Dual number
الجبرا میں، دوہری اعداد ایک ہائپر کمپلیکس نمبر سسٹم ہیں جو پہلی بار 19 ویں صدی میں متعارف کرایا گیا تھا۔ وہ شکل کے تاثرات ہیں، جہاں اور حقیقی اعداد ہیں، اور ایک علامت ہے جس سے مطمئن ہونے کے لیے لیا جاتا ہے۔ دوہری نمبروں کو جزو کے لحاظ سے شامل کیا جا سکتا ہے، اور اس فارمولے سے ضرب دی جا سکتی ہے جو خاصیت اور اس حقیقت سے ملتا ہے کہ ضرب ایک دو لکیری عمل ہے۔ دوہری اعداد حقیقی پر طول و عرض دو کا ایک تبادلہ الجبرہ بناتے ہیں، اور ایک آرٹینین مقامی رنگ بھی بناتے ہیں۔ وہ ایک انگوٹھی کی آسان ترین مثالوں میں سے ایک ہیں جس میں غیر صفر نیلپوٹینٹ عناصر ہوتے ہیں۔ تاریخ دوہری اعداد 1873 میں ولیم کلفورڈ نے متعارف کروائے تھے، اور بیسویں صدی کے آغاز میں جرمن ریاضی دان ایڈورڈ اسٹڈی نے استعمال کیے تھے، جنہوں نے انہیں دوہری زاویے کی نمائندگی کرنے کے لیے استعمال کیا جو خلا میں دو منحنی لکیروں کی متعلقہ پوزیشن کی پیمائش کرتا ہے۔ مطالعہ نے دوہری زاویے کی تعریف اس طرح کی ہے، جہاں تین جہتی خلا میں دو لکیروں کی سمتوں کے درمیان کا زاویہ ہے اور ان کے درمیان کا فاصلہ ہے۔ جہتی عمومی کاری، گراس مین نمبر، 19 ویں صدی کے آخر میں ہرمن گراس مین نے متعارف کرایا تھا۔ جدید تعریف جدید الجبرا میں، دوہری اعداد کے الجبرا کو اکثر غیر متعین کے مربع سے پیدا ہونے والے پرنسپل آئیڈیل کے ذریعہ حقیقی اعداد پر کثیر الجہتی رنگ کے حصص کے طور پر بیان کیا جاتا ہے، یعنی اس کی تعریف ایک جہتی ویکٹر اسپیس کے بیرونی الجبرا کے طور پر بھی کی جا سکتی ہے جس میں اس کا بنیادی عنصر ہوتا ہے۔ دوہری اعداد کی تقسیم کی تعریف اس وقت کی جاتی ہے جب ڈینومینیٹر کا حقیقی حصہ غیر صفر ہو۔ تقسیم کا عمل پیچیدہ تقسیم کے مترادف ہے جس میں غیر حقیقی حصوں کو منسوخ کرنے کے لیے ڈینومینیٹر کو اس کے کنجوگیٹ سے ضرب دی جاتی ہے۔ لہذا، شکل کی مساوات کو تقسیم کرنے کے لیے ہم عدد اور ڈینومینیٹر کو ڈینومینیٹر کے کنجوگیٹ سے ضرب دیتے ہیں: جس کی وضاحت اس وقت کی جاتی ہے جب غیر صفر ہو۔ اگر، دوسری طرف، صفر ہے جبکہ نہیں ہے، تو مساوات کا کوئی حل نہیں ہے اگر غیر صفر ہے بصورت دیگر فارم کے کسی بھی دوہری نمبر سے حل کیا جاتا ہے۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ "حصص" کا غیر حقیقی حصہ من مانی ہے اور اس لیے تقسیم کو خالصتا غیر حقیقی دوہری اعداد کے لیے بیان نہیں کیا گیا ہے۔ درحقیقت، وہ (معمولی طور پر) صفر تقسیم کار ہیں اور واضح طور پر دوہری اعداد کے ایسوسی ایٹیو الجبرا (اور اس طرح رنگ) کا ایک آئیڈیل بناتے ہیں۔ میٹرکس کی نمائندگی دوہری نمبر کی نمائندگی مربع میٹرکس کے ذریعے کی جا سکتی ہے۔ اس نمائندگی میں میٹرکس مربع صفر میٹرکس کے لیے، جو دوہری نمبر سے مطابقت رکھتا ہے۔ دوہری اعداد کو مربع میٹرکس کے طور پر ظاہر کرنے کے دوسرے طریقے بھی ہیں۔ وہ شناخت میٹرکس کے ذریعہ دوہری نمبر کی نمائندگی کرنے پر مشتمل ہوتے ہیں، اور کسی بھی میٹرکس کے ذریعہ جس کا مربع صفر میٹرکس ہے۔ یعنی، میٹرکس کے معاملے میں، تفریق کے ساتھ فارم کا کوئی بھی غیر صفر میٹرکس دوہری نمبروں کا ایک اطلاق خودکار تفریق ہے۔ حقیقی کوفشنٹس کے ساتھ کسی بھی کثیر الجہتی کو دوہری نمبر والی قدر والی دلیل کے فنکشن تک بڑھایا جا سکتا ہے، جہاں اس کا مشتق ہے۔ مزید عام طور پر، کسی بھی (تجزیاتی) حقیقی فنکشن کو اس کی ٹیلر سیریز کے ذریعے دوہری تعداد تک بڑھایا جا سکتا ہے: چونکہ تمام اصطلاحات جن میں یا اس سے زیادہ طاقتیں شامل ہیں، کی تعریف کے مطابق معمولی ہیں۔ دوہری نمبروں پر ان افعال کی کمپوزیشن کا حساب لگانے اور نتیجہ میں کے گتانک کا جائزہ لینے سے ہمیں معلوم ہوتا ہے کہ ہم نے خود بخود کمپوزیشن کے مشتق کا حساب لگا لیا ہے۔ اسی طرح کا ایک طریقہ متغیرات کے کثیر الجہتی کے لیے کام کرتا ہے، جس میں جہتی ویکٹر اسپیس کے بیرونی الجبرا کا استعمال کیا جاتا ہے۔ جیومیٹری دوہری اعداد کا "اکائی دائرہ" ان پر مشتمل ہوتا ہے جن کے ساتھ یہ کہاں مطمئن ہوتے ہیں۔ تاہم، نوٹ کریں کہ اس طرح-محور پر لاگو ہونے والا ایکسپونینشیل نقشہ صرف آدھے دائرے کا احاطہ کرتا ہے۔ جانے دیں۔ اگر اور، تو دوہری نمبر کا قطبی سڑنا ہے، اور ڈھلوان اس کا کونیی حصہ ہے۔ دوہری نمبر کے طیارہ میں گردش کا تصور اس کے بعد سے عمودی شیر میپنگ کے برابر ہے۔ مطلق خلا اور وقت میں گیلیلین تبدیلی جو آرام کے نقاط کے نظام کو رفتار کے حوالہ کے حرکت پذیر فریم سے متعلق ہے۔ دوہری اعداد کے ساتھ جو ایک جگہ کے طول و عرض اور وقت کے ساتھ واقعات کی نمائندگی کرتے ہیں، وہی تبدیلی ضرب کے ساتھ متاثر ہوتی ہے۔ دو دوہری اعداد دیے گئے ہیں اور، وہ ان کے مجموعے کا تعین اس طرح کرتے ہیں کہ سے اور تک کی لکیروں کے درمیان ڈھلوانوں ("گیلیلین زاویہ") میں فرق مستقل ہو۔ یہ سیٹ دوہری نمبر کے سطح میں ایک سائیکل ہے ؛ چونکہ لکیروں کی ڈھلوانوں میں فرق کو مستقل پر ترتیب دینے والی مساوات حقیقی حصے میں ایک کواڈریٹک مساوات ہے، ایک سائیکل ایک پیرابولہ ہے۔ دوہری نمبر والے طیارہ کی "چکور گردش" اس کی پروجیکٹو لائن کی حرکت کے طور پر ہوتی ہے۔ یساک یاگلوم کے مطابق، سائیکل شیئر کی ساخت کے تحت غیر متغیر ہے جس کا ترجمہ میکانکس میں ایپلی کیشنز ڈوئل نمبرز میکانکس میں ایپلی کیشنز تلاش کرتے ہیں، خاص طور پر کینیمیٹک ترکیب کے لیے۔ مثال کے طور پر، دوہری اعداد چار بار کے کروی ربط کی ان پٹ/آؤٹ پٹ مساوات کو، جس میں صرف روٹوئڈ جوڑے شامل ہیں، چار بار کے مقامی میکانزم (روٹوئڈ، روٹوئڈ، روٹوئڈ، سلنڈریکل) میں تبدیل کرنا ممکن بناتے ہیں۔ دوہرے زاویے ایک ابتدائی حصے، زاویے اور دوہرے حصے سے بنے ہوتے ہیں، جس کی لمبائی کی اکائیاں ہوتی ہیں۔ مزید کے لیے سکرو تھیوری دیکھیں۔ عامیاں یہ تعمیر زیادہ عام طور پر کی جا سکتی ہے: ایک مواصلاتی رنگ کے لیے کوئی بھی دوہری اعداد کو کثیر الجہتی رنگ کے حصص کے طور پر آئیڈیل کے ذریعے بیان کر سکتا ہے: تب کی شبیہہ کا مربع صفر کے برابر ہوتا ہے اور اوپر کے عنصر سے مطابقت رکھتا ہے۔ صفر مربع کے عناصر کا صوابدیدی ماڈیول دوہری اعداد کی زیادہ عمومی تعمیر ہے۔ ایک کمیوٹیٹو رنگ اور ایک ماڈیول کو دیکھتے ہوئے، ایک رنگ ہے جسے ڈبل نمبروں کی رنگ کہا جاتا ہے جس میں درج ذیل ڈھانچے ہوتے ہیں: یہ-ماڈیول ہے جس میں ضرب کے لیے اور کے ذریعے بیان کیا گیا ہے۔ ڈوئل نمبروں کا الجبرا وہ خاص معاملہ ہے جہاں اور سپر اسپیس ڈوئل نمبرز طبیعیات میں ایپلی کیشنز تلاش کرتے ہیں، جہاں وہ سپر اسپیس کی آسان ترین غیر معمولی مثالوں میں سے ایک تشکیل دیتے ہیں۔ مساوی طور پر، وہ صرف ایک جنریٹر کے ساتھ سپر نمبر ہیں۔ سپر نمبر تصور کو مختلف جنریٹرز میں عام کرتے ہیں، ہر اینٹی کمیونٹنگ، ممکنہ طور پر لامحدود تک لے جاتا ہے۔ سپر اسپیس ایک سے زیادہ آمد و رفت کے طول و عرض کی اجازت دے کر سپر نمبرز کو قدرے عام کرتا ہے۔ طبیعیات میں دوہری اعداد متعارف کرانے کا محرک فرمین کے لیے پالی اخراج کے اصول سے ملتا ہے۔ اس سمت کو "فرمیوونک" سمت کہا جاتا ہے، اور حقیقی جزو کو "بوسونک" سمت کہا جاتا ہے۔ فرمیوونک سمت یہ نام اس حقیقت سے حاصل کرتی ہے کہ فرمین پاؤلی اخراج کے اصول کی پابندی کرتے ہیں: نقاط کے تبادلے کے تحت، کوانٹم مکینیکل ویو فنکشن علامت کو تبدیل کرتا ہے، اور اس طرح غائب ہو جاتا ہے اگر دو نقاط کو ایک ساتھ لایا جائے۔ یہ جسمانی خیال الجبرائی تعلق سے حاصل ہوتا ہے۔ دوہری تعداد پر ایک پروجیکٹو لائن کا خیال گرون والڈ اور کورراڈو سیگری نے پیش کیا تھا۔ جس طرح ریمن دائرے کو پیچیدہ پروجیکٹو لائن کو بند کرنے کے لیے انفنٹی پر شمالی قطب کے نقطہ کی ضرورت ہوتی ہے، اسی طرح انفنٹی پر ایک لائن دوہری تعداد کے طیارہ کو سلنڈر پر بند کرنے میں کامیاب ہو جاتی ہے۔ فرض کریں کہ یہ دوہری اعداد کی انگوٹی ہے اور اس کے ساتھ ذیلی سیٹ ہے۔ پھر یونٹس کا گروپ ہے۔ جانے دیں۔ B پر ایک رشتہ کی تعریف اس طرح کی گئی ہے: جب اس میں a ہوتا ہے اور۔ یہ رشتہ درحقیقت ایک مساوات کا رشتہ ہے۔ پروجیکٹو لائن اوور کے نکات اس سلسلے کے تحت مساوات کی کلاسیں ہیں: ان کی نمائندگی پروجیکٹو کوآرڈینیٹس کے ساتھ کی جاتی ہے۔ کے ذریعے سرایت پر غور کریں۔ پھر پوائنٹس، کے لیے، اندر ہیں لیکن سرایت کے نیچے کسی بھی پوائنٹ کی تصویر نہیں ہیں۔ پروجیکشن کے ذریعے سلنڈر پر نقشہ بنایا جاتا ہے: لائن پر ڈبل نمبر والے جہاز پر سلنڈر ٹینجینٹ لے جائیں،۔ اب طیاروں کی پنسل کے محور کے لیے سلنڈر پر مخالف لکیر لیں۔ دوہری نمبر والے طیارہ اور سلنڈر کو کاٹنے والے طیارے ان سطحوں کے درمیان پوائنٹس کا خط و کتابت فراہم کرتے ہیں۔ دوہری نمبر والے جہاز کے متوازی طیارہ دوہری تعداد پر پروجیکٹو لائن میں پوائنٹس سے مطابقت رکھتا ہے۔ ہموار لامحدود تجزیہ پرٹربیشن تھیوری انفینیٹیسیمل سکرو تھیوری ڈوئل کمپلیکس نمبر لیگیور ٹرانسفارمیشن گراس مین نمبر آٹومیٹک تفریق حوالہ جات مزید پڑھنا کارنیل یونیورسٹی میں کارنیل تاریخی ریاضیاتی مونوگراف سے۔ لکیری الجبرا ہائپر کمپلیکس نمبرز کمیونیٹیٹو الجبرا تفریقی الجبرا غیر معیاری تجزیہ