Young symmetrizer
ریاضی میں، ینگ سمیٹریزر سمیٹرک گروپ کے گروپ الجبرا کا ایک عنصر ہے، جو اس طرح سے بنایا گیا ہے کہ، گروپ الجبرا سے ہومومورفزم کے لیے ایک ویکٹر اسپیس کے اینڈومورفزم تک انڈیکس کے پرموٹیشن کے ذریعے حاصل کردہ عمل سے حاصل ہوتا ہے، اس عنصر کے ذریعے طے شدہ اینڈومورفزم کی شبیہہ پیچیدہ نمبروں پر سمیٹرک گروپ کی ناقابل تلافی نمائندگی سے مطابقت رکھتی ہے۔ اسی طرح کی تعمیر کسی بھی فیلڈ پر کام کرتی ہے، اور اس کے نتیجے میں ہونے والی نمائندگی کو سپیکٹ ماڈیول کہا جاتا ہے۔ ینگ سمیٹریزر کا نام برطانوی ریاضی دان الفریڈ ینگ کے نام پر رکھا گیا ہے۔ تعریف ایک محدود سمیٹرک گروپ Sn اور مخصوص نوجوان ٹیبلو λ کو n کے نمبر والے پارٹیشن کے مطابق دیا گیا ہے، اور کے خانوں کو پرموٹ کرکے دیئے گئے عمل پر غور کریں۔ دو تعدد ذیلی گروپوں اور Sn کی وضاحت اس طرح کریں: اور ان دو ذیلی گروپوں کے مطابق، گروپ الجبرا میں دو ویکٹروں کی وضاحت کریں اور جہاں g سے مطابقت رکھنے والا یونٹ ویکٹر ہے، اور یہ تعدد کی علامت ہے۔ پروڈکٹ ینگ سمیٹریزر ہے جو ینگ ٹیبلو λ سے مطابقت رکھتا ہے۔ ہر ینگ سمیٹریزر سمیٹرک گروپ کی ناقابل تلافی نمائندگی سے مطابقت رکھتا ہے، اور ہر ناقابل تلافی نمائندگی متعلقہ ینگ سمیٹریزر سے حاصل کی جا سکتی ہے۔ (اگر ہم پیچیدہ اعداد کو زیادہ عام شعبوں سے تبدیل کرتے ہیں تو متعلقہ نمائشیں عام طور پر ناقابل تلافی نہیں ہوں گی۔) فرض کریں کہ V پیچیدہ اعداد پر کوئی بھی ویکٹر کی جگہ ہے۔ پھر ٹینسر پروڈکٹ ویکٹر اسپیس (n اوقات) پر غور کریں۔ ایس این کو اشاریہ جات کو پرموٹ کرکے اس ٹینسر پروڈکٹ اسپیس پر عمل کرنے دیں۔ اس کے بعد (یعنی) پر قدرتی گروپ الجبرا کی نمائندگی ہوتی ہے۔ ایک صحیح ماڈیول ہے)۔ n کی تقسیم λ دی گئی ہے، تاکہ، پھر کی تصویر ہے۔ مثال کے طور پر، اگر، اور، کینونکل ینگ ٹیبلو کے ساتھ۔ اس کے بعد ہم کے کسی بھی پروڈکٹ ویکٹر کے لیے اس طرح تمام کا سیٹ واضح طور پر پھیلا ہوا ہے اور چونکہ ہم جس مدت کو حاصل کرتے ہیں، جہاں ہم نے غیر رسمی طور پر لکھا ہے۔ اس بات پر بھی غور کریں کہ اس تعمیر کو کس طرح کم کیا جا سکتا ہے۔ آئیڈینٹیٹی آپریٹر اور سویپ آپریٹر کو اس طرح اور کے ذریعہ بیان کیا گیا ہے۔ ہمارے پاس وہ نقشے ہیں، زیادہ واضح طور پر پروجیکٹر پر ہے۔ پھر کون سا پروجیکٹر ہے۔ کی شبیہہ وہ ہے جہاں μ، λ کے لیے کنجوگیٹ پارٹیشن ہے۔ یہاں، اور ہم آہنگ اور متبادل ٹینسر پروڈکٹ خالی جگہیں ہیں۔ ان کی تصویر ایس این کی ناقابل تلافی نمائندگی ہے، جسے سپیکٹ ماڈیول کہا جاتا ہے۔ ہم ناقابل تلافی نمائندگی کے لیے لکھتے ہیں۔ کچھ اسکیلر ملٹی پل آئیڈیمپوٹینٹ ہے، جو کہ کسی عقلی نمبر کے لیے ہے، خاص طور پر، کسی کو پتہ چلتا ہے۔ خاص طور پر، اس کا مطلب یہ ہے کہ سمیٹرک گروپ کی نمائندگی کو عقلی اعداد یعنی عقلی گروپ الجبرا پر بیان کیا جا سکتا ہے۔ مثال کے طور پر، S3 اور پارٹیشن (2,1) پر غور کریں۔ اگر V ایک پیچیدہ ویکٹر اسپیس ہے، تو آن اسپیس کی تصاویر بنیادی طور پر GL (V) کی تمام محدود جہتی ناقابل تلافی نمائندگی فراہم کرتی ہیں۔ سمیٹرک گروپ کی نمائندگی کا نظریہ بھی دیکھیں۔ حوالہ جات ولیم فلٹن۔ نمائندگی تھیوری اور جیومیٹری کے اطلاق کے ساتھ نوجوان جھانکیوں۔ کیمبرج یونیورسٹی پریس، 1997۔ بروس ای ساگن کا لیکچر 4۔ سمیٹرک گروپ۔ سپرنگر، 2001۔ محدود گروپوں کی نمائندگی کا نظریہ سمیٹرک افعال ترتیبات