Categorification
கணிதத்தில், வகைப்படுத்தல் என்பது தொகுப்பு-கோட்பாட்டு கோட்பாடுகளை வகை-கோட்பாட்டு ஒப்புமைகளுடன் மாற்றும் செயல்முறையாகும். வகைப்படுத்தல், வெற்றிகரமாக செய்யப்படும்போது, தொகுப்புகளை வகைகளுடன் மாற்றுகிறது, செயல்பாடுகளுடன் செயல்பாடுகள் மற்றும் கூடுதல் பண்புகளை திருப்திப்படுத்தும் செயல்பாடுகளின் இயற்கையான ஐசோமார்பிசம் கொண்ட சமன்பாடுகள். இந்த சொல் லூயிஸ் கிரேன் என்பவரால் உருவாக்கப்பட்டது. வகைப்பாட்டின் தலைகீழ் வகைப்படுத்தல் செயல்முறையாகும். வகைப்படுத்தல் என்பது ஒரு முறையான செயல்முறையாகும், இதன் மூலம் ஒரு பிரிவில் உள்ள ஐசோமார்பிக் பொருள்கள் சமமாக அடையாளம் காணப்படுகின்றன. வகைப்படுத்தல் என்பது ஒரு நேரடியான செயல்முறையாக இருந்தாலும், வகைப்படுத்தல் பொதுவாக மிகவும் குறைவான நேரடியானது. லை ஆல்ஜிப்ராக்களின் பிரதிநிதித்துவக் கோட்பாட்டில், குறிப்பிட்ட ஆல்ஜிப்ராக்களின் மீது உள்ள தொகுதிகள் ஆய்வின் முக்கிய பொருள்களாகும், மேலும் அத்தகைய தொகுதியின் வகைப்பாடு என்னவாக இருக்க வேண்டும் என்பதற்கு பல கட்டமைப்புகள் உள்ளன, எ. கா., (பலவீனமான) அபெலியன் வகைப்பாடுகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. வகைப்படுத்தல் மற்றும் வகைப்படுத்தல் துல்லியமான கணித நடைமுறைகள் அல்ல, மாறாக சாத்தியமான ஒப்புமைகளின் ஒரு வகுப்பு. அவை 'பொதுமைப்படுத்தல்' போன்ற சொற்களைப் போலவே பயன்படுத்தப்படுகின்றன, ஆனால் 'சீஃபிஃபிகேஷன்' போல அல்ல. எடுத்துக்காட்டுகள் வகைப்பாட்டின் ஒரு வடிவம் தொகுப்புகளின் அடிப்படையில் விவரிக்கப்பட்ட ஒரு கட்டமைப்பை எடுத்து, தொகுப்புகளை ஒரு பிரிவில் உள்ள பொருட்களின் ஐசோமார்பிசம் வகுப்புகளாக விளக்குகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, இயற்கையான எண்களின் தொகுப்பை வரையறுக்கப்பட்ட தொகுப்புகளின் கார்டினாலிட்டிகளின் தொகுப்பாகக் காணலாம் (மேலும் ஒரே கார்டினாலிட்டி கொண்ட எந்த இரண்டு தொகுப்புகளும் ஐசோமார்பிக் ஆகும்). இந்த விஷயத்தில், கூட்டல் மற்றும் பெருக்கம் போன்ற இயற்கையான எண்களின் தொகுப்பில் உள்ள செயல்பாடுகள், வரையறுக்கப்பட்ட தொகுப்புகளின் வகையின் இணை தயாரிப்புகள் மற்றும் தயாரிப்புகள் பற்றிய தகவல்களை எடுத்துச் செல்வதாகக் காணலாம். குறைவான சுருக்கமாக, இங்குள்ள யோசனை என்னவென்றால், உண்மையான பொருட்களின் தொகுப்புகளை கையாளுதல், மற்றும் இணை தயாரிப்புகளை (ஒரு தொழிற்சங்கத்தில் இரண்டு தொகுப்புகளை இணைத்தல்) அல்லது தயாரிப்புகளை (அவற்றில் அதிக எண்ணிக்கையிலானவற்றைக் கண்காணிக்க விஷயங்களின் வரிசைகளை உருவாக்குதல்) எடுத்துக்கொள்வது முதலில் வந்தது. பின்னர், கணங்களின் உறுதியான அமைப்பு சுருக்கமாக அகற்றப்பட்டது-எண்கணிதத்தின் சுருக்கக் கோட்பாட்டை உருவாக்க "ஐசோமார்பிசம் வரை மட்டுமே" எடுக்கப்பட்டது. இது ஒரு "வகைப்படுத்தல்"-வகைப்படுத்தல் இந்த படிநிலையை மாற்றியமைக்கிறது. பிற எடுத்துக்காட்டுகளில் இடவியலில் ஹோமோலஜி கோட்பாடுகள் அடங்கும். எம்மி நோதர் ஒரு பெட்டி எண் என்ற கருத்தை வகைப்படுத்துவதன் மூலம் சில சுதந்திர அபெலியன் குழுக்களின் தரவரிசையாக ஹோமோலஜியின் நவீன சூத்திரத்தை வழங்கினார். முடிச்சு கோட்பாட்டில் முடிச்சு மாறாததாக கோவானோவ் ஹோமோலஜியையும் பார்க்கவும். வரையறுக்கப்பட்ட குழுக் கோட்பாட்டில் ஒரு எடுத்துக்காட்டு என்னவென்றால், சமச்சீர் செயல்பாடுகளின் வளையம் சமச்சீர் குழுவின் பிரதிநிதித்துவங்களின் வகையால் வகைப்படுத்தப்படுகிறது. வகைப்படுத்தல் வரைபடம் பகிர்வு மூலம் குறியிடப்பட்ட ஸ்பெக்ட் தொகுதியை அதே பகிர்வு மூலம் குறியிடப்பட்ட ஷூர் செயல்பாட்டிற்கு அனுப்புகிறது, அடிப்படையில் தொடர்புடைய கிரோதெண்டிக் குழுவின் விருப்பமான அடிப்படையிலிருந்து எழுத்து வரைபடத்தைப் பின்பற்றி சமச்சீர் செயல்பாடுகளின் வளையத்தின் பிரதிநிதித்துவ-கோட்பாட்டு விருப்பமான அடிப்படைக்கு அனுப்புகிறது. இந்த வரைபடம் கட்டமைப்புகள் எவ்வாறு ஒத்திருக்கின்றன என்பதைப் பிரதிபலிக்கிறது; எடுத்துக்காட்டாக, அந்தந்த தளங்களில் ஒரே சிதைவு எண்களைக் கொண்டுள்ளன, இவை இரண்டும் லிட்டில்வுட்-ரிச்சர்ட்சன் குணகங்களால் வழங்கப்படுகின்றன. ஏபிலியன் வகைப்பாடுகள் ஒரு வகைக்கு, கிரோதெண்டிக் குழுவாக இருக்கட்டும். ஒரு அபெலியன் குழுவாக இலவசமாக இருக்கும் ஒரு வளையமாக இருக்கட்டும், மேலும் பெருக்கம் நேர்மறையாக இருக்கும் வகையில் ஒரு அடிப்படையாக இருக்கட்டும், அதாவது. ஒரு-தொகுதியாக இருக்கட்டும். பின்னர் ஒரு (பலவீனமான) அபெலியன் வகைப்பாடு ஒரு அபெலியன் வகை, ஒரு ஐசோமார்பிசம் மற்றும் சரியான எண்டோஃபங்க்டர்களைக் கொண்டுள்ளது, அதாவது செயல்பாட்டாளர் தொகுதியின் செயல்பாட்டை உயர்த்துகிறது, அதாவது. , மற்றும் ஐசோமார்பிசம்கள் உள்ளன, அதாவது. அடிப்படை கூறுகளின் நேரியல் கலவையாக தயாரிப்பு சிதைவதைப் போலவே கலவையானது செயல்பாடுகளின் நேரடி கூட்டுத்தொகையாக சிதைகிறது. ஒருங்கிணைந்த ஆதாரத்தையும் பார்க்கவும், எண் கோட்பாட்டு கோட்பாடுகளை செட்-கோட்பாட்டு ஒப்புமைகளால் மாற்றும் செயல்முறை. உயர் வகைக் கோட்பாடு உயர் பரிமாண இயற்கணிதம் வகை வளைய குறிப்புகள் மேலும் வாசிப்பு மேலே உள்ள ஆசிரியர்களில் ஒருவரின் வலைப்பதிவு இடுகை (பெய்ஸ்): https://golem.ph.utexas.edu/category/2008/10/what_is_categorification.html. வகைக் கோட்பாடு இயற்கணித இடவியல்