Cusp neighborhood
ریاضی میں، ایک چوٹی کے پڑوس کو چوٹی کی انفرادیت کے قریب پوائنٹس کے ایک سیٹ کے طور پر بیان کیا جاتا ہے۔ ریمن کی سطح کے لیے کسپ پڑوس ہائپربولک ریمن کی سطح کے لیے کسپ پڑوس کی تعریف اس کے فوچیان ماڈل کے لحاظ سے کی جا سکتی ہے۔ فرض کریں کہ فوچیان گروپ G ایک پیرابولک عنصر g پر مشتمل ہے۔ مثال کے طور پر، عنصر t bul SL (2، Z) جہاں ایک پیرابولک عنصر ہے۔ نوٹ کریں کہ ایس ایل (2، سی) کے تمام پیرابولک عناصر اس عنصر سے مربوط ہیں۔ یعنی، اگر g ω SL (2، Z) پیرابولک ہے، تو کچھ h ω SL (2، Z) کے لیے۔ وہ سیٹ جہاں H اوپری نصف طیارہ ہے کسی بھی جگہ کے لیے سمجھا جاتا ہے کہ اس کا مطلب g سے پیدا ہونے والا گروپ ہے۔ یعنی، γ U پر مناسب طریقے سے غیر متزلزل طور پر کام کرتا ہے۔ اس کی وجہ سے، یہ دیکھا جا سکتا ہے کہ H/G پر U کا پروجیکشن اس طرح ہے۔ یہاں، E کو g کے مطابق کسپ کا پڑوس کہا جاتا ہے۔ نوٹ کریں کہ E کا ہائپربولک رقبہ بالکل 1 ہے، جب کینونکل پوائنکیری میٹرک کا استعمال کرتے ہوئے شمار کیا جاتا ہے۔ یہ سب سے زیادہ آسانی سے مثال سے دیکھا جاتا ہے: ماڈیولر گروپ کے بنیادی ڈومین کے ساتھ اوپر بیان کردہ U کے چوراہے پر غور کریں، جیسا کہ پیرابولک عنصر کے طور پر T کے انتخاب کے لیے مناسب ہوگا۔ جب حجم عنصر پر مربوط کیا جاتا ہے تو نتیجہ معمولی طور پر 1 ہوتا ہے۔ کنجگیشن کے تحت علاقے کے غیر متغیر ہونے کی وجہ سے تمام کاسپ محلوں کے علاقے اس کے برابر ہوتے ہیں۔ حوالہ جات ہائپربولک جیومیٹری ریمن سطحیں