Complex torus
গণিতে, একটি জটিল টরাস হল একটি নির্দিষ্ট ধরনের জটিল ম্যানিফোল্ড এম যার অন্তর্নিহিত মসৃণ ম্যানিফোল্ড হল স্বাভাবিক অর্থে একটি টরাস (অর্থাৎ। কিছু সংখ্যক এন বৃত্তের কার্টেসিয়ান গুণফল)। এখানে N-কে অবশ্যই জোড় সংখ্যা 2n হতে হবে, যেখানে n হল M-এর জটিল মাত্রা। এই ধরনের সমস্ত জটিল কাঠামো নিম্নরূপ প্রাপ্ত করা যেতে পারেঃ একটি ভেক্টর স্পেস V-এ একটি জাল নিন যা বাস্তব ভেক্টর স্পেস হিসাবে বিবেচিত Cn-এর সমরূপ; তারপর ভাগফল গ্রুপটি একটি কম্প্যাক্ট কমপ্লেক্স ম্যানিফোল্ড। সমরূপতা পর্যন্ত সমস্ত জটিল তোরি এইভাবে পাওয়া যায়। n = 1-এর জন্য এটি উপবৃত্তাকার বক্ররেখার ধ্রুপদী সময়ের জাল নির্মাণ। এন> 1-এর জন্য বার্নহার্ড রিম্যান একটি জটিল টরাসকে বীজগাণিতিক বৈচিত্র্য হিসাবে প্রয়োজনীয় এবং পর্যাপ্ত শর্ত খুঁজে পেয়েছেন; যেগুলি বৈচিত্র্যগুলি জটিল প্রজেক্টিভ স্পেসে এম্বেড করা যেতে পারে এবং এগুলি আবেলিয়ান বৈচিত্র্য। প্রকৃত প্রজেক্টিভ এম্বেডিংগুলি জটিল (আবেলিয়ান জাতগুলি সংজ্ঞায়িত সমীকরণগুলি দেখুন) যখন n> 1, এবং বেশ কয়েকটি জটিল চলকের (স্থির মডুলাস সহ) থিটা-ফাংশন তত্ত্বের সাথে সত্যিই সহ-বিস্তৃত। n = 1-এর জন্য ঘন বক্ররেখার বর্ণনার মতো সহজ কিছু নেই। কম্পিউটার বীজগণিত ছোট এন-এর ক্ষেত্রে যুক্তিসঙ্গতভাবে ভালভাবে পরিচালনা করতে পারে। চাউ-এর উপপাদ্য অনুসারে, আবেলিয়ান প্রজাতি ব্যতীত অন্য কোনও জটিল টরাস প্রজেক্টিভ স্পেসে 'ফিট' করতে পারে না। সংজ্ঞা জটিল তোরিকে সংজ্ঞায়িত করার একটি উপায় হল একটি কম্প্যাক্ট সংযুক্ত জটিল লাই গ্রুপ। এগুলি হল লাই গ্রুপ যেখানে কাঠামোর মানচিত্রগুলি জটিল ম্যানিফোল্ডের হোলোমর্ফিক মানচিত্র। দেখা যাচ্ছে যে এই ধরনের সমস্ত সংহত সংযুক্ত লাই গ্রুপগুলি বিনিময়যোগ্য, এবং তাদের লাই বীজগণিতের একটি ভাগফলের সমতুল্য, যার আচ্ছাদন মানচিত্রটি একটি লাই বীজগণিতের তার সম্পর্কিত লাই গ্রুপের সূচকীয় মানচিত্র। এই মানচিত্রের কার্নেলটি একটি জাল এবং। বিপরীতভাবে, একটি জটিল ভেক্টর স্থান এবং সর্বাধিক র্যাঙ্কের একটি জাল দেওয়া হলে, ভাগফল জটিল ম্যানিফোল্ডের একটি জটিল লাই গ্রুপ কাঠামো রয়েছে এবং এটি কম্প্যাক্ট এবং সংযুক্ত। এর অর্থ হল জটিল তোরির দুটি সংজ্ঞা সমতুল্য। একটি জটিল টরাসের পিরিয়ড ম্যাট্রিক্স একটি জি-মাত্রিক জটিল টরাসকে বর্ণনা করার একটি উপায় হল এমন একটি ম্যাট্রিক্স ব্যবহার করা যার কলামগুলি একটি ভিত্তি ব্যবহার করে প্রসারিত জালের ভিত্তির সাথে মিলে যায়। অর্থাৎ, আমরা তাই লিখি আমরা তখন টোরাসকে এভাবে লিখতে পারি যদি আমরা একটি ম্যাট্রিক্স নির্বাচন করে বিপরীত দিকে যাই, তবে এটি একটি পিরিয়ড ম্যাট্রিক্সের সাথে মিলে যায় যদি এবং শুধুমাত্র যদি জটিল কনজুগেট ম্যাট্রিক্সের সাথে সংযুক্ত সংশ্লিষ্ট ম্যাট্রিক্সটি তৈরি করা হয়, তাই এটি ননসিঙ্গুলার হয়। এটি একটি জালের স্প্যানের কলাম ভেক্টরগুলির নিশ্চয়তা দেয় তাই অবশ্যই রৈখিকভাবে স্বাধীন ভেক্টর হতে হবে। উদাহরণস্বরূপ, একটি দ্বিমাত্রিক জটিল টরাসের জন্য, এটির একটি পিরিয়ড ম্যাট্রিক্স রয়েছে, উদাহরণস্বরূপ, ম্যাট্রিক্স একটি পিরিয়ড ম্যাট্রিক্স গঠন করে কারণ সংশ্লিষ্ট পিরিয়ড ম্যাট্রিক্সের নির্ধারক 4 থাকে। স্বাভাবিক পিরিয়ড ম্যাট্রিক্স মাত্রার যে কোনও জটিল টরাসের জন্য এটির একটি পিরিয়ড ম্যাট্রিক্স রয়েছে যেখানে আইডেন্টিটি ম্যাট্রিক্স এবং কোথায়। উপরের ফর্মের একটি ব্লক ম্যাট্রিক্স দিয়ে ভেক্টর স্পেসের বেসিস পরিবর্তন করে আমরা এটি পেতে পারি। সংশ্লিষ্ট-ম্যাট্রিক্সটি দেখার জন্য নিম্নলিখিত শর্তটি অবশ্যই একটি অ-একক ম্যাট্রিক্স হতে হবে। এর কারণ হল, আমরা যদি ব্লক ম্যাট্রিক্সের নির্ধারক গণনা করি, তবে এটিই সহজভাবে বোঝায়। উদাহরণস্বরূপ, আমরা একটি দ্বিমাত্রিক জটিল টরাসের জন্য একটি স্বাভাবিক পিরিয়ড ম্যাট্রিক্স লিখতে পারি যেমন একটি উদাহরণ হল স্বাভাবিক পিরিয়ড ম্যাট্রিক্স যেহেতু এর নির্ধারক শূন্য নয়, সমান। আবেলিয়ান জাতের পিরিয়ড ম্যাট্রিক্স একটি পিরিয়ড ম্যাট্রিক্স পেতে যা একটি প্রজেক্টিভ জটিল বহুগুণ দেয়, তাই একটি বীজগাণিতিক বৈচিত্র্য, পিরিয়ড ম্যাট্রিক্সকে রিম্যান দ্বিমাত্রিক সম্পর্ককে আরও সন্তুষ্ট করতে হবে। জটিল তোরির সমরূপতা যদি আমাদের জটিল তোরি এবং মাত্রার থাকে তবে জটিল তোরির সমরূপতা এমন একটি ফাংশন যা গোষ্ঠীর কাঠামো সংরক্ষণ করে। এর বেশ কয়েকটি পরিণতি রয়েছে, যেমন প্রতিটি সমরূপতা তাদের আচ্ছাদন স্থানগুলির একটি মানচিত্রকে প্ররোচিত করে যা তাদের আচ্ছাদন মানচিত্রের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ। উপরন্তু, যেহেতু একটি গ্রুপ সমরূপতা প্ররোচিত করে, এটি অবশ্যই ল্যাটিসের একটি অঙ্গসংস্থানের মধ্যে সীমাবদ্ধ থাকতে হবে বিশেষত, ইনজেকশন রয়েছে এবং যাকে সমরূপতার স্থানের বিশ্লেষণাত্মক এবং যুক্তিসঙ্গত উপস্থাপনা বলা হয়। এগুলি এন্ডোমর্ফিজম রিং সম্পর্কে কিছু তথ্য নির্ধারণ করতে কার্যকর যার যৌক্তিক মাত্রা রয়েছে। জটিল তোরির সমরূপ মানচিত্র জটিল তোরির মধ্যে সমরূপ মানচিত্রের শ্রেণীর একটি খুব সহজ কাঠামো রয়েছে। অবশ্যই, প্রতিটি সমরূপতা একটি সমরূপতা মানচিত্রকে প্ররোচিত করে, তবে প্রতিটি সমরূপতা মানচিত্র একটি সমরূপতা সহ একটি বিশেষ ধরনের সমরূপতা মানচিত্রের গঠন। তারপর, যদি জটিল তোরির মধ্যে একটি হোলোমর্ফিক মানচিত্র হয়, তবে একটি অনন্য সমরূপতা রয়েছে যা হলোমর্ফিক মানচিত্রগুলি জটিল তোরির সমরূপতার সেটের চেয়ে খুব বেশি বড় নয়। আইসোজেনি জটিল তোরির সমরূপতার একটি স্বতন্ত্র শ্রেণীকে আইসোজেনি বলা হয়। এগুলি একটি অ-শূন্য কার্নেল সহ জটিল তোরির এন্ডোমর্ফিজম। উদাহরণস্বরূপ, যদি আমরা একটি পূর্ণসংখ্যা হতে দিই, তবে একটি সম্পর্কিত মানচিত্র প্রেরণ রয়েছে যার কার্নেল আইসোমরফিক রয়েছে। আইসোমরফিক জটিল টোরি বাস্তব ভেক্টর স্পেসে জটিল কাঠামোর একটি আইসোমরফিজম রয়েছে এবং সেট এবং আইসোমরফিক টোরি তাদের ল্যাটিসের ভিত্তিতে পরিবর্তনের মাধ্যমে দেওয়া যেতে পারে, তাই একটি ম্যাট্রিক্স। এটি আয়তনের জটিল তোরির সমরূপতা শ্রেণীর সেট দেয়, যেমন ডাবল কোসেট স্পেস নোট করুন যে একটি বাস্তব বহুগুণ হিসাবে, এর মাত্রা রয়েছে যা আবেলিয়ান জাতের মডুলির মাত্রা বিবেচনা করার সময় গুরুত্বপূর্ণ, যা দেখায় যে আবেলিয়ান জাতের তুলনায় অনেক বেশি জটিল তোরি রয়েছে। লাইন বান্ডিল এবং অটোমরফিক ফর্ম জটিল ম্যানিফোল্ডের জন্য, বিশেষত জটিল তোরিতে, হোলোমরফিক লাইন বান্ডিল সম্পর্কিত একটি নির্মাণ রয়েছে যার পুলব্যাক এর গ্রুপ কোহোমোলজি ব্যবহার করে তুচ্ছ। সৌভাগ্যবশত জটিল তোরির জন্য, প্রতিটি জটিল লাইন বান্ডিল তখন থেকে তুচ্ছ হয়ে যায়। অটোমর্ফির কারণগুলি প্রথম গ্রুপ কোহোমোলজি গ্রুপ থেকে শুরু করে আমরা স্মরণ করি যে কীভাবে এর উপাদানগুলিকে উপস্থাপন করা যেতে পারে। যেহেতু এর সমস্ত শেভগুলিতে একটি প্ররোচিত ক্রিয়া রয়েছে, তাই দ্য-অ্যাকশনে তখন একটি হোলোমরফিক মানচিত্র হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে। এই মানচিত্রটি প্রতিটি এবং এর জন্য যদি কোসাইকেল শর্তটি সন্তুষ্ট করে। 1-কোষের আবেলিয়ান গোষ্ঠীকে স্বয়ংক্রিয়তার কারণগুলির গোষ্ঠী বলা হয়। লক্ষ্য করুন যে এই ধরনের ফাংশনগুলিকে কেবল ফ্যাক্টরও বলা হয়। জটিল তোরিতে জটিল তোরির জন্য, এই ফাংশনগুলি কোষচক্রের অবস্থা অনুসরণ করে এমন ফাংশন দ্বারা দেওয়া হয়। এগুলি অটোমরফিক ফাংশন, আরও সুনির্দিষ্টভাবে, থিটা ফাংশনের রূপান্তর আইনে ব্যবহৃত অটোমরফিক ফাংশন। এছাড়াও, এই ধরনের যে কোনও মানচিত্র লেখা যেতে পারে যার জন্য সংশ্লিষ্ট লাইন বান্ডিলের সাথে সম্পর্কিত অপরিবর্তনীয় গণনা করার জন্য দরকারী। অটোমর্ফির কারণগুলি থেকে লাইন বান্ডিলগুলি অটোমর্ফির একটি ফ্যাক্টর দেওয়া হলে আমরা একটি লাইন বান্ডিলকে নিম্নরূপ সংজ্ঞায়িত করতে পারিঃ তুচ্ছ লাইন বান্ডিলের ফ্যাক্টরের জন্য একটি-অ্যাকশন দেওয়া থাকে। যেহেতু এই ক্রিয়াটি মুক্ত এবং যথাযথভাবে বিচ্ছিন্ন, তাই ভাগফলের বান্ডিলটি একটি জটিল বহুগুণ। উপরন্তু, আবরণ অভিক্ষেপ থেকে প্রবর্তিত অভিক্ষেপ। এটি একটি মানচিত্র দেয় যা একটি আইসোমরফিজমকে প্ররোচিত করে যা কাঙ্ক্ষিত ফলাফল দেয়। জটিল তোরির জন্য জটিল তোরির ক্ষেত্রে, আমাদের একটি আইসোমরফিজম রয়েছে যা সম্পর্কিত গ্রুপ কোহোমোলজিতে 1-কোষ হিসাবে জটিল তোরির উপর লাইন বান্ডিলগুলির প্রতিনিধিত্ব করে। গ্রুপটিকে ল্যাটিস হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা সাধারণ, তাই এতে লাইন বান্ডিলগুলির আইসোমরফিজম ক্লাস রয়েছে। জটিল তোরির উপর প্রথম চেরন শ্রেণীর লাইন বান্ডিলগুলি সূচকীয় সঠিক ক্রম থেকে সংযোগকারী মরফিজম হল প্রথম চেরন শ্রেণীর মানচিত্র, যা একটি লাইন বান্ডিলের একটি আইসোমরফিজম শ্রেণীকে তার সম্পর্কিত প্রথম চেরন শ্রেণীতে পাঠায়। দেখা যাচ্ছে যে ল্যাটিসের উপর বিকল্প ফর্মগুলির মডিউল এবং এর মধ্যে একটি আইসোমরফিজম রয়েছে। অতএব, একটি বিকল্প-মূল্যবান 2-ফর্ম হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে। যদি স্বয়ংক্রিয়তার কারণ থাকে তবে বিকল্প রূপটি এবং হিসাবে প্রকাশ করা যেতে পারে। উদাহরণ একটি স্বাভাবিক পিরিয়ড ম্যাট্রিক্সের জন্য স্ট্যান্ডার্ড বেসিস ব্যবহার করে প্রসারিত করার জন্য আমাদের কাছে ল্যাটিসকে সংজ্ঞায়িত করে কলাম ভেক্টর রয়েছে। তারপরে, যে কোনও বিকল্প ফর্মটি এমন ফর্মের হয় যেখানে বেশ কয়েকটি সামঞ্জস্যের শর্ত পূরণ করতে হবে। লাইন বান্ডিল এবং থিটা ফাংশনগুলির বিভাগগুলি অটোমরফির একটি ফ্যাক্টর দ্বারা প্রদত্ত একটি লাইন বান্ডিলের জন্য, সুতরাং, যেখানে খোলা রয়েছে সেখানে বিভাগগুলির একটি সম্পর্কিত শেফ রয়েছে। তারপরে, গ্লোবাল বিভাগগুলিতে মূল্যায়ন করা হয়, এটি হল হোলোমর্ফিক ফাংশনের সেট যা সমতলে ঠিক থিটা ফাংশন। বিপরীতভাবে, এই প্রক্রিয়াটি পিছনের দিকে করা যেতে পারে যেখানে থিটা ফাংশনের অটোমরফিক ফ্যাক্টর আসলে একটি জটিল টরাসের উপর একটি লাইন বান্ডিল সংজ্ঞায়িত করার অটোমরফির ফ্যাক্টর। হার্মিশিয়ান ফর্ম এবং অ্যাপেল-হামবার্ট উপপাদ্য লাইন বান্ডিলের সাথে সম্পর্কিত বিকল্প-মূল্যবান 2-ফর্মের জন্য, এটি-মূল্যবান হিসাবে প্রসারিত করা যেতে পারে। তারপর, দেখা যায় যে কোনও-মূল্যবান বিকল্প ফর্ম যা কোনও লাইনের বান্ডিলের কিছু প্রথম চেরন শ্রেণীর সম্প্রসারণের জন্য নিম্নলিখিত শর্তগুলি সন্তুষ্ট করে। উপরন্তু, একটি সম্পর্কিত হার্মিসিয়ান ফর্ম যে কোনও জন্য সন্তোষজনক। নেরন-সেভেরি গ্রুপ একটি জটিল টরাসের জন্য আমরা নেরন-সার্ভেরি গ্রুপকে হার্মিশিয়ান ফর্মের গ্রুপ হিসাবে সংজ্ঞায়িত করতে পারি সমতুল্যভাবে, এটি প্রথম চেরন শ্রেণীর সমরূপতার চিত্র। আমরা এটিকে বিকল্প বাস্তব-মূল্যবান বিকল্প ফর্মগুলির গোষ্ঠীর সাথেও চিহ্নিত করতে পারি। একটি উপবৃত্তাকার বক্ররেখার উপর একটি হার্মিশিয়ান ফর্মের উদাহরণ জাল দ্বারা প্রদত্ত একটি উপবৃত্তাকার বক্ররেখার জন্য যেখানে আমরা একটি সাধারণ বিকল্প ম্যাট্রিক্স দেখে এবং এটি প্রত্যাশিত হিসাবে আচরণ করার জন্য সঠিক সামঞ্জস্যতা শর্তগুলি খুঁজে বের করে অবিচ্ছেদ্য ফর্মটি খুঁজে পেতে পারি। যদি আমরা রিয়েল ভেক্টর স্পেস (সুতরাং) হিসাবে এর স্ট্যান্ডার্ড বেসিস ব্যবহার করি, তবে আমরা একটি বিকল্প ম্যাট্রিক্স লিখতে পারি এবং সম্পর্কিত ভেক্টরগুলির উপর সম্পর্কিত পণ্যগুলি গণনা করতে পারি। এগুলি হল তারপর, এই ভেক্টরগুলির অভ্যন্তরীণ পণ্যগুলি (স্ট্যান্ডার্ড অভ্যন্তরীণ পণ্য সহ) আমরা যে ভেক্টরগুলি পাই তার সাথে নিয়ে যদি, তাহলে আমরা সরাসরি যাচাই করতে পারি, যা উপরের ম্যাট্রিক্সের জন্য প্রযোজ্য। একটি স্থিরের জন্য, আমরা ইন্টিগ্রাল ফর্মটি এভাবে লিখবো। তারপরে, একটি সম্পর্কিত হার্মিশিয়ান ফর্ম দেওয়া হয়েছে যেখানে হার্মিশিয়ান ফর্মগুলির জন্য আধা-অক্ষর জোড়া একটি হার্মিশিয়ান ফর্মের জন্য একটি আধা-অক্ষর এমন একটি মানচিত্র যাতে মানচিত্রটি হার্মিশিয়ান ফর্ম দ্বারা বাঁকানো অক্ষরের মতো আচরণ করে। লক্ষ্য করুন যে যদি শূন্য উপাদানটি থাকে, তাই এটি তুচ্ছ লাইন বান্ডিলের সাথে মিলে যায়, তবে সম্পর্কিত আধা-অক্ষরগুলি হল অক্ষরের গ্রুপ। এটি প্রমাণিত হবে যে এটি তার দ্বৈত টরাসের উপর ডিগ্রি লাইনের বান্ডিলগুলির গোষ্ঠীর সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ, যা অক্ষরের গোষ্ঠী গণনা করে দেখা যায় যার উপাদানগুলিকে কোনও নির্দিষ্ট দ্বৈত জাল ভেক্টরের জন্য একটি অক্ষরের আকারের মানচিত্র হিসাবে ফ্যাক্টর করা যেতে পারে। এটি একটি বাস্তব টরাস সহ অক্ষরের সেটের সমরূপতা দেয়। অর্ধ-অক্ষরের সমস্ত জোড়া এবং তাদের সম্পর্কিত হার্মিশিয়ান ফর্ম, বা আধা-অক্ষর জোড়া, একটি গোষ্ঠী গঠন করে যেখানে এই গোষ্ঠী কাঠামোটি নতুন অর্ধ-অক্ষরের অর্ধ-অক্ষরের জন্য পূর্ববর্তী বিনিময় আইন প্রয়োগ করার মাধ্যমে আসেঃ এটি প্রমাণিত হয় যে এই গোষ্ঠীটি একটি সংক্ষিপ্ত সঠিক ক্রম প্রদান করে এবং কার্নেল রয়েছে এই উত্থানটি প্রতিটি অর্ধ-অক্ষর জুটির সাথে একটি লাইন বান্ডিল সংযুক্ত করার মাধ্যমে তৈরি করা যেতে পারে। অর্ধ-অক্ষর জোড়া এবং লাইন বান্ডিল একটি অর্ধ-অক্ষর জুটির জন্য আমরা একটি মানচিত্র হিসাবে সংজ্ঞায়িত একটি 1-চক্র তৈরি করতে পারি। তাই কোসাইকেল একটি লাইন বান্ডিল নির্ধারণ করে যেখানে-অ্যাকশন দেওয়া হয় নোট এই অ্যাকশনটি লাইন বান্ডিলের বিভাগগুলি স্বয়ংক্রিয়তার ফ্যাক্টর সহ থিটা ফাংশন দ্বারা দেওয়া হয় তা দেখানোর জন্য ব্যবহার করা যেতে পারে। কখনও কখনও, এটিকে অটোমর্ফির ক্যানোনিকাল ফ্যাক্টর বলা হয়। লক্ষ্য করুন যে যেহেতু প্রতিটি লাইনের বান্ডিলের একটি সম্পর্কিত হার্মিশিয়ান ফর্ম রয়েছে এবং অটোমর্ফির ফ্যাক্টর ব্যবহার করে একটি আধা-অক্ষর তৈরি করা যেতে পারে, তাই আমরা একটি সারজেকশন পাই। এই সমস্ত তথ্যগুলি নিম্নলিখিত বিনিময়যোগ্য রেখাচিত্রে সংক্ষিপ্ত করা যেতে পারে যেখানে উল্লম্ব তীরগুলি সমরূপতা বা সমতা। এই চিত্রটিকে সাধারণত অ্যাপেল-হামবার্ট উপপাদ্য বলা হয়। দ্বৈত জটিল টরাস যেমন আগে উল্লেখ করা হয়েছে, জালের উপর একটি অক্ষর কিছু স্থির দ্বৈত ভেক্টরের জন্য একটি ফাংশন হিসাবে প্রকাশ করা যেতে পারে। আমরা যদি সমস্ত অক্ষরের প্রকৃত টরাসের উপর একটি জটিল কাঠামো স্থাপন করতে চাই, তাহলে আমাদের একটি জটিল ভেক্টর স্পেস দিয়ে শুরু করতে হবে যা এতে এম্বেড করে। দেখা যাচ্ছে যে জটিল অ্যান্টিলিনিয়ার মানচিত্রের জটিল ভেক্টর স্থানটি বাস্তব দ্বৈত ভেক্টর স্থানের সমরূপ, যা অক্ষর লেখার জন্য ফ্যাক্টরাইজেশনের অংশ। উপরন্তু, একটি সম্পর্কিত জাল রয়েছে যা এর দ্বৈত জাল নামে পরিচিত। তারপর, আমরা দ্বৈত জটিল টরাস গঠন করতে পারি যার বিশেষ বৈশিষ্ট্য হল যে দ্বৈত জটিল টরাসের সেই দ্বৈতটি হল মূল জটিল টরাস। উপরন্তু, উপরের আলোচনা থেকে, আমরা পিকার্ড গ্রুপের সাথে দ্বৈত জটিল টরাসকে চিহ্নিত করতে পারি একটি অ্যান্টি-লিনিয়ার দ্বৈত ভেক্টর পাঠিয়ে মানচিত্রটি দেওয়ার জন্য যা দ্বৈত জটিল টরাসের মাধ্যমে ফ্যাক্টর করে। আবেলিয়ান বৈচিত্র্যের তত্ত্ব থেকে কৌশল ব্যবহার করে দ্বৈত জটিল টরাসের অন্যান্য নির্মাণ রয়েছে। মূলত, একটি জটিল টরাস (বা আবেলিয়ান বৈচিত্র্য)-এর উপর একটি লাইন বান্ডিল নিয়ে, একটি বদ্ধ উপসেট রয়েছে যেখানে তাদের অনুবাদগুলি অপরিবর্তনীয়, অর্থাৎ। তারপর, দ্বৈত জটিল টরাসকে একটি আইসোজেনি হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে। এটি দেখানো যেতে পারে যে এইভাবে সংজ্ঞায়িত করা সর্বজনীন বৈশিষ্ট্যগুলিকে সন্তুষ্ট করে, তাই প্রকৃতপক্ষে দ্বৈত জটিল টরাস (বা আবেলিয়ান বৈচিত্র্য)। পয়েন্টকেয়ার বান্ডিল দ্বৈত জটিল টরাসের নির্মাণ থেকে, পরামর্শ দেওয়া হয় যে টরাস এবং তার দ্বৈতের গুণফলের উপর একটি লাইন বান্ডিল থাকা উচিত যা ডিগ্রি 0 লাইনের বান্ডিলগুলির সমস্ত আইসোমরফিজম ক্লাস উপস্থাপন করতে ব্যবহার করা যেতে পারে। আমরা নিম্নলিখিত দুটি বৈশিষ্ট্যের সাথে এই আচরণটি এনকোড করতে পারি যে কোনও বিন্দুতে লাইন বান্ডিলটি একটি তুচ্ছ লাইন বান্ডিল যেখানে প্রথমটি উপরে আলোচিত বৈশিষ্ট্য এবং দ্বিতীয়টি স্বাভাবিকীকরণ বৈশিষ্ট্য হিসাবে কাজ করে। আমরা নিম্নলিখিত হার্মিশিয়ান ফর্ম এবং এর জন্য আধা-চরিত্র ব্যবহার করে নির্মাণ করতে পারি। এই তথ্য দেখানো সংশ্লিষ্ট ক্যানোনিকাল ফ্যাক্টরের দিকে নজর দেওয়া এবং বিভিন্ন সীমাবদ্ধতায় এর আচরণ পর্যবেক্ষণ করা থেকে কাঙ্ক্ষিত বৈশিষ্ট্যগুলির সাথে একটি লাইন বান্ডিল তৈরি করে। আরও দেখুন পয়েনকেয়ার বান্ডিল কমপ্লেক্স লাই গ্রুপ অটোমর্ফিক ফাংশন ইন্টারমিডিয়েট জ্যাকোবিয়ান উপবৃত্তাকার গামা ফাংশন রেফারেন্স কমপ্লেক্স 2-মাত্রিক তোরি-জটিল তোরি নয় এমন জটিল তোরি খুঁজে বের করার সরঞ্জাম দেয় জটিল তোরি-জালের উপর বিকল্প ফর্ম ব্যবহার করার ধারণা প্রসারিত করে, একটি জটিল টরাসের উপর জার্ব তৈরি করে-জটিল তোরির উপর জার্বের উদাহরণ অন্তর্ভুক্ত করে-জটিল তোরি পি-এডিক তোরি পি-এডিক আবেলিয়ান ইন্টিগ্রাল পর্যন্ত প্রসারিত করা যেতে পারেঃ তত্ত্ব থেকে অনুশীলন কমপ্লেক্স ম্যানিফোল্ড জটিল পৃষ্ঠতল আবেলিয়ান জাত