Riemann–Siegel theta function
গণিতে রিমান-সিগেল থিটা ফাংশনকে গামা ফাংশনের পরিপ্রেক্ষিতে টি-এর বাস্তব মান হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। এখানে যুক্তিটি এমনভাবে বেছে নেওয়া হয় যাতে একটি অবিচ্ছিন্ন ফাংশন পাওয়া যায় এবং ধরে রাখা যায়, অর্থাৎ, একইভাবে যেমন লগ-গামা ফাংশনের প্রধান শাখা সংজ্ঞায়িত করা হয়। এটির একটি অ্যাসিম্পটোটিক সম্প্রসারণ রয়েছে যা অভিসারী নয়, তবে যার প্রথম কয়েকটি পদ এর জন্য একটি ভাল অনুমান দেয়। 0-এ এর টেলর-সিরিজ যা এর জন্য একত্রিত হয় যেখানে ক্রমের পলিগাম্মা ফাংশনকে বোঝায়। রিমান-সিগেল থিটা ফাংশন রিমান জিটা ফাংশন অধ্যয়নে আগ্রহী, কারণ এটি রিমান জিটা ফাংশনকে এমনভাবে ঘোরাতে পারে যে এটি সমালোচনামূলক লাইনে সম্পূর্ণ বাস্তব মূল্যবান জেড ফাংশন হয়ে ওঠে। বক্র আলোচনা রিমান-সিগেল থিটা ফাংশন হল একটি বিজোড় বাস্তব বিশ্লেষণমূলক ফাংশন যার তিনটি মূল এবং এর বাস্তব মানের জন্য। এটি একটি ক্রমবর্ধমান ফাংশন এবং এর মান সহ স্থানীয় চরম সীমা রয়েছে। এটির সঙ্গে একটি একক প্রতিফলন বিন্দু রয়েছে, যা এটির অন্তরজগুলির মধ্যে সর্বনিম্ন। একটি জটিল চলকের ফাংশন হিসাবে থিটা আমাদের লগ-গামা ফাংশনের জন্য একটি অসীম সিরিজের অভিব্যক্তি রয়েছে যেখানে γ হল অয়লারের ধ্রুবক। z-এর পরিবর্তে এবং কাল্পনিক অংশটিকে টার্মওয়াইজ নিলে θ (t)-এর জন্য নিম্নলিখিত সিরিজ পাওয়া যায়, −1 এবং 1-এর মধ্যে কাল্পনিক অংশের মানগুলির জন্য, আর্কট্যাঞ্জেন্ট ফাংশনটি হলোমর্ফিক, এবং এটি সহজেই দেখা যায় যে সিরিজটি-1/2 এবং 1/2-এর মধ্যে কাল্পনিক অংশ সহ অঞ্চলে কম্প্যাক্ট সেটগুলিতে অভিন্নভাবে একত্রিত হয়, যা এই ডোমেনে একটি হোলোমর্ফিক ফাংশনের দিকে পরিচালিত করে। এটি অনুসরণ করে যে Z ফাংশনটিও এই অঞ্চলে হোলোমরফিক, যা সমালোচনামূলক স্ট্রিপ। আমরা ক্লোজ-ফর্ম এক্সপ্রেশন পেতে আইডেন্টিটি ব্যবহার করতে পারি যা আমাদের মূল সংজ্ঞাটিকে t-এর একটি হোলোমর্ফিক ফাংশনে প্রসারিত করে। যেহেতু লগের প্রধান শাখার ঋণাত্মক বাস্তব অক্ষ বরাবর একটি একক শাখা কাটা থাকে, তাই এই সংজ্ঞায় θ (t) i/2-এর উপরে এবং −i/2-এর নিচে কাল্পনিক অক্ষ বরাবর শাখা কাটা উত্তরাধিকার সূত্রে পায়। গ্রাম পয়েন্ট সমালোচনামূলক লাইনে রিমান জিটা ফাংশন লেখা যেতে পারে যদি একটি বাস্তব সংখ্যা হয়, তবে জেড ফাংশন বাস্তব মান প্রদান করে। অতএব, সমালোচনামূলক রেখার জিটা ফাংশনটি হয় শূন্যে, কখন বা তার সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ বাস্তব হবে। পরবর্তী কেসটি যেখানে ঘটে তার ধনাত্মক বাস্তব মানগুলিকে জে. পি. গ্রামের পরে গ্রাম পয়েন্ট বলা হয় এবং অবশ্যই একটি পূর্ণসংখ্যা যেখানে রয়েছে সেই বিন্দু হিসাবেও বর্ণনা করা যেতে পারে। একটি গ্রাম বিন্দু হল এর একটি সমাধান এই সমাধানগুলি ক্রম দ্বারা আনুমানিকঃ ল্যামবার্ট ডব্লিউ ফাংশন কোথায়। এখানে ক্ষুদ্রতম অ-ঋণাত্মক গ্রাম পয়েন্ট রয়েছে। সূচক এন-এর পছন্দটি কিছুটা অপরিশোধিত। এটি ঐতিহাসিকভাবে এমনভাবে বেছে নেওয়া হয়েছে যে সূচকটি প্রথম মানটিতে 0 যা সমালোচনামূলক রেখার রিম্যান জিটা ফাংশনের ক্ষুদ্রতম ধনাত্মক শূন্যের (কাল্পনিক অংশে 14.13472515) চেয়ে বড়। লক্ষ্য করুন, এই-ফাংশনটি পরম-ক্ষুদ্র বাস্তব আর্গুমেন্টের জন্য দোলন করে এবং তাই [−24,24] ব্যবধানে অনন্যভাবে বিপরীতমুখী নয়! সুতরাং বিজোড় থিটা-ফাংশনের প্রতিসম গ্রাম পয়েন্ট রয়েছে যার সূচক −3-এ মান 0। এর শূন্য গণনা করার সময় গ্রাম পয়েন্টগুলি কার্যকর। একটি গ্রাম পয়েন্টে এবং যদি এটি পরপর দুটি গ্রাম পয়েন্টে ধনাত্মক হয়, তবে ব্যবধানটিতে অবশ্যই শূন্য থাকতে হবে। গ্রাম-এর সূত্র অনুসারে, বাস্তব অংশটি সাধারণত ধনাত্মক হয় এবং কাল্পনিক অংশটি গ্রাম পয়েন্টগুলির সাথে পরিবর্তিত হয়, কিছুটা নিয়মিত বিরতিতে ধনাত্মক এবং ঋণাত্মক মানগুলির মধ্যে। 0 থেকে টি পর্যন্ত স্ট্রিপের শিকড়ের সংখ্যা পাওয়া যায় যেখানে একটি ত্রুটি শব্দ যা অ্যাসিম্পটোটিকভাবে বৃদ্ধি পায়। শুধুমাত্র যদি গ্রাম-এর সূত্র মেনে চলা হয়, তবে স্ট্রিপটিতে মূলের সংখ্যা খুঁজে পাওয়া সহজ হয়ে যায় আজ আমরা জানি যে, দীর্ঘমেয়াদে, গ্রাম-এর সূত্রটি সমস্ত গ্রাম-ব্যবধানের প্রায় এক-চতুর্থাংশের জন্য রিমান জিটা-ফাংশনের ঠিক 1 শূন্য ধারণ করতে ব্যর্থ হয়। গ্রাম ভয় পেয়েছিল যে এটি বৃহত্তর সূচকগুলির জন্য ব্যর্থ হতে পারে (প্রথম মিসটি 127 তম শূন্যের আগে সূচক 126-এ রয়েছে) এবং এইভাবে এটি কেবলমাত্র খুব বেশি সূচকের জন্য দাবি করা হয়নি। পরে হাচিনসন (মিথ্যা) বিবৃতির জন্য গ্রামের সূত্র শব্দটি তৈরি করেছিলেন যে সমালোচনামূলক রেখার সমস্ত শূন্যকে গ্রাম পয়েন্ট দ্বারা পৃথক করা হবে। আরও দেখুন জেড ফাংশন রেফারেন্স গ্যাবকে, ডব্লিউ. (1979), নিউ হার্লিটুং উন্ড এক্সপ্লিজিয়ের্ট রেস্ট্যাবসচাজুং ডের রিমান-সিগেল-ফরমেল। থিসিস, গটিঙেন বিশ্ববিদ্যালয়। সংশোধিত সংস্করণ (eDiss Göttingen 2015) বাহ্যিক লিঙ্ক ওল্ফ্রাম রিসার্চ-রিমান-সিগেল থিটা ফাংশন (ফাংশন প্লটিং এবং মূল্যায়ন অন্তর্ভুক্ত) জিটা এবং এল-ফাংশন বার্নহার্ড রিমান