Differential calculus
ریاضیات میں تفریق کیلکولس کیلکولس کا ایک ذیلی شعبہ ہے جو ان شرحوں کا مطالعہ کرتا ہے جن پر مقداریں تبدیل ہوتی ہیں۔ یہ کیلکولس کی دو روایتی تقسیموں میں سے ایک ہے، دوسرا انٹیگرل کیلکولس ہے-ایک منحنی خطوط کے نیچے کے رقبے کا مطالعہ۔ تفریق کیلکولس میں مطالعہ کے بنیادی مقاصد کسی فنکشن کے مشتق، متعلقہ تصورات جیسے تفریق، اور ان کے اطلاق ہوتے ہیں۔ منتخب کردہ ان پٹ ویلیو پر کسی فنکشن کا مشتق اس ان پٹ ویلیو کے قریب فنکشن کی تبدیلی کی شرح کو بیان کرتا ہے۔ مشتق تلاش کرنے کے عمل کو تفریق کہا جاتا ہے۔ ہندسی طور پر، کسی نقطہ پر مشتق اس مقام پر فنکشن کے گراف پر ٹینجینٹ لائن کی ڈھلوان ہے، بشرطیکہ مشتق موجود ہو اور اس مقام پر اس کی وضاحت کی گئی ہو۔ کسی واحد حقیقی متغیر کے حقیقی قدر والے فنکشن کے لیے، کسی نقطہ پر کسی فنکشن کا مشتق عام طور پر اس مقام پر فنکشن کے لیے بہترین لکیری تخمینہ کا تعین کرتا ہے۔ تفریق کیلکولس اور انٹیگرل کیلکولس کیلکولس کے بنیادی نظریہ سے جڑے ہوئے ہیں، جس میں کہا گیا ہے کہ تفریق انضمام کا الٹا عمل ہے۔ تفریق کا اطلاق تقریبا تمام مقداری مضامین میں ہوتا ہے۔ طبیعیات میں، وقت کے حوالے سے حرکت پذیر شے کی نقل مکانی کا مشتق شے کی رفتار ہے، اور وقت کے حوالے سے رفتار کا مشتق ایکسلریشن ہے۔ وقت کے حوالے سے کسی شے کی رفتار کا مشتق جسم پر لاگو ہونے والی قوت کے برابر ہوتا ہے۔ اس مشتق بیان کو دوبارہ ترتیب دینے سے نیوٹن کے حرکت کے دوسرے قانون سے وابستہ مشہور مساوات کی طرف جاتا ہے۔ کیمیائی تعامل کی رد عمل کی شرح مشتق ہے۔ آپریشنز ریسرچ میں، مشتقات مواد کی نقل و حمل اور فیکٹریوں کو ڈیزائن کرنے کے انتہائی موثر طریقوں کا تعین کرتے ہیں۔ مشتق اکثر کسی فنکشن کے زیادہ سے زیادہ اور کم سے کم کو تلاش کرنے کے لیے استعمال ہوتے ہیں۔ مشتقات پر مشتمل مساوات کو تفریقی مساوات کہا جاتا ہے اور یہ قدرتی مظاہر کو بیان کرنے میں بنیادی ہیں۔ مشتقات اور ان کی عمومیتیں ریاضی کے بہت سے شعبوں میں ظاہر ہوتی ہیں، جیسے پیچیدہ تجزیہ، فنکشنل تجزیہ، تفریق جیومیٹری، پیمائش کا نظریہ، اور تجریدی الجبرا۔ مشتق نقطہ پر کا مشتق ٹینجینٹ کی ڈھلوان ہے۔ اس کے لیے انترجشتھان حاصل کرنے کے لیے، سب سے پہلے اس شکل میں لکھی گئی لکیری مساوات کی ڈھلوان کو تلاش کرنے سے واقف ہونا چاہیے۔ مساوات کی ڈھلوان اس کی کھڑی پن ہے۔ یہ کسی بھی دو نکات کو چن کر اور تبدیلی کو تبدیلی سے تقسیم کر کے پایا جا سکتا ہے، جس کا مطلب ہے کہ۔ کیونکہ، کے گراف کی ڈھلوان ہے، جیسا کہ نیچے دیے گئے خاکہ میں دکھایا گیا ہے: مختصر ہونے کے لیے، اکثر یونانی حرف ڈیلٹا ہونے کے ساتھ لکھا جاتا ہے، جس کا مطلب ہے 'میں تبدیلی'۔ لکیری مساوات کی ڈھلوان مستقل ہوتی ہے، جس کا مطلب ہے کہ کھڑی ہر جگہ یکساں ہوتی ہے۔ تاہم، بہت سے گراف جیسے کہ ان کی کھڑی پن میں فرق ہوتا ہے۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ آپ اب کوئی بھی دو من مانی نکات نہیں چن سکتے اور ڈھلوان کا حساب نہیں لگا سکتے۔ اس کے بجائے، گراف کی ڈھلوان کا حساب ٹینجینٹ لائن پر غور کرکے کیا جا سکتا ہے-ایک ایسی لکیر جو کسی خاص نقطہ کو 'صرف چھوتی ہے'۔ کسی خاص نقطہ پر منحنی خطوط کی ڈھلوان اس نقطہ پر ٹینجینٹ کی ڈھلوان کے برابر ہوتی ہے۔ مثال کے طور پر، اس کی ڈھلوان ہے کیونکہ اس نقطہ پر ٹینجینٹ لائن کی ڈھلوان اس کے برابر ہے: اس کے بعد کسی فنکشن کا مشتق صرف اس ٹینجینٹ لائن کی ڈھلوان ہے۔ اگرچہ ٹینجینٹ لائن ٹینجینسی کے مقام پر صرف ایک نقطہ کو چھوتی ہے، لیکن اس کا تخمینہ ایک ایسی لکیر سے لگایا جا سکتا ہے جو دو نکات سے گزرتی ہے۔ اسے سیکینٹ لائن کہا جاتا ہے۔ اگر سیکینٹ لائن جن دو نکات سے گزرتی ہے وہ ایک دوسرے کے قریب ہیں، تو سیکینٹ لائن قریب سے ٹینجینٹ لائن سے ملتی جلتی ہے، اور اس کے نتیجے میں، اس کی ڈھلوان بھی بہت ملتی جلتی ہے: سیکینٹ لائن استعمال کرنے کا فائدہ یہ ہے کہ اس کی ڈھلوان کا براہ راست حساب لگایا جا سکتا ہے۔ گراف پر دو نکات پر غور کریں اور، جہاں ایک چھوٹا سا نمبر ہے۔ پہلے کی طرح، ان دو نکات سے گزرنے والی لکیر کی ڈھلوان کا حساب فارمولے سے لگایا جا سکتا ہے۔ یہ دیتا ہے جیسے جیسے قریب ہوتا جاتا ہے، سیکینٹ لائن کی ڈھلوان ٹینجینٹ لائن کی ڈھلوان کے قریب سے قریب ہوتی جاتی ہے۔ یہ رسمی طور پر اس طرح لکھا جاتا ہے کہ مندرجہ بالا اظہار کا مطلب ہے 'جیسے جیسے 0 کے قریب اور قریب ہوتا جاتا ہے، سیکینٹ لائن کی ڈھلوان ایک خاص قدر کے قریب اور قریب ہوتی جاتی ہے'۔ جس قدر تک رسائی حاصل کی جا رہی ہے وہ مشتق ہے ؛ اسے اس طرح لکھا جا سکتا ہے۔ اگر، مشتق کو اس طرح بھی لکھا جا سکتا ہے، جس میں ایک لامحدود تبدیلی کی نمائندگی ہوتی ہے۔ مثال کے طور پر، x میں ایک لامحدود تبدیلی کی نمائندگی کرتا ہے۔ خلاصہ میں، اگر، تو مشتق فراہم کیا جاتا ہے اس طرح کی حد موجود ہے۔ اس طرح ہم کسی فنکشن کے مشتق کو صحیح طریقے سے بیان کرنے میں کامیاب ہو گئے ہیں، جس کا مطلب ہے کہ 'ٹینجینٹ لائن کی ڈھلوان' اب ایک عین مطابق ریاضیاتی معنی رکھتی ہے۔ مندرجہ بالا تعریف کا استعمال کرتے ہوئے کسی فنکشن میں فرق کرنا پہلے اصولوں سے تفریق کے طور پر جانا جاتا ہے۔ یہاں ایک ثبوت ہے، پہلے اصولوں سے تفریق کا استعمال کرتے ہوئے، کہ اس کا مشتق ہے: جیسے جیسے قریب آتا ہے، قریب آتا ہے۔ اس لیے۔ اس ثبوت کو یہ ظاہر کرنے کے لیے عام کیا جا سکتا ہے کہ اگر اور مستقل ہیں۔ اسے پاور رول کہا جاتا ہے۔ مثلا۔ تاہم، بہت سے دوسرے افعال کو کثیر الجہتی افعال کی طرح آسانی سے الگ نہیں کیا جا سکتا، جس کا مطلب ہے کہ بعض اوقات کسی فنکشن کے مشتق کو تلاش کرنے کے لیے مزید تکنیکوں کی ضرورت ہوتی ہے۔ ان تکنیکوں میں چین رول، پروڈکٹ رول، اور کوشیئنٹ رول شامل ہیں۔ دیگر افعال کو بالکل بھی الگ نہیں کیا جا سکتا، جس سے تفریق کے تصور کو جنم ملتا ہے۔ کسی فنکشن کے مشتق سے قریب سے متعلق تصور اس کا تفریق ہے۔ جب اور حقیقی متغیر ہوتے ہیں، تو at کا مشتق، at کے گراف پر ٹینجینٹ لائن کی ڈھلوان ہے۔ چونکہ ماخذ اور ہدف یک جہتی ہیں، اس لیے اس کا مشتق ایک حقیقی عدد ہے۔ اگر اور ویکٹر ہیں، تو گراف کا بہترین لکیری تخمینہ اس بات پر منحصر ہے کہ ایک ہی وقت میں کئی سمتوں میں کیسے تبدیلی آتی ہے۔ ایک سمت میں بہترین لکیری تخمینہ لینے سے جزوی مشتق کا تعین ہوتا ہے، جسے عام طور پر ظاہر کیا جاتا ہے۔ ایک ہی وقت میں تمام سمتوں کی لکیریائزیشن کو کل مشتق کہا جاتا ہے۔ تفریق کی تاریخ ٹینجینٹ لائن کے معنی میں مشتق کا تصور بہت پرانا ہے، جو قدیم یونانی ریاضی دانوں جیسے یوکلڈ (300 قبل مسیح)، آرکیمیڈیز (287-212 BC) اور پرگا کے اپولونیئس (c. 262-190 BC) سے واقف ہے۔ آرکیمیڈیز نے ناقابل تقسیم کا بھی استعمال کیا، حالانکہ یہ بنیادی طور پر مشتقات اور ٹینجینٹ کے بجائے علاقوں اور حجم کا مطالعہ کرنے کے لیے استعمال ہوتے تھے (میکانی تھیوریمز کا طریقہ دیکھیں)۔ تبدیلی کی شرحوں کا حساب لگانے کے لیے لامحدود کا استعمال بھاسکر دوم (1114-1185) نے نمایاں طور پر تیار کیا تھا ؛ درحقیقت، یہ استدلال کیا گیا ہے کہ تفریق کیلکولس کے بہت سے اہم تصورات ان کے کام میں پائے جا سکتے ہیں، جیسے کہ "رولز تھیوریم"۔ ریاضی دان، شراف الدین التسی (1135-1213) نے مساوات پر اپنے مقالے میں، مناسب کیوبک کثیر الجہتی کا زیادہ سے زیادہ حل تلاش کرکے، کچھ کیوبک مساوات کے حل کے لیے شرائط قائم کیں۔ مثال کے طور پر، اس نے حاصل کیا کہ کیوبک کا زیادہ سے زیادہ (مثبت کے لیے) اس وقت ہوتا ہے جب، اور اس سے یہ نتیجہ اخذ کیا کہ مساوات کا بالکل ایک مثبت حل ہے جب، اور جب بھی دو مثبت حل ہوتے ہیں۔ سائنس کے مورخ روشدی رشید نے استدلال کیا ہے کہ ال-توسی نے یہ نتیجہ حاصل کرنے کے لیے کیوبک کے مشتق کا استعمال کیا ہوگا۔ رشید کے نتیجے کو دوسرے اسکالرز نے چیلنج کیا ہے، تاہم، جو یہ دلیل دیتے ہیں کہ وہ دوسرے طریقوں سے نتیجہ حاصل کر سکتے تھے جن کے لیے فنکشن کے مشتق کو جاننے کی ضرورت نہیں ہے۔ کیلکولس کی جدید ترقی کا سہرا عام طور پر آئزک نیوٹن (1643-1727) اور گوٹ فرائیڈ ولہیم لیبنز (1646-1716) کو جاتا ہے، جنہوں نے تفریق اور مشتقات کے لیے آزاد اور متحد نقطہ نظر فراہم کیے۔ تاہم، کلیدی بصیرت، جس نے انہیں یہ سہرا حاصل کیا، تفریق اور انضمام سے متعلق کیلکولس کا بنیادی نظریہ تھا: اس نے علاقوں اور حجم کی گنتی کے لیے بیشتر پچھلے طریقوں کو متروک کر دیا۔ مشتقات پر اپنے خیالات کے لیے، نیوٹن اور لیبنز دونوں نے ریاضی دانوں جیسے پیئر ڈی فرمیٹ (1607-1665)، آئزک بیرو (1630-1677)، رینے ڈیکارٹس (1596-1650)، کرسچن ہیوجینز (1629-1695)، بلیز پاسکل (1623-1662) اور جان والیس (1616-1703) کے اہم ابتدائی کام پر تعمیر کیا۔ فرمیٹ کے اثر کے بارے میں، نیوٹن نے ایک بار ایک خط میں لکھا تھا کہ "مجھے اس طریقہ [بہاؤ کے] کا اشارہ فرمیٹ کے ٹینجینٹ کھینچنے کے طریقے سے ملا تھا، اور اسے براہ راست اور الٹا تجریدی مساوات پر لاگو کرکے، میں نے اسے عمومی بنا دیا۔" آئزک بیرو کو عام طور پر مشتق کی ابتدائی ترقی کا سہرا دیا جاتا ہے۔ اس کے باوجود، نیوٹن اور لیبنز تفریق کی تاریخ میں کلیدی شخصیات بنے ہوئے ہیں، کم از کم اس لیے نہیں کہ نیوٹن نظریاتی طبیعیات میں تفریق کا اطلاق کرنے والے پہلے شخص تھے، جبکہ لیبنز نے آج بھی استعمال ہونے والے زیادہ تر اشارے کو منظم طریقے سے تیار کیا۔ 17 ویں صدی سے بہت سے ریاضی دانوں نے تفریق کے نظریہ میں تعاون کیا ہے۔ 19 ویں صدی میں، کیلکولس کو ریاضی دانوں جیسے آگسٹن لوئس کاچی (1789-1857)، برنہارڈ ریمن (1826-1866)، اور کارل ویرسٹراس (1815-1897) نے بہت زیادہ سخت بنیاد پر رکھا تھا۔ یہ بھی اسی عرصے کے دوران تھا کہ تفریق کو یوکلڈین اسپیس اور پیچیدہ سطح پر عام کیا گیا تھا۔ 20 ویں صدی ہماری موجودہ تفہیم اور مشتق کے عمل کی طرف دو بڑے قدم لے کر آئی: لیبسگ انضمام، بہت سے اور افعال میں لازمی حساب کو بڑھانے کے علاوہ، مطلق تسلسل کے تصور کے ساتھ مشتق اور انضمام کے درمیان تعلق کو واضح کرتا ہے۔ بعد میں تقسیم کے نظریہ (لارنٹ شوارٹز کے بعد) نے مشتق کو عمومی افعال تک بڑھایا (مثال کے طور پر، ڈیراک ڈیلٹا فنکشن جو پہلے کوانٹم میکانکس میں متعارف کرایا گیا تھا) اور آج کل اطلاق شدہ تجزیہ کے لیے بنیادی بن گیا خاص طور پر جزوی تفریق مساوات کے کمزور حل کے استعمال سے۔ مشتقات کی ایپلی کیشنز آپٹیمائزیشن اگر (یا ایک کھلا وقفہ) پر ایک تفریق پذیر فنکشن ہے اور مقامی زیادہ سے زیادہ یا مقامی کم سے کم ہے، تو at کا مشتق صفر ہے۔ ایسے نکات جہاں کو اہم نکات یا ساکن نکات کہا جاتا ہے (اور at کی قدر کو اہم قدر کہا جاتا ہے)۔ اگر ہر جگہ تفریق کے قابل نہیں سمجھا جاتا ہے، تو جن نکات پر یہ تفریق کے قابل ہونے میں ناکام رہتا ہے انہیں بھی اہم نکات نامزد کیا جاتا ہے۔ اگر دو بار تفریق قابل ہے، تو اس کے برعکس، a کے دوسرے مشتق پر غور کرکے ایک اہم نقطہ کا تجزیہ کیا جا سکتا ہے: اگر یہ مثبت ہے، تو مقامی کم از کم ہے ؛ اگر یہ منفی ہے، تو مقامی زیادہ سے زیادہ ہے ؛ اگر یہ صفر ہے، تو مقامی کم از کم، مقامی زیادہ سے زیادہ، یا نہ ہی ہو سکتا ہے۔ (مثال کے طور پر، ایک اہم نقطہ ہے، لیکن اس میں نہ تو زیادہ سے زیادہ اور نہ ہی کم سے کم ہے، جبکہ وہاں بالترتیب ایک اہم نقطہ ہے اور کم سے کم اور زیادہ سے زیادہ ہے۔) اسے دوسرا مشتق ٹیسٹ کہا جاتا ہے۔ ایک متبادل نقطہ نظر، جسے پہلا مشتق ٹیسٹ کہا جاتا ہے، میں اہم نقطہ کے ہر طرف کے نشان پر غور کرنا شامل ہے۔ مشتقات لینا اور اہم نکات کو حل کرنا اس لیے اکثر مقامی منیما یا میکسیما کو تلاش کرنے کا ایک آسان طریقہ ہوتا ہے، جو اصلاح میں مفید ثابت ہو سکتا ہے۔ انتہائی قدر تھیوریم کے مطابق، بند وقفے پر ایک مسلسل فنکشن کو کم از کم ایک بار اپنی کم از کم اور زیادہ سے زیادہ اقدار حاصل کرنی چاہئیں۔ اگر فنکشن تفریق پذیر ہے، تو منیما اور میکسیما صرف اہم نکات یا اختتامی نکات پر ہو سکتے ہیں۔ گراف اسکیچنگ میں بھی اس کے استعمال ہوتے ہیں: ایک بار جب کسی تفریق پذیر فنکشن کا مقامی منیما اور میکسیما مل جاتا ہے، تو گراف کا ایک کھردرا پلاٹ اس مشاہدے سے حاصل کیا جا سکتا ہے کہ یہ اہم نکات کے درمیان بڑھتا یا کم ہوتا رہے گا۔ اعلی جہتوں میں، اسکیلر ویلیوڈ فنکشن کا ایک اہم نقطہ وہ نقطہ ہے جس پر میلان صفر ہوتا ہے۔ دوسرا مشتق ٹیسٹ اب بھی اہم نقطہ پر فنکشن کے دوسرے جزوی مشتقات کے ہیسیئن میٹرکس کی آئجن ویلیوز پر غور کرکے اہم نکات کا تجزیہ کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ اگر تمام آئجین ویلیوز مثبت ہیں، تو پوائنٹ ایک مقامی کم از کم ہے ؛ اگر تمام منفی ہیں، تو یہ ایک مقامی زیادہ سے زیادہ ہے۔ اگر کچھ مثبت اور کچھ منفی آئجین ویلیوز ہیں، تو اہم نقطہ کو "سیڈل پوائنٹ" کہا جاتا ہے، اور اگر ان میں سے کوئی بھی معاملہ برقرار نہیں رہتا ہے (یعنی، کچھ آئجین ویلیوز صفر ہیں) تو ٹیسٹ کو بے نتیجہ سمجھا جاتا ہے۔ تغیرات کا حساب اصلاح کے مسئلے کی ایک مثال یہ ہے کہ: کسی سطح پر دو نکات کے درمیان مختصر ترین منحنی خطوط تلاش کریں، یہ فرض کرتے ہوئے کہ منحنی خطوط کو بھی سطح پر ہونا چاہیے۔ اگر سطح ایک طیارہ ہے، تو سب سے مختصر منحنی لکیر ایک لکیر ہے۔ لیکن اگر سطح، مثال کے طور پر، انڈے کی شکل کی ہے، تو مختصر ترین راستہ فوری طور پر واضح نہیں ہوتا ہے۔ ان راستوں کو جیوڈیسکس کہا جاتا ہے، اور تغیرات کے حساب میں سب سے بنیادی مسائل میں سے ایک جیوڈیسکس تلاش کرنا ہے۔ ایک اور مثال یہ ہے کہ: خلا میں بند منحنی خطوط میں بھرنے والی سب سے چھوٹی رقبے کی سطح تلاش کریں۔ اس سطح کو کم سے کم سطح کہا جاتا ہے اور اسے بھی تغیرات کے حساب سے پایا جا سکتا ہے۔ طبیعیات میں طبیعیات کا حساب اہم اہمیت کا حامل ہے: بہت سے جسمانی عمل مشتقات پر مشتمل مساوات کے ذریعے بیان کیے جاتے ہیں، جنہیں تفریقی مساوات کہتے ہیں۔ طبیعیات کا تعلق خاص طور پر وقت کے ساتھ مقداروں کی تبدیلی اور نشوونما کے طریقے سے ہے، اور "وقت مشتق"-وقت کے ساتھ تبدیلی کی شرح-کا تصور کئی اہم تصورات کی قطعی تعریف کے لیے ضروری ہے۔ خاص طور پر، کسی شے کی پوزیشن کے وقت کے مشتق نیوٹنین طبیعیات میں اہم ہیں: رفتار کسی شے کی نقل مکانی (اصل پوزیشن سے فاصلہ) کا مشتق (وقت کے حوالے سے) ہے۔ ایکسلریشن کسی شے کی رفتار کا مشتق (وقت کے حوالے سے) ہے، یعنی کسی شے کی پوزیشن کا دوسرا مشتق (وقت کے حوالے سے)۔ مثال کے طور پر، اگر کسی لکیر پر کسی شے کی پوزیشن اس کے ذریعے دی جاتی ہے تو شے کی رفتار ہے اور شے کا ایکسلریشن ہے جو مستقل ہے۔ تفریقی مساوات افعال کے مجموعے اور ان کے مشتقات کے درمیان تعلق ہے۔ ایک عام تفریقی مساوات ایک تفریقی مساوات ہے جو ایک متغیر کے افعال کو اس متغیر کے حوالے سے ان کے مشتقات سے جوڑتی ہے۔ جزوی تفریقی مساوات ایک تفریقی مساوات ہے جو ایک سے زیادہ متغیر کے افعال کو ان کے جزوی مشتقات سے جوڑتی ہے۔ تفریقی مساوات فطری طور پر فزیکل سائنسز میں، ریاضیاتی ماڈلنگ میں، اور خود ریاضی کے اندر پیدا ہوتی ہیں۔ مثال کے طور پر، نیوٹن کا دوسرا قانون، جو ایکسلریشن اور قوت کے درمیان تعلق کو بیان کرتا ہے، کو عام تفریقی مساوات کے طور پر بیان کیا جا سکتا ہے۔ ایک خلائی متغیر میں حرارت کی مساوات، جو یہ بیان کرتی ہے کہ گرمی سیدھی چھڑی کے ذریعے کیسے پھیلتی ہے، جزوی تفریقی مساوات ہے۔ اوسط قدر تھیوریم مشتق کی اقدار اور اصل فنکشن کی اقدار کے درمیان تعلق فراہم کرتا ہے۔ اگر ایک حقیقی قدر والی فنکشن ہے اور اور اس کے ساتھ اعداد ہیں، تو اوسط قدر تھیوریم کا کہنا ہے کہ ہلکے مفروضوں کے تحت، دونوں نکات کے درمیان ڈھلوان اور اور کے درمیان کسی نقطہ پر ٹینجینٹ لائن کی ڈھلوان کے برابر ہے۔ دوسرے لفظوں میں، عملی طور پر، اوسط قدر تھیوریم جو کرتا ہے وہ کسی فنکشن کو اس کے مشتق کے لحاظ سے کنٹرول کرتا ہے۔ مثال کے طور پر، فرض کریں کہ اس کا مشتق ہر نقطہ پر صفر کے برابر ہے۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ اس کی ٹینجینٹ لائن ہر نقطہ پر افقی ہے، اس لیے فنکشن بھی افقی ہونا چاہیے۔ اوسط قدر تھیوریم ثابت کرتا ہے کہ یہ درست ہونا چاہیے: کے گراف پر کسی بھی دو نکات کے درمیان ڈھلوان کی ٹینجینٹ لائنوں میں سے کسی ایک کی ڈھلوان کے برابر ہونا چاہیے۔ وہ تمام ڈھلوانیں صفر ہیں، لہذا گراف پر ایک نقطہ سے دوسرے نقطہ تک کسی بھی لکیر میں بھی ڈھلوانی صفر ہوگی۔ لیکن اس کا کہنا ہے کہ فنکشن اوپر یا نیچے نہیں جاتا ہے، لہذا یہ ایک افقی لکیر ہونی چاہیے۔ مشتق پر زیادہ پیچیدہ حالات اصل فنکشن کے بارے میں کم عین مطابق لیکن پھر بھی انتہائی مفید معلومات کا باعث بنتے ہیں۔ ٹیلر کثیر الجہتی اور ٹیلر سیریز مشتق کسی دیئے گئے نقطہ پر کسی فنکشن کا بہترین ممکنہ لکیری تخمینہ دیتا ہے، لیکن یہ اصل فنکشن سے بہت مختلف ہو سکتا ہے۔ تخمینہ کو بہتر بنانے کا ایک طریقہ یہ ہے کہ کواڈریٹک تخمینہ لگایا جائے۔ یعنی، نقطہ پر حقیقی قدر والی فنکشن کی لکیریائزیشن ایک لکیری کثیر الجہتی ہے، اور کواڈریٹک کثیر الجہتی پر غور کرکے بہتر تخمینہ حاصل کرنا ممکن ہو سکتا ہے۔ اس سے بھی بہتر مکعب کثیر الجہتی ہو سکتا ہے، اور اس خیال کو من مانی طور پر اعلی درجے کے کثیر الجہتی تک بڑھایا جا سکتا ہے۔ ان کثیر الجہتی میں سے ہر ایک کے لیے، کوفیشنٹس کا بہترین ممکنہ انتخاب ہونا چاہیے،،، اور یہ تخمینہ کو ہر ممکن حد تک اچھا بناتا ہے۔ پڑوس میں، بہترین ممکنہ انتخاب ہمیشہ ہوتا ہے، اور بہترین ممکنہ انتخاب ہمیشہ ہوتا ہے۔ کے لیے، اور اعلی ڈگری کے کوفشنٹس، ان کوفشنٹس کا تعین اعلی مشتقات کے ذریعے کیا جاتا ہے۔ ہمیشہ ہونا چاہیے اور ہمیشہ ہونا چاہیے۔ ان کوفشنٹس کا استعمال کرنے سے ٹیلر کا کثیر الجہتی ملتا ہے۔ ڈگری کا ٹیلر کثیر الجہتی ڈگری کا کثیر الجہتی ہے جو سب سے زیادہ تخمینہ لگاتا ہے، اور اس کے گتانک کو مندرجہ بالا فارمولوں کی عمومی شکل سے پایا جا سکتا ہے۔ ٹیلر کا نظریہ ایک عین مطابق حد دیتا ہے کہ تخمینہ کتنا اچھا ہے۔ اگر ڈگری سے کم یا اس کے برابر کا کثیر الجہتی ہے، تو ڈگری کا ٹیلر کثیر الجہتی برابر ہوتا ہے۔ ٹیلر کثیر الجہتی کی حد ایک لامحدود سلسلہ ہے جسے ٹیلر سلسلہ کہتے ہیں۔ ٹیلر سیریز اکثر اصل فنکشن کا بہت اچھا تخمینہ ہے۔ وہ افعال جو ان کی ٹیلر سیریز کے برابر ہوتے ہیں، تجزیاتی افعال کہلاتے ہیں۔ منقطع یا تیز کونوں والے افعال کا تجزیاتی ہونا ناممکن ہے ؛ اس کے علاوہ، ایسے ہموار افعال موجود ہیں جو تجزیاتی بھی نہیں ہیں۔ امپلیسیٹ فنکشن تھیوریم کچھ قدرتی ہندسی شکلیں، جیسے حلقے، کسی فنکشن کے گراف کے طور پر نہیں کھینچے جا سکتے۔ مثال کے طور پر، اگر، تو دائرہ تمام جوڑوں کا مجموعہ ہے۔ اس سیٹ کو صفر کا سیٹ کہا جاتا ہے، اور یہ گراف کی طرح نہیں ہے، جو ایک پیرابولائڈ ہے۔ امپلیسیٹ فنکشن تھیوریم تعلقات جیسے افعال میں تبدیل کرتا ہے۔ اس میں کہا گیا ہے کہ اگر مسلسل تفریق پذیر ہے، تو زیادہ تر پوائنٹس کے آس پاس، صفر سیٹ افعال کے گراف کی طرح نظر آتا ہے جو ایک ساتھ چسپاں کیے گئے ہیں۔ وہ نکات جہاں یہ درست نہیں ہے ان کا تعین مشتق کی شرط سے ہوتا ہے۔ مثال کے طور پر دائرے کو دونوں افعال کے گراف سے ایک ساتھ چسپاں کیا جا سکتا ہے۔ دائرے کے ہر نقطہ کے پڑوس میں سوائے اور کے، ان دو افعال میں سے ایک کا گراف ہوتا ہے جو دائرے کی طرح لگتا ہے۔ (یہ دونوں افعال بھی ملتے ہیں اور، لیکن اس کی ضمانت امپلیسیٹ فنکشن تھیوریم سے نہیں ملتی ہے۔) امپلیسیٹ فنکشن تھیوریم کا الٹا فنکشن تھیوریم سے گہرا تعلق ہے، جو اس وقت بیان کرتا ہے جب کوئی فنکشن الٹا افعال کے گراف کی طرح نظر آتا ہے جو ایک ساتھ چسپاں کیے جاتے ہیں۔ تفریق کے لیے تفریقی (کیلکولس) عددی تفریق کی تکنیکیں بھی دیکھیں۔ حساب کے موضوعات کی فہرست تفریق کے لیے نوٹیشن نوٹ حوالہ جات کا حوالہ دیا گیا دیگر ذرائع بومن، یوجین اور رابرٹ راجرز۔ تفریقی حساب: پریکٹس سے تھیوری تک۔ 2022، personal.psu.edu/ecb5/DiffCalc.pdf۔ حساب کتاب