Folded Reed–Solomon code
কোডিং তত্ত্বে, ভাঁজ করা রিড-সলোমন কোডগুলি রিড-সলোমন কোডের মতো, যা কোডওয়ার্ড প্রতীকগুলির যত্ন সহকারে বান্ডিলিং করে একটি বৃহত্তর বর্ণমালার উপর রিড-সলোমন কোডওয়ার্ড ম্যাপিং করে প্রাপ্ত হয়। ভাঁজ করা রিড-সলোমন কোডগুলিও পারভরেশ-ভার্ডি কোডের একটি বিশেষ উদাহরণ। সর্বোত্তম পরামিতি ব্যবহার করে কেউ আর হার দিয়ে ডিকোড করতে পারে এবং 1-আর এর ডিকোডিং ব্যাসার্ধ অর্জন করতে পারে। "ভাঁজ করা রিড-সলোমন কোড" শব্দটি ভি. ওয়াই দ্বারা একটি কাগজে তৈরি করা হয়েছিল। ক্রাচকোভস্কি একটি অ্যালগরিদমের সাথে রিড-সলোমন কোডগুলি অনেক এলোমেলো "পর্যায়ক্রমে বিস্ফোরণ" ত্রুটির সাথে উপস্থাপন করেছিলেন। ভাঁজ করা আরএস কোডগুলির জন্য তালিকা-ডিকোডিং অ্যালগরিদম গুরুস্বামী-সুদান অ্যালগরিদম দ্বারা প্রাপ্ত রিড-সলোমন কোডগুলির সীমার বাইরে এই ধরনের পর্যায়ক্রমিক বিস্ফোরণ ত্রুটির জন্য সংশোধন করে। কোডিং তত্ত্বের চলমান চ্যালেঞ্জগুলির মধ্যে একটি হল ত্রুটি সংশোধন কোডগুলি (কোডিং) হার এবং ত্রুটি-সংশোধন ব্যাসার্ধের মধ্যে একটি সর্বোত্তম বিনিময় অর্জন করা। যদিও এটি ব্যবহারিকভাবে অর্জন করা সম্ভব নাও হতে পারে (নয়েজি চ্যানেল কোডিং থিওরি সমস্যার কারণে), তাত্ত্বিকভাবে আধা সর্বোত্তম ট্রেডঅফ অর্জন করা যেতে পারে। ভাঁজ করা রিড-সলোমন কোডগুলি তৈরি করার আগে, সমস্ত হারের জন্য রিড-সলোমন কোড দ্বারা সেরা ত্রুটি-সংশোধন ব্যাসার্ধ অর্জন করা হয়েছিল। পারভরেশ-ভার্ডি অ্যালগরিদমের জন্য ত্রুটির একটি ভগ্নাংশ ডিকোড করতে পারে এমন হারের জন্য পারভরেশ এবং ভার্ডি এই সীমার একটি উন্নতি অর্জন করেছিলেন। ভাঁজ করা রিড-সলোমন কোডগুলি এই পূর্ববর্তী নির্মাণগুলিতে উন্নতি করে এবং যে কোনও ধ্রুবকের জন্য ত্রুটির একটি ভগ্নাংশের জন্য বহুপদী সময়ে ডিকোড করা যেতে পারে। সংজ্ঞা দৈর্ঘ্য এবং মাত্রার একটি রিড-সলোমন কোড এবং একটি ভাঁজ করার পরামিতি বিবেচনা করুন। ধরে নিন যে এটি বিভক্ত করে। এই ধরনের রিড-সলোমন কোডের জন্য ম্যাপিংঃ যেখানে একটি আদিম উপাদান রয়েছে। রিড সলোমন কোডের ভাঁজ করা সংস্করণ, যা চিহ্নিত করা হয় ব্লক দৈর্ঘ্যের একটি কোড। আরএস কোডওয়ার্ডগুলি থেকে পরপর চিহ্ন সহ কেবল রিড সলোমন কোডগুলি একসাথে গোষ্ঠীভুক্ত করা হয়েছে। গ্রাফিক বর্ণনা উপরের সংজ্ঞাটি আবরণের মাধ্যমে আরও স্পষ্ট করা হয়েছে, যেখানে ভাঁজ করার পরামিতিটি কোথায়। বার্তাটি দ্বারা চিহ্নিত করা হয়, যা যখন রিড-সলোমন এনকোডিং ব্যবহার করে এনকোড করা হয়, তখন এট, হোয়ার এর মান নিয়ে গঠিত হয়। তারপর বর্ণমালার উপর দৈর্ঘ্যের একটি কোডওয়ার্ড দেওয়ার জন্য 3টি উপাদানের গ্রুপে বান্ডিলিং করা হয়। এখানে লক্ষ্য করার মতো একটি বিষয় হল যে প্রদর্শিত ভাঁজ করার ক্রিয়াটি মূল রিড-সলোমন কোডের হার পরিবর্তন করে না। এটি প্রমাণ করার জন্য, দৈর্ঘ্য, মাত্রা এবং দূরত্বের একটি রৈখিক কোড বিবেচনা করুন। ভাঁজ করার প্রক্রিয়াটি এটিকে একটি কোডে পরিণত করবে। এর মাধ্যমে হার একই থাকবে। ভাঁজ করা রিড-সলোমন কোড এবং সিঙ্গলটন আবদ্ধ সিঙ্গলটন আবদ্ধের অ্যাসিম্পটোটিক সংস্করণ অনুসারে, এটি জানা যায় যে একটি কোডের আপেক্ষিক দূরত্ব অবশ্যই কোডের হার কোথায় তা পূরণ করতে হবে। আগে যেমন প্রমাণিত হয়েছে, যেহেতু হার বজায় রাখা হয়, আপেক্ষিক দূরত্বও সিঙ্গলটন বাউন্ডের সাথে মিলিত হয়। ভাঁজ করা কেন সাহায্য করতে পারে? ভাঁজ করা রিড-সলোমন কোডগুলি মূলত রিড সলোমন কোডগুলির মতোই, যা কেবল একটি বৃহত্তর বর্ণমালায় দেখা যায়। এটি কীভাবে সাহায্য করতে পারে তা দেখানোর জন্য, একটি ভাঁজ করা রিড-সলোমন কোড বিবেচনা করুন। একটি রিড-সলোমন কোড ডিকোডিং এবং ত্রুটির একই ভগ্নাংশের জন্য ভাঁজ করা রিড-সলোমন কোড প্রায় একই গণনামূলক তীব্রতার কাজঃ কেউ ভাঁজ করা রিড-সলোমন কোডের প্রাপ্ত শব্দটি উন্মোচন করতে পারে, এটিকে মূল রিড-সলোমন কোডের প্রাপ্ত শব্দ হিসাবে বিবেচনা করতে পারে এবং এতে রিড-সলোমন তালিকা ডিকোডিং অ্যালগরিদম চালাতে পারে। স্পষ্টতই, এই তালিকায় প্রাপ্ত শব্দের দূরত্বের মধ্যে সমস্ত ভাঁজ করা রিড-সলোমন কোডওয়ার্ড থাকবে, কিছু অতিরিক্ত সহ, যা আমরা বাদ দিতে পারি। এছাড়াও, একটি ভাঁজ করা রিড-সলোমন কোড ডিকোড করা একটি সহজ কাজ। ধরুন আমরা ত্রুটির এক তৃতীয়াংশ সংশোধন করতে চাই। নির্বাচিত ডিকোডিং অ্যালগরিদমকে অবশ্যই একটি ত্রুটি প্যাটার্ন সংশোধন করতে হবে যা রিড-সলোমন এনকোডিংয়ের প্রতিটি তৃতীয় প্রতীককে সংশোধন করে। কিন্তু ভাঁজ করার পরে, এই ত্রুটি প্যাটার্নটি সমস্ত প্রতীককে নষ্ট করে দেবে এবং ত্রুটি সংশোধনের প্রয়োজনীয়তা দূর করবে। ত্রুটির এই বিস্তার গ্রাফিকাল বর্ণনায় নীল রঙ দ্বারা নির্দেশিত হয়। এটি প্রমাণ করে যে ত্রুটির একটি নির্দিষ্ট ভগ্নাংশের জন্য ভাঁজ করার ক্রিয়াটি ত্রুটিগুলি বিতরণ করার জন্য চ্যানেলের নমনীয়তা হ্রাস করে, যার ফলে ত্রুটির নিদর্শনগুলির সংখ্যা হ্রাস পায় যা সংশোধন করা প্রয়োজন। রিড-সলোমন (এফ. আর. এস) কোডগুলি এবং পারভরেশ ভার্ডি (পি. ভি) কোডগুলি কীভাবে ভাঁজ করা হয়েছে তা সম্পর্কিত আমরা ভাঁজ করা রিড সলোমন কোডগুলিকে পারভরেশ ভার্ডি কোডগুলির সাথে সম্পর্কিত করতে পারি যা পলিনোমিয়ালগুলির সাথে ডিগ্রির পলিনোমিয়ালকে এনকোড করে যেখানে একটি অপরিবর্তনীয় পলিনোমিয়াল রয়েছে। ইরেডিউসিবল পলিনোমিয়াল এবং প্যারামিটার নির্বাচন করার সময় আমাদের পরীক্ষা করা উচিত যে ডিগ্রির প্রতিটি পলিনোমিয়াল সর্বাধিক সন্তুষ্ট হয় কিনা কারণ এটি কেবল স্থানান্তরিত প্রতিরূপ যেখানে প্রিমিটিভ উপাদানটি রয়েছে। যদি আমরা ভাঁজ করা আরএস কোডটিকে মূল্যায়ন পয়েন্টের সেটের জন্য অর্ডার 2-এর পিভি কোডের সাথে তুলনা করি তবে আমরা দেখতে পাব যে পিভি এনকোডিংয়ে, প্রতিটি এবং প্রত্যেকের জন্য এবং এ প্রদর্শিত হয়, ভাঁজ করা এফআরএস এনকোডিংয়ের বিপরীতে যেখানে এটি কেবল একবার প্রদর্শিত হয়। সুতরাং, পিভি এবং ভাঁজ করা আরএস কোডগুলির একই তথ্য রয়েছে তবে শুধুমাত্র এফআরএসের হার একটি ফ্যাক্টর দ্বারা বড় এবং তাই তালিকা ডিকোডিং ব্যাসার্ধ ট্রেড-অফ কেবল পিভি কোডগুলির তালিকা ডিকোডেবিলিটি ব্যবহার করে ভাঁজ করা আরএস কোডের জন্য ভাল। এফ. আর. এস কোডটি এমনভাবে বেছে নেওয়ার ক্ষেত্রে প্লাস পয়েন্ট হল যে সেগুলি অনুরূপ পি. ভি কোডের তুলনায় ভাল হারের সাথে অনুরূপ ত্রুটি সংশোধন কর্মক্ষমতা সহ উপযুক্ত পি. ভি কোডের সংকুচিত রূপ। এই ধারণাটি ব্যবহার করে হারের একটি ভাঁজ করা আরএস কোড তৈরি করা যেতে পারে যা প্রায় ব্যাসার্ধ পর্যন্ত ডিকোডেবল। তালিকা-ডিকোডিং ভাঁজ করা রিড-সলোমন কোডগুলির সংক্ষিপ্ত বিবরণ গুরুস্বামী দ্বারা উপস্থাপিত একটি তালিকা ডিকোডিং অ্যালগরিদম যা ব্যাসার্ধ পর্যন্ত এফআরএস কোড ডিকোড করার জন্য দ্বিঘাত সময়ে চলে। অ্যালগরিদমটির মূলত তিনটি ধাপ রয়েছে যথা ইন্টারপোলেশন ধাপ যেখানে ওয়েল্চ বার্লেক্যাম্প শৈলীর ইন্টারপোলেশন অ-শূন্য বহুপদকে ইন্টারপোলেট করতে ব্যবহৃত হয় যার পরে ইন্টারপোলেশনে প্রাপ্ত সমীকরণকে সন্তুষ্ট করে এমন ডিগ্রি সহ সমস্ত বহুপদ পাওয়া যায়। তৃতীয় ধাপে নিকটবর্তী কোডওয়ার্ডগুলির প্রকৃত তালিকা সমাধানের সাবস্পেস ছাঁটাই করে জানা যায় যা সময় নেয়। রৈখিক-বীজগাণিতিক তালিকা ডিকোডিং অ্যালগরিদম গুরুস্বামী রৈখিক-বীজগণিতের উপর ভিত্তি করে একটি সময় তালিকা ডিকোডিং অ্যালগরিদম উপস্থাপন করেন, যা তালিকার আকারের সাথে ব্যাসার্ধ পর্যন্ত ভাঁজ করা রিড-সলোমন কোডকে ডিকোড করতে পারে। এই অ্যালগরিদমে তিনটি ধাপ রয়েছেঃ ইন্টারপোলেশন স্টেপ, রুট ফাইন্ডিং স্টেপ এবং প্রুন স্টেপ। ইন্টারপোলেশন ধাপে এটি একটি রৈখিক পদ্ধতি সমাধান করে প্রার্থী বার্তা বহুপদী খুঁজে বের করার চেষ্টা করবে। রুট ফাইন্ডিং ধাপে, এটি অন্য একটি রৈখিক সিস্টেম সমাধান করে সমাধানের সাবস্পেস খুঁজে বের করার চেষ্টা করবে। শেষ ধাপটি দ্বিতীয় ধাপে প্রাপ্ত সমাধানের সাবস্পেসটি ছাঁটাই করার চেষ্টা করবে। আমরা নিম্নলিখিত প্রতিটি ধাপে বিস্তারিতভাবে পরিচয় করিয়ে দেব। ধাপ 1: ইন্টারপোলেশন ধাপ এটি একটি ওয়েলচ-বার্লেক্যাম্প-শৈলীর ইন্টারপোলেশন (কারণ এটি ওয়েলচ-বার্লেক্যাম্প অ্যালগরিদমের উচ্চ-মাত্রিক সাধারণীকরণ হিসাবে দেখা যেতে পারে)। ধরুন আমরা-ভাঁজ করা রিড-সলোমন কোডের একটি কোডওয়ার্ড পেয়েছিলাম যা নীচে দেখানো হয়েছে আমরা একটি সাবধানে নির্বাচিত ডিগ্রি প্যারামিটার ব্যবহার করে অ-শূন্য বহুপদীকে ইন্টারপোলেট করি। সুতরাং ইন্টারপোলেশন প্রয়োজনীয়তা হবে তখন মনোমিয়ালের সংখ্যা হল কারণ ইন্টারপোলেশন অবস্থার সংখ্যার চেয়ে মনোমিয়ালের সংখ্যা বেশি। আমাদের নীচের লেম্মা লেমা 1 রয়েছে। উপরের ইন্টারপোলেশন শর্তটি সন্তুষ্ট করার জন্য সর্বাধিক সীমাবদ্ধতা এবং ভেরিয়েবল সহ একটি সমজাতীয় রৈখিক সিস্টেম সমাধান করা যেতে পারে। উপরন্তু এই ইন্টারপোলেশন অপারেশনগুলিতে সঞ্চালিত করা যেতে পারে। এই লেম্মা আমাদের দেখায় যে ইন্টারপোলেশন ধাপটি প্রায়-রৈখিক সময়ে করা যেতে পারে। আপাতত, আমরা মাল্টিভ্যারিয়েট পলিনোমিয়ালের জন্য প্রয়োজনীয় সমস্ত কিছু নিয়ে কথা বলেছি। বাকি কাজটি হল বার্তা পলিনোমিয়ালগুলিতে ফোকাস করা। লেম্মা 2। যদি একটি প্রার্থী বার্তা বহুপদী সর্বাধিক ডিগ্রির একটি বহুপদী হয় যার ভাঁজ করা রিড-সলোমন এনকোডিং কমপক্ষে কলামে প্রাপ্ত শব্দের সাথে একমত হয় তবে এখানে "সম্মত" মানে হল যে একটি কলামের সমস্ত মান কোডওয়ার্ডের সংশ্লিষ্ট মানগুলির সাথে মেলে। এই লেম্মাটি আমাদের দেখায় যে এই ধরনের যে কোনও বহুপদী একটি বীজগাণিতিক শর্ত উপস্থাপন করে যা অবশ্যই সেই বার্তা বহুপদীগুলির জন্য সন্তুষ্ট হতে হবে যা আমরা তালিকা ডিকোডিংয়ে আগ্রহী। আরও আমরা লক্ষ্য করি যে ভগ্নাংশ চুক্তি হল ধাপ 2: মূল-সন্ধানের ধাপ এই ধাপের সময়, আমাদের কাজটি কীভাবে সমস্ত বহুপদ খুঁজে বের করা যায় তার উপর দৃষ্টি নিবদ্ধ করে এবং ধাপ 1 থেকে আমরা যে সমীকরণটি পাই তা সন্তুষ্ট করে, অর্থাৎ যেহেতু উপরের সমীকরণটি বহুপদের সহগগুলির উপর একটি রৈখিক সিস্টেম সমীকরণ গঠন করে, তাই উপরের সমীকরণের সমাধানগুলি একটি অ্যাফিন সাবস্পেস। এই সত্যটি মূল বিষয় যা একটি দক্ষ অ্যালগরিদমের জন্ম দেয়-আমরা রৈখিক সিস্টেমটি সমাধান করতে পারি। সমাধানের মাত্রা কত বড় তা জিজ্ঞাসা করা স্বাভাবিক। মাত্রার উপর কি কোনও ঊর্ধ্বসীমা রয়েছে? একটি দক্ষ তালিকা ডিকোডিং অ্যালগরিদম তৈরিতে একটি আপার বাউন্ড থাকা খুব গুরুত্বপূর্ণ কারণ যে কোনও প্রদত্ত ডিকোডিং সমস্যার জন্য সমস্ত কোডওয়ার্ডগুলি সহজেই আউটপুট করা যায়। প্রকৃতপক্ষে এটির একটি উপরের সীমা রয়েছে যেমন নীচের লেম্মা যুক্তি দেয়। লেম্মা 3। যদি এর ক্রম অন্তত হয় (বিশেষ করে যখন আদিম হয়), তাহলে সমাধানের মাত্রা সর্বাধিক হয়। এই লেম্মা আমাদের সমাধান স্থানের জন্য মাত্রার উপরের সীমা দেখায়। পরিশেষে, উপরের বিশ্লেষণের উপর ভিত্তি করে, আমাদের নীচের উপপাদ্য উপপাদ্য 1 রয়েছে। ব্লক দৈর্ঘ্যের ভাঁজ করা রিড-সলোমন কোডের জন্য এবং সমস্ত পূর্ণসংখ্যার জন্য নিম্নলিখিত হোল্ডগুলি রেট করুন। একটি গৃহীত শব্দের পরিপ্রেক্ষিতে, সময়ের সাথে সাথে, সর্বাধিক মাত্রার একটি সাবস্পেসের জন্য একটি ভিত্তি খুঁজে পাওয়া যায় যাতে সমস্ত বার্তা বহুপদ থাকে যা ডিগ্রির চেয়ে কম যার এফআরএস এনকোডিং কোডওয়ার্ড অবস্থানের সর্বাধিক ভগ্নাংশের থেকে পৃথক হয়। যখন, আমরা লক্ষ্য করি যে এটি ত্রুটির একটি ভগ্নাংশ সহ একটি অনন্য ডিকোডিং অ্যালগরিদমে হ্রাস পায়। অন্য কথায়, আমরা অনন্য ডিকোডিং অ্যালগরিদমকে তালিকা ডিকোডিং অ্যালগরিদমের একটি বিশেষত্ব হিসাবে বিবেচনা করতে পারি। পরিমাণটি প্যারামিটার পছন্দগুলির জন্য যা একটি তালিকা ডিকোডিং ব্যাসার্ধ অর্জন করে। উপপাদ্য 1 আমাদের বলে যে ত্রুটির ব্যাসার্ধ ঠিক কতটা বড় হবে। এখন আমরা অবশেষে সাবস্পেস সমাধানটি পাই। তবে, একটি সমস্যা এখনও রয়ে গেছে। সবচেয়ে খারাপ ক্ষেত্রে তালিকার আকার হল। কিন্তু ক্লোজ-বাই কোডওয়ার্ডের প্রকৃত তালিকাটি সেই সাবস্পেসের মধ্যে একটি ছোট সেট মাত্র। সুতরাং সাবস্পেসটি সংকুচিত করার জন্য আমাদের কিছু প্রক্রিয়া প্রয়োজন। এই ছাঁটাই প্রক্রিয়াটি সবচেয়ে খারাপ ক্ষেত্রে সময় নেয়। দুর্ভাগ্যবশত এটি জানা যায় না কিভাবে চলমান সময় উন্নত করা যায় কারণ আমরা জানি না কিভাবে ভাঁজ করা রিড-সলোমন কোডের জন্য তালিকার আকারের সীমা উন্নত করা যায়। আমরা যদি বার্তা হিসাবে সমস্ত সম্ভাব্য ডিগ্রি পলিনোমিয়ালের একটি উপসেট সাবধানে বেছে নিয়ে কোড পরিবর্তন করি তবে জিনিসগুলি আরও ভাল হয়, তালিকার আকারটি অনেক ছোট দেখায় এবং হারটি সামান্য হ্রাস পায়। আমরা পরবর্তী ধাপে এই বিষয়ে সংক্ষেপে আলোচনা করব। ধাপ 3: ছাঁটাই ধাপ একটি ভাঁজ করা রিড-সলোমন কোডকে ডিকোডিং করার সমস্যাটিকে দুটি রৈখিক সিস্টেমে রূপান্তরিত করে, একটি রৈখিক সিস্টেম যা ইন্টারপোলেশন ধাপের জন্য ব্যবহৃত হয় এবং অন্য একটি রৈখিক সিস্টেম যা প্রার্থী সমাধান সাবস্পেস খুঁজে বের করার জন্য ব্যবহৃত হয়, ডিকোডিং সমস্যার জটিলতা সফলভাবে দ্বিঘাত হ্রাস পায়। তবে, সবচেয়ে খারাপ ক্ষেত্রে, আউটপুটের তালিকার আকারের সীমা বেশ খারাপ। দ্বিতীয় ধাপে উল্লেখ করা হয়েছে যে, যদি কেউ সাবধানে সমস্ত সম্ভাব্য ডিগ্রি পলিনোমিয়ালের একটি উপসেট বার্তা হিসাবে বেছে নেয়, তবে তালিকার আকার অনেক হ্রাস করা যেতে পারে। এখানে আমরা আমাদের আলোচনাকে সম্প্রসারিত করব। এই লক্ষ্য অর্জনের জন্য, ধারণাটি হল সহগ ভেক্টরকে একটি বিশেষ উপসেটে সীমাবদ্ধ করা, যা নীচের দুটি শর্ত পূরণ করেঃ শর্ত 1। সেটটি অবশ্যই যথেষ্ট বড় হতে হবে ()। এটি নিশ্চিত করার জন্য যে হারটি ফ্যাক্টর দ্বারা সর্বাধিক হ্রাস পাবে। শর্ত 2। সেটটির সন্তোষজনক মাত্রার যে কোনও সাবস্পেসের সাথে নিম্ন ছেদ হওয়া উচিত এবং এই ধরনের সাবসেটকে সাবস্পেস-ইভাসিভ সাবসেট বলা হয়। সবচেয়ে খারাপ ক্ষেত্রে তালিকার আকারের সীমা হল, এবং সাবস্পেস-ইভ্যাসিভ সাবসেট ব্যবহার করে এটিকে আপেক্ষিক ছোট বন্ধনে হ্রাস করা যেতে পারে। এই ধাপের সময়, যেহেতু এটি সমাধানের সাবস্পেসের প্রতিটি উপাদান পরীক্ষা করতে হয় যা আমরা ধাপ 2 থেকে পাই, এটি সবচেয়ে খারাপ ক্ষেত্রে সময় নেয় (সমাধানের সাবস্পেসের মাত্রা)। গুরুস্বামীর কাজের উপর ভিত্তি করে দ্বীর এবং লাভেট ফলাফলের উন্নতি করেন, যা তালিকার আকারকে একটি ধ্রুবক পর্যন্ত কমিয়ে আনতে পারে। এখানে শুধুমাত্র সেই ধারণাটি উপস্থাপন করা হয়েছে যা সমাধানের সাবস্পেস ছাঁটাই করতে ব্যবহৃত হয়। ছাঁটাই প্রক্রিয়ার বিশদ বিবরণের জন্য, অনুগ্রহ করে গুরুস্বামী, দ্বীর এবং লাভেটের গবেষণাপত্রগুলি দেখুন, যা রেফারেন্স-এ তালিকাভুক্ত রয়েছে। সারাংশ আমরা যদি 3য় ধাপটি বিবেচনা না করি, তবে এই অ্যালগরিদমটি দ্বিঘাত সময়ে চলতে পারে। এই অ্যালগরিদমের একটি সারসংক্ষেপ নীচে তালিকাভুক্ত করা হয়েছে। আরও দেখুন রিড-সলোমন ত্রুটি সংশোধন সিঙ্গলটন আবদ্ধ কোডিং তত্ত্ব তালিকা ডিকোডিং রেফারেন্স অত্রি রুদ্রের লেকচার নোটসঃ ভাঁজ করা রিড-সলোমন কোড অত্রি রুদ্রের লেকচার নোটসঃ বাউন্ড ভেঙ্কটেশন গুরুস্বামীর লেকচার নোটসঃ প্রাথমিক সীমা কোড ভেঙ্কটেশন গুরুস্বামীর লেকচার নোটঃ তালিকা ডিকোডিং ভাঁজ করা রিড-সলোমন কোডিং তত্ত্ব ত্রুটি সনাক্তকরণ এবং সংশোধন গণনামূলক জটিলতা তত্ত্ব