Mixtilinear incircles of a triangle
সমতল জ্যামিতিতে, একটি ত্রিভুজের একটি মিশ্র-রৈখিক অন্তঃবৃত্ত হল এমন একটি বৃত্ত যা তার দুটি দিকের স্পর্শক এবং তার বৃত্তের অভ্যন্তরীণ স্পর্শক। শীর্ষযুক্ত উভয় পক্ষের একটি ত্রিভুজ স্পর্শকের মিশ্র-রৈখিক অন্তঃবৃত্তকে-মিশ্র-রৈখিক অন্তঃবৃত্ত বলা হয়। প্রতিটি ত্রিভুজের তিনটি অনন্য মিশ্র-রৈখিক অন্তঃবৃত্ত রয়েছে, যার মধ্যে একটি প্রতিটি শীর্ষের সঙ্গে সামঞ্জস্যপূর্ণ। অস্তিত্ব এবং স্বতন্ত্রতার প্রমাণ ত্রিভুজের-বৃত্তটি অনন্য। ব্যাসার্ধকে কেন্দ্র করে একটি বিপরীতের গঠন এবং কোণ দ্বিখণ্ডকের সাপেক্ষে একটি প্রতিফলন দ্বারা সংজ্ঞায়িত একটি রূপান্তর ধরা যাক। যেহেতু ইনভার্সন এবং রিফ্লেকশন বাইজেক্টিভ এবং স্পর্শ বিন্দুগুলি সংরক্ষণ করে, তাই এটিও করে। তারপর, নীচের-বৃত্তের চিত্রটি পার্শ্বগুলির সাথে অভ্যন্তরীণভাবে স্পর্শক একটি বৃত্ত এবং এর পরিধি, অর্থাৎ-মিশ্রাকার অন্তঃবৃত্ত। অতএব,-মিশ্ররেখার অন্তঃবৃত্ত বিদ্যমান এবং অনন্য, এবং একটি অনুরূপ যুক্তি এবং এর সাথে সম্পর্কিত মিশ্ররেখার অন্তঃবৃত্তের জন্য একই প্রমাণ করতে পারে। নির্মাণ-মিশ্রাকার অন্তঃবৃত্তটি নিম্নলিখিত ক্রমানুসারে তৈরি করা যেতে পারে। দ্বিখণ্ডিত কোণ ছেদ করে ইন্সেন্টারটি আঁকুন। রেখা স্পর্শ করে এবং বিন্দুতে এবং যথাক্রমে রেখার লম্বভাবে একটি রেখা আঁকুন। এগুলি মিশ্ররেখার বৃত্তের স্পর্শক বিন্দু। বিন্দুগুলির সাথে এবং তার মধ্য দিয়ে যথাক্রমে লম্বভাবে আঁকুন এবং সেগুলিকে ছেদ করুন। এটি বৃত্তের কেন্দ্র, তাই কেন্দ্র এবং ব্যাসার্ধ সহ একটি বৃত্ত হল মিশ্ররেখার অন্তঃবৃত্ত এই গঠনটি নিম্নলিখিত কারণে সম্ভবঃ লেমা ইন্সেন্টার হল উভয় পক্ষের সাথে মিশ্ররেখার অন্তঃবৃত্তের স্পর্শ বিন্দুর মধ্যবিন্দু। প্রমাণ ধরা যাক ত্রিভুজের বৃত্ত এবং-মিশ্র-রৈখিক অন্তঃবৃত্তের স্পর্শক বিন্দু এবং। ধরা যাক এর সাথে রেখার ছেদ এবং এর সাথে রেখার ছেদ। মাঝখানে কেন্দ্র সহ সমকামিতা এবং বোঝায় যেগুলি যথাক্রমে বৃত্তের মধ্যবিন্দু। খোদাই করা কোণ উপপাদ্যটি বোঝায় যে এবং এটি সমকোণ বিন্দুর তিনগুণ। ষড়ভুজের উপর খোদাই করা প্যাসকেলের উপপাদ্যটি ইঙ্গিত করে যে এগুলি সমরেখার। যেহেতু কোণগুলি এবং সমান, তাই এটি সেগমেন্টের মধ্যবিন্দু অনুসরণ করে। অন্যান্য বৈশিষ্ট্য ব্যাসার্ধ নিম্নলিখিত সূত্রটি একটি ত্রিভুজের অন্তঃবৃত্তের ব্যাসার্ধ এবং-মিশ্রাকার অন্তঃবৃত্তের ব্যাসার্ধের সাথে সম্পর্কিতঃ কোণটির মাত্রা কোথায়। বৃত্তের বিন্দুগুলির সঙ্গে সম্পর্ক বৃত্তের মধ্যবিন্দু যা বিন্দু ধারণ করে তা রেখার উপর থাকে। চতুর্ভুজটি সুরেলা, যার অর্থ ত্রিভুজের উপর একটি সিমমিডিয়ান। বৃত্তের সাথে স্পর্শক বিন্দুর সাথে সম্পর্কিত বৃত্তগুলি বৃত্তাকার চতুর্ভুজ। সর্পিল সাদৃশ্য হল একটি সর্পিল সাদৃশ্যের কেন্দ্র যা যথাক্রমে মানচিত্র করে। তিনটি মিশ্র-রৈখিক অন্তঃবৃত্তের মধ্যে সম্পর্ক শীর্ষবিন্দু এবং মিশ্র-রৈখিক স্পর্শক বিন্দুর সাথে যুক্ত রেখাগুলি একটি শীর্ষকে সংশ্লিষ্ট মিশ্র-রৈখিক অন্তঃবৃত্তের সাথে যোগাযোগের বিন্দুতে সংযুক্ত করে তিনটি রেখা অন্তঃবৃত্ত এবং বৃত্তের সাদৃশ্যের বাহ্যিক কেন্দ্রে মিলিত হয়। ত্রিভুজ কেন্দ্রগুলির অনলাইন এনসাইক্লোপিডিয়া এই বিষয়টিকে এক্স (56) হিসাবে তালিকাভুক্ত করেছে। এটি ত্রিকোণীয় স্থানাঙ্ক এবং ব্যারিসেন্ট্রিক স্থানাঙ্ক দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয় র্যাডিক্যাল সেন্টার তিনটি মিক্সটিলাইনিয়ার অন্তঃবৃত্তের র্যাডিক্যাল কেন্দ্র হল সেই বিন্দু যা অনুপাতে বিভক্ত হয় যেখানে যথাক্রমে ইন্সেন্টার, ইনরেডিয়াস, সার্কামসেন্টার এবং সার্কাম্রেডিয়াস রয়েছে। তথ্যসূত্র ইউক্লিডীয় সমতল জ্যামিতি