Characteristic function (probability theory)
সম্ভাব্যতা তত্ত্ব এবং পরিসংখ্যানে, যে কোনও বাস্তব-মূল্যবান র্যান্ডম ভেরিয়েবলের বৈশিষ্ট্যমূলক ফাংশন তার সম্ভাব্যতা বিতরণকে সম্পূর্ণরূপে সংজ্ঞায়িত করে। যদি একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবল একটি সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন স্বীকার করে, তবে চরিত্রগত ফাংশন হল সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশনের ফুরিয়ার রূপান্তর। সুতরাং এটি সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন বা ক্রমবর্ধমান বিতরণ ফাংশনগুলির সাথে সরাসরি কাজ করার তুলনায় বিশ্লেষণাত্মক ফলাফলের একটি বিকল্প পথ সরবরাহ করে। র্যান্ডম ভেরিয়েবলের ওজনযুক্ত যোগফল দ্বারা সংজ্ঞায়িত বিতরণের বৈশিষ্ট্যমূলক ক্রিয়াকলাপগুলির জন্য বিশেষভাবে সহজ ফলাফল রয়েছে। অভিন্ন বন্টন ছাড়াও, ভেক্টর-বা ম্যাট্রিক্স-মূল্যবান র্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্য চরিত্রগত ফাংশনগুলি সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে এবং আরও সাধারণ ক্ষেত্রেও প্রসারিত করা যেতে পারে। চরিত্রগত ফাংশনটি সর্বদা বিদ্যমান থাকে যখন একটি বাস্তব-মূল্যবান যুক্তির ফাংশন হিসাবে বিবেচিত হয়, মুহূর্ত-উৎপাদনকারী ফাংশনের বিপরীতে। একটি বন্টনের চরিত্রগত ক্রিয়াকলাপের আচরণ এবং বন্টনের বৈশিষ্ট্যগুলির মধ্যে সম্পর্ক রয়েছে, যেমন মুহূর্তের অস্তিত্ব এবং একটি ঘনত্ব ক্রিয়াকলাপের অস্তিত্ব। ভূমিকা চরিত্রগত ফাংশন একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবল বর্ণনা করার একটি উপায়। বৈশিষ্ট্যমূলক ফাংশন, টি-এর একটি ফাংশন, র্যান্ডম ভেরিয়েবল এক্স-এর সম্ভাব্যতা বিতরণের আচরণ এবং বৈশিষ্ট্যগুলি সম্পূর্ণরূপে নির্ধারণ করে। বৈশিষ্ট্যমূলক ফাংশনটি ক্রমবর্ধমান বন্টন ফাংশনের অনুরূপ, (যেখানে 1 {X ≤ x} হল সূচক ফাংশন-এটি কখন 1 এর সমান, এবং অন্যথায় শূন্য), যা এলোমেলো পরিবর্তনশীল X এর সম্ভাব্যতা বন্টনের আচরণ এবং বৈশিষ্ট্যগুলিও সম্পূর্ণরূপে নির্ধারণ করে। দুটি পদ্ধতি এই অর্থে সমতুল্য যে একটি ফাংশন জেনে অন্যটি খুঁজে পাওয়া সর্বদা সম্ভব, তবুও তারা এলোমেলো চলকের বৈশিষ্ট্যগুলি বোঝার জন্য বিভিন্ন অন্তর্দৃষ্টি প্রদান করে। উপরন্তু, বিশেষ ক্ষেত্রে, এই ফাংশনগুলিকে সহজ স্ট্যান্ডার্ড ফাংশনগুলির সাথে জড়িত অভিব্যক্তি হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে কিনা তার মধ্যে পার্থক্য থাকতে পারে। যদি একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবল একটি ঘনত্ব ফাংশন স্বীকার করে, তবে বৈশিষ্ট্যমূলক ফাংশনটি তার ফুরিয়ার দ্বৈত, এই অর্থে যে তাদের প্রতিটি অন্যটির একটি ফুরিয়ার রূপান্তর। যদি একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের একটি মোমেন্ট-জেনারেটিং ফাংশন থাকে, তবে চরিত্রগত ফাংশনের ডোমেনটি জটিল সমতলে প্রসারিত করা যেতে পারে এবং তবে মনে রাখবেন যে একটি বিতরণের চরিত্রগত ফাংশন সর্বদা বিদ্যমান থাকে, এমনকি যখন সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন বা মোমেন্ট-জেনারেটিং ফাংশন থাকে না। স্বতন্ত্র র্যান্ডম ভেরিয়েবলের রৈখিক সংমিশ্রণের বিশ্লেষণে চরিত্রগত ফাংশন পদ্ধতি বিশেষভাবে কার্যকরঃ কেন্দ্রীয় সীমা উপপাদ্যের একটি ধ্রুপদী প্রমাণ চরিত্রগত ফাংশন এবং লেভির ধারাবাহিকতা উপপাদ্য ব্যবহার করে। আরেকটি গুরুত্বপূর্ণ প্রয়োগ হল র্যান্ডম ভেরিয়েবলের ডিকম্পোসেবিলিটি তত্ত্ব। সংজ্ঞা একটি স্কেলার র্যান্ডম ভেরিয়েবল X-এর জন্য চরিত্রগত ফাংশনকে eitX-এর প্রত্যাশিত মান হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়, যেখানে i হল কাল্পনিক একক, এবং চরিত্রগত ফাংশনের যুক্তিঃ এখানে FX হল X-এর ক্রমবর্ধমান বন্টন ফাংশন, fX হল সংশ্লিষ্ট সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন, QX (p) হল সংশ্লিষ্ট বিপরীত ক্রমবর্ধমান বন্টন ফাংশন যাকে কোয়ান্টাইল ফাংশনও বলা হয়, এবং ইন্টিগ্রালগুলি রিমান-স্টিল্টজেস ধরনের। যদি একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবল X-এর একটি সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন থাকে তবে বৈশিষ্ট্যমূলক ফাংশন হল জটিল সূচকীয়তে সাইন রিভার্সাল সহ এর ফুরিয়ার রূপান্তর। চরিত্রগত ফাংশনের সংজ্ঞায় উপস্থিত ধ্রুবকগুলির জন্য এই কনভেনশনটি ফুরিয়ার রূপান্তরের জন্য স্বাভাবিক কনভেনশন থেকে আলাদা। উদাহরণস্বরূপ, কিছু লেখক সংজ্ঞায়িত করেন, যা মূলত প্যারামিটারের পরিবর্তন। সাহিত্যে অন্যান্য স্বরলিপির সম্মুখীন হতে পারেঃ একটি সম্ভাব্যতা পরিমাপ p-এর বৈশিষ্ট্যমূলক ফাংশন হিসাবে, অথবা একটি ঘনত্ব f-এর সাথে সম্পর্কিত বৈশিষ্ট্যমূলক ফাংশন হিসাবে। সাধারণীকরণ বৈশিষ্ট্যমূলক ফাংশনের ধারণাটি বহু-বৈকল্পিক র্যান্ডম ভেরিয়েবল এবং আরও জটিল র্যান্ডম উপাদানগুলিতে সাধারণীকরণ করে। চরিত্রগত ফাংশনের যুক্তি সর্বদা সেই স্থানের অবিচ্ছিন্ন দ্বৈতের অন্তর্গত যেখানে এলোমেলো পরিবর্তনশীল X তার মান গ্রহণ করে। সাধারণ ক্ষেত্রে এই ধরনের সংজ্ঞাগুলি নীচে তালিকাভুক্ত করা হয়েছেঃ যদি এক্স একটি কে-মাত্রিক র্যান্ডম ভেক্টর হয়, তবে ভেক্টরের ট্রান্সপোজ কোথায়, যদি এক্স একটি কে × পি-মাত্রিক র্যান্ডম ম্যাট্রিক্স হয়, তবে ট্রেস অপারেটর কোথায়, যদি এক্স একটি জটিল র্যান্ডম ভেরিয়েবল হয়, তবে জটিল সংযুগ্ম কোথায় এবং জটিল সংখ্যার আসল অংশ কোথায়, যদি এক্স একটি কে-মাত্রিক জটিল র্যান্ডম ভেক্টর হয়, তবে ভেক্টরের কনজুগেট ট্রান্সপোজ কোথায়, যদি এক্স (এস) একটি স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়া হয়, তবে সমস্ত ফাংশনের জন্য টি (এস) এমনভাবে একত্রিত হয় যাতে এক্স-মাত্রিক র্যান্ডম ভেক্টরের প্রায় সমস্ত উপলব্ধির জন্য ইন্টিগ্রাল একত্রিত হয়। একটি বাস্তব-মূল্যবান র্যান্ডম ভেরিয়েবলের চরিত্রগত ফাংশন সর্বদা বিদ্যমান থাকে, কারণ এটি এমন একটি স্থানের উপর একটি আবদ্ধ অবিচ্ছিন্ন ফাংশনের একটি অবিচ্ছেদ্য অংশ যার পরিমাপ সীমাবদ্ধ। একটি চরিত্রগত ফাংশন সমগ্র স্থানের উপর অভিন্নভাবে অবিচ্ছিন্ন। শূন্যের আশেপাশের অঞ্চলে এটি অ-বিলুপ্তঃ φ (0) = 1। এটি আবদ্ধঃ |φ (t)। ≤1। এটি হার্মিটিয়ানঃ বিশেষত, একটি প্রতিসম (উৎপত্তির চারপাশে) র্যান্ডম ভেরিয়েবলের বৈশিষ্ট্যমূলক ফাংশনটি বাস্তব-মূল্যবান এবং জোড়। সম্ভাব্যতা বিতরণ এবং চরিত্রগত ক্রিয়াকলাপের মধ্যে একটি বাইজেকশন রয়েছে। অর্থাৎ, যে কোনও দুটি র্যান্ডম ভেরিয়েবল X1, X2-এর জন্য, উভয়েরই একই সম্ভাব্যতা বন্টন থাকে যদি এবং শুধুমাত্র যদি। যদি একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবল X-এর k-তম ক্রম পর্যন্ত মুহুর্ত থাকে, তবে বৈশিষ্ট্যমূলক ফাংশন φX সমগ্র বাস্তব লাইনে k গুণ অবিচ্ছিন্নভাবে ডিফারেন্সিয়ালযোগ্য। এই ক্ষেত্রে যদি একটি চরিত্রগত ফাংশন φX-এর শূন্যে k-তম অন্তরজ থাকে, তবে এলোমেলো পরিবর্তনশীল X-এর k পর্যন্ত সমস্ত মুহূর্ত থাকে যদি k জোড় হয়, তবে শুধুমাত্র k বিজোড় হলে। যদি X1,., Xn স্বাধীন র্যান্ডম ভেরিয়েবল হয়, এবং a1,., an কিছু ধ্রুবক হয়, তাহলে xi 's-এর রৈখিক সংমিশ্রণের বৈশিষ্ট্যমূলক ফাংশন হল একটি নির্দিষ্ট ক্ষেত্রে দুটি স্বাধীন র্যান্ডম ভেরিয়েবল X1 এবং X2-এর যোগফল, যে ক্ষেত্রে একটিতে বৈশিষ্ট্যমূলক ফাংশন এবং সহ দুটি র্যান্ডম ভেরিয়েবল রয়েছে। এবং স্বাধীন যদি এবং শুধুমাত্র যদি। চরিত্রগত ফাংশনের লেজের আচরণ সংশ্লিষ্ট ঘনত্ব ফাংশনের মসৃণতা নির্ধারণ করে। র্যান্ডম ভেরিয়েবলকে একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের রৈখিক রূপান্তর হিসাবে ধরা যাক। এর চরিত্রগত ফাংশন হল। র্যান্ডম ভেক্টরের জন্য এবং (যেখানে A একটি ধ্রুবক ম্যাট্রিক্স এবং B একটি ধ্রুবক ভেক্টর), আমাদের আছে। ধারাবাহিকতা সম্ভাব্যতা বিতরণ এবং চরিত্রগত ক্রিয়াকলাপের মধ্যে উপরে বর্ণিত বাইজেকশন ক্রমানুসারে অবিচ্ছিন্ন। অর্থাৎ, যখনই বন্টন ফাংশনের একটি ক্রম Fj (x) কিছু বন্টন F (x)-এ (দুর্বলভাবে) একত্রিত হয়, তখন বৈশিষ্ট্যমূলক ফাংশনের সংশ্লিষ্ট ক্রম φj (t)-ও একত্রিত হবে এবং সীমা φ (t) সূত্র F-এর বৈশিষ্ট্যমূলক ফাংশনের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ হবে। আরও আনুষ্ঠানিকভাবে, এটিকে লেভির ধারাবাহিকতা উপপাদ্য হিসাবে উল্লেখ করা হয়ঃ n-ভ্যারিয়েট র্যান্ডম ভেরিয়েবলের একটি ক্রম Xj র্যান্ডম ভেরিয়েবল X-এ বিতরণে একত্রিত হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি ক্রম φXj একটি ফাংশন φ-তে পয়েন্টওয়াইজ একত্রিত হয় যা উৎপত্তির সময় অবিচ্ছিন্ন থাকে। যেখানে φ হল X-এর বৈশিষ্ট্যমূলক ফাংশন। এই উপপাদ্যটি বড় সংখ্যার সূত্র এবং কেন্দ্রীয় সীমা উপপাদ্য প্রমাণ করতে ব্যবহার করা যেতে পারে। ইনভার্সন সূত্র ক্যুমুলেটিভ ডিস্ট্রিবিউশন ফাংশন এবং চরিত্রগত ফাংশনের মধ্যে এক-থেকে-এক যোগাযোগ রয়েছে, তাই আমরা যদি অন্যটি জানি তবে এই ফাংশনগুলির মধ্যে একটি খুঁজে পাওয়া সম্ভব। বৈশিষ্ট্যমূলক ফাংশনের সংজ্ঞার সূত্রটি আমাদের φ গণনা করার অনুমতি দেয় যখন আমরা বিতরণ ফাংশন F (বা ঘনত্ব f) জানি। অন্যদিকে, যদি আমরা চরিত্রগত ফাংশন φ জানি এবং সংশ্লিষ্ট বন্টন ফাংশন খুঁজে পেতে চাই, তবে নিম্নলিখিত বিপরীত উপপাদ্যগুলির মধ্যে একটি ব্যবহার করা যেতে পারে। উপপাদ্য। যদি একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবল X-এর বৈশিষ্ট্যমূলক ফাংশন φX ইন্টিগ্রেবল হয়, তবে FX একেবারে অবিচ্ছিন্ন, এবং তাই X-এর একটি সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন রয়েছে। অভিন্ন ক্ষেত্রে (অর্থাৎ। যখন এক্স স্কেলার-ভ্যালুড হয়) ঘনত্ব ফাংশন দ্বারা দেওয়া হয় মাল্টিভ্যারিয়েট ক্ষেত্রে এটি যেখানে ডট প্রোডাক্ট হয়। ঘনত্ব ফাংশনটি লেবসগ্যু পরিমাপ λ: উপপাদ্য (লেভি)-এর সাপেক্ষে বিতরণের রেডন-নিকোডিম ব্যুৎপত্তি। যদি φX ডিস্ট্রিবিউশন ফাংশন FX-এর বৈশিষ্ট্যমূলক ফাংশন হয়, তবে দুটি বিন্দু a <b এমন হয় যা μX-এর একটি ধারাবাহিকতা সেট (অভিন্ন ক্ষেত্রে এই শর্তটি a এবং b বিন্দুতে FX-এর ধারাবাহিকতার সমতুল্য), তাহলে যদি X স্কেলারঃ এই সূত্রটি সংখ্যাসূচক গণনার জন্য আরও সুবিধাজনক আকারে পুনরায় উল্লেখ করা যেতে পারে। যদি এক্স একটি ভেক্টর এলোমেলো পরিবর্তনশীল হয়ঃ উপপাদ্য। যদি a (সম্ভবত) X-এর একটি পরমাণু হয় (অভিন্ন ক্ষেত্রে এর অর্থ FX-এর বিচ্ছিন্নতা বিন্দু) তবে যদি X স্কেলারঃ যদি X একটি ভেক্টর এলোমেলো পরিবর্তনশীল হয়ঃ উপপাদ্য (গিল-পেলেজ)। একটি অভিন্ন এলোমেলো পরিবর্তনশীল এক্স-এর জন্য, যদি এক্স এফএক্স-এর একটি ধারাবাহিকতা বিন্দু হয় তবে যেখানে একটি জটিল সংখ্যার কাল্পনিক অংশটি দ্বারা দেওয়া হয়। এবং এর ঘনত্ব ফাংশনটি হলঃ ইন্টিগ্রালটি লেবস্গু-ইন্টিগ্রেবল নাও হতে পারে; উদাহরণস্বরূপ, যখন এক্স একটি বিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবল যা সর্বদা 0 হয়, তখন এটি ডিরিচলেট ইন্টিগ্রালে পরিণত হয়। মাল্টিভ্যারিয়েট ডিস্ট্রিবিউশনের জন্য বিপরীত সূত্র পাওয়া যায়। সমস্ত বৈশিষ্ট্যমূলক ফাংশনের সেট নির্দিষ্ট ক্রিয়াকলাপের অধীনে বন্ধ থাকেঃ একটি সীমাবদ্ধ বা গণনাযোগ্য সংখ্যক বৈশিষ্ট্যমূলক ফাংশনের একটি উত্তল রৈখিক সংমিশ্রণও একটি বৈশিষ্ট্যমূলক ফাংশন। সীমিত সংখ্যক চরিত্রগত ফাংশনের গুণফলও একটি চরিত্রগত ফাংশন। একটি অসীম পণ্যের ক্ষেত্রেও একই কথা প্রযোজ্য, যদি এটি উৎপত্তিস্থলে অবিচ্ছিন্ন একটি ফাংশনে রূপান্তরিত হয়। যদি φ একটি চরিত্রগত ফাংশন হয় এবং α একটি বাস্তব সংখ্যা হয়, তাহলে, Re (φ), |φ |2, এবং φ (αt) ও চরিত্রগত ফাংশন। এটা সর্বজনবিদিত যে, যেকোনও অ-হ্রাসকারী ক্যাডল্যাগ ফাংশন F যার সীমা F (− ν) = 0, F (+ ν) = 1 কিছু এলোমেলো চলকের একটি ক্রমবর্ধমান বন্টন ফাংশনের সাথে মিলে যায়। একটি প্রদত্ত ফাংশন φ কখন কিছু র্যান্ডম ভেরিয়েবলের বৈশিষ্ট্যমূলক ফাংশন হতে পারে তার জন্য অনুরূপ সহজ মানদণ্ড খুঁজে বের করার আগ্রহও রয়েছে। এখানে কেন্দ্রীয় ফলাফল হল বোচনারের উপপাদ্য, যদিও এর উপযোগিতা সীমিত কারণ উপপাদ্যটির প্রধান শর্ত, অ-নেতিবাচক নির্দিষ্টতা, যাচাই করা খুব কঠিন। অন্যান্য উপপাদ্যও বিদ্যমান, যেমন খিঞ্চিন, ম্যাথিয়াস বা ক্র্যামার, যদিও তাদের প্রয়োগ ঠিক ততটাই কঠিন। অন্যদিকে, পলিয়ার উপপাদ্য একটি খুব সহজ উত্তল অবস্থা প্রদান করে যা যথেষ্ট কিন্তু প্রয়োজনীয় নয়। যে বৈশিষ্ট্যমূলক ফাংশনগুলি এই শর্তটি পূরণ করে সেগুলিকে পলিয়া-টাইপ বলা হয়। বোচনারের উপপাদ্য। একটি স্বেচ্ছাচারী ফাংশন φ: Rn → C হল কিছু এলোমেলো চলকের বৈশিষ্ট্যমূলক ফাংশন যদি এবং শুধুমাত্র যদি φ ধনাত্মক নির্দিষ্ট হয়, উৎসে অবিচ্ছিন্ন হয়, এবং যদি φ (0) = 1 হয়। খিঞ্চাইনের মানদণ্ড। একটি জটিল-মূল্যবান, সম্পূর্ণ অবিচ্ছিন্ন ফাংশন φ, যার φ (0) = 1, একটি চরিত্রগত ফাংশন যদি এবং শুধুমাত্র যদি এটি ম্যাথিয়াসের উপপাদ্যের উপস্থাপনা স্বীকার করে। φ (0) = 1 সহ একটি বাস্তব-মূল্যবান, জোড়, অবিচ্ছিন্ন, একেবারে অবিচ্ছেদ্য ফাংশন φ একটি বৈশিষ্ট্যমূলক ফাংশন যদি এবং শুধুমাত্র যদি n = 0,1,2,., এবং সমস্ত p> 0 এর জন্য হয়। এখানে H2n 2n মাত্রার হার্মাইট বহুপদকে বোঝায়। পোলিয়ার উপপাদ্য। যদি একটি বাস্তব-মূল্যবান, জোড়, অবিচ্ছিন্ন ফাংশন হয় যা শর্তগুলি সন্তুষ্ট করে, তবে উত্তল হয়, তাহলে φ (t) হল একটি সম্পূর্ণ অবিচ্ছিন্ন বন্টন প্রতিসাম্যের বৈশিষ্ট্যমূলক ফাংশন যা প্রায় 0। ব্যবহার ধারাবাহিকতা উপপাদ্যের কারণে, কেন্দ্রীয় সীমা উপপাদ্যের সবচেয়ে ঘন ঘন দেখা প্রমাণগুলিতে চরিত্রগত ফাংশন ব্যবহার করা হয়। একটি চরিত্রগত ফাংশন সহ গণনা করার সাথে জড়িত প্রধান কৌশল হল ফাংশনটিকে একটি নির্দিষ্ট বিতরণের চরিত্রগত ফাংশন হিসাবে স্বীকৃতি দেওয়া। বিতরণের মৌলিক কারসাজি বৈশিষ্ট্যমূলক ফাংশনগুলি স্বাধীন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের রৈখিক ফাংশনগুলির সাথে কাজ করার জন্য বিশেষভাবে কার্যকর। উদাহরণস্বরূপ, যদি স্বাধীন (এবং অগত্যা অভিন্নভাবে বিতরণ করা না হয়) র্যান্ডম ভেরিয়েবলের একটি ক্রম হয় এবং যেখানে এআই ধ্রুবক হয়, তবে এসএন-এর জন্য বৈশিষ্ট্যমূলক ফাংশনটি দেওয়া হয়। এটি দেখার জন্য, চরিত্রগত ফাংশনের সংজ্ঞাটি লিখুনঃ তৃতীয় এবং চতুর্থ অভিব্যক্তিগুলির সমতা প্রতিষ্ঠার জন্য এক্স এবং ওয়াই-এর স্বাধীনতা প্রয়োজন। অভিন্নভাবে বিতরণ করা র্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্য আগ্রহের আরেকটি বিশেষ ক্ষেত্রে হল কখন এবং তারপর Sn হল নমুনা গড়। এই ক্ষেত্রে, গড়ের জন্য লেখা, মুহূর্তের বৈশিষ্ট্যমূলক ফাংশনগুলি একটি এলোমেলো চলকের মুহূর্তগুলি খুঁজে বের করতেও ব্যবহার করা যেতে পারে। যদি nতম মুহুর্তটি বিদ্যমান থাকে, তবে বৈশিষ্ট্যমূলক ফাংশনটিকে n বার আলাদা করা যেতে পারেঃ এটি আনুষ্ঠানিকভাবে ডিরাক ডেল্টা ফাংশনের ডেরিভেটিভ ব্যবহার করে লেখা যেতে পারেঃ যা মুহুর্তের সমস্যার একটি আনুষ্ঠানিক সমাধানের অনুমতি দেয়। উদাহরণস্বরূপ, ধরুন এক্স-এর একটি স্ট্যান্ডার্ড কাউচি ডিস্ট্রিবিউশন রয়েছে। তারপর। এটি t = 0-এ ডিফারেনশিয়েবল নয়, যা দেখায় যে কাউচি বণ্টনের কোনও প্রত্যাশা নেই। এছাড়াও, পূর্ববর্তী বিভাগের ফলাফল ব্যবহার করে, n স্বাধীন পর্যবেক্ষণের নমুনা গড়ের চরিত্রগত কার্যকারিতার চরিত্রগত কার্যকারিতা রয়েছে। এটি আদর্শ কাউচি বণ্টনের চরিত্রগত ফাংশনঃ সুতরাং, নমুনা গড় জনসংখ্যার মতো একই বণ্টনের রয়েছে। আরও একটি উদাহরণ হিসাবে, ধরুন এক্স একটি গাউসিয়ান বন্টন অনুসরণ করে অর্থাৎ। । তারপর এবং একটি অনুরূপ গণনা দেখায় এবং প্রত্যাশার সংজ্ঞা প্রয়োগ এবং মূল্যায়নের জন্য অংশ দ্বারা সংহতকরণ ব্যবহার করার চেয়ে কার্যকর করা সহজ। একটি চরিত্রগত ফাংশনের লগারিদম হল একটি ক্যুমুলেন্ট জেনারেটিং ফাংশন, যা ক্যুমুলেন্ট খুঁজে বের করার জন্য দরকারী; কেউ কেউ পরিবর্তে ক্যুমুলেন্ট জেনারেটিং ফাংশনকে মোমেন্ট-জেনারেটিং ফাংশনের লগারিদম হিসাবে সংজ্ঞায়িত করে এবং চরিত্রগত ফাংশনের লগারিদমকে দ্বিতীয় ক্যুমুলেন্ট জেনারেটিং ফাংশন বলে। ডেটা বিশ্লেষণ বৈশিষ্ট্যমূলক ফাংশনগুলি ডেটার নমুনায় সম্ভাব্যতা বিতরণের জন্য পদ্ধতির অংশ হিসাবে ব্যবহার করা যেতে পারে। যে ক্ষেত্রে এটি অন্যান্য সম্ভাবনার তুলনায় একটি ব্যবহারিক বিকল্প প্রদান করে তার মধ্যে রয়েছে স্থিতিশীল বন্টন ফিট করা কারণ ঘনত্বের জন্য বদ্ধ ফর্ম অভিব্যক্তিগুলি উপলব্ধ নয় যা সর্বাধিক সম্ভাব্যতা অনুমানের বাস্তবায়নকে কঠিন করে তোলে। অনুমানের পদ্ধতিগুলি পাওয়া যায় যা তাত্ত্বিক বৈশিষ্ট্যমূলক ক্রিয়াকলাপের সাথে অভিজ্ঞতাগত বৈশিষ্ট্যমূলক ক্রিয়াকলাপের সাথে মেলে, যা ডেটা থেকে গণনা করা হয়। পলসন ও অন্যান্য। (1975) এবং হিথকোট (1977) এই ধরনের অনুমান পদ্ধতির জন্য কিছু তাত্ত্বিক পটভূমি প্রদান করে। উপরন্তু, ইউ (2004) সময় সিরিজের মডেলগুলির সাথে খাপ খাইয়ে নেওয়ার জন্য অভিজ্ঞতাগত বৈশিষ্ট্যমূলক ফাংশনের প্রয়োগগুলি বর্ণনা করে যেখানে সম্ভাব্যতা পদ্ধতিগুলি অবাস্তব। আনসারি ও অন্যান্যরা পরীক্ষামূলক বৈশিষ্ট্যমূলক ফাংশনও ব্যবহার করেছেন। (2020) এবং লি এট আল। (2020) জেনারেটিভ অ্যাডভারসারিয়াল নেটওয়ার্ক প্রশিক্ষণের জন্য। উদাহরণ স্কেল প্যারামিটার θ এবং একটি আকৃতি প্যারামিটার k সহ গামা ডিস্ট্রিবিউশনের বৈশিষ্ট্যমূলক ফাংশন রয়েছে এখন ধরুন যে আমাদের একে অপরের থেকে স্বাধীন X এবং Y রয়েছে এবং আমরা জানতে চাই যে X + Y এর ডিস্ট্রিবিউশন কী। বৈশিষ্ট্যমূলক ফাংশনগুলি হল যা স্বাধীনতা দ্বারা এবং বৈশিষ্ট্যমূলক ফাংশনের মৌলিক বৈশিষ্ট্যগুলি দিকে পরিচালিত করে এটি গামা ডিস্ট্রিবিউশন স্কেল প্যারামিটার θ এবং আকৃতি প্যারামিটার k1 + k2-এর বৈশিষ্ট্যমূলক ফাংশন, এবং তাই আমরা উপসংহারে পৌঁছেছি ফলাফলটি একই স্কেল প্যারামিটার সহ n স্বাধীন গামা ডিস্ট্রিবিউটেড র্যান্ডম ভেরিয়েবলগুলিতে প্রসারিত করা যেতে পারে এবং আমরা সম্পূর্ণ বৈশিষ্ট্যমূলক ফাংশন পাই যেমন উপরে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে, বৈশিষ্ট্যমূলক ফাংশনের যুক্তিটিকে একটি বাস্তব সংখ্যা হিসাবে বিবেচনা করা হয়ঃ তবে, বৈশিষ্ট্যমূলক ফাংশনের তত্ত্বের কিছু দিক বিশ্লেষণাত্মক ধারাবাহিকতার মাধ্যমে জটিল সমতলে সংজ্ঞাটি প্রসারিত করে উন্নত করা হয়, যেখানে এটি সম্ভব। সম্পর্কিত ধারণাগুলির মধ্যে মোমেন্ট-জেনারেটিং ফাংশন এবং সম্ভাব্যতা-জেনারেটিং ফাংশন অন্তর্ভুক্ত। সমস্ত সম্ভাব্যতা বিতরণের জন্য চরিত্রগত ফাংশন বিদ্যমান। মুহূর্ত-উৎপাদনকারী ফাংশনের ক্ষেত্রে এটি হয় না। বৈশিষ্ট্যমূলক ফাংশনটি ফুরিয়ার রূপান্তরের সাথে ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিতঃ একটি সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন p (x)-এর বৈশিষ্ট্যমূলক ফাংশন হল p (x)-এর অবিচ্ছিন্ন ফুরিয়ার রূপান্তরের জটিল সংমিশ্রণ (স্বাভাবিক ধারা অনুসারে; অবিচ্ছিন্ন ফুরিয়ার রূপান্তর-অন্যান্য ধারা দেখুন)। যেখানে পি (টি) সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন পি (এক্স) এর অবিচ্ছিন্ন ফুরিয়ার রূপান্তরকে বোঝায়। একইভাবে, p (x) কে φX (t) থেকে বিপরীত ফুরিয়ার রূপান্তরের মাধ্যমে পুনরুদ্ধার করা যেতে পারেঃ প্রকৃতপক্ষে, র্যান্ডম ভেরিয়েবলের ঘনত্ব না থাকলেও, বৈশিষ্ট্যমূলক ফাংশনটিকে র্যান্ডম ভেরিয়েবলের সাথে সম্পর্কিত পরিমাপের ফুরিয়ার রূপান্তর হিসাবে দেখা যেতে পারে। আরেকটি সম্পর্কিত ধারণা হল বিতরণের কার্নেল এম্বেডিংয়ের মাধ্যমে পুনরুত্পাদনকারী কার্নেল হিলবার্ট স্থানের উপাদান হিসাবে সম্ভাব্যতা বিতরণের উপস্থাপনা। এই কাঠামোকে কার্নেল ফাংশনের নির্দিষ্ট পছন্দগুলির অধীনে চরিত্রগত ফাংশনের সাধারণীকরণ হিসাবে দেখা যেতে পারে। আরও দেখুন উপ-স্বাধীনতা, স্বাধীনতার চেয়ে একটি দুর্বল অবস্থা, যা চরিত্রগত ক্রিয়াকলাপের পরিপ্রেক্ষিতে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে। ক্যুমুলেন্ট, ক্যুমুলেন্ট জেনারেটিং ফাংশনের একটি শব্দ, যা চরিত্রগত ফাংশনের লগ। তথ্যসূত্র উদ্ধৃতি উৎস বাহ্যিক লিঙ্ক সম্ভাব্যতা বিতরণ সম্পর্কিত ফাংশন