Catalan's triangle
সমন্বিত গণিতে, কাতালান ত্রিভুজ একটি সংখ্যা ত্রিভুজ যার এন্ট্রিগুলি n X এবং k Y এর সমন্বিত স্ট্রিংয়ের সংখ্যা এমনভাবে দেয় যে স্ট্রিংয়ের কোনও প্রাথমিক অংশে X এর চেয়ে বেশি Y থাকে না। এটি কাতালান সংখ্যার একটি সাধারণীকরণ এবং ইউজিন চার্লস কাতালান-এর নামে নামকরণ করা হয়েছে। বেইলি দেখায় যে নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্যগুলি সন্তুষ্ট করেঃ । । সূত্র 3 দেখায় যে ত্রিভুজের বাম এবং উপরের দিকে সংখ্যা যোগ করে ত্রিভুজের প্রবেশ পুনরাবৃত্তভাবে প্রাপ্ত হয়। 1800 সালে লুই ফ্রাঁসোয়া অ্যান্টোইন আরবোগাস্ট দ্বারা প্রকাশিত ক্যালকুলাস সম্পর্কিত গ্রন্থের 214 পৃষ্ঠায় পুনরাবৃত্তির সূত্র সহ কাতালান ত্রিভুজের প্রাচীনতম উপস্থিতি রয়েছে। শাপিরো আরেকটি ত্রিভুজ প্রবর্তন করেছেন যাকে তিনি কাতালান ত্রিভুজ বলে অভিহিত করেছেন যা এখানে আলোচিত ত্রিভুজ থেকে আলাদা। সাধারণ সূত্র এর জন্য সাধারণ সূত্রটি সো হোয়েন দ্বারা দেওয়া হয়, তির্যকটি হল-তম কাতালান সংখ্যা। হকি-স্টিক পরিচয় এবং কাতালান সংখ্যার বিকল্প অভিব্যক্তি ব্যবহার করে-তম সারির সারির যোগফল হল-তম কাতালান সংখ্যা। কিছু মান {। শ্রেণী = "উইকিটেবল" শৈলী = "টেক্সট-অ্যালাইনঃ ডান;"।-! দ্বারা দেওয়া হয়। ! প্রস্থ = "50"। 0! প্রস্থ = "50"। 1! প্রস্থ = "50"। 2! প্রস্থ = "50"। 3! প্রস্থ = "50"। 4! প্রস্থ = "50"। 5! প্রস্থ = "50"। 6! প্রস্থ = "50"। 7! প্রস্থ = "50"। 8।-! 0। 1।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।-! 1। 1।। 1।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।-! 2। 1।। 2।। 2।।।।।।।।।।।।।।।।।।-! 3। 1।। 3।। 5।।।।।।।।।।।।।।।।।-! 4। 1।। 4।। 9।। 14।।।।।।।।।।।।।।-! 5। 1।। 5।। 14।। 28।। 42।। 42।।।।।।।।-! 6। 1।। 6।। 20।। 48।। 90।। 132।। 132।।।।।-! 7। 1।। 7।। 27।। 75।। 165।। 297।। 429।। 429।।।-! 8। 1।। 8।। 35।। 110।। 275।। 572।। 1001।। 1430।। 1430।} বৈশিষ্ট্য সূত্র 3 প্রথম বিভাগ থেকে উভয়কেই প্রমাণ করতে ব্যবহার করা যেতে পারে অর্থাৎ, একটি এন্ট্রি হল উপরের সারির আংশিক যোগফল এবং বাম দিকের কলামের আংশিক যোগফল (তির্যকের এন্ট্রি ব্যতীত)। যদি, তাহলে কিছু পর্যায়ে অবশ্যই এর চেয়ে বেশি 's' থাকতে হবে, তাই। - তম মানের একটি সমন্বিত ব্যাখ্যা হল সর্বাধিক অংশ সহ ঠিক অংশ সহ অ-হ্রাসকারী পার্টিশনের সংখ্যা যাতে প্রতিটি অংশ তার সূচকের চেয়ে কম বা সমান হয়। সুতরাং, উদাহরণস্বরূপ, গণনা সাধারণীকরণ কাতালানের ট্রাপেজয়েডগুলি সংখ্যার ট্রাপেজয়েডের একটি গণনাযোগ্য সেট যা কাতালানের ত্রিভুজকে সাধারণীকরণ করে। কাতালান ট্র্যাপিজয়েড অফ অর্ডার হল একটি সংখ্যা ট্রাপিজয়েড যার এন্ট্রিগুলি এক্স-এস এবং ওয়াই-এস সমন্বিত স্ট্রিংয়ের সংখ্যা এমনভাবে দেয় যে স্ট্রিংয়ের প্রতিটি প্রাথমিক অংশে ওয়াই-এস সংখ্যা এক্স-এস সংখ্যা বা তার বেশি অতিক্রম করে না। সংজ্ঞা অনুসারে, কাতালানের ট্র্যাপিজয়েড হল কাতালানের ত্রিভুজ, অর্থাৎ। কাতালান ট্র্যাপিজয়েড অর্ডারের কিছু মান {। শ্রেণী = "উইকিটেবল" শৈলী = "টেক্সট-অ্যালাইনঃ ডান;"।-! দ্বারা দেওয়া হয়। ! প্রস্থ = "50"। 0! প্রস্থ = "50"। 1! প্রস্থ = "50"। 2! প্রস্থ = "50"। 3! প্রস্থ = "50"। 4! প্রস্থ = "50"। 5! প্রস্থ = "50"। 6! প্রস্থ = "50"। 7! প্রস্থ = "50"। 8।-! 0। 1।। 1।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।-! 1। 1।। 2।। 2।।।।।।।।।।।।।।।।।।-! 2। 1।। 3।। 5।।।।।।।।।।।।।।।।।-! 3। 1।। 4।। 9।। 14।।।।।।।।।।।।।।-! 4। 1।। 5।। 14।। 28।। 42।। 42।।।।।।।।।-! 5। 1।। 6।। 20।। 48।। 90।। 132।। 132।।।।।-! 6। 1।। 7।। 27।। 75।। 165।। 297।। 429।। 429।।।-! 7। 1।। 8।। 35।। 110।। 275।। 572।। 1001।। 1430।। 1430। কাতালান ট্র্যাপিজয়েড অর্ডারের কিছু মান {। শ্রেণী = "উইকিবল" শৈলী = "টেক্সট-অ্যালাইনঃ ডান" দ্বারা দেওয়া হয়।-! ! প্রস্থ = "50"। 0! প্রস্থ = "50"। 1! প্রস্থ = "50"। 2! প্রস্থ = "50"। 3! প্রস্থ = "50"। 4! প্রস্থ = "50"। 5! প্রস্থ = "50"। 6! প্রস্থ = "50"। 7! প্রস্থ = "50"। 8! প্রস্থ = "50"। 9।-! 0। 1।। 1।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।-! 1। 1।। 2।। 3।।।।।।।।।।।।।।।।।।।-! 2। 1।। 3।। 6।। 9।।।।।।।।।।।।।।।-! 3। 1।। 4।। 10।। 19।। 28।। 28।।।।।।।।।।।।-! 4। 1।। 5।। 15।। 34।। 62।। 90।। 90।।।।।।।।-! 5। 1।। 6।। 21।। 55।। 117।। 207।। 297।।।।।।।।।-! 6। 1।। 7।। 28।। 83।। 200।। 407।। 704।। 1001।। 1001।।।-! 7। 1।। 8।। 36।। 119।। 319।। 726।। 1430।। 2431।। 3432।। 3432।} আবার, প্রতিটি উপাদান উপরের একটির এবং বাম দিকের একটির যোগফল। এর জন্য একটি সাধারণ সূত্র (,,) দ্বারা দেওয়া হয়। প্রুফ 1-এর সাধারণ সূত্রের প্রমাণ এই প্রমাণটিতে আন্দ্রে-এর প্রতিফলন পদ্ধতির একটি সম্প্রসারণ জড়িত যা কাতালান সংখ্যার জন্য দ্বিতীয় প্রমাণ হিসাবে বিভিন্ন তির্যকগুলিতে ব্যবহৃত হয়। নীচের চিত্রটি দেখায় যে কীভাবে নীচের বাম থেকে উপরের ডানদিকে প্রতিটি পথ যা সীমাবদ্ধতা অতিক্রম করে তা শেষ বিন্দুতে প্রতিফলিত হতে পারে। সীমাবদ্ধতা অতিক্রম না করা পথের সংখ্যা নির্ধারণের জন্য আমরা তিনটি ঘটনা বিবেচনা করিঃ (1) যখন সীমাবদ্ধতা অতিক্রম করা যায় না, তাই থেকে সমস্ত পথ বৈধ, অর্থাৎ। । (2) যখন এমন একটি পথ তৈরি করা অসম্ভব যা সীমাবদ্ধতা অতিক্রম করে না, অর্থাৎ। । (3) যখন, তখন 'লাল' পথের সংখ্যা বিয়োগ 'হলুদ' পথের সংখ্যা যা সীমাবদ্ধতা অতিক্রম করে, অর্থাৎ। । অতএব, পূর্ববর্তী বিভাগ "সাধারণীকরণ"-এর সূত্রে যেমন নির্দেশ করা হয়েছে, সেখান থেকে আসা পথের সংখ্যা সীমাবদ্ধতা অতিক্রম করে না। প্রমাণ 2 প্রথমত, আমরা দুটি অংশে বিভক্ত হয়ে পুনরাবৃত্তির সম্পর্কের বৈধতা নিশ্চিত করি, প্রথমটি এক্সওয়াই সংমিশ্রণের জন্য এক্স-এ শেষ হয় এবং দ্বিতীয়টি ওয়াই-তে শেষ হয়। তাই প্রথম গ্রুপের বৈধ সংমিশ্রণ রয়েছে এবং দ্বিতীয়টির রয়েছে। প্রমাণ 2 সমাধানটি যাচাই করে সম্পন্ন করা হয় যা পুনরাবৃত্তির সম্পর্ককে সন্তুষ্ট করে এবং এবং এর জন্য প্রাথমিক শর্তগুলি মেনে চলে। তথ্যসূত্র সংখ্যার ত্রিভুজ