Perles configuration
জ্যামিতিতে, পার্লস বিন্যাস হল ইউক্লিডীয় সমতলে নয়টি বিন্দু এবং নয়টি রেখার একটি ব্যবস্থা যার জন্য প্রতিটি সমন্বিত সমতুল্য উপলব্ধির স্থানাঙ্কগুলির মধ্যে একটি হিসাবে কমপক্ষে একটি অযৌক্তিক সংখ্যা থাকে। এটি একটি নিয়মিত পঞ্চভুজের তির্যক এবং প্রতিসাম্য রেখা থেকে তৈরি করা যেতে পারে, প্রতিসাম্য রেখার একটি বাদ দিয়ে। পরিবর্তে, এটি উচ্চ-মাত্রিক উত্তল পলিটোপগুলি তৈরি করতে ব্যবহার করা যেতে পারে যা যুক্তিসঙ্গত স্থানাঙ্ক দেওয়া যায় না, যার কোনও পরিচিত উদাহরণের সবচেয়ে কম শীর্ষস্থান রয়েছে। প্রজেক্টিভ সমতলে পার্ল কনফিগারেশনের সমস্ত উপলব্ধি প্রজেক্টিভ রূপান্তরের অধীনে একে অপরের সমতুল্য। নির্মাণ পার্লস বিন্যাস নির্মাণের একটি উপায় হল একটি নিয়মিত পঞ্চভুজ এবং এর পাঁচটি তির্যক দিয়ে শুরু করা। এই তির্যকগুলি বাইরের পঞ্চভুজের অভ্যন্তরে একটি ছোট অভ্যন্তরীণ পঞ্চভুজের পাশ গঠন করে। বাইরের পঞ্চভুজের প্রতিটি শীর্ষ অভ্যন্তরীণ পঞ্চভুজের একটি শীর্ষ থেকে বিপরীত দিকে অবস্থিত। বিন্যাসের নয়টি বিন্দু প্রতিটি পঞ্চভুজের পাঁচটি শীর্ষের মধ্যে চারটি এবং দুটি পঞ্চভুজের ভাগ করা কেন্দ্র নিয়ে গঠিত। দুটি বিপরীত শীর্ষ বাদ দেওয়া হয়েছে, প্রতিটি পঞ্চভুজ থেকে একটি করে। বিন্যাসের নয়টি রেখা পাঁচটি রেখা নিয়ে গঠিত যা বাইরের পঞ্চভুজের তির্যক এবং অভ্যন্তরীণ পঞ্চভুজের দিক এবং চারটি রেখা যা কেন্দ্রের মধ্য দিয়ে এবং দুটি পঞ্চভূজ থেকে বিপরীত জোড়া শীর্ষের মধ্য দিয়ে যায়। প্রজেক্টিভ ইনভ্যারিয়েন্স এবং অযৌক্তিকতা পার্ল কনফিগারেশনের একটি উপলব্ধি একই ছেদ প্যাটার্ন সহ যে কোনও নয়টি পয়েন্ট এবং নয়টি লাইন নিয়ে গঠিত বলে সংজ্ঞায়িত করা হয়। এর মানে হল যে একটি বিন্দু এবং রেখা উপলব্ধি করার সময় একে অপরকে ছেদ করে, যদি এবং শুধুমাত্র যদি তারা নিয়মিত পঞ্চভুজ থেকে নির্মিত বিন্যাসে ছেদ করে। ইউক্লিডীয় সমতলে বা আরও সাধারণভাবে, বাস্তব প্রজেক্টিভ সমতলে এই বিন্যাসের প্রতিটি উপলব্ধি, একটি প্রজেক্টিভ রূপান্তরের অধীনে, একটি নিয়মিত পঞ্চভুজ থেকে এইভাবে নির্মিত একটি উপলব্ধির সমতুল্য। যেহেতু ক্রস-অনুপাত, যে কোনও চারটি কলিনিয়ার পয়েন্ট থেকে সংজ্ঞায়িত একটি সংখ্যা, প্রজেক্টিভ রূপান্তরের অধীনে পরিবর্তিত হয় না, তাই প্রতিটি উপলব্ধির চারটি পয়েন্ট রয়েছে যা নিয়মিত পঞ্চভুজ থেকে প্রাপ্ত উপলব্ধিতে চারটি কলিনিয়ার পয়েন্টের ক্রস-অনুপাতের মতো একই ক্রস-অনুপাত রয়েছে। কিন্তু, এই চারটি বিন্দুর ক্রস অনুপাত রয়েছে, যেখানে স্বর্ণ অনুপাত, একটি অযৌক্তিক সংখ্যা। যুক্তিসঙ্গত স্থানাঙ্ক সহ প্রতিটি চারটি সমরেখার বিন্দুর একটি যুক্তিসঙ্গত ক্রস অনুপাত থাকে, তাই পার্লের বিন্যাসটি যুক্তিসঙ্গত বিন্দু দ্বারা উপলব্ধি করা যায় না। ব্র্যাঙ্কো গ্রুনবাম অনুমান করেছেন যে প্রতিটি বিন্যাস যা অযৌক্তিক কিন্তু মূলদ সংখ্যা দ্বারা উপলব্ধি করা যায় তার কমপক্ষে নয়টি বিন্দু থাকে; যদি তাই হয়, তবে পার্লের বিন্যাসটি বিন্দু এবং রেখার সম্ভাব্য ক্ষুদ্রতম অযৌক্তিক বিন্যাস হবে। পলিহেড্রাল কম্বিনেটরিক্সে প্রয়োগের জন্য পার্লস তাঁর বিন্যাস ব্যবহার করে বারোটি শীর্ষ সহ একটি আট-মাত্রিক উত্তল পলিটোপ তৈরি করেছিলেন যা একইভাবে বাস্তব স্থানাঙ্কের সাথে উপলব্ধি করা যেতে পারে তবে যুক্তিসঙ্গত স্থানাঙ্কের সাথে নয়। বিন্যাসের পয়েন্টগুলি, তাদের মধ্যে তিনটি দ্বিগুণ এবং প্রতিটি বিন্দুর সাথে যুক্ত চিহ্নগুলি, পার্লস পলিটোপের গেল রেখাচিত্র গঠন করে। আর্নেস্ট স্টেনিৎজের স্টেনিৎজের উপপাদ্যের প্রমাণ ব্যবহার করে দেখানো যেতে পারে যে প্রতিটি ত্রিমাত্রিক পলিটোপ যুক্তিসঙ্গত স্থানাঙ্ক দিয়ে উপলব্ধি করা যেতে পারে, তবে এখন এটি জানা যায় যে চারটি মাত্রায় অযৌক্তিক পলিটোপ রয়েছে। যাইহোক, পার্লস পলিটোপের যে কোনও পরিচিত অযৌক্তিক পলিটোপের তুলনায় সবচেয়ে কম শীর্ষ রয়েছে। ইতিহাস এবং সম্পর্কিত কাজ দ্য পার্লস কনফিগারেশন 1960-এর দশকে মিশা পার্লস দ্বারা প্রবর্তিত হয়েছিল। এটি বিন্দু এবং রেখার অযৌক্তিক বিন্যাসের প্রথম পরিচিত উদাহরণ নয়। একটি 11-পয়েন্টের উদাহরণ বর্ণনা করে, যা ভন স্টাউডের থ্রো বীজগণিত প্রয়োগ করে দুটির বর্গমূলের সাথে সম্পর্কিত একটি কনফিগারেশন তৈরি করে প্রাপ্ত। নিয়মিত প্রজেক্টিভ কনফিগারেশন অধ্যয়নের একটি দীর্ঘ ইতিহাস রয়েছে, বিন্দু এবং রেখার সীমাবদ্ধ ব্যবস্থা যেখানে প্রতিটি বিন্দু সমানভাবে অনেকগুলি রেখা স্পর্শ করে এবং প্রতিটি রেখা সমানভাবে অনেকগুলি বিন্দু স্পর্শ করে। যাইহোক, এই বিন্যাসগুলির অনুরূপ নামকরণ করা সত্ত্বেও, পার্লের বিন্যাস নিয়মিত নয়ঃ এর বেশিরভাগ পয়েন্ট তিনটি লাইন স্পর্শ করে এবং এর বেশিরভাগ লাইন তিনটি পয়েন্ট স্পর্শ করে, তবে চার পয়েন্টের একটি লাইন এবং চার লাইনে একটি পয়েন্ট রয়েছে। এই ক্ষেত্রে এটি পাপ্পাস বিন্যাসের থেকে পৃথক, যার নয়টি পয়েন্ট এবং নয়টি লাইন রয়েছে, তবে প্রতিটি লাইনে তিনটি পয়েন্ট এবং প্রতিটি পয়েন্টের মধ্য দিয়ে তিনটি লাইন রয়েছে। তথ্যসূত্র কনফিগারেশন (জ্যামিতি) পলিহেড্রাল কম্বিনেটরিক্স