Probability space
امکان کے نظریہ میں، امکان کی جگہ یا امکان ٹرپل ایک ریاضیاتی تعمیر ہے جو بے ترتیب عمل یا "تجربہ" کا باضابطہ نمونہ فراہم کرتی ہے۔ مثال کے طور پر، کوئی امکان کی جگہ کی وضاحت کر سکتا ہے جو a کے پھینکنے کا نمونہ بناتا ہے۔ امکان کی جگہ تین عناصر پر مشتمل ہوتی ہے: ایک نمونہ کی جگہ، جو تمام ممکنہ نتائج کا مجموعہ ہے۔ ایک ایونٹ کی جگہ، جو واقعات کا ایک مجموعہ ہے، ایک واقعہ جو نمونے کی جگہ میں نتائج کا ایک مجموعہ ہے۔ ایک امکانی فعل، جو ایونٹ کی جگہ میں ہر واقعہ کو ایک امکان تفویض کرتا ہے، جو کہ 0 اور 1 کے درمیان ایک عدد ہے۔ امکان کا ایک سمجھدار نمونہ فراہم کرنے کے لیے، ان عناصر کو اس مضمون میں تفصیل سے بیان کردہ متعدد محوریات کو پورا کرنا ہوگا۔ ایک معیاری ڈائی کے پھینکنے کی مثال میں، ہم نمونے کی جگہ کو لے لیں گے۔ ایونٹ کی جگہ کے لیے، ہم صرف نمونے کی جگہ کے تمام ذیلی سیٹوں کا سیٹ استعمال کر سکتے ہیں، جس میں پھر سادہ واقعات جیسے ("5 پر ڈائی لینڈز") کے ساتھ ساتھ پیچیدہ واقعات جیسے ("ڈائی لینڈز ایون نمبر پر") شامل ہوں گے۔ آخر میں، امکانی فعل کے لیے، ہم ہر واقعہ کا نقشہ اس واقعہ کے نتائج کی تعداد کے مطابق 6 سے تقسیم کریں گے-لہذا مثال کے طور پر، اس کا نقشہ بنایا جائے گا، اور اس کا نقشہ بنایا جائے گا۔ جب کوئی تجربہ کیا جاتا ہے، تو ہم تصور کرتے ہیں کہ "فطرت" نمونے کی جگہ سے ایک واحد نتیجہ "منتخب" کرتی ہے۔ ایونٹ کی جگہ کے تمام واقعات جن میں منتخب نتیجہ ہوتا ہے کہا جاتا ہے کہ "واقع ہوا ہے"۔ یہ "انتخاب" اس طرح سے ہوتا ہے کہ اگر تجربہ کئی بار دہرایا جائے تو ہر واقعہ کے واقعات کی تعداد، تجربات کی کل تعداد کے ایک حصے کے طور پر، ممکنہ طور پر اس واقعہ کو تفویض کردہ امکان کی طرف مائل ہوگی۔ سوویت ریاضی دان آندرے کولموگوروف نے 1930 کی دہائی میں امکانات کے دیگر محرکات کے ساتھ مل کر امکانات کی جگہ کا تصور متعارف کرایا۔ جدید امکانی نظریہ میں محوریت کے لیے متعدد متبادل نقطہ نظر موجود ہیں-مثال کے طور پر، بے ترتیب متغیرات کا الجبرا۔ امکان کی جگہ ایک ریاضیاتی سہ رخی ہے جو حقیقی دنیا کے حالات کے ایک خاص طبقے کے لیے ایک نمونہ پیش کرتی ہے۔ دوسرے ماڈلز کی طرح، اس کا مصنف بالآخر اس بات کی وضاحت کرتا ہے کہ کون سے عناصر،، اور ہوں گے۔ نمونے کی جگہ تمام ممکنہ نتائج کا مجموعہ ہے۔ نتیجہ ماڈل کی واحد کارکردگی کا نتیجہ ہوتا ہے۔ نتائج فطرت کی حالتیں، امکانات، تجرباتی نتائج اور اسی طرح کے ہو سکتے ہیں۔ حقیقی دنیا کی صورتحال (یا تجربے کی دوڑ) کی ہر مثال کو بالکل ایک نتیجہ پیدا کرنا چاہیے۔ اگر کسی تجربے کے مختلف حصوں کے نتائج کسی بھی طرح سے مختلف ہیں جو اہمیت رکھتے ہیں، تو وہ الگ الگ نتائج ہیں۔ کون سے اختلافات اہم ہیں اس کا انحصار اس بات پر ہے کہ ہم کس قسم کا تجزیہ کرنا چاہتے ہیں۔ اس سے نمونے کی جگہ کے مختلف انتخاب ہوتے ہیں۔ σ-الجبرا ان تمام واقعات کا مجموعہ ہے جن پر ہم غور کرنا چاہیں گے۔ اس مجموعے میں ہر ایک ابتدائی واقعہ شامل ہو بھی سکتا ہے اور نہیں بھی۔ یہاں، ایک "واقعہ" صفر یا اس سے زیادہ نتائج کا ایک مجموعہ ہے ؛ یعنی نمونے کی جگہ کا ایک ذیلی مجموعہ۔ ایک واقعہ کو ایک تجربے کے دوران "ہوا" سمجھا جاتا ہے جب مؤخر الذکر کا نتیجہ واقعہ کا ایک عنصر ہوتا ہے۔ چونکہ ایک ہی نتیجہ بہت سے واقعات کا رکن ہو سکتا ہے، اس لیے ممکن ہے کہ ایک ہی نتیجہ کو دیکھتے ہوئے بہت سے واقعات پیش آئے ہوں۔ مثال کے طور پر، جب مقدمے کی سماعت دو نرد پھینکنے پر مشتمل ہوتی ہے، تو 7 پپس کے مجموعے کے ساتھ تمام نتائج کا مجموعہ ایک واقعہ تشکیل دے سکتا ہے، جبکہ پپس کی عجیب تعداد کے ساتھ نتائج ایک اور واقعہ تشکیل دے سکتے ہیں۔ اگر نتیجہ پہلے ڈائی پر دو پپس اور دوسرے پر پانچ کے ابتدائی واقعہ کا عنصر ہے، تو دونوں واقعات، "7 پپس" اور "پپس کی عجیب تعداد"، کے بارے میں کہا جاتا ہے۔ امکان کی پیمائش ایک سیٹ فنکشن ہے جو کسی واقعہ کے امکان کو واپس کرتی ہے۔ امکان صفر کے درمیان ایک حقیقی عدد ہے (ناممکن واقعات کا امکان صفر ہوتا ہے، حالانکہ امکان صفر کے واقعات لازمی طور پر ناممکن نہیں ہوتے ہیں) اور ایک (واقعہ تقریبا یقینی طور پر ہوتا ہے، تقریبا مکمل یقین کے ساتھ)۔ اس طرح ایک فنکشن ہے۔ امکان کی پیمائش کے فنکشن کو دو آسان تقاضوں کو پورا کرنا چاہیے: پہلا، باہمی طور پر خصوصی واقعات کے قابل شمار اتحاد کا امکان ان واقعات میں سے ہر ایک کے امکانات کے قابل شمار مجموعہ کے برابر ہونا چاہیے۔ مثال کے طور پر، باہمی خصوصی واقعات کے اتحاد کا امکان اور ایک سکے کے ٹاس کے بے ترتیب تجربے میں، کے لیے امکان اور کے لیے امکان کا مجموعہ ہے۔ دوسرا، نمونے کی جگہ کا امکان 1 کے برابر ہونا چاہیے (جو اس حقیقت کا سبب بنتا ہے کہ، ماڈل پر عمل درآمد کو دیکھتے ہوئے، کچھ نتیجہ ضرور آنا چاہیے)۔ پچھلی مثال میں نتائج کے سیٹ کا امکان ایک کے برابر ہونا چاہیے، کیونکہ یہ مکمل طور پر یقینی ہے کہ نتیجہ یا تو ہوگا یا (ماڈل کسی دوسرے امکان کو نظر انداز کرتا ہے) ایک سکے کی ٹاس میں۔ نمونے کی جگہ کے ہر ذیلی سیٹ کو لازمی طور پر ایک واقعہ نہیں سمجھا جانا چاہیے: کچھ ذیلی سیٹ محض دلچسپی کے حامل نہیں ہیں، دوسروں کو "ماپا" نہیں جا سکتا۔ سکے ٹاس جیسے معاملے میں یہ اتنا واضح نہیں ہے۔ ایک مختلف مثال میں، کوئی بھی برچھی پھینکنے کی لمبائی پر غور کر سکتا ہے، جہاں واقعات عام طور پر "60 اور 65 میٹر کے درمیان" جیسے وقفے ہوتے ہیں اور اس طرح کے وقفوں کے اتحاد ہوتے ہیں، لیکن "60 اور 65 میٹر کے درمیان غیر معقول اعداد" کی طرح سیٹ نہیں ہوتے ہیں۔ تعریف مختصرا، امکان کی جگہ ایک پیمائش کی جگہ ہے جس میں پوری جگہ کی پیمائش ایک کے برابر ہوتی ہے۔ توسیعی تعریف مندرجہ ذیل ہے: امکان کی جگہ ایک سہ رخی پر مشتمل ہے: نمونہ کی جگہ-ایک صوابدیدی غیر خالی سیٹ، σ-الجبرا (جسے σ-فیلڈ بھی کہا جاتا ہے)-واقعات کہلانے والے ذیلی سیٹوں کا ایک مجموعہ، جیسے کہ: نمونہ کی جگہ پر مشتمل ہے:، تکمیل کے تحت بند کیا جاتا ہے: اگر، تب بھی، قابل گنتی اتحاد کے تحت بند کیا جاتا ہے: اگر کے لیے، تو پھر بھی پچھلی دو خصوصیات اور ڈی مورگن کے قانون کا نتیجہ یہ ہے کہ قابل گنتی چوراہوں کے تحت بھی بند کیا جاتا ہے: اگر کے لیے، تو امکان کی پیمائش بھی-اس پر ایک فنکشن ہے کہ: P قابل شمار اضافی ہے (جسے σ-اضافی بھی کہا جاتا ہے): اگر جوڑی کے لحاظ سے جداگانہ سیٹوں کا قابل گنتی مجموعہ ہے، تو پھر ڈسکریٹ کیس ڈسکریٹ پروبیبلٹی تھیوری کی ضرورت صرف زیادہ سے زیادہ قابل گنتی نمونے کی جگہوں پر ہوتی ہے۔ امکانات کو ممکنہ بڑے پیمانے پر فنکشن کے ذریعہ پوائنٹس سے منسوب کیا جا سکتا ہے۔ کے تمام ذیلی مجموعوں کو واقعات کے طور پر سمجھا جا سکتا ہے (اس طرح، پاور سیٹ ہے)۔ امکان کی پیمائش سادہ شکل اختیار کرتی ہے۔ سب سے بڑا σ-الجبرا مکمل معلومات کو بیان کرتا ہے۔ عام طور پر، ایک σ-الجبرا ایک محدود یا قابل گنتی تقسیم سے مطابقت رکھتا ہے، جو کسی واقعہ کی عمومی شکل ہے۔ مثالیں بھی دیکھیں۔ تعریف کے مطابق کیس کی اجازت ہے، لیکن شاذ و نادر ہی استعمال کیا جاتا ہے، کیونکہ اس طرح کے نمونے کو محفوظ طریقے سے نمونے کی جگہ سے خارج کیا جا سکتا ہے۔ عمومی صورت اگر ناقابل شمار ہے، پھر بھی، ایسا ہو سکتا ہے کہ کچھ لوگوں کے لیے ؛ ایسے ایٹم کہلاتے ہیں۔ وہ زیادہ سے زیادہ قابل گنتی (شاید خالی) سیٹ ہیں، جن کا امکان تمام ایٹموں کے امکانات کا مجموعہ ہے۔ اگر یہ رقم 1 کے برابر ہے تو دوسرے تمام نکات کو نمونے کی جگہ سے محفوظ طریقے سے خارج کیا جا سکتا ہے، جو ہمیں مجرد کیس پر واپس کرتا ہے۔ بصورت دیگر، اگر تمام ایٹموں کے امکانات کا مجموعہ 0 اور 1 کے درمیان ہے، تو امکان کی جگہ ایک مجرد (جوہری) حصے (شاید خالی) اور غیر جوہری حصے میں تحلیل ہو جاتی ہے۔ غیر جوہری صورت اگر سب کے لیے (اس صورت میں، ω بے شمار ہونا چاہیے، کیونکہ بصورت دیگر مطمئن نہیں کیا جا سکتا)، تو مساوات () ناکام ہو جاتی ہے: کسی سیٹ کا امکان ضروری نہیں کہ اس کے عناصر کے امکانات پر مجموعہ ہو، کیونکہ خلاصہ صرف عناصر کی قابل گنتی تعداد کے لیے بیان کیا جاتا ہے۔ یہ امکانی خلائی نظریہ کو بہت زیادہ تکنیکی بناتا ہے۔ خلاصہ سے زیادہ مضبوط تشکیل، پیمائش کا نظریہ لاگو ہوتا ہے۔ ابتدائی طور پر امکانات کچھ "جنریٹر" سیٹوں سے منسوب کیے جاتے ہیں (مثالیں دیکھیں)۔ پھر ایک محدود کرنے کا طریقہ کار ان سیٹوں کو امکانات تفویض کرنے کی اجازت دیتا ہے جو جنریٹر سیٹوں کی ترتیب کی حدود، یا حدود کی حدود وغیرہ ہیں۔ یہ تمام سیٹ σ-الجبرا ہیں۔ تکنیکی تفصیلات کے لیے کیریتھیوڈوری کا توسیعی نظریہ دیکھیں۔ سے تعلق رکھنے والے سیٹوں کو پیمائش کے قابل کہا جاتا ہے۔ عام طور پر وہ جنریٹر سیٹوں کے مقابلے میں بہت زیادہ پیچیدہ ہوتے ہیں، لیکن غیر پیمائش والے سیٹوں سے بہت بہتر ہوتے ہیں۔ ایک امکانی جگہ کو ایک مکمل امکان کی جگہ کہا جاتا ہے اگر سب کے ساتھ اور سب کے پاس ہے۔ اکثر، امکان کی جگہوں کا مطالعہ مکمل امکان کی جگہوں تک محدود ہوتا ہے۔ مثالیں مجرد مثالیں مثال 1 اگر تجربہ منصفانہ سکے کے صرف ایک پلٹاو پر مشتمل ہے، تو نتیجہ یا تو سر یا دم ہے: σ-الجبرا واقعات پر مشتمل ہے، یعنی: ("سر")، ("دم")، ("نہ تو سر اور نہ ہی دم")، اور ("یا تو سر یا دم") ؛ دوسرے الفاظ میں،۔ سر اچھالنے کا پچاس فیصد امکان ہے اور دم کے لیے پچاس فیصد، اس لیے اس مثال میں امکان کی پیمائش ہے،،،۔ مثال 2 منصفانہ سکہ تین بار پھینکا جاتا ہے۔ 8 ممکنہ نتائج ہیں: (مثال کے طور پر یہاں "ایچ ٹی ایچ" کا مطلب ہے کہ پہلی بار سکہ سر پر اترا، دوسری بار دم، اور آخری بار دوبارہ سر پر پہنچا)۔ مکمل معلومات کو واقعات کے σ-الجبرا سے بیان کیا جاتا ہے، جہاں ہر واقعہ ω کا ذیلی مجموعہ ہوتا ہے۔ ایلس صرف دوسری ٹاس کا نتیجہ جانتی ہے۔ اس طرح اس کی نامکمل معلومات کو تقسیم کے ذریعے بیان کیا جاتا ہے، جہاں ′ جداگانہ اتحاد ہے، اور متعلقہ σ-الجبرا۔ برائن صرف دم کی کل تعداد جانتا ہے۔ اس کی تقسیم چار حصوں پر مشتمل ہے: ؛ اس کے مطابق، اس کا σ-الجبرا 24 = 16 واقعات پر مشتمل ہے۔ دو σ-الجیبرا بے مثال ہیں: نہ ہی اور نہ ہی ؛ دونوں 2 ω کے ذیلی-σ-الجیبرا ہیں۔ مثال 3 اگر کیلیفورنیا کے تمام ووٹرز میں سے 100 ووٹرز کو تصادفی طور پر کھینچا جائے اور پوچھا جائے کہ وہ گورنر کو کس کو ووٹ دیں گے، تو کیلیفورنیا کے 100 ووٹرز کے تمام ترتیبات کا مجموعہ نمونہ جگہ ω ہوگا۔ ہم فرض کرتے ہیں کہ بغیر متبادل کے نمونے لینے کا استعمال کیا جاتا ہے: صرف 100 مختلف ووٹرز کے سلسلے کی اجازت ہے۔ سادگی کے لیے ایک ترتیب شدہ نمونے پر غور کیا جاتا ہے، یعنی ایک ترتیب (ایلس، برائن) (برائن، ایلس) سے مختلف ہے۔ ہم یہ بھی سمجھتے ہیں کہ ہر ممکنہ ووٹر بالکل اپنے مستقبل کے انتخاب کو جانتا ہے، یعنی وہ تصادفی طور پر انتخاب نہیں کرتا ہے۔ ایلس صرف یہ جانتی ہے کہ آرنلڈ شوارزنیگر کو کم از کم 60 ووٹ ملے ہیں یا نہیں۔ اس کی نامکمل معلومات کو σ-الجبرا کے ذریعے بیان کیا گیا ہے جس میں شامل ہے: (1) ω میں تمام ترتیبات کا مجموعہ جہاں کم از کم 60 لوگ شوارزنیگر کو ووٹ دیتے ہیں ؛ (2) ان تمام ترتیبات کا مجموعہ جہاں 60 سے کم لوگ شوارزنیگر کو ووٹ دیتے ہیں ؛ (3) پوری نمونہ جگہ ω ؛ اور (4) خالی سیٹ۔ برائن کو ووٹرز کی صحیح تعداد معلوم ہے جو شوارزنیگر کو ووٹ دینے والے ہیں۔ اس کی نامکمل معلومات کو متعلقہ تقسیم کے ذریعے بیان کیا گیا ہے اور σ-الجبرا 2101 واقعات پر مشتمل ہے۔ اس صورت میں ایلس کا σ-الجبرا برائن کا ذیلی مجموعہ ہے: برائن کا σ-الجبرہ بدلے میں واقعات پر مشتمل بہت بڑی "مکمل معلومات" σ-الجبرا 2ω کا ایک ذیلی مجموعہ ہے، جہاں n کیلیفورنیا میں تمام ممکنہ ووٹرز کی تعداد ہے۔ غیر جوہری مثالیں مثال 4 0 اور 1 کے درمیان ایک نمبر کو بے ترتیب، یکساں طور پر منتخب کیا جاتا ہے۔ یہاں ω = [0,1]، ω پر بریل سیٹ کا σ-الجبرا ہے، اور P [0,1] پر لیبسگیو پیمائش ہے۔ اس صورت میں فارم کے کھلے وقفے، جہاں، جنریٹر سیٹ کے طور پر لیے جا سکتے ہیں۔ اس طرح کے ہر سیٹ کو امکانی طور پر منسوب کیا جا سکتا ہے، جو [0,1] پر لیبسگیو پیمائش پیدا کرتا ہے، اور ω پر بوریل σ-الجبرا پیدا کرتا ہے۔ مثال 5 ایک منصفانہ سکہ لامتناہی پھینکا جاتا ہے۔ یہاں کوئی بھی 0 اور 1 نمبروں کے تمام لامحدود ترتیبات کا مجموعہ ω = {0,1} φ لے سکتا ہے۔ سلنڈر سیٹ کو جنریٹر سیٹ کے طور پر استعمال کیا جا سکتا ہے۔ اس طرح کا ہر سیٹ ایک ایسے واقعہ کی وضاحت کرتا ہے جس میں پہلے این ٹاس کے نتیجے میں ایک مقررہ ترتیب ہوتی ہے، اور باقی ترتیب من مانی ہو سکتی ہے۔ اس طرح کے ہر واقعہ کو قدرتی طور پر 2−n کا امکان دیا جا سکتا ہے۔ یہ دو غیر جوہری مثالیں قریب سے متعلق ہیں: ایک ترتیب نمبر کی طرف لے جاتی ہے۔ یہ {0,1} φ اور [0,1] کے درمیان ایک سے ایک خط و کتابت نہیں ہے تاہم: یہ ایک آئسومورفزم ماڈیولو صفر ہے، جو دو امکانی خالی جگہوں کو ایک ہی امکان کی جگہ کی دو شکلوں کے طور پر استعمال کرنے کی اجازت دیتا ہے۔ درحقیقت، اس لحاظ سے تمام غیر پیتھولوجیکل غیر جوہری امکانات کی جگہیں ایک جیسی ہیں۔ وہ نام نہاد معیاری امکانات کی جگہیں ہیں۔ امکانی خالی جگہوں کی بنیادی ایپلی کیشنز معیار کے لیے غیر حساس ہیں۔ تاہم، معیاری امکانی جگہوں پر غیر مجرد کنڈیشنگ آسان اور فطری ہے، بصورت دیگر یہ غیر واضح ہو جاتا ہے۔ متعلقہ تصورات امکان کی تقسیم کوئی بھی امکان کی تقسیم امکان کی پیمائش کی وضاحت کرتی ہے۔ بے ترتیب متغیر ایک بے ترتیب متغیر X ایک قابل پیمائش فنکشن X: ω → S ہے جو نمونے کی جگہ ω سے ایک اور قابل پیمائش جگہ S تک ہے جسے اسٹیٹ اسپیس کہا جاتا ہے۔ اگر اے۔ ایس، تو علامت پی۔ آر (ایکس۔ اے) عام طور پر استعمال ہونے والا شارٹ ہینڈ ہے۔ نمونے کی جگہ کے لحاظ سے واقعات کی وضاحت اگر ω قابل گنتی ہے تو ہم تقریبا ہمیشہ ω کے پاور سیٹ کے طور پر بیان کرتے ہیں، یعنی۔ جو معمولی طور پر ایک σ-الجبرا ہے اور سب سے بڑا جو ہم ω کا استعمال کرتے ہوئے بنا سکتے ہیں۔ اس لیے ہم امکانات کی جگہ کی وضاحت کے لیے (ω، P) کو چھوڑ کر صرف لکھ سکتے ہیں۔ دوسری طرف، اگر ω بے شمار ہے اور ہم اس کا استعمال کرتے ہیں تو ہمیں اپنے امکانات کی پیمائش P کی وضاحت کرنے میں دشواری کا سامنا کرنا پڑتا ہے کیونکہ یہ بہت زیادہ "بڑا" ہے، یعنی۔ اکثر ایسے سیٹ ہوں گے جن پر ایک منفرد پیمائش تفویض کرنا ناممکن ہوگا۔ اس صورت میں، ہمیں ایک چھوٹا σ-الجبرا استعمال کرنا ہوگا، مثال کے طور پر ω کا بوریل الجبرا، جو کہ سب سے چھوٹا σ-الجبرا ہے جو تمام کھلے سیٹوں کو قابل پیمائش بناتا ہے۔ مشروط امکان کولموگوروف کی امکانات کی جگہوں کی تعریف مشروط امکانات کے قدرتی تصور کو جنم دیتی ہے۔ غیر صفر امکان کے ساتھ ہر سیٹ (یعنی،) خلا پر ایک اور امکان کی پیمائش کی وضاحت کرتا ہے۔ اسے عام طور پر "A دیے گئے B کے امکان" کے طور پر بیان کیا جاتا ہے۔ کسی بھی واقعہ کے لیے، تمام واقعات کے لیے جس فنکشن کی وضاحت کی گئی ہے وہ خود ایک امکان کی پیمائش ہے۔ آزادی دو واقعات، اے اور بی کو آزاد کہا جاتا ہے۔ دو بے ترتیب متغیرات، اور، کو آزاد کہا جاتا ہے اگر کے لحاظ سے بیان کردہ کوئی واقعہ کے لحاظ سے بیان کردہ کسی بھی واقعہ سے آزاد ہو۔ رسمی طور پر، وہ آزاد σ-الجیبرا پیدا کرتے ہیں، جہاں دو σ-الجیبرا اور، جو ذیلی سیٹ ہیں، کو آزاد کہا جاتا ہے اگر کوئی عنصر کے کسی عنصر سے آزاد ہو۔ باہمی استثنی دو واقعات، اور کہا جاتا ہے کہ وہ باہمی طور پر خصوصی یا جداگانہ ہیں اگر ایک کے واقع ہونے سے دوسرے کی عدم موجودگی کا مطلب ہوتا ہے، یعنی ان کا چوراہا خالی ہے۔ یہ ان کے چوراہے کے صفر ہونے کے امکان سے زیادہ مضبوط حالت ہے۔ اگر اور متضاد واقعات ہیں، تو۔ یہ واقعات کی ایک (محدود یا شمار کے لحاظ سے لامحدود) ترتیب تک پھیلا ہوا ہے۔ تاہم، واقعات کے ایک بے شمار مجموعے کے اتحاد کا امکان ان کے امکانات کا مجموعہ نہیں ہے۔ مثال کے طور پر، اگر عام طور پر تقسیم شدہ بے ترتیب متغیر ہے، تو کسی کے لیے 0 ہے، لیکن۔ ایونٹ کو "اے اور بی" کہا جاتا ہے، اور ایونٹ کو "اے یا بی" کہا جاتا ہے۔ خلا (ریاضی) پیمائش کی جگہ فزی پیمائش کا نظریہ فلٹر شدہ امکان کی جگہ تالاگرانڈ کی حراستی کی عدم مساوات حوالہ جات کتابچہ پیئر سائمن ڈی لیپلیس (1812) امکان کا تجزیاتی نظریہ امکان کے نظریہ کے ساتھ کیلکولس کو ملاتے ہوئے پہلا بڑا مقالہ، اصل میں فرانسیسی میں: تھیوری تجزیاتی ڈیس پروبیلیٹس۔ آندرے نیکولاجیویچ کولموگوروف (1950) تھیوری آف پروبیبلٹی کی بنیادیں امکان کے نظریہ کی جدید پیمائش-نظریاتی بنیاد ؛ اصل جرمن ورژن (گرونڈبیگریف ڈیر واہرشینلیچکیٹریچنونگ) 1933 میں شائع ہوا۔ ہیرالڈ جیفریز (1939) تھیوری آف پروبیبلٹی ایک تجربہ کار، امکانی نظریہ کی بنیادوں کے لیے بایسیائی نقطہ نظر۔ ایڈورڈ نیلسن (1987) بنیادی طور پر ابتدائی امکان کا نظریہ غیر معیاری تجزیہ پر مبنی امکان کے نظریہ کی بنیادیں۔ ڈاؤن لوڈ کے قابل۔ http://www.math.princeton.edu ~ نیلسن/کتابیں. ایچ ٹی ایم ایل پیٹرک بلنگسلی: امکان اور پیمائش، جان ولی اینڈ سنز، نیویارک، ٹورنٹو، لندن، 1979۔ ہینک تیجمس (2004) امکان کو سمجھنا ابتدائی کے لیے امکان کے نظریہ کا ایک زندہ تعارف، کیمبرج یونیورسٹی۔ پریس کریں۔ ڈیوڈ ولیمز (1991) مارٹنگلز کے ساتھ امکان پیمائش-نظریاتی امکان کا ایک انڈرگریجویٹ تعارف، کیمبرج یونیورسٹی۔ پریس کریں۔ امکانی اور شماریات میں ڈائس ورچوئل لیبارٹریز کی امکانات کی جگہ کا مظاہرہ کرنے والی حرکت پذیری (پرنسپل مصنف کائل سیگرسٹ)، خاص طور پر، امکانات کی جگہیں سٹیزنڈیم مکمل امکانات کی جگہ کا تجربہ (امکانات کا نظریہ) خلا (ریاضی)