Airy wave theory
তরল গতিবিদ্যায়, বায়ু তরঙ্গ তত্ত্ব (প্রায়শই রৈখিক তরঙ্গ তত্ত্ব হিসাবে উল্লেখ করা হয়) একটি সমজাতীয় তরল স্তরের পৃষ্ঠে মাধ্যাকর্ষণ তরঙ্গের বিস্তারের একটি রৈখিক বিবরণ দেয়। তত্ত্বটি ধরে নেয় যে তরল স্তরটির একটি অভিন্ন গড় গভীরতা রয়েছে এবং তরল প্রবাহটি অদম্য, অসংকুচিত এবং ঘূর্ণনশীল। এই তত্ত্বটি 19 শতকে জর্জ বিডেল এয়ারি দ্বারা সঠিক আকারে প্রথম প্রকাশিত হয়েছিল। বায়ু তরঙ্গ তত্ত্ব প্রায়শই সমুদ্র প্রকৌশল এবং উপকূলীয় প্রকৌশল ক্ষেত্রে এলোমেলো সমুদ্র অবস্থার মডেলিংয়ের জন্য প্রয়োগ করা হয়-যা তরঙ্গ গতিবিদ্যা এবং অনেক উদ্দেশ্যে উচ্চ-পর্যাপ্ত নির্ভুলতার গতিবিদ্যার বিবরণ দেয়। উপরন্তু, পৃষ্ঠ মাধ্যাকর্ষণ তরঙ্গের বেশ কয়েকটি দ্বিতীয়-ক্রমের অরৈখিক বৈশিষ্ট্য এবং তাদের বিস্তার, এর ফলাফল থেকে অনুমান করা যেতে পারে। বায়ু তরঙ্গ তত্ত্ব সমুদ্রের সুনামি তরঙ্গগুলির জন্য একটি ভাল অনুমান, তারা উপকূলের কাছাকাছি খাড়া হওয়ার আগে। এই রৈখিক তত্ত্বটি প্রায়শই তরঙ্গের বৈশিষ্ট্য এবং তাদের প্রভাবগুলির একটি দ্রুত এবং মোটামুটি অনুমান পেতে ব্যবহৃত হয়। এই অনুমান তরঙ্গের উচ্চতা থেকে জলের গভীরতার (অগভীর জলের তরঙ্গের জন্য) এবং তরঙ্গের উচ্চতা থেকে তরঙ্গদৈর্ঘ্যের (গভীর জলের তরঙ্গের জন্য) ছোট অনুপাতের জন্য সঠিক। বায়ু তরঙ্গ তত্ত্ব একটি তরল পৃষ্ঠে মাধ্যাকর্ষণ তরঙ্গের গতি বর্ণনা করতে একটি সম্ভাব্য প্রবাহ (বা বেগ সম্ভাব্যতা) পদ্ধতি ব্যবহার করে। জল তরঙ্গগুলিতে সম্ভাব্য প্রবাহের (অদম্য এবং ঘূর্ণনশীল) ব্যবহার উল্লেখযোগ্যভাবে সফল, অন্যান্য অনেক তরল প্রবাহের বর্ণনা দিতে এর ব্যর্থতার কারণে যেখানে সান্দ্রতা, ভোর্টিসিটি, অশান্তি বা প্রবাহের পৃথকীকরণকে বিবেচনায় নেওয়া প্রায়শই প্রয়োজনীয়। এর কারণ হল তরল গতির দোলক অংশের জন্য, তরঙ্গ-প্ররোচিত ভর্টিসিটি তরল ক্ষেত্রের সীমানায় কিছু পাতলা দোলক স্টোকস সীমানা স্তরের মধ্যে সীমাবদ্ধ। বায়ু তরঙ্গ তত্ত্ব প্রায়শই মহাসাগর প্রকৌশল এবং উপকূলীয় প্রকৌশল ক্ষেত্রে ব্যবহৃত হয়। বিশেষত এলোমেলো তরঙ্গের ক্ষেত্রে, যাকে কখনও কখনও তরঙ্গ টার্বুলেন্স বলা হয়, তরঙ্গ পরিসংখ্যানের বিবর্তন-তরঙ্গ বর্ণালী সহ-খুব বেশি দূরত্বে (তরঙ্গদৈর্ঘ্যের পরিপ্রেক্ষিতে) এবং খুব অগভীর জলে ভালভাবে পূর্বাভাস দেওয়া হয়। বিচ্ছুরণ হল তরঙ্গ প্রভাবগুলির মধ্যে একটি যা বায়ু তরঙ্গ তত্ত্বের মাধ্যমে বর্ণনা করা যেতে পারে। উপরন্তু, ডাব্লুকেবিজে আনুমানিক ব্যবহার করে, তরঙ্গ শোলিং এবং প্রতিসরণের পূর্বাভাস দেওয়া যেতে পারে। সম্ভাব্য প্রবাহ ব্যবহার করে পৃষ্ঠের মাধ্যাকর্ষণ তরঙ্গ বর্ণনা করার পূর্ববর্তী প্রচেষ্টা অন্যান্যদের মধ্যে ল্যাপলেস, পয়সন, কচি এবং কেল্যান্ড দ্বারা করা হয়েছিল। কিন্তু 1841 সালে প্রথম এয়েরি সঠিক উৎপত্তি এবং সূত্র প্রকাশ করেন। এর পরপরই, 1847 সালে, স্টোকস অ-রৈখিক তরঙ্গ গতির জন্য এয়ারির রৈখিক তত্ত্বটি প্রসারিত করেছিলেন-যা স্টোকসের তরঙ্গ তত্ত্ব নামে পরিচিত-তরঙ্গ স্টিপনেসে তৃতীয় ক্রম পর্যন্ত সঠিক। এয়ারির রৈখিক তত্ত্বের আগেই, গার্স্টনার 1802 সালে একটি অরৈখিক ট্রোকয়েডাল তরঙ্গ তত্ত্ব উদ্ভাবন করেছিলেন, যা যদিও ঘূর্ণনশীল নয়। বায়বীয় তরঙ্গ তত্ত্ব হল একটি সম্ভাব্য প্রবাহের পৃষ্ঠে এবং অনুভূমিক তলের উপরে তরঙ্গের প্রসারণের জন্য একটি রৈখিক তত্ত্ব। একটি তরঙ্গ উপাদানের মুক্ত পৃষ্ঠের উচ্চতা অনুভূমিক অবস্থান এবং সময়ের একটি ফাংশন হিসাবে সাইনোসয়েডালঃ যেখানে মিটারে তরঙ্গের প্রশস্ততা, কোসাইন ফাংশন, প্রতি মিটারে রেডিয়ানে কৌণিক তরঙ্গ সংখ্যা, তরঙ্গদৈর্ঘ্যের সাথে সম্পর্কিত, প্রতি সেকেন্ডে রেডিয়ানে কৌণিক ফ্রিকোয়েন্সি, সময়কাল এবং ফ্রিকোয়েন্সি দ্বারা সম্পর্কিত। তরঙ্গগুলি পর্যায় গতির সাথে জলের পৃষ্ঠ বরাবর ছড়িয়ে পড়েঃ কৌণিক তরঙ্গ সংখ্যা এবং ফ্রিকোয়েন্সি স্বাধীন পরামিতি নয় (এবং এইভাবে তরঙ্গদৈর্ঘ্য এবং সময়কালও স্বাধীন নয়), তবে মিলিত হয়। একটি তরলের উপর পৃষ্ঠ মাধ্যাকর্ষণ তরঙ্গগুলি বিচ্ছুরিত তরঙ্গ-ফ্রিকোয়েন্সি বিচ্ছুরণ প্রদর্শন করে-যার অর্থ প্রতিটি তরঙ্গসংখ্যার নিজস্ব ফ্রিকোয়েন্সি এবং পর্যায়ের গতি থাকে। লক্ষ্য করুন যে প্রকৌশলের ক্ষেত্রে তরঙ্গের উচ্চতা-শিখর এবং গর্তের মধ্যে উচ্চতার পার্থক্য-প্রায়শই ব্যবহৃত হয়ঃ রৈখিক পর্যায়ক্রমিক তরঙ্গের বর্তমান ক্ষেত্রে বৈধ। পৃষ্ঠের নীচে, মুক্ত পৃষ্ঠের গতির সাথে যুক্ত একটি তরল গতি রয়েছে। যেখানে পৃষ্ঠের উচ্চতা একটি প্রসারিত তরঙ্গ দেখায়, সেখানে তরল কণাগুলি একটি কক্ষীয় গতিতে থাকে। বায়বীয় তরঙ্গ তত্ত্বের কাঠামোর মধ্যে, কক্ষপথগুলি বন্ধ বক্ররেখাঃ গভীর জলে বৃত্ত এবং সীমাবদ্ধ গভীরতায় উপবৃত্তাকার-তরল স্তরের নীচে পৌঁছানোর আগে বৃত্তগুলি শেষ হয়ে যায় এবং উপবৃত্তাকারগুলি তরল স্তরের নীচের দিকে চ্যাপ্টা হয়ে যায়। সুতরাং তরঙ্গটি ছড়িয়ে পড়ার সময়, তরল কণাগুলি তাদের গড় অবস্থানের চারপাশে কেবল প্রদক্ষিণ করে (দোলায়)। প্রসারণকারী তরঙ্গ গতির সাথে, তরল কণাগুলি গড় বেগ ছাড়াই তরঙ্গ প্রসারণের দিকে শক্তি স্থানান্তর করে। মুক্ত পৃষ্ঠের নিচে গভীরতার সাথে কক্ষপথের ব্যাস হ্রাস পায়। গভীর জলে, অর্ধ তরঙ্গদৈর্ঘ্যের গভীরতায় কক্ষপথের ব্যাস তার মুক্ত-পৃষ্ঠ মানের 4 শতাংশে হ্রাস পায়। একইভাবে, মুক্ত পৃষ্ঠের নীচে একটি চাপ দোলনও রয়েছে, তরঙ্গ-প্ররোচিত চাপ দোলনগুলি মুক্ত পৃষ্ঠের নীচে গভীরতার সাথে হ্রাস পায়-একইভাবে তরল পার্সেলগুলির কক্ষীয় গতির জন্য। তরঙ্গ গতির গাণিতিক গঠন প্রবাহ সমস্যা গঠন তরঙ্গগুলি অনুভূমিক দিকে প্রসারিত হয়, স্থানাঙ্ক সহ, এবং উল্লম্ব স্থানাঙ্ক (উপরের দিকে ধনাত্মক) এবং সময় সহ একটি মুক্ত পৃষ্ঠ দ্বারা উপরে আবদ্ধ একটি তরল ক্ষেত্র। স্তরটি গড় পৃষ্ঠের উচ্চতার সাথে মিলে যায়। তরল স্তরের নীচে অভেদ্য বিছানাটি রয়েছে। উপরন্তু, প্রবাহটি অসংকুচিত এবং ঘূর্ণনশীল বলে মনে করা হয়-তরল পৃষ্ঠের তরঙ্গগুলির জন্য তরলের অভ্যন্তরে প্রবাহের একটি ভাল অনুমান-এবং সম্ভাব্য তত্ত্বটি প্রবাহ বর্ণনা করতে ব্যবহার করা যেতে পারে। বেগ সম্ভাব্যতা প্রবাহ বেগের উপাদানগুলির সাথে এবং অনুভূমিক () এবং উল্লম্ব () দিকের সাথে সম্পর্কিত হয়ঃ তারপর, একটি অসংকুচিত প্রবাহের ধারাবাহিকতা সমীকরণের কারণে, সম্ভাব্যতাকে ল্যাপ্লাস সমীকরণকে সন্তুষ্ট করতে হবেঃ সমীকরণের সিস্টেমটি বন্ধ করার জন্য বিছানা এবং মুক্ত পৃষ্ঠে সীমানা শর্ত প্রয়োজন। রৈখিক তত্ত্বের কাঠামোর মধ্যে তাদের গঠনের জন্য, প্রবাহের ভিত্তি অবস্থা (বা শূন্য-ক্রম সমাধান) কী তা নির্দিষ্ট করা প্রয়োজন। এখানে, আমরা ধরে নিই যে বেস অবস্থাটি বিশ্রাম, যার অর্থ গড় প্রবাহের বেগ শূন্য। বিছানাটি অভেদ্য হওয়ায়, গতিজ তলের সীমানা-অবস্থার দিকে নিয়ে যায়ঃ গভীর জলের ক্ষেত্রে-যার দ্বারা গাণিতিক দৃষ্টিকোণ থেকে অসীম জলের গভীরতা বোঝানো হয়-উল্লম্ব স্থানাঙ্কটি বিয়োগ অনন্তের দিকে যাওয়ার সাথে সাথে প্রবাহের বেগ সীমাতে শূন্যে যেতে হবেঃ মুক্ত পৃষ্ঠে, অসীম তরঙ্গের জন্য, প্রবাহের উল্লম্ব গতি মুক্ত পৃষ্ঠের উল্লম্ব বেগের সমান হতে হবে। এটি গতিবিদ্যার মুক্ত-পৃষ্ঠ সীমানা-অবস্থার দিকে পরিচালিত করেঃ যদি মুক্ত পৃষ্ঠের উচ্চতা একটি পরিচিত ফাংশন হয়, তবে এটি প্রবাহের সমস্যা সমাধানের জন্য যথেষ্ট হবে। তবে, পৃষ্ঠের উচ্চতা একটি অতিরিক্ত অজানা, যার জন্য একটি অতিরিক্ত সীমানা শর্ত প্রয়োজন। এটি একটি অস্থির সম্ভাব্য প্রবাহের জন্য বার্নৌলির সমীকরণ দ্বারা সরবরাহ করা হয়। মুক্ত পৃষ্ঠের উপরের চাপ ধ্রুবক বলে ধরে নেওয়া হয়। এই ধ্রুবক চাপকে সাধারণতা না হারিয়ে শূন্যের সমান নেওয়া হয়, কারণ এই ধরনের ধ্রুবক চাপের মাত্রা প্রবাহকে পরিবর্তন করে না। রৈখিককরণের পরে, এটি গতিশীল মুক্ত-পৃষ্ঠ সীমানা শর্ত দেয়ঃ কারণ এটি একটি রৈখিক তত্ত্ব, মুক্ত-পৃষ্ঠ সীমানা শর্তে-গতিবিদ্যা এবং গতিশীল উভয় ক্ষেত্রেই, সমীকরণ () এবং ()-নির্দিষ্ট গড় স্তরে এবং এর মান ব্যবহার করা হয়। একটি প্রগতিশীল একবর্ণ তরঙ্গের সমাধান একটি একক কম্পাঙ্ক-একটি একবর্ণ তরঙ্গ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ কিন্তু এবং গতিশীল সীমানা শর্তও পূরণ করতে হবে, যার ফলে তরঙ্গ প্রশস্ততার জন্য অ-তুচ্ছ (অ-শূন্য) মান তখনই পাওয়া যায় যখন রৈখিক বিচ্ছুরণ সম্পর্ক সন্তুষ্ট হয়ঃ হাইপারবোলিক স্পর্শকের সাথে। সুতরাং কৌণিক ফ্রিকোয়েন্সি এবং তরঙ্গ সংখ্যা-বা সমতুল্য পিরিয়ড এবং তরঙ্গদৈর্ঘ্য-স্বাধীনভাবে বেছে নেওয়া যায় না, তবে সম্পর্কিত। এর অর্থ হল একটি তরল পৃষ্ঠে তরঙ্গের বিস্তার একটি আইগেনপ্রোবলেম। যখন এবং বিচ্ছুরণ সম্পর্ককে সন্তুষ্ট করে, তরঙ্গের প্রশস্ততা অবাধে বেছে নেওয়া যেতে পারে (তবে বায়বীয় তরঙ্গ তত্ত্বের বৈধ আনুমানিক হওয়ার জন্য যথেষ্ট ছোট)। তরঙ্গের পরিমাণের সারণী নীচের সারণিতে, বায়বীয় তরঙ্গ তত্ত্ব অনুসারে বেশ কয়েকটি প্রবাহের পরিমাণ এবং পরামিতি দেওয়া হয়েছে। প্রদত্ত পরিমাণগুলি উপরে দেওয়া সমাধানের তুলনায় কিছুটা বেশি সাধারণ পরিস্থিতির জন্য। প্রথমত, তরঙ্গগুলি সমতলে একটি নির্বিচারে অনুভূমিক দিকে প্রসারিত হতে পারে। তরঙ্গসংখ্যার ভেক্টর হল, এবং তরঙ্গ শিখরের ক্যামগুলির লম্ব। দ্বিতীয়ত, অনুভূমিক দিকে এবং গভীরতার উপর (স্বাধীন) অভিন্ন গড় প্রবাহের বেগের জন্য ছাড় দেওয়া হয়। এটি বিচ্ছুরণ সম্পর্কগুলিতে একটি ডপলার স্থানান্তর প্রবর্তন করে। একটি পৃথিবী-স্থির অবস্থানে, পর্যবেক্ষিত কৌণিক কম্পাঙ্ক (বা পরম কৌণিক কম্পাঙ্ক) হল। অন্যদিকে, গড় বেগের সাথে চলমান রেফারেন্স ফ্রেমে (সুতরাং এই রেফারেন্স ফ্রেম থেকে পর্যবেক্ষণ করা গড় বেগ শূন্য), কৌণিক ফ্রিকোয়েন্সি ভিন্ন। একে অভ্যন্তরীণ কৌণিক কম্পাঙ্ক (বা আপেক্ষিক কৌণিক কম্পাঙ্ক) বলা হয়, যা চিহ্নিত করা হয়। সুতরাং বিশুদ্ধ তরঙ্গ গতিতে, সহ, উভয় ফ্রিকোয়েন্সি এবং সমান। তরঙ্গ সংখ্যা (এবং তরঙ্গদৈর্ঘ্য) রেফারেন্স ফ্রেম থেকে স্বাধীন, এবং কোনও ডপলার স্থানান্তর (একবর্ণ তরঙ্গের জন্য) নেই। টেবিলটি শুধুমাত্র প্রবাহের পরিমাণের দোলক অংশগুলি দেয়-বেগ, কণা ভ্রমণ এবং চাপ-এবং তাদের গড় মান বা প্রবাহ নয়। দোলক কণার ভ্রমণ এবং যথাক্রমে দোলক প্রবাহের বেগের সময় ইন্টিগ্রাল। জলের গভীরতাকে তিনটি নিয়মে শ্রেণীবদ্ধ করা হয়েছেঃ গভীর জল-তরঙ্গদৈর্ঘ্যের অর্ধেকেরও বেশি জলের গভীরতার জন্য, তরঙ্গের পর্যায়ের গতি গভীরতার দ্বারা খুব কমই প্রভাবিত হয় (সমুদ্র ও সমুদ্র পৃষ্ঠের বেশিরভাগ বায়ু তরঙ্গের ক্ষেত্রে এটি ঘটে), অগভীর জল-তরঙ্গদৈর্ঘ্যের 5 শতাংশের কম জলের গভীরতার জন্য, তরঙ্গের পর্যায়ের গতি কেবল জলের গভীরতার উপর নির্ভরশীল, এবং আর সময়কাল বা তরঙ্গদৈর্ঘ্যের ফাংশন নয়; এবং মধ্যবর্তী গভীরতা-অন্যান্য সমস্ত ক্ষেত্রে, যেখানে জলের গভীরতা এবং সময়কাল (বা তরঙ্গদৈর্ঘ্য) উভয়েরই বায়ু তরঙ্গ তত্ত্বের সমাধানের উপর উল্লেখযোগ্য প্রভাব রয়েছে। গভীর এবং অগভীর জলের সীমিত ক্ষেত্রে, সমাধানের আনুমানিক সরলীকরণ করা যেতে পারে। যদিও মধ্যবর্তী গভীরতার জন্য, সম্পূর্ণ সূত্রগুলি ব্যবহার করতে হবে। পৃষ্ঠের টান প্রভাব পৃষ্ঠের টান হওয়ার কারণে, বিচ্ছুরণ সম্পর্ক পরিবর্তিত হয়ঃ প্রতি মিটারে নিউটনে পৃষ্ঠের টান সহ। রৈখিক তরঙ্গের জন্য উপরের সমস্ত সমীকরণ একই থাকে, যদি মহাকর্ষীয় ত্বরণ দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয় পৃষ্ঠের উত্তেজনার ফলে, তরঙ্গগুলি দ্রুত প্রসারিত হয়। জল-বায়ু ইন্টারফেসের ক্ষেত্রে তরঙ্গদৈর্ঘ্য কয়েক ডেসিমিটারেরও কম সহ শুধুমাত্র ছোট তরঙ্গের ক্ষেত্রে পৃষ্ঠের টান প্রভাব ফেলে। খুব ছোট তরঙ্গদৈর্ঘ্যের জন্য-2 মিমি বা তার কম, বায়ু এবং জলের মধ্যে ইন্টারফেসের ক্ষেত্রে-মাধ্যাকর্ষণ প্রভাবগুলি নগণ্য। লক্ষ্য করুন যে পৃষ্ঠের টান সার্ফ্যাক্ট্যান্ট দ্বারা পরিবর্তিত হতে পারে। ক্যাপিলারি তরঙ্গের গ্রুপ বেগ-পৃষ্ঠের টান প্রভাব দ্বারা প্রভাবিত-ফেজ বেগের চেয়ে বেশি। এটি পৃষ্ঠ মাধ্যাকর্ষণ তরঙ্গের পরিস্থিতির বিপরীত (মাধ্যাকর্ষণ প্রভাবের তুলনায় পৃষ্ঠের টান নগণ্য) যেখানে পর্যায় বেগ গ্রুপ বেগ অতিক্রম করে। আন্তঃমুখীয় তরঙ্গ পৃষ্ঠ তরঙ্গ হল আন্তঃমুখীয় তরঙ্গের একটি বিশেষ কেস, যা বিভিন্ন ঘনত্বের দুটি তরলের মধ্যে ইন্টারফেসে থাকে। অসীম গভীরতার দুটি স্তর একটি ইন্টারফেস দ্বারা পৃথক দুটি তরল বিবেচনা করুন, এবং আরও সীমানা ছাড়াই। তারপর তাদের বিচ্ছুরণ সম্পর্ক দুটি তরলের ঘনত্বের মাধ্যমে দেওয়া হয়, যথাক্রমে ইন্টারফেসের নীচে () এবং উপরে ()। আরও γ হল ইন্টারফেসে পৃষ্ঠের টান। আন্তঃমুখীয় তরঙ্গের অস্তিত্বের জন্য, নীচের স্তরটি উপরের স্তরটির চেয়ে ভারী হতে হবে। অন্যথায়, ইন্টারফেসটি অস্থিতিশীল এবং একটি রেলে-টেলর অস্থিতিশীলতা বিকশিত হয়। অনুভূমিক অনমনীয় তলগুলির মধ্যে দুটি স্তর তরলের দুটি সমজাতীয় স্তরের জন্য, ইন্টারফেসের নীচে এবং উপরে গড় পুরুত্বের জন্য-মাধ্যাকর্ষণ ক্রিয়ার অধীনে এবং অনুভূমিক অনমনীয় প্রাচীর দ্বারা উপরে এবং নীচে আবদ্ধ-মাধ্যাকর্ষণ তরঙ্গগুলির জন্য বিচ্ছুরণ সম্পর্ক দ্বারা সরবরাহ করা হয়ঃ যেখানে আবার এবং ইন্টারফেসের নীচে এবং উপরে ঘনত্ব, যখন হাইপারবোলিক কোট্যাঞ্জেন্ট ফাংশন। শূন্যের ক্ষেত্রে এটি সীমাবদ্ধ গভীরতার জলের উপর পৃষ্ঠ মাধ্যাকর্ষণ তরঙ্গের বিচ্ছুরণ সম্পর্ককে হ্রাস করে। উপরে একটি মুক্ত পৃষ্ঠ দ্বারা আবদ্ধ দুটি স্তর এই ক্ষেত্রে বিচ্ছুরণ সম্পর্ক দুটি মোডের অনুমতি দেয়ঃ একটি ব্যারোট্রপিক মোড যেখানে মুক্ত পৃষ্ঠের প্রশস্ততা ইন্টারফেসিয়াল তরঙ্গের প্রশস্ততার তুলনায় বড়, এবং একটি ব্যারোক্লিনিক মোড যেখানে বিপরীত ক্ষেত্রে-ইন্টারফেসিয়াল তরঙ্গ মুক্ত পৃষ্ঠ তরঙ্গের সাথে অ্যান্টিফেজের চেয়ে বেশি। এই ক্ষেত্রে বিচ্ছুরণ সম্পর্ক আরও জটিল। দ্বিতীয়-ক্রম তরঙ্গের বৈশিষ্ট্য তরঙ্গের প্রশস্ততায় দ্বিঘাত বেশ কয়েকটি দ্বিতীয়-ক্রম তরঙ্গের বৈশিষ্ট্য সরাসরি বায়বীয় তরঙ্গ তত্ত্ব থেকে পাওয়া যেতে পারে। তরঙ্গ অবস্থার পূর্বাভাসের মতো অনেক ব্যবহারিক প্রয়োগে এগুলির গুরুত্ব রয়েছে। ডাব্লুকেবিজে আনুমানিক ব্যবহার করে, দ্বিতীয়-ক্রমের তরঙ্গ বৈশিষ্ট্যগুলি ধীরে ধীরে পরিবর্তিত বাথমেট্রি এবং স্রোত এবং পৃষ্ঠের উচ্চতার গড়-প্রবাহের বৈচিত্র্যের ক্ষেত্রে তরঙ্গ বর্ণনা করার ক্ষেত্রেও তাদের প্রয়োগ খুঁজে পায়। পাশাপাশি তরঙ্গ ক্ষেত্রের বিস্তার, ফ্রিকোয়েন্সি, তরঙ্গদৈর্ঘ্য এবং দিকের সময় এবং স্থান-বৈচিত্র্যের কারণে তরঙ্গ এবং গড়-প্রবাহের মিথস্ক্রিয়ার বর্ণনায়। দ্বিতীয়-ক্রম তরঙ্গ বৈশিষ্ট্যের তালিকা নীচের সারণিতে, বেশ কয়েকটি দ্বিতীয়-ক্রম তরঙ্গ বৈশিষ্ট্য-পাশাপাশি স্থান এবং সময়ের ধীরে ধীরে পরিবর্তিত অবস্থার ক্ষেত্রে তারা যে গতিশীল সমীকরণগুলি সন্তুষ্ট করে-তা দেওয়া হয়েছে। এগুলি সম্পর্কে আরও বিশদ বিবরণ নীচে পাওয়া যাবে। টেবিলটি একটি অনুভূমিক স্থানিক মাত্রায় তরঙ্গ প্রসারণের ফলাফল দেয়। আরও এই বিভাগে, দ্বি-মাত্রিক অনুভূমিক স্থানে প্রসারণের সাধারণ ক্ষেত্রে আরও বিস্তারিত বিবরণ এবং ফলাফল দেওয়া হয়েছে। শেষ চারটি সমীকরণ গড় প্রবাহের সাথে মিথস্ক্রিয়ায় ব্যাথিমেট্রি-র উপর ধীরে ধীরে পরিবর্তিত তরঙ্গ ট্রেনের বিবর্তন বর্ণনা করে এবং একটি বৈচিত্র্যমূলক নীতি থেকে উদ্ভূত হতে পারেঃ হুইথামের গড় ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান পদ্ধতি। গড় অনুভূমিক-ভরবেগ সমীকরণে, স্থির জলের গভীরতা, অর্থাৎ, তরল স্তরের নীচে বিছানাটি অবস্থিত। লক্ষ্য করুন যে ভর এবং ভরবেগ সমীকরণে গড়-প্রবাহের বেগ হল ভর পরিবহনের বেগ, যার মধ্যে অনুভূমিক ভর পরিবহনের উপর তরঙ্গগুলির স্প্ল্যাশ-জোন প্রভাব রয়েছে, এবং গড় ইউলেরিয়ান বেগ নয় (উদাহরণস্বরূপ, একটি নির্দিষ্ট প্রবাহ মিটার দিয়ে পরিমাপ করা হয়)। তরঙ্গ শক্তির ঘনত্ব তরঙ্গ শক্তি হল প্রাথমিক সুদের পরিমাণ, কারণ এটি একটি প্রাথমিক পরিমাণ যা তরঙ্গ ট্রেনের মাধ্যমে পরিবহন করা হয়। উপরে যেমন দেখা যায়, পৃষ্ঠের উচ্চতা এবং কক্ষপথের বেগের মতো অনেক তরঙ্গের পরিমাণ শূন্য গড় (রৈখিক তত্ত্বের কাঠামোর মধ্যে) সহ দোলনশীল প্রকৃতির। জলের তরঙ্গগুলিতে, সর্বাধিক ব্যবহৃত শক্তির পরিমাপ হল প্রতি একক অনুভূমিক অঞ্চলে গড় তরঙ্গ শক্তির ঘনত্ব। এটি গতিশক্তি এবং সম্ভাব্য শক্তির ঘনত্বের সমষ্টি, যা তরল স্তরের গভীরতার উপর একত্রিত হয় এবং তরঙ্গ পর্যায়ে গড় হয়। ভূপৃষ্ঠের মাধ্যাকর্ষণ তরঙ্গের প্রতি একক অনুভূমিক অঞ্চলে গড় সম্ভাব্য শক্তির ঘনত্ব অর্জন করা সবচেয়ে সহজ, যা তরঙ্গের উপস্থিতির কারণে সম্ভাব্য শক্তির বিচ্যুতিঃ ওভারবার গড় মানকে বোঝায় (যা পর্যায়ক্রমিক তরঙ্গের বর্তমান ক্ষেত্রে সময় গড় বা স্থানের এক তরঙ্গদৈর্ঘ্যের গড় হিসাবে নেওয়া যেতে পারে)। তরঙ্গ গতির প্রতি একক অনুভূমিক অঞ্চলে গড় গতিশক্তির ঘনত্ব একইভাবে পাওয়া যায়ঃ অভ্যন্তরীণ ফ্রিকোয়েন্সি সহ, তরঙ্গ পরিমাণের টেবিলটি দেখুন। বিচ্ছুরণ সম্পর্ক ব্যবহার করে, পৃষ্ঠ মাধ্যাকর্ষণ তরঙ্গের ফলাফলটি হলঃ যেমনটি দেখা যায়, গড় গতিশক্তি এবং সম্ভাব্য শক্তির ঘনত্ব সমান। এটি একটি রক্ষণশীল ব্যবস্থায় প্রগতিশীল রৈখিক তরঙ্গের শক্তির ঘনত্বের একটি সাধারণ বৈশিষ্ট্য। সম্ভাব্য এবং গতিজ অবদান যোগ করা, এবং, তরঙ্গ গতির প্রতি একক অনুভূমিক অঞ্চলে গড় শক্তির ঘনত্ব হলঃ পৃষ্ঠের টান প্রভাবগুলি নগণ্য না হলে, তাদের অবদান সম্ভাব্য এবং গতিজ শক্তির ঘনত্বকেও যোগ করে, যা পৃষ্ঠের টানকে দেয়। তরঙ্গ ক্রিয়া, তরঙ্গ শক্তি প্রবাহ এবং বিকিরণ চাপ সাধারণভাবে, তরঙ্গ গতি এবং গড় তরল গতির মধ্যে একটি শক্তি স্থানান্তর হতে পারে। এর অর্থ হল, তরঙ্গ শক্তির ঘনত্ব সব ক্ষেত্রেই সংরক্ষিত পরিমাণ নয় (অপচয়কারী প্রভাবগুলিকে উপেক্ষা করে), তবে মোট শক্তির ঘনত্ব-তরঙ্গ গতির প্রতি একক ক্ষেত্রের শক্তির ঘনত্ব এবং গড় প্রবাহের গতির সমষ্টি-হল। যাইহোক, ধীরে ধীরে পরিবর্তিত তরঙ্গ ট্রেনগুলির জন্য রয়েছে, যা ধীরে ধীরে পরিবর্তিত বাথমেট্রি এবং গড়-প্রবাহ ক্ষেত্রগুলিতে প্রচার করে, একটি অনুরূপ এবং সংরক্ষিত তরঙ্গ পরিমাণ, তরঙ্গ ক্রিয়াঃ ক্রিয়া প্রবাহ এবং গ্রুপ বেগ ভেক্টরের সাথে। ক্রিয়া সংরক্ষণ অনেক বায়ু তরঙ্গ মডেল এবং তরঙ্গ টার্বুলেন্স মডেলের ভিত্তি গঠন করে। এটি তরঙ্গ শোলিং গণনার জন্য উপকূলীয় প্রকৌশল মডেলের ভিত্তি। উপরের তরঙ্গ ক্রিয়া সংরক্ষণ সমীকরণের সম্প্রসারণ তরঙ্গ শক্তির ঘনত্বের জন্য নিম্নলিখিত বিবর্তন সমীকরণের দিকে পরিচালিত করেঃ সহঃ গড় তরঙ্গ শক্তি ঘনত্ব প্রবাহ, বিকিরণ চাপ টেনসর এবং গড়-বেগ শিয়ার হার টেনসর। অ-সংরক্ষণ আকারে এই সমীকরণে, ফ্রোবেনিয়াস অভ্যন্তরীণ গুণফল হল উৎস শব্দ যা গড় প্রবাহের সাথে তরঙ্গ গতির শক্তি বিনিময়কে বর্ণনা করে। কেবলমাত্র গড় শিয়ার-রেট শূন্য হলে, গড় তরঙ্গ শক্তির ঘনত্ব সংরক্ষণ করা হয়। দুটি টেনসর এবং ফর্মের একটি কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় রয়েছেঃ তরঙ্গসংখ্যা ভেক্টরের উপাদানগুলির সাথে এবং একইভাবে এবং গড় বেগ ভেক্টরের উপাদানগুলি। তরঙ্গ ভর প্রবাহ এবং তরঙ্গ গতিবেগ তরঙ্গ গতি দ্বারা প্ররোচিত প্রতি একক এলাকা প্রতি গড় অনুভূমিক গতিবেগ-এবং তরঙ্গ-প্ররোচিত ভর প্রবাহ বা ভর পরিবহন-যা পর্যায়ক্রমিক প্রগতিশীল জল তরঙ্গের জন্য একটি সঠিক ফলাফল, যা অরৈখিক তরঙ্গের জন্যও বৈধ। যাইহোক, এর বৈধতা তরঙ্গ ভরবেগ এবং ভর প্রবাহকে কীভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় তার উপর দৃঢ়ভাবে নির্ভর করে। স্টোকস ইতিমধ্যে পর্যায়ক্রমিক অরৈখিক তরঙ্গের জন্য পর্যায় বেগের দুটি সম্ভাব্য সংজ্ঞা চিহ্নিত করেছেনঃ স্টোকস তরঙ্গ ত্বরণের প্রথম সংজ্ঞা (এস1)-তরঙ্গ গর্তের নীচে সমস্ত উচ্চতার জন্য শূন্যের সমান গড় ইউলারিয়ান প্রবাহ বেগ সহ, এবং স্টোকস তরঙ্গ ত্বরণের দ্বিতীয় সংজ্ঞা (এস2)-শূন্যের সমান গড় ভর পরিবহন সহ। তরঙ্গ গতিবেগ এবং তরঙ্গ শক্তির ঘনত্বের মধ্যে উপরোক্ত সম্পর্ক স্টোকসের প্রথম সংজ্ঞার কাঠামোর মধ্যে বৈধ। যাইহোক, একটি উপকূলরেখার লম্ব বা বদ্ধ পরীক্ষাগার তরঙ্গ চ্যানেলের তরঙ্গের জন্য, দ্বিতীয় সংজ্ঞা (এস 2) আরও উপযুক্ত। দ্বিতীয় সংজ্ঞাটি ব্যবহার করার সময় এই তরঙ্গ ব্যবস্থাগুলিতে শূন্য ভর প্রবাহ এবং গতিবেগ থাকে। এর বিপরীতে, স্টোকসের প্রথম সংজ্ঞা (এস1) অনুসারে, তরঙ্গ প্রসারণের দিকে একটি তরঙ্গ-প্ররোচিত ভর প্রবাহ রয়েছে, যা বিপরীত দিকে গড় প্রবাহ দ্বারা ভারসাম্যপূর্ণ হতে হবে-যাকে আন্ডারটো বলা হয়। সুতরাং সাধারণভাবে, এর সাথে বেশ কিছু সূক্ষ্মতা জড়িত রয়েছে। তাই তরঙ্গের গতির পরিবর্তে ছদ্ম-গতিবেগ শব্দটিও ব্যবহার করা হয়। ভর এবং ভরবেগের বিবর্তন সমীকরণ ধীরে ধীরে পরিবর্তিত হওয়া বাথাইমেট্রি, তরঙ্গ এবং গড়-প্রবাহ ক্ষেত্রের জন্য, গড় প্রবাহের বিবর্তনকে গড় ভর-পরিবহন বেগের পরিপ্রেক্ষিতে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারেঃ লক্ষ্য করুন যে গভীর জলের জন্য, যখন গড় গভীরতা অনন্তের দিকে যায়, তখন গড় ইউলেরিয়ান বেগ এবং গড় পরিবহন বেগ সমান হয়ে যায়। ভর সংরক্ষণের সমীকরণটি হ 'লঃ গড় জলের গভীরতা কোথায়, স্থান এবং সময়ের সাথে ধীরে ধীরে পরিবর্তিত হয়। একইভাবে, গড় অনুভূমিক ভরবেগটি এইভাবে বিবর্তিত হয়ঃ স্থির-জলের গভীরতার সাথে (সমুদ্র তল হল), তরঙ্গ বিকিরণ-চাপ টেনসর, এটি পরিচয় ম্যাট্রিক্স এবং ডায়্যাডিক পণ্যঃ লক্ষ্য করুন যে অনুভূমিক ভরবেগ কেবল তখনই সংরক্ষিত হয় যখন সমুদ্র তল অনুভূমিক হয় (স্থির-জলের গভীরতা একটি ধ্রুবক), নোইথারের উপপাদ্যের সাথে একমত। তরঙ্গের বর্ণনার মাধ্যমে সমীকরণের পদ্ধতিটি বন্ধ হয়ে যায়। তরঙ্গ শক্তি প্রসারণ তরঙ্গ-ক্রিয়া সংরক্ষণ সমীকরণের মাধ্যমে বর্ণনা করা হয় (অপচয় এবং অরৈখিক তরঙ্গ মিথস্ক্রিয়া ছাড়াই): তরঙ্গ গতিবিদ্যা তরঙ্গ-ক্রেস্ট সংরক্ষণ সমীকরণের মাধ্যমে বর্ণনা করা হয়ঃ কৌণিক ফ্রিকোয়েন্সি সহ (কৌণিক) তরঙ্গসংখ্যার একটি ফাংশন, যা বিচ্ছুরণ সম্পর্কের মাধ্যমে সম্পর্কিত। এটি সম্ভব হওয়ার জন্য, তরঙ্গ ক্ষেত্রটি অবশ্যই সুসঙ্গত হতে হবে। তরঙ্গ-ক্রেস্ট সংরক্ষণের কার্ল গ্রহণ করে, এটি দেখা যায় যে প্রাথমিকভাবে একটি ঘূর্ণনশীল তরঙ্গ সংখ্যা ক্ষেত্র ঘূর্ণনশীল থাকে। বিশুদ্ধ তরঙ্গ গতিতে একটি একক কণা অনুসরণ করার সময়, রৈখিক বায়বীয় তরঙ্গ তত্ত্ব অনুসারে, প্রথম অনুমানটি জলের কণাগুলির জন্য বদ্ধ উপবৃত্তাকার কক্ষপথ দেয়। যাইহোক, অরৈখিক তরঙ্গের জন্য, কণাগুলি একটি স্টোকস প্রবাহ প্রদর্শন করে যার জন্য একটি দ্বিতীয়-ক্রমের অভিব্যক্তি বায়ু তরঙ্গ তত্ত্বের ফলাফল থেকে প্রাপ্ত করা যেতে পারে (দ্বিতীয়-ক্রমের তরঙ্গ বৈশিষ্ট্যগুলির উপরের টেবিলটি দেখুন)। স্টোকস প্রবাহ বেগ, যা একটি তরঙ্গ চক্রের পরে কণার প্রবাহকে সময়কাল দ্বারা ভাগ করা হয়, রৈখিক তত্ত্বের ফলাফল ব্যবহার করে অনুমান করা যেতে পারেঃ তাই এটি উচ্চতার একটি ফাংশন হিসাবে পরিবর্তিত হয়। প্রদত্ত সূত্রটি হল স্টোকসের তরঙ্গ গতির প্রথম সংজ্ঞা। যখন গভীরতার উপর সংহত করা হয়, তখন গড় তরঙ্গ ভরবেগের অভিব্যক্তি পুনরুদ্ধার করা হয়। আরও দেখুন বুসিনেস্ক আনুমানিক (জল তরঙ্গ)-অগভীর জলে তরঙ্গের জন্য অরৈখিক তত্ত্ব। ক্যাপিলারি তরঙ্গ-পৃষ্ঠের চাপের ক্রিয়ার অধীনে পৃষ্ঠের তরঙ্গ-নয়েডাল তরঙ্গ-অগভীর জলে অরৈখিক পর্যায়ক্রমিক তরঙ্গ, কর্টেওয়েগ-ডি ভ্রিস সমীকরণের সমাধান-হালকা-ঢাল সমীকরণ-সমুদ্র পৃষ্ঠের তরঙ্গের বিভিন্ন গভীরতার উপর পৃষ্ঠ তরঙ্গের প্রতিসরণ এবং বিচ্ছুরণ-সমুদ্র এবং সমুদ্র স্টোক্স তরঙ্গে দেখা যায় এমন প্রকৃত জল তরঙ্গ-অগভীর জল তরঙ্গ শক্তিতে অরৈখিক পর্যায়ক্রমিক তরঙ্গ-বিদ্যুৎ উৎপাদনের জন্য সমুদ্র এবং সমুদ্রের তরঙ্গ ব্যবহার করে। উল্লেখ ঐতিহাসিক আরওঃ "ত্রিকোণমিতি, পৃথিবীর চিত্রের উপর, জোয়ার-ভাটা এবং তরঙ্গ", 396 পৃষ্ঠা। পুনঃমুদ্রিতঃ আরও পড়ার জন্য দুটি অংশ, 967 পৃষ্ঠা। মূলত 1879 সালে প্রকাশিত, 6ষ্ঠ বর্ধিত সংস্করণটি 1932 সালে প্রথম প্রকাশিত হয়। 504 পিপি। উইকিওয়েভসে সমুদ্র পৃষ্ঠের তরঙ্গের রৈখিক তত্ত্বের বাহ্যিক সংযোগ রয়েছে। এম. আই. টি-তে জল তরঙ্গ। জল তরঙ্গ তরঙ্গ বলবিজ্ঞান