Probabilistic numerics
সম্ভাব্য সংখ্যাবিদ্যা হল গণনায় অনিশ্চয়তার ধারণাকে কেন্দ্র করে ফলিত গণিত, পরিসংখ্যান এবং মেশিন লার্নিংয়ের সংযোগস্থলে অধ্যয়নের একটি সক্রিয় ক্ষেত্র। সম্ভাবনাময় সংখ্যায়, সংখ্যাসূচক বিশ্লেষণের কাজগুলি যেমন একীকরণের জন্য সংখ্যাসূচক সমাধান খুঁজে বের করা, রৈখিক বীজগণিত, অপ্টিমাইজেশন এবং সিমুলেশন এবং ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলিকে পরিসংখ্যানগত, সম্ভাবনাময় বা বায়েসিয়ান অনুমানের সমস্যা হিসাবে দেখা হয়। একটি সংখ্যাসূচক পদ্ধতি হল একটি অ্যালগরিদম যা একটি গাণিতিক সমস্যার সমাধানকে আনুমানিক করে (নীচের উদাহরণগুলির মধ্যে সমীকরণের একটি রৈখিক ব্যবস্থার সমাধান, একটি অবিচ্ছেদের মান, একটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সমাধান, একটি মাল্টিভ্যারিয়েট ফাংশনের সর্বনিম্ন)। একটি সম্ভাব্য সংখ্যাসূচক অ্যালগরিদমে, আনুমানিক এই প্রক্রিয়াটিকে অনুমান, অনুমান বা শেখার একটি সমস্যা হিসাবে বিবেচনা করা হয় এবং সম্ভাব্য অনুমানের কাঠামোর মধ্যে উপলব্ধি করা হয় (প্রায়শই, তবে সর্বদা নয়, বায়েসিয়ান অনুমান)। আনুষ্ঠানিকভাবে, এর অর্থ হল পূর্ববর্তী বণ্টনের পরিপ্রেক্ষিতে গণনামূলক সমস্যার সেটআপ তৈরি করা, কম্পিউটার দ্বারা গণনা করা সংখ্যার মধ্যে সম্পর্ক তৈরি করা (যেমন। রৈখিক বীজগণিতে ম্যাট্রিক্স-ভেক্টর গুণন, অপ্টিমাইজেশনে গ্রেডিয়েন্ট, ইন্টিগ্র্যাণ্ডের মান বা ভেক্টর ক্ষেত্র একটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণকে সংজ্ঞায়িত করে) এবং একটি সম্ভাব্যতা ফাংশনে প্রশ্নযুক্ত পরিমাণ (রৈখিক সমস্যার সমাধান, ন্যূনতম, ইন্টিগ্রাল, সমাধান বক্ররেখা), এবং আউটপুট হিসাবে একটি পশ্চাদবর্তী বিতরণ ফিরিয়ে দেয়। বেশিরভাগ ক্ষেত্রে, সংখ্যাসূচক অ্যালগরিদমগুলি কোন সংখ্যা গণনা করতে হবে সে সম্পর্কে অভ্যন্তরীণ অভিযোজিত সিদ্ধান্তও নেয়, যা একটি সক্রিয় শেখার সমস্যা তৈরি করে। সর্বাধিক জনপ্রিয় ক্লাসিক সংখ্যাসূচক অ্যালগরিদমগুলির অনেকগুলি সম্ভাবনাময় কাঠামোতে পুনরায় ব্যাখ্যা করা যেতে পারে। এর মধ্যে রয়েছে কনজুগেট গ্রেডিয়েন্ট পদ্ধতি, নর্ডসিক পদ্ধতি, গাউসিয়ান চতুর্ভুজ নিয়ম এবং আধা-নিউটন পদ্ধতি। এই সমস্ত ক্ষেত্রে, ক্লাসিক পদ্ধতিটি একটি নিয়মিত ন্যূনতম-বর্গক্ষেত্র অনুমানের উপর ভিত্তি করে তৈরি করা হয় যা একটি গাউসিয়ান পূর্ব এবং সম্ভাবনা থেকে উদ্ভূত পশ্চাৎ গড়ের সাথে যুক্ত হতে পারে। এই ধরনের ক্ষেত্রে, গাউসিয়ান পোস্টেরিয়রের বৈচিত্র্য তখন বর্গাকার ত্রুটির জন্য সবচেয়ে খারাপ-কেস অনুমানের সাথে যুক্ত হয়। সম্ভাব্য সংখ্যাসূচক পদ্ধতিগুলি ক্লাসিক, পয়েন্ট-অনুমান ভিত্তিক আনুমানিক কৌশলগুলির তুলনায় বেশ কয়েকটি ধারণাগত সুবিধার প্রতিশ্রুতি দেয়ঃ তারা কাঠামোগত ত্রুটি অনুমানগুলি ফেরত দেয় (বিশেষত, যৌথ পশ্চাৎ নমুনাগুলি ফেরত দেওয়ার ক্ষমতা, অর্থাৎ। সমস্যার প্রকৃত অজানা সমাধানের জন্য একাধিক বাস্তবসম্মত অনুমান) হায়ারার্কিক্যাল বায়েসিয়ান অনুমান ব্যবহার করা যেতে পারে সাধারণ পদ্ধতিতে এই ধরনের পদ্ধতিতে অভ্যন্তরীণ হাইপারপ্যারামিটারগুলি সেট এবং নিয়ন্ত্রণ করতে, প্রতিটি প্যারামিটারের জন্য নতুন পদ্ধতিগুলি পুনরায় উদ্ভাবন করার পরিবর্তে, যেহেতু তারা গণনা করা সংখ্যা এবং লক্ষ্য পরিমাণের মধ্যে সম্পর্ক বর্ণনা করার একটি স্পষ্ট সম্ভাবনার জন্য ব্যবহার করে এবং অনুমতি দেয়, সম্ভাব্য সংখ্যাসূচক পদ্ধতিগুলি এমনকি অত্যন্ত অস্পষ্ট, পক্ষপাতদুষ্ট এবং স্টোকাস্টিক গণনার ফলাফলও ব্যবহার করতে পারে। বিপরীতভাবে, সম্ভাবনাময় সংখ্যাসূচক পদ্ধতিগুলি গণনার ক্ষেত্রেও একটি সম্ভাবনা প্রদান করতে পারে যা প্রায়শই অন্যত্র "সম্ভাবনা-মুক্ত" হিসাবে বিবেচিত হয় কারণ সমস্ত সম্ভাবনাময় সংখ্যাসূচক পদ্ধতিগুলি ইনপুট এবং আউটপুট উভয়ের উপর অনিশ্চয়তার পরিমাণ নির্ধারণের জন্য মূলত একই ডেটা টাইপ-সম্ভাব্যতা পরিমাপ ব্যবহার করে, বড় আকারের, যৌগিক গণনার মধ্যে অনিশ্চয়তা প্রচারের জন্য তাদের একসাথে শিকল দিয়ে বেঁধে রাখা যেতে পারে। বীজগাণিতিক, একটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের রূপ সম্পর্কে যান্ত্রিক জ্ঞান, এবং ভৌত জগতে সংগৃহীত সিস্টেমের গতিপথের পর্যবেক্ষণ) প্রাকৃতিকভাবে এবং অ্যালগরিদমের অভ্যন্তরীণ লুপের ভিতরে একত্রিত করা যেতে পারে, অন্যথায় গণনায় প্রয়োজনীয় নেস্টেড লুপগুলি সরিয়ে ফেলা যেতে পারে, যেমন। বিপরীত সমস্যা। এই সুবিধাগুলি মূলত একই ধরনের কার্যকরী সুবিধার সমতুল্য যা বায়েসিয়ান পদ্ধতিগুলি মেশিন লার্নিংয়ে পয়েন্ট-অনুমানের চেয়ে বেশি উপভোগ করে, প্রয়োগ করে বা গণনামূলক ডোমেনে স্থানান্তরিত হয়। সংখ্যাসূচক কাজ সংখ্যাসূচক সংহতকরণের সমস্যার জন্য সম্ভাব্য সংখ্যাসূচক পদ্ধতি তৈরি করা হয়েছে, যার মধ্যে সবচেয়ে জনপ্রিয় পদ্ধতিটি বায়েসিয়ান চতুর্ভুজ নামে পরিচিত। সংখ্যাসূচক ইন্টিগ্রেশনে, কিছু পরিমাপের বিপরীতে একটি ফাংশনের ইন্টিগ্রাল অনুমান করতে বেশ কয়েকটি পয়েন্টে ফাংশন মূল্যায়ন ব্যবহার করা হয়। বায়েসিয়ান চতুর্ভুজ একটি পূর্ববর্তী বন্টন নির্দিষ্ট করে এবং একটি পশ্চাদবর্তী বন্টন পাওয়ার জন্য এটি আগে কন্ডিশনিং করে, তারপর অন্তর্নিহিত পশ্চাদবর্তী বন্টন গণনা করে। পূর্বের সবচেয়ে সাধারণ পছন্দ হল একটি গাউসিয়ান প্রক্রিয়া কারণ এটি আমাদের ইন্টিগ্রালের উপর একটি বদ্ধ-ফর্ম পোস্টেরিয়র ডিস্ট্রিবিউশন পেতে দেয় যা একটি অভিন্ন গাউসিয়ান ডিস্ট্রিবিউশন। বায়েসিয়ান চতুর্ভুজ বিশেষভাবে কার্যকর হয় যখন ফাংশনটি মূল্যায়ন করা ব্যয়বহুল এবং তথ্যের মাত্রা ছোট থেকে মাঝারি হয়। গাণিতিক অপ্টিমাইজেশনের জন্য সম্ভাব্য সংখ্যাবিদ্যাও অধ্যয়ন করা হয়েছে, যা পয়েন্টের একটি সেটে সেই ফাংশনের প্রদত্ত (সম্ভবত কোলাহলপূর্ণ বা পরোক্ষ) মূল্যায়নের ন্যূনতম বা সর্বাধিক কিছু উদ্দেশ্যমূলক ফাংশন খুঁজে বের করার সমন্বয়ে গঠিত। সম্ভবত এই দিকের সবচেয়ে উল্লেখযোগ্য প্রচেষ্টা হল বায়েসিয়ান অপ্টিমাইজেশন, যা বায়েসিয়ান অনুমানের ভিত্তিতে অপ্টিমাইজেশনের একটি সাধারণ পদ্ধতি। বায়েসিয়ান অপ্টিমাইজেশন অ্যালগরিদমগুলি অপ্টিমাইজেশন প্রক্রিয়া জুড়ে একটি সম্ভাব্য বিশ্বাস বজায় রেখে কাজ করে; এটি প্রায়শই পর্যবেক্ষণের উপর পূর্বনির্ধারিত একটি গাউসিয়ান প্রক্রিয়ার রূপ নেয়। এই বিশ্বাস তখন পর্যবেক্ষণগুলি পেতে অ্যালগরিদমকে গাইড করে যা অপ্টিমাইজেশন প্রক্রিয়াটিকে এগিয়ে নিয়ে যেতে পারে। বায়েসিয়ান অপ্টিমাইজেশান নীতিগুলি সাধারণত উদ্দেশ্যমূলক ফাংশন পোস্টেরিয়রকে একটি সস্তা, ডিফারেনশিয়াল অ্যাকুইজিশন ফাংশনে রূপান্তরিত করে উপলব্ধি করা হয় যা প্রতিটি ধারাবাহিক পর্যবেক্ষণের অবস্থান নির্বাচন করার জন্য সর্বাধিক করা হয়। একটি বিশিষ্ট পদ্ধতি হল বায়েসিয়ান ক্রমিক পরীক্ষামূলক নকশার মাধ্যমে মডেল অপ্টিমাইজেশান, একটি উপযুক্ত ইউটিলিটি ফাংশন দ্বারা মূল্যায়ন হিসাবে সর্বাধিক অপ্টিমাইজেশান অগ্রগতি প্রদান করে পর্যবেক্ষণের একটি ক্রম প্রাপ্ত করার চেষ্টা করা। এই পদ্ধতির একটি স্বাগত পার্শ্বপ্রতিক্রিয়া হল যে, অন্তর্নিহিত সম্ভাবনাময় বিশ্বাস দ্বারা পরিমাপ করা উদ্দেশ্যমূলক ফাংশনে অনিশ্চয়তা, ক্লাসিক অন্বেষণ বনাম শোষণ বাণিজ্য মোকাবেলায় একটি অপ্টিমাইজেশন নীতি পরিচালনা করতে পারে। স্থানীয় অপ্টিমাইজেশান গভীর শিক্ষার জন্য স্টোকাস্টিক অপ্টিমাইজেশনের প্রেক্ষাপটে সম্ভাব্য সংখ্যাসূচক পদ্ধতিগুলি তৈরি করা হয়েছে, বিশেষত শেখার হার টিউনিং এবং লাইন অনুসন্ধান, ব্যাচ-আকার নির্বাচন, তাড়াতাড়ি থামানো, ছাঁটাই এবং প্রথম এবং দ্বিতীয়-ক্রম অনুসন্ধানের দিকনির্দেশনার মতো প্রধান সমস্যাগুলির সমাধানের জন্য। এই সেটিংসে, অপ্টিমাইজেশনের উদ্দেশ্য প্রায়শই একটি ডেটাসেট দ্বারা সংজ্ঞায়িত ফর্মের একটি অভিজ্ঞতাগত ঝুঁকি এবং একটি ক্ষতি যা পরিমাপ করে যে একটি ভবিষ্যদ্বাণীমূলক মডেল তার সংশ্লিষ্ট ইনপুট থেকে লক্ষ্যের পূর্বাভাস দেওয়ার ক্ষেত্রে কতটা ভাল কাজ করে। মহামারী সংক্রান্ত অনিশ্চয়তা দেখা দেয় যখন ডেটাসেটের আকার বড় হয় এবং একবারে প্রক্রিয়া করা যায় না যার অর্থ স্থানীয় পরিমাণ (কিছু দেওয়া) যেমন লস ফাংশন নিজেই বা এর গ্রেডিয়েন্ট যুক্তিসঙ্গত সময়ে গণনা করা যায় না। অতএব, সাধারণত তথ্যের একটি এলোমেলো উপসেটে এই পরিমাণগুলির প্রাক্কলনকারী তৈরি করতে মিনি-ব্যাচিং ব্যবহার করা হয়। সম্ভাব্য সংখ্যাসূচক পদ্ধতিগুলি স্পষ্টভাবে এই অনিশ্চয়তার মডেল তৈরি করে এবং স্বয়ংক্রিয় সিদ্ধান্ত এবং প্যারামিটার টিউনিংয়ের অনুমতি দেয়। রৈখিক বীজগণিতের সম্ভাব্য সংখ্যাসূচক পদ্ধতিগুলি প্রাথমিকভাবে রৈখিক সমীকরণের পদ্ধতিগুলি সমাধান এবং নির্ধারকগুলির গণনার উপর দৃষ্টি নিবদ্ধ করে। পদ্ধতিগুলির একটি বড় শ্রেণী প্রকৃতিতে পুনরাবৃত্তিমূলক এবং বিভিন্ন ভেক্টর সহ সিস্টেম ম্যাট্রিক্সের সাথে পুনরাবৃত্ত ম্যাট্রিক্স-ভেক্টর গুণনের মাধ্যমে সমাধান করার জন্য রৈখিক সিস্টেম সম্পর্কে তথ্য সংগ্রহ করে। এই ধরনের পদ্ধতিগুলিকে মোটামুটিভাবে একটি সমাধান-এবং একটি ম্যাট্রিক্স-ভিত্তিক পরিপ্রেক্ষিতে বিভক্ত করা যেতে পারে, যা নির্ভর করে যে বিশ্বাস রৈখিক ব্যবস্থার সমাধানের উপর বা ম্যাট্রিক্সের (ছদ্ম-) বিপরীতের উপর প্রকাশ করা হয় কিনা। বিশ্বাস আপডেট ব্যবহার করে যে অনুমিত বস্তুটি ম্যাট্রিক্স গুণনের সাথে বা এবং এর মাধ্যমে যুক্ত। পদ্ধতিগুলি সাধারণত সমস্যার রৈখিক পর্যবেক্ষণের অধীনে এর বদ্ধতার কারণে একটি গাউসিয়ান বন্টন ধরে নেয়। ধারণাগতভাবে ভিন্ন হলেও, এই দুটি দৃষ্টিভঙ্গি গণনামূলকভাবে সমতুল্য এবং সহজাতভাবে ডান দিক দিয়ে সংযুক্ত। গাউসীয় প্রক্রিয়াগুলিকে বড় ডেটাসেটগুলিতে স্কেল করার জন্য সম্ভাব্য সংখ্যাসূচক রৈখিক বীজগণিতের রুটিনগুলি সফলভাবে প্রয়োগ করা হয়েছে। বিশেষত, তারা একটি সম্মিলিত গাউসিয়ান প্রক্রিয়া পোস্টেরিয়র-এ আনুমানিক ত্রুটির সঠিক প্রচারকে সক্ষম করে, যা পর্যবেক্ষিত তথ্যের সীমাবদ্ধ সংখ্যা এবং ব্যয় করা গণনার সীমাবদ্ধ পরিমাণ উভয় থেকে উদ্ভূত অনিশ্চয়তার পরিমাণ নির্ধারণ করে। প্রাথমিক এবং সীমানা মান সমস্যার জন্য সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের জন্য সম্ভাব্য সংখ্যাসূচক পদ্ধতি তৈরি করা হয়েছে। সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের জন্য পরিকল্পিত বিভিন্ন সম্ভাব্য সংখ্যাসূচক পদ্ধতির প্রস্তাব করা হয়েছে এবং এগুলিকে বিস্তৃতভাবে নিম্নলিখিত দুটি বিভাগে বিভক্ত করা যেতে পারেঃ র্যান্ডমাইজেশন-ভিত্তিক পদ্ধতিগুলি সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের জন্য স্ট্যান্ডার্ড ডিটার্নিস্টিক সংখ্যাসূচক পদ্ধতির এলোমেলো বিশৃঙ্খলার মাধ্যমে সংজ্ঞায়িত করা হয়। উদাহরণস্বরূপ, এক-ধাপের ইন্টিগ্রেটরের সমাধানে গাউসিয়ান বিশৃঙ্খলা যোগ করে বা এলোমেলোভাবে তাদের সময়-ধাপে বিশৃঙ্খলা সৃষ্টি করে এটি অর্জন করা হয়েছে। এটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সমাধানের উপর একটি সম্ভাব্যতা পরিমাপকে সংজ্ঞায়িত করে যা নমুনা করা যেতে পারে। গাউসিয়ান প্রক্রিয়া রিগ্রেশন পদ্ধতিগুলি গাউসিয়ান প্রক্রিয়া রিগ্রেশন সমস্যা হিসাবে হাতে থাকা ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ সমাধানের সমস্যাটি উপস্থাপন করার উপর ভিত্তি করে, ডান দিকের মূল্যায়নকে ডেরিভেটিভের তথ্য হিসাবে ব্যাখ্যা করে। এই কৌশলগুলি বায়েসিয়ান ঘনত্বের অনুরূপ, তবে বিভিন্ন এবং প্রায়শই অ-রৈখিক পর্যবেক্ষণ মডেল নিয়োগ করে। শৈশবে, এই শ্রেণীর পদ্ধতিগুলি সরল গাউসিয়ান প্রক্রিয়া প্রতিগমনের উপর ভিত্তি করে তৈরি হয়েছিল। এটি পরে উন্নত করা হয়েছিল (দক্ষ গণনার পরিপ্রেক্ষিতে) স্টকাস্টিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ দ্বারা মডেল করা গাউসমার্কভ প্রাইয়ার্সের পক্ষে, যেখানে একটি-মাত্রিক ভেক্টর মডেলিং প্রথম ডেরিভেটিভ, এবং যেখানে একটি-মাত্রিক ব্রাউনিয়ান গতি। এইভাবে কালমান ফিল্টারিং ভিত্তিক পদ্ধতির মাধ্যমে অনুমান দক্ষতার সাথে প্রয়োগ করা যেতে পারে। এই দুটি বিভাগের মধ্যে সীমানা তীক্ষ্ণ নয়, প্রকৃতপক্ষে এলোমেলো তথ্যের উপর ভিত্তি করে একটি গাউসিয়ান প্রক্রিয়া রিগ্রেশন পদ্ধতিও তৈরি করা হয়েছিল। এই পদ্ধতিগুলি গণনামূলক রিম্যানিয়ান জ্যামিতি, বিপরীত সমস্যা, সুপ্ত বল মডেল এবং জ্যামিতিক কাঠামো সহ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সমস্যা যেমন প্রতিসাম্যের ক্ষেত্রে প্রয়োগ করা হয়েছে। আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের জন্য বেশ কয়েকটি সম্ভাব্য সংখ্যাসূচক পদ্ধতিও প্রস্তাব করা হয়েছে। সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের মতো, পদ্ধতিগুলিকে র্যান্ডমাইজেশনের উপর ভিত্তি করে বিস্তৃতভাবে বিভক্ত করা যেতে পারে, সাধারণত কিছু অন্তর্নিহিত সীমাবদ্ধ-উপাদান জাল এবং গাউসিয়ান প্রক্রিয়া রিগ্রেশন ভিত্তিক। গাউসিয়ান প্রক্রিয়া রিগ্রেশন-এর উপর ভিত্তি করে সম্ভাব্য সংখ্যাসূচক পি. ডি. ই সমাধানকারীরা নির্দিষ্ট অগ্রাধিকারের জন্য রৈখিক পি. ডি. ই-তে শাস্ত্রীয় পদ্ধতিগুলি পুনরুদ্ধার করে, বিশেষত গড় ওজনযুক্ত অবশিষ্টাংশের পদ্ধতিতে, যার মধ্যে গ্যালারকিন পদ্ধতি, সীমাবদ্ধ উপাদান পদ্ধতি, পাশাপাশি বর্ণালী পদ্ধতি অন্তর্ভুক্ত রয়েছে। ইতিহাস এবং সম্পর্কিত ক্ষেত্রগুলি সংখ্যাসূচক বিশ্লেষণ এবং সম্ভাবনার মধ্যে আন্তঃক্রিয়া গণিতের অন্যান্য ক্ষেত্রগুলির দ্বারা স্পর্শ করা হয়, যার মধ্যে রয়েছে সংখ্যাসূচক পদ্ধতির গড়-কেস বিশ্লেষণ, তথ্য-ভিত্তিক জটিলতা, গেম তত্ত্ব এবং পরিসংখ্যানগত সিদ্ধান্ত তত্ত্ব। 19 শতকের শেষের দিকে এবং 20 শতকের গোড়ার দিকে যাকে এখন "সম্ভাবনাময় সংখ্যা" বলা হচ্ছে তার পূর্বসূরী পাওয়া যায়। সম্ভাব্য সংখ্যাবিজ্ঞানের উৎপত্তি হেনরি পয়েনকারে তাঁর ক্যালকুল ডেস প্রোবাবিলিটেস-এ বহুপদী ইন্টারপোলেশনের সম্ভাব্য পদ্ধতির আলোচনার মাধ্যমে চিহ্নিত করা যেতে পারে। আধুনিক পরিভাষায়, পয়েনকারে একটি ফাংশনের উপর একটি গাউসীয় পূর্ববর্তী বন্টন বিবেচনা করেছিলেন, যা এলোমেলো সহগগুলির সাথে একটি আনুষ্ঠানিক শক্তি সিরিজ হিসাবে প্রকাশ করা হয়েছিল এবং এর পূর্ববর্তী এবং পর্যবেক্ষণের জন্য "সম্ভাব্য মান" জিজ্ঞাসা করেছিলেন। সংখ্যাসূচক বিশ্লেষণ এবং সম্ভাবনার আন্তঃক্রিয়ায় একটি পরবর্তী মৌলিক অবদান অ্যালবার্ট সুলডিন দ্বারা অভিন্ন চতুর্ভুজের প্রসঙ্গে সরবরাহ করা হয়েছিল। সুল্ডিন যে পরিসংখ্যানগত সমস্যাটি বিবেচনা করেছিলেন তা ছিল কোনও ফাংশনের নির্দিষ্ট ইন্টিগ্রালের আনুমানিক অনুমান, এর আগে একটি ব্রাউনিয়ান গতির অধীনে, নোডের পয়েন্টওয়াইজ মূল্যায়নের অ্যাক্সেস দেওয়া হয়েছিল। সুল্ডিন দেখিয়েছেন যে, প্রদত্ত চতুর্ভুজ নোডের জন্য, ন্যূনতম গড় বর্গ ত্রুটি সহ চতুর্ভুজ নিয়মটি ট্র্যাপিজয়েডাল নিয়ম; উপরন্তু, এই ন্যূনতম ত্রুটি আন্তঃ-নোড ব্যবধানের কিউবগুলির যোগফলের সাথে আনুপাতিক। ফলস্বরূপ, কেউ সমান-ব্যবধানযুক্ত নোড সহ ট্র্যাপিজয়েডাল নিয়মটিকে কিছু অর্থে পরিসংখ্যানগতভাবে সর্বোত্তম হিসাবে দেখতে পারে-একটি সংখ্যাসূচক পদ্ধতির গড়-কেস বিশ্লেষণের একটি প্রাথমিক উদাহরণ। পরে মাইক লারকিন সুলদিনের দৃষ্টিভঙ্গিকে প্রসারিত করেন। লক্ষ্য করুন যে ইন্টিগ্র্যাণ্ডের আগে সুলডিনের ব্রাউনিয়ান গতি একটি গাউসিয়ান পরিমাপ এবং ইন্টিগ্রেশন এবং পয়েন্ট ভিত্তিক মূল্যায়নের ক্রিয়াকলাপ উভয়ই রৈখিক মানচিত্র। সুতরাং, নির্দিষ্ট ইন্টিগ্রালটি একটি বাস্তব-মূল্যবান গাউসিয়ান র্যান্ডম ভেরিয়েবল। বিশেষত, এর পর্যবেক্ষিত পয়েন্টওয়াইজ মানগুলির উপর নিয়ন্ত্রণের পরে, এটি একটি স্বাভাবিক বন্টন অনুসরণ করে যার গড় ট্র্যাপিজয়েডাল নিয়মের সমান এবং বৈচিত্র্যের সমান। এই দৃষ্টিভঙ্গি বায়েসিয়ান চতুর্ভুজের খুব কাছাকাছি, একটি চতুর্ভুজ পদ্ধতির আউটপুটকে কেবল একটি বিন্দু অনুমান হিসাবে নয় বরং তার নিজস্ব ডানদিকে সম্ভাব্যতা বিতরণ হিসাবে দেখে। যেমন হাউমান ওহাদি এবং সহযোগীরা উল্লেখ করেছেন, সংখ্যাসূচক অনুমান এবং পরিসংখ্যানগত অনুমানের মধ্যে আন্তঃক্রিয়াও পালাস্টি এবং রেনি, সার্ড, কিমেলডর্ফ এবং ওয়াহবা (বায়েসিয়ান অনুমান এবং স্প্লাইন মসৃণকরণ/ইন্টারপোলেশনের মধ্যে চিঠিপত্রের উপর) এবং লারকিন (গাউসিয়ান প্রক্রিয়া রিগ্রেশন এবং সংখ্যাসূচক অনুমানের মধ্যে চিঠিপত্রের উপর) থেকে পাওয়া যায়। যদিও একটি এলোমেলো প্রক্রিয়া থেকে নমুনা হিসাবে একটি নিখুঁত পরিচিত ফাংশন মডেলিংয়ের পদ্ধতিটি বিপরীতমুখী বলে মনে হতে পারে, তবে এটি বোঝার জন্য একটি প্রাকৃতিক কাঠামো তথ্য-ভিত্তিক জটিলতায় (আইবিসি) পাওয়া যেতে পারে, গণনামূলক জটিলতার শাখাটি এই পর্যবেক্ষণের উপর প্রতিষ্ঠিত যে সংখ্যাসূচক বাস্তবায়নের জন্য আংশিক তথ্য এবং সীমিত সংস্থান সহ গণনার প্রয়োজন। আই. বি. সি-তে, অসম্পূর্ণ তথ্যের উপর পরিচালিত একটি অ্যালগরিদমের কার্যকারিতা অনুপস্থিত তথ্যের ক্ষেত্রে সবচেয়ে খারাপ-ক্ষেত্রে বা গড়-ক্ষেত্রে (এলোমেলোভাবে) সেটিংয়ে বিশ্লেষণ করা যেতে পারে। অধিকন্তু, প্যাকেল যেমন পর্যবেক্ষণ করেছেন, গড় কেস সেটিংকে একটি প্রতিকূল খেলায় মিশ্র কৌশল হিসাবে ব্যাখ্যা করা যেতে পারে যা একটি (সবচেয়ে খারাপ-কেস) মিনম্যাক্স সমস্যাকে একটি মিনম্যাক্স সমস্যায় মিশ্রিত (এলোমেলো) কৌশলের উপর তুলে নিয়ে প্রাপ্ত হয়। এই পর্যবেক্ষণটি সংখ্যাসূচক অনুমান এবং ওয়াল্ডের সিদ্ধান্ত তত্ত্বের মধ্যে একটি স্বাভাবিক সংযোগের দিকে পরিচালিত করে, যা স্পষ্টতই ভন নিউম্যানের গেম তত্ত্ব দ্বারা প্রভাবিত। এই সংযোগটি বর্ণনা করার জন্য মিশেল এবং রিভলিনের সর্বোত্তম পুনরুদ্ধারের সেটিং বিবেচনা করুন যেখানে সেই ফাংশনের উপর সীমাবদ্ধ সংখ্যক রৈখিক পরিমাপ থেকে একটি অজানা ফাংশনকে আনুমানিক করার চেষ্টা করা হয়। এই সর্বোত্তম পুনরুদ্ধারের সমস্যাটিকে একটি শূন্য-সমষ্টি খেলা হিসাবে ব্যাখ্যা করে যেখানে প্লেয়ার I অজানা ফাংশনটি নির্বাচন করে এবং প্লেয়ার II তার আনুমানিক নির্বাচন করে এবং ক্ষতির সংজ্ঞা দেওয়ার জন্য একটি দ্বিঘাত নিয়মে আপেক্ষিক ত্রুটি ব্যবহার করে, গাউসিয়ান প্রাইয়োরগুলি এই জাতীয় গেমগুলির জন্য সর্বোত্তম মিশ্র কৌশল হিসাবে আবির্ভূত হয় এবং সর্বোত্তম গাউসিয়ানের সহপরিবর্তন অপারেটর পুনরুদ্ধারের আপেক্ষিক ত্রুটি সংজ্ঞায়িত করতে ব্যবহৃত দ্বিঘাত নিয়মাবলী দ্বারা নির্ধারিত হয়। সফ্টওয়্যার প্রোবনুমঃ পাইথনে সম্ভাব্য সংখ্যাবিদ্যা। ProbNumDiffEq.jl: জুলিয়ায় প্রয়োগ করা ফিল্টারিংয়ের উপর ভিত্তি করে সম্ভাব্য সংখ্যাসূচক ODE সমাধানকারী। ইমুকিটঃ অনিশ্চয়তার মধ্যে সিদ্ধান্ত নেওয়ার জন্য অভিযোজিত পাইথন টুলবক্স। ব্যাকপ্যাকঃ পাইটর্চের উপরে নির্মিত। এটি দক্ষতার সাথে গ্রেডিয়েন্ট ছাড়া অন্যান্য পরিমাণ গণনা করে। আরও দেখুন গড়-কেস বিশ্লেষণ তথ্য-ভিত্তিক জটিলতা অনিশ্চয়তা পরিমাপ রেফারেন্স ফলিত পরিসংখ্যান মেশিন লার্নিং ফলিত গণিত