Girsanov theorem
সম্ভাব্যতা তত্ত্বে, গিরসানভ উপপাদ্য বলে যে পরিমাপের পরিবর্তনের অধীনে স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়াগুলি কীভাবে পরিবর্তিত হয়। আর্থিক গণিতের তত্ত্বে উপপাদ্যটি বিশেষভাবে গুরুত্বপূর্ণ কারণ এটি বলে যে কীভাবে ভৌত পরিমাপ থেকে রূপান্তরিত করা যায়, যা একটি অন্তর্নিহিত উপকরণ (যেমন শেয়ার মূল্য বা সুদের হার) একটি নির্দিষ্ট মান বা মানকে ঝুঁকি-নিরপেক্ষ পরিমাপে নিয়ে যাওয়ার সম্ভাবনা বর্ণনা করে যা অন্তর্নিহিত ডেরিভেটিভের মান মূল্যায়নের জন্য একটি খুব দরকারী হাতিয়ার। 1940-এর দশকে ক্যামেরন-মার্টিন এবং 1960 সালে ইগর গিরসানভ এই ধরনের ইতিহাসের ফলাফল প্রথম প্রমাণ করেন। পরবর্তীকালে এগুলি আরও সাধারণ শ্রেণীর প্রক্রিয়াগুলিতে প্রসারিত করা হয়েছে যা লেংলার্ট (1977)-এর সাধারণ আকারে পরিণত হয়েছে। গুরুত্ব গিরসানভের উপপাদ্যটি স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়াগুলির সাধারণ তত্ত্বে গুরুত্বপূর্ণ কারণ এটি মূল ফলাফলকে সক্ষম করে যে যদি Q এমন একটি পরিমাপ যা P-এর সাপেক্ষে একেবারে অবিচ্ছিন্ন হয় তবে প্রতিটি P-সেমিমার্টিঙ্গেল একটি Q-সেমিমার্টিঙ্গেল হয়। উপপাদ্যের বিবৃতি আমরা বিশেষ ক্ষেত্রে প্রথমে উপপাদ্যটি উল্লেখ করি যখন অন্তর্নিহিত স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়াটি একটি উইনার প্রক্রিয়া। এই বিশেষ কেসটি ব্ল্যাক-স্কোলস মডেলের ঝুঁকি-নিরপেক্ষ মূল্য নির্ধারণের জন্য যথেষ্ট। উইনার সম্ভাব্যতা স্থানে একটি উইনার প্রক্রিয়া হতে দিন। উইনার প্রক্রিয়ার প্রাকৃতিক পরিস্রাবণের সাথে খাপ খাইয়ে নেওয়া একটি পরিমাপযোগ্য প্রক্রিয়া হতে দিন; আমরা ধরে নিই যে স্বাভাবিক শর্তগুলি সন্তুষ্ট হয়েছে। একটি অভিযোজিত প্রক্রিয়া দেওয়া হলে, W-এর সাপেক্ষে X-এর স্টোকাস্টিক এক্সপোনেনশিয়াল কোথায় তা নির্ধারণ করুন, অর্থাৎ। এবং X প্রক্রিয়ার দ্বিঘাত বৈচিত্র্যকে নির্দেশ করে। যদি একটি মার্টিঙ্গেল হয় তবে একটি সম্ভাব্যতা পরিমাপ Q-কে এমনভাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে যে রেডন-নিকোডিম ডেরিভেটিভ তারপর প্রতিটি t-এর জন্য অপরিবর্তিত সিগমা ক্ষেত্রগুলিতে সীমাবদ্ধ পরিমাপ Q হল P-এর সমতুল্য। যদি এক্স একটি অবিচ্ছিন্ন প্রক্রিয়া হয় এবং পি পরিমাপের অধীনে ডাব্লু ব্রাউনিয়ান গতি হয় তবে কিউ এর অধীনে ব্রাউনিয়ান গতি। যে বিষয়টি অবিচ্ছিন্ন তা তুচ্ছ; গিরসানভের উপপাদ্য অনুসারে এটি একটি কিউ স্থানীয় মার্টিঙ্গেল, এবং এটি গণনা করে লেভির ব্রাউনিয়ান গতির বৈশিষ্ট্য দ্বারা অনুসরণ করা হয় যে এটি একটি কিউ ব্রাউনিয়ান গতি। মন্তব্য অনেক সাধারণ প্রয়োগগুলিতে, প্রক্রিয়া এক্স দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয় এই ফর্মের এক্স-এর জন্য তখন এক্স-এর একটি মার্টিঙ্গেল হওয়ার জন্য একটি প্রয়োজনীয় এবং পর্যাপ্ত শর্ত হল নোভিকভের শর্ত যার জন্য প্রয়োজন যে স্টোকাস্টিক এক্সপোনেনশিয়াল হল প্রক্রিয়া জেড যা স্টোকাস্টিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ সমাধান করে উপরে নির্মিত পরিমাপ কিউ পি-এর সমতুল্য নয় কারণ এটি কেবল তখনই হবে যদি রেডন-নিকোডিম ডেরিভেটিভ একটি অভিন্নভাবে ইন্টিগ্রেবল মার্টিঙ্গেল হয়, যা উপরে বর্ণিত এক্সপোনেনশিয়াল মার্টিঙ্গেল নয়। অন্যদিকে যতক্ষণ পর্যন্ত নোভিকভের শর্ত পূরণ হয় ততক্ষণ পরিমাপগুলি সমতুল্য। উপরন্তু, এই ক্ষেত্রে উপরের পর্যবেক্ষণটিকে একত্রিত করে, আমরা দেখতে পাই যে এর জন্য প্রক্রিয়াটি একটি কিউ ব্রাউনিয়ান গতি। এটি ছিল ইগর গিরসানভের উপরের উপপাদ্যটির মূল সূত্র। অর্থায়নের প্রয়োগ এই উপপাদ্যটি ব্ল্যাক-স্কোলস মডেলে অনন্য ঝুঁকি-নিরপেক্ষ পরিমাপ দেখানোর জন্য ব্যবহার করা যেতে পারে, অর্থাৎ। যে পরিমাপে একটি ডেরিভেটিভের ন্যায্য মান হল ছাড়যুক্ত প্রত্যাশিত মান, Q, ল্যাঙ্গেভিন সমীকরণের প্রয়োগ দ্বারা নির্দিষ্ট করা হয়, এই উপপাদ্যের আরেকটি প্রয়োগ, যা ইগর গিরসানভের মূল গবেষণাপত্রেও দেওয়া হয়েছে, স্টোকাস্টিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের জন্য। বিশেষত, আসুন আমরা সেই সমীকরণটি বিবেচনা করি যেখানে একটি ব্রাউনিয়ান গতি বোঝায়। এখানে এবং স্থির নির্ধারক ফাংশন রয়েছে। আমরা ধরে নিই যে এই সমীকরণের একটি অনন্য শক্তিশালী সমাধান রয়েছে। এই ক্ষেত্রে গিরসানভের উপপাদ্যটি ব্রাউনীয় গতির জন্য একটি সম্পর্কিত কার্যকারিতার পরিপ্রেক্ষিতে সরাসরি কার্যকারিতা গণনা করতে ব্যবহার করা যেতে পারে। আরও সুনির্দিষ্টভাবে, আমাদের অবিচ্ছিন্ন ফাংশনের উপর যে কোনও সীমাবদ্ধ কার্যকারিতার জন্য রয়েছে যা এটি গিরসানভের উপপাদ্য এবং উপরের পর্যবেক্ষণটি মার্টিঙ্গেল প্রক্রিয়াতে প্রয়োগ করে অনুসরণ করে বিশেষত, আমরা লক্ষ্য করি যে উপরের স্বরলিপির সাথে প্রক্রিয়াটি একটি কিউ ব্রাউনিয়ান গতি। এটিকে ডিফারেনশিয়াল আকারে পুনর্লিখন করলে আমরা দেখতে পাই যে, কিউ-এর নীচের সূত্রটি একটি কিউ ব্রাউনিয়ান গতির মতো সংজ্ঞায়িত সমীকরণের সমাধান করে। বিশেষত, আমরা দেখতে পাই যে ডান দিকটি এইভাবে লেখা যেতে পারে, যেখানে Q হল Y প্রক্রিয়ার সাপেক্ষে নেওয়া পরিমাপ, তাই ফলাফলটি এখন কেবল গিরসানভের উপপাদ্যের বিবৃতি। এই প্রয়োগের আরও একটি সাধারণ রূপ হল যে যদি উভয়ই অনন্য শক্তিশালী সমাধান স্বীকার করে, তবে যে কোনও সীমাবদ্ধ কার্যকারিতার জন্য, আমাদের কাছে রয়েছে যেটি দেখুন রেফারেন্স এক্সটার্নাল লিঙ্ক নোটস অন স্টোকাস্টিক ক্যালকুলাস যা গিরসানভের উপপাদ্যের একটি সহজ রূপরেখা প্রমাণ ধারণ করে। যাদৃচ্ছিক প্রক্রিয়া গাণিতিক উপপাদ্য গাণিতিক অর্থায়ন