Toponogov's theorem
রিম্যানিয়ান জ্যামিতির গাণিতিক ক্ষেত্রে, টোপোনোগভের উপপাদ্য (ভিক্টর আন্দ্রেভিচ টোপোনোগভের নামে নামকরণ করা হয়েছে) একটি ত্রিভুজ তুলনা উপপাদ্য। এটি তুলনামূলক উপপাদ্যের একটি পরিবার যা এই দাবির পরিমাণ নির্ধারণ করে যে একটি বিন্দু p থেকে উদ্ভূত এক জোড়া ভূগণিত নিম্ন বক্রতার অঞ্চলের তুলনায় উচ্চ বক্রতার অঞ্চলে আরও ধীরে ধীরে ছড়িয়ে পড়ে। ধরা যাক M একটি m-মাত্রিক রিমানিয়ান ম্যানিফোল্ড যার বিভাগীয় বক্রতা K সন্তোষজনক। একটি ত্রিভুজ যার দিকগুলি ভূগণিত, এম-এ, এমন যে ভূগণিত pq ন্যূনতম এবং যদি δ> 0 হয়, তবে পার্শ্বের দৈর্ঘ্য পিআর-এর চেয়ে কম হয়। ধরা যাক p′q′r′ মডেল স্পেস Mδ-তে একটি ভূগণিত ত্রিভুজ, অর্থাৎ। ধ্রুবক বক্রতার সহজভাবে সংযুক্ত স্থান δ, যাতে p′q′ এবং p′r′ বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে pq এবং pr-এর সমান হয় এবং p′-এর কোণটি p-এর কোণের সমান হয়। তারপর যখন বিভাগীয় বক্রতা উপর থেকে আবদ্ধ হয়, তখন রাউচ তুলনা উপপাদ্যের একটি উপপাদ্য একটি অনুরূপ বিবৃতি দেয়, তবে বিপরীত অসমতা সহ। রেফারেন্স বাহ্যিক লিঙ্ক পঞ্চম পামবুচিয়ান, জামফিরেস্কু টি. "পাওলো পিজেট্টিঃ ত্রিভুজ তুলনা জ্যামিতির ভুলে যাওয়া উৎপাদক"। ইতিহাস গণিত 38:8 (2011) রিম্যানিয়ান জ্যামিতিতে উপপাদ্য জ্যামিতিক অসমতা