Infinity
অনন্ত এমন কিছু যা সীমাহীন, অন্তহীন বা যে কোনও প্রাকৃতিক সংখ্যার চেয়ে বড়। এটি প্রায়শই অনন্ত প্রতীক দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। প্রাচীন গ্রীকদের সময় থেকে, অনন্তের দার্শনিক প্রকৃতি দার্শনিকদের মধ্যে অনেক আলোচনার বিষয় ছিল। সপ্তদশ শতাব্দীতে, অসীম প্রতীক এবং অসীম ক্যালকুলাসের প্রবর্তনের সাথে সাথে গণিতবিদরা অসীম সিরিজ নিয়ে কাজ শুরু করেন এবং যা কিছু গণিতবিদ (এল 'হপিটাল এবং বার্নুলি সহ) অসীম ছোট পরিমাণ হিসাবে বিবেচনা করেছিলেন, তবে অনন্ত অন্তহীন প্রক্রিয়াগুলির সাথে যুক্ত হতে থাকে। যেহেতু গণিতবিদরা ক্যালকুলাসের ভিত্তি নিয়ে লড়াই করেছিলেন, অনন্তকে একটি সংখ্যা বা মাত্রা হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে কিনা এবং যদি তা হয় তবে এটি কীভাবে করা যেতে পারে তা স্পষ্ট ছিল না। ঊনবিংশ শতাব্দীর শেষের দিকে, জর্জ ক্যান্টর অসীম সেট এবং অসীম সংখ্যা অধ্যয়ন করে অনন্তের গাণিতিক অধ্যয়নকে প্রসারিত করেছিলেন, যা দেখায় যে তারা বিভিন্ন আকারের হতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, যদি একটি রেখাকে তার সমস্ত বিন্দুর সমষ্টি হিসাবে দেখা হয়, তবে তাদের অসীম সংখ্যা (অর্থাৎ, রেখার কার্ডিনালিটি) পূর্ণসংখ্যার সংখ্যার চেয়ে বড়। এই ব্যবহারে, অনন্ত একটি গাণিতিক ধারণা, এবং অসীম গাণিতিক বস্তুগুলি অন্য যে কোনও গাণিতিক বস্তুর মতো অধ্যয়ন, পরিচালনা এবং ব্যবহার করা যেতে পারে। অসীমের গাণিতিক ধারণাটি পুরানো দার্শনিক ধারণাকে পরিমার্জন ও প্রসারিত করে, বিশেষত অসীম সেটের অসীম বিভিন্ন আকারের প্রবর্তন করে। জেরমেলো-ফ্রেঙ্কেল সেট তত্ত্বের স্বতঃসিদ্ধগুলির মধ্যে, যার উপর আধুনিক গণিতের বেশিরভাগ বিকাশ করা যেতে পারে, তা হল অনন্তের স্বতঃসিদ্ধ, যা অসীম সেটের অস্তিত্বের নিশ্চয়তা দেয়। অনন্তের গাণিতিক ধারণা এবং অসীম সেটগুলির কারসাজি গণিতে ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়, এমনকি কম্বিনেটরিক্সের মতো ক্ষেত্রগুলিতেও যার সাথে তাদের কোনও সম্পর্ক নেই বলে মনে হয়। উদাহরণস্বরূপ, প্রাথমিক গাণিতিক পরিপ্রেক্ষিতে বর্ণিত একটি দীর্ঘস্থায়ী সমস্যা সমাধানের জন্য ওয়াইলসের ফার্মার শেষ উপপাদ্যের প্রমাণ গ্রথেন্ডিক মহাবিশ্বের অস্তিত্বের উপর নির্ভর করে, যা খুব বড় অসীম সেট। পদার্থবিজ্ঞান এবং মহাবিশ্ববিজ্ঞানে, মহাবিশ্ব স্থানিকভাবে অসীম কিনা তা একটি উন্মুক্ত প্রশ্ন। ইতিহাস প্রাচীন সংস্কৃতিতে অনন্তের প্রকৃতি সম্পর্কে বিভিন্ন ধারণা ছিল। প্রাচীন ভারতীয় এবং গ্রীকরা আধুনিক গণিতের মতো সুনির্দিষ্ট আনুষ্ঠানিকতায় অনন্তকে সংজ্ঞায়িত করেনি এবং পরিবর্তে অনন্তকে একটি দার্শনিক ধারণা হিসাবে গ্রহণ করেছিল। গ্রীসে অনন্তের প্রাচীনতম নথিভুক্ত ধারণাটি প্রাক-সক্রেটিস গ্রীক দার্শনিক আনাক্সিম্যান্ডারের (আনুমানিক 610-আনুমানিক 546 খ্রিষ্টপূর্বাব্দ) হতে পারে। তিনি এপিরন শব্দটি ব্যবহার করেছিলেন, যার অর্থ "সীমাহীন", "অনির্দিষ্ট" এবং সম্ভবত "অসীম" হিসাবে অনুবাদ করা যেতে পারে। অ্যারিস্টটল (350 খ্রিষ্টপূর্বাব্দ) সম্ভাব্য অনন্তকে প্রকৃত অনন্ত থেকে আলাদা করেছিলেন, যা তিনি বিভিন্ন বৈপরীত্যের কারণে অসম্ভব বলে মনে করেছিলেন। এটি যুক্তি দেওয়া হয়েছে যে, এই দৃষ্টিভঙ্গির সাথে সামঞ্জস্য রেখে, হেলেনীয় গ্রীকদের একটি "অসীমের আতঙ্ক" ছিল যা উদাহরণস্বরূপ, ব্যাখ্যা করবে যে কেন ইউক্লিড (আনুমানিক 300 খ্রিষ্টপূর্বাব্দ) বলেননি যে মৌলিক সংখ্যার একটি অসীম সংখ্যা রয়েছে, বরং "মৌলিক সংখ্যাগুলি মৌলিক সংখ্যার যে কোনও নির্ধারিত সংখ্যার চেয়ে বেশি"। এটিও বজায় রাখা হয়েছে যে, মৌলিক সংখ্যার অসীমতা প্রমাণ করার ক্ষেত্রে ইউক্লিড ছিলেন "অসীমের আতঙ্ককে অতিক্রম করা প্রথম ব্যক্তি"। ইউক্লিডের সমান্তরাল স্বীকার্য সম্পর্কে একই ধরনের বিতর্ক রয়েছে, যা কখনও কখনও অনুবাদ করা হয়ঃ অন্যান্য অনুবাদকরা, তবে, "দুটি সরলরেখা, যদি অনির্দিষ্টকালের জন্য তৈরি করা হয়" অনুবাদটি পছন্দ করেন, এইভাবে ইউক্লিড অনন্তের ধারণার সাথে স্বাচ্ছন্দ্য বোধ করেছিলেন এই ধারণাটি এড়িয়ে চলেন। পরিশেষে, এটি বজায় রাখা হয়েছে যে অনন্তের প্রতিচ্ছবি, "অসীমের আতঙ্ক" প্রকাশ করা থেকে অনেক দূরে, সমস্ত প্রাথমিক গ্রীক দর্শনের উপর ভিত্তি করে এবং অ্যারিস্টটলের "সম্ভাব্য অনন্ততা" এই সময়ের সাধারণ প্রবণতা থেকে একটি বিচ্যুতি। জেনোঃ অ্যাকিলিস এবং এলিয়ার কচ্ছপ জেনো (495-430 খ্রিষ্টপূর্বাব্দ) অসীম সম্পর্কে কোনও মতামত দেয়নি। তা সত্ত্বেও, তাঁর বৈপরীত্যগুলি, বিশেষত "অ্যাকিলিস এবং কচ্ছপ", গুরুত্বপূর্ণ অবদান ছিল কারণ তারা জনপ্রিয় ধারণার অপ্রতুলতা স্পষ্ট করে দিয়েছিল। এই বৈপরীত্যগুলিকে বার্ট্রান্ড রাসেল "অপরিমেয় সূক্ষ্ম এবং গভীর" হিসাবে বর্ণনা করেছেন। অ্যাকিলিস একটি কচ্ছপের সাথে দৌড়াদৌড়ি করে, যা কচ্ছপকে একটি প্রধান সূচনা দেয়। ধাপ #1: অ্যাকিলিস কচ্ছপের শুরুর বিন্দুতে ছুটে যায় যখন কচ্ছপ এগিয়ে যায়। ধাপ #2: অ্যাকিলিস ধাপ #1-এর শেষে কচ্ছপটি যেখানে ছিল সেখানে অগ্রসর হয় এবং কচ্ছপটি আরও এগিয়ে যায়। ধাপ #3: অ্যাকিলিস ধাপ #2-এর শেষে কচ্ছপটি যেখানে ছিল সেখানে অগ্রসর হয় এবং কচ্ছপটি আরও এগিয়ে যায়। ধাপ #4: অ্যাকিলিস ধাপ #3-এর শেষে কচ্ছপটি যেখানে ছিল সেখানে অগ্রসর হয় এবং কচ্ছপটি আরও এগিয়ে যায়। ইত্যাদি। আপাতদৃষ্টিতে, অ্যাকিলিস কখনই কচ্ছপকে অতিক্রম করে না, কারণ সে যতই পদক্ষেপ গ্রহণ করুক না কেন, কচ্ছপ তার সামনে থেকে যায়। জেনো অনন্ত সম্পর্কে একটি বিন্দু করার চেষ্টা করছিল না। এলেটিক্স স্কুলের একজন সদস্য হিসাবে, যিনি গতিকে একটি বিভ্রম হিসাবে বিবেচনা করতেন, তিনি অ্যাকিলিস যে একেবারেই দৌড়াতে পারে তা অনুমান করা একটি ভুল হিসাবে দেখেছিলেন। পরবর্তী চিন্তাবিদরা, এই সমাধানকে অগ্রহণযোগ্য বলে মনে করে, যুক্তিতে অন্যান্য দুর্বলতা খুঁজে পেতে দুই সহস্রাব্দেরও বেশি সময় ধরে লড়াই করেছিলেন। অবশেষে, 1821 সালে, অগাস্টিন-লুই কাউচি একটি সীমার সন্তোষজনক সংজ্ঞা এবং একটি প্রমাণ উভয়ই প্রদান করেছিলেন যে, ধরুন অ্যাকিলিস প্রতি সেকেন্ডে 10 মিটার গতিতে দৌড়াচ্ছে, কচ্ছপ প্রতি সেকেন্ডে 0.1 মিটার গতিতে হাঁটছে, এবং পরেরটির একটি 100 মিটার মাথার শুরু রয়েছে। তাড়া করার সময়কাল এবং এর সাথে কাউচির প্যাটার্নের সাথে খাপ খায়। অ্যাকিলিস কচ্ছপকে ছাড়িয়ে যায়; এটি তাকে প্রারম্ভিক ভারতীয় বলে মনে করে জৈন গাণিতিক গ্রন্থ সূর্য প্রজ্ঞপ্তি (আনুমানিক খ্রিষ্টপূর্ব 4র্থ-3য় শতাব্দী) সমস্ত সংখ্যাকে তিনটি সেটে শ্রেণীবদ্ধ করেঃ অগণিত, অগণিত এবং অসীম। এগুলির প্রত্যেকটিকে আরও তিনটি ক্রমে বিভক্ত করা হয়েছিলঃ সর্বনিম্ন, মধ্যবর্তী এবং সর্বোচ্চ অগণিত-প্রায় অগণিত, সত্যিকার অর্থে অগণিত এবং অগণিত অগণিত-প্রায় অসীম, সত্যিকার অর্থে অসীম, অসীম অসীম 17শ শতাব্দীতে ইউরোপীয় গণিতবিদরা পদ্ধতিগতভাবে অসীম সংখ্যা এবং অসীম অভিব্যক্তি ব্যবহার করতে শুরু করেন। 1655 খ্রিষ্টাব্দে জন ওয়ালিস তাঁর ডি সেকশনাইবাস কনিসিস-এ প্রথম এই ধরনের একটি সংখ্যার জন্য স্বরলিপি ব্যবহার করেন এবং ক্ষেত্রফল গণনায় এই অঞ্চলটিকে প্রস্থের অসীম স্ট্রিপগুলিতে বিভক্ত করে ব্যবহার করেন। কিন্তু অ্যারিথমেটিকা ইনফিনিটোরাম (1656 খ্রিষ্টাব্দ)-এ তিনি অসীম সিরিজ, অসীম গুণফল এবং অসীম অবিরত ভগ্নাংশকে কয়েকটি পদ বা উপাদান লিখে এবং তারপর "& c" যোগ করে নির্দেশ করেন, যেমন "1,6,12,18,24 ও c"। 1699 খ্রিষ্টাব্দে আইজাক নিউটন তাঁর ডি অ্যানালাইসিস পার অ্যাক্সেশনস নিউমেরো টার্মিনোরাম ইনফিনিটাস-এ অসীম সংখ্যক পদ সহ সমীকরণ সম্পর্কে লিখেছিলেন। গণিত হারমান ওয়েইল 1930 সালে একটি গাণিতিক-দার্শনিক ঠিকানা দিয়েছিলেনঃ প্রতীক অনন্ত প্রতীক (কখনও কখনও লেমনিস্কেট বলা হয়) একটি গাণিতিক প্রতীক যা অনন্তের ধারণার প্রতিনিধিত্ব করে। প্রতীকটি ইউনিকোডে এবং ল্যাটেক্স-এ \ইনফ্টি হিসাবে এনকোড করা হয়েছে। এটি 1655 সালে জন ওয়ালিস দ্বারা প্রবর্তিত হয়েছিল এবং এর প্রবর্তনের পর থেকে এটি আধুনিক রহস্যবাদ এবং সাহিত্যিক প্রতীকবিজ্ঞানে গণিতের বাইরেও ব্যবহৃত হয়েছে। অসীম ক্যালকুলাসের অন্যতম সহ-উদ্ভাবক ক্যালকুলাস গটফ্রিড লাইবনিজ অসীম সংখ্যা এবং গণিতে তাদের ব্যবহার সম্পর্কে ব্যাপকভাবে অনুমান করেছিলেন। লাইবনিজের কাছে, অসীম এবং অসীম পরিমাণ উভয়ই আদর্শ সত্তা ছিল, প্রশংসনীয় পরিমাণের মতো একই প্রকৃতির নয়, তবে ধারাবাহিকতার আইন অনুসারে একই বৈশিষ্ট্য উপভোগ করছিল। বাস্তব বিশ্লেষণে, "অনন্ত" নামক প্রতীকটি একটি সীমাহীন সীমা নির্দেশ করতে ব্যবহৃত হয়। স্বরলিপির অর্থ হল যে বন্ধন ছাড়াই বৃদ্ধি পায়, এবং এর অর্থ হল যে বন্ধন ছাড়াই হ্রাস পায়। উদাহরণস্বরূপ, যদি প্রতিটির জন্য হয়, তবে এর অর্থ হল যে একটি সীমাবদ্ধ এলাকা থেকে সীমাবদ্ধ নয় যার অর্থ হল যে নীচের এলাকাটি অসীম। এর অর্থ হল যে, নিচের মোট আয়তন সসীম, এবং যা অনন্তের সমান, তা অসীম সিরিজকে বর্ণনা করতেও ব্যবহার করা যেতে পারে, নিম্নরূপঃ এর অর্থ হল যে, অসীম সিরিজের যোগফল কিছু বাস্তব মানে একত্রিত হয়, যার অর্থ হল যে, অসীম সিরিজের যোগফল সঠিকভাবে বিচ্ছিন্ন হয়ে অনন্তের দিকে চলে যায়, এই অর্থে যে, আংশিক যোগফলগুলি সীমা ছাড়াই বৃদ্ধি পায়। একটি সীমা সংজ্ঞায়িত করার পাশাপাশি, বর্ধিত বাস্তব সংখ্যা পদ্ধতিতে অনন্তকে একটি মান হিসাবেও ব্যবহার করা যেতে পারে। চিহ্নিত পয়েন্ট এবং বাস্তব সংখ্যার টপোলজিকাল স্পেসে যোগ করা যেতে পারে, যা বাস্তব সংখ্যার দুই-বিন্দু সংকোচন তৈরি করে। এর সাথে বীজগাণিতিক বৈশিষ্ট্য যোগ করলে আমাদের বর্ধিত বাস্তব সংখ্যা পাওয়া যায়। আমরা বাস্তব সংখ্যার এক-পয়েন্ট কম্প্যাক্টিফিকেশনের দিকে পরিচালিত করতে পারি, যা প্রকৃত প্রজেক্টিভ লাইন। প্রজেক্টিভ জ্যামিতি সমতল জ্যামিতিতে অনন্তের একটি রেখা, ত্রিমাত্রিক স্থানে অনন্তের একটি সমতল এবং সাধারণ মাত্রার জন্য অনন্তের একটি হাইপারপ্লেনকেও বোঝায়, যার প্রতিটি অনন্তের বিন্দু নিয়ে গঠিত। জটিল বিশ্লেষণে "অনন্ত" নামক প্রতীকটি একটি স্বাক্ষরহীন অসীম সীমাকে নির্দেশ করে। অভিব্যক্তিটির অর্থ হল যে কোনও নির্ধারিত মূল্যের বাইরে এর মাত্রা বৃদ্ধি পায়। জটিল সমতলে লেবেলযুক্ত একটি বিন্দু একটি টপোলজিকাল স্থান হিসাবে যুক্ত করা যেতে পারে যা জটিল সমতলের এক-বিন্দু সংকোচন প্রদান করে। যখন এটি করা হয়, ফলস্বরূপ স্থানটি একটি এক-মাত্রিক জটিল ম্যানিফোল্ড বা রিমান পৃষ্ঠ, যাকে বর্ধিত জটিল সমতল বা রিমান গোলক বলা হয়। বর্ধিত বাস্তব সংখ্যার জন্য উপরে দেওয়া গাণিতিক ক্রিয়াকলাপগুলির অনুরূপও সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে, যদিও চিহ্নগুলিতে কোনও পার্থক্য নেই (যা একটি ব্যতিক্রমের দিকে পরিচালিত করে যে অনন্তকে নিজের সাথে যুক্ত করা যায় না)। অন্যদিকে, এই ধরনের অনন্ততা শূন্য দ্বারা ভাগ করতে সক্ষম করে, অর্থাৎ যে কোনও অ-শূন্য জটিল সংখ্যার জন্য। এই প্রসঙ্গে মেরোমর্ফিক ফাংশনগুলিকে মেরুগুলির মান নিয়ে রিম্যান গোলকের মানচিত্র হিসাবে বিবেচনা করা প্রায়শই কার্যকর। একটি জটিল-মূল্যবান ফাংশনের ক্ষেত্রকে অনন্ত বিন্দুও অন্তর্ভুক্ত করার জন্য প্রসারিত করা যেতে পারে। এই ধরনের ফাংশনের একটি গুরুত্বপূর্ণ উদাহরণ হল মোবিয়াস রূপান্তরের গোষ্ঠী (মোবিয়াস রূপান্তর § ওভারভিউ দেখুন)। অ-মানক বিশ্লেষণ আইজাক নিউটন এবং গটফ্রিড লাইবনিজ দ্বারা অসীম ক্যালকুলাসের মূল গঠনে অসীম পরিমাণ ব্যবহার করা হয়েছিল। বিংশ শতাব্দীর দ্বিতীয়ার্ধে, এটি দেখানো হয়েছিল যে মসৃণ অসীম বিশ্লেষণ এবং অ-মানক বিশ্লেষণ সহ বিভিন্ন যৌক্তিক ব্যবস্থার মাধ্যমে এই চিকিত্সাটিকে কঠোর ভিত্তিতে রাখা যেতে পারে। পরেরটিতে, অসীমগুলি বিপরীতমুখী এবং তাদের বিপরীতগুলি অসীম সংখ্যা। এই অর্থে অসীমগুলি একটি অতি বাস্তব ক্ষেত্রের অংশ; ক্যান্টোরিয়ান ট্রান্সফিনাইটগুলির মতো তাদের মধ্যে কোনও সমতা নেই। উদাহরণস্বরূপ, এই অর্থে যদি H একটি অসীম সংখ্যা হয়, তাহলে H + H = 2H এবং H + 1 হল স্বতন্ত্র অসীম সংখ্যা। অ-মানক ক্যালকুলাসের এই পদ্ধতিটি সম্পূর্ণরূপে বিকশিত হয়েছে। সেট তত্ত্ব "অনন্ত"-এর একটি ভিন্ন রূপ হল সেট তত্ত্বের অর্ডিনাল এবং কার্ডিনাল ইনফিনিটি-ট্রান্সফাইনাইট সংখ্যার একটি সিস্টেম যা প্রথম জর্জ ক্যান্টর দ্বারা বিকশিত হয়েছিল। এই পদ্ধতিতে, প্রথম ট্রান্সফাইনাইট কার্ডিনাল হল আলেফ-নাল (α0), যা প্রাকৃতিক সংখ্যার সেটের কার্ডিনালিটি। পরিমাণগত অসীমের এই আধুনিক গাণিতিক ধারণাটি 19 শতকের শেষের দিকে ক্যান্টর, গটলব ফ্রেজ, রিচার্ড ডেডেকিন্ড এবং অন্যান্যদের কাজ থেকে বিকশিত হয়েছিল-সংগ্রহ বা সেটের ধারণা ব্যবহার করে। ডেডেকিন্ডের দৃষ্টিভঙ্গি ছিল মূলত সেটের আকারের তুলনা করার জন্য একটি মান হিসাবে এক-থেকে-এক চিঠিপত্রের ধারণা গ্রহণ করা এবং গ্যালিলিওর (ইউক্লিড থেকে উদ্ভূত) দৃষ্টিভঙ্গিকে প্রত্যাখ্যান করা যে পুরো অংশটি অংশের সমান আকারের হতে পারে না। (যাইহোক, গ্যালিলিওর প্যারাডক্স দেখুন যেখানে গ্যালিলিও এই সিদ্ধান্তে পৌঁছেছেন যে ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যাকে ধনাত্মক বর্গ পূর্ণসংখ্যার উপসেটের সাথে তুলনা করা যায় না কারণ উভয়ই অসীম সেট।) একটি অসীম সেটকে কেবল তার সঠিক অংশগুলির মধ্যে অন্তত একটির সমান আকারের হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে; অনন্তের এই ধারণাকে ডেডেকাইন্ড ইনফাইনাইট বলা হয়। ডানদিকের রেখাচিত্রটি একটি উদাহরণ দেয়ঃ রেখাগুলিকে অসীম বিন্দুর সেট হিসাবে দেখা, নীচের নীল রেখার বাম অর্ধেকটি এক-থেকে-এক পদ্ধতিতে (সবুজ চিঠিপত্র) উচ্চতর নীল রেখার সাথে ম্যাপ করা যেতে পারে, এবং ফলস্বরূপ, পুরো নীচের নীল রেখার (লাল চিঠিপত্র) সাথে; তাই পুরো নীচের নীল রেখা এবং এর বাম অর্ধেকের একই কার্ডিনালিটি রয়েছে, অর্থাৎ। "আকার"। ক্যান্টর দুই ধরনের অসীম সংখ্যাকে সংজ্ঞায়িত করেছেনঃ ক্রমিক সংখ্যা এবং মূল সংখ্যা। অর্ডিনাল সংখ্যাগুলি সুশৃঙ্খল সেটগুলিকে চিহ্নিত করে, বা যে কোনও স্টপিং পয়েন্টে গণনা করা হয়, যার মধ্যে একটি অসীম সংখ্যার পরে পয়েন্টগুলি ইতিমধ্যে গণনা করা হয়েছে। সসীম এবং (সাধারণ) অসীম ক্রমের সাধারণীকরণ যা ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা থেকে মানচিত্র যা ক্রমিক সংখ্যা থেকে ট্রান্সফাইনাইট সিকোয়েন্সে ম্যাপিংয়ের দিকে পরিচালিত করে। কার্ডিনাল সংখ্যাগুলি সেটগুলির আকার নির্ধারণ করে, যার অর্থ তাদের মধ্যে কতজন সদস্য রয়েছে এবং সেই আকারের কার্ডিনাল সংখ্যাকে উপস্থাপন করার জন্য একটি নির্দিষ্ট আকারের প্রথম ক্রমিক সংখ্যাটি বেছে নিয়ে প্রমিত করা যেতে পারে। ক্ষুদ্রতম অর্ডিনাল অনন্ত হল ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার, এবং যে কোনও সেট যার পূর্ণসংখ্যার কার্ডিনালিটি রয়েছে তা গণনাযোগ্যভাবে অসীম। যদি একটি সেট খুব বড় হয় যা ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার সাথে একের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ হয়, তবে এটিকে অগণিত বলা হয়। ক্যান্টরের দৃষ্টিভঙ্গি প্রবল ছিল এবং আধুনিক গণিত প্রকৃত অনন্তকে একটি সামঞ্জস্যপূর্ণ এবং সুসঙ্গত তত্ত্বের অংশ হিসাবে গ্রহণ করে। কিছু বর্ধিত সংখ্যা পদ্ধতি, যেমন হাইপাররিয়াল সংখ্যা, সাধারণ (সসীম) সংখ্যা এবং বিভিন্ন আকারের অসীম সংখ্যাকে অন্তর্ভুক্ত করে। কন্টিনিউয়ামের কার্ডিনালিটি ক্যান্টরের সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ ফলাফলগুলির মধ্যে একটি ছিল যে কন্টিনিউয়ামের কার্ডিনালিটি প্রাকৃতিক সংখ্যার চেয়ে বেশি; অর্থাৎ, প্রাকৃতিক সংখ্যার চেয়ে বেশি বাস্তব সংখ্যা রয়েছে। অর্থাৎ, ক্যান্টর সেটা দেখিয়েছেন। কন্টিনিউয়াম হাইপোথিসিস বলে যে বাস্তব সংখ্যাগুলির কার্ডিনালিটি এবং প্রাকৃতিক সংখ্যার কার্ডিনালিটির মধ্যে কোনও কার্ডিনাল সংখ্যা নেই, অর্থাৎ, এই হাইপোথিসিসটি ব্যাপকভাবে গৃহীত জার্মেলো-ফ্রেঙ্কেল সেট তত্ত্বের মধ্যে প্রমাণিত বা অস্বীকার করা যায় না, এমনকি পছন্দের স্বতঃসিদ্ধ ধরে নেওয়া যায়। কার্ডিনাল পাটিগণিত শুধুমাত্র এটা দেখানোর জন্য ব্যবহার করা যেতে পারে না যে একটি বাস্তব সংখ্যার রেখায় বিন্দুর সংখ্যা সেই রেখার যে কোনও অংশে বিন্দুর সংখ্যার সমান, তবে এটি একটি সমতলে বিন্দুর সংখ্যার সমান এবং প্রকৃতপক্ষে, যে কোনও সীমাবদ্ধ-মাত্রিক স্থানে। এই ফলাফলগুলির মধ্যে প্রথমটি বিবেচনা করে স্পষ্ট হয়, উদাহরণস্বরূপ, স্পর্শক ফাংশন, যা ব্যবধানের মধ্যে এক-থেকে-এক যোগাযোগ প্রদান করে () দ্বিতীয় ফলাফলটি 1878 সালে ক্যান্টর দ্বারা প্রমাণিত হয়েছিল, কিন্তু শুধুমাত্র 1890 সালে স্বজ্ঞাতভাবে স্পষ্ট হয়ে ওঠে, যখন জুসেপ্পে পেনো স্থান-ভরাট বক্ররেখা, বাঁকা রেখা প্রবর্তন করে যা যে কোনও বর্গক্ষেত্র, বা ঘনক্ষেত্র, বা হাইপারকিউব, বা সীমাবদ্ধ-মাত্রিক স্থান পূরণ করার জন্য যথেষ্ট বাঁকানো এবং ঘোরানো। এই বক্ররেখা একটি বর্গক্ষেত্রের একদিকের বিন্দু এবং বর্গক্ষেত্রের বিন্দুগুলির মধ্যে এক-থেকে-এক সংযোগ সংজ্ঞায়িত করতে ব্যবহার করা যেতে পারে। জ্যামিতি 19 শতকের শেষ অবধি, জ্যামিতিতে অসীম খুব কমই আলোচনা করা হত, কোনও সীমা ছাড়াই অব্যাহত রাখা যেতে পারে এমন প্রক্রিয়াগুলির প্রেক্ষাপটে ব্যতীত। উদাহরণস্বরূপ, একটি লাইন ছিল যাকে এখন লাইন সেগমেন্ট বলা হয়, এই শর্তে যে কেউ যতদূর চায় এটি প্রসারিত করতে পারে; কিন্তু এটি অসীমভাবে প্রসারিত করার প্রশ্নই ওঠে না। একইভাবে, একটি রেখা সাধারণত অসীম সংখ্যক বিন্দুর সমন্বয়ে গঠিত বলে বিবেচিত হত না, তবে এটি এমন একটি অবস্থান ছিল যেখানে একটি বিন্দু স্থাপন করা যেতে পারে। এমনকি অসীম সংখ্যক সম্ভাব্য অবস্থান থাকলেও, একটি লাইনে শুধুমাত্র সীমিত সংখ্যক পয়েন্ট স্থাপন করা যেতে পারে। এর একটি সাক্ষী হল "একটি বিন্দুর স্থান যা কিছু বৈশিষ্ট্যকে সন্তুষ্ট করে" (একবচন) অভিব্যক্তি, যেখানে আধুনিক গণিতবিদরা সাধারণত "বৈশিষ্ট্যযুক্ত বিন্দুর সেট" (বহুবচন) বলবেন। প্রকৃত অনন্তের সাথে জড়িত গাণিতিক ধারণার বিরল ব্যতিক্রমগুলির মধ্যে একটি ছিল প্রজেক্টিভ জ্যামিতি, যেখানে ইউক্লিডীয় স্থানে অসীমের বিন্দুগুলি যুক্ত করা হয় যা "অনন্তের" সাথে ছেদকারী সমান্তরাল রেখাগুলি দেখায়। গাণিতিকভাবে, অনন্তের বিন্দুগুলির কিছু বিশেষ ক্ষেত্রে বিবেচনা না করার সুবিধা রয়েছে। উদাহরণস্বরূপ, একটি প্রজেক্টিভ সমতলে, দুটি স্বতন্ত্র রেখা ঠিক একটি বিন্দুতে ছেদ করে, যেখানে অনন্ত বিন্দু ছাড়া, সমান্তরাল রেখার জন্য কোনও ছেদ বিন্দু নেই। সুতরাং, সমান্তরাল এবং অ-সমান্তরাল রেখাগুলি অবশ্যই শাস্ত্রীয় জ্যামিতিতে আলাদাভাবে অধ্যয়ন করতে হবে, যদিও তাদের প্রজেক্টিভ জ্যামিতিতে আলাদা করার প্রয়োজন নেই। গণিতের ভিত্তির জন্য সেট তত্ত্ব ব্যবহারের আগে, বিন্দু এবং রেখাগুলিকে স্বতন্ত্র সত্তা হিসাবে দেখা হত এবং একটি বিন্দু একটি রেখার উপর অবস্থিত হতে পারত। গণিতে সেট তত্ত্বের সর্বজনীন ব্যবহারের সাথে সাথে দৃষ্টিভঙ্গি নাটকীয়ভাবে পরিবর্তিত হয়েছেঃ একটি রেখা এখন তার বিন্দুর সেট হিসাবে বিবেচিত হয় এবং একটি বলে যে একটি বিন্দু একটি লাইনের পরিবর্তে একটি লাইনের অন্তর্গত (তবে, পরের বাক্যাংশটি এখনও ব্যবহৃত হয়)। বিশেষ করে, আধুনিক গণিতে, রেখাগুলি অসীম সেট। অসীম মাত্রা শাস্ত্রীয় জ্যামিতিতে যে ভেক্টর স্পেসগুলি ঘটে সেগুলির সর্বদা একটি সীমাবদ্ধ মাত্রা থাকে, সাধারণত দুই বা তিনটি। যাইহোক, এটি একটি ভেক্টর স্থানের বিমূর্ত সংজ্ঞা দ্বারা বোঝানো হয় না এবং অসীম মাত্রার ভেক্টর স্থানগুলি বিবেচনা করা যেতে পারে। এটি সাধারণত কার্যকরী বিশ্লেষণের ক্ষেত্রে হয় যেখানে ফাংশন স্পেসগুলি সাধারণত অসীম মাত্রার ভেক্টর স্পেস হয়। টপোলজিতে, কিছু নির্মাণ অসীম মাত্রার টপোলজিকাল স্পেস তৈরি করতে পারে। বিশেষত, এটি পুনরাবৃত্ত লুপ স্পেসের ক্ষেত্রে। ফ্র্যাক্টাল একটি ফ্র্যাক্টাল বস্তুর কাঠামো তার বিবর্ধনগুলিতে পুনরাবৃত্তি করা হয়। ফ্র্যাক্টালগুলি তাদের কাঠামো না হারিয়ে এবং "মসৃণ" না হয়ে অনির্দিষ্টকালের জন্য বিবর্ধিত করা যেতে পারে; তাদের অসীম পরিধি রয়েছে এবং অসীম বা সীমাবদ্ধ এলাকা থাকতে পারে। অসীম পরিধি এবং সীমাবদ্ধ এলাকা সহ এরকম একটি ফ্র্যাক্টাল বক্ররেখা হল কোচ স্নোফ্লেক। অনন্তবিহীন গণিত লিওপোল্ড ক্রোনেকার অনন্তের ধারণা এবং 1870 এবং 1880-এর দশকে তাঁর সহকর্মী গণিতবিদরা কীভাবে এটি ব্যবহার করছিলেন তা নিয়ে সংশয়ী ছিলেন। এই সংশয়বাদ গণিতের দর্শনে বিকশিত হয়েছিল যাকে ফিনিটিজম বলা হয়, যা গঠনবাদ এবং অন্তর্দৃষ্টির সাধারণ দার্শনিক এবং গাণিতিক বিদ্যালয়গুলিতে গাণিতিক দর্শনের একটি চরম রূপ। পদার্থবিজ্ঞানে, বাস্তব সংখ্যার আনুমানিক পরিমাপ অবিচ্ছিন্ন পরিমাপের জন্য ব্যবহৃত হয় এবং প্রাকৃতিক সংখ্যা পৃথক পরিমাপের জন্য ব্যবহৃত হয় (অর্থাৎ, গণনা)। অসীম সমতল তরঙ্গের মতো অসীম জিনিসের ধারণাগুলি বিদ্যমান, তবে সেগুলি তৈরি করার কোনও পরীক্ষামূলক উপায় নেই। 1576 সালে থমাস ডিগেসের কাছ থেকে মহাবিশ্বের অসীম হওয়ার প্রথম প্রকাশিত প্রস্তাবটি আসে। আট বছর পর, 1584 সালে, ইতালীয় দার্শনিক এবং জ্যোতির্বিজ্ঞানী জিওর্দানো ব্রুনো অন দ্য ইনফাইনাইট ইউনিভার্স অ্যান্ড ওয়ার্ল্ডস-এ একটি সীমাহীন মহাবিশ্বের প্রস্তাব দিয়েছিলেনঃ "অসংখ্য সূর্যের অস্তিত্ব রয়েছে; অগণিত পৃথিবী এই সূর্যের চারপাশে এমনভাবে ঘোরে যেমন সাতটি গ্রহ আমাদের সূর্যের চারপাশে ঘোরে। জীবন্ত প্রাণীরা এই জগতে বাস করে। মহাজাগতিক বিজ্ঞানীরা দীর্ঘদিন ধরে আমাদের ভৌত মহাবিশ্বে অনন্তের অস্তিত্ব আছে কিনা তা আবিষ্কার করার চেষ্টা করেছেনঃ অসীম সংখ্যক তারা কি আছে? মহাবিশ্বের আয়তন কি অসীম? স্থান কি "চিরকাল চলে"? এটি এখনও মহাজাগতিকতার একটি উন্মুক্ত প্রশ্ন। অসীম হওয়ার প্রশ্নটি সীমানা থাকার প্রশ্ন থেকে যৌক্তিকভাবে আলাদা। উদাহরণস্বরূপ, পৃথিবীর দ্বিমাত্রিক পৃষ্ঠটি সীমাবদ্ধ, তবুও এর কোনও প্রান্ত নেই। পৃথিবীর বক্রতার সাপেক্ষে একটি সরলরেখায় ভ্রমণ করলে, অবশেষে যেখান থেকে শুরু হয়েছিল ঠিক সেই জায়গায় ফিরে আসবে। অন্তত নীতিগতভাবে, মহাবিশ্বের একটি অনুরূপ টপোলজি থাকতে পারে। যদি তাই হয়, তাহলে মহাবিশ্বের মধ্য দিয়ে দীর্ঘ সময় ধরে একটি সরলরেখায় ভ্রমণ করার পরে কেউ শেষ পর্যন্ত নিজের সূচনা বিন্দুতে ফিরে আসতে পারে। মহাজাগতিক পটভূমি বিকিরণের বর্ণালীতে বহু-মেরু মুহুর্তের মাধ্যমে মহাবিশ্বের বক্রতা পরিমাপ করা যেতে পারে। আজ অবধি, ডাব্লুএমএপি মহাকাশযান দ্বারা রেকর্ড করা বিকিরণ নিদর্শনগুলির বিশ্লেষণ ইঙ্গিত দেয় যে মহাবিশ্বের একটি সমতল টপোলজি রয়েছে। এটি একটি অসীম ভৌত মহাবিশ্বের সঙ্গে সামঞ্জস্যপূর্ণ হবে। যাইহোক, মহাবিশ্বের বক্রতা সমতল হলেও তা সীমাবদ্ধ হতে পারে। এটি বোঝার একটি সহজ উপায় হল দ্বিমাত্রিক উদাহরণ বিবেচনা করা, যেমন ভিডিও গেম যেখানে পর্দার এক প্রান্ত ছেড়ে যাওয়া আইটেমগুলি অন্য দিকে আবার উপস্থিত হয়। এই ধরনের খেলার টপোলজি টরয়েডাল এবং জ্যামিতি সমতল। ত্রিমাত্রিক স্থানের জন্য অনেক সম্ভাব্য আবদ্ধ, সমতল সম্ভাবনাও রয়েছে। অনন্তের ধারণাটি মাল্টিভার্স হাইপোথিসিস পর্যন্ত প্রসারিত, যা যখন মিচিও কাকুর মতো জ্যোতিঃপদার্থবিজ্ঞানীরা ব্যাখ্যা করেন, তখন মনে করেন যে মহাবিশ্বের একটি অসীম সংখ্যা এবং বৈচিত্র্য রয়েছে। এছাড়াও, চক্রাকার মডেলগুলি অসীম পরিমাণে বিগ ব্যাং স্থাপন করে, যার ফলে একটি অসীম চক্রে প্রতিটি বিগ ব্যাং ঘটনার পরে অসীম বৈচিত্র্যময় মহাবিশ্ব তৈরি হয়। যুক্তিতে, একটি অসীম পশ্চাদপসরণ যুক্তি হল "একটি স্বতন্ত্র দার্শনিক ধরনের যুক্তি যা দেখায় যে একটি থিসিস ত্রুটিপূর্ণ কারণ এটি একটি অসীম সিরিজ তৈরি করে যখন (ফর্ম এ) এই ধরনের কোনও সিরিজ বিদ্যমান থাকে না বা (ফর্ম বি) বিদ্যমান থাকে, থিসিসের ভূমিকার অভাব থাকবে (যেমন, ন্যায্যতার) যা এটি খেলার কথা।" আই. ই. ই. ই ভাসমান-বিন্দু মান (আই. ই. ই. ই 754) একটি ধনাত্মক এবং ঋণাত্মক অনন্ত মান (এবং অনির্দিষ্ট মানও) নির্দিষ্ট করে। এগুলিকে গাণিতিক অতিপ্রবাহ, শূন্য দ্বারা বিভাজন এবং অন্যান্য ব্যতিক্রমী ক্রিয়াকলাপের ফলাফল হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। কিছু প্রোগ্রামিং ভাষা, যেমন জাভা এবং জে, প্রোগ্রামারকে ভাষা ধ্রুবক হিসাবে ইতিবাচক এবং নেতিবাচক অনন্ত মানগুলিতে স্পষ্ট প্রবেশাধিকার দেয়। এগুলি সর্বশ্রেষ্ঠ এবং সর্বনিম্ন উপাদান হিসাবে ব্যবহার করা যেতে পারে, কারণ তারা অন্যান্য সমস্ত মানের চেয়ে (যথাক্রমে) বড় বা কম তুলনা করে। বাছাই, অনুসন্ধান বা উইন্ডোজিংয়ের সাথে জড়িত অ্যালগরিদমগুলিতে সেন্তিনেল মান হিসাবে তাদের ব্যবহার রয়েছে। যে ভাষাগুলিতে সর্বশ্রেষ্ঠ এবং সর্বনিম্ন উপাদান নেই, কিন্তু রিলেশনাল অপারেটরদের অতিরিক্ত লোড করার অনুমতি দেয়, সেখানে একজন প্রোগ্রামারের পক্ষে সর্বশ্রেষ্ঠ এবং সর্বনিম্ন উপাদান তৈরি করা সম্ভব। যে ভাষাগুলি প্রোগ্রামের প্রাথমিক অবস্থা থেকে এই ধরনের মানগুলিতে স্পষ্ট প্রবেশাধিকার প্রদান করে না, কিন্তু ভাসমান-বিন্দু তথ্য প্রকার প্রয়োগ করে, সেখানে নির্দিষ্ট ক্রিয়াকলাপের ফলে অনন্ত মানগুলি এখনও অ্যাক্সেসযোগ্য এবং ব্যবহারযোগ্য হতে পারে। প্রোগ্রামিং-এ, একটি অসীম লুপ হল এমন একটি লুপ যার প্রস্থান শর্ত কখনই সন্তুষ্ট হয় না, এইভাবে অনির্দিষ্টকালের জন্য কার্যকর হয়। শিল্পকলা, খেলাধুলা এবং জ্ঞানীয় বিজ্ঞান দৃষ্টিকোণ শিল্পকর্ম অদৃশ্য বিন্দুর ধারণা ব্যবহার করে, যা পর্যবেক্ষক থেকে অসীম দূরত্বে অবস্থিত অসীমের গাণিতিক বিন্দুর সাথে মোটামুটিভাবে সামঞ্জস্যপূর্ণ। এটি শিল্পীদের এমন চিত্রকর্ম তৈরি করার অনুমতি দেয় যা বাস্তবসম্মতভাবে স্থান, দূরত্ব এবং রূপগুলি উপস্থাপন করে। শিল্পী এম. সি. এসচার তাঁর কাজে অনন্তের ধারণাটি এই এবং অন্যান্য উপায়ে প্রয়োগ করার জন্য বিশেষভাবে পরিচিত। সীমাহীন বোর্ডে খেলা দাবার বৈচিত্র্যকে অসীম দাবা বলা হয়। জ্ঞানীয় বিজ্ঞানী জর্জ লাকফ গণিত এবং বিজ্ঞানে অনন্তের ধারণাকে রূপক হিসাবে বিবেচনা করেন। এই দৃষ্টিভঙ্গি অসীমের মৌলিক রূপক (বি. এম. আই)-এর উপর ভিত্তি করে তৈরি, যা ক্রমবর্ধমান ক্রম হিসাবে সংজ্ঞায়িত। আরও দেখুন 0.999। আলেফ সংখ্যা অনন্ত সূচক অনির্দিষ্ট ফর্ম অসীম বানর উপপাদ্য অসীম সেট অসীম প্যারাডক্স অফ ইনফিনিটি সুপারটাস্ক পরাবাস্তব সংখ্যা রেফারেন্স গ্রন্থপঞ্জি উৎস ডিপি। আগরওয়াল (2000)। প্রাচীন জৈন গণিতঃ একটি ভূমিকা, ইনফিনিটি ফাউন্ডেশন। বেল, জে. এল : ধারাবাহিকতা এবং অসীম। স্ট্যানফোর্ড এনসাইক্লোপিডিয়া অফ ফিলোসফি। সংশোধিত 2009। জৈন, এল. সি. (1973)। ইন্ডিয়ান জার্নাল অফ হিস্ট্রি অফ সায়েন্সের মতে, "জৈন স্কুল অফ ম্যাথমেটিক্সে তত্ত্ব স্থাপন করুন।" এইচ. জেরোম কেইসলারঃ প্রাথমিক ক্যালকুলাসঃ অসীম ব্যবহার করে একটি পদ্ধতি। প্রথম সংস্করণ 1976; দ্বিতীয় সংস্করণ 1986। এই বইটি এখন আউট অফ প্রিন্ট। প্রকাশক কপিরাইটটি লেখকের কাছে ফিরিয়ে দিয়েছেন, যিনি পিডিএফ ফরম্যাটে দ্বিতীয় সংস্করণটি ডাউনলোডের জন্য http://www.math.wisc.edu ~ কেইসলার/ক্যাল্ক. এইচটিএমএল ও 'কনর, জন জে এবং এডমন্ড এফ রবার্টসন (1998)-এ উপলব্ধ করেছেন। 'জর্জ ফার্দিনান্দ লুডভিগ ফিলিপ ক্যান্টর', ম্যাকটুটার হিস্ট্রি অফ ম্যাথমেটিক্স আর্কাইভ। ও 'কনর, জন জে এবং এডমন্ড এফ রবার্টসন (2000)। 'জয়না ম্যাথমেটিক্স', ম্যাকটুটার হিস্ট্রি অফ ম্যাথমেটিক্স আর্কাইভ। পিয়ার্স, ইয়ান। (2002)। 'জৈনিজম', ম্যাকটুটার হিস্ট্রি অফ ম্যাথমেটিক্স আর্কাইভ। বাহ্যিক লিঙ্ক পিটার সুবার রচিত এ ক্র্যাশ কোর্স ইন দ্য ম্যাথমেটিক্স অফ ইনফাইনাইট সেটস। সেন্ট জনস রিভিউ থেকে, XLIV, 2 (1998) 1-59। নীচে অসীম প্রতিফলনের স্বতন্ত্র পরিশিষ্ট। ক্যান্টরের অসীম সেটের গণিতের একটি সংক্ষিপ্ত ভূমিকা। পিটার সুবার রচিত ইনফাইনাইট রিফ্লেকশনস। কীভাবে ক্যান্টরের অসীমের গণিত অসীমের হাতে গোনা কয়েকটি প্রাচীন দার্শনিক সমস্যার সমাধান করে। সেন্ট জনস রিভিউ থেকে, XLIV, 2 (1998) 1-59। হোটেল ইনফিনিটি জন জে. ও 'কনর এবং এডমন্ড এফ. রবার্টসন (1998)। 'জর্জ ফার্দিনান্দ লুডভিগ ফিলিপ ক্যান্টর', ম্যাকটুটার হিস্ট্রি অফ ম্যাথমেটিক্স আর্কাইভ। জন জে. ও 'কনর এবং এডমন্ড এফ. রবার্টসন (2000)। 'জয়না ম্যাথমেটিক্স', ম্যাকটুটার হিস্ট্রি অফ ম্যাথমেটিক্স আর্কাইভ। ইয়ান পিয়ার্স (2002)। 'জৈনিজম', ম্যাকটুটার হিস্ট্রি অফ ম্যাথমেটিক্স আর্কাইভ। দ্য মিস্ট্রি অফ দ্য আলেফঃ ম্যাথমেটিক্স, দ্য কাব্বালাহ, অ্যান্ড দ্য সার্চ ফর ইনফিনিটি ডিকশনারি অফ দ্য ইনফিনিটি (পদার্থবিজ্ঞান, গণিত এবং দর্শনে অনন্ত সম্পর্কে নিবন্ধগুলির সংকলন) গণিতের গাণিতিক বস্তুর দর্শনের ধারণাগুলি