Nonelementary integral
ریاضی میں، کسی دی گئی ابتدائی فنکشن کا غیر ابتدائی اینٹی ڈرایٹو ایک اینٹی ڈرایٹو (یا غیر معینہ انٹیگرل) ہے جو کہ خود ایک ابتدائی فنکشن نہیں ہے (یعنی۔ ایک فنکشن جو فیلڈ آپریشنز کا استعمال کرتے ہوئے مستقل، الجبرائی، ایکسپونینشل، ٹرگونومیٹرک، اور لوگرتھمک افعال کی ایک محدود تعداد سے بنایا گیا ہے)۔ 1835 میں لیوویل کے ایک نظریہ نے پہلا ثبوت فراہم کیا کہ غیر معمولی اینٹی ڈراویٹوز موجود ہیں۔ یہ تھیوریم رش الگورتھم کے لیے ایک بنیاد بھی فراہم کرتا ہے (مشکل کے ساتھ) اس بات کا تعین کرنے کے لیے کہ کون سے ابتدائی افعال میں ابتدائی اینٹی ڈراویٹوز ہوتے ہیں۔ غیر ایلیمنٹری اینٹی ڈراویٹوز والے افعال کی مثالوں میں شامل ہیں: (ایلیپٹک انٹیگرل) (لوگرتھمک انٹیگرل) (ایرر فنکشن، گوسیئن انٹیگرل) اور (فریسنل انٹیگرل) (سائن انٹیگرل، ڈیرچلیٹ انٹیگرل) (ایکسپونینشل انٹیگرل) (ایکسپونینشل انٹیگرل کے لحاظ سے) (لوگرتھمک انٹیگرل کے لحاظ سے) (نامکمل گاما فنکشن) ؛ اینٹی ڈراویٹو کے لیے ایکسپونینشل انٹیگرل کے لحاظ سے لکھا جا سکتا ہے ؛ ایرر فنکشن کے لحاظ سے ؛ کسی بھی مثبت انٹیجر کے لیے، اینٹی ڈراویٹو ایلیمنٹری۔ کچھ عام غیر عنصر مخالف افعال کو نام دیے جاتے ہیں، جو نام نہاد خصوصی افعال کی وضاحت کرتے ہیں، اور ان نئے افعال کو شامل کرنے والے فارمولے غیر عنصر مخالف کی ایک بڑی کلاس کا اظہار کر سکتے ہیں۔ مندرجہ بالا مثالیں قوسین میں متعلقہ خصوصی افعال کا نام دیتی ہیں۔ خصوصیات غیر اضافی اینٹی ڈراویٹوز کا اندازہ اکثر ٹیلر سیریز کا استعمال کرتے ہوئے کیا جا سکتا ہے۔ یہاں تک کہ اگر کسی فنکشن میں کوئی ابتدائی اینٹی ڈرایکٹو نہیں ہے، تو اس کی ٹیلر سیریز کو کثیر الجہتی کی طرح ٹرم بہ ٹرم مربوط کیا جا سکتا ہے، جس سے اینٹی ڈرایکٹو فنکشن ٹیلر سیریز کی طرح کنورجنس کے اسی رداس کے ساتھ ملتا ہے۔ تاہم، یہاں تک کہ اگر انٹیگرانڈ میں کنورجنٹ ٹیلر سیریز ہے، تو اس کے کوفشنٹس کی ترتیب کا اکثر کوئی ابتدائی فارمولا نہیں ہوتا ہے اور انٹیگرل ٹیلر سیریز کے لیے اسی حد کے ساتھ، اصطلاح در اصطلاح اس کا جائزہ لیا جانا چاہیے۔ یہاں تک کہ اگر ابتدائی اصطلاحات میں غیر معینہ مدت کے انٹیگرل (اینٹی ڈرایٹو) کا اندازہ لگانا ممکن نہیں ہے، تو کوئی بھی ہمیشہ عددی انٹیگریشن کے ذریعے ایک متعلقہ قطعی انٹیگرل کا تخمینہ لگا سکتا ہے۔ ایسے معاملات بھی ہیں جہاں کوئی ابتدائی اینٹی ڈرایکٹو نہیں ہے، لیکن مخصوص قطعی انٹیگرلز (اکثر غیر محدود وقفوں پر نامناسب انٹیگرلز) کا ابتدائی اصطلاحات میں جائزہ لیا جا سکتا ہے: سب سے مشہور طور پر گوسیئن انٹیگرل ابتدائی افعال کے سیٹ کے انضمام کے تحت بندش لیوولین افعال کا مجموعہ ہے۔ مزید دیکھیں حوالہ جات انٹیگریشن آف نانلیمنٹری فنکشنز، S. O. S. MATHematics.com ؛ رسائی 7 دسمبر 2012۔ مزید پڑھنے کے لیے ولیمز، ڈانا پی۔، نان لیمینٹری اینٹی ڈراویٹیز، 1 دسمبر 1993۔ 24 جنوری 2014 تک رسائی حاصل کی گئی۔ انٹیگرل کیلکولس انٹیگرلز