Negative binomial distribution
امکان کے نظریہ اور اعداد و شمار میں، منفی بائنومیل ڈسٹری بیوشن ایک مجرد امکان کی تقسیم ہے جو آزاد اور یکساں طور پر تقسیم شدہ برنولی ٹرائلز کے سلسلے میں ناکامیوں کی تعداد کا نمونہ بناتی ہے اس سے پہلے کہ ایک مخصوص (غیر بے ترتیب) کامیابی کی تعداد (ظاہر) واقع ہو۔ مثال کے طور پر، ہم ڈائی پر 6 کو رول کرنے کو کامیابی کے طور پر بیان کر سکتے ہیں، اور کسی دوسرے نمبر کو ناکامی کے طور پر رول کر سکتے ہیں، اور پوچھ سکتے ہیں کہ تیسری کامیابی () دیکھنے سے پہلے کتنے فیل رول ہوں گے۔ ایسی صورت میں، ظاہر ہونے والی ناکامیوں کی تعداد کی امکانات کی تقسیم ایک منفی بائنومیل تقسیم ہوگی۔ ایک متبادل تشکیل کل آزمائشوں کی تعداد (ناکامیوں کی تعداد کے بجائے) کا نمونہ بنانا ہے۔ درحقیقت، کامیابیوں کی ایک مخصوص (غیر بے ترتیب) تعداد (r) کے لیے، ناکامیوں کی تعداد (n − r) بے ترتیب ہوتی ہے کیونکہ کل آزمائش (n) بے ترتیب ہوتی ہیں۔ مثال کے طور پر، ہم منفی بائنومیل ڈسٹری بیوشن کو ان دنوں کی تعداد n (بے ترتیب) ماڈل کرنے کے لیے استعمال کر سکتے ہیں جو ایک مخصوص مشین کے ٹوٹنے سے پہلے کام کرتی ہے (r کے ذریعے متعین)۔ پاسکل تقسیم (بلیز پاسکل کے بعد) اور پولیا تقسیم (جارج پولیا کے لیے) منفی بائنومیل تقسیم کے خاص معاملات ہیں۔ انجینئروں، آب و ہوا کے ماہرین، اور دیگر کے درمیان ایک روایت یہ ہے کہ انٹیجر ویلیوڈ اسٹاپنگ ٹائم پیرامیٹر () کے معاملے کے لیے "منفی بائنومیل" یا "پاسکل" کا استعمال کیا جائے اور حقیقی ویلیوڈ کیس کے لیے "پولیا" کا استعمال کیا جائے۔ ٹورنیڈو پھیلنے جیسے متعلقہ مجرد واقعات کے واقعات کے لیے، پولیا کی تقسیم کو پوسن کے برعکس اوسط اور تغیر کو مختلف ہونے کی اجازت دے کر پوسن کی تقسیم سے زیادہ درست ماڈل دینے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ منفی بائنومیل تقسیم میں ایک تغیر ہوتا ہے، جس کی تقسیم کسی دیئے گئے اوسط کی حد میں پوئسون سے ملتی جلتی ہو جاتی ہے (یعنی۔ جب ناکامیاں تیزی سے کم ہوتی ہیں)۔ یہ تقسیم کو پوسن کی تقسیم کا ایک مفید حد سے زیادہ پھیلا ہوا متبادل بنا سکتا ہے، مثال کے طور پر پوسن رجعت کی مضبوط ترمیم کے لیے۔ وبائی امراض میں، اس کا استعمال متعدی بیماریوں کے لیے بیماری کی منتقلی کے ماڈل کے لیے کیا گیا ہے جہاں آگے کے انفیکشن کی ممکنہ تعداد فرد سے فرد اور ترتیب سے ترتیب میں کافی مختلف ہو سکتی ہے۔ زیادہ عام طور پر، یہ مناسب ہو سکتا ہے جہاں واقعات میں مثبت طور پر ارتباط شدہ واقعات ہوتے ہیں جو اس سے کہیں زیادہ بڑے تغیر کا سبب بنتے ہیں اگر واقعات آزاد تھے، ایک مثبت ہم آہنگی کی اصطلاح کی وجہ سے۔ "منفی بائنومیل" کی اصطلاح ممکنہ طور پر اس حقیقت کی وجہ سے ہے کہ تقسیم کے امکانی ماس فنکشن کے فارمولے میں ظاہر ہونے والا ایک مخصوص بائنومیل گتانک منفی نمبروں کے ساتھ زیادہ آسانی سے لکھا جا سکتا ہے۔ تعریف آزاد برنولی ٹرائلز کے سلسلے کا تصور کریں: ہر ٹرائل کے دو ممکنہ نتائج ہوتے ہیں جنہیں "کامیابی" اور "ناکامی" کہا جاتا ہے۔ ہر آزمائش میں کامیابی کا امکان ہے اور ناکامی کا امکان ہے۔ ہم اس ترتیب کا مشاہدہ اس وقت تک کرتے ہیں جب تک کہ پہلے سے طے شدہ تعداد میں کامیابیاں حاصل نہ ہو جائیں۔ پھر مشاہدہ شدہ ناکامیوں کی بے ترتیب تعداد، منفی بائنومیل (یا پاسکل) تقسیم کی پیروی کرتی ہے: امکان بڑے پیمانے پر فنکشن منفی بائنومیل تقسیم کا امکان بڑے پیمانے پر فنکشن ہے جہاں r کامیابیوں کی تعداد ہے، k ناکامیوں کی تعداد ہے، اور p ہر آزمائش پر کامیابی کا امکان ہے۔ یہاں، قوسین میں مقدار بائنومیل گتانک ہے، اور اس کے برابر ہے۔ k + r کے بجائے k + r − 1 ٹرائلز سے k ناکامیاں منتخب کی جاتی ہیں کیونکہ k + r ٹرائلز میں سے آخری تعریف کے مطابق کامیاب ہے۔ اس مقدار کو متبادل طور پر درج ذیل طریقے سے لکھا جا سکتا ہے، جس میں "منفی بائنومیل" کے نام کی وضاحت کی گئی ہے: نوٹ کریں کہ آخری اظہار اور بائنومیل سیریز کے ذریعے، ہر ایک کے لیے اور، اس لیے امکانی ماس فنکشن کی اصطلاحات درحقیقت نیچے کے طور پر ایک تک جمع ہو جاتی ہیں۔ امکانی ماس فنکشن کی مذکورہ تعریف کو سمجھنے کے لیے، نوٹ کریں کہ r کی کامیابیوں اور k کی ناکامیوں کی ہر مخصوص ترتیب کا امکان ہے، کیونکہ k + r آزمائشوں کے نتائج کو آزادانہ طور پر ہونا چاہیے۔ چونکہ rth کامیابی ہمیشہ آخر میں آتی ہے، اس لیے باقی k + r−1 آزمائشوں میں سے ناکامیوں کے ساتھ k آزمائشوں کا انتخاب کرنا باقی رہتا ہے۔ مندرجہ بالا بائنومیئل گتانک، اس کی مشترکہ تشریح کی وجہ سے، لمبائی k + r−1 کے ان تمام ترتیبات کی درست تعداد دیتا ہے۔ مجموعی تقسیم فنکشن مجموعی تقسیم فنکشن کا اظہار باقاعدہ نامکمل بیٹا فنکشن کے لحاظ سے کیا جا سکتا ہے: (یہ فارمولا وہی پیرامیٹرائزیشن استعمال کر رہا ہے جو مضمون کے ٹیبل میں ہے، جس میں r کامیابیوں کی تعداد، اور اوسط کے ساتھ ہے۔) اس کا اظہار بائنومیل ڈسٹری بیوشن کے مجموعی ڈسٹری بیوشن فنکشن کے لحاظ سے بھی کیا جا سکتا ہے: متبادل فارمولیشن کچھ ذرائع منفی بائنومیل ڈسٹری بیوشن کی وضاحت یہاں پرائمری سے قدرے مختلف طریقے سے کر سکتے ہیں۔ سب سے عام تغیرات وہ ہیں جہاں بے ترتیب متغیر X مختلف چیزوں کی گنتی کر رہا ہے۔ یہ تغیرات یہاں میز میں دیکھے جا سکتے ہیں: منفی بائنومیل تقسیم کی چار تعریفوں میں سے ہر ایک کا اظہار قدرے مختلف لیکن مساوی طریقوں سے کیا جا سکتا ہے۔ پہلی متبادل تشکیل محض بائنومیل گتانک کی مساوی شکل ہے، یعنی: دوسری متبادل تشکیل یہ تسلیم کرتے ہوئے اظہار کو کسی حد تک آسان بناتی ہے کہ آزمائشوں کی کل تعداد محض کامیابیوں اور ناکامیوں کی تعداد ہے، یعنی: یہ دوسری فارمولیشنز سمجھنے کے لیے زیادہ بدیہی ہو سکتی ہیں، تاہم وہ شاید کم عملی ہیں کیونکہ ان میں زیادہ اصطلاحات ہیں۔ وہ تعریف جہاں X، n آزمائشوں کی تعداد ہے جو r کامیابیوں کی دی گئی تعداد کے لیے ہوتی ہے، بنیادی تعریف سے ملتی جلتی ہے، سوائے اس کے کہ آزمائشوں کی تعداد ناکامیوں کی تعداد کے بجائے دی گئی ہے۔ یہ بے ترتیب متغیر کی قدر میں r کا اضافہ کرتا ہے، اس کی حمایت اور اوسط کو منتقل کرتا ہے۔ تعریف جہاں X، k کامیابیوں (یا n آزمائشوں) کی تعداد ہے جو r ناکامیوں کی دی گئی تعداد کے لیے ہوتی ہے، اس مضمون میں استعمال ہونے والی بنیادی تعریف سے ملتی جلتی ہے، سوائے اس کے کہ ناکامیوں اور کامیابیوں کی تعداد کو تبدیل کیا جاتا ہے جب اس بات پر غور کیا جاتا ہے کہ کیا شمار کیا جا رہا ہے اور کیا دیا گیا ہے۔ تاہم، نوٹ کریں کہ p اب بھی "کامیابی" کے امکان سے مراد ہے۔ منفی بائنومیل ڈسٹری بیوشن کی تعریف کو اس صورت تک بڑھایا جا سکتا ہے جہاں پیرامیٹر r مثبت حقیقی قدر حاصل کر سکتا ہے۔ اگرچہ "ناکامیوں" کی غیر عدد تعداد کا تصور کرنا ناممکن ہے، پھر بھی ہم اس کے امکانی ماس فنکشن کے ذریعے تقسیم کی باضابطہ طور پر وضاحت کر سکتے ہیں۔ تعریف کو حقیقی قدر والے (مثبت) r تک بڑھانے کا مسئلہ گاما فنکشن کی بنیاد پر بائنومیل گتانک کو اس کے حقیقی قدر والے ہم منصب تک بڑھانے پر منحصر ہے: اس اظہار کو اصل تعریف میں تبدیل کرنے کے بعد، ہم کہتے ہیں کہ X میں ایک منفی بائنومیل (یا پولیا) تقسیم ہے اگر اس میں امکانی ماس فنکشن ہے: یہاں r ایک حقیقی، مثبت نمبر ہے۔ منفی بائنومیل رجعت میں، تقسیم کو اس کے اوسط کے لحاظ سے متعین کیا جاتا ہے، جو اس کے بعد وضاحتی متغیرات سے متعلق ہوتا ہے جیسا کہ لکیری رجعت یا دیگر عمومی لکیری ماڈلز میں ہوتا ہے۔ اوسط m کے اظہار سے، کوئی حاصل کر سکتا ہے اور۔ پھر، ان تاثرات کو امکانی ماس فنکشن کے لیے ایک میں تبدیل کرنا جب r حقیقی قدر والا ہوتا ہے، تو امکان ماس فنکشن کے اس پیرامیٹریزیشن کو m کے لحاظ سے حاصل ہوتا ہے: تب تغیر کو اس طرح لکھا جا سکتا ہے۔ کچھ مصنفین سیٹ کرنے کو ترجیح دیتے ہیں، اور تغیر کو اس طرح ظاہر کرتے ہیں۔ اس تناظر میں، اور مصنف پر منحصر ہے، یا تو پیرامیٹر r یا اس کے باہمی α کو "منتشر پیرامیٹر"، "شکل پیرامیٹر" یا "کلسٹرنگ گتانک"، یا "ہیٹروجینیٹی" یا "جمع" پیرامیٹر کہا جاتا ہے۔ "جمع" کی اصطلاح خاص طور پر ماحولیات میں انفرادی حیاتیات کی گنتی بیان کرتے وقت استعمال ہوتی ہے۔ جمع کرنے والے پیرامیٹر r کی صفر کی طرف کمی حیاتیات کے بڑھتے ہوئے جمع ہونے سے مطابقت رکھتی ہے۔ لامحدود کی طرف r کا اضافہ جمع ہونے کی عدم موجودگی سے مطابقت رکھتا ہے، جیسا کہ پوئسون رجعت سے بیان کیا جا سکتا ہے۔ متبادل پیرامیٹرائزیشن بعض اوقات تقسیم کو اس کے اوسط μ اور تغیر σ2 کے لحاظ سے پیرامیٹرائز کیا جاتا ہے: مثالیں ہسپتال میں قیام کی لمبائی ہسپتال میں قیام کی لمبائی حقیقی دنیا کے اعداد و شمار کی ایک مثال ہے جسے منفی بائنومیل ریگریشن کے ذریعے منفی بائنومیل تقسیم کے ساتھ اچھی طرح سے ماڈل کیا جا سکتا ہے۔ چھٹے درجے کے فیلڈ ٹرپ کے لیے رقم اکٹھا کرنے کے لیے کینڈی بارز فروخت کرنے کے لیے کینڈی پیٹ کولس فروخت کرنا ضروری ہے۔ پیٹ کو (کسی حد تک سختی سے) گھر واپس نہیں آنا چاہیے جب تک کہ پانچ کینڈی بار فروخت نہ ہو جائیں۔ اس لیے بچہ گھر گھر جا کر کینڈی بار بیچتا ہے۔ ہر گھر میں، ایک کینڈی بار فروخت ہونے کا 0.6 امکان ہے اور کچھ بھی فروخت نہ ہونے کا 0.4 امکان ہے۔ نویں گھر میں آخری کینڈی بار فروخت کرنے کا امکان کیا ہے؟ کافی بار کینڈی کی کامیابی سے فروخت ہی ہمارے رکنے کے معیار کی وضاحت کرتی ہے (جیسا کہ اسے فروخت کرنے میں ناکامی کے برخلاف)، لہذا اس معاملے میں k ناکامیوں کی تعداد کی نمائندگی کرتا ہے اور r کامیابیوں کی تعداد کی نمائندگی کرتا ہے۔ یاد رکھیں کہ نیگبن (آر، پی) تقسیم آخری آزمائش پر کامیابی کے ساتھ کے + آر برنولی (پی) آزمائشوں میں کے ناکامیوں اور آر کی کامیابیوں کے امکان کو بیان کرتی ہے۔ پانچ کینڈی بار فروخت کرنے کا مطلب ہے پانچ کامیابیاں حاصل کرنا۔ آزمائشوں کی تعداد (یعنی۔ ہاؤسز) یہ لیتا ہے لہذا k + 5 = n ہے۔ بے ترتیب متغیر جس میں ہم دلچسپی رکھتے ہیں وہ ہاؤسز کی تعداد ہے، لہذا ہم k = n−5 کو نیگبن (5، 0.4) ماس فنکشن میں تبدیل کرتے ہیں اور ہاؤسز کی تقسیم کا مندرجہ ذیل ماس فنکشن حاصل کرتے ہیں (n ≤ 5 کے لیے): اس بات کا کیا امکان ہے کہ پیٹ دسویں ہاؤس پر ختم ہو جائے؟ اس بات کا کیا امکان ہے کہ پیٹ آٹھویں گھر پر یا اس سے پہلے ختم ہو جائے؟ آٹھویں گھر پر یا اس سے پہلے ختم کرنے کے لیے، پیٹ کو پانچویں، چھٹے، ساتویں یا آٹھویں گھر پر ختم کرنا ہوگا۔ ان امکانات کا خلاصہ کریں: اس بات کا کیا امکان ہے کہ پیٹ پڑوس میں کھڑے ہونے والے تمام 30 گھروں کو ختم کر دے؟ اس کا اظہار اس امکان کے طور پر کیا جا سکتا ہے کہ پیٹ تیسویں گھر کے ذریعے پانچویں پر ختم نہیں ہوتا ہے: اس کے بجائے زیادہ امکان کی وجہ سے کہ پیٹ ہر گھر (60 فیصد) کو فروخت کرے گا، اس کی اپنی جستجو کو پورا نہ کرنے کا امکان بہت کم ہے۔ خصوصیات کی توقع r کامیابیوں کو دیکھنے کے لیے درکار آزمائشوں کی متوقع کل تعداد ہے۔ اس طرح، ناکامیوں کی متوقع تعداد یہ قدر ہوگی، مائنس کامیابیاں: کامیابیوں کی توقع پیرامیٹرز کے ساتھ منفی بائنومیل تقسیم میں ناکامیوں کی متوقع کل تعداد r (1−p)/p ہے۔ اسے دیکھنے کے لیے تصور کریں کہ منفی بائنومیل کی تقلید کرنے والا تجربہ کئی بار کیا جاتا ہے۔ یعنی آزمائشوں کا ایک مجموعہ اس وقت تک انجام دیا جاتا ہے جب تک کہ کامیابیاں حاصل نہ ہو جائیں، پھر آزمائشوں کا ایک اور مجموعہ، اور پھر دوسرا وغیرہ۔ ہر تجربے میں انجام دی گئی آزمائشوں کی تعداد لکھیں: اور سیٹ کریں۔ اب ہم مجموعی طور پر کامیابیوں کی توقع کریں گے۔ فرض کریں کہ تجربہ بار بار کیا گیا تھا۔ پھر مجموعی طور پر کامیابیاں ہوتی ہیں۔ تو ہم توقع کریں گے، تو۔ دیکھیں کہ یہ فی تجربہ آزمائشوں کی اوسط تعداد ہے۔ "توقع" سے ہمارا یہی مطلب ہے۔ فی تجربہ ناکامیوں کی اوسط تعداد ہے۔ یہ اس صفحہ کے دائیں جانب والے خانے میں دیے گئے اوسط سے متفق ہے۔ منفی بائنومیل ڈسٹری بیوشن کو انتظار کے اوقات کے مجموعے کے طور پر پیش کرکے ایک سخت مشتق کیا جا سکتا ہے۔ چلو کنونشن کے ساتھ کامیابی سے پہلے مشاہدہ کردہ ناکامیوں کی تعداد کی نمائندگی کرتا ہے جس میں کامیابی کا امکان ہوتا ہے۔ اور جہاں کامیابی دیکھنے سے پہلے ناکامیوں کی تعداد کی نمائندگی کرتا ہے۔ ہم چھٹی اور چھٹی کامیابی کے درمیان انتظار کے وقت (ناکامیوں کی تعداد) کے طور پر سوچ سکتے ہیں۔ اس طرح اوسط وہ ہے جو حقیقت کے بعد آتا ہے۔ تغیر r-th کامیابی سے پہلے ناکامیوں کی تعداد کو گنتے وقت، تغیر r (1−p)/p2 ہوتا ہے۔ جب r-th ناکامی سے پہلے کی کامیابیوں کی تعداد کو شمار کرتے ہیں، جیسا کہ اوپر متبادل تشکیل (3) میں، تغیر rp/(1−p) 2 ہے۔ بائنومیل تھیوریم سے تعلق فرض کریں کہ Y ایک بے ترتیب متغیر ہے جس میں n اور p پیرامیٹرز کے ساتھ بائنومیل ڈسٹری بیوشن ہے۔ فرض کریں کہ p + q = 1، p، q ≤ 0 کے ساتھ، پھر نیوٹن کے بائنومیل تھیوریم کا استعمال کرتے ہوئے، اسے یکساں طور پر اس طرح لکھا جا سکتا ہے: جس میں خلاصہ کی اوپری حد لامحدود ہے۔ اس صورت میں، بائنومیل گتانک کی وضاحت اس وقت کی جاتی ہے جب n صرف ایک مثبت عدد کے بجائے ایک حقیقی عدد ہو۔ اب فرض کریں کہ r> 0 اور ہم ایک منفی ایکسپونینٹ استعمال کرتے ہیں: پھر تمام اصطلاحات مثبت ہیں، اور اصطلاح صرف امکان ہے کہ rth کامیابی سے پہلے ناکامیوں کی تعداد k کے برابر ہے، بشرطیکہ r ایک عدد ہو۔ (اگر r ایک منفی غیر عدد ہے، تاکہ ایکسپونینٹ ایک مثبت غیر عدد ہو، تو مندرجہ بالا رقم میں کچھ اصطلاحات منفی ہیں، لہذا ہمارے پاس تمام غیر منفی عددوں کے سیٹ پر امکان کی تقسیم نہیں ہے۔) اب ہم r کی غیر عدد اقدار کو بھی اجازت دیتے ہیں۔ پھر ہمارے پاس ایک مناسب منفی بائنومیل ڈسٹری بیوشن ہے، جو پاسکل ڈسٹری بیوشن کی عمومی شکل ہے، جو پاسکل ڈسٹری بیوشن کے ساتھ موافق ہوتی ہے جب r ایک مثبت عدد ہوتا ہے۔ اوپر سے یاد کریں کہ پیرامیٹر p کے لیے ایک ہی قدر کے ساتھ آزاد منفی-بائنوملی تقسیم شدہ بے ترتیب متغیر r1 اور r2 کا مجموعہ منفی-بائنوملی اسی p کے ساتھ تقسیم کیا جاتا ہے لیکن r-قدر r1 + r2 کے ساتھ۔ یہ خاصیت تب برقرار رہتی ہے جب تعریف کو اس طرح عام کیا جاتا ہے، اور یہ دیکھنے کا ایک تیز طریقہ فراہم کرتا ہے کہ منفی بائنومیل تقسیم لامحدود تقسیم ہے۔ تکرار کے تعلقات مندرجہ ذیل تکرار کے تعلقات رکھتے ہیں: امکانات کے بڑے پیمانے پر فعل کے لیے لمحات کے لیے جمع متعلقہ تقسیم کے لیے ہندسی تقسیم ({0,1,2,3,.} پر) منفی بائنومیل تقسیم کا ایک خاص معاملہ ہے، جس میں منفی بائنومیل تقسیم مجرد مرحلے کی قسم کی تقسیم کا ایک خاص معاملہ ہے۔ منفی بائنومیل ڈسٹری بیوشن مجرد مرکب پوئسون ڈسٹری بیوشن کا ایک خاص معاملہ ہے۔ منفی بائنومیل بے ترتیب متغیرات کی ایک ترتیب پر غور کریں جہاں رکنے والا پیرامیٹر r انفینیٹی پر جاتا ہے، جبکہ ہر آزمائش میں کامیابی کا امکان p ایک پر جاتا ہے، اس طرح سے کہ تقسیم کا اوسط برقرار رہے (یعنی۔ ناکامیوں کی متوقع تعداد) مستقل۔ اس معنی کو λ کے طور پر ظاہر کرتے ہوئے، پیرامیٹر p، p = r/(r + λ) ہوگا۔ اس پیرامیٹریزیشن کے تحت پروبیبلٹی ماس فنکشن ہوگا۔ دوسرے لفظوں میں، متبادل طور پر پیرامیٹرائزڈ منفی بائنومیل ڈسٹری بیوشن پوئیسن ڈسٹری بیوشن میں ضم ہو جاتی ہے اور r پوئیسن سے انحراف کو کنٹرول کرتا ہے۔ یہ منفی بائنومیل تقسیم کو پوئسون کے ایک مضبوط متبادل کے طور پر موزوں بناتا ہے، جو بڑے r کے لیے پوئسون کے قریب پہنچتا ہے، لیکن جس میں چھوٹے r کے لیے پوئسون سے بڑا تغیر ہوتا ہے۔ گاما-پوئسون مرکب منفی بائنومیل تقسیم بھی پوئسون کی تقسیم کے مسلسل مرکب کے طور پر پیدا ہوتی ہے (یعنی۔ ایک مرکب امکان کی تقسیم) جہاں پوسن کی شرح کی اختلاط کی تقسیم ایک گاما تقسیم ہے۔ یعنی، ہم منفی بائنومیل کو ایک تقسیم کے طور پر دیکھ سکتے ہیں، جہاں λ خود ایک بے ترتیب متغیر ہے، جسے گاما تقسیم کے طور پر تقسیم کیا گیا ہے جس کی شکل r اور پیمانے θ = یا اسی کے مطابق شرح β = ہے۔ اس بیان کے پیچھے وجدان کو ظاہر کرنے کے لیے، دو آزاد پوسن کے عمل، "کامیابی" اور "ناکامی" پر غور کریں، جن کی شدت p اور 1-p ہے۔ کامیابی اور ناکامی کے عمل ایک ساتھ شدت 1 کے ایک واحد پوسن کے عمل کے برابر ہیں، جہاں عمل کا واقعہ کامیاب ہوتا ہے اگر ایک متعلقہ آزاد سکہ ٹاس امکان p کے ساتھ سر پر آتا ہے ؛ بصورت دیگر، یہ ایک ناکامی ہے۔ اگر r ایک گنتی نمبر ہے، تو سکے کے ٹاس سے پتہ چلتا ہے کہ r ویں ناکامی سے پہلے کی کامیابیوں کی گنتی r اور p پیرامیٹرز کے ساتھ منفی بائنومیل تقسیم کی پیروی کرتی ہے۔ تاہم، گنتی ناکامی پوسن کے عمل میں r ویں واقعہ کے بے ترتیب وقت T پر کامیابی پوسن کے عمل کی گنتی بھی ہے۔ کامیابی کی گنتی اوسط پی ٹی کے ساتھ پوسن کی تقسیم کے بعد ہوتی ہے، جہاں ٹی شدت 1 − پی کے پوسن کے عمل میں آر کے واقعات کے لیے انتظار کا وقت ہے، یعنی ٹی کو شکل کے پیرامیٹر آر اور شدت 1 − پی کے ساتھ گاما تقسیم کیا جاتا ہے۔ اس طرح، منفی بائنومیل تقسیم اوسط پی ٹی کے ساتھ پوسن کی تقسیم کے برابر ہے، جہاں بے ترتیب قسم ٹی کو شکل کے پیرامیٹر آر اور شدت کے ساتھ گاما تقسیم کیا جاتا ہے۔ پچھلا پیراگراف مندرجہ ذیل ہے، کیونکہ λ = pT کو شکل کے پیرامیٹر r اور شدت کے ساتھ گاما تقسیم کیا گیا ہے۔ مندرجہ ذیل رسمی مشتق (جو کہ r کے گنتی نمبر ہونے پر منحصر نہیں ہے) وجدان کی تصدیق کرتا ہے۔ اس کی وجہ سے، منفی بائنومیل تقسیم کو گاما-پوسن (مرکب) تقسیم کے نام سے بھی جانا جاتا ہے۔ منفی بائنومیل تقسیم اصل میں گاما-پوسن کی تقسیم کے ایک محدود کیس کے طور پر اخذ کی گئی تھی۔ ہندسی طور پر تقسیم شدہ بے ترتیب متغیرات کے مجموعے کی تقسیم اگر Yr ایک بے ترتیب متغیر ہے جو منفی بائنومیل تقسیم کے بعد پیرامیٹرز r اور p کے ساتھ، اور سپورٹ {0,1,2,.} کے ساتھ ہے، تو Yr پیرامیٹر p کے ساتھ ہندسی تقسیم ({0,1,2,.} پر) کے بعد r آزاد متغیرات کا مجموعہ ہے۔ مرکزی حد تھیوریم کے نتیجے میں، Yr (مناسب طریقے سے اسکیل اور شفٹ) کافی بڑے r کے لیے تقریبا نارمل ہے۔ مزید برآں، اگر Bs + r پیرامیٹرز s + r اور p کے ساتھ بائنومیل تقسیم کے بعد ایک بے ترتیب متغیر ہے، تو اس لحاظ سے، منفی بائنومیل تقسیم بائنومیل تقسیم کا "الٹا" ہے۔ پیرامیٹر p کے لیے ایک ہی قدر کے ساتھ آزاد منفی-بائنوملی تقسیم شدہ بے ترتیب متغیر r1 اور r2 کا مجموعہ منفی-بائنوملی اسی p کے ساتھ تقسیم کیا جاتا ہے لیکن r-قدر r1 + r2 کے ساتھ۔ منفی بائنومیل ڈسٹری بیوشن لامحدود طور پر قابل تقسیم ہے، یعنی، اگر Y کی منفی بائنومیل ڈسٹری بیوشن ہے، تو کسی بھی مثبت عدد n کے لیے، آزاد یکساں طور پر تقسیم شدہ بے ترتیب متغیر Y1، Yn موجود ہے، جس کے مجموعے کی وہی تقسیم ہے جو Y کی ہے۔ مرکب پوسن کی تقسیم کے طور پر نمائندگی منفی بائنومیل تقسیم این بی (آر، پی) کو مرکب پوسن کی تقسیم کے طور پر پیش کیا جا سکتا ہے: آئیے آزاد اور یکساں طور پر تقسیم شدہ بے ترتیب متغیرات کی ترتیب کی نشاندہی کریں، ہر ایک میں لوگرتھمک سیریز کی تقسیم لاگ (پی) ہے، جس میں امکان بڑے پیمانے پر فنکشن ہے۔ آئیے این ایک بے ترتیب متغیر ہے، جو ترتیب سے آزاد ہے، اور فرض کریں کہ این میں اوسط کے ساتھ پوسن کی تقسیم ہے۔ پھر بے ترتیب رقم این بی (آر، پی)-تقسیم شدہ ہے۔ اس کو ثابت کرنے کے لیے، ہم X کے پروبیبلٹی جنریٹنگ فنکشن GX کا حساب لگاتے ہیں، جو پروبیبلٹی جنریٹنگ فنکشن GN اور GY1 کی ساخت ہے۔ استعمال کرتے ہوئے اور ہم حاصل کرتے ہیں جو کہ این بی (آر، پی) تقسیم کا امکان پیدا کرنے والا فنکشن ہے۔ مندرجہ ذیل جدول ڈرا کے سلسلے میں کامیابیوں کی تعداد سے متعلق چار تقسیموں کو بیان کرتا ہے: (a, b, 0) تقسیم کی کلاس منفی بائنومیل، پوئسون اور بائنومیل تقسیم کے ساتھ، تقسیم کی (a, b, 0) کلاس کا رکن ہے۔ یہ تینوں تقسیم پنجر کی تقسیم کے خصوصی معاملات ہیں۔ وہ ایک قدرتی متغیر خاندان کے بھی رکن ہیں۔ P کے لیے شماریاتی تخمینہ پیرامیٹر تخمینہ MVUE فرض کریں کہ p نامعلوم ہے اور ایک تجربہ کیا جاتا ہے جہاں وقت سے پہلے یہ فیصلہ کیا جاتا ہے کہ نمونے لینا اس وقت تک جاری رہے گا جب تک کہ r کامیابیاں نہ مل جائیں۔ تجربے کے لیے کافی اعداد و شمار k، ناکامیوں کی تعداد ہے۔ p کا تخمینہ لگانے میں، کم از کم تغیر غیر جانبدار تخمینہ زیادہ سے زیادہ امکانات کا تخمینہ ہوتا ہے جب r معلوم ہوتا ہے، تو p کا زیادہ سے زیادہ امکانات کا تخمینہ ہوتا ہے لیکن یہ ایک متعصبانہ تخمینہ ہے۔ تاہم اس کا الٹا (r + k)/r، 1/p کا غیر جانبدار تخمینہ ہے۔ جب r نامعلوم ہوتا ہے، تو p اور r کے لیے زیادہ سے زیادہ امکانات کا تخمینہ صرف ان نمونوں کے لیے موجود ہوتا ہے جن کے لیے نمونے کا تغیر نمونے کے اوسط سے بڑا ہوتا ہے۔ این آئی آئی ڈی مشاہدات (کے 1،.، کے این) کے لیے امکان فنکشن وہ ہے جس سے ہم لاگ-لیکلی ہڈ فنکشن کا حساب لگاتے ہیں۔ زیادہ سے زیادہ تلاش کرنے کے لیے ہم آر اور پی کے حوالے سے جزوی مشتقات لیتے ہیں اور انہیں صفر کے برابر مقرر کرتے ہیں: اور دگما فنکشن کہاں ہے۔ p کے لیے پہلی مساوات کو حل کرنے سے پتہ چلتا ہے: اسے دوسری مساوات میں تبدیل کرنے سے پتہ چلتا ہے: اس مساوات کو r کے لیے بند شکل میں حل نہیں کیا جا سکتا۔ اگر عددی حل مطلوب ہے، تو ایک تکراری تکنیک جیسے نیوٹن کا طریقہ استعمال کیا جا سکتا ہے۔ متبادل طور پر، توقع-زیادہ سے زیادہ الگورتھم استعمال کیا جا سکتا ہے۔ برنولی عمل میں واقعہ اور اطلاق انتظار کا وقت اس خاص صورت کے لیے جہاں r ایک عدد ہے، منفی بائنومیل تقسیم کو پاسکل تقسیم کے نام سے جانا جاتا ہے۔ یہ آزاد اور یکساں طور پر تقسیم شدہ برنولی آزمائشوں کے سلسلے میں ناکامیوں اور کامیابیوں کی ایک مخصوص تعداد کی امکانات کی تقسیم ہے۔ کامیابی کے امکان p کے ساتھ k + r برنولی ٹرائلز کے لیے، منفی بائنومیل k کی کامیابی اور r کی ناکامی کا امکان دیتا ہے، جس میں آخری ٹرائل میں ناکامی ہوتی ہے۔ دوسرے لفظوں میں، منفی بائنومیل تقسیم برنولی عمل میں rth ناکامی سے پہلے کامیابیوں کی تعداد کی امکانات کی تقسیم ہے، جس میں ہر مقدمے کی سماعت میں کامیابیوں کا امکان p ہوتا ہے۔ برنولی عمل ایک مجرد وقت کا عمل ہے، اور اس لیے آزمائشوں، ناکامیوں اور کامیابیوں کی تعداد انٹیجر ہوتی ہے۔ مندرجہ ذیل مثال پر نظر ڈالیں۔ فرض کریں کہ ہم بار بار ڈائی پھینکتے ہیں، اور 1 کو ناکامی سمجھتے ہیں۔ ہر آزمائش میں کامیابی کا امکان 5/6 ہے۔ تیسری ناکامی سے پہلے کامیابیوں کی تعداد کا تعلق لامحدود سیٹ {0,1,2,3,.} سے ہے۔ کامیابیوں کی یہ تعداد ایک منفی-بائنوملی تقسیم شدہ بے ترتیب متغیر ہے۔ جب r = 1 ہوتا ہے تو ہمیں پہلی ناکامی سے پہلے کامیابیوں کی تعداد کا امکان تقسیم ملتا ہے (یعنی۔ (کے + 1) ایس ٹی ٹرائل) پر ہونے والی پہلی ناکامی کا امکان، جو کہ ایک ہندسی تقسیم ہے: زیادہ پھیلا ہوا پوئسون منفی بائنومیل تقسیم، خاص طور پر اوپر بیان کردہ اس کے متبادل پیرامیٹرائزیشن میں، پوئسون تقسیم کے متبادل کے طور پر استعمال کیا جا سکتا ہے۔ یہ خاص طور پر ایک غیر محدود مثبت رینج پر مجرد ڈیٹا کے لیے مفید ہے جس کے نمونے کا تغیر نمونے کے اوسط سے زیادہ ہے۔ ایسے معاملات میں، مشاہدات کو پوسن کی تقسیم کے حوالے سے حد سے زیادہ پھیلایا جاتا ہے، جس کے لیے اوسط تغیر کے برابر ہوتا ہے۔ اس لیے پوئسون کی تقسیم ایک مناسب نمونہ نہیں ہے۔ چونکہ منفی بائنومیل ڈسٹری بیوشن میں پوئسون سے ایک اور پیرامیٹر ہوتا ہے، اس لیے دوسرا پیرامیٹر اوسط سے آزادانہ طور پر تغیر کو ایڈجسٹ کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ کچھ مجرد امکانات کی تقسیم کے مجموعے دیکھیں۔ اس کا اطلاق شمالی بحر اوقیانوس میں اشنکٹبندیی طوفانوں کی سالانہ گنتی یا یورپ میں موسم سرما کے غیر اشنکٹبندیی طوفانوں کی ماہانہ سے 6 ماہانہ گنتی پر ہوتا ہے، جس کے لیے فرق اوسط سے زیادہ ہے۔ معمولی حد سے زیادہ پھیلانے کی صورت میں، یہ حد سے زیادہ پھیلے ہوئے پوسن کی تقسیم سے کافی حد تک ملتے جلتے نتائج پیدا کر سکتا ہے۔ منفی بائنومیل ڈسٹری بیوشن عام طور پر ہائی تھرو پٹ آر این اے اور ڈی این اے سیکوینسنگ تجربات سے مجرد سیکوینس ریڈ کاؤنٹس کی شکل میں ڈیٹا ماڈل کرنے کے لیے بھی استعمال ہوتی ہے۔ کثیر الجہتی مشاہدات (طبیعیات) منفی بائنومیل تقسیم ذرہ تصادم کے تجربات میں کثیر الجہتی مشاہدات کی ایک وسیع رینج کے لیے سب سے موثر شماریاتی نمونہ رہا ہے، مثال کے طور پر، (جائزہ کے لیے دیکھیں)، اور مادے کی پیمانے کی غیر متغیر خاصیت ہونے کا استدلال کیا جاتا ہے، جو فلکیاتی مشاہدات کے لیے بہترین فٹ فراہم کرتا ہے، جہاں یہ خلا کے کسی خطے میں کہکشاؤں کی تعداد کی پیش گوئی کرتا ہے۔ 1973 میں ان کے پہلے مشاہدے کے بعد سے، ان سیاق و سباق میں منفی بائنومیل ڈسٹری بیوشن کی تاثیر کا فینومینولوجیکل جواز پچاس سالوں تک نامعلوم رہا۔ 2023 میں، پہلے اصولوں کے ثبوت کا بالآخر اسکاٹ وی تیزلاف نے مظاہرہ کیا، جہاں یہ دکھایا گیا کہ منفی بائنومیل تقسیم منکوسکی اسپیس میں ذرات کے کینونکل مجموعے کی متحرک مساوات میں ہم آہنگی سے ابھرتی ہے۔ موٹے طور پر، آزمائشوں کی متوقع تعداد اور کامیابیوں کی متوقع تعداد کو دیکھتے ہوئے، جہاں مساوات کے ایک آئسومورفک سیٹ کو بڑے ذرات کے کینونکل مجموعے کی رشتہ دار موجودہ کثافت کے پیرامیٹرز کے ساتھ شناخت کیا جا سکتا ہے، جہاں سے آرام کی کثافت ہے، رشتہ دار اوسط مربع کثافت ہے، رشتہ دار اوسط مربع موجودہ کثافت ہے، اور، جہاں ذرہ مجموعے کی اوسط مربع رفتار ہے اور روشنی کی رفتار ہے-اس طرح کہ کوئی مندرجہ ذیل متعینہ نقشہ قائم کر سکتا ہے: مندرجہ بالا خط و کتابت کا ایک سخت متبادل ثبوت بھی فین مین پاتھ انٹیگرل کے ذریعے کوانٹم میکانکس کے ذریعے دکھایا گیا ہے۔ تاریخ اس تقسیم کا سب سے پہلے 1713 میں پیئر ریمنڈ ڈی مونٹمورٹ نے اپنی مضمون ڈی اینالیس سر لیس جیکس ڈی ہیزارڈ میں مطالعہ کیا تھا، جیسا کہ ایک مقررہ تعداد میں کامیابیاں حاصل کرنے کے لیے ایک تجربے میں درکار آزمائشوں کی تعداد کی تقسیم۔ اس کا ذکر پہلے پاسکل نے کیا تھا۔ کوپن کلیکٹر کا مسئلہ بیٹا منفی بائنومیل ڈسٹری بیوشن توسیعی منفی بائنومیل ڈسٹری بیوشن پوائسن ڈسٹری بیوشن کمپاؤنڈ پوائسن ڈسٹری بیوشن ایکسپونینشیل فیملی منفی بائنومیل ریگریشن ویکٹر جنرلائزڈ لینیر ماڈل حوالہ جات مجرد تقسیم ایکسپونینشیل فیملی ڈسٹری بیوشن کمپاؤنڈ پروبیبلٹی ڈسٹری بیوشن فیکٹوریل اور بائنومیل موضوعات لامحدود تقسیم پذیر امکان کی تقسیم