Principle of permanence
கணித வரலாற்றில், நிலைத்தன்மையின் கொள்கை அல்லது சமமான வடிவங்களின் நிலைத்தன்மையின் விதி, கூட்டல் மற்றும் பெருக்கம் போன்ற இயற்கணித செயல்பாடுகள் ஒவ்வொரு எண் அமைப்பிலும் சீராக செயல்பட வேண்டும் என்ற கருத்தாகும், குறிப்பாக நிறுவப்பட்ட எண் அமைப்புகளுக்கு நீட்டிப்புகளை உருவாக்கும் போது. நவீன கணிதத்தின் வருகைக்கும் தன்னியக்க முறைக்கு முக்கியத்துவம் கொடுப்பதற்கும் முன்பு, கணித வாதங்களில் நிரந்தரக் கொள்கை ஒரு முக்கியமான கருவியாக கருதப்பட்டது. நவீன கணிதத்தில், வாதங்கள் அதற்கு பதிலாக கோட்பாடுகளின் மீது கட்டப்பட்ட கடுமையான சான்றுகளால் மாற்றப்பட்டுள்ளன, அதற்கு பதிலாக இந்தக் கொள்கை புதிய இயற்கணித கட்டமைப்புகளைக் கண்டுபிடிப்பதற்கான ஒரு ஆராய்ச்சியாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது. கூடுதலாக, இந்த கோட்பாடு பரிமாற்றக் கோட்பாடுகள் எனப்படும் கோட்பாடுகளின் ஒரு வகுப்பாக முறைப்படுத்தப்பட்டுள்ளது, இது சில கட்டமைப்புக்கு உண்மையாக இருக்கும் சில மொழியின் அனைத்து அறிக்கைகளும் மற்றொரு கட்டமைப்பிற்கு உண்மை என்று கூறுகிறது. இந்த கோட்பாட்டை ஜார்ஜ் மயில் தனது புத்தகமான ஏ ட்ரீடைஸ் ஆஃப் ஆல்ஜீப்ரா (அசல் வலியுறுத்தல்): 132 இல் விவரித்தார். சமமான வடிவங்களின் நிலைத்தன்மையின் இந்தக் கொள்கை அல்லது சட்டத்திற்கு மீண்டும் வருவோம், மேலும் நேரடி மற்றும் எதிர் விகிதத்தின் வடிவத்தில் கூறப்படும்போது அதைக் கருத்தில் கொள்வோம். "எந்த வடிவம் இயற்கணித ரீதியாக மற்றொன்றுக்கு சமமாக இருந்தாலும், பொது சின்னங்களில் வெளிப்படுத்தப்படும்போது, அந்த சின்னங்கள் எதைக் குறிக்கின்றனவோ அவை உண்மையாக இருக்க வேண்டும்". மாறாக, எண்கணித இயற்கணிதம் அல்லது வேறு எந்த துணை அறிவியலிலும் சமமான வடிவத்தைக் கண்டறிந்தால், குறியீடுகள் அவற்றின் இயல்பில் குறிப்பிட்டிருந்தாலும் பொதுவான வடிவத்தில் இருக்கும்போது, குறியீடுகள் அவற்றின் இயல்பிலும் அவற்றின் வடிவத்திலும் பொதுவானதாக இருக்கும்போது, அது சமமான வடிவமாக இருக்க வேண்டும். இந்தக் கோட்பாடு பின்னர் ஹெர்மன் ஹான்கெல் என்பவரால் திருத்தப்பட்டு, கியூசெப் பீனோ, எர்ன்ஸ்ட் மாக், ஹெர்மன் ஷுபர்ட், ஆல்பிரட் பிரிங்ஷீம் மற்றும் பலர் ஏற்றுக்கொண்டனர். அகஸ்டின்-லூயிஸ் காச்சி ஆல்ஜீப்ராவின் ஒரு ஆய்வுக் கட்டுரையின் அதே காலகட்டத்தில், கோர்ஸ் டி அனலைஸை வெளியிட்டார், இது 18 ஆம் நூற்றாண்டின் யூலர் மற்றும் லாக்ரேஞ்ச் போன்ற கணிதவியலாளர்கள் பயன்படுத்திய வாத முறையை விவரிக்க (மற்றும் விமர்சிக்க) "இயற்கணிதத்தின் பொதுத்தன்மை" என்ற வார்த்தையைப் பயன்படுத்தியது. பயன்பாடுகள் நிரந்தரக் கொள்கையின் முக்கிய பயன்பாடுகளில் ஒன்று, உண்மையான எண்களைக் கொண்ட ஒரு செயல்பாட்டு சமன்பாடு சிக்கலான எண்களுக்கும் பொருந்தும் என்பதைக் காண்பிப்பதாகும். எடுத்துக்காட்டாக, சமன்பாடு அனைத்து உண்மையான எண்களுக்கும் பொருந்தும் s, t. இரண்டு மாறிகளின் செயல்பாடுகளுக்கான நிரந்தரக் கொள்கையின் படி, இது அனைத்து சிக்கலான எண்களுக்கும் பொருந்தும் என்பதைக் குறிக்கிறது. ஒரு எதிர் உதாரணத்திற்கு, கூட்டலின் பின்வரும் பண்புகளை பரிமாற்றத்தைக் கவனியுங்கள்ஃ அனைவருக்கும், கூட்டலின் இடது-ரத்துசெய்யும் பண்புஃ என்றால், பின்னர், அனைவருக்கும். இரண்டு பண்புகளும் அனைத்து இயற்கை, முழு எண், விகிதமுறு, உண்மையான மற்றும் சிக்கலான எண்களுக்கும் பொருந்தும். இருப்பினும், ஜார்ஜ் கான்டரைப் பின்பற்றி, இயற்கையான எண்கள் முடிவிலிக்கு அப்பால் நீட்டிக்கப்படும்போது, ஒரே நேரத்தில் இரண்டு பண்புகளையும் பூர்த்தி செய்யும் அமைப்புகள் எதுவும் அறியப்படவில்லை. வரிசை எண்கணிதத்தில், கூட்டல் என்பது இடது-ரத்துசெய்யும், ஆனால் இனி பரிமாற்றமல்ல. உதாரணமாக,. கார்டினல் எண்கணிதத்தில், கூட்டல் என்பது பரிமாற்றமாகும், ஆனால் இனி இடது-ரத்துசெய்யப்படாது, ஏனெனில் எப்போது அல்லது எல்லையற்றது. உதாரணமாக, ஆனால். எனவே இரண்டு அமைப்புகளும் நிரந்தரக் கொள்கையை மீறுகின்றன. குறிப்புகள் கணிதத்தின் வரலாறு