Sylvester–Gallai configuration
জ্যামিতিতে, একটি সিলভেস্টার-গ্যালাই বিন্যাস একটি প্রজেক্টিভ স্পেসের পয়েন্টগুলির একটি সীমাবদ্ধ উপসেট নিয়ে গঠিত যার বৈশিষ্ট্য হল যে উপসেটের যে কোনও দুটি পয়েন্টের মধ্য দিয়ে রেখাটি উপসেটের কমপক্ষে অন্য একটি পয়েন্টের মধ্য দিয়ে যায়। সিলভেস্টার-গ্যালাই বিন্যাসকে একটি প্রজেক্টিভ স্পেসের পয়েন্টগুলির উপসেট হিসাবে সংজ্ঞায়িত করার পরিবর্তে, এগুলিকে পয়েন্ট এবং লাইনের বিমূর্ত আপতন কাঠামো হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে, যা বৈশিষ্ট্যগুলিকে সন্তুষ্ট করে যে, প্রতিটি জোড়া পয়েন্টের জন্য, কাঠামোটি জোড়া ধারণকারী ঠিক একটি লাইন অন্তর্ভুক্ত করে এবং প্রতিটি লাইনে কমপক্ষে তিনটি পয়েন্ট থাকে। এই আরও সাধারণ আকারে এগুলিকে সিলভেস্টার-গাল্লাই ডিজাইনও বলা হয়। একটি ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত ধারণা হল একটি সিলভেস্টার ম্যাট্রয়েড, একটি ম্যাট্রয়েড যা সিলভেস্টার-গ্যালাই কনফিগারেশনের মতো একই বৈশিষ্ট্যযুক্ত যার কোনও দ্বি-বিন্দু রেখা নেই। ইউক্লিডীয় সমতলে, প্রকৃত প্রজেক্টিভ সমতল, উচ্চ-মাত্রিক ইউক্লিডীয় স্থান বা বাস্তব প্রজেক্টিভ স্থান, বা একটি ক্রমবর্ধমান ক্ষেত্রের স্থানাঙ্ক সহ স্থান, সিলভেস্টার-গ্যালাই উপপাদ্য দেখায় যে একমাত্র সম্ভাব্য সিলভেস্টার-গ্যালাই বিন্যাস এক-মাত্রিকঃ তারা তিন বা ততোধিক কলিনিয়ার পয়েন্ট নিয়ে গঠিত। এই তথ্য এবং হেসে বিন্যাসের উদাহরণ দ্বারা অনুপ্রাণিত হয়ে জিজ্ঞাসা করা হয়েছিল যে, জটিল-সংখ্যার স্থানাঙ্ক সহ স্থানগুলিতে, প্রতিটি সিলভেস্টার-গ্যালাই বিন্যাস সর্বাধিক দ্বি-মাত্রিক কিনা। প্রশ্নটির পুনরাবৃত্তি করুন। সেরের প্রশ্নের উত্তর দিয়েছেন ইতিবাচকভাবে; কেলির প্রমাণকে সরলীকৃত করেছেন, এবং অনুরূপভাবে প্রমাণ করেছেন যে কোয়াটারনিয়ন স্থানাঙ্ক সহ জায়গাগুলিতে, সমস্ত সিলভেস্টার-গ্যালাই কনফিগারেশন অবশ্যই একটি ত্রিমাত্রিক সাবস্পেসের মধ্যে থাকতে হবে। প্রজেক্টিভ কনফিগারেশনগুলি প্রজেক্টিভ কনফিগারেশনগুলি অধ্যয়ন করে যা সিলভেস্টার-গাল্লাই কনফিগারেশনও; একটি প্রজেক্টিভ কনফিগারেশনের অতিরিক্ত প্রয়োজনীয়তা রয়েছে যে প্রতিটি দুটি বিন্দুর মধ্য দিয়ে সমান সংখ্যক লাইন থাকে এবং প্রতিটি দুটি লাইনে সমান সংখ্যক পয়েন্ট থাকে। উদাহরণস্বরূপ, সিলভেস্টার-গাল্লাই বিন্যাসে সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রের উপর সংজ্ঞায়িত যে কোনও মাত্রার অ্যাফাইন এবং প্রজেক্টিভ স্পেস অন্তর্ভুক্ত রয়েছে এবং এগুলি সবই প্রজেক্টিভ কনফিগারেশনও। প্রতিটি প্রজেক্টিভ বিন্যাসকে একটি স্বরলিপি (পএলবি) দেওয়া যেতে পারে, যেখানে পি হল বিন্দুর সংখ্যা, এল হল রেখার সংখ্যা, প্রতি বিন্দুতে রেখার সংখ্যা এবং বি হল প্রতি লাইনে বিন্দুর সংখ্যা, যা প = এলবি সমীকরণকে সন্তুষ্ট করে। মোতজকিন পর্যবেক্ষণ করেছেন যে, সিলভেস্টার-গ্যালাই নকশাকে সংজ্ঞায়িত করার জন্য এই পরামিতিগুলির জন্য প্রয়োজন যে b> 2, সেই p <l (একটি প্রজেক্টিভ স্পেসে অ-কোলিনিয়ার পয়েন্টগুলির যে কোনও সেটের জন্য কমপক্ষে পয়েন্ট হিসাবে অনেকগুলি লাইন নির্ধারণ করে) এবং তারা অতিরিক্ত সমীকরণও মেনে চলে। সিলভেস্টার-গাল্লাই নকশাগুলি যা প্রজেক্টিভ কনফিগারেশনও হয় তা ST (2, b, p) পরামিতি সহ স্টেইনার সিস্টেমের মতো একই জিনিস। মোটজকিন এই ধরনের ছোট বিন্যাসের বেশ কয়েকটি উদাহরণ তালিকাভুক্ত করেছেনঃ 7373, ফানো সমতলের পরামিতি, দুটি উপাদানের ক্ষেত্রের উপর প্রজেক্টিভ সমতল। 94123, হেসে বিন্যাসের পরামিতি। এটি একটি তিন-উপাদান ক্ষেত্রের উপর অ্যাফিন সমতল, এবং একটি উপবৃত্তাকার বক্ররেখার প্রতিফলন বিন্দুর সেট হিসাবে জটিল-সংখ্যার স্থানাঙ্ক দিয়েও উপলব্ধি করা যেতে পারে। 134134, একটি তিন-উপাদান ক্ষেত্রের উপর প্রজেক্টিভ সমতলের পরামিতি। 136263, দুটি 13-উপাদান স্টেইনার ট্রিপল সিস্টেমের পরামিতি। 157353, একটি দ্বি-উপাদান ক্ষেত্রের উপর একটি ত্রিমাত্রিক প্রজেক্টিভ স্থানের পরামিতি এবং 79টি অন্যান্য স্টেইনার ট্রিপল সিস্টেম 165204, একটি চার-উপাদান ক্ষেত্রের উপর অ্যাফিন সমতলের পরামিতি। 215215, একটি চার-উপাদান ক্ষেত্রের উপর প্রজেক্টিভ সমতলের পরামিতি। 256305, একটি পাঁচ-উপাদান ক্ষেত্রের উপর অ্যাফিন সমতলের পরামিতি। এবং সিলভেস্টার-গাল্লাই নকশার বিকল্প জ্যামিতিক উপস্থাপনা অধ্যয়ন করেন, যেখানে নকশার বিন্দুগুলি চার-মাত্রিক স্থানে তির্যক রেখা দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয় এবং নকশার প্রতিটি লাইন একটি হাইপারপ্লেন দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয়। সাত-বিন্দু এবং 13-বিন্দু প্রজেক্টিভ প্লেন উভয়েরই এই ধরনের উপস্থাপনা রয়েছে। অন্যান্য উদাহরণগুলি সাধারণত সর্বাধিক 14 পয়েন্টের উপর সমস্ত অ-কোলিনিয়ার সিলভেস্টার-গাল্লাই কনফিগারেশন এবং সিলভেস্টার-গাল্লাই ডিজাইনগুলিকে শ্রেণীবদ্ধ করে। এগুলিতে দশ পয়েন্ট সহ একটি অনন্য নকশা অন্তর্ভুক্ত রয়েছে; এতে, কিছু পয়েন্ট তিনটি চার-পয়েন্ট লাইনে রয়েছে এবং অন্যান্য পয়েন্টগুলি তিনটি তিন-পয়েন্ট লাইন এবং একটি চার-পয়েন্ট লাইনের অন্তর্গত। এছাড়াও একটি অনন্য 11-পয়েন্ট সিলভেস্টার-গাল্লাই নকশা, দুটি ভিন্ন 12-পয়েন্ট নকশা এবং চারটি অনিয়মিত 13-পয়েন্ট নকশা রয়েছে। 14 পয়েন্টের জন্য, তারা দেখতে পেল যে আবার শুধুমাত্র একটি সম্ভাব্য সিলভেস্টার-গাল্লাই নকশা ছিল। রেফারেন্স। । । । । । বিন্যাস (জ্যামিতি)