Ternary cubic
গণিতে, একটি ত্রয়ী ঘন রূপ হল তিনটি চলকের একটি সমজাতীয় ডিগ্রি 3 বহুপদী। অপরিবর্তনীয় তত্ত্ব 2টিরও বেশি চলকের মধ্যে 2টির চেয়ে বেশি মাত্রার যে কয়েকটি ক্ষেত্রে অপরিবর্তনীয় বলয় 19 শতকে স্পষ্টভাবে গণনা করা হয়েছিল, ত্রিভুজ ঘন তার মধ্যে একটি। অপরিবর্তনীয় বলয় এস. এল. 3 (সি)-এর অধীনে একটি ত্রয়ী ঘনক্ষেত্রের অপরিবর্তনীয় বীজগণিত হল একটি বহুপদী বীজগণিত যা 4 এবং 6 মাত্রার দুটি অপরিবর্তনীয় এস এবং টি দ্বারা উৎপন্ন হয়, যাকে অ্যারনহোল্ড অপরিবর্তনীয় বলা হয়। অপরিবর্তনীয়গুলি অপেক্ষাকৃত জটিল হয় যখন ত্রয়ী ঘনক্ষেত্রের সহগগুলিতে বহুপদী হিসাবে লেখা হয় এবং কোভ্যারিয়েন্টের বলয়ে স্পষ্টভাবে দেওয়া হয়। একটি টার্নারি কিউবিকের আইডেন্টিটি কোভ্যারিয়েন্ট ইউ-এর ডিগ্রি 1 এবং অর্ডার 3 থাকে। হেসিয়ান এইচ হল ডিগ্রি 3 এবং অর্ডার 3-এর ত্রিভুজ ঘনক্ষেত্রের একটি কোভ্যারিয়েন্ট। ডিগ্রি 8 এবং অর্ডার 6-এর ত্রিভুজ ঘনক্ষেত্রের একটি কোভ্যারিয়েন্ট জি রয়েছে যা বক্ররেখা এবং তার হেসিয়ান বক্ররেখার সাপেক্ষে x-এর মেরুর সালমন শঙ্কুতে অবস্থিত x বিন্দুতে অদৃশ্য হয়ে যায়। ব্রিওশি কোভ্যারিয়েন্ট জে হল ইউ, জি এবং এইচ-এর জ্যাকোবিয়ান ডিগ্রি 12, অর্ডার 9। একটি ত্রিভুজ ঘনক্ষেত্রের কোভ্যারিয়েন্টের বীজগণিত অপরিবর্তনীয় বলয়ের উপর U, G, H এবং J দ্বারা উৎপন্ন হয়, এই সম্পর্ক সহ যে J-এর বর্গটি অন্যান্য উৎপাদকের মধ্যে একটি বহুপদী। একটি বাইনারি কিউবিকের ডিস্ক্রিমিন্যান্টের ক্লেবশ স্থানান্তর হল ডিগ্রি 4 এবং ক্লাস 6-এর ত্রৈমাসিক কিউবিকের একটি বিপরীতমুখী এফ, যা একটি কিউবিক বক্ররেখার দ্বৈত কিউবিক দেয়। একটি ত্রিভুজ ঘনক্ষেত্রের কেলিয়ান পি হল ডিগ্রি 3 এবং ক্লাস 3-এর বিপরীতমুখী। একটি ত্রিভুজ ঘনক্ষেত্রের কুইপিয়ান কিউ ডিগ্রি 5 এবং ক্লাস 3-এর বিপরীতমুখী। হার্মাইট কনট্র্যাভ্যারিয়েন্ট Π হল ডিগ্রি 12 এবং ক্লাস 9-এর টার্নারি কিউবিকের আরেকটি বিপরীত। বিপরীতমুখী বলয়টি অপরিবর্তনীয় বলয়ের উপর F, P, Q এবং Π দ্বারা উৎপন্ন হয়, এই সম্পর্ক সহ যে Π2 হল অন্যান্য উৎপাদকের একটি বহুপদী। সহগামীদের বলয় এবং সহগামীদের বলয় বর্ণনা করে 34টি জেনারেটর দেয়। একটি বাইনারি কিউবিকের হেসিয়ানের ক্লেবশ স্থানান্তর ডিগ্রি 2, অর্ডার 2 এবং ক্লাস 2 এর সমতুল্য। আইডেন্টিটি কোভ্যারিয়েন্টের জ্যাকোবিয়ান এবং বাইনারি কিউবিকের হেসিয়ানের ক্লেবশ স্থানান্তর ডিগ্রি 3, ক্লাস 3 এবং অর্ডার 3-এর টার্নারি কিউবিকগুলির একটি সঙ্গতিপূর্ণ।