Liouville number
نمبر تھیوری میں، لیوویل نمبر ایک حقیقی نمبر ہے جس کی خاصیت یہ ہے کہ، ہر مثبت عدد کے لیے، انٹیجرز کا ایک جوڑا موجود ہوتا ہے جس کے ساتھ لیوویل نمبر "تقریبا عقلی" ہوتے ہیں، اور اس طرح عقلی اعداد کی ترتیب سے "کافی قریب سے" اندازہ لگایا جا سکتا ہے۔ واضح طور پر، یہ ماورائی اعداد ہیں جن کا عقلی اعداد کے ذریعے کسی بھی الجبرائی غیر معقول نمبر سے زیادہ قریب سے تخمینہ لگایا جا سکتا ہے۔ 1844 میں، جوزف لیوویل نے دکھایا کہ تمام لیوویل نمبر ماورائی ہیں، اس طرح پہلی بار ماورائی نمبروں کا وجود قائم ہوا۔ یہ معلوم ہے کہ اور یہ لیوویل نمبر نہیں ہیں۔ لیوویل نمبروں کا وجود (لیوویل کا مستقل) لیوویل نمبروں کو ایک واضح تعمیر سے ظاہر کیا جا سکتا ہے۔ کسی بھی انٹیجر اور انٹیجرز کی کسی بھی ترتیب کے لیے جیسے کہ سب کے لیے اور لامحدود بہت سے لوگوں کے لیے، نمبر کی وضاحت کریں۔ خاص صورت میں جب، اور سب کے لیے، نتیجے میں آنے والے نمبر کو لیوویل کا مستقل کہا جاتا ہے: L = 0.11000100000000000000000100000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000001۔ یہ اس تعریف کی پیروی کرتا ہے کہ اس کی بنیادی نمائندگی وہ جگہ ہے جہاں th اصطلاح th جگہ پر ہے۔ چونکہ یہ بنیادی نمائندگی غیر تکرار ہے اس کے بعد یہ ایک عقلی عدد نہیں ہے۔ لہذا، کسی بھی عقلی عدد کے لیے۔ اب، کسی بھی عدد کے لیے، اور اس کی تعریف اس طرح کی جا سکتی ہے: پھر، لہذا، ایسا کوئی بھی ایک لیوویل نمبر ہے۔ ثبوت پر نوٹ عدم مساوات کے بعد تمام k کے لیے ak bul {0,1,2,., b−1} ہے، لہذا زیادہ سے زیادہ ak = b−1 ہے۔ سب سے بڑا ممکنہ مجموعہ تب ہوگا جب انٹیجرز (a1, a2,.) کی ترتیب (b−1, b−1,.)، یعنی ہو۔ ak = b−1، تمام k کے لیے اس طرح اس سب سے بڑی ممکنہ رقم سے کم یا اس کے برابر ہوگا۔ مضبوط عدم مساوات سیریز کو ایک سیریز تک کم کرنے کے ذریعے اسے ختم کرنے کی ترغیب سے ملتی ہے جس کے لیے ایک فارمولا جانا جاتا ہے۔ اب تک کے ثبوت میں، #1 میں عدم مساوات کو متعارف کرانے کا مقصد اس وجدان سے آتا ہے کہ (ہندسی سیریز فارمولا) ؛ لہذا، اگر اس سے کوئی عدم مساوات پائی جا سکتی ہے جس میں عدد میں (b−1) کے ساتھ ایک سیریز متعارف کرائی گئی ہے، اور اگر ڈینومینیٹر اصطلاح کو مزید کم کیا جا سکتا ہے، اور ساتھ ہی سیریز انڈیکس کو 0 سے منتقل کیا جا سکتا ہے، تو دونوں سیریز اور (b−1) اصطلاحات کو ختم کر دیا جائے گا، فارم کے ایک حصے کے قریب پہنچ کر، جو ثبوت کا اختتامی مقصد ہے۔ اس محرک کو یہاں رقم میں سے اب ایک جزوی رقم منتخب کرکے بڑھایا گیا ہے۔ مشاہدہ کریں کہ، کسی بھی اصطلاح کے لیے، چونکہ b ≤ 2، پھر، تمام k کے لیے (سوائے اس کے کہ جب n = 1 ہو)۔ لہذا، (چونکہ، یہاں تک کہ اگر n = 1، اس کے بعد کی تمام اصطلاحات چھوٹی ہیں)۔ اشاریہ جات میں ہیرا پھیری کرنے کے لیے تاکہ k 0 سے شروع ہو، جزوی رقم کو اندر سے منتخب کیا جائے گا (کل قیمت سے بھی کم کیونکہ یہ ایک سیریز کا جزوی مجموعہ ہے جس کی تمام شرائط مثبت ہیں)۔ k = (n + 1) سے شروع ہونے والی جزوی رقم کا انتخاب کریں! جو کہ k = 0 کے ساتھ ایک نئی سیریز لکھنے کے محرک کے بعد آتا ہے، یعنی اس کا نوٹس لینے سے۔ حتمی عدم مساوات کے لیے، اس خاص عدم مساوات کو منتخب کیا گیا ہے (سچ ہے کیونکہ b ≤ 2، جہاں مساوات تب ہوتی ہے جب n = 1 ہو) اس وجہ سے کہ شکل کی کسی چیز میں ہیرا پھیری کرنے کی خواہش ہوتی ہے۔ یہ خاص عدم مساوات (n + 1) کے خاتمے کی اجازت دیتی ہے! اور عدد، اس خاصیت کا استعمال کرتے ہوئے کہ (n + 1)! - ن! = (ن! ) n، اس طرح ڈینومینیٹر کو متبادل کے لیے مثالی شکل میں ڈالنا۔ غیر معقولیت یہاں ثبوت یہ ظاہر کرے گا کہ وہ نمبر جہاں اور انٹیجر ہیں اور ان عدم مساوات کو پورا نہیں کر سکتے جو لیوویل نمبر کی وضاحت کرتے ہیں۔ چونکہ ہر عقلی عدد کو اس طرح پیش کیا جا سکتا ہے اس لیے ثبوت سے پتہ چلے گا کہ کوئی بھی لیوویل عدد عقلی نہیں ہو سکتا۔ مزید خاص طور پر، اس ثبوت سے پتہ چلتا ہے کہ کسی بھی مثبت عدد کے لیے جو اتنا بڑا ہے کہ [مساوی طور پر، کسی بھی مثبت عدد کے لیے]، انٹیجرز کا کوئی جوڑا موجود نہیں ہے جو بیک وقت بریکٹنگ عدم مساوات کے جوڑے کو مطمئن کرتا ہے۔ اس کے بعد، اگر اس کا مطلب یہ ہے کہ انٹیجرز کی ایسی جوڑی لیوویل نمبر کی تعریف میں پہلی عدم مساوات کی خلاف ورزی کرے گی، قطع نظر اس کے کہ ان میں سے کوئی بھی انتخاب ہو۔ اگر، دوسری طرف، اس کے بعد سے، چونکہ ایک عدد ہے، تو ہم تیز عدم مساوات پر زور دے سکتے ہیں۔ اس سے یہ نتیجہ نکلتا ہے کہ اب کسی بھی عدد کے لیے اوپر دی گئی آخری عدم مساوات کا مطلب ہوتا ہے۔ لہذا، اس صورت میں عدد کا یہ جوڑا لیوویل نمبر کی تعریف میں دوسری عدم مساوات کی خلاف ورزی کرے گا، کچھ مثبت عدد کے لیے۔ لہذا، نتیجہ اخذ کرنے کے لیے، انٹیجرز کا کوئی جوڑا نہیں ہے جو لیوویل نمبر کے طور پر اہل ہو۔ لہذا ایک لیوویل نمبر، اگر موجود ہے، تو عقلی نہیں ہو سکتا۔ (لیوویل کے مستقل پر سیکشن یہ ثابت کرتا ہے کہ لیوویل نمبرز ایک کی تعمیر کو ظاہر کرکے موجود ہیں۔ اس حصے میں دیے گئے ثبوت سے یہ ظاہر ہوتا ہے کہ یہ تعداد غیر معقول ہونی چاہیے۔) غیر گنتی پر غور کریں، مثال کے طور پر، نمبر 3.1400010000000000000000050000.3.14 (3 صفر) 1 (17 صفر) 5 (95 صفر) 9 (599 صفر) 2 (4319 صفر) 6. جہاں ہندسوں میں صفر ہیں سوائے پوزیشن n کے! جہاں ہندسہ اعشاری توسیع میں اعشاری نقطہ کے بعد n ویں ہندسے کے برابر ہوتا ہے۔ جیسا کہ لیوویل نمبروں کے وجود کے سیکشن میں دکھایا گیا ہے، یہ نمبر، نیز اس کے غیر صفر ہندسوں کے ساتھ کوئی بھی غیر اختتامی اعشاریہ اسی طرح واقع ہے، لیوویل نمبر کی تعریف کو مطمئن کرتا ہے۔ چونکہ غیر صفر ہندسوں کے تمام ترتیبات کے سیٹ میں تسلسل کی بنیادی حیثیت ہوتی ہے، لہذا تمام لیوویل نمبروں کے سیٹ کے ساتھ بھی ایسا ہی ہوتا ہے۔ مزید برآں، لیوویل نمبر حقیقی اعداد کے سیٹ کا ایک گھنے ذیلی سیٹ بناتے ہیں۔ لیوویل نمبرز اور پیمائش پیمائش کے نظریہ کے نقطہ نظر سے، تمام لیوویل نمبروں کا مجموعہ چھوٹا ہے۔ مزید واضح طور پر، اس کی لیبسیگ پیمائش، صفر ہے۔ دیا گیا ثبوت جان سی آکسٹوبی کے کچھ خیالات کی پیروی کرتا ہے۔ مثبت عدد اور سیٹ کے لیے: پھر مشاہدہ کریں کہ ہر مثبت عدد کے لیے اور پھر چونکہ اور پھر اب اور اس کے بعد ہر مثبت عدد کے لیے لیبسگیو پیمائش صفر ہے۔ نتیجتا ایسا ہی ہوا ہے۔ اس کے برعکس، تمام حقیقی ماورائی اعداد کے مجموعے کی لیبسگیو پیمائش لامحدود ہے (چونکہ الجبرائی اعداد کا مجموعہ ایک صفر مجموعہ ہے)۔ لیوویل نمبروں کے سیٹ کی ساخت ہر مثبت عدد کے لیے، سیٹ تمام لیوویل نمبروں کے سیٹ کو اس طرح لکھا جا سکتا ہے کہ ہر ایک کھلا سیٹ ہے ؛ چونکہ اس کی بندش میں تمام عقلی (ہر پنکچر وقفے سے) ہوتے ہیں، یہ حقیقی لکیر کا ایک گھنے ذیلی سیٹ بھی ہے۔ چونکہ یہ گنتی کے لحاظ سے اس طرح کے بہت سے کھلے گھنے سیٹوں کا چوراہا ہے، یہ کمگر ہے، یعنی یہ ایک گھنے Gδ سیٹ ہے۔ غیر معقولیت کی پیمائش کسی حقیقی عدد کی لیوویل-روتھ غیر معقولیت کی پیمائش (غیر معقولیت ایکسپونینٹ، ایکسپاکسیمیشن ایکسپونینٹ، یا لیوویل-روتھ کانسٹینٹ) اس بات کی پیمائش ہے کہ عقلی اعداد کے ذریعے اس کا کتنا قریب سے تخمینہ لگایا جا سکتا ہے۔ لیوویل نمبروں کی تعریف کو عام کرتے ہوئے، کی طاقت میں کسی کو اجازت دینے کے بجائے، ہم اس کے لیے سب سے بڑی ممکنہ قیمت تلاش کرتے ہیں جو ان کے ساتھ کوپرائم انٹیجر جوڑوں کی لامحدود تعداد سے مطمئن ہوتی ہے۔ کی اس زیادہ سے زیادہ قیمت کو غیر معقولیت کی پیمائش کے طور پر بیان کیا گیا ہے۔ اس اوپری حد سے کم کسی بھی قدر کے لیے، مذکورہ بالا عدم مساوات کو مطمئن کرنے والے تمام عقلیتوں کا لامحدود مجموعہ کا تخمینہ دیتا ہے۔ اس کے برعکس، اگر اوپری حد سے بڑا ہے، تو زیادہ سے زیادہ محدود طور پر بہت سے ایسے ہیں جو عدم مساوات کو مطمئن کرتے ہیں۔ اس طرح، اس کے برعکس عدم مساوات تمام بڑی اقدار کے لیے ہے۔ دوسرے لفظوں میں، کسی حقیقی عدد کی غیر معقولیت کی پیمائش کو دیکھتے ہوئے، جب بھی کوئی عقلی تخمینہ ہوتا ہے، تو درست اعشاریہ ہندسے حاصل ہوتے ہیں، پھر کسی بھی کے لیے، سوائے زیادہ سے زیادہ "خوش قسمت" جوڑوں کی محدود تعداد کے۔ ڈیرچلیٹ کے تخمینہ تھیوریم کے نتیجے میں ہر غیر معقول نمبر میں غیر معقولیت کی پیمائش کم از کم 2 ہوتی ہے۔ دوسری طرف، بوریل-کینٹیلی لیما کی ایک درخواست سے پتہ چلتا ہے کہ تقریبا تمام اعداد میں 2 کے برابر غیر معقولیت کی پیمائش ہوتی ہے۔ ذیل میں بعض اعداد کی غیر معقولیت کے اقدامات کے لیے معروف اوپری اور نچلی حدود کا جدول ہے۔ غیر معقولیت کی بنیاد غیر معقولیت کی ایک پیمائش ہے جسے جے سونڈو نے لیوویل نمبروں کے لیے غیر معقولیت کی پیمائش کے طور پر متعارف کرایا ہے۔ اس کی تعریف اس طرح کی گئی ہے: فرض کریں کہ یہ ایک غیر معقول عدد ہے۔ اگر اس پراپرٹی کے ساتھ کوئی حقیقی نمبر موجود ہے کہ کسی کے لیے، ایک مثبت عدد اس طرح ہے کہ اسے غیر معقولیت کی بنیاد کہا جاتا ہے اور اس کی نمائندگی اس طرح کی جاتی ہے کہ اگر ایسا کوئی موجود نہیں ہے تو اسے سپر لیوویل نمبر کہا جاتا ہے۔ مثال: سیریز ایک سپر لیوویل نمبر ہے، جبکہ سیریز ایک لیوویل نمبر ہے جس میں غیر معقولیت بیس 2 ہے۔ (ٹیٹریشن کی نمائندگی کرتا ہے۔) لیوویل نمبرز اینڈ ٹرانسڈیننس یہ قائم کرنا کہ دیا ہوا نمبر لیوویل نمبر ہے، یہ ثابت کرنے کے لیے ایک مفید ٹول فراہم کرتا ہے کہ دیا ہوا نمبر ماورائے الہی ہے۔ تاہم، ہر ماورائی عدد لیوویل عدد نہیں ہے۔ ہر لیوویل نمبر کی مسلسل فریکشن توسیع میں اصطلاحات لامحدود ہیں۔ گنتی کی دلیل کا استعمال کرتے ہوئے، اس کے بعد یہ ظاہر کیا جا سکتا ہے کہ بے شمار بہت سے ماورائی نمبر ہونے چاہئیں جو لیوویل نہیں ہیں۔ ای کے واضح مسلسل فریکشن کی توسیع کا استعمال کرتے ہوئے، کوئی یہ ظاہر کر سکتا ہے کہ ای ایک ماورائے عدد کی مثال ہے جو لیوویل نہیں ہے۔ ماہلر نے 1953 میں ثابت کیا کہ یہ ایسی ہی ایک اور مثال ہے۔ ثبوت پہلے غیر معقول الجبرائی اعداد کی خاصیت قائم کرنے سے آگے بڑھتا ہے۔ یہ خاصیت بنیادی طور پر یہ کہتی ہے کہ غیر معقول الجبرائی اعداد کو عقلی اعداد کے ذریعے اچھی طرح سے تخمینہ نہیں لگایا جا سکتا، جہاں بڑے ڈینومینیٹرز کے لیے "اچھی طرح سے تخمینہ" کی شرط زیادہ سخت ہو جاتی ہے۔ لیوویل نمبر غیر معقول ہے لیکن اس میں یہ خاصیت نہیں ہے، اس لیے یہ الجبرائی نہیں ہو سکتا اور اسے ماورائے الہی ہونا چاہیے۔ مندرجہ ذیل لیما کو عام طور پر لیوویل کے نظریہ (ڈیوفنٹائن کے تخمینے پر) کے نام سے جانا جاتا ہے، جس کے کئی نتائج ہیں جنہیں لیوویل کے نظریہ کے نام سے جانا جاتا ہے۔ ذیل میں، ثبوت یہ ظاہر کرے گا کہ کوئی بھی لیوویل نمبر الجبرائی نہیں ہو سکتا۔ لیما: اگر α ایک غیر معقول نمبر ہے جو انٹیجر کوفیشنٹس کے ساتھ ڈگری n> 0 کے ناقابل کٹوتی کثیر الجہتی f کا جڑ ہے، تو ایک حقیقی نمبر A> 0 اس طرح موجود ہے کہ، تمام انٹیجرز p، q کے لیے، q> 0 کے ساتھ، لیما کا ثبوت: فرض کریں کہ M وقفہ [α−1، α + 1] پر |f ′ (x) | (f کے مشتق کی مطلق قیمت) کی زیادہ سے زیادہ قیمت ہو۔ فرض کریں کہ α1، α2،.، αm f کے الگ الگ جڑ ہیں جو α سے مختلف ہیں۔ کچھ ویلیو A> 0 کو مطمئن کرنے والا منتخب کریں اب فرض کریں کہ کچھ انٹیجرز p، q موجود ہیں جو لیما سے متصادم ہیں۔ پھر p/q وقفہ [α−1, α + 1] میں ہے ؛ اور p/q {α1, α2,., αm} میں نہیں ہے، اس لیے p/q f کا جڑ نہیں ہے ؛ اور α اور p/q کے درمیان f کا کوئی جڑ نہیں ہے۔ اوسط ویلیو تھیوریم کے مطابق، p/q اور α کے درمیان ایک x0 اس طرح موجود ہے کہ چونکہ α، f کا جڑ ہے لیکن p/q نہیں ہے، اس لیے یہ اس طرح ہے کہ |f ′ (x0) |> 0 اور دوبارہ ترتیب دے سکتا ہے: اب، f، ci xi کی شکل کا ہے جہاں ہر ci ایک انٹیجر ہے۔ اس طرح |f (p/q) | کو N. B کے طور پر ظاہر کیا جاتا ہے۔ آخری عدم مساوات برقرار ہے کیونکہ p/q f کا جڑ نہیں ہے اور ci انٹیجر ہیں۔ اس طرح، |f (p/q) | ≤1/qn۔ چونکہ M کی تعریف کے مطابق |f ′ (x0) | ≤ M، اور A کی تعریف کے مطابق 1/M> A، تو جو ایک تضاد ہے ؛ اس لیے، ایسا کوئی p، q موجود نہیں ہے ؛ لیما کو ثابت کرنا۔ دعوی کا ثبوت: اس لیما کے نتیجے میں، x کو ایک لیوویل نمبر ہونے دیں ؛ جیسا کہ مضمون کے متن میں بتایا گیا ہے، x تب غیر معقول ہوتا ہے۔ اگر x الجبرائی ہے، تو لیما کے لحاظ سے، کچھ عدد n اور کچھ مثبت حقیقی A اس طرح موجود ہیں کہ تمام p، q کے لیے r ایک مثبت عدد اس طرح ہو کہ 1/(2r) ≤ A۔ اگر m = r + n، اور چونکہ x ایک لیوویل نمبر ہے، تو وہاں انٹیجر a، b موجود ہیں جہاں b> 1 ایسا ہے جو لیما سے متصادم ہے۔ لہذا لیوویل نمبر الجبرائی نہیں ہو سکتا، اور اس لیے اسے ماورائے الہی ہونا چاہیے۔ برجونو نمبر ڈیوفنٹائن تخمینہ حوالہ جات بیرونی روابط ماورائی اعداد کا آغاز ڈیوفنٹائن تخمینہ ریاضیاتی مستقلات ثبوت پر مشتمل مضامین حقیقی ماورائی اعداد غیر معقول اعداد