Multiplication and repeated addition
গণিত শিক্ষায়, গুণের ক্রিয়াকলাপকে পুনরাবৃত্ত যোগের একটি রূপ হিসাবে শেখানো উচিত কিনা তা নিয়ে বিতর্ক ছিল। বিতর্কে অংশগ্রহণকারীরা গাণিতিক স্বতঃসিদ্ধ, শিক্ষাবিজ্ঞান, শিক্ষা ও নির্দেশমূলক নকশা, গণিতের ইতিহাস, গণিতের দর্শন এবং কম্পিউটার ভিত্তিক গণিত সহ একাধিক দৃষ্টিভঙ্গি নিয়ে এসেছিলেন। বিতর্কের পটভূমি 1990-এর দশকের গোড়ার দিকে লেসলি স্টেফ গণনা পদ্ধতির প্রস্তাব করেছিলেন যা শিশুরা তাদের গাণিতিক জ্ঞানের সাথে গুণকে একীভূত করতে ব্যবহার করে। জেরে কনফ্রে গণনার পরিকল্পনার সঙ্গে বিভাজনের অনুমানের বৈপরীত্য তুলে ধরেন। কনফ্রে পরামর্শ দিয়েছিলেন যে গণনা এবং বিভাজন দুটি পৃথক, স্বাধীন জ্ঞানীয় আদিম। এটি সম্মেলনের উপস্থাপনা, নিবন্ধ এবং বইয়ের অধ্যায়গুলির আকারে একাডেমিক আলোচনার সূত্রপাত করেছিল। বিতর্কটি পাঠ্যক্রমের বিস্তৃত বিস্তারের সাথে উদ্ভূত হয়েছিল যা প্রাথমিক বছরগুলিতে স্কেলিং, জুমিং, ভাঁজ এবং গাণিতিক কাজগুলির পরিমাপের উপর জোর দিয়েছিল। এই ধরনের কাজগুলির জন্য গুণনের মডেলগুলির প্রয়োজন এবং সমর্থন করা হয় যা গণনা বা পুনরাবৃত্ত যোগের উপর ভিত্তি করে নয়। প্রশ্নটি নিয়ে বিতর্ক, "গুণন কি সত্যিই পুনরাবৃত্ত যোগ?" 1990-এর দশকের মাঝামাঝি সময়ে অভিভাবক এবং শিক্ষক আলোচনা ফোরামে উপস্থিত হয়েছিল। কিথ ডেভলিন ম্যাথমেটিকাল অ্যাসোসিয়েশন অফ আমেরিকা-তে "ইট ইজ নট নো রিপিটেড অ্যাডিশন" শিরোনামে একটি কলাম লিখেছিলেন, যা শিক্ষকদের সাথে তাঁর ইমেল আদান-প্রদানের পরে, তিনি আগের একটি নিবন্ধে বিষয়টি সংক্ষেপে উল্লেখ করার পরে। কলামটি অনুশীলনকারীদের বিতর্কের সঙ্গে একাডেমিক বিতর্ককে যুক্ত করেছে। এটি গবেষণা এবং অনুশীলনকারী ব্লগ এবং ফোরামে একাধিক আলোচনার সূত্রপাত করে। কিথ ডেভলিন এই বিষয়ে লেখা চালিয়ে গেছেন। গণনার থেকে গুণন পর্যন্ত শিক্ষামূলক দৃষ্টিভঙ্গি সাধারণ গণিতের পাঠ্যক্রম এবং মানগুলিতে, যেমন কমন কোর স্টেট স্ট্যান্ডার্ডস ইনিশিয়েটিভ, বাস্তব সংখ্যার গুণফলের অর্থ সাধারণত পুনরাবৃত্ত যোগ দিয়ে শুরু হয় এবং শেষ পর্যন্ত স্কেলিং-এ থাকে। একবার প্রাকৃতিক (বা সম্পূর্ণ) সংখ্যাগুলিকে গণনা করার মাধ্যম হিসাবে সংজ্ঞায়িত ও বোঝা গেলে, একটি শিশুকে এই ক্রমে গাণিতিক মৌলিক ক্রিয়াকলাপের সাথে পরিচয় করিয়ে দেওয়া হয়ঃ যোগ, বিয়োগ, গুণ এবং বিভাজন। এই ক্রিয়াকলাপগুলি, যদিও একটি শিশুর গণিত শিক্ষার খুব প্রাথমিক পর্যায়ে চালু করা হয়েছিল, উন্নত সংখ্যাসূচক ক্ষমতা হিসাবে শিক্ষার্থীদের মধ্যে সংখ্যাসূচক বিকাশের উপর স্থায়ী প্রভাব ফেলে। এই পাঠ্যক্রমগুলিতে, পুনরাবৃত্ত সংযোজন সম্পর্কিত প্রশ্ন করার পরপরই গুণনের প্রবর্তন করা হয়, যেমনঃ "8টি আপেলের 3টি করে ব্যাগ রয়েছে। মোট কতগুলি আপেল রয়েছে? একজন শিক্ষার্থী করতে পারেঃ অথবা বিকল্পটি বেছে নিতে পারে এই পদ্ধতিটি বেশ কয়েক বছরের শিক্ষাদান এবং শেখার জন্য সমর্থিত এবং এই ধারণাটি স্থাপন করে যে গুণন যোগ করার আরও কার্যকর উপায়। একবার 0 আনা হলে, এটি কোনও উল্লেখযোগ্য পরিবর্তনকে প্রভাবিত করে না কারণ যা 0, এবং বিনিময়যোগ্য বৈশিষ্ট্যটি আমাদের সংজ্ঞায়িত করতেও পরিচালিত করবে। গুণন হল পুনরাবৃত্ত যোগ এই বিশ্বাসের প্রথম চ্যালেঞ্জ দেখা দেয় যখন শিক্ষার্থীরা ভগ্নাংশ নিয়ে কাজ শুরু করে। গাণিতিক দৃষ্টিকোণ থেকে, পুনরাবৃত্ত যোগ হিসাবে গুণকে ভগ্নাংশে প্রসারিত করা যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, আক্ষরিক অর্থে "পাঁচ-ষষ্ঠাংশের এক এবং তিন-চতুর্থাংশ" বলা হয়। এটি পরে তাৎপর্যপূর্ণ কারণ শিক্ষার্থীদের শেখানো হয় যে, শব্দের সমস্যায়, "এর" শব্দটি সাধারণত গুণকে নির্দেশ করে। যাইহোক, এই সম্প্রসারণ অনেক শিক্ষার্থীর জন্য সমস্যাযুক্ত, যারা ভগ্নাংশ প্রবর্তনের সময় গণিত নিয়ে লড়াই শুরু করে। উপরন্তু, অযৌক্তিক সংখ্যাগুলি কার্যকর করার সময় পুনরাবৃত্ত সংযোজন মডেলটি অবশ্যই যথেষ্ট পরিমাণে পরিবর্তন করতে হবে। এই বিষয়গুলি সম্পর্কে, গণিতের শিক্ষকরা বিতর্ক করেছেন যে ভগ্নাংশ এবং অযৌক্তিক সংখ্যার ক্ষেত্রে শিক্ষার্থীদের অসুবিধাগুলি এই সংখ্যাগুলি প্রবর্তনের আগে দীর্ঘ সময়ের জন্য গুণনকে পুনরাবৃত্ত যোগ হিসাবে দেখে এবং সম্পর্কিতভাবে প্রাথমিক শিক্ষার জন্য কঠোর গণিতকে উল্লেখযোগ্যভাবে সংশোধন করা গ্রহণযোগ্য কিনা, যা শিশুদের এমন বিবৃতি বিশ্বাস করতে পরিচালিত করে যা পরে ভুল প্রমাণিত হয়। স্কেলিং থেকে গুণন পর্যন্ত শিক্ষার গুণনের একটি তত্ত্ব ভিগটস্কি সার্কেলে রাশিয়ান গণিত শিক্ষকদের কাজ থেকে উদ্ভূত হয়েছে যা সোভিয়েত ইউনিয়নে বিশ্বযুদ্ধের মধ্যে সক্রিয় ছিল। তাদের অবদান বিভাজন অনুমান নামে পরিচিত। গুণ শেখার আরেকটি তত্ত্ব উদ্ভূত হয়েছে মূর্ত জ্ঞানের অধ্যয়ন থেকে, যা গুণনের জন্য অন্তর্নিহিত রূপকগুলি পরীক্ষা করে। এই তদন্তগুলি একসঙ্গে ছোট শিশুদের জন্য "সহজাতভাবে বহুগুণিত" কাজ সহ পাঠ্যক্রমকে অনুপ্রাণিত করেছে। এই কাজগুলির উদাহরণগুলির মধ্যে রয়েছেঃ স্থিতিস্থাপক প্রসারিত করা, জুম করা, ভাঁজ করা, ছায়া প্রক্ষেপ করা বা ছায়া ফেলে দেওয়া। এই কাজগুলি গণনার উপর নির্ভর করে না এবং পুনরাবৃত্ত যোগের ক্ষেত্রে সহজেই ধারণা করা যায় না। এই পাঠ্যক্রম সম্পর্কিত বিতর্কের বিষয়গুলির মধ্যে রয়েছেঃ কী গুণিত করা যেতে পারে? গুণন প্রায়শই প্রাকৃতিক সংখ্যার জন্য সংজ্ঞায়িত করা হয়, তারপর সম্পূর্ণ সংখ্যা, ভগ্নাংশ এবং অযৌক্তিক সংখ্যায় প্রসারিত হয়। যাইহোক, বিমূর্ত বীজগণিতে কিছু বস্তুর উপর বাইনারি অপারেশন হিসাবে গুণনের আরও সাধারণ সংজ্ঞা রয়েছে যা সংখ্যা হতে পারে বা নাও হতে পারে। উল্লেখযোগ্যভাবে, জটিল সংখ্যা, ভেক্টর, ম্যাট্রিক্স এবং কোয়াটারনিয়নকে গুণ করা যেতে পারে। কিছু শিক্ষাবিদ বিশ্বাস করেন যে প্রাথমিক শিক্ষার সময় গুণনকে একচেটিয়াভাবে পুনরাবৃত্ত যোগ হিসাবে দেখা গুণের এই দিকগুলি সম্পর্কে পরবর্তী বোঝার ক্ষেত্রে হস্তক্ষেপ করতে পারে। গণিত শিক্ষার প্রেক্ষাপটে, মডেলগুলি বিমূর্ত গাণিতিক ধারণাগুলির দৃঢ় উপস্থাপনা যা ধারণার কিছু বা সমস্ত প্রয়োজনীয় গুণাবলী প্রতিফলিত করে। মডেলগুলি প্রায়শই শারীরিক বা ভার্চুয়াল ম্যানিপুলেটিভ এবং পাঠ্যক্রমের উপকরণ হিসাবে তৈরি করা হয় যা তাদের সাথে থাকে। গুণ এবং পুনরাবৃত্ত যোগ সম্পর্কে বিতর্কের একটি অংশ হল বিভিন্ন মডেল এবং তাদের পাঠ্যক্রম সামগ্রীর তুলনা। বিভিন্ন মডেল বিভিন্ন ধরনের সংখ্যার গুণকে সমর্থন করতে পারে বা নাও করতে পারে; উদাহরণস্বরূপ যে সেট মডেলটিতে সংখ্যাগুলিকে বস্তুর সংগ্রহ হিসাবে উপস্থাপন করা হয় এবং প্রত্যেকটিতে একই সংখ্যক বস্তুর সাথে একাধিক সেটের মিলন হিসাবে গুণকে ভগ্নাংশ বা বাস্তব সংখ্যার গুণনে প্রসারিত করা যায় না। বিভিন্ন মডেল পাটিগণিতের নির্দিষ্ট প্রয়োগের জন্যও প্রাসঙ্গিক হতে পারে; উদাহরণস্বরূপ, সম্ভাব্যতা এবং জীববিজ্ঞানে সংমিশ্রণ মডেলগুলি আসে। তথ্যসূত্র গণিত শিক্ষা