Complete measure
ریاضی میں، ایک مکمل پیمائش (یا، زیادہ واضح طور پر، ایک مکمل پیمائش کی جگہ) ایک پیمائش کی جگہ ہے جس میں ہر صفر سیٹ کا ہر ذیلی سیٹ قابل پیمائش ہوتا ہے (جس کی پیمائش صفر ہوتی ہے)۔ مزید رسمی طور پر، ایک پیمائش کی جگہ (X، β، μ) تب ہی مکمل ہوتی ہے جب اور صرف اس صورت میں جب موٹیویشن مکمل ہونے کے سوالات پر غور کرنے کی ضرورت کو پروڈکٹ خالی جگہوں کے مسئلے پر غور کرکے واضح کیا جا سکتا ہے۔ فرض کریں کہ ہم نے پہلے ہی حقیقی لکیر پر لیبسگ پیمائش کی تعمیر کر لی ہے: اس پیمائش کی جگہ کو اس سے ظاہر کریں۔ اب ہم پروڈکٹ پیمائش کے طور پر ہوائی جہاز پر کچھ دو جہتی لیبسگ پیمائش کی تعمیر کرنا چاہتے ہیں۔ غیر واضح طور پر، ہم-الجبرا کو سب سے چھوٹا-الجبرا سمجھیں گے جس میں تمام قابل پیمائش "مستطیل" ہوتے ہیں۔ چونکہ ہر سنگلٹن سیٹ میں ایک جہتی لیبسگیو پیمائش صفر ہوتی ہے، تاہم کے ذیلی سیٹ کے لیے، فرض کریں کہ یہ حقیقی لائن کا غیر پیمائش والا ذیلی سیٹ ہے، جیسے کہ ویتالی سیٹ۔ پھر-پیمائش کی وضاحت نہیں کی گئی ہے لیکن اس بڑے سیٹ میں-پیمائش صفر ہے۔ لہذا یہ "دو جہتی لیبسیگ پیمائش" جیسا کہ ابھی بیان کیا گیا ہے مکمل نہیں ہے، اور کسی قسم کے تکمیل کے طریقہ کار کی ضرورت ہے۔ ایک مکمل پیمائش کی تعمیر ایک (ممکنہ طور پر نامکمل) پیمائش کی جگہ (X، β، μ) کو دیکھتے ہوئے، اس پیمائش کی جگہ کی ایک توسیع (X، β، μ0) ہے جو مکمل ہے۔ اس طرح کی سب سے چھوٹی توسیع (یعنی۔ سب سے چھوٹا σ-الجبرا σ0) پیمائش کی جگہ کی تکمیل کہلاتا ہے۔ تکمیل کو مندرجہ ذیل طریقے سے بنایا جا سکتا ہے: فرض کریں کہ Z، X کے صفر-μ-پیمائش کے ذیلی مجموعوں کے تمام ذیلی مجموعوں کا مجموعہ ہے (بدیہی طور پر، Z کے وہ عناصر جو پہلے سے ہی β میں نہیں ہیں وہ ہیں جو تکمیل کو درست ہونے سے روکتے ہیں) ؛ فرض کریں کہ β0، β اور Z سے پیدا ہونے والا σ-الجبرا ہے (یعنی۔ سب سے چھوٹا σ-الجبرا جس میں β اور Z کا ہر عنصر ہوتا ہے ؛ μ کی توسیع μ0 سے β تک ہوتی ہے (جو کہ منفرد ہے اگر μ، β-لامحدود ہے)، جسے μ کی بیرونی پیمائش کہا جاتا ہے، جو کہ لامحدود کے ذریعہ دی جاتی ہے۔ پھر (X، β0، μ0) ایک مکمل پیمائش کی جگہ ہے، اور یہ (X، β، μ) کی تکمیل ہے۔ مندرجہ بالا تعمیر میں یہ دکھایا جا سکتا ہے کہ σ0 کا ہر ممبر کچھ A ω ω اور کچھ B ω Z کے لیے A ω B کی شکل کا ہے، اور مثال کے طور پر حقیقی لکیر کے کھلے وقفوں سے پیدا ہونے والے بوریل σ-الجبرا پر بیان کردہ بوریل پیمائش مکمل نہیں ہے، اور اس لیے مکمل لیبسیگ پیمائش کی وضاحت کے لیے مذکورہ تکمیل کے طریقہ کار کو استعمال کیا جانا چاہیے۔ اس کی مثال اس حقیقت سے ملتی ہے کہ حقیقی سیٹوں پر موجود تمام بوریل سیٹوں کے سیٹ میں حقیقی سیٹوں کی طرح ہی بنیادی حیثیت ہوتی ہے۔ جبکہ کینٹر سیٹ ایک بوریل سیٹ ہے، اس کی پیمائش صفر ہے، اور اس کے پاور سیٹ میں اصل سے سختی سے زیادہ کارڈینالیٹی ہے۔ اس طرح کینٹر سیٹ کا ایک ذیلی سیٹ ہے جو بوریل سیٹوں میں موجود نہیں ہے۔ لہذا، بوریل پیمائش مکمل نہیں ہے۔ n-جہتی لیبسگیو پیمائش ایک جہتی لیبسگیو اسپیس کے n-فولڈ پروڈکٹ کی تکمیل ہے۔ یہ بوریل پیمائش کی تکمیل بھی ہے، جیسا کہ یک جہتی معاملے میں ہوتا ہے۔ خصوصیات مہارام کا نظریہ بیان کرتا ہے کہ ہر مکمل پیمائش کی جگہ مسلسل پیمائش، اور ایک محدود یا قابل گنتی پیمائش میں سڑ سکتی ہے۔ حوالہ جات کے اقدامات (پیمائش کا نظریہ) بھی دیکھیں۔