Combinatorial principles
امتزاج میں نتائج ثابت کرنے میں کئی مفید امتزاج کے قواعد یا امتزاج کے اصولوں کو عام طور پر تسلیم کیا جاتا ہے اور استعمال کیا جاتا ہے۔ رقم کی حکمرانی، پروڈکٹ کی حکمرانی، اور شمولیت-اخراج کا اصول اکثر عددی مقاصد کے لیے استعمال ہوتے ہیں۔ باجیکٹو ثبوتوں کا استعمال یہ ظاہر کرنے کے لیے کیا جاتا ہے کہ دو سیٹوں میں عناصر کی تعداد یکساں ہوتی ہے۔ کبوتر کے سوراخ کا اصول اکثر کسی چیز کے وجود کا پتہ لگاتا ہے یا کسی مجرد سیاق و سباق میں کسی چیز کی کم سے کم یا زیادہ سے زیادہ تعداد کا تعین کرنے کے لیے استعمال ہوتا ہے۔ بہت سی مشترکہ شناخت دوہری گنتی کے طریقوں یا ممتاز عنصر کے طریقہ کار سے پیدا ہوتی ہیں۔ جنریٹنگ فنکشنز اور ریکرنس ریلیشنز طاقتور ٹولز ہیں جنہیں ترتیبات میں ہیرا پھیری کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے، اور اگر نہیں تو بہت سے مشترکہ حالات کو حل کر سکتے ہیں۔ مجموعہ کی حکمرانی ایک بدیہی اصول ہے جس میں کہا گیا ہے کہ اگر کسی واقعے کے ممکنہ نتائج (یا کچھ کرنے کے طریقے) اور کسی دوسرے واقعے کے ممکنہ نتائج (یا کوئی اور کام کرنے کے طریقے) ہوں، اور دونوں واقعات دونوں نہیں ہو سکتے (یا دونوں چیزیں دونوں نہیں کی جا سکتی)، تو واقعات کے کل ممکنہ نتائج (یا کسی ایک چیز کو کرنے کے کل ممکنہ طریقے) a + b ہوتے ہیں۔ مزید رسمی طور پر، دو جداگانہ سیٹوں کے سائز کا مجموعہ ان کے اتحاد کے سائز کے برابر ہوتا ہے۔ پروڈکٹ کا قاعدہ پروڈکٹ کا قاعدہ ایک اور بدیہی اصول ہے جس میں کہا گیا ہے کہ اگر کچھ کرنے کے طریقے ہیں اور بی دوسرے کام کرنے کے طریقے ہیں، تو دونوں چیزوں کو کرنے کے طریقے a·b ہیں۔ شمولیت-اخراج کا اصول شمولیت-اخراج کا اصول متعدد سیٹوں کے اتحاد کے سائز، ہر سیٹ کے سائز، اور سیٹوں کے ہر ممکنہ چوراہے کے سائز سے متعلق ہے۔ سب سے چھوٹی مثال تب ہوتی ہے جب دو سیٹ ہوتے ہیں: A اور B کے اتحاد میں عناصر کی تعداد A اور B میں عناصر کی تعداد کے مجموعے کے برابر ہوتی ہے، مائنس ان کے چوراہے میں عناصر کی تعداد۔ عام طور پر، اس اصول کے مطابق، اگر A1......................................................................................................................................................................... ڈبل گنتی ایک ایسی تکنیک ہے جو دو تاثرات کو برابر کرتی ہے جو ایک سیٹ کے سائز کو دو طریقوں سے شمار کرتی ہے۔ کبوتر کے سوراخ کا اصول کبوتر کے سوراخ کے اصول میں کہا گیا ہے کہ اگر کسی چیز کو بی باکس میں سے کسی ایک میں ڈال دیا جائے، جہاں a> b، تو ایک باکس میں ایک سے زیادہ آئٹم ہوتے ہیں۔ اس کا استعمال، مثال کے طور پر، کچھ مخصوص خصوصیات کے ساتھ کسی سیٹ میں کسی عنصر کے وجود کا مظاہرہ کر سکتا ہے۔ ممتاز عنصر کا طریقہ ممتاز عنصر کا طریقہ کچھ نتیجہ ثابت کرنے کے لیے کسی سیٹ کے "ممتاز عنصر" کو الگ کرتا ہے۔ جنریٹنگ فنکشن جنریٹنگ فنکشنز کو لامحدود طور پر بہت سی اصطلاحات والے کثیر الجہتی کے طور پر سوچا جا سکتا ہے جن کے گتانک ترتیب کی اصطلاحات سے مطابقت رکھتے ہیں۔ ترتیب کی یہ نئی نمائندگی بعض ترتیبات سے متعلق شناختوں اور بند شکلوں کو تلاش کرنے کے لیے نئے طریقے کھولتی ہے۔ ایک ترتیب کا (عام) پیدا کرنے والا فنکشن ایک تکرار کا رشتہ ہے ایک تکرار کا رشتہ ترتیب کی ہر اصطلاح کو سابقہ اصطلاحات کے لحاظ سے بیان کرتا ہے۔ تکرار کے تعلقات کسی ترتیب کی پہلے سے نامعلوم خصوصیات کا باعث بن سکتے ہیں، لیکن عام طور پر ترتیب کی شرائط کے لیے بند شکل کے تاثرات زیادہ مطلوبہ ہوتے ہیں۔ حوالہ جات ریاضیاتی اصول