Z function
গণিতে, জেড ফাংশন হল একটি ফাংশন যা সমালোচনামূলক রেখা বরাবর রিম্যান জিটা ফাংশন অধ্যয়নের জন্য ব্যবহৃত হয় যেখানে যুক্তিটি অর্ধেক। এটিকে রিমান-সিগেল জেড ফাংশন, রিমান-সিগেল জিটা ফাংশন, হার্ডি ফাংশন, হার্ডি জেড ফাংশন এবং হার্ডি জিটা ফাংশনও বলা হয়। এটি রিমান-সিগেল থিটা ফাংশন এবং রিমান জিটা ফাংশনের পরিপ্রেক্ষিতে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে এটি রিমান জিটা ফাংশনের কার্যকরী সমীকরণ থেকে অনুসরণ করে যে টি-এর বাস্তব মানগুলির জন্য জেড ফাংশন বাস্তব। এটি একটি জোড় ফাংশন এবং বাস্তব মানগুলির জন্য বাস্তব বিশ্লেষণাত্মক। এটি এই সত্য থেকে অনুসরণ করে যে রিমান-সিগেল থিটা ফাংশন এবং রিমান জিটা ফাংশন উভয়ই সমালোচনামূলক ফালাটিতে হোলোমরফিক, যেখানে t এর কাল্পনিক অংশটি − 1/2 এবং 1/2 এর মধ্যে থাকে, যে Z ফাংশনটি সমালোচনামূলক ফালাটিতেও হোলোমরফিক। অধিকন্তু, Z (t)-এর প্রকৃত শূন্যগুলি সুনির্দিষ্টভাবে ক্রিটিক্যাল লাইন বরাবর জিটা ফাংশনের শূন্য, এবং Z ফাংশনের ক্রিটিক্যাল স্ট্রিপের জটিল শূন্যগুলি তার ক্রিটিক্যাল স্ট্রিপের রিমান জিটা ফাংশনের ক্রিটিক্যাল লাইনের শূন্যের সাথে মিলে যায়। রিমান-সিগেল সূত্র বাস্তব টি-এর জন্য জেড (টি)-এর মান গণনা, এবং তাই সমালোচনামূলক রেখা বরাবর জিটা ফাংশনের, রিমান-সিগেল সূত্র দ্বারা ব্যাপকভাবে ত্বরান্বিত হয়। এই সূত্রটি আমাদের বলে যে ত্রুটি শব্দ আর (টি)-এর ফাংশন এবং তার ডেরিভেটিভের পরিপ্রেক্ষিতে একটি জটিল অ্যাসিম্পটোটিক অভিব্যক্তি রয়েছে। যদি, এবং তারপর যেখানে উপবৃত্তাকার ইঙ্গিত দেয় আমরা উচ্চতর এবং ক্রমবর্ধমান জটিল পদগুলিতে চালিয়ে যেতে পারি। জেড (টি)-এর জন্য অন্যান্য কার্যকরী সিরিজগুলি জানা যায়, বিশেষ করে অসম্পূর্ণ গামা ফাংশন ব্যবহার করে। যদি একটি বিশেষ সুন্দর উদাহরণ হয় Z ফাংশনের আচরণ সমালোচনামূলক রেখা উপপাদ্য থেকে, এটি অনুসরণ করে যে Z ফাংশনের বাস্তব শূন্যের ঘনত্ব কিছু ধ্রুবক c> 2/5 এর জন্য। সুতরাং, একটি নির্দিষ্ট আকারের ব্যবধানে শূন্যের সংখ্যা ধীরে ধীরে বৃদ্ধি পায়। যদি রিমান অনুমানটি সত্য হয়, তবে সমালোচনামূলক স্ট্রিপের সমস্ত শূন্য বাস্তব শূন্য, এবং ধ্রুবক সি এক। এটিও অনুমান করা হয় যে এই সমস্ত শূন্যগুলি সাধারণ শূন্য। একটি Omega উপপাদ্য Z ফাংশনের শূন্যের কারণে, এটি দোলক আচরণ প্রদর্শন করে। এটি ধীরে ধীরে গড় এবং সর্বোচ্চ মান উভয় ক্ষেত্রেই বৃদ্ধি পায়। উদাহরণস্বরূপ, আমাদের আছে, এমনকি রিম্যান হাইপোথিসিস ছাড়াই, Omega উপপাদ্য যে যেখানে স্বরলিপির অর্থ হল যে ω এর মধ্যে ফাংশন দ্বারা ভাগ করা t বৃদ্ধির সাথে শূন্য হওয়ার প্রবণতা রাখে না। গড় বৃদ্ধি Z ফাংশনের গড় বৃদ্ধিও অনেক বেশি অধ্যয়ন করা হয়েছে। আমরা মূল গড় বর্গ (সংক্ষেপে আর. এম. এস) গড় খুঁজে পেতে পারি যা আমাদের বলে যে জেড (টি) এর আর. এম. এস আকার হিসাবে বৃদ্ধি পায়। এই অনুমানটি উন্নত করা যেতে পারে যদি আমরা সূচক বৃদ্ধি করি, আমরা একটি গড় মান পাই যা Z এর সর্বোচ্চ মানের উপর বেশি নির্ভর করে। চতুর্থ শক্তির জন্য, আমরা এই উপসংহারে আসতে পারি যে গড় চতুর্থ শক্তির চতুর্থ মূলটি বৃদ্ধি পায় লিন্ডেলফ অনুমান হিসাবে উচ্চতর জোড় শক্তিগুলি অনেক অধ্যয়ন করা হয়েছে, তবে সংশ্লিষ্ট গড় মান সম্পর্কে কম জানা যায়। এটি অনুমান করা হয়, এবং রিম্যান অনুমান থেকে অনুসরণ করা হয়, যে প্রতিটি ধনাত্মক ε এর জন্য। এখানে ছোট "ও" স্বরলিপির অর্থ হল ডান দিক দিয়ে ভাগ করা বাম দিকটি শূন্যে রূপান্তরিত হয়; অন্য কথায় ছোট ও হল ω এর নেতিবাচকতা। এই অনুমানকে লিন্ডেলফ হাইপোথিসিস বলা হয় এবং এটি রিম্যান হাইপোথিসিসের চেয়ে দুর্বল। এটি সাধারণত একটি গুরুত্বপূর্ণ সমতুল্য আকারে বলা হয়, যা উভয় রূপেই এটি আমাদের বলে যে শীর্ষ মানগুলির বৃদ্ধির হার খুব বেশি হতে পারে না। বৃদ্ধির এই হারের উপর সর্বাধিক পরিচিত সীমাটি শক্তিশালী নয়, যা আমাদের বলে যে কোনওটি উপযুক্ত। এটা বিস্ময়কর হবে যে জেড ফাংশনটি এত দ্রুত বৃদ্ধি পেয়েছে। লিটলউড প্রমাণ করেছেন যে রিম্যান অনুমানের উপর, এবং এটি অনেক বেশি সম্ভাব্য বলে মনে হয়। রেফারেন্স বাহ্যিক লিঙ্ক ওল্ফ্রাম রিসার্চ-রিম্যান-সিগেল ফাংশন জেড (ফাংশন প্লটিং এবং মূল্যায়ন অন্তর্ভুক্ত) জিটা এবং এল-ফাংশন