Extensive-form game
گیم تھیوری میں، ایک وسیع فارم گیم ایک گیم کی ایک وضاحت ہے جو کئی اہم پہلوؤں کی واضح نمائندگی کی اجازت دیتی ہے (جیسا کہ نام سے پتہ چلتا ہے)، جیسے کھلاڑیوں کی ممکنہ چالوں کی ترتیب، ہر فیصلہ کے مقام پر ان کے انتخاب، (ممکنہ طور پر نامکمل) ہر کھلاڑی کے پاس دوسرے کھلاڑی کی چالوں کے بارے میں معلومات ہوتی ہیں جب وہ فیصلہ کرتے ہیں، اور کھیل کے تمام ممکنہ نتائج کے لیے ان کی ادائیگی۔ وسیع فارم والے کھیل اتفاقی واقعات کی شکل میں نامکمل معلومات کی نمائندگی کی بھی اجازت دیتے ہیں جنہیں "فطرت کی چالوں" کے طور پر پیش کیا جاتا ہے۔ وسیع شکل کی نمائشیں عام شکل سے مختلف ہوتی ہیں کیونکہ وہ زیر بحث کھیل کی زیادہ مکمل تفصیل فراہم کرتی ہیں، جبکہ عام شکل صرف کھیل کو ادائیگی کے میٹرکس میں ابال دیتی ہے۔ کچھ مصنفین، خاص طور پر تعارفی نصابی کتابوں میں، ابتدائی طور پر وسیع فارم کے کھیل کو صرف ادائیگی کے ساتھ ایک گیم ٹری کے طور پر بیان کرتے ہیں (کوئی نامکمل یا نامکمل معلومات نہیں)، اور بعد کے ابواب میں دیگر عناصر کو اصلاحات کے طور پر شامل کرتے ہیں۔ اگرچہ اس مضمون کا باقی حصہ حوصلہ افزا مثالوں کے ساتھ اس نرم نقطہ نظر کی پیروی کرتا ہے، ہم یہاں (بالآخر) بنائے گئے محدود وسیع فارم کے کھیلوں کو پیش کرتے ہیں۔ یہ عمومی تعریف 1953 میں ہیرالڈ ڈبلیو کوہن نے متعارف کرائی تھی، جس نے 1928 سے وان نیومن کی سابقہ تعریف کو بڑھایا تھا۔ سے پیشکش کے بعد، ایک این-پلیئر وسیع فارم گیم اس طرح مندرجہ ذیل پر مشتمل ہوتا ہے: این (عقلی) کھلاڑیوں کا ایک محدود سیٹ ایک جڑا ہوا درخت، جسے گیم ٹری کہا جاتا ہے۔ گیم ٹری کے ہر ٹرمینل (لیف) نوڈ میں ادائیگی کا ایک این-ٹپل ہوتا ہے، جس کا مطلب ہے کہ ہر ممکنہ کھیل کے اختتام پر ہر کھلاڑی کے لیے ایک ادائیگی ہوتی ہے۔ این + 1 سبسیٹ میں گیم ٹری کے غیر ٹرمینل نوڈس کی تقسیم، ہر (عقلی) کھلاڑی کے لیے ایک، اور ایک فرضی کھلاڑی کے لیے ایک خاص سبسیٹ کے ساتھ جسے چانس (یا نیچر) کہا جاتا ہے۔ ہر کھلاڑی کے نوڈس کے ذیلی سیٹ کو "کھلاڑی کے نوڈس" کہا جاتا ہے۔ (اس طرح مکمل معلومات کے کھیل میں چانس نوڈس کا ایک خالی سیٹ ہوتا ہے۔) چانس پلیئر کے ہر نوڈ میں اس کے باہر جانے والے کناروں پر امکان کی تقسیم ہوتی ہے۔ عقلی کھلاڑی کے نوڈس کے ہر سیٹ کو انفارمیشن سیٹس میں مزید تقسیم کیا جاتا ہے، جو حرکت کرتے وقت کھلاڑی کے لیے کچھ انتخاب کو ناقابل شناخت بنا دیتا ہے، اس معنی میں کہ: ایک ہی انفارمیشن سیٹ کے کسی بھی دو نوڈس کے باہر جانے والے کناروں کے درمیان ایک سے ایک خط و کتابت ہوتا ہے-اس طرح انفارمیشن سیٹ کے تمام باہر جانے والے کناروں کا سیٹ مساوات کی کلاسوں میں تقسیم کیا جاتا ہے، ہر کلاس کسی وقت کھلاڑی کی حرکت کے ممکنہ انتخاب کی نمائندگی کرتا ہے -، اور درخت میں جڑ سے ٹرمینل نوڈ تک کا ہر (ہدایت شدہ) راستہ ہر معلومات کو زیادہ سے زیادہ ایک بار عبور کر سکتا ہے جب مذکورہ بالا پیرامیٹرز کے ذریعہ بیان کردہ کھیل کی مکمل تفصیل کھلاڑیوں میں عام علم ہے۔ اس طرح کھیل درخت کے ذریعے جڑ سے ٹرمینل نوڈ تک کا راستہ ہے۔ چانس سے تعلق رکھنے والے کسی بھی غیر ٹرمینل نوڈ پر، امکانات کی تقسیم کے مطابق ایک باہر جانے والی شاخ کا انتخاب کیا جاتا ہے۔ کسی بھی عقلی کھلاڑی کے نوڈ پر، کھلاڑی کو کناروں کے لیے مساوات کی کلاسوں میں سے ایک کا انتخاب کرنا چاہیے، جو قطعی طور پر ایک باہر جانے والے کنارے کا تعین کرتا ہے سوائے (عام طور پر) کھلاڑی کو معلوم نہیں ہوتا کہ کس کی پیروی کی جا رہی ہے۔ (ایک بیرونی مبصر جو اس مقام تک ہر دوسرے کھلاڑی کے انتخاب کو جانتا ہے، اور فطرت کی چالوں کا ادراک، بالکل کنارے کا تعین کر سکتا ہے۔) اس طرح ایک کھلاڑی کے لیے خالص حکمت عملی ایک انتخاب پر مشتمل ہوتی ہے-ہر معلومات کے سیٹ (اس کے) کے لیے باہر جانے والے کناروں کی ایک کلاس کا بالکل انتخاب کرنا۔ کامل معلومات کے کھیل میں، معلومات کے سیٹ سنگلٹن ہوتے ہیں۔ یہ کم واضح ہے کہ چانس نوڈس والے کھیلوں میں ادائیگی کی تشریح کیسے کی جانی چاہیے۔ یہ فرض کیا جاتا ہے کہ ہر کھلاڑی کے پاس ایک وان نیومن-مورگنسٹرن یوٹیلیٹی فنکشن ہے جس کی وضاحت ہر کھیل کے نتائج کے لیے کی گئی ہے۔ اس مفروضے میں یہ شامل ہے کہ ہر عقلی کھلاڑی اس کی متوقع افادیت کے ذریعے ایک ترجیحی بے ترتیب نتیجہ کا اندازہ کرے گا۔ مذکورہ بالا پریزنٹیشن، ریاضیاتی ڈھانچے کی قطعی وضاحت کرتے ہوئے جس پر کھیل کھیلا جاتا ہے، تاہم اس کے بارے میں بیانات کو باضابطہ بنانے کی زیادہ تکنیکی بحث کو واضح کرتی ہے کہ کھیل کو کس طرح کھیلا جاتا ہے جیسے "ایک کھلاڑی فیصلہ کرتے وقت ایک ہی معلومات کے سیٹ میں نوڈس کے درمیان فرق نہیں کر سکتا"۔ ان کو علمی موڈل منطق کا استعمال کرتے ہوئے درست بنایا جا سکتا ہے ؛ تفصیلات کے لیے دیکھیں۔ گیم ٹری پر ایک کامل معلومات دو کھلاڑیوں کا کھیل (جیسا کہ مشترکہ گیم تھیوری اور مصنوعی ذہانت میں بیان کیا گیا ہے) کو نتائج کے ساتھ ایک وسیع فارم گیم کے طور پر پیش کیا جا سکتا ہے (یعنی۔ جیت، ہار، یا ڈرا)۔ اس طرح کے کھیلوں کی مثالوں میں ٹک ٹیک پیر، شطرنج اور لامحدود شطرنج شامل ہیں۔ ایک متوقع منی میکس درخت پر کھیل، بیک گیمن کی طرح، کوئی نامکمل معلومات نہیں رکھتا ہے (تمام انفارمیشن سیٹ سنگلٹن ہوتے ہیں) لیکن اس میں موقع کی حرکتیں ہوتی ہیں۔ مثال کے طور پر، پوکر میں موقع کی حرکتیں (کارڈ ڈیل کیے جا رہے ہیں) اور نامکمل معلومات (دوسرے کھلاڑیوں کے پاس خفیہ طور پر رکھے ہوئے کارڈ) دونوں ہوتی ہیں۔ کامل اور مکمل معلومات ایک مکمل وسیع فارم کی نمائندگی کی وضاحت کرتی ہے: ہر کھلاڑی کے لیے کھیل کے کھلاڑیوں کو ہر موقع پر حرکت کرنی ہوتی ہے کہ ہر کھلاڑی اپنی ہر حرکت میں کیا کر سکتا ہے جو ہر کھلاڑی کو معلوم ہوتا ہے کہ ہر حرکت کے لیے ہر کھلاڑی کو ہر ممکنہ امتزاج کے لیے موصول ہونے والی ادائیگی ہوتی ہے۔ دائیں طرف کھیل میں دو کھلاڑی ہوتے ہیں: 1 اور 2۔ ہر غیر ٹرمینل نوڈ کے نمبر اس بات کی نشاندہی کرتے ہیں کہ فیصلہ نوڈ کس کھلاڑی سے تعلق رکھتا ہے۔ ہر ٹرمینل نوڈ کے نمبر کھلاڑیوں کو ادائیگی کی نمائندگی کرتے ہیں (مثال کے طور پر۔ 2, 1 کھلاڑی 1 کو 2 کی ادائیگی اور کھلاڑی 2 کو 1 کی ادائیگی کی نمائندگی کرتا ہے۔ گراف کے ہر کنارے کے لیبل اس عمل کا نام ہیں جو کنارے کی نمائندگی کرتا ہے۔ ابتدائی نوڈ پلیئر 1 سے تعلق رکھتا ہے، جس سے یہ ظاہر ہوتا ہے کہ پلیئر 1 پہلے حرکت کرتا ہے۔ درخت کے مطابق کھیل مندرجہ ذیل ہے: کھلاڑی 1 U اور D کے درمیان انتخاب کرتا ہے ؛ کھلاڑی 2 کھلاڑی 1 کی پسند کا مشاہدہ کرتا ہے اور پھر U 'اور D' کے درمیان انتخاب کرتا ہے۔ ادائیگی اسی طرح کی جاتی ہے جیسا کہ درخت میں بیان کیا گیا ہے۔ درخت کے چار ٹرمینل نوڈس کے ذریعہ چار نتائج کی نمائندگی کی جاتی ہے: (U، U ')، (U، D')، (D، U ') اور (D، D')۔ ہر نتیجے سے وابستہ ادائیگیاں بالترتیب (0,0)، (2,1)، (1,2) اور (3,1) ہیں۔ اگر کھلاڑی 1 D کھیلتا ہے، تو کھلاڑی 2 اپنی ادائیگی کو زیادہ سے زیادہ کرنے کے لیے U 'کھیلے گا اور اس لیے کھلاڑی 1 کو صرف 1 ملے گا۔ تاہم، اگر کھلاڑی 1 یو کھیلتا ہے، تو کھلاڑی 2 ڈی کھیل کر اپنی ادائیگی کو زیادہ سے زیادہ کرتا ہے اور کھلاڑی 1 کو 2 ملتا ہے۔ کھلاڑی 1 2 سے 1 کو ترجیح دیتا ہے اور اسی طرح یو کھیلے گا اور کھلاڑی 2 ڈی کھیلے گا۔ یہ سبگیم کامل توازن ہے۔ نامکمل معلومات اس طرح سے کھیل کی نمائندگی کرنے کا ایک فائدہ یہ ہے کہ یہ واضح ہے کہ کھیل کی ترتیب کیا ہے۔ ٹری واضح طور پر ظاہر کرتا ہے کہ کھلاڑی 1 پہلے حرکت کرتا ہے اور کھلاڑی 2 اس حرکت کا مشاہدہ کرتا ہے۔ تاہم کچھ کھیلوں میں کھیل اس طرح نہیں ہوتا ہے۔ ایک کھلاڑی ہمیشہ دوسرے کے انتخاب کا مشاہدہ نہیں کرتا (مثال کے طور پر، حرکتیں بیک وقت ہو سکتی ہیں یا کوئی حرکت چھپی ہو سکتی ہے)۔ انفارمیشن سیٹ فیصلہ نوڈس کا ایک مجموعہ ہے جیسے: سیٹ میں ہر نوڈ کا تعلق ایک کھلاڑی سے ہے۔ جب گیم انفارمیشن سیٹ تک پہنچ جاتا ہے، تو جو کھلاڑی حرکت کرنے والا ہوتا ہے وہ انفارمیشن سیٹ کے اندر نوڈس کے درمیان فرق نہیں کر سکتا۔ اگر انفارمیشن سیٹ میں ایک سے زیادہ نوڈ ہوتے ہیں، تو وہ کھلاڑی جس سے وہ سیٹ تعلق رکھتا ہے وہ نہیں جانتا کہ سیٹ میں کون سا نوڈ پہنچ گیا ہے۔ وسیع شکل میں، ایک انفارمیشن سیٹ کو ایک ڈاٹ لائن کے ذریعے اشارہ کیا جاتا ہے جو اس سیٹ کے تمام نوڈس کو جوڑتی ہے یا بعض اوقات اس سیٹ کے تمام نوڈس کے ارد گرد تیار کردہ لوپ کے ذریعے۔ اگر کسی گیم میں ایک سے زیادہ اراکین کے ساتھ معلومات کا سیٹ ہے تو کہا جاتا ہے کہ اس گیم میں نامکمل معلومات ہوتی ہیں۔ کامل معلومات والا کھیل ایسا ہوتا ہے کہ کھیل کے کسی بھی مرحلے پر، ہر کھلاڑی کو بالکل معلوم ہوتا ہے کہ کھیل میں پہلے کیا ہوا ہے۔ ہر انفارمیشن سیٹ ایک سنگلٹن سیٹ ہے۔ کامل معلومات کے بغیر کسی بھی کھیل میں نامکمل معلومات ہوتی ہیں۔ دائیں طرف کا کھیل مندرجہ بالا کھیل جیسا ہی ہے سوائے اس کے کہ کھلاڑی 2 کو معلوم نہیں ہوتا کہ جب کھلاڑی 1 کھیلنے آتا ہے تو وہ کیا کرتا ہے۔ بیان کردہ پہلے کھیل میں کامل معلومات ہیں ؛ دائیں طرف کا کھیل نہیں ہے۔ اگر دونوں کھلاڑی عقلی ہیں اور دونوں جانتے ہیں کہ دونوں کھلاڑی عقلی ہیں اور ہر وہ چیز جو کوئی بھی کھلاڑی جانتا ہے وہ ہر کھلاڑی کو معلوم ہے (یعنی۔ کھلاڑی 1 جانتا ہے کہ کھلاڑی 2 جانتا ہے کہ کھلاڑی 1 عقلی ہے اور کھلاڑی 2 یہ جانتا ہے، وغیرہ۔ پہلے کھیل میں کھیل مندرجہ ذیل ہوگا: کھلاڑی 1 جانتا ہے کہ اگر وہ یو کھیلتے ہیں تو کھلاڑی 2 ڈی کھیلے گا (کیونکہ کھلاڑی 2 کے لیے 1 کی ادائیگی 0 کی ادائیگی سے بہتر ہے) اور اس لیے کھلاڑی 1 کو 2 ملیں گے۔ تاہم، اگر کھلاڑی 1 ڈی کھیلتا ہے، تو کھلاڑی 2 یو کھیلے گا (کیونکہ کھلاڑی 2 کے لیے 2 کی ادائیگی 1 کی ادائیگی سے بہتر ہے) اور کھلاڑی 1 کو 1 ملے گا۔ لہذا، پہلے کھیل میں، توازن (U، D ') ہوگا کیونکہ کھلاڑی 1 2 سے 1 حاصل کرنے کو ترجیح دیتا ہے اور اسی طرح U کھیلے گا اور اس لیے کھلاڑی 2 D' کھیلے گا۔ دوسرے کھیل میں یہ کم واضح ہے: کھلاڑی 2 کھلاڑی 1 کی حرکت کا مشاہدہ نہیں کر سکتا۔ کھلاڑی 1 کھلاڑی 2 کو یہ سوچ کر بے وقوف بنانا چاہے گا کہ انہوں نے یو کھیلا ہے جب انہوں نے اصل میں ڈی کھیلا ہے تاکہ کھلاڑی 2 ڈی کھیلے گا اور کھلاڑی 1 کو 3 ملیں گے۔ در حقیقت دوسرے کھیل میں ایک کامل بایسیئن توازن ہوتا ہے جہاں کھلاڑی 1 ڈی کھیلتا ہے اور کھلاڑی 2 یو کھیلتا ہے اور کھلاڑی 2 کو یقین ہے کہ کھلاڑی 1 یقینی طور پر ڈی کھیلے گا۔ اس توازن میں، ہر حکمت عملی عقلی ہوتی ہے جس میں رکھے گئے عقائد ہوتے ہیں اور ہر عقیدہ کھیلی جانے والی حکمت عملیوں سے مطابقت رکھتا ہے۔ غور کریں کہ معلومات کی نامکملیت کس طرح کھیل کے نتائج کو تبدیل کرتی ہے۔ نیش توازن کے لیے اس کھیل کو زیادہ آسانی سے حل کرنے کے لیے، اسے عام شکل میں تبدیل کیا جا سکتا ہے۔ یہ دیکھتے ہوئے کہ یہ ایک بیک وقت/ترتیب وار کھیل ہے، کھلاڑی ایک اور کھلاڑی دو میں سے ہر ایک کی دو حکمت عملی ہیں۔ پلیئر 1 کی حکمت عملی: {U, D} پلیئر 2 کی حکمت عملی: {U ', D'} ہمارے پاس دو بائی دو میٹرکس ہوں گے جس میں چالوں کے ہر امتزاج کے لیے منفرد ادائیگی ہوگی۔ عام فارم گیم کا استعمال کرتے ہوئے، اب کھیل کو حل کرنا اور دونوں کھلاڑیوں کے لیے غالب حکمت عملیوں کی نشاندہی کرنا ممکن ہے۔ اگر کھلاڑی 1 اوپر (یو) کھیلتا ہے، تو کھلاڑی 2 ڈاؤن (ڈی) کھیلنے کو ترجیح دیتا ہے (پے آف 1> 0) اگر کھلاڑی 1 نیچے (ڈی) کھیلتا ہے، تو کھلاڑی 2 اوپر (یو) کھیلنے کو ترجیح دیتا ہے (پے آف 2> 1) اگر کھلاڑی 2 اوپر (یو) کھیلتا ہے، تو کھلاڑی 1 نیچے (ڈی) کھیلنے کو ترجیح دیتا ہے (پے آف 1> 0) اگر کھلاڑی 2 نیچے (ڈی) کھیلتا ہے، تو کھلاڑی 1 نیچے (ڈی) کھیلنے کو ترجیح دیتا ہے (3> 2) ان ترجیحات کو میٹرکس کے اندر نشان زد کیا جا سکتا ہے، اور کوئی بھی باکس جہاں دونوں کھلاڑیوں کو ترجیح ہوتی ہے وہ نیش توازن فراہم کرتا ہے۔ اس مخصوص گیم میں (1,2) کی ادائیگی کے ساتھ (D، U ') کا واحد حل ہے۔ لامحدود ایکشن خالی جگہوں اور نامکمل معلومات والے کھیلوں میں، غیر سنگلٹن انفارمیشن سیٹوں کی نمائندگی، اگر ضروری ہو تو، اوپر بیان کردہ آرک کے پیچھے (غیر نوڈل) اختتامی نکات کو جوڑنے والی ایک ڈاٹ لائن ڈال کر یا خود آرک کو ڈیش کرکے کی جاتی ہے۔ اوپر بیان کردہ اسٹیکلبرگ مقابلے میں، اگر دوسرے کھلاڑی نے پہلے کھلاڑی کی حرکت کا مشاہدہ نہیں کیا ہوتا تو کھیل اب اسٹیکلبرگ ماڈل کے مطابق نہیں ہوتا۔ یہ کورنوٹ مقابلہ ہوتا۔ نامکمل معلومات یہ معاملہ ہو سکتا ہے کہ کھلاڑی کو بالکل معلوم نہ ہو کہ کھیل کی ادائیگی کیا ہے یا ان کے مخالفین کس قسم کے ہیں۔ اس قسم کے کھیل میں نامکمل معلومات ہوتی ہیں۔ وسیع شکل میں اسے نام نہاد ہرسانی تبدیلی کا استعمال کرتے ہوئے مکمل لیکن نامکمل معلومات کے ساتھ ایک کھیل کے طور پر پیش کیا جاتا ہے۔ یہ تبدیلی کھیل کو فطرت کے انتخاب یا خدا کے انتخاب کے تصور سے متعارف کراتی ہے۔ ملازمت کے درخواست دہندہ کی خدمات حاصل کرنے کے بارے میں غور کرنے والے آجر پر مشتمل کھیل پر غور کریں۔ ملازمت کے درخواست دہندہ کی قابلیت دو چیزوں میں سے ایک ہو سکتی ہے: اعلی یا کم۔ ان کی صلاحیت کی سطح بے ترتیب ہوتی ہے۔ ان میں یا تو امکان 1/3 کے ساتھ کم صلاحیت ہوتی ہے یا امکان 2/3 کے ساتھ اعلی صلاحیت ہوتی ہے۔ اس صورت میں، فطرت کو ایک دوسرے کھلاڑی کے طور پر ماڈل بنانا آسان ہے جو ان امکانات کے مطابق درخواست دہندہ کی صلاحیت کا انتخاب کرتا ہے۔ تاہم قدرت کو کوئی فائدہ نہیں ملتا۔ گیم ٹری میں فطرت کے انتخاب کی نمائندگی غیر بھرا ہوا نوڈ کرتا ہے۔ فطرت کے پسند کے نوڈ سے آنے والے کناروں کو اس واقعے کے امکان کے ساتھ لیبل کیا جاتا ہے جو اس کے ہونے کی نمائندگی کرتا ہے۔ بائیں طرف کا کھیل مکمل معلومات میں سے ایک ہے (تمام کھلاڑی اور ادائیگیاں سب کو معلوم ہیں) لیکن نامکمل معلومات کی (آجر نہیں جانتا کہ فطرت کا اقدام کیا تھا۔) ابتدائی نوڈ مرکز میں ہے اور یہ بھرا ہوا نہیں ہے، اس لیے فطرت پہلے حرکت کرتی ہے۔ فطرت اسی امکان کے ساتھ کھلاڑی 1 کی قسم کا انتخاب کرتی ہے (جو اس کھیل میں کھیلے گئے ذیلی کھیل میں ادائیگی کو منتخب کرنے کے مترادف ہے)، یا تو ٹی 1 یا ٹی 2۔ پلیئر 1 کے پاس ان کے لیے الگ معلومات کے سیٹ ہیں۔ کھلاڑی 1 جانتا ہے کہ وہ کس قسم کے ہیں (ایسا ہونے کی ضرورت نہیں ہے)۔ تاہم، کھلاڑی 2 فطرت کے انتخاب کا مشاہدہ نہیں کرتا ہے۔ وہ کھلاڑی 1 کی قسم نہیں جانتے ؛ تاہم، اس کھیل میں وہ کھلاڑی 1 کے اعمال کا مشاہدہ کرتے ہیں۔ کامل معلومات ہے۔ درحقیقت، اب مکمل معلومات کی مذکورہ تعریف کو تبدیل کرنا مناسب ہے: کھیل کے ہر مرحلے پر، ہر کھلاڑی کو معلوم ہوتا ہے کہ دوسرے کھلاڑیوں نے کیا کھیلا ہے۔ نجی معلومات کے معاملے میں، ہر کھلاڑی جانتا ہے کہ فطرت نے کیا کھیلا ہے۔ معلومات کے سیٹوں کی نمائندگی پہلے کی طرح ٹوٹی ہوئی لکیروں سے کی جاتی ہے۔ اس کھیل میں، اگر فطرت کھلاڑی 1 کی قسم کے طور پر ٹی 1 کا انتخاب کرتی ہے، تو کھیلا جانے والا کھیل بیان کردہ پہلے کھیل کی طرح ہوگا، سوائے اس کے کہ کھلاڑی 2 اسے نہیں جانتا ہے (اور یہ حقیقت کہ یہ ان کی معلومات کو کاٹتا ہے اسے ذیلی گیم کی حیثیت سے نااہل قرار دیتا ہے)۔ کامل بایسیئن توازن کو الگ کرنے والا ایک ہے ؛ یعنی۔ ایک توازن جس میں مختلف اقسام مختلف کام کرتی ہیں۔ اگر دونوں اقسام ایک ہی عمل (پولنگ) کھیلتی ہیں، تو توازن برقرار نہیں رہ سکتا۔ اگر دونوں ڈی کھیلتے ہیں، تو کھلاڑی 2 صرف یہ یقین پیدا کر سکتا ہے کہ وہ امکان 1/2 کے ساتھ سیٹ کی گئی معلومات میں کسی بھی نوڈ پر ہیں (کیونکہ یہ کسی بھی قسم کو دیکھنے کا موقع ہے)۔ کھلاڑی 2 ڈی کھیل کر اپنی ادائیگی کو زیادہ سے زیادہ کرتا ہے۔ تاہم، اگر وہ 'ڈی' کھیلتے ہیں، تو ٹائپ 2 یو کھیلنے کو ترجیح دے گا۔ یہ توازن نہیں ہو سکتا۔ اگر دونوں اقسام U کھیلتی ہیں، تو کھلاڑی 2 دوبارہ یہ یقین پیدا کرتا ہے کہ وہ امکان 1/2 کے ساتھ کسی بھی نوڈ پر ہیں۔ اس صورت میں کھلاڑی 2 'ڈی' کھیلتا ہے، لیکن پھر ٹائپ 1 'ڈی' کھیلنے کو ترجیح دیتا ہے۔ اگر ٹائپ 1 'یو' کھیلتا ہے اور ٹائپ 2 'ڈی' کھیلتا ہے، تو کھلاڑی 2 'ڈی' کھیلے گا جو بھی عمل وہ مشاہدہ کرتے ہیں، لیکن پھر ٹائپ 1 'ڈی' کو ترجیح دیتا ہے۔ اس لیے واحد توازن ٹائپ 1 'ڈی' کھیلنے کے ساتھ ہے، ٹائپ 2 'یو' کھیلنے کے ساتھ اور کھلاڑی 2 'یو' کھیلنے کے ساتھ ہے اگر وہ 'ڈی' کا مشاہدہ کرتے ہیں اور اگر وہ 'یو' کا مشاہدہ کرتے ہیں تو بے ترتیب ہوتے ہیں۔ ان کے اعمال کے ذریعے، کھلاڑی 1 نے کھلاڑی 2 کو اپنی قسم کا اشارہ دیا ہے۔ رسمی تعریف رسمی طور پر، وسیع شکل میں ایک محدود گیم ایک ایسا ڈھانچہ ہے جہاں: نوڈس کے سیٹ کے ساتھ ایک محدود ٹری، ایک منفرد ابتدائی نوڈ، ٹرمینل نوڈس کا ایک سیٹ (آئیے فیصلہ نوڈس کا ایک سیٹ) اور ایک فوری پیشرو فنکشن جس پر گیم کے قواعد کی نمائندگی کی جاتی ہے، انفارمیشن پارٹیشن کہلانے والی پارٹیشن ہے، ہر انفارمیشن سیٹ کے لیے دستیاب ایکشن کا ایک سیٹ ہے جو تمام ایکشن کے سیٹ پر پارٹیشن بناتا ہے۔ ایک ایکشن پارٹیشن ہے جو ہر نوڈ کو ایک ہی ایکشن سے جوڑتا ہے، پورا کرتا ہے:، آن کی پابندی ایک بیجیکشن ہے، جس کے جانشین نوڈس کے سیٹ کے ساتھ۔ کھلاڑیوں کا ایک محدود مجموعہ ہے، (ایک خاص کھلاڑی جسے کہا جاتا ہے) نوعیت کا ہے، اور انفارمیشن سیٹ کا ایک پلیئر پارٹیشن ہے۔ ایک واحد کھلاڑی بننے دیں جو نوڈ پر حرکت کرتا ہے۔ یہ فطرت کے اعمال کے امکانات کا ایک خاندان ہے، اور ایک ادائیگی پروفائل فنکشن ہے۔ لامحدود ایکشن اسپیس یہ ہو سکتا ہے کہ کسی کھلاڑی کے پاس کسی خاص فیصلہ نوڈ میں سے انتخاب کرنے کے لیے لامحدود تعداد میں ممکنہ ایکشن ہوں۔ اس کی نمائندگی کرنے کے لیے استعمال ہونے والا آلہ ایک آرک ہے جو دو کناروں کو جوڑتا ہے جو زیر بحث فیصلہ نوڈ سے نکلتا ہے۔ اگر ایکشن اسپیس دو نمبروں کے درمیان تسلسل ہے، تو نچلے اور اوپری حد بندی والے نمبروں کو بالترتیب آرک کے نیچے اور اوپر رکھا جاتا ہے، عام طور پر ایک متغیر کے ساتھ جو ادائیگی کو ظاہر کرنے کے لیے استعمال ہوتا ہے۔ فیصلہ نوڈس کی لامحدود تعداد جس کے نتیجے میں آرک کے مرکز میں رکھے گئے واحد نوڈ کے ذریعہ نمائندگی کی جاتی ہے۔ اسی طرح کا آلہ ایکشن خالی جگہوں کی نمائندگی کرنے کے لیے استعمال کیا جاتا ہے جو، جب کہ لامحدود نہیں، اتنے بڑے ہوتے ہیں کہ ہر عمل کے لیے کنارے کے ساتھ نمائندگی کرنے کے لیے ناقابل عمل ثابت ہوتے ہیں۔ بائیں طرف کا درخت اس طرح کے کھیل کی نمائندگی کرتا ہے، یا تو لامحدود ایکشن خالی جگہوں کے ساتھ (0 اور 5000 کے درمیان کوئی حقیقی نمبر) یا بہت بڑی ایکشن خالی جگہوں کے ساتھ (شاید 0 اور 5000 کے درمیان کوئی عدد)۔ یہ کہیں اور واضح کیا جائے گا۔ یہاں، یہ سمجھا جائے گا کہ یہ سابقہ ہے اور، ٹھوسیت کے لیے، یہ سمجھا جائے گا کہ یہ اسٹیکلبرگ مقابلے میں مصروف دو فرموں کی نمائندگی کرتا ہے۔ فرموں کو ہونے والی ادائیگیوں کی نمائندگی بائیں طرف کی جاتی ہے، اس حکمت عملی کے ساتھ اور اس کے طور پر جو وہ اپناتے ہیں اور کچھ مستقل طور پر (یہاں ہر فرم کے لیے معمولی اخراجات)۔ اس گیم کا سبگیم پرفیکٹ نیش ایکولبریا پیروکار کے (فرم 2) اسٹریٹجی متغیر () کے حوالے سے ہر پے آف فنکشن کا پہلا جزوی مشتق لے کر اور اس کے بہترین رسپانس فنکشن کو تلاش کرکے پایا جا سکتا ہے۔ لیڈر کے لیے بھی یہی عمل کیا جا سکتا ہے سوائے اس کے کہ اس کے منافع کا حساب لگانے میں، وہ جانتا ہے کہ فرم 2 مندرجہ بالا جواب دے گی اور اس لیے اسے اس کے زیادہ سے زیادہ مسئلے میں تبدیل کیا جا سکتا ہے۔ اس کے بعد یہ پہلا مشتق، پیداوار لے کر حل کر سکتا ہے۔ اسے فرم 2 کے بہترین رسپانس فنکشن میں شامل کرنا، اور سبگیم کامل نیش توازن ہے۔ کامل معلومات کا محوری مجموعہ گیم تھیوری سیلف کنفرمنگ ایکویلیبریئم سیکوینشیل گیم سگنلنگ سولیوشن تصور حوالہ جات ڈریشر ایم۔ (1961) بھی دیکھیں۔ حکمت عملی کے کھیلوں کی ریاضی: نظریہ اور ایپلی کیشنز (Ch4: وسیع شکل میں کھیل، پی پی 74-78)۔ رینڈ کارپوریشن فوڈن برگ ڈی اور ٹائرول جے۔ (1991) گیم تھیوری (Ch3 وسیع فارم گیمز، پی پی 67-106)۔ ایم آئی ٹی پریس۔ ۔ 88 صفحات پر مشتمل ریاضیاتی تعارف ؛ باب 4 اور 5 دیکھیں۔ بہت سی یونیورسٹیوں میں مفت آن لائن۔ لوئس آر۔ ڈی۔ اور رائفا ایچ۔ (1957)۔ کھیل اور فیصلے: تعارف اور تنقیدی سروے۔ (Ch3: وسیع اور عام شکلیں، پی پی 39-55)۔ ولی نیویارک۔ اوسبورن ایم جے اور روبنسٹائن اے۔ 1994۔ گیم تھیوری میں ایک کورس (کامل معلومات کے ساتھ Ch6 وسیع گیم، پی پی۔ 89-115)۔ ایم آئی ٹی پریس۔ ۔ کمپیوٹیشنل نقطہ نظر سے ایک جامع حوالہ ؛ باب 5 دیکھیں۔ مفت آن لائن ڈاؤن لوڈ کریں۔ مزید پڑھنا، 6.1، "گیم تھیوری میں آفات" اور 7.2 "پیمائش (عزم کا محور)"، محدود کیس کی تعریف کو لامحدود تعداد میں اختیارات (یا چالوں) تک بڑھانے کے مسائل پر تبادلہ خیال کرتا ہے۔ تاریخی کاغذات میں 1952 سے پرنسٹن میں کوہن کے لیکچرز شامل ہیں (سرکاری طور پر پہلے غیر شائع شدہ، لیکن فوٹو کاپیز کے طور پر گردش میں) گیم تھیوری گیم کلاسز