Leibniz integral rule
ক্যালকুলাসে, অবিচ্ছেদ্য চিহ্নের অধীনে পৃথকীকরণের জন্য লাইবনিজ ইন্টিগ্রাল নিয়মে বলা হয়েছে যে ফর্মের একটি ইন্টিগ্রালের জন্য যেখানে এবং ইন্টিগ্র্যান্ডগুলি এই ইন্টিগ্রালের ডেরিভেটিভের উপর নির্ভরশীল ফাংশনগুলি প্রকাশযোগ্য যেখানে আংশিক ডেরিভেটিভ নির্দেশ করে যে ইন্টিগ্রালের অভ্যন্তরে, শুধুমাত্র সঙ্গে এর প্রকরণটি ডেরিভেটিভ গ্রহণের ক্ষেত্রে বিবেচনা করা হয়। এটির নামকরণ করা হয়েছে গটফ্রিড লাইবনিজের নামে। বিশেষ ক্ষেত্রে যেখানে ফাংশন এবং ধ্রুবক এবং এর উপর নির্ভরশীল নয় এমন মানগুলি সহ সহজতর হয়ঃ যদি ধ্রুবক হয় এবং, যা আরেকটি সাধারণ পরিস্থিতি (উদাহরণস্বরূপ, কাউচির পুনরাবৃত্ত ইন্টিগ্রেশন সূত্রের প্রমাণ), লাইবনিজ ইন্টিগ্রাল নিয়ম হয়ে যায়ঃ এই গুরুত্বপূর্ণ ফলাফলটি, নির্দিষ্ট শর্তে, ইন্টিগ্রাল এবং আংশিক ডিফারেনশিয়াল অপারেটরগুলিকে বিনিময় করতে ব্যবহার করা যেতে পারে এবং ইন্টিগ্রাল ট্রান্সফর্মগুলির পার্থক্যের ক্ষেত্রে বিশেষভাবে কার্যকর। এর একটি উদাহরণ হল সম্ভাব্যতা তত্ত্বে মোমেন্ট জেনারেটিং ফাংশন, ল্যাপ্লাস রূপান্তরের একটি প্রকরণ, যা একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের মুহূর্ত তৈরি করতে আলাদা করা যেতে পারে। লাইবনিজের অবিচ্ছেদ্য নিয়ম প্রযোজ্য কিনা তা মূলত সীমার বিনিময় সম্পর্কে একটি প্রশ্ন। সাধারণ রূপঃ অবিচ্ছেদ্য চিহ্নের অধীনে পার্থক্য ডান দিকটি ল্যাগ্রাঞ্জের স্বরলিপি ব্যবহার করে লেখা যেতে পারেঃ উপপাদ্যটির শক্তিশালী সংস্করণগুলির জন্য কেবল আংশিক ব্যুৎপত্তিটি প্রায় সর্বত্র বিদ্যমান থাকা প্রয়োজন, এবং এটি অবিচ্ছিন্ন নয়। এই সূত্রটি লাইবনিজ ইন্টিগ্রাল রুলের সাধারণ রূপ এবং ক্যালকুলাসের মৌলিক উপপাদ্য ব্যবহার করে উদ্ভূত করা যেতে পারে। ক্যালকুলাসের (প্রথম) মৌলিক উপপাদ্যটি কেবলমাত্র উপরের সূত্রের নির্দিষ্ট ক্ষেত্রে যেখানে ধ্রুবক, এবং এর উপর নির্ভর করে না। যদি উপরের এবং নীচের উভয় সীমাকে ধ্রুবক হিসাবে নেওয়া হয়, তবে সূত্রটি একটি অপারেটর সমীকরণের আকার নেয়ঃ যেখানে একটি নির্দিষ্ট ব্যবধানের সাপেক্ষে আংশিক অন্তরজ এবং অবিচ্ছেদ্য অপারেটর। অর্থাৎ, এটি দ্বিতীয় ডেরিভেটিভের প্রতিসাম্যের সাথে সম্পর্কিত, তবে ইন্টিগ্রালের পাশাপাশি ডেরিভেটিভও জড়িত। এই কেসটি লাইবনিজ ইন্টিগ্রাল রুল নামেও পরিচিত। সীমার বিনিময়ের উপর নিম্নলিখিত তিনটি মৌলিক উপপাদ্য মূলত সমতুল্যঃ একটি ডেরিভেটিভ এবং একটি ইন্টিগ্রালের বিনিময় (ইন্টিগ্রাল চিহ্নের অধীনে পার্থক্য; অর্থাৎ, লাইবনিজ ইন্টিগ্রাল রুল); আংশিক ডেরিভেটিভের ক্রমের পরিবর্তন; ইন্টিগ্রেশনের ক্রমের পরিবর্তন (ইন্টিগ্রাল চিহ্নের অধীনে ইন্টিগ্রেশন; অর্থাৎ, ফুবিনির উপপাদ্য)। ত্রিমাত্রিক, সময়-নির্ভর ক্ষেত্রে ত্রিমাত্রিক স্থানে চলমান একটি দ্বিমাত্রিক পৃষ্ঠের জন্য একটি লাইবনিজ অবিচ্ছেদ্য নিয়ম হল যেখানেঃ সময়ে স্থানিক অবস্থানে একটি ভেক্টর ক্ষেত্র, বন্ধ বক্ররেখা দ্বারা বেষ্টিত একটি পৃষ্ঠ, পৃষ্ঠের একটি ভেক্টর উপাদান, বক্ররেখার একটি ভেক্টর উপাদান, যা অঞ্চলের গতির বেগ, ভেক্টর বিচ্যুতি, ভেক্টর ক্রস পণ্য, দ্বৈত ইন্টিগ্রালগুলি পৃষ্ঠের উপর পৃষ্ঠ ইন্টিগ্রাল এবং লাইন ইন্টিগ্রাল সীমানা বক্ররেখার উপরে থাকে। উচ্চ মাত্রা লাইবনিজ ইন্টিগ্রাল নিয়মটি বহুমাত্রিক ইন্টিগ্রাল পর্যন্ত প্রসারিত করা যেতে পারে। দুই এবং তিন মাত্রায়, এই নিয়মটি তরল গতিবিদ্যার ক্ষেত্র থেকে রেনল্ডস পরিবহন উপপাদ্য হিসাবে বেশি পরিচিতঃ যেখানে একটি স্কেলার ফাংশন, এবং যথাক্রমে R3 এবং এর সীমানার একটি সময়-পরিবর্তিত সংযুক্ত অঞ্চল নির্দেশ করে, এটি সীমানার ইউলেরিয়ান বেগ (ল্যাগ্রেঞ্জিয়ান এবং ইউলেরিয়ান স্থানাঙ্ক দেখুন) এবং এটি পৃষ্ঠ উপাদানটির একক স্বাভাবিক উপাদান। লাইবনিজ ইন্টিগ্রাল নিয়মের সাধারণ বিবৃতির জন্য ডিফারেনশিয়াল জ্যামিতি থেকে ধারণাগুলি প্রয়োজন, বিশেষত ডিফারেনশিয়াল ফর্ম, বাহ্যিক ডেরিভেটিভস, ওয়েজ পণ্য এবং অভ্যন্তরীণ পণ্য। এই সরঞ্জামগুলির সাথে, n মাত্রায় লাইবনিজ ইন্টিগ্রাল নিয়মটি হল যেখানে ইন্টিগ্রেশনের একটি সময়-পরিবর্তিত ডোমেন, ω একটি p-ফর্ম, বেগের ভেক্টর ক্ষেত্র, অভ্যন্তরীণ পণ্যকে বোঝায়, dxω শুধুমাত্র স্পেস ভেরিয়েবলের সাপেক্ষে ω এর বাহ্যিক ডেরিভেটিভ এবং ω এর সময় ডেরিভেটিভ। যাইহোক, এই সমস্ত পরিচয়গুলি লাই ডেরিভেটিভ সম্পর্কে একটি সর্বাধিক সাধারণ বিবৃতি থেকে উদ্ভূত হতে পারেঃ এখানে, পরিবেষ্টিত বহুগুণ যার উপর ডিফারেনশিয়াল ফর্ম বাস করে স্থান এবং সময় উভয়ই অন্তর্ভুক্ত করে। একটি নির্দিষ্ট মুহুর্তে ইন্টিগ্রেশনের অঞ্চল (একটি সাব-ম্যানিফোল্ড) হল (এটি নির্ভর করে না, যেহেতু একটি সাব-ম্যানিফোল্ড হিসাবে এর প্যারামিট্রাইজেশন সময়ে তার অবস্থানকে সংজ্ঞায়িত করে), লাই ডেরিভেটিভ হল স্পেসটাইম ভেক্টর ক্ষেত্র যা পূর্ববর্তী সূত্রগুলি (অর্থাৎ, স্পেসটাইম বেগ) থেকে বিশুদ্ধ স্থানিক ভেক্টর ক্ষেত্রের সাথে সময়ের দিকে একক ভেক্টর ক্ষেত্র যোগ করে প্রাপ্ত হয়, যা প্রবাহ দ্বারা উত্পন্ন এক-পরামিতি গোষ্ঠী থেকে একটি ডিফিয়োমরফিজম, এবং এই ধরনের ডিফিয়োমরফিজমের অধীনে চিত্র। এই রূপটি সম্পর্কে একটি উল্লেখযোগ্য বিষয় হল যে এটি সময়ের সাথে সাথে তার আকৃতি এবং আকার পরিবর্তন করার ক্ষেত্রে হিসাব করতে পারে, যেহেতু এই ধরনের বিকৃতিগুলি সম্পূর্ণরূপে দ্বারা নির্ধারিত হয়। পরিমাপ তত্ত্বের বিবৃতি একটি উন্মুক্ত উপসেট হতে হবে, এবং একটি পরিমাপ স্থান হতে হবে। ধরুন নিম্নলিখিত শর্তগুলি পূরণ করেঃ প্রত্যেকটির জন্য একটি লেবস্গু-ইন্টিগ্রেবল ফাংশন। প্রায় সকলের জন্য, আংশিক ব্যুৎপত্তি সকলের জন্য বিদ্যমান। একটি ইন্টিগ্রেবল ফাংশন রয়েছে যা সকলের জন্য এবং প্রায় প্রত্যেকের জন্য। তারপর, সকলের জন্য, প্রমাণটি প্রভাবশালী অভিসরণ উপপাদ্য এবং গড় মান উপপাদ্যের (নীচের বিবরণ) উপর নির্ভর করে। মৌলিক রূপের প্রমাণ আমরা প্রথমে সমাকলন a এবং b-এর ধ্রুবক সীমার বিষয়টি প্রমাণ করি। আমরা ইন্টিগ্রেশনের ক্রম পরিবর্তন করতে ফুবিনির উপপাদ্য ব্যবহার করি। প্রতিটি এবং, যেমন এবং উভয় এবং এর মধ্যে রয়েছে, আমাদের রয়েছেঃ লক্ষ্য করুন যে হাতে থাকা ইন্টিগ্রালগুলি ভালভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে যেহেতু বদ্ধ আয়তক্ষেত্রে অবিচ্ছিন্ন এবং এইভাবে সেখানেও অভিন্নভাবে অবিচ্ছিন্ন; এইভাবে dt বা dx দ্বারা এর ইন্টিগ্রালগুলি অন্য চলকের মধ্যে অবিচ্ছিন্ন এবং এর দ্বারাও ইন্টিগ্রেবল (মূলত এটি কারণ অভিন্নভাবে অবিচ্ছিন্ন ফাংশনের জন্য, কেউ ইন্টিগ্রেশন চিহ্নের মাধ্যমে সীমাটি অতিক্রম করতে পারে, যেমন নীচে বিশদভাবে বর্ণনা করা হয়েছে)। অতএবঃ যেখানে আমরা সংজ্ঞায়িত করেছিঃ (আমরা এখানে x0 কে x0 এবং x এর মধ্যে অন্য যে কোনও বিন্দু দ্বারা প্রতিস্থাপন করতে পারি) F ডেরিভেটিভের সাথে ডিফারেন্সিয়ালযোগ্য, তাই আমরা সেই সীমাটি নিতে পারি যেখানে শূন্যের কাছাকাছি পৌঁছায়। বাম দিকের জন্য এই সীমাটি হলঃ ডান দিকের জন্য, আমরা পাইঃ এবং এইভাবে আমরা কাঙ্ক্ষিত ফলাফলটি প্রমাণ করিঃ আবদ্ধ অভিসরণ উপপাদ্য ব্যবহার করে আরেকটি প্রমাণঃ হাতে থাকা ইন্টিগ্রালগুলি যদি লেবস্গু ইন্টিগ্রাল হয়, তবে আমরা সীমাবদ্ধ অভিসরণ উপপাদ্যটি ব্যবহার করতে পারি (এই ইন্টিগ্রালগুলির জন্য বৈধ, তবে রিম্যান ইন্টিগ্রালগুলির জন্য নয়) যাতে দেখা যায় যে সীমাটি অবিচ্ছেদ্য চিহ্নের মধ্য দিয়ে যেতে পারে। লক্ষ্য করুন যে এই প্রমাণটি এই অর্থে দুর্বল যে এটি কেবল দেখায় যে fx (x, t) লেবসগ্যু ইন্টিগ্রেবল, তবে এটি রিম্যান ইন্টিগ্রেবল নয়। পূর্ববর্তী (শক্তিশালী) প্রমাণটিতে, যদি f (x, t) রিম্যান ইন্টিগ্রেবল হয়, তবে fx (x, t) ও তাই (এবং তাই স্পষ্টতই লেবসগ ইন্টিগ্রেবলও)। আসুন ডেরিভেটিভের সংজ্ঞা অনুসারে, সমীকরণ () কে সমীকরণ ()-এ প্রতিস্থাপন করুন। দুটি ইন্টিগ্রালের পার্থক্য পার্থক্যের ইন্টিগ্রালের সমান, এবং 1/এইচ একটি ধ্রুবক, তাই আমরা এখন দেখাই যে সীমাটি ইন্টিগ্রাল চিহ্নের মধ্য দিয়ে যেতে পারে। আমরা দাবি করি যে অবিচ্ছেদ্য চিহ্নের অধীনে সীমার উত্তরণ সীমাবদ্ধ অভিসরণ উপপাদ্য (আধিপত্যযুক্ত অভিসরণ উপপাদ্যের একটি উপপাদ্য) দ্বারা বৈধ। প্রতিটি δ> 0-এর জন্য, পার্থক্য ভাগফল বিবেচনা করুন স্থির t-এর জন্য, গড় মান উপপাদ্য বোঝায় যে ব্যবধান [x, x + δ]-এ z-এর অস্তিত্ব রয়েছে যাতে fx (x, t)-এর ধারাবাহিকতা এবং ডোমেনের কম্প্যাক্টনেস একসাথে বোঝায় যে fx (x, t) সীমাবদ্ধ। গড় মান উপপাদ্যের উপরের প্রয়োগটি তাই একটি অভিন্ন (স্বাধীন) দেয়। পার্শিয়াল ডেরিভেটিভের অস্তিত্ব রয়েছে এই অনুমানের মাধ্যমে পার্থক্য কোটিয়েন্টগুলি পার্শিয়াল ডেরিভেটিভ fx-এ পয়েন্টওয়াইজ রূপান্তরিত হয়। উপরের যুক্তিটি দেখায় যে প্রতিটি ক্রমের জন্য {δn} → 0, ক্রমটি অভিন্নভাবে আবদ্ধ এবং fx-এ বিন্দুর দিকে একত্রিত হয়। বাউন্ডেড কনভারজেন্স উপপাদ্যটি বলে যে, যদি সসীম পরিমাপের একটি সেটের উপর ফাংশনের একটি ক্রম অভিন্নভাবে আবদ্ধ হয় এবং বিন্দুর দিকে একত্রিত হয়, তবে ইন্টিগ্রালের অধীনে সীমার উত্তরণ বৈধ। বিশেষ করে, প্রতিটি ক্রমের জন্য সীমা এবং ইন্টিগ্রাল বিনিময় করা যেতে পারে। অতএব, δ → 0 হিসাবে সীমাটি অবিচ্ছেদ্য চিহ্নের মধ্য দিয়ে যেতে পারে। পরিবর্তনশীল সীমা গঠন একটি বাস্তব চলকের অবিচ্ছিন্ন বাস্তব মূল্যবান ফাংশন g-এর জন্য, এবং বাস্তব মূল্যবান ডিফারেনশিয়েবল ফাংশন এবং একটি বাস্তব চলকের জন্য, এটি চেইন রুল এবং ক্যালকুলাসের প্রথম মৌলিক উপপাদ্য থেকে অনুসরণ করা হয়। সংজ্ঞায়িত করুন এবং (নীচের সীমাটি কেবল ডোমেনে কিছু সংখ্যা হতে হবে) তারপর, একটি রচনা হিসাবে লেখা যেতে পারেঃ চেইন রুল তখন বোঝায় যে ক্যালকুলাসের প্রথম মৌলিক উপপাদ্য দ্বারা,। অতএব, উপরের এই ফলাফলটি প্রতিস্থাপন করে, আমরা কাঙ্ক্ষিত সমীকরণটি পাইঃ দ্রষ্টব্যঃ এই ফর্মটি বিশেষভাবে কার্যকর হতে পারে যদি পার্থক্য করার অভিব্যক্তিটি ফর্মের হয়ঃ কারণ এটি ইন্টিগ্রালের সীমার উপর নির্ভর করে না, এটি ইন্টিগ্রাল চিহ্নের নীচে থেকে সরানো যেতে পারে এবং উপরের ফর্মটি প্রোডাক্ট নিয়মের সাথে ব্যবহার করা যেতে পারে, অর্থাৎ, পরিবর্তনশীল সীমা সহ সাধারণ ফর্ম সেট যেখানে a এবং b হল α এর ফাংশন যা যথাক্রমে α এবং αb বৃদ্ধি প্রদর্শন করে, যখন α কে α দ্বারা বৃদ্ধি করা হয়। তারপর, গড় মান উপপাদ্যের একটি রূপ, যেখানে a <ω <b, উপরের αφ সূত্রের প্রথম এবং শেষ ইন্টিগ্রালগুলিতে প্রয়োগ করা যেতে পারে, যার ফলে α দ্বারা ভাগ করা যায় এবং α → 0 হতে পারে। লক্ষ্য করুন ω1 − a এবং ω2 − b। আমরা অবিচ্ছেদ্য চিহ্নের মধ্য দিয়ে সীমা অতিক্রম করতে পারিঃ আবার বাউন্ডেড কনভারজেন্স উপপাদ্য দ্বারা। এটি লাইবনিজ ইন্টিগ্রাল রুলের সাধারণ রূপ, পরিবর্তনশীল সীমা সহ সাধারণ রূপের বিকল্প প্রমাণ, চেইন রুল ব্যবহার করে, পরিবর্তনশীল সীমা সহ লাইবনিজের ইন্টিগ্রাল রুলের সাধারণ রূপটি লাইবনিজের ইন্টিগ্রাল রুলের মৌলিক রূপ, মাল্টিভ্যারিয়েবল চেইন রুল এবং ক্যালকুলাসের প্রথম মৌলিক উপপাদ্যের ফলস্বরূপ উদ্ভূত হতে পারে। ধরুন সমতলে একটি আয়তক্ষেত্রে এবং-এর জন্য সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে। এছাড়াও, ধরে নিন এবং আংশিক অন্তরজ উভয়ই এই আয়তক্ষেত্রের অবিচ্ছিন্ন ফাংশন। ধরুন ডিফারেনশিয়েবল বাস্তব মূল্যবান ফাংশনগুলি সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে, যার মানগুলি (অর্থাৎ। প্রত্যেকের জন্য)। এখন, সেট করুন এবং তারপর, ডেফিনিটি ইন্টিগ্রালের বৈশিষ্ট্য দ্বারা, আমরা লিখতে পারি যেহেতু ফাংশনগুলি সমস্ত ডিফারেনশিয়েবল (প্রমাণের শেষে মন্তব্যটি দেখুন), মাল্টিভ্যারিয়েবল চেইন রুল দ্বারা, এটি অনুসরণ করে যা ডিফারেনশিয়েবল, এবং এর ডেরিভেটিভ সূত্র দ্বারা দেওয়া হয়ঃ এখন, লক্ষ্য করুন যে প্রত্যেকের জন্য, এবং প্রত্যেকের জন্য, আমাদের এটি আছে, কারণ এর সাপেক্ষে আংশিক ডেরিভেটিভ নেওয়ার সময়, আমরা অভিব্যক্তিতে স্থির রাখি; এইভাবে ইন্টিগ্রেশনের ধ্রুবক সীমা সহ লাইবনিজের ইন্টিগ্রাল রুলের মৌলিক রূপটি প্রযোজ্য। এরপরে, ক্যালকুলাসের প্রথম মৌলিক উপপাদ্য দ্বারা, আমাদের তা আছে; কারণ এর সাপেক্ষে আংশিক অন্তরজ গ্রহণ করার সময়, প্রথম চলকটি স্থির থাকে, তাই প্রকৃতপক্ষে মৌলিক উপপাদ্যটি প্রয়োগ করা যেতে পারে। এই ফলাফলগুলিকে উপরের সমীকরণে প্রতিস্থাপন করলে পাওয়া যায়ঃ যেমন ইচ্ছা। উপরের প্রমাণটিতে একটি প্রযুক্তিগত বিষয় রয়েছে যা লক্ষণীয়ঃ চেইন রুল প্রয়োগ করার জন্য ইতিমধ্যে ডিফারেনশিয়েবল হওয়া প্রয়োজন। এখানেই আমরা আমাদের অনুমানগুলি ব্যবহার করি। উপরে উল্লিখিত হিসাবে, এর আংশিক ব্যুৎপত্তি সূত্র এবং দ্বারা দেওয়া হয়। যেহেতু অবিচ্ছিন্ন, তাই এর ইন্টিগ্রালটিও একটি অবিচ্ছিন্ন ফাংশন, এবং যেহেতু এটি অবিচ্ছিন্ন, তাই এই দুটি ফলাফল দেখায় যে এর আংশিক ডেরিভেটিভ উভয়ই অবিচ্ছিন্ন। যেহেতু পার্শিয়াল ডেরিভেটিভের ধারাবাহিকতা ফাংশনের ডিফারেনশিবিলিটি বোঝায়, তাই এটি প্রকৃতপক্ষে ডিফারেনশিয়েবল। ত্রি-মাত্রিক, সময়-নির্ভর ফর্ম চিত্র 1-এ পৃষ্ঠের t সময়ে একটি কেন্দ্রবিন্দুতে সাজানো বিন্দুর একটি সেট রয়েছে। ফাংশনটি সময়ের সাথে স্বাধীনভাবে লেখা যেতে পারে। ভেরিয়েবলগুলি চলমান পৃষ্ঠের সাথে সংযুক্ত রেফারেন্সের একটি নতুন ফ্রেমে স্থানান্তরিত হয়, যার উৎপত্তি হয়। একটি কঠোরভাবে অনুবাদকারী পৃষ্ঠের জন্য, সংহতকরণের সীমা তখন সময় থেকে স্বাধীন হয়, তাইঃ যেখানে অঞ্চলের অবিচ্ছেদ্য সীমাবদ্ধ সংহতকরণের সীমা আর সময়ের উপর নির্ভরশীল নয় তাই পৃথকীকরণ শুধুমাত্র সংহতকরণের উপর কাজ করার জন্য সংহতকরণের মধ্য দিয়ে যায়ঃ দ্বারা সংজ্ঞায়িত পৃষ্ঠের গতির বেগ সহ এই সমীকরণটি ক্ষেত্রের উপাদান ডেরিভেটিভকে প্রকাশ করে, অর্থাৎ চলমান পৃষ্ঠের সাথে সংযুক্ত একটি স্থানাঙ্ক সিস্টেমের সাপেক্ষে ডেরিভেটিভ। ডেরিভেটিভ খুঁজে পাওয়ার পর, ভেরিয়েবলগুলিকে রেফারেন্সের মূল ফ্রেমে ফিরিয়ে আনা যেতে পারে। আমরা লক্ষ্য করেছি যে (কার্লের উপর নিবন্ধটি দেখুন) এবং স্টোকস উপপাদ্যটি কার্লের পৃষ্ঠের অবিচ্ছেদ্যকে একটি লাইন ইন্টিগ্রাল ওভারের সাথে সমান করেঃ লাইন ইন্টিগ্রালের চিহ্নটি লাইন উপাদান ds-এর দিকনির্দেশনার জন্য ডান হাতের নিয়মের উপর ভিত্তি করে। এই চিহ্নটি স্থাপন করার জন্য, উদাহরণস্বরূপ, ধরুন ক্ষেত্রটি ধনাত্মক z-দিকে নির্দেশ করে, এবং পৃষ্ঠটি xy-সমতলের একটি অংশ যার পরিসীমা ষ্ণ। আমরা ধনাত্মক z-দিকনির্দেশনায় থাকার জন্য σ-এর স্বাভাবিক মানটি গ্রহণ করি। তারপর ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে (ডান হাতের নিয়ম z-অক্ষ বরাবর বুড়ো আঙুল দিয়ে) ধনাত্মক ট্র্যাভারসাল হয়। তারপর বাম দিকের ইন্টিগ্রালটি F-এর একটি ধনাত্মক প্রবাহ নির্ধারণ করে। ধরা যাক, v গতিতে ধনাত্মক x-দিকের অনুবাদে, ধরা যাক, y-অক্ষের সমান্তরালে, অর্থাৎ ds-এর সীমানার একটি উপাদান, সময় t-তে একটি এলাকা vt × ds অতিক্রম করে। যদি আমরা ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে সীমানার চারপাশে সংহত করি, তবে vt × ds বিন্দুগুলি ঋণাত্মক z-দিকের বাম দিকে (যেখানে ds নীচের দিকে নির্দেশ করে), এবং ধনাত্মক z-দিকের ডান দিকে (যেখানে ds উপরের দিকে নির্দেশ করে), যা যুক্তিসঙ্গত কারণ с ডানদিকে সরে যাচ্ছে, ডানদিকে এলাকা যোগ করছে এবং বাম দিকে হারিয়ে যাচ্ছে। সেই ভিত্তিতে, F-এর প্রবাহ ষ্ণুর ডানদিকে বৃদ্ধি পাচ্ছে এবং বাম দিকে হ্রাস পাচ্ছে। তবে, ডট প্রোডাক্ট। ফলস্বরূপ, লাইন ইন্টিগ্রালের চিহ্নটি ঋণাত্মক হিসাবে নেওয়া হয়। যদি v একটি ধ্রুবক হয়, যা উদ্ধৃত ফলাফল। এই প্রমাণটি সরে যাওয়ার সাথে সাথে পৃষ্ঠের বিকৃতির সম্ভাবনা বিবেচনা করে না। বিকল্প উৎপত্তি লেমা। একটিতে রয়েছেঃ প্রমাণ। ক্যালকুলাসের মৌলিক উপপাদ্যের প্রমাণ থেকে, এবং ধরুন a এবং b ধ্রুবক, এবং f (x) একটি পরামিতি α জড়িত যা ইন্টিগ্রেশনে ধ্রুবক তবে বিভিন্ন ইন্টিগ্রাল গঠনের জন্য পরিবর্তিত হতে পারে। ধরে নিন যে f (x, α) হল কম্প্যাক্ট সেট {(x, α): α0 ≤ α ≤ α1 এবং a ≤ x ≤ b}-এ x এবং α-এর একটি অবিচ্ছিন্ন ফাংশন এবং আংশিক অন্তরজ fα (x, α) বিদ্যমান এবং অবিচ্ছিন্ন। যদি কেউ সংজ্ঞায়িত করেঃ তাহলে অবিচ্ছেদ্য চিহ্নের অধীনে পার্থক্য করে α-এর সাপেক্ষে পার্থক্য করা যেতে পারে, অর্থাৎ, হাইনে-ক্যান্টর উপপাদ্য অনুসারে এটি সেই সেটটিতে অভিন্নভাবে অবিচ্ছিন্ন। অন্য কথায়, যে কোনও ε> 0-এর জন্য এমন α বিদ্যমান যে [a, b]-এ x-এর সমস্ত মানের জন্য, অন্যদিকে, φ (α) একটি অবিচ্ছিন্ন ফাংশন। একইভাবে যদি বিদ্যমান থাকে এবং অবিচ্ছিন্ন হয়, তবে সমস্ত ε> 0-এর জন্য δα বিদ্যমান থাকে যেমনঃ অতএব, যেখানেঃ এখন, ε → 0 হিসাবে δα → 0, তাই এই সূত্রটি আমরা প্রমাণ করার জন্য নির্ধারণ করেছি। এখন, ধরুন যেখানে a এবং b হল α এর ফাংশন যা যথাক্রমে δa এবং δb বৃদ্ধি করে, যখন α কে δα দ্বারা বৃদ্ধি করা হয়। তারপর, গড় মান উপপাদ্যের একটি রূপ, যেখানে a <ω <b, উপরের ω সূত্রটির প্রথম এবং শেষ ইন্টিগ্রালগুলিতে প্রয়োগ করা যেতে পারে, যার ফলে ω দ্বারা ভাগ করা যায়, ω → 0 দেওয়া হয়, ω1 → a এবং ω2 → b লক্ষ্য করা যায় এবং উৎপাদনের জন্য উপরের ব্যুৎপত্তিটি ব্যবহার করা হয়। উদাহরণ 1: স্থির সীমা ফাংশনটি বিবেচনা করুন অবিচ্ছেদ্য চিহ্নের অধীনে ফাংশনটি (x, α) = (0,0) বিন্দুতে অবিচ্ছিন্ন নয় এবং φ (α) ফাংশনের α = 0 এ একটি বিচ্ছিন্নতা রয়েছে কারণ φ (α) ±π/2 এর কাছে α → 0 ± হিসাবে আসে। যদি আমরা অবিচ্ছেদ্য চিহ্নের অধীনে α এর সাপেক্ষে φ (α) কে আলাদা করি, তবে আমরা পাই যা অবশ্যই, α = 0 ব্যতীত α এর সমস্ত মানের জন্য সত্য। উদাহরণ 2: পরিবর্তনশীল সীমা একটি পরিবর্তনশীল সীমা সহ একটি উদাহরণ নির্দিষ্ট ইন্টিগ্রাল মূল্যায়ন অ্যাপ্লিকেশন সূত্রটি নির্দিষ্ট নির্দিষ্ট ইন্টিগ্রাল মূল্যায়ন করার সময় ব্যবহার করা যেতে পারে। এই প্রসঙ্গে ব্যবহার করা হলে, অবিচ্ছেদ্য চিহ্নের অধীনে পার্থক্য করার জন্য লাইবনিজ অবিচ্ছেদ্য নিয়মটি একীকরণের জন্য ফাইনম্যানের কৌশল হিসাবেও পরিচিত। উদাহরণ 3 বিবেচনা করুন এখন, যেমন থেকে পরিবর্তিত হয়, আমাদের আছে তাই, উভয় পক্ষকে সম্পর্কিত করে একীভূত করে, আমরা পাইঃ মূল্যায়ন থেকে নিম্নরূপঃ একই পদ্ধতিতে নির্ধারণ করার জন্য, আমাদের 1 ইঞ্চির চেয়ে বেশি মান প্রতিস্থাপন করতে হবে। এটা কিছুটা অস্বস্তিকর। পরিবর্তে, আমরা প্রতিস্থাপন করি, কোথায়। তারপর, অতএব, এর সংজ্ঞাটি এখন সম্পূর্ণঃ পূর্ববর্তী আলোচনা, অবশ্যই, প্রযোজ্য হয় না যখন, যেহেতু পার্থক্যের শর্তগুলি পূরণ করা হয় না। উদাহরণ 4 প্রথমে আমরা গণনা করিঃ একীকরণের সীমা স্বাধীন হওয়ায়, আমাদের রয়েছেঃ অন্যদিকেঃ এই দুটি সম্পর্কের সমীকরণ করলে একইভাবে ফলন পাওয়া যায়, ফলন অনুসরণ করে দুটি ফলাফল যোগ করলে কাঙ্ক্ষিত হিসাবে গণনা করা হয়। এই ব্যুৎপত্তি সাধারণীকরণ করা যেতে পারে। লক্ষ্য করুন যে আমরা যদি এটি সংজ্ঞায়িত করি তবে সহজেই দেখানো যেতে পারে যে প্রদত্ত, এই অবিচ্ছেদ্য হ্রাস সূত্রটি for এর সমস্ত মান গণনা করতে ব্যবহার করা যেতে পারে। ইন্টিগ্রালগুলি ওয়েয়ারস্ট্রাস প্রতিস্থাপন ব্যবহার করে পরিচালনা করা যেতে পারে। উদাহরণ 5 এখানে, আমরা ইন্টিগ্রালের অধীনে ইন্টিগ্রাল ডিফারেনশিয়েটিং বিবেচনা করি, আমাদের আছে। সুতরাংঃ কিন্তু সংজ্ঞা অনুসারে এবং উদাহরণ 6 এখানে, আমরা ইন্টিগ্রাল বিবেচনা করি। যাইহোক, এই আরও সাধারণ ইন্টিগ্রালটি এই সাপেক্ষে আলাদা করা যেতে পারেঃ এখন, φ ঠিক করুন, এবং দ্বারা সংজ্ঞায়িত ভেক্টর ক্ষেত্রটি বিবেচনা করুন। উপরন্তু, দ্বারা প্রদত্ত একক বৃত্তের ধনাত্মক ভিত্তিক পরামিতি নির্বাচন করুন, যাতে। তারপর উপরের চূড়ান্ত ইন্টিগ্রালটি ঠিক ওভারের লাইন ইন্টিগ্রাল। গ্রীনের উপপাদ্য অনুসারে, এটি দ্বৈত সমাকলন যেখানে বদ্ধ একক ডিস্কের সমান। এর ইন্টিগ্র্যাণ্ড অভিন্নভাবে 0, তাই একইভাবে অভিন্নভাবে শূন্য। এর অর্থ হল f (φ) ধ্রুবক। এখানে মূল্যায়ন করে ধ্রুবক নির্ধারণ করা যেতে পারেঃ অতএব, মূল ইন্টিগ্রালটিও সমান। অন্যান্য সমস্যাগুলি সমাধান করার জন্য অসংখ্য অন্যান্য ইন্টিগ্রাল রয়েছে যা ইন্টিগ্রাল চিহ্নের অধীনে পৃথকীকরণের কৌশল ব্যবহার করে সমাধান করা যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, নিম্নলিখিত প্রতিটি ক্ষেত্রে, মূল ইন্টিগ্রালটি একটি নতুন পরামিতি সহ অনুরূপ ইন্টিগ্রাল দ্বারা প্রতিস্থাপিত হতে পারেঃ প্রথম ইন্টিগ্রাল, ডিরিচলেট ইন্টিগ্রাল, ধনাত্মক α-এর জন্য একেবারে অভিসারী কিন্তু শুধুমাত্র শর্তসাপেক্ষ অভিসারী যখন। অতএব, অবিচ্ছেদ্য চিহ্নের অধীনে পার্থক্য কখন ন্যায্যতা দেওয়া সহজ, তবে প্রমাণ করে যে কিছু যত্নশীল কাজের প্রয়োজন হলে ফলাফল সূত্রটি বৈধ থাকে। অসীম সিরিজ অবিচ্ছেদ্য চিহ্নের অধীনে পার্থক্যের পরিমাপ-তাত্ত্বিক সংস্করণটি গণনার পরিমাপ হিসাবে যোগফলকে ব্যাখ্যা করে যোগফলের (সীমাবদ্ধ বা অসীম) ক্ষেত্রেও প্রযোজ্য। একটি প্রয়োগের উদাহরণ হল যে পাওয়ার সিরিজগুলি তাদের অভিসারের ব্যাসার্ধে ডিফারেনশিয়েবল। জনপ্রিয় সংস্কৃতিতে অবিচ্ছেদ্য চিহ্নের অধীনে পার্থক্যের উল্লেখ প্রয়াত পদার্থবিজ্ঞানী রিচার্ড ফাইনম্যানের সর্বাধিক বিক্রিত স্মৃতিকথায় নিশ্চিতভাবে আপনি রসিকতা করছেন, মিঃ ফাইনম্যান! "এ ডিফারেন্ট বক্স অফ টুলস" অধ্যায়ে। তিনি উচ্চ বিদ্যালয়ে থাকাকালীন ফ্রেডরিক এস উডস (যিনি ম্যাসাচুসেটস ইনস্টিটিউট অফ টেকনোলজির গণিতের অধ্যাপক ছিলেন) রচিত অ্যাডভান্সড ক্যালকুলাস (1926) নামক একটি পুরানো পাঠ্য থেকে এটি শেখার বর্ণনা দিয়েছেন। এই কৌশলটি প্রায়শই শেখানো হত না যখন ফাইনম্যান পরে ক্যালকুলাসে তাঁর আনুষ্ঠানিক শিক্ষা লাভ করেন, কিন্তু এই কৌশলটি ব্যবহার করে, ফাইনম্যান প্রিন্সটন বিশ্ববিদ্যালয়ে স্নাতক বিদ্যালয়ে আসার পরে অন্যথায় কঠিন একীকরণ সমস্যাগুলি সমাধান করতে সক্ষম হয়েছিলেনঃ একটি জিনিস যা আমি কখনও শিখিনি তা হল কনট্যুর ইন্টিগ্রেশন। আমার হাইস্কুলের পদার্থবিজ্ঞানের শিক্ষক মিস্টার বাদার আমাকে যে বইটি দিয়েছিলেন তাতে দেখানো বিভিন্ন পদ্ধতির মাধ্যমে আমি ইন্টিগ্রাল করতে শিখেছি। একদিন সে আমাকে ক্লাসের পর থাকতে বলে। "ফাইনম্যান", সে বলে, "আপনি খুব বেশি কথা বলেন এবং খুব বেশি শব্দ করেন। আমি জানি কেন। আপনি বিরক্ত। তাই আমি আপনাকে একটি বই দিতে চলেছি। আপনি সেখানে পিছনের দিকে, কোণে যান এবং এই বইটি অধ্যয়ন করুন, এবং যখন আপনি এই বইটিতে যা কিছু আছে তা জানেন, তখন আপনি আবার কথা বলতে পারেন। সুতরাং পদার্থবিজ্ঞানের প্রতিটি শ্রেণী, আমি পাস্কেলের সূত্র নিয়ে কী চলছে বা তারা যা কিছু করছে তাতে কোনও মনোযোগ দিইনি। আমি এই বইটি নিয়ে পিছনে ছিলামঃ উডসের "অ্যাডভান্সড ক্যালকুলাস"। বাদের জানতেন যে আমি "ক্যালকুলাস ফর দ্য প্র্যাকটিক্যাল ম্যান" নিয়ে কিছুটা পড়াশোনা করেছি, তাই তিনি আমাকে আসল কাজগুলি দিয়েছিলেন-এটি কলেজের জুনিয়র বা সিনিয়র কোর্সের জন্য ছিল। এটিতে ফুরিয়ার সিরিজ, বেসেল ফাংশন, নির্ধারক, উপবৃত্তাকার ফাংশন ছিল-সমস্ত ধরণের দুর্দান্ত জিনিস যা সম্পর্কে আমি কিছুই জানতাম না। সেই বইটি অবিচ্ছেদ্য চিহ্নের অধীনে পরামিতিগুলিকে কীভাবে আলাদা করা যায় তাও দেখিয়েছিল-এটি একটি নির্দিষ্ট ক্রিয়া। দেখা যাচ্ছে যে বিশ্ববিদ্যালয়গুলিতে খুব বেশি শেখানো হয় না; তারা এটির উপর জোর দেয় না। কিন্তু আমি সেই পদ্ধতিটি কীভাবে ব্যবহার করতে হয় তা বুঝতে পেরেছি এবং আমি সেই একটি জঘন্য সরঞ্জামটি বারবার ব্যবহার করেছি। তাই যেহেতু আমি সেই বইটি ব্যবহার করে স্ব-শিক্ষিত হয়েছিলাম, তাই আমার ইন্টিগ্রাল করার অদ্ভুত পদ্ধতি ছিল। ফলস্বরূপ, যখন এম. আই. টি বা প্রিন্সটনের ছেলেদের একটি নির্দিষ্ট ইন্টিগ্রাল করতে সমস্যা হয়েছিল, কারণ তারা স্কুলে যে মানক পদ্ধতিগুলি শিখেছিল তা দিয়ে এটি করতে পারেনি। যদি এটি কনট্যুর ইন্টিগ্রেশন হত, তবে তারা এটি খুঁজে পেত; যদি এটি একটি সহজ সিরিজ সম্প্রসারণ হত, তবে তারা এটি খুঁজে পেত। তারপর আমি এসে অবিচ্ছেদ্য চিহ্নের অধীনে পার্থক্য করার চেষ্টা করি এবং প্রায়শই এটি কার্যকর হয়। তাই আমি ইন্টিগ্রাল করার জন্য একটি দুর্দান্ত খ্যাতি পেয়েছিলাম, কারণ আমার সরঞ্জামের বাক্সটি অন্য সবার থেকে আলাদা ছিল এবং তারা আমাকে সমস্যাটি দেওয়ার আগে তাদের সমস্ত সরঞ্জাম চেষ্টা করেছিল। আরও দেখুন শৃঙ্খল নিয়ম অবিচ্ছেদ্য লাইবনিজ নিয়মের পার্থক্য (সাধারণীকৃত পণ্য নিয়ম) রেনল্ডস পরিবহন উপপাদ্য, লাইবনিজ নিয়মের একটি সাধারণীকরণ রেফারেন্স আরও পড়া বাহ্যিক লিঙ্ক গটফ্রিড উইলহেম লাইবনিজ মাল্টিভ্যারিয়েবল ক্যালকুলাস ইন্টিগ্রাল ক্যালকুলাস ডিফারেনশিয়াল ক্যালকুলাস প্রমাণ সম্বলিত নিবন্ধ