Steinitz's theorem
গণিতের একটি শাখা পলিহেড্রাল কম্বিনেটরিক্সে, স্টেনিৎজের উপপাদ্যটি ত্রিমাত্রিক উত্তল পলিহেড্রার প্রান্ত এবং শীর্ষগুলি দ্বারা গঠিত অনির্দিষ্ট গ্রাফগুলির একটি বৈশিষ্ট্যঃ এগুলি ঠিক 3-ভার্টেক্স-সংযুক্ত সমতলীয় গ্রাফ। অর্থাৎ, প্রতিটি উত্তল পলিহেড্রন একটি 3-সংযুক্ত সমতলীয় গ্রাফ গঠন করে এবং প্রতিটি 3-সংযুক্ত সমতলীয় গ্রাফকে একটি উত্তল পলিহেড্রনের গ্রাফ হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে। এই কারণে, 3-সংযুক্ত সমতলীয় গ্রাফগুলি পলিহেড্রাল গ্রাফ নামেও পরিচিত। এই ফলাফলটি ত্রিমাত্রিক উত্তল পলিহেড্রার জন্য একটি শ্রেণিবিন্যাস উপপাদ্য প্রদান করে, যা উচ্চতর মাত্রায় জানা যায় না। এটি এই পলিহেড্রাগুলির গ্রাফগুলির একটি সম্পূর্ণ এবং বিশুদ্ধভাবে সমন্বিত বিবরণ প্রদান করে, যা তাদের উপর অন্যান্য ফলাফলের অনুমতি দেয়, যেমন প্রদত্ত ধরনের মুখগুলির সাথে পলিহেড্রার উপলব্ধির উপর এবারহার্ডের উপপাদ্য, এই আকারগুলির জ্যামিতির উল্লেখ ছাড়াই আরও সহজে প্রমাণিত হতে পারে। উপরন্তু, বিমূর্ত গ্রাফের ত্রিমাত্রিক দৃশ্যায়ন নির্মাণের উপায় হিসাবে এটি গ্রাফ অঙ্কনে প্রয়োগ করা হয়েছে। ব্র্যাঙ্কো গ্রুনবাম এই উপপাদ্যটিকে "3-পলিটোপগুলির উপর সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ এবং গভীরতম জ্ঞাত ফলাফল" বলে অভিহিত করেছেন। উপপাদ্যটি 1922 সালে আর্নস্ট স্টেনিৎজের একটি প্রকাশনায় প্রকাশিত হয়, যার নামে এর নামকরণ করা হয়েছে। এটি গাণিতিক প্রবর্তন দ্বারা প্রমাণিত হতে পারে (যেমন স্টেনিৎজ করেছিলেন), একটি দ্বিমাত্রিক স্প্রিং সিস্টেমের ন্যূনতম-শক্তি অবস্থা খুঁজে বের করে এবং ফলাফলকে তিন মাত্রায় উন্নীত করে, অথবা বৃত্ত প্যাকিং উপপাদ্য ব্যবহার করে। উপপাদ্যটির বেশ কয়েকটি সম্প্রসারণ জানা যায়, যেখানে প্রদত্ত গ্রাফটি উপলব্ধি করে এমন পলিহেড্রনের অতিরিক্ত সীমাবদ্ধতা রয়েছে; উদাহরণস্বরূপ, প্রতিটি পলিহেড্রাল গ্রাফ হল পূর্ণসংখ্যা স্থানাঙ্ক সহ একটি উত্তল পলিহেড্রনের গ্রাফ, বা একটি উত্তল পলিহেড্রনের গ্রাফ যার সমস্ত প্রান্ত একটি সাধারণ মধ্যগোলকের স্পর্শক। উপপাদ্যটির সংজ্ঞা এবং বিবৃতি একটি অনির্দিষ্ট গ্রাফ হল শীর্ষ এবং প্রান্তের একটি ব্যবস্থা, যার প্রতিটি প্রান্ত দুটি শীর্ষকে সংযুক্ত করে। গ্রাফ তত্ত্বে যেমন প্রচলিত, স্টেনিৎজের উপপাদ্যের উদ্দেশ্যে এই গ্রাফগুলি সীমাবদ্ধ (শীর্ষ এবং প্রান্তগুলি সীমাবদ্ধ সেট) এবং সহজ (কোনও দুটি প্রান্ত একই দুটি শীর্ষকে সংযুক্ত করে না এবং কোনও প্রান্ত একটি শীর্ষকে নিজের সাথে সংযুক্ত করে না) সীমাবদ্ধ। যে কোনও পলিহেড্রন থেকে একটি গ্রাফ তৈরি করা যেতে পারে, গ্রাফের শীর্ষগুলি পলিহেড্রনের শীর্ষগুলির সাথে সামঞ্জস্য রেখে এবং যে কোনও দুটি গ্রাফের শীর্ষগুলিকে একটি প্রান্ত দ্বারা সংযুক্ত করে যখনই সংশ্লিষ্ট দুটি পলিহেড্রন শীর্ষগুলি পলিহেড্রনের প্রান্তের শেষ বিন্দু হয়। এই গ্রাফটি পলিহেড্রনের কঙ্কাল হিসাবে পরিচিত। একটি গ্রাফ সমতল হয় যদি এটি ইউক্লিডীয় সমতলে বিন্দু হিসাবে তার শীর্ষগুলি দিয়ে আঁকা যায়, এবং তার প্রান্তগুলি বক্ররেখা হিসাবে যা এই বিন্দুগুলিকে সংযুক্ত করে, যেমন কোনও দুটি প্রান্তের বক্ররেখা একে অপরকে অতিক্রম করে না এবং এমনভাবে যে একটি শীর্ষের প্রতিনিধিত্বকারী বিন্দু বক্ররেখার উপর অবস্থিত যখন শীর্ষটি প্রান্তের শেষ বিন্দু হয়। ফ্যারির উপপাদ্য অনুসারে, প্রতিটি সমতলীয় অঙ্কনকে সোজা করা যেতে পারে যাতে প্রান্তের প্রতিনিধিত্বকারী বক্ররেখা রেখাখন্ড হয়। একটি গ্রাফ 3-সংযুক্ত হয় যদি এটির তিনটি শীর্ষের বেশি থাকে এবং এর যে কোনও দুটি শীর্ষ অপসারণের পরে, অন্য যে কোনও জোড়া শীর্ষ একটি পথ দ্বারা সংযুক্ত থাকে। স্টেনিৎজের উপপাদ্য বলে যে এই দুটি শর্ত ত্রিমাত্রিক উত্তল পলিহেড্রার কঙ্কাল চিহ্নিত করার জন্য প্রয়োজনীয় এবং যথেষ্টঃ একটি প্রদত্ত গ্রাফ একটি উত্তল ত্রিমাত্রিক পলিহেড্রনের গ্রাফ, যদি এবং শুধুমাত্র যদি সমতলীয় এবং 3-ভার্টেক্স-সংযুক্ত থাকে। প্রমাণ স্টেনিৎজের উপপাদ্যের একটি দিক (প্রমাণ করার সহজ দিক) বলে যে প্রতিটি উত্তল পলিহেড্রনের গ্রাফ সমতলীয় এবং 3-সংযুক্ত। চিত্রে যেমন দেখানো হয়েছে, শ্লেগেল রেখাচিত্র ব্যবহার করে সমতলীয়তা দেখানো যেতে পারেঃ যদি কেউ পলিহেড্রনের এক মুখের কাছে একটি আলোর উৎস স্থাপন করে এবং অন্য দিকে একটি সমতল স্থাপন করে, তবে পলিহেড্রন প্রান্তের ছায়া একটি সমতলীয় গ্রাফ তৈরি করবে, যাতে প্রান্তগুলি সরল রেখার অংশ হয়। পলিহেড্রাল গ্রাফের 3-সংযোগ বালিনস্কির উপপাদ্যের একটি বিশেষ উদাহরণ যে কোনও-মাত্রিক উত্তল পলিটোপের গ্রাফ-সংযুক্ত। একটি পলিটোপের গ্রাফের সংযোগ, তার যে কোনও শীর্ষস্থান অপসারণের পরে, আরও একটি শীর্ষস্থান বেছে নিয়ে, একটি রৈখিক ফাংশন খুঁজে বের করে যা শীর্ষস্থানের ফলস্বরূপ সেটটিতে শূন্য, এবং সিম্প্লেক্স পদ্ধতি দ্বারা উত্পন্ন পথগুলি অনুসরণ করে প্রতিটি শীর্ষস্থানকে রৈখিক ফাংশনের দুটি চূড়ান্ত শীর্ষস্থানের মধ্যে একটির সাথে সংযুক্ত করতে পারে, নির্বাচিত শীর্ষস্থানটি উভয়ের সাথে সংযুক্ত থাকে। স্টেনিৎজের উপপাদ্যের অন্য দিকটি, আরও কঠিন, বলে যে প্রতিটি সমতলীয় 3-সংযুক্ত গ্রাফ একটি উত্তল পলিহেড্রনের গ্রাফ। এই অংশের জন্য তিনটি আদর্শ পদ্ধতি রয়েছেঃ প্রবর্তন দ্বারা প্রমাণ, ম্যাক্সওয়েল-ক্রেমোনা চিঠিপত্র ব্যবহার করে দ্বি-মাত্রিক টুটে এম্বেডিংকে তিন মাত্রায় উত্তোলন করা এবং একটি ক্যানোনিকাল পলিহেড্রন তৈরি করার জন্য বৃত্ত প্যাকিং উপপাদ্য ব্যবহার করার পদ্ধতি। যদিও স্টেনিৎজের মূল প্রমাণটি গ্রাফ তত্ত্বের পরিপ্রেক্ষিতে প্রকাশ করা হয়নি, তবে এটি সেই পদগুলিতে পুনর্লিখন করা যেতে পারে এবং এতে α-Y এবং Y-α রূপান্তরগুলির একটি ক্রম খুঁজে বের করা জড়িত যা যে কোনও 3-সংযুক্ত সমতলীয় গ্রাফকে টেট্রাহেড্রনের গ্রাফে হ্রাস করে। একটি ওয়াই-ডি রূপান্তর একটি গ্রাফ থেকে একটি ডিগ্রি-তিন শীর্ষকে সরিয়ে দেয়, যদি সেই প্রান্তগুলি ইতিমধ্যে বিদ্যমান না থাকে তবে তার সমস্ত প্রাক্তন প্রতিবেশীদের মধ্যে প্রান্ত যোগ করে; বিপরীত রূপান্তর, একটি ওয়াই-ওয়াই রূপান্তর, একটি গ্রাফ থেকে একটি ত্রিভুজের প্রান্তগুলি সরিয়ে দেয় এবং একই তিনটি শীর্ষ সংলগ্ন একটি নতুন ডিগ্রি-তিন শীর্ষ দ্বারা তাদের প্রতিস্থাপন করে। একবার এই ধরনের ক্রম পাওয়া গেলে, এটি বিপরীত হতে পারে এবং জ্যামিতিক ক্রিয়াকলাপে রূপান্তরিত হতে পারে যা একটি টেট্রাহেড্রন থেকে শুরু করে ধাপে ধাপে পছন্দসই পলিহেড্রন তৈরি করে। একটি পলিহেড্রন থেকে একটি ডিগ্রি-তিন শীর্ষকে কেটে বিপরীত ক্রমে প্রতিটি Y-δ রূপান্তর জ্যামিতিকভাবে করা যেতে পারে। একটি পলিহেড্রন থেকে একটি ত্রিভুজাকার মুখ সরিয়ে এবং তার প্রতিবেশী মুখগুলি যেখানে তারা মিলিত হয় সেই বিন্দু পর্যন্ত প্রসারিত করে বিপরীত ক্রমে একটি δ-Y রূপান্তর জ্যামিতিকভাবে সঞ্চালিত করা যেতে পারে, তবে কেবল তখনই যখন তিনটি প্রতিবেশী মুখের সেই ট্রিপল ছেদ বিন্দুটি পলিহেড্রন থেকে সরানো মুখের দূরবর্তী দিকে থাকে। যখন ট্রিপল ছেদ বিন্দুটি এই মুখের দূরবর্তী অংশে থাকে না, তখন পলিহেড্রনের একটি প্রজেক্টিভ রূপান্তর এটিকে সঠিক দিকে নিয়ে যাওয়ার জন্য যথেষ্ট। অতএব, একটি প্রদত্ত গ্রাফকে হ্রাস করার জন্য প্রয়োজনীয় α-Y এবং Y-α রূপান্তরের সংখ্যার উপর আনয়ন দ্বারা, প্রতিটি পলিহেড্রাল গ্রাফকে পলিহেড্রন হিসাবে উপলব্ধি করা যেতে পারে। এপিফানভের পরবর্তী একটি কাজ স্টেনিৎজের প্রমাণকে শক্তিশালী করেছিল যে প্রতিটি পলিহেড্রাল গ্রাফকে α-Y এবং Y-α রূপান্তর দ্বারা হ্রাস করা যেতে পারে। এপিফানভ প্রমাণ করেন যে, যদি একটি সমতলীয় আলেখ্যে দুটি শীর্ষ নির্দিষ্ট করা হয়, তবে α-Y এবং Y-α রূপান্তরকে সিরিজ-সমান্তরাল হ্রাসের সাথে একত্রিত করে আলেখ্যটিকে সেই প্রান্তগুলির মধ্যে একক প্রান্তে হ্রাস করা যেতে পারে। এপিফানভের প্রমাণ জটিল এবং অ-গঠনমূলক ছিল, তবে গ্রাফ মাইনরের উপর ভিত্তি করে পদ্ধতি ব্যবহার করে ট্রুমপার দ্বারা এটি সরলীকৃত হয়েছিল। ট্রুয়েম্পার পর্যবেক্ষণ করেছেন যে প্রতিটি গ্রিড গ্রাফ এইভাবে α-Y এবং Y-α রূপান্তর দ্বারা হ্রাসযোগ্য, এই হ্রাসযোগ্যতা গ্রাফ মাইনর দ্বারা সংরক্ষিত হয় এবং প্রতিটি প্ল্যানার গ্রাফ একটি গ্রিড গ্রাফের একটি মাইনর। এই ধারণাটি স্টেনিৎজের লেম্মাকে প্রতিস্থাপন করতে ব্যবহার করা যেতে পারে যে একটি হ্রাস ক্রম বিদ্যমান। এই প্রতিস্থাপনের পরে, বাকি প্রমাণটি স্টেনিৎজের মূল প্রমাণের মতো একইভাবে ইন্ডাকশন ব্যবহার করে করা যেতে পারে। এই প্রমাণগুলির জন্য, α-Y এবং Y-α রূপান্তরগুলির ক্রম খুঁজে বের করার যে কোনও উপায় ব্যবহার করে, পলিহেড্রাল গ্রাফ রয়েছে যার জন্য একটি অরৈখিক সংখ্যক ধাপের প্রয়োজন হয়। আরও সুনির্দিষ্টভাবে বলতে গেলে, প্রতিটি সমতলীয় গ্রাফকে সর্বাধিক আনুপাতিকভাবে বেশ কয়েকটি ধাপ ব্যবহার করে হ্রাস করা যেতে পারে এবং অসীম সংখ্যক গ্রাফের জন্য কমপক্ষে আনুপাতিকভাবে বেশ কয়েকটি ধাপের প্রয়োজন হয়, যেখানে গ্রাফের শীর্ষগুলির সংখ্যা কোথায়। আনয়ন প্রমাণের একটি বিকল্প রূপ হল প্রান্তগুলি অপসারণ (এবং এই অপসারণের পরে অবশিষ্ট থাকতে পারে এমন ডিগ্রি-দুই শীর্ষগুলি সংকুচিত করা) বা প্রান্তগুলি সংকুচিত করা এবং প্রদত্ত সমতলীয় গ্রাফের একটি ছোট আকার গঠনের উপর ভিত্তি করে। যে কোনও পলিহেড্রাল গ্রাফকে এই ক্রিয়াকলাপগুলির একটি রৈখিক সংখ্যা দ্বারা হ্রাস করা যেতে পারে এবং আবার ক্রিয়াকলাপগুলি বিপরীত করা যেতে পারে এবং বিপরীত ক্রিয়াকলাপগুলি জ্যামিতিকভাবে সঞ্চালিত হয়, যা গ্রাফের একটি পলিহেড্রাল উপলব্ধি দেয়। যাইহোক, যদিও এটি প্রমাণ করা সহজ যে এই ধরনের যুক্তির জন্য একটি হ্রাস ক্রম বিদ্যমান, এবং হ্রাস ক্রমগুলি সংক্ষিপ্ত, ক্রমটি বিপরীত করার জন্য প্রয়োজনীয় জ্যামিতিক পদক্ষেপগুলি আরও জটিল। উত্তোলন সরলরেখার প্রান্ত সহ সমতলে যদি একটি গ্রাফ আঁকা হয়, তবে একটি ভারসাম্য চাপকে প্রান্তগুলিতে অ-শূন্য বাস্তব সংখ্যার (ওজন) বরাদ্দ হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়, যার বৈশিষ্ট্য হল প্রতিটি শীর্ষ তার প্রতিবেশীদের ওজনযুক্ত গড় দ্বারা প্রদত্ত অবস্থানে রয়েছে। ম্যাক্সওয়েল-ক্রেমোনা চিঠিপত্র অনুসারে, একটি ভারসাম্য চাপকে একটি খণ্ডিত রৈখিক অবিচ্ছিন্ন ত্রিমাত্রিক পৃষ্ঠে এমনভাবে উত্তোলন করা যেতে পারে যাতে পৃষ্ঠের সমতল অংশগুলির মধ্যে সীমানা গঠনকারী প্রান্তগুলি প্রদত্ত অঙ্কনের সাথে মিলিত হয়। প্রতিটি প্রান্তের ওজন এবং দৈর্ঘ্য প্রান্তের উভয় পাশের পৃষ্ঠের ঢালের পার্থক্য নির্ধারণ করে এবং প্রতিটি শীর্ষ তার প্রতিবেশীদের সাথে ভারসাম্যে থাকার শর্তটি এই অবস্থার সমতুল্য যে এই ঢালের পার্থক্যগুলি পৃষ্ঠকে সঠিকভাবে মিলিত করে। ধনাত্মক ওজন খণ্ডিত রৈখিক পৃষ্ঠের দুটি মুখের মধ্যে উত্তল ডাইহেড্রাল কোণে রূপান্তরিত হয় এবং ঋণাত্মক ওজন অবতল ডাইহেড্রাল কোণে রূপান্তরিত হয়। বিপরীতভাবে, প্রতিটি অবিচ্ছিন্ন পিসওয়াইজ-লিনিয়ার পৃষ্ঠ এইভাবে একটি ভারসাম্য চাপ থেকে আসে। যদি একটি সীমাবদ্ধ সমতলীয় গ্রাফ আঁকা হয় এবং একটি ভারসাম্য চাপ এমনভাবে দেওয়া হয় যাতে অঙ্কনের সমস্ত অভ্যন্তরীণ প্রান্তের ধনাত্মক ওজন থাকে এবং সমস্ত বাহ্যিক প্রান্তের ঋণাত্মক ওজন থাকে, তবে এই চাপটিকে এইভাবে একটি ত্রিমাত্রিক পৃষ্ঠে অনুবাদ করে এবং তারপরে একই সমতলে তার পরিপূরক দ্বারা গ্রাফের বাইরের প্রতিনিধিত্বকারী সমতল পৃষ্ঠকে প্রতিস্থাপন করে, একজন একটি উত্তল পলিহেড্রন অর্জন করে, অতিরিক্ত বৈশিষ্ট্য সহ যে সমতলে তার লম্ব অভিক্ষেপের কোনও ক্রসিং নেই। ম্যাক্সওয়েল-ক্রেমোনা চিঠিপত্রটি পলিহেড্রাল গ্রাফের পলিহেড্রাল উপলব্ধি অর্জনের জন্য ডাব্লু. টি. টুটের প্ল্যানার গ্রাফ অঙ্কন পদ্ধতির সাথে একত্রিত করে ব্যবহার করা হয়েছে, যা টুট এম্বেডিং। টুট্টের পদ্ধতিটি একটি পলিহেড্রাল গ্রাফের একটি মুখ সমতলের উত্তল অবস্থানে স্থির করে শুরু হয়। এই মুখটি একটি গ্রাফের অঙ্কনের বাইরের মুখ হয়ে উঠবে। এই পদ্ধতিটি শীর্ষ স্থানাঙ্কে রৈখিক সমীকরণের একটি ব্যবস্থা স্থাপন করে অব্যাহত থাকে, যা অনুসারে প্রতিটি অবশিষ্ট শীর্ষকে তার প্রতিবেশীদের গড় হিসাবে স্থাপন করা উচিত। তারপর টুটে যেমন দেখিয়েছেন, সমীকরণের এই পদ্ধতির একটি অনন্য সমাধান থাকবে যেখানে গ্রাফের প্রতিটি মুখ একটি উত্তল বহুভুজ হিসাবে আঁকা হবে। স্বজ্ঞাতভাবে, এই সমাধানটি সেই প্যাটার্নটি বর্ণনা করে যা গ্রাফের অভ্যন্তরীণ প্রান্তগুলিকে আদর্শ স্প্রিংস দ্বারা প্রতিস্থাপন করে এবং তাদের ন্যূনতম-শক্তি অবস্থায় স্থির হতে দিয়ে প্রাপ্ত হবে। ফলাফলটি প্রায় একটি ভারসাম্য চাপঃ যদি প্রতিটি অভ্যন্তরীণ প্রান্তে একটি করে ওজন বরাদ্দ করা হয়, তবে অঙ্কনের প্রতিটি অভ্যন্তরীণ শীর্ষে ভারসাম্য থাকে। যাইহোক, বাইরের প্রান্তে ঋণাত্মক সংখ্যা নির্ধারণ করা সবসময় সম্ভব নয় যাতে তারাও ভারসাম্যে থাকে। বাইরের মুখটি যখন একটি ত্রিভুজ হয় তখন এই ধরনের অ্যাসাইনমেন্ট সর্বদা সম্ভব হয় এবং তাই এই পদ্ধতিটি ত্রিভুজাকার মুখযুক্ত যে কোনও পলিহেড্রাল গ্রাফ উপলব্ধি করতে ব্যবহার করা যেতে পারে। যদি একটি পলিহেড্রাল গ্রাফে একটি ত্রিভুজাকার মুখ না থাকে, তবে এর দ্বৈত গ্রাফে একটি ত্রিভুজ থাকে এবং এটি পলিহেড্রালও হয়, তাই কেউ এইভাবে দ্বৈতকে উপলব্ধি করতে পারে এবং তারপরে মূল গ্রাফটিকে দ্বৈত উপলব্ধির মেরু পলিহেড্রন হিসাবে উপলব্ধি করতে পারে। উত্তোলন ব্যবহার করে পলিহেড্রা উপলব্ধি করার একটি বিকল্প পদ্ধতি বাইরের মুখ হিসাবে সর্বাধিক পাঁচটি শীর্ষ সহ যে কোনও মুখ বেছে নিয়ে দ্বৈততা এড়ায়। প্রতিটি পলিহেড্রাল গ্রাফের একটি মুখ থাকে এবং এই মুখের নির্দিষ্ট আকৃতিটি আরও যত্ন সহকারে বেছে নিয়ে বাকি গ্রাফের টুটে এম্বেডিংটি তুলে নেওয়া যেতে পারে। বৃত্ত প্যাকিং বৃত্ত প্যাকিং উপপাদ্যের একটি রূপ অনুসারে, প্রতিটি পলিহেড্রাল গ্রাফের জন্য সমতলে বা যে কোনও গোলকের উপর বৃত্তের একটি ব্যবস্থা বিদ্যমান, যা গ্রাফের শীর্ষ এবং মুখগুলি উপস্থাপন করে, যাতেঃ গ্রাফের প্রতিটি দুটি সংলগ্ন শীর্ষগুলি স্পর্শক বৃত্ত দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয়, গ্রাফের প্রতিটি দুটি সংলগ্ন মুখ স্পর্শক বৃত্ত দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয়, একটি শীর্ষের প্রতিটি জোড়া এবং এটি স্পর্শ করে এমন একটি মুখ বৃত্ত দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয় যা একটি সমকোণে অতিক্রম করে এবং অন্যান্য সমস্ত জোড়া বৃত্ত একে অপরের থেকে পৃথক করা হয়। বৃত্তের একই পদ্ধতি দ্বৈত গ্রাফের প্রতিনিধিত্ব গঠন করে বৃত্তের ভূমিকা বিনিময় করে যা শীর্ষকে প্রতিনিধিত্ব করে এবং বৃত্তগুলি যা মুখকে প্রতিনিধিত্ব করে। একটি গোলকের উপর ত্রিমাত্রিক ইউক্লিডীয় স্থানে এম্বেড করা এই ধরনের যে কোনও উপস্থাপনা থেকে, একটি উত্তল পলিহেড্রন তৈরি করা যেতে পারে যা প্রদত্ত গ্রাফের সমতুল্য, অর্ধ-স্থানগুলির ছেদ হিসাবে যার সীমানা মুখের বৃত্তের মধ্য দিয়ে যায়। এই পলিহেড্রনের প্রতিটি শীর্ষ থেকে, গোলকের দিগন্ত, যা সেই শীর্ষ থেকে দেখা যায়, সেটি হল সেই বৃত্ত যা এটির প্রতিনিধিত্ব করে। এই দিগন্ত বৈশিষ্ট্যটি প্রতিটি শীর্ষের ত্রিমাত্রিক অবস্থান নির্ধারণ করে এবং পলিহেড্রনকে সমতুল্যভাবে শীর্ষগুলির উত্তল কাঠামো হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে, যা এইভাবে অবস্থিত। গোলকটি উপলব্ধির মধ্যভাগে পরিণত হয়ঃ পলিহেড্রনের প্রতিটি প্রান্ত গোলকের স্পর্শক, এমন একটি বিন্দুতে যেখানে দুটি স্পর্শক শীর্ষ বৃত্ত দুটি স্পর্শক মুখ বৃত্ত অতিক্রম করে। অতিরিক্ত বৈশিষ্ট্য সহ উপলব্ধি পূর্ণসংখ্যা স্থানাঙ্ক স্টেনিৎজের উপপাদ্যের একটি শক্তিশালী রূপ প্রমাণ করা সম্ভব, যে কোনও পলিহেড্রাল গ্রাফ একটি উত্তল পলিহেড্রন দ্বারা উপলব্ধি করা যেতে পারে যার স্থানাঙ্কগুলি পূর্ণসংখ্যা। উদাহরণস্বরূপ, স্টেনিৎজের মূল প্রবর্তন-ভিত্তিক প্রমাণকে এইভাবে শক্তিশালী করা যেতে পারে। যাইহোক, স্টেনিৎজের নির্মাণের ফলে যে পূর্ণসংখ্যা তৈরি হবে তা প্রদত্ত পলিহেড্রাল গ্রাফের শীর্ষগুলির সংখ্যায় দ্বিগুণ সূচকীয়। বাইনারি স্বরলিপিতে এই মাত্রার সংখ্যা লেখার জন্য একটি সূচকীয় সংখ্যক বিটের প্রয়োজন হবে। জ্যামিতিকভাবে, এর অর্থ হল যে পলিহেড্রনের কিছু বৈশিষ্ট্য অন্যদের তুলনায় দ্বিগুণ তাত্পর্যপূর্ণভাবে বড় হতে পারে, যা গ্রাফ অঙ্কনের প্রয়োগের জন্য এই পদ্ধতি থেকে প্রাপ্ত উপলব্ধিগুলিকে সমস্যাযুক্ত করে তোলে। পরবর্তী গবেষকরা উত্তোলন-ভিত্তিক উপলব্ধি অ্যালগরিদম খুঁজে পেয়েছেন যা প্রতি শীর্ষে শুধুমাত্র রৈখিক সংখ্যক বিট ব্যবহার করে। স্থানাঙ্কগুলি পূর্ণসংখ্যা হওয়ার প্রয়োজনীয়তা শিথিল করা এবং স্থানাঙ্কগুলি এমনভাবে বরাদ্দ করা সম্ভব যাতে শীর্ষগুলির-স্থানাঙ্কগুলি 0 থেকে শুরু করে একক ব্যবধানের মধ্যে স্বতন্ত্র পূর্ণসংখ্যা হয় এবং অন্য দুটি স্থানাঙ্ক একক ব্যবধানের মধ্যে বাস্তব সংখ্যা হয়, যাতে প্রতিটি প্রান্তের দৈর্ঘ্য কমপক্ষে একটি হয় এবং সামগ্রিক পলিহেড্রনের রৈখিক আয়তন থাকে। কিছু পলিহেড্রাল গ্রাফ শুধুমাত্র বহুপদী আকারের গ্রিডে উপলব্ধিযোগ্য বলে জানা যায়; বিশেষ করে এটি পিরামিডের (চাকা গ্রাফের উপলব্ধি), প্রিজম (প্রিজম গ্রাফের উপলব্ধি) এবং স্ট্যাকড পলিহেড্রার (অ্যাপোলোনিয়ান নেটওয়ার্কের উপলব্ধি) ক্ষেত্রে সত্য। পূর্ণসংখ্যা উপলব্ধির অস্তিত্ব বর্ণনা করার আরেকটি উপায় হল যে প্রতিটি ত্রিমাত্রিক উত্তল পলিহেড্রনের একটি সমন্বিত সমতুল্য পূর্ণসংখ্যা পলিহেড্রন থাকে। উদাহরণস্বরূপ, নিয়মিত পঞ্চভুজ মুখের কারণে নিয়মিত ডোডেকাহেড্রন নিজেই একটি পূর্ণসংখ্যা পলিহেড্রন নয়, তবে এটি একটি সমতুল্য পূর্ণসংখ্যা পাইরিটোহেড্রন হিসাবে উপলব্ধি করা যেতে পারে। উচ্চতর মাত্রায় এটি সর্বদা সম্ভব নয়, যেখানে পলিটোপ রয়েছে (যেমন পার্ল কনফিগারেশন থেকে নির্মিত) যার কোনও পূর্ণসংখ্যার সমতুল্য নেই। একটি হ্যালিন গ্রাফ একটি পলিহেড্রাল গ্রাফের একটি বিশেষ কেস, যা একটি প্ল্যানার-এমবেডেড গাছ (কোনও ডিগ্রি-দুই শীর্ষ ছাড়াই) থেকে গাছের পাতাগুলিকে একটি চক্রের সাথে সংযুক্ত করে গঠিত হয়। হ্যালিন গ্রাফের জন্য, একটি বিশেষ ধরনের পলিহেড্রাল উপলব্ধি বেছে নেওয়া যেতে পারেঃ বাইরের চক্রটি একটি অনুভূমিক উত্তল বেস ফেস গঠন করে এবং অন্য প্রতিটি ফেস সরাসরি বেস ফেসের উপরে অবস্থিত (যেমন লিফটিংয়ের মাধ্যমে প্রাপ্ত পলিহেড্রায়), এই সমস্ত উপরের ফেসগুলির একই ঢাল রয়েছে। যে কোনও বেস বহুভুজের (অগত্যা উত্তল নয়) উপর সমান-ঢালু মুখ সহ পলিহেড্রাল পৃষ্ঠগুলি বহুভুজের সোজা কঙ্কাল থেকে তৈরি করা যেতে পারে এবং এই উপলব্ধি বর্ণনা করার একটি সমতুল্য উপায় হল যে বেস মুখের উপর গাছের দ্বি-মাত্রিক অভিক্ষেপ তার সোজা কঙ্কাল গঠন করে। এই ফলাফলের প্রমাণ ইন্ডাকশন ব্যবহার করেঃ যে কোনও শিকড়যুক্ত গাছ একটি অভ্যন্তরীণ নোড থেকে পাতাগুলি সরিয়ে একটি ছোট গাছে পরিণত হতে পারে যার সমস্ত সন্তানই পাতা, ছোট গাছ থেকে গঠিত হ্যালিন গ্রাফটি ইন্ডাকশন হাইপোথিসিস দ্বারা উপলব্ধি করে এবং এই উপলব্ধিটি সংশোধন করা সম্ভব যাতে গাছের নোডে যে কোনও সংখ্যক পাতার সন্তান যুক্ত করা যায় যার সন্তানদের অপসারণ করা হয়েছিল। একটি মুখের আকৃতি নির্দিষ্ট করা যে কোনও পলিহেড্রনে যা একটি প্রদত্ত পলিহেড্রাল গ্রাফের প্রতিনিধিত্ব করে, এর মুখগুলি ঠিক সেই চক্র যা দুটি উপাদানে বিভক্ত হয় নাঃ অর্থাৎ, একটি মুখের চক্র অপসারণ বাকি অংশকে সংযুক্ত সাবগ্রাফ হিসাবে ছেড়ে দেয়। এই ধরনের চক্রকে পেরিফেরাল চক্র বলা হয়। সুতরাং, মুখগুলির সমন্বিত কাঠামো (তবে তাদের জ্যামিতিক আকৃতি নয়) গ্রাফ কাঠামো থেকে অনন্যভাবে নির্ধারিত হয়। বার্নেট এবং গ্রুনবাম দ্বারা স্টেনিৎজের উপপাদ্যের আরেকটি শক্তিশালীকরণ বলে যে, যে কোনও পলিহেড্রাল গ্রাফের জন্য, গ্রাফের যে কোনও মুখ এবং সেই মুখের প্রতিনিধিত্বকারী যে কোনও উত্তল বহুভুজ, পুরো গ্রাফের একটি পলিহেড্রাল উপলব্ধি খুঁজে পাওয়া সম্ভব যা নির্দিষ্ট মুখের জন্য নির্দিষ্ট আকৃতি রয়েছে। এটি টুটের একটি উপপাদ্যের সাথে সম্পর্কিত, যে কোনও পলিহেড্রাল গ্রাফ সমতলে সমস্ত মুখ উত্তল এবং তার বাইরের মুখের জন্য যে কোনও নির্দিষ্ট আকৃতি সহ আঁকা যেতে পারে। যাইহোক, টুটের পদ্ধতি দ্বারা উত্পাদিত সমতলীয় গ্রাফ অঙ্কনগুলি অগত্যা উত্তল পলিহেড্রায় উত্তোলন করে না। পরিবর্তে, বার্নেট এবং গ্রুনবাম একটি ইন্ডাক্টিভ পদ্ধতি ব্যবহার করে এই ফলাফলটি প্রমাণ করেন। এটি সর্বদা সম্ভব, একটি পলিহেড্রাল গ্রাফ এবং একটি নির্বিচারে চক্র দেওয়া, একটি উপলব্ধি খুঁজে বের করা যার জন্য সমান্তরাল অভিক্ষেপের অধীনে উপলব্ধির সিলুয়েট গঠন করে। স্পর্শক গোলক বৃত্ত প্যাকিং উপপাদ্য ব্যবহার করে পলিহেড্রার উপলব্ধি স্টেনিৎজের উপপাদ্যকে আরও শক্তিশালী করেঃ প্রতিটি 3-সংযুক্ত সমতলীয় গ্রাফকে উত্তল পলিহেড্রন হিসাবে এমনভাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে যে এর সমস্ত প্রান্ত একই একক গোলকের, পলিহেড্রনের মধ্যগোলকের স্পর্শক হয়। একটি বৃত্ত প্যাকিংকে পলিহেড্রনে রূপান্তরিত করার আগে সাবধানে নির্বাচিত মোবিয়াস রূপান্তর সম্পাদন করে, একটি পলিহেড্রাল উপলব্ধি খুঁজে পাওয়া সম্ভব যা অন্তর্নিহিত গ্রাফের সমস্ত প্রতিসাম্য উপলব্ধি করে, এই অর্থে যে প্রতিটি গ্রাফ অটোমরফিজম পলিহেড্রাল উপলব্ধির প্রতিসাম্য। আরও সাধারণভাবে, যদি একটি পলিহেড্রাল গ্রাফ হয় এবং কোনও মসৃণ ত্রিমাত্রিক উত্তল বস্তু হয়, তবে একটি পলিহেড্রাল উপস্থাপনা খুঁজে পাওয়া সম্ভব যার মধ্যে সমস্ত প্রান্ত স্পর্শক। বৃত্তাকার প্যাকিং পদ্ধতিগুলি পলিহেড্রার গ্রাফগুলিকে চিহ্নিত করতেও ব্যবহার করা যেতে পারে যার সমস্ত শীর্ষের মধ্য দিয়ে একটি পরিধি রয়েছে, বা তাদের সমস্ত মুখের সাথে একটি ইনস্ফিয়ার স্পর্শক রয়েছে। (একটি পরিধি সহ পলিহেড্রা আদর্শ পলিহেড্রা হিসাবে হাইপারবোলিক জ্যামিতিতেও গুরুত্বপূর্ণ।) উভয় ক্ষেত্রেই, একটি গোলকের অস্তিত্ব গ্রাফের প্রতিটি প্রান্তের সাথে যুক্ত ধনাত্মক বাস্তব চলকের উপর রৈখিক বৈষম্যের একটি ব্যবস্থার সমাধানযোগ্যতার সমতুল্য। ইনস্ফিয়ারের ক্ষেত্রে, এই ভেরিয়েবলগুলি অবশ্যই গ্রাফের প্রতিটি ফেস চক্রে ঠিক একটিতে এবং প্রতিটি নন-ফেস চক্রে একাধিকের যোগফল হতে হবে। দ্বৈতভাবে, পরিধিক্ষেত্রের জন্য, প্রতিটি শীর্ষে চলকগুলির যোগফল অবশ্যই এক হতে হবে, এবং প্রতিটি কাটা জুড়ে একের বেশি এবং কাটার প্রতিটি পাশে দুই বা ততোধিক শীর্ষ থাকতে হবে। যদিও সন্তোষজনকভাবে অনেক রৈখিক অসমতা থাকতে পারে, উপবৃত্তাকার পদ্ধতি ব্যবহার করে বহুপদী সময়ে একটি সমাধান (যদি একটি বিদ্যমান থাকে) পাওয়া যেতে পারে। একটি সমাধান থেকে ভেরিয়েবলের মানগুলি একটি বৃত্তের প্যাকিংয়ের জোড়া বৃত্তের মধ্যে কোণ নির্ধারণ করে যার সংশ্লিষ্ট পলিহেড্রনের তার গোলকের সাথে কাঙ্ক্ষিত সম্পর্ক রয়েছে। সম্পর্কিত ফলাফল তিনটির চেয়ে বেশি যে কোনও মাত্রায়, অ্যালগরিদমিক স্টেনিৎজ সমস্যাটি একটি প্রদত্ত জাল একটি উত্তল পলিটোপের মুখের জাল কিনা তা নির্ধারণ করে। বহুপদী সময় জটিলতা থাকার সম্ভাবনা কম, কারণ এটি এনপি-শক্ত এবং রিখটার-গেবার্টের সর্বজনীনতা উপপাদ্য দ্বারা এমনকি চার-মাত্রিক পলিটোপগুলির জন্যও বাস্তব অস্তিত্ব তত্ত্বের জন্য আরও দৃঢ়ভাবে সম্পূর্ণ। এখানে, বাস্তবগুলির অস্তিত্ব তত্ত্ব হল গণনামূলক সমস্যার একটি শ্রেণী যা প্রকৃত চলক খুঁজে বের করার ক্ষেত্রে প্রণয়ন করা যেতে পারে যা বহুপদী সমীকরণ এবং বৈষম্যের একটি প্রদত্ত ব্যবস্থাকে সন্তুষ্ট করে। অ্যালগরিদমিক স্টেনিৎজ সমস্যার জন্য, এই ধরনের সমস্যার চলকগুলি একটি পলিটোপের শীর্ষ স্থানাঙ্ক হতে পারে এবং প্রদত্ত মুখের জালের প্রতিটি মুখের সমতলতা এবং মুখের মধ্যে প্রতিটি কোণের উত্তলতা নির্দিষ্ট করতে সমীকরণ এবং অসমতা ব্যবহার করা যেতে পারে। সম্পূর্ণতার অর্থ হল এই শ্রেণীর অন্যান্য প্রতিটি সমস্যাকে বহুপদী সময়ে অ্যালগরিদমিক স্টেনিৎজ সমস্যার সমতুল্য উদাহরণে রূপান্তরিত করা যেতে পারে। এই ধরনের রূপান্তরের অস্তিত্ব বোঝায় যে, যদি অ্যালগরিদমিক স্টেনিৎজ সমস্যার একটি বহুপদী সময় সমাধান থাকে, তবে বাস্তব অস্তিত্ব তত্ত্বের প্রতিটি সমস্যা এবং এনপি-র প্রতিটি সমস্যাও তাই করে। যাইহোক, যেহেতু একটি প্রদত্ত গ্রাফ একাধিক ফেস ল্যাটিসের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ হতে পারে, তাই এই সম্পূর্ণতার ফলাফলটি 4-পলিপ্টোপের গ্রাফগুলি সনাক্ত করার সমস্যা পর্যন্ত প্রসারিত করা কঠিন। এই গ্রাফ শনাক্তকরণ সমস্যার গণনামূলক জটিলতা নির্ধারণ করা উন্মুক্ত থাকে। গবেষকরা ত্রিমাত্রিক অ-উত্তল পলিহেড্রা এবং চার-মাত্রিক উত্তল পলিটোপগুলির নির্দিষ্ট বিশেষ শ্রেণীর গ্রাফগুলির গ্রাফ-তাত্ত্বিক বৈশিষ্ট্যও খুঁজে পেয়েছেন। তবে, উভয় ক্ষেত্রেই সাধারণ সমস্যাটি অমীমাংসিত রয়ে গেছে। প্রকৃতপক্ষে, কোন সম্পূর্ণ গ্রাফগুলি নন-কনভেক্স পলিহেড্রার (টেট্রাহেড্রন এবং সিসজার পলিহেড্রন ব্যতীত) গ্রাফগুলি নির্ধারণ করার সমস্যাটিও অমীমাংসিত রয়ে গেছে। এবারহার্ডের উপপাদ্যটি আংশিকভাবে বহুভুজের বহুগুচ্ছকে চিহ্নিত করে যা একটি উত্তল পলিহেড্রনের মুখ গঠন করতে মিলিত হতে পারে। প্রদত্ত বহুভুজ মুখের সেটের সাথে একটি 3-সংযুক্ত সমতলীয় গ্রাফ তৈরি করে এবং তারপরে সেই গ্রাফের একটি পলিহেড্রাল উপলব্ধি খুঁজে পেতে স্টেনিৎজের উপপাদ্য প্রয়োগ করে এটি প্রমাণ করা যেতে পারে। লাস্লো লোভাস একই গ্রাফের কলিন ডি ভার্ডিয়ের গ্রাফ অপরিবর্তনীয়কে উপলব্ধি করে গ্রাফ এবং ম্যাট্রিক্সের পলিহেড্রাল উপস্থাপনাগুলির মধ্যে একটি যোগাযোগ দেখিয়েছেন। পলিহেড্রাল গ্রাফের জন্য অপ্রাসঙ্গিক কিছু অতিরিক্ত শর্তে কলিন ডি ভার্ডিয়ের অপরিবর্তনীয় হল গ্রাফের একটি ওজনযুক্ত সংলগ্ন ম্যাট্রিক্সের সর্বাধিক কোর্যাঙ্ক। এগুলি শীর্ষগুলি দ্বারা সূচিবদ্ধ বর্গ প্রতিসম ম্যাট্রিক্স, তির্যক সহগটিতে শীর্ষের ওজন এবং অফ-ডায়াগোনাল সহগগুলিতে প্রান্তের ওজন সহ এবং। যখন শীর্ষ এবং সংলগ্ন নয়, তখন সহগ শূন্য হতে হবে। এই অপরিবর্তনীয় সর্বাধিক তিনটি হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি গ্রাফটি একটি সমতলীয় গ্রাফ হয়। লোভাস দেখান যে, যখন গ্রাফটি পলিহেড্রাল হয়, তখন একটি পলিহেড্রন হিসাবে এটির একটি উপস্থাপনা প্রাপ্ত করা যেতে পারে কোর্যাঙ্ক থ্রি-এর একটি ওজনযুক্ত সংলগ্ন ম্যাট্রিক্স খুঁজে বের করে, তার নালস্পেসের জন্য একটি ভিত্তি গঠনকারী তিনটি ভেক্টর খুঁজে বের করে, এই ভেক্টরগুলির সহগগুলিকে একটি পলিহেড্রনের শীর্ষগুলির জন্য স্থানাঙ্ক হিসাবে ব্যবহার করে এবং এই শীর্ষগুলিকে যথাযথভাবে স্কেল করে। ইতিহাস স্টেনিৎজের উপপাদ্যের ইতিহাস বর্ণনা করেছেন, যিনি মূলত 1916 সালে লেখা আর্নস্ট স্টেনিৎজের একটি প্রকাশনায় একটি গুপ্ত আকারে এর প্রথম উপস্থিতির কথা উল্লেখ করেছেন। 1928 সালে তাঁর মৃত্যুর পর প্রকাশিত পরবর্তী বক্তৃতাগুলিতে স্টেনিৎজ আরও বিশদ বিবরণ প্রদান করেন। যদিও স্টেনিৎজের উপপাদ্যের আধুনিক চিকিৎসায় এটিকে পলিহেড্রার গ্রাফ-তাত্ত্বিক বৈশিষ্ট্য হিসাবে উল্লেখ করা হয়েছে, স্টেনিৎজ গ্রাফের ভাষা ব্যবহার করেননি। উপপাদ্যটির গ্রাফ-তাত্ত্বিক গঠন 1960-এর দশকের গোড়ার দিকে ব্র্যাঙ্কো গ্রুনবাম এবং থিওডোর মোতজকিন দ্বারা প্রবর্তিত হয়েছিল, এর প্রমাণ গ্রুনবাম-এর 1967 সালের পাঠ্য কনভেক্স পলিটোপসে গ্রাফ তত্ত্বে রূপান্তরিত হয়েছিল। স্টেনিৎজের প্রমাণকে শক্তিশালী করার জন্য এপিফানভের কাজটি পলিহেড্রার বৈশিষ্ট্যায়ন ছাড়া অন্যান্য সমস্যা দ্বারা অনুপ্রাণিত হয়েছিল। স্টেনিৎজের উপপাদ্যের জন্য এই কাজের প্রাসঙ্গিকতা পর্যবেক্ষণের জন্য গ্রুনবামকে কৃতিত্ব দেন। স্ট্রেস ডায়াগ্রাম এবং পলিহেড্রাল লিফটিংয়ের মধ্যে ম্যাক্সওয়েল-ক্রেমোনা চিঠিপত্র 1864 থেকে 1870 সাল পর্যন্ত জেমস ক্লার্ক ম্যাক্সওয়েলের একাধিক গবেষণাপত্রে বিকশিত হয়েছিল, যা পিয়েরে ভ্যারিনন, উইলিয়াম র্যাঙ্কিন এবং অন্যান্যদের পূর্ববর্তী কাজের উপর ভিত্তি করে এবং 19 শতকের শেষের দিকে লুইজি ক্রেমোনা দ্বারা জনপ্রিয় হয়েছিল। স্টেনিৎজের উপপাদ্য প্রমাণ করার জন্য এই চিঠিপত্রটি টুটে এম্বেডিংয়ের সাথে ব্যবহার করা যেতে পারে এমন পর্যবেক্ষণটি এসেছে; আরও দেখুন। সার্কেল প্যাকিং উপপাদ্যটি 1936 সালে পল কোয়েবে এবং 1970 সালে ই. এম. আন্দ্রেভ দ্বারা (স্বাধীনভাবে) প্রমাণিত হয়েছিল; 1980-এর দশকের মাঝামাঝি সময়ে উইলিয়াম থার্স্টন এটি জনপ্রিয় করেছিলেন, যিনি (কোয়েবে এবং আন্দ্রেভকে উদ্ধৃত করা সত্ত্বেও) প্রায়শই এর অন্যতম আবিষ্কারক হিসাবে কৃতিত্ব পান। আন্দ্রেভের উপপাদ্যের সংস্করণটি ইতিমধ্যেই হাইপারবোলিক স্পেসে নির্দিষ্ট পলিহেড্রার জন্য স্টেনিৎজের মতো বৈশিষ্ট্য হিসাবে প্রণয়ন করা হয়েছিল এবং মধ্যগোলকের সাথে পলিহেড্রাকে উপলব্ধি করার জন্য বৃত্ত প্যাকিংয়ের ব্যবহার থার্স্টনের কাজ থেকে এসেছে। খোদাই করা বা পরিবেষ্টিত গোলক সহ পলিহেড্রাকে চিহ্নিত করার সমস্যা, অবশেষে বৃত্ত প্যাকিং উপলব্ধির উপর ভিত্তি করে একটি পদ্ধতি ব্যবহার করে সমাধান করা হয়, প্রায় 1630 সালে রেনে ডেসকার্টেস এবং 1832 সালে জ্যাকব স্টেইনারের অপ্রকাশিত কাজে ফিরে যায়; পলিহেড্রার প্রথম উদাহরণ যা একটি পরিধি বা অন্তঃক্ষেত্রের সাথে কোনও উপলব্ধি নেই 1928 সালে স্টেইনিটজ দ্বারা দেওয়া হয়েছিল। তথ্যসূত্র প্ল্যানার গ্রাফ জ্যামিতিক গ্রাফ তত্ত্ব পলিহেড্রাল কম্বিনেটরিক্স গ্রাফ তত্ত্বে উপপাদ্য বিচ্ছিন্ন জ্যামিতিতে উপপাদ্য