Cross section (geometry)
জ্যামিতি এবং বিজ্ঞানে, একটি ক্রস সেকশন হল একটি সমতলের সাথে ত্রিমাত্রিক স্থানে একটি কঠিন বস্তুর অ-খালি ছেদ, বা উচ্চ-মাত্রিক স্থানগুলিতে এনালগ। একটি বস্তুকে টুকরো টুকরো করে কেটে ফেললে অনেক সমান্তরাল ক্রস-সেকশন তৈরি হয়। ত্রি-মাত্রিক স্থানে একটি ক্রস-সেকশনের সীমানা যা দুটি অক্ষের সমান্তরাল, অর্থাৎ এই অক্ষ দ্বারা নির্ধারিত সমতলের সমান্তরাল, কখনও কখনও একটি কনট্যুর লাইন হিসাবে উল্লেখ করা হয়; উদাহরণস্বরূপ, যদি একটি সমতল মাটির সমান্তরাল একটি উত্থিত-ত্রাণ মানচিত্রের পর্বতমালার মধ্য দিয়ে কেটে যায়, তবে ফলাফলটি দ্বি-মাত্রিক স্থানের একটি কনট্যুর লাইন যা সমান উচ্চতার পর্বতমালার পৃষ্ঠে পয়েন্ট দেখায়। প্রযুক্তিগত অঙ্কনে একটি ক্রস-সেকশন, একটি সমতলের উপর একটি বস্তুর অভিক্ষেপ যা এটিকে ছেদ করে, একটি সাধারণ সরঞ্জাম যা একটি ত্রিমাত্রিক বস্তুর অভ্যন্তরীণ বিন্যাসকে দুটি মাত্রায় চিত্রিত করতে ব্যবহৃত হয়। এটি ঐতিহ্যগতভাবে ক্রস-হ্যাচিং শৈলীর সাথে ক্রস-হ্যাচ করা হয় যা প্রায়শই ব্যবহৃত উপকরণের ধরন নির্দেশ করে। কম্পিউটড অ্যাক্সিয়াল টমোগ্রাফির সাহায্যে কম্পিউটারগুলি এক্স-রে ডেটা থেকে ক্রস-সেকশন তৈরি করতে পারে। সংজ্ঞা যদি একটি সমতল একটি কঠিনকে (একটি ত্রিমাত্রিক বস্তু) ছেদ করে, তবে সমতল এবং কঠিনের সাধারণ অঞ্চলটিকে কঠিনের ক্রস-সেকশন বলা হয়। কঠিন পদার্থের একটি ক্রস-সেকশনযুক্ত সমতলকে কাটিং সমতল হিসাবে উল্লেখ করা যেতে পারে। একটি কঠিন পদার্থের ক্রস-সেকশনের আকৃতি নির্ভর করতে পারে কঠিন পদার্থের সাথে কাটিং প্লেনের অভিযোজনের উপর। উদাহরণস্বরূপ, একটি বলের সমস্ত ক্রস-সেকশন ডিস্ক হলেও, একটি ঘনক্ষেত্রের ক্রস-সেকশন নির্ভর করে কাটিং প্লেনটি ঘনক্ষেত্রের সাথে কীভাবে সম্পর্কিত তার উপর। যদি কাটিং প্লেনটি ঘনক্ষেত্রের দুটি বিপরীত মুখের কেন্দ্রগুলির সাথে যুক্ত একটি রেখার লম্ব হয়, তবে ক্রস-সেকশনটি একটি বর্গক্ষেত্র হবে, তবে কাটিং প্লেনটি যদি বিপরীত শীর্ষে যুক্ত ঘনক্ষেত্রের একটি তির্যকের লম্ব হয় তবে ক্রস-সেকশনটি একটি বিন্দু, একটি ত্রিভুজ বা একটি ষড়ভুজ হতে পারে। বিমান বিভাগ একটি সম্পর্কিত ধারণা হল একটি সমতল বিভাগ, যা একটি পৃষ্ঠের সাথে একটি সমতলের ছেদনের বক্ররেখা। সুতরাং, একটি সমতল বিভাগ হল একটি কাটিং প্লেনে একটি কঠিন পদার্থের ক্রস-সেকশনের সীমানা। যদি একটি ত্রিমাত্রিক স্থানের একটি পৃষ্ঠকে দুটি চলকের ফাংশন দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়, অর্থাৎ, একটি স্থানাঙ্ক সমতলের সমান্তরালে সমতল কেটে সমতল বিভাগগুলিকে (দুটি স্থানাঙ্ক অক্ষ দ্বারা নির্ধারিত একটি সমতল) স্তর বক্ররেখা বা বিচ্ছিন্নতা বলা হয়। আরও সুনির্দিষ্টভাবে, আকৃতির সমীকরণের সাথে সমতল কাটা (সমতলের সমান্তরাল সমতল) সমতল বিভাগ তৈরি করে যা প্রায়শই প্রয়োগ এলাকায় কনট্যুর লাইন বলা হয়। ক্রস সেকশন এবং সমতল বিভাগের গাণিতিক উদাহরণ একটি পলিহেড্রনের একটি ক্রস সেকশন হল একটি বহুভুজ। শঙ্কু বিভাগগুলি-বৃত্ত, উপবৃত্তাকার, প্যারাবোলাস এবং হাইপারবোলাস-একটি শঙ্কু সমতল বিভাগ যা বিভিন্ন কোণে কাটিং প্লেন সহ, যেমন বাম দিকের চিত্রটিতে দেখা যায়। একটি উপবৃত্তাকার কেন্দ্রের মধ্য দিয়ে যাওয়া যে কোনও ক্রস-সেকশন একটি উপবৃত্তাকার অঞ্চল গঠন করে, যখন সংশ্লিষ্ট সমতল বিভাগগুলি তার পৃষ্ঠে উপবৃত্তাকার হয়। যখন কাটিং প্লেনগুলি একটি প্রতিসাম্য অক্ষের লম্ব হয় তখন এগুলি যথাক্রমে ডিস্ক এবং বৃত্তগুলিতে অবনমিত হয়। আরও সাধারণভাবে, একটি চতুর্ভুজের সমতল বিভাগগুলি শঙ্কু বিভাগ। দুটি ভিত্তির মধ্যে প্রসারিত একটি কঠিন ডান বৃত্তাকার সিলিন্ডারের একটি ক্রস-সেকশন হল একটি ডিস্ক যদি ক্রস-সেকশনটি সিলিন্ডারের ভিত্তির সমান্তরাল হয়, অথবা একটি উপবৃত্তাকার অঞ্চল (ডানদিকে চিত্রটি দেখুন) যদি এটি ভিত্তির সমান্তরাল বা লম্ব না হয়। যদি কাটিং প্লেনটি বেসের লম্ব হয় তবে এটি একটি আয়তক্ষেত্র নিয়ে গঠিত (দেখানো হয়নি) যদি না এটি সিলিন্ডারের সাথে কেবল স্পর্শক হয়, সেক্ষেত্রে এটি একটি একক রেখার অংশ। সিলিন্ডার শব্দটির অর্থ একটি কঠিন সিলিন্ডারের পার্শ্বীয় পৃষ্ঠও হতে পারে (সিলিন্ডার (জ্যামিতি) দেখুন)। যদি এই অর্থে একটি সিলিন্ডার ব্যবহার করা হয়, তবে উপরের অনুচ্ছেদটি নিম্নরূপ হবেঃ একটি সসীম দৈর্ঘ্যের ডান বৃত্তাকার সিলিন্ডারের সমতল অংশটি একটি বৃত্ত হয় যদি কাটিং প্লেনটি সিলিন্ডারের প্রতিসাম্য অক্ষের লম্ব হয়, অথবা একটি উপবৃত্তাকার যদি এটি সেই অক্ষের সমান্তরাল বা লম্ব না হয়। যদি কাটিং প্লেনটি অক্ষের সমান্তরাল হয় তবে সমতল বিভাগটি সমান্তরাল রেখা বিভাগগুলির একটি জোড়া নিয়ে গঠিত যদি না কাটিং প্লেনটি সিলিন্ডারের স্পর্শক হয়, সেক্ষেত্রে সমতল বিভাগটি একটি একক রেখা বিভাগ। একটি সমতল বিভাগ তার একটি আর্গুমেন্টের সাপেক্ষে একটি ফাংশনের আংশিক ডেরিভেটিভ কল্পনা করতে ব্যবহার করা যেতে পারে, যেমন দেখানো হয়েছে। ধরুন। এর সাপেক্ষে আংশিক ব্যুৎপত্তি গ্রহণ করার ক্ষেত্রে, শুধুমাত্র বিপরীতে স্তরের বক্ররেখা অঙ্কন করার জন্য একটি নির্দিষ্ট মানের ফাংশনের সমতল অংশ নেওয়া যেতে পারে; তারপর এর সাপেক্ষে আংশিক ব্যুৎপত্তি হল ফলস্বরূপ দ্বিমাত্রিক গ্রাফের ঢাল। সম্পর্কিত বিষয়গুলিতে দুটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশনের একটি সমতল বিভাগ যেখানে কাটিং প্লেনটি ভেরিয়েবলগুলির একটির একটি নির্দিষ্ট মানে থাকে অন্য চলকের একটি শর্তাধীন ঘনত্ব ফাংশন (সমতল বিভাগকে সংজ্ঞায়িত নির্দিষ্ট মানের উপর শর্তাধীন)। পরিবর্তে যদি সমতল অংশটি ঘনত্বের একটি নির্দিষ্ট মানের জন্য নেওয়া হয়, তবে ফলাফলটি একটি আইসো-ঘনত্ব কনট্যুর। স্বাভাবিক বন্টনের জন্য, এই কনট্যুরগুলি উপবৃত্তাকার। অর্থনীতিতে, একটি উৎপাদন ফাংশন আউটপুট নির্দিষ্ট করে যা বিভিন্ন পরিমাণ এবং ইনপুট, সাধারণত শ্রম এবং শারীরিক মূলধন দ্বারা উত্পাদিত হতে পারে। একটি সংস্থা বা সমাজের উৎপাদন কার্যকারিতা ত্রিমাত্রিক স্থানে সাজানো যেতে পারে। যদি একটি সমতল অংশকে-সমতলের সমান্তরালে নেওয়া হয়, তবে ফলাফলটি শ্রম এবং মূলধন ব্যবহারের বিভিন্ন সংমিশ্রণ প্রদর্শন করে যা সমতল অংশের উচ্চতা দ্বারা প্রদত্ত আউটপুট স্তরের ফলস্বরূপ হবে। বিকল্পভাবে, যদি উৎপাদন ফাংশনের একটি সমতল অংশ একটি নির্দিষ্ট স্তরে নেওয়া হয়-অর্থাৎ, সমতলের সমান্তরালে-তবে ফলাফলটি একটি দ্বিমাত্রিক গ্রাফ যা দেখায় যে ব্যবহারের বিভিন্ন মানের প্রত্যেকটিতে কতটা আউটপুট তৈরি করা যেতে পারে একটি ইনপুট অন্য ইনপুটের নির্দিষ্ট মানের সাথে মিলিত হয়। এছাড়াও অর্থনীতিতে, একটি মৌলিক বা সাধারণ উপযোগিতা ফাংশন পরিমাণ এবং দুটি পণ্য গ্রহণের মাধ্যমে প্রাপ্ত ভোক্তার সন্তুষ্টির মাত্রা দেয়। যদি ইউটিলিটি ফাংশনের একটি সমতল অংশ একটি নির্দিষ্ট উচ্চতায় (ইউটিলিটি স্তর) নেওয়া হয়, তবে দ্বি-মাত্রিক ফলাফলটি একটি উদাসীনতা বক্ররেখা যা ব্যবহৃত পরিমাণ এবং দুটি পণ্যের বিভিন্ন বিকল্প সংমিশ্রণ দেখায় যা নির্দিষ্ট স্তরের ইউটিলিটি দেয়। আয়তন এবং আয়তন ক্যাভালিয়েরির নীতিতে বলা হয়েছে যে সমান আয়তনের সংশ্লিষ্ট ক্রস-সেকশনযুক্ত কঠিন পদার্থের আয়তন সমান। একটি বস্তুর ক্রস-সেকশনাল এলাকা () যখন একটি নির্দিষ্ট কোণ থেকে দেখা হয় তখন সেই কোণ থেকে বস্তুটির অর্থোগ্রাফিক অভিক্ষেপের মোট এলাকা হয়। উদাহরণস্বরূপ, উচ্চতা h এবং ব্যাসার্ধ r-এর একটি নলকে যখন তার কেন্দ্রীয় অক্ষ বরাবর দেখা হয়, এবং যখন একটি অর্থোগোনাল দিক থেকে দেখা হয়। যে কোনও কোণ থেকে দেখলে r ব্যাসার্ধের একটি গোলক থাকে। আরও সাধারণভাবে, নিম্নলিখিত পৃষ্ঠ অবিচ্ছেদ্য মূল্যায়ন করে গণনা করা যেতে পারেঃ যেখানে একক ভেক্টর দর্শকের দিকে দেখার দিক বরাবর নির্দেশ করে, একটি বাহ্যিক-নির্দেশক স্বাভাবিক সহ একটি পৃষ্ঠ উপাদান, এবং অবিচ্ছেদ্য শুধুমাত্র উপরের-সর্বাধিক পৃষ্ঠের উপর নেওয়া হয়, যা দর্শকের দৃষ্টিকোণ থেকে "দৃশ্যমান" পৃষ্ঠের অংশ। একটি উত্তল বস্তুর জন্য, দর্শকের দৃষ্টিকোণ থেকে বস্তুর মধ্য দিয়ে প্রতিটি রশ্মি মাত্র দুটি পৃষ্ঠ অতিক্রম করে। এই ধরনের বস্তুর জন্য, ইন্টিগ্রালের পরম মান গ্রহণ করে () সমগ্র পৃষ্ঠের উপর অবিচ্ছেদ্য অংশটি নেওয়া যেতে পারে (যাতে বস্তুর "উপরের" এবং "নীচের" অংশটি বিয়োগ না হয়, যা ধ্রুবক ভেক্টর ক্ষেত্রে প্রয়োগ করা ডাইভারজেন্স উপপাদ্য দ্বারা প্রয়োজন হয়) এবং দুটি দ্বারা ভাগ করা যেতে পারেঃ উচ্চ মাত্রায় একটি কঠিনের ক্রস-সেকশনের সাথে সাদৃশ্যপূর্ণভাবে, একটি-মাত্রিক স্থানে একটি-মাত্রিক বস্তুর ক্রস-সেকশন হল একটি হাইপারপ্লেন (একটি-মাত্রিক সাবস্পেস) সহ বস্তুর অ-খালি ছেদ। এই ধারণাটি কখনও কখনও উচ্চ মাত্রিক স্থানগুলির দিকগুলি কল্পনা করতে সহায়তা করার জন্য ব্যবহৃত হয়। উদাহরণস্বরূপ, যদি একটি চার-মাত্রিক বস্তু আমাদের ত্রিমাত্রিক স্থানের মধ্য দিয়ে যায়, তাহলে আমরা চার-মাত্রিক বস্তুটির একটি ত্রিমাত্রিক ক্রস-সেকশন দেখতে পাব। বিশেষত, 3-স্থানের মধ্য দিয়ে যাওয়া একটি 4-বল (হাইপারস্ফিয়ার) একটি 3-বল হিসাবে প্রদর্শিত হবে যা সর্বাধিক বৃদ্ধি পায় এবং তারপরে রূপান্তরের সময় আকারে হ্রাস পায়। এই গতিশীল বস্তুটি (3-স্থানের দৃষ্টিকোণ থেকে) 4-বলের ক্রস-সেকশনের একটি ক্রম। বিজ্ঞানের উদাহরণ ভূবিজ্ঞানে, একটি গ্রহের অভ্যন্তরের কাঠামো প্রায়শই গ্রহের কেন্দ্রের মধ্য দিয়ে যাওয়া একটি ক্রস-সেকশনের একটি চিত্র ব্যবহার করে চিত্রিত করা হয়, যেমন ডানদিকে পৃথিবীর ক্রস-সেকশনে। বামদিকে যেমন দেখানো হয়েছে, কোনও অঙ্গের অভ্যন্তরীণ কাঠামো চিত্রিত করার জন্য শারীরবিজ্ঞানে ক্রস-সেকশনগুলি প্রায়শই ব্যবহৃত হয়। একটি গাছের কাণ্ডের একটি ক্রস-সেকশন, যেমন বামদিকে দেখানো হয়েছে, বৃদ্ধির বলয় প্রকাশ করে যা গাছের বয়স এবং তার পরিবেশের সাময়িক বৈশিষ্ট্যগুলি খুঁজে বের করতে ব্যবহার করা যেতে পারে। আরও দেখুন বর্ণনামূলক জ্যামিতি বিস্ফোরিত-দৃশ্য অঙ্কন গ্রাফিকাল প্রজেকশন পরিকল্পনা (অঙ্কন) প্রোফাইল গেজ সেকশন লাইনিং; উপকরণের উপস্থাপনা সেকেন্ড প্লেন নোটস রেফারেন্স ইনফোগ্রাফিক্স প্রাথমিক জ্যামিতি উপস্থাপনা প্লেনের প্রযুক্তিগত অঙ্কন পদ্ধতি (জ্যামিতি)