Fermion doubling
جالی فیلڈ تھیوری میں، فرمیئن ڈبلنگ اس وقت ہوتی ہے جب بے وقوف طور پر فرمیئنک فیلڈز کو جالی پر رکھا جاتا ہے، جس کے نتیجے میں توقع سے زیادہ فرمیئنک حالتیں پیدا ہوتی ہیں۔ یوکلڈین طول و عرض میں بے وقوف ڈیراک فرمینوں کے لیے، ہر فرمیوونک فیلڈ کے نتیجے میں ایک جیسی فرمیوین پرجاتیوں کا نتیجہ نکلتا ہے، جسے فرمیوین کے مختلف ذائقے کہا جاتا ہے۔ فرمیئن کے دوگنا ہونے کا مسئلہ نیلسن-نینومیا تھیوریم کے ذریعہ چیرل انواریینس سے جڑا ہوا ہے۔ مسئلے کو حل کرنے کے لیے استعمال ہونے والی زیادہ تر حکمت عملیوں میں ترمیم شدہ فرمینوں کا استعمال کرنے کی ضرورت ہوتی ہے جو صرف تسلسل کی حد میں ڈیراک فرمین تک کم ہو جاتے ہیں۔ سادہ فرمیئن ڈسکریٹائزیشن سادگی کے لیے ہم آزاد فرمیئن کے چار جہتی نظریہ پر غور کریں گے، حالانکہ فرمیئن کو دوگنا کرنے کا مسئلہ من مانی جہتوں میں رہتا ہے اور یہاں تک کہ اگر تعاملات شامل ہوں۔ جالی فیلڈ تھیوری عام طور پر یوکلیڈین اسپیس ٹائم میں انجام دی جاتی ہے جو وک گردش کے بعد منکوسکی اسپیس ٹائم سے پہنچی ہے، جہاں تسلسل ڈیراک ایکشن شکل اختیار کرتا ہے۔ اسے جالی کے فاصلے کے ساتھ ایک جالی متعارف کروا کر اور انٹیجرز کے ویکٹر کے ذریعے انڈیکس کیے گئے پوائنٹس کے ذریعے الگ کیا جاتا ہے۔ انٹیگرل تمام لیٹیس پوائنٹس پر ایک مجموعہ بن جاتا ہے، جبکہ فرمیوونک فیلڈز کو ہر لیٹیس سائٹ پر چار اجزاء گراس مین متغیرات سے تبدیل کیا جاتا ہے جسے اور سے ظاہر کیا جاتا ہے۔ مشتق ڈسکریٹائزیشن کا استعمال سمیٹرک مشتق ڈسکریٹائزیشن ہے، جس میں ویکٹر سمت میں یونٹ ویکٹر ہوتے ہیں۔ یہ اقدامات بے وقوف فری فرمیئن ایکشن دیتے ہیں۔ یہ عمل تسلسل کی حد میں تسلسل ڈیراک ایکشن تک کم ہو جاتا ہے، اسی طرح ایک واحد فرمیئن کا نظریہ ہونے کی توقع کی جاتی ہے۔ تاہم، اس کے بجائے یہ سولہ ایک جیسے فرمینوں کی وضاحت کرتا ہے، جس کے بارے میں کہا جاتا ہے کہ ہر فرمین کا ذائقہ مختلف ہوتا ہے، جیسا کہ ذرہ طبیعیات میں ذرات کے ذائقے مختلف ہوتے ہیں۔ پندرہ اضافی فرمینز کو اکثر ڈبلرز کہا جاتا ہے۔ یہ توسیعی ذرہ مواد سمیٹریز یا لیٹس تھیوری کے ارتباط افعال کا تجزیہ کرکے دیکھا جا سکتا ہے۔ ڈبلنگ سمیٹری بے وقوف فرمیئن ایکشن میں ایک نئی ذائقہ-تبادلے کی سمیٹری ہوتی ہے جو کہ فرمیئن فیلڈز پر کام کرنے والے تسلسل تھیوری میں نہیں پائی جاتی ہے جہاں ویکٹر سولہ ویکٹر ہوتے ہیں جن کی غیر صفر اندراجات کی طرف سے وضاحت کی جاتی ہے۔ مثال کے طور پر،،، اور۔ سمیٹری میں ڈیراک ڈھانچہ اسی طرح کے اشارے سے بیان کیا جاتا ہے جہاں اور ؛ مثال کے طور پر کے ساتھ۔ ان سولہ ہم آہنگی کی تبدیلیوں کی موجودگی صرف ایک کے بجائے سولہ ایک جیسی فرمیئن حالتوں کے وجود کو ظاہر کرتی ہے۔ فرمیئن فیلڈ سے شروع کرتے ہوئے، سمیٹری اسے دوسرے فیلڈ میں نقشہ بناتی ہے۔ اس کو تبدیل کرنے والے فورئیر سے پتہ چلتا ہے کہ اس کی رفتار کو اس طرح منتقل کیا گیا ہے۔ لہذا، برلوئن زون کے مرکز کے قریب رفتار کے ساتھ ایک فرمیئن کو اس کے ایک کونے پر نقشہ بنایا جاتا ہے جبکہ ایک کونے کا فرمیئن مرکز کے فرمیئن کو تبدیل کرنے کے لیے آتا ہے، جس سے یہ ظاہر ہوتا ہے کہ یہ تبدیلی فرمیئن کے ذائقوں کا تبادلہ کرنے کا کام کرتی ہے۔ چونکہ یہ عمل کی ہم آہنگی ہے، اس لیے مختلف ذوق کو ایک دوسرے سے جسمانی طور پر الگ نہیں ہونا چاہیے۔ یہاں چھوٹے کے لیے برلوئن مومنٹم ذرہ کی فزیکل مومنٹم نہیں ہے، بلکہ وہ ہے۔ اس کے بجائے یہ ایک اضافی کوانٹم نمبر کے طور پر کام کرتا ہے جو فرمیئن کے ذائقہ کی وضاحت کرتا ہے۔ یہ اصطلاح ڈبلرز کی-میٹرکس کی نمائندگی کو تبدیل کرنے کے لیے ذمہ دار ہے، جس میں میٹرکس کی علامتوں کو تبدیل کرنے کا اثر پڑتا ہے۔ چونکہ اس طرح کی کسی بھی علامت کی تبدیلی کے نتیجے میں میٹرکس کا ایک مجموعہ اب بھی ڈیراک الجبرا کو مطمئن کرتا ہے، اس کے نتیجے میں میٹرکس ایک درست نمائندگی تشکیل دیتے ہیں۔ یہ وہ اصطلاح بھی ہے جو اور کے ذریعہ دیئے گئے ڈبلرز کی لہر فنکشن میں داخل ہوتی ہے، جہاں اور رفتار کے ساتھ معمول کے ڈیراک مساوات کے حل ہیں۔ پروپیگیٹر اور منتشر کا تعلق تسلسل کے نظریہ میں، ڈیراک پروپیگیٹر کا ایک واحد قطب ہوتا ہے کیونکہ نظریہ صرف ایک ذرہ بیان کرتا ہے۔ تاہم، بے وقوف عمل سے پروپیگیٹر کا حساب لگانے سے مومنٹم کے ساتھ فرمیئن حاصل ہوتا ہے۔ کم مومینٹا کے لیے اس میں اب بھی متوقع قطب ہے، لیکن جب پندرہ اضافی قطب ہوتے ہیں۔ ان میں سے ہر ایک ایک نئی فرمیئن نسل ہے جس میں دوگنا پیدا ہوتا ہے کیونکہ فنکشن کی حد کے اوپر دو قطبیں ہوتی ہیں۔ یہ اس کے برعکس ہے کہ جب مختلف گھماؤ کے ذرات کو الگ کیا جاتا ہے تو کیا ہوتا ہے۔ مثال کے طور پر، اسکیلرز اسی طرح کی شکل اختیار کرنے والے پروپیگیٹرز حاصل کرتے ہیں سوائے اس کے کہ ساتھ، جس میں رفتار کی حد پر صرف ایک قطب ہوتا ہے اور اس لیے نظریہ دوگنا ہونے کے مسئلے سے دوچار نہیں ہوتا ہے۔ فرمیئن کو دوگنا کرنے کی ضرورت کا اندازہ اس حقیقت سے لگایا جا سکتا ہے کہ ماس لیس فرمیئن پروپیگیٹر اصل کے ارد گرد عجیب ہے۔ یعنی تسلسل کی حد میں یہ متناسب ہے، جو اب بھی چھوٹی رفتار کی حد میں جالی کے معاملے میں ہونا چاہیے۔ لیکن چونکہ کوئی بھی مقامی جالی نظریہ جس کی تعمیر کی جا سکتی ہے اس میں ایک ایسا پروپیگیٹر ہونا چاہیے جو مسلسل اور وقتا فوقتا ہو، اسے کم از کم ایک بار پھر صفر محور کو عبور کرنا چاہیے، جو بالکل وہی ہے جو برلوئن زون کے کونوں پر ہوتا ہے جہاں سادہ فرمین پروپیگیٹر کے لیے ہوتا ہے۔ یہ بوسونک پروپیگیٹر کے برعکس ہے جو اصل کے ارد گرد کواڈریٹک ہے اور اس لیے اس طرح کا مسئلہ نہیں ہے۔ اگر ایک متضاد پروپیگیٹر کا استعمال کیا جائے تو ڈبلنگ سے بچا جا سکتا ہے، لیکن اس کے نتیجے میں ایک غیر مقامی نظریہ سامنے آتا ہے۔ ڈبلرز کی موجودگی فرمیئن کے منتشر ہونے کے تعلق میں بھی ظاہر ہوتی ہے۔ چونکہ یہ فرمیئن کی توانائی اور اس کی رفتار کے درمیان تعلق ہے، اس لیے اس کے لیے ایک الٹا وک کی تبدیلی انجام دینے کی ضرورت ہوتی ہے، جس میں پھیلاؤ کا تعلق پروپیگیٹر کے قطب سے پیدا ہوتا ہے۔ اس پھیلاؤ کے تعلق کے صفر مقامی توانائی منیما ہوتے ہیں جن کے ارد گرد محرکات مختلف ذرہ پرجاتیوں سے مطابقت رکھتے ہیں۔ مذکورہ بالا میں آٹھ مختلف انواع ہیں جو تین مقامی سمتوں میں دوگنا ہونے کی وجہ سے پیدا ہوتی ہیں۔ بقیہ آٹھ ڈبلر یوکلڈین عارضی سمت میں ایک اور ڈبلنگ کی وجہ سے ہوتے ہیں، جو لگتا ہے کہ کھو چکے ہیں۔ لیکن یہ الٹا وک ٹرانسفارمیشن کے بے وقوف اطلاق کی وجہ سے ہے۔ نظریہ میں ایک رکاوٹ ہے جو سادہ تبدیلی کی اجازت نہیں دیتی ہے اور اس کے بجائے مکمل سموچ انضمام انجام دینے کی ضرورت ہوتی ہے۔ پوزیشن اسپیس پروپیگیٹر کے لیے ایسا کرنے سے دو الگ الگ اصطلاحات کا نتیجہ نکلتا ہے، جن میں سے ہر ایک کا آٹھ فرمیئن پرجاتیوں کا ایک ہی پھیلاؤ تعلق ہے، جو کل سولہ دیتا ہے۔ منکووسکی اور یوکلیڈین سادہ فرمیئن جالی کے نظریات کے درمیان رکاوٹ اس وجہ سے ہوتی ہے کہ منکووسکی عارضی سمت میں دوگنا نہیں ہوتا ہے، اس لیے دونوں نظریات اپنے ذرہ مواد میں مختلف ہیں۔ فرمیئن کو دوگنا کرنے کی قراردادیں فرمیئن کو دوگنا کرنا لیٹس فیلڈ تھیوری میں نیلسن-نینومیا تھیوریم کے نام سے جانے والے نو-گو تھیوریم کا نتیجہ ہے۔ اس میں کہا گیا ہے کہ کسی بھی یکساں جہتی مقامی، ہرمیٹین، ٹرانسلیشنل طور پر غیر متغیر، دو لکیری فرمیوونک تھیوری میں ہمیشہ بائیں ہاتھ اور دائیں ہاتھ کے ویل فرمین کی ایک ہی تعداد ہوتی ہے، جس کی کمی ہونے پر اضافی فرمین پیدا ہوتے ہیں۔ تھیوریم یہ نہیں بتاتی کہ کتنے ڈبلرز پیدا ہوں گے، لیکن تھیوریم کے مفروضوں کو توڑے بغیر، ہمیشہ کم از کم ایک ڈبلر ہوگا، جس میں سادہ ڈسکریٹائزیشن پندرہ ہوگی۔ نظریہ کا ایک نتیجہ یہ ہے کہ چیرل بے ضابطگی کو چیرلی غیر متغیر نظریات کے ساتھ نقل نہیں کیا جا سکتا کیونکہ یہ معمولی طور پر غائب ہو جاتا ہے۔ فرمیئن ڈبلنگ کے ساتھ لیٹس فیلڈ تھیوریز کی نقل کرنا ڈبلرز کی وجہ سے غلط نتائج کا باعث بنتا ہے، اس مسئلے پر قابو پانے کے لیے بہت سی حکمت عملی تیار کی گئی ہیں۔ اگرچہ آزاد نظریہ میں ڈبلرز کو نظر انداز کیا جا سکتا ہے کیونکہ وہاں مختلف ذائقے منقطع ہو جاتے ہیں، لیکن انہیں ایک تعامل نظریہ میں نظر انداز نہیں کیا جا سکتا جہاں تعاملات مختلف ذوق کو ملاتے ہیں، کیونکہ رفتار صرف ماڈیولو تک محفوظ رہتی ہے۔ مثال کے طور پر، دو ذائقہ والے فرمین ایک انتہائی ورچوئل گیج بوسون کے تبادلے سے منتشر ہو سکتے ہیں تاکہ رفتار کے تحفظ کی خلاف ورزی کیے بغیر دو ذائقہ والے فرمین تیار کیے جا سکیں۔ لہذا، فرمیئن کے دوگنا ہونے کے مسئلے پر قابو پانے کے لیے، کسی کو نیلسن-نینومیا تھیوریم کے ایک یا زیادہ مفروضوں کی خلاف ورزی کرنی چاہیے، جس سے متعدد مجوزہ قراردادیں پیدا ہوتی ہیں: ڈومین وال فرمیئن: واضح طور پر چیرل سمیٹری کی خلاف ورزی کرتا ہے، مقامی جہت میں اضافہ کرتا ہے۔ جنسپارگ-ولسن فرمیئن: واضح طور پر چیرل سمیٹری کی خلاف ورزی کرتا ہے۔ اوورلیپ فرمیئن: واضح طور پر چیرل سمیٹری (جنسپارگ-ولسن فرمیئن کی قسم) کی خلاف ورزی کرتا ہے۔ کامل جالی فرمیئن: غیر مقامی تشکیل۔ ایس ایل اے سی فرمیئن: غیر مقامی تشکیل۔ اسٹیسی فرمیئن: غیر مقامی تشکیل۔ اسٹیگرڈ فرمیئن (کوگٹ-سسکیڈ فرمیئن): واضح طور پر ٹرانسلیشنل انواریینس کی خلاف ورزی کرتا ہے، ڈبلرز کی تعداد کو کم کرتا ہے۔ سمیٹرک ماس جنریشن: یہ نقطہ نظر فرمیئن-بلینیئر ماڈل سے آگے بڑھتا ہے اور غیر پرچربیٹو تعامل کے اثرات متعارف کراتا ہے۔ آئچٹن-پریسکل ماڈل پر مبنی ایک احساس ویکٹر-سمیٹرک فرمیئن ماڈل سے شروع ہوتا ہے جہاں چیرل فرمیئنز اور آئینے کے فرمیئنز کو دو ڈومین والز پر محسوس کیا جاتا ہے۔ سمیٹرک ماس جنریشن کا استعمال کرتے ہوئے آئینے کے فرمیئن کو بند کرنے کے نتیجے میں کم توانائی پر چیرل فرمیئن بنتے ہیں جس میں کوئی فرمیئن دوگنا نہیں ہوتا ہے۔ ٹوسٹڈ ماس فرمیئن: واضح طور پر چیرل سمیٹری (ولسن فرمیئن کی قسم) کی خلاف ورزی کرتا ہے۔ ولسن فرمیئن: واضح طور پر چیرل سمیٹری کی خلاف ورزی کرتا ہے۔ ان فرمیئن فارمولیشنوں میں سے ہر ایک کے اپنے فوائد اور نقصانات ہیں۔ وہ اس رفتار میں مختلف ہیں جس پر ان کی تقلید کی جا سکتی ہے، ان کے نفاذ میں آسانی، اور غیر معمولی ترتیبات کی موجودگی یا عدم موجودگی۔ ان میں سے کچھ میں بقایا چیرل سمیٹری ہوتی ہے جو محوری بے ضابطگیوں کی تقلید کرنے کی اجازت دیتی ہے۔ وہ اس بات میں بھی مختلف ہو سکتے ہیں کہ وہ کتنے ڈبلرز کو ختم کرتے ہیں، جن میں سے کچھ ڈبلٹ، یا فرمین کی چوکی پر مشتمل ہوتے ہیں۔ اس وجہ سے مختلف مسائل کے لیے مختلف فرمیئن فارمولیشن استعمال کیے جاتے ہیں۔ مشتق ڈسکریٹائزیشن ڈبلنگ کے مسئلے کا ایک اور ممکنہ اگرچہ ناقابل عمل حل یہ ہے کہ سادہ فرمیئن ایکشن میں استعمال ہونے والے سمیٹرک فرق سے مختلف مشتق ڈسکریٹائزیشن کو اپنایا جائے۔ اس کے بجائے فارورڈ فرق یا بیکورڈ فرق کو استعمال کرنا ممکن ہے۔ دوگنا کرنے پر مشتق تفریق کا اثر کھلونوں کے آئجین سولیوشنز کو تلاش کرنے کے یک جہتی مسئلے پر غور کرکے دیکھا جاتا ہے۔ تسلسل میں اس تفریقی مساوات کا واحد حل ہے۔ تاہم، سمیٹرک فرق مشتق کو نافذ کرنا دو الگ الگ آئجین سولیوشن کی موجودگی کا باعث بنتا ہے، جبکہ فارورڈ یا بیکورڈ فرق مشتق میں ایک آئجین سولیوشن ہوتا ہے۔ یہ اثر فرمیئن عمل کو آگے لے جاتا ہے جہاں فرمیئن ڈبلنگ فارورڈ یا بیکورڈ ڈسکریٹائزیشن کے ساتھ غیر موجود ہوتی ہے۔ اس ذرہ مواد کی عدم مساوات کی وجہ یہ ہے کہ سمیٹرک فرق مشتق تسلسل آپریٹر کی ہرمیٹیسیٹی پراپرٹی کو برقرار رکھتا ہے، جبکہ آگے اور پیچھے کی تفریق نہیں ہوتی ہے۔ یہ مؤخر الذکر تبصرے نیلسن-نینومیا تھیوریم کے مفروضوں کو توڑتے ہوئے غیر ہرمیٹین اعمال کا باعث بنتے ہیں، اور اس لیے فرمیئن کے دوگنا ہونے کے مسئلے سے بچیں۔ غیر ہرمیٹین مشتق ڈسکریٹائزیشن کے ساتھ ایک تعامل نظریہ تیار کرنا ایک نظریہ کی طرف لے جاتا ہے جس میں فرمیئن سیلف انرجی اور ورٹیکس فنکشن میں غیر متغیر شراکت ہوتی ہے، جس سے نظریہ غیر غیر معمولی اور اس کے ساتھ کام کرنا مشکل ہو جاتا ہے۔ اس وجہ سے عام طور پر فرمیئن کے دوگنا ہونے کے مسئلے کے اس طرح کے حل پر عمل درآمد نہیں کیا جاتا ہے۔ صوتی اور نظری فونون بھی دیکھیں: ٹھوس حالت کے کرسٹل میں اسی طرح کا رجحان حوالہ جات لیٹس فیلڈ تھیوری فرمینز