Stochastic process
امکانی نظریہ اور متعلقہ شعبوں میں، سٹاکاسٹک () یا بے ترتیب عمل ایک ریاضیاتی شے ہے جسے عام طور پر بے ترتیب متغیرات کی ترتیب کے طور پر بیان کیا جاتا ہے، جہاں ترتیب کے اشاریہ میں وقت کی تشریح ہوتی ہے۔ غیر معمولی عمل کو وسیع پیمانے پر نظاموں اور مظاہر کے ریاضیاتی نمونوں کے طور پر استعمال کیا جاتا ہے جو بے ترتیب انداز میں مختلف ہوتے دکھائی دیتے ہیں۔ مثالوں میں بیکٹیریا کی آبادی میں اضافہ، تھرمل شور کی وجہ سے برقی کرنٹ میں اتار چڑھاؤ، یا گیس کے مالیکیول کی حرکت شامل ہیں۔ اسٹوکاسٹک عمل کے بہت سے مضامین جیسے حیاتیات، کیمسٹری، ماحولیات، نیورو سائنس، طبیعیات، امیج پروسیسنگ، سگنل پروسیسنگ، کنٹرول تھیوری، انفارمیشن تھیوری، کمپیوٹر سائنس، اور ٹیلی مواصلات میں استعمال ہوتے ہیں۔ مزید برآں، مالیاتی منڈیوں میں بظاہر بے ترتیب تبدیلیوں نے مالیات میں غیر معمولی عمل کے وسیع استعمال کو تحریک دی ہے۔ ایپلی کیشنز اور مظاہر کے مطالعہ نے بدلے میں نئے اسٹاکسٹک عمل کی تجویز کو متاثر کیا ہے۔ اس طرح کے سٹوچسٹک عمل کی مثالوں میں وینر عمل یا براؤنین موشن عمل شامل ہے، جسے لوئس بیچلیئر نے پیرس بورس پر قیمتوں میں ہونے والی تبدیلیوں کا مطالعہ کرنے کے لیے استعمال کیا، اور پوسن عمل، جسے اے کے ایرلانگ نے ایک مخصوص مدت میں ہونے والی فون کالوں کی تعداد کا مطالعہ کرنے کے لیے استعمال کیا۔ ان دو غیر تاریخی عملوں کو غیر تاریخی عملوں کے نظریہ میں سب سے اہم اور مرکزی سمجھا جاتا ہے، اور باچلیئر اور ایرلانگ سے پہلے اور بعد میں، مختلف ترتیبات اور ممالک میں بار بار اور آزادانہ طور پر دریافت کیا گیا تھا۔ بے ترتیب فنکشن کی اصطلاح سٹاکسٹک یا بے ترتیب عمل کا حوالہ دینے کے لیے بھی استعمال ہوتی ہے، کیونکہ سٹاکسٹک عمل کو فنکشن کی جگہ میں بے ترتیب عنصر کے طور پر بھی سمجھا جا سکتا ہے۔ اسٹاکسٹک عمل اور بے ترتیب عمل کی اصطلاحات ایک دوسرے کے بدلے استعمال کی جاتی ہیں، اکثر اس سیٹ کے لیے کوئی مخصوص ریاضیاتی جگہ نہیں ہوتی جو بے ترتیب متغیرات کو انڈیکس کرتی ہے۔ لیکن اکثر یہ دونوں اصطلاحات اس وقت استعمال ہوتی ہیں جب بے ترتیب متغیرات کو انٹیجرز یا حقیقی لائن کے وقفے سے انڈیکس کیا جاتا ہے۔ اگر بے ترتیب متغیرات کو کارٹیشین طیارہ یا کسی اعلی جہتی یوکلڈین اسپیس کے ذریعہ انڈیکس کیا جاتا ہے، تو بے ترتیب متغیرات کے مجموعے کو عام طور پر اس کے بجائے بے ترتیب فیلڈ کہا جاتا ہے۔ سٹاکسٹک عمل کی اقدار ہمیشہ اعداد نہیں ہوتیں اور وہ ویکٹر یا دیگر ریاضیاتی اشیاء ہو سکتی ہیں۔ ان کی ریاضیاتی خصوصیات کی بنیاد پر، سٹوچسٹک عمل کو مختلف زمروں میں تقسیم کیا جا سکتا ہے، جن میں بے ترتیب چہل قدمی، مارٹنگیلز، مارکوف عمل، لیوی عمل، گوسیائی عمل، بے ترتیب میدان، تجدید عمل، اور شاخ سازی کے عمل شامل ہیں۔ سٹوچسٹک عمل کا مطالعہ ریاضیاتی علم اور امکانات، کیلکولس، لکیری الجبرا، سیٹ تھیوری، اور ٹوپولوجی کے ساتھ ساتھ ریاضیاتی تجزیہ کی شاخوں جیسے حقیقی تجزیہ، پیمائش تھیوری، فورئیر تجزیہ، اور فنکشنل تجزیہ کا استعمال کرتا ہے۔ سٹاکسٹک عمل کے نظریہ کو ریاضی میں ایک اہم شراکت سمجھا جاتا ہے اور یہ نظریاتی وجوہات اور اطلاق دونوں کے لیے تحقیق کا ایک فعال موضوع بنا ہوا ہے۔ اسٹاکسٹک یا بے ترتیب عمل کو بے ترتیب متغیرات کے مجموعے کے طور پر بیان کیا جا سکتا ہے جو کسی ریاضیاتی سیٹ کے ذریعہ انڈیکس کیا جاتا ہے، جس کا مطلب ہے کہ اسٹاکسٹک عمل کا ہر بے ترتیب متغیر سیٹ کے کسی عنصر سے منفرد طور پر وابستہ ہوتا ہے۔ بے ترتیب متغیرات کو انڈیکس کرنے کے لیے استعمال ہونے والے سیٹ کو انڈیکس سیٹ کہا جاتا ہے۔ تاریخی طور پر، انڈیکس سیٹ حقیقی لکیر کا کچھ ذیلی سیٹ تھا، جیسے کہ قدرتی اعداد، جو انڈیکس سیٹ کو وقت کی تشریح دیتے ہیں۔ مجموعہ میں ہر بے ترتیب متغیر اسی ریاضیاتی جگہ سے اقدار لیتا ہے جسے اسٹیٹ اسپیس کہا جاتا ہے۔ یہ ریاستی جگہ، مثال کے طور پر، عدد، حقیقی لکیر یا-جہتی یوکلڈین جگہ ہو سکتی ہے۔ انکریمنٹ وہ رقم ہے جو ایک اسٹاکسٹک عمل دو انڈیکس ویلیوز کے درمیان تبدیل ہوتا ہے، جسے اکثر وقت میں دو پوائنٹس کے طور پر سمجھا جاتا ہے۔ اسٹوکاسٹک عمل کے بے ترتیب ہونے کی وجہ سے اس کے بہت سے نتائج ہو سکتے ہیں، اور اسٹوکاسٹک عمل کے ایک واحد نتیجہ کو دوسرے ناموں کے علاوہ، نمونہ فنکشن یا احساس کہا جاتا ہے۔ درجہ بندی ایک غیر معمولی عمل کو مختلف طریقوں سے درجہ بندی کیا جا سکتا ہے، مثال کے طور پر، اس کی ریاستی جگہ، اس کے اشاریہ سیٹ، یا بے ترتیب متغیرات کے درمیان انحصار کے لحاظ سے۔ درجہ بندی کا ایک عام طریقہ انڈیکس سیٹ اور اسٹیٹ اسپیس کی بنیادی حیثیت سے ہے۔ جب وقت کے طور پر تشریح کی جاتی ہے، اگر کسی سٹوچسٹک عمل کے انڈیکس سیٹ میں عناصر کی ایک محدود یا قابل گنتی تعداد ہوتی ہے، جیسے کہ اعداد کا ایک محدود سیٹ، انٹیجرز کا سیٹ، یا قدرتی اعداد، تو اسٹوچسٹک عمل کو مجرد وقت میں کہا جاتا ہے۔ اگر انڈیکس سیٹ حقیقی لکیر کا کچھ وقفہ ہے، تو وقت کو مسلسل کہا جاتا ہے۔ دو قسم کے سٹوچسٹک عمل کو بالترتیب مجرد وقت اور مسلسل وقت کے سٹوچسٹک عمل کہا جاتا ہے۔ ڈسکریٹ ٹائم سٹوچسٹک عمل کا مطالعہ کرنا آسان سمجھا جاتا ہے کیونکہ مسلسل وقت کے عمل کے لیے زیادہ جدید ریاضیاتی تکنیکوں اور علم کی ضرورت ہوتی ہے، خاص طور پر انڈیکس سیٹ کے بے شمار ہونے کی وجہ سے۔ اگر انڈیکس سیٹ انٹیجرز، یا ان کا کچھ ذیلی سیٹ ہے، تو اسٹوچسٹک عمل کو بے ترتیب ترتیب بھی کہا جا سکتا ہے۔ اگر اسٹیٹ اسپیس انٹیجرز یا نیچرل نمبرز ہیں، تو اسٹوچسٹک عمل کو مجرد یا انٹیجر ویلیوڈ اسٹوچسٹک عمل کہا جاتا ہے۔ اگر اسٹیٹ اسپیس حقیقی لکیر ہے، تو اسٹوچسٹک عمل کو حقیقی قدر والا اسٹوچسٹک عمل یا مسلسل اسٹیٹ اسپیس والا عمل کہا جاتا ہے۔ اگر ریاستی جگہ-جہتی یوکلڈین جگہ ہے، تو اسٹوکاسٹک عمل کو-جہتی ویکٹر عمل یا-ویکٹر عمل کہا جاتا ہے۔ انگریزی میں لفظ سٹوچسٹک اصل میں "قیاس آرائی سے متعلق" کی تعریف کے ساتھ ایک صفت کے طور پر استعمال کیا گیا تھا، اور یہ ایک یونانی لفظ سے نکلا ہے جس کا مطلب ہے "ایک نشان، اندازہ لگانا"، اور آکسفورڈ انگلش ڈکشنری سال 1662 کو اس کے ابتدائی واقعہ کے طور پر پیش کرتی ہے۔ امکان آرس کانجیکٹینڈی پر اپنے کام میں، جو اصل میں 1713 میں لاطینی میں شائع ہوا، جیکب برنولی نے "آرس کانجیکٹینڈی سیو اسٹوکاسٹیس" کا جملہ استعمال کیا، جس کا ترجمہ "قیاس آرائی یا اسٹوکاسٹکس کے فن" میں کیا گیا ہے۔ یہ فقرہ برنولی کے حوالے سے لاڈیسلاس بورٹکیویکس نے استعمال کیا تھا جس نے 1917 میں جرمن میں لفظ اسٹوکاسٹک ایک معنی کے ساتھ لکھا تھا جس کا مطلب بے ترتیب ہے۔ اسٹاکسٹک عمل کی اصطلاح پہلی بار انگریزی میں 1934 میں جوزف ڈوب کے مقالے میں شائع ہوئی تھی۔ اصطلاح اور ایک مخصوص ریاضیاتی تعریف کے لیے، ڈوب نے 1934 کے ایک اور مقالے کا حوالہ دیا، جس میں اسٹاکاسٹیشر پروزیس کی اصطلاح جرمن میں الیگزینڈر کھنچن نے استعمال کی تھی، حالانکہ جرمن اصطلاح پہلے استعمال کی گئی تھی، مثال کے طور پر، آندرے کولموگوروف نے 1931 میں۔ آکسفورڈ انگلش ڈکشنری کے مطابق، انگریزی میں بے ترتیب لفظ کے اس کے موجودہ معنی کے ساتھ ابتدائی واقعات، جو اتفاق یا قسمت سے متعلق ہیں، 16 ویں صدی کے ہیں، جبکہ اس سے پہلے درج کردہ استعمال 14 ویں صدی میں ایک اسم کے طور پر شروع ہوئے جس کا مطلب ہے "بے دلی، زبردست رفتار، طاقت، یا تشدد (سواری، دوڑنے، مارنے وغیرہ میں)"۔ یہ لفظ خود ایک درمیانی فرانسیسی لفظ سے آیا ہے جس کا مطلب ہے "رفتار، جلد بازی"، اور یہ شاید ایک فرانسیسی فعل سے ماخوذ ہے جس کا مطلب ہے "دوڑنا" یا "تیز دوڑنا"۔ بے ترتیب عمل کی اصطلاح کا پہلا تحریری ظہور اسٹاکسٹک عمل سے پہلے کا ہے، جسے آکسفورڈ انگلش ڈکشنری بھی مترادف قرار دیتی ہے، اور اسے 1888 میں شائع ہونے والے فرانسس ایڈجورتھ کے ایک مضمون میں استعمال کیا گیا تھا۔ اسٹاکسٹک عمل کی تعریف مختلف ہوتی ہے، لیکن اسٹاکسٹک عمل کو روایتی طور پر کسی سیٹ کے ذریعہ انڈیکس کیے گئے بے ترتیب متغیرات کے مجموعے کے طور پر بیان کیا جاتا ہے۔ بے ترتیب عمل اور سٹوچسٹک عمل کی اصطلاحات کو مترادف سمجھا جاتا ہے اور انڈیکس سیٹ کی قطعی وضاحت کے بغیر ایک دوسرے کے ساتھ استعمال کیا جاتا ہے۔ "کلیکشن" یا "فیملی" دونوں استعمال کیے جاتے ہیں جبکہ "انڈیکس سیٹ" کے بجائے بعض اوقات "پیرامیٹر سیٹ" یا "پیرامیٹر اسپیس" کی اصطلاحات استعمال کی جاتی ہیں۔ بے ترتیب فنکشن کی اصطلاح اسٹاکسٹک یا بے ترتیب عمل کی طرف اشارہ کرنے کے لیے بھی استعمال ہوتی ہے، حالانکہ بعض اوقات یہ صرف اس وقت استعمال ہوتی ہے جب اسٹاکسٹک عمل حقیقی اقدار لیتا ہے۔ یہ اصطلاح اس وقت بھی استعمال کی جاتی ہے جب انڈیکس سیٹ حقیقی لکیر کے علاوہ ریاضیاتی خالی جگہیں ہوں، جبکہ اسٹاکسٹک عمل اور بے ترتیب عمل کی اصطلاحات عام طور پر اس وقت استعمال کی جاتی ہیں جب انڈیکس سیٹ کو وقت کے طور پر سمجھا جاتا ہے، اور دیگر اصطلاحات بے ترتیب فیلڈ جیسے استعمال کی جاتی ہیں جب انڈیکس سیٹ-جہتی یوکلڈین اسپیس یا کئی گنا ہوتا ہے۔ نوٹیشن ایک اسٹاکسٹک عمل کو دوسرے طریقوں کے علاوہ، بذریعہ، یا صرف یا کے طور پر ظاہر کیا جا سکتا ہے، حالانکہ اسے فنکشن نوٹیشن کا غلط استعمال سمجھا جاتا ہے۔ مثال کے طور پر، یا انڈیکس کے ساتھ بے ترتیب متغیر کا حوالہ دینے کے لیے استعمال ہوتے ہیں، نہ کہ پورے سٹوچسٹک عمل کے لیے۔ اگر انڈیکس سیٹ ہے، تو کوئی لکھ سکتا ہے، مثال کے طور پر، سٹوچسٹک عمل کو ظاہر کرنے کے لیے۔ برنولی عمل کی مثالیں سب سے آسان سٹوچسٹک عمل میں سے ایک برنولی عمل ہے، جو آزاد اور یکساں طور پر تقسیم شدہ (آئی آئی ڈی) بے ترتیب متغیرات کا ایک سلسلہ ہے، جہاں ہر بے ترتیب متغیر یا تو ایک یا صفر کی قدر لیتا ہے، فرض کریں کہ امکان کے ساتھ ایک اور امکان کے ساتھ صفر۔ اس عمل کو ایک سکے کو بار بار پلٹانے سے جوڑا جا سکتا ہے، جہاں سر حاصل کرنے کا امکان ہے اور اس کی قیمت ایک ہے، جبکہ دم کی قیمت صفر ہے۔ دوسرے لفظوں میں، برنولی عمل آئی آئی ڈی برنولی بے ترتیب متغیرات کا ایک سلسلہ ہے، جہاں ہر سکے کا پلٹنا برنولی ٹرائل کی ایک مثال ہے۔ رینڈم واک اسٹوکاسٹک عمل ہیں جن کی تعریف عام طور پر یوکلڈین اسپیس میں آئی آئی ڈی رینڈم متغیرات یا رینڈم ویکٹرز کے مجموعے کے طور پر کی جاتی ہے، لہذا یہ وہ عمل ہیں جو مجرد وقت میں تبدیل ہوتے ہیں۔ لیکن کچھ لوگ اس اصطلاح کو ان عملوں کی طرف اشارہ کرنے کے لیے بھی استعمال کرتے ہیں جو مسلسل وقت میں بدلتے ہیں، خاص طور پر فنانس میں استعمال ہونے والا وینر عمل، جس کی وجہ سے کچھ الجھن پیدا ہوئی ہے، جس کے نتیجے میں اس کی تنقید ہوئی ہے۔ بے ترتیب چہل قدمی کی دیگر مختلف اقسام ہیں، جن کی وضاحت اس طرح کی گئی ہے کہ ان کی ریاستی جگہیں دیگر ریاضیاتی اشیاء، جیسے جالی اور گروہ ہو سکتی ہیں، اور عام طور پر ان کا بہت زیادہ مطالعہ کیا جاتا ہے اور مختلف شعبوں میں ان کے بہت سے استعمال ہوتے ہیں۔ بے ترتیب چہل قدمی کی ایک کلاسک مثال سادہ بے ترتیب چہل قدمی کے نام سے جانی جاتی ہے، جو کہ مجرد وقت میں ایک غیر معمولی عمل ہے جس میں عدد ریاستی جگہ کے طور پر ہوتے ہیں، اور یہ برنولی عمل پر مبنی ہوتا ہے، جہاں ہر برنولی متغیر مثبت یا منفی قدر لیتا ہے۔ دوسرے لفظوں میں، سادہ بے ترتیب چہل قدمی انٹیجرز پر ہوتی ہے، اور اس کی قیمت امکانات کے ساتھ ایک سے بڑھ جاتی ہے، کہتے ہیں، یا امکانات کے ساتھ ایک سے کم ہو جاتی ہے، لہذا اس بے ترتیب چہل قدمی کا انڈیکس سیٹ قدرتی اعداد ہے، جبکہ اس کی ریاستی جگہ انٹیجرز ہے۔ اگر، اس بے ترتیب چہل قدمی کو سمیٹرک بے ترتیب چہل قدمی کہا جاتا ہے۔ وینر عمل وینر عمل ایک غیر معمولی عمل ہے جس میں مستحکم اور آزاد انکریمنٹس ہوتے ہیں جو عام طور پر انکریمنٹس کے سائز کی بنیاد پر تقسیم کیے جاتے ہیں۔ وینر عمل کا نام نوربرٹ وینر کے نام پر رکھا گیا ہے، جس نے اپنے ریاضیاتی وجود کو ثابت کیا، لیکن اس عمل کو براؤنین موشن پروسیس یا صرف براؤنین موشن بھی کہا جاتا ہے کیونکہ اس کا تاریخی تعلق مائعوں میں براؤنین حرکت کے نمونے کے طور پر ہے۔ امکان کے نظریہ میں مرکزی کردار ادا کرتے ہوئے، وینر عمل کو اکثر سب سے اہم اور مطالعہ شدہ اسٹاکسٹک عمل سمجھا جاتا ہے، جس کا تعلق دیگر اسٹاکسٹک عمل سے ہوتا ہے۔ اس کا انڈیکس سیٹ اور اسٹیٹ اسپیس بالترتیب غیر منفی نمبر اور حقیقی نمبر ہیں، لہذا اس میں مسلسل انڈیکس سیٹ اور اسٹیٹس اسپیس دونوں ہیں۔ لیکن اس عمل کو زیادہ عام طور پر بیان کیا جا سکتا ہے تاکہ اس کی ریاستی جگہ-جہتی یوکلڈین جگہ ہو۔ اگر کسی اضافے کا اوسط صفر ہے، تو اس کے نتیجے میں ہونے والے وینر یا براؤنین حرکت کے عمل کو صفر بہاؤ کہا جاتا ہے۔ اگر وقت میں کسی بھی دو پوائنٹس کے لیے انکریمنٹ کا اوسط وقت کے فرق کو کسی مستقل سے ضرب دینے کے برابر ہے، جو کہ ایک حقیقی نمبر ہے، تو اس کے نتیجے میں ہونے والے سٹوچسٹک عمل کو ڈرفٹ کہا جاتا ہے۔ تقریبا یقینی طور پر، وینر عمل کا ایک نمونہ راستہ ہر جگہ مسلسل ہوتا ہے لیکن کہیں بھی تفریق کے قابل نہیں ہوتا ہے۔ اسے سادہ بے ترتیب چہل قدمی کا ایک مسلسل ورژن سمجھا جا سکتا ہے۔ یہ عمل دوسرے سٹوچسٹک عمل کی ریاضیاتی حد کے طور پر پیدا ہوتا ہے جیسے کہ کچھ بے ترتیب چہل قدمی، جو کہ ڈونسکر تھیوریم یا انواریینس اصول کا موضوع ہے، جسے فنکشنل سنٹرل لمٹ تھیوریم بھی کہا جاتا ہے۔ وینر عمل اسٹاکسٹک عمل کے کچھ اہم خاندانوں کا رکن ہے، بشمول مارکوف عمل، لیوی عمل اور گوسی عمل۔ اس عمل کے بہت سے استعمال بھی ہیں اور یہ سٹوچسٹک کیلکولس میں استعمال ہونے والا اہم سٹوچسٹک عمل ہے۔ یہ مقداری مالیات میں مرکزی کردار ادا کرتا ہے، جہاں اسے استعمال کیا جاتا ہے، مثال کے طور پر، بلیک-شولز-مرٹن ماڈل میں۔ یہ عمل مختلف شعبوں میں بھی استعمال ہوتا ہے، بشمول قدرتی علوم کی اکثریت کے ساتھ ساتھ سماجی علوم کی کچھ شاخیں، مختلف بے ترتیب مظاہر کے ریاضیاتی نمونے کے طور پر۔ پوسن عمل پوسن عمل ایک غیر معمولی عمل ہے جس کی مختلف شکلیں اور تعریفیں ہیں۔ اسے گنتی کے عمل کے طور پر بیان کیا جا سکتا ہے، جو کہ ایک غیر معمولی عمل ہے جو کچھ وقت تک پوائنٹس یا واقعات کی بے ترتیب تعداد کی نمائندگی کرتا ہے۔ عمل کے پوائنٹس کی تعداد جو صفر سے کسی مقررہ وقت کے وقفے میں واقع ہوتی ہے وہ ایک پوسن بے ترتیب متغیر ہے جو اس وقت اور کچھ پیرامیٹر پر منحصر ہے۔ اس عمل میں قدرتی اعداد اس کی ریاستی جگہ کے طور پر اور غیر منفی اعداد اس کے انڈیکس سیٹ کے طور پر ہوتے ہیں۔ اس عمل کو پوسن گنتی کا عمل بھی کہا جاتا ہے، کیونکہ اس کی تشریح گنتی کے عمل کی مثال کے طور پر کی جا سکتی ہے۔ اگر ایک پوئسون عمل کو ایک مثبت مستقل کے ساتھ بیان کیا جاتا ہے، تو اس عمل کو یکساں پوئسون عمل کہا جاتا ہے۔ یکساں پوسن عمل اسٹاکسٹک عمل کی اہم کلاسوں جیسے مارکوف عمل اور لیوی عمل کا ایک رکن ہے۔ یکساں پوسن کے عمل کی تعریف اور عمومی شکل مختلف طریقوں سے کی جا سکتی ہے۔ اس کی تعریف اس طرح کی جا سکتی ہے کہ اس کا انڈیکس سیٹ حقیقی لکیر ہو، اور اس سٹوچسٹک عمل کو اسٹیشنری پوسن عمل بھی کہا جاتا ہے۔ اگر پوئیسن عمل کے پیرامیٹر مستقل کو کسی غیر منفی انٹیگریبل فنکشن سے تبدیل کیا جاتا ہے، تو اس کے نتیجے میں ہونے والے عمل کو غیر یکساں یا غیر یکساں پوئیسن عمل کہا جاتا ہے، جہاں عمل کے نکات کی اوسط کثافت اب مستقل نہیں رہتی ہے۔ قطاری نظریہ میں ایک بنیادی عمل کے طور پر کام کرتے ہوئے، پوسن عمل ریاضیاتی ماڈلز کے لیے ایک اہم عمل ہے، جہاں یہ مخصوص ٹائم ونڈوز میں تصادفی طور پر واقع ہونے والے واقعات کے ماڈلز کے لیے ایپلی کیشنز تلاش کرتا ہے۔ حقیقی لکیر پر متعین، پوسن کے عمل کی تشریح دیگر بے ترتیب اشیاء کے درمیان ایک غیر معمولی عمل کے طور پر کی جا سکتی ہے۔ لیکن پھر اس کی تعریف-جہتی یوکلڈین اسپیس یا دیگر ریاضیاتی خالی جگہوں پر کی جا سکتی ہے، جہاں اس کی تشریح اکثر اسٹاکسٹک عمل کے بجائے بے ترتیب سیٹ یا بے ترتیب گنتی کی پیمائش کے طور پر کی جاتی ہے۔ اس ترتیب میں، پوئیسن عمل، جسے پوئیسن پوائنٹ عمل بھی کہا جاتا ہے، اطلاق اور نظریاتی وجوہات دونوں کے لیے امکانی نظریہ میں سب سے اہم اشیاء میں سے ایک ہے۔ لیکن یہ تبصرہ کیا گیا ہے کہ پوسن کے عمل کو اتنی توجہ نہیں ملتی جتنی اسے ملنی چاہیے، جزوی طور پر اس کی وجہ یہ ہے کہ اسے اکثر صرف حقیقی لکیر پر سمجھا جاتا ہے، اور دیگر ریاضیاتی جگہوں پر نہیں۔ تعریفیں اسٹوکاسٹک عمل ایک اسٹوکاسٹک عمل کی تعریف بے ترتیب متغیرات کے مجموعے کے طور پر کی گئی ہے جس کی وضاحت مشترکہ امکان کی جگہ پر کی گئی ہے، جہاں ایک نمونہ جگہ ہے، ایک-الجبرا ہے، اور امکان کی پیمائش ہے۔ اور بے ترتیب متغیرات، جو کسی سیٹ کے ذریعہ انڈیکس کیے جاتے ہیں، سب ایک ہی ریاضیاتی جگہ میں اقدار لیتے ہیں، جو کچھ-الجبرا کے حوالے سے قابل پیمائش ہونا ضروری ہے۔ دوسرے لفظوں میں، کسی دی گئی امکانی جگہ اور قابل پیمائش جگہ کے لیے، سٹاکاسٹک عمل-ویلیوڈ بے ترتیب متغیرات کا مجموعہ ہے، جسے اس طرح لکھا جا سکتا ہے: تاریخی طور پر، قدرتی علوم کے بہت سے مسائل میں ایک نقطہ وقت کا معنی رکھتا تھا، اسی طرح ایک بے ترتیب متغیر ہے جو وقت پر مشاہدہ کردہ قدر کی نمائندگی کرتا ہے۔ ایک سٹوچسٹک عمل کو اس بات کی عکاسی کرنے کے لیے بھی لکھا جا سکتا ہے کہ یہ دراصل دو متغیرات کا ایک فعل ہے، اور۔ اسٹوچسٹک عمل پر غور کرنے کے دوسرے طریقے بھی ہیں، جن میں مذکورہ تعریف کو روایتی سمجھا جاتا ہے۔ مثال کے طور پر، ایک سٹوچسٹک عمل کی تشریح یا تعریف ایک-ویلیوڈ بے ترتیب متغیر کے طور پر کی جا سکتی ہے، جہاں سیٹ سے خلا میں تمام ممکنہ افعال کی جگہ ہے۔ تاہم عام طور پر "فنکشن ویلیوڈ رینڈم متغیر" کے طور پر اس متبادل تعریف کے لیے اضافی باقاعدگی کے مفروضوں کی اچھی طرح سے وضاحت کی ضرورت ہوتی ہے۔ انڈیکس سیٹ سیٹ کو سٹاکسٹک عمل کا انڈیکس سیٹ یا پیرامیٹر سیٹ کہا جاتا ہے۔ اکثر یہ سیٹ حقیقی لکیر کا کچھ ذیلی سیٹ ہوتا ہے، جیسے کہ قدرتی اعداد یا وقفہ، جو سیٹ کو وقت کی تشریح دیتا ہے۔ ان سیٹوں کے علاوہ، انڈیکس سیٹ کل ترتیب یا زیادہ عمومی سیٹ کے ساتھ ایک اور سیٹ ہو سکتا ہے، جیسے کارٹیزین طیارہ یا جہتی یوکلڈین اسپیس، جہاں ایک عنصر خلا میں کسی نقطہ کی نمائندگی کر سکتا ہے۔ اس نے کہا، بہت سے نتائج اور تھیوریم صرف مکمل طور پر ترتیب شدہ انڈیکس سیٹ کے ساتھ اسٹاکسٹک عمل کے لیے ممکن ہیں۔ اسٹیٹ اسپیس اسٹاکسٹک عمل کی ریاضیاتی جگہ کو اس کی اسٹیٹ اسپیس کہا جاتا ہے۔ اس ریاضیاتی خلا کی تعریف انٹیجرز، حقیقی لکیروں، جہتی یوکلڈین خالی جگہوں، پیچیدہ طیاروں، یا زیادہ تجریدی ریاضیاتی خالی جگہوں کا استعمال کرتے ہوئے کی جا سکتی ہے۔ ریاستی جگہ کی تعریف ان عناصر کا استعمال کرتے ہوئے کی جاتی ہے جو مختلف اقدار کی عکاسی کرتے ہیں جو اسٹاکسٹک عمل لے سکتا ہے۔ سیمپل فنکشن ایک سیمپل فنکشن اسٹاکسٹک عمل کا واحد نتیجہ ہے، لہذا یہ اسٹاکسٹک عمل کے ہر بے ترتیب متغیر کی واحد ممکنہ قیمت لے کر تشکیل پاتا ہے۔ مزید واضح طور پر، اگر ایک سٹوچسٹک عمل ہے، تو کسی بھی نقطہ کے لیے، نقشہ سازی کو نمونہ فنکشن، احساس، یا، خاص طور پر جب وقت کے طور پر تشریح کی جاتی ہے، سٹوچسٹک عمل کا نمونہ راستہ کہا جاتا ہے۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ فکسڈ کے لیے، ایک نمونہ فنکشن موجود ہے جو انڈیکس سیٹ کو اسٹیٹ اسپیس میں نقشہ بناتا ہے۔ سٹاکاسٹک عمل کے نمونے کے فنکشن کے دیگر ناموں میں ٹریجیکٹوری، پاتھ فنکشن یا پاتھ شامل ہیں۔ اسٹاکسٹک عمل میں اضافہ ایک ہی اسٹاکسٹک عمل کے دو بے ترتیب متغیرات کے درمیان فرق ہے۔ انڈیکس سیٹ کے ساتھ ایک سٹوچسٹک عمل کے لیے جس کی تشریح وقت کے طور پر کی جا سکتی ہے، انکریمنٹ یہ ہے کہ ایک مخصوص وقت کی مدت میں سٹوچسٹک عمل کتنا بدلتا ہے۔ مثال کے طور پر، اگر اسٹیٹ اسپیس اور انڈیکس سیٹ کے ساتھ ایک سٹوچسٹک عمل ہے، تو کسی بھی دو غیر منفی نمبروں کے لیے اور اس طرح کہ، فرق ایک-ویلیوڈ بے ترتیب متغیر ہے جسے انکریمنٹ کہا جاتا ہے۔ جب انکریمنٹس میں دلچسپی ہوتی ہے، تو اکثر اسٹیٹ اسپیس حقیقی لکیر یا قدرتی اعداد ہوتے ہیں، لیکن یہ-جہتی یوکلڈین اسپیس یا زیادہ تجریدی خالی جگہیں جیسے کہ بناچ خالی جگہیں ہو سکتی ہیں۔ مزید تعریفیں قانون امکانات کی جگہ پر بیان کردہ ایک غیر معمولی عمل کے لیے، غیر معمولی عمل کے قانون کو تصویری پیمائش کے طور پر بیان کیا گیا ہے: جہاں ایک امکانات کی پیمائش ہے، علامت فنکشن کی ساخت کی نشاندہی کرتی ہے اور پیمائش کے قابل فنکشن کی قبل از تصویر ہے یا، مساوی طور پر،-ویلیوڈ بے ترتیب متغیر، جہاں کے تمام ممکنہ قدر والے افعال کی جگہ ہے، لہذا غیر معمولی عمل کا قانون ایک امکانات کی پیمائش ہے۔ کے قابل پیمائش ذیلی سیٹ کے لیے، کی پری امیج دیتا ہے تاکہ a کے قانون کو اس طرح لکھا جا سکے: اسٹاکسٹک عمل یا بے ترتیب متغیر کے قانون کو امکان کا قانون، امکان کی تقسیم، یا تقسیم بھی کہا جاتا ہے۔ محدود جہتی امکان کی تقسیم قانون کے ساتھ ایک غیر معمولی عمل کے لیے، اس کی محدود جہتی تقسیم کی تعریف اس طرح کی جاتی ہے: یہ پیمائش بے ترتیب ویکٹر کی مشترکہ تقسیم ہے ؛ اسے قانون کے ایک محدود ذیلی سیٹ پر قانون کے "پروجیکشن" کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے۔ - فولڈ کارٹیشین پاور کے کسی بھی قابل پیمائش ذیلی سیٹ کے لیے، اسٹاکسٹک عمل کی محدود جہتی تقسیم کو اس طرح لکھا جا سکتا ہے: اسٹاکسٹک عمل کی محدود جہتی تقسیم دو ریاضیاتی حالات کو پورا کرتی ہے جسے مستقل مزاجی کے حالات کہا جاتا ہے۔ اسٹیشنریٹی اسٹیشنریٹی ایک ریاضیاتی خاصیت ہے جو ایک اسٹاکسٹک عمل میں ہوتی ہے جب اس اسٹاکسٹک عمل کے تمام بے ترتیب متغیرات یکساں طور پر تقسیم ہوتے ہیں۔ دوسرے لفظوں میں، اگر ایک اسٹیشنری اسٹوچسٹک عمل ہے، تو کسی بھی بے ترتیب متغیر کے لیے ایک ہی تقسیم ہوتی ہے، جس کا مطلب ہے کہ انڈیکس سیٹ ویلیوز کے کسی بھی سیٹ کے لیے، متعلقہ بے ترتیب متغیرات سب میں امکان کی تقسیم ایک جیسی ہوتی ہے۔ اسٹیشنری سٹوچسٹک عمل کے انڈیکس سیٹ کی تشریح عام طور پر وقت کے طور پر کی جاتی ہے، لہذا یہ انٹیجرز یا حقیقی لائن ہو سکتی ہے۔ لیکن اسٹیشنریٹی کا تصور پوائنٹ کے عمل اور بے ترتیب فیلڈز کے لیے بھی موجود ہے، جہاں انڈیکس سیٹ کی تشریح وقت کے طور پر نہیں کی جاتی ہے۔ جب انڈیکس سیٹ کی تشریح وقت کے طور پر کی جا سکتی ہے، تو اسٹاکسٹک عمل کو مستحکم کہا جاتا ہے اگر اس کی محدود جہتی تقسیم وقت کے ترجمے کے تحت غیر متغیر ہو۔ اس قسم کے سٹوچسٹک عمل کو ایک ایسے جسمانی نظام کو بیان کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے جو مستحکم حالت میں ہے، لیکن پھر بھی بے ترتیب اتار چڑھاؤ کا تجربہ کرتا ہے۔ اسٹیشنریٹی کے پیچھے وجدان یہ ہے کہ جیسے جیسے وقت گزرتا ہے اسٹیشنری اسٹوچسٹک عمل کی تقسیم یکساں رہتی ہے۔ بے ترتیب متغیرات کا ایک سلسلہ صرف اس صورت میں ایک اسٹیشنری اسٹوچسٹک عمل تشکیل دیتا ہے جب بے ترتیب متغیرات یکساں طور پر تقسیم ہوں۔ اسٹیشنریٹی کی مذکورہ بالا تعریف کے ساتھ ایک اسٹاکسٹک عمل کو بعض اوقات سختی سے اسٹیشنری کہا جاتا ہے، لیکن اسٹیشنریٹی کی دیگر شکلیں بھی ہیں۔ ایک مثال یہ ہے کہ جب ایک مجرد وقت یا مسلسل وقت کے سٹوچسٹک عمل کو وسیع معنوں میں مستحکم کہا جاتا ہے، تو اس عمل میں سب کے لیے ایک محدود دوسرا لمحہ ہوتا ہے اور دو بے ترتیب متغیرات کی ہم آہنگی ہوتی ہے اور اس کا انحصار صرف سب کی تعداد پر ہوتا ہے۔ کھنچن نے وسیع معنوں میں اسٹیشنریٹی کے متعلقہ تصور کو متعارف کرایا، جس کے دوسرے نام ہیں جن میں وسیع معنوں میں کوویرینس اسٹیشنریٹی یا اسٹیشنریٹی شامل ہیں۔ فلٹریشن سگما-الجبراس کی بڑھتی ہوئی ترتیب ہے جس کی وضاحت کسی امکانی جگہ اور ایک انڈیکس سیٹ کے سلسلے میں کی گئی ہے جس میں کچھ کل ترتیب کا تعلق ہوتا ہے، جیسے کہ انڈیکس سیٹ کے حقیقی نمبروں کا کچھ ذیلی سیٹ ہونے کی صورت میں۔ مزید رسمی طور پر، اگر کسی سٹوچسٹک عمل میں کل ترتیب کے ساتھ انڈیکس سیٹ ہوتا ہے، تو امکان کی جگہ پر فلٹریشن سگما-الجبراس کا ایک خاندان ہوتا ہے جیسے کہ سب کے لیے، جہاں اور انڈیکس سیٹ کی کل ترتیب کی نشاندہی کرتا ہے۔ فلٹریشن کے تصور کے ساتھ، اسٹاکسٹک عمل میں موجود معلومات کی مقدار کا مطالعہ کرنا ممکن ہے، جس کی تشریح وقت کے طور پر کی جا سکتی ہے۔ فلٹریشن کے پیچھے انترجشتھان یہ ہے کہ جیسے جیسے وقت گزرتا جاتا ہے، اس کے بارے میں زیادہ سے زیادہ معلومات معلوم یا دستیاب ہوتی ہیں، جن پر قبضہ کیا جاتا ہے، جس کے نتیجے میں فلٹریشن کی باریک اور باریک تقسیم ہوتی ہے۔ سٹوچسٹک عمل میں ترمیم ایک اور سٹوچسٹک عمل ہے، جس کا اصل سٹوچسٹک عمل سے گہرا تعلق ہے۔ مزید واضح طور پر، ایک سٹوچسٹک عمل جس میں ایک ہی انڈیکس سیٹ، اسٹیٹ اسپیس، اور ایک اور سٹوچسٹک عمل کی طرح امکانی جگہ ہوتی ہے، کو درج ذیل تمام ہولڈز کے لیے اگر کی ترمیم کہا جاتا ہے۔ دو سٹوچسٹک عمل جو ایک دوسرے کی تبدیلیاں ہیں ان میں ایک ہی محدود جہتی قانون ہے اور ان کے بارے میں کہا جاتا ہے کہ وہ سٹوچسٹک طور پر مساوی یا مساوی ہیں۔ ترمیم کے بجائے، ورژن کی اصطلاح بھی استعمال کی جاتی ہے، تاہم کچھ مصنفین اس وقت ورژن کی اصطلاح استعمال کرتے ہیں جب دو سٹوچسٹک عمل میں ایک ہی محدود جہتی تقسیم ہوتی ہے، لیکن ان کی وضاحت مختلف امکانات کی جگہوں پر کی جا سکتی ہے، لہذا دو عمل جو ایک دوسرے کی ترمیم ہیں، وہ بھی ایک دوسرے کے ورژن ہیں، مؤخر الذکر کے معنی میں، لیکن اس کے برعکس نہیں۔ اگر کوئی مسلسل وقت کا حقیقی قدر والا سٹوچسٹک عمل اس کے اضافے پر کچھ لمحات کی شرائط کو پورا کرتا ہے، تو کولموگوروف تسلسل تھیوریم کا کہنا ہے کہ اس عمل میں ایک ترمیم موجود ہے جس میں امکان ایک کے ساتھ مسلسل نمونہ راستے ہیں، لہذا سٹوچسٹک عمل میں مسلسل ترمیم یا ورژن ہوتا ہے۔ تھیوریم کو بے ترتیب فیلڈز کے لیے بھی عام کیا جا سکتا ہے لہذا انڈیکس سیٹ-جہتی یوکلڈین اسپیس کے ساتھ ساتھ اسٹاکسٹک عمل کے لیے بھی ہے جس میں میٹرک خالی جگہیں ان کی ریاستی خالی جگہوں کے طور پر ہیں۔ ایک ہی انڈیکس سیٹ اور سیٹ اسپیس کے ساتھ ایک ہی امکانی جگہ پر بیان کردہ دو غیر متفرق عمل کو ناقابل تفرقہ کہا جاتا ہے اگر درج ذیل برقرار رہے۔ اگر دو اور ایک دوسرے کی تبدیلیاں ہیں اور تقریبا یقینی طور پر مسلسل ہیں، تو اور ناقابل تفرقہ ہیں۔ علیحدگی امکان کی پیمائش کے سلسلے میں اس کے انڈیکس سیٹ پر مبنی اسٹاکسٹک عمل کی ایک خاصیت ہے۔ خاصیت کو اس طرح فرض کیا جاتا ہے کہ سٹاکسٹک عمل کے افعال یا بے شمار انڈیکس سیٹوں کے ساتھ بے ترتیب فیلڈز بے ترتیب متغیرات تشکیل دے سکتے ہیں۔ سٹاکسٹک عمل کو علیحدہ کرنے کے لیے، دیگر شرائط کے علاوہ، اس کا انڈیکس سیٹ ایک علیحدہ جگہ ہونا چاہیے، جس کا مطلب ہے کہ انڈیکس سیٹ میں گھنے قابل گنتی ذیلی سیٹ ہیں۔ مزید واضح طور پر، امکان کی جگہ کے ساتھ ایک حقیقی قدر والا مسلسل وقت کا سٹوچسٹک عمل الگ کیا جا سکتا ہے اگر اس کے انڈیکس سیٹ میں گھنے قابل گنتی ذیلی سیٹ ہو اور امکان صفر کا ایک سیٹ ہو، تو، اس طرح کہ ہر کھلے سیٹ اور ہر بند سیٹ کے لیے، دونوں واقعات اور زیادہ سے زیادہ ایک دوسرے سے مختلف ہوتے ہیں۔ علیحدگی کی تعریف دوسرے انڈیکس سیٹوں اور ریاستی خالی جگہوں کے لیے بھی بیان کی جا سکتی ہے، جیسے کہ بے ترتیب فیلڈز کے معاملے میں، جہاں انڈیکس سیٹ کے ساتھ ساتھ ریاستی جگہ-جہتی یوکلڈین جگہ ہو سکتی ہے۔ اسٹاکسٹک عمل کی علیحدگی کا تصور جوزف ڈوب نے متعارف کرایا تھا۔ علیحدگی کا بنیادی خیال انڈیکس سیٹ کے پوائنٹس کے قابل شمار سیٹ کو اسٹاکسٹک عمل کی خصوصیات کا تعین کرنا ہے۔ گنتی کے قابل انڈیکس سیٹ کے ساتھ کوئی بھی اسٹاکسٹک عمل پہلے سے ہی علیحدگی کے حالات پر پورا اترتا ہے، لہذا مجرد وقت کے اسٹاکسٹک عمل ہمیشہ الگ ہوتے ہیں۔ ڈوب کا ایک نظریہ، جسے بعض اوقات ڈوب کی علیحدگی تھیوریم کے نام سے جانا جاتا ہے، کہتا ہے کہ کسی بھی حقیقی قدر والے مسلسل وقت کے سٹوچسٹک عمل میں ایک علیحدہ ترمیم ہوتی ہے۔ اس تھیوریم کے ورژن حقیقی لکیر کے علاوہ انڈیکس سیٹوں اور ریاستی خالی جگہوں کے ساتھ زیادہ عام سٹوچسٹک عمل کے لیے بھی موجود ہیں۔ آزادی دو سٹوچسٹک عمل اور ایک ہی انڈیکس سیٹ کے ساتھ ایک ہی امکان کی جگہ پر بیان کردہ آزاد کہا جاتا ہے اگر سب کے لیے اور ہر دور کے انتخاب کے لیے، بے ترتیب ویکٹر اور آزاد ہوں۔ غیر متعلقیت دو غیر متعلقہ عمل ہیں اور اگر ان کا کراس کوویرینس ہر وقت صفر ہو تو انہیں غیر متعلقہ کہا جاتا ہے۔ رسمی طور پر: آزادی کا مطلب غیر ارتباط ہے اگر دو غیر متزلزل عمل اور آزاد ہیں، تو وہ بھی غیر مربوط ہیں۔ آرتھوگونالیٹی دو اسٹاکسٹک عمل اور انہیں آرتھوگنل کہا جاتا ہے اگر ان کا کراس ارتباط ہر وقت صفر ہو۔ رسمی طور پر: ایک سکورکوڈ جگہ، جسے سکورہوڈ جگہ بھی کہا جاتا ہے، ان تمام افعال کی ریاضیاتی جگہ ہے جو بائیں حدود کے ساتھ دائیں مسلسل ہیں، جو حقیقی لکیر کے کچھ وقفے پر بیان کیے گئے ہیں جیسے کہ یا، اور حقیقی لکیر پر یا کسی میٹرک جگہ پر اقدار لیتے ہیں۔ اس طرح کے افعال کو کیڈلاگ یا کیڈلاگ افعال کے نام سے جانا جاتا ہے، جو فرانسیسی جملے کے مخفف پر مبنی ہے۔ ایک سکورکوڈ فنکشن اسپیس، جسے اناتولی سکورکوڈ نے متعارف کرایا ہے، کو اکثر حرف کے ساتھ ظاہر کیا جاتا ہے، اس لیے فنکشن اسپیس کو اسپیس بھی کہا جاتا ہے۔ اس فنکشن کی جگہ کے اشارے میں وہ وقفہ بھی شامل ہو سکتا ہے جس پر تمام کیڈلیگ افعال کی وضاحت کی جاتی ہے، لہذا، مثال کے طور پر، یونٹ کے وقفے پر بیان کردہ کیڈلیگ افعال کی جگہ کی نشاندہی کرتا ہے۔ اسکوروکھوڈ فنکشن خالی جگہیں اکثر اسٹاکسٹک عمل کے نظریہ میں استعمال ہوتی ہیں کیونکہ یہ اکثر فرض کیا جاتا ہے کہ مسلسل وقت کے اسٹاکسٹک عمل کے نمونے کے افعال کا تعلق اسکوروکھوڈ جگہ سے ہے۔ اس طرح کی جگہوں میں مسلسل افعال ہوتے ہیں، جو وینر عمل کے نمونے کے افعال سے مطابقت رکھتے ہیں۔ لیکن خلا میں تعطل کے ساتھ افعال بھی ہوتے ہیں، جس کا مطلب ہے کہ چھلانگ کے ساتھ سٹوچسٹک عمل کے نمونے کے افعال، جیسے کہ پوسن عمل (حقیقی لکیر پر)، بھی اس جگہ کے ممبر ہیں۔ باقاعدگی اسٹوچسٹک عمل کی ریاضیاتی تعمیر کے تناظر میں، اسٹوچسٹک عمل کے لیے ممکنہ تعمیراتی مسائل کو حل کرنے کے لیے کچھ شرائط پر بحث کرتے اور فرض کرتے وقت باقاعدگی کی اصطلاح استعمال کی جاتی ہے۔ مثال کے طور پر، بے شمار انڈیکس سیٹوں کے ساتھ اسٹاکسٹک عمل کا مطالعہ کرنے کے لیے، یہ فرض کیا جاتا ہے کہ اسٹاکسٹک عمل کسی قسم کی باقاعدگی کی حالت پر عمل کرتا ہے جیسے کہ نمونے کے افعال مسلسل ہوتے ہیں۔ مزید مثالیں مارکوف کے عمل اور زنجیر مارکوف کے عمل اسٹاکسٹک عمل ہیں، روایتی طور پر مجرد یا مسلسل وقت میں، جن میں مارکوف پراپرٹی ہوتی ہے، جس کا مطلب ہے کہ مارکوف کے عمل کی اگلی قیمت موجودہ قیمت پر منحصر ہے، لیکن یہ اسٹاکسٹک عمل کی پچھلی اقدار سے مشروط طور پر آزاد ہے۔ دوسرے لفظوں میں، عمل کی موجودہ حالت کو دیکھتے ہوئے، مستقبل میں عمل کا طرز عمل ماضی میں اس کے طرز عمل سے غیر متزلزل ہے۔ براؤنین حرکت کا عمل اور پوسن عمل (ایک جہت میں) دونوں مسلسل وقت میں مارکوف کے عمل کی مثالیں ہیں، جبکہ انٹیجرز پر بے ترتیب چہل قدمی اور جواری کا بربادی کا مسئلہ مجرد وقت میں مارکوف کے عمل کی مثالیں ہیں۔ مارکوف سلسلہ مارکوف عمل کی ایک قسم ہے جس میں یا تو مجرد اسٹیٹ اسپیس یا مجرد انڈیکس سیٹ ہوتا ہے (اکثر وقت کی نمائندگی کرتا ہے)، لیکن مارکوف سلسلہ کی قطعی تعریف مختلف ہوتی ہے۔ مثال کے طور پر، مارکوف سلسلہ کو ایک مجرد یا مسلسل وقت میں ایک قابل شمار ریاستی جگہ کے ساتھ مارکوف عمل کے طور پر بیان کرنا عام بات ہے (اس طرح وقت کی نوعیت سے قطع نظر)، لیکن مارکوف سلسلہ کو قابل شمار یا مسلسل ریاستی جگہ میں مجرد وقت کے طور پر بیان کرنا بھی عام بات ہے (اس طرح ریاستی جگہ سے قطع نظر)۔ یہ استدلال کیا گیا ہے کہ مارکوف سلسلہ کی پہلی تعریف، جہاں اس کا مجرد وقت ہوتا ہے، اب استعمال ہونے کا رجحان ہے، اس کے باوجود دوسری تعریف جوزف ڈوب اور کائی لائی چنگ جیسے محققین نے استعمال کی ہے۔ مارکوف کے عمل غیر معمولی عمل کی ایک اہم کلاس بناتے ہیں اور بہت سے علاقوں میں ان کا اطلاق ہوتا ہے۔ مثال کے طور پر، وہ ایک عام اسٹاکسٹک تخروپن طریقہ کار کی بنیاد ہیں جسے مارکوف چین مونٹی کارلو کے نام سے جانا جاتا ہے، جو مخصوص امکانات کی تقسیم کے ساتھ بے ترتیب اشیاء کی تقلید کے لیے استعمال ہوتا ہے، اور اس کا اطلاق بایسیائی اعداد و شمار میں پایا گیا ہے۔ مارکوف پراپرٹی کا تصور اصل میں مسلسل اور مجرد وقت میں سٹوچسٹک عمل کے لیے تھا، لیکن اس پراپرٹی کو دوسرے انڈیکس سیٹوں جیسے-جہتی یوکلڈین اسپیس کے لیے ڈھال لیا گیا ہے، جس کے نتیجے میں بے ترتیب متغیرات کا مجموعہ ہوتا ہے جسے مارکوف بے ترتیب فیلڈز کہا جاتا ہے۔ مارٹنگیل ایک مجرد وقت یا مسلسل وقت کا اسٹوچسٹک عمل ہے جس کی خاصیت یہ ہے کہ، ہر لمحے، موجودہ قیمت اور عمل کی تمام ماضی کی اقدار کو دیکھتے ہوئے، مستقبل کی ہر قیمت کی مشروط توقع موجودہ قیمت کے برابر ہوتی ہے۔ مجرد وقت میں، اگر یہ خاصیت اگلی قیمت کے لیے ہوتی ہے، تو یہ مستقبل کی تمام اقدار کے لیے ہوتی ہے۔ مارٹنگیل کی صحیح ریاضیاتی تعریف کے لیے فلٹریشن کے ریاضیاتی تصور کے ساتھ دو دیگر شرائط کی ضرورت ہوتی ہے، جو وقت گزرنے کے ساتھ ساتھ دستیاب معلومات کو بڑھانے کے وجدان سے متعلق ہے۔ مارٹنگیلز کو عام طور پر حقیقی قدر کے طور پر بیان کیا جاتا ہے، لیکن وہ پیچیدہ قدر والے یا اس سے بھی زیادہ عام بھی ہو سکتے ہیں۔ متناسب بے ترتیب چہل قدمی اور وینر عمل (صفر بہاؤ کے ساتھ) دونوں مجرد اور مسلسل وقت میں بالترتیب مارٹنگیلز کی مثالیں ہیں۔ صفر اوسط کے ساتھ آزاد اور یکساں طور پر تقسیم شدہ بے ترتیب متغیرات کی ترتیب کے لیے، یکے بعد دیگرے جزوی رقوم سے تشکیل پانے والا سٹوچسٹک عمل ایک مجرد وقت کا مارٹنگیل ہے۔ اس پہلو میں، مجرد وقت کے مارٹنگیل آزاد بے ترتیب متغیرات کے جزوی مجموعوں کے خیال کو عام کرتے ہیں۔ مارٹنگیلز کو کچھ مناسب تبدیلیوں کو لاگو کرکے سٹوچسٹک عمل سے بھی بنایا جا سکتا ہے، جو کہ یکساں پوسن عمل (حقیقی لکیر پر) کے لیے ہوتا ہے جس کے نتیجے میں مارٹنگیل ہوتا ہے جسے معاوضہ پوسن عمل کہا جاتا ہے۔ مارٹنگیلز کو دوسرے مارٹنگیلز سے بھی بنایا جا سکتا ہے۔ مثال کے طور پر، مارٹنگیل، وینر عمل پر مبنی مارٹنگیلز ہیں، جو مسلسل وقت مارٹنگیلز بناتے ہیں۔ مارٹنگیلز ریاضیاتی طور پر منصفانہ کھیل کے خیال کو باقاعدہ بناتے ہیں، اور وہ اصل میں یہ ظاہر کرنے کے لیے تیار کیے گئے تھے کہ منصفانہ کھیل جیتنا ممکن نہیں ہے۔ لیکن اب وہ امکانات کے بہت سے شعبوں میں استعمال ہوتے ہیں، جو ان کا مطالعہ کرنے کی ایک اہم وجہ ہے۔ ممکنہ طور پر بہت سے مسائل کو اس مسئلے میں مارٹنگیل ڈھونڈ کر اور اس کا مطالعہ کرکے حل کیا گیا ہے۔ مارٹنگیلز اپنے لمحات پر کچھ شرائط کو دیکھتے ہوئے یکجا ہوں گے، لہذا وہ اکثر ارتکاز کے نتائج حاصل کرنے کے لیے استعمال ہوتے ہیں، جس کی بڑی وجہ مارٹنگیل کنورجنس تھیوریمز ہیں۔ مارٹنگیلز کے اعداد و شمار میں بہت سے استعمال ہیں، لیکن یہ تبصرہ کیا گیا ہے کہ اس کا استعمال اور اطلاق اتنا وسیع نہیں ہے جتنا کہ اعداد و شمار، خاص طور پر شماریاتی تخمینے کے میدان میں ہو سکتا ہے۔ انہوں نے امکانی نظریہ جیسے کہ قطار نظریہ اور پام کیلکولس اور دیگر شعبوں جیسے معاشیات اور مالیات میں استعمال پایا ہے۔ لیوی عمل لیوی عمل انوکھے عمل کی اقسام ہیں جنہیں مسلسل وقت میں بے ترتیب چہل قدمی کی عمومی شکل سمجھا جا سکتا ہے۔ ان عملوں کے فنانس، فلوئڈ میکینکس، فزکس اور بائیولوجی جیسے شعبوں میں بہت سے استعمال ہوتے ہیں۔ ان عملوں کی اہم وضاحتی خصوصیات ان کی ساکنتا اور آزادی کی خصوصیات ہیں، اس لیے انہیں ساکن اور آزاد انکریمنٹس کے ساتھ عمل کے طور پر جانا جاتا تھا۔ دوسرے لفظوں میں، سٹاکاسٹک عمل ایک لیوی عمل ہے اگر غیر منفی نمبروں کے لیے، متعلقہ انکریمنٹ ایک دوسرے سے آزاد ہوں، اور ہر انکریمنٹ کی تقسیم صرف وقت کے فرق پر منحصر ہو۔ لیوی عمل کی تعریف اس طرح کی جا سکتی ہے کہ اس کی ریاستی جگہ کچھ تجریدی ریاضیاتی جگہ ہو، جیسے کہ بناچ جگہ، لیکن عمل کی وضاحت اکثر اس طرح کی جاتی ہے کہ وہ یوکلڈین جگہ میں اقدار لے لیں۔ انڈیکس سیٹ غیر منفی اعداد ہیں، لہذا، جو وقت کی تشریح دیتا ہے۔ اہم سٹوچسٹک عمل جیسے وینر عمل، یکساں پوسن عمل (ایک جہت میں)، اور ماتحت تمام لیوی عمل ہیں۔ بے ترتیب فیلڈ بے ترتیب متغیرات کا مجموعہ ہے جو ایک جہتی یوکلڈین اسپیس یا کچھ کئی گنا کے ذریعہ انڈیکس کیا جاتا ہے۔ عام طور پر، ایک بے ترتیب فیلڈ کو اسٹاکسٹک یا بے ترتیب عمل کی مثال سمجھا جا سکتا ہے، جہاں انڈیکس سیٹ لازمی طور پر حقیقی لائن کا ذیلی سیٹ نہیں ہوتا ہے۔ لیکن ایک روایت ہے کہ بے ترتیب متغیرات کا انڈیکس شدہ مجموعہ بے ترتیب فیلڈ کہلاتا ہے جب انڈیکس کے دو یا زیادہ طول و عرض ہوتے ہیں۔ اگر اسٹاکسٹک عمل کی مخصوص تعریف کے لیے انڈیکس سیٹ کو حقیقی لکیر کا ذیلی سیٹ ہونا ضروری ہے، تو بے ترتیب فیلڈ کو اسٹاکسٹک عمل کی عمومی شکل سمجھا جا سکتا ہے۔ پوائنٹ پروسیس ایک پوائنٹ پروسیس ان پوائنٹس کا مجموعہ ہے جو تصادفی طور پر کسی ریاضیاتی جگہ پر واقع ہوتے ہیں جیسے کہ حقیقی لکیر،-جہتی یوکلڈین اسپیس، یا زیادہ تجریدی خالی جگہیں۔ بعض اوقات ٹرم پوائنٹ پروسیس کو ترجیح نہیں دی جاتی ہے، کیونکہ تاریخی طور پر ورڈ پروسیس وقت کے ساتھ کسی نظام کے ارتقا کی نشاندہی کرتا ہے، اس لیے پوائنٹ پروسیس کو رینڈم پوائنٹ فیلڈ بھی کہا جاتا ہے۔ نقطہ عمل کی مختلف تشریحات ہیں، اس طرح کی بے ترتیب گنتی کی پیمائش یا بے ترتیب سیٹ۔ کچھ مصنفین پوائنٹ کے عمل اور سٹوچسٹک عمل کو دو مختلف اشیاء کے طور پر دیکھتے ہیں جیسے کہ پوائنٹ کا عمل ایک بے ترتیب شے ہے جو سٹوچسٹک عمل سے پیدا ہوتا ہے یا اس سے وابستہ ہوتا ہے، حالانکہ یہ تبصرہ کیا گیا ہے کہ پوائنٹ کے عمل اور سٹوچسٹک عمل کے درمیان فرق واضح نہیں ہے۔ دوسرے مصنفین ایک نقطہ عمل کو ایک غیر معمولی عمل کے طور پر سمجھتے ہیں، جہاں اس عمل کو بنیادی جگہ کے سیٹوں کے ذریعے ترتیب دیا جاتا ہے جس پر اس کی وضاحت کی جاتی ہے، جیسے کہ حقیقی لکیر یا جہتی یوکلڈین جگہ۔ نقطہ عمل کے نظریہ میں دیگر غیر معمولی عمل جیسے تجدید اور گنتی کے عمل کا مطالعہ کیا جاتا ہے۔ ابتدائی امکان کا نظریہ امکان کی ابتدا موقع کے کھیلوں میں ہوئی ہے، جس کی ایک طویل تاریخ ہے، کچھ کھیل ہزاروں سال پہلے کھیلے گئے تھے، لیکن امکان کے لحاظ سے ان پر بہت کم تجزیہ کیا گیا تھا۔ سال 1654 کو اکثر امکانی نظریہ کی پیدائش سمجھا جاتا ہے جب فرانسیسی ریاضی دان پیئر فرمیٹ اور بلیز پاسکل نے امکان پر ایک تحریری خط و کتابت کیا تھا، جو جوئے کے مسئلے سے متاثر تھا۔ لیکن اس سے پہلے جوئے کے کھیلوں کے امکان پر ریاضیاتی کام کیا گیا تھا جیسے کہ لیبر ڈی لوڈو الی بذریعہ جیرولامو کارڈانو، جو 16 ویں صدی میں لکھا گیا تھا لیکن بعد از مرگ 1663 میں شائع ہوا۔ کارڈانو کے بعد، جیکب برنولی نے آرس کانجیکٹینڈی لکھی، جسے امکانی نظریہ کی تاریخ میں ایک اہم واقعہ سمجھا جاتا ہے۔ برنولی کی کتاب 1713 میں بعد از مرگ شائع ہوئی اور اس نے بہت سے ریاضی دانوں کو امکان کا مطالعہ کرنے کی ترغیب دی۔ لیکن کچھ مشہور ریاضی دانوں کے امکانات کے نظریہ میں حصہ ڈالنے کے باوجود، جیسے پیئر سائمن لیپلیس، ابراہم ڈی مویور، کارل گاؤس، سائمن پوسن اور پافنٹی چیبیشیف، زیادہ تر ریاضیاتی برادری 20 ویں صدی تک امکانات کے نظریہ کو ریاضی کا حصہ نہیں سمجھتی تھی۔ شماریاتی میکانکس جسمانی علوم میں، سائنس دانوں نے 19 ویں صدی میں شماریاتی میکانکس کا شعبہ تیار کیا، جہاں جسمانی نظام، جیسے گیسوں سے بھرے کنٹینرز، کو ریاضیاتی طور پر بہت سے حرکت پذیر ذرات کے مجموعے کے طور پر سمجھا یا سمجھا جا سکتا ہے۔ اگرچہ کچھ سائنسدانوں، جیسے روڈولف کلاسیئس کے ذریعہ شماریاتی طبیعیات میں بے ترتیب پن کو شامل کرنے کی کوششیں کی گئیں، لیکن زیادہ تر کاموں میں بے ترتیب پن بہت کم یا بالکل نہیں تھا۔ یہ 1859 میں بدل گیا جب جیمز کلرک میکسویل نے فیلڈ میں نمایاں کردار ادا کیا، خاص طور پر، گیسوں کے حرکی نظریہ میں، کام پیش کرتے ہوئے جہاں انہوں نے فرض کیا کہ گیس کے ذرات بے ترتیب رفتار پر بے ترتیب سمتوں میں حرکت کرتے ہیں۔ گیسیں اور شماریاتی طبیعیات کا حرکی نظریہ 19 ویں صدی کے دوسرے نصف میں تیار ہوتا رہا، جس پر بنیادی طور پر کلاسیئس، لڈوگ بولٹزمین اور یوسیاہ گبز نے کام کیا، جس کا بعد میں البرٹ آئن سٹائن کے براؤنین تحریک کے ریاضیاتی ماڈل پر اثر پڑا۔ 1900 میں پیرس میں ریاضی دانوں کی بین الاقوامی کانگریس میں ڈیوڈ ہلبرٹ نے ریاضیاتی مسائل کی ایک فہرست پیش کی، جہاں ان کے چھٹے مسئلے میں طبیعیات اور محوریات پر مشتمل امکان کا ریاضیاتی علاج طلب کیا گیا۔ 20 ویں صدی کے آغاز کے آس پاس، ریاضی دانوں نے پیمائش کا نظریہ تیار کیا، جو ریاضیاتی افعال کے انٹیگرلز کا مطالعہ کرنے کے لیے ریاضی کی ایک شاخ ہے، جہاں دو بانی فرانسیسی ریاضی دان، ہنری لیبسگ اور ایمیل بوریل تھے۔ 1925 میں ایک اور فرانسیسی ریاضی دان پال لیوی نے پہلی امکانی کتاب شائع کی جس میں پیمائش کے نظریہ سے نظریات کا استعمال کیا گیا۔ 1920 کی دہائی میں امکان کے نظریہ میں بنیادی شراکت سوویت یونین میں سرگئی برنسٹین، الیگزینڈر کھنچن، اور آندرے کولموگوروف جیسے ریاضی دانوں نے کی تھی۔ کولموگوروف نے 1929 میں امکانی نظریہ کے لیے پیمائش کے نظریہ پر مبنی ریاضیاتی بنیاد پیش کرنے کی اپنی پہلی کوشش شائع کی۔ 1930 کی دہائی کے اوائل میں کھنچن اور کولموگوروف نے امکانی سیمینارز قائم کیے، جن میں یوجین سلٹسکی اور نیکولائی سمرنوف جیسے محققین نے شرکت کی، اور کھنچن نے حقیقی لکیر کے ذریعہ انڈیکس کیے گئے بے ترتیب متغیرات کے مجموعے کے طور پر اسٹاکسٹک عمل کی پہلی ریاضیاتی تعریف دی۔ جدید امکانی نظریہ کی پیدائش 1933 میں آندرے کولموگوروف نے جرمن زبان میں امکانی نظریہ کی بنیادوں پر اپنی کتاب شائع کی جس کا عنوان گرونڈبیگریف ڈیر واہرشینلیچکیٹس ریچنونگ تھا، جہاں کولموگوروف نے امکانی نظریہ کے لیے محوری فریم ورک تیار کرنے کے لیے پیمائش کے نظریہ کا استعمال کیا۔ اس کتاب کی اشاعت کو اب وسیع پیمانے پر جدید امکانات کے نظریہ کی پیدائش سمجھا جاتا ہے، جب امکانات اور غیر معمولی عمل کے نظریات ریاضی کے حصے بن گئے۔ کولموگوروف کی کتاب کی اشاعت کے بعد، امکان کے نظریہ اور سٹوچسٹک عمل پر مزید بنیادی کام کھنچن اور کولموگوروف کے ساتھ ساتھ دوسرے ریاضی دانوں جیسے جوزف ڈوب، ولیم فیلر، مورس فریشیٹ، پال لیوی، وولف گینگ ڈوبلن، اور ہیرالڈ کریمر نے کیا۔ کئی دہائیوں بعد کریمر نے 1930 کی دہائی کو "ریاضیاتی امکانی نظریہ کا بہادر دور" قرار دیا۔ دوسری جنگ عظیم نے امکانی نظریہ کی ترقی میں بہت خلل ڈالا، جس کی وجہ سے، مثال کے طور پر، سویڈن سے ریاستہائے متحدہ امریکہ میں فیلر کی ہجرت اور ڈوبلن کی موت، جو اب سٹوچسٹک عمل کا علمبردار سمجھا جاتا ہے۔ دوسری جنگ عظیم کے بعد امکانات کے نظریہ اور امکانات کے عمل کے مطالعہ نے ریاضی دانوں کی طرف سے زیادہ توجہ حاصل کی، امکانات اور ریاضی کے بہت سے شعبوں کے ساتھ ساتھ نئے شعبوں کی تخلیق میں اہم شراکت کے ساتھ۔ 1940 کی دہائی میں شروع کرتے ہوئے، کیوسی ایٹو نے سٹوچسٹک کیلکولس کے میدان کو تیار کرنے والے مقالے شائع کیے، جن میں وینر یا براؤنین حرکت کے عمل پر مبنی سٹوچسٹک انٹیگرلز اور سٹوچسٹک تفریق مساوات شامل ہیں۔ 1940 کی دہائی میں شروع ہونے والے، شیزو کاکوتانی کے ابتدائی خیالات اور پھر بعد میں جوزف ڈوب کے کام کے ساتھ، اسٹاکسٹک عمل، خاص طور پر مارٹنگیلز، اور ممکنہ نظریہ کے ریاضیاتی میدان کے درمیان روابط بنائے گئے۔ مزید کام، جسے پیش رو سمجھا جاتا ہے، گلبرٹ ہنٹ نے 1950 کی دہائی میں کیا تھا، جس میں مارکوف کے عمل اور ممکنہ نظریہ کو جوڑا گیا تھا، جس نے لیوی کے عمل کے نظریہ پر نمایاں اثر ڈالا اور آئیٹو کے تیار کردہ طریقوں کے ساتھ مارکوف کے عمل کا مطالعہ کرنے میں مزید دلچسپی پیدا کی۔ 1953 میں ڈوب نے اپنی کتاب اسٹوکاسٹک پروسیسز شائع کی، جس نے اسٹوکاسٹک پروسیسز کے نظریہ پر مضبوط اثر ڈالا اور امکان میں پیمائش کے نظریہ کی اہمیت پر زور دیا۔ ڈوب نے بنیادی طور پر مارٹنگیلز کا نظریہ بھی تیار کیا، جس میں بعد میں پال آندرے میئر کی خاطر خواہ شراکت تھی۔ اس سے پہلے کا کام سرگئی برنسٹین، پال لیوی اور جین ویل نے کیا تھا، مؤخر الذکر نے اسٹاکسٹک عمل کے لیے مارٹنگیل کی اصطلاح کو اپنایا۔ نظریہ مارٹنگیلز کے طریقے امکانات کے مختلف مسائل کو حل کرنے کے لیے مقبول ہوئے۔ مارکوف کے عمل کا مطالعہ کرنے کے لیے تکنیکیں اور نظریہ تیار کیے گئے اور پھر مارٹنگیلز پر لاگو کیے گئے۔ اس کے برعکس، مارکوف کے عمل کے علاج کے لیے نظریہ مارٹنگیلز کے طریقے قائم کیے گئے تھے۔ امکان کے دیگر شعبوں کو تیار کیا گیا اور اسٹاکسٹک عمل کا مطالعہ کرنے کے لیے استعمال کیا گیا، جس میں ایک اہم نقطہ نظر بڑی انحراف کا نظریہ تھا۔ اس نظریہ کے دیگر شعبوں کے علاوہ شماریاتی طبیعیات میں بہت سے استعمال ہیں، اور اس کے بنیادی خیالات کم از کم 1930 کی دہائی کے ہیں۔ بعد میں 1960 اور 1970 کی دہائیوں میں بنیادی کام سوویت یونین میں الیگزینڈر وینٹزل اور ریاستہائے متحدہ امریکہ میں منرو ڈی ڈونسکر اور سرینواس ورادھن نے کیا، جس کے نتیجے میں ورادھن نے 2007 کا ایبل انعام جیتا۔ 1990 اور 2000 کی دہائیوں میں شریم-لوونر ارتقاء اور کھردری راستوں کے نظریات کو متعارف کرایا گیا اور امکانات کے نظریہ میں اسٹاکسٹک عمل اور دیگر ریاضیاتی اشیاء کا مطالعہ کرنے کے لیے تیار کیا گیا، جس کے نتیجے میں بالترتیب 2008 میں وینڈلن ورنر اور 2014 میں مارٹن ہیئرر کو فیلڈز میڈل سے نوازا گیا۔ اسٹاکسٹک عمل کا نظریہ اب بھی تحقیق کا مرکز بنا ہوا ہے، اسٹاکسٹک عمل کے موضوع پر سالانہ بین الاقوامی کانفرنسوں کے ساتھ۔ اگرچہ کھنچن نے 1930 کی دہائی میں اسٹاکسٹک عمل کی ریاضیاتی تعریفیں دیں، لیکن مخصوص اسٹاکسٹک عمل پہلے ہی مختلف ترتیبات میں دریافت ہو چکے تھے، جیسے براؤنین موشن عمل اور پوسن عمل۔ سٹوچسٹک عمل کے کچھ خاندان جیسے پوائنٹ کے عمل یا تجدید کے عمل کی طویل اور پیچیدہ تاریخ ہوتی ہے، جو صدیوں پرانی ہوتی ہے۔ برنولی عمل برنولی عمل، جو ایک متعصبانہ سکے کو پلٹانے کے لیے ریاضیاتی ماڈل کے طور پر کام کر سکتا ہے، ممکنہ طور پر مطالعہ کیا جانے والا پہلا غیر معمولی عمل ہے۔ یہ عمل آزاد برنولی ٹرائلز کا ایک سلسلہ ہے، جس کا نام جیکب برنولی کے نام پر رکھا گیا ہے جنہوں نے انہیں گیم آف چانس کا مطالعہ کرنے کے لیے استعمال کیا، بشمول امکانات کے مسائل جن کی تجویز پیش کی گئی تھی اور جن کا مطالعہ پہلے کرسچن ہیوجینز نے کیا تھا۔ برنولی کا کام، بشمول برنولی عمل، 1713 میں ان کی کتاب آرس کانجیکٹینڈی میں شائع ہوا۔ 1905 میں کارل پیئرسن نے ہوائی جہاز پر بے ترتیب چہل قدمی کو بیان کرتے ہوئے بے ترتیب چہل قدمی کی اصطلاح تیار کی، جو حیاتیات میں ایک درخواست سے متاثر تھی، لیکن بے ترتیب چہل قدمی سے متعلق اس طرح کے مسائل کا دوسرے شعبوں میں پہلے ہی مطالعہ کیا جا چکا تھا۔ جوئے کے کچھ مسائل جن کا صدیوں پہلے مطالعہ کیا گیا تھا انہیں بے ترتیب چہل قدمی سے متعلق مسائل کے طور پر سمجھا جا سکتا ہے۔ مثال کے طور پر، جواری کی بربادی کے نام سے جانا جانے والا مسئلہ ایک سادہ بے ترتیب چہل قدمی پر مبنی ہے، اور جذب کرنے والی رکاوٹوں کے ساتھ بے ترتیب چہل قدمی کی ایک مثال ہے۔ پاسکل، فرمیٹ اور ہیوینس سب نے اپنے طریقوں کی تفصیل بتائے بغیر اس مسئلے کے عددی حل پیش کیے، اور پھر جیکب برنولی اور ابراہم ڈی مویور نے مزید تفصیلی حل پیش کیے۔ جہتی عدد جالی میں بے ترتیب چہل قدمی کے لیے، جارج پولیا نے 1919 اور 1921 میں ایک کام شائع کیا، جس میں انہوں نے جالی میں سابقہ پوزیشن پر واپس آنے والے متناسب بے ترتیب چہل قدمی کے امکان کا مطالعہ کیا۔ پولیا نے دکھایا کہ ایک ہم آہنگ بے ترتیب چہل قدمی، جس میں جالی میں کسی بھی سمت میں آگے بڑھنے کا مساوی امکان ہوتا ہے، جالی میں ایک اور دو جہتوں میں امکان کے ساتھ لامحدود تعداد میں پچھلی پوزیشن پر واپس آئے گی، لیکن تین یا اس سے زیادہ جہتوں میں امکان صفر کے ساتھ۔ وینر عمل یا براؤنین حرکت عمل کی ابتدا اعداد و شمار، مالیات اور طبیعیات سمیت مختلف شعبوں میں ہوئی ہے۔ 1880 میں، ڈینش ماہر فلکیات تھورولڈ تھیلی نے کم سے کم مربع کے طریقہ کار پر ایک مقالہ لکھا، جہاں انہوں نے ٹائم سیریز کے تجزیے میں ماڈل کی غلطیوں کا مطالعہ کرنے کے لیے اس عمل کو استعمال کیا۔ اس کام کو اب شماریاتی طریقہ کار کی ابتدائی دریافت سمجھا جاتا ہے جسے کالمان فلٹرنگ کہا جاتا ہے، لیکن اس کام کو بڑے پیمانے پر نظر انداز کر دیا گیا۔ یہ خیال کیا جاتا ہے کہ تھیلی کے مقالے میں موجود خیالات اتنے ترقی یافتہ تھے کہ اس وقت کی وسیع تر ریاضیاتی اور شماریاتی برادری نے انہیں سمجھ نہیں لیا تھا۔ فرانسیسی ریاضی دان لوئس بیچلیئر نے تھیلی کے کام کو جانے بغیر، پیرس بورس، ایک اسٹاک ایکسچینج پر قیمتوں میں ہونے والی تبدیلیوں کا نمونہ بنانے کے لیے اپنے 1900 کے مقالے میں وینر عمل کا استعمال کیا۔ یہ قیاس کیا جاتا ہے کہ بیچلیئر نے جولس ریگنالٹ کے بے ترتیب واک ماڈل سے خیالات اخذ کیے، لیکن بیچلیئر نے اس کا حوالہ نہیں دیا، اور بیچلیئر کے مقالے کو اب مالیاتی ریاضی کے میدان میں پیش خیمہ سمجھا جاتا ہے۔ عام طور پر یہ خیال کیا جاتا ہے کہ بیچلیئر کے کام نے بہت کم توجہ حاصل کی اور کئی دہائیوں تک اسے فراموش کر دیا گیا جب تک کہ اسے 1950 کی دہائی میں لیونارڈ سیویج نے دوبارہ دریافت نہیں کیا، اور پھر بیچلیئر کے مقالے کا 1964 میں انگریزی میں ترجمہ ہونے کے بعد یہ زیادہ مقبول ہو گیا۔ لیکن ریاضیاتی برادری میں اس کام کو کبھی فراموش نہیں کیا گیا، کیونکہ بیچلیئر نے 1912 میں اپنے خیالات کی تفصیل کے ساتھ ایک کتاب شائع کی، جس کا حوالہ ڈوب، فیلر اور کولموگوروف سمیت ریاضی دانوں نے دیا۔ اس کتاب کا حوالہ دیا جاتا رہا، لیکن پھر 1960 کی دہائی میں بیچلیئر کے اصل مقالے کو ان کی کتاب سے زیادہ حوالہ دیا جانے لگا جب ماہرین اقتصادیات نے بیچلیئر کے کام کا حوالہ دینا شروع کیا۔ 1905 میں البرٹ آئن سٹائن نے ایک مقالہ شائع کیا جس میں انہوں نے گیسوں کے حرکی نظریہ کے نظریات کا استعمال کرتے ہوئے مائعوں میں ذرات کی بظاہر بے ترتیب نقل و حرکت کی وضاحت کے لیے براؤنین حرکت یا حرکت کے جسمانی مشاہدے کا مطالعہ کیا۔ آئن سٹائن نے خلا کے کسی مخصوص علاقے میں کسی ذرہ کو تلاش کرنے کے امکان کو بیان کرنے کے لیے ایک تفریقی مساوات اخذ کی، جسے بازی کی مساوات کہا جاتا ہے۔ براؤنین تحریک پر آئن سٹائن کے پہلے مقالے کے فورا بعد، ماریان سمولوچووسکی نے ایک کام شائع کیا جس میں انہوں نے آئن سٹائن کا حوالہ دیا، لیکن لکھا کہ انہوں نے آزادانہ طور پر ایک مختلف طریقہ استعمال کرکے مساوی نتائج حاصل کیے تھے۔ آئن سٹائن کے کام کے ساتھ ساتھ جین پیرین کے حاصل کردہ تجرباتی نتائج نے بعد میں 1920 کی دہائی میں نوربرٹ وینر کو ایک قسم کی پیمائش کا نظریہ استعمال کرنے کے لیے متاثر کیا، جسے پرسی ڈینیل نے تیار کیا، اور فورئیر تجزیہ کو ایک ریاضیاتی شے کے طور پر وینر عمل کے وجود کو ثابت کرنے کے لیے۔ پوسن عمل پوسن کی تقسیم سے متعلق اس کی تعریف کی وجہ سے پوسن عمل کا نام سائمن پوسن کے نام پر رکھا گیا ہے، لیکن پوسن نے کبھی اس عمل کا مطالعہ نہیں کیا۔ پوسن عمل کے ابتدائی استعمال یا دریافتوں کے لیے متعدد دعوے ہیں۔ 20 ویں صدی کے آغاز میں پوسن کا عمل مختلف حالات میں آزادانہ طور پر پیدا ہوتا۔ 1903 میں سویڈن میں، فلپ لنڈبرگ نے ایک مقالہ شائع کیا جس میں کام شامل تھا، جسے اب بنیادی اور اہم سمجھا جاتا ہے، جہاں انہوں نے انشورنس کے دعووں کو یکساں پوسن عمل کے ساتھ ماڈل کرنے کی تجویز پیش کی۔ ایک اور دریافت ڈنمارک میں 1909 میں ہوئی جب اے۔ کے۔ ایرلانگ نے ایک محدود وقت کے وقفے میں آنے والی فون کالوں کی تعداد کے لیے ریاضیاتی ماڈل تیار کرتے وقت پوسن کی تقسیم کو اخذ کیا۔ ایرلانگ اس وقت پوسن کے ابتدائی کام سے واقف نہیں تھا اور اس نے فرض کیا کہ وقت کے ہر وقفے میں آنے والی فون کالز ایک دوسرے سے آزاد ہیں۔ اس کے بعد اس نے محدود کیس پایا، جو مؤثر طریقے سے بائیانومیل تقسیم کی حد کے طور پر پوسن کی تقسیم کو دوبارہ ترتیب دے رہا ہے۔ 1910 میں ارنسٹ ردرفورڈ اور ہنس گیگر نے الفا ذرات کی گنتی پر تجرباتی نتائج شائع کیے۔ ان کے کام سے متاثر ہو کر، ہیری بیٹ مین نے گنتی کے مسئلے کا مطالعہ کیا اور تفریقی مساوات کے ایک خاندان کے حل کے طور پر پوسن کے امکانات اخذ کیے، جس کے نتیجے میں پوسن کے عمل کی آزادانہ دریافت ہوئی۔ اس وقت کے بعد پوسن کے عمل کے بہت سے مطالعے اور استعمال ہوئے، لیکن اس کی ابتدائی تاریخ پیچیدہ ہے، جس کی وضاحت ماہرین حیاتیات، ماہرین ماحولیات، انجینئروں اور مختلف جسمانی سائنسدانوں نے متعدد شعبوں میں اس عمل کے مختلف استعمال سے کی ہے۔ مارکوف مارکوف کے عمل پر عمل کرتا ہے اور مارکوف کی زنجیروں کا نام آندرے مارکوف کے نام پر رکھا گیا ہے جس نے 20 ویں صدی کے اوائل میں مارکوف کی زنجیروں کا مطالعہ کیا تھا۔ مارکوف آزاد بے ترتیب ترتیبات کی توسیع کا مطالعہ کرنے میں دلچسپی رکھتے تھے۔ مارکوف زنجیروں پر اپنے پہلے مقالے میں، جو 1906 میں شائع ہوا، مارکوف نے دکھایا کہ بعض شرائط کے تحت مارکوف سلسلہ کے اوسط نتائج اقدار کے ایک مقررہ ویکٹر میں تبدیل ہو جائیں گے، اس طرح آزادی کے مفروضے کے بغیر بڑی تعداد کا ایک کمزور قانون ثابت ہوتا ہے، جسے عام طور پر اس طرح کے ریاضیاتی قوانین کو برقرار رکھنے کی ضرورت سمجھا جاتا تھا۔ مارکوف نے بعد میں الیگزینڈر پشکن کے لکھے ہوئے یوجین اونگین میں سروں کی تقسیم کا مطالعہ کرنے کے لیے مارکوف زنجیروں کا استعمال کیا، اور اس طرح کی زنجیروں کے لیے ایک مرکزی حد تھیوریم ثابت کیا۔ 1912 میں پوئن کیری نے کارڈ شفلنگ کا مطالعہ کرنے کے مقصد سے محدود گروپوں پر مارکوف زنجیروں کا مطالعہ کیا۔ مارکوف زنجیروں کے دیگر ابتدائی استعمال میں ایک پھیلاؤ ماڈل شامل ہے، جسے پال اور تاتیانا ایہرن فیسٹ نے 1907 میں متعارف کرایا تھا، اور ایک شاخ سازی کا عمل، جسے فرانسس گیلٹن اور ہنری ولیم واٹسن نے 1873 میں متعارف کرایا تھا، مارکوف کے کام سے پہلے۔ گیلٹن اور واٹسن کے کام کے بعد، بعد میں یہ انکشاف ہوا کہ ان کی شاخوں کے عمل کو آزادانہ طور پر تقریبا تین دہائیاں قبل ایرینی جولس بینائیمی نے دریافت اور مطالعہ کیا تھا۔ 1928 میں شروع کرتے ہوئے، مورس فریشیٹ مارکوف زنجیروں میں دلچسپی لینے لگے، جس کے نتیجے میں انہوں نے 1938 میں مارکوف زنجیروں پر ایک تفصیلی مطالعہ شائع کیا۔ آندرے کولموگوروف نے 1931 کے ایک مقالے میں مسلسل وقت مارکوف کے عمل کے ابتدائی نظریہ کا ایک بڑا حصہ تیار کیا۔ کولموگوروف جزوی طور پر اسٹاک مارکیٹ میں اتار چڑھاؤ پر لوئس بیچلیئر کے 1900 کے کام کے ساتھ ساتھ آئن سٹائن کے براؤنین تحریک کے ماڈل پر نوربرٹ وینر کے کام سے متاثر تھے۔ انہوں نے مارکوف کے عمل کا ایک خاص مجموعہ متعارف کرایا اور اس کا مطالعہ کیا جسے بازی کے عمل کے نام سے جانا جاتا ہے، جہاں انہوں نے عمل کو بیان کرنے والی تفریقی مساوات کا ایک مجموعہ اخذ کیا۔ کولموگوروف کے کام سے آزاد، سڈنی چیپ مین نے 1928 کے ایک مقالے میں ایک مساوات اخذ کی، جسے اب چیپ مین-کولموگوروف مساوات کہا جاتا ہے، کولموگوروف کے مقابلے میں ریاضی کے لحاظ سے کم سخت انداز میں، براؤنین تحریک کا مطالعہ کرتے ہوئے۔ تفریقی مساوات کو اب کولموگوروف مساوات یا کولموگوروف-چیپمین مساوات کہا جاتا ہے۔ مارکوف کے عمل کی بنیادوں میں نمایاں کردار ادا کرنے والے دیگر ریاضی دانوں میں 1930 کی دہائی میں شروع ہونے والے ولیم فیلر اور پھر بعد میں 1950 کی دہائی میں شروع ہونے والے یوجین ڈینکن شامل ہیں۔ لیوی عمل لیوی عمل جیسے وینر عمل اور پوسن عمل (حقیقی لائن پر) کا نام پال لیوی کے نام پر رکھا گیا ہے جس نے 1930 کی دہائی میں ان کا مطالعہ کرنا شروع کیا تھا، لیکن ان کا تعلق 1920 کی دہائی میں واپس جانے والی لامحدود تقسیم تقسیم سے ہے۔ 1932 کے ایک مقالے میں کولموگوروف نے لیوی کے عمل سے وابستہ بے ترتیب متغیرات کے لیے ایک خاص فعل اخذ کیا۔ یہ نتیجہ بعد میں 1934 میں لیوی کے ذریعہ زیادہ عام حالات میں اخذ کیا گیا، اور پھر کھنچن نے آزادانہ طور پر 1937 میں اس خصوصیت کے فعل کے لیے ایک متبادل شکل دی۔ لیوی، کھنچن اور کولوموگروف کے علاوہ، لیوی کے عمل کے نظریہ میں ابتدائی بنیادی شراکت برونو ڈی فنیٹی اور کیوسی ایٹو نے کی تھی۔ ریاضیاتی تعمیر ریاضی میں، ریاضیاتی اشیاء کی تعمیرات کی ضرورت ہوتی ہے، جو کہ اسٹوچسٹک عمل کے لیے بھی ہے، تاکہ یہ ثابت کیا جا سکے کہ وہ ریاضیاتی طور پر موجود ہیں۔ سٹاکاسٹک عمل کی تعمیر کے لیے دو اہم طریقے ہیں۔ ایک نقطہ نظر میں افعال کی قابل پیمائش جگہ پر غور کرنا، امکانات کی جگہ سے افعال کی اس قابل پیمائش جگہ تک ایک مناسب قابل پیمائش نقشہ سازی کی وضاحت کرنا، اور پھر متعلقہ محدود جہتی تقسیم کو اخذ کرنا شامل ہے۔ ایک اور نقطہ نظر میں بے ترتیب متغیرات کے مجموعے کی وضاحت کرنا شامل ہے تاکہ مخصوص محدود جہتی تقسیم ہو، اور پھر کولموگوروف کے وجود کے نظریہ کا استعمال کرتے ہوئے یہ ثابت کیا جائے کہ ایک متعلقہ سٹوچسٹک عمل موجود ہے۔ یہ تھیوریم، جو لامحدود پروڈکٹ خالی جگہوں پر اقدامات کے لیے ایک وجود تھیوریم ہے، کہتا ہے کہ اگر کوئی محدود جہتی تقسیم دو شرائط کو پورا کرتی ہے، جسے مستقل حالات کہا جاتا ہے، تو ان محدود جہتی تقسیم کے ساتھ ایک غیر معمولی عمل موجود ہے۔ تعمیراتی مسائل جب مسلسل وقت کے سٹوچسٹک عمل کی تعمیر کرتے ہیں تو کچھ ریاضیاتی مشکلات پیدا ہوتی ہیں، جو بے شمار انڈیکس سیٹوں کی وجہ سے ہوتی ہیں، جو مجرد وقت کے عمل کے ساتھ نہیں ہوتی ہیں۔ ایک مسئلہ یہ ہے کہ ایک ہی محدود جہتی تقسیم کے ساتھ ایک سے زیادہ سٹوچسٹک عمل کا ہونا ممکن ہے۔ مثال کے طور پر، دونوں بائیں مسلسل ترمیم اور ایک پوسن عمل کے دائیں مسلسل ترمیم ایک ہی محدود جہتی تقسیم ہے. اس کا مطلب یہ ہے کہ اسٹاکسٹک عمل کی تقسیم، لازمی طور پر، اسٹاکسٹک عمل کے نمونے کے افعال کی خصوصیات کو منفرد طور پر بیان نہیں کرتی ہے۔ ایک اور مسئلہ یہ ہے کہ مسلسل وقت کے عمل کے افعال جو انڈیکس سیٹ کے بے شمار پوائنٹس پر انحصار کرتے ہیں وہ قابل پیمائش نہیں ہو سکتے ہیں، اس لیے بعض واقعات کے امکانات کی اچھی طرح سے وضاحت نہیں کی جا سکتی ہے۔ مثال کے طور پر، اسٹاکسٹک عمل یا بے ترتیب فیلڈ کا بالادستی ضروری نہیں کہ ایک اچھی طرح سے متعین بے ترتیب متغیر ہو۔ مسلسل وقت کے سٹوچسٹک عمل کے لیے، دیگر خصوصیات جو انڈیکس سیٹ کے پوائنٹس کی بے شمار تعداد پر منحصر ہوتی ہیں ان میں شامل ہیں: سٹوچسٹک عمل کا نمونہ فنکشن ایک مسلسل فنکشن ہے ؛ سٹوچسٹک عمل کا نمونہ فنکشن ایک باؤنڈڈ فنکشن ہے ؛ اور سٹوچسٹک عمل کا نمونہ فنکشن کا بڑھتا ہوا فنکشن ہے۔ ان دونوں مشکلات پر قابو پانے کے لیے مختلف مفروضے اور نقطہ نظر ممکن ہیں۔ تعمیراتی مسائل کو حل کرنا اسٹاکسٹک عمل کے ریاضیاتی تعمیراتی مسائل سے بچنے کا ایک طریقہ، جو جوزف ڈوب نے تجویز کیا ہے، یہ فرض کرنا ہے کہ اسٹاکسٹک عمل علیحدہ ہے۔ علیحدگی اس بات کو یقینی بناتی ہے کہ لامحدود جہتی تقسیم نمونے کے افعال کی خصوصیات کا تعین اس ضرورت کے ذریعے کرتی ہے کہ نمونے کے افعال کا تعین بنیادی طور پر انڈیکس سیٹ میں گھنے قابل گنتی پوائنٹس پر ان کی اقدار کے ذریعے کیا جائے۔ مزید برآں، اگر کوئی غیر معمولی عمل الگ کرنے کے قابل ہے، تو انڈیکس سیٹ کے بے شمار پوائنٹس کے افعال قابل پیمائش ہیں اور ان کے امکانات کا مطالعہ کیا جا سکتا ہے۔ ایک اور نقطہ نظر ممکن ہے، جو اصل میں اناتولی سکورکوڈ اور آندرے کولموگوروف نے تیار کیا تھا، کسی بھی میٹرک اسپیس کے ساتھ اس کی ریاستی جگہ کے طور پر مسلسل وقت کے اسٹاکسٹک عمل کے لیے۔ اس طرح کے سٹوچسٹک عمل کی تعمیر کے لیے، یہ فرض کیا جاتا ہے کہ سٹوچسٹک عمل کے نمونے کے افعال کا تعلق کسی مناسب فنکشن اسپیس سے ہے، جو عام طور پر سکوروکھڈ اسپیس ہے جو بائیں حدود کے ساتھ تمام دائیں مسلسل افعال پر مشتمل ہوتی ہے۔ یہ نقطہ نظر اب علیحدگی کے مفروضے سے زیادہ استعمال ہوتا ہے، لیکن اس نقطہ نظر پر مبنی اس طرح کا اسٹاکسٹک عمل خود بخود الگ ہو جائے گا۔ اگرچہ کم استعمال کیا جاتا ہے، علیحدگی کے مفروضے کو زیادہ عام سمجھا جاتا ہے کیونکہ ہر سٹوچسٹک عمل کا ایک علیحدہ ورژن ہوتا ہے۔ اس کا استعمال اس وقت بھی کیا جاتا ہے جب سکوروکھڈ کی جگہ میں اسٹاکسٹک عمل کی تعمیر ممکن نہ ہو۔ مثال کے طور پر، بے ترتیب فیلڈز کی تعمیر اور مطالعہ کرتے وقت علیحدگی کا فرض کیا جاتا ہے، جہاں بے ترتیب متغیرات کا مجموعہ اب حقیقی لائن کے علاوہ دوسرے سیٹوں جیسے-جہتی یوکلڈین اسپیس کے ذریعہ انڈیکس کیا جاتا ہے۔ یہ بھی دیکھیں نوٹ حوالہ جات مزید پڑھنے کے مضامین کتابیں بیرونی لنکس سٹوچسٹک ماڈل شماریاتی ڈیٹا کی اقسام