Categorification
ریاضی میں، درجہ بندی سیٹ تھیوریٹک تھیوریمز کو زمرہ تھیوریٹک اینالاگس سے تبدیل کرنے کا عمل ہے۔ درجہ بندی، جب کامیابی سے کی جاتی ہے، تو سیٹوں کی جگہ زمرہ جات، فنکٹروں کے ساتھ افعال، اور اضافی خصوصیات کو مطمئن کرنے والے فنکٹروں کے قدرتی آئسومورفزم کے ساتھ مساوات لے لیتی ہے۔ یہ اصطلاح لوئس کرین نے تیار کی تھی۔ درجہ بندی کا الٹا درجہ بندی کا عمل ہے۔ زمرہ بندی ایک منظم عمل ہے جس کے ذریعے کسی زمرے میں آئسومورفک اشیاء کی شناخت مساوی کے طور پر کی جاتی ہے۔ جبکہ زمرہ بندی ایک سیدھا عمل ہے، درجہ بندی عام طور پر بہت کم سیدھا ہوتا ہے۔ لائ الجبرا کی نمائندگی کے نظریہ میں، مخصوص الجبرا پر ماڈیول مطالعہ کے بنیادی مقاصد ہیں، اور اس طرح کے ماڈیول کی درجہ بندی کیا ہونی چاہیے اس کے لیے کئی فریم ورک موجود ہیں، مثال کے طور پر، نام نہاد (کمزور) ابیلین درجہ بندی۔ درجہ بندی اور درجہ بندی درست ریاضیاتی طریقہ کار نہیں ہیں، بلکہ ممکنہ ینالاگوں کی ایک کلاس ہیں۔ وہ 'جنرلائزیشن' جیسے الفاظ کی طرح استعمال ہوتے ہیں، نہ کہ 'شیفیکیشن' کی طرح۔ مثالیں درجہ بندی کی ایک شکل سیٹوں کے لحاظ سے بیان کردہ ڈھانچے کو لیتی ہے، اور سیٹوں کی تشریح کسی زمرے میں اشیاء کی آئسومورفزم کلاسوں کے طور پر کرتی ہے۔ مثال کے طور پر، قدرتی اعداد کے سیٹ کو محدود سیٹوں کی کارڈینالیٹیز کے سیٹ کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے (اور ایک ہی کارڈینالیٹی والے کوئی بھی دو سیٹ آئسومورفک ہوتے ہیں)۔ اس صورت میں، قدرتی اعداد کے سیٹ پر کارروائیوں، جیسے کہ اضافہ اور ضرب، کو محدود سیٹوں کے زمرے کے شریک پروڈکٹس اور مصنوعات کے بارے میں معلومات لے جانے کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے۔ کم تجریدی طور پر، یہاں خیال یہ ہے کہ اصل اشیاء کے سیٹوں میں ہیرا پھیری کرنا، اور مشترکہ مصنوعات (یونین میں دو سیٹوں کو جوڑنا) یا مصنوعات (ان میں سے بڑی تعداد پر نظر رکھنے کے لیے چیزوں کی صفوں کی تعمیر) سب سے پہلے آئی۔ بعد میں، سیٹوں کی ٹھوس ساخت کو خلاصہ کر دیا گیا-ریاضی کا تجریدی نظریہ تیار کرنے کے لیے "صرف آئسومورفزم تک" لے جایا گیا۔ یہ ایک "زمرہ بندی" ہے-درجہ بندی اس مرحلے کو الٹ دیتی ہے۔ دیگر مثالوں میں ٹوپولوجی میں ہومیولوجی کے نظریات شامل ہیں۔ ایمی نویتھر نے ہومولوجی کی جدید تشکیل کو بیٹی نمبر کے تصور کی درجہ بندی کرکے کچھ آزاد ابیلین گروپوں کے درجہ کے طور پر دیا۔ کھوانوف ہومیولوجی کو گرہ تھیوری میں گرہ غیر متغیر کے طور پر بھی دیکھیں۔ محدود گروپ تھیوری میں ایک مثال یہ ہے کہ سمیٹرک افعال کی رنگ کو سمیٹرک گروپ کی نمائندگی کے زمرے کے ذریعہ درجہ بندی کیا جاتا ہے۔ زمرہ بندی کا نقشہ سپیکٹ ماڈیول کو تقسیم کے ذریعے اسی تقسیم کے ذریعے اشاریہ بند شور فنکشن میں بھیجتا ہے، بنیادی طور پر متعلقہ گروتھینڈک گروپ کی پسندیدہ بنیاد سے کردار کے نقشے کی پیروی کرتے ہوئے سمیٹرک افعال کی رنگ کی نمائندگی-نظریاتی پسندیدہ بنیاد پر جاتا ہے۔ یہ نقشہ اس بات کی عکاسی کرتا ہے کہ ڈھانچے کس طرح ایک جیسے ہیں۔ مثال کے طور پر ان کے متعلقہ اڈوں پر ایک جیسے سڑنے کے نمبر ہیں، دونوں لٹل ووڈ-رچرڈسن گتانک کے ذریعہ دیئے گئے ہیں۔ ایبلین کی درجہ بندی ایک زمرے کے لیے، گروتھینڈیک کا گروپ ہونے دیں۔ ایک انگوٹی کو ابیلین گروپ کے طور پر آزاد ہونے دیں، اور اس کی بنیاد اس طرح ہونے دیں کہ ضرب مثبت ہو، یعنی۔ کے ساتھ ایک-ماڈیول ہونے دیں۔ پھر ایک (کمزور) ابیلین کی درجہ بندی ایک ابیلین زمرہ، ایک آئسومورفزم، اور عین مطابق اینڈو فنکٹرز پر مشتمل ہوتی ہے جیسے کہ فنکٹر ماڈیول کے عمل کو اٹھاتا ہے، یعنی۔ ، اور آئسومورفزم ہیں، یعنی۔ ساخت فنکٹروں کے براہ راست مجموعہ کے طور پر اسی طرح تحلیل ہوتی ہے جس طرح پروڈکٹ بنیادی عناصر کے لکیری امتزاج کے طور پر تحلیل ہوتا ہے۔ مجموعہ ثبوت، سیٹ تھیوریٹک اینالاگس کے ذریعہ نمبر تھیوریٹک تھیوریمز کو تبدیل کرنے کا عمل بھی دیکھیں۔ اعلی زمرہ نظریہ اعلی جہتی الجبرا زمرہ جاتی رنگ حوالہ جات مزید پڑھنا مذکورہ مصنفین میں سے ایک کا بلاگ پوسٹ (بیز): https://golem.ph.utexas.edu/category/2008/10/what_is_categorification.html۔ زمرہ نظریہ الجبرائی ٹوپولوجی