம் (யுஎஃப்டி) ஆகும், இது ஒரு ஒருங்கிணைந்த களமாகும், இதில் ஒவ்வொரு அலகு அல்லாத உறுப்பும் பகா உறுப்புகளின் பெருக்கலாகும் (ஒரு உறுப்பு ஒரு பகா இலட்சியத்தை உருவாக்கினால் பகா உறுப்பாகும்). இயற்கணித எண் கோட்பாட்டில் அடிப்படை கேள்வி என்னவென்றால், ஒரு எண் புலத்தில் (பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட) முழு எண்களின் வளையம், ஒரு "இலட்சியம்" பகாக் காரணியாக்கத்தை ஏற்றுக்கொள்வதில், ஒரு PID ஆகத் தவறிவிடுகிறது. ஒரு PID தொடர்பான கோட்பாடுகளில், மிக முக்கியமான ஒன்று ஒரு முதன்மை இலட்சிய களத்தின் மீது இறுதியாக உருவாக்கப்பட்ட தொகுதிகளுக்கான கட்டமைப்பு தேற்றம் ஆகும். இந்த தேற்றத்தை நேரியல் இயற்கணிதத்திற்கு பின்வரும் பயன்பாட்டின் மூலம் விளக்கலாம். ஒரு புலத்தின் மீது ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாண திசையன் இடைவெளி மற்றும் குறைந்தபட்ச பல்லுறுப்புக்கோவை கொண்ட ஒரு நேரியல் வரைபடமாக இருக்கட்டும். பின்னர், ஒரு தனித்துவமான காரணிமயமாக்கல் களம் என்பதால், தனித்துவமான பகுக்கமுடியாத பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் (அதாவது, முதன்மை கூறுகள்) சக்திகளாக காரணிகள்ஃ நாம் ஒரு-தொகுதியை உருவாக்குகிறோம். கட்டமைப்பு தேற்றம் பின்னர் சுழற்சி தொகுதிகளின் நேரடி கூட்டுத்தொகை என்று கூறுகிறது, அவை ஒவ்வொன்றும் வடிவத்தின் தொகுதிக்கு ஐசோமார்பிக் ஆகும் இப்போது, அத்தகைய சுழற்சி தொகுதி (for) ஒரு ஜோர்டான் மேட்ரிக்ஸால் குறிக்கப்படும் ஒரு அடிப்படையைக் கொண்டுள்ளது. எனவே, இயற்கணித ரீதியாக மூடப்பட்டிருந்தால், அனைத்தும் வடிவத்தில் இருக்கும் மற்றும் மேலே உள்ள சிதைவு ஜோர்டான் நியம வடிவத்துடன் ஒத்திருக்கிறது. இயற்கணித வடிவவியலில், மென்மை காரணமாக யுஎஃப்டிகள் எழுகின்றன. இன்னும் துல்லியமாக, புள்ளியில் உள்ள உள்ளூர் வளையம் ஒரு வழக்கமான உள்ளூர் வளையமாக இருந்தால், ஒரு வகையின் ஒரு புள்ளி (ஒரு சரியான புலத்தின் மீது) மென்மையானது. ஒரு வழக்கமான உள்ளூர் வளையம் ஒரு யுஎஃப்டி ஆகும். வளையங்கள், களங்கள் மற்றும் புலங்களுக்கு இடையிலான உறவை விவரிக்கும் வகுப்பு சேர்ப்புகளின் சங்கிலி பின்வருமாறுஃ பிரிவு வளையம் ஒரு பிரிவு வளையம் என்பது பூஜ்ஜியமற்ற ஒவ்வொரு உறுப்பும் ஒரு அலகாக இருக்கும் ஒரு வளையம் ஆகும். ஒரு பரிமாற்றப் பிரிவு வளையம் என்பது ஒரு புலமாகும். ஒரு புலம் அல்லாத ஒரு பிரிவு வளையத்தின் முக்கிய எடுத்துக்காட்டு குவாட்டர்னியன்களின் வளையம் ஆகும். பிரிவு வளையத்தில் உள்ள எந்த மையப்படுத்தியும் ஒரு பிரிவு வளையமாகும். குறிப்பாக, ஒரு பிரிவு வளையத்தின் மையம் ஒரு புலமாகும். ஒவ்வொரு வரையறுக்கப்பட்ட களமும் (குறிப்பாக வரையறுக்கப்பட்ட பிரிவு வளையத்தில்) ஒரு புலம் என்று அது மாறியது; குறிப்பாக பரிமாற்றத்தில் (வெடர்பர்னின் சிறிய தேற்றம்). ஒரு பிரிவு வளையத்தின் மீது உள்ள ஒவ்வொரு தொகுதியும் ஒரு இலவச தொகுதி (ஒரு அடிப்படையைக் கொண்டுள்ளது); இதன் விளைவாக, நேரியல் இயற்கணிதத்தின் பெரும்பகுதியை ஒரு புலத்திற்கு பதிலாக ஒரு பிரிவு வளையத்தின் மீது மேற்கொள்ள முடியும். இணை வகுப்புகளின் ஆய்வு பிரிவு வளையங்களின் பாரம்பரிய கோட்பாட்டில் முக்கியமாகக் குறிப்பிடப்பட்டுள்ளது; எடுத்துக்காட்டாக, கார்டன்-ப்ராவர்-ஹுவா தேற்றத்தைப் பார்க்கவும். எல். இ. டிக்சன் அறிமுகப்படுத்திய ஒரு சுழற்சி இயற்கணிதம், ஒரு குவாட்டர்னியன் இயற்கணிதத்தின் பொதுமைப்படுத்தல் ஆகும். அரை எளிய வளையங்கள் ஒரு அரை எளிய தொகுதி என்பது எளிய தொகுதிகளின் நேரடி கூட்டுத்தொகையாகும். அரை எளிய வளையம் என்பது ஒரு வளையமாகும், இது ஒரு இடது தொகுதியாக (அல்லது வலது தொகுதி) அரை எளிமையானது. எடுத்துக்காட்டுகள் ஒரு பிரிவு வளையம் அரை எளிய (மற்றும் எளிய). எந்தவொரு பிரிவு வளையம் மற்றும் நேர்மறை முழு எண்ணுக்கும், மேட்ரிக்ஸ் வளையம் அரை எளிய (மற்றும் எளிய) ஆகும். ஒரு புலம் மற்றும் வரையறுக்கப்பட்ட குழுவிற்கு, குழு வளையம் அரை எளிமையானது, அதன் பண்பு (மாஸ்கேவின் தேற்றம்) வரிசையைப் பிரிக்கவில்லை என்றால் மட்டுமே. கிளிஃபோர்ட் ஆல்ஜிப்ராக்கள் அரை எளிமையானவை. ஒரு புலத்தின் மீது உள்ள வேய்ல் இயற்கணிதம் ஒரு எளிய வளையமாகும், ஆனால் அது அரை எளிமையானது அல்ல. பல மாறிகளில் உள்ள வேறுபட்ட இயக்கிகளின் வளையத்திற்கும் இது பொருந்தும். பண்புகள் ஒரு அரை எளிய வளையத்தின் மீது எந்த தொகுதியும் அரை எளியதாகும். (ஆதாரம்ஃ ஒரு அரை எளிய வளையத்தின் மீது ஒரு இலவச தொகுதி அரை எளிமையானது மற்றும் எந்த தொகுதியும் ஒரு இலவச தொகுதியின் ஒரு பகுதியாகும்.) ஒரு வளையத்தைப் பொறுத்தவரை, பின்வருபவை சமமானவைஃ அரை எளியவை. ஆர்ட்டினியன் மற்றும் செமிபிரிமிடிவ். ஒவ்வொன்றும் ஒரு நேர்மறை முழு எண்ணாக இருக்கும் ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட நேரடி தயாரிப்பு, மற்றும் ஒவ்வொன்றும் ஒரு பிரிவு வளையம் (ஆர்ட்டின்-வெடர்பர்ன் தேற்றம்). அரை எளிமை என்பது பிரிவினையுடன் நெருக்கமாக தொடர்புடையது. ஒவ்வொரு புலம் நீட்டிப்புக்கும் அடிப்படை நீட்டிப்பு அரை எளியதாக இருந்தால், ஒரு புலத்தின் மீது ஒரு ஒருங்கிணைந்த துணை இயற்கணிதம் பிரிக்கக்கூடியது என்று கூறப்படுகிறது. ஒரு புலமாக இருந்தால், இது புலக் கோட்பாட்டின் வழக்கமான வரையறைக்கு சமம் (cf. பிரிக்கக்கூடிய நீட்டிப்பு.) மத்திய எளிய இயற்கணிதம் மற்றும் பிராயர் குழு ஒரு புலத்திற்கு, ஒரு-இயற்கணிதம் அதன் மையமாக இருந்தால் மையமாகவும், அது ஒரு எளிய வளையமாக இருந்தால் எளிமையாகவும் இருக்கும். ஒரு எளிய-இயற்கணிதத்தின் மையம் ஒரு புலம் என்பதால், எந்தவொரு எளிய-இயற்கணிதமும் அதன் மையத்தின் மீது ஒரு மைய எளிய இயற்கணிதமாகும். இந்தப் பிரிவில், ஒரு மைய எளிய இயற்கணிதம் வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாணத்தைக் கொண்டிருப்பதாகக் கருதப்படுகிறது. மேலும், நாம் பெரும்பாலும் அடிப்படை புலத்தை சரிசெய்கிறோம்; எனவே, ஒரு இயற்கணிதம் ஒரு-இயற்கணிதத்தைக் குறிக்கிறது. ஒரு வளையத்தின் மீது உள்ள மேட்ரிக்ஸ் வளையம் இதன் மூலம் குறிக்கப்படும். ஸ்கோலெம்-நோய்தர் தேற்றம் ஒரு மைய எளிய இயற்கணிதத்தின் எந்த தானியங்கியமும் உள் என்று கூறுகிறது. இரண்டு மைய எளிய ஆல்ஜிப்ராக்கள் மற்றும் முழு எண்கள் இருந்தால் அவை ஒத்தவை என்று கூறப்படுகிறது மற்றும் ஒற்றுமை ஒரு சமநிலை உறவு என்பதால். பெருக்கத்துடன் ஒற்றுமை வகுப்புகள் ஒரு அபெலியன் குழுவை உருவாக்குகின்றன, இது பிராயர் குழு என்று அழைக்கப்படுகிறது மற்றும் இதன் மூலம் குறிக்கப்படுகிறது. ஆர்ட்டின்-வெடர்பர்ன் தேற்றத்தின்படி, ஒரு மைய எளிய இயற்கணிதம் என்பது ஒரு பிரிவு வளையத்தின் அணி வளையமாகும், எனவே, ஒவ்வொரு ஒற்றுமை வகுப்பும் ஒரு தனித்துவமான பிரிவு வளையத்தால் குறிக்கப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட புலம் அல்லது இயற்கணித ரீதியாக மூடிய புலம் (பொதுவாக அரை-இயற்கணித ரீதியாக மூடிய புலம்; cf. செனின் தேற்றம்). வரிசை 2 உள்ளது (ஃப்ரோபீனியஸ் தேற்றத்தின் ஒரு சிறப்பு வழக்கு). இறுதியாக, ஒரு ஆர்க்கிமீடியன் அல்லாத உள்ளூர் புலம் என்றால் (எடுத்துக்காட்டாக, பின்னர் மாறாத வரைபடத்தின் மூலம். இப்போது, ஒரு புலம் நீட்டிப்பு என்றால், அடிப்படை நீட்டிப்பு தூண்டுகிறது. அதன் கர்னல் குறிக்கப்படுகிறது. இது ஒரு மேட்ரிக்ஸ் வளையத்தைக் கொண்டுள்ளது (அதாவது, பிரிக்கப்பட்டுள்ளது). நீட்டிப்பு வரையறுக்கப்பட்டதாகவும், கலோயிஸ் ஆகவும் இருந்தால், அசுமயா ஆல்ஜிப்ராக்களுக்கு ஐசோமார்பிக் என்பது மத்திய எளிய ஆல்ஜிப்ராக்களின் கருத்தை ஒரு பரிமாற்ற உள்ளூர் வளையத்திற்கு பொதுமைப்படுத்துகிறது. மதிப்பீட்டு வளையம் ஒரு புலம் என்றால், ஒரு மதிப்பீடு என்பது பெருக்கக் குழுவிலிருந்து முற்றிலும் வரிசைப்படுத்தப்பட்ட அபெலியன் குழுவிற்கு ஒரு குழு ஒத்த உருவமாகும், அதாவது, பூஜ்ஜியமற்றவற்றுடன் உள்ள எவருக்கும், மதிப்பீட்டு வளையம் என்பது பூஜ்ஜியம் மற்றும் அனைத்து பூஜ்ஜியமற்றவற்றையும் கொண்ட துணை வளையமாகும். எடுத்துக்காட்டுகள்ஃ ஒரு புலத்தின் மீது முறையான லாரண்ட் தொடரின் புலம் ஒரு பூஜ்ஜியமற்ற காலத்தின் குறைந்தபட்ச டிகிரியாக இருக்கும் மதிப்பீட்டுடன் வருகிறது; இன் மதிப்பீட்டு வளையம் முறையான பவர் சீரிஸ் வளையமாகும் மேலும் பொதுவாக, ஒரு புலம் மற்றும் முற்றிலும் வரிசைப்படுத்தப்பட்ட அபெலியன் குழுவைக் கொடுத்தால், அதன் ஆதரவுகள் (செயல்பாடுகள் பூஜ்ஜியமற்ற புள்ளிகளின் தொகுப்புகள்) நன்கு வரிசைப்படுத்தப்பட்ட அனைத்து செயல்பாடுகளின் தொகுப்பாக இருக்கட்டும். இது கன்வொல்யூஷன் மூலம் கொடுக்கப்பட்ட பெருக்கத்தைக் கொண்ட ஒரு புலமாகும்ஃ இது மதிப்பீட்டுடன் வருகிறது, இது ஆதரிப்பதில் மிகக் குறைந்த உறுப்பாகும். வரையறுக்கப்பட்ட ஆதரவுடன் உறுப்புகளைக் கொண்ட துணை வளையம் குழு வளையம் என்று அழைக்கப்படுகிறது (இது பரிமாற்றமாக இல்லாவிட்டாலும் அர்த்தமுள்ளதாக இருக்கிறது). முழு எண்களின் வளையம் என்றால், முந்தைய உதாரணத்தை நாம் மீட்டெடுக்கிறோம் (அதன்-th குணகம் கொண்ட தொடருடன் அடையாளம் காண்பதன் மூலம்). கூடுதல் கட்டமைப்பைக் கொண்ட வளையங்கள் ஒரு வளையத்தை ஒரு அபெலியன் குழுவாக (கூட்டல் செயல்பாட்டைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம்) பார்க்க முடியும், கூடுதல் கட்டமைப்புடன்ஃ அதாவது, வளைய பெருக்கம். இதேபோல், கூடுதல் கட்டமைப்பைக் கொண்ட வளையங்களாகக் கருதப்படும் பிற கணிதப் பொருட்களும் உள்ளன. எடுத்துக்காட்டாகஃ ஒரு துணை இயற்கணிதம் என்பது ஒரு வளையமாகும், இது ஒரு புலத்தின் மீது ஒரு திசையன் இடமாகும், அதாவது அளவிடுதல் பெருக்கம் வளைய பெருக்கத்துடன் இணக்கமாக இருக்கும். உதாரணமாக, உண்மையான புலத்தின் மீது உள்ள-பை-மேட்ரிக்ஸின் தொகுப்பு ஒரு உண்மையான திசையன் இடமாக பரிமாணத்தைக் கொண்டுள்ளது. ஒரு வளையம் என்பது ஒரு இடவியல் வளையமாகும், அதன் உறுப்புகளின் தொகுப்புக்கு ஒரு இடவியல் கொடுக்கப்பட்டால், இது கூட்டல் வரைபடம் () மற்றும் பெருக்கல் வரைபடம் இரண்டையும் இடவியல் இடைவெளிகளுக்கு இடையிலான வரைபடங்களாக தொடர்ச்சியாக இருக்கும் (இங்கு தயாரிப்பு இடவியல் அல்லது பிரிவில் உள்ள வேறு எந்த தயாரிப்பையும் பெறுகிறது). எடுத்துக்காட்டாக, உண்மையான எண்களின் மீது-மூலம்-மேட்ரிக்ஸ்கள் யூக்ளிடியன் இடவியல் அல்லது ஜாரிஸ்கி இடவியல் கொடுக்கப்படலாம், மேலும் இரு சந்தர்ப்பங்களிலும் ஒருவர் ஒரு இடவியல் வளையத்தைப் பெறுவார். ஒரு λ-வளையம் என்பது-th வெளிப்புற சக்திகள் போன்ற செயல்பாடுகளுடன் கூடிய ஒரு பரிமாற்ற வளையம் ஆகும்ஃ எடுத்துக்காட்டாக, இது இருமக் குணகங்களைக் கொண்ட ஒரு λ-வளையம் ஆகும். இந்த கருத்து ரீமன்-ரோச் தேற்றத்திற்கான இயற்கணித அணுகுமுறையில் ஒரு மைய விதியை வகிக்கிறது. முற்றிலும் வரிசைப்படுத்தப்பட்ட வளையம் என்பது வளைய செயல்பாடுகளுடன் இணக்கமான மொத்த வரிசையைக் கொண்ட ஒரு வளையம் ஆகும். வளையங்களின் எங்கும் நிறைந்திருப்பதற்கான சில எடுத்துக்காட்டுகள் பல வகையான கணிதப் பொருட்களை சில தொடர்புடைய வளையங்களின் அடிப்படையில் பலனளிக்கும் வகையில் பகுப்பாய்வு செய்யலாம். ஒரு இடவியல் இடத்தின் கோஹோமோலஜி வளையம் எந்தவொரு இடவியல் இடத்திற்கும் அதன் ஒருங்கிணைந்த கோஹோமோலஜி வளையத்தை ஒரு தரப்படுத்தப்பட்ட வளையத்துடன் தொடர்புபடுத்தலாம். ஒரு இடத்தின் ஒரே மாதிரியான குழுக்களும் உள்ளன, உண்மையில் இவை முதலில் வரையறுக்கப்பட்டன, கோளங்கள் மற்றும் டோரி போன்ற சில ஜோடி இடவியல் இடைவெளிகளை வேறுபடுத்துவதற்கான ஒரு பயனுள்ள கருவியாக, இதற்கு புள்ளி-தொகுப்பு இடவியல் முறைகள் நன்கு பொருந்தாது. கோஹோமோலஜி குழுக்கள் பின்னர் ஹோமோலஜி குழுக்களின் அடிப்படையில் வரையறுக்கப்பட்டன, இது ஒரு திசையன் இடத்தின் இரட்டைக்கு தோராயமாக ஒத்திருக்கிறது. ஒவ்வொரு தனிப்பட்ட ஒருங்கிணைந்த ஒத்திசைவியல் குழுவையும் அறிவது அடிப்படையில் ஒவ்வொரு தனிப்பட்ட ஒருங்கிணைந்த ஒத்திசைவியல் குழுவையும் அறிவது போன்றது, ஏனெனில் உலகளாவிய குணகம் தேற்றம். இருப்பினும், கோஹோமோலஜி குழுக்களின் நன்மை என்னவென்றால், ஒரு இயற்கையான தயாரிப்பு உள்ளது, இது ஒரு ()-மல்டி லீனியர் வடிவத்தைப் பெறுவதற்கு ஒரு புள்ளி வாரியாக ஒரு-மல்டி லீனியர் வடிவத்தையும் ஒரு-மல்டி லீனியர் வடிவத்தையும் பெருக்க முடியும் என்ற அவதானிப்புக்கு ஒத்ததாகும். கோஹோமோலஜியில் உள்ள வளைய அமைப்பு நார் மூட்டைகளின் சிறப்பியல்பு வகுப்புகள், பன்மடங்கு மற்றும் இயற்கணித வகைகளின் குறுக்குவெட்டு கோட்பாடு, ஸ்கூபர்ட் கால்குலஸ் மற்றும் பலவற்றிற்கு அடித்தளத்தை வழங்குகிறது. ஒரு குழுவின் பர்ன்சைட் வளையம் எந்தவொரு குழுவுடனும் தொடர்புடையது, இது ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட தொகுப்பில் குழு செயல்படக்கூடிய பல்வேறு வழிகளை விவரிக்க ஒரு வளையத்தைப் பயன்படுத்துகிறது. பர்ன்சைட் வளையத்தின் சேர்க்கைக் குழு என்பது ஃப்ரீ அபெலியன் குழுவாகும், அதன் அடிப்படை குழுவின் இடைநிலைச் செயல்களின் தொகுப்பாகும், மேலும் அதன் கூட்டல் செயல்பாட்டின் வேறுபட்ட ஒன்றிணைப்பாகும். அடிப்படையின் அடிப்படையில் ஒரு செயலை வெளிப்படுத்துவது என்பது ஒரு செயலை அதன் இடைநிலை கூறுகளாக சிதைப்பதாகும். பிரதிநிதித்துவ வளையத்தின் அடிப்படையில் பெருக்கம் எளிதில் வெளிப்படுத்தப்படுகிறதுஃ இரண்டு வரிசைமாற்ற தொகுதிகளின் டென்சர் உற்பத்தியை வரிசைமாற்ற தொகுதியாக எழுதுவதன் மூலம் பர்ன்சைட் வளையத்தில் பெருக்கம் உருவாகிறது. வளைய அமைப்பு ஒரு செயலை மற்றொன்றிலிருந்து கழிப்பதற்கான முறையான வழியை அனுமதிக்கிறது. பர்ன்சைட் வளையம் பிரதிநிதித்துவ வளையத்தின் வரையறுக்கப்பட்ட குறியீட்டு துணை வளையமாக இருப்பதால், குணகங்களை முழு எண்களிலிருந்து விகிதமுறு எண்களுக்கு விரிவுபடுத்துவதன் மூலம் ஒன்று ஒன்றிலிருந்து மற்றொன்றுக்கு எளிதாக செல்ல முடியும். ஒரு குழு வளையத்தின் பிரதிநிதித்துவ வளையம் எந்தவொரு குழு வளையத்திற்கும் அல்லது ஹோப்ஃப் இயற்கணிதத்திற்கும் அதன் பிரதிநிதித்துவ வளையம் அல்லது "பச்சை வளையம்" தொடர்புடையது. பிரதிநிதித்துவ வளையத்தின் சேர்க்கைக் குழு இலவச அபெலியன் குழுவாகும், அதன் அடிப்படை ஒருங்கிணைக்க முடியாத தொகுதிகள் மற்றும் அதன் கூட்டல் நேரடி தொகைக்கு ஒத்திருக்கிறது. அடிப்படையின் அடிப்படையில் ஒரு தொகுதியை வெளிப்படுத்துவது தொகுதியின் ஒருங்கிணைக்க முடியாத சிதைவைக் கண்டுபிடிப்பதாகும். பெருக்கம் என்பது டென்சர் பெருக்கல் ஆகும். இயற்கணிதம் அரை எளியதாக இருக்கும்போது, பிரதிநிதித்துவ வளையம் என்பது எழுத்துக் கோட்பாட்டின் எழுத்து வளையமாகும், இது ஒரு வளைய கட்டமைப்பைக் கொடுக்கப்பட்ட கிரோதெண்டிக் குழுவாகும். பகுக்கமுடியாத இயற்கணித வகையின் செயல்பாட்டு புலம் எந்தவொரு பகுக்கமுடியாத இயற்கணித வகையும் அதன் செயல்பாட்டு புலத்துடன் தொடர்புடையது. ஒரு இயற்கணித வகையின் புள்ளிகள் செயல்பாட்டு புலத்தில் உள்ள மதிப்பீட்டு வளையங்களுடன் ஒத்திருக்கின்றன மற்றும் ஒருங்கிணைப்பு வளையத்தைக் கொண்டுள்ளன. இயற்கணித வடிவவியலைப் பற்றிய ஆய்வு வளைய-கோட்பாட்டு பண்புகளின் அடிப்படையில் வடிவியல் கருத்துக்களைப் படிக்க பரிமாற்ற இயற்கணிதத்தை பெரிதும் பயன்படுத்துகிறது. பைரேஷனல் வடிவியல் செயல்பாட்டு புலத்தின் துணை வளையங்களுக்கு இடையிலான வரைபடங்களை ஆய்வு செய்கிறது. ஒரு எளிய வளாகத்தின் முக வளையம் ஒவ்வொரு எளிய வளாகமும் ஒரு தொடர்புடைய முக வளையத்தைக் கொண்டுள்ளது, இது அதன் ஸ்டான்லி-ரெய்ஸ்னர் வளையம் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது. இந்த வளையம் எளிமையான வளாகத்தின் பல ஒருங்கிணைந்த பண்புகளை பிரதிபலிக்கிறது, எனவே இது இயற்கணித கலவையில் குறிப்பாக ஆர்வமாக உள்ளது. குறிப்பாக, ஸ்டான்லி-ரெய்ஸ்னர் வளையத்தின் இயற்கணித வடிவியல் எளிய பாலிடோப்புகளின் ஒவ்வொரு பரிமாணத்திலும் முகங்களின் எண்ணிக்கையை வகைப்படுத்த பயன்படுத்தப்பட்டது. வகை-கோட்பாட்டு விளக்கம் ஒவ்வொரு வளையத்தையும் அபெலியன் குழுக்களின் வகையான ஆபில் ஒரு மோனாய்டு என்று கருதலாம் (-தொகுதிகளின் டென்சர் உற்பத்தியின் கீழ் ஒரு மோனாய்டல் வகையாக கருதப்படுகிறது). ஒரு அபெலியன் குழுவில் ஒரு வளையத்தின் மோனாய்டு நடவடிக்கை வெறுமனே ஒரு-தொகுதி ஆகும். அடிப்படையில், ஒரு-தொகுதி என்பது ஒரு திசையன் இடைவெளி என்ற கருத்தின் பொதுமைப்படுத்தலாகும்-அங்கு ஒரு புலத்தின் மீது ஒரு திசையன் இடத்தை விட, ஒரு "வளையத்தின் மீது திசையன் இடைவெளி" உள்ளது. ஒரு அபெலியன் குழுவாக இருக்கட்டும், அதன் எண்டோமார்பிசம் வளையமாக இருக்கட்டும் (மேலே பார்க்கவும்). அடிப்படையில், அனைத்து உருவகங்களின் தொகுப்பாகும் என்பதை நினைவில் கொள்க, எங்கே இருந்தால், மற்றும் உள்ளே இருந்தால், பின்வரும் விதிகள் கணக்கிட பயன்படுத்தப்படலாம் மற்றும்ஃ எங்கே இருப்பது கூட்டல், மற்றும் செயல்பாட்டு கலவை வலது முதல் இடது வரை குறிக்கப்படுகிறது. எனவே, எந்தவொரு அபெலியன் குழுவுடனும் தொடர்புடையது, ஒரு வளையம். மாறாக, எந்த வளையமும் கொடுக்கப்பட்டால், அது ஒரு அபெலியன் குழுவாகும். மேலும், ஒவ்வொரு உள்ள, வலது (அல்லது இடது) பெருக்கத்திற்கும் வலது (அல்லது இடது) விநியோகத்தால் ஒரு உருவகத்திற்கு வழிவகுக்கிறது. விடுங்கள். வலது (அல்லது இடது) பெருக்கத்தின் மூலம் "காரணி" என்று அந்த எண்டோமார்பிசம்களைக் கவனியுங்கள். வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், அனைத்து உருவங்களின் தொகுப்பாக இருக்கட்டும், அந்த பண்பு உள்ளது. ஒவ்வொன்றும் ஒரு உருவகத்திற்கு வழிவகுக்கிறது என்று காணப்பட்டதுஃ மூலம் சரியான பெருக்கம். எந்தவொரு தனிமத்தின் இந்த தொடர்பு, ஒரு உருவகத்திற்கு, ஒரு செயல்பாடாக, வளையங்களின் ஐசோமார்பிசம் என்பது உண்மையில் உண்மைதான். இந்த அர்த்தத்தில், எனவே, எந்தவொரு வளையத்தையும் சில அபெலியன்-குழுவின் எண்டோமார்பிசம் வளையமாக பார்க்க முடியும் (குழுவால், இது அதன் இயக்கிகளின் தொகுப்பாக இருக்கும் ஒரு குழுவைக் குறிக்கிறது). சாராம்சத்தில், ஒரு வளையத்தின் மிகவும் பொதுவான வடிவம், சில அபெலியன்-குழுவின் எண்டோமார்பிசம் குழுவாகும். எந்தவொரு வளையத்தையும் ஒரு பொருளைக் கொண்ட ஒரு முன் சேர்க்கை வகையாகக் காணலாம். எனவே தன்னிச்சையான முன் சேர்க்கை வகைகளை வளையங்களின் பொதுமைப்படுத்தல்கள் என்று கருதுவது இயற்கையானது. உண்மையில், வளையங்களுக்கு முதலில் வழங்கப்பட்ட பல வரையறைகள் மற்றும் கோட்பாடுகளை இந்த பொதுவான சூழலுக்கு மொழிபெயர்க்க முடியும். முன் சேர்க்கை வகைகளுக்கு இடையிலான சேர்க்கை செயல்பாடுகள் வளைய ஹோமோமார்பிசம் என்ற கருத்தை பொதுமைப்படுத்துகின்றன, மேலும் சேர்க்கை வகைகளில் உள்ள இலட்சியங்களை தன்னிச்சையான மார்ஃபிஸம்களுடன் கூட்டலின் கீழ் மற்றும் கலவையின் கீழ் மூடப்பட்ட மார்ஃபிஸம்களின் தொகுப்புகளாக வரையறுக்கலாம். பொதுமைப்படுத்தல் இயற்கணிதவியலாளர்கள் சில வளைய கோட்பாடுகளை பலவீனப்படுத்துவதன் மூலம் அல்லது கைவிடுவதன் மூலம் வளையங்களை விட பொதுவான கட்டமைப்புகளை வரையறுத்துள்ளனர். Rng A rng என்பது ஒரு வளையத்தைப் போன்றது, ஒரு பெருக்க அடையாளத்தின் இருப்பு கருதப்படவில்லை என்பதைத் தவிர. ஒரு தொடர்பற்ற வளையம் என்பது ஒரு இயற்கணித கட்டமைப்பாகும், இது துணை பண்பு மற்றும் பெருக்க அடையாளத்தின் இருப்பைத் தவிர அனைத்து வளைய கோட்பாடுகளையும் திருப்திப்படுத்துகிறது. ஒரு குறிப்பிடத்தக்க உதாரணம் லை அல்ஜிப்ரா ஆகும். லை ஆல்ஜிப்ராக்கள் மற்றும் அசோசியேட்டிவ் ஆல்ஜிப்ராக்களுக்கான ஒத்த முடிவுகளை பொதுமைப்படுத்தும் அத்தகைய ஆல்ஜிப்ராக்களுக்கு சில கட்டமைப்பு கோட்பாடுகள் உள்ளன. ஒரு அபெலியன் குழு என்ற அனுமானத்தை ஒரு பரிமாற்ற மோனாய்டு என்ற அனுமானத்திற்கு பலவீனப்படுத்துவதன் மூலமும், அனைத்திற்கும் a இன் என்ற கோட்பாட்டைச் சேர்ப்பதன் மூலமும் (இது மற்ற கோட்பாடுகளிலிருந்து இனி பின்பற்றாததால்) ஒரு செமிரிங் (சில நேரங்களில் ரிக்) பெறப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டுகள்ஃ சாதாரண கூட்டல் மற்றும் பெருக்கத்துடன் கூடிய எதிர்மறை அல்லாத முழு எண்கள்; வெப்பமண்டல செமிரிங். மற்ற வளையம் போன்ற பொருள்கள் ஒரு பிரிவில் வளைய பொருள் வரையறுக்கப்பட்ட தயாரிப்புகளுடன் ஒரு வகையாக இருக்கட்டும். pt என்பது (ஒரு வெற்று தயாரிப்பு) ஒரு முனைய பொருளைக் குறிக்கட்டும். ஒரு வளைய பொருள் என்பது வழக்கமான வளைய கோட்பாடுகளை திருப்திப்படுத்தும் உருவங்கள் (கூட்டல்), (பெருக்கம்), (சேர்க்கை அடையாளம்), (சேர்க்கை தலைகீழ்) மற்றும் (பெருக்க அடையாளம்) ஆகியவற்றைக் கொண்ட ஒரு பொருள் ஆகும். சமமாக, ஒரு வளையப் பொருள் என்பது வளையங்களின் வகை மூலம் புள்ளிகளின் செயல்பாட்டைக் காரணியாக்கும் ஒரு பொருளைக் கொண்டுள்ளதுஃ வளையத் திட்டம் இயற்கணித வடிவவியலில், ஒரு அடிப்படை திட்டத்தின் மீது ஒரு வளையத் திட்டம் என்பது-திட்டங்களின் பிரிவில் ஒரு வளையப் பொருளாகும். ஒரு எடுத்துக்காட்டு வளையத் திட்டம், இது எந்தவொரு பரிமாற்ற வளையத்திற்கும் நீளத்தின்-ஐசோடிபிக் விட் திசையன்களின் வளையத்தைத் தருகிறது. வளைய நிறமாலை இயற்கணித இடவியலில், ஒரு வளைய நிறமாலை என்பது ஒரு பெருக்கம் மற்றும் கோள நிறமாலையிலிருந்து ஒரு அலகு வரைபடத்துடன் கூடிய ஒரு நிறமாலையாகும், அதாவது வளைய கோட்பாட்டு வரைபடங்கள் ஹோமோடாபி வரை பயணிக்கின்றன. நடைமுறையில், ஒரு வளைய நிறமாலையை சமச்சீர் நிறமாலையின் வகை போன்ற ஒரு நல்ல வகை நிறமாலையில் ஒரு மோனாய்டு பொருளாக வரையறுப்பது பொதுவானது. மேலும் காண்க ஒரு பரிமாற்ற வளையத்தின் மீது இயற்கணிதம் வகை வளையங்களின் வகை வளையங்களின் சொற்களஞ்சியம் வளையக் கோட்பாட்டின் தொடர்பற்ற வளையங்களின் தொகுப்புகளின் வளையம் ஒரு வளையத்தின் செமிரிங் ஸ்பெக்ட்ரம் எளிய பரிமாற்ற வளையம் சிறப்பு வகையான வளையங்கள்ஃ பூலியன் வளையம் டெடெக்கிண்ட் வளையம் வேறுபட்ட வளையம் எக்ஸ்பொனென்ஷியல் வளையம் ஃபைனைட் வளையம் லை உள்ளூர் வளையம் நோதெரியன் மற்றும் ஆர்டினியன் வளையங்கள் வரிசைப்படுத்தப்பட்ட வளையம் பாய்சன் வளையம் குறைக்கப்பட்ட வளையம் எஸ். பி. ஐ வளையத்தின் வழக்கமான வளையம் காலங்களின் வளையம் மதிப்பீடு வளையம் மற்றும் தனித்துவமான மதிப்பீட்டு வளையம் குறிப்புகள் குறிப்புகள் குறிப்புகள் [திருத்தப்பட்ட 5 வது அச்சிடுதல்] பொது குறிப்புகள் சிறப்பு குறிப்புகள் குறிப்புகள் முதன்மை ஆதாரங்கள் வரலாற்று ஆதாரங்கள் ப்ரோன்ஸ்டீன், ஐ. என். மற்றும் செமெண்டியேவ், கே. ஏ. (2004) கணிதக் கையேடு, 4வது பதிப்பு. நியூயார்க்ஃ ஸ்பிரிங்கர்-வெர்லாக். மேக் டூட்டர் காப்பகத்தில் வளையக் கோட்பாட்டின் வரலாறு நம்பிக்கை, கார்ல் (1999) வளையங்களும் விஷயங்களும் இருபதாம் நூற்றாண்டின் துணை இயற்கணிதத்தின் சிறந்த வரிசை. கணித ஆய்வுகள் மற்றும் மோனோகிராஃப்கள், 65. அமெரிக்க கணித சங்கம். இட்டோ, கே. எடிட்டர் (1986) "ரிங்ஸ்". § 368 கணித கலைக்களஞ்சிய அகராதியில், 2 வது பதிப்பு, தொகுதி. 2. கேம்பிரிட்ஜ், எம்ஏஃ எம்ஐடி பிரஸ். இயற்கணித கட்டமைப்புகள் வளையக் கோட்பாடு