Complete set of commuting observables
குவாண்டம் இயக்கவியலில், பயணக் கண்காணிப்புகளின் முழுமையான தொகுப்பு (சி. எஸ். சி. ஓ) என்பது எந்தவொரு குவாண்டம் நிலையையும் வெளிப்படுத்துவதற்கான அடிப்படையாகப் பயன்படுத்தக்கூடிய பொதுவான ஐகென் வெக்டர்களின் பயண இயக்கிகளின் தொகுப்பாகும். தனித்துவமான ஸ்பெக்ட்ராவைக் கொண்ட ஆபரேட்டர்களைப் பொறுத்தவரை, சிஎஸ்சிஓ என்பது பயணக் கண்காணிப்புகளின் தொகுப்பாகும், அவற்றின் ஒரே நேரத்தில் ஐகென்ஸ்பேஸ்கள் ஹில்பர்ட் இடத்தை பரப்புகின்றன, இதனால் ஐகென் வெக்டர்கள் தொடர்புடைய ஐகென் மதிப்புகளால் தனித்துவமாக குறிப்பிடப்படுகின்றன. செட் பயணங்களில் ஒவ்வொரு ஜோடி அவதானிப்புகளும் இருப்பதால், அவதானிப்புகள் அனைத்தும் இணக்கமாக இருப்பதால், ஒரு அவதானிப்பின் அளவீடு தொகுப்பில் கவனிக்கக்கூடிய மற்றொரு அளவீட்டின் விளைவாக எந்த விளைவையும் ஏற்படுத்தாது. எனவே வெவ்வேறு அவதானிப்புகள் அளவிடப்படும் வரிசையை குறிப்பிட வேண்டிய அவசியமில்லை. கண்காணிப்புகளின் முழுமையான தொகுப்பின் அளவீடு ஒரு முழுமையான அளவீட்டைக் கொண்டுள்ளது, அதாவது இது அமைப்பின் குவாண்டம் நிலையை இயக்கிகளின் தொகுப்பால் வரையறுக்கப்பட்ட அடிப்படையில் ஒரு தனித்துவமான மற்றும் அறியப்பட்ட திசையனில் முன்வைக்கிறது. அதாவது, முற்றிலும் குறிப்பிட்ட நிலையை தயாரிக்க, நாம் எந்தவொரு நிலையையும் தன்னிச்சையாக எடுக்க வேண்டும், பின்னர் ஹில்பர்ட் இடத்தில் (ஒரு கட்டம் வரை) தனித்துவமாக குறிப்பிடப்பட்ட திசையனாக மாறும் வரை, தொகுப்பில் உள்ள அனைத்து அவதானிப்புகளுடனும் தொடர்புடைய அளவீடுகளின் தொடர்ச்சியை செய்ய வேண்டும். பொருந்தக்கூடிய கோட்பாடு இரண்டு அவதானிப்புகளைக் கருத்தில் கொள்ளுங்கள், மற்றும், ஆபரேட்டர்களால் குறிப்பிடப்படுகிறது மற்றும். பின்னர் பின்வரும் அறிக்கைகள் சமமானவைஃ மேலும் அவை இணக்கமான அவதானிப்புகளாகும். மற்றும் ஒரு பொதுவான ஐகன்பேஸிஸ் உள்ளது. ஆபரேட்டர்கள் மற்றும் பயணம், அதாவது. ஆதாரங்கள் விவாதம் மேற்கூறிய இரண்டையும் நாம் கவனிக்கத்தக்கவையாக கருதுகிறோம். ஒரு முழுமையான கெட் தொகுப்பு உள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம், அதன் ஒவ்வொரு உறுப்பும் ஒரே நேரத்தில் மற்றும் ஒரு ஐகென்கெட் ஆகும். பின்னர் நாம் அதைச் சொல்கிறோம் மற்றும் இணக்கமாக இருக்கிறோம். முறையே மற்றும் அதனுடன் தொடர்புடைய ஐகென் மதிப்புகளை நாம் குறித்தால், நாம் எழுதலாம் அமைப்பு ஐகென்ஸ்டேட்களில் ஒன்றில் இருந்தால், சொல்லுங்கள், பின்னர் இரண்டையும் ஒரே நேரத்தில் எந்த தன்னிச்சையான துல்லியத்திற்கும் அளவிட முடியும், மேலும் முறையே முடிவுகளைப் பெறுவோம். இந்த யோசனையை இரண்டுக்கும் மேற்பட்ட அவதானிப்புகளுக்கு நீட்டிக்க முடியும். இணக்கமான அவதானிப்புகளின் எடுத்துக்காட்டுகள் நிலை ஆபரேட்டரின் கார்ட்டீசியன் கூறுகள், மற்றும். இந்த கூறுகள் அனைத்தும் இணக்கமானவை. இதேபோல், மொமெண்டம் ஆபரேட்டரின் கார்ட்டீசியன் கூறுகள், அதாவது, மேலும் அவை இணக்கமானவை. முறையான வரையறைஃ அனைத்து அவதானிப்புகளும் ஜோடிகளாக பயணிக்கும் பட்சத்தில் அவதானிப்புகளின் தொகுப்பு சிஎஸ்சிஓ என்று அழைக்கப்படுகிறது. சிஎஸ்சிஓவில் உள்ள அனைத்து ஆபரேட்டர்களின் ஐகென் மதிப்புகளை நாம் குறிப்பிட்டால், அமைப்பின் ஹில்பர்ட் இடத்தில் ஒரு தனித்துவமான ஐகென் வெக்டரை (ஒரு கட்டம் வரை) அடையாளம் காண்கிறோம். எங்களுக்கு ஒரு சிஎஸ்சிஓ வழங்கப்பட்டால், தொடர்புடைய ஆபரேட்டர்களின் பொதுவான ஐகென் வெக்டர்களால் ஆன நிலைகளின் இடத்திற்கான அடிப்படையை நாம் தேர்வு செய்யலாம். ஒவ்வொரு ஐகென் வெக்டரையும் (ஒரு கட்டம் வரை) அது ஒத்திருக்கும் ஐகென் மதிப்புகளின் தொகுப்பால் நாம் தனித்துவமாக அடையாளம் காணலாம். விவாதம் ஒரு அவதானிக்கக்கூடிய ஒரு ஆபரேட்டரைக் கொண்டிருப்போம், இது அனைத்து சிதைக்கப்படாத ஐகென் மதிப்புகளையும் கொண்டுள்ளது. இதன் விளைவாக, ஒவ்வொரு ஐகென் மதிப்புக்கும் தொடர்புடைய ஒரு தனித்துவமான ஐகென்ஸ்டேட் உள்ளது, இது அந்தந்த ஐகென் மதிப்புகளால் பெயரிட அனுமதிக்கிறது. எடுத்துக்காட்டாக, ஐகென் மதிப்புடன் தொடர்புடைய ஐகென்ஸ்டேடை இவ்வாறு பெயரிடலாம். இத்தகைய கவனிக்கத்தக்க ஒரு தன்னிறைவு சிஎஸ்சிஓ ஆகும். இருப்பினும், சில ஐகென் மதிப்புகள் சீரழிந்துவிட்டால் (சீரழிந்த ஆற்றல் நிலைகளைக் கொண்டிருப்பது போன்றவை), மேற்கூறிய முடிவு இனி இருக்காது. அத்தகைய சந்தர்ப்பத்தில், அதே ஐகென் மதிப்புடன் தொடர்புடைய ஐகென் செயல்பாடுகளை நாம் வேறுபடுத்திக் காட்ட வேண்டும். இதைச் செய்ய, இரண்டாவது கவனிக்கத்தக்கது அறிமுகப்படுத்தப்படுகிறது (அதை அழைப்போம்), இது இணக்கமானது. பொருந்தக்கூடிய கோட்பாடு மற்றும் இன் ஐகென்ஃபங்க்ஷன்களின் பொதுவான அடிப்படையைக் காணலாம் என்று நமக்குச் சொல்கிறது. இப்போது ஐகென் மதிப்புகளின் ஒவ்வொரு ஜோடியும் இந்த அடிப்படையின் ஒரு நிலை திசையனை தனித்துவமாகக் குறிப்பிட்டால், ஒரு சிஎஸ்சிஓவை உருவாக்கியதாகக் கூறுகிறோம்ஃ தொகுப்பு. சிதைவு முற்றிலும் அகற்றப்படுகிறது. இருப்பினும், சீரழிவு முழுமையாக நீக்கப்படாத அளவுக்கு இது நிகழலாம். அதாவது, குறைந்தபட்சம் ஒரு ஜோடி உள்ளது, இது ஒரு ஐகென் வெக்டரை தனித்துவமாக அடையாளம் காணவில்லை. இந்த வழக்கில், மற்றொரு கவனிக்கத்தக்க ஒன்றைச் சேர்ப்பதன் மூலம் மேலே உள்ள செயல்முறையை மீண்டும் செய்கிறோம், இது இரண்டிற்கும் இணக்கமானது மற்றும். பொதுவான ஐகென் செயல்பாடுகளின் அடிப்படை, மற்றும் தனித்துவமானது என்றால், அதாவது, ஐகென் மதிப்புகளின் தொகுப்பால் தனித்துவமாக குறிப்பிடப்பட்டால், நாம் ஒரு சி. எஸ். சி. ஓ. வை உருவாக்கியுள்ளோம்ஃ இல்லையென்றால், நாம் மேலும் இணக்கமான கவனிக்கக்கூடிய ஒன்றைச் சேர்க்கிறோம், மேலும் ஒரு சிஎஸ்சிஓ கிடைக்கும் வரை செயல்முறையைத் தொடர்கிறோம். அதே திசையன் இடம் தனித்துவமான முழுமையான பயண ஆபரேட்டர்களைக் கொண்டிருக்கலாம். எங்களுக்கு ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட சிஎஸ்சிஓ கொடுக்கப்பட்டுள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம். பின்னர் ஹில்பர்ட் இடத்தில் எந்த பொது நிலையையும் விரிவுபடுத்தலாம், ஆபரேட்டர்களின் ஐகென்கெட்டுகள் எங்கே உள்ளன, மேலும் ஒரு அடிப்படை இடத்தை உருவாக்கலாம். அதாவது, முதலியன நாம் நிலையில் அளவிட்டால், நாம் ஒரே நேரத்தில் அளவிடும் நிகழ்தகவு வழங்கப்படுகிறது. பயண ஆபரேட்டர்களின் முழுமையான தொகுப்புக்கு, அவை அனைத்தையும் ஒரே நேரத்தில் மூலைவிட்டமாக்கக்கூடிய ஒரு ஒற்றையாட்சி மாற்றத்தை நாம் காணலாம். எடுத்துக்காட்டுகள் எலக்ட்ரான் அல்லது புரோட்டான் சுழற்சி இல்லாத ஹைட்ரஜன் அணு கோண உந்த இயக்கியின் இரண்டு கூறுகள் பரிமாற்றம் செய்யாது, ஆனால் பரிமாற்ற உறவுகளை திருப்திப்படுத்துகின்றனஃ எனவே, எந்தவொரு சிஎஸ்சிஓவும் ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட கூறுகளை உள்ளடக்க முடியாது. கோண உந்த இயக்கியின் சதுரம், உடன் பயணிக்கிறது என்பதைக் காட்டலாம். மேலும், ஹாமில்டோனியன் ஒரு செயல்பாடு மட்டுமே மற்றும் சுழற்சி மாறுபாட்டைக் கொண்டுள்ளது, இது அமைப்பின் குறைக்கப்பட்ட நிறை ஆகும். இதன் கூறுகள் சுழற்சியின் ஜெனரேட்டர்கள் என்பதால், எனவே, ஒரு பயணக் தொகுப்பில், ஒரு கூறு (இது என எடுத்துக் கொள்ளப்படுகிறது) மற்றும் உள்ளது என்பதைக் காட்டலாம். எலக்ட்ரான்களின் சுழற்சியைப் புறக்கணித்து, செட் ஒரு சிஎஸ்சிஓவை உருவாக்குகிறது என்று சிக்கலின் தீர்வு நமக்குச் சொல்கிறது. ஹைட்ரஜனிக் அணுவின் ஹில்பர்ட் இடத்தில் எந்த அடிப்படை நிலையும் இருக்கட்டும். அதாவது, ஐகென் மதிப்புகளின் தொகுப்பு அல்லது இன்னும் எளிமையாக, ஹைட்ரோஜெனிக் அணுவின் தனித்துவமான ஐகென்ஸ்டேடை முழுமையாகக் குறிப்பிடுகிறது. இலவச துகள் ஒரு இலவச துகள், ஹாமில்டோனியன் மொழிபெயர்ப்புகளின் கீழ் மாறாதது. மொழிபெயர்ப்பு ஹாமில்டோனியனுடன் இணைகிறதுஃ இருப்பினும், மொழிபெயர்ப்பு இயக்கியின் அடிப்படையில் ஹாமில்டோனியனை வெளிப்படுத்தினால், அது இரட்டை சீரழிந்த ஐகென் மதிப்புகளைக் கொண்டிருப்பதைக் காண்போம். இந்த விஷயத்தில் சிஎஸ்சிஓவை உருவாக்க, பேரிட்டி ஆபரேட்டர் என்று அழைக்கப்படும் மற்றொரு ஆபரேட்டர் நமக்குத் தேவை என்பதைக் காட்டலாம். ஒரு சிஎஸ்சிஓவை உருவாக்குகிறது. மீண்டும், தொடர்புடைய ஐகென் மதிப்பின் சீரழிந்த ஐகென்ஸ்டேட்களாக இருக்கட்டும், அதாவது. மோமெண்டம் ஆபரேட்டரால் சிதைவு நீக்கப்படுகிறது. எனவே, ஒரு சிஎஸ்சிஓவை உருவாக்குகிறது. கோண உந்த இயக்கிகள் மற்றும் 1 மற்றும் 2 ஆகிய இரண்டு அமைப்புகளின் விஷயத்தை நாம் கருத்தில் கொள்கிறோம். நாம் ஐஜென்ஸ்டேட்களை மற்றும் மற்றும் மற்றும் என எழுதலாம். எனவே, முழுமையான அமைப்புக்கு, ஐகென் மதிப்புகளின் தொகுப்பு ஒரு தனித்துவமான அடிப்படை நிலையை முழுமையாகக் குறிப்பிடுகிறது, மேலும் ஒரு சிஎஸ்சிஓவை உருவாக்குகிறது. சமமாக, மொத்த கோண உந்த இயக்கியின் அடிப்படையில், அமைப்புக்கு மற்றொரு அடிப்படை நிலைகள் உள்ளன. இதன் ஐகென் மதிப்புகள் எங்கு மதிப்புகளை எடுத்துக்கொள்கின்றன, எங்கு மதிப்புகள் உள்ளன. ஆபரேட்டர்களின் அடிப்படை நிலைகள் மற்றும் உள்ளன. எனவே முழுமையான அமைப்பின் ஹில்பர்ட் இடத்தில் ஐகென் மதிப்புகளின் தொகுப்பால் ஒரு தனித்துவமான அடிப்படை நிலையையும் நாம் குறிப்பிடலாம், அதனுடன் தொடர்புடைய சிஎஸ்சிஓ ஆகும். மேலும் காண்க குவாண்டம் எண் நல்ல குவாண்டம் எண் ஆற்றல் நிலைகளை சீரழிக்கிறது குவாண்டம் மெக்கானிக்ஸ் இயக்கிகளின் கணித அமைப்பு குவாண்டம் மெக்கானிக்ஸ் நியமன பரிமாற்ற உறவு குவாண்டம் மெக்கானிக்ஸில் அளவீடு அலை செயல்பாட்டின் கோண மொமெண்டம் (குவாண்டம் மெக்கானிக்ஸ்) குறிப்புகளின் சரிவு. ஆர். பி. ஃபேய்ன்மேன், ஆர். பி. லைட்டன் மற்றும் எம். சாண்ட்ஸ்ஃ இயற்பியல் குறித்த ஃபேய்ன்மேன் சொற்பொழிவுகள், அடிசன்-வெஸ்லி, 1965 ஆர். சங்கர், குவாண்டம் மெக்கானிக்ஸின் கோட்பாடுகள், இரண்டாவது பதிப்பு, ஸ்பிரிங்கர் (1994). ஜே. ஜே. சகுராய், நவீன குவாண்டம் மெக்கானிக்ஸ், திருத்தப்பட்ட பதிப்பு, பியர்சன் (1994). பி. எச். பிரான்ஸ்டன் மற்றும் சி. ஜே. ஜோச்செய்ன், குவாண்டம் மெக்கானிக்ஸ், இரண்டாவது பதிப்பு, பியர்சன் எஜுகேஷன் லிமிடெட், 2000. எடின்பர்க் பல்கலைக்கழகத்தின் இயற்பியல் மற்றும் வானியல் பள்ளியின் சொற்பொழிவு குறிப்புகள், பொருந்தக்கூடிய தேற்றம் பற்றிய விவாதத்திற்கு. http://www2.ph.ed.ac.uk ~ ldeldebb/docs/QM/lect2. pdf. மும்பையின் டாடா அடிப்படை ஆராய்ச்சி நிறுவனத்தின் பேராசிரியர் எஸ். குப்தாவின் சொற்பொழிவு குறிப்புகளில் சிஎஸ்சிஓ பற்றிய ஒரு ஸ்லைடு. http://theory.tifr.res.in ~ sgupta/courses/qm2013/hand3. pdf மும்பையின் டாடா இன்ஸ்டிடியூட் ஆஃப் ஃபண்டமெண்டல் ரிசர்ச்சின் பேராசிரியர் எஸ் குப்தாவின் விரிவுரைக் குறிப்புகளில் இலவச துகள் பற்றிய ஒரு பிரிவு. http://theory.tifr.res.in ~ குப்தா/படிப்புகள்/க்யூஎம்2013/கை6. பிடிஎஃப் குவாண்டம் மெக்கானிக்ஸ்