Law of total cumulance
நிகழ்தகவுக் கோட்பாடு மற்றும் கணித புள்ளிவிவரங்களில், மொத்தத் தொகுப்பு விதி என்பது மொத்த நிகழ்தகவு விதி, மொத்த எதிர்பார்ப்பு விதி மற்றும் மொத்த மாறுபாட்டின் விதி ஆகியவற்றின் தொகுப்புகளுக்கு ஒரு பொதுமைப்படுத்தலாகும். நேரத் தொடரின் பகுப்பாய்வில் இது பயன்பாடுகளைக் கொண்டுள்ளது. இதை டேவிட் ப்ரில்லிங்கர் அறிமுகப்படுத்தினார். ஒரு சீரற்ற மாறிக்கு ஒரு குறிப்பிட்ட வரிசையின் திரட்சிகளை விட, கூட்டுத் திரட்சிகளுக்கு அதன் மிகவும் பொதுவான வடிவத்தில் கூறப்படும்போது இது மிகவும் வெளிப்படையானது. பொதுவாக, நம்மிடம் κ (X1,., Xn) என்பது n சீரற்ற மாறிகள் X1,., Xn இன் கூட்டுத் தொகுப்பாகும், மேலும் கூட்டுத்தொகை குறியீடுகளின் தொகுப்பு {1,., n} இன் அனைத்து பகிர்வுகளுக்கும் மேல் உள்ளது, மேலும் "B" என்பது பிரிவின் "தொகுதிகளின்" முழு பட்டியலிலும் இயங்குகிறது, மேலும் κ (xi: i bul B | Y) என்பது சீரற்ற மாறி Y இன் மதிப்பைக் கொடுக்கப்பட்ட நிபந்தனைத் தொகுப்பாகும். எனவே இது அதன் சொந்த உரிமையில் ஒரு சீரற்ற மாறி-சீரற்ற மாறி Y இன் செயல்பாடு. எடுத்துக்காட்டுகள் ஒரே ஒரு சீரற்ற மாறி மற்றும் n = 2 அல்லது 3 இன் சிறப்பு வழக்கு n = 2 அல்லது 3 இல் மட்டுமே n வது குவியகம் n வது மைய தருணத்திற்கு சமம். n = 2 என்ற வழக்கு நன்கு அறியப்பட்டதாகும் (மொத்த மாறுபாட்டின் விதியைப் பார்க்கவும்). கீழே n = 3 என்ற வழக்கு உள்ளது. குறியீடு μ3 என்பது மூன்றாவது மைய தருணத்தைக் குறிக்கிறது. பொதுவான 4-வது வரிசை கூட்டுத் தொகுப்புகளுக்கு, விதி பின்வருமாறு 15 சொற்களின் கூட்டுத்தொகையைக் கொடுக்கிறதுஃ பாய்சான் சீரற்ற மாறிகளின் கூட்டுத் தொகுப்புகள் Y என்பது எதிர்பார்க்கப்படும் மதிப்பு λ உடன் பாய்சான் விநியோகத்தைக் கொண்டுள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம், மேலும் X என்பது ஒருவருக்கொருவர் சுயாதீனமான W மற்றும் Y இன் Y நகல்களின் கூட்டுத்தொகையாகும். பாய்சான் விநியோகத்தின் ஒட்டுமொத்தங்கள் அனைத்தும் ஒன்றுக்கொன்று சமம், எனவே இந்த விஷயத்தில் λ க்கு சமம். சீரற்ற மாறிகள் W1,., Wm சுயாதீனமாக இருந்தால், n வது குமுலன்ட் சேர்க்கை ஆகும்ஃ X இன் 4 வது குமுலண்டை நாம் கண்டுபிடிப்போம். நம்மிடம் உள்ளதுஃ பிரிவின் அனைத்து தொகுதிகளிலும் உள்ள உற்பத்தியின் தொகுப்பு {1,2,3,4} இன் அனைத்து பகிர்வுகளிலும், தொகுதியின் அளவிற்கு சமமான வரிசையின் W இன் திரட்சிகளின் கூட்டுத்தொகையாக கடைசி கூட்டுத்தொகையை நாம் அங்கீகரிக்கிறோம். இது துல்லியமாக W இன் 4 வது மூல தருணம் (இந்த உண்மையைப் பற்றி மேலும் நிதானமாக விவாதிக்க குமுலண்டைப் பார்க்கவும்). எனவே X இன் திரட்சிகள் W இன் தருணங்கள் λ ஆல் பெருக்கப்படுகின்றன. இந்த வழியில் ஒவ்வொரு கண வரிசைமுறையும் ஒரு ஒட்டுமொத்த வரிசைமுறையாக இருப்பதை நாம் காண்கிறோம் (நேர்மாறாக உண்மையாக இருக்க முடியாது, ஏனெனில் சம வரிசை 4 இன் தொகுப்புகள் சில சந்தர்ப்பங்களில் எதிர்மறையாக இருப்பதால், இயல்பான விநியோகத்தின் ஒட்டுமொத்த வரிசை என்பது எந்தவொரு நிகழ்தகவு விநியோகத்தின் கண வரிசைமுறையும் அல்ல). பெர்னௌலி சீரற்ற மாறி மீது நிபந்தனை ஒரு பெர்னௌலி சீரற்ற மாறி மீது நிபந்தனை Y = 1 நிகழ்தகவு p மற்றும் Y = 0 நிகழ்தகவு q = 1 − p உடன் என்று வைத்துக்கொள்வோம். பின்னர் நம்மிடம் {1,., n} தொகுப்பின் ஒரு பகிர்வு உள்ளது, இது கரடுமுரடான பகிர்வை விட சிறந்தது-கூட்டுத்தொகை அது தவிர அனைத்து பகிர்வுகளுக்கும் மேல் உள்ளது. எடுத்துக்காட்டாக, n = 3 என்றால், நம்மிடம் சீரற்ற மாறிகளின் குறிப்புகள் இயற்கணிதம் உள்ளது.