Linear congruential generator
لکیری کونگروینشیل جنریٹر (ایل سی جی) ایک الگورتھم ہے جو ایک متضاد ٹکڑے ٹکڑے لکیری مساوات کے ساتھ شمار شدہ فرضی بے ترتیب نمبروں کی ترتیب دیتا ہے۔ یہ طریقہ قدیم ترین اور مشہور سڈورینڈم نمبر جنریٹر الگورتھم میں سے ایک کی نمائندگی کرتا ہے۔ ان کے پیچھے نظریہ کو سمجھنا نسبتا آسان ہے، اور وہ آسانی سے نافذ اور تیز ہیں، خاص طور پر کمپیوٹر ہارڈ ویئر پر جو اسٹوریج بٹ ٹرنکیشن کے ذریعے ماڈیولر ریاضی فراہم کر سکتے ہیں۔ جنریٹر کی تعریف تکرار کے تعلق سے کی جاتی ہے: چھدم بے ترتیب اقدار کی ترتیب کہاں ہے، اور-"ماڈیولس"-"ضرب"-"اضافہ"-"بیج" یا "اسٹارٹ ویلیو" انٹیجر مستقل ہیں جو جنریٹر کی وضاحت کرتے ہیں۔ اگر c = 0 ہے، تو جنریٹر کو اکثر ضرب ہم آہنگ جنریٹر (ایم سی جی)، یا لیمر آر این جی کہا جاتا ہے۔ اگر c ष्ण 0 ہے، تو اس طریقہ کو مخلوط ہم آہنگ جنریٹر کہا جاتا ہے۔ جب c § 0 ہوتا ہے، تو ایک ریاضی دان تکرار کو افائن ٹرانسفارمیشن کہے گا، لکیری نہیں، لیکن کمپیوٹر سائنس میں غلط نام اچھی طرح سے قائم ہے۔ تاریخ لیمر جنریٹر 1951 میں شائع ہوا تھا اور لکیری ہم آہنگ جنریٹر 1958 میں ڈبلیو ای تھامسن اور اے روٹن برگ نے شائع کیا تھا۔ مدت کی لمبائی ایل سی جی کا ایک فائدہ یہ ہے کہ پیرامیٹرز کے مناسب انتخاب کے نتیجے میں ایسی مدت ہوتی ہے جو معلوم اور طویل دونوں ہوتی ہے۔ اگرچہ واحد معیار نہیں ہے، لیکن بہت مختصر مدت سیڈورینڈم نمبر جنریٹر میں ایک مہلک خامی ہے۔ جبکہ ایل سی جی سڈورینڈم نمبر تیار کرنے کی صلاحیت رکھتے ہیں جو بے ترتیب کے لیے رسمی ٹیسٹ پاس کر سکتے ہیں، آؤٹ پٹ کا معیار m اور a پیرامیٹرز کے انتخاب کے لیے انتہائی حساس ہوتا ہے۔ مثال کے طور پر، a = 1 اور c = 1 ایک سادہ ماڈیولو-m کاؤنٹر تیار کرتے ہیں، جس کی مدت طویل ہوتی ہے، لیکن ظاہر ہے کہ یہ غیر بے ترتیب ہے۔ تاریخی طور پر، ناقص انتخاب ایل سی جی کے غیر موثر نفاذ کا باعث بنے ہیں۔ اس کی ایک خاص مثال رینڈو ہے، جسے 1970 کی دہائی کے اوائل میں بڑے پیمانے پر استعمال کیا گیا تھا اور اس کے نتیجے میں بہت سے نتائج سامنے آئے جن پر فی الحال اس ناقص ایل سی جی کے استعمال کی وجہ سے سوال اٹھائے جا رہے ہیں۔ پیرامیٹر کے انتخاب کے تین مشترکہ خاندان ہیں: m پرائم، c = 0 یہ اصل لیمر RNG تعمیر ہے۔ مدت m−1 ہے اگر ضرب a کو انٹیجرز ماڈیولو m کا ابتدائی عنصر منتخب کیا جاتا ہے۔ ابتدائی حالت کو 1 اور m−1 کے درمیان منتخب کیا جانا چاہیے۔ پرائم ماڈیولس کا ایک نقصان یہ ہے کہ ماڈیولر کمی کے لیے دوہری چوڑائی والے پروڈکٹ اور ایک واضح تخفیف مرحلے کی ضرورت ہوتی ہے۔ اکثر 2 کی طاقت سے بالکل کم پرائم استعمال کیا جاتا ہے (مرسین پرائمز 239−1 اور 261−1 مقبول ہیں)، تاکہ تخفیف ماڈیولو m = 2e−d کو (ایکس موڈ 2e) + d کے طور پر شمار کیا جا سکے۔ اس کے بعد m کی مشروط تخفیف ہونی چاہیے اگر نتیجہ بہت بڑا ہے، لیکن تخفیف کی تعداد ad/m تک محدود ہے، جسے آسانی سے ایک تک محدود کیا جا سکتا ہے اگر d چھوٹا ہے۔ اگر ڈبل چوڑائی والا پروڈکٹ دستیاب نہیں ہے، اور ضرب کو احتیاط سے منتخب کیا گیا ہے، تو شریج کا طریقہ استعمال کیا جا سکتا ہے۔ ایسا کرنے کے لیے، عنصر m = qa + r، یعنی۔ اور۔ پھر ایکس موڈ m = کا حساب لگائیں۔ چونکہ x موڈ q <q ≤ m/a، پہلی اصطلاح سختی سے am/a = m سے کم ہے۔ اگر a کو اس طرح منتخب کیا جائے کہ r ≤ q (اور اس طرح r/q ≤ 1)، تو دوسری اصطلاح بھی m سے کم ہے: r ≤ rx/q = x (r/q) ≤ x <m۔ اس طرح، دونوں مصنوعات کو ایک چوڑائی والے پروڈکٹ کے ساتھ شمار کیا جا سکتا ہے، اور ان کے درمیان فرق [1−m، m−1] کی حد میں ہے، لہذا ایک مشروط اضافے کے ساتھ اسے [0، m−1] تک کم کیا جا سکتا ہے۔ دوسرا نقصان یہ ہے کہ ویلیو 1 ≤ x <m کو یکساں بے ترتیب بٹس میں تبدیل کرنا عجیب ہے۔ اگر 2 کی طاقت سے صرف کم پرائم استعمال کیا جاتا ہے، تو بعض اوقات گمشدہ اقدار کو آسانی سے نظر انداز کر دیا جاتا ہے۔ m کو 2 کی طاقت کے طور پر منتخب کرنا، اکثر m = 232 یا m = 264، ایک خاص طور پر موثر ایل سی جی پیدا کرتا ہے، کیونکہ اس سے ماڈیولس آپریشن کو محض بائنری نمائندگی کو کاٹ کر شمار کرنے کی اجازت ملتی ہے۔ درحقیقت، سب سے اہم بٹس عام طور پر بالکل بھی شمار نہیں کیے جاتے ہیں۔ تاہم اس کے نقصانات بھی ہیں۔ اس شکل میں زیادہ سے زیادہ مدت m/4 ہے، جو حاصل کی جاتی ہے اگر a ष्ण 3 یا a ष्ण 5 (موڈ 8) ہو۔ ابتدائی حالت X0 کو عجیب ہونا چاہیے، اور X کے نچلے تین بٹس دو حالتوں کے درمیان متبادل ہوتے ہیں اور مفید نہیں ہوتے ہیں۔ یہ دکھایا جا سکتا ہے کہ یہ شکل ایک جنریٹر کے مساوی ہے جس کا ماڈیولس ایک چوتھائی سائز اور c ष्ण 0 ہے۔ پاور آف ٹو ماڈیولس کے استعمال کے ساتھ ایک زیادہ سنگین مسئلہ یہ ہے کہ کم بٹس کی مدت اعلی بٹس سے کم ہوتی ہے۔ ایکس کا سب سے نچلا آرڈر بٹ کبھی نہیں بدلتا (ایکس ہمیشہ عجیب ہوتا ہے)، اور اگلے دو بٹس دو ریاستوں کے درمیان متبادل ہوتے ہیں۔ (اگر a ष्ण 5 (موڈ 8) ہے، تو بٹ 1 کبھی نہیں بدلتا اور بٹ 2 بدلتا ہے۔ اگر a ष्ण 3 (موڈ 8)، تو بٹ 2 کبھی نہیں بدلتا اور بٹ 1 بدلتا ہے۔) بٹ 3 4 کی مدت کے ساتھ دہرایا جاتا ہے، بٹ 4 کی مدت 8 ہوتی ہے، اور اسی طرح۔ صرف X کا سب سے اہم حصہ ہی پوری مدت کو حاصل کرتا ہے۔ c ष्ण 0 جب c ष्ण 0، صحیح طریقے سے منتخب کردہ پیرامیٹرز تمام بیج کی اقدار کے لیے m کے برابر مدت کی اجازت دیتے ہیں۔ یہ تب اور صرف اس صورت میں ہوگا جب: اور نسبتا پرائم ہوں، کے تمام پرائم فیکٹرز سے تقسیم ہوں، 4 سے تقسیم ہوں اگر 4 سے تقسیم ہوں۔ ان تینوں تقاضوں کو ہل-ڈوبل نظریہ کہا جاتا ہے۔ یہ فارم کسی بھی m کے ساتھ استعمال کیا جا سکتا ہے، لیکن صرف m کے لیے بہت سے بار بار پرائم فیکٹرز کے ساتھ اچھی طرح سے کام کرتا ہے، جیسے کہ 2 کی طاقت ؛ کمپیوٹر کے لفظ کا سائز استعمال کرنا سب سے عام انتخاب ہے۔ اگر m ایک مربع فری عدد ہوتا، تو یہ صرف a ष्ण 1 (موڈ m) کی اجازت دیتا، جو کہ ایک بہت ہی ناقص PRNG بناتا ہے۔ ممکنہ مکمل مدت کے ضرب کاروں کا انتخاب صرف اس صورت میں دستیاب ہوتا ہے جب m میں بار بار بنیادی عوامل ہوتے ہیں۔ اگرچہ ہل ڈوبل تھیوریم زیادہ سے زیادہ مدت فراہم کرتا ہے، لیکن یہ ایک اچھے جنریٹر کی ضمانت کے لیے کافی نہیں ہے۔ مثال کے طور پر، یہ مطلوب ہے کہ a-1 کا m کے بنیادی عوامل سے ضرورت سے زیادہ تقسیم نہ ہو۔ اس طرح، اگر m 2 کی طاقت ہے، تو a-1 کو 4 سے تقسیم کیا جانا چاہیے لیکن 8 سے تقسیم نہیں ہونا چاہیے، یعنی a ष्ण 5 (موڈ 8)۔ درحقیقت، زیادہ تر ضرب دینے والے ایک ترتیب پیدا کرتے ہیں جو بے ترتیب یا دوسرے کے لیے ایک امتحان میں ناکام ہو جاتا ہے، اور ایک ضرب تلاش کرنا جو تمام قابل اطلاق معیارات کے لیے تسلی بخش ہو، کافی مشکل ہے۔ سپیکٹرم ٹیسٹ سب سے اہم ٹیسٹوں میں سے ایک ہے۔ نوٹ کریں کہ ایک پاور-آف-2 ماڈیولس مسئلہ کا اشتراک کرتا ہے جیسا کہ c = 0 کے لیے اوپر بیان کیا گیا ہے: کم k بٹس ماڈیولس 2k کے ساتھ ایک جنریٹر بناتے ہیں اور اس طرح 2k کی مدت کے ساتھ دہراتے ہیں ؛ صرف سب سے اہم بٹ ہی پوری مدت کو حاصل کرتا ہے۔ اگر r سے کم سڈورینڈم نمبر مطلوب ہے، تو یہ X موڈ r کے مقابلے میں بہت زیادہ اعلی معیار کا نتیجہ ہے۔ بدقسمتی سے، زیادہ تر پروگرامنگ زبانیں مؤخر الذکر کو (X ٪ r) لکھنے میں بہت آسان بناتی ہیں، لہذا یہ زیادہ عام طور پر استعمال ہونے والی شکل ہے۔ جنریٹر سی کے انتخاب کے لیے حساس نہیں ہے، جب تک کہ یہ ماڈیولس کے لیے نسبتا پرائم ہو (جیسے۔ اگر m 2 کی طاقت ہے، تو c کو عجیب ہونا چاہیے)، لہذا قیمت c = 1 عام طور پر منتخب کی جاتی ہے۔ سی کے دیگر انتخاب سے پیدا ہونے والی سیریز کو سیریز کے ایک سادہ فنکشن کے طور پر لکھا جا سکتا ہے جب سی = 1 ہو۔ خاص طور پر، اگر Y پروٹوٹائپکل سیریز ہے جس کی تعریف Y0 = 0 اور Yn + 1 = aYn + 1 موڈ m سے کی گئی ہے، تو ایک عام سیریز Xn + 1 = aXn + c موڈ m کو Y کے افائن فنکشن کے طور پر لکھا جا سکتا ہے: زیادہ عام طور پر، کوئی بھی دو سیریز X اور Z ایک ہی ضرب اور ماڈیولس کے ساتھ عام استعمال میں پیرامیٹرز سے متعلق ہیں۔ درج ذیل ٹیبل عام استعمال میں ایل سی جی کے پیرامیٹرز کی فہرست دیتا ہے، بشمول مختلف مرتبوں کی رن ٹائم لائبریریوں میں بلٹ ان رینڈ () افعال۔ یہ جدول مقبولیت ظاہر کرنے کے لیے ہے، مثالوں کی تقلید کے لیے نہیں ؛ ان میں سے بہت سے پیرامیٹرز ناقص ہیں۔ اچھے پیرامیٹرز کی میزیں دستیاب ہیں۔ جیسا کہ اوپر دکھایا گیا ہے، ایل سی جی ہمیشہ ان کی پیدا کردہ اقدار میں تمام بٹس کا استعمال نہیں کرتے ہیں۔ مثال کے طور پر، جاوا کا نفاذ ہر تکرار پر 48 بٹ ویلیوز کے ساتھ کام کرتا ہے لیکن صرف ان کے 32 سب سے اہم بٹس واپس کرتا ہے۔ اس کی وجہ یہ ہے کہ اعلی درجے کے بٹس میں نچلے درجے کے بٹس کے مقابلے میں طویل مدت ہوتی ہے (نیچے دیکھیں)۔ ایل سی جی جو اس کٹوتی کی تکنیک کا استعمال کرتے ہیں وہ ان کے مقابلے میں شماریاتی طور پر بہتر اقدار پیدا کرتے ہیں جو نہیں کرتے ہیں۔ یہ خاص طور پر ان اسکرپٹس میں قابل توجہ ہے جو رینج کو کم کرنے کے لیے موڈ آپریشن کا استعمال کرتے ہیں۔ بے ترتیب نمبر موڈ 2 میں ترمیم کرنے سے بغیر کٹوتی کے 0 اور 1 بدل جائے گا۔ فوائد اور نقصانات ایل سی جی تیز ہوتے ہیں اور حالت کو برقرار رکھنے کے لیے کم سے کم میموری (ایک ماڈیولو-ایم نمبر، اکثر 32 یا 64 بٹس) کی ضرورت ہوتی ہے۔ یہ انہیں متعدد آزاد اسٹریمز کی تقلید کے لیے قیمتی بناتا ہے۔ کرپٹوگرافک ایپلی کیشنز کے لیے ایل سی جی کا ارادہ نہیں ہے، اور اسے استعمال نہیں کیا جانا چاہیے۔ اس طرح کی ایپلی کیشنز کے لیے کرپٹوگرافک طور پر محفوظ سڈورینڈم نمبر جنریٹر کا استعمال کریں۔ اگرچہ ایل سی جی کی کچھ مخصوص کمزوریاں ہیں، لیکن ان کی بہت سی خامیاں بہت چھوٹی ریاست ہونے کی وجہ سے ہوتی ہیں۔ یہ حقیقت کہ لوگوں کو اتنے سالوں سے اس طرح کے چھوٹے ماڈیولی کے ساتھ استعمال کرنے پر مجبور کیا گیا ہے، اس تکنیک کی طاقت کے ثبوت کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے۔ کافی بڑی حالت والا ایل سی جی سخت شماریاتی ٹیسٹ بھی پاس کر سکتا ہے۔ ایک ماڈیولو-2 ایل سی جی جو اعلی 32 بٹس واپس کرتا ہے ٹیسٹ یو01 کے سمال کرش سوٹ کو پاس کرتا ہے، اور 96 بٹ والا ایل سی جی انتہائی سخت بگ کرش سوٹ کو پاس کرتا ہے۔ ایک مخصوص مثال کے لیے، 32 بٹس آؤٹ پٹ کے ساتھ ایک مثالی بے ترتیب نمبر جنریٹر (برتھ ڈے تھیوریم کے مطابق) سے توقع کی جاتی ہے کہ وہ نتائج کے بعد پہلے آؤٹ پٹ کی نقل کرنا شروع کرے۔ کوئی بھی پی آر این جی جس کی پیداوار اس کی مکمل، غیر متزلزل حالت ہے اس کی مکمل مدت ختم ہونے تک نقلیں پیدا نہیں کرے گی، جو کہ آسانی سے پتہ لگانے کے قابل شماریاتی خامی ہے۔ متعلقہ وجوہات کی بناء پر، کسی بھی پی آر این جی کی مدت مطلوبہ آؤٹ پٹ کی تعداد کے مربع سے زیادہ ہونی چاہیے۔ جدید کمپیوٹر کی رفتار کو دیکھتے ہوئے، اس کا مطلب سب کے لیے 264 کی مدت ہے لیکن سب سے کم مطالبہ کرنے والی ایپلی کیشنز کے لیے، اور مطالبہ کرنے والے تخروپن کے لیے طویل۔ ایل سی جیز کے لیے مخصوص ایک خامی یہ ہے کہ، اگر کسی این جہتی خلا میں پوائنٹس کا انتخاب کرنے کے لیے استعمال کیا جائے تو، پوائنٹس زیادہ سے زیادہ، ہائپرپلین (مارساگلیا تھیوریم، جسے جارج مارساگلیا نے تیار کیا ہے) پر ہوں گے۔ یہ ترتیب Xn کی مسلسل اقدار کے درمیان سیریل ارتباط کی وجہ سے ہے۔ لاپرواہی سے منتخب کردہ ضرب کاروں میں عام طور پر بہت کم، وسیع فاصلے والے طیارے ہوتے ہیں، جو مسائل کا باعث بن سکتے ہیں۔ سپیکٹرم ٹیسٹ، جو کہ ایل سی جی کے معیار کا ایک سادہ ٹیسٹ ہے، اس فاصلے کی پیمائش کرتا ہے اور ایک اچھے ضرب کو منتخب کرنے کی اجازت دیتا ہے۔ طیارہ کا فاصلہ ماڈیولس اور ضرب دونوں پر منحصر ہے۔ کافی بڑا ماڈیولس اس فاصلے کو ڈبل صحت سے متعلق نمبروں کے ریزولوشن سے کم کر سکتا ہے۔ جب ماڈیولس بڑا ہوتا ہے تو ضرب کا انتخاب کم اہم ہو جاتا ہے۔ اب بھی سپیکٹرم انڈیکس کا حساب لگانا اور اس بات کو یقینی بنانا ضروری ہے کہ ضرب خراب نہیں ہے، لیکن خالصتا ممکنہ طور پر جب ماڈیولس تقریبا 264 سے بڑا ہو تو اس کا سامنا خراب ضرب سے ہونے کا انتہائی امکان نہیں ہوتا ہے۔ ایل سی جیز کے لیے مخصوص ایک اور خامی کم آرڈر بٹس کی مختصر مدت ہے جب m کو 2 کی طاقت کے طور پر منتخب کیا جاتا ہے۔ مطلوبہ آؤٹ پٹ سے بڑے ماڈیولس کا استعمال کرکے اور ریاست کے سب سے اہم ٹکڑوں کا استعمال کرکے اسے کم کیا جا سکتا ہے۔ اس کے باوجود، کچھ ایپلی کیشنز کے لیے ایل سی جی ایک اچھا آپشن ہو سکتا ہے۔ مثال کے طور پر، سرایت شدہ نظام میں، دستیاب میموری کی مقدار اکثر انتہائی محدود ہوتی ہے۔ اسی طرح، ویڈیو گیم کنسول جیسے ماحول میں ایل سی جی کے ہائی آرڈر بٹس کی ایک چھوٹی سی تعداد لینا کافی ہو سکتا ہے۔ (ایل سی جی کے نچلے درجے کے بٹس جب m 2 کی طاقت ہے تو کسی بھی حد تک بے ترتیب پن کے لیے کبھی بھی انحصار نہیں کیا جانا چاہیے۔) لو آرڈر بٹس بہت مختصر چکروں سے گزرتے ہیں۔ خاص طور پر، کوئی بھی مکمل سائیکل ایل سی جی، جب m 2 کی طاقت ہے، متبادل طور پر عجیب اور یکساں نتائج پیدا کرے گا۔ غیر کرپٹوگرافک ایپلی کیشنز میں مناسب ہونے کے لیے ایل سی جی کا بہت احتیاط سے جائزہ لیا جانا چاہیے جہاں اعلی معیار کی بے ترتیبیت اہم ہے۔ مونٹی کارلو تخروپن کے لیے، ایک ایل سی جی کو بے ترتیب نمونوں کی تعداد کے مکعب سے زیادہ اور ترجیحی طور پر بہت زیادہ ماڈیولس کا استعمال کرنا چاہیے جو ضروری ہے۔ اس کا مطلب ہے، مثال کے طور پر، کہ ایک (اچھا) 32 بٹ ایل سی جی تقریبا ایک ہزار بے ترتیب نمبروں کو حاصل کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ ایک 64 بٹ ایل سی جی تقریبا 221 بے ترتیب نمونوں (دو ملین سے تھوڑا زیادہ) وغیرہ کے لیے اچھا ہے۔ اس وجہ سے، عملی طور پر ایل سی جی بڑے پیمانے پر مونٹی کارلو تخروپن کے لیے موزوں نہیں ہیں۔ نمونہ کوڈ ازگر کوڈ مندرجہ ذیل ازگر میں ایل سی جی کا نفاذ ہے، ایک جنریٹر کی شکل میں: collections.abc درآمد جنریٹر ڈیف ایل سی جی سے (ماڈیولس: int، a: int، c: int، بیج: int)-> جنریٹر [int، کوئی نہیں، کوئی نہیں]: "لکیری ہم آہنگ جنریٹر"۔ جبکہ سچ ہے: بیج = (a * بیج + c) ٪ ماڈیولس پیداوار بیج فری پاسکل فری پاسکل مرسین ٹوسٹر کو اپنے ڈیفالٹ سیوڈو رینڈم نمبر جنریٹر کے طور پر استعمال کرتا ہے جبکہ ڈیلفی ایل سی جی کا استعمال کرتا ہے۔ مندرجہ بالا ٹیبل میں موجود معلومات کی بنیاد پر فری پاسکل میں ڈیلفی سے مطابقت رکھنے والی مثال یہ ہے۔ اسی رینڈسیڈ ویلیو کو دیکھتے ہوئے یہ ڈیلفی کی طرح بے ترتیب نمبروں کی وہی ترتیب پیدا کرتا ہے۔ یونٹ lcg _ random ؛ {$iffdef fpc} {$موڈ ڈیلفی} {$اینڈیف} انٹرفیس فنکشن ایل سی جی رینڈم: توسیعی ؛ اوورلوڈ ؛ ان لائن ؛ فنکشن ایل سی جی رینڈم (کانسٹ رینج: لانگائنٹ): لانگائنٹ ؛ اوورلوڈ ؛ ان لائن ؛ نفاذ فنکشن آئی ایم: کارڈینل ؛ ان لائن ؛ رینڈسیڈ شروع کریں: = رینڈسیڈ * 134775813 + 1 ؛ نتیجہ: = رینڈسیڈ ؛ اختتام ؛ فنکشن ایل سی جی رینڈم: توسیعی ؛ اوورلوڈ ؛ ان لائن ؛ شروع نتیجہ: = آئی ایم * 2.32830643653870e-10 ؛ اختتام ؛ فنکشن ایل سی جی رینڈم (کانسٹ رینج: لانگائنٹ ؛ اوورلوڈ ؛ ان لائن ؛ نتیجہ شروع کریں: متعدد دھاگے بیک وقت اس ریاست تک رسائی حاصل کر سکتے ہیں جس کی وجہ سے ریس کی حالت پیدا ہو سکتی ہے۔ نفاذ میں مختلف دھاگوں کے لیے منفرد ابتداء کے ساتھ مختلف حالت کا استعمال کرنا چاہیے تاکہ بیک وقت دھاگوں کو انجام دینے پر بے ترتیب نمبروں کے مساوی ترتیب سے بچا جا سکے۔ ایل سی جی مشتقات کئی جنریٹر ہیں جو ایک مختلف شکل میں لکیری ہم آہنگ جنریٹر ہیں، اور اس طرح ایل سی جی کا تجزیہ کرنے کے لیے استعمال ہونے والی تکنیکوں کو ان پر لاگو کیا جا سکتا ہے۔ طویل مدت پیدا کرنے کا ایک طریقہ یہ ہے کہ مختلف ادوار کے کئی ایل سی جیز کے آؤٹ پٹ کا مجموعہ کیا جائے جس میں ایک بڑا کم سے کم مشترکہ ملٹیپل ہو ؛ وچمین ہل جنریٹر اس شکل کی ایک مثال ہے۔ (ہم انہیں مکمل طور پر کوپرائم ہونا پسند کریں گے، لیکن ایک پرائم ماڈیولس کا مطلب ایک یکساں مدت ہے، لہذا کم از کم 2 کا ایک مشترکہ عنصر ہونا چاہیے۔) یہ جزو ایل سی جی ماڈیولی کے پروڈکٹ کے برابر ماڈیولس کے ساتھ ایک واحد ایل سی جی کے برابر دکھایا جا سکتا ہے۔ مارساگلیا کے ایڈ-ود-کیری اور سبٹریکٹ-ود-بورو پی آر این جیز لفظ کے سائز b = 2w اور لیگز r اور s (r> s) کے ساتھ ایل سی جیز کے مساوی ہیں جن کا ماڈیولس br ± bs ± 1 ہے۔ اے کے ضرب کے ساتھ ضرب کے ساتھ پی آر این جی ایل سی جی کے مساوی ہوتے ہیں جن میں اے بی آر-1 کا بڑا پرائم ماڈیولس اور پاور-آف-2 ضرب بی ہوتا ہے۔ ایک پرمیوٹڈ کنگروینشیل جنریٹر پاور-آف-2-ماڈیولس ایل سی جی سے شروع ہوتا ہے اور کم آرڈر بٹس میں مختصر مدت کے مسئلے کو ختم کرنے کے لیے آؤٹ پٹ ٹرانسفارمیشن کا اطلاق کرتا ہے۔ دیگر پی آر این جی کے ساتھ موازنہ طویل مدتی سڈورینڈم ترتیبات حاصل کرنے کے لیے وسیع پیمانے پر استعمال ہونے والا دوسرا قدیم ترین لکیری فیڈ بیک شفٹ رجسٹر کنسٹرکشن ہے، جو جی ایف (2) [x] میں ریاضی پر مبنی ہے، جو جی ایف (2) پر کثیر الجہتی رنگ ہے۔ انٹیجر ایڈیشن اور ضرب کے بجائے، بنیادی کارروائیاں خصوصی یا کم لے جانے والی ضرب ہوتی ہیں، جنہیں عام طور پر منطقی شفٹوں کے سلسلے کے طور پر لاگو کیا جاتا ہے۔ ان کا فائدہ یہ ہے کہ ان کے تمام بٹس مکمل مدت کے ہوتے ہیں۔ وہ نچلے درجے کے بٹس میں کمزوری کا شکار نہیں ہوتے ہیں جو ریاضی کے ماڈیولو 2k کو متاثر کرتے ہیں۔ اس خاندان کی مثالوں میں xorshift جنریٹر اور مرسین ٹوسٹر شامل ہیں۔ مؤخر الذکر ایک بہت طویل مدت (219937−1) اور مختلف یکسانیت فراہم کرتا ہے، لیکن یہ کچھ شماریاتی ٹیسٹوں میں ناکام رہتا ہے۔ لگڈ فبونیکی جنریٹر بھی اس زمرے میں آتے ہیں ؛ اگرچہ وہ ریاضی کے اضافے کا استعمال کرتے ہیں، لیکن ان کی مدت کو کم سے کم اہم بٹس میں سے ایک ایل ایف ایس آر کے ذریعے یقینی بنایا جاتا ہے۔ مناسب ٹیسٹوں کے ساتھ لکیری فیڈ بیک شفٹ رجسٹر کے ڈھانچے کا پتہ لگانا آسان ہے جیسے کہ ٹیسٹ یو01 سوٹ میں نافذ کردہ لکیری پیچیدگی ٹیسٹ ؛ ایل ایف ایس آر کے مسلسل بٹس سے شروع ہونے والے بولین سرکلینٹ میٹرکس کا درجہ کبھی بھی کثیر الجہتی کی ڈگری سے زیادہ نہیں ہوگا۔ غیر لکیری آؤٹ پٹ اختلاط فنکشن کو شامل کرنا (جیسا کہ xoshiro256 * * اور پرموٹیڈ کونگروینشیل جنریٹر تعمیرات میں) شماریاتی ٹیسٹوں پر کارکردگی کو بہت بہتر بنا سکتا ہے۔ پی آر این جی کے لیے ایک اور ڈھانچہ ایک طاقتور آؤٹ پٹ اختلاط فنکشن کے ساتھ مل کر ایک بہت ہی آسان تکرار فنکشن ہے۔ اس میں کاؤنٹر موڈ بلاک سائفرز اور غیر کرپٹوگرافک جنریٹر جیسے اسپلٹ مکس 64 شامل ہیں۔ ایل سی جیز سے ملتا جلتا ڈھانچہ، لیکن مساوی نہیں، ایک سے زیادہ بار بار آنے والا جنریٹر ہے: Xn = (a1Xn−1 + a2Xn−2 + ·· + akXn−k) m کے لیے m۔ پرائم ماڈیولس کے ساتھ، یہ mk−1 تک کے ادوار پیدا کر سکتا ہے، اسی طرح ایل سی جی ڈھانچے کی بڑے ادوار تک ایک مفید توسیع ہے۔ اعلی معیار کے سڈورینڈم نمبرز پیدا کرنے کی ایک طاقتور تکنیک مختلف ڈھانچے کے دو یا زیادہ پی آر این جیز کو یکجا کرنا ہے۔ ایل ایف ایس آر اور ایل سی جی کا مجموعہ (جیسا کہ KISS یا xorwow تعمیرات میں) رفتار میں کچھ قیمت پر بہت اچھا کام کر سکتا ہے۔ بے ترتیب نمبر جنریٹرز کی فہرست بھی دیکھیں-دیگر پی آر این جی بشمول کچھ بہتر شماریاتی قابلیت والے ACORN جنریٹر-ACG کے ساتھ الجھن میں نہ پڑیں جو اصطلاح ایل سی جی اور ایل ایف ایس آر جنریٹرز کے متغیرات کے لیے استعمال ہوتی دکھائی دیتی ہے۔ پرموٹڈ کونگروینشیل جنریٹر فل سائیکل انورسیو کونگروینشیل جنریٹر ملٹی پلی-ود-کیری لیمر آر این جی (جسے بعض اوقات پارک ملر آر این جی کہا جاتا ہے) مشترکہ لکیری کونگروینشیل جنریٹر نوٹس جنٹل، جیمز ای۔، (2003)۔ رینڈم نمبر جنریشن اور مونٹی کارلو میتھڈز، دوسرا ایڈیشن، سپرنگر، (اس مقالے میں، کچھ فرضی بے ترتیب نمبر جنریٹرز کے ذریعہ تیار کردہ ترتیبات کا اندازہ لگانے کے لیے موثر الگورتھم دیئے گئے ہیں)۔ بیرونی روابط تخروپن لکیری ہم آہنگ جنریٹر پیرامیٹرز میں ہیرا پھیری کرتے وقت فرضی بے ترتیب نمبروں کے درمیان ارتباط کا تصور کرتا ہے۔ بے ترتیب نمبر جنریشن کی سیکیورٹی: گولڈسٹین ٹیکنالوجیز ایل ایل سی میں "ڈیتھ آف آرٹ" کمپیوٹر آرٹ پروجیکٹ پر ایک اینوٹیٹڈ ببلیوگرافی لکیری کانگروینشیل جنریٹرز پوسٹ، پی ایل ایکیور اور آر سمارڈ، "ٹیسٹ یو01: اے سی لائبریری فار ایمپیریکل ٹیسٹنگ آف رینڈم نمبر جنریٹرز"، مئی 2006، نظر ثانی شدہ نومبر 2006، اے سی ایم ٹرانزیکشنز آن میتھمیٹیکل سافٹ ویئر، 33، 4، آرٹیکل 22، اگست 2007 کی تصاویر تیار کرنے کے لیے ایل سی جی کا استعمال کرتا ہے۔ ایل سی جی سیوڈورانڈم نمبر جنریٹرز کو کریک کرنے کے ایک اور طریقے کے بارے میں مضمون ماڈیولر ریاضی کے مضامین مثال کے طور پر ازگر (پروگرامنگ زبان) کوڈ کے ساتھ