Fenchel–Nielsen coordinates
ریاضی میں، فینچل-نیلسن نقاط ٹیچملر اسپیس کے لیے نقاط ہیں جو ورنر فینچل اور جیکب نیلسن نے متعارف کروائے تھے۔ تعریف فرض کریں کہ ایس جینس جی> 1 کی ایک کمپیکٹ ریمن سطح ہے۔ فینچل-نیلسن نقاط کا انحصار S پر 6g−6 منحنی خطوط کے انتخاب پر ہوتا ہے، جیسا کہ مندرجہ ذیل ہے۔ ریمن کی سطح S کو 3g−3 جداگانہ سادہ بند منحنی خطوط کے ساتھ کاٹ کر 2g−2 جوڑوں میں تقسیم کیا جا سکتا ہے۔ ان 3g−3 منحنی خطوط γ میں سے ہر ایک کے لیے، اسے عبور کرنے والے ایک آرک کا انتخاب کریں جو γ پر مشتمل باؤنڈری کے ساتھ پتلون کے جوڑوں کے دیگر باؤنڈری اجزاء میں ختم ہوتا ہے۔ S کی ٹیک مولر جگہ کے ایک نقطہ کے لیے فینچل-نیلسن نقاط 3g−3 مثبت حقیقی اعداد پر مشتمل ہوتے ہیں جنہیں لمبائی کہا جاتا ہے اور 3g−3 حقیقی اعداد جنہیں موڑ کہا جاتا ہے۔ ٹیچ مولر اسپیس کے ایک نقطہ کی نمائندگی ایس پر ہائپربولک میٹرک کے ذریعہ کی جاتی ہے۔ فینچل-نیلسن نقاط کی لمبائی جیوڈیکسک ہوموٹوپک کی لمبائی 3 جی-3 جداگانہ سادہ بند منحنی خطوط ہیں۔ فینچل-نیلسن نقاط کے موڑ مندرجہ ذیل ہیں۔ 3g−3 منحنی خطوط میں سے ہر ایک کے لیے ایک موڑ ہوتا ہے جو 3g−3 جداگانہ سادہ بند منحنی خطوط میں سے ایک کو عبور کرتا ہے۔ ان میں سے ہر ایک ایک منحنی خطوط کے لیے ہوموٹوپک ہے جو 3 جیوڈیسی حصوں پر مشتمل ہے، جن میں سے درمیانی حصہ γ کے جیوڈیسیک کی پیروی کرتا ہے۔ موڑ (مثبت یا منفی) فاصلہ ہے جو درمیانی حصہ γ کے جیوڈیسیک کے ساتھ سفر کرتا ہے۔ حوالہ جات ریمن کی سطحیں