Hesse configuration
জ্যামিতিতে, হেসে বিন্যাসটি 9 পয়েন্ট এবং 12 লাইনের একটি বিন্যাস যা প্রতি লাইনে তিনটি পয়েন্ট এবং প্রতিটি পয়েন্টের মধ্য দিয়ে চারটি লাইন সহ। এটি একটি উপবৃত্তাকার বক্ররেখার প্রতিফলন বিন্দুর সেট হিসাবে জটিল প্রজেক্টিভ সমতলে উপলব্ধি করা যেতে পারে, তবে ইউক্লিডীয় সমতলে এর কোনও উপলব্ধি নেই। এটি কলিন ম্যাকলাউরিন দ্বারা প্রবর্তিত হয়েছিল এবং ইয়ং-এর জ্যামিতি নামেও পরিচিত, যা জন ওয়েসলি ইয়ং-এর সসীম জ্যামিতির উপর পরবর্তী কাজের নামে নামকরণ করা হয়েছে। বর্ণনা হেসে বিন্যাসে 3টি উপাদানের ক্ষেত্রের উপর অ্যাফিন সমতলের রেখা ও বিন্দুর মতো একই আপতন সম্পর্ক রয়েছে। অর্থাৎ, হেসে বিন্যাসের বিন্দুগুলিকে মডুলো 3 সংখ্যার ক্রমযুক্ত জোড়া দিয়ে চিহ্নিত করা যেতে পারে এবং বিন্যাসের রেখাগুলি একটি রৈখিক সমীকরণকে সন্তুষ্ট করে এমন পয়েন্টের তিনগুণ দিয়ে চিহ্নিত করা যেতে পারে। বিকল্পভাবে, বিন্যাসের বিন্দুগুলি একটি টিক-ট্যাক-টো বোর্ডের বর্গক্ষেত্র দ্বারা চিহ্নিত করা যেতে পারে এবং রেখাগুলি বোর্ডের রেখা এবং ভাঙা তির্যক দ্বারা চিহ্নিত করা যেতে পারে। প্রতিটি বিন্দু চারটি রেখার অন্তর্গতঃ বিন্যাসের টিক ট্যাক টো ব্যাখ্যায়, একটি রেখা অনুভূমিক, একটি উল্লম্ব এবং দুটি তির্যক বা ভাঙা তির্যক। প্রতিটি লাইনে তিনটি করে পয়েন্ট থাকে। কনফিগারেশনের ভাষায় হেসে কনফিগারেশনের স্বরলিপি 94123 রয়েছে, যার অর্থ হল 9 পয়েন্ট, প্রতি পয়েন্টে 4 লাইন, 12 লাইন এবং প্রতি লাইনে 3 পয়েন্ট রয়েছে। হেসে বিন্যাসে 216টি প্রতিসাম্য রয়েছে (এর অটোমরফিজম গ্রুপের ক্রম 216)। এর প্রতিসাম্যের গোষ্ঠীটি হেসিয়ান গোষ্ঠী নামে পরিচিত। সম্পর্কিত বিন্যাস হেসে বিন্যাস থেকে যে কোনও একটি বিন্দু এবং এর চারটি আপতিত রেখা সরিয়ে ফেললে 8383 প্রকারের আরেকটি বিন্যাস তৈরি হয়, যা মোবিয়াস-কান্টর বিন্যাস। হেসে বিন্যাসে, 12টি রেখাকে সমান্তরাল (অ-ছেদকারী) রেখার চারটি ত্রিগুণে ভাগ করা যেতে পারে। হেসে কনফিগারেশন থেকে সরিয়ে একক ট্রিপল-এর অন্তর্গত তিনটি লাইন প্যাপাস কনফিগারেশন টাইপ 9393-এর একটি কনফিগারেশন তৈরি করে। হেসে বিন্যাসটি চারটি পয়েন্ট যোগ করে বর্ধিত করা যেতে পারে, প্রতিটি তিনগুণ অ-ছেদকারী লাইনের জন্য একটি এবং চারটি নতুন পয়েন্ট সম্বলিত একটি লাইন, 134134 প্রকারের বিন্যাস গঠন করতে, তিন-উপাদান ক্ষেত্রের উপর প্রজেক্টিভ সমতলের পয়েন্ট এবং লাইনের সেট। অনুধাবনযোগ্যতা একটি উপবৃত্তাকার বক্ররেখার 9টি প্রতিফলন বিন্দু এবং তিনটে প্রতিফলন বিন্দুর মধ্য দিয়ে 12টি রেখা হিসাবে জটিল প্রজেক্টিভ সমতলে হেসের বিন্যাস উপলব্ধি করা যেতে পারে। যদি জটিল সমতলে নয়টি বিন্দুর একটি প্রদত্ত সেট উপবৃত্তাকার বক্ররেখা সি-এর প্রতিফলনের সেট হয়, তবে এটি সি এবং সি-এর হেসিয়ান বক্ররেখা, হেসে পেন্সিল দ্বারা উত্পন্ন বক্ররেখার পেন্সিলের প্রতিটি বক্ররেখার প্রতিফলনের সেটও হয়। হেসিয়ান পলিহেড্রন জটিল সমতলে হেস বিন্যাসের একটি উপস্থাপনা। হেস বিন্যাসটি মোবিয়াস-কান্টর বিন্যাসের সাথে একটি জটিল উপলব্ধি থাকার বৈশিষ্ট্য ভাগ করে নেয় তবে ইউক্লিডীয় সমতলে পয়েন্ট এবং সরলরেখা দ্বারা উপলব্ধি করা যায় না। হেসে বিন্যাসে, প্রতিটি দুটি বিন্দু বিন্যাসের একটি রেখা (সিলভেস্টার-গাল্লাই বিন্যাসের সংজ্ঞায়িত বৈশিষ্ট্য) দ্বারা সংযুক্ত থাকে এবং তাই এর দুটি বিন্দুর মধ্য দিয়ে প্রতিটি রেখায় একটি তৃতীয় বিন্দু থাকে। কিন্তু ইউক্লিডীয় সমতলে, প্রতিটি সসীম বিন্দুর সেট হয় সমরেখার হয়, অথবা এক জোড়া বিন্দুর অন্তর্ভুক্ত থাকে যার রেখায় সেটের অন্য কোনও বিন্দু থাকে না; এটি সিলভেস্টার-গ্যালাই উপপাদ্য। যেহেতু হেসে বিন্যাস সিলভেস্টার-গ্যালাই উপপাদ্যকে অমান্য করে, তাই এর কোনও ইউক্লিডীয় উপলব্ধি নেই। এই উদাহরণটি আরও দেখায় যে সিলভেস্টার-গ্যালাই উপপাদ্যকে জটিল প্রজেক্টিভ সমতলে সাধারণীকরণ করা যায় না। যাইহোক, জটিল জায়গাগুলিতে, হেসে বিন্যাস এবং সমস্ত সিলভেস্টার-গ্যালাই বিন্যাস অবশ্যই একটি দ্বিমাত্রিক সমতল সাবস্পেসের মধ্যে থাকতে হবে। তথ্যসূত্র বিন্যাস (জ্যামিতি) উপবৃত্তাকার বক্ররেখা