Ptolemy's theorem
یوکلیڈین جیومیٹری میں، بطلیموس تھیوریم ایک چکور کواڈریلیٹرل (ایک کواڈریلیٹرل جس کے عمودی حصے ایک مشترکہ دائرے پر ہوتے ہیں) کے چاروں اطراف اور دو ڈائیگنلز کے درمیان تعلق ہے۔ اس نظریہ کا نام یونانی ماہر فلکیات اور ریاضی دان بطلیموس (کلاڈیوس بطلیموس) کے نام پر رکھا گیا ہے۔ بطلیموس نے تھیوریم کو اپنی ٹیبل آف کورڈز بنانے میں مدد کے طور پر استعمال کیا، ایک مثلثی ٹیبل جسے اس نے فلکیات پر لاگو کیا۔ اگر چکور چوطرفہ کے عمودی حصے ترتیب میں A، B، C اور D ہیں، تو نظریہ یہ بتاتا ہے کہ: اس تعلق کو زبانی طور پر اس طرح ظاہر کیا جا سکتا ہے: اگر ایک چوطرفہ چکور ہے تو اس کے ترچھوں کی لمبائی کا پروڈکٹ مخالف اطراف کے جوڑوں کی لمبائی کے پروڈکٹ کے مجموعے کے برابر ہے۔ مزید برآں، بطلیموس تھیوریم کا الٹا بھی درست ہے: ایک چوتھائی میں، اگر اس کے مخالف اطراف کے دو جوڑوں کی لمبائی کے پروڈکٹ کا مجموعہ اس کے ترازو کی لمبائی کے پروڈکٹ کے برابر ہے، تو چوتھائی کو دائرے میں لکھا جا سکتا ہے یعنی۔ یہ ایک چکور چوطرفہ ہے۔ تحریر شدہ کثیر الاضحی مساوی مثلث پر متناسق ٹالیمی کا نظریہ ایک دائرے میں کندہ مساوی مثلث کے حوالے سے ایک خوبصورت نظریہ پیش کرتا ہے۔ ایک مساوی مثلث جو دائرے پر کندہ ہوتا ہے اور دائرے پر ایک نقطہ ہوتا ہے۔ مثلث کے نقطہ سے سب سے دور کے سرے تک کا فاصلہ نقطہ سے دو قریب ترین سرے تک کے فاصلے کا مجموعہ ہے۔ ثبوت: ٹولیمی کے نظریہ سے فورا پیروی کرتا ہے: مربع کسی بھی مربع کو اس دائرے میں کندہ کیا جا سکتا ہے جس کا مرکز مربع کا مرکز ہو۔ اگر اس کے چاروں اطراف کی مشترکہ لمبائی برابر ہے تو پایتھاگورین تھیوریم کے مطابق اخترن کی لمبائی برابر ہے، اور بطلیموس کا تعلق واضح طور پر برقرار ہے۔ مستطیل زیادہ عام طور پر، اگر کواڈریلیٹرل ایک مستطیل ہے جس کے اطراف a اور b اور ڈائیگنل d ہیں تو بطلیموس تھیوریم کم ہو کر پایتھاگورین تھیوریم ہو جاتا ہے۔ اس صورت میں دائرے کا مرکز ڈائیگنلز کے چوراہے کے نقطہ کے ساتھ موافق ہوتا ہے۔ تب ڈائیگنلز کا پروڈکٹ d2 ہوتا ہے، بطلیموس ریلیشن کا دایاں ہاتھ کی طرف مجموعہ a2 + b2 ہوتا ہے۔ کوپرنیکس-جس نے اپنے مثلثی کام میں بطلیموس کے نظریہ کو بڑے پیمانے پر استعمال کیا-اس نتیجے کو 'پورزم' یا خود واضح نتیجہ کے طور پر حوالہ دیتے ہیں: مزید یہ واضح ہے کہ جب کسی آرک کو کم کرنے والا کورڈ دیا گیا ہے، تو وہ کورڈ بھی پایا جا سکتا ہے جو باقی سیمی سرکل کو کم کرتا ہے۔ پینٹاگون ایک اور دلچسپ مثال ایک باقاعدہ پینٹاگون میں 5 کورڈز کی طرف کی لمبائی a اور (عام) لمبائی b کے درمیان تعلق ہے۔ مربع کو مکمل کرنے سے، رشتہ سنہری تناسب حاصل کرتا ہے: ڈیکگن کا رخ اگر اب قطر اے ایف کو ڈی سی کو دو حصوں میں تقسیم کرتے ہوئے کھینچا جاتا ہے تاکہ ڈی ایف اور سی ایف ایک کندہ شدہ ڈیکگن کے اطراف سی ہوں، تو ٹولیمی کا نظریہ دوبارہ لاگو کیا جا سکتا ہے-اس بار چکور چوطرفہ اے ڈی ایف سی پر جس کا قطر ڈی اس کے ایک ترچھے کے طور پر ہے: سنہری تناسب کہاں ہے۔ جہاں سے کندہ شدہ ڈیکگن کا رخ دائرے کے قطر کے لحاظ سے حاصل ہوتا ہے۔ پایتھاگورس کا نظریہ دائیں مثلث اے ایف ڈی پر لاگو ہوتا ہے پھر قطر کے لحاظ سے "بی" حاصل ہوتا ہے اور اس کے بعد پینٹاگون کی طرف "اے" کا حساب لگایا جاتا ہے جیسا کہ کوپرنیکس (بطلیموس کے بعد) نے لکھا ہے، "ایک دائرے کا قطر دیا جا رہا ہے، مثلث کے اطراف، ٹیٹراگون، پینٹاگون، ہیکساگون اور ڈیکاگون، جو اسی دائرے میں گھیرے ہوئے ہیں، بھی دیئے گئے ہیں۔" ثبوت بصری ثبوت یہاں حرکت پذیری ڈیرک اینڈ ہرسٹین (2012) پر مبنی بطلیموس تھیوریم کا بصری مظاہرہ دکھاتی ہے۔ مثلثوں کی مماثلت کا ثبوت ABCD کو ایک چکور چوطرفہ ہونے دیں۔ تانے بانے BC پر، کندہ شدہ زاویہ  anth BAC =  anth BDC، اور AB پر،  anth ADB =  anth ACB۔ AC پر K کو اس طرح بنائیں کہ  anth ABK =  anth CBD ؛ چونکہ  anth ABK +  anth CBK =  anth ABC =  anth CBD +  anth ABD،  anth CBK =  anth ABD۔ اب، عام زاویے کے لحاظ سے δ اے بی کے δ ڈی بی سی سے ملتا جلتا ہے، اور اسی طرح δ اے بی ڈی δ کے بی سی سے ملتا جلتا ہے۔ اس طرح اے کے/اے بی = سی ڈی/بی ڈی، اور سی کے/بی سی = ڈی اے/بی ڈی ؛ مساوی طور پر، اے کے۔ بی ڈی = اے بی۔ سی ڈی، اور سی کے۔ بی ڈی = بی سی۔ ڈی اے۔ دو مساوات کو شامل کرنے سے ہمارے پاس اے کے ⋅ بی ڈی + سی کے ष्ण بی ڈی = اے بی ष्ण سی ڈی + بی سی ष्ण ڈی اے ہے، اور اس کو فیکٹرائز کرنے سے (اے کے + سی کے) بی ڈی = اے بی ष्ण سی ڈی + بی سی ष्ण ڈی اے ملتا ہے۔ لیکن اے۔ کے + سی۔ کے = اے۔ سی، اس لیے اے۔ سی۔ بی۔ ڈی = اے۔ بی۔ سی۔ ڈی + بی۔ سی۔ ڈی۔ اے، کیو۔ ای۔ ڈی۔ جیسا کہ لکھا گیا ثبوت صرف سادہ چکور چوطرفہ کے لیے درست ہے۔ اگر کواڈری لیٹرل سیلف کراسنگ ہے تو K لائن سیگمنٹ AC سے باہر واقع ہوگا۔ لیکن اس صورت میں، اے کے − سی کے = ± اے سی، متوقع نتیجہ دیتا ہے۔ مثلثی شناختوں کے ذریعہ ثبوت درج شدہ زاویوں کو بالترتیب، اور ہونا، اور، اور دائرے کا رداس ہونا چاہیے، پھر ہمارے پاس،،، اور ہے، اور جو اصل مساوات ثابت کی جانی ہے وہ اس میں تبدیل ہو جاتی ہے جہاں سے عنصر مساوات کے دونوں اطراف کو تقسیم کرکے غائب ہو گیا ہے۔ اب مجموعہ فارمولے کا استعمال کرتے ہوئے، اور، یہ ظاہر کرنا معمولی بات ہے کہ مندرجہ بالا مساوات کے دونوں اطراف ق. ای. ڈی کے برابر ہیں۔ یہاں ایک اور، شاید زیادہ شفاف، ابتدائی مثلثی کا استعمال کرتے ہوئے ثبوت ہے۔ اسی دائرے میں کندہ کردہ ایک نئے چوطرفہ کی وضاحت کریں، جہاں ان کے برابر ہیں، اور، اسی تانے بانے پر پڑے ہوئے، جس کی تعریف کی گئی ہے،۔ پھر، کناروں کی لمبائی ایک جیسی ہوتی ہے، اور اس کے نتیجے میں وہی کندہ شدہ زاویے متعلقہ کناروں کے ذریعے کم کیے جاتے ہیں، جیسا کہ، صرف ایک مختلف ترتیب میں۔ یعنی، اور، کے لیے، بالترتیب، اور۔ نیز، اور ایک ہی علاقہ ہے۔ پھر، کیو۔ ای۔ ڈی۔ الٹ کے ذریعے ثبوت D پر مرکوز رداس کے ایک معاون دائرے کا انتخاب کریں جس کے سلسلے میں ABCD کا دائرہ ایک لکیر میں الٹا ہو (شکل دیکھیں)۔ پھر پھر اور کو بالترتیب، اور کے طور پر ظاہر کیا جا سکتا ہے۔ ہر اصطلاح کو ضرب دینے اور استعمال کرنے سے ٹولیمی کی مساوات حاصل ہوتی ہے۔ ق۔ ای۔ ڈی۔ نوٹ کریں کہ اگر چوطرفہ چکور نہیں ہے تو A '، B' اور C 'ایک مثلث بناتے ہیں اور اس لیے A' B '+ B' C '> A' C '، جو ہمیں بطلیموس عدم مساوات کا ایک بہت ہی آسان ثبوت دیتا ہے جو ذیل میں پیش کیا گیا ہے۔ پیچیدہ اعداد کا استعمال کرتے ہوئے ثبوت چار الگ الگ نکات کے طور پر شناخت کرکے اے بی سی ڈی کو سرایت کریں۔ کراس تناسب کی وضاحت کریں۔ پھر مساوات کے ساتھ اگر اور صرف اگر۔ یہ عام طور پر بطلیموس کی عدم مساوات کو ثابت کرتا ہے، کیونکہ یہ صرف یہ ظاہر کرنے کے لیے باقی رہتا ہے کہ جھوٹ مسلسل ایک دائرے پر ترتیب دیا گیا ہے (ممکنہ طور پر لامحدود رداس کا، یعنی۔ ایک لائن) میں اگر اور صرف اگر۔ ایک پیچیدہ عدد کی قطبی شکل سے، یہ آخری مساوات ہولڈنگ کے ساتھ اس صورت میں آتا ہے جب اور صرف اس صورت میں جب اے بی سی ڈی چکور ہو، کیونکہ ایک چوتھائی چکور ہوتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب مخالف زاویوں کا مجموعہ ہو۔ ق۔ ای۔ ڈی۔ نوٹ کریں کہ یہ ثبوت مساوی طور پر یہ مشاہدہ کرکے بنایا گیا ہے کہ اے بی سی ڈی کی چکورتا، یعنی۔ ضمیمہ اور، حالت کے مساوی ہے ؛ خاص طور پر ایک گردش ہوتی ہے جس میں یہ 0 ہے (یعنی۔ تینوں پروڈکٹ مثبت حقیقی اعداد ہیں)، اور جس کے ذریعے بطلیموس تھیوریم کو پھر سادہ الجبرائی شناخت سے براہ راست قائم کیا جاتا ہے۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔ اسی طرح ڈائیگنل جو بھی زاویہ جوڑتے ہیں ان کے مجموعے کے سائن کے برابر ہوتے ہیں۔ اس کے بعد ہم بطلیموس تھیوریم کو درج ذیل مثلثی شکل میں لکھ سکتے ہیں: ذیلی زاویوں پر کچھ شرائط کا اطلاق اور مذکورہ بالا کو اپنے نقطہ آغاز کے طور پر استعمال کرتے ہوئے متعدد اہم تعریفیں حاصل کرنا ممکن ہے۔ اس کے بعد جو کچھ ہوتا ہے اس میں یہ ذہن میں رکھنا ضروری ہے کہ زاویوں کا مجموعہ۔ کورلری 1. پائیتھاگوراس تھیوریم لیٹ اینڈ۔ پھر (چونکہ چکور چوطرفہ کے مخالف زاویے اضافی ہوتے ہیں)۔ پھر: کورلری 2۔ کوسائنز کا قانون لیٹ۔ کورولیری 1 کا مستطیل اب مساوی ترازو اور مساوی اطراف کے جوڑے کے ساتھ ایک ہم آہنگ ٹریپیزیم ہے۔ متوازی اطراف اکائیوں کے لحاظ سے لمبائی میں مختلف ہوتے ہیں جہاں: اس صورت میں بطلیموس تھیوریم کے معیاری بیان پر واپس جانا آسان ہوگا: مثلث ABC کے لیے کوسائن اصول۔ کورلری 3. مرکب زاویہ sine (+) چلو پھر لہذا، مرکب زاویہ sine (+) کے لیے فارمولا۔ کورلری 4. مرکب زاویہ sine (−) آتے ہیں۔ پھر۔ لہذا، مرکب زاویے کے لیے فارمولا sine (−)۔ یہ مشتق تیسری نظریہ سے مطابقت رکھتا ہے جیسا کہ کوپرنیکس نے الماجسٹ میں بطلیموس کے بعد بیان کیا ہے۔ خاص طور پر اگر پینٹاگون کے اطراف (دائرے پر 36° کے نیچے) اور ہیکساگون کے اطراف (دائرے پر 30° کے نیچے) دیے جاتے ہیں، تو 6° کے نیچے ایک کورڈ کا حساب لگایا جا سکتا ہے۔ کورڈز کی میزیں شمار کرنے کے قدیم طریقہ کار میں یہ ایک اہم قدم تھا۔ کورلری 5. مرکب زاویہ کوسین (+) یہ نتیجہ پانچویں نظریہ کا بنیادی حصہ ہے جیسا کہ الماجسٹ میں بطلیموس کے بعد کوپرنیکس نے بیان کیا ہے۔ جانے دیں۔ پھر۔ لہذا مرکب زاویے کے لیے فارمولا کوسین (+) ہماری جدید مثلثی نوٹیشن کی مہارت کی کمی کے باوجود، مذکورہ بالا نتائج سے یہ واضح ہونا چاہیے کہ ٹولیمی کے نظریہ (یا زیادہ محض دوسرا نظریہ) میں قدیم دنیا کے پاس ایک انتہائی لچکدار اور طاقتور مثلثی آلہ تھا جس نے اس وقت کے کوگنوسینٹی کو کورڈز کی درست میزیں (سائنز کی میزیں) تیار کرنے اور کائنات کو سمجھنے اور نقشہ بنانے کی اپنی کوششوں میں ان کا استعمال کرنے کے قابل بنایا جیسا کہ انہوں نے اسے دیکھا تھا۔ چونکہ تاروں کی میزیں ہپرکس نے بطلیموس سے تین صدیوں پہلے تیار کی تھیں، ہمیں یہ فرض کرنا چاہیے کہ وہ 'دوسرے نظریہ' اور اس کے مشتقات کے بارے میں جانتا تھا۔ قدیم ماہرین فلکیات کے نقش قدم کے بعد، تاریخ اسکندریہ کے تیموچارس کے ستاروں کی فہرست درج کرتی ہے۔ اگر، جیسا کہ ممکنہ طور پر لگتا ہے، اس طرح کے کیٹلاگ کی تالیف کے لیے 'دوسرے نظریہ' کو سمجھنے کی ضرورت ہوتی ہے تو مؤخر الذکر کی اصل ابتداء اس کے بعد قدیم دور کی دھند میں غائب ہو جاتی ہے لیکن یہ فرض کرنا غیر معقول نہیں ہو سکتا کہ قدیم مصر کے ماہرین فلکیات، معمار اور تعمیراتی انجینئرز کو اس کا کچھ علم تھا۔ ٹولیمی کی عدم مساوات ٹولیمی کے نظریہ میں مساوات غیر چکور کواڈریلیٹرلز کے ساتھ کبھی بھی درست نہیں ہوتی۔ ٹولیمی کی عدم مساوات اس حقیقت کی توسیع ہے، اور یہ ٹولیمی کے نظریہ کی ایک زیادہ عمومی شکل ہے۔ اس میں کہا گیا ہے کہ، کواڈریلیٹرل اے بی سی ڈی کو دیکھتے ہوئے، جہاں مساوات تب ہی ہوتی ہے جب کواڈریلیٹرل چکور ہو۔ یہ خاص معاملہ بطلیموس تھیوریم کے مساوی ہے۔ ڈائیگنلز کے تناسب کے بارے میں متعلقہ تھیوریم بطلیموس تھیوریم اطراف کو جان کر ڈائیگنلز (ایک چکور کواڈریلیٹرل کے) کا پروڈکٹ دیتا ہے، مندرجہ ذیل تھیوریم ڈائیگنلز کے تناسب کے لیے یکساں نتیجہ دیتا ہے۔ ثبوت: یہ معلوم ہے کہ قطر کے دائرے میں کندہ کردہ مثلث کا رقبہ یہ ہے: چوطرفہ کے رقبے کو ایک ہی گردشی دائرے میں شریک دو مثلثوں کے مجموعے کے طور پر لکھتے ہوئے، ہم ہر سڑنے کے لیے دو تعلقات حاصل کرتے ہیں۔ مساوات کرتے ہوئے، ہم اعلان شدہ فارمولا حاصل کرتے ہیں۔ نتیجہ: ڈائیگنلز کے پروڈکٹ اور تناسب دونوں کو جان کر، ہم ان کے فوری تاثرات کا اندازہ لگاتے ہیں: کیسی کا نظریہ یونانی ریاضی نوٹ حوالہ جات کاکسٹر، ایچ ایس ایم اور ایس ایل گریٹزر (1967) "ٹولمی کا نظریہ اور اس کی توسیعات" بھی دیکھیں۔ § 2.6 جیومیٹری ری وزٹڈ میں، میتھمیٹیکل ایسوسی ایشن آف امریکہ پی پی۔ 42-43۔ کوپرنیکس (1543) ڈی ریوولوشنبس اوربیئم کویلسٹیم، انگریزی ترجمہ آن دی شولڈرز آف جائنٹس (2002) میں پایا گیا جس کی ترمیم اسٹیفن ہاکنگ نے کی تھی، پینگوئن بکس امراسنگھے، جی ڈبلیو آئی ایس۔ (2013) ٹولیمی کے نظریہ کے لیے ایک جامع ابتدائی ثبوت، کلاسیکی اور جدید جیومیٹریز پر ایڈوانسڈ ریسرچ کا عالمی جریدہ (جی جے اے آر سی ایم جی) 2 (1): 20-25 (پی ڈی ایف)۔ بیرونی روابط سائیکلک کواڈریلیٹرل میتھ پیجز کے لیے ٹولیمی کے نظریہ کا ثبوت-ٹولیمی کے نظریہ ٹولیمی کے نظریہ پر کٹ-دی-گٹ کمپاؤنڈ اینگل ثبوت پر کٹ-دی-گٹ ٹولیمی کے نظریہ پر سیارے پر میتھ ورلڈ ڈی ریوولوشنبس اوربیم کولیسٹیم پر میتھ میتھ میتھ ٹولیمی عدم مساوات ہارورڈ میں۔ گہرے راز: عظیم اہرام، سنہری تناسب اور رائل کیوبٹ ٹولیمی کا نظریہ بذریعہ جے ویرینڈورف، دی وولفرم ڈیمنسٹریشن پروجیکٹ۔ یوکلڈ کے عناصر تھیوریمز کی کتاب XIII چوطرفہ اور حلقوں کے بارے میں تھیوریم تھیوریم ثبوتوں پر مشتمل مضامین یوکلڈین طیارہ جیومیٹری