Convergence of random variables
امکان کے نظریہ میں، بے ترتیب متغیرات کے ارتکاز کے کئی مختلف تصورات موجود ہیں۔ بے ترتیب متغیرات کے سلسلے کو کسی حد تک بے ترتیب متغیر میں ضم کرنا امکان کے نظریہ میں ایک اہم تصور ہے، اور اعداد و شمار اور غیر معمولی عمل پر اس کے اطلاق۔ انہی تصورات کو زیادہ عام ریاضی میں اسٹوکاسٹک کنورجنس کے طور پر جانا جاتا ہے اور وہ اس خیال کو باقاعدہ بناتے ہیں کہ بنیادی طور پر بے ترتیب یا غیر متوقع واقعات کا ایک سلسلہ بعض اوقات ایسے رویے میں آباد ہونے کی توقع کی جا سکتی ہے جو بنیادی طور پر غیر متغیر ہوتا ہے جب ترتیب میں کافی دور کی اشیاء کا مطالعہ کیا جاتا ہے۔ کنورجنس کے مختلف ممکنہ تصورات کا تعلق اس بات سے ہے کہ اس طرح کے رویے کی خصوصیت کیسے کی جا سکتی ہے: دو آسانی سے سمجھے جانے والے طرز عمل یہ ہیں کہ ترتیب بالآخر ایک مستقل قدر اختیار کرتی ہے، اور ترتیب میں یہ اقدار تبدیل ہوتی رہتی ہیں لیکن غیر متغیر امکان کی تقسیم سے بیان کی جا سکتی ہیں۔ پس منظر "اسٹاکسٹک کنورجنس" اس خیال کو باقاعدہ بناتا ہے کہ بنیادی طور پر بے ترتیب یا غیر متوقع واقعات کی ترتیب سے کبھی کبھی ایک نمونے میں آباد ہونے کی توقع کی جا سکتی ہے۔ نمونہ مثال کے طور پر کلاسیکی معنوں میں ایک مقررہ قدر میں کنورجنس ہو سکتا ہے، شاید خود ایک بے ترتیب واقعہ سے آ رہا ہے۔ نتائج کی بڑھتی ہوئی مماثلت جس سے ایک خالص طور پر تعیناتی فعل پیدا کرے گا۔ کسی خاص نتیجے کی طرف بڑھتی ہوئی ترجیح کسی خاص نتیجے سے بہت دور بھٹکنے کے خلاف بڑھتی ہوئی "نفرت" کہ اگلے نتیجے کو بیان کرنے والی امکان کی تقسیم تیزی سے کسی خاص تقسیم سے ملتی جلتی ہو سکتی ہے۔ کچھ کم واضح، زیادہ نظریاتی نمونے یہ ہو سکتے ہیں کہ کسی خاص قدر سے نتیجہ کے فاصلے کی متوقع قیمت کا حساب لگا کر تشکیل پانے والی سیریز 0 ہو سکتی ہے کہ اگلے واقعے کو بیان کرنے والے بے ترتیب متغیر کا تغیر چھوٹا اور چھوٹا ہوتا جاتا ہے۔ یہ دیگر اقسام کے نمونے جو پیدا ہو سکتے ہیں وہ مختلف قسم کے اسٹاکسٹک کنورجنس میں ظاہر ہوتے ہیں جن کا مطالعہ کیا گیا ہے۔ اگرچہ مذکورہ بالا بحث کا تعلق ایک واحد سیریز کے اختلاط سے محدود قدر سے ہے، لیکن ایک دوسرے کی طرف دو سیریز کے ارتکاز کا تصور بھی اہم ہے، لیکن اس ترتیب کا مطالعہ کرکے اسے آسانی سے سنبھالا جاتا ہے جس کی تعریف یا تو فرق یا تناسب کے طور پر کی جاتی ہے۔ مثال کے طور پر، اگر n آزاد بے ترتیب متغیرات کی اوسط Yi، i = 1،., n، جو سب ایک ہی محدود اوسط اور تغیر رکھتے ہیں، تب تک دی جاتی ہے جب n انفینیٹی کی طرف جاتا ہے، تو امکان میں یکجا ہوتا ہے (نیچے دیکھیں) بے ترتیب متغیرات Yi کے عام اوسط، μ میں۔ اس نتیجے کو بڑی تعداد کا کمزور قانون کہا جاتا ہے۔ کنورجنس کی دیگر شکلیں دیگر مفید نظریات میں اہم ہیں، بشمول مرکزی حد تھیوریم۔ مندرجہ ذیل کے دوران، ہم فرض کرتے ہیں کہ (Xn) بے ترتیب متغیرات کی ایک ترتیب ہے، اور X ایک بے ترتیب متغیر ہے، اور ان سب کی وضاحت ایک ہی امکان کی جگہ پر کی گئی ہے۔ تقسیم میں کنورجنس کنورجنس کے اس طریقے کے ساتھ، ہم تیزی سے بے ترتیب تجربات کے سلسلے میں اگلے نتائج کو دیکھنے کی توقع کرتے ہیں جو کسی دیئے گئے امکان کی تقسیم کے ذریعہ بہتر اور بہتر ماڈل بنتے ہیں۔ تقسیم میں کنورجنس کنورجنس کی کمزور ترین شکل ہے جس پر عام طور پر تبادلہ خیال کیا جاتا ہے، کیونکہ اس کا مطلب اس مضمون میں مذکور دیگر تمام قسم کے کنورجنس سے ہوتا ہے۔ تاہم، تقسیم میں کنورجنس کو عملی طور پر بہت کثرت سے استعمال کیا جاتا ہے ؛ اکثر یہ مرکزی حد تھیوریم کے اطلاق سے پیدا ہوتا ہے۔ تعریف حقیقی قدر والے بے ترتیب متغیرات کا ایک سلسلہ، جو مجموعی تقسیم کے افعال کے ساتھ ہے، کہا جاتا ہے کہ تقسیم میں یکجا ہوتا ہے، یا کمزور طور پر یکجا ہوتا ہے، یا قانون میں مجموعی تقسیم کے فنکشن کے ساتھ بے ترتیب متغیر میں یکجا ہوتا ہے اگر ہر نمبر کے لیے جس پر مسلسل ہو۔ یہ ضرورت ضروری ہے کہ صرف تسلسل کے نکات پر غور کیا جائے۔ مثال کے طور پر، اگر وقفوں پر یکساں طور پر تقسیم کیا جاتا ہے، تو یہ ترتیب انحطاط شدہ بے ترتیب متغیر میں تقسیم میں یکجا ہو جاتی ہے۔ درحقیقت، سب کے لیے n کب، اور سب کے لیے کب۔ تاہم، اس محدود بے ترتیب متغیر کے لیے، اگرچہ سب کے لیے۔ اس طرح سی ڈی ایف ایس کا کنورجنس اس مقام پر ناکام ہوجاتا ہے جہاں منقطع ہوتا ہے۔ تقسیم میں کنورجنس کو اس طرح ظاہر کیا جا سکتا ہے کہ قانون (امکان کی تقسیم) کہاں ہے۔ مثال کے طور پر، اگر معیاری معمول ہے تو ہم لکھ سکتے ہیں۔ بے ترتیب ویکٹروں کے لیے تقسیم میں کنورجنس کی وضاحت اسی طرح کی جاتی ہے۔ ہم کہتے ہیں کہ یہ ترتیب تقسیم میں ایک بے ترتیب ویکٹر میں یکجا ہوتی ہے اگر ہر ایک کے لیے جو ایک تسلسل سیٹ ہے۔ تقسیم میں کنورجنس کی تعریف کو بے ترتیب ویکٹر سے لے کر صوابدیدی میٹرک خالی جگہوں میں زیادہ عام بے ترتیب عناصر تک بڑھایا جا سکتا ہے، اور یہاں تک کہ "بے ترتیب متغیرات" تک جو قابل پیمائش نہیں ہیں-ایک ایسی صورتحال جو مثال کے طور پر تجرباتی عمل کے مطالعہ میں ہوتی ہے۔ یہ "قوانین کی وضاحت کے بغیر قوانین کی کمزور ہم آہنگی" ہے-سوائے غیر علامتی طور پر۔ اس صورت میں کمزور کنورجنس کی اصطلاح بہتر ہے (پیمائش کی کمزور کنورجنس دیکھیں)، اور ہم کہتے ہیں کہ بے ترتیب عناصر کی ایک ترتیب کمزور طور پر (کے طور پر ظاہر کی جاتی ہے) اگر تمام مسلسل پابند افعال کے لیے۔ یہاں E * بیرونی توقع کی نشاندہی کرتا ہے، یہ "سب سے چھوٹے قابل پیمائش فنکشن کی توقع ہے جو غالب ہے"۔ چونکہ، تقسیم میں ہم آہنگی کا مطلب یہ ہے کہ کسی دی گئی حد میں ہونے کا امکان تقریبا اس امکان کے برابر ہے کہ اس کی قیمت اس حد میں ہے، بشرطیکہ کافی زیادہ ہو۔ عام طور پر، تقسیم میں کنورجنس کا مطلب یہ نہیں ہے کہ متعلقہ امکانی کثافت افعال کی ترتیب بھی کنورج ہوگی۔ مثال کے طور پر کوئی بھی کثافت کے ساتھ بے ترتیب متغیرات پر غور کر سکتا ہے۔ یہ بے ترتیب متغیرات تقسیم میں یکساں U (0، 1) میں یکجا ہوتے ہیں، جبکہ ان کی کثافت بالکل بھی یکجا نہیں ہوتی ہے۔ تاہم، شیفی کے نظریہ کے مطابق، امکانی کثافت کے افعال کی کنورجنس کا مطلب تقسیم میں کنورجنس ہے۔ پورٹمینٹو لیما تقسیم میں کنورجنس کی کئی مساوی تعریفیں فراہم کرتا ہے۔ اگرچہ یہ تعریفیں کم بدیہی ہیں، لیکن ان کا استعمال متعدد شماریاتی نظریات کو ثابت کرنے کے لیے کیا جاتا ہے۔ لیما میں کہا گیا ہے کہ تقسیم میں اس صورت میں یکجا ہوتا ہے جب مندرجہ ذیل میں سے کوئی بھی بیان درست ہو: کے تمام تسلسل پوائنٹس کے لیے ؛ تمام پابند، مسلسل افعال کے لیے (جہاں متوقع ویلیو آپریٹر کی نشاندہی ہوتی ہے) ؛ تمام پابند، لپشٹز افعال کے لیے ؛ تمام غیر منفی، مسلسل افعال کے لیے ؛ ہر کھلے سیٹ کے لیے ؛ ہر بند سیٹ کے لیے ؛ بے ترتیب متغیر کے تمام تسلسل سیٹوں کے لیے ؛ اوپر پابند ہر اوپری نیم مسلسل فنکشن کے لیے ؛ نیچے پابند ہر نچلے نیم مسلسل فنکشن کے لیے۔ مسلسل نقشہ سازی تھیوریم بیان کرتا ہے کہ ایک مسلسل فنکشن کے لیے، اگر ترتیب تقسیم میں یکجا ہو جاتی ہے، تو تقسیم میں یکجا ہو جاتی ہے۔ تاہم نوٹ کریں کہ عام طور پر کرنے اور کرنے کی تقسیم میں ہم آہنگی کا مطلب کرنے یا کرنے کی تقسیم میں ہم آہنگی نہیں ہے۔ لیوی کا تسلسل تھیوریم: ترتیب تقسیم میں صرف اس صورت میں یکجا ہوتی ہے جب متعلقہ خصوصیت والے افعال کی ترتیب نقطہ نظر سے خصوصیت والے فنکشن میں یکجا ہو۔ تقسیم میں کنورجنس لیوی-پروخوروف میٹرک کے ذریعے قابل پیمائش ہے۔ تقسیم میں ہم آہنگی کا ایک قدرتی ربط سکورکوڈ کا نمائندگی نظریہ ہے۔ امکان میں کنورجنس اس قسم کے کنورجنس کے پیچھے بنیادی خیال یہ ہے کہ ترتیب کے آگے بڑھنے کے ساتھ "غیر معمولی" نتائج کا امکان چھوٹا اور چھوٹا ہوتا جاتا ہے۔ امکان میں ہم آہنگی کا تصور اکثر اعداد و شمار میں استعمال ہوتا ہے۔ مثال کے طور پر، تخمینہ لگانے والے کو مستقل کہا جاتا ہے اگر وہ تخمینہ کی جانے والی مقدار کے امکان میں یکجا ہو جائے۔ امکان میں کنورجنس بھی بڑی تعداد کے کمزور قانون کے ذریعہ قائم کنورجنس کی قسم ہے۔ تعریف بے ترتیب متغیرات کی ایک ترتیب {Xn} بے ترتیب متغیر X کی طرف امکان میں یکجا ہوتی ہے اگر تمام ε> 0 کے لیے مزید واضح طور پر، Pn (ε) کو امکان ہونے دیں کہ Xn X پر مرکوز رداس ε کی گیند سے باہر ہے۔ پھر کہا جاتا ہے کہ اگر کسی بھی اور کسی بھی δ> 0 کے لیے ایک عدد N موجود ہو (جو ε اور δ پر منحصر ہو سکتا ہے) تو امکان میں X میں یکجا ہوتا ہے، جیسے کہ تمام n ≤ N کے لیے، Pn (ε) <δ (حد کی تعریف)۔ نوٹ کریں کہ شرط کو پورا کرنے کے لیے، یہ ممکن نہیں ہے کہ ہر n کے لیے بے ترتیب متغیر X اور Xn آزاد ہوں (اور اس طرح امکان میں کنورجنس مشترکہ سی ڈی ایف پر ایک شرط ہے، تقسیم میں کنورجنس کے برخلاف، جو انفرادی سی ڈی ایف پر ایک شرط ہے)، جب تک کہ X بڑی تعداد کے کمزور قانون کی طرح تعیناتی نہ ہو۔ ایک ہی وقت میں، ایک تعیناتی X کا معاملہ، جب بھی تعیناتی قدر ایک منقطع نقطہ (الگ تھلگ نہیں) ہو، تقسیم میں کنورجنس کے ذریعے سنبھالا نہیں جا سکتا، جہاں منقطع پوائنٹس کو واضح طور پر خارج کرنا پڑتا ہے۔ امکان میں کنورجنس کو کنورجنس کی نشاندہی کرنے والے تیر پر حرف p کو شامل کرکے، یا "پلم" امکان کی حد آپریٹر کا استعمال کرکے ظاہر کیا جاتا ہے: کسی علیحدہ میٹرک اسپیس پر بے ترتیب عناصر {Xn} کے لیے، امکان میں کنورجنس کی تعریف اسی طرح پراپرٹیز کنورجنس سے کی جاتی ہے۔ امکان میں کنورجنس کا مطلب تقسیم میں کنورجنس ہے۔ [ثبوت] مخالف سمت میں، تقسیم میں کنورجنس کا مطلب امکان میں کنورجنس ہے جب محدود بے ترتیب متغیر X ایک مستقل ہوتا ہے۔ [ثبوت] امکان میں کنورجنس کا مطلب تقریبا یقینی کنورجنس نہیں ہے۔ [ثبوت] مسلسل نقشہ سازی تھیوریم بیان کرتا ہے کہ ہر مسلسل فنکشن کے لیے، اگر، تب بھی امکان میں کنورجنس ایک مقررہ امکان کی جگہ پر بے ترتیب متغیرات کی جگہ پر ٹوپولوجی کی وضاحت کرتا ہے۔ یہ ٹوپولوجی کی فین میٹرک کے ذریعے پیمائش کے قابل ہے: یا متبادل طور پر اس میٹرک کے ذریعے تقریبا یقینی کنورجنس یہ اسٹوکاسٹک کنورجنس کی قسم ہے جو ابتدائی حقیقی تجزیے سے معلوم پوائنٹ وائز کنورجنس سے ملتی جلتی ہے۔ تعریف یہ کہنا کہ ترتیب تقریبا یقینی طور پر یا تقریبا ہر جگہ یا امکان 1 کے ساتھ یا X کی طرف مضبوطی سے یکجا ہوتی ہے اس کا مطلب یہ ہے کہ X کی قدر تک پہنچنے کی اقدار، اس معنی میں کہ جن واقعات کے لیے X میں یکجا نہیں ہوتا ہے ان کا امکان 0 ہوتا ہے (تقریبا یقینی طور پر دیکھیں)۔ امکانات کی جگہ اور بے ترتیب متغیر کے تصور کو ω سے R تک فنکشن کے طور پر استعمال کرتے ہوئے، یہ بیان کے مساوی ہے۔ سیٹوں کی ترتیب کی حد سے اعلی کے تصور کو استعمال کرتے ہوئے، تقریبا یقینی کنورجنس کو بھی اس طرح بیان کیا جا سکتا ہے: تقریبا یقینی کنورجنس کو اکثر حروف a. s. کو ایک تیر پر جوڑ کر ظاہر کیا جاتا ہے جو کنورجنس کی نشاندہی کرتا ہے: میٹرک اسپیس پر عام بے ترتیب عناصر {Xn} کے لیے، کنورجنس کو تقریبا یقینی طور پر اسی طرح بیان کیا جاتا ہے: خصوصیات تقریبا یقینی کنورجنس کا مطلب امکانات میں کنورجنس ہے (فاتو کے لیما کے ذریعے)، اور اس وجہ سے تقسیم میں کنورجنس کا مطلب ہے۔ یہ بڑی تعداد کے مضبوط قانون میں استعمال ہونے والے کنورجنس کا تصور ہے۔ تقریبا یقینی کنورجنس کا تصور بے ترتیب متغیرات کی جگہ پر ٹوپولوجی سے نہیں آتا ہے۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ بے ترتیب متغیرات کی جگہ پر کوئی ٹوپولوجی نہیں ہے جیسے کہ تقریبا یقینی طور پر متغیر ترتیبات اس ٹوپولوجی کے حوالے سے بالکل متغیر ترتیبات ہیں۔ خاص طور پر، تقریبا یقینی کنورجنس کا کوئی میٹرک نہیں ہے۔ یقینی کنورجنس یا پوائنٹ وائز کنورجنس یہ کہنے کے لیے کہ بے ترتیب متغیرات (Xn) کی ترتیب جو ایک ہی امکانی جگہ (یعنی ایک بے ترتیب عمل) پر بیان کی گئی ہے، یقینی طور پر یا ہر جگہ یا نقطہ نظر سے X کی طرف یکجا ہوتی ہے جس کا مطلب ہے کہ جہاں ω بنیادی امکان کی جگہ کا نمونہ جگہ ہے جس پر بے ترتیب متغیرات کی وضاحت کی گئی ہے۔ یہ بے ترتیب متغیرات کی ترتیب تک توسیع شدہ افعال کی ترتیب کے پوائنٹ وائز کنورجنس کا تصور ہے۔ (نوٹ کریں کہ بے ترتیب متغیرات خود افعال ہیں)۔ بے ترتیب متغیر کی یقینی کنورجنس کا مطلب اوپر بیان کردہ دیگر تمام قسم کے کنورجنس سے ہے، لیکن تقریبا یقینی کنورجنس کا استعمال کرنے کے مقابلے میں یقینی کنورجنس کا استعمال کرنے سے امکانی نظریہ میں کوئی فائدہ نہیں ہوتا ہے۔ دونوں کے درمیان فرق صرف امکان صفر والے سیٹوں پر موجود ہے۔ یہی وجہ ہے کہ بے ترتیب متغیرات کے یقینی کنورجنس کا تصور بہت کم استعمال ہوتا ہے۔ معنی میں کنورجنس ایک حقیقی نمبر کو دیکھتے ہوئے، ہم کہتے ہیں کہ ترتیب r-th اوسط (یا Lr-نارم میں) بے ترتیب متغیر X کی طرف یکجا ہوتی ہے، اگر-th مطلق لمحات E (|Xn |r) اور E (|X |r) اور X موجود ہیں، اور جہاں آپریٹر E متوقع قیمت کی نشاندہی کرتا ہے۔ - th اوسط میں کنورجنس ہمیں بتاتا ہے کہ اور کے درمیان فرق کی-th طاقت کی توقع صفر میں بدل جاتی ہے۔ اس قسم کے کنورجنس کو اکثر کنورجنس کی نشاندہی کرنے والے تیر پر حرف Lr کو شامل کرکے ظاہر کیا جاتا ہے: r-th اوسط میں کنورجنس کی سب سے اہم صورتیں یہ ہیں: جب r-th کا مطلب X میں r = 1 کے لیے کنورج ہوتا ہے، تو ہم کہتے ہیں کہ X کے معنی میں کنورج ہوتا ہے۔ جب r = 2 کے لیے r-th اوسط سے X میں یکجا ہوتا ہے، تو ہم کہتے ہیں کہ اوسط مربع (یا کواڈریٹک اوسط میں) سے X میں یکجا ہوتا ہے۔ r-th اوسط میں کنورجنس، r ≤ 1 کے لیے، امکان میں کنورجنس کا مطلب ہے (مارکوف کی عدم مساوات کے ذریعے)۔ مزید برآں، اگر r> s ≤ 1 ہے، تو r-th اوسط میں کنورجنس کا مطلب s-th اوسط میں کنورجنس ہے۔ لہذا، اوسط مربع میں کنورجنس کا مطلب اوسط میں کنورجنس ہے۔ یہ بھی غور کرنے کے قابل ہے کہ اگر پھر پراپرٹیز فراہم کردہ امکان کی جگہ مکمل ہے: اگر اور، تو تقریبا یقینی طور پر۔ اگر اور، تو تقریبا یقینی طور پر۔ اگر اور، تو تقریبا یقینی طور پر۔ اگر اور، پھر (کسی بھی حقیقی اعداد کے لیے اور) اور۔ اگر اور، پھر (کسی بھی حقیقی اعداد کے لیے اور) اور۔ اگر اور، پھر (کسی بھی حقیقی اعداد اور کے لیے)۔ مندرجہ بالا بیانات میں سے کوئی بھی تقسیم میں کنورجنس کے لیے درست نہیں ہے۔ کنورجنس کے مختلف تصورات کے درمیان مضمرات کا سلسلہ ان کے متعلقہ حصوں میں نوٹ کیا گیا ہے۔ وہ ہیں، تیر کے اشارے کا استعمال کرتے ہوئے: ان خصوصیات کا خلاصہ، متعدد دیگر خصوصی معاملات کے ساتھ، مندرجہ ذیل فہرست میں کیا گیا ہے: تقریبا یقینی کنورجنس کا مطلب امکان میں کنورجنس ہے: [ثبوت] امکان میں کنورجنس کا مطلب ہے کہ ایک ذیلی ترتیب موجود ہے جو تقریبا یقینی طور پر کنورجز ہوتی ہے: امکان میں کنورجنس کا مطلب تقسیم میں کنورجنس ہے: [ثبوت] r-th آرڈر میں کنورجنس کا مطلب امکان میں کنورجنس ہے: r-th آرڈر میں کنورجنس کا مطلب نچلے آرڈر کے معنی میں کنورجنس ہے، یہ فرض کرتے ہوئے کہ دونوں آرڈر ایک سے بڑے یا برابر ہیں: بشرطیکہ r ≤ s ≤ 1۔ اگر Xn تقسیم میں ایک مستقل c میں یکجا ہوتا ہے، تو Xn امکان میں c میں یکجا ہوتا ہے: [ثبوت] بشرطیکہ c ایک مستقل ہو۔ اگر X کی تقسیم میں یکجا ہوتا ہے اور Xn اور Yn کے درمیان فرق صفر کے امکان میں یکجا ہوتا ہے، تو Yn بھی X کی تقسیم میں یکجا ہوتا ہے: [ثبوت] اگر X کی تقسیم میں یکجا ہوتا ہے اور Yn ایک مستقل c کی تقسیم میں یکجا ہوتا ہے، تو مشترکہ ویکٹر تقسیم میں یکجا ہوتا ہے: [ثبوت] بشرطیکہ c ایک مستقل ہو۔ نوٹ کریں کہ وہ حالت جو مستقل میں تبدیل ہوتی ہے اہم ہے، اگر اسے بے ترتیب متغیر Y میں تبدیل کیا جائے تو ہم یہ نتیجہ اخذ نہیں کر پائیں گے کہ اس میں تبدیل ہوتا ہے۔ اگر Xn، X کے امکانات میں یکجا ہوتا ہے اور Yn، Y کے امکانات میں یکجا ہوتا ہے، تو مشترکہ ویکٹر امکان میں یکجا ہوتا ہے: [ثبوت] اگر X کے امکانات میں یکجا ہوتا ہے، اور اگر تمام n اور کچھ b کے لیے، تو سب کے لیے rth کا مطلب X میں یکجا ہوتا ہے۔ دوسرے لفظوں میں، اگر X کے امکانات میں یکجا ہوتا ہے اور تمام بے ترتیب متغیرات تقریبا یقینی طور پر اوپر اور نیچے پابند ہوتے ہیں، تو کسی بھی rth اوسط میں بھی X میں یکجا ہوتا ہے۔ تقریبا یقینی نمائندگی۔ عام طور پر، تقسیم میں ہم آہنگی کا مطلب تقریبا یقینی طور پر ہم آہنگی نہیں ہوتا ہے۔ تاہم، کسی دی گئی ترتیب {Xn} کے لیے جو X0 کی تقسیم میں یکجا ہوتا ہے، ایک نئی امکانی جگہ (ω، F، P) اور بے ترتیب متغیرات (Yn، n = 0، 1،.} تلاش کرنا ہمیشہ ممکن ہے جس کی وضاحت اس طرح کی گئی ہو کہ Yn تقسیم میں ہر ایک کے برابر ہو، اور Yn تقریبا یقینی طور پر Y0 میں یکجا ہو جاتا ہے۔ اگر تمام ε> 0 کے لیے، تو ہم کہتے ہیں کہ تقریبا مکمل طور پر، یا تقریبا امکان میں X کی طرف یکجا ہوتا ہے۔ جب یہ تقریبا مکمل طور پر X کی طرف یکجا ہوتا ہے تو یہ بھی تقریبا یقینی طور پر X میں یکجا ہو جاتا ہے۔ دوسرے لفظوں میں، اگر کافی تیزی سے X کے امکانات میں یکجا ہو جائے (یعنی۔ دم کے امکانات کی مندرجہ بالا ترتیب سب کے لیے خلاصہ ہے)، پھر بھی تقریبا یقینی طور پر ایکس میں ضم ہو جاتی ہے۔ یہ بوریل-کینٹیلی لیما کا براہ راست اثر ہے۔ اگر n حقیقی آزاد بے ترتیب متغیرات کا مجموعہ ہے: تو تقریبا یقینی طور پر اس صورت میں یکجا ہوتا ہے جب امکان میں یکجا ہوتا ہے۔ غالب کنورجنس تھیوریم L1 کنورجنس کو ظاہر کرنے کے لیے تقریبا یقینی کنورجنس کے لیے کافی شرائط فراہم کرتا ہے: L1 کنورجنس کے لیے ایک ضروری اور کافی شرط ہے اور ترتیب (Xn) یکساں طور پر مربوط ہے۔ اگر مجرد اور آزاد ہیں، تو اس کا مطلب ہے۔ یہ دوسرے بوریل-کینٹیلی لیما کا نتیجہ ہے۔ بے ترتیب متغیرات کے کنورجنس کے ثبوت بھی دیکھیں پیمائش میں کنورجنس مسلسل اسٹاکسٹک عمل: اسٹاکسٹک عمل کے تسلسل کا سوال بنیادی طور پر کنورجنس کا سوال ہے، اور اوپر استعمال ہونے والے بہت سے تصورات اور تعلقات تسلسل کے سوال پر لاگو ہوتے ہیں۔ غیر علامتی تقسیم بگ O ان پروبیبلٹی نوٹیشن سکورکوڈ کی نمائندگی تھیوریم ٹوئیڈی کنورجنس تھیوریم سلوٹسکی تھیوریم مسلسل نقشہ سازی تھیوریم نوٹ حوالہ جات https://www.ma.utexas.edu/users/gordanz/notes/weak.pdf اسٹوچسٹک عمل بے ترتیب متغیرات، کنورجنس آف