Lp space
ریاضی میں، خالی جگہیں فنکشن خالی جگہیں ہیں جن کی وضاحت محدود جہتی ویکٹر خالی جگہوں کے لیے-نارم کی قدرتی عمومی کاری کا استعمال کرتے ہوئے کی گئی ہے۔ انہیں بعض اوقات لیبسیگ خالی جگہیں کہا جاتا ہے، جن کا نام ہنری لیبسیگ کے نام پر رکھا گیا ہے، حالانکہ بورباکی گروپ کے مطابق انہیں سب سے پہلے فریگیس ریز نے متعارف کرایا تھا۔ خالی جگہیں فنکشنل تجزیہ اور ٹپوولوجیکل ویکٹر خالی جگہوں میں بناچ خالی جگہوں کی ایک اہم کلاس بناتی ہیں۔ پیمائش اور امکانی خالی جگہوں کے ریاضیاتی تجزیے میں ان کے کلیدی کردار کی وجہ سے، لیبسیگ خالی جگہوں کو طبیعیات، شماریات، معاشیات، مالیات، انجینئرنگ اور دیگر شعبوں میں مسائل کی نظریاتی بحث میں بھی استعمال کیا جاتا ہے۔ اطلاقات شماریات میں، مرکزی رجحان اور شماریاتی بازی کے اقدامات، جیسے اوسط، میڈین، اور معیاری انحراف، کی تعریف میٹرکس کے لحاظ سے کی جاتی ہے، اور مرکزی رجحان کے اقدامات کو متغیر مسائل کے حل کے طور پر بیان کیا جا سکتا ہے۔ سزا یافتہ رجعت میں، "ایل 1 جرمانہ" اور "ایل 2 جرمانہ" سے مراد کسی حل کے ویکٹر کے پیرامیٹر اقدار کے معیار کو سزا دینا ہے (یعنی۔ اس کی مطلق اقدار کا مجموعہ)، یا اس کا معیار (اس کی یوکلڈین لمبائی)۔ ایسی تکنیکیں جو ایل 1 جرمانے کا استعمال کرتی ہیں، جیسے لاسو، حل کی حوصلہ افزائی کرتی ہیں جہاں بہت سے پیرامیٹرز صفر ہوتے ہیں۔ ایسی تکنیکیں جو ایل 2 جرمانے کا استعمال کرتی ہیں، جیسے رج ریگریشن، حل کی حوصلہ افزائی کرتی ہیں جہاں زیادہ تر پیرامیٹر ویلیوز چھوٹی ہوتی ہیں۔ لچکدار خالص باقاعدگی ایک جرمانہ اصطلاح کا استعمال کرتی ہے جو معیار اور پیرامیٹر ویکٹر کے معیار کا مجموعہ ہے۔ ہاؤزڈورف-ینگ عدم مساوات حقیقی لکیر کے لیے فورئیر کی تبدیلی (یا، وقتا فوقتا افعال کے لیے، فورئیر سیریز دیکھیں)، بالترتیب (یا کرنے) کے نقشے، جہاں اور یہ ریز-تھورن انٹرپولیشن تھیوریم کا نتیجہ ہے، اور ہاؤزڈورف-ینگ عدم مساوات کے ساتھ عین مطابق بنایا گیا ہے۔ اس کے برعکس، اگر فورئیر ٹرانسفارم ہلبرٹ خالی جگہوں میں نقشہ نہیں بناتا ہے تو ہلبرٹ خالی جگہیں کوانٹم میکانکس سے لے کر اسٹاکسٹک کیلکولس تک بہت سی ایپلی کیشنز کے لیے مرکزی ہیں۔ خالی جگہیں اور دونوں ہلبرٹ خالی جگہیں ہیں۔ در حقیقت، ہلبرٹ بیس یعنی کسی بھی ہلبرٹ اسپیس کا زیادہ سے زیادہ آرتھونورمل سب سیٹ کا انتخاب کرنے سے، کوئی یہ دیکھتا ہے کہ ہر ہلبرٹ اسپیس آئسومیٹرک طور پر آئسومورفک ہے (جیسا کہ اوپر ہے)، یعنی ہلبرٹ اسپیس جس کی قسم دی-نارم محدود جہتوں میں ہے۔-جہتی حقیقی ویکٹر اسپیس میں ویکٹر کی لمبائی عام طور پر یوکلڈین نارم کے ذریعہ دی جاتی ہے: دو پوائنٹس کے درمیان یوکلڈین فاصلہ اور یہ دونوں پوائنٹس کے درمیان سیدھی لکیر کی لمبائی ہے۔ بہت سے حالات میں، یوکلڈین فاصلہ کسی دی گئی جگہ میں اصل فاصلے پر قبضہ کرنے کے لیے ناکافی ہے۔ اس کے لیے ایک مشابہت گرڈ اسٹریٹ پلان میں ٹیکسی ڈرائیوروں کے ذریعے تجویز کی جاتی ہے جنہیں فاصلے کی پیمائش اپنی منزل تک سیدھی لکیر کی لمبائی کے لحاظ سے نہیں کرنی چاہیے، بلکہ مستطیل فاصلے کے لحاظ سے کرنی چاہیے، جو اس بات کو مدنظر رکھتا ہے کہ سڑکیں یا تو آرتھوگنل ہیں یا ایک دوسرے کے متوازی ہیں۔ معیارات کی کلاس ان دو مثالوں کو عام کرتی ہے اور ریاضی، طبیعیات اور کمپیوٹر سائنس کے بہت سے حصوں میں اس کے استعمال کی کثرت ہے۔ تعریف کسی حقیقی عدد کے لیے-نارم یا-نارم کی تعریف اس طرح کی جاتی ہے کہ مطلق قدر کی سلاخوں کو تب گرایا جا سکتا ہے جب وہ ایک عقلی عدد ہو جس میں اس کی کم شدہ شکل میں یکساں عدد ہو، اور اسے حقیقی اعداد کے سیٹ، یا اس کے ذیلی سیٹوں میں سے کسی ایک سے کھینچا جائے۔ اوپر سے یوکلیڈین معیار اس طبقے میں آتا ہے اور-معمول ہے، اور-معمول وہ معیار ہے جو مستطیل فاصلے سے مطابقت رکھتا ہے۔ - نارم یا زیادہ سے زیادہ نارم (یا یکساں نارم)-نارمز کی حد ہے۔ یہ پتہ چلتا ہے کہ یہ حد درج ذیل تعریف کے مساوی ہے: دیکھیں-انفینیٹی۔ جیسا کہ اوپر بیان کیا گیا ہے، تمام-اصولوں اور زیادہ سے زیادہ اصولوں کے لیے درحقیقت "لمبائی فنکشن" (یا معمول) کی خصوصیات کو پورا کرتے ہیں، جو یہ ہیں کہ: صرف صفر ویکٹر کی لمبائی صفر ہوتی ہے، ویکٹر کی لمبائی ایک اسکیلر (مثبت یکسانیت) کے ذریعے ضرب کے حوالے سے مثبت یکساں ہوتی ہے، اور دو ویکٹرز کے مجموعے کی لمبائی ویکٹرز کی لمبائی کے مجموعے (مثلث عدم مساوات) سے بڑی نہیں ہوتی ہے۔ خلاصہ یہ ہے کہ اس کا مطلب یہ ہے کہ-نارم کے ساتھ مل کر ایک معیاری ویکٹر اسپیس ہے۔ مزید برآں، یہ پتہ چلتا ہے کہ یہ جگہ مکمل ہے، اس طرح یہ بناچ کی جگہ بن جاتی ہے۔ دو پوائنٹس کے درمیان گرڈ کا فاصلہ یا مستطیل فاصلہ (جسے بعض اوقات "مین ہیٹن فاصلہ" کہا جاتا ہے) ان کے درمیان لائن کے حصے کی لمبائی سے کبھی کم نہیں ہوتا ہے (یوکلڈین یا "جیسا کہ کووا اڑتا ہے" فاصلہ)۔ رسمی طور پر، اس کا مطلب یہ ہے کہ کسی بھی ویکٹر کا یوکلیڈین معیار اس کے 1-معیار سے جڑا ہوا ہے: یہ حقیقت اس میں-معیارات کو عام کرتی ہے کہ کسی بھی ویکٹر کا-معیار اس کے ساتھ نہیں بڑھتا ہے: مخالف سمت کے لیے،-معمول اور-معمول کے درمیان درج ذیل تعلق معلوم ہے: یہ عدم مساوات بنیادی ویکٹر اسپیس کے طول و عرض پر منحصر ہے اور براہ راست کاچی-شوارز عدم مساوات سے پیروی کرتی ہے۔ عام طور پر، ویکٹروں کے لیے جہاں یہ ہولڈر کی عدم مساوات کا نتیجہ ہے۔ جب فارمولے کے لیے ایک بالکل یکساں فنکشن کی وضاحت کرتا ہے تاہم، نتیجے میں فنکشن کسی معیار کی وضاحت نہیں کرتا ہے، کیونکہ یہ ذیلی اضافی نہیں ہے۔ دوسری طرف، فارمولہ مطلق یکسانیت کو کھونے کی قیمت پر ذیلی اضافی فنکشن کی وضاحت کرتا ہے۔ یہ ایک ایف-نارم کی وضاحت کرتا ہے، تاہم، جو ڈگری کا یکساں ہے لہذا، فنکشن ایک میٹرک کی وضاحت کرتا ہے۔ اگرچہ اس میٹرک میں اصل کے ارد گرد-یونٹ گیند "کنکیو" ہے، لیکن میٹرک کے ذریعہ جس ٹوپولوجی کی وضاحت کی گئی ہے وہ معمول کی ویکٹر اسپیس ٹوپولوجی ہے لہذا یہ مقامی طور پر کنویکس ٹوپولوجیکل ویکٹر اسپیس ہے۔ اس کوالٹی اسٹیٹمنٹ سے آگے، کے کنویکسٹی کی کمی کی پیمائش کرنے کا ایک مقداری طریقہ یہ ہے کہ سب سے چھوٹے مستقل سے اس طرح ظاہر کیا جائے کہ-یونٹ بال کے اسکیلر ملٹیپل میں کنویکس ہل ہو جس کا برابر ہو۔ حقیقت یہ ہے کہ فکسڈ کے لیے ہمارے پاس یہ ظاہر ہوتا ہے کہ نیچے بیان کردہ لامحدود جہتی ترتیب کی جگہ، اب مقامی طور پر کنویکس نہیں ہے۔ جب ایک معمول اور دوسرا فنکشن ہوتا ہے جسے "معمول" کہا جاتا ہے (حوالہ کے نشانات کے ساتھ)۔ معمول کی ریاضیاتی تعریف بناچ کے تھیوری آف لینیر آپریشنز نے قائم کی تھی۔ ترتیبات کی جگہ میں ایک مکمل میٹرک ٹوپولوجی ہے جو ایف-نارم کے ذریعہ فراہم کی گئی ہے جس پر اسٹیفن رولویکس نے میٹرک لکیری جگہوں میں تبادلہ خیال کیا ہے۔ عام جگہ کا مطالعہ فنکشنل تجزیہ، امکانی نظریہ، اور ہارمونک تجزیہ میں کیا جاتا ہے۔ ایک اور فنکشن کو ڈیوڈ ڈونوہو نے "نارم" کہا تھا-جس کے اقتباس کے نشانات خبردار کرتے ہیں کہ یہ فنکشن مناسب معیار نہیں ہے-ویکٹر کی غیر صفر اندراجات کی تعداد ہے۔ بہت سے مصنفین اقتباس کے نشانات کو چھوڑ کر اصطلاحات کا غلط استعمال کرتے ہیں۔ کے صفر "معیار" کی وضاحت کرنا اس کے برابر ہے۔ یہ ایک معیار نہیں ہے کیونکہ یہ یکساں نہیں ہے۔ مثال کے طور پر، ویکٹر کو مثبت مستقل سے اسکیل کرنے سے "معمول" تبدیل نہیں ہوتا ہے۔ ریاضیاتی معیار کے طور پر ان نقائص کے باوجود، غیر صفر گنتی "معیار" کا استعمال سائنسی کمپیوٹنگ، انفارمیشن تھیوری، اور شماریات میں ہوتا ہے-خاص طور پر سگنل پروسیسنگ اور کمپیوٹیشنل ہارمونک تجزیہ میں کمپریسڈ سینسنگ میں۔ معمول نہ ہونے کے باوجود، متعلقہ میٹرک، جسے ہیمنگ فاصلہ کہا جاتا ہے، ایک درست فاصلہ ہے، کیونکہ فاصلے کے لیے یکسانیت کی ضرورت نہیں ہے۔ لامحدود طول و عرض اور خالی جگہوں میں-نارم ترتیب کی جگہ-نارم کو ویکٹروں تک بڑھایا جا سکتا ہے جن میں لامحدود تعداد میں اجزاء (ترتیبات) ہوتے ہیں، جو جگہ فراہم کرتے ہیں۔ اس میں خاص صورتوں کے طور پر شامل ہوتا ہے: ترتیبات کی جگہ جس کی سیریز بالکل متغیر ہوتی ہے، مربع-سمیبل ترتیبات کی جگہ، جو کہ ہلبرٹ اسپیس ہے، اور پابند ترتیبات کی جگہ۔ ترتیبات کی جگہ میں کوآرڈینیٹ کے ذریعہ اضافہ اور اسکیلر ضرب کوآرڈینیٹ کا اطلاق کرکے ایک قدرتی ویکٹر اسپیس ڈھانچہ ہوتا ہے۔ واضح طور پر، حقیقی (یا پیچیدہ) نمبروں کے لامحدود ترتیبات کے لیے ویکٹر کا مجموعہ اور اسکیلر ایکشن اس طرح دیا جاتا ہے:-نارم کی وضاحت کریں: یہاں، ایک پیچیدگی پیدا ہوتی ہے، یعنی کہ دائیں طرف کی سیریز ہمیشہ متغیر نہیں ہوتی ہے، لہذا مثال کے طور پر، صرف ایک سے بنی ترتیب میں، ایک لامحدود-نارم ہوگا۔ اس کے بعد خلا کو حقیقی (یا پیچیدہ) نمبروں کے تمام لامحدود ترتیبات کے سیٹ کے طور پر بیان کیا جاتا ہے تاکہ-نارم محدود ہو۔ کوئی بھی چیک کر سکتا ہے کہ جیسے جیسے اضافہ ہوتا ہے، سیٹ بڑا ہوتا جاتا ہے۔ مثال کے طور پر، ترتیب میں نہیں ہے لیکن یہ اس کے لیے ہے کیونکہ سیریز (ہارمونک سیریز) کے لیے مختلف ہوتی ہے، لیکن کنورجنٹ ہے ایک کے لیے بھی-نارم کی وضاحت کرتا ہے جس میں سپریمم: اور تمام باؤنڈڈ سیکوینسز کی متعلقہ جگہ کا استعمال ہوتا ہے۔ یہ پتہ چلتا ہے کہ اگر دائیں ہاتھ کی طرف محدود ہے، یا بائیں ہاتھ کی طرف لامحدود ہے۔ اس طرح، ہم اس کے لیے خالی جگہوں پر غور کریں گے۔ اس طرح بیان کردہ معیار درحقیقت ایک معمول ہے، اور اس معیار کے ساتھ مل کر ایک بناچ جگہ ہے۔ مکمل طور پر عمومی جگہ حاصل کی جاتی ہے-جیسا کہ نیچے دیکھا گیا ہے-ویکٹروں پر غور کرکے، نہ صرف محدود یا قابل شمار-لامحدود بہت سے اجزاء کے ساتھ، بلکہ "من مانی طور پر بہت سے اجزاء" کے ساتھ ؛ دوسرے الفاظ میں، افعال۔ - نارم کی وضاحت کے لیے رقم کے بجائے ایک انٹیگرل استعمال کیا جاتا ہے۔ عمومی ایل پی-اسپیس پچھلی تعریف سے مکمل مشابہت میں کوئی بھی ایک عمومی انڈیکس سیٹ (اور) پر جگہ کی وضاحت کر سکتا ہے جہاں دائیں طرف کنورجنس کا مطلب یہ ہے کہ صرف قابل شمار بہت سے خلاصہ غیر صفر ہیں (غیر مشروط کنورجنس بھی دیکھیں)۔ معمول کے مطابق جگہ بناچ کی جگہ بن جاتی ہے۔ اس صورت میں جہاں عناصر کے ساتھ محدود ہے، یہ تعمیر اوپر بیان کردہ-معمول کے ساتھ حاصل ہوتی ہے۔ اگر شمار کے لحاظ سے لامحدود ہے، تو یہ بالکل وہی ترتیب کی جگہ ہے جس کی وضاحت اوپر کی گئی ہے۔ بے شمار سیٹوں کے لیے یہ ایک غیر الگ ہونے والی بناچ کی جگہ ہے جسے-سیکوینس خالی جگہوں کی مقامی طور پر منحنی براہ راست حد کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے۔ - نارم کے لیے یہاں تک کہ ایک کینونکل اندرونی پروڈکٹ کے ذریعے بھی حوصلہ افزائی کی جاتی ہے جسے دی کہا جاتا ہے، جس کا مطلب ہے کہ یہ تمام ویکٹروں کے لیے ہے۔ اس اندرونی پروڈکٹ کا اظہار پولرائزیشن شناخت کا استعمال کرتے ہوئے معمول کے لحاظ سے کیا جا سکتا ہے۔ اس پر پیمائش کی جگہ سے وابستہ جگہ کے لیے جبکہ کی طرف سے تعریف کی جا سکتی ہے جو تمام مربع مربوط افعال پر مشتمل ہے، اب اس معاملے پر غور کریں جہاں تمام انڈیکس سیٹ کو مجرد σ-الجبرا اور گنتی کی پیمائش دے کر پیمائش کی جگہ میں تبدیل کیا جا سکتا ہے۔ پھر جگہ صرف زیادہ عام-جگہ کا ایک خاص معاملہ ہے (ذیل میں بیان کیا گیا ہے)۔ ایل پی خالی جگہیں اور لیبسگ انٹیگرلز ایک خالی جگہ کو قابل پیمائش افعال کی ایک ایسی جگہ کے طور پر بیان کیا جا سکتا ہے جس کے لیے مطلق قدر کی-th طاقت لیبسگ انٹیگریبل ہوتی ہے، جہاں تقریبا ہر جگہ متفق افعال کی نشاندہی کی جاتی ہے۔ مزید عام طور پر، ایک پیمائش کی جگہ ہونے دیں اور کب حقیقی ہے (یعنی،)، ان تمام پیمائش کے قابل افعال کے سیٹ پر غور کریں یا جن کی مطلق قدر کو-th پاور تک بڑھایا گیا ہے اس کی ایک محدود انٹیگرل ہے، یا علامتوں میں: سیٹ کی وضاحت کرنے کے لیے یاد دلانے کے لیے کہ دو افعال اور جن پر بیان کیا گیا ہے، لکھا ہوا کہا جاتا ہے، اگر سیٹ قابل پیمائش ہے اور اس کی پیمائش صفر ہے۔ اسی طرح، ایک قابل پیمائش فنکشن (اور اس کی مطلق قیمت) ایک حقیقی نمبر سے لکھا جاتا ہے، اگر (لازمی طور پر) قابل پیمائش سیٹ کی پیمائش صفر ہو۔ خلا تمام پیمائش کے قابل افعال کا مجموعہ ہے جو تقریبا ہر جگہ (کچھ حقیقی سے) پابند ہوتے ہیں اور ان حدود کے لامحدود کے طور پر بیان کیا جاتا ہے: جب تب یہ مطلق قدر کی لازمی بالادستی کے برابر ہوتا ہے: مثال کے طور پر، اگر ایک پیمائش کے قابل فنکشن ہے جو تقریبا ہر جگہ کے برابر ہے تو ہر اور اس طرح سب کے لیے۔ ہر مثبت کے لیے پیمائش کے قابل فنکشن کے تحت ویلیو اور اس کی مطلق ویلیو ہمیشہ ایک جیسی ہوتی ہے (یعنی، سب کے لیے) اور اس لیے ایک پیمائش کے قابل فنکشن کا تعلق ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب اس کی مطلق ویلیو ہوتی ہے۔ اس کی وجہ سے،-نارمز پر مشتمل بہت سے فارمولے صرف غیر منفی حقیقی قدر والے افعال کے لیے بیان کیے جاتے ہیں۔ مثال کے طور پر اس شناخت پر غور کریں جو جب بھی قابل پیمائش ہو، حقیقی ہو، اور (یہاں کب)۔ غیر منفی ضرورت کو تبدیل کرکے ہٹا دیا جا سکتا ہے جس کے لیے خاص طور پر نوٹ ملتا ہے کہ جب محدود ہوتا ہے تو فارمولہ-نارم کو-نارم سے جوڑتا ہے۔ - th پاور انٹیگریبل فنکشنز کی سیمی نارمڈ اسپیس فنکشنز کا ہر سیٹ ایک ویکٹر اسپیس بناتا ہے جب اضافہ اور اسکیلر ضرب کو پوائنٹ وائز بیان کیا جاتا ہے۔ یہ کہ دو-th پاور انٹیگریبل افعال کا مجموعہ اور ایک بار پھر-th پاور انٹیگریبل اس کے بعد آتا ہے حالانکہ یہ منکوسکی کی عدم مساوات کا نتیجہ بھی ہے جو یہ ثابت کرتا ہے کہ مثلث کی عدم مساوات کو مطمئن کرتا ہے (مثلث کی عدم مساوات کے لیے نہیں ہے)۔ اسکیلر ضرب کے تحت بند ہونا بالکل یکساں ہونے کی وجہ سے ہے، جس کا مطلب ہے کہ ہر اسکیلر اور ہر فنکشن کے لیے مطلق یکسانیت، مثلث کی عدم مساوات، اور غیر منفییت سیمی نارم کی وضاحتی خصوصیات ہیں۔ اس طرح ایک سیمی نارم ہے اور فنکشن کے ساتھ مل کر-th پاور انٹیگریبل فنکشنز کا سیٹ سیمی نارمڈ ویکٹر اسپیس کی وضاحت کرتا ہے۔ عام طور پر، سیمی نارم کوئی معمول نہیں ہے کیونکہ پیمائش کے قابل افعال موجود ہو سکتے ہیں جو مطمئن کرتے ہیں لیکن ان کے برابر نہیں ہیں (یہ ایک معمول ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب ایسا کوئی موجود نہ ہو)۔ - سیمی نارمز کے صفر سیٹ اگر قابل پیمائش ہوں اور a. e. کے برابر ہوں۔ پھر تمام مثبت کے لیے دوسری طرف، اگر ایک قابل پیمائش فنکشن ہے جس کے لیے کچھ ایسا موجود ہے جو تقریبا ہر جگہ موجود ہے۔ جب یہ محدود ہوتا ہے تو یہ کیس اور اوپر بیان کردہ فارمولے کے مطابق ہوتا ہے۔ اس طرح اگر مثبت ہے اور کوئی قابل پیمائش فنکشن ہے، تو صرف اور صرف اگر تقریبا ہر جگہ۔ چونکہ دائیں ہاتھ کی طرف (یعنی) یہ ذکر نہیں کرتا ہے کہ اس کے بعد سب کا ایک ہی صفر سیٹ ہے (اس پر انحصار نہیں ہے)۔ یہ سیٹ ہر مثبت کوٹینٹ ویکٹر اسپیس کے لیے ایک ویکٹر سب اسپیس ہے۔ ہر سیمی نارم کی طرح، سیمی نارم اپنے ویکٹر سب اسپیس کے ذریعے کینونکل کوٹینٹ ویکٹر اسپیس پر ایک معیار (جلد ہی بیان کردہ) کو جنم دیتا ہے۔ اس معیاری کوٹینٹ اسپیس کو کہا جاتا ہے اور یہ اس مضمون کا موضوع ہے۔ ہم کوشیئنٹ ویکٹر اسپیس کی وضاحت کرتے ہوئے شروع کرتے ہیں۔ کسی بھی کو دیکھتے ہوئے کوسیٹ تمام قابل پیمائش افعال پر مشتمل ہوتا ہے جو تقریبا ہر جگہ کے برابر ہوتے ہیں۔ تمام کوسیٹس کا سیٹ، جسے عام طور پر ویکٹر اسپیس کی شکلوں سے ظاہر کیا جاتا ہے جب ویکٹر کے اضافے اور اسکیلر ضرب کی وضاحت کی جاتی ہے اور اس مخصوص کوشیٹ ویکٹر اسپیس کو دو کوسیٹس سے ظاہر کیا جائے گا اگر اور صرف اس صورت میں (یا مساوی طور پر،)، جو ہوتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب تقریبا ہر جگہ ؛ اگر ایسا ہے تو اور کوشیٹ اسپیس میں شناخت کی جاتی ہے۔ کوسینٹ پر سیمی نارم کی کسی بھی قدر کو دیکھتے ہوئے مستقل اور اس منفرد قدر کو ظاہر کرنے کے برابر ہے تاکہ: یہ تفویض ایک نقشے کی وضاحت کرتی ہے، جسے کوسینٹ ویکٹر اسپیس پر بھی ظاہر کیا جائے گا۔ یہ نقشہ ایک معیار ہے جسے کوسینٹ ویکٹر اسپیس کہا جاتا ہے۔ کوسیٹ کی قدر اس مخصوص فنکشن سے آزاد ہوتی ہے جسے کوسیٹ کی نمائندگی کے لیے منتخب کیا گیا تھا، جس کا مطلب ہے کہ اگر کوئی کوسیٹ ہے تو ہر ایک کے لیے (چونکہ ہر ایک کے لیے)۔ لیبسگ سپیس معیاری ویکٹر سپیس کو یا-th پاور انٹیگریبل فنکشن کہا جاتا ہے اور یہ ہر ایک کے لیے ایک بناچ سپیس ہے (مطلب یہ ہے کہ یہ ایک مکمل میٹرک سپیس ہے، ایک نتیجہ جسے بعض اوقات ایل پی کا [[ریز-فشر theorem#Completeness، 0 <پی ≤ این آئی |Riesz-فشر تھیوریم]] کہا جاتا ہے)۔ جب بنیادی پیمائش کی جگہ کو سمجھا جاتا ہے تو اکثر مختصر کیا جاتا ہے یا یہاں تک کہ صرف مصنف پر منحصر ہوتا ہے، سبسکرپٹ نوٹیشن یا تو اس کی نشاندہی کر سکتا ہے یا اگر سیمی نارم آن ایک معمول ہوتا ہے (جو صرف اور صرف اس صورت میں ہوتا ہے) تو معیاری جگہ کینونکل نقشے (چونکہ) کے ذریعے معیاری حصص کی جگہ کے لیے لکیری طور پر آئسومورفک ہوگی ؛ دوسرے الفاظ میں، وہ لکیری آئسومیٹری تک، ایک ہی معیاری جگہ ہوں گے اور اس لیے ان دونوں کو "اسپیس" کہا جا سکتا ہے۔ مندرجہ بالا تعریفیں بوچنر خالی جگہوں کو عام کرتی ہیں۔ عام طور پر، اس عمل کو الٹا نہیں کیا جا سکتا: ہر کوسیٹ کے "کینونکل" نمائندے کی وضاحت کرنے کا کوئی مستقل طریقہ نہیں ہے۔ تاہم، اس طرح کی بازیابی کو فعال کرنے والی لفٹوں کا ایک نظریہ موجود ہے۔ خالی جگہوں کی طرح، خالی جگہوں کے درمیان واحد ہلبرٹ جگہ ہے۔ پیچیدہ صورت میں، اندرونی پروڈکٹ کی تعریف اس کے ذریعے کی جاتی ہے۔ اضافی اندرونی پروڈکٹ ڈھانچہ ایک بہتر نظریہ کی اجازت دیتا ہے، جس میں، مثال کے طور پر، فورئیر سیریز اور کوانٹم میکانکس کی ایپلی کیشنز ہوتی ہیں۔ فنکشنز میں بعض اوقات اسکوائر انٹیگریبل فنکشنز، کواڈریٹک طور پر انٹیگریبل فنکشنز یا اسکوائر سمیبل فنکشنز کہا جاتا ہے، لیکن بعض اوقات یہ اصطلاحات ان فنکشنز کے لیے مخصوص ہوتی ہیں جو کسی اور معنی میں اسکوائر انٹیگریبل ہوتے ہیں، جیسے کہ ریمن انٹیگرل کے معنی میں۔ اگر ہم پیچیدہ قدر والے افعال کا استعمال کرتے ہیں، تو خلا نقطہ وار ضرب اور کنجگیشن کے ساتھ ایک مواصلاتی C *-الجبرا ہے۔ بہت سی پیمائش خالی جگہوں کے لیے، بشمول تمام سگما-لامحدود جگہوں کے لیے، یہ حقیقت میں ایک مواصلاتی وان نیومن الجبرا ہے۔ کا عنصر ضرب کے ذریعے کسی بھی جگہ پر باؤنڈ آپریٹر کی وضاحت کرتا ہے۔ خالی جگہوں کے لیے خالی جگہوں کا ایک خاص معاملہ ہوتا ہے، جب قدرتی اعداد پر مشتمل ہوتا ہے اور یہ گنتی کی پیمائش ہوتی ہے۔ مزید عام طور پر، اگر کوئی گنتی کی پیمائش کے ساتھ کسی سیٹ پر غور کرتا ہے، تو اس کے نتیجے میں خالی جگہ کو ظاہر کیا جاتا ہے۔ مثال کے طور پر، خالی جگہ انٹیجرز کے ذریعہ انڈیکس کردہ تمام ترتیبات کی جگہ ہے، اور جب ایسی جگہ پر-نارم کی وضاحت کی جاتی ہے، تو تمام انٹیجرز پر ایک مجموعہ ہوتا ہے۔ وہ جگہ جہاں عناصر کے ساتھ سیٹ ہے، اس کے-نارم کے ساتھ ہے جیسا کہ اوپر بیان کیا گیا ہے۔ کسی بھی ہلبرٹ جگہ کی طرح، ہر جگہ ایک مناسب جگہ کے لیے لکیری طور پر آئسومیٹرک ہوتی ہے جہاں سیٹ کی کارڈینالیٹی ایل پی خالی جگہوں کی اس مخصوص خصوصیات کے لیے صوابدیدی ہلبرٹین بنیاد کی کارڈینالیٹی ہوتی ہے۔ جیسا کہ مجرد معاملے میں، اگر ایسا موجود ہے کہ پھر ہولڈر کی عدم مساوات (جہاں) کو پورا کرتی ہے۔ اگر اور پھر اور یہ عدم مساوات، جسے ہولڈر کی عدم مساوات کہا جاتا ہے، کچھ معنوں میں زیادہ سے زیادہ بہتر ہے کیونکہ اگر (تو) اور یہ ایک پیمائش کے قابل فنکشن ہے جیسے کہ جہاں سپریمم کو اس وقت کی بند یونٹ بال پر لے جایا جاتا ہے اور منکوسکی عدم مساوات منکوسکی عدم مساوات، جس میں کہا گیا ہے کہ مثلث عدم مساوات کو مطمئن کرتا ہے، کو عام کیا جا سکتا ہے: اگر پیمائش کے قابل فنکشن غیر منفی ہے تو تمام جوہری سڑنے کے لیے اگر پھر ہر غیر منفی میں ایک ہوتا ہے، جس کا مطلب ہے کہ غیر منفی حقیقی اعداد کی ایک ترتیب اور غیر منفی افعال کی ایک ترتیب موجود ہوتی ہے، جس کی حمایت جوڑی کے لحاظ سے پیمائش کے جداگانہ سیٹ ہوتے ہیں جیسے کہ ہر عدد کے لیے اور اس کے علاوہ، افعال کی ترتیب صرف اس پر منحصر ہوتی ہے (اس پر منحصر ہے) یہ عدم مساوات اس بات کی ضمانت دیتی ہیں کہ تمام انٹیجرز کے لیے جبکہ جوڑی کے لحاظ سے جداگانہ ہونے کی حمایت کا مطلب یہ ہے کہ ایک جوہری سڑنا واضح طور پر ہر عدد کے لیے پہلے وضاحت کر کے دیا جا سکتا ہے (یہ لامحدود اس کے ذریعے حاصل کیا جاتا ہے، ہولڈز) اور پھر جہاں سیٹ کی پیمائش کی نشاندہی کرتا ہے اور سیٹ کے اشارے کے فنکشن کی نشاندہی کرتا ہے۔ ترتیب کم ہو رہی ہے اور اس کے نتیجے میں یکجا ہو جاتی ہے، اگر تب اور اس طرح یہ یکساں طور پر برابر ہے (خاص طور پر، تقسیم کی وجہ سے کوئی مسئلہ نہیں ہوتا ہے)۔ اس کی تکمیلی مجموعی تقسیم فنکشن کو اس کی وضاحت کرنے کے لیے استعمال کیا گیا تھا جو کمزور-معمول (نیچے دیا گیا ہے) کی تعریف میں بھی ظاہر ہوتا ہے اور-معمول (کے لیے) کو انٹیگرل کے طور پر ظاہر کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے جہاں انضمام معمول کے حوالے سے ہوتا ہے۔ ڈبل خالی جگہوں پر لیبسگیو پیمائش کے لیے کی دوہری جگہ (تمام مسلسل لکیری افعال کی بناچ جگہ) میں ایک قدرتی آئسومورفزم ہوتی ہے جہاں ایسی ہے کہ (یعنی۔ )۔ یہ آئسومورفزم ہر ایک کے لیے بیان کردہ فنکشنل کے ساتھ وابستہ ہے۔ اس حقیقت کی اچھی طرح سے وضاحت کی گئی ہے اور یہ ہولڈر کی عدم مساوات کی پیروی کرتی ہے۔ ایک لکیری نقشہ سازی ہے جو ہولڈر کی عدم مساوات کے انتہائی معاملے کی طرف سے ایک آئسومیٹری ہے۔ یہ ظاہر کرنا بھی ممکن ہے (مثال کے طور پر ریڈون-نیکوڈیم تھیوریم کے ساتھ، دیکھیں) کہ کسی کا اظہار اس طرح کیا جا سکتا ہے: یعنی، یہ آنٹو ہے۔ چونکہ یہ آنٹو اور آئسومیٹرک ہے، اس لیے یہ بناچ خالی جگہوں کا ایک آئسومورفزم ہے۔ اس (آئسومیٹرک) آئسومورفزم کو ذہن میں رکھتے ہوئے، یہ کہنا معمول ہے کہ یہ مسلسل دوہری جگہ ہے کیونکہ جگہ اضطراری ہے۔ اوپر کی طرح ہونے دیں اور اسی طرح کی لکیری آئسومیٹری ہونے دیں۔ نقشہ کے الٹا کے ٹرانسپوز (یا ملحقہ) کے ساتھ کمپوز کرکے حاصل کردہ نقشہ پر غور کریں یہ نقشہ اس کے دوہرے میں کینونکل ایمبیڈنگ کے ساتھ موافق ہے۔ مزید برآں، نقشہ آئسومیٹریز پر دو کی ساخت کے طور پر ہے، اور یہ اضطراریت کو ثابت کرتا ہے۔ اگر پیمائش سگما-فائنائٹ ہے، تو اس کا ڈوئل آئسومیٹرک طور پر آئسومورفک ہے (زیادہ واضح طور پر، اس سے مطابقت رکھنے والا نقشہ ایک آئسومیٹری ہے۔ کے عناصر کی شناخت باؤنڈڈ سائنڈ فائنٹلی ایڈیٹیو اقدامات کے ساتھ کی جا سکتی ہے جو مزید تفصیلات کے لیے سی با اسپیس کے حوالے سے بالکل مسلسل ہیں۔ اگر ہم انتخاب کے محور کو فرض کرتے ہیں، تو یہ جگہ کچھ معمولی معاملات کے علاوہ اس سے کہیں زیادہ بڑی ہے۔ تاہم، سہارون شیلاہ نے ثابت کیا کہ زرمیلو-فرینکل سیٹ تھیوری (ZF + DC + "حقیقی اعداد کے ہر ذیلی سیٹ میں بائر پراپرٹی ہوتی ہے") کی نسبتا مستقل توسیعات موجود ہیں جس میں کا ڈوئل بول چال میں ایمبیڈنگز ہے، اگر اس میں ایسے افعال شامل ہوں جو زیادہ مقامی طور پر واحد ہوں، جبکہ کے عناصر زیادہ پھیل سکتے ہیں۔ نصف لکیر پر لیبسگ کی پیمائش پر غور کریں۔ ایک مسلسل فنکشن قریب ہی پھٹ سکتا ہے لیکن اسے لامحدود کی طرف کافی تیزی سے ختم ہونا چاہیے۔ دوسری طرف، مسلسل افعال کو بالکل ختم کرنے کی ضرورت نہیں ہے لیکن کسی بھی بلو اپ کی اجازت نہیں ہے۔ عین مطابق تکنیکی نتیجہ درج ذیل ہے۔ فرض کریں کہ پھر: اگر اور صرف اس صورت میں جب اس میں محدود لیکن من مانی طور پر بڑی پیمائش کے سیٹ نہ ہوں (مثال کے طور پر کوئی محدود پیمائش)۔ اگر اور صرف اس صورت میں جب اس میں غیر صفر لیکن من مانی طور پر چھوٹی پیمائش کے سیٹ نہ ہوں (مثال کے طور پر گنتی کی پیمائش)۔ کوئی بھی شرط لیبسگ پیمائش کے ساتھ حقیقی لکیر کے لیے نہیں ہے جبکہ دونوں شرائط کسی بھی محدود سیٹ پر گنتی کی پیمائش کے لیے ہیں۔ دونوں صورتوں میں ایمبیڈنگ مسلسل ہوتی ہے، اس میں شناختی آپریٹر ایک باؤنڈ لینیر نقشہ ہوتا ہے جو پہلی صورت میں سے دوسری صورت میں ہوتا ہے۔ (یہ بند گراف تھیوریم اور خالی جگہوں کی خصوصیات کا نتیجہ ہے۔) درحقیقت، اگر ڈومین کی پیمائش محدود ہے، تو کوئی بھی ہولڈر کی عدم مساوات کا استعمال کرتے ہوئے مندرجہ ذیل واضح حساب لگا سکتا ہے جس کی وجہ سے مندرجہ بالا عدم مساوات میں مستقل ظاہر ہونا زیادہ سے زیادہ ہے، اس معنی میں کہ شناخت کا آپریٹر معیار قطعی طور پر مساوات کے حصول کا معاملہ ہے جب-تقریبا-ہر جگہ۔ گھنے ذیلی مقامات اس پورے حصے میں ہم فرض کرتے ہیں کہ ایک پیمائش کی جگہ بنیں۔ انٹیگریبل سادہ فنکشن آن ان شکلوں میں سے ایک ہے جہاں اسکیلر ہوتے ہیں، ان کی پیمائش محدود ہوتی ہے اور یہ سیٹ کا انڈیکیٹر فنکشن ہوتا ہے۔ انٹیگرل کی تعمیر کے ذریعے، انٹیگریبل سادہ فنکشنز کی ویکٹر اسپیس گھنے میں ہوتی ہے۔ مزید یہ کہا جا سکتا ہے کہ نارمل ٹوپولوجیکل اسپیس کب ہے اور اس کا بوریل-الجبرا، یعنی کھلے سیٹوں پر مشتمل ذیلی سیٹوں کا سب سے چھوٹا-الجبرا۔ فرض کریں کہ اس کے ساتھ ایک کھلا سیٹ ہے۔ یہ ثابت کیا جا سکتا ہے کہ ہر بوریل سیٹ میں موجود اور ہر ایک کے لیے ایک بند سیٹ اور ایک کھلا سیٹ موجود ہے جس سے یہ نتیجہ نکلتا ہے کہ اس پر ایک مسلسل یوریسوہن فنکشن موجود ہے جو آن اور آن ہے۔ اگر کھلے سیٹوں کی بڑھتی ہوئی ترتیب سے احاطہ کیا جا سکتا ہے جس کی پیمائش محدود ہے، تو انٹیگریبل مسلسل افعال کی جگہ گھنے میں ہوتی ہے۔ مزید واضح طور پر، کوئی باؤنڈڈ مسلسل افعال استعمال کر سکتا ہے جو کھلے سیٹوں میں سے کسی ایک کے باہر غائب ہو جاتے ہیں۔ یہ خاص طور پر اس وقت لاگو ہوتا ہے جب اور کب لیبسیگ پیمائش ہوتی ہے۔ اسی طرح، انٹیگریبل اسٹیپ فنکشنز کی جگہ اس جگہ میں گھنے ہوتی ہے جب باؤنڈڈ آئتاکار ہوتے ہیں اور زیادہ عام طور پر باؤنڈڈ وقفوں کے پروڈکٹ ہوتے ہیں تو باؤنڈڈ وقفوں کے انڈیکیٹر فنکشنز کا لکیری اسپان ہوتا ہے۔ عام افعال کی کئی خصوصیات پہلے مسلسل اور کمپیکٹ سپورٹڈ افعال (بعض اوقات سٹیپ افعال کے لیے) کے لیے ثابت ہوتی ہیں، پھر کثافت کے ذریعے تمام افعال تک بڑھا دی جاتی ہیں۔ مثال کے طور پر، یہ اس طرح ثابت ہوتا ہے کہ ترجمے مندرجہ ذیل معنوں میں مسلسل ہوتے ہیں: جہاں بند ذیلی جگہیں اگر کوئی مثبت حقیقی عدد ہے، تو قابل پیمائش جگہ پر امکان کی پیمائش ہے (تاکہ)، اور ایک ویکٹر ذیلی جگہ ہے، تو یہ ایک بند ذیلی جگہ ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب محدود جہتی ہو (اس سے آزاد منتخب کیا گیا تھا)۔ اس تھیوریم میں، جو الیگزینڈر گروتھینڈیک کی وجہ سے ہے، یہ بہت ضروری ہے کہ ویکٹر اسپیس کا ایک ذیلی سیٹ ہو کیونکہ ایک لامحدود جہتی بند ویکٹر سب اسپیس کی تعمیر کرنا ممکن ہے (جو کہ ایک ذیلی سیٹ بھی ہے)، جہاں یونٹ سرکل پر لیبسیگ پیمائش ہے اور امکان کی پیمائش ہے جو اسے اس کی کمیت سے تقسیم کرنے کا نتیجہ ہے۔ اگر پھر اس کی وضاحت اوپر کی طرح کی جا سکتی ہے: یہ ان قابل پیمائش افعال کی کوشیئنٹ ویکٹر اسپیس ہے جیسے کہ پہلے کی طرح، ہم-نارم متعارف کر سکتے ہیں لیکن اس معاملے میں مثلث کی عدم مساوات کو پورا نہیں کرتے، اور صرف ایک نیم نارم کی وضاحت کرتے ہیں۔ اس کے لیے درست عدم مساوات کا مطلب یہ ہے کہ اور اس طرح فنکشن ایک میٹرک ہے جس کے نتیجے میں میٹرک کی جگہ مکمل ہو گئی ہے۔ تصدیق واقف کیس سے ملتی جلتی ہے جب گیندیں اس ٹوپولوجی کے لیے اصل میں ایک مقامی بیس بناتی ہیں، جیسا کہ مثبت حقیقتوں پر حدود ہوتی ہیں۔ یہ گیندیں تمام حقیقی کو مطمئن کرتی ہیں جو خاص طور پر ظاہر کرتی ہیں کہ اصل کا ایک پابند پڑوس ہے ؛ دوسرے لفظوں میں، یہ جگہ مقامی طور پر پابند ہے، بالکل ہر معیاری جگہ کی طرح، معمول نہ ہونے کے باوجود۔ اس ترتیب میں ایک الٹا منکوسکی عدم مساوات کو مطمئن کرتا ہے، یعنی اس کے لیے یہ نتیجہ کلارکسن کی عدم مساوات کو ثابت کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے، جو بدلے میں خالی جگہوں کی یکساں کنویکسٹی کو قائم کرنے کے لیے استعمال ہوتے ہیں۔ کے لیے جگہ ایک F-اسپیس ہے: یہ ایک مکمل ترجمہ-غیر متغیر میٹرک کو تسلیم کرتا ہے جس کے حوالے سے ویکٹر اسپیس آپریشن مسلسل ہوتے ہیں۔ یہ ایف-اسپیس کی مثالی مثال ہے کہ، زیادہ تر معقول پیمائش کی جگہوں کے لیے، مقامی طور پر کنویکس نہیں ہے: ان یا فنکشن پر مشتمل ہر کھلا کنویکس سیٹ-کواسی-نارم کے لیے غیر محدود ہے ؛ لہذا، ویکٹر کنویکس محلوں کا بنیادی نظام نہیں رکھتا ہے۔ خاص طور پر، یہ اس صورت میں درست ہے جب پیمائش کی جگہ محدود مثبت پیمائش کے متفرق پیمائش کے سیٹوں کا ایک لامحدود خاندان پر مشتمل ہو۔ واحد غیر خالی کنویکس کھلا سیٹ پوری جگہ ہے۔ ایک خاص نتیجے کے طور پر، کوئی غیر صفر مسلسل لکیری فنکشنلز نہیں ہیں جو مسلسل دوہری جگہ پر صفر جگہ ہے۔ قدرتی اعداد پر گنتی کی پیمائش کے معاملے میں (ترتیب کی جگہ پیدا کرنے والی)، پابند لکیری افعال بالکل وہی ہیں جو ان پر پابند ہیں یعنی جو ترتیب کے ذریعہ دیئے گئے ہیں۔ اگرچہ اس میں غیر معمولی کنویکس کھلے سیٹ ہوتے ہیں، لیکن یہ ٹوپولوجی کے لیے بنیاد دینے کے لیے ان میں سے کافی نہیں ہوتا ہے۔ تجزیہ کرنے کے مقاصد کے لیے کوئی لکیری فنکشنل نہ ہونے کی صورتحال انتہائی ناپسندیدہ ہے۔ جب بھی ممکن ہو ہارڈی اسپیس کے ساتھ کام کرنا عام بات ہے، کیونکہ اس میں کچھ لکیری فنکشنلز ہیں: ایک دوسرے سے پوائنٹس کو الگ کرنے کے لیے کافی۔ تاہم، ہان-بناچ تھیوریم اب بھی ناکام ہے۔ قابل پیمائش افعال کی جگہ قابل پیمائش افعال کی ویکٹر جگہ (مساوات کی کلاسیں) کو ظاہر کیا جاتا ہے۔ تعریف کے مطابق، یہ تمام پر مشتمل ہے اور پیمائش میں کنورجنس کی ٹوپولوجی سے لیس ہے۔ امکان کی پیمائش کب ہوتی ہے (یعنی،)، کنورجنس کے اس طریقے کو امکان میں کنورجنس کہا جاتا ہے۔ وضاحت محدود ہونے پر آسان ہو جاتی ہے۔ اگر فنکشن پر ایک محدود پیمائش ہے تو پیمائش میں کنورجنس کو پڑوس کے درج ذیل بنیادی نظام کی پیمائش میں تسلیم کرتا ہے۔ ٹوپولوجی کی تعریف اس شکل کے کسی بھی میٹرک سے کی جا سکتی ہے جہاں مسلسل کنکیو اور غیر کم ہوتا ہے اور جب اور جب (مثال کے طور پر، اس طرح کے میٹرک کو لیوی میٹرک کہا جاتا ہے اس میٹرک کے تحت جگہ مکمل ہوتی ہے (یہ دوبارہ ایک ایف اسپیس ہے)۔ جگہ عام طور پر مقامی طور پر پابند نہیں ہے، اور مقامی طور پر متغیر نہیں ہے۔ انفنائٹ لیبسگیو پیمائش کے لیے محلوں کے بنیادی نظام کی تعریف پر مندرجہ ذیل ترمیم کی جا سکتی ہے۔ نتیجے میں جگہ کسی بھی مثبت-مربوط کثافت کے لیے ٹوپولوجیکل ویکٹر اسپیس کے طور پر موافق ہوتی ہے۔ عمومی اور توسیعات کمزور۔ آئیے ایک پیمائش کی جگہ بنیں، اور حقیقی یا پیچیدہ اقدار کے ساتھ ایک پیمائش کے قابل فنکشن۔ کی تقسیم کی تقریب کی تعریف اس طرح کی جاتی ہے۔ اگر کچھ کے لیے مارکوف کی عدم مساوات کے ساتھ ہے، تو ایک فنکشن کو کمزور جگہ میں کہا جاتا ہے، یا اگر کوئی مستقل چیز ہے، تو سب کے لیے اس عدم مساوات کے لیے سب سے اچھا مستقل-معمول ہے اور اس کی طرف اشارہ کیا جاتا ہے۔ کمزور لورینٹز خالی جگہوں کے ساتھ موافق ہے لہذا یہ اشارہ بھی ان کی نشاندہی کرنے کے لیے استعمال ہوتا ہے۔ - معمول ایک حقیقی معیار نہیں ہے، کیونکہ مثلث کی عدم مساوات برقرار رکھنے میں ناکام ہے۔ بہر حال، خاص طور پر، حقیقت میں، کسی کے پاس ہے اور اسے اقتدار میں لایا جاتا ہے اور ایک میں بالادستی حاصل کی جاتی ہے۔ اس روایت کے تحت کہ دو افعال برابر ہیں اگر وہ تقریبا ہر جگہ برابر ہیں، تو خالی جگہیں مکمل ہوتی ہیں۔ کسی بھی کے لیے اظہار-نارم سے موازنہ ہے۔ مزید اس صورت میں یہ اظہار ایک معیار کی وضاحت کرتا ہے اگر اس لیے کمزور جگہوں کے لیے بناچ خالی جگہیں ہیں۔ ایک بڑا نتیجہ جو-خالی جگہوں کا استعمال کرتا ہے وہ مارسنکیوز انٹرپولیشن تھیوریم ہے، جس کا ہارمونک تجزیہ اور واحد انٹیگرلز کے مطالعہ کے لیے وسیع اطلاق ہوتا ہے۔ وزن والی جگہیں پہلے کی طرح، پیمائش کی جگہ پر غور کریں۔ وزن والی جگہ کی تعریف اس طرح کی جاتی ہے کہ جہاں ریڈون-نیکوڈیم مشتق کے لحاظ سے پیمائش کا مطلب ہے یا، معیاری طور پر-خالی جگہوں کے طور پر، وزن والی جگہوں میں کچھ خاص نہیں ہوتا ہے، کیونکہ یہ برابر ہے۔ لیکن وہ ہارمونک تجزیہ میں کئی نتائج کے لیے قدرتی ڈھانچہ ہیں۔ وہ مثال کے طور پر مکنوپٹ تھیوریم میں ظاہر ہوتے ہیں: کلاسیکی ہلبرٹ ٹرانسفارم کی وضاحت اس جگہ پر کی جاتی ہے جہاں یونٹ سرکل اور لیبسگ کی پیمائش کی نشاندہی ہوتی ہے۔ (غیر لکیری) ہارڈی-لٹل ووڈ زیادہ سے زیادہ آپریٹر مکنوپٹ کے تھیوریم پر پابند ہوتا ہے جس میں وزن کی وضاحت ہوتی ہے کہ ہلبرٹ ٹرانسفارم پابند رہتا ہے اور کئی گنا پر خالی جگہوں پر زیادہ سے زیادہ آپریٹر بھی ایک کئی گنا پر خالی جگہوں کی وضاحت کر سکتا ہے۔ ایک پیمائش کی جگہ اور مقامی طور پر کنویکس اسپیس (یہاں مکمل سمجھا جاتا ہے) کو دیکھتے ہوئے، متعدد طریقوں سے-انٹیگریبل-ویلیوڈ افعال کی خالی جگہوں کی وضاحت کرنا ممکن ہے۔ ایک طریقہ یہ ہے کہ بوچنر انٹیگریبل اور پیٹس انٹیگریبل افعال کی خالی جگہوں کی وضاحت کی جائے، اور پھر انہیں مقامی طور پر کنویکس ٹی وی ایس-ٹوپولوجیز سے نوازا جائے جو (ہر ایک اپنے طریقے سے) معمول کی ٹوپولوجی کی قدرتی عمومی کاری ہے۔ ایک اور طریقہ یہ ہے کہ ویکٹر اسپیس کے عنصر کے ساتھ ٹوپولوجیکل ٹینسر پروڈکٹ سادہ ٹینسرز کے محدود مجموعے ہوتے ہیں جہاں ہر سادہ ٹینسر کو اس فنکشن کے ساتھ شناخت کیا جاسکتا ہے جو بھیجتا ہے۔ اس ٹینسر پروڈکٹ کو پھر مقامی طور پر کنویکس ٹوپولوجی سے نوازا جاتا ہے جو اسے ٹوپولوجیکل ٹینسر پروڈکٹ میں بدل دیتا ہے، جن میں سب سے عام پروجیکٹو ٹینسر پروڈکٹ ہے، جس کی طرف اشارہ کیا جاتا ہے اور انجیکشن ٹینسر پروڈکٹ، جس کی طرف اشارہ کیا جاتا ہے۔ عام طور پر، ان میں سے کوئی بھی جگہ مکمل نہیں ہوتی ہے لہذا ان کی تکمیل کی جاتی ہے، جس کی طرف اشارہ کیا جاتا ہے بالترتیب اور (یہ اس بات سے مشابہت رکھتا ہے کہ اسکیلر ویلیوڈ سادہ افعال کی جگہ کیسے ہوتی ہے جب کسی کے ذریعہ سیمی نارم مکمل نہیں ہوتا ہے تو تکمیل کی تعمیر کی جاتی ہے، جو آئسومیٹرک الیگزینڈر گروتھینڈیک نے دکھایا کہ جب نیوکلیئر اسپیس (ایک تصور جسے اس نے متعارف کرایا) ہے، تو یہ دونوں تعمیرات بالترتیب، بوچنر اور پیٹس انٹیگرل افعال کی خالی جگہوں کے ساتھ ٹی وی ایس-آئسومورفک ہیں۔ مختصر طور پر، وہ ناقابل تفرقہ ہیں۔ نوٹ کے حوالہ جات بھی دیکھیں۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ بیرونی روابط اس بات کا ثبوت کہ ایل پی خالی جگہیں مکمل بناچ خالی جگہیں فنکشن خالی جگہیں ریاضیاتی سیریز پیمائش تھیوری معیاری خالی جگہیں ایل پی خالی جگہیں ہیں