Goldbach's conjecture
گولڈباخ کا قیاس نمبر تھیوری اور تمام ریاضی میں سب سے قدیم اور سب سے مشہور غیر حل شدہ مسائل میں سے ایک ہے۔ اس میں کہا گیا ہے کہ 2 سے بڑا ہر یکساں قدرتی عدد دو پرائم نمبروں کا مجموعہ ہے۔ یہ قیاس تمام انٹیجرز کے لیے کم سے کم دکھایا گیا ہے، لیکن کافی کوششوں کے باوجود غیر ثابت ہے۔ 7 جون 1742 کو پروشیائی ریاضی دان کرسچن گولڈباخ نے لیون ہارڈ اویلر (حرف XLIII) کو ایک خط لکھا، جس میں انہوں نے مندرجہ ذیل قیاس آرائی کی تجویز پیش کی: گولڈباخ 1 کو ایک پرائم نمبر سمجھنے کے اب ترک کیے گئے کنونشن کی پیروی کر رہا تھا، تاکہ اکائیوں کا مجموعہ پرائمز کا مجموعہ ہو۔ اس کے بعد اس نے اپنے خط کے حاشیے میں ایک دوسرا قیاس پیش کیا، جس سے پہلا اشارہ ملتا ہے: اویلر نے 30 جون 1742 کے ایک خط میں جواب دیا اور گولڈباخ کو ان کی پہلے کی گفتگو کی یاد دلائی، جس میں گولڈباخ نے ریمارکس دیے تھے کہ ان دو قیاس آرائیوں میں سے پہلا بیان کی پیروی کرے گا۔ یہ حقیقت میں ان کے دوسرے، معمولی قیاس آرائی کے مساوی ہے۔ 30 جون 1742 کے خط میں، اویلر نے کہا: مندرجہ بالا تین قیاس آرائیوں میں سے ہر ایک میں پرائم کی جدید تعریف کے لحاظ سے ایک قدرتی ینالاگ ہے، جس کے تحت 1 کو خارج کر دیا گیا ہے۔ پہلے قیاس کا ایک جدید ورژن یہ ہے: معمولی قیاس کا ایک جدید ورژن یہ ہے: اور گولڈباخ کے پرانے قیاس کا ایک جدید ورژن جس کے بارے میں اویلر نے انہیں یاد دلایا ہے: یہ جدید ورژن مکمل طور پر متعلقہ اصل بیانات کے مساوی نہیں ہو سکتے ہیں۔ مثال کے طور پر، اگر کسی پرائم کے لیے 4 سے بڑا کوئی یکساں عدد ہو، جسے جدید معنوں میں دو پرائمز کے مجموعے کے طور پر ظاہر نہیں کیا جا سکتا، تو یہ تیسرے قیاس کے جدید ورژن کے لیے ایک جوابی مثال ہوگی (اصل ورژن کے جوابی مثال کے بغیر)۔ اس طرح جدید ورژن شاید زیادہ مضبوط ہے (لیکن اس بات کی تصدیق کرنے کے لیے، کسی کو یہ ثابت کرنا ہوگا کہ پہلا ورژن، جو کسی بھی مثبت یکساں عدد پر آزادانہ طور پر لاگو ہوتا ہے، ممکنہ طور پر اس طرح کی مخصوص جوابی مثال کے وجود کو مسترد نہیں کر سکتا)۔ کسی بھی صورت میں، جدید بیانات کے ایک دوسرے کے ساتھ وہی تعلقات ہیں جو پرانے بیانات کے تھے۔ یعنی، دوسرے اور تیسرے جدید بیانات مساوی ہیں، اور یا تو پہلے جدید بیان کو ظاہر کرتے ہیں۔ تیسرا جدید بیان (دوسرے کے مساوی) وہ شکل ہے جس میں آج کل قیاس آرائی کا اظہار کیا جاتا ہے۔ اسے "مضبوط"، "یکساں"، یا "بائنری" گولڈباخ قیاس کے نام سے بھی جانا جاتا ہے۔ دوسرے جدید بیان کی ایک کمزور شکل، جسے "گولڈباخ کا کمزور قیاس"، "عجیب گولڈباخ قیاس"، یا "ٹرنیری گولڈباخ قیاس" کہا جاتا ہے، اس بات پر زور دیتی ہے کہ کمزور قیاس آرائی کا ثبوت 2013 میں ہیرالڈ ہیلفگٹ نے اینلز آف میتھمیٹکس اسٹڈیز سیریز میں پیش کیا تھا۔ اگرچہ مضمون کو قبول کر لیا گیا تھا، ہیلفگٹ نے ریفری کی تجویز کردہ بڑی تبدیلیاں کرنے کا فیصلہ کیا۔ کئی ترامیم کے باوجود، ہیلفگٹ کا ثبوت ابھی تک ہم مرتبہ جائزہ لینے والی اشاعت میں ظاہر نہیں ہوا ہے۔ کمزور قیاس مضبوط قیاس آرائی سے ظاہر ہوتا ہے، جیسے کہ یہ دو پرائمز کا مجموعہ ہے، پھر یہ تین پرائمز کا مجموعہ ہے۔ تاہم، اگر ہیلفگٹ کا ثبوت درست ہے تو اس کا الٹا اثر اور اس طرح گولڈباچ کا مضبوط قیاس غیر ثابت رہے گا۔ کی چھوٹی اقدار کے لیے، مضبوط گولڈباچ قیاس (اور اس لیے کمزور گولڈباچ قیاس) کی براہ راست تصدیق کی جا سکتی ہے۔ مثال کے طور پر، 1938 میں، نیلز پائپنگ نے محنت سے قیاس آرائی کی تصدیق کی۔ کمپیوٹرز کی آمد کے ساتھ، کمپیوٹرز کی بہت سی اور اقدار کی جانچ پڑتال کی گئی ہے۔ ٹی۔ اولیویرا ای سلوا نے ایک تقسیم شدہ کمپیوٹر سرچ چلائی جس نے 2013 تک (اور دو بار چیک کیے گئے) قیاس کی تصدیق کی ہے۔ اس تلاش کا ایک ریکارڈ یہ ہے کہ یہ سب سے چھوٹا نمبر ہے جسے دو پرائمز کے مجموعے کے طور پر نہیں لکھا جا سکتا جہاں ایک 9781 سے چھوٹا ہے۔ کلی-ہیوگل اور ڈوڈیک ریمن مفروضے پر ایک (جزوی اور مشروط) نتیجہ ثابت کرتے ہیں: وقفہ (x، x + 9696 log ^ 2x] میں تمام x ≤ 2 کے لیے دو عجیب پرائمز کا مجموعہ موجود ہے۔ بنیادی اعداد کی ممکنہ تقسیم پر توجہ مرکوز کرنے والے شماریاتی تحفظات کافی بڑے عددوں کے لیے قیاس (کمزور اور مضبوط دونوں شکلوں میں) کے حق میں غیر رسمی ثبوت پیش کرتے ہیں: عدد جتنا بڑا ہوگا، اس عدد کو دو یا تین دیگر اعداد کے مجموعے کے طور پر پیش کرنے کے لیے اتنے ہی زیادہ طریقے دستیاب ہوں گے، اور اتنا ہی "امکان" زیادہ ہوگا کہ ان میں سے کم از کم ایک نمائندگی مکمل طور پر پرائم پر مشتمل ہو۔ ہیورسٹک امکانی دلیل (گولڈباخ قیاس کی مضبوط شکل کے لیے) کا ایک بہت ہی خام ورژن مندرجہ ذیل ہے۔ پرائم نمبر تھیوریم اس بات پر زور دیتا ہے کہ بے ترتیب طور پر منتخب کردہ انٹیجر میں تقریبا پرائم ہونے کا امکان ہوتا ہے۔ اس طرح اگر ایک بڑا یکساں عدد ہے اور 3 اور کے درمیان ایک عدد ہے، تو کوئی اس کے اور بیک وقت پرائم ہونے کے امکان کی توقع کر سکتا ہے۔ اگر کوئی اس تحقیق کا تعاقب کرتا ہے، تو کوئی توقع کر سکتا ہے کہ ایک بڑے یکساں عدد کو لکھنے کے طریقوں کی کل تعداد دو عجیب پرائمز کے مجموعے کے طور پر تقریبا ہو گی۔ چونکہ، یہ مقدار بڑھتے ہوئے لامحدود تک جاتی ہے، اور کوئی توقع کرے گا کہ ہر بڑے یکساں عدد کی دو پرائمز کے مجموعے کے طور پر صرف ایک نمائندگی نہیں ہوتی ہے، بلکہ حقیقت میں اس طرح کی بہت سی نمائندگی ہوتی ہے۔ یہ ہیورسٹک دلیل دراصل کسی حد تک غلط ہے، کیونکہ یہ فرض کرتی ہے کہ واقعات اور پرائم ہونا اعدادوشمار کے لحاظ سے ایک دوسرے سے آزاد ہیں۔ مثال کے طور پر، اگر عجیب ہے، تو پھر بھی عجیب ہے، اور اگر یکساں ہے، تو پھر یکساں، ایک غیر معمولی تعلق ہے کیونکہ، نمبر 2 کے علاوہ، صرف عجیب نمبر ہی پرائم ہو سکتے ہیں۔ اسی طرح، اگر 3 سے تقسیم ہوتا ہے، اور پہلے سے ہی 3 کے علاوہ ایک پرائم تھا، تو یہ بھی 3 کا کوپرائم ہوگا اور اس طرح کسی عام نمبر سے پرائم ہونے کا امکان قدرے زیادہ ہوگا۔ اس قسم کے تجزیے کو زیادہ احتیاط سے آگے بڑھاتے ہوئے، 1923 میں جی ایچ ہارڈی اور جان ایڈنسر لٹل ووڈ نے (اپنے ہارڈی-لٹل ووڈ پرائم ٹپل قیاس کے ایک حصے کے طور پر) قیاس کیا کہ کسی بھی فکسڈ کے لیے، کسی بڑے عدد کی نمائندگی کی تعداد بطور پرائمز کے مجموعے کے غیر علامتی طور پر اس کے برابر ہونی چاہیے جہاں پروڈکٹ تمام پرائمز پر ہے، اور ماڈیولر ریاضی میں مساوات کے حل کی تعداد ہے، جو رکاوٹوں کے تابع ہے۔ یہ فارمولا آئیون میٹویچ ونوگراڈوف کے کام سے غیر علامتی طور پر درست ثابت ہوا ہے، لیکن پھر بھی یہ صرف ایک قیاس ہے کہ کب۔ مؤخر الذکر صورت میں، مندرجہ بالا فارمولا 0 پر آسان ہوجاتا ہے جب عجیب ہوتا ہے، اور جب یکساں ہوتا ہے، ہارڈی لٹل ووڈ کا جڑواں پرائم مستقل کہاں ہوتا ہے۔ اسے بعض اوقات توسیعی گولڈباچ قیاس کے نام سے جانا جاتا ہے۔ گولڈباخ کا مضبوط قیاس حقیقت میں جڑواں بنیادی قیاس سے بہت ملتا جلتا ہے، اور خیال کیا جاتا ہے کہ یہ دونوں قیاس تقریبا موازنہ مشکل کے ہیں۔ گولڈباخ پارٹیشن فنکشن وہ فنکشن ہے جو ہر یکساں عدد سے منسلک ہوتا ہے کہ اسے دو پرائمز کے مجموعے میں تقسیم کیا جا سکتا ہے۔ اس کا گراف ایک دمدار ستارے کی طرح لگتا ہے، اور اس لیے اسے گولڈباخ کا دمدار ستارہ کہا جاتا ہے۔ گولڈباخ کا دمدار ستارہ دو پرائمز کے مجموعے کے طور پر ایک یکساں نمبر کی نمائندگی کی تعداد پر سخت اوپری اور نچلی حدود کا مشورہ دیتا ہے، اور یہ بھی کہ ان نمائندگی کی تعداد کا انحصار نمبر کے ویلیو ماڈیولو 3 پر مضبوطی سے ہوتا ہے۔ سخت نتائج مضبوط گولڈباخ قیاس کمزور گولڈباخ قیاس سے کہیں زیادہ مشکل ہے۔ ونوگراڈوف کے طریقہ کار کا استعمال کرتے ہوئے، نیکولائی چوداکوف، جوہانس وین ڈیر کورپوٹ، اور تھیوڈور ایسٹرمین نے دکھایا کہ تقریبا تمام یکساں اعداد کو دو پرائمز کے مجموعے کے طور پر لکھا جا سکتا ہے (اس معنی میں کہ کچھ تک کے یکساں اعداد کا حصہ جو اس طرح لکھا جا سکتا ہے 1 کی طرف بڑھتا ہے)۔ 1930 میں، لیو شنریلمین نے ثابت کیا کہ 1 سے بڑا کوئی بھی قدرتی عدد پرائم نمبروں سے زیادہ نہیں کے مجموعے کے طور پر لکھا جا سکتا ہے، جہاں ایک مؤثر طریقے سے کمپیوٹیبل مستقل ہے۔ شنریلمین کثافت دیکھیں۔ شنیرل مین کا مستقل اس خاصیت کے ساتھ سب سے کم نمبر ہے۔ شنریلمین نے خود حاصل کیا۔ اس نتیجے کو بعد میں بہت سے مصنفین، جیسے اولیور راماری نے بڑھایا، جنہوں نے 1995 میں دکھایا کہ ہر یکساں عدد حقیقت میں زیادہ سے زیادہ 6 پرائمز کا مجموعہ ہے۔ فی الحال سب سے مشہور نتیجہ ہیرالڈ ہیلفگٹ کے کمزور گولڈباچ قیاس کے ثبوت سے نکلتا ہے، جس سے براہ راست یہ ظاہر ہوتا ہے کہ ہر یکساں نمبر زیادہ سے زیادہ 4 پرائمز کا مجموعہ ہے۔ 1924 میں، ہارڈی اور لٹل ووڈ نے عام کردہ ریمن مفروضے کے مفروضے کے تحت دکھایا کہ گولڈباچ قیاس کی خلاف ورزی کرنے تک یکساں اعداد کی تعداد چھوٹی کے مقابلے میں بہت کم ہے۔ 1948 میں، چھلنی کے نظریہ کا استعمال کرتے ہوئے، الفریڈ رینی نے دکھایا کہ ہر کافی بڑی یکساں تعداد کو زیادہ تر عوامل کے ساتھ ایک پرائم اور تقریبا پرائم کے مجموعے کے طور پر لکھا جا سکتا ہے۔ چن جنگرن نے 1973 میں چھلنی کے نظریہ کے طریقوں کا استعمال کرتے ہوئے دکھایا کہ ہر کافی بڑی یکساں تعداد کو دو پرائمز، یا ایک پرائم اور ایک سیمی پرائم (دو پرائمز کا پروڈکٹ) کے مجموعے کے طور پر لکھا جا سکتا ہے۔ مزید معلومات کے لیے چن کا نظریہ دیکھیں۔ 1975 میں، ہیو مونٹگمری اور رابرٹ چارلس وان نے دکھایا کہ "زیادہ تر" یکساں اعداد دو پرائمز کے مجموعے کے طور پر قابل اظہار ہیں۔ مزید واضح طور پر، انہوں نے دکھایا کہ مثبت مستقلات موجود ہیں اور اس طرح کہ تمام کافی بڑی تعداد کے لیے، ہر یکساں نمبر دو پرائمز کے مجموعے سے کم ہے، زیادہ تر مستثنیات کے ساتھ۔ خاص طور پر، یکساں انٹیجرز کا مجموعہ جو دو پرائمز کا مجموعہ نہیں ہے اس کی کثافت صفر ہوتی ہے۔ 1951 میں، یوری لننیک نے ایک مستقل کے وجود کو اس طرح ثابت کیا کہ ہر کافی بڑی یکساں تعداد دو پرائمز کا مجموعہ ہے اور زیادہ سے زیادہ 2 کی طاقتیں ہیں۔ جانوس پنٹز اور امری روزسا نے 2020 میں پایا جو کام کرتا ہے۔ عام ریمن مفروضے کو فرض کرتے ہوئے، یہ بھی کام کرتا ہے، جیسا کہ 2002 میں راجر ہیتھ براؤن اور جان کرسٹوف شلیج پچٹا نے دکھایا تھا۔ متعلقہ مسائل اگرچہ گولڈباخ کے قیاس سے یہ ظاہر ہوتا ہے کہ ایک سے بڑے ہر مثبت عدد کو زیادہ سے زیادہ تین پرائمز کے مجموعے کے طور پر لکھا جا سکتا ہے، لیکن لالچی الگورتھم کا استعمال کرتے ہوئے اس طرح کی رقم تلاش کرنا ہمیشہ ممکن نہیں ہوتا ہے جو ہر مرحلے پر سب سے بڑا ممکنہ پرائم استعمال کرتا ہے۔ پلئی ترتیب ان نمبروں کا سراغ لگاتا ہے جن کی لالچی نمائندگی میں سب سے زیادہ تعداد میں پرائم کی ضرورت ہوتی ہے۔ گولڈباخ کے قیاس سے ملتے جلتے مسائل موجود ہیں جن میں پرائمز کو اعداد کے دیگر مخصوص سیٹوں سے تبدیل کیا جاتا ہے، جیسے کہ مربع: یہ لگرینج کے ذریعہ ثابت کیا گیا تھا کہ ہر مثبت عدد چار مربعوں کا مجموعہ ہے۔ پرائمز کی طاقتوں کے مجموعے پر وارنگ کا مسئلہ اور متعلقہ وارنگ-گولڈباچ مسئلہ دیکھیں۔ ہارڈی اور لٹل ووڈ نے اپنے قیاس اول کے طور پر درج کیا: "ہر بڑا طاق عدد () ایک پرائم اور ایک پرائم کے دوگنا کا مجموعہ ہے۔" اس قیاس کو لیموائن کا قیاس کہا جاتا ہے اور اسے لیوی کا قیاس بھی کہا جاتا ہے۔ عملی اعداد کے لیے گولڈباخ قیاس، جو کہ انٹیجرز کی ایک پرائم جیسی ترتیب ہے، کو مارجنسٹرن نے 1984 میں بیان کیا تھا، اور میلفی نے 1996 میں ثابت کیا تھا: ہر یکساں عدد دو عملی اعداد کا مجموعہ ہے۔ ہاروی ڈبنر نے گولڈباخ قیاس کو مضبوط کرنے کی تجویز پیش کی جس میں کہا گیا ہے کہ 4208 سے بڑا ہر یکساں عدد دو جڑواں پرائمز کا مجموعہ ہے (ضروری نہیں کہ ایک ہی جوڑے سے تعلق رکھتا ہو)۔ 4208 سے کم صرف 34 یکساں عدد دو جڑواں پرائمز کا مجموعہ نہیں ہیں۔ ڈبنر نے کمپیوٹیشنل طور پر تصدیق کی ہے کہ یہ فہرست مکمل ہے۔ اس مضبوط قیاس آرائی کا ثبوت نہ صرف گولڈباخ کے قیاس آرائی بلکہ جڑواں پرائم قیاس آرائی کو بھی ظاہر کرے گا۔ مقبول ثقافت میں گولڈباخ کا قیاس چینی ریاضی دان اور نمبر تھیوریسٹ چن جنگرون کی سوانح عمری کا عنوان ہے، جسے شو چی نے لکھا ہے۔ یہ قیاس 1992 کے یونانی مصنف اپوسٹولوس ڈاکسیاڈس کے ناول انکل پیٹروس اینڈ گولڈباچز کانجیکچر، آئزک امیموف کی مختصر کہانی "سکٹی ملین ٹریلین کمبی نیشنز" اور مشیل رچمنڈ کے 2008 کے پراسرار ناول نو ون یو نو کے پلاٹ میں ایک مرکزی نقطہ ہے۔ گولڈباخ کا قیاس 2007 کی ہسپانوی فلم فرمیٹس روم کے پلاٹ کا حصہ ہے۔ حوالہ جات مزید پڑھنے سے ٹیرنس تاؤ نے ثابت کیا کہ تمام عجیب اعداد زیادہ سے زیادہ پانچ پرائمز کا مجموعہ ہیں۔ گولڈباخ کانجیکچر ایٹ میتھ ورلڈ۔ بیرونی روابط گولڈباخ کا اصل خط یولر کو-پی ڈی ایف فارمیٹ (جرمن اور لاطینی میں) گولڈباخ کا قیاس، کرس کالڈ ویل کے پرائم پیجز کا حصہ۔ گولڈباخ قیاس آرائی کی تصدیق، ٹامس اولیویرا ای سلوا کی تقسیم شدہ کمپیوٹر سرچ۔ اضافی نمبر تھیوری تجزیاتی نمبر تھیوری پرائم نمبروں کے بارے میں قیاس آرائیاں نمبر تھیوری ہلبرٹ کے مسائل میں حل نہ ہونے والے مسائل