Closed geodesic
ডিফারেনশিয়াল জ্যামিতি এবং গতিশীল সিস্টেমে, একটি রিম্যানিয়ান ম্যানিফোল্ডের উপর একটি বদ্ধ জিওডেসিক একটি জিওডেসিক যা একই স্পর্শক দিক দিয়ে তার প্রারম্ভিক বিন্দুতে ফিরে আসে। এটি ম্যানিফোল্ডের স্পর্শক স্থানের উপর জিওডেসিক প্রবাহের একটি বদ্ধ কক্ষপথের অভিক্ষেপ হিসাবে আনুষ্ঠানিক করা যেতে পারে। একটি রিম্যানিয়ান ম্যানিফোল্ডে (এম, জি), একটি বদ্ধ ভূগণতাত্ত্বিক একটি বক্ররেখা যা মেট্রিক জি-এর জন্য একটি ভূগণতাত্ত্বিক এবং পর্যায়ক্রমিক। বন্ধ ভূগণিত একটি বৈচিত্র্যমূলক নীতির মাধ্যমে চিহ্নিত করা যেতে পারে। এম-এর উপর মসৃণ 1-পর্যায়ক্রমিক বক্ররেখার স্থান দ্বারা চিহ্নিত করা হলে, পর্যায় 1-এর বদ্ধ ভূগণিতগুলি সঠিকভাবে শক্তি ফাংশনের সমালোচনামূলক বিন্দু, যা দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়, যদি সময়কাল পি-এর একটি বদ্ধ ভূগণিত হয়, তবে পুনর্বিন্যস্ত বক্ররেখাটি সময়কাল 1-এর একটি বদ্ধ ভূগণিত, এবং তাই এটি ই-এর একটি সমালোচনামূলক বিন্দু। এইভাবে এম-এর প্রতিটি বদ্ধ ভূগণিত শক্তি ই-এর সমালোচনামূলক বিন্দুর একটি অসীম ক্রমের জন্ম দেয়। উদাহরণস্বরূপ, স্ট্যান্ডার্ড রাউন্ড রিমানিয়ান মেট্রিক সহ একক গোলকের উপর, প্রতিটি বড় বৃত্ত একটি বদ্ধ ভূগণিতের উদাহরণ। সুতরাং, গোলকের উপর, সমস্ত ভূগণিত বন্ধ থাকে। গোলকের সমতুল্য একটি মসৃণ পৃষ্ঠে, এটি সত্য নাও হতে পারে, তবে সর্বদা কমপক্ষে তিনটি সহজ বদ্ধ ভূগণিত থাকে; এটি তিনটি ভূগণিতের উপপাদ্য। গাণিতিক সাহিত্যে যাদের সমস্ত ভূগণিত বন্ধ রয়েছে তাদের ম্যানিফোল্ডগুলি পুঙ্খানুপুঙ্খভাবে তদন্ত করা হয়েছে। একটি কম্প্যাক্ট হাইপারবোলিক পৃষ্ঠে, যার মৌলিক গোষ্ঠীর কোনও টর্জন নেই, বদ্ধ ভূগণিতগুলি পৃষ্ঠের ফুচসিয়ান গোষ্ঠীর উপাদানগুলির অ-তুচ্ছ সংমিশ্রণ শ্রেণীর সাথে এক-থেকে-এক যোগাযোগে রয়েছে। আরও দেখুন লিউস্টার্নিক-ফেট উপপাদ্য তিনটি ভূগণিতের উপপাদ্য বক্ররেখা-সংক্ষিপ্ত প্রবাহ সেলবার্গ ট্রেস সূত্র সেলবার্গ জিটা ফাংশন জোল পৃষ্ঠ রেফারেন্স বেসে, এ।: "যাদের ভূগণিত বন্ধ রয়েছে তাদের সকলকে ম্যানিফোল্ড করে", এরজেবিস গ্রেঞ্জব। গণিত., না। 93, স্প্রিঙ্গার, বার্লিন, 1978। ডিফারেনশিয়াল জ্যামিতি ডাইনামিক্যাল সিস্টেম জিওডেসিক (গণিত)