Analytic subgroup theorem
গণিতে, বিশ্লেষণাত্মক উপগোষ্ঠী উপপাদ্য আধুনিক অতীন্দ্রিয় সংখ্যা তত্ত্বের একটি উল্লেখযোগ্য ফলাফল। এটিকে লগারিদমের রৈখিক রূপের উপর বেকারের উপপাদ্যের সাধারণীকরণ হিসাবে দেখা যেতে পারে। 1980-এর দশকে জিসবার্ট উস্টহোলজ এটি প্রমাণ করেছিলেন। এটি অতীন্দ্রিয় সংখ্যা তত্ত্বের ক্ষেত্রে একটি যুগান্তকারী পদক্ষেপ হিসেবে চিহ্নিত হয়েছে। অনেক দীর্ঘস্থায়ী উন্মুক্ত সমস্যাকে প্রত্যক্ষ পরিণতি হিসাবে অনুমান করা যেতে পারে। বিবৃতি যদি একটি বিনিময়যোগ্য বীজগাণিতিক গোষ্ঠী একটি বীজগাণিতিক সংখ্যা ক্ষেত্রের উপর সংজ্ঞায়িত করা হয় এবং সংখ্যা ক্ষেত্রের উপর সংজ্ঞায়িত লাই বীজগণিতের একটি লাই উপগোষ্ঠী হয় তবে সঠিক বীজগাণিতিক উপগোষ্ঠী না থাকলে এর কোনও অ-শূন্য বীজগাণিতিক বিন্দু থাকে না। প্রমাণের কেন্দ্রীয় নতুন উপাদানগুলির মধ্যে একটি ছিল ডেভিড ম্যাসার এবং জিসবার্ট উস্টহোলজ দ্বারা বিশেষ ক্ষেত্রে বিকশিত এবং সাধারণ ক্ষেত্রে উস্টহোলজ দ্বারা প্রতিষ্ঠিত গোষ্ঠী জাতের বহুগুণ অনুমানের তত্ত্ব যা বিশ্লেষণাত্মক উপগোষ্ঠী উপপাদ্যের প্রমাণের জন্য প্রয়োজনীয় ছিল। বিশ্লেষণাত্মক উপগোষ্ঠী উপপাদ্যের একটি দর্শনীয় পরিণতি ছিল ম্যাসার এবং উস্টহোলজ দ্বারা প্রকাশিত আইসোজেনি উপপাদ্য। একটি সরাসরি পরিণতি হল আবেলিয়ান জাতের জন্য টেট অনুমান যা গের্ড ফাল্টিংস সম্পূর্ণ ভিন্ন পদ্ধতিতে প্রমাণ করেছিলেন যার আধুনিক গাণিতিক জ্যামিতিতে অনেক প্রয়োগ রয়েছে। গোষ্ঠী প্রজাতির জন্য বহুগুণের অনুমান ব্যবহার করে উস্টহোলজ লগারিদমের রৈখিক রূপগুলির জন্য নিম্ন সীমার জন্য চূড়ান্ত প্রত্যাশিত রূপ পেতে সফল হন। অ্যালান বেকারের সাথে তাঁর একটি যৌথ কাজে এটি একটি কার্যকর আকারে রাখা হয়েছিল যা শিল্পের বর্তমান অবস্থাকে চিহ্নিত করে। বহুত্বের অনুমান ছাড়াও আরও একটি নতুন উপাদান ছিল খুব তীক্ষ্ণ নিম্ন সীমা অর্জনের জন্য সংখ্যার জ্যামিতির একটি অত্যন্ত পরিশীলিত ব্যবহার। আরও দেখুন বীজগাণিতিক বক্ররেখা উদ্ধৃতি রেফারেন্স অতীন্দ্রিয় সংখ্যা