Cycle graph (algebra)
গ্রুপ তত্ত্বে, বিমূর্ত বীজগণিতের একটি উপক্ষেত্র, একটি গ্রুপ চক্র গ্রাফ একটি গোষ্ঠীর বিভিন্ন চক্রকে চিত্রিত করে এবং ছোট সসীম গোষ্ঠীর কাঠামো কল্পনা করতে বিশেষভাবে কার্যকর। একটি চক্র হল একটি প্রদত্ত গোষ্ঠী উপাদান a-এর শক্তির সমষ্টি, যেখানে একটি, একটি উপাদান a-এর n-তম শক্তিকে n গুণ দ্বারা গুণিত a-এর গুণফল হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। বলা হয় যে a উপাদানটি চক্রটি তৈরি করে। একটি সীমাবদ্ধ গোষ্ঠীতে, a-এর কিছু অ-শূন্য শক্তি অবশ্যই গোষ্ঠী পরিচয় হতে হবে, e; এই ধরনের সর্বনিম্ন শক্তি হল চক্রের ক্রম, এর মধ্যে স্বতন্ত্র উপাদানগুলির সংখ্যা। একটি চক্র আলেখে, চক্রটিকে একটি বহুভুজ হিসাবে উপস্থাপন করা হয়, যার শীর্ষগুলি গোষ্ঠী উপাদানগুলির প্রতিনিধিত্ব করে এবং সংযোগকারী রেখাগুলি নির্দেশ করে যে সেই বহুভুজের সমস্ত উপাদান একই চক্রের সদস্য। চক্রগুলি ওভারল্যাপ করতে পারে, অথবা তাদের পরিচয় ছাড়া কোনও সাধারণ উপাদান থাকতে পারে না। চক্রের গ্রাফ প্রতিটি আকর্ষণীয় চক্রকে বহুভুজ হিসাবে প্রদর্শন করে। যদি a ক্রম 6-এর একটি চক্র তৈরি করে (অথবা, আরও সংক্ষেপে, ক্রম 6 থাকে), তাহলে a6 = e। তারপর a2, {a2, a4, e}-এর শক্তির সেট একটি চক্র, তবে এটি আসলে কোনও নতুন তথ্য নয়। একইভাবে, a5 নিজেই a এর মতো একই চক্র তৈরি করে। সুতরাং, শুধুমাত্র আদিম চক্রগুলি বিবেচনা করা প্রয়োজন, যথা যেগুলি অন্য চক্রের উপসেট নয়। এগুলির প্রত্যেকটি কিছু আদিম উপাদান দ্বারা উৎপন্ন হয়, a। মূল গ্রুপের প্রতিটি উপাদানের জন্য একটি করে পয়েন্ট নিন। প্রতিটি আদিম উপাদানের জন্য, e-কে a-এর সাথে, a-কে a2-এর সাথে, an-1-কে an-এর সাথে সংযুক্ত করুন, ইত্যাদি, যতক্ষণ না e পৌঁছায়। ফলাফল হল চক্রের গ্রাফ। যখন a2 = e হয়, তখন a-এর ক্রম 2 থাকে (এটি একটি ইনভোলুশন), এবং দুটি প্রান্ত দ্বারা e-এর সাথে সংযুক্ত থাকে। চক্রের দুটি প্রান্তের উপর জোর দেওয়া ছাড়া, এটি সাধারণত দুটি উপাদানের মধ্যে একটি একক রেখা হিসাবে আঁকা হয়। একটি গ্রুপ চক্র গ্রাফের উদাহরণ হিসাবে, ডাইহেড্রাল গ্রুপ ডি. আই. এইচ. 4 বিবেচনা করুন। এই গোষ্ঠীর গুণন সারণী বাম দিকে দেখানো হয়েছে, এবং চক্রের গ্রাফটি ডানদিকে দেখানো হয়েছে যার মধ্যে ই পরিচয় উপাদানটি নির্দিষ্ট করে। গুণন সারণিতে a4 = e সহ {e, a, a2, a3} চক্রটি লক্ষ্য করুন। বিপরীত a − 1 = a3 এই চক্রের একটি উৎপাদকঃ (,, এবং। একইভাবে, যে কোনও গোষ্ঠীর যে কোনও চক্রে কমপক্ষে দুটি জেনারেটর থাকে এবং উভয় দিকেই অতিক্রম করা যেতে পারে। আরও সাধারণভাবে, এন উপাদান সহ একটি চক্রের জেনারেটরের সংখ্যা এন-এর অয়লার φ ফাংশন দ্বারা দেওয়া হয় এবং এই জেনারেটরগুলির যে কোনওটিকে চক্রের প্রথম নোড হিসাবে লেখা যেতে পারে (পরিচয় ই-এর পাশে); অথবা আরও সাধারণভাবে নোডগুলি অচিহ্নিত রেখে দেওয়া হয়। দুটি স্বতন্ত্র চক্র একটি জেনারেটরে ছেদ করতে পারে না। যে চক্রগুলিতে অ-প্রধান সংখ্যক উপাদান থাকে সেগুলিতে চক্রাকার উপগোষ্ঠী থাকে যা গ্রাফে দেখানো হয় না। উপরের ডিআইএইচ4 গ্রুপের জন্য, আমরা a2 এবং e এর মধ্যে একটি রেখা আঁকতে পারি, কিন্তু যেহেতু a2 একটি বৃহত্তর চক্রের অংশ, তাই এটি চক্র গ্রাফের একটি প্রান্ত নয়। যখন দুটি চক্র একটি অ-পরিচয় উপাদান ভাগ করে নেয় তখন অস্পষ্টতা থাকতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, 8-উপাদান কোয়াটারনিয়ন গ্রুপের ডানদিকে দেখানো চক্র গ্রাফ রয়েছে। মাঝের সারির প্রতিটি উপাদানকে নিজের দ্বারা গুণ করলে −1 পাওয়া যায় (যেখানে 1 হল পরিচয় উপাদান)। এই ক্ষেত্রে আমরা চক্রগুলির উপর নজর রাখতে বিভিন্ন রঙ ব্যবহার করতে পারি, যদিও প্রতিসাম্য বিবেচনাগুলিও কাজ করবে। আগে যেমন উল্লেখ করা হয়েছে, একটি 2-উপাদান চক্রের দুটি প্রান্ত সাধারণত একটি একক রেখা হিসাবে উপস্থাপিত হয়। একটি উপাদানের বিপরীত হল তার চক্রের নোড প্রতিসাম্য, প্রতিফলনের সাপেক্ষে যা পরিচয় স্থির করে। 1950-এর দশকের গোড়ার দিকে সংখ্যা তাত্ত্বিক ড্যানিয়েল শ্যাঙ্কস অবশিষ্ট শ্রেণীর গুণিতক গোষ্ঠী অধ্যয়নের একটি হাতিয়ার হিসাবে ইতিহাস চক্র গ্রাফগুলি তদন্ত করেছিলেন। শ্যাঙ্কস 1962 সালে তাঁর 'সলভড অ্যান্ড আনসোলভড প্রবলেমস্ ইন নাম্বার থিওরি' বইয়ের প্রথম সংস্করণে এই ধারণাটি প্রথম প্রকাশ করেন। বইটিতে, শ্যাঙ্কস তদন্ত করেছেন যে কোন গোষ্ঠীগুলির আইসোমরফিক চক্র গ্রাফ রয়েছে এবং কখন একটি চক্র গ্রাফ সমতলীয় হয়। 1978 সালের দ্বিতীয় সংস্করণে, শ্যাঙ্কস ক্লাস গ্রুপ এবং বেবি-স্টেপ জায়ান্ট-স্টেপ পদ্ধতির বিকাশের উপর তাঁর গবেষণার প্রতিফলন করেছেনঃ নাথান কার্টারের 2009 সালের প্রারম্ভিক পাঠ্যপুস্তক ভিজ্যুয়াল গ্রুপ থিওরি-তে সাইকেল গ্রাফগুলি শিক্ষামূলক সরঞ্জাম হিসাবে ব্যবহৃত হয়। নির্দিষ্ট গোষ্ঠী পরিবারের গ্রাফের বৈশিষ্ট্য নির্দিষ্ট গোষ্ঠী প্রকারগুলি সাধারণ গ্রাফ দেয়ঃ চক্রাকার গোষ্ঠী Zn, ক্রম n, একটি একক চক্র যা কেবল শীর্ষে উপাদানগুলির সাথে একটি n-পার্শ্বযুক্ত বহুভুজ হিসাবে অঙ্কিত হয়ঃ যখন n একটি মৌলিক সংখ্যা হয়, তখন (Zn) m ফর্মের গোষ্ঠীগুলিতে n-উপাদান চক্র থাকবে যা পরিচয় উপাদানটি ভাগ করেঃ ডাইহেড্রাল গ্রুপ ডিহন, ক্রম 2n একটি এন-উপাদান চক্র এবং এন 2-উপাদান চক্র নিয়ে গঠিতঃ ডাইসাইক্লিক গ্রুপ, Dicn = Q4n, ক্রম 4n: অন্যান্য সরাসরি পণ্যঃ প্রতিসম গোষ্ঠী-প্রতিসম গোষ্ঠী Sn থাকে, যে কোনও গোষ্ঠীর জন্য, সেই গোষ্ঠীর একটি উপগোষ্ঠী আইসোমরফিক। এইভাবে ক্রম n-এর প্রতিটি গোষ্ঠীর চক্র গ্রাফ Sn-এর চক্র গ্রাফে পাওয়া যাবে। উদাহরণ দেখুনঃ এস4-এর উপগোষ্ঠী উদাহরণস্বরূপঃ পূর্ণ অষ্টতল গোষ্ঠীর উপগোষ্ঠী পূর্ণ অষ্টতল গোষ্ঠী হল প্রতিসম গোষ্ঠী এস4 এবং চক্রীয় গোষ্ঠী জেড2-এর সরাসরি গুণফল। এর ক্রম হল 48, এবং এর প্রতিটি ক্রমের উপগোষ্ঠী রয়েছে যা 48 কে ভাগ করে। নীচের উদাহরণগুলিতে একে অপরের সাথে সম্পর্কিত নোডগুলি একে অপরের পাশে স্থাপন করা হয়েছে, তাই এই গোষ্ঠীগুলির জন্য এগুলি সহজতম সম্ভাব্য চক্র গ্রাফ নয় (যেমন ডানদিকে)। সমস্ত গ্রাফের মতো একটি চক্র গ্রাফকে বিভিন্ন বৈশিষ্ট্যের উপর জোর দেওয়ার জন্য বিভিন্ন উপায়ে উপস্থাপন করা যেতে পারে। এস4-এর চক্র গ্রাফের দুটি উপস্থাপনা তার একটি উদাহরণ। আরও দেখুন ছোট ছোট গোষ্ঠীর তালিকা কেলি গ্রাফ বাহ্যিক লিঙ্ক রেফারেন্স স্কিয়েনা, এস। (1990)। সাইকেল, তারা এবং চাকা। ডিসক্রিট ম্যাথমেটিক্স বাস্তবায়নঃ ম্যাথমেটিকার সাথে কম্বিনেটরিক্স এবং গ্রাফ থিওরি (পিপি। 144-147)। পেম্মারাজু, এস., এবং স্কিয়েনা, এস. (2003)। সাইকেল, তারা এবং চাকা। গণনামূলক বিচ্ছিন্ন গণিতঃ গণিতের সাথে সমন্বয় এবং গ্রাফ তত্ত্ব (পিপি। 248-249)। কেমব্রিজ ইউনিভার্সিটি প্রেস। বিমূর্ত বীজগণিত গোষ্ঠী তত্ত্ব প্রয়োগ-নির্দিষ্ট গ্রাফ