Cauchy formula for repeated integration
অগাস্টিন-লুই কাউচির নামে নামকরণ করা পুনরাবৃত্ত ইন্টিগ্রেশনের জন্য কাউচি সূত্রটি একটি ফাংশনের এন অ্যান্টিডেরিভেটিভকে একক ইন্টিগ্রালে সংকুচিত করার অনুমতি দেয় (সিএফ। কাউচির সূত্র)। স্কেলারের ক্ষেত্রে ধরা যাক বাস্তব লাইনে f একটি অবিচ্ছিন্ন ফাংশন। তারপর বেস-পয়েন্ট a সহ f-এর nতম পুনরাবৃত্ত ইন্টিগ্রাল, একক ইন্টিগ্রেশন দ্বারা দেওয়া হয় প্রুফ A প্রুফ ইন্ডাকশন দ্বারা দেওয়া হয়। n = 1 সহ বেস কেসটি তুচ্ছ, কারণ এটি এর সমতুল্যঃ এখন, ধরুন এটি n এর জন্য সত্য, এবং আসুন আমরা এটি n + 1 এর জন্য প্রমাণ করি। প্রথমত, লাইবনিজ ইন্টিগ্রাল নিয়ম ব্যবহার করে লক্ষ্য করুন যে তারপর, ইন্ডাকশন হাইপোথিসিস প্রয়োগ করে, এটি দেখানো হয়েছে যে এই বিবৃতিটি বেস কেসের ক্ষেত্রে সত্য। যদি বিবৃতিটি সত্য হয়, তবে এটি দেখানো হয়েছে যে বিবৃতিটি সত্য। এইভাবে এই বিবৃতিটি সমস্ত ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার ক্ষেত্রে সত্য প্রমাণিত হয়েছে। এটি প্রমাণ সম্পূর্ণ করে। সাধারণীকরণ এবং প্রয়োগ কচি সূত্রটি রিম্যান-লিউভিল ইন্টিগ্রাল দ্বারা অ-পূর্ণসংখ্যা পরামিতিগুলিতে সাধারণীকরণ করা হয়, যেখানে দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয় এবং ফ্যাক্টোরিয়ালটি গামা ফাংশন দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয়। দুটি সূত্র একমত হয় কখন। কচি সূত্র এবং রিম্যান-লিউভিল ইন্টিগ্রাল উভয়ই রিজ সম্ভাব্যতা দ্বারা নির্বিচারে মাত্রায় সাধারণীকরণ করা হয়। ভগ্নাংশ গণনায়, এই সূত্রগুলি একটি ভিন্ন ইন্টিগ্রাল তৈরি করতে ব্যবহার করা যেতে পারে, যার ফলে একটি ভগ্নাংশ সংখ্যাকে বার বার আলাদা বা সংহত করা যায়। ভগ্নাংশ সংহতকরণের মাধ্যমে ভগ্নাংশ সংখ্যার পার্থক্য করা যেতে পারে, তারপর ফলাফলের পার্থক্য করা যেতে পারে। তথ্যসূত্র অগাস্টিন-লুই কাউচিঃ ট্রেন্টে-সিনকুইয়েম লেকন। উত্তরঃ একোল রয়্যাল পলিটেকনিক সার দ্য ক্যালকুল ইনফিনিটেসিমাল। ইম্প্রিমেরি রয়্যাল, প্যারিস 1823। পুনঃমুদ্রণঃ ইউভ্রেস কমপ্লেটস 2য় (4), গৌথিয়ার-ভিলার্স, প্যারিস, পৃ. 5-261। জেরাল্ড বি. ফোল্যান্ড, অ্যাডভান্সড ক্যালকুলাস, পৃ. 193, প্রেন্টিস হল (2002)। বিশ্লেষণে অগাস্টিন-লুই কাউচি ইন্টিগ্রাল ক্যালকুলাস উপপাদ্যের বাহ্যিক সংযোগ