Mathematical optimization
ریاضیاتی اصلاح (متبادل طور پر ہجے کی اصلاح) یا ریاضیاتی پروگرامنگ دستیاب متبادلات کے کچھ سیٹ سے، کچھ معیار کے حوالے سے، ایک بہترین عنصر کا انتخاب ہے۔ اسے عام طور پر دو ذیلی شعبوں میں تقسیم کیا جاتا ہے: مجرد اصلاح اور مسلسل اصلاح۔ کمپیوٹر سائنس اور انجینئرنگ سے لے کر آپریشنز ریسرچ اور معاشیات تک تمام مقداری شعبوں میں اصلاح کے مسائل پیدا ہوتے ہیں، اور حل کے طریقوں کی ترقی صدیوں سے ریاضی میں دلچسپی کا باعث رہی ہے۔ زیادہ عام نقطہ نظر میں، اصلاح کا مسئلہ ایک اجازت شدہ سیٹ کے اندر سے ان پٹ ویلیوز کو منظم طریقے سے منتخب کرکے اور فنکشن کی ویلیو کا حساب لگا کر حقیقی فنکشن کو زیادہ سے زیادہ یا کم سے کم کرنے پر مشتمل ہوتا ہے۔ دیگر فارمولیشنوں کے لیے اصلاح کے نظریہ اور تکنیکوں کی عمومی کاری اطلاقی ریاضی کا ایک بڑا شعبہ تشکیل دیتی ہے۔ زیادہ عام طور پر، اصلاح میں ایک متعین ڈومین (یا ان پٹ) کو دیکھتے ہوئے کچھ معروضی فنکشن کی "بہترین دستیاب" اقدار کو تلاش کرنا شامل ہے، جس میں مختلف قسم کے معروضی افعال اور مختلف قسم کے ڈومین شامل ہیں۔ اصلاح کے مسائل کو دو زمروں میں تقسیم کیا جا سکتا ہے، اس پر منحصر ہے کہ متغیرات مسلسل ہیں یا مجرد: مجرد متغیرات کے ساتھ اصلاح کا مسئلہ مجرد اصلاح کے نام سے جانا جاتا ہے، جس میں عدد، ترتیب یا گراف جیسی چیز کو شمار کے قابل سیٹ سے تلاش کرنا ضروری ہے۔ مسلسل متغیرات کے ساتھ ایک مسئلہ مسلسل اصلاح کے طور پر جانا جاتا ہے، جس میں مسلسل سیٹ سے زیادہ سے زیادہ دلائل ملنا ضروری ہے۔ ان میں محدود مسائل اور ملٹی ماڈل مسائل شامل ہو سکتے ہیں۔ اصلاح کے مسئلے کو مندرجہ ذیل طریقے سے پیش کیا جا سکتا ہے: دیا گیا: کسی سیٹ سے لے کر مطلوبہ حقیقی اعداد تک فنکشن: ایک عنصر ایسا جو سب کے لیے ہو ("کم سے کم") یا ایسا جو سب کے لیے ہو ("زیادہ سے زیادہ")۔ اس طرح کی تشکیل کو اصلاح کا مسئلہ یا ریاضیاتی پروگرامنگ کا مسئلہ کہا جاتا ہے (ایک اصطلاح جس کا براہ راست تعلق کمپیوٹر پروگرامنگ سے نہیں ہے، لیکن اب بھی استعمال میں ہے مثال کے طور پر لکیری پروگرامنگ میں-نیچے تاریخ دیکھیں)۔ بہت سے حقیقی دنیا اور نظریاتی مسائل کو اس عمومی فریم ورک میں ماڈل کیا جا سکتا ہے۔ چونکہ درج ذیل درست ہیں اس لیے یہ صرف کم سے کم مسائل کو حل کرنے کے لیے کافی ہے۔ تاہم، صرف زیادہ سے زیادہ مسائل پر غور کرنے کا مخالف نقطہ نظر بھی درست ہوگا۔ طبیعیات کے شعبوں میں اس تکنیک کا استعمال کرتے ہوئے وضع کردہ مسائل اس تکنیک کو توانائی کو کم سے کم کرنے کے طور پر حوالہ دے سکتے ہیں، فنکشن کی قدر کے بارے میں بات کرتے ہوئے نظام کی توانائی کی نمائندگی کرتے ہیں۔ مشین لرننگ میں، یہ ہمیشہ ضروری ہے کہ ایک لاگت فنکشن کا استعمال کرتے ہوئے ڈیٹا ماڈل کے معیار کا مسلسل جائزہ لیا جائے جہاں کم سے کم ممکنہ طور پر زیادہ سے زیادہ (سب سے کم) غلطی کے ساتھ زیادہ سے زیادہ پیرامیٹرز کا ایک مجموعہ ہوتا ہے۔ عام طور پر، یوکلڈین اسپیس کا کچھ ذیلی سیٹ ہوتا ہے، جس کی وضاحت اکثر رکاوٹوں، مساوات یا عدم مساوات کے ایک سیٹ کے ذریعے کی جاتی ہے جسے اراکین کو پورا کرنا ہوتا ہے۔ کے ڈومین کو سرچ اسپیس یا چوائس سیٹ کہا جاتا ہے، جبکہ کے عناصر کو امیدوار حل یا قابل عمل حل کہا جاتا ہے۔ فنکشن کو مختلف طور پر ایک معروضی فنکشن، لاس فنکشن یا لاگت فنکشن (کم سے کم)، یوٹیلیٹی فنکشن یا فٹنس فنکشن (زیادہ سے زیادہ)، یا بعض شعبوں میں، انرجی فنکشن یا انرجی فنکشنل کہا جاتا ہے۔ ایک قابل عمل حل جو معروضی فنکشن کو کم سے کم (یا زیادہ سے زیادہ، اگر یہی مقصد ہے) کرتا ہے اسے بہترین حل کہا جاتا ہے۔ ریاضی میں، روایتی اصلاح کے مسائل کو عام طور پر کم سے کم کرنے کے لحاظ سے بیان کیا جاتا ہے۔ مقامی کم از کم کو ایک ایسے عنصر کے طور پر بیان کیا گیا ہے جس کے لیے کچھ ایسے موجود ہیں جو اظہار رکھتے ہیں۔ یعنی، تمام فنکشن اقدار کے ارد گرد کسی خطے میں اس عنصر کی قدر سے زیادہ یا اس کے برابر ہیں۔ لوکل میکسیما کی تعریف بھی اسی طرح کی جاتی ہے۔ اگرچہ مقامی کم از کم کم از کم کسی بھی قریبی عنصر کی طرح اچھا ہوتا ہے، لیکن عالمی کم از کم کم از کم ہر ممکن عنصر کی طرح اچھا ہوتا ہے۔ عام طور پر، جب تک کہ کم سے کم مسئلہ میں آبجیکٹیو فنکشن کنویکس نہ ہو، وہاں کئی مقامی منیما ہو سکتے ہیں۔ کنویکس مسئلہ میں، اگر کوئی مقامی کم از کم اندرونی ہے (قابل عمل عناصر کے سیٹ کے کنارے پر نہیں)، تو یہ عالمی کم از کم بھی ہے، لیکن ایک غیر کنویکس مسئلہ میں ایک سے زیادہ مقامی کم از کم ہو سکتا ہے جن میں سے سبھی کو عالمی کم از کم ہونے کی ضرورت نہیں ہے۔ نان کنویکس مسائل کو حل کرنے کے لیے تجویز کردہ الگورتھم کی ایک بڑی تعداد-بشمول تجارتی طور پر دستیاب حل کرنے والوں کی اکثریت-مقامی طور پر بہترین حل اور عالمی سطح پر بہترین حل کے درمیان فرق کرنے کے قابل نہیں ہیں، اور سابقہ کو اصل مسئلے کے حقیقی حل کے طور پر سمجھیں گے۔ گلوبل آپٹیمائزیشن اطلاقی ریاضی اور عددی تجزیے کی وہ شاخ ہے جس کا تعلق تعیناتی الگورتھم کی ترقی سے ہے جو محدود وقت میں غیر متغیر مسئلے کے حقیقی بہترین حل میں ہم آہنگی کی ضمانت دینے کے قابل ہیں۔ نوٹیشن آپٹیمائزیشن کے مسائل کا اظہار اکثر خصوصی نوٹیشن کے ساتھ کیا جاتا ہے۔ یہاں کچھ مثالیں دی گئی ہیں: کسی فنکشن کی کم سے کم اور زیادہ سے زیادہ قیمت مندرجہ ذیل اشارے پر غور کریں: یہ حقیقی اعداد کے سیٹ میں سے انتخاب کرتے وقت آبجیکٹیو فنکشن کی کم سے کم قیمت کی نشاندہی کرتا ہے۔ اس معاملے میں کم از کم قیمت 1 ہے، جو 1 پر واقع ہوتی ہے۔ اسی طرح، نوٹیشن آبجیکٹیو فنکشن کی زیادہ سے زیادہ قیمت مانگتا ہے، جہاں کوئی حقیقی نمبر ہو سکتا ہے۔ اس صورت میں، ایسی کوئی زیادہ سے زیادہ حد نہیں ہے کہ آبجیکٹیو فنکشن لامحدود ہو، اس لیے جواب "انفینیٹی" یا "غیر متعین" ہے۔ بہترین ان پٹ دلائل مندرجہ ذیل اشارے پر غور کریں: یا مساوی طور پر یہ وقفے میں دلیل کی قیمت (یا اقدار) کی نمائندگی کرتا ہے جو معروضی فنکشن کو کم سے کم (یا کم سے کم) کرتا ہے (اس فنکشن کی اصل کم سے کم قیمت وہ نہیں ہے جو مسئلہ پوچھتا ہے)۔ اس صورت میں، جواب ہے، چونکہ ناقابل عمل ہے، یعنی، یہ قابل عمل سیٹ سے تعلق نہیں رکھتا ہے۔ اسی طرح، یا مساوی طور پر اس جوڑے (یا جوڑوں) کی نمائندگی کرتا ہے جو وقفے میں موجود اضافی رکاوٹ کے ساتھ معروضی فنکشن کی قیمت کو زیادہ سے زیادہ (یا زیادہ سے زیادہ) کرتا ہے (پھر، اظہار کی اصل زیادہ سے زیادہ قیمت سے کوئی فرق نہیں پڑتا ہے)۔ اس صورت میں، حل فارم کے جوڑے ہوتے ہیں اور، جہاں تمام انٹیجرز کی حدود ہوتی ہیں۔ آپریٹرز اور بعض اوقات اور کے طور پر بھی لکھے جاتے ہیں، اور کم سے کم کی دلیل اور زیادہ سے زیادہ کی دلیل کے لیے کھڑے ہوتے ہیں۔ تاریخ فرمیٹ اور لگرینج نے آپٹیما کی شناخت کے لیے کیلکولس پر مبنی فارمولے تلاش کیے، جبکہ نیوٹن اور گاؤس نے زیادہ سے زیادہ کی طرف بڑھنے کے لیے تکراری طریقوں کی تجویز پیش کی۔ بعض اصلاح کے معاملات کے لیے "لکیری پروگرامنگ" کی اصطلاح جارج بی ڈینٹزگ کی وجہ سے تھی، حالانکہ زیادہ تر نظریہ 1939 میں لیونڈ کینٹورووچ نے متعارف کرایا تھا۔ (اس تناظر میں پروگرامنگ سے مراد کمپیوٹر پروگرامنگ نہیں ہے، لیکن یہ امریکی فوج کی طرف سے مجوزہ تربیت اور رسد کے نظام الاوقات کا حوالہ دینے کے لیے پروگرام کے استعمال سے آتا ہے، جو اس وقت ڈینٹزگ کے زیر مطالعہ مسائل تھے۔) ڈینٹزگ نے 1947 میں سمپلیکس الگورتھم شائع کیا، اور جان وان نیومن نے اسی سال دوہری نظریہ تیار کیا۔ ریاضیاتی اصلاح کے دیگر قابل ذکر محققین میں درج ذیل شامل ہیں: رچرڈ بیلمین دیمتری برٹسیکاس مشیل بیئرلیئر راجر فلیچر رونالڈ اے۔ ہاورڈ فرٹز جان نریندر کرمارکر ولیم کروش لیونڈ کھچیان برنارڈ کوپ مین ہیرالڈ کوہن لاسلو لووز ڈیوڈ لوینبرگر ارکاڈی نیمیرووسکی یوری نیسٹروف لیو پونٹریگین آر۔ ٹائرل راکفیلر نوم زیڈ۔ شور البرٹ ٹکر میجر سب فیلڈز کنوکس پروگرامنگ اس صورت کا مطالعہ کرتی ہے جب معروضی فنکشن کنویکس (کم سے کم) یا کنکیو (زیادہ سے زیادہ) ہوتا ہے اور رکاوٹ سیٹ کنویکس ہوتا ہے۔ اسے غیر لکیری پروگرامنگ کے ایک خاص معاملے کے طور پر یا لکیری یا کنویکس کواڈریٹک پروگرامنگ کی عمومی شکل کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے۔ لکیری پروگرامنگ (ایل پی)، کنویکس پروگرامنگ کی ایک قسم، اس صورت کا مطالعہ کرتی ہے جس میں آبجیکٹیو فنکشن f لکیری ہوتا ہے اور رکاوٹوں کی وضاحت صرف لکیری مساوات اور عدم مساوات کا استعمال کرتے ہوئے کی جاتی ہے۔ اس طرح کے رکاوٹ سیٹ کو پولی ہیڈرون یا پولیٹوپ کہا جاتا ہے اگر یہ پابند ہو۔ سیکنڈ آرڈر کون پروگرامنگ (ایس او سی پی) ایک کنویکس پروگرام ہے، اور اس میں بعض قسم کے کواڈریٹک پروگرام شامل ہیں۔ سیمی ڈفائنٹ پروگرامنگ (ایس ڈی پی) کنویکس آپٹیمائزیشن کا ایک ذیلی میدان ہے جہاں بنیادی متغیر سیمی ڈفائنٹ میٹرکس ہوتے ہیں۔ یہ لکیری اور کنویکس کواڈریٹک پروگرامنگ کی عمومی شکل ہے۔ کونک پروگرامنگ کنویکس پروگرامنگ کی ایک عمومی شکل ہے۔ ایل پی، ایس او سی پی اور ایس ڈی پی سب کو مناسب قسم کے شنک کے ساتھ شنک پروگراموں کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے۔ جیومیٹرک پروگرامنگ ایک ایسی تکنیک ہے جس کے تحت معروضی اور عدم مساوات کی رکاوٹوں کا اظہار پوزیانومیئلز اور مساوات کی رکاوٹوں کے طور پر کیا جاتا ہے جیسا کہ مونومیئلز کو کنویکس پروگرام میں تبدیل کیا جا سکتا ہے۔ انٹیجر پروگرامنگ لکیری پروگراموں کا مطالعہ کرتی ہے جس میں کچھ یا تمام متغیرات انٹیجر ویلیوز لینے کے لیے پابند ہوتے ہیں۔ یہ کنویکس نہیں ہے، اور عام طور پر باقاعدہ لکیری پروگرامنگ سے کہیں زیادہ مشکل ہے۔ کواڈریٹک پروگرامنگ معروضی فنکشن کو کواڈریٹک اصطلاحات رکھنے کی اجازت دیتی ہے، جبکہ قابل عمل سیٹ کو لکیری مساوات اور عدم مساوات کے ساتھ متعین کیا جانا چاہیے۔ کواڈریٹک اصطلاح کی مخصوص شکلوں کے لیے، یہ کنویکس پروگرامنگ کی ایک قسم ہے۔ فریکشنل پروگرامنگ دو غیر لکیری افعال کے تناسب کی اصلاح کا مطالعہ کرتی ہے۔ کنکیو فریکشنل پروگراموں کی خصوصی کلاس کو کنویکس آپٹیمائزیشن کے مسئلے میں تبدیل کیا جا سکتا ہے۔ غیر لکیری پروگرامنگ عام صورت کا مطالعہ کرتی ہے جس میں معروضی فعل یا رکاوٹیں یا دونوں غیر لکیری حصوں پر مشتمل ہوتے ہیں۔ یہ کنویکس پروگرام ہو بھی سکتا ہے اور نہیں بھی۔ عام طور پر، چاہے پروگرام کنویکس ہو، اسے حل کرنے میں دشواری کو متاثر کرتا ہے۔ اسٹوچسٹک پروگرامنگ اس معاملے کا مطالعہ کرتی ہے جس میں کچھ رکاوٹیں یا پیرامیٹرز بے ترتیب متغیرات پر منحصر ہوتے ہیں۔ مضبوط اصلاح، سٹوچسٹک پروگرامنگ کی طرح، اصلاح کے مسئلے کے بنیادی ڈیٹا میں غیر یقینی صورتحال کو پکڑنے کی کوشش ہے۔ مضبوط اصلاح کا مقصد ایسے حل تلاش کرنا ہے جو غیر یقینی سیٹ کے ذریعہ بیان کردہ غیر یقینی صورتحال کے تمام ممکنہ احساسات کے تحت درست ہوں۔ مشترکہ اصلاح کا تعلق ان مسائل سے ہے جہاں قابل عمل حل کا مجموعہ مجرد ہے یا اسے مجرد تک کم کیا جا سکتا ہے۔ اسٹاکسٹک آپٹیمائزیشن کا استعمال بے ترتیب (شور) فنکشن کی پیمائش یا تلاش کے عمل میں بے ترتیب ان پٹ کے ساتھ کیا جاتا ہے۔ لامحدود جہتی اصلاح اس صورت کا مطالعہ کرتی ہے جب قابل عمل حلوں کا مجموعہ لامحدود جہتی خلا کا ذیلی مجموعہ ہوتا ہے، جیسے افعال کی جگہ۔ ہیورسٹکس اور میٹا ہیورسٹکس مسئلے کو بہتر بنانے کے بارے میں بہت کم یا کوئی مفروضے نہیں بناتے ہیں۔ عام طور پر، تحقیقات اس بات کی ضمانت نہیں دیتے کہ کوئی بہترین حل تلاش کرنے کی ضرورت ہے۔ دوسری طرف، ہیورسٹکس کا استعمال بہت سے پیچیدہ اصلاحاتی مسائل کے تخمینہ حل تلاش کرنے کے لیے کیا جاتا ہے۔ رکاوٹ کا اطمینان اس صورت کا مطالعہ کرتا ہے جس میں معروضی فعل f مستقل ہوتا ہے (یہ مصنوعی ذہانت میں استعمال ہوتا ہے، خاص طور پر خودکار استدلال میں)۔ رکاوٹ پروگرامنگ ایک پروگرامنگ نمونہ ہے جس میں متغیرات کے درمیان تعلقات کو رکاوٹوں کی شکل میں بیان کیا جاتا ہے۔ ڈسجنکٹو پروگرامنگ کا استعمال کیا جاتا ہے جہاں کم از کم ایک رکاوٹ کو پورا کرنا ضروری ہے لیکن سب کو نہیں۔ شیڈولنگ میں اس کا خاص استعمال ہوتا ہے۔ خلائی نقشہ سازی انجینئرنگ کے نظام کی ماڈلنگ اور اصلاح کے لیے ایک تصور ہے جس میں جسمانی طور پر معنی خیز موٹے یا سروگیٹ ماڈل کا استحصال کرتے ہوئے اعلی وشوسنییتا (ٹھیک) ماڈل کی درستگی کی جا سکتی ہے۔ متعدد ذیلی شعبوں میں، تکنیکیں بنیادی طور پر متحرک سیاق و سباق میں اصلاح کے لیے ڈیزائن کی گئی ہیں (یعنی وقت کے ساتھ فیصلہ سازی): تغیرات کا حساب کسی مقصد کو حاصل کرنے کا بہترین طریقہ تلاش کرنے سے متعلق ہے، جیسے کہ ایسی سطح تلاش کرنا جس کی حد ایک مخصوص منحنی ہے، لیکن کم سے کم ممکنہ رقبے کے ساتھ۔ بہترین کنٹرول تھیوری مختلف حالتوں کے حساب کی عمومی شکل ہے جو کنٹرول پالیسیاں متعارف کراتی ہے۔ متحرک پروگرامنگ اسٹاکسٹک، بے ترتیب، اور نامعلوم ماڈل پیرامیٹرز کے ساتھ اسٹاکسٹک اصلاح کے مسئلے کو حل کرنے کا نقطہ نظر ہے۔ یہ اس معاملے کا مطالعہ کرتا ہے جس میں اصلاح کی حکمت عملی مسئلے کو چھوٹے ذیلی مسائل میں تقسیم کرنے پر مبنی ہوتی ہے۔ وہ مساوات جو ان ذیلی مسائل کے درمیان تعلق کو بیان کرتی ہے اسے بیل مین مساوات کہا جاتا ہے۔ توازن کی رکاوٹوں کے ساتھ ریاضیاتی پروگرامنگ وہ جگہ ہے جہاں رکاوٹوں میں تغیراتی عدم مساوات یا تکمیلیتیں شامل ہیں۔ ملٹی آبجیکٹیو آپٹیمائزیشن اصلاح کے مسئلے میں ایک سے زیادہ مقاصد کا اضافہ پیچیدگی میں اضافہ کرتا ہے۔ مثال کے طور پر، کسی ساختی ڈیزائن کو بہتر بنانے کے لیے، کوئی ایسا ڈیزائن چاہتا ہے جو ہلکا اور سخت دونوں ہو۔ جب دو مقاصد متصادم ہوتے ہیں، تو ایک ٹریڈ آف پیدا کرنا ضروری ہے۔ ایک ہلکا سا ڈیزائن، ایک سخت ترین ڈیزائن، اور لامحدود تعداد میں ڈیزائن ہو سکتے ہیں جو وزن اور سختی سے کچھ سمجھوتہ کرتے ہیں۔ ٹریڈ آف ڈیزائنوں کا وہ مجموعہ جو ایک معیار کو دوسرے کی قیمت پر بہتر بناتا ہے اسے پیریٹو سیٹ کہا جاتا ہے۔ بہترین ڈیزائنوں کی سختی کے خلاف پلاٹنگ وزن پیدا کرنے والے منحنی خطوط کو پیریٹو فرنٹیئر کے نام سے جانا جاتا ہے۔ کسی ڈیزائن کو "پیریٹو آپٹیمل" (مساوی طور پر، "پیریٹو ایفیشنٹ" یا پیریٹو سیٹ میں) سمجھا جاتا ہے اگر اس پر کسی دوسرے ڈیزائن کا غلبہ نہیں ہے: اگر یہ کچھ معاملات میں کسی دوسرے ڈیزائن سے بدتر ہے اور کسی بھی لحاظ سے بہتر نہیں ہے، تو یہ غالب ہے اور پیریٹو آپٹیمل نہیں ہے۔ "پسندیدہ حل" کا تعین کرنے کے لیے "پیریٹو آپٹیمل" حل میں سے انتخاب فیصلہ ساز کو تفویض کیا جاتا ہے۔ دوسرے لفظوں میں، مسئلے کو کثیر مقصدی اصلاح کے اشارے کے طور پر بیان کرنا کہ کچھ معلومات غائب ہیں: مطلوبہ مقاصد دیئے جاتے ہیں لیکن ان کے امتزاج کو ایک دوسرے کے مقابلے میں درجہ بندی نہیں کیا جاتا ہے۔ کچھ معاملات میں، گمشدہ معلومات فیصلہ ساز کے ساتھ تعاملی اجلاسوں کے ذریعے حاصل کی جا سکتی ہیں۔ ملٹی آبجیکٹیو آپٹیمائزیشن کے مسائل کو ویکٹر آپٹیمائزیشن کے مسائل میں مزید عام کیا گیا ہے جہاں (جزوی) آرڈر اب پیریٹو آرڈر کے ذریعے نہیں دیا جاتا ہے۔ ملٹی ماڈل یا گلوبل آپٹیمائزیشن آپٹیمائزیشن کے مسائل اکثر ملٹی ماڈل ہوتے ہیں یعنی ان کے پاس متعدد اچھے حل ہوتے ہیں۔ وہ سب عالمی سطح پر اچھے ہو سکتے ہیں (ایک ہی لاگت فنکشن ویلیو) یا عالمی سطح پر اچھے اور مقامی طور پر اچھے حل کا مرکب ہو سکتا ہے۔ تمام (یا کم از کم کچھ) متعدد حل حاصل کرنا ملٹی ماڈل آپٹیمائزر کا مقصد ہے۔ کلاسیکی اصلاح کی تکنیکیں اپنے تکراری نقطہ نظر کی وجہ سے تسلی بخش کارکردگی کا مظاہرہ نہیں کرتی ہیں جب وہ متعدد حل حاصل کرنے کے لیے استعمال ہوتی ہیں، کیونکہ اس بات کی ضمانت نہیں ہے کہ الگورتھم کے متعدد رنوں میں مختلف ابتدائی نکات کے ساتھ بھی مختلف حل حاصل کیے جائیں گے۔ عالمی اصلاح کے مسائل کے لیے عام نقطہ نظر، جہاں متعدد مقامی انتہا موجود ہو سکتی ہے ان میں ارتقائی الگورتھم، بایسیائی اصلاح اور مصنوعی اینیلنگ شامل ہیں۔ اہم نکات کی درجہ بندی اور انتہائی فزیبلٹی کا مسئلہ اطمینان کا مسئلہ، جسے فزیبلٹی کا مسئلہ بھی کہا جاتا ہے، محض معروضی قدر کی پرواہ کیے بغیر کسی بھی قابل عمل حل کو تلاش کرنے کا مسئلہ ہے۔ اسے ریاضیاتی اصلاح کا خاص معاملہ سمجھا جا سکتا ہے جہاں ہر حل کے لیے معروضی قدر یکساں ہوتی ہے، اور اس طرح کوئی بھی حل بہترین ہوتا ہے۔ بہت سے اصلاحاتی الگورتھم کو ایک قابل عمل نقطہ سے شروع کرنے کی ضرورت ہے۔ اس طرح کے نقطہ کو حاصل کرنے کا ایک طریقہ یہ ہے کہ سست متغیر کا استعمال کرتے ہوئے فزیبلٹی کے حالات میں نرمی کی جائے۔ کافی سست روی کے ساتھ، کوئی بھی نقطہ آغاز ممکن ہے۔ پھر، اس سست متغیر کو کم سے کم کریں جب تک کہ سست صفر یا منفی نہ ہو۔ وجود کارل ویرسٹراس کا انتہائی قدر کا نظریہ بیان کرتا ہے کہ ایک کمپیکٹ سیٹ پر ایک مسلسل حقیقی قدر والا فنکشن اپنی زیادہ سے زیادہ اور کم سے کم قدر حاصل کرتا ہے۔ زیادہ عام طور پر، ایک کمپیکٹ سیٹ پر ایک نچلا نیم مسلسل فنکشن اپنے کم سے کم کو حاصل کرتا ہے ؛ ایک کمپیکٹ سیٹ پر ایک اوپری نیم مسلسل فنکشن اپنے زیادہ سے زیادہ نقطہ یا نقطہ نظر کو حاصل کرتا ہے۔ اصلاح کے لیے ضروری شرائط فرمیٹ کے نظریات میں سے ایک میں کہا گیا ہے کہ غیر محدود مسائل کا آپٹیما اسٹیشنری پوائنٹس پر پایا جاتا ہے، جہاں آبجیکٹیو فنکشن کا پہلا مشتق یا میلان صفر ہوتا ہے (پہلا مشتق ٹیسٹ دیکھیں)۔ زیادہ عام طور پر، وہ اہم نکات پر پائے جا سکتے ہیں، جہاں آبجیکٹیو فنکشن کا پہلا مشتق یا میلان صفر ہے یا غیر متعین ہے، یا چوائس سیٹ کی حد پر۔ ایک مساوات (یا مساوات کا مجموعہ) جس میں یہ کہا گیا ہو کہ اندرونی زیادہ سے زیادہ پر پہلا مشتق صفر کے برابر ہے، اسے 'فرسٹ آرڈر کنڈیشن' یا فرسٹ آرڈر کنڈیشنز کا مجموعہ کہا جاتا ہے۔ مساوات پر پابند مسائل کا زیادہ سے زیادہ فائدہ لگرینج ملٹی پلیئر طریقہ کار سے پایا جا سکتا ہے۔ مساوات اور/یا عدم مساوات کی رکاوٹوں کے ساتھ مسائل کا زیادہ سے زیادہ فائدہ 'کرش-کوہن-ٹکر حالات' کا استعمال کرتے ہوئے پایا جا سکتا ہے۔ اصلاح کے لیے کافی شرائط اگرچہ پہلا مشتق ٹیسٹ ان نکات کی نشاندہی کرتا ہے جو انتہائی ہو سکتے ہیں، لیکن یہ ٹیسٹ کسی ایسے نقطہ میں فرق نہیں کرتا جو کم از کم زیادہ سے زیادہ ہو یا جو نہ ہو۔ جب آبجیکٹیو فنکشن دو بار تفریق پذیر ہوتا ہے، تو ان صورتوں کو دوسرے مشتق یا دوسرے مشتقات کے میٹرکس (جسے ہیسیئن میٹرکس کہا جاتا ہے) کو غیر محدود مسائل میں، یا آبجیکٹیو فنکشن کے دوسرے مشتقات کے میٹرکس اور محدود مسائل میں بارڈرڈ ہیسیئن کہلانے والی رکاوٹوں کی جانچ کر کے ممتاز کیا جا سکتا ہے۔ وہ حالات جو میکسیما، یا منیما کو دوسرے اسٹیشنری پوائنٹس سے ممتاز کرتے ہیں انہیں 'سیکنڈ آرڈر کنڈیشنز' کہا جاتا ہے (دیکھیں 'سیکنڈ ڈریویٹو ٹیسٹ')۔ اگر کوئی امیدوار حل پہلے درجے کی شرائط کو پورا کرتا ہے، تو دوسرے درجے کی شرائط کا اطمینان بھی کم از کم مقامی اصلاح کو قائم کرنے کے لیے کافی ہے۔ حساسیت اور آپٹیما کا تسلسل لفافے کا نظریہ بیان کرتا ہے کہ جب کوئی بنیادی پیرامیٹر تبدیل ہوتا ہے تو کسی بہترین حل کی قدر کیسے بدلتی ہے۔ اس تبدیلی کی گنتی کے عمل کو تقابلی اسٹیٹکس کہا جاتا ہے۔ کلاڈ برج (1963) کا زیادہ سے زیادہ نظریہ ایک بہترین حل کے تسلسل کو بنیادی پیرامیٹرز کے فنکشن کے طور پر بیان کرتا ہے۔ اصلاح کا حساب دو بار تفریق پذیر افعال کے ساتھ غیر پابند مسائل کے لیے، کچھ اہم نکات ان نکات کو تلاش کر کے تلاش کیے جا سکتے ہیں جہاں آبجیکٹیو فنکشن کا میلان صفر ہے (یعنی اسٹیشنری پوائنٹس)۔ زیادہ عام طور پر، ایک صفر ذیلی میلان اس بات کی تصدیق کرتا ہے کہ کنویکس افعال اور دیگر مقامی طور پر لپشیٹز افعال کے ساتھ کم سے کم مسائل کے لیے ایک مقامی کم از کم پایا گیا ہے۔ مزید برآں، کلیدی نکات کو ہیسیئن میٹرکس کی قطعی حیثیت کا استعمال کرتے ہوئے درجہ بندی کیا جا سکتا ہے: اگر ہیسیئن کسی نازک نقطہ پر مثبت قطعی ہے، تو نقطہ ایک مقامی کم از کم ہے۔ اگر ہیسیئن میٹرکس منفی قطعی ہے، تو نقطہ ایک مقامی زیادہ سے زیادہ ہے۔ آخر میں، اگر غیر معینہ مدت ہے، تو نقطہ کسی قسم کا سیڈل پوائنٹ ہے۔ محدود مسائل کو اکثر لگرینج ملٹی پلیئرز کی مدد سے غیر محدود مسائل میں تبدیل کیا جا سکتا ہے۔ لگرینجین آرام مشکل محدود مسائل کا تخمینہ حل بھی فراہم کر سکتا ہے۔ جب آبجیکٹیو فنکشن ایک کنویکس فنکشن ہوتا ہے، تو کوئی بھی مقامی کم از کم بھی عالمی کم از کم ہوگا۔ کنویکس افعال کو کم سے کم کرنے کے لیے موثر عددی تکنیک موجود ہیں، جیسے کہ اندرونی نقطہ کے طریقے۔ گلوبل کنورجنس زیادہ عام طور پر، اگر آبجیکٹیو فنکشن کواڈریٹک فنکشن نہیں ہے، تو بہت سے اصلاح کے طریقے دوسرے طریقوں کا استعمال کرتے ہیں تاکہ یہ یقینی بنایا جا سکے کہ تکرار کے کچھ تسلسل ایک بہترین حل میں ضم ہو جاتے ہیں۔ کنورجنس کو یقینی بنانے کا پہلا اور اب بھی مقبول طریقہ لائن سرچز پر منحصر ہے، جو ایک جہت کے ساتھ فنکشن کو بہتر بناتا ہے۔ ہم آہنگی کو یقینی بنانے کے لیے ایک دوسرا اور تیزی سے مقبول طریقہ ٹرسٹ ریجنز کا استعمال کرتا ہے۔ لائن سرچز اور ٹرسٹ ریجنز دونوں غیر تفریق کے قابل اصلاح کے جدید طریقوں میں استعمال ہوتے ہیں۔ عام طور پر، ایک گلوبل آپٹیمائزر جدید مقامی آپٹیمائزرز (جیسے بی ایف جی ایس) کے مقابلے میں بہت سست ہوتا ہے، لہذا اکثر مقامی آپٹیمائزر کو مختلف ابتدائی نکات سے شروع کرکے ایک موثر گلوبل آپٹیمائزر بنایا جا سکتا ہے۔ کمپیوٹیشنل اصلاح کی تکنیکیں مسائل کو حل کرنے کے لیے، محققین ایسے الگورتھم استعمال کر سکتے ہیں جو محدود تعداد میں مراحل میں ختم ہو جاتے ہیں، یا تکراری طریقے جو حل میں بدل جاتے ہیں (مسائل کی کچھ مخصوص کلاس پر)، یا ہیورسٹکس جو کچھ مسائل کے لگ بھگ حل فراہم کر سکتے ہیں (حالانکہ ان کے تکرار کو یکجا ہونے کی ضرورت نہیں ہے)۔ آپٹیمائزیشن الگورتھم جارج ڈینٹزگ کا سمپلیکس الگورتھم، جو سمپلیکس الگورتھم کے لکیری پروگرامنگ ایکسٹینشنز کے لیے ڈیزائن کیا گیا ہے، جو کواڈریٹک پروگرامنگ کے لیے اور سمپلیکس الگورتھم کے لکیری فریکشنل پروگرامنگ متغیرات کے لیے ڈیزائن کیا گیا ہے جو خاص طور پر نیٹ ورک آپٹیمائزیشن کے لیے موزوں ہیں۔ مشترکہ الگورتھم کوانٹم آپٹیمائزیشن الگورتھم تکراری طریقے غیر لکیری پروگرامنگ کے مسائل کو حل کرنے کے لیے استعمال ہونے والے تکراری طریقے اس کے مطابق مختلف ہوتے ہیں کہ آیا وہ ہیسین، گریڈینٹس، یا صرف فنکشن ویلیوز کا اندازہ کرتے ہیں۔ حسیسیوں (H) اور گریڈینٹس (G) کا اندازہ لگانے سے کنورجنس کی شرح میں بہتری آتی ہے، ان افعال کے لیے جن کے لیے یہ مقداریں موجود ہیں اور کافی آسانی سے مختلف ہوتی ہیں، اس طرح کی تشخیص ہر تکرار کی کمپیوٹیشنل پیچیدگی (یا کمپیوٹیشنل لاگت) میں اضافہ کرتی ہے۔ بعض صورتوں میں، کمپیوٹیشنل پیچیدگی بہت زیادہ ہو سکتی ہے۔ اصلاح کاروں کے لیے ایک اہم معیار صرف مطلوبہ فنکشن کی تشخیص کی تعداد ہے کیونکہ یہ اکثر پہلے سے ہی ایک بڑی کمپیوٹیشنل کوشش ہوتی ہے، عام طور پر خود اصلاح کار کے مقابلے میں بہت زیادہ کوشش ہوتی ہے، جسے بنیادی طور پر N متغیرات پر کام کرنا پڑتا ہے۔ مشتق اس طرح کے اصلاح کاروں کے لیے تفصیلی معلومات فراہم کرتے ہیں، لیکن ان کا حساب لگانا اور بھی مشکل ہے، مثال کے طور پر۔ میلان کا تخمینہ لگانے میں کم از کم N + 1 فنکشن کی تشخیص ہوتی ہے۔ دوسرے مشتقات (ہیسین میٹرکس میں جمع کردہ) کے تخمینوں کے لیے، فنکشن کی تشخیص کی تعداد N2 کی ترتیب میں ہے۔ نیوٹن کے طریقہ کار میں دوسرے درجے کے مشتقات کی ضرورت ہوتی ہے، لہذا ہر تکرار کے لیے فنکشن کالز کی تعداد N2 کی ترتیب میں ہوتی ہے، لیکن ایک سادہ خالص گریڈینٹ آپٹیمائزر کے لیے یہ صرف N ہوتی ہے۔ تاہم، گریڈینٹ آپٹیمائزرز کو عام طور پر نیوٹن کے الگورتھم سے زیادہ تکرار کی ضرورت ہوتی ہے۔ فنکشن کالز کی تعداد کے حوالے سے کون سا بہترین ہے اس کا انحصار خود اس مسئلے پر ہے۔ وہ طریقے جو حسیسیوں کا جائزہ لیتے ہیں (یا محدود اختلافات کا استعمال کرتے ہوئے حسیسیوں کا تخمینہ لگاتے ہیں): نیوٹن کا طریقہ ترتیب وار کواڈریٹک پروگرامنگ: چھوٹے درمیانے پیمانے کے محدود مسائل کے لیے نیوٹن پر مبنی طریقہ۔ کچھ ورژن بڑے جہتی مسائل کو سنبھال سکتے ہیں۔ اندرونی نقطہ کے طریقے: یہ محدود اصلاح کے طریقوں کی ایک بڑی کلاس ہے، جن میں سے کچھ صرف (ذیلی) میلان کی معلومات استعمال کرتے ہیں اور جن میں سے دوسروں کو ہیسیوں کی تشخیص کی ضرورت ہوتی ہے۔ وہ طریقے جو گریڈینٹس، یا کسی طرح سے لگ بھگ گریڈینٹس کا اندازہ کرتے ہیں (یا یہاں تک کہ ذیلی گریڈینٹس): نزول کے طریقوں کو مربوط کریں: الگورتھم جو ہر تکرار میں ایک واحد کوآرڈینیٹ کو اپ ڈیٹ کرتے ہیں۔ (نظریہ طور پر، یہ طریقے کواڈریٹک معروضی افعال کے ساتھ محدود تعداد میں مراحل میں ختم ہوتے ہیں، لیکن یہ محدود اختتام محدود صحت سے متعلق کمپیوٹرز پر عملی طور پر نہیں دیکھا جاتا ہے۔) گریڈینٹ ڈیسنٹ (متبادل طور پر، "تیز ترین نزول" یا "تیز ترین چڑھائی"): تاریخی اور نظریاتی دلچسپی کا ایک (سست) طریقہ، جس نے بے پناہ مسائل کے تخمینہ حل تلاش کرنے کے لیے نئی دلچسپی پیدا کی ہے۔ سب گریڈینٹ طریقے: عام گریڈینٹس کا استعمال کرتے ہوئے بڑے مقامی طور پر لپشٹز افعال کے لیے ایک تکراری طریقہ۔ بورس ٹی پولیک کے بعد، سب گریڈیئنٹ پروجیکشن کے طریقے کنجوگیٹ گریڈیئنٹ کے طریقوں سے ملتے جلتے ہیں۔ نزول کا بنڈل طریقہ: مقامی طور پر لپشٹز افعال کے ساتھ چھوٹے درمیانے درجے کے مسائل کے لیے ایک تکراری طریقہ، خاص طور پر کنویکس کم سے کم کرنے کے مسائل کے لیے (کنجوگیٹ گریڈینٹ طریقوں کی طرح)۔ ایلیپسائڈ طریقہ: کواسیکونویکس معروضی افعال کے ساتھ چھوٹے مسائل کے لیے ایک تکراری طریقہ اور بڑی نظریاتی دلچسپی کا، خاص طور پر کچھ مشترکہ اصلاح کے مسائل کی کثیر الجہتی وقت کی پیچیدگی کو قائم کرنے میں۔ اس کی مماثلت کواسی-نیوٹن طریقوں سے ہے۔ لکیری رکاوٹوں کے ساتھ خاص طور پر ٹریفک نیٹ ورک کے ساتھ خاص طور پر تشکیل شدہ مسائل کو کم سے کم کرنے کے لیے مشروط میلان کا طریقہ (فرینک-وولف)۔ عام غیر محدود مسائل کے لیے، یہ طریقہ گریڈینٹ طریقہ تک کم ہو جاتا ہے، جسے متروک (تقریبا تمام مسائل کے لیے) سمجھا جاتا ہے۔ نیم-نیوٹن طریقے: درمیانی بڑے مسائل کے لیے تکراری طریقے (مثال کے طور پر۔ N <1000)۔ سٹوچسٹک آپٹیمائزیشن کے لیے بیک وقت پرٹربیشن سٹوچسٹک اپروکسیمیشن (ایس پی ایس اے) طریقہ ؛ بے ترتیب (موثر) گریڈینٹ اپروکسیمیشن کا استعمال کرتا ہے۔ وہ طریقے جو صرف فنکشن ویلیوز کا اندازہ کرتے ہیں: اگر کوئی مسئلہ مسلسل تفریق پذیر ہے، تو محدود اختلافات کا استعمال کرتے ہوئے میلان کا تخمینہ لگایا جا سکتا ہے، ایسی صورت میں میلان پر مبنی طریقہ استعمال کیا جا سکتا ہے۔ انٹرپولیشن کے طریقے پیٹرن سرچ کے طریقے، جن میں نیلڈر-میڈ ہیورسٹک (آسانیوں کے ساتھ) سے بہتر کنورجنس خصوصیات ہیں، جو ذیل میں درج ہیں۔ (حتمی طور پر ختم کرنے والے) الگورتھم اور (متغیر) تکراری طریقوں کے علاوہ، ہیورسٹکس بھی ہیں۔ ہیورسٹک کوئی بھی الگورتھم ہے جس کی حل تلاش کرنے کی (ریاضیاتی طور پر) ضمانت نہیں ہے، لیکن جو اس کے باوجود بعض عملی حالات میں مفید ہے۔ کچھ معروف ہیورسٹکس کی فہرست: تفریقی ارتقاء متحرک نرمی ارتقاء الگورتھم جینیاتی الگورتھم بے ترتیب دوبارہ شروع کے ساتھ پہاڑی چڑھائی میموٹک الگورتھم نیلڈر-میڈ سادہ ہیورسٹک: تقریبا کم سے کم کرنے کے لیے ایک مقبول ہیورسٹک (گریڈینٹس کو کال کیے بغیر) پارٹیکل سوارم آپٹیمائزیشن سمیلیٹڈ اینیلنگ اسٹوچسٹک ٹنلنگ تبو سرچ ایپلی کیشنز میکانکس سخت جسمانی حرکیات میں مسائل (خاص طور پر واضح سخت جسمانی حرکیات میں) اکثر ریاضیاتی پروگرامنگ تکنیک کی ضرورت ہوتی ہے، کیونکہ آپ سخت جسمانی حرکیات کو ایک رکاوٹ کئی گنا پر ایک عام تفریقی مساوات کو حل کرنے کی کوشش کے طور پر دیکھ سکتے ہیں۔ رکاوٹیں مختلف غیر لکیری ہندسی رکاوٹیں ہیں جیسے کہ "یہ دو نکات ہمیشہ موافق ہونے چاہئیں"، اس سطح کو کسی اور میں داخل نہیں ہونا چاہیے۔ نیز، رابطہ قوتوں کی کمپیوٹنگ کا مسئلہ لکیری تکمیل کے مسئلے کو حل کرکے کیا جا سکتا ہے، جسے کیو پی (کواڈریٹک پروگرامنگ) کے مسئلے کے طور پر بھی دیکھا جا سکتا ہے۔ ڈیزائن کے بہت سے مسائل کو اصلاح کے پروگراموں کے طور پر بھی ظاہر کیا جا سکتا ہے۔ اس ایپلی کیشن کو ڈیزائن آپٹیمائزیشن کہا جاتا ہے۔ ایک ذیلی سیٹ انجینئرنگ آپٹیمائزیشن ہے، اور اس شعبے کا ایک اور حالیہ اور بڑھتا ہوا ذیلی سیٹ ملٹی ڈسپلنری ڈیزائن آپٹیمائزیشن ہے، جو اگرچہ بہت سے مسائل میں مفید ہے، لیکن خاص طور پر ایرو اسپیس انجینئرنگ کے مسائل پر لاگو کیا گیا ہے۔ اس نقطہ نظر کا اطلاق کاسمولوجی اور ایسٹرو فزکس میں کیا جا سکتا ہے۔ معاشیات اور مالیات معاشیات ایجنٹوں کی اصلاح سے کافی قریب سے جڑے ہوئے ہیں کہ ایک بااثر تعریف معاشیات کو سائنس سے متعلق متبادل استعمال کے ساتھ "مقاصد اور کم ذرائع کے درمیان تعلق کے طور پر انسانی رویے کے مطالعہ" کے طور پر بیان کرتی ہے۔ جدید اصلاح کا نظریہ روایتی اصلاح کا نظریہ شامل کرتا ہے لیکن گیم تھیوری اور معاشی توازن کے مطالعہ کے ساتھ بھی اوورلیپ ہوتا ہے۔ جرنل آف اکنامک لٹریچر کوڈز ریاضیاتی پروگرامنگ، اصلاح کی تکنیکوں اور متعلقہ موضوعات کو جے ای ایل: سی 61-سی 63 کے تحت درجہ بندی کرتے ہیں۔ مائیکرو اکنامکس میں، افادیت کو زیادہ سے زیادہ کرنے کا مسئلہ اور اس کا دوہرا مسئلہ، اخراجات کو کم کرنے کا مسئلہ، معاشی اصلاح کے مسائل ہیں۔ جہاں تک وہ مستقل طور پر برتاؤ کرتے ہیں، صارفین کو اپنی افادیت کو زیادہ سے زیادہ کرنے کے لیے فرض کیا جاتا ہے، جبکہ فرموں کو عام طور پر اپنے منافع کو زیادہ سے زیادہ کرنے کے لیے فرض کیا جاتا ہے۔ نیز، ایجنٹوں کو اکثر خطرے سے بچنے والے کے طور پر پیش کیا جاتا ہے، اس طرح وہ خطرے سے بچنے کو ترجیح دیتے ہیں۔ اثاثوں کی قیمتوں کو بھی اصلاح کے نظریہ کا استعمال کرتے ہوئے ماڈل کیا جاتا ہے، حالانکہ بنیادی ریاضی جامد اصلاح کے بجائے غیر معمولی عمل کو بہتر بنانے پر منحصر ہے۔ بین الاقوامی تجارتی نظریہ قوموں کے درمیان تجارتی نمونوں کی وضاحت کے لیے اصلاح کا بھی استعمال کرتا ہے۔ محکموں کی اصلاح معاشیات میں کثیر مقصد کی اصلاح کی ایک مثال ہے۔ 1970 کی دہائی سے، ماہرین اقتصادیات نے کنٹرول تھیوری کا استعمال کرتے ہوئے وقت کے ساتھ متحرک فیصلوں کا نمونہ بنایا ہے۔ مثال کے طور پر، متحرک سرچ ماڈل لیبر مارکیٹ کے رویے کا مطالعہ کرنے کے لیے استعمال کیے جاتے ہیں۔ ایک اہم فرق ڈیٹرمینیٹک اور سٹوچسٹک ماڈلز کے درمیان ہے۔ میکرو اکنامسٹ ڈائنامک اسٹوکاسٹک جنرل ایکولبریئم (ڈی ایس جی ای) ماڈل بناتے ہیں جو کارکنوں، صارفین، سرمایہ کاروں اور حکومتوں کے باہمی انحصار کو بہتر بنانے والے فیصلوں کے نتیجے میں پوری معیشت کی حرکیات کو بیان کرتے ہیں۔ الیکٹریکل انجینئرنگ الیکٹریکل انجینئرنگ میں اصلاح کی تکنیکوں کی کچھ عام ایپلی کیشنز میں فعال فلٹر ڈیزائن، سپر کنڈکٹنگ مقناطیسی توانائی اسٹوریج سسٹم میں اسٹریٹ فیلڈ میں کمی، مائکروویو ڈھانچے کا اسپیس میپنگ ڈیزائن، ہینڈسیٹ اینٹینا، برقی مقناطیسیت پر مبنی ڈیزائن شامل ہیں۔ مائکروویو اجزاء اور اینٹینا کے برقی مقناطیسی طور پر توثیق شدہ ڈیزائن کی اصلاح نے 1993 میں خلائی نقشہ سازی کی دریافت کے بعد سے ایک مناسب طبیعیات پر مبنی یا تجرباتی سروگیٹ ماڈل اور خلائی نقشہ سازی کے طریقوں کا وسیع استعمال کیا ہے۔ سول انجینئرنگ میں آپٹیمائزیشن کا وسیع پیمانے پر استعمال کیا گیا ہے۔ تعمیراتی انتظام اور نقل و حمل کی انجینئرنگ سول انجینئرنگ کی اہم شاخوں میں سے ہیں جو اصلاح پر بہت زیادہ انحصار کرتی ہیں۔ سول انجینئرنگ کے سب سے عام مسائل جو اصلاح کے ذریعے حل کیے جاتے ہیں وہ ہیں سڑکوں کو کاٹنا اور بھرنا، ڈھانچوں اور بنیادی ڈھانچوں کا لائف سائیکل تجزیہ، وسائل کی سطح بندی، آبی وسائل کی تقسیم، ٹریفک مینجمنٹ اور شیڈول کی اصلاح۔ آپریشنز ریسرچ ایک اور شعبہ جو اصلاح کی تکنیکوں کو بڑے پیمانے پر استعمال کرتا ہے وہ آپریشنز ریسرچ ہے۔ آپریشنز ریسرچ بہتر فیصلہ سازی کی حمایت کے لیے اسٹاکسٹک ماڈلنگ اور تخروپن کا بھی استعمال کرتی ہے۔ تیزی سے، آپریشنز ریسرچ متحرک فیصلوں کا نمونہ بنانے کے لیے اسٹاکسٹک پروگرامنگ کا استعمال کرتی ہے جو واقعات کے مطابق ڈھال لیتے ہیں۔ اس طرح کے مسائل کو بڑے پیمانے پر اصلاح اور اسٹاکسٹک اصلاح کے طریقوں سے حل کیا جا سکتا ہے۔ کنٹرول انجینئرنگ ریاضیاتی اصلاح زیادہ تر جدید کنٹرولر ڈیزائن میں استعمال ہوتی ہے۔ اعلی سطحی کنٹرولرز جیسے ماڈل پیشن گوئی کنٹرول (ایم پی سی) یا ریئل ٹائم آپٹیمائزیشن (آر ٹی او) ریاضیاتی اصلاح کو استعمال کرتے ہیں۔ یہ الگورتھم آن لائن چلتے ہیں اور بار بار فیصلہ متغیرات کے لیے اقدار کا تعین کرتے ہیں، جیسے کہ پروسیس پلانٹ میں چوک اوپننگ، ریاضیاتی اصلاح کے مسئلے کو بار بار حل کرکے جس میں رکاوٹیں اور کنٹرول کیے جانے والے نظام کا ماڈل شامل ہے۔ جیو فزکس آپٹیمائزیشن تکنیک باقاعدگی سے جیو فزیکل پیرامیٹر تخمینہ کے مسائل میں استعمال ہوتی ہیں۔ جیو فزیکل پیمائش کے ایک سیٹ کو دیکھتے ہوئے، مثال کے طور پر۔ زلزلے کی ریکارڈنگ، بنیادی چٹانوں اور سیالوں کی جسمانی خصوصیات اور ہندسی شکلوں کے لیے حل کرنا عام ہے۔ جیو فزکس میں زیادہ تر مسائل غیر لکیری ہوتے ہیں جن میں تعیناتی اور اسٹاکسٹک دونوں طریقے بڑے پیمانے پر استعمال ہوتے ہیں۔ مالیکیولر ماڈلنگ غیر لکیری اصلاح کے طریقے تشخیصی تجزیہ میں بڑے پیمانے پر استعمال ہوتے ہیں۔ کمپیوٹیشنل سسٹمز بائیولوجی آپٹیمائزیشن تکنیک کا استعمال کمپیوٹیشنل سسٹمز بائیولوجی کے بہت سے پہلوؤں میں کیا جاتا ہے جیسے ماڈل بلڈنگ، بہترین تجرباتی ڈیزائن، میٹابولک انجینئرنگ، اور مصنوعی حیاتیات۔ لکیری پروگرامنگ کا اطلاق خمیر کی مصنوعات کی زیادہ سے زیادہ ممکنہ پیداوار کا حساب لگانے اور متعدد مائیکرو ارے ڈیٹا سیٹس کے ساتھ ساتھ ہائی تھرو پٹ ڈیٹا سے ٹرانسکرپشنل ریگولیٹری نیٹ ورکس سے جین ریگولیٹری نیٹ ورکس کا اندازہ لگانے کے لیے کیا گیا ہے۔ غیر لکیری پروگرامنگ کو توانائی کی میٹابولزم کا تجزیہ کرنے کے لیے استعمال کیا گیا ہے اور اس کا اطلاق میٹابولک انجینئرنگ اور بائیو کیمیکل راستوں میں پیرامیٹر تخمینے پر کیا گیا ہے۔ مشین لرننگ حل کرنے والے بھی دیکھیں بریچسٹوکرون وکر فٹنگ تعیناتی عالمی اصلاح کا ہدف پروگرامنگ اصلاح میں اہم اشاعتیں کم از کم مربع ریاضیاتی اصلاح سوسائٹی (سابقہ ریاضیاتی پروگرامنگ سوسائٹی) ریاضیاتی اصلاح الگورتھم ریاضیاتی اصلاح سافٹ ویئر پروسیس اصلاح تخروپن پر مبنی اصلاح اصلاح اصلاح کے لیے ٹیسٹ افعال متغیر کیلکولس وہیکل روٹنگ کا مسئلہ نوٹ مزید پڑھنا بیرونی لنکس اصلاح ماخذ کوڈز آپریشنز ریسرچ اصلاح کے لنکس