Mild-slope equation
তরল গতিবিদ্যায়, হালকা-ঢাল সমীকরণটি ব্যাথিমেট্রি এবং পার্শ্বীয় সীমানার কারণে-যেমন ব্রেকওয়াটার এবং উপকূলরেখার উপর প্রসারিত জল তরঙ্গগুলির জন্য বিচ্ছুরণ এবং প্রতিসরণের সম্মিলিত প্রভাবগুলি বর্ণনা করে। এটি একটি আনুমানিক মডেল, যা মূলত সমুদ্রের তলদেশের হালকা ঢালে তরঙ্গ বিস্তারের জন্য তৈরি করা হয়েছিল। মৃদু-ঢাল সমীকরণটি প্রায়শই উপকূলীয় প্রকৌশলের ক্ষেত্রে বন্দর এবং উপকূলের কাছাকাছি তরঙ্গ-ক্ষেত্রের পরিবর্তন গণনা করতে ব্যবহৃত হয়। মৃদু-ঢাল সমীকরণটি জলের তরঙ্গগুলির বিস্তার এবং রূপান্তরকে মডেল করে, কারণ তারা বিভিন্ন গভীরতার জলের মধ্য দিয়ে ভ্রমণ করে এবং পার্শ্ববর্তী সীমানা যেমন ক্লিফ, সৈকত, সমুদ্রের প্রাচীর এবং ব্রেকওয়াটারের সাথে যোগাযোগ করে। ফলস্বরূপ, এটি তরঙ্গের প্রশস্ততা বা সমতুল্য তরঙ্গ উচ্চতার বৈচিত্র্য বর্ণনা করে। তরঙ্গের প্রশস্ততা থেকে, জলের পৃষ্ঠের নীচে প্রবাহের বেগ দোলনগুলির প্রশস্ততাও গণনা করা যেতে পারে। এই পরিমাণগুলি-তরঙ্গের প্রশস্ততা এবং প্রবাহ-গতির প্রশস্ততা-পরবর্তীকালে উপকূলীয় এবং উপকূলীয় কাঠামো, জাহাজ এবং অন্যান্য ভাসমান বস্তু, পলল পরিবহন এবং সমুদ্র তল এবং উপকূলরেখার বাথমেট্রিক পরিবর্তন, গড় প্রবাহ ক্ষেত্র এবং দ্রবীভূত এবং ভাসমান উপকরণের ভর স্থানান্তরের উপর তরঙ্গের প্রভাব নির্ধারণ করতে ব্যবহার করা যেতে পারে। প্রায়শই, মৃদু-ঢাল সমীকরণটি গাণিতিক বিশ্লেষণের পদ্ধতি ব্যবহার করে কম্পিউটার দ্বারা সমাধান করা হয়। হালকা-ঢাল সমীকরণের একটি প্রথম রূপ 1952 সালে একার্ট দ্বারা তৈরি করা হয়েছিল এবং একটি উন্নত সংস্করণ-তার শাস্ত্রীয় গঠনে হালকা-ঢাল সমীকরণ-1972 সালে জুরি বারখফ দ্বারা স্বাধীনভাবে উদ্ভূত হয়েছে। এরপরে, অনেক পরিবর্তিত এবং বর্ধিত রূপের প্রস্তাব দেওয়া হয়েছে, উদাহরণস্বরূপঃ তরঙ্গ-বর্তমান মিথস্ক্রিয়া, তরঙ্গ অরৈখিকতা, খাড়া সমুদ্র-তল ঢাল, বিছানা ঘর্ষণ এবং তরঙ্গ ভাঙ্গন। এছাড়াও গণনামূলক ব্যয় হ্রাস করার জন্য হালকা-ঢাল সমীকরণের প্যারাবলিক অনুমানগুলি প্রায়শই ব্যবহার করা হয়। ধ্রুবক গভীরতার ক্ষেত্রে, হালকা-ঢাল সমীকরণটি তরঙ্গ বিচ্ছুরণের জন্য হেল্মহোল্টজ সমীকরণে হ্রাস পায়। একবর্ণ তরঙ্গ গতির জন্য সূত্র রৈখিক তত্ত্ব অনুসারে একবর্ণ তরঙ্গের জন্য-মুক্ত পৃষ্ঠের উচ্চতা হিসাবে দেওয়া হয় এবং তরঙ্গগুলি গড় জলের গভীরতার একটি তরল স্তরের উপর প্রসারিত হয়-হালকা-ঢাল সমীকরণটি হলঃ যেখানেঃ মুক্ত-পৃষ্ঠের জটিল-মূল্যবান প্রশস্ততা অনুভূমিক অবস্থান; একবর্ণ তরঙ্গ গতির কৌণিক ফ্রিকোয়েন্সি; কাল্পনিক একক; মানে ধনুর্বন্ধনীগুলির মধ্যে পরিমাণের আসল অংশ নেওয়া; অনুভূমিক গ্রেডিয়েন্ট অপারেটর; বিচ্যুতি অপারেটর; তরঙ্গ সংখ্যা; তরঙ্গগুলির পর্যায় গতি এবং তরঙ্গগুলির গ্রুপ গতি। পর্যায় এবং গোষ্ঠীর গতি বিচ্ছুরণ সম্পর্কের উপর নির্ভর করে এবং বায়ু তরঙ্গ তত্ত্ব থেকে উদ্ভূত হয়ঃ পৃথিবীর মাধ্যাকর্ষণ কোথায় এবং হাইপারবোলিক স্পর্শক কোথায়। একটি প্রদত্ত কৌণিক কম্পাঙ্কের জন্য, তরঙ্গসংখ্যাকে বিচ্ছুরণ সমীকরণ থেকে সমাধান করতে হবে, যা এই দুটি পরিমাণকে জলের গভীরতার সাথে সম্পর্কিত করে। একটি অসমজাতীয় হেল্মহোল্টজ সমীকরণে রূপান্তর রূপান্তরের মাধ্যমে হালকা ঢাল সমীকরণটি একটি অসমজাতীয় হেল্মহোল্টজ সমীকরণের আকারে নিক্ষেপ করা যেতে পারেঃ ল্যাপ্লাস অপারেটর কোথায়। তরঙ্গ বিস্তারকারী তরঙ্গগুলির স্থানিকভাবে সুসঙ্গত ক্ষেত্রগুলিতে, জটিল প্রশস্ততাকে তার প্রশস্ততা এবং পর্যায়ে বিভক্ত করা দরকারী, উভয়ই বাস্তব মূল্যবানঃ যেখানে এর প্রশস্ততা বা পরম মান এবং তরঙ্গ পর্যায়, যা এর যুক্তি হল নিম্নোক্ত সমীকরণের সেটগুলিতে হালকা-ঢাল সমীকরণকে রূপান্তরিত করে (যে অবস্থানগুলির জন্য একবচন ব্যতীত): যেখানে প্রতি একক অনুভূমিক অঞ্চলে গড় তরঙ্গ-শক্তির ঘনত্ব (গতিজ এবং সম্ভাব্য শক্তির ঘনত্বের সমষ্টি), কার্যকর তরঙ্গসংখ্যা ভেক্টর, যার উপাদানগুলি কার্যকর গ্রুপ বেগ ভেক্টর, তরল ঘনত্ব এবং পৃথিবীর মাধ্যাকর্ষণ দ্বারা ত্বরণ। শেষ সমীকরণটি দেখায় যে তরঙ্গ শক্তি হালকা-ঢাল সমীকরণে সংরক্ষিত থাকে এবং তরঙ্গ শক্তি তরঙ্গ শিখরগুলিতে স্বাভাবিক-দিকে পরিবহন করা হয় (গড় স্রোত ছাড়াই বিশুদ্ধ তরঙ্গ গতির ক্ষেত্রে)। কার্যকরী দলের গতি গ্রুপ গতির থেকে আলাদা প্রথম সমীকরণে বলা হয়েছে যে কার্যকরী তরঙ্গ সংখ্যাটি ঘূর্ণনশীল, এটি তরঙ্গ পর্যায়, একটি স্কেলার ক্ষেত্রের অন্তরজ হওয়ার প্রত্যক্ষ পরিণতি। দ্বিতীয় সমীকরণটি হল আইকোনাল সমীকরণ। এটি কার্যকর তরঙ্গসংখ্যার উপর বিচ্ছুরণের প্রভাবগুলি দেখায়ঃ শুধুমাত্র কম-বেশি প্রগতিশীল তরঙ্গের জন্য, প্রশস্ততা এবং পর্যায়ে বিভক্ত হওয়ার সাথে সাথে এবং এর সামঞ্জস্যপূর্ণ-পরিবর্তিত এবং অর্থপূর্ণ ক্ষেত্রের দিকে পরিচালিত করে। অন্যথায়, κ2 এমনকি ঋণাত্মকও হতে পারে। যখন বিচ্ছুরণ প্রভাবগুলি সম্পূর্ণরূপে অবহেলিত হয়, তখন কার্যকর তরঙ্গ সংখ্যা κ সমান হয় এবং তরঙ্গ প্রতিসরণের জন্য জ্যামিতিক আলোকবিজ্ঞানের আনুমানিক ব্যবহার করা যেতে পারে। যখন হালকা-ঢাল সমীকরণে ব্যবহার করা হয়, তখন ফলাফলটি একটি ফ্যাক্টর ছাড়াও হয়ঃ এখন এই সমীকরণের বাস্তব অংশ এবং কাল্পনিক অংশ উভয়ই শূন্যের সমান হতে হবেঃ কার্যকর তরঙ্গসংখ্যা ভেক্টরকে তরঙ্গ পর্যায়ের গ্রেডিয়েন্ট হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়ঃ এবং এর ভেক্টর দৈর্ঘ্য হল একটি ঘূর্ণনশীল ক্ষেত্র, যেহেতু গ্রেডিয়েন্টের কার্ল শূন্যঃ এখন রূপান্তরিত হালকা-ঢাল সমীকরণের বাস্তব এবং কাল্পনিক অংশগুলি হয়ে যায়, প্রথমে কাল্পনিক অংশটিকে গুণ করেঃ প্রথম সমীকরণটি সরাসরি উপরের আইকোনাল সমীকরণে নিয়ে যায়, যখন দ্বিতীয়টি দেয়ঃ যা-লক্ষ্য করে যে কৌণিক ফ্রিকোয়েন্সি সময়-সুরেলা গতির জন্য একটি ধ্রুবক-তরঙ্গ-শক্তি সংরক্ষণ সমীকরণের দিকে পরিচালিত করে। হালকা-ঢাল সমীকরণের উৎপত্তি হালকা-ঢাল সমীকরণটি বিভিন্ন পদ্ধতি ব্যবহার করে বের করা যেতে পারে। এখানে, আমরা একটি বৈচিত্র্যমূলক পদ্ধতি ব্যবহার করব। তরলটি অদম্য এবং অসংকুচিত বলে মনে করা হয় এবং প্রবাহটি ঘূর্ণনশীল বলে মনে করা হয়। এই অনুমানগুলি পৃষ্ঠের মাধ্যাকর্ষণ তরঙ্গের জন্য বৈধ, কারণ ভর্টিসিটি এবং সান্দ্রতার প্রভাবগুলি কেবল স্টোকস সীমানা স্তরগুলিতে (প্রবাহের দোলক অংশের জন্য) উল্লেখযোগ্য। যেহেতু প্রবাহটি ঘূর্ণনশীল, তাই সম্ভাব্য প্রবাহ তত্ত্ব ব্যবহার করে তরঙ্গের গতি বর্ণনা করা যেতে পারে। লুকের পরিবর্তনশীল নীতি লুকের ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান সূত্রটি অ-রৈখিক পৃষ্ঠ মাধ্যাকর্ষণ তরঙ্গের জন্য একটি পরিবর্তনশীল সূত্র দেয়। একটি ধ্রুবক ঘনত্ব সহ অনুভূমিকভাবে সীমাহীন ডোমেনের ক্ষেত্রে, একটি মুক্ত তরল পৃষ্ঠ এবং লুকের পরিবর্তনশীল নীতিতে একটি নির্দিষ্ট সমুদ্র তল ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান ব্যবহার করে যেখানে অনুভূমিক ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান ঘনত্ব রয়েছে, যার দ্বারা দেওয়া হয়েছেঃ যেখানে বেগ সম্ভাব্যতা রয়েছে, যেখানে প্রবাহ বেগের উপাদানগুলি যথাক্রমে এবং এবং এবং দিকে রয়েছে। মুক্ত পৃষ্ঠে পৃষ্ঠের উচ্চতা এবং বেগ সম্ভাবনার পরিপ্রেক্ষিতে লুকের ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান গঠনটিকে হ্যামিল্টনিয়ান গঠনেও পুনর্বিন্যাস করা যেতে পারে। সম্ভাব্য এবং পৃষ্ঠের উচ্চতার সাপেক্ষে এর তারতম্যগুলি গ্রহণ করলে তরলের অভ্যন্তরে ল্যাপ্লাস সমীকরণের পাশাপাশি রৈখিক তরঙ্গ তত্ত্বের ক্ষেত্রে বিছানার মতো মুক্ত পৃষ্ঠের সমস্ত সীমানা অবস্থার দিকে পরিচালিত করে। রৈখিক তরঙ্গ তত্ত্বের ক্ষেত্রে, ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান ঘনত্বের উল্লম্ব অবিচ্ছেদ্য অংশটি বিছানার গড় পৃষ্ঠের একটি অংশে এবং মুক্ত পৃষ্ঠের দ্বিতীয় অংশে বিভক্ত হয়। গড় মুক্ত-পৃষ্ঠের উচ্চতার চারপাশে দ্বিতীয় ইন্টিগ্রালের জন্য একটি টেলর সিরিজের সম্প্রসারণ ব্যবহার করা এবং রৈখিক তরঙ্গ গতির জন্য শুধুমাত্র দ্বিঘাত পদ এবং ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান ঘনত্ব বজায় রাখা হয় উল্লম্ব ইন্টিগ্রালের শব্দটি বাদ দেওয়া হয়েছে কারণ এটি গতিশীলভাবে আগ্রহী নয়ঃ এটি ইউলার-ল্যাগ্রাঞ্জ সমীকরণে শূন্য অবদান দেয়, যার উপরের ইন্টিগ্রেশন সীমা এখন স্থির করা হয়েছে। সম্ভাব্য শক্তির অনুপাতে অবহেলিত নীচের পদের ক্ষেত্রেও একই কথা প্রযোজ্য। তরঙ্গগুলি অনুভূমিক সমতলে ছড়িয়ে পড়ে, তবে সম্ভাবনার কাঠামো উল্লম্ব দিকে তরঙ্গের মতো হয় না। এটি গড় মুক্ত-পৃষ্ঠের উচ্চতায় স্বাভাবিককরণের সাথে সম্ভাবনার আকারে নিম্নলিখিত অনুমানের ব্যবহারের পরামর্শ দেয় এখানে গড় মুক্ত-পৃষ্ঠ স্তরে বেগ সম্ভাব্যতা পরবর্তী, হালকা-ঢাল অনুমান করা হয়, যাতে উল্লম্ব আকৃতির ফাংশনটি-সমতলে ধীরে ধীরে পরিবর্তিত হয় এবং প্রবাহের গতিতে অনুভূমিক ডেরিভেটিভগুলি উপেক্ষা করা যেতে পারে। সুতরাংঃ ফলস্বরূপঃ এই ল্যাগ্র্যাঞ্জিয়ান ঘনত্বের জন্য অয়লার-ল্যাগ্র্যাঞ্জ সমীকরণগুলি হল, যেগুলির মধ্যে একটি বা দুটি প্রতিনিধিত্ব করে। এখন প্রথমে সমান এবং তারপর সমান নেওয়া হয়। ফলস্বরূপ, তরঙ্গ গতির বিবর্তন সমীকরণগুলি হয়ে যায়ঃ অনুভূমিক গ্রেডিয়েন্ট অপারেটরের সাথেঃ যেখানে সুপারস্ক্রিপ্ট ট্রান্সপোজকে বোঝায়। পরবর্তী পদক্ষেপটি হল আকৃতির ফাংশন নির্বাচন করা এবং বায়ু তরঙ্গ তত্ত্ব থেকে উল্লম্ব আকৃতির ফাংশন নির্ধারণ করা যেহেতু উদ্দেশ্য হল হালকা ঢালু বিছানার উপর তরঙ্গের বর্ণনা, তাই আকৃতির ফাংশনটি বায়ু তরঙ্গ তত্ত্ব অনুসারে বেছে নেওয়া হয়। এটি ধ্রুবক গভীরতায় প্রবাহিত তরঙ্গগুলির রৈখিক তত্ত্ব আকৃতি ফাংশনের রূপটি হ 'লঃ এখন সাধারণভাবে ধ্রুবক নয়, তবে স্থানীয় গভীরতা এবং রৈখিক বিচ্ছুরণ সম্পর্কের সাথে এবং অনুসারে পরিবর্তিত হতে বেছে নেওয়া হয়েছেঃ এখানে একটি ধ্রুবক কৌণিক ফ্রিকোয়েন্সি, অধ্যয়নের অধীনে তরঙ্গ ক্ষেত্রের বৈশিষ্ট্য অনুসারে বেছে নেওয়া হয়েছে। ফলস্বরূপ, ইন্টিগ্রাল এবং হয়ে যায়ঃ নিম্নলিখিত সময়-নির্ভর সমীকরণগুলি মুক্ত-পৃষ্ঠ উচ্চতা এবং মুক্ত-পৃষ্ঠ সম্ভাবনার বিবর্তন দেয় দুটি বিবর্তন সমীকরণ থেকে, একটি চলক বা বাদ দেওয়া যেতে পারে, হালকা-ঢাল সমীকরণের সময়-নির্ভর রূপটি পেতেঃ এবং মুক্ত-পৃষ্ঠ সম্ভাবনার জন্য সংশ্লিষ্ট সমীকরণটি অভিন্ন, একবর্ণ তরঙ্গের চারপাশে ফ্রিকোয়েন্সিগুলির একটি সংকীর্ণ ব্যান্ডে তরঙ্গ মডেল করতে সময়-নির্ভর হালকা-ঢাল সমীকরণটি ব্যবহার করা যেতে পারে জটিল প্রশস্ততা এবং কৌণিক ফ্রিকোয়েন্সি সহ একবর্ণ তরঙ্গ বিবেচনা করুনঃ একে অপরের সাথে এবং একে অপরের সমান নির্বাচিত, হালকা-ঢাল সমীকরণের সময়-নির্ভর আকারে এটি ব্যবহার করে, সময়ের জন্য শাস্ত্রীয় হালকা-ঢাল সমীকরণটি পুনরুদ্ধার করে - যাইহোক, কিছু সূক্ষ্ম দিক, যেমন প্রতিফলিত তরঙ্গের প্রশস্ততা, সম্পূর্ণ ভুল হতে পারে, এমনকি শূন্যের দিকে যাওয়া ঢালের ক্ষেত্রেও। এই গাণিতিক কৌতূহলের সাধারণভাবে খুব কম ব্যবহারিক গুরুত্ব রয়েছে কারণ এই প্রতিফলনটি ছোট নীচের ঢালের জন্য অদৃশ্য হয়ে যায়। উল্লেখ, 2টি অংশ, 967 পৃষ্ঠা। , 740 পৃষ্ঠা। উপকূলীয় ভূগোল তরল গতিবিদ্যার সমীকরণ জল তরঙ্গ