Telephone number (mathematics)
গণিতে, টেলিফোন নম্বর বা ইনভোলুশন নম্বরগুলি পূর্ণসংখ্যার একটি ক্রম গঠন করে যা ব্যক্তি-থেকে-ব্যক্তি টেলিফোন কলের মাধ্যমে মানুষকে কীভাবে সংযুক্ত করা যায় তা গণনা করে। এই সংখ্যাগুলি শীর্ষে একটি সম্পূর্ণ গ্রাফের মিলনের সংখ্যা (হোসোয়া সূচক), উপাদানগুলির উপর বিন্যাসের সংখ্যা, হারমাইট বহুপদের সহগগুলির পরম মানগুলির যোগফল, কোষগুলির সাথে স্ট্যান্ডার্ড ইয়ং ট্যাবলোগুলির সংখ্যা এবং প্রতিসম গোষ্ঠীর অপরিবর্তনীয় উপস্থাপনাগুলির ডিগ্রির যোগফলও বর্ণনা করে। 1800 সালে হেনরিচ অগাস্ট রোথে প্রথম অংশগ্রহণ সংখ্যা নিয়ে গবেষণা করেন, যিনি একটি পুনরাবৃত্তির সমীকরণ দিয়েছিলেন যার মাধ্যমে তাদের গণনা করা যেতে পারে, যার মানগুলি (থেকে শুরু করে) অ্যাপ্লিকেশন জন রিওর্ডান এই সংখ্যাগুলির জন্য নিম্নলিখিত ব্যাখ্যা প্রদান করেঃ ধরুন যে লোকেরা এমন একটি টেলিফোন পরিষেবায় সাবস্ক্রাইব করে যা তাদের মধ্যে যে কোনও দু 'জনকে একটি কলের মাধ্যমে সংযুক্ত করতে পারে, তবে দু' জনের বেশি লোককে সংযুক্ত করে একটি একক কল করতে পারে না। সংযোগের কতগুলি বিভিন্ন ধরণ সম্ভব? উদাহরণস্বরূপ, তিনজন গ্রাহকের সাথে, একটি একক টেলিফোন কল করার তিনটি উপায় রয়েছে এবং একটি অতিরিক্ত প্যাটার্ন যেখানে কোনও কল করা হচ্ছে না, মোট চারটি প্যাটার্নের জন্য। এই কারণে, কতগুলি নিদর্শন সম্ভব তা গণনা করা সংখ্যাগুলিকে কখনও কখনও টেলিফোন নম্বর বলা হয়। মানুষের মধ্যে জোড়া-ভিত্তিক সংযোগের প্রতিটি প্যাটার্ন একটি ইনভোলুশনকে সংজ্ঞায়িত করে, যা মানুষের একটি ক্রমবিকাশ যা তার নিজস্ব বিপরীত। এই ক্রমানুসারে, একে অপরকে কল করা প্রতিটি দুই ব্যক্তিকে অদলবদল করা হয় এবং কলের সাথে জড়িত নয় এমন লোকেরা জায়গায় স্থির থাকে। বিপরীতভাবে, প্রতিটি সম্ভাব্য ইনভোলুশনের এই ধরনের জোড়া-ভিত্তিক অদলবদলের একটি সেট রয়েছে। অতএব, টেলিফোন নম্বরগুলিও ইনভোলুশন গণনা করে। 1800 সালে রোথে দ্বারা অধ্যয়নরত মূল সমন্বিত গণনা সমস্যাটি ছিল ইনভোলুশন গণনার সমস্যা এবং এই সংখ্যাগুলিকে ইনভোলুশন সংখ্যাও বলা হয়। গ্রাফ তত্ত্বে, একটি গ্রাফের প্রান্তের একটি উপসেট যা প্রতিটি শীর্ষকে সর্বাধিক একবার স্পর্শ করে তাকে ম্যাচিং বলা হয়। রাসায়নিক গ্রাফ তত্ত্বে প্রদত্ত গ্রাফের মিল গণনা করা গুরুত্বপূর্ণ, যেখানে গ্রাফের মডেল অণু এবং মিলনের সংখ্যা হল হোসোয়া সূচক। একটি-ভার্টেক্স গ্রাফের বৃহত্তম সম্ভাব্য হোসোয়া সূচক সম্পূর্ণ গ্রাফ দ্বারা দেওয়া হয়, যার জন্য জোড়ার দিকের সংযোগের যে কোনও প্যাটার্ন সম্ভব; সুতরাং, শীর্ষে একটি সম্পূর্ণ গ্রাফের হোসোয়া সূচকটি তম টেলিফোন নম্বরের সমান। ফেরার্স রেখাচিত্র হল সমতলে বর্গক্ষেত্রের একটি সংগ্রহ দ্বারা গঠিত একটি জ্যামিতিক আকৃতি, যা একটি অনুভূমিক উপরের প্রান্ত, একটি উল্লম্ব বাম প্রান্ত এবং উপরের ডান থেকে নীচের বাম প্রান্তের একক একঘেয়ে চেইন সহ একটি পলিওমিনোতে গোষ্ঠীভুক্ত। 1 থেকে এই বর্গগুলিতে সংখ্যাগুলি এমনভাবে রেখে একটি আদর্শ তরুণ ট্যাবলো তৈরি করা হয় যাতে ট্যাবলো জুড়ে বাম থেকে ডানে এবং উপরে থেকে নীচে সংখ্যা বৃদ্ধি পায়। রবিনসন-শেনস্টেড চিঠিপত্র অনুসারে, বিন্যাসগুলি স্ট্যান্ডার্ড ইয়ং ট্যাবলোগুলির ক্রমযুক্ত জোড়ার সাথে একের জন্য এক মিল রয়েছে। একটি ক্রমানুবর্তিতা বিপরীত করা দুটি ট্যাবলো অদলবদল করার সাথে মিলে যায়, এবং তাই স্ব-বিপরীত ক্রমানুবর্তিতা একক ট্যাবলোগুলির সাথে মিলে যায়, যা তাদের সাথে যুক্ত হয়। সুতরাং, টেলিফোন নম্বরগুলি বর্গক্ষেত্র সহ তরুণ ট্যাবলোগুলির সংখ্যাও গণনা করে। উপস্থাপনা তত্ত্বে, ফেরার্স রেখাচিত্রগুলি বিন্যাসের প্রতিসম গোষ্ঠীর অপরিবর্তনীয় উপস্থাপনার সাথে মিলে যায় এবং একটি প্রদত্ত আকৃতি সহ তরুণ ট্যাবলো সেই আকৃতির সাথে অপরিবর্তনীয় উপস্থাপনার ভিত্তি গঠন করে। অতএব, টেলিফোন নম্বরগুলি অপরিবর্তনীয় উপস্থাপনার মাত্রার যোগফল দেয়। দাবার গণিতে, টেলিফোন নম্বরগুলি একটি দাবা বোর্ডে রুক রাখার উপায়ের সংখ্যা এমনভাবে গণনা করে যে কোনও দুটি রুক একে অপরকে আক্রমণ করে না (তথাকথিত আট রুক ধাঁধা), এবং এমনভাবে যে রুকগুলির বিন্যাস বোর্ডের তির্যক প্রতিফলনের অধীনে প্রতিসম। পলিয়া গণনা উপপাদ্যের মাধ্যমে, এই সংখ্যাগুলি পারস্পরিক অ-আক্রমণকারী রুকের "মূলত ভিন্ন" বিন্যাসের সামগ্রিক সংখ্যার জন্য একটি সূত্রের মূল উপাদানগুলির মধ্যে একটি গঠন করে, যেখানে দুটি বিন্যাসকে মূলত ভিন্ন হিসাবে গণনা করা হয় যদি বোর্ডের কোনও প্রতিসাম্য না থাকে যা একটিকে অন্যটির মধ্যে নিয়ে যায়। গাণিতিক বৈশিষ্ট্য পুনরাবৃত্তি টেলিফোন নম্বরগুলি 1800 সালে হেনরিচ আগস্ট রোথের দ্বারা প্রথম প্রকাশিত পুনরাবৃত্তির সম্পর্ককে সন্তুষ্ট করে, যার দ্বারা সেগুলি সহজেই গণনা করা যেতে পারে। এই পুনরাবৃত্তি ব্যাখ্যা করার একটি উপায় হল একটি টেলিফোন সিস্টেমে গ্রাহকদের সংযোগের নিদর্শনগুলিকে সেই নিদর্শনগুলিতে ভাগ করা যেখানে প্রথম ব্যক্তি অন্য কাউকে কল করছেন না এবং যে নিদর্শনগুলিতে প্রথম ব্যক্তি একটি কল করছেন। এমন সংযোগের নিদর্শন রয়েছে যেখানে প্রথম ব্যক্তির সংযোগ বিচ্ছিন্ন হয়ে যায়, যা পুনরাবৃত্তির প্রথম পদটি ব্যাখ্যা করে। যদি প্রথম ব্যক্তিটি কারও সাথে সংযুক্ত থাকে, তবে সেই ব্যক্তির জন্য পছন্দ রয়েছে এবং অবশিষ্ট ব্যক্তিদের জন্য সংযোগের ধরণ রয়েছে, যা পুনরাবৃত্তির দ্বিতীয় পদটি ব্যাখ্যা করে। সারসংক্ষেপ সূত্র এবং আনুমানিক টেলিফোন নম্বরগুলি ঠিক একটি যোগফল হিসাবে প্রকাশ করা যেতে পারে প্রথম যোগফলের প্রতিটি পদে, মিলে যাওয়া জোড়ার সংখ্যা দেয়, দ্বিপদী সহগটি মিলে যাওয়া উপাদানগুলি বেছে নেওয়ার উপায়গুলির সংখ্যা গণনা করে এবং দ্বিগুণ গুণক তার যুক্তি পর্যন্ত বিজোড় পূর্ণসংখ্যার গুণফল এবং নির্বাচিত উপাদানগুলির সাথে সম্পূর্ণরূপে মেলানোর উপায়গুলির সংখ্যা গণনা করে। এটি যোগসূত্র সূত্র এবং স্টার্লিংয়ের আনুমানিক থেকে অনুসরণ করে যে, অ্যাসিম্পটোটিক্যালি, জেনারেটিং ফাংশন টেলিফোন নম্বরগুলির সূচকীয় জেনারেটিং ফাংশন হল অন্য কথায়, টেলিফোন নম্বরগুলি টেলর সিরিজের সহগ হিসাবে পড়া যেতে পারে, এবং তম টেলিফোন নম্বরটি এই ফাংশনের তম ডেরিভেটিভের শূন্যের মান। এই ফাংশনটি হার্মাইট পলিনোমিয়ালগুলির এক্সপোনেনশিয়াল জেনারেটিং ফাংশনের সাথে ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত, যা সম্পূর্ণ গ্রাফের মিলযুক্ত পলিনোমিয়াল। তম (সম্ভাবনাময়) হারমাইট বহুপদীর সহগগুলির পরম মানগুলির সমষ্টি হল তম টেলিফোন নম্বর, এবং টেলিফোন নম্বরগুলিকে হারমাইট বহুপদের নির্দিষ্ট বিশেষ মান হিসাবেও উপলব্ধি করা যেতে পারেঃ প্রধান কারণগুলির বড় মানের জন্য, তম টেলিফোন নম্বরটি দুইটির একটি বড় শক্তি দ্বারা বিভাজ্য। আরও সুনির্দিষ্টভাবে বলতে গেলে, এর এবং এর 2-অ্যাডিক ক্রম (মৌলিক ফ্যাক্টরাইজেশনে দুটির ফ্যাক্টরের সংখ্যা) হল; এর জন্য, এবং এর জন্য। যে কোনও মৌলিক সংখ্যার জন্য, শূন্য না হওয়া পর্যন্ত বা কোনও চক্র সনাক্ত না হওয়া পর্যন্ত টেলিফোন নম্বরের ক্রম, মডুলোর পুনরাবৃত্তি গণনা করে বিভাজ্য কোনও টেলিফোন নম্বর রয়েছে কিনা তা পরীক্ষা করা যেতে পারে। যে মৌলিক সংখ্যাগুলি কমপক্ষে একটি টেলিফোন নম্বরকে বিভক্ত করে সেগুলি হল এই ক্রমের বিজোড় মৌলিক সংখ্যাগুলিকে অকার্যকর বলা হয়। এগুলির প্রত্যেকটি অসীম সংখ্যক টেলিফোন নম্বরকে ভাগ করে। তথ্যসূত্র পূর্ণসংখ্যার ক্রম গণনামূলক সমন্বয় ফ্যাক্টরিয়াল এবং দ্বিপদী বিষয় মেলানো (গ্রাফ তত্ত্ব) বিন্যাস