Triangulated category
গণিতে, একটি ত্রিভুজাকার বিভাগ হল এমন একটি বিভাগ যার একটি "অনুবাদ ফাংক্টর"-এর অতিরিক্ত কাঠামো এবং "সঠিক ত্রিভুজ"-এর একটি শ্রেণী রয়েছে। উল্লেখযোগ্য উদাহরণ হল একটি আবেলিয়ান বিভাগের উদ্ভূত বিভাগ, পাশাপাশি স্থিতিশীল সমস্থানিক বিভাগ। সঠিক ত্রিভুজগুলি একটি আবেলিয়ান বিভাগে সংক্ষিপ্ত সঠিক ক্রমের পাশাপাশি টপোলজিতে ফাইবার ক্রম এবং কোফাইবার ক্রমকে সাধারণীকরণ করে। সমতাত্ত্বিক বীজগণিতের বেশিরভাগই ত্রিভুজযুক্ত বিভাগগুলির ভাষা দ্বারা স্পষ্ট এবং প্রসারিত হয়, একটি গুরুত্বপূর্ণ উদাহরণ হল শেফ কোহোমোলজি তত্ত্ব। 1960-এর দশকে, ত্রিভুজাকার বিভাগগুলির একটি সাধারণ ব্যবহার ছিল একটি স্পেস এক্স-এ শেভের বৈশিষ্ট্যগুলি শেভের জটিলতায় প্রসারিত করা, যা এক্স-এ শেভের উদ্ভূত বিভাগের বস্তু হিসাবে দেখা হয়। আরও সম্প্রতি, ত্রিভুজাকার বিভাগগুলি তাদের নিজস্ব অধিকারে আগ্রহের বিষয় হয়ে উঠেছে। বিভিন্ন উৎপত্তির ত্রিকোণাকৃতির বিভাগগুলির মধ্যে অনেক সমতুল্যতা প্রমাণিত বা অনুমান করা হয়েছে। উদাহরণস্বরূপ, সমতাত্ত্বিক আয়না প্রতিসাম্য অনুমান ভবিষ্যদ্বাণী করে যে ক্যালাবি-ইউ ম্যানিফোল্ডের উদ্ভূত বিভাগটি এর "আয়না" সিমপ্লেক্টিক ম্যানিফোল্ডের ফুকায়া বিভাগের সমতুল্য। শিফট অপারেটর হল ত্রিভুজ বিভাগের একটি বর্গীকৃত এনালগ। ইতিহাস ত্রিকোণীয় বিভাগগুলি স্বাধীনভাবে ডায়েটার পপ্পে (1962) এবং জিন-লুই ভার্ডিয়ার (1963) দ্বারা চালু করা হয়েছিল, যদিও পপ্পে-র স্বতঃসিদ্ধগুলি কম সম্পূর্ণ ছিল (অষ্টতলকীয় স্বতঃসিদ্ধির (টিআর 4) অভাব ছিল)। পপ্পে স্থিতিশীল হোমোটপি বিভাগ দ্বারা অনুপ্রাণিত হয়েছিল। ভার্ডিয়ারের মূল উদাহরণ ছিল একটি আবেলিয়ান বিভাগের উদ্ভূত বিভাগ, যা তিনি আলেকজান্ডার গ্রোথেন্ডিয়েকের ধারণাগুলি বিকাশ করে সংজ্ঞায়িত করেছিলেন। উদ্ভূত বিভাগগুলির প্রাথমিক প্রয়োগগুলির মধ্যে সুসঙ্গত দ্বৈততা এবং ভার্ডিয়ার দ্বৈততা অন্তর্ভুক্ত ছিল, যা পয়েনকারে দ্বৈততাকে একক স্থানে প্রসারিত করে। সংজ্ঞা ডি বিভাগের একটি শিফট বা ট্রান্সলেশন ফাংক্টর হল ডি থেকে ডি পর্যন্ত একটি যোগাত্মক অটোমরফিজম (বা কিছু লেখকের জন্য, একটি অটো-ইকুইভ্যালেন্স)। পূর্ণসংখ্যা এন-এর জন্য লেখা সাধারণ। একটি ত্রিভুজ (এক্স, ওয়াই, জেড, ইউ, ভি, ডাব্লু) তিনটি বস্তু এক্স, ওয়াই এবং জেড নিয়ে গঠিত। ত্রিভুজগুলি সাধারণত অপ্রকাশিত আকারে লেখা হয়ঃ অথবা সংক্ষেপে। একটি ত্রিভুজ বিভাগ হল একটি যোগাত্মক বিভাগ ডি যার একটি অনুবাদ ফাংক্টর এবং ত্রিভুজের একটি শ্রেণী রয়েছে, যাকে সঠিক ত্রিভুজ (বা বিশিষ্ট ত্রিভুজ) বলা হয়, যা নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্যগুলি (টিআর 1), (টিআর 2), (টিআর 3) এবং (টিআর 4) সন্তুষ্ট করে। (এই স্বতঃসিদ্ধগুলি সম্পূর্ণরূপে স্বাধীন নয়, যেহেতু (টিআর 3) অন্যদের থেকে উদ্ভূত হতে পারে।) প্রতিটি বস্তু এক্স-এর জন্য, নিম্নলিখিত ত্রিভুজটি সঠিকঃ প্রতিটি অঙ্গসংস্থানের জন্য, একটি বস্তু জেড (যাকে শঙ্কু বা অঙ্গসংস্থানের কোফাইবার বলা হয়) একটি সঠিক ত্রিভুজের সাথে মানানসই। "শঙ্কু" নামটি চেইন কমপ্লেক্সের মানচিত্রের শঙ্কু থেকে এসেছে, যা টপোলজিতে ম্যাপিং শঙ্কু দ্বারা অনুপ্রাণিত হয়েছিল। এটি অন্যান্য স্বতঃসিদ্ধগুলি থেকে অনুসরণ করে যে একটি সঠিক ত্রিভুজ (এবং বিশেষত বস্তু Z) অঙ্গসংস্থান দ্বারা সমরূপতা পর্যন্ত নির্ধারিত হয়, যদিও সর্বদা একটি অনন্য সমরূপতা পর্যন্ত নয়। প্রতিটি ত্রিভুজ একটি সঠিক ত্রিভুজের সমরূপ। এর মানে হল যে যদি একটি সঠিক ত্রিভুজ হয়, এবং,, এবং সমরূপতা হয়, তবে এটিও একটি সঠিক ত্রিভুজ। টিআর 2 যদি একটি সঠিক ত্রিভুজ হয়, তবে দুটি ঘূর্ণিত ত্রিভুজও তাই এবং শেষ ত্রিভুজের পরিপ্রেক্ষিতে, জেড [−1] বস্তুটিকে মরফিজমের ফাইবার বলা হয়। দ্বিতীয় ঘূর্ণিত ত্রিভুজের আরও জটিল রূপ রয়েছে যখন এবং আইসোমরফিজম নয়, তবে কেবল বিভাগগুলির পারস্পরিক বিপরীত সমতুল্য, যেহেতু এটি থেকে একটি মরফিজম, এবং একজনের জন্য একটি মরফিজম অর্জনের জন্য অবশ্যই প্রাকৃতিক রূপান্তরের সাথে রচনা করতে হবে। এটি সম্ভাব্য স্বতঃসিদ্ধ সম্পর্কে জটিল প্রশ্নের দিকে পরিচালিত করে যা একজনকে প্রাকৃতিক রূপান্তর তৈরির উপর চাপিয়ে দিতে হবে এবং বিপরীত সমতুল্যগুলির একটি জোড়ায় পরিণত করতে হবে। এই সমস্যার কারণে, এবং পারস্পরিক বিপরীত সমরূপতা এই ধারণাটি একটি ত্রিভুজ বিভাগের সংজ্ঞায় স্বাভাবিক পছন্দ। টিআর 3 দুটি সঠিক ত্রিভুজ এবং প্রতিটি ত্রিভুজের প্রথম অঙ্গসংস্থানগুলির মধ্যে একটি মানচিত্র দেওয়া হলে, দুটি ত্রিভুজের প্রত্যেকটিতে তৃতীয় বস্তুর মধ্যে একটি অঙ্গসংস্থান বিদ্যমান যা সমস্ত কিছুকে যাতায়াত করে। অর্থাৎ, নিম্নলিখিত চিত্রটিতে (যেখানে দুটি সারি সঠিক ত্রিভুজ এবং f ও g এমন অঙ্গসংস্থান যা gu = u′f), একটি মানচিত্র h রয়েছে (অগত্যা অনন্য নয়) যা সমস্ত বর্গকে যাতায়াত করেঃ TR 4: অষ্টতলকীয় স্বতঃসিদ্ধ রূপায়ন হতে দিন, এবং রচিত অঙ্গসংস্থান বিবেচনা করুন। টিআর 1 অনুসারে এই তিনটি অঙ্গসংস্থানের প্রত্যেকটির জন্য সঠিক ত্রিভুজ গঠন করুন। অষ্টতলকীয় স্বতঃসিদ্ধিতে (মোটামুটিভাবে) বলা হয়েছে যে তিনটি ম্যাপিং শঙ্কু একটি সঠিক ত্রিভুজের শীর্ষে তৈরি করা যেতে পারে যাতে "সবকিছু চলাচল করে"। আরও আনুষ্ঠানিকভাবে, সঠিক ত্রিভুজ দেওয়া হলে, একটি সঠিক ত্রিভুজ বিদ্যমান যে এই স্বতঃসিদ্ধটিকে "অষ্টতল স্বতঃসিদ্ধ" বলা হয় কারণ সমস্ত বস্তু এবং অঙ্গসংস্থান অঙ্কন একটি অষ্টতলকের কঙ্কাল দেয়, যার চারটি মুখ সঠিক ত্রিভুজ। এখানে উপস্থাপনাটি ভার্ডিয়ারের নিজস্ব, এবং অষ্টতলকীয় রেখাচিত্র সহ সম্পূর্ণরূপে প্রদর্শিত হয়। নিম্নলিখিত চিত্রটিতে, u এবং v হল প্রদত্ত অঙ্গসংস্থান, এবং মৌলিক অক্ষরগুলি হল বিভিন্ন মানচিত্রের শঙ্কু (নির্বাচিত যাতে প্রতিটি সঠিক ত্রিভুজের একটি X, একটি Y এবং একটি Z অক্ষর থাকে)। বিভিন্ন তীরগুলি চিহ্নিত করা হয়েছে [1] যা নির্দেশ করে যে সেগুলি "ডিগ্রি 1"-এর; যেমন। Z′ থেকে X পর্যন্ত মানচিত্রটি আসলে Z′ থেকে X [1] পর্যন্ত। অষ্টতল স্বতঃসিদ্ধ তারপর একটি সঠিক ত্রিভুজ গঠন করে f এবং g মানচিত্রের অস্তিত্ব দাবি করে, এবং যাতে f এবং g তাদের ধারণকারী অন্যান্য মুখে বিনিময়যোগ্য ত্রিভুজ গঠন করেঃ দুটি ভিন্ন ছবি প্রদর্শিত হয় (প্রথমটিও উপস্থাপন করে)। প্রথমটি উপরের অক্টেহেড্রনের উপরের এবং নীচের পিরামিডগুলি উপস্থাপন করে এবং দাবি করে যে একটি নীচের পিরামিড দেওয়া হলে, একজন একটি উপরের পিরামিড পূরণ করতে পারে যাতে Y থেকে Y′ এবং Y থেকে Y′ পর্যন্ত দুটি পথ সমান হয় (এই শর্তটি বাদ দেওয়া হয়েছে, সম্ভবত হার্টশোর্নের উপস্থাপনা থেকে ভুলভাবে)। + চিহ্নিত ত্রিভুজগুলি বিনিময়যোগ্য এবং "d" চিহ্নিত ত্রিভুজগুলি সঠিকঃ দ্বিতীয় চিত্রটি আরও উদ্ভাবনী উপস্থাপনা। সঠিক ত্রিভুজগুলি রৈখিকভাবে উপস্থাপন করা হয় এবং রেখাচিত্রটি এই সত্যের উপর জোর দেয় যে "অষ্টভুজ"-এর চারটি ত্রিভুজ ত্রিভুজের মানচিত্রের একটি সিরিজ দ্বারা সংযুক্ত, যেখানে তিনটি ত্রিভুজ (যথা, X থেকে Y, Y থেকে Z, এবং X থেকে Z) দেওয়া হয়েছে এবং চতুর্থটির অস্তিত্ব দাবি করা হয়েছে। একটি প্রথম দুটির মধ্যে X-এর দিকে "পিভোটিং" করে, তৃতীয়টি Z-এর দিকে পিভোটিং করে এবং চতুর্থটি X′-এর দিকে পিভোটিং করে যায়। এই চিত্রের সমস্ত ঘেরগুলি বিনিময়যোগ্য (ত্রিকোণ এবং বর্গ উভয়ই) তবে Y′ থেকে Y পর্যন্ত দুটি পথের সমতা প্রকাশ করে অন্য বিনিময়যোগ্য বর্গটি স্পষ্ট নয়। "প্রান্তের বাইরে" নির্দেশ করা সমস্ত তীরগুলি ডিগ্রি 1: এই শেষ চিত্রটি অষ্টতল স্বতঃসিদ্ধের একটি দরকারী স্বজ্ঞাত ব্যাখ্যাও চিত্রিত করে। ত্রিভুজাকার বিভাগগুলিতে, ত্রিভুজগুলি সঠিক ক্রমের ভূমিকা পালন করে, এবং তাই এই বস্তুগুলিকে "কোটিয়েন্ট" হিসাবে ভাবা পরামর্শমূলক। এই পদগুলিতে, শেষ ত্রিভুজের অস্তিত্ব একদিকে (ত্রিভুজের দিকে তাকিয়ে) এবং (ত্রিভুজের দিকে তাকিয়ে) প্রকাশ পায়। এগুলিকে একত্রিত করে, অষ্টতলকীয় স্বতঃসিদ্ধ "তৃতীয় সমরূপতা উপপাদ্য" দাবি করেঃ যদি ত্রিভুজাকার বিভাগটি একটি আবেলিয়ান বিভাগ এ-এর উদ্ভূত বিভাগ ডি (এ) হয়, এবং এক্স, ওয়াই, জেড এ-এর বস্তুগুলি 0 মাত্রায় ঘনীভূত জটিল হিসাবে দেখা হয়, এবং মানচিত্রগুলি এবং এ-তে মনোমরফিজম হয়, তবে ডি (এ)-তে এই মরফিজমগুলির শঙ্কুগুলি আসলে এ-এর উপরের কোটিয়েন্টগুলির সমরূপ। পরিশেষে, 4টি সারি এবং 4টি কলাম সহ একটি দ্বিমাত্রিক বিনিময়যোগ্য রেখাচিত্র ব্যবহার করে অষ্টতলকীয় স্বতঃসিদ্ধ গঠন করে। অষ্টতল স্বতঃসিদ্ধের সাধারণীকরণও দেয়। এখানে একটি ত্রিভুজাকার বিভাগ ডি-এর জন্য স্বতঃসিদ্ধগুলির কিছু সহজ পরিণতি রয়েছে। ডি-তে একটি সঠিক ত্রিভুজ দেওয়া হলে, যে কোনও দুটি ধারাবাহিক অঙ্গসংস্থানের গঠন শূন্য হয়। অর্থাৎ, ভিইউ = 0, ডাব্লুভি = 0, ইউ [1] ডাব্লু = 0, ইত্যাদি। একটি অঙ্গসংস্থানের পরিপ্রেক্ষিতে, টিআর 1 একটি সঠিক ত্রিভুজ সম্পূর্ণ করার জন্য একটি শঙ্কু জেড-এর অস্তিত্বের নিশ্চয়তা দেয়। ইউ-এর যে কোনও দুটি শঙ্কু সমরূপ, তবে সমরূপতা সর্বদা অনন্যভাবে নির্ধারিত হয় না। ডি-তে প্রতিটি মনোমরফিজম একটি সরাসরি যোগফলের অন্তর্ভুক্তি, এবং প্রতিটি এপিমরফিজম একটি অভিক্ষেপ। একটি সম্পর্কিত বিষয় হল যে ত্রিভুজাকার বিভাগে মরফিজমের জন্য "ইনজেক্টিভিটি" বা "সার্জেক্টিভিটি" সম্পর্কে কথা বলা উচিত নয়। প্রতিটি অঙ্গসংস্থান যা সমরূপতা নয় তার একটি অ-শূন্য "কোকার্নেল" জেড (যার অর্থ একটি সঠিক ত্রিভুজ রয়েছে) এবং একটি অ-শূন্য "কার্নেল" রয়েছে, যার নাম জেড [−1]। শঙ্কু নির্মাণের অ-কার্যকারিতা ত্রিভুজ বিভাগের প্রযুক্তিগত জটিলতাগুলির মধ্যে একটি হল শঙ্কু নির্মাণ কার্যকরী নয়। উদাহরণস্বরূপ, একটি বলয় এবং বিশিষ্ট ত্রিভুজের আংশিক মানচিত্র দেওয়া হলে, দুটি মানচিত্র রয়েছে যা এই চিত্রটি সম্পূর্ণ করে। এটি পরিচয় মানচিত্র হতে পারে, অথবা শূন্য মানচিত্র হতে পারে, যা উভয়ই বিনিময়যোগ্য। দুটি মানচিত্রের অস্তিত্ব এই সত্যের একটি ছায়া যে একটি ত্রিভুজাকার বিভাগ এমন একটি সরঞ্জাম যা সমস্থানিক সীমা এবং কলিমিটকে এনকোড করে। এই সমস্যার একটি সমাধান গ্রোথেন্ডিয়াক দ্বারা প্রস্তাবিত হয়েছিল যেখানে কেবল উদ্ভূত বিভাগটি বিবেচনা করা হয় না, তবে এই বিভাগের চিত্রগুলির উদ্ভূত বিভাগও বিবেচনা করা হয়। এই ধরনের বস্তুকে ডেরিভেটর বলা হয়। উদাহরণ কি আরও ভাল স্বতঃসিদ্ধ আছে? কিছু বিশেষজ্ঞ সন্দেহ করেন পি. জি 190 (উদাহরণস্বরূপ, দেখুন) যে ত্রিভুজযুক্ত বিভাগগুলি আসলে "সঠিক" ধারণা নয়। মূল কারণটি হল যে একটি অঙ্গসংস্থানের শঙ্কু শুধুমাত্র একটি অ-অনন্য সমরূপতা পর্যন্ত অনন্য। বিশেষত, একটি অঙ্গসংস্থানের শঙ্কু সাধারণভাবে অঙ্গসংস্থানের উপর কার্যকরীভাবে নির্ভর করে না (উদাহরণস্বরূপ, স্বতঃসিদ্ধের (টিআর 3) অ-স্বতন্ত্রতা লক্ষ্য করুন)। এই অদ্বিতীয়তা ত্রুটির একটি সম্ভাব্য উৎস। স্বতঃসিদ্ধগুলি অনুশীলনে পর্যাপ্তভাবে কাজ করে এবং তাদের অধ্যয়নের জন্য প্রচুর সাহিত্য নিবেদিত রয়েছে। একটি বিকল্প প্রস্তাব হ 'ল 80 এস. পি. জি 191-এ গ্রোথেন্ডিয়াক দ্বারা পার্সুইং স্ট্যাকগুলিতে প্রস্তাবিত ডেরিভেটরের তত্ত্ব, এবং পরে 90-এর দশকে এই বিষয়ে তাঁর পাণ্ডুলিপিতে বিকশিত হয়েছিল। মূলত, এগুলি দুর্বল সমতুল্য শ্রেণীর একটি বিভাগের জন্য চিত্র বিভাগগুলি দ্বারা প্রদত্ত সমস্থানিক বিভাগগুলির একটি ব্যবস্থা। এই বিভাগগুলি তখন চিত্রের অঙ্গসংস্থান দ্বারা সম্পর্কিত হয়। এই আনুষ্ঠানিকতার হোমোটপি সীমা এবং কলিমিট পুনরুদ্ধার করতে সক্ষম হওয়ার সুবিধা রয়েছে, যা শঙ্কু নির্মাণকে প্রতিস্থাপন করে। স্থায়িত্ব φ-বিভাগ আরেকটি বিকল্প হল স্থায়িত্ব φ-বিভাগের তত্ত্ব। একটি স্থিতিশীল φ-বিভাগের সমস্থানিক বিভাগটি প্রামাণিকভাবে ত্রিভুজাকার, এবং উপরন্তু ম্যাপিং শঙ্কুগুলি মূলত অনন্য হয়ে ওঠে (একটি সুনির্দিষ্ট সমস্থানিক অর্থে)। উপরন্তু, একটি স্থিতিশীল φ-বিভাগ স্বাভাবিকভাবেই তার হোমোটপি বিভাগের জন্য সামঞ্জস্যের একটি সম্পূর্ণ শ্রেণিবিন্যাসকে এনকোড করে, যার নীচে অষ্টতলকীয় স্বতঃসিদ্ধ রয়েছে। সুতরাং, একটি স্থিতিশীল φ-বিভাগের তথ্য দেওয়া তার সমস্থানিক বিভাগের ত্রিভুজের তথ্য দেওয়ার চেয়ে কঠোরভাবে শক্তিশালী। বাস্তবে উদ্ভূত প্রায় সমস্ত ত্রিভুজ বিভাগগুলি স্থিতিশীল φ-বিভাগ থেকে আসে। ত্রিভুজাকার বিভাগগুলির একটি অনুরূপ (তবে আরও বিশেষ) সমৃদ্ধি হল একটি ডিজি-বিভাগের ধারণা। কিছু উপায়ে, স্থিতিশীল φ-বিভাগ বা ডিজি-বিভাগগুলি ত্রিভুজযুক্ত বিভাগের চেয়ে ভাল কাজ করে। একটি উদাহরণ হল ত্রিভুজাকার বিভাগগুলির মধ্যে একটি সঠিক ফাংক্টরের ধারণা, যা নীচে আলোচনা করা হয়েছে। একটি ক্ষেত্র k-এর উপর একটি মসৃণ প্রজেক্টিভ বৈচিত্র্য X-এর জন্য, সুসঙ্গত শেভগুলির সীমাবদ্ধ উদ্ভূত বিভাগটি প্রাকৃতিক উপায়ে একটি ডিজি-বিভাগ থেকে আসে। এক্স এবং ওয়াই জাতের জন্য, এক্স-এর ডিজি-বিভাগ থেকে ওয়াই-এর প্রতিটি ফাংক্টর ফুরিয়ার-মুকাই রূপান্তর দ্বারা শেভগুলির একটি জটিল থেকে আসে। এর বিপরীতে, একটি সঠিক ফাংক্টরের উদাহরণ রয়েছে যা শেভগুলির একটি জটিল থেকে আসে না। এই উদাহরণের পরিপ্রেক্ষিতে, ত্রিভুজাকার বিভাগগুলির মধ্যে একটি রূপবাদের "সঠিক" ধারণাটি এমন একটি বলে মনে হয় যা অন্তর্নিহিত ডিজি-বিভাগগুলির (বা স্থিতিশীল φ-বিভাগগুলি) রূপবাদ থেকে এসেছে। বীজগাণিতিক কে-তত্ত্বে ত্রিভুজযুক্ত বিভাগগুলির তুলনায় স্থিতিশীল কে-বিভাগ বা ডিজি-বিভাগের আরেকটি সুবিধা দেখা যায়। একটি স্থিতিশীল ν-বিভাগ বা ডিজি-বিভাগ সি-এর বীজগাণিতিক কে-তত্ত্বকে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে, যা পূর্ণসংখ্যা i-এর জন্য আবেলিয়ান গোষ্ঠীর একটি ক্রম প্রদান করে। সি-এর সাথে যুক্ত ত্রিভুজ বিভাগের পরিপ্রেক্ষিতে গোষ্ঠীটির একটি সহজ বিবরণ রয়েছে তবে একটি উদাহরণ দেখায় যে একটি ডিজি-বিভাগের উচ্চতর কে-গোষ্ঠীগুলি সর্বদা সংশ্লিষ্ট ত্রিভুজ বিভাগ দ্বারা নির্ধারিত হয় না। এইভাবে একটি ত্রিভুজাকার বিভাগের একটি সুনির্দিষ্ট গোষ্ঠী থাকে, তবে সাধারণভাবে উচ্চতর কে-গোষ্ঠী নয়। অন্যদিকে, ত্রিভুজাকার বিভাগগুলির তত্ত্ব স্থিতিশীল φ-বিভাগ বা ডিজি-বিভাগের তত্ত্বের চেয়ে সহজ এবং অনেক প্রয়োগে ত্রিভুজাকার কাঠামো যথেষ্ট। একটি উদাহরণ হল ব্লক-কাটো অনুমানের প্রমাণ, যেখানে ত্রিভুজাকার বিভাগগুলির স্তরে অনেক গণনা করা হয়েছিল এবং φ-বিভাগ বা ডিজি-বিভাগের অতিরিক্ত কাঠামোর প্রয়োজন ছিল না। ত্রিভুজাকার বিভাগে কোহোমোলজি কোহোমোলজির একটি ধারণা স্বীকার করে এবং প্রতিটি ত্রিভুজাকার বিভাগে কোহোমোলজিকাল ফাংক্টরের একটি বড় সরবরাহ রয়েছে। ত্রিভুজাকার বিভাগ ডি থেকে আবেলিয়ান বিভাগ এ পর্যন্ত একটি কোহোমোলজিকাল ফাংক্টর এফ এমন একটি ফাংক্টর যাতে প্রতিটি সঠিক ত্রিভুজের জন্য এ-তে ক্রমটি সঠিক হয়। যেহেতু একটি সঠিক ত্রিভুজ উভয় দিকে সঠিক ত্রিভুজের একটি অসীম ক্রম নির্ধারণ করে, তাই একটি কোহোমোলজিক্যাল ফাংক্টর এফ আসলে আবেলিয়ান বিভাগ এ-তে একটি দীর্ঘ সঠিক ক্রম দেয়ঃ একটি মূল উদাহরণ হলঃ একটি ত্রিভুজ বিভাগ ডি-তে প্রতিটি বস্তুর জন্য, আবেলিয়ান গোষ্ঠীর বিভাগে মান সহ ফাংক্টর এবং কোহোমোলজিকাল। (সুনির্দিষ্টভাবে বলতে গেলে, পরেরটি একটি বিপরীতমুখী ফাংক্টর, যাকে ডি-এর বিপরীত বিভাগের একটি ফাংক্টর হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে।) অর্থাৎ, একটি সঠিক ত্রিভুজ আবেলিয়ান গোষ্ঠীর দুটি দীর্ঘ সঠিক ক্রম নির্ধারণ করেঃ এবং নির্দিষ্ট ত্রিভুজযুক্ত বিভাগের জন্য, এই সঠিক ক্রমগুলি শিফ কোহোমোলজি, গ্রুপ কোহোমোলজি এবং গণিতের অন্যান্য ক্ষেত্রে অনেক গুরুত্বপূর্ণ সঠিক ক্রম প্রদান করে। কেউ পূর্ণসংখ্যা i-এর জন্য স্বরলিপিও ব্যবহার করতে পারে, যা একটি আবেলিয়ান বিভাগে এক্সট ফাঙ্কটরকে সাধারণীকরণ করে। এই স্বরলিপিতে, উপরের প্রথম সঠিক ক্রমটি লেখা হবেঃ একটি আবেলিয়ান বিভাগ এ-এর জন্য, উদ্ভূত বিভাগ ডি (এ)-তে একটি কোহোমোলজিকাল ফাংক্টরের আরেকটি মৌলিক উদাহরণ এ-তে বস্তুর কাছে একটি জটিল এক্স পাঠায়। অর্থাৎ, ডি (এ)-তে একটি সঠিক ত্রিভুজ এ-তে একটি দীর্ঘ সঠিক ক্রম নির্ধারণ করেঃ এটি ব্যবহার করে। একটি ত্রিভুজাকার বিভাগ ডি থেকে ত্রিভুজাকার বিভাগ ই-তে একটি সঠিক ফাংক্টর (যাকে ত্রিভুজাকার ফাংক্টরও বলা হয়) একটি যোগাত্মক ফাংক্টর যা আলগাভাবে বলতে গেলে, অনুবাদের সাথে যাতায়াত করে এবং সঠিক ত্রিভুজে সঠিক ত্রিভুজ পাঠায়। আরও বিস্তারিতভাবে, একটি সঠিক ফাংক্টর একটি প্রাকৃতিক সমরূপতার সাথে আসে (যেখানে প্রথমটি ডি-এর অনুবাদ ফাংক্টরকে বোঝায় এবং দ্বিতীয়টি ই-এর অনুবাদ ফাংক্টরকে বোঝায়), যেমন যখনই ডি-তে একটি সঠিক ত্রিভুজ হয়, তখন ই-তে একটি সঠিক ত্রিভুজ হয়। ত্রিভুজযুক্ত বিভাগগুলির সমতুল্যতা একটি সঠিক ফাংক্টর যা বিভাগগুলির সমতুল্যও হয়। এই ক্ষেত্রে, একটি সঠিক ফাংক্টর রয়েছে যাতে এফজি এবং জিএফ স্বাভাবিকভাবেই সংশ্লিষ্ট আইডেন্টিটি ফাংক্টরের সমতুল্য হয়। সংহতভাবে সৃষ্ট ত্রিভুজযুক্ত বিভাগগুলি ধরা যাক ডি একটি ত্রিভুজযুক্ত বিভাগ যাতে একটি স্বেচ্ছাচারী সেট দ্বারা সূচীভুক্ত সরাসরি যোগফল (অগত্যা সীমাবদ্ধ নয়) ডি-তে বিদ্যমান থাকে। ডি-তে একটি বস্তু এক্সকে সংক্ষিপ্ত বলা হয় যদি ফাংক্টর সরাসরি যোগফলের সাথে যাতায়াত করে। স্পষ্টতই, এর অর্থ হল যে একটি সেট এস দ্বারা সূচীভুক্ত ডি-তে প্রতিটি বস্তুর পরিবারের জন্য, আবেলিয়ান গোষ্ঠীর প্রাকৃতিক সমরূপতা একটি সমরূপতা। এটি বিভাগ তত্ত্বের একটি কম্প্যাক্ট বস্তুর সাধারণ ধারণার থেকে আলাদা, যা কেবল সহজাতের পরিবর্তে সমস্ত কলিমিটকে জড়িত করে। উদাহরণস্বরূপ, স্থিতিশীল হোমোটপি বিভাগে একটি কম্প্যাক্ট বস্তু হল একটি সীমাবদ্ধ বর্ণালী। একটি বলয়ের উদ্ভূত বিভাগে বা একটি পরিকল্পনার আধা-সুসঙ্গত উদ্ভূত বিভাগে একটি সংক্ষিপ্ত বস্তু একটি নিখুঁত জটিল। একটি ক্ষেত্রের উপর একটি মসৃণ প্রজেক্টিভ বৈচিত্র্য এক্স-এর ক্ষেত্রে, নিখুঁত কমপ্লেক্সের পারফ (এক্স) বিভাগটিকে সুসঙ্গত শেভের সীমাবদ্ধ উদ্ভূত বিভাগ হিসাবেও দেখা যেতে পারে। একটি ত্রিভুজাকার বিভাগ ডি সংহতভাবে উৎপন্ন হয় যদি ডি-এর স্বেচ্ছাচারী (অগত্যা সীমাবদ্ধ নয়) সরাসরি যোগফল থাকে; ডি-তে সংহত বস্তুর একটি সেট এস থাকে যাতে ডি-তে প্রতিটি অ-শূন্য বস্তুর জন্য, কিছু পূর্ণসংখ্যা এন-এর জন্য একটি অ-শূন্য মানচিত্র সহ এস-এ একটি বস্তু ওয়াই থাকে। অনেক স্বাভাবিকভাবে ঘটে যাওয়া "বড়" ত্রিভুজযুক্ত বিভাগগুলি সংহতভাবে উত্পন্ন হয়ঃ একটি রিং আর-এর উপর মডিউলগুলির উদ্ভূত বিভাগটি সংহতভাবে একটি বস্তু, আর-মডিউল আর দ্বারা উত্পন্ন হয়। একটি আধা-সংহত আধা-বিচ্ছিন্ন স্কিমের আধা-সুসংগত উদ্ভূত বিভাগটি সংহতভাবে একটি বস্তু দ্বারা উত্পন্ন হয়। স্থিতিশীল হোমোটপি বিভাগটি একটি বস্তু, গোলক বর্ণালী দ্বারা সংহতভাবে উত্পন্ন হয়। আমনন নিম্যান ব্রাউন রিপ্রেজেন্টেবিলিটি উপপাদ্যকে যে কোনও কম্প্যাক্টলি জেনারেটেড ট্রায়াঙ্গুলেটেড বিভাগে সাধারণীকরণ করেছেন, নিম্নরূপ। ধরা যাক ডি একটি কম্প্যাক্টলি জেনারেটেড ট্রাইএঙ্গুলেটেড বিভাগ, একটি কোহোমোলজিকাল ফাংক্টর যা সহজাত পণ্যগুলিকে পণ্যগুলিতে নিয়ে যায়। তারপর এইচ প্রতিনিধিত্বযোগ্য। (অর্থাৎ, D-এর মধ্যে এমন একটি বস্তু রয়েছে যা সমস্ত X-এর জন্য।) অন্য সংস্করণের জন্য, ধরা যাক ডি একটি সংহতভাবে উত্পন্ন ত্রিভুজ বিভাগ, টি যে কোনও ত্রিভুজ বিভাগ। যদি একটি সঠিক ফাংক্টর সহ-পণ্যগুলিতে সহ-পণ্য পাঠায়, তবে এফ-এর একটি সঠিক সংযোজন রয়েছে। ব্রাউন রিপ্রেজেন্টেবিলিটি উপপাদ্যটি ত্রিভুজযুক্ত বিভাগগুলির মধ্যে বিভিন্ন ফাংক্টর সংজ্ঞায়িত করতে ব্যবহার করা যেতে পারে। বিশেষত, নিম্যান এটিকে স্কিমগুলির একটি মরফিজম এফ-এর জন্য ব্যতিক্রমী বিপরীত চিত্র ফাংক্টরের নির্মাণকে সহজতর এবং সাধারণীকরণ করতে ব্যবহার করেছিলেন, যা সুসঙ্গত দ্বৈত তত্ত্বের কেন্দ্রীয় বৈশিষ্ট্য। টি-কাঠামো প্রতিটি আবেলিয়ান বিভাগ এ-এর জন্য, উদ্ভূত বিভাগ ডি (এ) একটি ত্রিভুজাকার বিভাগ, যার একটি সম্পূর্ণ উপবিভাগ হিসাবে এ রয়েছে (শূন্য মাত্রায় ঘনীভূত জটিলতাগুলি)। বিভিন্ন আবেলিয়ান বিভাগের সমতুল্য উদ্ভূত বিভাগ থাকতে পারে, যাতে ত্রিভুজাকার বিভাগ হিসাবে ডি (এ) থেকে এ-কে পুনর্গঠন করা সবসময় সম্ভব হয় না। আলেকজান্ডার বেইলিনসন, জোসেফ বার্নস্টাইন এবং পিয়েরে ডেলিগনে ত্রিভুজাকার বিভাগ ডি-এর উপর একটি টি-কাঠামোর ধারণার মাধ্যমে এই পরিস্থিতি বর্ণনা করেছেন। ডি-এর উপর একটি টি-কাঠামো ডি-এর ভিতরে একটি আবেলিয়ান বিভাগ নির্ধারণ করে এবং ডি-এর উপর বিভিন্ন টি-কাঠামো বিভিন্ন আবেলিয়ান বিভাগ তৈরি করতে পারে। স্থানীয়করণ এবং পুরু উপবিভাগগুলি ধরা যাক ডি একটি ত্রিভুজাকার বিভাগ যেখানে নির্বিচারে সরাসরি যোগফল রয়েছে। ডি-এর একটি স্থানীয়করণ উপবিভাগ হল একটি কঠোরভাবে পূর্ণ ত্রিভুজাকার উপবিভাগ যা নির্বিচারে সরাসরি যোগফলের অধীনে বন্ধ করা হয়। নামটি ব্যাখ্যা করার জন্যঃ যদি একটি সংহতভাবে উত্পন্ন ত্রিভুজ বিভাগ ডি-এর একটি স্থানীয়করণ উপবিভাগ এস বস্তুর একটি সেট দ্বারা উত্পন্ন হয়, তবে কার্নেল এস সহ একটি বোসফিল্ড স্থানীয়করণ ফাংক্টর রয়েছে। (অর্থাৎ, ডি-তে প্রতিটি বস্তুর জন্য একটি সঠিক ত্রিভুজ রয়েছে যার সাথে এস-এ ওয়াই এবং ডান অর্থোগোনাল-এ এলএক্স রয়েছে।) উদাহরণস্বরূপ, এই নির্মাণের মধ্যে একটি মৌলিক সংখ্যায় একটি বর্ণালীর স্থানীয়করণ বা একটি স্থানের উপর শেভগুলির একটি জটিল থেকে একটি খোলা উপসেটে সীমাবদ্ধতা অন্তর্ভুক্ত রয়েছে। একটি সমান্তরাল ধারণা "ছোট" ত্রিভুজযুক্ত বিভাগগুলির জন্য আরও প্রাসঙ্গিকঃ একটি ত্রিভুজযুক্ত বিভাগ সি-এর একটি পুরু উপবিভাগ হল একটি কঠোরভাবে পূর্ণ ত্রিভুজযুক্ত উপবিভাগ যা সরাসরি যোগফলের অধীনে বন্ধ থাকে। (যদি সি আইডেম্পোটেন্ট-সম্পূর্ণ হয়, তবে একটি উপবিভাগ পুরু হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি এটি আইডেম্পোটেন্ট-সম্পূর্ণ হয়।) একটি স্থানীয়করণ উপবিভাগ পুরু। সুতরাং যদি S একটি ত্রিভুজাকার বিভাগ D-এর একটি স্থানীয়করণ উপবিভাগ হয়, তবে সংহত বস্তুর উপবিভাগের সাথে S-এর ছেদ হল এর একটি পুরু উপবিভাগ। উদাহরণস্বরূপ, ডেভিনাটজ-হপকিন্স-স্মিথ মোরাভা কে-তত্ত্বের পরিপ্রেক্ষিতে সসীম বর্ণালীর ত্রিভুজ বিভাগের সমস্ত পুরু উপবিভাগ বর্ণনা করেছেন। সম্পূর্ণ স্থিতিশীল হোমোটপি বিভাগের স্থানীয়করণ উপবিভাগগুলিকে শ্রেণীবদ্ধ করা হয়নি। আরও দেখুন ফুরিয়ার-মুকাই ট্রান্সফর্ম সিক্স অপারেশনস পারভার্স শেফ ডি-মডিউল বেইলিনসন-বার্নস্টাইন স্থানীয়করণ মডিউল স্পেকট্রাম সেমিওর্থোগোনাল ডিকম্পোসিশন ব্রিজল্যান্ড স্থায়িত্ব শর্ত নোটস রেফারেন্স ত্রিভুজযুক্ত বিভাগগুলির কিছু পাঠ্যপুস্তক পরিচিতি হলঃ প্রয়োগগুলির সাথে একটি সংক্ষিপ্ত সারসংক্ষেপঃ আরও কিছু উন্নত রেফারেন্স হলঃ বাহ্যিক লিঙ্ক জে পিটার মে, ত্রিভুজযুক্ত বিভাগগুলির জন্য স্বতঃসিদ্ধ হোমোলজিকাল বীজগণিত