Coxeter complex
গণিতে, কক্সেটার কমপ্লেক্স, এইচ. এস. এম. কক্সেটারের নামে নামকরণ করা হয়েছে, এটি একটি কক্সেটার গ্রুপের সাথে যুক্ত একটি জ্যামিতিক কাঠামো (একটি সরল জটিল)। কক্সেটার কমপ্লেক্সগুলি হল মৌলিক বস্তু যা ভবন নির্মাণের অনুমতি দেয়; তারা একটি বিল্ডিংয়ের অ্যাপার্টমেন্ট গঠন করে। কনস্ট্রাকশন ক্যানোনিকাল রৈখিক উপস্থাপনা একটি কক্সেটার সিস্টেমের সাথে যুক্ত কক্সেটার কমপ্লেক্স নির্মাণের প্রথম উপাদান হল একটি নির্দিষ্ট উপস্থাপনা, যাকে ক্যানোনিকাল উপস্থাপনা বলা হয়। কক্সেটার ম্যাট্রিক্স সহ একটি কক্সেটার সিস্টেম হতে দিন। আনুষ্ঠানিক প্রতীকগুলির ভিত্তিতে একটি ভেক্টর স্পেস দ্বারা ক্যানোনিকাল উপস্থাপনা দেওয়া হয়, যা প্রতিসম দ্বিমাত্রিক আকারে সজ্জিত। বিশেষ করে, তারপর অন-এর ক্রিয়াটি দ্বারা দেওয়া হয়। কক্সেটার গোষ্ঠীর তত্ত্বে এই উপস্থাপনার বেশ কয়েকটি মৌলিক বৈশিষ্ট্য রয়েছে; উদাহরণস্বরূপ, যদি এবং শুধুমাত্র যদি সীমাবদ্ধ হয় তবে ইতিবাচক নির্দিষ্ট। এটি একটি বিশ্বস্ত উপস্থাপনা। চেম্বারস এবং টিটস শঙ্কু এই উপস্থাপনাটি একটি প্রতিফলন গোষ্ঠী হিসাবে বর্ণনা করে, যার সতর্কতা ইতিবাচক নির্দিষ্ট নাও হতে পারে। তারপর প্রতিনিধিত্বকে তার দ্বৈত থেকে আলাদা করা গুরুত্বপূর্ণ হয়ে ওঠে। ভেক্টরগুলি অবস্থিত এবং তাদের অনুরূপ দ্বৈত ভেক্টর রয়েছে যার দ্বারা কোণযুক্ত বন্ধনীগুলি এবং এর মধ্যে প্রাকৃতিক জুটি নির্দেশ করে। এখন কাজ চলছে এবং জন্য এবং যে কোনও দ্বারা কাজটি দেওয়া হয়েছে। তারপর হাইপারপ্লেনে একটি প্রতিফলন হয়। একটির মৌলিক কক্ষ রয়েছে; এটির তথাকথিত দেয়ালের মুখোমুখি রয়েছে। অন্যান্য কক্ষগুলি অনুবাদের মাধ্যমে পাওয়া যেতে পারেঃ সেগুলি হল জন্য। টিটস শঙ্কু হল। এই পুরোটা হওয়ার দরকার নেই। প্রধান গুরুত্ব হল উত্তল। বন্ধ করা হল অন-এর ক্রিয়ার জন্য একটি মৌলিক ক্ষেত্র। কক্সেটার কমপ্লেক্সের সাপেক্ষে কক্সেটার কমপ্লেক্স হল, যেখানে পজিটিভ রিয়েলের গুণিতক গ্রুপ রয়েছে। উদাহরণ পরিমিত ডাইহেড্রাল গ্রুপ ডাইহেড্রাল গ্রুপগুলি (2n ক্রমের) হল সংশ্লিষ্ট ধরনের কক্সেটার গ্রুপ। এগুলির উপস্থাপনা রয়েছে। এর ক্যানোনিকাল রৈখিক উপস্থাপনা হল ডাইহেড্রাল গ্রুপের স্বাভাবিক প্রতিফলন উপস্থাপনা, যা সমতলে একটি-গনের উপর কাজ করে (তাই এই ক্ষেত্রে)। উদাহরণস্বরূপ, এই ক্ষেত্রে আমরা সমতলের একটি সমবাহু ত্রিভুজের উপর কাজ করে কক্সেটার গ্রুপ অফ টাইপ পাই। প্রতিটি প্রতিফলনের দ্বৈত ভেক্টর স্পেসে একটি সম্পর্কিত হাইপারপ্লেন রয়েছে (যা দ্বিমাত্রিক ফর্ম ব্যবহার করে ভেক্টর স্পেসের সাথে ক্যানোনিকালভাবে চিহ্নিত করা যেতে পারে, যা উপরে উল্লিখিত হিসাবে এই ক্ষেত্রে একটি অভ্যন্তরীণ পণ্য); এগুলি দেয়াল। তারা চেম্বারগুলি কেটে ফেলে, যেমনটি নীচে দেখা যায়ঃ উপরের চিত্রের মতো কক্সেটার কমপ্লেক্সটি তখন সংশ্লিষ্ট-গন। এটি 1 মাত্রার একটি সরল জটিল, এবং এটি স্বরূপ দ্বারা রঙ করা যেতে পারে। অসীম ডাইহেড্রাল গ্রুপ আরেকটি অনুপ্রেরণামূলক উদাহরণ হল অসীম ডাইহেড্রাল গ্রুপ। এটিকে বাস্তব রেখার প্রতিসাম্যের গোষ্ঠী হিসাবে দেখা যেতে পারে যা পূর্ণসংখ্যা স্থানাঙ্ক সহ বিন্দুগুলির সেট সংরক্ষণ করে; এটি এবং এর প্রতিফলন দ্বারা উত্পন্ন হয়। এই গ্রুপে কক্সেটার উপস্থাপনা রয়েছে। এই ক্ষেত্রে, অবক্ষয়ের মতো এর দ্বৈত স্থান দিয়ে চিহ্নিত করা আর সম্ভব নয়। তারপরে কেবলমাত্র হাইপারপ্লেনগুলির সাথে কাজ করা ভাল, যেখানে হাইপারপ্লেনগুলি সংজ্ঞায়িত করা হয়। এরপরে এটি নিম্নলিখিত চিত্রটি দেয়ঃ এই ক্ষেত্রে, টিটস শঙ্কু পুরো সমতল নয়, তবে কেবল উপরের অর্ধেক সমতল। ধনাত্মক বাস্তব দ্বারা ভাগফল গ্রহণ করলে পূর্ণসংখ্যায় চিহ্নিত বিন্দু সহ বাস্তব রেখার আরেকটি অনুলিপি পাওয়া যায়। এটি অসীম ডাইহেড্রাল গ্রুপের কক্সেটার কমপ্লেক্স। কক্সেটার কমপ্লেক্সের বিকল্প নির্মাণ কক্সেটার কমপ্লেক্সের আরেকটি বর্ণনায় কক্সেটার গ্রুপের স্ট্যান্ডার্ড কোসেট ব্যবহার করা হয়েছে। একটি স্ট্যান্ডার্ড কোসেট হল ফর্মের একটি কোসেট, যেখানে কিছু সঠিক উপসেটের জন্য। উদাহরণস্বরূপ, এবং। কক্সেটার কমপ্লেক্সটি তখন স্ট্যান্ডার্ড কোসেটগুলির অবস্থান, বিপরীত অন্তর্ভুক্তি দ্বারা আদেশিত। এটির একটি সরল জটিলতার ক্যানোনিকাল কাঠামো রয়েছে, যেমন সমস্ত অবস্থান যা সন্তুষ্ট করেঃ যে কোনও দুটি উপাদানের একটি বৃহত্তম নিম্ন সীমা রয়েছে। কোনও প্রদত্ত উপাদানের চেয়ে কম বা সমান উপাদানের অবস্থান কিছু পূর্ণসংখ্যা n-এর জন্য উপসেটগুলির অবস্থানের সমতুল্য। বৈশিষ্ট্য কক্সেটার কমপ্লেক্সের সাথে সম্পর্কিত মাত্রা রয়েছে। এটি একটি-গোলকের সমরূপ, যদি W সসীম হয় এবং যদি W অসীম হয় তবে সঙ্কুচিত হয়। একটি গোলাকার টিটস বিল্ডিংয়ের প্রতিটি অ্যাপার্টমেন্ট একটি কক্সেটার কমপ্লেক্স। আরও দেখুন বিল্ডিংস ওয়েইল গ্রুপ রুট সিস্টেম রেফারেন্স সোর্স পিটার আব্রামেঙ্কো এবং কেনেথ এস ব্রাউন, বিল্ডিংস, থিওরি অ্যান্ড অ্যাপ্লিকেশনস। স্প্রিঙ্গার, 2008। গোষ্ঠী তত্ত্ব বীজগাণিতিক সমন্বয় জ্যামিতিক গোষ্ঠী তত্ত্ব গাণিতিক কাঠামো