Ending lamination theorem
ہائپربولک جیومیٹری میں، اختتامی ٹکڑے ٹکڑے تھیوریم، جس کا اصل میں اس کے ذریعہ قیاس کیا گیا ہے، یہ بتاتا ہے کہ محدود طور پر پیدا شدہ بنیادی گروپوں کے ساتھ ہائپربولک 3-مینیفولڈز کا تعین ان کی ٹوپولوجی کے ذریعے بعض "اینڈ انویرینٹس" کے ساتھ کیا جاتا ہے، جو کئی گنا کی حد میں کچھ سطحوں پر جیوڈیسیک ٹکڑے ٹکڑے ہوتے ہیں۔ اختتامی لیمینیشن تھیوریم موسٹو رگڈیٹی تھیوریم کو لامحدود حجم کے ہائپربولک کئی گنا تک عام کرنا ہے۔ جب کئی گنا کمپیکٹ یا محدود حجم کا ہوتا ہے، تو موسٹو رگڈیٹی تھیوریم بیان کرتا ہے کہ بنیادی گروپ کئی گنا کا تعین کرتا ہے۔ جب حجم لامحدود ہوتا ہے تو بنیادی گروپ کئی گنا کا تعین کرنے کے لیے کافی نہیں ہوتا ہے: کسی کو کئی گنا کے "سروں" پر سطحوں پر ہائپربولک ڈھانچے اور ان سطحوں پر اختتامی ٹکڑوں کو بھی جاننے کی ضرورت ہوتی ہے۔ اور کلینین سطح کے گروپوں کے لیے اختتامی ٹکڑے ٹکڑے کے قیاس کو ثابت کیا۔ ٹیمینس تھیوریم کے پیش نظر اس سے تمام حتمی طور پر پیدا شدہ کلینین گروپوں کے لیے اختتامی ٹکڑے ٹکڑے کا قیاس ظاہر ہوتا ہے، جس سے ای ایل ٹی کا عمومی معاملہ آتا ہے۔ اختتامی ٹکڑے ٹکڑے ٹکڑے ٹکڑے ٹکڑے ٹکڑے ٹکڑے ٹکڑے ٹکڑے ٹکڑے ٹکڑے ٹکڑے ٹکڑے ٹکڑے ٹکڑے ٹکڑے ٹکڑے ٹکڑے ٹکڑے ٹکڑے ٹکڑے ٹکڑے ٹکڑے ٹکڑے ٹکڑے ٹکڑے ٹکڑے ٹکڑے ٹکڑے ٹکڑے ٹکڑے ٹکڑے ٹکڑے ٹکڑے ٹکڑے ٹکڑے ٹکڑے ٹکڑے ٹکڑے ٹکڑے ٹکڑے ٹکڑے ٹکڑے ٹکڑے ٹکڑے ٹکڑے ٹکڑے ٹکڑے ٹکڑے ٹکڑے ٹکڑے ٹکڑے ٹکڑے ٹکڑے ٹکڑے ٹکڑے ٹکڑے ٹکڑے ٹکڑے ٹکڑے ٹکڑے ٹکڑے ٹکڑے ٹکڑے ٹکڑے ٹکڑے ٹکڑے ٹکڑے ٹکڑے ٹکڑے ٹکڑے ٹکڑے ٹکڑے ٹکڑے ٹکڑے ٹکڑے ٹکڑے ٹکڑے ٹکڑے ٹکڑے ٹکڑے ٹکڑے ٹکڑے ٹکڑے ٹکڑے ٹکڑے ٹکڑے ٹکڑے ٹکڑے ٹکڑے ٹکڑے ٹکڑے ٹکڑے ٹکڑے ٹکڑے ٹکڑے ٹکڑے فرض کریں کہ ایک ہائپربولک 3-مینی فولڈ میں کسی کمپیکٹ سطح S کے لیے S × [0,1] کی شکل کا جیومیٹری طور پر ٹامڈ اینڈ ہوتا ہے جس میں باؤنڈری نہیں ہوتی، تاکہ S کو اینڈ کے "پوائنٹس ایٹ انفینیٹی" کے طور پر سمجھا جا سکے۔ اس سرے کا اختتامی ٹکڑے ٹکڑے (تقریبا) سطح S پر ایک ٹکڑے ٹکڑے ہے، دوسرے لفظوں میں S کا ایک بند ذیلی مجموعہ جسے S کے جیوڈیسکس کے جداگانہ اتحاد کے طور پر لکھا جاتا ہے۔ اس کی خصوصیت درج ذیل خاصیت ہے۔ فرض کریں کہ S پر بند جیوڈیکس کا ایک سلسلہ ہے جس کی لفٹیں آخر میں انفینیٹی کی طرف مائل ہوتی ہیں۔ پھر ان سادہ جیوڈیسکس کی حد اختتامی ٹکڑے ٹکڑے ہے۔ حوالہ جات ہائپربولک جیومیٹری 3-کلینین گروپوں کو ظاہر کرتا ہے