Generalized function
கணிதத்தில், பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட செயல்பாடுகள் என்பது செயல்பாடுகளின் கருத்தை விரிவுபடுத்தும் பொருள்கள் ஆகும். ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட அங்கீகரிக்கப்பட்ட கோட்பாடுகள் உள்ளன, எடுத்துக்காட்டாக விநியோகக் கோட்பாடு. மென்மையான செயல்பாடுகள் போன்ற தொடர்ச்சியற்ற செயல்பாடுகளை உருவாக்குவதற்கும், புள்ளி கட்டணங்கள் போன்ற தனித்துவமான இயற்பியல் நிகழ்வுகளை விவரிப்பதற்கும் பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட செயல்பாடுகள் குறிப்பாக பயனுள்ளதாக இருக்கும். அவை விரிவாகப் பயன்படுத்தப்படுகின்றன, குறிப்பாக இயற்பியல் மற்றும் பொறியியலில். சில அணுகுமுறைகளின் பொதுவான அம்சம் என்னவென்றால், அவை அன்றாட, எண் செயல்பாடுகளின் ஆபரேட்டர் அம்சங்களை உருவாக்குகின்றன. ஆரம்பகால வரலாறு செயல்பாட்டு கால்குலஸ் பற்றிய சில கருத்துக்களுடன் இணைக்கப்பட்டுள்ளது, மேலும் சில திசைகளில் சமகால முன்னேற்றங்கள் மிகியோ சாட்டோவின் கருத்துக்களுடன் நெருக்கமாக தொடர்புடையவை, அவர் இயற்கணித பகுப்பாய்வு என்று அழைக்கிறார். பகுதி வேறுபாடு சமன்பாடுகள் மற்றும் குழு பிரதிநிதித்துவக் கோட்பாட்டின் கோட்பாடுகளின் தொழில்நுட்பத் தேவைகள் இந்த விஷயத்தில் முக்கியமான தாக்கங்களை ஏற்படுத்தியுள்ளன. பத்தொன்பதாம் நூற்றாண்டின் கணிதத்தில், பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட செயல்பாட்டுக் கோட்பாட்டின் அம்சங்கள் தோன்றின, எடுத்துக்காட்டாக பச்சை செயல்பாட்டின் வரையறை, லாப்லேஸ் உருமாற்றம் மற்றும் ரீமானின் முக்கோணவியல் தொடர் கோட்பாடு ஆகியவற்றில், அவை ஒருங்கிணைந்த செயல்பாட்டின் ஃபோரியர் தொடர் அல்ல. இவை அந்த நேரத்தில் கணித பகுப்பாய்வின் துண்டிக்கப்பட்ட அம்சங்களாகும். பொறியியலில் லாப்லேஸ் உருமாற்றத்தின் தீவிரமான பயன்பாடு செயல்பாட்டு கால்குலஸ் எனப்படும் குறியீட்டு முறைகளின் ஹூரிஸ்டிக் பயன்பாட்டிற்கு வழிவகுத்தது. வேறுபட்ட தொடர்களைப் பயன்படுத்திய நியாயப்படுத்தல்கள் வழங்கப்பட்டதால், இந்த முறைகள் தூய கணிதக் கண்ணோட்டத்தில் மோசமான நற்பெயரைக் கொண்டிருந்தன. அவை பொதுவான செயல்பாட்டு முறைகளின் பிற்கால பயன்பாட்டிற்கு பொதுவானவை. செயல்பாட்டு கால்குலஸ் பற்றிய ஒரு செல்வாக்குமிக்க புத்தகம் ஆலிவர் ஹெவிசைடின் 1899 ஆம் ஆண்டின் மின்காந்தக் கோட்பாடு ஆகும். லெபெஸ்கூ ஒருங்கிணைப்பு அறிமுகப்படுத்தப்பட்டபோது, கணிதத்தின் மையமாக பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட செயல்பாடு பற்றிய கருத்து முதன்முறையாக இருந்தது. லெபெஸ்குவின் கோட்பாட்டில், ஒரு ஒருங்கிணைந்த செயல்பாடு, கிட்டத்தட்ட எல்லா இடங்களிலும் ஒரே மாதிரியாக இருக்கும் வேறு எந்த செயல்பாட்டிற்கும் சமம். அதாவது ஒரு குறிப்பிட்ட கட்டத்தில் அதன் மதிப்பு (ஒரு வகையில்) அதன் மிக முக்கியமான அம்சம் அல்ல. செயல்பாட்டு பகுப்பாய்வில் ஒரு ஒருங்கிணைந்த செயல்பாட்டின் அத்தியாவசிய அம்சத்தைப் பற்றி ஒரு தெளிவான சூத்திரம் வழங்கப்படுகிறது, அதாவது மற்ற செயல்பாடுகளில் ஒரு நேரியல் செயல்பாட்டை வரையறுக்கும் விதம். இது பலவீனமான வழித்தோன்றலின் வரையறையை அனுமதிக்கிறது. 1920 களின் பிற்பகுதியிலும் 1930 களிலும் எதிர்கால வேலைகளுக்கு அடிப்படையான மேலும் நடவடிக்கைகள் எடுக்கப்பட்டன. டைராக் டெல்டா செயல்பாட்டை பால் டைராக் தைரியமாக வரையறுத்தார் (அவரது அறிவியல் சம்பிரதாயத்தின் ஒரு அம்சம்); இது உண்மையான செயல்பாடுகளைப் போன்ற அடர்த்திகள் (சார்ஜ் அடர்த்தி போன்றவை) என்று கருதப்படும் நடவடிக்கைகளுக்கு சிகிச்சையளிப்பதாகும். பகுதி வேறுபாடு சமன்பாட்டுக் கோட்பாட்டில் பணிபுரியும் செர்ஜி சோபோலேவ், பகுதி வேறுபாடு சமன்பாடுகளின் பலவீனமான தீர்வுகளுடன் வேலை செய்வதற்காக, கணிதக் கண்ணோட்டத்தில், பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட செயல்பாடுகளின் முதல் போதுமான கோட்பாட்டை வரையறுத்தார். அந்த நேரத்தில் தொடர்புடைய கோட்பாடுகளை முன்வைத்த மற்றவர்கள் சாலமன் போச்னர் மற்றும் கர்ட் ஃப்ரெட்ரிக். சோபோலேவின் படைப்புகள் லாரண்ட் ஸ்வார்ட்ஸால் நீட்டிக்கப்பட்ட வடிவத்தில் மேலும் உருவாக்கப்பட்டன. ஷ்வார்ட்ஸ் விநியோகங்கள் பல நோக்கங்களுக்காக உறுதியானதாக ஏற்றுக்கொள்ளப்பட வேண்டிய அத்தகைய கருத்தை உணர்ந்து கொள்வது, லாரண்ட் ஷ்வார்ட்ஸால் உருவாக்கப்பட்ட விநியோகக் கோட்பாடாகும். இடவியல் திசையன் இடைவெளிகளின் இரட்டைக் கோட்பாட்டை அடிப்படையாகக் கொண்ட ஒரு கொள்கை கோட்பாடு என்று இதை அழைக்கலாம். பயன்பாட்டு கணிதத்தில் அதன் முக்கிய போட்டியாளர், மென்மையான தோராயங்களின் வரிசைகளைப் பயன்படுத்துவதாகும் ('ஜேம்ஸ் லைட்ஹில்' விளக்கம்), இது மிகவும் தற்காலிகமானது. இது இப்போது மோலிஃபையர் கோட்பாடாக கோட்பாட்டில் நுழைகிறது. இந்தக் கோட்பாடு மிகவும் வெற்றிகரமாக இருந்தது, இன்னும் பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது, ஆனால் இது நேரியல் செயல்பாடுகளை மட்டுமே அனுமதிக்கிறது என்ற முக்கிய குறைபாட்டால் பாதிக்கப்படுகிறது. வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், விநியோகங்களை பெருக்க முடியாது (மிகவும் சிறப்பு நிகழ்வுகளைத் தவிர): பெரும்பாலான பாரம்பரிய செயல்பாட்டு இடங்களைப் போலல்லாமல், அவை இயற்கணிதம் அல்ல. எடுத்துக்காட்டாக, டைராக் டெல்டா செயல்பாட்டை வர்க்கப்படுத்துவது அர்த்தமற்றது. 1954 ஆம் ஆண்டைச் சுற்றியுள்ள ஷ்வார்ட்சின் பணி அது ஒரு உள்ளார்ந்த சிரமம் என்பதைக் காட்டியது. பெருக்கல் சிக்கலுக்கு சில தீர்வுகள் முன்மொழியப்பட்டுள்ளன. ஒன்று யூ வழங்கிய மிகவும் எளிமையான மற்றும் உள்ளுணர்வு வரையறையை அடிப்படையாகக் கொண்டது. வி. எகோரோவ் (கீழே உள்ள புத்தகப் பட்டியலில் டெமிடோவின் புத்தகத்தில் உள்ள அவரது கட்டுரையையும் பார்க்கவும்) இது பொதுவான செயல்பாடுகளுக்கு இடையே தன்னிச்சையான செயல்பாடுகளை அனுமதிக்கிறது. பெருக்கல் சிக்கலின் மற்றொரு தீர்வு குவாண்டம் இயக்கவியலின் பாதை ஒருங்கிணைந்த சூத்திரத்தால் கட்டளையிடப்படுகிறது. இது ஒருங்கிணைப்பு மாற்றங்களின் கீழ் மாறாத குவாண்டம் இயக்கவியலின் ஷ்ரோடிங்கர் கோட்பாட்டிற்கு சமமாக இருக்க வேண்டும் என்பதால், இந்த பண்பு பாதை ஒருங்கிணைப்புகளால் பகிர்ந்து கொள்ளப்பட வேண்டும். இது எச். க்ளீனெர்ட் மற்றும் ஏ. செர்வியாகோவ் காட்டியபடி பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட செயல்பாடுகளின் அனைத்து தயாரிப்புகளையும் சரிசெய்கிறது. இதன் விளைவாக பரிமாண ஒழுங்குமுறைப்படுத்தலில் இருந்து பெறக்கூடியவற்றுக்கு சமமானது. பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட செயல்பாடுகளின் ஆல்ஜிப்ராக்கள் பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட செயல்பாடுகளின் ஆல்ஜிப்ராக்களின் பல கட்டமைப்புகள் முன்மொழியப்பட்டுள்ளன, மற்றவற்றுடன் யூ அவர்களால் முன்மொழியப்பட்டுள்ளது. எம். ஷிரோகோவ் மற்றும் ஈ. ரோசிங்கர், ஒய். எகோரோவ் மற்றும் ஆர். ராபின்சன் ஆகியோரால் எழுதப்பட்டது. முதல் வழக்கில், பெருக்கம் பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட செயல்பாட்டின் சில ஒழுங்குமுறைப்படுத்தலுடன் தீர்மானிக்கப்படுகிறது. இரண்டாவது வழக்கில், இயற்கணிதம் விநியோகங்களின் பெருக்கமாக கட்டமைக்கப்பட்டுள்ளது. இரண்டு நிகழ்வுகளும் கீழே விவாதிக்கப்படுகின்றன. பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட செயல்பாடுகளின் பரிமாற்றமற்ற இயற்கணிதம் பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட செயல்பாடுகளின் இயற்கணிதம் ஒரு செயல்பாட்டை அதன் மென்மையான மற்றும் அதன் ஒற்றைப் பகுதிகளுக்குத் திட்டமிடுவதற்கான பொருத்தமான செயல்முறையுடன் கட்டமைக்கப்படலாம். பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட செயல்பாடுகள் மற்றும் தோற்றத்தின் பெருக்கல் அத்தகைய விதி முக்கிய செயல்பாடுகளின் இடம் மற்றும் முக்கிய செயல்பாடுகளின் இடத்தில் செயல்படும் ஆபரேட்டர்களின் இடம் ஆகிய இரண்டிற்கும் பொருந்தும். பெருக்கத்தின் இணைப்பாற்றல் அடையப்படுகிறது; மேலும் செயல்பாட்டு சிக்னம் ஒரு வகையில் வரையறுக்கப்படுகிறது, அதன் சதுரம் எல்லா இடங்களிலும் ஒற்றுமை (ஆயத்தொலைவுகளின் தோற்றம் உட்பட). ஒற்றைப் பகுதிகளின் பெருக்கல் () இன் வலது புறத்தில் தோன்றாது என்பதை நினைவில் கொள்க; குறிப்பாக, அத்தகைய சம்பிரதாயம் ஒரு சிறப்பு நிகழ்வாக பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட செயல்பாடுகளின் வழக்கமான கோட்பாட்டை (அவற்றின் தயாரிப்பு இல்லாமல்) உள்ளடக்கியது. இருப்பினும், இதன் விளைவாக வரும் இயற்கணிதம் பரிமாற்றமற்றதுஃ பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட செயல்பாடுகள் சிக்னம் மற்றும் டெல்டா ஆன்டிகமியூட். இயற்கணிதத்தின் சில பயன்பாடுகள் பரிந்துரைக்கப்பட்டன. விநியோகங்களின் பெருக்கம் ஷ்வார்ட்ஸ் விநியோகக் கோட்பாட்டின் வரம்பான விநியோகங்களின் பெருக்கத்தின் சிக்கல், நேரியல் அல்லாத சிக்கல்களுக்கு தீவிரமானது. இன்று பல்வேறு அணுகுமுறைகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. எளிமையான ஒன்று யூ வழங்கிய பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட செயல்பாட்டின் வரையறையை அடிப்படையாகக் கொண்டது. வி. எகோரோவ். கூட்டு வேறுபட்ட ஆல்ஜிப்ராக்களை உருவாக்குவதற்கான மற்றொரு அணுகுமுறை ஜே. எஃப். கொலோம்பியோவின் கட்டமைப்பை அடிப்படையாகக் கொண்டதுஃ கொலோம்பியோ அல்ஜிப்ரா பார்க்கவும். இவை செயல்பாடுகளின் "மிதமான" மாடுலோ "" மிகக் குறைவான "வலைகளின் காரணி இடங்களாகும், இதில்" மிதமான தன்மை "மற்றும்" அலட்சியம் "என்பது குடும்பத்தின் குறியீட்டைப் பொறுத்தவரை வளர்ச்சியைக் குறிக்கிறது. எடுத்துக்காட்டுஃ கொலோம்பியூ இயற்கணிதம் ஒரு எளிய உதாரணம் N, இல் உள்ள பல்லுறுப்புக்கோவை அளவைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் பெறப்படுகிறது. பின்னர் எந்தவொரு அரை நெறிமுறை இயற்கணிதத்திற்கும் (E, P), காரணி இடம் இருக்கும் குறிப்பாக, (E, P) = (C, |. |) ஒருவர் (கொலோம்பியோவின்) பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட சிக்கலான எண்களைப் பெறுகிறார் (இது "எல்லையற்ற பெரிய" மற்றும் "எண்ணற்ற சிறியதாக" இருக்கலாம், மேலும் தரமற்ற எண்களைப் போலவே கடுமையான எண்கணிதங்களை அனுமதிக்கிறது). (E, P) = (C ≤ (R), {pk}) (இங்கு pk என்பது k ஆரம் கொண்ட பந்தில் k ஐ விட குறைவான அல்லது சமமான வரிசையின் அனைத்து வழித்தோன்றல்களின் மேல்நிலை) ஒருவர் கொலோம்பியோவின் எளிமைப்படுத்தப்பட்ட இயற்கணிதத்தைப் பெறுகிறார். ஷ்வார்ட்ஸ் விநியோகங்களின் ஊசி இந்த இயற்கணிதம் ஊசி மூலம் டி இன் அனைத்து விநியோகங்களையும் "கொண்டுள்ளது" j (T) = (φn ≤ T) n + N, இங்கு  காய஼்வு செயல்பாடு, மற்றும் φn (x) = n φ (nx). இந்த ஊசி கட்டணமற்றது, இது ஒருங்கிணைந்த ஒன்றின் மோலிபையர் φ இன் தேர்வைப் பொறுத்தது, இது C φ ஆக இருக்க வேண்டும், மேலும் அதன் அனைத்து வழித்தோன்றல்களும் 0 இல் மறைந்துவிடும். ஒரு நியம ஊசி பெற, குறியீட்டு தொகுப்பை N × D (R) ஆக மாற்றியமைக்கலாம், D (R) இல் வசதியான வடிகட்டி தளத்துடன் (q வரிசை வரை மறைந்த தருணங்களின் செயல்பாடுகள்). உறை அமைப்பு (E, P) என்பது சில இடவியல் இடைவெளி X இல் அரை நெறிமுறை ஆல்ஜிப்ராக்களின் (முன்-) உறையாக இருந்தால், Gs (E, P) க்கும் இந்த பண்பு இருக்கும். இதன் பொருள் கட்டுப்பாடு என்ற கருத்து வரையறுக்கப்படும், இது ஒரு பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட செயல்பாட்டின் ஆதரவை வரையறுக்க அனுமதிக்கிறது. ஒரு சப்ஷீஃப், குறிப்பாகஃ சப்ஷீஃப் {0} க்கு, ஒருவர் வழக்கமான ஆதரவைப் பெறுகிறார் (செயல்பாடு பூஜ்ஜியமாக இருக்கும் மிகப்பெரிய திறந்த துணைக்குழுவின் நிரப்பு). சப்ஷீஃப் E ஐப் பொறுத்தவரை (நியதி (நிலையான) ஊசி பயன்படுத்தி உட்பொதிக்கப்பட்டுள்ளது), ஒருவர் ஒற்றை ஆதரவு என்று அழைக்கப்படுவதைப் பெறுகிறார், அதாவது, தோராயமாக பேசுகையில், பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட செயல்பாடு ஒரு மென்மையான செயல்பாடு இல்லாத தொகுப்பின் மூடல் (E = C φ க்கு). மைக்ரோலோகல் பகுப்பாய்வு ஃபோரியர் மாற்றம் (நன்கு-) சுருக்கமாக ஆதரிக்கப்படும் பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட செயல்பாடுகளுக்கு (கூறு வாரியாக) வரையறுக்கப்படுவதால், ஒருவர் விநியோகங்களுக்கு அதே கட்டமைப்பைப் பயன்படுத்தலாம், மேலும் லார்ஸ் ஹார்மண்டரின் அலை முன் தொகுப்பை பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட செயல்பாடுகளுக்கும் வரையறுக்கலாம். இது ஒருமைப்பாட்டின் பரப்புதலின் பகுப்பாய்வில் குறிப்பாக முக்கியமான பயன்பாட்டைக் கொண்டுள்ளது. பிற கோட்பாடுகள் இதில் அடங்கும்ஃ ஒருங்கிணைந்த களங்களாக இருக்கும் கன்வொல்யூஷன் ஆல்ஜிப்ராக்களின் பின்னங்களின் புலத்தை அடிப்படையாகக் கொண்ட ஜான் மிகுசின்ஸ்கியின் கன்வொல்யூஷன் ஈவு கோட்பாடு; மற்றும் பகுப்பாய்வு செயல்பாடுகளின் எல்லை மதிப்புகளை அடிப்படையாகக் கொண்ட (அவற்றின் ஆரம்ப கருத்தாக்கத்தில்) ஹைப்பர்ஃபங்க்ஷன்களின் கோட்பாடுகள், இப்போது ஷீஃப் கோட்பாட்டைப் பயன்படுத்துகின்றன. இடவியல் குழுக்கள் ப்ரூஹாட் சோதனை செயல்பாடுகளின் ஒரு வகுப்பை அறிமுகப்படுத்தியது, ஸ்வார்ட்ஸ்-ப்ரூஹாட் செயல்பாடுகள் இப்போது அறியப்பட்டபடி, உள்ளூரில் கச்சிதமான குழுக்களின் ஒரு வகுப்பில், அவை வழக்கமான செயல்பாட்டு களங்களாக இருக்கும் பன்மடங்கு தாண்டி செல்கின்றன. பயன்பாடுகள் பெரும்பாலும் எண் கோட்பாட்டில் உள்ளன, குறிப்பாக அடலிக் இயற்கணித குழுக்களுக்கு. ஆண்ட்ரே வெயில் டேட்டின் ஆய்வறிக்கையை இந்த மொழியில் மீண்டும் எழுதினார், ஐடல் குழுவில் ஜீட்டா விநியோகத்தை வகைப்படுத்தினார்; மேலும் அதை எல்-செயல்பாட்டின் வெளிப்படையான சூத்திரத்திற்கும் பயன்படுத்தியுள்ளார். பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட பிரிவு கோட்பாடு நீட்டிக்கப்பட்ட மற்றொரு வழி மென்மையான திசையன் மூட்டையின் பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட பிரிவுகளாகும். இது ஷ்வார்ட்ஸ் வடிவத்தில் உள்ளது, சோதனை பொருட்களுக்கு இரட்டை பொருட்களை உருவாக்குகிறது, கச்சிதமான ஆதரவைக் கொண்ட ஒரு மூட்டையின் மென்மையான பிரிவுகள். மிகவும் வளர்ந்த கோட்பாடு டி ராம் நீரோட்டங்கள், இரட்டை முதல் வேறுபட்ட வடிவங்கள் ஆகும். வேறுபட்ட வடிவங்கள் டி ராம் கோஹோமோலஜிக்கு வழிவகுக்கும் விதத்தில் இவை இயற்கையில் ஹோமோலாஜிக்கல் ஆகும். மிகவும் பொதுவான ஸ்டோக்ஸ் தேற்றத்தை உருவாக்க அவற்றைப் பயன்படுத்தலாம். பெப்போ-லெவி ஸ்பேஸ் டிராக் டெல்டா செயல்பாடு பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட ஐகென்ஃபங்ஷன் டிஸ்ட்ரிபியூஷன் (கணிதம்) ஹைப்பர்ஃபங்ஷன் லாப்லாசியன் ஆஃப் தி இண்டிகேட்டர் ரிக்ஜ்டு ஹில்பர்ட் ஸ்பேஸ் லிமிட் ஆஃப் எ டிஸ்ட்ரிபியூஷன் புக்ஸ் தொகுதி ஆகியவற்றையும் பார்க்கவும். 2. எச். கோமட்சு, விநியோகக் கோட்பாட்டின் அறிமுகம், இரண்டாவது பதிப்பு, இவானாமி ஷோட்டன், டோக்கியோ, 1983. (ஆன்லைனில் இங்கே). பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட செயல்பாடுகளின் தயாரிப்புகளுக்கு அத்தியாயம் 11 ஐப் பார்க்கவும். குறிப்புகள்