Jet (mathematics)
ریاضی میں، جیٹ ایک ایسا عمل ہے جو ایک تفریق پذیر فنکشن f لیتا ہے اور اپنے ڈومین کے ہر نقطہ پر ایک کثیر الجہتی، f کا کٹا ہوا ٹیلر کثیر الجہتی پیدا کرتا ہے۔ اگرچہ یہ جیٹ کی تعریف ہے، لیکن جیٹ کا نظریہ ان کثیر الجہتی کو کثیر الجہتی افعال کے بجائے تجریدی کثیر الجہتی سمجھتا ہے۔ یہ مضمون سب سے پہلے ایک حقیقی متغیر میں ایک حقیقی قابل قدر فنکشن کے جیٹ کے تصور کی کھوج کرتا ہے، اس کے بعد کئی حقیقی متغیرات کو عام کرنے پر بحث کی جاتی ہے۔ اس کے بعد یہ یوکلڈین خالی جگہوں کے درمیان جیٹ طیاروں اور جیٹ خالی جگہوں کی سخت تعمیر فراہم کرتا ہے۔ یہ کئی گنا کے درمیان جیٹ طیاروں کی تفصیل کے ساتھ اختتام پذیر ہوتا ہے، اور یہ کہ ان جیٹ طیاروں کو اندرونی طور پر کیسے بنایا جا سکتا ہے۔ اس زیادہ عام سیاق و سباق میں، یہ تفریقی جیومیٹری اور تفریقی مساوات کے نظریہ پر جیٹ طیاروں کے کچھ استعمال کا خلاصہ پیش کرتا ہے۔ یوکلڈین خالی جگہوں کے درمیان افعال کے جیٹ جیٹ کی سخت تعریف دینے سے پہلے، کچھ خاص معاملات کا جائزہ لینا مفید ہے۔ ایک جہتی کیس فرض کریں کہ یہ ایک حقیقی قدر والی فنکشن ہے جس میں نقطہ کے پڑوس U میں کم از کم k + 1 مشتق ہوتے ہیں۔ پھر ٹیلر تھیوریم کے ذریعہ، جہاں پھر نقطہ پر f کے k-جیٹ کو کثیر الجہتی جیٹس کے طور پر بیان کیا جاتا ہے، عام طور پر متغیر z میں تجریدی کثیر الجہتی کے طور پر سمجھا جاتا ہے، نہ کہ اس متغیر میں حقیقی کثیر الجہتی افعال کے طور پر۔ دوسرے لفظوں میں، z ایک غیر متعین متغیر ہے جو جیٹ طیاروں کے درمیان مختلف الجبرائی کارروائیاں انجام دینے کی اجازت دیتا ہے۔ درحقیقت یہ وہ بنیادی نقطہ ہے جہاں سے جیٹ طیارے اپنا فعال انحصار حاصل کرتے ہیں۔ اس طرح، بیس پوائنٹ کو تبدیل کرنے سے، ایک جیٹ ہر پوائنٹ پر زیادہ سے زیادہ k پر ترتیب کا کثیر الجہتی حاصل کرتا ہے۔ یہ جیٹ طیاروں اور کٹے ہوئے ٹیلر سیریز کے درمیان ایک اہم تصوراتی فرق کی نشاندہی کرتا ہے: عام طور پر ٹیلر سیریز کو اس کے بیس پوائنٹ کے بجائے فعال طور پر اس کے متغیر پر منحصر سمجھا جاتا ہے۔ دوسری طرف جیٹس، ٹیلر سیریز کی الجبرائی خصوصیات کو ان کی فعال خصوصیات سے الگ کرتے ہیں۔ ہم مضمون میں بعد میں اس علیحدگی کی وجوہات اور اطلاق پر غور کریں گے۔ ایک یوکلڈین جگہ سے دوسری جگہ کی نقشہ سازی فرض کریں کہ یہ ایک یوکلڈین جگہ سے دوسری جگہ تک ایک فنکشن ہے جس میں کم از کم (k + 1) مشتق ہیں۔ اس صورت میں، ٹیلر کا نظریہ اس بات پر زور دیتا ہے کہ f کے k-جیٹ کو پھر جہاں میں کثیر الجہتی کے طور پر بیان کیا جاتا ہے۔ جیٹ طیاروں کی الجبرائی خصوصیات دو بنیادی الجبرائی ڈھانچے ہیں جو جیٹ جہاز لے جا سکتے ہیں۔ پہلا پروڈکٹ کا ڈھانچہ ہے، حالانکہ یہ بالآخر سب سے کم اہم ثابت ہوتا ہے۔ دوسرا طیاروں کی ساخت کا ڈھانچہ ہے۔ اگر حقیقی قدر والے افعال کا ایک جوڑا ہے، تو ہم ان کے جیٹ طیاروں کے پروڈکٹ کی وضاحت کر سکتے ہیں۔ یہاں ہم نے غیر متعین z کو دبا دیا ہے، کیونکہ یہ سمجھا جاتا ہے کہ جیٹ رسمی کثیر الجہتی ہیں۔ یہ پروڈکٹ صرف Z، ماڈیولو میں عام کثیر الجہتی کا پروڈکٹ ہے۔ دوسرے لفظوں میں، یہ رنگ میں ضرب ہے، جہاں ترتیب k + 1 کے یکساں کثیر الجہتی سے پیدا ہونے والا آئیڈیل ہے۔ اب ہم جیٹ طیاروں کی ساخت کی طرف بڑھتے ہیں۔ غیر ضروری تکنیکی پہلوؤں سے بچنے کے لیے، ہم ان افعال پر غور کرتے ہیں جو اصل کی اصل کا نقشہ بناتے ہیں۔ اگر اور f (0) = 0 اور g (0) = 0 کے ساتھ، تو۔ جیٹ طیاروں کی ساخت کی وضاحت اس کے ذریعے کی جاتی ہے۔ چین رول کا استعمال کرتے ہوئے اس کی آسانی سے تصدیق کی جاتی ہے کہ یہ اصل میں جیٹ طیاروں کی جگہ پر ایک ایسوسی ایٹیو نان کمیونیٹیٹو آپریشن تشکیل دیتا ہے۔ در حقیقت، کے-جیٹس کی ساخت کثیر الجہتی ماڈیولو کی ساخت سے زیادہ کچھ نہیں ہے جو کہ ترتیب کے یکساں کثیر الجہتی کا آئیڈیل ہے۔ مثال: ایک جہت میں، اور۔ پھر اور جیٹس یوکلڈین اسپیس میں ایک مقام پر: سخت تعریفیں تجزیاتی تعریف مندرجہ ذیل تعریف جیٹس اور جیٹ اسپیس کی وضاحت کے لیے ریاضیاتی تجزیہ سے خیالات کا استعمال کرتی ہے۔ اسے بناچ خالی جگہوں، حقیقی یا پیچیدہ ڈومینز کے درمیان تجزیاتی افعال، پی-ایڈک تجزیہ، اور تجزیہ کے دیگر شعبوں کے درمیان افعال کو ہموار کرنے کے لیے عام کیا جا سکتا ہے۔ چلو ہموار افعال کی ویکٹر جگہ ہو. فرض کریں کہ k ایک غیر منفی عدد ہے، اور p کو ایک نقطہ ہونے دیں۔ ہم اس جگہ پر ایک مساوات کے تعلق کی وضاحت کرتے ہوئے یہ اعلان کرتے ہیں کہ دو افعال f اور g آرڈر k کے مساوی ہیں اگر f اور g کی p پر ایک ہی قدر ہے، اور ان کے تمام جزوی مشتقات p پر اپنے k-th-آرڈر مشتقات تک (اور بشمول) متفق ہیں۔ مختصر میں، آئی ایف ایف سے کے-تھ آرڈر۔ p کے k-th-آرڈر جیٹ اسپیس کو مساوات کلاسوں کے سیٹ کے طور پر بیان کیا گیا ہے، اور اس کی طرف اشارہ کیا گیا ہے۔ ہموار فنکشن کے p پر k-th-آرڈر جیٹ کو f in کی مساوات کلاس کے طور پر بیان کیا گیا ہے۔ الجبرو-جیومیٹرک تعریف مندرجہ ذیل تعریف الجبرائی جیومیٹری اور مواصلاتی الجبرا کے نظریات کا استعمال کرتی ہے تاکہ جیٹ اور جیٹ اسپیس کے تصور کو قائم کیا جا سکے۔ اگرچہ یہ تعریف الجبرائی جیومیٹری میں استعمال کے لیے خاص طور پر موزوں نہیں ہے، چونکہ یہ ہموار زمرے میں ڈالی گئی ہے، اس لیے اسے آسانی سے اس طرح کے استعمال کے مطابق بنایا جا سکتا ہے۔ ایک نقطہ p پر ہموار افعال کے جراثیم کی ویکٹر جگہ ہونے دیں۔ فرض کریں کہ وہ مثالی ہو جو افعال کے جراثیم پر مشتمل ہو جو p پر ختم ہو جاتے ہیں۔ (یہ مقامی رنگ کے لیے زیادہ سے زیادہ مثالی ہے۔) پھر آئیڈیل تمام فنکشن جراثیموں پر مشتمل ہوتا ہے جو p پر k آرڈر کرنے کے لیے غائب ہو جاتے ہیں۔ اب ہم p پر جیٹ اسپیس کی وضاحت کر سکتے ہیں۔ ایک-اسپیس کے لیے، ڈھانچے کے شیف کا ڈنٹھل ہونا چاہیے اور مقامی رنگ کا زیادہ سے زیادہ مثالی ہونا چاہیے۔ kth جیٹ اسپیس کو رنگ کے طور پر بیان کیا گیا ہے (آئیڈیلز کا پروڈکٹ ہے)۔ تعریف سے قطع نظر، ٹیلر کا نظریہ اور کے درمیان ویکٹر خالی جگہوں کا ایک کینونکل آئسومورفزم قائم کرتا ہے۔ لہذا یوکلڈین سیاق و سباق میں، جیٹ طیاروں کی شناخت عام طور پر اس آئسومورفزم کے تحت ان کے کثیر الجہتی نمائندوں کے ساتھ کی جاتی ہے۔ ایک نقطہ سے ایک نقطہ تک جیٹ خالی جگہیں ہم نے ایک نقطہ پر جیٹ طیاروں کی جگہ کی وضاحت کی ہے۔ فنکشن f کے جیٹوں پر مشتمل اس کی ذیلی جگہ کہ f (p) = q کو دو کئی گنا کے درمیان فنکشن کے جیٹوں سے ظاہر کیا جاتا ہے۔ اگر M اور N دو ہموار کئی گنا ہیں، تو ہم کسی فنکشن کے جیٹ کی وضاحت کیسے کرتے ہیں؟ ہم شاید ایم اور این پر مقامی نقاط کا استعمال کرتے ہوئے اس طرح کے جیٹ کی وضاحت کرنے کی کوشش کر سکتے ہیں۔ اس کا نقصان یہ ہے کہ جیٹ طیاروں کی تعریف غیر متغیر انداز میں نہیں کی جا سکتی۔ جیٹ ٹینسر کے طور پر تبدیل نہیں ہوتے ہیں۔ اس کے بجائے، دو کئی گنا کے درمیان افعال کے جیٹ ایک جیٹ بنڈل سے تعلق رکھتے ہیں۔ حقیقی لکیر سے کئی گنا تک افعال کے جیٹ فرض کریں کہ M ایک ہموار کئی گنا ہے جس میں ایک نقطہ p ہے۔ ہم p کے ذریعے منحنی خطوط کے جیٹ کی وضاحت کریں گے، جس کے ذریعے اب ہم ہموار افعال کا مطلب اس طرح کرتے ہیں کہ f (0) = p۔ مساوات کے تعلق کی وضاحت اس طرح کریں: فرض کریں کہ f اور g p کے ذریعے منحنی خطوط کا ایک جوڑا ہے۔ پھر ہم کہیں گے کہ f اور g p پر ترتیب k کے مساوی ہیں اگر p کا کوئی پڑوس U ہے، جیسے کہ، ہر ہموار فعل کے لیے،۔ نوٹ کریں کہ یہ جیٹ جامع افعال کی وجہ سے اچھی طرح سے متعین ہیں اور صرف حقیقی لائن سے اپنے آپ میں نقشہ سازی کر رہے ہیں۔ اس مساوات کے تعلق کو بعض اوقات p پر منحنی خطوط کے درمیان k-th-آرڈر رابطہ کہا جاتا ہے۔ اب ہم f سے p تک کے منحنی خطوط کے k-جیٹ کی وضاحت کرتے ہیں کہ وہ f کے تحت، ظاہر یا مساوی کلاس ہے۔ کے-تھ-آرڈر جیٹ اسپیس پھر پی پر کے-جیٹس کا مجموعہ ہوتا ہے۔ جیسا کہ پی ایم پر مختلف ہوتا ہے، ایم پر فائبر بنڈل بناتا ہے: کے-تھ-آرڈر ٹینجینٹ بنڈل، جسے اکثر ادب میں ٹی کے ایم سے ظاہر کیا جاتا ہے (حالانکہ یہ اشارہ کبھی کبھار الجھن کا باعث بن سکتا ہے)۔ k = 1 کی صورت میں، پھر فرسٹ آرڈر ٹینجینٹ بنڈل معمول کا ٹینجینٹ بنڈل ہے: T1M = TM۔ یہ ثابت کرنے کے لیے کہ ٹی کے ایم درحقیقت فائبر کا بنڈل ہے، مقامی نقاط کی خصوصیات کا جائزہ لینا سبق آموز ہے۔ فرض کریں کہ (xi) = (x1,., xn) p کے پڑوس U میں M کے لیے ایک مقامی ہم آہنگی نظام ہے۔ اشارے کا تھوڑا سا غلط استعمال کرتے ہوئے، ہم (xi) کو مقامی ڈفیومورفزم کے طور پر سمجھ سکتے ہیں۔ دعوی۔ دو منحنی خطوط f اور g سے p مساوی ماڈیولو ہیں اگر اور صرف اگر۔ درحقیقت، صرف اس صورت میں جب حصہ واضح ہو، چونکہ ہر ایک n فنکشن x1،.، xn، M سے لے کر m تک ایک ہموار فنکشن ہے۔ لہذا مساوات کے تعلق کی تعریف کے مطابق، دو مساوی منحنی خطوط ہونے چاہئیں۔ اس کے برعکس، فرض کریں کہ ؛ p کے پڑوس میں M پر ایک ہموار حقیقی قدر والی فنکشن ہے۔ چونکہ ہر ہموار فنکشن کا ایک مقامی کوآرڈینیٹ اظہار ہوتا ہے، اس لیے ہم کوآرڈینیٹس میں ایک فنکشن کے طور پر ظاہر کر سکتے ہیں۔ خاص طور پر، اگر q، p کے قریب M کا ایک نقطہ ہے، تو n حقیقی متغیرات کے کچھ ہموار حقیقی قدر والے فنکشن si کے لیے۔ لہذا، دو منحنی خطوط f اور g سے p کے لیے، ہمارے پاس ہے۔ مثال کے طور پر، اگر f اور g حقیقی متغیر t کے افعال ہیں، تو جو f کے بجائے g کے خلاف تشخیص کرنے پر ایک ہی اظہار کے برابر ہے، یاد کرتے ہوئے کہ f (0) = g (0) = p اور f اور g کوآرڈینیٹ سسٹم (xi) میں k-th-آرڈر رابطے میں ہیں۔ لہذا بظاہر فائبر بنڈل ٹی کے ایم ہر مربوط محلے میں ایک مقامی معمولی بات کو تسلیم کرتا ہے۔ اس موقع پر، یہ ثابت کرنے کے لیے کہ یہ ظاہری فائبر بنڈل درحقیقت ایک فائبر بنڈل ہے، یہ ثابت کرنے کے لیے کافی ہے کہ نقاط کی تبدیلی کے تحت اس میں غیر یک جہتی منتقلی کے افعال ہیں۔ آئیے ایک مختلف کوآرڈینیٹ سسٹم بنیں اور یوکلڈین اسپیس کے کوآرڈینیٹس ڈفیومورفزم کی متعلقہ تبدیلی خود ہونے دیں۔ کی افائن تبدیلی کے ذریعے، ہم عامیت کے نقصان کے بغیر فرض کر سکتے ہیں کہ ρ (0) = 0۔ اس مفروضے کے ساتھ، یہ ثابت کرنا کافی ہے کہ جیٹ ساخت کے تحت ایک الٹا تبدیلی ہے۔ (جیٹ گروپس بھی دیکھیں۔) لیکن چونکہ ρ ایک ڈفیومورفزم ہے، اس لیے یہ ایک ہموار نقشہ سازی بھی ہے۔ لہذا، جو ثابت کرتا ہے کہ یہ غیر واحد ہے۔ مزید برآں، یہ ہموار ہے، حالانکہ ہم یہاں اس حقیقت کو ثابت نہیں کرتے ہیں۔ بدیہی طور پر، اس کا مطلب یہ ہے کہ ہم پی کے ذریعے منحنی خطوط کے جیٹ کو ایم پر مقامی نقاط میں اس کی ٹیلر سیریز کے لحاظ سے ظاہر کر سکتے ہیں۔ مقامی نقاط میں مثالیں: جیسا کہ پہلے اشارہ کیا گیا ہے، پی کے ذریعے منحنی خطوط کا 1-جیٹ ایک ٹینجینٹ ویکٹر ہے۔ p پر ٹینجینٹ ویکٹر ایک فرسٹ آرڈر تفریقی آپریٹر ہے جو p پر ہموار حقیقی قدر والے افعال پر کام کرتا ہے۔ مقامی نقاط میں، ہر ٹینجینٹ ویکٹر کی شکل ہوتی ہے۔ اس طرح کے ٹینجینٹ ویکٹر v کو دیکھتے ہوئے، فرض کریں کہ f xi کوآرڈینیٹ سسٹم میں دیا گیا منحنی خطوط ہے۔ اگر φ، p کے پڑوس میں ایک ہموار فعل ہے جس میں φ (p) = 0 ہے، تو یہ ایک متغیر کا ہموار حقیقی قدر والا فعل ہے جس کے ذریعے 1-جیٹ دیا جاتا ہے جس سے یہ ثابت ہوتا ہے کہ کوئی قدرتی طور پر ایک نقطہ پر ٹینجینٹ ویکٹرز کی شناخت کر سکتا ہے جس کے ذریعے منحنی خطوط کے 1-جیٹ ہوتے ہیں۔ ایک نقطہ کے ذریعے منحنی خطوط کے 2 جیٹ کی جگہ۔ ایک مقامی کوآرڈینیٹ سسٹم xi میں ایک نقطہ p پر مرکوز، ہم ایک منحنی f (t) کے دوسرے درجے کے ٹیلر کثیر الجہتی کو p کے ذریعے p کے ذریعے ظاہر کر سکتے ہیں۔ جیسا کہ ایک نقطہ پر ٹینجینٹ ویکٹرز (منحنی خطوط کے 1-جیٹ) کے ساتھ ہوتا ہے، منحنی خطوط کے 2-جیٹ مربوط منتقلی افعال کے اطلاق پر تبدیلی کے قانون کی پابندی کرتے ہیں۔ (yi) کو ایک اور کوآرڈینیٹ سسٹم ہونے دیں۔ سلسلہ کے اصول کے مطابق، اس لیے، تبدیلی کا قانون ان دونوں تاثرات کا t = 0 پر جائزہ لے کر دیا جاتا ہے۔ نوٹ کریں کہ 2-جیٹس کے لیے تبدیلی کا قانون کوآرڈینیٹ ٹرانزیشن افعال میں سیکنڈ آرڈر ہے۔ کئی گنا سے کئی گنا تک افعال کے جیٹ اب ہم کسی فنکشن کے جیٹ کو کئی گنا سے کئی گنا تک بیان کرنے کے لیے تیار ہیں۔ فرض کریں کہ M اور N دو ہموار کئی گنا ہیں۔ فرض کریں کہ p، M کا ایک نقطہ ہے۔ اس جگہ پر غور کریں جو ہموار نقشوں پر مشتمل ہے جس کی وضاحت p کے کچھ پڑوس میں کی گئی ہے۔ ہم مساوات کے تعلق کی وضاحت اس طرح کرتے ہیں۔ دو نقشے f اور g کو مساوی کہا جاتا ہے اگر، ہر منحنی خطوط γ سے p کے لیے (یاد رکھیں کہ ہمارے کنونشن کے مطابق یہ اس طرح کی نقشہ سازی ہے)، ہمارے پاس 0 کے کچھ پڑوس پر ہے۔ اس کے بعد جیٹ اسپیس کو مساوات کے تعلق کے ماڈیولو کے مساوات کلاسوں کے سیٹ کے طور پر بیان کیا جاتا ہے۔ نوٹ کریں کہ چونکہ ٹارگٹ اسپیس N کو کسی الجبرائی ڈھانچے کی ضرورت نہیں ہے، اس لیے بھی اس طرح کی ساخت کی ضرورت نہیں ہے۔ درحقیقت یہ یوکلڈین خالی جگہوں کے معاملے کے بالکل برعکس ہے۔ اگر p کے قریب ایک ہموار فنکشن کی وضاحت کی گئی ہے، تو ہم p پر f کے k-جیٹ کی وضاحت کرتے ہیں، تاکہ f ماڈیولو کی مساوات کلاس ہو۔ ملٹی جیٹ جان میتھر نے ملٹی جیٹ کا تصور متعارف کرایا۔ ہلکے سے بات کرتے ہوئے، ملٹی جیٹ مختلف بیس پوائنٹس پر جیٹ طیاروں کی ایک محدود فہرست ہے۔ میتھر نے ملٹی جیٹ ٹرانسورسلٹی تھیوریم کو ثابت کیا، جسے انہوں نے مستحکم نقشہ سازی کے اپنے مطالعہ میں استعمال کیا۔ حصوں کے جیٹ فرض کریں کہ E پروجیکشن کے ساتھ کئی گنا M پر ایک محدود جہتی ہموار ویکٹر بنڈل ہے۔ پھر E کے حصے ہموار افعال ہوتے ہیں جیسے کہ M کی شناخت آٹومورفزم۔ ایک نقطہ p کے پڑوس پر کسی سیکشن s کا جیٹ، p پر M سے E تک اس ہموار فنکشن کا صرف جیٹ ہوتا ہے۔ p پر حصوں کے جیٹ کی جگہ کو اس سے ظاہر کیا جاتا ہے۔ اگرچہ یہ اشارہ دو کئی گنا کے درمیان افعال کی زیادہ عام جیٹ خالی جگہوں کے ساتھ الجھن کا باعث بن سکتا ہے، سیاق و سباق عام طور پر اس طرح کی کسی بھی ابہام کو ختم کرتا ہے۔ کئی گنا سے دوسرے کئی گنا تک افعال کے جیٹوں کے برعکس، p پر حصوں کے جیٹوں کی جگہ خود حصوں پر ویکٹر اسپیس ڈھانچے سے وراثت میں ملنے والی ویکٹر اسپیس کی ساخت رکھتی ہے۔ جیسا کہ p M پر مختلف ہوتا ہے، جیٹ خالی جگہیں M پر ایک ویکٹر بنڈل بناتی ہیں، جو E کا k-th-آرڈر جیٹ بنڈل ہے، جسے Jk (E) سے ظاہر کیا جاتا ہے۔ مثال: ٹینجینٹ بنڈل کا فرسٹ آرڈر جیٹ بنڈل۔ ہم ایک نقطہ پر مقامی نقاط میں کام کرتے ہیں اور آئن سٹائن کے اشارے کا استعمال کرتے ہیں۔ M میں p کے پڑوس میں ایک ویکٹر فیلڈ پر غور کریں۔ V کا 1-جیٹ ویکٹر فیلڈ کے کوفشنٹس کے فرسٹ آرڈر ٹیلر پولینومیل کو لے کر حاصل کیا جاتا ہے: x کوآرڈینیٹس میں، ایک پوائنٹ پر 1-جیٹ کو حقیقی نمبروں کی فہرست سے پہچانا جا سکتا ہے۔ اسی طرح کہ ایک نقطہ پر ایک ٹینجینٹ ویکٹر کی شناخت فہرست (vi) کے ساتھ کی جا سکتی ہے، جو کوآرڈینیٹ ٹرانزیشن کے تحت ایک مخصوص تبدیلی کے قانون کے تابع ہے، ہمیں یہ جاننا ہوگا کہ فہرست منتقلی سے کیسے متاثر ہوتی ہے۔ لہذا کسی دوسرے کوآرڈینیٹ سسٹم کو منتقل کرنے میں تبدیلی کے قانون پر غور کریں۔ Wk کو y کوآرڈینیٹس میں ویکٹر فیلڈ v کے کوفیشنٹس ہونے دیں۔ پھر y نقاط میں، v کا 1-جیٹ حقیقی اعداد کی ایک نئی فہرست ہے۔ چونکہ یہ اس کے بعد آتا ہے تو ٹیلر سیریز کے ذریعہ توسیع کرتے ہوئے، ہمارے پاس نوٹ ہے کہ کوآرڈینیٹ ٹرانزیشن افعال میں تبدیلی کا قانون دوسرے درجے کا ہے۔ ویکٹر بنڈلوں کے درمیان متفرق آپریٹرز یہ بھی دیکھیں جیٹ گروپ جیٹ بنڈل لگرینجین سسٹم حوالہ جات کراسیلشک، آئی ایس، ونوگراڈوف، اے ایم، [اور دیگر۔ ]، ریاضیاتی طبیعیات کے تفریقی مساوات کے لیے ہم آہنگی اور تحفظ کے قوانین، امریکن میتھمیٹیکل سوسائٹی، پروویڈنس، آر آئی، 1999،۔ کولار، I.، مائیکور، P.، سلوواک، J.، تفریقی جیومیٹری میں قدرتی کارروائیاں۔ سپرنگر-ورلاگ: برلن ہیڈلبرگ، 1993۔ سانڈرز، ڈی جے، دی جیومیٹری آف جیٹ بنڈلز، کیمبرج یونیورسٹی پریس، 1989، اولور، پی جے، مساوات، انویرنٹس اینڈ سمیٹری، کیمبرج یونیورسٹی پریس، 1995، سردانشویلی، جی۔ تھیوریٹیشینز کے لیے ایڈوانسڈ ڈفریینشل جیومیٹری: فائبر بنڈلز، جیٹ مینیفولڈز اور لگرینجین تھیوری، لیمبرٹ اکیڈمک پبلشنگ، 2013، ؛ ڈفریینشل جیومیٹری ہموار افعال سنگلریٹی تھیوری