Monotonic function
ریاضی میں، مونوٹونک فنکشن (یا مونوٹون فنکشن) ترتیب شدہ سیٹوں کے درمیان ایک فنکشن ہے جو دی گئی ترتیب کو محفوظ یا الٹ دیتا ہے۔ یہ تصور سب سے پہلے کیلکولس میں پیدا ہوا، اور بعد میں آرڈر تھیوری کی زیادہ تجریدی ترتیب میں عام کیا گیا۔ کیلکولس اور تجزیہ میں، حقیقی اقدار کے ساتھ حقیقی اعداد کے ذیلی سیٹ پر بیان کردہ فنکشن کو مونوٹونک کہا جاتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب یہ یا تو مکمل طور پر غیر بڑھ رہا ہو، یا مکمل طور پر غیر کم ہو رہا ہو۔ یعنی شکل کے مطابق۔ 1، ایک فنکشن جو یکسوئی سے بڑھتا ہے اسے خصوصی طور پر بڑھانے کی ضرورت نہیں ہے، اسے صرف کم نہیں ہونا چاہیے۔ کسی فنکشن کو یکسوئی سے بڑھتا ہوا (بڑھتا ہوا یا غیر کم ہوتا ہوا) کہا جاتا ہے اگر سب کے لیے اور ایسا جو کسی کے پاس ہے، تو ترتیب کو محفوظ رکھتا ہے (شکل 1 دیکھیں)۔ اسی طرح، کسی فنکشن کو یکسوئی سے کم ہونا (کم ہونا یا نہ بڑھنا بھی) کہا جاتا ہے اگر، جب بھی، تب، تو یہ ترتیب کو الٹ دیتا ہے (شکل 2 دیکھیں)۔ اگر یکسانیت کی تعریف میں ترتیب کو سخت ترتیب سے تبدیل کیا جاتا ہے، تو ایک مضبوط ضرورت حاصل ہوتی ہے۔ اس خاصیت کے ساتھ فنکشن کو سختی سے بڑھانا (بھی بڑھانا) کہا جاتا ہے۔ ایک بار پھر، آرڈر کی علامت کو الٹ کر، ایک متعلقہ تصور ملتا ہے جسے سختی سے کم کرنا (بھی کم کرنا) کہا جاتا ہے۔ کسی بھی خاصیت کے ساتھ فنکشن کو سختی سے مونوٹون کہا جاتا ہے۔ وہ افعال جو سختی سے یک سنگی ہوتے ہیں ایک سے ایک ہوتے ہیں (کیونکہ یک سنگی کے لحاظ سے، یا تو یا اس کے برابر نہیں، یا اس طرح۔) ابہام سے بچنے کے لیے، اصطلاحات کمزور یک سنگی، کمزور بڑھتی ہوئی اور کمزور کم ہوتی ہوئی اکثر غیر سخت یک سنگی کا حوالہ دینے کے لیے استعمال ہوتی ہیں۔ "نہ کم ہونے والی" اور "نہ بڑھنے والی" اصطلاحات کو (بہت کمزور) منفی قابلیت "نہ کم ہونے والی" اور "نہ بڑھنے والی" کے ساتھ الجھن میں نہیں ڈالنا چاہیے۔ مثال کے طور پر، شکل 3 میں دکھایا گیا غیر مونوٹونک فنکشن پہلے گرتا ہے، پھر بڑھتا ہے، پھر دوبارہ گرتا ہے۔ اس لیے یہ کم نہیں ہو رہا ہے اور نہ ہی بڑھ رہا ہے، لیکن یہ نہ تو کم ہو رہا ہے اور نہ ہی بڑھ رہا ہے۔ کسی فنکشن کو وقفے کے دوران بالکل مونوٹونک کہا جاتا ہے اگر کے تمام آرڈرز کے مشتق غیر منفی ہوں یا وقفے کے تمام نکات پر تمام غیر مثبت ہوں۔ فنکشن کا الٹا تمام سختی سے مونوٹونک افعال الٹا ہوتے ہیں کیونکہ ان کی حد سے ان کے ڈومین تک ون ٹو ون میپنگ کی ضمانت ہوتی ہے۔ تاہم، وہ افعال جو صرف کمزور مونوٹون ہوتے ہیں وہ الٹ نہیں ہوتے ہیں کیونکہ وہ کچھ وقفے پر مستقل ہوتے ہیں (اور اس وجہ سے ایک سے دوسرے پر نہیں ہوتے ہیں)۔ ایک فنکشن اقدار کی ایک محدود رینج پر سختی سے مونوٹونک ہو سکتا ہے اور اس طرح اس رینج پر الٹا ہوتا ہے حالانکہ یہ ہر جگہ سختی سے مونوٹونک نہیں ہوتا ہے۔ مثال کے طور پر، اگر حد پر سختی سے اضافہ ہو رہا ہے، تو اس کی حد پر الٹا ہوتا ہے۔ مونوٹونک کی اصطلاح بعض اوقات سختی سے مونوٹونک کی جگہ پر استعمال ہوتی ہے، لہذا ایک ماخذ یہ بتا سکتا ہے کہ تمام مونوٹونک افعال الٹا ہوتے ہیں جب ان کا واقعی یہ مطلب ہوتا ہے کہ تمام سختی سے مونوٹونک افعال الٹا ہوتے ہیں۔ مونوٹونک ٹرانسفارمیشن اصطلاح مونوٹونک ٹرانسفارمیشن (یا مونوٹون ٹرانسفارمیشن) بھی الجھن کا سبب بن سکتی ہے کیونکہ اس سے سختی سے بڑھتے ہوئے فنکشن کے ذریعے تبدیلی مراد ہے۔ معاشیات میں یہ معاملہ کسی یوٹیلیٹی فنکشن کی عام خصوصیات کے حوالے سے ہے جو مونوٹونک ٹرانسفارم میں محفوظ ہے (مونوٹون ترجیحات بھی دیکھیں)۔ اس تناظر میں، "مونوٹونک ٹرانسفارمیشن" کی اصطلاح ایک مثبت مونوٹونک ٹرانسفارمیشن سے مراد ہے اور اس کا مقصد اسے "منفی مونوٹونک ٹرانسفارمیشن" سے ممتاز کرنا ہے، جو اعداد کی ترتیب کو الٹ دیتا ہے۔ کچھ بنیادی ایپلی کیشنز اور نتائج ایک مونوٹونک فنکشن کے لیے درج ذیل خصوصیات درست ہیں: اس کے ڈومین کے ہر نقطہ پر دائیں اور بائیں سے حدود ہوتی ہیں ؛ کسی حقیقی نمبر کے مثبت یا منفی انفینٹی () کی حد ہوتی ہے، یا۔ صرف جمپ منقطعیاں ہو سکتی ہیں ؛ اس کے ڈومین میں صرف شمار کے لحاظ سے بہت سی منقطعیاں ہو سکتی ہیں۔ تاہم، تضادات لازمی طور پر الگ تھلگ پوائنٹس پر مشتمل نہیں ہوتے ہیں اور وقفہ (a، b) میں گھنے بھی ہو سکتے ہیں۔ مثال کے طور پر، مثبت اعداد کی کسی بھی قابل خلاصہ ترتیب اور عقلی اعداد کی کسی بھی گنتی کے لیے، یکسانیت سے بڑھتا ہوا فعل بالکل ہر غیر معقول نمبر پر مسلسل ہوتا ہے (cf. تصویر)۔ یہ عقلی اعداد پر مجرد پیمائش کا مجموعی تقسیم فعل ہے، جس کا وزن کہاں ہے۔ یہ خصوصیات اس وجہ سے ہیں کہ مونوٹونک افعال تجزیہ میں تکنیکی کام میں مفید ہیں۔ ان افعال کی دیگر اہم خصوصیات میں شامل ہیں: اگر ایک مونوٹونک فنکشن کو وقفے پر بیان کیا گیا ہے، تو تقریبا ہر جگہ تفریق پذیر ہے ؛ یعنی۔ اعداد کا مجموعہ جس میں تفریق قابل نہیں ہے اس کی پیمائش لیبسگیو صفر ہے۔ اس کے علاوہ، اس نتیجہ کو قابل گنتی بہتر نہیں بنایا جا سکتا: دیکھیں کینٹر فنکشن۔ اگر یہ سیٹ قابل گنتی ہے، تو بالکل مسلسل ہے اگر وقفے پر بیان کردہ مونوٹونک فنکشن ہے، تو ریمن انٹیگریبل ہے۔ مونوٹونک افعال کا ایک اہم اطلاق امکانی نظریہ میں ہے۔ اگر ایک بے ترتیب متغیر ہے، تو اس کی مجموعی تقسیم فنکشن یکسانیت سے بڑھتی ہوئی فنکشن ہے۔ ایک فنکشن غیر معمولی ہے اگر یہ یکسوئی طور پر کسی نقطہ (موڈ) تک بڑھ رہا ہے اور پھر یکسوئی سے کم ہو رہا ہے۔ سختی سے مونوٹونک فنکشن کب ہوتا ہے، پھر اس کے ڈومین پر انجیکشن ہوتا ہے، اور اگر کی حد ہے، تو اس کے لیے ایک الٹا فنکشن ہوتا ہے۔ اس کے برعکس، ہر مستقل فعل مونوٹونک ہوتا ہے، لیکن انجیکشن نہیں ہوتا، اور اس لیے اس کا الٹا نہیں ہو سکتا۔ گرافک چھ مونوٹونک افعال کو ظاہر کرتا ہے۔ ان کی سب سے آسان شکلیں پلاٹ کے علاقے میں دکھائی گئی ہیں اور انہیں بنانے کے لیے استعمال ہونے والے تاثرات y-محور پر دکھائے گئے ہیں۔ ٹوپولوجی میں نقشہ کو مونوٹون کہا جاتا ہے اگر اس کے ہر ریشے جڑے ہوئے ہوں۔ یعنی، ہر عنصر کے لیے (ممکنہ طور پر خالی) سیٹ ایک جڑا ہوا سب اسپیس ہے۔ فنکشنل تجزیے میں، ٹوپولوجیکل ویکٹر اسپیس پر فنکشنل تجزیے میں، ایک (ممکنہ طور پر غیر لکیری) آپریٹر کو مونوٹون آپریٹر کہا جاتا ہے اگر کچورووسکی کے نظریہ سے پتہ چلتا ہے کہ بناچ اسپیس پر کنویکس افعال میں مونوٹونک آپریٹرز ان کے مشتقات کے طور پر ہوتے ہیں۔ کے ذیلی سیٹ کو مونوٹون سیٹ کہا جاتا ہے اگر ہر جوڑے اور اندر کے لیے، زیادہ سے زیادہ مونوٹون کہا جاتا ہے اگر یہ سیٹ کی شمولیت کے معنی میں تمام مونوٹون سیٹوں میں زیادہ سے زیادہ ہو۔ مونوٹون آپریٹر کا گراف ایک مونوٹون سیٹ ہے۔ ایک مونوٹون آپریٹر کو زیادہ سے زیادہ مونوٹون کہا جاتا ہے اگر اس کا گراف زیادہ سے زیادہ مونوٹون سیٹ ہو۔ آرڈر تھیوری میں آرڈر تھیوری حقیقی اعداد کی عمومی شکل کے طور پر صوابدیدی جزوی طور پر ترتیب شدہ سیٹوں اور پہلے سے ترتیب شدہ سیٹوں سے متعلق ہے۔ یکسانیت کی مذکورہ تعریف ان معاملات میں بھی متعلقہ ہے۔ تاہم، "بڑھتی ہوئی" اور "گھٹتی ہوئی" اصطلاحات سے گریز کیا جاتا ہے، کیونکہ ان کی روایتی تصویری نمائندگی ان آرڈرز پر لاگو نہیں ہوتی جو کل نہیں ہیں۔ مزید برآں، سخت تعلقات اور بہت سے غیر مجموعی آرڈرز میں بہت کم استعمال ہوتے ہیں اور اس لیے ان کے لیے کوئی اضافی اصطلاحات متعارف نہیں کرائی گئی ہیں۔ لیٹنگ کسی بھی جزوی طور پر ترتیب شدہ سیٹ کے جزوی ترتیب کے تعلق کو ظاہر کرتا ہے، ایک مونوٹون فنکشن، جسے آئسوٹون بھی کہا جاتا ہے، یا، سب کے لیے اور اس کے ڈومین میں پراپرٹی کو مطمئن کرتا ہے۔ دو مونوٹون نقشوں کا مرکب بھی مونوٹون ہے۔ دوہری تصور کو اکثر اینٹی ٹون، اینٹی مونوٹون، یا آرڈر ریورزنگ کہا جاتا ہے۔ لہذا، ایک اینٹی ٹون فنکشن سب کے لیے اور اس کے ڈومین میں موجود خاصیت کو مطمئن کرتا ہے۔ ایک مستقل فنکشن مونوٹون اور اینٹیٹون دونوں ہیں ؛ اس کے برعکس، اگر مونوٹون اور اینٹیٹون دونوں ہیں، اور اگر ڈومین آف ایک جالی ہے، تو مستقل ہونا چاہیے۔ مونوٹون افعال آرڈر تھیوری میں مرکزی ہیں۔ وہ اس موضوع پر زیادہ تر مضامین میں نظر آتے ہیں اور خصوصی ایپلی کیشنز کی مثالیں ان جگہوں پر ملتی ہیں۔ کچھ قابل ذکر خصوصی مونوٹون افعال آرڈر ایمبیڈنگز ہیں (افعال جن کے لیے اگر اور صرف اگر اور آرڈر آئسومورفزم (سرجیکٹو آرڈر ایمبیڈنگز)۔ سرچ الگورتھم کے تناظر میں سرچ الگورتھم کے تناظر میں یکسانیت (جسے مستقل مزاجی بھی کہا جاتا ہے) ایک ایسی شرط ہے جس کا اطلاق ہیورسٹک افعال پر ہوتا ہے۔ اگر، ہر نوڈ اور کسی عمل سے پیدا ہونے والے ہر جانشین کے لیے، ہدف تک پہنچنے کی تخمینہ لاگت، ہدف تک پہنچنے کی تخمینہ لاگت کے علاوہ اس تک پہنچنے کی تخمینہ لاگت سے زیادہ نہیں ہے، تو ایک ہیورسٹک مونوٹونک ہے۔ یہ مثلث کی عدم مساوات کی ایک شکل ہے، جس کے ساتھ، اور جس مقصد کے قریب ہے۔ کیونکہ ہر یک سنگی تحقیق بھی قابل قبول ہے، یک سنگی قبولیت سے زیادہ سخت ضرورت ہے۔ کچھ ہیورسٹک الگورتھم جیسے A * کو زیادہ سے زیادہ ثابت کیا جا سکتا ہے بشرطیکہ وہ جو ہیورسٹک استعمال کرتے ہیں وہ مونوٹونک ہو۔ بولین افعال میں بولین الجبرا میں، ایک مونوٹونک فنکشن ایسا ہوتا ہے کہ سب کے لیے اور اس میں، اگر،...، (یعنی۔ کارٹیشین پروڈکٹ کو کوآرڈینیٹ کے لحاظ سے ترتیب دیا جاتا ہے)، پھر۔ دوسرے لفظوں میں، بولین فنکشن مونوٹونک ہے اگر، ان پٹ کے ہر امتزاج کے لیے، ان پٹ میں سے کسی ایک کو فالس سے ٹرو میں تبدیل کرنا صرف آؤٹ پٹ کو فالس سے ٹرو میں تبدیل کرنے کا سبب بن سکتا ہے نہ کہ ٹرو سے فالس میں۔ گرافک طور پر، اس کا مطلب یہ ہے کہ ایک-ary بولین فنکشن مونوٹونک ہوتا ہے جب سچائی کی اقدار کے ساتھ لیبل کیے گئے-کیوب کے طور پر اس کی نمائندگی میں سچ سے غلط تک کوئی اوپر کی طرف کنارے نہیں ہوتے ہیں۔ (یہ لیبل والا ہس خاکہ فنکشن کے لیبل والے وین خاکہ کا دوہرا ہے، جو اس کے لیے زیادہ عام نمائندگی ہے۔) مونوٹونک بولین افعال قطعی طور پر وہ ہوتے ہیں جن کی وضاحت صرف آپریٹرز اور یا (خاص طور پر ممنوع نہیں ہے) کا استعمال کرتے ہوئے ان پٹ (جو ایک سے زیادہ بار ظاہر ہو سکتے ہیں) کو یکجا کرنے والے اظہار سے کی جا سکتی ہے۔ مثال کے طور پر "کم از کم دو، ہولڈ"،، کا ایک یک جہتی فعل ہے، کیونکہ اسے مثال کے طور پر (اور) یا (اور) یا (اور) لکھا جا سکتا ہے۔ متغیرات پر اس طرح کے افعال کی تعداد کو ڈیڈیکائنڈ نمبر آف کہا جاتا ہے۔ یہ بھی دیکھیں کہ مونوٹون کیوبک انٹرپولیشن سیوڈو مونوٹون آپریٹر سپیئر مین کا رینک ارتباط گتانک-اعداد و شمار کے ایک سیٹ میں مونوٹونیکیٹی کی پیمائش کل مونوٹونیکیٹی سائیکلکل مونوٹونیکیٹی آپریٹر مونوٹون سیٹ فنکشن نوٹ ببلیوگرافی (تعریف 9.31) بیرونی روابط انک دیبناتھ اور تھامس روکسلو (دی ہارکر اسکول) کے ذریعے مونوٹونک سیکوینس کا کنورجنس، وولفرم ڈیمنسٹریشن پروجیکٹ۔ فنکشنل تجزیہ آرڈر تھیوری حقیقی تجزیہ افعال کی اقسام