Divisor
ریاضی میں، ایک عدد کا تقسیم کنندہ، جسے عنصر بھی کہا جاتا ہے، ایک عدد ہے جسے پیدا کرنے کے لیے کسی عدد سے ضرب دی جا سکتی ہے۔ اس صورت میں، ایک یہ بھی کہتا ہے کہ ایک عدد قابل تقسیم ہے یا کسی دوسرے عدد سے یکساں طور پر قابل تقسیم ہے اگر اس کا تقسیم کنندہ ہے۔ اس کا مطلب ہے کہ پتوں سے تقسیم کرنا کوئی بقیہ نہیں ہے۔ تعریف ایک عدد غیر صفر عدد سے قابل تقسیم ہوتا ہے اگر اس طرح کا کوئی عدد موجود ہو۔ یہ اس طرح لکھا جاتا ہے کہ ایک ہی چیز کو کہنے کے دوسرے طریقے یہ ہیں کہ تقسیم ہوتا ہے، ایک تقسیم کنندہ ہے، ایک عنصر ہے، اور ایک سے زیادہ ہے۔ اگر تقسیم نہیں ہوتا ہے، تو اشارہ ہے۔ عام طور پر، غیر صفر ہونا ضروری ہے، لیکن اسے صفر ہونے کی اجازت ہے۔ اس کنونشن کے ساتھ، ہر غیر صفر عدد کے لیے۔ کچھ تعریفیں اس ضرورت کو چھوڑ دیتی ہیں جو غیر صفر ہو۔ عمومی تقسیم منفی کے ساتھ ساتھ مثبت بھی ہو سکتے ہیں، حالانکہ اکثر یہ اصطلاح مثبت تقسیم کاروں تک محدود ہوتی ہے۔ مثال کے طور پر، 4 کے چھ تقسیم کار ہیں۔ وہ 1، 2، 4، −1، −2، اور −4 ہیں، لیکن عام طور پر صرف مثبت (1، 2، اور 4) کا ذکر کیا جائے گا۔ 1 اور-1 ہر عدد کو تقسیم کرتے ہیں۔ ہر عدد (اور اس کی نفی) خود ایک تقسیم کنندہ ہے۔ 2 سے تقسیم ہونے والے انٹیجرز کو یکساں کہا جاتا ہے، اور 2 سے تقسیم نہ ہونے والے انٹیجرز کو عجیب کہا جاتا ہے۔ 1، −1، n اور −n کو n کے معمولی تقسیم کاروں کے طور پر جانا جاتا ہے۔ n کا ایک تقسیم کنندہ جو معمولی تقسیم کنندہ نہیں ہے اسے غیر معمولی تقسیم کنندہ (یا سخت تقسیم کنندہ) کے طور پر جانا جاتا ہے۔ ایک غیر صفر عدد جس میں کم از کم ایک غیر معمولی تقسیم کنندہ ہو، ایک جامع عدد کے طور پر جانا جاتا ہے، جبکہ یونٹس-1 اور 1 اور پرائم نمبروں میں کوئی غیر معمولی تقسیم کنندہ نہیں ہوتا ہے۔ تقسیم کے ایسے اصول ہیں جو کسی کو نمبر کے ہندسوں سے کسی نمبر کے بعض تقسیم کاروں کو پہچاننے کی اجازت دیتے ہیں۔ مثال 7 42 کا تقسیم کنندہ ہے کیونکہ، تو ہم کہہ سکتے ہیں۔ یہ بھی کہا جا سکتا ہے کہ 42 کو 7 سے تقسیم کیا جا سکتا ہے، 42 7 کا ضرب ہے، 7 42 کو تقسیم کرتا ہے، یا 7 42 کا عنصر ہے۔ 6 کے غیر معمولی تقسیم کار 2، −2، 3، −3 ہیں۔ 42 کے مثبت تقسیم کار 1، 2، 3، 6، 7، 14، 21، 42 ہیں۔ 60 کے تمام مثبت تقسیم کاروں کے سیٹ میں، جزوی طور پر تقسیم کے لحاظ سے ترتیب دیا گیا ہے، ہس خاکہ ہے: مزید تصورات اور حقائق کچھ ابتدائی اصول ہیں: اگر اور پھر، یعنی۔ تقسیم ایک عارضی تعلق ہے۔ اگر اور، پھر یا۔ اگر اور، پھر برقرار رہتا ہے، جیسا کہ ہوتا ہے۔ تاہم، اگر اور، تو ہمیشہ برقرار نہیں رہتا (مثال کے طور پر۔ اور لیکن 5 6 کو تقسیم نہیں کرتا)۔ اگر، اور پھر۔ اسے یوکلڈ کا لیما کہا جاتا ہے۔ اگر ایک پرائم نمبر ہے اور پھر یا۔ اس کا ایک مثبت تقسیم کنندہ اس سے مختلف ہے جسے a یا an کہا جاتا ہے۔ ایک عدد جو یکساں طور پر تقسیم نہیں کرتا لیکن بقیہ چھوڑ دیتا ہے اسے بعض اوقات an of کہا جاتا ہے۔ ایک عدد جس کا واحد مناسب تقسیم کنندہ 1 ہے اسے پرائم نمبر کہا جاتا ہے۔ مساوی طور پر، ایک پرائم نمبر ایک مثبت عدد ہے جس میں بالکل دو مثبت عوامل ہوتے ہیں: 1 اور خود۔ کا کوئی بھی مثبت تقسیم کنندہ کسی طاقت پر اٹھائے گئے پرائم تقسیم کنندگان کا پروڈکٹ ہوتا ہے۔ یہ ریاضی کے بنیادی نظریہ کا نتیجہ ہے۔ کسی عدد کو کامل کہا جاتا ہے اگر وہ اس کے مناسب تقسیم کاروں کے مجموعے کے برابر ہو، اگر اس کے مناسب تقسیم کاروں کا مجموعہ اس سے کم ہو تو کمی، اور اگر یہ رقم اس سے زیادہ ہو تو کثرت۔ مثبت تقسیم کاروں کی کل تعداد ایک ضرب فنکشن ہے، جس کا مطلب ہے کہ جب دو اعداد اور نسبتا پرائم ہوں، تو۔ مثال کے طور پر ؛ 42 کے آٹھ تقسیم کار 1، 2، 3، 6، 7، 14، 21 اور 42 ہیں۔ تاہم، مثبت تقسیم کاروں کی تعداد مکمل طور پر ضرب فنکشن نہیں ہے: اگر دونوں اعداد اور ایک مشترکہ تقسیم کار کا اشتراک کرتے ہیں، تو یہ سچ نہیں ہو سکتا ہے۔ کے مثبت تقسیم کاروں کا مجموعہ ایک اور ضرب فعل ہے (مثال کے طور پر۔ )۔ یہ دونوں افعال تقسیم کار افعال کی مثالیں ہیں۔ اگر کی پرائم فیکٹرائزیشن اس وقت تک دی جاتی ہے تو اس کے مثبت تقسیم کاروں کی تعداد ہے اور ہر تقسیم کار کی شکل ہوتی ہے جہاں ہر قدرتی کے لیے،۔ نیز، یولر-ماسچیرونی مستقل کہاں ہے۔ اس نتیجے کی ایک تشریح یہ ہے کہ تصادفی طور پر منتخب کردہ مثبت عدد n میں تقسیم کاروں کی اوسط تعداد تقریبا ہے۔ تاہم، یہ "غیر معمولی طور پر بہت سے" تقسیم کاروں کے ساتھ اعداد کی شراکت کا نتیجہ ہے۔ تجریدی الجبرا رنگ تھیوری ڈویژن لیٹس میں ان تعریفوں میں جن میں 0 شامل ہے، تقسیم کا تعلق غیر منفی انٹیجرز کے سیٹ کو جزوی طور پر ترتیب شدہ سیٹ میں بدل دیتا ہے جو کہ ایک مکمل تقسیم شدہ لیٹس ہے۔ اس جالی کا سب سے بڑا عنصر 0 اور سب سے چھوٹا 1 ہے۔ میٹ آپریشن سب سے بڑے مشترکہ تقسیم کار کے ذریعہ دیا جاتا ہے اور جوائن آپریشن سب سے کم مشترکہ ضرب کے ذریعہ دیا جاتا ہے۔ یہ جالی لامحدود چکور گروپ Z کے ذیلی گروپوں کے جالی کے دوہرے کے لیے آئسومورفک ہے۔ ریاضیاتی افعال یوکلڈین الگورتھم فریکشن (ریاضی) انٹیجر فیکٹرائزیشن ٹیبل آف ڈیوائزرز-اے ٹیبل آف پرائم اور نان پرائم ڈیوائزرز فار 1-1000 ٹیبل آف پرائم فیکٹرز-اے ٹیبل آف پرائم فیکٹرز فار 1-1000 یونٹری ڈیوائزر نوٹسز حوالہ جات رچرڈ کے۔ گائی، ان سولولڈ پروبلمز ان نمبر تھیوری (تھرڈ ایڈیشن)، سپرنگر ورلاگ، 2004 ؛ سیکشن بی۔ اوسٹین اوری، نمبر تھیوری اینڈ اس ہسٹری، میک گرا ہل، این وائی، 1944 (اور ڈوور ری پرنٹس)۔ ایلیمنٹری نمبر تھیوری ڈویژن (ریاضی)