Generalized function
ریاضی میں، عمومی افعال وہ اشیاء ہیں جو افعال کے تصور کو بڑھاتے ہیں۔ ایک سے زیادہ تسلیم شدہ نظریہ ہے، مثال کے طور پر تقسیم کا نظریہ۔ عمومی افعال خاص طور پر غیر متزلزل افعال کو ہموار افعال کی طرح بنانے اور پوائنٹ چارجز جیسے مجرد جسمانی مظاہر کو بیان کرنے میں مفید ہیں۔ ان کا بڑے پیمانے پر استعمال کیا جاتا ہے، خاص طور پر طبیعیات اور انجینئرنگ میں۔ کچھ طریقوں کی ایک عام خصوصیت یہ ہے کہ وہ روزمرہ، عددی افعال کے آپریٹر پہلوؤں پر تعمیر کرتے ہیں۔ ابتدائی تاریخ آپریشنل کیلکولس پر کچھ نظریات سے جڑی ہوئی ہے، اور بعض سمتوں میں زیادہ عصری پیش رفت میکیو ساتو کے نظریات سے قریب سے متعلق ہیں، جسے وہ الجبرائی تجزیہ کہتے ہیں۔ اس موضوع پر اہم اثرات جزوی تفریقی مساوات کے نظریات اور گروپ کی نمائندگی کے نظریہ کی تکنیکی ضروریات رہے ہیں۔ کچھ ابتدائی تاریخ انیسویں صدی کی ریاضی میں، عمومی فنکشن تھیوری کے پہلو نمودار ہوئے، مثال کے طور پر گرین فنکشن کی تعریف میں، لیپلیس ٹرانسفارم میں، اور ریمن کے تھیوری آف ٹرگونومیٹرک سیریز میں، جو ضروری نہیں کہ انٹیگریبل فنکشن کی فورئیر سیریز ہوں۔ یہ اس وقت ریاضیاتی تجزیہ کے منقطع پہلو تھے۔ انجینئرنگ میں لیپلیس ٹرانسفارم کے گہرے استعمال کی وجہ سے علامتی طریقوں کا ہیورسٹک استعمال ہوا، جسے آپریشنل کیلکولس کہا جاتا ہے۔ چونکہ ایسے جواز پیش کیے گئے تھے جن میں متفرق سیریز کا استعمال کیا گیا تھا، اس لیے خالص ریاضی کے نقطہ نظر سے ان طریقوں کی خراب ساکھ تھی۔ وہ عام فنکشن کے طریقوں کے بعد کے اطلاق کے لیے مخصوص ہیں۔ آپریشنل کیلکولس پر ایک بااثر کتاب اولیور ہیوسائڈ کا 1899 کا برقی مقناطیسی نظریہ تھا۔ جب لیبسگ انٹیگرل متعارف کرایا گیا تو پہلی بار ریاضی کے مرکزی عمومی فنکشن کا تصور سامنے آیا۔ لیبسگیو کے نظریہ میں ایک مربوط فعل کسی بھی دوسرے کے مساوی ہوتا ہے جو تقریبا ہر جگہ ایک جیسا ہوتا ہے۔ اس کا مطلب ہے کہ ایک مقررہ مقام پر اس کی قدر (ایک لحاظ سے) اس کی سب سے اہم خصوصیت نہیں ہے۔ فنکشنل تجزیہ میں ایک مربوط فنکشن کی لازمی خصوصیت کی ایک واضح تشکیل دی گئی ہے، یعنی جس طرح سے یہ دوسرے افعال پر لکیری فنکشنل کی وضاحت کرتا ہے۔ یہ کمزور مشتق کی تعریف کی اجازت دیتا ہے۔ 1920 کی دہائی کے آخر اور 1930 کی دہائی کے دوران مزید اقدامات کیے گئے، جو مستقبل کے کام کے لیے بنیادی تھے۔ ڈیراک ڈیلٹا فنکشن کی وضاحت پال ڈیراک نے دلیری سے کی تھی (ان کی سائنسی رسم الخط کا ایک پہلو) ؛ یہ ان اقدامات کا علاج کرنے کے لیے تھا، جنہیں حقیقی افعال کی طرح کثافت (جیسے چارج کثافت) سمجھا جاتا تھا۔ سرگئی سوبولیف نے جزوی تفریقی مساوات کے نظریہ پر کام کرتے ہوئے ریاضیاتی نقطہ نظر سے عمومی افعال کے پہلے مناسب نظریہ کی وضاحت کی تاکہ جزوی تفریقی مساوات کے کمزور حلوں کے ساتھ کام کیا جا سکے۔ اس وقت متعلقہ نظریات پیش کرنے والے دوسرے لوگ سولومن بوچنر اور کرٹ فریڈرکس تھے۔ سوبولیو کے کام کو مزید توسیع شدہ شکل میں لارنٹ شوارٹز نے تیار کیا۔ شوارٹز کی تقسیم اس طرح کے تصور کا ادراک جسے بہت سے مقاصد کے لیے حتمی کے طور پر قبول کیا جانا تھا، تقسیم کا نظریہ تھا، جسے لارنٹ شوارٹز نے تیار کیا تھا۔ اسے ایک اصولی نظریہ کہا جا سکتا ہے، جو ٹپوولوجیکل ویکٹر خالی جگہوں کے لیے دوہری نظریہ پر مبنی ہے۔ اس کا بنیادی حریف، اطلاقی ریاضی میں، ہموار تخمینوں کے سلسلے کا استعمال کرنا ہے ('جیمز لائٹ ہل' کی وضاحت)، جو کہ زیادہ ایڈہاک ہے۔ یہ اب مولفائر تھیوری کے طور پر نظریہ میں داخل ہوتا ہے۔ یہ نظریہ بہت کامیاب رہا اور اب بھی وسیع پیمانے پر استعمال ہوتا ہے، لیکن اس میں بنیادی خرابی یہ ہے کہ یہ صرف لکیری کارروائیوں کی اجازت دیتا ہے۔ دوسرے لفظوں میں، تقسیم کو ضرب نہیں دیا جا سکتا (سوائے بہت خاص معاملات کے): زیادہ تر کلاسیکی فنکشن خالی جگہوں کے برعکس، وہ الجبرا نہیں ہیں۔ مثال کے طور پر ڈیراک ڈیلٹا فنکشن کو مربع کرنا معنی خیز نہیں ہے۔ 1954 کے آس پاس کے شوارٹز کے کام سے پتہ چلتا ہے کہ یہ ایک اندرونی مشکل تھی۔ ضرب کے مسئلے کے کچھ حل تجویز کیے گئے ہیں۔ ایک بہت ہی آسان اور بدیہی تعریف پر مبنی ہے جو یو کی طرف سے دی گئی ایک عمومی فنکشن ہے۔ وی ایگوروف (نیچے دی گئی کتاب کی فہرست میں ڈیمیڈوف کی کتاب میں ان کا مضمون بھی دیکھیں) جو عمومی افعال پر اور ان کے درمیان من مانی کارروائیوں کی اجازت دیتا ہے۔ ضرب کے مسئلے کا ایک اور حل کوانٹم میکانکس کی پاتھ انٹیگرل فارمولیشن سے طے ہوتا ہے۔ چونکہ یہ کوانٹم میکانکس کے شروڈنگر تھیوری کے مساوی ہونا ضروری ہے جو کوآرڈینیٹ ٹرانسفارمیشن کے تحت غیر متغیر ہے، اس پراپرٹی کو پاتھ انٹیگرلز کے ذریعے شیئر کیا جانا چاہیے۔ یہ عمومی افعال کی تمام مصنوعات کو درست کرتا ہے جیسا کہ ایچ کلینرٹ اور اے چیرویکوف نے دکھایا ہے۔ نتیجہ اس کے برابر ہے جو جہتی باقاعدگی سے حاصل کیا جا سکتا ہے۔ عمومی افعال کے الجبرا عام افعال کے الجبرا کی کئی تعمیرات تجویز کی گئی ہیں، جن میں یو کی طرف سے دیگر بھی شامل ہیں۔ ایم شیروکوف اور وہ جو ای روزنگر، وائی ایگوروف، اور آر رابنسن کے ہیں۔ پہلی صورت میں، ضرب کا تعین عمومی فنکشن کی کچھ باقاعدگی کے ساتھ کیا جاتا ہے۔ دوسری صورت میں، الجبرا کو تقسیم کے ضرب کے طور پر بنایا گیا ہے۔ دونوں صورتوں پر ذیل میں بحث کی گئی ہے۔ عمومی افعال کا غیر تبادلہ الجبرہ عمومی افعال کا الجبرا کسی فنکشن کو اس کے ہموار اور واحد حصوں میں پروجیکشن کے مناسب طریقہ کار کے ساتھ بنایا جا سکتا ہے۔ عمومی افعال کا پروڈکٹ اور ظاہر ہوتا ہے اس طرح کا قاعدہ مرکزی افعال کی جگہ اور آپریٹرز کی جگہ دونوں پر لاگو ہوتا ہے جو مرکزی افعال کی جگہ پر کام کرتے ہیں۔ ضرب کی ایسوسی ایٹیویٹی حاصل کی جاتی ہے ؛ اور فنکشن سائنم کی تعریف اس طرح سے کی جاتی ہے، کہ اس کا مربع ہر جگہ اتحاد ہے (بشمول نقاط کی ابتدا)۔ نوٹ کریں کہ واحد حصوں کا پروڈکٹ () کے دائیں طرف ظاہر نہیں ہوتا ہے ؛ خاص طور پر،۔ اس طرح کی رسمی حیثیت میں ایک خاص صورت کے طور پر عمومی افعال (ان کے پروڈکٹ کے بغیر) کا روایتی نظریہ شامل ہے۔ تاہم، نتیجے میں آنے والا الجبرا غیر تبادلہ ہے: عمومی افعال سگنم اور ڈیلٹا اینٹی کمیونٹ۔ الجبرا کے چند استعمال تجویز کیے گئے تھے۔ تقسیم کا ضرب تقسیم کے ضرب کا مسئلہ، جو کہ شوارٹز تقسیم کے نظریہ کی ایک حد ہے، غیر لکیری مسائل کے لیے سنگین ہو جاتا ہے۔ آج کل مختلف طریقے استعمال کیے جاتے ہیں۔ سب سے آسان یو کی طرف سے دی گئی عمومی فنکشن کی تعریف پر مبنی ہے۔ وی۔ ایگوروف۔ ایسوسی ایٹیو ڈفریٚنشل الجبرا کی تعمیر کا ایک اور طریقہ جے۔ ایف۔ کولمبیو کی تعمیر پر مبنی ہے: کولمبیو الجبرا دیکھیں۔ یہ افعال کے "اعتدال پسند" ماڈیولو "" نہ ہونے کے قابل "جالوں کی عوامل کی جگہیں ہیں، جہاں" اعتدال پسندی "اور" نہ ہونے کی اہلیت "سے مراد خاندان کے اشاریہ کے حوالے سے ترقی ہے۔ مثال: کولمبیو الجبرا ایک سادہ سی مثال N، پر کثیر پیمانے کا استعمال کرکے حاصل کی جاتی ہے۔ پھر کسی بھی نیم معیاری الجبرا (ای، پی) کے لیے، عنصر کی جگہ ہوگی۔ خاص طور پر، (ای، پی) = (سی،۔۔۔) کے لیے کسی کو (کولمبیو کے) عمومی پیچیدہ نمبر ملتے ہیں (جو "لامحدود طور پر بڑے" اور "لامحدود طور پر چھوٹے" ہو سکتے ہیں اور پھر بھی سخت ریاضی کی اجازت دیتے ہیں، جو غیر معیاری نمبروں سے بہت ملتے جلتے ہیں)۔ (E، P) = (C ≤ (R)، {pk}) کے لیے (جہاں pk رداس k کی گیند پر k سے کم یا اس کے برابر ترتیب کے تمام مشتقات کا بالادستی ہے) کسی کو کولمبیو کا آسان الجبرا ملتا ہے۔ شوارٹز تقسیم کا انجکشن یہ الجبرا "پر مشتمل ہے" انجیکشن کے ذریعے D کی تمام تقسیم J (T) = (φn ≤ T) n + N، جہاں ≤ ارتقاء کا عمل ہے، اور φn (x) = n φ (nx)۔ یہ انجکشن اس لحاظ سے غیر کینونکل ہے کہ یہ مولفائر φ کے انتخاب پر منحصر ہے، جو کہ C φ ہونا چاہیے، انٹیگرل ون کا اور اس کے تمام مشتقات 0 پر غائب ہوتے ہیں۔ کینونکل انجیکشن حاصل کرنے کے لیے، انڈیکسنگ سیٹ کو N × D (R) میں تبدیل کیا جا سکتا ہے، جس میں D (R) پر ایک آسان فلٹر بیس (آرڈر q تک غائب ہونے والے لمحات کے افعال) ہوتے ہیں۔ اگر (E، P) کسی ٹپوولوجیکل اسپیس X پر نیم معیاری الجبرا کا (پری-) شیف ہے، تو Gs (E، P) کی بھی یہ خاصیت ہوگی۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ پابندی کے تصور کی وضاحت کی جائے گی، جو ایک عمومی فنکشن ڈبلیو آر ٹی کی حمایت کی وضاحت کرنے کی اجازت دیتا ہے۔ ایک سب شیف، خاص طور پر: سب شیف {0} کے لیے، کسی کو معمول کی حمایت ملتی ہے (سب سے بڑے کھلے سب سیٹ کی تکمیل جہاں فنکشن صفر ہے)۔ سب شیف E کے لیے (کینونکل (مستقل) انجکشن کا استعمال کرتے ہوئے سرایت شدہ)، کسی کو وہ ملتا ہے جسے سنگل سپورٹ کہا جاتا ہے، یعنی، تقریبا بولتے ہوئے، سیٹ کی بندش جہاں عمومی فنکشن ہموار فنکشن نہیں ہے (E = C φ کے لیے)۔ مائکرو لوکل تجزیہ فورئیر ٹرانسفارمیشن کی تعریف (اچھی طرح سے) کمپیکٹ سپورٹڈ جنرلائزڈ فنکشنز (جزو کے لحاظ سے) کے لیے کی گئی ہے، کوئی بھی اسی تعمیر کا اطلاق کر سکتا ہے جو تقسیم کے لیے ہے، اور عام افعال کے لیے بھی لارز ہورمینڈر کے ویو فرنٹ سیٹ کی وضاحت کر سکتا ہے۔ یکسانیت کے پھیلاؤ کے تجزیے میں اس کا خاص طور پر اہم اطلاق ہوتا ہے۔ دیگر نظریات ان میں شامل ہیں: جان میکوسنسکی کا کنولیوشن کوشینٹ تھیوری، جو کنولیوشن الجبرا کے فریکشنز کے میدان پر مبنی ہے جو انٹیگرل ڈومینز ہیں۔ اور ہائپر فنکشنز کے نظریات، جو (ان کے ابتدائی تصور میں) تجزیاتی افعال کی باؤنڈری ویلیوز پر مبنی ہیں، اور اب شیف تھیوری کا استعمال کرتے ہیں۔ ٹوپوولوجیکل گروپس بروہاٹ نے ٹیسٹ فنکشنز کی ایک کلاس متعارف کروائی، شوارٹز-بروہاٹ فنکشنز جیسا کہ وہ اب جانا جاتا ہے، مقامی طور پر کمپیکٹ گروپوں کی ایک کلاس پر جو عام فنکشن ڈومینز سے بالاتر ہیں۔ ایپلی کیشنز زیادہ تر نمبر تھیوری میں ہیں، خاص طور پر ایڈیلک الجبرائی گروپوں کے لیے۔ آندرے ویل نے ٹیٹ کے مقالے کو اس زبان میں دوبارہ لکھا، آئیڈل گروپ پر زیٹا کی تقسیم کو نمایاں کرتے ہوئے ؛ اور اسے ایل فنکشن کے واضح فارمولے پر بھی لاگو کیا ہے۔ عمومی سیکشن ایک اور طریقہ جس میں نظریہ کو بڑھایا گیا ہے وہ ہموار ویکٹر بنڈل کے عمومی حصوں کے طور پر ہے۔ یہ شوارٹز پیٹرن پر ہے، جو ٹیسٹ آبجیکٹ کے لیے دوہری اشیاء کی تعمیر کرتا ہے، ایک بنڈل کے ہموار حصے جن میں کمپیکٹ سپورٹ ہوتا ہے۔ سب سے زیادہ ترقی یافتہ نظریہ ڈی رام کرنٹس کا ہے، جو دوہری سے تفریقی شکلیں ہیں۔ یہ فطرت میں ہم جنس پرست ہیں، جس طرح سے تفریق شکلیں ڈی رام کوہمولوجی کو جنم دیتی ہیں۔ ان کا استعمال ایک بہت ہی عام اسٹوکس تھیوریم تیار کرنے کے لیے کیا جا سکتا ہے۔ یہ بھی دیکھیں کہ بیپو-لیوی اسپیس ڈیراک ڈیلٹا فنکشن جنرلائزڈ آئجن فنکشن ڈسٹری بیوشن (ریاضی) ہائپر فنکشن لیپلاسیئن آف دی انڈیکیٹر رگڈ ہلبرٹ اسپیس لمٹ آف اے ڈسٹری بیوشن بکس والم۔ 2. ایچ کومتسو، تقسیم کے نظریہ کا تعارف، دوسرا ایڈیشن، ایوانامی شوٹن، ٹوکیو، 1983۔ (آن لائن یہاں)۔ عمومی افعال کی مصنوعات کے لیے باب 11 دیکھیں۔ حوالہ جات