Lipschitz continuity
கணித பகுப்பாய்வில், ஜெர்மன் கணிதவியலாளர் ருடால்ப் லிப்ஸிட்சின் பெயரால் பெயரிடப்பட்ட லிப்ஸிட்ச் தொடர்ச்சி என்பது செயல்பாடுகளுக்கான சீரான தொடர்ச்சியின் வலுவான வடிவமாகும். உள்ளுணர்வாக, ஒரு லிப்ஸ்கிட்ஸ் தொடர்ச்சியான செயல்பாடு அது எவ்வளவு வேகமாக மாற முடியும் என்பதில் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளதுஃ ஒரு உண்மையான எண் உள்ளது, இந்த செயல்பாட்டின் வரைபடத்தில் உள்ள ஒவ்வொரு ஜோடி புள்ளிகளுக்கும், அவற்றை இணைக்கும் கோட்டின் சாய்வின் முழுமையான மதிப்பு இந்த உண்மையான எண்ணை விட அதிகமாக இல்லை; அத்தகைய மிகச்சிறிய பிணைப்பு செயல்பாட்டின் லிப்ஸ்கிட்ஸ் மாறிலி என்று அழைக்கப்படுகிறது (மேலும் இது சீரான தொடர்ச்சியின் மாடுலஸுடன் தொடர்புடையது). உதாரணமாக, ஒரு இடைவெளியில் வரையறுக்கப்பட்ட மற்றும் முதல் வழித்தோன்றலை வரம்புக்குட்பட்ட ஒவ்வொரு செயல்பாடும் லிப்ஸ்கிட்ஸ் தொடர்ச்சியானது. வேறுபட்ட சமன்பாடுகளின் கோட்பாட்டில், லிப்ஸ்கிட்ஸ் தொடர்ச்சி என்பது பிகார்ட்-லிண்டெலோஃப் தேற்றத்தின் மைய நிபந்தனையாகும், இது ஒரு ஆரம்ப மதிப்பு சிக்கலுக்கான தீர்வின் இருப்பு மற்றும் தனித்துவத்தை உறுதி செய்கிறது. பானாச் நிலையான-புள்ளி தேற்றத்தில் சுருக்கம் என்று அழைக்கப்படும் ஒரு சிறப்பு வகை லிப்ஸ்கிட்ஸ் தொடர்ச்சி பயன்படுத்தப்படுகிறது. உண்மையான கோட்டின் மூடிய மற்றும் எல்லைக்குட்பட்ட அற்பமான இடைவெளியில் செயல்பாடுகளுக்கான கடுமையான சேர்த்தல்களின் பின்வரும் சங்கிலி எங்களிடம் உள்ளதுஃ தொடர்ச்சியான வேறுபடுத்தக்கூடிய லிப்ஸ்கிட்ஸ் தொடர்ச்சியான-ஹோல்டர் தொடர்ச்சியான, எங்கே. நம்மிடம் லிப்ஸ்கிட்ஸ் தொடர்ச்சியானது முற்றிலும் தொடர்ச்சியானது ஒரே சீராக தொடர்ச்சியானது. வரையறைகள் கொடுக்கப்பட்ட இரண்டு மெட்ரிக் இடைவெளிகள் (X, dX) மற்றும் (Y, dY), இங்கு dX என்பது தொகுப்பு X இல் உள்ள மெட்ரிக் மற்றும் dY என்பது தொகுப்பு Y இல் உள்ள மெட்ரிக் ஆகும், ஒரு செயல்பாடு f: X → Y என்பது லிப்ஸ்கிட்ஸ் தொடர்ச்சியானது என்று அழைக்கப்படுகிறது, அதாவது ஒரு உண்மையான மாறிலி K ± 0 இருந்தால், X இல் உள்ள அனைத்து x1 மற்றும் x2 க்கும், அத்தகைய K என்பது f மற்றும் f செயல்பாட்டிற்கான லிப்ஸ்கிட்ஸ் மாறிலி என்றும் குறிப்பிடப்படுகிறது, இது K-லிப்ஸ்கிட்ஸ் என்றும் குறிப்பிடப்படலாம். மிகச்சிறிய மாறிலி சில நேரங்களில் f இன் (சிறந்த) லிப்ஸ்கிட்ஸ் மாறிலி அல்லது f இன் விரிவு அல்லது விரிவடைதல் என்று அழைக்கப்படுகிறது. K = 1 என்றால் செயல்பாடு ஒரு குறுகிய வரைபடம் என்றும், 0 ≤ K <1 மற்றும் f ஒரு மெட்ரிக் இடத்தை தனக்குத்தானே வரைபடமாக்கினால், செயல்பாடு சுருக்கம் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது. குறிப்பாக, ஒரு உண்மையான மதிப்புள்ள சார்பு f: R → R என்பது ஒரு நேர்மறையான உண்மையான மாறிலி K இருந்தால் லிப்ஸ்கிட்ஸ் தொடர்ச்சியானது என்று அழைக்கப்படுகிறது, அதாவது அனைத்து உண்மையான x1 மற்றும் x2 க்கும், இந்த விஷயத்தில், Y என்பது நிலையான மெட்ரிக் dY (y1, y2) = |y1 − y2 | உடன் உண்மையான எண்களின் தொகுப்பாகும், மேலும் X என்பது R இன் துணைக்குழுவாகும். பொதுவாக, x1 = x2 என்றால் சமத்துவமின்மை (அற்பமாக) திருப்தி அளிக்கப்படுகிறது. இல்லையெனில், ஒரு செயல்பாட்டை லிப்ஸ்கிட்ஸ் தொடர்ச்சியானதாக வரையறுக்க முடியும், இது ஒரு நிலையான K ≤ 0 இருந்தால் மட்டுமே, அனைத்து x1 ≤ x2 க்கும், பல உண்மையான மாறிகளின் உண்மையான மதிப்புள்ள செயல்பாடுகளுக்கு, இது அனைத்து செகண்ட் கோடுகளின் சரிவுகளின் முழுமையான மதிப்பு K ஆல் வரையறுக்கப்பட்டால் மட்டுமே பொருந்தும். X இல் உள்ள ஒவ்வொரு x க்கும் ஒரு அண்டை U இன் x இருந்தால், f என்பது U க்கு மட்டுப்படுத்தப்பட்ட லிப்ஸிட்ச் தொடர்ச்சியானது என்றால் ஒரு செயல்பாடு உள்ளூரில் லிப்ஸிட்ச் தொடர்ச்சியானது என்று அழைக்கப்படுகிறது. சமமாக, X என்பது உள்ளூரில் கச்சிதமான மெட்ரிக் இடமாக இருந்தால், X இன் ஒவ்வொரு கச்சிதமான துணைக்குழுவிலும் லிப்ஸிட்ச் தொடர்ச்சியாக இருந்தால் மட்டுமே f என்பது உள்ளூரில் லிப்ஸிட்ச் ஆகும். உள்ளூரில் சுருக்கமாக இல்லாத இடங்களில், இது ஒரு அவசியமான ஆனால் போதுமான நிபந்தனை அல்ல. மேலும் பொதுவாக, X இல் வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு சார்பு f என்பது ஹோல்டர் தொடர்ச்சியானது என்று கூறப்படுகிறது அல்லது X இல் உள்ள அனைத்து x மற்றும் y க்கும் ஒரு மாறிலி M ≤ 0 இருந்தால் X இல் α> 0 வரிசையின் ஹோல்டர் நிபந்தனையை பூர்த்தி செய்கிறது. சில நேரங்களில் α வரிசையின் ஹோல்டர் நிபந்தனை α> 0 வரிசையின் சீரான லிப்ஸ்கிட்ஸ் நிபந்தனை என்றும் அழைக்கப்படுகிறது. ஒரு உண்மையான எண் K ± 1 க்கு, f என்பது K-பிலிப்சிட்ஸ் என்று அழைக்கப்படுகிறது (மேலும் K-b-லிப்ஸிட்ஸ் என்றும் எழுதப்படுகிறது). அத்தகைய கே உள்ளது என்பதைக் குறிக்க எஃப் பிலிப்ஷிட்ஸ் அல்லது பை-லிப்ஷிட்ஸ் என்று நாம் கூறுகிறோம். ஏ பிலிப்ஷிட்ஸ் மேப்பிங் ஊசி செலுத்தும், உண்மையில் அதன் படத்தில் ஒரு ஹோமியோமார்பிசம் ஆகும். ஒரு பிலிப்சிட்ஸ் செயல்பாடு என்பது ஒரு ஊசி லிப்ஸிட்ஸ் செயல்பாட்டைப் போன்றது, அதன் தலைகீழ் செயல்பாடும் லிப்ஸிட்ஸ் ஆகும். Lipschitz தொடர்ச்சியான செயல்பாடுகள் எல்லா இடங்களிலும் வேறுபடுத்தக்கூடிய Lipschitz தொடர்ச்சியான செயல்பாடுகள் எல்லா இடங்களிலும் வேறுபடுத்தக்கூடியவை அல்ல, ஆனால் தொடர்ந்து வேறுபடுத்தக்கூடியவை அல்ல Lipschitz தொடர்ச்சியான செயல்பாடுகள் அவை (உலகளவில்) Lipschitz தொடர்ச்சியான வேறுபடுத்தக்கூடிய செயல்பாடுகள் அல்ல அவை (உள்நாட்டில்) Lipschitz தொடர்ச்சியான பகுப்பாய்வு செயல்பாடுகள் அல்ல அவை (உலகளவில்) Lipschitz தொடர்ச்சியான பண்புகள் ஒரு எல்லா இடங்களிலும் வேறுபடுத்தக்கூடிய செயல்பாடு g: R → R என்பது Lipschitz தொடர்ச்சியானது (K = supp |g ′ (x) உடன்) அது முதல் வழித்தோன்றலை வரம்புக்குட்பட்டிருந்தால் மட்டுமே; சராசரி மதிப்பு தேற்றத்திலிருந்து ஒரு திசை பின்பற்றப்படுகிறது. குறிப்பாக, எந்தவொரு தொடர்ச்சியான வேறுபடுத்தக்கூடிய செயல்பாடும் உள்ளூரில் லிப்ஸிட்ச் ஆகும், ஏனெனில் தொடர்ச்சியான செயல்பாடுகள் உள்ளூரில் வரம்புக்குட்பட்டவை, எனவே அதன் சாய்வு உள்ளூரில் வரம்புக்குட்பட்டது. ஒரு லிப்ஸ்கிட்ஸ் செயல்பாடு g: R → R முற்றிலும் தொடர்ச்சியானது, எனவே கிட்டத்தட்ட எல்லா இடங்களிலும் வேறுபடுத்தக்கூடியது, அதாவது லெபெஸ்கூ அளவீட்டு பூஜ்ஜியத்தின் தொகுப்பிற்கு வெளியே உள்ள ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் வேறுபடுத்தக்கூடியது. அதன் வழித்தோன்றல் அடிப்படையில் லிப்சிட்ஸ் மாறிலியால் அளவில் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது, மேலும் a <b க்கு, வேறுபாடு g (b) −g (a) என்பது [a, b] இடைவெளியில் உள்ள வழித்தோன்றல் g′ இன் ஒருங்கிணைப்புக்கு சமம். இதற்கு நேர்மாறாக, f: I → R முற்றிலும் தொடர்ச்சியாகவும், இதனால் கிட்டத்தட்ட எல்லா இடங்களிலும் வேறுபடுத்தக்கூடியதாகவும் இருந்தால், I இல் உள்ள கிட்டத்தட்ட அனைத்து x க்கும் |f ′ (x) | ≤ K ஐ திருப்திப்படுத்தினால், f என்பது அதிகபட்சமாக K இல் லிப்ஸிட்ச் மாறிலியுடன் தொடர்ச்சியான லிப்ஸிட்ச் ஆகும். மேலும் பொதுவாக, ராடெமாச்சரின் தேற்றம் வேறுபடுத்தக்கூடிய முடிவை யூக்ளிடியன் இடைவெளிகளுக்கு இடையிலான லிப்ஸிட்ச் வரைபடங்களுக்கு விரிவுபடுத்துகிறதுஃ ஒரு லிப்ஸிட்ச் வரைபடம் f: U → Rm, இங்கு U என்பது Rn இல் திறந்த தொகுப்பாகும், கிட்டத்தட்ட எல்லா இடங்களிலும் வேறுபடுத்தக்கூடியது. மேலும், K என்பது f இன் சிறந்த லிப்ஸ்கிட்ஸ் மாறிலி என்றால், மொத்த வழித்தோன்றல் Df இருக்கும் போதெல்லாம். ஒரு வேறுபடுத்தக்கூடிய லிப்ஸிட்ச் வரைபடத்திற்கு சமத்துவமின்மை சிறந்த லிப்ஸிட்ச் மாறிலியைக் கொண்டுள்ளது. களம் குவிந்ததாக இருந்தால் உண்மையில். {fn} என்பது இரண்டு மெட்ரிக் இடைவெளிகளுக்கு இடையிலான லிப்ஸிட்ச் தொடர்ச்சியான வரைபடங்களின் ஒரு வரிசை என்று வைத்துக்கொள்வோம், மேலும் அனைத்து fn-களும் லிப்ஸிட்ச் மாறிலியை சில K ஆல் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளன. fn ஒரே மாதிரியாக ஒரு வரைபடத்திற்கு ஒன்றிணைந்தால், f என்பது லிப்ஸிட்ச் ஆகும், லிப்ஸிட்ச் மாறிலி அதே K ஆல் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது. குறிப்பாக, லிப்ஸிட்ச் மாறிலிக்கு ஒரு குறிப்பிட்ட பிணைப்பைக் கொண்ட ஒரு சிறிய மெட்ரிக் இடத்தில் உண்மையான மதிப்புள்ள செயல்பாடுகளின் தொகுப்பு தொடர்ச்சியான செயல்பாடுகளின் பானாச் இடத்தின் மூடிய மற்றும் குவிந்த துணைக்குழுவாகும். இருப்பினும், செயல்பாடுகள் வரம்பற்ற லிப்ஸ்கிட்ஸ் மாறிலிகளைக் கொண்டிருக்கக்கூடிய வரிசைமுறைகளுக்கு இந்த முடிவு பொருந்தாது. உண்மையில், ஒரு சுருக்கமான மெட்ரிக் இடத்தில் அனைத்து லிப்ஸ்கிட்ஸ் செயல்பாடுகளின் இடமும் தொடர்ச்சியான செயல்பாடுகளின் பானாச் இடத்தின் துணை இயற்கணிதமாகும், எனவே அதில் அடர்த்தியானது, இது ஸ்டோன்-வியர்ஸ்ட்ராஸ் தேற்றத்தின் அடிப்படை விளைவாகும் (அல்லது வியர்ஸ்ட்ராஸ் தோராயமான தேற்றத்தின் விளைவாக, ஏனெனில் ஒவ்வொரு பல்லுறுப்புக்கோவையும் உள்ளூரில் லிப்ஸ்கிட்ஸ் தொடர்ச்சியானது). ஒவ்வொரு லிப்ஸ்கிட்ஸ் தொடர்ச்சியான வரைபடமும் ஒரே சீராக தொடர்ச்சியானது, எனவே ஒரு ஃபோர்டியோரி தொடர்ச்சியானது. மேலும் பொதுவாக, எல்லைக்குட்பட்ட லிப்ஸ்கிட்ஸ் மாறிலியைக் கொண்ட செயல்பாடுகளின் தொகுப்பு ஒரு சமமான தொகுப்பை உருவாக்குகிறது. ஆர்செலா-அஸ்கோலி தேற்றம் {fn} என்பது எல்லைக்குட்பட்ட லிப்ஸிட்ச் மாறிலியுடன் ஒரே சீரான வரம்புக்குட்பட்ட செயல்பாடுகளின் வரிசையாக இருந்தால், அது ஒரு ஒருங்கிணைந்த தொடர்ச்சியைக் கொண்டுள்ளது என்பதைக் குறிக்கிறது. முந்தைய பத்தியின் விளைவாக, வரம்பு செயல்பாடும் லிப்ஸிட்ச் ஆகும், லிப்ஸிட்ச் மாறிலிக்கு அதே வரம்புடன். குறிப்பாக லிப்ஸ்கிட்ஸ் மாறிலி ≤ K கொண்ட ஒரு சிறிய மெட்ரிக் இடைவெளி X இல் உள்ள அனைத்து உண்மையான மதிப்புள்ள லிப்ஸ்கிட்ஸ் செயல்பாடுகளின் தொகுப்பு பானாச் இடைவெளி C (X) இன் உள்ளூரில் கச்சிதமான குவிந்த துணைக்குழுவாகும். லிப்ஸ்கிட்ஸ் தொடர்ச்சியான செயல்பாடுகளின் குடும்பத்திற்கு பொதுவான மாறிலியுடன் fα, செயல்பாடு (மற்றும்) லிப்ஸிட்ஸ் தொடர்ச்சியானது, அதே லிப்ஸிட்ஸ் மாறிலியுடன், குறைந்தபட்சம் ஒரு புள்ளியில் ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட மதிப்பைக் கருதினால். U என்பது மெட்ரிக் இடைவெளி M இன் துணைக்குழுவாகவும், f: U → R என்பது ஒரு லிப்ஸிட்ச் தொடர்ச்சியான செயல்பாடாகவும் இருந்தால், லிப்ஸிட்ச் தொடர்ச்சியான வரைபடங்கள் M → R எப்போதும் உள்ளன, அவை f ஐ நீட்டிக்கின்றன மற்றும் f ஐப் போலவே லிப்ஸிட்ச் மாறிலியைக் கொண்டுள்ளன (கிர்ஸ்பிரான் தேற்றத்தையும் பார்க்கவும்). ஒரு விரிவாக்கம் வழங்கப்படுகிறது, அங்கு கே என்பது யு. லிப்ஸிட்ச் பன்மடங்கு மீது எஃப் க்கான லிப்ஸிட்ச் மாறிலி ஒரு இடவியல் பன்மடங்கு ஒரு லிப்ஸிட்ச் அமைப்பு விளக்கப்படங்களின் அட்லஸைப் பயன்படுத்தி வரையறுக்கப்படுகிறது, அதன் மாற்றம் வரைபடங்கள் பிலிப்ஸிட்ச் ஆகும்; இது சாத்தியமாகும், ஏனெனில் பிலிப்ஸிட்ச் வரைபடங்கள் ஒரு போலி குழுவை உருவாக்குகின்றன. இத்தகைய அமைப்பு, மென்மையான பன்மடங்கு இடையேயான மென்மையான வரைபடங்களை ஒருவர் எவ்வாறு வரையறுக்கிறார் என்பதைப் போலவே, அத்தகைய பன்மடங்கு இடையே உள்ள உள்ளூர் லிப்ஸிட்ச் வரைபடங்களை வரையறுக்க அனுமதிக்கிறதுஃ லிப்ஸிட்ச் பன்மடங்கு என்றால் மற்றும் என்றால், ஒவ்வொரு ஜோடி ஒருங்கிணைப்பு விளக்கப்படங்களுக்கும், அதனுடன் தொடர்புடைய யூக்ளிடியன் இடைவெளிகளில் திறந்த தொகுப்புகளாக இருந்தால், கலவை உள்ளூரில் லிப்ஸிட்ச் ஆகும். இந்த வரையறை ஒரு அளவீட்டை வரையறுப்பதில் அல்லது சார்ந்திருக்கவில்லை. இந்த அமைப்பு ஒரு துண்டு-நேரியல் பன்மடங்கு மற்றும் ஒரு இடவியல் பன்மடங்கு ஆகியவற்றுக்கு இடையில் இடைநிலை ஆகும்ஃ ஒரு பி. எல் அமைப்பு ஒரு தனித்துவமான லிப்ஸ்கிட்ஸ் கட்டமைப்பை உருவாக்குகிறது. லிப்ஸ்கிட்ஸ் பன்மடங்கு இடவியல் பன்மடங்கு நெருக்கமாக தொடர்புடையதாக இருக்கும்போது, ராடெமாச்சரின் தேற்றம் ஒருவரை பகுப்பாய்வு செய்ய அனுமதிக்கிறது, இது பல்வேறு பயன்பாடுகளை வழங்குகிறது. ஒரு பக்க லிப்ஸ்கிட்ஸ் F (x) என்பது x இன் மேல் அரை தொடர்ச்சியான செயல்பாடாக இருக்கட்டும், மேலும் F (x) என்பது அனைத்து x க்கும் ஒரு மூடிய, குவிந்த தொகுப்பாகும். சில சி மற்றும் அனைத்து x1 மற்றும் x2 க்கும் இருந்தால் எஃப் ஒரு பக்க லிப்ஸிட்ச் ஆகும். எஃப் செயல்பாடு மிகப் பெரிய லிப்ஸிட்ச் மாறிலியைக் கொண்டிருக்கலாம், ஆனால் மிதமான அளவு அல்லது எதிர்மறை, ஒரு பக்க லிப்ஸிட்ச் மாறிலியைக் கொண்டிருக்கலாம். எடுத்துக்காட்டாக, செயல்பாட்டில் லிப்ஸிட்ச் மாறிலி K = 50 மற்றும் ஒரு பக்க லிப்ஸிட்ச் மாறிலி C = 0 உள்ளது. ஒரு பக்க லிப்ஸ்கிட்ஸ் ஆனால் லிப்ஸ்கிட்ஸ் தொடர்ச்சியற்ற ஒரு எடுத்துக்காட்டு F (x) = e − x, C = 0 உடன். ஜான்சன்-லிண்டன்ஸ்ட்ராஸ் லெம்மாவின் தொடர்ச்சியின் டினி தொடர்ச்சி மாடுலஸ் பகுதியையும் பார்க்கவும்-எந்தவொரு முழு எண்ணுக்கும் n ≤ 0, எந்த வரையறுக்கப்பட்ட துணைக்குழு X ≤ Rn, மற்றும் எந்த உண்மையான எண் 0 <ε <1, ஒரு (1 + ε)-பை-லிப்ஸ்கிட்ஸ் செயல்பாடு உள்ளது, அங்கு குறிப்புகள் கட்டமைப்புகள் பன்மடங்கு உள்ளன.