Multivariate random variable
நிகழ்தகவு மற்றும் புள்ளிவிவரங்களில், ஒரு பன்முக சீரற்ற மாறி அல்லது சீரற்ற திசையன் என்பது கணித மாறிகளின் பட்டியல் அல்லது திசையன் ஆகும், அவற்றின் மதிப்பு ஒவ்வொன்றும் தெரியவில்லை, ஏனெனில் மதிப்பு இன்னும் ஏற்படவில்லை அல்லது அதன் மதிப்பு குறித்து அபூரண அறிவு இருப்பதால். ஒரு சீரற்ற திசையனில் உள்ள தனிப்பட்ட மாறிகள் ஒன்றாக தொகுக்கப்பட்டுள்ளன, ஏனெனில் அவை அனைத்தும் ஒரே கணித அமைப்பின் ஒரு பகுதியாகும்-பெரும்பாலும் அவை ஒரு தனிப்பட்ட புள்ளிவிவர அலகின் வெவ்வேறு பண்புகளைக் குறிக்கின்றன. எடுத்துக்காட்டாக, கொடுக்கப்பட்ட நபருக்கு ஒரு குறிப்பிட்ட வயது, உயரம் மற்றும் எடை இருக்கும்போது, ஒரு குழுவிற்குள் இருந்து குறிப்பிடப்படாத நபரின் இந்த அம்சங்களின் பிரதிநிதித்துவம் ஒரு சீரற்ற திசையனாக இருக்கும். பொதுவாக ஒரு சீரற்ற திசையனின் ஒவ்வொரு உறுப்பும் ஒரு உண்மையான எண். சீரற்ற திசையன்கள் பெரும்பாலும் பல்வேறு வகையான மொத்த சீரற்ற மாறிகளின் அடிப்படை செயல்படுத்தலாகப் பயன்படுத்தப்படுகின்றன, எ. கா. ஒரு சீரற்ற அணி, சீரற்ற மரம், சீரற்ற வரிசை, சீரற்ற செயல்முறை போன்றவை. மேலும் முறைப்படி, ஒரு பன்முக சீரற்ற மாறி என்பது ஒரு நெடுவரிசை திசையன் (அல்லது அதன் டிரான்ஸ்போஸ், இது ஒரு வரிசை திசையன்) ஆகும், அதன் கூறுகள் ஒருவருக்கொருவர் அதே நிகழ்தகவு இடத்தில் அளவிடக்கூடிய மதிப்புள்ள சீரற்ற மாறிகள், மாதிரி இடம் எங்கே, சிக்மா-இயற்கணிதம் (அனைத்து நிகழ்வுகளின் தொகுப்பு), மற்றும் நிகழ்தகவு அளவீடு (ஒவ்வொரு நிகழ்வின் நிகழ்தகவையும் திருப்பும் செயல்பாடு). நிகழ்தகவு விநியோகம் ஒவ்வொரு சீரற்ற திசையனும் போரெல் இயற்கணிதத்துடன் அடிப்படை சிக்மா-இயற்கணிதமாக ஒரு நிகழ்தகவு அளவீட்டை உருவாக்குகிறது. இந்த அளவீடு கூட்டு நிகழ்தகவு விநியோகம், கூட்டு விநியோகம் அல்லது சீரற்ற திசையனின் பன்முகப் பரவல் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது. ஒவ்வொரு கூறு சீரற்ற மாறிகளின் விநியோகங்களும் விளிம்பு விநியோகங்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. கொடுக்கப்பட்ட நிபந்தனை நிகழ்தகவு விநியோகம் என்பது ஒரு குறிப்பிட்ட மதிப்பாக அறியப்படும் போது நிகழ்தகவு விநியோகம் ஆகும். ஒரு சீரற்ற திசையனின் ஒட்டுமொத்த விநியோக செயல்பாடு எங்கே என வரையறுக்கப்படுகிறது. சீரற்ற திசையன்களின் செயல்பாடுகள் சீரற்ற திசையன்களின் செயல்பாடுகள் சீரற்ற திசையன்களின் அதே வகையான இயற்கணித செயல்பாடுகளுக்கு உட்படுத்தப்படலாம்ஃ கூட்டல், கழித்தல், அளவிடுதல் மூலம் பெருக்கல் மற்றும் உள் தயாரிப்புகளை எடுத்தல். அஃபைன் உருமாற்றங்கள் இதேபோல், ஒரு புதிய சீரற்ற திசையனை ஒரு சீரற்ற திசையனுக்கு ஒரு அஃபைன் மாற்றத்தைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் வரையறுக்க முடியும்ஃ, எங்கே ஒரு அணி மற்றும் ஒரு நெடுவரிசை திசையன். ஒரு தலைகீழ் மேட்ரிக்ஸ் மற்றும் ஒரு நிகழ்தகவு அடர்த்தி செயல்பாட்டைக் கொண்டிருந்தால், அதன் நிகழ்தகவு அடர்த்தி. தலைகீழ் வரைபடங்கள் மேலும் பொதுவாக சீரற்ற திசையன்களின் தலைகீழ் வரைபடங்களைப் படிக்கலாம். ஒரு திறந்த துணைக்குழுவிலிருந்து ஒரு துணைக்குழுவில் ஒன்றுக்கு ஒன்று வரைபடமாக இருக்கட்டும், தொடர்ச்சியான பகுதி வழித்தோன்றல்களைக் கொண்டிருப்போம், மேலும் ஜாகோபியன் தீர்மானிப்பவர் எந்த நேரத்திலும் பூஜ்ஜியமாக இருக்கக்கூடாது. உண்மையான சீரற்ற திசையன் ஒரு நிகழ்தகவு அடர்த்தி செயல்பாட்டைக் கொண்டுள்ளது மற்றும் திருப்திப்படுத்துகிறது என்று வைத்துக்கொள்வோம். பின்னர் சீரற்ற திசையன் நிகழ்தகவு அடர்த்தியைக் கொண்டுள்ளது, அங்கு காட்டி செயல்பாட்டைக் குறிக்கிறது மற்றும் செட் இன் ஆதரவைக் குறிக்கிறது. எதிர்பார்க்கப்படும் மதிப்பு ஒரு சீரற்ற திசையனின் எதிர்பார்க்கப்படும் மதிப்பு அல்லது சராசரி என்பது ஒரு நிலையான திசையன் ஆகும், அதன் கூறுகள் அந்தந்த சீரற்ற மாறிகளின் எதிர்பார்க்கப்படும் மதிப்புகளாகும். கோவேரியன்ஸ் மற்றும் குறுக்கு-கோவேரியன்ஸ் வரையறைகள் ஒரு சீரற்ற திசையனின் கோவேரியன்ஸ் மேட்ரிக்ஸ் (இரண்டாவது மைய தருணம் அல்லது மாறுபாடு-கோவேரியன்ஸ் மேட்ரிக்ஸ் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது) என்பது ஒரு மேட்ரிக்ஸ் ஆகும், அதன் (i, j) வது உறுப்பு i th மற்றும் j th சீரற்ற மாறிகளுக்கு இடையிலான கோவேரியன்ஸ் ஆகும். கோவேரியன்ஸ் மேட்ரிக்ஸ் என்பது மேட்ரிக்ஸின் எதிர்பார்க்கப்படும் மதிப்பு, உறுப்பு வாரியாக, கணக்கிடப்படுகிறது, அங்கு சூப்பர்ஸ்கிரிப்ட் டி சுட்டிக்காட்டப்பட்ட திசையனின் இடமாற்றத்தைக் குறிக்கிறதுஃ நீட்டிப்பின் மூலம், இரண்டு சீரற்ற திசையன்களுக்கும் (உறுப்புகளைக் கொண்ட மற்றும் உறுப்புகளைக் கொண்ட) இடையேயான குறுக்கு-கோவேரியன்ஸ் மேட்ரிக்ஸ் மேட்ரிக்ஸ் ஆகும், அங்கு மீண்டும் மேட்ரிக்ஸ் எதிர்பார்ப்பு மேட்ரிக்ஸில் உறுப்பு வாரியாக எடுக்கப்படுகிறது. இங்கே (i, j) வது உறுப்பு என்பது i வது உறுப்புக்கும் j வது உறுப்புக்கும் இடையிலான கோவேரியன்ஸ் ஆகும். பண்புகள் கோவேரியன்ஸ் மேட்ரிக்ஸ் என்பது ஒரு சமச்சீர் மேட்ரிக்ஸ் ஆகும், அதாவது. . கோவேரியன்ஸ் மேட்ரிக்ஸ் என்பது ஒரு நேர்மறை அரை வரையறுக்கப்பட்ட மேட்ரிக்ஸ் ஆகும், அதாவது. . குறுக்கு-கோவேரியன்ஸ் மேட்ரிக்ஸ் என்பது வெறுமனே மேட்ரிக்ஸின் இடமாற்றமாகும், அதாவது. . தொடர்பற்ற தன்மை இரண்டு சீரற்ற திசையன்கள் மற்றும் அவை தொடர்பற்றவை என்றால் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. அவற்றின் குறுக்கு-கோவேரியன்ஸ் மேட்ரிக்ஸ் பூஜ்ஜியமாக இருந்தால் மட்டுமே அவை தொடர்பற்றவை. தொடர்பு மற்றும் குறுக்கு-தொடர்பு வரையறைகள் ஒரு சீரற்ற திசையனின் தொடர்பு அணி (இரண்டாவது கணம் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது) என்பது ஒரு அணி, அதன் (i, j) வது உறுப்பு என்பது i வது மற்றும் j வது சீரற்ற மாறிகளுக்கு இடையிலான தொடர்பு ஆகும். தொடர்பு மேட்ரிக்ஸ் என்பது எதிர்பார்க்கப்படும் மதிப்பு, உறுப்பு வாரியாக, மேட்ரிக்ஸின் கணக்கிடப்படுகிறது, அங்கு சூப்பர்ஸ்கிரிப்ட் டி சுட்டிக்காட்டப்பட்ட திசையனின் இடமாற்றத்தைக் குறிக்கிறதுஃ நீட்டிப்பின் மூலம், இரண்டு சீரற்ற திசையன்களுக்கும் (உறுப்புகளைக் கொண்ட மற்றும் உறுப்புகளைக் கொண்ட) இடையேயான குறுக்கு-தொடர்பு மேட்ரிக்ஸ் மேட்ரிக்ஸ் பண்புகள். இதேபோல் குறுக்கு-தொடர்பு மேட்ரிக்ஸ் மற்றும் குறுக்கு-கோவேரியன்ஸ் மேட்ரிக்ஸுக்குஃ ஆர்த்தோகனாலிட்டி ஒரே அளவிலான இரண்டு சீரற்ற திசையன்கள் மற்றும் அவை ஆர்த்தோகனல் என்றால் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. சுதந்திரம் இரண்டு சீரற்ற திசையன்கள் மற்றும் அனைத்திற்கும் இருந்தால் சுயாதீனம் என்று அழைக்கப்படுகின்றன மற்றும் அவற்றின் கூட்டு ஒட்டுமொத்த விநியோக செயல்பாட்டைக் குறிக்கின்றன. சுதந்திரம் மற்றும் பெரும்பாலும் குறிக்கப்படுகிறது. எழுதப்பட்ட கூறு வாரியாக, மற்றும் அனைத்திற்கும் சுயாதீனமாக அழைக்கப்படுகின்றன. பண்புக்கூறு செயல்பாடு கூறுகளுடன் கூடிய சீரற்ற திசையனின் சிறப்பியல்பு செயல்பாடு என்பது ஒவ்வொரு திசையனையும் ஒரு சிக்கலான எண்ணுடன் வரைபடமாக்கும் ஒரு செயல்பாடாகும். இதன் மூலம் வரையறுக்கப்படுகிறது. மேலும் பண்புகள் ஒரு இருபடி வடிவத்தின் எதிர்பார்ப்பு சீரற்ற திசையனில் ஒரு இருபடி வடிவத்தின் எதிர்பார்ப்பை பின்வருமாறு எடுக்கலாம்ஃ அதன் கோவேரியன்ஸ் மேட்ரிக்ஸ் எங்கே மற்றும் ஒரு மேட்ரிக்ஸின் சுவடுகளைக் குறிக்கிறது-அதாவது, அதன் முக்கிய மூலைவிட்டத்தில் உள்ள உறுப்புகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு (மேல் இடமிருந்து கீழ் வலது). இருபடி வடிவம் ஒரு அளவிடக்கூடியது என்பதால், அதன் எதிர்பார்ப்பும் அப்படித்தான். ஆதாரம்ஃ ஒரு சீரற்ற திசையனாக இருக்கட்டும் மற்றும் ஒரு சீரற்ற மேட்ரிக்ஸாக இருக்கட்டும். பின்னர் கோவேரியன்ஸிற்கான சூத்திரத்தின் அடிப்படையில், நாம் குறிக்கும்போது, பின்வருவனவற்றைக் காண்கிறோம்ஃ எனவே இது உண்மை என்பதைக் காட்ட நமக்கு இடமளிக்கிறது இது இறுதி முடிவை மாற்றாமல் ஒரு தடத்தை எடுக்கும்போது மேட்ரிக்ஸ்களை சுழற்சி முறையில் வரிசைப்படுத்த முடியும் என்ற உண்மையின் அடிப்படையில் இது உண்மை (எ. கா. :). மேலும் முதல் ஒரு அளவிடுதல், பின்னர் அற்பமானதாக இருப்பதை நாம் காண்கிறோம். வரிசைமாற்றத்தைப் பயன்படுத்தி நாம் பெறுவதுஃ மற்றும் இதை அசல் சூத்திரத்தில் செருகுவதன் மூலம் நாம் பெறுகிறோம்ஃ இரண்டு வெவ்வேறு இருபடி வடிவங்களின் பெருக்கலின் எதிர்பார்ப்பு பூஜ்ஜிய-பொருள் காஸியன் சீரற்ற திசையனில் இரண்டு வெவ்வேறு இருபடி வடிவங்களின் பெருக்கலின் எதிர்பார்ப்பை பின்வருமாறு எடுக்கலாம்ஃ இங்கு மீண்டும் கோவேரியன்ஸ் மேட்ரிக்ஸ் ஆகும். மீண்டும், இரண்டு இருபடி வடிவங்களும் அளவிடுதல்கள் என்பதால், அவற்றின் பெருக்கல் ஒரு அளவிடுதலாக இருப்பதால், அவற்றின் பெருக்கல் மீதான எதிர்பார்ப்பும் ஒரு அளவிடுதலாக உள்ளது. பயன்பாடுகள் போர்ட்ஃபோலியோ கோட்பாடு நிதியியலில் போர்ட்ஃபோலியோ கோட்பாட்டில், சீரற்ற போர்ட்ஃபோலியோ வருவாயின் விநியோகம் விரும்பத்தக்க பண்புகளைக் கொண்டிருக்கும் அபாயகரமான சொத்துக்களின் போர்ட்ஃபோலியோவைத் தேர்ந்தெடுப்பது பெரும்பாலும் ஒரு நோக்கமாகும். எடுத்துக்காட்டாக, கொடுக்கப்பட்ட எதிர்பார்க்கப்பட்ட மதிப்புக்கு மிகக் குறைந்த மாறுபாட்டைக் கொண்ட போர்ட்ஃபோலியோ வருவாயை ஒருவர் தேர்வு செய்ய விரும்பலாம். இங்கே சீரற்ற திசையன் என்பது தனிப்பட்ட சொத்துக்களின் சீரற்ற வருவாயின் திசையன் ஆகும், மேலும் போர்ட்ஃபோலியோ ரிட்டர்ன் p (ஒரு சீரற்ற அளவிடுதல்) என்பது போர்ட்ஃபோலியோ எடைகளின் திசையன் W உடன் சீரற்ற வருவாயின் திசையனின் உள் தயாரிப்பு ஆகும்-அந்தந்த சொத்துக்களில் வைக்கப்பட்டுள்ள போர்ட்ஃபோலியோவின் பின்னங்கள். பி = டபிள்யூடி என்பதால், போர்ட்ஃபோலியோ வருவாயின் எதிர்பார்க்கப்படும் மதிப்பு டபிள்யூடிஇ () மற்றும் போர்ட்ஃபோலியோ வருவாயின் மாறுபாட்டை டபிள்யூடிசிடபிள்யூ என்று காட்டலாம், இதில் சி என்பது கோவேரியன்ஸ் மேட்ரிக்ஸ் ஆகும். பின்னடைவு கோட்பாடு நேரியல் பின்னடைவு கோட்பாட்டில், k சுயாதீன மாறிகள் xj ஒவ்வொன்றிலும் ஒரு சார்பு மாறி y மற்றும் n அவதானிப்புகள் குறித்த n அவதானிப்புகள் குறித்த தரவு எங்களிடம் உள்ளது. சார்பு மாறியின் அவதானிப்புகள் ஒரு நெடுவரிசை திசையன் y இல் அடுக்கி வைக்கப்படுகின்றன; ஒவ்வொரு சுயாதீன மாறியின் அவதானிப்புகளும் நெடுவரிசை திசையன்களாக அடுக்கி வைக்கப்படுகின்றன, மேலும் இந்த பிந்தைய நெடுவரிசை திசையன்கள் சுயாதீன மாறிகள் குறித்த அவதானிப்புகளின் வடிவமைப்பு அணி X (இந்த சூழலில் சீரற்ற திசையனைக் குறிக்கவில்லை) உடன் இணைக்கப்படுகின்றன. பின்னர் பின்வரும் பின்னடைவு சமன்பாடு தரவை உருவாக்கிய செயல்முறையின் விளக்கமாக அனுமானிக்கப்படுகிறதுஃ இங்கு β என்பது k மறுமொழி குணகங்களின் அனுமானிக்கப்பட்ட நிலையான ஆனால் அறியப்படாத திசையன், மற்றும் e என்பது சார்பு மாறியின் மீது சீரற்ற தாக்கங்களை பிரதிபலிக்கும் அறியப்படாத சீரற்ற திசையன் ஆகும். சாதாரண குறைந்தபட்ச சதுரங்கள் போன்ற சில தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட நுட்பங்களால், ஒரு திசையன் β இன் மதிப்பீடாக தேர்ந்தெடுக்கப்படுகிறது, மேலும் திசையன் e இன் மதிப்பீடு, குறிக்கப்படுகிறது, கணக்கிடப்படுகிறது பின்னர் புள்ளியியல் நிபுணர் மற்றும் பண்புகளை பகுப்பாய்வு செய்ய வேண்டும், அவை சீரற்ற திசையன்களாகக் கருதப்படுகின்றன, ஏனெனில் கவனிக்க வேண்டிய n நிகழ்வுகளின் சீரற்ற வேறுபட்ட தேர்வு அவற்றுக்கு வெவ்வேறு மதிப்புகளை ஏற்படுத்தியிருக்கும். திசையன் நேரத் தொடர் காலத்தின் மூலம் ஒரு k × 1 சீரற்ற திசையனின் பரிணாம வளர்ச்சியை ஒரு திசையன் தன்னியக்க உட்செலுத்துதல் (VAR) என பின்வருமாறு வடிவமைக்க முடியும்ஃ இதில் i-காலகட்டங்கள்-பின் திசையன் கண்காணிப்பு i-th பின்னடைவு என்று அழைக்கப்படுகிறது, c என்பது மாறிலிகளின் (இடைமறிப்புகள்) k × 1 திசையன், AI என்பது நேர மாறுபடும் k × k அணி மற்றும் பிழை சொற்களின் k × 1 சீரற்ற திசையன் ஆகும். குறிப்புகள் மேலும் வாசிப்பு சீரற்ற மாறிகளின் பன்முக புள்ளியியல் இயற்கணிதம் டிஃ Zufallsvariable#Mehrdimensionale ஜுஃபால்ஸ்வேரபிள் பிஎல்ஃ Zmienna losowa#Uogólnienia