Hasse–Witt matrix
গণিতে, একটি সীমাবদ্ধ ক্ষেত্র F-এর উপর অ-একক বীজগাণিতিক বক্ররেখা C-এর হাস-উইট ম্যাট্রিক্স H হল ফ্রোবেনিয়াস ম্যাপিংয়ের ম্যাট্রিক্স (p-th পাওয়ার ম্যাপিং যেখানে F-এর q উপাদান রয়েছে, q হল মৌলিক সংখ্যা p-এর একটি শক্তি) যা প্রথম ধরনের পার্থক্যের জন্য একটি ভিত্তি। এটি একটি জি × জি ম্যাট্রিক্স যেখানে সি-এর গণ জি রয়েছে। হাস-উইট ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্ক হল হাস বা হাস-উইট অপরিবর্তনীয়। সংজ্ঞাটির প্রতি দৃষ্টিভঙ্গি এই সংজ্ঞাটি, যেমন ভূমিকায় দেওয়া হয়েছে, শাস্ত্রীয় পরিভাষায় স্বাভাবিক, এবং হেলমুট হাস এবং আর্নস্ট উইটের (1936) কারণে। এটি সি-এর জ্যাকোবিয়ান জাত জে-এর পি-র্যাঙ্কের প্রশ্নের সমাধান প্রদান করে; পি-র্যাঙ্কটি এইচ-এর র্যাঙ্ক দ্বারা আবদ্ধ, বিশেষত এটি ফ্রোবেনিয়াস ম্যাপিংয়ের র্যাঙ্ক যা নিজেই জি বার দিয়ে গঠিত। এটি এমন একটি সংজ্ঞা যা নীতিগতভাবে অ্যালগরিদমিক। ক্রিপ্টোগ্রাফির ব্যবহারিক প্রয়োগ হিসাবে, সি একটি হাইপারেলিপটিক বক্ররেখার ক্ষেত্রে এতে যথেষ্ট আগ্রহ দেখা গেছে। H = 0 হলে C বক্ররেখাটি অতি বিশেষ। এই সংজ্ঞাটির জন্য অন্তত কয়েকটি সতর্কতা প্রয়োজন। প্রথমত, ফ্রোবেনিয়াস ম্যাপিং সম্পর্কে একটি প্রচলিত ধারণা রয়েছে এবং আধুনিক বোঝার অধীনে এইচ-এর জন্য যা প্রয়োজন তা হল ফ্রোবেনিয়াসের ট্রান্সপোজ (আরও আলোচনার জন্য গাণিতিক এবং জ্যামিতিক ফ্রোবেনিয়াস দেখুন)। দ্বিতীয়ত, ফ্রোবেনিয়াস ম্যাপিং এফ-রৈখিক নয়; এটি এফ-এর মৌলিক ক্ষেত্র জেড/পিজেড-এর উপর রৈখিক। শিফ কোহোমোলজির ব্যাখ্যাটি হ 'লঃ পি-পাওয়ার মানচিত্রটি এইচ1 (সি, ওসি)-এর উপর কাজ করে, বা অন্য কথায় সি-এর প্রথম কোহোমোলজি তার কাঠামোর শিফের সহগগুলির সাথে কাজ করে। পিয়েরে কার্টিয়ার এবং ইউরি ম্যানিনের জন্য এটিকে এখন কার্টিয়ার-ম্যানিন অপারেটর (কখনও কখনও কেবল কার্টিয়ার অপারেটর) বলা হয়। হাসসে-উইট সংজ্ঞার সাথে সংযোগটি সের দ্বৈততার মাধ্যমে হয়, যা একটি বক্ররেখার জন্য সেই গোষ্ঠীটিকে H0 (C, ωC) এর সাথে সম্পর্কিত করে যেখানে ωC = ωC হল C. আবেলিয়ান জাত এবং তাদের p-র্যাঙ্কের উপর কহলার ডিফারেনশিয়ালগুলির শেফ। এটি 0 থেকে d পর্যন্ত যে কোনও মান নিতে পারে, যা A-এর মাত্রা; অন্য যে কোনও মৌলিক সংখ্যা l-এর বিপরীতে A [l]-এ l2d বিন্দু রয়েছে। পি-র্যাঙ্ক কম হওয়ার কারণ হল এ-তে পি দ্বারা গুণন একটি অবিচ্ছেদ্য আইসোজেনিঃ পার্থক্য হল পি যা কে-তে 0। কার্নেলকে একটি গ্রুপ স্কিম হিসাবে দেখলে আরও সম্পূর্ণ কাঠামো পাওয়া যায় (রেফারেন্স ডেভিড মামফোর্ড আবেলিয়ান ভ্যারাইটিজ পিপি। 146-7); কিন্তু উদাহরণস্বরূপ যদি কেউ একটি বিভাজন সমীকরণের হ্রাস মোড p-এর দিকে তাকায়, তবে সমাধানের সংখ্যা অবশ্যই হ্রাস করতে হবে। কার্টিয়ার-মানিন অপারেটর বা হাস-উইট ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্ক তাই পি-র্যাঙ্কের জন্য একটি ঊর্ধ্বসীমা দেয়। পি-র্যাঙ্ক হল ফ্রোবেনিয়াস অপারেটরের র্যাঙ্ক যা নিজেই জি বার দিয়ে গঠিত। হাস এবং উইটের মূল গবেষণাপত্রে সমস্যাটিকে জে-এর উপর নির্ভর না করে সি-এর অন্তর্নিহিত পরিভাষায় বর্ণনা করা হয়েছে। ফাংশন ক্ষেত্র এফ (সি)-এর সম্ভাব্য আর্টিন-শ্রেয়ার এক্সটেনশনগুলিকে শ্রেণীবদ্ধ করার প্রশ্ন রয়েছে। 1ম বংশের ক্ষেত্রে 1934 সালে হাসেস উপবৃত্তাকার বক্ররেখার বিষয়টি বের করেন। যেহেতু গণটি 1, তাই ম্যাট্রিক্স এইচ-এর একমাত্র সম্ভাবনাগুলি হলঃ এইচ শূন্য, হাস অপরিবর্তনীয় 0, পি-র্যাঙ্ক 0, সুপারসিঙ্গুলার কেস; অথবা এইচ অ-শূন্য, হাস অপরিবর্তনীয় 1, পি-র্যাঙ্ক 1, সাধারণ কেস। এখানে একটি সঙ্গতি সূত্র রয়েছে যা বলে যে, H হল F-এর উপর C বিন্দুর N সংখ্যার সাথে সঙ্গতিপূর্ণ মড্যুলো p, অন্তত যখন q = p। উপবৃত্তাকার বক্ররেখার উপর হাসের উপপাদ্যের কারণে, N মড্যুলো p জেনে p ≤ 5-এর জন্য N নির্ধারণ করা হয়। স্থানীয় জিটা-ফাংশনগুলির সঙ্গে এই সংযোগটি গভীরভাবে তদন্ত করা হয়েছে। একটি সমতল বক্ররেখার জন্য একটি ঘন f (X, Y, Z) = 0 দ্বারা সংজ্ঞায়িত, হ্যাশ অপরিবর্তনীয় শূন্য হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি fp−1-এ (XYZ) p−1-এর সহগ শূন্য হয়। উদ্ধৃতি রেফারেন্স (একটি রাশিয়ান মূলের ইংরেজি অনুবাদ) বীজগাণিতিক বক্ররেখা সীমাবদ্ধ ক্ষেত্র ম্যাট্রিসেস কমপ্লেক্স ম্যানিফোল্ড