Quantum Hall effect
کوانٹم ہال اثر (یا انٹیجر کوانٹم ہال اثر) ہال اثر کا ایک مقداری ورژن ہے جو کم درجہ حرارت اور مضبوط مقناطیسی شعبوں کے تابع دو جہتی الیکٹران نظاموں میں مشاہدہ کیا جاتا ہے، جس میں ہال مزاحمت ایسے اقدامات کو ظاہر کرتی ہے جو مقداری اقدار پر عمل پیرا ہوتے ہیں جہاں ہال وولٹیج ہے، چینل کرنٹ ہے، ابتدائی چارج ہے اور پلانک مستقل ہے۔ تقسیم کنندہ انٹیجر () یا فریکشنل () اقدار کو لے سکتا ہے۔ یہاں، تقریبا لیکن بالکل لینڈو کی سطح کے فلنگ فیکٹر کے برابر نہیں ہے۔ کوانٹم ہال اثر کو انٹیجر یا فریکشنل کوانٹم ہال اثر کہا جاتا ہے جس کا انحصار بالترتیب انٹیجر یا فریکشن پر ہوتا ہے۔ انٹیجر کوانٹم ہال اثر کی نمایاں خصوصیت کوانٹائزیشن کی استقامت ہے (یعنی۔ ہال سطح مرتفع) جیسا کہ الیکٹران کی کثافت مختلف ہے۔ چونکہ الیکٹران کی کثافت مستقل رہتی ہے جب فرمی کی سطح صاف سپیکٹرم کے فرق میں ہوتی ہے، اس لیے یہ صورتحال اس سے مطابقت رکھتی ہے جہاں فرمی کی سطح ایک ایسی توانائی ہے جس کی حالتوں کی کثافت محدود ہوتی ہے، حالانکہ یہ ریاستیں مقامی ہوتی ہیں (اینڈرسن لوکلائزیشن دیکھیں)۔ فریکشنل کوانٹم ہال اثر زیادہ پیچیدہ ہے اور اب بھی ایک کھلا تحقیقی مسئلہ سمجھا جاتا ہے۔ اس کا وجود بنیادی طور پر الیکٹران الیکٹران تعاملات پر منحصر ہے۔ 1988 میں، یہ تجویز پیش کی گئی تھی کہ لینڈو کی سطح کے بغیر کوانٹم ہال اثر تھا۔ اس کوانٹم ہال اثر کو کوانٹم انوملس ہال (کیو اے ایچ) اثر کہا جاتا ہے۔ کوانٹم اسپن ہال اثر کا ایک نیا تصور بھی ہے جو کوانٹم ہال اثر کا ایک ینالاگ ہے، جہاں چارج کرنٹس کے بجائے اسپن کرنٹس بہتے ہیں۔ ایپلی کیشنز ہال کنڈکٹینس () کی کوانٹائزیشن میں انتہائی عین مطابق ہونے کی اہم خاصیت ہے۔ ہال کی چالکتا کی اصل پیمائش ایک ارب میں تقریبا ایک حصے کے انٹیجر یا فریکشنل ملٹیپل پائی گئی ہے۔ اس نے برقی مزاحمت کے لیے ایک نئے عملی معیار کی تعریف کی اجازت دی ہے، جو کہ وان کلٹزنگ مستقل کی طرف سے دی گئی مزاحمت کوانٹم پر مبنی ہے۔ اس کا نام کلاؤس وان کلٹزنگ کے نام پر رکھا گیا ہے، جو عین مطابق مقدار کا موجد تھا۔ کوانٹم ہال اثر باریک ساخت مستقل کا ایک انتہائی عین مطابق آزاد تعین بھی فراہم کرتا ہے، جو کوانٹم الیکٹرو ڈائنامکس میں بنیادی اہمیت کی مقدار ہے۔ 1990 میں، دنیا بھر میں مزاحمتی انشانکن میں استعمال کے لیے ایک مقررہ روایتی قدر کی وضاحت کی گئی تھی۔ 16 نومبر 2018 کو، وزن اور پیمائش سے متعلق جنرل کانفرنس کے 26 ویں اجلاس میں (پلانک مستقل) اور (ابتدائی چارج) کی صحیح اقدار طے کرنے کا فیصلہ کیا گیا، جس نے 1990 کی قیمت کو درست مستقل قیمت کے ساتھ ختم کر دیا۔ تحقیق کی حیثیت انٹیجر کوانٹم ہال کو عین مطابق کوانٹائزیشن کا حصہ سمجھا جاتا ہے۔ مکمل عام طور پر درست مقدار کو مکمل طور پر نہیں سمجھا گیا ہے لیکن اسے ایک اور ہم آہنگی کے ساتھ گیج انویرینس کے اصول کے امتزاج کے ایک بہت ہی لطیف مظہر کے طور پر بیان کیا گیا ہے (بے ضابطگیاں دیکھیں)۔ اس کے بجائے انٹیجر کوانٹم ہال کو ایک حل شدہ تحقیقی مسئلہ سمجھا جاتا ہے اور اسے ٹی کے این این فارمولہ اور چرن سائمنز لاگرانجینز کے دائرہ کار میں سمجھا جاتا ہے۔ فریکشنل کوانٹم ہال اثر کو اب بھی ایک کھلا تحقیقی مسئلہ سمجھا جاتا ہے۔ فریکشنل کوانٹم ہال اثر کو ایک انٹیجر کوانٹم ہال اثر کے طور پر بھی سمجھا جا سکتا ہے، حالانکہ الیکٹرانوں کا نہیں بلکہ چارج فلکس کمپوزائٹس کا جو جامع فرمین کے نام سے جانا جاتا ہے۔ فریکشنل کوانٹم ہال ایفیکٹ کی وضاحت کے لیے دیگر ماڈل بھی موجود ہیں۔ فی الحال اسے ایک کھلا تحقیقی مسئلہ سمجھا جاتا ہے کیونکہ فریکشنل کوانٹم نمبروں کی کوئی واحد، تصدیق شدہ اور متفقہ فہرست موجود نہیں ہے، نہ ہی ان سب کی وضاحت کرنے کے لیے کوئی ایک متفقہ ماڈل موجود ہے، حالانکہ جامع فرمینز اور نان ابیلین چرن سائمنز لاگرانجینز کے دائرہ کار میں ایسے دعوے موجود ہیں۔ ایم او ایس ایف ای ٹی (میٹل-آکسائیڈ-سیمی کنڈکٹر فیلڈ ایفیکٹ ٹرانجسٹر)، جسے 1959 میں بیل لیبز میں محمد اتالہ اور داون کاہنگ نے ایجاد کیا تھا، نے طبیعیات دانوں کو تقریبا مثالی دو جہتی گیس میں الیکٹران کے رویے کا مطالعہ کرنے کے قابل بنایا۔ ایم او ایس ایف ای ٹی میں، کنڈکشن الیکٹران ایک پتلی سطح کی پرت میں سفر کرتے ہیں، اور "گیٹ" وولٹیج اس پرت میں چارج کیریئرز کی تعداد کو کنٹرول کرتا ہے۔ یہ محققین کو مائع ہیلیم درجہ حرارت پر اعلی طہارت والے ایم او ایس ایف ای ٹی کو چلا کر کوانٹم اثرات کو تلاش کرنے کی اجازت دیتا ہے۔ ہال کنڈکٹینس کی انٹیجر کوانٹائزیشن کی پیش گوئی اصل میں یونیورسٹی آف ٹوکیو کے محققین سونیا اینڈو، یوکیو ماتسوموٹو اور یاسوٹاڈا اویمورا نے 1975 میں ایک اندازے کے حساب کی بنیاد پر کی تھی جسے وہ خود سچ نہیں مانتے تھے۔ 1978 میں، گکوشوئن یونیورسٹی کے محققین جون-آئیچی واکابیاشی اور شنجی کاواجی نے بعد میں ایم او ایس ایف ای ٹی کی الٹ پرت پر کیے گئے تجربات میں اس کے اثرات کا مشاہدہ کیا۔ 1980 میں، کلاؤس وان کلٹزنگ نے مائیکل پیپر اور گیرہارڈ ڈورڈا کے تیار کردہ سلکان پر مبنی ایم او ایس ایف ای ٹی نمونوں کے ساتھ گرینوبل میں ہائی مقناطیسی فیلڈ لیبارٹری میں کام کرتے ہوئے غیر متوقع دریافت کی کہ ہال مزاحمت بالکل مقدار میں تھی۔ اس دریافت کے لیے، وان کلٹزنگ کو 1985 میں طبیعیات میں نوبل انعام سے نوازا گیا۔ عین مطابق کوانٹائزیشن اور گیج انویرینس کے درمیان ایک ربط بعد میں رابرٹ لاگلین نے تجویز کیا، جس نے کوانٹائزڈ کنڈکٹیویٹی کو تھولس چارج پمپ میں کوانٹائزڈ چارج ٹرانسپورٹ سے جوڑا۔ زیادہ تر انٹیجر کوانٹم ہال کے تجربات اب گیلیئم آرسینائڈ ہیٹرو اسٹرکچرز پر کیے جاتے ہیں، حالانکہ بہت سے دوسرے سیمی کنڈکٹر مواد استعمال کیے جا سکتے ہیں۔ 2007 میں، انٹیجر کوانٹم ہال اثر گرفین میں کمرے کے درجہ حرارت سے زیادہ درجہ حرارت پر، اور میگنیشیم زنک آکسائیڈ ZnO-MgxZn1−xO میں رپورٹ کیا گیا تھا۔ انٹیجر کوانٹم ہال اثر لینڈو کی سطح دو جہتوں میں، جب کلاسیکی الیکٹرانوں کو مقناطیسی میدان کے تابع کیا جاتا ہے تو وہ سرکلر سائکلوٹرون مداروں کی پیروی کرتے ہیں۔ جب نظام کو کوانٹم میکانکی طور پر علاج کیا جاتا ہے، تو ان مداروں کو مقداری بنایا جاتا ہے۔ توانائی کی سطحوں کی اقدار کا تعین کرنے کے لیے شروڈنگر مساوات کو حل کرنا ضروری ہے۔ چونکہ نظام مقناطیسی میدان کے تابع ہے، اس لیے اسے شروڈنگر مساوات میں برقی مقناطیسی ویکٹر صلاحیت کے طور پر متعارف کرانا پڑتا ہے۔ سمجھا جانے والا نظام ایک الیکٹران گیس ہے جو x اور y سمتوں میں حرکت کرنے کے لیے آزاد ہے، لیکن مضبوطی سے z سمت میں محدود ہے۔ پھر، ایک مقناطیسی میدان z سمت میں لگایا جاتا ہے اور لینڈو گیج کے مطابق برقی مقناطیسی ویکٹر صلاحیت ہے اور اسکیلر صلاحیت ہے۔ اس طرح اس نظام میں چارج اور موثر کمیت کے کسی ذرہ کے لیے شروڈنگر مساوات یہ ہے: کینونکل مومنٹم کہاں ہے، جس کی جگہ آپریٹر لے لیتا ہے اور یہ کل توانائی ہے۔ اس مساوات کو حل کرنے کے لیے اسے دو مساوات میں الگ کرنا ممکن ہے کیونکہ مقناطیسی میدان صرف x اور y محوروں کے ساتھ حرکت کو متاثر کرتا ہے۔ اس کے بعد کل توانائی بن جاتی ہے، دو شراکتوں کا مجموعہ۔ z محور میں متعلقہ مساوات یہ ہیں: چیزوں کو آسان بنانے کے لیے، حل کو لامحدود کنواں سمجھا جاتا ہے۔ اس طرح z سمت کے حل توانائیاں ہیں، اور لہر کے افعال سینوسائڈل ہیں۔ اور سمتوں کے لیے، شروڈنگر مساوات کے حل کو کسی نامعلوم فنکشن کے ساتھ-سمت میں طیارہ لہر کے پروڈکٹ کے طور پر منتخب کیا جا سکتا ہے، یعنی۔ اس کی وجہ یہ ہے کہ ویکٹر پوٹینشل کا انحصار اس پر نہیں ہوتا ہے اور اس لیے مومنٹم آپریٹر ہیملٹنین کے ساتھ سفر کرتا ہے۔ اس انساٹز کو شروڈنگر مساوات میں تبدیل کرنے سے ایک جہتی ہارمونک آسکیلیٹر مساوات حاصل ہوتی ہے جس پر مرکوز ہوتا ہے۔ جہاں سائکلوٹرون فریکوئنسی اور مقناطیسی لمبائی کے طور پر بیان کیا گیا ہے۔ توانائیاں یہ ہیں:، اور طیارہ میں حرکت کے لیے ویو فنکشنز ایک طیارہ لہر کے پروڈکٹ کے ذریعے دیے جاتے ہیں اور ہرمائیٹ کثیر الجہتی جو گاؤسی فنکشن کے ذریعے کم ہوتے ہیں، جو ہارمونک آسکیلیٹر کے ویو فنکشنز ہوتے ہیں۔ لینڈو کی سطحوں کے اظہار سے کوئی یہ محسوس کرتا ہے کہ توانائی کا انحصار صرف اس پر ہے، اس پر نہیں۔ ایک جیسی لیکن مختلف ریاستیں انحطاط پذیر ہوتی ہیں۔ حالتوں کی کثافت صفر فیلڈ پر، دو جہتی الیکٹران گیس کے لیے فی یونٹ سطح پر حالتوں کی کثافت کو گھماؤ کی وجہ سے ہونے والے انحطاط کو مدنظر رکھتے ہوئے توانائی سے آزاد ہے۔ جیسے ہی فیلڈ کو آن کیا جاتا ہے، ریاستوں کی کثافت مستقل سے ڈیراک کنگھی میں گر جاتی ہے، جو ڈیراک افعال کا ایک سلسلہ ہے، جو لینڈو کی سطح سے الگ ہوتا ہے۔ تاہم، محدود درجہ حرارت پر، لینڈو کی سطح بکھرے ہوئے واقعات کے درمیان کا وقت ہونے کی وجہ سے چوڑائی حاصل کرتی ہے۔ عام طور پر یہ فرض کیا جاتا ہے کہ لینڈو کی سطحوں کی عین مطابق شکل ایک گوسی یا لورینٹزی پروفائل ہے۔ ایک اور خصوصیت یہ ہے کہ لہر کے افعال-سمت میں متوازی سٹرپس بناتے ہیں جو-محور کے ساتھ برابر فاصلے پر، کی لکیروں کے ساتھ ہوتے ہیں۔ چونکہ-پلین میں کسی بھی سمت کے بارے میں کچھ خاص نہیں ہے اگر ویکٹر پوٹینشل کو مختلف طریقے سے منتخب کیا گیا تھا تو کسی کو سرکلر سمیٹری تلاش کرنی چاہیے۔ طول و عرض کے نمونے کو دیکھتے ہوئے اور انٹیجر ہونے کی وجہ سے-سمت میں پیریڈک باؤنڈری کنڈیشنز کا اطلاق کرتے ہوئے، ہر پیرابولک پوٹینشل کو ایک قدر پر رکھا جاتا ہے۔ لینڈو کی ہر سطح کے لیے حالتوں کی تعداد اور اس کا حساب نمونے سے گزرنے والے کل مقناطیسی بہاؤ اور کسی حالت سے مطابقت رکھنے والے مقناطیسی بہاؤ کے درمیان تناسب سے کیا جا سکتا ہے۔ اس طرح فی اکائی سطح پر حالتوں کی کثافت ہے۔ مقناطیسی میدان کے ساتھ حالتوں کی کثافت کے انحصار کو نوٹ کریں۔ مقناطیسی میدان جتنا بڑا ہوگا، ہر لینڈو کی سطح میں اتنی ہی زیادہ ریاستیں ہوں گی۔ نتیجے کے طور پر، نظام میں زیادہ قید ہوتی ہے کیونکہ کم توانائی کی سطحوں پر قبضہ ہوتا ہے۔ آخری اظہار کو دوبارہ لکھنا کیونکہ یہ واضح ہے کہ ہر لینڈو کی سطح میں اتنی ہی ریاستیں ہوتی ہیں جتنی a میں 2DEG میں ہوتی ہیں۔ اس حقیقت کو دیکھتے ہوئے کہ الیکٹران فرمیئن ہیں، لینڈو کی سطحوں میں دستیاب ہر حالت کے لیے یہ دو الیکٹرانوں سے مطابقت رکھتا ہے، ایک الیکٹران جس کی گردش کے لیے ہر قدر ہوتی ہے۔ تاہم، اگر ایک بڑا مقناطیسی میدان لگایا جاتا ہے، تو مقناطیسی میدان کے ساتھ گھماؤ کی صف بندی سے وابستہ مقناطیسی لمحے کی وجہ سے توانائیاں دو سطحوں میں تقسیم ہو جاتی ہیں۔ توانائیوں میں فرق ایک عنصر ہونے کی وجہ سے ہے جو مواد (آزاد الیکٹرانوں کے لیے) اور بوہر میگنیٹن پر منحصر ہے۔ نشان اس وقت لیا جاتا ہے جب گھماؤ میدان کے متوازی ہوتا ہے اور جب یہ مخالف متوازی ہوتا ہے۔ یہ حقیقت جسے اسپن سپلیٹنگ کہا جاتا ہے اس کا مطلب ہے کہ ہر سطح کے لیے حالتوں کی کثافت نصف ہو جاتی ہے۔ نوٹ کریں کہ مقناطیسی میدان کے متناسب ہے لہذا، مقناطیسی میدان جتنا بڑا ہوگا، تقسیم اتنی ہی زیادہ متعلقہ ہوگی۔ زیر قبضہ لینڈاؤ کی سطحوں کی تعداد حاصل کرنے کے لیے، نام نہاد فلنگ فیکٹر کو 2 ڈی ای جی میں ریاستوں کی کثافت اور لینڈاؤ کی سطحوں میں ریاستوں کی کثافت کے درمیان تناسب کے طور پر بیان کیا جاتا ہے۔ عام طور پر فلنگ فیکٹر انٹیجر نہیں ہوتا۔ یہ ایک انٹیجر ہوتا ہے جب بھرا ہوا لینڈو کی سطحوں کی صحیح تعداد ہوتی ہے۔ اس کے بجائے، یہ ایک غیر عدد بن جاتا ہے جب اوپری سطح پر مکمل طور پر قبضہ نہیں ہوتا ہے۔ حقیقی تجربات میں، کوئی مقناطیسی میدان کو تبدیل کرتا ہے اور الیکٹران کی کثافت کو طے کرتا ہے (نہ کہ فرمی توانائی!) یا الیکٹران کی کثافت کو تبدیل کرتا ہے اور مقناطیسی میدان کو درست کرتا ہے۔ دونوں صورتیں فلنگ فیکٹر کے مسلسل تغیر سے مطابقت رکھتی ہیں اور کوئی انٹیجر ہونے کی توقع نہیں کر سکتا۔ چونکہ، مقناطیسی میدان کو بڑھانے سے، لینڈو کی سطح توانائی میں بڑھ جاتی ہے اور ہر سطح میں حالتوں کی تعداد بڑھتی ہے، اس لیے کم الیکٹران اوپری سطح پر قبضہ کرتے ہیں جب تک کہ یہ خالی نہ ہو جائے۔ اگر مقناطیسی میدان میں اضافہ ہوتا رہا تو بالآخر تمام الیکٹران لینڈو کی سب سے نچلی سطح () میں ہوں گے اور اسے مقناطیسی کوانٹم کی حد کہا جاتا ہے۔ طول البلد مزاحمت بھرنے والے عنصر کو مزاحمت اور اس وجہ سے نظام کی چالکتا سے جوڑنا ممکن ہے۔ ایک عدد کب ہوتا ہے، فرمی توانائی لینڈو کی سطحوں کے درمیان ہوتی ہے جہاں کیریئرز کے لیے کوئی ریاستیں دستیاب نہیں ہوتیں، اس لیے چالکتا صفر ہو جاتی ہے (یہ سمجھا جاتا ہے کہ مقناطیسی میدان کافی بڑا ہے تاکہ لینڈو کی سطحوں کے درمیان کوئی اوورلیپ نہ ہو، بصورت دیگر وہاں چند الیکٹران ہوں گے اور چالکتا تقریبا ہوگی)۔ نتیجتا، مزاحمت بھی صفر ہو جاتی ہے (بہت زیادہ مقناطیسی میدانوں پر یہ ثابت ہوتا ہے کہ طول البلد چالکتا اور مزاحمت متناسب ہیں)۔ چالکتا کے ساتھ پتہ چلتا ہے کہ اگر طول البلد مزاحمت صفر ہے اور ٹرانسورسل محدود ہے، تو۔ اس طرح، طول البلد چالکتا اور مزاحمت دونوں صفر ہو جاتے ہیں۔ اس کے بجائے، جب نصف عدد ہوتا ہے، تو فرمی توانائی کچھ لینڈو سطح کی کثافت کی تقسیم کے عروج پر واقع ہوتی ہے۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ چالکتا زیادہ سے زیادہ ہوگی۔ کم سے کم اور زیادہ سے زیادہ کی یہ تقسیم 'کوانٹم ارتعاش' سے مطابقت رکھتی ہے جسے شوبنکوف-ڈی ہاس ارتعاش کہا جاتا ہے جو مقناطیسی میدان میں اضافے کے ساتھ زیادہ متعلقہ ہو جاتے ہیں۔ ظاہر ہے، جیسے جیسے مقناطیسی میدان بڑھتا ہے چوٹیوں کی اونچائی بڑی ہوتی ہے کیونکہ میدان کے ساتھ حالتوں کی کثافت بڑھتی ہے، اس لیے مزید کیریئر ہوتے ہیں جو مزاحمت میں حصہ ڈالتے ہیں۔ یہ دیکھنا دلچسپ ہے کہ اگر مقناطیسی میدان بہت چھوٹا ہے، تو طول البلد مزاحمت ایک مستقل ہے جس کا مطلب ہے کہ کلاسیکی نتیجہ تک پہنچ گیا ہے۔ ٹرانسورس ریزسٹیویٹی ٹرانسورس ریزسٹیویٹی اور متبادل کے کلاسیکی تعلق سے ٹرانسورس ریزسٹیویٹی اور کنڈکٹیویٹی کی مقدار کا پتہ چلتا ہے: اس کے بعد یہ نتیجہ اخذ کیا جاتا ہے کہ اگر فلنگ فیکٹر ایک انٹیجر ہے تو ٹرانسورس ریزسٹیویٹی نام نہاد کنڈکٹینس کوانٹم کے الٹا کا ایک ضرب ہے۔ تاہم، تجربات میں، بھرنے کی اقدار کے پورے سطح مرتفع کے لیے سطح مرتفع کا مشاہدہ کیا جاتا ہے، جو اس بات کی نشاندہی کرتا ہے کہ حقیقت میں لینڈو کی سطحوں کے درمیان الیکٹران ریاستیں موجود ہیں۔ یہ ریاستیں، مثال کے طور پر، اس مواد کی نجاستوں میں مقامی ہوتی ہیں جہاں وہ مدار میں پھنس جاتے ہیں تاکہ وہ چالکتا میں حصہ نہ ڈال سکیں۔ یہی وجہ ہے کہ لینڈو کی سطحوں کے درمیان مزاحمت مستقل رہتی ہے۔ پھر اگر مقناطیسی میدان کم ہو جائے تو کلاسیکی نتیجہ ملتا ہے جس میں مزاحمت مقناطیسی میدان کے متناسب ہوتی ہے۔ فوٹونک کوانٹم ہال اثر کوانٹم ہال اثر، دو جہتی الیکٹران نظاموں میں مشاہدہ کیے جانے کے علاوہ، فوٹونوں میں بھی مشاہدہ کیا جا سکتا ہے۔ فوٹونوں میں موروثی برقی چارج نہیں ہوتا ہے، لیکن مجرد آپٹیکل ریزونیٹرز اور جوڑے کے مراحل یا سائٹ کے مراحل میں ہیرا پھیری کے ذریعے، ایک مصنوعی مقناطیسی میدان بنایا جا سکتا ہے۔ اس عمل کا اظہار متعدد آئینوں کے درمیان اچھلتے ہوئے فوٹونوں کے استعارے کے ذریعے کیا جا سکتا ہے۔ روشنی کو متعدد آئینوں پر مار کر، فوٹونوں کو روٹ کیا جاتا ہے اور ان کی کونیی رفتار کے متناسب اضافی مرحلہ حاصل ہوتا ہے۔ اس سے ایسا اثر پیدا ہوتا ہے جیسے وہ مقناطیسی میدان میں ہوں۔ ٹوپولوجیکل درجہ بندی وہ عدد جو ہال اثر میں ظاہر ہوتے ہیں، ٹوپولوجیکل کوانٹم نمبروں کی مثالیں ہیں۔ انہیں ریاضی میں پہلے چرن نمبروں کے طور پر جانا جاتا ہے اور ان کا بیری کے مرحلے سے گہرا تعلق ہے۔ اس تناظر میں بہت دلچسپی کا ایک حیرت انگیز نمونہ ازبل-ہارپر-ہوفسٹاڈر ماڈل ہے جس کا کوانٹم فیز خاکہ ہوفسٹاڈر تیتلی ہے جو شکل میں دکھایا گیا ہے۔ عمودی محور مقناطیسی میدان کی طاقت ہے اور افقی محور کیمیائی صلاحیت ہے، جو الیکٹران کی کثافت کو طے کرتا ہے۔ رنگ انٹیجر ہال کنڈکٹینس کی نمائندگی کرتے ہیں۔ گرم رنگ مثبت عدد اور سرد رنگ منفی عدد کی نمائندگی کرتے ہیں۔ تاہم، نوٹ کریں کہ مقداری ہال چالکتا کے ان علاقوں میں حالتوں کی کثافت صفر ہے ؛ اس لیے، وہ تجربات میں مشاہدہ کردہ سطح مرتفع پیدا نہیں کر سکتے۔ مرحلے کا خاکہ فریکٹل ہے اور اس کی ساخت تمام ترازو پر ہے۔ شکل میں ایک واضح خود مماثلت ہے۔ عارضے کی موجودگی میں، جو تجربات میں نظر آنے والے سطح مرتفع کا منبع ہے، یہ خاکہ بہت مختلف ہے اور فریکٹل ڈھانچہ زیادہ تر بہہ جاتا ہے۔ نیز، تجربات فلنگ فیکٹر کو کنٹرول کرتے ہیں نہ کہ فرمی توانائی کو۔ اگر اس خاکہ کو فلنگ فیکٹر کے فنکشن کے طور پر پلاٹ کیا گیا ہے، تو تمام خصوصیات مکمل طور پر ختم ہو جاتی ہیں، اس لیے اس کا اصل ہال فزکس سے بہت کم تعلق ہے۔ جسمانی میکانزم کے حوالے سے، نجاست اور/یا مخصوص حالتیں (مثال کے طور پر، کنارے کے دھارے) 'انٹیجر' اور 'فریکشنل' اثرات دونوں کے لیے اہم ہیں۔ اس کے علاوہ، فریکشنل کوانٹم ہال اثر میں کولمب تعامل بھی ضروری ہے۔ انٹیجر اور فریکشنل کوانٹم ہال کے اثرات کے درمیان مشاہدہ کردہ مضبوط مماثلت کی وضاحت الیکٹرانوں کے مقناطیسی بہاؤ کوانٹا کی یکساں تعداد کے ساتھ پابند ریاستیں بنانے کے رجحان سے کی جاتی ہے، جسے جامع فرمین کہتے ہیں۔ وان کلٹزنگ مستقل کی بوہر ایٹم کی تشریح وان کلٹزنگ مستقل کی قدر پہلے سے ہی بوہر ماڈل کے اندر ایک ایٹم کی سطح پر حاصل کی جا سکتی ہے جبکہ اسے واحد الیکٹران ہال اثر کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے۔ جبکہ ایک سرکلر مدار پر سائکلوٹرون حرکت کے دوران سینٹرفیوگل فورس کو لورینٹز فورس کے ذریعے متوازن کیا جاتا ہے جو ٹرانسورس انڈیوسڈ وولٹیج اور ہال اثر کے لیے ذمہ دار ہے، کوئی بھی بوہر ایٹم میں کولمب پوٹینشل فرق کو انڈیوسڈ سنگل ایٹم ہال وولٹیج اور ایک دائرے پر پیریڈک الیکٹران حرکت کو ہال کرنٹ کے طور پر دیکھ سکتا ہے۔ واحد ایٹم ہال کرنٹ کو ایک واحد الیکٹران چارج کی شرح کے طور پر بیان کرنا کونیی تعدد اور حوصلہ افزائی ہال وولٹیج کے ساتھ کیپلر انقلابات کو الیکٹران آربیٹل پوائنٹ پر اور انفینیٹی پر ہائیڈروجن نیوکلئس کولمب پوٹینشل کے درمیان فرق کے طور پر بنا رہا ہے: ایک بیان کردہ بوہر آربیٹ ہال مزاحمت کی مقدار کو وان کلٹزنگ مستقل کے مراحل میں حاصل کرتا ہے جس کے طور پر بوہر ایٹم کے لیے لکیری ہے لیکن انٹیجر n میں الٹا نہیں ہے۔ رشتہ دار ینالاگس انٹیجر کوانٹم ہال اثر اور کوانٹم اسپن ہال اثر کی رشتہ دار مثالیں لیٹیس گیج تھیوری کے تناظر میں پیدا ہوتی ہیں۔ کوانٹم ہال ٹرانزیشنز فریکشنل کوانٹم ہال ایفیکٹ کوانٹم انومولس ہال ایفیکٹ کوانٹم سیلولر آٹومیٹا کمپوزٹ فرمینز کنڈکٹنس کوانٹم ہال ایفیکٹ ہال پروب گرافین کوانٹم اسپن ہال ایفیکٹ کولمب پوٹینشل دو موجودہ لوپس کے درمیان مقناطیسی میدان میں سرایت شدہ حوالہ جات مزید پڑھنے کے لیے کوانٹم ہال ایفیکٹ کے 25 سال، کے وان کلٹزنگ، پوائن کیئر سیمینار (پیرس-2004) دیکھیں۔ پوسٹ اسکرپٹ۔ پی ڈی ایف۔ میگنیٹ لیب پریس ریلیز کوانٹم ہال کا اثر کمرے کے درجہ حرارت پر مشاہدہ کیا گیا زیون ایف ایزاوا: کوانٹم ہال کے اثرات-فیلڈ نظریاتی نقطہ نظر اور متعلقہ موضوعات۔ ورلڈ سائنٹفک، سنگاپور 2008، شنکر ڈی شرما، ایرون پنکزوک: کوانٹم ہال ایفیکٹس میں تناظر۔ ولی-وی سی ایچ، وینہیم 2004، ای۔ آئی۔ رشبا اور وی۔ بی۔ تیموفیف، کوانٹم ہال ایفیکٹ، سوو۔ فزیکل۔ - سیمی کنڈکٹرز v. 20، pp. 617-647 (1986)۔ ہال ایفیکٹ کنڈینسڈ میٹر فزکس کوانٹم الیکٹرانکس اسپنٹرونکس کوانٹم فیز میسوسکوپک فزکس سائنس میں ویڈیو کلپس پر مشتمل مضامین 1980