Corner transfer matrix
পরিসংখ্যানগত বলবিজ্ঞানে, কর্নার ট্রান্সফার ম্যাট্রিক্স একটি জালিতে একটি চতুর্থাংশ যোগ করার প্রভাব বর্ণনা করে। 1968 সালে রডনি ব্যাক্সটার দ্বারা ক্রেমার্স-ওয়ানিয়ার রো-টু-রো ট্রান্সফার ম্যাট্রিক্সের সম্প্রসারণ হিসাবে প্রবর্তিত, এটি জাল মডেল অধ্যয়নের একটি শক্তিশালী পদ্ধতি প্রদান করে। কর্নার ট্রান্সফার ম্যাট্রিক্স সহ গণনাগুলি 1980 সালে ব্যাক্সটারকে শক্ত ষড়ভুজ মডেলের সঠিক সমাধানে নিয়ে যায়। সংজ্ঞা একটি আই. আর. এফ (ইন্টারঅ্যাকশন-রাউন্ড-এ-ফেস) মডেল বিবেচনা করুন, অর্থাৎ। একটি বর্গাকার জালের মডেল যার একটি ঘূর্ণন σi প্রতিটি সাইট i-এর জন্য নির্ধারিত এবং একটি সাধারণ মুখের চারপাশে ঘূর্ণনের মধ্যে সীমাবদ্ধ মিথস্ক্রিয়া। মোট শক্তিটি দেওয়া যাক যেখানে প্রতিটি মুখের জন্য আশেপাশের সাইটগুলি i, j, k এবং l নিম্নরূপ সাজানো হয়েছেঃ N সাইটগুলির সাথে একটি জালকের জন্য, পার্টিশন ফাংশনটি যেখানে সমস্ত সম্ভাব্য স্পিন কনফিগারেশনের উপর যোগফল হয় এবং w হল বোল্টজম্যান ওজন স্বরলিপিটি সহজ করার জন্য, আমরা একটি ফেরোম্যাগনেটিক আইসিং-টাইপ জাল ব্যবহার করি যেখানে প্রতিটি ঘূর্ণনের মান + 1 বা-1 হয় এবং স্থল অবস্থাটি সমস্ত স্পিন দ্বারা দেওয়া হয় (অর্থাৎ। মোট শক্তি হ্রাস করা হয় যখন জালের উপর সমস্ত ঘূর্ণনের মান + 1) হয়। আমরা আরও ধরে নিই যে জালটির 4-গুণ ঘূর্ণন প্রতিসাম্য রয়েছে (সীমানা শর্ত পর্যন্ত) এবং প্রতিফলন-অপরিবর্তনীয়। এই সরলীকরণকারী অনুমানগুলি গুরুত্বপূর্ণ নয় এবং সাধারণ ক্ষেত্রে সংজ্ঞাটি প্রসারিত করা তুলনামূলকভাবে সহজবোধ্য। এখন নীচে দেখানো জাল চতুষ্কোণটি বিবেচনা করুনঃ ত্রিভুজ দ্বারা চিহ্নিত বাইরের সীমানা স্থানগুলিকে তাদের স্থল অবস্থার ঘূর্ণন বরাদ্দ করা হয় (এই ক্ষেত্রে + 1)। খোলা বৃত্ত দ্বারা চিহ্নিত স্থানগুলি চতুর্ভুজের অভ্যন্তরীণ সীমানা গঠন করে; তাদের সম্পর্কিত স্পিন সেটগুলিকে {σ1,., σm} এবং {σ '1,., σ' m} লেবেল করা হয়, যেখানে σ1 = σ '1। প্রতিটি অভ্যন্তরীণ সীমানার জন্য 2 মিটার সম্ভাব্য বিন্যাস রয়েছে, তাই আমরা একটি 2 মিটার × 2 মিটার ম্যাট্রিক্স প্রবেশ-ভিত্তিক দ্বারা সংজ্ঞায়িত করি ম্যাট্রিক্স এ, তারপর, প্রদত্ত ল্যাটিস চতুর্ভুজের জন্য কর্নার ট্রান্সফার ম্যাট্রিক্স। যেহেতু বাইরের সীমানা স্পিনগুলি স্থির থাকে এবং যোগফলটি সমস্ত অভ্যন্তরীণ স্পিনের উপর থাকে, তাই এ-এর প্রতিটি প্রবেশ অভ্যন্তরীণ সীমানা স্পিনের একটি ফাংশন। এক্সপ্রেশনটিতে ক্রোনেকার ডেল্টা নিশ্চিত করে যে σ1 = σ '1, তাই যথাযথভাবে কনফিগারেশনগুলি অর্ডার করে আমরা A কে একটি ব্লক তির্যক ম্যাট্রিক্স হিসাবে কাস্ট করতে পারিঃ কর্নার ট্রান্সফার ম্যাট্রিক্সগুলি একটি সহজ উপায়ে পার্টিশন ফাংশনের সাথে সম্পর্কিত। আমাদের সরলীকৃত উদাহরণে, আমরা জাল চতুর্ভুজের চারটি ঘোরানো অনুলিপি থেকে সম্পূর্ণ জাল তৈরি করি, যেখানে অভ্যন্তরীণ সীমানা ঘূর্ণন সেট σ, σ ', σ' এবং σ 'আলাদা হতে দেওয়া হয়ঃ পার্টিশন ফাংশনটি তখন আলোচনা পুনরাবৃত্তি সম্পর্ক হিসাবে কর্নার ট্রান্সফার ম্যাট্রিক্স A-এর পরিপ্রেক্ষিতে লেখা হয় একটি কর্নার ট্রান্সফার ম্যাট্রিক্স A2m (একটি m × m চতুর্ভুজের জন্য সংজ্ঞায়িত) ছোট কর্নার ট্রান্সফার ম্যাট্রিক্স A2m-1 এবং A2m-2 (যথাক্রমে হ্রাস (m-1) × (m-1) এবং (m-2) × (m-2) চতুর্ভুজের জন্য সংজ্ঞায়িত) এর পরিপ্রেক্ষিতে প্রকাশ করা যেতে পারে। এই পুনরাবৃত্তি সম্পর্কটি নীতিগতভাবে, সীমাবদ্ধ আকারের যে কোনও জাল চতুর্ভুজের জন্য কোণ স্থানান্তর ম্যাট্রিক্সের পুনরাবৃত্তিমূলক গণনার অনুমতি দেয়। তাদের সারি-থেকে-সারি প্রতিরূপগুলির মতো, কর্নার ট্রান্সফার ম্যাট্রিক্সগুলি ফেস ট্রান্সফার ম্যাট্রিক্সগুলিতে ফ্যাক্টর করা যেতে পারে, যা জালটিতে একটি একক মুখ যোগ করার সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ। আগে দেওয়া জাল চতুর্ভুজের জন্য, মুখ স্থানান্তর ম্যাট্রিক্সগুলি 2 মি × 2 মি আকারের এবং প্রবেশ-ভিত্তিক যেখানে 2 ≤ আই ≤ এম + 1 দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়। বাইরের সীমানার কাছাকাছি, বিশেষত, আমাদের আছে সুতরাং কর্নার ট্রান্সফার ম্যাট্রিক্স A-কে ফ্যাক্টরাইজ করা হয় যেখানে গ্রাফিক্যালি, এটি এর সাথে মিলে যায়ঃ আমাদের 2m × 2m ম্যাট্রিক্স A * এবং A * * প্রয়োজন, যা প্রবেশ-ভিত্তিক সংজ্ঞায়িত করা হয় যেখানে A ম্যাট্রিক্স যার এন্ট্রিগুলি RHS-এ প্রদর্শিত হয় যথাক্রমে 2m-1 × 2m-1 এবং 2m-2 × 2m-2 আকারের হয়। এখন A, A *, A * *, Ui এবং Fj-এর সংজ্ঞা থেকে আমরা A2m-1 এবং A2m-2-এর পরিপ্রেক্ষিতে A2m-এর পুনরাবৃত্তির সম্পর্ক পাই। তির্যক রূপ গণনা সম্পাদনের জন্য কর্নার ট্রান্সফার ম্যাট্রিক্স ব্যবহার করার সময়, এর পরিবর্তে তাদের তির্যক রূপগুলির সাথে কাজ করা বিশ্লেষণাত্মক এবং সংখ্যাসূচক উভয়ভাবেই সুবিধাজনক। এটিকে সহজতর করার জন্য, পুনরাবৃত্তির সম্পর্কটি সরাসরি এ, এ * এবং এ * * এর তির্যক রূপ এবং আইগেনভেক্টর ম্যাট্রিক্সের পরিপ্রেক্ষিতে পুনর্লিখন করা যেতে পারে। আমাদের উদাহরণে জালটি প্রতিফলন-অপরিবর্তনীয় বলে মনে করিয়ে দেওয়া হচ্ছে, এই অর্থে যে আমরা দেখতে পাই যে এ একটি প্রতিসম ম্যাট্রিক্স (অর্থাৎ। এটি একটি অর্থোগোনাল ম্যাট্রিক্স দ্বারা তির্যকযোগ্য)। সুতরাং আমরা লিখি যেখানে অ্যাড একটি তির্যক ম্যাট্রিক্স (স্বাভাবিক করা হয়েছে যাতে এর সংখ্যার দিক থেকে বৃহত্তম এন্ট্রি 1 হয়), αm হল A এর বৃহত্তম আইগেনভ্যালু, এবং PTP = I। একইভাবে এ * এবং এ * *-এর ক্ষেত্রে, আমাদের কাছে রয়েছে যেখানে বিজ্ঞাপন *, বিজ্ঞাপন * *, পি * এবং পি * *-কে এ * এবং এ * *-এর অনুরূপভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে, অর্থাৎ। A2m-1 এবং A2m-2 এর ছোট (স্বাভাবিক) তির্যক রূপ এবং (অর্থোগোনাল) আইগেনভেক্টর ম্যাট্রিক্সের পরিপ্রেক্ষিতে। এই তির্যকগুলিকে পুনরাবৃত্তির সম্পর্কের মধ্যে প্রতিস্থাপনের মাধ্যমে, আমরা পাই যেখানে এখন অ্যাটও প্রতিসম, এবং গণনা করা যেতে পারে যদি অ্যাড *, অ্যাড * * এবং আর * জানা যায়; তির্যককরণ অ্যাট তারপর তার স্বাভাবিক তির্যক রূপ অ্যাড, তার বৃহত্তম আইগেনভ্যালু κ, এবং তার অর্থোগোনাল আইগেনভেক্টর ম্যাট্রিক্স আর উৎপন্ন করে। অ্যাপ্লিকেশন স্পিন প্রত্যাশা মান কর্নার স্থানান্তর ম্যাট্রিক্স (বা তাদের তির্যক রূপ) জালকের ভিতরে গভীর একটি নির্দিষ্ট স্থানে স্পিন প্রত্যাশা মানের মতো পরিমাণ গণনা করতে ব্যবহার করা যেতে পারে। আগে দেওয়া পূর্ণ জালকের জন্য, কেন্দ্রীয় স্থানে ঘূর্ণন প্রত্যাশার মান দ্বারা দেওয়া হয়। কনফিগারেশনগুলি এমনভাবে সাজানো যাতে A আগের মতো ব্লক তির্যক হয়, আমরা একটি 2m × 2m তির্যক ম্যাট্রিক্সকে এমনভাবে সংজ্ঞায়িত করতে পারি যাতে প্রতি সাইটে পার্টিশন ফাংশন হয়। জালের মডেলগুলির জন্য আরেকটি গুরুত্বপূর্ণ পরিমাণ হল প্রতি সাইটে পার্টিশন ফাংশন, যা তাপগতিবিদ্যার সীমাতে মূল্যায়ন করা হয় এবং এইভাবে লেখা হয়। আমাদের উদাহরণে, এটি হ্রাস পায় যেহেতু trAd4 হল একটি অভিসারী যোগফল যা m → φ এবং AD অসীম-মাত্রিক হয়ে যায়। উপরন্তু, মুখের সংখ্যা 2 মি (মি + 1) তাপগতিবিদ্যার সীমার মধ্যে সাইটের সংখ্যা এন-এর কাছে পৌঁছায়, তাই আমাদের কাছে যা পূর্ববর্তী সমীকরণের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ যা অ্যাটের জন্য বৃহত্তম আইগেনভ্যালু হিসাবে κ দেয়। অন্য কথায়, থার্মোডাইনামিক সীমার কোণ স্থানান্তর ম্যাট্রিক্সের জন্য তির্যক পুনরাবৃত্তির সম্পর্ক দ্বারা প্রতি সাইটের পার্টিশন ফাংশনটি ঠিক দেওয়া হয়; এটি একটি বড় জালের জন্য বিজ্ঞাপন গণনা করার পুনরাবৃত্তিমূলক প্রক্রিয়ার মাধ্যমে κ-কে আনুমানিক করার অনুমতি দেয়। তবে জড়িত ম্যাট্রিক্সগুলি আকারে তাত্পর্যপূর্ণভাবে বৃদ্ধি পায় এবং প্রকৃত সংখ্যাসূচক গণনায় প্রতিটি ধাপে সেগুলি অবশ্যই কেটে ফেলতে হবে। এটি করার একটি উপায় হল প্রতিটি ধাপে n বৃহত্তম আইগেনভ্যালুগুলি রাখা, কিছু নির্দিষ্ট n-এর জন্য। বেশিরভাগ ক্ষেত্রে, n = 1,2,3 গ্রহণ করে প্রাপ্ত আনুমানিক ক্রম,. দ্রুত একত্রিত হয়, এবং সঠিক মান (ঠিক সমাধানযোগ্য মডেলের জন্য)। আরও দেখুন ট্রান্সফার-ম্যাট্রিক্স পদ্ধতি রেফারেন্স ঠিক সমাধানযোগ্য মডেল ল্যাটিস মডেল ম্যাট্রিক্স পরিসংখ্যানগত বলবিজ্ঞান