Convection–diffusion equation
পরিচলন-বিচ্ছুরণ সমীকরণ হল বিচ্ছুরণ এবং পরিচলন (অ্যাডভেশন) সমীকরণের সংমিশ্রণ, এবং ভৌত ঘটনা বর্ণনা করে যেখানে কণা, শক্তি বা অন্যান্য ভৌত পরিমাণ দুটি প্রক্রিয়ার কারণে একটি ভৌত ব্যবস্থার ভিতরে স্থানান্তরিত হয়ঃ বিচ্ছুরণ এবং পরিচলন। প্রসঙ্গের উপর নির্ভর করে, একই সমীকরণকে অ্যাডভেশন-ডিফিউশন সমীকরণ, ড্রিফ্ট-ডিফিউশন সমীকরণ বা (সাধারণ) স্কেলার পরিবহন সমীকরণ বলা যেতে পারে। সমীকরণ সাধারণ সমীকরণ হল যেখানে আগ্রহের পরিবর্তনশীল (ভর স্থানান্তরের জন্য প্রজাতির ঘনত্ব, তাপ স্থানান্তরের জন্য তাপমাত্রা) হল বিচ্ছুরণ (যাকে বিচ্ছুরণ সহগও বলা হয়), যেমন কণার গতির জন্য ভর বিচ্ছুরণ বা তাপ পরিবহনের জন্য তাপ বিচ্ছুরণ, হল বেগ ক্ষেত্র যার সাথে পরিমাণটি চলছে। এটি সময় এবং স্থানের একটি ফাংশন। উদাহরণস্বরূপ, অ্যাডভেক্শনে, একটি নদীতে লবণের ঘনত্ব হতে পারে, এবং তারপর সময় এবং অবস্থানের একটি ফাংশন হিসাবে জল প্রবাহের বেগ হতে পারে। আরেকটি উদাহরণ হতে পারে, একটি শান্ত হ্রদে ছোট বুদ্বুদের ঘনত্ব, এবং তারপর বুদ্বুদের সময় এবং অবস্থানের উপর নির্ভর করে প্লবতা দ্বারা পৃষ্ঠের দিকে ওঠা বুদ্বুদের বেগ (নীচে দেখুন)। ছিদ্রযুক্ত মাধ্যমের মাল্টিফেজ প্রবাহ এবং প্রবাহের জন্য, হল (অনুমানমূলক) উপরিভাগের বেগ। পরিমাণের উৎস বা সিঙ্ক বর্ণনা করে। উদাহরণস্বরূপ, একটি রাসায়নিক প্রজাতির জন্য, এর অর্থ হল যে একটি রাসায়নিক বিক্রিয়া আরও বেশি প্রজাতির সৃষ্টি করছে, এবং এর অর্থ হল যে একটি রাসায়নিক বিক্রিয়া প্রজাতিটিকে ধ্বংস করছে। তাপ পরিবহনের জন্য, ঘর্ষণ দ্বারা তাপীয় শক্তি উৎপন্ন হলে ঘটতে পারে। এটি গ্রেডিয়েন্টের প্রতিনিধিত্ব করে এবং ডাইভারজেন্সের প্রতিনিধিত্ব করে। এই সমীকরণে, ঘনত্বের গ্রেডিয়েন্টকে উপস্থাপন করে। জড়িত পদগুলি বোঝা সমীকরণের ডান দিকটি হল তিনটি অবদানের সমষ্টি। প্রথমটি, বিচ্ছুরণ বর্ণনা করে। কল্পনা করুন যে এটি একটি রাসায়নিকের ঘনত্ব। যখন আশেপাশের এলাকার তুলনায় কোথাও ঘনত্ব কম থাকে (যেমন। একটি স্থানীয় সর্বনিম্ন ঘনত্ব), পদার্থটি চারপাশ থেকে ছড়িয়ে পড়বে, তাই ঘনত্ব বৃদ্ধি পাবে। বিপরীতভাবে, যদি আশেপাশের তুলনায় ঘনত্ব বেশি হয় (যেমন। একটি স্থানীয় সর্বাধিক ঘনত্ব), তারপর পদার্থটি ছড়িয়ে পড়বে এবং ঘনত্ব হ্রাস পাবে। নিট বিচ্ছুরণ ঘনত্বের ল্যাপলেসিয়ান (বা দ্বিতীয় অন্তরজ)-এর সাথে আনুপাতিক হয় যদি বিচ্ছুরণ একটি ধ্রুবক হয়। দ্বিতীয় অবদান,, পরিচলন (বা অ্যাডভেশন) বর্ণনা করে। একটি নদীর তীরে দাঁড়িয়ে প্রতি সেকেন্ডে জলের লবণাক্ততা (লবণের পরিমাণ) পরিমাপ করার কথা কল্পনা করুন। উপরের দিকে, কেউ একজন এক বালতি লবণ নদীতে ফেলে দেয়। কিছুক্ষণ পরে, আপনি দেখতে পাবেন লবণাক্ততার অঞ্চলটি অতিক্রম করার সাথে সাথে লবণাক্ততা হঠাৎ বৃদ্ধি পায়, তারপর পড়ে যায়। সুতরাং, প্রবাহের কারণে একটি নির্দিষ্ট স্থানে ঘনত্ব পরিবর্তিত হতে পারে। চূড়ান্ত অবদান, পরিমাণের সৃষ্টি বা ধ্বংসকে বর্ণনা করে। উদাহরণস্বরূপ, যদি কোনও অণুর ঘনত্ব হয়, তাহলে রাসায়নিক বিক্রিয়ার মাধ্যমে কীভাবে অণু তৈরি বা ধ্বংস করা যায় তা বর্ণনা করুন। এটি এবং অন্যান্য পরামিতিগুলির একটি ফাংশন হতে পারে। প্রায়শই বেশ কয়েকটি পরিমাণ থাকে, যার প্রত্যেকটির নিজস্ব পরিচলন-বিস্তার সমীকরণ রয়েছে, যেখানে একটি পরিমাণের ধ্বংস অন্যটির সৃষ্টি বোঝায়। উদাহরণস্বরূপ, যখন মিথেন পুড়ে যায়, তখন এটি কেবল মিথেন এবং অক্সিজেন ধ্বংস করে না, বরং কার্বন ডাই অক্সাইড এবং জলীয় বাষ্প তৈরি করে। অতএব, যদিও এই রাসায়নিকগুলির প্রত্যেকটির নিজস্ব পরিচলন-বিস্তার সমীকরণ রয়েছে, তবে এগুলি একসাথে যুক্ত এবং একযোগে ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের ব্যবস্থা হিসাবে সমাধান করা আবশ্যক। সাধারণ সরলীকরণ একটি সাধারণ পরিস্থিতিতে, বিচ্ছুরণ সহগ ধ্রুবক, কোনও উৎস বা ডুব নেই, এবং বেগ ক্ষেত্র একটি অসংকুচিত প্রবাহকে বর্ণনা করে (অর্থাৎ, এটির শূন্য বিচ্যুতি রয়েছে)। তারপর সূত্রটি সহজতর হয়ঃ এই রূপে, পরিচলন-বিস্তার সমীকরণ প্যারাবলিক এবং হাইপারবোলিক আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ উভয়কেই একত্রিত করে। অ-মিথস্ক্রিয়াশীল পদার্থে, (উদাহরণস্বরূপ, যখন তাপমাত্রা পরম শূন্যের কাছাকাছি থাকে, তখন পাতলা গ্যাসের ভর বিচ্ছুরণ প্রায় শূন্য হয়), তাই পরিবহন সমীকরণটি সহজঃ অস্থায়ী এবং স্থানিক উভয় ক্ষেত্রেই ফুরিয়ার রূপান্তর ব্যবহার করে (অর্থাৎ, অবিচ্ছেদ্য কার্নেল সহ), এর বৈশিষ্ট্যমূলক সমীকরণ পাওয়া যেতে পারেঃ যা সাধারণ সমাধান দেয়ঃ যেখানে কোনও পার্থক্যযোগ্য স্কেলার ফাংশন রয়েছে। এটি টাইম অফ ফ্লাইট পদ্ধতির মাধ্যমে বোস-আইনস্টাইনের কাছাকাছি ঘনীভূত তাপমাত্রার পরিমাপের ভিত্তি। স্থির সংস্করণ স্থির পরিচলন-বিস্তার সমীকরণ একটি পরিচলন-বিচ্ছুরণ ব্যবস্থার স্থির-অবস্থার আচরণ বর্ণনা করে। একটি স্থির অবস্থায়, সুতরাং সূত্রটি হ 'লঃ উৎপত্তি কন্ভেশন-ডিফ্যুশন সমীকরণটি ধারাবাহিকতা সমীকরণ থেকে সরাসরি উপায়ে উদ্ভূত করা যেতে পারে, যা বলে যে একটি ডিফারেনশিয়াল কন্ট্রোল ভলিউমে একটি স্কেলার পরিমাণের পরিবর্তনের হার নিয়ন্ত্রণ ভলিউমের অভ্যন্তরে যে কোনও প্রজন্ম বা খরচ সহ সিস্টেমের সেই অংশে এবং বাইরে প্রবাহ এবং বিচ্ছুরণ দ্বারা দেওয়া হয়ঃ মোট প্রবাহ কোথায় এবং এর জন্য একটি নেট ভলিউমেট্রিক উৎস। এই পরিস্থিতিতে প্রবাহের দুটি উৎস রয়েছে। প্রথমত, বিচ্ছুরণের কারণে বিচ্ছুরিত প্রবাহ দেখা দেয়। এটি সাধারণত ফিকের প্রথম সূত্র দ্বারা আনুমানিকঃ অর্থাৎ, সিস্টেমের যে কোনও অংশে বিচ্ছুরিত উপাদানের প্রবাহ (বাল্ক গতির সাথে সম্পর্কিত) স্থানীয় ঘনত্বের গ্রেডিয়েন্টের সাথে আনুপাতিক। দ্বিতীয়ত, যখন সামগ্রিক পরিচলন বা প্রবাহ থাকে, তখন অ্যাডভেক্টিভ ফ্লাক্স নামে একটি সম্পর্কিত প্রবাহ থাকেঃ মোট প্রবাহ (একটি স্থির স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায়) এই দুটির সমষ্টি দ্বারা দেওয়া হয়ঃ ধারাবাহিকতা সমীকরণে প্লাগিংঃ জটিল মিশ্রণের ঘটনা সাধারণভাবে,, এবং স্থান এবং সময়ের সাথে পরিবর্তিত হতে পারে। যে ক্ষেত্রে তারা ঘনত্বের উপরও নির্ভর করে, সমীকরণটি অরৈখিক হয়ে যায়, যা তাপ স্থানান্তর গঠনে তাপমাত্রার উপর নির্ভর করে এবং ভর স্থানান্তর গঠনে ঘনত্বের উপর নির্ভর করে প্রতিক্রিয়া-বিচ্ছুরণ প্যাটার্ন গঠনের উপর নির্ভর করে রেলে-বেনার্ড পরিচলন হিসাবে অনেক স্বতন্ত্র মিশ্রণের ঘটনার জন্ম দেয়। কোনও বলের প্রতিক্রিয়ায় বেগ কিছু ক্ষেত্রে, গড় বেগ ক্ষেত্র একটি বলের কারণে বিদ্যমান থাকে; উদাহরণস্বরূপ, সমীকরণটি কোনও তরলে দ্রবীভূত আয়নগুলির প্রবাহকে বর্ণনা করতে পারে, একটি বৈদ্যুতিক ক্ষেত্র আয়নগুলিকে কোনও দিকে টানতে পারে (জেল ইলেক্ট্রোফোরেসিসের মতো)। এই পরিস্থিতিতে, এটিকে সাধারণত ড্রিফ্ট-ডিফিউশন সমীকরণ বা স্মোলুচোভস্কি সমীকরণ বলা হয়, মারিয়ান স্মোলুচোভস্কির পরে যিনি 1915 সালে এটি বর্ণনা করেছিলেন (আইনস্টাইন-স্মোলুচোভস্কি সম্পর্ক বা স্মোলুচোভস্কি জমাট সমীকরণের সাথে বিভ্রান্ত হবেন না)। সাধারণত, গড় বেগ প্রয়োগকৃত বলের সাথে সরাসরি আনুপাতিক, যা সমীকরণ দেয়ঃ বল কোথায়, এবং ঘর্ষণ বা সান্দ্র টানকে চিহ্নিত করে। (বিপরীতটিকে গতিশীলতা বলা হয়।) আইনস্টাইনের সম্পর্কের উৎপত্তি যখন বলটি একটি সম্ভাব্য শক্তির সাথে যুক্ত হয় (রক্ষণশীল বল দেখুন), উপরের সমীকরণের একটি স্থির-অবস্থা সমাধান (অর্থাৎ) is: (ধরে নেওয়া এবং ধ্রুবক)। অন্য কথায়, আরও বেশি কণা রয়েছে যেখানে শক্তি কম। এই ঘনত্বের রূপরেখাটি বোল্টজম্যান বিতরণের সাথে একমত হবে বলে আশা করা হচ্ছে (আরও সুনির্দিষ্টভাবে, গিবস পরিমাপ)। এই অনুমান থেকে, আইনস্টাইনের সম্পর্ক প্রমাণিত হতে পারেঃ স্মোলুচোভস্কি পরিচলন-বিস্তার সমীকরণ স্মোলুচোভস্কি পরিচলন-বিস্তার সমীকরণ একটি অতিরিক্ত পরিচলন প্রবাহ-ক্ষেত্র সহ একটি স্টোকাস্টিক (স্মোলুচোভস্কি) বিস্তার সমীকরণ, এই ক্ষেত্রে, বলটি দুটি কোলয়েডাল কণার মধ্যে রক্ষণশীল আন্তঃকণা মিথস্ক্রিয়া বল বা তরলের দুটি অণুর মধ্যে আন্তঃআণবিক মিথস্ক্রিয়া বলকে বর্ণনা করে এবং এটি বাহ্যিকভাবে আরোপিত প্রবাহ বেগের সাথে সম্পর্কিত নয়। এই সমীকরণের স্থির-অবস্থা সংস্করণটি শিয়ার প্রবাহের অধীনে কোলয়েডাল সাসপেনশনের জোড়া বিতরণ ফাংশন (যার সাথে চিহ্নিত করা যেতে পারে) এর বিবরণ প্রদানের ভিত্তি। এই সমীকরণের স্থির-অবস্থা সংস্করণের একটি আনুমানিক সমাধান মিলে যাওয়া অ্যাসিম্পটোটিক সম্প্রসারণের পদ্ধতি ব্যবহার করে পাওয়া গেছে। এই সমাধানটি শিয়ার প্রবাহে দুটি অণুর পরিবহন-নিয়ন্ত্রিত প্রতিক্রিয়া হারের জন্য একটি তত্ত্ব সরবরাহ করে এবং শিয়ার প্রবাহের সাপেক্ষে কোলয়েডাল সিস্টেমে কোলয়েডাল স্থিতিশীলতার ডিএলভিও তত্ত্বকে প্রসারিত করার একটি উপায়ও সরবরাহ করে। মাইক্রোফ্লুইডিক্স, রাসায়নিক চুল্লি, পরিবেশগত প্রবাহ)। অ্যালেসিও জ্যাকোন এবং এল. ব্যানেটা মিলে যাওয়া অ্যাসিম্পটোটিক সম্প্রসারণ পদ্ধতি ব্যবহার করে প্রাপ্ত স্থির-অবস্থা সমীকরণের সম্পূর্ণ সমাধানটি তৈরি করেছেন শিয়ার প্রবাহে লেনার্ড-জোন্স মিথস্ক্রিয়াশীল কণাগুলির জোড়া বিতরণ ফাংশন গণনা করার জন্য এবং পরবর্তীকালে শিয়ার প্রবাহে চার্জ-স্থিতিশীল (ইউকাওয়া বা ডেবি-হ্যাকেল) কোলয়েডাল কণাগুলির জোড়া বিতরণ ফাংশন গণনা করার জন্য প্রসারিত করা হয়েছে। একটি স্টোকাস্টিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ হিসাবে পরিচলন-বিচ্ছুরণ সমীকরণকে (কোনও উৎস বা নিষ্কাশন ছাড়াই) একটি স্টোকাস্টিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ হিসাবে দেখা যেতে পারে, যা বিচ্ছুরণ এবং পক্ষপাতের সাথে এলোমেলো গতি বর্ণনা করে। উদাহরণস্বরূপ, সমীকরণটি একটি একক কণার ব্রাউনিয়ান গতি বর্ণনা করতে পারে, যেখানে পরিবর্তনশীল একটি নির্দিষ্ট সময়ে একটি নির্দিষ্ট অবস্থানে কণার সম্ভাব্যতা বিতরণ বর্ণনা করে। সমীকরণটি এইভাবে ব্যবহার করা যেতে পারে কারণ একটি একক কণার সম্ভাব্যতা বন্টন এবং অসীম সংখ্যক কণার সংগ্রহের ঘনত্ব প্রোফাইলের মধ্যে কোনও গাণিতিক পার্থক্য নেই (যতক্ষণ না কণাগুলি একে অপরের সাথে যোগাযোগ করে না)। ল্যাঙ্গেভিন সমীকরণটি অ্যাডভেশন, ডিফিউশন এবং অন্যান্য ঘটনাগুলিকে স্পষ্টভাবে স্টোকাস্টিক উপায়ে বর্ণনা করে। ল্যাঙ্গেভিন সমীকরণের সহজতম রূপগুলির মধ্যে একটি হল যখন এর "গোলমাল শব্দ" গাউসিয়ান হয়; এই ক্ষেত্রে, ল্যাঙ্গেভিন সমীকরণটি পরিচলন-বিস্তার সমীকরণের ঠিক সমতুল্য। তবে, ল্যাঙ্গেভিন সমীকরণটি আরও সাধারণ। সংখ্যাসূচক সমাধান পরিচলন-বিস্তার সমীকরণ খুব কমই একটি কলম এবং কাগজ দিয়ে সমাধান করা যেতে পারে। প্রায়শই, সাধারণত সসীম উপাদান পদ্ধতি ব্যবহার করে সমীকরণের সমাধানটি সংখ্যাসূচকভাবে আনুমানিক করতে কম্পিউটার ব্যবহার করা হয়। আরও বিশদ বিবরণ এবং অ্যালগরিদমের জন্য দেখুনঃ পরিচলন-বিস্তার সমীকরণের সংখ্যাসূচক সমাধান। অন্যান্য প্রসঙ্গে অনুরূপ সমীকরণ পরিবাহিতা-বিচ্ছুরণ সমীকরণ হল একটি তুলনামূলকভাবে সহজ সমীকরণ যা প্রবাহকে বর্ণনা করে, বা বিকল্পভাবে, একটি স্থির-পরিবর্তনশীল ব্যবস্থাকে বর্ণনা করে। অতএব, একই বা অনুরূপ সমীকরণ অনেক প্রসঙ্গে উদ্ভূত হয় যা স্থানের মধ্য দিয়ে প্রবাহের সাথে সম্পর্কিত নয়। এটি একটি কণার বেগের জন্য ফকার-প্ল্যাঙ্ক সমীকরণের সাথে আনুষ্ঠানিকভাবে অভিন্ন। এটি আর্থিক গণিতে ব্ল্যাক-স্কোলস সমীকরণ এবং অন্যান্য সমীকরণের সাথে ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত। এটি নেভিয়ার-স্টোকস সমীকরণের সাথে ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত, কারণ একটি তরলে ভরবেগ প্রবাহ গাণিতিকভাবে ভর বা শক্তির প্রবাহের অনুরূপ। একটি অসংকুচিত নিউটনীয় তরলের ক্ষেত্রে যোগাযোগটি সবচেয়ে স্পষ্ট, এই ক্ষেত্রে নেভিয়ার-স্টোকস সমীকরণটি হলঃ যেখানে প্রতিটি বিন্দুতে তরলের ভরবেগ (প্রতি একক আয়তনে) (বেগ দ্বারা গুণিত ঘনত্বের সমান), সান্দ্রতা, তরল চাপ এবং মাধ্যাকর্ষণের মতো অন্য কোনও বস্তু বল। এই সমীকরণে, বাম দিকের শব্দটি একটি নির্দিষ্ট বিন্দুতে ভরবেগের পরিবর্তন বর্ণনা করে; ডান দিকের প্রথম পদটি সান্দ্রতা দ্বারা ভরবেগের বিস্তার বর্ণনা করে; ডান দিকের দ্বিতীয় পদটি ভরবেগের অ্যাডভেক্টিভ প্রবাহ বর্ণনা করে; এবং ডান দিকের শেষ দুটি পদ বাহ্যিক এবং অভ্যন্তরীণ শক্তিকে বর্ণনা করে যা ভরবেগের উৎস বা ডুব হিসাবে কাজ করতে পারে। সেমিকন্ডাক্টর পদার্থবিজ্ঞানে, এই সমীকরণটিকে ড্রিফ্ট-ডিফিউশন সমীকরণ বলা হয়। "ড্রিফ্ট" শব্দটি ড্রিফ্ট কারেন্ট এবং ড্রিফ্ট বেগের সাথে সম্পর্কিত। সমীকরণটি সাধারণত লেখা হয়ঃ যেখানে এবং যেখানে ইলেকট্রন এবং গর্তের ঘনত্ব (ঘনত্ব) যথাক্রমে প্রাথমিক চার্জ, এবং যথাক্রমে ইলেকট্রন এবং গর্তের কারণে বৈদ্যুতিক স্রোত, এবং যথাক্রমে ইলেকট্রন এবং গর্তের সংশ্লিষ্ট "কণা স্রোত", বাহক উৎপাদন এবং পুনর্মিলনের প্রতিনিধিত্ব করে (ইলেক্ট্রন-গর্ত জোড়া উৎপাদনের জন্য, পুনর্মিলনের জন্য)। এটি বৈদ্যুতিক ক্ষেত্রের ভেক্টর এবং ইলেক্ট্রন এবং গর্তের গতিশীলতা। বিস্তার সহগ এবং গতিশীলতা উপরের মত আইনস্টাইনের সম্পর্ক দ্বারা সম্পর্কিতঃ যেখানে বোল্টজম্যান ধ্রুবক এবং পরম তাপমাত্রা। ড্রিফ্ট কারেন্ট এবং ডিফিউশন কারেন্ট পৃথকভাবে দুটি পদকে বোঝায়, যথাঃ এই সমীকরণটি পয়সনের সমীকরণের সাথে সংখ্যাসূচকভাবে সমাধান করা যেতে পারে। ড্রিফ্ট ডিফিউশন সমীকরণ সমাধানের ফলাফলের একটি উদাহরণ ডানদিকে দেখানো হয়েছে। যখন অর্ধপরিবাহীর কেন্দ্রে আলো জ্বলজ্বল করে, তখন মাঝখানে বাহক তৈরি হয় এবং দুটি প্রান্তের দিকে ছড়িয়ে পড়ে। এই কাঠামোতে প্রবাহ-বিস্তার সমীকরণটি সমাধান করা হয় এবং ইলেক্ট্রন ঘনত্বের বন্টন চিত্রটিতে প্রদর্শিত হয়। কেন্দ্র থেকে দুই প্রান্তের দিকে বাহকের ঢাল দেখা যায়। আরও দেখুন উন্নত সিমুলেশন গ্রন্থাগার সংরক্ষণ সমীকরণ অসংকুচিত নেভিয়ার-স্টোকস সমীকরণ নের্নস্ট-প্ল্যাঙ্ক সমীকরণ দ্বিগুণ বিচ্ছুরিত পরিচলন প্রাকৃতিক পরিচলন বাকলি-লেভারেট সমীকরণ রেফারেন্স আরও পড়া বিচ্ছুরিত প্যারাবলিক আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ স্টোকাস্টিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ পরিবহন ঘটনা পদার্থবিজ্ঞানের সমীকরণ