Synthetic geometry
সিন্থেটিক জ্যামিতি (কখনও কখনও স্বতঃসিদ্ধ জ্যামিতি বা এমনকি বিশুদ্ধ জ্যামিতি হিসাবে উল্লেখ করা হয়) স্থানাঙ্কের ব্যবহার ছাড়াই জ্যামিতি। প্রাথমিকভাবে স্বতঃসিদ্ধ এবং বর্তমানে স্বতঃসিদ্ধ নামে পরিচিত কয়েকটি মৌলিক বৈশিষ্ট্য থেকে সমস্ত ফলাফল প্রমাণ করার জন্য এটি স্বতঃসিদ্ধ পদ্ধতির উপর নির্ভর করে। "সিন্থেটিক জ্যামিতি" শব্দটি শুধুমাত্র 17 শতকের পরে তৈরি করা হয়েছিল এবং রেনে ডেসকার্টেস স্থানাঙ্ক পদ্ধতির প্রবর্তন করেছিলেন, যাকে বিশ্লেষণাত্মক জ্যামিতি বলা হত। তাই "সিন্থেটিক জ্যামিতি" শব্দটি প্রাচীনতম পদ্ধতিগুলিকে বোঝানোর জন্য চালু করা হয়েছিল যা ডেসকার্টেসের আগে একমাত্র পরিচিত ছিল। ফেলিক্স ক্লেইনের মতে, সংশ্লেষিত জ্যামিতি হল সেই বিষয় যা সূত্রের সাহায্য ছাড়াই পরিসংখ্যান অধ্যয়ন করে, যেখানে বিশ্লেষণাত্মক জ্যামিতি ধারাবাহিকভাবে এমন সূত্র ব্যবহার করে যা স্থানাঙ্কের একটি উপযুক্ত ব্যবস্থা গ্রহণের পরে লেখা যেতে পারে। সিন্থেটিক জ্যামিতির জন্য প্রথম পদ্ধতিগত পদ্ধতি হল ইউক্লিডের উপাদান। যাইহোক, 19 শতকের শেষের দিকে দেখা যায় যে ইউক্লিডের স্বীকার্যগুলি জ্যামিতিকে চিহ্নিত করার জন্য যথেষ্ট ছিল না। জ্যামিতির জন্য প্রথম সম্পূর্ণ স্বতঃসিদ্ধ পদ্ধতিটি 19 শতকের শেষের দিকে ডেভিড হিলবার্ট দিয়েছিলেন। একই সময়ে, এটি প্রদর্শিত হয়েছিল যে জ্যামিতি তৈরিতে সিন্থেটিক পদ্ধতি এবং বিশ্লেষণাত্মক পদ্ধতি উভয়ই ব্যবহার করা যেতে পারে। এমিল আর্টিন তাঁর জ্যামিতিক বীজগণিত বইয়ে প্রমাণ করেছেন যে দুটি অনুমোদন সমতুল্য। এই সমতুল্যতার কারণে, প্রাথমিক স্তর ব্যতীত কৃত্রিম এবং বিশ্লেষণাত্মক জ্যামিতির মধ্যে পার্থক্য আর ব্যবহার করা হয় না, বা জ্যামিতির জন্য যা কোনও ধরণের সংখ্যার সাথে সম্পর্কিত নয়, যেমন কিছু সীমাবদ্ধ জ্যামিতি এবং অ-ডেজারগেসিয়ান জ্যামিতি। যৌক্তিক সংশ্লেষণ যৌক্তিক সংশ্লেষণ প্রক্রিয়াটি কিছু স্বেচ্ছাচারী কিন্তু নির্দিষ্ট সূচনা বিন্দু দিয়ে শুরু হয়। এই প্রারম্ভিক বিন্দুটি হল এই আদিমগুলি সম্পর্কে আদিম ধারণা বা আদিম এবং স্বতঃসিদ্ধগুলির প্রবর্তনঃ আদিমগুলি হল সবচেয়ে মৌলিক ধারণা। সাধারণত এগুলিতে বস্তু এবং সম্পর্ক উভয়ই অন্তর্ভুক্ত থাকে। জ্যামিতিতে, বস্তুগুলি হল বিন্দু, রেখা এবং সমতলের মতো জিনিস, যেখানে একটি মৌলিক সম্পর্ক হল আপতন-একটি বস্তুর মিলিত হওয়া বা অন্যটির সাথে যুক্ত হওয়া। শর্তাবলী নিজেই অনির্ধারিত। হিলবার্ট একবার মন্তব্য করেছিলেন যে পয়েন্ট, লাইন এবং প্লেনের পরিবর্তে টেবিল, চেয়ার এবং বিয়ার মগের কথা বলা যেতে পারে, মূল কথা হল যে আদিম শব্দগুলি কেবল খালি স্থানধারক এবং এর কোনও অভ্যন্তরীণ বৈশিষ্ট্য নেই। স্বতঃসিদ্ধগুলি হল এই আদিমগুলি সম্পর্কে বিবৃতি; উদাহরণস্বরূপ, যে কোনও দুটি বিন্দু শুধুমাত্র একটি লাইনের সাথে একত্রিত হয় (অর্থাৎ। যে কোনও দুটি পয়েন্টের জন্য, কেবল একটি লাইন থাকে যা তাদের উভয়ের মধ্য দিয়ে যায়)। স্বতঃসিদ্ধগুলি সত্য বলে ধরে নেওয়া হয় এবং প্রমাণিত হয় না। এগুলি জ্যামিতিক ধারণার ভিত্তি, কারণ এগুলি আদিমগুলির বৈশিষ্ট্যগুলি নির্দিষ্ট করে। স্বতঃসিদ্ধের একটি প্রদত্ত সেট থেকে, সংশ্লেষণ একটি যত্ন সহকারে নির্মিত যৌক্তিক যুক্তি হিসাবে এগিয়ে যায়। যখন একটি উল্লেখযোগ্য ফলাফল কঠোরভাবে প্রমাণিত হয়, তখন এটি একটি উপপাদ্য হয়ে ওঠে। স্বতঃসিদ্ধ সেটগুলির বৈশিষ্ট্য জ্যামিতির জন্য কোনও নির্দিষ্ট স্বতঃসিদ্ধ সেট নেই, কারণ একাধিক সামঞ্জস্যপূর্ণ সেট বেছে নেওয়া যেতে পারে। এই ধরনের প্রতিটি সেট একটি ভিন্ন জ্যামিতির দিকে নিয়ে যেতে পারে, অন্যদিকে একই জ্যামিতি প্রদানকারী বিভিন্ন সেটের উদাহরণও রয়েছে। সম্ভাবনার এই প্রাচুর্যের সাথে, একবচনে "জ্যামিতি" সম্পর্কে কথা বলা আর উপযুক্ত নয়। ঐতিহাসিকভাবে, ইউক্লিডের সমান্তরাল স্বীকার্য অন্যান্য স্বতঃসিদ্ধ থেকে স্বাধীন বলে প্রমাণিত হয়েছে। কেবল এটি ফেলে দিলে পরম জ্যামিতি পাওয়া যায়, অন্যদিকে এটিকে অস্বীকার করলে হাইপারবোলিক জ্যামিতি পাওয়া যায়। অন্যান্য সামঞ্জস্যপূর্ণ স্বতঃসিদ্ধ সেটগুলি অন্যান্য জ্যামিতি তৈরি করতে পারে, যেমন প্রজেক্টিভ, উপবৃত্তাকার, গোলাকার বা অ্যাফিন জ্যামিতি। ধারাবাহিকতা এবং "মধ্যবর্তীতা"-র স্বতঃসিদ্ধগুলিও ঐচ্ছিক, উদাহরণস্বরূপ, পৃথক জ্যামিতিগুলি বাতিল বা সংশোধন করে তৈরি করা যেতে পারে। ক্লেইনের এরলাঙ্গেন প্রোগ্রাম অনুসরণ করে, যে কোনও প্রদত্ত জ্যামিতির প্রকৃতিকে উন্নয়নের শৈলীর পরিবর্তে প্রতিসাম্য এবং প্রস্তাবের বিষয়বস্তুর মধ্যে সংযোগ হিসাবে দেখা যেতে পারে। ইতিহাস ইউক্লিডের মূল পদ্ধতি দুই হাজার বছরেরও বেশি সময় ধরে অপ্রতিরোধ্য ছিল, যতক্ষণ না 19 শতকে গাউস, বলিয়াই, লোবাচেভস্কি এবং রিম্যান দ্বারা অ-ইউক্লিডীয় জ্যামিতিগুলির একযোগে আবিষ্কার গণিতবিদদের ইউক্লিডের অন্তর্নিহিত অনুমানগুলি নিয়ে প্রশ্ন তুলতে পরিচালিত করে। প্রথমদিকের ফরাসি বিশ্লেষকদের মধ্যে একজন কৃত্রিম জ্যামিতিকে এইভাবে সংক্ষিপ্তসার করেছেনঃ ইউক্লিডের উপাদানগুলি কৃত্রিম পদ্ধতি দ্বারা চিকিত্সা করা হয়। এই লেখক, স্বতঃসিদ্ধগুলি উপস্থাপন করার পরে এবং প্রয়োজনীয়তাগুলি গঠন করার পরে, প্রস্তাবগুলি প্রতিষ্ঠা করেছিলেন যা তিনি ধারাবাহিকভাবে পূর্ববর্তী দ্বারা সমর্থিত বলে প্রমাণ করেন, সর্বদা সরল থেকে যৌগের দিকে অগ্রসর হন, যা সংশ্লেষণের অপরিহার্য বৈশিষ্ট্য। কৃত্রিম জ্যামিতির উচ্ছ্বাসকে 19শ শতাব্দী হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে, যখন স্থানাঙ্ক এবং ক্যালকুলাসের উপর ভিত্তি করে বিশ্লেষণাত্মক পদ্ধতিগুলি জ্যাকব স্টেইনারের মতো কিছু জ্যামিতি দ্বারা প্রজেক্টিভ জ্যামিতির বিশুদ্ধ কৃত্রিম বিকাশের পক্ষে উপেক্ষা করা হয়েছিল। উদাহরণস্বরূপ, আপতন স্বতঃসিদ্ধ থেকে শুরু করে প্রজেক্টিভ সমতলের চিকিত্সা আসলে একটি বিস্তৃত তত্ত্ব (আরও মডেল সহ) যা মাত্রা তিন-এর ভেক্টর স্থান দিয়ে শুরু করে পাওয়া যায়। প্রজেক্টিভ জ্যামিতিতে প্রকৃতপক্ষে যে কোনও জ্যামিতির সবচেয়ে সহজ এবং সবচেয়ে মার্জিত কৃত্রিম অভিব্যক্তি রয়েছে। ফেলিক্স ক্লেইন তাঁর এরলাঙ্গেন প্রোগ্রামে কৃত্রিম এবং বিশ্লেষণাত্মক পদ্ধতির মধ্যে উত্তেজনাকে গুরুত্ব দেনঃ আধুনিক জ্যামিতিতে সংশ্লেষিত এবং বিশ্লেষণাত্মক পদ্ধতির মধ্যে বৈপরীত্যঃ আধুনিক সংশ্লেষণ এবং আধুনিক বিশ্লেষণাত্মক জ্যামিতির মধ্যে পার্থক্যকে আর অপরিহার্য হিসাবে বিবেচনা করা উচিত নয়, কারণ বিষয়-বিষয় এবং যুক্তির পদ্ধতি উভয়ই ধীরে ধীরে উভয় ক্ষেত্রেই একই রূপ নিয়েছে। তাই আমরা পাঠ্যটিতে প্রজেক্টিভ জ্যামিতি শব্দটি তাদের উভয়ের সাধারণ উপাধি হিসাবে বেছে নিই। যদিও কৃত্রিম পদ্ধতির স্থান-উপলব্ধির সাথে আরও বেশি সম্পর্ক রয়েছে এবং এর ফলে এর প্রথম সহজ বিকাশে একটি বিরল আকর্ষণ প্রদান করে, তবুও স্থান-উপলব্ধির ক্ষেত্রটি বিশ্লেষণাত্মক পদ্ধতির সাথে আবদ্ধ নয় এবং বিশ্লেষণাত্মক জ্যামিতির সূত্রগুলিকে জ্যামিতিক সম্পর্কের একটি সুনির্দিষ্ট এবং সুস্পষ্ট বিবৃতি হিসাবে দেখা যেতে পারে। অন্যদিকে, একটি সুচিন্তিত বিশ্লেষণের মূল গবেষণার সুবিধাকে অবমূল্যায়ন করা উচিত নয়, যা চিন্তার আগে থেকেই এর গতিশীলতার কারণে একটি সুবিধা। তবে এটি সর্বদা জোর দিয়ে বলা উচিত যে কোনও গাণিতিক বিষয় স্বজ্ঞাতভাবে স্পষ্ট না হওয়া পর্যন্ত ক্লান্ত বলে মনে করা উচিত নয় এবং বিশ্লেষণের সাহায্যে অগ্রগতি কেবল একটি প্রথম, যদিও একটি অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ পদক্ষেপ। ইউক্লিডীয় জ্যামিতির ঘনিষ্ঠ স্বতঃসিদ্ধ অধ্যয়নের ফলে ল্যাম্বার্ট চতুর্ভুজ এবং সাচেরী চতুর্ভুজ গঠিত হয়। এই কাঠামোগুলি অ-ইউক্লিডীয় জ্যামিতির ক্ষেত্রের প্রবর্তন করেছিল যেখানে ইউক্লিডের সমান্তরাল স্বতঃসিদ্ধিকে অস্বীকার করা হয়। গাউস, বলিয়াই এবং লোবাচেভস্কি স্বাধীনভাবে হাইপারবোলিক জ্যামিতি তৈরি করেছিলেন, যেখানে সমান্তরাল রেখাগুলির সমান্তরালতার একটি কোণ থাকে যা তাদের পৃথকীকরণের উপর নির্ভর করে। এই গবেষণাটি পয়েনকারে ডিস্ক মডেলের মাধ্যমে ব্যাপকভাবে অ্যাক্সেসযোগ্য হয়ে ওঠে যেখানে মোবিয়াস রূপান্তর দ্বারা গতি দেওয়া হয়। একইভাবে, গাউসের ছাত্র রিম্যান রিম্যানিয়ান জ্যামিতি তৈরি করেছিলেন, যার মধ্যে উপবৃত্তাকার জ্যামিতি একটি নির্দিষ্ট কেস। আরেকটি উদাহরণ লুডভিগ ইমানুয়েল ম্যাগনাসের উন্নত বিপরীতমুখী জ্যামিতির সাথে সম্পর্কিত, যা আত্মায় সিন্থেটিক হিসাবে বিবেচিত হতে পারে। পারস্পরিকতার ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত ক্রিয়াকলাপ সমতলের বিশ্লেষণ প্রকাশ করে। কার্ল ভন স্টাউট দেখিয়েছেন যে, বীজগাণিতিক স্বতঃসিদ্ধ, যেমন বিনিময়শীলতা এবং যোগ এবং গুণনের সহযোগীতা, প্রকৃতপক্ষে জ্যামিতিক বিন্যাসে রেখার আপতনগুলির পরিণতি ছিল। ডেভিড হিলবার্ট দেখিয়েছিলেন যে ডেসারগ্যুস বিন্যাস একটি বিশেষ ভূমিকা পালন করেছিল। আরও কাজ করেছিলেন রুথ মৌফাং এবং তাঁর ছাত্ররা। ধারণাগুলি আপতন জ্যামিতির অন্যতম প্রেরক। যখন সমান্তরাল রেখাগুলিকে প্রাথমিক হিসাবে নেওয়া হয়, তখন সংশ্লেষণ অ্যাফিন জ্যামিতি তৈরি করে। যদিও ইউক্লিডীয় জ্যামিতি একটি অ্যাফিন এবং মেট্রিক জ্যামিতি উভয়ই, সাধারণভাবে অ্যাফিন স্পেসে একটি মেট্রিক অনুপস্থিত থাকতে পারে। এইভাবে অতিরিক্ত নমনীয়তা অ্যাফিন জ্যামিতিকে স্থানকাল অধ্যয়নের জন্য উপযুক্ত করে তোলে, যেমনটি অ্যাফিন জ্যামিতির ইতিহাসে আলোচনা করা হয়েছে। 1955 সালে হারবার্ট বুসম্যান এবং পল জে. কেলি কৃত্রিম জ্যামিতির জন্য একটি উদাসীন মন্তব্য করেছিলেনঃ যদিও অনিচ্ছাকৃতভাবে, জ্যামিতিবিদদের অবশ্যই স্বীকার করতে হবে যে কৃত্রিম জ্যামিতির সৌন্দর্য নতুন প্রজন্মের কাছে তার আবেদন হারিয়ে ফেলেছে। কারণগুলি স্পষ্টঃ এতদিন আগে সিন্থেটিক জ্যামিতিই ছিল একমাত্র ক্ষেত্র যেখানে যুক্তি স্বতঃসিদ্ধ থেকে কঠোরভাবে অগ্রসর হয়েছিল, যেখানে এই আবেদন-অনেক গাণিতিকভাবে আগ্রহী মানুষের কাছে এত মৌলিক-এখন অন্যান্য অনেক ক্ষেত্র দ্বারা তৈরি করা হয়েছে। উদাহরণস্বরূপ, কলেজ অধ্যয়নে এখন রৈখিক বীজগণিত, টপোলজি এবং গ্রাফ তত্ত্ব অন্তর্ভুক্ত রয়েছে যেখানে বিষয়টিকে প্রথম নীতিগুলি থেকে বিকশিত করা হয় এবং প্রস্তাবগুলি প্রাথমিক প্রমাণ দ্বারা অনুমান করা হয়। বিশ্লেষণাত্মক জ্যামিতির সাথে সিন্থেটিক প্রতিস্থাপনের আশা জ্যামিতিক সামগ্রীর ক্ষতির দিকে পরিচালিত করে। আজকের জ্যামিতির ছাত্রের ইউক্লিডের উপলব্ধ স্বতঃসিদ্ধ ব্যতীত অন্যান্য স্বতঃসিদ্ধ রয়েছেঃ হিলবার্টের স্বতঃসিদ্ধ এবং টারস্কির স্বতঃসিদ্ধ দেখুন। আর্নস্ট কটার 1901 সালে "মঙ্গে থেকে স্টাউড (1847) পর্যন্ত কৃত্রিম জ্যামিতির বিকাশ" শীর্ষক একটি (জার্মান) প্রতিবেদন প্রকাশ করেন; জ্যামিতিক উপপাদ্যের সংশ্লেষিত জ্যামিতি সংশ্লেষিত প্রমাণ ব্যবহার করে সহায়ক গঠন (যেমন সাহায্যকারী রেখা) এবং ধারণার ব্যবহার করে যেমন পার্শ্ব বা কোণের সমতা এবং সাদৃশ্য এবং ত্রিভুজের সঙ্গতি। এই ধরনের প্রমাণের উদাহরণ পাওয়া যায় প্রজাপতি উপপাদ্য, কোণ দ্বিখণ্ডিত উপপাদ্য, অ্যাপোলোনিয়াসের উপপাদ্য, ব্রিটিশ পতাকা উপপাদ্য, সেভার উপপাদ্য, সমান অন্তঃবৃত্তীয় উপপাদ্য, জ্যামিতিক গড় উপপাদ্য, হেরনের সূত্র, আইসোসেলিস ত্রিভুজ উপপাদ্য, কোসাইনগুলির সূত্র এবং অন্যান্য নিবন্ধগুলিতে যা এখানে সংযুক্ত রয়েছে। গণনামূলক সংশ্লেষিত জ্যামিতি গণনামূলক জ্যামিতির সাথে একত্রে, একটি গণনামূলক সংশ্লেষিত জ্যামিতি প্রতিষ্ঠিত হয়েছে, যার ঘনিষ্ঠ সংযোগ রয়েছে, উদাহরণস্বরূপ, ম্যাট্রয়েড তত্ত্বের সাথে। সিন্থেটিক ডিফারেনশিয়াল জ্যামিতি হল ডিফারেনশিয়াল ম্যানিফোল্ড তত্ত্বের ভিত্তিতে টোপোস তত্ত্বের একটি প্রয়োগ। আরও দেখুন জ্যামিতির ভিত্তি ঘটনা জ্যামিতি সিন্থেটিক ডিফারেনশিয়াল জ্যামিতি নোটস রেফারেন্স হালস্টেড, জি. বি। (1896) এলিমেন্টারি সিন্থেটিক জ্যামিতি ভায়া ইন্টারনেট আর্কাইভ হালস্টেড, জর্জ ব্রুস (1906) সিন্থেটিক প্রজেক্টিভ জ্যামিতি, ভায়া ইন্টারনেট আর্কাইভ। হিলবার্ট এবং কোহন-ভোসেন, জ্যামিতি এবং কল্পনা। জ্যামিতির ক্ষেত্র