Trace (linear algebra)
لکیری الجبرا میں، مربع میٹرکس کا سراغ، جس کی نشاندہی کی جاتی ہے، کی تعریف مرکزی اخترن (اوپری بائیں سے نچلے دائیں) پر موجود عناصر کے مجموعے کے طور پر کی جاتی ہے۔ ٹریس کی وضاحت صرف مربع میٹرکس () کے لیے کی گئی ہے۔ یہ ثابت کیا جا سکتا ہے کہ میٹرکس کا سراغ اس کی (پیچیدہ) آئجین ویلیوز (ضرب کے ساتھ شمار) کا مجموعہ ہے۔ یہ بھی ثابت کیا جا سکتا ہے کہ کسی بھی دو میٹرکس اور مناسب سائز کے لیے۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ اسی طرح کے میٹرکس میں ایک ہی نشان ہوتا ہے۔ نتیجے کے طور پر کوئی ایک لکیری آپریٹر کے ٹریس کی وضاحت کر سکتا ہے جو ایک محدود جہتی ویکٹر اسپیس کو اپنے اندر نقشہ بناتا ہے، کیونکہ اس طرح کے آپریٹر کو بیس کے حوالے سے بیان کرنے والے تمام میٹرکس ایک جیسے ہوتے ہیں۔ ٹریس کا تعلق ڈیٹرمیننٹ کے مشتق سے ہے (جیکوبی کا فارمولا دیکھیں)۔ تعریف مربع میٹرکس کے ٹریس کی تعریف اس طرح کی جاتی ہے جہاں چوتھی صف اور چوتھے کالم پر اندراج کی نشاندہی ہوتی ہے۔ کے اندراجات حقیقی اعداد، پیچیدہ اعداد، یا زیادہ عام طور پر فیلڈ F کے عناصر ہو سکتے ہیں۔ غیر مربع میٹرکس کے لیے ٹریس کی وضاحت نہیں کی گئی ہے۔ مثال ایک میٹرکس ہونے دیں، پھر پراپرٹیز بنیادی خصوصیات کے ساتھ ٹریس ایک لکیری میپنگ ہے۔ یعنی، تمام مربع میٹرکس اور، اور تمام اسکیلرز کے لیے۔ ایک میٹرکس اور اس کے ٹرانسپوز کا ایک ہی سراغ ہوتا ہے: یہ اس حقیقت کے فورا بعد ہوتا ہے کہ مربع میٹرکس کو منتقل کرنے سے مرکزی اخترن کے ساتھ عناصر متاثر نہیں ہوتے ہیں۔ کسی پروڈکٹ کا سراغ مربع میٹرکس کا سراغ جو کہ دو حقیقی میٹرکس کا پروڈکٹ ہے، ان کے عناصر کے اندراج کے لحاظ سے پروڈکٹ کے مجموعے کے طور پر دوبارہ لکھا جا سکتا ہے، یعنی۔ ان کے ہڈمارڈ پروڈکٹ کے تمام عناصر کے مجموعے کے طور پر۔ سیدھے الفاظ میں، اگر اور دو حقیقی میٹرکس ہیں، تو: اگر کوئی کسی حقیقی میٹرکس کو لمبائی کے ویکٹر کے طور پر دیکھتا ہے (ایک آپریشن جسے ویکٹرائزیشن کہا جاتا ہے) تو مندرجہ بالا آپریشن معیاری ڈاٹ پروڈکٹ کے ساتھ مطابقت رکھتا ہے۔ مندرجہ بالا اظہار کے مطابق، مربعوں کا مجموعہ ہے اور اس لیے غیر منفی ہے، صفر کے برابر ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب صفر ہو۔ مزید برآں، جیسا کہ مندرجہ بالا فارمولے میں بیان کیا گیا ہے۔ یہ اندرونی پروڈکٹ کے لیے درکار مثبت-تعریف اور توازن کو ظاہر کرتے ہیں ؛ اور کے فروبینیوس اندرونی پروڈکٹ کو کال کرنا عام بات ہے۔ یہ مقررہ جہتوں کے تمام حقیقی میٹرکس کے ویکٹر اسپیس پر ایک قدرتی اندرونی پروڈکٹ ہے۔ اس اندرونی پروڈکٹ سے اخذ کردہ معیار کو فروبینئس معیار کہا جاتا ہے، اور یہ ایک ذیلی ضرب کی خاصیت کو مطمئن کرتا ہے، جیسا کہ کاچی-شوارز عدم مساوات سے ثابت کیا جا سکتا ہے: اگر اور ایک ہی سائز کے حقیقی مثبت نیم متعین میٹرکس ہیں۔ فریبینئس اندرونی پروڈکٹ اور معیار میٹرکس کیلکولس اور شماریات میں کثرت سے پیدا ہوتے ہیں۔ فروبینیوس اندرونی پروڈکٹ کو ایک مقررہ سائز کے تمام پیچیدہ میٹرکس کی پیچیدہ ویکٹر جگہ پر ہرمیٹین اندرونی پروڈکٹ تک بڑھایا جا سکتا ہے، اس کی جگہ اس کے پیچیدہ کنجوگیٹ سے لے کر۔ فروبینیوس اندرونی پروڈکٹ کی ہم آہنگی کو مزید براہ راست اس طرح بیان کیا جا سکتا ہے: کسی پروڈکٹ کے ٹریس میں میٹرکس کو نتیجہ کو تبدیل کیے بغیر تبدیل کیا جا سکتا ہے۔ اگر اور ہیں اور حقیقی یا پیچیدہ میٹرکس، بالترتیب، تو یہ اس حقیقت کے لیے قابل ذکر ہے جو عام طور پر برابر نہیں ہوتی، اور اس لیے بھی کہ دونوں میں سے کسی ایک کا سراغ عام طور پر برابر نہیں ہوتا ہے۔ ٹریس کی مماثلت-تغیر، جس کا مطلب ہے کہ کسی بھی مربع میٹرکس اور ایک ہی طول و عرض کے کسی بھی الٹا میٹرکس کے لیے، ایک بنیادی نتیجہ ہے۔ یہ ذیل میں لکیری تبدیلیوں کے نشانات پر بحث کرنے کے لیے مماثلت غیر متغیر ٹریس کی اہم خاصیت سے ثابت ہوتا ہے۔ مزید برآں، حقیقی کالم ویکٹروں کے لیے اور، بیرونی پروڈکٹ کا سراغ اندرونی پروڈکٹ کے مساوی ہوتا ہے: چکور خاصیت زیادہ عام طور پر، سرکلر شفٹوں کے تحت سراغ غیر متغیر ہوتا ہے، یعنی، اسے چکور خاصیت کہا جاتا ہے۔ صوابدیدی تغیرات کی اجازت نہیں ہے: عام طور پر، تاہم، اگر تین سمیٹرک میٹرکس کے پروڈکٹ پر غور کیا جائے تو، کسی بھی تغیر کی اجازت ہے، کیونکہ: جہاں پہلی مساوات اس وجہ سے ہے کہ میٹرکس کے نشانات اور اس کے ٹرانسپوز برابر ہیں۔ نوٹ کریں کہ یہ عام طور پر تین سے زیادہ عوامل کے لیے درست نہیں ہے۔ کرونیکر پروڈکٹ کا سراغ دو میٹرکس کے کرونیکر پروڈکٹ کا سراغ ان کے نشانات کی پیداوار ہے: ٹریس کی خصوصیت درج ذیل تین خصوصیات: درج ذیل معنوں میں ایک اسکیلر ملٹیپل تک ٹریس کو نمایاں کریں: اگر مربع میٹرکس کی جگہ پر ایک لکیری فنکشنل ہے جو تب مطمئن ہوتا ہے اور متناسب ہوتا ہے۔ میٹرکس کے لیے، نارملائزیشن کو مسلط کرنا ٹریس کے برابر ہوتا ہے۔ آئجین ویلیوز کے مجموعے کے طور پر ٹریس کریں کسی بھی حقیقی یا پیچیدہ میٹرکس کو دیکھتے ہوئے، ایسی جگہ ہوتی ہے جہاں ضرب کے ساتھ شمار کی جانے والی آئجین ویلیوز ہوتی ہیں۔ یہ سچ ہے یہاں تک کہ اگر ایک حقیقی میٹرکس ہے اور کچھ (یا تمام) آئجن ویلیوز پیچیدہ نمبر ہیں۔ اسے اردن کینونکل فارم کے وجود کا نتیجہ سمجھا جا سکتا ہے، ساتھ ہی اوپر بیان کردہ ٹریس کی مماثلت-تغیر کے ساتھ۔ کمیونیٹر کا سراغ جب دونوں اور میٹرکس ہوتے ہیں، تو (رنگ تھیوریٹک) کمیونیٹر کا سراغ غائب ہو جاتا ہے:، کیونکہ اور لکیری ہوتا ہے۔ کوئی بھی اسے اس طرح بیان کر سکتا ہے کہ "ٹریس آپریٹرز سے اسکیلرز تک لائ الجبرا کا نقشہ ہے"، کیونکہ اسکیلرز کا کمیونیٹر معمولی ہے (یہ ایک ابیلین لائ الجبرا ہے)۔ خاص طور پر، مماثلت غیر متغیر کا استعمال کرتے ہوئے، یہ اس طرح ہے کہ شناخت میٹرکس کبھی بھی میٹرکس کے کسی بھی جوڑے کے کمیونیٹر سے مماثل نہیں ہوتا ہے۔ اس کے برعکس، صفر ٹریس والا کوئی بھی مربع میٹرکس میٹرکس کے جوڑوں کے کمیونیٹرز کا لکیری مجموعہ ہوتا ہے۔ مزید برآں، صفر ٹریس والا کوئی بھی مربع میٹرکس یکطرفہ طور پر ایک مربع میٹرکس کے مساوی ہوتا ہے جس میں تمام صفر ہوتے ہیں۔ خاص قسم کے میٹرکس کے نشانات شناخت میٹرکس کا سراغ خلا کا طول و عرض ہے، یعنی۔ یہ ٹریس کا استعمال کرتے ہوئے طول و عرض کو عام کرنے کی طرف لے جاتا ہے۔ ہرمیٹین میٹرکس کا سراغ حقیقی ہے، کیونکہ اخترن پر موجود عناصر حقیقی ہیں۔ پرموٹیشن میٹرکس کا سراغ متعلقہ پرموٹیشن کے فکسڈ پوائنٹس کی تعداد ہے، کیونکہ اگر تھ پوائنٹ فکسڈ ہے تو ڈائیگنل ٹرم 1 ہے اور بصورت دیگر 0 ہے۔ پروجیکشن میٹرکس کا سراغ ہدف کی جگہ کا طول و عرض ہے۔ میٹرکس مثالی ہے۔ زیادہ عام طور پر، کسی بھی مثالی میٹرکس کا سراغ، یعنی۔ ایک کے ساتھ، اس کے اپنے درجہ کے برابر ہے۔ نیلپوٹینٹ میٹرکس کا سراغ صفر ہے۔ جب بیس فیلڈ کی خصوصیت صفر ہوتی ہے، تو اس کے برعکس بھی ہوتا ہے: اگر سب کے لیے، تو نیل پوٹینٹ ہوتا ہے۔ جب خصوصیت مثبت ہوتی ہے، تو طول و عرض میں شناخت ایک جوابی مثال ہوتی ہے، لیکن شناخت نیلپوٹینٹ نہیں ہوتی ہے۔ آئجین ویلیوز سے تعلق اگر ایک لکیری آپریٹر ہے جس کی نمائندگی حقیقی یا پیچیدہ اندراجات کے ساتھ مربع میٹرکس کے ذریعہ کی جاتی ہے اور اگر ان کی آئجین ویلیوز ہیں (ان کی الجبرائی ضرب کے مطابق درج ہیں)، تو یہ اس حقیقت سے ملتا جلتا ہے جو ہمیشہ اس کی اردن شکل سے ملتا جلتا ہے، ایک اوپری مثلث میٹرکس جس کا مرکزی اخترن ہوتا ہے۔ اس کے برعکس، کا تعین کرنے والا اس کی آئجین ویلیوز کا پروڈکٹ ہے۔ یعنی، مشتق تعلقات اگر چھوٹے اندراجات کے ساتھ ایک مربع میٹرکس ہے اور شناختی میٹرکس کی نشاندہی کرتا ہے، تو ہمارے پاس تقریبا عین مطابق اس کا مطلب ہے کہ ٹریس شناختی میٹرکس پر مشتق فنکشن کا مشتق ہے۔ جیکوبی کا فارمولا زیادہ عام ہے اور میٹرکس کے ٹریس اور ملحقہ کے لحاظ سے، ایک صوابدیدی مربع میٹرکس پر تعین کنندہ کے تفریق کو بیان کرتا ہے۔ اس سے (یا ٹریس اور آئجین ویلیوز کے درمیان تعلق سے)، کوئی بھی ٹریس فنکشن، میٹرکس ایکسپونینشل فنکشن، اور ڈیٹرمیننٹ کے درمیان تعلق حاصل کر سکتا ہے: ٹریس کی متعلقہ خصوصیت لکیری ویکٹر فیلڈز پر لاگو ہوتی ہے۔ میٹرکس کو دیکھتے ہوئے، بائی پر ویکٹر فیلڈ کی وضاحت کریں۔ اس ویکٹر فیلڈ کے اجزاء لکیری افعال ہیں (کی قطاروں کے ذریعہ دیئے گئے)۔ اس کا انحراف ایک مستقل فعل ہے، جس کی قیمت اس کے برابر ہے۔ ڈائیورجنس تھیوریم کے مطابق، کوئی بھی اس کی تشریح بہاؤ کے لحاظ سے کر سکتا ہے: اگر مقام پر کسی سیال کی رفتار کی نمائندگی کرتا ہے اور یہ ایک خطہ ہے، تو باہر نکلنے والے سیال کا خالص بہاؤ اس کے ذریعہ دیا جاتا ہے، جہاں کا حجم ہے۔ ٹریس ایک لکیری آپریٹر ہے، لہذا یہ مشتق کے ساتھ کام کرتا ہے: لکیری آپریٹر کا ٹریس عام طور پر، کچھ لکیری نقشہ دیا گیا ہے (جہاں ایک محدود جہتی ویکٹر اسپیس ہے)، ہم میٹرکس کی نمائندگی کے ٹریس پر غور کرکے اس نقشے کے ٹریس کی وضاحت کر سکتے ہیں، یعنی اس بنیاد کے لیے ایک بنیاد کا انتخاب اور میٹرکس کے طور پر بیان کرنا، اور اس مربع میٹرکس کا سراغ لینا۔ نتیجہ منتخب کردہ بنیاد پر منحصر نہیں ہوگا، کیونکہ مختلف اڈے اسی طرح کے میٹرکس کو جنم دیں گے، جس سے لکیری نقشے کے ٹریس کے لیے بنیاد سے آزاد تعریف کا امکان پیدا ہوگا۔ اس طرح کی تعریف اور پر لکیری نقشوں کی جگہ کے درمیان کینونکل آئسومورفزم کا استعمال کرتے ہوئے دی جا سکتی ہے، جہاں کی دوہری جگہ ہے۔ اندر آنے دو اور اندر آنے دو۔ پھر ناقابل تلافی عنصر کا سراغ اس طرح بیان کیا جاتا ہے ؛ کسی عام عنصر کا سراغ لکیری سے بیان کیا جاتا ہے۔ کے لیے ایک واضح بنیاد اور اس سے متعلق دوہری بنیاد کا استعمال کرتے ہوئے، کوئی یہ ظاہر کر سکتا ہے کہ اس سے ٹریس کی وہی تعریف ملتی ہے جو اوپر دی گئی ہے۔ عددی الگورتھم اسٹوکاسٹک تخمینہ کار ٹریس کا تخمینہ "ہچنسن کی چال" کے ذریعے غیر جانبدارانہ طور پر لگایا جا سکتا ہے: کسی بھی میٹرکس کو دیکھتے ہوئے، اور اس کے ساتھ کسی بھی بے ترتیب کے ساتھ، ہمارے پاس ہے۔ (ثبوت: براہ راست توقع کو بڑھائیں۔ ) عام طور پر، بے ترتیب ویکٹر کا نمونہ (عام تقسیم) یا (ریڈماچر تقسیم) سے لیا جاتا ہے۔ ٹریس کے مزید نفیس سٹوچسٹک تخمینے تیار کیے گئے ہیں۔ اگر 2 x 2 حقیقی میٹرکس میں صفر ٹریس ہے، تو اس کا مربع ایک اخترن میٹرکس ہے۔ 2 × 2 پیچیدہ میٹرکس کا سراغ موبیئس تبدیلیوں کی درجہ بندی کے لیے استعمال ہوتا ہے۔ سب سے پہلے، میٹرکس کو اس کے تعین کنندہ کو ایک کے برابر بنانے کے لیے نارمل کیا جاتا ہے۔ پھر، اگر ٹریس کا مربع 4 ہے، تو متعلقہ تبدیلی پیرابولک ہے۔ اگر مربع وقفہ میں ہے، تو یہ الپٹک ہے۔ آخر میں، اگر مربع 4 سے بڑا ہے، تو تبدیلی لوکسوڈرومک ہے۔ موبیئس تبدیلیوں کی درجہ بندی دیکھیں۔ ٹریس گروپ کی نمائندگی کے حروف کی وضاحت کے لیے استعمال ہوتا ہے۔ کسی گروپ کی دو نمائشیں مساوی ہیں (بنیاد کی تبدیلی تک) اگر سب کے لیے۔ ٹریس کواڈریٹک شکلوں کی تقسیم میں بھی مرکزی کردار ادا کرتا ہے۔ لائ الجبرا ٹریس ایک جہتی خلا (میٹرکس کے ساتھ اندراجات) پر لکیری آپریٹرز کے لائ الجبرا سے لے کر اسکیلرز کے لائ الجبرا تک لائ الجبرا کا نقشہ ہے۔ جیسا کہ ابیلین (لائ بریکٹ غائب ہو جاتا ہے)، حقیقت یہ ہے کہ یہ لائ الجبرا کا نقشہ ہے بالکل یہ بیان ہے کہ ایک بریکٹ کا سراغ غائب ہو جاتا ہے: اس نقشے کا دانا، ایک میٹرکس جس کا سراغ صفر ہے، اکثر یا کہا جاتا ہے، اور یہ میٹرکس سادہ لائ الجبرا بناتے ہیں، جو کہ تعین کنندہ 1 کے ساتھ میٹرکس کے خصوصی لکیری گروپ کا لائ الجبرا ہے۔ خصوصی لکیری گروپ میٹرکس پر مشتمل ہوتا ہے جو حجم کو تبدیل نہیں کرتا ہے، جبکہ خصوصی لکیری لائ الجبرا میٹرکس ہیں جو لامحدود سیٹوں کے حجم کو تبدیل نہیں کرتے ہیں۔ در حقیقت، آپریٹرز/میٹرکس کی ٹریس لیس آپریٹرز/میٹرکس اور اسکیلرز آپریٹرز/میٹرکس میں ایک اندرونی براہ راست مجموعہ سڑنا ہے۔ اسکیلر آپریٹرز پر پروجیکشن نقشہ کا اظہار ٹریس کے لحاظ سے کیا جا سکتا ہے، ٹھوس طور پر: رسمی طور پر، اسکیلرز پر نقشے کی نقشہ سازی حاصل کرنے کے لیے "اسکیلرز کی شمولیت" کے یونٹ نقشے کے ساتھ ٹریس (کاؤنٹ نقشہ) تشکیل دے سکتا ہے، اور اس سے ضرب دے سکتا ہے۔ سے تقسیم کرنے سے یہ ایک پروجیکشن بن جاتا ہے، جس سے اوپر کا فارمولا ملتا ہے۔ مختصر عین مطابق ترتیب کے لحاظ سے، ایک ایسا ہے جو لائ گروپوں کے لیے (جہاں) کے مترادف ہے۔ تاہم، ٹریس قدرتی طور پر (اوقات اسکیلرز کے ذریعے) تقسیم ہوتا ہے، لیکن ڈیٹرمیننٹ کی تقسیم th جڑ اوقات اسکیلرز کے طور پر ہوگی، اور یہ عام طور پر کسی فنکشن کی وضاحت نہیں کرتا ہے، لہذا ڈیٹرمیننٹ تقسیم نہیں ہوتا ہے اور عمومی لکیری گروپ تحلیل نہیں ہوتا ہے: بلینیئر شکلیں دو لکیری شکل (جہاں، مربع میٹرکس ہیں) کو کلنگ فارم کہا جاتا ہے، جو کہ لائ الجبرا کی درجہ بندی کے لیے استعمال ہوتا ہے۔ ٹریس ایک دو لکیری شکل کی وضاحت کرتا ہے: یہ شکل ہم آہنگ، غیر انحطاط پذیر اور اس معنی میں ملحقہ ہے کہ: ایک پیچیدہ سادہ لائ الجبرا (جیسے) کے لیے، ایسی ہر دو لکیری شکل ایک دوسرے کے متناسب ہوتی ہے ؛ خاص طور پر، قتل کی شکل کے۔ دو میٹرکس اور انہیں ٹریس آرتھوگنل کہا جاتا ہے اگر لائ الجبرا کی عمومی نمائندگی کی عمومی شکل ہو، جیسے کہ لائ الجبرا کی ہومومورفزم۔ دو لکیری شکل چکور کی وجہ سے ہم آہنگ اور غیر متغیر ہے۔ عامیاں میٹرکس کے ٹریس کے تصور کو ہلبرٹ خالی جگہوں پر کمپیکٹ آپریٹرز کے ٹریس کلاس میں عام کیا گیا ہے، اور فروبینئس معیار کے ینالاگ کو ہلبرٹ-شمڈٹ معیار کہا جاتا ہے۔ اگر ٹریس کلاس آپریٹر ہے، تو کسی بھی آرتھونورمل بنیاد کے لیے، ٹریس آرتھونورمل بنیاد کے ذریعے دیا جاتا ہے اور محدود اور آزاد ہوتا ہے۔ جزوی ٹریس ٹریس کی ایک اور عمومی شکل ہے جو آپریٹر ویلیوڈ ہے۔ لکیری آپریٹر کا سراغ جو کسی پروڈکٹ کی جگہ پر رہتا ہے جزوی نشانات کے برابر ہوتا ہے اور: مزید خصوصیات اور جزوی نشانات کی عمومی کاری کے لیے، ٹریسڈ مونوئڈل زمرہ جات دیکھیں۔ اگر کسی فیلڈ پر ایک عمومی ایسوسی ایٹیو الجبرا ہے، تو ایک ٹریس آن کو اکثر کسی بھی نقشے کے طور پر بیان کیا جاتا ہے جو کمیوٹیٹرز پر غائب ہو جاتا ہے۔ اس طرح کے ٹریس کی منفرد طور پر وضاحت نہیں کی گئی ہے۔ اسے ہمیشہ کم از کم نان زیرو اسکیلر سے ضرب کے ذریعے تبدیل کیا جا سکتا ہے۔ ایک سپر ٹریس سپرلجبراس کی ترتیب کے لیے ایک ٹریس کی عمومی کاری ہے۔ ٹینسر سنکچن کا عمل ٹریس کو صوابدیدی ٹینسرز میں عام کرتا ہے۔ ٹینسر مصنوعات کی زبان میں نشانات ایک ویکٹر کی جگہ کو دیکھتے ہوئے، اسکیلر کو بھیج کر ایک قدرتی دو لکیری نقشہ دیا جاتا ہے۔ ٹینسر پروڈکٹ کی یونیورسل پراپرٹی خود بخود اس بات کا اشارہ کرتی ہے کہ یہ دو لکیری نقشہ ایک لکیری فنکشنل کے ذریعے متاثر ہوتا ہے۔ اسی طرح، لکیری نقشے پر بھیج کر ایک قدرتی دو لکیری نقشہ دیا گیا ہے۔ ٹینسر پروڈکٹ کی عالمگیر خاصیت، جیسا کہ پہلے استعمال کیا گیا ہے، کہتی ہے کہ یہ دو لکیری نقشہ لکیری نقشے سے متاثر ہوتا ہے۔ اگر محدود جہتی ہے، تو یہ لکیری نقشہ ایک لکیری آئسومورفزم ہے۔ یہ بنیادی حقیقت ایک (محدود) بنیاد کے وجود کا سیدھا سیدھا نتیجہ ہے، اور یہ بھی کہا جا سکتا ہے کہ کسی بھی لکیری نقشے کو (محدود طور پر بہت سے) رینک ون لکیری نقشوں کے مجموعے کے طور پر لکھا جا سکتا ہے۔ آئسومورفزم کے الٹا کو اوپر حاصل کردہ لکیری فنکشنل کے ساتھ تشکیل دینے کے نتیجے میں لکیری فنکشنل آن ہوتا ہے۔ یہ لکیری فنکشنل بالکل ٹریس جیسا ہی ہے۔ ڈائیگنل عناصر کے مجموعے کے طور پر ٹریس کی تعریف کا استعمال کرتے ہوئے، میٹرکس فارمولا ثابت کرنا سیدھا ہے، اور اوپر دیا گیا تھا۔ موجودہ تناظر میں، کوئی لکیری نقشوں پر غور کر رہا ہے اور، اور انہیں رینک ون نقشوں کے مجموعے کے طور پر دیکھ رہا ہے، تاکہ لکیری فنکشنل اور نان زیرو ویکٹر اور اس طرح کے اور کسی بھی ان کے لیے ہوں۔ پھر کسی کے لیے بھی۔ رینک ون لکیری نقشے میں ٹریس ہوتا ہے اور اس لیے اسی طریقہ کار پر عمل کرتے ہوئے اور الٹا، کسی کو بالکل وہی فارمولا ملتا ہے، جو ثابت کرتا ہے کہ برابر ہے۔ مندرجہ بالا ثبوت کو ٹینسر پروڈکٹ پر مبنی سمجھا جا سکتا ہے، یہ دیکھتے ہوئے کہ ساتھ کی بنیادی شناخت کسی بھی لکیری نقشے کی اظہار کے برابر ہے جو رینک ون لکیری نقشوں کے مجموعے کے طور پر ہے۔ اس طرح، ثبوت ٹینسر مصنوعات کے اشارے میں لکھا جا سکتا ہے۔ پھر کوئی بھی بھیج کر دیے گئے کثیر لکیری نقشے پر غور کر سکتا ہے۔ ٹریس نقشے کے ساتھ مزید ترکیب کا نتیجہ نکلتا ہے، اور اگر اس کے بجائے کسی نے شروعات کی ہو تو یہ تبدیل نہیں ہوتا ہے۔ کوئی بھی ساخت کو بھیج کر دیئے گئے دو لکیری نقشے پر بھی غور کر سکتا ہے، جسے پھر لکیری نقشے سے متاثر کیا جاتا ہے۔ یہ دیکھا جا سکتا ہے کہ یہ لکیری نقشے کے ساتھ موافق ہے۔ ٹریس نقشے کے ساتھ ساخت پر قائم کردہ ہم آہنگی پھر دونوں نشانات کی مساوات کو قائم کرتی ہے۔ کسی بھی محدود جہتی ویکٹر اسپیس کے لیے، ایک قدرتی لکیری نقشہ ہوتا ہے ؛ لکیری نقشوں کی زبان میں، یہ ایک اسکیلر کو لکیری نقشہ تفویض کرتا ہے۔ بعض اوقات اسے مشترکہ تشخیص کا نقشہ کہا جاتا ہے، اور اس نشان کو تشخیصی نقشہ کہا جاتا ہے۔ زمرہ نظریہ کی تجریدی ترتیب میں درجہ بندی کے نشانات کی وضاحت کے لیے ان ڈھانچوں کو محوری شکل دی جا سکتی ہے۔ یہ بھی دیکھیں کہ میٹرک ٹینسر خصوصیت فنکشن کے حوالے سے ٹینسر کا سراغ فیلڈ ٹریس گولڈن تھامسن عدم مساوات سنگل ٹریس سپیکٹ کا تھیوریم ٹریس کلاس ٹریس شناخت ٹریس عدم مساوات وون نیومن کا ٹریس عدم مساوات نوٹ حوالہ جات بیرونی روابط لکیری الجبرا تھیوری میٹرکس ٹریس تھیوری