Derivation of the Schwarzschild solution
Schwarzschild حل ایک بڑے، غیر گھومنے والے، کروی طور پر ہم آہنگ شے کے زیر اثر خلائی وقت کو بیان کرتا ہے۔ کچھ لوگ اسے آئن سٹائن فیلڈ مساوات کا سب سے آسان اور مفید حل سمجھتے ہیں۔ ایک مربوط چارٹ میں بالترتیب 1 سے 4 کے لیبل والے نقاط کے ساتھ کام کرتے ہوئے، ہم میٹرک کو اس کی سب سے عام شکل میں شروع کرتے ہیں (10 آزاد اجزاء، جن میں سے ہر ایک 4 متغیرات کا ہموار فعل ہے)۔ حل کو کروی طور پر ہم آہنگ، جامد اور خلا سمجھا جاتا ہے۔ اس مضمون کے مقاصد کے لیے، ان مفروضوں کو مندرجہ ذیل طور پر بیان کیا جا سکتا ہے (درست تعریفوں کے لیے متعلقہ لنکس دیکھیں): ایک کروی طور پر ہم آہنگ خلائی وقت وہ ہے جو گردش کے تحت غیر متغیر ہے اور آئینے کی شبیہہ لیتا ہے۔ جامد سپیس ٹائم وہ ہوتا ہے جس میں تمام میٹرک اجزاء ٹائم کوآرڈینیٹ سے آزاد ہوتے ہیں (تاکہ) اور سپیس ٹائم کی جیومیٹری ٹائم ریورسل کے تحت تبدیل نہ ہو۔ خلا حل وہ ہے جو مساوات کو مطمئن کرتا ہے۔ آئن سٹائن فیلڈ مساوات (صفر کاسمولوجیکل مستقل کے ساتھ) سے، اس کا مطلب یہ ہے کہ چونکہ پیداوار میں کمی واقع ہوتی ہے۔ یہاں استعمال ہونے والے میٹرک دستخط (+، +، +، −) ہیں۔ میٹرک کو ڈائیگنلائز کرنا پہلی آسان کاری میٹرک کو ڈائیگنلائز کرنا ہے۔ کوآرڈینیٹ ٹرانسفارمیشن کے تحت، تمام میٹرک اجزاء یکساں رہنے چاہئیں۔ میٹرک اجزاء () اس تبدیلی کے تحت اس طرح تبدیل ہوتے ہیں: () لیکن، جیسا کہ ہم توقع کرتے ہیں (میٹرک اجزاء یکساں رہتے ہیں)، اس کا مطلب یہ ہے کہ: () اسی طرح، کوآرڈینیٹ تبدیلیاں اور بالترتیب: () () ان سب کو ایک ساتھ رکھنے سے ملتا ہے: () اور اس لیے میٹرک اس شکل کا ہونا چاہیے: جہاں چار میٹرک اجزاء ٹائم کوآرڈینیٹ سے آزاد ہیں (جامد مفروضے کے مطابق)۔ اجزاء کو آسان بنانا مستقل، مستقل اور مستقل (یعنی ہر ریڈیل لائن پر) کے ہر ہائپر سرفیس پر، صرف (کروی ہم آہنگی کے ذریعے) انحصار کرنا چاہیے۔ لہذا یہ ایک واحد متغیر کا فنکشن ہے: اسی طرح کی دلیل کا اطلاق اس بات کو ظاہر کرنے کے لیے کیا جاتا ہے کہ: مستقل اور مستقل کے ہائپر سرفیس پر، یہ ضروری ہے کہ میٹرک 2-دائرے کا ہو: ان ہائپر سرفیس میں سے کسی ایک کا انتخاب کرتے ہوئے (جس کا رداس ہے، جیسے)، اس ہائپر سرفیس تک محدود میٹرک اجزاء (جس کی طرف ہم اشارہ کرتے ہیں اور) کے ذریعے اور (پھر، کروی ہم آہنگی کے ذریعے) گردش کے تحت کوئی تبدیلی نہیں ہونی چاہیے۔ اس ہائپر سرفیس پر میٹرک کی شکلوں کا موازنہ کرنے سے ملتا ہے: جو فوری طور پر حاصل ہوتا ہے: اور لیکن یہ ہر ہائپر سرفیس کو برقرار رکھنے کے لیے ضروری ہے۔ لہذا، اور یہ دیکھنے کا ایک متبادل بدیہی طریقہ یہ ہے کہ کسی لچکدار مواد کو کروی طور پر ہم آہنگ انداز (ریڈیئل) میں کھینچنا یا کمپریس کرنا دو نکات کے درمیان کونیی فاصلے کو تبدیل نہیں کرے گا۔ اس طرح، میٹرک کو اس شکل میں رکھا جا سکتا ہے: کے افعال کے ساتھ اور ابھی تک غیر متعین۔ نوٹ کریں کہ اگر کسی مقام پر صفر کے برابر ہے یا ہے، تو اس مقام پر میٹرک واحد ہوگا۔ کرسٹوفیل کی علامتوں کا حساب لگانا مندرجہ بالا میٹرک کا استعمال کرتے ہوئے، ہمیں کرسٹوفیل کی علامتیں ملتی ہیں، جہاں اشارے ہیں۔ نشان کسی فنکشن کے کل مشتق کی نشاندہی کرتا ہے۔ A (r) اور B (r) کو تلاش کرنے کے لیے فیلڈ مساوات کا استعمال کرنا اور اس کا تعین کرنے کے لیے ویکیوم فیلڈ مساوات کو استعمال کیا جاتا ہے: اس لیے: جہاں کوما کا استعمال مشتق کے لیے استعمال ہونے والے انڈیکس کو ترتیب دینے کے لیے کیا جاتا ہے۔ رچی منحنی خطوط دیئے گئے نقاط میں اخترن ہے: جہاں پرائم کا مطلب افعال کا r مشتق ہے۔ فیلڈ مساوات میں سے صرف تین غیر معمولی ہیں اور آسان ہونے پر بالترتیب بن جاتے ہیں: (چوتھی مساوات تیسری مساوات کا صرف گنا ہے)۔ پہلی اور دوسری مساوات کو گھٹانے سے پیدا ہوتا ہے: جہاں غیر صفر حقیقی مستقل ہے۔ دوسری مساوات میں تبدیل کرنے اور صاف کرنے سے ملتا ہے: جس کا عمومی حل ہے: کچھ غیر صفر حقیقی مستقل کے لیے۔ لہذا، ایک جامد، کروی طور پر ہم آہنگ ویکیوم حل کے لیے میٹرک اب اس شکل میں ہے: نوٹ کریں کہ مندرجہ بالا میٹرک کے ذریعے ظاہر کردہ اسپیس ٹائم غیر علامتی طور پر چپٹا ہے، یعنی۔ جیسا کہ، میٹرک منکوسکی میٹرک کے قریب پہنچتا ہے اور اسپیس ٹائم کئی گنا منکوسکی اسپیس سے ملتا جلتا ہے۔ K اور S کو تلاش کرنے کے لیے کمزور میدان کے تخمینے کا استعمال کرتے ہوئے میٹرک کی جیوڈیکسکس (حاصل کی گئی جہاں حد سے زیادہ ہے)، کسی حد میں (مثال کے طور پر، روشنی کی لامحدود رفتار کی طرف)، نیوٹنین حرکت کے حل سے متفق ہونی چاہیے (مثال کے طور پر، لگرینج مساوات کے ذریعے حاصل کردہ)۔ (میٹرک کو منکووسکی کی جگہ تک بھی محدود ہونا چاہیے جب اس کی نمائندگی کرنے والی کمیت غائب ہو جاتی ہے۔) (حرکی توانایٔی کہاں ہے اور کشش ثقل کی وجہ سے ممکنہ توانایٔی کہاں ہے) مستقلات اور مکمل طور پر اس نقطہ نظر کے کچھ متغیرات سے متعین ہوتے ہیں ؛ کمزور میدان کے تخمینے سے نتیجہ پر پہنچتا ہے: کشش ثقل کا مستقل کہاں ہے، کشش ثقل کے منبع کی کمیت کہاں ہے اور روشنی کی رفتار کہاں ہے۔ یہ پایا جاتا ہے کہ: اور اس لیے: اور تو، شوارزشائلڈ میٹرک آخر کار اس شکل میں لکھی جا سکتی ہے: نوٹ کریں کہ: کمیت کے کسی شے کے لیے شوارزشائلڈ رداس کی تعریف ہے، اس لیے شوارزشائلڈ میٹرک کو متبادل شکل میں دوبارہ لکھا جا سکتا ہے: جس سے پتہ چلتا ہے کہ میٹرک واحد ہو جاتا ہے جو واقعہ کے افق (یعنی،) کے قریب پہنچتا ہے۔ میٹرک انفرادیت جسمانی نہیں ہے (حالانکہ اس میں ایک حقیقی جسمانی انفرادیت موجود ہے)، جیسا کہ ایک مناسب ہم آہنگی کی تبدیلی کا استعمال کرکے دکھایا جا سکتا ہے (مثال کے طور پر۔ کرسکال-زیکیرس کوآرڈینیٹ سسٹم)۔ خاص صورتوں میں معروف طبیعیات کا استعمال کرتے ہوئے متبادل مشتق شوارزچلڈ میٹرک کو معروف طبیعیات کا استعمال کرتے ہوئے سرکلر مدار اور عارضی طور پر اسٹیشنری پوائنٹ ماس کے لیے بھی اخذ کیا جا سکتا ہے۔ میٹرک کے کوفشنٹس سے شروع کریں جو ان کے نامعلوم کوفشنٹس ہیں: اب آرک لمبائی کے انٹیگرل پر یولر-لگرینج مساوات کا اطلاق کریں کیونکہ یہ مستقل ہے، انٹیگرینڈ کو اس سے تبدیل کیا جا سکتا ہے کیونکہ اگر انٹیگرینڈ کو کسی مستقل سے ضرب دی جائے تو E-L مساوات بالکل یکساں ہے۔ تبدیل شدہ انٹیگرانڈ پیداوار کے ساتھ E-L مساوات کا اطلاق کرنا: جہاں ڈاٹ کے حوالے سے تفریق کی نشاندہی کرتا ہے۔ سرکلر مدار میں تو اوپر دی گئی پہلی E-L مساوات کیپلر کے حرکت کے تیسرے قانون کے مساوی ہے۔ سرکلر مدار میں، مدت کا مطلب یہ ہے کہ مرکزی جسم کی کمیت کے مقابلے میں پوائنٹ ماس نہ ہونے کے برابر ہے۔ تو اور اس پیداوار کو مربوط کرنا جہاں انضمام کا نامعلوم مستقل ہے۔ اصل میٹرک مساوات بن جاتی ہے اور اوپر کی پہلی E-L مساوات بن جاتی ہے جب پوائنٹ ماس عارضی طور پر اسٹیشنری ہوتا ہے، کشش ثقل کا ایکسلریشن ہوتا ہے، تو آئسوٹروپک کوآرڈینیٹس میں متبادل شکل میٹرک کی اصل تشکیل انسوٹروپک کوآرڈینیٹس کا استعمال کرتی ہے جس میں ریڈیل اور ٹرانسورس سمتوں میں روشنی کی رفتار ایک جیسی نہیں ہوتی ہے۔ آرتھر ایڈنگٹن نے آئسوٹروپک نقاط میں متبادل شکلیں دیں۔ آئسوٹروپک کروی نقاط کے لیے،، نقاط اور غیر تبدیل شدہ ہیں، اور پھر (فراہم کردہ)، اور پھر آئسوٹروپک مستطیل نقاط کے لیے،،، میٹرک پھر بن جاتا ہے، آئسوٹروپک مستطیل نقاط میں: جامد مفروضے کے ساتھ تقسیم کرنا-برخوف کا نظریہ شوارزشائلڈ میٹرک کو اخذ کرتے ہوئے، یہ فرض کیا گیا کہ میٹرک خلا، کروی طور پر ہم آہنگ اور جامد ہے۔ جامد مفروضہ غیر ضروری ہے، جیسا کہ برخوف کے نظریہ میں کہا گیا ہے کہ آئن سٹائن کی فیلڈ مساوات کا کوئی بھی کروی سمیٹرک ویکیوم حل ساکن ہے۔ اس طرح شوارزچلڈ حل اس کے بعد آتا ہے۔ برخوف کے نظریہ کا نتیجہ یہ ہے کہ کوئی بھی دھڑکتا ہوا ستارہ جو کروی طور پر ہم آہنگ رہتا ہے کشش ثقل کی لہریں پیدا نہیں کرتا ہے، کیونکہ ستارے سے باہر کا خطہ جامد رہتا ہے۔ کارل شوارزچلڈ کیر میٹرک ریسنر-نورڈسٹروم میٹرک حوالہ جات عمومی اضافیت میں درست حل آرٹیکل ثبوت بھی دیکھیں۔