Vincent's theorem
গণিতে, ভিনসেন্টের উপপাদ্য-যা আলেকজান্ডার জোসেফ হিডুলফ ভিনসেন্টের নামে নামকরণ করা হয়েছে-এমন একটি উপপাদ্য যা যৌক্তিক সহগের সাথে বহুপদীর প্রকৃত মূলকে পৃথক করে। যদিও ভিনসেন্টের উপপাদ্যটি পলিনোমিয়ালগুলির প্রকৃত শিকড়ের পৃথকীকরণের দ্রুততম পদ্ধতির ভিত্তি, এটি প্রায় সম্পূর্ণরূপে ভুলে গিয়েছিল, স্টর্মের উপপাদ্য দ্বারা ছাপিয়ে গিয়েছিল; ফলস্বরূপ, এটি উসপেনস্কির বই ব্যতীত সমীকরণ তত্ত্বের (20 শতকের) কোনও শাস্ত্রীয় বইয়ে উপস্থিত হয় না। এই উপপাদ্যের দুটি রূপ উপস্থাপন করা হয়েছে, তাদের থেকে উদ্ভূত বেশ কয়েকটি (অব্যাহত ভগ্নাংশ এবং দ্বিখণ্ডন) বাস্তব মূল বিচ্ছিন্নতা পদ্ধতি সহ। চিহ্ন বৈচিত্র ধরা যাক c0, c1, c2,. বাস্তব সংখ্যার একটি সসীম বা অসীম ক্রম। ধরুন, l <r এবং নিম্নলিখিত শর্তগুলি থাকেঃ যদি r = l + 1 হয়, তাহলে cl এবং cr সংখ্যার বিপরীত চিহ্ন রয়েছে। যদি r ≤ l + 2 হয়, তবে সমস্ত সংখ্যাই ক্ল + 1,.., ক্র-1 শূন্য হয় এবং ক্ল এবং ক্র সংখ্যাগুলির বিপরীত চিহ্ন থাকে। একে বলা হয় চিহ্ন পরিবর্তন বা সি. এল এবং সি. আর সংখ্যার মধ্যে চিহ্ন পরিবর্তন। একটি চলকের বহুপদী p (x)-এর সঙ্গে কাজ করার সময়, p (x)-এর চিহ্ন বৈচিত্র্যের সংখ্যাকে তার সহগের ক্রমে চিহ্ন বৈচিত্র্যের সংখ্যা হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। এই উপপাদ্যের দুটি সংস্করণ উপস্থাপন করা হয়েছেঃ ভিনসেন্টের কারণে অব্যাহত ভগ্নাংশ সংস্করণ এবং আলেসিনা ও গালুজির কারণে দ্বিখণ্ডিত সংস্করণ। ভিনসেন্টের উপপাদ্যঃ অবিচ্ছিন্ন ভগ্নাংশ সংস্করণ (1834 এবং 1836) যদি একটি বহুপদী সমীকরণে যৌক্তিক সহগ সহ এবং একাধিক মূল ছাড়াই, যে কোনও ধনাত্মক সংখ্যা একটির চেয়ে বড় বা সমান হয়, তবে এই ধরনের বেশ কয়েকটি রূপান্তরের পরে, ফলস্বরূপ রূপান্তরিত সমীকরণের হয় শূন্য চিহ্ন বৈচিত্র্য রয়েছে বা এর একক চিহ্ন বৈচিত্র্য রয়েছে। প্রথম ক্ষেত্রে কোনও মূল নেই, অন্যদিকে দ্বিতীয় ক্ষেত্রে একটি একক ধনাত্মক বাস্তব মূল রয়েছে। উপরন্তু, প্রস্তাবিত সমীকরণের সংশ্লিষ্ট মূলটি সসীম অব্যাহত ভগ্নাংশ দ্বারা আনুমানিকঃ উপরন্তু, যদি এই বৈশিষ্ট্যকে সন্তুষ্ট করে এমন অসীম সংখ্যক সংখ্যা পাওয়া যায়, তবে মূলটি (অসীম) সংশ্লিষ্ট অব্যাহত ভগ্নাংশ দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয়। উপরের বিবৃতিটি ভিনসেন্টের মূল গবেষণাপত্রে পাওয়া উপপাদ্যটির সঠিক অনুবাদ; তবে, আরও স্পষ্টভাবে বোঝার জন্য নিম্নলিখিত মন্তব্যগুলি প্রয়োজনঃ যদি n প্রতিস্থাপনের পরে প্রাপ্ত বহুপদকে বোঝায় (এবং হরটি অপসারণের পরে), তবে এমন N বিদ্যমান থাকে যাতে সকলের জন্য কোনও চিহ্ন বৈচিত্র্য নেই বা এটির একটি চিহ্ন বৈচিত্র্য রয়েছে। পরের ক্ষেত্রে সকলের জন্য একটি একক ধনাত্মক বাস্তব মূল রয়েছে। অবিরত ভগ্নাংশটি মূল সমীকরণের একটি ধনাত্মক মূলকে উপস্থাপন করে এবং মূল সমীকরণে একাধিক ধনাত্মক মূল থাকতে পারে। অধিকন্তু, ধরে নেওয়া যাক, আমরা শুধুমাত্র মূল সমীকরণের একটি মূল পেতে পারি যা হল> 1। একটি নির্বিচারে ধনাত্মক মূল পেতে আমাদের তা অনুমান করতে হবে। ঋণাত্মক মূলগুলি x কে −x দ্বারা প্রতিস্থাপিত করে পাওয়া যায়, এই ক্ষেত্রে ঋণাত্মক মূলগুলি ধনাত্মক হয়ে যায়। ভিনসেন্টের উপপাদ্যঃ দ্বিখণ্ডিত সংস্করণ (আলেসিনা এবং গালুজি 2000) ধরা যাক p (x) ডিগ্রি ডিগ (p)-এর একটি বাস্তব বহুপদী যার কেবল সহজ মূল রয়েছে। একটি ধনাত্মক পরিমাণ δ নির্ধারণ করা সম্ভব যাতে a, b সহ ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যার প্রতিটি জুটির জন্য, ফর্মের প্রতিটি রূপান্তরিত বহুপদের ঠিক 0 বা 1 চিহ্ন বৈচিত্র্য থাকে। দ্বিতীয় কেসটি সম্ভব যদি এবং শুধুমাত্র যদি p (x)-এর (a, b)-এর মধ্যে একটি একক মূল থাকে। অ্যালেসিনা-গালুজ্জি "a _ b মূল পরীক্ষা" সমীকরণ () থেকে একটি বহুপদীর ব্যবধান (a, b)-এ কোনও মূল আছে কিনা তা নির্ধারণের জন্য নিম্নলিখিত মানদণ্ডটি পাওয়া যায়ঃ p (x)-এর উপর প্রতিস্থাপন করুন এবং রূপান্তরিত বহুপদের সহগগুলির ক্রমে চিহ্ন বৈচিত্র্যের সংখ্যা গণনা করুন; এই সংখ্যাটি মুক্ত ব্যবধান (a, b)-এর মধ্যে p (x)-এর প্রকৃত মূলের সংখ্যার উপর একটি ঊর্ধ্বসীমা দেয়। আরও সুনির্দিষ্টভাবে বলতে গেলে, R [x]-এর বহুপদী p (x)-এর মুক্ত অন্তরালে (a, b)-গুণিতক হিসাবে গণনা করা গুণিতক ডিগ্রী ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি বুদানের "0 _ 1 শিকড় পরীক্ষা" হল আলেসিনা-গালুজি "a _ b শিকড় পরীক্ষা"-র একটি বিশেষ উদাহরণ। একটি প্রমাণের স্কেচ ভিনসেন্টের উপপাদ্য, এর সম্প্রসারণ, জড়িত রূপান্তরগুলির জ্যামিতিক ব্যাখ্যা এবং তিনটি ভিন্ন প্রমাণের বিশদ আলোচনা আলেসিনা এবং গালুজির রচনায় পাওয়া যায়। চতুর্থ প্রমাণটি অস্ট্রোস্কির কারণে যিনি ওব্রেসকফ দ্বারা বর্ণিত একটি উপপাদ্যের একটি বিশেষ কেস পুনরায় আবিষ্কার করেছিলেন, পৃষ্ঠা 81,1920-1923। ভিনসেন্টের উপপাদ্য আলেসিনা এবং গালুজির (উভয় সংস্করণ) প্রমাণ করার জন্য দেখা যায় যে উপপাদ্যটিতে উল্লিখিত একাধিক রূপান্তরের পরে, একটি ধনাত্মক মূল সহ একটি বহুপদীর অবশেষে একটি চিহ্ন বৈচিত্র্য থাকে। এটি দেখানোর জন্য, তারা আগে উল্লিখিত 1920-1923-এর ওব্রেসকফ দ্বারা উপপাদ্যের নিম্নলিখিত উপপাদ্যটি ব্যবহার করে; অর্থাৎ, নিম্নলিখিত উপপাদ্যটি প্রয়োজনীয় শর্ত দেয় যার অধীনে একটি ধনাত্মক মূল সহ একটি বহুপদের তার সহগের ক্রমে ঠিক একটি চিহ্ন বৈচিত্র্য থাকে; সংশ্লিষ্ট চিত্রটিও দেখুন। করোলারি। (ওব্রেসকফের শঙ্কু বা সেক্টর উপপাদ্য, 1920-1923 পৃ. 81): যদি একটি বাস্তব বহুপদীর একটি সহজ মূল থাকে এবং অন্যান্য সমস্ত (সম্ভবত একাধিক) মূল সেক্টরে থাকে তবে তার সহগগুলির ক্রমের ঠিক একটি চিহ্ন বৈচিত্র্য থাকে। এখন মোবিয়াস রূপান্তর এবং সংশ্লিষ্ট চিত্রে দেখানো তিনটি বৃত্ত বিবেচনা করুন; ধরে নিন যে (হলুদ) বৃত্ত যার ব্যাস বাস্তব অক্ষের উপর অবস্থিত, শেষ বিন্দু সহ এবং কাল্পনিক অক্ষের উপর বিপরীত মোবিয়াস রূপান্তর দ্বারা ম্যাপ করা হয়েছে। উদাহরণস্বরূপ, বিন্দুটি বিন্দুতে ম্যাপ করা হয় বাইরের বিন্দুগুলি অর্ধ-সমতলে ম্যাপ করা হয়। কেন্দ্র এবং ব্যাসার্ধ সহ দুটি বৃত্ত (শুধুমাত্র তাদের নীল অর্ধচন্দ্র দৃশ্যমান) লাইনের উপর বিপরীত মোবিয়াস রূপান্তর দ্বারা ম্যাপ করা হয়। উদাহরণস্বরূপ, পয়েন্টটি বিন্দুতে ম্যাপ করা হয় বাইরের পয়েন্টগুলি (আট-আকৃতির চিত্রের বাইরে) সেক্টরে ম্যাপ করা হয়। উপরের থেকে এটা স্পষ্ট হয়ে ওঠে যে, যদি একটি বহুপদীর আট-আকৃতির আকৃতির ভিতরে একটি ধনাত্মক মূল থাকে এবং অন্যান্য সমস্ত মূল তার বাইরে থাকে, তবে এটি তার সহগের ক্রমে একটি চিহ্ন বৈচিত্র্য উপস্থাপন করে। এটি প্রক্রিয়াটির সমাপ্তিরও নিশ্চয়তা দেয়। ঐতিহাসিক পটভূমি ভিনসেন্টের উপপাদ্যের প্রাথমিক প্রয়োগ তাঁর মৌলিক গবেষণাপত্রে, ভিনসেন্ট এমন উদাহরণ উপস্থাপন করেছিলেন যা দেখায় যে কীভাবে তাঁর উপপাদ্যটি অব্যাহত ভগ্নাংশের সাথে বহুপদীগুলির প্রকৃত মূলকে বিচ্ছিন্ন করতে ব্যবহার করা যায়। তবে ফলস্বরূপ পদ্ধতিতে এক্সপোনেনশিয়াল কম্পিউটিং সময় ছিল, একটি সত্য যে গণিতবিদরা অবশ্যই তখন বুঝতে পেরেছিলেন, যেমনটি এক শতাব্দী পরে উসপেনস্কি পৃ. 136 দ্বারা উপলব্ধি করা হয়েছিল। ভিনসেন্টের অ্যালগরিদমের সূচকীয় প্রকৃতি আংশিক কোটিয়েন্টগুলি (ভিনসেন্টের উপপাদ্য) যেভাবে গণনা করা হয় তার কারণে। অর্থাৎ, প্রতিটি আংশিক ভাগফল এআই গণনা করার জন্য (অর্থাৎ, x-অক্ষের উপর মূলগুলি কোথায় রয়েছে তা সনাক্ত করার জন্য) ভিনসেন্ট বুদানের উপপাদ্যকে "কোনও মূল পরীক্ষা নয়" হিসাবে ব্যবহার করেন; অন্য কথায়, একটি মূলের পূর্ণসংখ্যা অংশ খুঁজে বের করার জন্য ভিনসেন্ট x-x + 1 ফর্মের ধারাবাহিক প্রতিস্থাপন সম্পাদন করেন এবং কেবল তখনই থামেন যখন বহুপদী p (x) এবং p (x + 1) তাদের সহগের ক্রমের চিহ্ন বৈচিত্র্যের সংখ্যায় ভিন্ন হয় (অর্থাৎ। যখন p (x + 1) এর চিহ্ন বৈচিত্র্যের সংখ্যা হ্রাস পায়। সংশ্লিষ্ট চিত্রটি দেখুন যেখানে মূলটি ব্যবধানের মধ্যে রয়েছে (5,6)। এটি সহজেই অনুমান করা যায় যে, যদি মূলটি উৎপত্তি থেকে অনেক দূরে থাকে, তবে তার পূর্ণসংখ্যার অংশটি এইভাবে খুঁজে পেতে অনেক সময় লাগে, তাই ভিনসেন্টের পদ্ধতির সূচকীয় প্রকৃতি। নীচে এই ত্রুটিটি কীভাবে কাটিয়ে ওঠা যায় তার একটি ব্যাখ্যা রয়েছে। ভিনসেন্টের উপপাদ্যের অন্তর্ধান ভিনসেন্ট ছিলেন 19 শতকের শেষ লেখক যিনি একটি বহুপদের প্রকৃত মূলের বিচ্ছিন্নতার জন্য তাঁর উপপাদ্যটি ব্যবহার করেছিলেন। এর কারণ ছিল 1827 সালে স্টর্মের উপপাদ্যের আবির্ভাব, যা একটি বাস্তব মুক্ত ব্যবধান (a, b)-এ একটি বহুপদীর প্রকৃত মূলের সুনির্দিষ্ট সংখ্যা সংজ্ঞায়িত করে বহুপদী সময়ে প্রকৃত মূল বিচ্ছিন্নতা সমস্যার সমাধান করে। পলিনোমিয়ালগুলির প্রকৃত শিকড় গণনা করার জন্য ফলস্বরূপ (স্টর্মের) পদ্ধতিটি ব্যাপকভাবে পরিচিত এবং ব্যবহৃত হয়েছে-প্রায় 1980 সাল পর্যন্ত, যখন এটি ভিনসেন্টের উপপাদ্য থেকে প্রাপ্ত পদ্ধতি দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয়েছিল (প্রায় সমস্ত কম্পিউটার বীজগণিত সিস্টেমে), দ্রুততম পদ্ধতি হল ভিনসেন্ট-আক্রিতাস-স্ট্রজেবোন্স্কি (ভিএএস) পদ্ধতি। সেরেট তাঁর বীজগণিত, পিপি 363-368, ভিনসেন্টের উপপাদ্যকে তার প্রমাণ সহ অন্তর্ভুক্ত করেছিলেন এবং সমস্ত আগ্রহী পাঠকদের ভিনসেন্টের গবেষণাপত্রগুলিতে এটি কীভাবে ব্যবহার করা হয় তার উদাহরণের জন্য নির্দেশ করেছিলেন। সেরেট ছিলেন 19 শতকে ভিনসেন্টের উপপাদ্য উল্লেখ করা শেষ লেখক। ভিনসেন্টের উপপাদ্যের প্রত্যাবর্তন বিংশ শতাব্দীতে ভিনসেন্টের উপপাদ্য সমীকরণের কোনও তত্ত্বের বইয়ে পাওয়া যায় না; একমাত্র ব্যতিক্রম হল উসপেনস্কি এবং ওব্রেসকফের বই, যেখানে দ্বিতীয়টিতে কেবল উপপাদ্যের বিবৃতি রয়েছে। উসপেনস্কির বইয়ে আক্রিতাস ভিনসেন্টের উপপাদ্যটি খুঁজে পেয়েছিলেন এবং এটিকে তাঁর পিএইচডি থিসিস "ভিনসেন্টের উপপাদ্য বীজগাণিতিক ম্যানিপুলেশন", নর্থ ক্যারোলিনা স্টেট ইউনিভার্সিটি, ইউএসএ, 1978-এর বিষয় হিসাবে তৈরি করেছিলেন। সেই সময়ে একটি বড় অর্জন ছিল 1836 সালের ভিনসেন্টের মূল গবেষণাপত্রটি ধরে রাখা, যা উসপেনস্কিকে এড়িয়ে গিয়েছিল-যার ফলে একটি বড় ভুল বোঝাবুঝি হয়েছিল। 1836 সালের ভিনসেন্টের মূল গবেষণাপত্রটি মার্কিন যুক্তরাষ্ট্রের উইসকনসিন-ম্যাডিসন বিশ্ববিদ্যালয়ের গ্রন্থাগারের একজন গ্রন্থাগারিকের প্রশংসনীয় প্রচেষ্টার (আন্তঃগ্রন্থাগার ঋণ) মাধ্যমে আক্রিতাসের কাছে উপলব্ধ করা হয়েছিল। ভিনসেন্টের উপপাদ্য থেকে উদ্ভূত বাস্তব মূল বিচ্ছিন্নকরণ পদ্ধতি হল একটি বহুপদীর প্রকৃত মূলের বিচ্ছিন্নকরণ হল উন্মুক্ত বিচ্ছিন্ন ব্যবধানগুলি খুঁজে বের করার প্রক্রিয়া যাতে প্রত্যেকটিতে ঠিক একটি বাস্তব মূল থাকে এবং প্রতিটি বাস্তব মূল নির্দিষ্ট বিরতিতে থাকে। ঊনবিংশ শতাব্দীর ফরাসি গণিতের মত অনুসারে, এটি প্রকৃত মূল গণনা করার প্রথম ধাপ, দ্বিতীয়টি হল যে কোনও মাত্রার নির্ভুলতার সাথে তাদের আনুমানিক অনুমান; উপরন্তু, ধনাত্মক মূলের উপর ফোকাস করা হয়, কারণ বহুপদের ঋণাত্মক মূলগুলি পৃথক করার জন্য p (x) x কে −x দ্বারা প্রতিস্থাপন করে এবং প্রক্রিয়াটি পুনরাবৃত্তি করে। ভিনসেন্টের উপপাদ্যের অব্যাহত ভগ্নাংশ সংস্করণটি ডিগ্রি ডিগ (পি)-এর প্রদত্ত বহুপদী পি (এক্স)-এর ধনাত্মক মূলগুলিকে পৃথক করতে ব্যবহার করা যেতে পারে। এটি দেখার জন্য, মোবিয়াস রূপান্তর দ্বারা অবিচ্ছিন্ন ভগ্নাংশকে উপস্থাপন করুন যা তার সহগের ক্রমে একটি চিহ্ন বৈচিত্র্য সহ একটি রূপান্তরিত বহুপদীর দিকে পরিচালিত করে। তারপর, f (x)-এর একক ধনাত্মক মূল (অন্তরালে (0, φ)) p (x)-এর সেই ধনাত্মক মূলের সাথে মিলে যায় যা শেষবিন্দু এবং সহ খোলা অন্তরালে থাকে। এই শেষ বিন্দুগুলি ক্রমবদ্ধ নয় এবং যথাক্রমে এম (0) এবং এম (φ) এর সাথে মিলে যায়। অতএব, একটি পলিনোমিয়ালের ধনাত্মক মূলগুলি পৃথক করার জন্য, যা করতে হবে তা হল-প্রতিটি মূলের জন্য-সংশ্লিষ্ট মোবিয়াস রূপান্তরের চলক a, b, c, d গণনা করা যা সমীকরণ ()-এর মতো একটি রূপান্তরিত পলিনোমিয়ালের দিকে নিয়ে যায়, যার সহগের ক্রমে একটি চিহ্ন বৈচিত্র্য থাকে। গুরুত্বপূর্ণ পর্যবেক্ষণঃ একটি মোবিয়াস রূপান্তরের (ভিনসেন্টের উপপাদ্য) a, b, c, d চলকগুলি একটি রূপান্তরিত বহুপদীর দিকে নিয়ে যায়-যেমন সমীকরণ ()-তার সহগের ক্রমের একটি চিহ্ন বৈচিত্র্য সহ গণনা করা যেতে পারেঃ হয় অবিচ্ছিন্ন ভগ্নাংশ দ্বারা, যা ভিনসেন্ট-আক্রিতাস-স্ট্রজেবন্স্কি (ভিএএস) অব্যাহত ভগ্নাংশ পদ্ধতির দিকে নিয়ে যায়, অথবা দ্বিখণ্ডন দ্বারা, যা (অন্যদের মধ্যে) ভিনসেন্ট-কলিন্স-আক্রিতাস (ভিসিএ) দ্বিখণ্ডন পদ্ধতির দিকে নিয়ে যায়। এই সমস্ত গুরুত্বপূর্ণ পর্যবেক্ষণের "দ্বিখণ্ডিত অংশ" আলেসিনা এবং গালুজির গবেষণাপত্রে একটি বিশেষ উপপাদ্য হিসাবে আবির্ভূত হয়েছিল। নীচে বর্ণিত সমস্ত পদ্ধতি (তাদের ঐতিহাসিক পটভূমির জন্য বুদানের উপপাদ্যের নিবন্ধটি দেখুন) বিবেচনাধীন বহুপদের ধনাত্মক মূলের মানগুলির উপর একটি উচ্চ সীমা, ub গণনা করতে হবে। ব্যতিক্রম হল ভিএএস পদ্ধতি যেখানে প্রধান লুপের প্রায় প্রতিটি চক্রে অতিরিক্তভাবে নিম্ন সীমা, এলবি গণনা করা আবশ্যক। পলিনোমিয়াল p (x)-এর নিম্ন আবদ্ধ lb গণনা করতে পলিনোমিয়ালের উপরের আবদ্ধ ub গণনা করুন এবং সেট করুন। ডরু স্টেফানস্কুর পূর্ববর্তী কাজের উপর ভিত্তি করে আক্রিতাস, স্ট্রজেবোন্স্কি এবং ভিগ্লাস দ্বারা বহুপদগুলির শুধুমাত্র ধনাত্মক মূলের মানগুলির উপর চমৎকার (উপরের এবং নীচের) সীমা তৈরি করা হয়েছে। এগুলি পি. এস. ভিগক্লাসের পিএইচ. ডি থিসিস এবং অন্যান্য জায়গায় বর্ণনা করা হয়েছে। এই সীমা ইতিমধ্যেই কম্পিউটার বীজগণিত ব্যবস্থায় প্রয়োগ করা হয়েছে-ম্যাথমেটিকা, সেজম্যাথ, সিমপাই, এক্সকাস ইত্যাদি। নীচে বর্ণিত তিনটি পদ্ধতিই ফ্রাঁসোয়া বোলিয়ারের চমৎকার উপস্থাপনা অনুসরণ করে, পৃ. 24। অবিচ্ছিন্ন ভগ্নাংশ পদ্ধতি শুধুমাত্র একটি অবিচ্ছিন্ন ভগ্নাংশ পদ্ধতি ভিনসেন্টের উপপাদ্য থেকে উদ্ভূত হয়েছে। উপরে যেমন বলা হয়েছে, এটি 1830-এর দশকে শুরু হয়েছিল যখন ভিনসেন্ট গবেষণাপত্রে বেশ কয়েকটি উদাহরণ উপস্থাপন করেছিলেন যা দেখায় যে কীভাবে তার উপপাদ্যটি অব্যাহত ভগ্নাংশের সাথে পলিনোমিয়ালগুলির আসল মূলগুলিকে বিচ্ছিন্ন করতে ব্যবহার করা যায়। তবে ফলস্বরূপ পদ্ধতিতে এক্সপোনেনশিয়াল কম্পিউটিং সময় ছিল। এই পদ্ধতিটি কীভাবে বিকশিত হয়েছিল তার একটি ব্যাখ্যা নীচে দেওয়া হল। ভিনসেন্ট-আক্রিতাস-স্ট্রজেবোন্স্কি (ভিএএস, 2005) ভিনসেন্টের পদ্ধতির সূচকীয় আচরণ পরিচালনা করার জন্য এটি দ্বিতীয় পদ্ধতি (ভিসিএ-র পরে)। ভিএএস অব্যাহত ভগ্নাংশ পদ্ধতি হল ভিনসেন্টের উপপাদ্যের একটি সরাসরি বাস্তবায়ন। এটি মূলত 1834 থেকে 1938 সাল পর্যন্ত ভিনসেন্ট দ্বারা একটি সূচকীয় আকারে গবেষণাপত্রে উপস্থাপিত হয়েছিল; যথা, ভিনসেন্ট প্রতিটি আংশিক ভাগফলকে একক বৃদ্ধির একটি সিরিজ দ্বারা গণনা করেছিলেন, যা x-x + 1 ফর্মের প্রতিস্থাপনের সমতুল্য। ভিনসেন্টের পদ্ধতিটি তার বহুপদী জটিলতা আকারে রূপান্তরিত হয়েছিল আক্রিতাস দ্বারা, যিনি তাঁর 1978 সালের পিএইচডি থিসিসে (ভিনসেন্টের উপপাদ্য বীজগাণিতিক কারসাজিতে, নর্থ ক্যারোলিনা স্টেট ইউনিভার্সিটি, ইউএসএ) প্রতিটি আংশিক ভাগফলকে একটি বহুপদীর ধনাত্মক মূলের মানের উপর নিম্ন সীমা, এলবি হিসাবে গণনা করেছিলেন। একে আদর্শ ধনাত্মক নিম্ন মূল সীমা বলা হয় যা ক্ষুদ্রতম ধনাত্মক মূলের পূর্ণসংখ্যা অংশ গণনা করে (সংশ্লিষ্ট চিত্রটি দেখুন)। বুঝার জন্য, এখন এআই-এলবি সেট করুন বা, সমতুল্যভাবে, প্রতিস্থাপন এক্স-এক্স + এলবি সম্পাদন করুন, যা প্রতিস্থাপন এক্স-এক্স + 1 হিসাবে প্রায় একই সময় নেয়। অবশেষে, যেহেতু আদর্শ ধনাত্মক নিম্ন মূল সীমা বিদ্যমান নেই, তাই 2005 সালে স্ট্রেজেবোন্স্কি প্রতিস্থাপন চালু করেন, যখনই; সাধারণভাবে এবং মান 16 পরীক্ষামূলকভাবে নির্ধারণ করা হয়েছিল। অধিকন্তু, এটি দেখানো হয়েছে যে ভি. এ. এস (অব্যাহত ভগ্নাংশ) পদ্ধতিটি ভি. সি. এ (দ্বিখণ্ডন) পদ্ধতির দ্রুততম বাস্তবায়নের চেয়ে দ্রুততর, একটি সত্য যা স্বাধীনভাবে নিশ্চিত করা হয়েছিল; আরও সুনির্দিষ্টভাবে, উচ্চ মাত্রার ভি. এ. এস-এর মিগনট বহুপদীগুলির জন্য ভি. সি. এ-র দ্রুততম বাস্তবায়নের তুলনায় প্রায় 50,000 গুণ দ্রুত। 2007 সালে, শর্মা আদর্শ ধনাত্মক নিম্ন সীমার অনুমানটি সরিয়ে দেন এবং প্রমাণ করেন যে ভি. এ. এস এখনও সময়ের মধ্যে বহুপদী। ভিএএস হল ম্যাথমেটিকা, সেজম্যাথ, সিমপাই, এক্সকাস-এ মূল বিচ্ছিন্নতার ডিফল্ট অ্যালগরিদম। স্টর্মের পদ্ধতি এবং ভি. এ. এস-এর মধ্যে তুলনার জন্য এক্সকাস-এর রিয়েলরুট (পলি) এবং সময় (রিয়েলরুট (পলি)) ফাংশন ব্যবহার করুন। ডিফল্টরূপে, পলি রিয়েলরুটের আসল শিকড়গুলি পৃথক করতে ভিএএস পদ্ধতি ব্যবহার করে; স্টর্মের পদ্ধতি ব্যবহার করতে রিয়েলরুট (স্টর্ম, পলি) লিখুন। অ্যান্ড্রয়েড ডিভাইসের জন্য এ বারকাকিসের একটি অ্যাপ্লিকেশনের জন্য বাহ্যিক লিঙ্কগুলিও দেখুন যা একই কাজ করে। এখানে ভিএএস (পি, এম) কীভাবে কাজ করে, যেখানে সরলতার জন্য স্ট্রজেবোন্সকির অবদান অন্তর্ভুক্ত নয়ঃ ধরা যাক পি (এক্স) ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি এর ধনাত্মক মূলগুলি পৃথক করার জন্য, মোবিয়াস রূপান্তর M (x) = x এর সাথে p (x) যুক্ত করুন এবং নিম্নলিখিত পদক্ষেপগুলি পুনরাবৃত্তি করুন যখন জোড়া {p (x), M (x)} প্রক্রিয়াজাত করা হবে। সম্ভব হলে, p (x)-এর উপর ডেসকার্টেসের চিহ্নের নিয়ম ব্যবহার করে গণনা করুন, (তার সহগের ক্রমে চিহ্ন বৈচিত্র্যের সংখ্যা ভার ব্যবহার করে) ব্যবধানের মধ্যে তার মূলের সংখ্যা (0, φ)। যদি কোনও মূল না থাকে তবে খালি সেটটি ফেরত দেয়, যেখানে একটি মূল থাকলে ব্যবধানটি ফেরত দেয় (a, b), যেখানে a = ন্যূনতম (M (0), M (≤), এবং b = সর্বোচ্চ (M (0), M (≤)); যদি b = ≤ সেট b = ub হয়, যেখানে p (x) এর ধনাত্মক মূলগুলির মানগুলির উপর ub একটি উপরের সীমা। যদি দুই বা ততোধিক চিহ্ন বৈচিত্র্য থাকে তবে ডেসকার্টের চিহ্নগুলির নিয়ম বোঝায় যে ব্যবধানের (0, φ) ভিতরে শূন্য, এক বা একাধিক বাস্তব মূল থাকতে পারে; এই ক্ষেত্রে p (x)-এর মূলগুলি পৃথকভাবে বিবেচনা করুন যা ব্যবধানের (0,1) মধ্যে রয়েছে এবং ব্যবধানের (1, φ) মধ্যে রয়েছে। 1-এর জন্য একটি বিশেষ পরীক্ষা করতে হবে। ব্যবধানের (0,1) আদর্শ নিম্নসীমার ভিতরে মূল রয়েছে তা নিশ্চিত করার জন্য, lb ব্যবহার করা হয়; অর্থাৎ ক্ষুদ্রতম ধনাত্মক মূলের পূর্ণসংখ্যা অংশটি নিম্নসীমার সাহায্যে, p (x) এর ধনাত্মক মূলের মানগুলির উপর গণনা করা হয়। যদি, প্রতিস্থাপনটি p (x) এবং M (x)-এ সঞ্চালিত হয়, যেখানে যদি মূল (গুলি)-এর পূর্ণসংখ্যা অংশটি খুঁজে বের করতে প্রতিস্থাপন (গুলি) x → x + 1 ব্যবহার করা হয়। ব্যবধান (0,1)-এর মধ্যে মূলগুলি গণনা করতে p (x) এবং M (x)-এর প্রতিস্থাপন করুন এবং জোড়টিকে প্রক্রিয়া করুন যেখানে ব্যবধান (1, φ)-এর মূলগুলি গণনা করতে x-কে + 1 থেকে p (x) এবং M (x) প্রতিস্থাপন করুন এবং জোড়া {p (1 + x), M (1 + x)}-কে প্রক্রিয়া করুন। এটি ভালভাবে প্রমাণিত হতে পারে যে 1 হল p (x)-এর একটি মূল, এই ক্ষেত্রে, M (1) মূল বহুপদের একটি মূল এবং বিচ্ছিন্নতা ব্যবধান একটি বিন্দুতে হ্রাস পায়। নীচে ভিএএস (পি, এম)-এর একটি পুনরাবৃত্তিমূলক উপস্থাপনা রয়েছে। ভিএএস (পি, এম): ইনপুটঃ একটি অভিন্ন, বর্গ-মুক্ত বহুপদী, ডিগ্রি ডিগ (পি), এবং মোবিয়াস রূপান্তর আউটপুটঃ পি (এক্স) এর ধনাত্মক মূলগুলির বিচ্ছিন্ন ব্যবধানের একটি তালিকা। p (x)// ডেসকার্টেসের চিহ্নের নিয়মের চিহ্নের বৈচিত্র্যের সংখ্যা; 2 যদি ভার = 0 হয় তবে রিটার্ন; 3 যদি ভার = 1 হয় তবে রিটার্ন {(a, b)}// a = ন্যূনতম (M (0), M (≤), b = সর্বোচ্চ (M (0), M (≤)), কিন্তু যদি b = ≤ সেট b = ub হয়, যেখানে ub হল p (x)-এর ধনাত্মক মূলের মানগুলির উপর একটি ঊর্ধ্বসীমা; 4 lb-p (x)-এর ধনাত্মক মূলগুলির উপর আদর্শ নিম্নসীমা; 5 যদি lb ≤ 1 হয় তবে p (x + lb) 8 p1 ≤ p (x + 1), M1 ≤ M (x + 1)// (1, ≤)-এ প্রকৃত মূল খুঁজুন; 9 যদি p (1) ≤ 0 হয় তবে 10 রিটার্ন ভ্যাস (p01, M01) ≤ ভ্যাস (p1 ≤, M1 ≤) 11 অন্য 12 রিটার্ন ভ্যাস (p01, M01) ≤ {[[m, m]} ≤ ভ্যাস (p1 ≤, M1 ≤) 13 শেষ মন্তব্য সরলতার জন্য স্ট্রজেবোন্সকির অবদান অন্তর্ভুক্ত নয়। উপরের অ্যালগরিদমে প্রতিটি বহুপদের সাথে একটি মোবিয়াস রূপান্তর এম (এক্স) যুক্ত রয়েছে। প্রথম সারিতে ডেসকার্টেসের চিহ্নের নিয়ম প্রয়োগ করা হয়। যদি ভিএএস (পি, এম) থেকে 4 এবং 5 লাইন সরিয়ে ফেলা হয় তবে ফলস্বরূপ অ্যালগরিদমটি ভিনসেন্টের সূচকীয়। বহুপদী p (x)-এর উপর সঞ্চালিত যে কোনও প্রতিস্থাপন সংশ্লিষ্ট মোবিয়াস রূপান্তর M (x)-এর উপরও সঞ্চালিত হয়। বিচ্ছিন্ন ব্যবধানগুলি লাইন 3-এ মোবিয়াস রূপান্তর থেকে গণনা করা হয়, লাইন 7 (এছাড়াও 12)-এ গণনা করা পূর্ণসংখ্যা মূল ব্যতীত। ভিএএস (পি, এম)-এর উদাহরণ আমরা ভিএএস পদ্ধতি প্রয়োগ করি (লক্ষ্য করুন যেঃ)। পুনরাবৃত্তি 1 ভি. এ. এস (x3 − 7x + 7, x) 1 ভার// পি (x) = x3 − 7x + 7 4 lb-1// এর সহগগুলির ক্রমে চিহ্ন বৈচিত্র্যের সংখ্যা-lbকম্পিউট এবং প্রতিস্থাপন (গুলি) x-1 + 1 p-3 + 3x2 − 4x + 1, M-1 + 1 6 p-1-3 − x-2 − 2x + 1, M-1-1-1-1 8 p-1-1-3 + 6x2 + 5x + 1, M1-1 ≤ x + পুনরাবৃত্তি 2 ভি. এ. এস (x3 − x2 − 2x + 1,) 1 ভার// p (x) = x3 − x2 − 2x + 1 4 lb − 0// এর সহগগুলির ক্রমে চিহ্ন বৈচিত্র্যের সংখ্যা আদর্শ নিম্ন সীমা-lbকম্পিউটেড এবং প্রতিস্থাপন (গুলি) x <x + 1 6 p01 <x3 + x2 − 2x − 1, M01 <7 m <8 p1 <x3 + 2x2 − x−1, M1 ≤ 10 রিটার্ন ভি. এ. এস (x3 + x2 − 2x−1,) ব্যবহার করে পাওয়া যায়। পুনরাবৃত্তি 3 ভি. এ. এস (x3 + x2 − 2x − 1,) 1 ভার 1// পি (x) = x3 + x2 − 2x − 1 3 রিটার্ন {(, 2)}-এর সহগগুলির ক্রমে চিহ্ন বৈচিত্র্যের সংখ্যা বিচ্ছিন্নতা ব্যবধানের তালিকাঃ প্রক্রিয়া করার জন্য জোড়াগুলির তালিকাঃ প্রথমটি সরান এবং এটি প্রক্রিয়া করুন। পুনরাবৃত্তি 4 ভি. এ. এস (x3 + 2x2 − x−1,) 1 ভার 1// পি (x) = x3 + 2x2 − x−13 রিটার্ন {(1,)}-এর সহগগুলির ক্রমে চিহ্ন বৈচিত্র্যের সংখ্যা বিচ্ছিন্নতা ব্যবধানের তালিকাঃ প্রক্রিয়াজাত করার জন্য জোড়াগুলির তালিকাঃ প্রথমটি সরান এবং এটি প্রক্রিয়া করুন। পুনরাবৃত্তি 5 ভি. এ. এস (x3 + 6x2 + 5x + 1, x + 2) 1 ভ্যার-0// পি (x) = x3 + 6x2 + 5x + 1 2 রিটার্ন-এর সহগগুলির ক্রমানুসারে চিহ্নের বৈচিত্র্যের সংখ্যা। শেষ হয়ে গেছে। উপসংহার অতএব, বহুপদের দুটি ধনাত্মক মূল বিচ্ছিন্নতা ব্যবধান এবং}-এর মধ্যে থাকে। প্রতিটি মূলকে আনুমানিকভাবে অনুমান করা যেতে পারে (উদাহরণস্বরূপ) এটি অবস্থিত বিচ্ছিন্নতা ব্যবধানকে দ্বিখণ্ডিত করে যতক্ষণ না শেষবিন্দুগুলির পার্থক্য এর চেয়ে ছোট হয়; এই পদ্ধতির অনুসরণ করে, শিকড়গুলি এবং হয়ে যায়। দ্বিভাজন পদ্ধতি ভিনসেন্টের উপপাদ্য থেকে উদ্ভূত বিভিন্ন দ্বিভাজন পদ্ধতি রয়েছে; এগুলি সবই অন্যত্র উপস্থাপিত এবং তুলনা করা হয়। এখানে তাদের মধ্যে সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ দুটি বর্ণনা করা হয়েছে, যথা, ভিনসেন্ট-কলিন্স-আক্রিতাস (ভি. সি. এ) পদ্ধতি এবং ভিনসেন্ট-আলেসিনা-গালুজি (ভি. এ. জি) পদ্ধতি। ভিনসেন্টের উপপাদ্য থেকে উদ্ভূত সমস্ত পদ্ধতির মধ্যে ভিনসেন্ট-আলেসিনা-গালুজি (ভিএজি) পদ্ধতিটি সবচেয়ে সহজ, তবে কোনও বহুপদীর সুদের ব্যবধানে মূল রয়েছে কিনা তা নির্ধারণ করতে সর্বাধিক সময়সাপেক্ষ পরীক্ষা (লাইন 1-এ) রয়েছে; এটি এই নিবন্ধে উপস্থাপিত পদ্ধতিগুলির মধ্যে এটিকে ধীরতম করে তোলে। বিপরীতে, ভিনসেন্ট-কলিন্স-আক্রিতাস (ভি. সি. এ) পদ্ধতিটি আরও জটিল তবে ভি. এ. জি-এর তুলনায় একটি সহজ পরীক্ষা (লাইন 1-এ) ব্যবহার করে। এটি কিছু উন্নতির সাথে ভি. সি. এ-কে দ্রুততম দ্বিখণ্ডিত পদ্ধতিতে পরিণত করেছে। ভিনসেন্ট-কলিন্স-আক্রিতাস (ভি. সি. এ, 1976) ভিনসেন্টের মূল পদ্ধতির সূচকীয় প্রকৃতি কাটিয়ে ওঠার জন্য এটি প্রথম পদ্ধতি ছিল এবং এর নামের ক্ষেত্রে বেশ আকর্ষণীয় ইতিহাস রয়েছে। এই পদ্ধতিটি, যা ডেসকার্টেসের চিহ্নের নিয়ম এবং ভিনসেন্টের উপপাদ্য ব্যবহার করে প্রকৃত শিকড়কে পৃথক করে, মূলত এর উদ্ভাবক কলিন্স এবং আক্রিতাস দ্বারা পরিবর্তিত উসপেনস্কির অ্যালগরিদম নামে পরিচিত ছিল। "কলিন্স-আক্রিতাস পদ্ধতি" এবং "ডেসকার্টেস পদ্ধতি" (ফুরিয়ারের নিবন্ধটি বিবেচনা করলে খুব বিভ্রান্তিকর) এর মতো নামগুলির মধ্য দিয়ে যাওয়ার পরে, অবশেষে লিল বিশ্ববিদ্যালয়ের ফ্রাঁসোয়া বোলিয়ার, যিনি এটিকে ভিনসেন্ট-কলিন্স-আক্রিতাস (ভি. সি. এ) পদ্ধতি, পৃষ্ঠা 24 নাম দিয়েছিলেন, এই সত্যের ভিত্তিতে যে "উসপেনস্কির পদ্ধতি" বিদ্যমান নেই এবং "ডেসকার্টেস পদ্ধতি" ও নেই। এই পদ্ধতির সর্বোত্তম বাস্তবায়ন রুইলিয়ার এবং জিমারম্যানের কারণে এবং আজ অবধি এটি দ্রুততম দ্বিখণ্ডিত পদ্ধতি। এটি স্টর্মের অ্যালগরিদমের মতো একই খারাপ কেস জটিলতা রয়েছে, তবে প্রায় সবসময়ই অনেক দ্রুত হয়। এটি ম্যাপেলের রুটফাইন্ডিং প্যাকেজে প্রয়োগ করা হয়েছে। ভি. সি. এ (পি, (এ, বি)) কিভাবে কাজ করেঃ ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি সমস্ত p (x)-এর ধনাত্মক মূলগুলি ব্যবধান (0,1)-এ থাকে এবং তাদের এবং মৌলিক (x)-এর মূলগুলির মধ্যে একটি বিভক্তি থাকে, যা সমস্ত ব্যবধান (a, b) = (0, ub)-এ থাকে (সংশ্লিষ্ট চিত্রটি দেখুন); এই বিভক্তিটি α (a, b) = a + α (0,1) (b−a) দ্বারা প্রকাশ করা হয়। একইভাবে, অন্তরগুলির (0,1) এবং (0, ub) মধ্যে একটি বাইজেকশন রয়েছে। {p (x), (a, b)} জোড়া প্রক্রিয়া করার সময় নিম্নলিখিত পদক্ষেপগুলি পুনরাবৃত্তি করুন। পি (এক্স)-এর উপর বুদানের "0 _ 1 মূল পরীক্ষা" ব্যবহার করে ব্যবধানের (0,1) মধ্যে এর মূলের সংখ্যা গণনা করুন। যদি কোনও মূল না থাকে তবে খালি সেটটি ফেরত দেয়, এবং যদি একটি মূল থাকে তবে ব্যবধানটি (a, b) ফেরত দেয়। যদি দুই বা ততোধিক চিহ্ন বৈচিত্র্য থাকে তবে বুদানের "0 _ 1 মূল পরীক্ষা" বোঝায় যে ব্যবধানের মধ্যে শূন্য, এক, দুই বা ততোধিক বাস্তব মূল থাকতে পারে (0,1)। এই ক্ষেত্রে এটি অর্ধেক করে কেটে নিন এবং পৃথকভাবে বিবেচনা করুন p (x)-এর মূলগুলি ব্যবধানের (0,)-এর মধ্যে এবং যা ব্যবধানের (a, (a + b)) মধ্যে থাকা মূলগুলির (x) সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ এবং ব্যবধানের ((a + b), b) মধ্যে থাকা মূলগুলির (x) সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ; অর্থাৎ, যথাক্রমে প্রক্রিয়া, জোড়া (সংশ্লিষ্ট চিত্র দেখুন)। এটি ভালভাবে প্রমাণিত হতে পারে যে এটি p (x) এর একটি মূল, যে ক্ষেত্রে (a + b) হল অরিজিনের (x) একটি মূল এবং বিচ্ছিন্নতা ব্যবধান একটি বিন্দুতে হ্রাস পায়। নীচে মূল অ্যালগরিদম ভি. সি. এ (পি, (এ, বি))-এর একটি পুনরাবৃত্তিমূলক উপস্থাপনা রয়েছে। ভি. সি. এ (পি, (এ, বি)) ইনপুটঃ একটি অভিন্ন, বর্গ-মুক্ত বহুপদী পি (ইউবি * এক্স), পি (0) ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি (পি) এর ω0, এবং উন্মুক্ত ব্যবধান (এ, বি) = (0, ইউবি), যেখানে ইউবি হল পি (এক্স) এর ধনাত্মক মূলের মানগুলির উপর একটি উপরের সীমা। (p (ub * x)-এর ধনাত্মক মূলগুলি সবগুলিই খোলা ব্যবধানের (0,1) মধ্যে থাকে)। আউটপুটঃ p (x) 1 ভ্যারের ধনাত্মক মূলগুলির বিচ্ছিন্ন ব্যবধানের একটি তালিকা-(x + 1) ডিগ (p) p ()// বুদানের "0 _ 1 রুট টেস্ট"-এর চিহ্ন বৈচিত্র্যের সংখ্যা; 2 যদি ভার = 0 হয় তবে রিটার্ন যু; 3 যদি ভার = 1 হয় তবে রিটার্ন {(a, b)}; 4 p 0-2ডিগ (p) p ()//-এ প্রকৃত মূল খুঁজুন; 5 m-(a + b)// একটি মূল? (, 1)-এ প্রকৃত মূল খুঁজুন; 7 যদি p () ষ্ণুত 0 হয় তবে 8 রিটার্ন VCA (p0, (a, m)) ষ্ণুত VCA (p1, (m, b)) 9 অন্য 10 রিটার্ন VCA (p0, (a, m)) ষ্ণুত {[[m, m]} ষ্ণুত VCA (p1, (m, b)) 11 প্রান্তের মন্তব্য উপরের অ্যালগরিদমে প্রতিটি বহুপদীর সাথে একটি ব্যবধান (a, b) যুক্ত রয়েছে। অন্যত্র যেমন দেখানো হয়েছে, পৃ. 11, একটি মোবিয়াস রূপান্তর প্রতিটি বহুপদীর সাথেও যুক্ত হতে পারে, যে ক্ষেত্রে ভি. সি. এ আরও ভি. এ. এস-এর মতো দেখায়। প্রথম সারিতে বুদানের "0 _ 1 শিকড় পরীক্ষা" প্রয়োগ করা হয়। ভি. সি. এ (পি, (এ, বি))-এর উদাহরণ বহুপদ দেওয়া এবং ধনাত্মক মূলের মানগুলির উপর একটি উচ্চ সীমা হিসাবে বিবেচনা করা হলে ভি. সি. এ পদ্ধতির যুক্তিগুলি হলঃ এবং। (x + 1) 3p () = 7x3 − 7x2 − 35x + 43 4 p0 − 64x3 − 112x + 56 5 m → 2 6 p1 → 64x3 + 192x2 + 80x + 8 7 p () = 1 8 রিটার্ন ভি. সি. এ (64x3 − 112x + 56, (0,2)) ≤ ভি. সি. এ (64x3 + 192x2 + 80x + 8, (2,4)) বিচ্ছিন্নতা ব্যবধানের তালিকাঃ প্রক্রিয়াকরণের জন্য জোড়াগুলির তালিকাঃ প্রথমটি সরান এবং এটি প্রক্রিয়া করুন। পুনরাবৃত্তি 2 ভি. সি. এ (64x3 −112x + 56, (0,2)) 1 ভ্যার (x + 1) 3পি () = 56x3 + 56x2 − 56x + 8 4পি (64x3 − 448x + 448 5 মি (64x3 + 192x2 − 256x + 64 7পি) = 8 রিটার্ন ভি. সি. এ (64x3 − 448x + 448, (0,1)) ≤ ভি. সি. এ (64x3 + 192x2 − 256x + 64, (1,2)) পুনরাবৃত্তি 3 ভি. সি. এ (64x3 − 448x + 448, (0,1)) 1 ভার্সন (x + 1) 3পি () = 448x3 + 896x2 + 448x + 642 রিটার্ন সহগুণকের ক্রম অনুসারে চিহ্নের বৈচিত্র্যের সংখ্যা। পুনরাবৃত্তি 4 ভি. সি. এ (64x3 + 192x2 −256x + 64, (1,2)) 1 ভ্যার 2// (x + 1) 3p () = 64x3 − 64x2 −128x + 64 4 p0 → 64x3 + 384x2 − 1024x + 5125 মি.-6 পি1-64x3 + 576x2 − 64x + 64 7 পি () = − 8 রিটার্ন ভি. সি. এ (64x3 + 384x2 − 1024x + 512, (1,)) ¥ ভি. সি. এ (64x3 + 57) পুনরাবৃত্তি 5 ভি. সি. এ (64x3 + 384x2 −1024x + 512, (1,)) 1 ভার// (x + 1) 3p () = 512x3 + 512x2 − 128x − 64 3 রিটার্ন ((1,)} বিচ্ছিন্নতা ব্যবধানের তালিকাঃ প্রক্রিয়াকরণের জন্য জোড়াগুলির তালিকাঃ প্রথমটি সরান এবং এটি প্রক্রিয়া করুন। পুনরাবৃত্তি 6 ভি. সি. এ (64x3 + 576x2 − 64x−64, (, 2)) 1 ভ্যার 1// (x + 1) 3p () = −64x3 − 256x2 + 256x + 5123 রিটার্ন {(, 2)} বিচ্ছিন্নতা ব্যবধানের তালিকাঃ প্রক্রিয়াকরণের জন্য জোড়ার তালিকাঃ প্রথমটি সরান এবং এটি প্রক্রিয়া করুন। পুনরাবৃত্তি 7 ভি. সি. এ (64x3 + 192x2 + 80x + 8, (2,4)) 1 ভ্যার-0// (x + 1) 3p () = 8x3 + 104x2 + 376x + 344 2 রিটার্ন-এর সহগগুলির ক্রমানুসারে চিহ্ন বৈচিত্র্যের সংখ্যা। শেষ হয়ে গেছে। উপসংহার অতএব, বহুপদের দুটি ধনাত্মক মূল বিচ্ছিন্নতা ব্যবধান এবং}-এর মধ্যে থাকে। প্রতিটি মূলকে আনুমানিকভাবে অনুমান করা যেতে পারে (উদাহরণস্বরূপ) এটি অবস্থিত বিচ্ছিন্নতা ব্যবধানকে দ্বিখণ্ডিত করে যতক্ষণ না শেষবিন্দুগুলির পার্থক্য এর চেয়ে ছোট হয়; এই পদ্ধতির অনুসরণ করে, শিকড়গুলি এবং হয়ে যায়। ভিনসেন্ট-আলেসিনা-গালুজি (ভিএজি, 2000) এটি সর্বশেষ বিকশিত হয়েছিল এবং ভিনসেন্টের উপপাদ্য থেকে উদ্ভূত সবচেয়ে সহজ বাস্তব মূল বিচ্ছিন্নকরণ পদ্ধতি। ভিএজি (পি, (এ, বি)) কিভাবে কাজ করেঃ একটি বহুপদী পি (এক্স) ডিগ্রি ডিগ (পি) দেওয়া হয়েছে, যাতে পি (0) 0, যার ধনাত্মক মূলগুলি অবশ্যই বিচ্ছিন্ন হতে হবে, প্রথমে এই ধনাত্মক মূলগুলির মানগুলির উপর একটি উপরের সীমা গণনা করুন, এবং সেট করুন (এ, বি) = (0, ইউবি)। p (x)-এর সমস্ত ধনাত্মক মূলগুলি ব্যবধান (a, b)-এ থাকে। নিম্নলিখিত ধাপগুলি পুনরাবৃত্তি করুন যখন ব্যবধানগুলি (a, b) প্রক্রিয়া করা হবে; এই ক্ষেত্রে বহুপদী p (x) একই থাকে। অ্যালেসিনা-গালুজি "a _ b রুটস টেস্ট" ব্যবহার করে p (x)-এ ব্যবধান (a, b)-এর মধ্যে এর মূলের সংখ্যা গণনা করুন। যদি কোনও মূল না থাকে তবে খালি সেটটি ফেরত দেয়, এবং যদি একটি মূল থাকে তবে ব্যবধানটি (a, b) ফেরত দেয়। যদি দুই বা ততোধিক চিহ্ন বৈচিত্র্য থাকে তবে আলেসিনা-গালুজি "a _ b শিকড় পরীক্ষা" বোঝায় যে ব্যবধানের (a, b) ভিতরে শূন্য, এক, দুই বা ততোধিক বাস্তব শিকড় থাকতে পারে। এই ক্ষেত্রে এটিকে অর্ধেক করে কেটে নিন এবং ব্যবধান (a, (a + b))-এর মধ্যে p (x)-এর মূলগুলি এবং ব্যবধান (a + b), b)-এর মধ্যে থাকা মূলগুলি আলাদাভাবে বিবেচনা করুন; অর্থাৎ, প্রক্রিয়া, যথাক্রমে, ব্যবধানগুলি (a, (a + b)) এবং (a + b), b)। এটি ভালভাবে প্রমাণিত হতে পারে যে (a + b) হল p (x)-এর একটি মূল, এই ক্ষেত্রে বিচ্ছিন্নতা ব্যবধানটি একটি বিন্দুতে হ্রাস পায়। নীচে ভিএজি (পি, (এ, বি))-এর একটি পুনরাবৃত্তিমূলক উপস্থাপনা রয়েছে। ভিএজি (পি, (এ, বি)) ইনপুটঃ একটি অভিন্ন, বর্গ-মুক্ত বহুপদী পি (এক্স) bul জেড [এক্স], পি (0) 0 ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি ডিগ্রি (পি) এবং খোলা ব্যবধান (এ, বি) = (0, ইউবি), যেখানে ইউবি হল পি (এক্স) এর ধনাত্মক মূলের মানের উপর একটি উপরের সীমা। আউটপুটঃ পি (এক্স) এর ধনাত্মক মূলগুলির বিচ্ছিন্ন ব্যবধানের একটি তালিকা। (x + 1) ডিগ (p) p ()// অ্যালেসিনা-গালুজি "a _ b রুটস টেস্ট"-এর চিহ্ন বৈচিত্র্যের সংখ্যা; (x + 1) ডিগ (p) p ()// অ্যালেসিনা-গালুজি "a _ b রুটস টেস্ট"-এর চিহ্ন বৈচিত্র্যের সংখ্যা; (x + 1) ডিগ্রি (p)// অ্যালেসিনা-গালুজি "a _ b রুটস টেস্ট"-এর চিহ্ন বৈচিত্র্যের সংখ্যা; (x + 1) ডিগ্রি (p)// অ্যালেসিনা-গালাজি "a _ b রুটস টেস্ট"-এর চিহ্ন বৈচিত্র্যের সংখ্যা; (x + 1) ডিগ্রি (p)// অ্যালেসিনা-গালাজি "a _ b রুটস টেস্ট"-এর চিহ্ন বৈচিত্র্যের সংখ্যা; (x + 1) ডিগ্রি (p)// অ্যালেসিনা-গালাজি "a _ b রুটস টেস্ট"-এর চিহ্ন বৈচিত্র্যের সংখ্যা; (x + 1) ডিগ্রি (p)// অ্যালেসিনা-গালাজি "a _ b রুটস টেস্ট"-এর চিহ্ন বৈচিত্র্যের সংখ্যা; (x + 1) ডিগ্রি (p)///অ্যালেসিনা-গালাজি " আলেসিনা এবং গালুজি যেমন উল্লেখ করেছেন, পৃ. 189, ডোনাটো সেলির কারণে এই অ্যালগরিদমের একটি রূপ রয়েছে। সেলি পরামর্শ দিয়েছিলেন যে শেষবিন্দুগুলির মধ্যস্থতা তাদের মধ্যবিন্দু পরিবর্তে ব্যবহার করা উচিত। যাইহোক, এটি দেখানো হয়েছে যে এন্ডপয়েন্টগুলির মধ্যস্থতা ব্যবহার করা সাধারণভাবে "মিড-পয়েন্ট" সংস্করণের তুলনায় অনেক ধীর। ভি. এ. জি (পি, (এ, বি))-এর উদাহরণ বহুপদী পি (এক্স) = x3 − 7x + 7 দেওয়া এবং ধনাত্মক মূল ub = 4-এর মানগুলির উপর একটি ঊর্ধ্বসীমা হিসাবে বিবেচনা করা হলে ভি. এ. জি-র আর্গুমেন্টগুলি হলঃ পি (এক্স) = x3 − 7x + 7 এবং (এ, বি) = (0,4)। (x + 1) 3p () = 43x3 − 35x2 − 7x + 7 4 m (0 + 4) = 2,5 p (m) = 1 8 রিটার্ন ভিএজি (x3 − 7x + 7, (0,2)) ≤ ভিএজি (x3 − 7x + 7, (2,4) বিচ্ছিন্নতা ব্যবধানের তালিকাঃ প্রক্রিয়া করার জন্য ব্যবধানের তালিকাঃ {(0,2), (2,4)}। প্রথমটি সরান এবং এটি প্রক্রিয়া করুন। পুনরাবৃত্তি 2 ভি. এ. জি (x3−7x + 7, (0,2)) 1 ভার// (x + 1) 3পি () = x3−7x2 + 7x + 7 4 মি (0 + 2) = 1 পি (এম) = 1 8 রিটার্ন ভি. এ. জি (x3−7x + 7, (0,1)) ≤ ভি. এ. জি (x3−7x + 7, (1,2) বিচ্ছিন্নতা ব্যবধানের তালিকাঃ প্রক্রিয়া করার জন্য ব্যবধানের তালিকাঃ {(0,1), (1,2), (2,4)}। প্রথমটি সরান এবং এটি প্রক্রিয়া করুন। পুনরাবৃত্তি 3 ভি. এ. জি (x3 − 7x + 7, (0,1)) 1 ভ্যার-0// (x + 1) 3পি () = x3 + 7x2 + 14x + 7 2 রিটার্ন-এর সহগগুলির ক্রমানুসারে চিহ্ন বৈচিত্র্যের সংখ্যা বিচ্ছিন্নতা অন্তরগুলির তালিকাঃ {}। প্রক্রিয়া করার জন্য ব্যবধানের তালিকাঃ {(1,2), (2,4)}। প্রথমটি সরান এবং এটি প্রক্রিয়া করুন। পুনরাবৃত্তি 4 ভি. এ. জি (x3−7x + 7, (1,2)) 1 ভার্ক// (x + 1) 3পি () = x3−2x2−x + 1 4 মি (1 + 2) = 5পি (এম) = −8 রিটার্ন ভি. এ. জি (x3−7x + 7, (1,)) ≤ ভি. এ. জি (x3−7x + 7, (, 2)) বিচ্ছিন্নতা ব্যবধানের তালিকাঃ প্রক্রিয়া করার জন্য ব্যবধানের তালিকাঃ {(1,), (, 2), (2,4)}। প্রথমটি সরান এবং এটি প্রক্রিয়া করুন। পুনরাবৃত্তি 5 ভি. এ. জি (x3−7x + 7, (1,)) 1 ভার 1// 23 (x + 1) 3পি () = x3 + 2x2−8x−83 রিটার্ন (1,) এর সহগের ক্রমে চিহ্ন পরিবর্তনের সংখ্যা বিচ্ছিন্নতা অন্তরগুলির তালিকাঃ {(1,)}। প্রক্রিয়া করার জন্য ব্যবধানের তালিকাঃ {(, 2), (2,4)}। প্রথমটি সরান এবং এটি প্রক্রিয়া করুন। পুনরাবৃত্তি 6 ভি. এ. জি (x3−7x + 7, (, 2)) 1 ভার 1// 23 (x + 1) 3পি () = 8x3 + 4x2 − 4x−13 রিটার্ন (, 2) এর সহগগুলির ক্রম অনুসারে চিহ্ন পরিবর্তনের সংখ্যা বিচ্ছিন্নতা অন্তরগুলির তালিকাঃ {(1,), (, 2)}। প্রক্রিয়া করার জন্য ব্যবধানের তালিকাঃ {(2,4)}। প্রথমটি সরান এবং এটি প্রক্রিয়া করুন। পুনরাবৃত্তি 7 ভি. এ. জি (x3 − 7x + 7, (2,4)) 1 ভার্সন (x + 1) 3পি () = 344x3 + 376x2 + 104x + 82 রিটার্ন আই. এল.-এর সহগগুলির ক্রমানুসারে চিহ্নের বৈচিত্র্যের সংখ্যা বিচ্ছিন্নতা অন্তরগুলির তালিকাঃ {(1,), (, 2)}। প্রক্রিয়াকরণের জন্য ব্যবধানের তালিকাঃ যু। শেষ হয়ে গেছে। উপসংহার অতএব, বহুপদের দুটি ধনাত্মক মূল বিচ্ছিন্নতা ব্যবধান এবং}-এর মধ্যে থাকে। প্রতিটি মূলকে আনুমানিকভাবে অনুমান করা যেতে পারে (উদাহরণস্বরূপ) এটি অবস্থিত বিচ্ছিন্নতা ব্যবধানকে দ্বিখণ্ডিত করে যতক্ষণ না শেষবিন্দুগুলির পার্থক্য এর চেয়ে ছোট হয়; এই পদ্ধতির অনুসরণ করে, শিকড়গুলি এবং হয়ে যায়। আরও দেখুন পলিনোমিয়াল রুটের বৈশিষ্ট্য রুট-ফাইন্ডিং অ্যালগরিদম ভিয়েটার সূত্র নিউটনের পদ্ধতি রেফারেন্স এক্সটার্নাল লিঙ্ক বারকাকিস, অ্যান্টনিসঃ রিয়েলরুটস, স্টর্মের পদ্ধতি এবং ভিএএস https://play.google.com/store/apps/details?id=org.kde.necessitas.berkakis.realroots গাণিতিক উপপাদ্যের তুলনা করার জন্য অ্যান্ড্রয়েড ডিভাইসের জন্য একটি বিনামূল্যে অ্যাপ