Projective object
বিভাগ তত্ত্বে, একটি প্রজেক্টিভ বস্তুর ধারণা একটি প্রজেক্টিভ মডিউলের ধারণাকে সাধারণীকরণ করে। আবেলিয়ান বিভাগে প্রজেক্টিভ বস্তুগুলি সমতাত্ত্বিক বীজগণিতে ব্যবহৃত হয়। একটি প্রজেক্টিভ বস্তুর দ্বৈত ধারণা হল একটি ইনজেকটিভ বস্তুর। সংজ্ঞা একটি বিভাগের একটি বস্তু প্রজেক্টিভ হয় যদি কোনও এপিমরফিজম এবং মরফিজমের জন্য এমন একটি মরফিজম থাকে, অর্থাৎ। নিম্নলিখিত চিত্রটি কমিউট করেঃ অর্থাৎ, প্রতিটি মরফিজম প্রতিটি এপিমরফিজমের মাধ্যমে ফ্যাক্টর করে। যদি সি স্থানীয়ভাবে ছোট হয়, অর্থাৎ, বিশেষত সি-তে যে কোনও বস্তু এক্স-এর জন্য একটি সেট হয়, তবে এই সংজ্ঞাটি এই শর্তের সমতুল্য যে হোম ফাংক্টর (মূল উপস্থাপক হিসাবেও পরিচিত) এপিমোরফিজম সংরক্ষণ করে। আবেলিয়ান বিভাগে প্রজেক্টিভ বস্তু যদি বিভাগ সি একটি আবেলিয়ান বিভাগ হয় যেমন, উদাহরণস্বরূপ, আবেলিয়ান গোষ্ঠীর বিভাগ, তবে পি প্রজেক্টিভ হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি একটি সঠিক ফাংক্টর হয়, যেখানে আব আবেলিয়ান গোষ্ঠীর বিভাগ। একটি আবেলিয়ান বিভাগের যথেষ্ট প্রজেক্টিভ থাকে বলে বলা হয় যদি, প্রতিটি বস্তুর জন্য, একটি প্রজেক্টিভ বস্তু থাকে এবং পি থেকে এ পর্যন্ত একটি এপিমরফিজম বা সমতুল্যভাবে, একটি সংক্ষিপ্ত সঠিক ক্রম থাকে এই সংজ্ঞার উদ্দেশ্য হল যে কোনও বস্তু এ একটি প্রজেক্টিভ রেজোলিউশন গ্রহণ করে, অর্থাৎ, একটি (দীর্ঘ) সঠিক ক্রম যেখানে বস্তুগুলি প্রজেক্টিভ। সীমাবদ্ধ শ্রেণীর ক্ষেত্রে প্রজেক্টিভিটি একটি তথাকথিত দ্বি-বিভাগের সাথে সম্পর্কিত প্রজেক্টিভ (এবং দ্বৈতভাবে ইনজেকটিভ) বস্তুর ধারণা নিয়ে আলোচনা করে, যা প্রদত্ত বিভাগ সি-তে "ইনজেকশন" এবং "সারজেকশন"-এর একটি জোড়া উপবিভাগ নিয়ে গঠিত। এই উপবিভাগগুলি নির্দিষ্ট আনুষ্ঠানিক বৈশিষ্ট্যের সাপেক্ষে যার মধ্যে যে কোনও সারজেকশন একটি এপিমরফিজম। একটি প্রজেক্টিভ বস্তু (নির্দিষ্ট শ্রেণীর সার্জেকশনের সাপেক্ষে) তখন একটি বস্তু পি হয় যাতে হোম (পি,-) নির্দিষ্ট শ্রেণীর সার্জেকশনকে (সমস্ত এপিমরফিজমের বিপরীতে) সেটের সার্জেকশনে (স্বাভাবিক অর্থে) পরিণত করে। বৈশিষ্ট্য দুটি প্রজেক্টিভ বস্তুর সহ-উৎপাদন প্রজেক্টিভ। একটি প্রজেক্টিভ বস্তুর প্রত্যাহার প্রজেক্টিভ। উদাহরণ সমস্ত সেট প্রজেক্টিভ এই বিবৃতিটি পছন্দের স্বতঃসিদ্ধের সমতুল্য। আবেলিয়ান গোষ্ঠীর বিভাগে প্রজেক্টিভ বস্তুগুলি হল মুক্ত আবেলিয়ান গোষ্ঠী। পরিচয় সহ একটি রিং হতে দিন। (আবেলিয়ান) বিভাগ-বাম-মডিউলের মোড বিবেচনা করুন। - মোড-এ প্রজেক্টিভ বস্তুগুলি সঠিকভাবে প্রজেক্টিভ বাম আর-মডিউল। ফলস্বরূপ, এটি নিজেই-মড-এ একটি প্রজেক্টিভ বস্তু। দ্বৈতভাবে,-মোডের ইনজেকটিভ বস্তুগুলি ঠিক ইনজেকটিভ বাম আর-মডিউল। বাম (ডান)-মডিউলের বিভাগেও যথেষ্ট প্রজেক্টিভ রয়েছে। এটি সত্য কারণ, প্রতিটি বাম (ডান)-মডিউলের জন্য, আমরা একটি জেনারেটিং সেট দ্বারা উত্পন্ন মুক্ত (এবং তাই প্রজেক্টিভ)-মডিউল হতে পারি (উদাহরণস্বরূপ আমরা হতে পারি)। তারপর ক্যানোনিকাল প্রজেকশন হল প্রয়োজনীয় সারজেকশন। কম্প্যাক্ট হাউসডর্ফ স্পেসের বিভাগে প্রজেক্টিভ বস্তুগুলি সঠিকভাবে চরমভাবে বিচ্ছিন্ন স্থান। এই ফলাফলটি দ্বারা প্রদত্ত একটি সরলীকৃত প্রমাণের কারণে। বানাচ স্পেস এবং সংকোচনের বিভাগে (অর্থাৎ, কার্যকরী যার আদর্শ সর্বাধিক 1), এপিমরফিজমগুলি সঠিকভাবে ঘন চিত্র সহ মানচিত্র। এটি দেখায় যে শূন্য স্থানটি এই বিভাগের একমাত্র প্রজেক্টিভ বস্তু। যদিও কিছু অ-তুচ্ছ স্থান রয়েছে, যা সার্জেক্টিভ সংকোচনের শ্রেণীর সাপেক্ষে প্রক্ষিপ্ত। সংকোচন সহ আদর্শ ভেক্টর স্পেসের বিভাগে (এবং "সার্জেকশন" হিসাবে সার্জেক্টিভ মানচিত্র), প্রজেক্টিভ বস্তুগুলি সঠিকভাবে-স্পেস। তথ্যসূত্র বাহ্যিক লিঙ্ক 'সমজাতীয় বীজগণিত বস্তু (বিভাগ তত্ত্ব)