Multidimensional sampling
ডিজিটাল সিগন্যাল প্রসেসিং-এ, বহুমাত্রিক স্যাম্পলিং হল একটি বহুমাত্রিক চলকের একটি ফাংশনকে পয়েন্টের একটি বিচ্ছিন্ন সেটের উপর পরিমাপ করা ফাংশনের মানগুলির একটি বিচ্ছিন্ন সংগ্রহে রূপান্তর করার প্রক্রিয়া। এই নিবন্ধটি পিটারসেন এবং মিডলটনের কারণে মৌলিক ফলাফলটি উপস্থাপন করে একটি তরঙ্গ সংখ্যা-সীমিত ফাংশনকে তার পরিমাপ থেকে বিন্দুর একটি বিচ্ছিন্ন জালের উপর নিখুঁতভাবে পুনর্গঠনের শর্তে। এই ফলাফল, যা পিটারসেন-মিডলটন উপপাদ্য নামেও পরিচিত, উচ্চ-মাত্রিক ইউক্লিডীয় স্থানে এক-মাত্রিক ব্যান্ড-সীমিত ফাংশনের নমুনা নেওয়ার জন্য নাইকুইস্ট-শ্যানন স্যাম্পলিং উপপাদ্যের একটি সাধারণীকরণ। সংক্ষেপে, পিটারসন-মিডলটন উপপাদ্য দেখায় যে একটি তরঙ্গ সংখ্যা-সীমিত ফাংশনকে তার মান থেকে অসীম জাল বিন্দুর উপর নিখুঁতভাবে পুনর্গঠন করা যেতে পারে, যদি জালটি যথেষ্ট সূক্ষ্ম হয়। উপপাদ্যটি জালের উপর শর্ত প্রদান করে যার অধীনে নিখুঁত পুনর্গঠন সম্ভব। নাইকুইস্ট-শ্যানন স্যাম্পলিং উপপাদ্যের মতো, এই উপপাদ্যটিও যে কোনও বাস্তব-বিশ্বের পরিস্থিতির একটি আদর্শায়ন অনুমান করে, কারণ এটি কেবলমাত্র সেই ফাংশনগুলির ক্ষেত্রে প্রযোজ্য যা অসীম বিন্দুর উপর নমুনা করা হয়। আদর্শ মডেলের জন্য গাণিতিকভাবে নিখুঁত পুনর্গঠন সম্ভব তবে বাস্তব-বিশ্বের ফাংশন এবং স্যাম্পলিং কৌশলগুলির জন্য কেবল একটি আনুমানিক, যদিও বাস্তবে প্রায়শই খুব ভাল। প্রারম্ভিক একটি মাত্রায় ব্যান্ড-সীমিত ফাংশনের ধারণাকে উচ্চতর মাত্রায় তরঙ্গ সংখ্যা-সীমিত ফাংশনের ধারণার সাথে সাধারণীকরণ করা যেতে পারে। মনে রাখবেন যে, এন-ডাইমেনশনাল ইউক্লিডিয়ান স্পেসে একটি ইন্টিগ্রেবল ফাংশনের ফুরিয়ার রূপান্তরকে এইভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়ঃ যেখানে x এবং φ হল এন-ডাইমেনশনাল ভেক্টর, এবং ভেক্টরগুলির অভ্যন্তরীণ গুণফল। যদি ফুরিয়ার রূপান্তরটি সন্তুষ্ট হয় তবে ফাংশনটিকে তরঙ্গ সংখ্যা-একটি সেটের মধ্যে সীমাবদ্ধ বলা হয়। একইভাবে, এক-মাত্রায় অভিন্ন ব্যবধানের নমুনা বিন্দুর বিন্যাসকে উচ্চতর মাত্রায় একটি জালিতে সাধারণীকরণ করা যেতে পারে। একটি জাল হল সেই ফর্মের পয়েন্টগুলির একটি সংগ্রহ যেখানে {v1,., vn} একটি ভিত্তি। সংশ্লিষ্ট পারস্পরিক জালটি ভেক্টরগুলি কোথায় সন্তুষ্ট করার জন্য বেছে নেওয়া হয় তার দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়। অর্থাৎ, যদি ভেক্টরগুলি একটি ম্যাট্রিক্সের কলাম এবং একটি ম্যাট্রিক্সের কলাম গঠন করে, তাহলে। দ্বিমাত্রিক স্থানে নমুনা জালের একটি উদাহরণ হল চিত্র 1-এ চিত্রিত একটি ষড়ভুজ জাল। সংশ্লিষ্ট পারস্পরিক জালটি চিত্র 2-এ দেখানো হয়েছে। দুটি মাত্রায় একটি বর্গাকার জালের পারস্পরিক জাল হল আরেকটি বর্গাকার জাল। ত্রিমাত্রিক স্থানে ফেস-সেন্টার্ড কিউবিক (এফ. সি. সি) জালের পারস্পরিক জাল হল একটি বডি সেন্টার্ড কিউবিক (বিসিসি) জাল। উপপাদ্যটি একটি জাল এবং সংশ্লিষ্ট পারস্পরিক জালকে নির্দেশ করে। পিটারসেন এবং মিডলটনের উপপাদ্যটি বলে যে একটি ফাংশন যা একটি সেটের মধ্যে সীমাবদ্ধ-তার পরিমাপ থেকে ঠিক পুনর্গঠন করা যেতে পারে তবে শর্ত থাকে যে সেটটি তার কোনও স্থানান্তরিত সংস্করণের সাথে ওভারল্যাপ করে না যেখানে শিফট x পারস্পরিক জালকের কোনও অ-শূন্য উপাদান। অন্য কথায়, এর পরিমাপ থেকে সঠিকভাবে পুনর্গঠন করা যেতে পারে যদি তা সকলের জন্য হয়। পুনর্বিন্যাস উচ্চতর মাত্রায় পয়সন যোগসূত্রের সাধারণীকরণ ব্যবহার করে দেখানো যেতে পারে যে জালকের উপর ফাংশনের নমুনাগুলি ফাংশনের পর্যায়ক্রমিক যোগফল তৈরি করার জন্য যথেষ্ট। ফলাফলটি হলঃ যেখানে ভেক্টর {v1,., vn} দ্বারা গঠিত সমান্তরাল আয়তনের প্রতিনিধিত্ব করে। এই পর্যায়ক্রমিক ক্রিয়াকে প্রায়শই নমুনা বর্ণালী হিসাবে উল্লেখ করা হয় এবং উচ্চতর মাত্রায় বিচ্ছিন্ন-সময় ফুরিয়ার রূপান্তর (ডিটিএফটি) এর এনালগ হিসাবে ব্যাখ্যা করা যেতে পারে। যদি মূল তরঙ্গ সংখ্যা-সীমিত বর্ণালী সেটটিতে সমর্থিত হয় তবে ফাংশনটি পারস্পরিক জালের উপর পয়েন্ট দ্বারা স্থানান্তরিত পর্যায়ক্রমিক পুনরাবৃত্তিতে সমর্থিত হয়। যদি পিটারসেন-মিডলটন উপপাদ্যের শর্তগুলি পূরণ করা হয়, তবে ফাংশনটি সকলের জন্য সমান, এবং তাই নমুনাগুলি থেকে মূল ক্ষেত্রটি সঠিকভাবে পুনর্গঠন করা যেতে পারে। এই ক্ষেত্রে পুনর্গঠিত ক্ষেত্রটি মূল ক্ষেত্রের সাথে মিলে যায় এবং সেটের চরিত্রগত ফাংশনের বিপরীত ফুরিয়ার রূপান্তর যেখানে নমুনাগুলির পরিপ্রেক্ষিতে প্রকাশ করা যেতে পারে। এই ইন্টারপোলেশন সূত্রটি হুইটটেকার-শ্যানন ইন্টারপোলেশন সূত্রের উচ্চ-মাত্রিক সমতুল্য। উদাহরণস্বরূপ ধরুন এটি একটি বৃত্তাকার ডিস্ক। চিত্র 3 পিটারসেন-মিডলটন উপপাদ্যের শর্তগুলি কখন পূরণ করা হয় তার সমর্থনকে চিত্রিত করে। আমরা দেখতে পাই যে বর্ণালী পুনরাবৃত্তিগুলি ওভারল্যাপ করে না এবং তাই মূল বর্ণালীটি ঠিক পুনরুদ্ধার করা যেতে পারে। প্রভাব আলিয়াজিং উপপাদ্যটি নমুনাগুলির নিখুঁত পুনর্গঠনের জন্য নমুনা জালের উপর শর্ত দেয়। যদি জালগুলি পিটারসেন-মিডলটনের অবস্থা পূরণ করার জন্য যথেষ্ট ভাল না হয়, তবে সাধারণভাবে নমুনাগুলি থেকে ক্ষেত্রটি ঠিক পুনর্নির্মাণ করা যাবে না। এই ক্ষেত্রে আমরা বলি যে নমুনাগুলি আলিয়াস করা হতে পারে। আবার, উদাহরণটি বিবেচনা করুন যেখানে একটি বৃত্তাকার ডিস্ক রয়েছে। যদি পিটারসেন-মিডলটন শর্তগুলি ধরে না থাকে, তবে নমুনা বর্ণালীর সমর্থন চিত্র 4-এ দেখানো হবে। এই ক্ষেত্রে বর্ণালী পুনরাবৃত্তিগুলি ওভারল্যাপ করে পুনর্গঠনে আলিয়াজিংয়ের দিকে পরিচালিত করে। স্বল্প-রেজোলিউশনের ছবিগুলি অধ্যয়ন করে আলিয়াজিংয়ের একটি সহজ চিত্র পাওয়া যেতে পারে। একটি ধূসর-স্কেল চিত্রকে দ্বি-মাত্রিক স্থানে একটি ফাংশন হিসাবে ব্যাখ্যা করা যেতে পারে। আলিয়াজিংয়ের একটি উদাহরণ চিত্র 5-এ ইটের নিদর্শনগুলির চিত্রগুলিতে দেখানো হয়েছে। নমুনা উপপাদ্যের শর্ত পূরণ না হলে চিত্রটি আলিয়াজিংয়ের প্রভাবগুলি দেখায়। যদি পিক্সেলের জাল দৃশ্যের জন্য যথেষ্ট ভাল না হয়, তবে প্রাপ্ত ছবিতে মোইরে প্যাটার্নের উপস্থিতি দ্বারা প্রমাণিত হিসাবে আলিয়াসিং ঘটে। চিত্র 6-এর চিত্রটি পাওয়া যায় যখন দৃশ্যটির একটি মসৃণ সংস্করণ একই জাল দিয়ে নমুনা করা হয়। এই ক্ষেত্রে উপপাদ্যটির শর্তগুলি সন্তুষ্ট হয় এবং কোনও আলিয়াজিং ঘটে না। সর্বোত্তম নমুনা জালগুলি তরঙ্গ সংখ্যা-সীমিত ক্ষেত্রের জন্য একটি নমুনা প্রকল্প নকশা করার ক্ষেত্রে আগ্রহের বিষয়গুলির মধ্যে একটি হল পয়েন্টগুলির বিন্যাস চিহ্নিত করা যা ন্যূনতম নমুনা ঘনত্বের দিকে পরিচালিত করে, অর্থাৎ, প্রতি একক স্থানিক আয়তনে নমুনা পয়েন্টগুলির ঘনত্ব। সাধারণত পরিমাপ গ্রহণ ও সংরক্ষণের খরচ নমুনা সংগ্রহের ঘনত্বের সঙ্গে আনুপাতিক। প্রায়শই বাস্তবে, দ্বি-মাত্রিক ক্ষেত্রের নমুনা নেওয়ার স্বাভাবিক পদ্ধতি হল একটি আয়তক্ষেত্রাকার জালের বিন্দুতে এটির নমুনা নেওয়া। যাইহোক, নমুনা ঘনত্বের ক্ষেত্রে এটি সর্বদা আদর্শ পছন্দ নয়। পিটারসেন এবং মিডলটনের উপপাদ্যটি নমুনা ক্ষেত্রের জন্য সর্বোত্তম জাল সনাক্ত করতে ব্যবহার করা যেতে পারে যা একটি প্রদত্ত সেটের মধ্যে তরঙ্গ সংখ্যা-সীমাবদ্ধ। উদাহরণস্বরূপ, এটি দেখানো যেতে পারে যে বিন্দুগুলির ন্যূনতম স্থানিক ঘনত্ব সহ যে জালটি একটি বৃত্তাকার ডিস্কে সীমাবদ্ধ তরঙ্গসংখ্যার ক্ষেত্রগুলির নিখুঁত পুনর্গঠন স্বীকার করে তা ষড়ভুজ জাল। ফলস্বরূপ, আইসোট্রপিক ক্ষেত্রের নমুনা নেওয়ার জন্য ষড়ভুজাকার জাল পছন্দ করা হয়। সর্বোত্তম নমুনা জাল উচ্চতর মাত্রায় অধ্যয়ন করা হয়েছে। সাধারণত, সর্বোত্তম গোলক প্যাকিং ল্যাটিস মসৃণ স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়াগুলির নমুনা নেওয়ার জন্য আদর্শ, অন্যদিকে সর্বোত্তম গোলক আচ্ছাদন ল্যাটিস রুক্ষ স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়াগুলির নমুনা নেওয়ার জন্য আদর্শ। যেহেতু সর্বোত্তম জালগুলি সাধারণভাবে অবিচ্ছেদ্য, তাই ইন্টারপোলেশন এবং পুনর্গঠন ফিল্টারগুলির নকশা করার জন্য নন-টেনসর-প্রোডাক্ট (অর্থাৎ, অবিচ্ছেদ্য) ফিল্টার ডিজাইনের প্রক্রিয়া প্রয়োজন। বক্স স্প্লাইনগুলি এই ধরনের অবিচ্ছেদ্য পুনর্নির্মাণ এফআইআর ফিল্টারগুলি ডিজাইনের জন্য একটি নমনীয় কাঠামো সরবরাহ করে যা প্রতিটি জালের জন্য জ্যামিতিকভাবে তৈরি করা যেতে পারে। হেক্স-স্প্লাইন হল 2-ডি ষড়ভুজ জালের জন্য বি-স্প্লাইনগুলির সাধারণীকরণ। একইভাবে, 3-ডি এবং উচ্চতর মাত্রায়, ভোরোনোই স্প্লাইনগুলি বি-স্প্লাইনগুলির একটি সাধারণীকরণ প্রদান করে যা অ-বিভাজ্য এফআইআর ফিল্টারগুলি ডিজাইন করতে ব্যবহার করা যেতে পারে যা সর্বোত্তম জাল সহ যে কোনও জালের জন্য জ্যামিতিকভাবে তৈরি করা হয়। সর্বোত্তম জালগুলিতে সাধারণীকরণ করা আদর্শ লো-পাস ফিল্টারগুলির (অর্থাৎ, সিঙ্ক ফাংশন) সুস্পষ্ট নির্মাণ এই জালগুলির (যা জোনোটোপ) ব্রিলউইন অঞ্চলগুলির (অর্থাৎ উপরে) জ্যামিতিক বৈশিষ্ট্যগুলি অধ্যয়ন করে সম্ভব। এই পদ্ধতিটি সর্বোত্তম নমুনা জাল সহ সাধারণ জালগুলির জন্য একটি বদ্ধ-ফর্ম স্পষ্ট উপস্থাপনা প্রদান করে। এই নির্মাণটি সর্বোত্তম জালের জন্য বহুমাত্রিক সেটিংয়ে 1-ডি-তে ল্যানকজোস ফিল্টারের একটি সাধারণীকরণ সরবরাহ করে। প্রয়োগ পিটারসেন-মিডলটন উপপাদ্যটি ভূকম্পীয় জরিপ, পরিবেশ পর্যবেক্ষণ এবং স্থানিক অডিও-ক্ষেত্র পরিমাপের মতো স্থানিক ঘটনাগুলির পরিমাপের সাথে জড়িত প্রয়োগগুলিতে দক্ষ সেন্সর বসানোর কৌশলগুলি ডিজাইন করতে কার্যকর। তথ্যসূত্র ডিজিটাল সংকেত প্রক্রিয়াকরণ বহুমাত্রিক সংকেত প্রক্রিয়াকরণ উপপাদ্য ফুরিয়ার বিশ্লেষণে