Pareto efficiency
பாரேட்டோ செயல்திறன் அல்லது பாரேட்டோ உகந்த தன்மை என்பது எந்த நடவடிக்கையும் அல்லது ஒதுக்கீடும் கிடைக்காத ஒரு சூழ்நிலையாகும், இது ஒரு நபரை மற்றொருவரை மோசமாக்காமல் மேம்படுத்துகிறது. பொருளாதார செயல்திறன் மற்றும் வருமான விநியோகம் குறித்த தனது ஆய்வுகளில் இந்த கருத்தை பயன்படுத்திய இத்தாலிய சிவில் பொறியாளரும் பொருளாதார வல்லுநருமான வில்ஃப்ரெடோ பரேட்டோ (1848-1923) என்பவரின் பெயரால் இந்த கருத்து பெயரிடப்பட்டுள்ளது. பின்வரும் மூன்று கருத்துக்கள் நெருக்கமாக தொடர்புடையவைஃ ஒரு ஆரம்ப சூழ்நிலையைப் பொறுத்தவரை, ஒரு பரேட்டோ மேம்பாடு என்பது சில முகவர்கள் ஆதரிக்கும் ஒரு புதிய சூழ்நிலையாகும், மேலும் எந்த முகவர்களும் இழக்க மாட்டார்கள். ஒரு சாத்தியமான பாரேட்டோ முன்னேற்றம் இருந்தால் ஒரு நிலைமை பாரேட்டோ-ஆதிக்கம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. வேறு எந்த முகவரும் இழக்காமல் சில முகவர்களுக்கு மேம்பட்ட திருப்திக்கு எந்த மாற்றமும் வழிவகுக்காவிட்டால் அல்லது அதற்கு சமமாக, மேலும் பரேட்டோ முன்னேற்றத்திற்கு வாய்ப்பில்லை என்றால் (வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், நிலைமை பாரேட்டோ-ஆதிக்கம் செலுத்தவில்லை) ஒரு சூழ்நிலை பாரேட்டோ-உகந்த அல்லது பாரேட்டோ-திறமையானது என்று அழைக்கப்படுகிறது. பரேட்டோ ஃப்ரண்ட் (பரேட்டோ ஃபிரான்டியர் அல்லது பரேட்டோ செட் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது) என்பது அனைத்து பரேட்டோ-திறமையான சூழ்நிலைகளின் தொகுப்பாகும். பாரெட்டோ முதலில் கருத்துக்கு "உகந்த" என்ற வார்த்தையைப் பயன்படுத்தினார், ஆனால் இது வரையறுக்கப்பட்ட வளங்களின் கீழ் ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணிக்கையிலான மக்கள் மேம்படுத்தப்படும் ஒரு சூழ்நிலையை விவரிப்பதால், அது சமத்துவம் அல்லது சமூக நல்வாழ்வை கணக்கில் எடுத்துக் கொள்ளவில்லை, இது நடைமுறையில் ஒரு வரையறை மற்றும் "செயல்திறன்" மூலம் சிறப்பாகப் பிடிக்கப்படுகிறது. ஒதுக்கீட்டில் செயல்திறன் என்ற சூழலுக்கு கூடுதலாக, உற்பத்தியில் செயல்திறன் மற்றும் x-திறமையின் பின்னணியில் பாரேட்டோ செயல்திறன் என்ற கருத்து எழுகிறதுஃ ஒரு பொருளின் உற்பத்தி அதிகரிக்கும் அதே நேரத்தில் மற்ற அனைத்து பொருட்களின் வெளியீடுகளும் அதிகரிக்கும் அல்லது ஒரே மாதிரியாக இருக்கும் வகையில் உற்பத்தி உள்ளீடுகளை மறு ஒதுக்கீடு செய்ய முடியாவிட்டால் பொருட்களின் வெளியீடுகளின் தொகுப்பு பாரேட்டோ-திறமையானது. பாரேட்டோ செயல்திறன் உற்பத்தி சாத்தியம் எல்லைப்புறத்தில் (பிபிஎஃப்) அளவிடப்படுகிறது, இது உற்பத்தியின் அனைத்து காரணிகளையும் பயன்படுத்தி உற்பத்தி செய்யக்கூடிய இரண்டு தயாரிப்புகளுக்கான வெளியீட்டின் அனைத்து சாத்தியமான விருப்பங்களின் வரைகலை பிரதிநிதித்துவமாகும். பொருளாதாரத்தைத் தவிர, பொறியியல் மற்றும் உயிரியலில் மாற்று வழிகளைத் தேர்ந்தெடுப்பதற்கும் பரேட்டோ செயல்திறன் என்ற கருத்து பயன்படுத்தப்பட்டுள்ளது. ஒவ்வொரு விருப்பமும் முதலில் பல அளவுகோல்களின் கீழ் மதிப்பிடப்படுகிறது, பின்னர் விருப்பங்களின் துணைக்குழு வெளிப்படையாக சொத்துடன் அடையாளம் காணப்படுகிறது, வேறு எந்த விருப்பமும் குறிப்பிட்ட விருப்பத்தை விட சிறப்பாக செயல்பட முடியாது. இது பல குறிக்கோள் உகப்பாக்கம் (பரேட்டோ உகப்பாக்கம் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது) என்ற விஷயத்தில் மற்ற மாறிகளுக்கு தீங்கு விளைவிக்காமல் ஒரு மாறியை மேம்படுத்துவது சாத்தியமற்றது என்ற அறிக்கையாகும். முறைப்படி, வேறு எந்த பங்கேற்பாளரின் நல்வாழ்வையும் குறைக்காமல் குறைந்தபட்சம் ஒரு பங்கேற்பாளரின் நல்வாழ்வை மேம்படுத்தக்கூடிய மாற்று மாநிலம் இல்லையென்றால் ஒரு மாநிலம் பரேட்டோ-உகந்ததாக இருக்கும். இந்த நிபந்தனையை திருப்திப்படுத்தும் ஒரு மாநில மாற்றம் இருந்தால், புதிய மாநிலம் "பரேட்டோ மேம்பாடு" என்று அழைக்கப்படுகிறது. பாரேட்டோ மேம்பாடுகள் எதுவும் சாத்தியமில்லாதபோது, மாநிலம் ஒரு "பாரேட்டோ உகந்ததாக" இருக்கும். வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், பாரேட்டோ செயல்திறன் என்பது மற்றொரு கட்சியை மோசமாக்காமல் ஒரு கட்சியை மேம்படுத்துவது சாத்தியமற்றது. மற்ற தரப்பினருக்கு தீங்கு விளைவிக்காமல் ஒரு தரப்பை மேம்படுத்தும் வகையில் வளங்களை இனி ஒதுக்க முடியாது என்பதை இந்த அரசு சுட்டிக்காட்டுகிறது. பாரேட்டோ செயல்திறன் நிலையில், வளங்கள் மிகவும் திறமையான முறையில் ஒதுக்கப்படுகின்றன. வேறு எந்த மூலோபாய சுயவிவரங்களும் இல்லாதபோது பாரேட்டோ செயல்திறன் கணித ரீதியாக குறிப்பிடப்படுகிறது, அதாவது ஒவ்வொரு வீரருக்கும் யுஐ (எஸ் ') யுஐ (எஸ்) மற்றும் சில வீரர்களுக்கு யுஜே (எஸ்')> யுஜே (எஸ்). இந்த சமன்பாட்டில் s என்பது மூலோபாய சுயவிவரத்தைக் குறிக்கிறது, u என்பது பயன்பாடு அல்லது நன்மையைக் குறிக்கிறது, மேலும் j என்பது வீரரைக் குறிக்கிறது. ஒரு விளையாட்டின் நடத்தையை மதிப்பிடுவதற்கு செயல்திறன் ஒரு முக்கியமான அளவுகோலாகும். கைதிகளின் குழப்பம் என்று அழைக்கப்படும் குறிப்பிடத்தக்க மற்றும் அடிக்கடி பகுப்பாய்வு செய்யப்பட்ட விளையாட்டில், ஒரு சாதாரண வடிவ விளையாட்டாக கீழே சித்தரிக்கப்பட்டுள்ளது, செயல்திறன் பற்றிய இந்த கருத்தை கவனிக்க முடியும், இதில் மூலோபாய சுயவிவரம் (ஒத்துழைப்பு, ஒத்துழைப்பு) (குறைபாடு, குறைபாடு) விட மிகவும் திறமையானது. மேலே பட்டியலிடப்பட்டுள்ள வரையறையைப் பயன்படுத்தி, i ω {1,2} க்கான u (Ci) ωu (Di), இந்த மூலோபாயத்தை ஒரு பரேட்டோ திறமையான மூலோபாயமாக வழங்குகிறது. வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், இரு வீரர்களும் கோபரேட் ஓவர் டிஃபெக்ட் என்பதைத் தேர்ந்தெடுப்பதன் மூலம் ஊதியத்தில் அதிகரிப்பைப் பெறுகிறார்கள். பூஜ்ஜிய-தொகை விளையாட்டுகளில், ஒவ்வொரு முடிவும் பாரேட்டோ-திறமையானது. ஒரு மாநிலத்தின் சிறப்பு வழக்கு வளங்களை ஒதுக்குவதாகும். ஒரு பொருளாதாரத்தில் கருத்தின் முறையான விளக்கக்காட்சி பின்வருமாறுஃ முகவர்கள் மற்றும் பொருட்களுடன் ஒரு பொருளாதாரத்தைக் கவனியுங்கள். பின்னர் ஒரு ஒதுக்கீடு, அங்கு அனைத்து i க்கும், வேறு சாத்தியமான ஒதுக்கீடு இல்லையென்றால் பரேட்டோ-உகந்ததாக இருக்கும், அங்கு ஒவ்வொரு முகவருக்கும் பயன்பாட்டு செயல்பாட்டிற்கு, அனைவருக்கும் சிலவற்றுடன். இங்கே, இந்த எளிய பொருளாதாரத்தில், "சாத்தியக்கூறு" என்பது ஒரு ஒதுக்கீட்டைக் குறிக்கிறது, அங்கு ஒதுக்கப்பட்ட ஒவ்வொரு பொருளின் மொத்தத் தொகையும் பொருளாதாரத்தில் உள்ள பொருட்களின் மொத்தத் தொகைக்கு மிகாமல் இருக்கும். உற்பத்தியுடன் மிகவும் சிக்கலான பொருளாதாரத்தில், ஒரு ஒதுக்கீடு நுகர்வு திசையன்கள் மற்றும் உற்பத்தி திசையன்கள் ஆகிய இரண்டையும் கொண்டிருக்கும், மேலும் ஒவ்வொரு நுகரப்பட்ட பொருளின் மொத்த தொகையும் ஆரம்ப அறக்கட்டளை மற்றும் உற்பத்தி செய்யப்பட்ட தொகையை விட அதிகமாக இருக்கக்கூடாது. முதல் நலன்புரி கோட்பாட்டின் அனுமானங்களின் கீழ், ஒரு போட்டி சந்தை ஒரு பரேட்டோ-திறமையான முடிவுக்கு வழிவகுக்கிறது. இந்த முடிவு முதன்முதலில் பொருளாதார வல்லுநர்கள் கென்னத் ஆரோ மற்றும் ஜெரார்ட் டெப்ரூ ஆகியோரால் கணித ரீதியாக நிரூபிக்கப்பட்டது. இருப்பினும், முடிவு கோட்பாட்டின் அனுமானங்களின் கீழ் மட்டுமே உள்ளதுஃ சாத்தியமான அனைத்து பொருட்களுக்கும் சந்தைகள் உள்ளன, வெளிப்புறங்கள் எதுவும் இல்லை, சந்தைகள் முற்றிலும் போட்டித்தன்மை கொண்டவை, சந்தை பங்கேற்பாளர்கள் சரியான தகவல்களைக் கொண்டுள்ளனர். கிரீன்வால்ட்-ஸ்டிக்லிட்ஸ் கோட்பாட்டின் படி, சரியான தகவல்கள் அல்லது முழுமையான சந்தைகள் இல்லாத நிலையில், விளைவுகள் பொதுவாக பரேட்டோ-திறனற்றதாக இருக்கும். இரண்டாவது நலன்புரி தேற்றம் அடிப்படையில் முதல் நலன்புரி தேற்றத்தின் தலைகீழ் ஆகும். இதே போன்ற, சிறந்த அனுமானங்களின் கீழ், எந்தவொரு பரேட்டோ உகந்ததையும் சில போட்டி சமநிலை அல்லது சுதந்திர சந்தை முறையால் பெற முடியும் என்று அது கூறுகிறது, இருப்பினும் அதற்கு மொத்த செல்வ பரிமாற்றமும் தேவைப்படலாம். பாரேட்டோ செயல்திறன் மற்றும் சந்தை தோல்வி ஒரு சுதந்திர சந்தையில் வளங்களின் பயனற்ற விநியோகம் சந்தை தோல்வி என்று அழைக்கப்படுகிறது. முன்னேற்றத்திற்கு இடமிருப்பதால், சந்தை தோல்வி பாரேட்டோ செயல்திறனற்ற தன்மையைக் குறிக்கிறது. உதாரணமாக, எதிர்மறையான பொருட்களின் (மருந்துகள் மற்றும் சிகரெட்டுகள் போன்றவை) அதிகப்படியான பயன்பாடு புகைபிடிக்காதவர்களுக்கு செலவுகளையும், புகைப்பிடிப்பவர்களுக்கு ஆரம்பகால இறப்புகளையும் ஏற்படுத்துகிறது. சிகரெட் வரிகள் தனிநபர்கள் புகைபிடிப்பதை நிறுத்த உதவக்கூடும், அதே நேரத்தில் புகைபிடித்தலால் ஏற்படும் நோய்களை நிவர்த்தி செய்ய பணம் திரட்டலாம். பாரேட்டோ செயல்திறன் மற்றும் ஈக்விட்டி ஏ பாரேட்டோ முன்னேற்றம் காணப்படலாம், ஆனால் இது எப்போதும் முடிவு விரும்பத்தக்கது அல்லது சமமானது என்பதைக் குறிக்காது. ஒரு பரேட்டோ முன்னேற்றத்திற்குப் பிறகு, சமத்துவமின்மை இன்னும் இருக்கக்கூடும். இருப்பினும், எந்தவொரு மாற்றமும் "தீங்கு செய்யாதீர்கள்" கொள்கையை மீறும் என்பதை இது குறிக்கிறது, ஏனெனில் குறைந்தபட்சம் ஒரு நபராவது மோசமாக இருப்பார். ஒரு சமூகம் பாரேட்டோ திறமையானதாக இருக்கலாம், ஆனால் குறிப்பிடத்தக்க அளவிலான சமத்துவமின்மையைக் கொண்டிருக்கலாம். மூன்று நபர்கள் மற்றும் ஒரு பை இருந்தால், பையை மூன்று சம பாகங்களாகப் பிரிப்பதே மிகவும் சமமான நடவடிக்கையாகும். மூன்றாவது நபர் இழக்கவில்லை (அவர் பையில் பங்கேற்காவிட்டாலும் கூட), எனவே அதை பாதியாகப் பிரித்து இரண்டு நபர்களுக்குக் கொடுப்பது பரேட்டோ திறமையானதாகக் கருதப்படும். சமூக செயல்திறன், ஒட்டுமொத்த நல்வாழ்வு மற்றும் பணத்தின் விளிம்பு பயன்பாடு குறைந்து வருவது போன்ற பிரச்சினைகள் உள்ளிட்ட முடிவுகளை எடுக்கும்போது மேலும் பரிசீலிக்கப்பட வேண்டும். உற்பத்தி சாத்தியக்கூறுகளின் எல்லையில், பரேட்டோ செயல்திறன் ஏற்படும். பாயிண்ட் ஏ, பி அல்லது சி போன்ற அடிப்படை உற்பத்தி சாத்தியமான எல்லையில் ஒரு பொருளாதாரம் செயல்படும்போது சேவைகளின் உற்பத்தியைக் குறைக்காமல் தயாரிப்புகளின் உற்பத்தியை உயர்த்துவது சாத்தியமற்றது. மாறுபாடுகள் பலவீனமான பாரேட்டோ செயல்திறன் பலவீனமான பாரேட்டோ செயல்திறன் என்பது ஒவ்வொரு தனிநபருக்கும் கண்டிப்பாக மேம்படுத்த முடியாத ஒரு சூழ்நிலையாகும். முறைப்படி, ஒரு வலுவான பாரேட்டோ முன்னேற்றம் என்பது அனைத்து முகவர்களும் கண்டிப்பாக சிறந்த நிலையில் இருக்கும் ஒரு சூழ்நிலையாக வரையறுக்கப்படுகிறது (வெறும் "பாரேட்டோ மேம்பாட்டிற்கு" மாறாக, ஒரு முகவர் கண்டிப்பாக சிறந்தவர் மற்றும் மற்ற முகவர்கள் குறைந்தபட்சம் நல்லவர்கள்). ஒரு சூழ்நிலையில் வலுவான பாரேட்டோ மேம்பாடுகள் இல்லையென்றால் அது பலவீனமான பாரேட்டோ-திறமையானதாக இருக்கும். எந்தவொரு வலுவான பாரேட்டோ முன்னேற்றமும் ஒரு பலவீனமான பாரேட்டோ முன்னேற்றமாகும். இதற்கு நேர்மாறானது உண்மையல்ல; எடுத்துக்காட்டாக, இரண்டு வளங்களுடன் ஒரு வள ஒதுக்கீடு சிக்கலைக் கவனியுங்கள், இது ஆலிஸ் {10,0} இல் மதிப்பிடுகிறது, மற்றும் ஜார்ஜ் {5,5} இல் மதிப்பிடுகிறது. பயன்பாட்டு விவரக்குறிப்பு (10,0) உள்ள ஆலிஸுக்கு அனைத்து வளங்களையும் வழங்கும் ஒதுக்கீட்டைக் கவனியுங்கள்ஃ இது ஒரு பலவீனமான பிஓ, ஏனெனில் வேறு எந்த ஒதுக்கீடும் இரு முகவர்களுக்கும் கண்டிப்பாக சிறந்தது அல்ல (வலுவான பரேட்டோ மேம்பாடுகள் எதுவும் இல்லை). ஆனால் இது ஒரு வலுவான பிஓ அல்ல, ஏனெனில் ஜார்ஜ் இரண்டாவது வளத்தைப் பெறும் ஒதுக்கீடு ஜார்ஜுக்கு கண்டிப்பாக சிறந்தது மற்றும் ஆலிஸுக்கு பலவீனமாக சிறந்தது (இது ஒரு பலவீனமான பரேட்டோ முன்னேற்றம்) அதன் பயன்பாட்டு சுயவிவரம் (10,5). ஒரு சந்தைக்கு பலவீனமான பரேட்டோ உகந்த நிலையை அடைய உள்ளூர் திருப்தியற்ற தன்மை தேவையில்லை. கட்டுப்படுத்தப்பட்ட பாரேட்டோ செயல்திறன் என்பது பாரேட்டோ உகந்த தன்மையை பலவீனப்படுத்துவதாகும், இது ஒரு சாத்தியமான திட்டமிடுபவர் (எ. கா., அரசாங்கம்) பரவலாக்கப்பட்ட சந்தை விளைவை மேம்படுத்த முடியாமல் போகலாம், அந்த விளைவு திறமையற்றதாக இருந்தாலும் கூட. தனிப்பட்ட முகவர்களைப் போலவே அதே தகவல் அல்லது நிறுவனக் கட்டுப்பாடுகளால் இது மட்டுப்படுத்தப்பட்டால் இது ஏற்படும். ஒரு எடுத்துக்காட்டு தனிநபர்கள் தனிப்பட்ட தகவல்களைக் கொண்ட ஒரு அமைப்பாகும் (எடுத்துக்காட்டாக, தொழிலாளியின் சொந்த உற்பத்தித்திறன் தொழிலாளிக்குத் தெரியும், ஆனால் ஒரு சாத்தியமான முதலாளிக்கு அல்ல, அல்லது ஒரு பயன்படுத்தப்பட்ட கார் சந்தை, ஒரு காரின் தரம் விற்பனையாளருக்குத் தெரியும், ஆனால் வாங்குபவருக்கு அல்ல) இது தார்மீக ஆபத்து அல்லது பாதகமான தேர்வு மற்றும் குறைந்த உகந்த விளைவை விளைவிக்கிறது. அத்தகைய சந்தர்ப்பத்தில், நிலைமையை மேம்படுத்த விரும்பும் ஒரு திட்டமிடுபவர் சந்தைகளில் பங்கேற்பாளர்களிடம் இல்லாத எந்த தகவலையும் அணுக வாய்ப்பில்லை. எனவே, திட்டமிடுபவர் தனிநபர்களின் தனித்துவமான பண்புகளை அடிப்படையாகக் கொண்ட ஒதுக்கீடு விதிகளை செயல்படுத்த முடியாது; எடுத்துக்காட்டாக, "ஒரு நபர் ஏ வகையைச் சேர்ந்தவர் என்றால், அவர்கள் விலை p1 ஐ செலுத்துகிறார்கள், ஆனால் வகை B என்றால், அவர்கள் விலை p2 ஐ செலுத்துகிறார்கள்" (லிண்டால் விலைகளைப் பார்க்கவும்). அடிப்படையில், அநாமதேய விதிகள் மட்டுமே அனுமதிக்கப்படுகின்றன ("எல்லோரும் விலை p செலுத்துகிறார்கள்") அல்லது கவனிக்கக்கூடிய நடத்தையின் அடிப்படையில் விதிகள்; "எந்தவொரு நபரும் விலை px இல் x ஐத் தேர்ந்தெடுத்தால், அவர்களுக்கு பத்து டாலர்கள் மானியம் கிடைக்கும், இல்லையெனில் எதுவும் இல்லை". சந்தை விளைவை வெற்றிகரமாக மேம்படுத்தக்கூடிய அனுமதிக்கப்பட்ட விதி எதுவும் இல்லை என்றால், அந்த விளைவு "கட்டுப்படுத்தப்பட்ட பரேட்டோ-உகந்த" என்று கூறப்படுகிறது. ஃப்ராக்ஷனல் பாரேட்டோ செயல்திறன் என்பது நியாயமான பொருள் ஒதுக்கீட்டின் பின்னணியில் பாரேட்டோ செயல்திறனை வலுப்படுத்துவதாகும். சில உருப்படிகள் முகவர்களுக்கிடையே பிரிக்கப்பட்ட ஒரு ஒதுக்கீட்டால் கூட அது பாரேட்டோ-ஆதிக்கம் செலுத்தவில்லை என்றால் பிரிக்க முடியாத உருப்படிகளின் ஒதுக்கீடு பகுதியளவில் பாரேட்டோ-திறமையானது (எஃப். பி. இ அல்லது எஃப். பி. ஓ) ஆகும். இது நிலையான பரேட்டோ செயல்திறனுக்கு மாறாக உள்ளது, இது சாத்தியமான (தனித்துவமான) ஒதுக்கீடுகளால் மட்டுமே ஆதிக்கத்தை கருதுகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, ஆலிஸ் {3,2} மற்றும் ஜார்ஜ் {4,1} இல் மதிப்பிடும் இரண்டு உருப்படிகளுடன் ஒரு உருப்படி ஒதுக்கீடு சிக்கலைக் கவனியுங்கள். முதல் உருப்படியை ஆலிஸுக்கும், இரண்டாவது உருப்படியை ஜார்ஜுக்கும் ஒதுக்குவதைக் கவனியுங்கள், அங்கு பயன்பாட்டு விவரக்குறிப்பு (3,1): இது பரேட்டோ-திறமையானது, ஏனெனில் வேறு எந்த தனித்துவமான ஒதுக்கீடும் (உருப்படிகளைப் பிரிக்காமல்) ஒருவரை மோசமாக்குகிறது. இருப்பினும், இது ஓரளவு பாரேட்டோ-திறமையானது அல்ல, ஏனெனில் இது பரேட்டோ-ஆதிக்கம் செலுத்துகிறது, ஏனெனில் முதல் உருப்படியின் ஆலிஸ் 1⁄2 மற்றும் முழு இரண்டாவது உருப்படியையும், முதல் உருப்படியின் மற்ற 1⁄2 ஐ ஜார்ஜுக்கு அதன் பயன்பாட்டு விவரக்குறிப்பு (3.5,2). நியாயமான சீரற்ற பணி அல்லது சீரற்ற சமூகத் தேர்வு அல்லது பகுதியளவு ஒப்புதல் வாக்களிப்பு போன்ற முடிவு செயல்முறை சீரற்றதாக இருக்கும்போது, முன்னாள்-பதவி மற்றும் முன்னாள்-பதவி பரேட்டோ செயல்திறனுக்கு இடையே வேறுபாடு உள்ளதுஃ முன்னாள்-பதவி பரேட்டோ செயல்திறன் என்பது சீரற்ற செயல்முறையின் எந்தவொரு முடிவையும் பாரேட்டோ-திறமையானது என்று அர்த்தம். எக்ஸ்-ஆன்டே பரேட்டோ செயல்திறன் என்பது செயல்முறையால் தீர்மானிக்கப்படும் லாட்டரி எதிர்பார்க்கப்படும் பயன்பாடுகளைப் பொறுத்தவரை பாரேட்டோ-திறமையானது என்பதாகும். அதாவதுஃ வேறு எந்த லாட்டரியும் ஒரு முகவருக்கு அதிக எதிர்பார்க்கப்பட்ட பயன்பாட்டையும், குறைந்தபட்சம் அனைத்து முகவர்களுக்கும் அதிக எதிர்பார்க்கப்பட்ட பயன்பாட்டையும் வழங்காது. சில லாட்டரி எல் எக்ஸ்-ஆன்டே பிஇ என்றால், அது எக்ஸ்-போஸ்ட் பிஇ ஆகும். ஆதாரம்ஃ எல் இன் எக்ஸ்-போஸ்ட் விளைவுகளில் ஒன்று x என்பது வேறு ஏதேனும் விளைவு y ஆல் பரேட்டோ-ஆதிக்கம் செலுத்துகிறது என்று வைத்துக்கொள்வோம். பின்னர், சில நிகழ்தகவு வெகுஜனத்தை x இலிருந்து y க்கு நகர்த்துவதன் மூலம், ஒருவர் மற்றொரு லாட்டரி L ஐ அடைகிறார், இது எக்ஸ்-ஆன்டே பரேட்டோ-எல் ஆதிக்கம் செலுத்துகிறது. இதற்கு நேர்மாறாக உண்மையல்லஃ எக்ஸ்-ஆன்டே PE எக்ஸ்-போஸ்ட் PE ஐ விட வலுவானது. உதாரணமாக, ஒரு கார் மற்றும் ஒரு வீடு என இரண்டு பொருட்கள் உள்ளன என்று வைத்துக்கொள்வோம். ஆலிஸ் காரை 2 ஆகவும், வீட்டை 3 ஆகவும் மதிப்பிடுகிறார்; ஜார்ஜ் காரை 2 ஆகவும், வீட்டை 9 ஆகவும் மதிப்பிடுகிறார். பின்வரும் இரண்டு லாட்டரிகளைக் கவனியுங்கள்ஃ பாதி நிகழ்தகவுடன், ஆலிஸுக்கு காரையும், ஜார்ஜுக்கு வீட்டையும் கொடுங்கள்; இல்லையெனில், ஜார்ஜுக்கு காரையும், ஆலிஸுக்கு வீட்டையும் கொடுங்கள். எதிர்பார்க்கப்படும் பயன்பாடு ஆலிஸ் மற்றும் ஜார்ஜுக்கு உள்ளது. இரண்டு ஒதுக்கீடுகளும் முன்னாள் பிந்தைய PE ஆகும், ஏனெனில் காரை பெற்றவரை வீட்டைப் பெற்றவருக்கு தீங்கு விளைவிக்காமல் மேம்படுத்த முடியாது. நிகழ்தகவு 1 உடன், ஆலிஸுக்கு காரை கொடுங்கள், பின்னர் நிகழ்தகவு 1/3 உடன் ஆலிஸுக்கு வீட்டைக் கொடுங்கள், இல்லையெனில் அதை ஜார்ஜுக்குக் கொடுங்கள். எதிர்பார்க்கப்படும் பயன்பாடு ஆலிஸ் மற்றும் ஜார்ஜுக்கு உள்ளது. மீண்டும், இரண்டு ஒதுக்கீடுகளும் முன்னாள் பிந்தைய PE ஆகும். இரண்டு லாட்டரிகளும் எக்ஸ்-போஸ்ட் பிஇ என்றாலும், லாட்டரி 1 எக்ஸ்-ஆன்டே பிஇ அல்ல, ஏனெனில் இது லாட்டரி 2 ஆல் பரேட்டோ ஆதிக்கம் செலுத்துகிறது. மற்றொரு உதாரணம் இருதரப்பு விருப்பத்தேர்வுகளை உள்ளடக்கியது. 5 சாத்தியமான முடிவுகள் மற்றும் 6 வாக்காளர்கள் உள்ளனர். வாக்காளர்களின் ஒப்புதல் தொகுப்புகள் உள்ளன. ஐந்து முடிவுகளும் பிஇ ஆகும், எனவே ஒவ்வொரு லாட்டரியும் எக்ஸ்-போஸ்ட் பிஇ ஆகும். ஆனால் ஒவ்வொரு வாக்காளருக்கும் மூன்றில் ஒரு பங்கு எதிர்பார்க்கப்படும் பயன்பாட்டை வழங்குவதால், ஒவ்வொரு வாக்காளருக்கும் மூன்றில் ஒரு பங்கு எதிர்பார்க்கப்படும் பயன்பாட்டை வழங்குவதால், மூன்றில் ஒரு பங்கு நிகழ்தகவுடன் சி, டி, இ ஆகியவற்றைத் தேர்ந்தெடுக்கும் லாட்டரி முன்னாள் பிஇ அல்ல, அதே நேரத்தில் மூன்றில் ஒரு பங்கு நிகழ்தகவுடன் ஏ, பி ஐத் தேர்ந்தெடுக்கும் லாட்டரி ஒவ்வொரு வாக்காளருக்கும் மூன்றில் ஒரு பங்கு எதிர்பார்க்கப்படும் பயன்பாட்டை வழங்குகிறது. பேய்சியன் பரேட்டோ செயல்திறன் பேய்சியன் செயல்திறன் என்பது பரேட்டோ செயல்திறனின் ஒரு தழுவல் ஆகும், இதில் வீரர்கள் மற்ற வீரர்களின் வகைகள் குறித்து முழுமையற்ற தகவல்களைக் கொண்டுள்ளனர். சாதாரண பாரேட்டோ செயல்திறன் என்பது வீரர்கள் தனிப்பட்ட பொருட்களின் தரவரிசைகளை மட்டுமே தெரிவிக்கும் அமைப்புகளுக்கு பாரேட்டோ செயல்திறனின் தழுவலாகும், மேலும் அவை முழு மூட்டைகளையும் எவ்வாறு தரவரிசைப்படுத்துகின்றன என்பது எங்களுக்குத் தெரியாது. ஒரு விளைவு ஒரு பரேட்டோ முன்னேற்றமாகக் கருதப்பட்டாலும், இது விளைவு திருப்திகரமாகவோ அல்லது சமமாகவோ உள்ளது என்பதைக் குறிக்காது. பாரேட்டோ முன்னேற்றத்திற்குப் பிறகும் சமத்துவமின்மை நீடிக்கலாம். பாரேட்டோ உகந்த தன்மை என்ற கருத்துடன் இது அடிக்கடி பயன்படுத்தப்படுகிறது என்ற உண்மை இருந்தபோதிலும், "செயல்திறன்" என்ற சொல் சமூக உற்பத்தித்திறனை அதிகரிக்கும் செயல்முறையைக் குறிக்கிறது. ஒரு சமூகம் அதிக அளவிலான சமத்துவமின்மையைக் கொண்டிருக்கும்போது பரேட்டோ செயல்திறனைக் கொண்டிருக்க முடியும். பின்வரும் சூழ்நிலையைக் கவனியுங்கள்ஃ ஒரு பை மற்றும் மூன்று நபர்கள் உள்ளனர்; பையை மூன்று சம பாகங்களாகப் பிரிப்பதே மிகவும் சமமான வழியாகும். இருப்பினும், பை பாதியாகப் பிரிக்கப்பட்டு இரண்டு நபர்களிடையே பகிர்ந்து கொள்ளப்பட்டால், அது பரேட்டோ திறமையானதாகக் கருதப்படுகிறது, அதாவது மூன்றாவது நபர் இழக்க மாட்டார் (அவர் ஒரு துண்டைப் பெறவில்லை என்ற போதிலும்). தீர்ப்புகளை வழங்கும்போது, சமூக செயல்திறன், ஒட்டுமொத்த நலன் மற்றும் குறைந்துவரும் விளிம்பு மதிப்பு போன்ற பிரச்சினைகள் உள்ளிட்ட பல்வேறு அம்சங்களைக் கருத்தில் கொள்வது முக்கியம். பாரெட்டோ செயல்திறன் மற்றும் சந்தை தோல்வி சந்தை தோல்வியை முழுமையாகப் புரிந்துகொள்ள, ஒருவர் முதலில் சந்தை வெற்றியைப் புரிந்து கொள்ள வேண்டும், இது வள ஒதுக்கீட்டின் அடிப்படையில் பாரெட்டோ-உகந்த வளங்களின் சமநிலை ஒதுக்கீட்டை அடைய இலட்சியப்படுத்தப்பட்ட போட்டி சந்தைகளின் தொகுப்பின் திறன் என வரையறுக்கப்படுகிறது. சந்தை தோல்வியின் வரையறையின்படி, நலன்புரி பற்றிய முதல் அடிப்படை கோட்பாட்டின் முடிவு தவறான ஒரு சூழ்நிலை; அதாவது, சந்தைகள் மூலம் செய்யப்படும் ஒதுக்கீடுகள் திறம்பட இல்லாதபோது. ஒரு சுதந்திர சந்தையில், சந்தை தோல்வி என்பது வளங்களின் திறமையற்ற ஒதுக்கீடு என்று வரையறுக்கப்படுகிறது. மேம்படுத்துவது சாத்தியமானது என்ற உண்மையின் காரணமாக, சந்தை தோல்வி பாரேட்டோ செயல்திறனற்ற தன்மையைக் குறிக்கிறது. எடுத்துக்காட்டாக, தேய்மானம் அடையும் பொருட்களின் (மருந்துகள்/புகையிலை) அதிகப்படியான நுகர்வு புகைபிடிக்காதவர்களுக்கு வெளிப்புற செலவுகளையும், வெளியேறாத புகைப்பிடிப்பவர்களுக்கு முன்கூட்டிய மரணத்தையும் ஏற்படுத்துகிறது. சிகரெட்டுகளின் விலை உயர்வு மக்கள் புகைபிடிப்பதை விட்டுவிட ஊக்குவிக்கும் அதே நேரத்தில் புகைபிடித்தல் தொடர்பான நோய்களுக்கு சிகிச்சையளிப்பதற்கும் நிதி திரட்டலாம். தோராயமான பாரேட்டோ செயல்திறன் சில ε> 0 கொடுக்கப்பட்டால், வேறு எந்த விளைவும் அனைத்து முகவர்களுக்கும் குறைந்தபட்சம் ஒரே பயன்பாட்டையும், ஒரு முகவருக்கு குறைந்தபட்சம் (1 + ε) அதிக பயன்பாட்டையும் கொடுக்கவில்லை என்றால், ஒரு விளைவு ε-பாரேட்டோ-திறமையானது என்று அழைக்கப்படுகிறது. (1 + ε) ஐ விட சிறிய முன்னேற்றங்கள் மிகக் குறைவு மற்றும் செயல்திறனை மீறுவதாக கருதப்படக்கூடாது என்ற கருத்தை இது பிடிக்கிறது. பாரேட்டோ-செயல்திறன் மற்றும் நலன்புரி-அதிகபட்சமாக்கல் ஒவ்வொரு முகவருக்கும் ஒரு நேர்மறையான எடை ஒதுக்கப்பட்டுள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம். ஒவ்வொரு ஒதுக்கீடு x க்கும், x இன் நலனை x இல் உள்ள அனைத்து முகவர்களின் பயன்பாடுகளின் எடையுள்ள கூட்டுத்தொகையாக வரையறுக்கவும்ஃ xa என்பது அனைத்து ஒதுக்கீடுகளையும் விட நலனை அதிகரிக்கும் ஒரு ஒதுக்கீடாக இருக்கட்டும்ஃ ஒதுக்கீடு xa என்பது பாரேட்டோ-திறமையானது என்பதைக் காண்பிப்பது எளிதுஃ அனைத்து எடைகளும் நேர்மறையாக இருப்பதால், எந்த பரேட்டோ முன்னேற்றமும் கூட்டுத்தொகையை அதிகரிக்கும், இது xa இன் வரையறைக்கு முரணானது. ஜப்பானிய நவ-வால்ரேசிய பொருளாதார நிபுணர் தகாஷி நெகிஷி, சில அனுமானங்களின் கீழ், இதற்கு நேர்மாறானதும் உண்மை என்பதை நிரூபித்தார்ஃ ஒவ்வொரு பரேட்டோ-திறமையான ஒதுக்கீடு x க்கும், x ஐ அதிகப்படுத்தும் ஒரு நேர்மறை திசையன் உள்ளது. ஹால் வேரியன் ஒரு குறுகிய ஆதாரத்தை வழங்குகிறார். பொறியியலில் பயன்பாடு பாரேட்டோ செயல்திறன் என்ற கருத்து பொறியியலில் பயன்படுத்தப்படுகிறது. தேர்வுகளின் தொகுப்பு மற்றும் அவற்றை மதிப்பிடுவதற்கான ஒரு வழியைக் கருத்தில் கொண்டு, பரேட்டோ ஃப்ரண்ட் (அல்லது பாரேட்டோ செட் அல்லது பாரேட்டோ ஃபிரான்டியர் ') என்பது பாரேட்டோ-திறமையான தேர்வுகளின் தொகுப்பாகும். பாரேட்டோ-திறமையான தேர்வுகளின் தொகுப்பில் கவனத்தை மட்டுப்படுத்துவதன் மூலம், ஒரு வடிவமைப்பாளர் ஒவ்வொரு அளவுருவின் முழு வரம்பையும் கருத்தில் கொள்வதை விட, இந்த தொகுப்பிற்குள் பரிமாற்றங்களைச் செய்யலாம். பொதுக் கொள்கையில் பயன்பாடு நவீன நுண் பொருளாதாரக் கோட்பாடு உத்வேகத்திற்காக பரேட்டோ செயல்திறன் என்ற கருத்தை பெரிதும் ஈர்த்துள்ளது. பாரெட்டோவும் அவரது வாரிசுகளும் உகந்த வள ஒதுக்கீட்டின் இந்த தொழில்நுட்ப வரையறையை சந்தை போட்டியின் சுருக்க மாதிரியில் கோட்பாட்டளவில் அடையக்கூடிய ஒரு சமநிலை என்ற சூழலில் விவரிக்க முனைந்துள்ளனர். எனவே இது பெரும்பாலும் ஆடம் ஸ்மித்தின் "கண்ணுக்குத் தெரியாத கை" கருத்தை உறுதிப்படுத்துவதாகக் கருதப்படுகிறது. மேலும் குறிப்பாக, இது 1930 களில் "சந்தை சோசலிசம்" பற்றிய விவாதத்தை ஊக்குவித்தது. இருப்பினும், சமச்சீரற்ற தகவல், சமிக்ஞை, பாதகமான தேர்வு மற்றும் தார்மீக ஆபத்து உள்ளிட்ட பிரச்சினைகள் அறிமுகப்படுத்தப்படும்போது பாரேட்டோ-திறமையான முடிவை நிஜ உலகில் மதிப்பிடுவது கடினம் என்பதால், பெரும்பாலான மக்கள் நலன்புரி பொருளாதாரத்தின் கோட்பாடுகளை நிஜ உலகின் துல்லியமான விளக்கங்களாக எடுத்துக் கொள்ளவில்லை. எனவே, பொருளாதாரத்தின் இரண்டு நலன்புரி கோட்பாடுகளின் முக்கியத்துவம் பொதுக் கொள்கையைப் பற்றிய நியோ கிளாசிக்கல் சிந்தனையில் ஆதிக்கம் செலுத்தும் ஒரு கட்டமைப்பை உருவாக்கும் திறனில் உள்ளது. அந்த கட்டமைப்பு என்னவென்றால், நலன்புரி பொருளாதாரக் கோட்பாடுகள் அரசியல் பொருளாதாரத்தை பின்வரும் இரண்டு சூழ்நிலைகளில் ஆய்வு செய்ய அனுமதிக்கின்றனஃ "சந்தை தோல்வி" மற்றும் "மறுவிநியோகத்தின் சிக்கல்". "சந்தை தோல்வியின்" பகுப்பாய்வை வெளிப்புறங்களைச் சுற்றியுள்ள இலக்கியங்களால் புரிந்து கொள்ள முடியும். "உண்மையான" பொருளாதாரத்தை முழுமையான தற்செயலான சந்தைப் பொருளாதாரத்துடன் (திறமையானதாகக் கருதப்படும்) ஒப்பிடும்போது, திறமையின்மை தெளிவாகிறது. இந்த திறமையின்மை அல்லது வெளிப்புறத்தன்மை, பின்னர் சொத்து உரிமைகள் மற்றும் திருத்தும் வரிகள் உள்ளிட்ட வழிமுறைகளால் தீர்க்கப்பட முடியும். "மறுவிநியோகத்தில் உள்ள சிக்கல்" பற்றிய பகுப்பாய்வு, வருமான அல்லது பொருட்களின் வரிகளை எவ்வாறு பயன்படுத்த வேண்டும் என்ற கவனிக்கப்பட்ட அரசியல் கேள்வியைக் கையாள்கிறது. எந்தவொரு வரிவிதிப்பும் பாரேட்டோ-திறமையானது அல்ல என்றும் மறுவிநியோகத்துடன் வரிவிதிப்பு பாரேட்டோ-திறனற்றது என்றும் இந்த தேற்றம் நமக்குச் சொல்கிறது. இதன் காரணமாக, பெரும்பாலான இலக்கியங்கள் ஒரு வரி அமைப்பு இருக்கும் இடத்தில் தீர்வுகளைக் கண்டுபிடிப்பதில் கவனம் செலுத்துகின்றன, கிடைக்கக்கூடிய வரிகளில் மாற்றத்தால் எந்தவொரு நபரும் சிறப்பாக இருக்க முடியாது என்ற சூழ்நிலையை வரி அமைப்பு எவ்வாறு பரிந்துரைக்க முடியும். உயிரியல் செயல்பாடுகளில் பாரேட்டோ உகப்பாக்கத்தில் பயன்பாடு ஆய்வு செய்யப்பட்டுள்ளது. பாக்டீரியாவில், மரபணுக்கள் தயாரிக்க மலிவானவை (வள-திறமையானவை) அல்லது படிக்க எளிதானவை (மொழிபெயர்ப்பு-திறமையானவை) என்று காட்டப்பட்டன. இயற்கை தேர்வு வள பயன்பாடு மற்றும் மொழிபெயர்ப்பு செயல்திறனுக்காக அதிக வெளிப்படுத்தப்பட்ட மரபணுக்களை பரேட்டோ எல்லையை நோக்கி தள்ளுகிறது. பரேட்டோ எல்லைக்கு அருகிலுள்ள மரபணுக்களும் மிகவும் மெதுவாக உருவாகின்றன (அவை ஒரு தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட நன்மையை வழங்குகின்றன என்பதைக் குறிக்கின்றன). பொதுவான தவறான எண்ணங்கள் பரேட்டோ செயல்திறனை சமூக உகப்பாக்கத்திற்கு சமமாக கருதுவது தவறானது, ஏனெனில் பிந்தையது ஒரு நெறிமுறைக் கருத்தாகும், இது பொதுவாக விநியோகத்தின் சமத்துவமின்மையின் அளவுகளின் விளைவைக் கணக்கிடும் விளக்கத்தின் விஷயமாகும். அரசாங்க மறுவிநியோகத்தின் உதவியுடன் அதிக சமமான விநியோகம் நிகழ்கிறது என்பதற்கான அறிகுறியாக, குறைந்த சொத்து வரி வருவாயைக் கொண்ட ஒரு பள்ளி மாவட்டத்தையும், மிக அதிக வருவாயைக் கொண்ட மற்றொரு பள்ளியையும் விளக்குவது ஒரு எடுத்துக்காட்டு. விமர்சனம் பாரேட்டோ செயல்திறன் ஒரு கருத்தியல் கருவியாக செயல்படக்கூடும் என்று சில வர்ணனையாளர்கள் வாதிடுகின்றனர். முதலாளித்துவம் அதன் சுய கட்டுப்பாட்டிற்கு உட்பட்டது என்பதைக் குறிக்கும் வகையில், வேலையின்மை போன்ற உட்பொதிக்கப்பட்ட கட்டமைப்பு சிக்கல்கள் சமநிலை அல்லது நெறிமுறையிலிருந்து விலகுவதாகக் கருதப்படலாம், இதனால் புறக்கணிக்கப்படலாம் அல்லது தள்ளுபடி செய்யப்படலாம். பாரேட்டோ செயல்திறனுக்கு செல்வத்தின் முற்றிலும் சமமான விநியோகம் தேவையில்லை, இது விமர்சனங்களை ஈர்க்கும் மற்றொரு அம்சமாகும். ஒரு சில செல்வந்தர்கள் பெரும்பான்மையான வளங்களை வைத்திருக்கும் பொருளாதாரம் பாரேட்டோ-திறமையானதாக இருக்கும். ஒரு எளிய உதாரணம் மூன்று நபர்களிடையே ஒரு பை விநியோகம் ஆகும். மிகவும் சமமான விநியோகம் ஒவ்வொரு நபருக்கும் மூன்றில் ஒரு பங்கை ஒதுக்கும். இருப்பினும், இரண்டு தனிநபர்களில் ஒவ்வொருவருக்கும் ஒரு அரை பிரிவு மற்றும் மூன்றாவது நபருக்கு எதுவும் சமமாக இல்லாவிட்டாலும் பாரெட்டோ-உகந்ததாகும், ஏனெனில் பெறுநர்களில் எவரும் வேறொருவரின் பங்கைக் குறைக்காமல் சிறப்பாக இருக்க முடியாது; மேலும் இதுபோன்ற பல விநியோக எடுத்துக்காட்டுகள் உள்ளன. பையின் பரேட்டோ-திறனற்ற விநியோகத்திற்கு ஒரு எடுத்துக்காட்டு, மூன்றில் ஒவ்வொன்றிற்கும் நான்கில் ஒரு பங்கை ஒதுக்குவது, மீதமுள்ளவை நிராகரிக்கப்படும். அமர்த்தியா சென் விரிவாக விளக்கிய தாராளவாத முரண்பாடு, மற்றவர்கள் என்ன செய்கிறார்கள் என்பதில் மக்களுக்கு விருப்பங்கள் இருக்கும்போது, பரேட்டோ செயல்திறனின் குறிக்கோள் தனிப்பட்ட சுதந்திரத்தின் குறிக்கோளுடன் முரண்படலாம் என்பதைக் காட்டுகிறது. கடைசியாக, பாரேட்டோ செயல்திறன் ஓரளவுக்கு செயல்திறனின் பிற சாத்தியமான அளவுகோல்களைப் பற்றிய விவாதத்தைத் தடுக்கிறது என்று முன்மொழியப்பட்டுள்ளது. வார்டன் பள்ளி பேராசிரியர் பென் லாக்வுட் வாதிடுவது போல், ஒரு சாத்தியமான காரணம் என்னவென்றால், நியோ கிளாசிக்கல் களத்தில் நிறுவப்பட்ட வேறு எந்த செயல்திறன் அளவுகோல்களும் இறுதியில் பரேட்டோ செயல்திறனைக் குறைக்கும். மேலும் காண்க ஏற்றுக்கொள்ளக்கூடிய முடிவு விதி, முடிவுக் கோட்பாட்டில் அனலாக் அம்புக்குறியின் சாத்தியமற்ற தேற்றம் பேய்சியன் செயல்திறன் நலன்புரி பொருளாதாரத்தின் அடிப்படை கோட்பாடுகள் அதிக எடை இழப்பு பொருளாதார செயல்திறன் அதிக மற்றும் சிறந்த பயன்பாடு கால்டோர்-ஹிக்ஸ் செயல்திறன் விளிம்பு பயன்பாட்டு சந்தை தோல்வி, ஒரு சந்தை முடிவு பரேட்டோ-உகந்த அதிகபட்ச உறுப்பு அல்ல, ஒரு புள்ளி தொகுப்பின் பன்முக நோக்க உகப்பாக்கம் பரேட்டோ-திறமையான பொறாமை இல்லாத பிரிவு சமூக தேர்வு மற்றும் தனிப்பட்ட மதிப்புகள் "(பலவீனமான) பரேட்டோ கொள்கை" டோட்ரெப் நலன்புரி பொருளாதாரம் குறிப்புகள் பரேட்டோ, வி (1906). அரசியல் பொருளாதார கையேடு. ஆக்ஸ்போர்டு பல்கலைக்கழகம் பிரஸ். https://global.oup.com/academic/product/manual-of-political-economy-9780199607952?cc=ca&lang=en &. மேலும் வாசிப்பு புத்தக முன்னோட்டம். விளையாட்டு கோட்பாடு சட்டம் மற்றும் பொருளாதாரம் நலன்புரி பொருளாதாரம் மேலாண்மை கோட்பாடு கணித உகப்பாக்கம் தேர்தல் அமைப்பு அளவுகோல்கள் வில்ஃப்ரெடோ பரேட்டோ