Darboux's theorem
تفریق جیومیٹری میں، جو ریاضی کا ایک شعبہ ہے، ڈاربوکس تھیوریم ایک تھیوریم ہے جو تفریق 1 شکلوں کی خصوصی کلاسوں کے لیے ایک عام شکل فراہم کرتا ہے، جو جزوی طور پر فروبینئس انضمام تھیوریم کو عام کرتا ہے۔ اس کا نام جین گیسٹن ڈاربوکس کے نام پر رکھا گیا ہے جس نے اسے فاف مسئلے کے حل کے طور پر قائم کیا۔ یہ کئی شعبوں میں ایک بنیادی نتیجہ ہے، ان میں سب سے اہم سمپلیکٹک جیومیٹری ہے۔ درحقیقت، اس کے بہت سے نتائج میں سے ایک یہ ہے کہ ایک ہی جہت کے کوئی بھی دو سمپلیکٹک کئی گنا ایک دوسرے کے لیے مقامی طور پر سمپلیکٹومورفک ہوتے ہیں۔ یعنی، ہر جہتی سمپلیکٹک کئی گنا کو مقامی طور پر لکیری سمپلیکٹک اسپیس کی طرح اس کی کینونکل سمپلیکٹک شکل کے ساتھ بنایا جا سکتا ہے۔ رابطہ جیومیٹری پر لاگو تھیوریم کا ایک یکساں نتیجہ بھی ہے۔ بیان فرض کریں کہ یہ ایک جہتی کئی گنا پر ایک تفریق 1 شکل ہے، جس میں مستقل درجہ ہوتا ہے۔ پھر اگر ہر جگہ، تو نقاط کا ایک مقامی نظام ہے جس میں اگر ہر جگہ، تو نقاط کا ایک مقامی نظام ہے جس میں ڈاربوکس کے اصل ثبوت نے انڈکشن کا استعمال کیا ہے اور اسے تقسیم یا تفریقی آئیڈیل کے لحاظ سے مساوی طور پر پیش کیا جا سکتا ہے۔ فروبینیوس تھیوریم ڈاربوکس تھیوریم کسی بھی 1 شکل کو یقینی بناتا ہے جسے کسی کوآرڈینیٹ سسٹم میں لکھا جا سکتا ہے۔ یہ تفریقی شکلوں کے لحاظ سے فروبینئس تھیوریم کی تشکیل میں سے ایک کو بازیافت کرتا ہے: اگر اس سے پیدا ہونے والا تفریقی آئیڈیل ہے، تو اس سے ایک مربوط نظام کا وجود ظاہر ہوتا ہے جہاں اصل میں اس سے پیدا ہوتا ہے۔ سمپلیکٹک کئی گنا کے لیے ڈاربوکس کا نظریہ فرض کریں کہ یہ ایک جہتی کئی گنا پر ایک سمپلیکٹک 2 شکل ہے۔ کے ہر نقطہ کے پڑوس میں، پوئنکیری لیما کے مطابق، اس کے ساتھ ایک 1 شکل ہوتی ہے۔ مزید برآں، ڈاربوکس تھیوریم میں مفروضوں کے پہلے سیٹ کو مطمئن کرتا ہے، اور اس لیے مقامی طور پر ایک مربوط چارٹ ہے جس کے قریب ایک بیرونی مشتق لینے سے اب پتہ چلتا ہے کہ چارٹ کو ارد گرد ڈاربوکس چارٹ کہا جاتا ہے۔ کئی گنا اس طرح کے چارٹ کے ذریعے احاطہ کیا جا سکتا ہے۔ اسے مختلف طریقے سے بیان کرنے کے لیے، اجازت دے کر شناخت کریں۔ اگر ڈاربوکس چارٹ ہے، تو اسے معیاری سمپلیکٹک فارم کے پل بیک کے طور پر لکھا جا سکتا ہے: اس نتیجے کا ایک جدید ثبوت، 1-فارموں پر ڈاربوکس کے عمومی بیان کو استعمال کیے بغیر، موزر کی چال کا استعمال کرتے ہوئے کیا جاتا ہے۔ سمپلیکٹک مینیفولڈز کے لیے ریمینیائی جیومیٹری ڈاربوکس تھیوریم کے ساتھ موازنہ اس بات کا اشارہ کرتا ہے کہ سمپلیکٹک جیومیٹری میں کوئی مقامی غیر متغیر نہیں ہیں: ایک ڈاربوکس کی بنیاد ہمیشہ لی جا سکتی ہے، جو کسی بھی نقطہ کے قریب درست ہے۔ یہ ریمینیائی جیومیٹری کی صورتحال کے بالکل برعکس ہے جہاں منحنی پن ایک مقامی غیر متغیر ہے، جو کہ مقامی طور پر کوآرڈینیٹ تفریق کے مربعوں کا مجموعہ ہونے کی وجہ سے میٹرک کے لیے ایک رکاوٹ ہے۔ فرق یہ ہے کہ ڈاربوکس کا نظریہ بیان کرتا ہے کہ آس پاس کے پورے محلے میں معیاری شکل اختیار کی جا سکتی ہے۔ ریمنی جیومیٹری میں، میٹرک کو ہمیشہ کسی بھی نقطہ پر معیاری شکل لینے کے لیے بنایا جا سکتا ہے، لیکن ہمیشہ اس نقطہ کے آس پاس کے پڑوس میں نہیں۔ رابطہ کئی گنا کے لیے ڈاربوکس تھیوریم ایک اور خاص کیس بازیافت کیا جاتا ہے جب ؛ اگر ہر جگہ، تو ایک رابطہ فارم ہے۔ ایک آسان ثبوت دیا جا سکتا ہے، جیسا کہ سمپلیکٹک ڈھانچوں کے معاملے میں، موزر کی چال کا استعمال کرتے ہوئے۔ ڈاربوکس-وائن سٹائن تھیوریم ایلن وائن سٹائن نے دکھایا کہ سمپلیٹک مینیفولڈز کے لیے ڈاربوکس تھیوریم کو ایک ذیلی منیفولڈ کے پڑوس پر برقرار رکھنے کے لیے مضبوط کیا جا سکتا ہے: آئیے ایک ہموار مینیفولڈ جو دو سمپلیکٹک شکلوں سے مالا مال ہے اور، اور آئیے ایک بند ذیلی منیفولڈ ہو۔ اگر، تو اس میں ایک پڑوس اور اس طرح کا ڈفیومورفزم ہے۔ معیاری ڈاربوکس تھیوریم کو اس وقت بازیافت کیا جاتا ہے جب ایک نقطہ ہوتا ہے اور یہ کوآرڈینیٹ چارٹ پر معیاری سمپلیکٹک ڈھانچہ ہوتا ہے۔ یہ نظریہ لامحدود جہتی بناچ کئی گنا کے لیے بھی ہے۔ کیریتھیوڈری-جیکوبی-لی تھیوریم بھی دیکھیں، جو اس تھیوریم کی عمومی شکل ہے۔ موزر کی چال علامتی بنیاد حوالہ جات بیرونی روابط جی ڈاربوکس، "فاف مسئلے پر"، ترجمہ۔ بذریعہ ڈی۔ ایچ۔ ڈیلفینیچ جی۔ ڈاربوکس، "آن دی فاف پروبلم (کانٹ۔ )، "ترجمہ کریں۔ ڈی ایچ ڈیلفینیچ کے ذریعے تفریقی نظام علامتی جیومیٹری تفریقی جیومیٹری میں نظام کو مربوط کریں تفریقی جیومیٹری میں نظریات ریاضیاتی طبیعیات