Bayesian inference
بایسیائی تخمینہ (یا) شماریاتی تخمینہ کا ایک طریقہ ہے جس میں بایئز تھیوریم کو کسی مفروضے کے امکانات کو اپ ڈیٹ کرنے کے لیے استعمال کیا جاتا ہے جیسے جیسے مزید ثبوت یا معلومات دستیاب ہوتی ہیں۔ اعداد و شمار میں اور خاص طور پر ریاضیاتی اعداد و شمار میں بایسیائی تخمینہ ایک اہم تکنیک ہے۔ ڈیٹا کی ترتیب کے متحرک تجزیے میں بایسیئن اپ ڈیٹنگ خاص طور پر اہم ہے۔ بایسیائی تخمینے کا اطلاق سائنس، انجینئرنگ، فلسفہ، طب، کھیل اور قانون سمیت سرگرمیوں کی ایک وسیع رینج میں پایا گیا ہے۔ فیصلہ کے نظریہ کے فلسفے میں، بایسیائی قیاس کا ساپیکش امکان سے گہرا تعلق ہے، جسے اکثر "بایسیائی امکان" کہا جاتا ہے۔ بایئز کے اصول کا تعارف رسمی وضاحت بایئسیائی تخمینہ دو پیشروؤں کے نتیجے میں پوسٹر امکان حاصل کرتا ہے: ایک پیشگی امکان اور مشاہدہ شدہ ڈیٹا کے لیے شماریاتی ماڈل سے ماخوذ "امکان فنکشن"۔ بایسیئن تخمینہ بایئز تھیوریم کے مطابق پوسٹر پروبیبلٹی کا حساب لگاتا ہے: جہاں کسی بھی مفروضے کا مطلب ہے جس کا امکان ڈیٹا سے متاثر ہو سکتا ہے (جسے نیچے ثبوت کہا جاتا ہے)۔ اکثر مسابقتی مفروضے ہوتے ہیں، اور کام یہ طے کرنا ہے کہ کون سا سب سے زیادہ ممکنہ ہے۔ ، پیشگی امکان، اعداد و شمار، موجودہ ثبوت، کے مشاہدہ ہونے سے پہلے مفروضے کے امکان کا تخمینہ ہے۔ ثبوت، نئے اعداد و شمار سے مطابقت رکھتا ہے جو پہلے کے امکان کی گنتی میں استعمال نہیں کیے گئے تھے۔ ، پچھلا امکان، دیا گیا امکان ہے، یعنی، بعد میں مشاہدہ کیا جاتا ہے۔ یہ وہی ہے جو ہم جاننا چاہتے ہیں: مشاہدہ شدہ شواہد کو دیکھتے ہوئے کسی مفروضے کا امکان۔ مشاہدہ کرنے کا امکان دیا گیا ہے اور اسے امکان کہا جاتا ہے۔ فکسڈ کے ساتھ ایک فنکشن کے طور پر، یہ دیئے گئے مفروضے کے ساتھ ثبوت کی مطابقت کی نشاندہی کرتا ہے۔ امکان فنکشن ثبوت کا ایک فنکشن ہے، جبکہ پچھلا امکان مفروضے کا ایک فنکشن ہے۔ بعض اوقات اسے معمولی امکان یا "نمونہ ثبوت" کہا جاتا ہے۔ یہ عنصر تمام ممکنہ مفروضوں پر غور کرنے کے لیے یکساں ہے (جیسا کہ اس حقیقت سے ظاہر ہوتا ہے کہ مفروضہ علامت میں کہیں بھی ظاہر نہیں ہوتا، دوسرے تمام عوامل کے برعکس) اور اس وجہ سے مختلف مفروضوں کے متعلقہ امکانات کا تعین کرنے میں عنصر نہیں ہوتا ہے۔ کی مختلف اقدار کے لیے، صرف عوامل اور، دونوں عدد میں، کسی مفروضے کے بعد کے امکان کی قدر کو متاثر کرتے ہیں جو اس کے پہلے امکان (اس کی موروثی مماثلت) اور نئے حاصل کردہ امکان (نئے مشاہدہ شدہ شواہد کے ساتھ اس کی مطابقت) کے متناسب ہوتا ہے۔ بائز کی حکمرانی کو اس طرح بھی لکھا جا سکتا ہے: کیونکہ اور کہاں "نہیں" ہے، اس کی منطقی نفی۔ مساوات کو یاد رکھنے کا ایک تیز اور آسان طریقہ ضرب کی حکمرانی کا استعمال کرنا ہوگا: بایسیئن اپ ڈیٹنگ کے متبادل وسیع پیمانے پر استعمال ہوتے ہیں اور کمپیوٹیشنل طور پر آسان ہیں۔ تاہم، یہ واحد اپڈیٹنگ قاعدہ نہیں ہے جسے معقول سمجھا جا سکتا ہے۔ ایان ہیکنگ نے نوٹ کیا کہ روایتی "ڈچ کتاب" کے دلائل میں بایسیئن اپ ڈیٹنگ کی وضاحت نہیں کی گئی: انہوں نے اس امکان کو کھلا چھوڑ دیا کہ غیر بایسیئن اپ ڈیٹنگ کے قوانین ڈچ کتابوں سے بچ سکتے ہیں۔ ہیکنگ نے لکھا: "اور نہ تو ڈچ کتاب کی دلیل اور نہ ہی امکان کے محوریات کے ثبوت کے شخصی ہتھیاروں میں کوئی اور متحرک مفروضے پر مشتمل ہے۔ ان میں سے ایک میں بھی بایسیئنزم شامل نہیں ہے۔ لہذا شخصی شخص کو متحرک مفروضے کو بایسیئن ہونے کی ضرورت ہوتی ہے۔ یہ سچ ہے کہ مستقل مزاجی میں ایک شخصی ماہر تجربے سے سیکھنے کے بایسی ماڈل کو ترک کر سکتا ہے۔ نمک اپنا ذائقہ کھو سکتا ہے۔ " درحقیقت، ایسے غیر بایسیائی اپڈیٹنگ قوانین ہیں جو رچرڈ سی جیفری کے اصول کی اشاعت کے بعد ڈچ کتابوں سے بھی گریز کرتے ہیں (جیسا کہ "پروبیبلٹی کینیمیٹکس" پر ادب میں بحث کی گئی ہے)، جو بیس کے اصول کو اس معاملے پر لاگو کرتا ہے جہاں ثبوت کو خود ایک امکان تفویض کیا جاتا ہے۔ خاص طور پر بایسیئن اپ ڈیٹ کی ضرورت کے لیے درکار اضافی مفروضوں کو کافی، پیچیدہ اور غیر تسلی بخش سمجھا گیا ہے۔ خصوصی اور مکمل امکانات پر قیاس اگر شواہد کو بیک وقت خصوصی اور مکمل تجاویز کے ایک سیٹ پر عقیدے کو اپ ڈیٹ کرنے کے لیے استعمال کیا جاتا ہے، تو بایسیائی تخمینہ کو مجموعی طور پر اس عقیدے کی تقسیم پر عمل کرنے کے طور پر سمجھا جا سکتا ہے۔ عام تشکیل فرض کریں کہ کوئی عمل آزاد اور یکساں طور پر تقسیم شدہ واقعات پیدا کر رہا ہے، لیکن امکان کی تقسیم نامعلوم ہے۔ ایونٹ کی جگہ کو اس عمل کے لیے عقیدے کی موجودہ حالت کی نمائندگی کرنے دیں۔ ہر ماڈل کی نمائندگی واقعہ کے ذریعے کی جاتی ہے۔ ماڈلز کی وضاحت کے لیے مشروط امکانات متعین کیے گئے ہیں۔ اس میں یقین کی ڈگری ہے۔ پہلے قیاس کے مرحلے سے پہلے، ابتدائی پیشگی امکانات کا ایک مجموعہ ہوتا ہے۔ ان کا مجموعہ 1 ہونا چاہیے، لیکن بصورت دیگر یہ من مانی ہیں۔ فرض کریں کہ اس عمل کو پیدا کرنے کے لیے مشاہدہ کیا جاتا ہے۔ ہر ایک کے لیے، پہلے والے کو پوسٹرئیر میں اپ ڈیٹ کیا جاتا ہے۔ بائز تھیوریم سے: مزید شواہد کے مشاہدے پر، اس طریقہ کار کو دہرایا جا سکتا ہے۔ متعدد مشاہدات آزاد اور یکساں طور پر تقسیم شدہ مشاہدات کی ترتیب کے لیے، یہ انڈکشن کے ذریعے دکھایا جا سکتا ہے کہ مذکورہ بالا کا بار بار اطلاق اس کے مساوی ہے جہاں پیرامیٹرک تشکیل: رسمی وضاحت کو متحرک کرنا ماڈلز کی جگہ کو پیرامیٹرائز کرکے، تمام ماڈلز میں یقین کو ایک ہی مرحلے میں اپ ڈیٹ کیا جا سکتا ہے۔ ماڈل کی جگہ پر عقیدے کی تقسیم کو پیرامیٹر کی جگہ پر عقیدے کی تقسیم کے طور پر سمجھا جا سکتا ہے۔ اس حصے میں تقسیم کا اظہار مسلسل کے طور پر کیا جاتا ہے، جس کی نمائندگی امکانات کی کثافت سے ہوتی ہے، کیونکہ یہ معمول کی صورتحال ہے۔ تاہم، یہ تکنیک مجرد تقسیم پر یکساں طور پر لاگو ہوتی ہے۔ ویکٹر کو پیرامیٹر کی جگہ کو پھیلانے دیں۔ ابتدائی پہلے کی تقسیم کو ختم ہونے دیں، جہاں پہلے کے پیرامیٹرز کا ایک مجموعہ ہے، یا ہائپر پیرامیٹرز۔ آئیے آزاد اور یکساں طور پر تقسیم شدہ واقعات کے مشاہدات کا ایک سلسلہ بنیں، جہاں سب کچھ کچھ کے طور پر تقسیم کیا جاتا ہے۔ بایئز تھیوریم کا اطلاق پوسٹر ڈسٹری بیوشن کو تلاش کرنے کے لیے کیا جاتا ہے: جہاں عام طور پر ایک ڈیٹا پوائنٹ بایئسیئن انفریشنز کی رسمی وضاحت ہوتی ہے۔ یہ درحقیقت اقدار کا ایک ویکٹر ہو سکتا ہے۔ ، ڈیٹا پوائنٹ کی تقسیم کا پیرامیٹر، یعنی، یہ پیرامیٹرز کا ویکٹر ہو سکتا ہے۔ ، پیرامیٹر کی تقسیم کا ہائپر پیرامیٹر، یعنی، یہ ہائپر پیرامیٹرز کا ویکٹر ہو سکتا ہے۔ نمونہ، مشاہدہ شدہ ڈیٹا پوائنٹس کا ایک مجموعہ ہے، یعنی۔ ایک نیا ڈیٹا پوائنٹ جس کی تقسیم کی پیش گوئی کی جانی ہے۔ پیشگی تقسیم کسی بھی ڈیٹا کا مشاہدہ کرنے سے پہلے پیرامیٹر کی تقسیم ہے، یعنی۔ ۔ پیشگی تقسیم کا تعین آسانی سے نہیں کیا جا سکتا ہے ؛ ایسی صورت میں، ایک امکان یہ ہو سکتا ہے کہ نئے مشاہدات کے ساتھ اسے اپ ڈیٹ کرنے سے پہلے پیشگی تقسیم حاصل کرنے سے پہلے جیفریز کا استعمال کیا جائے۔ نمونے کی تقسیم مشاہدہ شدہ ڈیٹا کی تقسیم ہے جو اس کے پیرامیٹرز پر مشروط ہے، یعنی۔ اسے امکان بھی کہا جاتا ہے، خاص طور پر جب پیرامیٹر کے فنکشن کے طور پر دیکھا جاتا ہے، بعض اوقات لکھا جاتا ہے۔ حاشیہ کا امکان (بعض اوقات ثبوت بھی کہا جاتا ہے) مشاہدہ شدہ ڈیٹا کی تقسیم ہے جو پیرامیٹر (پیرامیٹرز) پر پسماندہ ہے، یعنی۔ یہ اعداد و شمار اور ماہر رائے کے درمیان معاہدے کی مقدار کو ہندسی معنوں میں بیان کرتا ہے جسے درست بنایا جا سکتا ہے۔ پچھلی تقسیم مشاہدہ شدہ ڈیٹا کو مدنظر رکھنے کے بعد پیرامیٹرز کی تقسیم ہے۔ اس کا تعین بائز کی حکمرانی سے ہوتا ہے، جو بائزین کے تخمینے کا مرکز بنتا ہے: اس کا اظہار الفاظ میں اس طرح کیا جاتا ہے کہ "پوسٹرئر پہلے کے امکانات کے اوقات کے متناسب ہے"، یا بعض اوقات "پوسٹرئر = امکانات کے اوقات پہلے، شواہد سے زیادہ"۔ عملی طور پر، مشین لرننگ میں استعمال ہونے والے تقریبا تمام پیچیدہ بایسیئن ماڈلز کے لیے، پچھلی تقسیم بند شکل کی تقسیم میں حاصل نہیں کی جاتی ہے، بنیادی طور پر اس وجہ سے کہ پیرامیٹر کی جگہ بہت زیادہ ہو سکتی ہے، یا بایسیئن ماڈل مشاہدات اور پیرامیٹر سے وضع کردہ کچھ درجہ بندی کے ڈھانچے کو برقرار رکھتا ہے۔ ایسے حالات میں ہمیں تخمینہ کی تکنیکوں کا سہارا لینے کی ضرورت ہے۔ بایسیئن پیشن گوئی پوسٹر پیشن گوئی کی تقسیم ایک نئے ڈیٹا پوائنٹ کی تقسیم ہے، جو پوسٹرئیر پر پسماندہ ہے: پیشگی پیشن گوئی کی تقسیم ایک نئے ڈیٹا پوائنٹ کی تقسیم ہے، جو پہلے کے مقابلے میں پسماندہ ہے: بایسیئن تھیوری پیشن گوئی کرنے کے لیے پوسٹر پیشن گوئی کی تقسیم کے استعمال کا مطالبہ کرتی ہے، یعنی، ایک نئے، غیر مشاہدہ شدہ ڈیٹا پوائنٹ کی تقسیم کی پیش گوئی کرنے کے لیے۔ یعنی، پیش گوئی کے طور پر ایک مقررہ نقطہ کے بجائے، ممکنہ نکات پر تقسیم واپس کردی جاتی ہے۔ صرف یہی طریقہ استعمال شدہ پیرامیٹر (پیرامیٹرز) کی مکمل پوسٹر ڈسٹری بیوشن ہے۔ اس کے مقابلے میں، بار بار آنے والے اعداد و شمار میں پیشن گوئی میں اکثر پیرامیٹر (پیرامیٹرز) کا زیادہ سے زیادہ نقطہ تخمینہ تلاش کرنا شامل ہوتا ہے-مثال کے طور پر، زیادہ سے زیادہ امکان یا زیادہ سے زیادہ پوسٹرری تخمینہ (ایم اے پی)-اور پھر اس تخمینے کو ڈیٹا پوائنٹ کی تقسیم کے فارمولے میں جوڑنا۔ اس کا نقصان یہ ہے کہ یہ پیرامیٹر کی قیمت میں کسی بھی غیر یقینی صورتحال کا سبب نہیں بنتا ہے، اور اس وجہ سے پیش گوئی کی تقسیم کے تغیر کو کم کرے گا۔ بعض صورتوں میں، بار بار آنے والے اعداد و شمار اس مسئلے کے ارد گرد کام کر سکتے ہیں۔ مثال کے طور پر، تعدد اعداد و شمار میں اعتماد کے وقفے اور پیش گوئی کے وقفے جب نامعلوم اوسط اور تغیر کے ساتھ معمول کی تقسیم سے بنائے جاتے ہیں تو طالب علم کی ٹی تقسیم کا استعمال کرتے ہوئے تعمیر کیے جاتے ہیں۔ یہ صحیح طریقے سے تغیر کا اندازہ لگاتا ہے، اس حقیقت کی وجہ سے کہ (1) عام طور پر تقسیم شدہ بے ترتیب متغیرات کی اوسط بھی عام طور پر تقسیم کی جاتی ہے، اور (2) عام طور پر تقسیم شدہ ڈیٹا پوائنٹ کی پیش گوئی کی تقسیم نامعلوم اوسط اور تغیر کے ساتھ، کنجوگیٹ یا غیر معلوماتی ترجیحات کا استعمال کرتے ہوئے، طالب علم کی ٹی-تقسیم ہے۔ تاہم، بایسیائی اعداد و شمار میں، پچھلی پیشن گوئی کی تقسیم کا تعین ہمیشہ بالکل درست کیا جا سکتا ہے-یا کم از کم جب عددی طریقے استعمال کیے جاتے ہیں تو درستگی کی صوابدیدی سطح تک۔ پیشین گوئی کی تقسیم کی دونوں اقسام میں مرکب امکان کی تقسیم کی شکل ہوتی ہے (جیسا کہ معمولی امکان ہوتا ہے)۔ درحقیقت، اگر پیشگی تقسیم پہلے سے ایک کنجوگیٹ ہے، اس طرح کہ پہلے اور بعد کی تقسیم ایک ہی خاندان سے آتی ہے، تو یہ دیکھا جا سکتا ہے کہ پہلے اور بعد کی پیشین گوئی کی تقسیم بھی مرکب تقسیم کے ایک ہی خاندان سے آتی ہے۔ فرق صرف اتنا ہے کہ پچھلی پیشن گوئی کی تقسیم ہائپر پیرامیٹرز کی تازہ ترین اقدار کا استعمال کرتی ہے (کنجوگیٹ کے پچھلے مضمون میں دیئے گئے بایسیئن اپ ڈیٹ قوانین کا اطلاق)، جبکہ پیشگی پیشن گوئی کی تقسیم ہائپر پیرامیٹرز کی اقدار کا استعمال کرتی ہے جو پہلے کی تقسیم میں ظاہر ہوتی ہیں۔ ریاضیاتی خصوصیات عنصر کی تشریح۔ یعنی، اگر نمونہ درست ہوتا، تو شواہد کا امکان اس سے زیادہ ہوتا جس کی پیش گوئی عقیدے کی موجودہ حالت کرتی ہے۔ اس کے برعکس عقیدے میں کمی پر لاگو ہوتا ہے۔ اگر عقیدہ نہیں بدلتا ہے۔ یعنی ثبوت ماڈل سے آزاد ہے۔ اگر نمونہ درست ہوتا، تو ثبوت بالکل اتنا ہی ممکنہ ہوتا جیسا کہ عقیدے کی موجودہ حالت میں پیش گوئی کی گئی تھی۔ کروم ویل کا قاعدہ اگر تب۔ اگر، تب۔ اس کی تشریح اس طرح کی جا سکتی ہے کہ سخت عقائد جوابی ثبوت کے لیے غیر حساس ہوتے ہیں۔ سابقہ بایس کے نظریہ سے براہ راست پیروی کرتا ہے۔ مؤخر الذکر کو پہلے اصول کو اس واقعہ پر لاگو کرکے اخذ کیا جاسکتا ہے جس کی جگہ "نہیں"، "نتیجہ" اگر، تب "، جس سے نتیجہ فوری طور پر آتا ہے۔ پچھلا کا غیر علامتی طرز عمل عقیدے کی تقسیم کے رویے پر غور کریں کیونکہ اسے آزاد اور یکساں طور پر تقسیم شدہ آزمائشوں کے ساتھ بڑی تعداد میں اپ ڈیٹ کیا جاتا ہے۔ کافی اچھے پہلے کے امکانات کے لیے، برنسٹین-وان میسس تھیوریم یہ بتاتا ہے کہ لامحدود آزمائشوں کی حد میں، پوسٹرئر ابتدائی سے آزاد گوسی تقسیم میں یکجا ہو جاتا ہے جو کچھ شرائط کے تحت پہلے 1948 میں جوزف ایل ڈوب کے ذریعہ بیان کردہ اور سختی سے ثابت کیا گیا تھا، یعنی اگر غور میں بے ترتیب متغیر میں ایک محدود امکان کی جگہ ہو۔ زیادہ عام نتائج بعد میں شماریات دان ڈیوڈ اے فریڈمین نے حاصل کیے جنہوں نے 1963 اور 1965 میں دو بنیادی تحقیقی مقالے شائع کیے جب اور کن حالات میں پوسٹرئیر کے غیر علامتی رویے کی ضمانت دی جاتی ہے۔ ان کے 1963 کے مقالے میں ڈوب (1949) کی طرح محدود کیس کا جائزہ لیا گیا ہے اور یہ ایک تسلی بخش نتیجے پر پہنچتا ہے۔ تاہم، اگر بے ترتیب متغیر میں ایک لامحدود لیکن قابل گنتی امکانی جگہ ہے (یعنی، لامحدود کئی چہروں کے ساتھ ایک ڈائی سے مطابقت رکھتا ہے) تو 1965 کا مقالہ ظاہر کرتا ہے کہ ترجیحات کے گھنے ذیلی سیٹ کے لیے برنسٹین-وون میسس تھیوریم لاگو نہیں ہوتا ہے۔ اس صورت میں تقریبا یقینی طور پر کوئی ایسمپٹوٹک کنورجنس نہیں ہے۔ بعد میں 1980 اور 1990 کی دہائیوں میں فریڈمین اور پرسی ڈیاکونس نے لامحدود قابل گنتی امکانی خالی جگہوں کے معاملے پر کام جاری رکھا۔ خلاصہ یہ ہے کہ ابتدائی انتخاب کے اثرات کو دبانے کے لیے ناکافی ٹرائلز ہو سکتے ہیں، اور خاص طور پر بڑے (لیکن محدود) نظاموں کے لیے کنورجنس بہت سست ہو سکتی ہے۔ پیرامیٹرائزڈ شکل میں، پیشگی تقسیم اکثر تقسیم کے ایک خاندان سے آتی ہے جسے کنجوگیٹ پریورس کہا جاتا ہے۔ کنجوگیٹ پریور کی افادیت یہ ہے کہ متعلقہ پچھلی تقسیم ایک ہی خاندان میں ہوگی، اور حساب بند شکل میں ظاہر کیا جا سکتا ہے۔ پیرامیٹرز اور پیش گوئیوں کے تخمینے اکثر کسی پیرامیٹر یا متغیر کا اندازہ لگانے کے لیے پوسٹر ڈسٹری بیوشن کا استعمال کرنا مطلوب ہوتا ہے۔ بایسی تخمینہ کے کئی طریقے پس منظر کی تقسیم سے مرکزی رجحان کی پیمائش کا انتخاب کرتے ہیں۔ یک جہتی مسائل کے لیے، عملی مسلسل مسائل کے لیے ایک منفرد میڈین موجود ہے۔ پوسٹر میڈین ایک مضبوط تخمینہ لگانے والے کے طور پر پرکشش ہے۔ اگر پوسٹرئر ڈسٹری بیوشن کے لیے کوئی محدود اوسط موجود ہے، تو پوسٹرئر اوسط تخمینہ کا ایک طریقہ ہے۔ سب سے زیادہ امکان کے ساتھ قدر لینا زیادہ سے زیادہ پوسٹرری (ایم اے پی) تخمینوں کی وضاحت کرتا ہے: ایسی مثالیں موجود ہیں جہاں زیادہ سے زیادہ حاصل نہیں کیا جاتا ہے، ایسی صورت میں ایم اے پی تخمینوں کا مجموعہ خالی ہوتا ہے۔ تخمینے کے دوسرے طریقے ہیں جو نقصان کی تقریب کے حوالے سے پوسٹرئیر رسک (متوقع-پوسٹرئیر نقصان) کو کم کرتے ہیں، اور یہ نمونے کی تقسیم ("فریکوینٹسٹ شماریات") کا استعمال کرتے ہوئے شماریاتی فیصلہ کے نظریہ میں دلچسپی رکھتے ہیں۔ کسی نئے مشاہدے کی پچھلی پیشن گوئی کی تقسیم (جو کہ پچھلے مشاہدات سے آزاد ہے) کا تعین ایک مفروضے کی امکانات کی مثالوں سے ہوتا ہے۔ فرض کریں کہ کوکیز کے دو مکمل پیالے ہیں۔ باؤل #1 میں 10 چاکلیٹ چپ اور 30 سادہ کوکیز ہوتی ہیں، جبکہ باؤل #2 میں ہر ایک میں 20 ہوتی ہیں۔ ہمارا دوست فریڈ بے ترتیب ایک کٹورا چنتا ہے، اور پھر بے ترتیب ایک کوکی چنتا ہے۔ ہم یہ فرض کر سکتے ہیں کہ اس بات پر یقین کرنے کی کوئی وجہ نہیں ہے کہ فریڈ ایک پیالے کے ساتھ دوسرے سے مختلف سلوک کرتا ہے، اسی طرح کوکیز کے لیے بھی۔ کوکی سادہ معلوم ہوتی ہے۔ اس بات کا کتنا امکان ہے کہ فریڈ نے اسے پیالے #1 سے نکالا ہو؟ بدیہی طور پر، یہ واضح معلوم ہوتا ہے کہ جواب نصف سے زیادہ ہونا چاہیے، کیونکہ پیالے #1 میں زیادہ سادہ کوکیز ہیں۔ عین مطابق جواب بائز تھیوریم سے ملتا ہے۔ باؤل #1، اور باؤل #2 کے مطابق ہونے دیں۔ یہ دیا گیا ہے کہ فریڈ کے نقطہ نظر سے پیالے ایک جیسے ہیں، اس طرح، اور دونوں کو 1 تک جوڑنا چاہیے، لہذا دونوں 0.0 کے برابر ہیں۔ واقعہ سادہ کوکی کا مشاہدہ ہے۔ باؤل کے مندرجات سے، ہم جانتے ہیں کہ اور بائز کا فارمولا پھر نتیجہ دیتا ہے اس سے پہلے کہ ہم کوکی کا مشاہدہ کریں، فریڈ کے لیے جو امکان ہم نے باؤل #1 کا انتخاب کرنے کے لیے تفویض کیا تھا وہ پہلے کا امکان تھا، جو کہ 0.5 تھا۔ کوکی کا مشاہدہ کرنے کے بعد، ہمیں اس کے امکانات پر نظر ثانی کرنی چاہیے، جو کہ 0.6 ہے۔ پیشین گوئی کرنا ایک ماہر آثار قدیمہ 11 ویں صدی سے 16 ویں صدی کے درمیان قرون وسطی کے دور کے ایک مقام پر کام کر رہا ہے۔ تاہم، یہ یقینی نہیں ہے کہ اس دور میں یہ جگہ کب آباد تھی۔ مٹی کے برتنوں کے ٹکڑے پائے جاتے ہیں، جن میں سے کچھ چمکدار ہوتے ہیں اور کچھ سجے ہوئے ہوتے ہیں۔ یہ توقع کی جاتی ہے کہ اگر یہ جگہ قرون وسطی کے ابتدائی دور میں آباد ہوتی تو مٹی کے برتنوں کا 1 فیصد چمکدار ہوتا اور اس کے 50 فیصد رقبے کو سجایا جاتا، جبکہ اگر یہ قرون وسطی کے آخر میں آباد ہوتا تو 81 فیصد چمکدار ہوتا اور اس کے 5 فیصد رقبے کو سجایا جاتا۔ آثار قدیمہ کا ماہر آباد ہونے کی تاریخ میں کتنا پراعتماد ہو سکتا ہے کیونکہ ٹکڑوں کا کھوج لگایا گیا ہے؟ مسلسل متغیر (صدی) میں یقین کی ڈگری کا حساب لگانا ہے، جس میں واقعات کے مجرد سیٹ کو ثبوت کے طور پر رکھا گیا ہے۔ وقت کے ساتھ گلیز اور سجاوٹ کی لکیری تغیر کو فرض کرتے ہوئے، اور یہ کہ یہ متغیرات آزاد ہیں، فرض کریں کہ پہلے سے یکساں ہیں، اور یہ کہ آزمائش آزاد اور یکساں طور پر تقسیم شدہ ہیں۔ جب قسم کا ایک نیا ٹکڑا دریافت کیا جاتا ہے، تو بائز تھیوریم کا اطلاق ہر ایک کے لیے عقیدے کی ڈگری کو اپ ڈیٹ کرنے کے لیے کیا جاتا ہے: بدلتے ہوئے عقیدے کا ایک کمپیوٹر تخروپن جیسا کہ 50 ٹکڑے دریافت کیے گئے ہیں گراف پر دکھایا گیا ہے۔ تخروپن میں، یہ جگہ 1420 کے آس پاس آباد تھی، یا۔ 50 آزمائشوں کے لیے گراف کے متعلقہ حصے کے تحت علاقے کا حساب لگا کر، ماہر آثار قدیمہ کہہ سکتے ہیں کہ عملی طور پر اس بات کا کوئی امکان نہیں ہے کہ یہ جگہ 11 ویں اور 12 ویں صدی میں آباد تھی، تقریبا 1 فیصد امکان ہے کہ یہ 13 ویں صدی کے دوران آباد تھی، 63 فیصد امکان 14 ویں صدی کے دوران اور 36 فیصد 15 ویں صدی کے دوران۔ برنسٹین-وان میسس تھیوریم یہاں "سچ" تقسیم کے لیے غیر علامتی کنورجنس پر زور دیتا ہے کیونکہ واقعات کے مجرد سیٹ سے مطابقت رکھنے والی امکانی جگہ محدود ہے (پوسٹرئیر کے غیر علامتی رویے پر اوپر والے حصے کو دیکھیں)۔ فریکوینٹسٹ اعدادوشمار اور فیصلہ کے نظریہ میں باسیائی قیاس کے استعمال کا فیصلہ نظریاتی جواز ابراہم والڈ نے دیا تھا، جس نے ثابت کیا کہ ہر منفرد باسیائی طریقہ کار قابل قبول ہے۔ اس کے برعکس، ہر قابل قبول شماریاتی طریقہ کار یا تو بایسی طریقہ کار ہے یا بایسی طریقہ کار کی ایک حد ہے۔ والڈ نے قابل قبول طریقہ کار کو بیسیائی طریقہ کار (اور بیسیائی طریقہ کار کی حدود) کے طور پر نمایاں کیا، جس سے بیسیائی رسم الخط کو پیرامیٹر تخمینہ، مفروضے کی جانچ، اور اعتماد کے وقفوں کی گنتی جیسے کثرت پسندانہ اندازوں کے شعبوں میں ایک مرکزی تکنیک بناتی ہے۔ مثال کے طور پر: "کچھ شرائط کے تحت، تمام قابل قبول طریقہ کار یا تو بیس کے طریقہ کار یا بیس کے طریقہ کار کی حدود (مختلف معنوں میں) ہیں۔ یہ قابل ذکر نتائج، کم از کم اپنی اصل شکل میں، بنیادی طور پر والڈ کی وجہ سے ہیں۔ وہ مفید ہیں کیونکہ بائز ہونے کی خاصیت کا تجزیہ کرنا قبولیت سے زیادہ آسان ہے۔ " "فیصلہ کے نظریہ میں، قبولیت کو ثابت کرنے کا ایک بالکل عام طریقہ ایک منفرد بیس حل کے طور پر ایک طریقہ کار کی نمائش پر مشتمل ہوتا ہے۔" "اس کام کے پہلے ابواب میں، تجربات کے موازنہ سے متعلق کچھ اہم نظریات کو قائم کرنے کے لیے محدود حمایت کے ساتھ پہلے کی تقسیم اور متعلقہ بائز کے طریقہ کار کا استعمال کیا گیا۔ زیادہ عام پہلے کی تقسیم کے حوالے سے بائز کے طریقہ کار نے اعداد و شمار کی ترقی میں بہت اہم کردار ادا کیا ہے، بشمول اس کا غیر علامتی نظریہ۔ "ایسے بہت سے مسائل ہیں جہاں مناسب ترجیحات کے لیے بعد کی تقسیم پر ایک نظر ڈالنے سے فوری طور پر دلچسپ معلومات حاصل ہوتی ہیں۔ نیز، ترتیب وار تجزیہ میں اس تکنیک سے شاید ہی بچا جا سکے۔ " "ایک مفید حقیقت یہ ہے کہ پورے پیرامیٹر کی جگہ پر مناسب پیشگی لے کر حاصل کیا گیا کوئی بھی بائز فیصلہ اصول قابل قبول ہونا چاہیے" "قبولیت کے خیالات کی ترقی میں تحقیقات کا ایک اہم شعبہ روایتی نمونے لینے کے نظریہ کے طریقہ کار کا رہا ہے، اور بہت سے دلچسپ نتائج حاصل کیے گئے ہیں۔" ماڈل کے انتخاب میں بایسیائی طریقہ کار بھی ماڈل کے انتخاب میں ایک کردار ادا کرتا ہے جہاں مقصد مسابقتی ماڈلز کے ایک سیٹ میں سے ایک ماڈل کا انتخاب کرنا ہے جو مشاہدہ شدہ ڈیٹا تیار کرنے والے بنیادی عمل کی انتہائی قریب سے نمائندگی کرتا ہے۔ بایسیئن ماڈل کے موازنہ میں، اعداد و شمار کو دیکھتے ہوئے سب سے زیادہ پوسٹر امکان والے ماڈل کا انتخاب کیا جاتا ہے۔ کسی ماڈل کا پچھلا امکان ثبوت، یا معمولی امکان پر منحصر ہوتا ہے، جو اس امکان کی عکاسی کرتا ہے کہ ڈیٹا ماڈل کے ذریعہ تیار کیا گیا ہے، اور ماڈل کے پیشگی عقیدے پر۔ جب دو مسابقتی ماڈلز کو ترجیحی طور پر مساوی سمجھا جاتا ہے، تو ان کے بعد کے امکانات کا تناسب بیس عنصر سے مطابقت رکھتا ہے۔ چونکہ بایسیئن ماڈل کے موازنہ کا مقصد سب سے زیادہ پوسٹرری امکان والے ماڈل کا انتخاب کرنا ہے، اس طریقہ کار کو زیادہ سے زیادہ پوسٹرری (ایم اے پی) سلیکشن رول یا ایم اے پی امکان اصول بھی کہا جاتا ہے۔ ممکنہ پروگرامنگ اگرچہ تصوراتی طور پر آسان ہے، لیکن بایسیائی طریقے ریاضیاتی اور عددی طور پر چیلنجنگ ہو سکتے ہیں۔ ممکنہ پروگرامنگ زبانیں (پی پی ایل) موثر خودکار تخمینہ طریقوں کے ساتھ باسی ماڈل کو آسانی سے بنانے کے لیے افعال کو نافذ کرتی ہیں۔ اس سے ماڈل کی تعمیر کو قیاس سے الگ کرنے میں مدد ملتی ہے، جس سے پریکٹیشنرز کو اپنے مخصوص مسائل پر توجہ مرکوز کرنے میں مدد ملتی ہے اور پی پی ایل کو ان کے لیے کمپیوٹیشنل تفصیلات کو سنبھالنے کے لیے چھوڑ دیا جاتا ہے۔ اطلاقات شماریاتی اعداد و شمار کا تجزیہ بایسیائی شماریات پر علیحدہ ویکیپیڈیا اندراج دیکھیں، خاص طور پر اس صفحہ میں شماریاتی ماڈلنگ سیکشن۔ کمپیوٹر ایپلی کیشنز بایسیئن انفریشن کی مصنوعی ذہانت اور ماہر نظاموں میں ایپلی کیشنز ہیں۔ 1950 کی دہائی کے آخر سے بایسیئن انفریشن تکنیک کمپیوٹرائزڈ پیٹرن ریکگنیشن تکنیک کا ایک بنیادی حصہ رہی ہے۔ بایسیائی طریقوں اور تخروپن پر مبنی مونٹی کارلو تکنیکوں کے درمیان بھی ایک بڑھتا ہوا تعلق ہے کیونکہ پیچیدہ ماڈلز کو بایسیائی تجزیہ کے ذریعے بند شکل میں پروسیس نہیں کیا جا سکتا، جبکہ ایک گرافیکل ماڈل ڈھانچہ گبز سیمپلنگ اور دیگر میٹروپولیس-ہیسٹنگز الگورتھم اسکیموں جیسے موثر تخروپن الگورتھم کی اجازت دے سکتا ہے۔ حال ہی میں بایسیائی قیاس نے ان وجوہات کی بناء پر فائیلوجنیٹکس کمیونٹی میں مقبولیت حاصل کی ہے۔ متعدد ایپلی کیشنز بہت سے آبادیاتی اور ارتقائی پیرامیٹرز کا بیک وقت اندازہ لگانے کی اجازت دیتی ہیں۔ جیسا کہ شماریاتی درجہ بندی پر لاگو ہوتا ہے، بایسیئن تخمینہ ای میل سپیم کی شناخت کے لیے الگورتھم تیار کرنے کے لیے استعمال کیا گیا ہے۔ ایسی ایپلی کیشنز جو سپیم فلٹرنگ کے لیے بایسیئن انفریشن کا استعمال کرتی ہیں ان میں سی آر ایم 114، ڈی ایس پی اے ایم، بوگو فلٹر، اسپیم اساسن، اسپیم بےز، موزیلا، ایکس ای اے ایم ایس، اور دیگر شامل ہیں۔ سپیم کی درجہ بندی کا مزید تفصیل سے علاج بے حیائی درجہ بندی سے متعلق مضمون میں کیا گیا ہے۔ سولومنوف کا انڈکٹو انفریشن مشاہدات پر مبنی پیشن گوئی کا نظریہ ہے۔ مثال کے طور پر، علامتوں کی دی گئی سیریز کی بنیاد پر اگلی علامت کی پیش گوئی کرنا۔ واحد مفروضہ یہ ہے کہ ماحول کچھ نامعلوم لیکن کمپیوٹیبل امکان کی تقسیم کی پیروی کرتا ہے۔ یہ ایک رسمی انڈکٹو فریم ورک ہے جو انڈکٹو انفریشن کے دو اچھی طرح سے مطالعہ شدہ اصولوں کو یکجا کرتا ہے: بایسیئن شماریات اور اوکیم کا ریزر۔ سولومنوف کا کمپیوٹیبل ترتیب x کے کسی بھی سابقہ p کا عالمگیر پیشگی امکان تمام پروگراموں (ایک عالمگیر کمپیوٹر کے لیے) کے امکانات کا مجموعہ ہے جو p سے شروع ہونے والی کسی چیز کا حساب لگاتا ہے۔ کچھ p اور کسی بھی کمپیوٹیبل لیکن نامعلوم امکان کی تقسیم کو دیکھتے ہوئے جس سے x کا نمونہ لیا جاتا ہے، یونیورسل پریور اور بیئس تھیوریم کو x کے ابھی تک نظر نہ آنے والے حصوں کی زیادہ سے زیادہ انداز میں پیش گوئی کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ بائیو انفارمیٹکس اور ہیلتھ کیئر ایپلی کیشنز بایسیئن انفریشن کا اطلاق مختلف بائیو انفارمیٹکس ایپلی کیشنز میں کیا گیا ہے، بشمول تفریق جین کے اظہار کا تجزیہ۔ بایسیئن تخمینہ عام کینسر کے خطرے کے ماڈل میں بھی استعمال ہوتا ہے، جسے سی آئی آر آئی (مسلسل انفرادی رسک انڈیکس) کہا جاتا ہے، جہاں سیریل پیمائش کو بایسیئن ماڈل کو اپ ڈیٹ کرنے کے لیے شامل کیا جاتا ہے جو بنیادی طور پر پہلے کے علم سے بنایا گیا ہے۔ کمرہ عدالت میں بایسیئن انفریشن کو ججوں کے ذریعے مدعا علیہ کے حق میں اور اس کے خلاف ثبوت کو مربوط طور پر جمع کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے، اور یہ دیکھنے کے لیے کہ آیا مجموعی طور پر، یہ 'معقول شک سے بالاتر' کے لیے ان کی ذاتی حد پر پورا اترتا ہے یا نہیں۔ بائز تھیوریم کا اطلاق پیش کردہ تمام شواہد پر یکے بعد دیگرے کیا جاتا ہے، جس میں ایک مرحلے کا پچھلا حصہ اگلے مرحلے کے لیے پہلے والا بنتا ہے۔ بایسیائی نقطہ نظر کا فائدہ یہ ہے کہ یہ جج کو شواہد کو یکجا کرنے کے لیے ایک غیر جانبدار، عقلی طریقہ کار فراہم کرتا ہے۔ بائز کے نظریہ کی وضاحت ججوں کو مشکلات کی شکل میں کرنا مناسب ہو سکتا ہے، کیونکہ بیٹنگ کی مشکلات کو امکانات سے زیادہ وسیع پیمانے پر سمجھا جاتا ہے۔ متبادل طور پر، ایک لوگرتھمک نقطہ نظر، ضرب کو اضافے سے تبدیل کرنا، جیوری کے لیے سنبھالنا آسان ہو سکتا ہے۔ اگر جرم کے وجود پر شک نہیں ہے، تو صرف مجرم کی شناخت، یہ تجویز کی گئی ہے کہ اہل آبادی کے مقابلے میں پہلے والا یکساں ہونا چاہیے۔ مثال کے طور پر، اگر 1,000 لوگ جرم کا ارتکاب کر سکتے تھے، تو جرم کا پہلے امکان 1/1000 ہوگا۔ ججوں کے ذریعہ بیئس تھیوریم کا استعمال متنازعہ ہے۔ برطانیہ میں، ایک دفاعی ماہر گواہ نے آر وی ایڈمز میں جیوری کو بائز کے نظریہ کی وضاحت کی۔ جیوری نے مجرم قرار دیا، لیکن مقدمہ اس بنیاد پر اپیل کے لیے چلا گیا کہ ان ججوں کے لیے ثبوت جمع کرنے کا کوئی ذریعہ فراہم نہیں کیا گیا تھا جو بیس کے نظریہ کو استعمال نہیں کرنا چاہتے تھے۔ کورٹ آف اپیل نے سزا کو برقرار رکھا، لیکن اس نے یہ رائے بھی دی کہ "بائز تھیوریم، یا اسی طرح کا کوئی طریقہ، فوجداری مقدمے میں متعارف کرانا جیوری کو نظریہ اور پیچیدگی کے نامناسب اور غیر ضروری شعبوں میں ڈال دیتا ہے، اور انہیں اپنے مناسب کام سے ہٹاتا ہے۔" گارڈنر-میڈون کا استدلال ہے کہ جس معیار پر مجرمانہ مقدمے میں فیصلہ ہونا چاہیے وہ جرم کا امکان نہیں ہے، بلکہ ثبوت کا امکان ہے، یہ دیکھتے ہوئے کہ مدعا علیہ بے قصور ہے (کثرت سے پی-ویلیو کے مترادف)۔ ان کا استدلال ہے کہ اگر جرم کے بعد کے امکان کا حساب بائز کے نظریہ سے لگانا ہے، تو جرم کے پہلے امکان کو جاننا ضروری ہے۔ یہ جرم کے واقعات پر منحصر ہوگا، جو کہ مجرمانہ مقدمے میں غور کرنے کے لیے ایک غیر معمولی ثبوت ہے۔ مندرجہ ذیل تین تجاویز پر غور کریں: A اگر مدعا علیہ مجرم ہے تو معلوم حقائق اور گواہی سامنے آسکتی ہے B اگر مدعا علیہ بے قصور ہے تو معلوم حقائق اور گواہی سامنے آسکتی ہے C مدعا علیہ مجرم ہے۔ گارڈنر-میڈون کا استدلال ہے کہ جیوری کو مجرم قرار دینے کے لیے اے اور ناٹ-بی دونوں پر یقین کرنا چاہیے۔ اے اور ناٹ-بی سے مراد سی کی سچائی ہے، لیکن اس کے برعکس سچ نہیں ہے۔ یہ ممکن ہے کہ بی اور سی دونوں سچ ہوں، لیکن اس معاملے میں وہ دلیل دیتے ہیں کہ جیوری کو بری کر دینا چاہیے، حالانکہ وہ جانتے ہیں کہ وہ کچھ مجرموں کو آزاد کر دیں گے۔ لنڈلے کا پیراڈوکس بھی دیکھیں۔ بایسیائی علمیات ایک ایسی تحریک ہے جو انڈکٹو منطق کے اصولوں کو جواز پیش کرنے کے ایک ذریعہ کے طور پر بایسیائی تخمینے کی وکالت کرتی ہے۔ کارل پوپر اور ڈیوڈ ملر نے بایسیائی عقلیت پسندی کے خیال کو مسترد کر دیا ہے، یعنی۔ علمی نتائج اخذ کرنے کے لیے بایس کے اصول کا استعمال کرتے ہوئے: یہ کسی بھی دوسرے جواز پسند علمیات کی طرح ایک ہی شیطانی دائرے کا شکار ہے، کیونکہ یہ اس بات کا اندازہ لگاتا ہے جس کا وہ جواز پیش کرنے کی کوشش کرتا ہے۔ اس نظریے کے مطابق، بایسیائی قیاس کی عقلی تشریح اسے محض جعل سازی کے ایک ممکنہ ورژن کے طور پر دیکھے گی، اس عقیدے کو مسترد کرتے ہوئے، جو عام طور پر بایسیائیوں کے پاس ہے، کہ بایسیائی اپ ڈیٹس کے سلسلے سے حاصل ہونے والا اعلی امکان اس مفروضے کو کسی معقول شک سے بالاتر ثابت کرے گا، یا یہاں تک کہ 0 سے زیادہ امکان کے ساتھ بھی۔ دیگر سائنسی طریقہ کار کی تشریح بعض اوقات بایسیائی قیاس کے اطلاق کے طور پر کی جاتی ہے۔ اس نظریے میں، بائز کے اصول نئے مشاہدات یا تجربات پر مشروط مفروضوں کے بارے میں امکانات کی تازہ کاری کی رہنمائی کرتے ہیں (یا رہنمائی کرنی چاہیے)۔ کائی اور دیگر کے ذریعہ نامکمل معلومات کے ساتھ سٹوچسٹک شیڈولنگ کے مسائل کے علاج کے لیے بھی بایسیئن تخمینہ کا اطلاق کیا گیا ہے۔ (2009)۔ گمشدہ اشیاء کی تلاش کے لیے بایسیئن سرچ تھیوری کا استعمال کیا جاتا ہے۔ میتھیلیشن تجزیہ کے لیے فائیلوجینی میں بایسیئن ٹول میں بایسیئن تخمینہ دماغ کے فنکشن کے لیے بایسیئن نقطہ نظر دماغ کی تحقیقات ایک بایسیئن میکانزم کے طور پر کرتے ہیں۔ ماحولیاتی مطالعات میں بایسیائی تخمینہ اسٹاکسٹک کیمیائی حرکی ماڈلز میں پیرامیٹرز کا اندازہ لگانے کے لیے استعمال کیا جاتا ہے۔ بائیسیائی تخمینہ کرنسی یا اسٹاک مارکیٹ کی پیش گوئی کے لیے ایکونو فزکس میں بائیسیائی تخمینہ مارکیٹنگ میں بائیسیائی تخمینہ موٹر لرننگ میں بایسیائی تخمینہ عددی مسائل کو حل کرنے کے لیے ممکنہ اعداد میں استعمال ہوتا ہے۔ بایسیائی تخمینہ بےز اور بایسیائی تخمینہ اپنے مضمون کے پروپوزیشن 9 میں زیر غور مسئلہ، "امکانات کے نظریے میں ایک مسئلہ کو حل کرنے کی طرف ایک مضمون"، پیرامیٹر کے لیے پوسٹر ڈسٹری بیوشن ہے جو کہ بائنومیل ڈسٹری بیوشن کا ایک (کامیابی کی شرح) ہے۔ تاریخ اصطلاح بایسیئن سے مراد تھامس بائیس (1701-1761) ہے، جس نے ثابت کیا کہ کسی نامعلوم واقعہ پر ممکنہ حدود رکھی جا سکتی ہیں۔ تاہم، یہ پیئر سائمن لیپلیس (1749-1827) ہی تھے جنہوں نے (اصول VI کے طور پر) متعارف کرایا جسے اب بائز تھیوریم کہا جاتا ہے اور اسے آسمانی میکانکس، طبی شماریات، وشوسنییتا اور فقہ کے مسائل کو حل کرنے کے لیے استعمال کیا۔ ابتدائی بایسیائی تخمینہ، جس میں لیپلیس کے ناکافی وجہ کے اصول پر عمل کرتے ہوئے یکساں ترجیحات کا استعمال کیا گیا تھا، کو "الٹا امکان" کہا جاتا تھا (کیونکہ یہ مشاہدات سے پیرامیٹرز تک، یا اثرات سے وجوہات تک پیچھے کی طرف اثر انداز ہوتا ہے)۔ 1920 کی دہائی کے بعد، "الٹا امکان" کو بڑی حد تک ان طریقوں کے مجموعے سے تبدیل کر دیا گیا جنہیں فریکوینٹسٹ شماریات کہا جانے لگا۔ 20 ویں صدی میں، لیپلیس کے نظریات کو دو مختلف سمتوں میں مزید تیار کیا گیا، جس سے بایسیائی عمل میں معروضی اور ساپیکش دھاروں کو جنم ملا۔ معروضی یا "غیر معلوماتی" کرنٹ میں، شماریاتی تجزیہ صرف اس ماڈل پر منحصر ہوتا ہے جو فرض کیا گیا ہے، اعداد و شمار کا تجزیہ کیا گیا ہے، اور سابقہ کو تفویض کرنے کا طریقہ، جو ایک معروضی بایسیئن پریکٹیشنر سے دوسرے میں مختلف ہے۔ ساپیکش یا "معلوماتی" کرنٹ میں، پیشگی کی وضاحت کا انحصار اس عقیدے پر ہوتا ہے (یعنی وہ تجاویز جن پر تجزیہ عمل کرنے کے لیے تیار کیا جاتا ہے)، جو ماہرین کی معلومات، پچھلے مطالعات وغیرہ کا خلاصہ کر سکتے ہیں۔ 1980 کی دہائی میں، بایسیائی طریقوں کی تحقیق اور استعمال میں ڈرامائی ترقی ہوئی، زیادہ تر مارکوف چین مونٹی کارلو طریقوں کی دریافت سے منسوب، جس نے بہت سے کمپیوٹیشنل مسائل کو دور کیا، اور غیر معیاری، پیچیدہ ایپلی کیشنز میں بڑھتی ہوئی دلچسپی۔ بایسی تحقیق کی ترقی کے باوجود، زیادہ تر انڈرگریجویٹ تدریس اب بھی اکثر اعداد و شمار پر مبنی ہے۔ بہر حال، بایسیائی طریقوں کو وسیع پیمانے پر قبول کیا جاتا ہے اور استعمال کیا جاتا ہے، جیسے مثال کے طور پر مشین لرننگ کے میدان میں۔ حوالہ جات کے ذرائع ایسٹر، رچرڈ ؛ بورچرز، برائن، اور تھربر، کلفورڈ (2012) بھی دیکھیں۔ پیرامیٹر تخمینہ اور الٹا مسائل، دوسرا ایڈیشن، ایلسیویئر۔ ، باکس، جی۔ ای۔ پی۔ اور ٹیاؤ، جی۔ سی۔ (1973) بائزین انفریشن ان شماریاتی تجزیہ، ولی، جینز ای۔ ٹی۔ (2003) امکانی نظریہ: سائنس کا منطق، سی۔ یو۔ پی۔ (مارچ 1996 کے فریگمنٹری ایڈیشن کا لنک)۔ مزید پڑھنے کے لیے بایسیائی اعداد و شمار کی تاریخ اور فریکوینٹسٹس کے نقطہ نظر کے ساتھ مباحثوں پر مکمل رپورٹ کے لیے، ایلیمنٹری پڑھیں درج ذیل کتابیں ممکنہ نفاست کے چڑھتے ہوئے ترتیب میں درج ہیں: اسٹون، جے وی (2013)، "بایز رول: اے ٹیوٹوریل انٹروڈکشن ٹو بایسیئن اینالیسس"، پہلا باب یہاں ڈاؤن لوڈ کریں، سیبٹل پریس، انگلینڈ۔ بولسٹاڈ، ولیم ایم۔ (2007) انٹروڈکشن ٹو بیسیئن سٹیٹسٹکس: سیکنڈ ایڈیشن، جان ولی اپڈیٹڈ کلاسک ٹیکسٹ بک۔ بایسی نظریہ واضح طور پر پیش کیا گیا۔ لی، پیٹر ایم۔ بایسیئن شماریات: ایک تعارف۔ چوتھا ایڈیشن (2012)، جان ولی انٹرمیڈیٹ یا ایڈوانسڈ ڈیگروٹ، مورس ایچ۔، آپٹیمل شماریاتی فیصلے۔ ولی کلاسیکی لائبریری۔ 2004 میں۔ (اصل میں شائع شدہ (1970) بذریعہ میک گرا ہل۔) ۔ جینز، ای۔ ٹی۔ (1998) امکانی نظریہ: سائنس کا منطق۔ او ہگن، اے۔ اور فارسٹر، جے۔ (2003) کینڈل کا اڈوانسڈ تھیوری آف سٹیٹسٹکس، جلد 2 بی: بایسیئن انفریشن۔ آرنلڈ، نیویارک۔ ۔ گلین شیفر اور پرل، جوڈیا، ایڈز۔ (1988) انٹیلیجنٹ سسٹمز میں ممکنہ استدلال، سان میٹیو، سی اے: مورگن کافمین۔ پیئر بیسیر اور دیگر۔ (2013)، "بایسیئن پروگرامنگ"، سی آر سی پریس۔ فرانسسکو جے سامانیگو (2010)، "تخمینے کے لیے بایسیئن اور فریکوینٹسٹ اپروچز کا موازنہ" سپرنگر، نیویارک، بیرونی روابط اسکالرپیڈیا سے بایسیئن شماریات۔ کوئین میری یونیورسٹی آف لندن سے بایسیئن امکانات کا تعارف بایسیئن شماریات پر ریاضیاتی نوٹ اور مارکوف چین مونٹی کارلو بایسیئن پڑھنے کی فہرست، جس کی درجہ بندی اور تشریح ٹام گریفتھس اے ہیجک اور ایس ہارٹ مین نے کی ہے: بایسیئن ایپسٹمولوجی، میں: جے ڈینسی اور دیگر۔ (ایڈز۔ )، اے کمپینین ٹو ایپسٹمولوجی۔ آکسفورڈ: بلیک ویل 2010، 93-106۔ S. Hartmann and J. Sprenger: Bayesian Epistemology، میں: S. Bernecker and D. Pritchard (ایڈز۔ )، روٹلیج کمپینین ٹو ایپسٹمولوجی۔ لندن: روٹلیج 2010، 609-620۔ اسٹینفورڈ انسائیکلوپیڈیا آف فلاسفی: "انڈکٹو لاجک" بایسیئن کنفرمیشن تھیوری (پی ڈی ایف) بایسیئن لرننگ کیا ہے؟ ڈیٹا، غیر یقینی صورتحال اور تخمینہ-بہت سی مثالوں کے ساتھ غیر رسمی تعارف، کاسا سائنٹیا لاجک اور شماریات پر آزادانہ طور پر دستیاب ای بک (پی ڈی ایف)۔