Posterior predictive distribution
বায়েসিয়ান পরিসংখ্যানে, পশ্চাৎ ভবিষ্যদ্বাণীমূলক বন্টন হল পর্যবেক্ষিত মানগুলির উপর শর্তসাপেক্ষ সম্ভাব্য অবলোকন করা মানগুলির বন্টন। এন. আই. আই. ডি-এর একটি সেট দেওয়া হয়েছে। পর্যবেক্ষণ, একটি প্যারামিটারের উপর নির্ভর করে এমন একটি বিতরণ থেকে একটি নতুন মান আঁকা হবে, যেখানে প্যারামিটার স্থান। এটি একটি একক সর্বোত্তম অনুমান করার জন্য লোভনীয় বলে মনে হতে পারে, তবে এটি সম্পর্কে অনিশ্চয়তাকে উপেক্ষা করে এবং যেহেতু অনিশ্চয়তার একটি উৎস উপেক্ষা করা হয়, ভবিষ্যদ্বাণীমূলক বিতরণ খুব সংকীর্ণ হবে। অন্যভাবে বললে, এর চরম মানগুলির ভবিষ্যদ্বাণীগুলির সম্ভাবনা কম থাকবে যদি তাদের পরবর্তী বন্টন দ্বারা প্রদত্ত পরামিতিগুলির অনিশ্চয়তার হিসাব করা হয়। একটি পশ্চাৎ ভবিষ্যদ্বাণীমূলক বিতরণ সম্পর্কে অনিশ্চয়তার জন্য দায়ী। সম্ভাব্য মানগুলির পশ্চাৎ বন্টন নির্ভর করেঃ এবং প্রদত্তের পশ্চাৎ ভবিষ্যদ্বাণীমূলক বন্টন প্রদত্ত বন্টনের উপর প্রদত্ত বন্টনের প্রান্তিককরণের মাধ্যমে গণনা করা হয়ঃ যেহেতু এটি সম্পর্কে অনিশ্চয়তার জন্য দায়ী, পশ্চাৎ ভবিষ্যদ্বাণীমূলক বন্টন সাধারণভাবে একটি ভবিষ্যদ্বাণীমূলক বন্টনের চেয়ে বিস্তৃত হবে যা একক সেরা অনুমানের সাথে যুক্ত। পূর্ববর্তী বনাম পরবর্তী ভবিষ্যদ্বাণীমূলক বন্টন বায়েসিয়ান প্রেক্ষাপটে পূর্ববর্তী ভবিষ্যদ্বাণীমূলক বন্টন হল একটি তথ্য বিন্দুর বন্টন যা তার পূর্ববর্তী বন্টনের তুলনায় প্রান্তিক। অর্থাৎ, যদি এবং, তাহলে পূর্ববর্তী ভবিষ্যদ্বাণীমূলক বন্টন হল সংশ্লিষ্ট বন্টন, যেখানে এটি পশ্চাদবর্তী ভবিষ্যদ্বাণীমূলক বন্টনের অনুরূপ, তবে প্রান্তিককরণ (বা সমতুল্য, প্রত্যাশা) পশ্চাদবর্তী বন্টনের পরিবর্তে পূর্ববর্তী বন্টনের সাপেক্ষে নেওয়া হয়। উপরন্তু, যদি পূর্ববর্তী বন্টনটি পূর্ববর্তী সংমিশ্রণ হয়, তবে পরবর্তী ভবিষ্যদ্বাণীমূলক বন্টন পূর্ববর্তী ভবিষ্যদ্বাণীমূলক বন্টনের মতো বন্টনের একই পরিবারের অন্তর্গত হবে। এটা সহজেই দেখা যায়। যদি পূর্ববর্তী বন্টনটি কনজুগেট হয়, তাহলে অর্থাৎ। পোস্টেরিয়র ডিস্ট্রিবিউশনটিও মূল প্যারামিটারের পরিবর্তে একটি ভিন্ন প্যারামিটারের সাথে সম্পর্কিত, সুতরাং, পোস্টেরিয়র প্রেডিকটিভ ডিস্ট্রিবিউশন পূর্ববর্তী প্রেডিকটিভ ডিস্ট্রিবিউশনের মতো একই ডিস্ট্রিবিউশন এইচ অনুসরণ করে, তবে পূর্ববর্তীগুলির জন্য প্রতিস্থাপিত হাইপারপ্যারামিটারগুলির পোস্টেরিয়র মানগুলির সাথে। পূর্ববর্তী ভবিষ্যদ্বাণীমূলক বন্টন একটি যৌগিক বন্টনের আকারে হয়, এবং প্রকৃতপক্ষে প্রায়শই একটি যৌগিক বন্টনের সংজ্ঞা দিতে ব্যবহৃত হয়, কারণ তথ্যের উপর নির্ভরতা এবং সংযোগের সমস্যার মতো কোনও জটিল কারণের অভাবের কারণে। উদাহরণস্বরূপ, ছাত্রের টি-ডিস্ট্রিবিউশনকে একটি স্বাভাবিক ডিস্ট্রিবিউশনের পূর্ববর্তী ভবিষ্যদ্বাণীমূলক বন্টন হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে যার মধ্যে পরিচিত গড় μ কিন্তু অজানা বৈকল্পিক σx2, হাইপারপ্যারামিটার ν এবং σ2 সহ σx2-এর উপর একটি কনজুগেট পূর্ববর্তী স্কেল-বিপরীত-চি-বর্গ বিতরণ স্থাপন করা হয়। ফলস্বরূপ যৌগিক বন্টন প্রকৃতপক্ষে একটি অ-মানক ছাত্রের টি-বন্টন, এবং এই বন্টনের দুটি সবচেয়ে সাধারণ পরামিতিগুলির মধ্যে একটি অনুসরণ করে। তারপর, সংশ্লিষ্ট পোস্টেরিয়র প্রেডিকটিভ ডিস্ট্রিবিউশন আবার স্টুডেন্টস টি হবে, পোস্টেরিয়র ডিস্ট্রিবিউশনে প্রদর্শিত আপডেটেড হাইপারপ্যারামিটারগুলিও সরাসরি পোস্টেরিয়র প্রেডিকটিভ ডিস্ট্রিবিউশনে উপস্থিত হবে। কিছু ক্ষেত্রে উপযুক্ত যৌগিক বন্টনকে একটি ভিন্ন পরামিতি ব্যবহার করে সংজ্ঞায়িত করা হয় যা বর্তমান সমস্যার ভবিষ্যদ্বাণীমূলক বন্টনের জন্য সবচেয়ে স্বাভাবিক হবে। প্রায়শই এই ফলাফল হয় কারণ যৌগিক বন্টন সংজ্ঞায়িত করতে ব্যবহৃত পূর্ববর্তী বন্টন বর্তমান সমস্যায় ব্যবহৃত বন্টনের থেকে আলাদা। উদাহরণস্বরূপ, উপরে উল্লিখিত হিসাবে, ছাত্রের টি-ডিস্ট্রিবিউশনকে বৈকল্পিকের উপর রাখা স্কেল-বিপরীত-চি-বর্গ বিতরণের পরিপ্রেক্ষিতে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছিল। যাইহোক, এই পরিস্থিতিতে পূর্বে কনজুগেট হিসাবে একটি বিপরীত গামা বিতরণ ব্যবহার করা বেশি সাধারণ। প্যারামিটারাইজেশন ব্যতীত দুটি আসলে সমতুল্য; অতএব, শিক্ষার্থীর টি-ডিস্ট্রিবিউশন এখনও ভবিষ্যদ্বাণীমূলক বিতরণের জন্য ব্যবহার করা যেতে পারে, তবে হাইপারপ্যারামিটারগুলি প্লাগ ইন করার আগে অবশ্যই পুনরায় প্যারামিটারাইজ করা উচিত। সূচকীয় পরিবারগুলিতে বেশিরভাগ, তবে সমস্ত নয়, বিতরণের সাধারণ পরিবারগুলি সূচকীয় পরিবার। এক্সপোনেনশিয়াল পরিবারগুলির প্রচুর সংখ্যক দরকারী বৈশিষ্ট্য রয়েছে। এর মধ্যে একটি হল যে সমস্ত সদস্যের পূর্ববর্তী সংযুগ্ম বিতরণ রয়েছে-যেখানে অন্যান্য খুব কম বিতরণের সংযুগ্ম অগ্রাধিকার রয়েছে। সূচকীয় পরিবারে পূর্ববর্তী ভবিষ্যদ্বাণীমূলক বন্টন আরেকটি দরকারী বৈশিষ্ট্য হল যে যৌগিক বন্টনের সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন তার সংযুক্ত পূর্ববর্তী বন্টনের উপর প্রান্তিক একটি সূচকীয় পারিবারিক বন্টনের পূর্ববর্তী ভবিষ্যদ্বাণীমূলক বন্টনের সাথে সম্পর্কিত বিশ্লেষণাত্মকভাবে নির্ধারণ করা যেতে পারে। ধরে নিন যে এটি প্রাকৃতিক প্যারামিটার অনুসারে প্যারামিটার সহ এক্সপোনেনশিয়াল পরিবারের সদস্য, এবং আগে উপযুক্ত কনজুগেট হিসাবে বিতরণ করা হয়, তারপর পূর্ববর্তী ভবিষ্যদ্বাণীমূলক বিতরণ (এর সাথে যৌগের ফলাফল) হল পূর্ববর্তীটি থেকে অনুসরণ করে স্বীকৃতি দিয়ে যে ইন্টিগ্রালের অভ্যন্তরে ফাংশনটি একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের ঘনত্ব ফাংশন হিসাবে বিতরণ করা হয়েছে, স্বাভাবিককরণ ফাংশন বাদে। সুতরাং ইন্টিগ্রেশনের ফলাফল হবে স্বাভাবিককরণ ফাংশনের পারস্পরিক। উপরের ফলাফলটি প্যারামিট্রাইজেশনের পছন্দ থেকে স্বাধীন, যেমন কোনওটিই নয় এবং প্রদর্শিত হয়। (প্যারামিটারের একটি ফাংশন এবং তাই প্যারামিট্রাইজেশনের পছন্দের উপর নির্ভর করে বিভিন্ন রূপ ধারণ করবে।) এবং-এর মানক পছন্দগুলির জন্য, প্রাকৃতিক পরামিতিগুলির পরিপ্রেক্ষিতে পুনর্লিখন করার পরিবর্তে স্বাভাবিক পরামিতিগুলির সাথে সরাসরি কাজ করা প্রায়শই সহজ। ইন্টিগ্রালটি ট্র্যাক্টেবল হওয়ার কারণ হল এটি একটি পূর্ববর্তী বন্টন এবং একটি সম্ভাবনার গুণফল দ্বারা সংজ্ঞায়িত ঘনত্বের স্বাভাবিককরণ ধ্রুবক গণনা করে। যখন দুটি সংযুক্ত হয়, তখন পণ্যটি একটি পশ্চাৎ বন্টন হয় এবং অনুমান দ্বারা, এই বন্টনের স্বাভাবিককরণ ধ্রুবক জানা যায়। উপরে যেমন দেখানো হয়েছে, যৌগ বন্টনের ঘনত্ব ফাংশন একটি নির্দিষ্ট রূপ অনুসরণ করে, যা ঘনত্ব ফাংশনের অংশ গঠন করে এমন ফাংশনের গুণফল নিয়ে গঠিত, যার জন্য স্বাভাবিককরণের দুটি রূপের "ধ্রুবক" এর ভাগফল সহ, একটি পূর্ববর্তী বন্টন থেকে উদ্ভূত এবং অন্যটি পশ্চাৎ বন্টন থেকে। বিটা-দ্বিপদী বণ্টন এই প্রক্রিয়াটি কিভাবে কাজ করে তার একটি ভাল উদাহরণ। এই ধরনের বিতরণগুলির বিশ্লেষণাত্মক ট্র্যাক্টেবিলিটি সত্ত্বেও, তারা সাধারণত এক্সপোনেনশিয়াল পরিবারের সদস্য নয়। উদাহরণস্বরূপ, তিন-পরামিতি স্টুডেন্টস টি ডিস্ট্রিবিউশন, বিটা-দ্বিপদী ডিস্ট্রিবিউশন এবং ডিরিচলেট-মাল্টিনোমিয়াল ডিস্ট্রিবিউশন হল এক্সপোনেনশিয়াল-পারিবারিক ডিস্ট্রিবিউশনের (স্বাভাবিক ডিস্ট্রিবিউশন, দ্বিপদী ডিস্ট্রিবিউশন এবং মাল্টিনোমিয়াল ডিস্ট্রিবিউশন, যথাক্রমে) ভবিষ্যদ্বাণীমূলক ডিস্ট্রিবিউশন, কিন্তু কোনটিই এক্সপোনেনশিয়াল পরিবারের সদস্য নয়। কার্যকরী নির্ভরতার উপস্থিতির কারণে এটি উপরে দেখা যেতে পারে। এক্সপোনেনশিয়াল-ফ্যামিলি ডিস্ট্রিবিউশনে, সমগ্র ঘনত্ব ফাংশনকে অবশ্যই তিন ধরনের গুণনীয়ক ফ্যাক্টরের মধ্যে আলাদা করা সম্ভবঃ (1) শুধুমাত্র ভেরিয়েবলযুক্ত ফ্যাক্টর, (2) শুধুমাত্র প্যারামিটারযুক্ত ফ্যাক্টর এবং (3) ফ্যাক্টর যার লগারিদম ভেরিয়েবল এবং প্যারামিটারগুলির মধ্যে ফ্যাক্টরাইজ করে। এর উপস্থিতি এটিকে অসম্ভব করে তোলে যদি না "স্বাভাবিককরণ" ফাংশনটি সংশ্লিষ্ট যুক্তিটিকে সম্পূর্ণরূপে উপেক্ষা করে বা এটি শুধুমাত্র একটি অভিব্যক্তিটির সূচকে ব্যবহার করে। সূচকীয় পরিবারগুলিতে পরবর্তী ভবিষ্যদ্বাণীমূলক বন্টন যখন একটি পূর্ববর্তী সংমিশ্রণ ব্যবহার করা হচ্ছে, তখন পরবর্তী ভবিষ্যদ্বাণীমূলক বন্টন পূর্ববর্তী ভবিষ্যদ্বাণীমূলক বন্টনের মতো একই পরিবারের অন্তর্গত, এবং পূর্ববর্তী ভবিষ্যদ্বাণীমূলক বন্টনের সূত্রে পরামিতি (গুলি)-এর পরবর্তী বন্টনের জন্য হালনাগাদ হাইপারপ্যারামিটারগুলি প্লাগ করে কেবল নির্ধারিত হয়। এক্সপোনেনশিয়াল-ফ্যামিলি ডিস্ট্রিবিউশনের জন্য পোস্টেরিয়র আপডেট সমীকরণের সাধারণ রূপ ব্যবহার করে (এক্সপোনেনশিয়াল পারিবারিক নিবন্ধে উপযুক্ত বিভাগটি দেখুন), আমরা পোস্টেরিয়র প্রেডিকটিভ ডিস্ট্রিবিউশনের জন্য একটি স্পষ্ট সূত্র লিখতে পারিঃ যেখানে এটি দেখায় যে পর্যবেক্ষণগুলির একটি সিরিজের পোস্টেরিয়র প্রেডিকটিভ ডিস্ট্রিবিউশন, যেখানে পর্যবেক্ষণগুলি আগে উপযুক্ত কনজুগেট সহ একটি এক্সপোনেনশিয়াল পরিবার অনুসরণ করে, তার যৌগের বিতরণের মতো একই সম্ভাব্যতা ঘনত্ব রয়েছে, উপরে উল্লিখিত পরামিতি সহ। পর্যবেক্ষণগুলি কেবলমাত্র আকারে প্রবেশ করে এটিকে পর্যবেক্ষণগুলির পর্যাপ্ত পরিসংখ্যান বলা হয়, কারণ এটি আমাদের পর্যবেক্ষণগুলি সম্পর্কে তাদের উপর ভিত্তি করে একটি পশ্চাৎ বা পশ্চাৎ ভবিষ্যদ্বাণীমূলক বিতরণ গণনা করার জন্য আমাদের যা জানা দরকার তা বলে (বা, সেই ক্ষেত্রে, পর্যবেক্ষণের সম্ভাবনার উপর ভিত্তি করে অন্য কিছু, যেমন প্রান্তিক সম্ভাবনা)। যৌথ ভবিষ্যদ্বাণীমূলক বন্টন, প্রান্তিক সম্ভাবনা একটি ভাগ করা পরামিতিগুলির উপর পূর্ববর্তী বন্টনের সাথে একটি নির্দিষ্ট সংখ্যক স্বাধীন অভিন্নভাবে বিতরণ করা নমুনার উপর একটি যৌথ বন্টনের ফলাফল বিবেচনা করাও সম্ভব। বায়েসিয়ান পরিবেশে, এটি বিভিন্ন প্রসঙ্গে আসেঃ একাধিক নতুন পর্যবেক্ষণের পূর্ববর্তী বা পরবর্তী ভবিষ্যদ্বাণীমূলক বিতরণ গণনা করা, এবং পর্যবেক্ষিত তথ্যের প্রান্তিক সম্ভাবনা গণনা করা (বায়েসের আইনের বিভাজক)। যখন নমুনাগুলির বন্টন সূচকীয় পরিবার থেকে হয় এবং পূর্ববর্তী বন্টনটি সংযুক্ত হয়, তখন ফলস্বরূপ যৌগিক বন্টন ট্র্যাক্টেবল হবে এবং উপরের অভিব্যক্তিটির অনুরূপ রূপ অনুসরণ করবে। প্রকৃতপক্ষে, এটা দেখানো সহজ যে পর্যবেক্ষণের জন্য একটি সেটের যৌথ যৌগ বন্টন হল এই ফলাফল এবং একটি একক যৌগ বন্টনের জন্য উপরের ফলাফলটি একটি ভেক্টর-মূল্যবান পর্যবেক্ষণের উপর বন্টনের ক্ষেত্রে তুচ্ছভাবে প্রসারিত হয়, যেমন একটি মাল্টিভ্যারিয়েট গাউসিয়ান বন্টন। গিবস স্যাম্পলিংয়ের সাথে সম্পর্ক একটি ধসে পড়া গিবস স্যাম্পলারে একটি নোড ভেঙে ফেলা যৌগিককরণের সমতুল্য। ফলস্বরূপ, যখন স্বাধীন একটি সেট অভিন্নভাবে বিতরণ করা হয় (অর্থাৎ) সমস্ত নোড একই পূর্ববর্তী নোডের উপর নির্ভর করে, এবং সেই নোডটি ভেঙে যায়, ফলস্বরূপ একটি নোডের শর্তাধীন সম্ভাবনা অন্যদের পাশাপাশি ধসে পড়া নোডের পিতামাতাদের দেওয়া হয় (তবে অন্য কোনও নোডের উপর কন্ডিশনার নয়, উদাহরণস্বরূপ। যে কোনও চাইল্ড নোড) বাকি সমস্ত অর্থাৎ ডি-এর পশ্চাৎ ভবিষ্যদ্বাণীমূলক বিতরণের মতোই। নোড (বা আরও সঠিকভাবে, পূর্বে অর্থাৎ। নোডগুলি, যেহেতু ভেঙে যাওয়া নোডগুলির মধ্যে নির্ভরতা প্রবর্তন করে)। অর্থাৎ, নোডের সমস্ত পিতামাতাকে সরাসরি সমস্ত সন্তানের সাথে সংযুক্ত করে এবং প্রতিটি সন্তানের সাথে সম্পর্কিত পূর্বের শর্তাধীন সম্ভাব্যতা বিতরণকে তার পিতামাতার উপর শর্তযুক্ত সন্তানের জন্য সংশ্লিষ্ট পশ্চাৎ ভবিষ্যদ্বাণীমূলক বিতরণের সাথে প্রতিস্থাপন করে একটি নোড থেকে ভেঙে যাওয়া বাস্তবায়ন করা সাধারণত সম্ভব। যে নোডগুলিও অপসারিত নোডের সন্তান ছিল। উদাহরণস্বরূপ, আরও সুনির্দিষ্ট আলোচনার জন্য এবং কিছু জটিল বিষয় সম্পর্কে কিছু সতর্কতার জন্য, ডিরিচলেট-মাল্টিনোমিয়াল ডিস্ট্রিবিউশন নিবন্ধটি দেখুন। আরও দেখুন বিশ্বাসযোগ্যতা তত্ত্ব যৌগিক সম্ভাব্যতা বিতরণ পূর্বাভাস প্রান্তিক সম্ভাব্যতা রেফারেন্স সম্ভাব্যতা বিতরণের আরও পড়ার তত্ত্ব বায়েসিয়ান পরিসংখ্যান