Derivation of the Schwarzschild solution
ஸ்வார்ஸ்ஷைல்ட் தீர்வு ஒரு பெரிய, சுழலாத, கோள சமச்சீர் பொருளின் செல்வாக்கின் கீழ் விண்வெளி நேரத்தை விவரிக்கிறது. இது ஐன்ஸ்டீன் புல சமன்பாடுகளுக்கு எளிமையான மற்றும் மிகவும் பயனுள்ள தீர்வுகளில் ஒன்றாக சிலரால் கருதப்படுகிறது. அனுமானங்கள் மற்றும் குறியீடு முறையே 1 முதல் 4 வரை பெயரிடப்பட்ட ஆயத்தொகுப்புகளுடன் ஒரு ஒருங்கிணைந்த விளக்கப்படத்தில் பணிபுரியும் போது, மெட்ரிக் அதன் மிகவும் பொதுவான வடிவத்தில் தொடங்குகிறது (10 சுயாதீன கூறுகள், ஒவ்வொன்றும் 4 மாறிகளின் மென்மையான செயல்பாடு). தீர்வு கோள சமச்சீர், நிலையான மற்றும் வெற்றிடமாக கருதப்படுகிறது. இந்தக் கட்டுரையின் நோக்கங்களுக்காக, இந்த அனுமானங்களை பின்வருமாறு கூறலாம் (துல்லியமான வரையறைகளுக்கு பொருத்தமான இணைப்புகளைப் பார்க்கவும்): ஒரு கோள சமச்சீர் இடைவெளி நேரம் என்பது சுழற்சிகளின் கீழ் மாறாதது மற்றும் கண்ணாடி படத்தை எடுக்கும். ஒரு நிலையான இடைவெளி நேரம் என்பது அனைத்து மெட்ரிக் கூறுகளும் நேர ஒருங்கிணைப்பிலிருந்து சுயாதீனமாக இருக்கும் (எனவே) மற்றும் இடைவெளி நேரத்தின் வடிவியல் ஒரு நேர-தலைகீழ் கீழ் மாறாமல் இருக்கும். வெற்றிடத் தீர்வு என்பது சமன்பாட்டை திருப்திப்படுத்தும் ஒன்றாகும். ஐன்ஸ்டீன் புலச் சமன்பாடுகளிலிருந்து (பூஜ்ஜிய அண்டவியல் மாறிலியுடன்), இது விளைச்சல் சுருங்குவதால் என்பதைக் குறிக்கிறது. இங்கு பயன்படுத்தப்படும் மெட்ரிக் கையொப்பம் (+, +, +, −) ஆகும். அளவீட்டை மூலைவிட்டமாக்குதல் முதலில் செய்ய வேண்டிய எளிமைப்படுத்தல் அளவீட்டை மூலைவிட்டமாக்குவதாகும். ஒருங்கிணைப்பு மாற்றத்தின் கீழ், அனைத்து மெட்ரிக் கூறுகளும் ஒரே மாதிரியாக இருக்க வேண்டும். மெட்ரிக் கூறுகள் () இந்த மாற்றத்தின் கீழ் பின்வருமாறு மாறுகின்றனஃ () ஆனால், நாம் எதிர்பார்ப்பது போல் (மெட்ரிக் கூறுகள் அப்படியே இருக்கும்), இதன் பொருள் பின்வருமாறுஃ () இதேபோல், ஒருங்கிணைப்பு உருமாற்றங்கள் மற்றும் முறையேஃ () () இவை அனைத்தையும் ஒன்றாக இணைத்தால் பின்வருமாறு கிடைக்கும்ஃ () எனவே மெட்ரிக் வடிவத்தில் இருக்க வேண்டும்ஃ நான்கு மெட்ரிக் கூறுகள் நேர ஒருங்கிணைப்பிலிருந்து சுயாதீனமாக இருக்கும்போது (நிலையான அனுமானத்தால்). கூறுகளை எளிமைப்படுத்துவது நிலையான, நிலையான மற்றும் நிலையான (அதாவது, ஒவ்வொரு ரேடியல் கோட்டிலும்) ஒவ்வொரு மேற்பரப்பிலும், (கோள சமச்சீர் மூலம்) மட்டுமே சார்ந்திருக்க வேண்டும். எனவே இது ஒரு ஒற்றை மாறியின் செயல்பாடாகும்ஃ இதைப் போன்ற ஒரு வாதம் பின்வருவனவற்றைக் காட்டப் பயன்படுத்தப்படுகிறதுஃ மாறிலி மற்றும் மாறிலியின் ஹைப்பர்சர்ஃபேஸ்களில், மெட்ரிக் 2-கோளமாக இருக்க வேண்டும்ஃ இந்த ஹைப்பர்சர்ஃபேஸ்களில் ஒன்றைத் தேர்ந்தெடுப்பது (ஆரம் கொண்ட ஒன்று, சொல்லுங்கள்), இந்த ஹைப்பர்சர்ஃபேஸ்களுக்கு மட்டுப்படுத்தப்பட்ட மெட்ரிக் கூறுகள் (இதை நாம் மற்றும் மூலம் குறிக்கிறோம்) மற்றும் (மீண்டும், கோள சமச்சீர் மூலம்) சுழற்சிகளின் கீழ் மாறாமல் இருக்க வேண்டும். இந்த ஹைப்பர்சர்ஃபேஸில் உள்ள மெட்ரிக் வடிவங்களை ஒப்பிடுவது பின்வருவனவற்றை வழங்குகிறதுஃ இது உடனடியாக விளைவிக்கிறதுஃ மற்றும் ஆனால் இது ஒவ்வொரு ஹைப்பர்சர்ஃபேஸைப் பிடித்துக் கொள்ள வேண்டும்; எனவே, மற்றும் ஒரு மாற்று உள்ளுணர்வு வழி மற்றும் ஒரு தட்டையான விண்வெளி நேரத்தைப் போலவே இருக்க வேண்டும் என்பது ஒரு நெகிழ்வான பொருளை ஒரு கோள சமச்சீர் முறையில் (ரேடியல்) நீட்டுவது அல்லது சுருக்குவது இரண்டு புள்ளிகளுக்கு இடையிலான கோண தூரத்தை மாற்றாது. எனவே, மெட்ரிக் வடிவத்தில் வைக்கப்படலாம்ஃ மற்றும் இன்னும் தீர்மானிக்கப்படாத செயல்பாடுகளுடன். ஒரு கட்டத்தில் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருந்தால், அந்த கட்டத்தில் மெட்ரிக் ஒருமைப்பாடாக இருக்கும் என்பதை நினைவில் கொள்க. கிறிஸ்டோஃபெல் சின்னங்களைக் கணக்கிடுவது மேலே உள்ள அளவீட்டைப் பயன்படுத்தி, குறியீடுகள் இருக்கும் இடத்தில் கிறிஸ்டோஃபெல் சின்னங்களைக் காண்கிறோம். அடையாளம் ஒரு செயல்பாட்டின் மொத்த வழித்தோன்றலைக் குறிக்கிறது. A (r) மற்றும் B (r) ஐக் கண்டறிய புலச் சமன்பாடுகளைப் பயன்படுத்துவது வெற்றிடப் புலச் சமன்பாடுகளைத் தீர்மானிக்கவும் பயன்படுத்தவும் பயன்படுத்தப்படுகிறதுஃ எனவேஃ வழித்தோன்றலுக்குப் பயன்படுத்தப்படும் குறியீட்டை அமைக்க ஒரு கமா பயன்படுத்தப்படுகிறது. ரிச்சி வளைவு கொடுக்கப்பட்ட ஆயத்தொகுதிகளில் மூலைவிட்டமாக உள்ளதுஃ இங்கு பகா எண் என்பது செயல்பாடுகளின் r வழித்தோன்றல் என்று பொருள்படும். புல சமன்பாடுகளில் மூன்று மட்டுமே அற்பமானவை மற்றும் எளிமைப்படுத்தப்பட்டவுடன் முறையே ஆகின்றனஃ (நான்காவது சமன்பாடு மூன்றாவது சமன்பாட்டின் மடங்கு மட்டுமே). முதல் மற்றும் இரண்டாவது சமன்பாடுகளைக் கழிப்பது பின்வருவனவற்றை உருவாக்குகிறதுஃ பூஜ்ஜியமற்ற உண்மையான மாறிலி எங்கே. இரண்டாவது சமன்பாட்டிற்குள் மாற்றி, சுத்தம் செய்வது பின்வருவனவற்றைக் கொடுக்கிறதுஃ இது பொதுவான தீர்வைக் கொண்டுள்ளதுஃ பூஜ்ஜியமற்ற சில உண்மையான மாறிலிகளுக்கு. எனவே, ஒரு நிலையான, கோள சமச்சீர் வெற்றிட தீர்வுக்கான மெட்ரிக் இப்போது வடிவத்தில் உள்ளதுஃ மேலே உள்ள மெட்ரிக் மூலம் குறிப்பிடப்படும் இடைவெளி நேரம் அறிகுறியற்ற வகையில் தட்டையானது என்பதை நினைவில் கொள்க, அதாவது. மெட்ரிக் மின்காவ்ஸ்கி மெட்ரிக் ஐ நெருங்குகிறது மற்றும் விண்வெளி நேர பன்மடங்கு மின்காவ்ஸ்கி இடத்தை ஒத்திருக்கிறது. K மற்றும் S ஐக் கண்டறிய பலவீனமான புல தோராயத்தைப் பயன்படுத்துதல் அளவீட்டின் புவியியல் (உச்சநிலை இருக்கும் இடத்தில் பெறப்பட்டது), சில வரம்புகளில் (எ. கா., ஒளியின் எல்லையற்ற வேகத்தை நோக்கி), நியூட்டனின் இயக்கத்தின் தீர்வுகளுடன் உடன்பட வேண்டும் (எ. கா., லாக்ரேஞ்ச் சமன்பாடுகளால் பெறப்பட்டது). (மெட்ரிக் அது குறிக்கும் நிறை மறைந்துவிடும் போது மின்காவ்ஸ்கி இடத்திற்கும் மட்டுப்படுத்தப்பட வேண்டும்.) (இங்கே இயக்க ஆற்றல் மற்றும் ஈர்ப்பு காரணமாக சாத்தியமான ஆற்றல்) மாறிலிகள் மற்றும் இந்த அணுகுமுறையின் சில மாறுபாடுகளால் முழுமையாக தீர்மானிக்கப்படுகின்றன; பலவீனமான புலம் தோராயத்திலிருந்து ஒருவர் முடிவை அடைகிறார்ஃ ஈர்ப்பு மாறிலி எங்கே, ஈர்ப்பு மூலத்தின் நிறை மற்றும் ஒளியின் வேகம். எனவே, ஸ்வார்ஸ்ஷைல்டு மெட்ரிக் இறுதியாக பின்வரும் வடிவத்தில் எழுதப்படலாம்ஃ குறிப்புஃ இது வெகுஜனப் பொருளின் ஸ்வார்ஸ்ஷைல்டு ஆரத்தின் வரையறை, எனவே ஸ்வார்ஸ்ஷைல்டு மெட்ரிக் மாற்று வடிவத்தில் மீண்டும் எழுதப்படலாம்ஃ இது மெட்ரிக் நிகழ்வு அடிவானத்தை (அதாவது,) நெருங்கும் ஒருமைப்பாடாக மாறுகிறது என்பதைக் காட்டுகிறது. மெட்ரிக் ஒற்றுமை என்பது ஒரு இயற்பியல் அல்ல (ஒரு உண்மையான இயற்பியல் ஒற்றுமை இருந்தாலும்), பொருத்தமான ஒருங்கிணைப்பு மாற்றத்தைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் காட்டப்படலாம் (எ. கா. க்ருஸ்கல்-செகெரெஸ் ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பு). சிறப்பு சந்தர்ப்பங்களில் அறியப்பட்ட இயற்பியலைப் பயன்படுத்தி மாற்று வழித்தோன்றல் ஸ்வார்ஸ்ஷைல்ட் மெட்ரிக் ஒரு வட்ட சுற்றுப்பாதை மற்றும் தற்காலிகமாக நிலையான புள்ளி வெகுஜனத்திற்கான அறியப்பட்ட இயற்பியலைப் பயன்படுத்தி பெறப்படலாம். அறியப்படாத குணகங்களைக் கொண்ட மெட்ரிக் மூலம் தொடங்குங்கள்ஃ இப்போது ஆர்க் நீளம் ஒருங்கிணைப்புக்கு யூலர்-லாக்ரேஞ்ச் சமன்பாட்டைப் பயன்படுத்துங்கள் ஏனெனில் இது நிலையானது என்பதால், ஒருங்கிணைப்பை மாற்றலாம், ஏனெனில் ஒருங்கிணைப்பை எந்த மாறிலியாலும் பெருக்கினால் E-L சமன்பாடு சரியாக இருக்கும். ஒரு வட்ட சுற்றுப்பாதையில், மேலே உள்ள முதல் E-L சமன்பாடு கெப்லரின் மூன்றாவது இயக்க விதிக்கு சமம். புள்ளி நிறை தற்காலிகமாக நிலையாக இருக்கும்போது, ஈர்ப்பு விசையின் முடுக்கம், எனவே ஐசோட்ரோபிக் ஆயத்தொகுப்புகளில் மாற்று வடிவம் மெட்ரிக் அசல் உருவாக்கம் ரேடியல் மற்றும் குறுக்கு திசைகளில் ஒளியின் வேகம் ஒரே மாதிரியாக இல்லாத அனிசோட்ரோபிக் ஆயத்தொகுப்புகளைப் பயன்படுத்துகிறது. ஆர்தர் எடிங்டன் ஐசோட்ரோபிக் ஆயத்தொகுதிகளில் மாற்று வடிவங்களை வழங்கினார். ஐசோட்ரோபிக் கோள ஆயத்தொகுதிகளுக்கு,, ஆயத்தொகுதிகள் மற்றும் மாறாதவை, பின்னர் (வழங்கப்பட்ட), பின்னர் ஐசோட்ரோபிக் செவ்வக ஆயத்தொகுதிகளுக்கு,, மெட்ரிக் பின்னர் ஐசோட்ரோபிக் செவ்வக ஆயத்தொகுதிகளில் ஆகிறதுஃ நிலையான அனுமானத்துடன் விநியோகம்-பிர்காஃப்பின் தேற்றம் ஸ்வார்ஸ்ஷைல்ட் மெட்ரிக் பெறுவதில், மெட்ரிக் வெற்றிடம், கோள சமச்சீர் மற்றும் நிலையானது என்று கருதப்பட்டது. நிலையான அனுமானம் தேவையற்றது, ஏனெனில் ஐன்ஸ்டீனின் புலச் சமன்பாடுகளின் கோள சமச்சீர் வெற்றிடத் தீர்வு நிலையானது என்று பிர்காஃப்பின் தேற்றம் கூறுகிறது; ஸ்வார்ஸ்ஷைல்ட் தீர்வு இவ்வாறு பின்பற்றுகிறது. பிர்காஃப்பின் தேற்றத்தின் விளைவாக, கோள சமச்சீராக இருக்கும் எந்த துடிக்கும் நட்சத்திரமும் ஈர்ப்பு அலைகளை உருவாக்காது, ஏனெனில் நட்சத்திரத்திற்கு வெளியே உள்ள பகுதி நிலையாக உள்ளது. கார்ல் ஸ்வார்ஸ்ஷைல்ட் கெர் மெட்ரிக் ரெய்ஸ்னர்-நார்ட்ஸ்ட்ரோம் மெட்ரிக் குறிப்புகள் பொது சார்பியலில் சரியான தீர்வுகள் கட்டுரை சான்றுகள்