Complex vector bundle
ریاضی میں، ایک پیچیدہ ویکٹر بنڈل ایک ویکٹر بنڈل ہے جس کے ریشے پیچیدہ ویکٹر خالی جگہیں ہیں۔ کسی بھی پیچیدہ ویکٹر بنڈل کو اسکیلرز کی پابندی کے ذریعے حقیقی ویکٹر بنڈل کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے۔ اس کے برعکس، کسی بھی حقیقی ویکٹر بنڈل E کو ایک پیچیدہ ویکٹر بنڈل میں ترقی دی جا سکتی ہے، وہ پیچیدگی جس کے ریشے سابق آر سی ہوتے ہیں۔ پیرا کامپیکٹ کی جگہ پر کوئی بھی پیچیدہ ویکٹر بنڈل ہرمیٹین میٹرک کو قبول کرتا ہے۔ ایک پیچیدہ ویکٹر بنڈل کا بنیادی غیر متغیر چرن کلاس ہے۔ ایک پیچیدہ ویکٹر بنڈل کینونکل طور پر مبنی ہوتا ہے ؛ خاص طور پر، کوئی اس کی یولر کلاس لے سکتا ہے۔ ایک پیچیدہ ویکٹر بنڈل ایک ہولومورفک ویکٹر بنڈل ہے اگر X ایک پیچیدہ کئی گنا ہے اور اگر مقامی ٹریویلائزیشنز بائیو ہولومورفک ہیں۔ پیچیدہ ڈھانچہ ایک پیچیدہ ویکٹر بنڈل کو ایک حقیقی ویکٹر بنڈل کے طور پر سمجھا جا سکتا ہے جس میں ایک اضافی ڈھانچہ، پیچیدہ ڈھانچہ ہوتا ہے۔ تعریف کے مطابق، ایک پیچیدہ ڈھانچہ ایک حقیقی ویکٹر بنڈل E اور خود کے درمیان ایک بنڈل نقشہ ہے: جیسے کہ J ریشوں پر −1 کے مربع جڑ i کے طور پر کام کرتا ہے: اگر فائبر کی سطح پر نقشہ ہے، تو لکیری نقشے کے طور پر۔ اگر E ایک پیچیدہ ویکٹر بنڈل ہے، تو پیچیدہ ساخت J کو اسکیلر ضرب کے طور پر ترتیب دے کر بیان کیا جا سکتا ہے۔ اس کے برعکس، اگر E ایک پیچیدہ ساخت J کے ساتھ ایک حقیقی ویکٹر بنڈل ہے، تو E کو ترتیب دے کر ایک پیچیدہ ویکٹر بنڈل میں تبدیل کیا جا سکتا ہے: کسی بھی حقیقی اعداد a، b اور فائبر Ex میں ایک حقیقی ویکٹر v کے لیے، مثال: ایک حقیقی کئی گنا M کے ٹینجینٹ بنڈل پر ایک پیچیدہ ڈھانچہ عام طور پر تقریبا پیچیدہ ڈھانچہ کہلاتا ہے۔ نیو لینڈر اور نیرن برگ کا ایک نظریہ کہتا ہے کہ ایک تقریبا پیچیدہ ڈھانچہ J اس لحاظ سے "انٹیگریبل" ہے کہ یہ ایک پیچیدہ کئی گنا کی ساخت سے متاثر ہوتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب J پر مشتمل ایک مخصوص ٹینسر غائب ہو جائے۔ کنجوگیٹ بنڈل اگر E ایک پیچیدہ ویکٹر بنڈل ہے، تو E کا کنجوگیٹ بنڈل نمبروں کے پیچیدہ کنجوگیٹس کے ذریعے کام کرنے والے پیچیدہ نمبروں سے حاصل کیا جاتا ہے۔ اس طرح، بنیادی حقیقی ویکٹر بنڈلوں کا شناختی نقشہ: کنجوگیٹ لکیری ہے، اور E اور اس کے کنجوگیٹ حقیقی ویکٹر بنڈلوں کی طرح آئسومورفک ہیں۔ کے-تھ چرن کلاس کے ذریعہ دی گئی ہے۔ خاص طور پر، E اور عام طور پر آئسومورفک نہیں ہیں۔ اگر E میں ہرمیٹین میٹرک ہے، تو کنجوگیٹ بنڈل میٹرک کے ذریعے دوہری بنڈل کے لیے آئسومورفک ہے، جہاں ہم نے معمولی پیچیدہ لائن بنڈل کے لیے لکھا ہے۔ اگر E ایک حقیقی ویکٹر بنڈل ہے، تو E کی پیچیدگی کا بنیادی حقیقی ویکٹر بنڈل E کی دو نقلوں کا براہ راست مجموعہ ہے: (چونکہ کسی حقیقی ویکٹر اسپیس V کے لیے V ′RC = V ′iV۔) اگر ایک پیچیدہ ویکٹر بنڈل E ایک حقیقی ویکٹر بنڈل E کی پیچیدگی ہے، تو E کو E کی حقیقی شکل کہا جاتا ہے (ایک سے زیادہ حقیقی شکل ہو سکتی ہے) اور کہا جاتا ہے کہ E کو حقیقی اعداد پر بیان کیا جاتا ہے۔ اگر E کی کوئی حقیقی شکل ہے، تو E اس کے کنجوگیٹ کے لیے آئسومورفک ہے (کیونکہ یہ دونوں ایک حقیقی شکل کی دو نقلوں کا مجموعہ ہیں)، اور اس کے نتیجے میں E کی عجیب چرن کلاسوں کا آرڈر 2 ہے۔ ہولومورفک ویکٹر بنڈل K-تھیوری حوالہ جات ویکٹر بنڈل بھی دیکھیں۔