Field equation
তাত্ত্বিক পদার্থবিজ্ঞান এবং ফলিত গণিতে, একটি ক্ষেত্র সমীকরণ হল একটি আংশিক অবকল সমীকরণ যা একটি ভৌত ক্ষেত্রের গতিবিদ্যা, বিশেষ করে সময়ের বিবর্তন এবং ক্ষেত্রের স্থানিক বন্টন নির্ধারণ করে। সমীকরণের সমাধানগুলি হল গাণিতিক ফাংশন যা সময় এবং স্থানের ফাংশন হিসাবে সরাসরি ক্ষেত্রের সাথে মিলে যায়। যেহেতু ক্ষেত্র সমীকরণটি একটি আংশিক অবকল সমীকরণ, তাই সমাধানের পরিবার রয়েছে যা বিভিন্ন ভৌত সম্ভাবনার প্রতিনিধিত্ব করে। সাধারণত, কেবল একটি একক সমীকরণ নয়, তবে মিলিত সমীকরণের একটি সেট রয়েছে যা অবশ্যই একই সাথে সমাধান করতে হবে। ক্ষেত্র সমীকরণগুলি সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ নয় কারণ একটি ক্ষেত্র স্থান এবং সময়ের উপর নির্ভর করে, যার জন্য কমপক্ষে দুটি চলক প্রয়োজন। যেখানে "তরঙ্গ সমীকরণ", "বিচ্ছুরণ সমীকরণ" এবং "ধারাবাহিকতা সমীকরণ" সবগুলিরই মানক রূপ রয়েছে (এবং বিভিন্ন বিশেষ ক্ষেত্রে বা সাধারণীকরণ), সেখানে কোনও একক, বিশেষ সমীকরণ নেই যা "ক্ষেত্র সমীকরণ" হিসাবে উল্লেখ করা হয়। বিষয়টি বিস্তৃতভাবে শাস্ত্রীয় ক্ষেত্র তত্ত্ব এবং কোয়ান্টাম ক্ষেত্র তত্ত্বের সমীকরণে বিভক্ত। ধ্রুপদী ক্ষেত্র সমীকরণগুলি কোনও পদার্থের তাপমাত্রা, তরলের বেগ, স্থিতিস্থাপক পদার্থের চাপ, বিদ্যুৎ থেকে বৈদ্যুতিক এবং চৌম্বক ক্ষেত্র ইত্যাদির মতো অনেক ভৌত বৈশিষ্ট্য বর্ণনা করে। তারা বৈদ্যুতিন চৌম্বকীয়তা এবং মাধ্যাকর্ষণের মতো প্রকৃতির মৌলিক শক্তিকেও বর্ণনা করে। কোয়ান্টাম ক্ষেত্র তত্ত্বে, ইলেকট্রন এবং ফোটনের মতো "কণার" কণা বা সিস্টেমগুলি ক্ষেত্রের সাথে যুক্ত, যা অসীম মাত্রার স্বাধীনতা (কণা বলবিজ্ঞানে সীমাবদ্ধ মাত্রার স্বাধীনতার বিপরীতে) এবং পরিবর্তনশীল কণা সংখ্যার অনুমতি দেয় যা তৈরি বা ধ্বংস করা যেতে পারে। সাধারণত, ক্ষেত্র সমীকরণগুলি অনুমান করা হয় (যেমন আইনস্টাইন ক্ষেত্র সমীকরণ এবং শ্রোডিঙ্গার সমীকরণ, যা সমস্ত কোয়ান্টাম ক্ষেত্র সমীকরণের অন্তর্নিহিত) বা পরীক্ষার ফলাফল থেকে প্রাপ্ত হয় (যেমন ম্যাক্সওয়েলের সমীকরণ)। তাদের বৈধতার পরিমাণ হল সঠিকভাবে ভবিষ্যদ্বাণী করার এবং পরীক্ষামূলক ফলাফলের সাথে একমত হওয়ার ক্ষমতা। তাত্ত্বিক দৃষ্টিকোণ থেকে, ক্ষেত্র সমীকরণগুলি ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান ক্ষেত্র তত্ত্ব, হ্যামিল্টনিয়ান ক্ষেত্র তত্ত্ব এবং স্থির ক্রিয়ার নীতির ক্ষেত্র তাত্ত্বিক সূত্রগুলির কাঠামোতে প্রণয়ন করা যেতে পারে। একটি উপযুক্ত ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান বা হ্যামিল্টনিয়ান ঘনত্ব দেওয়া হলে, একটি প্রদত্ত ব্যবস্থায় ক্ষেত্রগুলির একটি ফাংশন, সেইসাথে তাদের ডেরিভেটিভস, স্থির ক্রিয়ার নীতি ক্ষেত্র সমীকরণটি অর্জন করবে। সমমিতি ধ্রুপদী এবং কোয়ান্টাম উভয় তত্ত্বেই, ক্ষেত্র সমীকরণগুলি পটভূমির ভৌত তত্ত্বের প্রতিসাম্যকে সন্তুষ্ট করবে। বেশিরভাগ সময় গ্যালিলিয়ান প্রতিসাম্য যথেষ্ট, গতির জন্য (প্রসারণ ক্ষেত্রের) আলোর তুলনায় অনেক কম। যখন কণা এবং ক্ষেত্রগুলি আলোর কাছাকাছি গতিতে প্রসারিত হয়, লরেঞ্জ প্রতিসাম্য সবচেয়ে সাধারণ সেটিংসগুলির মধ্যে একটি কারণ সমীকরণ এবং এর সমাধানগুলি তখন বিশেষ আপেক্ষিকতার সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ। আরেকটি প্রতিসাম্য গজ স্বাধীনতা থেকে উদ্ভূত হয়, যা ক্ষেত্র সমীকরণের অন্তর্নিহিত। মিথস্ক্রিয়ার সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ ক্ষেত্রগুলি গেজ ক্ষেত্র হতে পারে, যার অর্থ তারা একটি সম্ভাব্যতা থেকে উদ্ভূত হতে পারে এবং সম্ভাবনার নির্দিষ্ট মানগুলি ক্ষেত্রের একই মানের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ। শ্রেণীবিভাগ ক্ষেত্র সমীকরণগুলিকে বিভিন্ন উপায়ে শ্রেণীবদ্ধ করা যেতে পারেঃ ধ্রুপদী বা কোয়ান্টাম, অ-আপেক্ষিক বা আপেক্ষিক, ক্ষেত্রের ঘূর্ণন বা ভর এবং ক্ষেত্রের উপাদানগুলির সংখ্যা এবং স্থানাঙ্ক রূপান্তরের অধীনে সেগুলি কীভাবে পরিবর্তিত হয় (যেমন। স্কেলার ক্ষেত্র, ভেক্টর ক্ষেত্র, টেনসর ক্ষেত্র, স্পিনোর ক্ষেত্র, টুইস্টার ক্ষেত্র ইত্যাদি)। তারা অবকল সমীকরণের শ্রেণিবিন্যাসও উত্তরাধিকার সূত্রে পেতে পারে, রৈখিক বা অরৈখিক হিসাবে, সর্বোচ্চ অন্তরজের ক্রম বা এমনকি ভগ্নাংশ অবকল সমীকরণ হিসাবে। গেজ ক্ষেত্রগুলিকে গ্রুপ তত্ত্ব হিসাবে আবেলিয়ান বা ননবেলিয়ান হিসাবে শ্রেণীবদ্ধ করা যেতে পারে। তরঙ্গ ক্ষেত্র সমীকরণগুলি তরঙ্গ সমীকরণের উপর নির্ভর করে, কারণ পর্যায়ক্রমে পরিবর্তনশীল ক্ষেত্রগুলি তরঙ্গ তৈরি করে। তরঙ্গ সমীকরণগুলিকে ক্ষেত্র সমীকরণ হিসাবে ভাবা যেতে পারে, এই অর্থে যে সেগুলি প্রায়শই ক্ষেত্র সমীকরণ থেকে উদ্ভূত হতে পারে। বিকল্পভাবে, উপযুক্ত ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান বা হ্যামিল্টনিয়ান ঘনত্ব দেওয়া এবং স্থির ক্রিয়ার নীতি ব্যবহার করে, তরঙ্গ সমীকরণগুলিও পাওয়া যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, ম্যাক্সওয়েলের সমীকরণগুলি অসম তড়িৎচুম্বকীয় তরঙ্গ সমীকরণ পেতে ব্যবহার করা যেতে পারে এবং আইনস্টাইন ক্ষেত্র সমীকরণগুলি থেকে মহাকর্ষীয় তরঙ্গের জন্য সমীকরণ পাওয়া যেতে পারে। ক্ষেত্র সমীকরণের পরিপূরক সমীকরণগুলি পদার্থবিজ্ঞানে প্রতিটি আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণকে (পি. ডি. ই) স্বয়ংক্রিয়ভাবে "ক্ষেত্র সমীকরণ" বলা হয় না, এমনকি ক্ষেত্রগুলি জড়িত থাকলেও। এগুলি একটি প্রদত্ত ভৌত ব্যবস্থার জন্য অতিরিক্ত সীমাবদ্ধতা প্রদান করার জন্য অতিরিক্ত সমীকরণ। "ধারাবাহিকতা সমীকরণ" এবং "বিচ্ছুরণ সমীকরণ" পরিবহন ঘটনাকে বর্ণনা করে, যদিও এগুলিতে এমন ক্ষেত্র জড়িত থাকতে পারে যা পরিবহন প্রক্রিয়াকে প্রভাবিত করে। যদি একটি "গঠনমূলক সমীকরণ" একটি পি. ডি. ই-এর রূপ নেয় এবং ক্ষেত্রগুলি জড়িত থাকে, তবে এটিকে সাধারণত ক্ষেত্র সমীকরণ বলা হয় না কারণ এটি ক্ষেত্রগুলির গতিশীল আচরণ পরিচালনা করে না। তারা একটি প্রদত্ত উপাদানের মধ্যে একটি ক্ষেত্রকে অন্য ক্ষেত্রের সাথে সম্পর্কিত করে। যখন পদার্থের প্রভাবগুলি বিবেচনায় নেওয়ার প্রয়োজন হয় তখন ক্ষেত্র সমীকরণের সাথে গঠনমূলক সমীকরণগুলি ব্যবহার করা হয়। ধ্রুপদী ক্ষেত্র সমীকরণ ধারাবাহিক বলবিজ্ঞান (ইলাস্টোডাইনামিক্স এবং তরল বলবিজ্ঞান সহ), তাপ স্থানান্তর, বৈদ্যুতিন চৌম্বকীয়তা এবং মহাকর্ষ সহ ধ্রুপদী ক্ষেত্র সমীকরণগুলি উদ্ভূত হয়। মৌলিক ধ্রুপদী ক্ষেত্র সমীকরণগুলির মধ্যে রয়েছে নিউটনের সার্বজনীন মহাকর্ষের সূত্র যা আপেক্ষিক নয়। আপেক্ষিক মহাকর্ষের জন্য আইনস্টাইনের ক্ষেত্র সমীকরণ-বৈদ্যুতিন চৌম্বকবাদের জন্য ম্যাক্সওয়েলের সমীকরণ। মৌলিক সূত্র থেকে প্রাপ্ত গুরুত্বপূর্ণ সমীকরণগুলির মধ্যে রয়েছেঃ তরল প্রবাহের জন্য নেভিয়ার-স্টোকস সমীকরণ। বাস্তব জীবনের গাণিতিক মডেলিং প্রক্রিয়ার অংশ হিসাবে, ধ্রুপদী ক্ষেত্র সমীকরণগুলি গতির অন্যান্য সমীকরণ, অবস্থার সমীকরণ, গঠনমূলক সমীকরণ এবং ধারাবাহিকতা সমীকরণের সাথে থাকে। কোয়ান্টাম ক্ষেত্র তত্ত্বে, কণাগুলি কোয়ান্টাম ক্ষেত্র দ্বারা বর্ণনা করা হয় যা শ্রোডিঞ্জার সমীকরণকে সন্তুষ্ট করে। এগুলি সৃষ্টি এবং বিনাশকারী অপারেটর যা বিনিময় সম্পর্ককে সন্তুষ্ট করে এবং স্পিন-পরিসংখ্যান উপপাদ্যের সাপেক্ষে। আপেক্ষিক কোয়ান্টাম ক্ষেত্র সমীকরণের বিশেষ ক্ষেত্রে স্পিন-0 কণাগুলির জন্য ক্লেইন-গর্ডন সমীকরণ, স্পিন-1/2 কণাগুলির জন্য ডিরাক সমীকরণ, যে কোনও স্পিন কণাগুলির জন্য বার্গম্যান-উইগনার সমীকরণ অন্তর্ভুক্ত রয়েছে। কোয়ান্টাম ক্ষেত্র সমীকরণে, কণার অবস্থান স্থানাঙ্কের পরিবর্তে কণার ভরবেগ উপাদানগুলি ব্যবহার করা সাধারণ, ক্ষেত্রগুলি ভরবেগের জায়গায় থাকে এবং ফুরিয়ার রূপান্তরগুলি তাদের অবস্থানের প্রতিনিধিত্বের সাথে সম্পর্কিত করে। আরও দেখুন ফিল্ড স্ট্রেংথ ওয়েভ ফাংশন মৌলিক মিথস্ক্রিয়া ফিল্ড কাপলিং ফিল্ড ডিকপলিং কাপলিং প্যারামিটার ভ্যাকুয়াম সলিউশন রেফারেন্স সাধারণ ধ্রুপদী ক্ষেত্র তত্ত্ব কোয়ান্টাম ক্ষেত্র তত্ত্ব ধ্রুপদী এবং কোয়ান্টাম ক্ষেত্র তত্ত্ব বাহ্যিক লিঙ্ক তাত্ত্বিক পদার্থবিজ্ঞান গাণিতিক পদার্থবিজ্ঞান ফলিত গণিত আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ ধ্রুপদী ক্ষেত্র তত্ত্ব কোয়ান্টাম ক্ষেত্র তত্ত্ব