Taylor's theorem
کیلکولس میں، ٹیلر تھیوریم ڈگری کے کثیر الجہتی کے ذریعہ کسی دیئے گئے نقطہ کے ارد گرد-اوقات تفریق پذیر فنکشن کا تخمینہ دیتا ہے، جسے-th-آرڈر ٹیلر کثیر الجہتی کہا جاتا ہے۔ ہموار فنکشن کے لیے، ٹیلر کثیر الجہتی فنکشن کی ٹیلر سیریز کی ترتیب میں کٹوتی ہے۔ فرسٹ آرڈر ٹیلر پولینومیل فنکشن کا لکیری تخمینہ ہے، اور سیکنڈ آرڈر ٹیلر پولینومیل کو اکثر کواڈریٹک تخمینہ کہا جاتا ہے۔ ٹیلر تھیوریم کے کئی ورژن ہیں، جن میں سے کچھ اس کے ٹیلر کثیر الجہتی کے ذریعہ فنکشن کی تخمینہ کی غلطی کا واضح تخمینہ دیتے ہیں۔ ٹیلر کے نظریہ کا نام ریاضی دان بروک ٹیلر کے نام پر رکھا گیا ہے، جس نے 1715 میں اس کا ایک ورژن بیان کیا تھا، حالانکہ اس کے نتیجے کا ایک سابقہ ورژن پہلے ہی 1671 میں جیمز گریگوری نے ذکر کیا تھا۔ ٹیلر تھیوریم تعارفی سطح کے کیلکولس کورسز میں پڑھایا جاتا ہے اور ریاضیاتی تجزیہ میں مرکزی ابتدائی ٹولز میں سے ایک ہے۔ یہ بہت سے ماورائی افعال جیسے کہ ایکسپونینشل فنکشن اور ٹرگونومیٹرک افعال کی اقدار کو درست طریقے سے شمار کرنے کے لیے سادہ ریاضی کے فارمولے فراہم کرتا ہے۔ یہ تجزیاتی افعال کے مطالعہ کا نقطہ آغاز ہے، اور ریاضی کے مختلف شعبوں کے ساتھ ساتھ عددی تجزیہ اور ریاضیاتی طبیعیات میں بھی بنیادی ہے۔ ٹیلر تھیوریم ملٹی ویریٹ اور ویکٹر ویلیوڈ فنکشنز کو بھی عام کرتا ہے۔ محرک اگر ایک حقیقی قدر والی فنکشن نقطہ پر تفریق پذیر ہے، تو اس نقطہ کے قریب اس کا لکیری تخمینہ ہوتا ہے۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ ایک فنکشن h1 (x) موجود ہے کہ یہاں نقطہ a کے قریب x کے لیے لکیری تخمینہ ہے، جس کا گراف گراف پر ٹینجینٹ لائن ہے۔ تخمینہ میں غلطی یہ ہے کہ: جیسا کہ x a کی طرف جاتا ہے، یہ غلطی اس سے کہیں زیادہ تیزی سے صفر پر جاتی ہے، جس سے ایک مفید تخمینہ بنتا ہے۔ اس کے بہتر تخمینے کے لیے، ہم لکیری فنکشن کے بجائے ایک کواڈریٹک کثیر الجہتی کو فٹ کر سکتے ہیں: صرف ایک مشتق سے ملنے کے بجائے، اس کثیر الجہتی میں وہی پہلا اور دوسرا مشتق ہوتا ہے، جیسا کہ تفریق پر ظاہر ہوتا ہے۔ ٹیلر کا نظریہ اس بات کو یقینی بناتا ہے کہ کواڈریٹک تخمینہ، کافی چھوٹے پڑوس میں، لکیری تخمینہ سے زیادہ درست ہے۔ خاص طور پر، یہاں تخمینہ میں غلطی یہ ہے کہ، کے محدود رویے کو دیکھتے ہوئے، اس سے زیادہ تیزی سے صفر پر جاتا ہے جتنا کہ x a کی طرف جاتا ہے۔ اسی طرح، اگر ہم اعلی ڈگری کے کثیر الجہتی استعمال کرتے ہیں تو ہمیں f کا بہتر تخمینہ مل سکتا ہے، اس کے بعد سے ہم منتخب بیس پوائنٹ پر f کے ساتھ اور بھی زیادہ مشتقات کا مقابلہ کر سکتے ہیں۔ عام طور پر، ڈگری k کے کثیر الجہتی کے ذریعہ کسی فنکشن کا تخمینہ لگانے میں غلطی اس سے کہیں زیادہ تیزی سے صفر پر جائے گی جس طرح x a کی طرف جاتا ہے۔ تاہم، ایسے افعال ہیں، یہاں تک کہ لامحدود تفریق پذیر بھی، جن کے لیے لگ بھگ کثیر الجہتی کی ڈگری میں اضافہ کرنے سے تخمینہ کی درستگی میں اضافہ نہیں ہوتا ہے: ہم کہتے ہیں کہ ایسا فنکشن x = a پر تجزیاتی ہونے میں ناکام رہتا ہے: اس مقام پر اس کے مشتقات کے ذریعے (مقامی طور پر) اس کا تعین نہیں کیا جاتا ہے۔ ٹیلر کا نظریہ غیر علامتی نوعیت کا ہے: یہ ہمیں صرف یہ بتاتا ہے کہ a-th آرڈر ٹیلر کثیر الجہتی Pk کے تخمینے میں غلطی کسی بھی غیر صفر-th ڈگری کثیر الجہتی سے زیادہ تیزی سے صفر ہوتی ہے۔ یہ ہمیں یہ نہیں بتاتا کہ توسیع کے مرکز کے کسی ٹھوس محلے میں غلطی کتنی بڑی ہے، لیکن اس مقصد کے لیے بقیہ اصطلاح (نیچے دیئے گئے) کے لیے واضح فارمولے موجود ہیں جو f پر کچھ اضافی باقاعدگی کے مفروضوں کے تحت درست ہیں۔ ٹیلر کے نظریہ کے یہ بہتر ورژن عام طور پر توسیع کے مرکز کے ایک چھوٹے سے محلے میں تخمینہ کی غلطی کے لیے یکساں تخمینوں کا باعث بنتے ہیں، لیکن یہ تخمینے ضروری نہیں کہ ان محلوں کے لیے ہوتے ہیں جو بہت بڑے ہیں، چاہے فنکشن f تجزیاتی ہو۔ اس صورت حال میں کسی کو اصل فنکشن کے قابل اعتماد ٹیلر-ضمیمہ حاصل کرنے کے لیے توسیع کے مختلف مراکز کے ساتھ کئی ٹیلر کثیر الجہتی کا انتخاب کرنا پڑ سکتا ہے (دائیں طرف حرکت پذیری دیکھیں۔) بقیہ اصطلاح کو استعمال کرنے کے کئی طریقے ہیں: کسی دیئے گئے وقفے (a-r، a + r) پر اندازہ لگانے والے ڈگری k کے کثیر الجہتی Pk (x) کے لیے غلطی کا اندازہ لگائیں۔ (وقفہ اور ڈگری کو دیکھتے ہوئے، ہمیں غلطی نظر آتی ہے۔) سب سے چھوٹی ڈگری k تلاش کریں جس کے لیے کثیر الجہتی Pk (x) کسی دیئے گئے وقفے (a−r، a + r) پر دی گئی غلطی کی رواداری کے اندر قریب ہے۔ (وقفہ اور غلطی کی رواداری کو دیکھتے ہوئے، ہم ڈگری تلاش کرتے ہیں۔) سب سے بڑا وقفہ (a − r، a + r) تلاش کریں جس پر Pk (x) ایک دی گئی غلطی رواداری کے اندر قریب ہوتا ہے۔ (ڈگری اور غلطی کی رواداری کو دیکھتے ہوئے، ہم وقفہ تلاش کرتے ہیں۔) ایک حقیقی متغیر میں ٹیلر کا نظریہ نظریہ کا بیان ٹیلر کے نظریہ کے سب سے بنیادی ورژن کا عین بیان اس طرح ہے: ٹیلر کے نظریہ میں ظاہر ہونے والا کثیر الجہتی نقطہ a پر فنکشن f کا-th آرڈر ٹیلر کثیر الجہتی ہے۔ ٹیلر کثیر الجہتی اس لحاظ سے منفرد "ایسمپٹوٹک بیسٹ فٹ" کثیر الجہتی ہے کہ اگر کوئی فنکشن اور a-th آرڈر کثیر الجہتی p موجود ہے تو p = Pk۔ ٹیلر کا نظریہ بقیہ اصطلاح کے غیر علامتی رویے کو بیان کرتا ہے جو کہ اس کے ٹیلر کثیر الجہتی کے ساتھ f کا تخمینہ لگاتے وقت تخمینہ کی غلطی ہے۔ لٹل-او نوٹیشن کا استعمال کرتے ہوئے، ٹیلر کے نظریہ میں بیان بقیہ کے لیے ایکسپلیسیٹ فارمولوں کے طور پر پڑھتا ہے۔ f پر مضبوط باقاعدگی کے مفروضوں کے تحت ٹیلر کثیر الجہتی کی بقیہ اصطلاح Rk کے لیے کئی عین مطابق فارمولے ہیں، جن میں سب سے عام مندرجہ ذیل ہیں۔ ٹیلر تھیوریم کی یہ اصلاحات عام طور پر اوسط قدر تھیوریم کا استعمال کرتے ہوئے ثابت کی جاتی ہیں، جہاں سے یہ نام آیا ہے۔ مزید برآں، نوٹ کریں کہ یہ عین مطابق اوسط قدر تھیوریم ہے جب۔ اسی طرح کے دیگر تاثرات بھی مل سکتے ہیں۔ مثال کے طور پر، اگر G (t) بند وقفے پر مسلسل ہے اور اور کے درمیان کھلے وقفے پر غیر غائب ہونے والے مشتق کے ساتھ تفریق پذیر ہے، تو اور کے درمیان کچھ تعداد کے لیے۔ یہ ورژن بقیہ کی لگرینج اور کاچی شکلوں کا خصوصی صورتوں کے طور پر احاطہ کرتا ہے، اور کاچی کے اوسط قدر تھیوریم کا استعمال کرتے ہوئے ذیل میں ثابت کیا گیا ہے۔ لگرینج فارم لینے سے حاصل ہوتا ہے اور کاچی فارم لینے سے حاصل ہوتا ہے۔ بقیہ کی لازمی شکل کا بیان پچھلے کے مقابلے میں زیادہ جدید ہے، اور مکمل عامیت کے لیے لیبسگ انضمام کے نظریہ کو سمجھنے کی ضرورت ہے۔ تاہم، یہ ریمن انٹیگرل کے معنی میں بھی ہے بشرطیکہ f کا (k + 1) واں مشتق بند وقفہ [a، x] پر مسلسل ہو۔ اور کے درمیان بند وقفے پر f کے مطلق تسلسل کی وجہ سے، اس کا مشتق f ایک L-فنکشن کے طور پر موجود ہے، اور نتیجہ کیلکولس کے بنیادی نظریہ اور حصوں کے ذریعے انضمام کا استعمال کرتے ہوئے ایک رسمی حساب سے ثابت کیا جا سکتا ہے۔ بقیہ کے لیے تخمینے یہ اکثر عملی طور پر مفید ہوتا ہے کہ ٹیلر کے تخمینے میں ظاہر ہونے والی بقیہ اصطلاح کا اندازہ لگانے کے قابل ہو، بجائے اس کے کہ اس کا کوئی درست فارمولا ہو۔ فرض کریں کہ f a پر مشتمل وقفہ I میں-اوقات مسلسل تفریق پذیر ہے۔ فرض کریں کہ حقیقی مستقلات q اور Q ایسے ہیں کہ پورے I میں۔ پھر بقیہ اصطلاح عدم مساوات کو مطمئن کرتی ہے اگر، اور اسی طرح کا تخمینہ اگر۔ یہ بقیہ کی لگرینج شکل کا ایک سادہ نتیجہ ہے۔ دوسری عدم مساوات کو یکساں تخمینہ کہا جاتا ہے، کیونکہ یہ وقفے پر تمام x کے لیے یکساں طور پر برقرار رہتی ہے۔ مثال کے طور پر فرض کریں کہ ہم وقفے پر فنکشن کی تخمینہ قیمت تلاش کرنا چاہتے ہیں جبکہ اس بات کو یقینی بناتے ہیں کہ تخمینہ میں غلطی 10−5 سے زیادہ نہیں ہے۔ اس مثال میں ہم دکھاوا کرتے ہیں کہ ہم صرف ایکسپونینشل فنکشن کی درج ذیل خصوصیات کو جانتے ہیں: ان خصوصیات سے یہ سب کے لیے، اور خاص طور پر، اس کی پیروی کرتا ہے۔ لہذا-th آرڈر ٹیلر کثیر الجہتی اور اس کی بقیہ اصطلاح لگرینج کی شکل میں اس کے ذریعہ دی جاتی ہے جہاں 0 اور x کے درمیان کوئی عدد ہے۔ چونکہ ex () سے بڑھ رہا ہے، اس لیے ہم صرف ذیلی وقفے پر بقیہ کا اندازہ لگانے کے لیے استعمال کر سکتے ہیں۔ بقیہ کے لیے اوپری باؤنڈ حاصل کرنے کے لیے، ہم دوسرے آرڈر ٹیلر کی توسیع کا استعمال کرتے ہوئے تخمینہ لگانے کے لیے پراپرٹی کا استعمال کرتے ہیں۔ پھر ہم صرف عدد کو زیادہ سے زیادہ کرکے اور ڈینومینیٹر کو کم سے کم کرکے اس کا اندازہ لگانے کے لیے ex کو حل کرتے ہیں۔ سابق کے لیے ان تخمینوں کو یکجا کرتے ہوئے ہم دیکھتے ہیں کہ اس طرح مطلوبہ درستگی یقینی طور پر پہنچ جاتی ہے، جب (فیکٹوریئل دیکھیں یا ہاتھ سے اقدار کا حساب لگائیں اور۔) نتیجے کے طور پر، ٹیلر کا نظریہ تخمینہ کی طرف لے جاتا ہے۔ مثال کے طور پر، یہ تخمینہ اعشاریہ اظہار فراہم کرتا ہے، جو پانچ اعشاریہ مقامات تک درست ہوتا ہے۔ تجزیات سے تعلق حقیقی تجزیاتی افعال کی ٹیلر توسیع آئی آر کو ایک کھلا وقفہ ہونے دیں۔ تعریف کے مطابق، ایک فنکشن f: I → R حقیقی تجزیاتی ہے اگر اسے مقامی طور پر کنورجنٹ پاور سیریز کے ذریعے بیان کیا جائے۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ ہر a ω I کے لیے کچھ r> 0 موجود ہے اور کوفشنٹس کی ایک ترتیب ck ω R اس طرح موجود ہے کہ اور عام طور پر، پاور سیریز کے کنورجنس کا رداس کا حساب کاچی-ہڈمارڈ فارمولے سے لگایا جا سکتا ہے۔ یہ نتیجہ جیومیٹرک سیریز کے مقابلے پر مبنی ہے، اور اسی طریقہ سے پتہ چلتا ہے کہ اگر کسی b ω R کے لیے کنورجز پر مبنی پاور سیریز ہے، تو اسے بند وقفے پر یکساں طور پر کنورج ہونا چاہیے، جہاں۔ یہاں صرف پاور سیریز کے کنورجنس پر غور کیا جاتا ہے، اور یہ اچھی طرح سے ہو سکتا ہے کہ یہ f کے ڈومین I سے آگے بڑھ جائے۔ a پر حقیقی تجزیاتی فنکشن f کے ٹیلر کثیر الجہتی محض اس کی مقامی طور پر متعین پاور سیریز کی محدود تراکیب ہیں، اور متعلقہ بقیہ اصطلاحات مقامی طور پر تجزیاتی افعال کے ذریعہ دی جاتی ہیں۔ یہاں افعال بھی تجزیاتی ہیں، کیونکہ ان کی وضاحت کرنے والی پاور سیریز میں اصل سیریز کی طرح کنورجنس کا وہی رداس ہوتا ہے۔ یہ فرض کرتے ہوئے کہ آئی اور آر <آر، یہ تمام سیریز یکساں طور پر آن ہوتی ہیں۔ قدرتی طور پر، تجزیاتی افعال کے معاملے میں توسیع کے مرکز میں مشتقات f′ (a) کی ترتیب کی دم سے بقیہ اصطلاح کا اندازہ لگایا جا سکتا ہے، لیکن پیچیدہ تجزیہ کا استعمال کرتے ہوئے بھی ایک اور امکان پیدا ہوتا ہے، جو ذیل میں بیان کیا گیا ہے۔ ٹیلر کی تھیوریم اور ٹیلر سیریز کا کنورجنس f کی ٹیلر سیریز کچھ وقفے میں یکجا ہوگی جس میں اس کے تمام مشتقات بندھے ہوئے ہیں اور زیادہ تیزی سے نہیں بڑھتے ہیں کیونکہ k انفینیٹی پر جاتا ہے۔ (تاہم، یہاں تک کہ اگر ٹیلر سیریز یکجا ہو جائے، تو یہ f میں یکجا نہیں ہو سکتا، جیسا کہ ذیل میں بیان کیا گیا ہے ؛ f کو پھر غیر تجزیاتی کہا جاتا ہے۔) کوئی بھی ایک لامحدود کئی گنا تفریق پذیر فنکشن f: R → R کی ٹیلر سیریز کو a پر اس کے "لامحدود ترتیب ٹیلر کثیر الجہتی" کے طور پر سوچ سکتا ہے۔ اب بقیہ کے تخمینوں سے یہ ظاہر ہوتا ہے کہ اگر، کسی بھی r کے لیے، f کے مشتقات (a − r، a + r) پر پابند ہونے کے لیے جانے جاتے ہیں، تو کسی بھی ترتیب k کے لیے اور کسی بھی r> 0 کے لیے ایک مستقل موجود ہوتا ہے کہ ہر x ω (a − r، a + r) کے لیے۔ بعض اوقات مستقلات کو اس طرح سے منتخب کیا جا سکتا ہے جو فکسڈ r اور تمام k کے لیے اوپر پابند ہو۔ پھر f کی ٹیلر سیریز یکساں طور پر کسی تجزیاتی فنکشن میں یکجا ہو جاتی ہے (اگر کوئی اوپر پابند نہ ہو تب بھی کنورجنس حاصل کرتا ہے جب تک کہ وہ آہستہ آہستہ بڑھتا ہے۔) لمٹ فنکشن تعریف کے مطابق ہمیشہ تجزیاتی ہوتا ہے، لیکن یہ ضروری نہیں کہ اصل فنکشن f کے برابر ہو، چاہے f لامحدود طور پر تفریق پذیر ہو۔ اس صورت میں، ہم کہتے ہیں کہ f ایک غیر تجزیاتی ہموار فنکشن ہے، مثال کے طور پر ایک فلیٹ فنکشن: ریاضیاتی انڈکشن کے ذریعے بار بار چین رول کا استعمال کرتے ہوئے، یہ ظاہر ہوتا ہے کہ کسی بھی ترتیب k کے لیے، ڈگری 2 (k−1) کے کچھ کثیر الجہتی pk کے لیے۔ فنکشن کسی بھی کثیر الجہتی سے زیادہ تیزی سے صفر کی طرف جاتا ہے، لہذا f لامحدود طور پر کئی گنا تفریق پذیر ہوتا ہے اور ہر مثبت عدد k کے لیے۔ مندرجہ بالا نتائج اس صورت میں برقرار رہتے ہیں: f کی ٹیلر سیریز یکساں طور پر صفر فنکشن Tf (x) = 0 میں ضم ہو جاتی ہے، جو صفر کے برابر تمام کوفشنٹس کے ساتھ تجزیاتی ہے۔ فنکشن f اس ٹیلر سیریز کے لیے غیر مساوی ہے، اور اس لیے غیر تجزیاتی ہے۔ کسی بھی ترتیب k ω N اور رداس r> 0 کے لیے Mk موجود ہے، r> 0 اوپر بقیہ باؤنڈ () کو مطمئن کرتا ہے۔ تاہم، جیسے جیسے فکسڈ r کے لیے k بڑھتا ہے، Mk، r کی قیمت rk سے زیادہ تیزی سے بڑھتی ہے، اور غلطی صفر پر نہیں جاتی ہے۔ پیچیدہ تجزیے میں ٹیلر کا نظریہ افعال f: C → C کو عمومی بناتا ہے جو پیچیدہ سطح کے کھلے ذیلی سیٹ U ऱ् C میں پیچیدہ تفریق پذیر ہوتے ہیں۔ تاہم، پیچیدہ تجزیے میں اس کی افادیت کو دیگر عمومی نظریات سے کم کیا جاتا ہے۔ یعنی، کاچی کے انٹیگرل فارمولے کا استعمال کرتے ہوئے پیچیدہ تفریق پذیر افعال f: U → C کے لیے متعلقہ نتائج کے مضبوط ورژن کا اندازہ لگایا جا سکتا ہے۔ فرض کریں کہ r> 0 اس طرح ہو کہ بند ڈسک B (z, r) ≤S (z, r) U میں موجود ہو۔ پھر دائرہ S (z, r) کے مثبت پیرامیٹریزیشن کے ساتھ کاچی کا انٹیگرل فارمولا دیتا ہے۔ یہاں تمام انٹیگرینڈس دائرے S (z, r) پر مسلسل ہیں، جو انٹیگرل سائن کے تحت تفریق کو جواز فراہم کرتا ہے۔ خاص طور پر، اگر f ایک بار کھلے سیٹ U پر پیچیدہ تفریق پذیر ہے، تو یہ دراصل U پر لامحدود طور پر کئی گنا پیچیدہ تفریق پذیر ہے۔ کسی بھی z ω U اور r> 0 کے لیے کاچی کے تخمینے بھی اس طرح حاصل کیے جاتے ہیں کہ B (z, r) ω S (c, r) ω U۔ ان تخمینوں سے یہ ظاہر ہوتا ہے کہ f کی پیچیدہ ٹیلر سیریز کسی بھی کھلی ڈسک پر یکساں طور پر کسی فنکشن Tf میں یکجا ہوتی ہے۔ مزید برآں، مشتقات f (c) کے لیے کنٹور انٹیگرل فارمولوں کا استعمال کرتے ہوئے، لہذا کسی کھلے سیٹ میں کوئی بھی پیچیدہ تفریق پذیر فنکشن f حقیقت میں پیچیدہ تجزیاتی ہے۔ یہاں حقیقی تجزیاتی افعال کے لیے جو کچھ کہا جاتا ہے وہ پیچیدہ تجزیاتی افعال کے لیے بھی ہے جس میں کھلے وقفے I کی جگہ ایک کھلے ذیلی سیٹ U bul C اور a-مرکوز وقفے (a − r، a + r) کی جگہ c-مرکوز ڈسک B (c، r) لے لیتا ہے۔ خاص طور پر، ٹیلر کی توسیع اس شکل میں ہوتی ہے جہاں بقیہ اصطلاح Rk پیچیدہ تجزیاتی ہوتی ہے۔ پیچیدہ تجزیہ کے طریقے ٹیلر کی توسیع کے حوالے سے کچھ طاقتور نتائج فراہم کرتے ہیں۔ مثال کے طور پر، کسی بھی مثبت رخ والے اردن وکر کے لیے کاچی کے انٹیگرل فارمولے کا استعمال کرتے ہوئے جو کسی خطے کی حد کو پیرامیٹرائز کرتا ہے، کوئی بھی اوپر کے طور پر مشتقات کے لیے تاثرات حاصل کرتا ہے، اور اس کے لیے قدرے ترمیم کرتے ہوئے، کوئی عین فارمولے پر پہنچتا ہے۔ یہاں اہم خصوصیت یہ ہے کہ خطے پر ٹیلر کثیر کے ذریعے تخمینہ کے معیار پر حد پر فنکشن f کی اقدار کا غلبہ ہے۔ اسی طرح، بقیہ کے لیے سیریز کے اظہار پر کاچی کے تخمینوں کا اطلاق کرتے ہوئے، کوئی بھی یکساں تخمینے حاصل کرتا ہے۔ مثال فنکشن حقیقی تجزیاتی ہے، یعنی مقامی طور پر اس کی ٹیلر سیریز سے طے ہوتا ہے۔ اس فنکشن کو اس حقیقت کی وضاحت کے لیے اوپر پلاٹ کیا گیا تھا کہ توسیع کے مرکز کے پڑوس میں جو بہت بڑے ہیں کچھ ابتدائی افعال کا تخمینہ ٹیلر کثیر الجہتی کے ذریعے نہیں لگایا جا سکتا۔ اس قسم کے رویے کو پیچیدہ تجزیہ کے فریم ورک میں آسانی سے سمجھا جا سکتا ہے۔ یعنی، فنکشن f کمپیکٹفائیڈ کمپلیکس پلین پر ایک میرومورفک فنکشن میں پھیلا ہوا ہے۔ اس میں سادہ کھمبے ہوتے ہیں اور یہ کہیں اور تجزیاتی ہوتا ہے۔ اب z0 پر مرکوز اس کی ٹیلر سیریز کسی بھی ڈسک B (z0, r) پر r <|z −z0 | کے ساتھ یکجا ہوتی ہے، جہاں وہی ٹیلر سیریز z ωC پر یکجا ہوتی ہے۔ لہذا، 0 پر مرکوز f کی ٹیلر سیریز B (0,1) پر یکجا ہوتی ہے اور یہ i اور −i پر قطبوں کی وجہ سے |z |> 1 کے ساتھ کسی بھی z ωC کے لیے یکجا نہیں ہوتی ہے۔ اسی وجہ سے 1 پر مرکوز f کی ٹیلر سیریز یکجا ہوتی ہے اور کسی بھی z ωC کے ساتھ یکجا نہیں ہوتی ہے۔ ٹیلر کے نظریہ کی عمومییاں اعلی ترتیب کی تفریق پذیری ایک فنکشن f: Rn → R ایک bul Rn پر تب ہی تفریق پذیر ہے جب اور صرف اس صورت میں جب کوئی لکیری فنکشنل L: Rn → R اور ایک فنکشن h: Rn → R موجود ہو۔ اگر ایسا ہے، تو نقطہ a پر f کا (منفرد طور پر بیان کردہ) تفریق ہے۔ مزید برآں، پھر f کے جزوی مشتقات a پر موجود ہوتے ہیں اور a پر f کا تفریق α ω Nn اور x ω Rn کے لیے ملٹی انڈیکس نوٹیشن متعارف کرانے کے ذریعے دیا جاتا ہے۔ اگر تمام-th آرڈر کے جزوی مشتقات مسلسل ہیں، تو کلیراٹ کے نظریہ کے مطابق، کوئی بھی مخلوط مشتقات کی ترتیب کو a پر تبدیل کر سکتا ہے، لہذا اس صورت حال میں اعلی آرڈر کے جزوی مشتقات کے لیے اشارے کو جائز قرار دیا جاتا ہے۔ اگر f کے تمام (k−1)-th آرڈر جزوی مشتق a کے کسی پڑوس میں موجود ہوں اور a پر تفریق پذیر ہوں تو بھی ایسا ہی ہے۔ پھر ہم کہتے ہیں کہ f نقطہ a پر k اوقات تفریق پذیر ہے۔ کثیر متغیر افعال کے لیے ٹیلر کا نظریہ پچھلے حصے کے اشاروں کا استعمال کرتے ہوئے، ایک کے پاس درج ذیل نظریہ ہے۔ اگر فنکشن k + 1 گنا کچھ کے لیے بند گیند میں مسلسل تفریق پذیر ہے، تو اس پڑوس میں f کے آرڈر جزوی مشتقات کے لحاظ سے بقیہ کے لیے ایک درست فارمولا حاصل کیا جا سکتا ہے۔ یعنی، اس صورت میں، کمپیکٹ سیٹ B میں (k + 1)-th آرڈر جزوی مشتقات کے تسلسل کی وجہ سے، کوئی بھی فوری طور پر یکساں تخمینے حاصل کر لیتا ہے۔ مثال کے طور پر، کسی ہموار فنکشن کا تیسرا آرڈر ٹیلر کثیر الجہتی، ایک حقیقی متغیر میں ٹیلر کے نظریہ کے لیے ثبوت ہے۔ نوٹ کریں کہ، ہر ایک کے لیے۔ لہذا عددی کے پہلے مشتقات میں سے ہر ایک پر غائب ہو جاتا ہے، اور ڈینومینیٹر کے بارے میں بھی یہی سچ ہے۔ نیز، چونکہ یہ شرط کہ فنکشن ایک نقطہ پر اوقات تفریق کے قابل ہو، مذکورہ نقطہ کے پڑوس میں ترتیب تک تفریق کی ضرورت ہوتی ہے (یہ سچ ہے، کیونکہ تفریق کے لیے کسی نقطہ کے پورے پڑوس میں فنکشن کی وضاحت کی ضرورت ہوتی ہے)، عددی اور اس کے مشتقات کے پڑوس میں تفریق کے قابل ہوتے ہیں۔ واضح طور پر، ڈینومینیٹر بھی مذکورہ شرط کو پورا کرتا ہے، اور اس کے علاوہ، تب تک غائب نہیں ہوتا جب تک کہ ایل ہوپیٹل کی حکمرانی کے لیے ضروری تمام شرائط پوری نہ ہو جائیں، اور اس کا استعمال جائز ہے۔ لہذا جہاں دوسری سے آخری مساوات مشتق کی تعریف کے مطابق ہوتی ہے۔ ایک حقیقی متغیر میں ٹیلر کے نظریہ کے لیے متبادل ثبوت کوئی بھی حقیقی قدر والا مسلسل فعل ہونا چاہیے جس کا تخمینہ ٹیلر کثیرالجہتی کے ذریعے لگایا جائے۔ مرحلہ 1: ہونے دیں اور افعال بنیں۔ مرحلہ 2 مقرر کریں اور ہونا: اور کی خصوصیات: اسی طرح، مرحلہ 3: کاچی مین ویلیو تھیوریم استعمال کریں اور مسلسل افعال بنیں۔ اس لیے ہم وقفے کے ساتھ کام کر سکتے ہیں۔ آئیے اور اس پر تفریق کریں۔ سب کے لیے فرض کریں۔ پھر ایسا موجود ہے کہ نوٹ: ان اور اسی طرح کچھ کے لیے۔ یہ کچھ کے لیے بھی کیا جا سکتا ہے۔ اسے جاری رکھا جا سکتا ہے۔ یہ ایک تقسیم دیتا ہے: سیٹ کے ساتھ: مرحلہ 4: پاور رول کے ذریعہ واپس تبدیل کریں، کے بار بار مشتقات، لہذا: اس کی طرف جاتا ہے: دوبارہ ترتیب دینے سے، ہمیں ملتا ہے: یا آخر کار: بقیہ کی اوسط قیمت کی شکلوں کے لیے مشتق G کوئی حقیقی قدر والا فنکشن ہے، جو اور کے درمیان بند وقفے پر مسلسل ہے اور اور اور کے درمیان کھلے وقفے پر غیر غائب مشتق کے ساتھ تفریق پذیر ہے، اور اس کی وضاحت کریں۔ پھر، کاچی کے اوسط قدر تھیوریم کے مطابق، کچھ کے لیے اور کے درمیان کھلے وقفے پر۔ نوٹ کریں کہ یہاں عددی بالکل ٹیلر کثیر کے بقیہ کے لیے ہے۔ اسے () میں مرتب کریں اور اصطلاحات کو دوبارہ ترتیب دیں تاکہ یہ معلوم کیا جا سکے کہ یہ ٹیلر کے نظریہ کے اصل بیان کے بعد مذکور بقیہ اصطلاح کی شکل ہے اور بقیہ اوسط قدر کی شکل میں ہے۔ بقیہ کی لگرینج شکل کو چن کر اور کاچی شکل کو چن کر پایا جاتا ہے۔ تبصرہ کریں۔ اس طریقہ کار کا استعمال کرتے ہوئے کوئی بھی منتخب کرکے بقیہ کی لازمی شکل کو بازیافت بھی کر سکتا ہے لیکن اوسط قدر تھیوریم کے استعمال کے لیے درکار f کے تقاضے بہت مضبوط ہیں، اگر کسی کا مقصد اس صورت میں دعوی ثابت کرنا ہے کہ f صرف بالکل مسلسل ہے۔ تاہم، اگر کوئی لیبسیگ انٹیگرل کے بجائے ریمن انٹیگرل کا استعمال کرتا ہے، تو مفروضوں کو کمزور نہیں کیا جا سکتا۔ بقیہ کی لازمی شکل کے لیے مشتق اور اس کے مشتق کے درمیان بند وقفے پر مطلق تسلسل کی وجہ سے ایک فنکشن کے طور پر موجود ہے، اور ہم حصوں کے لحاظ سے کیلکولس اور انضمام کا بنیادی نظریہ استعمال کر سکتے ہیں۔ یہی ثبوت ریمن انٹیگرل کے لیے لاگو ہوتا ہے یہ فرض کرتے ہوئے کہ یہ بند وقفے پر مسلسل ہے اور اور کے درمیان کھلے وقفے پر تفریق پذیر ہے، اور یہ اوسط قدر تھیوریم کو استعمال کرنے کے بجائے ایک ہی نتیجہ کی طرف لے جاتا ہے۔ کیلکولس کا بنیادی نظریہ بیان کرتا ہے کہ اب ہم حصوں کے لحاظ سے انٹیگریٹ کر سکتے ہیں اور کیلکولس کے بنیادی نظریہ کو دوبارہ استعمال کر کے یہ دیکھ سکتے ہیں کہ اس معاملے میں انٹیگرل شکل میں بقیہ کے ساتھ بالکل ٹیلر کا نظریہ کیا ہے۔ عام بیان انڈکشن کا استعمال کرتے ہوئے ثابت ہوتا ہے۔ فرض کریں کہ بقیہ اصطلاح کو حصوں کے لحاظ سے مربوط کرنے سے ہم اسے فارمولے میں تبدیل کرنے پر پہنچتے ہیں اس سے ظاہر ہوتا ہے کہ اگر یہ قیمت کے لیے ہے تو اسے قیمت کے لیے بھی ہونا چاہیے۔ لہذا، چونکہ یہ برقرار رہتا ہے، اس لیے اسے ہر مثبت عدد کے لیے برقرار رکھنا چاہیے۔ ہم خصوصی کیس کو ثابت کرتے ہیں، جہاں مرکز کے ساتھ کچھ بند گیند میں ترتیب تک مسلسل جزوی مشتقات ہوتے ہیں۔ ثبوت کی حکمت عملی یہ ہے کہ ٹیلر تھیوریم کے ایک متغیر کیس کو ملحقہ لائن سیگمنٹ کی پابندی پر لاگو کیا جائے۔ ہم ٹیلر تھیوریم کے ایک متغیر ورژن کو فنکشن پر لاگو کرتے ہیں: کئی متغیرات کے لیے چین رول کو لاگو کرنے سے پتہ چلتا ہے کہ کثیر الجہتی گتانک کہاں ہے۔ چونکہ، ہمیں ملتا ہے: فوٹ نوٹس حوالہ جات بھی دیکھیں۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ بیرونی روابط ٹیلر سیریز کا کوسین کے قریب کٹ-دی-گانٹھ ٹرگونومیٹرک ٹیلر ایکسٹینشن انٹرایکٹو ڈیمنسٹریٹو ایپلٹ ٹیلر سیریز کا ہولیسٹک نیومریکل میتھڈز انسٹی ٹیوٹ میں دوبارہ جائزہ لیا گیا حقیقی تجزیہ میں کیلکولس تھیوریمز میں تھیوریمز کے ثبوت پر مشتمل مضامین