Dyadic transformation
ڈائڈک تبدیلی (جسے ڈائڈک نقشہ، بٹ شفٹ نقشہ، 2x موڈ 1 نقشہ، برنولی نقشہ، ڈبلنگ نقشہ یا ساٹوتھ نقشہ بھی کہا جاتا ہے) نقشہ سازی ہے (یعنی، تکرار کا تعلق) (جہاں سے ترتیبات کا مجموعہ ہے) اصول کے ذریعہ تیار کیا جاتا ہے۔ مساوی طور پر، ڈائڈک ٹرانسفارمیشن کو پیس وائز لینیر فنکشن کے تکراری فنکشن کے نقشے کے طور پر بھی بیان کیا جا سکتا ہے۔ نام بٹ شفٹ کا نقشہ اس لیے پیدا ہوتا ہے کیونکہ، اگر تکراری کی قیمت بائنری نوٹیشن میں لکھی جاتی ہے، تو اگلا تکراری بائنری پوائنٹ کو ایک بٹ دائیں طرف منتقل کر کے حاصل کیا جاتا ہے، اور اگر نئے بائنری پوائنٹ کے بائیں طرف کا بٹ "ایک" ہے، تو اسے صفر سے تبدیل کر دیا جاتا ہے۔ ڈائڈک تبدیلی اس بات کی ایک مثال فراہم کرتی ہے کہ کس طرح ایک سادہ 1 جہتی نقشہ افراتفری کو جنم دے سکتا ہے۔ یہ نقشہ آسانی سے کئی دوسرے لوگوں کو عام کرتا ہے۔ ایک اہم بیٹا ٹرانسفارمیشن ہے، جس کی تعریف اس طرح کی گئی ہے۔ اس نقشے کا بہت سے مصنفین نے بڑے پیمانے پر مطالعہ کیا ہے۔ اسے 1957 میں الفریڈ رینی نے متعارف کرایا تھا، اور اس کے لیے ایک غیر متغیر پیمائش 1959 میں الیگزینڈر گیلفونڈ نے اور پھر 1960 میں بل پیری نے آزادانہ طور پر دی تھی۔ برنولی عمل سے تعلق نقشہ برنولی عمل پر ہومومورفزم کے طور پر حاصل کیا جا سکتا ہے۔ آئیے حروف اور کے تمام نیم لامحدود تاروں کا مجموعہ بنیں۔ یہ کسی سکے کی پلٹائیں سمجھی جا سکتی ہیں، جو سر یا دم سے اوپر آتی ہیں۔ مساوی طور پر، بائنری بٹس کے تمام (نیم) لامحدود تاروں کی جگہ لکھ سکتا ہے۔ لفظ "انفنائٹ" "سیمی-" کے ساتھ اہل ہے، کیونکہ کوئی بھی ایک مختلف جگہ کی وضاحت بھی کر سکتا ہے جو تمام دوگنا-لامحدود (ڈبل اینڈڈ) تاروں پر مشتمل ہو ؛ یہ بیکر کے نقشے کی طرف لے جائے گا۔ اہلیت "سیمی-" کو ذیل میں چھوڑ دیا گیا ہے۔ اس جگہ میں ایک قدرتی شفٹ آپریشن ہوتا ہے، جو بائنری ہندسوں کی ایک لامحدود تار کے ذریعہ دیا جاتا ہے۔ اس طرح کے سٹرنگ کو دیکھتے ہوئے، لکھیں کہ نتیجہ یونٹ کے وقفے میں ایک حقیقی نمبر ہے۔ شفٹ ایک ہومومورفزم کو جنم دیتی ہے، جسے یونٹ کے وقفے پر بھی کہا جاتا ہے۔ چونکہ کوئی آسانی سے دیکھ سکتا ہے کہ بٹس کی دوگنا-لامحدود ترتیب کے لیے انڈیوسڈ ہومومورفزم بیکر کا نقشہ ہے۔ ڈائڈک سیکوینس پھر صرف سیکوینس ہے یعنی، کینٹر سیٹ نوٹ کریں کہ مجموعہ کینٹر فنکشن دیتا ہے، جیسا کہ روایتی طور پر بیان کیا گیا ہے۔ یہ ایک وجہ ہے کہ سیٹ کو بعض اوقات کینٹر سیٹ کہا جاتا ہے۔ معلومات کے ضائع ہونے کی شرح اور ابتدائی حالات پر حساس انحصار افراتفری کی حرکیات کی ایک پہچان معلومات کا ضائع ہونا ہے جیسے جیسے تخروپن ہوتا ہے۔ اگر ہم ابتدائی تکرار کے پہلے s بٹس کے بارے میں معلومات کے ساتھ شروع کرتے ہیں، تو m مصنوعی تکرار (m <s) کے بعد ہمارے پاس صرف s−m بٹس کی معلومات باقی ہیں۔ اس طرح ہم ایک بٹ فی تکرار کی تیز رفتار شرح سے معلومات کھو دیتے ہیں۔ s تکرار کے بعد، حقیقی تکرار اقدار سے قطع نظر، ہمارا تخروپن مقررہ نقطہ صفر تک پہنچ گیا ہے ؛ اس طرح ہمیں معلومات کا مکمل نقصان اٹھانا پڑا ہے۔ یہ ابتدائی حالات پر حساس انحصار کی وضاحت کرتا ہے-کٹی ہوئی ابتدائی حالت سے نقشہ سازی حقیقی ابتدائی حالت سے نقشہ سازی سے تیزی سے ہٹ گئی ہے۔ اور چونکہ ہمارا تخروپن ایک مقررہ نقطہ پر پہنچ چکا ہے، تقریبا تمام ابتدائی حالات کے لیے یہ کوالٹی کے لحاظ سے درست طریقے سے حرکیات کو افراتفری کے طور پر بیان نہیں کرے گا۔ معلومات کے نقصان کے تصور کے مساوی معلومات کے حصول کا تصور ہے۔ عملی طور پر کچھ حقیقی دنیا کا عمل وقت کے ساتھ اقدار (xn) کا ایک سلسلہ پیدا کر سکتا ہے، لیکن ہم صرف ان اقدار کو کٹی ہوئی شکل میں مشاہدہ کرنے کے قابل ہو سکتے ہیں۔ مثال کے طور پر فرض کریں کہ x0 = 0.1001 101، لیکن ہم صرف کٹی ہوئی قیمت 0.1001 کا مشاہدہ کرتے ہیں۔ x1 کے لیے ہماری پیشن گوئی 0.001 ہے۔ اگر ہم اس وقت تک انتظار کرتے ہیں جب تک کہ حقیقی دنیا کے عمل سے حقیقی x1 ویلیو 0.0011 01 پیدا نہ ہو جائے، تو ہم کٹی ہوئی ویلیو 0.0011 کا مشاہدہ کر سکیں گے، جو ہماری پیش گوئی شدہ ویلیو 0.001 سے زیادہ درست ہے۔ لہذا ہمیں ایک بٹ کا انفارمیشن گین ملا ہے۔ خیمے کے نقشے اور لاجسٹک نقشے سے تعلق ڈائڈک تبدیلی ٹپوولوجیکل طور پر یونٹ اونچائی والے خیمے کے نقشے سے نیم مربوط ہے۔ یاد رکھیں کہ یونٹ اونچائی والے خیمے کا نقشہ کنجوگیسی واضح طور پر اس طرح دی گئی ہے کہ یہ تکرار کے تحت مستحکم ہے، کیونکہ یہ لاجسٹک نقشے کے افراتفری والے r = 4 کیس سے بھی منسلک ہے۔ لاجسٹک نقشے کا r = 4 معاملہ ہے ؛ اس کا تعلق متغیر x میں بٹ شفٹ نقشے سے ہے۔ یہاں نقشہ موڑ میں ماپا ہوا زاویہ دوگنا کرتا ہے۔ یعنی نقشہ وقتا فوقتا اور غیر وقتا فوقتا دیا جاتا ہے کیونکہ حرکیات کی سادہ نوعیت کی وجہ سے جب تکرار کو بائنری نوٹیشن میں دیکھا جاتا ہے، تو ابتدائی حالت کی بنیاد پر حرکیات کی درجہ بندی کرنا آسان ہوتا ہے: اگر ابتدائی حالت غیر معقول ہے (جیسا کہ یونٹ کے وقفے میں تقریبا تمام نکات ہیں)، تو حرکیات غیر وقتا فوقتا ہوتی ہیں-یہ براہ راست غیر بار بار بائنری توسیع کے ساتھ ایک غیر معقول نمبر کی تعریف سے ملتی ہے۔ یہ افراتفری کا معاملہ ہے۔ اگر x0 عقلی ہے تو x0 کی شبیہہ [0، 1] کے اندر مختلف اقدار کی ایک محدود تعداد پر مشتمل ہے اور x0 کا اگلا مدار بالآخر وقتا فوقتا ہوتا ہے، جس کی مدت x0 کی بائنری توسیع کی مدت کے برابر ہوتی ہے۔ خاص طور پر، اگر ابتدائی شرط k بٹس کی محدود بائنری توسیع کے ساتھ ایک عقلی نمبر ہے، تو k تکرار کے بعد تکرار مقررہ نقطہ 0 تک پہنچ جاتے ہیں۔ اگر ابتدائی شرط k-بٹ عارضی (k ≤ 0) کے ساتھ ایک عقلی نمبر ہے جس کے بعد q-بٹ ترتیب (q> 1) ہے جو خود کو لامحدود طور پر دہراتا ہے، تو k تکرار کے بعد تکرار لمبائی q کے چکر تک پہنچ جاتے ہیں۔ اس طرح تمام لمبائی کے چکر ممکن ہیں۔ مثال کے طور پر، 11/24 کا اگلا مدار ہے: جو پیریڈ 2 کے چکر تک پہنچ چکا ہے۔ [0، 1) کے کسی بھی ذیلی وقفے کے اندر، چاہے کتنا ہی چھوٹا کیوں نہ ہو، اس لیے پوائنٹس کی ایک لامحدود تعداد ہوتی ہے جن کے مدار بالآخر وقتا فوقتا ہوتے ہیں، اور پوائنٹس کی ایک لامحدود تعداد ہوتی ہے جن کے مدار کبھی وقتا فوقتا نہیں ہوتے ہیں۔ ابتدائی حالات پر یہ حساس انحصار افراتفری والے نقشوں کی ایک خصوصیت ہے۔ باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری باری یعنی ہومومورفزم بنیادی طور پر ایک بیان ہے کہ کینٹر سیٹ کو حقیقی میں نقشہ بنایا جا سکتا ہے۔ یہ ایک سرجیکشن ہے: کینٹر سیٹ میں ہر ڈائڈک عقلی کی ایک نہیں بلکہ دو الگ الگ نمائندگی ہوتی ہیں۔ مثال کے طور پر، یہ مشہور 0.999. = 1 مسئلہ کا صرف بائنری سٹرنگ ورژن ہے۔ دوگنا نمائشیں عام طور پر برقرار رہتی ہیں: لمبائی کی کسی بھی دی گئی محدود لمبائی کی ابتدائی ترتیب کے لیے، ایک ہوتی ہے۔ ابتدائی ترتیب مدار کے غیر وقتی حصے سے مطابقت رکھتی ہے، جس کے بعد تکرار تمام صفر (مساوی طور پر، تمام ایک) پر آباد ہو جاتی ہے۔ بٹ سٹرنگ کے طور پر اظہار کیا جاتا ہے، نقشے کے دورانیے کے مداروں کو عقلی طور پر دیکھا جا سکتا ہے۔ یعنی، ایک ابتدائی "افراتفری" کے سلسلے کے بعد، ایک دورانیے کا مدار لمبائی کے دہرائے جانے والے تار میں آباد ہو جاتا ہے۔ یہ دیکھنا مشکل نہیں ہے کہ اس طرح کے دہرائے جانے والے سلسلے عقلی اعداد سے مطابقت رکھتے ہیں۔ ایک کو لکھنے کے بعد واضح طور پر ابتدائی غیر تکرار کی ترتیب پر ٹیکنگ ہوتی ہے، واضح طور پر ایک عقلی نمبر ہوتا ہے۔ در حقیقت، ہر عقلی عدد کا اظہار اس طرح کیا جا سکتا ہے: ایک ابتدائی "بے ترتیب" ترتیب، جس کے بعد سائیکلنگ کا اعادہ ہوتا ہے۔ یعنی نقشے کے وقتا فوقتا مدار عقلی کے ساتھ ایک دوسرے سے مطابقت رکھتے ہیں۔ یہ رجحان قابل ذکر ہے، کیونکہ بہت سے افراتفری والے نظاموں میں بھی کچھ ایسا ہی ہوتا ہے۔ مثال کے طور پر، کمپیکٹ کئی گنا پر جیوڈیکس میں وقتا فوقتا مدار ہو سکتے ہیں جو اس طرح سے برتاؤ کرتے ہیں۔ تاہم، ذہن میں رکھیں کہ ریشنلز حقیقی میں پیمائش صفر کا ایک مجموعہ ہیں۔ تقریبا تمام مدار وقتا فوقتا نہیں ہوتے! ایپیریوڈک مدار غیر معقول اعداد سے مطابقت رکھتے ہیں۔ یہ خاصیت زیادہ عام ترتیب میں بھی درست ہے۔ ایک کھلا سوال یہ ہے کہ وقتا فوقتا مداروں کا طرز عمل مجموعی طور پر نظام کے طرز عمل کو کس حد تک محدود کرتا ہے۔ آرنلڈ ڈفیوژن جیسے مظاہر سے پتہ چلتا ہے کہ عمومی جواب "بہت زیادہ نہیں" ہے۔ نقشہ کے عمل کے تحت انفرادی نکات کے مداروں کو دیکھنے کے بجائے، یہ تلاش کرنا بھی اتنا ہی مفید ہے کہ نقشہ اکائی کے وقفے پر کثافت کو کس طرح متاثر کرتا ہے۔ یعنی، یونٹ کے وقفے پر کچھ دھول چھڑکنے کا تصور کریں ؛ یہ کچھ جگہوں پر دوسروں کے مقابلے میں گھنے ہوتے ہیں۔ جب کوئی دہراتا ہے تو اس کثافت کا کیا ہوتا ہے؟ اس کثافت کے طور پر لکھیں، تاکہ۔ اس کثافت پر کے عمل کو حاصل کرنے کے لیے، کسی کو تمام نکات تلاش کرنے اور لکھنے کی ضرورت ہے۔ مندرجہ بالا میں ڈینومینیٹر تبدیلی کا جیکوبین ڈیٹرمیننٹ ہے، یہاں یہ صرف اور اسی طرح کا مشتق ہے۔ نیز، ظاہر ہے کہ پری امیج میں صرف دو نکات ہیں، یہ ہیں اور یہ سب ایک ساتھ رکھتے ہوئے، ایک کو ملتا ہے روایت کے مطابق، ایسے نقشوں کی نشاندہی اس طرح کی جاتی ہے کہ اس معاملے میں، لکھیں نقشہ ایک لکیری آپریٹر ہے، جیسا کہ کوئی آسانی سے دیکھتا ہے اور یونٹ کے وقفے پر موجود تمام افعال، اور تمام مستقلات کے لیے۔ لکیری آپریٹر کے طور پر دیکھا جائے تو سب سے واضح اور اہم سوال یہ ہے کہ اس کا سپیکٹرم کیا ہے؟ ایک آئجین ویلیو واضح ہے: اگر سب کے لیے تو ظاہر ہے کہ تبدیلی کے تحت یکساں کثافت غیر متغیر ہے۔ یہ درحقیقت آپریٹر کی سب سے بڑی آئجین ویلیو ہے، یہ فروبینیوس-پیرون آئجین ویلیو ہے۔ در حقیقت یکساں کثافت ڈائیڈک تبدیلی کی غیر متغیر پیمائش کے علاوہ اور کچھ نہیں ہے۔ سپیکٹرم کو زیادہ تفصیل سے تلاش کرنے کے لیے، کام کرنے کے لیے پہلے اپنے آپ کو افعال کی مناسب جگہ (یونٹ کے وقفے پر) تک محدود رکھنا چاہیے۔ یہ لیبسگ پیمائش کے قابل افعال کی جگہ ہو سکتی ہے، یا شاید مربع انٹیگریبل افعال کی جگہ، یا شاید صرف کثیر الجہتی بھی ہو سکتی ہے۔ ان میں سے کسی بھی جگہ کے ساتھ کام کرنا حیرت انگیز طور پر مشکل ہے، حالانکہ سپیکٹرم حاصل کیا جا سکتا ہے۔ اگر کوئی اس کے بجائے کینٹر اسپیس، اور افعال کے ساتھ کام کرتا ہے تو بوریل اسپیس کو آسان بنانے کے نتائج کی ایک بڑی مقدار کچھ احتیاط کا مشورہ دیا جاتا ہے، جیسا کہ نقشے کو حقیقی نمبر لائن کے یونٹ وقفے پر بیان کیا گیا ہے، یہ فرض کرتے ہوئے کہ حقیقی نمبر پر قدرتی ٹوپولوجی ہے۔ اس کے برعکس، نقشے کی وضاحت کینٹر اسپیس پر کی گئی ہے، جسے روایت کے مطابق ایک بہت ہی مختلف ٹوپولوجی، پروڈکٹ ٹوپولوجی دی گئی ہے۔ ٹوپولوجیز کا ممکنہ تصادم ہے ؛ کچھ خیال رکھنا ضروری ہے۔ تاہم، جیسا کہ اوپر پیش کیا گیا ہے، کینٹر کی طرف سے ایک ہومومورفزم ہے جو حقیقت میں سیٹ کیا گیا ہے۔ خوش قسمتی سے، یہ کھلے سیٹوں کو کھلے سیٹوں میں نقشہ بناتا ہے، اور اس طرح تسلسل کے تصورات کو محفوظ رکھتا ہے۔ کینٹر سیٹ کے ساتھ کام کرنے کے لیے، کسی کو اس کے لیے ٹوپولوجی فراہم کرنی چاہیے ؛ روایت کے مطابق، یہ پروڈکٹ ٹوپولوجی ہے۔ ملحقہ سیٹ کمپلیمنٹس کے ذریعے، اسے بوریل اسپیس یعنی سگما الجبرا تک بڑھایا جا سکتا ہے۔ ٹوپولوجی سلنڈر سیٹوں کی ہے۔ سلنڈر سیٹ کی عام شکل ہوتی ہے جہاں صوابدیدی بٹ ویلیوز ہوتی ہیں (ضروری نہیں کہ سب ایک جیسی ہوں)، اور یہ لامحدود بٹ سٹرنگ میں بکھرے ہوئے مخصوص بٹ ویلیوز کی ایک محدود تعداد ہوتی ہے۔ یہ ٹوپولوجی کے کھلے سیٹ ہیں۔ اس جگہ پر کینونکل پیمائش منصفانہ سکے ٹاس کے لیے برنولی پیمائش ہے۔ اگر صوابدیدی پوزیشنوں کی تار میں صرف ایک بٹ متعین ہے، تو پیمائش 1/2 ہے۔ اگر دو بٹس متعین ہیں، تو پیمائش 1/4 ہے، اور اسی طرح۔ کوئی بھی فینسیئر حاصل کر سکتا ہے: ایک حقیقی نمبر دیا گیا ہے تو کوئی بھی پیمائش کی وضاحت کر سکتا ہے اگر ترتیب میں سر اور دم ہوں۔ پیمائش کے ساتھ ترجیح دی جاتی ہے، کیونکہ یہ نقشے کے ذریعہ محفوظ ہے لہذا، مثال کے طور پر، وقفے کے نقشے اور وقفے کے نقشے اور ان دونوں وقفوں کی پیمائش 1/2 ہے۔ اسی طرح، اس وقفے کا نقشہ جس کی پیمائش اب بھی 1/2 ہے۔ یعنی، اوپر کی سرایت پیمائش کو محفوظ رکھتی ہے۔ ایک متبادل یہ لکھنا ہے کہ کون سی پیمائش کو محفوظ رکھتی ہے یعنی یہ اس طرح نقشہ بناتی ہے کہ اکائی کے وقفے پر پیمائش دوبارہ لیبسیگ پیمائش ہو۔ فروبینیوس-پیرون آپریٹر کینٹر پر سیٹ کیے گئے تمام کھلے سیٹوں کے مجموعے کی نشاندہی کرتا ہے اور تمام صوابدیدی افعال کے سیٹ پر غور کرتا ہے۔ شفٹ ایک پش فارورڈ کو جنم دیتا ہے جس کی وضاحت اس کے ذریعہ کی گئی ہے۔ یہ پھر سے کچھ فنکشن ہے۔ اس طرح، نقشہ تمام افعال کی جگہ پر ایک اور نقشہ شامل کرتا ہے یعنی، کچھ کو دیکھتے ہوئے، ایک وضاحت کرتا ہے۔ اس لکیری آپریٹر کو ٹرانسفر آپریٹر یا روئل-فروبینیوس-پیرون آپریٹر کہا جاتا ہے۔ سب سے بڑی آئجین ویلیو فروبینیوس-پیرون آئجین ویلیو ہے، اور اس صورت میں، یہ 1 ہے۔ متعلقہ آئجین ویکٹر غیر متغیر پیمائش ہے: اس صورت میں، یہ برنولی پیمائش ہے۔ پھر، جب سپیکٹرم کا سپیکٹرم حاصل کرنے کے لیے، کسی کو جگہ کے لیے بنیادی افعال کا ایک مناسب سیٹ فراہم کرنا چاہیے۔ اس طرح کا ایک انتخاب تمام کثیر الجہتی کے سیٹ تک محدود ہے۔ اس صورت میں، آپریٹر کے پاس ایک مجرد سپیکٹرم ہوتا ہے، اور آئجن فنکشن (حیرت انگیز طور پر) برنولی کثیر الجہتی ہوتے ہیں! (نام رکھنے کا یہ اتفاق غالبا برنولی کو معلوم نہیں تھا۔) درحقیقت، کوئی بھی آسانی سے اس بات کی تصدیق کر سکتا ہے کہ برنولی کثیر الجہتی کہاں ہیں۔ اس کے بعد برنولی کثیر الجہتی شناخت کی پابندی کرتے ہیں نوٹ کریں کہ ایک اور بنیاد ہار کی بنیاد کے ذریعہ فراہم کی جاتی ہے، اور خلا میں پھیلے ہوئے افعال ہار ویولیٹس ہیں۔ اس صورت میں، ایک مسلسل سپیکٹرم ملتا ہے، جو پیچیدہ سطح پر یونٹ ڈسک پر مشتمل ہوتا ہے۔ یونٹ ڈسک میں دیا گیا ہے، تاکہ فنکشنز اس کی اطاعت کریں۔ یہ ایک مکمل بنیاد ہے، اس میں ہر عدد کو اس شکل میں لکھا جا سکتا ہے۔ برنولی کثیر الجہتی ترتیب کے ذریعے بازیافت کیے جاتے ہیں اور ایک مکمل بنیاد دوسرے طریقوں سے بھی دی جا سکتی ہے۔ انہیں ہروٹز زیٹا فنکشن کے لحاظ سے لکھا جا سکتا ہے۔ ایک اور مکمل بنیاد تکاگی فنکشن کے ذریعے فراہم کی جاتی ہے۔ یہ ایک فریکٹل، تفریق پذیر-کہیں نہیں فنکشن ہے۔ آئجن فنکشن واضح طور پر اس شکل کے ہوتے ہیں جہاں مثلث لہر ہوتی ہے۔ ایک بار پھر، ان تمام مختلف اڈوں کو ایک دوسرے کے لکیری امتزاج کے طور پر ظاہر کیا جا سکتا ہے۔ اس لحاظ سے وہ مساوی ہیں۔ فریکٹل آئجن فنکشن ماڈیولر گروپ کے فریکٹل گروپائڈ کے تحت ایک واضح ہم آہنگی ظاہر کرتے ہیں۔ یہ تکاگی فنکشن (بلینکمینج وکر) پر مضمون میں زیادہ تفصیل سے تیار کیا گیا ہے۔ شاید حیرت کی بات نہیں ؛ کینٹر سیٹ میں بالکل وہی سمیٹریز کا مجموعہ ہوتا ہے (جیسا کہ مسلسل حصوں میں ہوتا ہے۔) اس کے بعد یہ خوبصورت طریقے سے ایلیپٹک مساوات اور ماڈیولر شکلوں کے نظریہ کی طرف لے جاتا ہے۔ آئزنگ ماڈل سے تعلق وقتا فوقتا باؤنڈری کنڈیشنز کے ساتھ صفر فیلڈ کے ایک جہتی آئزنگ ماڈل کے ہیملٹنین کو اس طرح لکھا جا سکتا ہے کہ لیٹنگ ایک مناسب طور پر منتخب کردہ نارملائزیشن مستقل ہے اور سسٹم کے لیے الٹا درجہ حرارت ہے، اس ماڈل کے لیے پارٹیشن فنکشن اس کے ذریعے دیا گیا ہے۔ ہم ہر دوسرے اسپن کو مربوط کرکے ری نارملائزیشن گروپ کو نافذ کر سکتے ہیں۔ ایسا کرنے میں، کسی کو پتہ چلتا ہے کہ بٹ اسپن کے ساتھ ایک چھوٹے سے سسٹم کے لیے پارٹیشن فنکشن کے ساتھ بھی مساوی کیا جا سکتا ہے، بشرطیکہ ہم تبدیل کریں اور ری نارملائزڈ ویلیوز کے ساتھ اور مساوات کو مطمئن کریں۔ اس صورت میں ہم مساوات کے ذریعے سے متعلق ایک پیرامیٹر متعارف کرا سکتے ہیں اور اس کے نتیجے میں دوبارہ معمول پر آنے والی گروپ کی تبدیلی قطعی طور پر ڈائڈک نقشہ ہوگی: برنولی عمل برنولی اسکیم گلبرٹ-شینن-ریڈز ماڈل بھی دیکھیں، یونٹ وقفے پر یکساں طور پر بے ترتیب نکات کے ایک سیٹ پر ڈبلنگ نقشے کو لاگو کرکے دی گئی ترتیبات پر بے ترتیب تقسیم نوٹ حوالہ جات ڈین جے ڈربی، مکمل طور پر افراتفری کے نقشے اور ٹوٹے ہوئے وقت کی ہم آہنگی، (1999) کلور اکیڈمک پبلشرز، ڈورڈریچٹ نیدرلینڈز لنس ویپسٹاس، برنولی نقشہ، گاؤس-کزمین-وائرنگ آپریٹر اور ریمن زیٹا، (2004) افراتفری کے نقشے