Parity of a permutation
ریاضی میں، جب X کم از کم دو عناصر کے ساتھ ایک محدود مجموعہ ہوتا ہے، تو X کی تغیرات (یعنی۔ X سے X) تک کے باجیکٹو افعال مساوی سائز کی دو کلاسوں میں آتے ہیں: یکساں تغیرات اور عجیب تغیرات۔ اگر X کی کوئی کل ترتیب طے کی جاتی ہے، تو X کے تعدد کی برابری (عجیب پن یا برابری) کو σ، یعنی X کے x، y عناصر کے جوڑوں کے الٹ کی تعداد کی برابری کے طور پر بیان کیا جا سکتا ہے۔ کسی تعدد σ کے نشان، دستخط، یا اشارے کو ایس جی این (σ) سے ظاہر کیا جاتا ہے اور اگر σ یکساں ہے تو + 1 اور اگر σ عجیب ہے تو −1 کے طور پر بیان کیا جاتا ہے۔ دستخط سمیٹرک گروپ Sn کے متبادل کردار کی وضاحت کرتا ہے۔ ترتیب کی علامت کے لیے ایک اور اشارہ زیادہ عام لیوی-سیویتا علامت (εσ) کے ذریعے دیا جاتا ہے، جس کی وضاحت X سے X تک کے تمام نقشوں کے لیے کی گئی ہے، اور غیر معروضی نقشوں کے لیے اس کی قدر صفر ہے۔ ترتیب کی علامت کو واضح طور پر اس طرح ظاہر کیا جا سکتا ہے جہاں N (σ) σ میں الٹ کی تعداد ہے۔ متبادل طور پر، ترتیب کی علامت σ کو اس کے سڑنے سے منتقلی کے پروڈکٹ میں بیان کیا جا سکتا ہے جہاں m سڑنے میں منتقلی کی تعداد ہے۔ اگرچہ اس طرح کا سڑنا منفرد نہیں ہے، لیکن تمام سڑنے میں منتقلی کی تعداد کی برابری یکساں ہے، جس کا مطلب یہ ہے کہ ترتیب کی علامت اچھی طرح سے متعین ہے۔ مثال سیٹ کے ترتیب σ پر غور کریں اور ایک لائن کے اشارے میں، اس ترتیب کو 34521 سے ظاہر کیا جاتا ہے۔ یہ شناخت کی ترتیب 12345 سے تین منتقلی کے ذریعے حاصل کیا جا سکتا ہے: پہلے نمبروں 2 اور 4 کا تبادلہ کریں، پھر 3 اور 5 کا تبادلہ کریں، اور آخر میں 1 اور 3 کا تبادلہ کریں۔ اس سے پتہ چلتا ہے کہ دی گئی ترتیب σ عجیب ہے۔ سائیکل نوٹیشن آرٹیکل کے طریقہ کار پر عمل کرتے ہوئے، اسے دائیں سے بائیں تحریر کرتے ہوئے لکھا جا سکتا ہے، کیونکہ ٹرانسپوزیشن کی ساخت کے طور پر σ لکھنے کے بہت سے دوسرے طریقے ہیں، مثال کے طور پر، لیکن اسے یکساں تعداد میں ٹرانسپوزیشن کے پروڈکٹ کے طور پر لکھنا ناممکن ہے۔ خصوصیات شناخت کی ترتیب ایک یکساں ترتیب ہے۔ ایک یکساں تعدد کو ایک یکساں عدد کی ساخت کے طور پر حاصل کیا جا سکتا ہے اور دو عناصر کے تبادلوں کی صرف ایک یکساں تعداد (جسے ٹرانسپوزیشن کہا جاتا ہے) کے طور پر حاصل کیا جا سکتا ہے، جبکہ ایک عجیب تعدد کو (صرف) ایک عجیب تعداد میں منتقلی کے ذریعے حاصل کیا جا سکتا ہے۔ درج ذیل اصول انٹیجرز کے اضافے کے بارے میں متعلقہ اصولوں کی براہ راست پیروی کرتے ہیں: دو یکساں تغیرات کی ساخت یکساں ہے یہاں تک کہ دو طاق تغیرات کی ساخت بھی ایک طاق کی ساخت ہے اور ایک یکساں تغیرات بھی عجیب ہے۔ ان میں سے یہ اس طرح ہے کہ ہر یکساں تغیر کا الٹا ہر طاق تغیرات کا الٹا بھی ہے۔ سیٹ {1,., n} کے تمام تغیرات کے سمیٹرک گروپ Sn کو مدنظر رکھتے ہوئے، ہم یہ نتیجہ اخذ کر سکتے ہیں کہ وہ نقشہ جو ہر ترتیبی کو اس کے دستخط کو تفویض کرتا ہے وہ ایک گروپ ہومومورفزم ہے۔ مزید برآں، ہم دیکھتے ہیں کہ یکساں تغیرات Sn کا ایک ذیلی گروہ بناتے ہیں۔ یہ n حروف پر متبادلاتی گروہ ہے، جسے A سے ظاہر کیا جاتا ہے۔ یہ ہومومورفزم ایس جی این کا دانا ہے۔ عجیب تغیرات ذیلی گروہ نہیں بنا سکتے، کیونکہ دو عجیب تغیرات کا مرکب یکساں ہے، لیکن وہ این (ایس این میں) کا ایک کوزیٹ بناتے ہیں۔ اگر، تو Sn میں اتنی ہی یکساں تغیرات ہیں جتنی کہ عجیب ہیں ؛ نتیجتا، an میں n!/2 تغیرات ہوتے ہیں۔ (وجہ یہ ہے کہ اگر σ یکساں ہے تو عجیب ہے، اور اگر σ عجیب ہے تو یکساں ہے، اور یہ دونوں نقشے ایک دوسرے کے الٹا ہیں۔) اگر اور صرف اس صورت میں جب اس کی لمبائی عجیب ہو۔ عملی طور پر، اس بات کا تعین کرنے کے لیے کہ آیا دیا گیا تعدد مساوی ہے یا عجیب، کوئی تعدد کو جداگانہ چکروں کے پروڈکٹ کے طور پر لکھتا ہے۔ تعدد تب اور صرف اس صورت میں عجیب ہوتا ہے جب اس فیکٹرائزیشن میں یکساں لمبائی کے چکروں کی عجیب تعداد موجود ہو۔ اس بات کا تعین کرنے کا ایک اور طریقہ کہ آیا دیا گیا تعدد یکساں ہے یا عجیب، متعلقہ تعدد میٹرکس کی تعمیر اور اس کے تعین کنندہ کا حساب لگانا ہے۔ تعین کنندہ کی قدر ترتیب کی برابری کے برابر ہوتی ہے۔ عجیب ترتیب کی ہر ترتیب یکساں ہونی چاہیے۔ A4 میں تعدد سے پتہ چلتا ہے کہ اس کے برعکس عام طور پر درست نہیں ہے۔ دو تعریفوں کی مساوات یہ سیکشن اس بات کا ثبوت پیش کرتا ہے کہ ایک تعدد σ کی برابری کو دو مساوی طریقوں سے بیان کیا جا سکتا ہے: σ میں الٹ کی تعداد کی برابری کے طور پر (کسی بھی ترتیب کے تحت) ؛ یا منتقلی کی تعداد کی برابری کے طور پر جس میں σ کو تحلیل کیا جا سکتا ہے (تاہم ہم اسے تحلیل کرنے کا انتخاب کرتے ہیں)۔ دیگر تعریفیں اور ثبوت پوائنٹس کی ترتیب کی برابری بھی اس کے سائیکل ڈھانچے میں انکوڈ کی جاتی ہے۔ فرض کریں کہ σ = (i1 i2. ir + 1) (j1 j2. js + 1). (l1 l2. lu + 1) الگ الگ چکروں میں σ کی منفرد سڑنا ہے، جو کسی بھی ترتیب میں تشکیل دی جا سکتی ہے کیونکہ وہ حرکت کرتے ہیں۔ پوائنٹس پر مشتمل ایک سائیکل ہمیشہ k ٹرانسپوزیشن (2-سائیکل) کی تشکیل سے حاصل کیا جا سکتا ہے: لہذا k کو سائیکل کا سائز کہیں، اور مشاہدہ کریں کہ، اس تعریف کے تحت، ٹرانسپوزیشن سائز 1 کے سائیکل ہیں۔ m جداگانہ چکروں میں سڑنے سے ہم σ کا ٹرانسپوزیشن میں سڑنا حاصل کر سکتے ہیں، جہاں کی ith سائیکل کا سائز ہے۔ اس نمبر کو σ کا ڈسکریمیننٹ کہا جاتا ہے، اور اس کا حساب اس طرح بھی لگایا جا سکتا ہے جیسے ہم σ کے فکسڈ پوائنٹس کو 1-سائیکل کے طور پر شامل کرنے کا خیال رکھیں۔ فرض کریں کہ ایک ٹرانسپوزیشن (a b) کا اطلاق ایک ترتیب σ کے بعد کیا جاتا ہے۔ جب a اور b، σ کے مختلف چکروں میں ہوں، اور اگر a اور b، σ کے ایک ہی چکر میں ہوں۔ دونوں صورتوں میں، یہ دیکھا جا سکتا ہے کہ، اس لیے N ((a b) σ) کی برابری N (σ) کی برابری سے مختلف ہوگی۔ اگر کسی ترتیب σ کی منتقلی میں من مانی سڑنا ہے، تو شناخت کے بعد t2 کے بعد r منتقلی کو لاگو کرکے۔ شناخت کے بعد tr کے بعد (جس کا N صفر ہے) مشاہدہ کریں کہ N (σ) اور r کی برابری ایک جیسی ہے۔ σ کی برابری کو N (σ) کی برابری کے طور پر بیان کرتے ہوئے، ایک ایسی ترتیب جس میں یکساں لمبائی کا سڑنا ہو وہ ایک یکساں ترتیب ہے اور ایک ایسی ترتیب جس میں ایک عجیب لمبائی کا سڑنا ہو وہ ایک عجیب ترتیب ہے۔ تبصرے مندرجہ بالا دلیل کی محتاط جانچ سے پتہ چلتا ہے کہ، اور چونکہ σ کے چکروں میں کسی بھی سڑنے کو جس کے سائز کا مجموعہ r سے ہوتا ہے، r منتقلی کی ساخت کے طور پر ظاہر کیا جا سکتا ہے، اس لیے نمبر N (σ) σ کے سڑنے میں چکروں کے سائز کا کم از کم ممکنہ مجموعہ ہے، بشمول وہ معاملات جن میں تمام چکروں کی منتقلی ہوتی ہے۔ یہ ثبوت پوائنٹس کے سیٹ میں (ممکنہ طور پر من مانی) آرڈر متعارف نہیں کرتا ہے جس پر σ عمل کرتا ہے۔ عمومی مساوات کو کاکسٹر گروپوں میں عام کیا جا سکتا ہے: ایک لمبائی فنکشن l (v) کی وضاحت کرتا ہے، جو جنریٹرز کے انتخاب پر منحصر ہوتا ہے (سمیٹرک گروپ، ملحقہ ٹرانسپوزیشن کے لیے)، اور پھر فنکشن ایک عمومی سائن میپ دیتا ہے۔ یہ بھی دیکھیں پندرہ پہیلی ایک کلاسک ایپلی کیشن ہے زولوتاریف کا لیما نوٹس حوالہ جات گروپ تھیوری پرموٹیشنز پیریٹی (ریاضی) ثبوتوں پر مشتمل مضامین سائن (ریاضی) ru: περεστανοvκα #Связанные πρεδελενενία