Coefficient of determination
اعداد و شمار میں، تعین کا گتانک، جسے R2 یا r2 سے ظاہر کیا جاتا ہے اور جسے "R مربع" کہا جاتا ہے، منحصر متغیر میں تغیر کا تناسب ہے جس کی آزاد متغیرات سے پیش گوئی کی جا سکتی ہے۔ یہ ایک اعدادوشمار ہے جو شماریاتی نمونوں کے تناظر میں استعمال ہوتا ہے جس کا بنیادی مقصد یا تو مستقبل کے نتائج کی پیش گوئی کرنا ہے یا دیگر متعلقہ معلومات کی بنیاد پر مفروضوں کی جانچ کرنا ہے۔ یہ ایک پیمائش فراہم کرتا ہے کہ ماڈل کے ذریعے بیان کردہ نتائج کے کل تغیر کے تناسب کی بنیاد پر ماڈل کے ذریعے مشاہدہ شدہ نتائج کو کتنی اچھی طرح سے نقل کیا جاتا ہے۔ R2 کی کئی تعریفیں ہیں جو صرف بعض اوقات مساوی ہوتی ہیں۔ ایسے معاملات کی ایک کلاس میں سادہ لکیری رجعت شامل ہے جہاں R2 کے بجائے r2 استعمال ہوتا ہے۔ جب صرف ایک انٹرسیپٹ شامل کیا جاتا ہے، تو r2 محض مشاہدہ شدہ نتائج اور مشاہدہ شدہ پیشن گوئی کی اقدار کے درمیان نمونے کے ارتباط گتانک (یعنی r) کا مربع ہوتا ہے۔ اگر اضافی ریگریسرز کو شامل کیا جاتا ہے، تو R2 متعدد ارتباط کے گتانک کا مربع ہے۔ ایسے دونوں صورتوں میں، تعین کا گتانک عام طور پر 0 سے 1 تک ہوتا ہے۔ ایسے معاملات ہیں جہاں R2 منفی اقدار حاصل کر سکتا ہے۔ یہ اس وقت پیدا ہو سکتا ہے جب متعلقہ نتائج سے موازنہ کی جانے والی پیش گوئیاں ان اعداد و شمار کا استعمال کرتے ہوئے ماڈل فٹنگ کے طریقہ کار سے حاصل نہیں کی گئی ہوں۔ یہاں تک کہ اگر ماڈل فٹنگ کا طریقہ کار استعمال کیا گیا ہے، تب بھی R2 منفی ہو سکتا ہے، مثال کے طور پر جب لکیری ریگریشن کو انٹرسیپٹ کو شامل کیے بغیر کیا جاتا ہے، یا جب ڈیٹا کو فٹ کرنے کے لیے غیر لکیری فنکشن استعمال کیا جاتا ہے۔ ایسے معاملات میں جہاں منفی اقدار پیدا ہوتی ہیں، اعداد و شمار کا اوسط اس مخصوص معیار کے مطابق، فٹ شدہ فنکشن اقدار کے مقابلے میں نتائج کو بہتر فٹ فراہم کرتا ہے۔ رجعت تجزیہ تشخیص میں تعین کا گتانک ایم اے ای، ایم اے پی ای، ایم ایس ای، اور آر ایم ایس ای سے زیادہ (بدیہی طور پر) معلوماتی ہو سکتا ہے، جیسا کہ سابقہ کو فیصد کے طور پر ظاہر کیا جا سکتا ہے، جبکہ مؤخر الذکر اقدامات میں من مانی حدود ہوتی ہیں۔ مضمون میں ٹیسٹ ڈیٹا سیٹس پر SMAPE کے مقابلے میں یہ ناقص فٹ کے لیے بھی زیادہ مضبوط ثابت ہوا۔ مصنوعی (Ypred) بمقابلہ ماپا (Yobs) اقدار کی اچھائی کا اندازہ کرتے وقت، اس کی بنیاد لکیری رجعت (یعنی Yobs = m·Ypred + b) کے R2 پر رکھنا مناسب نہیں ہے۔ R2 Yobs اور Ypred کے درمیان کسی بھی لکیری ارتباط کی ڈگری کی مقدار طے کرتا ہے، جبکہ اچھائی کی فٹ تشخیص کے لیے صرف ایک مخصوص لکیری ارتباط کو مدنظر رکھا جانا چاہیے: Yobs = 1 · Ypred + 0 (یعنی 1:1 لائن)۔ تعریفیں ایک ڈیٹا سیٹ میں n اقدار ہوتی ہیں جن پر y1،.، yn (اجتماعی طور پر yi کے نام سے جانا جاتا ہے یا ویکٹر y = [y1،.، yn] T کے طور پر جانا جاتا ہے)، ہر ایک فٹ شدہ (یا ماڈل شدہ، یا پیش گوئی شدہ) قیمت f1،.، fn (جسے فائی کہا جاتا ہے، یا بعض اوقات، ویکٹر f کے طور پر) سے وابستہ ہوتا ہے۔ بقیہ کو ای آئی = وائی − فائی (ویکٹر ای کی تشکیل) کے طور پر بیان کریں۔ اگر مشاہدہ شدہ ڈیٹا کا اوسط ہے: تو پھر ڈیٹا سیٹ کی تغیر پذیری کو مربع فارمولوں کے دو مجموعوں سے ماپا جا سکتا ہے: بقیہ مربعوں کا مجموعہ، جسے بقیہ مربع بھی کہا جاتا ہے: مربعوں کا کل مجموعہ (اعداد و شمار کے تغیر کے متناسب): تعین کے گتانک کی سب سے عام تعریف ہے۔ بہترین صورت میں، ماڈل شدہ اقدار مشاہدہ شدہ اقدار سے بالکل میل کھاتی ہیں، جس کا نتیجہ اور ہوتا ہے۔ ایک بیس لائن ماڈل، جو ہمیشہ پیش گوئی کرتا ہے، ہوگا۔ جن ماڈلز میں اس بیس لائن سے بھی بدتر پیش گوئیاں ہوتی ہیں ان کا منفی ہوگا۔ غیر واضح تغیر سے تعلق ایک عام شکل میں، R2 کو غیر واضح تغیر (FVU) کے حصے سے متعلق دیکھا جا سکتا ہے، کیونکہ دوسری اصطلاح غیر واضح تغیر (ماڈل کی غلطیوں کے تغیر) کا موازنہ کل تغیر (ڈیٹا کے) سے کرتی ہے: جیسا کہ وضاحت شدہ تغیر فرض کریں کہ R2 = 0.49 ہے۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ ڈیٹا سیٹ میں منحصر متغیر کی تغیر پذیری کا 49 فیصد حساب لیا گیا ہے، اور باقی 51 فیصد تغیر پذیری اب بھی بے حساب ہے۔ ریگریشن ماڈلز کے لیے، مربعوں کا ریگریشن مجموعہ، جسے مربعوں کا بیان کردہ مجموعہ بھی کہا جاتا ہے، کی تعریف اس طرح کی جاتی ہے۔ کچھ معاملات میں، جیسا کہ سادہ لکیری ریگریشن میں، مربعوں کا کل مجموعہ اوپر بیان کردہ مربعوں کے دو دیگر مجموعوں کے مجموعے کے برابر ہوتا ہے: اس نتیجے کے مشتق کے لیے عمومی OLS ماڈل میں پارٹیشننگ دیکھیں۔ جب یہ تعلق برقرار رہتا ہے تو، R2 کی مذکورہ تعریف اس کے مساوی ہوتی ہے جہاں n متغیرات پر مشاہدات (معاملات) کی تعداد ہے۔ اس شکل میں R2 کو کل تغیر (منحصر متغیر کا نمونہ تغیر، جو کہ SStot/n ہے) کے بیان کردہ تغیر (ماڈل کی پیش گوئیوں کا تغیر، جو کہ SSREG/n ہے) کے تناسب کے طور پر ظاہر کیا جاتا ہے۔ مربعوں کے مجموعے کی یہ تقسیم مثال کے طور پر اس وقت ہوتی ہے جب ماڈل کی اقدار فائی لکیری رجعت کے ذریعے حاصل کی جاتی ہیں۔ ایک ہلکی کافی حالت مندرجہ ذیل ہے: ماڈل میں وہ شکل ہوتی ہے جہاں qi صوابدیدی اقدار ہیں جو i یا دیگر آزاد پیرامیٹرز پر منحصر ہو سکتی ہیں یا نہیں (عام انتخاب qi = xi صرف ایک خاص معاملہ ہے)، اور گتانک کے تخمینے اور بقیہ مربعوں کی رقم کو کم سے کم کرکے حاصل کیے جاتے ہیں۔ شرائط کا یہ مجموعہ ایک اہم ہے اور اس کے فٹ شدہ بقایا اور ماڈل شدہ اقدار کی خصوصیات کے لیے متعدد مضمرات ہیں۔ خاص طور پر، ان حالات کے تحت: مربع ارتباط گتانک کے طور پر لکیری کم از کم مربع میں ایک اندازے کے مطابق انٹرسیپٹ ٹرم کے ساتھ ایک سے زیادہ رجعت، R2 منحصر متغیر کے مشاہدہ شدہ اور ماڈل شدہ (پیش گوئی شدہ) ڈیٹا ویلیوز کے درمیان پیئرسن ارتباط گتانک کے مربع کے برابر ہے۔ ایک واحد وضاحتی کے ساتھ لیکن بغیر کسی انٹرسیپٹ ٹرم کے لکیری لیسٹ اسکوائرز ریگریشن میں، یہ منحصر متغیر اور وضاحتی متغیر کے مربع پیئرسن ارتباط گتانک کے برابر بھی ہے۔ اسے دو وضاحتی متغیرات کے درمیان ارتباط گتانک کے ساتھ الجھن میں نہیں ڈالنا چاہیے، جس کی تعریف اس طرح کی گئی ہے کہ جہاں دو گتانک تخمینوں کے درمیان ارتباط، نیز ان کے معیاری انحراف، گتانک تخمینوں کے ارتباط میٹرکس سے حاصل کیے جاتے ہیں۔ زیادہ عام ماڈلنگ کے حالات کے تحت، جہاں پیش گوئی شدہ اقدار لکیری کم از کم مربع رجعت سے مختلف ماڈل سے پیدا کی جا سکتی ہیں، ایک R2 قدر کا حساب اصل اور ماڈل شدہ ڈیٹا اقدار کے درمیان ارتباط گتانک کے مربع کے طور پر کیا جا سکتا ہے۔ اس صورت میں، قیمت براہ راست اس بات کی پیمائش نہیں ہے کہ ماڈل شدہ اقدار کتنی اچھی ہیں، بلکہ اس بات کی پیمائش ہے کہ ماڈل شدہ اقدار سے پیش گوئی کرنے والے کو کتنا اچھا بنایا جا سکتا ہے (فارم α + βfi کا نظر ثانی شدہ پیش گوئی کرنے والا بنا کر)۔ ایوریٹ کے مطابق، یہ استعمال خاص طور پر "تعین کے گتانک" کی اصطلاح کی تعریف ہے: دو (عمومی) متغیرات کے درمیان ارتباط کا مربع۔ تشریح R2 ماڈل کے فٹ ہونے کی اچھائی کی پیمائش ہے۔ رجعت میں، تعین کا R2 گتانک ایک شماریاتی پیمائش ہے کہ رجعت کی پیش گوئیاں حقیقی ڈیٹا پوائنٹس کا تخمینہ کتنی اچھی طرح سے کرتی ہیں۔ 1 کا R2 اس بات کی نشاندہی کرتا ہے کہ رجعت کی پیش گوئیاں ڈیٹا میں بالکل فٹ ہوتی ہیں۔ رینج 0 سے 1 سے باہر R2 کی اقدار اس وقت ہوتی ہیں جب ماڈل ڈیٹا کو بدترین ممکنہ کم سے کم مربع پیشن گوئی سے بھی بدتر فٹ کرتا ہے (مشاہدہ شدہ ڈیٹا کے اوسط کے برابر اونچائی پر افقی ہائپرپلین کے برابر)۔ یہ اس وقت ہوتا ہے جب غلط ماڈل کا انتخاب کیا گیا ہو، یا غلطی سے بے معنی رکاوٹوں کا اطلاق کیا گیا ہو۔ اگر کوالستھ کی مساوات 1 استعمال کی جائے (یہ اکثر استعمال ہونے والی مساوات ہے)، تو R2 صفر سے کم ہو سکتا ہے۔ اگر کوالستھ کی مساوات 2 استعمال کی جائے تو R2 ایک سے بڑا ہو سکتا ہے۔ ان تمام مثالوں میں جہاں R2 استعمال کیا جاتا ہے، پیشن گوئی کرنے والوں کا حساب عام کم سے کم مربع رجعت کے ذریعے کیا جاتا ہے: یعنی ایس ایس آر کو کم سے کم کرکے۔ اس صورت میں، R2 میں اضافہ ہوتا ہے جیسے جیسے ماڈل میں متغیرات کی تعداد میں اضافہ ہوتا ہے (R2 مونوٹون ہے جو متغیرات کی تعداد کے ساتھ بڑھتا ہے-یہ کبھی کم نہیں ہوگا)۔ یہ R2 کے ایک ممکنہ استعمال میں ایک خرابی کی وضاحت کرتا ہے، جہاں کوئی R2 ویلیو کو بڑھانے کے لیے متغیرات (کچن سنک ریگریشن) کو شامل کرتا رہ سکتا ہے۔ مثال کے طور پر، اگر کوئی کار کے گیس مائلیج، قیمت اور انجن کی طاقت سے کار کے ماڈل کی فروخت کی پیش گوئی کرنے کی کوشش کر رہا ہے، تو اس میں ماڈل کے نام کا پہلا حرف یا کار کو ڈیزائن کرنے والے لیڈ انجینئر کی اونچائی جیسے غیر متعلقہ عوامل شامل کیے جا سکتے ہیں کیونکہ متغیرات کے اضافے کے ساتھ R2 میں کبھی کمی نہیں ہوگی اور ممکنہ طور پر صرف اتفاق کی وجہ سے اس میں اضافہ ہوگا۔ یہ ایڈجسٹ شدہ R2 کو دیکھنے کے متبادل نقطہ نظر کی طرف لے جاتا ہے۔ اس اعداد و شمار کی وضاحت تقریبا R2 جیسی ہی ہے لیکن یہ اعداد و شمار کو سزا دیتی ہے کیونکہ ماڈل میں اضافی متغیرات شامل ہیں۔ عام کم سے کم مربعوں کی طرف سے فٹنگ کے علاوہ دیگر معاملات کے لیے، R2 کے اعداد و شمار کا حساب اوپر کے طور پر کیا جا سکتا ہے اور پھر بھی یہ ایک مفید پیمائش ہو سکتی ہے۔ اگر فٹنگ وزن والے کم سے کم مربعوں یا عمومی کم سے کم مربعوں سے ہوتی ہے، تو R2 کے متبادل ورژن کا حساب ان شماریاتی فریم ورک کے مطابق کیا جا سکتا ہے، جبکہ "خام" R2 اب بھی مفید ہو سکتا ہے اگر اس کی زیادہ آسانی سے تشریح کی جائے۔ R2 کے لیے اقدار کا حساب کسی بھی قسم کے پیشن گوئی ماڈل کے لیے کیا جا سکتا ہے، جس کی شماریاتی بنیاد کی ضرورت نہیں ہے۔ ایک سے زیادہ لکیری ماڈل میں ایک سے زیادہ وضاحتی متغیر کے ساتھ ایک لکیری ماڈل پر غور کریں، اس شکل کا جہاں، ith کیس کے لیے، رسپانس متغیر ہے، p ریگریسرز ہیں، اور ایک اوسط صفر غلطی کی اصطلاح ہے۔ مقداریں نامعلوم گتانک ہیں، جن کی اقدار کا تخمینہ کم سے کم مربعوں سے لگایا جاتا ہے۔ تعین R2 کا گتانک ماڈل کے عالمی فٹ کا ایک پیمانہ ہے۔ خاص طور پر، R2 [0، 1] کا ایک عنصر ہے اور Yi میں تغیر پذیری کے تناسب کی نمائندگی کرتا ہے جسے X میں ریگریسرز (وضاحتی متغیرات) کے کچھ لکیری امتزاج سے منسوب کیا جا سکتا ہے۔ R2 کی تشریح اکثر ماڈل میں ریگریسرز کے ذریعہ "وضاحت کردہ" ردعمل کے تغیر کے تناسب کے طور پر کی جاتی ہے۔ اس طرح، R2 = 1 اس بات کی نشاندہی کرتا ہے کہ فٹ شدہ ماڈل میں تمام تغیرات کی وضاحت کرتا ہے، جبکہ R2 = 0 کوئی 'لکیری' تعلق کی نشاندہی نہیں کرتا ہے (سیدھی لکیر کے رجعت کے لیے، اس کا مطلب یہ ہے کہ سیدھی لکیر کا ماڈل ایک مستقل لکیر ہے (ڈھلوان = 0، انٹرسیپٹ =) رسپانس متغیر اور رجعت کاروں کے درمیان)۔ اندرونی قدر جیسے کہ R2 = 0.7 کی تشریح اس طرح کی جا سکتی ہے: "رسپانس متغیر میں ستر فیصد تغیر کی وضاحت وضاحتی متغیرات کے ذریعے کی جا سکتی ہے۔ باقی تیس فیصد کو نامعلوم، چھپے ہوئے متغیرات یا موروثی تغیر سے منسوب کیا جا سکتا ہے۔ ایک انتباہ جو R2 پر لاگو ہوتا ہے، جیسا کہ ارتباط اور ایسوسی ایشن کی دیگر شماریاتی وضاحتوں پر لاگو ہوتا ہے وہ یہ ہے کہ "ارتباط کا مطلب وجہ نہیں ہے"۔ دوسرے لفظوں میں، اگرچہ ارتباط بعض اوقات متغیرات کے درمیان وجہ تعلقات کو بے نقاب کرنے میں قیمتی سراغ فراہم کر سکتے ہیں، لیکن دو متغیرات کے درمیان غیر صفر تخمینہ شدہ ارتباط خود اس بات کا ثبوت نہیں ہے کہ ایک متغیر کی قدر کو تبدیل کرنے کے نتیجے میں دیگر متغیرات کی اقدار میں تبدیلیاں آئیں گی۔ مثال کے طور پر، میچ (یا ہلکا) لے جانے کی مشق کا تعلق پھیپھڑوں کے کینسر کے واقعات سے ہے، لیکن میچ لے جانے سے کینسر نہیں ہوتا ("وجہ" کے معیاری معنوں میں)۔ ایک واحد ریگریسر کے معاملے میں، جو کم از کم مربعوں سے فٹ ہوتا ہے، R2 ریگریسر اور رسپانس متغیر سے متعلق پیئرسن پروڈکٹ-مومنٹ ارتباط گتانک کا مربع ہے۔ زیادہ عام طور پر، R2 تعمیر شدہ پیشن گوئی کرنے والے اور رسپانس متغیر کے درمیان ارتباط کا مربع ہے۔ ایک سے زیادہ ریگریسر کے ساتھ، R2 کو متعدد عزم کا گتانک کہا جا سکتا ہے۔ R2 کی افراط زر عام اعداد و شمار کا استعمال کرتے ہوئے کم از کم مربع رجعت میں، R2 کم از کم ماڈل میں رجعت کاروں کی تعداد میں اضافے کے ساتھ کمزور طور پر بڑھ رہا ہے۔ کیونکہ ریگریسرز کی تعداد میں اضافہ R2 کی قدر میں اضافہ کرتا ہے، صرف R2 کو آزاد متغیرات کی بہت مختلف تعداد والے ماڈلز کے بامعنی موازنہ کے طور پر استعمال نہیں کیا جا سکتا۔ دو ماڈلز کے درمیان بامعنی موازنہ کے لیے، مربعوں کے بقایا مجموعے پر ایف-ٹیسٹ کیا جا سکتا ہے، جیسا کہ گرینجر کازالیٹی میں ایف-ٹیسٹ ہوتا ہے، حالانکہ یہ ہمیشہ مناسب نہیں ہوتا ہے۔ اس کی یاد دہانی کے طور پر، کچھ مصنفین R2 کو Rq2 سے ظاہر کرتے ہیں، جہاں q X میں کالموں کی تعداد ہے (مستقل سمیت وضاحت کرنے والوں کی تعداد)۔ اس خاصیت کو ظاہر کرنے کے لیے، پہلے یاد رکھیں کہ کم سے کم مربع لکیری رجعت کا مقصد یہ ہے کہ جہاں xi کیس i کے لیے وضاحتی متغیرات کی اقدار کا ایک قطار ویکٹر ہے اور b xi کے متعلقہ عناصر کے کوفیشنٹس کا کالم ویکٹر ہے۔ مقصد کی زیادہ سے زیادہ قیمت کمزور ہوتی ہے کیونکہ زیادہ وضاحتی متغیرات کو شامل کیا جاتا ہے اور اس وجہ سے (وضاحتی ڈیٹا میٹرکس جس کی ith صف xi ہے) کے اضافی کالموں کو اس حقیقت سے شامل کیا جاتا ہے کہ کم پابند کم سے کم ایک زیادہ سے زیادہ لاگت کی طرف جاتا ہے جو زیادہ محدود کم سے کم کرنے سے کمزور ہوتا ہے۔ پچھلے نتیجے کو دیکھتے ہوئے اور یہ نوٹ کرتے ہوئے کہ یہ صرف y پر منحصر ہے، R2 کی غیر کم ہونے والی خاصیت براہ راست اوپر کی تعریف سے ملتی ہے۔ بدیہی وجہ یہ ہے کہ اضافی وضاحتی متغیر کا استعمال R2 کو کم نہیں کر سکتا ہے: کم سے کم کرنا R2 کو زیادہ سے زیادہ کرنے کے برابر ہے۔ جب اضافی متغیر کو شامل کیا جاتا ہے، تو اعداد و شمار کے پاس ہمیشہ یہ اختیار ہوتا ہے کہ اسے صفر کا تخمینہ گتانک دیا جائے، جس سے پیش گوئی شدہ اقدار اور R2 میں کوئی تبدیلی نہ ہو۔ اصلاح کا مسئلہ غیر صفر گتانک دینے کا واحد طریقہ یہ ہے کہ اگر ایسا کرنے سے R2 میں بہتری آئے۔ کیوٹس R2 اس بات کی نشاندہی نہیں کرتا ہے کہ آیا: آزاد متغیر منحصر متغیر میں تبدیلیوں کی وجہ ہیں ؛ خارج شدہ متغیر تعصب موجود ہے ؛ درست رجعت کا استعمال کیا گیا تھا ؛ آزاد متغیرات کا سب سے موزوں سیٹ منتخب کیا گیا ہے ؛ وضاحتی متغیرات پر ڈیٹا میں کولیینیریٹی موجود ہے ؛ آزاد متغیرات کے موجودہ سیٹ کے تبدیل شدہ ورژن کا استعمال کرکے ماڈل کو بہتر بنایا جا سکتا ہے ؛ ٹھوس نتیجہ اخذ کرنے کے لیے کافی ڈیٹا پوائنٹس موجود ہیں۔ ایکسٹینشنز ایڈجسٹڈ R2 ایڈجسٹڈ R2 کا استعمال (ایک عام نوٹیشن ہے، جس کا تلفظ "R بار اسکوائرڈ" ہے ؛ دوسرا ہے یا) ماڈل میں اضافی وضاحتی متغیرات کو شامل کرنے پر خود بخود بڑھتے ہوئے R2 کے رجحان کا حساب لگانے کی کوشش ہے۔ ایڈجسٹ () کرنے کے بہت سے مختلف طریقے ہیں۔ اب تک سب سے زیادہ استعمال ہونے والا، اس حد تک کہ اسے عام طور پر صرف ایڈجسٹڈ آر کہا جاتا ہے، موردیکائی ایزکیئل کی تجویز کردہ اصلاح ہے۔ ایڈجسٹڈ R2 کی تعریف اس طرح کی گئی ہے جہاں dfres ماڈل کے ارد گرد آبادی کے تغیر کے تخمینے کی ڈگری آف فریڈم ہے، اور dftot اوسط کے ارد گرد آبادی کے تغیر کے تخمینے کی ڈگری آف فریڈم ہے۔ dfres نمونے کے سائز n اور ماڈل میں متغیرات p کی تعداد کے لحاظ سے دیا گیا ہے، dfres = n − p. dftot اسی طرح دیا گیا ہے، لیکن p اوسط کے لیے اتحاد ہے، یعنی۔ dftot = n − 1۔ ڈگری آف فریڈم ڈال کر اور R2 کی تعریف کا استعمال کرتے ہوئے، اسے اس طرح دوبارہ لکھا جا سکتا ہے: جہاں p ماڈل میں وضاحتی متغیرات کی کل تعداد ہے، اور n نمونہ کا سائز ہے۔ ایڈجسٹ شدہ R2 منفی ہو سکتا ہے، اور اس کی قیمت ہمیشہ R2 سے کم یا اس کے برابر ہوگی۔ R2 کے برعکس، ایڈجسٹ شدہ R2 صرف اس وقت بڑھتا ہے جب R2 میں اضافہ (ایک نئے وضاحتی متغیر کی شمولیت کی وجہ سے) ایک سے زیادہ ہے جو اتفاق سے دیکھنے کی توقع کرے گا۔ اگر اہمیت کے پہلے سے طے شدہ درجہ بندی کے ساتھ وضاحتی متغیرات کا ایک مجموعہ ایک وقت میں ایک رجعت میں متعارف کرایا جاتا ہے، جس میں ہر بار ایڈجسٹ R2 کا حساب لگایا جاتا ہے، تو وہ سطح جس پر ایڈجسٹ R2 زیادہ سے زیادہ تک پہنچ جاتا ہے، اور بعد میں کم ہو جاتا ہے، وہ رجعت ہوگی جس میں اضافی/غیر ضروری شرائط کے بغیر بہترین فٹ ہونے کا مثالی مجموعہ ہوگا۔ ایڈجسٹڈ R2 کی تشریح آبادی R2 کے کم متعصبانہ تخمینہ کے طور پر کی جا سکتی ہے، جبکہ مشاہدہ شدہ نمونہ R2 آبادی کی قیمت کا مثبت متعصبانہ تخمینہ ہے۔ ایڈجسٹڈ R2 زیادہ مناسب ہوتا ہے جب ماڈل فٹ کا اندازہ کیا جاتا ہے (انحصار متغیر میں تغیر جو آزاد متغیرات کے حساب سے ہوتا ہے) اور ماڈل کی تعمیر کے فیچر سلیکشن مرحلے میں متبادل ماڈلز کا موازنہ کرنے میں۔ ایڈجسٹ شدہ R2 اعدادوشمار کے پیچھے کے اصول کو عام R2 کو دوبارہ لکھ کر دیکھا جا سکتا ہے کہ تخمینہ شدہ بقایا اور منحصر متغیر کے نمونے کے تغیرات بالترتیب کہاں اور کہاں ہیں، جنہیں غلطیوں اور منحصر متغیر کی آبادی کے تغیرات کے متعصبانہ تخمینوں کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے۔ ان تخمینوں کی جگہ شماریاتی طور پر غیر جانبدار ورژن لے لیتے ہیں: اور۔ غلطی اور منحصر متغیر کی آبادی کے تغیرات کے لیے غیر جانبدار تخمینہ کاروں کا استعمال کرنے کے باوجود، ایڈجسٹ شدہ R2 آبادی R2 کا غیر جانبدار تخمینہ نہیں ہے، جس کا نتیجہ غلطیوں کی آبادی کے تغیرات اور انحصار متغیر کا اندازہ لگانے کے بجائے استعمال ہوتا ہے۔ انگرام اولکن اور جان ڈبلیو پراٹ نے آبادی R2 کے لیے کم از کم تغیر غیر جانبدار تخمینہ اخذ کیا، جسے اولکن-پراٹ تخمینہ کار کہا جاتا ہے۔ R2 کو ایڈجسٹ کرنے کے لیے مختلف طریقوں کے موازنہ سے یہ نتیجہ اخذ کیا گیا ہے کہ زیادہ تر حالات میں یا تو اولکن-پراٹ تخمینہ کار یا عین مطابق اولکن-پراٹ تخمینہ کار کو (Ezekiel) ایڈجسٹ R2 پر ترجیح دی جانی چاہیے۔ جزوی تعین کا گتانک جزوی تعین کے گتانک کو تغیر کے تناسب کے طور پر بیان کیا جا سکتا ہے جس کی وضاحت کم شدہ ماڈل میں نہیں کی جا سکتی، لیکن مکمل (ایر) ماڈل میں بیان کردہ پیشن گوئی کرنے والوں کے ذریعے اس کی وضاحت کی جا سکتی ہے۔ یہ گتانک اس بارے میں بصیرت فراہم کرنے کے لیے استعمال کیا جاتا ہے کہ آیا ایک یا زیادہ اضافی پیشن گوئی کرنے والے زیادہ مکمل طور پر مخصوص رجعت ماڈل میں مفید ہو سکتے ہیں یا نہیں۔ دو ماڈلز کا اندازہ لگانے اور ان کے لیے اے این او وی اے ٹیبل تیار کرنے کے بعد جزوی آر 2 کا حساب نسبتا سیدھا ہے۔ جزوی R2 کا حساب وہ ہے جو عزم کے معمول کے گتانک سے ملتا جلتا ہے: R2 کو عام کرنا اور سڑنا جیسا کہ اوپر بیان کیا گیا ہے، ماڈل سلیکشن ہیورسٹکس جیسے ایڈجسٹڈ کرائٹیرین اور F-ٹیسٹ جانچتے ہیں کہ آیا یہ طے کرنے کے لیے کہ آیا کل کافی بڑھتا ہے کہ آیا ماڈل میں نیا ریگریسر شامل کیا جانا چاہیے۔ اگر کسی ریگریسر کو اس ماڈل میں شامل کیا جاتا ہے جس کا دوسرے ریگریسرز کے ساتھ انتہائی تعلق ہے جو پہلے ہی شامل کیے جا چکے ہیں، تو کل شاید ہی بڑھے گا، چاہے نیا ریگریسر مطابقت کا حامل ہو۔ نتیجے کے طور پر، جب باہمی ارتباط زیادہ ہوتے ہیں تو مذکورہ بالا ہیورسٹکس متعلقہ ریگریسرز کو نظر انداز کر دیں گے۔ متبادل طور پر، کسی مفروضے سے انحراف کی مطابقت کی مقدار طے کرنے کے لیے اس کے عمومی ورژن کو ختم کیا جا سکتا ہے۔ جیسا کہ ہورونویگ (2018) سے پتہ چلتا ہے، سکڑنے کے کئی تخمینے لگانے والے-جیسے کہ بیسیئن لکیری ریگریشن، رج ریگریشن، اور (انکولی) لاسو-اس سڑنے کا استعمال کرتے ہیں جب وہ بتدریج غیر محدود OLS حل سے قیاس شدہ اقدار کی طرف پیرامیٹرز کو سکڑتے ہیں۔ آئیے پہلے لکیری رجعت ماڈل کی وضاحت کرتے ہیں کیونکہ یہ فرض کیا جاتا ہے کہ میٹرکس کو زیڈ اسکور کے ساتھ معیاری بنایا گیا ہے اور کالم ویکٹر صفر کا اوسط رکھنے کے لیے مرکوز ہے۔ کالم ویکٹر کو قیاس شدہ رجعت کے پیرامیٹرز کا حوالہ دینے دیں اور کالم ویکٹر کو تخمینہ شدہ پیرامیٹرز کی نشاندہی کرنے دیں۔ اس کے بعد ہم 75 فیصد کے اے کی وضاحت کر سکتے ہیں جس کا مطلب ہے کہ اگر قیاس شدہ اقدار کے بجائے ڈیٹا سے مرضی کے مطابق حل استعمال کیے جائیں تو نمونے کی درستگی میں 75 فیصد اضافہ ہوتا ہے۔ خاص صورت میں جو صفر کا ویکٹر ہے، ہم دوبارہ روایتی حاصل کرتے ہیں۔ مفروضے سے انحراف کے انفرادی اثر کا حساب ('آر-راؤٹر') کے ساتھ لگایا جا سکتا ہے۔ یہ ٹائم میٹرکس کہاں سے دیا گیا ہے۔ کے اخترن عناصر بالکل تک کا اضافہ کرتے ہیں۔ اگر ریگریسرز غیر مربوط ہیں اور صفر کا ویکٹر ہے، تو اس کا اخترن عنصر صرف اور کے درمیان کی قیمت سے مطابقت رکھتا ہے۔ جب ریگریسرز اور باہمی تعلق رکھتے ہیں، تو ان میں کمی کی قیمت پر اضافہ ہو سکتا ہے۔ نتیجے کے طور پر، کے اخترن عناصر 0 سے چھوٹے اور زیادہ غیر معمولی صورتوں میں 1 سے بڑے ہو سکتے ہیں۔ اس طرح کی غیر یقینی صورتحال سے نمٹنے کے لیے، متعدد سکڑنے کا تخمینہ لگانے والے کسی قیاس شدہ قدر سے انحراف کی مطابقت کی مقدار طے کرنے کے لیے ڈائیگنل عناصر کا وزن اوسط لیتے ہیں۔ مثال کے لیے لاسو پر کلک کریں۔ لاجسٹک رجعت میں R2 لاجسٹک رجعت کے معاملے میں، عام طور پر زیادہ سے زیادہ امکان کے مطابق، چھدم-R2 کے کئی انتخاب ہوتے ہیں۔ ایک عام R2 ہے جو اصل میں کاکس اینڈ سنیل نے تجویز کیا تھا، اور آزادانہ طور پر میگی نے: جہاں صرف انٹرسیپٹ کے ساتھ ماڈل کا امکان ہے، تخمینہ شدہ ماڈل کا امکان ہے (یعنی، پیرامیٹر تخمینوں کے دیئے گئے سیٹ کے ساتھ ماڈل) اور n نمونہ کا سائز ہے۔ اسے آسانی سے دوبارہ لکھا جاتا ہے: جہاں D امکانات کے تناسب کی جانچ کا اعدادوشمار ہے۔ نیکو ناگیلکرکے نے نوٹ کیا کہ اس میں درج ذیل خصوصیات ہیں: یہ عزم کے کلاسیکی گتانک کے مطابق ہے جب دونوں کا حساب لگایا جا سکتا ہے۔ اس کی قیمت ماڈل کے زیادہ سے زیادہ امکانات کے تخمینے سے زیادہ سے زیادہ ہوتی ہے۔ یہ نمونے کے سائز سے غیر علامتی طور پر آزاد ہے۔ تشریح ماڈل کے ذریعہ بیان کردہ تغیر کا تناسب ہے۔ اقدار 0 اور 1 کے درمیان ہیں، جس میں 0 اس ماڈل کی نشاندہی کرتا ہے کہ وہ کسی تغیر کی وضاحت نہیں کرتا ہے اور 1 یہ ظاہر کرتا ہے کہ یہ مشاہدہ شدہ تغیر کی بالکل وضاحت کرتا ہے۔ اس کی کوئی اکائی نہیں ہے۔ تاہم، ایک لاجسٹک ماڈل کے معاملے میں، جہاں 1 سے زیادہ نہیں ہو سکتا، R2 0 اور: اس طرح کے درمیان ہے، ناگیلکرکے نے ایک اسکیلڈ R2 کو R2/R2 میکس کے طور پر بیان کرنے کا امکان تجویز کیا۔ بقایا جات کے معیار کے ساتھ موازنہ کبھی کبھار، بقایا جات کا معیار فٹ کی اچھائی کی نشاندہی کرنے کے لیے استعمال ہوتا ہے۔ اس اصطلاح کا حساب بقیہ کے مربعوں کے مجموعے کی مربع جڑ کے طور پر کیا جاتا ہے: R2 اور بقیہ کے معیار دونوں کی اپنی متعلقہ خوبیاں ہیں۔ کم سے کم مربع تجزیہ کے لیے R2 0 اور 1 کے درمیان مختلف ہوتا ہے، جس میں بڑی تعداد بہتر فٹ کی نشاندہی کرتی ہے اور 1 کامل فٹ کی نمائندگی کرتا ہے۔ بقایا جات کا معیار 0 سے انفینٹی تک مختلف ہوتا ہے جس میں چھوٹی تعداد بہتر فٹ کی نشاندہی کرتی ہے اور صفر کامل فٹ کی نشاندہی کرتا ہے۔ R2 کا ایک فائدہ اور نقصان یہ ہے کہ یہ اصطلاح قدر کو معمول پر لانے کے لیے کام کرتی ہے۔ اگر تمام Yi اقدار کو ایک مستقل سے ضرب دی جائے تو بقایا جات کا معیار بھی اس مستقل سے بدل جائے گا لیکن R2 وہی رہے گا۔ ایک بنیادی مثال کے طور پر، اعداد و شمار کے سیٹ پر فٹ ہونے والے لکیری کم از کم مربعوں کے لیے: R2 = 0.998، اور بقایا جات کا معیار = 0.302۔ اگر y کی تمام اقدار کو 1000 سے ضرب دیا جائے (مثال کے طور پر، ایس آئی سابقہ تبدیلی میں)، تو R2 وہی رہتا ہے، لیکن بقایا جات کا معیار = 302 ہے۔ فٹ کا ایک اور واحد پیرامیٹر اشارے بقیہ کا آر ایم ایس ای، یا بقیہ کا معیاری انحراف ہے۔ مندرجہ بالا مثال کے لیے اس کی قیمت 0.135 ہوگی کیونکہ فٹ غیر منضبط انٹرسیپٹ کے ساتھ لکیری تھا۔ تعین کے گتانک کی تخلیق کو جینیاتی ماہر سیول رائٹ سے منسوب کیا گیا ہے اور یہ پہلی بار 1921 میں شائع ہوا تھا۔ یہ بھی دیکھیں کہ اینسکومب کا چوکی کا فریکشن آف ویریئنس غیر واضح اچھائی کی فٹ نیش-سٹکلف ماڈل کی کارکردگی گتانک (ہائیڈرولوجیکل ایپلی کیشنز) پیئرسن پروڈکٹ-مومنٹ ارتباط گتانک نقصان رجعت ماڈل کی توثیق میں متناسب کمی جڑ کا مطلب مربع انحراف مرحلہ وار رجعت نوٹ مزید پڑھنا رجعت تشخیص شماریاتی تناسب کم سے کم مربع