Weierstrass factorization theorem
கணிதத்தில், குறிப்பாக சிக்கலான பகுப்பாய்வு துறையில், வீயர்ஸ்ட்ராஸ் காரணிமயமாக்கல் தேற்றம் ஒவ்வொரு முழு செயல்பாட்டையும் அதன் பூஜ்ஜியங்களை உள்ளடக்கிய (சாத்தியமான எல்லையற்ற) பெருக்கலாகக் குறிப்பிட முடியும் என்று வலியுறுத்துகிறது. இந்த தேற்றத்தை இயற்கணிதத்தின் அடிப்படை தேற்றத்தின் விரிவாக்கமாகக் கருதலாம், இது ஒவ்வொரு பல்லுறுப்புக்கோவையும் நேரியல் காரணிகளாக, ஒவ்வொரு மூலத்திற்கும் ஒன்று என்று கூறுகிறது. கார்ல் வியர்ஸ்ட்ராஸின் பெயரால் பெயரிடப்பட்ட இந்த தேற்றம், முடிவிலிக்குச் செல்லும் ஒவ்வொரு வரிசையும் அந்த வரிசையின் துல்லியமான புள்ளிகளில் பூஜ்ஜியங்களுடன் தொடர்புடைய முழு செயல்பாட்டையும் கொண்டுள்ளது என்ற இரண்டாவது முடிவுடன் நெருக்கமாக தொடர்புடையது. தேற்றத்தின் ஒரு பொதுமைப்படுத்தல் அதை மெரோமார்பிக் செயல்பாடுகளுக்கு விரிவுபடுத்துகிறது மற்றும் கொடுக்கப்பட்ட மெரோமார்பிக் செயல்பாட்டை மூன்று காரணிகளின் பெருக்கலாகக் கருத அனுமதிக்கிறதுஃ செயல்பாட்டின் பூஜ்ஜியங்கள் மற்றும் துருவங்களைப் பொறுத்து சொற்கள் மற்றும் அதனுடன் தொடர்புடைய பூஜ்ஜியமற்ற ஹோலோமார்பிக் செயல்பாடு. உந்துதல் சிக்கலான தளத்தில் உள்ள எந்த வரையறுக்கப்பட்ட புள்ளிகளின் தொகுப்பும் ஒரு தொடர்புடைய பல்லுறுப்புக்கோவையைக் கொண்டுள்ளன என்பது தெளிவாகிறது, அதன் பூஜ்ஜியங்கள் துல்லியமாக அந்த தொகுப்பின் புள்ளிகளில் உள்ளன. இதற்கு நேர்மாறானது இயற்கணிதத்தின் அடிப்படை தேற்றத்தின் விளைவுஃ சிக்கலான தளத்தில் உள்ள எந்தவொரு பல்லுறுப்புக்கோவை செயல்பாடும் ஒரு காரணியாக்கத்தைக் கொண்டுள்ளது, அங்கு பூஜ்ஜியமற்ற மாறிலி மற்றும் பூஜ்ஜியங்களின் தொகுப்பாகும். வீயர்ஸ்ட்ராஸ் காரணிமயமாக்கல் தேற்றத்தின் இரண்டு வடிவங்களும் மேற்கூறியவற்றின் முழு செயல்பாடுகளுக்கும் விரிவாக்கங்களாகக் கருதப்படலாம். வரிசை வரையறுக்கப்படாத இடத்தில் ஒருவர் கருத்தில் கொள்ளும்போது உற்பத்தியில் கூடுதல் சொற்களின் தேவை நிரூபிக்கப்படுகிறது. இது ஒரு முழு செயல்பாட்டையும் ஒருபோதும் வரையறுக்க முடியாது, ஏனெனில் எல்லையற்ற பெருக்கல் ஒன்றிணைக்காது. எனவே, பொதுவாக, ஒரு முழு செயல்பாட்டையும் பரிந்துரைக்கப்பட்ட பூஜ்ஜியங்களின் வரிசையிலிருந்து வரையறுக்கவோ அல்லது இயற்கணிதத்தின் அடிப்படை தேற்றத்தால் வழங்கப்பட்ட வெளிப்பாடுகளைப் பயன்படுத்தி அதன் பூஜ்ஜியங்களால் ஒரு முழு செயல்பாட்டையும் பிரதிநிதித்துவப்படுத்தவோ முடியாது. கேள்விக்குரிய எல்லையற்ற பெருக்கலின் ஒருங்கிணைப்புக்கு ஒரு தேவையான நிபந்தனை என்னவென்றால், ஒவ்வொரு z க்கும், காரணிகள் 1 ஐ அணுக வேண்டும். எனவே ஒருவர் ஒரு குறிப்பிட்ட புள்ளியில் 0 ஆக இருக்கக்கூடிய ஒரு செயல்பாட்டைத் தேட வேண்டும், ஆனால் அந்த கட்டத்தில் இல்லாதபோது 1 க்கு அருகில் இருக்க வேண்டும், மேலும் பரிந்துரைக்கப்பட்டதை விட அதிக பூஜ்ஜியங்களை அறிமுகப்படுத்தக்கூடாது. வியர்ஸ்ட்ராஸின் அடிப்படை காரணிகள் இந்த பண்புகளைக் கொண்டுள்ளன மற்றும் மேலே உள்ள காரணிகளைப் போலவே அதே நோக்கத்திற்காக செயல்படுகின்றன. அடிப்படை காரணிகள் படிவத்தின் செயல்பாடுகளைக் கருத்தில் கொள்ளுங்கள். இல், அவை மதிப்பீடு செய்கின்றன மற்றும் வரை வரிசையில் ஒரு தட்டையான சரிவைக் கொண்டுள்ளன. அதன்பிறகு, அவை கூர்மையாக சில சிறிய நேர்மறை மதிப்பிற்கு விழுகின்றன. இதற்கு மாறாக, தட்டையான சாய்வு இல்லாத செயல்பாட்டைக் கவனியுங்கள், ஆனால், சரியாக பூஜ்ஜியமாக மதிப்பிடப்படுகிறது. [கோப்புஃ First_5_Weierstrass_factors_on_the_unit_interval.svg |thumb |right |alt = அலகு இடைவெளியில் முதல் 5 வீயர்ஸ்ட்ராஸ் காரணிகள். |Plot இன் n = 0,., 4 மற்றும் x க்கு இடைவெளியில் [-1,1]] முதன்மை காரணிகள் என்றும் குறிப்பிடப்படும் அடிப்படை காரணிகள், பூஜ்ஜிய சாய்வு மற்றும் பூஜ்ஜிய மதிப்பின் பண்புகளை இணைக்கும் செயல்பாடுகளாகும் (கிராஃபிக் பார்க்கவும்): மற்றும், ஒருவர் அதை வெளிப்படுத்தலாம் மற்றும் அந்த பண்புகள் எவ்வாறு செயல்படுத்தப்படுகின்றன என்பதை ஒருவர் படிக்கலாம். அடிப்படை காரணிகளின் பயன்பாடு பின்வரும் கோட்பாட்டில் உள்ளதுஃ லெம்மா (15.8, ரூடின்), இதற்கு, தேற்றத்தின் இரண்டு வடிவங்கள் குறிப்பிட்ட பூஜ்ஜியங்களுடன் முழு செயல்பாட்டின் இருப்பு பூஜ்ஜியமற்ற சிக்கலான எண்களின் வரிசையாக இருக்கட்டும். அனைத்திற்கும் எதிர்மறை அல்லாத முழு எண்களின் வரிசை ஏதேனும் இருந்தால், செயல்பாடு பூஜ்ஜியங்களுடன் புள்ளிகளில் மட்டுமே இருக்கும். ஒரு எண் துல்லியமான முறை வரிசையில் ஏற்பட்டால், செயல்பாடு பெருக்கத்தில் பூஜ்ஜியத்தைக் கொண்டுள்ளது. தேற்றத்தின் அறிக்கையில் உள்ள வரிசை எப்போதும் உள்ளது. எடுத்துக்காட்டாக, நாம் எப்போதும் ஒருங்கிணைப்பை எடுத்து வைத்திருக்கலாம். அத்தகைய வரிசை தனித்துவமானது அல்லஃ வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணிக்கையிலான நிலைகளில் அதை மாற்றுவது அல்லது மற்றொரு வரிசையை எடுத்துக்கொள்வது, ஒருங்கிணைப்பை உடைக்காது. இந்தக் கோட்பாடு பின்வருவனவற்றை பொதுமைப்படுத்துகிறதுஃ ரீமன் கோளத்தின் திறந்த துணைக்குழுக்களில் (எனவே பிராந்தியங்களில்) உள்ள வரிசைகள் அந்த துணைக்குழுக்களில் ஹோலோமார்பிக் மற்றும் வரிசையின் புள்ளிகளில் பூஜ்ஜியங்களைக் கொண்ட தொடர்புடைய செயல்பாடுகளைக் கொண்டுள்ளன. இயற்கணிதத்தின் அடிப்படை தேற்றத்தால் வழங்கப்பட்ட வழக்கு இங்கே இணைக்கப்பட்டுள்ளது. வரிசை வரையறுக்கப்பட்டதாக இருந்தால், நாம் எடுத்து பெறலாம்ஃ வீயர்ஸ்ட்ராஸ் காரணிமயமாக்கல் தேற்றம் ஒரு முழு செயல்பாடாக இருக்கட்டும், மேலும் பெருக்கத்தின் படி மீண்டும் மீண்டும் பூஜ்ஜியமற்ற பூஜ்ஜியங்களாக இருக்கட்டும்; அது வரிசையின் பூஜ்ஜியத்தைக் கொண்டுள்ளது என்றும் வைத்துக்கொள்வோம். பின்னர் ஒரு முழு செயல்பாடு மற்றும் முழு எண்களின் வரிசை உள்ளது, அதாவது காரணிமயமாக்கலின் எடுத்துக்காட்டுகள் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகள் சைன் மற்றும் கொசைன் காரணிமயமாக்கல்களைக் கொண்டுள்ளன, அதே நேரத்தில் காமா செயல்பாடு காரணிமயமாக்கலைக் கொண்டுள்ளது, அங்கு யூலர்-மாஸ்செரோனி மாறிலி உள்ளது. கொசைன் அடையாளத்தை for இன் சிறப்பு நிகழ்வாகக் காணலாம். ஹடாமார்ட் காரணிமயமாக்கல் தேற்றம் ஹடாமார்ட் நியதி காரணிகளை வரையறுக்கவும் வரையறுக்கப்பட்ட வரிசையின் முழு செயல்பாடுகளும் ஹடாமார்ட்டின் நியதி பிரதிநிதித்துவத்தைக் கொண்டுள்ளனஃ அதன் வேர்கள் பூஜ்ஜியம் () அல்ல, பூஜ்ஜியத்தின் வரிசை (பொருள் என்று எடுத்துக் கொள்ளப்படும் வழக்கு), ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை (அதன் டிகிரியை நாம் அழைப்போம்), மற்றும் தொடர் ஒன்றிணைக்கும் வகையில் மிகச்சிறிய எதிர்மறை அல்லாத முழு எண் ஆகும். எதிர்மறை அல்லாத முழு எண் முழு செயல்பாட்டின் பேரினம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. இந்த குறியீட்டில், வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால்ஃ வரிசை ஒரு முழு எண் இல்லையென்றால், அதன் முழு எண் பகுதி. வரிசை ஒரு நேர்மறை முழு எண்ணாக இருந்தால், இரண்டு சாத்தியங்கள் உள்ளனஃ அல்லது. எடுத்துக்காட்டாக, மற்றும் இனத்தின் முழு செயல்பாடுகளாகும். மிட்டாக்-லெஃப்லரின் தேற்றம் வாலிஸ் தயாரிப்பு பற்றியும் பார்க்கவும், இது சைன் செயல்பாட்டிற்கு பயன்படுத்தப்படும் இந்த தேற்றத்திலிருந்து பெறப்படலாம் பிளாஷ்கே தயாரிப்பு குறிப்புகள் சிக்கலான பகுப்பாய்வில் வெளிப்புற இணைப்புகள் தேற்றங்கள்