Linear congruential generator
ஒரு லீனியர் காங்க்ரூயென்ஷியல் ஜெனரேட்டர் (எல். சி. ஜி) என்பது ஒரு தொடர்ச்சியற்ற துண்டுப்பிரசுர லீனியர் சமன்பாட்டுடன் கணக்கிடப்பட்ட போலி-சீரற்ற எண்களின் வரிசையை வழங்கும் ஒரு வழிமுறையாகும். இந்த முறை பழமையான மற்றும் நன்கு அறியப்பட்ட போலி எண் ஜெனரேட்டர் வழிமுறைகளில் ஒன்றைக் குறிக்கிறது. அவற்றின் பின்னணியில் உள்ள கோட்பாடு புரிந்துகொள்ள ஒப்பீட்டளவில் எளிதானது, மேலும் அவை எளிதில் செயல்படுத்தப்பட்டு வேகமானவை, குறிப்பாக கணினி வன்பொருளில் சேமிப்பு-பிட் துண்டித்தல் மூலம் மட்டு எண்கணிதத்தை வழங்க முடியும். ஜெனரேட்டர் மீண்டும் நிகழும் உறவால் வரையறுக்கப்படுகிறதுஃ போலி-சீரற்ற மதிப்புகளின் வரிசை எங்கே, மற்றும்-"மாடுலஸ்"-"பெருக்கி"-"அதிகரிப்பு"-"விதை" அல்லது "தொடக்க மதிப்பு" ஆகியவை ஜெனரேட்டரைக் குறிப்பிடும் முழு எண் மாறிலிகள் ஆகும். சி = 0 என்றால், ஜெனரேட்டர் பெரும்பாலும் பெருக்க ஒருங்கிணைந்த ஜெனரேட்டர் (எம். சி. ஜி) அல்லது லெஹ்மர் ஆர். என். ஜி என்று அழைக்கப்படுகிறது. c §0 என்றால், இந்த முறை கலப்பு ஒற்றுமை ஜெனரேட்டர் என்று அழைக்கப்படுகிறது. c §0 ஆக இருக்கும்போது, ஒரு கணிதவியலாளர் மறுநிகழ்வை ஒரு அஃபைன் மாற்றம் என்று அழைப்பார், ஒரு நேரியல் அல்ல, ஆனால் கணினி அறிவியலில் தவறான பெயர் நன்கு நிறுவப்பட்டுள்ளது. லெஹ்மர் ஜெனரேட்டர் 1951 இல் வெளியிடப்பட்டது மற்றும் நேரியல் ஒற்றுமை ஜெனரேட்டர் 1958 இல் டபிள்யூ. இ. தாம்சன் மற்றும் ஏ. ரோட்டன்பெர்க் ஆகியோரால் வெளியிடப்பட்டது. கால அளவு எல். சி. ஜி. களின் ஒரு நன்மை என்னவென்றால், அளவுருக்களின் பொருத்தமான தேர்வு அறியப்பட்ட மற்றும் நீண்ட காலத்திற்கு வழிவகுக்கிறது. ஒரே அளவுகோல் அல்ல என்றாலும், மிகக் குறுகிய காலம் ஒரு போலி எண் ஜெனரேட்டரில் ஒரு அபாயகரமான குறைபாடு. எல். சி. ஜி. க்கள் சீரற்ற தன்மைக்கான முறையான சோதனைகளில் தேர்ச்சி பெறக்கூடிய போலி எண்களை உருவாக்கும் திறன் கொண்டவை என்றாலும், வெளியீட்டின் தரம் m மற்றும் a அளவுருக்களின் தேர்வுக்கு மிகவும் உணர்திறன் கொண்டது. எடுத்துக்காட்டாக, a = 1 மற்றும் c = 1 ஒரு எளிய மாடுலோ-m கவுண்டரை உருவாக்குகிறது, இது நீண்ட காலத்தைக் கொண்டுள்ளது, ஆனால் வெளிப்படையாக சீரற்றது. வரலாற்று ரீதியாக, எல். சி. ஜிகளுக்கான மோசமான தேர்வுகள் எல். சி. ஜிகளை பயனற்ற முறையில் செயல்படுத்த வழிவகுத்தன. இதற்கு ஒரு குறிப்பாக விளக்கமளிக்கும் எடுத்துக்காட்டு RANDU ஆகும், இது 1970 களின் முற்பகுதியில் பரவலாகப் பயன்படுத்தப்பட்டது மற்றும் பல முடிவுகளுக்கு வழிவகுத்தது, இது தற்போது இந்த மோசமான எல். சி. ஜி பயன்பாட்டின் காரணமாக கேள்விக்குள்ளாகியுள்ளது. அளவுரு தேர்வுக்கு மூன்று பொதுவான குடும்பங்கள் உள்ளனஃ m பகா எண், c = 0 இது அசல் லெஹ்மர் RNG கட்டுமானமாகும். பெருக்கி a ஐ முழு எண்களின் மாடுலோ m இன் பழமையான உறுப்பாகத் தேர்ந்தெடுத்தால் காலம் m−1 ஆகும். ஆரம்ப நிலை 1 மற்றும் m−1 க்கு இடையில் தேர்ந்தெடுக்கப்பட வேண்டும். ஒரு பிரைம் மாடுலஸின் ஒரு குறைபாடு என்னவென்றால், மாடுலர் குறைப்புக்கு இரட்டை அகல தயாரிப்பு மற்றும் வெளிப்படையான குறைப்பு படி தேவைப்படுகிறது. பெரும்பாலும் 2 இன் சக்தியை விடக் குறைவான பகா எண் பயன்படுத்தப்படுகிறது (மெர்சென் பகா எண்கள் 231−1 மற்றும் 261−1 பிரபலமானவை), இதனால் குறைப்பு மாடுலோ m = 2e−d ஐ (ஆக்ஸ மாட் 2e) + d என கணக்கிட முடியும். இதன் விளைவாக மிகவும் பெரியதாக இருந்தால் m இன் நிபந்தனை கழித்தல் பின்பற்றப்பட வேண்டும், ஆனால் கழித்தல் எண்ணிக்கை ad/m க்கு மட்டுப்படுத்தப்பட்டுள்ளது, இது d சிறியதாக இருந்தால் எளிதாக ஒன்றுக்கு மட்டுப்படுத்தப்படலாம். இரட்டை அகல தயாரிப்பு கிடைக்கவில்லை என்றால், பெருக்கி கவனமாக தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டால், ஷ்ரேஜ் முறையைப் பயன்படுத்தலாம். இதைச் செய்ய, காரணி m = qa + r, அதாவது. மற்றும். பின்னர் x மாடம் m = ஐக் கணக்கிடுங்கள். x மட்டு q <q ≤ m/a என்பதால், முதல் சொல் கண்டிப்பாக am/a = m ஐ விட குறைவாக இருக்கும். r ≤ q (எனவே r/q ≤ 1) ஆக a தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டால், இரண்டாவது சொல் m ஐ விட குறைவாக இருக்கும்ஃ r ≤ rx/q = x (r/q) ≤ x <m. எனவே, இரண்டு பெருக்குகளையும் ஒற்றை அகல பெருக்கல் மூலம் கணக்கிட முடியும், மேலும் அவற்றுக்கிடையேயான வேறுபாடு [1−m, m−1] வரம்பில் உள்ளது, எனவே ஒற்றை நிபந்தனை கூட்டல் மூலம் [0, m−1] ஆக குறைக்கப்படலாம். இரண்டாவது குறைபாடு என்னவென்றால், 1 ≤ x <m மதிப்பை சீரான சீரற்ற பிட்களாக மாற்றுவது சங்கடமாக இருக்கிறது. 2 இன் சக்திக்குக் குறைவான ஒரு பகா எண் பயன்படுத்தப்பட்டால், சில நேரங்களில் காணாமல் போன மதிப்புகள் வெறுமனே புறக்கணிக்கப்படுகின்றன. m ஐ 2 இன் சக்தியாகத் தேர்ந்தெடுப்பது, பெரும்பாலும் m = 232 அல்லது m = 264, குறிப்பாக திறமையான எல். சி. ஜி. யை உருவாக்குகிறது, ஏனெனில் இது பைனரி பிரதிநிதித்துவத்தை சுருக்குவதன் மூலம் மாடுலஸ் செயல்பாட்டைக் கணக்கிட அனுமதிக்கிறது. உண்மையில், மிக முக்கியமான பிட்கள் பொதுவாக கணக்கிடப்படுவதில்லை. இருப்பினும், குறைபாடுகள் உள்ளன. இந்த வடிவம் அதிகபட்ச கால m/4 ஐக் கொண்டுள்ளது, இது a ஷ்ணம் 3 அல்லது a ஷ்ணம் 5 (மட்டு 8) ஆக இருந்தால் அடையப்படுகிறது. ஆரம்ப நிலை X0 ஒற்றைப்படை நிலையில் இருக்க வேண்டும், மேலும் X இன் குறைந்த மூன்று பிட்கள் இரண்டு நிலைகளுக்கு இடையில் மாறி மாறி பயனுள்ளதாக இருக்காது. இந்த வடிவம் ஒரு மாடுலஸ் கால் அளவு மற்றும் சி ஷ்ணம் 0 கொண்ட ஒரு ஜெனரேட்டருக்கு சமம் என்பதைக் காட்டலாம். இரண்டு மாடுலஸின் சக்தியைப் பயன்படுத்துவதில் மிகவும் தீவிரமான சிக்கல் என்னவென்றால், குறைந்த பிட்கள் உயர் பிட்களை விட குறுகிய காலத்தைக் கொண்டுள்ளன. X இன் மிகக் குறைந்த வரிசை பிட் ஒருபோதும் மாறாது (X எப்போதும் ஒற்றைப்படை), அடுத்த இரண்டு பிட்கள் இரண்டு நிலைகளுக்கு இடையில் மாறி மாறி வருகின்றன. (ஒரு ஷ்ணம் 5 (மட்டு 8) என்றால், பிட் 1 ஒருபோதும் மாறாது மற்றும் பிட் 2 மாறி மாறி வரும். ஒரு ஷ்ணம் 3 (மட்டு 8) என்றால், பிட் 2 ஒருபோதும் மாறாது மற்றும் பிட் 1 மாறி மாறி வரும்.) பிட் 3 4 காலத்துடன் மீண்டும் மீண்டும் நிகழ்கிறது, பிட் 4 க்கு 8 காலம் உள்ளது, மற்றும் பல. X இன் மிக முக்கியமான பிட் மட்டுமே முழு காலத்தையும் அடைகிறது. c ≤ 0 போது c ≤ 0, சரியாக தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட அளவுருக்கள் அனைத்து விதை மதிப்புகளுக்கும் m க்கு சமமான காலத்தை அனுமதிக்கின்றன. இது பின்வருவனவும் ஒப்பீட்டளவில் பகா எண்களாகவும், அனைத்து பகாக் காரணிகளாலும் வகுபடும் வகையிலும், 4 ஆல் வகுபடும் வகையிலும், 4 ஆல் வகுபடும் வகையிலும் மட்டுமே நிகழும். இந்த மூன்று தேவைகளும் ஹல்-டோபல் தேற்றம் என்று குறிப்பிடப்படுகின்றன. இந்த வடிவம் எந்த m உடன் பயன்படுத்தப்படலாம், ஆனால் 2 இன் சக்தி போன்ற பல தொடர்ச்சியான பகா காரணிகளுடன் m க்கு மட்டுமே நன்றாக வேலை செய்கிறது; ஒரு கணினியின் சொல் அளவைப் பயன்படுத்துவது மிகவும் பொதுவான தேர்வாகும். m ஒரு சதுரம் இல்லாத முழு எண்ணாக இருந்தால், இது ஒரு ஷ்ண 1 (மாட் m) ஐ மட்டுமே அனுமதிக்கும், இது மிகவும் மோசமான PRNG ஐ உருவாக்குகிறது; m மீண்டும் மீண்டும் பகாக் காரணிகளைக் கொண்டிருக்கும்போது மட்டுமே சாத்தியமான முழு கால பெருக்கிகளின் தேர்வு கிடைக்கும். ஹல்-டோபல் தேற்றம் அதிகபட்ச காலத்தை வழங்கினாலும், ஒரு நல்ல ஜெனரேட்டருக்கு உத்தரவாதம் அளிக்க இது போதுமானதாக இல்லை. எடுத்துக்காட்டாக, a-1 தேவைக்கு அதிகமாக m இன் பகாக் காரணிகளால் வகுக்கப்படாமல் இருப்பது விரும்பத்தக்கது. எனவே, m என்பது 2 இன் சக்தியாக இருந்தால், a − 1 என்பது 4 ஆல் வகுக்கப்பட வேண்டும், ஆனால் 8 ஆல் வகுக்கப்படக்கூடாது, அதாவது a ஷ்ண 5 (மட்டு 8). உண்மையில், பெரும்பாலான பெருக்கிகள் ஒரு வரிசையை உருவாக்குகின்றன, இது சீரற்ற தன்மை அல்லது மற்றொரு சோதனையில் தோல்வியடைகிறது, மேலும் பொருந்தக்கூடிய அனைத்து அளவுகோல்களுக்கும் திருப்திகரமான ஒரு பெருக்கியைக் கண்டுபிடிப்பது மிகவும் சவாலானது. ஸ்பெக்ட்ரல் சோதனை மிக முக்கியமான சோதனைகளில் ஒன்றாகும். ஒரு பவர்-ஆஃப்-2 மாடுலஸ் c = 0 க்கு மேலே விவரிக்கப்பட்டுள்ளபடி சிக்கலைப் பகிர்ந்து கொள்கிறது என்பதை நினைவில் கொள்கஃ குறைந்த k பிட்கள் மாடுலஸ் 2k உடன் ஒரு ஜெனரேட்டரை உருவாக்குகின்றன, இதனால் 2k காலத்துடன் மீண்டும் நிகழ்கின்றன; மிக முக்கியமான பிட் மட்டுமே முழு காலத்தையும் அடைகிறது. r ஐ விட குறைவான ஒரு போலி எண் விரும்பப்பட்டால், அது X மட்டு r ஐ விட மிக உயர்ந்த தரமான விளைவாகும். துரதிர்ஷ்டவசமாக, பெரும்பாலான நிரலாக்க மொழிகள் பிந்தையதை (X% r) எழுதுவதை மிகவும் எளிதாக்குகின்றன, எனவே இது பொதுவாக பயன்படுத்தப்படும் வடிவமாகும். மாடுலஸுக்கு ஒப்பீட்டளவில் முதன்மையானதாக இருக்கும் வரை ஜெனரேட்டர் c இன் தேர்வுக்கு உணர்திறன் இல்லை (எ. கா. m என்பது 2 இன் சக்தி என்றால், c ஒற்றைப்படை) ஆக இருக்க வேண்டும், எனவே c = 1 மதிப்பு பொதுவாக தேர்ந்தெடுக்கப்படுகிறது. c இன் பிற தேர்வுகளால் உருவாக்கப்பட்ட தொடரை c = 1 ஆக இருக்கும்போது தொடரின் எளிய செயல்பாடாக எழுதலாம். குறிப்பாக, Y என்பது Y0 = 0 மற்றும் Yn + 1 = aYn + 1 மாட் m ஆல் வரையறுக்கப்பட்ட முன்மாதிரி தொடராக இருந்தால், ஒரு பொதுவான தொடர் Xn + 1 = aXn + c மாட் m ஐ Y இன் அஃபைன் செயல்பாடாக எழுதலாம்ஃ மேலும் பொதுவாக, ஒரே பெருக்கி மற்றும் மாடுலஸ் கொண்ட எந்த இரண்டு தொடர் X மற்றும் Z பொதுவான பயன்பாட்டில் அளவுருக்களால் தொடர்புடையவை பின்வரும் அட்டவணை பல்வேறு தொகுப்புகளின் இயக்க நேர நூலகங்களில் உள்ளமைக்கப்பட்ட ரேண்ட் () செயல்பாடுகள் உட்பட பொதுவான பயன்பாட்டில் உள்ள எல். சி. ஜி. களின் அளவுருக்களை பட்டியலிடுகிறது. இந்த அட்டவணை பிரபலத்தைக் காண்பிப்பதற்காக, பின்பற்றுவதற்கான எடுத்துக்காட்டுகள் அல்ல; இந்த அளவுருக்களில் பல மோசமாக உள்ளன. நல்ல அளவுருக்கள் கொண்ட அட்டவணைகள் கிடைக்கின்றன. மேலே காட்டப்பட்டுள்ளபடி, எல். சி. ஜி. க்கள் எப்போதும் அவை உற்பத்தி செய்யும் மதிப்புகளில் உள்ள அனைத்து பிட்களையும் பயன்படுத்துவதில்லை. எடுத்துக்காட்டாக, ஜாவா செயல்படுத்தல் ஒவ்வொரு மறு செய்கையிலும் 48-பிட் மதிப்புகளுடன் இயங்குகிறது, ஆனால் அவற்றின் 32 மிக முக்கியமான பிட்களை மட்டுமே வழங்குகிறது. ஏனென்றால், உயர்-வரிசை பிட்கள் கீழ்-வரிசை பிட்களை விட நீண்ட காலங்களைக் கொண்டுள்ளன (கீழே காண்க). இந்த துண்டித்தல் நுட்பத்தைப் பயன்படுத்தும் எல். சி. ஜி. க்கள் புள்ளிவிவர ரீதியாக இல்லாததை விட சிறந்த மதிப்புகளை உருவாக்குகின்றன. வரம்பைக் குறைக்க மோட் செயல்பாட்டைப் பயன்படுத்தும் ஸ்கிரிப்ட்களில் இது குறிப்பாக கவனிக்கப்படுகிறது; சீரற்ற எண் மோட் 2 ஐ மாற்றியமைப்பது துண்டிக்கப்படாமல் 0 மற்றும் 1 ஐ மாற்றுவதற்கு வழிவகுக்கும். எல். சி. ஜி. களின் நன்மைகள் மற்றும் தீமைகள் வேகமானவை மற்றும் நிலையைத் தக்கவைக்க குறைந்தபட்ச நினைவகம் (ஒரு மாடுலோ-எம் எண், பெரும்பாலும் 32 அல்லது 64 பிட்கள்) தேவைப்படுகிறது. இது பல சுயாதீன நீரோடைகளை உருவகப்படுத்துவதற்கு அவற்றை மதிப்புமிக்கதாக ஆக்குகிறது. குறியாக்கவியல் பயன்பாடுகளுக்கு எல். சி. ஜி. க்கள் நோக்கம் கொண்டவை அல்ல, பயன்படுத்தப்படக்கூடாது; அத்தகைய பயன்பாடுகளுக்கு குறியாக்கவியல் ரீதியாக பாதுகாப்பான போலி எண் ஜெனரேட்டரைப் பயன்படுத்தவும். எல். சி. ஜி. களுக்கு சில குறிப்பிட்ட பலவீனங்கள் இருந்தாலும், அவற்றின் பல குறைபாடுகள் மிகவும் சிறிய மாநிலத்தைக் கொண்டிருப்பதால் வருகின்றன. இத்தகைய சிறிய மாடுலியுடன் அவற்றைப் பயன்படுத்துவதில் மக்கள் பல ஆண்டுகளாக சிக்கித் தவிக்கின்றனர் என்ற உண்மை இந்த நுட்பத்தின் வலிமைக்கு ஒரு சான்றாக பார்க்கப்படுகிறது. போதுமான அளவு பெரிய நிலையைக் கொண்ட ஒரு எல். சி. ஜி கடுமையான புள்ளிவிவர சோதனைகளில் கூட தேர்ச்சி பெற முடியும்; உயர் 32 பிட்களைத் திருப்பித் தரும் ஒரு மாடுலோ-2 எல். சி. ஜி டெஸ்டியு01 இன் ஸ்மால்கிரஷ் தொகுப்பை கடந்து செல்கிறது, மேலும் 96-பிட் எல். சி. ஜி மிகவும் கடுமையான பிக்க்ரஷ் தொகுப்பை கடந்து செல்கிறது. ஒரு குறிப்பிட்ட உதாரணத்திற்கு, 32 பிட்கள் வெளியீட்டைக் கொண்ட ஒரு சிறந்த சீரற்ற எண் ஜெனரேட்டர் (பிறந்தநாள் தேற்றத்தின் படி) முடிவுகளுக்குப் பிறகு முந்தைய வெளியீடுகளை நகலெடுக்கத் தொடங்கும் என்று எதிர்பார்க்கப்படுகிறது. எந்தவொரு PRNG இன் வெளியீடும் அதன் முழு, தடையற்ற நிலையில் இருந்தால், அதன் முழு காலம் முடியும் வரை நகல்களை உற்பத்தி செய்யாது, இது எளிதில் கண்டறியக்கூடிய புள்ளிவிவரக் குறைபாடு. தொடர்புடைய காரணங்களுக்காக, எந்தவொரு PRNG க்கும் தேவையான வெளியீடுகளின் எண்ணிக்கையின் சதுரத்தை விட நீண்ட காலம் இருக்க வேண்டும். நவீன கணினி வேகத்தைப் பொறுத்தவரை, இது குறைந்தபட்சம் தேவைப்படும் பயன்பாடுகளைத் தவிர மற்ற அனைத்திற்கும் 264 கால அளவையும், தேவைப்படும் உருவகப்படுத்துதல்களுக்கு நீண்ட கால அளவையும் குறிக்கிறது. எல். சி. ஜி. களுக்கு குறிப்பிட்ட ஒரு குறைபாடு என்னவென்றால், ஒரு n-பரிமாண இடத்தில் புள்ளிகளைத் தேர்ந்தெடுக்கப் பயன்படுத்தினால், புள்ளிகள் அதிகபட்சமாக ஹைப்பர்பிளேன்களில் இருக்கும் (ஜார்ஜ் மார்சாக்லியாவால் உருவாக்கப்பட்ட மார்சாக்லியாவின் தேற்றம்). இது Xn வரிசையின் தொடர்ச்சியான மதிப்புகளுக்கு இடையிலான தொடர் தொடர்பு காரணமாகும். கவனக்குறைவாக தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட பெருக்கிகள் பொதுவாக மிகக் குறைவான, பரவலாக இடைவெளி கொண்ட விமானங்களைக் கொண்டிருக்கும், இது சிக்கல்களுக்கு வழிவகுக்கும். ஒரு எல். சி. ஜி. யின் தரத்தின் எளிய சோதனையான நிறமாலை சோதனை, இந்த இடைவெளியை அளவிடுகிறது மற்றும் ஒரு நல்ல பெருக்கியைத் தேர்ந்தெடுக்க அனுமதிக்கிறது. தள இடைவெளி மாடுலஸ் மற்றும் பெருக்கி ஆகிய இரண்டையும் சார்ந்துள்ளது. போதுமான அளவு பெரிய மாடுலஸ் இந்த தூரத்தை இரட்டை துல்லிய எண்களின் தெளிவுத்திறனுக்குக் குறைவாகக் குறைக்கும். மாடுலஸ் பெரியதாக இருக்கும்போது பெருக்கியின் தேர்வு குறைவான முக்கியத்துவம் பெறுகிறது. ஸ்பெக்ட்ரல் குறியீட்டைக் கணக்கிடுவதும், பெருக்கி மோசமானதல்ல என்பதை உறுதிப்படுத்துவதும் இன்னும் அவசியம், ஆனால் முற்றிலும் நிகழ்தகவு ரீதியாக மாடுலஸ் சுமார் 264 ஐ விட பெரியதாக இருக்கும்போது மோசமான பெருக்கியை எதிர்கொள்வது மிகவும் சாத்தியமில்லை. எல். சி. ஜி. களுக்கு குறிப்பிட்ட மற்றொரு குறைபாடு என்னவென்றால், 2 இன் சக்தியாக m தேர்ந்தெடுக்கப்படும் போது குறைந்த வரிசை பிட்களின் குறுகிய காலம் ஆகும். தேவையான வெளியீட்டை விட பெரிய மாடுலஸைப் பயன்படுத்துவதன் மூலமும், மாநிலத்தின் மிக முக்கியமான பிட்களைப் பயன்படுத்துவதன் மூலமும் இதைத் தணிக்க முடியும். இருப்பினும், சில பயன்பாடுகளுக்கு எல். சி. ஜி ஒரு நல்ல தேர்வாக இருக்கலாம். உதாரணமாக, உட்பொதிக்கப்பட்ட அமைப்பில், கிடைக்கும் நினைவகத்தின் அளவு பெரும்பாலும் மிகக் குறைவாகவே இருக்கும். இதேபோல், வீடியோ கேம் கன்சோல் போன்ற சூழலில் ஒரு எல். சி. ஜியின் குறைந்த எண்ணிக்கையிலான உயர்-வரிசை பிட்களை எடுத்துக்கொள்வது போதுமானதாக இருக்கலாம். (எம் என்பது 2 இன் சக்தியாக இருக்கும்போது எல். சி. ஜி. களின் குறைந்த வரிசை பிட்கள் எந்த அளவிலும் சீரற்ற தன்மைக்கு ஒருபோதும் நம்பியிருக்கக்கூடாது.) குறைந்த வரிசை பிட்கள் மிகக் குறுகிய சுழற்சிகளைக் கடந்து செல்கின்றன. குறிப்பாக, எந்தவொரு முழு சுழற்சி எல். சி. ஜி. யும், m என்பது 2 இன் சக்தியாக இருக்கும்போது, மாறி மாறி ஒற்றைப்படை மற்றும் சமமான முடிவுகளைத் தரும். உயர் தர சீரற்ற தன்மை முக்கியமான கிரிப்டோகிராஃபிக் அல்லாத பயன்பாடுகளில் பொருத்தத்திற்கு எல். சி. ஜி. க்கள் மிகவும் கவனமாக மதிப்பீடு செய்யப்பட வேண்டும். மான்டே கார்லோ உருவகப்படுத்துதல்களைப் பொறுத்தவரை, ஒரு எல். சி. ஜி தேவைப்படும் சீரற்ற மாதிரிகளின் எண்ணிக்கையின் கனசதுரத்தை விட பெரிய மற்றும் முன்னுரிமை மிக அதிகமான மாடுலஸைப் பயன்படுத்த வேண்டும். இதன் பொருள், எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு (நல்ல) 32-பிட் எல். சி. ஜி சுமார் ஆயிரம் சீரற்ற எண்களைப் பெற பயன்படுத்தப்படலாம்; ஒரு 64-பிட் எல். சி. ஜி சுமார் 221 சீரற்ற மாதிரிகளுக்கு (இரண்டு மில்லியனுக்கும் சற்று அதிகமாக) நல்லது. இந்த காரணத்திற்காக, நடைமுறையில் எல். சி. ஜி. க்கள் பெரிய அளவிலான மான்டே கார்லோ உருவகப்படுத்துதல்களுக்கு ஏற்றவை அல்ல. மாதிரி குறியீடு பைதான் குறியீடு பின்வருபவை பைத்தானில் ஒரு எல்சிஜியை ஒரு ஜெனரேட்டரின் வடிவத்தில் செயல்படுத்துவதாகும்ஃ collections.abc இம்போர்ட் ஜெனரேட்டர் டிஃப் எல். சி. ஜி. (மாடுலஸ்ஃ இன்ட், அஃ இன்ட், சிஃ இன்ட், சீட்ஃ இன்ட்)-> ஜெனரேட்டர் [இன்ட், எதுவுமில்லை, எதுவுமில்லை]: "லீனியர் காங்க்ரூயென்ஷியல் ஜெனரேட்டர்". உண்மை என்றால்ஃ விதை = (a * விதை + c)% மாடுலஸ் விளைச்சல் விதை ஃப்ரீ பாஸ்கல் ஃப்ரீ பாஸ்கல் ஒரு மெர்சென் ட்விஸ்டரை அதன் இயல்புநிலை போலி சீரற்ற எண் ஜெனரேட்டராகப் பயன்படுத்துகிறது, அதே நேரத்தில் டெல்பி ஒரு எல். சி. ஜி. யைப் பயன்படுத்துகிறது. மேலே உள்ள அட்டவணையில் உள்ள தகவல்களின் அடிப்படையில் ஃப்ரீ பாஸ்கலில் டெல்பி இணக்கமான எடுத்துக்காட்டு இங்கே. அதே ராண்ட்சீட் மதிப்பைக் கருத்தில் கொண்டு, இது டெல்பியின் அதே சீரற்ற எண்களின் வரிசையை உருவாக்குகிறது. அலகு lcg _ random; {$iffdef fpc} {$பயன்முறை டெல்பி} {$எண்டிஃப்} இடைமுக செயல்பாடு எல். சி. ஜி. ராண்டம்ஃ நீட்டிக்கப்பட்ட; அதிக சுமை; இன்லைன்; செயல்பாடு எல். சி. ஜி. ராண்டம் (கான்ஸ்ட் வரம்புஃ லாங்கின்ட்): லாங்கின்ட்; அதிக சுமை; இன்லைன்; செயல்படுத்தல் செயல்பாடு ஐ. எம்.: கார்டினல்; இன்லைன்; ராண்ட்சீட் தொடங்கவும்ஃ = ராண்ட்சீட் * 134775813 + 1; முடிவுஃ = ராண்ட்சீட்; முடிவு; செயல்பாடு எல். சி. ஜி. ராண்டம்ஃ நீட்டிக்கப்பட்ட; அதிக சுமை; இன்லைன்; தொடக்க முடிவுஃ = ஐ. எம். * <ஐ. டி. 1>; முடிவு; செயல்பாடு எல். சி. ஜி. ராண்டம் (வரம்புஃ லாங்கின்ட்) பல இழைகள் ஒரே நேரத்தில் இந்த மாநிலத்தை அணுகலாம், இது ஒரு இனம் நிலைமையை ஏற்படுத்துகிறது. ஒரே நேரத்தில் நூல்களை இயக்கும் போது சீரற்ற எண்களின் சம வரிசைகளைத் தவிர்க்க வெவ்வேறு நூல்களுக்கு தனித்துவமான துவக்கத்துடன் வெவ்வேறு நிலைகளைப் பயன்படுத்த வேண்டும். எல். சி. ஜி வழித்தோன்றல்கள் வேறுபட்ட வடிவத்தில் நேரியல் ஒற்றுமை ஜெனரேட்டர்களாக இருக்கும் பல ஜெனரேட்டர்கள் உள்ளன, எனவே எல். சி. ஜி. க்களை பகுப்பாய்வு செய்ய பயன்படுத்தப்படும் நுட்பங்கள் அவற்றுக்குப் பயன்படுத்தப்படலாம். நீண்ட காலத்தை உற்பத்தி செய்வதற்கான ஒரு முறை என்னவென்றால், வெவ்வேறு காலகட்டங்களின் பல எல். சி. ஜி. களின் வெளியீடுகளை ஒரு பெரிய குறைந்தபட்ச பொதுவான பெருக்கத்தைக் கூட்டுவதாகும்; விச்மேன்-ஹில் ஜெனரேட்டர் இந்த வடிவத்திற்கு ஒரு எடுத்துக்காட்டு. (அவை முற்றிலும் கோப்ரைம் ஆக இருக்க விரும்புகிறோம், ஆனால் ஒரு பிரைம் மாடுலஸ் ஒரு ஈவன் காலத்தைக் குறிக்கிறது, எனவே குறைந்தபட்சம் 2 இன் பொதுவான காரணி இருக்க வேண்டும். இது எல். சி. ஜி மாடுலியின் கூறுகளின் பெருக்கலுக்கு சமமான மாடுலஸ் கொண்ட ஒற்றை எல். சி. ஜி. க்கு சமமானதாக காட்டப்படலாம். b = 2w என்ற சொல் அளவு மற்றும் r மற்றும் s (r> s) ஐ விட பின்தங்கிய மார்ஸாக்லியாவின் சேர்க்கை மற்றும் கடனுடன் கழித்தல் PRNG கள், fr ± bs ± 1 இன் மாடுலஸ் கொண்ட எல். சி. ஜி. களுக்கு சமமானவை. a இன் பெருக்கியுடன் PRNGகளை பெருக்கினால், அவை abr−1 இன் பெரிய பகா மாடுலஸ் மற்றும் 2 இன் சக்தி பெருக்கி b கொண்ட எல். சி. ஜி. களுக்கு சமமாக இருக்கும். ஒரு வரிசைப்படுத்தப்பட்ட ஒருங்கிணைந்த ஜெனரேட்டர் ஒரு பவர்-ஆஃப்-2-மாடுலஸ் எல். சி. ஜி உடன் தொடங்குகிறது மற்றும் குறைந்த வரிசை பிட்களில் குறுகிய கால சிக்கலை அகற்ற வெளியீட்டு மாற்றத்தைப் பயன்படுத்துகிறது. பிற பி. ஆர். என். ஜி. களுடன் ஒப்பீடு நீண்ட கால சூடோரேண்டம் வரிசைகளைப் பெறுவதற்கு பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படும் பிற பழமையானது லீனியர்-ஃபீட்பேக் ஷிப்ட் ரெஜிஸ்டர் கட்டுமானமாகும், இது ஜி. எஃப் (2) [x] இல் உள்ள எண்கணிதத்தை அடிப்படையாகக் கொண்டது, ஜி. எஃப் (2) க்கு மேல் உள்ள பல்லுறுப்புக்கோவை வளையம். முழு எண் கூட்டல் மற்றும் பெருக்கத்திற்கு பதிலாக, அடிப்படை செயல்பாடுகள் பிரத்தியேகமானவை அல்லது குறைவான பெருக்கமாகும், இது பொதுவாக தர்க்கரீதியான மாற்றங்களின் வரிசையாக செயல்படுத்தப்படுகிறது. அவற்றின் பிட்கள் அனைத்தும் முழு காலமாகும் என்ற நன்மை இவற்றுக்கு உள்ளது; எண்கணித மாடுலோ 2k ஐ பாதிக்கும் குறைந்த வரிசை பிட்களில் உள்ள பலவீனத்தால் அவை பாதிக்கப்படுவதில்லை. இந்த குடும்பத்தின் எடுத்துக்காட்டுகளில் சோர்ஷிஃப்ட் ஜெனரேட்டர்கள் மற்றும் மெர்சென் ட்விஸ்டர் ஆகியவை அடங்கும். பிந்தையது மிக நீண்ட காலத்தை (219937−1) வழங்குகிறது மற்றும் மாறுபட்ட சீரான தன்மையை வழங்குகிறது, ஆனால் இது சில புள்ளிவிவர சோதனைகளில் தோல்வியடைகிறது. பின்தங்கிய ஃபிபோனாச்சி ஜெனரேட்டர்களும் இந்த வகைக்குள் வருகின்றன; அவை எண்கணித கூட்டலைப் பயன்படுத்தினாலும், அவற்றின் காலம் குறைந்த முக்கியத்துவம் வாய்ந்த பிட்களில் ஒரு எல். எஃப். எஸ். ஆர் மூலம் உறுதி செய்யப்படுகிறது. டெஸ்டியு01 தொகுப்பில் செயல்படுத்தப்படும் நேரியல் சிக்கலான சோதனை போன்ற பொருத்தமான சோதனைகளுடன் ஒரு நேரியல்-பின்னூட்ட மாற்றப் பதிவேட்டின் கட்டமைப்பைக் கண்டறிவது எளிது; ஒரு எல். எஃப். எஸ். ஆரின் தொடர்ச்சியான பிட்களிலிருந்து துவக்கப்பட்ட ஒரு பூலியன் சுற்றோட்ட அணி ஒருபோதும் பல்லுறுப்புக்கோவையின் அளவை விட அதிக தரவரிசையைக் கொண்டிருக்காது. ஒரு நேரியல் அல்லாத வெளியீட்டு கலவை செயல்பாட்டைச் சேர்ப்பது (xoshiro256 * * மற்றும் வரிசைப்படுத்தப்பட்ட ஒருங்கிணைந்த ஜெனரேட்டர் கட்டுமானங்களைப் போல) புள்ளிவிவர சோதனைகளில் செயல்திறனை பெரிதும் மேம்படுத்தலாம். ஒரு PRNG க்கான மற்றொரு அமைப்பு ஒரு சக்திவாய்ந்த வெளியீட்டு கலவை செயல்பாட்டுடன் இணைந்த மிக எளிய மறுநிகழ்வு செயல்பாடாகும். இதில் கவுண்டர் மோட் பிளாக் சைஃபர்கள் மற்றும் ஸ்ப்லிட்மிக்ஸ்64 போன்ற கிரிப்டோகிராஃபிக் அல்லாத ஜெனரேட்டர்கள் அடங்கும். எல். சி. ஜி. க்களைப் போன்ற ஒரு அமைப்பு, ஆனால் சமமானதல்ல, பல-தொடர்ச்சியான ஜெனரேட்டர் ஆகும்ஃ Xn = (a1Xn−1 + a2Xn−2 +··· + akXn−k) k ≤ 2 க்கான மட்டு m. ஒரு பிரைம் மாடுலஸ் மூலம், இது mk−1 வரை காலங்களை உருவாக்க முடியும், எனவே எல். சி. ஜி கட்டமைப்பை பெரிய காலங்களுக்கு ஒரு பயனுள்ள நீட்டிப்பாகும். உயர்தர சூடோரேண்டம் எண்களை உருவாக்குவதற்கான ஒரு சக்திவாய்ந்த நுட்பம் வெவ்வேறு கட்டமைப்பின் இரண்டு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட பி. ஆர். என். ஜிகளை இணைப்பதாகும்; ஒரு எல். எஃப். எஸ். ஆர் மற்றும் ஒரு எல். சி. ஜி ஆகியவற்றின் கூட்டுத்தொகை (கிஸ் அல்லது சோர்வோ கட்டுமானங்களைப் போல) வேகத்தில் சில செலவில் மிகச் சிறப்பாகச் செய்ய முடியும். சீரற்ற எண் ஜெனரேட்டர்களின் பட்டியலையும் பார்க்கவும்-சில சிறந்த புள்ளிவிவரத் தரங்களைக் கொண்ட பிற PRNG கள் உட்பட ACORN ஜெனரேட்டர்-ACG உடன் குழப்பமடையக்கூடாது, இந்த சொல் எல். சி. ஜி மற்றும் எல். எஃப். எஸ். ஆர் ஜெனரேட்டர்களின் மாறுபாடுகளுக்கு பயன்படுத்தப்பட்டதாகத் தெரிகிறது பெர்ம்யூட்டட் காங்க்ரூயென்ஷியல் ஜெனரேட்டர் முழு சுழற்சி இன்வெர்ஸிவ் காங்க்ரூயென்ஷியல் ஜெனரேட்டர் மல்டிபிளி-வித்-கேரி லெஹ்மர் RNG (சில நேரங்களில் பார்க்-மில்லர் RNG என்று அழைக்கப்படுகிறது) ஒருங்கிணைந்த நேரியல் காங்க்ரூயென்ஷியல் ஜெனரேட்டர்கள் குறிப்புகள் ஜென்டில், ஜேம்ஸ் ஈ., (2003). சீரற்ற எண் உருவாக்கம் மற்றும் மான்டே கார்லோ முறைகள், 2 வது பதிப்பு, ஸ்பிரிங்கர்,. (இந்த கட்டுரையில், சில போலி-சீரற்ற எண் ஜெனரேட்டர்களால் உற்பத்தி செய்யப்படும் வரிசைகளை ஊகிப்பதற்கான திறமையான வழிமுறைகள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன). வெளிப்புற இணைப்புகள் உருவகப்படுத்துதல் லீனியர் காங்க்ரூயென்ஷியல் ஜெனரேட்டர் அளவுருக்களை கையாளும் போது போலி-சீரற்ற எண்களுக்கு இடையிலான தொடர்புகளை காட்சிப்படுத்துகிறது. சீரற்ற எண் உருவாக்கத்தின் பாதுகாப்புஃ கோல்ட்ஸ்டீன் டெக்னாலஜிஸ் எல். எல். சி. யில் உள்ள "டெத் ஆஃப் ஆர்ட்" கணினி கலைத் திட்டம், 33,554,432 படங்களை உருவாக்க எல். சி. ஜி. யைப் பயன்படுத்துகிறது, பி. எல். ஈக்யூயர் மற்றும் ஆர். சிமார்ட், "டெஸ்டியு01: சீரற்ற எண் ஜெனரேட்டர்களின் அனுபவ சோதனைக்கான ஏ. சி நூலகம்", மே 2006, திருத்தப்பட்ட நவம்பர் 2006, கணித மென்பொருளில் ஏசிஎம் பரிவர்த்தனைகள், 33,4, கட்டுரை 22, ஆகஸ்ட் 2007. எல். சி. ஜி சூடோரேண்டம் எண் ஜெனரேட்டர்களை உடைப்பதற்கான மற்றொரு வழி பற்றிய கட்டுரை பைதான் (நிரலாக்க மொழி) குறியீட்டைக் கொண்ட மாடுலர் எண்கணித கட்டுரைகள்