Symbolic integration
کیلکولس میں، علامتی انضمام کسی دی گئی فنکشن f (x) کے اینٹی ڈرایٹو، یا غیر معینہ مدت کے انٹیگرل کے لیے فارمولا تلاش کرنے کا مسئلہ ہے، یعنی۔ ایک تفریق پذیر فنکشن F (x) کو تلاش کرنے کے لیے اس کی نشاندہی بھی کی جاتی ہے بحث علامتی اصطلاح اس مسئلے کو عددی انضمام سے ممتاز کرنے کے لیے استعمال کی جاتی ہے، جہاں F کی قدر کسی خاص ان پٹ یا ان پٹ کے سیٹ پر طلب کی جاتی ہے، بجائے اس کے کہ F کے لیے ایک عمومی فارمولا۔ دونوں مسائل کو ڈیجیٹل کمپیوٹرز کے وقت سے بہت پہلے عملی اور نظریاتی اہمیت کا حامل سمجھا جاتا تھا، لیکن اب انہیں عام طور پر کمپیوٹر سائنس کا ڈومین سمجھا جاتا ہے، کیونکہ اس وقت کمپیوٹرز اکثر انفرادی مثالوں سے نمٹنے کے لیے استعمال ہوتے ہیں۔ اظہار کے مشتق کو تلاش کرنا ایک سیدھا سیدھا عمل ہے جس کے لیے الگورتھم بنانا آسان ہے۔ انٹیگرل کو تلاش کرنے کا الٹا سوال بہت زیادہ مشکل ہے۔ بہت سے تاثرات جو نسبتا سادہ ہوتے ہیں ان میں انٹیگرلز نہیں ہوتے ہیں جن کا اظہار بند شکل میں کیا جا سکتا ہے۔ مزید تفصیلات کے لیے اینٹی ڈراویٹو اور نان لیمنٹری انٹیگرل دیکھیں۔ رسچ الگورتھم نامی ایک طریقہ کار موجود ہے جو اس بات کا تعین کرنے کی صلاحیت رکھتا ہے کہ آیا ابتدائی فنکشن کا انٹیگرل (فنکشن چار ابتدائی کارروائیوں کا استعمال کرتے ہوئے ساخت اور امتزاج کے ذریعے ایک محدود تعداد میں ایکسپونینشلز، لوگرتھمز، مستقل اور nth جڑوں سے بنایا گیا ہے) ابتدائی ہے اور اسے واپس کرتا ہے اگر ایسا ہے۔ اپنی اصل شکل میں، رش الگورتھم براہ راست نفاذ کے لیے موزوں نہیں تھا، اور اس کے مکمل نفاذ میں کافی وقت لگا۔ یہ سب سے پہلے خالص ماورائے ماورائے افعال کے معاملے میں ریڈیوس میں نافذ کیا گیا تھا۔ خالص الجبری افعال کا معاملہ جیمز ایچ ڈیوینپورٹ کے ذریعے ریڈیوس میں حل اور نافذ کیا گیا تھا۔ عام معاملہ مینوئل برونسٹین کے ذریعے حل کیا گیا تھا، جس نے تقریبا تمام اس کو محور میں نافذ کیا، حالانکہ آج تک رسک الگورتھم کا کوئی نفاذ نہیں ہوا ہے جو اس میں موجود تمام خصوصی معاملات اور شاخوں سے نمٹ سکتا ہے۔ تاہم، رش الگورتھم کا اطلاق صرف غیر معینہ مدت کے انٹیگرلز پر ہوتا ہے، جبکہ طبیعیات دانوں، نظریاتی کیمسٹوں اور انجینئروں کے لیے دلچسپی کے زیادہ تر انٹیگرلز قطعی انٹیگرلز ہوتے ہیں جو اکثر لیپلیس ٹرانسفارمز، فورئیر ٹرانسفارمز اور میلن ٹرانسفارمز سے متعلق ہوتے ہیں۔ عام الگورتھم کی کمی کی وجہ سے، کمپیوٹر الجبرا سسٹمز کے ڈویلپرز نے پیٹرن میچنگ اور خصوصی افعال کے استحصال، خاص طور پر نامکمل گاما فنکشن کی بنیاد پر ہیورسٹکس کو نافذ کیا ہے۔ اگرچہ یہ نقطہ نظر الگورتھمک کے بجائے ہیورسٹک ہے، اس کے باوجود یہ عملی انجینئرنگ ایپلی کیشنز کے سامنے آنے والے بہت سے قطعی انٹیگرلز کو حل کرنے کا ایک موثر طریقہ ہے۔ میکسیما جیسے ابتدائی نظاموں میں تلاش کی میز کے اندر خصوصی افعال سے متعلق کچھ قطعی انٹیگرل تھے۔ تاہم یہ خاص طریقہ، جس میں اس کے پیرامیٹرز، متغیر تبدیلی، پیٹرن میچنگ اور دیگر ہیرا پھیری کے حوالے سے خصوصی افعال کی تفریق شامل ہے، کا آغاز میپل سسٹم کے ڈویلپرز نے کیا اور پھر بعد میں میتھمیٹکا، محور، ایم یو پی اے ڈی اور دیگر سسٹمز نے اس کی تقلید کی۔ حالیہ پیش رفت علامتی انضمام کے کلاسیکی نقطہ نظر میں بنیادی مسئلہ یہ ہے کہ، اگر کسی فنکشن کو بند شکل میں پیش کیا جاتا ہے، تو، عام طور پر، اس کے اینٹی ڈراویٹو کی اسی طرح کی نمائندگی نہیں ہوتی ہے۔ دوسرے لفظوں میں، افعال کی وہ کلاس جس کی نمائندگی بند شکل میں کی جا سکتی ہے، اینٹی ڈراویشن کے تحت بند نہیں ہوتی ہے۔ ہولونومک افعال افعال کی ایک بڑی کلاس ہیں، جو اینٹی ڈراویشن کے تحت بند ہوتے ہیں اور انٹیگریشن کے کمپیوٹرز اور کیلکولس کے بہت سے دوسرے آپریشنز میں الگورتھمک نفاذ کی اجازت دیتے ہیں۔ مزید واضح طور پر، ایک ہولونومک فنکشن کثیر الجہتی گتانک کے ساتھ یکساں لکیری تفریق مساوات کا حل ہے۔ ہولونومک افعال اضافہ اور ضرب، مشتق، اور اینٹی ڈراویشن کے تحت بند ہوتے ہیں۔ ان میں الجبرائی افعال، ایکسپونینشل فنکشن، لوگرتھم، سائن، کوسین، الٹا ٹرگونومیٹرک افعال، الٹا ہائپربولک افعال شامل ہیں۔ ان میں سب سے زیادہ عام خصوصی افعال جیسے ایئر فنکشن، ایرر فنکشن، بیسیل فنکشن اور تمام ہائپر جیومیٹرک افعال بھی شامل ہیں۔ ہولونومک افعال کی ایک بنیادی خاصیت یہ ہے کہ ان کی ٹیلر سیریز کے کوفشنٹس کسی بھی مقام پر کثیر الجہتی کوفشنٹس کے ساتھ لکیری تکرار کے تعلق کو پورا کرتے ہیں، اور یہ کہ اس تکرار کے تعلق کا حساب فنکشن کی وضاحت کرنے والی تفریقی مساوات سے کیا جا سکتا ہے۔ اس کے برعکس پاور سیریز کے کوفشنٹس کے درمیان اس طرح کے تکرار کے تعلق کو دیکھتے ہوئے، یہ پاور سیریز ایک ہولونومک فنکشن کی وضاحت کرتی ہے جس کی تفریق مساوات کو الگورتھم کے طور پر شمار کیا جا سکتا ہے۔ یہ تکرار کا تعلق ٹیلر سیریز کے تیز حساب کی اجازت دیتا ہے، اور اس طرح کسی بھی مقام پر فنکشن کی قدر کی، من مانی چھوٹی مصدقہ غلطی کے ساتھ۔ یہ کیلکولس کی زیادہ تر کارروائیوں کو الگورتھمک بناتا ہے، جب یہ ہولونومک افعال تک محدود ہوتا ہے، جس کی نمائندگی ان کی تفریق مساوات اور ابتدائی حالات سے ہوتی ہے۔ اس میں اینٹی ڈراویٹوز اور ڈیفینیٹ انٹیگرلز کی گنتی شامل ہے (یہ انضمام کے وقفے کے اختتامی نکات پر اینٹی ڈراویٹو کا اندازہ کرنے کے مترادف ہے)۔ اس میں انفینیٹی پر فنکشن کے ایسمپٹوٹک رویے کا حساب بھی شامل ہے، اور اس طرح غیر محدود وقفوں پر قطعی انٹیگرلز۔ ان تمام کارروائیوں کو میپل کے لیے الگولب لائبریری میں لاگو کیا جاتا ہے۔ ریاضیاتی افعال کی متحرک لغت بھی دیکھیں۔ مثال کے طور پر: ایک غیر معینہ انٹیگرل کے لیے علامتی نتیجہ ہے (یہاں C انضمام کا مستقل ہے)، ایک قطعی انٹیگرل کے لیے علامتی نتیجہ ہے، اور اسی قطعی انٹیگرل کے لیے عددی نتیجہ ہے۔ حوالہ جات بیرونی روابط وولفرم انٹیگریٹر-مفت آن لائن علامتی انضمام ریاضی کمپیوٹر الجبرا تفریقی الجبرا کے ساتھ