Tangent lines to circles
ইউক্লিডীয় সমতল জ্যামিতিতে, একটি বৃত্তের স্পর্শক রেখা হল এমন একটি রেখা যা বৃত্তটিকে ঠিক একটি বিন্দুতে স্পর্শ করে, কখনও বৃত্তের অভ্যন্তরে প্রবেশ করে না। বৃত্তের স্পর্শক রেখা বিভিন্ন উপপাদ্যের বিষয় গঠন করে এবং অনেক জ্যামিতিক নির্মাণ ও প্রমাণের ক্ষেত্রে গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে। যেহেতু একটি বিন্দুতে একটি বৃত্তের স্পর্শক রেখা সেই বিন্দুর ব্যাসার্ধের লম্ব, তাই স্পর্শক রেখাগুলির সাথে জড়িত উপপাদ্যগুলি প্রায়শই রেডিয়াল লাইন এবং অর্থোগোনাল বৃত্তগুলিকে জড়িত করে। একটি বৃত্তের স্পর্শরেখা একটি বৃত্তের স্পর্শরেখা একটি বিন্দুতে বৃত্তটিকে ছেদ করে। তুলনার জন্য, বিচ্ছিন্ন রেখাগুলি একটি বৃত্তকে দুটি বিন্দুতে ছেদ করে, যেখানে অন্য একটি রেখা কোনও বৃত্তকে একেবারেই ছেদ করতে পারে না। স্পর্শক রেখার এই বৈশিষ্ট্যটি অনেক জ্যামিতিক রূপান্তরের অধীনে সংরক্ষিত রয়েছে, যেমন স্কেলিং, ঘূর্ণন, অনুবাদ, বিপরীত এবং মানচিত্রের অনুমান। প্রযুক্তিগত ভাষায়, এই রূপান্তরগুলি স্পর্শক রেখা এবং বৃত্তের আপতন কাঠামোকে পরিবর্তন করে না, যদিও রেখা এবং বৃত্তটি বিকৃত হতে পারে। একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ বৃত্তের পরিধির শেষ বিন্দুর মধ্য দিয়ে স্পর্শক রেখার লম্ব। বিপরীতভাবে, একই শেষ বিন্দুর মধ্য দিয়ে একটি ব্যাসার্ধের লম্ব হল একটি স্পর্শক রেখা। বৃত্ত এবং স্পর্শক রেখার ফলস্বরূপ জ্যামিতিক চিত্রের ব্যাসার্ধের অক্ষ সম্পর্কে একটি প্রতিফলন প্রতিসাম্য রয়েছে। একটি বৃত্তের মধ্যে কোনও বিন্দুর মধ্য দিয়ে কোনও স্পর্শক রেখা টানা যায় না, কারণ এই ধরনের কোনও রেখা অবশ্যই একটি বিচ্ছিন্ন রেখা হতে হবে। তবে, বৃত্তের বাইরের একটি বিন্দু থেকে একটি বৃত্তে দুটি স্পর্শক রেখা টানা যেতে পারে। একটি বৃত্তের জ্যামিতিক চিত্র এবং উভয় স্পর্শক রেখার একইভাবে বৃত্তের কেন্দ্রবিন্দুতে যুক্ত রেডিয়াল অক্ষ সম্পর্কে একটি প্রতিফলন প্রতিসাম্য রয়েছে। সুতরাং দুটি স্পর্শক বিন্দু থেকে অংশগুলির দৈর্ঘ্য সমান। সেক্যান্ট-ট্যানজেন্ট উপপাদ্য অনুসারে, এই ট্যানজেন্ট দৈর্ঘ্যের বর্গটি বৃত্তের পি বিন্দুর শক্তির সমান। এই শক্তি বৃত্তের যে কোনও দুটি ছেদ বিন্দু থেকে দূরত্বের গুণফলের সমান, যার মধ্য দিয়ে একটি বিচ্ছিন্ন রেখা অতিক্রম করে। স্পর্শক রেখা এবং স্পর্শক বিন্দুর একে অপরের সাথে একটি সংযুক্ত সম্পর্ক রয়েছে, যা মেরু বিন্দু এবং মেরু রেখার ধারণায় সাধারণীকরণ করা হয়েছে। বৃত্তের বাইরের একটি বিন্দু এবং তার দুটি স্পর্শক বিন্দুর সাথে যুক্ত হওয়া বিচ্ছিন্ন রেখার মধ্যে একই পারস্পরিক সম্পর্ক বিদ্যমান। যদি একটি বিন্দু কেন্দ্রের সাথে একটি বৃত্তের বাইরের দিকে থাকে, এবং যদি স্পর্শক রেখাগুলি বিন্দুতে বৃত্তকে স্পর্শ করে এবং তারপর এবং পরিপূরক হয় (যোগফল 180°)। যদি একটি কর্ড বাইরের বিন্দুর স্পর্শক বিন্দু থেকে টানা হয় এবং তারপর। কার্টেসিয়ান সমীকরণ ধরুন যে কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্কে বৃত্তের সমীকরণটি কেন্দ্রের সাথে রয়েছে। তারপর বৃত্তের স্পর্শক রেখায় কার্টেসিয়ান সমীকরণ রয়েছে এটি বৃত্তের অন্তর্নিহিত ব্যুৎপত্তি গ্রহণ করে প্রমাণ করা যেতে পারে। বলুন যে বৃত্তটির সমীকরণ রয়েছে এবং আমরা স্পর্শক রেখার ঢাল খুঁজে পাচ্ছি যেখানে আমরা এর সাপেক্ষে অন্তর্নিহিত ডেরিভেটিভ নিয়ে শুরু করিঃ এখন যেহেতু আমাদের স্পর্শক রেখার ঢাল রয়েছে, আমরা রেখা সমীকরণে স্পর্শক বিন্দুর ঢাল এবং স্থানাঙ্ক প্রতিস্থাপন করতে পারি। কম্পাস এবং সোজা প্রান্ত গঠন বৃত্তের পরিধির একটি বিন্দুতে একটি বৃত্তের সাথে একটি রেখা স্পর্শক তৈরি করা তুলনামূলকভাবে সহজবোধ্যঃ বৃত্তের কেন্দ্র থেকে রেডিয়াল বিন্দুর মধ্য দিয়ে একটি রেখা টানা হয়; রেখাটি হল লম্ব রেখা। থেলসের উপপাদ্যটি বৃত্তের বাইরের একটি বিন্দুতে স্পর্শক রেখা তৈরি করতে ব্যবহার করা যেতে পারেঃ রেখা বিভাগের মধ্যবিন্দুতে একটি বৃত্ত আঁকা হয়, যার ব্যাস থাকে, যেখানে আবার বৃত্তের কেন্দ্র। নিম্নলিখিত যুক্তি অনুসারে, বৃত্ত এবং নতুন বৃত্তের ছেদ বিন্দুগুলি হল এর মধ্য দিয়ে যাওয়া রেখাগুলির স্পর্শক বিন্দু। রেখার অংশগুলি এবং বৃত্তের ব্যাসার্ধ; যেহেতু উভয়ই একটি অর্ধবৃত্তের মধ্যে খোদাই করা আছে, তাই তারা যথাক্রমে রেখার অংশগুলির লম্ব। কিন্তু শুধুমাত্র একটি স্পর্শক রেখা রেডিয়াল লাইনের লম্ব। সুতরাং, থেকে আসা এবং এর মধ্য দিয়ে যাওয়া দুটি রেখা বৃত্তের স্পর্শক। শুধুমাত্র একটি সোজা প্রান্ত ব্যবহার করে বৃত্তের বাইরের বিন্দুতে স্পর্শক রেখা তৈরি করার আরেকটি পদ্ধতিঃ প্রদত্ত বিন্দুর মধ্য দিয়ে যে কোনও তিনটি ভিন্ন রেখা আঁকুন যা বৃত্তটিকে দুবার ছেদ করে। ধরা যাক ছয়টি ছেদ বিন্দু, একই অক্ষর একই রেখার সাথে সম্পর্কিত এবং সূচক 1 কাছাকাছি বিন্দুর সাথে সম্পর্কিত। ধরা যাক যে বিন্দুতে রেখাগুলি এবং ছেদ করে, একইভাবে রেখাগুলির জন্য এবং। এবং এর মধ্য দিয়ে একটি রেখা আঁকুন। এই রেখাটি দুটি বিন্দুতে বৃত্তের সাথে মিলিত হয়, এবং। স্পর্শকগুলি হল রেখা এবং। বিশ্লেষণাত্মক জ্যামিতির ক্ষেত্রে ধরা যাক সমীকরণ সহ বৃত্তের একটি বিন্দু স্পর্শবিন্দুর সমীকরণ রয়েছে কারণ এটি উভয় বক্ররেখার উপর অবস্থিত এবং রেখার একটি স্বাভাবিক ভেক্টর। স্পর্শকটি বিন্দুতে-অক্ষকে ছেদ করে বিপরীতভাবে, যদি দুটি স্পর্শকের চেয়ে একটি বিন্দু দিয়ে শুরু হয় এবং ভেক্টর আকারে লেখা দুটি বিন্দুতে বৃত্তের সাথে মিলিত হয়ঃ যদি বিন্দুটি-অক্ষের উপর না থাকেঃ ভেক্টর আকারে একটি দূরত্ব দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয় এবং একক বেস ভেক্টরগুলি অর্থোগোনাল একক ভেক্টর দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয় তাহলে বিন্দুর মাধ্যমে স্পর্শকগুলি বিন্দুতে বৃত্তকে স্পর্শ করে। বিন্দুর জন্য বৃত্তের উপর অবস্থিত এবং সমীকরণের সাথে কেবল একটি স্পর্শক রয়েছে সমীকরণ সহ 2 টি স্পর্শক থাকলে বৃত্তের বিপরীতমুখী সম্পর্কঃ সমীকরণটি বিন্দু বিন্দুর বৃত্তের বিপরীতমুখীকরণকে বর্ণনা করে মেরু ও মেরুর সাথে সম্পর্কঃ বিন্দুর মেরুতে স্পর্শক বহুভুজ রয়েছে একটি স্পর্শক বহুভুজ এমন একটি বহুভুজ যার প্রতিটি দিক একটি নির্দিষ্ট বৃত্তের স্পর্শক, যাকে তার অন্তঃবৃত্ত বলা হয়। প্রতিটি ত্রিভুজ একটি স্পর্শক বহুভুজ, যেমন যে কোনও সংখ্যক পক্ষের প্রতিটি নিয়মিত বহুভুজ; উপরন্তু, প্রতিটি বহুভুজ পক্ষের জন্য অসীম সংখ্যক অ-সঙ্গতিপূর্ণ স্পর্শক বহুভুজ রয়েছে। স্পর্শক চতুর্ভুজ উপপাদ্য এবং খোদাই করা বৃত্ত একটি স্পর্শক চতুর্ভুজ হল চারটি সরল পক্ষের একটি বদ্ধ চিত্র যা একটি প্রদত্ত বৃত্তের স্পর্শক। সমতুল্যভাবে, বৃত্তটি চতুর্ভুজে খোদাই করা আছে। পিটোত উপপাদ্য অনুসারে, এই ধরনের যে কোনও চতুর্ভুজের বিপরীত দিকের যোগফল সমান, অর্থাৎ, এই উপসংহারটি চতুর্ভুজের চারটি শীর্ষ থেকে স্পর্শক অংশের সমতা থেকে অনুসরণ করা হয়। স্পর্শক বিন্দুগুলিকে (সেগমেন্টে), (সেগমেন্টে), (সেগমেন্টে) এবং (সেগমেন্টে) হিসাবে চিহ্নিত করা যাক। প্রতিটি বিন্দু সম্পর্কে প্রতিসম স্পর্শক অংশগুলি সমানঃ তবে চতুর্ভুজের প্রতিটি দিক উপপাদ্যটি প্রমাণ করে এমন দুটি স্পর্শক অংশ নিয়ে গঠিত। বিপরীতটিও সত্যঃ প্রতিটি চতুর্ভুজে একটি বৃত্ত খোদাই করা যেতে পারে যেখানে বিপরীত পক্ষের দৈর্ঘ্যের যোগফল একই হয়। এই উপপাদ্য এবং এর বিপরীতটির বিভিন্ন ব্যবহার রয়েছে। উদাহরণস্বরূপ, তারা অবিলম্বে দেখায় যে কোনও আয়তক্ষেত্রের একটি খোদাই করা বৃত্ত থাকতে পারে না যদি না এটি একটি বর্গক্ষেত্র হয় এবং প্রতিটি রম্বাসের একটি খোদাই করা বৃত্ত থাকে, যেখানে একটি সাধারণ সমান্তরাল চতুর্ভুজ থাকে না। দুটি বৃত্তের জন্য, সাধারণত চারটি স্বতন্ত্র রেখা থাকে যা উভয়ের (বিট্যাঞ্জেন্ট) স্পর্শক-যদি দুটি বৃত্ত একে অপরের বাইরে থাকে-তবে অবনমিত ক্ষেত্রে শূন্য এবং চারটি বিট্যাঞ্জেন্ট রেখার মধ্যে যে কোনও সংখ্যা থাকতে পারে; এগুলি নীচে সম্বোধন করা হয়েছে। এর মধ্যে দুটির জন্য, বাহ্যিক স্পর্শক রেখা, বৃত্তগুলি রেখার একই দিকে পড়ে; অন্য দুটির জন্য, অভ্যন্তরীণ স্পর্শক রেখা, বৃত্তগুলি রেখার বিপরীত দিকে পড়ে। বাহ্যিক স্পর্শক রেখাগুলি বাহ্যিক সমস্থানিক কেন্দ্রে ছেদ করে, যেখানে অভ্যন্তরীণ স্পর্শক রেখাগুলি অভ্যন্তরীণ সমস্থানিক কেন্দ্রে ছেদ করে। বাহ্যিক এবং অভ্যন্তরীণ সমজাতীয় কেন্দ্রগুলি কেন্দ্রের লাইনে (দুটি বৃত্তের কেন্দ্রগুলিকে সংযুক্তকারী রেখা), ছোট বৃত্তের কেন্দ্রের কাছাকাছি অবস্থিতঃ অভ্যন্তরীণ কেন্দ্রটি দুটি বৃত্তের মধ্যবর্তী অংশে থাকে, যেখানে বাহ্যিক কেন্দ্রটি বিন্দুর মধ্যে নয়, বরং ছোট বৃত্তের কেন্দ্রের পাশে বাইরের দিকে থাকে। যদি দুটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ সমান হয়, তবে এখনও চারটি বিট্যাঞ্জেন্ট রয়েছে, তবে বাহ্যিক স্পর্শক রেখাগুলি সমান্তরাল এবং অ্যাফিন সমতলে কোনও বাহ্যিক কেন্দ্র নেই; প্রজেক্টিভ সমতলে, বাহ্যিক সমস্থানিক কেন্দ্রটি এই রেখাগুলির ঢালের সাথে সম্পর্কিত অনন্ত বিন্দুতে অবস্থিত। বাইরের স্পর্শক বিন্দুগুলির সাথে যুক্ত হওয়া লাল রেখা এবং এটি দুটি বৃত্তের মধ্যে বাইরের স্পর্শক। প্রদত্ত বিন্দুগুলি, বিন্দুগুলি, কোণের সাহায্যে সহজেই গণনা করা যেতে পারেঃ এখানে এবং দুটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ চিহ্নিত করুন এবং মৌলিক ত্রিকোণমিতির সাহায্যে কোণটি গণনা করা যেতে পারে। আপনার কাছে অ্যাটান2-এর সাথে 2-আর্গুমেন্ট আর্কট্যাঞ্জেন্ট রয়েছে। নিকটবর্তী এবং দূরবর্তী বৃত্তের কেন্দ্রগুলির মধ্যে দূরত্ব এবং দুটি বৃত্তের দুটি বাইরের স্পর্শক যেখানে ছেদ করে (সমস্থানিক কেন্দ্র), যথাক্রমে নিম্নরূপ সাদৃশ্য ব্যবহার করে খুঁজে বের করা যেতে পারেঃ এখানে, নিকটবর্তী বা দূরবর্তী বৃত্তের কেন্দ্রগুলি থেকে দূরত্ব খুঁজে বের করার প্রয়োজনীয়তার উপর নির্ভর করে হতে পারে, এবং। এটি দুটি বৃত্তের কেন্দ্রের মধ্যবর্তী দূরত্ব। একটি অভ্যন্তরীণ স্পর্শক হল একটি স্পর্শক যা দুটি বৃত্তের কেন্দ্রে যুক্ত অংশটিকে ছেদ করে। মনে রাখবেন যে দুটি বৃত্তের মধ্যে পরস্পরের সংযোগ ঘটলে অভ্যন্তরীণ স্পর্শক সংজ্ঞায়িত করা হবে না। নির্মাণ বিট্যানজেন্ট লাইনগুলি সেই নিবন্ধে বর্ণিত হোমোথেটিক কেন্দ্রগুলি নির্মাণ করে এবং তারপরে উপরে বর্ণিত একটি পদ্ধতি দ্বারা একটি বৃত্তের স্পর্শক হোমোথেটিক কেন্দ্রের মাধ্যমে স্পর্শক রেখা তৈরি করে তৈরি করা যেতে পারে। ফলস্বরূপ রেখাটি তখন অন্য বৃত্তের সাথেও স্পর্শক হবে। বিকল্পভাবে, স্পর্শক রেখা এবং স্পর্শক বিন্দুগুলি আরও সরাসরি তৈরি করা যেতে পারে, যা নীচে বিস্তারিতভাবে দেওয়া হয়েছে। লক্ষ্য করুন যে অবক্ষয়জনিত ক্ষেত্রে এই নির্মাণগুলি ভেঙে যায়; প্রদর্শনীকে সহজ করার জন্য এটি এই বিভাগে আলোচনা করা হয়নি, তবে নির্মাণের একটি রূপ সীমিত ক্ষেত্রে কাজ করতে পারে (যেমন, এক বিন্দুতে দুটি বৃত্ত স্পর্শক)। কৃত্রিম জ্যামিতি দুটি বৃত্তের কেন্দ্র হতে দিন, এবং তাদের ব্যাসার্ধ হতে দিন, অন্য কথায়, বৃত্তকে দুটি বৃত্তের বৃহত্তর হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। বাহ্যিক এবং অভ্যন্তরীণ স্পর্শক রেখা তৈরি করতে দুটি ভিন্ন পদ্ধতি ব্যবহার করা যেতে পারে। বাহ্যিক স্পর্শককে কেন্দ্র করে ব্যাসার্ধের একটি নতুন বৃত্ত আঁকা হয়। উপরের পদ্ধতিটি ব্যবহার করে, এই নতুন বৃত্তের স্পর্শক থেকে দুটি রেখা টানা হয়। এই রেখাগুলি কাঙ্ক্ষিত স্পর্শক রেখার সমান্তরাল, কারণ পরিস্থিতি উভয় বৃত্ত এবং একটি ধ্রুবক পরিমাণ দ্বারা সঙ্কুচিত হওয়ার সাথে মিলে যায়, যা একটি বিন্দুতে সঙ্কুচিত হয়। স্পর্শক বিন্দুর মধ্য দিয়ে কেন্দ্র থেকে দুটি রেডিয়াল রেখা টানা যেতে পারে; এগুলি কাঙ্ক্ষিত স্পর্শক বিন্দুতে ছেদ করে। কাঙ্ক্ষিত বাহ্যিক স্পর্শক রেখাগুলি হল সেই স্পর্শক বিন্দুগুলিতে এই রেডিয়াল রেখাগুলির লম্ব রেখা, যা উপরে বর্ণিত হিসাবে নির্মিত হতে পারে। অভ্যন্তরীণ স্পর্শক ব্যাসার্ধের একটি নতুন বৃত্তকে কেন্দ্র করে আঁকা হয়। উপরের পদ্ধতিটি ব্যবহার করে, এই নতুন বৃত্তের স্পর্শক থেকে দুটি রেখা টানা হয়। এই রেখাগুলি কাঙ্ক্ষিত স্পর্শক রেখার সমান্তরাল, কারণ পরিস্থিতি একটি স্থির পরিমাণে প্রসারিত হওয়ার সময় একটি বিন্দুতে সঙ্কুচিত হওয়ার সাথে মিলে যায়। স্পর্শক বিন্দুর মধ্য দিয়ে কেন্দ্র থেকে দুটি রেডিয়াল রেখা টানা যেতে পারে; এগুলি কাঙ্ক্ষিত স্পর্শক বিন্দুতে ছেদ করে। কাঙ্ক্ষিত অভ্যন্তরীণ স্পর্শক রেখা হল সেই স্পর্শক বিন্দুগুলিতে এই রেডিয়াল রেখার লম্ব রেখা, যা উপরে বর্ণিত হিসাবে তৈরি করা যেতে পারে। বিশ্লেষণাত্মক জ্যামিতি ধরা যাক বৃত্তগুলির কেন্দ্র এবং ব্যাসার্ধ যথাক্রমে রয়েছে। স্বাভাবিককরণের সাথে সমীকরণ দ্বারা একটি রেখা প্রকাশ করলে একটি বিট্যাঞ্জেন্ট রেখা সন্তুষ্ট হয়ঃ দ্বিতীয় ফলন থেকে প্রথমটিকে বিয়োগ করে সমাধান করা যেখানে এবং বাইরের স্পর্শকের জন্য বা অভ্যন্তরীণ স্পর্শকের জন্য। যদি থেকে দূরত্বটি হয় তবে আমরা সমীকরণ (1) কে সহজতর করার জন্য এটিকে স্বাভাবিক করতে পারি, যার ফলে নিম্নলিখিত সমীকরণের পদ্ধতি তৈরি হয়ঃ দুটি বাহ্যিক স্পর্শক রেখার জন্য দুটি সমাধান () পেতে এগুলি সমাধান করুনঃ জ্যামিতিকভাবে এটি স্পর্শক রেখা এবং কেন্দ্রগুলির রেখা দ্বারা গঠিত কোণ গণনা করার সাথে মিলে যায় এবং তারপরে কেন্দ্রগুলির রেখার সমীকরণটি ঘোরানোর জন্য এটি ব্যবহার করে স্পর্শক রেখার জন্য একটি সমীকরণ তৈরি করে। কোণটি একটি সমকোণ ত্রিভুজের ত্রিকোণমিতিক ফাংশন গণনা করে গণনা করা হয় যার শীর্ষগুলি হল (বাহ্যিক) সমস্থানিক কেন্দ্র, একটি বৃত্তের কেন্দ্র এবং একটি স্পর্শক বিন্দু; হাইপোটেনুজ স্পর্শক রেখার উপর অবস্থিত, ব্যাসার্ধ কোণের বিপরীত, এবং সংলগ্ন দিকটি কেন্দ্রের লাইনের উপর অবস্থিত। এটি হল একক ভেক্টর যা থেকে নির্দেশ করে, যেখানে কেন্দ্রগুলির রেখা এবং একটি স্পর্শক রেখার মধ্যে কোণটি অবস্থিত। তারপর (চিহ্নের উপর নির্ভর করে, সমতুল্যভাবে ঘূর্ণনের দিক), এবং উপরের সমীকরণগুলি ঘূর্ণন ম্যাট্রিক্স ব্যবহার করে ঘূর্ণন করা হয়ঃ বৃত্তের ডানদিকে স্পর্শক রেখাটি থেকে। বৃত্তের ডানদিকের স্পর্শক রেখাটি থেকে দিকে তাকিয়ে আছে। উপরেরটি ধরে নেয় যে প্রতিটি বৃত্তের ধনাত্মক ব্যাসার্ধ রয়েছে। যদি ধনাত্মক এবং ঋণাত্মক হয় তবে প্রতিটি রেখার বাম এবং ডানদিকে থাকবে এবং দুটি স্পর্শক রেখা অতিক্রম করবে। এইভাবে চারটি সমাধানই পাওয়া যায়। উভয় রেডাই সুইচ এবং এর স্যুইচিং সাইন। ভেক্টর সাধারণভাবে স্পর্শক বিন্দু এবং কেন্দ্র এবং ব্যাসার্ধ সহ দুটি বৃত্তের চার রেখার স্পর্শক বিন্দু এবং একযোগে সমীকরণগুলি সমাধান করে দেওয়া হয়ঃ এই সমীকরণগুলি প্রকাশ করে যে স্পর্শক রেখা, যা ব্যাসার্ধের সমান্তরাল, এবং স্পর্শক বিন্দুগুলি তাদের নিজ নিজ বৃত্তের উপর অবস্থিত। এগুলি দুটি দ্বি-মাত্রিক ভেক্টর চলকের চারটি দ্বিঘাত সমীকরণ এবং সাধারণ অবস্থানে চারটি জোড়া সমাধান থাকবে। অধঃপতিত ক্ষেত্রে বিন্যাসের উপর নির্ভর করে দুটি স্বতন্ত্র বৃত্তের শূন্য এবং চারটি বিট্যাঞ্জেন্ট লাইনের মধ্যে থাকতে পারে; কেন্দ্র এবং ব্যাসার্ধের মধ্যে দূরত্বের পরিপ্রেক্ষিতে এগুলিকে শ্রেণীবদ্ধ করা যেতে পারে। যদি বহুগুণ দিয়ে গণনা করা হয় (একটি সাধারণ স্পর্শককে দু 'বার গণনা করা হয়) তবে শূন্য, দুই বা চারটি বিট্যাঞ্জেন্ট রেখা থাকে। বিট্যাঞ্জেন্ট রেখাগুলি ঋণাত্মক বা শূন্য ব্যাসার্ধের বৃত্তগুলিতেও সাধারণীকরণ করা যেতে পারে। অবক্ষয়জনিত ঘটনা এবং গুণাবলী অন্যান্য বিন্যাসের সীমার পরিপ্রেক্ষিতেও বোঝা যায়-যেমন, দুটি বৃত্তের একটি সীমা যা প্রায় স্পর্শ করে এবং একটি এমনভাবে সরানো যাতে তারা স্পর্শ করে, অথবা একটি ছোট ব্যাসার্ধ সহ একটি বৃত্ত যা শূন্য ব্যাসার্ধের একটি বৃত্তে সঙ্কুচিত হয়। যদি বৃত্তগুলি একে অপরের () বাইরে থাকে, যা সাধারণ অবস্থান, তবে চারটি বিট্যাঞ্জেন্ট রয়েছে। যদি তারা একটি বিন্দুতে () বাহ্যিকভাবে স্পর্শ করে-বাহ্যিক স্পর্শকতার একটি বিন্দু থাকে-তবে তাদের দুটি বাহ্যিক বিট্যাঞ্জেন্ট এবং একটি অভ্যন্তরীণ বিট্যাঞ্জেন্ট থাকে, যথা সাধারণ স্পর্শক রেখা। এই সাধারণ স্পর্শক রেখার বহুগুণ দুই রয়েছে, কারণ এটি উভয় দিকের (দিক) জন্য বৃত্তগুলিকে (একটি বাম দিকে, একটি ডান দিকে) পৃথক করে। যদি বৃত্তগুলি দুটি বিন্দুতে ছেদ করে (), তবে তাদের কোনও অভ্যন্তরীণ বিট্যাঞ্জেন্ট এবং দুটি বাহ্যিক বিট্যাঞ্জেন্ট নেই (তাদের আলাদা করা যায় না, কারণ তারা ছেদ করে, তাই কোনও অভ্যন্তরীণ বিট্যাঞ্জেন্ট নেই)। যদি বৃত্তগুলি একটি বিন্দুতে () অভ্যন্তরীণভাবে স্পর্শ করে-যার অভ্যন্তরীণ স্পর্শকের একটি বিন্দু থাকে-তবে তাদের কোনও অভ্যন্তরীণ বিট্যাঞ্জেন্ট এবং একটি বাহ্যিক বিট্যাঞ্জেন্ট নেই, যথা সাধারণ স্পর্শক রেখা, যার উপরে যেমন গুণিতক দুটি রয়েছে। যদি একটি বৃত্ত সম্পূর্ণরূপে অন্যটির () ভিতরে থাকে তবে তাদের কোনও বিট্যাঞ্জেন্ট নেই, কারণ বাইরের বৃত্তের একটি স্পর্শক রেখা অভ্যন্তরীণ বৃত্তকে ছেদ করে না, অথবা বিপরীতভাবে অভ্যন্তরীণ বৃত্তের একটি স্পর্শক রেখা বাইরের বৃত্তের একটি বিচ্ছিন্ন রেখা। পরিশেষে, যদি দুটি বৃত্ত অভিন্ন হয়, তবে বৃত্তের যে কোনও স্পর্শক একটি সাধারণ স্পর্শক এবং তাই (বাহ্যিক) বিট্যাঞ্জেন্ট হয়, তাই একটি বৃত্তের বিট্যাঞ্জেন্টের মূল্য রয়েছে। উপরন্তু, বিট্যাঞ্জেন্ট রেখার ধারণাটি ঋণাত্মক ব্যাসার্ধের বৃত্তগুলিতে প্রসারিত করা যেতে পারে (বিন্দুর একই স্থান, তবে "ভিতরে বাইরে" হিসাবে বিবেচিত হয়), এই ক্ষেত্রে যদি ব্যাসার্ধের বিপরীত চিহ্ন থাকে (এক বৃত্তের ঋণাত্মক ব্যাসার্ধ এবং অন্যটির ধনাত্মক ব্যাসার্ধ থাকে) তবে বাহ্যিক এবং অভ্যন্তরীণ সমস্থানিক কেন্দ্রগুলি এবং বাহ্যিক এবং অভ্যন্তরীণ বিট্যাঞ্জেন্টগুলি পরিবর্তিত হয়, অন্যদিকে যদি ব্যাসার্ধের একই চিহ্ন থাকে (ধনাত্মক ব্যাসার্ধ বা উভয় ঋণাত্মক ব্যাসার্ধ) "বাহ্যিক" এবং "অভ্যন্তরীণ"-এর একই স্বাভাবিক অর্থ থাকে (একটি চিহ্ন পরিবর্তন করলে সেগুলি পরিবর্তিত হয়, তাই উভয় পরিবর্তনই সেগুলিকে ফিরিয়ে দেয়)। বিট্যানজেন্ট রেখাও সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে যখন একটি বা উভয় বৃত্তের ব্যাসার্ধ শূন্য থাকে। এই ক্ষেত্রে শূন্য ব্যাসার্ধের বৃত্তটি একটি দ্বৈত বিন্দু, এবং এইভাবে এর মধ্য দিয়ে যাওয়া যে কোনও রেখা গুণিতক দুই দিয়ে বিন্দুটিকে ছেদ করে, তাই এটি "স্পর্শক"। যদি একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ শূন্য হয়, তবে একটি বিট্যাঞ্জেন্ট লাইন কেবল বৃত্তের একটি রেখা স্পর্শক এবং বিন্দুর মধ্য দিয়ে যায় এবং গুণিতক দুই দিয়ে গণনা করা হয়। যদি উভয় বৃত্তের ব্যাসার্ধ শূন্য হয়, তবে বিট্যাঞ্জেন্ট রেখাটি তারা যে রেখাটি সংজ্ঞায়িত করে এবং গুণিতক চার দিয়ে গণনা করা হয়। লক্ষ্য করুন যে এই অবক্ষয়জনিত ক্ষেত্রে বাহ্যিক এবং অভ্যন্তরীণ সমস্থানিক কেন্দ্র সাধারণত এখনও বিদ্যমান থাকে (ব্যাসার্ধ সমান হলে বাহ্যিক কেন্দ্রটি অনন্ত হয়), যদি বৃত্তগুলি মিলে যায় তবে ব্যতীত, বাহ্যিক কেন্দ্রটি সংজ্ঞায়িত করা হয় না, বা যদি উভয় বৃত্তের ব্যাসার্ধ শূন্য হয়, তবে অভ্যন্তরীণ কেন্দ্রটি সংজ্ঞায়িত করা হয় না। অ্যাপ্লিকেশন বেল্ট সমস্যা অভ্যন্তরীণ এবং বাহ্যিক স্পর্শক রেখা বেল্ট সমস্যা সমাধানে কার্যকর, যা দুটি পুলির উপর মসৃণভাবে ফিট করার জন্য প্রয়োজনীয় বেল্ট বা দড়ির দৈর্ঘ্য গণনা করা। যদি বেল্টটিকে নগণ্য পুরুত্বের একটি গাণিতিক রেখা হিসাবে বিবেচনা করা হয়, এবং যদি উভয় পালি ঠিক একই সমতলে থাকে বলে ধরে নেওয়া হয়, তবে সমস্যাটি বেল্ট দ্বারা উপস্থাপিত বৃত্তাকার চাপের দৈর্ঘ্যের সাথে প্রাসঙ্গিক স্পর্শক রেখা অংশগুলির দৈর্ঘ্যের যোগফল ঘটায়। যদি বেল্টটি চাকার চারপাশে মোড়ানো থাকে যাতে এটি অতিক্রম করা যায়, তবে অভ্যন্তরীণ স্পর্শক রেখার অংশগুলি প্রাসঙ্গিক। বিপরীতভাবে, যদি বেল্টটি পুলির চারপাশে বাইরের দিকে মোড়ানো থাকে, তবে বাইরের স্পর্শক রেখার অংশগুলি প্রাসঙ্গিক; এই কেসটিকে কখনও কখনও পুলির সমস্যা বলা হয়। তিনটি বৃত্তের স্পর্শক রেখাঃ মোঙ্গের উপপাদ্য দ্বারা চিহ্নিত তিনটি বৃত্তের জন্য, এবং, তিনটি জোড়া বৃত্ত রয়েছে (,, এবং)। যেহেতু প্রতিটি জোড়া বৃত্তের দুটি সমজাতীয় কেন্দ্র রয়েছে, তাই মোট ছয়টি সমজাতীয় কেন্দ্র রয়েছে। 19 শতকের গোড়ার দিকে গ্যাস্পার্ড মঙ্গে দেখিয়েছিলেন যে এই ছয়টি পয়েন্ট চারটি লাইনে রয়েছে, প্রতিটি লাইনের তিনটি কলিনিয়ার পয়েন্ট রয়েছে। অ্যাপোলোনিয়াসের সমস্যা অ্যাপোলোনিয়াসের সমস্যার অনেক বিশেষ ক্ষেত্রে এমন একটি বৃত্ত খুঁজে বের করা জড়িত যা এক বা একাধিক রেখার স্পর্শক। এর মধ্যে সবচেয়ে সহজ হল তিনটি প্রদত্ত রেখার (এলএলএল সমস্যা) স্পর্শক বৃত্ত তৈরি করা। এই সমস্যাটি সমাধান করার জন্য, এই ধরনের যে কোনও বৃত্তের কেন্দ্রটি অবশ্যই যে কোনও জোড়া রেখার দ্বিখণ্ডিত কোণে থাকতে হবে; দুটি রেখার প্রতিটি ছেদনের জন্য দুটি কোণ-বিভাজক রেখা রয়েছে। এই কোণ দ্বিখণ্ডকের ছেদগুলি সমাধান বৃত্তের কেন্দ্রগুলি দেয়। সাধারণভাবে এই ধরনের চারটি বৃত্ত রয়েছে, তিনটি রেখার ছেদ দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের খোদাই করা বৃত্ত এবং তিনটি বর্ধিত বৃত্ত। একটি সাধারণ অ্যাপোলোনিয়াস সমস্যাকে একটি বৃত্ত এবং দুটি সমান্তরাল রেখার বৃত্ত স্পর্শকের সহজ সমস্যায় রূপান্তরিত করা যেতে পারে (নিজেই এল. এল. সি বিশেষ ক্ষেত্রে একটি বিশেষ ক্ষেত্রে)। এটি সম্পন্ন করার জন্য, তিনটি প্রদত্ত বৃত্তের মধ্যে দুটি স্কেল করা যথেষ্ট যতক্ষণ না তারা কেবল স্পর্শ করে, অর্থাৎ স্পর্শক হয়। উপযুক্ত ব্যাসার্ধের একটি বৃত্তের সাপেক্ষে তাদের স্পর্শক বিন্দুর একটি বিপরীতমুখীকরণ দুটি স্পর্শকারী প্রদত্ত বৃত্তকে দুটি সমান্তরাল রেখায় এবং তৃতীয় প্রদত্ত বৃত্তটিকে অন্য একটি বৃত্তে রূপান্তরিত করে। সুতরাং, দুটি সমান্তরাল রেখার মধ্যে ধ্রুবক ব্যাসার্ধের একটি বৃত্ত সরানোর মাধ্যমে সমাধানগুলি খুঁজে পাওয়া যেতে পারে যতক্ষণ না এটি রূপান্তরিত তৃতীয় বৃত্তের সাথে যোগাযোগ করে। রি-ইনভার্সন মূল সমস্যার সংশ্লিষ্ট সমাধান তৈরি করে। সাধারণীকরণ এক বা একাধিক বৃত্তের স্পর্শক রেখার ধারণাটি বিভিন্ন উপায়ে সাধারণীকরণ করা যেতে পারে। প্রথমত, স্পর্শক বিন্দু এবং স্পর্শক রেখার মধ্যে সংযুক্ত সম্পর্ককে মেরু বিন্দু এবং মেরু রেখায় সাধারণীকরণ করা যেতে পারে, যেখানে মেরু বিন্দুগুলি কেবল বৃত্তের পরিধির উপর নয়, যে কোনও জায়গায় থাকতে পারে। দ্বিতীয়ত, দুটি বৃত্তের মিলন একটি কোয়ার্টিক সমতল বক্ররেখার একটি বিশেষ (হ্রাসযোগ্য) কেস এবং বাহ্যিক এবং অভ্যন্তরীণ স্পর্শক রেখাগুলি এই কোয়ার্টিক বক্ররেখার বিট্যাঞ্জেন্ট। একটি সাধারণ কোয়ার্টিক বক্ররেখার 28টি বিট্যানজেন্ট থাকে। একটি তৃতীয় সাধারণীকরণ স্পর্শক রেখার পরিবর্তে স্পর্শক বৃত্তকে বিবেচনা করে; একটি স্পর্শক রেখাকে অসীম ব্যাসার্ধের স্পর্শক বৃত্ত হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে। বিশেষত, দুটি বৃত্তের বাহ্যিক স্পর্শক রেখাগুলি বৃত্তের একটি পরিবারের ক্ষেত্রে সীমাবদ্ধ করে যা উভয় বৃত্তের অভ্যন্তরীণ বা বাহ্যিকভাবে স্পর্শক, অন্যদিকে অভ্যন্তরীণ স্পর্শক রেখাগুলি বৃত্তের একটি পরিবারের ক্ষেত্রে সীমাবদ্ধ করে যা অভ্যন্তরীণভাবে একটির সাথে স্পর্শক এবং দুটি বৃত্তের অন্যটির সাথে বাহ্যিকভাবে স্পর্শক। মোবিয়াস বা বিপরীতমুখী জ্যামিতিতে, রেখাগুলিকে একটি বিন্দুর মধ্য দিয়ে বৃত্ত হিসাবে দেখা হয় এবং যে কোনও রেখা এবং যে কোনও বৃত্তের জন্য, একটি মোবিয়াস রূপান্তর রয়েছে যা একে অপরের সাথে মানচিত্র করে। মোবিয়াস জ্যামিতিতে, একটি রেখা এবং একটি বৃত্তের মধ্যে স্পর্শকতা দুটি বৃত্তের মধ্যে স্পর্শকতার একটি বিশেষ ক্ষেত্রে পরিণত হয়। এই সমতুল্যতা লাই গোলক জ্যামিতিতে আরও প্রসারিত হয়। ব্যাসার্ধ এবং স্পর্শক রেখা একটি বৃত্তের একটি বিন্দুতে লম্ব এবং একক হাইপারবোলার একটি বিন্দুতে হাইপারবোলিক-অর্থোগোনাল। ব্যাসার্ধ ভেক্টরের মাধ্যমে একক হাইপারবোলার প্যারামেট্রিক উপস্থাপনা হল। ব্যাসার্ধ এবং স্পর্শক হাইপারবোলিক অর্থোগোনাল এবং একক হাইপারবোলার অ্যাসিম্পটোটে একে অপরের প্রতিফলন। যখন বিভক্ত-জটিল সংখ্যা (যেখানে) হিসাবে ব্যাখ্যা করা হয়, তখন দুটি সংখ্যা রেফারেন্সগুলি পূরণ করে বাহ্যিক লিঙ্ক বৃত্ত