Mellin inversion theorem
ریاضی میں، میلن الٹا فارمولا (جس کا نام ہلمار میلن کے نام پر رکھا گیا ہے) ہمیں ایسے حالات بتاتا ہے جن کے تحت الٹا میلن تبدیل ہوتا ہے، یا مساوی طور پر الٹا دو رخا لیپلیس تبدیل ہوتا ہے، جس کی وضاحت کی جاتی ہے اور تبدیل شدہ فنکشن کو بازیافت کیا جاتا ہے۔ طریقہ اگر پٹی میں تجزیاتی ہے، اور اگر یہ a اور b کے درمیان کسی حقیقی قدر c کے لیے یکساں طور پر صفر کا رجحان رکھتا ہے، اس طرح کی لکیر کے ساتھ اس کا انٹیگرل بالکل بدلتا ہے، تو اگر ہمارے پاس اس کے برعکس ہے، تو فرض کریں کہ مثبت حقیقی اعداد پر ٹکڑے ٹکڑے سے مسلسل ہے، کسی بھی چھلانگ کے تعطل پر حد اقدار کے درمیان ایک قدر لے کر، اور فرض کریں کہ جب انٹیگرل بالکل متغیر ہے۔ پھر اس کے میلن ٹرانسفارم سے الٹا میلن ٹرانسفارم کے ذریعے بازیافت کیا جا سکتا ہے۔ یہ نتائج متغیرات کی تبدیلی کے ذریعے میلن ٹرانسفارم کو فورئیر ٹرانسفارم سے جوڑ کر اور پھر فورئیر انورژن تھیوریم کے مناسب ورژن کو لاگو کرکے حاصل کیے جا سکتے ہیں۔ باؤنڈنیس کنڈیشن اگر مسلسل ہو تو باؤنڈنیس کنڈیشن کو مضبوط کیا جا سکتا ہے۔ اگر پٹی میں تجزیاتی ہے، اور اگر، جہاں K ایک مثبت مستقل ہے، تو جیسا کہ انورژن انٹیگرل کے ذریعہ بیان کیا گیا ہے وہ موجود ہے اور مسلسل ہے ؛ اس کے علاوہ کی میلن تبدیلی کم از کم کے لیے ہے۔ دوسری طرف، اگر ہم کسی اصل کو قبول کرنے کے لیے تیار ہیں جو کہ ایک عمومی فنکشن ہے، تو ہم باؤنڈنیس کی شرط میں نرمی کر سکتے ہیں تاکہ اسے کھلی پٹی میں موجود کسی بھی بند پٹی میں کثیر الجہتی نمو کا بنا دیا جا سکے۔ ہم اس تھیوریم کے بناچ اسپیس ورژن کی بھی وضاحت کر سکتے ہیں۔ اگر ہم مثبت حقیقتوں پر پیچیدہ قابل قدر افعال کی وزنی ایل پی جگہ سے کال کرتے ہیں کہ جہاں ν اور p حقیقی اعداد کے ساتھ طے شدہ ہیں، تو اگر ساتھ میں ہے، تو اس کا تعلق ہے اور یہاں افعال، پیمائش صفر کے سیٹ کے علاوہ ہر جگہ یکساں ہیں، کی شناخت کی جاتی ہے۔ چونکہ دو طرفہ لیپلیس ٹرانسفارم کی تعریف کی جا سکتی ہے کیونکہ ان نظریات کو فوری طور پر اس پر بھی لاگو کیا جا سکتا ہے۔ میلن ٹرانسفارم نچبن تھیوریم حوالہ جات بیرونی روابط ٹیبلز آف انٹیگرل ٹرانسفارمز ایٹ ایکیو ورلڈ: دی ورلڈ آف میتھمیٹیکل ایکویشنز بھی دیکھیں۔ پیچیدہ تجزیے میں انٹیگرل تھیوریمز کو تبدیل کرتا ہے۔