Union (set theory)
سیٹ تھیوری میں، سیٹوں کے مجموعے کا اتحاد (جس کی طرف اشارہ کیا گیا ہے) مجموعہ میں موجود تمام عناصر کا مجموعہ ہے۔ یہ ان بنیادی کارروائیوں میں سے ایک ہے جس کے ذریعے سیٹوں کو جوڑا جا سکتا ہے اور ایک دوسرے سے منسلک کیا جا سکتا ہے۔ A سے مراد صفر () سیٹوں کا اتحاد ہے اور یہ تعریف کے مطابق خالی سیٹ کے برابر ہے۔ اس مضمون میں استعمال ہونے والی علامتوں کی وضاحت کے لیے، ریاضیاتی علامتوں کی میز کا حوالہ دیں۔ دو سیٹوں کا اتحاد دو سیٹوں A اور B کا اتحاد ان عناصر کا مجموعہ ہے جو A، B، یا A اور B دونوں میں ہیں۔ سیٹ بلڈر نوٹیشن میں،۔ مثال کے طور پر، اگر A = {1,3,5,7} اور B = {1,2,4,6,7} تو A ≤ B = {1,2,3,4,5,6,7}۔ ایک اور تفصیلی مثال (جس میں دو لامحدود سیٹ شامل ہیں) یہ ہے: A = {x 1 سے بڑا ایک یکساں عدد ہے} B = {x 1 سے بڑا ایک عجیب عدد ہے} ایک اور مثال کے طور پر، نمبر 9 پرائم نمبروں کے سیٹ {2,3,5,7,11,.} اور یکساں نمبروں کے سیٹ {2,4,6,8,10,.} کے اتحاد میں موجود نہیں ہے، کیونکہ 9 نہ تو پرائم ہے اور نہ ہی ایون۔ سیٹوں میں ڈپلیکیٹ عناصر نہیں ہو سکتے، اس لیے سیٹوں کا اتحاد {1,2,3} اور {2,3,4} {1,2,3,4} ہے۔ ایک جیسے عناصر کے متعدد واقعات کا کسی سیٹ یا اس کے مندرجات کی بنیادی حیثیت پر کوئی اثر نہیں پڑتا ہے۔ الجبرائی خصوصیات بائنری یونین ایک ملحقہ عمل ہے ؛ یعنی، کسی بھی سیٹ کے لیے۔ اس طرح، قوسین کو ابہام کے بغیر خارج کیا جا سکتا ہے: مذکورہ بالا میں سے کسی کو بھی اس طرح لکھا جا سکتا ہے۔ نیز، اتحاد تبادلہ ہے، لہذا سیٹوں کو کسی بھی ترتیب میں لکھا جا سکتا ہے۔ خالی سیٹ اتحاد کے عمل کے لیے ایک شناختی عنصر ہے۔ یعنی، کسی بھی سیٹ کے لیے، یونین آپریشن مثالی ہے: یہ تمام خصوصیات منطقی اختلاط کے بارے میں مماثل حقائق کی پیروی کرتی ہیں۔ انٹرسیکشن یونین پر تقسیم ہوتا ہے اور یونین انٹرسیکشن پر تقسیم ہوتا ہے۔ یونین، انٹرسیکشن، اور تکمیل کے ذریعہ دی گئی کارروائیوں کے ساتھ ایک سیٹ کا پاور سیٹ ایک بولین الجبرا ہے۔ اس بولین الجبرا میں، اتحاد کا اظہار انٹرسیکشن اور تکمیل کے لحاظ سے اس فارمولے کے ذریعے کیا جا سکتا ہے جہاں سپر اسکرپٹ یونیورسل سیٹ فائنائٹ یونینز میں تکمیل کی نشاندہی کرتا ہے۔ مثال کے طور پر، تین سیٹوں A، B، اور C کے اتحاد میں A کے تمام عناصر، B کے تمام عناصر، اور C کے تمام عناصر شامل ہیں، اور کچھ نہیں۔ اس طرح، x A ≤ B ≤ C کا ایک عنصر ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب x کم از کم A، B، اور C میں سے کسی ایک میں ہو۔ ایک محدود اتحاد سیٹوں کی ایک محدود تعداد کا اتحاد ہے۔ اس جملے کا مطلب یہ نہیں ہے کہ یونین سیٹ ایک محدود سیٹ ہے۔ صوابدیدی اتحاد سب سے عام تصور سیٹوں کے صوابدیدی مجموعہ کا اتحاد ہے، جسے بعض اوقات لامحدود اتحاد کہا جاتا ہے۔ اگر M ایک سیٹ یا کلاس ہے جس کے عناصر سیٹ ہیں، تو x M کے اتحاد کا ایک عنصر ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب M کا کم از کم ایک عنصر A ایسا ہو کہ x A کا عنصر ہو۔ علامتوں میں: یہ خیال پچھلے حصوں کو شامل کرتا ہے-مثال کے طور پر، A ≤ B ≤ C مجموعہ {A, B, C} کا اتحاد ہے۔ نیز، اگر M خالی مجموعہ ہے، تو M کا اتحاد خالی سیٹ ہے۔ نوٹیشن عمومی تصور کے لیے نوٹیشن کافی مختلف ہو سکتی ہے۔ سیٹوں کے ایک محدود اتحاد کے لیے اکثر یا لکھا جاتا ہے۔ صوابدیدی اتحادوں کے لیے مختلف عام اشارے شامل ہیں،، اور۔ ان نوٹیشنوں میں سے آخری مجموعہ کے اتحاد سے مراد ہے، جہاں I ایک انڈیکس سیٹ ہے اور ہر ایک کے لیے ایک سیٹ ہے۔ اس صورت میں کہ انڈیکس سیٹ I قدرتی اعداد کا مجموعہ ہے، کوئی اشارے کا استعمال کرتا ہے، جو سیریز میں لامحدود جملوں کے مترادف ہے۔ جب علامت "¥" کو دیگر علامتوں سے پہلے رکھا جاتا ہے (ان کے درمیان کے بجائے)، تو اسے عام طور پر بڑے سائز کے طور پر پیش کیا جاتا ہے۔ نوٹیشن انکوڈنگ یونیکوڈ میں، اتحاد کی نمائندگی کردار کے ذریعے کی جاتی ہے۔ ٹی ای ایکس میں، کپ سے پیش کیا جاتا ہے اور بگ کپ سے پیش کیا جاتا ہے۔ یہ بھی دیکھیں-سٹرنگ کے سیٹوں کا اتحاد نوٹ بیرونی روابط پروون میتھ ڈی مورگن کے قوانین میں انفنائٹ یونین اور انٹرسیکشن جو سیٹ تھیوری کے محوری اصولوں سے باضابطہ طور پر ثابت ہوئے ہیں۔ بولین الجبرا سیٹ تھیوری میں بنیادی تصورات سیٹ تھیوری پر آپریشن سیٹ تھیوری