Napoleon points
জ্যামিতিতে নেপোলিয়ন বিন্দু হল সমতল ত্রিভুজের সঙ্গে যুক্ত এক জোড়া বিশেষ বিন্দু। সাধারণত বিশ্বাস করা হয় যে 1804 থেকে 1815 সাল পর্যন্ত ফরাসিদের সম্রাট নেপোলিয়ন বোনাপার্ট এই পয়েন্টগুলির অস্তিত্ব আবিষ্কার করেছিলেন, তবে অনেকেই এই বিশ্বাস নিয়ে প্রশ্ন তুলেছেন। নেপোলিয়ন বিন্দুগুলি ত্রিভুজ কেন্দ্র এবং এগুলি ক্লার্ক কিম্বার্লিংয়ের এনসাইক্লোপিডিয়া অফ ট্রায়াঙ্গেল সেন্টারে এক্স (17) এবং এক্স (18) বিন্দু হিসাবে তালিকাভুক্ত করা হয়েছে। "নেপোলিয়ন পয়েন্টস" নামটি একটি ভিন্ন জোড়া ত্রিভুজ কেন্দ্রের ক্ষেত্রেও প্রয়োগ করা হয়েছে, যা আইসোডাইনামিক পয়েন্ট হিসাবে বেশি পরিচিত। পয়েন্টগুলির সংজ্ঞা প্রথম নেপোলিয়ন পয়েন্টটি যে কোনও সমতল ত্রিভুজ হিসাবে ধরা যাক। ত্রিভুজের পার্শ্বে যথাক্রমে বাহ্যিকভাবে টানা সমবাহু ত্রিভুজ তৈরি করুন। এই ত্রিভুজগুলির কেন্দ্রবিন্দু যথাক্রমে থাকুক। তারপর লাইনগুলি সমবর্তী হয়। সঙ্গতির বিন্দু হল ত্রিভুজের প্রথম নেপোলিয়ন বিন্দু বা বাইরের নেপোলিয়ন বিন্দু। এই ত্রিভুজটিকে বাইরের নেপোলিয়ন ত্রিভুজ বলা হয়। নেপোলিয়নের উপপাদ্য দাবি করে যে এই ত্রিভুজটি একটি সমবাহু ত্রিভুজ। ক্লার্ক কিম্বার্লিংয়ের এনসাইক্লোপিডিয়া অফ ট্রায়াঙ্গেল সেন্টারে প্রথম নেপোলিয়ন বিন্দুটিকে এক্স (17) দ্বারা চিহ্নিত করা হয়েছে। এর ত্রিকোণীয় স্থানাঙ্কঃ দ্বিতীয় নেপোলিয়ন বিন্দুর ব্যারি-সেন্ট্রিক স্থানাঙ্কঃ ধরা যাক যে কোনও সমতল ত্রিভুজ। ত্রিভুজের পার্শ্বে যথাক্রমে অভ্যন্তরীণভাবে টানা সমবাহু ত্রিভুজ তৈরি করুন। এই ত্রিভুজগুলির কেন্দ্রবিন্দু যথাক্রমে থাকুক। তারপর লাইনগুলি সমবর্তী হয়। সম্মতির বিন্দু হল দ্বিতীয় নেপোলিয়ন বিন্দু, বা নেপোলিয়নের অভ্যন্তরীণ বিন্দু। এই ত্রিভুজটিকে নেপোলিয়নের অভ্যন্তরীণ ত্রিভুজ বলা হয়। নেপোলিয়নের উপপাদ্য দাবি করে যে এই ত্রিভুজটি একটি সমবাহু ত্রিভুজ। ক্লার্ক কিম্বার্লিংয়ের এনসাইক্লোপিডিয়া অফ ট্রায়াঙ্গেল সেন্টারে দ্বিতীয় নেপোলিয়ন বিন্দুটিকে এক্স (18) দ্বারা চিহ্নিত করা হয়েছে। নেপোলিয়ন বিন্দুর সাথে ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত দুটি বিন্দু হল ফার্মাট-টরিসেলি বিন্দু (ইটিসির এক্স (13) এবং এক্স (14))। যদি সমবাহু ত্রিভুজের কেন্দ্রবিন্দুকে সংশ্লিষ্ট শীর্ষে যুক্ত করার পরিবর্তে ত্রিভুজের সংশ্লিষ্ট শীর্ষে সমবাহু ত্রিভুজের অগ্রভাগের সাথে যুক্ত রেখা তৈরি করা হয়, তবে এইভাবে নির্মিত তিনটি রেখা আবার সমবর্তী হয়। সঙ্গতির বিন্দুগুলিকে বলা হয় ফার্মাট-টরিসেলি বিন্দু, কখনও কখনও এবং হিসাবে চিহ্নিত করা হয়। ফার্মাট রেখা (অর্থাৎ, যে রেখাটি দুটি ফার্মাট-টরিসেলি বিন্দুর সাথে মিলিত হয়) এবং নেপোলিয়ন রেখা (অর্থাৎ, যে রেখাটি দুটি নেপোলিয়ন বিন্দুর সাথে মিলিত হয়) এর ছেদ হল ত্রিভুজের সিমমিডিয়ান বিন্দু (ইটিসির এক্স (6))। সাধারণীকরণ নেপোলিয়ন পয়েন্টের অস্তিত্ব সম্পর্কিত ফলাফলগুলি বিভিন্ন উপায়ে সাধারণীকরণ করা যেতে পারে। নেপোলিয়ন বিন্দুদের সংজ্ঞায়িত করার সময় আমরা সমবাহু ত্রিভুজ দিয়ে শুরু করি এবং তারপর এই ত্রিভুজগুলির কেন্দ্রগুলি বিবেচনা করি। এই কেন্দ্রগুলিকে সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের শীর্ষ হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে যা ত্রিভুজ ABC-এর পাশে স্থাপন করা হয়েছে যার ভিত্তি কোণ/6 (30 ডিগ্রি)-এর সমান। সাধারণীকরণগুলি অন্যান্য ত্রিভুজগুলি নির্ধারণ করতে চায়, যেগুলির পাশে দাঁড় করানো হলে, তাদের বাহ্যিক শীর্ষ এবং শীর্ষগুলির সাথে যুক্ত সমবর্তী রেখা থাকে। সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ এই সাধারণীকরণটি নিম্নরূপ দাবি করেঃ প্রদত্ত ত্রিভুজের পার্শ্বে ভিত্তি হিসাবে নির্মিত তিনটি ত্রিভুজ যদি সমদ্বিবাহু হয় এবং একইভাবে অবস্থিত হয়, তবে রেখাগুলি একটি বিন্দুতে একমত হয়। যদি সাধারণ ভিত্তি কোণটি হয়, তবে তিনটি ত্রিভুজের শীর্ষে নিম্নলিখিত ত্রিভুজ স্থানাঙ্ক রয়েছে। এর ত্রি-রেখীয স্থানাঙ্ক হল কয়েকটি বিশেষ ক্ষেত্রে আকর্ষণীয়। {। শ্রেণী = "উইকিটেবল"।-! এর মূল্য! ! ।-।।।,।-এর কেন্দ্রবিন্দু।।।, ভেক্টেন পয়েন্টের অর্থোসেন্টার।-।।, প্রথম নেপোলিয়ন পয়েন্ট এক্স (17)।-।।।, দ্বিতীয় নেপোলিয়ন পয়েন্ট এক্স (18)।-।।, প্রথম ফার্মাট-টরিসেলি পয়েন্ট এক্স (13)।-।।, দ্বিতীয় ফার্মাট-টরিসেলি পয়েন্ট এক্স (14)।-।।।।।।। শীর্ষ।-।।।। উপরন্তু, এই শঙ্কু একটি আয়তক্ষেত্রাকার হাইপারব। এই হাইপারবোলা হল অনন্য শঙ্কু যা পাঁচটি বিন্দুর মধ্য দিয়ে যায়। অনুরূপ ত্রিভুজ ত্রিভুজের পার্শ্বে নির্মিত তিনটি ত্রিভুজ সমান্তরাল হওয়ার জন্য সমদ্বিবাহু হওয়ার প্রয়োজন নেই। যদি অনুরূপ ত্রিভুজগুলি কোনও ত্রিভুজের পাশে বাহ্যিকভাবে নির্মিত হয় তবে রেখাগুলি সমবর্তী হয়। স্বেচ্ছাচারী ত্রিভুজ অনেক শিথিল পরিস্থিতিতেও রেখাগুলির সঙ্গতি বজায় থাকে। নিম্নলিখিত ফলাফলটি লাইনগুলির সমবর্তী হওয়ার জন্য সবচেয়ে সাধারণ শর্তগুলির মধ্যে একটি উল্লেখ করে। যদি ত্রিভুজগুলি কোনও ত্রিভুজের পাশে বাহ্যিকভাবে এমনভাবে তৈরি করা হয় যাতে রেখাগুলি সমবর্তী হয়। সমান্তরাল বিন্দুটি জ্যাকোবি বিন্দু নামে পরিচিত। ইতিহাস কক্সেটার এবং গ্রেইটজার নেপোলিয়ন উপপাদ্যটি এভাবে বর্ণনা করেছেনঃ যদি সমবাহু ত্রিভুজগুলি কোনও ত্রিভুজের পাশে বাহ্যিকভাবে স্থাপন করা হয়, তবে তাদের কেন্দ্রগুলি একটি সমবাহু ত্রিভুজ গঠন করে। তাঁরা লক্ষ্য করেছেন যে নেপোলিয়ন বোনাপার্ট ছিলেন একজন গণিতবিদ, যিনি জ্যামিতির প্রতি অত্যন্ত আগ্রহী ছিলেন। যাইহোক, নেপোলিয়ন তাঁর উপর আরোপিত উপপাদ্যটি আবিষ্কার করার জন্য যথেষ্ট জ্যামিতি জানতেন কিনা তা নিয়ে তাদের সন্দেহ রয়েছে। নেপোলিয়নের উপপাদ্যের অন্তর্ভুক্ত ফলাফলের প্রাচীনতম নথিভুক্ত উপস্থিতি 1825 সালে প্রকাশিত দ্য লেডিস ডায়েরির একটি নিবন্ধে রয়েছে। দ্য লেডিস ডায়েরি একটি বার্ষিক সাময়িকী ছিল যা 1704 থেকে 1841 সাল পর্যন্ত লন্ডনে প্রচলিত ছিল। উডবার্নের ডব্লিউ রাদারফোর্ডের উত্থাপিত একটি প্রশ্নের অংশ হিসাবে ফলাফলটি প্রকাশিত হয়েছিল। সপ্তম। প্রশ্ন করুন। (1439); মিস্টার ডব্লিউ. রাদারফোর্ড, উডবার্ন। যে কোনও ত্রিভুজ এ. বি. সি-র তিন দিকের সমবাহু ত্রিভুজগুলি (শীর্ষগুলি সমস্ত বাহ্যিক বা সমস্ত অভ্যন্তরীণ) বর্ণনা করুনঃ তারপর যে রেখাগুলি সেই তিনটি সমবাহু ত্রিভুজের মাধ্যাকর্ষণ কেন্দ্রগুলিতে যোগ দেয় সেগুলি একটি সমবাহু ত্রিভুজ গঠন করবে। একটি প্রদর্শনীর প্রয়োজন ছিল। " যাইহোক, এই প্রশ্নের তথাকথিত নেপোলিয়ন পয়েন্টগুলির অস্তিত্বের কোনও উল্লেখ নেই। গণিতের জার্মান ইতিহাসবিদ ক্রিস্টোফ জে. স্ক্রাইবা হিস্টোরিয়া ম্যাথমেটিকা-র একটি গবেষণাপত্রে নেপোলিয়নকে নেপোলিয়নকে দায়ী করার সমস্যাটি অধ্যয়ন করেছেন। আরও দেখুন ত্রিভুজ কেন্দ্র ত্রিভুজ শঙ্কু নেপোলিয়নের উপপাদ্য নেপোলিয়নের সমস্যা ভ্যান অবেলের উপপাদ্য ফার্মাট পয়েন্ট রেফারেন্স আরও পড়া ত্রিভুজ কেন্দ্র