Bernstein–Sato polynomial
ریاضی میں، برنسٹین-ساتو کثیر الجہتی تفریقی آپریٹرز سے متعلق ایک کثیر الجہتی ہے، جسے آزادانہ طور پر اور، کے ذریعے متعارف کرایا گیا ہے۔ اسے بی-فنکشن، بی-کثیرالجہتی، اور برنسٹین کثیرالجہتی کے نام سے بھی جانا جاتا ہے، حالانکہ اس کا تعلق تخمینہ نظریہ میں استعمال ہونے والے برنسٹین کثیرالجہتی سے نہیں ہے۔ اس کا اطلاق سنگلٹی تھیوری، مونوڈرومی تھیوری، اور کوانٹم فیلڈ تھیوری پر ہوتا ہے۔ ایک ابتدائی تعارف دیتا ہے، جبکہ اور مزید اعلی درجے کے اکاؤنٹس دیتا ہے۔ تعریف اور خصوصیات اگر کئی متغیرات میں کثیر الجہتی ہے، تو ایک غیر صفر کثیر الجہتی اور ایک تفریقی آپریٹر ہوتا ہے جس میں کثیر الجہتی گتانک ہوتے ہیں جیسے کہ برنسٹین-ساتو کثیر الجہتی اس طرح کے کثیر الجہتی میں سب سے چھوٹی ڈگری کا مونیک کثیر الجہتی ہوتا ہے۔ اس کے وجود کو ہولونومک ڈی-ماڈیولز کے تصور کا استعمال کرتے ہوئے دکھایا جا سکتا ہے۔ اس نے ثابت کیا کہ برنسٹین-ساتو کثیر الجہتی کے تمام جڑ منفی عقلی اعداد ہیں۔ برنسٹین-ساتو کثیر الجہتی کی تعریف کئی کثیر الجہتی کی طاقتوں کے پروڈکٹ کے لیے بھی کی جا سکتی ہے۔ اس صورت میں یہ عقلی گتانک کے ساتھ لکیری عوامل کی پیداوار ہے۔ برنسٹین-ساتو کثیر الجہتی کو صوابدیدی اقسام میں عام کیا۔ نوٹ کریں کہ برنسٹین-ساتو کثیر کو الگورتھم کے طور پر شمار کیا جا سکتا ہے۔ تاہم، اس طرح کے حسابات عام طور پر مشکل ہوتے ہیں۔ کمپیوٹر الجبرا سسٹمز آر آئی ایس اے/اسیر، میکالے 2، اور سنگلر میں متعلقہ الگورتھم کے نفاذ ہیں۔ کمپیوٹر الجبرا سسٹم سنگلر میں عمل درآمد کے ساتھ مل کر ایک افائن قسم کے برنسٹین-ساتو کثیر الجہتی کا حساب لگانے کے لیے الگورتھم پیش کیے۔ کمپیوٹر کے ذریعے برنسٹین-ساتو کثیر الجہتی کی کمپیوٹنگ کے لیے کچھ الگورتھم بیان کیے۔ اگر تیج n2 متغیر ہیں، تو ڈیٹ (تیج) کا برنسٹین-ساتو کثیر الجہتی دیا جاتا ہے جس کے بعد جہاں سے ω کیلی کا اومیگا عمل ہے، جو بدلے میں کیپلی شناخت کی پیروی کرتا ہے۔ ایپلی کیشنز اگر ایک غیر منفی کثیر الجہتی ہے تو، ابتدائی طور پر غیر منفی حقیقی حصے کے ساتھ s کے لیے بیان کیا جاتا ہے، تو بار بار فنکشنل مساوات کا استعمال کرتے ہوئے s کی مورومورفک ڈسٹری بیوشن ویلیوڈ فنکشن کو تجزیاتی طور پر جاری رکھا جا سکتا ہے۔ جب بھی b (s + n) غیر منفی عدد n کے لیے صفر ہوتا ہے تو اس میں قطبیں ہو سکتی ہیں۔ اگر f (x) ایک کثیر الجہتی ہے، یکساں طور پر صفر نہیں ہے، تو اس کا الٹا g ہوتا ہے جو ایک تقسیم ہے ؛ دوسرے الفاظ میں، f g = 1 تقسیم کے طور پر۔ اگر f (x) غیر منفی ہے تو s = −1 پر f (x) s کی لارنٹ توسیع کی مستقل اصطلاح لے کر برنسٹین-ساتو کثیر کا استعمال کرتے ہوئے الٹا تعمیر کیا جا سکتا ہے۔ صوابدیدی f (x) کے لیے صرف مالگرانج-ایہرنپریس تھیوریم کا الٹا گنا لیں جس میں کہا گیا ہے کہ مستقل کوفشنٹس والے ہر تفریقی آپریٹر کا گرین فنکشن ہوتا ہے۔ فورئیر ٹرانسفارمز لینے سے یہ اس حقیقت سے ظاہر ہوتا ہے کہ ہر کثیر الجہتی کا تقسیم الٹا ہوتا ہے، جو اوپر کے پیراگراف میں ثابت ہوتا ہے۔ یہ دکھایا گیا کہ بڑے پیمانے پر یوکلڈین معاملے میں جہتی باقاعدگی کی سختی سے وضاحت کرنے کے لیے برنسٹین کثیر الجہتی کا استعمال کیسے کیا جائے۔ برنسٹین-ساتو فنکشنل مساوات کوانٹم فیلڈ تھیوری میں پائے جانے والے کچھ زیادہ پیچیدہ قسم کے واحد انٹیگرلز کے حساب میں استعمال کیا جاتا ہے۔ ابتدائی ذرہ طبیعیات میں درستگی کی پیمائش کے لیے اس طرح کے حسابات کی ضرورت ہوتی ہے جیسا کہ مثال کے طور پر سی ای آر این میں عمل کیا جاتا ہے (حوالہ دیتے ہوئے مقالے دیکھیں)۔ تاہم، سب سے زیادہ دلچسپ صورتوں میں دو کثیر الجہتی کے پروڈکٹ کے لیے برنسٹین-ساتو فنکشنل مساوات کی سادہ عمومی شکل کی ضرورت ہوتی ہے، جس میں x میں 2-6 اسکیلر اجزاء ہوتے ہیں، اور کثیر الجہتی کے جوڑے میں آرڈر 2 اور 3 ہوتے ہیں۔ بدقسمتی سے، متعلقہ تفریقی آپریٹرز اور ایسے معاملات کے لیے بروٹ فورس کا تعین اب تک ممنوع طور پر پیچیدہ ثابت ہوا ہے۔ بروٹ فورس الگورتھم کے مشترکہ دھماکے کو بائی پاس کرنے کے طریقے وضع کرنا اس طرح کی ایپلی کیشنز میں بہت اہمیت کا حامل ہوگا۔ نوٹس حوالہ جات (پرنسٹن، این جے، 1996/1997) کثیر الجہتی متفرق آپریٹرز