Rayleigh–Plesset equation
তরল বলবিজ্ঞানে, রেলে-প্লেসেট সমীকরণ বা বেসান্ত-রেলে-প্লেসেট সমীকরণ হল একটি অরৈখিক সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ যা অসংকুচিত তরলের একটি অসীম বস্তুতে একটি গোলাকার বুদ্বুদের গতিবিদ্যা পরিচালনা করে। এর সাধারণ রূপটি সাধারণত এমনভাবে লেখা হয় যেখানে পার্শ্ববর্তী তরলের ঘনত্ব, বুদ্বুদের ব্যাসার্ধকে ধ্রুবক বলে ধরে নেওয়া হয় আশেপাশের তরলের গতিজ সান্দ্রতা, বুদ্বুদ-তরল ইন্টারফেসের পৃষ্ঠের টানকে ধ্রুবক বলে ধরে নেওয়া হয়, যেখানে বুদ্বুদের মধ্যে চাপ, অভিন্ন বলে ধরে নেওয়া হয় এবং বাহ্যিক চাপ বুদ্বুদ থেকে অসীম দূরে থাকে তবে শর্ত থাকে যে এটি জানা যায় এবং দেওয়া হয়, সময়-পরিবর্তিত বুদ্বুদ ব্যাসার্ধের জন্য সমাধান করতে রেলে-প্লেসেট সমীকরণ ব্যবহার করা যেতে পারে। রেলে-প্লেসেট সমীকরণটি গোলাকার প্রতিসাম্য অনুমানের অধীনে নেভিয়ার-স্টোকস সমীকরণ থেকে উদ্ভূত হয়েছে। পৃষ্ঠের টান এবং সান্দ্রতা উপেক্ষা করে, সমীকরণটি প্রথম ডাব্লু. এইচ. বেসান্ত তাঁর 1859 সালের বইয়ে সমস্যা বিবৃতি সহ উদ্ভূত করেছিলেন যে কোনও শক্তি দ্বারা চালিত সমজাতীয় অসংকুচিত তরলের একটি অসীম ভর বিশ্রাম নেয় না এবং তরলের একটি গোলাকার অংশ হঠাৎ ধ্বংস হয়ে যায়; ভরের যে কোনও বিন্দুতে চাপের তাৎক্ষণিক পরিবর্তন খুঁজে বের করা প্রয়োজন, এবং যে সময়ে গহ্বরটি পূরণ করা হবে, অসীম দূরত্বে চাপ স্থির থাকার কথা (আসলে, বেসান্ত সমস্যাটিকে 1847 সালের কেমব্রিজ সিনেট-হাউস সমস্যার জন্য দায়ী করেন)। বেসান্ত ভবিষ্যদ্বাণী করেছিলেন যে প্রাথমিক ব্যাসার্ধের একটি খালি গহ্বর পূরণ করার জন্য প্রয়োজনীয় সময় লর্ড রেলে শক্তি সংরক্ষণের উপর ভিত্তি করে একই ফলাফলের একটি সহজ ব্যুৎপত্তি খুঁজে পেয়েছেন। ইনরাশিং তরলের গতিশক্তি হল শূন্যের সময়-নির্ভর ব্যাসার্ধ এবং সেখানে তরলের রেডিয়াল বেগ। অসীমের দিকে চাপ দেওয়া তরল দ্বারা করা কাজটি হল, এবং এই দুটি শক্তিকে সমান করলে এবং এর মধ্যে একটি সম্পর্ক পাওয়া যায়। তারপর, লক্ষ্য করা যায় যে, চলকগুলির পৃথকীকরণ বেসান্তের ফলাফল দেয়। গামা ফাংশনের পরিপ্রেক্ষিতে অবিচ্ছেদ্য (অয়লারের বিটা ফাংশন) মূল্যায়নের ক্ষেত্রে রেলে বেসান্তের চেয়ে আরও এগিয়ে গিয়েছিলেন। রেলে গ্যাসকে সংকুচিত করার কাজের জন্য একটি শব্দ অন্তর্ভুক্ত করে একটি আদর্শ গ্যাস (একটি বুদ্বুদ) দিয়ে ভরা গহ্বরের ক্ষেত্রে এই পদ্ধতির অভিযোজন করেছিলেন। নিখুঁত খালি শূন্যতার ক্ষেত্রে, রেলে নির্ধারণ করেছিলেন যে ব্যাসার্ধে তরলের চাপ দ্বারা দেওয়া হয়। শূন্যস্থানটি যখন তার প্রাথমিক আয়তনের কমপক্ষে এক চতুর্থাংশ হয়, তখন চাপটি একঘেয়েভাবে অসীম থেকে শূন্যে নেমে আসে। শূন্যস্থানটি আরও সঙ্কুচিত হওয়ার সাথে সাথে সর্বাধিক চাপ, যা খুব দ্রুত বৃদ্ধি এবং শূন্যস্থানে একত্রিত হওয়ার চেয়ে বেশি বলে মনে হয়। 1949 সালে মিল্টন এস প্লেসেট দ্বারা পৃষ্ঠের উত্তেজনার প্রভাবগুলি অন্তর্ভুক্ত করে এই সমীকরণটি প্রথম ভ্রমণকারী ক্যাভিটেশন বুদ্বুদের ক্ষেত্রে প্রয়োগ করা হয়েছিল। উৎপত্তি রেলে-প্লেসেট সমীকরণটি গতিশীল পরামিতি হিসাবে বুদ্বুদ ব্যাসার্ধ ব্যবহার করে সম্পূর্ণরূপে প্রথম নীতিগুলি থেকে উদ্ভূত করা যেতে পারে। সময়-নির্ভর ব্যাসার্ধ সহ একটি গোলাকার বুদ্বুদ বিবেচনা করুন, যেখানে সময়। ধরে নিন যে বুদ্বুদে একটি অভিন্ন তাপমাত্রা এবং চাপ সহ একটি সমজাতীয়ভাবে বিতরণকৃত বাষ্প/গ্যাস রয়েছে। বুদ্বুদের বাইরে স্থির ঘনত্ব এবং গতিশীল সান্দ্রতা সহ তরলের একটি অসীম ক্ষেত্র রয়েছে। তাপমাত্রা এবং চাপ বুদ্বুদ থেকে দূরে এবং হতে দিন। তাপমাত্রা স্থির বলে মনে করা হয়। বুদ্বুদের কেন্দ্র থেকে একটি রেডিয়াল দূরত্বে, বিভিন্ন তরল বৈশিষ্ট্য হল চাপ, তাপমাত্রা এবং রেডিয়াল বহির্মুখী বেগ। লক্ষ্য করুন যে এই তরল বৈশিষ্ট্যগুলি শুধুমাত্র বুদ্বুদের বাইরে সংজ্ঞায়িত করা হয়। ভর সংরক্ষণ ভর সংরক্ষণের মাধ্যমে, বিপরীত-বর্গ আইনের জন্য প্রয়োজন যে রেডিয়াল বহির্মুখী বেগ অবশ্যই উৎপত্তিস্থল (বুদ্বুদের কেন্দ্র) থেকে দূরত্বের বর্গক্ষেত্রের বিপরীত আনুপাতিক হতে হবে। অতএব, সময়ের কিছু ফাংশন হতে দিন, বুদ্বুদ পৃষ্ঠ জুড়ে শূন্য ভর পরিবহনের ক্ষেত্রে, ইন্টারফেসের বেগ অবশ্যই এমন হতে হবে যা দেয় যে যেখানে ভর পরিবহন ঘটে, বুদ্বুদের অভ্যন্তরে ভর বৃদ্ধির হার বুদ্বুদের আয়তন হিসাবে দেওয়া হয়। যদি বুদ্বুদের আপেক্ষিক তরলের বেগ হয়, তবে বুদ্বুদে প্রবেশ করা ভর বুদ্বুদের পৃষ্ঠ এলাকা হিসাবে দেওয়া হয়। এখন ভর সংরক্ষণ দ্বারা, তাই। অতএব, অনেক ক্ষেত্রে, তরলের ঘনত্ব বাষ্পের ঘনত্বের তুলনায় অনেক বেশি, যাতে মূল শূন্য ভর স্থানান্তর ফর্ম দ্বারা আনুমানিক অনুমান করা যায়, যাতে গতিবেগ সংরক্ষণ তরলটি একটি নিউটনীয় তরল বলে ধরে নিলে, রেডিয়াল দিকে গতির জন্য গোলাকার স্থানাঙ্কে অসংকুচিত নেভিয়ার-স্টোকস সমীকরণটি পরিবর্তনশীল গতিজ সান্দ্রতা দেয় এবং পুনর্বিন্যাস দেয় যার মাধ্যমে ভর সংরক্ষণ ফলন থেকে প্রতিস্থাপন করা হয়। ভেরিয়েবলগুলি পৃথক করা এবং বুদ্বুদের সীমানা থেকে একত্রিত করা সীমানা শর্ত দেয় আসুন তরলের স্বাভাবিক চাপ যা বুদ্বুদের কেন্দ্র থেকে রেডিয়ালভাবে বাইরের দিকে নির্দেশ করে। গোলাকার স্থানাঙ্কে, ধ্রুবক ঘনত্ব এবং ধ্রুবক সান্দ্রতা সহ একটি তরলের জন্য, অতএব বুদ্বুদ পৃষ্ঠের কিছু ছোট অংশে, ল্যামিনাতে কাজ করা প্রতি একক অঞ্চলে মোট বল যেখানে পৃষ্ঠের টান হয়। যদি সীমানা জুড়ে কোনও ভর স্থানান্তর না হয়, তবে প্রতি একক ক্ষেত্রফলের এই বলটি অবশ্যই শূন্য হতে হবে, তাই গতিবেগ সংরক্ষণের ফলাফলটি হয়ে ওঠে যার মাধ্যমে পুনর্বিন্যাস এবং লেটিং রেলে-প্লেসেট সমীকরণ দেয় বিন্দু স্বরলিপি ব্যবহার করে সময়ের সাপেক্ষে ডেরিভেটিভগুলি উপস্থাপন করার জন্য, রেলে-প্লেসেট সমীকরণটিকে আরও সংক্ষিপ্তভাবে সমাধান হিসাবে লেখা যেতে পারে আরও সম্প্রতি, খালি এবং গ্যাস-ভরা বুদ্বুদ উভয়ের জন্য রেলে-প্লেসেট সমীকরণের জন্য বিশ্লেষণাত্মক বদ্ধ-ফর্ম সমাধান পাওয়া গেছে এবং এন-মাত্রিক ক্ষেত্রে সাধারণীকরণ করা হয়েছিল। ক্যাপিলারিটির প্রভাবের কারণে যখন পৃষ্ঠের টান উপস্থিত থাকে তখনও অধ্যয়ন করা হয়েছিল। এছাড়াও, বিশেষ ক্ষেত্রে যেখানে পৃষ্ঠের টান এবং সান্দ্রতা উপেক্ষা করা হয়, সেখানে উচ্চ-ক্রম বিশ্লেষণাত্মক আনুমানিকতাও জানা যায়। স্থির ক্ষেত্রে, রেলে-প্লেসেট সমীকরণ সহজতর হয়, যা ইয়াং-ল্যাপ্লাস সমীকরণ প্রদান করেঃ যখন বুদ্বুদ ব্যাসার্ধ এবং চাপের মধ্যে শুধুমাত্র অসীম পর্যায়ক্রমিক বৈচিত্র্য বিবেচনা করা হয়, তখন আরপি সমীকরণ বুদ্বুদ দোলনের প্রাকৃতিক কম্পাঙ্কের অভিব্যক্তিও প্রদান করে। তথ্যসূত্র তরল গতিবিদ্যা তরল গতিবিদ্যার সমীকরণ সাধারণ অবকল সমীকরণ