Exsphere (polyhedra)
জ্যামিতিতে, একটি নিয়মিত পলিহেড্রনের মুখের বহিঃক্ষেত্র হল পলিহেড্রনের বাইরের গোলক যা মুখকে স্পর্শ করে এবং পার্শ্ববর্তী মুখগুলি বাইরের দিকে প্রসারিত করে সংজ্ঞায়িত সমতলগুলি। এটি বাহ্যিকভাবে মুখের স্পর্শক এবং অভ্যন্তরীণভাবে সংলগ্ন মুখের স্পর্শক। এটি ত্রি-মাত্রিক বৃত্তের সমতুল্য। গোলকটি সাধারণত যে কোনও মুখের জন্য আরও ভালভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় যা একটি নিয়মিত বহুভুজ এবং ভাগ করা প্রান্তে একই ডাইহেড্রাল কোণ সহ মুখ দ্বারা সীমাবদ্ধ। আধা-নিয়মিত পলিহেড্রার মুখগুলিতে প্রায়শই বিভিন্ন ধরনের মুখ থাকে, যা প্রতিটি ধরনের মুখের সাথে বিভিন্ন আকারের গোলককে সংজ্ঞায়িত করে। পরামিতি গোলকটি সেই মুখের অন্তঃবৃত্তের কেন্দ্রে নিয়মিত পলিড্রনের মুখ স্পর্শ করে। যদি গোলকের ব্যাসার্ধ নির্দেশ করা হয়, তবে এই অন্তঃবৃত্তের ব্যাসার্ধ এবং মুখ এবং সংলগ্ন মুখের সম্প্রসারণের মধ্যে ডাইহেড্রাল কোণ, ডাইহেড্রাল কোণটি দ্বিখণ্ডিত করে মুখের এক প্রান্তের মাঝখানে ভিউপয়েন্ট থেকে এক্সফেয়ারের কেন্দ্রটি অবস্থিত। অতএব এটি অভ্যন্তরীণ মুখোমুখি কোণের 180-ডিগ্রি পরিপূরক। প্রান্ত দৈর্ঘ্যের টেট্রাহেড্রনের জ্যামিতিতে প্রয়োগ করা হলে, আমাদের একটি অন্তঃবৃত্তাকার ব্যাসার্ধ (পরিধির মধ্য দিয়ে মুখের ক্ষেত্রফলকে দ্বিগুণ ভাগ করে প্রাপ্ত), একটি ডাইহেড্রাল কোণ এবং ফলস্বরূপ রয়েছে। ঘনক ঘনকের 6টি মুখের বহিঃক্ষেত্রের ব্যাসার্ধ খোদাই করা গোলকের ব্যাসার্ধের সমান, যেহেতু এবং এর পরিপূরক একই, 90 ডিগ্রি। ইকোসাহেড্রন ইকোসাহেড্রনের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য ডাইহেড্রাল কোণটি একটি সাধারণ প্রান্ত সহ দুটি ত্রিভুজের স্থানাঙ্ক বিবেচনা করে উদ্ভূত হয়, উদাহরণস্বরূপ, অন্য দিকে শীর্ষ সহ একটি মুখ যেখানে সোনার অনুপাত রয়েছে। শীর্ষ স্থানাঙ্ক বিয়োগ করা প্রথম মুখ এবং অন্য মুখের প্রান্ত ভেক্টরকে সংজ্ঞায়িত করে। প্রথম মুখ এবং দ্বিতীয় মুখের প্রান্তের ক্রস পণ্যগুলি (স্বাভাবিক নয়) ব্যবহার করে প্রথম এবং দ্বিতীয় মুখের স্বাভাবিক ভেক্টরগুলির মুখোমুখি হয়। এই দুটি মুখের স্বাভাবিকের মধ্যে বিন্দু গুণফল ডাইহেড্রাল কোণের কোসাইন উৎপন্ন করে, প্রান্ত দৈর্ঘ্যের একটি আইকোসাহেড্রনের জন্য, ত্রিভুজাকার মুখগুলির অন্তঃবৃত্তাকার ব্যাসার্ধ হল, এবং পরিশেষে 20টি গোলকের ব্যাসার্ধ হল।