Plancherel measure
ریاضی میں، پلانچریل پیمائش ایک پیمائش ہے جس کی وضاحت مقامی طور پر کمپیکٹ گروپ کی ناقابل تلافی یک جہتی نمائندگی کے سیٹ پر کی گئی ہے، جو یہ بیان کرتی ہے کہ باقاعدہ نمائندگی کس طرح ناقابل تلافی یک جہتی نمائندگی میں ٹوٹ جاتی ہے۔ بعض صورتوں میں پلانچریل پیمائش کی اصطلاح کا اطلاق خاص طور پر اس تناظر میں کیا جاتا ہے کہ گروپ محدود سمیٹرک گروپ ہے-نیچے دیکھیں۔ اس کا نام نمائندگی کے نظریہ میں ان کے کام کے لیے سوئس ریاضی دان مشیل پلانچریل کے نام پر رکھا گیا ہے۔ محدود گروپوں کی تعریف ایک محدود گروپ ہونے دیں، ہم اس کی ناقابل تلافی نمائندگی کے سیٹ کو اس کے ذریعے ظاہر کرتے ہیں۔ سیٹ پر متعلقہ پلانچریل پیمائش کی وضاحت کہاں سے کی جاتی ہے، اور ناقابل تلافی نمائندگی کے طول و عرض کی نشاندہی کرتی ہے۔ سمیٹرک گروپ پر تعریف ایک اہم خاص معاملہ محدود سمیٹرک گروپ کا معاملہ ہے، جہاں ایک مثبت عدد ہے۔ اس گروپ کے لیے، ناقابل تلافی نمائندگی کا مجموعہ قدرتی بائیجیکشن میں انٹیجر پارٹیشن کے سیٹ کے ساتھ ہوتا ہے۔ انٹیجر پارٹیشن سے وابستہ ایک ناقابل تلافی نمائندگی کے لیے، اس کا طول و عرض شکل کی معیاری نوجوان جھانکیوں کی تعداد کے برابر جانا جاتا ہے، لہذا اس معاملے میں پلانچریل پیمائش کو اکثر دی گئی ترتیب n کے انٹیجر پارٹیشنز کے سیٹ پر ایک پیمائش کے طور پر سمجھا جاتا ہے، اس حقیقت کے مطابق کہ ان امکانات کا مجموعہ 1 تک ہوتا ہے جو رابنسن-شینسٹڈ خط و کتابت کی متعصبانہ نوعیت سے مطابقت رکھتا ہے۔ ایپلیکیشن پلانچریل پیمائش قدرتی طور پر مشترکہ اور ممکنہ مسائل میں ظاہر ہوتی ہے، خاص طور پر بے ترتیب ترتیب کے طویل ترین بڑھتے ہوئے تسلسل کے مطالعہ میں۔ اس شعبے میں اس کی اہمیت کے نتیجے میں، بہت سے موجودہ تحقیقی مقالے میں پلانچریل پیمائش کی اصطلاح تقریبا خصوصی طور پر سمیٹرک گروپ کے معاملے سے مراد ہے۔ سب سے طویل بڑھتے ہوئے تسلسل سے تعلق آئیے یکساں تقسیم کے مطابق منتخب کردہ بے ترتیب ترتیب کے سب سے طویل بڑھتے ہوئے تسلسل کی لمبائی کی نشاندہی کریں۔ آئیے رابنسن-شینسٹڈ خط و کتابت سے متعلق متعلقہ نوجوان جھانکیوں کی شکل کی نشاندہی کریں۔ پھر درج ذیل شناخت ہوتی ہے: جہاں کی پہلی قطار کی لمبائی کو ظاہر کرتا ہے۔ مزید برآں، اس حقیقت سے کہ رابنسن-شینسٹڈ خط و کتابت متعصبانہ ہے، اس سے یہ نتیجہ نکلتا ہے کہ اس کی تقسیم بالکل پلانچریل پیمائش ہے۔ لہذا، کے رویے کو سمجھنے کے لیے، پلانچریل پیمائش کے مطابق منتخب کردہ کے ساتھ دیکھنا فطری ہے، کیونکہ ان دونوں بے ترتیب متغیرات میں امکان کی تقسیم ایک جیسی ہے۔ ہر عدد کے لیے پوئسونیزڈ پلانچریل پیمائش پلانچریل پیمائش کی وضاحت کی گئی ہے۔ اس کے غیر علامتی رویے کے مختلف مطالعات میں، پیمائش کو ایک پیمائش تک بڑھانا مفید ثابت ہوا ہے، جسے پوئسونیزڈ پلانچریل پیمائش کہا جاتا ہے، تمام انٹیجر پارٹیشنز کے سیٹ پر۔ کسی بھی چیز کے لیے، سیٹ پر پیرامیٹر کے ساتھ پوئسونیزڈ پلانچریل پیمائش کو سب کے لیے بیان کیا جاتا ہے۔ پلانچیرل گروتھ کا عمل پلانچیرل گروتھ کا عمل نوجوان خاکے کی ایک بے ترتیب ترتیب ہے جس میں ہر ایک ترتیب کا ایک بے ترتیب نوجوان خاکہ ہے جس کی امکانات کی تقسیم n ویں پلانچیرل پیمائش ہے، اور ہر یکے بعد دیگرے کو اس کے پیشرو سے ایک باکس کے اضافے سے حاصل کیا جاتا ہے، جو بالترتیب کسی بھی نوجوان خاکے اور سائز n−1 اور n کے منتقلی کے امکان کے مطابق ہوتا ہے۔ لہذا، پلانچریل گروتھ کے عمل کو تمام ہم آہنگ گروپوں کے مختلف پلانچریل اقدامات کے قدرتی جوڑے کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے، یا متبادل طور پر ینگ کی جالی پر بے ترتیب چہل قدمی کے طور پر۔ یہ دکھانا مشکل نہیں ہے کہ اس چہل قدمی میں امکانات کی تقسیم پلانچریل پیمائش کے ساتھ موافق ہے۔ کمپیکٹ گروپس کمپیکٹ گروپس کے لیے پلانچریل پیمائش محدود گروپس کے لیے اسی طرح کی ہوتی ہے، سوائے اس کے کہ پیمائش محدود ہونے کی ضرورت نہیں ہے۔ یک جہتی دوہری محدود جہتی نمائندگی کا ایک مجرد مجموعہ ہے، اور ایک ناقابل تلافی محدود جہتی نمائندگی کی پلانچریل پیمائش اس کے طول و عرض کے متناسب ہے۔ ابیلین گروپ مقامی طور پر کمپیکٹ ابیلین گروپ کا یکطرفہ دوہری ایک اور مقامی طور پر کمپیکٹ ابیلین گروپ ہے، اور پلانچریل پیمائش دوہری گروپ کی ہار پیمائش کے متناسب ہے۔ سیمی سمپل لائی گروپس سیمی سمپل لائی گروپس کے لیے پلانچریل پیمائش ہریش چندرا نے دریافت کی تھی۔ سپورٹ مزاج کی نمائندگی کا مجموعہ ہے، اور خاص طور پر سپورٹ میں تمام یکطرفہ نمائندگی کی ضرورت نہیں ہے۔ حوالہ جات کی نمائندگی کا نظریہ