Unit interval
ریاضی میں، اکائی وقفہ بند وقفہ ہے، یعنی تمام حقیقی اعداد کا مجموعہ جو 0 سے بڑا یا برابر اور 1 سے کم یا برابر ہے۔ اسے اکثر (بڑے حرف) سے ظاہر کیا جاتا ہے۔ حقیقی تجزیہ میں اس کے کردار کے علاوہ، یونٹ وقفہ ٹوپولوجی کے میدان میں ہوموٹوپی تھیوری کا مطالعہ کرنے کے لیے استعمال ہوتا ہے۔ ادب میں، "یونٹ وقفہ" کی اصطلاح بعض اوقات دوسری شکلوں پر لاگو ہوتی ہے جو 0 سے 1 تک کا وقفہ لے سکتا ہے:،، اور۔ تاہم، اشارے عام طور پر بند وقفے کے لیے مخصوص ہوتے ہیں۔ اکائی کا وقفہ ایک مکمل میٹرک اسپیس ہے، جو توسیعی حقیقی نمبر لائن کے لیے ہومومورفک ہے۔ ایک ٹپوولوجیکل جگہ کے طور پر، یہ کمپیکٹ، سکڑنے والا، راستے سے منسلک اور مقامی طور پر راستے سے جڑا ہوا ہے۔ ہلبرٹ کیوب اکائی کے وقفے کی گنتی کے لحاظ سے بہت سی نقول کا ٹپوولوجیکل پروڈکٹ لے کر حاصل کیا جاتا ہے۔ ریاضیاتی تجزیے میں، اکائی وقفہ ایک جہتی تجزیاتی کئی گنا ہوتا ہے جس کی حد دو نکات 0 اور 1 پر مشتمل ہوتی ہے۔ اس کی معیاری واقفیت 0 سے 1 تک جاتی ہے۔ اکائی وقفہ ایک مکمل ترتیب شدہ سیٹ اور ایک مکمل جالی ہے (اکائی وقفہ کے ہر ذیلی سیٹ میں ایک بالادستی اور ایک لامحدود ہوتا ہے)۔ کارڈینیلیٹی کسی سیٹ کا سائز یا کارڈینیلیٹی اس میں موجود عناصر کی تعداد ہے۔ اکائی وقفہ حقیقی اعداد کا ذیلی مجموعہ ہے۔ تاہم، اس کا سائز پورے سیٹ کے برابر ہے: تسلسل کی بنیادی حیثیت۔ چونکہ حقیقی اعداد کو لامحدود لمبی لکیر کے ساتھ پوائنٹس کی نمائندگی کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے، اس کا مطلب یہ ہے کہ لمبائی 1 کے ایک لائن سیگمنٹ، جو اس لائن کا ایک حصہ ہے، میں پوری لائن کے برابر پوائنٹس ہوتے ہیں۔ مزید برآں، اس کے پوائنٹس کی تعداد رقبے 1 کے مربع کے برابر ہے، حجم 1 کے مکعب کے طور پر، اور یہاں تک کہ ایک غیر محدود n-جہتی یوکلڈین اسپیس کے طور پر (اسپیس فلنگ وکر دیکھیں)۔ مذکورہ بالا تمام سیٹوں میں عناصر کی تعداد (یا تو حقیقی اعداد یا پوائنٹس) ناقابل شمار ہے، کیونکہ یہ قدرتی اعداد کی تعداد سے سختی سے زیادہ ہے۔ سمت بندی اکائی وقفہ ایک منحنی خطوط ہے۔ کھلا وقفہ (0,1) مثبت حقیقی اعداد کا ایک ذیلی مجموعہ ہے اور ان سے ایک واقفیت حاصل کرتا ہے۔ جب وقفہ 1 سے درج کیا جاتا ہے تو واقفیت الٹ جاتی ہے، جیسے کہ وقفہ میں x کے لیے قدرتی لوگارتھم کی وضاحت کے لیے استعمال ہونے والے انٹیگرل میں، اس طرح اس طرح x کے لوگارتھم کے لیے منفی اقدار حاصل ہوتی ہیں۔ در حقیقت، اس انٹیگرل کا اندازہ ایک دستخط شدہ ایریا کے طور پر کیا جاتا ہے جو وہاں الٹا رخ کی وجہ سے یونٹ کے وقفے پر منفی ایریا دیتا ہے۔ عامیاں وقفہ، جس کی لمبائی دو ہے، مثبت اور منفی اکائیوں کے ذریعہ حد بندی کی گئی ہے، اکثر ہوتا ہے، جیسے کہ مثلثی افعال سائن اور کوسین اور ہائپربولک فنکشن ٹینہ کی حد میں۔ یہ وقفہ الٹا افعال کے ڈومین کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ مثال کے طور پر، اس وقفے میں کب تک محدود ہے اور وہاں آرکسین کی وضاحت کی گئی ہے۔ بعض اوقات، "یونٹ وقفہ" کی اصطلاح ان اشیاء کے لیے استعمال کی جاتی ہے جو ریاضی کی مختلف شاخوں میں ہوموٹوپی تھیوری میں ادا کیے جانے والے کردار کے مترادف کردار ادا کرتی ہیں۔ مثال کے طور پر، تھیوری آف کوئورز میں، (اینالاگ آف دی) یونٹ انٹرول وہ گراف ہے جس کا ورٹیکس سیٹ ہے اور جس میں ایک واحد کنارہ ای ہوتا ہے جس کا ماخذ 0 ہے اور جس کا ہدف 1 ہے۔ اس کے بعد کوئی بھی مسلسل نقشوں کے درمیان ہوموٹوپی کے تصور سے مشابہت رکھنے والے کوئور ہومومورفزم کے درمیان ہوموٹوپی کے تصور کی وضاحت کر سکتا ہے۔ منطق میں، اکائی وقفے کی تشریح بولین ڈومین {0,1} کی عمومی شکل کے طور پر کی جا سکتی ہے، اس صورت میں صرف اقدار 0 یا 1 لینے کے بجائے، 0 اور 1 کے درمیان اور اس کے درمیان کوئی بھی قدر فرض کی جا سکتی ہے۔ الجبرائی طور پر، نفی (NOT) کو اس سے تبدیل کیا جاتا ہے ؛ کنجکشن (AND) کو ضرب () سے تبدیل کیا جاتا ہے ؛ اور ڈی مورگن کے قوانین کے مطابق، ڈسجنکشن (OR) کی تعریف اس طرح کی جاتی ہے۔ ان اقدار کی منطقی سچائی اقدار کے طور پر تشریح کرنے سے ایک کثیر قدر والی منطق حاصل ہوتی ہے، جو مبہم منطق اور ممکنہ منطق کی بنیاد بناتی ہے۔ ان تشریحات میں، قدر کی تشریح سچائی کی "ڈگری" کے طور پر کی جاتی ہے-کوئی تجویز کس حد تک درست ہے، یا اس بات کا امکان کہ تجویز درست ہے۔ انٹرول نوٹیشن یونٹ اسکوائر، کیوب، سرکل، ہائپربولا اور سپیئر یونٹ امپلس یونٹ ویکٹر حوالہ جات رابرٹ جی بارٹل، 1964، دی ایلیمنٹس آف ریئل اینالیسس، جان ولی اینڈ سنز بھی دیکھیں۔ حقیقی اعداد کے سیٹ 1 (نمبر) ٹوپولوجی