Unit interval
கணிதத்தில், அலகு இடைவெளி என்பது மூடிய இடைவெளி, அதாவது, 0 ஐ விட அதிகமாகவோ அல்லது சமமாகவோ மற்றும் 1 ஐ விட குறைவாகவோ அல்லது சமமாகவோ இருக்கும் அனைத்து உண்மையான எண்களின் தொகுப்பாகும். இது பெரும்பாலும் குறிக்கப்படுகிறது (பெரிய எழுத்து). உண்மையான பகுப்பாய்வில் அதன் பங்கிற்கு கூடுதலாக, அலகு இடைவெளி இடவியல் துறையில் ஹோமோடாபி கோட்பாட்டைப் படிக்கப் பயன்படுத்தப்படுகிறது. இலக்கியத்தில், "அலகு இடைவெளி" என்ற சொல் சில நேரங்களில் 0 முதல் 1 வரையிலான இடைவெளி எடுக்கக்கூடிய பிற வடிவங்களுக்கு பயன்படுத்தப்படுகிறதுஃ,, மற்றும். இருப்பினும், குறியீடு பொதுவாக மூடிய இடைவெளிக்கு ஒதுக்கப்பட்டுள்ளது. பண்புகள் அலகு இடைவெளி என்பது ஒரு முழுமையான மெட்ரிக் இடைவெளி ஆகும், இது நீட்டிக்கப்பட்ட உண்மையான எண் வரிக்கு ஒத்த வடிவமானது. ஒரு இடவியல் இடமாக, இது கச்சிதமானது, சுருங்கக்கூடியது, பாதை இணைக்கப்பட்டுள்ளது மற்றும் உள்ளூரில் பாதை இணைக்கப்பட்டுள்ளது. ஹில்பர்ட் கனசதுரம் அலகு இடைவெளியின் எண்ணற்ற பல பிரதிகளின் இடவியல் உற்பத்தியை எடுத்துக்கொள்வதன் மூலம் பெறப்படுகிறது. கணித பகுப்பாய்வில், அலகு இடைவெளி என்பது ஒரு பரிமாண பகுப்பாய்வு பன்மடங்கு ஆகும், அதன் எல்லை 0 மற்றும் 1 ஆகிய இரண்டு புள்ளிகளைக் கொண்டுள்ளது. அதன் நிலையான நோக்குநிலை 0 முதல் 1 வரை செல்கிறது. அலகு இடைவெளி என்பது முற்றிலும் வரிசைப்படுத்தப்பட்ட தொகுப்பு மற்றும் ஒரு முழுமையான லட்டிஸ் ஆகும் (அலகு இடைவெளியின் ஒவ்வொரு துணைக்குழுவும் ஒரு மேல்நிலை மற்றும் ஒரு முடிவிலியைக் கொண்டுள்ளது). ஒரு தொகுப்பின் அளவு அல்லது கார்டினாலிட்டி என்பது அதில் உள்ள உறுப்புகளின் எண்ணிக்கையாகும். அலகு இடைவெளி என்பது உண்மையான எண்களின் துணைக்குழுவாகும். இருப்பினும், இது முழு தொகுப்பின் அதே அளவைக் கொண்டுள்ளதுஃ தொடர்ச்சியின் கார்டினாலிட்டி. உண்மையான எண்கள் எல்லையற்ற நீண்ட கோட்டில் உள்ள புள்ளிகளைக் குறிக்கப் பயன்படுத்தப்படலாம் என்பதால், அந்த கோட்டின் ஒரு பகுதியாக இருக்கும் 1 நீளமுள்ள ஒரு கோடு பிரிவு, முழு கோட்டின் அதே எண்ணிக்கையிலான புள்ளிகளைக் கொண்டுள்ளது என்பதை இது குறிக்கிறது. மேலும், இது பரப்பளவு 1 கொண்ட ஒரு சதுரத்தின் அதே எண்ணிக்கையிலான புள்ளிகளையும், தொகுதி 1 கொண்ட ஒரு கனசதுரத்தையும், வரம்பற்ற n-பரிமாண யூக்ளிடியன் இடத்தையும் கொண்டுள்ளது (விண்வெளி நிரப்புதல் வளைவைப் பார்க்கவும்). மேற்கூறிய அனைத்து தொகுப்புகளிலும் உள்ள உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை (உண்மையான எண்கள் அல்லது புள்ளிகள்) கணக்கிட முடியாதது, ஏனெனில் இது இயற்கையான எண்களின் எண்ணிக்கையை விட கண்டிப்பாக அதிகமாக உள்ளது. நோக்குநிலை அலகு இடைவெளி ஒரு வளைவு ஆகும். திறந்த இடைவெளி (0,1) என்பது நேர்மறை உண்மையான எண்களின் துணைக்குழுவாகும், மேலும் அவர்களிடமிருந்து ஒரு நோக்குநிலையைப் பெறுகிறது. இடைவெளியில் x க்கான இயற்கை மடக்கை வரையறுக்கப் பயன்படுத்தப்படும் ஒருங்கிணைப்பு போன்ற 1 இலிருந்து இடைவெளி உள்ளிடப்படும்போது நோக்குநிலை தலைகீழாக மாறுகிறது, இதனால் அத்தகைய x இன் மடக்கைக்கு எதிர்மறை மதிப்புகளை வழங்குகிறது. உண்மையில், இந்த ஒருங்கிணைப்பு அங்கு தலைகீழ் நோக்குநிலை காரணமாக அலகு இடைவெளியில் எதிர்மறை பகுதியை வழங்கும் கையொப்பமிடப்பட்ட பகுதியாக மதிப்பிடப்படுகிறது. பொதுமைப்படுத்தல்கள் நேர்மறை மற்றும் எதிர்மறை அலகுகளால் வரையறுக்கப்பட்ட நீளம் இரண்டு கொண்ட இடைவெளி, சைன் மற்றும் கொசைன் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகள் மற்றும் ஹைபர்போலிக் செயல்பாடு டான் போன்ற வரம்புகளில் அடிக்கடி நிகழ்கிறது. இந்த இடைவெளி தலைகீழ் செயல்பாடுகளின் களத்திற்கு பயன்படுத்தப்படலாம். உதாரணமாக, இந்த இடைவெளியில் எப்போது கட்டுப்படுத்தப்படுகிறது மற்றும் அங்கு ஆர்க்சின் வரையறுக்கப்படுகிறது. சில நேரங்களில், "அலகு இடைவெளி" என்ற சொல் கணிதத்தின் பல்வேறு கிளைகளில் பங்கு வகிக்கும் பொருள்களைக் குறிக்கப் பயன்படுத்தப்படுகிறது, இது ஹோமோடாபி கோட்பாட்டில் வகிக்கும் பாத்திரத்திற்கு ஒத்ததாகும். எடுத்துக்காட்டாக, குயிவர்ஸ் கோட்பாட்டில், (அனலாக் ஆஃப் தி) அலகு இடைவெளி என்பது அதன் உச்சி தொகுப்பு மற்றும் ஒரு விளிம்பு e ஐக் கொண்ட வரைபடமாகும், அதன் மூலமானது 0 மற்றும் அதன் இலக்கு 1 ஆகும். தொடர்ச்சியான வரைபடங்களுக்கிடையேயான ஹோமோடாபி என்ற கருத்துக்கு ஒத்த க்விவர் ஹோமோமார்பிசம்களுக்கு இடையிலான ஹோமோடாபி என்ற கருத்தை ஒருவர் வரையறுக்க முடியும். தர்க்கத்தில், அலகு இடைவெளியை பூலியன் களம் {0,1} இன் பொதுமைப்படுத்தலாக விளக்கலாம், இந்த விஷயத்தில் 0 அல்லது 1 மதிப்புகளை மட்டுமே எடுத்துக்கொள்வதற்குப் பதிலாக, 0 மற்றும் 1 ஐ உள்ளடக்கிய எந்த மதிப்பையும் கருதலாம். இயற்கணித ரீதியாக, எதிர்மறை (NOT) உடன் மாற்றப்படுகிறது; இணைப்பு (AND) பெருக்கம் () உடன் மாற்றப்படுகிறது; மற்றும் டி மோர்கனின் விதிகளின்படி, விலகல் (OR) என வரையறுக்கப்படுகிறது. இந்த மதிப்புகளை தர்க்கரீதியான உண்மை மதிப்புகள் என்று விளக்குவது பல மதிப்புள்ள தர்க்கத்தை அளிக்கிறது, இது தெளிவற்ற தர்க்கம் மற்றும் நிகழ்தகவு தர்க்கத்திற்கு அடிப்படையாக அமைகிறது. இந்த விளக்கங்களில், ஒரு மதிப்பு சத்தியத்தின் "அளவு" என்று விளக்கப்படுகிறது-ஒரு முன்மொழிவு எந்த அளவிற்கு உண்மை, அல்லது முன்மொழிவு உண்மை என்பதற்கான நிகழ்தகவு. இடைவெளி குறியீடு அலகு சதுரம், கனசதுரம், வட்டம், ஹைப்பர்போலா மற்றும் கோள அலகு உந்துவிசை அலகு திசையன் குறிப்புகள் ராபர்ட் ஜி. பார்டில், 1964, தி எலிமென்ட்ஸ் ஆஃப் ரியல் அனாலிசிஸ், ஜான் வில்லி & சன்ஸ் ஆகியவற்றையும் பார்க்கவும். உண்மையான எண்களின் தொகுப்புகள் 1 (எண்) இடவியல்