Proebsting's paradox
সম্ভাব্যতা তত্ত্বে, প্রোবস্টিংয়ের প্যারাডক্স এমন একটি যুক্তি যা দেখায় যে কেলির মানদণ্ড ধ্বংসের দিকে নিয়ে যেতে পারে। যদিও এটি গাণিতিকভাবে সমাধান করা যেতে পারে, এটি কেলির ব্যবহারিক প্রয়োগ সম্পর্কে কিছু আকর্ষণীয় সমস্যা উত্থাপন করে, বিশেষ করে বিনিয়োগের ক্ষেত্রে। 2008 সালে এডওয়ার্ড ও. থর্প এর নামকরণ এবং প্রথম আলোচনা করেন। এই প্যারাডক্সের নামকরণ করা হয়েছে এর স্রষ্টা টড প্রোবস্টিংয়ের নামে। বৈপরীত্যের বিবৃতি যদি কোনও বাজি সমানভাবে জেতার বা হারার সম্ভাবনা থাকে এবং জয়ের জন্য দ্বিগুণ বাজি প্রদান করে, তবে কেলি বাজিটি হ 'লঃ গুণ সম্পদ। উদাহরণস্বরূপ, যদি একটি 50/50 বাজি 2 থেকে 1 টাকা দেয়, কেলি সম্পদের 25 শতাংশ বাজি রাখতে বলে। যদি একটি 50/50 বাজি 5 থেকে 1 টাকা দেয়, কেলি সম্পদের 40 শতাংশ বাজি রাখতে বলে। এখন ধরুন একজন জুয়াড়িকে 2 থেকে 1 টাকা এবং বাজি 25 শতাংশ দেওয়া হয়। নতুন বেটের অর্থমূল্য যদি 5 থেকে 1-এ পরিবর্তিত হয়, তা হলে তার কী করা উচিত? তাকে সর্বাধিক করার জন্য এফ * বেছে নিতে হবেঃ কারণ যদি সে জিতে যায় তবে তার 1.5 (2 থেকে 1 প্রতিকূলতায় 25 শতাংশ বাজি জেতার জন্য 0.5) প্লাস 5এফ * থাকবে; এবং যদি সে হেরে যায় তবে তাকে প্রথম বাজি থেকে 0.25 এবং দ্বিতীয় বাজি থেকে এফ * দিতে হবে। f *-এর সাপেক্ষে ব্যুৎপত্তি গ্রহণ এবং এটিকে শূন্যে স্থাপন করলে পাওয়া যায়ঃ যা পুনর্লিখন করা যেতে পারেঃ সুতরাং f * = 0.225। দ্বন্দ্বটি হল যে মোট বাজি, 0.25 + 0.225 = 0.475,0.40 কেলি বাজি থেকে বড় যদি 5 থেকে 1 প্রতিকূলতা শুরু থেকেই দেওয়া হয়। এটি বিপরীতমুখী যে আপনি আরও বাজি ধরবেন যখন কিছু বাজি প্রতিকূল প্রতিকূল প্রতিকূলতায় থাকে। টড প্রোবস্টিং এড থর্পকে এই বিষয়ে জিজ্ঞাসা করে ইমেল করেছিলেন। এড থর্প বুঝতে পেরেছিলেন যে কেলি বেটারকে নষ্ট হওয়ার শূন্যেতর সম্ভাবনা দেওয়ার জন্য এই ধারণাটি বাড়ানো যেতে পারে। তিনি দেখিয়েছেন যে যদি একজন জুয়াড়িকে 2 থেকে 1 প্রতিকূলতার প্রস্তাব দেওয়া হয়, তাহলে 4 থেকে 1, তারপর 8 থেকে 1 এবং আরও অনেক কিছু (n = 1 থেকে অনন্তের জন্য 2n থেকে 1) কেলি বাজি ধরতে বলেঃ প্রতিবার। এই সমস্ত বাজির সমষ্টি হল 1। সুতরাং একজন কেলি জুয়াড়ির তার পুরো সম্পদ হারানোর 50 শতাংশ সম্ভাবনা থাকে। সাধারণভাবে, যদি কোনও বেটার বি1 এর অর্থ প্রদানের সাথে একটি 50/50 প্রস্তাবের উপর কেলি বাজি ধরে এবং তারপরে তাকে বি2 দেওয়া হয়, তবে সে মোট বাজি ধরবেঃ প্রথম মেয়াদে বেটারটি যা বাজি ধরবে যদি প্রাথমিকভাবে বি2 দেওয়া হয়। দ্বিতীয় মেয়াদটি ইতিবাচক যদি f2> f1 হয়, যার অর্থ হল যে যদি পরিশোধের উন্নতি হয়, কেলি বেটার তার চেয়ে বেশি বাজি ধরবে যদি কেবল দ্বিতীয় পরিশোধের প্রস্তাব দেওয়া হয়, অন্যদিকে যদি পরিশোধ আরও খারাপ হয় তবে সে তার চেয়ে কম বাজি ধরবে যদি কেবল দ্বিতীয় পরিশোধের প্রস্তাব দেওয়া হয়। ব্যবহারিক প্রয়োগ অনেক বেটের বৈশিষ্ট্য রয়েছে যে ফলাফল নির্ধারণের আগে পরিশোধ এবং সম্ভাবনাগুলি পরিবর্তিত হতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, ক্রীড়া বাজি ধরার ক্ষেত্রে, ইভেন্টটি অনুষ্ঠিত হওয়ার আগে লাইনটি বেশ কয়েকবার পরিবর্তিত হতে পারে এবং সংবাদ প্রকাশিত হতে পারে (যেমন আঘাত বা আবহাওয়ার পূর্বাভাস) যা ফলাফলের সম্ভাবনা পরিবর্তন করে। বিনিয়োগের ক্ষেত্রে, মূলত শেয়ার প্রতি 20 ডলারে কেনা একটি স্টক এখন 10 ডলার বা 30 ডলার বা অন্য কোনও দামে পাওয়া যেতে পারে। কিছু ক্রীড়া বেটার ইভেন্টের ফলাফলের পূর্বাভাস দেওয়ার পরিবর্তে লাইন পরিবর্তনের পূর্বাভাস দিয়ে আয় করার চেষ্টা করে। কিছু ব্যবসায়ী কোনও সুরক্ষার দীর্ঘমেয়াদী মৌলিক সম্ভাবনার পরিবর্তে সম্ভাব্য স্বল্পমেয়াদী মূল্য পরিবর্তনের দিকে মনোনিবেশ করেন। বিনিয়োগের একটি সর্বোত্তম উদাহরণ হল একজন ব্যবসায়ী যার এক্সপোজার সীমা রয়েছে, তিনি বলেন যে কোনও একটি স্টকে 10 লক্ষ ডলারের বেশি ঝুঁকির অনুমতি নেই। তার মানে এই নয় যে, তিনি 10 লক্ষ ডলারের বেশি হারাতে পারবেন না। যদি তিনি 20 মার্কিন ডলারে 10 লক্ষ মার্কিন ডলার মূল্যের স্টক কেনেন এবং তা 10 মার্কিন ডলারে চলে যায়, তাহলে তিনি আরও 500,000 মার্কিন ডলার কিনতে পারবেন। যদি তা 5 ডলারে যায়, তাহলে সে আরও 500,000 ডলার কিনতে পারে। যদি এটি শূন্যে চলে যায়, তবে ঝুঁকিতে 10 লক্ষ ডলারের বেশি না থাকা সত্ত্বেও তিনি অসীম পরিমাণ অর্থ হারাতে পারেন। সমাধানের কোনও বৈপরীত্য নেই। কেলির মানদণ্ড হল প্রত্যাশিত বৃদ্ধির হার সর্বাধিক করা; শুধুমাত্র সীমাবদ্ধ পরিস্থিতিতে এটি লগ সর্বাধিক করার সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ। প্যারাডক্সটি খারিজ করার একটি সহজ উপায় হল মনে রাখা যে কেলি অনুমান করেন যে সম্ভাবনাগুলি পরিবর্তিত হয় না। একজন কেলি বেটার যিনি জানেন যে প্রতিকূলতা পরিবর্তিত হতে পারে, তিনি এটিকে আরও জটিল কেলি বাজি হিসাবে বিবেচনা করতে পারেন। উদাহরণস্বরূপ, ধরুন একজন কেলি বেটারকে 2 থেকে 1-এর ব্যবধানে একটি 50/50 প্রস্তাব বাজি ধরার এককালীন সুযোগ দেওয়া হয়েছে। তিনি জানেন যে 50 শতাংশ সম্ভাবনা রয়েছে যে 5 থেকে 1-এ দ্বিতীয় এককালীন সুযোগ দেওয়া হবে। এখন তার সর্বাধিক করা উচিতঃ f1 এবং f2 উভয়ের সাপেক্ষে। উত্তরটি 2 থেকে 1-এ বাজি শূন্য বলে প্রমাণিত হয় এবং 5 থেকে 1-এ বাজি ধরার সুযোগের জন্য অপেক্ষা করুন, এই ক্ষেত্রে আপনি সম্পদের 40 শতাংশ বাজি ধরবেন। যদি 5 থেকে 1 প্রতিকূলতার প্রস্তাব দেওয়ার সম্ভাবনা 50 শতাংশের কম হয়, তবে শূন্য থেকে 25 শতাংশের মধ্যে কিছু পরিমাণ 2 থেকে 1-এ বাজি ধরা হবে। যদি 5 থেকে 1 প্রতিকূলতার প্রস্তাব দেওয়ার সম্ভাবনা 50 শতাংশের বেশি হয়, তবে কেলি বাজি ধরার খেলোয়াড় আসলে 2 থেকে 1 প্রতিকূলতায় একটি নেতিবাচক বাজি ধরবে (অর্থাৎ, যদি সে জিতে যায় তবে 50/50 ফলাফলের উপর বাজি ধরবে এবং যদি সে হেরে যায় তবে 1 প্রদান করবে)। উভয় ক্ষেত্রেই, যদি সুযোগ দেওয়া হয়, 5 থেকে 1 প্রতিকূলতায় তার বাজি তার 2 থেকে 1 বাজির 40 শতাংশ বিয়োগ 0.7 গুণ। প্যারাডক্সটি মূলত যা বলে তা হ 'ল যদি কোনও কেলি বেটারের ভবিষ্যতের বাজি কী দেওয়া যেতে পারে সে সম্পর্কে ভুল বিশ্বাস থাকে তবে সে সর্বোত্তম পছন্দগুলি করতে পারে এবং এমনকি ভেঙে যেতে পারে। কেলি মানদণ্ডটি দীর্ঘমেয়াদে যে কোনও মূলত ভিন্ন কৌশলের চেয়ে ভাল করার কথা এবং নষ্ট হওয়ার শূন্য সম্ভাবনা রয়েছে, যতক্ষণ না বাজি ধরার সম্ভাবনা এবং অর্থপ্রদানগুলি জানে। সমস্যাগুলির উপর আরও আলোকপাত করা হয়েছিল অ্যারন ব্রাউনের দ্বারা সমস্যার একটি স্বাধীন বিবেচনার মাধ্যমে, যিনি ইমেলের মাধ্যমে এড থর্পকেও যোগাযোগ করেছিলেন। এই ফর্মুলেশনে, অনুমান করা হয় যে বাজি ধরার লোকটি প্রথমে প্রাথমিক বাজি বিক্রি করে, তারপর দ্বিতীয় পরিশোধে একটি নতুন বাজি ধরে। এই ক্ষেত্রে তার মোট বাজি হলঃ যা প্রোবস্টিং গঠনের জন্য উপরের সূত্রের সাথে খুব মিল দেখায়, তবে দ্বিতীয় মেয়াদে চিহ্নটি বিপরীত হয় এবং এটি একটি অতিরিক্ত মেয়াদে গুণিত হয়। উদাহরণস্বরূপ, 5 থেকে 1 অর্থপ্রদানের পরে 2 থেকে 1 অর্থপ্রদানের মূল উদাহরণ দেওয়া হয়েছে, এই গঠনে বাজি ধরার ব্যক্তি প্রথমে সম্পদের 25 শতাংশ 2 থেকে 1-এ বাজি ধরে। যখন 5 থেকে 1 টাকা দেওয়ার প্রস্তাব দেওয়া হয়, তখন বাজি ধরার লোকটি 0.125-এর ক্ষতির জন্য আসল বাজি বিক্রি করতে পারে। তার 2-1 বাজি জিতলে 0.50 টাকা দেয় এবং হারলে 0.25 টাকা খরচ করে। নতুন 5 থেকে 1 টাকার বিনিময়ে, তিনি একটি বাজি পেতে পারেন যা তিনি জিতলে 0.625 প্রদান করে এবং যদি তিনি হেরে যান তবে 0.125 খরচ হয়, এটি উভয় রাজ্যে তাঁর আসল বাজি থেকে 0.125 ভাল। অতএব তার আসল বাজিটির এখন মান-0.125। তার নতুন সম্পদের স্তর 0.875-এর পরিপ্রেক্ষিতে, তার 40 শতাংশ বাজি (5 থেকে 1 অর্থপ্রদানের জন্য কেলির পরিমাণ) হল 0.35। দুটি সূত্র সমতুল্য। মূল ফর্মুলেশনে, বেটারের 2 থেকে 1-এ 0.25 বাজি এবং 5 থেকে 1-এ 0.225 বাজি রয়েছে। যদি সে জিতে যায়, তাহলে সে 2.625 পায় এবং যদি সে হেরে যায় তবে তার কাছে 0.525 থাকে। দ্বিতীয় ফর্মুলেশনে, বেটারের 0.875 এবং 5 থেকে 1-এ 0.35 বাজি রয়েছে। যদি সে জিতে যায়, তাহলে সে 2.625 পায় এবং যদি সে হেরে যায় তবে তার কাছে 0.525 থাকে। দ্বিতীয় সূত্রটি স্পষ্ট করে দেয় যে আচরণের পরিবর্তনের ফলে বিনিয়োগকারীরা যখন নতুন অর্থ প্রদানের প্রস্তাব দেওয়া হয় তখন মার্ক-টু-মার্কেট ক্ষতির সম্মুখীন হয়। এটি অর্থের বিষয়ে চিন্তা করার একটি স্বাভাবিক উপায়, যা একজন জুয়াড়ির কাছে কম স্বাভাবিক। এই ব্যাখ্যায়, দ্বিগুণ অর্থ প্রদানের অসীম সিরিজ কেলি বেটারকে অতিরিক্ত বাজি ধরার জন্য প্রলুব্ধ করে ধ্বংস করে না, এটি তার নিয়ন্ত্রণের বাইরে পরিবর্তনের মাধ্যমে তার সমস্ত সম্পদ বের করে নেয়। তথ্যসূত্র জুয়া গণিত তথ্য তত্ত্ব পরিসংখ্যানগত প্যারাডক্স ইউটিলিটি তত্ত্বে প্যারাডক্স