AKLT model
کنڈینسڈ میٹر فزکس میں، ایک اے کے ایل ٹی ماڈل، جسے افلیک-کینیڈی-لیب-تاساکی ماڈل بھی کہا جاتا ہے، ایک جہتی کوانٹم ہائزن برگ اسپن ماڈل کی توسیع ہے۔ ایان افلیک، ایلیٹ ایچ لیب، ٹام کینیڈی کی طرف سے اس ماڈل کی تجویز اور درست حل نے اسپن-1 ہائزن برگ چین کی طبیعیات میں اہم بصیرت فراہم کی۔ اس نے ویلینس بانڈ سالڈ آرڈر، سمیٹری پروٹیکٹڈ ٹوپولوجیکل آرڈر اور میٹرکس پروڈکٹ اسٹیٹ ویو فنکشن جیسے تصورات کے لیے بھی ایک مفید مثال کے طور پر کام کیا ہے۔ پس منظر اے کے ایل ٹی ماڈل کا ایک بڑا محرک مجومدار گھوش سلسلہ تھا۔ کیونکہ مجومدار-گھوش زمینی ریاست میں تین پڑوسی گھماؤوں کے ہر سیٹ میں سے دو کو سنگلٹ، یا ویلینس بانڈ میں جوڑا جاتا ہے، اس لیے تینوں گھماؤ ایک ساتھ کبھی بھی 3/2 کی حالت میں نہیں پائے جا سکتے۔ در حقیقت، مجومدار گھوش ہیملٹنین اور کچھ نہیں بلکہ تین پڑوسی گھماؤوں کے تمام پروجیکٹرز کا مجموعہ ہے جو 3/2 ریاست پر گھومتے ہیں۔ اے کے ایل ٹی کاغذ کی بنیادی بصیرت یہ تھی کہ اس تعمیر کو عام کیا جا سکتا ہے تاکہ 1/2 کے علاوہ اسپن سائز کے لیے بالکل قابل حل ماڈل حاصل کیے جا سکیں۔ جس طرح ویلینس بانڈ کا ایک سر ایک اسپن 1/2 ہوتا ہے، اسی طرح دو ویلینس بانڈز کے سروں کو ایک اسپن 1، تین کو اسپن 3/2 وغیرہ میں جوڑا جا سکتا ہے۔ تعریف افلیک اور دیگر۔ وہ سائٹس کے ہر جوڑے کے درمیان ویلنس بانڈ کے ساتھ ایک جہتی حالت کی تعمیر میں دلچسپی رکھتے تھے۔ چونکہ یہ ہر سائٹ کے لیے دو اسپن 1/2s کی طرف جاتا ہے، اس کا نتیجہ اسپن 1 سسٹم کا ویو فنکشن ہونا چاہیے۔ اسپن 1s کے ہر ملحقہ جوڑے کے لیے، چار اجزاء میں سے دو اسپن 1/2s کل اسپن صفر حالت میں پھنس جاتے ہیں۔ لہذا، اسپن 1s کی ہر جوڑی کو مشترکہ اسپن 2 حالت میں ہونے سے منع کیا گیا ہے۔ اس حالت کو پروجیکٹرز کے مجموعے کے طور پر لکھ کر جو اسپن 1s کے جوڑوں کی اسپن 2 حالت کو پسند کرتے ہیں، اے کے ایل ٹی مندرجہ ذیل ہیملٹنین پر ایک مستقل تک پہنچ گیا، جہاں اسپن 1 آپریٹر ہیں، اور مقامی 2 نکاتی پروجیکٹر جو اسپن 2 کو پسند کرتا ہے۔ یہ ہیملٹنین اسپن 1، ایک جہتی کوانٹم ہائزن برگ اسپن ماڈل سے ملتا جلتا ہے لیکن اس میں ایک اضافی "بائیکاڈریٹک" اسپن انٹرایکشن اصطلاح ہے۔ زمینی حالت تعمیر کے ذریعے، اے کے ایل ٹی ہیملٹنین کی زمینی حالت ویلنس بانڈ ہے جو ایک واحد ویلنس بانڈ کے ساتھ ٹھوس ہے جو ہر پڑوسی جوڑی سائٹس کو جوڑتا ہے۔ تصویری طور پر، اس کی نمائندگی اس طرح کی جا سکتی ہے کہ یہاں ٹھوس نکات اسپن 1/2 کی نمائندگی کرتے ہیں جنہیں سنگل اسٹیٹس میں رکھا جاتا ہے۔ اسپن 1/2s کو جوڑنے والی لائنیں ویلنس بانڈ ہیں جو سنگلز کے پیٹرن کی نشاندہی کرتی ہیں۔ اوول پروجیکشن آپریٹر ہوتے ہیں جو دو اسپن 1/2s کو ایک ہی اسپن 1 میں "باندھ" دیتے ہیں، اسپن 0 یا سنگلٹ سب اسپیس کو پیش کرتے ہیں اور صرف اسپن 1 یا ٹرپلٹ سب اسپیس رکھتے ہیں۔ علامات "+"، "0" اور "-" معیاری اسپن 1 بیس اسٹیٹس (آپریٹر کی آئجین اسٹیٹس) کو لیبل کرتی ہیں۔ اسپن 1/2 ایج اسٹیٹس ایک رنگ (پیریڈک باؤنڈری کنڈیشنز) میں ترتیب دی گئی اسپن کی صورت میں اے کے ایل ٹی کی تعمیر سے ایک منفرد زمینی حالت حاصل ہوتی ہے۔ لیکن کھلی زنجیر کے معاملے میں، پہلے اور آخری اسپن 1 کا صرف ایک پڑوسی ہوتا ہے، جس سے ان کا ایک جزو اسپن 1/2 غیر جوڑا رہ جاتا ہے۔ نتیجے کے طور پر، زنجیر کے سرے فری اسپن 1/2 لمحات کی طرح برتاؤ کرتے ہیں حالانکہ نظام صرف اسپن 1s پر مشتمل ہوتا ہے۔ اے کے ایل ٹی سلسلہ کی اسپن 1/2 کنارے کی حالتوں کو چند مختلف طریقوں سے دیکھا جا سکتا ہے۔ مختصر زنجیروں کے لیے، کنارے کی ریاستیں ایک سنگلٹ یا ٹرپلٹ میں مل جاتی ہیں جو یا تو ایک منفرد زمینی حالت یا زمینی ریاستوں کا تین گنا ضرب دیتی ہیں۔ لمبی زنجیروں کے لیے، کنارے کی ریاستیں زنجیر کی لمبائی کے فنکشن کے طور پر تیزی سے منقطع ہو جاتی ہیں جس کی وجہ سے زمینی حالت کئی گنا ہو جاتی ہے جو کہ چار گنا انحطاط پذیر ہوتی ہے۔ زنجیر کے ساتھ مقامی مقناطیسیت کی پیمائش کے لیے ڈی ایم آر جی جیسے عددی طریقہ کار کا استعمال کرتے ہوئے، کنارے کی حالتوں کو براہ راست دیکھنا اور یہ ظاہر کرنا بھی ممکن ہے کہ ان کو سروں پر حقیقی گھماؤ 1/2 رکھ کر ہٹایا جا سکتا ہے۔ یہاں تک کہ ایک نیم-1 ڈی مقناطیسی مرکب کی پیمائش میں اسپن 1/2 کنارے کی حالتوں کا پتہ لگانا بھی ممکن ثابت ہوا ہے جس میں تھوڑی مقدار میں نجاست ہوتی ہے جس کا کردار زنجیروں کو محدود حصوں میں توڑنا ہوتا ہے۔ 2021 میں، اسپن 1/2 کنارے کی حالتوں کا ایک براہ راست سپیکٹروسکوپک دستخطی مثلث، ایک اسپن 1 پولی سائیکلک خوشبودار ہائیڈرو کاربن سے بنی الگ تھلگ کوانٹم اسپن زنجیروں میں پایا گیا۔ میٹرکس پروڈکٹ اسٹیٹ کی نمائندگی اے کے ایل ٹی گراؤنڈ اسٹیٹ کی سادگی اسے میٹرکس پروڈکٹ اسٹیٹ کے طور پر کمپیکٹ شکل میں پیش کرنے کی اجازت دیتی ہے۔ یہ اس شکل کا ویو فنکشن ہے یہاں جیسا کہ تین میٹرکس کا ایک مجموعہ ہے جس کے ذریعہ لیبل کیا گیا ہے اور ٹریس وقتا فوقتا باؤنڈری کنڈیشنز کو فرض کرنے سے آتا ہے۔ اے کے ایل ٹی گراؤنڈ اسٹیٹ ویو فنکشن اس انتخاب سے مطابقت رکھتا ہے: پالی میٹرکس کہاں ہے۔ عمومی اور توسیعات اے کے ایل ٹی ماڈل کو اعلی طول و عرض کی جالی پر حل کیا گیا ہے، یہاں تک کہ کواسی کرسٹل میں بھی۔ یہ ماڈل اعلی لائ الجبرا کے لیے بھی بنایا گیا ہے جس میں ایس یو (این)، ایس او (این)، ایس پی (این) شامل ہیں اور کوانٹم گروپس ایس یو کیو (این) تک بڑھایا گیا ہے۔ حوالہ جات اسپن ماڈل شماریاتی میکانکس کوانٹم مقناطیسیت لیٹس ماڈل