Kansa method
কানসা পদ্ধতি হল একটি কম্পিউটার পদ্ধতি যা আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ সমাধান করতে ব্যবহৃত হয়। এর প্রধান সুবিধা হল এটি কম্পিউটারে বোঝা এবং প্রোগ্রাম করা খুব সহজ। এটি সীমাবদ্ধ উপাদান পদ্ধতির তুলনায় অনেক কম জটিল। আরেকটি সুবিধা হল এটি বহু পরিবর্তনশীল সমস্যার ক্ষেত্রে ভাল কাজ করে। 3 টিরও বেশি স্পেস ভেরিয়েবল এবং সময়ের সাথে কাজ করার সময় সীমাবদ্ধ উপাদান পদ্ধতিটি জটিল। কংস পদ্ধতিটি একটি বাস্কেটবল কোর্টের সাথে সাদৃশ্যের মাধ্যমে ব্যাখ্যা করা যেতে পারে যেখানে ছাদ জুড়ে অনেকগুলি আলোর বাল্ব ঝুলানো থাকে। আপনি প্রতিটি বাল্বের উজ্জ্বলতার জন্য সমাধান করেন যাতে প্রতিটি বাল্বের নীচে বাস্কেটবল কোর্টের মেঝেতে সরাসরি কাঙ্ক্ষিত আলোর তীব্রতা সেই সময়ে ডিফারেনশিয়াল সমীকরণটি সমাধান করে। সুতরাং বাস্কেটবল কোর্টের উপরে যদি 100টি বাল্ব ঝুলিয়ে রাখা থাকে, তবে বাস্কেটবল কোর্টের মেঝেতে যে কোনও সময়ে আলোর তীব্রতা হালকা তীব্রতার কাছে পৌঁছায় যা বাস্কেটবল কোর্টের মেঝেতে যে কোনও স্থানে পার্থক্য সমীকরণটি প্রায় সমাধান করে। একটি সাধারণ কম্পিউটার প্রোগ্রাম প্রতিটি বাল্বের উজ্জ্বলতার জন্য পুনরাবৃত্তির মাধ্যমে সমাধান করতে পারে, যা এই পদ্ধতিটিকে প্রোগ্রাম করা সহজ করে তোলে। এই পদ্ধতিতে ওজনযুক্ত অবশিষ্টাংশ (গ্যালারকিন), ইন্টিগ্রেশন বা উন্নত গণিতের প্রয়োজন হয় না। 1990-এর দশকের গোড়ার দিকে ই. জে. কংস রেডিয়াল বেসিস ফাংশন (আর. বি. এফ) প্রসারিত করার প্রথম প্রচেষ্টা করেছিলেন, যা তখন বিক্ষিপ্ত তথ্য প্রক্রিয়াকরণ এবং ফাংশন আনুমানিককরণে বেশ জনপ্রিয় ছিল, শক্তিশালী-ফর্ম সংযোগ গঠনে আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সমাধানে। তাঁর আরবিএফ কোলোকেশন পদ্ধতি সহজাতভাবে জালহীন, সহজে প্রোগ্রাম করা যায় এবং গাণিতিকভাবে শেখা খুব সহজ। শীঘ্রই, এই পদ্ধতিটি একাডেমিক সম্প্রদায়ের মধ্যে কংস পদ্ধতি হিসাবে পরিচিত হয়ে ওঠে। যেহেতু আরবিএফ মাত্রিকতা নির্বিশেষে এক-মাত্রিক ইউক্লিডীয় দূরত্ব পরিবর্তনশীল ব্যবহার করে, তাই কংস পদ্ধতিটি মাত্রিকতা এবং আগ্রহের সমস্যাগুলির জ্যামিতিক জটিলতা থেকে স্বাধীন। পদ্ধতিটি একটি ডোমেইন-টাইপ সংখ্যাসূচক কৌশল এই অর্থে যে সমস্যাটি কেবল সীমানার শর্ত পূরণের জন্য নয়, পরিচালনা সমীকরণ সন্তুষ্ট করার জন্য ডোমেনের অভ্যন্তরেও বিচ্ছিন্ন করা হয়। এর বিপরীতে, আরেকটি ধরনের আরবিএফ সংখ্যাসূচক পদ্ধতি রয়েছে, যাকে বলা হয় বাউন্ডারি-টাইপ আরবিএফ কোলোকেশন পদ্ধতি, যেমন মৌলিক সমাধানের পদ্ধতি, বাউন্ডারি নট পদ্ধতি, সিঙ্গুলার বাউন্ডারি পদ্ধতি, বাউন্ডারি কণা পদ্ধতি এবং নিয়মিত জালহীন পদ্ধতি, যেখানে বেসিস ফাংশন, যা কার্নেল ফাংশন নামেও পরিচিত, পরিচালনা সমীকরণকে সন্তুষ্ট করে এবং প্রায়শই মৌলিক সমাধান বা পরিচালনা সমীকরণের সাধারণ সমাধান হয়। ফলস্বরূপ, শুধুমাত্র সীমানা বিচ্যুতি প্রয়োজন। যেহেতু কংস পদ্ধতিতে আরবিএফ অপরিহার্যভাবে পরিচালনা সমীকরণকে সন্তুষ্ট করে না, তাই একজনকে আরবিএফ বেছে নেওয়ার আরও বেশি স্বাধীনতা রয়েছে। কংস পদ্ধতিতে সবচেয়ে জনপ্রিয় আরবিএফ হল মাল্টিকুয়াড্রিক (এমকিউ), যা সাধারণত বর্ণালীগত নির্ভুলতা দেখায় যদি একটি উপযুক্ত আকৃতির পরামিতি বেছে নেওয়া হয়। বর্ণনা কংস পদ্ধতি, যাকে পরিবর্তিত এমকিউ স্কিম বা এমকিউ কোলোকেশন পদ্ধতিও বলা হয়, সুপরিচিত এমকিউ ইন্টারপোলেশন থেকে উদ্ভূত হয়েছিল। এই পদ্ধতির দক্ষতা এবং প্রয়োগযোগ্যতা বিভিন্ন সমস্যায় যাচাই করা হয়েছে। সীমানা-ধরনের আরবিএফ সংযোগ পদ্ধতির তুলনায়, কংস পদ্ধতির এমন সমস্যাগুলির ক্ষেত্রে ব্যাপক প্রয়োগযোগ্যতা রয়েছে যার মৌলিক এবং সাধারণ সমাধান উপলব্ধ নয়, যেমন, বিভিন্ন সহগ এবং অরৈখিক সমস্যা। ফর্মুলেশন ডি-ডাইমেনশনাল ফিজিক্যাল ডোমেইন এবং নিম্নলিখিত বাউন্ডারি ভ্যালু প্রবলেম (বি. ভি. পি) বিবেচনা করুন যেখানে এল একটি ডিফারেনশিয়াল অপারেটরকে উপস্থাপন করে এবং ডি হল সমস্যার মাত্রা, যথাক্রমে ডিরিচলেট এবং নিউম্যান সীমানা নির্দেশ করে এবং। কংস পদ্ধতিটি এই আকারে আরবিএফ-এর রৈখিক সংমিশ্রণ দ্বারা কাঙ্ক্ষিত ফাংশনকে আনুমানিক করেঃ কোথায় সহগ নির্ধারণ করা হবে, এমকিউ-এর মতো আরবিএফকে বোঝায়। সমাধানের স্বতন্ত্রতা নিশ্চিত করার জন্য, একটি বহুপদী শব্দ নিম্নরূপ যোগ করা যেতে পারেঃ বহুপদী কোথায়। আরবিএফ ইন্টারপোলেশন (4) এবং (5) উভয়ই প্রায়শই অনুশীলনে ব্যবহৃত হয়। গণিতবিদরা এর কঠোর এবং দৃঢ় তাত্ত্বিক ভিত্তির জন্য পরেরটিকে পছন্দ করেন, অন্যদিকে প্রকৌশল ব্যবহারকারীরা প্রায়শই প্রথমটিকে ব্যবহার করেন কারণ এটি সহজ এবং সহজ এবং বেশিরভাগ ক্ষেত্রেই সঠিক ফলাফল তৈরি করে। Eq প্রতিস্থাপন করা হচ্ছে। (4) অথবা (5) গুণিত Eqs। (1-3) ফলস্বরূপ বীজগাণিতিক সমীকরণ পদ্ধতি পাওয়া যায়ঃ যেখানে সম্প্রসারণ সহগগুলি মূল্যায়ন করার পরে, Eq থেকে কাঙ্ক্ষিত ফাংশন গণনা করা যেতে পারে। (4) বা (5)। ইতিহাস এবং সাম্প্রতিক উন্নয়ন পি. ডি. ই-এর সংখ্যাসূচক সমাধানগুলি সাধারণত সীমাবদ্ধ পার্থক্য পদ্ধতি (এফ. ডি. এম), সীমাবদ্ধ উপাদান পদ্ধতি (এফ. ই. এম) বা সীমানা উপাদান পদ্ধতির (বি. ই. এম) মাধ্যমে প্রাপ্ত হয়। এটি জানা যায় যে এফ. ডি. এম একটি অনিয়মিত ডোমেনের মডেল তৈরি করা কঠিন কারণ এটির জন্য সাধারণত একটি আয়তক্ষেত্রাকার গ্রিড সিস্টেমের প্রয়োজন হয়। যদিও এফইএম আরও নমনীয় কাঠামোকে সামঞ্জস্য করতে পারে, তবে মেশিং এবং রিমেশিং তুচ্ছ নয়। বিইএম কিছু প্রকৌশল সমস্যার একটি বিকল্প পদ্ধতি, যেমন বিপরীত, সীমাহীন ক্ষেত্র এবং পাতলা-প্রাচীর কাঠামোর সমস্যা। যাইহোক, এর প্রয়োগগুলি নিয়ন্ত্রক সমীকরণের মৌলিক সমাধানের প্রাপ্যতা দ্বারা মূলত সীমাবদ্ধ। সাম্প্রতিক কয়েক দশকে, "জালহীন" বা "উপাদান-মুক্ত" পদ্ধতিগুলি প্রচুর মনোযোগ আকর্ষণ করে। দৃশ্যের পিছনের চালিকা শক্তিটি হ 'ল জাল-ভিত্তিক পদ্ধতি যেমন স্ট্যান্ডার্ড এফইএম এবং বিইএম-এর জন্য উচ্চ-মাত্রিক, চলমান এবং জটিল-আকৃতির সীমানা সমস্যাগুলি পরিচালনা করতে নিষিদ্ধভাবে গণনামূলক প্রচেষ্টা প্রয়োজন। কংস পদ্ধতিটি জাল বা উপাদানগুলির প্রয়োজন ছাড়াই নোডগুলিতে সরাসরি আরবিএফগুলি, বিশেষত এমকিউগুলিকে একত্রিত করে এবং তাই এটি একটি সহজাতভাবে সত্যিকারের জালহীন পদ্ধতি। প্রচুর প্রচেষ্টা সত্ত্বেও, কংস পদ্ধতির সমাধানযোগ্যতার কঠোর গাণিতিক প্রমাণ এখনও অনুপস্থিত। উপরন্তু, মিশ্র সীমানা শর্তগুলি তার ইন্টারপোলেশন ম্যাট্রিক্সের প্রতিসাম্যকেও ধ্বংস করে দেয়। রেফারি। সমাধানযোগ্যতার সঠিক গাণিতিক বিশ্লেষণ সহ প্রতিসম হারমাইট আর. বি. এফ কোলোকেশন স্কিমের প্রস্তাব দিন। তবে, কংস পদ্ধতি এবং প্রতিসম হারমাইট পদ্ধতিতে একটি সাধারণ সমস্যা হল যে, সীমানা সংলগ্ন নোডগুলিতে সংখ্যাসূচক সমাধানগুলি কেন্দ্রীয় অঞ্চলের তুলনায় এক থেকে দুটি মাত্রায় হ্রাস পায়। সীমানায় পি. ডি. ই সংযোগ (পি. ডি. ই. সি. বি) কার্যকরভাবে এই ঘাটতি দূর করে। যাইহোক, এই কৌশলটির জন্য সীমানা সংলগ্ন ডোমেনের ভিতরে বা বাইরে নোডের একটি অতিরিক্ত সেট প্রয়োজন। এই অতিরিক্ত নোডগুলির নির্বিচারে স্থাপন জটিল এবং বহু-সংযুক্ত ডোমেন সমস্যার অনুকরণে সমস্যাযুক্ত সমস্যার জন্ম দেয়। পি. ডি. ই. সি. বি-রও স্পষ্ট তাত্ত্বিক অনুমোদনের অভাব রয়েছে। প্রকৃতপক্ষে, একটি অনুরূপ কৌশলও প্রস্তাব করা হয়েছে, যা একই সীমানা নোডে পরিচালনা এবং সীমানা সমীকরণ উভয়কেই একত্রিত করে। যাইহোক, পদ্ধতিটি অসমমিত এবং এখনও স্পষ্ট তাত্ত্বিক ভিত্তির অভাব রয়েছে। সবুজ দ্বিতীয় পরিচয় ব্যবহার করে, পূর্বোক্ত সমস্ত দুর্বলতা নিরাময়ের জন্য পরিবর্তিত কংস পদ্ধতি তৈরি করা হয়েছে। এমকিউ-এর জন্য, এর আকৃতি পরামিতি মূলত তার ইন্টারপোলেশন ত্রুটি নির্ধারণ করে। মাল্টিকুয়াড্রিক রেডিয়াল বেসিস ফাংশনের পরিবার সম্পর্কে বেশ কয়েকটি গাণিতিক তত্ত্ব রয়েছে এবং আকৃতি পরামিতি নির্বাচনের বিষয়ে কিছু পরামর্শ প্রদান করে। গণনামূলক বিজ্ঞানে কংস পদ্ধতি ব্যাপকভাবে প্রয়োগ করা হয়। প্যারাবলিক, হাইপারবোলিক এবং উপবৃত্তাকার আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলিকে সম্বোধন করার জন্য কংস পদ্ধতি ব্যবহার করা হয়। সম্প্রতি টিস্যু ইঞ্জিনিয়ারিং সমস্যার দ্বি-ফোকাস এবং ত্রি-ফোকাস মিশ্রণ মডেল, শক ওয়েভের সাথে 1ডি অরৈখিক বার্গারের সমীকরণ, জোয়ার এবং বর্তমান অনুকরণের জন্য অগভীর জলের সমীকরণ, তাপ স্থানান্তর সমস্যা, মুক্ত সীমানা সমস্যা এবং ভগ্নাংশ বিস্তার সমীকরণ সহ বিভিন্ন সাধারণ এবং পিডিই-তে কংস পদ্ধতি প্রসারিত করা হয়েছে। আরও দেখুন রেডিয়াল বেসিস ফাংশন মৌলিক সমাধানের পদ্ধতি বাউন্ডারি নট পদ্ধতি বাউন্ডারি পার্টিকল পদ্ধতি সিঙ্গুলার বাউন্ডারি পদ্ধতি বাহ্যিক লিঙ্ক পরিবর্তিত কংস পদ্ধতি রেফারেন্স আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ