Itô calculus
آئیٹو کیلکولس، جس کا نام کیوسی آئیٹو کے نام پر رکھا گیا ہے، کیلکولس کے طریقوں کو اسٹاکسٹک عمل جیسے براؤنین موشن تک پھیلاتا ہے (وینر عمل دیکھیں)۔ اس کے ریاضیاتی مالیات اور سٹوچسٹک تفریقی مساوات میں اہم استعمال ہیں۔ مرکزی تصور آئٹو سٹوچسٹک انٹیگرل ہے، جو تجزیہ میں ریمن-اسٹیلٹجز انٹیگرل کی ایک سٹوچسٹک جنرلائزیشن ہے۔ انٹیگرانڈز اور انٹیگریٹرز اب اسٹاکسٹک عمل ہیں: جہاں H ایک مقامی طور پر مربع مربوط عمل ہے جو X کے ذریعہ پیدا ہونے والی فلٹریشن کے مطابق ڈھال لیا گیا ہے، جو کہ براؤنین حرکت ہے یا، زیادہ عام طور پر، ایک سیمی مارٹنگیل ہے۔ انضمام کا نتیجہ پھر ایک اور غیر معمولی عمل ہے۔ خاص طور پر، 0 سے کسی خاص t تک کا انٹیگرل ایک بے ترتیب متغیر ہے، جسے بے ترتیب متغیرات کی ایک مخصوص ترتیب کی حد کے طور پر بیان کیا گیا ہے۔ براؤنین حرکت کے راستے کیلکولس کی معیاری تکنیکوں کو لاگو کرنے کے قابل ہونے کی ضروریات کو پورا کرنے میں ناکام رہتے ہیں۔ لہذا انٹیگرینڈ ایک سٹوچسٹک عمل کے ساتھ، آئٹو سٹوچسٹک انٹیگرل کسی فنکشن کے حوالے سے ایک انٹیگرل کے برابر ہوتا ہے جو کسی بھی مقام پر تفریق کے قابل نہیں ہوتا ہے اور ہر وقت کے وقفے پر اس میں لامحدود تغیر ہوتا ہے۔ بنیادی بصیرت یہ ہے کہ انٹیگرل کی تعریف اس وقت تک کی جا سکتی ہے جب تک کہ انٹیگرانڈ H کو ڈھال لیا جائے، جس کا ڈھیلا مطلب یہ ہے کہ وقت t پر اس کی قیمت صرف اس وقت تک دستیاب معلومات پر منحصر ہو سکتی ہے۔ تقریبا بولتے ہوئے، کوئی 0 سے t تک کے وقفے کی تقسیم کی ترتیب کا انتخاب کرتا ہے اور ریمن کے جملوں کی تشکیل کرتا ہے۔ ہر بار جب ہم ریمن سم کا حساب لگا رہے ہوتے ہیں، تو ہم انٹیگریٹر کا ایک خاص فوری استعمال کر رہے ہوتے ہیں۔ فنکشن کی قدر کا حساب لگانے کے لیے ہر چھوٹے وقفے میں کون سا نقطہ استعمال کیا جاتا ہے یہ اہم ہے۔ اس کے بعد حد کو امکان میں لیا جاتا ہے کیونکہ پارٹیشن کا میش صفر پر جا رہا ہے۔ یہ ظاہر کرنے کے لیے کہ یہ حد موجود ہے اور تقسیم کی مخصوص ترتیب سے آزاد ہے، متعدد تکنیکی تفصیلات کا خیال رکھنا پڑتا ہے۔ عام طور پر وقفہ کا بائیں سرے کا استعمال کیا جاتا ہے۔ آئی ٹی او کیلکولس کے اہم نتائج میں پارٹس فارمولا اور آئی ٹی او کے لیما کے ذریعے انضمام شامل ہے، جو کہ متغیر فارمولے کی تبدیلی ہے۔ یہ معیاری کیلکولس کے فارمولوں سے مختلف ہیں، چوتھائی تغیر کی اصطلاحات کی وجہ سے۔ ریاضیاتی مالیات میں، انٹیگرل کی بیان کردہ تشخیصی حکمت عملی کا تصور اس طرح کیا جاتا ہے کہ ہم پہلے فیصلہ کر رہے ہیں کہ کیا کرنا ہے، پھر قیمتوں میں تبدیلی کا مشاہدہ کر رہے ہیں۔ انٹیگرینڈ یہ ہے کہ ہمارے پاس کتنا اسٹاک ہے، انٹیگریٹر قیمتوں کی نقل و حرکت کی نمائندگی کرتا ہے، اور لازمی یہ ہے کہ ہمارے پاس کل کتنی رقم ہے جس میں کسی بھی لمحے ہمارے اسٹاک کی قیمت بھی شامل ہے۔ اسٹاک اور دیگر تجارتی مالیاتی اثاثوں کی قیمتوں کو براؤنین موشن یا زیادہ تر جیومیٹرک براؤنین موشن (بلیک-شولز دیکھیں) جیسے غیر معمولی عمل کے ذریعے ماڈل کیا جا سکتا ہے۔ پھر، آئی ٹی او سٹوچسٹک انٹیگرل ایک مسلسل وقت کی تجارتی حکمت عملی کی ادائیگی کی نمائندگی کرتا ہے جس میں وقت ٹی پر اسٹاک کی ایچ ٹی رقم رکھی جاتی ہے۔ اس صورت حال میں، یہ شرط کہ ایچ کو ڈھال لیا گیا ہے اس ضروری پابندی سے مطابقت رکھتی ہے کہ تجارتی حکمت عملی کسی بھی وقت صرف دستیاب معلومات کا استعمال کر سکتی ہے۔ یہ کلیئر ویوینس کے ذریعے لامحدود فوائد کے امکان کو روکتا ہے: مارکیٹ میں ہر اپٹک سے ٹھیک پہلے اسٹاک خریدنا اور ہر ڈاؤنٹک سے پہلے فروخت کرنا۔ اسی طرح، اس شرط سے کہ H کو ڈھال لیا گیا ہے اس کا مطلب یہ ہے کہ جب ریمن جملوں کی حد کے طور پر شمار کیا جائے تو سٹوچسٹک انٹیگرل مختلف نہیں ہوگا۔ نوٹیشن اس عمل Y کی وضاحت پہلے کے طور پر کی گئی ہے جو خود وقت کے پیرامیٹر t کے ساتھ ایک اسٹاکسٹک عمل ہے، جسے بعض اوقات Y = H·X کے طور پر بھی لکھا جاتا ہے۔ متبادل طور پر، انٹیگرل اکثر تفریقی شکل dY = H dX میں لکھا جاتا ہے، جو Y − Y0 = H·X کے مساوی ہے۔ جیسا کہ آئی ٹی او کیلکولس کا تعلق مسلسل وقت کے سٹاکاسٹک عمل سے ہے، یہ فرض کیا جاتا ہے کہ ایک بنیادی فلٹر شدہ امکان کی جگہ دی گئی ہے۔ σ-الجبرا وقت t تک دستیاب معلومات کی نمائندگی کرتا ہے، اور ایک عمل X کو اس صورت میں ڈھال لیا جاتا ہے جب Xt-پیمائش کے قابل ہو۔ براؤنین حرکت B کو ایک-براؤنین حرکت سمجھا جاتا ہے، جو کہ صرف ایک معیاری براؤنین حرکت ہے جس کی خصوصیات یہ ہیں کہ Bt-پیمائش کے قابل ہے اور یہ کہ Bt + s-Bt تمام s، t ≤ 0 کے لیے آزاد ہے۔ براؤنین حرکت کے حوالے سے انضمام آئیٹو انٹیگرل کی تعریف ریمن-اسٹیلٹجز انٹیگرل سے ملتے جلتے انداز میں کی جا سکتی ہے، جو کہ ریمن جملوں کے امکان کی حد کے طور پر ہے۔ اس طرح کی حد ضروری نہیں کہ راستے میں موجود ہو۔ فرض کریں کہ B ایک وینر عمل (براؤنین موشن) ہے اور یہ کہ H ایک دائیں مسلسل (سی اے ڈی ایل اے جی)، موافقت شدہ اور مقامی طور پر پابند عمل ہے۔ اگر [0، t] کی پارٹیشنوں کا ایک سلسلہ ہے جس میں میش صفر پر جا رہا ہے، تو وقت t تک B کے حوالے سے H کا It̃ انٹیگرل ایک بے ترتیب متغیر ہے۔ کچھ ایپلی کیشنز کے لیے، جیسے مارٹنگیل نمائندگی تھیوریمز اور مقامی اوقات، ان عملوں کے لیے لازمی ہے جو مسلسل نہیں ہیں۔ پیشین گوئی کے قابل عمل سب سے چھوٹی کلاس بناتے ہیں جو ترتیب کی حدود کے تحت بند ہوتے ہیں اور تمام موافقت شدہ بائیں مسلسل عمل پر مشتمل ہوتے ہیں۔ اگر H کوئی پیشین گوئی کے قابل عمل ہے جیسے کہ ہر t ≤ 0 کے لیے ≤0t H2 ds <≤، تو B کے حوالے سے H کے انٹیگرل کی وضاحت کی جا سکتی ہے، اور H کو B-انٹیگریبل کہا جاتا ہے۔ اس طرح کے کسی بھی عمل کا تخمینہ بائیں مسلسل، موافقت پذیر اور مقامی طور پر پابند عمل کی ترتیب Hn سے لگایا جا سکتا ہے، اس معنی میں کہ امکان میں۔ پھر، آئٹو انٹیگرل وہ جگہ ہے جہاں، ایک بار پھر، حد کو امکان میں یکجا دکھایا جا سکتا ہے۔ سٹوچسٹک انٹیگرل آئٹو آئسومیٹری کو مطمئن کرتا ہے جو اس وقت برقرار رہتا ہے جب H پابند ہوتا ہے یا، زیادہ عام طور پر، جب دائیں ہاتھ کی طرف کا انٹیگرل محدود ہوتا ہے۔ آئی ٹی او عمل ایک موافقت شدہ سٹوچسٹک عمل کے طور پر بیان کیا گیا ہے جس کا اظہار براؤنین حرکت کے حوالے سے ایک انٹیگرل اور وقت کے حوالے سے ایک انٹیگرل کے مجموعے کے طور پر کیا جا سکتا ہے، یہاں، بی ایک براؤنین حرکت ہے اور یہ ضروری ہے کہ σ ایک پیش گوئی کے قابل بی-انٹیگربل عمل ہے، اور μ پیش گوئی کے قابل اور (لیبسگ) انٹیگربل ہے۔ یعنی، ہر ٹی کے لیے۔ اسٹوچسٹک انٹیگرل کو اس طرح کے آئی ٹی او عمل تک بڑھایا جا سکتا ہے، اس کی وضاحت تمام مقامی طور پر پابند اور پیش گوئی کے قابل انٹیگرانڈز کے لیے کی گئی ہے۔ زیادہ عام طور پر، یہ ضروری ہے کہ Hσ B-انٹیگریبل ہو اور Hμ لیبسیگ انٹیگریبل ہو، تاکہ اس طرح کے پیش گوئی کے قابل عمل H کو X-انٹیگریبل کہا جائے۔ آئی ٹی او کے عمل کے مطالعہ کا ایک اہم نتیجہ آئی ٹی او کا لیما ہے۔ اس کی آسان ترین شکل میں، جیسا کہ اوپر بیان کیا گیا ہے، حقیقی اور آئی ٹی او عمل ایکس پر کسی بھی دو بار مسلسل تفریق پذیر فنکشن ایف کے لیے، یہ بیان کرتا ہے کہ ایف (ایکس) خود ایک آئی ٹی او عمل ہے جو مطمئن کرتا ہے۔ یہ متغیر فارمولہ اور سلسلہ اصول کی تبدیلی کا سٹوچسٹک کیلکولس ورژن ہے۔ یہ ایف کے دوسرے مشتق پر مشتمل اضافی اصطلاح کی وجہ سے معیاری نتیجہ سے مختلف ہے، جو اس خاصیت سے آتا ہے کہ براؤنین حرکت میں غیر صفر کواڈریٹک تغیر ہے۔ سیمی مارٹنگیلز بطور انٹیگریٹر آئی ٹی او انٹیگرل کی تعریف سیمی مارٹنگیل ایکس کے حوالے سے کی گئی ہے۔ یہ وہ عمل ہیں جنہیں مقامی مارٹنگیل ایم اور محدود تغیر کے عمل اے کے لیے ایکس = ایم + اے کے طور پر تحلیل کیا جا سکتا ہے۔ اس طرح کے عمل کی اہم مثالوں میں براؤنین موشن، جو کہ ایک مارٹنگیل ہے، اور لیوی عمل شامل ہیں۔ بائیں مسلسل، مقامی طور پر پابند اور موافقت شدہ عمل H کے لیے لازمی H·X موجود ہے، اور اس کا حساب ریمن جملوں کی حد کے طور پر کیا جا سکتا ہے۔ فرض کریں کہ πn [0, t] کی پارٹیشنوں کا ایک سلسلہ ہے جس میں میش صفر پر جا رہا ہے، یہ حد امکان میں یکجا ہوتی ہے۔ بائیں مسلسل عمل کا اسٹاکسٹک انٹیگرل زیادہ تر اسٹاکسٹک کیلکولس کا مطالعہ کرنے کے لیے کافی عام ہے۔ مثال کے طور پر، یہ ایٹو کے لیما کے اطلاق، گرسانوف کے نظریہ کے ذریعے پیمائش کی تبدیلیوں، اور اسٹاکسٹک تفریقی مساوات کے مطالعہ کے لیے کافی ہے۔ تاہم، یہ دیگر اہم موضوعات جیسے مارٹنگیل کی نمائندگی کے نظریات اور مقامی اوقات کے لیے ناکافی ہے۔ انٹیگرل ایک منفرد انداز میں تمام پیش گوئی کے قابل اور مقامی طور پر پابند انٹیگرانڈز تک پھیلا ہوا ہے، اس طرح کہ غالب کنورجنس تھیوریم برقرار ہے۔ یعنی، اگر مقامی طور پر پابند عمل J کے لیے Hn → ؛ H اور |Hn | ≤ J، تو امکان میں۔ بائیں مسلسل سے پیش گوئی کے قابل انٹیگرینڈز تک توسیع کی انفرادیت مونوٹون کلاس لیما کا نتیجہ ہے۔ عام طور پر، اسٹاکسٹک انٹیگرل H·X کی تعریف ان صورتوں میں بھی کی جا سکتی ہے جہاں پیش گوئی کے قابل عمل H مقامی طور پر پابند نہیں ہے۔ اگر K = 1/(1 + |H |) تو K اور KH پابند ہیں۔ سٹاکاسٹک انضمام کی ایسوسی ایٹیویٹی کا مطلب یہ ہے کہ H X-انٹیگریبل ہے، انٹیگرل H·X = Y کے ساتھ، اگر اور صرف اس صورت میں جب Y0 = 0 اور K·Y = (KH)·X۔ ایکس انٹیگریبل عمل کے سیٹ کو ایل (ایکس) سے ظاہر کیا جاتا ہے۔ خصوصیات مندرجہ ذیل خصوصیات اور جیسے کاموں میں مل سکتی ہیں: سٹوچسٹک انٹیگرل ایک کیڈلاگ عمل ہے۔ مزید برآں، یہ ایک سیمی مارٹنگیل ہے۔ سٹوچسٹک انٹیگرل کی منقطعیاں انٹیگریٹر کی چھلانگوں کے ذریعے انٹیگرینڈ سے ضرب کے ذریعے دی جاتی ہیں۔ ایک وقت t پر کیڈلگ عمل کی چھلانگ Xt − Xt− ہے، اور اکثر اسے ΔXt سے ظاہر کیا جاتا ہے۔ اس اشارے کے ساتھ، α (H·X) = H αX۔ اس کا ایک خاص نتیجہ یہ ہے کہ ایک مسلسل عمل کے حوالے سے انٹیگرلز ہمیشہ خود مسلسل ہوتے ہیں۔ ایسوسی ایٹیویٹی۔ جے، کے کو پیش گوئی کے قابل عمل، اور کے کو ایکس انٹیگریبل ہونے دیں۔ پھر، جے K·X انٹیگریبل ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب جے کے ایکس انٹیگریبل ہو، اس صورت میں ڈومینیٹڈ کنورجنس۔ فرض کریں کہ Hn → H اور |Hn | ≤ J، جہاں J ایک X-مربوط عمل ہے۔ تب ہر وقت t پر کنورجنس کا امکان ہوتا ہے۔ در حقیقت، یہ امکان میں کمپیکٹ سیٹوں پر یکساں طور پر یکجا ہوتا ہے۔ سٹوچسٹک انٹیگرل کواڈریٹک کوویریشن لینے کے عمل کے ساتھ سفر کرتا ہے۔ اگر X اور Y سیمی مارٹنگیلز ہیں تو کوئی بھی X-انٹیگریبل عمل بھی [X، Y]-انٹیگریبل، اور [H·X، Y] = H· [X، Y] ہوگا۔ اس کا نتیجہ یہ ہے کہ اسٹاکسٹک انٹیگرل کا کواڈریٹک تغیر کا عمل ایک کواڈریٹک تغیر کے عمل کے انٹیگرل کے برابر ہوتا ہے، حصوں کے ذریعہ انضمام عام کیلکولس کی طرح، حصوں کے ذریعہ انضمام اسٹاکسٹک کیلکولس میں ایک اہم نتیجہ ہے۔ آئٹو انٹیگرل کے لیے حصوں کے فارمولے کے لحاظ سے انضمام ایک کواڈریٹک کوویریشن اصطلاح کی شمولیت کی وجہ سے معیاری نتیجہ سے مختلف ہے۔ یہ اصطلاح اس حقیقت سے آتی ہے کہ آئٹو کیلکولس غیر صفر کواڈریٹک تغیر کے ساتھ عمل سے متعلق ہے، جو صرف لامحدود تغیر کے عمل (جیسے براؤنین موشن) کے لیے ہوتا ہے۔ اگر X اور Y سیمی مارٹنگیلز ہیں تو جہاں [X، Y] کواڈریٹک کوویریشن عمل ہے۔ نتیجہ ریمن-اسٹیلٹجز انٹیگرل کے لیے انٹیگریشن بائی پارٹس تھیوریم سے ملتا جلتا ہے لیکن اس میں ایک اضافی کواڈریٹک تغیر کی اصطلاح ہے۔ آئی ٹی او کا لیما سلسلہ کے اصول یا متغیر فارمولے کی تبدیلی کا ورژن ہے جو آئی ٹی او انٹیگرل پر لاگو ہوتا ہے۔ یہ سٹوچسٹک کیلکولس میں سب سے زیادہ طاقتور اور اکثر استعمال ہونے والے نظریات میں سے ایک ہے۔ ایک مسلسل n جہتی سیمی مارٹنگیل X = (X1,., Xn) اور Rn سے R تک دو بار مسلسل تفریق پذیر فنکشن f کے لیے، یہ بیان کرتا ہے کہ f (X) ایک سیمی مارٹنگیل ہے اور، یہ معیاری کیلکولس میں استعمال ہونے والے سلسلہ اصول سے مختلف ہے کیونکہ اس اصطلاح میں کواڈریٹک کوویریشن [Xi, Xj] شامل ہے۔ اس فارمولے کو عام کیا جا سکتا ہے تاکہ اس میں اور دوسرے طریقوں سے واضح وقت کا انحصار شامل کیا جا سکے (آئیٹو کا لیما دیکھیں)۔ مارٹنگیل انٹیگریٹرز لوکل مارٹنگیلز ایٹو انٹیگرل کی ایک اہم خاصیت یہ ہے کہ یہ مقامی مارٹنگیل پراپرٹی کو محفوظ رکھتا ہے۔ اگر M ایک مقامی مارٹنگیل ہے اور H ایک مقامی طور پر پابند پیش گوئی کرنے والا عمل ہے تو H·M بھی ایک مقامی مارٹنگیل ہے۔ انٹیگرانڈز کے لیے جو مقامی طور پر پابند نہیں ہیں، ایسی مثالیں موجود ہیں جہاں H·M مقامی مارٹنگیل نہیں ہے۔ تاہم، یہ صرف اس وقت ہو سکتا ہے جب M مسلسل نہ ہو۔ اگر M ایک مسلسل مقامی مارٹنگیل ہے تو ایک پیش گوئی کے قابل عمل H M-انٹیگریبل ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب ہر t کے لیے، اور H·M ہمیشہ ایک مقامی مارٹنگیل ہو۔ غیر متزلزل مقامی مارٹنگیل M کے لیے سب سے عام بیان یہ ہے کہ اگر (H2· [M]) 1/2 مقامی طور پر مربوط ہے تو H·M موجود ہے اور ایک مقامی مارٹنگیل ہے۔ باؤنڈڈ انٹیگرانڈز کے لیے، آئٹو اسٹوکاسٹک انٹیگرل مربع انٹیگریبل مارٹنگلز کی جگہ کو محفوظ رکھتا ہے، جو کہ کیڈلاگ مارٹنگلز M کا مجموعہ ہے تاکہ E [Mt2] تمام t کے لیے محدود ہو۔ اس طرح کے کسی بھی مربع انٹیگریبل مارٹنگیل M کے لیے، کواڈریٹک تغیر کا عمل [M] انٹیگریبل ہے، اور آئیٹو آئسومیٹری میں کہا گیا ہے کہ یہ مساوات عام طور پر کسی بھی مارٹنگیل M کے لیے زیادہ ہوتی ہے تاکہ H2· [M] t انٹیگریبل ہو۔ آئٹو آئسومیٹری کو اکثر اسٹوکاسٹک انٹیگرل کی تعمیر میں ایک اہم قدم کے طور پر استعمال کیا جاتا ہے، جس میں H·M کو اس آئسومیٹری کی منفرد توسیع کے طور پر بیان کیا جاتا ہے جو سادہ انٹیگرانڈز کی ایک مخصوص کلاس سے لے کر تمام پابند اور پیش گوئی کے قابل عمل تک ہے۔ پی-انٹیگریبل مارٹنگیلز کسی بھی پی> 1 کے لیے، اور باؤنڈڈ پریڈیکیبل انٹیگرینڈ کے لیے، سٹوچسٹک انٹیگرل پی-انٹیگریبل مارٹنگیلز کی جگہ کو محفوظ رکھتا ہے۔ یہ کیڈلاگ مارٹنگیلز ہیں جیسے کہ E (|Mt |p) تمام t کے لیے محدود ہے۔ تاہم، یہ ہمیشہ اس صورت میں درست نہیں ہوتا ہے جہاں p = 1 ہو۔ مارٹنگیلز کے حوالے سے باؤنڈڈ پیشن گوئی کے قابل عمل کے انٹیگرلز کی مثالیں موجود ہیں جو خود مارٹنگیلز نہیں ہیں۔ کیڈلیگ عمل M کا زیادہ سے زیادہ عمل M * t = sups ≤ t |Ms | کے طور پر لکھا جاتا ہے۔ کسی بھی p ± 1 اور باؤنڈڈ پریڈیکٹیبل انٹیگرینڈ کے لیے، سٹوکاسٹک انٹیگرل کیڈلاگ مارٹنگیلز M کی جگہ کو اس طرح محفوظ رکھتا ہے کہ E [(M * t) p] تمام t کے لیے محدود ہو۔ اگر p> 1 ہے تو یہ ڈوب کی عدم مساوات کے لحاظ سے p-انٹیگریبل مارٹنگیلز کی جگہ کے برابر ہے۔ برک ہولڈر-ڈیوس-گنڈی عدم مساوات بیان کرتی ہیں کہ، کسی بھی دیئے گئے p ≤ 1 کے لیے، مثبت مستقلات c، C موجود ہیں جو p پر منحصر ہوتے ہیں، لیکن M پر نہیں یا t پر اس طرح کہ تمام مقامی مارٹنگلز M کے لیے۔ ان کا استعمال یہ ظاہر کرنے کے لیے کیا جاتا ہے کہ اگر (M * t) p انٹیگریبل ہے اور H ایک باؤنڈڈ پیشن گوئی والا عمل ہے اور اس کے نتیجے میں، H·M ایک p-انٹیگریبل مارٹنگیل ہے۔ زیادہ عام طور پر، جب بھی (H2· [M]) p/2 مربوط ہو تو یہ بیان درست ہوتا ہے۔ انٹیگرل ثبوتوں کا وجود کہ آئی ٹی او انٹیگرل کی اچھی طرح سے وضاحت کی گئی ہے، عام طور پر پہلے بہت آسان انٹیگرینڈز کو دیکھ کر آگے بڑھتے ہیں، جیسے کہ پیس وائز کانسٹینٹ، لیفٹ کنٹینیوئس اور موافقت پذیر عمل جہاں انٹیگرل کو واضح طور پر لکھا جا سکتا ہے۔ اس طرح کے سادہ پیشین گوئی کے قابل عمل Ht = A1 {t> T} فارم کی اصطلاحات کے لکیری امتزاج ہیں جو رکنے والے اوقات T اور FT-پیمائش کے قابل بے ترتیب متغیر A کے لیے ہیں، جس کے لیے انٹیگرل ہے۔ یہ H میں H·X کی لکیریتا کے ذریعے تمام آسان پیشین گوئی کے قابل عمل تک بڑھایا گیا ہے۔ براؤنین موشن B کے لیے، وہ خاصیت جس میں صفر اوسط اور تغیر وار (Bt) = t کے ساتھ آزاد اضافہ ہوتا ہے، اسے سادہ پیشین گوئی کے قابل انٹیگرانڈز کے لیے آئٹو آئسومیٹری کو ثابت کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے، ایک مسلسل لکیری توسیع کے ذریعے، انٹیگرل منفرد طور پر تمام پیشین گوئی کے قابل انٹیگرانڈز تک پھیلا ہوا ہے جو اس طرح سے مطمئن ہوتے ہیں کہ آئیٹو آئسومیٹری اب بھی برقرار ہے۔ اس کے بعد اسے لوکلائزیشن کے ذریعے تمام بی-انٹیگریبل عمل تک بڑھایا جا سکتا ہے۔ یہ طریقہ کسی بھی آئی ٹی او عمل کے حوالے سے انٹیگرل کی وضاحت کرنے کی اجازت دیتا ہے۔ عام سیمی مارٹنگیل X کے لیے، مقامی مارٹنگیل M میں سڑنا X = M + A کے علاوہ ایک محدود تغیر کا عمل A استعمال کیا جا سکتا ہے۔ پھر، انٹیگرل کو M اور A کے حوالے سے الگ سے موجود دکھایا جا سکتا ہے اور X کے حوالے سے انٹیگرل حاصل کرنے کے لیے لکیریٹی، H·X = H·M + H·A کا استعمال کرتے ہوئے ملایا جا سکتا ہے۔ معیاری لیبسگیو-اسٹیلٹجز انٹیگرل انضمام کو محدود تغیر کے عمل کے حوالے سے بیان کرنے کی اجازت دیتا ہے، لہذا سیمی مارٹنگلز کے لیے آئیٹو انٹیگرل کا وجود مقامی مارٹنگلز کے لیے کسی بھی تعمیر کے بعد ہوگا۔ کیڈلاگ مربع انٹیگریبل مارٹنگیل ایم کے لیے، آئٹو آئسومیٹری کی ایک عمومی شکل استعمال کی جا سکتی ہے۔ سب سے پہلے، ڈوب-میئر سڑنے کا نظریہ یہ ظاہر کرنے کے لیے استعمال کیا جاتا ہے کہ ایک سڑنا موجود ہے، جہاں N ایک مارٹنگیل ہے اور یہ ایک دائیں مسلسل، بڑھتا ہوا اور پیش گوئی کرنے والا عمل ہے جو صفر سے شروع ہوتا ہے۔ یہ منفرد طور پر وضاحت کرتا ہے، جسے ایم کی پیش گوئی کے قابل کواڈریٹک تغیر کہا جاتا ہے۔ اسکوائر انٹیگریبل مارٹنگیلز کے لیے آئٹو آئسومیٹری اس کے بعد ہوتی ہے جسے براہ راست سادہ پیش گوئی کے قابل انٹیگرینڈز کے لیے ثابت کیا جا سکتا ہے۔ جیسا کہ براؤنین موشن کے لیے اوپر کے معاملے کے ساتھ، ایک مسلسل لکیری توسیع کو تمام متوقع انٹیگرینڈز کو مطمئن کرنے کے لیے منفرد طور پر توسیع دینے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ اس طریقہ کو لوکلائزیشن کے ذریعے تمام مقامی مربع انٹیگریبل مارٹنگیلز تک بڑھایا جا سکتا ہے۔ آخر میں، ڈوب-میئر سڑنا کسی بھی مقامی مارٹنگیل کو مقامی مربع انٹیگریبل مارٹنگیل اور ایک محدود تغیر کے عمل کے مجموعے میں سڑنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے، جس سے آئیٹو انٹیگرل کو کسی بھی سیمی مارٹنگیل کے حوالے سے تعمیر کیا جا سکتا ہے۔ بہت سے دوسرے ثبوت موجود ہیں جو اسی طرح کے طریقوں کا اطلاق کرتے ہیں لیکن جو ڈوب-میئر سڑنے کے نظریہ کو استعمال کرنے کی ضرورت سے بچتے ہیں، جیسے کہ آئٹو آئسومیٹری میں کواڈریٹک تغیر [M] کا استعمال، سب مارٹنگیلز کے لیے ڈولین پیمائش کا استعمال، یا آئیٹو آئسومیٹری کے بجائے برک ہولڈر-ڈیوس-گنڈی عدم مساوات کا استعمال۔ مؤخر الذکر براہ راست مقامی مارٹنگیل پر لاگو ہوتا ہے بغیر اسکوائر انٹیگریبل مارٹنگیل کیس سے نمٹنے کے۔ متبادل ثبوت صرف اس حقیقت کو استعمال کرتے ہوئے موجود ہیں کہ X کیڈلگ، موافقت شدہ ہے، اور سیٹ {H·Xt: |H | ≤1 سادہ قابل عمل ہے} ہر وقت t کے امکانات میں پابند ہے، جو کہ X کے سیمی مارٹنگیل ہونے کی ایک متبادل تعریف ہے۔ ایک مسلسل لکیری توسیع کا استعمال ہر جگہ صحیح حدود (کیگلاڈ یا ایل-عمل) کے ساتھ تمام بائیں مسلسل اور موافقت شدہ انٹیگرانڈز کے لیے انٹیگرل کی تعمیر کے لیے کیا جا سکتا ہے۔ یہ اتنا عام ہے کہ آئیٹو کے لیما جیسی تکنیکوں کو لاگو کرنے کے قابل ہو۔ نیز، ایک کھنچائن عدم مساوات کو غالب کنورجنس تھیوریم کو ثابت کرنے اور انٹیگرل کو عمومی پیش گوئی کے قابل انٹیگرانڈز تک بڑھانے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ آئی ٹی او کیلکولس میں تفریق آئی ٹی او کیلکولس کو سب سے پہلے اور سب سے اہم ایک لازمی کیلکولس کے طور پر بیان کیا گیا ہے جیسا کہ اوپر بیان کیا گیا ہے۔ تاہم، براؤنین حرکت کے حوالے سے "مشتق" کے مختلف تصورات بھی ہیں: مالیاون مشتق مالیاون کیلکولس وینر اسپیس پر بیان کردہ بے ترتیب متغیرات کے لیے تفریق کا ایک نظریہ فراہم کرتا ہے، جس میں حصوں کے فارمولے کے ذریعے انضمام بھی شامل ہے۔ مارٹنگیل کی نمائندگی مندرجہ ذیل نتیجہ مارٹنگیلز کو آئٹو انٹیگرلز کے طور پر ظاہر کرنے کی اجازت دیتا ہے: اگر M براؤنین موشن B کے ذریعہ پیدا ہونے والی فلٹریشن کے حوالے سے وقت کے وقفے [0, T] پر مربع انٹیگریبل مارٹنگیل ہے، تو [0, T] پر ایک منفرد موافقت شدہ مربع انٹیگریبل عمل α ہے جو تقریبا یقینی طور پر، اور تمام t ω [0, T] کے لیے ہے۔ اس نمائندگی تھیوریم کی رسمی طور پر یہ کہتے ہوئے تشریح کی جا سکتی ہے کہ α براؤنین موشن B کے حوالے سے M کا "وقت مشتق" ہے، کیونکہ α قطعی طور پر وہ عمل ہے جسے Mt − M0 حاصل کرنے کے لیے وقت t تک مربوط کیا جانا چاہیے، جیسا کہ تعیناتی کیلکولس میں ہوتا ہے۔ طبیعیات میں، عام طور پر اسٹاکسٹک تفریق مساوات (ایس ڈی ای)، جیسے لینجین مساوات، اسٹاکسٹک انٹیگرلز کے بجائے استعمال کی جاتی ہیں۔ یہاں ایک آئٹو سٹوچسٹک تفریق مساوات (ایس ڈی ای) اکثر اس کے ذریعے وضع کی جاتی ہے جہاں گوسیائی سفید شور کے ساتھ اور آئن سٹائن کا خلاصہ کنونشن استعمال کیا جاتا ہے۔ اگر ایکس کے کا فنکشن ہے، تو آئیٹو کا لیما استعمال کرنا پڑتا ہے: جیسا کہ اوپر ایک آئیٹو ایس ڈی ای بھی ایک اسٹراٹونوویچ ایس ڈی ای سے مطابقت رکھتا ہے جو پڑھتا ہے کہ ایس ڈی ای اکثر طبیعیات میں اسٹراٹونوویچ کی شکل میں پائے جاتے ہیں، کیونکہ اگر شور کی اصطلاح کا ارتباط وقت صفر کے قریب آتا ہے تو رنگین شور سے چلنے والی اسٹاکسٹک تفریق مساوات کی حدود ہوتی ہیں۔ اسٹاکسٹک تفریق مساوات کی مختلف تشریحات کے حالیہ علاج کے لیے مثال کے طور پر دیکھیں۔ اسٹوچسٹک کیلکولس آئیٹو کا لیما اسٹراٹونوویچ انٹیگرل سیمی مارٹنگیل وینر پروسیس حوالہ جات ہیگن کلینرٹ (2004) بھی دیکھیں۔ کوانٹم میکینکس، شماریات، پولیمر فزکس، اور مالیاتی بازاروں میں پاتھ انٹیگرلز، چوتھا ایڈیشن، ورلڈ سائنٹفک (سنگاپور) ؛ پیپر بیک۔ پانچواں ایڈیشن آن لائن دستیاب ہے: پی ڈی ایف فائلیں، غیر گوسیائی عمل کے لیے آئیٹو کے لیما کی عمومی شکل کے ساتھ۔ ٹی آئی-بیسک میں ریاضیاتی مالیاتی پروگرامنگ، جو ٹی آئی-کیلکولیٹرز کے لیے آئیٹو کیلکولس کو لاگو کرتی ہے۔ ریاضیاتی انضمام کی تعریفیں اسٹوچسٹک کیلکولس ریاضیاتی فنانس انٹیگرل کیلکولس