Unimodality
ریاضی میں، یکسانیت کا مطلب ہے ایک منفرد انداز کا حامل ہونا۔ زیادہ عام طور پر، یکسانیت کا مطلب ہے کہ کسی ریاضیاتی شے کی صرف ایک ہی اعلی ترین قدر ہے، جس کی کسی نہ کسی طرح وضاحت کی گئی ہے۔ یونیموڈل امکان کی تقسیم اعداد و شمار میں، ایک یونیموڈل امکان کی تقسیم یا یونیموڈل تقسیم ایک امکان کی تقسیم ہے جس کی ایک چوٹی ہوتی ہے۔ اس تناظر میں "موڈ" کی اصطلاح تقسیم کی کسی بھی چوٹی سے مراد ہے، نہ کہ صرف موڈ کی سخت تعریف سے جو اعداد و شمار میں معمول ہے۔ اگر کوئی واحد موڈ ہے، تو ڈسٹری بیوشن فنکشن کو "یونیموڈل" کہا جاتا ہے۔ اگر اس میں زیادہ طریقے ہیں تو یہ "بموڈل" (2)، "ٹرائموڈل" (3)، وغیرہ، یا عام طور پر، "ملٹی ماڈل" ہے۔ شکل 1 عام تقسیم کی وضاحت کرتی ہے، جو غیر معمولی ہیں۔ یونیموڈل ڈسٹری بیوشن کی دیگر مثالوں میں کاچی ڈسٹری بیوشن، اسٹوڈنٹس ٹی ڈسٹری بیوشن، چی اسکوائرڈ ڈسٹری بیوشن اور ایکسپونینشل ڈسٹری بیوشن شامل ہیں۔ مجرد تقسیموں میں، بائنومیل ڈسٹری بیوشن اور پوئسون ڈسٹری بیوشن کو یونو ماڈل کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے، حالانکہ کچھ پیرامیٹرز کے لیے ان میں ایک ہی امکان کے ساتھ دو ملحقہ اقدار ہو سکتی ہیں۔ شکل 2 اور شکل 3 بموڈل تقسیم کی وضاحت کرتے ہیں۔ دیگر تعریفیں تقسیم کے افعال میں یکسانیت کی دیگر تعریفیں بھی موجود ہیں۔ مسلسل تقسیم میں، یکسانیت کی تعریف مجموعی تقسیم فنکشن (سی ڈی ایف) کے رویے کے ذریعے کی جا سکتی ہے۔ اگر سی ڈی ایف x <m کے لیے کنویکس اور x> m کے لیے کنکیو ہے، تو تقسیم یونیموڈل ہے، m موڈ ہے۔ نوٹ کریں کہ اس تعریف کے تحت یکساں تقسیم یکساں ہے، نیز کوئی بھی دوسری تقسیم جس میں اقدار کی ایک حد کے لیے زیادہ سے زیادہ تقسیم حاصل کی جاتی ہے، جیسے۔ ٹریپیزائڈل تقسیم۔ عام طور پر یہ تعریف موڈ میں تعطل کی اجازت دیتی ہے۔ عام طور پر مسلسل تقسیم میں کسی بھی واحد قدر کا امکان صفر ہوتا ہے، جبکہ یہ تعریف موڈ میں غیر صفر امکان، یا "امکان کے ایٹم" کی اجازت دیتی ہے۔ یکسانیت کے معیار کی تعریف تقسیم کی خصوصیت کے فنکشن کے ذریعے یا اس کے لیپلیس-اسٹیلٹجز ٹرانسفارم کے ذریعے بھی کی جا سکتی ہے۔ یونو موڈل ڈسکریٹ ڈسٹری بیوشن کی وضاحت کرنے کا ایک اور طریقہ یہ ہے کہ امکانات کے فرق کی ترتیب میں اشاروں میں تبدیلیاں واقع ہوں۔ امکان ماس فنکشن کے ساتھ ایک مجرد تقسیم،، کو یونیموڈل کہا جاتا ہے اگر ترتیب میں بالکل ایک علامت کی تبدیلی ہو (جب صفر شمار نہیں ہوتے ہیں)۔ استعمال اور نتائج تقسیم کی یکسانیت کی اہمیت کی ایک وجہ یہ ہے کہ یہ کئی اہم نتائج کی اجازت دیتا ہے۔ کئی عدم مساوات ذیل میں دی گئی ہیں جو صرف غیر معمولی تقسیم کے لیے درست ہیں۔ اس طرح، اس بات کا اندازہ لگانا ضروری ہے کہ آیا دیا گیا ڈیٹا سیٹ یونیموڈل ڈسٹری بیوشن سے آتا ہے یا نہیں۔ ملٹی ماڈل ڈسٹری بیوشن پر مضمون میں یکسانیت کے کئی ٹیسٹ دیے گئے ہیں۔ عدم مساوات گاؤس کی عدم مساوات پہلا اہم نتیجہ گاؤس کی عدم مساوات ہے۔ گاؤس کی عدم مساوات اس امکان پر ایک اوپری حد دیتی ہے کہ کوئی قدر اس کے موڈ سے کسی بھی دیئے گئے فاصلے سے زیادہ ہے۔ یہ عدم مساوات یکسانیت پر منحصر ہے۔ ویسوچانسکی-پیٹونن عدم مساوات دوسرا ویسوچانسکی-پیٹونن عدم مساوات ہے، جو چیبیشیف عدم مساوات کی اصلاح ہے۔ چیبیشیف عدم مساوات اس بات کی ضمانت دیتی ہے کہ کسی بھی امکان کی تقسیم میں، "تقریبا تمام" اقدار اوسط قدر کے "قریب" ہیں۔ ویسوچانسکی-پیٹونن عدم مساوات اسے مزید قریب ترین اقدار تک بہتر بناتی ہے، بشرطیکہ تقسیم کا فنکشن مسلسل اور غیر معمولی ہو۔ سیلکے اور سیلکے نے مزید نتائج دکھائے۔ موڈ، میڈین اور مین گاؤس نے 1823 میں یہ بھی دکھایا کہ یونیموڈل ڈسٹری بیوشن کے لیے اور جہاں میڈین ν ہے، اوسط μ ہے اور ω موڈ سے جڑ کا اوسط مربع انحراف ہے۔ یہ یک مدتی تقسیم کے لیے دکھایا جا سکتا ہے کہ میڈین ν اور اوسط μ ایک دوسرے کے (3/5) 1/2 ≈ 0.7746 معیاری انحراف کے اندر ہیں۔ علامتوں میں، جہاں |۔ | مطلق قدر ہے۔ 2020 میں، برنارڈ، کازی اور وینڈفیل نے سمیٹرک کوانٹائل اوسط اور اوسط کے درمیان زیادہ سے زیادہ فاصلہ حاصل کرکے پچھلی عدم مساوات کو عام کیا، یہ بات قابل غور ہے کہ زیادہ سے زیادہ فاصلہ کم سے کم کیا جاتا ہے (یعنی جب سمیٹرک کوانٹائل اوسط کے برابر ہوتا ہے)، جو درحقیقت اوسط کے لیے ایک مضبوط تخمینہ کار کے طور پر میڈین کے عام انتخاب کو تحریک دیتا ہے۔ مزید برآں، جب باؤنڈ برابر ہوتا ہے، جو کہ میڈین اور یونیموڈل ڈسٹری بیوشن کے اوسط کے درمیان زیادہ سے زیادہ فاصلہ ہے۔ میڈین اور موڈ θ کے درمیان اسی طرح کا تعلق ہے: وہ ایک دوسرے کے معیاری انحراف کے اندر ہیں: یہ بھی دکھایا جا سکتا ہے کہ اوسط اور موڈ ایک دوسرے کے 31/2 کے اندر ہیں: سکونیس اور کرٹوسس روہتگی اور زیکلی نے دعوی کیا کہ غیر معمولی تقسیم کی سکونیس اور کرٹوسس کا تعلق عدم مساوات سے ہے: جہاں κ کرٹوسس ہے اور γ سکونیس ہے۔ کلاسین، موک ویلڈ، اور وان ایس نے دکھایا کہ یہ صرف کچھ ترتیبات پر لاگو ہوتا ہے، جیسے کہ غیر معمولی تقسیم کا مجموعہ جہاں موڈ اور مطلب موافق ہوتے ہیں۔ انہوں نے ایک کمزور عدم مساوات حاصل کی جو تمام غیر معمولی تقسیموں پر لاگو ہوتی ہے: یہ حد تیز ہے، کیونکہ یہ [0,1] پر یکساں تقسیم کے مساوی وزن کے مرکب اور {0} پر مجرد تقسیم کے ذریعے پہنچتی ہے۔ جیسا کہ "موڈل" کی اصطلاح ڈیٹا سیٹوں اور امکان کی تقسیم پر لاگو ہوتی ہے، اور عام طور پر افعال پر نہیں، مندرجہ بالا تعریفیں لاگو نہیں ہوتی ہیں۔ "یونیموڈل" کی تعریف کو حقیقی اعداد کے افعال تک بھی بڑھا دیا گیا۔ ایک عام تعریف مندرجہ ذیل ہے: ایک فنکشن f (x) ایک یونیموڈل فنکشن ہے اگر کسی قدر m کے لیے، یہ x ≤ m کے لیے یکسانیت سے بڑھ رہا ہے اور x ≤ m کے لیے یکسانیت سے کم ہو رہا ہے۔ اس صورت میں، f (x) کی زیادہ سے زیادہ قیمت f (m) ہے اور کوئی اور مقامی زیادہ سے زیادہ نہیں ہے۔ بے ضابطگی ثابت کرنا اکثر مشکل ہوتا ہے۔ ایک طریقہ اس پراپرٹی کی تعریف کو استعمال کرنے پر مشتمل ہے، لیکن یہ صرف سادہ افعال کے لیے موزوں ثابت ہوتا ہے۔ مشتقات پر مبنی ایک عمومی طریقہ موجود ہے، لیکن یہ اپنی سادگی کے باوجود ہر فنکشن کے لیے کامیاب نہیں ہوتا ہے۔ یونیموڈل افعال کی مثالوں میں منفی کواڈریٹک گتانک کے ساتھ کواڈریٹک کثیر الجہتی افعال، خیمے کے نقشے کے افعال، اور بہت کچھ شامل ہیں۔ مذکورہ بالا کا تعلق بعض اوقات اس حقیقت سے ہوتا ہے کہ یکسانیت کا مطلب مضبوط یکسانیت ہے۔ فنکشن f (x) ایک کمزور یک جہتی فنکشن ہے اگر کوئی قدر m موجود ہو جس کے لیے یہ x ≤ m کے لیے کمزور یک جہتی سے بڑھ رہا ہو اور x ≤ m کے لیے کمزور یک جہتی سے کم ہو رہا ہو۔ اس صورت میں، x کی اقدار کی مسلسل رینج کے لیے زیادہ سے زیادہ قیمت f (m) تک پہنچا جا سکتا ہے۔ کمزور یونو موڈل فنکشن کی ایک مثال جو مضبوطی سے یونو موڈل نہیں ہے، پاسکل کے مثلث میں ہر دوسری صف ہے۔ سیاق و سباق کے لحاظ سے، یونیموڈل فنکشن کسی ایسے فنکشن کا بھی حوالہ دے سکتا ہے جس میں زیادہ سے زیادہ کے بجائے صرف ایک مقامی کم از کم ہو۔ مثال کے طور پر، مقامی یونیموڈل سیمپلنگ، عددی اصلاح کرنے کا ایک طریقہ، اکثر اس طرح کے فنکشن کے ساتھ دکھایا جاتا ہے۔ یہ کہا جا سکتا ہے کہ اس توسیع کے تحت ایک یونیموڈل فنکشن ایک واحد مقامی انتہا کے ساتھ ایک فنکشن ہے۔ یونو موڈل افعال کی ایک اہم خاصیت یہ ہے کہ سرکٹم کو سرچ الگورتھم جیسے گولڈن سیکشن سرچ، ٹرنیری سرچ یا لگاتار پیرابولک انٹرپولیشن کا استعمال کرتے ہوئے پایا جا سکتا ہے۔ دیگر توسیعات ایک فنکشن f (x) "S-یونیموڈل" ہے (جسے اکثر "S-یونیموڈل نقشہ" کہا جاتا ہے) اگر اس کا شوارزیئن مشتق سب کے لیے منفی ہے، تو اہم نقطہ کہاں ہے۔ کمپیوٹیشنل جیومیٹری میں اگر کوئی فنکشن یونیموڈل ہے تو یہ فنکشن کی انتہا کو تلاش کرنے کے لیے موثر الگورتھم کے ڈیزائن کی اجازت دیتا ہے۔ ایک زیادہ عام تعریف، جو ویکٹر متغیر X کے فنکشن f (X) پر لاگو ہوتی ہے، یہ ہے کہ f یک جہتی ہے اگر ایک سے ایک تفریق پذیر نقشہ سازی X = G (Z) ایسی ہو کہ f (G (Z)) کنویکس ہو۔ عام طور پر کوئی چاہے گا کہ G (Z) نان سنگولر جیکوبین میٹرکس کے ساتھ مسلسل تفریق پذیر ہو۔ قوسیکونویکس افعال اور قوسیکونکیو افعال یکسانیت کے تصور کو ان افعال تک پھیلاتے ہیں جن کے دلائل اعلی جہتی یوکلڈین خالی جگہوں سے تعلق رکھتے ہیں۔ بموڈل ڈسٹری بیوشن حوالہ جات افعال اور نقشہ سازی ریاضیاتی تعلقات تھیوری آف پروبیبلٹی ڈسٹری بیوشن بھی دیکھیں۔