Heawood conjecture
வரைபடக் கோட்பாட்டில், ஹீவுட் அனுமானம் அல்லது ரிங்கெல்-யங்ஸ் தேற்றம் ஒரு குறிப்பிட்ட இனத்தின் மேற்பரப்பில் வரைபட வண்ணமயமாக்கலுக்குத் தேவையான வண்ணங்களின் எண்ணிக்கைக்கு குறைந்த வரம்பைக் கொடுக்கிறது. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,. பேரினத்தின் மேற்பரப்புகளுக்கு, தேவையான வண்ணங்களின் எண்ணிக்கை 4,7,8,9,10,11,12,, நிற எண் அல்லது ஹீவுட் எண் ஆகும். இந்த அனுமானம் 1890 ஆம் ஆண்டில் பெர்சி ஜான் ஹீவுட் என்பவரால் வகுக்கப்பட்டது மற்றும் 1968 ஆம் ஆண்டில் கெர்ஹார்ட் ரிங்கெல் மற்றும் டெட் யங்ஸ் ஆகியோரால் நிரூபிக்கப்பட்டது. ஒரு வழக்கு, நோக்கற்ற க்ளீன் பாட்டில், பொதுவான சூத்திரத்திற்கு விதிவிலக்காக நிரூபித்தது. தளம் அல்லது கோளத்திற்குத் தேவையான வண்ணங்களின் எண்ணிக்கையைக் கண்டுபிடிப்பதற்கான மிகவும் பழைய சிக்கலுக்கு முற்றிலும் மாறுபட்ட அணுகுமுறை தேவைப்பட்டது, இது 1976 ஆம் ஆண்டில் ஹேக்கன் மற்றும் அப்பெல் ஆகியோரால் நான்கு வண்ணத் தேற்றமாக தீர்க்கப்பட்டது. கோளத்தில் கீழ் எல்லை எளிதானது, அதேசமயம் உயர் இனத்திற்கு மேல் எல்லை எளிதானது மற்றும் ஹீவுட்டின் அசல் குறுகிய காகிதத்தில் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது, அதில் அனுமானம் இருந்தது. வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், ரிங்கெல், யங்ஸ் மற்றும் பிறர் ஒவ்வொரு இனத்திற்கும் தீவிர எடுத்துக்காட்டுகளை உருவாக்க வேண்டியிருந்தது g = 1,2,3,. g = 12s + k என்றால், k = 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11 ஆகியவற்றின் படி இந்த இனங்கள் 12 நிகழ்வுகளாகப் பிரிக்கப்படுகின்றன. எளிமையாக்க, 12s + k வடிவத்தின் வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணிக்கையிலான g-கள் மட்டுமே சந்தேகத்தில் இருந்தால் அந்த வழக்கு k நிறுவப்பட்டுள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம். பின்னர் பன்னிரண்டு வழக்குகள் தீர்க்கப்பட்ட ஆண்டுகள் பின்வருமாறுஃ 1954, ரிங்கெல்ஃ வழக்கு 5 1961, ரிங்கெல்ஃ வழக்குகள் 3,7,10 1963, டெர்ரி, வெல்ச், யங்ஸ்ஃ வழக்குகள் 0,4 1964, குஸ்டின், யங்ஸ்ஃ வழக்கு 1 1965, குஸ்டின்ஃ வழக்கு 9 1966, யங்ஸ்ஃ வழக்கு 6 1967, ரிங்கெல், யங்ஸ்ஃ வழக்குகள் 2,8,11 கடைசி ஏழு அவ்வப்போது விதிவிலக்குகள் பின்வருமாறு தீர்க்கப்பட்டனஃ 1967, மேயர்ஃ வழக்குகள் 18,20,23 1968, ரிங்கெல், யங்ஸ்ஃ வழக்குகள் 30,35,47,59, மற்றும் அனுமானம் நிரூபிக்கப்பட்டது. முறையான அறிக்கை பெர்சி ஜான் ஹீவுட் 1890 ஆம் ஆண்டில் ஒரு குறிப்பிட்ட இனத்திற்கு ஜி> 0, அந்த இனத்தின் நோக்குநிலை மேற்பரப்பில் வரையப்பட்ட அனைத்து வரைபடங்களுக்கும் வண்ணம் பூச தேவையான குறைந்தபட்ச வண்ணங்களின் எண்ணிக்கை (அல்லது மேற்பரப்பின் எந்தவொரு பிரிவின் பகுதிகளையும் வெறுமனே இணைக்கப்பட்ட பகுதிகளாக வண்ணமயமாக்குவதற்கு சமம்) தரை செயல்பாடு எங்கே என்பதன் மூலம் வழங்கப்படுகிறது. யூலர் பண்பால் இனத்தை மாற்றுவதன் மூலம், திசை திருப்பக்கூடிய மற்றும் திசை திருப்ப முடியாத நிகழ்வுகள் இரண்டையும் உள்ளடக்கிய ஒரு சூத்திரத்தைப் பெறுகிறோம், இந்த உறவு, ரிங்கெல் மற்றும் யங்ஸ் காட்டியபடி, க்ளீன் பாட்டில் தவிர அனைத்து மேற்பரப்புகளுக்கும் பொருந்தும். பிலிப் ஃபிராங்க்ளின் (1930) சூத்திரத்தால் கணிக்கப்பட்டபடி க்ளீன் பாட்டிலுக்கு 7 நிறங்களுக்கு பதிலாக அதிகபட்சம் 6 வண்ணங்கள் தேவை என்பதை நிரூபித்தார். ஃப்ராங்க்ளின் வரைபடத்தை க்ளீன் பாட்டில் மீது வரையலாம், இது பரஸ்பரம் அருகிலுள்ள ஆறு பகுதிகளை உருவாக்குகிறது, இது இந்த எல்லை இறுக்கமாக இருப்பதைக் காட்டுகிறது. ஹீவுட்டின் அசல் குறுகிய காகிதத்தில் நிரூபிக்கப்பட்ட மேல் வரம்பு, ஒரு பேராசை வண்ணமயமாக்கல் வழிமுறையை அடிப்படையாகக் கொண்டது. யூலர் பண்புகளை கையாளுவதன் மூலம், கொடுக்கப்பட்ட மேற்பரப்பில் உட்பொதிக்கப்பட்ட ஒவ்வொரு வரைபடமும் கொடுக்கப்பட்ட வரம்பை விட குறைந்தபட்சம் ஒரு முனை டிகிரி குறைவாக இருக்க வேண்டும் என்பதைக் காட்டலாம். ஒருவர் இந்த உச்சியை அகற்றி, மீதமுள்ள வரைபடத்திற்கு வண்ணம் பூசினால், அகற்றப்பட்ட உச்சியில் ஏற்படும் சிறிய எண்ணிக்கையிலான விளிம்புகள் அதை மீண்டும் வரைபடத்தில் சேர்க்க முடியும் மற்றும் வரம்பிற்கு அப்பால் தேவையான வண்ணங்களின் எண்ணிக்கையை அதிகரிக்காமல் வண்ணமயமாக்க முடியும் என்பதை உறுதி செய்கிறது. மறுபுறம், ஆதாரம் மிகவும் கடினமானது, மேலும் ஒவ்வொரு சந்தர்ப்பத்திலும் (க்ளீன் பாட்டில் தவிர) கொடுக்கப்பட்ட வண்ணங்களின் எண்ணிக்கைக்கு சமமான பல செங்குத்துகளுடன் ஒரு முழுமையான வரைபடத்தை மேற்பரப்பில் உட்பொதிக்கலாம் என்பதைக் காட்டுகிறது. எடுத்துக்காட்டு டோரஸ் g = 1 ஐக் கொண்டுள்ளது, எனவே χ = 0. எனவே, சூத்திரம் கூறுவது போல், டோரஸின் எந்த உட்பிரிவையும் பகுதிகளாகப் பயன்படுத்தி அதிகபட்சம் ஏழு வண்ணங்களைப் பயன்படுத்தலாம். இந்த விளக்கப்படம் டோரஸின் ஒரு உட்பிரிவைக் காட்டுகிறது, அதில் ஏழு பிராந்தியங்கள் ஒவ்வொன்றும் ஒருவருக்கொருவர் பிராந்தியத்தை ஒட்டியுள்ளன; இந்த உட்பிரிவு வண்ணங்களின் எண்ணிக்கையில் ஏழு வரம்புகள் இறுக்கமாக இருப்பதைக் காட்டுகிறது. இந்த உட்பிரிவின் எல்லை ஹீவுட் வரைபடத்தை டோரஸில் உட்பொதிக்கிறது. குறிப்புகள் வெளிப்புற இணைப்புகள் வரைபட வண்ணமயமாக்கல் இடவியல் வரைபடக் கோட்பாடு நிரூபிக்கப்பட்ட அனுமானங்கள் வரைபடக் கோட்பாட்டில் உள்ள தேற்றங்கள்