Bilateral hypergeometric series
গণিতে, একটি দ্বিপক্ষীয় হাইপারজিওমেট্রিক সিরিজ হল একটি সিরিজ যা সমস্ত পূর্ণসংখ্যা n-এর উপর যোগ করা হয় এবং দুটি পদের অনুপাত an/an + 1 হল n-এর একটি মূলদ ফাংশন। সাধারণীকৃত হাইপারজিওমেট্রিক সিরিজের সংজ্ঞা একই রকম, তবে ঋণাত্মক n-এর পদগুলি অবশ্যই অদৃশ্য হয়ে যাবে; দ্বিপক্ষীয় সিরিজে সাধারণত ধনাত্মক এবং ঋণাত্মক n উভয়ের জন্য অসীম সংখ্যক অ-শূন্য পদ থাকবে। দ্বিপক্ষীয় হাইপারজিওমেট্রিক সিরিজ বেশিরভাগ যুক্তিসঙ্গত ফাংশনের জন্য একত্রিত হতে ব্যর্থ হয়, যদিও এটি বিশ্লেষণাত্মকভাবে বেশিরভাগ যুক্তিসঙ্গত ফাংশনের জন্য সংজ্ঞায়িত একটি ফাংশনে অব্যাহত থাকতে পারে। বেশ কয়েকটি যোগসূত্র সূত্র রয়েছে যা বিশেষ মানগুলির জন্য এর মান দেয় যেখানে এটি একত্রিত হয়। সংজ্ঞা দ্বিপক্ষীয় হাইপারজিওমেট্রিক সিরিজের পিএইচপি-কে সংজ্ঞায়িত করা হয় যেখানে ক্রমবর্ধমান ফ্যাক্টোরিয়াল বা পোচহ্যামার প্রতীক। সাধারণত পরিবর্তনশীল z কে 1 হিসাবে নেওয়া হয়, এই ক্ষেত্রে এটি স্বরলিপি থেকে বাদ দেওয়া হয়। বিভিন্ন p এবং q দিয়ে pHq সিরিজকে একইভাবে সংজ্ঞায়িত করা সম্ভব, তবে এটি হয় একত্রিত হতে ব্যর্থ হয় বা ভেরিয়েবলের পরিবর্তনের মাধ্যমে স্বাভাবিক হাইপারজিওমেট্রিক সিরিজে হ্রাস করা যেতে পারে। কনভারজেন্স এবং বিশ্লেষণাত্মক ধারাবাহিকতা ধরুন যে a বা b ভেরিয়েবলগুলির কোনওটিই পূর্ণসংখ্যা নয়, যাতে সিরিজের সমস্ত পদগুলি সীমাবদ্ধ এবং অ-শূন্য হয়। তারপর n <0 সহ পদগুলি যদি |z। <1 হয় তবে বিচ্ছিন্ন হয় এবং n> 0 সহ পদগুলি যদি |z।> 1 হয় তবে বিচ্ছিন্ন হয়, তাই |z। = 1 না হলে সিরিজটি একত্রিত হতে পারে না। যখন |z। = 1 হয়, তখন সিরিজটি একত্রিত হয় যদি দ্বিপক্ষীয় হাইপারজিওমেট্রিক সিরিজটি বিশ্লেষণাত্মকভাবে বেশ কয়েকটি চলকের একটি বহুমূল্যবান মেরোমর্ফিক ফাংশনে অব্যাহত রাখা যায় যার এককত্বগুলি হল z = 0 এবং z = 1-এ শাখা বিন্দু এবং এআই = −1, −2, এবং বাই = 0,1,2,-এ সরল মেরু। এটি নিম্নরূপ করা যেতে পারে। ধরুন, a বা b ভেরিয়েবলের কোনোটিই পূর্ণসংখ্যা নয়। n ধনাত্মক পদগুলি |z। <1-এর জন্য এমন একটি ফাংশনে একত্রিত হয় যা z = 0 এবং z = 1-এ এককত্ব সহ একটি অসম রৈখিক সমীকরণকে সন্তুষ্ট করে, তাই এই বিন্দুগুলিকে শাখা বিন্দু হিসাবে রেখে একটি বহুমূল্যবান ফাংশনে অব্যাহত রাখা যেতে পারে। একইভাবে n ঋণাত্মক পদগুলি |z।> 1-এর জন্য এমন একটি ফাংশনে একত্রিত হয় যা z = 0 এবং z = 1-এ এককত্ব সহ একটি অসম রৈখিক সমীকরণকে সন্তুষ্ট করে, তাই এই বিন্দুগুলিকে শাখা বিন্দু হিসাবে রেখে একটি বহুমূল্যবান ফাংশনেও অব্যাহত রাখা যেতে পারে। এই ফাংশনগুলির যোগফল 0 এবং 1 ব্যতীত z-এর সমস্ত মানগুলিতে দ্বিপক্ষীয় হাইপারজিওমেট্রিক সিরিজের বিশ্লেষণাত্মক ধারাবাহিকতা দেয় এবং হাইপারজিওমেট্রিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের অনুরূপ z-এ একটি রৈখিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণকে সন্তুষ্ট করে। সারসংক্ষেপ সূত্র ডগলের দ্বিপক্ষীয় যোগফল এটি কখনও কখনও সমতুল্য আকারে লেখা হয় বেইলির সূত্র ডগলের সূত্রের নিম্নলিখিত সাধারণীকরণ দেয়ঃ যেখানে আরও দেখুন মৌলিক দ্বিপক্ষীয় হাইপারজিওমেট্রিক সিরিজ রেফারেন্স (2008 সালের একটি পেপারব্যাক রয়েছে) হাইপারজিওমেট্রিক ফাংশন