Jordan curve theorem
টপোলজিতে, জর্ডান বক্ররেখা উপপাদ্য দাবি করে যে প্রতিটি জর্ডান বক্ররেখা (একটি সমতল সরল বদ্ধ বক্ররেখা) সমতলকে একটি "অভ্যন্তরীণ" অঞ্চলে বিভক্ত করে যা বক্ররেখা দ্বারা বেষ্টিত এবং একটি "বাহ্যিক" অঞ্চলে নিকটবর্তী এবং দূরবর্তী সমস্ত বাহ্যিক বিন্দু ধারণ করে। একটি অঞ্চলের একটি বিন্দুকে অন্যের একটি বিন্দুর সাথে সংযুক্ত করার প্রতিটি অবিচ্ছিন্ন পথ কোথাও না কোথাও বক্ররেখার সাথে ছেদ করে। যদিও উপপাদ্যটি স্বজ্ঞাতভাবে সুস্পষ্ট বলে মনে হয়, প্রাথমিক উপায়ে এটি প্রমাণ করার জন্য কিছুটা দক্ষতা প্রয়োজন। "যদিও জেসিটি সর্বাধিক পরিচিত টপোলজিকাল উপপাদ্যগুলির মধ্যে একটি, এমনকী পেশাদার গণিতবিদদের মধ্যেও এমন অনেক রয়েছে, যারা এর কোনও প্রমাণ কখনও পড়েননি।" ()। আরও স্বচ্ছ প্রমাণগুলি বীজগাণিতিক টপোলজির গাণিতিক যন্ত্রের উপর নির্ভর করে এবং এগুলি উচ্চতর-মাত্রিক স্থানগুলিতে সাধারণীকরণের দিকে পরিচালিত করে। জর্ডান বক্ররেখা উপপাদ্যটি গণিতবিদ ক্যামিল জর্ডানের (1838-1922) নামে নামকরণ করা হয়েছে, যিনি এর প্রথম প্রমাণ খুঁজে পেয়েছিলেন। কয়েক দশক ধরে, গণিতবিদরা সাধারণত ভেবেছিলেন যে এই প্রমাণটি ত্রুটিপূর্ণ এবং প্রথম কঠোর প্রমাণ ওসওয়াল্ড ভেব্লেন করেছিলেন। যাইহোক, টমাস সি হেলস এবং অন্যান্যরা এই ধারণাকে উল্টে দিয়েছেন। জর্ডান উপপাদ্যের সংজ্ঞা এবং বিবৃতি একটি জর্ডান বক্ররেখা বা সমতল R2-এ একটি সাধারণ বদ্ধ বক্ররেখা হল সমতলে একটি বৃত্তের একটি ইনজেকটিভ অবিচ্ছিন্ন মানচিত্রের চিত্র C, φ: S1 → R2। সমতলে একটি জর্ডান চাপ হল সমতলে একটি বদ্ধ এবং আবদ্ধ ব্যবধানের একটি ইনজেকটিভ অবিচ্ছিন্ন মানচিত্রের চিত্র। এটি একটি সমতল বক্ররেখা যা অগত্যা মসৃণ বা বীজগাণিতিক নয়। বিকল্পভাবে, একটি জর্ডান বক্ররেখা হল একটি অবিচ্ছিন্ন মানচিত্রের চিত্র φ: [0,1] → R2 যাতে φ (0) = φ (1) এবং φ থেকে [0,1) এর সীমাবদ্ধতা ইনজেকটিভ হয়। প্রথম দুটি শর্ত বলে যে সি একটি অবিচ্ছিন্ন লুপ, যেখানে শেষ শর্তটি নির্ধারণ করে যে সি-এর কোনও স্ব-ছেদ বিন্দু নেই। এই সংজ্ঞাগুলির সাথে, জর্ডান বক্ররেখা উপপাদ্যটি নিম্নরূপ বলা যেতে পারেঃ বিপরীতে, সমতলে একটি জর্ডান বৃত্তের পরিপূরক সংযুক্ত। প্রমাণ এবং সাধারণীকরণ জর্ডান বক্ররেখা উপপাদ্যটি 1911 সালে এইচ. লেবসেগ এবং এল. ই. জে. ব্রাউয়ার দ্বারা স্বাধীনভাবে উচ্চতর মাত্রায় সাধারণীকরণ করা হয়েছিল, যার ফলে জর্ডান-ব্রাউয়ার পৃথকীকরণ উপপাদ্য তৈরি হয়েছিল। প্রমাণটি সমতাত্ত্বিক তত্ত্ব ব্যবহার করে। এটি প্রথম প্রতিষ্ঠিত হয় যে, আরও সাধারণভাবে, যদি এক্স কে-গোলকের সমরূপ হয়, তবে Y = Rn + 1\X এর হ্রাসকৃত অবিচ্ছেদ্য সমসংস্থান গোষ্ঠীগুলি নিম্নরূপঃ এটি মায়ার-ভিটোরিস ক্রম ব্যবহার করে কে-তে আনয়ন দ্বারা প্রমাণিত হয়। যখন n = k হয়, তখন Y-এর শূন্যতম হ্রাসকৃত সমসংস্থানের র্যাঙ্ক 1 থাকে, যার অর্থ হল যে Y-এর 2টি সংযুক্ত উপাদান রয়েছে (যা, উপরন্তু, পথ সংযুক্ত), এবং কিছুটা অতিরিক্ত কাজের সাথে, একটি দেখায় যে তাদের সাধারণ সীমানা হল X। জে. ডব্লিউ আলেকজান্ডার আরও একটি সাধারণীকরণ খুঁজে পেয়েছিলেন, যিনি আরএন + 1-এর একটি কম্প্যাক্ট উপসেট এক্স-এর হ্রাসকৃত সমরূপতা এবং এর পরিপূরকের হ্রাসকৃত সমরূপতার মধ্যে আলেকজান্ডার দ্বৈততা প্রতিষ্ঠা করেছিলেন। যদি এক্স সীমানা ছাড়াই আরএন + 1 (বা এসএন + 1) এর একটি এন-ডাইমেনশনাল কম্প্যাক্ট সংযুক্ত সাব-ম্যানিফোল্ড হয়, তবে এর পরিপূরকের 2 টি সংযুক্ত উপাদান রয়েছে। জর্ডান বক্ররেখা উপপাদ্যের একটি শক্তিশালীকরণ রয়েছে, যা জর্ডান-শ্যানফ্লাইস উপপাদ্য নামে পরিচিত, যা বলে যে R2-এ জর্ডান বক্ররেখা দ্বারা নির্ধারিত অভ্যন্তরীণ এবং বাহ্যিক সমতলীয় অঞ্চলগুলি একক ডিস্কের অভ্যন্তর এবং বাইরের সমরূপ। বিশেষত, অভ্যন্তরীণ অঞ্চলের যে কোনও বিন্দু পি এবং জর্ডান বক্ররেখার একটি বিন্দু এ-এর জন্য, পি-কে এ-এর সাথে সংযুক্ত করার জন্য একটি জর্ডান চাপ রয়েছে এবং শেষ বিন্দু এ বাদে, সম্পূর্ণরূপে অভ্যন্তরীণ অঞ্চলে অবস্থিত। জর্ডান-শ্যানফ্লাইস উপপাদ্যের একটি বিকল্প এবং সমতুল্য সূত্র দাবি করে যে কোনও জর্ডান বক্ররেখা φ: S1 → R2, যেখানে S1 কে সমতলে একক বৃত্ত হিসাবে দেখা হয়, সমতলের একটি সমরূপতা ±: R2 → R2 পর্যন্ত প্রসারিত করা যেতে পারে। লেবস্গু এবং ব্রাউয়ারের জর্ডান বক্ররেখা উপপাদ্যের সাধারণীকরণের বিপরীতে, এই বিবৃতিটি উচ্চতর মাত্রায় মিথ্যা হয়ে যায়ঃ যেখানে R3-তে একক বলের বাইরের অংশটি কেবল সংযুক্ত থাকে, কারণ এটি একক গোলকের দিকে ফিরে যায়, আলেকজান্ডার শৃঙ্গাকার গোলকটি একটি গোলকের জন্য R3 সমরূপতার একটি উপসেট, তবে মহাকাশে এতটাই বাঁকানো যে R3-তে তার পরিপূরকের সীমাহীন উপাদানটি কেবল সংযুক্ত নয়, এবং তাই একক বলের বাইরের অংশের সাথে সমরূপ নয়। পৃথক সংস্করণ জর্ডান বক্ররেখা উপপাদ্যটি ব্রাউয়ার স্থির বিন্দু উপপাদ্য (2 মাত্রায়) থেকে প্রমাণ করা যেতে পারে, এবং ব্রাউয়ার স্থির বিন্দু উপপাদ্যটি হেক্স উপপাদ্য থেকে প্রমাণ করা যেতে পারেঃ "হেক্সের প্রতিটি খেলায় কমপক্ষে একজন বিজয়ী থাকে", যা থেকে আমরা একটি যৌক্তিক প্রভাব পাইঃ হেক্স উপপাদ্যটি ব্রাউয়ার স্থির বিন্দু উপপাদ্যকে বোঝায়, যা জর্ডান বক্ররেখা উপপাদ্যকে বোঝায়। এটা স্পষ্ট যে জর্ডান বক্ররেখা উপপাদ্য "শক্তিশালী হেক্স উপপাদ্য" বোঝায়ঃ "হেক্সের প্রতিটি খেলা ঠিক একজন বিজয়ীর সাথে শেষ হয়, উভয় পক্ষের হারানো বা উভয় পক্ষের জয়ের কোনও সম্ভাবনা নেই", এইভাবে জর্ডান বক্ররেখা উপপাদ্য শক্তিশালী হেক্স উপপাদ্যের সমতুল্য, যা একটি বিশুদ্ধ বিচ্ছিন্ন উপপাদ্য। ব্রাউয়ার স্থির বিন্দু উপপাদ্য, দুটি সমতুল্য উপপাদ্যের মধ্যে স্যান্ডউইচ করে, উভয়ের সমতুল্য। বিপরীত গণিত এবং কম্পিউটার-ফর্মালাইজড গণিতে, জর্ডান বক্ররেখা উপপাদ্যটি সাধারণত শক্তিশালী হেক্স উপপাদ্যের মতো সমতুল্য বিচ্ছিন্ন সংস্করণে রূপান্তরিত করে প্রমাণিত হয়, তারপরে পৃথক সংস্করণটি প্রমাণ করে। চিত্র প্রক্রিয়াকরণে প্রয়োগ চিত্র প্রক্রিয়াকরণে, একটি বাইনারি ছবি হল 0 এবং 1-এর একটি পৃথক বর্গাকার গ্রিড, বা সমতুল্যভাবে, চিত্র প্রক্রিয়াকরণের একটি সংক্ষিপ্ত উপসেট। উপরের টপোলজিকাল অপরিবর্তনীয়, যেমন উপাদানের সংখ্যা, সঠিকভাবে সংজ্ঞায়িত গ্রাফ কাঠামো না থাকলে ভালভাবে সংজ্ঞায়িত হতে ব্যর্থ হতে পারে। দুটি সুস্পষ্ট গ্রাফ কাঠামো রয়েছেঃ "4-প্রতিবেশী বর্গাকার গ্রিড", যেখানে প্রতিটি শীর্ষ সংযুক্ত থাকে। "8-প্রতিবেশী বর্গাকার গ্রিড", যেখানে প্রতিটি শীর্ষ আই. এফ. এফ-এর সাথে সংযুক্ত, এবং। উভয় গ্রাফ কাঠামোই শক্তিশালী হেক্স উপপাদ্যকে সন্তুষ্ট করতে ব্যর্থ হয়। 4-প্রতিবেশী বর্গাকার গ্রিড কোনও বিজয়ী পরিস্থিতির অনুমতি দেয় না এবং 8-প্রতিবেশী বর্গাকার গ্রিড দুই-বিজয়ী পরিস্থিতির অনুমতি দেয়। ফলস্বরূপ, জর্ডান বক্ররেখা উপপাদ্যের মতো সংযুক্তির বৈশিষ্ট্যগুলি কোনও গ্রাফ কাঠামোর অধীনে সাধারণীকরণ হয় না। যদি "6-প্রতিবেশী বর্গাকার গ্রিড" কাঠামোটি চাপিয়ে দেওয়া হয়, তবে এটি ষড়ভুজাকার গ্রিড, এবং এইভাবে শক্তিশালী হেক্স উপপাদ্যকে সন্তুষ্ট করে, যা জর্ডান বক্ররেখা উপপাদ্যকে সাধারণীকরণের অনুমতি দেয়। এই কারণে, বাইনারি ইমেজে সংযুক্ত উপাদানগুলি গণনা করার সময়, 6-প্রতিবেশী বর্গাকার গ্রিড সাধারণত ব্যবহার করা হয়। স্টেইনহাউস দাবা বোর্ডের উপপাদ্য কিছু অর্থে স্টেইনহাউস দাবা বোর্ডের উপপাদ্য দেখায় যে 4-প্রতিবেশী গ্রিড এবং 8-প্রতিবেশী গ্রিড "একসাথে" জর্ডান বক্ররেখা উপপাদ্যকে বোঝায় এবং 6-প্রতিবেশী গ্রিড তাদের মধ্যে একটি সুনির্দিষ্ট ইন্টারপোলেশন। উপপাদ্যটি বলে যেঃ ধরুন আপনি একটি দাবা বোর্ডে কিছু বর্গক্ষেত্রের উপর বোমা রাখেন, যাতে একজন রাজা বোমার উপর পা না রেখে নীচের দিক থেকে উপরের দিকে যেতে না পারেন, তাহলে একটি নৌকা বাম দিক থেকে ডান দিকে কেবল বোমার উপর পা রাখতে পারে। ইতিহাস এবং আরও প্রমাণ জর্ডান বক্ররেখা উপপাদ্যের বিবৃতিটি প্রথমে সুস্পষ্ট বলে মনে হতে পারে, তবে এটি প্রমাণ করা বরং একটি কঠিন উপপাদ্য। বার্নার্ড বলজানো প্রথম একটি সুনির্দিষ্ট অনুমান তৈরি করেছিলেন, তিনি পর্যবেক্ষণ করেছিলেন যে এটি একটি স্ব-স্পষ্ট বিবৃতি নয়, তবে এর জন্য একটি প্রমাণের প্রয়োজন। বহুভুজগুলির জন্য এই ফলাফলটি স্থাপন করা সহজ, তবে সমস্যাটি এসেছিল এটিকে সমস্ত ধরণের খারাপ আচরণের বক্ররেখার ক্ষেত্রে সাধারণীকরণ করার ক্ষেত্রে, যার মধ্যে কোথাও পার্থক্যযোগ্য বক্ররেখা অন্তর্ভুক্ত নেই, যেমন কোচ স্নোফ্লেক এবং অন্যান্য ফ্র্যাক্টাল বক্ররেখা, বা এমনকি দ্বারা নির্মিত ধনাত্মক অঞ্চলের জর্ডান বক্ররেখা। এই উপপাদ্যের প্রথম প্রমাণ ক্যামিল জর্ডান বাস্তব বিশ্লেষণের উপর তাঁর বক্তৃতায় দিয়েছিলেন এবং তাঁর কোর্স ডি 'অ্যানালাইস ডি ল' ইকোলে পলিটেকনিক বইয়ে প্রকাশিত হয়েছিল। জর্ডানের প্রমাণ সম্পূর্ণ ছিল কিনা তা নিয়ে কিছু বিতর্ক রয়েছেঃ এর উপর বেশিরভাগ মন্তব্যকারী দাবি করেছেন যে প্রথম সম্পূর্ণ প্রমাণ পরে ওসওয়াল্ড ভেব্লেন দিয়েছিলেন, যিনি জর্ডানের প্রমাণ সম্পর্কে নিম্নলিখিতটি বলেছিলেনঃ তাঁর প্রমাণ অবশ্য অনেক গণিতবিদের কাছে অসন্তোষজনক। এটি একটি সাধারণ বহুভুজের গুরুত্বপূর্ণ বিশেষ ক্ষেত্রে প্রমাণ ছাড়াই উপপাদ্যটি ধরে নেয় এবং সেই বিন্দু থেকে যুক্তিটির ক্ষেত্রে, একজনকে অবশ্যই স্বীকার করতে হবে যে সমস্ত বিবরণ দেওয়া হয়নি। যাইহোক, টমাস সি. হেলস লিখেছেনঃ প্রায় প্রতিটি আধুনিক উদ্ধৃতি যা আমি খুঁজে পাই তা একমত যে প্রথম সঠিক প্রমাণটি ভেব্লেন-এর কারণে হয়েছে। জর্ডানের প্রমাণের তীব্র সমালোচনার পরিপ্রেক্ষিতে, আমি অবাক হয়ে গিয়েছিলাম যখন আমি তার প্রমাণ পড়তে বসেছিলাম এবং এতে আপত্তিকর কিছু পাইনি। তারপর থেকে, আমি জর্ডানের সমালোচনা করা বেশ কয়েকজন লেখকের সাথে যোগাযোগ করেছি এবং প্রতিটি ক্ষেত্রে লেখক জর্ডানের প্রমাণের কোনও ত্রুটি সম্পর্কে সরাসরি জ্ঞান না থাকার কথা স্বীকার করেছেন। হেলস আরও উল্লেখ করেছিলেন যে সাধারণ বহুভুজগুলির বিশেষ কেসটি কেবল একটি সহজ অনুশীলনই নয়, তবে জর্ডান যেভাবেই হোক এটি ব্যবহার করেনি, এবং মাইকেল রিকেনের উদ্ধৃতি দিয়ে বলেছিলেনঃ জর্ডানের প্রমাণ মূলত সঠিক। জর্ডানের প্রমাণ সন্তোষজনক উপায়ে বিশদ উপস্থাপন করে না। কিন্তু ধারণাটি সঠিক, এবং কিছু পালিশ করলে প্রমাণটি নিখুঁত হবে। এর আগে, জর্ডানের প্রমাণ এবং চার্লস জিন দে লা ভ্যালি পুসিনের আরেকটি প্রাথমিক প্রমাণ ইতিমধ্যে স্কোনফ্লাইস (1924) দ্বারা সমালোচনামূলকভাবে বিশ্লেষণ এবং সম্পন্ন করা হয়েছিল। নিম্ন-মাত্রিক টপোলজি এবং জটিল বিশ্লেষণে জর্ডান বক্ররেখা উপপাদ্যের গুরুত্বের কারণে, এটি 20 শতকের প্রথমার্ধের বিশিষ্ট গণিতবিদদের কাছ থেকে অনেক মনোযোগ পেয়েছিল। উপপাদ্যটির বিভিন্ন প্রমাণ এবং এর সাধারণীকরণ জে. ডব্লিউ আলেকজান্ডার, লুই অ্যান্টোইন, লুডভিগ বিবারবাখ, লুয়েটজেন ব্রাউয়ার, আর্নড ডেনজয়, ফ্রেডরিখ হার্টগস, বেলা কেরেকজার্টো, আলফ্রেড প্রিংশেইম এবং আর্থার মরিৎজ শোয়েনফ্লাইস দ্বারা নির্মিত হয়েছিল। জর্ডান বক্ররেখা উপপাদ্যের নতুন প্রাথমিক প্রমাণের পাশাপাশি পূর্ববর্তী প্রমাণগুলির সরলীকরণ করা অব্যাহত রয়েছে। প্রাথমিক প্রমাণগুলি এবং দ্বারা উপস্থাপিত হয়েছিল। দ্বারা অ-মানক বিশ্লেষণ ব্যবহার করে একটি প্রমাণ। গঠনমূলক গণিত ব্যবহার করে একটি প্রমাণ। দ্বারা ব্রাউয়ার স্থির বিন্দু উপপাদ্য ব্যবহার করে একটি প্রমাণ। সম্পূর্ণ দ্বিদলীয় গ্রাফ K3,3-এর অ-সুস্পষ্টতা ব্যবহার করে একটি প্রমাণ দ্বারা দেওয়া হয়েছিল। সমস্যার মূল নিম্নরূপ ব্যাখ্যা করা হয়েছে। এটি প্রমাণ করা তুলনামূলকভাবে সহজ যে জর্ডান বক্ররেখা উপপাদ্যটি প্রতিটি জর্ডান বহুভুজ (লেমা 1)-এর জন্য ধারণ করে এবং প্রতিটি জর্ডান বক্ররেখা একটি জর্ডান বহুভুজ (লেমা 2) দ্বারা নির্বিচারে ভালভাবে অনুমান করা যেতে পারে। একটি জর্ডান বহুভুজ একটি বহুভুজ শৃঙ্খল, একটি আবদ্ধ সংযুক্ত খোলা সেটের সীমানা, এটিকে খোলা বহুভুজ এবং এর বন্ধ, বন্ধ বহুভুজ বলে। বদ্ধ বহুভুজের মধ্যে থাকা বৃহত্তম ডিস্কের ব্যাস বিবেচনা করুন। স্পষ্টতই, এটি ইতিবাচক। জর্ডান বহুভুজগুলির একটি ক্রম ব্যবহার করে (যা প্রদত্ত জর্ডান বক্ররেখার সাথে মিলিত হয়) আমাদের একটি ক্রম রয়েছে যা সম্ভবত একটি ধনাত্মক সংখ্যায় রূপান্তরিত হয়, যা জর্ডান বক্ররেখা দ্বারা বেষ্টিত বদ্ধ অঞ্চলে থাকা বৃহত্তম ডিস্কের ব্যাস। যাইহোক, আমাদের প্রমাণ করতে হবে যে ক্রমটি শূন্যে একত্রিত হয় না, শুধুমাত্র প্রদত্ত জর্ডান বক্ররেখা ব্যবহার করে, সম্ভবত বক্ররেখা দ্বারা আবদ্ধ অঞ্চলটি নয়। এটি টেভারবার্গের লেমা 3-এর মূল বিষয়। মোটামুটিভাবে, বদ্ধ বহুভুজগুলি সর্বত্র পাতলা থেকে শূন্য হওয়া উচিত নয়। উপরন্তু, এগুলি কোথাও পাতলা থেকে শূন্য হওয়া উচিত নয়, যা টেভারবার্গের লেমা 4-এর বিন্দু। জর্ডান বক্ররেখা উপপাদ্যের প্রথম আনুষ্ঠানিক প্রমাণ 2005 সালের জানুয়ারিতে এইচওএল লাইট সিস্টেমে তৈরি করা হয়েছিল এবং এতে প্রায় 60,000 লাইন ছিল। 2005 সালে মিজার পদ্ধতি ব্যবহার করে গণিতবিদদের একটি আন্তর্জাতিক দল 6,500 লাইনের আরেকটি কঠোর আনুষ্ঠানিক প্রমাণ তৈরি করে। মিজার এবং এইচওএল লাইট প্রুফ উভয়ই পূর্বে প্রমাণিত উপপাদ্যের গ্রন্থাগারের উপর নির্ভর করে, তাই এই দুটি আকারের তুলনা করা যায় না। দেখিয়েছেন যে বিপরীত গণিতে জর্ডান বক্ররেখা উপপাদ্যটি সিস্টেমের উপর দুর্বল কনিগের লেমার সমতুল্য। গণনামূলক জ্যামিতিতে প্রয়োগ, জর্ডান বক্ররেখা উপপাদ্যটি একটি সাধারণ বহুভুজের ভিতরে বা বাইরে কোনও বিন্দু রয়েছে কিনা তা পরীক্ষা করার জন্য ব্যবহার করা যেতে পারে। একটি নির্দিষ্ট বিন্দু থেকে, এমন একটি রশ্মির সন্ধান করুন যা বহুভুজের কোনও শীর্ষের মধ্য দিয়ে যায় না (সমস্ত রশ্মি কিন্তু একটি সীমাবদ্ধ সংখ্যা সুবিধাজনক)। তারপর, বহুভুজের একটি প্রান্ত দিয়ে রশ্মির ছেদগুলির সংখ্যা গণনা করুন। জর্ডান বক্ররেখা উপপাদ্য প্রমাণ বোঝায় যে বিন্দুটি বহুভুজের ভিতরে থাকে যদি এবং শুধুমাত্র যদি বিজোড় হয়। গণনামূলক দিক অ্যাডলার, ডাস্কালাকিস এবং ডেমাইন প্রমাণ করে যে জর্ডানের উপপাদ্যের একটি গণনামূলক সংস্করণ পিপিএডি-সম্পূর্ণ। ফলস্বরূপ, তারা দেখায় যে জর্ডানের উপপাদ্যটি ব্রাউয়ার স্থির-বিন্দু উপপাদ্যকে বোঝায়। এটি মাহারার পূর্ববর্তী ফলাফলের পরিপূরক, যে ব্রাউয়ারের স্থির বিন্দু উপপাদ্য জর্ডানের উপপাদ্যকে বোঝায়। আরও দেখুন ডেনজয়-রিজ উপপাদ্য, সমতলের নির্দিষ্ট কিছু বিন্দুর বিবরণ যা জর্ডান বক্ররেখার উপসেট হতে পারে লেকস অফ ওয়াডা কোয়াসি-ফুচসিয়ান গ্রুপ, একটি গাণিতিক গোষ্ঠী যা একটি জর্ডান বক্ররেখা নোট রেফারেন্স সংরক্ষণ করে। লেখকের সাইট এক্সটার্নাল লিঙ্ক মিজারে জর্ডানের বক্ররেখা উপপাদ্যের সম্পূর্ণ 6,500 লাইনের আনুষ্ঠানিক প্রমাণ। অ্যান্ড্রু রানিকির হোমপেজে জর্ডান বক্ররেখা উপপাদ্যের প্রমাণের সংগ্রহ ডেভিড বি. গল্ডের জর্ডান বক্ররেখা উপপাদ্যের (পিডিএফ) একটি সহজ প্রমাণ।