Kalman's conjecture
কালমানের অনুমান বা কালমান সমস্যা হল একটি স্কেলার অরৈখিকতার সাথে অরৈখিক নিয়ন্ত্রণ ব্যবস্থার পরম স্থায়িত্বের উপর একটি অপ্রমাণিত অনুমান, যা রৈখিক স্থায়িত্বের ক্ষেত্রের অন্তর্গত। কালমানের অনুমান আইজারম্যানের অনুমানকে শক্তিশালী করে এবং মার্কুস-ইয়ামাবে অনুমানের একটি বিশেষ উদাহরণ। এই অনুমানটি মিথ্যা প্রমাণিত হয়েছিল কিন্তু পরম স্থিতিশীলতার উপর (বৈধ) পর্যাপ্ত মানদণ্ডের দিকে পরিচালিত করেছিল। 1957 সালে আর. ই. কালমান তাঁর গবেষণাপত্রে কালমানের অনুমানের (কালমান সমস্যা) গাণিতিক বিবৃতিটি নিম্নরূপ উল্লেখ করেনঃ চিত্রে যদি f (e) থাকে। 1 কে f '(e)-এর সমস্ত সম্ভাব্য মানের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ ধ্রুবক K দ্বারা প্রতিস্থাপিত করা হয়, এবং এটি দেখা যায় যে বন্ধ-লুপ সিস্টেমটি এই জাতীয় সমস্ত K-এর জন্য স্থিতিশীল, তারপর এটি স্বজ্ঞাতভাবে স্পষ্ট যে সিস্টেমটি অবশ্যই মনোস্ট্যাবল হতে হবে; অর্থাৎ, সমস্ত ক্ষণস্থায়ী সমাধান একটি অনন্য, স্থিতিশীল সমালোচনামূলক বিন্দুতে একত্রিত হবে। কালমানের বিবৃতিটি নিম্নলিখিত অনুমানে পুনর্বিন্যস্ত করা যেতে পারেঃ একটি স্কেলার অরৈখিকতা সহ একটি সিস্টেম বিবেচনা করুন যেখানে P একটি ধ্রুবক n × n ম্যাট্রিক্স, q, r ধ্রুবক n-মাত্রিক ভেক্টর, ঱্঱ং স্থানান্তরের একটি অপারেশন, f (e) স্কেলার ফাংশন, এবং f (0) = 0। ধরুন, f (e) একটি ডিফারেনশিয়েবল ফাংশন এবং নিম্নলিখিত শর্তটি বৈধ। তারপর কালমানের অনুমান হল যে সিস্টেমটি বড় আকারে স্থিতিশীল (অর্থাৎ। একটি অনন্য স্থির বিন্দু হল একটি বৈশ্বিক আকর্ষণকারী) যদি f (e) = Ke, k ω (k1, k2) সহ সমস্ত রৈখিক ব্যবস্থা উপসর্গহীনভাবে স্থিতিশীল হয়। অ-রৈখিকতার ব্যুৎপত্তিগত শর্তের পরিবর্তে আইজারম্যানের অনুমান অনুযায়ী, অ-রৈখিকতা নিজেই রৈখিক ক্ষেত্রের অন্তর্গত হওয়া প্রয়োজন। কালমানের অনুমান n ≤ 3-এর জন্য সত্য এবং n> 3-এর জন্য পাল্টা উদাহরণ নির্মাণের জন্য কার্যকর পদ্ধতি রয়েছেঃ অরৈখিকতা অন্তরজ রৈখিক স্থিতিশীলতার ক্ষেত্রের অন্তর্গত, এবং একটি অনন্য স্থিতিশীল ভারসাম্য একটি স্থিতিশীল পর্যায়ক্রমিক সমাধানের (লুকানো দোলন) সাথে সহাবস্থান করে। বিচ্ছিন্ন-সময়ে, কালমান অনুমান শুধুমাত্র n = 1-এর জন্য সত্য, n ≤ 2-এর জন্য পাল্টা উদাহরণ তৈরি করা যেতে পারে। রেফারেন্স আরও পড়া বাহ্যিক লিঙ্ক আইজারম্যান এবং কালম্যানের অনুমানের পাল্টা উদাহরণে লুকানো দোলনগুলির বিশ্লেষণাত্মক-সংখ্যাসূচক স্থানীয়করণ ম্যাপেলক্লাউডে পৃথক-সময়ের পাল্টা উদাহরণ প্রমাণিত অনুমান অরৈখিক নিয়ন্ত্রণ লুকানো দোলন