Exponential distribution
امکان کے نظریہ اور اعداد و شمار میں، ایکسپونینشیل ڈسٹری بیوشن یا منفی ایکسپونینشیل ڈسٹری بیوشن پوئسون پوائنٹ کے عمل میں واقعات کے درمیان وقت کی امکان کی تقسیم ہے، یعنی ایک ایسا عمل جس میں واقعات مستقل اوسط شرح پر مسلسل اور آزادانہ طور پر پیش آتے ہیں۔ یہ گاما تقسیم کا ایک خاص معاملہ ہے۔ یہ ہندسی تقسیم کا مسلسل ینالاگ ہے، اور اس میں میموری کے بغیر ہونے کی کلیدی خاصیت ہے۔ پوسن پوائنٹ کے عمل کے تجزیے کے لیے استعمال ہونے کے علاوہ یہ مختلف دیگر سیاق و سباق میں بھی پایا جاتا ہے۔ ایکسپونینشیل ڈسٹری بیوشن تقسیم کے ایکسپونینشیل خاندانوں کی کلاس کی طرح نہیں ہے۔ یہ امکان کی تقسیم کی ایک بڑی کلاس ہے جس میں اس کے اراکین میں سے ایک کے طور پر ایکسپونینشل تقسیم شامل ہے، لیکن اس میں بہت سی دوسری تقسیم بھی شامل ہیں، جیسے نارمل، بائنومیل، گاما، اور پوسن کی تقسیم۔ تعریفیں امکان کثافت فنکشن ایکسپونینشیل ڈسٹری بیوشن کا امکان کثافت فنکشن (پی ڈی ایف) ہے یہاں λ> 0 تقسیم کا پیرامیٹر ہے، جسے اکثر شرح پیرامیٹر کہا جاتا ہے۔ وقفے پر تقسیم کی حمایت کی جاتی ہے۔ اگر کسی بے ترتیب متغیر X میں یہ تقسیم ہے، تو ہم لکھتے ہیں۔ ایکسپونینشیل ڈسٹری بیوشن لامحدود تقسیم کو ظاہر کرتی ہے۔ مجموعی تقسیم فنکشن کو متبادل پیرامیٹریزیشن کے ذریعے دیا جاتا ہے۔ ایکسپونینشیل ڈسٹری بیوشن کو بعض اوقات پیمانے کے پیرامیٹر کے لحاظ سے پیرامیٹرائز کیا جاتا ہے، جو کہ اوسط بھی ہے: خصوصیات کا مطلب، تغیر، لمحات، اور میڈین شرح پیرامیٹر λ کے ساتھ ایک تیزی سے تقسیم شدہ بے ترتیب متغیر X کی اوسط یا متوقع قیمت اس کے ذریعہ دی جاتی ہے۔ ذیل میں دی گئی مثالوں کی روشنی میں، یہ سمجھ میں آتا ہے: اگر آپ کو 2 فی گھنٹہ کی اوسط شرح سے فون کالز موصول ہوتی ہیں، تو آپ ہر کال کے لیے آدھے گھنٹے انتظار کرنے کی توقع کر سکتے ہیں۔ X کا تغیر اس طرح دیا جاتا ہے کہ معیاری انحراف اوسط کے برابر ہوتا ہے۔ X کے لمحات، کے لیے X کے مرکزی لمحات کے ذریعے دیے جاتے ہیں، کے لیے اس کے ذریعے دیے جاتے ہیں جہاں! n، n کا ذیلی فیکٹوریئل ہے۔ X کا میڈین اس کے ذریعے دیا جاتا ہے جہاں قدرتی لوگارتھم کا حوالہ دیا جاتا ہے۔ اس طرح اوسط اور میڈین کے درمیان مطلق فرق میڈین-مین عدم مساوات کے مطابق ہے۔ ایکسپونینشیل رینڈم متغیر کی میموری لیس پراپرٹی ایکسپونینشیل رینڈم متغیر T تعلق کی اطاعت کرتا ہے۔ یہ تکمیلی مجموعی تقسیم فنکشن پر غور کرکے دیکھا جا سکتا ہے: جب T کو کسی ابتدائی وقت کے مقابلے میں کسی واقعہ کے ہونے کے انتظار کے وقت کے طور پر سمجھا جاتا ہے، تو اس تعلق سے یہ ظاہر ہوتا ہے کہ، اگر T کو کچھ ابتدائی مدت s میں واقعہ کا مشاہدہ کرنے میں ناکامی پر مشروط کیا جاتا ہے، تو باقی انتظار کے وقت کی تقسیم اصل غیر مشروط تقسیم کے برابر ہوتی ہے۔ مثال کے طور پر، اگر کوئی واقعہ 30 سیکنڈ کے بعد نہیں پیش آیا ہے، تو اس واقعہ میں کم از کم 10 سیکنڈ مزید لگنے کا مشروط امکان ابتدائی وقت کے بعد 10 سیکنڈ سے زیادہ وقت کے مشاہدے کے غیر مشروط امکان کے برابر ہے۔ ایکسپونینشیل ڈسٹری بیوشن اور جیومیٹرک ڈسٹری بیوشن واحد میموری لیس پروبیبلٹی ڈسٹری بیوشن ہیں۔ نتیجتا ایکسپونینشل ڈسٹری بیوشن بھی لازمی طور پر واحد مسلسل امکان کی تقسیم ہے جس میں مستقل ناکامی کی شرح ہوتی ہے۔ کوارٹائل اس لیے ہیں: پہلا کوارٹائل: ln (4/3)/λ میڈین: ln (2)/λ تیسرا کوارٹائل: ln (4)/λ اور اس کے نتیجے میں انٹرکوارٹائل رینج ln (3)/λ ہے۔ خطرے پر مشروط قیمت (متوقع کمی) خطرے پر مشروط قیمت (سی وی اے آر) جسے متوقع کمی یا ایکس پی (λ) کے لیے سپرکوانٹائل بھی کہا جاتا ہے، مندرجہ ذیل طور پر اخذ کیا گیا ہے: حد سے تجاوز کا بفرڈ امکان (بی پی او ای) حد سے تجاوز کا بفرڈ امکان ایک مائنس امکان کی سطح ہے جس پر سی وی اے آر حد کے برابر ہوتا ہے۔ یہ مندرجہ ذیل طور پر اخذ کیا گیا ہے: کل بیک-لیبلر انحراف ('صحیح' تقسیم) سے ("لگ بھگ" تقسیم) کے نیٹ میں ہدایت شدہ کل بیک-لیبلر انحراف زیادہ سے زیادہ اینٹروپی کی تقسیم کے ذریعے دیا جاتا ہے۔ حمایت اور اوسط کے ساتھ تمام مسلسل امکانات کی تقسیم میں، λ = 1/μ کے ساتھ ایکسپونینشل تقسیم میں سب سے بڑی تفریق اینٹروپی ہوتی ہے۔ دوسرے لفظوں میں، یہ بے ترتیب متغیر X کے لیے زیادہ سے زیادہ اینٹروپی امکانات کی تقسیم ہے جو صفر سے زیادہ یا اس کے برابر ہے اور جس کے لیے E [X] طے شدہ ہے۔ کم از کم ایکسپونینشیل بے ترتیب متغیرات کی تقسیم X1،.، Xn کو شرح پیرامیٹرز λ1،.، λn کے ساتھ ایکسپونینشیل طور پر تقسیم شدہ بے ترتیب متغیرات آزاد ہونے دیں۔ پھر پیرامیٹر کے ساتھ بھی تیزی سے تقسیم کیا جاتا ہے۔ یہ تکمیلی مجموعی تقسیم فنکشن پر غور کرکے دیکھا جا سکتا ہے: متغیر کا انڈیکس جو کم سے کم حاصل کرتا ہے درجہ بندی کی تقسیم کے مطابق تقسیم کیا جاتا ہے۔ پھر، نوٹ کریں کہ تیزی سے تقسیم نہیں کیا گیا ہے، اگر X1،.، Xn سب میں پیرامیٹر 0 نہیں ہے۔ آئی آئی ڈی کے مشترکہ لمحات آؤ شرح پیرامیٹر λ کے ساتھ آزاد اور یکساں طور پر تقسیم شدہ ایکسپونینشل بے ترتیب متغیرات ہوں۔ آئیے متعلقہ آرڈر کے اعداد و شمار کی نشاندہی کریں۔ کیونکہ، ترتیب کے اعداد و شمار کا مشترکہ لمحہ اور اس کے ذریعہ دیا گیا ہے۔ یہ کل توقع کے قانون اور میموری لیس پراپرٹی کو مدعو کرکے دیکھا جا سکتا ہے: پہلی مساوات کل توقع کے قانون کی پیروی کرتی ہے۔ دوسری مساوات اس حقیقت کا فائدہ اٹھاتی ہے کہ ایک بار جب ہم شرط لگاتے ہیں، تو اسے اس کی پیروی کرنی چاہیے۔ تیسری مساوات کو تبدیل کرنے کے لیے میموری لیس پراپرٹی پر انحصار کرتا ہے۔ دو آزاد بے ترتیب متغیرات کا مجموعہ دو آزاد بے ترتیب متغیرات کے مجموعے کا امکان تقسیم فنکشن (پی ڈی ایف) ان کے انفرادی پی ڈی ایف کا ارتقاء ہے۔ اگر اور متعلقہ شرح کے پیرامیٹرز کے ساتھ آزاد ایکسپونینشل بے ترتیب متغیرات ہیں اور پھر اس کی امکانات کی کثافت کی طرف سے دیا جاتا ہے۔ اس تقسیم کی اینٹروپی بند شکل میں دستیاب ہے: فرض کرتے ہوئے (عامیت کے نقصان کے بغیر)، پھر یولر-ماسچیرونی مستقل کہاں ہے، اور دگما فنکشن ہے۔ مساوی شرح کے پیرامیٹرز کے معاملے میں، نتیجہ شکل 2 اور پیرامیٹر کے ساتھ ایرلانگ کی تقسیم ہے جو بدلے میں گاما کی تقسیم کا ایک خاص معاملہ ہے۔ n آزاد ایکسپونینشل بے ترتیب متغیرات کا مجموعہ گام (n، λ) گاما تقسیم شدہ ہے۔ متعلقہ تقسیم اگر X ~ لیپلیس (μ، β−1)، تو |X − μ | ~ ایکسپریس (β)۔ اگر X ~ پریٹو (1، λ)، تو لاگ (X) ~ ایکسپ (λ) کریں۔ اگر X ~ اسکیو لاجسٹک (θ)، تو۔ اگر xi ~ U (0,1) تو ایکسپونینشیل ڈسٹری بیوشن اسکیلڈ بیٹا ڈسٹری بیوشن کی ایک حد ہے: ایکسپونینشیل ڈسٹری بیوشن ٹائپ 3 پیئرسن ڈسٹری بیوشن کا ایک خاص معاملہ ہے۔ اگر X ~ ایکسپ (λ) اور X ~ ایکسپ (λ) تو:، ایک مثبت عنصر کے ذریعے اسکیلنگ کے تحت بند کریں۔ 1 + X ~ بینکٹینڈر ویبل (λ، 1)، جو کٹے ہوئے ایکسپونینشیل ڈسٹری بیوشن میں گھٹ جاتا ہے۔ KeX ~ PARETO (k، λ)۔ e − X ~ بیٹا (λ، 1)۔ e ~ پاور لا (k، λ)، ریلیگ کی تقسیم، ویبل کی تقسیم۔ ، 0 پر ایک ہندسی تقسیم، 1,2,3،.، 1,2,3، 4 پر ایک ہندسی تقسیم۔ اگر یہ بھی Y ~ ایرلانگ (n، λ) یا پھر اگر λ ~ گاما (k، θ) (شکل، پیمانے کے پیرامیٹریشن) ہے تو X کی معمولی تقسیم لومیکس (k، 1/θ) ہے، گاما مرکب λX − λY ~ لیپلیس (0، 1) ہے۔ کم از کم {X1,., Xn} ~ ایکسپ (λ1 +. + λn)۔ اگر λ = λ بھی ہے تو: ایرلانگ (k، λ) = گاما (k، λ−1) = گاما (k، λ) (بالترتیب (k، θ) اور (α، β) پیرامیٹریزیشن میں) ایک انٹیجر شکل کے پیرامیٹر k کے ساتھ۔ اگر، تب۔ X − X ~ لیپلیس (0، λ − 1)۔ اگر X بھی آزاد ہے، تو: ~ U (0، 1) میں امکانی کثافت فنکشن ہے۔ اس کے لیے اعتماد کا وقفہ حاصل کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ اگر بھی λ = 1:، لاجسٹک تقسیم μ − σ لاگ (X) ~ GEV (μ، σ، 0)۔ مزید اگر پھر (K-تقسیم) اگر بھی λ = 1/2 تو ؛ یعنی، X کی 2 ڈگری آف فریڈم کے ساتھ ایک چی مربع تقسیم ہے۔ لہذا: اگر اور ~ پوسن (X) تو (ہندسی تقسیم) ہوئٹ کی تقسیم کو ایکسپونینشیل ڈسٹری بیوشن اور آرکسین ڈسٹری بیوشن سے حاصل کیا جا سکتا ہے۔ ایکسپونینشیل ڈسٹری بیوشن اس معاملے میں κ-ایکسپونینشیل ڈسٹری بیوشن کی ایک حد ہے۔ ایکسپونینشیل ڈسٹری بیوشن اور معاملات میں κ-جنرلائزڈ گاما ڈسٹری بیوشن کی ایک حد ہے: دیگر متعلقہ ڈسٹری بیوشن: ہائپر ایکسپونینشیل ڈسٹری بیوشن-وہ ڈسٹری بیوشن جس کی کثافت ایکسپونینشیل ڈینسٹیز کا وزن ہے۔ ہائپوایکسپونینشیل ڈسٹری بیوشن-ایکسپونینشیل بے ترتیب متغیرات کے عمومی مجموعے کی تقسیم۔ exGaussian تقسیم-ایک متغیر تقسیم اور ایک عام تقسیم کا مجموعہ۔ ذیل میں شماریاتی تخمینہ، فرض کریں کہ بے ترتیب متغیر X شرح پیرامیٹر λ کے ساتھ تیزی سے تقسیم کیا گیا ہے، اور نمونے کے اوسط کے ساتھ X سے n آزاد نمونے ہیں۔ پیرامیٹر تخمینہ λ کے لیے زیادہ سے زیادہ امکانات کا تخمینہ مندرجہ ذیل طریقے سے بنایا گیا ہے۔ متغیر سے تیار کردہ ایک آزاد اور یکساں طور پر تقسیم شدہ نمونہ x = (x1,., xn) کو دیکھتے ہوئے، λ کے لیے امکان فنکشن یہ ہے: جہاں: نمونہ کا مطلب ہے۔ امکان فنکشن کے لوگرتھم کا مشتق یہ ہے: نتیجتا، شرح پیرامیٹر کے لیے زیادہ سے زیادہ امکان کا تخمینہ یہ ہے: یہ ایک غیر جانبدار تخمینہ ہے حالانکہ یہ ایک غیر جانبدار ایم ایل ای تخمینہ کار اور تقسیم کا مطلب ہے۔ کا تعصب اس کے برابر ہے جس سے تعصب درست شدہ زیادہ سے زیادہ امکان تخمینہ کار حاصل ہوتا ہے اوسط مربع شدہ غلطی کا ایک تخمینہ کم سے کم کرنے والا (یہ بھی دیکھیں: تعصب-تغیر تجارت) پایا جا سکتا ہے، یہ فرض کرتے ہوئے کہ نمونے کا سائز دو سے زیادہ ہے، ایم ایل ای میں اصلاح کے عنصر کے ساتھ: یہ الٹا گاما تقسیم کے اوسط اور تغیر سے اخذ کیا گیا ہے،۔ ماہی گیر کی معلومات شرح کے پیرامیٹر کے تخمینہ کار کے لیے ماہی گیر کی معلومات، جس کی نشاندہی کی گئی ہے، اس طرح دی گئی ہے: تقسیم میں پلگ ان کرنا اور حل کرنا دیتا ہے: یہ معلومات کی مقدار کا تعین کرتا ہے جو ایک ایکسپونینشل تقسیم کے ہر آزاد نمونے میں نامعلوم شرح کے پیرامیٹر کے بارے میں ہوتی ہے۔ اعتماد کے وقفے ایک ایکسپونینشل ڈسٹری بیوشن کے ریٹ پیرامیٹر کے لیے 100 (1−α) ٪ اعتماد کا وقفہ اس طرح دیا جاتا ہے: جو اس کے برابر بھی ہے: جہاں v ڈگری آف فریڈم کے ساتھ چی مربع کی تقسیم کا فیصد ہے، n نمونے میں بین آمد کے اوقات کے مشاہدات کی تعداد ہے، اور x-بار نمونہ اوسط ہے۔ تقسیم کے لیے ایک عام تخمینہ کا استعمال کرتے ہوئے عین وقفہ اختتامی نکات کا ایک سادہ تخمینہ اخذ کیا جا سکتا ہے۔ یہ تخمینہ 95 ٪ اعتماد کے وقفے کے لیے درج ذیل اقدار دیتا ہے: یہ تخمینہ کم از کم 15 سے 20 عناصر پر مشتمل نمونوں کے لیے قابل قبول ہو سکتا ہے۔ ایکسپونینشیل ڈسٹری بیوشن کے لیے پہلے والا کنجوگیٹ گاما ڈسٹری بیوشن ہے (جس میں ایکسپونینشیل ڈسٹری بیوشن ایک خاص معاملہ ہے)۔ گاما امکانی کثافت فنکشن کی درج ذیل پیرامیٹرائزیشن مفید ہے: پوسٹرئر ڈسٹری بیوشن p کو پھر اوپر بیان کردہ امکان فنکشن اور پہلے گاما کے لحاظ سے ظاہر کیا جا سکتا ہے: اب پوسٹرئر کثافت p کو ایک لاپتہ نارملائزنگ مستقل تک متعین کیا گیا ہے۔ چونکہ اس میں گاما پی ڈی ایف کی شکل ہوتی ہے، اس لیے اسے آسانی سے پر کیا جا سکتا ہے، اور کوئی حاصل کر سکتا ہے: یہاں ہائپر پیرامیٹر α کو پہلے کے مشاہدات کی تعداد کے طور پر، اور β کو پہلے کے مشاہدات کے مجموعے کے طور پر سمجھا جا سکتا ہے۔ یہاں پچھلا مطلب یہ ہے: واقعات کا واقع ہونا اور ان کا اطلاق ایک یکساں پوسن عمل میں بین آمد اوقات کی لمبائی بیان کرتے وقت ایکسپونینشل تقسیم قدرتی طور پر ہوتی ہے۔ ایکسپونینشیل ڈسٹری بیوشن کو ہندسی ڈسٹری بیوشن کے مسلسل ہم منصب کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے، جو حالت کو تبدیل کرنے کے لیے ایک مجرد عمل کے لیے ضروری برنولی ٹرائلز کی تعداد کو بیان کرتا ہے۔ اس کے برعکس، ایکسپونینشیل ڈسٹری بیوشن ایک مسلسل عمل کے لیے حالت کو تبدیل کرنے کے وقت کو بیان کرتی ہے۔ حقیقی دنیا کے منظرناموں میں، مستقل شرح (یا فی یونٹ وقت کا امکان) کا مفروضہ شاذ و نادر ہی مطمئن ہوتا ہے۔ مثال کے طور پر، آنے والی فون کالز کی شرح دن کے وقت کے مطابق مختلف ہوتی ہے۔ لیکن اگر ہم ایک ایسے وقت کے وقفے پر توجہ مرکوز کرتے ہیں جس کے دوران شرح تقریبا مستقل ہوتی ہے، جیسے کہ کام کے دنوں میں دوپہر 2 بجے سے 4 بجے تک، تو ایکسپونینشیل ڈسٹری بیوشن کو اگلی فون کال آنے تک وقت کے لیے ایک اچھے تخمینہ ماڈل کے طور پر استعمال کیا جا سکتا ہے۔ اسی طرح کے انتباہات مندرجہ ذیل مثالوں پر لاگو ہوتے ہیں جن سے تقریبا تیزی سے تقسیم شدہ متغیرات حاصل ہوتے ہیں: تابکار ذرہ کے سڑنے تک کا وقت، یا گیگر کاؤنٹر کے کلکس کے درمیان کا وقت آپ کی اگلی ٹیلی فون کال سے پہلے وقت لگتا ہے۔ ڈیفالٹ ہونے تک کا وقت (کمپنی کے قرض ہولڈرز کو ادائیگی پر) کم شکل والے کریڈٹ رسک ماڈلنگ میں ایکسپونینشل متغیرات کو ایسے حالات کے ماڈل بنانے کے لیے بھی استعمال کیا جا سکتا ہے جہاں کچھ واقعات فی یونٹ لمبائی میں مستقل امکان کے ساتھ پیش آتے ہیں، جیسے کہ ڈی این اے اسٹرینڈ پر اتپریورتن کے درمیان فاصلہ، یا کسی دی گئی سڑک پر روڈ کلز کے درمیان۔ قطار کے نظریہ میں، کسی نظام میں ایجنٹوں کے خدمت کے اوقات (جیسے۔ بینک ٹیلر وغیرہ میں کتنا وقت لگتا ہے۔ گاہک کی خدمت کرنے کے لیے) اکثر تیزی سے تقسیم شدہ متغیرات کے طور پر نمونے بنائے جاتے ہیں۔ (مثال کے طور پر گاہکوں کی آمد کو پوسن ڈسٹری بیوشن کے ذریعے بھی ماڈل کیا جاتا ہے اگر آمد آزاد ہو اور یکساں طور پر تقسیم ہو۔) کسی عمل کی لمبائی جسے کئی آزاد کاموں کی ترتیب کے طور پر سمجھا جا سکتا ہے، ایرلانگ کی تقسیم کے بعد ہوتی ہے (جو کہ کئی آزاد تیزی سے تقسیم شدہ متغیرات کے مجموعے کی تقسیم ہے)۔ وشوسنییتا نظریہ اور وشوسنییتا انجینئرنگ بھی متغیر تقسیم کا وسیع استعمال کرتے ہیں۔ اس تقسیم کی میموری لیس پراپرٹی کی وجہ سے، وشوسنییتا کے نظریہ میں استعمال ہونے والے باتھ ٹب وکر کے مستقل خطرے کی شرح کے حصے کا نمونہ بنانا مناسب ہے۔ یہ بہت آسان بھی ہے کیونکہ وشوسنییتا ماڈل میں ناکامی کی شرحوں کو شامل کرنا بہت آسان ہے۔ تاہم ایکسپونینشیل ڈسٹری بیوشن حیاتیات یا تکنیکی آلات کی مجموعی زندگی کا نمونہ بنانے کے لیے مناسب نہیں ہے، کیونکہ یہاں "ناکامی کی شرح" مستقل نہیں ہے: زیادہ ناکامیاں بہت کم عمر اور بہت پرانے نظاموں کے لیے ہوتی ہیں۔ طبیعیات میں، اگر آپ ایک مقررہ درجہ حرارت پر گیس کا مشاہدہ کرتے ہیں اور کشش ثقل کے یکساں میدان میں دباؤ ڈالتے ہیں، تو مختلف مالیکیولز کی بلندیاں بھی ایک لگ بھگ ایکسپونینشیل ڈسٹری بیوشن کی پیروی کرتی ہیں، جسے بیرومیٹرک فارمولا کہا جاتا ہے۔ یہ ذیل میں مذکور اینٹروپی پراپرٹی کا نتیجہ ہے۔ ہائیڈرولوجی میں، ایکسپونینشل ڈسٹری بیوشن کا استعمال ایسے متغیرات کی انتہائی اقدار کا تجزیہ کرنے کے لیے کیا جاتا ہے جیسے کہ روزانہ کی بارش اور دریا کے اخراج کی مقدار کی ماہانہ اور سالانہ زیادہ سے زیادہ اقدار۔ نیلی تصویر ایکسپونینشیل ڈسٹری بیوشن کو سالانہ زیادہ سے زیادہ ایک دن کی بارشوں کی درجہ بندی میں فٹ کرنے کی ایک مثال پیش کرتی ہے جو بائنومیل ڈسٹری بیوشن کی بنیاد پر 90 فیصد کنفیڈنس بیلٹ کو بھی ظاہر کرتی ہے۔ بارش کے اعداد و شمار کی نمائندگی مجموعی تعدد تجزیہ کے حصے کے طور پر پوزیشنوں کو پلاٹ کرکے کی جاتی ہے۔ آپریٹنگ رومز مینجمنٹ میں، سرجری کے ایک زمرے کے لیے سرجری کی مدت کی تقسیم جس میں کوئی عام کام کا مواد نہ ہو (جیسے ایمرجنسی روم میں، ہر قسم کی سرجریوں کو شامل کرتے ہوئے)۔ پیشن گوئی کسی نامعلوم ایکسپونینشیل ڈسٹری بیوشن سے n ڈیٹا پوائنٹس کے نمونے کا مشاہدہ کرنے کے بعد ایک عام کام ان نمونوں کو اسی ماخذ سے مستقبل کے ڈیٹا کے بارے میں پیش گوئیاں کرنے کے لیے استعمال کرنا ہے۔ مستقبل کے نمونوں پر ایک عام پیشن گوئی کی تقسیم نام نہاد پلگ ان ڈسٹری بیوشن ہے، جو شرح پیرامیٹر λ کے لیے ایک مناسب تخمینہ کو ایکسپونینشیل ڈینسٹی فنکشن میں جوڑ کر تشکیل دی گئی ہے۔ تخمینہ کا ایک عام انتخاب وہ ہے جو زیادہ سے زیادہ امکان کے اصول کے ذریعہ فراہم کیا جاتا ہے، اور اس کا استعمال کرتے ہوئے مستقبل کے نمونے xn + 1 پر پیش گوئی کی کثافت حاصل ہوتی ہے، جو مشاہدہ شدہ نمونوں x = (x1,., xn) پر مشروط ہے۔ بایسیائی نقطہ نظر ایک پیش گوئی کی تقسیم فراہم کرتا ہے جو تخمینہ شدہ پیرامیٹر کی غیر یقینی صورتحال کو مدنظر رکھتا ہے، حالانکہ یہ اہم طور پر پہلے کے انتخاب پر منحصر ہو سکتا ہے۔ ساپیکش بایسیائی نقطہ نظر کے تحت پیدا ہونے والے ترجیحات کے انتخاب کے مسائل سے پاک ایک پیشین گوئی کی تقسیم ہے جسے ایک بار بار اعتماد کی تقسیم کے طور پر سمجھا جا سکتا ہے، جو اہم مقدار کی تقسیم سے حاصل کیا جاتا ہے۔ ایک پروفائل پیشین گوئی کا امکان، جو زیادہ سے زیادہ xn + 1 اور λ کے مشترکہ امکان سے پیرامیٹر λ کو ختم کرکے حاصل کیا جاتا ہے۔ ایک معروضی بایسیائی پیشین گوئی کے بعد کی تقسیم، جو 1/λ سے پہلے غیر معلوماتی جیفریز کا استعمال کرتے ہوئے حاصل کی جاتی ہے۔ معلومات کے نظریاتی تحفظات سے مشروط معمول کی زیادہ سے زیادہ امکانات (CNML) پیشین گوئی کی تقسیم۔ پیشن گوئی کی تقسیم کی درستگی کو شرح پیرامیٹر، λ0، اور نمونے x پر مبنی پیشن گوئی کی تقسیم کے ساتھ حقیقی ایکسپونینشل تقسیم کے درمیان فاصلے یا انحراف کا استعمال کرتے ہوئے ماپا جا سکتا ہے۔ کل بیک-لیبلر انحراف عام طور پر استعمال ہونے والا، دو تقسیموں کے درمیان فرق کا پیرامیٹرائزیشن فری پیمانہ ہے۔ λ (λ0 | |p) کو شرح پیرامیٹر λ0 کے ساتھ ایک ایکسپونینشیل اور ایک پیشن گوئی کی تقسیم p کے درمیان کل بیک-لیبلر انحراف کی نشاندہی کرتا ہے۔ یہ دکھایا جا سکتا ہے کہ جہاں شرح پیرامیٹر کے ساتھ ایکسپونینشیل تقسیم کے حوالے سے توقع لی جاتی ہے، اور یہ ڈیگاما فنکشن ہے۔ یہ واضح ہے کہ سی این ایم ایل پیشن گوئی کی تقسیم تمام نمونے کے سائز کے لیے اوسط کل بیک-لیبلر انحراف کے لحاظ سے زیادہ سے زیادہ امکانات والے پلگ ان کی تقسیم سے سختی سے بہتر ہے۔ بے ترتیب متغیر نسل متغیر تغیرات پیدا کرنے کے لیے ایک تصوراتی طور پر بہت آسان طریقہ الٹا تبدیلی کے نمونے لینے پر مبنی ہے: یونٹ کے وقفے پر یکساں تقسیم سے تیار کردہ بے ترتیب تغیر U کو دیکھتے ہوئے، متغیر کی ایک متغیر تقسیم ہوتی ہے، جہاں F کوانٹائل فنکشن ہے، جس کی تعریف اس طرح کی جاتی ہے۔ مزید برآں، اگر U (0، 1) پر یکساں ہے، تو 1 − U بھی ایسا ہی ہے۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ کوئی بھی متغیر متغیرات کو مندرجہ ذیل طور پر پیدا کر سکتا ہے: متغیر متغیرات پیدا کرنے کے دیگر طریقوں پر نوتھ اور دیوروئے نے تبادلہ خیال کیا ہے۔ چھانٹنے کے معمول کا استعمال کیے بغیر تیار آرڈر شدہ متغیرات کا ایک مجموعہ تیار کرنے کا ایک تیز طریقہ بھی دستیاب ہے۔ ڈیڈ ٹائم بھی دیکھیں-پارٹیکل ڈیٹیکٹر تجزیہ کے لیے ایکسپونینشیل ڈسٹری بیوشن کا ایک اطلاق۔ لیپلیس ڈسٹری بیوشن، یا "ڈبل ایکسپونینشیل ڈسٹری بیوشن"۔ امکانات کی تقسیم کے درمیان تعلقات مارشل-اولکن ایکسپونینشیل ڈسٹری بیوشن حوالہ جات بیرونی روابط ایکسپونینشیل ڈسٹری بیوشن کا آن لائن کیلکولیٹر مسلسل تقسیم ایکسپونینشیل پوائسن پوائنٹ کے عمل پہلے کی تقسیم کو یکجا کرتے ہیں ایکسپونینشیل فیملی ڈسٹری بیوشن لامحدود طور پر قابل تقسیم امکانات کی تقسیم بقا کا تجزیہ