Barnes integral
গণিতে, বার্নস ইন্টিগ্রাল বা মেলিন-বার্নস ইন্টিগ্রাল হল একটি কনট্যুর ইন্টিগ্রাল যা গামা ফাংশনের একটি গুণফলের সাথে জড়িত। তাঁদের পরিচয় করিয়ে দেওয়া হয়। এগুলি সাধারণীকৃত হাইপারজিওমেট্রিক সিরিজের সাথে ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত। ইন্টিগ্রালটি সাধারণত একটি কনট্যুর বরাবর নেওয়া হয় যা কাল্পনিক অক্ষের একটি বিকৃতি যা সমস্ত মেরুগুলির ডানদিকে এবং সমস্ত মেরুগুলির বামদিকে প্রবাহিত হয়। হাইপারজিওমেট্রিক সিরিজ হাইপারজিওমেট্রিক ফাংশনটি বার্নস ইন্টিগ্রাল হিসাবে দেওয়া হয়েছে। এই সমতা পাওয়া যেতে পারে s = 0,1,2, এ অবশিষ্টাংশগুলি তুলে নেওয়ার সময় ডানদিকে কনট্যুরটি সরানোর মাধ্যমে। জন্য, এবং অন্যত্র বিশ্লেষণাত্মক ধারাবাহিকতা দ্বারা। সঠিক অভিসারের অবস্থার পরিপ্রেক্ষিতে, বার্নসের আরও সাধারণ ইন্টিগ্রাল এবং সাধারণীকৃত হাইপারজিওমেট্রিক ফাংশন pFq-কে একইভাবে সম্পর্কিত করা যেতে পারে। প্রথম বার্নস লেম্মা বলেছেন যে এটি গাউসের 2এফ1 সমষ্টি সূত্রের একটি এনালগ, এবং ইউলারের বিটা ইন্টিগ্রালের একটি এক্সটেনশন। এর অবিচ্ছেদ্য অংশকে কখনও কখনও বার্নস বিটা অবিচ্ছেদ্য বলা হয়। দ্বিতীয় বার্নস লেম্মাতে বলা হয়েছে যেখানে e = a + b + c − d + 1। এটি সালশুটজের যোগসূত্রের অনুরূপ। মৌলিক হাইপারজিওমেট্রিক সিরিজের জন্য বার্নস ইন্টিগ্রালের সাদৃশ্য রয়েছে এবং অন্যান্য অনেক ফলাফলও এই ক্ষেত্রে প্রসারিত করা যেতে পারে। রেফারেন্স (2008 সালের একটি পেপারব্যাক রয়েছে) বিশেষ ফাংশন হাইপারজিওমেট্রিক ফাংশন