Geometric distribution
امکانات کے نظریہ اور اعداد و شمار میں، ہندسی تقسیم یا تو دو مجرد امکانات کی تقسیم میں سے ایک ہے: ایک کامیابی حاصل کرنے کے لیے درکار برنولی ٹرائلز کی تعداد کی امکانات کی تقسیم، سیٹ پر معاون ؛ پہلی کامیابی سے پہلے ناکامیوں کی تعداد کی امکانات کی تقسیم، سیٹ پر معاون۔ ان میں سے کس کو ہندسی تقسیم کہا جاتا ہے یہ روایت اور سہولت کا معاملہ ہے۔ ان دو مختلف ہندسی تقسیم کو ایک دوسرے کے ساتھ الجھن میں نہیں ڈالنا چاہیے۔ اکثر، نام منتقل شدہ ہندسی تقسیم کو سابقہ (کی تقسیم) کے لیے اپنایا جاتا ہے ؛ تاہم، ابہام سے بچنے کے لیے، حمایت کا واضح طور پر ذکر کرتے ہوئے اس بات کی نشاندہی کرنا دانشمندانہ سمجھا جاتا ہے کہ اس کا مقصد کیا ہے۔ ہندسی تقسیم اس امکان کو فراہم کرتی ہے کہ کامیابی کے پہلے واقع کے لیے آزاد آزمائشوں کی ضرورت ہوتی ہے، ہر ایک میں کامیابی کا امکان ہوتا ہے۔ اگر ہر مقدمے کی سماعت میں کامیابی کا امکان ہے، تو اس بات کا امکان کہ-th مقدمے کی سماعت پہلی کامیابی ہے، جیومیٹرک ڈسٹری بیوشن کی مندرجہ بالا شکل کو پہلی کامیابی تک کی آزمائشوں کی تعداد کو ماڈلنگ کرنے اور اس میں شامل کرنے کے لیے استعمال کیا جاتا ہے۔ اس کے برعکس، پہلی کامیابی تک ناکامیوں کی تعداد کو ماڈلنگ کرنے کے لیے ہندسی تقسیم کی درج ذیل شکل استعمال کی جاتی ہے: دونوں صورتوں میں، امکانات کی ترتیب ایک ہندسی ترتیب ہے۔ مثال کے طور پر، فرض کریں کہ ایک عام ڈائی کو بار بار اس وقت تک پھینک دیا جاتا ہے جب تک کہ پہلی بار "1" ظاہر نہ ہو جائے۔ اسے پھینکنے کی تعداد کی امکانات کی تقسیم کو لامحدود سیٹ پر سپورٹ کیا جاتا ہے اور یہ اس کے ساتھ ایک ہندسی تقسیم ہے۔ ہندسی تقسیم کو جیو (پی) سے ظاہر کیا جاتا ہے جہاں۔ تعریفیں آزمائشوں کے ایک سلسلے پر غور کریں، جہاں ہر آزمائش کے صرف دو ممکنہ نتائج ہوتے ہیں (نامزد ناکامی اور کامیابی)۔ کامیابی کا امکان ہر مقدمے کی سماعت کے لیے یکساں سمجھا جاتا ہے۔ آزمائشوں کے اس سلسلے میں، ہندسی تقسیم پہلی کامیابی سے پہلے ناکامیوں کی تعداد کا نمونہ بنانے کے لیے مفید ہے کیونکہ تجربے میں کامیابی تک غیر معینہ تعداد میں آزمائش ہو سکتی ہے، بائنومیل تقسیم کے برعکس جس میں آزمائشوں کی ایک مقررہ تعداد ہوتی ہے۔ تقسیم اس امکان کو ظاہر کرتی ہے کہ پہلی کامیابی سے پہلے صفر ناکامیاں، پہلی کامیابی سے پہلے ایک ناکامی، پہلی کامیابی سے پہلے دو ناکامیاں وغیرہ ہوتی ہیں۔ مفروضے: ہندسی تقسیم کب مناسب نمونہ ہے؟ اگر درج ذیل مفروضے درست ہیں تو ہندسی تقسیم ایک مناسب نمونہ ہے۔ ماڈل کیا جا رہا رجحان آزاد آزمائشوں کا ایک سلسلہ ہے۔ ہر آزمائش کے صرف دو ممکنہ نتائج ہوتے ہیں، اکثر کامیابی یا ناکامی کو نامزد کیا جاتا ہے۔ کامیابی کا امکان، پی، ہر مقدمے کے لیے یکساں ہے۔ اگر یہ شرائط درست ہیں، تو ہندسی بے ترتیب متغیر Y پہلی کامیابی سے پہلے ناکامیوں کی تعداد کی گنتی ہے۔ پہلی کامیابی سے پہلے ناکامیوں کی ممکنہ تعداد 0، 1، 2، 3، وغیرہ ہے۔ مندرجہ بالا گراف میں، یہ تشکیل دائیں طرف دکھائی گئی ہے۔ ایک متبادل تشکیل یہ ہے کہ ہندسی بے ترتیب متغیر X پہلی کامیابی تک اور اس سمیت آزمائشوں کی کل تعداد ہے، اور ناکامیوں کی تعداد X−1 ہے۔ مندرجہ بالا گراف میں، یہ تشکیل بائیں طرف دکھائی گئی ہے۔ امکانات کے نتائج کی مثالیں پہلی کامیابی سے پہلے k ناکامیوں کے امکان کا حساب لگانے کا عمومی فارمولا، جہاں کامیابی کا امکان p ہے اور ناکامی کا امکان q = 1 − p ہے، k = 0، 1، 2، 3، کے لیے ہے۔ E1) ایک ڈاکٹر نئے تشخیص شدہ مریض کے لیے اینٹی ڈپریسنٹ تلاش کر رہا ہے۔ فرض کریں کہ دستیاب اینٹی ڈپریسنٹ دوائیوں میں سے، اس بات کا امکان کہ کوئی خاص دوا کسی خاص مریض کے لیے موثر ہوگی، p = 0.6 ہے۔ اس بات کا کیا امکان ہے کہ اس مریض کے لیے جو پہلی دوا مؤثر پائی گئی ہے وہ پہلی دوا ہے جسے آزمایا گیا، دوسری دوا کو آزمایا گیا، وغیرہ؟ ایسی ادویات کی متوقع تعداد کتنی ہے جو مؤثر ہو اسے تلاش کرنے کی کوشش کی جائے گی؟ امکان ہے کہ پہلی دوا کام کرے۔ پہلی کامیابی سے پہلے صفر ناکامیاں ہوتی ہیں۔ Y = 0 ناکامیاں۔ امکان پی آر (پہلی کامیابی سے پہلے صفر کی ناکامی) محض اس امکان کو ظاہر کرتا ہے کہ پہلی دوا کام کرتی ہے۔ امکان ہے کہ پہلی دوا ناکام ہو جائے، لیکن دوسری دوا کام کرے۔ پہلی کامیابی سے پہلے ایک ناکامی ہوتی ہے۔ Y = 1 ناکامی۔ واقعات کے اس سلسلے کا امکان پی آر (پہلی دوا ناکام) پی (دوسری دوا کامیاب) ہے، جو اس امکان سے دیا جاتا ہے کہ پہلی دوا ناکام ہو جائے، دوسری دوا ناکام ہو جائے، لیکن تیسری دوا کام کرے۔ پہلی کامیابی سے پہلے دو ناکامیاں ہوتی ہیں۔ Y = 2 ناکامیاں۔ واقعات کے اس سلسلے کا امکان پی آر (پہلی دوا ناکام) پی (دوسری دوا ناکام) پی آر (تیسری دوا کامیابی ہے) ای 2) ایک نو شادی شدہ جوڑا بچے پیدا کرنے کا ارادہ رکھتا ہے اور پہلی لڑکی تک جاری رہے گا۔ اس بات کا کیا امکان ہے کہ پہلی لڑکی سے پہلے صفر لڑکے ہوں، پہلی لڑکی سے پہلے ایک لڑکا ہو، پہلی لڑکی سے پہلے دو لڑکے ہوں، وغیرہ؟ لڑکی (کامیابی) ہونے کا امکان p = 0.0 ہے اور لڑکا (ناکامی) ہونے کا امکان q = 1 − p = 0.0 ہے۔ پہلی لڑکی سے پہلے لڑکوں کے نہ ہونے کا امکان ہے پہلی لڑکی سے پہلے ایک لڑکے کا امکان ہے پہلی لڑکی سے پہلے دو لڑکوں کا امکان ہے اور اسی طرح۔ خصوصیات لمحات اور مجموعے پہلی کامیابی حاصل کرنے کے لیے آزاد آزمائشوں کی تعداد کی متوقع قیمت، اور ہندسی طور پر تقسیم شدہ بے ترتیب متغیر X کا تغیر یہ ہے: اسی طرح، ہندسی طور پر تقسیم شدہ بے ترتیب متغیر Y = X-1 کی متوقع قیمت اور تغیر (تقسیم کی تعریف دیکھیں) یہ ہے: X کی متوقع قیمت کا ثبوت اوپر کے طور پر X کی متوقع قیمت پر غور کریں، یعنی۔ کامیابی تک آزمائشوں کی اوسط تعداد۔ پہلی آزمائش میں ہم یا تو امکان کے ساتھ کامیاب ہو جاتے ہیں، یا ہم امکان کے ساتھ ناکام ہو جاتے ہیں۔ اگر ہم آزمائشوں کی بقیہ اوسط تعداد میں ناکام ہو جاتے ہیں جب تک کہ کامیابی اصل اوسط سے ملتی جلتی نہ ہو۔ اس کا نتیجہ اس حقیقت سے نکلتا ہے کہ تمام مقدمات آزاد ہیں۔ اس سے ہمیں فارمولا ملتا ہے: جس کے لیے اگر حل کیا جائے تو یہ ملتا ہے: Y کی متوقع قیمت کہ جیسا کہ اوپر Y کی متوقع قیمت (1−p)/p ہے اسے درج ذیل طریقے سے دکھایا جا سکتا ہے: خلاصہ اور تفریق کا تبادلہ اس حقیقت سے جائز ہے کہ متغیر پاور سیریز پوائنٹس کے سیٹ کے کمپیکٹ ذیلی سیٹوں پر یکساں طور پر یکجا ہوتی ہے جہاں وہ یکجا ہوتے ہیں۔ فرض کریں کہ μ = (1−p)/p Y کی متوقع قیمت ہے۔ پھر Y کی امکانات کی تقسیم کے مجموعے متوقع قیمت کی مثالوں کو پورا کرتے ہیں E3) ایک مریض ٹرانسپلانٹ کے لیے مناسب مماثل گردے کے عطیہ دہندہ کا انتظار کر رہا ہے۔ اگر تصادفی طور پر منتخب کردہ عطیہ دہندہ کے مناسب مماثلت کا امکان p = 0.1 ہے، تو عطیہ دہندگان کی متوقع تعداد کتنی ہے جن کی مماثلت کرنے والے عطیہ دہندہ کے ملنے سے پہلے جانچ کی جائے گی؟ p = 0.1 کے ساتھ، پہلی کامیابی سے پہلے ناکامیوں کی اوسط تعداد E (Y) = (1 − p)/p = (1 − 0.1)/0.1 = 9 ہے۔ متبادل تشکیل کے لیے، جہاں X پہلی کامیابی تک اور اس سمیت آزمائشوں کی تعداد ہے، متوقع قیمت E (X) = 1/p = 1/0.1 = 10 ہے۔ مثال کے طور پر اوپر 1، p = 0.6 کے ساتھ، پہلی کامیابی سے پہلے ناکامیوں کی اوسط تعداد E (Y) = (1 − p)/p = (1 − 0.6)/0.6 = 0.67 ہے۔ اعلی ترتیب کے لمحات پہلی کامیابی سے پہلے ناکامیوں کی تعداد کے لمحات اس طرح دیے جاتے ہیں کہ پولی لوگرتھم فنکشن کہاں ہے۔ عمومی خصوصیات X اور Y کے امکانات پیدا کرنے والے افعال بالترتیب ہیں، اس کے مسلسل اینالاگ (ایکسپونینشل ڈسٹری بیوشن) کی طرح، ہندسی تقسیم میموری سے خالی ہے۔ یعنی، ہر m اور n کے لیے درج ذیل ہولڈز۔ {1,2,3,.} پر سپورٹ شدہ جیومیٹرک ڈسٹری بیوشن واحد میموری لیس مجرد ڈسٹری بیوشن ہے۔ نوٹ کریں کہ {0,1,2,.} پر سپورٹ شدہ جیومیٹرک ڈسٹری بیوشن میموری لیس نہیں ہے۔ دی گئی متوقع قیمت کے ساتھ {1,2,3,.} پر سپورٹ کردہ تمام مجرد امکانات کی تقسیم میں، پیرامیٹر p = 1/μ کے ساتھ ہندسی تقسیم X سب سے بڑی اینٹروپی کے ساتھ ہے۔ پہلی کامیابی سے پہلے ناکامیوں کی تعداد Y کی ہندسی تقسیم لامحدود طور پر قابل تقسیم ہے، یعنی، کسی بھی مثبت عدد n کے لیے، آزاد یکساں طور پر تقسیم شدہ بے ترتیب متغیر Y1، Yn موجود ہیں، جن کے مجموعے کی وہی تقسیم ہے جو Y میں ہے۔ یہ ہندسی طور پر اس وقت تک تقسیم نہیں ہوں گے جب تک کہ n = 1 نہ ہو۔ وہ ایک منفی بائنومیل تقسیم کی پیروی کرتے ہیں۔ ہندسی طور پر تقسیم شدہ بے ترتیب متغیر Y کے اعشاریہ ہندسے آزاد (اور یکساں طور پر تقسیم شدہ نہیں) بے ترتیب متغیرات کی ایک ترتیب ہیں۔ مثال کے طور پر، سینکڑوں ہندسوں کے D میں یہ امکانات کی تقسیم ہوتی ہے: جہاں q = 1 − p، اور اسی طرح دوسرے ہندسوں کے لیے، اور، زیادہ عام طور پر، اسی طرح 10 کے علاوہ دیگر اڈوں والے عددی نظاموں کے لیے۔ جب بیس 2 ہوتا ہے، تو اس سے پتہ چلتا ہے کہ ہندسی طور پر تقسیم شدہ بے ترتیب متغیر کو آزاد بے ترتیب متغیرات کے مجموعے کے طور پر لکھا جا سکتا ہے جن کے امکانات کی تقسیم ناقابل تشکیل ہوتی ہے۔ گولمب کوڈنگ ہندسی مجرد تقسیم کے لیے بہترین سابقہ کوڈ ہے۔ دو آزاد جیو (پی) تقسیم شدہ بے ترتیب متغیرات کا مجموعہ ہندسی تقسیم نہیں ہے۔ متعلقہ تقسیم ہندسی تقسیم Y منفی بائنومیل تقسیم کا ایک خاص معاملہ ہے، جس میں r = 1 ہے۔ زیادہ عام طور پر، اگر Y1,., Yr پیرامیٹر p کے ساتھ آزاد ہندسی طور پر تقسیم شدہ متغیر ہیں، تو مجموعہ r اور p پیرامیٹرز کے ساتھ منفی بائنومیل تقسیم کی پیروی کرتا ہے۔ ہندسی تقسیم مجرد مرکب پوئسون تقسیم کا ایک خاص معاملہ ہے۔ اگر Y1،.، Yr آزاد ہندسی طور پر تقسیم شدہ متغیرات ہیں (ممکنہ طور پر کامیابی کے مختلف پیرامیٹرز پی ایم کے ساتھ)، تو ان کا کم از کم بھی ہندسی طور پر تقسیم کیا جاتا ہے، پیرامیٹر کے ساتھ فرض کریں کہ 0 <r <1، اور k = 1، 2، 3، کے لیے۔ بے ترتیب متغیر Xk میں متوقع قیمت r k/k کے ساتھ پوئسون کی تقسیم ہوتی ہے۔ پھر سیٹ {0,1,2,.} میں متوقع قیمت r/(1−r) کے ساتھ اقدار لینے والی ہندسی تقسیم ہوتی ہے۔ ایکسپونینشیل ڈسٹری بیوشن جیومیٹرک ڈسٹری بیوشن کا مسلسل اینالاگ ہے۔ اگر ایکس پیرامیٹر λ کے ساتھ ایک تیزی سے تقسیم شدہ بے ترتیب متغیر ہے، تو فرش (یا سب سے بڑا عدد) فنکشن کہاں ہے، ایک ہندسی طور پر تقسیم شدہ بے ترتیب متغیر ہے جس میں پیرامیٹر p = 1 − e − λ (اس طرح λ = −ln (1 − p)) ہے اور سیٹ میں اقدار لے رہا ہے۔ اس کا استعمال ہندسی طور پر تقسیم شدہ سڈورینڈم نمبروں کو پہلے ایک یکساں سڈورینڈم نمبر جنریٹر سے تیزی سے تقسیم شدہ سڈورینڈم نمبر تیار کرکے پیدا کرنے کے لیے کیا جا سکتا ہے: پھر ہندسی طور پر پیرامیٹر کے ساتھ تقسیم کیا جاتا ہے، اگر یکساں طور پر [0,1] میں تقسیم کیا جاتا ہے۔ اگر p = 1/n اور X کو ہندسی طور پر پیرامیٹر p کے ساتھ تقسیم کیا جاتا ہے، تو X/n کی تقسیم متوقع قدر 1 کے ساتھ ایک ایکسپونینشیل ڈسٹری بیوشن تک پہنچ جاتی ہے، کیونکہ زیادہ عام طور پر، اگر p = λ/n، جہاں λ ایک پیرامیٹر ہے، تو جیسا کہ n → φ X/n کی تقسیم شرح λ کے ساتھ ایک ایکسپونینشیل ڈسٹری بیوشن تک پہنچتی ہے: اس لیے X/n کی ڈسٹری بیوشن فنکشن یکجا ہو جاتی ہے، جو کہ ایک ایکسپونینشیل بے ترتیب متغیر ہے۔ شماریاتی تخمینہ پیرامیٹر تخمینہ ہندسی تقسیم کی دونوں شکلوں کے لیے، پیرامیٹر p کا تخمینہ متوقع قدر کو نمونے کے اوسط کے برابر کر کے لگایا جا سکتا ہے۔ یہ لمحات کا طریقہ ہے، جو اس صورت میں p کے زیادہ سے زیادہ امکانات کا تخمینہ دیتا ہے۔ خاص طور پر، پہلی قسم کے لیے k = k1،.، kn ایک نمونہ ہے جہاں i = 1،.، n کے لیے k ≤ 1 ہے۔ پھر p کا تخمینہ اس طرح لگایا جا سکتا ہے کہ بیسیائی تخمینہ میں، بیٹا تقسیم پیرامیٹر p کے لیے کنجوگیٹ پری ڈسٹری بیوشن ہے۔ اگر اس پیرامیٹر کو بیٹا (α، β) پہلے دیا جاتا ہے، تو پوسٹرئر ڈسٹری بیوشن یہ ہے کہ پوسٹرئر مین E [p] زیادہ سے زیادہ امکانات کے تخمینے تک پہنچتا ہے کیونکہ α اور β صفر تک پہنچتے ہیں۔ متبادل صورت میں، k1,., kn کو ایک نمونہ ہونے دیں جہاں i = 1,., n کے لیے k ≤ 0۔ پھر p کا تخمینہ اس طرح لگایا جا سکتا ہے کہ p کی پچھلی تقسیم کو بیٹا (α, β) پہلے دیا گیا ہے۔ پھر پوسٹر مین E [p] زیادہ سے زیادہ امکان کے تخمینے کے قریب پہنچ جاتا ہے کیونکہ α اور β صفر تک پہنچ جاتے ہیں۔ زیادہ سے زیادہ امکانات کو استعمال کرنے کے کسی بھی تخمینے کے لیے، تعصب اس کے برابر ہے جس سے تعصب کو درست کیا گیا زیادہ سے زیادہ امکانات کا تخمینہ لگانے والے کمپیوٹیشنل طریقے آر کا استعمال کرتے ہوئے جیومیٹرک ڈسٹری بیوشن اس امکان کا حساب لگاتا ہے کہ پہلی کامیابی سے پہلے کے ناکامیاں ہیں، جہاں دلیل "پروب" ہر مقدمے کی سماعت میں کامیابی کا امکان ہے۔ مثال کے طور پر، ڈیجیم (0,0.6) = 0.6 ڈیجیم (1,0.6) = 0.24 R اس روایت کا استعمال کرتا ہے کہ k ناکامیوں کی تعداد ہے، تاکہ پہلی کامیابی تک اور اس میں شامل آزمائشوں کی تعداد k + 1 ہو۔ مندرجہ ذیل R کوڈ Y = 0 سے 10 تک ہندسی تقسیم کا ایک گراف بناتا ہے، جس میں p = 0.6 ہے۔ Y = 0:10 پلاٹ (Y، dgeom (Y، 0.6)، ٹائپ = "h"، ylim = c (0,1)، مین = "p کے لیے جیومیٹرک ڈسٹری بیوشن = 0.6"، ylab = "Pr (Y = Y)"، xlab = "Y = پہلی کامیابی سے پہلے ناکامیوں کی تعداد") ایکسل کا استعمال کرتے ہوئے جیومیٹرک ڈسٹری بیوشن جیومیٹرک ڈسٹری بیوشن، پہلی کامیابی سے پہلے ناکامیوں کی تعداد کے لیے، منفی بائنومیل ڈسٹری بیوشن کا ایک خاص معاملہ ہے، s کی کامیابیوں سے پہلے ناکامیوں کی تعداد کے لیے۔ ایکسل فنکشن NEGBINOMDIST (نمبر _ f، نمبر _ s، احتمال _ s) s = نمبر _ s کی کامیابیوں سے پہلے k = نمبر _ f کی ناکامیوں کے امکان کا حساب لگاتا ہے جہاں p = احتمال _ s ہر آزمائش پر کامیابی کا امکان ہے۔ ہندسی تقسیم کے لیے، نمبر _ s = 1 کو کامیاب ہونے دیں۔ مثال کے طور پر، = NEGBINOMDIST (0,1,0.6) = 0.6 = NEGBINOMDIST (1,1,0.6) = 0.24 R کی طرح، ایکسل اس روایت کا استعمال کرتا ہے کہ k ناکامیوں کی تعداد ہے، تاکہ پہلی کامیابی تک اور اس سمیت آزمائشوں کی تعداد k + 1 ہو۔ ہائپر جیومیٹرک ڈسٹری بیوشن کوپن کلیکٹر کا مسئلہ کمپاؤنڈ پوسن ڈسٹری بیوشن منفی بائنومیل ڈسٹری بیوشن حوالہ جات بیرونی روابط جیومیٹرک ڈسٹری بیوشن آن میتھ ورلڈ بھی دیکھیں۔ ڈسکریٹ ڈسٹری بیوشنز ایکسپونینشیل فیملی ڈسٹری بیوشنز لامحدود طور پر تقسیم ہونے والے امکانات کی تقسیم آر کوڈ کی مثال کے ساتھ مضامین