Wrapped normal distribution
সম্ভাব্যতা তত্ত্ব এবং দিকনির্দেশক পরিসংখ্যানে, একটি আবৃত স্বাভাবিক বন্টন হল একটি আবৃত সম্ভাব্যতা বন্টন যা একক বৃত্তের চারপাশে স্বাভাবিক বন্টনের "মোড়ানো" থেকে ফলাফল। এটি ব্রাউনীয় গতির তত্ত্বে প্রয়োগ খুঁজে পায় এবং পর্যায়ক্রমিক সীমানা অবস্থার জন্য তাপ সমীকরণের একটি সমাধান। এটি ভন মিসেস বিতরণ দ্বারা ঘনিষ্ঠভাবে অনুমান করা হয়, যা তার গাণিতিক সরলতা এবং ট্র্যাক্টেবিলিটির কারণে, দিকনির্দেশক পরিসংখ্যানে সর্বাধিক ব্যবহৃত বিতরণ। সংজ্ঞা আবৃত স্বাভাবিক বন্টনের সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন হল যেখানে μ এবং σ যথাক্রমে আবৃত বন্টনের গড় এবং মানক বিচ্যুতি। উপরের ঘনত্ব ফাংশনটিকে স্বাভাবিক বন্টন উৎপাদনের বৈশিষ্ট্যমূলক ফাংশনের পরিপ্রেক্ষিতে প্রকাশ করাঃ জ্যাকোবি থিটা ফাংশন কোথায়, দ্বারা দেওয়া হয়েছে এবং মোড়ানো স্বাভাবিক বন্টনটি জ্যাকোবি ট্রিপল প্রোডাক্টের পরিপ্রেক্ষিতেও প্রকাশ করা যেতে পারেঃ যেখানে এবং মুহূর্ত বৃত্তাকার পরিবর্তনশীলের পরিপ্রেক্ষিতে মোড়ানো স্বাভাবিক বন্টনের বৃত্তাকার মুহুর্তগুলি পূর্ণসংখ্যা আর্গুমেন্টে মূল্যায়ন করা স্বাভাবিক বন্টনের বৈশিষ্ট্যমূলক ফাংশনঃ যেখানে দৈর্ঘ্যের কিছু ব্যবধান। প্রথম মুহূর্তটি তখন z-এর গড় মান, যা গড় ফলস্বরূপ বা গড় ফলস্বরূপ ভেক্টর নামেও পরিচিতঃ গড় কোণটি হল এবং গড় ফলস্বরূপের দৈর্ঘ্য হল গড় ফলস্বরূপ বিচ্যুতি বৃত্তাকার মান বিচ্যুতি, যা আবৃত স্বাভাবিক বন্টনের জন্য বিচ্ছুরণের একটি দরকারী পরিমাপ এবং এর নিকটবর্তী আপেক্ষিক, ভন মিসেস বন্টনের দ্বারা দেওয়া হয়ঃ পরামিতিগুলির অনুমান আবৃত স্বাভাবিক বন্টনের থেকে নেওয়া N পরিমাপের একটি সিরিজ zn = e iθn বন্টনের নির্দিষ্ট পরামিতিগুলি অনুমান করতে ব্যবহার করা যেতে পারে। সিরিজের গড় হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় এবং এর প্রত্যাশার মান কেবল প্রথম মুহূর্ত হবেঃ অন্য কথায়, প্রথম মুহূর্তের একটি নিরপেক্ষ প্রাক্কলনকারী। যদি আমরা ধরে নিই যে গড় μ ব্যবধান [−π, π)-এর মধ্যে রয়েছে, তাহলে আর্গ গড় μ-এর একটি (পক্ষপাতদুষ্ট) প্রাক্কলনকারী হবে। জটিল সমতলে zn-কে ভেক্টরের একটি সেট হিসাবে দেখলে, 2টি পরিসংখ্যান হল গড় ভেক্টরের দৈর্ঘ্যের বর্গঃ এবং এর প্রত্যাশিত মান হলঃ অন্য কথায়, পরিসংখ্যানটি e − σ2-এর একটি নিরপেক্ষ প্রাক্কলনকারী হবে, এবং ln (1/Re2) হবে σ2 এনট্রপির একটি (পক্ষপাতদুষ্ট) প্রাক্কলনকারী। আবৃত স্বাভাবিকের জন্য জ্যাকোবি ট্রিপল প্রোডাক্ট উপস্থাপনাটি সংজ্ঞায়িত করা হয়ঃ ইউলার ফাংশন কোথায়। আবৃত স্বাভাবিক বন্টনের ঘনত্বের লগারিদম লেখা যেতে পারেঃ লগারিদমের জন্য সিরিজ সম্প্রসারণ ব্যবহার করেঃ লগারিদমিক যোগফলকে এভাবে লেখা যেতে পারেঃ যাতে আবৃত স্বাভাবিক বন্টনের ঘনত্বের লগারিদমকে এভাবে লেখা যেতে পারেঃ যা মূলত একটি ফুরিয়ার সিরিজ। ইন্টিগ্রালের বাম দিকে মোড়ানো স্বাভাবিক বন্টনের জন্য চরিত্রগত ফাংশন উপস্থাপনা ব্যবহার করেঃ এনট্রপি লেখা যেতে পারেঃ যা উৎপাদনের সাথে একীভূত করা যেতে পারেঃ আরও দেখুন মোড়ানো বন্টন ডিরাক চিরুনি মোড়ানো কাউচি বন্টন ভন মিসেস বন্টনের উল্লেখ বাহ্যিক লিঙ্ক বৃত্তাকার মান গণিত এবং পরিসংখ্যান সি + + 11, বৃত্তাকার মানগুলির জন্য এ সি + + 11 পরিকাঠামো (কোণ, দিনের সময় ইত্যাদি) গণিত ও পরিসংখ্যান অবিচ্ছিন্ন বন্টন দিকনির্দেশক পরিসংখ্যান সাধারণ বন্টন