Affine Lie algebra
গণিতে, একটি অ্যাফিন লাই বীজগণিত হল একটি অসীম-মাত্রিক লাই বীজগণিত যা একটি সীমাবদ্ধ-মাত্রিক সরল লাই বীজগণিত থেকে ক্যানোনিকাল পদ্ধতিতে নির্মিত হয়। একটি অ্যাফিন লাই বীজগণিত দেওয়া হলে, নীচে বর্ণিত হিসাবে সংশ্লিষ্ট অ্যাফিন কাক-মুডি বীজগণিতও তৈরি করা যেতে পারে। বিশুদ্ধ গাণিতিক দৃষ্টিকোণ থেকে, অ্যাফিন লাই অ্যালজেব্রা আকর্ষণীয় কারণ তাদের উপস্থাপনা তত্ত্ব, সসীম-মাত্রিক আধা-সরল লাই অ্যালজেব্রার উপস্থাপনা তত্ত্বের মতো, সাধারণ ক্যাক-মুডি অ্যালজেব্রার তুলনায় অনেক ভাল বোঝা যায়। ভিক্টর কাক যেমন পর্যবেক্ষণ করেছেন, অ্যাফিন লাই অ্যালজেব্রার উপস্থাপনের জন্য চরিত্রের সূত্রটি নির্দিষ্ট সমন্বিত পরিচয়, ম্যাকডোনাল্ড পরিচয়কে বোঝায়। অ্যাফিন লাই অ্যালজেব্রা স্ট্রিং তত্ত্ব এবং দ্বি-মাত্রিক কনফরমাল ফিল্ড তত্ত্বে একটি গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে কারণ তারা যেভাবে নির্মিত হয়ঃ একটি সাধারণ লাই বীজগণিত থেকে শুরু করে, কেউ লুপ বীজগণিতকে বিবেচনা করে, যা একটি বৃত্তের উপর-মূল্যবান ফাংশন দ্বারা গঠিত (বন্ধ স্ট্রিং হিসাবে ব্যাখ্যা করা হয়) পয়েন্টওয়াইজ কমিউটেটর সহ। লুপ বীজগণিতে একটি অতিরিক্ত মাত্রা যোগ করে এবং অ-তুচ্ছ উপায়ে কমিউটেটরকে সংশোধন করে অ্যাফিন লাই বীজগণিত পাওয়া যায়, যাকে পদার্থবিজ্ঞানীরা কোয়ান্টাম অসঙ্গতি (এই ক্ষেত্রে, ডাব্লুজেডডাব্লু মডেলের অসঙ্গতি) এবং গণিতবিদরা একটি কেন্দ্রীয় সম্প্রসারণ বলে অভিহিত করেন। আরও সাধারণভাবে, যদি σ তার ডাইঙ্কিন চিত্রের একটি স্বয়ংক্রিয়তার সাথে যুক্ত সাধারণ লাই বীজগণিতের একটি স্বয়ংক্রিয়তা হয়, তবে বাঁকানো লুপ বীজগণিতটি বাস্তব লাইনে-মূল্যবান ফাংশন f নিয়ে গঠিত যা বাঁকানো পর্যায়ক্রমিকতা শর্তকে সন্তুষ্ট করে। তাদের কেন্দ্রীয় সম্প্রসারণগুলি সঠিকভাবে বাঁকানো অ্যাফিন লাই অ্যালজেব্রা। স্ট্রিং তত্ত্বের দৃষ্টিভঙ্গি অ্যাফিন লাই অ্যালজেব্রার অনেক গভীর বৈশিষ্ট্য বুঝতে সাহায্য করে, যেমন তাদের উপস্থাপনার অক্ষরগুলি মডুলার গ্রুপের অধীনে নিজেদের মধ্যে রূপান্তরিত হয়। সরল লাই বীজগণিত থেকে অ্যাফিন লাই বীজগণিত সংজ্ঞা যদি একটি সসীম-মাত্রিক সরল লাই বীজগণিত হয়, তবে সংশ্লিষ্ট অ্যাফিন লাই বীজগণিতটি লুপ বীজগণিতের কেন্দ্রীয় সম্প্রসারণ হিসাবে নির্মিত হয়, এক-মাত্রিক কেন্দ্র সহ একটি ভেক্টর স্থান হিসাবে, যেখানে অনির্দিষ্ট টি-তে লরেন্ট বহুপদগুলির জটিল ভেক্টর স্থান। লাই বন্ধনীটি সকলের সূত্র দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয় এবং, যেখানে লাই বীজগণিতে লাই বন্ধনী এবং এটি কার্টান-কিলিং ফর্ম। অ্যাফিন লাই বীজগণিতের একটি বিশিষ্ট ব্যুৎপত্তি রয়েছে যা দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে সংশ্লিষ্ট অ্যাফিন ক্যাক-মুডি বীজগণিতকে একটি অতিরিক্ত জেনারেটর ডি যোগ করে অর্ধ-পরোক্ষ পণ্য হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় যা [d, A] = δ (A) কে সন্তুষ্ট করে। ডাইনকিন রেখাচিত্র নির্মাণ প্রতিটি অ্যাফিন লাই বীজগণিতের ডাইনকিন রেখাচিত্রটি সংশ্লিষ্ট সহজ লাই বীজগণিত এবং একটি অতিরিক্ত নোড নিয়ে গঠিত, যা একটি কাল্পনিক মূল যোগ করার সাথে মিলে যায়। অবশ্যই, এই ধরনের নোড কোনও অবস্থানে ডাইঙ্কিন চিত্রের সাথে সংযুক্ত করা যায় না, তবে প্রতিটি সাধারণ লাই বীজগণিতের জন্য লাই বীজগণিতের বাইরের অটোমরফিজমের গোষ্ঠীর কার্ডিনালিটির সমান বেশ কয়েকটি সম্ভাব্য সংযুক্তি রয়েছে। বিশেষত, এই গোষ্ঠীতে সর্বদা পরিচয় উপাদান থাকে এবং সংশ্লিষ্ট অ্যাফিন লাই বীজগণিতকে একটি আনটুইস্টেড অ্যাফিন লাই বীজগণিত বলা হয়। যখন সাধারণ বীজগণিত এমন অটোমরফিজমগুলি স্বীকার করে যা অভ্যন্তরীণ অটোমরফিজম নয়, তখন কেউ অন্য ডাইঙ্কিন চিত্রগুলি পেতে পারে এবং এগুলি বাঁকানো অ্যাফিন লাই অ্যালজেব্রার সাথে মিলে যায়। কেন্দ্রীয় এক্সটেনশনগুলিকে শ্রেণীবদ্ধ করা সংশ্লিষ্ট সহজ লাই বীজগণিতের ডাইনকিন চিত্রের সাথে একটি অতিরিক্ত নোডের সংযুক্তি নিম্নলিখিত গঠনের সাথে মিলে যায়। একটি অ্যাফিন লাই বীজগণিত সর্বদা সংশ্লিষ্ট সহজ লাই বীজগণিতের লুপ বীজগণিতের কেন্দ্রীয় সম্প্রসারণ হিসাবে তৈরি করা যেতে পারে। যদি কেউ এর পরিবর্তে একটি আধা-সরল লাই বীজগণিত দিয়ে শুরু করতে চায়, তবে একজনকে আধা-সরল বীজগণিতের সহজ উপাদানগুলির সংখ্যার সমান সংখ্যক উপাদান দ্বারা কেন্দ্রীয়ভাবে প্রসারিত করতে হবে। পদার্থবিজ্ঞানে, এর পরিবর্তে প্রায়শই একটি অর্ধ-সরল বীজগণিত এবং একটি আবেলিয়ান বীজগণিতের সরাসরি যোগফল বিবেচনা করা হয়। এই ক্ষেত্রে এন আবেলিয়ান জেনারেটরের জন্য আরও এন কেন্দ্রীয় উপাদান যোগ করতে হবে। সংশ্লিষ্ট সহজ কম্প্যাক্ট লাই গ্রুপের লুপ গ্রুপের দ্বিতীয় ইন্টিগ্রাল কোহোমোলজি পূর্ণসংখ্যার সমতুল্য। একটি একক জেনারেটর দ্বারা অ্যাফিন লাই গ্রুপের কেন্দ্রীয় সম্প্রসারণগুলি এই মুক্ত লুপ গ্রুপের উপর টপোলজিক্যালি বৃত্তাকার বান্ডিল, যা ফাইব্রেশনের প্রথম চেরন শ্রেণী হিসাবে পরিচিত একটি দ্বি-শ্রেণী দ্বারা শ্রেণীবদ্ধ করা হয়। অতএব, একটি অ্যাফিন লাই গ্রুপের কেন্দ্রীয় সম্প্রসারণগুলি একটি একক পরামিতি k দ্বারা শ্রেণীবদ্ধ করা হয় যাকে পদার্থবিজ্ঞান সাহিত্যে স্তর বলা হয়, যেখানে এটি প্রথম আবির্ভূত হয়েছিল। এফাইন কম্প্যাক্ট গ্রুপগুলির একক সর্বোচ্চ ওজনের উপস্থাপনা কেবল তখনই বিদ্যমান যখন k একটি প্রাকৃতিক সংখ্যা। আরও সাধারণভাবে, যদি কেউ একটি আধা-সহজ বীজগণিত বিবেচনা করে, প্রতিটি সহজ উপাদানের জন্য একটি কেন্দ্রীয় আধান থাকে। কাঠামো কার্টান-ওয়েল ভিত্তি যেমন সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রে, কার্টান-ওয়েল ভিত্তি নির্ধারণ করা অ্যাফিন লাই অ্যালজেব্রার কাঠামো নির্ধারণের একটি গুরুত্বপূর্ণ পদক্ষেপ। কার্টান উপ-বীজগণিত এবং একটি নির্দিষ্ট মূল ব্যবস্থার সাহায্যে একটি সীমাবদ্ধ-মাত্রিক, সরল, জটিল লাই বীজগণিত ঠিক করুন। স্বরলিপিটি প্রবর্তন করে, একটি আবেলিয়ান উপ-বীজগণিত গঠনের মাধ্যমে প্রদত্ত অ্যাফিন লাই বীজগণিতের জন্য একটি কার্টান-ওয়েল ভিত্তি প্রসারিত করার চেষ্টা করা যেতে পারে। এর এবং এর আইগেনভ্যালুগুলি যথাক্রমে এবং এর থেকে স্বাধীন। অতএব এই আবেলিয়ান উপ-বীজগণিতের সাপেক্ষে মূলটি অসীমভাবে অধঃপতিত। উপরে বর্ণিত ব্যুৎপত্তি আবেলিয়ান সাবঅ্যালজেব্রার সাথে যুক্ত করা আবেলিয়ান সাবঅ্যালজেব্রাকে অ্যাফিন লাই বীজগণিতের জন্য একটি কার্টান সাবঅ্যালজেব্রায় পরিণত করে, কিলিং ফর্মের আইগেনভ্যালু সহ কিলিং ফর্মটি তার অপরিবর্তনীয় বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করে প্রায় সম্পূর্ণরূপে নির্ধারণ করা যেতে পারে। অ্যাফিন কাক-মুডি বীজগণিতে কিলিং ফর্মের জন্য এবং কিলিং ফর্মের জন্য স্বরলিপি ব্যবহার করে, যেখানে শুধুমাত্র শেষ সমীকরণটি ইনভ্যারিয়েন্স দ্বারা স্থির করা হয় না এবং পরিবর্তে কনভেনশন দ্বারা নির্বাচিত হয়। উল্লেখযোগ্যভাবে, সাবস্পেসের সীমাবদ্ধতা স্বাক্ষর সহ একটি দ্বিমাত্রিক রূপ দেয়। এর সঙ্গে যুক্ত অ্যাফিন মূলটি লিখুন। সংজ্ঞায়িত করা যায়, এটি পুনর্লিখন করা যেতে পারে শিকড়ের সম্পূর্ণ সেটটি হল তারপর এটি অস্বাভাবিক কারণ এর দৈর্ঘ্য শূন্যঃ কিলিং ফর্ম দ্বারা প্ররোচিত শিকড়ের দ্বিমাত্রিক রূপটি কোথায়। অ্যাফিন বীজগণিতের জন্য সহজ মূলের ভিত্তি পেতে, একটি অতিরিক্ত সহজ মূল অবশ্যই সংযুক্ত করতে হবে, এবং একটি মূলের উচ্চতার স্বাভাবিক ধারণা ব্যবহার করে, যেখানে সর্বোচ্চ মূলটি দেওয়া হয়। এটি বর্ধিত কার্টান ম্যাট্রিক্স এবং বর্ধিত ডাইনকিন রেখাচিত্রের সংজ্ঞা দেয়। উপস্থাপনা তত্ত্ব অ্যাফিন লাই অ্যালজেব্রার প্রতিনিধিত্ব তত্ত্ব সাধারণত ভার্মা মডিউল ব্যবহার করে তৈরি করা হয়। ঠিক যেমন আধা-সহজ লাই অ্যালজেব্রার ক্ষেত্রে, এগুলি সর্বোচ্চ ওজনের মডিউল। কোনও সীমাবদ্ধ-মাত্রিক উপস্থাপনা নেই; এটি এই সত্য থেকে অনুসরণ করে যে একটি সীমাবদ্ধ-মাত্রিক ভার্মা মডিউলের নাল ভেক্টরগুলি অগত্যা শূন্য; যেখানে অ্যাফিন লাই অ্যালজেব্রাগুলির জন্য নয়। মোটামুটিভাবে বলতে গেলে, এটি অনুসরণ করা হয় কারণ কিলিং ফর্মটি দিকে লরেঞ্জিয়ান, তাই কখনও কখনও স্ট্রিংয়ে "লাইটকোন স্থানাঙ্ক" বলা হয়। "রেডিয়ালভাবে অর্ডার করা" বর্তমান অপারেটর পণ্যগুলি স্ট্রিং ওয়ার্ল্ড শীট এবং স্থানিক দিক বরাবর সময়ের মতো দিক নিয়ে অর্ডার করা সময়ের মতো স্বাভাবিক হিসাবে বোঝা যায়। র্যাঙ্ক k-এর ভ্যাকুয়াম উপস্থাপনা নিম্নরূপ আরও বিস্তারিতভাবে উপস্থাপনাগুলি তৈরি করা হয়েছে। একটি মিথ্যা বীজগণিত এবং ভিত্তি ঠিক করুন। তারপর সংশ্লিষ্ট লুপ বীজগণিতের জন্য একটি ভিত্তি, এবং এফাইন লাই বীজগণিতের জন্য একটি ভিত্তি। র্যাঙ্কের ভ্যাকুয়াম উপস্থাপনা, যেখানে জটিল উপস্থাপনাটি ভিত্তি সহ নির্দেশ করা হয় এবং অ্যাফিন ভার্টেক্স বীজগণিত দ্বারা (সহ) এর ক্রিয়াকে সংজ্ঞায়িত করা হয় ভ্যাকুয়াম উপস্থাপনা আসলে ভার্টেক্স বীজগণিত কাঠামো দিয়ে সজ্জিত করা যেতে পারে, এই ক্ষেত্রে এটিকে র্যাঙ্কের অ্যাফিন ভার্টেক্স বীজগণিত বলা হয়। অ্যাফিন লাই বীজগণিত স্বাভাবিকভাবেই কাক-মুডি বীজগণিতে প্রসারিত হয়, যার ডিফারেনশিয়ালটি ভার্টেক্স বীজগণিতে ট্রান্সলেশন অপারেটর দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয়। ওয়েইল গ্রুপ এবং অক্ষর একটি অ্যাফিন লাই বীজগণিতের ওয়েইল গ্রুপকে শূন্য-মোড বীজগণিতের ওয়েইল গ্রুপ (লুপ বীজগণিত সংজ্ঞায়িত করতে ব্যবহৃত লাই বীজগণিত) এবং করুট ল্যাটিসের আধা-সরাসরি গুণফল হিসাবে লেখা যেতে পারে। অ্যাফিন লাই অ্যালজেব্রার বীজগাণিতিক অক্ষরের ওয়েল অক্ষর সূত্রটি ওয়েল-কাক অক্ষর সূত্রে সাধারণীকরণ করে। এগুলি থেকে বেশ কয়েকটি আকর্ষণীয় নির্মাণ অনুসরণ করা হয়। জ্যাকোবি থিটা ফাংশনের সাধারণীকরণ তৈরি করা যেতে পারে। এই থিটা ফাংশনগুলি মডুলার গ্রুপের অধীনে রূপান্তরিত হয়। আধা-সরল লাই অ্যালজেব্রার সাধারণ বিভাজক পরিচয়গুলিও সাধারণীকরণ করে; কারণ অক্ষরগুলিকে "বিকৃতি" বা সর্বোচ্চ ওজনের কিউ-অ্যানালগ হিসাবে লেখা যেতে পারে, এর ফলে অনেক নতুন সমন্বিত পরিচয় তৈরি হয়, যার মধ্যে ডেডেকিন্ড ইটা ফাংশনের জন্য অনেক পূর্বে অজানা পরিচয় অন্তর্ভুক্ত থাকে। এই সাধারণীকরণগুলিকে ল্যাংল্যান্ডস প্রোগ্রামের একটি ব্যবহারিক উদাহরণ হিসাবে দেখা যেতে পারে। প্রয়োগ সুগাওয়ারা গঠনের কারণে, যে কোনও অ্যাফিন লাই বীজগণিতের সর্বজনীন পরিবেষ্টিত বীজগণিতে একটি উপ-বীজগণিত হিসাবে বিরাসোরো বীজগণিত রয়েছে। এটি এফাইন লাই অ্যালজেব্রাগুলিকে ডাব্লুজেডডাব্লু মডেল বা কোসেট মডেলের মতো কনফরমাল ফিল্ড তত্ত্বের প্রতিসাম্য অ্যালজেব্রা হিসাবে কাজ করার অনুমতি দেয়। ফলস্বরূপ, অফাইন লাই অ্যালজেব্রা স্ট্রিং তত্ত্বের ওয়ার্ল্ডশিটের বর্ণনায়ও উপস্থিত হয়। উদাহরণ হাইজেনবার্গ বীজগণিত যা জেনারেটর দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয় যা বিনিময় সম্পর্ককে সন্তুষ্ট করে, তা অ্যাফিন লাই বীজগণিত হিসাবে উপলব্ধি করা যেতে পারে। তথ্যসূত্র মিথ্যা আলজেব্রা প্রতিনিধিত্ব তত্ত্ব