Interval finite element
সংখ্যাসূচক বিশ্লেষণে, ব্যবধান সীমাবদ্ধ উপাদান পদ্ধতি (ব্যবধান এফইএম) একটি সীমাবদ্ধ উপাদান পদ্ধতি যা ব্যবধান পরামিতি ব্যবহার করে। অন্তর্বর্তী এফ. ই. এম এমন পরিস্থিতিতে প্রয়োগ করা যেতে পারে যেখানে কাঠামোর নির্ভরযোগ্য সম্ভাব্য বৈশিষ্ট্যগুলি পাওয়া সম্ভব নয়। কংক্রিটের কাঠামো, কাঠের কাঠামো, ভূ-যান্ত্রিক, যৌগিক কাঠামো, জৈব-যান্ত্রিক এবং অন্যান্য অনেক ক্ষেত্রে এটি গুরুত্বপূর্ণ। ইন্টারভাল ফাইনাইট এলিমেন্টের লক্ষ্য হল মডেলের বিভিন্ন বৈশিষ্ট্যের উপরের এবং নীচের সীমা খুঁজে বের করা (যেমন। চাপ, স্থানচ্যুতি, ফলন পৃষ্ঠ ইত্যাদি) এবং নকশা প্রক্রিয়ায় এই ফলাফলগুলি ব্যবহার করুন। একে বলা হয় সবচেয়ে খারাপ কেস ডিজাইন, যা সীমা অবস্থার নকশার সাথে ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত। সবচেয়ে খারাপ কেস ডিজাইনের জন্য সম্ভাব্য ডিজাইনের তুলনায় কম তথ্যের প্রয়োজন হয় তবে ফলাফলগুলি আরও রক্ষণশীল [কয়লুওগ্লু এবং এলিশাকফ 1998]। অনিশ্চয়তার মডেলিং-এ ব্যবধান পরামিতিগুলির প্রয়োগ নিম্নলিখিত সমীকরণটি বিবেচনা করুনঃ যেখানে a এবং b বাস্তব সংখ্যা, এবং। প্রায়শই, a এবং b পরামিতিগুলির সঠিক মান অজানা থাকে। ধরা যাক যে এবং। এই ক্ষেত্রে, নিম্নলিখিত সমীকরণটি সমাধান করা প্রয়োজন ব্যবধান পরামিতি সহ এই সমীকরণের সমাধান সেটের বেশ কয়েকটি সংজ্ঞা রয়েছে। এই পদ্ধতিতে সমাধানটি হল নিম্নলিখিত সেট এটি ব্যবধান সমীকরণের সবচেয়ে জনপ্রিয় সমাধান সেট এবং এই সমাধান সেটটি এই নিবন্ধে প্রয়োগ করা হবে। বহুমাত্রিক ক্ষেত্রে ঐক্যবদ্ধ সমাধান সেট অনেক বেশি জটিল। নিম্নলিখিত রৈখিক ব্যবধান সমীকরণের পদ্ধতির সমাধান সেটটি নীচের ছবিতে দেখানো হয়েছে সঠিক সমাধান সেটটি খুব জটিল, তাই সবচেয়ে ছোট ব্যবধানটি খুঁজে বের করা প্রয়োজন যা সঠিক সমাধান সেট ধারণ করে বা কেবল যেখানে দেখুন ব্যবধান রৈখিক ব্যবস্থার প্যারামেট্রিক সমাধান সেট ইন্টারভাল ফাইনাইট এলিমেন্ট পদ্ধতির জন্য সমীকরণের একটি পরামিতি-নির্ভর ব্যবস্থার সমাধান প্রয়োজন (সাধারণত একটি প্রতিসম ধনাত্মক নির্দিষ্ট ম্যাট্রিক্স সহ)। সমীকরণের সাধারণ পরামিতি নির্ভর ব্যবস্থার সমাধান সেটের একটি উদাহরণ নীচের ছবিতে দেখানো হয়েছে। বীজগাণিতিক সমাধান এই পদ্ধতিতে x হল একটি ব্যবধান সংখ্যা যার জন্য সমীকরণটি সন্তুষ্ট। অন্য কথায়, সমীকরণের বাম দিকটি সমীকরণের ডান দিকের সমান। এই বিশেষ ক্ষেত্রে সমাধানটি হল যদি অনিশ্চয়তা আরও বড় হয়, অর্থাৎ। , তারপর কারণ যদি অনিশ্চয়তা আরও বড় হয়, অর্থাৎ। তাহলে সমাধানের অস্তিত্ব থাকে না। বীজগাণিতিক ব্যবধান সমাধান সেটের একটি ভৌত ব্যাখ্যা খুঁজে বের করা খুব জটিল। সুতরাং, প্রয়োগগুলিতে, ইউনাইটেড সলিউশন সেট সাধারণত প্রয়োগ করা হয়। পদ্ধতিটি পি. ডি. ই-কে ব্যবধান পরামিতিগুলির সাথে বিবেচনা করুন যেখানে প্রদত্ত ব্যবধানগুলির অন্তর্গত পরামিতিগুলির একটি ভেক্টর উদাহরণস্বরূপ, তাপ স্থানান্তর সমীকরণ যেখানে ব্যবধান পরামিতিগুলি (অর্থাৎ। )। সমীকরণের সমাধান () নিম্নলিখিত উপায়ে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে উদাহরণস্বরূপ, তাপ স্থানান্তর সমীকরণের ক্ষেত্রে সমাধানটি খুব জটিল কারণ বাস্তবে সঠিক সমাধান সেট ধারণকারী ক্ষুদ্রতম সম্ভাব্য ব্যবধানটি খুঁজে পাওয়া আরও আকর্ষণীয়। উদাহরণস্বরূপ, তাপ স্থানান্তর সমীকরণের ক্ষেত্রে সীমাবদ্ধ উপাদান পদ্ধতিটি বীজগাণিতিক সমীকরণের নিম্নলিখিত পরামিতি নির্ভরশীল ব্যবস্থার দিকে পরিচালিত করে যেখানে একটি কঠোরতা ম্যাট্রিক্স এবং এটি একটি ডানদিক। ব্যবধান সমাধানকে একটি বহুমূল্যবান ফাংশন হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে উপরের সিস্টেমের সহজতম ক্ষেত্রে রৈখিক ব্যবধান সমীকরণের একটি সিস্টেম হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে। নিম্নলিখিত অপ্টিমাইজেশান সমস্যার সমাধান হিসাবে ব্যবধান সমাধানকে সংজ্ঞায়িত করাও সম্ভব বহুমাত্রিক ক্ষেত্রে ব্যবধান সমাধানকে ব্যবধান সমাধান বনাম সম্ভাব্য সমাধান হিসাবে লেখা যেতে পারে এটি জানা গুরুত্বপূর্ণ যে ব্যবধান পরামিতিগুলি অভিন্নভাবে বিতরণ করা র্যান্ডম ভেরিয়েবলের চেয়ে ভিন্ন ফলাফল তৈরি করে। বিরতি পরামিতি সমস্ত সম্ভাব্য সম্ভাব্যতা বিতরণ (জন্য) বিবেচনা করে। ব্যবধানের মাপকাঠি নির্ধারণ করার জন্য শুধুমাত্র উপরের এবং নীচের সীমাটি জানা প্রয়োজন। সম্ভাব্য বৈশিষ্ট্যের গণনার জন্য অনেক পরীক্ষামূলক ফলাফলের জ্ঞান প্রয়োজন। এটি দেখানো সম্ভব যে n ব্যবধান সংখ্যার যোগফল উপযুক্ত সাধারণভাবে বিতরণ করা র্যান্ডম ভেরিয়েবলের যোগফলের চেয়ে কয়েকগুণ বেশি। n ব্যবধান সংখ্যার যোগফল সেই ব্যবধানের প্রস্থের সমান। সাধারণভাবে বিতরণ করা এলোমেলো পরিবর্তনশীল X-কে এমনভাবে বিবেচনা করুন যাতে n-এর সমষ্টি সাধারণত বিতরণ করা এলোমেলো পরিবর্তনশীল একটি সাধারণভাবে বিতরণ করা এলোমেলো পরিবর্তনশীল যা নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্যগুলি সহ (ছয় সিগমা দেখুন) আমরা ধরে নিতে পারি যে সম্ভাব্য ফলাফলের প্রস্থ 6 সিগমার সমান (ছয় সিগমার সাথে তুলনা করুন)। এখন আমরা ব্যবধানের ফলাফলের প্রস্থ এবং সম্ভাব্য ফলাফলের তুলনা করতে পারি যার কারণে ব্যবধানের সীমাবদ্ধ উপাদানের ফলাফল (বা সাধারণভাবে সবচেয়ে খারাপ-কেস বিশ্লেষণে) স্টোকাস্টিক ফেম বিশ্লেষণের তুলনায় অতিরিক্ত অনুমান করা যেতে পারে (অনিশ্চয়তার প্রচারও দেখুন)। তবে, অ-সম্ভাবনাময় অনিশ্চয়তার ক্ষেত্রে বিশুদ্ধ সম্ভাবনাময় পদ্ধতি প্রয়োগ করা সম্ভব নয়। কারণ সেই ক্ষেত্রে সম্ভাব্য বৈশিষ্ট্যগুলি সঠিকভাবে জানা যায় না (এলিশাকফ 2000)। ব্যবধানের পরামিতিগুলির সাথে এলোমেলো (এবং অস্পষ্ট এলোমেলো পরিবর্তনশীল) বিবেচনা করা সম্ভব (যেমন। ব্যবধানের সাথে গড়, ভিন্নতা ইত্যাদি)। কিছু গবেষক পরিসংখ্যানগত গণনায় ব্যবধান (অস্পষ্ট) পরিমাপ ব্যবহার করেন (যেমন। )। এই ধরনের গণনার ফলস্বরূপ আমরা তথাকথিত অস্পষ্ট সম্ভাব্যতা পাব। অস্পষ্ট সম্ভাব্যতা খুব বিস্তৃত অর্থে বোঝা যায়। এটি সমস্ত গাণিতিক মডেলগুলিকে অন্তর্ভুক্ত করার জন্য একটি সাধারণ শব্দ হিসাবে ব্যবহৃত হয় যা তীক্ষ্ণ সংখ্যাসূচক সম্ভাবনা ছাড়াই সুযোগ বা অনিশ্চয়তা পরিমাপ করে। এর মধ্যে গুণগত (তুলনামূলক সম্ভাবনা, আংশিক পছন্দের ক্রম) এবং পরিমাণগত পদ্ধতি (ব্যবধানের সম্ভাবনা, বিশ্বাসের কার্যকারিতা, উপরের এবং নীচের প্রবণতা) উভয়ই অন্তর্ভুক্ত রয়েছে। যেখানে প্রাসঙ্গিক তথ্য দুর্লভ, অস্পষ্ট বা দ্বন্দ্বপূর্ণ, এবং সিদ্ধান্তের সমস্যা যেখানে পছন্দগুলি অসম্পূর্ণও হতে পারে, সেখানে অনুমানের সমস্যাগুলির ক্ষেত্রে অস্পষ্ট সম্ভাব্যতা মডেলগুলির প্রয়োজন হয়। সহজ উদাহরণ-টান, সংকোচন, চাপ এবং চাপের মডেলিং) 1-মাত্রার উদাহরণ টান-সংকোচন সমস্যায়, নিম্নলিখিত সমীকরণটি স্থানচ্যুতি এবং বলের মধ্যে সম্পর্ক দেখায়ঃ যেখানে দৈর্ঘ্য, একটি ক্রস-সেকশনের ক্ষেত্রফল এবং ইয়ং-এর মডুলাস। যদি ইয়ং-এর মডুলাস এবং বল অনিশ্চিত হয়, তাহলে স্থানচ্যুতির উপরের এবং নীচের সীমা খুঁজে বের করার জন্য নিম্নলিখিত আংশিক ব্যুৎপত্তিগুলি গণনা করুনঃ স্থানচ্যুতির চরম মানগুলি নিম্নরূপ গণনা করুনঃ নিম্নলিখিত সূত্র ব্যবহার করে স্ট্রেন গণনা করুনঃ স্থানচ্যুতি থেকে ব্যুৎপত্তি ব্যবহার করে স্ট্রেনের ব্যুৎপত্তি গণনা করুনঃ স্থানচ্যুতিটির চরম মানগুলি নিম্নরূপ গণনা করুনঃ স্থানচ্যুতি ব্যবহার করে স্ট্রেনের চরম মানগুলি গণনা করাও সম্ভব। ইন্টারভাল এফ. ই. এম বহুমাত্রিক ক্ষেত্রে খুব অনুরূপ পদ্ধতি ব্যবহার করে [পোউনুক 2004]। যাইহোক, বহুমাত্রিক ক্ষেত্রে অনিশ্চিত পরামিতি এবং সমাধানের মধ্যে সম্পর্ক সবসময় একমুখী হয় না। এই ক্ষেত্রে, আরও জটিল অপ্টিমাইজেশান পদ্ধতি প্রয়োগ করতে হবে। বহুমাত্রিক উদাহরণ টেনশন-কম্প্রেশন সমস্যার ক্ষেত্রে ভারসাম্য সমীকরণের নিম্নলিখিত রূপ রয়েছে যেখানে স্থানচ্যুতি হল ইয়ং-এর মডুলাস, ক্রস-সেকশনের একটি এলাকা এবং এটি একটি বণ্টিত ভার। অনন্য সমাধান পেতে উপযুক্ত সীমানা শর্ত যোগ করা প্রয়োজন যেমন। যদি ইয়ং-এর মডুলাস অনিশ্চিত হয় তবে ব্যবধান সমাধানটি নিম্নলিখিত উপায়ে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে প্রতিটি এফ. ই. এম উপাদানের জন্য পরীক্ষা ফাংশন দ্বারা সমীকরণটিকে গুণ করা সম্ভব যেখানে অংশ দ্বারা একীকরণের পরে আমরা দুর্বল আকারে সমীকরণটি পাব যেখানে আসুন গ্রিড পয়েন্টগুলির একটি সেট প্রবর্তন করি, যেখানে বেশ কয়েকটি উপাদান রয়েছে এবং প্রতিটি এফ. ই. এম উপাদানের জন্য রৈখিক আকৃতির ফাংশন যেখানে উপাদানটির বাম প্রান্তবিন্দু, উপাদান সংখ্যা "ই"-এর বাম প্রান্তবিন্দু। "ই"-তম উপাদানের আনুমানিক সমাধান হল আকৃতি ফাংশনের একটি রৈখিক সংমিশ্রণ সমীকরণের দুর্বল রূপের প্রতিস্থাপনের পরে আমরা নিম্নলিখিত সমীকরণের পদ্ধতি বা ম্যাট্রিক্স আকারে পাব। এর পরে সমীকরণটির নিম্নলিখিত ম্যাট্রিক্স ফর্ম রয়েছে যেখানে গ্লোবাল স্টিফনেস ম্যাট্রিক্স, সমাধান ভেক্টর, ডান দিক। টেনশন-কম্প্রেশন সমস্যার ক্ষেত্রে যদি আমরা ডিস্ট্রিবিউটেড লোডকে অবহেলা করি সীমানা শর্তগুলি বিবেচনা করার পরে স্টিফনেস ম্যাট্রিক্সের নিম্নলিখিত ফর্মটি রয়েছে ডান হাতের দিকে নিম্নলিখিত ফর্মটি রয়েছে আসুন ধরে নেওয়া যাক যে ইয়ং-এর মডুলাস, ক্রস-সেকশনের এলাকা এবং লোড অনিশ্চিত এবং কিছু ব্যবধানের অন্তর্গত ব্যবধান সমাধানটি নিম্নলিখিত উপায়ে গণনা করে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে ব্যবধান ভেক্টরের গণনা সাধারণভাবে এনপি-হার্ড, তবে নির্দিষ্ট ক্ষেত্রে সমাধানটি গণনা করা সম্ভব যা অনেক ইঞ্জিনিয়ারিং অ্যাপ্লিকেশনগুলিতে ব্যবহার করা যেতে পারে। গণনার ফলাফল হল ব্যবধানের স্থানচ্যুতি ধরা যাক যে কলামে স্থানচ্যুতি কিছু প্রদত্ত মানের (নিরাপত্তার কারণে) চেয়ে ছোট হতে হবে। বিরতির সমাধানটি যদি সমস্ত নিরাপত্তা শর্ত পূরণ করে তবে অনিশ্চিত ব্যবস্থাটি নিরাপদ। এই বিশেষ ক্ষেত্রে বা সহজভাবে পোস্টপ্রসেসিং-এ ব্যবধানের চাপ, ব্যবধানের চাপ এবং ব্যবধানের সীমাবদ্ধ অবস্থার কার্যকারিতা গণনা করা এবং নকশা প্রক্রিয়াতে এই মানগুলি ব্যবহার করা সম্ভব। ব্যবধান সীমাবদ্ধ উপাদান পদ্ধতিটি সেই সমস্যাগুলির সমাধানে প্রয়োগ করা যেতে পারে যেখানে কাঠামোর নির্ভরযোগ্য সম্ভাব্য বৈশিষ্ট্য তৈরি করার জন্য পর্যাপ্ত তথ্য নেই (এলিশাকফ 2000)। বিরতি সীমাবদ্ধ উপাদান পদ্ধতিটি অস্পষ্ট সম্ভাব্যতা তত্ত্বেও প্রয়োগ করা যেতে পারে। শেষবিন্দু সংমিশ্রণ পদ্ধতি ব্যবধানের শেষবিন্দুগুলির সমস্ত সম্ভাব্য সংমিশ্রণের জন্য সমীকরণটি সমাধান করা সম্ভব। ব্যবধানের সমস্ত শীর্ষগুলির তালিকা হিসাবে লেখা যেতে পারে। সমাধানের উপরের এবং নীচের সীমাটি নিম্নলিখিত উপায়ে গণনা করা যেতে পারে এন্ডপয়েন্ট সমন্বয় পদ্ধতি সমাধান দেয় যা সাধারণত সঠিক হয়; দুর্ভাগ্যবশত পদ্ধতির সূচকীয় গণনামূলক জটিলতা রয়েছে এবং অনেক ব্যবধান পরামিতি সহ সমস্যাগুলিতে প্রয়োগ করা যায় না। টেলর সম্প্রসারণ পদ্ধতি টেলর সিরিজ ব্যবহার করে ফাংশনটি প্রসারিত করা যেতে পারে। সহজতম ক্ষেত্রে টেলর সিরিজ শুধুমাত্র রৈখিক আনুমানিক ব্যবহার করে সমাধানের উপরের এবং নীচের সীমা নিম্নলিখিত সূত্র ব্যবহার করে গণনা করা যেতে পারে পদ্ধতিটি খুব কার্যকর তবে এটি খুব সঠিক নয়। নির্ভুলতার উন্নতির জন্য উচ্চতর অর্ডার টেলর সম্প্রসারণ [পোউনুক 2004] প্রয়োগ করা সম্ভব। এই পদ্ধতিটি ব্যবধান সীমাবদ্ধ পার্থক্য পদ্ধতি এবং ব্যবধান সীমানা উপাদান পদ্ধতিতেও প্রয়োগ করা যেতে পারে। গ্রেডিয়েন্ট পদ্ধতি যদি ডেরিভেটিভের চিহ্ন ধ্রুবক হয় তবে ফাংশনগুলি মনোটোন হয় এবং সঠিক সমাধানটি খুব দ্রুত গণনা করা যেতে পারে। যদি তাই হয় তবে সমাধানের চরম মানগুলি নিম্নলিখিত উপায়ে গণনা করা যেতে পারে অনেক কাঠামোগত প্রকৌশল প্রয়োগে পদ্ধতিটি সঠিক সমাধান দেয়। যদি সমাধানটি মনোটোন না হয় তবে সমাধানটি সাধারণত যুক্তিসঙ্গত। পদ্ধতির নির্ভুলতা উন্নত করার জন্য একঘেয়েমি পরীক্ষা এবং উচ্চতর ক্রম সংবেদনশীলতা বিশ্লেষণ প্রয়োগ করা সম্ভব। পদ্ধতিটি গণনামূলক বলবিজ্ঞানের রৈখিক এবং অরৈখিক সমস্যার সমাধানে প্রয়োগ করা যেতে পারে [পোউনুক 2004]। সিভিল ইঞ্জিনিয়ারিং সমস্যার সমাধানে সংবেদনশীলতা বিশ্লেষণ পদ্ধতির প্রয়োগগুলি নিম্নলিখিত গবেষণাপত্রে পাওয়া যাবে [এম. ভি.] রামা রাও, এ. পোউনুক এবং আই. স্কালনা 2008]। এই পদ্ধতিটি ব্যবধান সীমাবদ্ধ পার্থক্য পদ্ধতি এবং ব্যবধান সীমানা উপাদান পদ্ধতিতেও প্রয়োগ করা যেতে পারে। মুহান্না এবং মুলেন অন্তরের পরামিতিগুলির সাথে সীমাবদ্ধ উপাদান সমীকরণের সমাধানে উপাদান গঠনের মাধ্যমে উপাদান প্রয়োগ করেছিলেন। সেই পদ্ধতি ব্যবহার করে ট্রাস এবং ফ্রেম কাঠামোর ক্ষেত্রে নিশ্চিত নির্ভুলতার সাথে সমাধান পাওয়া সম্ভব। বিশৃঙ্খলা পদ্ধতি সমাধানের কঠোরতা ম্যাট্রিক্স এবং লোড ভেক্টরকে বিশৃঙ্খলা তত্ত্ব ব্যবহার করে প্রসারিত করা যেতে পারে। বিচ্যুতি তত্ত্ব ব্যবধান সমাধানের আনুমানিক মূল্যের দিকে পরিচালিত করে। পদ্ধতিটি খুব কার্যকর এবং গণনামূলক বলবিজ্ঞানের বড় সমস্যাগুলির ক্ষেত্রে প্রয়োগ করা যেতে পারে। প্রতিক্রিয়া পৃষ্ঠ পদ্ধতি প্রতিক্রিয়া পৃষ্ঠ ব্যবহার করে সমাধানটি আনুমানিক করা সম্ভব। তারপর ব্যবধান সমাধান পেতে প্রতিক্রিয়া পৃষ্ঠ ব্যবহার করা সম্ভব। প্রতিক্রিয়া পৃষ্ঠ পদ্ধতি ব্যবহার করে গণনামূলক বলবিজ্ঞানের খুব জটিল সমস্যা সমাধান করা সম্ভব। বিশুদ্ধ ব্যবধান পদ্ধতি বেশ কয়েকজন লেখক ব্যবধান পরামিতিগুলির সাথে সীমাবদ্ধ উপাদান সমস্যার সমাধানে বিশুদ্ধ ব্যবধান পদ্ধতি প্রয়োগ করার চেষ্টা করেছেন। কিছু কিছু ক্ষেত্রে খুব আকর্ষণীয় ফলাফল পাওয়া সম্ভব, যেমন। [পোপোভা, ইয়ানকভ, বোনেভ 2008]। যাইহোক, সাধারণভাবে পদ্ধতিটি খুব অতিরঞ্জিত ফলাফল তৈরি করে। প্যারামেট্রিক ব্যবধান ব্যবস্থা পোপোভা এবং স্কালনা রৈখিক সমীকরণ ব্যবস্থার সমাধানের পদ্ধতিগুলি প্রবর্তন করেছিল যেখানে সহগগুলি ব্যবধান পরামিতিগুলির রৈখিক সংমিশ্রণ। এই ক্ষেত্রে নিশ্চিত নির্ভুলতার সাথে ব্যবধান সমীকরণগুলির খুব সঠিক সমাধান পাওয়া সম্ভব। আরও দেখুন ইন্টারভাল বাউন্ডারি এলিমেন্ট মেথড ইন্টারভাল (গণিত) ইন্টারভাল অ্যারিথমেটিক ইম্প্রিসাইজ প্রোব্যাবিলিটি মাল্টিভ্যালুয়েড ফাংশন ডিফারেনশিয়াল ইনক্লুশন অবজারভেশনাল এরর র্যান্ডম কম্প্যাক্ট সেট রিলায়েবিলিটি (পরিসংখ্যান) কনফিডেন্স ইন্টারভাল বেস্ট, সবচেয়ে খারাপ এবং গড় কেস প্রোব্যাবিলিস্টিক ডিজাইন প্রোপাগেশান অফ আনসার্টেনিটি এক্সপেরিমেন্টাল আনসার্টেনিটি অ্যানালাইসিস পার্টার্বেশন থিওরি কন্টিনিউম মেকানিক্স সলিড মেকানিক্স ট্রাস স্পেস ফ্রেম লিনিয়ার ইলাস্টিসিটি স্ট্রেংথ অফ ম্যাটেরিয়াল রেফারেন্স ডেম্পস্টার, এ. পি. (1967)। "উচ্চ এবং নিম্ন সম্ভাব্যতা একটি বহুমাত্রিক ম্যাপিং দ্বারা প্ররোচিত"। দ্য অ্যানালস অফ ম্যাথমেটিকাল স্ট্যাটিস্টিক্স 38 (2): 325-339। । সংগৃহীত 2009-09-23 সিভিল ইঞ্জিনিয়ারিং-এ অনিশ্চয়তা বিশ্লেষণ, ডব্লিউ. ফেলিন, এইচ. লেসম্যান, এম. ওবারগুগেনবার্গার এবং আর. ভিয়েডার (সংস্করণ। ), স্প্রিঙ্গার-ভার্লাগ, বার্লিন, 2005 আই. এলিশাকফ, প্রকৌশল ক্ষেত্রে সম্ভাব্য পদ্ধতির সম্ভাব্য সীমাবদ্ধতা। অ্যাপ্লায়েড মেকানিক্স রিভিউ, Vol.53, নং 2, পিপি। 19-25,2000। হ্লাভাসেক, আই., ক্লেবাউন, জে., বাবুস্কা, আই.: অনিশ্চিত ইনপুট ডেটা সমস্যা এবং সবচেয়ে খারাপ পরিস্থিতি পদ্ধতি। এলসেভিয়ার, আমস্টারডাম (2004) কয়লুওগ্লু, ইউ., আইজাক এলিশাকফ; অনিশ্চিত কঠোরতার বৈশিষ্ট্যযুক্ত শিয়ার ফ্রেমে প্রয়োগ করা স্টোকাস্টিক এবং ব্যবধান সীমাবদ্ধ উপাদানগুলির তুলনা, কম্পিউটার এবং কাঠামো ভলিউমঃ 67, সংখ্যাঃ 1-3, এপ্রিল 1,1998, পৃ। 91-98 ডি. মোয়েন্স এবং ডি. ভান্ডেপিট, বিরতি সংবেদনশীলতা তত্ত্ব এবং অনিশ্চিত কাঠামোর ফ্রিকোয়েন্সি প্রতিক্রিয়া খাম বিশ্লেষণে এর প্রয়োগ। কম্পিউটার মেথডস ইন অ্যাপ্লায়েড মেকানিক্স অ্যান্ড ইঞ্জিনিয়ারিং খণ্ড। 196, নং। 21-24,1 এপ্রিল 2007, পৃ. 2486-2496। মুলার, বি., বিয়ার, এম., ফাজি র্যান্ডমনেস-আনসার্টেনিটি ইন সিভিল ইঞ্জিনিয়ারিং অ্যান্ড কম্পিউট্যাশনাল মেকানিক্স, স্প্রিঙ্গার, বার্লিন, 2004। ই. পোপোভা, আর. ইয়ানকভ, জেড. বোনেভঃ সমস্ত পরামিতিগুলিতে অনিশ্চয়তার সাথে যান্ত্রিক কাঠামোর প্রতিক্রিয়াকে আবদ্ধ করা। R.L.Muhannah, R.L.Mullen (এডস): নির্ভরযোগ্য ইঞ্জিনিয়ারিং কম্পিউটিং (আরইসি) সম্পর্কিত এনএসএফ কর্মশালার কার্যধারা, সোভানাহ, জর্জিয়া, মার্কিন যুক্তরাষ্ট্র, ফেব্রুয়ারি. 22-24,2006,245-265 এ. পোউনুক, অস্পষ্ট আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সংখ্যাসূচক সমাধান এবং গণনামূলক বলবিজ্ঞানে এর প্রয়োগ, অস্পষ্ট আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ এবং সম্পর্কিত সমীকরণঃ জলাধার বৈশিষ্ট্য এবং মডেলিং (এম. নিকরাভেশ, এল. জাডেহ এবং ভি. কোরোটকিখ, এডস। ), স্টাডিজ ইন ফাজিনেস অ্যান্ড সফট কম্পিউটিং, ফিজিচা-ভার্লাগ, 2004, পৃ। 308-347 এ. পোউনুক, সংবেদনশীলতা বিশ্লেষণের উপর ভিত্তি করে ব্যবধান পরামিতিগুলির সাথে বড় স্কেল ইঞ্জিনিয়ারিং সমস্যার সমাধানের দক্ষ পদ্ধতি, নির্ভরযোগ্য ইঞ্জিনিয়ারিং কম্পিউটিংয়ের উপর এনএসএফ কর্মশালার কার্যক্রম, সেপ্টেম্বর 15-17,2004, সাভানাহ, জর্জিয়া, মার্কিন যুক্তরাষ্ট্র, পিপি। 305-316 এম. ভি. রামা রাও, এ. পোউনুক এবং আই. স্কালনা, স্ট্রেস অ্যানালাইসিস অফ এ সিঙ্গলি রিইনফোর্সড কংক্রিট বিম উইথ আনসার্টেন স্ট্রাকচারাল প্যারামিটার্স, এনএসএফ ওয়ার্কশপ অন রিলায়েবল ইঞ্জিনিয়ারিং কম্পিউটিং, ফেব্রুয়ারি 20-22,2008, সাভানাহ, জর্জিয়া, ইউএসএ, পিপি। 459-478 বার্নার্ডিনি, আলবার্তো, টোনন, ফুলভিও, বাউন্ডিং আনসার্টেনিটি ইন সিভিল ইঞ্জিনিয়ারিং, স্প্রিংগার 2010 বেন-হেইম ওয়াই, এলিশাকফ আই, 1990, কনভেক্স মডেলস অফ আনসার্টেনিটি ইন অ্যাপ্লায়েড মেকানিক্স। এলসেভিয়ার সায়েন্স পাবলিশার্স, নিউ ইয়র্ক ভ্যালিয়াপ্পান এস., ফাম টি. ডি., 1993, ফাজি ফাইনাইট এলিমেন্ট অ্যানালাইসিস অফ এ ফাউন্ডেশন অন ইলাস্টিক সয়েল মিডিয়াম। ইন্টারন্যাশনাল জার্নাল ফর নিউমেরিকাল অ্যান্ড অ্যানালিটিক্যাল মেথডস ইন জিওমেকানিকস, Vol.17, পিপি। এলিশাকফ আই., লি ওয়াই. ডব্লিউ., স্টারনেস জে. এইচ., 1994, যৌগিক কাঠামোর বকলিংয়ের উপর অজানা-কিন্তু-সীমাবদ্ধ স্থিতিস্থাপক মডুলির প্রভাবের পূর্বাভাস দেওয়ার জন্য একটি নির্ধারক পদ্ধতি। কম্পিউটার মেথডস ইন অ্যাপ্লায়েড মেকানিক্স অ্যান্ড ইঞ্জিনিয়ারিং, Vol.111, পিপি। 155-167 ভ্যালিয়াপ্পান এস. ফাম টি. ডি., 1995, ইলাস্টো-প্লাস্টিক ফাইনাইট এলিমেন্ট অ্যানালাইসিস উইথ ফাজি প্যারামিটার্স। ইন্টারন্যাশনাল জার্নাল ফর নিউমেরিকাল মেথডস ইন ইঞ্জিনিয়ারিং, 38, পৃ। 531-548 রাও এস. এস., সয়্যার জে. পি., 1995, অস্পষ্টভাবে সংজ্ঞায়িত সিস্টেমগুলির বিশ্লেষণের জন্য ফাজি ফাইনাইট এলিমেন্ট অ্যাপ্রোচ। এআইএএ জার্নাল, Vol.33, No.12, পিপি। 2364-2370 কয়লুওগ্লু এইচ. ইউ., কাকমাক এ., নিলসেন এস. আর. কে., 1995, স্ট্রাকচারাল মেকানিক্সে ইন্টারভাল ম্যাপিং। ইনঃ স্প্যানোস, এড। গণনামূলক স্টোকাস্টিক মেকানিক্স। 125-133। বালকেমা, রটারডাম মুহান্না, আর. এল এবং আর. এল মুলেন (1995)। উত্তর আমেরিকার ফাজি ইনফরমেশন প্রসেসিং সোসাইটির (আই. এস. ইউ. এম. এ-এন. এ. এফ. আই. পি. এস '95) অনিশ্চয়তা মডেলিং এবং বিশ্লেষণ সম্পর্কিত তৃতীয় আন্তর্জাতিক সিম্পোজিয়ামের কার্যধারায় "কন্টিনিউম মেকানিক্সে অস্পষ্টতার জন্য বিরতি ভিত্তিক পদ্ধতির বিকাশ", আই. ই. ই. ই, <আই. ডি1> বাহ্যিক লিঙ্কগুলি নির্ভরযোগ্য ইঞ্জিনিয়ারিং কম্পিউটিং, জর্জিয়া ইনস্টিটিউট অফ টেকনোলজি, সাভানাহ, ইউ. এস. এ বিরতি গণনা নির্ভরযোগ্য কম্পিউটিং (জার্নাল) বিরতি সমীকরণ (রেফারেন্স সংগ্রহ) বিরতি সীমাবদ্ধ উপাদান ওয়েব অ্যাপ্লিকেশন ই. পোপোভা, বিরতি রৈখিক সিস্টেমের প্যারামেট্রিক সমাধান সেট ত্রুটিযুক্ত সম্ভাবনার জন্য সমাজঃ তত্ত্ব এবং অ্যাপ্লিকেশন সীমাবদ্ধ উপাদান পদ্ধতি