Maschke's theorem
ریاضی میں، ماسک کا نظریہ، جسے ہینرک ماسک کے نام سے موسوم کیا گیا ہے، گروپ کی نمائندگی کے نظریہ میں ایک نظریہ ہے جو ایک محدود گروپ کی نمائندگی کو ناقابل تلافی ٹکڑوں میں سڑنے سے متعلق ہے۔ ماسک کا نظریہ کسی کو محدود گروپ G کی نمائندگی کے بارے میں عمومی نتائج اخذ کرنے کی اجازت دیتا ہے بغیر ان کی اصل میں گنتی کیے۔ یہ تمام نمائندگی کی درجہ بندی کے کام کو ناقابل تلافی نمائندگی کی درجہ بندی کے زیادہ قابل انتظام کام میں کم کر دیتا ہے، کیونکہ جب نظریہ لاگو ہوتا ہے، تو کوئی بھی نمائندگی ناقابل تلافی ٹکڑوں (اجزاء) کا براہ راست مجموعہ ہوتا ہے۔ مزید برآں، یہ اردن-ہولڈر تھیوریم کی پیروی کرتا ہے کہ، اگرچہ ناقابل تلافی ذیلی نمائندگی کے براہ راست مجموعے میں سڑنا منفرد نہیں ہوسکتا ہے، لیکن ناقابل تلافی ٹکڑوں میں اچھی طرح سے طے شدہ ضرب ہوتی ہے۔ خاص طور پر، خصوصیت صفر کے میدان پر ایک محدود گروپ کی نمائندگی کا تعین آئسومورفزم تک اس کے کردار سے ہوتا ہے۔ فارمولیشنز ماسک کا تھیوریم اس سوال کو حل کرتا ہے: براہ راست سم آپریشن کا استعمال کرتے ہوئے ناقابل تلافی ذیلی نمائندگی سے ایک عمومی (محدود جہتی) نمائندگی کب بنائی جاتی ہے؟ یہ سوال (اور اس کا جواب) گروپ کی نمائندگی کے نظریہ پر مختلف نقطہ نظر کے لیے مختلف طریقے سے وضع کیا گیا ہے۔ گروپ تھیوریٹک ماسک کے تھیوریم کو عام طور پر مندرجہ ذیل نتیجہ کے نتیجے کے طور پر وضع کیا جاتا ہے: پھر نتیجہ یہ ہے کہ کسی گروپ کے پیچیدہ قدر والے کلاس افعال کی ویکٹر اسپیس میں ایک قدرتی-غیر متغیر اندرونی پروڈکٹ ڈھانچہ ہوتا ہے، جسے مضمون شور آرتھوگونالیٹی ریلیشنز میں بیان کیا گیا ہے۔ ماسک کے نظریہ کو اصل میں اس اندرونی پروڈکٹ کے تحت آرتھوگنل تکمیل کے طور پر تشکیل دے کر نمائندگی کے معاملے کے لیے ثابت کیا گیا تھا۔ ماڈیول تھیوریٹک محدود گروپوں کی نمائندگی کے طریقوں میں سے ایک ماڈیول تھیوری کے ذریعے ہے۔ کسی گروپ کی نمائندگی کو اس کے گروپ الجبرا پر ماڈیولز سے تبدیل کیا جاتا ہے (عین مطابق ہونے کے لیے، اور، کی نمائندگی کے زمرے کے درمیان زمروں کی ایک آئسومورفزم ہے)۔ ناقابل تلافی نمائشیں سادہ ماڈیولز سے مطابقت رکھتی ہیں۔ ماڈیول تھیوریٹک زبان میں، ماسک کا تھیوریم پوچھتا ہے: کیا ایک صوابدیدی ماڈیول نیم آسان ہے؟ اس تناظر میں، تھیوریم کو مندرجہ ذیل طور پر اصلاح کیا جا سکتا ہے: اس نتیجے کی اہمیت نیم سادہ رنگوں کے اچھی طرح سے تیار کردہ نظریہ سے پیدا ہوتی ہے، خاص طور پر، ان کی درجہ بندی جیسا کہ ویڈربرن-آرٹن تھیوریم نے دی ہے۔ پیچیدہ اعداد کا میدان کب ہے، اس سے پتہ چلتا ہے کہ الجبرا پیچیدہ میٹرکس الجبرا کی کئی نقلوں کا پروڈکٹ ہے، جو ہر ناقابل تلافی نمائندگی کے لیے ایک ہے۔ اگر فیلڈ کی خصوصیت صفر ہے، لیکن الجبرائی طور پر بند نہیں ہے، مثال کے طور پر اگر حقیقی یا عقلی اعداد کا فیلڈ ہے، تو کچھ زیادہ پیچیدہ بیان ہوتا ہے: گروپ الجبرا میٹرکس الجبرا کا پروڈکٹ ہے جو تقسیم کے بجتوں پر ہے۔ خلاصہ اوور کی ناقابل تلافی نمائندگی سے مطابقت رکھتے ہیں۔ کیٹیگری تھیوریٹک نیم سادہ زمروں کی زبان میں اصلاح شدہ، ماسک کے تھیوریم میں کہا گیا ہے کہ پروفز گروپ تھیوریٹک آئیے U، W کی تکمیل V کی ذیلی جگہ ہے۔ آئیے پروجیکشن فنکشن، یعنی کسی بھی چیز کے لیے۔ وضاحت کریں، جہاں کا مخفف ہے، W اور V پر G کی نمائندگی کے ساتھ۔ پھر، G کے ذریعہ نمائندگی کے تحت محفوظ کیا جاتا ہے: کسی کے لیے، اس کا مطلب یہ ہے کہ۔ لہذا آن کی پابندی بھی ایک نمائندگی ہے۔ تعریف کے مطابق، کسی کے لیے، تو، اور کسی کے لیے۔ اس طرح، اور۔ اس لیے۔ ماڈیول تھیوریٹک V کو K [G] ذیلی ماڈیول ہونے دیں۔ ہم ثابت کریں گے کہ V ایک براہ راست خلاصہ ہے۔ نقشے پر غور کریں پھر φ دوبارہ ایک پروجیکشن ہے: یہ واضح طور پر K-لکیری ہے، K [G] سے V کا نقشہ بناتا ہے، اور V پر شناخت کو شامل کرتا ہے (اس لیے، K [G] کو V پر نقشہ بناتا ہے)۔ مزید برآں ہمارے پاس ہے تو φ حقیقت میں K [G]-لکیری ہے۔ تقسیم کرنے والے لیما سے۔ اس سے ثابت ہوتا ہے کہ ہر ذیلی ماڈیول ایک براہ راست خلاصہ ہے، یعنی K [G] نیم سادہ ہے۔ الٹا بیان مندرجہ بالا ثبوت کا انحصار اس حقیقت پر ہے کہ K میں #G الٹا ہے۔ اس سے کوئی یہ پوچھنے پر مجبور ہو سکتا ہے کہ کیا ماسک کے نظریہ کا الٹا بھی ہے: اگر K کی خصوصیت G کی ترتیب کو تقسیم کرتی ہے، تو کیا اس کی پیروی ہوتی ہے کہ K [G] نیم آسان نہیں ہے؟ جواب ہاں میں ہے۔ ثبوت۔ وضاحت کے لیے۔ جانے دیں۔ پھر I ایک K [G]-ذیلی ماڈیول ہے۔ ہم ثابت کریں گے کہ K [G] کے ہر غیر معمولی ذیلی ماڈیول V کے لیے۔ فرض کریں کہ V دیا گیا ہے، اور V کا کوئی بھی غیر صفر عنصر ہے۔ اگر، دعوی فوری ہے۔ ورنہ، جانے دو۔ پھر اس طرح یہ I اور V دونوں کا ایک غیر صفر عنصر ہے۔ اس سے ثابت ہوتا ہے کہ V تمام V کے لیے I کی براہ راست تکمیل نہیں ہے، اس لیے K [G] نیم آسان نہیں ہے۔ غیر مثالیں تھیوریم کا اطلاق اس صورت پر نہیں ہو سکتا جہاں G لامحدود ہے، یا جب فیلڈ K میں خصوصیات ہیں جو #G کو تقسیم کرتی ہیں۔ مثال کے طور پر، لامحدود گروپ اور اس کی نمائندگی پر غور کریں۔ آئیے، ایک 1 جہتی ذیلی جگہ کے ذریعے پھیلا ہوا ہے۔ پھر W پر پابندی ایک معمولی ذیلی نمائندگی ہے۔ تاہم، ایسا کوئی U نہیں ہے کہ W، U دونوں کی ذیلی نمائندگی ہو اور: اس طرح کے کسی بھی U کو 1 جہتی ہونے کی ضرورت ہے، لیکن اس کے ذریعے محفوظ کسی بھی 1 جہتی ذیلی جگہ کو آئجین ویکٹر کے ذریعے پھیلایا جانا چاہیے، اور اس کے لیے واحد آئجین ویکٹر ہے۔ ایک پرائم p، اور گروپ، فیلڈ، اور اس کی نمائندگی پر غور کریں۔ سادہ حسابات سے پتہ چلتا ہے کہ یہاں کے لیے صرف ایک آئجین ویکٹر ہے، اس لیے اسی دلیل سے، کی 1 جہتی ذیلی نمائندگی منفرد ہے، اور اسے دو 1 جہتی ذیلی نمائندگی کے براہ راست مجموعے میں تحلیل نہیں کیا جا سکتا۔ حوالہ جات محدود گروپوں کی نمائندگی کا نظریہ گروپ تھیوری میں نظریات نمائندگی تھیوری میں نظریات