Ring (mathematics)
ریاضی میں، حلقے الجبرائی ڈھانچے ہیں جو فیلڈز کو عام کرتے ہیں: ضرب کو متغیر ہونے کی ضرورت نہیں ہے اور ضرب الٹا موجود ہونے کی ضرورت نہیں ہے۔ دوسرے لفظوں میں، رنگ ایک سیٹ ہے جو دو بائنری کارروائیوں سے لیس ہوتا ہے جو انٹیجرز کے اضافے اور ضرب کے مترادف خصوصیات کو مطمئن کرتا ہے۔ رنگ عناصر عدد یا پیچیدہ اعداد جیسے اعداد ہو سکتے ہیں، لیکن وہ غیر عددی اشیاء بھی ہو سکتے ہیں جیسے کہ کثیر الجہتی، مربع میٹرکس، افعال، اور پاور سیریز۔ رسمی طور پر، رنگ ایک ابیلین گروپ ہے جس کے عمل کو اضافہ کہا جاتا ہے، دوسرے بائنری آپریشن کے ساتھ جسے ضرب کہا جاتا ہے جو ملحقہ ہے، اضافی عمل پر تقسیم ہوتا ہے، اور اس میں ضرب شناخت کا عنصر ہوتا ہے۔ (کچھ مصنفین اس آخری ضرورت کو چھوڑنے والے زیادہ عام ڈھانچے کی طرف اشارہ کرنے کے لیے "" i کے ساتھ "کی اصطلاح استعمال کرتے ہیں۔ دیکھیں۔) چاہے کوئی رنگ تبادلہ پذیر ہو (یعنی، آیا جس ترتیب میں دو عناصر کو ضرب دی جاتی ہے وہ نتیجہ کو تبدیل کر سکتی ہے) اس کے رویے پر گہرے اثرات مرتب کرتی ہے۔ کمیونیٹیٹو الجبرا، کمیونیٹیٹو رنگز کا نظریہ، رنگ تھیوری کی ایک بڑی شاخ ہے۔ اس کی ترقی الجبرائی نمبر تھیوری اور الجبرائی جیومیٹری کے مسائل اور نظریات سے بہت متاثر ہوئی ہے۔ سب سے آسان تبادلہ کرنے والے حلقے وہ ہوتے ہیں جو غیر صفر عناصر کے ذریعہ تقسیم کو تسلیم کرتے ہیں۔ اس طرح کے حلقے فیلڈز کہلاتے ہیں۔ مواصلاتی رنگوں کی مثالوں میں انٹیجرز کا سیٹ ان کے معیاری اضافے اور ضرب کے ساتھ، کثیر الجہتی کا سیٹ ان کے اضافے اور ضرب کے ساتھ، ایک افائن الجبرائی قسم کی کوآرڈینیٹ رنگ، اور نمبر فیلڈ کے انٹیجرز کی رنگ شامل ہیں۔ غیر متغیر رنگوں کی مثالوں میں حقیقی مربع میٹرکس کی رنگ کے ساتھ، نمائندگی کے نظریہ میں گروپ رنگ، فنکشنل تجزیہ میں آپریٹر الجبرا، تفریق آپریٹرز کے رنگ، اور ٹوپولوجی میں کوہمولوجی رنگ شامل ہیں۔ رنگوں کا تصور 1870 کی دہائی سے 1920 کی دہائی تک پھیلا ہوا تھا، جس میں ڈیڈیکنڈ، ہلبرٹ، فرینکل اور نویتھر کی اہم شراکت تھی۔ رنگز کو سب سے پہلے نمبر تھیوری میں پائے جانے والے ڈیڈیکائنڈ ڈومینز، اور الجبرائی جیومیٹری اور غیر متغیر تھیوری میں پائے جانے والے غیر متغیر کے کثیر الجہتی رنگوں اور رنگوں کی عمومی شکل کے طور پر باقاعدہ بنایا گیا تھا۔ وہ بعد میں ریاضی کی دیگر شاخوں جیسے جیومیٹری اور تجزیہ میں مفید ثابت ہوئے۔ تعریف ایک رنگ ایک سیٹ ہے جو دو بائنری آپریشنز + (اضافہ) اور ⋅ (ضرب) سے لیس ہے جو محوریات کے درج ذیل تین سیٹوں کو مطمئن کرتا ہے، جسے رنگ محوریات کہا جاتا ہے، ایک ابیلین گروپ ہے جس میں اضافہ ہوتا ہے، جس کا مطلب ہے کہ: سب کے لیے (یعنی، ملحقہ ہے)۔ سب کے لیے (یعنی، تبادلہ ہے)۔ اس میں ایک عنصر ہے جو سب کے لیے ہے (یعنی اضافی شناخت ہے)۔ ہر ایک کے لیے وہاں اس طرح موجود ہے کہ (یعنی، کا اضافی الٹا ہے)۔ ضرب کے تحت ایک مونوئڈ ہے، جس کا مطلب ہے کہ: سب کے لیے (یعنی، ملحقہ ہے)۔ اس میں ایک عنصر ہے جو اور سب کے لیے (یعنی ضرب شناخت) ہے۔ ضرب اضافے کے حوالے سے تقسیم ہے، جس کا مطلب ہے کہ: سب کے لیے (بائیں تقسیم)۔ سب کے لیے (صحیح تقسیم)۔ تعریف پر نوٹ اس مضمون کی اصطلاح میں، ایک رنگ کی تعریف ضرب شناخت کے لیے کی گئی ہے، جبکہ ایک ہی محوری تعریف کے ساتھ لیکن ضرب شناخت کی ضرورت کے بغیر ایک ڈھانچہ اس کے بجائے rng (IPA:) کہلاتا ہے۔ مثال کے طور پر، معمول کے + اور ⋅ کے ساتھ ایون انٹیجرز کا سیٹ ایک rng ہے، لیکن رنگ نہیں۔ جیسا کہ ذیل میں بیان کیا گیا ہے، بہت سے مصنفین ضرب شناخت کی ضرورت کے بغیر "رنگ" کی اصطلاح کا اطلاق کرتے ہیں۔ ضرب کی علامت کو عام طور پر خارج کر دیا جاتا ہے ؛ مثال کے طور پر، مطلب۔ اگرچہ رنگ کا اضافہ متغیر ہے، لیکن رنگ کے ضرب کو متغیر ہونے کی ضرورت نہیں ہے: ضروری نہیں کہ برابر ہو۔ وہ رنگ جو ضرب کے لیے تبادلہ کو بھی مطمئن کرتے ہیں (جیسے کہ انٹیجرز کی رنگ) کو تبادلہ رنگ کہا جاتا ہے۔ مواصلاتی الجبرا یا الجبرائی جیومیٹری پر کتابیں اکثر اس روایت کو اپناتی ہیں کہ اصطلاحات کو آسان بنانے کے لیے رنگ کا مطلب مواصلاتی رنگ ہے۔ رنگ میں، ضرب الٹا موجود ہونے کی ضرورت نہیں ہے۔ ایک غیر صفر مواصلاتی رنگ جس میں ہر غیر صفر عنصر کا ضرب الٹا ہوتا ہے اسے فیلڈ کہا جاتا ہے۔ رنگ کا اضافی گروپ بنیادی سیٹ ہے جو صرف اضافے کے عمل سے لیس ہوتا ہے۔ اگرچہ تعریف کے لیے ضروری ہے کہ اضافی گروپ ابیلین ہو، لیکن اس کا اندازہ دوسرے رنگ محوریوں سے لگایا جا سکتا ہے۔ ثبوت "" کا استعمال کرتا ہے، اور rng میں کام نہیں کرتا ہے۔ (ایک آر این جی کے لیے، اضافے کی تبادلہیت کے محوری کو چھوڑنے سے یہ باقی آر این جی مفروضوں سے صرف ان عناصر کے لیے قیاس آرائی کے قابل ہو جاتا ہے جو مصنوعات ہیں:) اگرچہ زیادہ تر جدید مصنفین "رنگ" کی اصطلاح استعمال کرتے ہیں جیسا کہ یہاں بیان کیا گیا ہے، لیکن کچھ ایسے بھی ہیں جو اس اصطلاح کو زیادہ عام ڈھانچوں کا حوالہ دینے کے لیے استعمال کرتے ہیں جن میں ضرب کو ملحقہ ہونے کی ضرورت نہیں ہے۔ ان مصنفین کے لیے، ہر الجبرا ایک "رنگ" ہے۔ رنگ کی سب سے واقف مثال اعداد پر مشتمل تمام انٹیجرز کا مجموعہ ہے۔ رنگ کے محوریوں کو انٹیجرز کے اضافے اور ضرب کی واقف خصوصیات کی عمومی شکل کے طور پر بیان کیا گیا تھا۔ کچھ خصوصیات انگوٹھی کی کچھ بنیادی خصوصیات محوریوں سے فورا پیروی کرتی ہیں: اضافی شناخت منفرد ہے۔ ہر عنصر کا اضافی الٹا منفرد ہوتا ہے۔ ضرب کی شناخت منفرد ہے۔ رنگ میں کسی بھی عنصر کے لیے، ایک کے پاس ہے (صفر ضرب کے حوالے سے ایک جذب کرنے والا عنصر ہے) اور۔ اگر کسی رنگ میں (یا زیادہ عام طور پر، ایک یونٹ عنصر ہے)، تو اس میں صرف ایک عنصر ہوتا ہے، اور اسے صفر رنگ کہا جاتا ہے۔ اگر کسی رنگ میں صفر رنگ ذیلی رنگ کے طور پر موجود ہے، تو خود صفر رنگ ہے۔ بائنومیل فارمولا کسی بھی اور اطمینان بخش کے لیے ہے۔ مثال: انٹیگر ماڈیولو 4 سیٹ کو درج ذیل کارروائیوں سے لیس کرتا ہے: جب انٹیجر کو 8 سے تقسیم کیا جاتا ہے تو رقم بقیہ ہوتی ہے (جیسا کہ ہمیشہ 8 سے چھوٹا ہوتا ہے، یہ بقیہ یا تو یا ہوتا ہے)۔ مثال کے طور پر، اور جب انٹیجر کو تقسیم کیا جاتا ہے تو پروڈکٹ ان بقیہ ہوتا ہے۔ مثال کے طور پر، اور پھر ایک رنگ ہے: ہر محور متعلقہ محور سے پیروی کرتا ہے۔ اگر ایک عدد ہے، تو 4 سے تقسیم ہونے پر بقیہ کو ایک عنصر کے طور پر سمجھا جا سکتا ہے اور اس عنصر کو اکثر اس سے ظاہر کیا جاتا ہے یا جو اس کے اشارے سے مطابقت رکھتا ہے۔ مثال کے طور پر: 2-بائی-2 میٹرکس کسی فیلڈ میں اندراجات کے ساتھ 2-بائی-2 مربع میٹرکس کا سیٹ میٹرکس کے اضافے اور میٹرکس ضرب کی کارروائیوں کے ساتھ، مذکورہ بالا رنگ محوریات کو مطمئن کرتا ہے۔ عنصر رنگ کی ضرب شناخت ہے۔ اگر اور پھر جبکہ اس مثال سے پتہ چلتا ہے کہ رنگ غیر تبادلہ ہے۔ زیادہ عام طور پر، کسی بھی رنگ کے لیے، تبادلہ یا نہیں، اور کسی بھی غیر منفی عدد کے لیے، دائرے کی شکل میں اندراجات کے ساتھ طول و عرض کے مربع میٹرکس: میٹرکس رنگ دیکھیں۔ رنگوں کا مطالعہ کثیر الجہتی رنگوں کے نظریہ اور الجبرائی انٹیجرز کے نظریہ سے شروع ہوا۔ 1871 میں، رچرڈ ڈیڈیکنڈ نے نمبر فیلڈ کے انٹیجرز کی رنگ کے تصور کی وضاحت کی۔ اس تناظر میں، اس نے "آئیڈیل" (ارنسٹ کمر کے آئیڈیل نمبر کے تصور سے متاثر) اور "ماڈیول" کی اصطلاحات متعارف کروائیں اور ان کی خصوصیات کا مطالعہ کیا۔ ڈیڈیکنڈ نے "رنگ" کی اصطلاح استعمال نہیں کی اور عام ترتیب میں رنگ کے تصور کی وضاحت نہیں کی۔ ہلبرٹ اصطلاح "زہلرنگ" (نمبر رنگ) ڈیوڈ ہلبرٹ نے 1892 میں وضع کی تھی اور 1897 میں شائع ہوئی تھی۔ 19 ویں صدی کے جرمن میں، لفظ "رنگ" کا مطلب "ایسوسی ایشن" ہو سکتا ہے، جو آج بھی انگریزی میں محدود معنوں میں استعمال ہوتا ہے (مثال کے طور پر، اسپائی رنگ)، لہذا اگر یہ صفت ہوتی تو یہ "گروپ" کے ریاضی میں داخل ہونے کے طریقے سے ملتا جلتا ہوتا جو کہ "متعلقہ چیزوں کے مجموعہ" کے لیے ایک غیر تکنیکی لفظ ہوتا ہے۔ ہاروی کوہن کے مطابق، ہلبرٹ نے اس اصطلاح کو ایک انگوٹھی کے لیے استعمال کیا جس میں خود کے ایک عنصر (مساوات کے معنی میں) پر "براہ راست پیچھے چکر لگانے" کی خاصیت تھی۔ خاص طور پر، الجبرائی انٹیجرز کے دائرے میں، الجبرائی عدد کی تمام اعلی طاقتوں کو نچلی طاقتوں کے ایک مقررہ سیٹ کے لازمی امتزاج کے طور پر لکھا جا سکتا ہے، اور اس طرح طاقتوں کو "سائیکل بیک" کیا جا سکتا ہے۔ مثال کے طور پر، اگر تب: اور اسی طرح ؛ عام طور پر، اور کا ایک لازمی لکیری مجموعہ ہونے والا ہے۔ فرینکل اور نویتھر انگوٹھی کی پہلی محوری تعریف ایڈولف فرینکل نے 1915 میں دی تھی، لیکن اس کے محوریات جدید تعریف کے مقابلے میں سخت تھے۔ مثال کے طور پر، اس کے لیے ضروری تھا کہ ہر غیر صفر تقسیم کنندہ کا ضرب الٹا ہو۔ 1921 میں، ایمی نویتھر نے مواصلاتی بجتوں (1 کے ساتھ اور اس کے بغیر) کی ایک جدید محوری تعریف دی اور رنگ بیریچن میں اپنے مقالے آئیڈیل تھیوری میں مواصلاتی رنگ تھیوری کی بنیادیں تیار کیں۔ ضرب کی شناخت اور اصطلاح "رنگ" ایک "رنگ" کے لیے فرینکل کے محوریوں میں ضرب کی شناخت شامل تھی، جبکہ نویتھر نے نہیں کیا۔ 1960 کے آس پاس تک الجبرا پر زیادہ تر یا تمام کتابوں نے نویتھر کے اس روایت کی پیروی کی کہ "رنگ" کے لیے a کی ضرورت نہیں ہے۔ 1960 کی دہائی سے شروع کرتے ہوئے، "رنگ" کی تعریف میں 1 کے وجود سمیت کتابیں دیکھنا تیزی سے عام ہو گیا، خاص طور پر آرٹن، بورباکی، آئزن بڈ اور لینگ جیسے قابل ذکر مصنفین کی جدید کتابوں میں۔ 2022 کے آخر میں شائع ہونے والی ایسی کتابیں بھی ہیں جو اس اصطلاح کو بغیر کسی ضرورت کے استعمال کرتی ہیں۔ گارڈنر اور ویگنڈٹ اس بات پر زور دیتے ہیں کہ، جب رنگوں کے زمرے میں کئی اشیاء سے نمٹتے ہیں (ایک فکسڈ رنگ کے ساتھ کام کرنے کے برخلاف)، اگر کسی کو تمام رنگوں میں a ہونا ضروری ہے، تو کچھ نتائج میں رنگوں کے لامحدود براہ راست مجموعوں کا وجود نہ ہونا شامل ہے، اور یہ کہ رنگوں کا مناسب براہ راست مجموعہ ذیلی رنگ نہیں ہیں۔ وہ یہ نتیجہ اخذ کرتے ہیں کہ "رنگ تھیوری کی بہت سی، شاید زیادہ تر شاخوں میں اتحاد عنصر کے وجود کی ضرورت سمجھدار نہیں ہے، اور اس لیے ناقابل قبول ہے"۔ پونین اس کا جواب دیتے ہیں کہ رنگوں کے لیے فطری تصور براہ راست رقم کے بجائے براہ راست پروڈکٹ ہے۔ وہ مزید استدلال کرتے ہیں کہ ضرب شناخت کے بغیر حلقے مکمل طور پر ہم آہنگ نہیں ہوتے ہیں (رنگ عناصر کی کسی بھی محدود ترتیب کا پروڈکٹ، بشمول خالی ترتیب، اچھی طرح سے متعین ہے، جو کارروائیوں کی ترتیب سے آزاد ہے) اور لکھتے ہیں کہ "ہم آہنگی کی قدرتی توسیع کا مطالبہ ہے کہ بجتوں میں ایک خالی پروڈکٹ ہونا چاہیے، لہذا رنگوں کا 1 ہونا فطری ہے"۔ جو مصنفین "رنگ" کی اصطلاح کے استعمال کے لیے کسی بھی روایت کی پیروی کرتے ہیں وہ دوسرے روایت کو مطمئن کرنے والی اشیاء کا حوالہ دینے کے لیے درج ذیل اصطلاحات میں سے ایک کا استعمال کر سکتے ہیں: ضرب شناخت کی ضرورت کو شامل کرنے کے لیے: "یونیٹل رنگ"، "یونٹیری رنگ"، "یونٹ رنگ"، "یونٹی کے ساتھ رنگ"، "شناخت کے ساتھ رنگ"، "یونٹ کے ساتھ رنگ"، یا "1 کے ساتھ رنگ"۔ ضرب شناخت کی ضرورت کو ختم کرنا: "rng" یا "pseudo-ring"، حالانکہ مؤخر الذکر الجھن کا باعث ہو سکتا ہے کیونکہ اس کے دوسرے معنی بھی ہیں۔ بنیادی مثالیں کمیوٹیٹو رنگز پروٹوٹائپکل مثال انٹیجرز کی رنگ ہے جس میں اضافہ اور ضرب کی دو کارروائیاں ہوتی ہیں۔ عقلی، حقیقی اور پیچیدہ اعداد ایک قسم کے مواصلاتی حلقے ہیں جنہیں فیلڈز کہا جاتا ہے۔ کمیونیٹیٹو رنگ پر ایک یونٹل ایسوسی ایٹیو الجبرا خود ایک رنگ کے ساتھ ساتھ ایک-ماڈیول بھی ہوتا ہے۔ کچھ مثالیں: کوفیشنٹس کے ساتھ کثیر الجہتی کا الجبرا۔ کوفیشنٹس کے ساتھ رسمی پاور سیریز کا الجبرا۔ حقیقی لکیر پر بیان کردہ تمام مسلسل حقیقی قدر والے افعال کا مجموعہ ایک تبادلہ الجبرہ تشکیل دیتا ہے۔ آپریشنز پوائنٹ وائز ایڈیشن اور فنکشنز کا ضرب ہیں۔ ایک سیٹ ہونے دیں، اور ایک انگوٹھی بننے دیں۔ پھر تمام فنکشنز کا سیٹ ایک رنگ بناتا ہے، جو کہ اگر کمیوٹیٹو ہے تو کمیوٹیٹو ہے۔ کواڈریٹک انٹیجرز کی رنگ، اس کی کواڈریٹک ایکسٹینشن میں انٹیگرل کلوزر تمام الجبرائی انٹیجرز کی رنگ کی ذیلی رنگ ہے۔ پروفینیٹ کی رنگ تمام پرائم نمبروں پر-adic انٹیجرز کے رنگوں کے (لامحدود) پروڈکٹ کو انٹیجر کرتی ہے۔ ہیک رنگ، ہیک آپریٹرز کے ذریعہ تیار کردہ رنگ۔ اگر ایک سیٹ ہے، تو پاور سیٹ ایک رنگ بن جاتا ہے اگر ہم اضافے کو سیٹوں کے سمیٹرک فرق اور ضرب کو انٹرسیکشن قرار دیتے ہیں۔ یہ بولین رنگ کی ایک مثال ہے۔ کسی بھی رنگ اور کسی بھی قدرتی نمبر کے لیے، اندراجات کے ساتھ تمام مربع میٹرکس کا سیٹ، میٹرکس کے اضافے اور میٹرکس کے ضرب کے ساتھ ایک رنگ بناتا ہے۔ کیونکہ، یہ میٹرکس رنگ اپنے آپ میں آئسومورفک ہے۔ (اور صفر رنگ کے لیے نہیں)، یہ میٹرکس رنگ غیر متغیر ہے۔ اگر G ایک ابیلین گروپ ہے، تو G کے اینڈومورفزم ایک رنگ بناتے ہیں، جو کہ G کا اینڈومورفزم رنگ ہے۔ اس رنگ میں ہونے والی کارروائیاں اینڈومورفزم کا اضافہ اور ساخت ہیں۔ زیادہ عام طور پر، اگر کسی رنگ کے اوپر بائیں ماڈیول ہے، تو تمام لکیری نقشوں کا مجموعہ ایک رنگ بناتا ہے، جسے اینڈومورفزم رنگ بھی کہا جاتا ہے اور اس کی طرف اشارہ کیا جاتا ہے۔ ایک ایلیپٹک وکر کی اینڈومورفزم رنگ۔ اگر ایلیپٹک وکر کو خصوصیت صفر کے میدان پر بیان کیا جائے تو یہ ایک مواصلاتی رنگ ہے۔ اگر ایک گروپ ہے اور ایک رنگ ہے، تو G اوور کا گروپ رنگ ایک فری ماڈیول ہے جس میں G بیس کے طور پر ہے۔ ضرب کی تعریف ان اصولوں سے کی جاتی ہے جن کے عناصر کے ساتھ آمد و رفت کے عناصر ایک ساتھ ضرب دیتے ہیں جیسا کہ وہ گروپ میں کرتے ہیں۔ تفریق آپریٹرز کی انگوٹی (سیاق و سباق پر منحصر ہے)۔ درحقیقت، تجزیہ میں ظاہر ہونے والے بہت سے حلقے غیر متغیر ہوتے ہیں۔ مثال کے طور پر، زیادہ تر بناچ الجبرا غیر متغیر ہوتے ہیں۔ غیر رنگ معمول کی کارروائیوں کے ساتھ قدرتی اعداد کا مجموعہ ایک رنگ نہیں ہے، کیونکہ یہ ایک گروپ بھی نہیں ہے (تمام عناصر اضافے کے حوالے سے الٹ نہیں ہوتے ہیں-مثال کے طور پر، کوئی قدرتی نمبر نہیں ہے جسے 3 میں شامل کیا جا سکے تاکہ نتیجہ کے طور پر 0 حاصل کیا جا سکے)۔ اسے رنگ میں بڑھانے کا ایک قدرتی طریقہ ہے، انٹیجرز کی رنگ پیدا کرنے کے لیے منفی نمبروں کو شامل کرکے۔ قدرتی اعداد (بشمول 0) ایک الجبرائی ڈھانچہ بناتے ہیں جسے سیمیرنگ کہا جاتا ہے (جس میں ایک رنگ کے تمام محوریات ہوتے ہیں سوائے ایک اضافی الٹا کے)۔ حقیقی لکیر پر تمام مسلسل افعال کا مجموعہ ہونے دیں جو ایک پابند وقفے سے باہر غائب ہو جاتا ہے جو فنکشن پر منحصر ہوتا ہے، معمول کے مطابق اضافے کے ساتھ لیکن ضرب کے ساتھ ارتقاء کے طور پر بیان کیا جاتا ہے: پھر ایک rng ہے، لیکن رنگ نہیں: ڈیراک ڈیلٹا فنکشن میں ضرب شناخت کی خاصیت ہوتی ہے، لیکن یہ ایک فنکشن نہیں ہے اور اس لیے اس کا عنصر نہیں ہے۔ بنیادی تصورات مصنوعات اور طاقتیں ہر غیر منفی عدد کے لیے، عناصر کی ترتیب کو دیکھتے ہوئے، کوئی بھی بار بار پروڈکٹ کی وضاحت کر سکتا ہے: جانے دیں اور جانے دیں۔ ایک خاص معاملے کے طور پر، کوئی بھی رنگ کے کسی عنصر کی غیر منفی عدد طاقتوں کی وضاحت کر سکتا ہے: اور کے لیے۔ پھر سب کے لیے۔ رنگ میں عناصر کسی رنگ کا بائیں صفر تقسیم کنندہ رنگ میں ایسا عنصر ہوتا ہے کہ اس کا ایک غیر صفر عنصر موجود ہوتا ہے۔ دائیں صفر تقسیم کار کی تعریف بھی اسی طرح کی گئی ہے۔ نیل پوٹینٹ عنصر ایک ایسا عنصر ہے جو کچھ لوگوں کے لیے ہوتا ہے۔ نیل پوٹینٹ عنصر کی ایک مثال نیل پوٹینٹ میٹرکس ہے۔ غیر صفر رنگ میں ایک نیل پوٹینٹ عنصر لازمی طور پر ایک صفر تقسیم کنندہ ہوتا ہے۔ آئیڈیمپوٹینٹ ایک ایسا عنصر ہے۔ آئیڈیمپوٹینٹ عنصر کی ایک مثال لکیری الجبرا میں ایک پروجیکشن ہے۔ اکائی ایک عنصر ہے جس کا ضرب الٹا ہوتا ہے۔ اس صورت میں الٹا منفرد ہوتا ہے، اور اس کی طرف اشارہ کیا جاتا ہے۔ رنگ کی اکائیوں کا مجموعہ رنگ ضرب کے تحت ایک گروپ ہے۔ اس گروپ کو یا یا سے ظاہر کیا جاتا ہے۔ مثال کے طور پر، اگر کسی فیلڈ پر سائز کے تمام مربع میٹرکس کا رنگ ہے، تو یہ سائز کے تمام الٹا میٹرکس کے سیٹ پر مشتمل ہوتا ہے، اور اسے عمومی لکیری گروپ کہا جاتا ہے۔ اگر مندرجہ ذیل مساوی شرائط میں سے کوئی ایک ہو تو سب سیٹ کو سب رنگ کہا جاتا ہے: اسی ضرب شناخت کے ساتھ رنگ بنانے والی کارروائیوں کو دینے کے لیے پابندی کا اضافہ اور ضرب۔ ؛ اور سب کے لیے، عناصر، اور اندر ہیں۔ اسے ایک رنگ بنانے والی کارروائیوں سے لیس کیا جا سکتا ہے تاکہ شمولیت کا نقشہ ایک رنگ ہومومورفزم ہو۔ مثال کے طور پر، انٹیجرز کی رنگ حقیقی اعداد کے فیلڈ کی ذیلی رنگ ہے اور کثیر الجہتی کی رنگ کی ذیلی رنگ بھی ہے (دونوں صورتوں میں، 1 پر مشتمل ہے، جو بڑے رنگوں کی ضرب شناخت ہے)۔ دوسری طرف، ایون انٹیجرز کے سب سیٹ میں شناختی عنصر نہیں ہوتا ہے اور اس طرح یہ اہل نہیں ہوتا ہے کیونکہ کسی کی سب رنگ کو سب آر این جی کہا جا سکتا ہے۔ ذیلی رنگوں کا ایک چوراہا ایک ذیلی رنگ ہے۔ کے ذیلی سیٹ کو دیکھتے ہوئے، مشتمل کی سب سے چھوٹی ذیلی رنگ موجود کی تمام ذیلی رنگوں کا چوراہا ہے، اور اسے اس کے ذریعہ تیار کردہ ذیلی رنگ کہا جاتا ہے۔ رنگ کے لیے، سب سے چھوٹی سبرنگ کو کی خصوصیت سبرنگ کہا جاتا ہے۔ اسے اور کی نقلوں کے اضافے کے ذریعے تیار کیا جا سکتا ہے۔ یہ ممکن ہے کہ (اوقات) صفر ہوں۔ اگر سب سے چھوٹا مثبت عدد ایسا ہے کہ ایسا ہوتا ہے، تو اسے کی خصوصیت کہا جاتا ہے۔ کچھ رنگوں میں، کسی بھی مثبت عدد کے لیے کبھی صفر نہیں ہوتا، اور کہا جاتا ہے کہ ان رنگوں میں خصوصیت صفر ہوتی ہے۔ ایک رنگ کو دیکھتے ہوئے، تمام عناصر کے سیٹ کو اس طرح سے ظاہر کریں جو ہر عنصر کے ساتھ: کسی بھی ان کے لیے منتقل ہوتا ہے۔ پھر ایک سب رنگ ہے، جسے سینٹر آف کہا جاتا ہے۔ زیادہ عام طور پر، کے ذیلی سیٹ کو دیکھتے ہوئے، ہر عنصر کے ساتھ اس آمد و رفت میں تمام عناصر کا مجموعہ ہونے دیں۔ اس کے بعد ایک ذیلی رنگ ہے، جسے سنٹرلائزر (یا کمیونٹنٹ) کہا جاتا ہے۔ سینٹر پورے رنگ کا سینٹرلائزر ہے۔ مرکز کے عناصر یا ذیلی مجموعوں کو مرکزی کہا جاتا ہے ؛ وہ (ہر ایک انفرادی طور پر) مرکز کا ایک ذیلی رنگ پیدا کرتے ہیں۔ مثالی ایک انگوٹھی بننے دیں۔ کا لیفٹ آئیڈیل اس طرح کا ایک نان ایمپٹی سب سیٹ ہے کہ کسی بھی ان اور ان کے لیے، عناصر اور ان میں ہیں۔ اسی طرح، ایک دائیں آئیڈیل ایک سب سیٹ ہے جس میں ایک سب سیٹ کو دو طرفہ آئیڈیل کہا جاتا ہے یا صرف آئیڈیل اگر یہ بائیں آئیڈیل اور دائیں آئیڈیل دونوں ہے۔ ایک یک طرفہ یا دو طرفہ آئیڈیل پھر اس کا ایک اضافی ذیلی گروپ ہوتا ہے۔ اگر کا ذیلی سیٹ ہے، تو ایک لیفٹ آئیڈیل ہے، جسے لیفٹ آئیڈیل کہا جاتا ہے ؛ یہ سب سے چھوٹا لیفٹ آئیڈیل ہے جس میں موجود ہے۔ اسی طرح، کسی کے ذیلی سیٹ سے پیدا ہونے والے صحیح آئیڈیل یا دو طرفہ آئیڈیل پر غور کیا جا سکتا ہے۔ اگر میں ہے، تو اور بالترتیب لیفٹ آئیڈیلز اور رائٹ آئیڈیلز ہیں۔ انہیں پرنسپل لیفٹ آئیڈیلز اور رائٹ آئیڈیلز کہا جاتا ہے جو اس سے پیدا ہوتے ہیں۔ پرنسپل آئیڈیل کو اس طرح لکھا جاتا ہے۔ مثال کے طور پر، تمام مثبت اور منفی ضرب کا مجموعہ انٹیجرز کا ایک آئیڈیل بناتا ہے، اور یہ آئیڈیل انٹیجر کے ذریعے تیار کیا جاتا ہے۔ درحقیقت، انٹیجرز کی رنگ کا ہر آئیڈیل پرنسپل ہوتا ہے۔ ایک گروپ کی طرح، ایک رنگ کو سادہ کہا جاتا ہے اگر یہ غیر صفر ہو اور اس میں کوئی مناسب غیر صفر دو طرفہ آئیڈیل نہ ہو۔ ایک مواصلاتی سادہ رنگ قطعی طور پر ایک فیلڈ ہے۔ رنگوں کا مطالعہ اکثر ان کے نظریات پر مقرر کردہ خصوصی شرائط کے ساتھ کیا جاتا ہے۔ مثال کے طور پر، ایک انگوٹھی جس میں بائیں آئیڈیلز کی سختی سے بڑھتی ہوئی لامحدود زنجیر نہیں ہوتی ہے اسے بائیں نویتھیرین انگوٹھی کہا جاتا ہے۔ ایک رنگ جس میں بائیں آئیڈیلز کی سختی سے کم ہوتی ہوئی لامحدود زنجیر نہ ہو اسے لیفٹ آرٹینین رنگ کہا جاتا ہے۔ یہ کسی حد تک حیرت انگیز حقیقت ہے کہ بائیں آرٹینین کی انگوٹی نویتھیرین (ہاپکنز-لیوٹزکی تھیوریم) رہ گئی ہے۔ تاہم، انٹیجرز ایک نویتھیرین رنگ بناتے ہیں جو آرٹینین نہیں ہے۔ مواصلاتی رنگوں کے لیے، آئیڈیلز الجبرہ میں کسی انٹیجر کو پرائم نمبروں میں تقسیم کرنے اور سڑنے کے کلاسیکی تصور کو عام کرتے ہیں۔ ایک مناسب آئیڈیل کو پرائم آئیڈیل کہا جاتا ہے اگر ہمارے پاس موجود کسی بھی عنصر کے لیے جس کا مطلب یا تو یا مساوی ہے، پرائم ہے اگر ہمارے پاس موجود کسی بھی آئیڈیل کے لیے جس کا مطلب یا تو ہے یا یہ مؤخر الذکر تشکیل آئیڈیل کے خیال کو عناصر کی عمومی شکل کے طور پر بیان کرتی ہے۔ ہومومورفزم ایک رنگ سے رنگ تک ہومومورفزم ایک فنکشن ہے جو رنگ کی کارروائیوں کو محفوظ رکھتا ہے ؛ یعنی، اس طرح کہ، مندرجہ ذیل شناختوں میں سب کے لیے برقرار رہتا ہے: اگر کوئی آر این جی کے ساتھ کام کر رہا ہے، تو تیسری شرط کو چھوڑ دیا جاتا ہے۔ ایک رنگ ہومومورفزم کو ایک آئسومورفزم کہا جاتا ہے اگر اس کے لیے ایک الٹا ہومومورفزم موجود ہو (یعنی ایک رنگ ہومومورفزم جو ایک الٹا فنکشن ہے)۔ کوئی بھی بائیجیکٹو رنگ ہومومورفزم ایک رنگ آئسومورفزم ہے۔ دو رنگوں کو آئسومورفک کہا جاتا ہے اگر ان کے درمیان آئسومورفزم ہو اور اس صورت میں کوئی لکھتا ہے کہ ایک ہی رنگ کے درمیان ایک رنگ ہومومورفزم کو اینڈومورفزم کہا جاتا ہے، اور ایک ہی رنگ کے درمیان آئسومورفزم کو آٹومورفزم کہا جاتا ہے۔ مثال: وہ فنکشن جو ہر عدد کو اس کے بقیہ ماڈیولو 4 (ایک نمبر میں) سے نقشہ بناتا ہے وہ رنگ سے کوشیئنٹ رنگ تک ہومومورفزم ہے ("کوشیئنٹ رنگ" کی وضاحت ذیل میں کی گئی ہے)۔ اگر کسی رنگ میں ایک اکائی عنصر ہے، تو یہ ایک رنگ ہومومورفزم ہے، جسے اندرونی آٹومورفزم کہا جاتا ہے۔ فرض کریں کہ یہ بنیادی خصوصیت کی ایک تبادلے والی انگوٹی ہے۔ پھر ایک رنگ اینڈومورفزم ہے جسے فروبینیوس ہومومورفزم کہا جاتا ہے۔ فیلڈ ایکسٹینشن کا گالوئس گروپ ان تمام آٹومورفزم کا مجموعہ ہے جن کی پابندیاں شناخت ہیں۔ کسی بھی رنگ کے لیے، ایک منفرد رنگ ہومومورفزم اور ایک منفرد رنگ ہومومورفزم ہوتے ہیں۔ رنگوں کی ایپی مورفزم (یعنی دائیں طرف سے منسوخ ہونے والی مورفزم) کو سرجیکٹو ہونے کی ضرورت نہیں ہے۔ مثال کے طور پر، منفرد نقشہ ایک ایپی مورفزم ہے۔ ایک الجبرہ ہومومورفزم-الجبرہ سے لے کر ویکٹر اسپیس کے اینڈومورفزم الجبرا تک کو الجبرا کی نمائندگی کہا جاتا ہے۔ رنگ ہومومورفزم کو دیکھتے ہوئے، 0 سے نقشہ بند تمام عناصر کے سیٹ کو کا دانا کہا جاتا ہے۔ دانا ایک دو طرفہ آئیڈیل ہے۔ دوسری طرف کی تصویر ہمیشہ ایک مثالی نہیں ہوتی، لیکن یہ ہمیشہ کی ذیلی رنگ ہوتی ہے۔ کمیوٹیٹو رنگ سے کسی رنگ کو ہومومورفزم دینا جس کے مرکز میں موجود امیج کے ساتھ ایک رنگ دینا الجبرہ کی ساخت دینے کے مترادف ہے (جو خاص طور پر-ماڈیول کی ساخت دیتا ہے)۔ کوٹینٹ رنگ کا تصور کوٹینٹ گروپ کے تصور سے ملتا جلتا ہے۔ ایک رنگ اور دو طرفہ آئیڈیل کو دیکھتے ہوئے، کے ذیلی گروپ کے طور پر دیکھیں ؛ پھر کوشیئنٹ رنگ تمام کے لیے آپریشنز کے ساتھ مل کر کوسیٹس کا مجموعہ ہے۔ انگوٹھی کو فیکٹر رنگ بھی کہا جاتا ہے۔ ایک حصص گروپ کی طرح، ایک کینونکل ہومومورفزم ہے، جو اس کے ذریعہ دیا گیا ہے۔ یہ سرجیکٹو ہے اور مندرجہ ذیل عالمگیر خاصیت کو مطمئن کرتا ہے: اگر ایک رنگ ہومومورفزم اس طرح ہے کہ، تو ایک منفرد ہومومورفزم اس طرح ہے کہ کسی بھی رنگ ہومومورفزم کے لیے، یونیورسل پراپرٹی کو بلا کر ایک ہومومورفزم پیدا ہوتا ہے جو اس کی شبیہہ سے ایک آئسومورفزم دیتا ہے۔ ماڈیول رنگ پر ماڈیول کا تصور ویکٹر اسپیس (فیلڈ پر) کے تصور کو فیلڈ کے عناصر کے ساتھ ویکٹرز کے ضرب (اسکیلر ضرب) سے لے کر رنگ کے عناصر کے ساتھ ضرب تک عام کرتا ہے۔ مزید واضح طور پر، ایک انگوٹی کو دیکھتے ہوئے، ایک-ماڈیول ایک ابیلین گروپ ہے جو ایک آپریشن سے لیس ہے (ایک عنصر کو ایک عنصر کے ہر جوڑے اور ایک عنصر سے جوڑتا ہے) جو کچھ محوریات کو مطمئن کرتا ہے۔ اس عمل کو عام طور پر جکس ٹیپوزیشن سے ظاہر کیا جاتا ہے اور اسے ضرب کہا جاتا ہے۔ ماڈیولز کے محوریات درج ذیل ہیں: سب کے اندر اور سب کے اندر، ایک ابیلین گروپ ہے جس میں اضافہ کیا گیا ہے۔ جب رنگ غیر متغیر ہوتا ہے تو یہ محوریات بائیں ماڈیولز کی وضاحت کرتے ہیں ؛ دائیں ماڈیولز کی وضاحت اسی طرح کی بجائے لکھ کر کی جاتی ہے۔ یہ صرف اشارے کی تبدیلی نہیں ہے، کیونکہ دائیں ماڈیولز (یعنی) کا آخری محور بن جاتا ہے، اگر دائیں ماڈیول کے لیے بائیں ضرب (رنگ عناصر کے ذریعے) استعمال کیا جائے۔ ماڈیولز کی بنیادی مثالیں آئیڈیلز ہیں، بشمول خود رنگ۔ اگرچہ اسی طرح بیان کیا گیا ہے، ماڈیولز کا نظریہ ویکٹر اسپیس کے مقابلے میں بہت زیادہ پیچیدہ ہے، بنیادی طور پر، کیونکہ، ویکٹر اسپیس کے برعکس، ماڈیولز کو (آئسومورفزم تک) کسی واحد غیر متغیر (ویکٹر اسپیس کا طول و عرض) کی طرف سے نمایاں نہیں کیا جاتا ہے۔ خاص طور پر، تمام ماڈیولز کی بنیاد نہیں ہوتی ہے۔ ماڈیولز کے محوریات کا مطلب یہ ہے کہ، جہاں پہلا مائنس رنگ میں اضافی الٹا اور دوسرا مائنس ماڈیول میں اضافی الٹا کی نشاندہی کرتا ہے۔ اس کا استعمال کرتے ہوئے اور ایک مثبت عدد کے ذریعے ضرب کے ذریعے بار بار اضافے کی نشاندہی کرنے سے انٹیجرز کے دائرے پر ماڈیولز کے ساتھ ابیلین گروپوں کی شناخت کرنے میں مدد ملتی ہے۔ کوئی بھی رنگ ہومومورفزم کسی ماڈیول کی ساخت کو جنم دیتا ہے: اگر رنگ ہومومورفزم ہے، تو ضرب کے ذریعے بائیں طرف کا ماڈیول ہے: اگر تبادلہ ہے یا اگر کے مرکز میں موجود ہے، تو رنگ کو-الجبرا کہا جاتا ہے۔ خاص طور پر، ہر رنگ انٹیجرز پر الجبرہ ہے۔ تعمیرات براہ راست پروڈکٹ لیٹ اینڈ بی رنگز۔ پھر پروڈکٹ کو درج ذیل قدرتی رنگ ڈھانچے سے لیس کیا جا سکتا ہے: اندر اور اندر سب کے لیے۔ جمع اور ضرب کی مذکورہ بالا کارروائیوں اور ضرب شناخت والی انگوٹی کو ساتھ کا براہ راست پروڈکٹ کہا جاتا ہے۔ یہی ساخت رنگوں کے صوابدیدی خاندان کے لیے بھی کام کرتی ہے: اگر رنگز کو کسی سیٹ کے ذریعے انڈیکس کیا جاتا ہے، تو یہ جزو کے لحاظ سے اضافے اور ضرب کے ساتھ ایک رنگ ہے۔ آئیے ایک تبادلہ رنگ بنیں اور اس طرح کے آئیڈیل بنیں کہ جب بھی ہو۔ پھر چینی بقیہ تھیوریم کا کہنا ہے کہ ایک کینونکل رنگ آئسومورفزم ہے: ایک "محدود" براہ راست پروڈکٹ کو آئیڈیلز کے براہ راست مجموعہ کے طور پر بھی دیکھا جا سکتا ہے۔ یعنی، بجتی ہیں، تصاویر کے ساتھ شاملیاں (خاص طور پر بجتی ہیں حالانکہ ذیلی بجتی نہیں)۔ پھر ابیلین گروپوں کے آئیڈیل اور براہ راست مجموعہ کے طور پر ہوتے ہیں (کیونکہ ابیلین گروپوں کے لیے محدود پروڈکٹ براہ راست مجموعوں کے برابر ہوتے ہیں)۔ واضح طور پر اس طرح کے آئیڈیلز کا براہ راست مجموعہ بھی ان رنگوں کے پروڈکٹ کی وضاحت کرتا ہے جو آئسومورفک ہوتے ہیں۔ اسی طرح، مذکورہ بالا کام سنٹرل آئیڈیمپوٹنٹس کے ذریعے کیا جا سکتا ہے۔ فرض کریں کہ اس میں مندرجہ بالا سڑنا ہے۔ پھر ہم ان شرائط کے مطابق لکھ سکتے ہیں جو مرکزی آئیڈیمپوٹینٹ ہیں اور، (آرتھوگنل)۔ ایک بار پھر، کوئی بھی تعمیر کو الٹ سکتا ہے۔ یعنی، اگر کسی کو آرتھوگنل سنٹرل آئیڈیمپوٹینٹس میں 1 کی تقسیم دی جاتی ہے، تو وہ دو طرفہ آئیڈیل ہیں۔ اگر ہر ایک آرتھوگنل سنٹرل آئیڈیمپوٹینٹس کا مجموعہ نہیں ہے، تو ان کا براہ راست مجموعہ آئسومورفک ہے۔ لامحدود براہ راست پروڈکٹ کا ایک اہم اطلاق بجتوں کی پروجیکٹو حد کی تعمیر ہے (نیچے دیکھیں)۔ ایک اور ایپلی کیشن رنگوں کے خاندان کا ایک محدود پروڈکٹ ہے (cf. ایڈیل رنگ)۔ کثیر الجہتی رنگ ایک علامت (جسے متغیر کہا جاتا ہے) اور ایک متغیر رنگ کو دیکھتے ہوئے، کثیر الجہتی کا مجموعہ معمول کے اضافے اور ضرب کے ساتھ ایک متغیر رنگ بناتا ہے، جس میں ذیلی رنگ ہوتا ہے۔ اسے پولینومیل رنگ اوور کہا جاتا ہے۔ زیادہ عام طور پر، متغیرات میں تمام کثیر الجہتی کا مجموعہ ایک مواصلاتی رنگ بناتا ہے، جس میں ذیلی رنگ ہوتے ہیں۔ اگر ایک انٹیگرل ڈومین ہے، تو یہ ایک انٹیگرل ڈومین بھی ہے ؛ اس کے فریکشن کا میدان عقلی افعال کا میدان ہے۔ اگر نویتھیرین انگوٹھی ہے، تو نویتھیرین انگوٹھی ہے۔ اگر ایک منفرد فیکٹرائزیشن ڈومین ہے، تو یہ ایک منفرد فیکٹرائزیشن ڈومین ہے۔ آخر میں، ایک فیلڈ ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب ایک پرنسپل آئیڈیل ڈومین ہو۔ آئیے کمیونیٹیٹو رنگز ہوں۔ کے عنصر کو دیکھتے ہوئے، کوئی بھی رنگ ہومومورفزم (یعنی متبادل) پر غور کر سکتا ہے۔ اگر اور پھر۔ اس کی وجہ سے، کثیر الجہتی کو اکثر اس کے ذریعہ بھی ظاہر کیا جاتا ہے۔ نقشے کی تصویر کو اس سے ظاہر کیا جاتا ہے ؛ یہ وہی چیز ہے جو اور کے ذریعہ تیار کردہ سب رنگ ہے۔ مثال: ہومومورفزم کی شبیہہ کی نشاندہی کرتا ہے دوسرے الفاظ میں، یہ اور کے ذریعہ تیار کردہ ذیلی الجبرا ہے۔ مثال: ایک متغیر میں کثیر الجہتی ہونے دیں، یعنی کثیر الجہتی رنگ میں ایک عنصر۔ پھر اس رنگ میں ایک عنصر ہے اور اس سے تقسیم ہوتا ہے۔ صفر کو ان میں تبدیل کرنے کا نتیجہ ہے، at کا مشتق۔ متبادل کثیر الجہتی رنگ کی عالمگیر خاصیت کا ایک خاص معاملہ ہے۔ خاصیت بیان کرتی ہے: ایک رنگ ہومومورفزم اور اس میں ایک عنصر کو دیکھتے ہوئے ایک منفرد رنگ ہومومورفزم موجود ہے اور اس تک محدود ہے۔ مثال کے طور پر، ایک بنیاد کا انتخاب کرتے ہوئے، ایک سمیٹرک الجبرا عالمگیر خاصیت کو مطمئن کرتا ہے اور اسی طرح ایک کثیر الجہتی رنگ بھی ہے۔ ایک مثال دینے کے لیے، آئیے خود سے تمام افعال کی انگوٹی بنیں ؛ اضافہ اور ضرب افعال کے ہوتے ہیں۔ آئیڈینٹیٹی فنکشن ہونے دیں۔ ہر ایک میں ایک مستقل فنکشن کی وضاحت کرتا ہے، جو ہومومورفزم کو جنم دیتا ہے۔ یونیورسل پراپرٹی کا کہنا ہے کہ یہ نقشہ منفرد طور پر (نقشوں سے) تک پھیلا ہوا ہے جہاں کثیر الجہتی فنکشن کی وضاحت کی گئی ہے۔ نتیجے میں نقشہ انجیکٹو ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب لامحدود ہو۔ ایک غیر مستقل مونیک کثیر الجہتی کو دیکھتے ہوئے، ایک ایسی انگوٹی موجود ہے جس میں لکیری عوامل کی پیداوار ہوتی ہے۔ ایک الجبرائی طور پر بند فیلڈ ہونے دیں۔ ہلبرٹ کا نلسٹیلن سیٹز (صفر کا نظریہ) بیان کرتا ہے کہ تمام پرائم آئیڈیلز کے سیٹ اور ان کے بند ذیلی اقسام کے سیٹ کے درمیان ایک قدرتی ون ٹو ون خط و کتابت ہے۔ خاص طور پر، الجبرائی جیومیٹری میں بہت سے مقامی مسائل پر کثیر الجہتی رنگ میں کسی آئیڈیل کے جنریٹرز کے مطالعہ کے ذریعے حملہ کیا جا سکتا ہے۔ (cf. گربنر کی بنیاد۔) کچھ دیگر متعلقہ تعمیرات ہیں۔ ایک رسمی پاور سیریز رنگ رسمی پاور سیریز پر مشتمل ہوتا ہے جس میں ضرب اور اضافہ ہوتا ہے جو متغیر سیریز کے لیے ان کی نقل کرتا ہے۔ یہ ایک ذیلی رنگ کے طور پر موجود ہے۔ ایک رسمی پاور سیریز رنگ میں کثیر الجہتی رنگ کی عالمگیر خاصیت نہیں ہوتی ہے۔ ایک سیریز متبادل کے بعد یکجا نہیں ہوسکتی ہے۔ کثیر الجہتی رنگ پر رسمی پاور سیریز رنگ کا اہم فائدہ یہ ہے کہ یہ مقامی ہے (درحقیقت مکمل)۔ میٹرکس رنگ اور اینڈومورفزم رنگ آئیے ایک رنگ ہوں (ضروری نہیں کہ تبادلہ ہو)۔ اندراجات کے ساتھ سائز کے تمام مربع میٹرکس کا سیٹ اندراج کے لحاظ سے اضافے اور معمول کے میٹرکس ضرب کے ساتھ ایک رنگ بناتا ہے۔ اسے میٹرکس رنگ کہا جاتا ہے اور اس کی طرف اشارہ کیا جاتا ہے۔ دائیں ماڈیول کو دیکھتے ہوئے، تمام لکیری نقشوں کا سیٹ اپنے آپ میں ایک رنگ بناتا ہے جس میں اضافہ فنکشن اور ضرب کا ہوتا ہے جو فنکشن کی ساخت کا ہوتا ہے۔ اسے اینڈومورفزم رنگ آف کہا جاتا ہے اور اس کی طرف اشارہ کیا جاتا ہے۔ جیسا کہ لکیری الجبرا میں، ایک میٹرکس رنگ کی تشریح کینونکل طور پر ایک اینڈومورفزم رنگ کے طور پر کی جا سکتی ہے: یہ مندرجہ ذیل حقیقت کا ایک خاص معاملہ ہے: اگر ایک-لکیری نقشہ ہے، تو اسے اندراجات کے ساتھ میٹرکس کے طور پر لکھا جا سکتا ہے، جس کے نتیجے میں رنگ آئسومورفزم ہوتا ہے: کوئی بھی رنگ ہومومورفزم متاثر ہوتا ہے۔ شور لیما کا کہنا ہے کہ اگر ایک سادہ دائیں-ماڈیول ہے، تو ایک تقسیم کی انگوٹی ہے۔ اگر سادہ-ماڈیولز کی-کاپیوں کا براہ راست مجموعہ ہے تو آرٹن-ویڈربرن تھیوریم کسی بھی نیم سادہ رنگ (cf. ذیل میں) اس شکل کا ہے۔ ایک رنگ اور اس پر میٹرکس رنگ موریٹا کے مساوی ہیں: کے صحیح ماڈیولز کا زمرہ دائیں ماڈیولز کے زمرے کے مساوی ہے۔ خاص طور پر، دو طرفہ آئیڈیلز میں ایک سے ایک سے دو طرفہ آئیڈیلز میں مطابقت رکھتے ہیں۔ رنگوں کی حدود اور کولیمٹس کو رنگوں کی ایک ایسی ترتیب ہونے دیں جو سب کے لیے ایک ذیلی رنگ ہو۔ پھر یونین (یا فلٹرڈ کولیمیٹ) کی رنگ کی تعریف اس طرح کی گئی ہے: یہ سب کے ماڈیولو مساوات کے تعلق کا جداگانہ اتحاد ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب کافی بڑا ہو۔ کولیمٹس کی مثالیں: لامحدود بہت سے متغیرات میں ایک کثیر الجہتی رنگ: ایک ہی خصوصیت کے محدود فیلڈز کا الجبرائی بندش کسی فیلڈ پر رسمی لارنٹ سیریز کا فیلڈ: (یہ رسمی پاور سیریز رنگ کے فریکشنز کا فیلڈ ہے) کسی فیلڈ پر الجبرائی قسم کا فنکشن فیلڈ وہ ہوتا ہے جہاں حد غیر خالی کھلے ذیلی سیٹوں کے تمام مربوط رنگوں پر چلتی ہے (زیادہ مختصر طور پر یہ عام نقطہ پر ڈھانچے کے شیف کا ڈنڈا ہوتا ہے۔) کوئی بھی مواصلاتی رنگ حتمی طور پر تیار کردہ ذیلی رنگوں کا کولیمیٹ ہوتا ہے۔ رنگوں کی ایک پروجیکٹو حد (یا فلٹر شدہ حد) کی تعریف مندرجہ ذیل ہے۔ فرض کریں کہ ہمیں مثبت عددوں پر چلنے والے رنگوں کا ایک خاندان دیا گیا ہے، جیسے کہ، اور رنگ ہومومورفزم، جیسے کہ تمام شناخت ہیں اور جب بھی ہوتے ہیں۔ پھر اس پر مشتمل ذیلی رنگ ہے جو نیچے کی طرف نقشہ بناتا ہے۔ پروجیکٹو حد کی مثال کے لیے، دیکھیں۔ لوکلائزیشن لوکلائزیشن ایک لازمی ڈومین کے فریکشن کے فیلڈ کی تعمیر کو صوابدیدی رنگ اور ماڈیولز میں عام بناتی ہے۔ ایک (ضروری نہیں کہ کمیوٹیٹو) رنگ اور اس کے ذیلی سیٹ کو دیکھتے ہوئے، رنگ ہومومورفزم کے ساتھ ایک رنگ موجود ہے جو "الٹا" ہوتا ہے ؛ یعنی، ہومومورفزم عناصر کو یونٹ عناصر میں نقشہ بناتا ہے اور اس کے علاوہ، اس "الٹا" سے کوئی بھی رنگ ہومومورفزم منفرد عوامل کے ذریعے ہوتا ہے۔ مثال کے طور پر، اگر ایک کمیوٹیٹو رنگ اور ایک عنصر ہے، تو لوکلائزیشن فارم کے عناصر پر مشتمل ہوتی ہے (عین مطابق ہونے کے لیے) لوکلائزیشن اکثر ایک پرائم آئیڈیل (یا پرائم آئیڈیلز کے اتحاد) کی تکمیل کے حوالے سے ایک کمیوٹیٹو رنگ پر لاگو ہوتی ہے۔ اس صورت میں اکثر ایک مقامی رنگ کے لیے لکھا جاتا ہے جس میں زیادہ سے زیادہ آئیڈیل ہوتا ہے۔ یہی اصطلاح "لوکلائزیشن" کی وجہ ہے۔ انٹیگرل ڈومین کے فریکشنز کا فیلڈ پرائم آئیڈیل صفر کی لوکلائزیشن ہے۔ اگر کمیوٹیٹیو رنگ کا پرائم آئیڈیل ہے، تو فریکشنز کا فیلڈ لوکل رنگ کے بقایا فیلڈ جیسا ہی ہوتا ہے اور اس کی نشاندہی اس طرح کی جاتی ہے۔ اگر ایک لیفٹ-ماڈیول ہے، تو اس کے حوالے سے لوکلائزیشن کو رنگوں کی تبدیلی کے ذریعے دیا جاتا ہے۔ لوکلائزیشن کی سب سے اہم خصوصیات درج ذیل ہیں: جب ایک کمیوٹیٹیو رنگ ہوتا ہے اور ضرب کے لحاظ سے بند سب سیٹ تمام پرائم آئیڈیلز کے سیٹ کے درمیان ایک بائیجیکشن ہوتا ہے اور تقسیم کے ذریعے دی گئی جزوی ترتیب کے ساتھ عناصر پر چلانے میں تمام پرائم آئیڈیلز کا سیٹ ہوتا ہے۔ لوکلائزیشن بالکل درست ہے: جب بھی بالکل ختم ہو جائے تو بالکل ٹھیک ہے۔ اس کے برعکس، اگر کسی زیادہ سے زیادہ آئیڈیل کے لیے درست ہے تو درست ہے۔ ایک تبصرہ: لوکلائزیشن عالمی وجود کو ثابت کرنے میں کوئی مدد نہیں ہے۔ اس کی ایک مثال یہ ہے کہ اگر دو ماڈیول تمام پرائم آئیڈیلز پر آئسومورفک ہیں، تو اس کی پیروی نہیں ہوتی ہے کہ وہ آئسومورفک ہیں۔ (اس کی وضاحت کرنے کا ایک طریقہ یہ ہے کہ لوکلائزیشن کسی کو ماڈیول کو پرائم آئیڈیلز پر ایک شیف کے طور پر دیکھنے کی اجازت دیتی ہے اور شیف فطری طور پر ایک مقامی تصور ہے۔) زمرہ نظریہ میں، کسی زمرے کی لوکلائزیشن کچھ مورفزم آئسومورفزم بنانے کے مترادف ہے۔ کمیونیٹیٹو رنگ میں کسی عنصر کو کسی بھی-ماڈیول کی اینڈومورفزم سمجھا جا سکتا ہے۔ اس طرح، واضح طور پر، کے ذیلی سیٹ کے حوالے سے لوکلائزیشن-ماڈیولز کے زمرے سے اپنے آپ میں ایک فنکٹر ہے جو آٹومورفزم میں اینڈومورفزم کے طور پر دیکھے جانے والے عناصر کو بھیجتا ہے اور اس پراپرٹی کے حوالے سے عالمگیر ہے۔ (یقینا، پھر نقشہ اور-ماڈیولز کا نقشہ-ماڈیولز پر۔) تکمیل آئیے ایک مواصلاتی رنگ ہوں، اور آئیڈیل بنیں۔ اے ٹی کی تکمیل پروجیکٹو حد ہے یہ ایک مواصلاتی رنگ ہے۔ کوٹینٹس سے کینونکل ہومومورفزم ہومومورفزم کو جنم دیتے ہیں۔ مؤخر الذکر ہومومورفزم انجیکٹو ہے اگر ایک نویتھیرین انٹیگرل ڈومین ہے اور ایک مناسب آئیڈیل ہے، یا اگر کرول کے انٹرسیکشن تھیوریم کے مطابق زیادہ سے زیادہ آئیڈیل کے ساتھ نویتھیرین لوکل رنگ ہے۔ تعمیر خاص طور پر مفید ہوتی ہے جب زیادہ سے زیادہ مثالی ہو۔ بنیادی مثال ایک پرائم نمبر سے پیدا ہونے والے پرنسپل آئیڈیل کی تکمیل ہے۔ اسے-اڈک انٹیجرز کی رنگ کہا جاتا ہے اور اس کی نشاندہی کی جاتی ہے۔ اس معاملے میں تکمیل کو-اڈک مطلق قدر سے بھی بنایا جا سکتا ہے۔ یہ ایک فاصلاتی فنکشن کی وضاحت کرتا ہے اور اس کی تکمیل کو میٹرک اسپیس کے طور پر ظاہر کیا جاتا ہے۔ یہ دوبارہ ایک فیلڈ ہے کیونکہ فیلڈ آپریشن تکمیل تک پھیلا ہوا ہے۔ عناصر پر مشتمل ذیلی رنگ آئسومورفک سے آئسومورفک ہے۔ اسی طرح، رسمی پاور سیریز کی رنگ ایٹ کی تکمیل ہے (ہینسل کا لیما بھی دیکھیں) ایک مکمل رنگ کی ساخت ایک مواصلاتی رنگ کے مقابلے میں بہت آسان ہوتی ہے۔ یہ کوہن اسٹرکچر تھیوریم کا مالک ہے، جو تقریبا کہتا ہے کہ ایک مکمل مقامی رنگ رسمی پاور سیریز رنگ یا اس کے حصص کی طرح نظر آتا ہے۔ دوسری طرف، انٹیگرل کلوزر اور تکمیل کے درمیان تعامل ان سب سے اہم پہلوؤں میں سے ایک رہا ہے جو جدید کمیونیٹیٹو رنگ تھیوری کو نویتھر کی پسند کے تیار کردہ کلاسیکی سے ممتاز کرتے ہیں۔ ناگاٹا کی طرف سے پائی جانے والی پیتھولوجیکل مثالوں نے نویتھیرین رنگوں کے کرداروں کی دوبارہ جانچ کی اور دوسری چیزوں کے علاوہ بہترین رنگ کی تعریف کو متاثر کیا۔ جنریٹرز اور رلیشنز کے ساتھ رنگز رنگ کی تعمیر کا سب سے عام طریقہ جنریٹرز اور رلیشنز کی وضاحت کرنا ہے۔ علامتوں کے سیٹ کے ساتھ ایک فری رنگ (یعنی انٹیجرز پر فری الجبرا) ہونے دیں، یعنی، غیر مواصلاتی متغیرات میں انٹیگرل کوفیشنٹس کے ساتھ کثیر الجہتی پر مشتمل ہے جو ان کے عناصر ہیں۔ ایک آزاد رنگ عالمگیر خاصیت کو مطمئن کرتا ہے: سیٹ سے لے کر رنگ فیکٹر تک کوئی بھی فنکشن اس طرح منفرد رنگ ہومومورفزم ہے۔ جیسا کہ گروپ کیس میں، ہر رنگ کو فری رنگ کے حصص کے طور پر پیش کیا جا سکتا ہے۔ اب، ہم ایک حصص لے کر علامتوں کے درمیان تعلقات مسلط کر سکتے ہیں۔ واضح طور پر، اگر کا ایک ذیلی مجموعہ ہے، تو اس کے ذریعہ پیدا ہونے والے آئیڈیل کے حصص کی انگوٹی کو جنریٹرز اور تعلقات کے ساتھ انگوٹی کہا جاتا ہے۔ اگر ہم کسی انگوٹھی کو بیس انگوٹھی کے طور پر استعمال کرتے ہیں، تو اس کے نتیجے میں انگوٹھی ختم ہو جائے گی۔ مثال کے طور پر، اگر اس کے نتیجے میں آنے والی انگوٹی معمول کی کثیر الجہتی انگوٹی ہوگی جس میں متغیرات میں کوفیشنٹس ہوں گے جو اس کے عناصر ہیں (یہ علامتوں کے ساتھ سمیٹرک الجبرا کی طرح بھی ہے۔) زمرہ-نظریاتی اصطلاحات میں، تشکیل بجتوں کے زمرے سے سیٹ تک بھولنے والے فنکٹر کا بائیں طرف ملحقہ فنکٹر ہے (اور اسے اکثر فری رنگ فنکٹر کہا جاتا ہے۔) آتے ہیں کہ وہ ایک مواصلاتی رنگ کے اوپر الجبراز ہوں۔ پھر-ماڈیولز کا ٹینسر پروڈکٹ ایک-الجبرا ہوتا ہے جس میں ضرب ہوتی ہے جس کی خصوصیت خاص قسم کے رنگوں سے ہوتی ہے۔ ڈومین ایک غیر صفر رنگ جس میں کوئی غیر صفر صفر تقسیم نہیں ہوتا ہے اسے ڈومین کہا جاتا ہے۔ ایک تبادلہ ڈومین کو انٹیگرل ڈومین کہا جاتا ہے۔ سب سے اہم انٹیگرل ڈومینز پرنسپل آئیڈیل ڈومینز، مختصر کے لیے پی آئی ڈیز، اور فیلڈز ہیں۔ پرنسپل آئیڈیل ڈومین ایک انٹیگرل ڈومین ہے جس میں ہر آئیڈیل پرنسپل ہوتا ہے۔ انٹیگرل ڈومینز کی ایک اہم کلاس جس میں پی آئی ڈی ہوتا ہے وہ ایک منفرد فیکٹرائزیشن ڈومین (یو ایف ڈی) ہے، ایک انٹیگرل ڈومین جس میں ہر نان یونٹ عنصر پرائم عناصر کا پروڈکٹ ہوتا ہے (ایک عنصر پرائم ہوتا ہے اگر وہ پرائم آئیڈیل تیار کرتا ہے۔) الجبرائی نمبر تھیوری میں بنیادی سوال یہ ہے کہ کسی نمبر فیلڈ میں (عمومی) انٹیجرز کی رنگ، جہاں ایک "آئیڈیل" پرائم فیکٹرائزیشن کو تسلیم کرتا ہے، پی آئی ڈی ہونے میں ناکام رہتا ہے۔ پی آئی ڈی سے متعلق تھیوریمز میں، سب سے اہم ایک پرنسپل آئیڈیل ڈومین پر فائنٹلی جنریٹڈ ماڈیولز کے لیے اسٹرکچر تھیوریم ہے۔ نظریہ کو لکیری الجبرا پر درج ذیل اطلاق سے واضح کیا جا سکتا ہے۔ کسی فیلڈ پر ایک محدود جہتی ویکٹر کی جگہ اور کم سے کم کثیر الجہتی کے ساتھ ایک لکیری نقشہ ہونے دیں۔ پھر، چونکہ یہ ایک منفرد فیکٹرائزیشن ڈومین ہے، اس لیے مختلف ناقابل کٹوتی کثیر الجہتی (یعنی بنیادی عناصر) کی طاقتوں میں عوامل: ہم ایک-ماڈیول بناتے ہیں۔ اس کے بعد اسٹرکچر تھیوریم کا کہنا ہے کہ سائیکلک ماڈیولز کا براہ راست مجموعہ ہے، جن میں سے ہر ایک فارم کے ماڈیول کے لیے آئسومورفک ہے۔ اب، اگر اس طرح کے سائیکلک ماڈیول (کے لیے) کی ایک بنیاد ہے جس میں جارڈن میٹرکس کی طرف سے پابندی کی نمائندگی کی جاتی ہے۔ اس طرح، اگر، فرض کریں، الجبرائی طور پر بند ہے، تو تمام s شکل کے ہیں اور مندرجہ بالا سڑنا اردن کینونکل شکل سے مطابقت رکھتا ہے۔ الجبرائی جیومیٹری میں، یو ایف ڈی ہموار ہونے کی وجہ سے پیدا ہوتے ہیں۔ مزید واضح طور پر، مختلف قسم میں ایک نقطہ (ایک کامل میدان پر) ہموار ہوتا ہے اگر نقطہ پر مقامی رنگ ایک باقاعدہ مقامی رنگ ہو۔ ایک باقاعدہ مقامی رنگ ایک یو ایف ڈی ہے۔ درج ذیل کلاس کی شمولیت کا ایک سلسلہ ہے جو رنگوں، ڈومینز اور فیلڈز کے درمیان تعلقات کو بیان کرتا ہے: ڈویژن رنگ ایک ڈویژن رنگ ایسی رنگ ہے کہ ہر غیر صفر عنصر ایک یونٹ ہے۔ کمیونیٹیٹو ڈویژن رنگ ایک فیلڈ ہے۔ ڈویژن رنگ کی ایک نمایاں مثال جو فیلڈ نہیں ہے وہ کواٹرنیئنز کی رنگ ہے۔ ڈویژن رنگ میں کوئی بھی سنٹرلائزر بھی ڈویژن رنگ ہوتا ہے۔ خاص طور پر، ڈویژن رنگ کا مرکز ایک فیلڈ ہوتا ہے۔ یہ پتہ چلا کہ ہر محدود ڈومین (خاص طور پر محدود ڈویژن رنگ میں) ایک فیلڈ ہے۔ خاص طور پر تبادلہ (ویڈربرن کا چھوٹا نظریہ)۔ ڈویژن رنگ پر ہر ماڈیول ایک آزاد ماڈیول ہے (اس کی ایک بنیاد ہوتی ہے) ؛ نتیجتا، زیادہ تر لکیری الجبرا کو فیلڈ کے بجائے ڈویژن رنگ پر انجام دیا جا سکتا ہے۔ کنجوگیسی کلاسوں کا مطالعہ ڈویژن رنگز کے کلاسیکی نظریہ میں نمایاں طور پر ظاہر ہوتا ہے۔ مثال کے طور پر، کارٹن-براؤر-ہوا تھیوریم دیکھیں۔ ایک چکور الجبرا، جسے ایل۔ ای۔ ڈکسن نے متعارف کرایا ہے، ایک کواٹرنیئن الجبرا کی عمومی شکل ہے۔ نیم سادہ حلقے ایک نیم سادہ ماڈیول سادہ ماڈیولز کا براہ راست مجموعہ ہے۔ سیمی سمپل رنگ ایک ایسی رنگ ہے جو اپنے اوپر بائیں ماڈیول (یا دائیں ماڈیول) کے طور پر سیمی سمپل ہوتی ہے۔ مثالیں تقسیم کی انگوٹی نیم سادہ (اور سادہ) ہوتی ہے۔ کسی بھی ڈویژن رنگ اور مثبت عدد کے لیے، میٹرکس رنگ نیم سادہ (اور سادہ) ہوتا ہے۔ کسی فیلڈ اور محدود گروپ کے لیے، گروپ کی انگوٹی نیم سادہ ہوتی ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب کی خصوصیت (ماسک کے نظریہ) کی ترتیب کو تقسیم نہیں کرتی ہے۔ کلفورڈ الجبرا نیم سادہ ہیں۔ فیلڈ پر ویل الجبرا ایک سادہ رنگ ہے، لیکن یہ نیم سادہ نہیں ہے۔ بہت سے متغیرات میں تفریقی آپریٹرز کے دائرے کے لیے بھی ایسا ہی ہے۔ خصوصیات نیم سادہ رنگ پر کوئی بھی ماڈیول نیم آسان ہوتا ہے۔ (ثبوت: ایک نیم سادہ رنگ پر ایک مفت ماڈیول نیم آسان ہے اور کوئی بھی ماڈیول ایک مفت ماڈیول کا حصہ ہے۔) انگوٹھی کے لیے، درج ذیل مساوی ہیں: نیم سادہ ہے۔ آرٹینین اور سیمیپریمیٹو ہے۔ ایک محدود براہ راست پروڈکٹ ہے جہاں ہر ایک مثبت عدد ہے، اور ہر ایک ڈویژن رنگ ہے (آرٹن ویڈربرن تھیوریم)۔ نیم سادگی کا علیحدگی سے گہرا تعلق ہے۔ کسی فیلڈ پر یونٹل ایسوسی ایٹیو الجبرا کو علیحدہ کرنے کے قابل کہا جاتا ہے اگر ہر فیلڈ ایکسٹینشن کے لیے بیس ایکسٹینشن نیم آسان ہو۔ اگر کوئی فیلڈ ہوتا ہے، تو یہ فیلڈ تھیوری (cf. علیحدہ توسیع۔) مرکزی سادہ الجبرا اور براؤر گروپ کسی فیلڈ کے لیے، ایک-الجبرا مرکزی ہوتا ہے اگر اس کا مرکز ہوتا ہے اور سادہ ہوتا ہے اگر یہ ایک سادہ رنگ ہوتا ہے۔ چونکہ سادہ الجبرا کا مرکز ایک فیلڈ ہے، اس لیے کوئی بھی سادہ الجبرا اس کے مرکز پر ایک مرکزی سادہ الجبرا ہوتا ہے۔ اس حصے میں، ایک مرکزی سادہ الجبرا کو محدود جہت کا مانا جاتا ہے۔ نیز، ہم زیادہ تر بیس فیلڈ کو فکس کرتے ہیں۔ اس طرح، الجبرا سے مراد-الجبرا ہوتا ہے۔ رنگ کے اوپر سائز کی میٹرکس رنگ کو اس سے ظاہر کیا جائے گا۔ اسکولیم-نویتھر تھیوریم میں کہا گیا ہے کہ مرکزی سادہ الجبرا کا کوئی بھی آٹومورفزم اندرونی ہے۔ دو مرکزی سادہ الجبرا اور اگر انٹیجر ہوں تو ان کے بارے میں کہا جاتا ہے کہ وہ ایک جیسے ہیں اور اس طرح کہ چونکہ مماثلت ایک مساوات کا تعلق ہے۔ ضرب کے ساتھ مماثلت کی کلاسیں ایک ابیلین گروپ بناتی ہیں جسے براؤر گروپ آف کہا جاتا ہے اور اس کی طرف اشارہ کیا جاتا ہے۔ آرٹن ویڈربرن تھیوریم کے مطابق، ایک مرکزی سادہ الجبرا ڈویژن رنگ کی میٹرکس رنگ ہے ؛ اس طرح، ہر مماثلت کلاس کی نمائندگی ایک منفرد ڈویژن رنگ کے ذریعے کی جاتی ہے۔ مثال کے طور پر، معمولی ہے اگر ایک محدود فیلڈ ہو یا الجبرائی طور پر بند فیلڈ (زیادہ عام طور پر نیم الجبرائی طور پر بند فیلڈ ؛ cf. Tzen 's theorem)۔ آرڈر 2 ہے (فروبینیوس کے نظریہ کا ایک خاص معاملہ)۔ آخر میں، اگر ایک غیر آرکیمیڈین مقامی فیلڈ ہے (مثال کے طور پر، پھر غیر متغیر نقشے کے ذریعے۔ اب، اگر فیلڈ کی توسیع ہے، تو بیس کی توسیع شامل ہوتی ہے۔ اس کے دانے کو اس سے ظاہر کیا جاتا ہے۔ یہ اس طرح پر مشتمل ہوتا ہے جو کہ ایک میٹرکس رنگ اوور ہوتا ہے (یعنی تقسیم کیا جاتا ہے۔) اگر توسیع محدود ہے اور گالوئس، تو ازومایا الجبرا کے لیے کینونکل طور پر آئسومورفک ہے، مرکزی سادہ الجبرا کے تصور کو ایک مواصلاتی مقامی رنگ میں عام کرتا ہے۔ ویلیوایشن رنگ اگر ایک فیلڈ ہے، تو ویلیوایشن ایک گروپ ہومومورفزم ہے جو ضرب والے گروپ سے مکمل طور پر ترتیب شدہ ابیلین گروپ میں اس طرح ہے کہ، غیر صفر کے ساتھ کسی کے لیے، کی ویلیوایشن رنگ صفر اور تمام غیر صفر پر مشتمل ذیلی رنگ ہے۔ مثال: کسی فیلڈ پر رسمی لارنٹ سیریز کا فیلڈ اس طرح کی ویلیوایشن کے ساتھ آتا ہے جو کہ غیر صفر اصطلاح کی کم از کم ڈگری ہے۔ کی ویلیوایشن رنگ رسمی پاور سیریز رنگ ہے۔ مزید عام طور پر، ایک فیلڈ اور مکمل طور پر ترتیب شدہ ابیلین گروپ کو دیکھتے ہوئے، ان تمام افعال کا مجموعہ ہونے دیں جن کی سپورٹ (پوائنٹس کے سیٹ جن پر افعال غیر صفر ہیں) اچھی طرح سے ترتیب دیے گئے ہیں۔ یہ ایک ایسا میدان ہے جس میں ارتقاء کے ذریعہ ضرب دی جاتی ہے: یہ اس قدر کے ساتھ بھی آتا ہے جو اس کی حمایت میں سب سے کم عنصر ہے۔ محدود سپورٹ والے عناصر پر مشتمل سب رنگ کو گروپ رنگ آف کہا جاتا ہے (جو تب بھی معنی رکھتا ہے یہاں تک کہ اگر تبادلہ نہیں ہوتا ہے)۔ اگر انٹیجرز کی رنگ ہے، تو ہم پچھلی مثال کو بازیافت کرتے ہیں (اس سیریز کے ساتھ شناخت کرکے جس کا-th گتانک ہے۔) اضافی ساخت کے ساتھ رنگ ایک رنگ کو ایک ابیلین گروپ کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے (اضافی آپریشن کا استعمال کرتے ہوئے)، اضافی ساخت کے ساتھ: یعنی رنگ ضرب۔ اسی طرح، دیگر ریاضیاتی اشیاء بھی ہیں جنہیں اضافی ساخت والے حلقے سمجھا جا سکتا ہے۔ مثال کے طور پر: ایسوسی ایٹیو الجبرا ایک رنگ ہے جو کسی فیلڈ پر ویکٹر اسپیس بھی ہے جیسے کہ اسکیلر ضرب رنگ ضرب کے ساتھ مطابقت رکھتی ہے۔ مثال کے طور پر، حقیقی فیلڈ پر-بائی-میٹرکس کے سیٹ کا طول و عرض حقیقی ویکٹر اسپیس کے طور پر ہوتا ہے۔ رنگ ایک ٹپوولوجیکل رنگ ہے اگر اس کے عناصر کے سیٹ کو ایک ٹوپولوجی دی جائے جو اضافی نقشہ () اور ضرب کا نقشہ دونوں کو ٹوپولوجیکل خالی جگہوں کے درمیان نقشے کے طور پر مسلسل بناتا ہے (جہاں پروڈکٹ ٹوپولوجی یا زمرے میں کوئی اور پروڈکٹ وراثت میں ملتا ہے)۔ مثال کے طور پر، حقیقی اعداد پر-بذریعہ-میٹرکس یا تو یوکلیڈین ٹوپولوجی، یا زرسکی ٹوپولوجی دی جا سکتی ہے، اور دونوں صورتوں میں کوئی بھی ٹوپولوجیکل رنگ حاصل کرے گا۔ ایک λ-رنگ ایک مواصلاتی رنگ ہے جس میں ایسی کارروائیاں ہوتی ہیں جو-th بیرونی طاقتوں کی طرح ہوتی ہیں: مثال کے طور پر، بائنومیل کوفیشنٹس کے ساتھ ایک λ-رنگ ہے۔ یہ تصور ریمن-راک تھیوریم کے الجبرائی نقطہ نظر میں ایک مرکزی اصول ادا کرتا ہے۔ مکمل طور پر ترتیب شدہ رنگ ایک ایسی رنگ ہے جس میں کل ترتیب ہوتی ہے جو رنگ آپریشنز کے ساتھ مطابقت رکھتی ہے۔ رنگوں کی ہر جگہ موجودگی کی کچھ مثالیں کئی مختلف قسم کی ریاضیاتی اشیاء کا کچھ متعلقہ رنگ کے لحاظ سے نتیجہ خیز تجزیہ کیا جا سکتا ہے۔ کسی ٹپوولوجیکل جگہ کا کوہومولوجی رنگ کسی بھی ٹپوولوجیکل جگہ کے لیے کوئی بھی اس کے مربوط کوہومولوجی رنگ کو ایک درجہ بند رنگ سے جوڑ سکتا ہے۔ کسی جگہ کے ہومیولوجی گروپ بھی ہوتے ہیں، اور درحقیقت ان کی تعریف پہلے ٹپوولوجیکل خالی جگہوں کے کچھ جوڑوں، جیسے دائرے اور ٹوری کے درمیان فرق کرنے کے لیے ایک مفید ٹول کے طور پر کی گئی تھی، جس کے لیے پوائنٹ سیٹ ٹپوولوجی کے طریقے مناسب نہیں ہیں۔ کوہومولوجی گروپوں کو بعد میں ہومولوجی گروپوں کے لحاظ سے اس طرح سے بیان کیا گیا جو ویکٹر اسپیس کے ڈوئل سے تقریبا مشابہت رکھتا ہے۔ یونیورسل کوایفیشنٹ تھیوریم کی وجہ سے ہر انفرادی انٹیگرل ہومیولوجی گروپ کو جاننا بنیادی طور پر ہر انفرادی انٹیگرل کوہمولوجی گروپ کو جاننے کے مترادف ہے۔ تاہم، کوہمولوجی گروپوں کا فائدہ یہ ہے کہ ایک قدرتی پروڈکٹ موجود ہے، جو اس مشاہدے کے مترادف ہے کہ کوئی ()-کثیر لکیری شکل حاصل کرنے کے لیے نقطہ وار a-کثیر لکیری شکل اور a-کثیر لکیری شکل کو ضرب دے سکتا ہے۔ کوہمولوجی میں رنگ ڈھانچہ فائبر بنڈلوں کی خصوصیت والی کلاسوں، کئی گنا اور الجبرائی اقسام پر انٹرسیکشن تھیوری، شوبرٹ کیلکولس اور بہت کچھ کی بنیاد فراہم کرتا ہے۔ کسی گروپ کی برن سائیڈ رنگ کسی بھی گروپ سے وابستہ ہوتی ہے اس کی برن سائیڈ رنگ جو گروپ کے محدود سیٹ پر عمل کرنے کے مختلف طریقوں کو بیان کرنے کے لیے ایک رنگ کا استعمال کرتی ہے۔ برن سائیڈ رنگ کا اضافی گروپ آزاد ابیلین گروپ ہے جس کی بنیاد گروپ کے عارضی اعمال کا مجموعہ ہے اور جس کا اضافہ عمل کا جداگانہ اتحاد ہے۔ بنیاد کے لحاظ سے کسی عمل کا اظہار کرنا کسی عمل کو اس کے عارضی اجزاء میں تحلیل کرنا ہے۔ ضرب کا اظہار آسانی سے نمائندگی کی انگوٹی کے لحاظ سے کیا جاتا ہے: برن سائیڈ انگوٹی میں ضرب دو پرموٹیشن ماڈیولز کے ٹینسر پروڈکٹ کو پرموٹیشن ماڈیول کے طور پر لکھ کر تشکیل دی جاتی ہے۔ رنگ ڈھانچہ ایک عمل کو دوسرے سے گھٹانے کے رسمی طریقے کی اجازت دیتا ہے۔ چونکہ برن سائیڈ رنگ نمائندہ رنگ کے ایک محدود انڈیکس سب رنگ کے طور پر موجود ہے، اس لیے کوفیشنٹس کو انٹیجرز سے عقلی نمبروں تک بڑھا کر ایک سے دوسرے تک آسانی سے منتقل کیا جا سکتا ہے۔ گروپ رنگ کی نمائندگی کی انگوٹی کسی بھی گروپ رنگ یا ہوپف الجبرا سے اس کی نمائندگی کی انگوٹی یا "گرین رنگ" منسلک ہوتی ہے۔ نمائندہ رنگ کا اضافی گروپ آزاد ابیلین گروپ ہے جس کی بنیاد ناقابل تلافی ماڈیول ہیں اور جن کا اضافہ براہ راست رقم سے مطابقت رکھتا ہے۔ بنیاد کے لحاظ سے ماڈیول کا اظہار کرنا ماڈیول کی ناقابل تلافی سڑن تلاش کرنا ہے۔ ضرب ٹینسر پروڈکٹ ہے۔ جب الجبرا نیم سادہ ہوتا ہے، تو نمائندگی کی انگوٹی صرف کریکٹر تھیوری کا کریکٹر رنگ ہوتا ہے، جو کہ کم و بیش گروتھینڈیک گروپ ہوتا ہے جسے رنگ ڈھانچہ دیا جاتا ہے۔ کسی بھی ناقابل تلافی الجبرائی قسم کا فنکشن فیلڈ اس کے فنکشن فیلڈ سے وابستہ ہے۔ الجبرائی قسم کے پوائنٹس فنکشن فیلڈ میں موجود ویلیوایشن رنگز سے مطابقت رکھتے ہیں اور کوآرڈینیٹ رنگ پر مشتمل ہوتے ہیں۔ الجبرائی جیومیٹری کا مطالعہ رنگ تھیوریٹک خصوصیات کے لحاظ سے ہندسی تصورات کا مطالعہ کرنے کے لیے مواصلاتی الجبرا کا بہت زیادہ استعمال کرتا ہے۔ بائریشنل جیومیٹری فنکشن فیلڈ کے ذیلی رنگوں کے درمیان نقشوں کا مطالعہ کرتی ہے۔ ایک سادہ کمپلیکس کی چہرے کی انگوٹھی ہر سادہ کمپلیکس میں ایک منسلک چہرے کی انگوٹھی ہوتی ہے، جسے اسٹینلے ریزنر انگوٹھی بھی کہا جاتا ہے۔ یہ رنگ سادہ کمپلیکس کی بہت سی مشترکہ خصوصیات کی عکاسی کرتا ہے، لہذا یہ الجبرائی امتزاج میں خاص دلچسپی رکھتا ہے۔ خاص طور پر، اسٹینلے-ریزنر رنگ کی الجبرائی جیومیٹری کو سادہ پولی ٹاپس کے ہر جہت میں چہروں کی تعداد کو نمایاں کرنے کے لیے استعمال کیا گیا تھا۔ زمرہ-نظریاتی تفصیل ہر رنگ کو اب میں ایک مونوئڈ کے طور پر سوچا جا سکتا ہے، جو ابیلین گروپوں کا زمرہ ہے (-ماڈیولز کے ٹینسر پروڈکٹ کے تحت ایک مونوئڈل زمرہ کے طور پر سوچا جاتا ہے)۔ ابیلین گروپ پر رنگ کا مونوئڈ ایکشن محض ایک-ماڈیول ہوتا ہے۔ بنیادی طور پر، ایک-ماڈیول ویکٹر اسپیس کے تصور کی عمومی شکل ہے-جہاں کسی فیلڈ پر ویکٹر اسپیس کے بجائے، کسی کے پاس "رنگ پر ویکٹر اسپیس" ہوتی ہے۔ ایک ابیلین گروپ ہونے دیں اور اس کی اینڈومورفزم رنگ ہونے دیں (اوپر دیکھیں)۔ نوٹ کریں کہ، بنیادی طور پر، تمام مورفزموں کا مجموعہ ہے، جہاں اگر اندر ہے، اور اندر ہے، درج ذیل قواعد کو حساب کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے اور: جہاں جیسا کہ اس میں اضافہ ہے، اور فنکشن کی ساخت کو دائیں سے بائیں طرف ظاہر کیا جاتا ہے۔ لہذا، کسی بھی ابیلین گروپ سے وابستہ، ایک انگوٹھی ہے۔ اس کے برعکس، کسی بھی رنگ کو دیکھتے ہوئے، ایک ابیلین گروپ ہے۔ مزید برآں، ہر ایک کے اندر، دائیں (یا بائیں) ضرب کے ذریعے، دائیں (یا بائیں) تقسیم کے ذریعے، ایک مورفزم کو جنم دیتا ہے۔ جانے دیں۔ ان اینڈومورفزموں پر غور کریں، جو کہ دائیں (یا بائیں) ضرب کے ذریعے "فیکٹر" ہیں۔ دوسرے لفظوں میں، اس کی خاصیت رکھنے والے تمام مورفزموں کا مجموعہ ہونے دیں۔ یہ دیکھا گیا کہ ہر ایک میں ایک مورفزم کو جنم دیتا ہے: دائیں ضرب سے۔ یہ حقیقت میں سچ ہے کہ کسی بھی عنصر کی مورفزم سے، ایک فنکشن کے طور پر، سے، رنگوں کی ایک آئسومورفزم ہے۔ اس لحاظ سے، لہذا، کسی بھی رنگ کو کسی ابیلین گروپ کے اینڈومورفزم رنگ کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے (بائی گروپ، اس کا مطلب ایک گروپ ہے جس میں اس کے آپریٹرز کا مجموعہ ہوتا ہے)۔ جوہر میں، رنگ کی سب سے عام شکل، کسی ابیلین گروپ کا اینڈومورفزم گروپ ہے۔ کسی بھی انگوٹھی کو ایک ہی شے کے ساتھ اضافی زمرے کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے۔ اس لیے صوابدیدی پری ایڈیٹیو زمرہ جات کو رنگوں کی عمومی شکل دینا فطری ہے۔ اور درحقیقت، اصل میں بجتوں کے لیے دی گئی بہت سی تعریفیں اور نظریات کا ترجمہ اس زیادہ عمومی سیاق و سباق میں کیا جا سکتا ہے۔ پری ایڈیٹیو زمروں کے درمیان ایڈیٹیو فنکٹر رنگ ہومومورفزم کے تصور کو عام کرتے ہیں، اور ایڈیٹیو زمروں میں آئیڈلز کو مورفزم کے سیٹ کے طور پر بیان کیا جا سکتا ہے جو اضطراب کے تحت اور من مانی مورفزم کے ساتھ کم ساخت کے تحت بند ہوتے ہیں۔ عمومی الجبرائی ماہرین نے کچھ رنگ محوریوں کو کمزور یا چھوڑ کر رنگوں سے زیادہ عام ڈھانچوں کی وضاحت کی ہے۔ آر این جی اے آر این جی ایک رنگ کی طرح ہے، سوائے اس کے کہ ضرب شناخت کا وجود فرض نہیں کیا جاتا ہے۔ نان ایسوسی ایٹیو رنگ ایک الجبرائی ڈھانچہ ہے جو ایسوسی ایٹیو پراپرٹی اور ضرب شناخت کے وجود کے علاوہ تمام رنگ محوریوں کو مطمئن کرتا ہے۔ ایک قابل ذکر مثال جھوٹ الجبرا ہے۔ اس طرح کے الجبرا کے لیے کچھ ساخت کا نظریہ موجود ہے جو لائ الجبرا اور ایسوسی ایٹیو الجبرا کے لیے یکساں نتائج کو عام کرتا ہے۔ سیمیرنگ اے سیمیرنگ (بعض اوقات رگ) اس مفروضے کو کمزور کرکے حاصل کیا جاتا ہے جو کہ ایک ابیلین گروپ ہے اس مفروضے کے ساتھ جو کہ ایک مواصلاتی مونوئڈ ہے، اور اس محوریہ کو شامل کرتا ہے کہ سب کے لیے اے ان (چونکہ یہ اب دوسرے محوریوں کی پیروی نہیں کرتا ہے)۔ مثال: عام اضافہ اور ضرب کے ساتھ غیر منفی عدد ؛ ٹراپیکل سیمیرنگ۔ رنگ جیسی دیگر اشیاء کسی زمرے میں رنگ آبجیکٹ چلو محدود مصنوعات کے ساتھ ایک زمرہ بنیں۔ پی ٹی کو (ایک خالی پروڈکٹ) کے ٹرمینل آبجیکٹ کی نشاندہی کرنے دیں۔ ایک رنگ آبجیکٹ ایک ایسی چیز ہے جو مورفزم (اضافہ)، (ضرب)، (اضافی شناخت)، (اضافی الٹا)، اور (ضرب شناخت) سے لیس ہوتی ہے جو معمول کے رنگ محوریات کو مطمئن کرتی ہے۔ مساوی طور پر، رنگ آبجیکٹ ایک ایسی چیز ہے جو رنگوں کے زمرے کے ذریعے پوائنٹس کے اپنے فنکٹر کی فیکٹرائزیشن سے لیس ہے: رنگ اسکیم الجبرائی جیومیٹری میں، بیس اسکیم پر رنگ اسکیم-اسکیموں کے زمرے میں ایک رنگ آبجیکٹ ہے۔ ایک مثال رنگ اسکیم اوور ہے، جو کسی بھی مواصلاتی رنگ کے لیے لمبائی کے-آئسوٹائپک وٹ ویکٹرز کی رنگ واپس کرتی ہے۔ رنگ سپیکٹرم الجبرائی ٹوپولوجی میں، رنگ سپیکٹرم ایک سپیکٹرم ہے جس میں ضرب اور دائرے کے سپیکٹرم سے یونٹ کا نقشہ ہوتا ہے، اس طرح کہ رنگ محوری خاکے ہوموٹوپی تک منتقل ہوتے ہیں۔ عملی طور پر، رنگ سپیکٹرم کو سپیکٹرم کے اچھے زمرے جیسے سمیٹرک سپیکٹرم کے زمرے میں مونوئڈ آبجیکٹ کے طور پر بیان کرنا عام بات ہے۔ الجبرہ اوور اے کمیونیٹیٹیو رنگ زمرہ بندی کے دائرے کے حلقے کے حلقے کے حلقے کے حلقے کے حلقے کے مجموعے کی لغت ایک رنگ کا سمائرنگ سپیکٹرم آسان کمیونیٹیٹیو رنگ خاص قسم کے حلقے: بولین رنگ ڈیڈیکائنڈ رنگ ڈفریٚنشل رنگ ایکسپونینشل رنگ فائنائٹ رنگ لائ مقامی رنگ نویتھیرین اور آرٹینین رنگ آرڈرڈ رنگ پوسن رنگ کم شدہ رنگ ایس بی آئی رنگ ویلیوایشن رنگ اور مجرد ویلیوایشن رنگ نوٹ حوالہ جات [درست 5 ویں پرنٹنگ] عمومی حوالہ جات خصوصی حوالہ جات بنیادی ذرائع تاریخی حوالہ جات برونشٹین، آئی این اور سیمنڈیئیو، کے اے۔ (2004) ہینڈ بک آف میتھمیٹکس، چوتھا ایڈیشن۔ نیو یارک: سپرنگر-ورلاگ۔ میک ٹیوٹر آرکائیو فیتھ، کارل (1999) رنگز اینڈ تھنگز اور بیسویں صدی کے ایسوسی ایٹیو الجبرا کی عمدہ صف میں رنگ تھیوری کی تاریخ۔ ریاضیاتی سروے اور مونوگراف، 65۔ امریکن میتھمیٹیکل سوسائٹی۔ ایٹو، کے۔ ایڈیٹر (1986) "رنگز"۔ § 368 انسائیکلوپیڈک ڈکشنری آف میتھمیٹکس میں، دوسرا ایڈیشن۔، جلد۔ 2. کیمبرج، ایم اے: ایم آئی ٹی پریس۔ الجبرائی ڈھانچے رنگ تھیوری