Semidirect product
ریاضی میں، خاص طور پر گروپ تھیوری میں، سیمی ڈائریکٹ پروڈکٹ کا تصور براہ راست پروڈکٹ کی عمومی شکل ہے۔ سیمی ڈائریکٹ پروڈکٹ کے دو قریب سے متعلق تصورات ہیں: ایک اندرونی سیمی ڈائریکٹ پروڈکٹ ایک خاص طریقہ ہے جس میں ایک گروپ کو دو ذیلی گروپوں سے بنایا جا سکتا ہے، جن میں سے ایک عام ذیلی گروپ ہے۔ ایک بیرونی سیمی ڈائریکٹ پروڈکٹ کارٹیزین پروڈکٹ کو ایک سیٹ اور ایک مخصوص ضرب آپریشن کے طور پر استعمال کرکے دو دیئے گئے گروپوں میں سے ایک نیا گروپ بنانے کا ایک طریقہ ہے۔ براہ راست مصنوعات کی طرح، اندرونی اور بیرونی سیمی ڈائریکٹ مصنوعات کے درمیان ایک قدرتی مساوات ہے، اور دونوں کو عام طور پر صرف سیمی ڈائریکٹ مصنوعات کہا جاتا ہے۔ محدود گروپوں کے لیے، شور-زاسینہاؤس تھیوریم ایک سیمی ڈائریکٹ پروڈکٹ (جسے تقسیم کی توسیع بھی کہا جاتا ہے) کے طور پر سڑنے کے وجود کے لیے کافی شرط فراہم کرتا ہے۔ اندرونی سیمی ڈائریکٹ پروڈکٹ کی تعریفیں شناخت کے عنصر، ذیلی گروپ، اور ایک عام ذیلی گروپ کے ساتھ ایک گروپ کو دیکھتے ہوئے، درج ذیل بیانات مساوی ہیں: ذیلی گروپوں کی پیداوار ہے، اور ان ذیلی گروپوں میں معمولی چوراہا ہے: ہر ایک کے لیے منفرد اور ایسی چیزیں ہوتی ہیں۔ ہر ایک کے لیے منفرد اور ایسی چیزیں ہوتی ہیں۔ قدرتی پروجیکشن کے ساتھ قدرتی سرایت کی ساخت اور حصص گروپ کے درمیان ایک آئسومورفزم ہے۔ ایک ہومومورفزم موجود ہے جو شناخت ہے اور جس کا دانا ہے۔ دوسرے لفظوں میں، گروہوں کی ایک الگ الگ عین ترتیب ہوتی ہے (جسے بائی کی گروپ ایکسٹینشن بھی کہا جاتا ہے)۔ اگر ان میں سے کوئی بھی بیان برقرار رہتا ہے (اور اس وجہ سے وہ سب اپنے مساوات کے لحاظ سے برقرار رکھتے ہیں)، تو ہم کہتے ہیں کہ اور، تحریری یا یا جو تقسیم ہوتا ہے اس کا سیمی ڈائریکٹ پروڈکٹ ہے۔ ایک یہ بھی کہتا ہے کہ اس پر عمل کرنے کا سیمی ڈائریکٹ پروڈکٹ ہے، یا یہاں تک کہ اور کا سیمی ڈائریکٹ پروڈکٹ ہے۔ ابہام سے بچنے کے لیے، یہ واضح کرنے کا مشورہ دیا جاتا ہے کہ عام ذیلی گروہ کون سا ہے۔ اگر، تو وہاں ایک گروپ ہومومورفزم ہے جس کے ذریعہ دیا گیا ہے، اور اس کے لیے، ہمارے پاس ہے۔ اندرونی اور بیرونی سیمی ڈائریکٹ پروڈکٹ آئیے پہلے اندرونی سیمی ڈائریکٹ پروڈکٹ پر غور کریں۔ اس صورت میں، کسی گروپ کے لیے، اس کے عام ذیلی گروپ اور ذیلی گروپ پر غور کریں (ضروری نہیں کہ عام ہو)۔ فرض کریں کہ اوپر کی فہرست میں موجود شرائط برقرار ہیں۔ آئیے کے تمام آٹومورفزموں کے گروپ کی نشاندہی کرتے ہیں، جو ساخت کے تحت ایک گروپ ہے۔ ایک گروپ ہومومورفزم کی تشکیل کریں جس کی وضاحت کنجگیشن کے ذریعے کی گئی ہے، اندر اور اندر سب کے لیے۔ اس طرح ہم گروپ آپریشن کے ساتھ ایک گروپ بنا سکتے ہیں جس کی وضاحت ان اور ان کے طور پر کی گئی ہے۔ ذیلی گروہ اور آئسومورفزم تک کا تعین کرتے ہیں، جیسا کہ ہم بعد میں دکھائیں گے۔ اس طرح ہم گروپ کو اس کے ذیلی گروپوں سے تشکیل دے سکتے ہیں۔ اس قسم کی تعمیر کو اندرونی سیمی ڈائریکٹ پروڈکٹ کہا جاتا ہے (جسے اندرونی سیمی ڈائریکٹ پروڈکٹ بھی کہا جاتا ہے)۔ آئیے اب بیرونی سیمی ڈائریکٹ پروڈکٹ پر غور کریں۔ کسی بھی دو گروپوں اور ایک گروپ ہومومورفزم کو دیکھتے ہوئے، ہم ایک نیا گروپ تشکیل دے سکتے ہیں، جسے بیرونی سیمی ڈائریکٹ پروڈکٹ کہا جاتا ہے اور اس کے حوالے سے، مندرجہ ذیل تعریف کی گئی ہے: یہ ایک ایسے گروپ کی وضاحت کرتا ہے جس میں شناختی عنصر ہے اور عنصر کا الٹا ہے۔ جوڑے ایک عام ذیلی گروپ آئسومورفک بناتے ہیں، جبکہ جوڑے ایک ذیلی گروپ آئسومورفک بناتے ہیں۔ مکمل گروپ پہلے دیے گئے معنی میں ان دو ذیلی گروپوں کا ایک نیم براہ راست پروڈکٹ ہے۔ اس کے برعکس، فرض کریں کہ ہمیں ایک عام ذیلی گروپ اور ایک ذیلی گروپ کے ساتھ ایک گروپ دیا گیا ہے، تاکہ اس کے ہر عنصر کو اس شکل میں منفرد طور پر لکھا جا سکے جہاں یہ ہے اور ہے۔ مان لیں کہ ہومومورفزم (تحریری) سب کے لیے دیا گیا ہے۔ پھر سیمی ڈائریکٹ پروڈکٹ کے لیے آئسومورفک ہے۔ سڑنے کی انفرادیت کی وجہ سے آئسومورفزم کی اچھی طرح سے وضاحت کی گئی ہے۔ اس میں، ہمارے پاس ہے اس طرح، کے لیے اور ہم حاصل کرتے ہیں جو ثابت کرتا ہے کہ یہ ایک ہومومورفزم ہے۔ چونکہ یہ واضح طور پر ایک ایپیمورفزم اور مونومورفزم ہے، تو یہ درحقیقت ایک آئسومورفزم ہے۔ یہ ضرب کے اصول کی تعریف کی بھی وضاحت کرتا ہے۔ براہ راست پروڈکٹ سیمی ڈائریکٹ پروڈکٹ کا ایک خاص معاملہ ہے۔ اس کو دیکھنے کے لیے، آئیے ٹریوئل ہومومورفزم (یعنی، کے ہر عنصر کو شناخت آٹومورفزم میں بھیجنا) پھر براہ راست پروڈکٹ ہے۔ گروپوں کے لیے تقسیم شدہ لیما کے ایک ورژن میں کہا گیا ہے کہ ایک گروپ دونوں گروپوں کے سیمی ڈائریکٹ پروڈکٹ کے لیے آئسومورفک ہے اور صرف اس صورت میں جب کوئی مختصر عین مطابق ترتیب اور گروپ ہومومورفزم موجود ہو تاکہ شناخت کا نقشہ جاری رہے۔ اس صورت میں، کے ذریعے دیا جاتا ہے، جہاں مثالیں ڈائیڈرل گروپ عناصر کے ساتھ ڈائیڈرل گروپ سائیکلک گروپوں کے سیمی ڈائریکٹ پروڈکٹ کے لیے آئسومورفک ہوتا ہے اور۔ یہاں، عناصر کی غیر شناخت عنصر الٹ کر کام کرتا ہے۔ یہ ایک آٹومورفزم ہے کیونکہ ابیلین ہے۔ اس گروپ کے لیے پیشکش یہ ہے: چکور گروپ زیادہ عام طور پر، جنریٹر کے ساتھ اور جنریٹر کے ساتھ کسی بھی دو چکور گروپوں کا ایک نیم براہ راست پروڈکٹ ایک اضافی تعلق، کے ساتھ اور کاپرائم کے ذریعے دیا جاتا ہے، اور ؛ یعنی، پریزنٹیشن: اگر اور کاپرائم ہیں، تو ایک جنریٹر ہے اور، اس لیے پریزنٹیشن: پچھلے گروپ کو ایک گروپ آئسومورفک دیتی ہے۔ کسی گروپ کا ہولومورف نیم براہ راست پروڈکٹ کے طور پر ظاہر ہونے والے گروپ کی ایک کینونکل مثال کسی گروپ کا ہولومورف ہے۔ اس کی تعریف اس طرح کی گئی ہے کہ کسی گروپ کا آٹومورفزم گروپ کہاں ہے اور ساخت کا نقشہ آن کے صحیح عمل سے آتا ہے۔ عناصر کو ضرب دینے کے لحاظ سے، یہ گروپ کی ساخت کو کلین بوتل کا بنیادی گروپ دیتا ہے۔ کلین بوتل کے بنیادی گروپ کو شکل میں پیش کیا جا سکتا ہے اور اس وجہ سے یہ انٹیجرز کے گروپ کا ایک نیم براہ راست پروڈکٹ ہے۔ متعلقہ ہومومورفزم اس کے ذریعہ دیا گیا ہے۔ اوپری مثلث میٹرکس غیر صفر تعین کنندہ کے ساتھ اوپری مثلث میٹرکس کا گروپ، جو کہ اخترن پر غیر صفر اندراجات کے ساتھ ہوتا ہے، سیمی ڈائریکٹ پروڈکٹ میں سڑ جاتا ہے جہاں میٹرکس کا ذیلی گروپ ہوتا ہے جس میں صرف اخترن پر ہوتا ہے، جسے اوپری یک جہتی میٹرکس گروپ کہا جاتا ہے، اور یہ اخترن میٹرکس کا ذیلی گروپ ہوتا ہے۔ آن کا گروپ ایکشن میٹرکس ضرب سے متاثر ہوتا ہے۔ اگر ہم سیٹ کرتے ہیں اور پھر ان کا میٹرکس پروڈکٹ ہے یہ انڈیوسڈ گروپ ایکشن دیتا ہے A میٹرکس کو میٹرکس کے ذریعے اور میں پیش کیا جا سکتا ہے۔ اس لیے۔ طیارہ پر آئسومیٹریز کا گروپ طیارہ کی تمام سخت حرکتوں (آئسومیٹریز) کا یوکلڈین گروپ (نقشے اس طرح کے ہیں کہ یوکلڈین کا فاصلہ اور اس کے درمیان اور سب کے درمیان کے فاصلے کے برابر ہے) ابیلین گروپ (جو ترجمے بیان کرتا ہے) اور آرتھوگنل میٹرکس کے گروپ (جو گردشوں اور عکاسی کو بیان کرتا ہے جو اصل کو مستحکم رکھتا ہے) کے سیمی ڈائریکٹ پروڈکٹ کے لیے آئسومورفک ہے۔ ترجمہ اور پھر گردش یا عکاسی کو لاگو کرنے کا وہی اثر ہوتا ہے جو پہلے گردش یا عکاسی کو لاگو کرنے کا ہوتا ہے اور پھر گردش شدہ یا عکاسی شدہ ترجمہ ویکٹر (یعنی۔ اصل ترجمہ کے کنجوگیٹ کا اطلاق)۔ اس سے ظاہر ہوتا ہے کہ ترجموں کا گروپ یوکلڈین گروپ کا ایک عام ذیلی گروپ ہے، کہ یوکلڈین گروپ ترجمہ گروپ کا ایک نیم براہ راست پروڈکٹ ہے اور، اور یہ کہ متعلقہ ہومومورفزم میٹرکس ضرب کے ذریعے دیا گیا ہے: آرتھوگنل گروپ O (n) تمام آرتھوگنل حقیقی میٹرکس کا آرتھوگنل گروپ (بدیہی طور پر-جہتی خلا کی تمام گردشوں اور عکاسی کا مجموعہ جو اصل کو مستحکم رکھتا ہے) گروپ کے سیمی ڈائریکٹ پروڈکٹ کے لیے آئسومورفک ہے (جو تمام آرتھوگنل میٹرکس پر مشتمل ہوتا ہے جس میں ڈیٹرمیننٹ ہوتا ہے، بدیہی طور پر-جہتی جگہ کی گردش) اور۔ اگر ہم میٹرکس کے ضرب گروپ کے طور پر نمائندگی کرتے ہیں، جہاں-جہتی خلا کی عکاسی ہوتی ہے جو اصل کو مستحکم رکھتی ہے (یعنی، ایک آرتھوگنل میٹرکس جس میں تعین کنندہ ایک ارتقاء کی نمائندگی کرتا ہے)، تو تمام H کے اندر اور اندر کے لیے دیا جاتا ہے۔ غیر معمولی صورت میں (شناخت نہیں ہے) اس کا مطلب یہ ہے کہ عکاسی کے ذریعے کارروائیوں کا امتزاج (3 جہتی خلا میں ایک گردش محور اور گردش کی سمت کو ان کی "آئینے کی شبیہہ" سے تبدیل کیا جاتا ہے)۔ نیم لکیری تبدیلیاں کسی فیلڈ پر ویکٹر کی جگہ پر نیم لکیری تبدیلیوں کا گروپ، جسے اکثر ظاہر کیا جاتا ہے، لکیری گروپ (کا ایک عام ذیلی گروپ) کے سیمی ڈائریکٹ پروڈکٹ کے لیے آئسومورفک ہوتا ہے، اور اس کا آٹومورفزم گروپ۔ کرسٹلگرافک گروپ کرسٹلگرافی میں، کرسٹل کا خلائی گروپ پوائنٹ گروپ اور ترجمہ گروپ کے سیمی ڈائریکٹ پروڈکٹ کے طور پر تب اور صرف اس صورت میں تقسیم ہوتا ہے جب خلائی گروپ سممورفک ہو۔ غیر سمورفک خلائی گروپوں میں پوائنٹ گروپ ہوتے ہیں جو خلائی گروپ کے ذیلی سیٹ کے طور پر بھی موجود نہیں ہوتے ہیں، جو ان کے تجزیے میں زیادہ تر پیچیدگی کا ذمہ دار ہوتا ہے۔ غیر مثالیں بے شک، کسی بھی سادہ گروپ کو نیم براہ راست پروڈکٹ کے طور پر ظاہر نہیں کیا جا سکتا (کیونکہ ان کے پاس غیر معمولی عام ذیلی گروپ نہیں ہیں)، لیکن غیر معمولی عام ذیلی گروپ پر مشتمل گروپوں کی کچھ عام جوابی مثالیں ہیں جن کے باوجود نیم براہ راست پروڈکٹ کے طور پر ظاہر نہیں کیا جا سکتا۔ نوٹ کریں کہ اگرچہ ہر گروپ کو بائی کی تقسیم کی توسیع کے طور پر ظاہر نہیں کیا جا سکتا، لیکن یہ پتہ چلتا ہے کہ اس طرح کے گروپ کو یونیورسل ایمبیڈنگ تھیوریم کے ذریعے ریوتھ پروڈکٹ میں سرایت کیا جا سکتا ہے۔ Z4 چکور گروہ ایک سادہ گروہ نہیں ہے کیونکہ اس میں ترتیب 2 کا ایک ذیلی گروہ ہے، یعنی ایک ذیلی گروہ ہے اور ان کا حصص ہے، لہذا ایک توسیع ہے۔ اگر توسیع کو تقسیم کیا گیا تھا، تو گروپ اس کے لیے آئسومورفک ہوگا۔ سوال 8 آٹھ چوتھائیوں کا گروپ جہاں اور، ایک ایسے گروپ کی ایک اور مثال ہے جس میں غیر معمولی عام ذیلی گروپ ہیں ابھی تک تقسیم نہیں ہوئے ہیں۔ مثال کے طور پر، اس سے پیدا ہونے والا ذیلی گروپ آئسومورفک ہے اور نارمل ہے۔ اس میں آرڈر کا ایک ذیلی گروپ بھی ہے جو اس کے ذریعہ تیار کیا گیا ہے۔ اس کا مطلب یہ ہوگا کہ گروپوں کی مندرجہ ذیل فرضی عین ترتیب میں تقسیم کی توسیع ہونی چاہیے:، لیکن اس طرح کی قطعی ترتیب موجود نہیں ہے۔ یہ کوفیشنٹس کے ساتھ پہلے گروپ کوہومولوجی گروپ کا حساب لگا کر دکھایا جا سکتا ہے، لہذا اور ان ایکسٹینشنز میں دو گروپوں کو نوٹ کرنا اور ڈائیڈرل گروپ ہے۔ لیکن، چونکہ ان میں سے کوئی بھی گروپ آئسومورفک نہیں ہے، اس لیے کواٹرنیئن گروپ تقسیم نہیں ہوتا ہے۔ آئسومورفزم کے اس عدم وجود کی جانچ یہ نوٹ کر کے کی جا سکتی ہے کہ معمولی توسیع ابیلین ہے جبکہ غیر ابیلین ہے، اور صرف عام ذیلی گروپوں کو نوٹ کرنا اور ہے، لیکن اس کے تین ذیلی گروپ ہیں جو آئسومورفک ہیں۔ پراپرٹیز اگر نارمل سب گروپ اور سب گروپ کا سیمی ڈائریکٹ پروڈکٹ ہے، اور دونوں محدود ہیں، تو آرڈر آف اینڈ کے آرڈرز کے پروڈکٹ کے برابر ہوتا ہے۔ یہ اس حقیقت کی پیروی کرتا ہے کہ یہ اور کے بیرونی سیمی ڈائریکٹ پروڈکٹ کی طرح ہی ترتیب کا ہے، جس کا بنیادی سیٹ کارٹیشین پروڈکٹ ہے۔ براہ راست مصنوعات سے تعلق فرض کریں کہ یہ عام ذیلی گروپ اور ذیلی گروپ کا ایک نیم براہ راست پروڈکٹ ہے۔ اگر اس میں بھی نارمل ہے، یا مساوی طور پر، اگر کوئی ہومومورفزم موجود ہے جو دانا کے ساتھ شناخت ہے، تو یہ اور کا براہ راست پروڈکٹ ہے۔ دو گروپوں کا براہ راست پروڈکٹ اور سب کے حوالے سے سیمی ڈائریکٹ پروڈکٹ کے طور پر سوچا جا سکتا ہے۔ نوٹ کریں کہ براہ راست پروڈکٹ میں، عوامل کی ترتیب اہم نہیں ہے، کیونکہ اس کے لیے آئسومورفک ہے۔ سیمی ڈائریکٹ مصنوعات کے معاملے میں ایسا نہیں ہے، کیونکہ دونوں عوامل مختلف کردار ادا کرتے ہیں۔ مزید برآں، غیر معمولی ہومومورفزم کے ذریعے (مناسب) سیمی ڈائریکٹ پروڈکٹ کا نتیجہ کبھی بھی ابیلین گروپ نہیں ہوتا، چاہے فیکٹر گروپ ابیلین ہی کیوں نہ ہوں۔ سیمی ڈائریکٹ پروڈکٹس کی غیر انفرادیت (اور مزید مثالیں) جیسا کہ براہ راست پروڈکٹ کے معاملے کے برعکس، دو گروپوں کا سیمی ڈائریکٹ پروڈکٹ، عام طور پر، منفرد نہیں ہے۔ اگر اور وہ دو گروپ ہیں جن میں عام ذیلی گروپ اور ذیلی گروپ کے طور پر آئسومورفک کاپیاں موجود ہیں، اور دونوں اور کا سیمی ڈائریکٹ پروڈکٹ ہیں، تو یہ اس کی پیروی نہیں کرتا ہے اور آئسومورفک ہے کیونکہ سیمی ڈائریکٹ پروڈکٹ بھی آن کے عمل کے انتخاب پر منحصر ہے۔ مثال کے طور پر، آرڈر 16 کے چار غیر آئسومورفک گروپ ہیں جو اور کے سیمی ڈائریکٹ پروڈکٹ ہیں۔ اس معاملے میں، لازمی طور پر ایک عام ذیلی گروپ ہے کیونکہ اس کا انڈیکس 2 ہے۔ ان چار سیمی ڈائریکٹ پروڈکٹس میں سے ایک براہ راست پروڈکٹ ہے، جبکہ دیگر تین غیر ابیلین گروپ ہیں: آرڈر 16 کا ڈائیڈرل گروپ آرڈر 16 کا کواسیڈیڈرل گروپ آرڈر 16 کا ایواساوا گروپ اگر دیا گیا گروپ سیمی ڈائریکٹ پروڈکٹ ہے، تو اس بات کی کوئی ضمانت نہیں ہے کہ یہ سڑنا منفرد ہے۔ مثال کے طور پر، آرڈر 24 کا ایک گروپ ہے (صرف ایک جس میں آرڈر 4 کے چھ عناصر اور آرڈر 6 کے چھ عناصر شامل ہیں) جسے مندرجہ ذیل طریقوں سے سیمی ڈائریکٹ پروڈکٹ کے طور پر ظاہر کیا جا سکتا ہے: وجود عام طور پر، گروپوں میں نیم براہ راست مصنوعات کے وجود کے لیے کوئی معروف خصوصیت (یعنی ایک ضروری اور کافی شرط) نہیں ہے۔ تاہم، کچھ کافی شرائط معلوم ہیں، جو بعض صورتوں میں وجود کی ضمانت دیتی ہیں۔ محدود گروپوں کے لیے، شور-زاسینہاؤس تھیوریم ایک سیمی ڈائریکٹ پروڈکٹ کے وجود کی ضمانت دیتا ہے جب عام ذیلی گروپ کی ترتیب حصص گروپ کی ترتیب کے ساتھ مطابقت رکھتی ہے۔ مثال کے طور پر، شور-زاسینہاؤس تھیوریم آرڈر 6 کے گروپوں کے درمیان نیم براہ راست پروڈکٹ کے وجود کو ظاہر کرتا ہے۔ ایسی دو مصنوعات ہیں، جن میں سے ایک براہ راست پروڈکٹ ہے، اور دوسرا ڈائیڈرل گروپ ہے۔ اس کے برعکس، شور-زاسین ہاؤس تھیوریم مثال کے طور پر ترتیب 4 کے گروپوں یا ترتیب 8 کے گروپوں کے بارے میں کچھ نہیں کہتا ہے۔ عمومییاں گروپ تھیوری کے اندر، سیمی ڈائریکٹ مصنوعات کی تعمیر کو بہت آگے بڑھایا جا سکتا ہے۔ گروپوں کا زپا-سیپ پروڈکٹ ایک عمومی شکل ہے جو اپنے اندرونی ورژن میں یہ نہیں مانتا کہ دونوں میں سے کوئی بھی ذیلی گروپ نارمل ہے۔ رنگ تھیوری میں بھی ایک تعمیر ہے، جو کہ رنگوں کا کراس شدہ پروڈکٹ ہے۔ یہ گروپوں کے سیمی ڈائریکٹ پروڈکٹ کے لیے گروپ رنگ سے قدرتی طریقے سے بنایا گیا ہے۔ رنگ تھیوریٹک اپروچ کو لی الجیبرا کے سیمی ڈائریکٹ جم میں مزید عام کیا جا سکتا ہے۔ جیومیٹری کے لیے، ٹوپولوجیکل اسپیس پر گروپ کے اعمال کے لیے ایک کراسڈ پروڈکٹ بھی ہے ؛ بدقسمتی سے، یہ عام طور پر غیر تبادلہ خیال ہے چاہے گروپ ابیلین ہی کیوں نہ ہو۔ اس تناظر میں، سیمی ڈائریکٹ پروڈکٹ گروپ ایکشن کے مداروں کی جگہ ہے۔ مؤخر الذکر نقطہ نظر کو ایلین کونس نے روایتی ٹپوولوجیکل تکنیکوں کے ذریعہ نقطہ نظر کے متبادل کے طور پر سراہا ہے۔ غیر تبادلہ جیومیٹری۔ سیمی ڈائریکٹ پروڈکٹ زمرہ تھیوری میں گروتھینڈیک کی تعمیر کا ایک خاص معاملہ ہے۔ خاص طور پر، آن کا عمل (گروپ کا احترام، یا یہاں تک کہ صرف مونوئڈ ڈھانچہ) وہی چیز ہے جو H سے وابستہ گروپائڈ (جس میں ایک واحد آبجیکٹ * ہے، جس کے اینڈومورفزم H ہیں) سے زمرہ جات کے زمرے میں فنکٹر کے طور پر ہے جس میں منفرد آبجیکٹ کا نقشہ بنایا گیا ہے۔ اس فنکٹر کی گروتھینڈیک تعمیر سیمی ڈائریکٹ پروڈکٹ (گروپائڈ سے وابستہ) کے مساوی ہے۔ گروپائڈز ایک اور عمومی شکل گروپائڈز کے لیے ہے۔ یہ ٹوپولوجی میں ہوتا ہے کیونکہ اگر کوئی گروپ کسی جگہ پر عمل کرتا ہے تو وہ جگہ کے بنیادی گروپائڈ پر بھی عمل کرتا ہے۔ سیمی ڈائریکٹ پروڈکٹ پھر مدار کی جگہ کے بنیادی گروپائڈ کو تلاش کرنے کے لیے متعلقہ ہے۔ مکمل تفصیلات کے لیے ذیل میں مذکور کتاب کا باب 11 دیکھیں، اور این کیٹ لیب میں سیمی ڈائریکٹ پروڈکٹ میں کچھ تفصیلات بھی دیکھیں۔ ابیلین زمرے غیر معمولی نیم براہ راست مصنوعات ابیلین زمروں میں پیدا نہیں ہوتے ہیں، جیسے کہ ماڈیولز کا زمرہ۔ اس صورت میں، تقسیم کرنے والا لیما ظاہر کرتا ہے کہ ہر سیمی ڈائریکٹ پروڈکٹ ایک براہ راست پروڈکٹ ہے۔ اس طرح سیمی ڈائریکٹ مصنوعات کا وجود زمرہ کی ابیلین ہونے کی ناکامی کی عکاسی کرتا ہے۔ نوٹیشن عام طور پر کسی گروپ پر کام کرنے والے گروپ کے سیمی ڈائریکٹ پروڈکٹ (زیادہ تر معاملات میں مشترکہ گروپ کے ذیلی گروپوں کے طور پر کنجگیشن کے ذریعے) کو یا سے ظاہر کیا جاتا ہے۔ تاہم، کچھ ذرائع اس علامت کو مخالف معنی کے ساتھ استعمال کر سکتے ہیں۔ اگر کارروائی واضح کی جانی چاہیے تو کوئی لکھتا بھی ہے۔ علامت کے بارے میں سوچنے کا ایک طریقہ عام ذیلی گروپ () کی علامت اور پروڈکٹ () کی علامت کے امتزاج کے طور پر ہے۔ بیری سائمن، گروپ کی نمائندگی کے نظریہ پر اپنی کتاب میں، سیمی ڈائریکٹ پروڈکٹ کے لیے غیر معمولی اشارے کا استعمال کرتے ہیں۔ یونیکوڈ چار اقسام کی فہرست دیتا ہے: {| کلاس = "ویکیٹیبل"! ! ! قدر! ! ریاضی ایم ایل! ! یونیکوڈ تفصیل۔ -۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔ لیٹیکس میں، کمانڈ ٹائمز اور ٹائمز متعلقہ حروف تیار کرتے ہیں۔ اے ایم ایس علامتوں کے پیکج کے ساتھ، لیفٹ تھریٹ ٹائمز پروڈیوس کرتا ہے اور رائٹ تھریٹ ٹائمز پروڈیوس کرتا ہے۔ افائن لائ الجبرا گروتھینڈیک کنسٹرکشن بھی دیکھیں، ایک درجہ بندی کی تعمیر جو سیمی ڈائریکٹ پروڈکٹ ہولومورف لائ الجبرا سیمی ڈائریکٹ سم سب ڈائریکٹ پروڈکٹ ریوتھ پروڈکٹ زپا-زیپ پروڈکٹ کراسڈ پروڈکٹ نوٹ حوالہ جات گروپ پروڈکٹس کو عام کرتی ہے۔