Multivariate random variable
امکان، اور اعداد و شمار میں، ایک کثیر متغیر بے ترتیب متغیر یا بے ترتیب ویکٹر ریاضیاتی متغیرات کی ایک فہرست یا ویکٹر ہے جس کی ہر قیمت نامعلوم ہے، یا تو اس وجہ سے کہ قیمت ابھی تک نہیں ہوئی ہے یا اس وجہ سے کہ اس کی قیمت کا نامکمل علم موجود ہے۔ بے ترتیب ویکٹر میں انفرادی متغیرات کو ایک ساتھ گروپ کیا جاتا ہے کیونکہ وہ سب ایک ہی ریاضیاتی نظام کا حصہ ہیں-اکثر وہ انفرادی شماریاتی اکائی کی مختلف خصوصیات کی نمائندگی کرتے ہیں۔ مثال کے طور پر، جب کہ کسی دیئے گئے شخص کی ایک مخصوص عمر، اونچائی اور وزن ہوتا ہے، کسی گروپ کے اندر سے کسی غیر متعینہ شخص کی ان خصوصیات کی نمائندگی بے ترتیب ویکٹر ہوگی۔ عام طور پر بے ترتیب ویکٹر کا ہر عنصر ایک حقیقی عدد ہوتا ہے۔ بے ترتیب ویکٹر اکثر مختلف قسم کے مجموعی بے ترتیب متغیرات کے بنیادی نفاذ کے طور پر استعمال ہوتے ہیں، مثال کے طور پر۔ ایک بے ترتیب میٹرکس، بے ترتیب درخت، بے ترتیب ترتیب، اسٹاکسٹک عمل، وغیرہ۔ مزید رسمی طور پر، ایک ملٹی ویریٹ بے ترتیب متغیر ایک کالم ویکٹر (یا اس کا ٹرانسپوز، جو ایک قطار ویکٹر ہے) ہے جس کے اجزاء ایک دوسرے کی طرح ایک ہی امکانات کی جگہ پر اسکیلر ویلیوڈ بے ترتیب متغیر ہیں، جہاں نمونہ کی جگہ ہے، سگما الجبرا ہے (تمام واقعات کا مجموعہ)، اور امکان کی پیمائش ہے (ہر واقعہ کے امکانات کو واپس کرنے والا فنکشن)۔ امکان کی تقسیم ہر بے ترتیب ویکٹر بنیادی سگما الجبرا کے طور پر بوریل الجبرا کے ساتھ ایک امکان کی پیمائش کو جنم دیتا ہے۔ اس پیمائش کو مشترکہ امکان کی تقسیم، مشترکہ تقسیم، یا بے ترتیب ویکٹر کی کثیر متغیر تقسیم کے نام سے بھی جانا جاتا ہے۔ ہر جزو کے بے ترتیب متغیرات کی تقسیم کو حاشیہ تقسیم کہا جاتا ہے۔ دی گئی کی مشروط امکان کی تقسیم اس وقت کی امکان کی تقسیم ہے جب کسی خاص قدر کے طور پر جانا جاتا ہے۔ بے ترتیب ویکٹر کی مجموعی تقسیم فنکشن کی تعریف اس طرح کی جاتی ہے کہ کہاں۔ بے ترتیب ویکٹروں پر کارروائیوں کو اسی قسم کی الجبرائی کارروائیوں کے تابع کیا جا سکتا ہے جیسا کہ غیر بے ترتیب ویکٹروں کو کیا جا سکتا ہے: اضافہ، گھٹاؤ، اسکیلر سے ضرب، اور اندرونی مصنوعات کو لینا۔ افائن تبدیلیاں اسی طرح، ایک نئے بے ترتیب ویکٹر کی تعریف ایک بے ترتیب ویکٹر میں افائن تبدیلی کا اطلاق کرکے کی جا سکتی ہے:، جہاں ایک میٹرکس ہے اور ایک کالم ویکٹر ہے۔ اگر ایک الٹا میٹرکس ہے اور اس میں امکان کثافت فنکشن ہے، تو اس کی امکان کثافت ہے۔ الٹا نقشہ سازی زیادہ عام طور پر ہم بے ترتیب ویکٹروں کے الٹا نقشہ سازی کا مطالعہ کر سکتے ہیں۔ ایک کھلے ذیلی سیٹ سے ایک کے ذیلی سیٹ پر ون ٹو ون میپنگ ہونے دیں، آئیے مسلسل جزوی مشتقات رکھیں اور جیکوبین ڈیٹرمیننٹ کو کسی بھی مقام پر صفر نہ ہونے دیں۔ فرض کریں کہ حقیقی بے ترتیب ویکٹر کا امکان کثافت فنکشن ہے اور مطمئن کرتا ہے۔ پھر بے ترتیب ویکٹر امکانی کثافت کا ہوتا ہے جہاں اشارے کی تقریب کو ظاہر کرتا ہے اور سیٹ کی حمایت کو ظاہر کرتا ہے۔ متوقع قیمت بے ترتیب ویکٹر کی متوقع قیمت یا اوسط ایک فکسڈ ویکٹر ہے جس کے عناصر متعلقہ بے ترتیب متغیرات کی متوقع اقدار ہیں۔ کوویرینس اور کراس کوویرینس کی تعریفیں بے ترتیب ویکٹر کا کوویرینس میٹرکس (جسے دوسرا مرکزی لمحہ یا تغیر-کوویرینس میٹرکس بھی کہا جاتا ہے) ایک میٹرکس ہے جس کا (i, j) واں عنصر i th اور j th بے ترتیب متغیرات کے درمیان کوویرینس ہے۔ کوویرینس میٹرکس میٹرکس کی متوقع قیمت ہے، عنصر بہ عنصر، جس کی گنتی اس طرح کی جاتی ہے، جہاں سپر اسکرپٹ T اشارہ شدہ ویکٹر کے ٹرانسپوز سے مراد ہے: توسیع کے ذریعے، دو بے ترتیب ویکٹروں اور (عناصر رکھنے والے اور عناصر رکھنے والے) کے درمیان کراس کوویرینس میٹرکس وہ میٹرکس ہے جہاں دوبارہ میٹرکس کی توقع کو میٹرکس میں عنصر بہ عنصر لیا جاتا ہے۔ یہاں (i، j) واں عنصر کے i ویں عنصر اور کے j ویں عنصر کے درمیان کوویرینس ہے۔ خصوصیات کوویرینس میٹرکس ایک سمیٹرک میٹرکس ہے، یعنی۔ ۔ کوویرینس میٹرکس ایک مثبت سیمی فائنائٹ میٹرکس ہے، یعنی۔ ۔ کراس کوویرینس میٹرکس محض میٹرکس کا ٹرانسپوز ہے، یعنی۔ ۔ غیر متعلقہ دو بے ترتیب ویکٹر اور انہیں غیر متعلقہ اگر کہا جاتا ہے۔ وہ غیر مربوط ہیں اگر اور صرف اس صورت میں جب ان کا کراس کوویرینس میٹرکس صفر ہو۔ ارتباط اور باہمی ارتباط کی تعریفیں بے ترتیب ویکٹر کا ارتباط میٹرکس (جسے دوسرا لمحہ بھی کہا جاتا ہے) ایک میٹرکس ہے جس کا (i, j) واں عنصر i th اور j th بے ترتیب متغیرات کے درمیان ارتباط ہے۔ ارتباط میٹرکس میٹرکس کی متوقع قیمت ہے، عنصر بہ عنصر، جس کا حساب اس طرح کیا جاتا ہے، جہاں سپر اسکرپٹ T اشارہ شدہ ویکٹر کے ٹرانسپوز سے مراد ہے: توسیع کے ذریعے، دو بے ترتیب ویکٹرز اور (عناصر رکھنے والے اور عناصر رکھنے والے) کے درمیان کراس ارتباط میٹرکس میٹرکس کی خصوصیات ہے۔ ارتباط میٹرکس کا تعلق کوویرینس میٹرکس سے ہے۔ اسی طرح کراس ارتباط میٹرکس اور کراس کوویرینس میٹرکس کے لیے: آرتھوگونالیٹی ایک ہی سائز کے دو بے ترتیب ویکٹر اور اگر انہیں آرتھوگنل کہا جاتا ہے۔ آزادی دو بے ترتیب ویکٹر اور ان کو آزاد کہا جاتا ہے اگر سب کے لیے اور کہاں اور کے مجموعی تقسیم کے افعال کی نشاندہی کرتے ہیں اور ان کے مشترکہ مجموعی تقسیم کے فنکشن کی نشاندہی کرتے ہیں۔ اور کی آزادی کو اکثر اس کے ذریعے ظاہر کیا جاتا ہے۔ اجزاء کے لحاظ سے لکھا جاتا ہے، اور اگر سب کے لیے آزاد کہا جاتا ہے۔ اجزاء کے ساتھ بے ترتیب ویکٹر کی خصوصیت فنکشن ایک ایسی فنکشن ہے جو ہر ویکٹر کو ایک پیچیدہ نمبر پر نقش کرتی ہے۔ اس کی وضاحت کی گئی ہے۔ مزید خصوصیات کواڈریٹک شکل کی توقع بے ترتیب ویکٹر میں ایک کواڈریٹک شکل کی توقع کو مندرجہ ذیل طور پر لیا جا سکتا ہے: کوویرینس میٹرکس کہاں ہے اور میٹرکس کے ٹریس سے مراد ہے-یعنی، اس کے مرکزی اخترن پر موجود عناصر کے مجموعے سے (اوپری بائیں سے نچلے دائیں)۔ چونکہ کواڈریٹک شکل ایک اسکیلر ہے، اسی طرح اس کی توقع بھی ہے۔ ثبوت: اور کے ساتھ ایک بے ترتیب ویکٹر ہونے دیں اور ایک غیر اسٹاکسٹک میٹرکس ہونے دیں۔ پھر کوویرینس کے فارمولے کی بنیاد پر، اگر ہم اشارہ کرتے ہیں اور، ہم دیکھتے ہیں کہ: لہذا جو ہمیں یہ ظاہر کرنے کے لیے چھوڑ دیتا ہے کہ یہ اس حقیقت کی بنیاد پر درست ہے کہ کوئی حتمی نتیجہ کو تبدیل کیے بغیر ٹریس لیتے وقت میٹرکس کو چکور طور پر پرموٹ کر سکتا ہے (مثال کے طور پر۔ :)۔ ہم دیکھتے ہیں کہ اور چونکہ ایک اسکیلر ہے، پھر معمولی طور پر۔ اس تعدد کا استعمال کرتے ہوئے جو ہمیں ملتا ہے: اور اسے اصل فارمولے میں جوڑ کر ہمیں ملتا ہے: دو مختلف مربع شکلوں کے پروڈکٹ کی توقع ایک صفر معنی والے گوسیئن بے ترتیب ویکٹر میں دو مختلف مربع شکلوں کے پروڈکٹ کی توقع کو مندرجہ ذیل طور پر لیا جا سکتا ہے: جہاں دوبارہ کا کوویرینس میٹرکس ہے۔ ایک بار پھر، چونکہ دونوں کواڈریٹک شکلیں اسکیلر ہیں اور اس لیے ان کا پروڈکٹ ایک اسکیلر ہے، اس لیے ان کے پروڈکٹ کی توقع بھی ایک اسکیلر ہے۔ ایپلی کیشنز پورٹ فولیو تھیوری مالیات میں پورٹ فولیو تھیوری میں، ایک مقصد اکثر خطرناک اثاثوں کے پورٹ فولیو کا انتخاب کرنا ہوتا ہے جیسے کہ بے ترتیب پورٹ فولیو ریٹرن کی تقسیم میں مطلوبہ خصوصیات ہوں۔ مثال کے طور پر، کوئی بھی پورٹ فولیو ریٹرن کا انتخاب کرنا چاہے گا جس میں دی گئی متوقع قیمت کے لیے سب سے کم تغیر ہو۔ یہاں بے ترتیب ویکٹر انفرادی اثاثوں پر بے ترتیب واپسی کا ویکٹر ہے، اور پورٹ فولیو ریٹرن پی (ایک بے ترتیب اسکیلر) پورٹ فولیو وزن کے ویکٹر ڈبلیو کے ساتھ بے ترتیب واپسی کے ویکٹر کا اندرونی پروڈکٹ ہے-متعلقہ اثاثوں میں رکھے گئے پورٹ فولیو کے حصے۔ چونکہ پی = ڈبلیو ٹی، پورٹ فولیو ریٹرن کی متوقع قیمت ڈبلیو ٹی ای () ہے اور پورٹ فولیو ریٹرن کے تغیر کو ڈبلیو ٹی سی ڈبلیو دکھایا جا سکتا ہے، جہاں سی کا کوویرینس میٹرکس ہے۔ ریگریشن تھیوری لکیری ریگریشن تھیوری میں، ہمارے پاس k آزاد متغیر xj میں سے ہر ایک پر منحصر متغیر y اور n مشاہدات پر n مشاہدات پر ڈیٹا موجود ہے۔ منحصر متغیر پر مشاہدات کو کالم ویکٹر y میں اسٹیک کیا جاتا ہے۔ ہر آزاد متغیر پر مشاہدات کو کالم ویکٹر میں بھی اسٹیک کیا جاتا ہے، اور ان مؤخر الذکر کالم ویکٹرز کو آزاد متغیرات پر مشاہدات کے ڈیزائن میٹرکس X (اس تناظر میں بے ترتیب ویکٹر کی نشاندہی نہیں کرتے) میں ملایا جاتا ہے۔ پھر درج ذیل رجعت مساوات کو اس عمل کی وضاحت کے طور پر پیش کیا جاتا ہے جس نے ڈیٹا تیار کیا: جہاں β k رسپانس کوفیشنٹس کا ایک مفروضہ طے شدہ لیکن نامعلوم ویکٹر ہے، اور e ایک نامعلوم بے ترتیب ویکٹر ہے جو منحصر متغیر پر بے ترتیب اثرات کی عکاسی کرتا ہے۔ کچھ منتخب کردہ تکنیک جیسے کہ عام کم سے کم مربعوں کے ذریعہ، ایک ویکٹر کو β کے تخمینے کے طور پر منتخب کیا جاتا ہے، اور ویکٹر e کا تخمینہ، جس کی نشاندہی کی جاتی ہے، اس طرح شمار کیا جاتا ہے۔ پھر شماریات دان کو اور کی خصوصیات کا تجزیہ کرنا چاہیے، جنہیں بے ترتیب ویکٹر کے طور پر دیکھا جاتا ہے کیونکہ مشاہدہ کرنے کے لیے n معاملات کے بے ترتیب طور پر مختلف انتخاب کے نتیجے میں ان کے لیے مختلف اقدار ہوتیں۔ ویکٹر ٹائم سیریز وقت کے ذریعے k × 1 بے ترتیب ویکٹر کے ارتقاء کو ویکٹر آٹوریگریشن (VAR) کے طور پر اس طرح ماڈل کیا جا سکتا ہے: جہاں i-پیریڈز-بیک ویکٹر مشاہدے کو i-th لیگ آف کہا جاتا ہے، c مستقل (انٹرسیپٹس) کا k × 1 ویکٹر ہے، AI ایک ٹائم-انویرینٹ k × k میٹرکس ہے اور غلطی کی اصطلاحات کا k × 1 بے ترتیب ویکٹر ہے۔ حوالہ جات مزید پڑھنا بے ترتیب متغیرات کا کثیر الجہتی اعداد و شمار الجبرہ ڈی: Zufallsvariable#Mehrdimensionale زوفالسواریبل پی ایل: Zmienna losowa#Uogólnienia