Homography
প্রজেক্টিভ জ্যামিতিতে, হোমোগ্রাফি হল প্রজেক্টিভ স্পেসগুলির একটি আইসোমরফিজম, যা ভেক্টর স্পেসগুলির একটি আইসোমরফিজম দ্বারা প্ররোচিত হয় যেখান থেকে প্রজেক্টিভ স্পেসগুলি উদ্ভূত হয়। এটি একটি বাইজেকশন যা লাইনের সাথে লাইনের মানচিত্র তৈরি করে, এবং এইভাবে একটি সংযোগ। সাধারণভাবে, কিছু সংযোজন সমসংস্থান নয়, তবে প্রজেক্টিভ জ্যামিতির মৌলিক উপপাদ্য দাবি করে যে কমপক্ষে দুটি মাত্রার বাস্তব প্রজেক্টিভ স্পেসের ক্ষেত্রে তা হয় না। প্রতিশব্দগুলির মধ্যে রয়েছে প্রজেক্টিভিটি, প্রজেক্টিভ ট্রান্সফর্মেশন এবং প্রজেক্টিভ কলিনেশন। ঐতিহাসিকভাবে, ইউক্লিডীয় জ্যামিতিতে দৃষ্টিকোণ এবং অনুমান অধ্যয়নের জন্য হোমোগ্রাফি (এবং প্রজেক্টিভ স্পেস) চালু করা হয়েছে এবং হোমোগ্রাফি শব্দটি, যার ব্যুৎপত্তিগত অর্থ মোটামুটিভাবে "অনুরূপ অঙ্কন", এই সময় থেকে শুরু হয়। ঊনবিংশ শতাব্দীর শেষের দিকে, প্রজেক্টিভ স্পেসের আনুষ্ঠানিক সংজ্ঞা চালু করা হয়েছিল, যা অনন্ততায় পয়েন্ট যোগ করে ইউক্লিডিয়ান বা অ্যাফিন স্পেস প্রসারিত করার থেকে আলাদা ছিল। "প্রজেক্টিভ ট্রান্সফর্মেশন" শব্দটি এই বিমূর্ত নির্মাণগুলিতে উদ্ভূত হয়েছিল। এই নির্মাণগুলি দুটি শ্রেণীতে বিভক্ত যা সমতুল্য হিসাবে দেখানো হয়েছে। একটি প্রজেক্টিভ স্পেস একটি প্রদত্ত ক্ষেত্রের উপর একটি ভেক্টর স্পেসের রেখার সেট হিসাবে তৈরি করা যেতে পারে (উপরের সংজ্ঞাটি এই সংস্করণের উপর ভিত্তি করে); এই নির্মাণটি প্রজেক্টিভ স্থানাঙ্কের সংজ্ঞাকে সহজতর করে এবং হোমোগ্রাফি অধ্যয়নের জন্য রৈখিক বীজগণিতের সরঞ্জামগুলি ব্যবহার করার অনুমতি দেয়। বিকল্প পদ্ধতিটি স্বতঃসিদ্ধগুলির একটি সেটের মাধ্যমে প্রজেক্টিভ স্পেসকে সংজ্ঞায়িত করে, যা স্পষ্টভাবে কোনও ক্ষেত্রকে জড়িত করে না (আপতন জ্যামিতি, সিন্থেটিক জ্যামিতিও দেখুন); এই প্রসঙ্গে, সমরূপগুলির তুলনায় সমরূপগুলিকে সংজ্ঞায়িত করা সহজ, এবং সমরূপগুলিকে নির্দিষ্ট সমরূপ হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়, এইভাবে "প্রজেক্টিভ সমরূপতা" বলা হয়। সরলতার জন্য, যদি না অন্যথায় বলা হয়, এই নিবন্ধে বিবেচিত প্রজেক্টিভ স্পেসগুলি একটি (বিনিময়যোগ্য) ক্ষেত্রের উপর সংজ্ঞায়িত হওয়ার কথা। সমতুল্যভাবে পাপ্পাসের ষড়ভুজ উপপাদ্য এবং ডেসারগুয়েসের উপপাদ্য সত্য বলে মনে করা হয়। ফলাফলের একটি বড় অংশ সত্য থাকে, বা প্রজেক্টিভ জ্যামিতিতে সাধারণীকরণ করা যেতে পারে যার জন্য এই উপপাদ্যগুলি ধারণ করে না। জ্যামিতিক অনুপ্রেরণা ঐতিহাসিকভাবে, হোমোগ্রাফির ধারণাটি চাক্ষুষ দৃষ্টিভঙ্গি বোঝার, ব্যাখ্যা করার এবং অধ্যয়নের জন্য চালু করা হয়েছিল এবং বিশেষত, বিভিন্ন দৃষ্টিকোণ থেকে দেখা দুটি সমতল বস্তুর চেহারার পার্থক্য। ত্রি-মাত্রিক ইউক্লিডীয় স্থানে, একটি বিন্দু O (কেন্দ্র) থেকে একটি সমতল P-এর উপর একটি কেন্দ্রীয় অভিক্ষেপ যা O ধারণ করে না তা হল মানচিত্র যা রেখা OA এবং সমতল P-এর ছেদস্থলে (যদি এটি বিদ্যমান থাকে) একটি বিন্দু A পাঠায়। অভিক্ষেপটি সংজ্ঞায়িত করা হয় না যদি A বিন্দুটি O-এর মধ্য দিয়ে যাওয়া সমতলের অন্তর্গত হয় এবং P-এর সমান্তরাল হয়। অভিক্ষেপমূলক স্থানের ধারণাটি মূলত ইউক্লিডীয় স্থান প্রসারিত করে চালু করা হয়েছিল, অর্থাৎ, O ব্যতীত প্রতিটি বিন্দুর জন্য অভিক্ষেপ সংজ্ঞায়িত করার জন্য, অসীম বিন্দু যোগ করে। অন্য একটি সমতল Q দেওয়া হয়েছে, যার মধ্যে O নেই, উপরের অভিক্ষেপের Q-এর সীমাবদ্ধতাকে পার্স্পেক্টিভিটি বলা হয়। এই সংজ্ঞাগুলির সাথে, একটি দৃষ্টিভঙ্গি কেবল একটি আংশিক ফাংশন, তবে প্রজেক্টিভ স্পেসে প্রসারিত হলে এটি একটি বাইজেকশন হয়ে যায়। অতএব, এই ধারণাটি সাধারণত প্রজেক্টিভ স্পেসের জন্য সংজ্ঞায়িত করা হয়। এই ধারণাটি সহজেই যে কোনও ক্ষেত্রের উপর যে কোনও মাত্রার প্রজেক্টিভ স্পেসগুলিতে নিম্নলিখিত উপায়ে সাধারণীকরণ করা হয়ঃ যদি f হল P থেকে Q পর্যন্ত একটি দৃষ্টিভঙ্গি, এবং g হল Q থেকে P পর্যন্ত একটি দৃষ্টিভঙ্গি, একটি ভিন্ন কেন্দ্র সহ, তাহলে P থেকে নিজের কাছে একটি সমরূপতা, যাকে একটি কেন্দ্রীয় সংমিশ্রণ বলা হয়, যখন P-এর মাত্রা কমপক্ষে দুটি হয়। (নীচে এবং দেখুন।) মূলত, একটি হোমোগ্রাফি সীমাবদ্ধ সংখ্যক দৃষ্টিভঙ্গির গঠন হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছিল। এটি প্রজেক্টিভ জ্যামিতির মৌলিক উপপাদ্যের একটি অংশ (নীচে দেখুন) যে এই সংজ্ঞাটি ভূমিকায় স্কেচ করা এবং নীচে বিস্তারিতভাবে আরও বীজগাণিতিক সংজ্ঞার সাথে মিলে যায়। সমজাতীয় স্থানাঙ্কে সংজ্ঞা এবং অভিব্যক্তি K ক্ষেত্রের উপর n মাত্রার একটি প্রজেক্টিভ স্থান P (V) কে মাত্রার K-ভেক্টর স্থান V-এর উৎসের মধ্য দিয়ে রেখাগুলির সেট হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে। যদি V-এর একটি ভিত্তি স্থির করা থাকে, তাহলে V-এর একটি বিন্দুকে Kn + 1-এর একটি বিন্দু দ্বারা উপস্থাপন করা যেতে পারে। পি (ভি)-এর একটি বিন্দু, যেহেতু ভি-তে একটি রেখা, তাই এই রেখার যে কোনও অ-শূন্য বিন্দুর স্থানাঙ্ক দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা যেতে পারে, যাকে এইভাবে প্রজেক্টিভ বিন্দুর সমজাতীয় স্থানাঙ্ক বলা হয়। একই মাত্রার দুটি প্রজেক্টিভ স্পেস পি (ভি) এবং পি (ডাব্লু) দেওয়া হলে, একটি হোমোগ্রাফি হল পি (ভি) থেকে পি (ডাব্লু) পর্যন্ত একটি ম্যাপিং, যা ভেক্টর স্পেসের একটি আইসোমরফিজম দ্বারা প্ররোচিত হয়। এই ধরনের সমরূপতা পি (ভি) থেকে পি (ডাব্লু)-তে একটি বাইজেকশনকে প্ররোচিত করে, কারণ এফ-এর রৈখিকতা। দুটি সমরূপতা, এফ এবং জি, একই সমরূপকে সংজ্ঞায়িত করে যদি এবং কেবল যদি কে-এর একটি অ-শূন্য উপাদান থাকে। এটি নিম্নলিখিত উপায়ে সমজাতীয় স্থানাঙ্কের পরিপ্রেক্ষিতে লেখা যেতে পারেঃ একটি হোমোগ্রাফি φ একটি ননসিঙ্গুলার ম্যাট্রিক্স [এআই, জে] দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে, যাকে হোমোগ্রাফির ম্যাট্রিক্স বলা হয়। এই ম্যাট্রিক্স কে-এর একটি অ-শূন্য উপাদান দ্বারা গুণন পর্যন্ত সংজ্ঞায়িত করা হয়। একটি বিন্দুর সমজাতীয় স্থানাঙ্ক এবং তার চিত্রের স্থানাঙ্কগুলি φ দ্বারা সম্পর্কিত হয় যখন প্রজেক্টিভ স্পেসগুলি অসীম বিন্দু যোগ করে সংজ্ঞায়িত করা হয় (প্রজেক্টিভ সমাপ্তি) পূর্ববর্তী সূত্রগুলি অ্যাফিন স্থানাঙ্কে পরিণত হয়, যা পরবর্তী বিভাগের হোমোগ্রাফিক ফাংশনের অভিব্যক্তিটিকে সাধারণীকরণ করে। এটি অ্যাফিন স্পেসের মধ্যে শুধুমাত্র একটি আংশিক ফাংশনকে সংজ্ঞায়িত করে, যা শুধুমাত্র হাইপারপ্লেনের বাইরে সংজ্ঞায়িত করা হয় যেখানে হরটি শূন্য। একটি প্রজেক্টিভ লাইনের হোমোগ্রাফি K ক্ষেত্রের উপর প্রজেক্টিভ লাইনকে K এবং একটি বিন্দুর মিলনের সাথে চিহ্নিত করা যেতে পারে, যাকে "অসীম বিন্দু" বলা হয় এবং φ দ্বারা চিহ্নিত করা হয় (প্রজেক্টিভ লাইন দেখুন)। প্রজেক্টিভ লাইনের এই উপস্থাপনা সহ, হোমোগ্রাফিগুলি হল ম্যাপিং যা হোমোগ্রাফিক ফাংশন বা রৈখিক ভগ্নাংশ রূপান্তর বলা হয়। জটিল প্রজেক্টিভ লাইনের ক্ষেত্রে, যা রিমান গোলকের সাথে চিহ্নিত করা যেতে পারে, হোমোগ্রাফিগুলিকে মোবিয়াস রূপান্তর বলা হয়। এগুলি রিম্যান গোলকের সেই বাইজেকশনগুলির সাথে সুনির্দিষ্টভাবে মিলে যায় যা অভিযোজন বজায় রাখে এবং সামঞ্জস্যপূর্ণ। সংমিশ্রণের অধ্যয়নে, ক্ষুদ্র মাত্রার কারণে প্রজেক্টিভ লাইনের ক্ষেত্রে বিশেষ হয়। যখন লাইনটিকে বিচ্ছিন্নভাবে একটি প্রজেক্টিভ স্পেস হিসাবে দেখা হয়, তখন একটি প্রজেক্টিভ লাইনের পয়েন্টগুলির যে কোনও বিন্যাস একটি সমান্তরাল হয়, কারণ প্রতিটি পয়েন্টের সেট কোলিনিয়ার হয়। যাইহোক, যদি প্রজেক্টিভ লাইনটি একটি উচ্চ-মাত্রিক প্রজেক্টিভ স্পেসে এম্বেড করা থাকে, তবে সেই জায়গার জ্যামিতিক কাঠামোটি লাইনের উপর একটি জ্যামিতিক কাঠামো আরোপ করতে ব্যবহার করা যেতে পারে। সুতরাং, সংশ্লেষিত জ্যামিতিতে, যে সমসংস্থানগুলি এবং প্রজেক্টিভ লাইনের সংমিশ্রণগুলি বিবেচনা করা হয় সেগুলি উচ্চ মাত্রার স্থানগুলির সংমিশ্রণ এবং সমসংস্থানের সীমাবদ্ধতার দ্বারা প্রাপ্ত হয়। এর মানে হল যে প্রজেক্টিভ জ্যামিতির মৌলিক উপপাদ্য (নীচে দেখুন) এক-মাত্রিক বিন্যাসে বৈধ থাকে। একটি প্রজেক্টিভ লাইনের হোমোগ্রাফিও সঠিকভাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে যে ম্যাপিং ক্রস-অনুপাত সংরক্ষণ করে। প্রজেক্টিভ ফ্রেম এবং স্থানাঙ্ক একটি প্রজেক্টিভ ফ্রেম বা মাত্রার প্রজেক্টিভ স্থানের প্রজেক্টিভ ভিত্তি হল পয়েন্টগুলির একটি ক্রমযুক্ত সেট যা কোনও হাইপারপ্লেনে থাকে না। একটি প্রজেক্টিভ ফ্রেমকে কখনও কখনও সিম্প্লেক্স বলা হয়, যদিও মাত্রার জায়গায় একটি সিম্প্লেক্সের সর্বাধিক শীর্ষ থাকে। একটি বিনিময়যোগ্য ক্ষেত্রের উপর প্রজেক্টিভ স্থানগুলি এই বিভাগে বিবেচনা করা হয়, যদিও বেশিরভাগ ফলাফল একটি বিভাজন বলয়ের উপর প্রজেক্টিভ স্থানগুলিতে সাধারণীকরণ করা যেতে পারে। ধরা যাক মাত্রার একটি প্রজেক্টিভ স্পেস, যেখানে মাত্রার একটি-ভেক্টর স্পেস, এবং ক্যানোনিকাল প্রজেকশন যা একটি অ-শূন্য ভেক্টরকে ভেক্টর লাইনের সাথে ম্যাপ করে যা এটি ধারণ করে। এর প্রতিটি ফ্রেমের জন্য, এমন একটি ভিত্তি রয়েছে যে ফ্রেমটি এবং এই ভিত্তিটি তার সমস্ত উপাদানের একই অ-শূন্য উপাদান দ্বারা গুণন পর্যন্ত অনন্য। বিপরীতভাবে, যদি এর ভিত্তি হয়, তবে এর একটি ফ্রেম হয় এটি অনুসরণ করে যে, দুটি ফ্রেম দেওয়া হলে, ঠিক একটি হোমোগ্রাফি প্রথমটিকে দ্বিতীয়টির উপর ম্যাপিং করে। বিশেষত, একটি ফ্রেমের পয়েন্টগুলি স্থির করার একমাত্র হোমোগ্রাফি হল পরিচয় মানচিত্র। সিন্থেটিক জ্যামিতিতে এই ফলাফল অনেক বেশি কঠিন (যেখানে প্রজেক্টিভ স্পেসগুলি স্বতঃসিদ্ধের মাধ্যমে সংজ্ঞায়িত করা হয়)। এটিকে কখনও কখনও প্রজেক্টিভ জ্যামিতির প্রথম মৌলিক উপপাদ্য বলা হয়। প্রতিটি ফ্রেম প্রজেক্টিভ স্থানাঙ্ককে সংজ্ঞায়িত করার অনুমতি দেয়, যা সমজাতীয় স্থানাঙ্ক নামেও পরিচিতঃ প্রতিটি বিন্দু হিসাবে লেখা যেতে পারে; এই ফ্রেমের প্রজেক্টিভ স্থানাঙ্কগুলি বেসের স্থানাঙ্ক। এটি যাচাই করা কঠিন নয় যে এবং, ফ্রেম বা পি (ভি) পরিবর্তন না করে, প্রজেক্টিভ স্থানাঙ্কগুলিকে কে-এর একই অ-শূন্য উপাদান দ্বারা গুণ করা হয়। প্রজেক্টিভ স্পেসে একটি ক্যানোনিকাল ফ্রেম রয়েছে যা চিত্রের ক্যানোনিকাল ভিত্তিতে গঠিত (শুধুমাত্র একটি অ-শূন্য এন্ট্রি সহ উপাদানগুলির সমন্বয়ে গঠিত, যা 1 এর সমান), এবং। এই ভিত্তিতে, এর সমজাতীয় স্থানাঙ্কগুলি কেবল টুপলের এন্ট্রি (সহগ)। একই মাত্রার আরেকটি প্রজেক্টিভ স্থান এবং এর একটি ফ্রেম দেওয়া হলে, এর ক্যানোনিকাল ফ্রেমে একটি এবং শুধুমাত্র একটি হোমোগ্রাফি ম্যাপিং রয়েছে। ফ্রেমে একটি বিন্দুর প্রজেক্টিভ স্থানাঙ্ক হল এর ক্যানোনিকাল ফ্রেমে সমজাতীয় স্থানাঙ্ক। উপরের বিভাগগুলিতে, রৈখিক বীজগণিতের মাধ্যমে সমসংস্থানগুলি সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে। সিন্থেটিক জ্যামিতিতে, এগুলিকে ঐতিহ্যগতভাবে এক বা একাধিক বিশেষ সমসংস্থানের গঠন হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় যাকে কেন্দ্রীয় সমাহার বলা হয়। এটি প্রজেক্টিভ জ্যামিতির মৌলিক উপপাদ্যের একটি অংশ যে দুটি সংজ্ঞা সমতুল্য। একটি প্রজেক্টিভ স্পেসে, পি, মাত্রার, পি-এর একটি সংমিশ্রণ হল পি থেকে পি-এর মধ্যে একটি বাইজেকশন যা রেখার উপর রেখাগুলি ম্যাপ করে। একটি কেন্দ্রীয় সংমিশ্রণ (ঐতিহ্যগতভাবে এগুলিকে পার্সপেক্টিভিটি বলা হত, তবে এই শব্দটি বিভ্রান্তিকর হতে পারে, যার অন্য অর্থ রয়েছে; পার্সপেক্টিভিটি দেখুন) হল পি থেকে পি পর্যন্ত একটি বাইজেকশন α, যেমন একটি হাইপারপ্লেন এইচ (যাকে α এর অক্ষ বলা হয়) বিদ্যমান, যা α দ্বারা পয়েন্টওয়াইজ স্থির করা হয় (অর্থাৎ, এইচ-এর সমস্ত পয়েন্ট এক্স-এর জন্য) এবং একটি বিন্দু O (যাকে α এর কেন্দ্র বলা হয়), যা α দ্বারা লিনওয়াইজ স্থির করা হয় (O-এর মধ্য দিয়ে যে কোনও লাইন α দ্বারা নিজের সাথে ম্যাপ করা হয়, তবে অগত্যা পয়েন্টওয়াইজ নয়)। দুই ধরনের কেন্দ্রীয় সংমিশ্রণ রয়েছে। এলেশনগুলি হল কেন্দ্রীয় সংমিশ্রণ যেখানে কেন্দ্রটি অক্ষের সাথে আপতিত হয় এবং সমরূপতা হল সেগুলি যেখানে কেন্দ্রটি অক্ষের সাথে আপতিত হয় না। একটি কেন্দ্রীয় সংযোগ তার কেন্দ্র, তার অক্ষ এবং যে কোনও প্রদত্ত বিন্দু P-এর চিত্র α (P) দ্বারা অনন্যভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় যা কেন্দ্র O থেকে পৃথক এবং অক্ষের অন্তর্গত নয়। (অন্য যে কোনও বিন্দু Q-এর চিত্র হল O ও Q দ্বারা সংজ্ঞায়িত রেখার ছেদ এবং α (P)-এর মধ্য দিয়ে যাওয়া রেখা এবং P ও Q দ্বারা সংজ্ঞায়িত রেখার অক্ষের ছেদ।) একটি কেন্দ্রীয় সংমিশ্রণ হল একটি সমসংস্থান যা একটি (n + 1) × (n + 1) ম্যাট্রিক্স দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয় যার মাত্রা n-এর একটি আইগেনস্পেস রয়েছে। এটি একটি সমসংস্থান, যদি ম্যাট্রিক্সের অন্য আইগেনভ্যালু থাকে এবং তাই তির্যক হয়। এটি একটি উল্লাস, যদি সমস্ত আইগেনভ্যালু সমান হয় এবং ম্যাট্রিক্সটি তির্যক না হয়। একটি কেন্দ্রীয় সমরেখার জ্যামিতিক দৃশ্য একটি প্রজেক্টিভ সমতলে দেখা সবচেয়ে সহজ। একটি কেন্দ্রীয় সংমিশ্রণ α দেওয়া হলে, এমন একটি রেখা বিবেচনা করুন যা কেন্দ্র O এর মধ্য দিয়ে যায় না এবং এর চিত্রটি α, এর নিচে থাকে। সেটিং-এ, α-এর অক্ষ হল M থেকে R-এর মধ্যে কিছু রেখা। α-এর নিচে যে কোনও বিন্দু A-এর চিত্র হল OA-এর সাথে ছেদ। একটি বিন্দু 'বি'-এর যে চিত্রটি এর অন্তর্গত নয় তা নিম্নলিখিত উপায়ে তৈরি করা যেতে পারেঃ তাহলে চলুন। দুটি কেন্দ্রীয় সংমিশ্রণের গঠন, যদিও এখনও সাধারণভাবে একটি সমসংস্থান, একটি কেন্দ্রীয় সংমিশ্রণ নয়। প্রকৃতপক্ষে, প্রতিটি হোমোগ্রাফি হল সীমিত সংখ্যক কেন্দ্রীয় সংযোগের গঠন। কৃত্রিম জ্যামিতিতে, এই বৈশিষ্ট্যটি, যা প্রজেক্টিভ জ্যামিতির মৌলিক তত্ত্বের একটি অংশ, হোমোগ্রাফির সংজ্ঞা হিসাবে নেওয়া হয়। প্রজেক্টিভ জ্যামিতির মৌলিক উপপাদ্য হোমোগ্রাফি ছাড়াও কোলিনিয়েশন রয়েছে। বিশেষত, একটি ক্ষেত্র F-এর যে কোনও ক্ষেত্রের স্বয়ংক্রিয়তা একটি বিন্দুর সমস্ত সমজাতীয় স্থানাঙ্কে (একটি প্রজেক্টিভ ফ্রেমের উপর) σ প্রয়োগ করে F-এর উপর প্রতিটি প্রজেক্টিভ স্থানের সংমিশ্রণকে প্ররোচিত করে। এই সংযোগগুলিকে অটোমরফিক সংযোগ বলা হয়। প্রজেক্টিভ জ্যামিতির মৌলিক উপপাদ্যটি নিম্নলিখিত তিনটি উপপাদ্য নিয়ে গঠিত। একটি প্রজেক্টিভ স্পেস পি-এর দুটি প্রজেক্টিভ ফ্রেম দেওয়া হলে, পি-এর ঠিক একটি হোমোগ্রাফি রয়েছে যা প্রথম ফ্রেমটিকে দ্বিতীয়টির উপর ম্যাপ করে। যদি একটি প্রজেক্টিভ স্পেস পি-এর মাত্রা কমপক্ষে দুটি হয়, তবে পি-এর প্রতিটি সংমিশ্রণ একটি অটোমরফিক সংমিশ্রণ এবং একটি হোমোগ্রাফির গঠন। বিশেষত, বাস্তবতার উপর, কমপক্ষে দুই মাত্রার একটি প্রজেক্টিভ স্থানের প্রতিটি সংমিশ্রণ একটি হোমোগ্রাফি। প্রতিটি হোমোগ্রাফি হল সীমিত সংখ্যক দৃষ্টিভঙ্গির গঠন। বিশেষত, যদি অন্তর্নিহিত প্রজেক্টিভ স্পেসের মাত্রা কমপক্ষে দুটি হয়, তবে প্রতিটি হোমোগ্রাফি হ 'ল সীমাবদ্ধ সংখ্যক কেন্দ্রীয় সংমিশ্রণের গঠন। যদি প্রজেক্টিভ স্পেসগুলি স্বতঃসিদ্ধ (সিন্থেটিক জ্যামিতি) দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়, তবে তৃতীয় অংশটি কেবল একটি সংজ্ঞা। অন্যদিকে, যদি প্রজেক্টিভ স্পেসগুলি রৈখিক বীজগণিতের মাধ্যমে সংজ্ঞায়িত করা হয়, তবে প্রথম অংশটি সংজ্ঞাগুলির একটি সহজ উপপাদ্য। অতএব, কৃত্রিম জ্যামিতিতে প্রথম অংশের প্রমাণ এবং রৈখিক বীজগণিতের পরিপ্রেক্ষিতে তৃতীয় অংশের প্রমাণ উভয়ই প্রজেক্টিভ স্পেস সংজ্ঞায়িত করার দুটি পদ্ধতির সমতুল্যতার প্রমাণের মৌলিক পদক্ষেপ। হোমোগ্রাফি গ্রুপ যেহেতু প্রতিটি হোমোগ্রাফির একটি বিপরীত ম্যাপিং থাকে এবং দুটি হোমোগ্রাফির গঠন অন্যটি, একটি প্রদত্ত প্রজেক্টিভ স্পেসের হোমোগ্রাফি একটি গ্রুপ গঠন করে। উদাহরণস্বরূপ, মোবিয়াস গ্রুপ হল যে কোনও জটিল প্রজেক্টিভ লাইনের হোমোগ্রাফি গ্রুপ। যেহেতু একই ক্ষেত্রের উপর একই মাত্রার সমস্ত প্রজেক্টিভ স্পেস আইসোমরফিক, তাই তাদের হোমোগ্রাফি গ্রুপের ক্ষেত্রেও একই কথা প্রযোজ্য। তাই এগুলিকে একটি একক গোষ্ঠী হিসাবে বিবেচনা করা হয় যা বেশ কয়েকটি স্থানে কাজ করে এবং কেবলমাত্র মাত্রা এবং ক্ষেত্রটি স্বরলিপিতে উপস্থিত হয়, নির্দিষ্ট প্রজেক্টিভ স্থান নয়। হোমোগ্রাফি গ্রুপগুলিকে প্রজেক্টিভ লিনিয়ার গ্রুপও বলা হয় যখন একটি ক্ষেত্র F-এর উপর মাত্রার n-এর প্রজেক্টিভ স্পেসে কাজ করা হয়। হোমোগ্রাফিগুলির উপরের সংজ্ঞাটি দেখায় যে ভাগফল গ্রুপের সাথে চিহ্নিত করা যেতে পারে, যেখানে ইনভার্টিবল ম্যাট্রিক্সের সাধারণ রৈখিক গ্রুপ এবং F × I হল আকারের আইডেন্টিটি ম্যাট্রিক্সের F-এর একটি অ-শূন্য উপাদান দ্বারা পণ্যগুলির গ্রুপ। যখন F একটি গ্যালোয়া ক্ষেত্র GF (q) হয় তখন হোমোগ্রাফি গ্রুপ লেখা হয়। উদাহরণস্বরূপ, সীমাবদ্ধ ক্ষেত্র জি. এফ (7)-এর উপর প্রজেক্টিভ লাইনের আটটি বিন্দুর উপর কাজ করে, যেখানে, যা বিকল্প গ্রুপ এ5-এর সমরূপ, পাঁচটি পয়েন্ট সহ প্রজেক্টিভ লাইনের হোমোগ্রাফি গ্রুপ। হোমোগ্রাফি গ্রুপ হল এন মাত্রার প্রজেক্টিভ স্পেসের কলিনেশনগুলির কলিনেশন গ্রুপের একটি উপগোষ্ঠী। যখন প্রজেক্টিভ স্পেসের পয়েন্ট এবং লাইনগুলিকে একটি ব্লক ডিজাইন হিসাবে দেখা হয়, যার ব্লকগুলি একটি লাইনের মধ্যে থাকা পয়েন্টগুলির সেট হয়, তখন কলিনেশন গ্রুপকে ডিজাইনের অটোমরফিজম গ্রুপ বলা সাধারণ। সমসংস্থানের অধীনে চারটি সমান্তরাল বিন্দুর সমানুপাত একটি অপরিবর্তনীয় বিষয় যা রেখার সমসংস্থান অধ্যয়নের জন্য মৌলিক। তিনটি স্বতন্ত্র বিন্দু, এবং একটি ক্ষেত্রের উপর একটি প্রজেক্টিভ লাইনের উপর এই লাইনের একটি প্রজেক্টিভ ফ্রেম গঠন করে। অতএব এই রেখার একটি অনন্য হোমোগ্রাফি সেই মানচিত্রে 0, এবং 1 পর্যন্ত রয়েছে। একই রেখার একটি চতুর্থ বিন্দু দেওয়া হলে, চারটি বিন্দুর ক্রস অনুপাত, এবং, চিহ্নিত করা হয়, এর উপাদান। অন্য কথায়, যদি প্রজেক্টিভ ফ্রেমের উপর সমজাতীয় স্থানাঙ্ক থাকে, তাহলে। একটি বলয়ের উপর ধরুন A হল একটি বলয় এবং U হল এর একক সমূহ। হোমোগ্রাফিগুলি এ-এর উপর একটি প্রজেক্টিভ লাইনে কাজ করে, লিখিত পি (এ), প্রজেক্টিভ স্থানাঙ্ক সহ পয়েন্ট নিয়ে গঠিত। পি (এ)-এর হোমোগ্রাফিগুলি ম্যাট্রিক্স ম্যাপিং দ্বারা বর্ণনা করা হয় যখন এ একটি বিনিময়যোগ্য বলয় হয়, তখন হোমোগ্রাফি লেখা যেতে পারে তবে অন্যথায় রৈখিক ভগ্নাংশ রূপান্তরকে সমতুল্য হিসাবে দেখা হয়ঃ Z পূর্ণসংখ্যার বলয়ের হোমোগ্রাফি গ্রুপটি মডুলার গ্রুপ। কোয়াটারনিয়ন বিশ্লেষণে এবং স্ক্রু তত্ত্বকে সহজতর করার জন্য দ্বৈত কোয়াটারনিয়ন সহ রিং হোমোগ্রাফি ব্যবহার করা হয়েছে। স্থানকালের সামঞ্জস্যপূর্ণ গোষ্ঠীকে হোমোগ্রাফি দিয়ে উপস্থাপন করা যেতে পারে যেখানে এ হল দ্বি-চতুর্ভুজের গঠন বীজগণিত। পর্যায়ক্রমিক সমসংস্থান সমসংস্থান পর্যায়ক্রমিক হয় যখন বলয়টি জেড/এনজেড (পূর্ণসংখ্যা মডুলো এন) হয় তখন থেকে আর্থার কেলি 1879 সালে পুনরাবৃত্তি গণনা করার সময় পর্যায়ক্রমিকতার প্রতি আগ্রহী ছিলেন। হোমোগ্রাফির পর্যায়ক্রমিকতার প্রতি ব্রুট ফোর্স পদ্ধতির পর্যালোচনায়, এইচ. এস. এম. কক্সেটার এই বিশ্লেষণ দিয়েছেনঃ একটি প্রকৃত হোমোগ্রাফি অনৈচ্ছিক (পিরিয়ড 2-এর) যদি এবং শুধুমাত্র যদি। যদি এটি পর্যায়ক্রমিক হয়, তবে এটি উপবৃত্তাকার হয় এবং এটি ধরে নিলে সাধারণতার কোনও ক্ষতি হয় না। যেহেতু চরিত্রগত শিকড়গুলি হল এক্সপ (±hπi/m), যেখানে, ট্রেস হল। আরও দেখুন ডব্লিউ-কার্ভ নোটস রেফারেন্স, যা এম. কোল এবং এস. লেভির 1977 সালের ফরাসি মূল থেকে অনুবাদ করা হয়েছে, 1987 সালের ইংরেজি অনুবাদের চতুর্থ মুদ্রণ প্যাট্রিক ডু ভ্যাল (1964) হোমোগ্রাফি, কোয়াটার্নিয়ন এবং রোটেশন, অক্সফোর্ড ম্যাথমেটিকাল মনোগ্রাফ, ক্লারেন্ডন প্রেস, অক্সফোর্ড। গুন্টার ইওয়াল্ড (1971) জ্যামিতিঃ একটি ভূমিকা, পৃষ্ঠা 263, বেলমন্টঃ ওয়েডসওয়ার্থ পাবলিশিং। বাহ্যিক সংযোগ প্রজেক্টিভ জ্যামিতি রূপান্তর (ফাংশন)