Bayes' theorem
امکانی نظریہ اور اعداد و شمار میں، بائز تھیوریم (متبادل طور پر بائز کا قانون یا بائز کا اصول)، جس کا نام تھامس بائز کے نام پر رکھا گیا ہے، کسی واقعے کے امکان کو بیان کرتا ہے، ان حالات کے پہلے علم کی بنیاد پر جو اس واقعے سے متعلق ہو سکتے ہیں۔ مثال کے طور پر، اگر صحت کے مسائل پیدا ہونے کا خطرہ عمر کے ساتھ بڑھنے کے لیے جانا جاتا ہے، تو بیس کا نظریہ کسی معلوم عمر کے فرد کو خطرے کا اندازہ ان کی عمر کے مقابلے میں زیادہ درست طریقے سے کرنے کی اجازت دیتا ہے، بجائے اس کے کہ یہ فرض کیا جائے کہ فرد مجموعی طور پر آبادی کی خصوصیت ہے۔ بایئز تھیوریم کی بہت سی ایپلی کیشنز میں سے ایک بایسیئن انفریشن ہے، جو شماریاتی انفریشن کے لیے ایک خاص نقطہ نظر ہے۔ جب لاگو کیا جاتا ہے، تو نظریہ میں شامل امکانات کی مختلف امکانات کی تشریحات ہوسکتی ہیں۔ بایسیائی امکان کی تشریح کے ساتھ، نظریہ اس بات کا اظہار کرتا ہے کہ کس طرح عقیدے کی ایک ڈگری، جس کا اظہار امکان کے طور پر کیا جاتا ہے، متعلقہ شواہد کی دستیابی کے حساب سے عقلی طور پر تبدیل ہونا چاہیے۔ بایسیائی تخمینہ بایسیائی اعداد و شمار کے لیے بنیادی ہے، جسے ایک اتھارٹی کے ذریعہ اس طرح سمجھا جاتا ہے ؛ "امکان کے نظریہ کے لیے جو جیومیٹری کے لیے پائتھاگوراس کا نظریہ ہے"۔ تاریخ بائز تھیوریم کا نام ریورنڈ تھامس بائز (ریورنڈ تھامس بائز) کے نام پر رکھا گیا ہے، جو ایک شماریات دان اور فلسفی بھی ہیں۔ بائز نے ایک الگورتھم (اس کی تجویز 9) فراہم کرنے کے لیے مشروط امکان کا استعمال کیا جو کسی نامعلوم پیرامیٹر پر حدود کا حساب لگانے کے لیے ثبوت کا استعمال کرتا ہے۔ ان کا کام 1763 میں امکانات کے نظریے میں ایک مسئلہ کو حل کرنے کے لیے ایک مضمون کے طور پر شائع ہوا۔ بایئز نے مطالعہ کیا کہ بائنومیل ڈسٹری بیوشن (جدید اصطلاحات میں) کے امکانی پیرامیٹر کے لیے تقسیم کا حساب کیسے لگایا جائے۔ بائز کی موت پر اس کے اہل خانہ نے اس کے کاغذات ایک دوست، وزیر، فلسفی اور ریاضی دان رچرڈ پرائس کو منتقل کر دیے۔ دو سالوں میں، رچرڈ پرائس نے غیر شائع شدہ مخطوطے میں نمایاں ترمیم کی، اسے ایک دوست کو بھیجنے سے پہلے جس نے اسے 23 دسمبر 1763 کو رائل سوسائٹی میں بلند آواز سے پڑھا۔ پرائس نے بائز کے بڑے کام "این ایسے ٹورڈ سولونگ اے پروبلم ان دی ڈاکٹرائن آف چانسز" (1763) میں ترمیم کی، جو فلسفیانہ لین دین میں شائع ہوا، اور اس میں بائز کا نظریہ شامل ہے۔ پرائس نے اس مقالے کا ایک تعارف لکھا جس میں بایسیائی اعداد و شمار کی کچھ فلسفیانہ بنیاد فراہم کی گئی ہے اور باییس کی طرف سے پیش کردہ دو حل میں سے ایک کا انتخاب کیا گیا ہے۔ 1765 میں، بائز کی میراث پر ان کے کام کے اعتراف میں پرائس کو رائل سوسائٹی کا فیلو منتخب کیا گیا۔ 27 اپریل کو ان کے دوست بینجمن فرینکلن کو بھیجا گیا ایک خط رائل سوسائٹی میں پڑھا گیا، اور بعد میں شائع ہوا، جہاں پرائس اس کام کو آبادی اور 'لائف اینیوٹیز' کی گنتی پر لاگو کرتا ہے۔ آزادانہ طور پر بائز سے، 1774 میں پیئر سائمن لیپلیس، اور بعد میں اپنی 1812 تھیوری اینالیٹک ڈیس پروبیبلائٹس میں، ثبوت کے پیش نظر، پیشگی امکان سے تازہ ترین پوسٹرری امکان کے تعلق کو وضع کرنے کے لیے مشروط امکان کا استعمال کیا۔ انہوں نے 1774 میں بائز کے نتائج کو دوبارہ پیش کیا اور توسیع دی، بظاہر بائز کے کام سے بے خبر تھے۔ امکان کی بایسیائی تشریح بنیادی طور پر لیپلیس نے تیار کی تھی۔ تقریبا 200 سال بعد، سر ہیرالڈ جیفریس نے بیس کے الگورتھم اور لیپلیس کی تشکیل کو محوری بنیاد پر رکھا، 1973 کی ایک کتاب میں لکھا کہ بیس کا تھیوریم نظریہ امکان کے لیے وہی ہے جو جیومیٹری کے لیے پائیتھاگورین تھیوریم ہے۔ اسٹیفن سٹگلر نے یہ نتیجہ اخذ کرنے کے لیے بیسیائی دلیل کا استعمال کیا کہ بیز کا نظریہ ایک نابینا انگریزی ریاضی دان نکولس سانڈرسن نے بیز سے کچھ وقت پہلے دریافت کیا تھا۔ تاہم، اس تشریح کو متنازعہ قرار دیا گیا ہے۔ مارٹن ہوپر اور شیرون میک گرائن نے استدلال کیا ہے کہ رچرڈ پرائس کی شراکت کافی تھی: اسٹیٹمنٹ آف تھیوریم بائز تھیوریم کو ریاضیاتی طور پر درج ذیل مساوات کے طور پر بیان کیا گیا ہے: کہاں اور واقعات ہیں اور۔ ایک مشروط امکان ہے: واقع ہونے کے امکان کو دیکھتے ہوئے کہ یہ سچ ہے۔ اسے دی گئی چیز کا پچھلا امکان بھی کہا جاتا ہے۔ یہ ایک مشروط امکان بھی ہے: واقعہ ہونے کا امکان جو کہ درست ہے۔ اس کی تشریح ایک مقررہ دیئے جانے کے امکان کے طور پر بھی کی جا سکتی ہے کیونکہ۔ اور مشاہدہ کرنے کے امکانات ہیں اور بالترتیب بغیر کسی دی گئی شرائط کے۔ انہیں پیشگی امکان اور معمولی امکان کے طور پر جانا جاتا ہے۔ واقعات کا ثبوت بیس کا نظریہ مشروط امکان کی تعریف سے اخذ کیا جا سکتا ہے: جہاں A اور B دونوں کے سچ ہونے کا امکان ہے۔ اسی طرح، بیئز تھیوریم کے لیے مذکورہ بالا اظہار کو حل کرنا اور اس کی جگہ لینا: مسلسل بے ترتیب متغیرات کے لیے دو مسلسل بے ترتیب متغیرات X اور Y کے لیے، بیئز تھیوریم کو مشروط کثافت کی تعریف سے متوازی طور پر اخذ کیا جا سکتا ہے: لہذا، عمومی صورت میں دی گئی کی مشروط تقسیم ہونے دیں اور اس کی تقسیم ہونے دیں۔ اس کے بعد مشترکہ تقسیم ہے۔ اس کے بعد دی گئی کی مشروط تقسیم کا تعین وجود سے ہوتا ہے اور مطلوبہ مشروط توقع کی انفرادیت ریڈون-نیکوڈیم تھیوریم کا نتیجہ ہے۔ یہ کولموگوروف نے 1933 سے اپنی مشہور کتاب میں وضع کیا تھا۔ کولموگوروف پیش لفظ میں "میں خاص طور پر مشروط امکانات اور مشروط توقعات کے نظریہ کی طرف توجہ دلانا چاہتا ہوں" لکھ کر مشروط امکان کی اہمیت کو اجاگر کرتا ہے۔ بائز تھیوریم پیشگی تقسیم سے پچھلی تقسیم کا تعین کرتا ہے۔ بےز تھیوریم کو عام کیا جا سکتا ہے تاکہ غلط پیشگی تقسیم جیسے کہ حقیقی لائن پر یکساں تقسیم کو شامل کیا جا سکے۔ جدید مارکوف سلسلہ مونٹی کارلو طریقوں نے بےئس تھیوریم کی اہمیت کو بڑھایا ہے جس میں نامناسب ترجیحات کے معاملات بھی شامل ہیں۔ تفریحی ریاضی کی مثالیں بےز کی حکمرانی اور کمپیوٹنگ کے مشروط امکانات متعدد مقبول پہیلیوں کے حل کا طریقہ فراہم کرتے ہیں، جیسے تھری پرزنرز کا مسئلہ، مونٹی ہال کا مسئلہ، دو بچوں کا مسئلہ اور دو لفافوں کا مسئلہ۔ منشیات کی جانچ فرض کریں، کہ آیا کوئی بھنگ استعمال کر رہا ہے اس کا ایک خاص ٹیسٹ 90 فیصد حساس ہے، یعنی حقیقی مثبت شرح (ٹی پی آر) = 0.90 ہے۔ لہذا، یہ بھنگ استعمال کرنے والوں کے لیے 90 فیصد حقیقی مثبت نتائج (منشیات کے استعمال کی درست شناخت) کی طرف لے جاتا ہے۔ ٹیسٹ بھی 80 ٪ مخصوص ہے، جس کا مطلب ہے کہ حقیقی منفی شرح (ٹی این آر) = 0.80۔ لہذا، ٹیسٹ غیر صارفین کے لیے 80 فیصد غیر استعمال کی صحیح شناخت کرتا ہے، لیکن غیر صارفین کے لیے 20 فیصد غلط مثبت، یا غلط مثبت شرح (ایف پی آر) = 0.20 بھی پیدا کرتا ہے۔ فرض کریں کہ 0.05 پھیلاؤ، یعنی 5 ٪ لوگ بھنگ کا استعمال کرتے ہیں، اس بات کا کیا امکان ہے کہ ایک بے ترتیب شخص جو مثبت ٹیسٹ کرتا ہے وہ واقعی بھنگ کا استعمال کرنے والا ہے؟ ٹیسٹ کی مثبت پیشن گوئی ویلیو (پی پی وی) ان افراد کا تناسب ہے جو مثبت جانچ کرنے والے تمام افراد میں سے اصل میں مثبت ہیں، اور نمونے سے اس طرح شمار کیا جا سکتا ہے: پی پی وی = حقیقی مثبت/ٹیسٹ شدہ مثبت اگر حساسیت، خاصیت، اور پھیلاؤ معلوم ہے، تو پی پی وی کا حساب بائز تھیوریم کا استعمال کرتے ہوئے کیا جا سکتا ہے۔ آئیے اس کا مطلب "اس بات کا امکان ہے کہ کوئی بھنگ کا استعمال کرنے والا ہے اس لیے کہ ان کا ٹیسٹ مثبت آیا ہے"، جس کا مطلب پی پی وی ہے۔ ہم لکھ سکتے ہیں: وہ حقیقت جو کل امکان کے قانون کا براہ راست اطلاق ہے۔ اس صورت میں، یہ کہتا ہے کہ کسی کا ٹیسٹ مثبت آنے کا امکان اس بات کا امکان ہے کہ صارف کا ٹیسٹ مثبت آئے، صارف ہونے کے امکان سے گنا زیادہ، اس کے علاوہ غیر صارف کے ٹیسٹ مثبت آنے کا امکان، غیر صارف ہونے کے امکان سے گنا زیادہ ہے۔ یہ درست ہے کیونکہ درجہ بندی صارف اور غیر صارف ایک سیٹ کا تقسیم بناتے ہیں، یعنی ان لوگوں کا مجموعہ جو منشیات کا ٹیسٹ دیتے ہیں۔ یہ مشروط امکان کی تعریف کے ساتھ مل کر مندرجہ بالا بیان میں نتیجہ اخذ کرتا ہے۔ دوسرے لفظوں میں، یہاں تک کہ اگر کسی کا ٹیسٹ مثبت آتا ہے، تو اس بات کا امکان کہ وہ بھنگ استعمال کرنے والے ہیں صرف 19 فیصد ہے-اس کی وجہ یہ ہے کہ اس گروپ میں صرف 5 فیصد لوگ استعمال کرنے والے ہیں، اور زیادہ تر مثبت غلط مثبت ہیں جو باقی 95 فیصد سے آتے ہیں۔ اگر 1,000 افراد کا ٹیسٹ کیا گیا: 950 غیر استعمال کنندہ ہیں اور ان میں سے 190 غلط مثبت دیتے ہیں (0.20 × 950) ان میں سے 50 استعمال کنندہ ہیں اور ان میں سے 45 حقیقی مثبت دیتے ہیں (0.90 × 50) اس طرح 1,000 افراد 235 مثبت ٹیسٹ دیتے ہیں، جن میں سے صرف 45 حقیقی منشیات استعمال کرنے والے ہیں، تقریبا 19 فیصد۔ فریکوئنسی باکس کا استعمال کرتے ہوئے ایک مثال کے لیے شکل 1 دیکھیں، اور نوٹ کریں کہ حقیقی مثبت کے گلابی رقبے کا موازنہ غلط مثبت کے نیلے رقبے سے کتنا چھوٹا ہے۔ حساسیت یا خاصیت مخصوصیت کی اہمیت کو یہ ظاہر کر کے دیکھا جا سکتا ہے کہ اگر حساسیت کو 100% تک بڑھا دیا جائے اور مخصوصیت 80 فیصد پر رہے، تو کسی کے واقعی بھنگ استعمال کرنے والے ہونے کا امکان 19 فیصد سے بڑھ کر 21 فیصد ہو جاتا ہے، لیکن اگر حساسیت 90 فیصد پر رکھی جائے اور مخصوصیت کو 95 فیصد تک بڑھا دیا جائے تو امکان 49 فیصد تک بڑھ جاتا ہے۔ کینسر کی شرح یہاں تک کہ اگر پینکریٹک کینسر کے مریضوں میں 100% کی کوئی خاص علامت ہو، جب کسی میں ایک ہی علامت ہو، تو اس کا مطلب یہ نہیں ہے کہ اس شخص کو پینکریٹک کینسر ہونے کا 100% امکان ہے۔ یہ فرض کرتے ہوئے کہ پینکریٹک کینسر کے واقعات کی شرح 1/100000 ہے، جبکہ 10/99999 صحت مند افراد میں دنیا بھر میں ایک جیسی علامات ہوتی ہیں، علامات کو دیکھتے ہوئے پینکریٹک کینسر ہونے کا امکان صرف 9.1 ٪ ہے، اور دوسرا 90.9% "غلط مثبت" ہو سکتا ہے (یعنی، غلط طور پر کینسر کہا جاتا ہے ؛ "مثبت" ایک الجھن کی اصطلاح ہے جب، جیسا کہ یہاں، ٹیسٹ بری خبر دیتا ہے)۔ واقعات کی شرح کی بنیاد پر، درج ذیل جدول فی 100,000 افراد کی متعلقہ تعداد پیش کرتا ہے۔ جس کے بعد آپ کو علامات ہونے پر کینسر ہونے کے امکان کا حساب لگانے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے: عیب دار آئٹم ریٹ ایک فیکٹری تین مشینوں-اے، بی اور سی کا استعمال کرتے ہوئے آئٹم تیار کرتی ہے-جو بالترتیب اس کی پیداوار کا 20 فیصد، 30 فیصد اور 50 فیصد ہے۔ مشین اے کے ذریعے تیار کردہ اشیا میں سے 5 فیصد عیب دار ہیں ؛ اسی طرح مشین بی کے 3 فیصد اشیا اور مشین سی کے 1 فیصد عیب دار ہیں۔ اگر بے ترتیب طور پر منتخب کردہ آئٹم عیب دار ہے، تو اس کے مشین سی کے ذریعہ تیار ہونے کا کیا امکان ہے؟ ایک بار پھر، فارمولے کو استعمال کیے بغیر سوالات کی فرضی تعداد پر شرائط کا اطلاق کرکے جواب تک پہنچا جا سکتا ہے۔ مثال کے طور پر، اگر فیکٹری 1,000 اشیاء تیار کرتی ہے، تو مشین اے کے ذریعے 200، مشین بی کے ذریعے 300، اور مشین سی کے ذریعے 500 تیار کیے جائیں گے۔ مشین اے 5 ٪ × 200 = 10 عیب دار اشیاء تیار کرے گی، مشین بی 3 ٪ × 300 = 9، اور مشین سی 1 ٪ × 500 = 5، کل 24 کے لیے۔ اس طرح، اس بات کا امکان کہ مشین سی کے ذریعہ بے ترتیب طور پر منتخب کردہ عیب دار آئٹم تیار کیا گیا تھا، 5/24 (~ 20.83%) ہے۔ اس مسئلے کو بائز تھیوریم کا استعمال کرتے ہوئے بھی حل کیا جا سکتا ہے: آئیے ژی اس واقعہ کی نشاندہی کرتے ہیں کہ ایک بے ترتیب طور پر منتخب کردہ آئٹم کو آئی تھ مشین نے بنایا تھا (i = A، B، C کے لیے)۔ Y کو اس واقعہ کی نشاندہی کرنے دیں کہ بے ترتیب طور پر منتخب کردہ آئٹم عیب دار ہے۔ پھر، ہمیں درج ذیل معلومات دی جاتی ہیں: اگر آئٹم کو پہلی مشین نے بنایا تھا، تو اس کے عیب دار ہونے کا امکان 0.05 ہے ؛ یعنی، P (Y | XA) = 0.05۔ مجموعی طور پر، ہمیں اصل سوال کا جواب دینے کے لیے، ہمیں پہلے P (Y) ملتا ہے۔ یہ مندرجہ ذیل طریقے سے کیا جا سکتا ہے: اس لیے کل پیداوار کا 2.4 فیصد ناقص ہے۔ ہمیں دیا گیا ہے کہ Y واقع ہوا ہے، اور ہم XC کے مشروط امکان کا حساب لگانا چاہتے ہیں۔ بائز تھیوریم کے مطابق، یہ دیکھتے ہوئے کہ آئٹم عیب دار ہے، اس بات کا امکان کہ اسے مشین C نے بنایا تھا 5/24 ہے۔ اگرچہ مشین سی کل پیداوار کا نصف پیدا کرتی ہے، لیکن یہ عیب دار اشیاء کا بہت چھوٹا حصہ پیدا کرتی ہے۔ لہذا یہ علم کہ منتخب کردہ آئٹم عیب دار تھی ہمیں پہلے کے امکان P (XC) = 1/2 کو چھوٹے پوسٹر امکان P (XC | Y) = 5/24 سے تبدیل کرنے کے قابل بناتا ہے۔ تشریحات بائز کی حکمرانی کی تشریح کا انحصار شرائط سے منسوب امکان کی تشریح پر ہے۔ دو اہم تشریحات ذیل میں بیان کی گئی ہیں۔ شکل 2 ہندسی تصور کو ظاہر کرتی ہے۔ بایسیائی تشریح بایسیائی (یا علمی) تشریح میں، امکان "عقیدے کی ڈگری" کی پیمائش کرتا ہے۔ بائز کا نظریہ ثبوت کے حساب سے پہلے اور بعد میں کسی تجویز میں عقیدے کی ڈگری کو جوڑتا ہے۔ مثال کے طور پر، فرض کریں کہ یہ 50 فیصد یقین کے ساتھ مانا جاتا ہے کہ ایک سکے کے دم کے مقابلے میں سر سے نیچے اترنے کا امکان دوگنا ہے۔ اگر سکے کو کئی بار پلٹا جاتا ہے اور نتائج کا مشاہدہ کیا جاتا ہے، تو یقین کی وہ ڈگری شاید بڑھے گی یا گرے گی، لیکن نتائج کے لحاظ سے وہی رہ سکتی ہے۔ تجویز اے اور ثبوت بی کے لیے، پی (اے)، اول، اے پی (اے۔ بی) میں عقیدے کی ابتدائی ڈگری ہے، پچھلا، اس خبر کو شامل کرنے کے بعد عقیدے کی ڈگری ہے کہ بی سچ ہے۔ حصص اس حمایت کی نمائندگی کرتا ہے جو B A کے لیے فراہم کرتا ہے۔ امکانات کی بایسیائی تشریح کے تحت بایسی تھیوریم کے اطلاق کے بارے میں مزید معلومات کے لیے، بایسیائی تخمینہ دیکھیں۔ بار بار کی جانے والی تشریح میں، امکان "نتائج کے تناسب" کی پیمائش کرتا ہے۔ مثال کے طور پر، فرض کریں کہ ایک تجربہ کئی بار کیا جاتا ہے۔ پی (اے) خاصیت اے (سابقہ) کے ساتھ نتائج کا تناسب ہے اور پی (بی) خاصیت بی کے ساتھ تناسب ہے۔ پی (بی۔ اے) خاصیت اے کے ساتھ نتائج میں سے خاصیت بی کے ساتھ نتائج کا تناسب ہے، اور پی (اے۔ بی) ان لوگوں کا تناسب ہے جن کے پاس بی (پچھلا) کے ساتھ نتائج میں سے اے ہے۔ بائز تھیوریم کے کردار کو درختوں کے خاکے جیسے شکل 3 کے ساتھ بہترین طور پر دیکھا جاتا ہے۔ الٹا امکانات حاصل کرنے کے لیے دونوں خاکے ایک ہی نتائج کو A اور B کے ذریعے مخالف ترتیب میں تقسیم کرتے ہیں۔ بایئز تھیوریم مختلف تقسیم کو جوڑتا ہے۔ مثال ایک اینٹومولوجسٹ اس بات کا پتہ لگاتا ہے کہ اس کی پیٹھ کے نمونے کی وجہ سے، بیٹل کی ایک نایاب ذیلی نسل کیا ہو سکتی ہے۔ نایاب ذیلی نسلوں کے مکمل 98 فیصد ارکان میں نمونہ ہوتا ہے، اس لیے پی (پیٹرن۔ نایاب) = 98 فیصد۔ عام ذیلی نسلوں کے صرف 5 فیصد اراکین کے پاس نمونہ ہے۔ نایاب ذیلی اقسام کل آبادی کا 0.1 ٪ ہیں۔ پیٹرن رکھنے والے بیٹل کے نایاب ہونے کا کتنا امکان ہے: پی (نایاب | پیٹرن) کیا ہے؟ بایئز تھیوریم کی توسیعی شکل سے (چونکہ کوئی بھی بیٹل نایاب یا عام ہے)، واقعات کی سادہ شکل بناتا ہے واقعات A اور B کے لیے، بشرطیکہ P (B)  ऒत्त 0، بہت سی ایپلی کیشنز میں، مثال کے طور پر بایسیائی تخمینہ میں، واقعہ B بحث میں طے شدہ ہے، اور ہم مختلف ممکنہ واقعات A میں ہمارے عقیدے پر اس کے مشاہدے کے اثرات پر غور کرنا چاہتے ہیں۔ ایسی صورتحال میں آخری اظہار کا ڈینومینیٹر، دیئے گئے ثبوت B کا امکان، طے ہے۔ جس چیز میں ہم فرق کرنا چاہتے ہیں وہ A ہے۔ بیئس کا نظریہ پھر ظاہر کرتا ہے کہ پوسٹرر امکانات نیومریٹر کے متناسب ہیں، لہذا آخری مساوات بن جاتی ہے: الفاظ میں، پوسٹرر پہلے کے اوقات کے امکانات کے متناسب ہوتا ہے۔ اگر واقعات A1، A2، باہمی طور پر خصوصی اور مکمل ہیں، یعنی، ان میں سے ایک کا واقع ہونا یقینی ہے لیکن کوئی دو ایک ساتھ نہیں ہو سکتے ہیں، تو ہم اس حقیقت کا استعمال کرتے ہوئے متناسبیت مستقل کا تعین کر سکتے ہیں کہ ان کے امکانات کو ایک تک جوڑنا ہوگا۔ مثال کے طور پر، کسی دی گئی واقعہ اے کے لیے، واقعہ اے خود اور اس کی تکمیل خصوصی اور مکمل ہوتی ہے۔ متناسبیت کے مستقل کو c سے ظاہر کرتے ہوئے ہم ان دو فارمولوں کو شامل کرتے ہوئے اس یا متبادل شکل کا اندازہ لگاتے ہیں۔ دو مسابقتی بیانات یا مفروضوں کے لیے بیئس تھیوریم کی ایک اور شکل یہ ہے: ایک علمی تشریح کے لیے: تجویز A اور ثبوت یا پس منظر B کے لیے، پیشگی امکان ہے، A میں عقیدے کی ابتدائی ڈگری۔ ناٹ-A میں عقیدے کی متعلقہ ابتدائی ڈگری ہے، کہ A غلط ہے، جہاں مشروط امکان یا امکان ہے، B میں عقیدے کی ڈگری دی گئی ہے کہ تجویز A درست ہے۔ مشروط امکان یا امکان ہے، B میں یقین کی ڈگری یہ دی گئی ہے کہ تجویز A غلط ہے۔ پچھلا امکان ہے، B کو مدنظر رکھنے کے بعد A کا امکان۔ توسیعی شکل اکثر، نمونے کی جگہ کے کچھ پارٹیشن {اج} کے لیے، ایونٹ کی جگہ پی (اج) اور پی (بی | اج) کے لحاظ سے دی جاتی ہے۔ اس کے بعد کل امکان کے قانون کا استعمال کرتے ہوئے P (B) کا حساب لگانا مفید ہے: یا (مشروط امکان کے لیے ضرب کے اصول کا استعمال کرتے ہوئے)، خاص صورت میں جہاں A ایک بائنری متغیر ہے: بے ترتیب متغیر دو بے ترتیب متغیر X اور Y کے ذریعہ تیار کردہ نمونہ کی جگہ پر غور کریں۔ اصول میں، بائز کا نظریہ واقعات A = {X = x} اور B = {Y = y} پر لاگو ہوتا ہے۔ تاہم، اصطلاحات ان نکات پر 0 ہو جاتی ہیں جہاں کسی بھی متغیر کی امکانات کی کثافت محدود ہوتی ہے۔ مفید رہنے کے لیے، بائز کے نظریہ کو متعلقہ کثافت کے لحاظ سے وضع کیا جانا چاہیے (دیکھیں مشتق)۔ سادہ شکل اگر X مسلسل ہے اور Y مجرد ہے، جہاں ہر ایک کثافت فنکشن ہے۔ اگر X مجرد ہے اور Y مسلسل ہے، اگر X اور Y دونوں مسلسل ہیں، تو توسیعی شکل ایک مسلسل واقعہ کی جگہ کو اکثر عددی اصطلاحات کے لحاظ سے تصور کیا جاتا ہے۔ اس کے بعد کل امکان کے قانون کا استعمال کرتے ہوئے ڈینومینیٹر کو ختم کرنا مفید ہے۔ fY (y) کے لیے، یہ ایک لازم و ملزوم بن جاتا ہے: بےز کے اصول کی شکلوں میں بےز کا اصول، بےز تھیوریم کی شکلوں میں یہ ہے: جہاں اسے بےز فیکٹر یا امکان کا تناسب کہا جاتا ہے۔ دو واقعات کے درمیان مشکلات محض دونوں واقعات کے امکانات کا تناسب ہے۔ اس طرح، قاعدہ یہ کہتا ہے کہ پچھلی مشکلات بیس عنصر سے پہلے کی مشکلات ہیں، یا دوسرے لفظوں میں، پچھلی امکانات سے پہلے کے اوقات کے متناسب ہے۔ خاص صورت میں کہ اور، کوئی لکھتا ہے، اور بیس عنصر اور مشروط مشکلات کے لیے اسی طرح کا مخفف استعمال کرتا ہے۔ امکانات تعریف کے مطابق حق اور مخالفت میں ہیں۔ اس کے بعد بائز کی حکمرانی کو مختصر شکل میں لکھا جا سکتا ہے یا، الفاظ میں، دی گئی معلومات کے امکانات کے تناسب کے اوقات پر پچھلی مشکلات کے برابر ہوتی ہیں۔ مختصرا، پچھلی مشکلات سابقہ مشکلات کے اوقات امکانات کے تناسب کے برابر ہوتی ہیں۔ مثال کے طور پر، اگر کسی طبی ٹیسٹ میں 90 فیصد کی حساسیت اور 91 فیصد کی خاصیت ہے، تو مثبت بیس عنصر ہے۔ اب، اگر اس بیماری کا پھیلاؤ 9.09% ہے، اور اگر ہم اسے پہلے امکان کے طور پر لیتے ہیں، تو پہلے کی مشکلات تقریبا 1:10 ہیں۔ لہذا ایک مثبت ٹیسٹ کا نتیجہ حاصل کرنے کے بعد، اصل میں بیماری ہونے کے بعد کے امکانات 1:1 ہو جاتے ہیں، جس کا مطلب ہے کہ بیماری ہونے کا بعد کا امکان 50 فیصد ہے۔ اگر دوسرا ٹیسٹ سیریل ٹیسٹنگ میں کیا جاتا ہے، اور وہ بھی مثبت نکلتا ہے، تو اصل میں بیماری ہونے کے بعد کے امکانات 10:1 ہو جاتے ہیں، جس کا مطلب ہے کہ تقریبا 90.91 ٪ کا پوسٹر امکان ہے۔ منفی بائز عنصر کا حساب 91 ٪/(100%-90%) = 9.1 لگایا جا سکتا ہے، لہذا اگر دوسرا ٹیسٹ منفی نکلتا ہے، تو اس بیماری کے ہونے کے بعد کے امکانات 1:9.1 ہیں، جس کا مطلب ہے کہ تقریبا 9.9 ٪ کا بعد کا امکان ہے۔ مندرجہ بالا مثال کو مزید ٹھوس نمبروں سے بھی سمجھا جا سکتا ہے: فرض کریں کہ ٹیسٹ کرنے والا مریض 1000 افراد کے گروپ سے ہے، جہاں ان میں سے 91 کو دراصل یہ بیماری ہے (9.1 ٪ کا پھیلاؤ)۔ اگر یہ تمام 1000 افراد طبی جانچ کرائیں تو بیماری میں مبتلا 82 افراد کو حقیقی مثبت نتیجہ ملے گا (90.1% کی حساسیت)، بیماری میں مبتلا 9 افراد کو غلط منفی نتیجہ ملے گا (9.9 فیصد کی غلط منفی شرح)، بیماری کے بغیر 827 افراد کو حقیقی منفی نتیجہ ملے گا (91.0% کی خاصیت)، اور بیماری کے بغیر 82 افراد کو غلط مثبت نتیجہ ملے گا (9.0 فیصد کی غلط مثبت شرح)۔ کوئی بھی ٹیسٹ کرنے سے پہلے، مریض کو بیماری ہونے کے امکانات 91:909 ہوتے ہیں۔ مثبت نتیجہ حاصل کرنے کے بعد، مریض کی بیماری ہونے کی مشکلات اس حقیقت سے مطابقت رکھتی ہیں کہ 1000 افراد کے گروپ میں 82 حقیقی مثبت اور 82 غلط مثبت ہیں۔ دیگر ریاضیاتی ڈھانچوں کے ساتھ خط و کتابت تجویز کردہ منطق دو بار استعمال کرتے ہوئے، کوئی بھی بےز کے نظریہ کو منفی کے لحاظ سے اور اس کے بغیر بھی ظاہر کرنے کے لیے استعمال کر سکتا ہے:، کب۔ اس سے ہم قیاس کو پڑھ سکتے ہیں۔ الفاظ میں: اگر یقینی طور پر مراد ہے، تو ہم اندازہ لگاتے ہیں کہ یقینی طور پر مراد ہے۔ جہاں، دونوں مضمرات کا یقینی ہونا مساوی بیانات ہیں۔ امکان کے فارمولوں میں، مشروط امکان منطقی مضمرات کو عام کرتا ہے، جہاں اب سچ یا غلط تفویض کرنے سے آگے، ہم بیانات کو امکان کی اقدار تفویض کرتے ہیں۔ کا دعوی مشروط، کے دعوے کی یقین دہانی سے پکڑا جاتا ہے۔ مضمرات کی سمتوں سے متعلق، بایئز تھیوریم متضاد قانون کی عمومی شکل کی نمائندگی کرتا ہے، جسے کلاسیکی تجویز کردہ منطق میں اس طرح ظاہر کیا جا سکتا ہے: مضمرات کے درمیان اس سلسلے میں، ریسپ کی پوزیشنیں۔ پلٹ جائیں۔ امکان کیلکولس کے لحاظ سے متعلقہ فارمولا بایئز تھیوریم ہے، جو اپنی توسیعی شکل میں صرف پہلے امکان/بنیادی شرح پر مشتمل ہے، اس کا اظہار اس طرح کیا جاتا ہے: سبجیکٹو منطق بائز تھیوریم ساپیکش منطق میں الٹی مشروط رائے حاصل کرنے کے ایک خاص معاملے کی نمائندگی کرتا ہے جس کا اظہار اس طرح کیا گیا ہے: جہاں آپریٹر کو مشروط رائے کو الٹا کرنے کی نشاندہی کرتا ہے۔ دلیل ماخذ کے ذریعہ دی گئی بائنومیل مشروط رائے کی ایک جوڑی کی نشاندہی کرتی ہے، اور دلیل پیشگی امکان (عرف) کی نشاندہی کرتی ہے۔ کی بنیادی شرح)۔ مشتق الٹی ہوئی مشروط رائے کی جوڑی کی نشاندہی کی جاتی ہے۔ مشروط رائے ممکنہ مشروط کو عام کرتی ہے، یعنی۔ امکان کو تفویض کرنے کے علاوہ ماخذ مشروط بیان کو کوئی بھی ساپیکش رائے تفویض کر سکتا ہے۔ بائنومیل ساپیکش رائے علمی غیر یقینی کی ڈگریوں کے ساتھ بیان کی سچائی پر یقین ہے، جیسا کہ ماخذ کے ذریعہ ظاہر کیا گیا ہے۔ ہر ساپیکش رائے کا ایک متعلقہ متوقع امکان ہوتا ہے۔ رائے کے متوقع امکانات پر بائز کے نظریہ کا اطلاق ایک ہومومورفزم ہے، جس کا مطلب ہے کہ بائز کے نظریہ کا اظہار رائے کے متوقع امکانات کے لحاظ سے کیا جا سکتا ہے: لہذا، ساپیکش بائز کا نظریہ بائز کے نظریہ کی عمومی شکل کی نمائندگی کرتا ہے۔ 3 واقعات کے لیے عمومی بایس تھیوریم 3 واقعات کے لیے بایس تھیوریم کا ایک ورژن تیسرے واقعہ کے اضافے کا نتیجہ ہے جس پر تمام امکانات مشروط ہیں: سلسلہ اصول کا استعمال کرتے ہوئے مشتق اور، دوسری طرف مطلوبہ نتیجہ دونوں تاثرات کی شناخت اور حل کرنے سے حاصل کیا جاتا ہے۔ جینیات میں استعمال جینیات میں، بائز تھیوریم کو کسی فرد کے مخصوص جینو ٹائپ ہونے کے امکان کا حساب لگانے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ بہت سے لوگ جینیاتی بیماری سے متاثر ہونے کے اپنے امکانات یا دلچسپی کے ریسیسیو جین کے کیریئر ہونے کے امکانات کا تخمینہ لگانے کی کوشش کرتے ہیں۔ بایسین تجزیہ خاندانی تاریخ یا جینیاتی جانچ کی بنیاد پر کیا جا سکتا ہے، تاکہ یہ پیش گوئی کی جا سکے کہ آیا کوئی فرد کسی بیماری میں مبتلا ہو جائے گا یا اپنے بچوں میں منتقل ہو جائے گا۔ جینیاتی جانچ اور پیشن گوئی ان جوڑوں میں ایک عام عمل ہے جو بچے پیدا کرنے کا ارادہ رکھتے ہیں لیکن انہیں خدشہ ہے کہ وہ دونوں کسی بیماری کے کیریئر ہو سکتے ہیں، خاص طور پر کم جینیاتی تغیر والی برادریوں میں۔ جینیات کے لیے بایسی تجزیہ میں پہلا قدم باہمی طور پر خصوصی مفروضوں کی تجویز کرنا ہے: ایک مخصوص ایلیل کے لیے، ایک فرد یا تو کیریئر ہے یا نہیں ہے۔ اگلا، چار امکانات کا حساب لگایا جاتا ہے: قبل از امکان (خاندانی تاریخ یا مینڈیلین وراثت پر مبنی پیش گوئیوں جیسی معلومات پر غور کرنے والے ہر مفروضے کا امکان)، مشروط امکان (کسی خاص نتیجے کا)، مشترکہ امکان (پہلے دو کا پروڈکٹ)، اور پوسٹر پروبیبلٹی (ایک وزن شدہ پروڈکٹ جس کا حساب ہر مفروضے کے لیے مشترکہ امکان کو دونوں مشترکہ امکانات کے مجموعے سے تقسیم کرکے کیا جاتا ہے)۔ اس قسم کا تجزیہ خالصتا کسی حالت کی خاندانی تاریخ کی بنیاد پر یا جینیاتی جانچ کے ساتھ کیا جا سکتا ہے۔ امکانات کا حساب لگانے کے لیے نسب کا استعمال ایک خاتون فرد کے کسی بیماری کے خطرے کے لیے بایسیئن تجزیہ ٹیبل کی مثال اس علم پر مبنی ہے کہ یہ بیماری اس کے بہن بھائیوں میں موجود ہے لیکن اس کے والدین یا اس کے چار بچوں میں سے کسی میں نہیں۔ مکمل طور پر موضوع کے بہن بھائیوں اور والدین کی حیثیت کی بنیاد پر، اس کے غیر کیریئر ہونے کے برابر ہی امکان ہے (اس امکان کو ترجیحی مفروضے سے ظاہر کیا جاتا ہے)۔ تاہم، اس بات کا امکان کہ موضوع کے چار بیٹے غیر متاثر ہوں گے 1/16 (···) اگر وہ ایک کیریئر ہے، تقریبا 1 اگر وہ غیر کیریئر ہے (یہ مشروط امکان ہے)۔ مشترکہ امکان ان دونوں پیش گوئیوں کو ایک ساتھ ضرب دے کر ان کا ملاپ کرتا ہے۔ آخری سطر (پچھلی امکانات) کا حساب ہر مفروضے کے لیے مشترکہ امکانات کو دونوں مشترکہ امکانات کے مجموعے سے تقسیم کر کے لگایا جاتا ہے۔ جینیاتی جانچ کے نتائج کا استعمال کرتے ہوئے والدین کی جینیاتی جانچ والدین میں تقریبا 90 فیصد معلوم بیماری والے ایلیلز کا پتہ لگا سکتی ہے جو ان کے بچے میں کیریئر یا متاثرہ حیثیت کا باعث بن سکتے ہیں۔ سسٹک فائبروسس ایک موروثی بیماری ہے جو کروموسوم 7 کے ق بازو پر واقع سی ایف ٹی آر جین پر آٹوسومل ریسیسیو میوٹیشن کی وجہ سے ہوتی ہے۔ سسٹک فائبروسس (سی ایف) کی خاندانی تاریخ والی ایک خاتون مریض کا بایسیئن تجزیہ، جس نے سی ایف کے لیے منفی تجربہ کیا ہے، یہ ظاہر کرتا ہے کہ یہ طریقہ سی ایف کے ساتھ پیدا ہونے والے بچے کے خطرے کا تعین کرنے کے لیے کس طرح استعمال کیا گیا تھا: کیونکہ مریض غیر متاثر ہے، وہ یا تو جنگلی قسم کے ایلیل کے لیے ہم جنس پرست ہے، یا ہیٹروزائگس ہے۔ پیشگی امکانات کو قائم کرنے کے لیے، ایک پنیٹ اسکوائر کا استعمال کیا جاتا ہے، اس علم کی بنیاد پر کہ نہ تو والدین اس بیماری سے متاثر ہوئے تھے لیکن دونوں کیریئر ہو سکتے تھے: یہ دیکھتے ہوئے کہ مریض غیر متاثر ہے، صرف تین امکانات ہیں۔ ان تینوں کے اندر، دو منظرنامے ہیں جن میں مریض اتپریورتن ایلیل کو لے جاتا ہے۔ اس طرح پہلے کے امکانات ہیں اور۔ اس کے بعد، مریض جینیاتی جانچ سے گزرتا ہے اور سسٹک فائبروسس کے لیے ٹیسٹ منفی آتا ہے۔ اس ٹیسٹ میں پتہ لگانے کی شرح 90 فیصد ہے، اس لیے منفی ٹیسٹ کے مشروط امکانات 1/10 اور 1 ہیں۔ آخر میں، مشترکہ اور بعد کے امکانات کا حساب پہلے کی طرح لگایا جاتا ہے۔ مریض کے مرد ساتھی پر ایک ہی تجزیہ کرنے کے بعد (منفی ٹیسٹ کے نتیجے کے ساتھ)، ان کے بچے کے متاثر ہونے کے امکانات والدین کے متعلقہ بعد کے امکانات کی پیداوار کے برابر ہیں کہ وہ کیریئر ہونے کے امکانات سے دو گنا زیادہ ہیں کہ دو کیریئر پیدا کریں گے۔ متاثرہ اولاد ()۔ جینیاتی جانچ جو دیگر خطرے کے عوامل کی شناخت کے متوازی میں کی جاتی ہے، بایسیئن تجزیہ جینیاتی حالت سے وابستہ فینوٹائپک معلومات کا استعمال کرتے ہوئے کیا جا سکتا ہے، اور جب جینیاتی جانچ کے ساتھ مل کر یہ تجزیہ بہت زیادہ پیچیدہ ہو جاتا ہے۔ مثال کے طور پر سسٹک فائبروسس کی شناخت جنین میں ایک الٹراساؤنڈ کے ذریعے کی جا سکتی ہے جو ایکوجینک آنت کی تلاش میں ہوتا ہے، جس کا مطلب ہے کہ وہ جو اسکین پر معمول سے زیادہ روشن نظر آتا ہے۔ یہ کوئی فول پروف ٹیسٹ نہیں ہے، کیونکہ ایک ایکوجینک آنت بالکل صحت مند جنین میں موجود ہو سکتا ہے۔ اس معاملے میں والدین کی جینیاتی جانچ بہت بااثر ہے، جہاں ایک فینوٹائپک پہلو امکان کے حساب میں حد سے زیادہ بااثر ہو سکتا ہے۔ ایکوجینک آنت والے جنین کے معاملے میں، ایک ایسی ماں کے ساتھ جس کی جانچ کی گئی ہے اور جسے سی ایف کیریئر کے طور پر جانا جاتا ہے، اس کے بعد کے امکانات کہ جنین کو اصل میں یہ بیماری ہے بہت زیادہ ہے (0.64)۔ تاہم، ایک بار جب والد کا سی ایف کا ٹیسٹ منفی آتا ہے، تو بعد کا امکان نمایاں طور پر کم ہو جاتا ہے (0.16 تک)۔ جینیاتی مشاورت اور تولیدی منصوبہ بندی میں رسک فیکٹر کا حساب ایک طاقتور ذریعہ ہے، لیکن اسے غور کرنے کے لیے واحد اہم عنصر کے طور پر نہیں مانا جا سکتا۔ جیسا کہ اوپر بتایا گیا ہے، نامکمل جانچ کیریئر کی حیثیت کا غلط طور پر زیادہ امکان پیدا کر سکتی ہے، اور جب والدین موجود نہ ہوں تو جانچ مالی طور پر ناقابل رسائی یا ناقابل عمل ہو سکتی ہے۔ یہ بھی دیکھیں کہ بایسیئن علم علمی انڈکٹو پروبیبلٹی کوانٹم بایسیئنزم کیوں سب سے زیادہ شائع شدہ تحقیقی نتائج غلط ہیں، 2005 کا مضمون میٹا سائنس میں جان آئیونیڈس کا باقاعدہ مشروط امکان نوٹ حوالہ جات کتابچہ مزید پڑھنا گیلمین، اے، کارلن، جے بی، سٹرن، ایچ ایس، اور روبن، ڈی بی (2003)، "بایسیئن ڈیٹا تجزیہ"، دوسرا ایڈیشن، سی آر سی پریس۔ گرنسٹڈ، سی ایم اور سنیل، جے ایل (1997)، "انٹروڈکشن ٹو پروبیبلٹی (دوسرا ایڈیشن)"، امریکن میتھمیٹیکل سوسائٹی (مفت پی ڈی ایف دستیاب)۔ لی، پیٹر ایم (2012)، بایسیئن شماریات: ایک تعارف، چوتھا ایڈیشن۔ ولی۔ ۔ روزینتھال، جیفری ایس (2005)، "اسٹرک بائی لائٹننگ: امکانات کی متجسس دنیا"۔ ہارپر کولنز۔ (گرانٹا، 2008۔ )۔ سٹون، جے وی (2013)، باب 1 ڈاؤن لوڈ کریں "بائز رول: اے ٹیوٹوریل انٹروڈکشن ٹو بائزین اینالیسس"، سیبٹل پریس، انگلینڈ۔ ذہین لوگوں کے لیے بایسیئن استدلال، اعداد و شمار اور علمی سائنس میں بایئز کے نظریہ کے استعمال کا ایک تعارف اور سبق۔ مورس، ڈین (2016)، پہلے 6 ابواب "بائز تھیوریم مثالیں: ابتدائی افراد کے لیے ایک بصری تعارف" بلیو ونڈمل سے مفت پڑھیں۔ مسئلہ کے منظرناموں کو سمجھنے اور پی (بی)، پی (اے)، اور پی (B|A) کو تلاش کرنے کے بارے میں ایک مختصر سبق۔ بیرونی روابط ریاضی کے کچھ الفاظ کے ابتدائی استعمال (ب)۔ "بیسیئن"، "بیز تھیوریم"، "بیز تخمینہ/رسک/حل"، "تجرباتی بیز"، اور "بیز فیکٹر" کی ابتداء پر مشتمل ہے۔ امکان اور بایئز تھیوریم پر ایک سبق جو آکسفورڈ یونیورسٹی کے نفسیات کے طلباء کے لیے وضع کیا گیا ایلیزر ایس یوڈکوسکی بایئسیئن کلینیکل تشخیصی ماڈل بایئسیئن کے اعداد و شمار میں امکانات تھیوریمز کے ذریعہ بایئز تھیوریم کی ایک بدیہی وضاحت