Sum of four cubes problem
চার কিউব সমস্যার যোগফল জিজ্ঞাসা করে যে প্রতিটি পূর্ণসংখ্যা পূর্ণসংখ্যার চার কিউব এর যোগফল কিনা। অনুমান করা হয় যে উত্তরটি ইতিবাচক, তবে এই অনুমানটি প্রমাণিত বা অস্বীকার করা হয়নি। কিছু কিউব ঋণাত্মক সংখ্যা হতে পারে, কিউবসের যোগফল নিয়ে ওয়ারিং-এর সমস্যার বিপরীতে, যেখানে তাদের ধনাত্মক হতে হয়। প্রতিস্থাপন, এবং আইডেন্টিটিতে আইডেন্টিটির দিকে পরিচালিত করে যা দেখায় যে 6-এর প্রতিটি পূর্ণসংখ্যার গুণিতক হল চারটি ঘনক্ষেত্রের যোগফল। (আরও সাধারণভাবে, একই প্রমাণ দেখায় যে প্রতিটি রিংয়ে 6-এর প্রতিটি গুণিতক হল চারটি কিউব।) যেহেতু প্রতিটি পূর্ণসংখ্যা তার নিজস্ব ঘন মডুলো 6-এর সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ, তাই এটি অনুসরণ করে যে প্রতিটি মূলদ পূর্ণসংখ্যা পাঁচ ঘন পূর্ণসংখ্যার যোগফল। 1966 সালে প্রমাণিত হয় যে, যে কোনও পূর্ণসংখ্যা যা 4 অথবা −4 মডুলো 9-এর মধ্যে সর্বসম নয়, তা পূর্ণসংখ্যার চারটি কিউব-এর সমষ্টি। এর জন্য, তিনি নিম্নলিখিত পরিচয়গুলি ব্যবহার করেছিলেনঃ এবং এই পরিচয়গুলি (এবং যেগুলি থেকে বিপরীত দিকে গিয়ে প্রাপ্ত হয়েছে) অবিলম্বে দেখায় যে যে কোনও পূর্ণসংখ্যা যা 4 বা-4 মডুলো 9-এর সাথে সর্বসম নয় এবং 2 বা-2 মডুলো 18-এর সাথে সর্বসম নয়, তা মূলদ পূর্ণসংখ্যার চারটি ঘনের সমষ্টি। আরও সূক্ষ্ম যুক্তি ব্যবহার করে, ডেমজানেঙ্কো প্রমাণ করেছেন যে 2 বা −2 মডুলো 18-এর সাথে সর্বসম পূর্ণসংখ্যাগুলিও পূর্ণসংখ্যার চারটি কিউবগুলির যোগফল। সুতরাং সমস্যাটি কেবলমাত্র 4 বা −4 মডুলো 9-এর সমতুল্য পূর্ণসংখ্যার ক্ষেত্রেই দেখা দেয়। একটি উদাহরণ হল, কিন্তু এই ধরনের প্রতিটি পূর্ণসংখ্যাকে চার কিউব যোগফল হিসাবে লেখা যেতে পারে কিনা তা জানা যায় না। হেনরি কোহেনের ডেমজানেঙ্কোর গবেষণাপত্রের অনুবাদ অনুসারে, এই পরিচয়গুলি তাদের পরিপূরক পরিচয়ের সাথে 108x ±38 কেসটি রেখে যায়, যা প্রস্তাবটি প্রমাণ করে। তিনি তাঁর গবেষণাপত্রে 108x ±38 কেসও প্রমাণ করেছেন। আরও দেখুন তিন কিউব নোট এবং রেফারেন্সের সমষ্টি ডায়োফ্যান্টাইন সমীকরণ গণিতে অমীমাংসিত সমস্যা