Quartic interaction
কোয়ান্টাম ক্ষেত্র তত্ত্বে, কোয়ার্টিক মিথস্ক্রিয়া হল স্কেলার ক্ষেত্রে এক ধরনের স্ব-মিথস্ক্রিয়া। অন্যান্য ধরনের কোয়ার্টিক মিথস্ক্রিয়া চার-ফার্মিওন মিথস্ক্রিয়া বিষয়ের অধীনে পাওয়া যেতে পারে। একটি ধ্রুপদী মুক্ত স্কেলার ক্ষেত্র ক্লেইন-গর্ডন সমীকরণকে সন্তুষ্ট করে। যদি একটি স্কেলার ক্ষেত্র চিহ্নিত করা হয়, তবে একটি কোয়ার্টিক মিথস্ক্রিয়া ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান ঘনত্বে একটি সম্ভাব্য শক্তি শব্দ যোগ করে প্রতিনিধিত্ব করা হয়। 4-মাত্রিক স্থানকালে সংযুক্তি ধ্রুবকটি মাত্রাহীন। এই নিবন্ধটি মিনকোভস্কি স্থানের জন্য মেট্রিক স্বাক্ষর ব্যবহার করে। একটি বাস্তব স্কেলার ক্ষেত্রের জন্য ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান ঘনত্ব একটি কোয়ার্টিক মিথস্ক্রিয়া সহ একটি বাস্তব স্কেলার ক্ষেত্রের জন্য ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান ঘনত্ব হল এই ল্যাগ্রাঞ্জিয়ানের একটি বিশ্বব্যাপী Z2 প্রতিসাম্য ম্যাপিং রয়েছে। একটি জটিল স্কেলার ক্ষেত্রের জন্য ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান একটি জটিল স্কেলার ক্ষেত্রের জন্য ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান নিম্নরূপ অনুপ্রাণিত করা যেতে পারে। দুটি স্কেলার ক্ষেত্রের জন্য এবং ল্যাগ্রেঞ্জিয়ানের এমন একটি রূপ রয়েছে যা এই জটিল স্কেলার ক্ষেত্রের পরিপ্রেক্ষিতে এক্সপ্রেস্ড হিসাবে সংজ্ঞায়িত একটি জটিল স্কেলার ক্ষেত্রের প্রবর্তন করে আরও সংক্ষিপ্তভাবে লেখা যেতে পারে, উপরের ল্যাগ্রেঞ্জিয়ান হয়ে যায় যা এইভাবে বাস্তব স্কেলার ক্ষেত্রের এস. ও (2) মডেলের সমতুল্য, যা বাস্তব এবং কাল্পনিক অংশে জটিল ক্ষেত্রকে প্রসারিত করে দেখা যায়। বাস্তব স্কেলার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রে, আমাদের কাছে ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান দ্বারা প্রদত্ত গ্লোবাল এস. ও (এন) প্রতিসাম্য সহ একটি মডেল থাকতে পারে বাস্তব এবং কাল্পনিক অংশে জটিল ক্ষেত্রের সম্প্রসারণ দেখায় যে এটি বাস্তব স্কেলার ক্ষেত্রের এস. ও (2) মডেলের সমতুল্য। উপরের সমস্ত মডেলে, কাপলিং ধ্রুবক অবশ্যই ধনাত্মক হতে হবে, কারণ অন্যথায় সম্ভাব্যতা নীচে সীমাহীন হবে এবং কোনও স্থিতিশীল ভ্যাকুয়াম থাকবে না। এছাড়াও, নীচে আলোচিত ফাইনম্যান পথের অবিচ্ছেদ্য অংশটি অস্পষ্টভাবে সংজ্ঞায়িত হবে। 4টি মাত্রায়, তত্ত্বগুলির একটি ল্যান্ডাউ মেরু রয়েছে। এর মানে হল যে উচ্চ-শক্তি স্কেলে একটি কাট-অফ ছাড়া, পুনর্নবীকরণ তত্ত্বটিকে তুচ্ছ করে তুলবে। মডেলটি গ্রিফিথস-সাইমন শ্রেণীর অন্তর্গত, যার অর্থ এটি একটি নির্দিষ্ট ধরনের গ্রাফে একটি আইসিং মডেলের দুর্বল সীমা হিসাবেও প্রতিনিধিত্ব করা যেতে পারে। মডেল এবং আইসিং মডেল উভয়েরই তুচ্ছতা একটি গ্রাফিকাল উপস্থাপনার মাধ্যমে দেখানো যেতে পারে যা র্যান্ডম কারেন্ট সম্প্রসারণ নামে পরিচিত। ফাইনম্যান ইন্টিগ্রাল কোয়ান্টাইজেশন ফাইনম্যান রেখাচিত্রের সম্প্রসারণ ফাইনম্যান পথের ইন্টিগ্রাল গঠন থেকেও পাওয়া যেতে পারে। φ-তে পলিনোমিয়ালগুলির সময়ের ক্রমযুক্ত ভ্যাকুয়াম প্রত্যাশার মানগুলি, যা n-কণা গ্রীনের ফাংশন হিসাবে পরিচিত, সমস্ত সম্ভাব্য ক্ষেত্রগুলিতে সংহত করে তৈরি করা হয়, কোনও বাহ্যিক ক্ষেত্র ছাড়াই ভ্যাকুয়াম প্রত্যাশার মান দ্বারা স্বাভাবিক করা হয়, এই সমস্ত গ্রীনের ফাংশনগুলি জেনারেটিং ফাংশনে J (x) φ (x)-এ সূচকীয় প্রসারিত করে প্রাপ্ত করা যেতে পারে একটি উইক ঘূর্ণন সময়কে কাল্পনিক করতে প্রয়োগ করা যেতে পারে। স্বাক্ষরটিকে (+ + +)-এ পরিবর্তন করলে 4-মাত্রিক ইউক্লিডীয় স্থানের উপর একটি φ4 পরিসংখ্যানগত বলবিজ্ঞান অবিচ্ছেদ্য হয়, সাধারণত, এটি নির্দিষ্ট ভরবেগযুক্ত কণাগুলির বিচ্ছুরণে প্রয়োগ করা হয়, যে ক্ষেত্রে, একটি ফুরিয়ার রূপান্তর কার্যকর হয়, পরিবর্তে যেখানে ডিরাক ডেল্টা ফাংশন রয়েছে। এই কার্যকরী ইন্টিগ্রালের মূল্যায়নের আদর্শ কৌশল হল এটিকে সূচকীয় কারণগুলির গুণফল হিসাবে লেখা, পরিকল্পিতভাবে, দ্বিতীয় দুটি সূচকীয় কারণকে পাওয়ার সিরিজ হিসাবে প্রসারিত করা যেতে পারে এবং এই সম্প্রসারণের সংমিশ্রণকে গ্রাফিকভাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে। λ = 0 সহ ইন্টিগ্রালকে অসীম সংখ্যক প্রাথমিক গাউসীয় ইন্টিগ্রালের গুণফল হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে এবং ফলাফলটি ফাইনম্যান চিত্রের সমষ্টি হিসাবে প্রকাশ করা যেতে পারে, যা নিম্নলিখিত ফাইনম্যান নিয়মগুলি ব্যবহার করে গণনা করা হয়ঃ এন-পয়েন্ট ইউক্লিডীয় গ্রীনের ফাংশনের প্রতিটি ক্ষেত্র গ্রাফের একটি বাহ্যিক রেখা (অর্ধ-প্রান্ত) দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয় এবং ভরবেগ p এর সাথে যুক্ত। প্রতিটি শীর্ষকে একটি ফ্যাক্টর-λ দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয়। প্রদত্ত λk ক্রমে, n বাহ্যিক রেখা এবং k শীর্ষযুক্ত সমস্ত চিত্র এমনভাবে তৈরি করা হয় যাতে প্রতিটি শীর্ষে প্রবাহিত ভরবেগ শূন্য হয়। প্রতিটি অভ্যন্তরীণ রেখা একটি গুণক 1/(q2 + m2) দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয়, যেখানে q হল সেই রেখার মধ্য দিয়ে প্রবাহিত গতিবেগ। যে কোনও অনিয়ন্ত্রিত মুহূর্ত সমস্ত মানের উপর সংহত করা হয়। ফলাফলটি একটি প্রতিসাম্য ফ্যাক্টর দ্বারা বিভক্ত করা হয়, যা হল সংযোগ পরিবর্তন না করে গ্রাফের রেখা এবং শীর্ষগুলি পুনর্বিন্যাস করার উপায়গুলির সংখ্যা। "ভ্যাকুয়াম বুদ্বুদ", কোনও বাহ্যিক রেখা ছাড়াই সংযুক্ত সাবগ্রাফযুক্ত গ্রাফগুলি অন্তর্ভুক্ত করবেন না। শেষ নিয়মটি দ্বারা ভাগ করার প্রভাবকে বিবেচনা করে। মিনকোভস্কি-স্পেস ফাইনম্যানের নিয়মগুলি একই রকম, তবে প্রতিটি শীর্ষ দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয়, যেখানে প্রতিটি অভ্যন্তরীণ রেখা একটি ফ্যাক্টর i/(q2-m2 + i ε) দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয়, যেখানে ε শব্দটি মিনকোভস্কি-স্পেস গাউসিয়ান ইন্টিগ্রাল কনভার্জ করার জন্য প্রয়োজনীয় ছোট উইক ঘূর্ণনকে উপস্থাপন করে। পুনর্নবীকরণ ফেনম্যান গ্রাফগুলিতে অনিয়ন্ত্রিত মোমেন্টার উপর ইন্টিগ্রালগুলি, যাকে "লুপ ইন্টিগ্রাল" বলা হয়, সাধারণত বিচ্ছিন্ন হয়। এটি সাধারণত পুনর্নবীকরণ দ্বারা পরিচালিত হয়, যা ল্যাগ্রাঞ্জিয়ানে ভিন্ন বিপরীত শব্দগুলি এমনভাবে যুক্ত করার একটি পদ্ধতি যাতে মূল ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান এবং বিপরীত শব্দগুলি থেকে নির্মিত চিত্রগুলি সীমাবদ্ধ হয়। এই প্রক্রিয়ায় অবশ্যই একটি পুনর্নবীকরণ স্কেল চালু করতে হবে এবং সংযুক্তি ধ্রুবক এবং ভর এর উপর নির্ভরশীল হয়ে পড়ে। এই নির্ভরতাই পূর্বে উল্লিখিত ল্যান্ডাউ খুঁটির দিকে নিয়ে যায় এবং এর জন্য কাটঅফ সীমাবদ্ধ রাখা প্রয়োজন। বিকল্পভাবে, যদি কাটঅফটি অনন্তের দিকে যেতে দেওয়া হয়, তবে ল্যান্ডাউ খুঁটিটি কেবল তখনই এড়ানো যেতে পারে যদি পুনর্নবীকরণকৃত সংযোগটি শূন্যের দিকে চলে যায়, যা তত্ত্বটিকে তুচ্ছ করে তোলে। স্বতঃস্ফূর্ত প্রতিসাম্য ভাঙা একটি আকর্ষণীয় বৈশিষ্ট্য ঘটতে পারে যদি m2 ঋণাত্মক হয়, কিন্তু λ এখনও ধনাত্মক হয়। এই ক্ষেত্রে, ভ্যাকুয়াম দুটি সর্বনিম্ন-শক্তির অবস্থা নিয়ে গঠিত, যার প্রতিটি স্বতঃস্ফূর্তভাবে মূল তত্ত্বের Z2 বৈশ্বিক প্রতিসাম্যকে ভেঙে দেয়। এটি ডোমেন প্রাচীরের মতো আকর্ষণীয় সমষ্টিগত অবস্থার আবির্ভাবের দিকে পরিচালিত করে। ও (2) তত্ত্বে, ভ্যাকুয়া একটি বৃত্তের উপর থাকবে এবং একটির পছন্দ স্বতঃস্ফূর্তভাবে ও (2) প্রতিসাম্যকে ভেঙে দেবে। একটি অবিচ্ছিন্ন ভাঙা প্রতিসাম্য একটি গোল্ডস্টোন বোসোনের দিকে নিয়ে যায়। এই ধরনের স্বতঃস্ফূর্ত প্রতিসাম্য ভাঙা হিগস পদ্ধতির অপরিহার্য উপাদান। বিচ্ছিন্ন প্রতিসাম্যগুলির স্বতঃস্ফূর্ত ভাঙন সবচেয়ে সহজ আপেক্ষিক ব্যবস্থা যেখানে আমরা স্বতঃস্ফূর্ত প্রতিসাম্য ভাঙন দেখতে পাই তা হল ল্যাগ্রাঞ্জিয়ানের সাথে একটি একক স্কেলার ক্ষেত্রের সাথে একটি যেখানে এবং সম্ভাব্যতার সাপেক্ষে সম্ভাব্যতাকে হ্রাস করা। ভ্যাকুয়াম প্রত্যাশার মানগুলির পরিপ্রেক্ষিতে চিন্তা করা আমাদের বুঝতে সাহায্য করে যে একটি প্রতিসাম্য যখন স্বতঃস্ফূর্তভাবে ভেঙে যায় তখন তার কী হয়। মূল ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান প্রতিসাম্যের অধীনে অপরিবর্তনীয় ছিল। যেহেতু উভয়ই মিনিমা, তাই অবশ্যই দুটি ভিন্ন ভ্যাকুয়া থাকতে হবেঃ যেহেতু প্রতিসাম্য গ্রহণ করে, তাই এটিও গ্রহণ করতে হবে। তত্ত্বের জন্য দুটি সম্ভাব্য শূন্যপদ সমতুল্য, তবে একটি বেছে নিতে হবে। যদিও মনে হয় যে নতুন ল্যাগ্রাঞ্জিয়ানে প্রতিসাম্য অদৃশ্য হয়ে গেছে, এটি এখনও রয়েছে, তবে এটি এখন কাজ করে এটি স্বতঃস্ফূর্তভাবে ভাঙা প্রতিসাম্যগুলির একটি সাধারণ বৈশিষ্ট্যঃ ভ্যাকুয়াম তাদের ভেঙে দেয়, তবে তারা আসলে ল্যাগ্রাঞ্জিয়ানে ভেঙে যায় না, কেবল লুকিয়ে থাকে এবং প্রায়শই কেবল একটি অরৈখিক উপায়ে উপলব্ধি করা হয়। সঠিক সমাধান তত্ত্বের গতির সমীকরণের সঠিক ধ্রুপদী সমাধানের একটি সেট রয়েছে যা ভরহীনদের জন্য লেখা যেতে পারে, যেমন একটি জ্যাকোবি উপবৃত্তাকার ফাংশন এবং দুটি ইন্টিগ্রেশন ধ্রুবকের ক্ষেত্রে, যদি নিম্নলিখিত বিচ্ছুরণ সম্পর্কটি ধারণ করে আকর্ষণীয় বিষয় হল যে আমরা একটি ভরহীন সমীকরণ দিয়ে শুরু করেছিলাম তবে সঠিক সমাধানটি একটি বিশাল সমাধানের যথাযথ বিচ্ছুরণ সম্পর্ক সহ একটি তরঙ্গকে বর্ণনা করে। যখন ভর পদটি শূন্য হয় না তখন একটি এখন বিচ্ছুরণ সম্পর্ক হয়ে ওঠে অবশেষে, একটি প্রতিসাম্য ভাঙার ক্ষেত্রে একটি রয়েছে এবং নিম্নলিখিত বিচ্ছুরণ সম্পর্কটি ধরে রাখে এই তরঙ্গ সমাধানগুলি আকর্ষণীয় কারণ, আমরা একটি ভুল ভর চিহ্ন দিয়ে সমীকরণ দিয়ে শুরু করা সত্ত্বেও, বিচ্ছুরণ সম্পর্কের সঠিকটি রয়েছে। এছাড়াও, জ্যাকোবি ফাংশনের কোনও বাস্তব শূন্য নেই এবং তাই ক্ষেত্রটি কখনই শূন্য হয় না তবে একটি প্রদত্ত ধ্রুবক মানের চারপাশে চলে যা প্রাথমিকভাবে প্রতিসাম্যের স্বতঃস্ফূর্ত ভাঙনের বর্ণনা দেয়। স্বতন্ত্রতার একটি প্রমাণ প্রদান করা যেতে পারে যদি আমরা লক্ষ্য করি যে সমাধানটি অস্তিত্বের আকারে সন্ধান করা যেতে পারে। তারপর, আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ একটি সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণে পরিণত হয় যা যথাযথ বিচ্ছুরণ সম্পর্ককে সন্তুষ্ট করার সাথে জ্যাকোবি উপবৃত্তাকার ফাংশনকে সংজ্ঞায়িত করে। আরও দেখুন স্কেলার ক্ষেত্র তত্ত্ব কোয়ান্টাম ট্রিভিয়ালিটি ল্যান্ডাউ মেরু পুনর্নবীকরণ হিগস প্রক্রিয়া গোল্ডস্টোন বোসন কোলম্যান-ওয়েইনবার্গ সম্ভাব্য রেফারেন্স আরও পড়া 'টি হুফ্ট, জি,' কোয়ান্টাম ক্ষেত্র তত্ত্বের ধারণাগত ভিত্তি '(অনলাইন সংস্করণ)। কোয়ান্টাম ক্ষেত্র তত্ত্ব ঘূর্ণন সহ উপপরমাণবিক কণা 0