Alternating group
ریاضی میں، ایک متبادل گروپ ایک محدود سیٹ کے یکساں تغیرات کا گروپ ہوتا ہے۔ عناصر کے ایک سیٹ پر متبادلات گروپ کو ڈگری کا متبادلات گروپ، یا حروف پر متبادلات گروپ کہا جاتا ہے اور اس کی نشاندہی یا بنیادی خصوصیات سے کی جاتی ہے۔ اس لیے، گروپ این اشاریہ 2 کے ساتھ سمیٹرک گروپ Sn کا کمیونیٹر ذیلی گروپ ہے اور اس لیے اس میں n!/2 عناصر ہوتے ہیں۔ یہ سمیٹرک گروپ کے تحت بیان کردہ دستخطی گروپ ہومومورفزم کا دانا ہے۔ گروپ این ابیلین ہے اگر اور صرف اگر اور سادہ ہے اگر اور صرف اگر یا۔ A5 سب سے چھوٹا غیر ایبلین سادہ گروپ ہے، جس کی ترتیب 60 ہے، اور سب سے چھوٹا غیر حل کرنے والا گروپ ہے۔ گروپ A4 میں کلین چار گروپ V ایک مناسب عام ذیلی گروپ کے طور پر ہے، یعنی شناخت اور ڈبل ٹرانسپوزیشن، جو کہ A4 کے سرجیکشن کا دانا ہے۔ ہمارے پاس درست ترتیب ہے۔ گالوئس تھیوری میں، یہ نقشہ، یا اس کے بجائے متعلقہ نقشہ، لگرینج ریزولوینٹ کیوبک کو کوارٹک سے جوڑنے سے مطابقت رکھتا ہے، جو کوارٹک کثیر کو ریڈیکلز کے ذریعے حل کرنے کی اجازت دیتا ہے، جیسا کہ لوڈوویکو فیراری نے قائم کیا ہے۔ ہم آہنگی کی کلاسیں جیسا کہ ہم آہنگی والے گروپ میں، این کے کسی بھی دو عناصر جو این کے عنصر سے مربوط ہوتے ہیں ان کی سائیکل کی شکل ایک جیسی ہونی چاہیے۔ تاہم، اس کے برعکس لازمی طور پر درست نہیں ہے۔ اگر سائیکل کی شکل صرف عجیب لمبائی کے چکروں پر مشتمل ہے جس میں کوئی دو چکروں کی لمبائی ایک جیسی نہیں ہے، جہاں سائیکل کی قسم میں لمبائی ایک کے چکروں کو شامل کیا گیا ہے، تو اس سائیکل کی شکل کے لیے بالکل دو کنجوگیسی کلاسیں ہیں۔ مثال: دو تغیرات (123) اور (132) A3 میں کنجوگیٹ نہیں ہیں، حالانکہ ان کی سائیکل کی شکل ایک جیسی ہے، اور اس لیے S3 میں کنجوگیٹ ہیں۔ ترتیب (123) (45678) A8 میں اس کے الٹا (132) (48765) کے ساتھ مربوط نہیں ہے، حالانکہ دونوں ترتیبات کی سائیکل کی شکل ایک جیسی ہے، اس لیے وہ S8 میں مربوط ہیں۔ سمیٹرک گروپ کے ساتھ تعلق سمیٹرک گروپ دیکھیں۔ چونکہ محدود ہم آہنگی والے گروپ محدود عناصر کے ساتھ کسی سیٹ کے تمام تغیرات کے گروپ ہوتے ہیں، اور متبادل گروپ یکساں تغیرات کے گروپ ہوتے ہیں، متبادل گروپ محدود ہم آہنگی والے گروپوں کے ذیلی گروپ ہوتے ہیں۔ جنریٹر اور تعلقات n ≤ 3 کے لیے، ایک 3 چکروں سے پیدا ہوتا ہے، کیونکہ 3 چکروں کو ٹرانسپوزیشن کے جوڑوں کو ملا کر حاصل کیا جا سکتا ہے۔ یہ جنریٹنگ سیٹ اکثر یہ ثابت کرنے کے لیے استعمال ہوتا ہے کہ این کے لیے آسان ہے۔ آٹومورفزم گروپ کے لیے، سوائے اس کے، این کا آٹومورفزم گروپ سمیٹرک گروپ ایس این ہے، جس میں اندرونی آٹومورفزم گروپ این اور بیرونی آٹومورفزم گروپ زیڈ 2 ہے۔ بیرونی آٹومورفزم ایک عجیب ترتیب کے ذریعے کنجگیشن سے آتا ہے۔ اور 2 کے لیے، آٹومورفزم گروپ معمولی ہے۔ آٹومورفزم گروپ کے لیے Z2 ہے، جس میں معمولی اندرونی آٹومورفزم گروپ اور بیرونی آٹومورفزم گروپ Z2 ہے۔ A6 کا بیرونی آٹومورفزم گروپ کلین فور گروپ ہے، اور اس کا تعلق S6 کے بیرونی آٹومورفزم سے ہے۔ A6 میں اضافی بیرونی آٹومورفزم 3 چکروں (جیسے (123)) کو شکل 32 (جیسے) کے عناصر کے ساتھ تبدیل کرتا ہے۔ غیر معمولی آئسومورفزم کچھ چھوٹے متبادل گروپوں اور لائ قسم کے چھوٹے گروپوں، خاص طور پر پروجیکٹو خصوصی لکیری گروپوں کے درمیان کچھ غیر معمولی آئسومورفزم ہوتے ہیں۔ یہ ہیں: اے 4 پی ایس ایل 2 (3) کے لیے آئسومورفک ہے اور چیرل ٹیٹراہیڈرل سمیٹری کا سمیٹری گروپ ہے۔ اے 5 پی ایس ایل 2 (4)، پی ایس ایل 2 (5)، اور چیرل آئکوساہیڈرل سمیٹری کے سمیٹری گروپ کے لیے آئسومورفک ہے۔ (آرڈر 60 کے سادہ گروپوں کی درجہ بندی کا استعمال کرتے ہوئے بالواسطہ آئسومورفزم کے لیے دیکھیں، اور براہ راست ثبوت کے لیے یہاں دیکھیں)۔ اے 6 پی ایس ایل 2 (9) اور پی ایس پی 4 (2) کے لیے آئسومورفک ہے۔ اے 8 پی ایس ایل 4 (2) کے لیے آئسومورفک ہے۔ مزید واضح طور پر، A3 چکور گروپ Z3 کے لیے آئسومورفک ہے، اور A0، A1، اور A2 معمولی گروپ کے لیے آئسومورفک ہیں (جو کسی بھی q کے لیے بھی ہے)۔ مثال S4 اور A4 مثال A5 3-اسپیس گردشوں کے ذیلی گروپ کے طور پر A5 3-اسپیس میں ڈوڈیکاہڈرون کے آئسومیٹریز کا گروپ ہے، لہذا ایک نمائندگی ہے۔ اس تصویر میں پولی ہیڈرا کے عمودی حصے گروپ کے عناصر کی نمائندگی کرتے ہیں، دائرے کا مرکز شناختی عنصر کی نمائندگی کرتا ہے۔ ہر ورٹیکس مرکز سے اس ورٹیکس کی طرف اشارہ کرنے والے محور کے ارد گرد ایک گردش کی نمائندگی کرتا ہے، ریڈیئنز میں، اصل سے فاصلے کے برابر زاویہ سے۔ ایک ہی پولی ہیڈرون میں عمودی ایک ہی کنجوگیسی کلاس میں ہیں۔ چونکہ A5 کے لیے کنجوگیسی کلاس مساوات ہے، اس لیے ہم چار الگ الگ (غیر معمولی) پولی ہیڈرا حاصل کرتے ہیں۔ ہر پولی ہیڈرون کے عمودی حصے اس کی کنجوگیسی کلاس کے عناصر کے ساتھ باہمی خط و کتابت میں ہوتے ہیں، سوائے (2,2)-چکروں کی کنجوگیسی کلاس کے، جس کی نمائندگی بیرونی سطح پر ایک آئکوسیڈوڈیکی ہیڈرون کے ذریعہ کی جاتی ہے، جس میں اس کے اینٹی پوڈل عمودی حصے ایک دوسرے کے ساتھ شناخت ہوتے ہیں۔ اس بے کار پن کی وجہ یہ ہے کہ متعلقہ گردش ریڈیئنز کے ذریعے ہوتی ہے، اور اسی طرح دونوں میں سے کسی بھی سمت میں لمبائی کے ویکٹر کے ذریعے اس کی نمائندگی کی جا سکتی ہے۔ اس طرح (2,2)-چکروں کی کلاس میں 15 عناصر ہوتے ہیں، جبکہ آئکوسیڈوڈیکاہڈرون میں 30 عمودی ہوتے ہیں۔ A5 میں بارہ 5 چکروں کی دو کنجوگیسی کلاسوں کی نمائندگی بالترتیب 2/5 اور 4/5 کے دو آئکوساہیڈرا کے ذریعے کی جاتی ہے۔ غیر معمولی بیرونی آٹومورفزم ان دونوں کلاسوں اور متعلقہ آئکوساہیڈرا کو آپس میں بدلتا ہے۔ مثال: 15 پہیلی یہ ثابت کیا جا سکتا ہے کہ 15 پہیلی، جو سلائڈنگ پہیلی کی ایک مشہور مثال ہے، کی نمائندگی متبادل گروپ A15 کر سکتا ہے، کیونکہ 15 پہیلی کے امتزاج کو 3 چکروں سے تیار کیا جا سکتا ہے۔ درحقیقت، مساوی سائز کی مربع ٹائلوں والی کسی بھی سلائڈنگ پہیلی کی نمائندگی A2k−1 سے کی جا سکتی ہے۔ ذیلی گروہ A4 سب سے چھوٹا گروہ ہے جو یہ ظاہر کرتا ہے کہ لگرینج کے نظریہ کا الٹا عام طور پر درست نہیں ہے: ایک محدود گروپ G اور ایک تقسیم کار d کو دیکھتے ہوئے، ضروری نہیں کہ G کا ایک ذیلی گروپ موجود ہو جس کی ترتیب d ہو: ترتیب 12 کا گروپ، ترتیب 6 کا کوئی ذیلی گروپ نہیں ہے۔ تین عناصر کا ایک ذیلی گروہ (جو تین اشیاء کی چکور گردش سے پیدا ہوتا ہے) کسی بھی الگ غیر معمولی عنصر کے ساتھ پورے گروپ کو پیدا کرتا ہے۔ سب کے لیے، این میں کوئی غیر معمولی (یعنی مناسب) عام ذیلی گروہ نہیں ہیں۔ اس طرح، این سب کے لیے ایک سادہ گروپ ہے۔ A5 سب سے چھوٹا غیر حل کرنے والا گروپ ہے۔ گروپ ہومیولوجی متبادل گروپوں کی گروپ ہومیولوجی استحکام کا مظاہرہ کرتی ہے، جیسا کہ مستحکم ہوموٹوپی تھیوری میں: کافی بڑے n کے لیے، یہ مستقل ہے۔ تاہم، کچھ کم جہتی غیر معمولی ہم آہنگی موجود ہیں۔ نوٹ کریں کہ سمیٹرک گروپ کی ہومیولوجی اسی طرح کے استحکام کی نمائش کرتی ہے، لیکن کم جہتی مستثنیات (اضافی ہومیولوجی عناصر) کے بغیر۔ H1: ابیلینائزیشن پہلا ہومیولوجی گروپ ابیلینائزیشن کے ساتھ موافق ہے، اور (چونکہ ایک کامل ہے، سوائے حوالہ شدہ مستثنیات کے) اس طرح ہے: H1 (an, Z) = Z1 n = 0,1,2 کے لیے ؛ H1 (A3, Z) = A = A3 = Z3 ؛ H1 (A4, Z) = A = Z3 ؛ H1 (An, Z) = Z1 n ≤5 کے لیے۔ یہ آسانی سے براہ راست دیکھا جاتا ہے، جیسا کہ مندرجہ ذیل ہے۔ ایک 3 چکروں کے ذریعہ تیار کیا جاتا ہے-لہذا صرف غیر معمولی ابیلینائزیشن کے نقشے ہیں کیونکہ آرڈر 3 عناصر کو آرڈر 3 عناصر کا نقشہ بنانا چاہیے-اور تمام 3 چکروں کے لیے کنجوگیٹ ہیں، لہذا انہیں ابیلینائزیشن میں ایک ہی عنصر کا نقشہ بنانا چاہیے، کیونکہ ابیلین گروپوں میں کنجوگیشن معمولی ہے۔ اس طرح (123) جیسے 3-سائیکل کو اسی عنصر کے ساتھ اس کے الٹا (321) کا نقشہ بنانا چاہیے، لیکن اس طرح شناخت کا نقشہ بنانا چاہیے، کیونکہ اس کے بعد 2 اور 3 کو تقسیم کرنے کی ترتیب ہونی چاہیے، لہذا ابیلینائزیشن معمولی ہے۔ کیونکہ، این معمولی ہے، اور اس طرح اس میں معمولی ابیلینائزیشن ہے۔ A3 اور A4 کے لیے کوئی بھی براہ راست ابیلینائزیشن کا حساب لگا سکتا ہے، یہ نوٹ کرتے ہوئے کہ 3 سائیکل دو کنجوگیسی کلاسز بناتے ہیں (بجائے اس کے کہ سب کنجوگیٹ ہوں) اور غیر معمولی نقشے ہیں (درحقیقت ایک آئسومورفزم) اور۔ H2: شور ضرب متغیر گروپوں کے شور ضرب A (اس صورت میں جہاں n کم از کم 5 ہے) ترتیب 2 کے چکور گروپ ہیں، سوائے اس صورت کے جہاں n یا تو 6 یا 7 ہے، اس صورت میں ٹرپل کور بھی ہوتا ہے۔ ان صورتوں میں، پھر، شور ضرب (چکور گروہ) ترتیب 6 کا ہوتا ہے۔ ان کا سب سے پہلے حساب لگایا گیا تھا۔ H2 (an, Z) = Z1 n = 1,2,3 کے لیے ؛ H2 (an, Z) = Z2 n = 4,5 کے لیے ؛ H2 (an, Z) = Z6 n = 6,7 کے لیے ؛ H2 (an, Z) = Z2 n ≤ 8 کے لیے۔ نوٹوں کے حوالہ جات بیرونی روابط محدود گروپ تعدد گروپ