Azumaya algebra
গণিতে, একটি আজুমায়া বীজগণিত হল কেন্দ্রীয় সরল বীজগণিত থেকে-বীজগণিতের একটি সাধারণীকরণ যেখানে একটি ক্ষেত্র হওয়ার প্রয়োজন নেই। 1951 সালে গোরো আজুমায়ার একটি গবেষণাপত্রে এই ধরনের একটি ধারণা প্রবর্তিত হয়েছিল, যেখানে একটি বিনিময়যোগ্য স্থানীয় বলয় রয়েছে। ধারণাটি রিং তত্ত্ব এবং বীজগাণিতিক জ্যামিতিতে আরও বিকশিত হয়েছিল, যেখানে আলেকজান্ডার গ্রোথেন্ডিক 1964-65 থেকে বোরবাকি সেমিনারে ব্রাউয়ার গোষ্ঠীর জ্যামিতিক তত্ত্বের ভিত্তি তৈরি করেছিলেন। এখন মৌলিক সংজ্ঞাগুলিতে প্রবেশাধিকারের বেশ কয়েকটি বিষয় রয়েছে। একটি বলয়ের উপর একটি বিনিময়যোগ্য বলয়ের উপর একটি আজুমায়া বীজগণিত হল একটি-বীজগণিত যা নিম্নলিখিত সমতুল্য শর্তগুলির যে কোনও একটি মেনে চলেঃ একটি-বীজগণিত রয়েছে যাতে-অ্যালজেব্রার টেনসর গুণফল মোরিটার সমতুল্য হয়। - বীজগণিত মোরিতার সমতুল্য, যেখানে এর বিপরীত বীজগণিত। এর কেন্দ্র হল, এবং পৃথক করা যায়। একটি-মডিউল হিসাবে সীমাবদ্ধভাবে উত্পন্ন, বিশ্বস্ত এবং প্রজেক্টিভ, এবং টেনসর পণ্যটি এর এন্ডোমর্ফিজমে পাঠানো মানচিত্রের মাধ্যমে আইসোমরফিক। একটি ক্ষেত্রের উপর উদাহরণ, একটি ক্ষেত্রের উপর, আজুমায়া বীজগণিতগুলি আর্টিন-ওয়েডারবার্ন উপপাদ্য দ্বারা সম্পূর্ণরূপে শ্রেণীবদ্ধ করা হয় কারণ তারা কেন্দ্রীয় সরল বীজগণিতের মতোই। এগুলি ম্যাট্রিক্স রিংয়ের সমতুল্য কিছু বিভাজন বীজগণিতের জন্য যার কেন্দ্রটি ঠিক। উদাহরণস্বরূপ, কোয়াটারনিয়ন অ্যালজেব্রা কেন্দ্রীয় সরল অ্যালজেব্রার উদাহরণ প্রদান করে। স্থানীয় বলয়ের উপর উদাহরণ একটি স্থানীয় বিনিময়যোগ্য বলয়ের ক্ষেত্রে, একটি-বীজগণিত হল আজুমায়া যদি এবং শুধুমাত্র যদি একটি-মডিউল হিসাবে ধনাত্মক সীমাবদ্ধ র্যাঙ্ক থেকে মুক্ত হয়, এবং বীজগণিতটি একটি কেন্দ্রীয় সহজ বীজগণিত হয়, তাই সমস্ত উদাহরণ কেন্দ্রীয় সরল বীজগণিত থেকে আসে। চক্রাকার বীজগণিত চক্রাকার বীজগণিত নামে আজুমায়া বীজগণিতের একটি শ্রেণী রয়েছে যা একটি ক্ষেত্রের উপর আজুমায়া বীজগণিতের সমস্ত সাদৃশ্য শ্রেণী তৈরি করে, তাই ব্রাউয়ার গোষ্ঠীর সমস্ত উপাদান (নীচে সংজ্ঞায়িত)। ডিগ্রির একটি সীমাবদ্ধ চক্রাকার গ্যালোইস ক্ষেত্র সম্প্রসারণের পরিপ্রেক্ষিতে, প্রতিটি এবং যে কোনও জেনারেটরের জন্য একটি বাঁকানো বহুপদী বলয় থাকে, যা এমন একটি উপাদান দ্বারা উৎপন্ন হয় যা এবং নিম্নলিখিত বিনিময় বৈশিষ্ট্য ধারণ করেঃ একটি ভেক্টর স্থান হিসাবে, নোট দ্বারা প্রদত্ত গুণের সাথে ভিত্তি রয়েছে যা জ্যামিতিকভাবে অবিচ্ছেদ্য বৈচিত্র্য দেয়, ভাগফল ক্ষেত্র সম্প্রসারণের জন্য একটি সম্পর্কিত চক্রাকার বীজগণিতও রয়েছে। একটি বলয়ের ব্রয়ার গ্রুপ ক্ষেত্রের উপর, ইটাল কোহোমোলজি ব্যবহার করে আজুমায়া অ্যালজেব্রার একটি কোহোমোলজিকাল শ্রেণিবিন্যাস রয়েছে। প্রকৃতপক্ষে, এই গোষ্ঠী, যাকে ব্রাউয়ার গোষ্ঠী বলা হয়, একটি বলয়ের উপর আজুমায়া বীজগণিতের সাদৃশ্য শ্রেণী হিসাবেও সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে, যেখানে কিছু প্রাকৃতিক সংখ্যার জন্য বলয়ের সমরূপতা থাকলে বলয়গুলি একই রকম হয়। তারপর, এই সমতুল্যতা আসলে একটি সমতুল্য সম্পর্ক, এবং যদি, তাহলে, দেখানো একটি সুনির্দিষ্ট ক্রিয়া। এটি এই ধরনের সমতুল্য শ্রেণীর সেটের উপর একটি গোষ্ঠী কাঠামো গঠন করে, যাকে ব্রাউয়ার গ্রুপ বলা হয়। আরেকটি সংজ্ঞা দেওয়া হয়েছে ইটেল কোহোমোলজি গ্রুপের টর্জন উপগোষ্ঠী দ্বারা যাকে কোহোমোলজিকাল ব্রাউয়ার গ্রুপ বলা হয়। এই দুটি সংজ্ঞা একমত যে কখন একটি ক্ষেত্র। গ্যালোইস কোহোমোলজি ব্যবহার করে ব্রাউয়ার গ্রুপ গ্যালোইস কোহোমোলজি ব্যবহার করে ব্রাউয়ার গ্রুপের আরেকটি সমতুল্য সংজ্ঞা রয়েছে। একটি ক্ষেত্র সম্প্রসারণের জন্য একটি কোহোমোলজিকাল ব্রাউয়ার গ্রুপকে সংজ্ঞায়িত করা হয় এবং কোহোমোলজিকাল ব্রাউয়ার গ্রুপকে সংজ্ঞায়িত করা হয় যেখানে সমস্ত সীমাবদ্ধ গ্যালোইস ক্ষেত্র সম্প্রসারণের উপর কলিমিট নেওয়া হয়। একটি স্থানীয় ক্ষেত্রের জন্য গণনা একটি স্থানীয় অ-আর্কিমিডিয়ান ক্ষেত্রের উপর, যেমন পি-এডিক সংখ্যা, স্থানীয় শ্রেণী ক্ষেত্র তত্ত্ব আবেলিয়ান গোষ্ঠীগুলির সমরূপতা দেয়ঃ পৃষ্ঠা 193 এটি কারণ আবেলিয়ান ক্ষেত্রের সম্প্রসারণের ক্ষেত্রে গ্যালোইস গোষ্ঠীগুলির একটি সংক্ষিপ্ত সঠিক ক্রম রয়েছে এবং স্থানীয় শ্রেণী ক্ষেত্র তত্ত্ব থেকে, নিম্নলিখিত বিনিময়যোগ্য চিত্র রয়েছেঃ যেখানে উল্লম্ব মানচিত্রগুলি সমরূপতা এবং অনুভূমিক মানচিত্রগুলি ইনজেকশন। একটি ক্ষেত্রের জন্য এন-টর্জন মনে রাখবেন যে একটি ক্ষেত্রের জন্য কোহোমোলজিতে একটি দীর্ঘ সঠিক ক্রম প্রদানকারী কুমের ক্রম রয়েছে। যেহেতু হিলবার্টের উপপাদ্য 90 বোঝায়, একটি সম্পর্কিত সংক্ষিপ্ত সঠিক ক্রম রয়েছে যা দ্বিতীয় ইটেল কোহোমোলজি গ্রুপকে একতার মূলের সহগগুলির সাথে দেখায় যে একটি ক্ষেত্রের উপর ব্রাউয়ার গ্রুপের এন-টর্জন শ্রেণীর উৎপাদক গ্যালোইস প্রতীক, বা আদর্শ-অবশিষ্ট চিহ্ন,-টর্জন মিলনর কে-তত্ত্ব গ্রুপ থেকে ইটেল কোহোমোলজি গ্রুপে একটি মানচিত্র, যা দ্বারা চিহ্নিত করা হয় এটি হিলবার্টের উপপাদ্য 90 আইসোমরফিজমের সাথে ইটেল কোহোমোলজিতে কাপ পণ্যের গঠন থেকে আসে তাই এটি এই মানচিত্রের কারণগুলি পরিণত করে, যার জন্য একটি শ্রেণী একটি চক্রাকার বীজগণিত দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয়। কুমের এক্সটেনশনের জন্য যেখানে, সাইক্লিক গ্রুপের একটি জেনারেটর নিন, এবং নির্মাণ করুন। গ্যালোইস কোহোমোলজি এবং ইটেল কোহোমোলজির মাধ্যমে একটি বিকল্প, তবুও সমতুল্য নির্মাণ রয়েছে। তুচ্ছ-মডিউলগুলির সংক্ষিপ্ত সঠিক ক্রমটি বিবেচনা করুন দীর্ঘ সঠিক ক্রমটি একটি মানচিত্র দেয় অনন্য অক্ষরের জন্য, একটি অনন্য উত্তোলন রয়েছে এবং লক্ষ্য করুন যে শ্রেণীটি হিলবার্টের উপপাদ্য 90 মানচিত্র থেকে নেওয়া হয়েছে। তারপর, যেহেতু ঐক্যের একটি আদিম মূল রয়েছে, তাই একটি শ্রেণীও রয়েছে। আদর্শ অবশিষ্টাংশ আইসোমরফিজম উপপাদ্যের কারণে, এটি একটি আইসোমরফিজম এবং-টর্জন শ্রেণীগুলি চক্রাকার অ্যালজেব্রা দ্বারা উত্পন্ন হয়। স্কোলেম-নোইথার উপপাদ্য আজুমায়া বীজগণিত সম্পর্কে গুরুত্বপূর্ণ কাঠামোর ফলাফলগুলির মধ্যে একটি হল স্কোলেম-নোইথার উপপাদ্যঃ একটি স্থানীয় বিনিময়যোগ্য বলয় এবং একটি আজুমায়া বীজগণিত দেওয়া হলে, এর একমাত্র স্বয়ংক্রিয়তা হল অভ্যন্তরীণ। অর্থাৎ, নিম্নলিখিত মানচিত্রটি সারজেক্টিভঃ এটি গুরুত্বপূর্ণ কারণ এটি সরাসরি একটি পরিকল্পনার উপর আজুমায়া অ্যালজেব্রার সাদৃশ্য শ্রেণীর কোহোমোলজিকাল শ্রেণিবিন্যাসের সাথে সম্পর্কিত। বিশেষত, এটি বোঝায় যে একটি আজুমায়া বীজগণিতে কিছু জন্য কাঠামো গ্রুপ রয়েছে এবং চেচ কোহোমোলজি গ্রুপ এই ধরনের বান্ডিলগুলির একটি কোহোমোলজিকাল শ্রেণিবিন্যাস দেয়। তারপর, এটি সঠিক ক্রম ব্যবহার করার সাথে সম্পর্কিত হতে পারে এটি প্রদর্শিত হয় যে এর চিত্রটি টর্জন উপগোষ্ঠীর একটি উপগোষ্ঠী। একটি পরিকল্পনার উপর মূল গ্রোথেন্ডিক সেমিনার অনুসারে, কাঠামো শেফ সহ একটি স্কিম এক্স-এর উপর একটি আজুমায়া বীজগণিত হল-অ্যালজেব্রার একটি শেফ যা একটি ম্যাট্রিক্স বীজগণিত শেফের জন্য স্থানীয়ভাবে সমতুল্য; তবে, এই শর্তটি যোগ করা উচিত যে প্রতিটি ম্যাট্রিক্স বীজগণিত শেফ ধনাত্মক র্যাঙ্কের। এই সংজ্ঞাটি একটি আজুমায়া বীজগণিতকে শিফের 'বাঁকানো-আকারে' পরিণত করে। মিল্নে, ইটাল কোহোমোলজি, এই সংজ্ঞা থেকে শুরু করে যে এটি-অ্যালজেব্রার একটি শেফ যার প্রতিটি বিন্দুতে ডাল উপরে দেওয়া অর্থে স্থানীয় বলয়ের উপর একটি আজুমায়া বীজগণিত। দুটি আজুমায়া অ্যালজেব্রা এবং সমতুল্য যদি স্থানীয়ভাবে মুক্ত শেভ থাকে এবং প্রতিটি বিন্দুতে সীমাবদ্ধ ধনাত্মক র্যাঙ্ক থাকে যাতে এন্ডোমর্ফিজম শেফ কোথায় থাকে। ব্রাউয়ার গ্রুপ (একটি ক্ষেত্রের ব্রাউয়ার গ্রুপের একটি এনালগ) হল আজুমায়া অ্যালজেব্রার সমতুল্য শ্রেণীর সেট। গ্রুপ অপারেশনটি টেনসর গুণফল দ্বারা দেওয়া হয় এবং বিপরীতটি বিপরীত বীজগণিত দ্বারা দেওয়া হয়। লক্ষ্য করুন যে এটি কোহোমোলজিকাল ব্রাউয়ার গ্রুপ থেকে আলাদা যা হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। একটি ক্ষেত্রের উপর একটি কোয়াটারনিয়ন বীজগণিতের গঠনকে অ-বিনিময়যোগ্য-বীজগণিত বিবেচনা করে বিশ্বায়িত করা যেতে পারে, তারপর,-অ্যালজেব্রার একটি শিফ হিসাবে, একটি আজুমায়া বীজগণিতের কাঠামো রয়েছে। উন্মুক্ত অ্যাফিন সেটের মধ্যে সীমাবদ্ধ থাকার কারণ হল কোয়াটারনিয়ন বীজগণিত হল বিন্দুগুলির উপর একটি বিভাজন বীজগণিত এবং শুধুমাত্র যদি হিলবার্ট প্রতীক যা একেবারেই সত্য তবে সীমাবদ্ধভাবে অনেকগুলি মৌলিক সংখ্যা। একটি ক্ষেত্রের উপর আজুমায়া বীজগণিতের জন্য পিএন ওভার আজুমায়া বীজগণিতের উদাহরণ তৈরি করা যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, এর এন্ডোমর্ফিজম শিফ হল ম্যাট্রিক্স শিফ তাই একটি আজুমায়া বীজগণিতের উপর একটি আজুমায়া বীজগণিতের সাথে টেন্সর করা এই শিফ থেকে একটি আজুমায়া বীজগণিত তৈরি করা যেতে পারে, যেমন একটি চতুর্ভুজ বীজগণিত। ইউরি মানিনের কাজ অনুসরণ করে ডায়োফ্যান্টাইন জ্যামিতিতে আজুমায়া অ্যালজেব্রার উল্লেখযোগ্য প্রয়োগ হয়েছে। হাস্স নীতির প্রতি মানিন বাধা ব্রয়ার গোষ্ঠীর স্কিমগুলি ব্যবহার করে সংজ্ঞায়িত করা হয়। আরও দেখুন জার্বে শ্রেণী ক্ষেত্র তত্ত্ব বীজগাণিতিক কে-তত্ত্ব মোটিভিক কোহোমোলজি নর্ম রেসিডিউ আইসোমরফিজম উপপাদ্য রেফারেন্স ব্রাউয়ার গ্রুপ এবং আজুমায়া অ্যালজেব্রা মিল্নে, জন। ইটালে কোহোমোলজি। "আজুমায়া অ্যালজেব্রার সুস্পষ্ট উদাহরণ" বিভাগ অ্যালজেব্রার রিং তত্ত্ব স্কিম তত্ত্ব অ্যালজেব্রার উপর Ch IV ম্যাথোভারফ্লো থ্রেড