Stochastic differential equation
একটি স্টোকাস্টিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ (এসডিই) হল একটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ যেখানে এক বা একাধিক পদ একটি স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়া, যার ফলে একটি সমাধান হয় যা একটি স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়াও। বিশুদ্ধ গণিত জুড়ে এসডিইগুলির অনেক প্রয়োগ রয়েছে এবং স্টক মূল্য, এলোমেলো বৃদ্ধির মডেল বা তাপীয় ওঠানামা সাপেক্ষে শারীরিক ব্যবস্থার মতো স্টোকাস্টিক মডেলগুলির বিভিন্ন আচরণের মডেল তৈরি করতে ব্যবহৃত হয়। এস. ডি. ই-গুলির একটি র্যান্ডম ডিফারেনশিয়াল রয়েছে যা সবচেয়ে মৌলিক ক্ষেত্রে র্যান্ডম হোয়াইট নয়েজ যা ব্রাউনিয়ান গতির ডেরিভেটিভ বা আরও সাধারণভাবে একটি সেমিমার্টিঙ্গেল হিসাবে গণনা করা হয়। যাইহোক, অন্যান্য ধরনের এলোমেলো আচরণ সম্ভব, যেমন লাফ দেওয়ার প্রক্রিয়া যেমন লেভি প্রক্রিয়া বা লাফ দিয়ে সেমিমার্টিঙ্গেল। র্যান্ডম ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলি স্টোকাস্টিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সাথে সংযুক্ত। স্টোকাস্টিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলি ডিফারেনশিয়াল ম্যানিফোল্ডগুলিতেও প্রসারিত করা যেতে পারে। পটভূমি স্টোকাস্টিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলি 1905 সালে আলবার্ট আইনস্টাইন এবং মারিয়ান স্মোলুচোভস্কির কাজে ব্রাউনিয়ান গতির তত্ত্ব থেকে উদ্ভূত হয়েছিল, যদিও লুই ব্যাচেলিয়ার ছিলেন প্রথম ব্যক্তি যিনি 1900 সালে ব্রাউনিয়ান গতির মডেলিংয়ের কৃতিত্ব পেয়েছিলেন, যা স্টোকাস্টিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের একটি খুব প্রাথমিক উদাহরণ দেয় যা এখন ব্যাচেলিয়ার মডেল নামে পরিচিত। এই প্রাথমিক উদাহরণগুলির মধ্যে কয়েকটি ছিল রৈখিক স্টোকাস্টিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ, যা ফরাসি পদার্থবিজ্ঞানী ল্যাঞ্জভিনের নামে 'ল্যাঞ্জভিন' সমীকরণ নামেও পরিচিত, যা একটি এলোমেলো বলের সাপেক্ষে একটি সুরেলা দোলকের গতি বর্ণনা করে। 1940-এর দশকে জাপানি গণিতবিদ কিয়োসি ইটোর যুগান্তকারী কাজের মাধ্যমে স্টোকাস্টিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের গাণিতিক তত্ত্বটি বিকশিত হয়েছিল, যিনি স্টোকাস্টিক ইন্টিগ্রালের ধারণাটি প্রবর্তন করেছিলেন এবং অরৈখিক স্টোকাস্টিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের অধ্যয়নের সূচনা করেছিলেন। আরেকটি পদ্ধতি পরে রাশিয়ান পদার্থবিজ্ঞানী স্ট্রাটোনোভিচ দ্বারা প্রস্তাবিত হয়েছিল, যা সাধারণ ক্যালকুলাসের অনুরূপ একটি ক্যালকুলাসের দিকে পরিচালিত করে। পরিভাষা সাহিত্যে এসডিই-র সবচেয়ে সাধারণ রূপ হল একটি সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ যার ডান দিকটি একটি সাদা গোলমালের পরিবর্তনশীলের উপর নির্ভরশীল একটি শব্দ দ্বারা বিক্ষিপ্ত। বেশিরভাগ ক্ষেত্রে, এসডিইগুলিকে সংশ্লিষ্ট স্টোকাস্টিক পার্থক্য সমীকরণের অবিচ্ছিন্ন সময়সীমা হিসাবে বোঝা যায়। এস. ডি. ই-গুলির এই বোধগম্যতা দ্ব্যর্থহীন এবং সংশ্লিষ্ট ইন্টিগ্রালের যথাযথ গাণিতিক সংজ্ঞা দ্বারা পরিপূরক হতে হবে। এই ধরনের গাণিতিক সংজ্ঞা প্রথম 1940-এর দশকে কিয়োসি ইতো দ্বারা প্রস্তাবিত হয়েছিল, যা আজ ইটো ক্যালকুলাস নামে পরিচিত। আরেকটি নির্মাণ পরে রাশিয়ান পদার্থবিজ্ঞানী স্ট্রাটোনোভিচ দ্বারা প্রস্তাবিত হয়েছিল, যা স্ট্রাটোনোভিচ ইন্টিগ্রাল নামে পরিচিত। ইটো ইন্টিগ্রাল এবং স্ট্রাটোনোভিচ ইন্টিগ্রাল সম্পর্কিত, কিন্তু ভিন্ন, বস্তু এবং তাদের মধ্যে পছন্দ বিবেচনা করা প্রয়োগের উপর নির্ভর করে। আই. টি. ও ক্যালকুলাস অ-অ্যান্টিসিপেটিভনেস বা কার্যকারণের ধারণার উপর ভিত্তি করে, যা প্রয়োগের ক্ষেত্রে স্বাভাবিক যেখানে পরিবর্তনশীল হল সময়। অন্যদিকে, স্ট্রাটোনোভিচ ক্যালকুলাসের নিয়ম রয়েছে যা সাধারণ ক্যালকুলাসের অনুরূপ এবং অভ্যন্তরীণ জ্যামিতিক বৈশিষ্ট্য রয়েছে যা জ্যামিতিক সমস্যা যেমন ম্যানিফোল্ডের উপর এলোমেলো গতির সাথে মোকাবিলা করার সময় এটিকে আরও স্বাভাবিক করে তোলে, যদিও এটি সম্ভব এবং কিছু ক্ষেত্রে ইট এসডিই-এর মাধ্যমে ম্যানিফোল্ডের উপর এলোমেলো গতির মডেল তৈরি করা ভাল, উদাহরণস্বরূপ যখন সাবম্যানিফোল্ডের উপর এসডিই-কে সর্বোত্তমভাবে আনুমানিক করার চেষ্টা করা হয়। এসডিই-র একটি বিকল্প দৃষ্টিভঙ্গি হল ডিফিয়োমরফিজমের স্টোকাস্টিক প্রবাহ। এই বোঝাপড়াটি দ্ব্যর্থহীন এবং স্টোকাস্টিক পার্থক্য সমীকরণের অবিচ্ছিন্ন সময়সীমার স্ট্রাটোনোভিচ সংস্করণের সাথে মিলে যায়। এসডিই-র সঙ্গে যুক্ত হল স্মোলুচোভস্কি সমীকরণ বা ফকার-প্ল্যাঙ্ক সমীকরণ, একটি সমীকরণ যা সম্ভাব্যতা বিতরণ ফাংশনের সময় বিবর্তন বর্ণনা করে। ফকার-প্ল্যাঙ্ক বিবর্তনের সাধারণীকরণ থেকে ডিফারেনশিয়াল ফর্মগুলির সাময়িক বিবর্তন স্টোকাস্টিক বিবর্তন অপারেটরের ধারণা দ্বারা সরবরাহ করা হয়। ভৌত বিজ্ঞানে, "ল্যাঙ্গেভিন এসডিই" শব্দটির ব্যবহারে একটি অস্পষ্টতা রয়েছে। যদিও ল্যাঙ্গেভিন এসডিইগুলি আরও সাধারণ রূপের হতে পারে, এই শব্দটি সাধারণত গ্রেডিয়েন্ট ফ্লো ভেক্টর ক্ষেত্র সহ এসডিইগুলির একটি সংকীর্ণ শ্রেণীকে বোঝায়। এসডিই-র এই শ্রেণীটি বিশেষভাবে জনপ্রিয় কারণ এটি প্যারিসি-সোরলাস স্টোকাস্টিক কোয়ান্টাইজেশন পদ্ধতির একটি প্রারম্ভিক বিন্দু, যা সুপারসিমেট্রিক কোয়ান্টাম মেকানিক্সের সাথে ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত একটি এন = 2 সুপারসিমেট্রিক মডেলের দিকে পরিচালিত করে। যাইহোক, শারীরিক দৃষ্টিকোণ থেকে, এসডিই-র এই শ্রেণীটি খুব আকর্ষণীয় নয় কারণ এটি কখনই টপোলজিকাল সুপারসিমেট্রি-র স্বতঃস্ফূর্ত ভাঙ্গন প্রদর্শন করে না, অর্থাৎ, (ওভারড্যাম্পড) ল্যাঙ্গেভিন এসডিইগুলি কখনই বিশৃঙ্খল হয় না। স্টোকাস্টিক ক্যালকুলাস ব্রাউনিয়ান গতি বা উইনার প্রক্রিয়াটি গাণিতিকভাবে ব্যতিক্রমীভাবে জটিল বলে আবিষ্কৃত হয়েছিল। উইনার প্রক্রিয়াটি প্রায় নিশ্চিতভাবেই কোথাও পার্থক্যযোগ্য নয়; সুতরাং, এর জন্য ক্যালকুলাসের নিজস্ব নিয়ম প্রয়োজন। স্টোকাস্টিক ক্যালকুলাসের দুটি প্রভাবশালী সংস্করণ রয়েছে, ইটো স্টোকাস্টিক ক্যালকুলাস এবং স্ট্রাটোনোভিচ স্টোকাস্টিক ক্যালকুলাস। দুটির প্রত্যেকটিরই সুবিধা এবং অসুবিধা রয়েছে এবং নতুনরা প্রায়শই বিভ্রান্ত হন যে প্রদত্ত পরিস্থিতিতে একটি অন্যটির চেয়ে বেশি উপযুক্ত কিনা। নির্দেশাবলী বিদ্যমান (যেমন। Øksendal, 2003) এবং সুবিধাজনকভাবে, কেউ সহজেই একটি আই. টি. ও. এস. ডি. ই-কে সমতুল্য স্ট্রাটোনোভিচ এস. ডি. ই-তে রূপান্তর করতে পারে এবং আবার ফিরে আসতে পারে। তবুও, এসডিই প্রাথমিকভাবে লেখার সময় কোন ক্যালকুলাস ব্যবহার করতে হবে সে সম্পর্কে অবশ্যই সতর্ক থাকতে হবে। সংখ্যাসূচক সমাধান স্টোকাস্টিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ সমাধানের জন্য সংখ্যাসূচক পদ্ধতির মধ্যে রয়েছে ইউলার-মারুয়ামা পদ্ধতি, মিলস্টাইন পদ্ধতি, রুঞ্জ-কুট্টা পদ্ধতি (এসডিই), রোজেনব্রক পদ্ধতি এবং পুনরাবৃত্ত স্টোকাস্টিক ইন্টিগ্রালের বিভিন্ন উপস্থাপনার উপর ভিত্তি করে পদ্ধতি। পদার্থবিজ্ঞানে ব্যবহার, এস. ডি. ই-গুলির আণবিক গতিবিদ্যা থেকে নিউরোডায়নামিক্স এবং জ্যোতিঃপদার্থিক বস্তুর গতিবিদ্যা পর্যন্ত বিস্তৃত প্রয়োগযোগ্যতা রয়েছে। আরও সুনির্দিষ্টভাবে, এসডিইগুলি সমস্ত গতিশীল ব্যবস্থার বর্ণনা দেয়, যেখানে কোয়ান্টাম প্রভাবগুলি হয় গুরুত্বহীন বা বিশৃঙ্খলা হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে। এসডিইগুলিকে শব্দযুক্ত মডেলগুলিতে গতিশীল সিস্টেম তত্ত্বের সাধারণীকরণ হিসাবে দেখা যেতে পারে। এটি একটি গুরুত্বপূর্ণ সাধারণীকরণ কারণ বাস্তব ব্যবস্থাগুলি তাদের পরিবেশ থেকে সম্পূর্ণরূপে বিচ্ছিন্ন হতে পারে না এবং এই কারণে সর্বদা বাহ্যিক যাদৃচ্ছিক প্রভাব অনুভব করে। নতুন অজানা প্রবর্তনের মাধ্যমে উচ্চ-ক্রমের সমীকরণগুলিকে বেশ কয়েকটি সংযুক্ত প্রথম-ক্রমের সমীকরণে রূপান্তরিত করার জন্য মানক কৌশল রয়েছে। অতএব, নিম্নলিখিত এস. ডি. ই-গুলির সবচেয়ে সাধারণ শ্রেণীটি হলঃ যেখানে তার পর্যায় (বা অবস্থা) স্থানে সিস্টেমের অবস্থান, একটি ডিফারেনশিয়েবল ম্যানিফোল্ড হিসাবে ধরে নেওয়া হয়, এটি একটি প্রবাহ ভেক্টর ক্ষেত্র যা বিবর্তনের নির্ধারক আইনের প্রতিনিধিত্ব করে এবং ভেক্টর ক্ষেত্রগুলির একটি সেট যা সিস্টেমের সংযোগকে গাউসিয়ান সাদা শব্দের সাথে সংজ্ঞায়িত করে। যদি একটি রৈখিক স্থান হয় এবং ধ্রুবক হয়, তবে সিস্টেমটিকে যোগাত্মক শব্দের সাপেক্ষে বলা হয়, অন্যথায় এটি গুণনীয়ক শব্দের সাপেক্ষে বলা হয়। এই শব্দটি কিছুটা বিভ্রান্তিকর কারণ এটি সাধারণ কেসকে বোঝাতে এসেছে যদিও এটি সীমিত কেসকে বোঝায় বলে মনে হয়। শব্দের একটি নির্দিষ্ট বিন্যাসের জন্য, এস. ডি. ই-এর একটি অনন্য সমাধান রয়েছে যা প্রাথমিক অবস্থার সাপেক্ষে পার্থক্যযোগ্য। যখন কেউ শব্দের বিন্যাসের উপর আগ্রহের বিভিন্ন বস্তুর গড় করার চেষ্টা করে তখন স্টোকাস্টিক কেসের অপ্রতুলতা দেখা যায়। এই অর্থে, একটি এসডিই একটি অনন্যভাবে সংজ্ঞায়িত সত্তা নয় যখন গোলমাল গুণিতক হয় এবং যখন এসডিই একটি স্টোকাস্টিক পার্থক্য সমীকরণের অবিচ্ছিন্ন সময় সীমা হিসাবে বোঝা যায়। এই ক্ষেত্রে, এস. ডি. ই-কে অবশ্যই "এস. ডি. ই-এর ব্যাখ্যা" হিসাবে পরিচিত যেমন ইটো বা এস. ডি. ই-এর স্ট্র্যাটোনোভিচ ব্যাখ্যা দ্বারা পরিপূরক হতে হবে। তা সত্ত্বেও, যখন এস. ডি. ই-কে ডিফিয়োমোর্ফিজমের একটি অবিচ্ছিন্ন-সময়ের স্টোকাস্টিক প্রবাহ হিসাবে দেখা হয়, তখন এটি একটি অনন্যভাবে সংজ্ঞায়িত গাণিতিক বস্তু যা একটি স্টোকাস্টিক পার্থক্য সমীকরণের একটি অবিচ্ছিন্ন সময় সীমার স্ট্রাটোনোভিচ পদ্ধতির সাথে মিলে যায়। পদার্থবিজ্ঞানে, সমাধানের প্রধান পদ্ধতি হল সমতুল্য ফকার-প্ল্যাঙ্ক সমীকরণ (এফ. পি. ই) ব্যবহার করে সময়ের একটি ফাংশন হিসাবে সম্ভাব্যতা বিতরণ ফাংশন খুঁজে বের করা। ফকার-প্ল্যাঙ্ক সমীকরণ হল একটি নির্ণায়ক আংশিক অবকল সমীকরণ। এটি বলে যে কীভাবে সম্ভাব্যতা বিতরণ ফাংশন সময়ের সাথে একইভাবে বিকশিত হয় যেমন শ্রোডিঞ্জার সমীকরণ কোয়ান্টাম তরঙ্গ ফাংশনের সময় বিবর্তন দেয় বা বিচ্ছুরণ সমীকরণ রাসায়নিক ঘনত্বের সময় বিবর্তন দেয়। বিকল্পভাবে, মন্টে কার্লো সিমুলেশন দ্বারা সংখ্যাসূচক সমাধান পাওয়া যেতে পারে। অন্যান্য কৌশলগুলির মধ্যে রয়েছে পাথ ইন্টিগ্রেশন যা পরিসংখ্যানগত পদার্থবিজ্ঞান এবং কোয়ান্টাম মেকানিক্সের মধ্যে সাদৃশ্যকে আকর্ষণ করে (উদাহরণস্বরূপ, ফকার-প্ল্যাঙ্ক সমীকরণটি কয়েকটি ভেরিয়েবলকে পুনরুদ্ধার করে শ্রোডিঙ্গার সমীকরণে রূপান্তরিত করা যেতে পারে) বা সম্ভাব্যতা বিতরণ ফাংশনের পরিসংখ্যানগত মুহুর্তগুলির জন্য সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলি লিখে। সম্ভাব্যতা এবং গাণিতিক অর্থায়নে ব্যবহার সম্ভাব্যতা তত্ত্বে ব্যবহৃত স্বরলিপি (এবং সম্ভাব্যতা তত্ত্বের অনেক প্রয়োগে, উদাহরণস্বরূপ ফিল্টারিং সমস্যা এবং গাণিতিক অর্থায়নে সংকেত প্রক্রিয়াকরণে) কিছুটা আলাদা। এটি স্টোকাস্টিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ সমাধানের জন্য সংখ্যাসূচক পদ্ধতির প্রকাশনাগুলিতে ব্যবহৃত স্বরলিপি। এই স্বরলিপি পদার্থবিজ্ঞান গঠনে সময়ের র্যান্ডম ফাংশনের বহিরাগত প্রকৃতিকে আরও স্পষ্ট করে তোলে। কঠোর গাণিতিক পরিভাষায়, একটি সাধারণ ফাংশন হিসাবে বেছে নেওয়া যায় না, তবে শুধুমাত্র একটি সাধারণীকৃত ফাংশন হিসাবে। গাণিতিক সূত্রটি এই জটিলতাকে পদার্থবিজ্ঞান গঠনের তুলনায় কম অস্পষ্টতার সাথে বিবেচনা করে। একটি সাধারণ সমীকরণ সেই আকারের যেখানে একটি উইনার প্রক্রিয়া (স্ট্যান্ডার্ড ব্রাউনিয়ান গতি) বোঝায়। এই সমীকরণটিকে সংশ্লিষ্ট অবিচ্ছেদ্য সমীকরণটি প্রকাশ করার একটি অনানুষ্ঠানিক উপায় হিসাবে ব্যাখ্যা করা উচিত উপরের সমীকরণটি একটি সাধারণ লেবস্গু অবিচ্ছেদ্য এবং একটি ইটো অবিচ্ছেদ্যের যোগফল হিসাবে অবিচ্ছিন্ন সময় স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়া এক্সটি-এর আচরণকে চিহ্নিত করে। স্টোকাস্টিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের একটি অনুসন্ধানমূলক (তবে খুব সহায়ক) ব্যাখ্যা হল যে δ দৈর্ঘ্যের একটি ছোট সময়ের ব্যবধানে স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়া Xt তার মানকে এমন একটি পরিমাণে পরিবর্তন করে যা সাধারণত প্রত্যাশার সাথে বিতরণ করা হয় μ (Xt, t) δ এবং বৈকল্পিকতা σ (Xt, t) 2 δ এবং প্রক্রিয়াটির অতীত আচরণ থেকে স্বাধীন। এর কারণ হল একটি উইনার প্রক্রিয়ার বৃদ্ধি স্বাধীন এবং সাধারণত বিতরণ করা হয়। ফাংশন μ কে প্রবাহ সহগ হিসাবে উল্লেখ করা হয়, যেখানে σ কে বিস্তার সহগ বলা হয়। স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়া এক্সটি-কে একটি বিচ্ছুরণ প্রক্রিয়া বলা হয় এবং এটি মার্কভ বৈশিষ্ট্যকে সন্তুষ্ট করে। এস. ডি. ই-এর আনুষ্ঠানিক ব্যাখ্যাটি এস. ডি. ই-এর সমাধানের পরিপ্রেক্ষিতে দেওয়া হয়। একটি এস. ডি. ই-এর সমাধানের দুটি প্রধান সংজ্ঞা রয়েছে, একটি শক্তিশালী সমাধান এবং একটি দুর্বল সমাধান উভয়ের জন্যই একটি প্রক্রিয়া এক্স. টি-এর অস্তিত্ব প্রয়োজন যা এস. ডি. ই-এর অবিচ্ছেদ্য সমীকরণ সংস্করণটি সমাধান করে। উভয়ের মধ্যে পার্থক্য অন্তর্নিহিত সম্ভাব্যতা স্থান ()-এ রয়েছে। একটি দুর্বল সমাধান একটি সম্ভাব্যতা স্থান এবং একটি প্রক্রিয়া নিয়ে গঠিত যা অবিচ্ছেদ্য সমীকরণকে সন্তুষ্ট করে, অন্যদিকে একটি শক্তিশালী সমাধান এমন একটি প্রক্রিয়া যা সমীকরণকে সন্তুষ্ট করে এবং প্রদত্ত সম্ভাব্যতা স্থানের উপর সংজ্ঞায়িত করা হয়। একটি গুরুত্বপূর্ণ উদাহরণ হল জ্যামিতিক ব্রাউনিয়ান গতির সমীকরণ যা আর্থিক গণিতের ব্ল্যাক-স্কোলস বিকল্প মূল্য মডেলের একটি স্টকের দামের গতিশীলতার সমীকরণ। জ্যামিতিক ব্রাউনিয়ান গতির সাধারণীকরণ, শক্তিশালী সমাধান গ্রহণকারী এসডিইগুলিকে সংজ্ঞায়িত করাও সম্ভব এবং যার বিতরণ বিভিন্ন জ্যামিতিক ব্রাউনিয়ান গতি বা ব্ল্যাক স্কোলস মডেল থেকে আসা ঘনত্বের একটি উত্তল সংমিশ্রণ, একটি একক এসডিই অর্জন করে যার সমাধানগুলি বিভিন্ন ব্ল্যাক স্কোলস মডেলের লগনরমাল বিতরণের মিশ্রণ গতিশীলতা হিসাবে বিতরণ করা হয়। এটি এমন মডেলের দিকে পরিচালিত করে যা আর্থিক গণিতে অস্থিরতার হাসি মোকাবেলা করতে পারে। গাণিতিক ব্রাউনিয়ান গতি নামে পরিচিত সহজ এসডিই লুই ব্যাচেলিয়ার 1900 সালে শেয়ারের দামের জন্য প্রথম মডেল হিসাবে ব্যবহার করেছিলেন, যা আজ ব্যাচেলিয়ার মডেল নামে পরিচিত। এছাড়াও আরও সাধারণ স্টোকাস্টিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ রয়েছে যেখানে কোএফিসিয়েন্টগুলি μ এবং σ শুধুমাত্র প্রক্রিয়া Xt-এর বর্তমান মানের উপর নির্ভর করে না, বরং প্রক্রিয়াটির পূর্ববর্তী মানগুলির উপর এবং সম্ভবত অন্যান্য প্রক্রিয়াগুলির বর্তমান বা পূর্ববর্তী মানগুলির উপরও নির্ভর করে। সেক্ষেত্রে সমাধান প্রক্রিয়া, এক্স, একটি মার্কভ প্রক্রিয়া নয়, এবং এটিকে একটি ইটো প্রক্রিয়া বলা হয় এবং একটি বিস্তার প্রক্রিয়া নয়। যখন সহগগুলি শুধুমাত্র এক্স-এর বর্তমান এবং অতীতের মানগুলির উপর নির্ভর করে, তখন সংজ্ঞায়িত সমীকরণটিকে স্টোকাস্টিক বিলম্ব ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ বলা হয়। ফিস্ক-স্ট্র্যাটোনোভিচ সহ স্টোকাস্টিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের একটি সাধারণীকরণ যা জাম্প সহ সেমিমার্টিঙ্গেলসের অবিচ্ছেদ্য অংশ হল মার্কাস ধরনের এসডিই। মার্কাস ইন্টিগ্রাল হল ম্যাকশেনের স্টোকাস্টিক ক্যালকুলাসের একটি বর্ধিতাংশ। অরনস্টাইন-উহলেনবেক প্রক্রিয়ার জন্য সমীকরণের ব্যবহার থেকে স্টোকাস্টিক ফাইন্যান্সের একটি উদ্ভাবনী প্রয়োগ উদ্ভূত হয়েছে যা একটি স্টকের দামের রিটার্নের গতিশীলতার জন্য সমীকরণ যা এই অনুমানের অধীনে যে রিটার্নগুলি একটি লগ-স্বাভাবিক বন্টন প্রদর্শন করে। এই অনুমানের অধীনে, মার্সেলো মিনেনা দ্বারা বিকশিত পদ্ধতিগুলি পূর্বাভাসের ব্যবধান নির্ধারণ করে যা অস্বাভাবিক রিটার্ন সনাক্ত করতে সক্ষম যা বাজারের অপব্যবহারের ঘটনাকে লুকিয়ে রাখতে পারে। ম্যানিফোল্ডের উপর এসডিই আরও সাধারণভাবে একজন স্টোকাস্টিক ক্যালকুলাসের তত্ত্বকে ডিফারেনশিয়াল ম্যানিফোল্ডের উপর প্রসারিত করতে পারে এবং এই উদ্দেশ্যে একজন ফিস্ক-স্ট্র্যাটোনোভিচ ইন্টিগ্রাল ব্যবহার করে। একটি বহুগুণ, কিছু সীমাবদ্ধ-মাত্রিক ভেক্টর স্থান, স্বাভাবিক শর্তগুলি সন্তুষ্ট করার সাথে একটি ফিল্টার করা সম্ভাব্যতা স্থান বিবেচনা করুন এবং এক-বিন্দু কম্প্যাক্টিফিকেশন এবং-পরিমাপযোগ্য হতে দিন। লিখিত ক্ষেত্রে একটি স্টোকাস্টিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ হল একটি জোড়া, যা একটি অবিচ্ছিন্ন-মূল্যবান সেমিমার্টিঙ্গেল, যা ভেক্টর বান্ডিলগুলির একটি সমরূপতা। প্রত্যেকটির জন্য মানচিত্রটি রৈখিক এবং প্রত্যেকটির জন্য। প্রাথমিক অবস্থা সহ এস. ডি. ই-এর একটি সমাধান হল জীবনকাল পর্যন্ত একটি অবিচ্ছিন্ন-অভিযোজিত-মূল্যবান প্রক্রিয়া, এস. টি। প্রতিটি পরীক্ষার ফাংশনের জন্য প্রক্রিয়াটি একটি বাস্তব-মূল্যবান সেমিমার্টিঙ্গেল এবং সমীকরণের সাথে প্রতিটি বিরতির সময়ের জন্য-প্রায় নিশ্চিতভাবে, কোথায় পার্থক্য রয়েছে। এটি একটি সর্বাধিক সমাধান যদি জীবনকাল সর্বাধিক হয়, অর্থাৎ-প্রায় নিশ্চিতভাবে। এটি এই সত্য থেকে অনুসরণ করে যে প্রতিটি পরীক্ষার ফাংশনের জন্য একটি সেমিমার্টিঙ্গেল, যা একটি সেমিমার্টিঙ্গেল। একটি সর্বাধিক সমাধান দেওয়া হলে আমরা সময়কে পূর্ণ পর্যন্ত প্রসারিত করতে পারি এবং চালিয়ে যাওয়ার পরে আমরা অবিচ্ছেদ্য প্রক্রিয়াগুলিতে উঠি। যদিও স্ট্রাটোনোভিচ এসডিইগুলি ম্যানিফোল্ডের উপর এসডিইগুলির জন্য স্বাভাবিক পছন্দ, যেহেতু তারা চেইন নিয়মকে সন্তুষ্ট করে এবং তাদের প্রবাহ এবং বিস্তার সহগ স্থানাঙ্কের পরিবর্তনের অধীনে ভেক্টর ক্ষেত্র হিসাবে আচরণ করে, এমন কিছু ক্ষেত্রে রয়েছে যেখানে ম্যানিফোল্ডের উপর ইটো ক্যালকুলাস পছন্দসই। ম্যানিফোল্ডের উপর ইটো ক্যালকুলাসের একটি তত্ত্ব প্রথম লরেন্ট শোয়ার্জ দ্বারা শোয়ার্জ মরফিজমের ধারণার মাধ্যমে বিকশিত হয়েছিল, এছাড়াও জেট-বান্ডিলের উপর ভিত্তি করে ম্যানিফোল্ডের উপর ইটো এসডিই-এর সম্পর্কিত 2-জেট ব্যাখ্যা দেখুন। এই ব্যাখ্যাটি সহায়ক হয় যখন একটি বড় জায়গায় দেওয়া একটি এসডিই-এর সমাধানকে সেই জায়গার একটি সাবম্যানিফোল্ডে দেওয়া একটি এসডিই-এর সমাধানের সাথে সর্বোত্তমভাবে আনুমানিক করার চেষ্টা করা হয়, যাতে একটি স্ট্রাটোনোভিচ ভিত্তিক অভিক্ষেপ সর্বোত্তম হতে পারে না। এটি ফিল্টারিং সমস্যার ক্ষেত্রে প্রয়োগ করা হয়েছে, যা সর্বোত্তম প্রজেকশন ফিল্টারগুলির দিকে পরিচালিত করে। এসডিইগুলি রুক্ষ পথ হিসাবে সাধারণত একটি এসডিই-এর সমাধানের জন্য একটি সম্ভাব্য সেটিং প্রয়োজন, কারণ সমাধানের অবিচ্ছেদ্য অন্তর্নিহিত একটি স্টোকাস্টিক ইন্টিগ্রাল। যদি পথ অনুসারে ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সাথে মোকাবিলা করা সম্ভব হত, তবে একজনকে স্টোকাস্টিক ইন্টিগ্রাল সংজ্ঞায়িত করার প্রয়োজন হত না এবং কেউ সম্ভাব্যতা তত্ত্ব থেকে স্বাধীনভাবে একটি তত্ত্ব বিকাশ করতে পারত। এটি এস. ডি. ই-কে প্রত্যেকটির জন্য একক নির্ধারক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ হিসাবে বিবেচনা করার দিকে ইঙ্গিত করে, যেখানে প্রদত্ত সম্ভাব্যতা স্থান ()-এ নমুনা স্থানটি কোথায়। যাইহোক, এসডিই-এর একটি সরাসরি পথ-ভিত্তিক ব্যাখ্যা সম্ভব নয়, কারণ ব্রাউনিয়ান গতির পথগুলির সীমাহীন বৈচিত্র্য রয়েছে এবং সম্ভাব্যতা একটির সাথে কোথাও পার্থক্যযোগ্য নয়, যাতে এই ধরনের পদগুলির অর্থ দেওয়ার কোনও সরল উপায় নেই, প্রতিটি এককটির বিরুদ্ধে অবিচ্ছেদ্য হিসাবে স্টোকাস্টিক ইন্টিগ্রালের একটি সরল পথ-ভিত্তিক সংজ্ঞা বাদ দিয়ে। যাইহোক, ওয়াং-জাকাই ফলাফল দ্বারা অনুপ্রাণিত হয়ে নিয়মিত গোলমাল সহ এসডিইগুলির সমাধানের সীমা এবং রুক্ষ পথ তত্ত্ব ব্যবহার করে, ব্রাউনিয়ান গতির পুনরাবৃত্ত ইন্টিগ্রালগুলির একটি নির্বাচিত সংজ্ঞা যুক্ত করার সময়, প্রতিটি একক জন্য একটি নির্ধারক রুক্ষ ইন্টিগ্রাল সংজ্ঞায়িত করা সম্ভব যা উদাহরণস্বরূপ পুনরাবৃত্ত ব্রাউনিয়ান ইন্টিগ্রালের একটি নির্দিষ্ট পছন্দের জন্য সম্ভাব্যতা একটির সাথে ইটো ইন্টিগ্রালের সাথে মিলে যায়। পুনরাবৃত্ত ইন্টিগ্রালের অন্যান্য সংজ্ঞাগুলি স্ট্রাটোনোভিচ ইন্টিগ্রালের মতো বিভিন্ন স্টোকাস্টিক ইন্টিগ্রালের নির্ণায়ক পথের সমতুল্য দিকে পরিচালিত করে। এটি উদাহরণস্বরূপ আর্থিক গণিতে সম্ভাবনা ছাড়াই দামের বিকল্পগুলিতে ব্যবহৃত হয়েছে। সমাধানের অস্তিত্ব এবং স্বতন্ত্রতা নির্ধারণমূলক সাধারণ এবং আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের মতো, একটি প্রদত্ত এসডিই-র কোনও সমাধান আছে কিনা এবং এটি অনন্য কিনা তা জানা গুরুত্বপূর্ণ। নিম্নলিখিতটি আই. টি. ও. এস. ডি. ই-এর জন্য একটি সাধারণ অস্তিত্ব এবং স্বতন্ত্রতা উপপাদ্য যা এন-ডাইমেনশনাল ইউক্লিডিয়ান স্পেস আরএন-এ মান গ্রহণ করে এবং একটি এম-ডাইমেনশনাল ব্রাউনিয়ান গতি বি দ্বারা চালিত হয়; এর প্রমাণ Øksendal (2003, § 5.2)-এ পাওয়া যেতে পারে। ধরা যাক T> 0, এবং পরিমাপযোগ্য ফাংশন হতে দিন যার জন্য C এবং D ধ্রুবক রয়েছে যাতে সমস্ত t ω [0, T] এবং সমস্ত x এবং y ω Rn-এর জন্য, যেখানে Z একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল যা Bs, s ω দ্বারা উত্পন্ন σ-বীজগণিত থেকে স্বাধীন এবং সসীম দ্বিতীয় মুহুর্ত সহঃ তারপর স্টোকাস্টিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ/প্রাথমিক মান সমস্যার একটি P-প্রায় অবশ্যই অনন্য t-ধারাবাহিক সমাধান (t, ω) ω Xt (ω) থাকে যাতে X Z এবং Bs, s ≤ t দ্বারা উত্পন্ন পরিস্রাবণ FtZ-এর সাথে খাপ খায় এবং সাধারণ ক্ষেত্রেঃ স্থানীয় লিপশিটজ শর্ত এবং সর্বাধিক সমাধান স্টোকাস্টিক আরও সাধারণভাবে একজন ম্যানিফোল্ডের উপর স্টোকাস্টিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলিও দেখতে পারেন। এই সমীকরণের সমাধান বিস্ফোরিত হয় কিনা তা নির্ভর করে এর পছন্দের উপর। ধরুন কিছু স্থানীয় লিপশিটজ শর্ত, অর্থাৎ কিছু কম্প্যাক্ট সেটের জন্য এবং কিছু ধ্রুবক শর্ত যেখানে ইউক্লিডীয় আদর্শটি সন্তুষ্ট করে। এই শর্তটি একটি তথাকথিত সর্বাধিক সমাধানের অস্তিত্ব এবং স্বতন্ত্রতার নিশ্চয়তা দেয়। ধরুন এটি অবিচ্ছিন্ন এবং উপরের স্থানীয় লিপশিটজ শর্তটি সন্তুষ্ট করে এবং কিছু প্রাথমিক শর্ত হতে দিন, যার অর্থ এটি প্রাথমিক σ-বীজগণিতের সাপেক্ষে একটি পরিমাপযোগ্য ফাংশন। প্রায় নিশ্চিতভাবে একটি অনুমানযোগ্য বিরতির সময় হতে দিন। একটি-মূল্যবান সেমিমার্টিঙ্গেলকে জীবনকালের সাথে সর্বাধিক সমাধান বলা হয় যদি একটির জন্য (এবং তাই সমস্ত) থামানো প্রক্রিয়াটি ঘোষণা করা আমাদের সেটের স্টপড স্টোকাস্টিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের একটি সমাধান হয় যা প্রায় নিশ্চিতভাবেই রয়েছে। এটি একটি তথাকথিত বিস্ফোরণের সময়ও। কিছু স্পষ্টভাবে সমাধানযোগ্য এসডিই-র রৈখিক এসডিইঃ সাধারণ ক্ষেত্রে যেখানে হ্রাসযোগ্য এসডিইঃ প্রদত্ত ডিফারেনশিয়েবল ফাংশনের জন্য কেস 1 স্ট্রাটোনোভিচ এসডিই-এর সমতুল্য যার একটি সাধারণ সমাধান রয়েছে যেখানে হ্রাসযোগ্য এসডিইঃ প্রদত্ত ডিফারেনশিয়েবল ফাংশনের জন্য কেস 2 স্ট্রাটোনোভিচ এসডিই-এর সমতুল্য যা যেখানে আগের মতো সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে সেখানে হ্রাসযোগ্য। এর সাধারণ সমাধান হল এসডিই এবং সুপারসিমেট্রি এসডিই-এর সুপারসিমেট্রিক তত্ত্বে, মডেলের ফেজ স্পেসে ডিফারেনশিয়াল ফর্মগুলিতে কাজ করা স্টোকাস্টিক বিবর্তন অপারেটরের মাধ্যমে স্টোকাস্টিক গতিবিদ্যাকে সংজ্ঞায়িত করা হয়। স্টোকাস্টিক গতিবিদ্যার এই সঠিক গঠনে, সমস্ত এসডিই-র টপোলজিকাল সুপারসিমেট্রি রয়েছে যা অবিচ্ছিন্ন সময় প্রবাহের মাধ্যমে পর্যায় স্থানের ধারাবাহিকতা সংরক্ষণের প্রতিনিধিত্ব করে। এই অতিসমমিতির স্বতঃস্ফূর্ত ভাঙ্গন হল সর্বব্যাপী গতিশীল ঘটনার গাণিতিক সারমর্ম যা বিশৃঙ্খলা, অস্থিরতা, স্ব-সংগঠিত সমালোচনা ইত্যাদি হিসাবে বিভিন্ন শাখায় পরিচিত। এবং গোল্ডস্টোন উপপাদ্য সংশ্লিষ্ট দীর্ঘ-পরিসীমা গতিশীল আচরণ, অর্থাৎ, প্রজাপতি প্রভাব, 1/এফ এবং ক্র্যাকলিং শব্দ এবং ভূমিকম্প, নিউরোভ্যালাঞ্চ, সৌর শিখা ইত্যাদির স্কেল-মুক্ত পরিসংখ্যান ব্যাখ্যা করে। আরও দেখুন ব্যাকওয়ার্ড স্টোকাস্টিক ডিফারেনশিয়াল ইকুয়েশন ল্যাঙ্গেভিন ডাইনামিক্স স্থানীয় উদ্বায়ী স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়া স্টোকাস্টিক আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ বিস্তার প্রক্রিয়া স্টোকাস্টিক পার্থক্য সমীকরণ রেফারেন্স ডেসমন্ড হাইয়াম এবং পিটার ক্লোডেনঃ "অ্যান ইন্ট্রোডাকশন টু দ্য নিউমেরিকাল সিমুলেশন অফ স্টোকাস্টিক ডিফারেনশিয়াল ইকুয়েশন", সিয়াম, (2021)। ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়া