Klein transformation
কোয়ান্টাম ক্ষেত্র তত্ত্বে, ক্লেইন রূপান্তর হল স্পিন-পরিসংখ্যান উপপাদ্য সংশোধন করার জন্য ক্ষেত্রগুলির একটি নতুন সংজ্ঞা। বোস-আইনস্টাইন মনে করুন φ এবং χ এমন ক্ষেত্র যেগুলি, যদি x এবং y স্থান-সদৃশ-বিচ্ছিন্ন বিন্দু হয় এবং i এবং j স্পিনোর/টেনসর সূচকগুলির প্রতিনিধিত্ব করে, তবে মনে করুন χ Z2 সমতার অধীনে অপরিবর্তনীয় (স্থানিক প্রতিফলনের সাথে কিছুই করার নেই!) χ থেকে −χ-এর ম্যাপিং কিন্তু φ অপরিবর্তনীয় রেখে। স্পষ্টতই, মুক্ত ক্ষেত্র তত্ত্বগুলি সর্বদা এই বৈশিষ্ট্যটিকে সন্তুষ্ট করে। তারপর, χ কণার সংখ্যার Z2 সমতা ভালভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় এবং সময়ের সাথে সংরক্ষণ করা হয়। আসুন অপারেটর কে. চি. এইচ দ্বারা এই সমতা চিহ্নিত করা যাক যা χ-বিজোড় অবস্থাগুলিকে নিজের এবং χ-বিজোড় অবস্থাগুলিকে তাদের ঋণাত্মকের মধ্যে ম্যাপ করে। তারপর, কে. সি. এইচ হল অনৈচ্ছিক, হার্মিশিয়ান এবং একক। বলা বাহুল্য, উপরের ক্ষেত্র φ এবং χ-এর মধ্যে বোসন বা ফার্মিয়নের জন্য সঠিক পরিসংখ্যানগত সম্পর্ক নেই। অর্থাৎ। এগুলি নিজেদের ক্ষেত্রে বোসনিক কিন্তু একে অপরের ক্ষেত্রে ফার্মিওনিক। কিন্তু আপনি যদি শুধুমাত্র পরিসংখ্যানগত বৈশিষ্ট্যগুলির দিকে তাকান, তাহলে আমরা দেখতে পাব যে এর পরিসংখ্যান বোস-আইনস্টাইনের পরিসংখ্যানের মতোই। এখানে কেনঃ দুটি নতুন ক্ষেত্র φ 'এবং χ' নিম্নরূপ সংজ্ঞায়িত করুনঃ এবং এই পুনর্নির্ধারণটি বিপরীতমুখী (কারণ Kχ হল)। এখন, স্পেসেলাইক কমিউটেশন সম্পর্কগুলি ফার্মি-ডিরাক হয়ে যায় এখন, আসুন উদাহরণটি নিয়ে কাজ করা যাক যেখানে (যথারীতি স্পেসেলাইক-বিচ্ছিন্ন)। আরও একবার ধরে নিন যে আমাদের কাছে একটি Z2 সংরক্ষিত প্যারিটি অপারেটর Kχ রয়েছে যা শুধুমাত্র χ-এর উপর কাজ করছে। ধরা যাক এবং তারপর দুটির বেশি ক্ষেত্র যদি দুটির বেশি ক্ষেত্র থাকে, তাহলে কাঙ্ক্ষিত ফলাফল না পাওয়া পর্যন্ত প্রতিটি জোড়া ক্ষেত্রে "ভুল" কমিউটেশন/অ্যান্টিকমিউটেশন সম্পর্ক সহ ক্লেইন রূপান্তর প্রয়োগ করা যেতে পারে। এটি প্যারাস্ট্যাটিস্টিক্স এবং আরও পরিচিত বোস-আইনস্টাইন/ফার্মি-ডিরাক পরিসংখ্যানের মধ্যে সমতা ব্যাখ্যা করে। আরও তথ্যসূত্র দেখুন জর্ডান-শিউঙ্গার রূপান্তর জর্ডান-উইঙ্গার রূপান্তর বোগোলিউবভ-ভালাতিন রূপান্তর হলস্টাইন-প্রিমাকফ রূপান্তর কোয়ান্টাম ক্ষেত্র তত্ত্ব