Borel set
ریاضی میں، ایک بوریل سیٹ ٹپوولوجیکل اسپیس میں کوئی بھی سیٹ ہے جو قابل گنتی اتحاد، قابل گنتی چوراہے، اور رشتہ دار تکمیل کی کارروائیوں کے ذریعے کھلے سیٹوں (یا، مساوی طور پر، بند سیٹوں سے) سے تشکیل پایا جا سکتا ہے۔ بوریل سیٹوں کا نام ایمیل بوریل کے نام پر رکھا گیا ہے۔ ٹپوولوجیکل اسپیس X کے لیے، X پر موجود تمام بوریل سیٹوں کا مجموعہ ایک σ-الجبرا بناتا ہے، جسے بوریل الجبرا یا بوریل σ-الجبرا کہا جاتا ہے۔ X پر بریل الجبرا سب سے چھوٹا σ-الجبرا ہے جس میں تمام کھلے سیٹ (یا، مساوی طور پر، تمام بند سیٹ) ہوتے ہیں۔ پیمائش کے نظریہ میں بوریل سیٹ اہم ہیں، کیونکہ کسی جگہ کے کھلے سیٹوں، یا کسی جگہ کے بند سیٹوں پر بیان کردہ کسی بھی پیمائش کی وضاحت اس جگہ کے تمام بوریل سیٹوں پر بھی کی جانی چاہیے۔ بوریل سیٹوں پر بیان کردہ کسی بھی پیمائش کو بوریل پیمائش کہا جاتا ہے۔ بوریل سیٹ اور اس سے وابستہ بوریل درجہ بندی بھی وضاحتی سیٹ تھیوری میں بنیادی کردار ادا کرتے ہیں۔ کچھ سیاق و سباق میں، بوریل سیٹوں کی تعریف کھلی سیٹوں کے بجائے ٹپوولوجیکل اسپیس کے کمپیکٹ سیٹوں سے پیدا ہونے کے لیے کی جاتی ہے۔ دونوں تعریفیں بہت سے اچھے رویے والی جگہوں کے لیے مساوی ہیں، بشمول تمام ہاؤسڈورف σ-کمپیکٹ خالی جگہیں، لیکن زیادہ پیتھولوجیکل خالی جگہوں میں مختلف ہو سکتی ہیں۔ اس صورت میں کہ X ایک میٹرک اسپیس ہے، پہلے معنوں میں بوریل الجبرا کو عام طور پر اس طرح بیان کیا جا سکتا ہے: ایکس کے ذیلی سیٹوں کے مجموعہ ٹی کے لیے (یعنی ایکس کے پاور سیٹ پی (ایکس) کے کسی بھی ذیلی سیٹ کے لیے)، T کے عناصر کے تمام قابل گنتی اتحاد T کے عناصر کے تمام قابل گنتی چوراہے ہوں۔ اگر i ایک حد آرڈینل نہیں ہے، تو i کے پاس فوری طور پر پہلے والا آرڈینل i−1 ہے۔ اگر i ایک لمٹ آرڈینل ہے، تو سیٹ کریں دعوی یہ ہے کہ بوریل الجبرا Gω1 ہے، جہاں ω1 پہلا ناقابل شمار آرڈینل نمبر ہے۔ یعنی، آپریشن کو پہلے ناقابل شمار آرڈینل پر دہرا کر کھلے سیٹوں کی کلاس سے بوریل الجبرا تیار کیا جا سکتا ہے۔ اس دعوے کو ثابت کرنے کے لیے، میٹرک اسپیس میں کوئی بھی کھلا سیٹ بند سیٹوں کی بڑھتی ہوئی ترتیب کا اتحاد ہے۔ خاص طور پر، سیٹوں کی تکمیل کسی بھی حد آرڈینل ایم کے لیے جی ایم کو اپنے اندر نقشہ بناتی ہے ؛ اس کے علاوہ اگر ایم ایک ناقابل شمار حد آرڈینل ہے، تو جی ایم قابل گنتی اتحاد کے تحت بند ہوتا ہے۔ ہر بوریل سیٹ B کے لیے، کچھ قابل شمار آرڈینل αB ایسا ہوتا ہے کہ B کو αB پر آپریشن کو دہرا کر حاصل کیا جا سکتا ہے۔ تاہم، جیسا کہ B تمام بوریل سیٹوں پر مختلف ہوتا ہے، αB تمام قابل گنتی آرڈینلز پر مختلف ہوگا، اور اس طرح پہلا آرڈینل جس پر تمام بوریل سیٹیں حاصل کی جاتی ہیں وہ ω1 ہے، جو پہلا ناقابل شمار آرڈینل ہے۔ مثال ایک اہم مثال، خاص طور پر نظریہ امکان میں، حقیقی اعداد کے سیٹ پر موجود بوریل الجبرا ہے۔ یہ وہ الجبرا ہے جس پر بوریل پیمائش کی وضاحت کی گئی ہے۔ امکانات کی جگہ پر بیان کردہ ایک حقیقی بے ترتیب متغیر کو دیکھتے ہوئے، اس کی امکانات کی تقسیم تعریف کے مطابق بھی بوریل الجبرا پر ایک پیمائش ہے۔ حقیقی پر بریل الجبرا R پر سب سے چھوٹا σ-الجبرا ہے جس میں تمام وقفے ہوتے ہیں۔ ٹرانسفائنٹ انڈکشن کے ذریعے تعمیر میں، یہ دکھایا جا سکتا ہے کہ، ہر مرحلے میں، سیٹوں کی تعداد، زیادہ سے زیادہ، تسلسل کی بنیادی حیثیت ہے۔ تو، بوریل سیٹوں کی کل تعداد اس سے کم یا اس کے برابر ہے۔ در حقیقت، بوریل سیٹوں کے مجموعہ کی بنیادی حیثیت تسلسل کے برابر ہے (لیبسیگ پیمائش کے قابل سیٹوں کی تعداد سے موازنہ کریں جو موجود ہیں، جو سختی سے بڑے اور برابر ہیں)۔ معیاری بوریل خالی جگہیں اور کوراتووسکی تھیوریمز X کو ایک ٹپوولوجیکل جگہ ہونے دیں۔ X سے وابستہ بوریل اسپیس جوڑا (X، B) ہے، جہاں B X کے بوریل سیٹوں کا σ-الجبرا ہے۔ جارج میکی نے ایک بوریل اسپیس کی تعریف کچھ مختلف انداز میں کی ہے، یہ لکھتے ہوئے کہ یہ "ذیلی سیٹوں کے ایک ممتاز σ-فیلڈ کے ساتھ مل کر ایک سیٹ ہے جسے اس کے بوریل سیٹس کہا جاتا ہے"۔ تاہم، جدید استعمال ممتاز ذیلی الجبرا کو قابل پیمائش سیٹ اور ایسی خالی جگہوں کو قابل پیمائش خالی جگہیں کہنا ہے۔ اس فرق کی وجہ یہ ہے کہ بوریل سیٹ کھلے سیٹوں (ٹپوولوجیکل اسپیس کے) سے پیدا ہونے والے σ-الجبرا ہیں، جبکہ میکی کی تعریف ایک صوابدیدی σ-الجبرا سے لیس سیٹ سے مراد ہے۔ ایسی قابل پیمائش خالی جگہیں موجود ہیں جو بنیادی جگہ پر ٹوپولوجی کے کسی بھی انتخاب کے لیے بوریل خالی جگہیں نہیں ہیں۔ پیمائش کے قابل خالی جگہیں ایک زمرہ بناتی ہیں جس میں مورفزم قابل پیمائش خالی جگہوں کے درمیان پیمائش کے قابل افعال ہوتے ہیں۔ ایک فنکشن قابل پیمائش ہے اگر وہ قابل پیمائش سیٹوں کو پیچھے کھینچتا ہے، یعنی، Y میں تمام قابل پیمائش سیٹوں B کے لیے، سیٹ X تھیوریم میں قابل پیمائش ہے۔ فرض کریں کہ X ایک پولینڈ کی جگہ ہے، یعنی ایک ٹپوولوجیکل جگہ ایسی ہے کہ X پر ایک میٹرک d ہے جو X کی ٹوپولوجی کی وضاحت کرتا ہے اور جو X کو ایک مکمل علیحدہ میٹرک جگہ بناتا ہے۔ پھر X بطور ایک بوریل جگہ R، Z، ایک محدود جگہ میں سے ایک کے لیے آئسومورفک ہے۔ (یہ نتیجہ مہارام کے نظریہ کی یاد دلاتا ہے۔) بوریل خالی جگہوں کے طور پر سمجھی جانے والی حقیقی لکیر R، قابل شمار سیٹ کے ساتھ R کا اتحاد، اور Rn آئسومورفک ہیں۔ ایک معیاری بوریل جگہ پولینڈ کی جگہ سے وابستہ بوریل جگہ ہے۔ ایک معیاری بوریل جگہ کو آئسومورفزم تک اس کی کارڈینالیٹی کی طرف سے نمایاں کیا جاتا ہے، اور کسی بھی بے شمار معیاری بوریل جگہ میں تسلسل کی کارڈینالیٹی ہوتی ہے۔ پولینڈ کی جگہوں کے ذیلی سیٹوں کے لیے، بوریل سیٹوں کو ان سیٹوں کے طور پر نمایاں کیا جا سکتا ہے جو پولینڈ کی جگہوں پر بیان کردہ مسلسل انجیکشن نقشوں کی حدود ہیں۔ تاہم، نوٹ کریں کہ مسلسل غیر انجکشن نقشے کی حد بوریل ہونے میں ناکام ہو سکتی ہے۔ تجزیاتی سیٹ دیکھیں۔ ایک معیاری بوریل جگہ پر ہر امکان کی پیمائش اسے ایک معیاری امکان کی جگہ میں بدل دیتی ہے۔ غیر بوریل سیٹ حقیقی کے ذیلی سیٹ کی ایک مثال جو لوسین کی وجہ سے غیر بوریل ہے، ذیل میں بیان کی گئی ہے۔ اس کے برعکس، ناپنے کے قابل سیٹ کی مثال ظاہر نہیں کی جا سکتی، حالانکہ اس کا وجود ثابت کیا جا سکتا ہے۔ ہر غیر معقول نمبر کی ایک لامحدود مسلسل فریکشن کے ذریعہ ایک منفرد نمائندگی ہوتی ہے جہاں کچھ عدد ہوتے ہیں اور دیگر تمام اعداد مثبت عدد ہوتے ہیں۔ تمام غیر معقول اعداد کا مجموعہ ہونے دیں جو درج ذیل خاصیت کے ساتھ ترتیب سے مطابقت رکھتے ہیں: ایک لامحدود تسلسل موجود ہے جیسے کہ ہر عنصر اگلے عنصر کا تقسیم کنندہ ہے۔ یہ سیٹ بوریل نہیں ہے۔ درحقیقت، یہ تجزیاتی ہے، اور تجزیاتی سیٹوں کی کلاس میں مکمل ہے۔ مزید تفصیلات کے لیے صفحہ 209 پر وضاحتی سیٹ تھیوری اور کیچریس کی کتاب، خاص طور پر ورزش (27.2)، صفحہ 169 پر تعریف (22.9)، اور صفحہ 14 پر ورزش (3.4) (2) دیکھیں۔ یہ نوٹ کرنا ضروری ہے کہ اگرچہ ZF میں تعمیر کیا جا سکتا ہے، لیکن اسے صرف ZF میں غیر بوریل ثابت نہیں کیا جا سکتا۔ درحقیقت، یہ ZF سے مطابقت رکھتا ہے جو کہ قابل گنتی سیٹوں کا قابل گنتی اتحاد ہے، تاکہ کا کوئی بھی ذیلی سیٹ ایک بوریل سیٹ ہو۔ ایک اور غیر بوریل سیٹ ایک لامحدود برابری فنکشن کی الٹا تصویر ہے۔ تاہم، یہ وجود کا ثبوت ہے (انتخاب کے محور کے ذریعے)، نہ کہ ایک واضح مثال۔ متبادل غیر مساوی تعریفیں پال ہالموس کے مطابق، مقامی طور پر کمپیکٹ ہاؤس ڈورف ٹپوولوجیکل اسپیس کے ذیلی سیٹ کو بوریل سیٹ کہا جاتا ہے اگر یہ تمام کمپیکٹ سیٹوں پر مشتمل سب سے چھوٹی σ-رنگ سے تعلق رکھتا ہے۔ نوربرگ اور ویراٹ نے ٹپوولوجیکل اسپیس کے بوریل الجبرا کو اس کے کھلے ذیلی سیٹوں اور اس کے کمپیکٹ سیچوریٹڈ ذیلی سیٹوں سے پیدا ہونے والے-الجبرا کے طور پر دوبارہ بیان کیا ہے۔ یہ تعریف اس صورت میں ایپلی کیشنز کے لیے اچھی طرح سے موزوں ہے جہاں ہاؤز ڈورف نہیں ہے۔ یہ معمول کی تعریف کے ساتھ موافق ہے اگر دوسرا قابل گنتی ہے یا اگر ہر کمپیکٹ سیچوریٹڈ سب سیٹ بند ہے (جو خاص طور پر اگر ہاؤز ڈورف ہے)۔ نوٹ حوالہ جات ولیم آرویسن، این انویٹیشن ٹو سی *-الجیبراس، سپرنگر-ورلاگ، 1981 بھی دیکھیں۔ (پولینڈ کی ٹوپولوجی کی بہترین وضاحت کے لیے باب 3 دیکھیں) رچرڈ ڈڈلی، حقیقی تجزیہ اور امکان۔ ویڈس ورتھ، بروکس اور کول، 1989 خاص طور پر سیکٹ دیکھیں۔ 51 "بوریل سیٹ اور بائر سیٹ"۔ ہالسی رائڈن، ریئل اینالیسس، پرینٹس ہال، 1988 الیگزینڈر ایس کیچریس، کلاسیکی وضاحتی سیٹ تھیوری، سپرنگر-ورلاگ، 1995 (ریاضی میں گریجویٹ ٹیکسٹ۔، جلد۔ 156) بیرونی روابط میزر نظام میں بوریل سیٹس کی رسمی تعریف، اور ان نظریات کی فہرست جو اس کے بارے میں باضابطہ طور پر ثابت ہو چکے ہیں۔ ٹوپولوجی وضاحتی سیٹ تھیوری