Ordinal utility
অর্থনীতিতে, একটি অর্ডিনাল ইউটিলিটি ফাংশন হল একটি ফাংশন যা একটি অর্ডিনাল স্কেলে কোনও এজেন্টের পছন্দগুলি উপস্থাপন করে। সাধারণ উপযোগিতা তত্ত্ব দাবি করে যে কোন বিকল্পটি অন্যটির চেয়ে ভাল তা জিজ্ঞাসা করা কেবল অর্থপূর্ণ, তবে এটি কতটা ভাল বা এটি কতটা ভাল তা জিজ্ঞাসা করা অর্থহীন। নিশ্চিততার শর্তে ভোক্তাদের সিদ্ধান্ত গ্রহণের সমস্ত তত্ত্ব সাধারণ উপযোগের পরিপ্রেক্ষিতে প্রকাশ করা যেতে পারে এবং সাধারণত করা হয়। উদাহরণস্বরূপ, ধরুন জর্জ আমাদের বলে যে "আমি এ থেকে বি এবং বি থেকে সি পছন্দ করি"। জর্জের পছন্দগুলি এমন একটি ফাংশন দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা যেতে পারে যেঃ কিন্তু কার্ডিনাল ইউটিলিটির সমালোচকরা দাবি করেন যে এই ফাংশনের একমাত্র অর্থপূর্ণ বার্তা হল ক্রম; প্রকৃত সংখ্যাগুলি অর্থহীন। অতএব, জর্জের পছন্দগুলি নিম্নলিখিত ফাংশন v দ্বারাও প্রতিনিধিত্ব করা যেতে পারেঃ u এবং v ফাংশনগুলি সাধারণত সমতুল্য-তারা জর্জের পছন্দগুলিকে সমানভাবে উপস্থাপন করে। সাধারণ উপযোগিতা কার্ডিনাল ইউটিলিটি তত্ত্বের সাথে বৈপরীত্যঃ পরেরটি ধরে নেয় যে পছন্দগুলির মধ্যে পার্থক্যও গুরুত্বপূর্ণ। ইউ-তে এ এবং বি-এর মধ্যে পার্থক্য বি এবং সি-এর তুলনায় অনেক কম, যেখানে ভি-তে বিপরীতটি সত্য। অতএব, u এবং v কার্ডিনালি সমতুল্য নয়। অর্ডিনাল ইউটিলিটি ধারণাটি 1906 সালে পারেটো দ্বারা প্রথম চালু করা হয়েছিল। নোটেশন ধরুন বিশ্বের সমস্ত অবস্থার সেট হল এবং একজন এজেন্টের একটি পছন্দের সম্পর্ক রয়েছে। দুর্বল পছন্দের সম্পর্ককে এইভাবে চিহ্নিত করা সাধারণ, যাতে লেখা থাকে "প্রতিনিধি কমপক্ষে এ-এর মতো বি-কে চায়"। প্রতীকটি উদাসীনতা সম্পর্কের সংক্ষিপ্তসার হিসাবে ব্যবহৃত হয়ঃ, যা পড়ে "প্রতিনিধি বি এবং এ-এর মধ্যে উদাসীন"। প্রতীকটি শক্তিশালী পছন্দের সম্পর্কের সংক্ষিপ্তসার হিসাবে ব্যবহৃত হয়ঃ, যা পড়ে "প্রতিনিধি কঠোরভাবে বি থেকে এ পছন্দ করে"। একটি ফাংশনকে সম্পর্ককে উপস্থাপন করতে বলা হয় যদিঃ সম্পর্কিত ধারণাগুলি উদাসীনতা বক্ররেখা ম্যাপিং একটি সংখ্যাসূচক ফাংশনকে সংজ্ঞায়িত করার পরিবর্তে, কোনও এজেন্টের পছন্দের সম্পর্ককে উদাসীনতা বক্ররেখা দ্বারা গ্রাফিকভাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে। এটি বিশেষভাবে কার্যকর হয় যখন দুই ধরনের পণ্য থাকে, x এবং y। তারপর, প্রতিটি উদাসীনতা বক্ররেখা বিন্দুর একটি সেট দেখায় যে, যদি এবং একই বক্ররেখায় থাকে, তাহলে। একটি উদাহরণ উদাসীনতা বক্ররেখা নীচে দেখানো হয়েছেঃ প্রতিটি উদাসীনতা বক্ররেখা হল পয়েন্টগুলির একটি সেট, প্রতিটি দুটি পণ্য বা পরিষেবার পরিমাণের সংমিশ্রণকে উপস্থাপন করে, যার সবগুলি সংমিশ্রণে ভোক্তা সমানভাবে সন্তুষ্ট। উৎপত্তিস্থল থেকে যত বেশি বক্ররেখা হবে, উপযোগিতার মাত্রা তত বেশি হবে। যে কোনও বিন্দুতে বক্ররেখার ঢাল (Y-এর জন্য X-এর প্রতিস্থাপনের প্রান্তিক হারের ঋণাত্মক) সেই হারকে দেখায় যে হারে ব্যক্তিটি একই স্তরের উপযোগিতা বজায় রেখে ভাল Y-এর বিপরীতে ভাল X-এর বিনিময় করতে ইচ্ছুক। বক্ররেখাটি উৎপত্তির সাথে উত্তল হিসাবে দেখানো হয়েছে যেমনটি ধরে নেওয়া হয় যে ভোক্তার প্রতিস্থাপনের হ্রাসমান প্রান্তিক হার রয়েছে। এটা দেখানো যেতে পারে যে, উদাসীনতার বক্ররেখা (একটি ক্রমিক পদ্ধতি) সহ ভোক্তা বিশ্লেষণ মূল উপযোগিতা তত্ত্বের উপর ভিত্তি করে একই ফলাফল দেয়-অর্থাৎ, ভোক্তারা সেই বিন্দুতে ভোগ করবে যেখানে যে কোনও দুটি পণ্যের মধ্যে প্রতিস্থাপনের প্রান্তিক হার সেই পণ্যগুলির দামের অনুপাতের সমান (সম-প্রান্তিক নীতি)। প্রকাশিত পছন্দ প্রকাশিত পছন্দ তত্ত্ব বাস্তব জগতে ক্রমবর্ধমান পছন্দের সম্পর্কগুলি কীভাবে পর্যবেক্ষণ করা যায় তার সমস্যাটিকে সম্বোধন করে। প্রকাশিত পছন্দ তত্ত্বের চ্যালেঞ্জটি আংশিকভাবে কোন পণ্যের বান্ডিলগুলি আগে থেকে পছন্দ করা হয়েছিল তা নির্ধারণের মধ্যে রয়েছে, যখন ব্যক্তিদের পণ্যের নির্দিষ্ট বান্ডিলগুলি বেছে নিতে দেখা যায়। অর্ডিনাল ইউটিলিটি ফাংশনের অস্তিত্বের জন্য প্রয়োজনীয় শর্ত একটি প্রতিনিধিত্বকারী ফাংশনের অস্তিত্ব নিশ্চিত করার জন্য কিছু শর্ত প্রয়োজনঃ ট্রানজিটিভিটিঃ যদি এবং তারপর। সম্পূর্ণতাঃ সমস্ত বান্ডিলের জন্যঃ হয় বা উভয়ই। সম্পূর্ণতা রিফ্লেক্সিভিটিও বোঝায়ঃ প্রত্যেকের জন্যঃ যখন এই শর্তগুলি পূরণ করা হয় এবং সেটটি সীমাবদ্ধ হয়, তখন এমন একটি ফাংশন তৈরি করা সহজ যা কেবল প্রতিটি উপাদানকে একটি উপযুক্ত সংখ্যা বরাদ্দ করে প্রতিনিধিত্ব করে, যেমনটি শুরুর অনুচ্ছেদে উদাহরণস্বরূপ। যখন এক্স গণনাযোগ্যভাবে অসীম হয় তখনও একই কথা প্রযোজ্য। উপরন্তু, একটি প্রতিনিধিত্বকারী ইউটিলিটি ফাংশন গঠন করা সম্ভব যার মানগুলি সীমার মধ্যে রয়েছে। যখন অসীম হয়, এই শর্তগুলি অপর্যাপ্ত হয়। উদাহরণস্বরূপ, অভিধানগত পছন্দগুলি ক্ষণস্থায়ী এবং সম্পূর্ণ, তবে সেগুলি কোনও ইউটিলিটি ফাংশন দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা যায় না। প্রয়োজনীয় অতিরিক্ত শর্ত হল ধারাবাহিকতা। ধারাবাহিকতা একটি পছন্দের সম্পর্ককে অবিচ্ছিন্ন বলা হয় যদি, যখনই বি-কে এ-এর চেয়ে বেশি পছন্দ করা হয়, তখন বি বা এ থেকে ছোট বিচ্যুতি তাদের মধ্যে ক্রমকে বিপরীত করবে না। আনুষ্ঠানিকভাবে, একটি সেট এক্স-এর একটি পছন্দ সম্পর্ককে অবিচ্ছিন্ন বলা হয় যদি এটি নিম্নলিখিত সমতুল্য শর্তগুলির মধ্যে একটি সন্তুষ্ট করেঃ প্রত্যেকটির জন্য, সেটটি পণ্য টপোলজির সাথে টপোলজিক্যালি বন্ধ থাকে (এই সংজ্ঞাটি একটি টপোলজিকাল স্থান হতে হবে)। প্রতিটি ক্রমের জন্য, যদি সবের জন্য i এবং এবং, তারপর। এই ধরনের প্রত্যেকটির জন্য, চারপাশে একটি বল এবং চারপাশে এমন একটি বল থাকে যে, চারপাশে প্রতিটি বলের জন্য এবং চারপাশে প্রতিটি বলের জন্য, (এই সংজ্ঞাটি একটি মেট্রিক স্থান হতে হবে)। যদি একটি পছন্দের সম্পর্ক একটি অবিচ্ছিন্ন ইউটিলিটি ফাংশন দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয়, তবে এটি স্পষ্টভাবে অবিচ্ছিন্ন। ডেব্রেউ (1954)-এর উপপাদ্য অনুসারে, এর বিপরীতটিও সত্যঃ প্রতিটি অবিচ্ছিন্ন সম্পূর্ণ পছন্দের সম্পর্ককে একটি অবিচ্ছিন্ন অর্ডিনাল ইউটিলিটি ফাংশন দ্বারা উপস্থাপন করা যেতে পারে। লক্ষ্য করুন যে অভিধানগত পছন্দগুলি ধারাবাহিক নয়। উদাহরণস্বরূপ, তবে প্রতিটি বলের চারপাশে (5,1) পয়েন্ট রয়েছে এবং এই পয়েন্টগুলি এর চেয়ে নিকৃষ্ট। এটি উপরে বর্ণিত সত্যের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ যে, এই পছন্দগুলি কোনও ইউটিলিটি ফাংশন দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা যায় না। স্বতন্ত্রতা প্রতিটি ইউটিলিটি ফাংশন v-এর জন্য, একটি অনন্য পছন্দ সম্পর্ক রয়েছে যা v দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয়। তবে, বিপরীতটি সত্য নয়ঃ একটি পছন্দ সম্পর্ক বিভিন্ন ইউটিলিটি ফাংশন দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা যেতে পারে। একই পছন্দগুলি যে কোনও ইউটিলিটি ফাংশন হিসাবে প্রকাশ করা যেতে পারে যা v এর একঘেয়েভাবে ক্রমবর্ধমান রূপান্তর। উদাহরণস্বরূপ, যদি কোনও একঘেয়েভাবে ক্রমবর্ধমান ফাংশন থাকে, তবে v এবং v ফাংশনগুলি অভিন্ন উদাসীনতা বক্ররেখা ম্যাপিংয়ের জন্ম দেয়। এই সমতুল্যতাটি সংক্ষেপে নিম্নলিখিত উপায়ে বর্ণনা করা হয়েছেঃ একটি অর্ডিনাল ইউটিলিটি ফাংশন ক্রমবর্ধমান মনোটোন রূপান্তর পর্যন্ত অনন্য। এর বিপরীতে, একটি কার্ডিনাল ইউটিলিটি ফাংশন অ্যাফিন রূপান্তর বৃদ্ধি পর্যন্ত অনন্য। প্রতিটি অ্যাফিন রূপান্তর একমুখী হয়; অতএব, যদি দুটি ফাংশন কার্ডিনালি সমতুল্য হয় তবে সেগুলিও সাধারণত সমতুল্য, তবে তদ্বিপরীত নয়। একঘেয়েমি ধরুন, এখন থেকে, সেটটি সমস্ত অ-নেতিবাচক বাস্তব দ্বি-মাত্রিক ভেক্টরের সেট। সুতরাং এর একটি উপাদান হল একটি জোড়া যা দুটি পণ্য, যেমন আপেল এবং কলা থেকে খাওয়া পরিমাণের প্রতিনিধিত্ব করে। তারপর নির্দিষ্ট পরিস্থিতিতে একটি পছন্দের সম্পর্ক একটি ইউটিলিটি ফাংশন দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয়। ধরুন পছন্দের সম্পর্কটি একঘেয়েভাবে বৃদ্ধি পাচ্ছে, যার অর্থ হল "আরও সবসময় ভাল": তারপর, উভয় আংশিক ডেরিভেটিভ, যদি তারা বিদ্যমান থাকে, তবে v এর ধনাত্মক। সংক্ষেপেঃ যদি কোনও ইউটিলিটি ফাংশন একঘেয়েভাবে ক্রমবর্ধমান পছন্দের সম্পর্ককে উপস্থাপন করে, তবে ইউটিলিটি ফাংশন একঘেয়েভাবে বৃদ্ধি পাচ্ছে। প্রতিস্থাপনের প্রান্তিক হার ধরুন একজন ব্যক্তির একটি বান্ডিল রয়েছে এবং তিনি দাবি করেন যে তিনি এই বান্ডিল এবং বান্ডিলের মধ্যে উদাসীন। এর অর্থ হল, তিনি y-এর একক পেতে x-এর একক দিতে ইচ্ছুক। যদি এই অনুপাতটি রাখা হয়, আমরা বলি যে এটি বিন্দুতে x এবং y এর মধ্যে প্রতিস্থাপনের প্রান্তিক হার (এম. আর. এস)। এম. আর. এস-এর এই সংজ্ঞাটি শুধুমাত্র অর্ডিনাল প্রেফারেন্স রিলেশনের উপর ভিত্তি করে-এটি কোনও সংখ্যাসূচক ইউটিলিটি ফাংশনের উপর নির্ভর করে না। যদি পছন্দের সম্পর্কটি একটি ইউটিলিটি ফাংশন দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয় এবং ফাংশনটি ডিফারেনশিয়েবল হয়, তবে সেই ফাংশনের ডেরিভেটিভ থেকে এমআরএস গণনা করা যেতে পারেঃ উদাহরণস্বরূপ, যদি পছন্দের সম্পর্কটি তখন দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয়। ফাংশনের জন্য এম. আর. এস একই। এটি কোনও কাকতালীয় ঘটনা নয় কারণ এই দুটি ফাংশন একই পছন্দের সম্পর্ককে উপস্থাপন করে-প্রতিটি হল অন্যটির ক্রমবর্ধমান মনোটোন রূপান্তর। সাধারণভাবে, এম. আর. এস বিভিন্ন পয়েন্টে ভিন্ন হতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, এটি সম্ভব যে এম. আর. এস-এ কম হয় কারণ ব্যক্তির প্রচুর এক্স এবং শুধুমাত্র একটি ওয়াই থাকে, তবে এ. টি বা এম. আর. এস বেশি হয়। কিছু বিশেষ কেস নীচে বর্ণনা করা হয়েছে। রৈখিকতা যখন একটি নির্দিষ্ট পছন্দের সম্পর্কের এম. আর. এস বান্ডিলের উপর নির্ভর করে না, অর্থাৎ, এম. আর. এস সকলের জন্য একই হয়, তখন উদাসীনতা বক্ররেখা রৈখিক এবং রূপের হয়ঃ এবং পছন্দের সম্পর্কটি একটি রৈখিক ফাংশন দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা যেতে পারেঃ (অবশ্যই, একই সম্পর্কটি অন্যান্য অনেক অ-রৈখিক ফাংশন দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা যেতে পারে, যেমন বা, তবে রৈখিক ফাংশনটি সবচেয়ে সহজ।) কোয়াসিলিনিয়ারিটি যখন এম. আর. এস নির্ভর করে তবে তার উপর নয়, তখন পছন্দের সম্পর্কটি একটি কোয়াসিলিনিয়ার ইউটিলিটি ফাংশন দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা যেতে পারে, যেখানে একটি নির্দিষ্ট একঘেয়েভাবে ক্রমবর্ধমান ফাংশন। যেহেতু এম. আর. এস একটি ফাংশন, একটি সম্ভাব্য ফাংশন একটি অবিচ্ছেদ্য হিসাবে গণনা করা যেতে পারেঃ এই ক্ষেত্রে, সমস্ত উদাসীনতা বক্ররেখা সমান্তরাল-তারা একে অপরের অনুভূমিক স্থানান্তর। দুটি পণ্যের সঙ্গে যোগযোগিতা আরও সাধারণ ধরনের ইউটিলিটি ফাংশন হল একটি যোগাত্মক ফাংশনঃ প্রদত্ত পছন্দগুলি একটি যোগাত্মক ইউটিলিটি ফাংশন দ্বারা প্রতিনিধিত্বযোগ্য কিনা তা পরীক্ষা করার বিভিন্ন উপায় রয়েছে। দ্বিগুণ বাতিলকরণ বৈশিষ্ট্য যদি পছন্দগুলি যোগাত্মক হয় তবে একটি সাধারণ গাণিতিক গণনা তা দেখায় এবং বোঝায় যে এই "দ্বিগুণ বাতিলকরণ" বৈশিষ্ট্যটি যোগাত্মকতার জন্য একটি প্রয়োজনীয় শর্ত। ডেব্রেউ (1960) দেখিয়েছেন যে এই বৈশিষ্ট্যটিও যথেষ্টঃ অর্থাৎ, যদি একটি পছন্দের সম্পর্ক দ্বৈত-বাতিলকরণ বৈশিষ্ট্যকে সন্তুষ্ট করে তবে এটি একটি সংযোজনমূলক ইউটিলিটি ফাংশন দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা যেতে পারে। যদি পছন্দগুলি একটি অ্যাডিটিভ ফাংশন দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয়, তবে একটি সাধারণ গাণিতিক গণনা দেখায় যে এই "সংশ্লিষ্ট ট্রেডঅফ" বৈশিষ্ট্যটি অ্যাডিটিভিটির জন্য একটি প্রয়োজনীয় শর্ত। এই শর্তটিও যথেষ্ট। তিন বা ততোধিক পণ্যের সঙ্গে সংযোজনশীলতা যখন তিন বা ততোধিক পণ্য থাকে, তখন উপযোগিতা ক্রিয়ার সংযোজনশীলতার শর্ত দুটি পণ্যের তুলনায় আশ্চর্যজনকভাবে সহজ হয়। এটি ডেব্রেউ (1960)-এর 3য় উপপাদ্যের ফলাফল। সংযোজনশীলতার জন্য প্রয়োজনীয় শর্ত হল অগ্রাধিকারগত স্বাধীনতা। পণ্যদ্রব্যের একটি উপসেট 'এ' কে পণ্যদ্রব্যের একটি উপসেট 'বি' থেকে স্বাধীন বলে মনে করা হয়, যদি উপসেট 'এ'-তে পছন্দের সম্পর্ক, উপসেট 'বি'-এর জন্য ধ্রুবক মান দেওয়া হয়, এই ধ্রুবক মানগুলির থেকে স্বাধীন হয়। উদাহরণস্বরূপ, ধরুন তিনটি পণ্য রয়েছেঃ x y এবং z। উপসেট {x, y} পছন্দসইভাবে উপসেট {z} থেকে স্বাধীন, যদি সবার জন্যঃ। এই ক্ষেত্রে, আমরা সহজভাবে বলতে পারি যেঃ ধ্রুবক z-এর জন্য। স্বাধীন পণ্যের ক্ষেত্রে অগ্রাধিকারগত স্বাধীনতা অর্থপূর্ণ। উদাহরণস্বরূপ, আপেল এবং কলার বান্ডিলগুলির মধ্যে পছন্দগুলি সম্ভবত কোনও এজেন্টের জুতো এবং মোজার সংখ্যার উপর নির্ভর করে এবং তদ্বিপরীত। ডেব্রেউ-এর উপপাদ্য অনুসারে, পণ্যের সমস্ত উপসেট যদি তাদের পরিপূরক থেকে স্বাধীন হয়, তবে পছন্দের সম্পর্ককে একটি যোগাত্মক মান ফাংশন দ্বারা উপস্থাপন করা যেতে পারে। এখানে আমরা এই ফলাফলের একটি স্বজ্ঞাত ব্যাখ্যা প্রদান করি যে কিভাবে এই ধরনের একটি যোগাত্মক মান ফাংশন তৈরি করা যেতে পারে। প্রমাণটি তিনটি পণ্য ধরে নেয়ঃ x, y, z। আমরা দেখাব কিভাবে তিনটি মান ফাংশনের প্রত্যেকটির জন্য তিনটি পয়েন্ট সংজ্ঞায়িত করা যায়ঃ 0 পয়েন্ট, 1 পয়েন্ট এবং 2 পয়েন্ট। অন্যান্য পয়েন্টগুলি একইভাবে গণনা করা যেতে পারে এবং তারপরে ধারাবাহিকতা ব্যবহার করে এই সিদ্ধান্তে পৌঁছানো যেতে পারে যে ফাংশনগুলি তাদের পুরো পরিসরে ভালভাবে সংজ্ঞায়িত। 0 পয়েন্টঃ নির্বিচারে নির্বাচন করুন এবং তাদের মান ফাংশনের শূন্য হিসাবে বরাদ্দ করুন, অর্থাৎ। : 1 পয়েন্টঃ নির্বিচারে এমনভাবে বেছে নিন। এটিকে মূল্যের একক হিসেবে নির্ধারণ করুন, অর্থাৎ। : বেছে নিন এবং এমনভাবে বেছে নিন যাতে নিম্নলিখিত উদাসীনতা সম্পর্কগুলি ধরে থাকেঃ এই উদাসীনতা x-এর সাথে মিল রেখে y এবং z-এর একককে পরিমাপ করতে কাজ করে। এই তিনটি বিন্দুর মান 1 হওয়া উচিত, তাই আমরা 2 পয়েন্ট বরাদ্দ করিঃ এখন আমরা অগ্রাধিকার-স্বাধীনতা অনুমান ব্যবহার করি। এবং এর মধ্যে সম্পর্ক z থেকে স্বাধীন, এবং একইভাবে এবং এর মধ্যে সম্পর্ক x থেকে স্বাধীন এবং এবং এর মধ্যে সম্পর্ক y থেকে স্বাধীন। সুতরাং এটি কার্যকর কারণ এর অর্থ হল যে এই তিনটি বিন্দুতে v ফাংশনের একই মান-2-থাকতে পারে। এমনভাবে নির্বাচন করুন এবং 3 পয়েন্ট বরাদ্দ করুনঃ আমাদের অ্যাসাইনমেন্টগুলি এখনও পর্যন্ত সামঞ্জস্যপূর্ণ তা দেখানোর জন্য, আমাদের অবশ্যই দেখাতে হবে যে 3 এর মোট মান প্রাপ্ত সমস্ত পয়েন্ট উদাসীনতা পয়েন্ট। এখানে, আবার, অগ্রাধিকারমূলক স্বাধীনতা অনুমান ব্যবহার করা হয়, যেহেতু এবং এর মধ্যে সম্পর্ক z থেকে স্বাধীন (এবং একইভাবে অন্যান্য জোড়ার জন্য); তাই এবং একইভাবে অন্যান্য জোড়ার জন্য। অতএব, 3 পয়েন্টটি ধারাবাহিকভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। আমরা ইন্ডাকশন দ্বারা এভাবে চালিয়ে যেতে পারি এবং সমস্ত পূর্ণসংখ্যা বিন্দুতে প্রতি-পণ্য ফাংশনগুলি সংজ্ঞায়িত করতে পারি, তারপরে সমস্ত বাস্তব বিন্দুতে এটি সংজ্ঞায়িত করতে ধারাবাহিকতা ব্যবহার করতে পারি। উপরের প্রমাণের 1 নং পয়েন্টে একটি অন্তর্নিহিত অনুমান হল যে তিনটি পণ্যই অপরিহার্য বা পছন্দের প্রাসঙ্গিক। এর মানে হল যে একটি বান্ডিল রয়েছে যাতে, যদি একটি নির্দিষ্ট পণ্যের পরিমাণ বাড়ানো হয়, তবে নতুন বান্ডিলটি কঠোরভাবে ভাল। তিনটিরও বেশি পণ্যের প্রমাণ একই রকম। প্রকৃতপক্ষে, আমাদের পরীক্ষা করতে হবে না যে সমস্ত পয়েন্টের উপসেটগুলি অগ্রাধিকারগতভাবে স্বাধীন; পণ্যগুলির জোড়ার একটি রৈখিক সংখ্যা পরীক্ষা করার জন্য এটি যথেষ্ট। উদাহরণস্বরূপ, যদি বিভিন্ন পণ্য থাকে, তবে এটি পরীক্ষা করা যথেষ্ট যে সকলের জন্য, দুটি পণ্য অন্যান্য পণ্য থেকে অগ্রাধিকারের দিক থেকে স্বাধীন। যোগাত্মক উপস্থাপনার অনন্যতা একটি যোগাত্মক পছন্দ সম্পর্ক বিভিন্ন যোগাত্মক ইউটিলিটি ফাংশন দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা যেতে পারে। যাইহোক, এই সমস্ত ফাংশন একই রকমঃ এগুলি কেবল একে অপরের মনোটোন রূপান্তর বৃদ্ধি করছে না (যেমন একই সম্পর্কের প্রতিনিধিত্বকারী সমস্ত ইউটিলিটি ফাংশন); তারা একে অপরের রৈখিক রূপান্তর বৃদ্ধি করছে। সংক্ষেপে, একটি অ্যাডিটিভ অর্ডিনাল ইউটিলিটি ফাংশন রৈখিক রূপান্তর বৃদ্ধি পর্যন্ত অনন্য। অর্ডিনাল ডেটা থেকে অ্যাডিটিভ এবং কোয়াড্রাটিক ইউটিলিটি ফাংশন তৈরি করা জেরার্ড ডেব্রেউ দ্বারা নির্ধারিত বেশিরভাগ সাধারণ ধরনের ইউটিলিটি ফাংশন-কোয়াড্রাটিক এবং অ্যাডিটিভ-এর গাণিতিক ভিত্তি আন্দ্রানিক ট্যাঙ্গিয়ানকে বিশুদ্ধভাবে অর্ডিনাল ডেটা থেকে তাদের নির্মাণের পদ্ধতি বিকাশ করতে সক্ষম করে। বিশেষত, পরিবর্তনশীলগুলিতে যোগাত্মক এবং দ্বিঘাত ইউটিলিটি ফাংশনগুলি সিদ্ধান্ত গ্রহণকারীদের সাক্ষাৎকার থেকে তৈরি করা যেতে পারে, যেখানে প্রশ্নগুলি মূল ইউটিলিটি অনুমানের উল্লেখ না করে স্থানাঙ্ক সমতলে সম্পূর্ণ 2ডি-সূচক বক্ররেখা খুঁজে বের করার লক্ষ্যে করা হয়। অর্ডিনাল এবং কার্ডিনাল ইউটিলিটি ফাংশনের মধ্যে তুলনা নিম্নলিখিত টেবিলটি অর্থনীতিতে প্রচলিত দুই ধরনের ইউটিলিটি ফাংশনের তুলনা করেঃ আরও দেখুন পছন্দ (অর্থনীতি) মাল্টি-অ্যাট্রিবিউট ইউটিলিটি কনজিউমার থিওরি মার্জিনাল ইউটিলিটি ল্যাটিস থিওরি কনভেক্স পছন্দ রেফারেন্স বাহ্যিক লিঙ্ক লেক্সিকোগ্রাফিক পছন্দ সম্পর্ক একটি ইউটিলিটি ফাংশন দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা যায় না। Economics.SE-এ আর2-এ সন্নিবেশযোগ্য রৈখিক ক্রমগুলি অভিধানগতভাবে চিহ্নিত করা হয়েছে। Math.SE-এ। মারে এন রথবার্ড, "ইউটিলিটি এবং কল্যাণ অর্থনীতির পুনর্গঠনের দিকে" ইউটিলিটি