Poynting vector
طبیعیات میں، پوائنٹنگ ویکٹر (یا اوموو-پوائنٹنگ ویکٹر) دشاتمک توانائی کے بہاؤ (فی یونٹ ایریا، فی یونٹ وقت میں توانائی کی منتقلی) یا برقی مقناطیسی میدان کے طاقت کے بہاؤ کی نمائندگی کرتا ہے۔ پوائنٹنگ ویکٹر کی ایس آئی اکائی واٹ فی مربع میٹر (ڈبلیو/ایم 2) ہے ؛ بیس ایس آئی اکائیوں میں کلوگرام/ایس 3۔ اس کا نام اس کے موجد جان ہنری پونٹنگ کے نام پر رکھا گیا ہے جس نے اسے پہلی بار 1884 میں اخذ کیا تھا۔ نیکولے اوموف کو بھی اس تصور کو وضع کرنے کا سہرا دیا جاتا ہے۔ اولیور ہیوسائڈ نے اسے آزادانہ طور پر زیادہ عام شکل میں بھی دریافت کیا جو تعریف میں صوابدیدی ویکٹر فیلڈ کے کرل کو شامل کرنے کی آزادی کو تسلیم کرتا ہے۔ پوئنٹنگ ویکٹر برقی مقناطیسی شعبوں میں طاقت کے بہاؤ کا حساب لگانے کے لیے پوئنٹنگ کے نظریہ، برقی مقناطیسی توانائی کے تحفظ کا اظہار کرنے والی تسلسل مساوات کے ساتھ مل کر برقی مقناطیسیت میں استعمال ہوتا ہے۔ تعریف پوئنٹنگ کے اصل کاغذ میں اور زیادہ تر نصابی کتابوں میں، پوئنٹنگ ویکٹر کو کراس پروڈکٹ کے طور پر بیان کیا گیا ہے جہاں بولڈ حروف ویکٹر کی نمائندگی کرتے ہیں اور E برقی فیلڈ ویکٹر ہے۔ H مقناطیسی میدان کا معاون فیلڈ ویکٹر یا مقناطیسی میدان ہے۔ اس اظہار کو اکثر ابراہم شکل کہا جاتا ہے اور یہ سب سے زیادہ استعمال ہوتا ہے۔ پوائنٹنگ ویکٹر کو عام طور پر S یا N سے ظاہر کیا جاتا ہے۔ سادہ الفاظ میں، پوائنٹنگ ویکٹر S توانائی کی منتقلی کی سمت اور شرح کو ظاہر کرتا ہے، یعنی طاقت، خلا کے کسی علاقے میں برقی مقناطیسی شعبوں کی وجہ سے جو خالی ہو یا نہ ہو۔ زیادہ سختی سے، یہ وہ مقدار ہے جسے پوئنٹنگ کے نظریہ کو درست بنانے کے لیے استعمال کیا جانا چاہیے۔ پوئنٹنگ کا نظریہ بنیادی طور پر کہتا ہے کہ کسی خطے میں داخل ہونے والی برقی مقناطیسی توانائی اور کسی خطے سے نکلنے والی برقی مقناطیسی توانائی کے درمیان فرق اس خطے میں تبدیل یا ختم ہونے والی توانائی کے برابر ہونا چاہیے، یعنی توانائی کی ایک مختلف شکل (اکثر حرارت) میں تبدیل ہونا چاہیے۔ لہذا اگر کوئی برقی مقناطیسی توانائی کی منتقلی کی پوئنٹنگ ویکٹر تفصیل کی صداقت کو قبول کرتا ہے، تو پوئنٹنگ کا نظریہ محض توانائی کے تحفظ کا بیان ہے۔ اگر برقی مقناطیسی توانائی کسی خطے کے اندر توانائی کی دیگر شکلوں سے حاصل یا ضائع نہیں ہوتی ہے (مثال کے طور پر مکینیکل توانائی، یا حرارت)، تو برقی مقناطیسی توانائی کو اس خطے کے اندر مقامی طور پر محفوظ کیا جاتا ہے، جس سے پوئنٹنگ کے نظریہ کے ایک خاص معاملے کے طور پر تسلسل کی مساوات حاصل ہوتی ہے: برقی مقناطیسی میدان کی توانائی کی کثافت کہاں ہے۔ یہ بار بار ہونے والی حالت مندرجہ ذیل سادہ مثال میں پائی جاتی ہے جس میں پوائنٹنگ ویکٹر کا حساب لگایا جاتا ہے اور اسے برقی سرکٹ میں طاقت کے معمول کے حساب سے مطابقت رکھتا ہے۔ مثال: کویکسیل کیبل میں بجلی کا بہاؤ اگرچہ صوابدیدی جیومیٹریز کے ساتھ برقی مقناطیسیت میں مسائل کو حل کرنا بدنام مشکل ہے، لیکن ہم بجلی کی ترسیل کے معاملے میں بیلناکار نقاط میں تجزیہ شدہ کویکسیل کیبل کے ایک حصے کے ذریعے نسبتا آسان حل تلاش کر سکتے ہیں جیسا کہ ساتھ والے خاکے میں دکھایا گیا ہے۔ ہم ماڈل کی ہم آہنگی سے فائدہ اٹھا سکتے ہیں: θ (سرکلر ہم آہنگی) پر کوئی انحصار نہیں اور نہ ہی Z (کیبل کے ساتھ پوزیشن) پر۔ ماڈل (اور حل) کو محض ایک ڈی سی سرکٹ کے طور پر سمجھا جا سکتا ہے جس میں وقت کا انحصار نہیں ہوتا ہے، لیکن مندرجہ ذیل حل ریڈیو فریکوئنسی پاور کی ترسیل پر یکساں طور پر لاگو ہوتا ہے، جب تک کہ ہم ایک لمحے پر غور کر رہے ہیں (جس کے دوران وولٹیج اور کرنٹ تبدیل نہیں ہوتے ہیں)، اور کیبل کے کافی مختصر حصے پر (طول موج سے بہت چھوٹا، تاکہ یہ مقدار Z پر منحصر نہ ہوں)۔ کوایکسیل کیبل کی وضاحت اس طرح کی جاتی ہے کہ اس میں R1 رداس کا اندرونی کنڈکٹر اور ایک بیرونی کنڈکٹر ہوتا ہے جس کا اندرونی رداس R2 ہوتا ہے (R2 سے آگے اس کی موٹائی مندرجہ ذیل تجزیہ کو متاثر نہیں کرتی ہے)۔ R1 اور R2 کے درمیان کیبل میں رشتہ دار پرمٹیویٹی εr کا ایک مثالی ڈائی الیکٹرک مواد ہوتا ہے اور ہم ایسے کنڈکٹرز کو فرض کرتے ہیں جو غیر مقناطیسی (اس طرح μ = μ0) اور نقصان کے بغیر (کامل کنڈکٹر) ہوتے ہیں، یہ سب عام حالات میں حقیقی دنیا کی کویکسیل کیبل کے اچھے تخمینے ہیں۔ سینٹر کنڈکٹر وولٹیج V پر رکھا جاتا ہے اور دائیں طرف کرنٹ I کھینچتا ہے، لہذا ہم بجلی کے بنیادی قوانین کے مطابق P = V·I کے کل بجلی کے بہاؤ کی توقع کرتے ہیں۔ تاہم، پوائنٹنگ ویکٹر کا جائزہ لے کر، ہم کویکسیل کیبل کے اندر برقی اور مقناطیسی شعبوں کے لحاظ سے بجلی کے بہاؤ کے خاکے کی شناخت کرنے کے قابل ہو جاتے ہیں۔ برقی میدان ہر کنڈکٹر کے اندر یقینی طور پر صفر ہوتے ہیں، لیکن کنڈکٹرز () کے درمیان ہم آہنگی یہ حکم دیتی ہے کہ وہ سختی سے شعاعی سمت میں ہیں اور یہ دکھایا جا سکتا ہے (گاؤس کے قانون کا استعمال کرتے ہوئے) کہ انہیں مندرجہ ذیل شکل کی پابندی کرنی چاہیے: W کا اندازہ برقی میدان کو مربوط کرکے کیا جا سکتا ہے جس سے وولٹیج V کا منفی ہونا ضروری ہے: تاکہ: مقناطیسی میدان، دوبارہ ہم آہنگی کے ذریعے، صرف θ سمت میں غیر صفر ہو سکتا ہے، یعنی R1 اور R2 کے درمیان ہر رداس پر مرکز کنڈکٹر کے گرد لوپ کرنے والا ویکٹر فیلڈ۔ کنڈکٹرز کے اندر خود مقناطیسی میدان صفر ہو سکتا ہے یا نہیں بھی ہو سکتا ہے، لیکن اس سے کوئی فرق نہیں پڑتا کیونکہ برقی میدان کے صفر ہونے کی وجہ سے ان علاقوں میں پوائنٹنگ ویکٹر صفر ہے۔ پوری کویکسیل کیبل کے باہر، مقناطیسی میدان یکساں طور پر صفر ہوتا ہے کیونکہ اس خطے میں راستے صفر کے خالص کرنٹ (مرکز کنڈکٹر میں + I اور بیرونی کنڈکٹر میں-I) کو گھیرے ہوئے ہیں، اور پھر بھی وہاں برقی میدان ویسے بھی صفر ہے۔ R1 سے R2 تک کے خطے میں ایمپیئر کے قانون کا استعمال کرتے ہوئے، جو مرکز کنڈکٹر میں کرنٹ + I کو گھیرے ہوئے ہے لیکن بیرونی کنڈکٹر میں کرنٹ کی طرف سے کوئی شراکت نہیں ہے، ہم رداس r پر پاتے ہیں: اب، ریڈیل سمت میں برقی میدان سے، اور ایک ٹینجینشیل مقناطیسی میدان، پوئنٹنگ ویکٹر، جو ان کے کراس پروڈکٹ کے ذریعہ دیا گیا ہے، Z سمت میں صرف غیر صفر ہے، خود کویکسیل کیبل کی سمت کے ساتھ، جیسا کہ ہم توقع کریں گے۔ پھر صرف r کی ایک فنکشن، ہم S (r) کا اندازہ لگا سکتے ہیں: جہاں W کو سینٹر کنڈکٹر وولٹیج V کے لحاظ سے اوپر دیا گیا ہے۔ کویکسیل کیبل سے نیچے بہنے والی کل طاقت کا حساب کیبل کے پورے کراس سیکشن A کو کنڈکٹرز کے درمیان ضم کرکے کیا جا سکتا ہے: مستقل W کے لیے پہلے حل کو تبدیل کرتے ہوئے ہم پاتے ہیں: یعنی، کویکسیل کیبل کے کراس سیکشن پر پوائنٹنگ ویکٹر کو مربوط کرکے دی گئی طاقت بالکل وولٹیج اور کرنٹ کے پروڈکٹ کے برابر ہوتی ہے جیسا کہ بجلی کے بنیادی قوانین کا استعمال کرتے ہوئے فراہم کی جانے والی طاقت کے لیے شمار کیا جاتا۔ دیگر شکلیں میکسویل کی مساوات کے "خوردبین" ورژن میں، اس تعریف کو برقی میدان E اور مقناطیسی بہاؤ کثافت B (مضمون میں بعد میں بیان کردہ) کے لحاظ سے ایک تعریف سے تبدیل کیا جانا چاہیے۔ پوئنٹنگ ویکٹر کی منکووسکی شکل حاصل کرنے کے لیے برقی نقل مکانی کے میدان D کو مقناطیسی بہاؤ B کے ساتھ جوڑنا بھی ممکن ہے، یا ایک اور ورژن بنانے کے لیے D اور H کا استعمال کریں۔ انتخاب متنازعہ رہا ہے: فائیفر اور دیگر۔ خلاصہ کریں اور ایک خاص حد تک ابراہم اور منکوسکی شکلوں کے حامیوں کے درمیان صدی طویل تنازعہ کو حل کریں (ابراہم-منکوسکی تنازعہ دیکھیں)۔ پوائنٹنگ ویکٹر برقی مقناطیسی توانائی کے لیے توانائی کے بہاؤ کے ویکٹر کے مخصوص معاملے کی نمائندگی کرتا ہے۔ تاہم، کسی بھی قسم کی توانائی کی خلا میں حرکت کی سمت کے ساتھ ساتھ اس کی کثافت بھی ہوتی ہے، لہذا توانائی کے بہاؤ کے ویکٹر کو دیگر اقسام کی توانائی کے لیے بھی بیان کیا جا سکتا ہے، مثال کے طور پر مکینیکل توانائی کے لیے۔ 1874 میں نیکولے اوموف کے ذریعہ دریافت کردہ اوموو پوائنٹنگ ویکٹر مائع اور لچکدار ذرائع ابلاغ میں توانائی کے بہاؤ کو مکمل طور پر عمومی نقطہ نظر سے بیان کرتا ہے۔ تشریح پوئنٹنگ ویکٹر پوئنٹنگ کے نظریہ میں ظاہر ہوتا ہے (مشتق کے لیے وہ مضمون دیکھیں)، ایک توانائی کے تحفظ کا قانون: جہاں Jf آزاد چارج کی موجودہ کثافت ہے اور u لکیری، غیر بکھرے ہوئے مادوں کے لیے برقی مقناطیسی توانائی کی کثافت ہے، جہاں E برقی میدان ہے ؛ D برقی نقل مکانی کا میدان ہے ؛ B مقناطیسی بہاؤ کی کثافت ہے ؛ H مقناطیسی میدان ہے۔ دائیں ہاتھ کی طرف پہلی اصطلاح برقی مقناطیسی توانائی کے بہاؤ کو ایک چھوٹے حجم میں ظاہر کرتی ہے، جبکہ دوسری اصطلاح میدان کے ذریعے کیے گئے کام کو آزاد برقی دھاروں پر گھٹاتی ہے، جو اس طرح برقی مقناطیسی توانائی سے اخراج، حرارت وغیرہ کے طور پر نکلتی ہے۔ اس تعریف میں، پابند برقی کرنٹ اس اصطلاح میں شامل نہیں ہیں اور اس کے بجائے S اور u میں حصہ ڈالتے ہیں۔ لکیری، نان ڈسپرسیو اور آئسوٹروپک (سادگی کے لیے) مواد کے لیے، آئینی تعلقات کو اس طرح لکھا جا سکتا ہے جہاں ε مواد کی اجازت ہے ؛ μ مواد کی پارگمیتا ہے۔ یہاں ε اور μ اسکیلر، حقیقی قدر والے مستقل ہوتے ہیں جو پوزیشن، سمت اور تعدد سے آزاد ہوتے ہیں۔ اصولی طور پر، یہ پوئنٹنگ کے نظریہ کو اس شکل میں ویکیوم اور نان ڈسپرسیو لکیری مواد کے شعبوں تک محدود کرتا ہے۔ اضافی شرائط کی قیمت پر بعض حالات میں منتشر مواد کو عام کرنا ممکن ہے۔ پوائنٹنگ فارمولے کا ایک نتیجہ یہ ہے کہ برقی مقناطیسی میدان کے کام کرنے کے لیے مقناطیسی اور برقی دونوں فیلڈز موجود ہونے چاہئیں۔ اکیلے مقناطیسی میدان یا اکیلے برقی میدان کوئی کام نہیں کر سکتے۔ ہوائی جہاز کی لہریں ایک آئسوٹروپک نقصان کے بغیر میڈیم میں پھیلنے والی برقی مقناطیسی ہوائی جہاز کی لہر میں، فوری پوائنٹنگ ویکٹر ہمیشہ پھیلاؤ کی سمت کی طرف اشارہ کرتا ہے جبکہ شدت میں تیزی سے ارتعاش کرتا ہے۔ یہ آسانی سے دیکھا جا سکتا ہے کہ ایک طیارہ لہر میں، مقناطیسی میدان H (r, t) کی شدت برقی میدان ویکٹر E (r, t) کی شدت سے η سے تقسیم کی جاتی ہے، ٹرانسمیشن میڈیم کی اندرونی رکاوٹ: جہاں |A | A کے ویکٹر معیار کی نمائندگی کرتا ہے۔ چونکہ E اور H ایک دوسرے کے صحیح زاویہ پر ہیں، اس لیے ان کے کراس پروڈکٹ کی شدت ان کے طول و عرض کی پیداوار ہے۔ عامیت کے نقصان کے بغیر آئیے ہم X کو برقی میدان کی سمت اور Y کو مقناطیسی میدان کی سمت سمجھتے ہیں۔ فوری پوائنٹنگ ویکٹر، جو E اور H کے کراس پروڈکٹ کے ذریعہ دیا گیا ہے، پھر مثبت Z سمت میں ہوگا: طیارہ لہر میں وقت کی اوسط طاقت کو تلاش کرنے کے لیے پھر لہر کی مدت (لہر کی الٹا تعدد) پر اوسط کی ضرورت ہوتی ہے: جہاں ایرمس جڑ کا اوسط مربع برقی میدان کا طول و عرض ہے۔ اس اہم صورت میں کہ E (t) چوٹی طول و عرض Epeak کے ساتھ کچھ تعدد پر سینوسائڈ طور پر مختلف ہوتا ہے، اس کا rms وولٹیج اوسط پوائنٹنگ ویکٹر کے ساتھ اس کے ذریعہ دیا جاتا ہے: یہ ہوائی جہاز کی لہر کے توانائی کے بہاؤ کی سب سے عام شکل ہے، کیونکہ سینوسائڈل فیلڈ طول و عرض اکثر ان کی چوٹی اقدار کے لحاظ سے ظاہر ہوتے ہیں، اور پیچیدہ مسائل کو عام طور پر ایک وقت میں صرف ایک تعدد پر غور کرتے ہوئے حل کیا جاتا ہے۔ تاہم، ایرمس کا استعمال کرتے ہوئے اظہار مکمل طور پر عام ہے، مثال کے طور پر، شور کے معاملے میں لاگو ہوتا ہے جس کے آر ایم ایس طول و عرض کو ماپا جا سکتا ہے لیکن جہاں "چوٹی" طول و عرض بے معنی ہے۔ فری اسپیس میں اندرونی امپیڈینس η محض فری اسپیس η0 ≈ 377 ω کے امپیڈینس کے ذریعہ دیا جاتا ہے۔ غیر مقناطیسی ڈائی الیکٹرکس میں (جیسے کہ نظری تعدد پر تمام شفاف مواد) ایک مخصوص ڈائی الیکٹرک مستقل εr کے ساتھ، یا کسی ایسے مواد کے ساتھ آپٹکس میں جس کا ریفریکٹیو انڈیکس ہے، اندرونی رکاوٹ اس طرح پائی جاتی ہے: آپٹکس میں، کسی سطح کو عبور کرنے والے تابکاری بہاؤ کی قدر، اس طرح اس سطح پر معمول کی سمت میں اوسط پوائنٹنگ ویکٹر جزو، تکنیکی طور پر تابکاری کے نام سے جانا جاتا ہے، جسے اکثر شدت (کسی حد تک مبہم اصطلاح) کہا جاتا ہے۔ خوردبین شعبوں کے لحاظ سے تشکیل میکس ویل کی مساوات کا "خوردبین" (تفریق) ورژن مادی میڈیا کے بلٹ ان ماڈل کے بغیر صرف بنیادی شعبوں E اور B کو قبول کرتا ہے۔ صرف ویکیوم پرمٹیویٹی اور پارگمیتا استعمال کی جاتی ہے، اور کوئی D یا H نہیں ہوتا ہے۔ جب یہ ماڈل استعمال کیا جاتا ہے، تو پوائنٹنگ ویکٹر کی تعریف اس طرح کی جاتی ہے جہاں μ0 ویکیوم پارگمیتا ہے۔ E برقی فیلڈ ویکٹر ہے ؛ B مقناطیسی بہاؤ ہے۔ یہ دراصل پوائنٹنگ ویکٹر کا عمومی اظہار ہے۔ پوئنٹنگ تھیوریم کی متعلقہ شکل یہ ہے کہ جہاں J کل موجودہ کثافت ہے اور توانائی کی کثافت u اس کے ذریعہ دی جاتی ہے جہاں ε0 ویکیوم پرمٹیویٹی ہے۔ یہ براہ راست میکسویل کی مساوات سے کل چارج اور کرنٹ اور صرف لورینٹز فورس قانون کے لحاظ سے اخذ کیا جا سکتا ہے۔ پوائنٹنگ ویکٹر کی دو متبادل تعریفیں خلا میں یا غیر مقناطیسی مواد میں برابر ہیں، جہاں۔ دیگر تمام معاملات میں، وہ اس میں مختلف ہوتے ہیں اور متعلقہ u خالص طور پر تابکار ہوتے ہیں، کیونکہ ڈسیپیشن کی اصطلاح کل کرنٹ کا احاطہ کرتی ہے، جبکہ E × H کی تعریف میں باؤنڈ کرنٹس کی شراکت ہوتی ہے جسے پھر ڈسیپیشن کی اصطلاح سے خارج کر دیا جاتا ہے۔ چونکہ صرف خوردبین فیلڈز E اور B کی ماخوذیت اور توانائی کی کثافت میں پائے جاتے ہیں، اس لیے موجود کسی بھی مواد کے بارے میں مفروضوں سے گریز کیا جاتا ہے۔ توانائی کی کثافت کے لیے پوائنٹنگ ویکٹر اور تھیوریم اور اظہار خلا اور تمام مادوں میں عالمگیر طور پر درست ہیں۔ وقت کی اوسط پوائنٹنگ ویکٹر پوائنٹنگ ویکٹر کے لیے مندرجہ بالا شکل فوری برقی اور مقناطیسی شعبوں کی وجہ سے فوری طاقت کے بہاؤ کی نمائندگی کرتی ہے۔ زیادہ عام طور پر، برقی مقناطیسیت میں مسائل کو ایک مخصوص تعدد پر سینوسائڈلی مختلف شعبوں کے لحاظ سے حل کیا جاتا ہے۔ اس کے بعد نتائج کو زیادہ عام طور پر لاگو کیا جا سکتا ہے، مثال کے طور پر، مختلف تعدد پر اور اتار چڑھاؤ والے طول و عرض کے ساتھ ایسی لہروں کی سپرپوزیشن کے طور پر متضاد تابکاری کی نمائندگی کرکے۔ اس طرح ہم فوری اور اوپر استعمال شدہ پر غور نہیں کریں گے، بلکہ ہر ایک کے لیے ایک پیچیدہ (ویکٹر) طول و عرض پر غور کریں گے جو فیزر نوٹیشن کا استعمال کرتے ہوئے ایک مربوط لہر کے مرحلے (نیز طول و عرض) کو بیان کرتا ہے۔ یہ پیچیدہ طول و عرض کے ویکٹر وقت کے افعال نہیں ہیں، کیونکہ انہیں ہر وقت ارتعاش کا حوالہ دیتے ہوئے سمجھا جاتا ہے۔ ایک فیزر جیسے کہ ایک سینوسائڈلی طور پر مختلف فیلڈ کی نشاندہی کرنے کے لیے سمجھا جاتا ہے جس کا فوری طول و عرض اس حقیقی حصے کی پیروی کرتا ہے جہاں سینوسائڈل لہر کی (ریڈین) تعدد پر غور کیا جا رہا ہے۔ ٹائم ڈومین میں، یہ دیکھا جائے گا کہ فوری پاور فلو 2ω کی فریکوئنسی پر اتار چڑھاؤ کرے گا۔ لیکن جو چیز عام طور پر دلچسپی کا باعث ہوتی ہے وہ اوسط بجلی کا بہاؤ ہے جس میں ان اتار چڑھاؤ پر غور نہیں کیا جاتا ہے۔ نیچے دیے گئے ریاضی میں، یہ ایک مکمل چکر میں ضم کر کے پورا کیا جاتا ہے۔ مندرجہ ذیل مقدار، جسے اب بھی "پوائنٹنگ ویکٹر" کہا جاتا ہے، کو براہ راست فیزروں کے لحاظ سے ظاہر کیا جاتا ہے: جہاں ऱ्ऱं پیچیدہ کنجوگیٹ کی نشاندہی کرتا ہے۔ وقت کی اوسط طاقت کا بہاؤ (مثال کے طور پر، ایک مکمل سائیکل پر اوسط فوری پوائنٹنگ ویکٹر کے مطابق) اس کے بعد کے حقیقی حصے کے ذریعہ دیا جاتا ہے۔ خیالی حصے کو عام طور پر نظر انداز کر دیا جاتا ہے، تاہم، یہ "رد عمل کی طاقت" کی نشاندہی کرتا ہے جیسے کہ کھڑی لہر یا اینٹینا کے قریب میدان کی وجہ سے مداخلت۔ ایک واحد برقی مقناطیسی طیارہ لہر میں (ایک کھڑی لہر کے بجائے جسے مخالف سمتوں میں سفر کرنے والی ایسی دو لہروں کے طور پر بیان کیا جا سکتا ہے)، اور بالکل مرحلے میں ہیں، اسی طرح مندرجہ بالا تعریف کے مطابق محض ایک حقیقی تعداد ہے۔ فوری پوائنٹنگ ویکٹر کی وقت اوسط کے مساوی کو مندرجہ ذیل طور پر دکھایا جا سکتا ہے۔ وقت کے ساتھ فوری پوائنٹنگ ویکٹر S کی اوسط اس طرح دی جاتی ہے: دوسری اصطلاح ڈبل فریکوئنسی جزو ہے جس کی اوسط قیمت صفر ہے، لہذا ہم پاتے ہیں: کچھ کنونشنوں کے مطابق، مندرجہ بالا تعریف میں 1/2 کا عنصر چھوٹ سکتا ہے۔ طاقت کے بہاؤ کو درست طریقے سے بیان کرنے کے لیے 1/2 سے ضرب کی ضرورت ہوتی ہے کیونکہ طول و عرض اور ارتعاش کرنے والی مقداروں کے چوٹی کے شعبوں کا حوالہ دیتے ہیں۔ اگر اس کے بجائے فیلڈز کو ان کی جڑ اوسط مربع (آر ایم ایس) اقدار کے لحاظ سے بیان کیا جاتا ہے (جو ہر عنصر سے چھوٹے ہوتے ہیں)، تو صحیح اوسط طاقت کا بہاؤ 1/2 سے ضرب کے بغیر حاصل کیا جاتا ہے۔ مزاحم بازی اگر کسی موصل میں نمایاں مزاحمت ہو، تو، اس موصل کی سطح کے قریب، پوائنٹنگ ویکٹر موصل کی طرف جھکا ہوا ہوگا اور اس پر اثر انداز ہوگا۔ ایک بار جب پوائنٹنگ ویکٹر کنڈکٹر میں داخل ہوتا ہے، تو یہ اس سمت کی طرف جھکا ہوتا ہے جو سطح پر تقریبا عمودی ہوتی ہے۔ یہ سنیل کے قانون اور موصل کے اندر روشنی کی بہت سست رفتار کا نتیجہ ہے۔ موصل میں روشنی کی رفتار کی تعریف اور حساب دیا جا سکتا ہے۔ کنڈکٹر کے اندر، پوائنٹنگ ویکٹر برقی مقناطیسی میدان سے تار میں توانائی کے بہاؤ کی نمائندگی کرتا ہے، جس سے تار میں مزاحم جول ہیٹنگ پیدا ہوتی ہے۔ سنیل کے قانون سے شروع ہونے والی مشتق کے لیے ریٹز صفحہ 454 دیکھیں۔ تابکاری کا دباؤ برقی مقناطیسی میدان کی لکیری رفتار کی کثافت S/c2 ہے جہاں S پوائنٹنگ ویکٹر کی شدت ہے اور c خالی جگہ میں روشنی کی رفتار ہے۔ کسی ہدف کی سطح پر برقی مقناطیسی لہر کے ذریعہ لگایا جانے والا تابکاری کا دباؤ پوائنٹنگ ویکٹر کی انفرادیت کے ذریعہ دیا جاتا ہے۔ پوائنٹنگ ویکٹر پوئنٹنگ کے نظریہ میں صرف اس کے انحراف کے ذریعے ہوتا ہے، یعنی، یہ صرف ضروری ہے کہ ایک بند سطح کے ارد گرد پوائنٹنگ ویکٹر کی سطح کا لازمی جزو برقی مقناطیسی توانائی کے بند حجم میں یا اس سے باہر کے خالص بہاؤ کو بیان کرے۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ S میں سولینائڈل ویکٹر فیلڈ (ایک صفر انحراف کے ساتھ) کو شامل کرنے کا نتیجہ ایک اور فیلڈ میں نکلے گا جو پوئنٹنگ کے نظریہ کے مطابق پوئنٹنگ ویکٹر فیلڈ کی اس مطلوبہ خاصیت کو پورا کرتا ہے۔ چونکہ کسی بھی کرل کا انحراف صفر ہوتا ہے، اس لیے کوئی بھی کسی بھی ویکٹر فیلڈ کے کرل کو پوئنٹنگ ویکٹر میں شامل کر سکتا ہے اور اس کے نتیجے میں بننے والا ویکٹر فیلڈ S′ پھر بھی پوئنٹنگ کے نظریہ کو مطمئن کرے گا۔ تاہم اگرچہ پوئنٹنگ ویکٹر اصل میں صرف پوئنٹنگ کے نظریہ کی خاطر وضع کیا گیا تھا جس میں صرف اس کا انحراف ظاہر ہوتا ہے، یہ پتہ چلتا ہے کہ اس کی شکل کا مذکورہ انتخاب منفرد ہے۔ مندرجہ ذیل حصہ ایک مثال دیتا ہے جو اس بات کی وضاحت کرتا ہے کہ E × H میں صوابدیدی سولینائڈل فیلڈ کو شامل کرنا کیوں قابل قبول نہیں ہے۔ جامد فیلڈز میں پوائنٹنگ ویکٹر پر غور میکسویل مساوات کی رشتہ دار نوعیت کو ظاہر کرتا ہے اور لورینٹز فورس کے مقناطیسی جزو کی بہتر تفہیم کی اجازت دیتا ہے۔ مثال کے طور پر، اس کے ساتھ والی تصویر پر غور کیا جاتا ہے، جو ایک سلنڈریکل کیپسیٹر میں پوائنٹنگ ویکٹر کو بیان کرتی ہے، جو ایک مستقل مقناطیس کے ذریعہ تیار کردہ ایچ فیلڈ (صفحہ کی طرف اشارہ کرتے ہوئے) میں واقع ہے۔ اگرچہ صرف جامد برقی اور مقناطیسی میدان موجود ہیں، لیکن پوائنٹنگ ویکٹر کا حساب برقی مقناطیسی توانائی کا گھڑی کی سمت میں سرکلر بہاؤ پیدا کرتا ہے، جس کا کوئی آغاز یا اختتام نہیں ہوتا ہے۔ اگرچہ گردش کرنے والی توانائی کا بہاؤ غیر جسمانی لگ سکتا ہے، لیکن کونیی رفتار کے تحفظ کو برقرار رکھنے کے لیے اس کا وجود ضروری ہے۔ آزاد خلا میں برقی مقناطیسی لہر کی رفتار اس کی طاقت کو c سے تقسیم کرنے کے برابر ہوتی ہے، جو روشنی کی رفتار ہے۔ لہذا برقی مقناطیسی توانائی کا سرکلر بہاؤ ایک کونیی رفتار کو ظاہر کرتا ہے۔ اگر کوئی چارج شدہ کیپسیٹر کی دو پلیٹوں کے درمیان تار کو جوڑتا ہے، تو اس تار پر ایک لورینٹز فورس ہوگی جب کہ کیپسیٹر خارج ہونے والے خارج ہونے والے کرنٹ اور کراس شدہ مقناطیسی میدان کی وجہ سے خارج ہو رہا ہے۔ وہ قوت مرکزی محور سے متصل ہوگی اور اس طرح نظام میں کونیی رفتار کا اضافہ ہوگا۔ وہ کونیی مومنٹم "پوشیدہ" کونیی مومنٹم سے میل کھاتا، جو پوائنٹنگ ویکٹر کے ذریعہ ظاہر ہوتا ہے، جو کیپسیٹر کے خارج ہونے سے پہلے گردش کرتا ہے۔ ویو ویکٹر حوالہ جات مزید پڑھنا برقی مقناطیسی تابکاری آپٹیکل مقدار ویکٹر (ریاضی اور طبیعیات)