Bounded set
ریاضیاتی تجزیے اور ریاضی کے متعلقہ شعبوں میں، ایک سیٹ کو باؤنڈ کہا جاتا ہے اگر یہ کسی خاص لحاظ سے محدود پیمائش کا ہو۔ اس کے برعکس، ایک سیٹ جو پابند نہیں ہے اسے غیر پابند کہا جاتا ہے۔ لفظ "باؤنڈڈ" ایک متعلقہ میٹرک کے بغیر عام ٹپوولوجیکل اسپیس میں کوئی معنی نہیں رکھتا ہے۔ باؤنڈری ایک الگ تصور ہے: مثال کے طور پر، تنہائی میں ایک دائرہ ایک باؤنڈری لیس باؤنڈڈ سیٹ ہے، جبکہ نصف طیارہ غیر باؤنڈڈ ہے پھر بھی اس کی باؤنڈری ہوتی ہے۔ ایک باؤنڈ سیٹ لازمی طور پر ایک بند سیٹ نہیں ہے اور اس کے برعکس۔ مثال کے طور پر، کارٹیزین کوآرڈینیٹ سسٹم میں بیان کردہ دو پیرابولک منحنی خطوط x2 + 1 اور x2-1 سے محدود 2 جہتی حقیقی خلا R2 کا ذیلی سیٹ S منحنی خطوط سے بند ہوتا ہے لیکن پابند نہیں ہوتا ہے (اتنا غیر محدود)۔ حقیقی اعداد میں تعریف حقیقی اعداد کے ایک سیٹ S کو اوپر سے باؤنڈ کہا جاتا ہے اگر کوئی حقیقی نمبر k موجود ہو (ضروری نہیں کہ S میں ہو) جیسے کہ S میں تمام s کے لیے k ≤ s۔ نمبر k کو S کی اوپری باؤنڈ کہا جاتا ہے۔ نیچے اور نچلے باؤنڈ سے باؤنڈ ہونے والی اصطلاحات اسی طرح بیان کی جاتی ہیں۔ ایک سیٹ S پابند ہے اگر اس کی اوپری اور نچلی دونوں حدود ہوں۔ لہذا، حقیقی اعداد کا ایک مجموعہ پابند ہوتا ہے اگر وہ ایک محدود وقفے میں موجود ہو۔ میٹرک اسپیس میں تعریف ایک میٹرک اسپیس (M، d) کا ذیلی سیٹ S پابند ہے اگر r> 0 موجود ہو تاکہ S میں تمام s اور t کے لیے، ہمارے پاس d (s، t) <r ہو۔ میٹرک اسپیس (M، d) ایک پابند میٹرک اسپیس ہے (یا d ایک پابند میٹرک ہے) اگر M اپنے آپ میں ایک ذیلی سیٹ کے طور پر پابند ہے۔ مکمل حد بندی سے مراد حد بندی ہے۔ Rn کے ذیلی مجموعوں کے لیے دونوں مساوی ہیں۔ ایک میٹرک اسپیس کمپیکٹ ہوتی ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب یہ مکمل اور مکمل طور پر پابند ہو۔ یوکلڈین اسپیس آر این کا ایک ذیلی سیٹ کمپیکٹ ہوتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب یہ بند اور پابند ہو۔ اسے ہائن-بوریل تھیوریم بھی کہا جاتا ہے۔ ٹوپولوجیکل ویکٹر خالی جگہوں میں باؤنڈنیس ٹوپولوجیکل ویکٹر خالی جگہوں میں، باؤنڈڈ سیٹوں کے لیے ایک مختلف تعریف موجود ہے جسے بعض اوقات وان نیومن باؤنڈنیس کہا جاتا ہے۔ اگر ٹوپولوجیکل ویکٹر اسپیس کی ٹوپولوجی ایک ایسی میٹرک سے متاثر ہوتی ہے جو یکساں ہوتی ہے، جیسا کہ معیاری ویکٹر اسپیس کے معیار سے متاثر ہونے والے میٹرک کے معاملے میں، تو دونوں تعریفیں موافق ہوتی ہیں۔ آرڈر تھیوری میں باؤنڈنیس حقیقی اعداد کا ایک مجموعہ پابند ہوتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب اس کی اوپری اور نچلی حد ہو۔ یہ تعریف کسی بھی جزوی طور پر ترتیب شدہ سیٹ کے ذیلی سیٹوں تک قابل توسیع ہے۔ نوٹ کریں کہ حد بندی کا یہ زیادہ عام تصور "سائز" کے تصور سے مطابقت نہیں رکھتا ہے۔ جزوی طور پر ترتیب شدہ سیٹ P کے ذیلی سیٹ S کو اوپر باؤنڈ کہا جاتا ہے اگر P میں کوئی عنصر k ایسا ہو کہ S میں تمام s کے لیے k ≤ s ہو۔ عنصر k کو S کا اوپری باؤنڈ کہا جاتا ہے۔ نیچے باؤنڈ اور نچلے باؤنڈ کے تصورات کی وضاحت اسی طرح کی جاتی ہے۔ (اوپری اور نچلی حدود بھی دیکھیں۔) جزوی طور پر ترتیب شدہ سیٹ P کے ذیلی سیٹ S کو باؤنڈ کہا جاتا ہے اگر اس میں اوپری اور نچلی باؤنڈ دونوں ہوں، یا مساوی طور پر، اگر یہ وقفے میں موجود ہو۔ نوٹ کریں کہ یہ سیٹ S کی صرف ایک خاصیت نہیں ہے بلکہ P کے ذیلی سیٹ کے طور پر سیٹ S میں سے ایک بھی ہے۔ ایک باؤنڈڈ پوزیٹ P (یعنی خود ذیلی سیٹ کے طور پر نہیں) وہ ہے جس میں کم سے کم عنصر اور سب سے بڑا عنصر ہوتا ہے۔ نوٹ کریں کہ باؤنڈنیس کے اس تصور کا محدود سائز سے کوئی تعلق نہیں ہے، اور یہ کہ ایک باؤنڈڈ پوزیٹ P کا ذیلی سیٹ S جس میں ترتیب کے طور پر P پر آرڈر کی پابندی لازمی طور پر ایک باؤنڈڈ پوزیٹ نہیں ہے۔ آر این کا ایک ذیلی سیٹ ایس یوکلڈین فاصلے کے حوالے سے پابند ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب وہ پروڈکٹ آرڈر کے ساتھ آر این کے ذیلی سیٹ کے طور پر پابند ہو۔ تاہم، S کو آر این کے ذیلی سیٹ کے طور پر لغت کی ترتیب سے منسلک کیا جا سکتا ہے، لیکن یوکلڈین فاصلے کے حوالے سے نہیں۔ آرڈینل نمبروں کی ایک کلاس کو لامحدود کہا جاتا ہے، یا کو فائنل، جب کوئی آرڈینل دیا جاتا ہے، تو ہمیشہ کلاس کا کچھ عنصر اس سے بڑا ہوتا ہے۔ اس طرح اس معاملے میں "ان باؤنڈڈ" کا مطلب خود سے ان باؤنڈڈ نہیں ہے بلکہ تمام آرڈینل نمبروں کی کلاس کے ذیلی طبقے کے طور پر ان باؤنڈڈ ہے۔ باؤنڈڈ ڈومین باؤنڈڈ فنکشن بھی دیکھیں مقامی باؤنڈڈنیس آرڈر تھیوری مکمل طور پر باؤنڈڈ حوالہ جات ریاضیاتی تجزیہ فنکشنل تجزیہ آرڈر تھیوری