Tate conjecture
সংখ্যা তত্ত্ব এবং বীজগাণিতিক জ্যামিতিতে, টেট অনুমান হল জন টেটের 1963 সালের একটি অনুমান যা আরও গণনাযোগ্য অপরিবর্তনীয়তার পরিপ্রেক্ষিতে বৈচিত্র্যের উপর বীজগাণিতিক চক্রকে বর্ণনা করবে, étale কোহোমোলজির উপর গ্যালোইস উপস্থাপনা। বীজগাণিতিক চক্র তত্ত্বের একটি কেন্দ্রীয় সমস্যা হল অনুমান। এটিকে হজ অনুমানের একটি গাণিতিক অনুরূপ হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে। অনুমানের বিবৃতি ধরা যাক V একটি k ক্ষেত্রের উপর একটি মসৃণ প্রজেক্টিভ বৈচিত্র্য যা তার প্রধান ক্ষেত্রের উপর সীমাবদ্ধভাবে উৎপন্ন হয়। ধরা যাক ks হল k-এর একটি পৃথক বন্ধ, এবং ধরা যাক G হল k-এর পরম গ্যালোয়া গোষ্ঠী গ্যাল (ks/k)। একটি মৌলিক সংখ্যা l স্থির করুন যা k-তে বিপরীতমুখী। V থেকে ks-এর ভিত্তি সম্প্রসারণের l-অ্যাডিক কোহোমোলজি গোষ্ঠীগুলি (l-অ্যাডিক পূর্ণসংখ্যা Zl-এর সহগ, স্কেলারগুলি তারপর l-অ্যাডিক সংখ্যা Ql-এ প্রসারিত) বিবেচনা করুন; এই গোষ্ঠীগুলি হল G-এর উপস্থাপনা। যে কোনও i ≤0-এর জন্য, V-এর একটি কোডিমেনশন-i সাবভ্যারিয়েটি (k-এর উপর সংজ্ঞায়িত বলে বোঝা যায়) কোহোমোলজি গ্রুপের একটি উপাদান নির্ধারণ করে যা G দ্বারা স্থির করা হয়। এখানে Ql (i) ইথ টেট টুইস্টকে বোঝায়, যা টেট অনুমান বলে যে গ্যালোয়া গ্রুপ জি দ্বারা স্থির ডাব্লু-এর সাবস্পেস ডাব্লুজি একটি কিউএল-ভেক্টর স্পেস হিসাবে, ভি-এর কোডিমেনশন-আই সাবভ্যারাইটিগুলির শ্রেণী দ্বারা বিস্তৃত। একটি বীজগাণিতিক চক্র মানে সাবভ্যারাইটিগুলির একটি সীমাবদ্ধ রৈখিক সংমিশ্রণ; তাই একটি সমতুল্য বিবৃতি হল যে ডাব্লুজি-র প্রতিটি উপাদান কিউএল সহগ সহ ভি-এর উপর একটি বীজগাণিতিক চক্রের শ্রেণী। পরিচিত ক্ষেত্রে বিভাজকের জন্য টেট অনুমান (কোডিমেনশন 1-এর বীজগাণিতিক চক্র) একটি প্রধান উন্মুক্ত সমস্যা। উদাহরণস্বরূপ, ধরা যাক f: X → C একটি মসৃণ প্রজেক্টিভ পৃষ্ঠ থেকে একটি সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রের উপর মসৃণ প্রজেক্টিভ বক্ররেখার উপর একটি অঙ্গসংস্থান। ধরুন, f-এর জেনেরিক ফাইবার F, যা k (C) ফাংশনের উপর একটি বক্ররেখা, k (C)-এর উপর মসৃণ। তারপর এক্স-এর উপর বিভাজকের জন্য টেট অনুমানটি এফ-এর জ্যাকোবিয়ান বৈচিত্র্যের জন্য বার্চ এবং সুইনারটন-ডায়ার অনুমানের সমতুল্য। বিপরীতে, যে কোনও মসৃণ জটিল প্রজেক্টিভ বৈচিত্র্যের উপর বিভাজকের জন্য হজ অনুমান জানা যায় (লেফশেটস (1,1)-উপপাদ্য)। সম্ভবত সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ পরিচিত ঘটনা হল যে টেট অনুমান আবেলিয়ান জাতের বিভাজকের ক্ষেত্রে সত্য। এটি সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রের উপর আবেলিয়ান জাতের জন্য টেটের একটি উপপাদ্য এবং সংখ্যা ক্ষেত্রের উপর আবেলিয়ান জাতের জন্য ফাল্টিংসের একটি উপপাদ্য, যা মরডেল অনুমানের ফাল্টিংসের সমাধানের অংশ। জারহিন এই ফলাফলগুলি যে কোনও সীমাবদ্ধভাবে উত্পন্ন বেস ফিল্ডে প্রসারিত করেছিলেন। আবেলিয়ান বৈচিত্র্যের উপর বিভাজকের জন্য টেট অনুমানটি C1 ×. × Cn বক্ররেখার যে কোনও পণ্যের উপর বিভাজকের জন্য টেট অনুমানকে বোঝায়। আবেলিয়ান জাতের উপর বিভাজকের জন্য (পরিচিত) টেট অনুমান আবেলিয়ান জাতের মধ্যে সমরূপতা সম্পর্কে একটি শক্তিশালী বিবৃতির সমতুল্য। অর্থাৎ, একটি সীমিতভাবে উৎপন্ন ক্ষেত্র k-এর উপর যে কোনও আবেলিয়ান জাত A এবং B-এর জন্য, প্রাকৃতিক মানচিত্রটি একটি সমরূপতা। বিশেষত, একটি আবেলিয়ান জাত এ তার টেট মডিউল এইচ1 (আকস, জেডএল)-এ গ্যালোইস উপস্থাপনা দ্বারা আইসোজেনি পর্যন্ত নির্ধারিত হয়। টেট অনুমানটি 2 নয় এমন বৈশিষ্ট্যযুক্ত সীমাবদ্ধভাবে উত্পন্ন ক্ষেত্রগুলির উপর কে3 পৃষ্ঠের জন্যও ধারণ করে। (একটি পৃষ্ঠে, অনুমানের অ-তুচ্ছ অংশটি বিভাজক সম্পর্কে।) চরিত্রগত শূন্যে, কে3 পৃষ্ঠের জন্য টেট অনুমান আন্দ্রে এবং ট্যাঙ্কিভ দ্বারা প্রমাণিত হয়েছিল। 2 নয় এমন বৈশিষ্ট্যের সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রের উপর কে3 পৃষ্ঠের জন্য, নিগার্ড, ওগাস, চার্লস, মাদাপুসি পেরা এবং মৌলিক দ্বারা টেট অনুমান প্রমাণিত হয়েছিল। টেট অনুমানের পরিচিত কেসগুলি জরিপ করে। সম্পর্কিত অনুমানগুলি ধরা যাক X একটি পরিমিতভাবে উত্পন্ন ক্ষেত্র k-এর উপর একটি মসৃণ প্রজেক্টিভ বৈচিত্র্য। অর্ধ-সরলতা অনুমানটি ভবিষ্যদ্বাণী করে যে X-এর l-adic সমরূপতার উপর গ্যালোয়া গ্রুপ G = Gal (ks/k)-এর উপস্থাপনা অর্ধ-সহজ (অর্থাৎ, অপরিবর্তনীয় উপস্থাপনাগুলির একটি সরাসরি যোগফল)। বৈশিষ্ট্য 0-এর k-এর জন্য, দেখানো হয়েছে যে টেট অনুমান (উপরে বর্ণিত) এর অর্ধ-সরলীকরণ বোঝায়। হজ অনুমানের মতো, টেট অনুমানটি বীজগাণিতিক চক্রের উপর গ্রোথেন্ডিকের বেশিরভাগ আদর্শ অনুমানকে বোঝায়। অর্থাৎ, এটি লেফশেৎজ আদর্শ অনুমানকে বোঝায় (যে লেফশেৎজ সমরূপতার বিপরীতটি একটি বীজগাণিতিক যোগাযোগ দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়); যে তির্যকের কুনেথ উপাদানগুলি বীজগাণিতিক; এবং বীজগাণিতিক চক্রের সংখ্যাসূচক সমতুল্যতা এবং সমতাত্ত্বিক সমতুল্যতা একই। নোটস রেফারেন্সস এক্সটার্নাল লিঙ্ক জেমস মিল্নে, দ্য টেট কনজেকচার ওভার ফাইনাইট ফিল্ড (এ. আই. এম টক)। বীজগাণিতিক জ্যামিতির টপোলজিক্যাল পদ্ধতি ডায়োফ্যান্টাইন জ্যামিতি সংখ্যা তত্ত্বের অমীমাংসিত সমস্যাগুলি অনুমান করে