Parity of a permutation
கணிதத்தில், X என்பது குறைந்தபட்சம் இரண்டு கூறுகளைக் கொண்ட ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட தொகுப்பாக இருக்கும்போது, X இன் வரிசைமாற்றங்கள் (அதாவது. X முதல் X) வரையிலான பைஜெக்டிவ் செயல்பாடுகள் சம அளவிலான இரண்டு வகுப்புகளாகப் பிரிக்கப்படுகின்றனஃ சம வரிசைமாற்றங்கள் மற்றும் ஒற்றைப்படை வரிசைமாற்றங்கள். X இன் எந்தவொரு மொத்த வரிசையும் நிலையானதாக இருந்தால், X இன் வரிசைமாற்றத்தின் சமநிலையை (ஒற்றைப்படை அல்லது சமநிலை) σ க்கான தலைகீழ் எண்ணிக்கையின் சமநிலையாக வரையறுக்கலாம், அதாவது, X இன் x, y என்ற உறுப்புகளின் ஜோடிகளின் மற்றும். ஒரு வரிசைமாற்றத்தின் அடையாளம், கையொப்பம் அல்லது அடையாளம் σ என்பது sgn (σ) என்று குறிக்கப்படுகிறது மற்றும் σ சமமாக இருந்தால் + 1 ஆகவும், σ ஒற்றைப்படை என்றால் −1 ஆகவும் வரையறுக்கப்படுகிறது. கையொப்பம் சமச்சீர் குழு Sn இன் மாற்று தன்மையை வரையறுக்கிறது. ஒரு வரிசைமாற்றத்தின் அடையாளத்திற்கான மற்றொரு குறியீடு மிகவும் பொதுவான லெவி-சிவிட்டா சின்னத்தால் (εσ) வழங்கப்படுகிறது, இது X முதல் X வரையிலான அனைத்து வரைபடங்களுக்கும் வரையறுக்கப்படுகிறது, மேலும் புறநிலை அல்லாத வரைபடங்களுக்கு பூஜ்ஜிய மதிப்பைக் கொண்டுள்ளது. ஒரு வரிசைமாற்றத்தின் குறியீட்டை வெளிப்படையாக வெளிப்படுத்தலாம், அங்கு N (σ) என்பது σ இல் உள்ள தலைகீழ் எண்ணிக்கையாகும். மாற்றாக, ஒரு வரிசைமாற்றத்தின் அடையாளம் σ அதன் சிதைவிலிருந்து இடமாற்றங்களின் பெருக்கலாக வரையறுக்கப்படலாம், அங்கு m என்பது சிதைவில் இடமாற்றங்களின் எண்ணிக்கை. அத்தகைய சிதைவு தனித்துவமானது அல்ல என்றாலும், அனைத்து சிதைவுகளிலும் இடமாற்றங்களின் எண்ணிக்கையின் சமநிலை ஒரே மாதிரியாக இருக்கிறது, இது ஒரு வரிசைமாற்றத்தின் அடையாளம் நன்கு வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது என்பதைக் குறிக்கிறது. எடுத்துக்காட்டு மூலம் வரையறுக்கப்பட்ட தொகுப்பின் வரிசைமாற்றத்தை கருத்தில் கொள்ளுங்கள் மற்றும் ஒரு வரி குறியீட்டில், இந்த வரிசைமாற்றமானது 34521 எனக் குறிக்கப்படுகிறது. அடையாள வரிசைமாற்றத்திலிருந்து 12345 ஐ மூன்று இடமாற்றங்கள் மூலம் பெறலாம்ஃ முதலில் 2 மற்றும் 4 எண்களைப் பரிமாறவும், பின்னர் 3 மற்றும் 5 ஐ பரிமாறவும், இறுதியாக 1 மற்றும் 3 ஐ பரிமாறவும். கொடுக்கப்பட்ட வரிசைமாற்றமான σ ஒற்றைப்படை என்பதை இது காட்டுகிறது. சுழற்சி குறியீட்டு கட்டுரையின் முறையைப் பின்பற்றி, இதை எழுதலாம், வலமிருந்து இடமாக எழுதலாம், ஏனெனில் σ ஐ இடமாற்றங்களின் கலவையாக எழுத பல வழிகள் உள்ளன, எடுத்துக்காட்டாக, ஆனால் அதை சம எண்ணிக்கையிலான இடமாற்றங்களின் பெருக்கலாக எழுத முடியாது. பண்புகள் அடையாள வரிசைமாற்றமானது ஒரு சம வரிசைமாற்றமாகும். ஒரு சம வரிசைமாற்றத்தை ஒரு சம எண் மற்றும் இரண்டு உறுப்புகளின் சம எண்ணிக்கையிலான பரிமாற்றங்களின் (இடமாற்றங்கள் என்று அழைக்கப்படுகிறது) கலவையாகப் பெறலாம், அதே நேரத்தில் ஒரு ஒற்றைப்படை வரிசைமாற்றத்தை ஒற்றைப்படை எண்ணிக்கையிலான இடமாற்றங்களால் (மட்டுமே) பெற முடியும். முழு எண்களைச் சேர்ப்பது பற்றிய தொடர்புடைய விதிகளிலிருந்து பின்வரும் விதிகள் நேரடியாகப் பின்பற்றப்படுகின்றனஃ இரண்டு சம வரிசைமாற்றங்களின் கலவை கூட இரண்டு ஒற்றைப்படை வரிசைமாற்றங்களின் கலவை கூட ஒரு ஒற்றைப்படை மற்றும் ஒரு இரட்டைப்படை வரிசைமாற்றத்தின் கலவை ஒற்றைப்படை இதிலிருந்து ஒவ்வொரு ஒற்றைப்படை வரிசைமாற்றத்தின் தலைகீழ் ஒற்றைப்படை ஒவ்வொரு ஒற்றைப்படை வரிசைமாற்றத்தின் தலைகீழ் ஒற்றைப்படை என்பதைக் கருத்தில் கொண்டு, {1,., n} தொகுப்பின் அனைத்து வரிசைமாற்றங்களின் சமச்சீர் குழு Sn ஐக் கருத்தில் கொண்டு, ஒவ்வொரு வரிசைமாற்றத்திற்கும் அதன் கையொப்பத்தை ஒதுக்கும் வரைபடம் ஒரு குழு ஒத்தமைவு என்று நாம் முடிவு செய்யலாம். மேலும், சமமான வரிசைமாற்றங்கள் Sn இன் துணைக்குழுவை உருவாக்குகின்றன என்பதை நாம் காண்கிறோம். இது n எழுத்துக்களில் உள்ள மாற்றுக் குழுவாகும், இது An ஆல் குறிக்கப்படுகிறது. இது ஹோமோமார்பிசம் sgn இன் கர்னல் ஆகும். ஒற்றைப்படை வரிசைமாற்றங்கள் ஒரு துணைக்குழுவை உருவாக்க முடியாது, ஏனெனில் இரண்டு ஒற்றைப்படை வரிசைமாற்றங்களின் கலவை சமமானது, ஆனால் அவை ஒரு (Sn இல்) ஒரு கோசெட்டை உருவாக்குகின்றன. இருந்தால், ஒற்றைப்படை உள்ளதைப் போலவே Sn இல் பல சம வரிசைமாற்றங்களும் உள்ளன; இதன் விளைவாக, an இல் n!/2 வரிசைமாற்றங்கள் உள்ளன. (காரணம் என்னவென்றால், σ சமமாக இருந்தால் ஒற்றைப்படை, மற்றும் σ ஒற்றைப்படை என்றால் இரட்டைப்படை, மேலும் இந்த இரண்டு வரைபடங்களும் ஒன்றுக்கொன்று நேர்மாறாக இருக்கும்.) ஒரு சுழற்சி அதன் நீளம் ஒற்றைப்படை என்றால் மட்டுமே அது சமமாக இருக்கும். நடைமுறையில், கொடுக்கப்பட்ட வரிசைமாற்றமானது சமமானதா அல்லது ஒற்றைப்படை என்பதைத் தீர்மானிக்க, ஒருவர் வரிசைமாற்றத்தை வேறுபட்ட சுழற்சிகளின் பெருக்கலாக எழுதுகிறார். இந்த காரணிமயமாக்கல் ஒற்றைப்படை எண்ணிக்கையிலான சம நீள சுழற்சிகளைக் கொண்டிருந்தால் மட்டுமே வரிசைமாற்றமானது ஒற்றைப்படை. கொடுக்கப்பட்ட வரிசைமாற்றமானது சமமானதா அல்லது ஒற்றைப்படை என்பதை தீர்மானிப்பதற்கான மற்றொரு முறை, தொடர்புடைய வரிசைமாற்ற மேட்ரிக்ஸை உருவாக்கி அதன் தீர்மானிப்பதைக் கணக்கிடுவதாகும். தீர்மானிப்பவரின் மதிப்பு வரிசைமாற்றத்தின் சமநிலைக்கு சமம். ஒற்றைப்படை வரிசையின் ஒவ்வொரு வரிசைமாற்றமும் சமமாக இருக்க வேண்டும். A4 இல் உள்ள வரிசைமாற்றமானது பொதுவாக எதிர் உண்மை அல்ல என்பதைக் காட்டுகிறது. இரண்டு வரையறைகளின் சமநிலை இந்த பிரிவு ஒரு வரிசைமாற்றத்தின் சமநிலையை இரண்டு சமமான வழிகளில் வரையறுக்க முடியும் என்பதற்கான ஆதாரங்களை வழங்குகிறதுஃ σ இல் உள்ள தலைகீழ் எண்ணிக்கையின் சமநிலையாக (எந்த வரிசையின் கீழும்); அல்லது σ ஐ சிதைக்கக்கூடிய இடமாற்றங்களின் எண்ணிக்கையின் சமநிலையாக (இருப்பினும் நாம் அதை சிதைக்க தேர்வு செய்கிறோம்). பிற வரையறைகள் மற்றும் சான்றுகள் புள்ளிகளின் வரிசைமாற்றத்தின் சமநிலையும் அதன் சுழற்சி கட்டமைப்பில் குறியிடப்பட்டுள்ளது. σ = (i1 i2. ir + 1) (j1 j2. js + 1). (l1 l2. mu + 1) என்பது σ இன் தனித்துவமான சிதைவாக வேறுபட்ட சுழற்சிகளாக இருக்கட்டும், அவை எந்த வரிசையிலும் உருவாக்கப்படலாம், ஏனெனில் அவை பரிமாற்றப்படுகின்றன. புள்ளிகளை உள்ளடக்கிய ஒரு சுழற்சியை எப்போதும் k இடமாற்றங்களை (2-சுழற்சிகள்) உருவாக்குவதன் மூலம் பெறலாம்ஃ எனவே சுழற்சியின் அளவை k என்று அழைக்கவும், இந்த வரையறையின் கீழ், இடமாற்றங்கள் அளவு 1 இன் சுழற்சிகள் என்பதைக் கவனிக்கவும். ஒரு சிதைவிலிருந்து m டிஸ்ஜோயின்ட் சுழற்சிகளாக நாம் σ இன் சிதைவை இடமாற்றங்களாகப் பெறலாம், இங்கு கீ என்பது ith சுழற்சியின் அளவு. இந்த எண் σ இன் பாகுபாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது, மேலும் σ இன் நிலையான புள்ளிகளை 1-சுழற்சிகளாக சேர்க்க நாம் கவனித்துக்கொள்வது போலவும் கணக்கிடப்படலாம். σ ஒரு வரிசைமாற்றத்திற்குப் பிறகு ஒரு இடமாற்றம் (a b) பயன்படுத்தப்படுகிறது என்று வைத்துக்கொள்வோம். a மற்றும் b ஆகியவை σ இன் வெவ்வேறு சுழற்சிகளில் இருக்கும்போது, a மற்றும் b ஆகியவை σ இன் ஒரே சுழற்சியில் இருந்தால். இரு சந்தர்ப்பங்களிலும், N ((a b) σ) இன் சமநிலை N (σ) இன் சமநிலையிலிருந்து வேறுபட்டதாக இருக்கும் என்பதைக் காணலாம். ஒரு வரிசைமாற்றத்தின் தன்னிச்சையான சிதைவு σ இடமாற்றங்களாக இருந்தால், t2 க்குப் பிறகு r இடமாற்றங்களைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம். அடையாளத்திற்குப் பிறகு tr க்குப் பிறகு (அதன் N பூஜ்ஜியமாகும்) N (σ) மற்றும் r ஒரே சமநிலையைக் கொண்டுள்ளன என்பதைக் கவனியுங்கள். σ இன் சமநிலையை N (σ) இன் சமநிலையாக வரையறுப்பதன் மூலம், சம நீள சிதைவைக் கொண்ட ஒரு வரிசைமாற்றமானது ஒரு சம வரிசைமாற்றமாகும், மேலும் ஒரு ஒற்றைப்படை நீள சிதைவைக் கொண்ட ஒரு வரிசைமாற்றமானது ஒரு ஒற்றைப்படை வரிசைமாற்றமாகும். மேற்கண்ட வாதத்தை கவனமாக ஆராய்ந்தால், σ சுழற்சிகளாக சிதைவடைவதால், அதன் அளவுகள் r க்கு கூட்டுத்தொகை r இடமாற்றங்களின் கலவையாக வெளிப்படுத்தப்படலாம் என்பதால், எண் N (σ) என்பது σ இன் சிதைவில் சுழற்சிகளின் அளவுகளின் குறைந்தபட்ச கூட்டுத்தொகையாகும், இதில் அனைத்து சுழற்சிகளும் இடமாற்றங்களாக இருக்கும் நிகழ்வுகளும் அடங்கும். இந்த ஆதாரம் σ செயல்படும் புள்ளிகளின் தொகுப்பில் ஒரு (தன்னிச்சையான) வரிசையை அறிமுகப்படுத்தாது. பொதுமைப்படுத்தல்கள் சமநிலையை காக்செட்டர் குழுக்களுக்கு பொதுமைப்படுத்தலாம்ஃ ஒன்று ஒரு நீளம் செயல்பாடு l (v) ஐ வரையறுக்கிறது, இது ஜெனரேட்டர்களின் தேர்வைப் பொறுத்தது (சமச்சீர் குழுவிற்கு, அருகிலுள்ள இடமாற்றங்களுக்கு), பின்னர் செயல்பாடு ஒரு பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட அடையாள வரைபடத்தை வழங்குகிறது. மேலும் காண்க பதினைந்து புதிர் என்பது ஒரு உன்னதமான பயன்பாடாகும் Zolotarev இன் லெம்மா நோட்ஸ் குறிப்புகள் குழு கோட்பாடு வரிசைமாற்றங்கள் சமநிலை (கணிதம்) சான்றுகளைக் கொண்ட கட்டுரைகள் அடையாளம் (கணிதம்) ru: περεστανοvκα #Связанные πρεδελενία