Quantum harmonic oscillator
کوانٹم ہارمونک آسکیلیٹر کلاسیکی ہارمونک آسکیلیٹر کا کوانٹم میکانی ینالاگ ہے۔ چونکہ ایک صوابدیدی ہموار صلاحیت کو عام طور پر ایک مستحکم توازن نقطہ کے آس پاس ہارمونک صلاحیت کے طور پر تخمینہ لگایا جا سکتا ہے، یہ کوانٹم میکانکس میں سب سے اہم ماڈل سسٹم میں سے ایک ہے۔ مزید برآں، یہ ان چند کوانٹم میکانی نظاموں میں سے ایک ہے جس کے لیے ایک درست، تجزیاتی حل معلوم ہے۔ یک جہتی ہارمونک آسکیلیٹر ہیملٹنین اور توانائی آئجین اسٹیٹس ذرہ کا ہیملٹنین یہ ہے: جہاں ذرہ کی کمیت ہے، قوت مستقل ہے، آسکیلیٹر کی کونیی تعدد ہے، پوزیشن آپریٹر ہے (کوآرڈینیٹ کی بنیاد پر دیا گیا ہے)، اور مومنٹم آپریٹر ہے (کوآرڈینیٹ کی بنیاد پر دیا گیا ہے)۔ ہیملٹنین میں پہلی اصطلاح ذرہ کی حرکی توانائی کی نمائندگی کرتی ہے، اور دوسری اصطلاح اس کی ممکنہ توانائی کی نمائندگی کرتی ہے، جیسا کہ ہک کے قانون میں ہے۔ وقت سے آزاد شروڈنگر مساوات ہے، جہاں ایک حقیقی تعداد (جس کا تعین کرنے کی ضرورت ہے) کی نشاندہی ہوتی ہے جو وقت سے آزاد توانائی کی سطح، یا آئجن ویلیو کی وضاحت کرے گی، اور حل اس سطح کی توانائی آئجن اسٹیٹ کی نشاندہی کرتا ہے۔ پھر سپیکٹرم طریقہ استعمال کرتے ہوئے ویو فنکشن کے لیے کوآرڈینیٹ کی بنیاد پر اس آئجین ویلیو کے مسئلے کی نمائندگی کرنے والی تفریقی مساوات کو حل کریں۔ یہ پتہ چلتا ہے کہ حل کا ایک خاندان ہے۔ اس بنیاد پر، وہ ہرمائیٹ افعال کے مترادف ہیں، افعال ایچ این طبیعیات دانوں کے ہرمائیٹ کثیر الجہتی ہیں، اسی طرح کی توانائی کی سطحیں ہیں۔ یہ توانائی سپیکٹرم تین وجوہات کی بناء پر قابل ذکر ہے۔ سب سے پہلے، توانائیوں کو مقداری بنایا جاتا ہے، جس کا مطلب ہے کہ صرف مجرد توانائی کی اقدار (انٹیجر-پلس-نصف کے ضرب) ممکن ہیں۔ جب کوئی ذرہ محدود ہوتا ہے تو یہ کوانٹم-مکینیکل نظام کی ایک عمومی خصوصیت ہوتی ہے۔ دوسرا، یہ مجرد توانائی کی سطحیں ایٹم کے بوہر ماڈل، یا باکس میں موجود ذرہ کے برعکس یکساں فاصلے پر ہوتی ہیں۔ تیسرا، سب سے کم قابل حصول توانائی (ریاست کی توانائی، جسے زمینی حالت کہا جاتا ہے) کم سے کم ممکنہ کنویں کے برابر نہیں ہوتی، بلکہ اس کے اوپر ہوتی ہے ؛ اسے صفر نقطہ توانائی کہا جاتا ہے۔ صفر نکاتی توانایٔی کی وجہ سے، زمینی حالت میں آسکیلیٹر کی پوزیشن اور مومنٹم مقررہ نہیں ہوتی (کیونکہ وہ کلاسیکی آسکیلیٹر میں ہوں گے)، لیکن ہائزن برگ کے غیر یقینی اصول کے مطابق اس میں تغیر کی ایک چھوٹی سی حد ہوتی ہے۔ زمینی حالت کے امکان کی کثافت اصل پر مرکوز ہوتی ہے، جس کا مطلب ہے کہ ذرہ اپنا زیادہ تر وقت ممکنہ کنویں کے نچلے حصے میں گزارتا ہے، جیسا کہ کوئی کم توانائی والی حالت کی توقع کرے گا۔ جیسے جیسے توانائی میں اضافہ ہوتا ہے، امکان کی کثافت کلاسیکی "موڑ والے مقامات" پر عروج پر ہوتی ہے، جہاں ریاست کی توانائی ممکنہ توانائی کے ساتھ موافق ہوتی ہے۔ (انتہائی پرجوش ریاستوں کی ذیل میں بحث دیکھیں۔) یہ کلاسیکی ہارمونک آسکیلیٹر کے مطابق ہے، جس میں ذرہ اپنا زیادہ وقت موڑ کے مقامات کے قریب گزارتا ہے (اور اس وجہ سے اس کے ملنے کا امکان زیادہ ہوتا ہے)، جہاں یہ سب سے آہستہ حرکت کر رہا ہوتا ہے۔ اس طرح خط و کتابت کا اصول مطمئن ہوتا ہے۔ مزید برآں، کم سے کم غیر یقینی صورتحال کے ساتھ خصوصی غیر متعدی لہر کے پیکٹ، جنہیں مربوط ریاستیں کہا جاتا ہے، کلاسیکی اشیاء کی طرح بہت زیادہ ارتعاش کرتے ہیں، جیسا کہ شکل میں دکھایا گیا ہے۔ وہ ہیملٹنین کی آئجین ریاستیں نہیں ہیں۔ سیڑھی آپریٹر کا طریقہ پال ڈیراک کا تیار کردہ "سیڑھی آپریٹر" کا طریقہ، تفریق مساوات کو براہ راست حل کیے بغیر توانائی کی آئجین ویلیوز کو نکالنے کی اجازت دیتا ہے۔ یہ زیادہ پیچیدہ مسائل کے لیے عام ہے، خاص طور پر کوانٹم فیلڈ تھیوری میں۔ اس نقطہ نظر پر عمل کرتے ہوئے، ہم آپریٹرز اور اس کے ملحقہ کی وضاحت کرتے ہیں، نوٹ کریں کہ یہ آپریٹرز کلاسیکی طور پر فیز اسپیس میں بالکل معمول کی گردش کے جنریٹر ہیں اور، یعنی وہ کلاسیکی ہارمونک آسکیلیٹر کے وقت میں آگے اور پیچھے کے ارتقاء کو بیان کرتے ہیں۔ یہ آپریٹرز مفید نمائندگی کی طرف لے جاتے ہیں اور، آپریٹر ہرمیٹین نہیں ہے، کیونکہ خود اور اس کے ملحقہ برابر نہیں ہیں۔ توانائی آئجین اسٹیٹس (جسے فوک اسٹیٹس بھی کہا جاتا ہے)، جب ان سیڑھی آپریٹرز کے ذریعہ چلائے جاتے ہیں، تو یہ ظاہر ہوتا ہے کہ، جوہر میں، آکسیلیٹر میں توانائی کی ایک واحد مقدار کو جوڑتا ہے، جبکہ ایک کوانٹم کو ہٹا دیتا ہے۔ اس وجہ سے، انہیں بعض اوقات "تخلیق" اور "تباہی" آپریٹرز کہا جاتا ہے۔ مندرجہ بالا رلیشنز سے، ہم ایک نمبر آپریٹر کی بھی وضاحت کر سکتے ہیں، جس میں درج ذیل خاصیت ہوتی ہے: مندرجہ ذیل کمیونیٹرز کو کینونکل کمیونیکیشن ریلیشن کو تبدیل کر کے آسانی سے حاصل کیا جا سکتا ہے، اور ہیملٹن آپریٹر کا اظہار اس طرح کیا جا سکتا ہے کہ اس کی آئجن اسٹیٹ بھی توانائی کی آئجن اسٹیٹ ہے۔ کمیوٹیشن پراپرٹی کی پیداوار اور اسی طرح، اس کا مطلب ہے کہ یہ ضرب مستقل تک پیدا کرنے کے لیے کام کرتا ہے، اور پیدا کرنے کے لیے کام کرتا ہے۔ اس وجہ سے، اسے اینہیلیشن آپریٹر ("لوورنگ آپریٹر")، اور کری ایشن آپریٹر ("رائزنگ آپریٹر") کہا جاتا ہے۔ دونوں آپریٹرز کو مل کر لیڈر آپریٹرز کہا جاتا ہے۔ کوانٹم فیلڈ تھیوری میں، اور انہیں متبادل طور پر "اینہیلیشن" اور "کری ایشن" آپریٹرز کہا جاتا ہے کیونکہ وہ ذرات کو تباہ اور تخلیق کرتے ہیں، جو ہمارے توانائی کے کوانٹا سے مطابقت رکھتے ہیں۔ کسی بھی توانائی آئجین اسٹیٹ کو دیکھتے ہوئے، ہم کم توانائی کے ساتھ ایک اور آئجین اسٹیٹ پیدا کرنے کے لیے، کم کرنے والے آپریٹر کے ساتھ اس پر عمل کر سکتے ہیں۔ کم کرنے والے آپریٹر کے بار بار استعمال سے، ایسا لگتا ہے کہ ہم توانائی آئجین اسٹیٹس کو نیچے تک پیدا کر سکتے ہیں۔ تاہم، چونکہ سب سے چھوٹا آئجن نمبر 0 ہے، اور اس صورت میں، کم کرنے والے آپریٹر کی بعد کی ایپلی کیشنز اضافی توانائی آئجن اسٹیٹس کے بجائے صرف صفر کیٹس تیار کریں گی۔ مزید برآں، ہم نے اوپر دکھایا ہے کہ آخر میں، ریزنگ آپریٹر کے ساتھ |0  आहात پر عمل کرکے اور مناسب نارملائزیشن عوامل سے ضرب دے کر، ہم توانائی آئجین اسٹیٹس کا ایک لامحدود مجموعہ تیار کر سکتے ہیں جو پچھلے حصے میں دی گئی توانائی کے سپیکٹرم سے میل کھاتا ہے۔ صوابدیدی آئجین اسٹیٹس کا اظہار |0  आहात، تجزیاتی سوالات کے لحاظ سے کیا جا سکتا ہے۔ پچھلا تجزیہ الجبرائی ہے، جس میں صرف اٹھانے اور کم کرنے والے آپریٹرز کے درمیان تبادلوں کے تعلقات کا استعمال کیا جاتا ہے۔ الجبرائی تجزیہ مکمل ہونے کے بعد، تجزیاتی سوالات کی طرف رجوع کرنا چاہیے۔ سب سے پہلے، کسی کو زمینی حالت یعنی مساوات کا حل تلاش کرنا چاہیے۔ پوزیشن کی نمائندگی میں، یہ فرسٹ آرڈر تفریق مساوات ہے جس کا حل آسانی سے گوسیئن تصور کے طور پر پایا جاتا ہے، یہ ضروری ہے کہ اس مساوات کا صرف ایک ہی حل ہو۔ اگر دو لکیری طور پر آزاد زمینی ریاستیں ہوتیں، تو ہمیں ہارمونک آسکیلیٹر کے لیے آئجین ویکٹرز کی دو آزاد زنجیریں ملیں گی۔ ایک بار زمینی حالت کا حساب لگانے کے بعد، پوزیشن کی نمائندگی میں اٹھانے والے آپریٹر کی واضح شکل کا استعمال کرتے ہوئے، کوئی بھی انڈکٹو طور پر دکھا سکتا ہے کہ پرجوش ریاستیں ہرمائیٹ کثیر الجہتی اوقات گوسیائی زمینی حالت ہیں۔ کوئی یہ بھی ثابت کر سکتا ہے کہ، جیسا کہ زمینی حالت کی انفرادیت سے توقع کی جاتی ہے، سیڑھی کے طریقہ کار کے ذریعہ تعمیر کردہ ہرمائیٹ افعال توانائی آئجین اسٹیٹس افعال کا ایک مکمل آرتھونورمل سیٹ بناتے ہیں۔ واضح طور پر پچھلے حصے کے ساتھ جڑتے ہوئے، پوزیشن کی نمائندگی میں زمینی حالت |0  आहात کا تعین اس طرح کیا جاتا ہے، اور اسی طرح۔ قدرتی لمبائی اور توانائی کے پیمانے کوانٹم ہارمونک آسکیلیٹر میں لمبائی اور توانائی کے لیے قدرتی پیمانے ہوتے ہیں، جنہیں مسئلے کو آسان بنانے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ یہ غیر جہتی کاری کے ذریعے تلاش کیے جا سکتے ہیں۔ نتیجہ یہ ہے کہ، اگر توانائی کی اکائیوں اور فاصلے کی اکائیوں میں پیمائش کی جاتی ہے، تو ہیملٹنین آسان ہوجاتا ہے جب کہ توانائی آئجن فنکشنز اور آئجن ویلیوز ہرمائیٹ افعال میں آسان ہوجاتے ہیں اور انٹیجرز نصف سے آفسیٹ ہوتے ہیں، جہاں ہرمائیٹ کثیر الجہتی ہیں۔ الجھن سے بچنے کے لیے، ان "قدرتی اکائیوں" کو زیادہ تر اس مضمون میں اپنایا نہیں جائے گا۔ تاہم، بے ترتیبی کو نظر انداز کرکے، حساب کتاب کرتے وقت وہ اکثر کام آتے ہیں۔ مثال کے طور پر، اس آسکیلیٹر کے لیے وقت پر منحصر شروڈنگر آپریٹر کا بنیادی حل (پروپیگیٹر)، صرف مہلر دانا تک ابالتا ہے، جہاں۔ اس کے بعد دی گئی ابتدائی ترتیب کا سب سے عام حل صرف مربوط ریاستیں ہیں۔ ہارمونک آسکیلیٹر کی مربوط ریاستیں (جسے گلوبر ریاستیں بھی کہا جاتا ہے) خصوصی غیر متعدی لہر کے پیکٹ ہوتے ہیں، جن میں کم سے کم غیر یقینی صورتحال ہوتی ہے، جن کی مشاہداتی توقعات کلاسیکی نظام کی طرح تیار ہوتی ہیں۔ وہ ہیملٹنین نہیں بلکہ اینہیلیشن آپریٹر کے آئجین ویکٹر ہیں، اور ایک حد سے زیادہ مکمل بنیاد بناتے ہیں جس کے نتیجے میں آرتھوگونالیٹی کا فقدان ہوتا ہے۔ مربوط حالتوں کو انڈیکس کیا جاتا ہے اور اس کا اظہار اس بنیاد پر کیا جاتا ہے کیونکہ اور کرمیک-میک کری شناخت کے ذریعے، آخری شکل زمینی حالت پر کام کرنے والے یکطرفہ نقل مکانی آپریٹر کے برابر ہے: پوزیشن خلائی لہر کے افعال ہیں۔ چونکہ مربوط ریاستیں توانائی کے آئجین اسٹیٹس نہیں ہیں، اس لیے ان کا وقت کا ارتقاء ویو فنکشن مرحلے میں ایک سادہ تبدیلی نہیں ہے۔ وقت سے تیار شدہ ریاستیں، تاہم، مربوط ریاستیں بھی ہیں لیکن اس کے بجائے فیز شفٹنگ پیرامیٹر کے ساتھ: انتہائی پرجوش ریاستیں جب بڑی ہوتی ہیں، تو آئجین اسٹیٹس کو کلاسیکی اجازت شدہ خطے میں مقامی بنایا جاتا ہے، یعنی وہ خطہ جس میں توانائی والا کلاسیکی ذرہ حرکت کر سکتا ہے۔ آئجین اسٹیٹس موڑ کے مقامات کے قریب چوٹی پر ہوتے ہیں: کلاسیکی طور پر اجازت شدہ خطے کے سروں پر وہ مقامات جہاں کلاسیکی ذرہ سمت بدلتا ہے۔ اس رجحان کی تصدیق ہرمائیٹ کثیر الجہتی کے غیر علامتی، اور ڈبلیو کے بی تخمینہ کے ذریعے بھی کی جا سکتی ہے۔ ارتعاش کی تعدد توانائی اور پوزیشن کے کلاسیکی ذرہ کی رفتار کے متناسب ہوتی ہے۔ مزید برآں، طول و عرض کا مربع (امکان کی کثافت کا تعین) اس کے الٹا متناسب ہے، جو کلاسیکی ذرہ کے قریب گزارنے والے وقت کی لمبائی کی عکاسی کرتا ہے۔ موڑ کے ایک چھوٹے سے محلے میں نظام کے رویے کی کوئی سادہ کلاسیکی وضاحت نہیں ہے، لیکن اسے ایری فنکشن کا استعمال کرتے ہوئے ماڈل کیا جا سکتا ہے۔ ایئر فنکشن کی خصوصیات کا استعمال کرتے ہوئے، کلاسیکی طور پر اجازت شدہ خطے سے باہر ذرہ کو تلاش کرنے کے امکان کا تخمینہ لگ بھگ لگ بھگ لگایا جا سکتا ہے۔ یہ کوانٹم میکانکس کے فیز اسپیس فارمولیشن میں، کوانٹم ہارمونک آسکیلیٹر کے آئجین اسٹیٹس کو کواسپریبلٹی ڈسٹری بیوشن کی کئی مختلف نمائندگی میں بند شکل میں لکھا جا سکتا ہے۔ ان میں سے سب سے زیادہ وسیع پیمانے پر استعمال ہونے والا وگنر کواسیپروبیبلٹی ڈسٹری بیوشن کے لیے ہے۔ توانائی آئجین اسٹیٹ کے لیے وگنر کواسیپروبیبلٹی ڈسٹری بیوشن، اوپر بیان کردہ قدرتی اکائیوں میں ہے، جہاں Ln لیگوری کثیر الجہتی ہیں۔ یہ مثال اس بات کی وضاحت کرتی ہے کہ کس طرح ہرمائیٹ اور لاگویر کثیر الجہتی وگنر نقشے کے ذریعے جڑے ہوئے ہیں۔ دریں اثنا، ہارمونک آسکیلیٹر آئجین اسٹیٹس کے ہوسیمی کیو فنکشن کی شکل اور بھی آسان ہوتی ہے۔ اگر ہم اوپر بیان کردہ قدرتی اکائیوں میں کام کرتے ہیں، تو ہمارے پاس ہے۔ اس دعوے کی تصدیق سیگل-برگمین ٹرانسفارم کا استعمال کرتے ہوئے کی جا سکتی ہے۔ خاص طور پر، چونکہ سیگل-برگمین کی نمائندگی میں ریزنگ آپریٹر محض ضرب ہے اور زمینی حالت مستقل فنکشن 1 ہے، اس نمائندگی میں نارملائزڈ ہارمونک آسکیلیٹر ریاستیں سادہ ہیں۔ اس مقام پر، ہم سیگل-برگمین ٹرانسفارم کے لحاظ سے ہوسیمی ق فنکشن کے فارمولے سے اپیل کر سکتے ہیں۔ N-جہتی آئسوٹروپک ہارمونک آسکیلیٹر ایک جہتی ہارمونک آسکیلیٹر طول و عرض کے لیے آسانی سے عام ہے، جہاں۔ ایک جہت میں، ذرہ کی پوزیشن ایک واحد کوآرڈینیٹ کے ذریعے متعین کی گئی تھی۔ طول و عرض میں، اس کی جگہ پوزیشن کوآرڈینیٹس لے لیتے ہیں، جسے ہم لیبل کرتے ہیں۔ ہر پوزیشن کوآرڈینیٹ کے مطابق ایک رفتار ہے ؛ ہم ان کو لیبل کرتے ہیں۔ جیسا کہ اس ہیملٹنین کی شکل واضح کرتی ہے،-جہتی ہارمونک آسکیلیٹر بالکل ایک ہی کمیت اور اسپرنگ مستقل کے ساتھ آزاد ایک جہتی ہارمونک آسکیلیٹرز کے مترادف ہے۔ اس صورت میں، مقداریں ہر ایک ذرے کی پوزیشن کا حوالہ دیں گی۔ یہ پوٹینشل کی ایک آسان خاصیت ہے، جو پوٹینشل انرجی کو ہر ایک کوآرڈینیٹ کے لحاظ سے شرائط میں الگ کرنے کی اجازت دیتی ہے۔ یہ مشاہدہ حل کو سیدھا کرتا ہے۔ کوانٹم نمبروں کے ایک خاص سیٹ کے لیے-جہتی آسکیلیٹر کے لیے توانائی کے آئجین فنکشنز کا اظہار 1 جہتی آئجین فنکشنز کے لحاظ سے کیا جاتا ہے: سیڑھی آپریٹر کے طریقہ کار میں، ہم سیڑھی آپریٹرز کے سیٹوں کی وضاحت کرتے ہیں، یک جہتی کیس کے یکساں طریقہ کار کے ذریعے، پھر ہم یہ ظاہر کر سکتے ہیں کہ ہر ایک اور آپریٹر بالترتیب کم کرتے ہیں اور توانائی کو بڑھاتے ہیں۔ ہیملٹنین ہے یہ ہیملٹنین متحرک ہم آہنگی گروپ (طول و عرض میں یکطرفہ گروپ) کے تحت غیر متغیر ہے، جس کی وضاحت میٹرکس کی نمائندگی میں ایک عنصر کہاں ہے۔ نظام کی توانائی کی سطحیں ہیں جیسا کہ یک جہتی صورت میں، توانائی کی مقدار مقرر کی جاتی ہے۔ زمینی ریاستی توانایٔی یک جہتی زمینی توانایٔی سے کئی گنا زیادہ ہے، جیسا کہ ہم آزاد یک جہتی آسکیلیٹرز کے ساتھ مشابہت کا استعمال کرنے کی توقع کریں گے۔ ایک اور فرق ہے: یک جہتی معاملے میں، ہر توانائی کی سطح ایک منفرد کوانٹم حالت سے مطابقت رکھتی ہے۔ جہتوں میں، زمینی حالت کے علاوہ، توانائی کی سطح انحطاط پذیر ہوتی ہے، جس کا مطلب ہے کہ ایک ہی توانائی والی کئی ریاستیں ہیں۔ انحطاط کا حساب نسبتا آسانی سے لگایا جا سکتا ہے۔ مثال کے طور پر، 3 جہتی معاملے پر غور کریں: وضاحت کریں۔ ایک جیسی تمام ریاستوں میں ایک جیسی توانائی ہوگی۔ دی گئی چیز کے لیے ہم ایک مخصوص چیز کا انتخاب کرتے ہیں۔ پھر۔ ممکنہ جوڑے ہیں۔ اقدار کو لے سکتے ہیں، اور ہر ایک کے لیے قیمت طے کی جاتی ہے۔ اس لیے انحطاط کی ڈگری یہ ہے: عمومی کے لیے فارمولا اور [یکطرفہ گروپ کی متناسب ناقابل کٹوتی-th طاقت کی نمائندگی کا طول و عرض ہونے کے ناطے]: خصوصی صورت = 3، جو اوپر دی گئی ہے، اس عمومی مساوات سے براہ راست پیروی کرتی ہے۔ تاہم، یہ صرف ممتاز ذرات، یا طول و عرض میں ایک ذرہ کے لیے درست ہے (کیونکہ طول و عرض ممتاز ہیں)۔ ایک جہتی ہارمونک ٹریپ میں بوسون کے معاملے کے لیے، انحطاط پیمانے سے کم یا اس کے برابر انٹیجرز کا استعمال کرتے ہوئے ایک عدد کو تقسیم کرنے کے طریقوں کی تعداد کے طور پر۔ یہ کوانٹا کو اسٹیٹ کیٹ میں ڈالنے کی رکاوٹ کی وجہ سے پیدا ہوتا ہے جہاں اور، جو کہ انٹیجر پارٹیشن کی طرح ہی رکاوٹیں ہیں۔ مثال: 3D آئسوٹروپک ہارمونک آسکیلیٹر ایک کروی ہم آہنگی تین جہتی ہارمونک آسکیلیٹر میں کسی ذرہ کے لیے شروڈنگر مساوات کو متغیرات کی علیحدگی کے ذریعے واضح طور پر حل کیا جا سکتا ہے۔ موجودہ معاملے کے لیے یہ مضمون دیکھیں۔ یہ طریقہ کار ہائیڈروجن جیسے ایٹم کے مسئلے میں کی جانے والی علیحدگی کے مترادف ہے، لیکن ایک مختلف کروی طور پر ہم آہنگ صلاحیت کے ساتھ جہاں ذرہ کی کمیت ہے۔ کیونکہ مقناطیسی کوانٹم نمبر کے لیے ذیل میں استعمال کیا جائے گا، اس مضمون میں پہلے کی طرح ماس کو اس کے بجائے اشارہ کیا گیا ہے۔ مساوات کا حل یہ ہے کہ: جہاں ایک نارملائزیشن مستقل ہے ؛ عام طور پر لیگوری کثیر الجہتی ہیں ؛ کثیر الجہتی کی ترتیب ایک غیر منفی عدد ہے ؛ ایک کروی ہارمونک فنکشن ہے ؛ کم شدہ پلانک مستقل ہے: توانائی کی آئجن ویلیو ہے۔ توانائی کو عام طور پر واحد کوانٹم نمبر سے بیان کیا جاتا ہے کیونکہ یہ ایک غیر منفی عدد ہے، ہمارے پاس موجود ہر ایک کے لیے اور ہمارے پاس موجود ہر عجیب کے لیے۔ مقناطیسی کوانٹم نمبر ایک تسلی بخش عدد ہے، لہذا ہر اور l کے لیے 2l + 1 مختلف کوانٹم ریاستیں ہیں، جن کے ذریعے لیبل کیا گیا ہے۔ اس طرح، سطح پر انحطاط وہ جگہ ہے جہاں مجموعہ 0 یا 1 سے شروع ہوتا ہے، اس کے مطابق کہ آیا مساوی ہے یا عجیب۔ یہ نتیجہ اوپر کے طول و عرض کے فارمولے کے مطابق ہے، اور متعلقہ انحطاط گروپ کی ہم آہنگی کی نمائندگی کی جہت کے برابر ہے۔ ایپلی کیشنز ہارمونک آسکیلیٹر جالی: فونون ہارمونک آسکیلیٹر کے اشارے کو بہت سے ذرات کے یک جہتی جالی تک بڑھایا جا سکتا ہے۔ N یکساں ایٹموں کی ایک جہتی کوانٹم مکینیکل ہارمونک زنجیر پر غور کریں۔ یہ جالی کا سب سے آسان کوانٹم مکینیکل ماڈل ہے، اور ہم دیکھیں گے کہ اس سے فونون کیسے پیدا ہوتے ہیں۔ اس ماڈل کے لیے جو رسمی نظام ہم تیار کریں گے وہ دو اور تین جہتوں کے لیے آسانی سے عام ہے۔ جیسا کہ پچھلے حصے میں، ہم عوام کی پوزیشنوں کی نشاندہی کرتے ہیں، جیسا کہ ان کی توازن پوزیشنوں سے ماپا جاتا ہے (یعنی۔ اگر ذرہ اپنی توازن کی پوزیشن پر ہو)۔ دو یا زیادہ جہتوں میں، ویکٹر کی مقدار ہوتی ہے۔ اس نظام کے لیے ہیملٹنین وہ جگہ ہے جہاں ہر ایٹم کی (فرض شدہ یکساں) کمیت ہوتی ہے، اور یہ i ویں ایٹم کے لیے پوزیشن اور مومنٹم آپریٹر ہوتے ہیں اور مجموعہ قریبی پڑوسیوں (nn) پر بنایا جاتا ہے۔ تاہم، ہیملٹنین کو ذرہ نقاط کے لحاظ سے لکھنے کے بجائے ویو ویکٹر کے عام طریقوں کے لحاظ سے دوبارہ لکھنے کا رواج ہے تاکہ کوئی زیادہ آسان فورئیر اسپیس میں کام کر سکے۔ اس کے بعد ہم "نارمل کوآرڈینیٹس" کا ایک مجموعہ متعارف کراتے ہیں، جس کی تعریف s کے مجرد فورئیر ٹرانسفارمز کے طور پر کی جاتی ہے، اور "کنجوگیٹ مومینٹا" کی تعریف s کے فورئیر ٹرانسفارمز کے طور پر کی جاتی ہے، مقدار فونون کا لہر نمبر ثابت ہوگی، یعنی۔ 2π کو طول موج سے تقسیم کریں۔ یہ مقداری اقدار لیتا ہے، کیونکہ ایٹموں کی تعداد محدود ہے۔ یہ حقیقی جگہ یا لہر ویکٹر کی جگہ میں مطلوبہ تبادلوں کے تعلقات کو محفوظ رکھتا ہے۔ عام نتیجہ سے ابتدائی مثلثی کے ذریعے یہ ظاہر کرنا آسان ہے کہ ممکنہ توانائی کی اصطلاح وہ جگہ ہے جہاں ہیملٹنین کو لہر ویکٹر کی جگہ میں لکھا جا سکتا ہے۔ نوٹ کریں کہ پوزیشن متغیرات کے درمیان جوڑے کو تبدیل کر دیا گیا ہے۔ اگر s اور s ہرمیٹین تھے (جو وہ نہیں ہیں)، تو تبدیل شدہ ہیملٹنین غیر جوڑے ہوئے ہارمونک آسکیلیٹرز کو بیان کرے گا۔ کوانٹائزیشن کی شکل باؤنڈری کنڈیشنز کے انتخاب پر منحصر ہے۔ سادگی کے لیے، ہم وقتا فوقتا باؤنڈری کنڈیشنز عائد کرتے ہیں، جس میں-th ایٹم کو پہلے ایٹم کے مساوی قرار دیا جاتا ہے۔ جسمانی طور پر، یہ سلسلہ کے سروں پر شامل ہونے سے مطابقت رکھتا ہے۔ نتیجے میں ہونے والی مقدار یہ ہے کہ اوپری حد کم از کم طول موج سے آتی ہے، جو کہ جالی کے فاصلے سے دوگنا ہے، جیسا کہ اوپر بحث کی گئی ہے۔ اگر ہم صفر نکاتی توانائی کو نظر انداز کرتے ہیں تو سطحوں کو یکساں طور پر مساوی فاصلے پر رکھا جاتا ہے لہذا ہارمونک آسکیلیٹر لیٹس کو اگلی توانائی کی سطح پر دھکیلنے کے لیے توانائی کی ایک درست مقدار فراہم کی جانی چاہیے۔ فوٹون کیس سے مشابہت میں جب برقی مقناطیسی میدان کی مقدار مقرر کی جاتی ہے، تو کمپن توانائی کی مقدار کو فونون کہا جاتا ہے۔ تمام کوانٹم نظام لہر جیسی اور ذرہ جیسی خصوصیات ظاہر کرتے ہیں۔ فونون کی ذرہ نما خصوصیات کو دوسری مقدار کے طریقوں اور دوسری جگہوں پر بیان کردہ آپریٹر تکنیکوں کا استعمال کرتے ہوئے بہتر طور پر سمجھا جاتا ہے۔ تسلسل کی حد میں،، جبکہ مقرر رکھا جاتا ہے۔ کینونکل کوآرڈینیٹ اسکیلر فیلڈ کے ڈیکپلڈ مومنٹم طریقوں میں منتقل ہوتے ہیں، جبکہ لوکیشن انڈیکس (ڈلیسمنٹ ڈائنامکل متغیر نہیں) اسکیلر فیلڈ کا پیرامیٹر آرگیومنٹ بن جاتا ہے۔ سالماتی کمپن ڈائیٹومک مالیکیول کی کمپن کوانٹم ہارمونک آسکیلیٹر کے دو باڈی ورژن کی ایک مثال ہے۔ اس صورت میں، کونیی تعدد اس طرح دی جاتی ہے کہ کم شدہ کمیت کہاں ہے اور دونوں ایٹموں کی کمیت کہاں ہے۔ ہک کا ایٹم ہیلیم ایٹم کا ایک سادہ نمونہ ہے جس میں کوانٹم ہارمونک آسکیلیٹر استعمال ہوتا ہے۔ فونون کی ماڈلنگ، جیسا کہ اوپر بحث کی گئی ہے۔ یکساں مقناطیسی میدان میں کمیت والا چارج ایک جہتی کوانٹم ہارمونک آسکیلیٹر کی ایک مثال ہے: لینڈو کوانٹائزیشن۔ نوٹ بھی دیکھیں حوالہ جات سیڑھی آپریٹرز کے انتخاب کے لیے بیرونی روابط کوانٹم ہارمونک آسکیلیٹر ریشنل کوانٹم ہارمونک آسکیلیٹر ڈرائیوڈ اور ڈیمپڈ کوانٹم ہارمونک آسکیلیٹر کے لائیو 3D شدت کے پلاٹ (کورس کے لیکچر نوٹ "الیکٹرک سرکٹس میں کوانٹم آپٹکس") کوانٹم ماڈل آسکیلیٹر