Kobayashi metric
ریاضی اور خاص طور پر پیچیدہ جیومیٹری میں، کوبیاشی میٹرک ایک سڈومیٹرک ہے جو اندرونی طور پر کسی بھی پیچیدہ کئی گنا سے وابستہ ہے۔ اسے 1967 میں شوشیچی کوبیاشی نے متعارف کرایا تھا۔ کوبیاشی ہائپربولک کئی گنا پیچیدہ کئی گنا کی ایک اہم کلاس ہے، جس کی تعریف اس خاصیت سے ہوتی ہے کہ کوبیاشی سڈومیٹرک ایک میٹرک ہے۔ ایک پیچیدہ کئی گنا X کی کوبیاشی ہائپربولکٹی کا مطلب ہے کہ پیچیدہ لکیر C سے X تک کا ہر ہولومورفک نقشہ مستقل ہے۔ تعریف اس تصور کی ابتدا پیچیدہ تجزیے میں شوارز کے لیما میں ہے۔ یعنی، اگر f پیچیدہ اعداد C میں کھلی اکائی ڈسک D پر ایک ہولومورفک فنکشن ہے جیسے کہ f (0) = 0 اور |f (z) | <1 D میں تمام z کے لیے، تو مشتق f '(0) کی مطلق قیمت زیادہ سے زیادہ 1 ہے۔ زیادہ عام طور پر، کسی بھی ہولومورفک نقشے f کے لیے D سے خود تک (ضروری نہیں کہ 0 سے 0 بھیجے)، D کے کسی بھی نقطہ پر f کے مشتق کے لیے ایک زیادہ پیچیدہ اوپری حد ہوتی ہے۔ تاہم، باؤنڈ میں پوئن کیری میٹرک کے لحاظ سے ایک آسان تشکیل ہوتی ہے، جو کہ منحنی-1 (ہائپربولک پلین کے لیے آئسومیٹرک) کے ساتھ D پر ایک مکمل ریمینیائی میٹرک ہے۔ یعنی: D سے خود تک کا ہر ہولومورفک نقشہ D پر پوئن کیئر میٹرک کے حوالے سے فاصلہ کم کر رہا ہے۔ یہ پیچیدہ تجزیہ اور منفی منحنی خطوط کی جیومیٹری کے درمیان ایک مضبوط تعلق کا آغاز ہے۔ کسی بھی پیچیدہ جگہ X کے لیے (مثال کے طور پر ایک پیچیدہ کئی گنا)، کوبیاشی سڈومیٹرک dX کو X پر سب سے بڑے سڈومیٹرک کے طور پر بیان کیا گیا ہے، جیسے کہ یونٹ ڈسک D سے X تک کے تمام ہولومورفک نقشوں کے لیے f، جہاں D پر پوئنکیری میٹرک میں فاصلے کی نشاندہی کرتا ہے۔ ایک لحاظ سے، یہ فارمولا شوارز کے لیما کو تمام پیچیدہ خالی جگہوں پر عام کرتا ہے ؛ لیکن یہ اس معنی میں خالی ہو سکتا ہے کہ کوبیاشی سڈومیٹرک dX یکساں طور پر صفر ہو سکتا ہے۔ مثال کے طور پر، یہ یکساں طور پر صفر ہوتا ہے جب X پیچیدہ لکیر C ہوتی ہے۔ (ایسا اس لیے ہوتا ہے کیونکہ C من مانی طور پر بڑی ڈسکس پر مشتمل ہوتا ہے، ہولومورفک نقشوں کی تصاویر f: D → C من مانی طور پر بڑے مثبت اعداد a کے لیے f (z) = az کے ذریعے دی گئی ہیں۔) ایک پیچیدہ جگہ X کو کوبیاشی ہائپربولک کہا جاتا ہے اگر کوبیاشی سڈومیٹرک dX ایک میٹرک ہے، جس کا مطلب ہے کہ x میں تمام x  ऒत्त y کے لیے dX (x, y)> 0 ہے۔ غیر رسمی طور پر، اس کا مطلب یہ ہے کہ X میں ہولومورفک طور پر نقشہ سازی کرنے والی ڈسکس کے سائز پر ایک حقیقی پابند ہے۔ ان اصطلاحات میں، شوارز کا لیما کہتا ہے کہ یونٹ ڈسک D کوبیاشی ہائپربولک ہے، اور زیادہ واضح طور پر یہ کہ D پر کوبیاشی میٹرک بالکل پوائنکیری میٹرک ہے۔ یہ نظریہ مزید دلچسپ ہو جاتا ہے کیونکہ کوبیاشی ہائپربولک کئی گنا کی مزید مثالیں ملتی ہیں۔ (کوبیاشی ہائپربولک کئی گنا ایکس کے لیے، کوبیاشی میٹرک ایک میٹرک ہے جس کا تعین اندرونی طور پر ایکس کی پیچیدہ ساخت سے ہوتا ہے۔ یہ بالکل واضح نہیں ہے کہ ایسا کبھی ہونا چاہیے۔ مثبت جہت کے حقیقی کئی گنا میں اس لحاظ سے کبھی بھی کوئی اندرونی میٹرک نہیں ہوتا ہے، کیونکہ اس کا ڈفیومورفزم گروپ اس کی اجازت دینے کے لیے بہت بڑا ہے۔) مثالیں پیچیدہ خالی جگہوں کا ہر ہولومورفک نقشہ f: X → Y X اور Y کے کوبیاشی سڈومیٹرکس کے حوالے سے فاصلہ کم کر رہا ہے۔ اس کے بعد یہ ہوتا ہے کہ اگر ایک پیچیدہ جگہ Y میں دو نکات p اور q کو ہولومورفک نقشوں C → Y کی زنجیر سے جوڑا جا سکتا ہے، تو اس dC کا استعمال کرتے ہوئے dY (p, q) = 0 یکساں طور پر صفر ہے۔ اس سے پیچیدہ کئی گنا کی بہت سی مثالیں ملتی ہیں جن کے لیے کوبیاشی سڈومیٹرک یکساں طور پر صفر ہے: پیچیدہ پروجیکٹو لائن CP1 یا زیادہ عام طور پر پیچیدہ پروجیکٹو اسپیس CPn، C− {0} (ایکسپونینشل فنکشن C → C− {0} کا استعمال کرتے ہوئے)، ایک الپٹک وکر، یا زیادہ عام طور پر ایک کمپیکٹ کمپلیکس ٹورس۔ کوبیاشی ہائپربولکٹی کو کھلی ذیلی سیٹوں یا بند پیچیدہ ذیلی جگہوں تک گزرنے کے تحت محفوظ کیا جاتا ہے۔ اس کے بعد، مثال کے طور پر، کہ Cn میں کوئی بھی باؤنڈڈ ڈومین ہائپربولک ہے۔ ایک پیچیدہ جگہ کوبیاشی ہائپربولک ہوتی ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب اس کی عالمگیر احاطہ کی جگہ کوبیاشی ہائپربولک ہو۔ یہ ہائپربولک پیچیدہ منحنی خطوط کی بہت سی مثالیں دیتا ہے، کیونکہ یکسانیت کے نظریہ سے پتہ چلتا ہے کہ زیادہ تر پیچیدہ منحنی خطوط (جسے ریمن سطح بھی کہا جاتا ہے) ڈسک D کے لیے عالمگیر کور آئسومورفک ہوتے ہیں۔ خاص طور پر، جینس کا ہر کمپیکٹ پیچیدہ منحنی خطوط کم از کم 2 ہائپربولک ہوتا ہے، جیسا کہ C میں 2 یا اس سے زیادہ پوائنٹس کی تکمیل ہوتی ہے۔ بنیادی نتائج کوبیاشی ہائپربولک اسپیس X کے لیے، ہر ہولومورفک نقشہ C → X مستقل ہوتا ہے، کوبیاشی سڈومیٹرک کی فاصلے کو کم کرنے والی خاصیت کے لحاظ سے۔ یہ اکثر ہائپربولکٹی کا سب سے اہم نتیجہ ہوتا ہے۔ مثال کے طور پر، یہ حقیقت کہ C مائنس 2 پوائنٹس ہائپربولک ہیں، پکارڈ کے نظریہ کو ظاہر کرتی ہے کہ کسی بھی غیر مستقل پورے فنکشن C → C کی شبیہہ C کے زیادہ سے زیادہ ایک نقطہ پر چھوٹ جاتی ہے۔ نیوانلننا نظریہ پکارڈ کے نظریہ کی زیادہ مقداری نسل ہے۔ بروڈی کا نظریہ کہتا ہے کہ ایک کمپیکٹ کمپلیکس اسپیس X کوبیاشی ہائپربولک ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب ہر ہولومورفک نقشہ C → X مستقل ہو۔ ایک درخواست یہ ہے کہ ہائپربولکٹی ایک کھلی حالت ہے (یوکلڈین ٹوپولوجی میں) کمپیکٹ پیچیدہ خالی جگہوں کے خاندانوں کے لیے۔ مارک گرین نے ایک کمپیکٹ کمپلیکس ٹورس کے بند کمپلیکس سب اسپیس X کے لیے ہائپربولکٹی کی خصوصیت کے لیے بروڈی کی دلیل کا استعمال کیا: X ہائپربولک ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب اس میں مثبت جہتی ذیلی کورس کا کوئی ترجمہ نہ ہو۔ اگر ایک پیچیدہ کئی گنا X میں ہرمیٹین میٹرک ہے جس کے اوپر ہولومورفک سیکشنل منحنی خطوط منفی مستقل سے جڑے ہوئے ہیں، تو X کوبیاشی ہائپربولک ہے۔ طول و عرض 1 میں، اسے احلفورس-شوارز لیما کہا جاتا ہے۔ گرین-گریفتھس-لینگ قیاس مندرجہ بالا نتائج ایک مکمل وضاحت دیتے ہیں کہ پیچیدہ طول و عرض 1 میں کون سے پیچیدہ کئی گنا کوبیاشی ہائپربولک ہیں۔ تصویر اعلی طول و عرض میں کم واضح ہے۔ ایک مرکزی کھلا مسئلہ گرین-گریفتھس-لینگ قیاس ہے: اگر X عام قسم کی ایک پیچیدہ پروجیکٹو قسم ہے، تو وہاں ایک بند الجبرائی ذیلی سیٹ Y ہونا چاہیے جو X کے برابر نہ ہو تاکہ ہر غیر مستقل ہولومورفک نقشہ C → X Y میں نقشہ بن جائے۔ کلیمینس اور وائسن نے دکھایا کہ کم از کم 2 کے لیے، CPn + 1 میں کم از کم 2n + 1 ڈگری میں ایک بہت ہی عام ہائپر سرفیس X کی خاصیت ہے کہ X کی ہر بند ذیلی قسم عام قسم کی ہے۔ ("بہت عام" کا مطلب یہ ہے کہ اس طرح کے تمام ہائپر سرفیس کے پروجیکٹو اسپیس کے نچلے جہتی الجبرائی ذیلی سیٹوں کے قابل گنتی اتحاد سے باہر ڈگری ڈی کے تمام ہائپر سرفیس کے لیے خاصیت ہے۔) نتیجے کے طور پر، گرین-گریفتھس-لینگ قیاس کا مطلب یہ ہوگا کہ کم از کم 2n + 1 ڈگری کا ایک بہت ہی عام ہائپر سرفیس کوبیاشی ہائپربولک ہے۔ نوٹ کریں کہ کوئی بھی کسی دی گئی ڈگری کے تمام ہموار ہائپر سرفیس کے ہائپربولک ہونے کی توقع نہیں کر سکتا، مثال کے طور پر کیونکہ کچھ ہائپر سرفیس لائنوں پر مشتمل ہوتے ہیں (CP1 کے لیے آئسومورفک)۔ اس طرح کی مثالیں گرین-گریفتھس-لینگ قیاس میں ذیلی سیٹ Y کی ضرورت کو ظاہر کرتی ہیں۔ ہائپربولکٹی پر قیاس آرائی کافی زیادہ ڈگری کے ہائپر سرفیس کے لیے جانا جاتا ہے، جس کی بدولت جیٹ تفریق کی تکنیک کا استعمال کرتے ہوئے سیو، ڈیمیللی اور دیگر کی طرف سے پیشرفت کا ایک سلسلہ ہے۔ مثال کے طور پر، ڈیوریو، مرکر اور روسو نے دکھایا کہ کم از کم 2n5 ڈگری کے CPn + 1 میں ایک عام ہائپر سرفیس گرین-گریفتھس-لینگ قیاس کو مطمئن کرتا ہے۔ ("عام" کا مطلب یہ ہے کہ یہ اس طرح کے تمام ہائپر سرفیس کے پروجیکٹو اسپیس کے نچلے جہتی الجبرائی ذیلی سیٹوں کے محدود اتحاد سے باہر دی گئی ڈگری کے تمام ہائپر سرفیس کے لیے ہے۔) 2016 میں، بروٹ بیک نے اعلی درجے کے عمومی ہائپر سرفیس کی ہائپربولکٹی کے لیے کوبیاشی قیاس آرائی کا ثبوت دیا، جو کہ ورنسکیئن تفریق مساوات کے استعمال پر مبنی ہے۔ اس کے بعد یا ڈینگ اور ڈیمیللی نے صوابدیدی طول و عرض میں واضح ڈگری حدود حاصل کی ہیں، مثال کے طور پر۔ [(en) 2n + 2/3] مؤخر الذکر کے ذریعہ۔ ڈگری کے لیے بہتر حدود کم جہتوں میں معلوم ہوتی ہیں۔ میک کویلن نے عام قسم کی ہر پیچیدہ پروجیکٹو سطح کے لیے گرین-گریفتھ-لینگ قیاس کو ثابت کیا جس کے چرن نمبر c12> c2 کو مطمئن کرتے ہیں۔ عام قسم کی صوابدیدی قسم X کے لیے، ڈیمیللی نے دکھایا کہ ہر ہولومورفک نقشہ C → X کچھ (درحقیقت، بہت سی) الجبرائی تفریق مساوات کو مطمئن کرتا ہے۔ مخالف سمت میں، کوبیاشی نے قیاس کیا کہ کوبیاشی سڈومیٹرک کالابی-یو کئی گنا کے لیے یکساں طور پر صفر ہے۔ یہ K3 سطحوں کے معاملے میں درست ہے، اس کا استعمال کرتے ہوئے کہ ہر پروجیکٹو K3 سطح الپٹک منحنی خطوط کے خاندان سے ڈھکی ہوئی ہے۔ زیادہ عام طور پر، کیمپانا نے ایک عین مطابق قیاس کیا کہ کون سی پیچیدہ پروجیکٹو اقسام X میں کوبیاشی سڈومیٹرک صفر کے برابر ہے۔ یعنی، یہ X کے اس لحاظ سے خاص ہونے کے برابر ہونا چاہیے کہ X میں عام قسم کے مثبت جہتی مدار پر کوئی عقلی ریشے نہیں ہیں۔ نمبر تھیوری کے ساتھ مشابہت ایک پروجیکٹو قسم X کے لیے، ہولومورفک نقشوں C → X کے مطالعہ میں X کے عقلی نکات کے مطالعہ کے ساتھ کچھ مشابہت ہے، جو نمبر تھیوری کا ایک مرکزی موضوع ہے۔ ان دونوں مضامین کے درمیان تعلق پر کئی قیاس آرائیاں ہیں۔ خاص طور پر، X کو نمبر فیلڈ k پر ایک پروجیکٹو قسم ہونے دیں۔ k کو C میں شامل کرنے کو درست کریں۔ پھر لینگ نے اندازہ لگایا کہ پیچیدہ کئی گنا X (C) کوبیاشی ہائپربولک ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب X کے پاس k کے ہر محدود توسیعی فیلڈ F کے لیے صرف محدود طور پر بہت سے F-عقلی پوائنٹس ہوں۔ یہ عقلی نکات پر معلوم نتائج کے مطابق ہے، خاص طور پر ابیلین اقسام کی ذیلی اقسام پر فالٹنگز تھیوریم۔ مزید واضح طور پر، X کو نمبر فیلڈ k پر عمومی قسم کی ایک پروجیکٹو قسم ہونے دیں۔ غیر معمولی سیٹ Y کو تمام غیر مستقل ہولومورفک نقشوں C → X کی تصاویر کے اتحاد کا زرسکی بندش ہونے دیں۔ گرین-گریفتھس-لینگ قیاس کے مطابق، Y کو X کا ایک مناسب بند ذیلی مجموعہ ہونا چاہیے (اور، خاص طور پر، X کے برابر نہیں ہونا چاہیے)۔ مضبوط لینگ قیاس پیش گوئی کرتا ہے کہ Y کی تعریف k پر کی گئی ہے اور یہ کہ X−Y کے پاس k کے ہر محدود توسیعی فیلڈ F کے لیے صرف بہت سے F-عقلی پوائنٹس ہیں۔ اسی روح میں، ایک نمبر فیلڈ k پر ایک پروجیکٹو قسم X کے لیے (یا، زیادہ عام طور پر، خصوصیت صفر کا ایک حتمی طور پر تیار کردہ فیلڈ k)، کیمپانا نے قیاس کیا کہ X (C) کا کوبیاشی سڈومیٹرک یکساں طور پر صفر ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب X کے ممکنہ طور پر گھنے عقلی پوائنٹس ہوں، جس کا مطلب ہے کہ k کا ایک محدود توسیعی فیلڈ F ہے کہ F-عقلی پوائنٹس کا سیٹ X (F) X میں زرسکی گھنے ہے۔ متغیرات کیریتھیوڈری میٹرک پیچیدہ کئی گنا پر ایک اور اندرونی سڈومیٹرک ہے۔ کوبیاشی انفنٹیسیمل سیڈومیٹرک ایک فنسلر سیڈومیٹرک ہے جس سے وابستہ فاصلہ فنکشن کوبیاشی سیڈومیٹرک ہے جیسا کہ اوپر بیان کیا گیا ہے۔ کوبیاشی-آئزن مین چھدم حجم کی شکل ایک پیچیدہ این-فولڈ پر ایک اندرونی پیمائش ہے، جو این-جہتی پولی ڈسک سے ایکس تک ہولومورفک نقشوں پر مبنی ہے۔ یہ کوبیاشی سڈومیٹرک سے بہتر سمجھا جاتا ہے۔ خاص طور پر، عام قسم کی ہر پروجیکٹو قسم پیمائش-ہائپربولک ہے، جس کا مطلب ہے کہ کوبیاشی-آئزنمین چھدم حجم کی شکل کم جہتی الجبرائی ذیلی سیٹ کے باہر مثبت ہے۔ فلیٹ افائن اور پروجیکٹو ڈھانچوں کے ساتھ ساتھ زیادہ عام پروجیکٹو کنکشنز اور کنفارمل کنکشنز کے لیے اینالاگس سیڈومیٹریکس پر غور کیا گیا ہے۔ نوٹ حوالہ جات الجبرائی جیومیٹری کمپلیکس کئی گنا