Complete set of commuting observables
کوانٹم میکانکس میں، کمیوٹنگ آبزرویبلز کا ایک مکمل مجموعہ (سی ایس سی او) کمیوٹنگ آپریٹرز کا ایک مجموعہ ہے جس کے مشترکہ آئجین ویکٹرز کو کسی بھی کوانٹم حالت کو ظاہر کرنے کے لیے ایک بنیاد کے طور پر استعمال کیا جا سکتا ہے۔ مجرد سپیکٹرا والے آپریٹرز کے معاملے میں، سی ایس سی او نقل و حمل کرنے والے مشاہدین کا ایک مجموعہ ہے جس کی بیک وقت آئجین اسپیس ہلبرٹ اسپیس پر پھیلی ہوئی ہے، تاکہ آئجین ویکٹرز کو آئجین ویلیوز کے متعلقہ سیٹوں کے ذریعہ منفرد طور پر متعین کیا جائے۔ چونکہ سیٹ کمیوٹس میں مشاہدہ کے ہر جوڑے، مشاہدہ کے تمام مطابقت رکھتے ہیں تاکہ ایک قابل مشاہدہ کی پیمائش کا سیٹ میں دوسرے قابل مشاہدہ کی پیمائش کے نتیجے پر کوئی اثر نہ پڑے۔ اس لیے یہ ضروری نہیں ہے کہ اس ترتیب کی وضاحت کی جائے جس میں مختلف مشاہدات کی پیمائش کی جاتی ہے۔ آبزرویبلز کے مکمل سیٹ کی پیمائش ایک مکمل پیمائش تشکیل دیتی ہے، اس معنی میں کہ یہ سسٹم کی کوانٹم حالت کو آپریٹرز کے سیٹ کی طرف سے بیان کردہ بنیاد پر ایک منفرد اور معروف ویکٹر پر پیش کرتی ہے۔ یعنی، مکمل طور پر متعین حالت کو تیار کرنے کے لیے، ہمیں کسی بھی حالت کو من مانی طور پر لینا پڑتا ہے، اور پھر سیٹ میں موجود تمام مشاہدات کے مطابق پیمائش کا تسلسل انجام دینا ہوتا ہے، یہاں تک کہ یہ ہلبرٹ اسپیس (ایک مرحلے تک) میں ایک منفرد طور پر مخصوص ویکٹر بن جائے۔ مطابقت تھیوریم دو مشاہدات پر غور کریں، اور، آپریٹرز اور کے ذریعہ نمائندگی کی گئی ہے۔ پھر درج ذیل بیانات مساوی ہیں: اور قابل مشاہدہ مطابقت رکھتے ہیں۔ اور ایک مشترکہ آئجین بیس رکھتے ہیں۔ آپریٹرز اور آمد و رفت، یعنی۔ ثبوت بحث ہم مذکورہ بالا دونوں کو قابل مشاہدہ اور قابل غور سمجھتے ہیں۔ فرض کریں کہ کیٹس کا ایک مکمل مجموعہ موجود ہے جس کا ہر عنصر بیک وقت اور کا آئجینکیٹ ہے۔ پھر ہم یہ کہتے ہیں اور مطابقت رکھتے ہیں۔ اگر ہم بالترتیب اور کے مطابق آئجن ویلیوز کی نشاندہی کرتے ہیں، تو ہم لکھ سکتے ہیں کہ اگر نظام آئجن اسٹیٹس میں سے کسی ایک میں ہوتا ہے، تو دونوں کو بیک وقت درستگی کی کسی بھی صوابدیدی سطح تک ماپا جا سکتا ہے، اور ہم بالترتیب نتائج حاصل کریں گے۔ اس خیال کو دو سے زیادہ قابل مشاہدہ افراد تک بڑھایا جا سکتا ہے۔ مطابقت پذیر مشاہدوں کی مثالیں پوزیشن آپریٹر کے کارٹیشین اجزاء ہیں، اور۔ یہ تمام اجزاء مطابقت رکھتے ہیں۔ اسی طرح، مومنٹم آپریٹر کے کارٹیشین اجزاء، یعنی، اور بھی مطابقت رکھتے ہیں۔ رسمی تعریف آبزرویبلز کے ایک سیٹ کو سی ایس سی او کہا جاتا ہے اگر: تمام آبزرویبلز جوڑوں میں سفر کرتے ہیں۔ اگر ہم سی ایس سی او میں تمام آپریٹرز کی آئجین ویلیوز کی وضاحت کرتے ہیں، تو ہم سسٹم کے ہلبرٹ اسپیس میں ایک منفرد آئجین ویکٹر (فیز تک) کی شناخت کرتے ہیں۔ اگر ہمیں سی ایس سی او دیا جائے تو ہم متعلقہ آپریٹرز کے مشترکہ آئجین ویکٹروں سے بنی حالتوں کی جگہ کے لیے ایک بنیاد کا انتخاب کر سکتے ہیں۔ ہم منفرد طور پر ہر آئجین ویکٹر (ایک مرحلے تک) کی شناخت آئجین ویلیوز کے سیٹ سے کر سکتے ہیں جس سے یہ مطابقت رکھتا ہے۔ بحث آئیے ہمارے پاس ایک قابل مشاہدہ آپریٹر ہے، جس میں تمام غیر انحطاط پذیر آئجین ویلیوز ہیں۔ نتیجے کے طور پر، ہر آئجین ویلیو سے مطابقت رکھنے والی ایک منفرد آئجین اسٹیٹ ہوتی ہے، جس سے ہم ان کو ان کے متعلقہ آئجین ویلیوز سے لیبل لگا سکتے ہیں۔ مثال کے طور پر، آئجن ویلیو سے مطابقت رکھنے والی آئجن اسٹیٹ کو اس طرح لیبل کیا جا سکتا ہے۔ اس طرح کا قابل مشاہدہ خود ایک خود کفیل سی ایس سی او ہے۔ تاہم، اگر کے کچھ آئجین ویلیوز انحطاط پذیر ہیں (جیسے کہ انحطاط پذیر توانائی کی سطح)، تو مندرجہ بالا نتیجہ اب برقرار نہیں رہتا ہے۔ ایسی صورت میں، ہمیں ایک ہی آئجن ویلیو سے مطابقت رکھنے والے آئجن فنکشنز کے درمیان فرق کرنے کی ضرورت ہے۔ ایسا کرنے کے لیے، ایک دوسرا قابل مشاہدہ (جسے ہم اسے کہتے ہیں) متعارف کرایا جاتا ہے، جو اس کے ساتھ مطابقت رکھتا ہے۔ مطابقت تھیوریم ہمیں بتاتا ہے کہ اور کے آئجن فنکشن کی ایک مشترکہ بنیاد مل سکتی ہے۔ اب اگر آئجین ویلیوز کا ہر جوڑا منفرد طور پر اس بنیاد کے اسٹیٹ ویکٹر کی وضاحت کرتا ہے، تو ہم دعوی کرتے ہیں کہ ہم نے ایک سی ایس سی او: سیٹ تشکیل دیا ہے۔ انحطاط کو مکمل طور پر ہٹا دیا جاتا ہے۔ تاہم، ایسا ہو سکتا ہے کہ انحطاط مکمل طور پر ختم نہ ہو۔ یعنی کم از کم ایک جوڑا موجود ہے جو ایک آئجین ویکٹر کی منفرد شناخت نہیں کرتا ہے۔ اس صورت میں، ہم ایک اور قابل مشاہدہ شامل کرکے مندرجہ بالا عمل کو دہراتے ہیں، جو اور دونوں کے ساتھ مطابقت رکھتا ہے۔ اگر عام آئجین فنکشنز کی بنیاد، اور منفرد ہے، یعنی، آئجین ویلیوز کے سیٹ کے ذریعہ منفرد طور پر متعین کیا گیا ہے، تو ہم نے ایک سی ایس سی او تشکیل دیا ہے: اگر نہیں، تو ہم ایک اور مطابقت پذیر قابل مشاہدہ شامل کرتے ہیں اور سی ایس سی او حاصل ہونے تک عمل جاری رکھتے ہیں۔ ایک ہی ویکٹر اسپیس میں آنے جانے والے آپریٹرز کے الگ الگ مکمل سیٹ ہو سکتے ہیں۔ فرض کریں کہ ہمیں ایک محدود سی ایس سی او دیا گیا ہے۔ پھر ہم ہلبرٹ اسپیس میں کسی بھی عمومی حالت کو بڑھا سکتے ہیں کہ آپریٹرز کے آئجینکیٹس کہاں ہیں، اور ایک بیس اسپیس تشکیل دے سکتے ہیں۔ یعنی، وغیرہ اگر ہم حالت میں پیمائش کرتے ہیں تو اس امکان کو جو ہم بیک وقت پیمائش کرتے ہیں اس کے ذریعہ دیا جاتا ہے۔ آمد و رفت آپریٹرز کے ایک مکمل سیٹ کے لیے، ہم ایک یکطرفہ تبدیلی تلاش کر سکتے ہیں جو بیک وقت ان سب کو اخترن کر دے گی۔ مثال الیکٹران یا پروٹون کے بغیر ہائیڈروجن ایٹم گھومتا ہے کونیی مومنٹم آپریٹر کے دو اجزاء نقل و حرکت نہیں کرتے، لیکن تبادلوں کے تعلقات کو مطمئن کرتے ہیں: لہذا، کوئی بھی سی ایس سی او الیکٹران یا پروٹون کے بغیر ہائیڈروجن ایٹم کے ایک سے زیادہ اجزاء کو شامل نہیں کر سکتا۔ یہ دکھایا جا سکتا ہے کہ کونیی مومنٹم آپریٹر کا مربع، کے ساتھ حرکت کرتا ہے۔ نیز، ہیملٹنین صرف ایک فنکشن ہے اور اس میں گردشی غیر متغیر ہے، جہاں نظام کی کم شدہ کمیت ہے۔ چونکہ کے اجزاء گردش کے جنریٹر ہیں، اس لیے یہ دکھایا جا سکتا ہے کہ اس لیے، ایک آمد و رفت سیٹ پر مشتمل ہوتا ہے، ایک جزو (جسے لیا جاتا ہے) اور۔ مسئلے کا حل ہمیں بتاتا ہے کہ الیکٹرانوں کے گھومنے کو نظر انداز کرتے ہوئے سیٹ سی ایس سی او بناتا ہے۔ ہائیڈروجنک ایٹم کی ہلبرٹ جگہ میں کوئی بھی بنیادی حالت ہونے دیں۔ پھر یعنی، آئجین ویلیوز کا مجموعہ یا زیادہ آسانی سے، مکمل طور پر ہائیڈروجنک ایٹم کی ایک منفرد آئجین اسٹیٹ کی وضاحت کرتا ہے۔ آزاد ذرہ آزاد ذرہ کے لیے، ترجمہ کے تحت ہیملٹنین غیر متغیر ہے۔ ترجمہ ہیملٹنین کے ساتھ آتا ہے: تاہم، اگر ہم ترجمہ آپریٹر کی بنیاد پر ہیملٹنین کا اظہار کرتے ہیں، تو ہم پائیں گے کہ اس میں دوگنا انحطاط پذیر آئجین ویلیوز ہیں۔ یہ دکھایا جا سکتا ہے کہ اس معاملے میں سی ایس سی او بنانے کے لیے ہمیں ایک اور آپریٹر کی ضرورت ہے جسے پیریٹی آپریٹر کہا جاتا ہے، جیسے کہ۔ سی ایس سی او بناتا ہے۔ ایک بار پھر، آئیگن ویلیو کے مطابق ڈیجینریٹ آئیگن اسٹیٹس ہونے دیں، یعنی۔ ڈیجینریسی کو مومنٹم آپریٹر کے ذریعے ہٹا دیا جاتا ہے۔ تو، ایک سی ایس سی او بناتا ہے۔ کونیی مومینٹا کا اضافہ ہم متعلقہ کونیی مومینٹم آپریٹرز اور کے ساتھ دو نظاموں، 1 اور 2 کے معاملے پر غور کرتے ہیں۔ ہم کے اور کے اور کے اور کے آئجین اسٹیٹس لکھ سکتے ہیں۔ پھر مکمل نظام کی بنیادی حالتیں اس کے ذریعے دی جاتی ہیں۔ لہذا، مکمل نظام کے لیے، آئجن ویلیوز کا مجموعہ مکمل طور پر ایک منفرد بنیادی حالت کی وضاحت کرتا ہے، اور ایک سی ایس سی او بناتا ہے۔ اسی طرح، کل کونیی مومنٹم آپریٹر کے لحاظ سے، نظام کے لیے بنیادی حالتوں کا ایک اور مجموعہ موجود ہے۔ کے آئجین ویلیوز وہ ہیں جہاں اقدار کا مقابلہ ہوتا ہے، اور وہ جہاں کے ہیں۔ آپریٹرز کی بنیادی ریاستیں اور ہیں۔ اس طرح ہم آئجین ویلیوز کے سیٹ کے ذریعہ مکمل نظام کے ہلبرٹ اسپیس میں ایک منفرد بنیادی حالت کی بھی وضاحت کر سکتے ہیں، اور متعلقہ سی ایس سی او ہے۔ کوانٹم نمبر بھی دیکھیں اچھا کوانٹم نمبر کوانٹم میکانکس کی ریاضیاتی ساخت کوانٹم میکانکس آپریٹرز کو کوانٹم میکانکس میں کینونکل کمیونیکیشن ریلیشن کوانٹم میکانکس میں پیمائش ویو فنکشن اینگولر مومنٹم (کوانٹم میکانکس) حوالہ جات کا خاتمہ۔ آر۔ پی۔ فین مین، آر۔ بی۔ لیٹن اینڈ ایم سینڈز: دی فین مین لیکچرز آن فزکس، ایڈیسن ویسلے، 1965 آر شنکر، پرنسپل آف کوانٹم میکینکس، سیکنڈ ایڈیشن، سپرنگر (1994)۔ جے جے ساکورائی، ماڈرن کوانٹم میکینکس، ریوائزڈ ایڈیشن، پیئرسن (1994)۔ بی ایچ برینسڈن اور سی جے جواچین، کوانٹم میکینکس، سیکنڈ ایڈیشن، پیئرسن ایجوکیشن لمیٹڈ، 2000۔ مطابقت کے نظریہ پر بحث کے لیے، لیکچر نوٹس آف اسکول آف فزکس اینڈ ایسٹرونومی آف دی یونیورسٹی آف ایڈنبرا۔ http://www2.ph.ed.ac.uk ~ ldeldebb/docs/QM/lect2. pdf. پروفیسر ایس گپتا، ٹاٹا انسٹی ٹیوٹ آف فنڈامینٹل ریسرچ، ممبئی کے لیکچر نوٹوں میں سی ایس سی او پر ایک سلائیڈ۔ پروفیسر ایس گپتا، ٹاٹا انسٹی ٹیوٹ آف فنڈامینٹل ریسرچ، ممبئی کے لیکچر نوٹس میں فری پارٹیکل پر ایک سیکشن۔ http://theory.tifr.res.in ~ ایس گپتا/کورسز/کیو ایم 2013/ہینڈ 6. پی ڈی ایف کوانٹم میکینکس