Algebraic graph theory
இயற்கணித வரைபடக் கோட்பாடு என்பது கணிதத்தின் ஒரு கிளையாகும், இதில் வரைபடங்களைப் பற்றிய சிக்கல்களுக்கு இயற்கணித முறைகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. இது வடிவியல், ஒருங்கிணைப்பு அல்லது வழிமுறை அணுகுமுறைகளுக்கு மாறாக உள்ளது. இயற்கணித வரைபடக் கோட்பாட்டின் மூன்று முக்கிய கிளைகள் உள்ளன, இதில் நேரியல் இயற்கணிதத்தின் பயன்பாடு, குழுக் கோட்பாட்டின் பயன்பாடு மற்றும் வரைபட மாறிலிகளின் ஆய்வு ஆகியவை அடங்கும். இயற்கணித வரைபடக் கோட்பாட்டின் கிளைகள் நேரியல் இயற்கணிதத்தைப் பயன்படுத்துதல் இயற்கணித வரைபடக் கோட்பாட்டின் முதல் கிளை நேரியல் இயற்கணிதத்துடன் தொடர்புடைய வரைபடங்களைப் பற்றிய ஆய்வை உள்ளடக்கியது. குறிப்பாக, இது அருகிலுள்ள மேட்ரிக்ஸின் ஸ்பெக்ட்ரம் அல்லது ஒரு வரைபடத்தின் லாப்லாசியன் மேட்ரிக்ஸ் (இயற்கணித வரைபடக் கோட்பாட்டின் இந்த பகுதி நிறமாலை வரைபடக் கோட்பாடு என்றும் அழைக்கப்படுகிறது) பற்றி ஆய்வு செய்கிறது. உதாரணமாக, பீட்டர்சன் வரைபடத்தைப் பொறுத்தவரை, அருகிலுள்ள மேட்ரிக்ஸின் நிறமாலை (−2, −2, −2, −2,1,1,1,1,3) ஆகும். பல கோட்பாடுகள் ஸ்பெக்ட்ரமின் பண்புகளை மற்ற வரைபட பண்புகளுடன் தொடர்புபடுத்துகின்றன. ஒரு எளிய எடுத்துக்காட்டாக, டி விட்டம் கொண்ட ஒரு இணைக்கப்பட்ட வரைபடம் அதன் நிறமாலையில் குறைந்தது டி + 1 தனித்துவமான மதிப்புகளைக் கொண்டிருக்கும். நெட்வொர்க்குகளின் ஒத்திசைவை பகுப்பாய்வு செய்வதில் வரைபட நிறமாலையின் அம்சங்கள் பயன்படுத்தப்பட்டுள்ளன. குழுக் கோட்பாட்டைப் பயன்படுத்துதல் இயற்கணித வரைபடக் கோட்பாட்டின் இரண்டாவது கிளை குழுக் கோட்பாடு, குறிப்பாக தானியங்கி குழுக்கள் மற்றும் வடிவியல் குழு கோட்பாடு தொடர்பான வரைபடங்களைப் பற்றிய ஆய்வை உள்ளடக்கியது. சமச்சீர் அடிப்படையிலான வரைபடங்களின் பல்வேறு குடும்பங்கள் (சமச்சீர் வரைபடங்கள், உச்சி-இடைநிலை வரைபடங்கள், விளிம்பு-இடைநிலை வரைபடங்கள், தூர-இடைநிலை வரைபடங்கள், தூர-வழக்கமான வரைபடங்கள் மற்றும் வலுவான வழக்கமான வரைபடங்கள் போன்றவை) மற்றும் இந்த குடும்பங்களுக்கிடையேயான உள்ளடக்க உறவுகள் ஆகியவற்றில் கவனம் செலுத்தப்படுகிறது. அத்தகைய சில வகை வரைபடங்கள் குறைவாக இருப்பதால் வரைபடங்களின் பட்டியல்களை வரைய முடியும். ஃப்ரூச்சின் தேற்றத்தின் படி, அனைத்து குழுக்களையும் இணைக்கப்பட்ட வரைபடத்தின் (உண்மையில், ஒரு கன வரைபடத்தின்) தானியங்கி உருவகக் குழுவாகக் குறிப்பிடலாம். குழுக் கோட்பாட்டுடன் மற்றொரு தொடர்பு என்னவென்றால், எந்தவொரு குழுவிலும், கெய்லி வரைபடங்கள் எனப்படும் சமச்சீர் வரைபடங்களை உருவாக்க முடியும், மேலும் இவை குழுவின் கட்டமைப்புடன் தொடர்புடைய பண்புகளைக் கொண்டுள்ளன. இயற்கணித வரைபடக் கோட்பாட்டின் இந்த இரண்டாவது கிளை முதல் கிளையுடன் தொடர்புடையது, ஏனெனில் ஒரு வரைபடத்தின் சமச்சீர் பண்புகள் அதன் நிறமாலையில் பிரதிபலிக்கின்றன. குறிப்பாக, பீட்டர்சன் வரைபடம் போன்ற அதிக சமச்சீர் வரைபடத்தின் நிறமாலை சில தனித்துவமான மதிப்புகளைக் கொண்டுள்ளது (பீட்டர்சன் வரைபடம் 3 ஐக் கொண்டுள்ளது, இது அதன் விட்டம் கொடுக்கப்பட்ட குறைந்தபட்ச சாத்தியமாகும்). கெய்லி வரைபடங்களைப் பொறுத்தவரை, ஸ்பெக்ட்ரம் குழுவின் கட்டமைப்புடன் நேரடியாக தொடர்புடையதாக இருக்கலாம், குறிப்பாக அதன் பகுக்கமுடியாத எழுத்துக்களுடன். வரைபட மாறிலிகளைப் படிப்பது இறுதியாக, இயற்கணித வரைபடக் கோட்பாட்டின் மூன்றாவது கிளை வரைபடங்களின் மாறிலிகளின் இயற்கணித பண்புகளைப் பற்றியது, குறிப்பாக நிற பல்லுறுப்புக்கோவை, டூட்டே பல்லுறுப்புக்கோவை மற்றும் முடிச்சு மாறிலிகள். எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு வரைபடத்தின் நிற பல்லுறுப்புக்கோவை, அதன் சரியான உச்சி வண்ணங்களின் எண்ணிக்கையை கணக்கிடுகிறது. பீட்டர்சன் வரைபடத்தைப் பொறுத்தவரை, இந்த பல்லுறுப்புக்கோவை. குறிப்பாக, இதன் பொருள் என்னவென்றால், பீட்டர்சன் வரைபடத்தை ஒன்று அல்லது இரண்டு வண்ணங்களால் சரியாக வண்ணமயமாக்க முடியாது, ஆனால் 3 வண்ணங்களுடன் 120 வெவ்வேறு வழிகளில் வண்ணமயமாக்கப்படலாம். இயற்கணித வரைபடக் கோட்பாட்டின் இந்த பகுதியில் பெரும்பாலான வேலை நான்கு வண்ணக் கோட்பாட்டை நிரூபிக்கும் முயற்சிகளால் உந்தப்பட்டது. இருப்பினும், ஒரே நிற பல்லுறுப்புக்கோவை கொண்ட வரைபடங்களை வகைப்படுத்துதல் மற்றும் எந்த பல்லுறுப்புக்கோவைகள் நிறம் என்பதை தீர்மானித்தல் போன்ற பல திறந்த சிக்கல்கள் இன்னும் உள்ளன. ஸ்பெக்ட்ரல் கிராஃப் கோட்பாடு இயற்கணித ஒருங்கிணைப்பு இயற்கணித இணைப்பு டல்மேஜ்-மெண்டெல்சோன் சிதைவு கிராஃப் பண்பு அட்ஜசென்சி மேட்ரிக்ஸ் குறிப்புகள் ஆகியவற்றையும் பார்க்கவும். வெளி இணைப்புகள்