Chapman–Kolmogorov equation
গণিতে, বিশেষত সম্ভাব্যতা তত্ত্বের মার্কোভিয়ান স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়াগুলির তত্ত্বে, চ্যাপম্যান-কোলমোগোরভ সমীকরণ (সিকেই) একটি স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়ার বিভিন্ন স্থানাঙ্কের যৌথ সম্ভাব্যতা বিতরণ সম্পর্কিত একটি পরিচয়। সমীকরণটি ব্রিটিশ গণিতবিদ সিডনি চ্যাপম্যান এবং রাশিয়ান গণিতবিদ আন্দ্রে কোলমোগোরভ উভয়ের দ্বারা স্বাধীনভাবে উদ্ভূত হয়েছিল। সাম্প্রতিক বৈচিত্র্যময় বায়েসিয়ান পদ্ধতিতে সিকেই বিশিষ্টভাবে ব্যবহৃত হয়। গাণিতিক বিবরণ ধরুন যে {ফাই} এলোমেলো চলকের একটি সূচক সংগ্রহ, অর্থাৎ একটি যাদৃচ্ছিক প্রক্রিয়া। ধরা যাক র্যান্ডম ভেরিয়েবল f1 থেকে fn-এর মানগুলির যৌথ সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন। তারপর, চ্যাপম্যান-কোলমোগোরভ সমীকরণ হল অর্থাৎ। উপদ্রব পরিবর্তনশীলের উপর একটি সরাসরি প্রান্তিককরণ। (লক্ষ্য করুন যে এলোমেলো চলকগুলির সাময়িক (বা অন্য কোনও) ক্রম সম্পর্কে এখনও কিছুই অনুমান করা হয়নি-উপরের সমীকরণটি তাদের যে কোনও প্রান্তিককরণের ক্ষেত্রে সমানভাবে প্রযোজ্য।) সময়-প্রসারিত মার্কভ শৃঙ্খলের প্রয়োগ যখন বিবেচনাধীন স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়াটি মার্কোভিয়ান হয়, তখন চ্যাপম্যান-কোলমোগোরভ সমীকরণটি রূপান্তর ঘনত্বের উপর একটি পরিচয়ের সমতুল্য। মার্কভ চেইন সেটিং-এ, কেউ ধরে নেয় যে i1 <. <in। তারপর, মার্কভ বৈশিষ্ট্যের কারণে, যেখানে শর্তাধীন সম্ভাবনা হল সময়ের মধ্যে রূপান্তর সম্ভাবনা। সুতরাং, চ্যাপম্যান-কোলমোগোরভ সমীকরণটি অনানুষ্ঠানিকভাবে রূপ নেয়, এটি বলে যে 1ম অবস্থা থেকে 3ম অবস্থানে যাওয়ার সম্ভাবনা 1 থেকে একটি মধ্যবর্তী অবস্থা 2 এবং তারপর 2 থেকে 3 পর্যন্ত যাওয়ার সম্ভাবনা থেকে পাওয়া যেতে পারে, সমস্ত সম্ভাব্য মধ্যবর্তী অবস্থা 2 যোগ করে। যখন একটি মার্কভ শৃঙ্খলের স্থিতি স্থানে সম্ভাব্যতা বন্টন বিচ্ছিন্ন হয় এবং মার্কভ শৃঙ্খল সমজাতীয় হয়, তখন চ্যাপম্যান-কোলমোগোরভ সমীকরণগুলি (সম্ভবত অসীম-মাত্রিক) ম্যাট্রিক্স গুণনের পরিপ্রেক্ষিতে প্রকাশ করা যেতে পারে, এইভাবেঃ যেখানে পি (টি) জাম্প টি-এর ট্রানজিশন ম্যাট্রিক্স, অর্থাৎ, পি (টি) এমন ম্যাট্রিক্স যাতে এন্ট্রি (আই, জে) টি ধাপে চেইনের অবস্থা আই থেকে স্টেট জে-তে যাওয়ার সম্ভাবনা ধারণ করে। ফলস্বরূপ, এটি অনুসরণ করা হয় যে জাম্প টি-এর ট্রানজিশন ম্যাট্রিক্স গণনা করার জন্য, জাম্প ওয়ান-এর ট্রানজিশন ম্যাট্রিক্সকে টি-এর শক্তিতে উন্নীত করা যথেষ্ট, অর্থাৎ চ্যাপম্যান-কোলমোগোরভ সমীকরণের ডিফারেনশিয়াল ফর্মটি একটি মাস্টার সমীকরণ হিসাবে পরিচিত। আরও দেখুন ফকার-প্ল্যাঙ্ক সমীকরণ (কোলমোগোরভ ফরোয়ার্ড সমীকরণ নামেও পরিচিত) কোলমোগোরভ পশ্চাদপদ সমীকরণ মার্কভ চেইনের উদাহরণ আরও পড়া বাহ্যিক লিঙ্ক সমীকরণ মার্কভ স্টোকাস্টিক ক্যালকুলাস প্রক্রিয়া করে