Supersingular elliptic curve
বীজগাণিতিক জ্যামিতিতে, সুপারসিঙ্গুলার উপবৃত্তাকার বক্ররেখা অস্বাভাবিকভাবে বড় এন্ডোমর্ফিজম রিং সহ বৈশিষ্ট্যযুক্ত p> 0 ক্ষেত্রের উপর উপবৃত্তাকার বক্ররেখার একটি নির্দিষ্ট শ্রেণী গঠন করে। এই ধরনের ক্ষেত্রগুলির উপর উপবৃত্তাকার বক্ররেখা যা অতিবেগুনী নয় সেগুলিকে সাধারণ বলা হয় এবং উপবৃত্তাকার বক্ররেখার এই দুটি শ্রেণী অনেক দিক থেকে মৌলিকভাবে ভিন্নভাবে আচরণ করে। উপবৃত্তাকার বক্ররেখার জন্য রিম্যান অনুমানের উপর তাঁর কাজের সময় সুপারসিঙ্গুলার উপবৃত্তাকার বক্ররেখা আবিষ্কার করেছিলেন যে ইতিবাচক বৈশিষ্ট্যযুক্ত উপবৃত্তাকার বক্ররেখার অস্বাভাবিকভাবে বড় র্যাঙ্ক 4-এর এন্ডোমর্ফিজম রিং থাকতে পারে এবং তাদের মৌলিক তত্ত্বটি তৈরি করেছিলেন। "সুপারসিঙ্গুলার" শব্দটির বক্ররেখার একক বিন্দুর সাথে কোনও সম্পর্ক নেই এবং সমস্ত সুপারসিঙ্গুলার উপবৃত্তাকার বক্ররেখা অ-এককাকার। এটি জে-ইনভ্যারিয়েন্টের মানগুলির জন্য ব্যবহৃত "জে-ইনভ্যারিয়েন্টের একক মান" বাক্যাংশ থেকে এসেছে যার জন্য একটি জটিল উপবৃত্তাকার বক্ররেখার জটিল গুণ রয়েছে। জটিল গুণ সহ জটিল উপবৃত্তাকার বক্ররেখা হল সেগুলি যার জন্য এন্ডোমর্ফিজম বলয়ের সর্বাধিক সম্ভাব্য র্যাঙ্ক 2 রয়েছে। ধনাত্মক বৈশিষ্ট্যে এন্ডোমর্ফিজম বলয়ের আরও বড় হওয়া সম্ভবঃ এটি 4 মাত্রার কোয়াটারনিয়ন বীজগণিতে একটি ক্রম হতে পারে, এই ক্ষেত্রে উপবৃত্তাকার বক্ররেখাটি সুপারসিঙ্গুলার হয়। মৌলিক সংখ্যা p-কে এমনভাবে সংজ্ঞায়িত করা যায় যে, বৈশিষ্ট্যযুক্ত p-এর প্রতিটি সুপারসিঙ্গুলার উপবৃত্তাকার বক্ররেখা প্রধান উপক্ষেত্রের উপর সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে, যাকে সুপারসিঙ্গুলার মৌলিক সংখ্যা বলা হয় না। সংজ্ঞা সুপারসিঙ্গুলার উপবৃত্তাকার বক্ররেখা সংজ্ঞায়িত করার অনেকগুলি ভিন্ন কিন্তু সমতুল্য উপায় রয়েছে যা ব্যবহার করা হয়েছে। এগুলিকে সংজ্ঞায়িত করার কয়েকটি উপায় নীচে দেওয়া হল। ধরা যাক বীজগাণিতিক বন্ধ সহ একটি ক্ষেত্র এবং K-এর উপর E একটি উপবৃত্তাকার বক্ররেখা।-মূল্যবান বিন্দুগুলির একটি আবেলিয়ান গোষ্ঠীর কাঠামো রয়েছে। প্রতিটি n-এর জন্য আমাদের কাছে একটি গুণন মানচিত্র রয়েছে। এর কার্নেল দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। এখন ধরে নিন যে K-এর বৈশিষ্ট্য হল p> 0। তারপর কেউ দেখাতে পারে যে r = 1,2,3, এর জন্য। প্রথম ক্ষেত্রে, ই-কে সুপারসিঙ্গুলার বলা হয়। অন্যথায় এটিকে সাধারণ বলা হয়। অন্য কথায়, একটি উপবৃত্তাকার বক্ররেখা সুপারসিঙ্গুলার হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি p ক্রমের জ্যামিতিক বিন্দুর গ্রুপটি তুচ্ছ হয়। সুপারসিঙ্গুলার উপবৃত্তাকার বক্ররেখার বীজগাণিতিক বন্ধের উপর অনেকগুলি এন্ডোমর্ফিজম রয়েছে এই অর্থে যে একটি উপবৃত্তাকার বক্ররেখা সুপারসিঙ্গুলার হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি তার এন্ডোমর্ফিজম বীজগণিত (ওভার) একটি কোয়াটারনিয়ন বীজগণিতে একটি ক্রম হয়। সুতরাং, তাদের এন্ডোমর্ফিজম বীজগণিতের (ওভার) র্যাঙ্ক 4 রয়েছে, যেখানে প্রতিটি অন্যান্য উপবৃত্তাকার বক্ররেখার এন্ডোমর্ফিজম গ্রুপের মাত্র 1 বা 2 র্যাঙ্ক রয়েছে। একটি সুপারসিঙ্গুলার উপবৃত্তাকার বক্ররেখার এন্ডোমর্ফিজম বলয়ের র্যাঙ্ক 4-এর চেয়ে কম হতে পারে এবং এন্ডোমর্ফিজম বলয় 4-এর র্যাঙ্ক তৈরি করতে বেস ফিল্ড K-এর একটি সীমাবদ্ধ সম্প্রসারণ নেওয়া প্রয়োজন হতে পারে। বিশেষ করে মৌলিক ক্রমের একটি ক্ষেত্রের উপর উপবৃত্তাকার বক্ররেখার এন্ডোমর্ফিজম বলয় কখনই 4 নম্বর স্থানের হয় না, এমনকি উপবৃত্তাকার বক্ররেখাটি সুপারসিঙ্গুলার হলেও। যেহেতু কে ধনাত্মক বৈশিষ্ট্যযুক্ত, তাই আমরা এর উচ্চতা এইচটি (জি) সংজ্ঞায়িত করতে পারি, যা 2 হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি ই সুপারসিঙ্গুলার হয় এবং অন্যথায় 1 হয়। আমাদের একটি ফ্রোবেনিয়াস মরফিজম রয়েছে, যা কোহোমোলজিতে একটি মানচিত্রকে প্ররোচিত করে। উপবৃত্তাকার বক্ররেখা E সুপারসিঙ্গুলার হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি 0 এর সমান হয়। আমাদের একটি ভার্সিবাং অপারেটর রয়েছে, যা বিশ্বব্যাপী 1-ফর্মের উপর একটি মানচিত্র তৈরি করে। উপবৃত্তাকার বক্ররেখা E সুপারসিঙ্গুলার হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি 0 এর সমান হয়। একটি উপবৃত্তাকার বক্ররেখা সুপারসিঙ্গুলার হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি তার হাস অপরিবর্তনীয় 0 হয়। একটি উপবৃত্তাকার বক্ররেখা সুপারসিঙ্গুলার হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি p ক্রমের পয়েন্টগুলির গ্রুপ স্কিম সংযুক্ত থাকে। একটি উপবৃত্তাকার বক্ররেখা সুপারসিঙ্গুলার হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি ফ্রোবেনিয়াস মানচিত্রের দ্বৈত সম্পূর্ণরূপে অবিচ্ছেদ্য হয়। একটি উপবৃত্তাকার বক্ররেখা সুপারসিঙ্গুলার হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি "p দ্বারা গুণন" মানচিত্রটি সম্পূর্ণরূপে অবিচ্ছেদ্য হয় এবং বক্ররেখার j-অপরিবর্তনীয় K এর প্রধান ক্ষেত্রের একটি দ্বিঘাত সম্প্রসারণে থাকে, যা p2 ক্রমের একটি সীমাবদ্ধ ক্ষেত্র। ধরুন E সমীকরণ দ্বারা সংজ্ঞায়িত লেজেন্ড্রে আকারে রয়েছে এবং p বিজোড়। তারপর, E হল সুপারসিঙ্গুলার যদি এবং শুধুমাত্র যদি যোগফলটি অদৃশ্য হয়ে যায়, কোথায়। এই সূত্রটি ব্যবহার করে, কেউ দেখাতে পারে যে কে-এর উপর (সমরূপতা পর্যন্ত) কেবলমাত্র সীমিতভাবে অনেকগুলি সুপারসিঙ্গুলার উপবৃত্তাকার বক্ররেখা রয়েছে। ধরুন, একটি সমজাতীয় ঘন বহুপদী f (x, y, z) দ্বারা প্রদত্ত প্রজেক্টিভ সমতলে E কে একটি ঘন বক্ররেখা হিসাবে দেওয়া হয়েছে। তারপর E সুপারসিঙ্গুলার হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি fp-1-এ (xyz) p-1-এর সহগ শূন্য হয়। যদি K ক্ষেত্রটি q ক্রমের একটি সীমাবদ্ধ ক্ষেত্র হয়, তবে K-এর উপর একটি উপবৃত্তাকার বক্ররেখা সুপারসিঙ্গুলার হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি q-পাওয়ার ফ্রোবেনিয়াস এন্ডোমর্ফিজমের ট্রেস শূন্য মডুলো p-এর সমতুল্য হয়। যখন q = p 3-এর চেয়ে বড় মৌলিক সংখ্যা হয় তখন এটি শূন্যের সমান ফ্রোবেনিয়াসের ট্রেস থাকার সমতুল্য (হ্যাসে আবদ্ধ দ্বারা); এটি p = 2 বা 3-এর জন্য ধরে রাখে না। উদাহরণস্বরূপ, যদি K বৈশিষ্ট্য 2-এর একটি ক্ষেত্র হয়, তবে a3 অ-শূন্য সহ ফর্মের সমীকরণ দ্বারা সংজ্ঞায়িত প্রতিটি বক্ররেখা একটি সুপারসিঙ্গুলার উপবৃত্তাকার বক্ররেখা, এবং বিপরীতভাবে প্রতিটি সুপারসিঙ্গুলার বক্ররেখা এই ফর্মের একটির সমতুল্য (ওয়াশিংটন 2003, পৃ. 122 দেখুন)। 2টি উপাদান সহ ক্ষেত্রের উপর যে কোনও সুপারসিঙ্গুলার উপবৃত্তাকার বক্ররেখা 1,3 এবং 5 পয়েন্ট সহ সুপারসিঙ্গুলার উপবৃত্তাকার বক্ররেখার ঠিক একটির সমতুল্য। এটি বিভিন্ন সংখ্যক বিন্দু সহ একটি মৌলিক ক্ষেত্রের উপর সুপারসিঙ্গুলার উপবৃত্তাকার বক্ররেখার উদাহরণ দেয়। বৈশিষ্ট্য 2-এর একটি বীজগাণিতিকভাবে বদ্ধ ক্ষেত্রের উপর (আইসোমরফিজম পর্যন্ত) ঠিক একটি সুপারসিঙ্গুলার উপবৃত্তাকার বক্ররেখা রয়েছে, যা জে-ইনভ্যারিয়েন্ট 0 দ্বারা দেওয়া হয়েছে। এর এন্ডোমর্ফিজমের বলয় হল হারউইৎজ কোয়াটারনিয়নের বলয়, যা দুটি অটোমরফিজম দ্বারা উৎপন্ন হয় এবং যেখানে একতার একটি আদিম ঘনমূল রয়েছে। এর অটোমরফিজমের গ্রুপ হল হারউইৎজ কোয়াটারনিয়নের ইউনিটের গ্রুপ, যার অর্ডার 24 রয়েছে, কোয়াটারনিয়ন গ্রুপের সাথে অর্ডার 8 আইসোমরফিকের একটি স্বাভাবিক উপগোষ্ঠী রয়েছে এবং এটি বাইনারি টেট্রাহেড্রাল গ্রুপ। যদি কে বৈশিষ্ট্য 3-এর একটি ক্ষেত্র হয়, তবে প্রতিটি বক্ররেখা a4 ননজিরো সহ ফর্মের সমীকরণ দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয় একটি সুপারসিঙ্গুলার উপবৃত্তাকার বক্ররেখা, এবং বিপরীতভাবে প্রতিটি সুপারসিঙ্গুলার বক্ররেখা এই ফর্মের একটির আইসোমরফিক হয় (ওয়াশিংটন 2003, পৃ. 122 দেখুন)। 3টি উপাদান সহ ক্ষেত্রের উপর যে কোনও সুপারসিঙ্গুলার উপবৃত্তাকার বক্ররেখা সুপারসিঙ্গুলার উপবৃত্তাকার বক্ররেখার ঠিক একটির সমরূপ। 3-এর একটি বীজগাণিতিকভাবে বন্ধ ক্ষেত্রের উপর (আইসোমরফিজম পর্যন্ত) ঠিক একটি সুপারসিঙ্গুলার উপবৃত্তাকার বক্ররেখা থাকে, যা জে-ইনভ্যারিয়েন্ট 0 দ্বারা দেওয়া হয়। এর এন্ডোমর্ফিজমের বলয় হল a এবং b আইজেনস্টাইন পূর্ণসংখ্যা সহ a + bj আকৃতির চতুর্ভুজের বলয়। , দুটি অটোমরফিজম দ্বারা উত্পন্ন এবং যেখানে i হল ঐক্যের একটি আদিম চতুর্থ মূল। এর অটোমরফিজমের গ্রুপ হল এই কোয়াটারনিয়নগুলির ইউনিটগুলির গ্রুপ, যার ক্রম 12 এবং ভাগফল সহ ক্রম 3-এর একটি স্বাভাবিক উপগোষ্ঠী রয়েছে। পি> 3-এর ক্ষেত্রে জে-ইনভ্যারিয়েন্ট 0 দ্বারা সংজ্ঞায়িত উপবৃত্তাকার বক্ররেখাটি সুপারসিঙ্গুলার হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি জে-ইনভ্যারিয়েন্ট 1728 দ্বারা সংজ্ঞায়িত উপবৃত্তাকার বক্ররেখাটি সুপারসিঙ্গুলার হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি (ওয়াশিংটন 2003,4.35 দেখুন)। দ্বারা প্রদত্ত উপবৃত্তাকার বক্ররেখাটি ননসিঙ্গুলার ওভার। এটি p = 23-এর জন্য সুপারসিঙ্গুলার এবং প্রত্যেকটির জন্য সাধারণ (হার্টশোর্ন 1977,4.23.6 দেখুন)। মডুলার বক্ররেখা X0 (11)-এর জে-ইনভ্যারিয়েন্ট −2121 − 5313 রয়েছে এবং এটি y2 + y = x3 − x2 − 10x − 20 বক্ররেখার সমরূপ। যে মৌলিক সংখ্যাগুলির জন্য এটি সুপারসিঙ্গুলার সেগুলি হল যেগুলির জন্য η (τ) 2η (11τ) 2-এ qp-এর সহগ মড p-কে অদৃশ্য করে দেয় এবং 1,19,29,199,569,809,1289,1439,2539,3319,3559,3919,5519,9419,9539,9929, তালিকা দ্বারা দেওয়া হয়। যদি যুক্তিসঙ্গতগুলির উপর একটি উপবৃত্তাকার বক্ররেখার জটিল গুণন থাকে তবে মৌলিক সংখ্যার যে সেটটির জন্য এটি সুপারসিঙ্গুলার তার ঘনত্ব 1/2। যদি এটির জটিল গুণন না থাকে তবে সের দেখায় যে মৌলিক সংখ্যার যে সেটটির জন্য এটি সুপারসিঙ্গুলার তার ঘনত্ব শূন্য। দেখিয়েছেন যে যুক্তিসঙ্গতগুলির উপর সংজ্ঞায়িত যে কোনও উপবৃত্তাকার বক্ররেখা অসীম সংখ্যক মৌলিক সংখ্যার জন্য সুপারসিঙ্গুলার। শ্রেণীবিভাগ প্রতিটি ধনাত্মক বৈশিষ্ট্যের জন্য সুপারসিঙ্গুলার উপবৃত্তাকার বক্ররেখার সম্ভাব্য জে-ইনভ্যারিয়েন্টের একটি সীমাবদ্ধ সংখ্যা রয়েছে। একটি বীজগাণিতিকভাবে বদ্ধ ক্ষেত্র K-এর উপর একটি উপবৃত্তাকার বক্ররেখা তার জে-ইনভ্যারিয়েন্ট দ্বারা নির্ধারিত হয়, তাই কেবলমাত্র সীমিত সংখ্যক সুপারসিঙ্গুলার উপবৃত্তাকার বক্ররেখা রয়েছে। যদি এই ধরনের প্রতিটি বক্ররেখার ওজন 1/|Aut (E)। দ্বারা করা হয়, তাহলে সুপারসিঙ্গুলার বক্ররেখার মোট ওজন হবে (p-1)/24। উপবৃত্তাকার বক্ররেখার ক্রম 2-এর অটোমরফিজম গ্রুপ রয়েছে যদি না তাদের জে-ইনভ্যারিয়েন্ট 0 বা 1728 হয়, তাই সুপারসিঙ্গুলার উপবৃত্তাকার বক্ররেখা নিম্নরূপ শ্রেণীবদ্ধ করা হয়। অর্ডার 2-এর অটোমরফিজম গ্রুপ সহ ঠিক θp/12 θ সুপারসিঙ্গুলার উপবৃত্তাকার বক্ররেখা রয়েছে। উপরন্তু যদি p ষ্ণ 3 মাত্র 4 হয় তবে একটি সুপারসিঙ্গুলার উপবৃত্তাকার বক্ররেখা (জে-ইনভ্যারিয়েন্ট 1728 সহ) থাকে যার অটোমরফিজম গ্রুপটি চক্রীয় বা ক্রম 4 হয় যদি না পি = 3 হয় তবে এর ক্রম 12 হয় এবং যদি পি ষ্ণ 2 মাত্র 3 হয় তবে একটি সুপারসিঙ্গুলার উপবৃত্তাকার বক্ররেখা (জে-ইনভ্যারিয়েন্ট 0 সহ) থাকে যার অটোমরফিজম গ্রুপটি 6 ক্রমের চক্রীয় হয় যদি না পি = 2 থাকে তবে এই ক্ষেত্রে এটির ক্রম 24 থাকে। 307 পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যার জন্য সুপারসিঙ্গুলার বক্ররেখার সমস্ত জে-ইনভ্যারিয়েন্টের একটি টেবিল দিন। প্রথম কয়েকটি মৌলিক সংখ্যার জন্য সুপারসিঙ্গুলার উপবৃত্তাকার বক্ররেখা নিম্নরূপ দেওয়া হয়েছে। 0 বা 1728 ব্যতীত জে-এর সুপারসিঙ্গুলার মানের সংখ্যা হল (পি-1)/12-এর পূর্ণসংখ্যা অংশ। আরও দেখুন সুপারসিঙ্গুলার প্রাইম (বীজগাণিতিক সংখ্যা তত্ত্ব) সুপারসিঙ্গুলার প্রাইম (চাঁদের আলো তত্ত্ব) সুপারসিঙ্গুলার বৈচিত্র্য রেফারেন্স রবিন হার্টশোর্ন (1977), বীজগাণিতিক জ্যামিতি, স্প্রিংগার। জোসেফ এইচ. সিলভারম্যান (2009), দ্য অ্যারিথমেটিক অফ এলিপটিক কার্ভস, স্প্রিংগার। লরেন্স সি. ওয়াশিংটন (2003), এলিপটিক কার্ভস, চ্যাপম্যান অ্যান্ড হল। উপবৃত্তাকার বক্ররেখা