Eilenberg–Ganea theorem
গণিতে, বিশেষত সমতাত্ত্বিক বীজগণিত এবং বীজগাণিতিক টপোলজিতে, আইলেনবার্গ-গ্যানিয়া উপপাদ্যটি তার সমতাত্ত্বিক মাত্রার (যথা) নির্দিষ্ট শর্ত সহ প্রতিটি সীমাবদ্ধভাবে উত্পন্ন গ্রুপ জি-এর জন্য বলে, কেউ একটি অ্যাসফেরিকাল সিডব্লিউ কমপ্লেক্স এক্স গঠন করতে পারে যার মৌলিক গ্রুপটি জি। এই উপপাদ্যটি পোলিশ গণিতবিদ স্যামুয়েল আইলেনবার্গ এবং রোমানিয়ান গণিতবিদ টিউডর গ্যানিয়ার নামে নামকরণ করা হয়েছে। এই উপপাদ্যটি 1957 সালে অ্যানালস অফ ম্যাথমেটিক্সে একটি সংক্ষিপ্ত গবেষণাপত্রে প্রথম প্রকাশিত হয়। সংজ্ঞা গ্রুপ কোহোমোলজিঃ ধরা যাক একটি গ্রুপ এবং সংশ্লিষ্ট আইলেনবার্গ-ম্যাকলেইন স্পেস। তারপরে আমাদের নিম্নলিখিত সিঙ্গুলার চেইন কমপ্লেক্স রয়েছে যা গ্রুপ রিংয়ের উপর একটি মুক্ত রেজোলিউশন (যেখানে একটি তুচ্ছ-মডিউল): সর্বজনীন আবরণ কোথায় এবং সিঙ্গুলার-চেইন দ্বারা উত্পন্ন মুক্ত আবেলিয়ান গ্রুপটি কোথায়। একটি-মডিউলে সহগ সহ গোষ্ঠীর গ্রুপ কোহোমোলজি হল সহগ সহ এই চেইন কমপ্লেক্সের কোহোমোলজি, এবং দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। কোহোমোলজিক্যাল মাত্রাঃ একটি গোষ্ঠীর কোহেফিসিয়েন্ট সহ কোহোমোলজিক্যাল মাত্রা থাকে (দ্বারা চিহ্নিত) যদি সত্যঃ যদি দৈর্ঘ্যের একটি প্রজেক্টিভ রেজোলিউশন থাকে, অর্থাৎ, তুচ্ছ মডিউল হিসাবে দৈর্ঘ্যের একটি প্রজেক্টিভ রেজোলিউশন থাকে সর্বাধিক যদি এবং শুধুমাত্র যদি সমস্ত-মডিউল এবং সকলের জন্য। অতএব, আমাদের কোহোমোলজিকাল মাত্রার একটি বিকল্প সংজ্ঞা নিম্নরূপ, সহগ সহ জি-এর কোহোমোলজিকাল মাত্রা হল ক্ষুদ্রতম এন (সম্ভবত অনন্ত) যাতে জি-এর দৈর্ঘ্য এন-এর একটি প্রজেক্টিভ রেজোলিউশন থাকে, অর্থাৎ, দৈর্ঘ্য এন-এর একটি প্রজেক্টিভ রেজোলিউশন একটি তুচ্ছ মডিউল হিসাবে থাকে। আইলেনবার্গ-গ্যানিয়া উপপাদ্য ধরা যাক একটি সীমাবদ্ধভাবে উপস্থাপিত গোষ্ঠী এবং একটি পূর্ণসংখ্যা। ধরুন, সহগগুলির সঙ্গে এর কোহোমোলজিক্যাল মাত্রা সর্বাধিক, অর্থাৎ। তারপর একটি-মাত্রিক অ্যাসফেরিকাল সিডব্লিউ কমপ্লেক্স বিদ্যমান যেমন এর মৌলিক গ্রুপ হল, অর্থাৎ। এই উপপাদ্যের কনভার্স কনভার্স হল সেলুলার হোমোলজির একটি পরিণতি এবং প্রতিটি মুক্ত মডিউল প্রজেক্টিভ। উপপাদ্যঃ ধরা যাক এক্স একটি অ্যাসফেরিকাল এন-ডাইমেনশনাল সিডব্লিউ কমপ্লেক্স যার π1 (এক্স) = জি, তারপর সিডিজেড (জি) ≤ এন। সম্পর্কিত ফলাফল এবং অনুমান। উপপাদ্যঃ কোহোমোলজিকাল মাত্রার প্রতিটি সীমাবদ্ধভাবে উত্পন্ন গোষ্ঠী মুক্ত। এই বিবৃতিটি আইলেনবার্গ-গ্যানিয়া অনুমান নামে পরিচিত। আইলেনবার্গ-গ্যানিয়া অনুমানঃ যদি একটি গ্রুপ জি-এর কোহোমোলজিকাল মাত্রা 2 থাকে তবে এর সাথে একটি 2-মাত্রিক অ্যাসফেরিকাল সিডব্লিউ কমপ্লেক্স এক্স রয়েছে। এটি জানা যায় যে একটি গ্রুপ জি সহ দেওয়া, একটি ত্রিমাত্রিক অ্যাসফেরিকাল সিডব্লিউ জটিল এক্স সহ বিদ্যমান। আইলেনবার্গ-গ্যানিয়া কনজেকচার গ্রুপ কোহোমোলজি কোহোমোলজিকাল ডাইমেনশন স্ট্যালিংস উপপাদ্য দেখুন। কেনেথ এস ব্রাউন, কোহোমোলজি অফ গ্রুপস, 1982 সালের মূল, গ্র্যাজুয়েট টেক্সটস ইন ম্যাথমেটিক্স, 87, স্প্রিঙ্গার-ভার্লাগ, নিউ ইয়র্ক, 1994-এর সংশোধিত পুনঃমুদ্রণ। বীজগাণিতিক টপোলজিতে সমজাতীয় বীজগণিত উপপাদ্য