Principle of permanence
ریاضی کی تاریخ میں، استحکام کا اصول، یا مساوی شکلوں کے استحکام کا قانون، یہ خیال تھا کہ الجبرائی کارروائیوں جیسے اضافہ اور ضرب کو ہر عدد کے نظام میں مستقل طور پر برتاؤ کرنا چاہیے، خاص طور پر جب قائم شدہ عدد کے نظام میں توسیعات تیار کی جائیں۔ جدید ریاضی کی آمد اور محوری طریقہ پر اس کے زور سے پہلے، مستقل اصول کو ریاضیاتی دلائل میں ایک اہم ذریعہ سمجھا جاتا تھا۔ جدید ریاضی میں، اس کے بجائے دلائل کو محوریات پر بنائے گئے سخت ثبوتوں سے تبدیل کیا گیا ہے، اور اس کے بجائے اس اصول کو نئے الجبرائی ڈھانچے کو دریافت کرنے کے لیے ایک تحقیق کے طور پر استعمال کیا جاتا ہے۔ مزید برآں، اس اصول کو تھیوریمز کی ایک کلاس میں رسمی شکل دی گئی ہے جسے ٹرانسفر اصول کہا جاتا ہے، جس میں کہا گیا ہے کہ کسی زبان کے تمام بیانات جو کسی ڈھانچے کے لیے درست ہیں، دوسرے ڈھانچے کے لیے درست ہیں۔ اس اصول کو جارج پیکاک نے اپنی کتاب اے ٹریٹائز آف الجبرا (اصل میں زور): 132 میں بیان کیا تھا۔ آئیے ہم ایک بار پھر مساوی شکلوں کے استحکام کے اس اصول یا قانون کی طرف رجوع کریں، اور جب براہ راست اور متصادم تناسب کی شکل میں بیان کیا جائے تو اس پر غور کریں۔ "جو بھی شکل الجبرائی طور پر دوسرے کے مساوی ہے، جب عام علامتوں میں ظاہر کی جاتی ہے، تو وہ صحیح ہونی چاہیے، چاہے وہ علامات جو بھی ظاہر کریں۔" اس کے برعکس، اگر ہم ریاضیاتی الجبرا یا کسی اور ماتحت سائنس میں ایک مساوی شکل دریافت کرتے ہیں، جب علامتیں شکل میں عام ہوتی ہیں حالانکہ ان کی نوعیت مخصوص ہوتی ہے، تو وہ ایک مساوی شکل ہونی چاہیے، جب علامتیں اپنی نوعیت کے ساتھ ساتھ اپنی شکل میں بھی عام ہوں۔ اس اصول پر بعد میں ہرمن ہینکل نے نظر ثانی کی اور اسے جیوسیپی پیانو، ارنسٹ ماچ، ہرمن شوبرٹ، الفریڈ پرنگہیم اور دیگر نے اپنایا۔ تقریبا اسی عرصے کے دوران جب الجبرہ کا ایک مقالہ، آگسٹن لوئس کاچی نے کورس ڈی اینالیس شائع کیا، جس میں 18 ویں صدی کے ریاضی دانوں جیسے یولر اور لگرینج کی طرف سے استعمال ہونے والے دلیل کے ایک طریقہ کو بیان کرنے (اور تنقید کرنے) کے لیے "الجبرا کی عامیت" کی اصطلاح استعمال کی گئی جو کہ مستقل اصول سے ملتا جلتا تھا۔ مستقل اصول کے اہم استعمال میں سے ایک یہ ظاہر کرنا ہے کہ ایک فعال مساوات جو حقیقی اعداد کے لیے ہوتی ہے پیچیدہ اعداد کے لیے بھی ہوتی ہے۔ مثال کے طور پر، مساوات تمام حقیقی اعداد s، t کے لیے ہوتی ہے۔ دو متغیرات کے افعال کے لیے استحکام کے اصول سے پتہ چلتا ہے کہ یہ تمام پیچیدہ اعداد کے لیے بھی ہوتی ہے۔ ایک جوابی مثال کے لیے، اضافے کی درج ذیل خصوصیات کے تبادلے پر غور کریں: سب کے لیے، اضافے کی بائیں-منسوخ کرنے والی خاصیت: اگر، تو، سب کے لیے۔ دونوں خصوصیات تمام قدرتی، عدد، عقلی، حقیقی اور پیچیدہ اعداد کے لیے ہوتی ہیں۔ تاہم، جب جارج کینٹر کے بعد، قدرتی اعداد کو لامحدود سے آگے بڑھایا جاتا ہے، تو کوئی ایسا نظام معلوم نہیں ہوتا جو بیک وقت دونوں خصوصیات کو پورا کرے۔ آرڈینل ریاضی میں، اضافہ لیفٹ-کینسیلیٹو ہوتا ہے، لیکن اب تبادلہ نہیں ہوتا ہے۔ مثلا۔ بنیادی ریاضی میں، اضافہ متغیر ہوتا ہے، لیکن اب بائیں طرف سے منسوخ نہیں ہوتا، کیونکہ جب بھی یا لامحدود ہوتا ہے۔ مثال کے طور پر، لیکن۔ اس لیے دونوں نظام استحکام کے اصول کی خلاف ورزی کرتے ہیں۔ حوالہ جات ریاضی کی تاریخ