Kaplan–Meier estimator
কাপলান-মায়ার প্রাক্কলনকারী, যা পণ্য সীমা প্রাক্কলনকারী নামেও পরিচিত, একটি অ-প্যারামেট্রিক পরিসংখ্যান যা জীবনকালের তথ্য থেকে বেঁচে থাকার কার্যকারিতা অনুমান করতে ব্যবহৃত হয়। চিকিৎসা গবেষণায়, এটি প্রায়শই চিকিৎসার পরে একটি নির্দিষ্ট সময়ের জন্য বেঁচে থাকা রোগীদের ভগ্নাংশ পরিমাপ করতে ব্যবহৃত হয়। অন্যান্য ক্ষেত্রে, চাকরি হারানোর পরে মানুষ কতক্ষণ বেকার থাকে, যন্ত্রের যন্ত্রাংশের সময়-থেকে-ব্যর্থতা, বা মাংসল ফলগুলি উদ্ভিদ থেকে অপসারণের আগে কতক্ষণ থাকে তা পরিমাপ করতে কাপলান-মায়ার প্রাক্কলনকারীদের ব্যবহার করা যেতে পারে। অনুমানকারীর নাম এডওয়ার্ড এল কাপলান এবং পল মেয়ারের নামে রাখা হয়েছে, যারা প্রত্যেকে আমেরিকান স্ট্যাটিস্টিক্যাল অ্যাসোসিয়েশনের জার্নালে অনুরূপ পাণ্ডুলিপি জমা দিয়েছিলেন। জার্নাল সম্পাদক জন টুকি তাদের কাজকে একটি গবেষণাপত্রে একত্রিত করতে রাজি করান, যা 1958 সালে প্রকাশের পর থেকে 61,800 বারেরও বেশি উদ্ধৃত হয়েছে। বেঁচে থাকার ক্রিয়াকলাপের প্রাক্কলনকারী (জীবন যে তার চেয়ে দীর্ঘ হওয়ার সম্ভাবনা) দ্বারা দেওয়া হয়ঃ এমন একটি সময়ের সাথে যখন কমপক্ষে একটি ঘটনা ঘটেছিল, সেই সময়ে ঘটে যাওয়া ঘটনাগুলির সংখ্যা (যেমন, মৃত্যু) এবং বেঁচে থাকার জন্য পরিচিত ব্যক্তিরা (এখনও কোনও ঘটনা ঘটেনি বা সেন্সর করা হয়নি)। মৌলিক ধারণাগুলি কাপলান-মায়ার প্রাক্কলনকারীর একটি প্লট হল ক্রমহ্রাসমান অনুভূমিক ধাপগুলির একটি সিরিজ যা যথেষ্ট বড় নমুনা আকারের সাথে সেই জনসংখ্যার জন্য প্রকৃত বেঁচে থাকার ক্রিয়াকলাপের কাছে পৌঁছায়। ধারাবাহিক স্বতন্ত্র নমুনা পর্যবেক্ষণের ("ক্লিক") মধ্যে বেঁচে থাকার ফাংশনের মান ধ্রুবক বলে ধরে নেওয়া হয়। কাপলান-মায়ার বক্ররেখার একটি গুরুত্বপূর্ণ সুবিধা হল যে পদ্ধতিটি কিছু ধরনের সেন্সর করা তথ্যকে বিবেচনা করতে পারে, বিশেষ করে রাইট-সেন্সরিং, যা ঘটে যখন কোনও রোগী কোনও গবেষণা থেকে সরে যায়, ফলো-আপ করতে ব্যর্থ হয়, বা শেষ ফলো-আপে ঘটনা ছাড়াই বেঁচে থাকে। প্লটে, ছোট উল্লম্ব টিক-চিহ্নগুলি পৃথক রোগীদের উল্লেখ করে যাদের বেঁচে থাকার সময় সঠিকভাবে সেন্সর করা হয়েছে। যখন কোনও ছাঁটাই বা সেন্সরিং ঘটে না, তখন কাপলান-মায়ার বক্ররেখা অভিজ্ঞতাগত বিতরণ ফাংশনের পরিপূরক। চিকিৎসা পরিসংখ্যানে, একটি সাধারণ প্রয়োগে রোগীদের বিভিন্ন শ্রেণীতে ভাগ করা যেতে পারে, উদাহরণস্বরূপ, যাদের জিন এ প্রোফাইল এবং যাদের জিন বি প্রোফাইল রয়েছে। গ্রাফটিতে, জিন এ-এর রোগীদের তুলনায় জিন বি-এর রোগীরা অনেক দ্রুত মারা যায়। দুই বছর পর, জিন এ-র প্রায় 80 শতাংশ রোগী বেঁচে যায়, কিন্তু জিন বি-র অর্ধেকেরও কম রোগী বেঁচে যায়। একটি কাপলান-মায়ার প্রাক্কলনকারী তৈরি করতে, প্রতিটি রোগীর (বা প্রতিটি বিষয়) জন্য কমপক্ষে দুটি টুকরো তথ্য প্রয়োজনঃ শেষ পর্যবেক্ষণের অবস্থা (ঘটনা ঘটনা বা ডান-সেন্সর), এবং ঘটনার সময় (বা সেন্সর করার সময়)। যদি দুই বা ততোধিক গোষ্ঠীর মধ্যে বেঁচে থাকার ক্রিয়াকলাপের তুলনা করতে হয়, তবে তথ্যের একটি তৃতীয় অংশ প্রয়োজনঃ প্রতিটি বিষয়ের গ্রুপ অ্যাসাইনমেন্ট। সমস্যার সংজ্ঞা একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবল হতে দিন, যা আমরা সম্ভাব্য এক্সপোজার পিরিয়ডের শুরু এবং আগ্রহের একটি ইভেন্ট সংঘটিত হওয়ার সময়ের মধ্যে অতিবাহিত সময় হিসাবে ভাবি। উপরে উল্লিখিত হিসাবে, লক্ষ্য হল অন্তর্নিহিত বেঁচে থাকার কার্যকারিতা অনুমান করা। মনে রাখবেন যে এই ফাংশনটিকে এইভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে, সময় কোথায়। ধরা যাক স্বাধীন, অভিন্নভাবে বিতরণ করা র্যান্ডম ভেরিয়েবল, যার সাধারণ বন্টন হলঃ হল র্যান্ডম সময় যখন কিছু ঘটনা ঘটে। অনুমানের জন্য উপলব্ধ তথ্য নয়, তবে জোড়ার তালিকা যেখানে, একটি নির্দিষ্ট, নির্ধারক পূর্ণসংখ্যা, ঘটনার সেন্সরিং সময় এবং। বিশেষত, অনুষ্ঠানের সময় সম্পর্কে উপলব্ধ তথ্য হল যে ঘটনাটি নির্দিষ্ট সময়ের আগে ঘটেছে কিনা এবং যদি তাই হয়, তবে অনুষ্ঠানের প্রকৃত সময়ও পাওয়া যায়। এই তথ্যের পরিপ্রেক্ষিতে অনুমান করা হল চ্যালেঞ্জ। এখানে, আমরা কাপলান-মায়ার প্রাক্কলনকারীর দুটি ব্যুৎপত্তি দেখাই। উভয়ই বেঁচে থাকার ক্রিয়াকে পুনর্লিখনের উপর ভিত্তি করে যাকে কখনও কখনও বিপদ বা মৃত্যুর হার বলা হয়। যাইহোক, এটি করার আগে একজন নির্বোধ প্রাক্কলনকারীকে বিবেচনা করা উপযুক্ত। একজন সরল প্রাক্কলনকারী কাপলান-মায়ার প্রাক্কলনকারীর শক্তি বোঝার জন্য, প্রথমে বেঁচে থাকার কার্যকারিতার একজন সরল প্রাক্কলনকারীকে বর্ণনা করা উপযুক্ত। ঠিক করুন এবং ছেড়ে দিন। একটি মৌলিক যুক্তি দেখায় যে নিম্নলিখিত প্রস্তাবটি ধারণ করেঃ প্রস্তাব 1: যদি ঘটনার সেন্সরিং সময় () অতিক্রম করে, তবে যদি এবং শুধুমাত্র যদি। এমনটাই হোক। উপরের প্রস্তাবটি থেকে জানা যায় যে, আসুন এবং শুধুমাত্র সেগুলি বিবেচনা করি, অর্থাৎ। যে ঘটনাগুলির জন্য ফলাফল সময়ের আগে সেন্সর করা হয়নি। উপাদানের সংখ্যা ধরা যাক। লক্ষ্য করুন যে সেটটি এলোমেলো নয় এবং তাই উভয়ই নয়। উপরন্তু, এটি সাধারণ পরামিতি সহ স্বাধীন, অভিন্নভাবে বিতরণ করা বার্নৌলি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের একটি ক্রম। এটি ধরে নিলে, এটি দ্বিতীয় সমতাটি কোথায় অনুসরণ করে তা ব্যবহার করে অনুমান করার পরামর্শ দেয় কারণ এটি বোঝায়, যেখানে শেষ সমতাটি কেবল স্বরলিপির পরিবর্তন। এই অনুমানের গুণমান এর আকার দ্বারা নিয়ন্ত্রিত হয়। যখন ছোট হয় তখন এটি সমস্যাযুক্ত হতে পারে, যা সংজ্ঞা অনুসারে ঘটে, যখন অনেকগুলি ঘটনা সেন্সর করা হয়। এই প্রাক্কলনকারীর একটি বিশেষ অপ্রীতিকর বৈশিষ্ট্য, যা ইঙ্গিত করে যে সম্ভবত এটি "সেরা" প্রাক্কলনকারী নয়, তা হল এটি সমস্ত পর্যবেক্ষণকে উপেক্ষা করে যার সেন্সরিং সময় আগে হয়। স্বজ্ঞাতভাবে, এই পর্যবেক্ষণগুলিতে এখনও এই বিষয়ে তথ্য রয়েছেঃ উদাহরণস্বরূপ, যখন অনেক ঘটনা সহ, ধারণ করে, তখন আমরা অনুমান করতে পারি যে ঘটনাগুলি প্রায়শই তাড়াতাড়ি ঘটে, যা বোঝায় যে এটি বড়, যার অর্থ অবশ্যই ছোট হতে হবে। যাইহোক, এই তথ্য এই সরল অনুমানকারী দ্বারা উপেক্ষা করা হয়। প্রশ্নটি হল এমন কোনও প্রাক্কলনকারী আছে কি না যা সমস্ত তথ্যের আরও ভাল ব্যবহার করে। কাপলান-মায়ার প্রাক্কলনকারী এটিই সম্পাদন করেন। মনে রাখবেন যে যখন সেন্সরিং হয় না তখন সরল প্রাক্কলনকারীর উন্নতি করা যায় না; তাই কোনও উন্নতি সম্ভব কিনা তা সেন্সরিং রয়েছে কিনা তার উপর নির্ভর করে। প্লাগ-ইন পদ্ধতি প্রাথমিক গণনা দ্বারা, যেখানে দ্বিতীয় থেকে শেষ সমতা ব্যবহার করা হয় যা পূর্ণসংখ্যার মূল্য এবং শেষ লাইনের জন্য আমরা প্রবর্তন করেছি সমতার একটি পুনরাবৃত্তিমূলক সম্প্রসারণ দ্বারা, আমরা এখানে নোট পাই যে। কাপলান-মায়ার প্রাক্কলনকারীকে একটি "প্লাগ-ইন প্রাক্কলনকারী" হিসাবে দেখা যেতে পারে যেখানে প্রতিটি তথ্যের উপর ভিত্তি করে অনুমান করা হয় এবং প্রাক্কলনকারী এই প্রাক্কলনগুলির একটি পণ্য হিসাবে প্রাপ্ত হয়। কিভাবে অনুমান করা হবে তা নির্দিষ্ট করে বলা বাকি। প্রস্তাবনা 1 অনুসারে, এমন যেকোনও কিছুর জন্য যা উভয়ই ধরে রাখে। অতএব, যে কোনও ক্ষেত্রে, উপরের সরল প্রাক্কলনকারী গঠনের দিকে পরিচালিত করে এমন একটি অনুরূপ যুক্তি দ্বারা, আমরা প্রাক্কলনকারীর কাছে পৌঁছাই ("বিপদের হার"-এর সংজ্ঞায় পৃথকভাবে সংখ্যা এবং বিভাজক অনুমান করার কথা ভাবুন)। কাপলান-মায়ার প্রাক্কলনকারী তারপর দ্বারা দেওয়া হয় নিবন্ধের শুরুতে বর্ণিত প্রাক্কলনকারীর রূপটি আরও কিছু বীজগণিত দ্বারা প্রাপ্ত করা যেতে পারে। এর জন্য, একচুয়ারিয়াল বিজ্ঞান পরিভাষা ব্যবহার করে লিখুন যেখানে, সময়ে পরিচিত মৃত্যুর সংখ্যা, এবং সেই সময়ে জীবিত (এবং সেন্সর করা হচ্ছে না) ব্যক্তিদের সংখ্যা। মনে রাখবেন যে, যদি। এর অর্থ হল যে আমরা সেই সমস্ত শর্তাবলী সংজ্ঞায়িত করে পণ্যটি থেকে বাদ দিতে পারি। তারপর, সেই সময়ের কথা ধরা যাক যখন, এবং, আমরা নিবন্ধের শুরুতে দেওয়া কাপলান-মায়ার প্রাক্কলনকারীর আকারে পৌঁছাইঃ সরল প্রাক্কলনকারীর বিপরীতে, এই প্রাক্কলনকারীকে উপলব্ধ তথ্যকে আরও কার্যকরভাবে ব্যবহার করতে দেখা যায়ঃ আগে উল্লিখিত বিশেষ ক্ষেত্রে, যখন অনেক প্রাথমিক ঘটনা নথিভুক্ত করা হয়, তখন প্রাক্কলনকারী একের নিচে মান সহ অনেক পদকে গুণ করবে এবং এইভাবে বিবেচনা করবে যে বেঁচে থাকার সম্ভাবনা বড় হতে পারে না। সর্বাধিক সম্ভাব্যতা প্রাক্কলনকারী হিসাবে ক্যাপলান-মায়ার প্রাক্কলনকারী পৃথক বিপত্তি ফাংশনের সর্বাধিক সম্ভাব্যতা প্রাক্কলন থেকে উদ্ভূত হতে পারে। ঘটনার সংখ্যা এবং সেই সময়ে ঝুঁকিতে থাকা মোট ব্যক্তির সংখ্যা হিসাবে আরও সুনির্দিষ্টভাবে দেওয়া হলে, বিচ্ছিন্ন বিপদের হারকে সেই সময়ে কোনও ঘটনার সাথে কোনও ব্যক্তির সম্ভাবনা হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে। তারপর বেঁচে থাকার হারকে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারেঃ এবং সময়ের সাথে সাথে বিপত্তি ফাংশনের সম্ভাব্যতা ফাংশনটি হলঃ অতএব লগ সম্ভাবনা হবেঃ ফলন সম্পর্কিত সর্বাধিক লগ সম্ভাব্যতা খুঁজে বের করাঃ যেখানে টুপি সর্বাধিক সম্ভাব্যতা অনুমান বোঝাতে ব্যবহৃত হয়। এই ফলাফলের পরিপ্রেক্ষিতে, আমরা লিখতে পারিঃ আরও সাধারণভাবে (অবিচ্ছিন্ন পাশাপাশি বিচ্ছিন্ন বেঁচে থাকার বিতরণের জন্য), কাপলান-মায়ার প্রাক্কলনকারীকে ননপ্যারামেট্রিক সর্বাধিক সম্ভাব্যতা প্রাক্কলনকারী হিসাবে ব্যাখ্যা করা যেতে পারে। উপকারিতা এবং সীমাবদ্ধতা কাপলান-মায়ার প্রাক্কলনকারী বেঁচে থাকার বিশ্লেষণের সবচেয়ে ঘন ঘন ব্যবহৃত পদ্ধতিগুলির মধ্যে একটি। পুনরুদ্ধারের হার, মৃত্যুর সম্ভাবনা এবং চিকিৎসার কার্যকারিতা পরীক্ষা করার জন্য এই অনুমানটি কার্যকর হতে পারে। এটি কোভ্যারিয়েটের জন্য সামঞ্জস্যপূর্ণ বেঁচে থাকার অনুমান করার ক্ষমতার মধ্যে সীমাবদ্ধ; প্যারামেট্রিক বেঁচে থাকার মডেল এবং কক্স আনুপাতিক বিপদ মডেল কোভ্যারিয়েট-সামঞ্জস্যপূর্ণ বেঁচে থাকার অনুমান করতে কার্যকর হতে পারে। কাপলান-মায়ার প্রাক্কলনকারী সরাসরি নেলসন-অ্যালেন প্রাক্কলনকারীর সাথে সম্পর্কিত এবং উভয়ই অভিজ্ঞতাগত সম্ভাবনাকে সর্বাধিক করে। পরিসংখ্যানগত বিবেচনা কাপলান-মায়ার প্রাক্কলনকারী একটি পরিসংখ্যান, এবং এর বৈচিত্র্য অনুমান করতে বেশ কয়েকটি প্রাক্কলনকারী ব্যবহার করা হয়। সবচেয়ে সাধারণ অনুমানকারীদের মধ্যে একটি হল গ্রিনউডের সূত্রঃ যেখানে মামলার সংখ্যা এবং পর্যবেক্ষণের মোট সংখ্যা, এর জন্য। কিছু ক্ষেত্রে, কেউ কেউ বিভিন্ন কাপলান-মায়ার বক্ররেখার তুলনা করতে চাইতে পারে। এটি লগ র্যাঙ্ক পরীক্ষা এবং কক্স আনুপাতিক বিপদ পরীক্ষার মাধ্যমে করা যেতে পারে। অন্যান্য পরিসংখ্যান যা এই প্রাক্কলনকারীর কাজে লাগতে পারে তা হল পয়েন্টওয়াইজ কনফিডেন্স ইন্টারভ্যাল, হল-ওয়েলনার ব্যান্ড এবং ইকুয়াল-প্রিসিশন ব্যান্ড। সফ্টওয়্যার ম্যাথমেটিকাঃ অন্তর্নির্মিত ফাংশন সার্ভাইভালমডেলফিট বেঁচে থাকার মডেল তৈরি করে। এসএএসঃ কাপলান-মায়ার প্রাক্কলনকারীটি প্রোক লাইফটেস্ট পদ্ধতিতে প্রয়োগ করা হয়। আরঃ কাপলান-মায়ার প্রাক্কলনকারী বেঁচে থাকার প্যাকেজের অংশ হিসাবে উপলব্ধ। স্থিতিঃ 'এস. টি. এস' কমান্ডটি কাপলান-মায়ার প্রাক্কলনকারীকে ফেরত দেয়। পাইথনঃ লাইফলাইন এবং স্কিকিট-বেঁচে থাকা প্যাকেজগুলির প্রত্যেকটিতে কাপলান-মায়ার প্রাক্কলনকারী অন্তর্ভুক্ত রয়েছে। ম্যাটল্যাবঃ 'ফাংশন', 'বেঁচে থাকা' আর্গুমেন্ট সহ ই. সি. ডি. এফ ফাংশন কাপলান-মায়ার প্রাক্কলনকারীকে গণনা বা প্লট করতে পারে। স্ট্যাটসডাইরেক্টঃ কাপলান-মায়ার প্রাক্কলনকারীটি বেঁচে থাকার বিশ্লেষণ মেনুতে প্রয়োগ করা হয়। এস. পি. এস. এসঃ কাপলান-মায়ার প্রাক্কলনকারীটি অ্যানালাইজ> সারভাইভাল> কাপলান-মায়ার. মেনুতে প্রয়োগ করা হয়েছে। জুলিয়াঃ Survival.jl প্যাকেজে কাপলান-মায়ার প্রাক্কলনকারী অন্তর্ভুক্ত রয়েছে। এপি তথ্যঃ কাপলান-মায়ার অনুমানকারী বেঁচে থাকার বক্ররেখা এবং লগ র্যাঙ্ক পরীক্ষার ফলাফল কেএমএসইউআরভিভাল কমান্ডের মাধ্যমে পাওয়া যায়। আরও দেখুন বেঁচে থাকার বিশ্লেষণ মাঝারি প্রাণঘাতী ডোজের ফ্রিকোয়েন্সি নেলসন-অ্যালেন প্রাক্কলন রেফারেন্স আরও পড়া বাহ্যিক লিঙ্ক প্রাক্কলনকারী অ্যাকচুয়ারিয়াল বিজ্ঞান বেঁচে থাকার বিশ্লেষণ নির্ভরযোগ্যতা প্রকৌশল