Plateau's problem
গণিতে, মালভূমির সমস্যা হল একটি নির্দিষ্ট সীমানা সহ একটি ন্যূনতম পৃষ্ঠের অস্তিত্ব দেখানো, যা 1760 সালে জোসেফ-লুই ল্যাগ্রাঞ্জ দ্বারা উত্থাপিত একটি সমস্যা। যাইহোক, এটি জোসেফ মালভূমির নামে নামকরণ করা হয়েছে যিনি সাবান ফিল্ম নিয়ে পরীক্ষা-নিরীক্ষা করেছিলেন। সমস্যাটিকে বৈচিত্র্যের গণনার অংশ হিসাবে বিবেচনা করা হয়। অস্তিত্ব এবং নিয়মিততার সমস্যাগুলি জ্যামিতিক পরিমাপ তত্ত্বের অংশ। ইতিহাস সমস্যার বিভিন্ন বিশেষ রূপের সমাধান করা হয়েছিল, তবে 1930 সালেই জেসি ডগলাস এবং টিবোর রাডো স্বাধীনভাবে ম্যাপিং (নিমজ্জন) প্রসঙ্গে সাধারণ সমাধান খুঁজে পেয়েছিলেন। তাদের পদ্ধতিগুলি বেশ আলাদা ছিল; রাডোর কাজ রেনে গার্নিয়ারের পূর্ববর্তী কাজের উপর নির্মিত এবং শুধুমাত্র সংশোধনযোগ্য সহজ বদ্ধ বক্ররেখার জন্য অনুষ্ঠিত হয়েছিল, যেখানে ডগলাস একটি নির্বিচারে সহজ বদ্ধ বক্ররেখার জন্য তার ফলাফল ধরে রেখে সম্পূর্ণ নতুন ধারণা ব্যবহার করেছিলেন। উভয়ই ন্যূনতম সমস্যা স্থাপনের উপর নির্ভর করেছিল; ডগলাস এখন-নামকরণ করা ডগলাস ইন্টিগ্রালকে ন্যূনতম করেছে এবং রাডো "শক্তি" কে ন্যূনতম করেছে। ডগলাস তাঁর প্রচেষ্টার জন্য 1936 সালে ফিল্ডস পদক লাভ করেন। উচ্চতর মাত্রায় সমস্যাটির উচ্চতর মাত্রায় সম্প্রসারণ (অর্থাৎ,-মাত্রিক স্থানে-মাত্রিক পৃষ্ঠের জন্য) অধ্যয়ন করা অনেক বেশি কঠিন বলে প্রমাণিত হয়। অধিকন্তু, যদিও মূল সমস্যার সমাধানগুলি সর্বদা নিয়মিত হয়, তবে দেখা যায় যে বর্ধিত সমস্যার সমাধানগুলিতে এককত্ব থাকতে পারে। হাইপারসার্ফেস ক্ষেত্রে যেখানে, এককত্ব শুধুমাত্র জন্য ঘটে। মালভূমি সমস্যার এই ধরনের একক সমাধানের একটি উদাহরণ হল সাইমনস শঙ্কু, একটি শঙ্কু যা জিম সাইমনস দ্বারা প্রথম বর্ণনা করা হয়েছিল এবং বোম্বিয়েরি, ডি জর্জি এবং গিউস্টি দ্বারা একটি এলাকা মিনিমাইজার হিসাবে দেখানো হয়েছিল। কিছু বিশেষ ক্ষেত্রে বর্ধিত সমস্যা সমাধানের জন্য, কোডিমেনশন 1-এর জন্য পেরিমিটার তত্ত্ব (ডি জর্জি) এবং উচ্চতর কোডিমেনশনের জন্য সংশোধনযোগ্য স্রোতের তত্ত্ব (ফেডেরার এবং ফ্লেমিং) তৈরি করা হয়েছে। এই তত্ত্বটি কোডিমেনশন 1 সমাধানের অস্তিত্বের নিশ্চয়তা দেয় যা হাউজডর্ফ মাত্রার একটি বদ্ধ সেট থেকে মসৃণ দূরে থাকে। উচ্চতর কোডিমেনশনের ক্ষেত্রে আলমগ্রেন তাঁর নিয়মিততা উপপাদ্যতে সর্বাধিক মাত্রার একক সেট সহ সমাধানের অস্তিত্ব প্রমাণ করেছেন। এস. এক্স. চ্যাং, আলমগ্রেনের একজন ছাত্র, আলমগ্রেনের কাজের উপর ভিত্তি করে তৈরি করেছিলেন যে অবিচ্ছেদ্য স্রোতকে (নির্বিচারে কোডিমেনশনে) ন্যূনতম করে দ্বিমাত্রিক এলাকার এককত্বগুলি একটি সীমাবদ্ধ বিচ্ছিন্ন সেট গঠন করে। জেনি হ্যারিসন এবং হ্যারিসন পাগের স্বতঃসিদ্ধ দৃষ্টিভঙ্গি বিভিন্ন ধরনের বিশেষ ক্ষেত্রে কাজ করে। বিশেষত, তারা সাধারণ সমতাত্ত্বিক, সমতাত্ত্বিক বা সমস্থানিক বিস্তৃত অবস্থার সংমিশ্রণকে সন্তুষ্ট করে এমন সংশোধনযোগ্য সেটগুলির যে কোনও সংগ্রহের জন্য নির্বিচারে মাত্রা এবং কোডিমেনশনে অ্যানিসোট্রপিক মালভূমি সমস্যার সমাধান করে। হ্যারিসন-পুঘের ফলাফলের একটি ভিন্ন প্রমাণ ক্যামিলো ডি লেলিস, ফ্রান্সেসকো গিরাল্ডিন এবং ফ্রান্সেসকো ম্যাগি পেয়েছিলেন। শারীরিক প্রয়োগ শারীরিক সাবান ফিল্মগুলি ফ্রেডরিক আলমাগ্রেনের-ন্যূনতম সেট দ্বারা আরও সঠিকভাবে মডেল করা হয়, তবে একটি কম্প্যাক্টনেস উপপাদ্যের অভাব একটি এলাকা মিনিমাইজারের অস্তিত্ব প্রমাণ করা কঠিন করে তোলে। এই প্রসঙ্গে, একটি স্থায়ী উন্মুক্ত প্রশ্ন হল একটি স্বল্প-ক্ষেত্রের সাবান ফিল্মের অস্তিত্ব। আর্নস্ট রবার্ট রেইফেনবার্গ সীমানার জন্য এমন একটি "সর্বজনীন মালভূমির সমস্যা" সমাধান করেছিলেন যা একক এম্বেডেড গোলকের সমরূপ। আরও দেখুন ডাবল বাবল অনুমান ডিরিচলেট নীতি মালভূমির সূত্র প্রসারিত গ্রিড পদ্ধতি বার্নস্টেইনের সমস্যা রেফারেন্স গাণিতিক সমস্যাগুলির ন্যূনতম পৃষ্ঠতলের বৈচিত্র্যের ক্যালকুলাস