Thales's theorem
জ্যামিতিতে, থেলসের উপপাদ্য বলে যে, যদি, এবং একটি বৃত্তের উপর স্বতন্ত্র বিন্দু হয় যেখানে রেখাটি একটি ব্যাস, তবে কোণটি একটি সমকোণ। থেলসের উপপাদ্যটি খোদাই করা কোণ উপপাদ্যের একটি বিশেষ উদাহরণ এবং ইউক্লিডের উপাদানগুলির তৃতীয় বইয়ে 31 তম প্রস্তাবের অংশ হিসাবে উল্লেখ করা হয়েছে এবং প্রমাণিত হয়েছে। এটি সাধারণত মিলেটাসের থেলসকে দায়ী করা হয়, তবে এটি কখনও কখনও পিথাগোরাসকে দায়ী করা হয়। গ্রীক গণিতবিদরা এটি প্রমাণ করার আগে ব্যাবিলনীয় গণিতবিদরা বিশেষ ক্ষেত্রে এটি জানতেন। থেলস অফ মিলেটাসকে (খ্রিষ্টপূর্ব 6ষ্ঠ শতাব্দীর গোড়ার দিকে) ঐতিহ্যগতভাবে উপপাদ্যটি প্রমাণ করার জন্য কৃতিত্ব দেওয়া হয়; যাইহোক, খ্রিস্টপূর্ব 5ম শতাব্দীর মধ্যেও থেলসের লেখার কোনও অস্তিত্ব ছিল না, এবং আবিষ্কার ও ধারণাগুলি থেলস এবং পাইথাগোরাসের মতো জ্ঞানী ব্যক্তিদের জন্য পরবর্তী ডক্সোগ্রাফারদের দ্বারা শোনা এবং অনুমানের উপর ভিত্তি করে দায়ী করা হয়েছিল। থেলসের উল্লেখ করেছেন প্রক্লাস (5ম শতাব্দী) এবং ডায়োজিনেস লার্টিয়াস (3য় শতাব্দী) পাম্ফিলার (1ম শতাব্দী) বিবৃতি নথিভুক্ত করেছেন যে থেলস "একটি বৃত্তে একটি সমকোণ ত্রিভুজ খোদাই করা প্রথম ব্যক্তি ছিলেন"। থেলস মিশর ও ব্যাবিলোনিয়া ভ্রমণ করেছিলেন বলে দাবি করা হয়, যেখানে তিনি জ্যামিতি ও জ্যোতির্বিজ্ঞান সম্পর্কে শিখেছিলেন এবং সেখান থেকে গ্রীকদের কাছে তাদের জ্ঞান নিয়ে এসেছিলেন, জ্যামিতিক প্রমাণের ধারণা উদ্ভাবন এবং বিভিন্ন জ্যামিতিক উপপাদ্য প্রমাণ করার পথে। যাইহোক, এই দাবিগুলির কোনওটিরই সরাসরি প্রমাণ নেই এবং এগুলি সম্ভবত অনুমানমূলক যৌক্তিকতা উদ্ভাবিত হয়েছিল। আধুনিক পণ্ডিতরা বিশ্বাস করেন যে ইউক্লিডের উপাদানগুলিতে পাওয়া গ্রীক অবরোহী জ্যামিতি খ্রিস্টপূর্ব 4র্থ শতাব্দীর আগে পর্যন্ত বিকশিত হয়নি এবং থেলসের যে কোনও জ্যামিতিক জ্ঞান পর্যবেক্ষণমূলক হতে পারে। ইউক্লিডের এলিমেন্টস ()-এর দ্বিতীয় বইয়ে এই উপপাদ্যটি প্রস্তাবনা 31 হিসাবে দেখা যায়ঃ "একটি বৃত্তে অর্ধবৃত্তের কোণটি সঠিক, একটি বৃহত্তর অংশে একটি সমকোণের চেয়ে কম, এবং একটি কম অংশে একটি সমকোণের চেয়ে বেশি; আরও বৃহত্তর অংশের কোণটি একটি সমকোণের চেয়ে বড়, এবং ছোট অংশের কোণটি একটি সমকোণের চেয়ে কম। দান্তের প্যারাডিসো (ক্যান্টো 13, লাইন 101-102) একটি বক্তৃতা চলাকালীন থেলসের উপপাদ্যকে বোঝায়। প্রমাণ প্রথম প্রমাণ নিম্নলিখিত তথ্যগুলি ব্যবহার করা হয়ঃ একটি ত্রিভুজের কোণগুলির সমষ্টি 180° এর সমান এবং একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভিত্তি কোণগুলি সমান। যেহেতু, এবং সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ, এবং একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভিত্তি কোণের সমতা দ্বারা, এবং। যাক এবং। ত্রিভুজের তিনটি অভ্যন্তরীণ কোণ হল, এবং। যেহেতু একটি ত্রিভুজের কোণের সমষ্টি 180° এর সমান, তাই আমাদের Q. E. D আছে। দ্বিতীয় প্রমাণ উপপাদ্যটি ত্রিকোণমিতি ব্যবহার করেও প্রমাণিত হতে পারেঃ ধরা যাক, এবং। তারপর একক বৃত্তের একটি বিন্দু। আমরা প্রমাণ করব যে এটি একটি সমকোণ গঠন করে এবং লম্ব-অর্থাৎ, তাদের ঢালের গুণফল-1 এর সমান। আমরা এবং-এর জন্য ঢাল গণনা করিঃ তারপর আমরা দেখাই যে তাদের গুণফল −1-এর সমানঃ পাইথাগোরীয় ত্রিকোণমিতি পরিচয়ের তৃতীয় প্রমাণের ব্যবহার লক্ষ্য করুন ধরা যাক একটি বৃত্তের মধ্যে একটি ত্রিভুজ যেখানে সেই বৃত্তের একটি ব্যাস রয়েছে। তারপরে রেখার উপর মিরর করে একটি নতুন ত্রিভুজ তৈরি করুন এবং তারপরে বৃত্তের কেন্দ্রের মধ্য দিয়ে যাওয়া লম্ব রেখার উপর আবার মিরর করুন। যেহেতু রেখাগুলি এবং সমান্তরাল, একইভাবে এবং-এর জন্য, চতুর্ভুজটি একটি সমান্তরাল চতুর্ভুজ। যেহেতু রেখা এবং সমান্তরাল চতুর্ভুজের তির্যক উভয়ই বৃত্তের ব্যাস এবং তাই দৈর্ঘ্য সমান, তাই সমান্তরাল চতুর্ভুজটি অবশ্যই একটি আয়তক্ষেত্র হতে হবে। একটি আয়তক্ষেত্রের সমস্ত কোণ সমকোণ। বিপরীত যে কোনও ত্রিভুজের জন্য, এবং বিশেষত, যে কোনও সমকোণ ত্রিভুজের জন্য, ত্রিভুজের তিনটি শীর্ষ নিয়ে ঠিক একটি বৃত্ত রয়েছে। (প্রমাণের স্কেচ। দুটি প্রদত্ত বিন্দু থেকে সমদূরত্বে অবস্থিত বিন্দুর অবস্থান হল একটি সরলরেখা যাকে বিন্দুগুলিকে সংযুক্তকারী রেখাখন্ডের লম্ব দ্বিখণ্ডক বলা হয়। একটি ত্রিভুজের যে কোনও দুটি দিকের লম্ব দ্বিখণ্ডকগুলি ঠিক একটি বিন্দুতে ছেদ করে। এই বিন্দুটি অবশ্যই ত্রিভুজের শীর্ষগুলি থেকে সমান দূরত্বে থাকতে হবে)। এই বৃত্তটিকে ত্রিভুজের বৃত্ত বলা হয়। থেলসের উপপাদ্য গঠনের একটি উপায় হ 'লঃ যদি কোনও ত্রিভুজের বৃত্তের কেন্দ্র ত্রিভুজের উপর থাকে তবে ত্রিভুজটি ডানদিকে থাকে এবং এর বৃত্তের কেন্দ্রটি তার হাইপোটেনুজের উপর থাকে। থেলসের উপপাদ্যের বিপরীতটি হ 'লঃ একটি সমকোণ ত্রিভুজের বৃত্তের কেন্দ্রটি তার হাইপোটেনুজের উপর অবস্থিত। (সমতুল্যভাবে, একটি সমকোণ ত্রিভুজের হাইপোটেনুজ হল তার বৃত্তের একটি ব্যাস।) জ্যামিতি ব্যবহার করে বিপরীতের প্রমাণ এই প্রমাণটি একটি আয়তক্ষেত্র গঠনের জন্য ডান ত্রিভুজকে 'সম্পূর্ণ' করে এবং লক্ষ্য করে যে সেই আয়তক্ষেত্রের কেন্দ্রটি শীর্ষগুলি থেকে সমান দূরত্বে এবং মূল ত্রিভুজের বৃত্তের কেন্দ্রটিও একই রকম, এটি দুটি তথ্য ব্যবহার করেঃ একটি সমান্তরালে সংলগ্ন কোণগুলি পরিপূরক (180° যোগ করুন) এবং, একটি আয়তক্ষেত্রের তির্যকগুলি সমান এবং তাদের মধ্যবিন্দুতে একে অপরকে অতিক্রম করে। একটি সমকোণ, পাশ দিয়ে যাওয়ার সমান্তরাল একটি রেখা এবং পাশ দিয়ে যাওয়ার সমান্তরাল একটি রেখা থাকুক। ধরা যাক রেখার ছেদ বিন্দু এবং। (এটি প্রমাণিত হয়নি যে বৃত্তের উপর রয়েছে।) চতুর্ভুজটি নির্মাণের মাধ্যমে একটি সমান্তরাল চতুর্ভুজ গঠন করে (কারণ বিপরীত দিকগুলি সমান্তরাল)। যেহেতু একটি সমান্তরালে সংলগ্ন কোণগুলি পরিপূরক (180° যোগ করুন) এবং একটি সমকোণ (90°) হয়, তাই কোণগুলিও সঠিক (90°) হয়; ফলস্বরূপ একটি আয়তক্ষেত্র। ধরা যাক তির্যকগুলির ছেদ বিন্দু এবং। তারপর, উপরের দ্বিতীয় তথ্য অনুসারে, বিন্দুটি, এবং থেকে সমান দূরত্বে অবস্থিত। এবং পরিমাপকারী বৃত্তের কেন্দ্রও তাই, এবং ত্রিভুজের হাইপোটেনুজ () হল বৃত্তের একটি ব্যাস। জ্যামিতি ব্যবহার করে বিপরীতের বিকল্প প্রমাণ হাইপোটেনুজ সহ একটি সমকোণ ত্রিভুজ দেওয়া হলে, একটি বৃত্ত তৈরি করুন যার ব্যাস হল। এর কেন্দ্রবিন্দু হতে দিন। ধরা যাক এবং রশ্মির ছেদ। থেলসের উপপাদ্য অনুসারে, এটি সঠিক। কিন্তু তারপর অবশ্যই সমান হতে হবে। (যদি ভিতরে থাকে, তা হলে মোটা হবে, এবং যদি বাইরে থাকে, তা হলে তীব্র হবে।) রৈখিক বীজগণিত ব্যবহার করে বিপরীতের প্রমাণ এই প্রমাণ দুটি তথ্য ব্যবহার করেঃ দুটি রেখা একটি সমকোণ গঠন করে যদি এবং শুধুমাত্র যদি তাদের দিকনির্দেশক ভেক্টরের বিন্দু গুণফল শূন্য হয়, এবং একটি ভেক্টরের দৈর্ঘ্যের বর্গ ভেক্টরের বিন্দু গুণফল দ্বারা দেওয়া হয়। ব্যাস সহ একটি সমকোণ এবং বৃত্ত থাকুক। সহজ গণনার জন্য এম-এর কেন্দ্রটি উৎপত্তির উপর অবস্থিত হোক। তারপর আমরা জানি, কারণ উৎপত্তিস্থলে কেন্দ্রিক বৃত্তটির ব্যাস রয়েছে, এবং, কারণ এটি একটি সমকোণ। এটি অনুসরণ করে এর অর্থ হল যে এবং উৎস থেকে সমান দূরত্বে, অর্থাৎ। কেন্দ্র থেকে। যেহেতু এটি অবস্থিত, তাই এটিও রয়েছে এবং তাই বৃত্তটি ত্রিভুজের বৃত্ত। উপরের গণনাগুলি প্রকৃতপক্ষে প্রতিষ্ঠিত করে যে থেলসের উপপাদ্যের উভয় দিকই যে কোনও অভ্যন্তরীণ গুণফলের ক্ষেত্রে বৈধ। সাধারণীকরণ এবং সম্পর্কিত ফলাফল থেলসের উপপাদ্যটি নিম্নলিখিত উপপাদ্যটির একটি বিশেষ ক্ষেত্রেঃ তিনটি বিন্দু দেওয়া হয়েছে, এবং কেন্দ্র সহ একটি বৃত্তে কোণটি কোণের দ্বিগুণ বড়। খোদাই করা কোণটি দেখুন, এই উপপাদ্যের প্রমাণটি উপরে দেওয়া থেলসের উপপাদ্যের প্রমাণের সাথে বেশ মিল। থেলসের উপপাদ্যের সঙ্গে সম্পর্কিত একটি ফলাফল নিম্নরূপঃ যদি একটি বৃত্তের ব্যাস হয়, তাহলেঃ যদি বৃত্তের ভিতরে থাকে, তাহলে যদি বৃত্তের উপর থাকে, তাহলে যদি বৃত্তের বাইরে থাকে, তাহলে। অ্যাপ্লিকেশন থেলসের উপপাদ্যটি একটি নির্দিষ্ট বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া একটি প্রদত্ত বৃত্তের স্পর্শক তৈরি করতে ব্যবহার করা যেতে পারে। ডানদিকের চিত্রে, কেন্দ্র এবং বাইরের বিন্দু সহ প্রদত্ত বৃত্তটি, কেন্দ্রের সাথে ব্যাসার্ধের বৃত্তটি দ্বিখণ্ডিত করুন এবং আঁকুন। এই বৃত্তের একটি ব্যাস, তাই ও. পি-কে বিন্দুগুলির সাথে সংযুক্তকারী ত্রিভুজ এবং যেখানে বৃত্তগুলি ছেদ করে, উভয়ই সমকোণ। থেলসের উপপাদ্যটি একটি সমকোণ সহ একটি বস্তু ব্যবহার করে একটি বৃত্তের কেন্দ্র খুঁজে বের করতেও ব্যবহার করা যেতে পারে, যেমন একটি নির্দিষ্ট বর্গক্ষেত্র বা বৃত্তের চেয়ে বড় কাগজের আয়তক্ষেত্রাকার শীট। কোণটি তার পরিধির যে কোনও জায়গায় স্থাপন করা হয় (চিত্র 1)। পরিধি সহ দুই পক্ষের ছেদ একটি ব্যাসকে সংজ্ঞায়িত করে (চিত্র 2)। ছেদগুলির একটি ভিন্ন সেট দিয়ে এটি পুনরাবৃত্তি করলে আরেকটি ব্যাস পাওয়া যায় (চিত্র 3)। কেন্দ্রটি ব্যাসের ছেদস্থলে অবস্থিত। আরও দেখুন সিন্থেটিক জ্যামিতি ইনভার্স পাইথাগোরিয়ান উপপাদ্য নোটস রেফারেন্স এক্সটার্নাল লিঙ্কস মাঞ্চিং অন ইন্সক্রাইবড অ্যাঙ্গেলস থেলসের উপপাদ্য ব্যাখ্যা করেছেন, ইন্টারেক্টিভ অ্যানিমেশন সহ থেলসের উপপাদ্যের ডেমোস মাইকেল শ্রাইবার, দ্য ওল্ফ্রাম ডেমন্সট্রেশন প্রজেক্ট। ইউক্লিডীয় সমতলীয় জ্যামিতি প্রমাণ সম্বলিত নিবন্ধ ডান ত্রিভুজ সম্পর্কে উপপাদ্য ত্রিভুজ এবং বৃত্ত সম্পর্কে উপপাদ্যঃ টিওরেমা ডি Tales#Segundo টিওরেমা সেঃ এমএসপিএটিএলএস #המשפט হাসনি