Mathematical optimization
கணித உகப்பாக்கம் (மாற்றாக உச்சரிக்கப்படும் உகப்பாக்கம்) அல்லது கணித நிரலாக்கம் என்பது ஒரு சிறந்த உறுப்பைத் தேர்ந்தெடுப்பது, சில அளவுகோல்களைப் பொறுத்தவரை, கிடைக்கக்கூடிய சில மாற்றுத் தொகுப்புகளிலிருந்து. இது பொதுவாக இரண்டு துணைத் துறைகளாக பிரிக்கப்பட்டுள்ளதுஃ தனித்துவமான உகப்பாக்கம் மற்றும் தொடர்ச்சியான உகப்பாக்கம். கணினி அறிவியல் மற்றும் பொறியியல் முதல் செயல்பாட்டு ஆராய்ச்சி மற்றும் பொருளாதாரம் வரை அனைத்து அளவு துறைகளிலும் உகப்பாக்கம் சிக்கல்கள் எழுகின்றன, மேலும் தீர்வு முறைகளின் வளர்ச்சி பல நூற்றாண்டுகளாக கணிதத்தில் ஆர்வமாக உள்ளது. மிகவும் பொதுவான அணுகுமுறையில், ஒரு உகப்பாக்கம் சிக்கல் என்பது அனுமதிக்கப்பட்ட தொகுப்பிலிருந்து உள்ளீட்டு மதிப்புகளை முறையாகத் தேர்ந்தெடுப்பதன் மூலமும், செயல்பாட்டின் மதிப்பைக் கணக்கிடுவதன் மூலமும் ஒரு உண்மையான செயல்பாட்டை அதிகரிப்பது அல்லது குறைப்பது ஆகும். பிற சூத்திரங்களுக்கான உகப்பாக்கம் கோட்பாடு மற்றும் நுட்பங்களின் பொதுமைப்படுத்தல் பயன்பாட்டு கணிதத்தின் ஒரு பெரிய பகுதியாகும். மேலும் பொதுவாக, உகப்பாக்கம் என்பது பல்வேறு வகையான புறநிலை செயல்பாடுகள் மற்றும் பல்வேறு வகையான களங்கள் உட்பட ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட களம் (அல்லது உள்ளீடு) கொடுக்கப்பட்ட சில புறநிலை செயல்பாட்டின் "சிறந்த கிடைக்கக்கூடிய" மதிப்புகளைக் கண்டறிவதை உள்ளடக்கியது. உகப்பாக்கம் சிக்கல்கள் உகப்பாக்கம் சிக்கல்களை இரண்டு பிரிவுகளாகப் பிரிக்கலாம், மாறிகள் தொடர்ச்சியானதா அல்லது தனித்துவமானதா என்பதைப் பொறுத்துஃ தனித்துவமான மாறிகளுடன் கூடிய உகப்பாக்கம் சிக்கல் தனித்துவமான உகப்பாக்கம் என்று அழைக்கப்படுகிறது, இதில் ஒரு முழு எண், வரிசைமாற்ற அல்லது வரைபடம் போன்ற ஒரு பொருளைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும் எண்ணக்கூடிய தொகுப்பிலிருந்து. தொடர்ச்சியான மாறிகள் கொண்ட ஒரு சிக்கல் தொடர்ச்சியான உகப்பாக்கம் என்று அழைக்கப்படுகிறது, இதில் தொடர்ச்சியான தொகுப்பிலிருந்து உகந்த வாதங்கள் கண்டுபிடிக்கப்பட வேண்டும். அவை கட்டுப்படுத்தப்பட்ட பிரச்சினைகள் மற்றும் பன்முக சிக்கல்களை உள்ளடக்கியிருக்கலாம். ஒரு உகப்பாக்கம் சிக்கலை பின்வரும் வழியில் குறிப்பிடலாம்ஃ கொடுக்கப்பட்டஃ ஒரு தொகுப்பிலிருந்து உண்மையான எண்களுக்கு ஒரு செயல்பாடு கோரப்பட்டதுஃ அனைவருக்கும் ("மினிமைசேஷன்") அல்லது அனைவருக்கும் ("அதிகபட்சம்") போன்ற ஒரு உறுப்பு. அத்தகைய சூத்திரம் உகப்பாக்கம் சிக்கல் அல்லது கணித நிரலாக்க சிக்கல் என்று அழைக்கப்படுகிறது (கணினி நிரலாக்கத்துடன் நேரடியாக தொடர்பில்லாத ஒரு சொல், ஆனால் இன்னும் பயன்பாட்டில் உள்ளது, எடுத்துக்காட்டாக நேரியல் நிரலாக்கத்தில்-கீழே உள்ள வரலாற்றைப் பார்க்கவும்). பல நிஜ உலக மற்றும் தத்துவார்த்த சிக்கல்கள் இந்த பொதுவான கட்டமைப்பில் மாதிரியாக இருக்கலாம். பின்வருபவை செல்லுபடியாகும் என்பதால், மினிமைசேஷன் சிக்கல்களை மட்டுமே தீர்க்க போதுமானது. இருப்பினும், அதிகபட்ச சிக்கல்களை மட்டுமே கருத்தில் கொள்வதற்கான எதிர் முன்னோக்கும் செல்லுபடியாகும். இயற்பியல் துறைகளில் இந்த நுட்பத்தைப் பயன்படுத்தி வடிவமைக்கப்பட்ட சிக்கல்கள் நுட்பத்தை ஆற்றல் குறைப்பு என்று குறிப்பிடலாம், இது மாதிரியாக இருக்கும் அமைப்பின் ஆற்றலைக் குறிக்கும் செயல்பாட்டின் மதிப்பைப் பற்றி பேசுகிறது. இயந்திர கற்றலில், ஒரு செலவு செயல்பாட்டைப் பயன்படுத்தி ஒரு தரவு மாதிரியின் தரத்தை தொடர்ந்து மதிப்பீடு செய்வது எப்போதும் அவசியம், அங்கு குறைந்தபட்சம் உகந்த (மிகக் குறைந்த) பிழையுடன் உகந்த அளவுருக்களின் தொகுப்பைக் குறிக்கிறது. பொதுவாக, யூக்ளிடியன் இடத்தின் சில துணைக்குழுக்கள், பெரும்பாலும் உறுப்பினர்கள் திருப்திப்படுத்த வேண்டிய கட்டுப்பாடுகள், சமத்துவங்கள் அல்லது ஏற்றத்தாழ்வுகளின் தொகுப்பால் குறிப்பிடப்படுகின்றன. களம் தேடல் இடம் அல்லது தேர்வு தொகுப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது, அதே நேரத்தில் கூறுகள் கேண்டிடேட் தீர்வுகள் அல்லது சாத்தியமான தீர்வுகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. செயல்பாடு, பல்வேறு வகையில், ஒரு புறநிலை செயல்பாடு, இழப்பு செயல்பாடு அல்லது செலவு செயல்பாடு (குறைத்தல்), ஒரு பயன்பாட்டு செயல்பாடு அல்லது உடற்பயிற்சி செயல்பாடு (அதிகபட்சமாக்கல்), அல்லது, சில துறைகளில், ஒரு ஆற்றல் செயல்பாடு அல்லது ஆற்றல் செயல்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது. குறிக்கோள் செயல்பாட்டைக் குறைக்கும் (அல்லது அதிகபட்சமாக்கும்) ஒரு சாத்தியமான தீர்வு உகந்த தீர்வு என்று அழைக்கப்படுகிறது. கணிதத்தில், வழக்கமான உகப்பாக்கம் சிக்கல்கள் பொதுவாக மினிமைசேஷன் அடிப்படையில் கூறப்படுகின்றன. ஒரு உள்ளூர் குறைந்தபட்சம் என்பது வெளிப்பாடு வைத்திருக்கும் சில கூறுகள் இருக்கும் ஒரு உறுப்பு என வரையறுக்கப்படுகிறது; அதாவது, அனைத்து செயல்பாட்டு மதிப்புகளையும் சுற்றியுள்ள சில பிராந்தியத்தில் அந்த உறுப்பில் உள்ள மதிப்பை விட அதிகமாகவோ அல்லது சமமாகவோ இருக்கும். லோக்கல் மாக்ஸிமா இதேபோல் வரையறுக்கப்படுகிறது. உள்ளூர் குறைந்தபட்சம் குறைந்தபட்சம் எந்தவொரு அருகிலுள்ள கூறுகளையும் போலவே சிறந்தது என்றாலும், உலகளாவிய குறைந்தபட்சம் குறைந்தபட்சம் சாத்தியமான ஒவ்வொரு உறுப்பையும் போலவே சிறந்தது. பொதுவாக, ஒரு மினிமைசேஷன் சிக்கலில் அப்ஜெக்டிவ் செயல்பாடு குவிந்ததாக இல்லாவிட்டால், பல லோக்கல் மினிமா இருக்கலாம். ஒரு குவிந்த சிக்கலில், உட்புறமாக ஒரு உள்ளூர் குறைந்தபட்சம் இருந்தால் (சாத்தியமான கூறுகளின் தொகுப்பின் விளிம்பில் இல்லை), இது உலகளாவிய குறைந்தபட்சமாகும், ஆனால் ஒரு கன்வெக்ஸ் அல்லாத சிக்கல் ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட உள்ளூர் குறைந்தபட்சத்தைக் கொண்டிருக்கலாம், இவை அனைத்தும் உலகளாவிய மினிமாவாக இருக்க வேண்டும். கன்வெக்ஸ் அல்லாத சிக்கல்களைத் தீர்க்க முன்மொழியப்பட்ட ஏராளமான வழிமுறைகள்-வணிக ரீதியாக கிடைக்கக்கூடிய பெரும்பாலான தீர்வுகள் உட்பட-உள்ளூரில் உகந்த தீர்வுகளுக்கும் உலகளவில் உகந்த தீர்வுகளுக்கும் இடையில் வேறுபாட்டைக் காணும் திறன் கொண்டவை அல்ல, மேலும் முந்தையதை அசல் சிக்கலுக்கான உண்மையான தீர்வுகளாகக் கருதும். குளோபல் ஆப்டிமைசேஷன் என்பது பயன்பாட்டு கணிதம் மற்றும் எண் பகுப்பாய்வின் கிளையாகும், இது ஒரு கன்வெக்ஸ் அல்லாத சிக்கலின் உண்மையான உகந்த தீர்வுக்கு வரையறுக்கப்பட்ட நேரத்தில் ஒருங்கிணைப்பை உறுதிசெய்யும் திறன் கொண்ட தீர்மானகரமான வழிமுறைகளின் வளர்ச்சியில் அக்கறை கொண்டுள்ளது. குறியீட்டு உகப்பாக்கம் சிக்கல்கள் பெரும்பாலும் சிறப்பு குறியீட்டுடன் வெளிப்படுத்தப்படுகின்றன. இங்கே சில எடுத்துக்காட்டுகள் உள்ளனஃ ஒரு செயல்பாட்டின் குறைந்தபட்ச மற்றும் அதிகபட்ச மதிப்பு பின்வரும் குறியீட்டைக் கவனியுங்கள்ஃ இது உண்மையான எண்களின் தொகுப்பிலிருந்து தேர்ந்தெடுக்கும்போது புறநிலை செயல்பாட்டின் குறைந்தபட்ச மதிப்பைக் குறிக்கிறது. இந்த வழக்கில் குறைந்தபட்ச மதிப்பு 1 ஆகும், இது நிகழ்கிறது. இதேபோல், குறியீடு புறநிலை செயல்பாட்டின் அதிகபட்ச மதிப்பைக் கேட்கிறது, அங்கு எந்த உண்மையான எண்ணும் இருக்கலாம். இந்த விஷயத்தில், புறநிலை செயல்பாடு வரம்பற்றது போன்ற அதிகபட்சம் எதுவும் இல்லை, எனவே பதில் "முடிவிலி" அல்லது "வரையறுக்கப்படாதது". உகந்த உள்ளீட்டு வாதங்கள் பின்வரும் குறியீட்டைக் கவனியுங்கள்ஃ அல்லது அதற்கு சமமாக இது இடைவெளியில் வாதத்தின் மதிப்பை (அல்லது மதிப்புகளை) குறிக்கிறது, இது புறநிலை செயல்பாட்டைக் குறைக்கிறது (அல்லது குறைக்கிறது) (அந்த செயல்பாட்டின் உண்மையான குறைந்தபட்ச மதிப்பு சிக்கல் கேட்பது அல்ல). இந்த வழக்கில், பதில், சாத்தியமற்றது என்பதால், அதாவது, அது சாத்தியமான தொகுப்பைச் சேர்ந்தது அல்ல. இதேபோல், அல்லது சமமாக புறநிலை செயல்பாட்டின் மதிப்பை அதிகரிக்கும் (அல்லது அதிகரிக்கும்) ஜோடியை (அல்லது ஜோடிகள்) குறிக்கிறது, இடைவெளியில் இருக்கும் கூடுதல் கட்டுப்பாட்டுடன் (மீண்டும், வெளிப்பாட்டின் உண்மையான அதிகபட்ச மதிப்பு ஒரு பொருட்டல்ல). இந்த வழக்கில், தீர்வுகள் வடிவத்தின் ஜோடிகள் மற்றும், அனைத்து முழு எண்களின் வரம்புகள். இயக்கிகள் மற்றும் சில நேரங்களில் மற்றும் என்றும் எழுதப்படுகின்றன, மேலும் குறைந்தபட்சம் மற்றும் அதிகபட்சத்தின் வாதத்தை குறிக்கின்றன. ஃபெர்மாட் மற்றும் லாக்ரேஞ்ச் ஆப்டிமாவை அடையாளம் காண கால்குலஸ் அடிப்படையிலான சூத்திரங்களைக் கண்டறிந்தனர், அதே நேரத்தில் நியூட்டன் மற்றும் காஸ் ஒரு உகந்த நிலையை நோக்கி நகர்வதற்கான மறு செய்கை முறைகளை முன்மொழிந்தனர். சில உகப்பாக்கம் நிகழ்வுகளுக்கான "நேரியல் நிரலாக்கம்" என்ற சொல் ஜார்ஜ் பி. டான்ட்சிக் காரணமாக இருந்தது, இருப்பினும் கோட்பாட்டின் பெரும்பகுதி 1939 இல் லியோனிட் கான்டோரோவிச் என்பவரால் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது. (இந்த சூழலில் நிரலாக்கம் என்பது கணினி நிரலாக்கத்தைக் குறிக்காது, ஆனால் அமெரிக்க இராணுவத்தால் முன்மொழியப்பட்ட பயிற்சி மற்றும் தளவாட அட்டவணைகளைக் குறிக்க நிரலைப் பயன்படுத்துவதிலிருந்து வருகிறது, அவை அந்த நேரத்தில் டான்ட்சிக் ஆய்வு செய்த பிரச்சினைகள். டான்ட்சிக் 1947 இல் சிம்ப்ளக்ஸ் வழிமுறையை வெளியிட்டார், அதே ஆண்டில் ஜான் வான் நியூமன் இரட்டைத்தன்மை கோட்பாட்டை உருவாக்கினார். கணித உகப்பாக்கத்தில் உள்ள பிற குறிப்பிடத்தக்க ஆராய்ச்சியாளர்கள் பின்வருவனவற்றை உள்ளடக்கியுள்ளனர்ஃ ரிச்சர்ட் பெல்மேன் டிமிட்ரி பெர்ட்செகாஸ் மைக்கேல் பியர்லேர் ரோஜர் பிளெட்சர் ரொனால்ட் ஏ. ஹோவர்ட் ஃபிரிட்ஸ் ஜான் நரேந்திர கர்மார்கர் வில்லியம் கருஷ் லியோனிட் கச்சியான் பெர்னார்ட் கூப்மேன் ஹரோல்ட் குன் லாஸ்லோ லோவாஸ் டேவிட் லுயென்பெர்கர் அர்காடி நெமிரோவ்ஸ்கி யூரி நெஸ்டெரோவ் லெவ் பொண்ட்ரியாகின் ஆர். டைரெல் ராக்காபெல்லர் நௌம் இசட். ஷோர் ஆல்பர்ட் டக்கர் மேஜர் சப்ஃபீல்ட்ஸ் கன்வெக்ஸ் நிரலாக்கம் புறநிலை செயல்பாடு குவிந்த (குறைத்தல்) அல்லது குழிவான (அதிகபட்சம்) மற்றும் கட்டுப்பாடு தொகுப்பு குவிந்ததாக இருக்கும் போது வழக்கை ஆய்வு செய்கிறது. இது நேரியல் அல்லாத நிரலாக்கத்தின் ஒரு குறிப்பிட்ட நிகழ்வாகவோ அல்லது நேரியல் அல்லது குவிந்த இருபடி நிரலாக்கத்தின் பொதுமைப்படுத்தலாகவோ பார்க்கப்படலாம். நேரியல் நிரலாக்கம் (LP), குவிந்த நிரலாக்கத்தின் ஒரு வகை, புறநிலை செயல்பாடு f நேரியல் மற்றும் கட்டுப்பாடுகள் நேரியல் சமத்துவங்கள் மற்றும் ஏற்றத்தாழ்வுகளை மட்டுமே பயன்படுத்தி குறிப்பிடப்படுகின்றன. அத்தகைய கட்டுப்பாடு தொகுப்பு ஒரு பாலிஹெட்ரான் அல்லது ஒரு பாலிடோப் என்று அழைக்கப்படுகிறது. இரண்டாவது வரிசை கூம்பு நிரலாக்கம் (SOCP) ஒரு குவிந்த நிரலாகும், மேலும் சில வகையான இருபடி நிரல்களை உள்ளடக்கியது. செமிடிஃபைனைட் புரோகிராமிங் (எஸ். டி. பி) என்பது குவிந்த உகப்பாக்கத்தின் துணைப்புலமாகும், இதில் அடிப்படை மாறிகள் செமிடிஃபைனைட் மேட்ரிக்ஸ்கள் ஆகும். இது நேரியல் மற்றும் குவிந்த இருபடி நிரலாக்கத்தின் பொதுமைப்படுத்தலாகும். கோனிக் நிரலாக்கம் என்பது குவிந்த நிரலாக்கத்தின் பொதுவான வடிவமாகும். LP, SOCP மற்றும் SDP அனைத்தும் பொருத்தமான வகை கூம்பு கொண்ட கூம்பு நிரல்களாக பார்க்கப்படலாம். வடிவியல் நிரலாக்கம் என்பது ஒரு நுட்பமாகும், இதன் மூலம் நேர்மறை மற்றும் சமத்துவக் கட்டுப்பாடுகள் என வெளிப்படுத்தப்படும் புறநிலை மற்றும் சமத்துவமின்மை கட்டுப்பாடுகளை ஒரு குவிந்த நிரலாக மாற்ற முடியும். முழு எண் நிரலாக்கம் நேரியல் நிரல்களைப் படிக்கிறது, இதில் சில அல்லது அனைத்து மாறிகளும் முழு எண் மதிப்புகளை எடுக்க கட்டுப்படுத்தப்படுகின்றன. இது குவிந்ததல்ல, பொதுவாக வழக்கமான நேரியல் நிரலாக்கத்தை விட மிகவும் கடினம். நாற்கர நிரலாக்கம் புறநிலை செயல்பாட்டை நாற்கர சொற்களைக் கொண்டிருக்க அனுமதிக்கிறது, அதே நேரத்தில் சாத்தியமான தொகுப்பு நேரியல் சமத்துவங்கள் மற்றும் ஏற்றத்தாழ்வுகளுடன் குறிப்பிடப்பட வேண்டும். இருபடிச் சொல்லின் குறிப்பிட்ட வடிவங்களுக்கு, இது ஒரு வகை குவிந்த நிரலாக்கமாகும். பின்ன நிரலாக்கம் இரண்டு நேரியல் அல்லாத செயல்பாடுகளின் விகிதங்களின் உகப்பாக்கத்தை ஆய்வு செய்கிறது. குழிவான பின்ன நிரல்களின் சிறப்பு வகுப்பை குவிந்த உகப்பாக்கம் சிக்கலாக மாற்றலாம். நேரியல் அல்லாத நிரலாக்கம் புறநிலை செயல்பாடு அல்லது கட்டுப்பாடுகள் அல்லது இரண்டும் நேரியல் அல்லாத பகுதிகளைக் கொண்ட பொதுவான வழக்கைப் படிக்கிறது. இது ஒரு குவிந்த நிரலாக இருக்கலாம் அல்லது இல்லாமலும் இருக்கலாம். பொதுவாக, நிரல் குவிந்ததா என்பது அதைத் தீர்ப்பதில் உள்ள சிரமத்தை பாதிக்கிறது. தற்செயலான நிரலாக்கம் சில கட்டுப்பாடுகள் அல்லது அளவுருக்கள் சீரற்ற மாறிகளைப் பொறுத்து இருக்கும் வழக்கை ஆய்வு செய்கிறது. வலுவான உகப்பாக்கம் என்பது சீரற்ற நிரலாக்கத்தைப் போலவே, உகப்பாக்கம் சிக்கலின் அடிப்படையிலான தரவுகளில் நிச்சயமற்ற தன்மையைப் பிடிக்க ஒரு முயற்சியாகும். உறுதியற்ற தொகுப்பால் வரையறுக்கப்பட்ட நிச்சயமற்ற தன்மைகளின் அனைத்து சாத்தியமான உணர்தல்களின் கீழ் செல்லுபடியாகும் தீர்வுகளைக் கண்டுபிடிப்பதை வலுவான உகப்பாக்கம் நோக்கமாகக் கொண்டுள்ளது. ஒருங்கிணைந்த உகப்பாக்கம் என்பது சாத்தியமான தீர்வுகளின் தொகுப்பு தனித்துவமாக இருக்கும் அல்லது தனித்துவமான ஒன்றாக குறைக்கப்படக்கூடிய சிக்கல்களுடன் தொடர்புடையது. சீரற்ற (சத்தம்) செயல்பாட்டு அளவீடுகள் அல்லது தேடல் செயல்பாட்டில் சீரற்ற உள்ளீடுகளுடன் சீரற்ற உகப்பாக்கம் பயன்படுத்தப்படுகிறது. எல்லையற்ற பரிமாண உகப்பாக்கம் என்பது சாத்தியமான தீர்வுகளின் தொகுப்பு செயல்பாடுகளின் இடைவெளி போன்ற எல்லையற்ற பரிமாண இடத்தின் துணைக்குழுவாக இருக்கும் போது வழக்கை ஆய்வு செய்கிறது. ஹூரிஸ்டிக்ஸ் மற்றும் மெட்டா ஹியூரிஸ்டிக்ஸ் ஆகியவை சிக்கல் உகந்ததாக இருப்பதைப் பற்றி சில அல்லது எந்த அனுமானங்களையும் செய்யவில்லை. வழக்கமாக, எந்தவொரு உகந்த தீர்வும் கண்டுபிடிக்கப்பட வேண்டும் என்பதற்கு ஹூரிஸ்டிக்ஸ் உத்தரவாதம் அளிக்காது. மறுபுறம், பல சிக்கலான உகப்பாக்கம் சிக்கல்களுக்கு தோராயமான தீர்வுகளைக் கண்டறிய ஹூரிஸ்டிக்ஸ் பயன்படுத்தப்படுகிறது. குறிக்கோள் செயல்பாடு f நிலையானதாக இருக்கும் வழக்கைக் கட்டுப்படுத்துதல் திருப்தி ஆய்வு செய்கிறது (இது செயற்கை நுண்ணறிவில், குறிப்பாக தானியங்கி பகுத்தறிவில் பயன்படுத்தப்படுகிறது). கட்டுப்பாடு நிரலாக்கம் என்பது ஒரு நிரலாக்க முன்னுதாரணமாகும், இதில் மாறிகளுக்கு இடையிலான உறவுகள் கட்டுப்பாடுகள் வடிவில் குறிப்பிடப்படுகின்றன. வேறுபட்ட நிரலாக்கம் பயன்படுத்தப்படுகிறது, அங்கு குறைந்தபட்சம் ஒரு தடை பூர்த்தி செய்யப்பட வேண்டும், ஆனால் அனைத்தும் அல்ல. திட்டமிடுவதில் இது குறிப்பாகப் பயன்படுகிறது. விண்வெளி வரைபடம் என்பது பொருத்தமான உடல் அர்த்தமுள்ள கரடுமுரடான அல்லது வாடகை மாதிரியைப் பயன்படுத்தி உயர் நம்பகத்தன்மை (சிறந்த) மாதிரி துல்லியத்திற்கு ஒரு பொறியியல் அமைப்பை மாடலிங் மற்றும் உகப்பாக்குவதற்கான ஒரு கருத்தாகும். பல துணைத் துறைகளில், நுட்பங்கள் முதன்மையாக மாறும் சூழல்களில் உகப்பாக்குவதற்காக வடிவமைக்கப்பட்டுள்ளன (அதாவது, காலப்போக்கில் முடிவெடுப்பது): மாறுபாடுகளின் கால்குலஸ் சில இலக்குகளை அடைவதற்கான சிறந்த வழியைக் கண்டுபிடிப்பதில் அக்கறை கொண்டுள்ளது, அதாவது ஒரு குறிப்பிட்ட வளைவின் எல்லையைக் கொண்ட ஒரு மேற்பரப்பைக் கண்டுபிடிப்பது, ஆனால் குறைந்தபட்ச சாத்தியமான பரப்புடன். உகந்த கட்டுப்பாட்டுக் கோட்பாடு என்பது கட்டுப்பாட்டுக் கொள்கைகளை அறிமுகப்படுத்தும் மாறுபாடுகளின் கணக்கீட்டின் பொதுமைப்படுத்தலாகும். டைனமிக் புரோகிராமிங் என்பது சீரற்ற, சீரற்ற மற்றும் அறியப்படாத மாதிரி அளவுருக்களுடன் சீரற்ற உகப்பாக்கம் சிக்கலைத் தீர்ப்பதற்கான அணுகுமுறையாகும். உகப்பாக்கம் மூலோபாயம் சிக்கலை சிறிய துணை சிக்கல்களாகப் பிரிப்பதை அடிப்படையாகக் கொண்ட வழக்கை இது ஆய்வு செய்கிறது. இந்த துணைப் பிரச்சினைகளுக்கு இடையிலான உறவை விவரிக்கும் சமன்பாடு பெல்மேன் சமன்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது. சமநிலைக் கட்டுப்பாடுகளுடன் கூடிய கணித நிரலாக்கம் என்பது கட்டுப்பாடுகளில் மாறுபட்ட ஏற்றத்தாழ்வுகள் அல்லது நிரப்பு ஆகியவை அடங்கும். பல குறிக்கோள் உகப்பாக்கம் ஒரு உகப்பாக்கம் சிக்கலுக்கு ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட குறிக்கோள்களைச் சேர்ப்பது சிக்கலைச் சேர்க்கிறது. எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு கட்டமைப்பு வடிவமைப்பை மேம்படுத்த, ஒருவர் இலகுவான மற்றும் கடினமான வடிவமைப்பை விரும்புவார். இரண்டு நோக்கங்கள் முரண்படும்போது, ஒரு பரிமாற்றத்தை உருவாக்க வேண்டும். ஒரு இலகுவான வடிவமைப்பு, ஒரு கடினமான வடிவமைப்பு மற்றும் எடை மற்றும் விறைப்புத்தன்மையின் சில சமரசங்களாக இருக்கும் எண்ணற்ற வடிவமைப்புகள் இருக்கலாம். ஒரு அளவுகோலை மற்றொன்றின் செலவில் மேம்படுத்தும் பரிமாற்ற வடிவமைப்புகளின் தொகுப்பு பரேட்டோ தொகுப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது. சிறந்த வடிவமைப்புகளின் விறைப்புத்தன்மைக்கு எதிராக ப்லோட்டிங் எடையை உருவாக்கிய வளைவு பரேட்டோ எல்லைப்புறம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. ஒரு வடிவமைப்பு வேறு எந்த வடிவமைப்பாலும் ஆதிக்கம் செலுத்தவில்லை என்றால் "பரேட்டோ உகந்ததாக" (சமமாக, "பரேட்டோ திறமையானது" அல்லது பரேட்டோ தொகுப்பில்) மதிப்பிடப்படுகிறதுஃ இது சில விஷயங்களில் மற்றொரு வடிவமைப்பை விட மோசமாக இருந்தால், எந்த வகையிலும் சிறந்தது அல்ல என்றால், அது ஆதிக்கம் செலுத்துகிறது மற்றும் பரேட்டோ உகந்ததாக இல்லை. "விருப்பமான தீர்வை" தீர்மானிக்க "பரேட்டோ உகந்த" தீர்வுகளில் ஒன்றைத் தேர்ந்தெடுப்பது முடிவெடுப்பவரிடம் ஒப்படைக்கப்படுகிறது. வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், சிக்கலை பல குறிக்கோள் உகப்பாக்கம் என்று வரையறுப்பது சில தகவல்கள் இல்லை என்பதற்கான சமிக்ஞைகள்ஃ விரும்பத்தக்க குறிக்கோள்கள் வழங்கப்படுகின்றன, ஆனால் அவற்றின் சேர்க்கைகள் ஒருவருக்கொருவர் ஒப்பிடுகையில் மதிப்பிடப்படவில்லை. சில சந்தர்ப்பங்களில், முடிவெடுப்பவருடன் கலந்துரையாடும் அமர்வுகள் மூலம் காணாமல் போன தகவல்களைப் பெறலாம். மல்டி-அப்ஜெக்டிவ் ஆப்டிமைசேஷன் சிக்கல்கள் மேலும் திசையன் ஆப்டிமைசேஷன் சிக்கல்களாக பொதுமைப்படுத்தப்பட்டுள்ளன, அங்கு (பகுதி) வரிசைப்படுத்தல் இனி பரேட்டோ வரிசையால் வழங்கப்படுவதில்லை. மல்டி மாடல் அல்லது குளோபல் ஆப்டிமைசேஷன் ஆப்டிமைசேஷன் சிக்கல்கள் பெரும்பாலும் மல்டி மாடல் ஆகும்; அதாவது, அவை பல நல்ல தீர்வுகளைக் கொண்டுள்ளன. அவை அனைத்தும் உலகளவில் நல்லதாக இருக்கலாம் (ஒரே செலவு செயல்பாட்டு மதிப்பு) அல்லது உலகளவில் நல்ல மற்றும் உள்ளூரில் நல்ல தீர்வுகளின் கலவையாக இருக்கலாம். அனைத்து (அல்லது குறைந்தபட்சம் சில) பல தீர்வுகளைப் பெறுவது ஒரு மல்டி மாடல் ஆப்டிமைசரின் குறிக்கோளாகும். கிளாசிக்கல் ஆப்டிமைசேஷன் நுட்பங்கள் அவற்றின் மறு செய்கை அணுகுமுறையின் காரணமாக பல தீர்வுகளைப் பெறும்போது திருப்திகரமாக செயல்படாது, ஏனெனில் வழிமுறையின் பல ஓட்டங்களில் வெவ்வேறு தொடக்க புள்ளிகளுடன் கூட வெவ்வேறு தீர்வுகள் பெறப்படும் என்பதற்கு உத்தரவாதம் இல்லை. உலகளாவிய உகப்பாக்கம் சிக்கல்களுக்கான பொதுவான அணுகுமுறைகள், பல உள்ளூர் உச்சநிலைகள் இருக்கலாம் பரிணாம வழிமுறைகள், பேய்சியன் உகப்பாக்கம் மற்றும் உருவகப்படுத்தப்பட்ட அனீலிங் ஆகியவை அடங்கும். முக்கியமான புள்ளிகள் மற்றும் தீவிர சாத்தியக்கூறு சிக்கலின் வகைப்பாடு திருப்திகரமான சிக்கல், சாத்தியக்கூறு சிக்கல் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது, இது புறநிலை மதிப்பைப் பொருட்படுத்தாமல் எந்தவொரு சாத்தியமான தீர்வையும் கண்டுபிடிக்கும் சிக்கலாகும். இது கணித உகப்பாக்கலின் சிறப்பு நிகழ்வாகக் கருதப்படலாம், அங்கு ஒவ்வொரு தீர்வுக்கும் புறநிலை மதிப்பு ஒரே மாதிரியாக இருக்கும், எனவே எந்தவொரு தீர்வும் உகந்ததாக இருக்கும். பல உகப்பாக்கம் வழிமுறைகள் ஒரு சாத்தியமான புள்ளியில் இருந்து தொடங்க வேண்டும். அத்தகைய புள்ளியைப் பெறுவதற்கான ஒரு வழி, ஒரு மந்தமான மாறியைப் பயன்படுத்தி சாத்தியக்கூறு நிலைமைகளை தளர்த்துவதாகும்; போதுமான மந்தத்துடன், எந்த தொடக்க புள்ளியும் சாத்தியமாகும். பின்னர், மந்தமான அல்லது எதிர்மறையாக இருக்கும் வரை அந்த மந்தமான மாறியைக் குறைக்கவும். கார்ல் வியர்ஸ்ட்ராஸின் தீவிர மதிப்பு தேற்றம் ஒரு சிறிய தொகுப்பில் தொடர்ச்சியான உண்மையான மதிப்புள்ள செயல்பாடு அதன் அதிகபட்ச மற்றும் குறைந்தபட்ச மதிப்பை அடைகிறது என்று கூறுகிறது. மேலும் பொதுவாக, ஒரு சிறிய தொகுப்பில் ஒரு குறைந்த அரை-தொடர்ச்சியான செயல்பாடு அதன் குறைந்தபட்சத்தை அடைகிறது; ஒரு சிறிய தொகுப்பில் ஒரு மேல் அரை-தொடர்ச்சியான செயல்பாடு அதன் அதிகபட்ச புள்ளி அல்லது பார்வையை அடைகிறது. உகந்த தன்மைக்கு தேவையான நிபந்தனைகள் ஃபெர்மாட்டின் கோட்பாடுகளில் ஒன்று, கட்டுப்பாடற்ற சிக்கல்களின் உகந்த நிலை நிலையான புள்ளிகளில் காணப்படுகிறது, அங்கு முதல் வழித்தோன்றல் அல்லது புறநிலை செயல்பாட்டின் சாய்வு பூஜ்ஜியமாக இருக்கும் (முதல் வழித்தோன்றல் சோதனையைப் பார்க்கவும்). மேலும் பொதுவாக, அவை முக்கியமான புள்ளிகளில் காணப்படலாம், அங்கு புறநிலை செயல்பாட்டின் முதல் வழித்தோன்றல் அல்லது சாய்வு பூஜ்ஜியமாக உள்ளது அல்லது வரையறுக்கப்படவில்லை, அல்லது தேர்வு தொகுப்பின் எல்லையில் உள்ளது. ஒரு சமன்பாடு (அல்லது சமன்பாடுகளின் தொகுப்பு) ஒரு உட்புற உகந்த நிலையில் முதல் வழித்தோன்றல் (கள்) பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம் என்று குறிப்பிடுவது 'முதல்-வரிசை நிபந்தனை' அல்லது முதல்-வரிசை நிபந்தனைகளின் தொகுப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது. சமத்துவம்-கட்டுப்படுத்தப்பட்ட சிக்கல்களின் உகந்த தன்மையை லாக்ரேஞ்ச் பெருக்கி முறை மூலம் காணலாம். சமத்துவம் மற்றும்/அல்லது சமத்துவமின்மை கட்டுப்பாடுகள் கொண்ட பிரச்சினைகளின் உகந்த தன்மையை 'கருஷ்-குன்-டக்கர் நிபந்தனைகளை' பயன்படுத்தி காணலாம். உகந்த தன்மைக்கு போதுமான நிபந்தனைகள் முதல் வழித்தோன்றல் சோதனை உச்சநிலையாக இருக்கக்கூடிய புள்ளிகளை அடையாளம் காணும் அதே வேளையில், இந்த சோதனை குறைந்தபட்சமாக இருக்கும் ஒரு புள்ளியை அதிகபட்சமாகவோ அல்லது இரண்டும் இல்லாத ஒன்றிலிருந்து வேறுபடுத்துவதில்லை. புறநிலைச் செயல்பாடு இரண்டு முறை வேறுபடுத்தக்கூடியதாக இருக்கும்போது, இந்த நிகழ்வுகளை இரண்டாவது வழித்தோன்றல் அல்லது இரண்டாவது வழித்தோன்றல்களின் மேட்ரிக்ஸை (ஹெஸியன் மேட்ரிக்ஸ் என்று அழைக்கப்படுகிறது) கட்டுப்பாடற்ற சிக்கல்களில் சரிபார்த்து வேறுபடுத்தலாம், அல்லது புறநிலைச் செயல்பாட்டின் இரண்டாவது வழித்தோன்றல்களின் மேட்ரிக்ஸ் மற்றும் கட்டுப்படுத்தப்பட்ட சிக்கல்களில் எல்லைப்புற ஹெஸியன் என்று அழைக்கப்படும் கட்டுப்பாடுகள். மற்ற நிலையான புள்ளிகளிலிருந்து அதிகபட்சம் அல்லது மினிமாவை வேறுபடுத்தும் நிபந்தனைகள் 'இரண்டாவது வரிசை நிபந்தனைகள்' என்று அழைக்கப்படுகின்றன ('இரண்டாவது வழித்தோன்றல் சோதனை' ஐப் பார்க்கவும்). ஒரு கேண்டிடேட் தீர்வு முதல் வரிசை நிபந்தனைகளை பூர்த்தி செய்தால், இரண்டாவது வரிசை நிபந்தனைகளின் திருப்தியும் குறைந்தபட்சம் உள்ளூர் உகந்த தன்மையை நிறுவ போதுமானது. ஆப்டிமாவின் உணர்திறன் மற்றும் தொடர்ச்சி ஒரு அடிப்படை அளவுரு மாறும்போது உகந்த தீர்வின் மதிப்பு எவ்வாறு மாறுகிறது என்பதை உறை தேற்றம் விவரிக்கிறது. இந்த மாற்றத்தை கணக்கிடும் செயல்முறை ஒப்பீட்டு நிலைகள் என்று அழைக்கப்படுகிறது. கிளாட் பெர்ஜ் (1963) இன் அதிகபட்ச தேற்றம் ஒரு உகந்த தீர்வின் தொடர்ச்சியை அடிப்படை அளவுருக்களின் செயல்பாடாக விவரிக்கிறது. உகப்பாக்கலின் கணக்கீடு இரண்டு முறை வேறுபடுத்தக்கூடிய செயல்பாடுகளுடன் கட்டுப்பாடற்ற சிக்கல்களுக்கு, புறநிலை செயல்பாட்டின் சாய்வு பூஜ்ஜியமாக இருக்கும் புள்ளிகளைக் கண்டுபிடிப்பதன் மூலம் சில முக்கியமான புள்ளிகளைக் காணலாம் (அதாவது நிலையான புள்ளிகள்). மேலும் பொதுவாக, ஒரு பூஜ்ஜிய துணை சாய்வு குவிந்த செயல்பாடுகள் மற்றும் பிற உள்ளூரில் லிப்ஸ்கிட்ஸ் செயல்பாடுகளுடன் மினிமைசேஷன் சிக்கல்களுக்கு ஒரு உள்ளூர் குறைந்தபட்சம் கண்டறியப்பட்டுள்ளது என்பதை சான்றளிக்கிறது. மேலும், முக்கியமான புள்ளிகளை ஹெஸியன் மேட்ரிக்ஸின் உறுதியைப் பயன்படுத்தி வகைப்படுத்தலாம்ஃ ஒரு முக்கியமான புள்ளியில் ஹெஸியன் நேர்மறை திட்டவட்டமாக இருந்தால், புள்ளி ஒரு உள்ளூர் குறைந்தபட்சம்; ஹெஸியன் மேட்ரிக்ஸ் எதிர்மறை திட்டவட்டமாக இருந்தால், புள்ளி ஒரு உள்ளூர் அதிகபட்சம்; இறுதியாக, காலவரையற்றதாக இருந்தால், புள்ளி ஒரு வகையான சேணம் புள்ளி. கட்டுப்படுத்தப்பட்ட சிக்கல்கள் பெரும்பாலும் லாக்ரேஞ்ச் பெருக்கிகளின் உதவியுடன் கட்டுப்பாடற்ற சிக்கல்களாக மாற்றப்படலாம். லாக்ராஞ்சியன் தளர்வு கடினமான கட்டுப்படுத்தப்பட்ட பிரச்சினைகளுக்கு தோராயமான தீர்வுகளை வழங்க முடியும். புறநிலை செயல்பாடு ஒரு குவிந்த செயல்பாடாக இருக்கும்போது, எந்தவொரு உள்ளூர் குறைந்தபட்சமும் உலகளாவிய குறைந்தபட்சமாக இருக்கும். உள்-புள்ளி முறைகள் போன்ற குவிந்த செயல்பாடுகளைக் குறைப்பதற்கான திறமையான எண் நுட்பங்கள் உள்ளன. உலகளாவிய ஒருங்கிணைப்பு மேலும் பொதுவாக, புறநிலை செயல்பாடு ஒரு இருபடி செயல்பாடு இல்லையென்றால், பல உகப்பாக்கம் முறைகள் பிற முறைகளைப் பயன்படுத்தி சில தொடர்ச்சியான மறு செய்கைகள் உகந்த தீர்வுக்கு ஒன்றிணைவதை உறுதி செய்கின்றன. ஒருங்கிணைப்பை உறுதி செய்வதற்கான முதல் மற்றும் இன்னும் பிரபலமான முறை வரி தேடல்களை நம்பியுள்ளது, இது ஒரு பரிமாணத்தில் ஒரு செயல்பாட்டை மேம்படுத்துகிறது. ஒருங்கிணைப்பை உறுதி செய்வதற்கான இரண்டாவது மற்றும் பெருகிய முறையில் பிரபலமான முறை நம்பிக்கை பகுதிகளைப் பயன்படுத்துகிறது. வரி தேடல்கள் மற்றும் நம்பிக்கை பகுதிகள் இரண்டும் வேறுபடுத்த முடியாத உகப்பாக்கத்தின் நவீன முறைகளில் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. வழக்கமாக, ஒரு உலகளாவிய ஆப்டிமைசர் மேம்பட்ட உள்ளூர் ஆப்டிமைசர்களை (பி. எஃப். ஜி. எஸ் போன்றவை) விட மிகவும் மெதுவாக இருக்கும், எனவே பெரும்பாலும் உள்ளூர் ஆப்டிமைசரை வெவ்வேறு தொடக்க புள்ளிகளிலிருந்து தொடங்குவதன் மூலம் ஒரு திறமையான உலகளாவிய ஆப்டிமைசரை உருவாக்க முடியும். கணிப்பு உகப்பாக்கம் நுட்பங்கள் சிக்கல்களைத் தீர்க்க, ஆராய்ச்சியாளர்கள் ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணிக்கையிலான படிகளில் முடிவடையும் வழிமுறைகளைப் பயன்படுத்தலாம், அல்லது ஒரு தீர்வுக்கு (சில குறிப்பிட்ட வகை சிக்கல்களில்) ஒன்றிணைக்கும் மறு செய்கை முறைகள் அல்லது சில சிக்கல்களுக்கு தோராயமான தீர்வுகளை வழங்கக்கூடிய ஹூரிஸ்டிக்ஸ் (அவற்றின் மறு செய்கைகள் ஒன்றிணைக்கத் தேவையில்லை என்றாலும்). ஜார்ஜ் டான்ட்ஸிக்கின் ஆப்டிமைசேஷன் வழிமுறைகள் சிம்ப்ளக்ஸ் வழிமுறை, சிம்ப்ளக்ஸ் வழிமுறையின் நேரியல் நிரலாக்க நீட்டிப்புகளுக்காக வடிவமைக்கப்பட்டுள்ளது, இது இருபடி நிரலாக்கத்திற்காகவும், சிம்ப்ளக்ஸ் வழிமுறையின் நேரியல்-பின்ன நிரலாக்க மாறுபாடுகளுக்காகவும் வடிவமைக்கப்பட்டுள்ளது, அவை நெட்வொர்க் ஆப்டிமைசேஷன் காம்பினடோரியல் வழிமுறைகளுக்கு குறிப்பாக பொருத்தமானவை குவாண்டம் ஆப்டிமைசேஷன் வழிமுறைகள் மறு செய்கை முறைகள் நேரியல் அல்லாத நிரலாக்கத்தின் சிக்கல்களைத் தீர்க்கப் பயன்படுத்தப்படும் மறு செய்கை முறைகள் அவை ஹெஸியன், சாய்வு அல்லது செயல்பாட்டு மதிப்புகளை மட்டுமே மதிப்பீடு செய்கின்றனவா என்பதைப் பொறுத்து வேறுபடுகின்றன. ஹெஸியன்ஸ் (எச்) மற்றும் சாய்வுகளை (ஜி) மதிப்பிடுவது ஒருங்கிணைப்பு விகிதத்தை மேம்படுத்துகிறது, இந்த அளவுகள் உள்ளன மற்றும் போதுமான சீராக மாறுபடும் செயல்பாடுகளுக்கு, அத்தகைய மதிப்பீடுகள் ஒவ்வொரு மறு செய்கையின் கணக்கீட்டு சிக்கலை (அல்லது கணக்கீட்டு செலவு) அதிகரிக்கின்றன. சில சந்தர்ப்பங்களில், கணக்கீட்டு சிக்கலானது மிக அதிகமாக இருக்கலாம். உகப்பாக்கிகளுக்கான ஒரு முக்கிய அளவுகோல் தேவையான செயல்பாட்டு மதிப்பீடுகளின் எண்ணிக்கை மட்டுமே, ஏனெனில் இது ஏற்கனவே ஒரு பெரிய கணக்கீட்டு முயற்சியாகும், பொதுவாக உகப்பாக்கிக்குள் இருப்பதை விட அதிக முயற்சி, இது முக்கியமாக N மாறிகள் மீது செயல்பட வேண்டும். வழித்தோன்றல்கள் அத்தகைய உகப்பாக்கிகளுக்கான விரிவான தகவல்களை வழங்குகின்றன, ஆனால் கணக்கிடுவது இன்னும் கடினம், எ. கா. சாய்வை தோராயமாக மதிப்பிடுவது குறைந்தபட்சம் N + 1 செயல்பாட்டு மதிப்பீடுகளை எடுக்கும். 2 வது வழித்தோன்றல்களின் தோராயங்களுக்கு (ஹெஸியன் மேட்ரிக்ஸில் சேகரிக்கப்பட்டுள்ளது), செயல்பாட்டு மதிப்பீடுகளின் எண்ணிக்கை N2 இன் வரிசையில் உள்ளது. நியூட்டனின் முறைக்கு 2 வது வரிசை வழித்தோன்றல்கள் தேவைப்படுகின்றன, எனவே ஒவ்வொரு மறு செய்கைக்கும், செயல்பாட்டு அழைப்புகளின் எண்ணிக்கை N2 இன் வரிசையில் உள்ளது, ஆனால் ஒரு எளிய தூய சாய்வு உகப்பாக்கிக்கு இது N மட்டுமே. இருப்பினும், சாய்வு உகப்பாக்கிகளுக்கு பொதுவாக நியூட்டனின் வழிமுறையை விட அதிக மறு செய்கைகள் தேவைப்படுகின்றன. செயல்பாட்டு அழைப்புகளின் எண்ணிக்கையைப் பொறுத்தவரை எது சிறந்தது என்பது சிக்கலைப் பொறுத்தது. ஹெஸியன்ஸை மதிப்பிடும் முறைகள் (அல்லது வரையறுக்கப்பட்ட வேறுபாடுகளைப் பயன்படுத்தி ஹெஸியன்ஸை தோராயமாக மதிப்பிடுதல்): நியூட்டனின் முறை வரிசை இருபடி நிரலாக்கம்ஃ சிறிய-நடுத்தர அளவிலான கட்டுப்படுத்தப்பட்ட சிக்கல்களுக்கான நியூட்டன் அடிப்படையிலான முறை. சில பதிப்புகள் பெரிய பரிமாண சிக்கல்களைக் கையாள முடியும். உட்புற புள்ளி முறைகள்ஃ இது கட்டுப்படுத்தப்பட்ட உகப்பாக்கலுக்கான ஒரு பெரிய வகை முறைகள், அவற்றில் சில (துணை) சாய்வு தகவல்களை மட்டுமே பயன்படுத்துகின்றன, மற்றவற்றில் ஹெஸியன்ஸின் மதிப்பீடு தேவைப்படுகிறது. சாய்வுகள் அல்லது தோராயமான சாய்வுகளை ஏதேனும் ஒரு வகையில் (அல்லது துணை சாய்வுகள் கூட) மதிப்பிடும் முறைகள்ஃ இறங்கு முறைகளை ஒருங்கிணைக்கவும்ஃ ஒவ்வொரு மறு செய்கையிலும் ஒரு ஒருங்கிணைப்பைப் புதுப்பிக்கும் வழிமுறைகள் இணைவு சாய்வு முறைகள்ஃ பெரிய சிக்கல்களுக்கான மறு செய்கை முறைகள். (கோட்பாட்டில், இந்த முறைகள் இருபடி புறநிலை செயல்பாடுகளுடன் வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணிக்கையிலான படிகளில் முடிவடைகின்றன, ஆனால் இந்த வரையறுக்கப்பட்ட முடிவு வரையறுக்கப்பட்ட துல்லியமான கணினிகளில் நடைமுறையில் காணப்படவில்லை.) சாய்வு வம்சாவளி (மாற்றாக, "செங்குத்தான வம்சாவளி" அல்லது "செங்குத்தான ஏற்றம்"): வரலாற்று மற்றும் தத்துவார்த்த ஆர்வத்தின் ஒரு (மெதுவான) முறை, இது மகத்தான பிரச்சினைகளுக்கு தோராயமான தீர்வுகளைக் கண்டுபிடிப்பதற்கான ஆர்வத்தை புதுப்பித்துள்ளது. உட்பிரிவு முறைகள்ஃ பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட சாய்வுகளைப் பயன்படுத்தி உள்ளூரில் பெரிய லிப்ஸ்கிட்ஸ் செயல்பாடுகளுக்கான ஒரு மறு செய்கை முறை. போரிஸ் டி. பாலியாக்கைப் பின்பற்றி, சப் கிரேடியன்ட்-ப்ரொஜெக்ஷன் முறைகள் கான்ஜுகேட்-கிரேடியன்ட் முறைகளைப் போலவே உள்ளன. வளையத்தின் தொகுப்பு முறைஃ உள்ளூரில் உள்ள லிப்ஸிட்ச் செயல்பாடுகளுடன் சிறிய-நடுத்தர அளவிலான சிக்கல்களுக்கான ஒரு மறு செய்கை முறை, குறிப்பாக குவிந்த குறைப்பு சிக்கல்களுக்கு (இணைந்த சாய்வு முறைகளைப் போன்றது). எலிப்சாய்டு முறைஃ குவாசிகோன்வெக்ஸ் புறநிலை செயல்பாடுகளுடன் கூடிய சிறிய சிக்கல்களுக்கான ஒரு மறு செய்கை முறை மற்றும் பெரிய தத்துவார்த்த ஆர்வத்துடன், குறிப்பாக சில ஒருங்கிணைந்த உகப்பாக்கம் சிக்கல்களின் பல்லுறுப்புக்கோவை நேர சிக்கலை நிறுவுவதில். இது குவாசி-நியூட்டன் முறைகளுடன் ஒற்றுமைகளைக் கொண்டுள்ளது. குறிப்பாக போக்குவரத்து நெட்வொர்க்குகளுடன், நேரியல் கட்டுப்பாடுகளுடன் விசேஷமாக கட்டமைக்கப்பட்ட சிக்கல்களை தோராயமாக குறைப்பதற்கான நிபந்தனை சாய்வு முறை (ஃபிராங்க்-வோல்ஃப்). பொதுவான கட்டுப்பாடற்ற சிக்கல்களுக்கு, இந்த முறை சாய்வு முறைக்கு குறைகிறது, இது வழக்கற்றுப் போனதாகக் கருதப்படுகிறது (கிட்டத்தட்ட அனைத்து சிக்கல்களுக்கும்). அரை-நியூட்டன் முறைகள்ஃ நடுத்தர-பெரிய சிக்கல்களுக்கான மறு செய்கை முறைகள் (எ. கா. N <1000). சீரற்ற (திறமையான) சாய்வு தோராயத்தைப் பயன்படுத்துகிறது. செயல்பாட்டு மதிப்புகளை மட்டுமே மதிப்பிடும் முறைகள்ஃ ஒரு சிக்கல் தொடர்ந்து வேறுபடுத்தக்கூடியதாக இருந்தால், வரையறுக்கப்பட்ட வேறுபாடுகளைப் பயன்படுத்தி சாய்வுகளை தோராயமாக மதிப்பிடலாம், இந்த விஷயத்தில் சாய்வு அடிப்படையிலான முறையைப் பயன்படுத்தலாம். இன்டர்போலேஷன் முறைகள் வடிவம் தேடல் முறைகள், அவை கீழே பட்டியலிடப்பட்டுள்ள நெல்டர்-மெட் ஹூரிஸ்டிக் (எளிமைகளுடன்) விட சிறந்த ஒருங்கிணைப்பு பண்புகளைக் கொண்டுள்ளன. கண்ணாடி வம்சாவளி ஹூரிஸ்டிக்ஸ் (இறுதியாக முடிவடையும்) வழிமுறைகள் மற்றும் (ஒருங்கிணைந்த) மறு செய்கை முறைகள் தவிர, ஹூரிஸ்டிக்ஸ் உள்ளன. ஒரு ஹூரிஸ்டிக் என்பது தீர்வை கண்டுபிடிப்பதற்கு (கணித ரீதியாக) உத்தரவாதம் அளிக்கப்படாத எந்தவொரு வழிமுறையும் ஆகும், இருப்பினும் இது சில நடைமுறை சூழ்நிலைகளில் பயனுள்ளதாக இருக்கும். சில நன்கு அறியப்பட்ட ஹூரிஸ்டிக்ஸின் பட்டியல்ஃ வேறுபட்ட பரிணாமம் இயக்கவியல் தளர்வு பரிணாம வழிமுறைகள் மரபணு வழிமுறைகள் சீரற்ற மறுதொடக்கத்துடன் மலை ஏறுதல் மெமெடிக் வழிமுறை நெல்டர்-மெட் எளிமையான ஹூரிஸ்டிக்ஃ தோராயமான மினிமைசேஷனுக்கான ஒரு பிரபலமான ஹூரிஸ்டிக் (சாய்வுகளை அழைக்காமல்) துகள் திரள் உகப்பாக்கம் உருவகப்படுத்தப்பட்ட அனீலிங் ஸ்டோகேஸ்டிக் டன்னலிங் தபு தேடல் பயன்பாடுகள் மெக்கானிக்ஸ் கடினமான உடல் இயக்கவியலில் சிக்கல்கள் (குறிப்பாக வெளிப்படையான கடினமான உடல் இயக்கவியலில்) பெரும்பாலும் கணித நிரலாக்க நுட்பங்கள் தேவைப்படுகின்றன, ஏனெனில் நீங்கள் கடினமான உடல் இயக்கவியலை ஒரு சாதாரண வேறுபட்ட சமன்பாட்டை ஒரு கட்டுப்பாடு பன்மடங்கு தீர்க்க முயற்சிக்க முடியும்; கட்டுப்பாடுகள் பல்வேறு நேரியல் அல்லாத வடிவியல் கட்டுப்பாடுகள், அதாவது "இந்த இரண்டு புள்ளிகளும் எப்போதும் ஒத்துப்போக வேண்டும்", "இந்த மேற்பரப்பு வேறு எந்த மேலும், தொடர்பு சக்திகளைக் கணக்கிடுவதில் உள்ள சிக்கலை ஒரு நேரியல் நிரப்பு சிக்கலைத் தீர்ப்பதன் மூலம் செய்ய முடியும், இது ஒரு க்யூபி (இருபடி நிரலாக்க) சிக்கலாகவும் பார்க்கப்படலாம். பல வடிவமைப்பு சிக்கல்களை உகப்பாக்கம் திட்டங்களாகவும் வெளிப்படுத்தலாம். இந்த பயன்பாடு வடிவமைப்பு உகப்பாக்கம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. ஒரு துணைக்குழு பொறியியல் உகப்பாக்கம் ஆகும், மேலும் இந்தத் துறையின் மற்றொரு சமீபத்திய மற்றும் வளர்ந்து வரும் துணைக்குழு பன்முக வடிவமைப்பு உகப்பாக்கம் ஆகும், இது பல சிக்கல்களில் பயனுள்ளதாக இருந்தாலும், குறிப்பாக விண்வெளி பொறியியல் சிக்கல்களுக்கு பயன்படுத்தப்படுகிறது. இந்த அணுகுமுறை அண்டவியல் மற்றும் வானியற்பியலில் பயன்படுத்தப்படலாம். பொருளாதாரம் மற்றும் நிதி பொருளாதாரம் முகவர்களின் உகப்பாக்கத்துடன் நெருக்கமாக இணைக்கப்பட்டுள்ளது, இது ஒரு செல்வாக்குமிக்க வரையறை தொடர்புடைய பொருளாதாரம் மற்றும் அறிவியலை மாற்று பயன்பாடுகளுடன் "நோக்கங்களுக்கும் பற்றாக்குறை வழிமுறைகளுக்கும் இடையிலான உறவாக மனித நடத்தை பற்றிய ஆய்வு" என்று விவரிக்கிறது. நவீன உகப்பாக்கம் கோட்பாடு பாரம்பரிய உகப்பாக்கம் கோட்பாட்டை உள்ளடக்கியது, ஆனால் விளையாட்டு கோட்பாடு மற்றும் பொருளாதார சமநிலை பற்றிய ஆய்வுடன் ஒன்றுடன் ஒன்று இணைகிறது. பொருளாதார இலக்கிய குறியீடுகளின் இதழ் கணித நிரலாக்கம், உகப்பாக்கம் நுட்பங்கள் மற்றும் தொடர்புடைய தலைப்புகளை JEL: C61-C63 இன் கீழ் வகைப்படுத்துகிறது. நுண் பொருளாதாரத்தில், பயன்பாட்டு அதிகபட்ச சிக்கல் மற்றும் அதன் இரட்டை சிக்கல், செலவு குறைப்பு சிக்கல், பொருளாதார உகப்பாக்கம் சிக்கல்கள் ஆகும். அவர்கள் தொடர்ந்து நடந்துகொண்டால், நுகர்வோர் தங்கள் பயன்பாட்டை அதிகரிக்க வேண்டும் என்று கருதப்படுகிறது, அதே நேரத்தில் நிறுவனங்கள் பொதுவாக தங்கள் லாபத்தை அதிகரிக்க வேண்டும் என்று கருதப்படுகிறது. மேலும், முகவர்கள் பெரும்பாலும் ஆபத்து-விரோதமானவர்களாக வடிவமைக்கப்படுகிறார்கள், இதன் மூலம் ஆபத்தைத் தவிர்க்க விரும்புகிறார்கள். அடிப்படை கணிதம் நிலையான உகப்பாக்கத்தை விட சீரற்ற செயல்முறைகளை மேம்படுத்துவதை நம்பியிருந்தாலும், சொத்துக்களின் விலைகளும் உகப்பாக்கக் கோட்பாட்டைப் பயன்படுத்தி வடிவமைக்கப்படுகின்றன. சர்வதேச வர்த்தகக் கோட்பாடு நாடுகளுக்கு இடையிலான வர்த்தக முறைகளை விளக்க உகப்பாக்கத்தை பயன்படுத்துகிறது. போர்ட்ஃபோலியோக்களின் உகப்பாக்கம் பொருளாதாரத்தில் பல குறிக்கோள் உகப்பாக்கத்திற்கு ஒரு எடுத்துக்காட்டு. 1970 களில் இருந்து, பொருளாதார வல்லுநர்கள் கட்டுப்பாட்டுக் கோட்பாட்டைப் பயன்படுத்தி காலப்போக்கில் மாறும் முடிவுகளை மாதிரியாகக் கொண்டுள்ளனர். எடுத்துக்காட்டாக, டைனமிக் தேடல் மாதிரிகள் தொழிலாளர்-சந்தை நடத்தையை ஆய்வு செய்ய பயன்படுத்தப்படுகின்றன. தீர்மானகரமான மற்றும் சீரற்ற மாதிரிகளுக்கு இடையே ஒரு முக்கியமான வேறுபாடு உள்ளது. தொழிலாளர்கள், நுகர்வோர், முதலீட்டாளர்கள் மற்றும் அரசாங்கங்களின் ஒன்றோடொன்று சார்ந்த உகந்த முடிவுகளின் விளைவாக முழு பொருளாதாரத்தின் இயக்கவியலை விவரிக்கும் மாறும் சீரற்ற பொது சமநிலை (டி. எஸ். ஜி. இ) மாதிரிகளை மேக்ரோ பொருளாதார வல்லுநர்கள் உருவாக்குகிறார்கள். மின் பொறியியல் மின் பொறியியலில் உகப்பாக்கம் நுட்பங்களின் சில பொதுவான பயன்பாடுகளில் செயலில் வடிகட்டி வடிவமைப்பு, சூப்பர் கண்டக்டிங் காந்த ஆற்றல் சேமிப்பு அமைப்புகளில் தவறான புலம் குறைப்பு, மைக்ரோவேவ் கட்டமைப்புகளின் விண்வெளி மேப்பிங் வடிவமைப்பு, கைபேசி ஆண்டெனாக்கள், மின்காந்தவியல் அடிப்படையிலான வடிவமைப்பு ஆகியவை அடங்கும். நுண்ணலை கூறுகள் மற்றும் ஆண்டெனாக்களின் மின்காந்த ரீதியாக சரிபார்க்கப்பட்ட வடிவமைப்பு உகப்பாக்கம் 1993 ஆம் ஆண்டில் விண்வெளி வரைபடம் கண்டுபிடிக்கப்பட்டதிலிருந்து பொருத்தமான இயற்பியல் அடிப்படையிலான அல்லது அனுபவமிக்க வாடகை மாதிரி மற்றும் விண்வெளி வரைபட முறைகளை விரிவாகப் பயன்படுத்தியுள்ளது. சிவில் இன்ஜினியரிங் உகப்பாக்கம் சிவில் இன்ஜினியரிங்கில் பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது. கட்டுமான மேலாண்மை மற்றும் போக்குவரத்து பொறியியல் ஆகியவை சிவில் பொறியியலின் முக்கிய கிளைகளில் ஒன்றாகும், அவை உகப்பாக்கத்தை பெரிதும் நம்பியுள்ளன. சாலைகளை வெட்டுதல் மற்றும் நிரப்புதல், கட்டமைப்புகள் மற்றும் உள்கட்டமைப்புகளின் வாழ்க்கைச் சுழற்சி பகுப்பாய்வு, வளங்களை சமன் செய்தல், நீர் வள ஒதுக்கீடு, போக்குவரத்து மேலாண்மை மற்றும் அட்டவணை உகப்பாக்கம் ஆகியவை உகப்பாக்கம் மூலம் தீர்க்கப்படும் மிகவும் பொதுவான சிவில் பொறியியல் சிக்கல்கள் ஆகும். செயல்பாடுகள் ஆராய்ச்சி உகப்பாக்கம் நுட்பங்களை விரிவாகப் பயன்படுத்தும் மற்றொரு துறை செயல்பாடுகள் ஆராய்ச்சி ஆகும். செயல்பாட்டு ஆராய்ச்சி மேம்பட்ட முடிவெடுப்பதை ஆதரிக்க சீரற்ற மாடலிங் மற்றும் உருவகப்படுத்துதலையும் பயன்படுத்துகிறது. பெருகிய முறையில், செயல்பாட்டு ஆராய்ச்சி நிகழ்வுகளுக்கு ஏற்ப மாறும் முடிவுகளை மாதிரியாக்குவதற்கு சீரற்ற நிரலாக்கத்தைப் பயன்படுத்துகிறது; அத்தகைய சிக்கல்களை பெரிய அளவிலான உகப்பாக்கம் மற்றும் சீரற்ற உகப்பாக்கம் முறைகள் மூலம் தீர்க்க முடியும். கட்டுப்பாட்டு பொறியியல் கணித உகப்பாக்கம் மிகவும் நவீன கட்டுப்படுத்தி வடிவமைப்பில் பயன்படுத்தப்படுகிறது. மாதிரி முன்கணிப்பு கட்டுப்பாடு (எம். பி. சி) அல்லது நிகழ்நேர உகப்பாக்கம் (ஆர். டி. ஓ) போன்ற உயர் நிலை கட்டுப்படுத்திகள் கணித உகப்பாக்கத்தை பயன்படுத்துகின்றன. இந்த வழிமுறைகள் ஆன்லைனில் இயங்குகின்றன மற்றும் ஒரு செயல்முறை ஆலையில் மூச்சுத்திணறல் திறப்புகள் போன்ற முடிவு மாறிகளுக்கான மதிப்புகளை மீண்டும் மீண்டும் தீர்மானிக்கின்றன, கட்டுப்பாடுகள் மற்றும் கட்டுப்படுத்தப்பட வேண்டிய அமைப்பின் மாதிரி உள்ளிட்ட கணித உகப்பாக்கம் சிக்கலை மீண்டும் மீண்டும் தீர்ப்பதன் மூலம். புவி இயற்பியல் உகப்பாக்கம் நுட்பங்கள் புவி இயற்பியல் அளவுரு மதிப்பீட்டு சிக்கல்களில் தவறாமல் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. புவி இயற்பியல் அளவீடுகளின் தொகுப்பைப் பொறுத்தவரை, எ. கா. நில அதிர்வு பதிவுகள், அடிப்படை பாறைகள் மற்றும் திரவங்களின் இயற்பியல் பண்புகள் மற்றும் வடிவியல் வடிவங்களுக்கு தீர்வு காண்பது பொதுவானது. புவி இயற்பியலில் பெரும்பாலான சிக்கல்கள் நேரியல் அல்லாதவை, தீர்மானகரமான மற்றும் சீரற்ற முறைகள் பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. மூலக்கூறு மாதிரியாக்கம் நேரியல் அல்லாத உகப்பாக்கம் முறைகள் பரவலாக இணக்கமான பகுப்பாய்வில் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. கணக்கீட்டு அமைப்புகள் உயிரியல் உகப்பாக்கம் நுட்பங்கள் மாதிரி கட்டிடம், உகந்த சோதனை வடிவமைப்பு, வளர்சிதை மாற்ற பொறியியல் மற்றும் செயற்கை உயிரியல் போன்ற கணக்கீட்டு அமைப்புகள் உயிரியலின் பல அம்சங்களில் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. நொதித்தல் தயாரிப்புகளின் அதிகபட்ச சாத்தியமான விளைச்சலைக் கணக்கிடவும், பல மைக்ரோ அரே தரவுத்தொகுப்புகளிலிருந்தும், உயர்-செயல்திறன் தரவுகளிலிருந்து டிரான்ஸ்கிரிப்ஷனல் ரெகுலேட்டரி நெட்வொர்க்குகளிலிருந்தும் மரபணு ஒழுங்குமுறை நெட்வொர்க்குகளை ஊகிக்கவும் நேரியல் நிரலாக்கம் பயன்படுத்தப்பட்டுள்ளது. ஆற்றல் வளர்சிதை மாற்றத்தை பகுப்பாய்வு செய்ய நேரியல் அல்லாத நிரலாக்கம் பயன்படுத்தப்படுகிறது மற்றும் வளர்சிதை மாற்ற பொறியியல் மற்றும் உயிர்வேதியியல் பாதைகளில் அளவுரு மதிப்பீட்டிற்கு பயன்படுத்தப்படுகிறது. இயந்திர கற்றல் தீர்வுகள் மேலும் காண்க பிராச்சிஸ்டோக்ரோன் வளைவு வளைவு பொருத்துதல் தீர்மானகரமான உலகளாவிய உகப்பாக்கம் இலக்கு நிரலாக்கம் உகப்பாக்கத்தில் முக்கியமான வெளியீடுகள் குறைந்தபட்ச சதுரங்கள் கணித உகப்பாக்கம் சங்கம் (முன்னர் கணித நிரலாக்க சங்கம்) கணித உகப்பாக்கம் வழிமுறைகள் கணித உகப்பாக்கம் மென்பொருள் செயல்முறை உகப்பாக்கம் உருவகப்படுத்துதல் அடிப்படையிலான உகப்பாக்கம் உகப்பாக்கம் சோதனை செயல்பாடுகள் மாறுபாடு கால்குலஸ் வாகன ரூட்டிங் சிக்கல் குறிப்புகள் மேலும் வாசிப்பு வெளிப்புற இணைப்புகள் உகப்பாக்கம் மூலக் குறியீடுகளுக்கான இணைப்புகள் செயல்பாட்டு ஆராய்ச்சி உகப்பாக்கம்