Hesse pencil
গণিতে, সিজিজেটিক পেন্সিল বা হেসে পেন্সিল, অটো হেসের নামে নামকরণ করা হয়েছে, জটিল প্রজেক্টিভ সমতলে ঘন সমতল উপবৃত্তাকার বক্ররেখার একটি পেন্সিল (এক-মাত্রিক পরিবার), যা সমীকরণ দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয় পরিবারের প্রতিটি বক্ররেখা এক জোড়া পরামিতি মান () দ্বারা নির্ধারিত হয় (উভয় শূন্য নয়) এবং সমতলে এমন বিন্দু নিয়ে গঠিত যার সমজাতীয় স্থানাঙ্ক সেই পরামিতিগুলির সমীকরণকে সন্তুষ্ট করে। উভয়কে এবং একই স্কেলার দ্বারা গুণ করলে বক্ররেখা পরিবর্তিত হয় না, তাই পেন্সিল থেকে একটি বক্ররেখা নির্বাচন করার ক্ষেত্রে শুধুমাত্র এক ডিগ্রি স্বাধীনতা থাকে, তবে উপরে দেওয়া দুই-পরামিতি ফর্মটি শূন্য বা (তবে উভয় নয়) সেট করার অনুমতি দেয়। পেন্সিলের প্রতিটি বক্ররেখা জটিল প্রজেক্টিভ সমতলের নয়টি বিন্দুর মধ্য দিয়ে যায় যার সমজাতীয় স্থানাঙ্কগুলি 0,-1 এর কিছু বিন্যাস এবং একতার একটি ঘনমূল। একতার তিনটি মূল এবং প্রতি মূলে ছয়টি বিন্যাস রয়েছে, যা প্রতিটি বিন্দুর সমজাতীয় স্থানাঙ্কের জন্য 18টি পছন্দ দেয়, তবে তারা জোড়ায় সমতুল্য যা মাত্র নয়টি পয়েন্ট দেয়। এই নয়টি বিন্দুর মধ্য দিয়ে ঘনক্ষেত্রের পরিবার হেসে পেন্সিল গঠন করে। আরও সাধারণভাবে, জটিল সংখ্যাগুলিকে যে কোনও ক্ষেত্র দ্বারা প্রতিস্থাপিত করা যেতে পারে যার মধ্যে ঐক্যের একটি ঘনমূল রয়েছে এবং এই ক্ষেত্রের উপর হেসে পেন্সিলকে এই নয়টি বিন্দুর মাধ্যমে ঘনক্ষেত্রের পরিবার হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে। হেসে পেন্সিলের নয়টি সাধারণ বিন্দু হল পেন্সিলের প্রতিটি ঘনক্ষেত্রের প্রতিফলন বিন্দু। এই নয়টি বিন্দুর মধ্যে অন্তত দুটি বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া যে কোনও রেখা তাদের মধ্যে ঠিক তিনটি বিন্দুর মধ্য দিয়ে যায়; নয়টি বিন্দু এবং বারোটি রেখা তিনগুণ বিন্দুর মধ্য দিয়ে গিয়ে হেসে বিন্যাস গঠন করে। প্রতিটি উপবৃত্তাকার বক্ররেখা জন্মগতভাবে হেস পেন্সিলের বক্ররেখার সমতুল্য; এটি একটি উপবৃত্তাকার বক্ররেখার হেসিয়ান রূপ। যাইহোক, হেসিয়ান ফর্মের পরামিতিগুলি () মূল বক্ররেখার সংজ্ঞার ক্ষেত্রের একটি সম্প্রসারণ ক্ষেত্রের অন্তর্গত হতে পারে। তথ্যসূত্র উপবৃত্তাকার বক্ররেখা