Grothendieck spectral sequence
গণিতে, সমতাত্ত্বিক বীজগণিতের ক্ষেত্রে, আলেকজান্ডার গ্রোথেন্ডিক তাঁর তোহোকু গবেষণাপত্রে গ্রোথেন্ডিক বর্ণালী ক্রমটি প্রবর্তন করেছিলেন, এটি একটি বর্ণালী ক্রম যা এবং এর উদ্ভূত ফাংশনের জ্ঞান থেকে দুটি ফাংশনের গঠনের উদ্ভূত ফাংশনের গণনা করে। বীজগাণিতিক জ্যামিতিতে অনেক বর্ণালী ক্রম হল গ্রোথেন্ডিক বর্ণালী ক্রমের উদাহরণ, উদাহরণস্বরূপ লেরে বর্ণালী ক্রম। বিবৃতি যদি এবং দুটি অ্যাডেলিয়ান বিভাগের মধ্যে দুটি যোগাত্মক এবং বাম সঠিক ফাংক্টর হয় যাতে উভয়েরই পর্যাপ্ত ইনজেক্টিভ থাকে এবং ইনজেক্টিভ বস্তুগুলিকে-অ্যাসাইক্লিক বস্তুতে নিয়ে যায়, তবে প্রতিটি বস্তুর জন্য একটি বর্ণালী ক্রম থাকেঃ যেখানে পি-তম ডান-উদ্ভূত ফাংক্টরকে বোঝায়, ইত্যাদি, এবং যেখানে তীরের অর্থ বর্ণালী ক্রমের অভিসরণ। পাঁচ পদের সঠিক ক্রম নিম্ন মাত্রার সঠিক ক্রমটি পড়ে উদাহরণ লেরে বর্ণালী ক্রম যদি এবং যদি টপোলজিকাল স্পেস হয়, তবে যথাক্রমে এবং আবেলিয়ান গোষ্ঠীর শেভের বিভাগ হতে দিন। একটি অবিচ্ছিন্ন মানচিত্রের জন্য (বাম-সঠিক) ডাইরেক্ট ইমেজ ফাঙ্কটর রয়েছে। আমাদের কাছে গ্লোবাল সেকশন ফাঙ্কটর রয়েছে এবং তারপর থেকে এবং ফাঙ্কটরগুলি এবং অনুমানগুলিকে সন্তুষ্ট করে (যেহেতু ডাইরেক্ট ইমেজ ফাঙ্কটরের একটি সঠিক বাম সংলগ্নতা রয়েছে, ইনজেকশনগুলির পুশফারওয়ার্ডগুলি ইনজেকটিভ এবং বিশেষত গ্লোবাল সেকশন ফাঙ্কটরের জন্য অ্যাসাইক্লিক), এই ক্ষেত্রে ক্রমটি হয়ে যায়ঃ অ্যাবেলিয়ান গোষ্ঠীর একটি শেফের জন্য। গ্লোবাল এক্সট এবং শিফ এক্সট সম্পর্কিত একটি বর্ণালী ক্রম রয়েছেঃ ধরা যাক এফ, জি একটি বৃত্তাকার স্থানের উপর মডিউলগুলির শেভ; যেমন, একটি স্কিম। তারপর এটি গ্রোথেন্ডিয়াক বর্ণালী অনুক্রমের একটি উদাহরণ ঃ প্রকৃতপক্ষে, এবং। উপরন্তু, ফ্লাস্ক শেভগুলিতে ইনজেকটিভ-মডিউল প্রেরণ করে, যা-অ্যাসাইক্লিক। অতএব, অনুমানটি সন্তুষ্ট। উৎপত্তি আমরা নিম্নলিখিত লেম্মাটি ব্যবহার করবঃ প্রমাণঃ কার্নেল এবং এর চিত্র হতে দিন। আমাদের মধ্যে বিভাজন রয়েছে। এর অর্থ হল প্রতিটি ইনজেকটিভ। এরপরে আমরা এটি বিভক্ত হওয়ার দিকে তাকাই, যা লেম্মার প্রথম অংশকে বোঝায়, সেইসাথে এর সঠিকতাও বোঝায়। একইভাবে আমাদের আছে (আগের বিভাজন ব্যবহার করে): দ্বিতীয় অংশটি এখন অনুসরণ করে। আমরা এখন একটি বর্ণালী ক্রম তৈরি করি। ধরা যাক A-এর একটি ইনজেকটিভ রেজোলিউশন। এর জন্য লেখা, আমাদের আছেঃ ইনজেকটিভ রেজোলিউশন এবং প্রথম এবং তৃতীয় অ-শূন্য পদগুলি নিন। হর্সশু লেম্মা দ্বারা, তাদের সরাসরি যোগফল একটি ইনজেকটিভ রেজোলিউশন। অতএব, আমরা কমপ্লেক্সের একটি ইনজেকটিভ রেজোলিউশন খুঁজে পাইঃ যাতে প্রতিটি সারি লেম্মার অনুমানকে সন্তুষ্ট করে (সিএফ। কার্টান-আইলেনবার্গ রেজোলিউশন) এখন, দ্বৈত জটিল দুটি বর্ণালী অনুক্রমের জন্ম দেয়, অনুভূমিক এবং উল্লম্ব, যা আমরা এখন পরীক্ষা করতে চলেছি। একদিকে, সংজ্ঞা অনুসারে, যা সর্বদা শূন্য যদি না q = 0 হয় কারণ অনুমান অনুসারে এটি জি-অ্যাসাইক্লিক। তাই, এবং। অন্যদিকে, সংজ্ঞা এবং লেমা অনুসারে, যেহেতু একটি ইনজেকটিভ রেজোলিউশন (এটি একটি রেজোলিউশন কারণ এর কোহোমোলজি তুচ্ছ), যেহেতু এবং একই সীমিত শব্দ রয়েছে, তাই প্রমাণ সম্পূর্ণ। দ্রষ্টব্য তথ্যসূত্র গণনামূলক উদাহরণ শার্প, এরিক (2003)। ডি-ব্রেন এবং শেভ (পৃষ্ঠা 18-19), স্পেকট্রাল সিকোয়েন্স নিয়ে বক্তৃতা