Cusp neighborhood
கணிதத்தில், ஒரு கஸ்ப் நெய்பர்ஹுட் என்பது ஒரு கஸ்ப் சிங்குலாரிட்டிக்கு அருகிலுள்ள புள்ளிகளின் தொகுப்பாக வரையறுக்கப்படுகிறது. ஒரு ரீமன் மேற்பரப்புக்கான கஸ்ப் சுற்றுப்புறம் ஒரு ஹைபர்போலிக் ரீமன் மேற்பரப்புக்கான கஸ்ப் சுற்றுப்புறத்தை அதன் ஃபுச்சியன் மாதிரியின் அடிப்படையில் வரையறுக்கலாம். ஃபுச்சியன் குழு G ஒரு பரவளைய உறுப்பு g ஐக் கொண்டுள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம். எடுத்துக்காட்டாக, உறுப்பு t ω SL (2, Z) ஒரு பரவளைய உறுப்பு ஆகும். SL (2, C) இன் அனைத்து பரவளைய உறுப்புகளும் இந்த உறுப்புடன் இணைக்கப்பட்டுள்ளன என்பதை நினைவில் கொள்க. அதாவது, g ω SL (2, Z) பரவளையமாக இருந்தால், சில h ω SL (2, Z) க்கு. H என்பது மேல் அரை தளமாக இருக்கும் செட் எந்த இடத்திற்கும் g ஆல் உருவாக்கப்பட்ட குழுவைக் குறிக்கிறது என்று புரிந்து கொள்ளப்படுகிறது. அதாவது, γ U இல் சரியாக இடைவிடாமல் செயல்படுகிறது. இதன் காரணமாக, H/G மீது U இன் திட்டம் இவ்வாறு இருப்பதைக் காணலாம். இங்கே, E என்பது g உடன் தொடர்புடைய கூர்முனையின் சுற்றுப்புறம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. E இன் ஹைபர்போலிக் பகுதி சரியாக 1 என்பதைக் கவனியுங்கள், நியதிச் சுட்டியின் அளவீட்டைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடும்போது. இது எடுத்துக்காட்டு மூலம் மிகவும் எளிதில் காணப்படுகிறதுஃ மாடுலர் குழுவின் அடிப்படை களத்துடன் மேலே வரையறுக்கப்பட்ட U இன் குறுக்குவெட்டைக் கவனியுங்கள், இது T ஐ பரவளைய உறுப்பாகத் தேர்ந்தெடுப்பதற்கு பொருத்தமானதாக இருக்கும். தொகுதி உறுப்பின் மீது ஒருங்கிணைக்கப்படும்போது முடிவு அற்பமாக 1 ஆகும். இணைப்பின் கீழ் உள்ள பகுதியின் மாறாத தன்மையால், அனைத்து கஸ்ப் சுற்றுப்புறங்களின் பகுதிகளும் இதற்கு சமம். குறிப்புகள் ஹைபர்போலிக் வடிவியல் ரீமன் மேற்பரப்புகள்