Liouville field theory
طبیعیات میں، لیوویل فیلڈ تھیوری (یا صرف لیوویل تھیوری) ایک دو جہتی کنفارمل فیلڈ تھیوری ہے جس کی کلاسیکی حرکت کی مساوات لیوویل کی مساوات کی عمومی شکل ہے۔ لیوویل نظریہ کی تعریف اس کے ویراسورو سمیٹری الجبرا کے مرکزی چارج کی تمام پیچیدہ اقدار کے لیے کی گئی ہے، لیکن یہ صرف اس صورت میں یک جہتی ہے جب، اور اس کی کلاسیکی حد ہے۔ اگرچہ یہ ایک مسلسل سپیکٹرم کے ساتھ ایک تعامل نظریہ ہے، لیکن لیوویل نظریہ کو حل کر لیا گیا ہے۔ خاص طور پر، دائرے پر اس کے تین نکاتی فعل کا تعین تجزیاتی طور پر کیا گیا ہے۔ تعارف لیوویل نظریہ ایک فیلڈ کی حرکیات کو بیان کرتا ہے جسے لیوویل فیلڈ کہا جاتا ہے، جس کی تعریف دو جہتی خلا پر کی جاتی ہے۔ یہ فیلڈ ایک ایکسپونینشل پوٹینشل کی موجودگی کی وجہ سے فری فیلڈ نہیں ہے جہاں پیرامیٹر کو جوڑی مستقل کہا جاتا ہے۔ فری فیلڈ تھیوری میں، توانائی کے آئجین ویکٹر لکیری طور پر آزاد ہوتے ہیں، اور تعاملات میں رفتار کو محفوظ رکھا جاتا ہے۔ لیوویل تھیوری میں، مومنٹم محفوظ نہیں ہے۔ مزید برآں، پوٹینشل توانائی آئجین ویویکٹرز تک پہنچنے سے پہلے ہی ان کی عکاسی کرتا ہے، اور دو آئجین ویویکٹر لکیری طور پر منحصر ہوتے ہیں اگر ان کے مومینٹا کا تعلق عکاسی سے ہوتا ہے جہاں بیک گراؤنڈ چارج ہوتا ہے۔ جبکہ ایکسپونینشل پوٹینشل مومنٹم کنزرویشن کو توڑتا ہے، یہ کنفارمل سمیٹری کو نہیں توڑتا ہے، اور لیوویل تھیوری مرکزی چارج کے ساتھ ایک کنفارمل فیلڈ تھیوری ہے۔ کنفارمل ٹرانسفارمیشنز کے تحت، ایک توانائی آئجین ویویکٹر جس میں مومنٹم ایک پرائمری فیلڈ کے طور پر تبدیل ہوتا ہے جس میں کنفارمل طول و عرض ہوتا ہے۔ مرکزی چارج اور کنفارمل طول و عرض دوہری کے تحت غیر متغیر ہوتے ہیں۔ لیوویل تھیوری کے ارتباط افعال اس دوہری کے تحت، اور مومینٹا کے عکاسی کے تحت لیوویل تھیوری کی یہ کوانٹم سمیٹریز تاہم لاگرانجین فارمولیشن میں ظاہر نہیں ہوتیں، خاص طور پر دوہری کے تحت ایکسپونینشل پوٹینشل غیر متغیر نہیں ہے۔ سپیکٹرم اور ارتباط کے افعال سپیکٹرم لیوویل تھیوری کا سپیکٹرم ویراسورو الجبرا کے ورما ماڈیولز کا ایک اخترن مجموعہ ہے، جہاں اور اسی ورما ماڈیول کی نشاندہی کرتا ہے، جسے بالترتیب بائیں اور دائیں حرکت پذیر ویراسورو الجبرا کی نمائندگی کے طور پر دیکھا جاتا ہے۔ مومینٹا کے لحاظ سے، سے مطابقت رکھتا ہے۔ عکاسی کا تعلق ایک آزاد نظریہ کے لیے مکمل لائن کے بجائے نصف لائن پر اقدار لینے کی رفتار کے لیے ذمہ دار ہے۔ لیوویل نظریہ یک جہتی ہے اگر اور صرف اگر۔ لیوویل نظریہ کے سپیکٹرم میں خلا کی حالت شامل نہیں ہے۔ خلا کی حالت کی وضاحت کی جا سکتی ہے، لیکن یہ آپریٹر کی مصنوعات کی توسیع میں معاون نہیں ہے۔ فیلڈز اور عکاسی کا تعلق لیوویل تھیوری میں، پرائمری فیلڈز کو عام طور پر ان کے مطابقت پذیر طول و عرض کے بجائے ان کی رفتار سے پیرامیٹرائز کیا جاتا ہے، اور اس کی نشاندہی کی جاتی ہے۔ دونوں فیلڈز اور نمائندگی کی بنیادی حالت سے مطابقت رکھتے ہیں، اور عکاسی کے تعلق سے متعلق ہیں جہاں عکاسی گتانک ہے (علامت اگر اور بصورت دیگر ہے، اور معمول کا پیمانہ من مانی ہے۔) ارتباط افعال اور ڈی او زیڈ فارمولا تین نکاتی ساخت مستقل ڈی او زیڈ فارمولے (ڈورن-اوٹو اور زمولوڈچیکوف-زمولوڈچیکوف کے لیے) کے ذریعے دیا جاتا ہے، جہاں خصوصی فنکشن ایک قسم کی ایک سے زیادہ گاما فنکشن ہوتی ہے۔ کیونکہ، تین نکاتی ساخت مستقل وہ جگہ ہے جہاں دائرے پر-نقطہ افعال کو تین نکاتی ساخت مستقل اور کنفارمل بلاکس کے لحاظ سے ظاہر کیا جا سکتا ہے۔ ایک پوائنٹ فنکشن کے کئی مختلف تاثرات ہو سکتے ہیں: کہ وہ اتفاق کرتے ہیں کہ یہ چار پوائنٹ فنکشن کی کراسنگ سمیٹری کے برابر ہے، جسے عددی طور پر چیک کیا گیا ہے اور تجزیاتی طور پر ثابت کیا گیا ہے۔ لیوویل نظریہ نہ صرف دائرے پر موجود ہے، بلکہ جینس کی کسی بھی ریمن سطح پر بھی موجود ہے۔ تکنیکی طور پر، یہ ٹورس ون پوائنٹ فنکشن کے ماڈیولر انواریینس کے برابر ہے۔ کنفارمل بلاکس اور ساخت کے مستقلات کی قابل ذکر شناختوں کی وجہ سے، اس ماڈیولر انواریینس پراپرٹی کا اندازہ دائرے کے چار نکاتی فنکشن کی کراسنگ سمیٹری سے لگایا جا سکتا ہے۔ کنفارمل بوٹسٹریپ اپروچ کا استعمال کرتے ہوئے، لیوویل تھیوری کو منفرد کنفارمل فیلڈ تھیوری کے طور پر دکھایا جا سکتا ہے جیسے کہ سپیکٹرم ایک تسلسل ہے، جس میں ایک سے زیادہ ضرب نہیں ہے، ارتباط کے افعال کا انحصار تجزیاتی طور پر ہوتا ہے اور مومینٹا، انحطاط پذیر فیلڈز موجود ہوتے ہیں۔ لاگرانجین فارمولیشن ایکشن اور ایکویشن آف موشن لیوویل تھیوری کی تعریف مقامی ایکشن سے کی جاتی ہے جہاں دو جہتی خلا کا میٹرک ہے جس پر نظریہ وضع کیا گیا ہے، اس جگہ کا رچی اسکیلر ہے، اور لیوویل فیلڈ ہے۔ پیرامیٹر، جسے بعض اوقات کاسمولوجیکل مستقل کہا جاتا ہے، اس پیرامیٹر سے متعلق ہے جو ارتباط افعال میں ظاہر ہوتا ہے۔ اس عمل سے وابستہ حرکت کی مساوات یہ ہے کہ لیپلیس-بیلٹرامی آپریٹر کہاں ہے۔ اگر یوکلڈین میٹرک ہے، تو یہ مساوات کم ہو جاتی ہے جو لیوویل کی مساوات کے مساوی ہے۔ ایک بار سلنڈر پر کمپیکٹ ہونے کے بعد، لیوویل فیلڈ تھیوری کو مساوی طور پر ورلڈ لائن تھیوری کے طور پر وضع کیا جا سکتا ہے۔ ایک پیچیدہ کوآرڈینیٹ سسٹم اور یوکلڈین میٹرک کا استعمال کرتے ہوئے، توانائی مومنٹم ٹینسر کے اجزاء کی پابندی ہوتی ہے۔ غیر معدوم ہونے والے اجزاء یہ ہیں کہ ان دونوں اجزاء میں سے ہر ایک مرکزی چارج کے ساتھ ویراسورو الجبرا پیدا کرتا ہے۔ ان دونوں ویراسورو الجبراس کے لیے، ایک فیلڈ ایک بنیادی فیلڈ ہے جس کی مطابقت پذیر جہت ہے۔ نظریہ کے مطابقت پذیری غیر متغیر ہونے کے لیے، عمل میں ظاہر ہونے والا میدان معمولی ہونا چاہیے، یعنی۔ مطابقت پذیر طول و عرض حاصل کریں۔ یہ بیک گراؤنڈ چارج اور جوڑی مستقل کے درمیان تعلق کی طرف لے جاتا ہے۔ اگر اس تعلق کی اطاعت کی جاتی ہے، تو یہ دراصل بالکل معمولی ہے، اور نظریہ مطابقت سے غیر متغیر ہے۔ پاتھ انٹیگرل پرائمری فیلڈز کے-پوائنٹ ارتباط فنکشن کی پاتھ انٹیگرل نمائندگی اس پاتھ انٹیگرل کی وضاحت اور حساب لگانا مشکل رہا ہے۔ پاتھ انٹیگرل ریپریزنٹیشن میں، یہ واضح نہیں ہے کہ لیوویل تھیوری میں عین مطابق کنفارمل انویرینس ہے، اور یہ ظاہر نہیں ہے کہ ارتباط کے افعال غیر متغیر ہیں اور عکاسی کے تعلق کی پابندی کرتے ہیں۔ بہر حال، پاتھ انٹیگرل نمائندگی کو ان کے کچھ قطبوں پر ارتباط افعال کے باقیات کو کولومب گیس فارملزم میں ڈاٹسینکو-فتحیو انٹیگرلز کے طور پر کمپیوٹ کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے، اور اس طرح 1990 کی دہائی میں پہلی بار ڈی او زیڈ فارمولے کا اندازہ لگایا گیا تھا۔ یہ صرف 2010 کی دہائی میں ہے کہ پاتھ انٹیگرل کی سخت ممکنہ تعمیر پائی گئی، جس کی وجہ سے ڈی او زیڈ فارمولا اور کنفارمل بوٹسٹریپ کا ثبوت ملا۔ دیگر کنفارمل فیلڈ تھیوریز کے ساتھ تعلقات لیوویل تھیوری کی کچھ حدود جب مرکزی چارج اور کنفارمل طول و عرض کو متعلقہ مجرد اقدار پر بھیجا جاتا ہے، تو لیوویل تھیوری کے ارتباط افعال کم ہو کر ڈائیگنل (اے سیریز) ویراسورو کم سے کم ماڈلز کے ارتباط افعال تک پہنچ جاتے ہیں۔ دوسری طرف، جب مرکزی چارج ایک پر بھیجا جاتا ہے جبکہ کنفارمل طول و عرض مسلسل رہتے ہیں، لیوویل تھیوری رنکل واٹز تھیوری کی طرف مائل ہوتی ہے، جو ایک غیر معمولی کنفارمل فیلڈ تھیوری (سی ایف ٹی) ہے جس میں ایک مسلسل سپیکٹرم ہوتا ہے جس کا تین نکاتی فنکشن مومینٹا کے فنکشن کے طور پر تجزیاتی نہیں ہوتا ہے۔ رنکل واٹز تھیوری کی عمومی شکلیں لیوویل تھیوری سے اس قسم کی حدود لے کر حاصل کی جاتی ہیں۔ لہذا، ایک ہی سپیکٹرم کے ساتھ دو الگ الگ سی ایف ٹی معلوم ہیں: لیوویل تھیوری، جس کا تھری پوائنٹ فنکشن تجزیاتی ہے، اور دوسرا سی ایف ٹی غیر تجزیاتی تھری پوائنٹ فنکشن کے ساتھ۔ ڈبلیو زیڈ ڈبلیو ماڈلز لیوویل تھیوری کو ویس-زومینو-وٹن ماڈل سے کوانٹم ڈرنفیلڈ-سوکولوف کمی کے ذریعے حاصل کیا جا سکتا ہے۔ مزید برآں، ماڈل کے ارتباط افعال (ڈبلیو زیڈ ڈبلیو ماڈل کا یوکلڈین ورژن) کا اظہار لیوویل تھیوری کے ارتباط افعال کے لحاظ سے کیا جا سکتا ہے۔ یہ 2 ڈی بلیک ہول کوسیٹ ماڈل کے ارتباط افعال کے بارے میں بھی درست ہے۔ مزید برآں، ایسے نظریات موجود ہیں جو لیوویل نظریہ اور ماڈل کے درمیان مسلسل مداخلت کرتے ہیں۔ رسمی ٹوڈا تھیوری لیوویل تھیوری ٹوڈا فیلڈ تھیوری کی سب سے آسان مثال ہے، جو کارٹن میٹرکس سے وابستہ ہے۔ مزید عمومی مطابقت پذیری ٹوڈا نظریات کو لیوویل نظریہ کی عمومی شکلوں کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے، جن کے لگرینجین میں ایک بوسون کے بجائے کئی بوسون شامل ہوتے ہیں، اور جن کی ہم آہنگی الجیبرا ویراسورو الجبرا کے بجائے ڈبلیو-الجیبرا ہوتے ہیں۔ سپرسیمیٹرک لیوویل تھیوری لیوویل تھیوری دو مختلف سپرسیمیٹرک ایکسٹینشنز کو تسلیم کرتی ہے جنہیں سپرسیمیٹرک لیوویل تھیوری اور سپرسیمیٹرک لیوویل تھیوری کہا جاتا ہے۔ مربوط ماڈلز کے ساتھ تعلقات سنہا-گورڈن ماڈل فلیٹ اسپیس میں، سنہا-گورڈن ماڈل کی تعریف مقامی عمل سے کی جاتی ہے: حرکت کی متعلقہ کلاسیکی مساوات سنہا-گورڈن مساوات ہے۔ اس ماڈل کو لیوویل تھیوری کے خلل کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے۔ ماڈل کا عین مطابق S-میٹرکس کمزور جوڑے کے نظام میں جانا جاتا ہے، اور یہ اس کے تحت باضابطہ طور پر غیر متغیر ہے۔ تاہم، یہ دلیل دی گئی ہے کہ ماڈل خود غیر متغیر نہیں ہے۔ ایپلی کیشنز لیوویل کشش ثقل دو جہتوں میں، آئن سٹائن کی مساوات لیوویل کی مساوات تک کم ہو جاتی ہیں، لہذا لیوویل نظریہ کشش ثقل کا ایک کوانٹم نظریہ فراہم کرتا ہے جسے لیوویل کشش ثقل کہا جاتا ہے۔ اسے سی جی ایچ ایس ماڈل یا جیکیو-ٹیٹل بوائم کشش ثقل کے ساتھ الجھن میں نہیں ڈالنا چاہیے۔ سٹرنگ تھیوری لیوویل تھیوری سٹرنگ تھیوری کے تناظر میں ظاہر ہوتی ہے جب پاتھ انٹیگرل فارمولیشن میں تھیوری کا غیر تنقیدی ورژن وضع کرنے کی کوشش کی جاتی ہے۔ یہ نظریہ دو خلائی طول و عرض میں بوسونک سٹرنگ تھیوری کی وضاحت کے طور پر بھی ظاہر ہوتا ہے جس میں لکیری ڈلاٹن اور ٹیچین پس منظر ہوتا ہے۔ لکیری ڈلاٹن پس منظر میں حرکت کی ٹیچیون فیلڈ مساوات کے لیے اسے ایک تیز رفتار حل لینے کی ضرورت ہوتی ہے۔ اس پس منظر میں پولیکوف ایکشن پھر لیوویل فیلڈ تھیوری سے ملتا جلتا ہے، جس میں لکیری ڈلاٹن بیک گراؤنڈ چارج کی اصطلاح کے لیے ذمہ دار ہوتا ہے جبکہ ٹیچیون ایکسپونینشل پوٹینشل میں حصہ ڈالتا ہے۔ بے ترتیب توانائی کے ماڈل لیوویل تھیوری کے ساتھ، اور کچھ لاگ سے متعلق بے ترتیب توانائی کے ماڈلز کے درمیان ایک عین مطابق نقشہ سازی ہے۔ یہ نمونے ایک تھرمل ذرہ کو بے ترتیب صلاحیت میں بیان کرتے ہیں جو لوگرتھمک طور پر مربوط ہوتا ہے۔ دو جہتوں میں، اس طرح کی صلاحیت گاؤسی آزاد میدان کے ساتھ موافق ہے۔ اس صورت میں، لیوویل نظریہ میں بنیادی شعبوں کے درمیان بعض ارتباط افعال کو ذرہ کی گبز پیمائش کے ارتباط افعال کے لیے نقشہ بنایا جاتا ہے۔ اس میں دو جہتی گوسی آزاد میدان کے انتہائی قدر کے اعداد و شمار کے لیے ایپلی کیشنز ہیں، اور لاگ سے متعلق بے ترتیب توانائی کے ماڈلز (دو جہتوں اور اس سے آگے) کی کچھ عالمگیر خصوصیات کی پیش گوئی کرنے کی اجازت دیتا ہے۔ دیگر ایپلی کیشنز لیوویل تھیوری کا تعلق طبیعیات اور ریاضی کے دیگر مضامین سے ہے، جیسے کہ منفی مڑے ہوئے خالی جگہوں میں سہ جہتی عمومی اضافیت، ریمن سطحوں کی یکسانیت کا مسئلہ، اور کنفارمل میپنگ میں دیگر مسائل۔ یہ اے جی ٹی خط و کتابت کے ذریعہ ایک مخصوص چار جہتی سپر کنفارمل گیج نظریات میں انسٹینٹن پارٹیشن افعال سے بھی متعلق ہے۔ کے ساتھ لیوویل تھیوری کے لیے الجھن کا نام دینا سب سے پہلے ٹائم لائک لیوویل تھیوری کے نام سے وقت پر منحصر سٹرنگ تھیوری کے ماڈل کے طور پر ظاہر ہوا۔ اسے عام کردہ کم سے کم ماڈل بھی کہا جاتا ہے۔ اسے سب سے پہلے لیوویل تھیوری کہا گیا جب یہ پایا گیا کہ یہ اصل میں موجود ہے، اور وقت کی بجائے جگہ کی طرح ہے۔ 2022 تک، ان تینوں ناموں میں سے ایک بھی عالمی سطح پر قبول نہیں کیا گیا ہے۔ حوالہ جات بیرونی روابط ریاضی دانوں نے کوانٹم کشش ثقل کا 2 ڈی ورژن ثابت کیا واقعی کام کرتا ہے، چارلی ووڈ کا کوانٹا میگزین کا مضمون، جون 2021۔ لیوویل تھیوری کا تعارف، انسٹی ٹیوٹ فار ایڈوانسڈ اسٹڈی میں بات کریں بذریعہ اینٹی کوپیینن، مئی 2018۔ کنفارمل فیلڈ تھیوری سٹرنگ تھیوری تفریقی جیومیٹری