Matrix differential equation
একটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ হল এক বা একাধিক চলকের একটি অজানা ফাংশনের জন্য একটি গাণিতিক সমীকরণ যা ফাংশনের মান এবং বিভিন্ন ক্রমের তার ব্যুৎপত্তিগুলির সাথে সম্পর্কিত। একটি ম্যাট্রিক্স ডিফারেনশিয়াল সমীকরণে একটি ম্যাট্রিক্স সহ ভেক্টর আকারে স্ট্যাক করা একাধিক ফাংশন থাকে যা ফাংশনগুলিকে তাদের ডেরিভেটিভের সাথে সম্পর্কিত করে। উদাহরণস্বরূপ, একটি ফার্স্ট-অর্ডার ম্যাট্রিক্স সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ হল যেখানে একটি অন্তর্নিহিত চলকের ফাংশনের একটি ভেক্টর, এই ফাংশনের প্রথম ডেরিভেটিভের ভেক্টর এবং সহগের একটি ম্যাট্রিক্স। যেখানে ধ্রুবক এবং n রৈখিকভাবে স্বাধীন আইগেনভেক্টর রয়েছে, সেখানে এই ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের নিম্নলিখিত সাধারণ সমাধান রয়েছে, যেখানে A-এর আইগেনভ্যালুগুলি; A-এর নিজ নিজ আইগেনভেক্টর; এবং এগুলি ধ্রুবক। আরও সাধারণভাবে, যদি তার ইন্টিগ্রালের সাথে কমিউট করা হয় তবে ম্যাগনাস সম্প্রসারণ নেতৃস্থানীয় ক্রমে হ্রাস পায় এবং ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সাধারণ সমাধান হল যেখানে একটি ধ্রুবক ভেক্টর। কাইলি-হ্যামিল্টন উপপাদ্য এবং ভ্যান্ডারমন্ডে-টাইপ ম্যাট্রিক্স ব্যবহার করে, এই আনুষ্ঠানিক ম্যাট্রিক্স সূচকীয় সমাধানটি একটি সহজ আকারে হ্রাস করা যেতে পারে। নীচে, এই সমাধানটি পুটজারের অ্যালগরিদমের পরিপ্রেক্ষিতে প্রদর্শিত হয়। ম্যাট্রিক্স ব্যবস্থার স্থিতিশীলতা এবং স্থিতিশীল অবস্থা n × 1 পরামিতি ধ্রুবক ভেক্টর b সহ ম্যাট্রিক্স সমীকরণটি স্থিতিশীল হয় যদি এবং কেবলমাত্র যদি ধ্রুবক ম্যাট্রিক্স A-এর সমস্ত আইগেনভ্যালুগুলির একটি ঋণাত্মক বাস্তব অংশ থাকে। স্থিতিশীল অবস্থায় এটি যে x * স্থিতিতে একত্রিত হয় সেটিং দ্বারা পাওয়া যায় যাতে A কে বিপরীতমুখী ধরে নেওয়া যায়। সুতরাং, মূল সমীকরণটি স্থির অবস্থা থেকে বিচ্যুতির পরিপ্রেক্ষিতে সমজাতীয় আকারে লেখা যেতে পারে, এটি প্রকাশ করার একটি সমতুল্য উপায় হল যে x * হল অসমজাতীয় সমীকরণের একটি নির্দিষ্ট সমাধান, যেখানে সমস্ত সমাধান সমজাতীয় সমীকরণের (b = 0) সমাধান সহ আকারে থাকে। দ্বি-অবস্থা-পরিবর্তনশীল ক্ষেত্রে স্থিতিশীলতা n = 2 ক্ষেত্রে (দুটি অবস্থা পরিবর্তনশীল সহ), স্থিতিশীলতার শর্ত যে ট্রানজিশন ম্যাট্রিক্স A-এর দুটি আইগেনভ্যালুতে প্রত্যেকটির একটি ঋণাত্মক বাস্তব অংশ থাকে তা এই শর্তের সমতুল্য যে A-এর ট্রেস ঋণাত্মক হবে এবং এর নির্ধারক ধনাত্মক হবে। ম্যাট্রিক্স আকারে সমাধান এর আনুষ্ঠানিক সমাধানের ম্যাট্রিক্স এক্সপোনেনশিয়াল ফর্মটি বহু কৌশল ব্যবহার করে মূল্যায়ন করা হয়। গণনার জন্য পুটজার অ্যালগরিদম আইগেনভ্যালু সহ একটি ম্যাট্রিক্স এ দেওয়া হয়েছে, যেখানে সমীকরণগুলি সহজ প্রথম ক্রমের অসম ODE। লক্ষ্য করুন যে অ্যালগরিদমটির জন্য ম্যাট্রিক্স এ-কে তির্যক করার প্রয়োজন হয় না এবং সাধারণত ব্যবহৃত জর্ডান ক্যানোনিকাল ফর্মগুলির জটিলতাগুলিকে বাইপাস করে। একটি ম্যাট্রিক্স সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের বিকৃত উদাহরণ x (t) এবং y (t) দুটি ফাংশনে একটি প্রথম-ক্রমের সমজাতীয় ম্যাট্রিক্স সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ, যখন ম্যাট্রিক্স ফর্ম থেকে নেওয়া হয়, তখন নিম্নলিখিত রূপটি থাকেঃ যেখানে,, এবং যে কোনও নির্বিচারে স্কেলার হতে পারে। উচ্চতর ক্রমের ম্যাট্রিক্স ও. ডি. ই-এর অনেক বেশি জটিল রূপ থাকতে পারে। ডিকনস্ট্রাকটেড ম্যাট্রিক্স সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলি সমাধান করা উপরের সমীকরণগুলি সমাধান করার প্রক্রিয়া এবং এই নির্দিষ্ট ক্রম এবং ফর্মের প্রয়োজনীয় ফাংশনগুলি খুঁজে বের করার প্রক্রিয়াটি 3 টি প্রধান পদক্ষেপ নিয়ে গঠিত। এই ধাপগুলির প্রত্যেকটির সংক্ষিপ্ত বিবরণ নীচে তালিকাভুক্ত করা হয়েছেঃ আইগেনভ্যালু খুঁজে বের করা আইগেনভেক্টরগুলি খুঁজে বের করা প্রয়োজনীয় ফাংশনগুলি খুঁজে বের করা এই ধরনের সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলির সমাধানের চূড়ান্ত, তৃতীয় ধাপটি সাধারণত পূর্ববর্তী দুটি ধাপে গণনা করা মানগুলিকে একটি বিশেষ সাধারণ ফর্ম সমীকরণে প্লাগ করার মাধ্যমে করা হয়, যা এই নিবন্ধে পরে উল্লিখিত হয়েছে। একটি ম্যাট্রিক্স ODE-এর সমাধানকৃত উদাহরণ উপরের তিনটি ধাপ অনুযায়ী একটি ম্যাট্রিক্স ODE সমাধান করার জন্য, প্রক্রিয়ার সহজ ম্যাট্রিক্স ব্যবহার করে, আসুন আমরা প্রথম ক্রমের নিম্নলিখিত সমজাতীয় রৈখিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণে একক স্বাধীন চলকের পরিপ্রেক্ষিতে একটি ফাংশন এবং একটি ফাংশন উভয়ই খুঁজে বের করি, এই নির্দিষ্ট সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ সিস্টেমটি সমাধান করার জন্য, সমাধান প্রক্রিয়ার কোনও এক সময়ে, আমাদের দুটি প্রাথমিক মানের একটি সেট প্রয়োজন হবে (প্রারম্ভিক বিন্দুতে দুটি অবস্থা চলকের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ)। এই ক্ষেত্রে, আসুন আমরা বেছে নিই। প্রথম ধাপ ইতিমধ্যেই উপরে উল্লিখিত প্রথম ধাপটি হল x′ ইত্যাদির ব্যুৎপত্তিগত স্বরলিপিতে A-এর আইগেনভ্যালু খুঁজে বের করা। উপরের ভেক্টরগুলির মধ্যে একটিতে দেখা যায় যা ল্যাগ্রাঞ্জের স্বরলিপি হিসাবে পরিচিত (প্রথম জোসেফ লুই ল্যাগ্রাঞ্জ দ্বারা প্রবর্তিত। এটি পূর্ববর্তী সমীকরণে ব্যবহৃত ডেরিভেটিভ নোটেশন dx/dt-এর সমতুল্য, যা গটফ্রিড লাইবনিজের নামকে সম্মান জানিয়ে লাইবনিজের নোটেশন নামে পরিচিত। একবার দুটি চলকের সহগগুলি উপরে প্রদর্শিত ম্যাট্রিক্স ফর্ম এ-তে লেখা হয়ে গেলে, কেউ আইগেনভ্যালুগুলি মূল্যায়ন করতে পারে। সেই লক্ষ্যে, ম্যাট্রিক্সের নির্ধারক খুঁজে পাওয়া যায় যা গঠিত হয় যখন একটি আইডেন্টিটি ম্যাট্রিক্স, কিছু ধ্রুবক দ্বারা গুণিত হয়, উপরের সহগ ম্যাট্রিক্স থেকে বিয়োগ করা হয় যাতে তার চরিত্রগত বহুপদী পাওয়া যায় এবং তার শূন্যের জন্য সমাধান করা যায়। ম্যাট্রিক্স সংযোজনের আরও সরলীকরণ এবং মৌলিক নিয়ম প্রয়োগ করলে ফলন পাওয়া যায় একটি একক 2 × 2 ম্যাট্রিক্সের নির্ধারক খুঁজে বের করার নিয়ম প্রয়োগ করলে নিম্নলিখিত প্রাথমিক দ্বিঘাত সমীকরণ পাওয়া যায়, যা উপরেরটির একটি সহজ সংস্করণ পেতে আরও হ্রাস করা যেতে পারে। কিছু ক্ষেত্রে, অন্য ম্যাট্রিক্স ODE-এর মত, আইগেনভ্যালুগুলি জটিল হতে পারে, এই ক্ষেত্রে সমাধান প্রক্রিয়ার পরবর্তী ধাপ, সেইসাথে চূড়ান্ত রূপ এবং সমাধান নাটকীয়ভাবে পরিবর্তিত হতে পারে। দ্বিতীয় ধাপ যেমন উপরে উল্লেখ করা হয়েছে, এই ধাপে মূলত প্রদত্ত তথ্য থেকে এ-এর আইগেনভেক্টর খুঁজে বের করা জড়িত। গণনা করা প্রতিটি আইগেনভ্যালু-র জন্য, আমাদের একটি পৃথক আইগেনভেক্টর রয়েছে। প্রথম আইগেনভ্যালু-এর জন্য, যা হল, আমরা মৌলিক ম্যাট্রিক্স গুণনের নিয়ম প্রয়োগ করে উপরের অভিব্যক্তিটি সরলীকরণ করেছি। এই সমস্ত গণনা শুধুমাত্র শেষ অভিব্যক্তিটি পাওয়ার জন্য করা হয়েছে, যা আমাদের ক্ষেত্রে হয়। এখন কিছু নির্বিচারে মান গ্রহণ করে, সম্ভবত, একটি ছোট তুচ্ছ মান, যার সাথে কাজ করা অনেক সহজ, বা (বেশিরভাগ ক্ষেত্রে, এটি আসলেই গুরুত্বপূর্ণ নয়), আমরা এটিকে প্রতিস্থাপন করি। এটি করার ফলে একটি সহজ ভেক্টর তৈরি হয়, যা এই নির্দিষ্ট আইগেনভ্যালুয়ের জন্য প্রয়োজনীয় আইগেনভেক্টর। আমাদের ক্ষেত্রে, আমরা বেছে নিই, যা পালাক্রমে তা নির্ধারণ করে এবং স্ট্যান্ডার্ড ভেক্টর নোটেশন ব্যবহার করে, আমাদের ভেক্টরটি আমাদের গণনা করা দ্বিতীয় আইগেনভ্যালু ব্যবহার করে একই অপারেশন সম্পাদন করার মতো দেখায়, যা হল, আমরা আমাদের দ্বিতীয় আইগেনভেক্টর পাই। এই ভেক্টরটি বের করার প্রক্রিয়াটি দেখানো হয়নি, তবে চূড়ান্ত ফলাফলটি হল তৃতীয় ধাপ এই চূড়ান্ত ধাপটি প্রয়োজনীয় ফাংশনগুলি খুঁজে পায় যা মূলত আমাদের দেওয়া ডেরিভেটিভগুলির পিছনে 'লুকিয়ে' রয়েছে। দুটি ফাংশন রয়েছে, কারণ আমাদের ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ দুটি চলক নিয়ে কাজ করে। যে সমীকরণে আমরা পূর্বে পাওয়া সমস্ত তথ্যের অংশ রয়েছে, তার নিম্নলিখিত রূপ রয়েছেঃ আইগেনভ্যালু এবং আইগেনভেক্টরের মানগুলি প্রতিস্থাপন করলে ফলন পাওয়া যায় আরও সরলীকরণ প্রয়োগ করা, আরও সরলীকরণ করা এবং ফাংশনের জন্য সমীকরণগুলি আলাদাভাবে লেখা, উপরের সমীকরণগুলি আসলে সাধারণ ফাংশনগুলি চাওয়া হয়, তবে সেগুলি তাদের সাধারণ আকারে (এবং এর অনির্দিষ্ট মান সহ), যদিও আমরা আসলে তাদের সঠিক রূপ এবং সমাধানগুলি খুঁজে পেতে চাই। সুতরাং এখন আমরা সমস্যাটির প্রদত্ত প্রাথমিক শর্তগুলি বিবেচনা করি (প্রদত্ত প্রাথমিক শর্তগুলি সহ সমস্যাটি তথাকথিত প্রাথমিক মান সমস্যা)। ধরুন আমাদের দেওয়া হয়েছে, যা আমাদের সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সূচনা বিন্দুর ভূমিকা পালন করে; এই শর্তগুলির প্রয়োগ ধ্রুবকগুলি নির্দিষ্ট করে, এবং। আমরা শর্তগুলি থেকে দেখতে পাই, যখন উপরের সমীকরণগুলির বাম দিকগুলি 1-এর সমান হয়। এইভাবে আমরা রৈখিক সমীকরণগুলির নিম্নলিখিত পদ্ধতিটি তৈরি করতে পারি, এই সমীকরণগুলি সমাধান করে আমরা দেখতে পাই যে উভয় ধ্রুবক এবং সমান 1/3। অতএব এই দুটি ফাংশনের সাধারণ আকারে এই মানগুলিকে প্রতিস্থাপন করা তাদের সঠিক রূপগুলি নির্দিষ্ট করে, দুটি ফাংশন চাওয়া হয়েছে। ম্যাট্রিক্স এক্সপোনেনশিয়াল ব্যবহার করে উপরের সমস্যাটি ম্যাট্রিক্স এক্সপোনেনশিয়ালের সরাসরি প্রয়োগের মাধ্যমে সমাধান করা যেত। অর্থাৎ, আমরা বলতে পারি যে (যে কোনও উপযুক্ত সরঞ্জাম ব্যবহার করে গণনা করা যেতে পারে, যেমন ম্যাটল্যাবের এক্সপেম সরঞ্জাম, বা ম্যাট্রিক্স তির্যককরণ সম্পাদন করে এবং একটি তির্যক ম্যাট্রিক্সের ম্যাট্রিক্স সূচকীয় তার উপাদানগুলির উপাদান-ভিত্তিক সূচকের মতো বৈশিষ্ট্যটি ব্যবহার করে) চূড়ান্ত ফলাফল হল এটি আগে দেখানো আইগেনভেক্টর পদ্ধতির মতোই। আরও দেখুন অ-সমজাতীয় সমীকরণ ম্যাট্রিক্স পার্থক্য সমীকরণ নিউটনের শীতলকরণের সূত্র ফিবোনাচ্চি ক্রম পার্থক্য সমীকরণ তরঙ্গ সমীকরণ স্বায়ত্তশাসিত ব্যবস্থা (গণিত) রেফারেন্স সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ