Homeomorphism group
ریاضی میں، خاص طور پر ٹوپولوجی میں، ٹوپولوجیکل اسپیس کا ہومومورفزم گروپ وہ گروپ ہے جو خلا سے لے کر خود تک تمام ہومومورفزم پر مشتمل ہوتا ہے جس میں گروپ آپریشن کے طور پر فنکشن کمپوزیشن ہوتی ہے۔ ہومیومورفزم گروپس ٹپوولوجیکل خالی جگہوں کے نظریہ میں بہت اہم ہیں اور عام طور پر آٹومورفزم گروپس کی مثالیں ہیں۔ ہومومورفزم گروپ اس لحاظ سے ٹوپولوجیکل غیر متغیر ہیں کہ ہومومورفک ٹوپولوجیکل خالی جگہوں کے ہومومورفزم گروپ گروپوں کے طور پر آئسومورفک ہیں۔ خصوصیات اور مثالیں اس جگہ پر کسی جگہ کے ہومومورفزم گروپ کا ایک قدرتی گروپ ایکشن ہوتا ہے۔ آئیے ایک ٹپوولوجیکل اسپیس بنیں اور بائی کے ہومومورفزم گروپ کو ظاہر کریں۔ عمل کی تعریف اس طرح کی گئی ہے: یہ ایک گروپ ایکشن ہے کیونکہ سب کے لیے، جہاں گروپ ایکشن کی نشاندہی ہوتی ہے، اور شناخت کا عنصر (جس پر شناختی فنکشن ہے) خود کو پوائنٹس بھیجتا ہے۔ اگر یہ عمل عارضی ہے، تو خلا کو یکساں کہا جاتا ہے۔ ٹوپولوجی ٹوپولوجیکل خالی جگہوں کے درمیان نقشوں کے دوسرے سیٹوں کی طرح، ہومیومورفزم گروپ کو ایک ٹوپولوجی دی جا سکتی ہے، جیسے کمپیکٹ اوپن ٹوپولوجی۔ باقاعدہ، مقامی طور پر کمپیکٹ خالی جگہوں کے معاملے میں گروپ کا ضرب پھر مسلسل ہوتا ہے۔ اگر جگہ کمپیکٹ اور ہاؤز ڈورف ہے، تو الٹا بھی مسلسل ہے اور ایک ٹپوولوجیکل گروپ بن جاتا ہے۔ اگر ہاؤز ڈورف ہے، تو مقامی طور پر کمپیکٹ اور مقامی طور پر منسلک یہ ہولڈز بھی ہے۔ تاہم مقامی طور پر کمپیکٹ علیحدہ میٹرک خالی جگہیں ہیں جن کے لیے الٹا نقشہ مسلسل نہیں ہے اور اس لیے ٹوپولوجیکل گروپ نہیں ہے۔ ہومومورفزم کے ساتھ ٹپوولوجیکل خالی جگہوں کے زمرے میں، گروپ آبجیکٹ بالکل ہومومورفزم گروپ ہیں۔ میپنگ کلاس گروپ خاص طور پر ہندسی ٹوپولوجی میں، کوئی آئسوٹوپی کے ذریعے حاصل کردہ حصص کے گروپ پر غور کرتا ہے، جسے میپنگ کلاس گروپ کہا جاتا ہے: ایم سی جی کی تشریح 0 ویں ہوموٹوپی گروپ کے طور پر بھی کی جا سکتی ہے۔ اس سے مختصر عین مطابق ترتیب حاصل ہوتی ہے: کچھ ایپلی کیشنز، خاص طور پر سطحوں میں، ہومیومورفزم گروپ کا مطالعہ اس مختصر عین مطابق ترتیب کے ذریعے کیا جاتا ہے، اور پہلے نقشہ سازی کلاس گروپ اور آئسوٹوپک طور پر معمولی ہومیومورفزم کے گروپ کا مطالعہ کرکے، اور پھر (بعض اوقات) توسیع کا مطالعہ کیا جاتا ہے۔ میپنگ کلاس گروپ حوالہ جات گروپ تھیوری ٹوپولوجی ٹوپولوجیکل گروپس بھی دیکھیں۔