Linear inequality
গণিতে রৈখিক অসমতা হল একটি অসমতা যা একটি রৈখিক ফাংশন জড়িত। একটি রৈখিক অসমানতায় বৈষম্যের প্রতীকগুলির মধ্যে একটি থাকেঃ <কম> ≤-এর চেয়ে বড় বা ≤-এর চেয়ে বড় বা সমান ≤-এর সমান নয়। বাস্তব সংখ্যার রৈখিক অসমতা দ্বিমাত্রিক রৈখিক অসমতা দ্বিমাত্রিক রৈখিক অসমতা হল দুটি চলকের অভিব্যক্তিঃ যেখানে অসমতা হয় কঠোর হতে পারে বা নাও হতে পারে। এই ধরনের বৈষম্যের সমাধান সেটকে ইউক্লিডীয় সমতলে একটি অর্ধ-সমতল (একটি নির্দিষ্ট রেখার এক "পাশের" সমস্ত বিন্দু) দ্বারা গ্রাফিকভাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে। অসমতা কঠোর হলে যে রেখাটি অর্ধ-সমতল (অক্ষ + দ্বারা = সি) নির্ধারণ করে তা সমাধান সেটের অন্তর্ভুক্ত হয় না। সমাধান সেটটিতে কোন অর্ধ-তল রয়েছে তা নির্ধারণের একটি সহজ পদ্ধতি হল অক্ষ + এর মান গণনা করা যা একটি বিন্দুতে (x0, y0) যা লাইনে নেই এবং পর্যবেক্ষণ করা যে অসমতা সন্তুষ্ট হয়েছে কি না। উদাহরণস্বরূপ, x + 3y <9-এর সমাধান সেটটি আঁকার জন্য, প্রথমে একটি বিন্দুযুক্ত রেখা হিসাবে x + 3y = 9 সমীকরণ সহ রেখাটি আঁকা হয়, যা নির্দেশ করে যে অসমতা কঠোর হওয়ার কারণে সমাধান সেটটিতে রেখাটি অন্তর্ভুক্ত নয়। তারপরে, লাইনে নয় এমন একটি সুবিধাজনক পয়েন্ট বেছে নিন, যেমন (0,0)। যেহেতু 0 + 3 (0) = 0 <9, এই বিন্দুটি সমাধান সেটের মধ্যে রয়েছে, তাই এই বিন্দু ধারণকারী অর্ধ-তলটি (লাইনের "নীচে" অর্ধ-তলটি) এই রৈখিক বৈষম্যের সমাধান সেট। সাধারণ মাত্রায় রৈখিক অসমতা Rn রৈখিক অসমতা হল এমন অভিব্যক্তি যা আকারে লেখা যেতে পারে বা যেখানে f একটি রৈখিক রূপ (যাকে রৈখিক কার্যকরীও বলা হয়), এবং b একটি ধ্রুবক বাস্তব সংখ্যা। আরও সুনির্দিষ্টভাবে, এটি হিসাবে লেখা যেতে পারে বা এখানে অজানা বলা হয়, এবং সহগ বলা হয়। বিকল্পভাবে, এগুলি হিসাবে লেখা যেতে পারে বা যেখানে g একটি অ্যাফিন ফাংশন। অর্থাৎ বা মনে রাখবেন যে "বৃহত্তর" বা "বৃহত্তর বা সমান" চিহ্নযুক্ত যে কোনও বৈষম্যকে "কম" বা "কম বা সমান" চিহ্ন দিয়ে পুনর্লিখন করা যেতে পারে, তাই সেই চিহ্নগুলি ব্যবহার করে রৈখিক বৈষম্যগুলি সংজ্ঞায়িত করার কোনও প্রয়োজন নেই। রৈখিক বৈষম্যের ব্যবস্থা রৈখিক বৈষম্যের একটি ব্যবস্থা হল একই চলকের মধ্যে রৈখিক বৈষম্যের একটি সেটঃ এখানে অজানা, সিস্টেমের সহগ এবং ধ্রুবক পদ। এটিকে সংক্ষিপ্তভাবে ম্যাট্রিক্স অসমতা হিসাবে লেখা যেতে পারে যেখানে A হল একটি m × n ম্যাট্রিক্স, x হল চলকের একটি n × 1 কলাম ভেক্টর এবং b হল ধ্রুবকের একটি m × 1 কলাম ভেক্টর। উপরের ব্যবস্থাগুলিতে কঠোর এবং অ-কঠোর উভয় বৈষম্যই ব্যবহার করা যেতে পারে। রৈখিক বৈষম্যের সমস্ত ব্যবস্থার সমাধান নেই। ফুরিয়ার-মটজকিন নির্মূল ব্যবহার করে রৈখিক বৈষম্যের ব্যবস্থা থেকে চলকগুলি দূর করা যেতে পারে। প্রয়োগ পলিহেড্রা একটি বাস্তব রৈখিক বৈষম্যের সমাধানের সেট 'এন'-মাত্রিক বাস্তব স্থানের একটি অর্ধ-স্থান গঠন করে, যা সংশ্লিষ্ট রৈখিক সমীকরণ দ্বারা সংজ্ঞায়িত দুটির মধ্যে একটি। রৈখিক বৈষম্যের একটি ব্যবস্থার সমাধানের সেট পৃথক বৈষম্য দ্বারা সংজ্ঞায়িত অর্ধ-স্থানের ছেদনের সাথে মিলে যায়। এটি একটি উত্তল সেট, যেহেতু অর্ধ-স্থানগুলি উত্তল সেট, এবং উত্তল সেটগুলির একটি সেটের ছেদও উত্তল। নন-ডিজেনারেট ক্ষেত্রে এই উত্তল সেটটি একটি উত্তল পলিহেড্রন (সম্ভবত সীমাহীন, উদাহরণস্বরূপ, একটি অর্ধ-স্থান, দুটি সমান্তরাল অর্ধ-স্থানের মধ্যে একটি স্ল্যাব বা একটি পলিহেড্রাল শঙ্কু)। এটি খালি বা নিম্ন মাত্রার একটি উত্তল পলিহেড্রনও হতে পারে যা এন-মাত্রিক স্থান আরএন-এর একটি অ্যাফাইন সাবস্পেসে সীমাবদ্ধ। রৈখিক প্রোগ্রামিং একটি রৈখিক প্রোগ্রামিং সমস্যা একটি ফাংশনকে (যাকে উদ্দেশ্যমূলক ফাংশন বলা হয়) অনুকূল করতে চায় (সর্বাধিক বা ন্যূনতম মান খুঁজে বের করতে) যা সাধারণত রৈখিক অসমতা সহ ভেরিয়েবলগুলির উপর বেশ কয়েকটি সীমাবদ্ধতার সাপেক্ষে। সীমাবদ্ধতার তালিকা হল রৈখিক বৈষম্যের একটি ব্যবস্থা। সাধারণীকরণ উপরের সংজ্ঞাটির জন্য যোগ, গুণ এবং তুলনার সুনির্দিষ্ট ক্রিয়াকলাপ প্রয়োজন; অতএব, একটি রৈখিক বৈষম্যের ধারণাটি ক্রমযুক্ত বলয় এবং বিশেষত ক্রমযুক্ত ক্ষেত্রগুলিতে প্রসারিত করা যেতে পারে। তথ্যসূত্র উৎস বাহ্যিক সংযোগ খান একাডেমিঃ রৈখিক অসমতা, বিনামূল্যে অনলাইন ক্ষুদ্র বক্তৃতা রৈখিক বীজগণিত রৈখিক প্রোগ্রামিং পলিহেড্রা