Theodore Frankel
থিওডোর ফ্রাঙ্কেল (17ই জুন, 1929-5ই আগস্ট, 2017) একজন গণিতবিদ ছিলেন যিনি আন্দ্রেওটি-ফ্রাঙ্কেল উপপাদ্য এবং ফ্রাঙ্কেল অনুমান প্রবর্তন করেছিলেন। ফ্রাঙ্কেল 1955 সালে ইউনিভার্সিটি অফ ক্যালিফোর্নিয়া, বার্কলে থেকে পিএইচডি অর্জন করেন। তাঁর ডক্টরাল উপদেষ্টা ছিলেন হার্লি ফ্ল্যান্ডার্স। ক্যালিফোর্নিয়া বিশ্ববিদ্যালয়, সান দিয়েগোর গণিতের একজন ইমেরিটাস অধ্যাপক, ফ্রাঙ্কেল নিউ জার্সির প্রিন্সটনের ইনস্টিটিউট ফর অ্যাডভান্সড স্টাডির দীর্ঘদিনের সদস্য ছিলেন। তিনি গ্লোবাল ডিফারেনশিয়াল জ্যামিতি, মোর্স তত্ত্ব এবং আপেক্ষিকতা তত্ত্বের কাজের জন্য পরিচিত। 1965 সালে স্ট্যানফোর্ড বিশ্ববিদ্যালয় এবং ব্রাউন বিশ্ববিদ্যালয়ের অনুষদে দায়িত্ব পালনের পর তিনি ইউসি সান দিয়েগো গণিত বিভাগে যোগ দেন। 1930-এর দশকে, জন সিঞ্জ একটি ন্যূনতম লুপে আর্ক্লেন্থের জন্য দ্বিতীয় বৈচিত্র্য সূত্র প্রয়োগ করে যা এখন সিঞ্জের উপপাদ্য হিসাবে পরিচিত তা প্রতিষ্ঠা করেছিলেন। ফ্রাঙ্কেল সিঞ্জের পদ্ধতিকে উচ্চ-মাত্রিক বস্তুর সাথে খাপ খাইয়ে নিয়েছিলেন। ফলস্বরূপ, তিনি প্রমাণ করতে সক্ষম হন যে, একটি বদ্ধ ম্যানিফোল্ডের উপর একটি ধনাত্মক বাঁকা রিমানিয়ান মেট্রিক দেওয়া হলে, যে কোনও দুটি সম্পূর্ণ জিওডেসিক কম্প্যাক্ট সাবম্যানিফোল্ডকে অবশ্যই ছেদ করতে হবে যদি তাদের মাত্রা যথেষ্ট বড় হয়। ধারণাটি হল দুটি সাবম্যানিফোল্ডের মধ্যে একটি ন্যূনতম ভূগণিতে সিঞ্জের পদ্ধতি প্রয়োগ করা। একই পদ্ধতিতে, ফ্রাঙ্কেল প্রমাণ করেছিলেন যে ধনাত্মকভাবে বাঁকানো কেলার ম্যানিফোল্ডের জটিল সাবম্যানিফোল্ডগুলি যদি তাদের মাত্রা যথেষ্ট বড় হয় তবে অবশ্যই ছেদ করতে হবে। এই ফলাফলগুলি পরে স্যামুয়েল গোল্ডবার্গ এবং শোশিচি কোবায়শি দ্বারা প্রসারিত করা হয়েছিল যাতে হোলোমর্ফিক দ্বি-বিভাজনমূলক বক্রতার ইতিবাচকতা পাওয়া যায়। রেনে থম-এর কাজ থেকে অনুপ্রাণিত হয়ে ফ্রাঙ্কেল এবং অ্যালডো আন্দ্রেওটি মোর্স তত্ত্ব ব্যবহার করে লেফশেটস হাইপারপ্লেন উপপাদ্যের একটি নতুন প্রমাণ দিয়েছেন। যুক্তিটির মূল বিষয় হল বীজগাণিতিক সত্য যে একটি জটিল দ্বিঘাত রূপের বাস্তব অংশের আইগেনভ্যালুগুলি অবশ্যই রূপের জোড়ায় ঘটতে হবে। একটি নির্দিষ্ট বিন্দুর দূরত্ব দ্বারা প্রদত্ত মোর্স ফাংশন বিবেচনা করে এটি লেফশেটসের উপপাদ্যের প্রসঙ্গে প্রাসঙ্গিক হয়ে ওঠে। সমালোচনামূলক বিন্দুতে দ্বিতীয় ক্রমের বিশ্লেষণ অবিলম্বে উপরের বীজগাণিতিক বিশ্লেষণ দ্বারা সহায়তা পায় এবং সমতাত্ত্বিক বিলুপ্তির ঘটনাগুলি মোর্স বৈষম্যের মাধ্যমে অনুসরণ করে। একটি কিলিং ভেক্টর ক্ষেত্র দেওয়া হয়েছে যার জন্য আইসোমেট্রিগুলির সংশ্লিষ্ট এক-পরামিতি গোষ্ঠী হোলোমরফিক ম্যাপিং দ্বারা কাজ করে, ফ্রাঙ্কেল কার্টান সূত্রটি ব্যবহার করে দেখিয়েছেন যে কেলার ফর্ম সহ ভেক্টর ক্ষেত্রের অভ্যন্তরীণ পণ্যটি বন্ধ। প্রথম বেট্টি সংখ্যাটি শূন্য বলে ধরে নিলে, ডি রাম উপপাদ্যটি এমন একটি ফাংশন গঠনের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য যার সমালোচনামূলক বিন্দুগুলি ভেক্টর ক্ষেত্রের শূন্যের সাথে মিলে যায়। সমালোচনামূলক বিন্দুগুলিতে একটি দ্বিতীয়-ক্রম বিশ্লেষণ দেখায় যে ভেক্টর ক্ষেত্রের শূন্যের সেটটি ফাংশনের জন্য একটি ননডিজেনারেট সমালোচনামূলক ম্যানিফোল্ড। সমালোচনামূলক ম্যানিফোল্ডের জন্য রাউল বটের মোর্স তত্ত্বের বিকাশের পরে, ফ্রাঙ্কেল প্রতিষ্ঠিত করতে সক্ষম হন যে ম্যানিফোল্ডের বেটি সংখ্যাগুলি সমালোচনামূলক ম্যানিফোল্ডের বেটি সংখ্যা দ্বারা সম্পূর্ণরূপে এনকোড করা হয়, এই ম্যানিফোল্ডগুলির সাথে তাঁর মোর্স ফাংশনের সূচক সহ। ফ্রাঙ্কেলের এই ধারণাগুলি পরে অন্যদের মধ্যে মাইকেল আতিয়া এবং নাইজেল হিচিন-এর কাজের জন্য গুরুত্বপূর্ণ ছিল। প্রধান প্রকাশনা নিবন্ধ পাঠ্যপুস্তক রেফারেন্স 20শ শতাব্দীর মার্কিন গণিতবিদ 21শ শতাব্দীর মার্কিন গণিতবিদ ইউনিভার্সিটি অফ ক্যালিফোর্নিয়া, সান দিয়েগো ফ্যাকাল্টি 1929 জন্ম 2017 মৃত্যু ইউনিভার্সিটি অফ ক্যালিফোর্নিয়া, বার্কলে অ্যালামনাই ইনস্টিটিউট ফর অ্যাডভান্সড স্টাডি মানুষ ব্রাউন ইউনিভার্সিটি ফ্যাকাল্টি স্ট্যানফোর্ড ইউনিভার্সিটি ফ্যাকাল্টি