Petr–Douglas–Neumann theorem
জ্যামিতিতে, পেট্র-ডগলাস-নিউম্যান উপপাদ্য (বা পি. ডি. এন-উপপাদ্য) হল নির্বিচারে সমতলীয় বহুভুজ সম্পর্কিত একটি ফলাফল। উপপাদ্যটি দাবি করে যে একটি নির্দিষ্ট পদ্ধতি যখন একটি স্বেচ্ছাচারী বহুভুজের উপর প্রয়োগ করা হয় তখন সর্বদা একটি নিয়মিত বহুভুজ উৎপন্ন হয় যার প্রারম্ভিক বহুভুজের সমান সংখ্যক বাহু থাকে। উপপাদ্যটি প্রথম 1908 সালে প্রাগের কারেল পেট্র (1868-1950) দ্বারা প্রকাশিত হয়েছিল। উপপাদ্যটি 1940 সালে জেসি ডগলাস (1897-1965) এবং 1941 সালে বি এইচ নিউম্যান (1909-2002) দ্বারা স্বাধীনভাবে পুনরায় আবিষ্কৃত হয়। উপপাদ্যটির নামকরণ পেট্র-ডগলাস-নিউম্যান উপপাদ্য বা সংক্ষেপে পি. ডি. এন-উপপাদ্য হিসাবে স্টিফেন বি গ্রে-এর কারণে করা হয়েছে। এই উপপাদ্যটিকে ডগলাসের উপপাদ্য, ডগলাস-নিউম্যান উপপাদ্য, নেপোলিয়ন-ডগলাস-নিউম্যান উপপাদ্য এবং পেট্রের উপপাদ্যও বলা হয়। পি. ডি. এন-উপপাদ্যটি নেপোলিয়নের উপপাদ্যের একটি সাধারণীকরণ যা নির্বিচারে ত্রিভুজ এবং ভ্যান অবেলের উপপাদ্য যা নির্বিচারে চতুর্ভুজের সাথে সম্পর্কিত। এই উপপাদ্যের বিবৃতি পেট্র-ডগলাস-নিউম্যান উপপাদ্যটি নিম্নলিখিত বিষয়টির উপর জোর দেয়। যদি 2kπ/n শীর্ষ কোণ সহ সমদ্বিবাহু ত্রিভুজগুলি একটি স্বেচ্ছাচারী n-গন A0 এর পাশে স্থাপন করা হয়, এবং যদি এই প্রক্রিয়াটি ত্রিভুজগুলির মুক্ত এপিস দ্বারা গঠিত n-গন দিয়ে পুনরাবৃত্তি করা হয়, তবে k এর একটি ভিন্ন মান সহ, এবং এইভাবে যতক্ষণ না সমস্ত মান 1 ≤ k ≤ n − 2 ব্যবহার করা হয় (স্বেচ্ছাচারী ক্রমে), তখন একটি নিয়মিত n-গন An − 2 গঠিত হয় যার কেন্দ্রবিন্দু A0 এর কেন্দ্রকের সাথে মিলে যায়। ত্রিভুজের বিশেষত্ব ত্রিভুজের ক্ষেত্রে, n-এর মান 3 এবং n-2-এর মান 1। সুতরাং k-এর জন্য শুধুমাত্র একটি সম্ভাব্য মান রয়েছে, যথা 1। ত্রিভুজের উপপাদ্যের বিশেষত্ব দাবি করে যে ত্রিভুজ A1 একটি নিয়মিত 3-গন্, অর্থাৎ একটি সমবাহু ত্রিভুজ। ত্রিভুজ A0-এর পার্শ্বে 2π/3 শীর্ষ কোণ সহ সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের কোণ দ্বারা A1 গঠিত হয়। A1-এর শীর্ষগুলি হল ত্রিভুজ A0-এর পার্শ্বে নির্মিত সমবাহু ত্রিভুজের কেন্দ্র। সুতরাং একটি ত্রিভুজের পি. ডি. এন উপপাদ্যের বিশেষত্ব নিম্নরূপ প্রণয়ন করা যেতে পারেঃ যদি সমবাহু ত্রিভুজগুলি কোনও ত্রিভুজের পার্শ্বে স্থাপন করা হয়, তবে তিনটি সমবাহু ত্রিভুজের কেন্দ্র দ্বারা গঠিত ত্রিভুজটি সমবাহু। শেষ বিবৃতিটি নেপোলিয়নের উপপাদ্যের দাবি। চতুর্ভুজের ক্ষেত্রে বিশেষীকরণ চতুর্ভুজের ক্ষেত্রে, n-এর মান 4 এবং n-2-এর মান 2। k এর জন্য দুটি সম্ভাব্য মান রয়েছে, যথা 1 এবং 2, এবং তাই দুটি সম্ভাব্য শীর্ষ কোণ, যথাঃ (2 × 1 × π)/4 = π/2 = 90° (k = 1 এর সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ) (2 × 2 × π)/4 = π = 180° (k = 2 এর সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ)। পি. ডি. এন-উপপাদ্য অনুসারে চতুর্ভুজ এ2 একটি নিয়মিত 4-গন, অর্থাৎ একটি বর্গক্ষেত্র। বর্গ A2 প্রদানকারী দ্বি-পর্যায়ের প্রক্রিয়াটি দুটি ভিন্ন উপায়ে করা যেতে পারে। (একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের শীর্ষ Z যার শীর্ষ কোণ π একটি রেখা বিভাগের উপর স্থাপন করা হয়েছে XY হল রেখা বিভাগের মধ্যবিন্দু।) শীর্ষ কোণ π/2 ব্যবহার করে A1 এবং শীর্ষ কোণ π ব্যবহার করে A2 গঠন করুন। এই ক্ষেত্রে A1-এর শীর্ষগুলি হল চতুর্ভুজ A0-এর পার্শ্বে π/2 শীর্ষ কোণ সহ সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের মুক্ত অগ্রভাগ। চতুর্ভুজ A2-এর শীর্ষগুলি চতুর্ভুজ A1-এর পার্শ্বগুলির মধ্যবিন্দু। পি. ডি. এন উপপাদ্য অনুসারে, এ2 একটি বর্গক্ষেত্র। চতুর্ভুজ A1-এর শীর্ষগুলি চতুর্ভুজ A0-এর পাশে নির্মিত বর্গক্ষেত্রের কেন্দ্র। চতুর্ভুজ A2 একটি বর্গ যে দাবিটি এই দাবির সমতুল্য যে A1 এর তির্যকগুলি একে অপরের সমান এবং লম্ব। পরের দাবিটি হল ভ্যান অবেলের উপপাদ্যের বিষয়বস্তু। সুতরাং ভ্যান অবেলের উপপাদ্যটি পি. ডি. এন-উপপাদ্যের একটি বিশেষ উদাহরণ। শীর্ষ কোণ π ব্যবহার করে A1 এবং শীর্ষ কোণ π/2 ব্যবহার করে A2 গঠন করুন। এই ক্ষেত্রে A1-এর শীর্ষগুলি হল চতুর্ভুজ A0-এর পার্শ্বগুলির মধ্যবিন্দু এবং A2-এর শীর্ষগুলি হল ত্রিভুজের শীর্ষ কোণ π/2 যা A1-এর পার্শ্বগুলিতে স্থাপন করা হয়েছে। পি. ডি. এন-উপপাদ্য দাবি করে যে এই ক্ষেত্রেও এ2 একটি বর্গক্ষেত্র। চতুষ্কোণগুলিতে উপপাদ্যের প্রয়োগের চিত্র পেন্টাগনের ক্ষেত্রে বিশেষীকরণ পেন্টাগনের ক্ষেত্রে, আমাদের n = 5 এবং n − 2 = 3 রয়েছে। সুতরাং কে-এর জন্য তিনটি সম্ভাব্য মান রয়েছে, যথা 1,2 এবং 3, এবং তাই সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের জন্য তিনটি সম্ভাব্য শীর্ষ কোণ রয়েছেঃ (2 × 1 × π)/5 = 2π/5 = 72° (2 × 2 × π)/5 = 4π/5 = 144° (2 × 3 × π)/5 = 6π/5 = 216° পিডিএন-উপপাদ্য অনুসারে, এ3 একটি নিয়মিত পঞ্চভুজ। সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ নির্মাণের জন্য শীর্ষ কোণগুলি যে ক্রমে নির্বাচন করা হয় তার উপর নির্ভর করে নিয়মিত পঞ্চভুজ এ3 নির্মাণের দিকে পরিচালিত তিন-পর্যায়ের প্রক্রিয়াটি ছয়টি ভিন্ন উপায়ে সম্পাদন করা যেতে পারে। উপপাদ্যের প্রমাণ উপপাদ্যটি রৈখিক বীজগণিত থেকে কিছু প্রাথমিক ধারণা ব্যবহার করে প্রমাণ করা যেতে পারে। প্রমাণটি এন-গনের শীর্ষস্থানগুলির প্রতিনিধিত্বকারী জটিল সংখ্যার একটি তালিকা দ্বারা একটি এন-গনকে এনকোড করে শুরু হয়। এই তালিকাটিকে n-মাত্রিক জটিল রৈখিক স্থান Cn-এ ভেক্টর হিসাবে ভাবা যেতে পারে। একটি এন-গন A নিন এবং এটিকে জটিল ভেক্টর A = (a1, a2,., an) দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা যাক। A-এর পাশে নির্মিত অনুরূপ ত্রিভুজের মুক্ত শীর্ষ দ্বারা বহুভুজ B গঠিত হোক এবং এটিকে জটিল ভেক্টর B = (b1, b2,., bn) দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হোক। তারপর আমাদের আছে α (ar−br) = ar + 1−br, যেখানে α = exp (iθ) কিছু θ-এর জন্য (এখানে i হল −1-এর বর্গমূল)। এটি বিআর 'এস গণনা করার জন্য নিম্নলিখিত অভিব্যক্তিটি দেয়ঃ বিআর = (1 − α) −1 (এআর + 1 − αআর)। রৈখিক অপারেটর S: Cn → Cn-এর পরিপ্রেক্ষিতে যেটি এক জায়গায় স্থানাঙ্কগুলিকে চক্রাকারে বিন্যস্ত করে, আমাদের কাছে B = (1 − α) −1 (S − αI) A রয়েছে, যেখানে I হল আইডেন্টিটি ম্যাট্রিক্স। এর মানে হল যে বহুভুজ An−2 যা আমাদের দেখাতে হবে তা নিয়মিত, নিম্নলিখিত অপারেটরগুলির গঠন প্রয়োগ করে A0 থেকে প্রাপ্ত হয়ঃ (1 − ωk) −1 (S − ωk I) k = 1,2,., n − 2 এর জন্য, যেখানে ω = exp (2πi/n)। একটি বহুভুজ পি = (পি1, পি2,., পিএন) একটি নিয়মিত এন-গন হয় যদি পি-এর প্রতিটি দিক 2π/এন কোণের মধ্য দিয়ে ঘোরানো হয়, অর্থাৎ, যদি পিআর + 1 − পিআর = ω (পিআর + 2 − পিআর + 1) হয়। এই শর্তটি নিম্নরূপ S-এর পরিপ্রেক্ষিতে প্রণয়ন করা যেতে পারেঃ (S−I) (I−ωS) P = 0। অথবা সমতুল্য (S−I) (S−ωn−1I) P = 0, যেহেতু ωn = 1। পেট্র-ডগলাস-নিউম্যান উপপাদ্যটি এখন নিম্নলিখিত গণনাগুলি থেকে অনুসরণ করা হয়। (S−I) (S−ωn−1I) একটি −2 = (S−I) (S−ωn−1I) (1−ω) −1 (S−ωI) (1−ω2) −1 (S−ω2I). (1−ωn−2) −1 (S−ωn−2I) A0 = (1−ω) −1 (1−ω2) −1. (1−ωn−2) −1 (S−I) (S−ωI) (S−ωI) (S−ω2I)।