Smoothness
গাণিতিক বিশ্লেষণে, কোনও ফাংশনের মসৃণতা এমন একটি বৈশিষ্ট্য যা কোনও ডোমেনের উপর অবিচ্ছিন্ন ডেরিভেটিভের সংখ্যা দ্বারা পরিমাপ করা হয়, যাকে ডিফারেনশিবিলিটি ক্লাস বলা হয়। খুব কমপক্ষে, একটি ফাংশনকে মসৃণ হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে যদি এটি সর্বত্র ডিফারেনশিয়েবল হয় (তাই অবিচ্ছিন্ন)। অন্যদিকে, এটি তার ডোমেনের সমস্ত ক্রমের ডেরিভেটিভও ধারণ করতে পারে, এই ক্ষেত্রে এটিকে অসীমভাবে ডিফারেন্শিয়েবল বলা হয় এবং সি-ইনফিনিটি ফাংশন (বা ফাংশন) হিসাবে উল্লেখ করা হয়। ডিফারেনশিবিলিটি ক্লাস হল তাদের ডেরিভেটিভের বৈশিষ্ট্য অনুসারে ফাংশনের একটি শ্রেণিবিন্যাস। এটি ডেরিভেটিভের সর্বোচ্চ ক্রমের একটি পরিমাপ যা বিদ্যমান এবং একটি ফাংশনের জন্য অবিচ্ছিন্ন। বাস্তব লাইনে একটি খোলা সেট এবং বাস্তব মানগুলির সাথে সংজ্ঞায়িত একটি ফাংশন বিবেচনা করুন। ধরা যাক k একটি অ-ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা। ফাংশনটিকে ডিফারেনশিবিলিটি শ্রেণীর বলা হয় যদি ডেরিভেটিভ বিদ্যমান থাকে এবং অবিচ্ছিন্নভাবে চালু থাকে। যদি-ডিফারেনশিয়াল অন হয়, তবে এটি অন্তত ক্লাসে থাকে কারণ এটি অবিচ্ছিন্নভাবে চালু থাকে। ফাংশনটিকে অসীমভাবে ডিফারেনশিয়েবল, মসৃণ বা শ্রেণীর বলা হয়, যদি এটিতে সমস্ত অর্ডারের ডেরিভেটিভ থাকে। (সুতরাং এই সমস্ত ডেরিভেটিভস হল কন্টিনিউয়াস ফাংশন।) ফাংশনটিকে শ্রেণী বা বিশ্লেষণাত্মক বলা হয়, যদি মসৃণ হয় (অর্থাৎ, শ্রেণীতে থাকে) এবং তার ডোমেনের যে কোনও বিন্দুর চারপাশে এর টেলর সিরিজের সম্প্রসারণ বিন্দুর কোনও পাড়ায় ফাংশনে একত্রিত হয়। এইভাবে কঠোরভাবে অন্তর্ভুক্ত করা হয়। বাম্প ফাংশনগুলি ফাংশনের উদাহরণ কিন্তু ভিতরে নয়। অন্যভাবে বলতে গেলে, শ্রেণীটি সমস্ত অবিচ্ছিন্ন ফাংশন নিয়ে গঠিত। শ্রেণীটি সমস্ত ডিফারেনশিয়েবল ফাংশন নিয়ে গঠিত যার ডেরিভেটিভ অবিচ্ছিন্ন; এই ধরনের ফাংশনগুলিকে কন্টিনিউয়ালি ডিফারেনশিয়েবল বলা হয়। সুতরাং, একটি ফাংশন ঠিক এমন একটি ফাংশন যার ডেরিভেটিভ বিদ্যমান এবং শ্রেণীর। সাধারণভাবে, শ্রেণীগুলিকে সমস্ত অবিচ্ছিন্ন ফাংশনের সেট হিসাবে ঘোষণা করে এবং যে কোনও ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যাকে সমস্ত ডিফারেনশিয়েবল ফাংশনের সেট হিসাবে ঘোষণা করে পুনরাবৃত্তিমূলকভাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে যার ডেরিভেটিভ রয়েছে। বিশেষ করে, প্রত্যেকের জন্য অন্তর্ভুক্ত করা হয়েছে, এবং এই নিয়ন্ত্রণ কঠোর () দেখানোর জন্য উদাহরণ রয়েছে। অসীম অবকলনীয় ফাংশনের শ্রেণী হল শ্রেণীগুলির ছেদ যা অ-ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যার উপর পরিবর্তিত হয়। উদাহরণস্বরূপঃ কন্টিনিউয়াস (সি0) কিন্তু ডিফারেনশিয়েবল নয় ফাংশনটি কন্টিনিউয়াস, কিন্তু এট-এ ডিফারেনশিয়েবল নয়, তাই এটি সি0 শ্রেণীর, কিন্তু সি1 শ্রেণীর নয়। উদাহরণস্বরূপঃ ফাইনাইটলি-টাইমস ডিফারেনশিয়েবল (সি) প্রতিটি জোড় পূর্ণসংখ্যার জন্য, ফাংশনটি অবিচ্ছিন্ন এবং টাইমস ডিফারেনশিয়েবল। এ, তবে, কখনও কখনও পার্থক্যযোগ্য নয়, সি শ্রেণীর ক্ষেত্রেও তাই, তবে সি শ্রেণীর ক্ষেত্রে নয়। উদাহরণস্বরূপঃ অবকলনীয় কিন্তু অবিচ্ছিন্নভাবে অবকলনীয় নয় (সি1 নয়) এই ফাংশনটি অবকল সহ অবকলনীয় কারণ 0-এর মতো দোলন শূন্যে অবিচ্ছিন্ন নয়। অতএব, পার্থক্যযোগ্য কিন্তু শ্রেণী সি1-এর নয়। উদাহরণস্বরূপঃ ডিফারেনশিয়েবল কিন্তু না লিপশিটজ কন্টিনিউয়াস ফাংশনটি ডিফারেনশিয়েবল তবে এর ডেরিভেটিভ একটি কম্প্যাক্ট সেটে সীমাহীন। অতএব, এটি এমন একটি ফাংশনের উদাহরণ যা অবকলনযোগ্য কিন্তু স্থানীয়ভাবে ক্রমাগত লিপশিটজ নয়। উদাহরণস্বরূপঃ বিশ্লেষণাত্মক (সি) সূচকীয় ফাংশনটি বিশ্লেষণাত্মক, এবং তাই Cω শ্রেণীর মধ্যে পড়ে। ত্রিকোণমিতিক ফাংশনগুলি যেখানেই সংজ্ঞায়িত করা হয় সেখানে বিশ্লেষণাত্মক হয় কারণ এগুলি জটিল সূচকীয় ফাংশনের রৈখিক সংমিশ্রণ এবং। উদাহরণস্বরূপঃ মসৃণ (সি) কিন্তু বিশ্লেষণাত্মক নয় (সি) বাম্প ফাংশন মসৃণ, তাই সি ক্লাসের, তবে এটি বিশ্লেষণাত্মক নয়, এবং তাই এটি সি ক্লাসের নয়। ফাংশনটি কম্প্যাক্ট সাপোর্ট সহ মসৃণ ফাংশনের একটি উদাহরণ। মাল্টিভ্যারিয়েট ডিফারেনশিবিলিটি ক্লাস একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার জন্য একটি মুক্ত সেটের উপর সংজ্ঞায়িত একটি ফাংশনকে বলা হয়, যদি সমস্ত আংশিক ডেরিভেটিভ বিদ্যমান থাকে এবং অবিচ্ছিন্ন হয়, প্রতিটি অ-ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যার জন্য, যেমন যে, এবং প্রতিটি। সমতুল্যভাবে, যদি এর-তম ক্রম ফ্রেচেট ডেরিভেটিভ বিদ্যমান থাকে এবং এর প্রতিটি বিন্দুতে অবিচ্ছিন্ন হয়। ফাংশনটিকে ক্লাসের বলা হয় বা যদি এটি অবিচ্ছিন্নভাবে চালু থাকে। ক্লাসের ফাংশনগুলিও অবিচ্ছিন্নভাবে পার্থক্যযোগ্য বলে মনে করা হয়। একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার জন্য, একটি ফাংশন, যা একটি উন্মুক্ত সেটের উপর সংজ্ঞায়িত করা হয়, তাকে ক্লাস অন বলা হয়, যদি এর সমস্ত উপাদান শ্রেণীর হয়, তবে প্রাকৃতিক অনুমানগুলি দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়। এটিকে বলা হয় শ্রেণীর বা যদি এটি অবিচ্ছিন্ন হয়, বা সমতুল্যভাবে, যদি সমস্ত উপাদান অবিচ্ছিন্ন হয়, চালু। সিকে ফাংশনের স্থান বাস্তব রেখার একটি উন্মুক্ত উপসেট হতে দিন। সমস্ত বাস্তব-মূল্যবান ফাংশনের সেটটি একটি ফ্রেচেট ভেক্টর স্পেসের উপর সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে, যেখানে সেমিনোর্মের গণনাযোগ্য পরিবার রয়েছে যেখানে কম্প্যাক্ট সেটগুলির ক্রমবর্ধমান ক্রমের উপর পরিবর্তিত হয় যার ইউনিয়ন হল, এবং। উপরের ফাংশনের সেটটিও একটি ফ্রেচেট স্পেস গঠন করে। একটি উপরের মতো একই সেমিনর্ম ব্যবহার করে, তবে এটি সমস্ত অ-নেতিবাচক পূর্ণসংখ্যার মানগুলির মধ্যে সীমাবদ্ধ। উপরের স্থানগুলি প্রাকৃতিকভাবে এমন প্রয়োগগুলিতে ঘটে যেখানে নির্দিষ্ট ক্রমের ডেরিভেটিভযুক্ত ফাংশনগুলি প্রয়োজনীয়; তবে, বিশেষত আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের অধ্যয়নে, কখনও কখনও সোবোলেভ স্থানগুলির পরিবর্তে কাজ করা আরও ফলপ্রসূ হতে পারে। ধারাবাহিকতা প্যারামেট্রিক ধারাবাহিকতা (সিকে) এবং জ্যামিতিক ধারাবাহিকতা (জিএন) শব্দগুলি ব্রায়ান বার্স্কি দ্বারা প্রবর্তিত হয়েছিল, এটি দেখানোর জন্য যে একটি বক্ররেখার মসৃণতা গতির উপর সীমাবদ্ধতা সরিয়ে পরিমাপ করা যেতে পারে, যার সাহায্যে পরামিতিটি বক্ররেখাটি চিহ্নিত করে। প্যারামেট্রিক ধারাবাহিকতা (সিকে) হল প্যারামেট্রিক বক্ররেখার ক্ষেত্রে প্রয়োগ করা একটি ধারণা, যা বক্ররেখা বরাবর দূরত্বের সাথে প্যারামিটারের মানের মসৃণতা বর্ণনা করে। একটি (প্যারামেট্রিক) বক্ররেখা শ্রেণী সিকে বলা হয়, যদি বিদ্যমান থাকে এবং অবিচ্ছিন্ন থাকে, যেখানে শেষ বিন্দুতে ডেরিভেটিভ এবং একমুখী ডেরিভেটিভ হিসাবে নেওয়া হয় (ডান দিক থেকে এবং বাম দিক থেকে)। এই ধারণার ব্যবহারিক প্রয়োগ হিসাবে, সময়ের একটি পরামিতি সহ কোনও বস্তুর গতি বর্ণনা করে এমন একটি বক্ররেখার অবশ্যই সি1 ধারাবাহিকতা থাকতে হবে এবং বস্তুটির সীমাবদ্ধ ত্বরণের জন্য এর প্রথম ব্যুৎপত্তিটি পার্থক্যযোগ্য। মসৃণ গতির জন্য, যেমন একটি ফিল্ম তৈরি করার সময় একটি ক্যামেরার পথের জন্য, প্যারামেট্রিক ধারাবাহিকতার উচ্চতর অর্ডার প্রয়োজন। প্যারামেট্রিক ধারাবাহিকতার ক্রম প্যারামেট্রিক ধারাবাহিকতার বিভিন্ন ক্রমকে নিম্নরূপ বর্ণনা করা যেতে পারেঃঃ শূন্য অন্তরজ অবিচ্ছিন্ন (বক্ররেখা অবিচ্ছিন্ন): শূন্য এবং প্রথম অন্তরজ অবিচ্ছিন্নঃ শূন্য, প্রথম এবং দ্বিতীয় অন্তরজ অবিচ্ছিন্নঃ 0-তম থেকে-তম অন্তরজ অবিচ্ছিন্ন জ্যামিতিক ধারাবাহিকতা জ্যামিতিক ধারাবাহিকতা বা জ্যামিতিক ধারাবাহিকতা (জিএন) ধারণাটি প্রাথমিকভাবে লাইবনিজ, কেপলার এবং পোনসলেটের মতো গণিতবিদদের দ্বারা শঙ্কু বিভাগে (এবং সম্পর্কিত আকার) প্রয়োগ করা হয়েছিল। ধারণাটি ছিল বীজগণিতের পরিবর্তে জ্যামিতির মাধ্যমে, একটি প্যারামেট্রিক ফাংশনের মাধ্যমে প্রকাশিত ধারাবাহিকতার ধারণাটি বর্ণনা করার একটি প্রাথমিক প্রচেষ্টা। জ্যামিতিক ধারাবাহিকতার পিছনে মূল ধারণাটি ছিল যে পাঁচটি শঙ্কু বিভাগ আসলে একই আকৃতির পাঁচটি ভিন্ন সংস্করণ ছিল। একটি উপবৃত্তাকার বৃত্তের দিকে ঝোঁক থাকে যখন উৎকেন্দ্রিকতা শূন্যের কাছাকাছি পৌঁছায়, অথবা একটি প্যারাবোলা যখন একটির কাছে পৌঁছায়; এবং একটি হাইপারবোলা একটি প্যারাবোলা দিকে ঝোঁক থাকে যখন উৎকেন্দ্রিকতা একটির দিকে নেমে যায়; এটি ছেদকারী রেখাগুলির দিকেও ঝোঁক রাখতে পারে। এইভাবে, শঙ্কু বিভাগের মধ্যে ধারাবাহিকতা ছিল। এই ধারণাগুলি ধারাবাহিকতার অন্যান্য ধারণার দিকে পরিচালিত করে। উদাহরণস্বরূপ, যদি একটি বৃত্ত এবং একটি সরলরেখা একই আকৃতির দুটি অভিব্যক্তি হয়, সম্ভবত একটি রেখাকে অসীম ব্যাসার্ধের বৃত্ত হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে। এইরকম হওয়ার জন্য, বিন্দুটিকে বৃত্তের উপর একটি বিন্দু হতে দিয়ে এবং এর জন্য এবং অভিন্ন হওয়ার অনুমতি দিয়ে লাইনটি বন্ধ করতে হবে। এই ধরনের ধারণাগুলি আধুনিক, বীজগাণিতিকভাবে সংজ্ঞায়িত, একটি ফাংশনের ধারাবাহিকতা এবং এর ধারণা তৈরি করতে কার্যকর ছিল (আরও তথ্যের জন্য প্রজেক্টিভভাবে প্রসারিত বাস্তব রেখা দেখুন)। জ্যামিতিক ধারাবাহিকতার ক্রম একটি বক্ররেখা বা পৃষ্ঠকে ধারাবাহিকতা হিসাবে বর্ণনা করা যেতে পারে, মসৃণতার ক্রমবর্ধমান পরিমাপ হিসাবে। একটি বক্ররেখার একটি বিন্দুর উভয় পাশের অংশগুলি বিবেচনা করুনঃঃ বক্ররেখা সংযুক্ত বিন্দুতে স্পর্শ করে। : সংযুক্ত বিন্দুতে বক্ররেখা একটি সাধারণ স্পর্শক দিকও ভাগ করে নেয়। : সংযুক্ত বিন্দুতে বক্ররেখার একটি সাধারণ কেন্দ্রও বক্ররেখা ভাগ করে নেয়। সাধারণভাবে, ধারাবাহিকতা বিদ্যমান থাকে যদি বক্ররেখা (প্যারামেট্রিক) ধারাবাহিকতার জন্য পুনরায় পরিমাপ করা যায়। বক্ররেখার একটি পুনর্বিন্যাস জ্যামিতিকভাবে মূলটির সাথে অভিন্ন; শুধুমাত্র পরামিতি প্রভাবিত হয়। সমতুল্যভাবে, দুটি ভেক্টর ফাংশন এবং ধারাবাহিকতা থাকে যদি এবং, একটি স্কেলারের জন্য (অর্থাৎ, যদি দুটি ভেক্টরের দিক, তবে প্রয়োজনীয়ভাবে মাত্রা সমান না হয়)। যদিও এটি স্পষ্ট হতে পারে যে একটি বক্ররেখা মসৃণ দেখানোর জন্য ধারাবাহিকতার প্রয়োজন হবে, ভাল নান্দনিকতার জন্য, যেমন স্থাপত্য এবং স্পোর্টস গাড়ির নকশায় উচ্চ স্তরের জ্যামিতিক ধারাবাহিকতা প্রয়োজন। উদাহরণস্বরূপ, একটি গাড়ির শরীরে প্রতিফলন মসৃণ দেখাবে না যদি না শরীরের ধারাবাহিকতা থাকে। এ-এর (চার কোণে নব্বই ডিগ্রি বৃত্তাকার চাপ সহ) ধারাবাহিকতা রয়েছে, তবে ধারাবাহিকতা নেই। একটি গোলকের কোণে অষ্টক এবং প্রান্ত বরাবর চতুর্থাংশ-সিলিন্ডার সহ a-এর ক্ষেত্রেও একই কথা প্রযোজ্য। যদি ধারাবাহিকতা সহ একটি সম্পাদনাযোগ্য বক্ররেখার প্রয়োজন হয়, তবে ঘন স্প্লাইনগুলি সাধারণত বেছে নেওয়া হয়; এই বক্ররেখা প্রায়শই শিল্প নকশায় ব্যবহৃত হয়। অন্যান্য ধারণাগুলি বিশ্লেষণের সঙ্গে সম্পর্ক যদিও সমস্ত বিশ্লেষণমূলক ক্রিয়া "মসৃণ" (অর্থাৎ। সমস্ত ডেরিভেটিভস অবিচ্ছিন্ন থাকে) যে সেটটিতে তারা বিশ্লেষণাত্মক, উদাহরণস্বরূপ বাম্প ফাংশন (উপরে উল্লিখিত) দেখায় যে বিপরীতটি বাস্তব ফাংশনগুলির জন্য সত্য নয়ঃ এমন মসৃণ বাস্তব ফাংশন রয়েছে যা বিশ্লেষণাত্মক নয়। যে কোনও সময়ে মসৃণ কিন্তু বিশ্লেষণাত্মক নয় এমন ফাংশনের সহজ উদাহরণ ফুরিয়ার সিরিজের মাধ্যমে তৈরি করা যেতে পারে; আরেকটি উদাহরণ হল ফ্যাবিয়াস ফাংশন। যদিও এই ধরনের ফাংশনগুলি নিয়মের পরিবর্তে ব্যতিক্রম বলে মনে হতে পারে, তবে দেখা যাচ্ছে যে বিশ্লেষণাত্মক ফাংশনগুলি মসৃণগুলির মধ্যে খুব পাতলাভাবে ছড়িয়ে ছিটিয়ে রয়েছে; আরও কঠোরভাবে, বিশ্লেষণাত্মক ফাংশনগুলি মসৃণ ফাংশনগুলির একটি সামান্য উপসেট গঠন করে। উপরন্তু, বাস্তব রেখার প্রতিটি খোলা উপসেট এ-এর জন্য, মসৃণ ফাংশন রয়েছে যা এ-তে বিশ্লেষণাত্মক এবং অন্য কোথাও নেই। বাস্তব লাইনে অতীন্দ্রিয় সংখ্যার সর্বব্যাপীতার সাথে পরিস্থিতির তুলনা করা দরকারী। বাস্তব রেখা এবং মসৃণ ফাংশনের সেট উভয় ক্ষেত্রেই, আমরা প্রথম চিন্তায় যে উদাহরণগুলি নিয়ে আসি (বীজগাণিতিক/মূলদ সংখ্যা এবং বিশ্লেষণাত্মক ফাংশন) বেশিরভাগ ক্ষেত্রে তুলনায় অনেক ভাল আচরণ করেঃ অতীন্দ্রিয় সংখ্যা এবং কোথাও বিশ্লেষণাত্মক ফাংশনের সম্পূর্ণ পরিমাপ থাকে না (তাদের পরিপূরকগুলি সামান্য)। এইভাবে বর্ণিত পরিস্থিতি জটিল ডিফারেনশিয়েবল ফাংশনের তুলনায় স্পষ্টভাবে বিপরীত। যদি একটি জটিল ফাংশন একটি খোলা সেটে মাত্র একবার ডিফারেনশিয়েবল হয়, তবে এটি সেই সেটে অসীম ডিফারেনশিয়েবল এবং বিশ্লেষণাত্মক উভয়ই হয়। ঐক্যের মসৃণ বিভাজন প্রদত্ত বদ্ধ সমর্থন সহ মসৃণ ফাংশনগুলি ঐক্যের মসৃণ বিভাজন নির্মাণে ব্যবহৃত হয় (ঐক্যের বিভাজন এবং টপোলজি শব্দকোষ দেখুন); মসৃণ ম্যানিফোল্ডের অধ্যয়নে এগুলি অপরিহার্য, উদাহরণস্বরূপ এটি দেখানোর জন্য যে রিম্যানিয়ান মেট্রিকগুলি তাদের স্থানীয় অস্তিত্ব থেকে শুরু করে বিশ্বব্যাপী সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে। একটি সহজ কেস হল বাস্তব লাইনে একটি বাম্প ফাংশন, অর্থাৎ, একটি মসৃণ ফাংশন f যা একটি ব্যবধান [a, b] এর বাইরে মান 0 নেয় এবং এমন যে লাইনে বেশ কয়েকটি ওভারল্যাপিং ব্যবধান দেওয়া হলে, বাম্প ফাংশন তৈরি করা যেতে পারে তাদের প্রত্যেকের উপর, এবং আধা-অসীম বিরতিতে এবং পুরো লাইনটি কভার করার জন্য, যাতে ফাংশনের যোগফল সর্বদা 1 হয়। এইমাত্র যা বলা হয়েছে তা থেকে, একতার বিভাজনগুলি হোলোমর্ফিক ফাংশনের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য নয়; অস্তিত্ব এবং বিশ্লেষণাত্মক ধারাবাহিকতার সাথে সম্পর্কিত তাদের ভিন্ন আচরণ শিফ তত্ত্বের অন্যতম মূল। বিপরীতে, মসৃণ ক্রিয়াকলাপের শেভগুলি খুব বেশি টপোলজিকাল তথ্য বহন করে না। ম্যানিফোল্ডের উপর এবং মধ্যে মসৃণ ফাংশন একটি মসৃণ ম্যানিফোল্ড, মাত্রা এবং একটি অ্যাটলাস দেওয়া হলে একটি মানচিত্র মসৃণ হয় যদি সবকিছুর জন্য এমন একটি চার্ট বিদ্যমান থাকে এবং এটি একটি পার্শ্ববর্তী থেকে একটি মসৃণ ফাংশন হয় (প্রদত্ত ক্রম পর্যন্ত সমস্ত আংশিক ডেরিভেটিভ অবিচ্ছিন্ন)। অ্যাটলাসের যে কোনও চার্টের সাপেক্ষে মসৃণতা পরীক্ষা করা যেতে পারে কারণ চার্টের মধ্যে ট্রানজিশন ফাংশনের মসৃণতার প্রয়োজনীয়তা নিশ্চিত করে যে যদি একটি চার্টের কাছাকাছি মসৃণ হয় তবে এটি অন্য কোনও চার্টের কাছাকাছি মসৃণ হবে। যদি একটি-মাত্রিক ম্যানিফোল্ডের মানচিত্র হয়, তবে মসৃণ হবে যদি প্রত্যেকটির জন্য একটি চার্ট থাকে এবং এমন একটি চার্ট থাকে এবং ম্যানিফোল্ডের মধ্যে মসৃণ মানচিত্র থেকে একটি মসৃণ ফাংশন স্পর্শক স্থানগুলির মধ্যে রৈখিক মানচিত্রকে প্ররোচিত করেঃ কারণ, প্রতিটি বিন্দুতে পুশ ফরোয়ার্ড (বা ডিফারেনশিয়াল) স্পর্শক ভেক্টরের সাথে স্পর্শক ভেক্টরের মানচিত্র তৈরি করেঃ এবং স্পর্শক বান্ডিলের স্তরে, পুশফোয়ার্ড হল একটি ভেক্টর বান্ডিল সমরূপতাঃ পুশফোয়ার্ডের দ্বৈত হল পুলব্যাক, যা কোভেক্টরগুলিকে কোভেক্টরের দিকে পিছনে টেনে নিয়ে যায় এবং-ফর্মগুলি-ফর্মগুলিতে নিয়ে যায়ঃ এইভাবে ম্যানিফোল্ডের মধ্যে মসৃণ ফাংশনগুলি স্থানীয় ডেটা পরিবহন করতে পারে, যেমন ভেক্টর ক্ষেত্র এবং ডিফারেনশিয়াল ফর্মগুলি, এক ম্যানিফোল্ড থেকে অন্য ম্যানিফোল্ডে বা নিচে। মসৃণ ফাংশন বরাবর প্রিমেজ এবং পুশ ফরওয়ার্ডগুলি, সাধারণভাবে, অতিরিক্ত অনুমান ছাড়া বহুগুণ হয় না। নিয়মিত বিন্দুর প্রিমেজগুলি (অর্থাৎ, যদি প্রিমেজটিতে ডিফারেনশিয়ালটি অদৃশ্য না হয়) ম্যানিফোল্ড হয়; এটি প্রিমেজ উপপাদ্য। একইভাবে, এম্বেডিং বরাবর পুশ ফরওয়ার্ডগুলি বহুগুণ। ম্যানিফোল্ডের উপসেটগুলির মধ্যে মসৃণ ফাংশন ম্যানিফোল্ডের নির্বিচারে উপসেটগুলির জন্য মসৃণ মানচিত্রের একটি সংশ্লিষ্ট ধারণা রয়েছে। যদি এমন একটি ফাংশন যার ডোমেন এবং পরিসীমা যথাক্রমে ম্যানিফোল্ডের উপসেট। এটিকে মসৃণ বলা হয় যদি সবকিছুর জন্য একটি খোলা সেট থাকে এবং একটি মসৃণ ফাংশন থাকে যাতে সকলের জন্য (সংখ্যা তত্ত্ব) সোবোলেভ ম্যাপিং রেফারেন্স মসৃণ ফাংশন দেখুন