Parallelizable manifold
গণিতে, মাত্রা n-এর একটি ডিফারেনশিয়েবল ম্যানিফোল্ডকে সমান্তরাল বলা হয় যদি ম্যানিফোল্ডের উপর মসৃণ ভেক্টর ক্ষেত্র থাকে, যেমন স্পর্শক ভেক্টরের প্রতিটি বিন্দুতে স্পর্শক স্থানের একটি ভিত্তি প্রদান করে। সমতুল্যভাবে, স্পর্শক বান্ডিলটি একটি তুচ্ছ বান্ডিল, যাতে রৈখিক ফ্রেমগুলির সম্পর্কিত প্রধান বান্ডিলটির একটি বৈশ্বিক বিভাগ থাকে এই ধরনের ভেক্টর ক্ষেত্রের একটি নির্দিষ্ট পছন্দকে সমান্তরালকরণ (বা একটি পরম সমান্তরালতা) বলা হয়। উদাহরণস্বরূপ বৃত্তটিঃ আমরা V1 কে একক স্পর্শক ভেক্টর ক্ষেত্র হিসাবে নিতে পারি, ধরুন ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে নির্দেশ করে। মাত্রার টরাসও সমান্তরাল, যা এটিকে বৃত্তের কার্টেসিয়ান পণ্য হিসাবে প্রকাশ করে দেখা যায়। উদাহরণস্বরূপ, প্রতিটি বিন্দুতে দুটি স্পর্শকের দিক সম্পর্কে ধারণা পেতে গ্রাফ কাগজের একটি বর্গক্ষেত্র থেকে বিপরীত প্রান্তগুলি একসঙ্গে আঁকড়ে ধরে একটি টরাস নিন এবং তৈরি করুন। আরও সাধারণভাবে, প্রতিটি লাই গ্রুপ জি সমান্তরাল, যেহেতু পরিচয় উপাদানের স্পর্শক স্থানের একটি ভিত্তি জি-এর উপর জি-এর অনুবাদ গোষ্ঠীর ক্রিয়া দ্বারা চারপাশে সরানো যেতে পারে (প্রতিটি অনুবাদ একটি ডিফিয়োমরফিজম এবং তাই এই অনুবাদগুলি জি-তে বিন্দুগুলির স্পর্শক স্থানগুলির মধ্যে রৈখিক সমরূপতা প্ররোচিত করে)। একটি ধ্রুপদী সমস্যা ছিল Sn গোলকগুলির মধ্যে কোনটি সমান্তরাল তা নির্ধারণ করা। শূন্য-মাত্রিক কেস S0 তুচ্ছভাবে সমান্তরাল। কেস S1 হল বৃত্ত, যা সমান্তরাল, যেমনটি ইতিমধ্যে ব্যাখ্যা করা হয়েছে। হেয়ারি বল উপপাদ্য দেখায় যে এস2 সমান্তরাল নয়। তবে এস3 সমান্তরাল, কারণ এটি লাই গ্রুপ এসইউ (2)। একমাত্র সমান্তরাল গোলক হল এস7; এটি 1958 সালে ফ্রেডরিখ হিরজেব্রুচ, মিশেল কারভায়ার এবং রাউল বট এবং জন মিলনর দ্বারা স্বাধীন কাজে প্রমাণিত হয়েছিল। সমান্তরাল গোলকগুলি বাস্তব সংখ্যা, জটিল সংখ্যা, চতুর্ভুজ এবং অষ্টকোণগুলির আদর্শ বিভাজন বীজগণিতে একক আদর্শের উপাদানগুলির সাথে সুনির্দিষ্টভাবে মিলে যায়, যা প্রত্যেকটির জন্য একটি সমান্তরালতা তৈরি করতে দেয়। অন্যান্য গোলক সমান্তরাল নয় তা প্রমাণ করা আরও কঠিন এবং এর জন্য বীজগাণিতিক টপোলজি প্রয়োজন। সমান্তরাল বহুগুণের গুণফল সমান্তরাল। প্রতিটি অভিমুখী বদ্ধ ত্রিমাত্রিক ম্যানিফোল্ড সমান্তরাল। মন্তব্য যে কোনও সমান্তরাল বহুগুণ অভিমুখযোগ্য। ফ্রেম্ড ম্যানিফোল্ড (মাঝে মাঝে রিগড ম্যানিফোল্ড) শব্দটি সাধারণত সাধারণ বান্ডিলের প্রদত্ত তুচ্ছকরণের সাথে একটি এমবেডেড ম্যানিফোল্ডের জন্য এবং স্পর্শক বান্ডিলের প্রদত্ত স্থিতিশীল তুচ্ছকরণের সাথে একটি বিমূর্ত (অর্থাৎ, অ-এমবেডেড) ম্যানিফোল্ডের জন্যও প্রয়োগ করা হয়। একটি সম্পর্কিত ধারণা হল π-ম্যানিফোল্ডের ধারণা। একটি মসৃণ ম্যানিফোল্ডকে π-ম্যানিফোল্ড বলা হয়, যদি একটি উচ্চ মাত্রিক ইউক্লিডিয়ান স্পেসে এম্বেড করা হয়, তার স্বাভাবিক বান্ডিলটি তুচ্ছ হয়। বিশেষ করে, প্রতিটি সমান্তরাল ম্যানিফোল্ড একটি π-ম্যানিফোল্ড। আরও দেখুন চার্ট (টপোলজি) ডিফারেনশিয়েবল ম্যানিফোল্ড ফ্রেম বান্ডিল কারভায়ার ইনভ্যারিয়েন্ট অর্থোনরমাল ফ্রেম বান্ডিল প্রিন্সিপাল বান্ডিল সংযোগ (গণিত) জি-স্ট্রাকচার নোটস রেফারেন্স ডিফারেনশিয়াল টপোলজি ফাইবার বান্ডিল ভেক্টর বান্ডিলগুলি প্রকাশ করে