Weierstrass factorization theorem
ریاضی میں، اور خاص طور پر پیچیدہ تجزیہ کے میدان میں، ویئراسٹراس فیکٹرائزیشن تھیوریم اس بات پر زور دیتا ہے کہ ہر پورے فنکشن کو اس کے صفر پر مشتمل (ممکنہ طور پر لامحدود) پروڈکٹ کے طور پر پیش کیا جا سکتا ہے۔ نظریہ کو الجبرا کے بنیادی نظریہ کی توسیع کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے، جو اس بات پر زور دیتا ہے کہ ہر کثیر الجہتی کو لکیری عوامل میں شامل کیا جا سکتا ہے، ہر جڑ کے لیے ایک۔ تھیوریم، جس کا نام کارل ویرسٹراس کے نام پر رکھا گیا ہے، اس دوسرے نتیجے سے قریب سے متعلق ہے کہ انفینٹی کی طرف مائل ہونے والی ہر ترتیب کا اس ترتیب کے نکات پر صفر کے ساتھ ایک وابستہ پورا فنکشن ہوتا ہے۔ تھیوریم کی عمومی شکل اسے میرومورفک افعال تک بڑھاتی ہے اور کسی کو دیئے گئے میرومورفک فنکشن کو تین عوامل کے پروڈکٹ کے طور پر غور کرنے کی اجازت دیتی ہے: اصطلاحات جو فنکشن کے صفر اور قطبوں پر منحصر ہوتی ہیں، اور ایک متعلقہ غیر صفر ہولومورفک فنکشن۔ محرک یہ واضح ہے کہ پیچیدہ سطح میں پوائنٹس کے کسی بھی محدود سیٹ میں ایک وابستہ کثیر الجہتی ہوتا ہے جس کے صفر بالکل اس سیٹ کے نکات پر ہوتے ہیں۔ الجبری کے بنیادی نظریہ کا ایک نتیجہ اس کے برعکس ہے: پیچیدہ سطح میں کسی بھی کثیر الجہتی فعل میں ایک فیکٹرائزیشن ہوتی ہے جہاں ایک غیر صفر مستقل ہوتا ہے اور اس کے صفر کا مجموعہ ہوتا ہے۔ ویئراسٹراس فیکٹرائزیشن تھیوریم کی دو شکلوں کو پورے افعال کے لیے مذکورہ بالا کی توسیع کے طور پر سوچا جا سکتا ہے۔ پروڈکٹ میں اضافی اصطلاحات کی ضرورت اس وقت ظاہر ہوتی ہے جب کوئی اس بات پر غور کرتا ہے کہ ترتیب کہاں محدود نہیں ہے۔ یہ کبھی بھی کسی پورے فنکشن کی وضاحت نہیں کر سکتا، کیونکہ لامحدود پروڈکٹ یکجا نہیں ہوتا ہے۔ اس طرح کوئی بھی، عام طور پر، مقرر کردہ صفر کی ترتیب سے کسی پورے فنکشن کی وضاحت نہیں کر سکتا یا الجبرا کے بنیادی نظریہ سے حاصل ہونے والے تاثرات کا استعمال کرتے ہوئے اس کے صفر سے کسی پورے فنکشن کی نمائندگی نہیں کر سکتا۔ زیر بحث لامحدود پروڈکٹ کے کنورجنس کے لیے ایک ضروری شرط یہ ہے کہ ہر z کے لیے، عوامل کو 1 تک پہنچنا چاہیے۔ لہذا یہ اس وجہ سے کھڑا ہے کہ کسی کو ایک ایسی فنکشن تلاش کرنی چاہیے جو ایک مقررہ نقطہ پر 0 ہو سکتی ہے، پھر بھی جب اس مقام پر نہ ہو تو 1 کے قریب رہے اور اس کے علاوہ تجویز کردہ سے زیادہ صفر متعارف نہ کروائیں۔ ویئراسٹراس کے بنیادی عوامل میں یہ خصوصیات ہوتی ہیں اور وہ وہی مقصد پورا کرتے ہیں جو اوپر بیان کردہ عوامل کرتے ہیں۔ بنیادی عوامل فارم کے افعال پر غور کریں۔ پر، وہ اندازہ لگاتے ہیں اور اس کے مطابق ایک ہموار ڈھلوان رکھتے ہیں۔ اس کے فورا بعد، وہ تیزی سے کچھ چھوٹے مثبت قدر پر گر جاتے ہیں۔ اس کے برعکس، اس فنکشن پر غور کریں جس کی کوئی چپٹی ڈھلوان نہیں ہے لیکن، at، بالکل صفر کا اندازہ کرتا ہے۔ یہ بھی نوٹ کریں کہ [[فائل: First_5_Weierstrass_factors_on_the_unit_interval.svg |thumb |right |alt = یونٹ کے وقفے پر پہلے 5 ویرسٹراس عوامل۔ |Plot کے n = 0،.، 4 اور x کے وقفے میں [-1,1]] ابتدائی عوامل، جنہیں بنیادی عوامل بھی کہا جاتا ہے، وہ افعال ہیں جو صفر ڈھلوان اور صفر قدر کی خصوصیات کو یکجا کرتے ہیں (گرافک دیکھیں): اور کے لیے، کوئی اسے اس طرح ظاہر کر سکتا ہے اور کوئی پڑھ سکتا ہے کہ ان خصوصیات کو کیسے نافذ کیا جاتا ہے۔ ابتدائی عوامل کی افادیت مندرجہ ذیل لیما میں مضمر ہے: لیما (15.8، روڈن) کے لیے، تھیوریم کی دو شکلیں مخصوص صفر کے ساتھ پورے فنکشن کا وجود آئیے غیر صفر پیچیدہ اعداد کی ترتیب اس طرح ہو کہ۔ اگر غیر منفی انٹیجرز کی کوئی ترتیب ایسی ہے کہ سب کے لیے، تو فنکشن صرف پوائنٹس پر صفر کے ساتھ مکمل ہے۔ اگر کوئی عدد ترتیب میں عین اوقات میں آتا ہے، تو فنکشن کا ضرب پر صفر ہوتا ہے۔ نظریہ کے بیان میں ترتیب ہمیشہ موجود رہتی ہے۔ مثال کے طور پر، ہم ہمیشہ کنورجنس لے سکتے ہیں اور حاصل کر سکتے ہیں۔ اس طرح کی ترتیب منفرد نہیں ہے: اسے محدود تعداد میں پوزیشنوں پر تبدیل کرنا، یا کوئی اور ترتیب لینا، کنورجنس کو نہیں توڑے گا۔ نظریہ مندرجہ ذیل کو عام کرتا ہے: ریمن دائرے کے کھلے ذیلی سیٹوں (اور اس وجہ سے خطوں) میں ترتیبات سے وابستہ افعال ہوتے ہیں جو ان ذیلی سیٹوں میں ہولومورفک ہوتے ہیں اور ترتیب کے نکات پر صفر ہوتے ہیں۔ نیز الجبرا کے بنیادی نظریہ کے ذریعہ دیا گیا معاملہ یہاں شامل کیا گیا ہے۔ اگر ترتیب محدود ہے تو ہم لے سکتے ہیں اور حاصل کر سکتے ہیں: ویئراسٹراس فیکٹرائزیشن تھیوریم ایک مکمل فنکشن ہونے دیں، اور ضرب کے مطابق دہرائے جانے والے غیر صفر صفر ہونے دیں ؛ فرض کریں کہ اس کی ترتیب میں بھی صفر ہے۔ پھر ایک مکمل فنکشن اور انٹیجرز کی ایک ترتیب موجود ہے جیسے کہ فیکٹرائزیشن کی مثالیں مثلثی افعال سائن اور کوسین میں فیکٹرائزیشن ہوتی ہے جبکہ گاما فنکشن میں فیکٹرائزیشن ہوتی ہے جہاں یولر-ماسچیرونی مستقل ہوتا ہے۔ کوسائن شناخت کو فار کے خصوصی کیس کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے۔ ہڈمارڈ فیکٹرائزیشن تھیوریم ہڈمارڈ کینونکل عوامل کی وضاحت کریں محدود ترتیب کے تمام افعال میں ہڈمارڈ کی کینونکل نمائندگی ہوتی ہے: جہاں اس کے وہ جڑ صفر () نہیں ہیں، صفر کی ترتیب ہے (جس معاملے کو معنی میں لیا جا رہا ہے)، ایک کثیر الجہتی (جس کی ڈگری کو ہم کال کریں گے)، اور سب سے چھوٹا غیر منفی عدد ہے جس سے سلسلہ یکجا ہوتا ہے۔ غیر منفی عدد کو پورے فعل کی جینس کہا جاتا ہے۔ اس نوٹیشن میں، دوسرے لفظوں میں: اگر آرڈر انٹیجر نہیں ہے، تو انٹیجر کا حصہ ہے۔ اگر آرڈر ایک مثبت عدد ہے، تو دو امکانات ہیں: یا۔ مثال کے طور پر، اور جینس کے پورے افعال ہیں۔ میٹاگ-لیفلر تھیوریم والیس پروڈکٹ بھی دیکھیں، جو اس تھیوریم سے اخذ کیا جا سکتا ہے جس کا اطلاق سائن فنکشن بلاشکے پروڈکٹ پر ہوتا ہے۔