Lipschitz continuity
ریاضیاتی تجزیے میں، لپشٹز تسلسل، جس کا نام جرمن ریاضی دان روڈولف لپشٹز کے نام پر رکھا گیا ہے، افعال کے لیے یکساں تسلسل کی ایک مضبوط شکل ہے۔ بدیہی طور پر، ایک Lipschitz مسلسل فنکشن اس بات میں محدود ہے کہ یہ کتنی تیزی سے تبدیل ہو سکتا ہے: ایک حقیقی نمبر موجود ہے کہ، اس فنکشن کے گراف پر موجود پوائنٹس کے ہر جوڑے کے لیے، ان کو جوڑنے والی لائن کی ڈھلوان کی مطلق قیمت اس حقیقی نمبر سے زیادہ نہیں ہے۔ اس طرح کی سب سے چھوٹی باؤنڈ کو فنکشن کا Lipschitz مستقل کہا جاتا ہے (اور یہ یکساں تسلسل کے ماڈیولس سے متعلق ہے)۔ مثال کے طور پر، ہر فنکشن جس کی وضاحت وقفے پر کی گئی ہے اور جس نے پہلے مشتق کو پابند کیا ہے وہ لپشٹز مسلسل ہے۔ تفریقی مساوات کے نظریہ میں، لپشٹز تسلسل پکارڈ-لنڈیلوف نظریہ کی مرکزی شرط ہے جو ابتدائی قدر کے مسئلے کے حل کے وجود اور انفرادیت کی ضمانت دیتی ہے۔ بنچ فکسڈ پوائنٹ تھیوریم میں ایک خاص قسم کا لپشٹز تسلسل، جسے سنکچن کہا جاتا ہے، استعمال کیا جاتا ہے۔ ہمارے پاس حقیقی لکیر کے بند اور پابند غیر معمولی وقفے پر افعال کے لیے سخت شمولیت کا درج ذیل سلسلہ ہے: مسلسل تفریق کے قابل Lipschitz مسلسل-Holder مسلسل، جہاں۔ ہمارے پاس Lipschitz مسلسل بھی ہے بالکل مسلسل یکساں طور پر مسلسل۔ تعریفیں دو میٹرک خالی جگہوں (X, dX) اور (Y, dY) کو دی گئی ہیں، جہاں dX سیٹ X پر میٹرک کی نشاندہی کرتا ہے اور dY سیٹ Y پر میٹرک ہے، ایک فنکشن f: X → Y کو لپشٹز مسلسل کہا جاتا ہے اگر کوئی حقیقی مستقل K ≤ 0 موجود ہو، جیسے کہ X میں تمام x1 اور x2 کے لیے، اس طرح کے کسی بھی K کو فنکشن f اور f کے لیے لپشٹز مستقل کہا جاتا ہے جسے K-لپشٹز بھی کہا جا سکتا ہے۔ سب سے چھوٹے مستقل کو بعض اوقات f کا (بہترین) لپشٹز مستقل یا f کا پھیلاؤ یا پھیلاؤ کہا جاتا ہے۔ اگر K = 1 فنکشن کو مختصر نقشہ کہا جاتا ہے، اور اگر 0 ≤ K <1 اور f خود ایک میٹرک اسپیس کا نقشہ بناتے ہیں، تو فنکشن کو سنکچن کہا جاتا ہے۔ خاص طور پر، ایک حقیقی قدر والی فنکشن f: R → R کو لپشٹز مسلسل کہا جاتا ہے اگر کوئی مثبت حقیقی مستقل K موجود ہو تاکہ، تمام حقیقی x1 اور x2 کے لیے، اس صورت میں، Y حقیقی اعداد R کا مجموعہ ہے جس میں معیاری میٹرک dY (y1, y2) = |y1 −y2 |، اور X R کا ذیلی مجموعہ ہے۔ عام طور پر، عدم مساوات (معمولی طور پر) مطمئن ہوتی ہے اگر x1 = x2 ہو۔ بصورت دیگر، کوئی بھی کسی فنکشن کو لپشٹز مسلسل ہونے کے لیے مساوی طور پر بیان کر سکتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب کوئی مستقل K ≤ 0 موجود ہو، تمام x1 ≤ x2 کے لیے، کئی حقیقی متغیرات کے حقیقی قدر والے افعال کے لیے، یہ تب ہی ہوتا ہے جب اور صرف اس صورت میں جب تمام سیکنڈ لائنوں کی ڈھلوانوں کی مطلق قیمت K سے منسلک ہو۔ فنکشن کے گراف پر ایک نقطہ سے گزرنے والی ڈھلوان K کی لائنوں کا مجموعہ ایک سرکلر شنک بناتا ہے، اور ایک فنکشن لپشٹز ہوتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب ہر جگہ فنکشن کا گراف اس شنک سے بالکل باہر ہو (شکل دیکھیں)۔ ایک فنکشن کو مقامی طور پر Lipschitz مسلسل کہا جاتا ہے اگر X میں ہر x کے لیے x کا ایک پڑوس U موجود ہو تاکہ f U تک محدود Lipschitz مسلسل ہو۔ اسی طرح، اگر X مقامی طور پر کمپیکٹ میٹرک اسپیس ہے، تو f مقامی طور پر Lipschitz ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب یہ X کے ہر کمپیکٹ سب سیٹ پر Lipschitz مسلسل ہو۔ ایسی جگہوں میں جو مقامی طور پر کمپیکٹ نہیں ہیں، یہ ایک ضروری لیکن کافی شرط نہیں ہے۔ زیادہ عام طور پر، X پر بیان کردہ فنکشن f کو ہولڈر مسلسل کہا جاتا ہے یا X پر ترتیب α> 0 کی ہولڈر شرط کو پورا کرنے کے لیے کہا جاتا ہے اگر کوئی مستقل M ≤ 0 موجود ہو تاکہ X میں موجود تمام x اور y کے لیے۔ بعض اوقات α ترتیب کی ہولڈر حالت کو α> 0 ترتیب کی یکساں لپشیٹز حالت بھی کہا جاتا ہے۔ کسی حقیقی عدد کے لیے، اگر f کو K-بلپسچٹز کہا جاتا ہے (جسے K-b-Lipschitz بھی لکھا جاتا ہے)۔ ہم کہتے ہیں کہ f بلپسچٹز یا بائی-لپشٹز ہے جس کا مطلب ہے کہ اس طرح کا K موجود ہے۔ ایک بلپسچٹز میپنگ انجیکٹو ہے، اور حقیقت میں اس کی شبیہہ پر ہومیومورفزم ہے۔ ایک بلپسچٹز فنکشن ایک انجیکٹو لپشٹز فنکشن کی طرح ہی ہے جس کا الٹا فنکشن بھی لپشٹز ہے۔ Lipschitz مسلسل افعال کی مثالیں جو ہر جگہ تفریق کے قابل Lipschitz مسلسل افعال ہیں جو ہر جگہ تفریق کے قابل نہیں ہیں Lipschitz مسلسل افعال جو ہر جگہ تفریق کے قابل نہیں ہیں (عالمی سطح پر) Lipschitz مسلسل تفریق کے قابل افعال جو (مقامی طور پر) Lipschitz مسلسل تجزیاتی افعال نہیں ہیں جو (عالمی سطح پر) Lipschitz مسلسل خصوصیات نہیں ہیں۔ خاص طور پر، کوئی بھی مسلسل تفریق پذیر فنکشن مقامی طور پر لپشٹز ہوتا ہے، کیونکہ مسلسل فنکشن مقامی طور پر پابند ہوتے ہیں اس لیے اس کا میلان بھی مقامی طور پر پابند ہوتا ہے۔ Lipschitz فنکشن g: R → R بالکل مسلسل ہے اور اس لیے تقریبا ہر جگہ تفریق پذیر ہے، یعنی لیبسگیو پیمائش صفر کے سیٹ کے باہر ہر نقطہ پر تفریق پذیر ہے۔ اس کا مشتق بنیادی طور پر طول و عرض میں لپشٹز مستقل سے جڑا ہوا ہے، اور a <b کے لیے، فرق g (b) −g (a) وقفہ [a، b] پر مشتق g′ کے انٹیگرل کے برابر ہے۔ اس کے برعکس، اگر f: I → R بالکل مسلسل ہے اور اس طرح تقریبا ہر جگہ تفریق پذیر ہے، اور I میں تقریبا تمام x کے لیے |f ′ (x) | ≤ K کو مطمئن کرتا ہے، تو f زیادہ سے زیادہ K پر لپشٹز مستقل کے ساتھ لپشٹز مسلسل ہے۔ زیادہ عام طور پر، ریڈماچر کا نظریہ تفریق کے نتیجے کو یوکلڈین خالی جگہوں کے درمیان لپشٹز نقشوں تک پھیلاتا ہے: ایک لپشٹز نقشہ f: U → Rm، جہاں U Rn میں ایک کھلا سیٹ ہے، تقریبا ہر جگہ تفریق پذیر ہے۔ مزید برآں، اگر K f کا بہترین لپشٹز مستقل ہے، تو جب بھی کل مشتق Df موجود ہو۔ تفریق کے قابل Lipschitz نقشے کے لیے عدم مساوات بہترین Lipschitz مستقل کے لیے ہے۔ اگر ڈومین کنویکس ہے تو حقیقت میں۔ فرض کریں کہ {fn} دو میٹرک خالی جگہوں کے درمیان لپشٹز مسلسل نقشہ سازی کا ایک سلسلہ ہے، اور یہ کہ تمام fn میں لپشٹز مستقل کچھ K سے جڑا ہوا ہے۔ اگر fn یکساں طور پر نقشہ سازی f میں ضم ہو جاتا ہے، تو f بھی لپشٹز ہے، جس میں لپشٹز مستقل ایک ہی K سے جڑا ہوا ہے۔ خاص طور پر، اس سے یہ ظاہر ہوتا ہے کہ لپشٹز مستقل کے لیے ایک خاص باؤنڈ کے ساتھ ایک کمپیکٹ میٹرک اسپیس پر حقیقی قدر والے افعال کا سیٹ بناچ اسپیس کا ایک بند اور کنویکس سب سیٹ ہے۔ تاہم، یہ نتیجہ ان ترتیبات کے لیے نہیں ہے جن میں افعال میں لامحدود لپشٹز مستقل ہو سکتے ہیں۔ در حقیقت، ایک کمپیکٹ میٹرک اسپیس پر تمام لپشٹز افعال کی جگہ مسلسل افعال کی بناچ اسپیس کا ایک ذیلی الجبرا ہے، اور اس طرح اس میں گھنے، اسٹون-ویئراسٹراس تھیوریم کا ایک ابتدائی نتیجہ ہے (یا ویئسٹراس کے تخمینہ تھیوریم کے نتیجے میں، کیونکہ ہر کثیر الجہتی مقامی طور پر لپشٹز مسلسل ہے)۔ ہر Lipschitz مسلسل نقشہ یکساں طور پر مسلسل ہے، اور اس وجہ سے ایک مسلسل قلعہ ہے۔ زیادہ عام طور پر، باؤنڈڈ Lipschitz مستقل کے ساتھ افعال کا ایک مجموعہ ایک مساوی سیٹ بناتا ہے۔ ارزیل-اسکولی تھیوریم کا مطلب یہ ہے کہ اگر {fn} باؤنڈڈ لپشٹز مستقل کے ساتھ افعال کی یکساں طور پر باؤنڈڈ سیکوینس ہے، تو اس کا ایک متغیر تسلسل ہے۔ پچھلے پیراگراف کے نتیجے کے مطابق، لمٹ فنکشن بھی Lipschitz ہے، جس میں Lipschitz مستقل کے لیے ایک ہی پابند ہے۔ خاص طور پر ایک کمپیکٹ میٹرک اسپیس X پر تمام حقیقی قدر والے لپشیٹز افعال کا سیٹ جس میں لپشیٹز مستقل ≤ K ہے، بناچ اسپیس C (X) کا مقامی طور پر کمپیکٹ کنویکس سب سیٹ ہے۔ Lipschitz مسلسل افعال fα کے خاندان کے لیے مشترکہ مستقل کے ساتھ، فنکشن (اور) بھی Lipschitz مسلسل ہے، اسی Lipschitz مستقل کے ساتھ، بشرطیکہ یہ کم از کم ایک نقطہ پر ایک محدود قدر فرض کرے۔ اگر U میٹرک اسپیس M کا ذیلی سیٹ ہے اور f: U → R ایک لپشٹز مسلسل فنکشن ہے، تو ہمیشہ لپشٹز مسلسل نقشے M → R موجود ہوتے ہیں جو f کو بڑھاتے ہیں اور f کی طرح ہی لپشٹز مستقل رکھتے ہیں (کرزبرون تھیوریم بھی دیکھیں)۔ ایک توسیع اس طرح فراہم کی جاتی ہے جہاں k ایک Lipschitz مستقل ہے f کے لیے U. Lipschitz کئی گنا پر ایک ٹپوولوجیکل کئی گنا پر ایک Lipschitz ڈھانچے کی وضاحت چارٹ کے اٹلس کا استعمال کرتے ہوئے کی جاتی ہے جس کے منتقلی کے نقشے بلیپسچیٹز ہوتے ہیں۔ یہ اس لیے ممکن ہے کیونکہ بلیپسچیٹز نقشے ایک فرضی گروپ بناتے ہیں۔ اس طرح کا ڈھانچہ کسی کو اس طرح کے کئی گنا کے درمیان مقامی طور پر لپشٹز نقشوں کی وضاحت کرنے کی اجازت دیتا ہے، اسی طرح جیسے کوئی ہموار کئی گنا کے درمیان ہموار نقشوں کی وضاحت کرتا ہے: اگر اور لپشٹز کئی گنا ہیں، تو ایک فنکشن مقامی طور پر لپشٹز ہوتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب کوآرڈینیٹ چارٹ کے ہر جوڑے کے لیے اور، متعلقہ یوکلیڈین خالی جگہوں میں کہاں اور کہاں کھلے سیٹ ہیں، ساخت مقامی طور پر لپشٹز ہوتی ہے۔ یہ تعریف یا پر میٹرک کی وضاحت پر انحصار نہیں کرتی ہے۔ یہ ڈھانچہ ٹکڑے ٹکڑے لکیری کئی گنا اور ٹپوولوجیکل کئی گنا کے درمیان درمیانی ہے: ایک پی ایل ڈھانچہ ایک منفرد لپشٹز ڈھانچے کو جنم دیتا ہے۔ اگرچہ لپشٹز مینیفولڈز کا ٹپوولوجیکل مینیفولڈز سے گہرا تعلق ہے، لیکن ریڈماچر کا نظریہ تجزیہ کرنے کی اجازت دیتا ہے، جس سے مختلف ایپلی کیشنز حاصل ہوتی ہیں۔ یک طرفہ Lipschitz فرض کریں کہ F (x) x کا اوپری نیم مسلسل فعل ہے، اور یہ کہ F (x) تمام x کے لیے ایک بند، کنویکس سیٹ ہے۔ پھر F یک طرفہ لپشٹز ہے اگر کچھ C کے لیے اور تمام x1 اور x2 کے لیے۔ یہ ممکن ہے کہ فنکشن F میں ایک بہت بڑا Lipschitz مستقل لیکن اعتدال پسند سائز کا، یا یہاں تک کہ منفی، یک طرفہ Lipschitz مستقل ہو۔ مثال کے طور پر، فنکشن میں لپشٹز مستقل K = 50 اور یک طرفہ لپشٹز مستقل C = 0 ہے۔ ایک مثال جو یک طرفہ Lipschitz ہے لیکن Lipschitz مسلسل نہیں ہے وہ F (x) = e−x ہے، جس میں C = 0 ہے۔ ڈینی تسلسل ماڈیولس آف کنٹینیوٹی کواسی-آئسومیٹری جانسن-لنڈنسٹراس لیما بھی دیکھیں-کسی بھی عدد n ≤ 0 کے لیے، کسی بھی محدود ذیلی سیٹ X ≤ Rn، اور کسی بھی حقیقی نمبر 0 <ε <1 کے لیے، ایک (1 + ε)-b-lipschitz فنکشن موجود ہے جہاں حوالہ جات کی ساخت کئی گنا پر ہوتی ہے۔