Uniform 4-polytope
جیومیٹری میں، ایک یکساں 4-پولیٹوپ (یا یکساں پولی کورون) ایک 4 جہتی پولیٹوپ ہے جو ورٹیکس ٹرانزیکٹو ہے اور جس کے خلیے یکساں پولی ہیڈرا ہوتے ہیں، اور چہرے باقاعدہ کثیر الاضحی ہوتے ہیں۔ 47 غیر پریسمٹک کنویکس وردی 4 پولی ٹاپس ہیں۔ کنویکس پریسمٹک شکلوں کے دو لامحدود سیٹ ہیں، ان کے ساتھ ساتھ کنویکس وردی پولی ہیڈرا کے پریزم کے طور پر پیدا ہونے والے 17 کیس ہیں۔ غیر کنویکس ستاروں کی شکلوں کی ایک نامعلوم تعداد بھی موجود ہے۔ دریافت کی تاریخ کنوکس ریگولر پولی ٹاپس: 1852: لڈوگ شلافلی نے اپنے نسخے تھیوری ڈیر ویلفاچن کونٹینیوئٹ میں ثابت کیا کہ 4 جہتوں میں بالکل 6 ریگولر پولی ٹاپس ہیں اور 5 یا اس سے زیادہ جہتوں میں صرف 3 ہیں۔ باقاعدہ اسٹار 4-پولی ٹاپس (اسٹار پولی ہیڈرون سیل اور/یا ورٹیکس کے اعداد و شمار) 1852: لڈوگ شلافلی نے 10 باقاعدہ اسٹار 4-پولی ٹاپس میں سے 4 کو بھی پایا، جس میں خلیوں یا ورٹیکس کے اعداد و شمار {5/2,5} اور {5,5/2} کے ساتھ 6 کو رعایت دی گئی۔ 1883: ایڈمنڈ ہیس نے اپنی کتاب (جرمن میں) آئنلائٹنگ ان ڈائی لیہرے وان ڈیر کگلٹیلونگ میٹ بیسونڈرر بیرکسچٹیگنگ ایہرر انوینڈنگ اوف ڈائی تھیوری ڈیر گلیچفلاچیگن اینڈ ڈیر گلیچیکیجن پولیڈر میں 10 نان کنویکس ریگولر 4 پولی ٹاپس کی فہرست مکمل کی۔ کنویکس سیمی ریگولر پولی ٹاپس: (کاکسٹر کے یکساں زمرے سے پہلے کی مختلف تعریفیں) 1900: تھورولڈ گوسیٹ نے اپنی اشاعت آن دی ریگولر اینڈ سیمی ریگولر فگرز ان اسپیس آف این ڈائیمنشنز میں باقاعدہ خلیوں (پلاٹونک ٹھوس) کے ساتھ غیر پریسمٹک سیمی ریگولر کنویکس پولی ٹاپس کی فہرست شمار کی۔ چار جہتوں میں، یہ اصلاح شدہ 5 خلیہ، اصلاح شدہ 600 خلیہ، اور سنب 24 خلیہ دیتا ہے۔ 1910: ایلیسیا بول اسٹاٹ نے اپنی اشاعت جیومیٹریکل ڈیڈکشن آف سیمی ریگولر میں باقاعدہ پولی ٹاپس اور اسپیس فلنگز سے، آرکیمیڈین ٹھوس اور پرزم خلیوں کو بھی اجازت دے کر تعریف کو بڑھایا۔ اس تعمیر میں 45 سیمی ریگولر 4-پولی ٹاپس کا شمار کیا گیا، جو ذیل میں درج غیر پریسمٹک شکلوں سے مطابقت رکھتے ہیں۔ اسنب 24 سیل اور گرینڈ اینٹی پریزم اس کی فہرست سے غائب تھے۔ 1911: پیٹر ہینڈرک شوٹے نے باقاعدگی سے باقاعدہ پولی ٹاپس سے حاصل ہونے والے پولی ٹاپس کا تجزیاتی علاج شائع کیا، اس کے بعد بول اسٹاٹ کے اشارے کی پیروی کی، جس میں 5 سیل، 8 سیل/16 سیل، اور 24 سیل پر مبنی ہم آہنگی کے ذریعے کنویکس یونیفارم پولی ٹاپس کی گنتی کی گئی۔ 1912: ای ایل ایلٹے نے دی سیمی ریگولر پولی ٹاپس آف دی ہائپر اسپیسز کی اشاعت کے ساتھ گوسیٹ کی فہرست میں آزادانہ طور پر توسیع کی، ایک یا دو قسم کے سیمی ریگولر پہلوؤں کے ساتھ پولی ٹاپس۔ کنویکس یونیفارم پولی ٹاپس: 1940: ایچ ایس ایم کے ذریعے تلاش کو منظم طریقے سے بڑھایا گیا۔ کاکسٹر اپنی اشاعت ریگولر اینڈ سیمی ریگولر پولی ٹاپس میں۔ کنویکس وردی 4-پولی ٹاپس: 1965: کنویکس شکلوں کی مکمل فہرست بالآخر جان ہارٹن کونوے اور مائیکل گائے نے اپنی اشاعت فور ڈائیمینشنل آرکیمیڈین پولی ٹاپس میں شمار کی، جو کمپیوٹر تجزیہ کے ذریعے قائم کی گئی تھی، جس میں صرف ایک غیر وتھوفین کنویکس 4-پولیٹوپ، گرینڈ اینٹی پریزم شامل کیا گیا تھا۔ 1966 نارمن جانسن نے اپنا پی ایچ ڈی مکمل کیا۔ مشیر کاکسٹر کے تحت یکساں پولی ٹاپس اور ہنی کامبس کا نظریہ، طول و عرض 4 اور اس سے زیادہ کے لیے یکساں پولی ٹاپس کا بنیادی نظریہ مکمل کرتا ہے۔ 1986 میں کاکسٹر نے ایک مقالہ ریگولر اور سیمی ریگولر پولی ٹاپس II شائع کیا جس میں منفرد سنب 24 سیل ڈھانچے کا تجزیہ، اور بے ضابطہ گرینڈ اینٹی پریزم کی ہم آہنگی شامل تھی۔ 1998-2000:4-پولی ٹاپس کا نام منظم طریقے سے نارمن جانسن نے رکھا تھا، اور جارج اولشیفسکی کی آن لائن انڈیکس شدہ گنتی (اس فہرست کے لیے ایک بنیاد کے طور پر استعمال کیا گیا) کے ذریعے دیا گیا تھا۔ جانسن نے 4-پولی ٹاپس کو پولیچورا کا نام دیا، جیسے 3-پولی ٹاپس کے لیے پولی ہیڈرا، یونانی جڑوں سے پولی ("کئی") اور کوروس ("کمرہ" یا "جگہ")۔ یکساں پولیچورا کے نام 6 باقاعدہ پولیچورا سے شروع ہوتے ہیں جن میں کاکسٹر ڈایگرام میں رنگوں پر مبنی پریفیکس ہوتے ہیں۔ ٹرنکیشن t0,1، کینٹیلیشن، t0,2، رنسی نیشن t0,3، سنگل رنگڈ فارمز کے ساتھ جسے ریکٹیفائیڈ کہا جاتا ہے، اور بائی، ٹرائی پریفیکس شامل کیے جاتے ہیں جب پہلی رنگ دوسرے یا تیسرے نوڈس پر ہوتی ہے۔ 2004: اس بات کا ثبوت کہ کونوے-گائی سیٹ مکمل ہو چکا ہے، مارکو مولر نے اپنے مقالے، وائیرڈیمینشنل آرکیمیڈیشے پولیٹوپ میں شائع کیا۔ مولر نے اپنی فہرست میں جانسن کے نام کے نظام کو دوبارہ پیش کیا۔ 2008: دی سمیٹریز آف تھنگز کو جان ایچ کونوے نے شائع کیا تھا اور اس میں کاکسٹر گروپ فیملی کی طرف سے کنویکس وردی 4-پولی ٹاپس اور اعلی جہتی پولی ٹاپس کی پہلی پرنٹ شائع شدہ فہرست شامل ہے، جس میں ہر رنگ والے کاکسٹر خاکہ کے لیے عمومی ورٹیکس فگر ڈایگرام-سنب، گرینڈ اینٹی پریزم، اور ڈوپریزم-جسے انہوں نے پروڈکٹ پریزم کے لیے پروپریزم کہا۔ انہوں نے کٹوتی اور کٹوتی سے بالاتر اشاریہ بند رنگ کی تغیرات کے لیے اپنی خود کی آئی جے کے-ایمبو نامی اسکیم کا استعمال کیا، اور جانسن کے تمام نام کتاب اشاریہ میں شامل کیے گئے۔ نان ریگولر یونیفارم اسٹار 4 پولی ٹاپس: (نان کنویکس یونیفارم پولی ہیڈرا کی طرح) 1966: جانسن نے اپنے مقالے میں 4-اسپیس میں تین نان کنویکس یونیفارم اینٹی پریزمز کو بیان کیا ہے۔ 1990-2006: ایک مشترکہ تلاش میں، 2005 تک جوناتھن بوورز اور جارج اولشیفسکی نے کل 1845 کے یکساں 4-پولی ٹاپس (کنویکس اور نان کنویکس) کی نشاندہی کی تھی، جس میں 2006 میں دریافت ہونے والے اضافی چار کے ساتھ کل 1849 تھے۔ گنتی میں 75 غیر پریسمٹک وردی پولی ہیڈرا کے 74 پریزم شامل ہیں (چونکہ یہ ایک محدود سیٹ ہے-کیوبک پریزم کو خارج کر دیا گیا ہے کیونکہ یہ ٹیسریکٹ کی نقل کرتا ہے)، لیکن ڈوپریزم کی لامحدود اقسام یا اینٹی پریزم کے پریزم نہیں۔ 2020-2023:342 نئے پولی کورا پائے گئے، جس سے معروف وردی 4-پولی ٹاپس کی کل تعداد 2191 ہو گئی۔ فہرست مکمل ثابت نہیں ہوئی ہے۔ باقاعدہ 4-پولی ٹاپس یکساں 4-پولی ٹاپس کا ایک ذیلی مجموعہ ہیں، جو اضافی ضروریات کو پورا کرتے ہیں۔ باقاعدہ 4-پولی ٹاپس کا اظہار شلافلی علامت {p, q, r} کے ساتھ کیا جا سکتا ہے جس میں {p, q} قسم کے خلیات، {p} قسم کے چہرے، کنارے کے اعداد و شمار {r}، اور عمودی اعداد و شمار {q, r} ہوتے ہیں۔ باقاعدہ 4-پولیٹوپ {p, q, r} کا وجود باقاعدہ پولی ہیڈرا {p, q} کے وجود سے محدود ہوتا ہے جو خلیات بن جاتا ہے، اور {q, r} جو ورٹیکس فگر بن جاتا ہے۔ ایک محدود 4-پولیٹوپ کے طور پر وجود ایک عدم مساوات پر منحصر ہے: 16 باقاعدہ 4-پولیٹوپس، اس خاصیت کے ساتھ کہ تمام خلیات، چہرے، کنارے اور عمودی برابر ہیں: 6 باقاعدہ کنویکس 4-پولیٹوپس: 5-سیل {3,3,3}، 8-سیل {4,3,3}، 16-سیل {3,3,4}، 24-سیل {3,4,3}، 120-سیل {5,3,3}، اور 600-سیل [3,3,5]۔ 10 باقاعدہ اسٹار 4 پولی ٹاپس: آئکوساہیڈرل 120 سیل (3,5,5 2)، چھوٹے اسٹیلٹیڈ 120 سیل (5/2,5,3)، عظیم 120 سیل (5,5/2,5)، گرینڈ 120 سیل (5,3,5 2)، عظیم اسٹیلٹیڈ 120 سیل (5/2,3,5)، گرینڈ اسٹیلٹیڈ 120 سیل (5/2,5,5/2)، عظیم گرینڈ 120 سیل (5,5/2,3)، عظیم آئکوساہیڈرل 120 سیل (3,5/2,5)، گرینڈ 600 سیل (3,3,5/2)، اور عظیم گرینڈ اسٹیلٹیڈ 120 سیل (5/2,3,3) کنویکس وردی 4-پولی ٹاپس چار جہتوں میں وردی 4-پولی ٹاپس کی سمیٹری 4 جہتوں میں 5 بنیادی آئینے کی سمیٹری پوائنٹ گروپ فیملی ہیں: A4 =، B4 =، D4 =، F4 =، H4 =۔ 3 پریسمٹک گروپ A3A1 =، B3A1 =، H3A1 =، اور ڈوپریسمٹک گروپس بھی ہیں: I2 (p) × I2 (q) =۔ ہر گروپ کی وضاحت ایک گورسیٹ ٹیٹراہیڈرون بنیادی ڈومین کے ذریعہ کی گئی ہے جو آئینے کے طیاروں سے گھرا ہوا ہے۔ ہر عکاس وردی 4-پولیٹوپ کو ایک یا ایک سے زیادہ عکاس نقطہ گروپ میں 4 جہتوں میں وائتھوف کی تعمیر کے ذریعے بنایا جا سکتا ہے، جس کی نمائندگی کاکسٹر خاکہ میں نوڈس کی تغیرات کے ارد گرد بجتی ہے۔ آئینے کے ہائپرپلین کو گروپ کیا جا سکتا ہے، جیسا کہ رنگین نوڈس سے دیکھا جاتا ہے، جو یکساں شاخوں سے الگ ہوتے ہیں۔ [a، b، a] کی شکل کے سمیٹری گروپوں میں ایک توسیعی سمیٹری ہوتی ہے، [a، b، a]، جو سمیٹری آرڈر کو دوگنا کرتی ہے۔ اس میں [3,3,3]، [3,4,3]، اور [p، 2، p] شامل ہیں۔ سمیٹرک رنگوں والے ان گروپوں میں یکساں پولی ٹاپس میں یہ توسیعی سمیٹری ہوتی ہے۔ اگر کسی دیئے گئے رنگ کے تمام آئینے کسی دیئے گئے یکساں پولیٹوپ میں غیر فعال (غیر فعال) ہیں، تو اس میں تمام غیر فعال آئینوں کو ہٹا کر کم ہم آہنگی کی تعمیر ہوگی۔ اگر کسی دیئے گئے رنگ کے تمام نوڈس رنگڈ (فعال) ہیں، تو ایک متبادل آپریشن چیرل سمیٹری کے ساتھ ایک نیا 4-پولیٹوپ تیار کر سکتا ہے، جسے "خالی" سرکلڈ نوڈس "کے طور پر دکھایا گیا ہے، لیکن جیومیٹری عام طور پر یکساں حل بنانے کے لیے ایڈجسٹ نہیں ہوتی ہے۔ گنتی 64 کنویکس وردی 4-پولی ٹاپس ہیں، جن میں 6 باقاعدہ کنویکس 4-پولی ٹاپس شامل ہیں، اور ڈوپریزم کے لامحدود سیٹوں اور اینٹی پریسمٹک پریزم کو چھوڑ کر۔ 5 پلاٹونک ٹھوسوں پر مبنی پولی ہیڈرل پریزم ہیں (1 باقاعدہ کے ساتھ اوورلیپ ہوتا ہے کیونکہ کیوبک ہائپر پریزم ایک ٹیسریکٹ ہے) 13 پولی ہیڈرل پریزم ہیں جو آرکیمیڈین ٹھوسوں پر مبنی ہیں 9 سیلف ڈوئل باقاعدہ A4 [3,3,3] گروپ (5 سیل) فیملی میں ہیں۔ 9 سیلف ڈوئل ریگولر F4 [3,4,3] گروپ (24 سیل) فیملی میں ہیں۔ (سنب 24 سیل کو چھوڑ کر) 15 باقاعدہ B4 [3,3,4] گروپ (ٹیسیراکٹ/16 سیل) خاندان میں ہیں (3 24 سیل خاندان کے ساتھ اوورلیپ ہوتے ہیں) 15 باقاعدہ H4 [3,3,5] گروپ (120 سیل/600 سیل) خاندان میں ہیں۔ [3,4,3] گروپ (24 سیل) خاندان میں 1 خاص اسنب فارم۔ 1 خاص غیر ویتھوفین 4-پولیٹوپ، گرینڈ اینٹی پریزم۔ کل: 68−4 = 64 یہ 64 وردی 4-پولی ٹاپس جارج اولشیفسکی کے ذریعہ ذیل میں انڈیکس کیے گئے ہیں۔ بار بار ہم آہنگی کی شکلیں بریکٹ میں انڈیکس کی جاتی ہیں۔ مندرجہ بالا 64 کے علاوہ، 2 لامحدود پریسمٹک سیٹ ہیں جو بقیہ تمام کنویکس شکلیں پیدا کرتے ہیں: یکساں اینٹی پریسمٹک پریزموں کا سیٹ-sr {p, 2} × {}-دو اینٹی پریزموں کے پولی ہیڈرل پریزم۔ یکساں ڈوپریزم کا مجموعہ-{p} × {q}-دو کثیر الاضلاعات کا کارٹیشین پروڈکٹ۔ A4 خاندان 5 خلیے میں 120 کی ترتیب کی ڈپلوئڈ پینٹاچورک [3,3,3] سمیٹری ہوتی ہے، جو پانچ عناصر کی ترتیب کے لیے آئسومورفک ہوتی ہے، کیونکہ عمودی کے تمام جوڑے ایک ہی طرح سے متعلق ہوتے ہیں۔ پہلوؤں (خلیوں) کو دیا جاتا ہے، مخصوص نوڈس کو ہٹا کر ان کے کاکسٹر خاکہ کے مقامات میں گروپ کیا جاتا ہے۔ ستارے کے ساتھ نشان زد تین یکساں 4-پولی ٹاپس کی شکلوں میں، *، اعلی توسیعی پینٹاچورک سمیٹری ہوتی ہے، جس کی ترتیب 240 ہوتی ہے، کیونکہ بنیادی 5-خلیے کے کسی بھی عنصر سے مطابقت رکھنے والے عنصر کا تبادلہ ان میں سے کسی ایک کے ساتھ کیا جا سکتا ہے جو اس کے دوہرے عنصر سے مطابقت رکھتا ہے۔ ایک چھوٹا انڈیکس ذیلی گروپ [3,3,3] +، آرڈر 60، یا اس کا ڈبلنگ +، آرڈر 120 ہے، جو ایک اومنسبنب 5 سیل کی وضاحت کرتا ہے جو مکمل ہونے کے لیے درج ہے، لیکن یکساں نہیں ہے۔ B4 خاندان اس خاندان میں ڈائپلوئڈ ہیکساڈیکاچورک سمیٹری ہے، [4,3,3]، جس کی ترتیب 24 × 16 = 384:4! = چار محوروں کی 24 تغیرات، ہر محور میں عکاسی کے لیے 24 = 16۔ انڈیکس کے 3 چھوٹے ذیلی گروہ ہیں، جن میں پہلے دو یکساں 4-پولی ٹاپ تیار کرتے ہیں جو دوسرے خاندانوں میں بھی دہرائے جاتے ہیں، [1 +، 4,3,3]، [4، (3,3) +]، اور [4,3,3] +، تمام ترتیب 192۔ ٹیسیریکٹ ٹرانکیشنز 16 سیل ٹرانکیشنز (*) جس طرح ٹیٹراہیڈرون کو درست کرنے سے آکٹاہیڈرون پیدا ہوتا ہے، اسی طرح 16 سیل کو درست کرنے سے 24 سیل پیدا ہوتا ہے، جو اگلے خاندان کا باقاعدہ رکن ہے۔ سنب 24 سیل کو مکمل ہونے کے لیے اس خاندان میں دہرایا جاتا ہے۔ یہ نصف ہم آہنگی گروپ [(3,3) +، 4] کے ساتھ کینٹٹرونکیٹڈ 16 سیل یا کٹے ہوئے 24 سیل کا ایک متبادل ہے۔ کٹے ہوئے آکٹاڈرل خلیات آئکوساہیڈرا بن جاتے ہیں۔ کیوب ٹیٹراہیڈرا بن جاتے ہیں، اور ہٹائے گئے عمودی حصوں کے خلا میں 96 نئے ٹیٹراہیڈرا بن جاتے ہیں۔ F4 خاندان اس خاندان میں ڈپلوئڈ آئکوسیٹیٹراکورک سمیٹری ہے، [3,4,3]، ترتیب 24 × 48 = 1152:24 خلیوں میں سے ہر ایک کے لیے آکٹاہیڈرون کی 48 سمیٹریز۔ انڈیکس کے 3 چھوٹے ذیلی گروہ ہیں، جن میں پہلے دو آئسومورفک جوڑے یکساں 4-پولی ٹاپس پیدا کرتے ہیں جو دوسرے خاندانوں میں بھی دہرائے جاتے ہیں، [3 +, 4,3]، [3,4,3 +]، اور [3,4,3] +، تمام ترتیب 576۔ (†) یہاں اسنب 24 سیل، اس کے عام نام کے باوجود، اسنب کیوب کے مترادف نہیں ہے ؛ بلکہ، یہ کٹے ہوئے 24 سیل کے متبادل سے اخذ کیا گیا ہے۔ اس کا ہم آہنگی نمبر صرف 576 ہے، (آئنک کم شدہ آئکوسیٹیٹراکورک گروپ، [3 +، 4,3])۔ 5 خلیے کی طرح، 24 خلیے خود دوہری ہوتے ہیں، اور اس لیے مندرجہ ذیل تین شکلوں میں دوگنی ہم آہنگی ہوتی ہے، جس سے ان کی کل تعداد 2304 (توسیعی آئکوسیٹریکورک ہم آہنگی) ہو جاتی ہے۔ H4 خاندان اس خاندان میں 120 × 120 = 24 × 600 = 14400:120 ڈوڈیکیہیڈرا میں سے ہر ایک کے لیے، یا 600 ٹیٹراہیڈرا میں سے ہر ایک کے لیے 24 کی ترتیب کی ڈپلوئڈ ہیکساکوسچورک سمیٹری، [5,3,3] ہے۔ ایک چھوٹا انڈیکس ذیلی گروپ [5,3,3] + ہے، تمام آرڈر 7200۔ 120 خلیوں کی کٹوتیاں 600 خلیوں کی کٹوتیاں D4 خاندان یہ ڈیمیٹیسیریکٹ خاندان، [31,1,1]، کوئی نیا وردی 4-پولی ٹاپس متعارف نہیں کرتا ہے، لیکن یہ ان متبادل تعمیرات کو دہرانے کے لائق ہے۔ اس خاندان میں چار محوروں کی ترتیب 12 × 16 = 192:4!/2 = 12 تغیرات ہیں، نصف متبادل کے طور پر، ہر محور میں عکاسی کے لیے 24 = 16۔ ایک چھوٹا انڈیکس ذیلی گروہ ہے جو یکساں 4-پولی ٹاپس، [31,1,1] +، آرڈر 96 پیدا کرتا ہے۔ جب 3 بفرکی ہوئی برانچ نوڈس کو یکساں طور پر رنگ کیا جاتا ہے، تو ہم آہنگی کو 6 سے بڑھایا جا سکتا ہے، جیسا کہ [3 [31,1,1] = [3,4,3]، اور اس طرح یہ پولی ٹاپس 24 سیل فیملی سے دہرائے جاتے ہیں۔ یہاں پھر اسنب 24 سیل، اس بار سمیٹری گروپ [31,1,1] + کے ساتھ، کٹے ہوئے 24 سیل کی ایک متبادل کٹائی کی نمائندگی کرتا ہے جس سے حذف شدہ عمودی کی پوزیشن پر 96 نئے ٹیٹراہیڈرا بنتے ہیں۔ سابقہ گروہوں کے اندر جزوی طور پر اسنبڈ 4-پولیٹوپ کے طور پر اس کی ظاہری شکل کے برعکس، صرف اس سمیٹری گروپ کے اندر اس کی مکمل مشابہت کیپلر اسنبس سے ہے، یعنی۔ سنب کیوب اور سنب ڈوڈیکاہڈرون۔ گرینڈ اینٹی پریزم ایک غیر ویتھوفین وردی کنویکس 4-پولیٹوپ ہے، جسے گرینڈ اینٹی پریزم کہا جاتا ہے، جس میں 20 پینٹاگونل اینٹی پریزم ہوتے ہیں جو 300 ٹیٹراہیڈرا کے ساتھ مل کر دو عمودی حلقے بناتے ہیں۔ یہ تین جہتی اینٹی پریزموں سے ڈھیلا مشابہت رکھتا ہے، جو دو متوازی کثیر الاضلاعات پر مشتمل ہوتے ہیں جو مثلث کے بینڈ سے جڑے ہوتے ہیں۔ تاہم، ان کے برعکس، گرینڈ اینٹی پریزم یکساں پولی ٹاپس کے لامحدود خاندان کا رکن نہیں ہے۔ اس کی ہم آہنگی آئنک کم شدہ کاکسٹر گروپ ہے، [[10,2 +, 10]]، آرڈر 400۔ پریسمٹک وردی 4-پولیٹوپس ایک پریسمٹک پولیٹوپ کم طول و عرض کے دو پولیٹوپس کا کارٹیشین پروڈکٹ ہے۔ واقف مثالیں 3 جہتی پریزم ہیں، جو ایک کثیر الاضحی اور لائن سیگمنٹ کی مصنوعات ہیں۔ پریسمٹک وردی 4-پولی ٹاپس دو لامحدود خاندانوں پر مشتمل ہوتے ہیں: پولی ہیڈرل پریزم: لائن سیگمنٹ کی مصنوعات اور ایک یکساں پولی ہیڈرون۔ یہ خاندان لامحدود ہے کیونکہ اس میں 3 جہتی پریزم اور اینٹی پریزم پر بنے پریزم شامل ہیں۔ ڈوپریزم: دو کثیر الاضلاعات کی مصنوعات۔ کنویکس پولی ہیڈرل پریزم پریسمٹک 4-پولی ٹاپس کا سب سے واضح خاندان پولی ہیڈرل پریزم ہے، یعنی۔ لائن سیگمنٹ کے ساتھ پولی ہیڈرون کی مصنوعات۔ اس طرح کے 4-پولی ٹاپس کے خلیات دو ایک جیسے یکساں پولی ہیڈرا ہوتے ہیں جو متوازی ہائپرپلین (بیس خلیات) میں پڑے ہوتے ہیں اور ان میں شامل ہونے والے پریزم کی ایک پرت (لیٹرل خلیات) ہوتی ہے۔ اس خاندان میں 75 غیر پریسمٹک وردی پولی ہیڈرا کے لیے پریزم شامل ہیں (جن میں سے 18 کنویکس ہیں ؛ ان میں سے ایک، کیوب-پریزم، اوپر ٹیسریکٹ کے طور پر درج ہے)۔ 5 پلاٹونک ٹھوسوں اور 13 آرکیمیڈین ٹھوسوں کے ساتھ ساتھ تین جہتی پریزموں اور اینٹی پریزموں کے لامحدود خاندانوں کے لیے 18 کنویکس پولی ہیڈرل پریزم بنائے گئے ہیں۔ پولی ہیڈرل پریزم کا سمیٹری نمبر بیس پولی ہیڈرون سے دوگنا ہوتا ہے۔ ٹیٹراہیڈرل پریزم: A3 × A1 یہ پریسمٹک ٹیٹراہیڈرل سمیٹری [3,3,2]، آرڈر 48 ہے۔ دو انڈیکس 2 ذیلی گروہ ہیں، [(3,3) +، 2] اور [3,3,2] +، لیکن دوسرا یکساں 4-پولیٹوپ پیدا نہیں کرتا ہے۔ آکٹاہیڈرل پریزم: B3 × A1 یہ پریسمٹک آکٹاہیڈرل فیملی سمیٹری [4,3,2]، آرڈر 96 ہے۔ انڈیکس 2، آرڈر 48 کے 6 ذیلی گروپ ہیں جن کا اظہار ذیل میں متبادل 4-پولی ٹاپس میں کیا گیا ہے۔ ہم آہنگی [(4,3) +، 2]، [1 +، 4,3,2]، [4,3,2 +]، [4,3 +، 2]، [4، (3,2) +]، اور [4,3,2] + ہیں۔ آئکوساہیڈرل پریزم: H3 × A1 یہ پریسمٹک آئکوساہیڈرل سمیٹری [5,3,2]، ترتیب 240 ہے۔ انڈیکس 2 کے دو ذیلی گروپ ہیں، [(5,3) +، 2] اور [5,3,2] +، لیکن دوسرا یکساں پولی کورون پیدا نہیں کرتا ہے۔ ڈوپریزم: [p] × [q] دوسرا یکساں ڈوپریزم کا لامحدود خاندان ہے، جو دو باقاعدہ کثیر الاضلاعات کی پیداوار ہے۔ ڈوپریزم کا کاکسٹر-ڈینکن خاکہ ہے۔ اس کی چوٹی کی شکل ایک ڈسپینائڈ ٹیٹراہیڈرون ہے۔ یہ خاندان پہلے کے ساتھ اوورلیپ ہوتا ہے: جب دو "عنصر" کثیر الاضحی میں سے ایک مربع ہوتا ہے، تو پروڈکٹ ایک ہائپر پریزم کے برابر ہوتا ہے جس کی بنیاد تین جہتی پریزم ہوتی ہے۔ ڈوپریزم کا سمیٹری نمبر جس کے عوامل p-گون اور q-گون (a "p، q-ڈوپریزم") ہیں 4pq ہے اگر p ष्णق ؛ اگر عوامل دونوں p-گون ہیں، تو سمیٹری نمبر 8p2 ہے۔ ٹیسیراکٹ کو 4,4-ڈوپریزم بھی سمجھا جا سکتا ہے۔ {p} × {q} کا توسیعی f-ویکٹر (p, p, 1) * (q, q, 1) = (pq, 2pq, pq + p + q, p + q) ہے۔ خلیے: p q-gonal پریزم، q p-gonal پریزم چہرے: pq مربع، p q-gon، q p-gon کنارے: 2pq عمودی: pq تین جہتی اینٹی پریزم کے لامحدود خاندان کے چار جہتوں میں کوئی یکساں ینالاگ نہیں ہے۔ p-q ڈوپریزم کا لامحدود مجموعہ-- p q-gonal پریزم، q p-gonal پریزم: متبادل ممکن ہیں۔ = ڈوانٹی پریزم کے خاندان کو دیتا ہے، لیکن انہیں عام طور پر یکساں نہیں بنایا جا سکتا۔ p = q = 2 واحد کنویکس کیس ہے جسے یکساں بنایا جا سکتا ہے، جس سے باقاعدہ 16 خلیے ملتے ہیں۔ p = 5، q = 5/3 واحد نان کنویکس کیس ہے جسے یکساں بنایا جا سکتا ہے، جس سے نام نہاد گریٹ ڈوانٹی پریزم ملتا ہے۔ یہ پی-2 کیو-گونل پرزمنیپریسمائڈ (2 پی-4 کیو ڈوپریزم کا ایک ایج-متبادل) دیتا ہے، لیکن اسے کسی بھی صورت میں یکساں نہیں بنایا جا سکتا۔ پولیگنل پریسمٹک پریزم: [p] × [] × [] یکساں پریسمٹک پریزموں کا لامحدود مجموعہ 4-p ڈوپریزموں کے ساتھ اوورلیپ ہوتا ہے: (p ≤ 3)-- p کیوب اور 4 p-گونل پریزم-(سبھی 4-p ڈوپریزم کی طرح ہیں) سیریز میں دوسرا پولیٹوپ باقاعدہ ٹیسریکٹ، {4} × {4} کی کم ہم آہنگی ہے۔ پولیگنل اینٹی پریسمٹک پریزم: [p] × [] × [] یکساں اینٹی پریسمٹک پریزم کے لامحدود سیٹ دو متوازی یکساں اینٹی پریزم سے بنائے جاتے ہیں): (p ≤ 2)-- 2 p-گونل اینٹی پریزم، جو 2 p-گونل پریزم اور 2p مثلث پریزم سے جڑے ہوتے ہیں۔ پی-گونل اینٹی پریسمٹک پریزم میں 4 پی مثلث، 4 پی مربع اور 4 پی-گون چہرے ہوتے ہیں۔ اس میں 10 پی کناروں اور 4 پی عمودی ہیں۔ غیر یکساں متبادلات کاکسٹر نے رینک 4 کاکسٹر گروپوں کے لیے صرف دو یکساں حل دکھائے جن میں تمام حلقے باری باری ہوتے ہیں (خالی سرکل نوڈس کے ساتھ دکھائے گئے ہیں)۔ پہلا ہے، s {21,1,1} جس نے ڈیمیٹیسیریکٹ کے انڈیکس 24 ذیلی گروپ (سمیٹری [2,2,2] +، آرڈر 8) کی شکل کی نمائندگی کی، h {4,3,3} (سمیٹری [1 +، 4,3,3] = [31,1,1]، آرڈر 192)۔ دوسرا ہے، s {31,1,1}، جو ایک انڈیکس 6 ذیلی گروپ ہے (سمیٹری [31,1,1 +، آرڈر 96) اسنب 24 سیل کی شکل، s {3,4,3}، (سمیٹری [3 +، 4,3]، آرڈر 576)۔ دیگر متبادلات، جیسے کہ، ہمہ گیر ٹیسریکٹ سے متبادلات کے طور پر، یکساں نہیں بنایا جا سکتا کیونکہ مساوی کنارے کی لمبائی کے لیے حل کرنا عام طور پر حد سے زیادہ ہے (چھ مساوات ہیں لیکن صرف چار متغیرات ہیں)۔ اس طرح کے غیر یکساں متبادل اعداد و شمار کو مکمل رنگ والے اعداد و شمار کے عمودی حصوں کے دو نصف سیٹوں میں سے ایک کو ہٹا کر عمودی-عارضی 4-پولی ٹاپس کے طور پر بنایا جا سکتا ہے، لیکن اس کے کنارے کی لمبائی غیر مساوی ہوگی۔ یکساں متبادلات کی طرح، ان میں یکساں اعداد و شمار کی ہم آہنگی کا نصف حصہ ہوگا، جیسے [4,3,3] +، ترتیب 192، متبادل ہمہ جہت ٹیسریکٹ کی ہم آہنگی ہے۔ متبادلات کے ساتھ وائتھوف تعمیرات عمودی-عارضی اعداد و شمار پیدا کرتی ہیں جنہیں مساوی بنایا جا سکتا ہے، لیکن یکساں نہیں کیونکہ متبادل خلا (ہٹائے گئے عمودی حصوں کے ارد گرد) ایسے خلیات پیدا کرتے ہیں جو باقاعدہ یا نیم ریگولیر نہیں ہوتے ہیں۔ اس طرح کے اعداد و شمار کا ایک مجوزہ نام اسکالیفارم پولی ٹاپس ہے۔ یہ زمرہ جانسن ٹھوسوں کے ذیلی سیٹ کو خلیوں کے طور پر اجازت دیتا ہے، مثال کے طور پر سہ رخی کپولا۔ جانسن ٹھوس کے اندر ہر عمودی ترتیب عمودی شکل کے اندر موجود ہونی چاہیے۔ مثال کے طور پر، ایک مربع اہرام میں دو عمودی ترتیبات ہوتی ہیں: بنیاد کے ارد گرد 3.3.4، اور چوٹی پر 3.3.3.3۔ ہر ایک سرے کے ارد گرد خلیوں کی فہرست کے ساتھ چار کنویکس مساوی معاملات کے جال اور سرے کے اعداد ذیل میں دیے گئے ہیں۔ 46 غیر پریشماتی وائتھوفین وردی پولیچورا کے لیے ہندسی مشتقات 46 وائتھوفین 4-پولی ٹاپس میں چھ کنویکس باقاعدہ 4-پولی ٹاپس شامل ہیں۔ دیگر چالیس کو عام پولی کورا سے ہندسی کارروائیوں کے ذریعے اخذ کیا جا سکتا ہے جو ان کی زیادہ تر یا تمام ہم آہنگی کو محفوظ رکھتے ہیں، اور اس لیے ان کی درجہ بندی ان ہم آہنگی گروپوں کے ذریعے کی جا سکتی ہے جو ان میں مشترک ہیں۔ وہ ہندسی حرکتیں جو باقاعدہ 4-پولی ٹاپس سے 40 یکساں 4-پولی ٹاپس حاصل کرتی ہیں، کٹوتی کی کارروائیاں ہیں۔ ایک 4-پولیٹوپ کو عمودی، کناروں یا چہروں پر کاٹا جا سکتا ہے، جس کی وجہ سے ان عناصر کے مطابق خلیات کا اضافہ ہوتا ہے، جیسا کہ نیچے دیے گئے جدولوں کے کالموں میں دکھایا گیا ہے۔ کاکسٹر-ڈینکن خاکہ وائتھوفین کالیڈوسکوپ کے چار آئینوں کو نوڈس کے طور پر دکھاتا ہے، اور نوڈس کے درمیان کناروں کو ایک انٹیجر کے ذریعے لیبل کیا جاتا ہے جو آئینوں (π/n ریڈینس یا 180/n ڈگری) کے درمیان زاویہ دکھاتا ہے۔ سرکلڈ نوڈس سے پتہ چلتا ہے کہ ہر شکل کے لیے کون سے آئینے فعال ہیں۔ ایک آئینہ ایک ایسے سرے کے حوالے سے فعال ہے جو اس پر نہیں ہوتا ہے۔ کنویکس یونیفارم ہنی کامب بھی دیکھیں، جن میں سے کچھ ان کارروائیوں کی وضاحت کرتے ہیں جیسا کہ باقاعدہ کیوبک ہنی کامب پر لاگو ہوتا ہے۔ اگر دو پولی ٹاپس ایک دوسرے کے دوہری ہیں (جیسے ٹیسیراکٹ اور 16 سیل، یا 120 سیل اور 600 سیل)، تو بٹرونکیٹنگ، رنسیٹنگ یا ہمہ گیر ہونا یا تو وہی اعداد و شمار پیدا کرتا ہے جو دوسرے کے لیے ایک ہی عمل ہے۔ اس طرح جہاں میز میں صرف حصہ دار ظاہر ہوتا ہے اسے والدین میں سے کسی ایک پر لاگو ہونے کے لیے سمجھنا چاہیے۔ توسیعی ہم آہنگی کے ذریعے تعمیرات کا خلاصہ A4، B4، F4، H4 ہم آہنگی سے بنائے گئے 46 یکساں پولی کورا کو اس جدول میں ان کی مکمل توسیعی ہم آہنگی اور کاکسٹر خاکے کے ذریعے دیا گیا ہے۔ D4 سمیٹری بھی شامل ہے، حالانکہ یہ صرف ڈپلیکیٹ بناتی ہے۔ متبادلات کو ان کی چیرل سمیٹری کے ذریعہ گروپ کیا جاتا ہے۔ تمام متبادلات دیئے گئے ہیں، حالانکہ اسنب 24 سیل، مختلف خاندانوں سے تعلق رکھنے والی 3 تعمیرات کے ساتھ واحد ایسا ہے جو یکساں ہے۔ قوسین میں شمار یا تو دہرائے جاتے ہیں یا غیر یکساں ہوتے ہیں۔ کاکسٹر خاکے سبسکرپٹ انڈیکس 1 سے 46 کے ساتھ دیئے گئے ہیں۔ 3-3 اور 4-4 ڈوپریسمٹک خاندان شامل ہے، دوسرا بی 4 خاندان سے اس کے تعلق کے لیے۔ یکساں ستارہ پولیچورا مذکورہ بالا لامحدود ڈوپریزم اور اینٹی پریزم پریزم خاندانوں کے علاوہ، جن میں لامحدود طور پر بہت سے نان کنویکس ممبران ہیں، بہت سے یکساں ستارہ پولیچورا دریافت کیے گئے ہیں۔ 1852 میں، لڈوگ شلافلی نے چار باقاعدہ ستارے پولیچورا دریافت کیے: {5,3,5 2}، {5/2,3، 5}، {3,3,5 2}، اور {5/2,3، 3}۔ 1883 میں، ایڈمنڈ ہیس نے دوسرے چھ پائے: {3,5,5 2}، {5/2,5، 3}، {5، 5/2,5}، {5/2,5، 5/2}، {5,5/2، 3}، اور {3، 5/2,5}۔ نارمن جانسن نے 1966 کے اپنے ڈاکٹریٹ کے مقالے میں تین یکساں اینٹی پریزم جیسے اسٹار پولیچورا کو بیان کیا: وہ باقاعدہ ڈوڈیکاہڈرون کے کناروں اور عمودی حصوں کو بانٹنے والے تین ڈائٹریگنل پولی ہیڈرا پر مبنی ہیں۔ اس کے بعد سے دوسرے محققین، جن میں جوناتھن بوورز اور جارج اولشیفسکی شامل ہیں، نے اس وقت کل 2125 معروف یکساں اسٹار پولیچورا کی گنتی کی ہے (اسٹار پولیگنز پر مبنی ڈوپریزم کے لامحدود سیٹ کی گنتی نہیں)۔ فی الحال سیٹ کی مکمل ہونے کا کوئی ثبوت نہیں ہے۔ یوکلڈین 3-اسپیس میں 4-اسپیس کنویکس یونیفارم ہنی کامب-متعلقہ لامحدود 4-پولی ٹاپس کا باقاعدہ اسکیو پولی ہیڈرا بھی دیکھیں۔ ہائپربولک اسپیس میں کنویکس یکساں ہنی کامب-ہائپربولک 3-اسپیس میں متعلقہ لامحدود 4-پولی ٹاپس۔ پیراکمپیکٹ وردی شہد کی مکھیاں حوالہ جات اے۔ بول اسٹٹ: باقاعدہ پولی ٹاپس اور اسپیس فلنگز سے سیمی ریگولر کی جیومیٹریکل کٹوتی، کونکلیجکے اکیڈمی وین ویٹنسچپن چوڑائی یونٹ ایمسٹرڈیم کے ویر ہینڈلنگن، ایرسٹے سیکٹی 11,1، ایمسٹرڈیم، 1910 بی۔ گرونبام کنویکس پولی ٹاپس، نیویارک ؛ لندن: سپرنگر، c2003۔ ۔ دوسرا ایڈیشن والکر کیبل، وکٹر کلی، اور گنٹر ایم زیگلر نے تیار کیا۔ ایچ۔ ایس۔ ایم۔ کاکسٹر: ایچ ایس ایم۔ کاکسٹر، ایم۔ ایس۔ لانگویٹ-ہیگنس اور جے سی پی۔ ملر: یونیفارم پولی ہیڈرا، فلسفیانہ ٹرانزیکشنز آف دی رائل سوسائٹی آف لندن، لندن، 1954 ایچ ایس ایم۔ کاکسٹر، ریگولر پولی ٹاپس، تیسرا ایڈیشن، ڈوور نیویارک، 1973 کالیڈوسکوپس: سلیکٹڈ رائٹنگز آف ایچ ایس ایم۔ کاکسٹر، ترمیم شدہ ایف آرتھر شیرک، پیٹر میک مولن، انتھونی سی تھامسن، ایشیا آئویک ویس، ولی-انٹرسائنس پبلکیشن، 1995، (پیپر 22) ایچ ایس ایم۔ کاکسٹر، ریگولر اور سیمی ریگولر پولی ٹاپس I، [ریاضی۔ زیٹ۔ 46 (1940) 380-407، ایم آر 2,10] (پیپر 23) ایچ ایس ایم۔ کاکسٹر، ریگولر اور سیمی ریگولر پولی ٹاپس II، [ریاضی۔ زیٹ۔ 188 (1985) 559-591] (پیپر 24) ایچ ایس ایم۔ کاکسٹر، ریگولر اور سیمی ریگولر پولی ٹاپس III، [ریاضی۔ زیٹ۔ 200 (1988) 3-45] ایچ ایس ایم۔ کاکسٹر اور ڈبلیو او جے موزر۔ جنریٹرز اینڈ ریلیشنز فار ڈسکریٹ گروپس 4th ایڈیشن، سپرنگر-ورلاگ۔ نیویارک۔ 1980 صفحہ 92، صفحہ 122۔ جان ایچ کونوے، ہیڈی برجیئل، چیم گڈ مین اسٹراس، دی سمیٹریز آف تھنگز 2008، (باب 26) جان ایچ کونوے اور ایم جے ٹی۔ گائے: چار جہتی آرکیمیڈین پولی ٹاپس، پروسیڈنگز آف دی کولکیویم آن کنویکسٹی ایٹ کوپن ہیگن، صفحہ 38 اور 39، 1965 این۔ ڈبلیو۔ جانسن: دی تھیوری آف یونیفارم پولی ٹاپس اینڈ ہنی کامبس، پی ایچ ڈی۔ مقالہ، یونیورسٹی آف ٹورنٹو، 1966 این ڈبلیو۔ جانسن: جیومیٹریز اینڈ ٹرانسفارمیشنز، (2015) باب 11: فائنائٹ سمیٹری گروپس رچرڈ کلٹزنگ، سنبس، متبادل پہلو، اور اسٹٹ کوکسیٹر-ڈینکن ڈایگرام، سمیٹری: کلچر اینڈ سائنس، جلد۔ 21، نمبر 4، 329-344، (2010) گوگل بک، 370-381 بیرونی روابط کنویکس یونیفارم 4-پولی ٹاپس یونیفارم، چار جہتوں میں کنویکس پولی ٹاپس، مارکو مولر۔ ان شخصیات کے متبادل نام شامل ہیں، جن میں جوناتھن بوورز، جارج اولشیفسکی اور نارمن جانسن کے نام شامل ہیں۔ باقاعدہ اور نیم باقاعدہ کنویکس پولی ٹاپس ایک مختصر تاریخی جائزہ جاوا 3 ڈی ایپلٹس ذرائع کے ساتھ نان کنویکس وردی 4-پولی ٹاپس یونیفارم پولیچورا بذریعہ جوناتھن بوورز سٹیلا 4 ڈی سٹیلا (سافٹ ویئر) معروف وردی پولیچورا کے انٹرایکٹو ویوز تیار کرتا ہے جس میں 64 کنویکس شکلیں اور لامحدود پریسمٹک خاندان شامل ہیں۔ کاکسٹر گروپ ڈبلیو (اے 4) کے 4 ڈی پولی ٹاپس اور ان کے دوہری پولی ٹاپس کی نمائندگی کواٹرنیئنز انٹرنیشنل جرنل آف جیومیٹرک میتھڈز ان ماڈرن فزکس، جلد۔ 9، نہیں۔ 4 (2012) مہمت کوکا، نازف اوزدیس کوکا، مدھار الجمی (2012) 4-پولی ٹاپس