Harnack's principle
আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের গাণিতিক ক্ষেত্রে, হার্নাকের নীতি বা হার্নাকের উপপাদ্য হার্নাকের বৈষম্যের একটি উপপাদ্য যা হারমোনিক ফাংশনের ক্রমের অভিসারের সাথে সম্পর্কিত। ইউক্লিডীয় স্থানের একটি উন্মুক্ত সংযুক্ত উপসেটে সুরেলা ফাংশনের একটি ক্রম দেওয়া হয়েছে, যা পয়েন্টওয়াইজ একঘেয়েভাবে এই অর্থে হ্রাস পাচ্ছে না যে প্রতিটি বিন্দুর জন্য, তারপর সীমাটি স্বয়ংক্রিয়ভাবে প্রত্যেকের জন্য বর্ধিত বাস্তব সংখ্যা লাইনে বিদ্যমান। হার্নাকের উপপাদ্য বলে যে সীমাটি হয় প্রতিটি বিন্দুতে অসীম অথবা এর প্রতিটি বিন্দুতে সীমাবদ্ধ। পরের ক্ষেত্রে, সংমিশ্রণটি কম্প্যাক্ট সেটগুলিতে অভিন্ন এবং সীমাটি একটি সুরেলা ফাংশন। এই উপপাদ্যটি হার্নাকের বৈষম্যের একটি উপপাদ্য। যদি কোনও নির্দিষ্ট মানের জন্য একটি কাউচি ক্রম হয়, তবে হারমোনিক ফাংশনে প্রয়োগ করা হার্নাক বৈষম্য বোঝায়, একটি নির্বিচারে কম্প্যাক্ট সেট ধারণকারী জন্য, যা যথেষ্ট বড় এবং পর্যাপ্ত পরিমাণে ছোট। এটি ঠিক কম্প্যাক্ট সেটগুলিতে ইউনিফর্ম কনভারজেন্সের সংজ্ঞা। কথায় বলতে গেলে, হার্নাক অসমতা এমন একটি হাতিয়ার যা একক বিন্দুতে সুরেলা ফাংশনের ক্রমের কচি বৈশিষ্ট্যকে সমস্ত বিন্দুতে কচি সম্পত্তিতে সরাসরি প্রচার করে। কম্প্যাক্ট সেটগুলিতে অভিন্ন অভিসরণ প্রতিষ্ঠিত হওয়ার পরে, সীমার সুসংগততা এই সত্যের একটি তাৎক্ষণিক পরিণতি যে গড় মূল্য বৈশিষ্ট্য (স্বয়ংক্রিয়ভাবে অভিন্ন অভিসরণ দ্বারা সংরক্ষিত) অবিচ্ছিন্ন ফাংশনের মধ্যে সুরেলা ফাংশনগুলিকে সম্পূর্ণরূপে চিহ্নিত করে। কম্প্যাক্ট সেটগুলিতে অভিন্ন অভিসারের প্রমাণ যে কোনও রৈখিক দ্বিতীয়-ক্রম উপবৃত্তাকার আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের জন্য সমানভাবে ভাল থাকে, তবে শর্ত থাকে যে এটি রৈখিক যাতে একই সমীকরণের সমাধান হয়। একমাত্র পার্থক্য হল দ্বিতীয়-ক্রমের উপবৃত্তাকার পি. ডি. ই-এর সমাধানের জন্য আরও সাধারণ হার্নাক বৈষম্য অবশ্যই ব্যবহার করা উচিত, কেবলমাত্র সুরেলা ক্রিয়াকলাপের জন্য নয়। কম্প্যাক্ট সেটগুলিতে অভিন্ন অভিসরণ প্রতিষ্ঠিত হওয়ার পরে, গড় মূল্যের বৈশিষ্ট্যটি এই আরও সাধারণ সেটিংয়ে উপলব্ধ নয় এবং তাই একটি নতুন সমাধানে অভিসারের প্রমাণ অবশ্যই স্কাউডার অনুমানের মতো অন্যান্য সরঞ্জাম ব্যবহার করতে হবে। তথ্যসূত্র উৎস বাহ্যিক যোগসূত্র জটিল বিশ্লেষণে গাণিতিক নীতিগুলির মধ্যে হারমোনিক ফাংশন উপপাদ্য