Ridge detection
চিত্র প্রক্রিয়াকরণে, শৈলশিরা সনাক্তকরণ হল সফ্টওয়্যারের মাধ্যমে, একটি ছবিতে শৈলশিরা সনাক্ত করার প্রচেষ্টা, যা বক্ররেখা হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় যার বিন্দুগুলি ভৌগোলিক শৈলশিরার অনুরূপ ফাংশনের স্থানীয় সর্বোচ্চ। এন চলকের একটি ফাংশনের জন্য, এর শৈলশিরাগুলি বক্ররেখার একটি সেট যার বিন্দুগুলি এন-1 মাত্রায় স্থানীয় সর্বাধিক। এই ক্ষেত্রে, শৈলশিরা বিন্দুর ধারণাটি স্থানীয় সর্বাধিক ধারণার সম্প্রসারণ করে। তদনুসারে, কোনও ফাংশনের জন্য উপত্যকার ধারণাকে স্থানীয় সর্বনিম্ন শর্তের সাথে স্থানীয় সর্বাধিক শর্ত প্রতিস্থাপন করে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে। রিজ সেট এবং ভ্যালি সেটের মিলন, সংযোগকারী সেট নামে পরিচিত পয়েন্টগুলির একটি সম্পর্কিত সেটের সাথে, বক্ররেখার একটি সংযুক্ত সেট গঠন করে যা ফাংশনের সমালোচনামূলক পয়েন্টগুলিতে বিভাজন, ছেদ বা মিলিত হয়। সেটগুলির এই সংযোগকে ফাংশনের আপেক্ষিক সমালোচনামূলক সেট বলা হয়। রিজ সেট, ভ্যালি সেট এবং আপেক্ষিক সমালোচনামূলক সেট একটি ফাংশনের অন্তর্নিহিত গুরুত্বপূর্ণ জ্যামিতিক তথ্য উপস্থাপন করে। এক দিক থেকে, তারা ফাংশনের গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্যগুলির একটি সংক্ষিপ্ত উপস্থাপনা প্রদান করে, তবে ফাংশনের বৈশ্বিক বৈশিষ্ট্যগুলি নির্ধারণ করতে তাদের কতটা ব্যবহার করা যেতে পারে তা একটি উন্মুক্ত প্রশ্ন। শৈলশিরা সনাক্তকরণ এবং উপত্যকা সনাক্তকরণ পদ্ধতি তৈরির প্রাথমিক অনুপ্রেরণা চিত্র বিশ্লেষণ এবং কম্পিউটার দৃষ্টি থেকে এসেছে এবং চিত্র ডোমেনে প্রসারিত বস্তুর অভ্যন্তরটি ক্যাপচার করা। চিত্র বিভাজনের জন্য জলাধারের পরিপ্রেক্ষিতে শৈলশিরা-সম্পর্কিত উপস্থাপনা ব্যবহার করা হয়েছে। গ্রাফ-ভিত্তিক উপস্থাপনা দ্বারা বস্তুর আকারগুলি ধরার প্রচেষ্টাও করা হয়েছে যা চিত্রের ক্ষেত্রে শৈলশিরা, উপত্যকা এবং সমালোচনামূলক বিন্দুগুলিকে প্রতিফলিত করে। তবে, শুধুমাত্র একটি মাত্র স্কেলে গণনা করা হলে এই ধরনের উপস্থাপনাগুলি অত্যন্ত শব্দ সংবেদনশীল হতে পারে। যেহেতু স্কেল-স্পেস তাত্ত্বিক গণনায় গাউসিয়ান (মসৃণ) কার্নেলের সাথে কনভোলিউশন জড়িত, তাই আশা করা হচ্ছে যে স্কেল স্পেস তত্ত্বের প্রেক্ষাপটে বহু-স্কেল শৈলশিরা, উপত্যকা এবং সমালোচনামূলক পয়েন্টগুলির ব্যবহার ছবিতে বস্তুর (বা আকার) আরও শক্তিশালী উপস্থাপনের অনুমতি দেবে। এই ক্ষেত্রে, শৈলশিরা এবং উপত্যকাগুলি প্রাকৃতিক আগ্রহের পয়েন্ট বা স্থানীয় চরম পয়েন্টগুলির পরিপূরক হিসাবে দেখা যেতে পারে। যথাযথভাবে সংজ্ঞায়িত ধারণাগুলির সাথে, তীব্রতার প্রাকৃতিক দৃশ্যে শৈলশিরা এবং উপত্যকাগুলি (বা তীব্রতার প্রাকৃতিক দৃশ্য থেকে প্রাপ্ত অন্য কোনও উপস্থাপনায়) স্থানীয় চেহারায় স্থানিক সীমাবদ্ধতাগুলি সংগঠিত করার জন্য একটি স্কেল অপরিবর্তনীয় কঙ্কাল গঠন করতে পারে, ব্লামের মধ্যবর্তী অক্ষের রূপান্তর যেভাবে বাইনারি চিত্রের জন্য একটি আকৃতি কঙ্কাল সরবরাহ করে তার সাথে বেশ কয়েকটি গুণগত মিল রয়েছে। সাধারণ প্রয়োগগুলিতে, শৈলশিরা এবং উপত্যকার বর্ণনাকারীগুলি প্রায়শই বায়বীয় চিত্রগুলিতে রাস্তা সনাক্ত করতে এবং রেটিনাল চিত্র বা ত্রিমাত্রিক চৌম্বকীয় অনুরণন চিত্রগুলিতে রক্তনালীগুলি সনাক্ত করতে ব্যবহৃত হয়। একটি দ্বি-মাত্রিক ছবিতে একটি নির্দিষ্ট স্কেলে শৈলশিরা এবং উপত্যকার ডিফারেনশিয়াল জ্যামিতিক সংজ্ঞা আসুন একটি দ্বি-মাত্রিক ফাংশনকে বোঝাই, এবং একটি গাউসিয়ান ফাংশনের সাথে একত্রিত হয়ে প্রাপ্ত স্কেল-স্পেস উপস্থাপনা হিসাবে ধরা যাক। উপরন্তু, স্কেল-স্পেস উপস্থাপনার হেসিয়ান ম্যাট্রিক্সের আইগেনভ্যালুগুলিকে স্থানীয় দিকনির্দেশক ডেরিভেটিভ অপারেটরগুলিতে প্রয়োগ করা একটি স্থানাঙ্ক রূপান্তর (একটি ঘূর্ণন) দিয়ে নির্দেশ করা যাক, যেখানে p এবং q ঘূর্ণিত স্থানাঙ্ক ব্যবস্থার স্থানাঙ্ক। এটি দেখানো যেতে পারে যে রূপান্তরিত স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় মিশ্র অন্তরজ শূন্য, যদি আমরা বেছে নিই। তারপরে, একটি নির্দিষ্ট স্কেলে শৈলশিরার একটি আনুষ্ঠানিক ডিফারেনশিয়াল জ্যামিতিক সংজ্ঞা এমন পয়েন্টের সেট হিসাবে প্রকাশ করা যেতে পারে যা অনুরূপভাবে সন্তুষ্ট করে, স্কেলের উপত্যকাগুলি পয়েন্টের সেট। চিত্রের গ্রেডিয়েন্টের সমান্তরাল দিকের সাথে একটি স্থানাঙ্ক ব্যবস্থার পরিপ্রেক্ষিতে যেখানে এটি দেখানো যেতে পারে যে এই শৈলশিরা এবং উপত্যকার সংজ্ঞাটি সমতুল্যভাবে কোথায় লেখা যেতে পারে এবং এর চিহ্নটি মেরুতা নির্ধারণ করে; শৈলশিরা এবং উপত্যকার জন্য। দ্বি-মাত্রিক চিত্র থেকে পরিবর্তনশীল স্কেল শৈলশিরার গণনা উপরে উপস্থাপিত স্থির স্কেল শৈলশিরার সংজ্ঞার একটি প্রধান সমস্যা হল যে এটি স্কেল স্তরের পছন্দের প্রতি খুব সংবেদনশীল হতে পারে। পরীক্ষাগুলি দেখায় যে গাউসিয়ান প্রাক-মসৃণ কার্নেলের স্কেল পরামিতিটি অবশ্যই ইমেজ ডোমেনে রিজ কাঠামোর প্রস্থের সাথে যত্ন সহকারে সুর করা উচিত, যাতে রিজ ডিটেক্টর অন্তর্নিহিত চিত্র কাঠামোকে প্রতিফলিত করে একটি সংযুক্ত বক্ররেখা তৈরি করতে পারে। পূর্ববর্তী তথ্যের অভাবে এই সমস্যাটি পরিচালনা করার জন্য, স্কেল-স্পেস শৈলশিরার ধারণাটি চালু করা হয়েছে, যা স্কেল পরামিতিটিকে শৈলশিরার সংজ্ঞার একটি অন্তর্নিহিত বৈশিষ্ট্য হিসাবে বিবেচনা করে এবং স্কেল-স্পেস শৈলশিরার সাথে স্কেল স্তরগুলিকে পরিবর্তিত হতে দেয়। উপরন্তু, একটি স্কেল-স্পেস রিজ ধারণাটি স্কেল প্যারামিটারকে স্বয়ংক্রিয়ভাবে ইমেজ ডোমেনের রিজ কাঠামোর প্রস্থের সাথে সংযুক্ত করার অনুমতি দেয়, প্রকৃতপক্ষে একটি সু-বর্ণিত সংজ্ঞার ফলস্বরূপ। সাহিত্যে এই ধারণার উপর ভিত্তি করে বিভিন্ন পদ্ধতির প্রস্তাব দেওয়া হয়েছে। শৈলশিরার শক্তির একটি পরিমাপ নির্দেশ করা যাক (নীচে নির্দিষ্ট করা হবে)। তারপর, একটি দ্বি-মাত্রিক চিত্রের জন্য, একটি স্কেল-স্পেস রিজ হল বিন্দুগুলির সেট যা স্কেল-স্পেস উপস্থাপনায় স্কেল প্যারামিটারটি কোথায় তা সন্তুষ্ট করে। একইভাবে, একটি স্কেল-স্পেস ভ্যালি হল পয়েন্টগুলির সেট যা সন্তুষ্ট করে এই সংজ্ঞার একটি তাৎক্ষণিক পরিণতি হল যে একটি দ্বি-মাত্রিক চিত্রের জন্য স্কেল-স্পেস শৈলশিরার ধারণাটি ত্রিমাত্রিক স্কেল-স্পেসে এক-মাত্রিক বক্ররেখার একটি সেটকে ছড়িয়ে দেয়, যেখানে স্কেল-স্পেস রিজ (বা স্কেল-স্পেস ভ্যালি) বরাবর স্কেল প্যারামিটারকে পরিবর্তিত করার অনুমতি দেওয়া হয়। ইমেজ ডোমেনের রিজ বর্ণনাকারী তখন এই ত্রিমাত্রিক বক্ররেখার দ্বি-মাত্রিক চিত্র সমতলে একটি অভিক্ষেপ হবে, যেখানে প্রতিটি রিজ পয়েন্টে অ্যাট্রিবিউট স্কেল তথ্যটি সেই বিন্দুর আশেপাশের ইমেজ ডোমেনে রিজ কাঠামোর প্রস্থের প্রাকৃতিক অনুমান হিসাবে ব্যবহার করা যেতে পারে। সাহিত্যে শৈলশিরার শক্তির বিভিন্ন পরিমাপের প্রস্তাব করা হয়েছে। লিন্ডবার্গ (1996,1998) যখন স্কেল-স্পেস রিজ শব্দটি উদ্ভাবন করেছিলেন, তখন তিনি রিজ শক্তির তিনটি পরিমাপ বিবেচনা করেছিলেনঃ প্রধান প্রধান বক্রতা-এর সাথে স্বাভাবিককৃত ডেরিভেটিভের পরিপ্রেক্ষিতে প্রকাশ করা হয়। - নর্মালাইজড বর্গ আইগেনভ্যালু পার্থক্যের বর্গ-নর্মালাইজড আইগেনভ্যালু পার্থক্যের বর্গ-নর্মালাইজড ডেরিভেটিভের ধারণা এখানে অপরিহার্য, কারণ এটি রিজ এবং ভ্যালি ডিটেক্টর অ্যালগরিদমগুলিকে সঠিকভাবে ক্রমাঙ্কন করার অনুমতি দেয়। দুটি (বা তিনটি মাত্রায়) এম্বেড করা এক-মাত্রিক গাউসিয়ান শৈলশিরার জন্য সনাক্তকরণ স্কেলটি শৈলশিরার কাঠামোর প্রস্থের সমান হওয়া উচিত যখন দৈর্ঘ্যের এককে পরিমাপ করা হয় (সনাক্তকরণ ফিল্টারের আকার এবং এটি যে চিত্রের কাঠামোতে সাড়া দেয় তার মধ্যে একটি মিল প্রয়োজন), এটি অনুসরণ করে যে একজনকে বেছে নেওয়া উচিত। শৈলশিরার শক্তির এই তিনটি পরিমাপের মধ্যে, প্রথম সত্তা হল একটি সাধারণ উদ্দেশ্যের শৈলশিরার শক্তি পরিমাপ যার অনেক প্রয়োগ রয়েছে যেমন রক্তনালী সনাক্তকরণ এবং রাস্তা নিষ্কাশন। তবুও, ফিঙ্গারপ্রিন্ট বর্ধন, রিয়েল-টাইম হ্যান্ড ট্র্যাকিং এবং অঙ্গভঙ্গি স্বীকৃতির পাশাপাশি ছবি এবং ভিডিওতে মানুষকে সনাক্ত এবং ট্র্যাক করার জন্য স্থানীয় চিত্র পরিসংখ্যানের মডেলিংয়ের মতো অ্যাপ্লিকেশনগুলিতে সত্তাটি ব্যবহার করা হয়েছে। এছাড়াও অন্যান্য ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত শৈলশিরার সংজ্ঞা রয়েছে যা এর অন্তর্নিহিত অনুমানের সাথে স্বাভাবিককৃত ডেরিভেটিভ ব্যবহার করে। এই পদ্ধতিগুলি আরও বিস্তারিতভাবে বিকাশ করুন। তবে, শৈলশিরাগুলি সনাক্ত করার সময়, সনাক্তকরণ স্কেলটি আগের তুলনায় দ্বিগুণ বড় হবে, যার ফলে আরও আকারের বিকৃতি ঘটবে এবং ইমেজ ডোমেনে কাছাকাছি হস্তক্ষেপকারী চিত্র কাঠামো সহ শৈলশিরাগুলি এবং উপত্যকাগুলি ধরার ক্ষমতা কম হবে। ইতিহাস ডিজিটাল ছবিতে শৈলশিরা এবং উপত্যকার ধারণাটি 1983 সালে হারালিক এবং 1984 সালে গাউসিয়ান পিরামিডের পার্থক্য সম্পর্কে ক্রাউলি দ্বারা প্রবর্তিত হয়েছিল। মেডিকেল ইমেজ বিশ্লেষণে রিজ বর্ণনাকারীদের প্রয়োগ পিজার এবং তার সহকর্মীদের দ্বারা ব্যাপকভাবে অধ্যয়ন করা হয়েছে যার ফলে এম-রেপস সম্পর্কে তাদের ধারণা তৈরি হয়েছে। রিজ সনাক্তকরণ লিন্ডবার্গ দ্বারা স্থান এবং অতিরিক্ত স্কেলে হেসিয়ান ম্যাট্রিক্সের (বা রিজ শক্তির অন্যান্য পরিমাপ) যথাযথভাবে স্বাভাবিক প্রধান বক্রতার স্থানীয় সর্বাধিককরণ থেকে সংজ্ঞায়িত-স্বাভাবিককৃত ডেরিভেটিভস এবং স্কেল-স্পেস শৈলশিরার প্রবর্তনের সাথে আরও এগিয়ে গেছে। এই ধারণাগুলি পরে স্টেগার এবং অন্যান্যদের দ্বারা সড়ক উত্তোলনের প্রয়োগের সাথে বিকশিত হয়েছে। এবং ফ্রাঙ্গি এট আল দ্বারা রক্তনালীর বিভাজন। পাশাপাশি সাটো এট আল দ্বারা বক্ররেখা এবং নলাকার কাঠামো সনাক্তকরণের জন্য। এবং ক্রিসিয়ান এবং অন্যান্যরা। কোয়েন্ডারিঙ্ক এবং ভ্যান ডোর্ন একটি নির্দিষ্ট মাত্রায় ধ্রুপদী শৈলশিরার বেশ কয়েকটি সংজ্ঞার পর্যালোচনা করেছেন যার মধ্যে তাদের মধ্যে সম্পর্ক রয়েছে। কিরবাস এবং কুইক জাহাজ উত্তোলনের কৌশলগুলির একটি পর্যালোচনা উপস্থাপন করেছেন। N মাত্রায় শৈলশিরা এবং উপত্যকার সংজ্ঞা এর বিস্তৃত অর্থে, শৈলশিরার ধারণাটি একটি বাস্তব-মূল্যবান ফাংশনের স্থানীয় সর্বাধিক ধারণার সাধারণীকরণ করে। একটি ফাংশনের ডোমেনের একটি বিন্দু ফাংশনের একটি স্থানীয় সর্বাধিক হয় যদি বৈশিষ্ট্যটির সাথে একটি দূরত্ব থাকে যেটি যদি এর ইউনিটের মধ্যে থাকে, তাহলে। এটি সর্বজনবিদিত যে সমালোচনামূলক বিন্দুগুলি, যার মধ্যে স্থানীয় ম্যাক্সিমা কেবল এক প্রকার, সবচেয়ে অস্বাভাবিক পরিস্থিতি (অর্থাৎ, ননজেনেরিক ক্ষেত্রে) ছাড়া সবকিছুর ক্ষেত্রেই একটি ফাংশনের ডোমেনের বিচ্ছিন্ন বিন্দু। এই শর্তটি শিথিল করার কথা বিবেচনা করুন যে সামান্য পরিমাণের পুরো পাড়ায় কেবলমাত্র এটি একটি মাত্রিক উপসেট ধরে রাখতে হবে। সম্ভবত এই শিথিলতা পয়েন্টগুলির সেটকে অনুমতি দেয় যা মানদণ্ডকে সন্তুষ্ট করে, যাকে আমরা শৈলশিরা বলব, অন্তত সাধারণ ক্ষেত্রে একক মাত্রার স্বাধীনতা থাকতে পারে। এর মানে হল যে শৈলশিরা বিন্দুর সেট একটি 1-মাত্রিক লোকাস বা একটি শৈলশিরা বক্ররেখা গঠন করবে। লক্ষ্য করুন যে উপরের ধারণাগুলি স্থানীয় মিনিমাতে সাধারণীকরণের জন্য সংশোধন করা যেতে পারে এবং এর ফলে যাকে 1-মাত্রিক উপত্যকা বক্ররেখা বলা যেতে পারে। এই নিম্নলিখিত শৈলশিরার সংজ্ঞাটি এবারলির বইটি অনুসরণ করে এবং উপরে উল্লিখিত শৈলশিরার কিছু সংজ্ঞার সাধারণীকরণ হিসাবে দেখা যেতে পারে। একটি খোলা সেট হতে দিন, এবং মসৃণ হতে দিন। যাক। ধরা যাক এট-এর গ্রেডিয়েন্ট, এবং এট-এর হেসিয়ান ম্যাট্রিক্স। এর ক্রমযুক্ত আইগেনভ্যালু হতে দিন এবং এর জন্য আইগেনস্পেসে একটি একক আইগেনভেক্টর হতে দিন। (এর জন্য, অনুমান করা উচিত যে সমস্ত আইগেনভ্যালু স্বতন্ত্র।) বিন্দুটি 1-মাত্রিক শৈলশিরার একটি বিন্দু, যদি নিম্নলিখিত শর্তগুলি থাকেঃ, এবং এর জন্য। এটি সেই ধারণাকে সুনির্দিষ্ট করে তোলে যা এই নির্দিষ্ট-মাত্রিক সাবস্পেসে সীমাবদ্ধ একটি স্থানীয় সর্বোচ্চ থাকে। এই সংজ্ঞাটি স্বাভাবিকভাবেই কে-মাত্রিক শৈলশিরাকে নিম্নরূপ সাধারণীকরণ করেঃ যদি নিম্নলিখিত শর্তগুলি থাকে তবে বিন্দুটি কে-মাত্রিক শৈলশিরার একটি বিন্দুঃ, এবং এর জন্য। অনেক উপায়ে, এই সংজ্ঞাগুলি স্বাভাবিকভাবেই একটি ফাংশনের স্থানীয় সর্বাধিককে সাধারণীকরণ করে। সর্বাধিক উত্তল শৈলশিরার বৈশিষ্ট্যগুলি ডেমন এবং মিলার দ্বারা একটি কঠিন গাণিতিক ভিত্তিতে রাখা হয়েছে। এক-পরামিতি পরিবারে তাদের সম্পত্তি কেলার দ্বারা প্রতিষ্ঠিত হয়েছিল। সর্বাধিক স্কেল রিজ নিম্নলিখিত সংজ্ঞাটি ফ্রিটসের কাছে পাওয়া যায় যিনি দ্বিমাত্রিক ধূসর চিত্রের চিত্র সম্পর্কে জ্যামিতিক তথ্য বের করতে আগ্রহী ছিলেন। ফ্রিটশ তার ছবিটিকে একটি "মিডিয়ালনেস" ফিল্টার দিয়ে ফিল্টার করেছিলেন যা তাকে স্কেল-স্পেসে "সীমানার দূরবর্তী" তথ্যের অনুরূপ তথ্য দিয়েছিল। এই চিত্রের শৈলশিরাগুলি, একবার মূল চিত্রের সাথে উপস্থাপিত, মূল চিত্রের একটি আকৃতির কঙ্কালের (যেমন, ব্লাম মিডিয়াল অক্ষ) অনুরূপ হতে হবে। তিনটি চলকের ফাংশনের সর্বাধিক স্কেল রিজ-এর একটি সংজ্ঞা নিম্নরূপ, যার মধ্যে একটি হল "স্কেল" পরামিতি। একটি জিনিস যা আমরা এই সংজ্ঞায় সত্য হতে চাই তা হল, যদি এই শৈলশিরার উপর একটি বিন্দু হয়, তবে বিন্দুতে ফাংশনের মান স্কেল মাত্রায় সর্বাধিক। একটি মসৃণ ডিফারেন্সিয়ালযোগ্য ফাংশন চালু করা যাক। সর্বাধিক স্কেল শৈলশিরার একটি বিন্দু যদি এবং শুধুমাত্র যদি এবং, এবং এবং। প্রান্ত সনাক্তকরণ এবং শৈলশিরা সনাক্তকরণের মধ্যে সম্পর্ক শৈলশিরা সনাক্তকরণের উদ্দেশ্য সাধারণত একটি দীর্ঘায়িত বস্তুর প্রতিসাম্যের প্রধান অক্ষটি ধরা, যেখানে প্রান্ত সনাক্তকরণের উদ্দেশ্য সাধারণত বস্তুর সীমানা ধরা। যাইহোক, প্রান্ত সনাক্তকরণ সম্পর্কিত কিছু সাহিত্যে প্রান্তের ধারণার মধ্যে শৈলশিরার ধারণাটি ভুলভাবে অন্তর্ভুক্ত করা হয়েছে, যা পরিস্থিতিকে বিভ্রান্ত করে। সংজ্ঞার পরিপ্রেক্ষিতে, এজ ডিটেক্টর এবং রিজ ডিটেক্টরের মধ্যে একটি ঘনিষ্ঠ সংযোগ রয়েছে। ক্যানি দ্বারা প্রদত্ত অ-সর্বোচ্চ গঠনের সাথে, এটি ধরে রাখে যে প্রান্তগুলি সেই বিন্দু হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় যেখানে গ্রেডিয়েন্টের মাত্রা গ্রেডিয়েন্টের দিকে একটি স্থানীয় সর্বোচ্চ ধরে নেয়। এই সংজ্ঞাটি প্রকাশ করার জন্য একটি ডিফারেনশিয়াল জ্যামিতিক পদ্ধতি অনুসরণ করে, আমরা উপরে উল্লিখিত-সমন্বিত পদ্ধতিতে বলতে পারি যে স্কেল-স্পেস উপস্থাপনার গ্রেডিয়েন্ট মাত্রা, যা-দিকে প্রথম-ক্রমের দিকনির্দেশক ডেরিভেটিভের সমান, তার প্রথম ক্রমের দিকনির্দেশক ডেরিভেটিভটি-দিকে শূন্যের সমান হওয়া উচিত এবং-দিকে দ্বিতীয় ক্রমের দিকনির্দেশক ডেরিভেটিভটি ঋণাত্মক হওয়া উচিত, অর্থাৎ। স্থানীয় আংশিক ব্যুৎপত্তিগুলির পরিপ্রেক্ষিতে একটি সুস্পষ্ট অভিব্যক্তি হিসাবে লিখিত,.., এই প্রান্তের সংজ্ঞাটিকে ডিফারেনশিয়াল ইনভ্যারিয়েন্টের শূন্য-ক্রসিং বক্ররেখা হিসাবে প্রকাশ করা যেতে পারে যা নিম্নলিখিত ডিফারেনশিয়াল ইনভ্যারিয়েন্টের উপর একটি সাইন-শর্ত পূরণ করে (আরও তথ্যের জন্য প্রান্ত সনাক্তকরণ সম্পর্কিত নিবন্ধটি দেখুন)। উল্লেখযোগ্যভাবে, এইভাবে প্রাপ্ত প্রান্তগুলি গ্রেডিয়েন্ট মাত্রার শৈলশিরা। আরও দেখুন ব্লব সনাক্তকরণ কম্পিউটার দৃষ্টি প্রান্ত সনাক্তকরণ বৈশিষ্ট্য সনাক্তকরণ (কম্পিউটার দৃষ্টি) ইন্টারেস্ট পয়েন্ট সনাক্তকরণ স্কেল স্পেস রেফারেন্স বৈশিষ্ট্য সনাক্তকরণ (কম্পিউটার দৃষ্টি) মাল্টিভ্যারিয়েবল ক্যালকুলাস মসৃণ ফাংশন এককত্ব তত্ত্ব