Complete lattice
ریاضی میں، ایک مکمل جالی جزوی طور پر ترتیب شدہ سیٹ ہے جس میں تمام ذیلی سیٹوں میں سپریمم (جوائن) اور انفیمم (میٹ) دونوں ہوتے ہیں۔ ایک جالی جو ان خصوصیات میں سے کم از کم ایک کو مطمئن کرتی ہے اسے مشروط طور پر مکمل جالی کہا جاتا ہے۔ موازنہ کے لیے، ایک عام جالی میں، عناصر کے صرف جوڑوں کو بالادستی اور لامحدود ہونے کی ضرورت ہوتی ہے۔ ہر غیر خالی محدود جالی مکمل ہوتی ہے، لیکن لامحدود جالی نامکمل ہو سکتی ہے۔ مکمل جالیں ریاضی اور کمپیوٹر سائنس کی بہت سی ایپلی کیشنز میں نظر آتی ہیں۔ جالی کی ایک خاص مثال ہونے کے ناطے، ان کا مطالعہ آرڈر تھیوری اور عالمگیر الجبرا دونوں میں کیا جاتا ہے۔ مکمل جالی کو مکمل جزوی آرڈرز (سی پی او ایس) کے ساتھ الجھن میں نہیں ڈالنا چاہیے، جو جزوی طور پر ترتیب شدہ سیٹوں کی سختی سے زیادہ عام کلاس تشکیل دیتے ہیں۔ مزید مخصوص مکمل جالیں مکمل بولین الجبرا اور مکمل ہیٹنگ الجبرا (لوکلز) ہیں۔ رسمی تعریف جزوی طور پر ترتیب شدہ سیٹ (L، ≤) ایک مکمل جالی ہے اگر L کے ہر ذیلی سیٹ A میں سب سے بڑی نچلی حد (لامحدود، جسے میٹ بھی کہا جاتا ہے) اور کم سے کم اوپری حد (سپریمم، جسے جوائن بھی کہا جاتا ہے) (L، ≤) دونوں ہوں۔ ملاقات کی نشاندہی کی جاتی ہے، اور اس کے ذریعے شامل ہوتا ہے۔ خاص صورت میں جہاں A خالی سیٹ ہے، A کا ملاپ L کا سب سے بڑا عنصر ہوگا۔ اسی طرح، خالی سیٹ کا جوڑ سب سے کم عنصر حاصل کرتا ہے۔ چونکہ یہ تعریف بائنری میٹس اور جوائنز کے وجود کو بھی یقینی بناتی ہے، اس طرح مکمل جالیں باؤنڈڈ جالیز کی ایک خاص کلاس بناتی ہیں۔ آرڈر تھیوری میں مکمل خصوصیات پر مضمون میں مذکورہ تعریف کے مزید مضمرات پر تبادلہ خیال کیا گیا ہے۔ مکمل سیمی لیٹس آرڈر تھیوری میں، من مانی ملاقاتوں کا اظہار من مانی جوڑوں کے لحاظ سے کیا جا سکتا ہے اور اس کے برعکس (تفصیلات کے لیے، تکمیل (آرڈر تھیوری) دیکھیں)۔ درحقیقت، اس کا مطلب یہ ہے کہ تمام مکمل جالی کی کلاس حاصل کرنے کے لیے تمام ملاقاتوں یا تمام جوڑوں کے وجود کی ضرورت کافی ہے۔ نتیجے کے طور پر، کچھ مصنفین مکمل جالی کا حوالہ دینے کے لیے ایک اور طریقہ کے طور پر مکمل میٹ سیمیلیٹس یا مکمل جوائن سیمیلیٹس کی اصطلاحات استعمال کرتے ہیں۔ اگرچہ اشیاء پر مماثلت ہے، لیکن اصطلاحات ہومومورفزم کے مختلف تصورات پر مشتمل ہیں، جیسا کہ مورفزم پر نیچے دیے گئے حصے میں بیان کیا جائے گا۔ دوسری طرف، کچھ مصنفین کو مورفزم کے اس فرق کا کوئی فائدہ نہیں ہے (خاص طور پر چونکہ "مکمل سیمی لیٹس مورفزم" کے ابھرتے ہوئے تصورات کو عام اصطلاحات میں بھی واضح کیا جا سکتا ہے)۔ نتیجتا، مکمل میٹ سیمیلیٹس کو بھی ان میٹ سیمیلیٹس کے طور پر بیان کیا گیا ہے جو مکمل جزوی آرڈر بھی ہیں۔ یہ تصور بلا شبہ ایک میٹ سیمی لیٹس کا "سب سے مکمل" تصور ہے جو ابھی تک جالی نہیں ہے (درحقیقت، صرف اوپری عنصر غائب ہو سکتا ہے)۔ یہ بحث سیمی لیٹس پر مضمون میں بھی پائی جاتی ہے۔ مکمل ذیلی جالیں L کے ذیلی جالیں M کو L کا مکمل ذیلی جالیں کہا جاتا ہے اگر M کے ہر ذیلی سیٹ A کے لیے عناصر اور، جیسا کہ L میں بیان کیا گیا ہے، دراصل M میں ہیں۔ اگر مذکورہ بالا ضرورت کو صرف غیر خالی ملنے کی ضرورت کے لیے کم کیا جاتا ہے اور M میں ہونے کے لیے جوڑ دیا جاتا ہے، تو ذیلی جالی M کو L کا بند ذیلی جالی کہا جاتا ہے۔ مشروط طور پر مکمل جالیں A جالی کو "مشروط طور پر مکمل" کہا جاتا ہے اگر یہ مندرجہ ذیل میں سے کسی ایک یا دونوں خصوصیات کو پورا کرتا ہے: اوپر سے منسلک کسی بھی ذیلی سیٹ میں کم سے کم اوپری باؤنڈ ہوتا ہے۔ کسی دیئے گئے سیٹ کا پاور سیٹ، جو شمولیت کے مطابق ترتیب دیا گیا ہو۔ بالادستی اتحاد کی طرف سے دی جاتی ہے اور لامحدود ذیلی سیٹوں کے چوراہے کی طرف سے۔ اکائی وقفہ [0,1] اور توسیعی حقیقی نمبر لائن، واقف کل ترتیب اور عام بالادستی اور انفما کے ساتھ۔ درحقیقت، ایک مکمل طور پر ترتیب شدہ سیٹ (اس کے آرڈر ٹوپولوجی کے ساتھ) ایک ٹوپولوجیکل اسپیس کے طور پر کمپیکٹ ہوتا ہے اگر یہ جالی کے طور پر مکمل ہو۔ غیر منفی عدد، تقسیم کے لحاظ سے ترتیب دیے گئے۔ اس جالی کا سب سے کم عنصر نمبر 1 ہے، کیونکہ یہ کسی دوسرے نمبر کو تقسیم کرتا ہے۔ شاید حیرت کی بات ہے کہ سب سے بڑا عنصر 0 ہے، کیونکہ اسے کسی دوسرے نمبر سے تقسیم کیا جا سکتا ہے۔ محدود سیٹوں کی بالادستی سب سے کم مشترکہ ضرب کے ذریعے دی جاتی ہے اور لامحدود سب سے بڑے مشترکہ تقسیم کار کے ذریعے دی جاتی ہے۔ لامحدود سیٹوں کے لیے، بالادستی ہمیشہ 0 ہوگی جبکہ لامحدود 1 سے زیادہ ہو سکتی ہے۔ مثال کے طور پر، تمام یکساں اعداد کے سیٹ میں 2 سب سے بڑا مشترکہ تقسیم کنندہ ہوتا ہے۔ اگر اس ڈھانچے سے 0 کو ہٹا دیا جائے تو یہ جالی بنی رہتی ہے لیکن مکمل ہونا بند ہو جاتی ہے۔ شمولیت کے تحت کسی بھی گروپ کے ذیلی گروپ۔ (اگرچہ یہاں لامحدود معمول کا سیٹ تھیوریٹک چوراہا ہے، ذیلی گروپوں کے ایک سیٹ کا بالادستی ذیلی گروپوں کے سیٹ تھیوریٹک اتحاد سے پیدا ہونے والا ذیلی گروپ ہے، نہ کہ خود سیٹ تھیوریٹک اتحاد۔) اگر ای جی کی شناخت ہے، تو معمولی گروپ {ای} جی کا کم از کم ذیلی گروپ ہے، جبکہ زیادہ سے زیادہ ذیلی گروپ خود گروپ جی ہے۔ ماڈیول کے ذیلی ماڈیول، جو شمولیت کے لحاظ سے ترتیب دیے گئے ہیں۔ سپریمم ذیلی ماڈیولز کے مجموعے اور انٹیکسشن کے ذریعے انفیمیم کے ذریعے دیا جاتا ہے۔ انگوٹھی کے آئیڈیلز، جو شمولیت کے لحاظ سے ترتیب دیے گئے ہیں۔ بالادستی آئیڈیلز کے مجموعے سے اور انفیمیم انٹرسیکشن سے دی جاتی ہے۔ ٹوپولوجیکل اسپیس کے کھلے سیٹ، جو شمولیت کے لحاظ سے ترتیب دیے گئے ہیں۔ بالادستی کھلے سیٹوں کے اتحاد کے ذریعے دی جاتی ہے اور انفیمیم چوراہے کے اندرونی حصے کے ذریعے۔ کسی حقیقی یا پیچیدہ ویکٹر اسپیس کے کنویکس سبسیٹس، جو شمولیت کے لحاظ سے ترتیب دیے گئے ہیں۔ لامحدود کنویکس سیٹوں کے چوراہے اور یونین کے کنویکس ہل کے ذریعے سپریمم کے ذریعے دیا جاتا ہے۔ ایک سیٹ پر ٹوپولوجیز، جو شمولیت کے لحاظ سے ترتیب دی گئی ہیں۔ لامحدود ٹوپولوجیز کے انٹرسیکشن کے ذریعہ دیا جاتا ہے، اور بالادستی ٹوپولوجیز کے اتحاد سے پیدا ہونے والی ٹوپولوجی کے ذریعہ دی جاتی ہے۔ ایک سیٹ پر تمام عارضی تعلقات کی جالی۔ ملٹی سیٹ کے تمام ذیلی ملٹی سیٹوں کی جالی۔ کسی سیٹ پر تمام مساوات کے تعلقات کی جالی ؛ مساوات کا تعلق ~ کو ≈ سے چھوٹا (یا "بہتر") سمجھا جاتا ہے اگر x ~ y کا مطلب ہمیشہ x ≈ y ہوتا ہے۔ وان نیومن الجبرا کے سیلف ایڈجوائنٹ پروجیکشنز (جسے آرتھوگنل پروجیکشنز بھی کہا جاتا ہے) کی جالی۔ مقامی طور پر محدود مکمل جالی ایک مکمل جالی L کو مقامی طور پر محدود کہا جاتا ہے اگر کسی بھی لامحدود ذیلی سیٹ کی بالادستی 1 کے برابر ہو، یا مساوی طور پر، سیٹ کسی کے لیے بھی محدود ہو۔ جالی (N، |) مقامی طور پر محدود ہے۔ اس جالی میں، عام طور پر "0" کی نشاندہی کرنے والا عنصر دراصل 1 ہے اور اس کے برعکس۔ مکمل جالی کے مورفزم مکمل جالی کے درمیان روایتی مورفزم مکمل ہومومورفزم (یا مکمل جالی ہومومورفزم) ہیں۔ ان کی خصوصیت ایسے افعال کے طور پر کی جاتی ہے جو تمام جوڑوں اور تمام ملاقاتوں کو محفوظ رکھتے ہیں۔ واضح طور پر، اس کا مطلب یہ ہے کہ دو مکمل جالی L اور M کے درمیان فنکشن f: L → M ایک مکمل ہومومورفزم ہے اگر اور، L کے تمام ذیلی سیٹوں A کے لیے۔ اس طرح کے فنکشن خود بخود مونوٹونک ہوتے ہیں، لیکن مکمل ہومومورفزم ہونے کی شرط حقیقت میں بہت زیادہ مخصوص ہوتی ہے۔ اس وجہ سے، مورفزم کے کمزور تصورات پر غور کرنا مفید ثابت ہو سکتا ہے، جو صرف تمام جوڑوں (زمرہ سوپ دینے) یا تمام ملاقاتوں (زمرہ انف دینے) کو محفوظ رکھنے کے لیے ضروری ہیں، جو درحقیقت غیر مساوی حالات ہیں۔ اس تصور کو بالترتیب مکمل میٹ سیمیلیٹس یا مکمل جوائن سیمیلیٹس کی ہومومورفزم سمجھا جا سکتا ہے۔ گالوئس کنکشن اور ملحقہ مزید برآں، مورفزم جو تمام جوڑوں کو محفوظ رکھتے ہیں مساوی طور پر ایک منفرد گالوئس کنکشن کے نچلے ملحقہ حصے کے طور پر نمایاں ہوتے ہیں۔ پری آرڈرز P اور Q کے کسی بھی جوڑے کے لیے، یہ مونوٹون افعال f اور g کے جوڑوں کے ذریعے دیے جاتے ہیں تاکہ جہاں f کو نچلا ملحقہ کہا جائے اور g کو اوپری ملحقہ کہا جائے۔ ملحقہ فنکٹر تھیوریم کے مطابق، پری آرڈرز کے کسی بھی جوڑے کے درمیان ایک مونوٹون نقشہ تمام جوڑوں کو محفوظ رکھتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب یہ نچلا ملحقہ ہو، اور تمام ملاقاتوں کو محفوظ رکھتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب یہ اوپری ملحقہ ہو۔ اس طرح، ہر جوڑ کو محفوظ رکھنے والا مورفزم الٹا سمت میں ایک منفرد اوپری ملحقہ کا تعین کرتا ہے جو تمام ملاقاتوں کو محفوظ رکھتا ہے۔ لہذا، مکمل سیمی لیٹس مورفزم کے ساتھ مکمل لیٹس پر غور کرنا گالوئس کنکشن کو مورفزم کے طور پر غور کرنے پر منحصر ہے۔ اس سے یہ بصیرت بھی حاصل ہوتی ہے کہ متعارف شدہ مورفزم بنیادی طور پر مکمل جالی کے صرف دو مختلف زمروں کی وضاحت کرتے ہیں: ایک مکمل ہومومورفزم کے ساتھ اور ایک ملاقات کے تحفظ کے افعال (اوپری ملحقہ) کے ساتھ، جوڑے کے تحفظ کے نقشوں (نچلے ملحقہ) کے ساتھ دوہری ہے۔ ایک خاص طور پر اہم خاص معاملہ ذیلی سیٹوں P (X) اور P (Y) کی جالی اور X سے Y تک کے فنکشن کے لیے ہے۔ اس صورت میں، پاور سیٹوں کے درمیان براہ راست تصویر اور الٹا تصویر کے نقشے بالترتیب ایک دوسرے کے اوپری اور نچلے ملحقہ ہوتے ہیں۔ آزاد تعمیر اور تکمیل آزاد "مکمل سیمی لیٹس" ہمیشہ کی طرح، آزاد اشیاء کی تعمیر کا انحصار مورفزم کی منتخب کردہ کلاس پر ہوتا ہے۔ آئیے پہلے ان افعال پر غور کریں جو تمام جوڑوں کو محفوظ رکھتے ہیں (یعنی۔ گالوئس کنکشن کے نچلے ملحقہ)، کیونکہ یہ معاملہ مکمل ہومومورفزم کی صورت حال سے زیادہ آسان ہے۔ مذکورہ بالا اصطلاحات کا استعمال کرتے ہوئے، اسے فری مکمل جوائن سیمیلیٹس کہا جا سکتا ہے۔ عالمگیر الجبرا سے معیاری تعریف کا استعمال کرتے ہوئے، پیدا کرنے والے سیٹ S پر ایک آزاد مکمل جالی ایک مکمل جالی L ہے جس کے ساتھ ایک فنکشن i: S → L ہے، اس طرح کہ S سے کسی بھی فنکشن f کو کسی مکمل جالی M کے بنیادی سیٹ میں L سے M تک کی مورفزم f° کے ذریعے منفرد طور پر فیکٹر کیا جا سکتا ہے۔ مختلف طریقے سے بیان کیا گیا ہے، S کے ہر عنصر s کے لیے ہم پاتے ہیں کہ f (s) = f° (i (s) اور یہ کہ f° اس پراپرٹی کے ساتھ واحد مورفزم ہے۔ یہ شرائط بنیادی طور پر یہ کہنے کے مترادف ہیں کہ سیٹوں اور افعال کے زمرے سے لے کر مکمل جالی اور جوڑ کو محفوظ رکھنے والے افعال کے زمرے تک ایک فنکٹر ہوتا ہے جو مکمل جالی سے لے کر ان کے بنیادی سیٹوں تک بھولے ہوئے فنکٹر سے متصل رہتا ہے۔ اس لحاظ سے آزاد مکمل جالی بہت آسانی سے بنائی جا سکتی ہے: کسی سیٹ S سے پیدا ہونے والی مکمل جالی صرف پاور سیٹ 2S ہے، یعنی۔ S کے تمام ذیلی سیٹوں کا مجموعہ، ذیلی سیٹ کی شمولیت کے مطابق ترتیب دیا گیا۔ مطلوبہ اکائی i: S → 2S S کے کسی بھی عنصر s کو سنگلٹن سیٹ {s} میں نقشہ بناتا ہے۔ اوپر کے طور پر نقشہ سازی f کو دیکھتے ہوئے، فنکشن f°: 2S → M کی تعریف اس طرح کی گئی ہے۔ پھر f° اتحادوں کو بالادستی میں تبدیل کرتا ہے اور اس طرح جوڑ کو محفوظ رکھتا ہے۔ ہمارے تحفظات مورفزموں کے لیے ایک آزاد تعمیر بھی فراہم کرتے ہیں جو جوڑنے کے بجائے ملاقاتوں کو محفوظ رکھتے ہیں (یعنی۔ گالوئس کنکشن کے اوپری ملحقہ)۔ در حقیقت، ہمیں صرف اس بات کو دوگنا کرنا ہے جو اوپر کہا گیا تھا: فری آبجیکٹ کو ریورس انکلیوژن کے ذریعے آرڈر کردہ پاور سیٹس کے طور پر دیا جاتا ہے، جیسے کہ سیٹ یونین میٹ آپریشن فراہم کرتا ہے، اور فنکشن f° کو جوائنز کے بجائے میٹ کے لحاظ سے بیان کیا جاتا ہے۔ اس تعمیر کے نتیجے کو مفت مکمل ملاقات سملیٹیس کہا جا سکتا ہے۔ کسی کو یہ بھی نوٹ کرنا چاہیے کہ یہ آزاد تعمیرات کس طرح ان میں توسیع کرتی ہیں جو مفت سیمی لیٹس حاصل کرنے کے لیے استعمال ہوتی ہیں، جہاں ہمیں صرف محدود سیٹوں پر غور کرنے کی ضرورت ہے۔ آزاد مکمل جالیاں مکمل ہومومورفزم کے ساتھ مکمل جالیں کی صورت حال واضح طور پر زیادہ پیچیدہ ہے۔ درحقیقت، آزاد مکمل جالی عام طور پر موجود نہیں ہوتی ہیں۔ یقینا، کوئی بھی لفظ کا مسئلہ تیار کر سکتا ہے جیسا کہ جالی کے معاملے میں ہوتا ہے، لیکن اس معاملے میں تمام ممکنہ الفاظ (یا "اصطلاحات") کا مجموعہ ایک مناسب کلاس ہوگا، کیونکہ من مانی ملاقاتیں اور جوڑ ہر کارڈینیلیٹی کے دلیل کے سیٹ کے لیے کارروائیوں پر مشتمل ہوتے ہیں۔ یہ خاصیت اپنے آپ میں کوئی مسئلہ نہیں ہے: جیسا کہ اوپر دیے گئے مفت مکمل سیمی لیٹس کے معاملے سے ظاہر ہوتا ہے، یہ اچھی طرح سے ہو سکتا ہے کہ لفظ مسئلہ کا حل صرف مساوات کی کلاسوں کا ایک مجموعہ چھوڑتا ہے۔ دوسرے لفظوں میں، یہ ممکن ہے کہ تمام اصطلاحات کی کلاس کی مناسب کلاسوں کا ایک ہی معنی ہو اور اس طرح آزاد تعمیر میں ان کی شناخت کی جائے۔ تاہم، مکمل جالی کے لفظ کے مسئلے کے لیے مساوات کی کلاسیں "بہت چھوٹی" ہیں، اس طرح کہ مفت مکمل جالی اب بھی ایک مناسب کلاس ہوگی، جس کی اجازت نہیں ہے۔ اب بھی کوئی امید کر سکتا ہے کہ کچھ مفید معاملات ایسے ہیں جہاں جنریٹرز کا سیٹ آزاد مکمل جالی کے وجود کے لیے کافی چھوٹا ہے۔ بدقسمتی سے، سائز کی حد بہت کم ہے اور ہمارے پاس مندرجہ ذیل نظریہ ہے: تین جنریٹرز پر آزاد مکمل جالی موجود نہیں ہے۔ یہ ایک مناسب کلاس ہے۔ اس بیان کا ثبوت جان اسٹون نے دیا ہے ؛ اصل دلیل الفریڈ ڈبلیو ہیلز سے منسوب ہے ؛ مفت جالی پر مضمون بھی دیکھیں۔ تکمیل اگر اوپر سمجھے گئے جنریٹرز کے سیٹ کی جگہ استعمال ہونے والے دیئے گئے پوزیٹ سے مکمل جالی آزادانہ طور پر تیار کی جاتی ہے، تو کوئی پوزیٹ کی تکمیل کی بات کرتا ہے۔ اس آپریشن کے نتیجے کی تعریف آزاد اشیاء کی مذکورہ بالا تعریف سے ملتی جلتی ہے، جہاں "سیٹ" اور "فنکشنز" کو "پوسیٹس" اور "مونوٹون میپنگز" سے تبدیل کیا جاتا ہے۔ اسی طرح، کوئی بھی تکمیل کے عمل کو مونوٹون افعال کے ساتھ پوسیٹس کے زمرے سے لے کر مناسب مورفزم کے ساتھ مکمل جالی کے کچھ زمرے تک فنکٹر کے طور پر بیان کر سکتا ہے جو مخالف سمت میں بھولنے والے فنکٹر سے متصل رہ جاتا ہے۔ جب تک کوئی ملنے یا شامل ہونے کے تحفظ کے افعال کو مورفزم سمجھتا ہے، یہ نام نہاد ڈیڈیکائنڈ میک نیل تکمیل کے ذریعے آسانی سے حاصل کیا جا سکتا ہے۔ اس عمل کے لیے، پوزیٹ کے عناصر کو (ڈیڈیکائنڈ-) کٹ پر نقشہ بنایا جاتا ہے، جس کے بعد من مانی مکمل جالی کے بنیادی پوزیٹ پر اسی طرح نقشہ بنایا جا سکتا ہے جس طرح اوپر سیٹ اور فری مکمل (نیم) جالی کے لیے کیا جاتا ہے۔ مذکورہ بالا نتیجہ کہ مفت مکمل جالی موجود نہیں ہے اس کا مطلب یہ ہے کہ پوسیٹ سے مفت تعمیر بھی ممکن نہیں ہے۔ یہ آسانی سے ایک مجرد ترتیب کے ساتھ پوزیشنوں پر غور کرنے سے دیکھا جاتا ہے، جہاں ہر عنصر کا تعلق صرف خود سے ہوتا ہے۔ یہ بالکل ایک بنیادی سیٹ پر مفت پوسیٹ ہیں۔ کیا پوسیٹس سے مکمل جالی کی آزاد تعمیر ہوگی، تب دونوں تعمیرات تشکیل دی جا سکتی ہیں، جو اوپر کے منفی نتیجہ سے متصادم ہیں۔ نمائندگی پہلے سے ہی جی برخوف کی لیٹیس تھیوری کتاب میں نمائندگی کا ایک بہت مفید طریقہ موجود ہے۔ یہ تعلق سے گالوئس کنکشن بنا کر دو سیٹوں کے درمیان کسی بھی بائنری تعلق سے ایک مکمل جالی کو جوڑتا ہے، جو اس کے بعد دو دوہری آئسومورفک بندش کے نظام کی طرف جاتا ہے۔ بندش کے نظام سیٹوں کے چوراہے بند خاندان ہوتے ہیں۔ جب سب سیٹ ریلیشن کے ذریعہ آرڈر کیا جاتا ہے، تو وہ مکمل جالی ہوتے ہیں۔ برخوف کی تعمیر کی ایک خاص مثال ایک صوابدیدی پوزیشن (P، ≤) سے شروع ہوتی ہے اور P اور خود کے درمیان آرڈر ریلیشن ≤ سے گالوئس کنکشن کی تعمیر کرتی ہے۔ اس کے نتیجے میں مکمل جالی ڈیڈیکائنڈ-میک نیل تکمیل ہے۔ جب اس تکمیل کو کسی ایسے پوسیٹ پر لاگو کیا جاتا ہے جو پہلے سے ہی ایک مکمل جالی ہے، تو نتیجہ اصل کے لیے آئسومورفک ہوتا ہے۔ اس طرح ہم فوری طور پر پاتے ہیں کہ آئسومورفزم تک ہر مکمل جالی کی نمائندگی برخوف کے طریقہ کار سے ہوتی ہے۔ تعمیر کو رسمی تصور کے تجزیے میں استعمال کیا جاتا ہے، جہاں کوئی بائنری تعلقات (جسے رسمی سیاق و سباق کہا جاتا ہے) کے ذریعہ حقیقی لفظ کے ڈیٹا کی نمائندگی کرتا ہے اور ڈیٹا تجزیہ کے لیے متعلقہ مکمل جالی (جسے تصور جالی کہا جاتا ہے) کا استعمال کرتا ہے۔ اس لیے رسمی تصور تجزیہ کے پیچھے ریاضی مکمل جالی کا نظریہ ہے۔ ایک اور نمائندگی مندرجہ ذیل طور پر حاصل کی جاتی ہے: ایک مکمل جالی کا ذیلی سیٹ خود ایک مکمل جالی ہے (جب انڈیوسڈ آرڈر کے ساتھ آرڈر کیا جاتا ہے) اگر اور صرف اس صورت میں جب یہ بڑھتے ہوئے اور مثالی (لیکن ضروری نہیں کہ وسیع) سیلف میپ کی تصویر ہو۔ شناخت کی نقشہ سازی میں واضح طور پر یہ دو خصوصیات ہیں۔ اس طرح تمام مکمل جالیاں بن جاتی ہیں۔ مزید نتائج پچھلے نمائندگی کے نتائج کے علاوہ، کچھ دوسرے بیانات ہیں جو مکمل جالی کے بارے میں بنائے جا سکتے ہیں، یا جو اس معاملے میں خاص طور پر آسان شکل اختیار کرتے ہیں۔ ایک مثال نیسٹر-ٹارسکی تھیوریم ہے، جس میں کہا گیا ہے کہ ایک مکمل جالی پر مونوٹون فنکشن کے فکسڈ پوائنٹس کا سیٹ دوبارہ ایک مکمل جالی ہے۔ یہ آسانی سے بڑھتے ہوئے اور غیر فعال افعال کی تصاویر کے بارے میں مذکورہ بالا مشاہدے کی عمومی شکل کے طور پر دیکھا جاتا ہے، کیونکہ یہ تھیوریم کی مثالیں ہیں۔ حوالہ جات بندش آپریٹرز لیٹیس تھیوری