Bures metric
গণিতে, কোয়ান্টাম তথ্য জ্যামিতির ক্ষেত্রে, বুরেস মেট্রিক (ডোনাল্ড বুরেস-এর নামে নামকরণ করা হয়েছে) বা হেলস্ট্রম মেট্রিক (কার্ল ডব্লিউ. হেলস্ট্রোম-এর নামে নামকরণ করা হয়েছে) কোয়ান্টাম অবস্থাকে সংজ্ঞায়িত করে ঘনত্ব ম্যাট্রিক্স অপারেটরদের মধ্যে একটি অসীম দূরত্বকে সংজ্ঞায়িত করে। এটি ফিশার তথ্য মেট্রিকের একটি কোয়ান্টাম সাধারণীকরণ, এবং শুধুমাত্র বিশুদ্ধ অবস্থার মধ্যে সীমাবদ্ধ থাকলে এটি ফুবিনি-স্টাডি মেট্রিকের অনুরূপ। সংজ্ঞা বুরেস মেট্রিককে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে যেখানে হার্মিশিয়ান 1-ফর্ম অপারেটর অন্তর্নিহিতভাবে দেওয়া হয় যা একটি অবিচ্ছিন্ন লিয়াপুনভ সমীকরণের একটি বিশেষ ক্ষেত্রে। বুরেস মেট্রিকের কিছু প্রয়োগের মধ্যে রয়েছে যে একটি লক্ষ্য ত্রুটি দেওয়া হলে, এটি দুটি ভিন্ন অবস্থার মধ্যে পার্থক্য করার জন্য ন্যূনতম পরিমাপের সংখ্যা গণনা করতে এবং মিশ্র কোয়ান্টাম অবস্থার জন্য জেফ্রিসের পূর্ববর্তী সম্ভাব্যতা ঘনত্বের জন্য প্রার্থী হিসাবে আয়তন উপাদানটির ব্যবহারের অনুমতি দেয়। বিউরের দূরত্ব বিউরের দূরত্ব হল উপরে বর্ণিত অসীম বর্গ দূরত্বের সীমাবদ্ধ সংস্করণ এবং যেখানে ফিডেলিটি ফাংশনকে সংজ্ঞায়িত করা হয় তার দ্বারা দেওয়া হয় আরেকটি সম্পর্কিত ফাংশন হল বিউরের চাপ যা বিউরের কোণ, বিউরের দৈর্ঘ্য বা কোয়ান্টাম কোণ নামেও পরিচিত, যা কোয়ান্টাম অবস্থার মধ্যে পরিসংখ্যানগত দূরত্বের একটি পরিমাপ হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। যখন উভয় ঘনত্ব অপারেটর তির্যক হয় (যাতে তারা কেবল শাস্ত্রীয় সম্ভাব্যতা বিতরণ হয়), তখন আসুন এবং একইভাবে, তারপর বিশ্বস্ততা হল বুয়ার্সের দৈর্ঘ্য উটারের দূরত্ব হয়ে উঠছে। উটার্স দূরত্ব হল চি-বর্গ মেট্রিকের অধীনে সম্ভাব্যতা বিতরণের মধ্যে ভূগাণিতিক দূরত্ব। সঙ্গে চলকগুলির একটি পরিবর্তন সম্পাদন করুন, তারপর কাই-বর্গ মেট্রিক হয়ে যায়। যেহেতু, পয়েন্টগুলি একটি একক হাইপারস্ফিয়ারের ধনাত্মক চতুর্থাংশে সরানোর জন্য সীমাবদ্ধ। সুতরাং, ভূগণিতগুলি হাইপারস্ফিয়ারের কেবল দুর্দান্ত বৃত্ত, এবং আমরা উটারের দূরত্বের সূত্রও পাই। যদি উভয় ঘনত্ব অপারেটর বিশুদ্ধ অবস্থা হয়, তবে বিশ্বস্ততা হল, এবং আমরা উটারের দূরত্বের কোয়ান্টাম সংস্করণটি পাই। বিশেষত, যে কোনও দুটি অর্থোগোনাল অবস্থার মধ্যে বুরেস দূরত্ব হল। কোয়ান্টাম ফিশার তথ্য বুরেস মেট্রিককে ফিশার তথ্য মেট্রিকের কোয়ান্টাম সমতুল্য হিসাবে দেখা যেতে পারে এবং স্থানাঙ্ক পরামিতিগুলির পরিবর্তনের পরিপ্রেক্ষিতে পুনর্লিখন করা যেতে পারে যা যতক্ষণ ধরে থাকে এবং একই র্যাঙ্ক রাখে। যে ক্ষেত্রে তাদের একই পদমর্যাদা নেই, সেখানে ডানদিকে একটি অতিরিক্ত পদ রয়েছে। এইভাবে, কোয়ান্টাম ফিশার মেট্রিক (টেনসর উপাদান) চিহ্নিত করা হয়। এস. এল. ডি-র সংজ্ঞা বোঝায় যে কোয়ান্টাম ফিশার মেট্রিক বুরেস মেট্রিকের 4 গুণ। অন্য কথায়, প্রদত্ত যেগুলি বুরেস মেট্রিক টেনসরের উপাদান, একটিতে রয়েছে যেমনটি শাস্ত্রীয় ফিশার তথ্য মেট্রিকের ক্ষেত্রে ঘটে, কোয়ান্টাম ফিশার মেট্রিকটি কোভ্যারিয়েন্সের ক্র্যামার-রাও বন্ধন খুঁজে বের করতে ব্যবহার করা যেতে পারে। স্পষ্ট সূত্র বুরেস মেট্রিকের প্রকৃত গণনা সংজ্ঞা থেকে স্পষ্ট নয়, তাই, সেই উদ্দেশ্যে কিছু সূত্র তৈরি করা হয়েছিল। যথাক্রমে 2x2 এবং 3x3 পদ্ধতির জন্য, বুরেস মেট্রিকের দ্বিঘাত রূপটি গণনা করা হয় সাধারণ পদ্ধতির জন্য, বুরেস মেট্রিককে ঘনত্ব ম্যাট্রিক্সের আইগেনভেক্টর এবং আইগেনভ্যালুগুলির পরিপ্রেক্ষিতে একটি অবিচ্ছেদ্য হিসাবে বা ক্রোনেকার পণ্য এবং ভেক্টরাইজেশনের পরিপ্রেক্ষিতে লেখা যেতে পারে, যেখানে জটিল কনজুগেটকে বোঝায় এবং কনজুগেট ট্রান্সপোজকে বোঝায়। এই সূত্রটি বিপরীতমুখী ঘনত্ব ম্যাট্রিক্সের জন্য প্রযোজ্য। অ-বিপরীতমুখী ঘনত্ব ম্যাট্রিক্সের জন্য, উপরের বিপরীতটি মুর-পেনরোজ সিউডোইনভার্স দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয়। বিকল্পভাবে, একটি নির্দিষ্ট মিশ্র এবং এইভাবে বিপরীতমুখী অবস্থায় একটি সীমা সম্পাদন করে অভিব্যক্তিটি গণনা করা যেতে পারে। দ্বি-স্তর ব্যবস্থা একটি দ্বি-স্তর ব্যবস্থার অবস্থাকে তিনটি চলকের সাথে প্যারামিট্রাইজ করা যেতে পারে যেখানে পাউলি ম্যাট্রিক্সের ভেক্টর এবং (ত্রিমাত্রিক) ব্লক ভেক্টর সন্তোষজনক। এই প্যারামিট্রাইজেশনে বুরেস মেট্রিকের উপাদানগুলি হিসাবে গণনা করা যেতে পারে। বুরেস পরিমাপ নির্ণায়কের বর্গমূল নিয়ে গণনা করা যেতে পারে যা বুরেস ভলিউমকে ত্রি-স্তর ব্যবস্থা হিসাবে গণনা করতে ব্যবহার করা যেতে পারে একটি ত্রি-স্তর ব্যবস্থার অবস্থাকে আটটি চলকের সাথে পরামিতি করা যেতে পারে যেখানে আটটি জেল-ম্যান ম্যাট্রিক্স এবং 8-মাত্রিক ব্লক ভেক্টর নির্দিষ্ট সীমাবদ্ধতা পূরণ করে। আরও দেখুন ফুবিনি-স্টাডি মেট্রিক ফিডেলিটি অফ কোয়ান্টাম স্টেট ফিশার ইনফরমেশন ফিশার ইনফরমেশন মেট্রিক রেফারেন্স আরও পড়া কোয়ান্টাম ইনফরমেশন সায়েন্স