CCR and CAR algebras
গণিত এবং পদার্থবিজ্ঞানে সিসিআর অ্যালজেব্রা (ক্যানোনিকাল কমিউটেশন সম্পর্কের পরে) এবং সিএআর অ্যালজেব্রা (ক্যানোনিকাল অ্যান্টিকমিউটেশন সম্পর্কের পরে) যথাক্রমে বোসন এবং ফার্মিয়নের কোয়ান্টাম যান্ত্রিক অধ্যয়ন থেকে উদ্ভূত হয়। এগুলি কোয়ান্টাম পরিসংখ্যানগত বলবিজ্ঞান এবং কোয়ান্টাম ক্ষেত্র তত্ত্বে বিশিষ্ট ভূমিকা পালন করে। সিসিআর এবং সিএআর *-অ্যালজেব্রা হিসাবে ধরা যাক একটি বাস্তব ভেক্টর স্থান যা একটি ননসিঙ্গুলার বাস্তব অ্যান্টিসিমেট্রিক দ্বিমাত্রিক ফর্ম (অর্থাৎ। একটি সিমপ্লেক্টিক ভেক্টর স্পেস)। যেকোনও ইন-এর সম্পর্কের সাপেক্ষে উপাদান দ্বারা উৎপন্ন একক *-বীজগণিতকে ক্যানোনিকাল কমিউটেশন রিলেশনস (সিসিআর) বীজগণিত বলা হয়। এই বীজগণিতের উপস্থাপনার স্বতন্ত্রতা যখন সীমাবদ্ধ মাত্রিক হয় তখন স্টোন-ভন নিউম্যান উপপাদ্যতে আলোচনা করা হয়েছে। এর পরিবর্তে যদি একটি অসঙ্গত বাস্তব প্রতিসম দ্বিমাত্রিক ফর্ম দিয়ে সজ্জিত করা হয়, তবে যে কোনও ইন-এর সম্পর্কের সাপেক্ষে উপাদানগুলির দ্বারা উত্পন্ন একক *-বীজগণিতকে ক্যানোনিকাল অ্যান্টিকমিউটেশন রিলেশনস (সিএআর) বীজগণিত বলা হয়। সিসিআর-এর সি *-বীজগণিত সিসিআর বীজগণিতের একটি স্বতন্ত্র, কিন্তু ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত অর্থ রয়েছে, যাকে সিসিআর সি *-বীজগণিত বলা হয়। আসুন ননসিঙ্গুলার সিমপ্লেক্টিক ফর্ম সহ একটি বাস্তব সিমপ্লেক্টিক ভেক্টর স্পেস। অপারেটর অ্যালজেব্রার তত্ত্বে, সিসিআর বীজগণিত হল একক সি *-বীজগণিত যা সাপেক্ষে উপাদান দ্বারা উত্পন্ন হয় এগুলিকে ক্যানোনিকাল কমিউটেশন সম্পর্কের ওয়েল ফর্ম বলা হয় এবং বিশেষত, তারা বোঝায় যে প্রতিটি একক এবং। এটা সর্বজনবিদিত যে, সিসিআর বীজগণিত একটি সরল অ-বিভাজ্য বীজগণিত এবং সমরূপতা পর্যন্ত অনন্য। যখন একটি হিলবার্ট স্থান হয় এবং অভ্যন্তরীণ-পণ্যের কাল্পনিক অংশ দ্বারা দেওয়া হয়, তখন সিসিআর বীজগণিতটি কোনওটির জন্য সেট করে প্রতিসম ফকের স্থানের উপর বিশ্বস্তভাবে প্রতিনিধিত্ব করা হয়। ফিল্ড অপারেটরদের প্রত্যেকের জন্য প্রতিসম ফক স্পেসে এক-পরামিতি একক গোষ্ঠীর জেনারেটর হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। এগুলি স্ব-সংযুক্ত সীমাহীন অপারেটর, তবে তারা আনুষ্ঠানিকভাবে সন্তুষ্ট হয় কারণ অ্যাসাইনমেন্টটি বাস্তব-রৈখিক, তাই অপারেটররা ধারা 1 এর অর্থে একটি সিসিআর বীজগণিতকে সংজ্ঞায়িত করে। সিএআর-এর সি *-বীজগণিতটি একটি হিলবার্ট স্থান বলে ধরা যাক। অপারেটর অ্যালজেব্রার তত্ত্বে সিএআর বীজগণিত হল জটিল একক *-বীজগণিতের অনন্য সি *-সমাপ্তি যা যে কোনও, এর জন্য সম্পর্কের সাপেক্ষে উপাদান দ্বারা উত্পন্ন হয়। যখন পৃথক করা যায় তখন সিএআর বীজগণিত একটি এএফ বীজগণিত এবং বিশেষ ক্ষেত্রে এটি প্রায়শই অসীম মাত্রিক হিসাবে লেখা হয়। আসুন অ্যান্টিসিমেট্রিক ফক স্পেসটি হয়ে যাক এবং অ্যান্টিসিমেট্রিক ভেক্টরের উপর অর্থোগোনাল প্রজেকশন হতে দিনঃ সিএআর বীজগণিতটি সমস্ত এবং সেটিং দ্বারা বিশ্বস্তভাবে প্রতিনিধিত্ব করা হয়। এগুলি যে একটি সি *-বীজগণিত গঠন করে তার কারণ হল অ্যান্টিসিমেট্রিক ফক স্পেসে সৃষ্টি এবং অ্যানিহিলেশন অপারেটরগুলি যথার্থভাবে আবদ্ধ অপারেটর। উপরন্তু, ফিল্ড অপারেটররা ধারা 1-এর সাথে সম্পর্ক দিতে সন্তুষ্ট হয়। অতি-বীজগণিত সাধারণীকরণ ধরা যাক একটি বাস্তব-শ্রেণীবদ্ধ ভেক্টর স্থান যা একটি ননসিঙ্গুলার অ্যান্টিসিমেট্রিক দ্বিমাত্রিক সুপারফর্ম (অর্থাৎ) দিয়ে সজ্জিত। যেটি বাস্তব যদি একটি জোড় উপাদান হয় এবং কাল্পনিক যদি উভয়ই বিজোড় হয়। যে কোনও দুটি বিশুদ্ধ উপাদানের সম্পর্কের সাপেক্ষে উপাদানগুলির দ্বারা উত্পন্ন একক *-বীজগণিত হল সুস্পষ্ট অতি-বীজগণিত সাধারণীকরণ যা সি. সি. আর-কে সি. এ. আর-এর সাথে একত্রিত করেঃ যদি সমস্ত বিশুদ্ধ উপাদানগুলি জোড় হয়, তবে একটি সি. সি. আর পায়, যখন সমস্ত বিশুদ্ধ উপাদানগুলি বিজোড় হয়, তবে একটি সি. এ. আর পায়। গণিতে, সিসিআর এবং সিএআর অ্যালজেব্রার বিমূর্ত কাঠামো, যে কোনও ক্ষেত্রে, কেবল জটিল সংখ্যা নয়, ওয়েল এবং ক্লিফোর্ড অ্যালজেব্রার নামে অধ্যয়ন করা হয়, যেখানে অনেক উল্লেখযোগ্য ফলাফল অর্জিত হয়েছে। এর মধ্যে একটি হল ওয়েইল এবং ক্লিফোর্ড অ্যালজেব্রার শ্রেণীবদ্ধ সাধারণীকরণগুলি একটি সিমপ্লেক্টিক এবং একটি প্রতিসম অ-ডিজেনারেট দ্বিমাত্রিক রূপের পরিপ্রেক্ষিতে ক্যানোনিকাল কমিউটেশন এবং অ্যান্টিকমিউটেশন সম্পর্কের ভিত্তি-মুক্ত গঠনের অনুমতি দেয়। উপরন্তু, এই শ্রেণীবদ্ধ ওয়েইল বীজগণিতে বাইনারি উপাদানগুলি সিমপ্লেক্টিক এবং অনির্দিষ্ট অর্থোগোনাল লাই অ্যালজেব্রার বিনিময় সম্পর্কের একটি ভিত্তি-মুক্ত সংস্করণ দেয়। বোস-আইনস্টাইন পরিসংখ্যান ফার্মি-ডিরাক পরিসংখ্যান স্ট্রিং তত্ত্বের শব্দকোষ হাইজেনবার্গ গ্রুপ বোগোলিউবভ রূপান্তর (−1) এফ রেফারেন্স কোয়ান্টাম ক্ষেত্র তত্ত্ব স্বতঃস্ফূর্ত কোয়ান্টাম ক্ষেত্র তত্ত্ব কার্যকরী বিশ্লেষণ অ্যালজেব্রা সি *-অ্যালজেব্রা