Probability measure
ریاضی میں، امکان کی پیمائش ایک حقیقی قدر والی فنکشن ہے جس کی وضاحت امکانات کی جگہ میں واقعات کے ایک سیٹ پر کی جاتی ہے جو پیمائش کی خصوصیات کو مطمئن کرتی ہے جیسے کہ قابل گنتی اضافہ۔ امکان کی پیمائش اور پیمائش کے زیادہ عام تصور (جس میں رقبہ یا حجم جیسے تصورات شامل ہیں) کے درمیان فرق یہ ہے کہ امکان کی پیمائش کو پورے امکان کی جگہ کو ویلیو 1 تفویض کرنا چاہیے۔ بدیہی طور پر، اضطراری خاصیت کا کہنا ہے کہ پیمائش کے ذریعہ دو جداگانہ (باہمی طور پر خصوصی) واقعات کے اتحاد کے لیے تفویض کردہ امکان واقعات کے امکانات کا مجموعہ ہونا چاہیے۔ مثال کے طور پر، پاسے کے پھینکنے میں نتیجہ "1 یا 2" کو تفویض کردہ قدر نتائج "1" اور "2" کو تفویض کردہ اقدار کا مجموعہ ہونا چاہیے۔ فزیکس سے لے کر فنانس اور بائیولوجی تک متنوع شعبوں میں امکانی اقدامات کا اطلاق ہوتا ہے۔ تعریف کسی سیٹ فنکشن کے لیے امکانات کی جگہ پر امکانات کی پیمائش ہونے کی ضروریات یہ ہیں کہ: خالی سیٹ اور پوری جگہ کے لیے یونٹ کے وقفے میں واپسی کے نتائج واپس کرنے چاہئیں۔ قابل گنتی اضافی خاصیت کو پورا کرنا چاہیے جو جوڑی کے لحاظ سے جداگانہ سیٹوں کے تمام قابل گنتی مجموعوں کے لیے: مثال کے طور پر، تین عناصر 1، 2 اور 3 کو امکانات کے ساتھ دیا گیا ہے اور جس قدر کو تفویض کیا گیا ہے وہ دائیں طرف کے خاکہ میں ہے۔ واقعات کے چوراہے پر مبنی مشروط امکان کی تعریف اس طرح کی گئی ہے: امکان کی پیمائش کی ضروریات کو پورا کرتا ہے جب تک کہ صفر نہ ہو۔ امکان کے اقدامات مبہم اقدامات کے زیادہ عام تصور سے الگ ہیں جس میں اس بات کی ضرورت نہیں ہے کہ مبہم اقدار کا مجموعہ ہو اور اضافی پراپرٹی کو سیٹ کی شمولیت پر مبنی آرڈر ریلیشن سے تبدیل کیا جائے۔ مثال ایپلی کیشنز مارکیٹ کے اقدامات جو مارکیٹ کی اصل نقل و حرکت کی بنیاد پر مالیاتی مارکیٹ کے مقامات کو امکانات تفویض کرتے ہیں وہ امکانات کے اقدامات کی مثالیں ہیں جو ریاضیاتی مالیات میں دلچسپی رکھتے ہیں۔ مثال کے طور پر، مالیاتی مشتقات کی قیمتوں میں۔ مثال کے طور پر، رسک غیر جانبدار پیمائش ایک امکان کی پیمائش ہے جو یہ فرض کرتی ہے کہ اثاثوں کی موجودہ قیمت اسی رسک غیر جانبدار اقدام کے حوالے سے کی جانے والی مستقبل کی ادائیگی کی متوقع قیمت ہے (یعنی۔ متعلقہ رسک نیوٹرل ڈینسٹی فنکشن) کا استعمال کرتے ہوئے حساب لگایا جاتا ہے، اور رسک فری ریٹ پر رعایت دی جاتی ہے۔ اگر کوئی منفرد امکانی پیمائش ہے جسے بازار میں اثاثوں کی قیمت کے لیے استعمال کیا جانا چاہیے، تو بازار کو مکمل بازار کہا جاتا ہے۔ وہ تمام اقدامات جو بدیہی طور پر موقع یا امکان کی نمائندگی کرتے ہیں وہ امکان کے اقدامات نہیں ہیں۔ مثال کے طور پر، اگرچہ شماریاتی میکانکس میں کسی نظام کا بنیادی تصور ایک پیمائش کی جگہ ہے، اس طرح کے اقدامات ہمیشہ امکان کے اقدامات نہیں ہوتے ہیں۔ عام طور پر، شماریاتی طبیعیات میں، اگر ہم اس شکل کے جملوں پر غور کریں "کسی نظام S کے امکان کو فرض کرتے ہوئے کہ حالت A p ہے" تو نظام کی جیومیٹری ہمیشہ ہم آہنگی کے تحت امکان کی پیمائش کی تعریف کی طرف نہیں لے جاتی ہے، حالانکہ یہ صرف ایک ڈگری کی آزادی والے نظاموں کے معاملے میں ایسا کر سکتا ہے۔ امکان کے اقدامات ریاضیاتی حیاتیات میں بھی استعمال ہوتے ہیں۔ مثال کے طور پر، تقابلی ترتیب کے تجزیے میں امکان کی پیمائش کی وضاحت اس امکان کے لیے کی جا سکتی ہے کہ ایک ترتیب میں امینو ایسڈ کے لیے ایک قسم جائز ہو سکتی ہے۔ الٹرا فلٹرز کو قابل قدر امکانات کے اقدامات کے طور پر سمجھا جا سکتا ہے، جو اقدامات پر مبنی بہت سے بدیہی ثبوتوں کی اجازت دیتا ہے۔ مثال کے طور پر، ہند مین کے نظریہ کو ان اقدامات کی مزید تحقیقات اور خاص طور پر ان کے ارتقاء سے ثابت کیا جا سکتا ہے۔ امکانات کی تقسیم کے حوالہ جات مزید پڑھنا امکانات کی پیمائش، فنکشن اور تقسیم میں فرق، ریاضی اسٹیک ایکسچینج بیرونی روابط تجربہ (امکانات کا نظریہ) اقدامات (پیمائش کا نظریہ) پی ایل: میرا امکانی تجزیہ