Linear time-invariant system
পদ্ধতি বিশ্লেষণে, অধ্যয়নের অন্যান্য ক্ষেত্রগুলির মধ্যে, একটি রৈখিক সময়-পরিবর্তনশীল (এলটিআই) ব্যবস্থা এমন একটি ব্যবস্থা যা রৈখিকতা এবং সময়-বৈপরীত্যের সীমাবদ্ধতার সাপেক্ষে যে কোনও ইনপুট সংকেত থেকে একটি আউটপুট সংকেত তৈরি করে; এই পদগুলি সংক্ষেপে নীচে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে। এই বৈশিষ্ট্যগুলি অনেক গুরুত্বপূর্ণ ভৌত ব্যবস্থায় (ঠিক বা প্রায়) প্রযোজ্য, এই ক্ষেত্রে একটি নির্বিচারে ইনপুটের জন্য সিস্টেমের প্রতিক্রিয়া সরাসরি কনভোলিউশন ব্যবহার করে পাওয়া যেতে পারেঃ যেখানে সিস্টেমের ইমপালস প্রতিক্রিয়া বলা হয় এবং ঱্঱ং কনভোলিউশনকে উপস্থাপন করে (গুণনের সাথে বিভ্রান্ত হবেন না)। আরও কী, এই ধরনের যে কোনও পদ্ধতি (নির্ধারণ) সমাধানের জন্য পদ্ধতিগত পদ্ধতি রয়েছে, যেখানে উভয় বৈশিষ্ট্য পূরণ না করা সিস্টেমগুলি সাধারণত বিশ্লেষণাত্মকভাবে সমাধান করা আরও কঠিন (বা অসম্ভব)। এল. টি. আই ব্যবস্থার একটি ভাল উদাহরণ হল যে কোনও বৈদ্যুতিক সার্কিট যা প্রতিরোধক, ক্যাপাসিটার, ইন্ডাক্টর এবং রৈখিক পরিবর্ধক নিয়ে গঠিত। চিত্র প্রক্রিয়াকরণেও রৈখিক সময়-অপরিবর্তনীয় সিস্টেম তত্ত্ব ব্যবহার করা হয়, যেখানে সিস্টেমগুলির একটি সাময়িক মাত্রার পরিবর্তে বা তার পাশাপাশি স্থানিক মাত্রা থাকে। এই পদ্ধতিগুলিকে রৈখিক অনুবাদ-অপরিবর্তনীয় হিসাবে উল্লেখ করা যেতে পারে যাতে পরিভাষাটি সর্বাধিক সাধারণভাবে পৌঁছতে পারে। সাধারণ বিচ্ছিন্ন-সময় (অর্থাৎ, নমুনা) ব্যবস্থার ক্ষেত্রে, রৈখিক স্থানান্তর-অপরিবর্তনীয় হল সংশ্লিষ্ট শব্দ। এল. টি. আই সিস্টেম তত্ত্ব হল ফলিত গণিতের একটি ক্ষেত্র যেখানে বৈদ্যুতিক বর্তনী বিশ্লেষণ এবং নকশা, সংকেত প্রক্রিয়াকরণ এবং ফিল্টার নকশা, নিয়ন্ত্রণ তত্ত্ব, যান্ত্রিক প্রকৌশল, চিত্র প্রক্রিয়াকরণ, বিভিন্ন ধরনের পরিমাপের যন্ত্রের নকশা, এন. এম. আর স্পেকট্রোস্কোপি এবং অন্যান্য অনেক প্রযুক্তিগত ক্ষেত্রে সরাসরি প্রয়োগ রয়েছে যেখানে সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সিস্টেমগুলি নিজেদের উপস্থাপন করে। যে কোনও এল. টি. আই ব্যবস্থার সংজ্ঞায়িত বৈশিষ্ট্যগুলি হল রৈখিকতা এবং সময় অপরিবর্তিতা। রৈখিকতা মানে হল যে ইনপুট এবং আউটপুটের মধ্যে সম্পর্ক, উভয়কেই ফাংশন হিসাবে বিবেচনা করা হচ্ছে, একটি রৈখিক ম্যাপিংঃ যদি একটি ধ্রুবক হয় তবে সিস্টেম আউটপুট হয়; যদি সিস্টেম আউটপুটের সাথে আরও ইনপুট হয় তবে সিস্টেমের আউটপুট হয়, এটি, এর সমস্ত পছন্দের জন্য প্রযোজ্য। পরের শর্তটিকে প্রায়শই সুপারপজিশন নীতি হিসাবে উল্লেখ করা হয়। সময় অপরিবর্তনীয়তার অর্থ হল যে আমরা এখন সিস্টেমে একটি ইনপুট প্রয়োগ করি বা এখন থেকে টি সেকেন্ড, টি সেকেন্ডের সময় বিলম্ব ব্যতীত আউটপুট অভিন্ন হবে। অর্থাৎ, যদি ইনপুটের কারণে আউটপুট হয়, তবে ইনপুটের কারণে আউটপুট হয়। সুতরাং, সিস্টেমটি সময় অপরিবর্তনীয় কারণ আউটপুট নির্দিষ্ট সময় প্রয়োগের উপর নির্ভর করে না। এল. টি. আই সিস্টেম তত্ত্বের মৌলিক ফলাফল হল যে কোনও এল. টি. আই সিস্টেমকে সম্পূর্ণরূপে একটি একক ফাংশন দ্বারা চিহ্নিত করা যেতে পারে যাকে সিস্টেমের আবেগ প্রতিক্রিয়া বলা হয়। সিস্টেমের আউটপুট হল সিস্টেমের ইমপালস রেসপন্সের সাথে সিস্টেমে ইনপুটের কনভোলিউশন। একে বলা হয় অবিচ্ছিন্ন সময় ব্যবস্থা। একইভাবে, একটি বিচ্ছিন্ন-সময় রৈখিক সময়-পরিবর্তনশীল (বা, আরও সাধারণভাবে, "স্থানান্তর-পরিবর্তনশীল") ব্যবস্থাকে পৃথক সময়ে কাজ করা হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়ঃ যেখানে y, x এবং h ক্রম এবং বিচ্ছিন্ন সময়ে কনভোলিউশন একটি অবিচ্ছেদ্যের পরিবর্তে একটি পৃথক যোগফল ব্যবহার করে। এল. টি. আই সিস্টেমগুলি ফ্রিকোয়েন্সি ডোমেনে সিস্টেমের স্থানান্তর ফাংশন দ্বারাও চিহ্নিত করা যেতে পারে, যা সিস্টেমের আবেগ প্রতিক্রিয়ার ল্যাপ্লাস রূপান্তর (বা বিচ্ছিন্ন-সময় সিস্টেমের ক্ষেত্রে জেড রূপান্তর)। এই রূপান্তরগুলির বৈশিষ্ট্যগুলির ফলস্বরূপ, ফ্রিকোয়েন্সি ডোমেনে সিস্টেমের আউটপুট হল স্থানান্তর ফাংশন এবং ইনপুটের রূপান্তরের গুণফল। অন্য কথায়, সময় ডোমেনে কনভোলিউশন ফ্রিকোয়েন্সি ডোমেনে গুণনের সমতুল্য। সমস্ত এল. টি. আই ব্যবস্থার জন্য, আইগেন ফাংশন এবং রূপান্তরগুলির ভিত্তি ফাংশনগুলি জটিল সূচকীয়। অর্থাৎ, যদি কোনও সিস্টেমে ইনপুটটি কিছু জটিল প্রশস্ততা এবং জটিল ফ্রিকোয়েন্সির জন্য জটিল তরঙ্গ রূপ হয়, তবে আউটপুটটি কিছু জটিল ধ্রুবক গুণিত ইনপুট হবে, কিছু নতুন জটিল প্রশস্ততার জন্য বলুন। অনুপাত হল ফ্রিকোয়েন্সিতে স্থানান্তর ফাংশন। যেহেতু সাইনোসয়েডগুলি জটিল-সংযুক্ত ফ্রিকোয়েন্সি সহ জটিল সূচকীয়গুলির সমষ্টি, যদি সিস্টেমে ইনপুটটি একটি সাইনোসয়েড হয়, তবে সিস্টেমের আউটপুটও একটি সাইনোসয়েড হবে, সম্ভবত একটি ভিন্ন প্রশস্ততা এবং একটি ভিন্ন পর্যায় সহ, তবে সর্বদা স্থির-অবস্থায় পৌঁছানোর পরে একই ফ্রিকোয়েন্সি সহ। এল. টি. আই সিস্টেমগুলি এমন ফ্রিকোয়েন্সি উপাদান তৈরি করতে পারে না যা ইনপুটের মধ্যে নেই। এল. টি. আই সিস্টেম তত্ত্ব অনেক গুরুত্বপূর্ণ সিস্টেম বর্ণনা করতে ভাল। বেশিরভাগ এল. টি. আই ব্যবস্থাকে বিশ্লেষণ করা "সহজ" বলে মনে করা হয়, অন্তত সময়-পরিবর্তিত এবং/অথবা অরৈখিক ক্ষেত্রে তুলনায়। যে কোনও সিস্টেম যা ধ্রুবক সহগের সাথে রৈখিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ হিসাবে মডেল করা যেতে পারে তা হল একটি এল. টি. আই সিস্টেম। এই ধরনের ব্যবস্থার উদাহরণ হল প্রতিরোধক, ইন্ডাক্টর এবং ক্যাপাসিটার (আরএলসি সার্কিট) দ্বারা গঠিত বৈদ্যুতিক সার্কিট। আদর্শ স্প্রিং-মাস-ড্যাম্পার সিস্টেমগুলিও এলটিআই সিস্টেম, এবং গাণিতিকভাবে আরএলসি সার্কিটের সমতুল্য। বেশিরভাগ এল. টি. আই সিস্টেমের ধারণাগুলি অবিচ্ছিন্ন-সময় এবং বিচ্ছিন্ন-সময়ের (রৈখিক স্থানান্তর-অপরিবর্তনীয়) ক্ষেত্রে একই রকম। চিত্র প্রক্রিয়াকরণে, সময় পরিবর্তনশীলকে দুটি স্থান পরিবর্তনশীল দ্বারা প্রতিস্থাপিত করা হয় এবং সময় অপরিবর্তনীয়তার ধারণাটি দ্বি-মাত্রিক স্থানান্তর অপরিবর্তনীয় দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয়। ফিল্টার ব্যাংক এবং এমআইএমও সিস্টেম বিশ্লেষণ করার সময়, সংকেতের ভেক্টর বিবেচনা করা প্রায়শই কার্যকর। একটি রৈখিক ব্যবস্থা যা সময়-অপরিবর্তনীয় নয়, তা গ্রিন ফাংশন পদ্ধতির মতো অন্যান্য পদ্ধতি ব্যবহার করে সমাধান করা যেতে পারে। কন্টিনিউয়াস-টাইম সিস্টেম ইমপালস রেসপন্স এবং কনভোলিউশন ইনপুট সিগন্যাল x (t) এবং আউটপুট সিগন্যাল y (t) সহ একটি রৈখিক, কন্টিনিউয়াস-টাইম, টাইম-ইনভ্যারিয়েন্ট সিস্টেমের আচরণ কনভোলিউশন ইন্টিগ্রাল দ্বারা বর্ণনা করা হয়ঃ {।।।।-।। (কমিউটেটিভিটি ব্যবহার করে)।} যেখানে একটি ইমপালসের প্রতি সিস্টেমের প্রতিক্রিয়াঃ সুতরাং এটি ইনপুট ফাংশনের একটি ওজনযুক্ত গড়ের সাথে আনুপাতিক। ওজন ফাংশনটি কেবল পরিমাণ দ্বারা স্থানান্তরিত হয়। পরিবর্তনের সাথে সাথে ওজন ফাংশন ইনপুট ফাংশনের বিভিন্ন অংশের উপর জোর দেয়। সমস্ত ঋণাত্মকের জন্য কখন শূন্য হয়, তা শুধুমাত্র পূর্ববর্তী সময়ের মানগুলির উপর নির্ভর করে এবং পদ্ধতিটিকে কার্যকারণ বলা হয়। কেন কনভোলিউশন একটি এল. টি. আই সিস্টেমের আউটপুট তৈরি করে তা বোঝার জন্য, নোটেশনটি পরিবর্তনশীল এবং ধ্রুবক সহ ফাংশনকে উপস্থাপন করে। এবং সংক্ষিপ্ত স্বরলিপিটি প্রতিনিধিত্ব করুক। তারপর একটি কন্টিনিউয়াস-টাইম সিস্টেম একটি ইনপুট ফাংশনকে আউটপুট ফাংশনে রূপান্তরিত করে। এবং সাধারণভাবে, আউটপুটের প্রতিটি মান ইনপুটের প্রতিটি মানের উপর নির্ভর করতে পারে। এই ধারণাটি দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয়ঃ সময়ের জন্য রূপান্তর অপারেটর কোথায়। একটি সাধারণ ব্যবস্থায়, সবচেয়ে বেশি নির্ভর করে নিকটবর্তী সময়ে ঘটে যাওয়া মূল্যবোধের উপর। যতক্ষণ না রূপান্তরটি নিজের সাথে পরিবর্তিত হয়, আউটপুট ফাংশনটি কেবল স্থির থাকে এবং সিস্টেমটি বিরক্তিকর হয়। একটি লিনিয়ার সিস্টেমের জন্য, অবশ্যই পূরণ করতে হবেঃ এবং সময়-বৈপরীত্যের প্রয়োজনীয়তা হলঃ এই স্বরলিপিতে, আমরা ইমপালস প্রতিক্রিয়াটি এভাবে লিখতে পারিঃ একইভাবেঃ এই ফলাফলটিকে কনভোলিউশন ইন্টিগ্রালে প্রতিস্থাপন করেঃ যা কেসের ডান দিকের রূপ ধারণ করে এবং তারপর এই ধারাবাহিকতার অনুমতি দেয়ঃ সংক্ষেপে, ইনপুট ফাংশন, সময়-স্থানান্তরিত ইমপালস ফাংশনের একটি ধারাবাহিকতা দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা যেতে পারে, যা "রৈখিকভাবে" মিলিত, যেমন দেখানো হয়েছে। সিস্টেমের রৈখিকতা বৈশিষ্ট্যটি সিস্টেমের প্রতিক্রিয়াকে একইভাবে মিলিত ইমপালস প্রতিক্রিয়াগুলির সংশ্লিষ্ট ধারাবাহিকতা দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করার অনুমতি দেয়। এবং সময়-বৈপরীত্য বৈশিষ্ট্য সেই সংমিশ্রণটিকে কনভোলিউশন ইন্টিগ্রাল দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করার অনুমতি দেয়। উপরের গাণিতিক ক্রিয়াকলাপগুলির একটি সহজ গ্রাফিকাল সিমুলেশন রয়েছে। আইগেন ফাংশন হিসাবে এক্সপোনেনশিয়াল একটি আইগেন ফাংশন এমন একটি ফাংশন যার জন্য অপারেটরের আউটপুট একই ফাংশনের একটি স্কেল সংস্করণ। অর্থাৎ, যেখানে f হল আইগেন ফাংশন এবং আইগেনভ্যালু, একটি ধ্রুবক। এক্সপোনেনশিয়াল ফাংশনগুলি, যেখানে, একটি রৈখিক, সময়-অপরিবর্তনীয় অপারেটরের আইগেন ফাংশন। একটি সহজ প্রমাণ এই ধারণার ব্যাখ্যা দেয়। ধরুন ইনপুটটি হল। ইমপালস প্রতিক্রিয়া সহ সিস্টেমের আউটপুট তখন হয় যা, কনভোলিউশনের বিনিময় বৈশিষ্ট্য দ্বারা, যেখানে স্কেলার শুধুমাত্র পরামিতি s-এর উপর নির্ভরশীল তার সমতুল্য। সুতরাং সিস্টেমের প্রতিক্রিয়া হল ইনপুটের একটি স্কেল করা সংস্করণ। বিশেষত, যে কোনও ক্ষেত্রে, সিস্টেম আউটপুট হল ইনপুট এবং ধ্রুবকের গুণফল। সুতরাং, এটি একটি এল. টি. আই পদ্ধতির একটি আইগেন ফাংশন, এবং সংশ্লিষ্ট আইগেনভ্যালু হল। প্রত্যক্ষ প্রমাণ এল. টি. আই ব্যবস্থার আইগেন ফাংশন হিসাবে সরাসরি জটিল সূচকীয় অর্জন করাও সম্ভব। আসুন এর কিছু জটিল সূচকীয় এবং একটি সময়-পরিবর্তিত সংস্করণ সেট করি। ধ্রুবকের সাপেক্ষে রৈখিকতা দ্বারা। সময়ের দ্বারা অপরিবর্তনীয়। তাই। সেটিং এবং নাম পরিবর্তন করলে আমরা পাইঃ অর্থাৎ। যে ইনপুট হিসাবে একটি জটিল সূচকীয় আউটপুট হিসাবে একই ফ্রিকোয়েন্সি একটি জটিল সূচকীয় দেবে। ফুরিয়ার এবং ল্যাপলেস রূপান্তরিত করে এক্সপোনেনশিয়ালের আইগেনফাংশনের বৈশিষ্ট্য এল. টি. আই ব্যবস্থার বিশ্লেষণ এবং অন্তর্দৃষ্টি উভয়ের জন্যই খুব কার্যকর। একতরফা ল্যাপ্লাস রূপান্তরটি হল ইমপালস প্রতিক্রিয়া থেকে আইগেনভ্যালু পাওয়ার সঠিক উপায়। বিশেষ আগ্রহের বিষয় হল বিশুদ্ধ সাইনোসয়েড (অর্থাৎ, যেখানে এবং ফর্মের সূচকীয় ফাংশন)। ফুরিয়ার রূপান্তর বিশুদ্ধ জটিল সাইনোসয়েডের জন্য আইগেনভ্যালু দেয়। এবং উভয়কেই সিস্টেম ফাংশন, সিস্টেম রেসপন্স বা ট্রান্সফার ফাংশন বলা হয়। ল্যাপ্লাস রূপান্তর সাধারণত একতরফা সংকেতের প্রসঙ্গে ব্যবহৃত হয়, অর্থাৎ। কিছু মানের চেয়ে কম t-এর সমস্ত মানের জন্য শূন্য সংকেত। সাধারণত, সুবিধার জন্য এবং সাধারণতার ক্ষতি ছাড়াই এই "শুরুর সময়" শূন্যে সেট করা হয়, যেখানে রূপান্তর অবিচ্ছেদ্যটিকে শূন্য থেকে অনন্তের দিকে নিয়ে যাওয়া হয় (নেতিবাচক অনন্তের একীকরণের নিম্ন সীমা সহ উপরে দেখানো রূপান্তরটি আনুষ্ঠানিকভাবে দ্বিপক্ষীয় ল্যাপ্লাস রূপান্তর হিসাবে পরিচিত)। ফুরিয়ার রূপান্তরটি এমন সিস্টেমগুলি বিশ্লেষণ করার জন্য ব্যবহৃত হয় যা সীমাহীন পরিমাণে সংকেতগুলি প্রক্রিয়া করে, যেমন মড্যুলেটেড সাইনোসয়েড, যদিও এটি সরাসরি ইনপুট এবং আউটপুট সংকেতগুলিতে প্রয়োগ করা যায় না যা বর্গক্ষেত্রের অবিচ্ছেদ্য নয়। ল্যাপ্লাস রূপান্তর আসলে এই সংকেতগুলির জন্য সরাসরি কাজ করে যদি তারা একটি শুরুর সময়ের আগে শূন্য হয়, এমনকি যদি তারা স্থিতিশীল সিস্টেমের জন্য বর্গাকার ইন্টিগ্রেবল না হয়। ফুরিয়ার রূপান্তর প্রায়শই উইনার-খিনচিন উপপাদ্যের মাধ্যমে অসীম সংকেতের বর্ণালীতে প্রয়োগ করা হয়, এমনকি যখন সংকেতগুলির ফুরিয়ার রূপান্তর বিদ্যমান থাকে না। এই উভয় রূপান্তরের কনভোলিউশন বৈশিষ্ট্যের কারণে, যে কনভোলিউশনটি সিস্টেমের আউটপুট দেয় তা ট্রান্সফর্ম ডোমেনে গুণনে রূপান্তরিত হতে পারে, প্রদত্ত সংকেতগুলির জন্য যার জন্য রূপান্তরগুলি বিদ্যমান, কোনও নির্দিষ্ট ফ্রিকোয়েন্সি উপাদান কীভাবে সেই ল্যাপ্লাস রূপান্তর সহ একটি সিস্টেম দ্বারা পরিচালিত হয় তা নির্ধারণ করতে সরাসরি সিস্টেম প্রতিক্রিয়া ব্যবহার করতে পারে। যদি আমরা জটিল ফ্রিকোয়েন্সিতে সিস্টেম প্রতিক্রিয়া (ইমপালস প্রতিক্রিয়ার ল্যাপ্লাস রূপান্তর) মূল্যায়ন করি, যেখানে আমরা |H (s)। পাই যা ফ্রিকোয়েন্সি f-এর জন্য সিস্টেম লাভ। সেই ফ্রিকোয়েন্সি উপাদানটির জন্য আউটপুট এবং ইনপুটের মধ্যে আপেক্ষিক ফেজ শিফট একইভাবে আর্গ (H (s)) দ্বারা দেওয়া হয়। উদাহরণ গুরুত্বপূর্ণ সিস্টেম বৈশিষ্ট্য একটি সিস্টেমের সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্যগুলির মধ্যে কয়েকটি হল কার্যকারিতা এবং স্থিতিশীলতা। কার্যকারণ একটি ভৌত ব্যবস্থার জন্য একটি প্রয়োজনীয়তা যার স্বাধীন পরিবর্তনশীল হল সময়, তবে এই সীমাবদ্ধতা চিত্র প্রক্রিয়াকরণের মতো অন্যান্য ক্ষেত্রে উপস্থিত নেই। কার্যকারণ একটি পদ্ধতি কার্যকারণ হয় যদি আউটপুট শুধুমাত্র বর্তমান এবং অতীতের উপর নির্ভর করে, তবে ভবিষ্যতের ইনপুটগুলির উপর নয়। কার্যকারণের জন্য একটি প্রয়োজনীয় এবং পর্যাপ্ত শর্ত হল আবেগ প্রতিক্রিয়া কোথায়। দ্বিমুখী ল্যাপ্লাস রূপান্তর থেকে কার্যকারণ নির্ধারণ করা সাধারণভাবে সম্ভব নয়। তবে সময় ডোমেনে কাজ করার সময় একজন সাধারণত একতরফা ল্যাপ্লাস রূপান্তর ব্যবহার করে যার জন্য কার্যকারিতার প্রয়োজন হয়। স্থিতিশীলতা একটি সিস্টেম বাউন্ডেড-ইনপুট, বাউন্ডেড-আউটপুট স্থিতিশীল (বিআইবিও স্থিতিশীল) হয় যদি, প্রতিটি বাউন্ডেড ইনপুটের জন্য, আউটপুট সীমাবদ্ধ হয়। গাণিতিকভাবে, যদি প্রতিটি সন্তোষজনক ইনপুট সন্তোষজনক আউটপুটের দিকে পরিচালিত করে (অর্থাৎ, এর একটি সীমাবদ্ধ সর্বাধিক পরম মান একটি সীমাবদ্ধ সর্বাধিক পরম মান বোঝায়), তবে সিস্টেমটি স্থিতিশীল। একটি প্রয়োজনীয় এবং পর্যাপ্ত শর্ত হল যে, ইমপালস প্রতিক্রিয়া, এল 1-এ থাকে (একটি সীমাবদ্ধ এল 1 আদর্শ রয়েছে): ফ্রিকোয়েন্সি ডোমেনে, অভিসারের অঞ্চলে অবশ্যই কাল্পনিক অক্ষ থাকতে হবে। উদাহরণস্বরূপ, একটি সিঙ্ক ফাংশনের সমান ইমপালস প্রতিক্রিয়া সহ আদর্শ লো-পাস ফিল্টারটি বিআইবিও স্থিতিশীল নয়, কারণ সিঙ্ক ফাংশনের একটি সীমাবদ্ধ এল 1 আদর্শ নেই। সুতরাং, কিছু সীমাবদ্ধ ইনপুটের জন্য, আদর্শ লো-পাস ফিল্টারের আউটপুট সীমাহীন। বিশেষত, যদি কাট-অফ ফ্রিকোয়েন্সিতে ইনপুটটি শূন্য হয় এবং সাইনোসয়েডের সমান হয়, তবে শূন্য ক্রসিং ব্যতীত অন্য সমস্ত সময়ের জন্য আউটপুট সীমাহীন হবে। লিনিয়ার টাইম-ইনভ্যারিয়েন্ট ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সমাধান পাওয়া যায়ঃ স্টেট ভেক্টর, সিস্টেম ম্যাট্রিক্স, ইনপুট, ইনপুট ভেক্টর এবং প্রাথমিক শর্ত সহ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলির একটি স্পষ্ট রৈখিক ব্যবস্থা দেওয়া হয়েছে। সমাধানটি একটি সমজাতীয় এবং একটি কণা অংশ নিয়ে গঠিত। সমজাতীয় সমাধান সমজাতীয় ডিফারেনশিয়াল সমীকরণটি শূন্যের সমান ইনপুট সেট করে প্রাপ্ত হয়। এই সমাধানটি এখন টেলর সিরিজের উপস্থাপনা ব্যবহার করে বর্ণনা করা যেতে পারেঃ একক ম্যাট্রিক্স কোথায়। এই সমাধানটিকে উপরের সমীকরণে প্রতিস্থাপন করলে পাওয়া যায়ঃ এখন অজানা ম্যাট্রিক্সগুলি সহগগুলির তুলনা করে নির্ধারণ করা যেতে পারেঃ নিম্নলিখিত স্বরলিপিটি সাধারণত মৌলিক ম্যাট্রিক্সের জন্য ব্যবহৃত হয়ঃ নির্দিষ্ট সমাধানটি ধরে নেওয়া এবং নিম্নরূপঃ কণা সমাধানটি এই আকারে প্রাপ্ত হয়ঃ যেখানে একটি অজানা ফাংশন ভেক্টর রয়েছে। উপরের দুটি সমীকরণ থেকে নিম্নরূপ নির্ধারণ করা যেতে পারেঃ মৌলিক ম্যাট্রিক্সের বৈশিষ্ট্যগুলি ব্যবহার করে একীকরণের মাধ্যমে একটি অর্জন করা যায়ঃ এইভাবে, আমরা অবশেষে একটি রৈখিক সময়-অপরিবর্তনীয় ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সমাধান পাইঃ বিচ্ছিন্ন-সময় ব্যবস্থায় অবিচ্ছিন্ন-সময় ব্যবস্থায় প্রায় সবকিছুরই বিচ্ছিন্ন-সময় ব্যবস্থায় একটি প্রতিরূপ রয়েছে। অবিচ্ছিন্ন-সময় ব্যবস্থা থেকে বিচ্ছিন্ন-সময় ব্যবস্থা অনেক প্রসঙ্গে, একটি বিচ্ছিন্ন সময় (ডিটি) ব্যবস্থা আসলে একটি বৃহত্তর অবিচ্ছিন্ন সময় (সিটি) ব্যবস্থার অংশ। উদাহরণস্বরূপ, একটি ডিজিটাল রেকর্ডিং সিস্টেম একটি এনালগ শব্দ নেয়, এটি ডিজিটাইজ করে, সম্ভবত ডিজিটাল সংকেতগুলি প্রক্রিয়া করে এবং লোকেরা শোনার জন্য একটি এনালগ শব্দ বাজায়। ব্যবহারিক পদ্ধতিতে, প্রাপ্ত ডিটি সংকেতগুলি সাধারণত সিটি সংকেতের অভিন্ন নমুনা সংস্করণ। যদি এটি একটি সিটি সংকেত হয়, তাহলে একটি এনালগ-থেকে-ডিজিটাল রূপান্তরকারীর আগে ব্যবহৃত স্যাম্পলিং সার্কিট এটিকে একটি ডিটি সংকেতে রূপান্তরিত করবেঃ যেখানে টি হল স্যাম্পলিং পিরিয়ড। নমুনা নেওয়ার আগে, ইনপুট সংকেতটি সাধারণত একটি তথাকথিত নাইকুইস্ট ফিল্টারের মাধ্যমে চালানো হয় যা "ভাঁজ ফ্রিকোয়েন্সি" 1/(2টি) এর উপরে ফ্রিকোয়েন্সি সরিয়ে দেয়; এটি নিশ্চিত করে যে ফিল্টার করা সংকেতের কোনও তথ্য হারিয়ে যাবে না। ফিল্টারিং ছাড়া, ভাঁজ ফ্রিকোয়েন্সি (বা নাইকুইস্ট ফ্রিকোয়েন্সি)-এর উপরে যে কোনও ফ্রিকোয়েন্সি উপাদানকে একটি ভিন্ন ফ্রিকোয়েন্সিতে রূপান্তরিত করা হয় (এইভাবে মূল সংকেতকে বিকৃত করে), কারণ একটি ডিটি সংকেত শুধুমাত্র ভাঁজ ফ্রিকোয়েন্সির চেয়ে কম ফ্রিকোয়েন্সি উপাদানগুলিকে সমর্থন করতে পারে। ইমপালস রেসপন্স এবং কনভোলিউশন আসুন সিকোয়েন্সের প্রতিনিধিত্ব করি এবং ছোট স্বরলিপিটি একটি পৃথক সিস্টেমকে একটি ইনপুট সিকোয়েন্সকে আউটপুট সিকোয়েন্সে রূপান্তরিত করে, সাধারণভাবে, আউটপুটের প্রতিটি উপাদান ইনপুটের প্রতিটি উপাদানের উপর নির্ভর করতে পারে। রূপান্তর অপারেটরের প্রতিনিধিত্ব করে আমরা লিখতে পারিঃ লক্ষ্য করুন যে রূপান্তরটি যদি n এর সাথে পরিবর্তিত না হয় তবে আউটপুট ক্রমটি কেবল স্থির থাকে এবং সিস্টেমটি আগ্রহী নয়। (এইভাবে সাবস্ক্রিপ্ট, এন) একটি সাধারণ সিস্টেমে, y [n] সবচেয়ে বেশি নির্ভর করে x-এর উপাদানগুলির উপর যার সূচকগুলি n-এর কাছাকাছি। ক্রোনেকার ডেল্টা ফাংশনের বিশেষ ক্ষেত্রে, আউটপুট সিকোয়েন্স হল ইমপালস প্রতিক্রিয়াঃ একটি রৈখিক সিস্টেমের জন্য, অবশ্যই সন্তুষ্ট করতে হবেঃ এবং সময়-বৈপরীত্যের প্রয়োজনীয়তাঃ এই ধরনের সিস্টেমে, ইমপালস প্রতিক্রিয়া, সিস্টেমটিকে সম্পূর্ণরূপে চিহ্নিত করে। অর্থাৎ, যে কোনও ইনপুট সিকোয়েন্সের জন্য, ইনপুট এবং ইমপালস রেসপন্সের পরিপ্রেক্ষিতে আউটপুট সিকোয়েন্স গণনা করা যেতে পারে। এটি কীভাবে করা হয় তা দেখতে, পরিচয়টি বিবেচনা করুনঃ যা ওজনযুক্ত ডেল্টা ফাংশনের যোগফলের পরিপ্রেক্ষিতে প্রকাশ করে। অতএবঃ যেখানে আমরা মামলার জন্য আহ্বান করেছি এবং। এবং এর কারণে, আমরা লিখতে পারিঃ অতএবঃ {।।।-।। (বিনিময়যোগ্যতা)।} যা পরিচিত বিচ্ছিন্ন কনভোলিউশন সূত্র। সুতরাং অপারেটরকে x [k] ফাংশনের ওজনযুক্ত গড়ের আনুপাতিক হিসাবে ব্যাখ্যা করা যেতে পারে। ওজন ফাংশন হল h [−k], যা কেবল পরিমাণ n দ্বারা স্থানান্তরিত হয়। যখন n পরিবর্তিত হয়, ওজন ফাংশন ইনপুট ফাংশনের বিভিন্ন অংশের উপর জোর দেয়। সমতুল্যভাবে, n = 0-এ একটি প্রবণতার প্রতি সিস্টেমের প্রতিক্রিয়া হল অপরিবর্তিত ওজন ফাংশনের একটি "সময়" বিপরীত অনুলিপি। যখন সমস্ত ঋণাত্মক k-এর জন্য h [k] শূন্য হয়, তখন সিস্টেমটিকে কার্যকারণ বলা হয়। আইগেন ফাংশন হিসাবে এক্সপোনেনশিয়াল একটি আইগেন ফাংশন এমন একটি ফাংশন যার জন্য অপারেটরের আউটপুট একই ফাংশন, কিছু ধ্রুবক দ্বারা স্কেল করা হয়। চিহ্নগুলিতে, যেখানে f হল আইগেন ফাংশন এবং আইগেনভ্যালু, একটি ধ্রুবক। এক্সপোনেনশিয়াল ফাংশনগুলি, যেখানে, একটি রৈখিক, সময়-অপরিবর্তনীয় অপারেটরের আইগেন ফাংশন। নমুনা ব্যবধান, এবং। একটি সহজ প্রমাণ এই ধারণার ব্যাখ্যা দেয়। ধরুন ইনপুটটি হল। ইমপালস রেসপন্স সহ সিস্টেমের আউটপুট তখন হয় যা কনভোলিউশনের কমিউটেটিভ প্রপার্টি দ্বারা নিম্নলিখিতগুলির সমতুল্য যেখানে শুধুমাত্র z প্যারামিটারের উপর নির্ভরশীল। সুতরাং এটি একটি এল. টি. আই সিস্টেমের আইগেন ফাংশন কারণ সিস্টেমের প্রতিক্রিয়া ইনপুট গুণ ধ্রুবকের সমান। জেড এবং ডিসক্রিট-টাইম ফুরিয়ার রূপান্তর এল. টি. আই ব্যবস্থার বিশ্লেষণ এবং অন্তর্দৃষ্টি উভয়ের জন্যই এক্সপোনেনশিয়ালের আইগেনফাংশনের বৈশিষ্ট্য অত্যন্ত কার্যকর। জেড রূপান্তরটি হল ইমপালস প্রতিক্রিয়া থেকে আইগেনভ্যালু পাওয়ার সঠিক উপায়। বিশেষ আগ্রহের বিষয় হল বিশুদ্ধ সাইনোসয়েড; অর্থাৎ। ফর্মের সূচকীয়, যেখানে। এগুলি হিসাবেও লেখা যেতে পারে। ডিসক্রিট-টাইম ফুরিয়ার ট্রান্সফর্ম (ডি. টি. এফ. টি) বিশুদ্ধ সাইনোসয়েডের আইগেনভ্যালু দেয়। এবং উভয়কেই সিস্টেম ফাংশন, সিস্টেম রেসপন্স বা ট্রান্সফার ফাংশন বলা হয়। একতরফা ল্যাপ্লাস রূপান্তরের মতো, জেড রূপান্তরটি সাধারণত একতরফা সংকেতের প্রসঙ্গে ব্যবহৃত হয়, অর্থাৎ। t <0-এর জন্য শূন্য সংকেত। পর্যায়ক্রমিক সংকেত বিশ্লেষণের জন্য বিচ্ছিন্ন সময়ের ফুরিয়ার রূপান্তর ফুরিয়ার সিরিজ ব্যবহার করা যেতে পারে। এই উভয় রূপান্তরের কনভোলিউশন বৈশিষ্ট্যের কারণে, যে কনভোলিউশনটি সিস্টেমের আউটপুট দেয় তা রূপান্তর ডোমেনে গুণনে রূপান্তরিত হতে পারে। অর্থাৎ, অবিচ্ছিন্ন-সময় সিস্টেম বিশ্লেষণে ল্যাপ্লাস ট্রান্সফর্ম ট্রান্সফার ফাংশনের মতো, জেড ট্রান্সফর্ম সিস্টেমগুলি বিশ্লেষণ করা এবং তাদের আচরণ সম্পর্কে অন্তর্দৃষ্টি অর্জন করা সহজ করে তোলে। উদাহরণ গুরুত্বপূর্ণ সিস্টেম বৈশিষ্ট্য বিচ্ছিন্ন-সময় এল. টি. আই সিস্টেমের ইনপুট-আউটপুট বৈশিষ্ট্যগুলি সম্পূর্ণরূপে তার আবেগ প্রতিক্রিয়া দ্বারা বর্ণনা করা হয়। একটি ব্যবস্থার দুটি গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্য হল কার্যকারিতা এবং স্থিতিশীলতা। অ-কার্যকারণ (সময়ে) ব্যবস্থাগুলি উপরের হিসাবে সংজ্ঞায়িত এবং বিশ্লেষণ করা যেতে পারে, তবে বাস্তব সময়ে উপলব্ধি করা যায় না। অস্থিতিশীল সিস্টেমগুলিও বিশ্লেষণ এবং তৈরি করা যেতে পারে, তবে কেবল একটি বৃহত্তর সিস্টেমের অংশ হিসাবে কার্যকর যার সামগ্রিক স্থানান্তর ফাংশন স্থিতিশীল। কার্যকারণ একটি পৃথক-সময়ের এল. টি. আই ব্যবস্থা কার্যকারণ হয় যদি আউটপুটের বর্তমান মান শুধুমাত্র ইনপুটের বর্তমান মান এবং অতীতের মানগুলির উপর নির্ভর করে। কার্যকারণের জন্য একটি প্রয়োজনীয় এবং পর্যাপ্ত শর্ত হল আবেগ প্রতিক্রিয়া কোথায়। সাধারণভাবে জেড রূপান্তর থেকে কার্যকারণ নির্ধারণ করা সম্ভব নয়, কারণ বিপরীত রূপান্তরটি অনন্য নয়। যখন অভিসারের একটি অঞ্চল নির্দিষ্ট করা হয়, তখন কার্যকারণ নির্ধারণ করা যেতে পারে। একটি সিস্টেম হল বাউন্ডেড ইনপুট, বাউন্ডেড আউটপুট স্টেবল (বিআইবিও স্টেবল), যদি প্রতিটি বাউন্ডেড ইনপুটের জন্য আউটপুট সীমাবদ্ধ হয়। গাণিতিকভাবে, যদি বোঝায় যে (অর্থাৎ, যদি সীমাবদ্ধ ইনপুট সীমাবদ্ধ আউটপুট বোঝায়, এই অর্থে যে এবং এর সর্বাধিক পরম মানগুলি সীমাবদ্ধ), তবে সিস্টেমটি স্থিতিশীল। একটি প্রয়োজনীয় এবং পর্যাপ্ত শর্ত হল যে, আবেগ প্রতিক্রিয়া, সন্তুষ্ট করে ফ্রিকোয়েন্সি ডোমেনে, অভিসারের অঞ্চলে অবশ্যই একক বৃত্ত থাকতে হবে (অর্থাৎ, জটিল z-এর জন্য লোকাস সন্তোষজনক)। আরও দেখুন সার্কুলেন্ট ম্যাট্রিক্স ফ্রিকোয়েন্সি রেসপন্স সিস্টেম অ্যানালাইসিস গ্রিন ফাংশন সিগন্যাল-ফ্লো গ্রাফ রেফারেন্স আরও পড়া বাহ্যিক লিঙ্ক ইসিই 209: এলটিআই সিস্টেম হিসাবে সার্কিটের পর্যালোচনা-(বৈদ্যুতিক) এলটিআই সিস্টেমের গাণিতিক বিশ্লেষণের সংক্ষিপ্ত প্রাইমার। ইসিই 209: ফেজ শিফটের উৎস-দুটি সাধারণ বৈদ্যুতিক এলটিআই সিস্টেমে ফেজ শিফটের উৎসের একটি স্বজ্ঞাত ব্যাখ্যা দেয়। জেএইচইউ 520.214 সিগন্যালস অ্যান্ড সিস্টেমস কোর্স নোট। এল. টি. আই সিস্টেম তত্ত্বের উপর একটি এনক্যাপসুলেটেড কোর্স। স্ব-শিক্ষার জন্য যথেষ্ট। এল. টি. আই সিস্টেমের উদাহরণ হল আর. সি লো-পাস ফিল্টার। প্রশস্ততা এবং পর্যায় প্রতিক্রিয়া। ডিজিটাল সিগন্যাল প্রসেসিং বৈদ্যুতিক প্রকৌশল ধ্রুপদী নিয়ন্ত্রণ তত্ত্ব সিগন্যাল প্রসেসিং ফ্রিকোয়েন্সি-ডোমেন বিশ্লেষণ সময় ডোমেন বিশ্লেষণ