Mason–Stothers theorem
میسن-اسٹورز تھیوریم، یا محض میسن تھیوریم، کثیر الجہتی کے بارے میں ایک ریاضیاتی تھیوریم ہے، جو انٹیجرز کے لیے اے بی سی قیاس کے مترادف ہے۔ اس کا نام والٹر ولسن سٹوتھرس کے نام پر رکھا گیا ہے، جس نے اسے 1981 میں شائع کیا، اور آر سی میسن، جس نے اس کے فورا بعد اسے دوبارہ دریافت کیا۔ تھیوریم میں کہا گیا ہے: فرض کریں، اور کسی فیلڈ پر نسبتا پرائم کثیر الجہتی ہوں جیسے کہ ان میں سے سبھی کا مشتق غائب نہ ہو۔ پھر یہاں کے الگ الگ ناقابل تلافی عوامل کا نتیجہ ہے۔ الجبرائی طور پر بند فیلڈز کے لیے یہ کم از کم ڈگری کا کثیر الجہتی ہے جس کی جڑیں ایک جیسی ہوتی ہیں۔ اس صورت میں اس کے مختلف جڑوں کی تعداد ملتی ہے۔ مثال کے طور پر خصوصیت 0 کے فیلڈز پر یہ شرط کہ،، اور سب میں غائب ہونے والا مشتق نہیں ہے، اس شرط کے برابر ہے کہ وہ سب مستقل نہیں ہیں۔ خصوصیت کے شعبوں میں یہ فرض کرنا کافی نہیں ہے کہ وہ سب مستقل نہیں ہیں۔ مثال کے طور پر، خصوصیت p کے کسی فیلڈ پر کثیر الجہتی سمجھا جاتا ہے، شناخت ایک مثال دیتی ہے جہاں تین کثیر الجہتی کی زیادہ سے زیادہ ڈگری (اور بائیں ہاتھ کی طرف اور دائیں ہاتھ کی طرف کے خلاصہ کے طور پر) ہے، لیکن ریڈیکل کی ڈگری صرف ہے۔ لے کر ایک مثال دیتے ہیں جہاں میسن-اسٹورز تھیوریم میں مساوات موجود ہے، جس سے یہ ظاہر ہوتا ہے کہ عدم مساوات کسی نہ کسی لحاظ سے بہترین ممکن ہے۔ میسن-اسٹورز تھیوریم کا ایک نتیجہ فنکشن فیلڈز کے لیے فرمیٹ کے آخری تھیوریم کا ینالاگ ہے: اگر، خصوصیت کے میدان پر نسبتا پرائم کثیر الجہتی تقسیم نہ کریں اور پھر یا تو کم از کم ایک، یا 0 ہو یا وہ سب مستقل ہوں۔ ثبوت نے میسن-اسٹورز تھیوریم کا درج ذیل ابتدائی ثبوت دیا۔ مرحلہ 1. حالت کا مطلب یہ ہے کہ Wronskians،، اور سب برابر ہیں۔ ان کی مشترکہ قدر کے لیے لکھیں۔ مرحلہ 2۔ یہ شرط کہ مشتقات میں سے کم از کم ایک، یا غیر صفر ہے اور وہ، اور کوپرائم ہیں، یہ ظاہر کرنے کے لیے استعمال کیا جاتا ہے کہ وہ غیر صفر ہے۔ مثال کے طور پر، اگر پھر اس طرح تقسیم ہوتا ہے (جیسا کہ اور کوپرائم ہیں) تو (جیسے کہ مستقل نہ ہو)۔ مرحلہ 3. سب سے بڑے مشترکہ تقسیم کاروں میں سے ہر ایک سے تقسیم ہوتا ہے، اور۔ چونکہ یہ کوپرائم ہیں اس لیے یہ ان کے پروڈکٹ سے تقسیم ہوتا ہے، اور چونکہ غیر صفر ہے اس لیے ہمیں مرحلہ 4 ملتا ہے۔ عدم مساوات-(مختلف جڑوں کی تعداد)-(مختلف جڑوں کی تعداد)-(مختلف جڑوں کی تعداد) (جہاں جڑیں کسی الجبرائی بندش میں لی جاتی ہیں) میں تبدیل کرنا اور ہمیں وہ ملتا ہے جو ہمیں ثابت کرنے کی ضرورت ہے۔ عمومی کاری ایک قدرتی عمومی کاری ہے جس میں کثیر الجہتی کے دائرے کو ایک جہتی فنکشن فیلڈ سے تبدیل کیا جاتا ہے۔ فرض کریں کہ خصوصیت 0 کا الجبرائی طور پر بند فیلڈ ہے، جینس کا ہموار پروجیکٹو وکر ہے، اطمینان بخش ہونے پر عقلی افعال ہیں، اور اور کے تمام صفر اور قطبوں پر مشتمل پوائنٹس کا ایک مجموعہ ہے۔ پھر یہاں کسی فنکشن کی ڈگری اس نقشے کی ڈگری ہے جو اسے P1 پر لاتا ہے۔ یہ میسن نے ثابت کیا، اسی سال جے ایچ سلورمین کے ذریعہ شائع کردہ ایک متبادل مختصر ثبوت کے ساتھ۔ جے ایف وولوچ اور ڈبلیو ڈی براؤن ویل اور ڈی ڈبلیو ماسر کی وجہ سے آزادانہ طور پر ایک اور عمومی شکل ہے، جو-متغیر-اکائی مساوات کے لیے ایک اوپری حد فراہم کرتی ہے بشرطیکہ ان کا کوئی ذیلی سیٹ-لکیری طور پر منحصر نہ ہو۔ اس مفروضے کے تحت، وہ ثابت کرتے ہیں کہ حوالہ جات بیرونی میسن-اسٹورز تھیوریم اور اے بی سی قیاس، وشال لاما کو جوڑتے ہیں۔ لینگ کی کتاب سے ثبوت کا ایک صاف ورژن۔ کثیر الجہتی کے بارے میں نظریات