Bounded set
கணித பகுப்பாய்வு மற்றும் கணிதத்தின் தொடர்புடைய பகுதிகளில், ஒரு தொகுப்பு ஒரு குறிப்பிட்ட அர்த்தத்தில், வரையறுக்கப்பட்ட அளவீடு என்றால் அது வரம்புக்குட்பட்டது என்று அழைக்கப்படுகிறது. மாறாக, வரம்பற்ற ஒரு தொகுப்பு வரம்பற்றது என்று அழைக்கப்படுகிறது. "எல்லைக்குட்பட்டது" என்ற சொல் தொடர்புடைய மெட்ரிக் இல்லாமல் ஒரு பொதுவான இடவியல் இடத்தில் எந்த அர்த்தமும் இல்லை. எல்லை என்பது ஒரு தனித்துவமான கருத்தாகும்ஃ எடுத்துக்காட்டாக, தனிமைப்படுத்தப்பட்ட ஒரு வட்டம் ஒரு எல்லையற்ற வரம்புக்குட்பட்ட தொகுப்பாகும், அதே நேரத்தில் அரை தளம் வரம்பற்றது, ஆனால் ஒரு எல்லையைக் கொண்டுள்ளது. ஒரு எல்லைக்குட்பட்ட தொகுப்பு ஒரு மூடிய தொகுப்பாக இருக்க வேண்டிய அவசியமில்லை மற்றும் நேர்மாறாகவும் இருக்க வேண்டும். எடுத்துக்காட்டாக, கார்ட்டீசியன் ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் வரையறுக்கப்பட்ட x2 + 1 மற்றும் x2-1 என்ற இரண்டு பரவளைய வளைவுகளால் கட்டுப்படுத்தப்பட்ட 2 பரிமாண உண்மையான இடைவெளி R2 இன் துணைக்குழு S வளைவுகளால் மூடப்படுகிறது, ஆனால் வரம்பற்றது (எனவே வரம்பற்றது). உண்மையான எண்களில் வரையறை S இல் உள்ள அனைத்து s க்கும் k ≤ s போன்ற சில உண்மையான எண் k இருந்தால் (S இல் அவசியமில்லை) உண்மையான எண்களின் ஒரு தொகுப்பு S மேலே இருந்து வரம்புக்குட்பட்டது என்று அழைக்கப்படுகிறது. ஒரு செட் எஸ் மேல் மற்றும் கீழ் எல்லைகளைக் கொண்டிருந்தால் அது வரம்புக்குட்பட்டது. எனவே, உண்மையான எண்களின் தொகுப்பு ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட இடைவெளியில் இருந்தால் அது வரம்புக்குட்பட்டது. ஒரு மெட்ரிக் இடைவெளியில் வரையறை ஒரு மெட்ரிக் இடைவெளி (M, d) இன் துணைக்குழு S என்பது r> 0 இருந்தால், S இல் உள்ள அனைத்து s மற்றும் t க்கும், நமக்கு d (s, t) <r உள்ளது. மெட்ரிக் இடைவெளி (M, d) என்பது ஒரு வரம்புக்குட்பட்ட மெட்ரிக் இடைவெளி (அல்லது d என்பது ஒரு வரம்புக்குட்பட்ட மெட்ரிக்) M என்பது ஒரு துணைக்குழுவாக வரம்புக்குட்பட்டிருந்தால். மொத்த எல்லை என்பது எல்லையைக் குறிக்கிறது. Rn இன் துணைக்குழுக்களுக்கு இரண்டும் சமமானவை. ஒரு மெட்ரிக் இடைவெளி முழுமையானதாகவும், முற்றிலும் வரம்புக்குட்பட்டதாகவும் இருந்தால் மட்டுமே அது சுருக்கமாக இருக்கும். யூக்ளிடியன் விண்வெளி Rn இன் ஒரு துணைக்குழு மூடப்பட்ட மற்றும் பிணைக்கப்பட்டிருந்தால் மட்டுமே அது கச்சிதமாக இருக்கும். இது ஹெய்ன்-போரெல் தேற்றம் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது. இடவியல் திசையன் இடைவெளிகளில் வரம்புகள் இடவியல் திசையன் இடைவெளிகளில், வரம்புக்குட்பட்ட தொகுப்புகளுக்கான வேறுபட்ட வரையறை உள்ளது, இது சில நேரங்களில் வான் நியூமன் வரம்புகள் என்று அழைக்கப்படுகிறது. நிலப்பரப்பு திசையன் இடத்தின் இடவியல் ஒரே மாதிரியான ஒரு மெட்ரிக் மூலம் தூண்டப்பட்டால், நெறிமுறைப்படுத்தப்பட்ட திசையன் இடைவெளிகளின் நெறிமுறையால் தூண்டப்பட்ட மெட்ரிக் விஷயத்தில், இரண்டு வரையறைகளும் ஒத்துப்போகின்றன. வரிசைக் கோட்பாட்டில் எல்லை என்பது உண்மையான எண்களின் தொகுப்பு மேல் மற்றும் கீழ் வரம்பைக் கொண்டிருந்தால் மட்டுமே வரம்புக்குட்பட்டது. இந்த வரையறை எந்த ஓரளவு வரிசைப்படுத்தப்பட்ட தொகுப்பின் துணைக்குழுக்களுக்கும் நீட்டிக்கப்படுகிறது. எல்லைக்குட்பட்ட இந்த பொதுவான கருத்து "அளவு" என்ற கருத்துடன் ஒத்திருக்கவில்லை என்பதை நினைவில் கொள்க. ஒரு பகுதி வரிசைப்படுத்தப்பட்ட தொகுப்பு P இன் ஒரு துணைக்குழு S, P இல் ஒரு உறுப்பு k இருந்தால், S இல் உள்ள அனைத்து s க்கும் k ≤ s இருந்தால் மேலே வரம்புக்குட்பட்டது என்று அழைக்கப்படுகிறது. (மேல் மற்றும் கீழ் எல்லைகளையும் பார்க்கவும்.) ஒரு பகுதியளவு வரிசைப்படுத்தப்பட்ட தொகுப்பான P இன் துணைக்குழு S, அது மேல் மற்றும் கீழ் வரம்பைக் கொண்டிருந்தால், அல்லது அதற்கு சமமாக, ஒரு இடைவெளியில் இருந்தால், அது வரம்புக்குட்பட்டது என்று அழைக்கப்படுகிறது. இது தொகுப்பு S இன் பண்பு மட்டுமல்ல, P இன் துணைக்குழுவாக உள்ள தொகுப்பு S இல் ஒன்றாகும் என்பதை நினைவில் கொள்க. எல்லைக்குட்பட்ட இந்த கருத்துக்கு வரையறுக்கப்பட்ட அளவுடன் எந்த தொடர்பும் இல்லை என்பதையும், P இல் வரிசையின் கட்டுப்பாட்டுடன் ஒரு வரம்புக்குட்பட்ட நிலை P இன் துணைக்குழு S என்பது ஒரு வரம்புக்குட்பட்ட நிலை அல்ல என்பதையும் நினைவில் கொள்க. Rn இன் ஒரு துணைக்குழு S என்பது விளைபொருள் வரிசையுடன் Rn இன் துணைக்குழுவாக பிணைக்கப்பட்டிருந்தால் மட்டுமே யூக்ளிடியன் தூரத்தைப் பொறுத்தவரை வரம்புக்குட்பட்டதாக இருக்கும். இருப்பினும், S என்பது Rn இன் துணைக்குழுவாக அகராதி வரிசையுடன் பிணைக்கப்பட்டிருக்கலாம், ஆனால் யூக்ளிடியன் தூரத்தைப் பொறுத்தவரை அல்ல. வரிசை எண்களின் ஒரு வகுப்பு வரம்பற்றது அல்லது கோஃபைனல் என்று கூறப்படுகிறது, ஏதேனும் வரிசை கொடுக்கப்படும்போது, வகுப்பில் எப்போதும் அதை விட பெரிய உறுப்பு இருக்கும். எனவே இந்த விஷயத்தில் "வரம்பற்றது" என்பது வரம்பற்றது என்று அர்த்தமல்ல, ஆனால் அனைத்து வரிசை எண்களின் வகுப்பின் துணைப்பிரிவாக வரம்பற்றது. மேலும் காண்க எல்லைக்குட்பட்ட கள வரம்புக்குட்பட்ட செயல்பாடு உள்ளூர் வரம்புக்குட்பட்ட வரிசை கோட்பாடு முற்றிலும் வரம்புக்குட்பட்ட குறிப்புகள் கணித பகுப்பாய்வு செயல்பாட்டு பகுப்பாய்வு வரிசை கோட்பாடு