Extreme value theory
انتہائی قدر کا نظریہ یا انتہائی قدر کا تجزیہ (ای وی اے) اعداد و شمار کی ایک شاخ ہے جو امکان کی تقسیم کے میڈین سے انتہائی انحراف سے نمٹتی ہے۔ یہ کسی دیئے گئے بے ترتیب متغیر کے دیئے گئے ترتیب شدہ نمونے سے، ان واقعات کے امکان کا اندازہ لگانے کی کوشش کرتا ہے جو پہلے مشاہدہ کیے گئے واقعات سے زیادہ انتہائی ہیں۔ انتہائی قدر کا تجزیہ بہت سے شعبوں میں بڑے پیمانے پر استعمال ہوتا ہے، جیسے ساختی انجینئرنگ، مالیات، معاشیات، ارضیاتی علوم، ٹریفک کی پیش گوئی، اور ارضیاتی انجینئرنگ۔ مثال کے طور پر، ایوا کو ہائیڈرولوجی کے میدان میں غیر معمولی طور پر بڑے سیلاب کے واقعے کے امکان کا اندازہ لگانے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے، جیسے کہ 100 سالہ سیلاب۔ اسی طرح، بریک واٹر کے ڈیزائن کے لیے، ایک ساحلی انجینئر 50 سالہ لہر کا اندازہ لگانے اور اسی کے مطابق ڈھانچے کو ڈیزائن کرنے کی کوشش کرے گا۔ ڈیٹا تجزیہ عملی انتہائی قدر تجزیہ کے لیے دو اہم نقطہ نظر موجود ہیں۔ پہلا طریقہ ابتدائی مرحلے کے طور پر بلاک میکسیما (منیما) سیریز حاصل کرنے پر منحصر ہے۔ بہت سے حالات میں سالانہ میکسیما (منیما) نکالنا رواج اور آسان ہے، جس سے "سالانہ میکسیما سیریز" (اے ایم ایس) پیدا ہوتی ہے۔ دوسرا طریقہ مسلسل ریکارڈ سے نکالنے پر انحصار کرتا ہے، چوٹی کی اقدار کسی بھی مدت کے لیے پہنچ جاتی ہیں جس کے دوران اقدار ایک مخصوص حد سے تجاوز کر جاتی ہیں (ایک مخصوص حد سے نیچے آتی ہیں)۔ اس طریقہ کو عام طور پر "پیک اوور تھریشولڈ" طریقہ (پی او ٹی) کہا جاتا ہے۔ اے ایم ایس ڈیٹا کے لیے، تجزیہ جزوی طور پر فشر-ٹپیٹ-گینڈینکو تھیوریم کے نتائج پر انحصار کر سکتا ہے، جس کی وجہ سے فٹنگ کے لیے عمومی انتہائی قدر کی تقسیم کا انتخاب کیا جاتا ہے۔ تاہم، عملی طور پر، تقسیم کی وسیع رینج کے درمیان انتخاب کرنے کے لیے مختلف طریقہ کار استعمال کیے جاتے ہیں۔ یہاں نظریہ اسی تقسیم سے آزاد بے ترتیب متغیرات کے بہت بڑے مجموعے کے کم سے کم یا زیادہ سے زیادہ کے لیے محدود تقسیم سے متعلق ہے۔ یہ دیکھتے ہوئے کہ ایک سال کے اندر متعلقہ بے ترتیب واقعات کی تعداد محدود ہو سکتی ہے، یہ حیرت کی بات نہیں ہے کہ مشاہدہ شدہ اے ایم ایس ڈیٹا کا تجزیہ اکثر عمومی انتہائی قدر کی تقسیم (جی ای وی ڈی) کے علاوہ تقسیم کا باعث بنتا ہے۔ پی او ٹی ڈیٹا کے لیے، تجزیہ میں دو تقسیمات شامل ہو سکتے ہیں: ایک زیر غور مدت میں واقعات کی تعداد کے لیے اور دوسرا حد سے تجاوز کے سائز کے لیے۔ پہلے کے لیے ایک عام مفروضہ پوسن کی تقسیم ہے، جس میں حد سے تجاوز کے لیے عمومی پیریٹو تقسیم کا استعمال کیا جاتا ہے۔ ایک دم کی فٹنگ پکینڈس-بالکیما-ڈی ہان تھیوریم پر مبنی ہو سکتی ہے۔ نووک "پی او ٹی طریقہ" کی اصطلاح اس صورت میں محفوظ رکھتا ہے جہاں حد غیر بے ترتیب ہو، اور اسے اس صورت سے ممتاز کرتا ہے جہاں کوئی بے ترتیب حد سے تجاوز کرتا ہے۔ انتہائی ویلیو تھیوری کی ایپلی کیشنز میں امکانات کی تقسیم کی پیش گوئی کرنا شامل ہے: انتہائی سیلاب ؛ عجیب لہروں کا سائز ٹورنیڈو پھیلتا ہے ماحولیاتی آبادیوں کے زیادہ سے زیادہ سائز منشیات کے ضمنی اثرات (مثال کے طور پر، زیمیلگاٹران) بڑے انشورنس نقصانات کی شدت ایکویٹی کے خطرات ؛ ارتقاء کے دوران روزانہ مارکیٹ میں تغیراتی واقعات کا خطرہ۔ بڑے جنگل کی آگ۔ ڈھانچوں پر ماحولیاتی بوجھ 100 میٹر سپرنٹ چلانے اور دیگر ایتھلیٹک شعبوں میں کارکردگی دکھانے کے قابل ہوتے ہیں۔ تیز ترین وقت میں انسان 100 میٹر سپرنٹ چلانے کے قابل ہوتے ہیں اور دیگر ایتھلیٹک شعبوں میں کارکردگی کا مظاہرہ کرنے کی وجہ سے پائپ لائن کی ناکامی۔ بے ضابطہ آئی ٹی نیٹ ورک ٹریفک، حملہ آوروں کو اہم ڈیٹا روڈ سیفٹی تجزیہ وائرلیس کمیونیکیشنز ایپیڈیمکس نیورو بائیولوجی ہسٹری تک پہنچنے سے روکتا ہے۔ انتہائی ویلیو تھیوری کے میدان کا آغاز لیونارڈ ٹپیٹ (1902-1985) نے کیا تھا۔ ٹپیٹ کو برٹش کاٹن انڈسٹری ریسرچ ایسوسی ایشن نے ملازمت دی تھی، جہاں انہوں نے کپاس کے دھاگے کو مضبوط بنانے کے لیے کام کیا۔ اپنی پڑھائی میں، اس نے محسوس کیا کہ دھاگے کی طاقت اس کے کمزور ترین ریشوں کی طاقت سے کنٹرول ہوتی ہے۔ آر اے فشر کی مدد سے، ٹپیٹ نے تین غیر علامتی حدود حاصل کیں جو آزاد متغیرات کو فرض کرتے ہوئے انتہاؤں کی تقسیم کو بیان کرتی ہیں۔ ایمل جولیس گمبل نے اس نظریہ کو اپنی 1958 کی کتاب سٹیٹسٹکس آف ایکسٹریمز میں مرتب کیا، جس میں گمبل کی تقسیم بھی شامل ہے جس پر اس کا نام ہے۔ ان نتائج کو متغیرات کے درمیان معمولی ارتباط کی اجازت دینے کے لیے بڑھایا جا سکتا ہے، لیکن کلاسیکی نظریہ تغیر کی ترتیب کے مضبوط ارتباط تک نہیں پھیلا ہے۔ خاص دلچسپی کی ایک عالمگیریت کی کلاس لاگ سے متعلق شعبوں کی ہے، جہاں ارتباط فاصلے کے ساتھ لوگرتھمک طور پر ختم ہو جاتے ہیں۔ یونویریٹ تھیوری آئیے آزاد اور یکساں طور پر تقسیم شدہ بے ترتیب متغیرات کی ایک ترتیب ہو جس میں مجموعی تقسیم فنکشن F ہو اور آئیے زیادہ سے زیادہ کی نشاندہی کریں۔ نظریہ طور پر، زیادہ سے زیادہ کی صحیح تقسیم حاصل کی جا سکتی ہے: متعلقہ اشارے فنکشن ایک برنولی عمل ہے جس میں کامیابی کا امکان ہوتا ہے جو انتہائی واقعہ کی شدت پر منحصر ہوتا ہے۔ آزمائشوں کے اندر انتہائی واقعات کی تعداد اس طرح بائنومیل تقسیم اور آزمائشوں کی تعداد کے بعد ہوتی ہے جب تک کہ کوئی واقعہ پیش نہ آئے اسی ترتیب کی متوقع قیمت اور معیاری انحراف کے ساتھ ہندسی تقسیم کے بعد ہوتا ہے۔ عملی طور پر، ہو سکتا ہے کہ ہمارے پاس ڈسٹری بیوشن فنکشن نہ ہو لیکن فشر-ٹپیٹ-گینڈینکو تھیوریم ایک غیر علامتی نتیجہ فراہم کرتا ہے۔ اگر مستقل اور اس طرح کے سلسلے موجود ہیں تو پھر تقسیم کی دم کی شکل پر منحصر ہے۔ جب معمول پر لایا جاتا ہے، تو G کا تعلق درج ذیل غیر انحطاطی تقسیم خاندانوں میں سے کسی ایک سے ہوتا ہے: ویبل قانون: جب کی تقسیم کی ہلکی دم ہوتی ہے جس کی اوپری حد محدود ہوتی ہے۔ ٹائپ 3 کے نام سے بھی جانا جاتا ہے۔ گمبل قانون: جب کی تقسیم کی ایک تیز دم ہوتی ہے۔ ٹائپ 1 کے نام سے بھی جانا جاتا ہے۔ فریچیٹ قانون: جب کی تقسیم کی دم بھاری ہوتی ہے (بشمول کثیر الجہتی انحطاط)۔ ٹائپ 2 کے نام سے بھی جانا جاتا ہے۔ ویبل اور فریشیٹ قوانین کے لیے،۔ ملٹی ویریٹ تھیوری ایک سے زیادہ متغیر میں انتہائی قدر کا نظریہ اضافی مسائل متعارف کراتا ہے جن پر توجہ دی جانی چاہیے۔ ایک مسئلہ جو پیدا ہوتا ہے وہ یہ ہے کہ کسی کو یہ بتانا چاہیے کہ ایک انتہائی واقعہ کیا ہے۔ اگرچہ یہ غیر متغیر معاملے میں سیدھا سیدھا ہے، لیکن کثیر متغیر معاملے میں ایسا کرنے کا کوئی واضح طریقہ نہیں ہے۔ بنیادی مسئلہ یہ ہے کہ اگرچہ حقیقی قدر والے نمبروں کے سیٹ کو آرڈر کرنا ممکن ہے، لیکن ویکٹرز کے سیٹ کو آرڈر کرنے کا کوئی قدرتی طریقہ نہیں ہے۔ مثال کے طور پر، غیر متغیر معاملے میں، مشاہدات کے ایک سیٹ کو دیکھتے ہوئے، مشاہدات کا زیادہ سے زیادہ (یا کم سے کم) لے کر انتہائی انتہائی واقعہ تلاش کرنا سیدھا ہے۔ تاہم، دو تغیرات کے معاملے میں، مشاہدات کے ایک سیٹ کو دیکھتے ہوئے، یہ فوری طور پر واضح نہیں ہے کہ انتہائی واقعہ کو کیسے تلاش کیا جائے۔ فرض کریں کہ کسی نے کسی مخصوص وقت پر اقدار اور بعد میں اقدار کی پیمائش کی ہے۔ ان میں سے کس واقعہ کو زیادہ انتہا پسند سمجھا جائے گا؟ اس سوال کا کوئی عالمگیر جواب نہیں ہے۔ کثیر متغیر معاملے میں ایک اور مسئلہ یہ ہے کہ محدود ماڈل اتنا مکمل طور پر تجویز نہیں کیا گیا ہے جتنا کہ غیر متغیر معاملے میں ہوتا ہے۔ غیر متغیر صورت میں، ماڈل (جی ای وی تقسیم) تین پیرامیٹرز پر مشتمل ہوتا ہے جن کی اقدار کی نظریہ کے ذریعہ پیش گوئی نہیں کی جاتی ہے اور ڈیٹا میں تقسیم کو فٹ کرکے حاصل کیا جانا چاہیے۔ ملٹی ویریٹ کیس میں، ماڈل میں نہ صرف نامعلوم پیرامیٹرز ہوتے ہیں، بلکہ ایک فنکشن بھی ہوتا ہے جس کی صحیح شکل تھیوری کے ذریعہ تجویز نہیں کی جاتی ہے۔ تاہم، اس فنکشن کو بعض رکاوٹوں کی پابندی کرنی چاہیے۔ ایسے تخمینے لگانے والوں کو وضع کرنا سیدھا نہیں ہے جو اس طرح کی رکاوٹوں کی پابندی کرتے ہیں حالانکہ کچھ حال ہی میں بنائے گئے ہیں۔ ایک درخواست کی مثال کے طور پر، سمندری تحقیق پر دو متغیر انتہائی قدر کے نظریہ کا اطلاق کیا گیا ہے۔ غیر اسٹیشنری ٹائم سیریز کے لیے غیر اسٹیشنری انتہا شماریاتی ماڈلنگ 1990 کی دہائی میں تیار کی گئی تھی۔ غیر مستحکم کثیر الجہتی انتہاؤں کے طریقے حال ہی میں متعارف کرائے گئے ہیں۔ مؤخر الذکر کو اس بات کا سراغ لگانے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے کہ وقت کے ساتھ انتہائی اقدار کے درمیان انحصار کیسے بدلتا ہے، یا کسی دوسرے کوویریٹ پر۔ یہ بھی دیکھیں انتہائی خطرہ انتہائی موسم فشر-ٹپیٹ-گینڈینکو تھیوریم عمومی انتہائی قدر کی تقسیم بڑا انحراف تھیوری آؤٹ لیئر پیریٹو ڈسٹری بیوشن پکینڈس-بالکیما-ڈی ہان تھیوریم نایاب واقعات ویبل ڈسٹری بیوشن ریڈینڈینسی اصول نوٹ حوالہ جات بری کے وی۔ (1975)۔ اطلاقی سائنس میں شماریاتی طریقے۔ جان ولی اینڈ سنز۔ کاسٹیلو ای۔ (1988) انجینئرنگ میں انتہائی قدر کا نظریہ۔ اکیڈمک پریس، انکارپوریٹڈ۔ نیویارک۔ ۔ کاسٹیلو، ای۔، ہادی، اے۔ ایس۔، بال کرشنن، این۔ اور سرابیا، جے۔ ایم۔ (2005) انجینئرنگ اور سائنس میں ایپلی کیشنز کے ساتھ انتہائی قدر اور متعلقہ ماڈل، امکان اور شماریات میں ولی سیریز ولی، ہوبوکن، نیو جرسی۔ ۔ کولز ایس۔ (2001) انتہائی اقدار کے شماریاتی ماڈلنگ کا تعارف۔ سپرنگر، لندن۔ ایمبریکٹس پی۔، کلپلبرگ سی۔ اور میکوش ٹی۔ (1997) انشورنس اور فنانس کے لیے انتہائی واقعات کی ماڈلنگ۔ برلن: اسپرنگ ورلاگ لیڈبیٹر ایم آر، لنڈگرین جی اور روٹزن ایچ۔ (1982) بے ترتیب ترتیبات اور عمل کی انتہا اور متعلقہ خصوصیات۔ سپرنگر-ورلاگ، نیویارک۔ نووک ایس۔ وائی۔ (2011) فنانس میں ایپلی کیشنز کے ساتھ انتہائی قدر کے طریقے۔ چیپ مین اینڈ ہال/سی آر سی پریس، لندن۔ R میں سافٹ ویئر انتہائی قدر کے اعدادوشمار-R ExtremeStats.jl اور Extremes.jl میں انتہائی قدر کے اعدادوشمار کے لیے پیکیجز-جولیا بیرونی لنکس میں انتہائی قدر کے اعدادوشمار انتہائی قدر تھیوری آپ کی گردن بچا سکتی ہے آسان غیر ریاضیاتی تعارف (پی ڈی ایف) سورس کوڈ برائے اسٹیشنری اور نان اسٹیشنری انتہائی قدر تجزیہ یونیورسٹی آف کیلیفورنیا، ارون فنانس میں انتہائی قدر تھیوری کو لاگو کرنے کے اقدامات: ایک جائزہ لیس ویلرز ایکسٹریمز ڈیس ڈسٹری بیوشن کے اعدادوشمار E. J. Gumbell کے زیر اہتمام کانفرنسوں تک مکمل متن تک رسائی 1933-34، فرانسیسی میں (پی ڈی ایف) ایکچوریئل سائنس تھیوری انتہائی قدر کے اعداد و شمار امکانات کی تقسیم کے دم مالیاتی رسک ماڈلنگ