Law of total cumulance
امکانی نظریہ اور ریاضیاتی اعداد و شمار میں، کل جمع کا قانون کل امکان کے قانون، کل توقع کے قانون، اور کل تغیر کے قانون کے مجموعوں کی عمومی شکل ہے۔ ٹائم سیریز کے تجزیے میں اس کے استعمال ہوتے ہیں۔ اسے ڈیوڈ برلنگر نے متعارف کرایا تھا۔ یہ سب سے زیادہ شفاف ہوتا ہے جب اس کی سب سے عام شکل میں بیان کیا جاتا ہے، مشترکہ کمولینٹس کے لیے، بجائے اس کے کہ صرف ایک بے ترتیب متغیر کے لیے مخصوص ترتیب کے کمولینٹس کے لیے۔ عام طور پر، ہمارے پاس ہے جہاں κ (X1,., Xn) n بے ترتیب متغیرات X1,., Xn کا مشترکہ مجموعہ ہے، اور مجموعہ اشاریہ جات کے سیٹ {1,., n} کے تمام پارٹیشنوں پر ہے، اور "B" کا مطلب ہے کہ B پارٹیشن کے "بلاکس" کی پوری فہرست سے گزرتا ہے، اور κ (xi: i bul B | Y) بے ترتیب متغیر Y کی قیمت کو دیکھتے ہوئے ایک مشروط مجموعہ ہے۔ اس لیے یہ اپنے آپ میں ایک بے ترتیب متغیر ہے-بے ترتیب متغیر Y کا ایک فعل۔ مثال صرف ایک بے ترتیب متغیر اور n = 2 یا 3 کا خاص معاملہ صرف اس صورت میں جب n = یا تو 2 یا 3 n واں مجموعہ n ویں مرکزی لمحے کے برابر ہوتا ہے۔ کیس n = 2 معروف ہے (کل تغیر کا قانون دیکھیں)۔ ذیل میں کیس n = 3 ہے۔ نوٹیشن μ3 کا مطلب تیسرا مرکزی لمحہ ہے۔ عام چوتھے درجے کے مشترکہ جمع عام چوتھے درجے کے جمع کرنے والوں کے لیے، قاعدہ 15 اصطلاحات کا مجموعہ دیتا ہے، جیسا کہ مندرجہ ذیل ہے: مرکب پوئسون بے ترتیب متغیرات کے جمع کرنے والے فرض کریں کہ Y کی متوقع قیمت λ کے ساتھ پوئسون کی تقسیم ہے، اور X W کی Y نقلوں کا مجموعہ ہے جو ایک دوسرے سے اور Y سے آزاد ہیں۔ پوسن کی تقسیم کے تمام جمع ایک دوسرے کے برابر ہیں، اور اس لیے اس صورت میں λ کے برابر ہیں۔ یہ بھی یاد رکھیں کہ اگر بے ترتیب متغیر W1،.، Wm آزاد ہیں، تو n واں جمع اضافی ہے: ہمیں X کا چوتھا جمع ملے گا۔ ہمارے پاس: ہم آخری رقم کو تقسیم کے تمام بلاکس پر پروڈکٹ کے سیٹ {1,2,3,4} کے تمام پارٹیشنوں پر، بلاک کے سائز کے برابر ترتیب کے W کے مجموعوں کے مجموعے کے طور پر تسلیم کرتے ہیں۔ یہ بالکل ڈبلیو کا چوتھا خام لمحہ ہے (اس حقیقت پر مزید آرام سے بحث کے لیے کمولنٹ دیکھیں)۔ لہذا X کے مجموعے W کے لمحات کو λ سے ضرب دیتے ہیں۔ اس طرح ہم دیکھتے ہیں کہ ہر لمحے کی ترتیب بھی ایک مجموعی ترتیب ہے (اس کے برعکس درست نہیں ہو سکتا، کیونکہ یکساں ترتیب ≤4 کے مجموعی کچھ معاملات میں منفی ہوتے ہیں، اور اس وجہ سے بھی کہ معمول کی تقسیم کا مجموعی ترتیب کسی بھی امکان کی تقسیم کا ایک لمحے کی ترتیب نہیں ہے)۔ برنولی بے ترتیب متغیر پر کنڈیشنگ فرض کریں کہ Y = 1 امکانات p کے ساتھ اور Y = 0 امکانات q = 1 − p کے ساتھ۔ فرض کریں کہ X کی مشروط امکانات کی تقسیم F ہے اگر Y = 1 اور G اگر Y = 0 ہے۔ پھر ہمارے پاس جہاں مطلب سیٹ {1,., n} کا ایک پارٹیشن ہے جو موٹے ترین پارٹیشن سے بہتر ہے-رقم اس کے علاوہ تمام پارٹیشنوں پر ہے۔ مثال کے طور پر، اگر n = 3 ہے، تو ہمارے پاس بے ترتیب متغیرات کا حوالہ جات الجبرا ہے۔