Rindler coordinates
রিন্ডলার স্থানাঙ্ক হল একটি স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা যা বিশেষ আপেক্ষিকতার প্রসঙ্গে সমতল স্থানকালে একটি অভিন্নভাবে ত্বরান্বিত রেফারেন্স ফ্রেমের হাইপারবোলিক ত্বরণ বর্ণনা করতে ব্যবহৃত হয়। আপেক্ষিক পদার্থবিজ্ঞানে হাইপারবোলিক্যালি এক্সিলারেটেড রেফারেন্স ফ্রেমের স্থানাঙ্কগুলি সমতল মিনকোভস্কি স্পেসটাইমের অংশের প্রতিনিধিত্বকারী একটি গুরুত্বপূর্ণ এবং দরকারী স্থানাঙ্ক চার্ট গঠন করে। বিশেষ আপেক্ষিকতায়, একটি অভিন্নভাবে ত্বরান্বিত কণা হাইপারবোলিক গতির মধ্য দিয়ে যায়, যার জন্য একটি অভিন্নভাবে ত্বরান্বিত রেফারেন্স ফ্রেম যেখানে এটি বিশ্রামে থাকে তার সঠিক রেফারেন্স ফ্রেম হিসাবে বেছে নেওয়া যেতে পারে। এই হাইপারবোলিক্যালি এক্সিলারেটেড ফ্রেমের ঘটনাগুলিকে একটি সমজাতীয় মহাকর্ষীয় ক্ষেত্রে উদ্ভূত প্রভাবগুলির সাথে তুলনা করা যেতে পারে। সমতল স্থানকালে ত্বরণের সাধারণ পর্যালোচনার জন্য, ত্বরণ (বিশেষ আপেক্ষিকতা) এবং যথাযথ রেফারেন্স ফ্রেম (সমতল স্থানকাল) দেখুন। এই প্রবন্ধে, আলোর গতি দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে, জড় স্থানাঙ্কগুলি হল, এবং হাইপারবোলিক স্থানাঙ্কগুলি হল। এই হাইপারবোলিক স্থানাঙ্কগুলিকে ত্বরান্বিত পর্যবেক্ষকের অবস্থানের উপর নির্ভর করে দুটি প্রধান রূপে বিভক্ত করা যেতে পারেঃ পর্যবেক্ষক যদি অবস্থানে সময়ে অবস্থান করেন (একটি কমভিং অ্যাক্সিলেরোমিটার দ্বারা পরিমাপ করা ধ্রুবক সঠিক ত্বরণ হিসাবে), তবে হাইপারবোলিক স্থানাঙ্কগুলিকে প্রায়শই সংশ্লিষ্ট রিন্ডলার মেট্রিকের সাথে রিন্ডলার স্থানাঙ্ক বলা হয়। যদি পর্যবেক্ষক সময়ে অবস্থানে থাকেন, তবে হাইপারবোলিক স্থানাঙ্কগুলিকে কখনও কখনও মোলার স্থানাঙ্ক বা সংশ্লিষ্ট কোটলার-মোলার মেট্রিকের সাথে কোটলার-মোলার স্থানাঙ্ক বলা হয়। প্রায়শই হাইপারবোলিক গতিতে পর্যবেক্ষকদের সাথে সম্পর্কিত একটি বিকল্প চার্ট রাডার স্থানাঙ্ক ব্যবহার করে প্রাপ্ত হয় যাকে কখনও কখনও লাস স্থানাঙ্ক বলা হয়। কটলার-মোলার স্থানাঙ্ক এবং লাস স্থানাঙ্ক উভয়কেই রিন্ডলার স্থানাঙ্ক হিসাবেও চিহ্নিত করা হয়। ইতিহাস সম্পর্কে, এই ধরনের স্থানাঙ্কগুলি বিশেষ আপেক্ষিকতার আবির্ভাবের পরপরই প্রবর্তিত হয়েছিল, যখন সেগুলি হাইপারবোলিক গতির ধারণার পাশাপাশি (সম্পূর্ণ বা আংশিকভাবে) অধ্যয়ন করা হয়েছিলঃ আলবার্ট আইনস্টাইন (1907,1912), ম্যাক্স বর্ন (1909), আর্নল্ড সমারফেল্ড (1910), ম্যাক্স ভন লাউ (1911), হেন্ড্রিক লরেঞ্জ (1913), ফ্রেডরিক কটলার (1914), ওল্ফগ্যাং পাউলি (1921), কার্ল বোলার্ট (1922), স্টেজেপান মোহোরোভিচ (1922), জর্জেস লেমাট্রে (1924), আইনস্টাইন ও নাথান রোজেন (1935), ক্রিশ্চিয়ান মোলার (1943,1952), ফ্রিটজ রোহরলিচ (1913)। বিস্তারিত এবং উৎসের জন্য, দেখুন। রিন্ডলার কাঠামোর বৈশিষ্ট্য হাইপারবোলিক গতিতে একটি বস্তুর বিশ্বরেখা যার সঠিক সময় এবং দ্রুততার ফাংশন হিসাবে-দিকে ধ্রুবক সঠিক ত্বরণ রয়েছে, যেখানে ধ্রুবক এবং পরিবর্তনশীল, বিশ্বরেখা হাইপারবোলার অনুরূপ। সমারফেল্ড দেখিয়েছেন যে সমীকরণগুলিকে পরিবর্তনশীল এবং ধ্রুবক হিসাবে সংজ্ঞায়িত করে পুনরায় ব্যাখ্যা করা যেতে পারে, যাতে এটি একটি গতিশীল পর্যবেক্ষক দ্বারা পরিমাপ করা হাইপারবোলিক গতিতে একটি বস্তুর একযোগে "বিশ্রাম আকৃতি" উপস্থাপন করে। পর্যবেক্ষকের সঠিক সময়কে সেটিং দ্বারা সমগ্র হাইপারবোলিকভাবে ত্বরান্বিত ফ্রেমের সময় হিসাবে ব্যবহার করে, জড় স্থানাঙ্ক এবং হাইপারবোলিক স্থানাঙ্কের মধ্যে রূপান্তর সূত্রগুলি ফলস্বরূপঃ বিপরীত পৃথকীকৃত এবং মিনকোভস্কি মেট্রিকের মধ্যে ঢোকানো সহ, হাইপারবোলিকভাবে ত্বরান্বিত ফ্রেমে মেট্রিক অনুসরণ করে এই রূপান্তরগুলি রিন্ডলার পর্যবেক্ষককে এমন একজন পর্যবেক্ষক হিসাবে সংজ্ঞায়িত করে যা রিন্ডলার স্থানাঙ্কে "বিশ্রামে" থাকে, অর্থাৎ, ধ্রুবক x, y, z বজায় রাখে এবং সময় অতিবাহিত হওয়ার সাথে সাথে কেবল t পরিবর্তিত হয়। স্থানাঙ্কগুলি সেই অঞ্চলে বৈধ, যাকে প্রায়শই রিন্ডলার ওয়েজ বলা হয়, যদি রিন্ডলার পর্যবেক্ষকের সঠিক ত্বরণ (হাইপারবোলা বরাবর) প্রতিনিধিত্ব করে যার সঠিক সময় রিন্ডলার স্থানাঙ্ক সময়ের সমান হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। এই বিশ্বরেখা বজায় রাখার জন্য, পর্যবেক্ষককে অবশ্যই একটি ধ্রুবক যথাযথ ত্বরণের সাথে ত্বরান্বিত করতে হবে, রিন্ডলার পর্যবেক্ষকদের (রিন্ডলার দিগন্ত) আরও বেশি সঠিক ত্বরণ থাকতে হবে। সমস্ত রিন্ডলার পর্যবেক্ষকরা জড়তার ফ্রেমে সময়ে তাৎক্ষণিকভাবে বিশ্রামে থাকেন এবং এই সময়ে যথাযথ ত্বরণ সহ একজন রিন্ডলার পর্যবেক্ষক অবস্থানে থাকবেন (আসলে, তবে আমরা যেখানে একক ধরে নিই), যা রিন্ডলার স্থানাঙ্কে রিন্ডলার দিগন্ত থেকে পর্যবেক্ষকের ধ্রুবক দূরত্বও। যদি সমস্ত রিন্ডলার পর্যবেক্ষকরা তাদের ঘড়িকে শূন্যে স্থাপন করেন, তবে একটি রিন্ডলার স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা সংজ্ঞায়িত করার সময় আমাদের কাছে একটি পছন্দ থাকে যার মধ্যে রিন্ডলার পর্যবেক্ষকের সঠিক সময় রিন্ডলার স্থানাঙ্কে স্থানাঙ্ক সময়ের সমান হবে এবং এই পর্যবেক্ষকের সঠিক ত্বরণ উপরের মানটি সংজ্ঞায়িত করে (রিন্ডলার দিগন্ত থেকে বিভিন্ন দূরত্বে অন্যান্য রিন্ডলার পর্যবেক্ষকদের জন্য, স্থানাঙ্ক সময় তাদের নিজস্ব সঠিক সময়ের কিছু ধ্রুবক গুণিতকের সমান হবে)। রিন্ডলার স্থানাঙ্ক ব্যবস্থাকে সংজ্ঞায়িত করা একটি সাধারণ প্রথা যাতে রিন্ডলার পর্যবেক্ষক যার সঠিক সময় স্থানাঙ্ক সময়ের সাথে মেলে তার সঠিক ত্বরণ থাকে, যাতে এটি সমীকরণ থেকে বাদ দেওয়া যায়। উপরের সমীকরণটি এর জন্য সরলীকৃত করা হয়েছে। একটি ত্বরণ প্রদত্ত রিন্ডলার হরাইজন দূরত্ব খুঁজে বের করার জন্য সরল সমীকরণটি আরও সুবিধাজনক। নিবন্ধটির অবশিষ্টাংশ উভয় এবং সেটিং-এর প্রথা অনুসরণ করবে, তাই এর জন্য একক হবে এবং 1 একক হবে। মনে রাখবেন যে লাইট-সেকেন্ড/সেকেন্ড 2 সেট করা লাইট-ইয়ার/ইয়ার 2 সেট করার থেকে খুব আলাদা। এমনকি যদি আমরা এমন এককও বেছে নিই যেখানে সঠিক ত্বরণের মাত্রা নির্ভর করবে আমাদের একক নির্বাচনের উপরঃ উদাহরণস্বরূপ, আমরা যদি দূরত্বের জন্য আলোকবর্ষের একক, (বা) এবং সময়ের জন্য বছর, (বা) ব্যবহার করি, তবে এর অর্থ হবে আলোকবর্ষ/বছর2, যা প্রায় 9.5 মিটার/সেকেন্ডের সমান, যেখানে আমরা যদি দূরত্বের জন্য আলোক-সেকেন্ডের একক, (বা), এবং সময়ের জন্য সেকেন্ড, (বা) ব্যবহার করি, তবে এর অর্থ হবে আলোক-সেকেন্ড/সেকেন্ড2, বা 299 792 458 মিটার/সেকেন্ড2)। রূপান্তর সূত্রের বৈচিত্র্য রূপান্তর সূত্রের আরও সাধারণ ব্যুৎপত্তি দেওয়া হয়, যখন সংশ্লিষ্ট ফার্মি-ওয়াকার টেট্রাড তৈরি করা হয় যা থেকে ফার্মি স্থানাঙ্ক বা সঠিক স্থানাঙ্ক পাওয়া যায়। এই স্থানাঙ্কগুলির উৎপত্তির পছন্দের উপর নির্ভর করে, কেউ মেট্রিক, উৎপত্তির সময় এবং বিন্দুর মধ্যে সময়ের বিস্তার এবং স্থানাঙ্ক আলোর গতি অর্জন করতে পারে (আলোর এই পরিবর্তনশীল গতি বিশেষ আপেক্ষিকতার বিরোধিতা করে না, কারণ এটি কেবল নিযুক্ত ত্বরান্বিত স্থানাঙ্কগুলির একটি নিদর্শন, তবে জড় স্থানাঙ্কে এটি স্থির থাকে)। ফার্মি স্থানাঙ্কের পরিবর্তে, রাডার স্থানাঙ্কও ব্যবহার করা যেতে পারে, যা আলোর সংকেত ব্যবহার করে দূরত্ব নির্ধারণ করে প্রাপ্ত হয় (দূরত্বের ধারণা বিভাগ দেখুন), যার দ্বারা মেট্রিক, সময় বিস্তার এবং আলোর গতি আর স্থানাঙ্কের উপর নির্ভর করে না-বিশেষত, আলোর স্থানাঙ্ক গতি জড় ফ্রেমে আলোর গতির সাথে অভিন্ন থাকেঃ রিন্ডলার পর্যবেক্ষকরা নতুন চার্টে () সহ এবং, কোফ্রেম ক্ষেত্রটি নেওয়া স্বাভাবিক যার দ্বৈত ফ্রেম ক্ষেত্র রয়েছে এটি প্রতিটি ইভেন্টে স্পর্শক স্থানে একটি স্থানীয় লরেঞ্জ ফ্রেমকে সংজ্ঞায়িত করে (আমাদের রিন্ডলার চার্ট দ্বারা আচ্ছাদিত অঞ্চলে, যথা রিন্ডলার ওয়েজ)। টাইমলাইক একক ভেক্টর ক্ষেত্রের অবিচ্ছেদ্য বক্ররেখা একটি টাইমলাইক সঙ্গতি দেয়, যা রিন্ডলার পর্যবেক্ষক নামে পরিচিত পর্যবেক্ষকদের একটি পরিবারের বিশ্বরেখা নিয়ে গঠিত। রিন্ডলার চার্টে, এই বিশ্বরেখা উল্লম্ব স্থানাঙ্ক রেখা হিসাবে প্রদর্শিত হয়। উপরের স্থানাঙ্ক রূপান্তর ব্যবহার করে, আমরা দেখতে পাই যে এগুলি মূল কার্টেসিয়ান চার্টে হাইপারবোলিক চাপের সাথে মিলে যায়। যে কোনও লরেঞ্জিয়ান ম্যানিফোল্ডের যে কোনও টাইমলাইক কংগ্রুয়েন্সের মতো, এই কংগ্রুয়েন্সের একটি কাইনেমেটিক ডিকম্পোসিশন রয়েছে (রায়চৌধুরী সমীকরণ দেখুন)। এই ক্ষেত্রে, রিন্ডলার পর্যবেক্ষকদের সম্মতির সম্প্রসারণ এবং ভর্টিসিটি অদৃশ্য হয়ে যায়। সম্প্রসারণ টেনসরের অদৃশ্য হয়ে যাওয়া বোঝায় যে আমাদের প্রতিটি পর্যবেক্ষক তার প্রতিবেশীদের সাথে অবিচ্ছিন্ন দূরত্ব বজায় রাখে। ভর্টিসিটি টেনসরের বিলুপ্তির অর্থ হল যে আমাদের পর্যবেক্ষকদের বিশ্বরেখা একে অপরের চারপাশে ঘুরছে না; এটি "ঘূর্ণায়মান"-এর এক ধরনের স্থানীয় অনুপস্থিতি। প্রতিটি পর্যবেক্ষকের ত্বরণ ভেক্টর কোভ্যারিয়েন্ট ডেরিভেটিভ দ্বারা দেওয়া হয় অর্থাৎ, প্রতিটি রিন্ডলার পর্যবেক্ষক দিকটি ত্বরান্বিত করছেন। স্বতন্ত্রভাবে বলতে গেলে, প্রতিটি পর্যবেক্ষক প্রকৃতপক্ষে এই দিকে ধ্রুবক মাত্রার সাথে ত্বরান্বিত হচ্ছে, তাই তাদের বিশ্বরেখা হল বৃত্তের লরেঞ্জিয়ান অ্যানালগ, যা ইউক্লিডীয় জ্যামিতিতে ধ্রুবক পথ বক্রতার বক্ররেখা। যেহেতু রিন্ডলার পর্যবেক্ষকরা ভোর্টিসিটি-মুক্ত, তাই তারা হাইপারসার্ফেস অর্থোগোনালও। অর্থোগোনাল স্থানিক হাইপারস্লাইসগুলি হল; এগুলি রিন্ডলার চার্টে অনুভূমিক অর্ধ-সমতল হিসাবে এবং কার্টেসিয়ান চার্টে অর্ধ-সমতল হিসাবে প্রদর্শিত হয় (উপরের চিত্রটি দেখুন)। রেখা উপাদানের মধ্যে স্থাপন করে, আমরা দেখতে পাই যে এগুলির সাধারণ ইউক্লিডীয় জ্যামিতি রয়েছে। সুতরাং, রিন্ডলার চার্টে স্থানিক স্থানাঙ্কগুলির একটি খুব সহজ ব্যাখ্যা রয়েছে যা এই দাবির সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ যে রিন্ডলার পর্যবেক্ষকরা পারস্পরিকভাবে স্থির। আমরা এই নিবন্ধে একটু পরে রিন্ডলার পর্যবেক্ষকদের এই অনমনীয়তার বৈশিষ্ট্যটিতে ফিরে আসব। একটি "বৈপরীত্যপূর্ণ" বৈশিষ্ট্য লক্ষ্য করুন যে, ছোট ধ্রুবক x স্থানাঙ্ক সহ রিন্ডলার পর্যবেক্ষকরা তা বজায় রাখা আরও কঠিন করে তুলছেন। এটি বিস্ময়কর বলে মনে হতে পারে কারণ নিউটনীয় পদার্থবিজ্ঞানে, যে পর্যবেক্ষকরা ধ্রুবক আপেক্ষিক দূরত্ব বজায় রাখেন তাদের অবশ্যই একই ত্বরণ ভাগ করতে হবে। কিন্তু আপেক্ষিক পদার্থবিজ্ঞানে, আমরা দেখতে পাই যে একটি রডের পিছনের প্রান্তবিন্দু যা কিছু বাহ্যিক বল দ্বারা ত্বরান্বিত হয় (তার প্রতিসাম্য অক্ষের সমান্তরাল) অবশ্যই শীর্ষস্থানীয় শেষ বিন্দুর চেয়ে কিছুটা শক্তভাবে ত্বরান্বিত হতে হবে, অন্যথায় এটি শেষ পর্যন্ত ভেঙে যেতে হবে। এটি লরেঞ্জ সংকোচনের একটি প্রকাশ। রডের গতি বাড়ার সাথে সাথে এর বেগ বৃদ্ধি পায় এবং এর দৈর্ঘ্য হ্রাস পায়। যেহেতু এটি ছোট হয়ে উঠছে, তাই পিছনের প্রান্তটি অবশ্যই সামনের তুলনায় আরও শক্তভাবে ত্বরান্বিত করতে হবে। এটি দেখার আরেকটি উপায় হ 'লঃ পিছনের প্রান্তটি অবশ্যই স্বল্প সময়ের মধ্যে বেগের একই পরিবর্তন অর্জন করতে হবে। এটি একটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের দিকে পরিচালিত করে যা দেখায় যে, কিছু দূরত্বে, পিছনের প্রান্তের ত্বরণ বিচ্ছিন্ন হয়ে যায়, যার ফলে রিন্ডলার দিগন্ত তৈরি হয়। এই ঘটনাটি একটি সুপরিচিত "প্যারাডক্স", বেলের স্পেসশিপ প্যারাডক্সের ভিত্তি। যাইহোক, এটি আপেক্ষিক গতিবিদ্যার একটি সহজ পরিণতি। এটি দেখার একটি উপায় হল যে ত্বরণ ভেক্টরের মাত্রা সংশ্লিষ্ট বিশ্ব রেখার পথের বক্রতা মাত্র। কিন্তু আমাদের রিন্ডলার পর্যবেক্ষকদের বিশ্বরেখা ইউক্লিডীয় সমতলে কেন্দ্রীভূত বৃত্তের একটি পরিবারের অনুরূপ, তাই আমরা কেবল গতি স্কেটারদের সাথে পরিচিত একটি তথ্যের লরেঞ্জিয়ান সাদৃশ্য নিয়ে কাজ করছিঃ কেন্দ্রীভূত বৃত্তের একটি পরিবারে, অভ্যন্তরীণ বৃত্তগুলিকে অবশ্যই বাইরের বৃত্তের তুলনায় দ্রুত (প্রতি একক চাপ দৈর্ঘ্য) বাঁকাতে হবে। মিনকোভস্কি পর্যবেক্ষকরা প্রাকৃতিক পছন্দ দ্বারা মিনকোভস্কি চার্টে দেওয়া একটি বিকল্প ফ্রেমও প্রবর্তন করা উপযুক্ত, উপরে দেওয়া স্থানাঙ্ক রূপান্তর ব্যবহার করে এই ভেক্টর ক্ষেত্রগুলিকে রূপান্তরিত করে, আমরা দেখতে পাই যে রিন্ডলার চার্টে (রিন্ডার ওয়েজে) এই ফ্রেমটি হয়ে যায় গণনা করা টাইমলাইক একক ভেক্টর ক্ষেত্র দ্বারা সংজ্ঞায়িত টাইমলাইক কংগ্রুয়েন্সের কাইনেমেটিক পচন, আমরা দেখতে পাই যে সম্প্রসারণ এবং ভোর্টিসিটি আবার অদৃশ্য হয়ে যায় এবং উপরন্তু ত্বরণ ভেক্টর অদৃশ্য হয়ে যায়। অন্য কথায়, এটি একটি জিওডেসিক সঙ্গতি; সংশ্লিষ্ট পর্যবেক্ষকরা জড় গতির অবস্থায় থাকে। মূল কার্টেসিয়ান চার্টে, এই পর্যবেক্ষকরা, যাঁদের আমরা মিনকোভস্কি পর্যবেক্ষক বলব, বিশ্রাম নিচ্ছেন। রিন্ডলার চার্টে, মিনকোভস্কি পর্যবেক্ষকদের বিশ্ব রেখাগুলি স্থানাঙ্ক সমতলে হাইপারবোলিক সিক্যান্ট বক্ররেখা হিসাবে অ্যাসিম্পটোটিক হিসাবে প্রদর্শিত হয়। বিশেষত, রিন্ডলার স্থানাঙ্কে, ঘটনার মধ্য দিয়ে যাওয়া মিনকোভস্কি পর্যবেক্ষকের বিশ্বরেখা হল এই মিনকোভস্কি পর্যবেক্ষকের সঠিক সময়। মনে রাখবেন যে তাঁর ইতিহাসের একটি ছোট অংশই রিন্ডলার চার্ট দ্বারা আচ্ছাদিত। এটি স্পষ্টভাবে দেখায় যে কেন রিন্ডলার চার্ট ভূগণিতগতভাবে সম্পূর্ণ নয়; নির্দিষ্ট সঠিক সময়ে চার্ট দ্বারা আচ্ছাদিত অঞ্চলের বাইরে সময়ানুবর্তী ভূগণিত চলে। অবশ্যই, আমরা ইতিমধ্যেই জানতাম যে রিন্ডলার চার্ট ভূতাত্ত্বিকভাবে সম্পূর্ণ হতে পারে না, কারণ এটি মূল কার্টেসিয়ান চার্টের শুধুমাত্র একটি অংশকে অন্তর্ভুক্ত করে, যা একটি ভূতাত্ত্বিকভাবে সম্পূর্ণ চার্ট। চিত্রে চিত্রিত ক্ষেত্রে, এবং আমরা আলোর শঙ্কুগুলি আঁকছি (সঠিকভাবে স্কেল এবং বর্ধিত)। রিন্ডলার দিগন্ত রিন্ডলার স্থানাঙ্ক চার্টের x = 0 এ একটি স্থানাঙ্ক এককত্ব রয়েছে, যেখানে মেট্রিক টেনসরের (রিন্ডলার স্থানাঙ্কে প্রকাশিত) বিলুপ্ত নির্ধারক রয়েছে। এটি ঘটে কারণ x → 0 হিসাবে রিন্ডলার পর্যবেক্ষকদের ত্বরণ বিচ্ছিন্ন হয়। রিন্ডলার ওয়েজের চিত্র থেকে আমরা দেখতে পাচ্ছি, রিন্ডলার চার্টে লোকাস x = 0 কার্টেসিয়ান চার্টে লোকাস T2 = X2, X> 0-এর সাথে মিলে যায়, যা দুটি শূন্য অর্ধ-সমতল নিয়ে গঠিত, প্রতিটি একটি শূন্য জিওডেসিক কংগ্রুয়েন্স দ্বারা শাসিত। এই মুহুর্তে, আমরা কেবল রিন্ডলার দিগন্তকে রিন্ডলার স্থানাঙ্কের সীমানা হিসাবে বিবেচনা করি। যদি আমরা রিন্ডলার স্থানাঙ্কে ধ্রুবক অবস্থানে থাকা ত্বরান্বিত পর্যবেক্ষকদের সেটটি বিবেচনা করি, তবে তাদের মধ্যে কেউই T ≤ X সহ ঘটনাগুলি থেকে আলোক সংকেত গ্রহণ করতে পারে না (রেখাচিত্রে, এগুলি T = X রেখার উপরে বা বাম দিকে ঘটনা হবে যা উপরের লাল দিগন্ত বরাবর অবস্থিত; এই পর্যবেক্ষকরা যদি তাদের ত্বরণ বন্ধ করে এই রেখাটি অতিক্রম করে তবে তারা T ≤ X সহ ঘটনাগুলি থেকে সংকেত গ্রহণ করতে পারে) বা তারা কখনও T ≤ − X সহ ঘটনাগুলিতে সংকেত পাঠাতে পারে না (T = − X রেখার উপর বা বাম দিকে ঘটনাগুলি যা নিম্ন লাল দিগন্ত বরাবর অবস্থিত; সেই ঘটনাগুলি তাদের অতীত বিশ্ব রেখার ভবিষ্যতের সমস্ত আলোক শঙ্কুগুলির বাইরে থাকে)। এছাড়াও, আমরা যদি দিগ্বরের কাছাকাছি এবং কাছাকাছি ত্বরান্বিত পর্যবেক্ষকদের এই সেটের সদস্যদের বিবেচনা করি, দিগ্বরের দূরত্ব শূন্যের কাছাকাছি আসার সাথে সাথে, এই দূরত্বে একজন পর্যবেক্ষকের দ্বারা অনুভূত ধ্রুবক সঠিক ত্বরণ (যা এই ধরনের পর্যবেক্ষকের দ্বারা অভিজ্ঞ জি-বলও হবে) অনন্তের কাছে পৌঁছাবে। এই দুটি তথ্যই সত্য হবে যদি আমরা একটি কৃষ্ণগহ্বরের ঘটনা দিগন্তের বাইরে ঘুরে বেড়ানো পর্যবেক্ষকদের একটি সেট বিবেচনা করি, প্রতিটি পর্যবেক্ষক শোয়ার্জসচাইল্ড স্থানাঙ্কে একটি ধ্রুবক ব্যাসার্ধে ঘুরে বেড়াচ্ছেন। প্রকৃতপক্ষে, কৃষ্ণগহ্বরের কাছাকাছি এলাকায়, ঘটনা দিগন্তের কাছাকাছি জ্যামিতি রিন্ডলার স্থানাঙ্কে বর্ণনা করা যেতে পারে। ত্বরান্বিত কাঠামোর ক্ষেত্রে হকিং বিকিরণকে আনরুহ বিকিরণ বলা হয়। এই সংযোগটি হল মাধ্যাকর্ষণের সঙ্গে ত্বরণের সমতা। জিওডেসিকস রিন্ডলার চার্টে জিওডেসিক সমীকরণগুলি জিওডেসিক ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান থেকে সহজেই পাওয়া যায়। অবশ্যই, মূল কার্টেসিয়ান চার্টে, জিওডেসিকগুলি সরলরেখা হিসাবে প্রদর্শিত হয়, তাই আমরা আমাদের স্থানাঙ্ক রূপান্তর ব্যবহার করে রিন্ডলার চার্টে সহজেই সেগুলি পেতে পারি। যাইহোক, মূল চার্ট থেকে স্বাধীনভাবে এগুলি প্রাপ্ত করা এবং অধ্যয়ন করা শিক্ষামূলক, এবং আমরা এই বিভাগে তা করব। প্রথম, তৃতীয় এবং চতুর্থ থেকে আমরা অবিলম্বে প্রথম ইন্টিগ্রালগুলি পাই তবে লাইন উপাদান থেকে আমাদের যথাক্রমে টাইমলাইক, নাল এবং স্পেসলাইক জিওডেসিকের জন্য রয়েছে। এটি চতুর্থ প্রথম ইন্টিগ্রাল দেয়, অর্থাৎ। জিওডেসিক সমীকরণগুলির সম্পূর্ণ সমাধান দেওয়ার জন্য এটিই যথেষ্ট। নাল জিওডেসিকের ক্ষেত্রে, ননজিরো থেকে, আমরা দেখতে পাই যে x স্থানাঙ্ক ব্যবধানের মধ্যে থাকে। রিন্ডলার ওয়েজের যে কোনও ঘটনার মাধ্যমে যে কোনও নাল জিওডেসিক প্রদানকারী সম্পূর্ণ সাতটি পরামিতি পরিবার, একটি প্রদত্ত ঘটনার মাধ্যমে কিছু প্রতিনিধিত্বমূলক নাল জিওডেসিকের ট্র্যাকগুলি প্লট করছে (অর্থাৎ, হাইপারস্লাইসের দিকে প্রজেক্ট করা), আমরা এমন একটি ছবি পাই যা সন্দেহজনকভাবে একটি বিন্দু দিয়ে সমস্ত অর্ধবৃত্তের পরিবারের মতো দেখায় এবং রিন্ডলার দিগন্তের অর্থোগোনাল (চিত্রটি দেখুন)। রিন্ডলার চার্টে, রিন্ডলার পর্যবেক্ষকদের জন্য যে কোনও স্থানিক হাইপারস্লাইসে নাল জিওডেসিকের অনুমানগুলি কেবল অর্ধবৃত্তাকার বৃত্তাকার যা সরাসরি দেওয়া সাধারণ সমাধান থেকে যাচাই করা যেতে পারে, তবে এটি দেখার একটি খুব সহজ উপায় রয়েছে। একটি স্ট্যাটিক স্পেসটাইম হল এমন একটি স্থান যেখানে একটি ভর্টিসিটি-মুক্ত টাইমলাইক কিলিং ভেক্টর ক্ষেত্র পাওয়া যায়। এই ক্ষেত্রে, আমাদের একটি অনন্যভাবে সংজ্ঞায়িত পরিবার রয়েছে (অভিন্ন) স্থানিক হাইপারস্লিসগুলি সংশ্লিষ্ট স্থির পর্যবেক্ষকদের অর্থোগোনাল (যাদের জড় পর্যবেক্ষক হওয়ার প্রয়োজন নেই)। এটি আমাদের এই হাইপারস্লাইসগুলির যে কোনও একটির উপর একটি নতুন মেট্রিক সংজ্ঞায়িত করার অনুমতি দেয় যা স্থানকাল থেকে উত্তরাধিকারসূত্রে প্রাপ্ত মূল মেট্রিকের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ, তবে এই বৈশিষ্ট্যের সাথে যে নতুন মেট্রিকের ভূগণিত (নোট করুন এটি একটি রিম্যানিয়ান তিন-ম্যানিফোল্ডের উপর একটি রিম্যানিয়ান মেট্রিক) অবিকল স্থানকালের শূন্য ভূগণিতের অনুমান। এই নতুন মেট্রিককে বলা হয় ফার্মাট মেট্রিক, এবং একটি স্থির স্থানকালে একটি স্থানাঙ্ক চার্ট থাকে যেখানে লাইন উপাদানটির ফর্ম ফার্মাট মেট্রিক হয় (যেখানে মেট্রিক সহগগুলি মূল্যায়ন করা হয়)। রিন্ডলার চার্টে, টাইমলাইক অনুবাদটি এমন একটি কিলিং ভেক্টর ক্ষেত্র, তাই এটি একটি স্থির স্থানকাল (আশ্চর্যের বিষয় নয়, যেহেতু মিনকোভস্কি স্থানকাল অবশ্যই আইনস্টাইন ক্ষেত্র সমীকরণের একটি স্থির ভ্যাকুয়াম সমাধান)। অতএব, আমরা অবিলম্বে রিন্ডলার পর্যবেক্ষকদের জন্য ফার্মাট মেট্রিক লিখতে পারিঃ তবে এটি হাইপারবোলিক থ্রি-স্পেস এইচ 3-এর সুপরিচিত লাইন উপাদান যা উপরের অর্ধেক স্পেস চার্টে রয়েছে। এটি হাইপারবোলিক সমতল এইচ2-এর সুপরিচিত উপরের অর্ধ সমতল চার্টের সাথে ঘনিষ্ঠভাবে সাদৃশ্যপূর্ণ, যা কনফরমাল ম্যাপিং সমস্যা (এবং আরও অনেক কিছু) সম্পর্কিত জটিল বিশ্লেষণ শিক্ষার্থীদের প্রজন্মের সাথে পরিচিত, এবং অনেক গাণিতিক মনের পাঠক ইতিমধ্যে জানেন যে উপরের অর্ধ সমতল মডেলে এইচ2-এর ভূগণিত কেবল অর্ধবৃত্তাকার (বাস্তব অক্ষ দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা অনন্ত বৃত্তের অর্থোগোনাল)। যেহেতু রিন্ডলার চার্টটি মিনকোভস্কি স্পেসটাইমের জন্য একটি স্থানাঙ্ক চার্ট, তাই আমরা দশটি রৈখিকভাবে স্বাধীন কিলিং ভেক্টর ক্ষেত্র খুঁজে পাব বলে আশা করি। প্রকৃতপক্ষে, কার্টেসিয়ান চার্টে আমরা সহজেই দশটি রৈখিকভাবে স্বাধীন কিলিং ভেক্টর ক্ষেত্র খুঁজে পেতে পারি, যা যথাক্রমে সময় অনুবাদের একটি পরামিতি উপগোষ্ঠী, তিনটি স্থানিক, তিনটি ঘূর্ণন এবং তিনটি বুস্ট তৈরি করে। এগুলি একসাথে মিঙ্কোভস্কি স্পেসটাইমের প্রতিসাম্য গ্রুপ (যথাযথ আইসোক্রোনস) পয়েনকারে গ্রুপ তৈরি করে। তবে, কিলিং ভেক্টর সমীকরণগুলি সরাসরি লেখা এবং সমাধান করা শিক্ষামূলক। আমরা চারটি পরিচিত কিলিং ভেক্টর ক্ষেত্র পাই (সময় অনুবাদ, স্থানিক অনুবাদ ত্বরণের দিকে অর্থোগোনাল এবং স্থানিক ঘূর্ণন ত্বরণের দিকে অর্থোগোনাল) এবং আরও ছয়টিঃ (যেখানে চিহ্নগুলি ধারাবাহিকভাবে + বা-বেছে নেওয়া হয়)। এগুলি কীভাবে স্ট্যান্ডার্ড জেনারেটরের সাথে সম্পর্কিত তা নির্ধারণ করার জন্য আমরা এটিকে একটি অনুশীলন হিসাবে ছেড়ে দিই; এখানে আমরা উল্লেখ করতে চাই যে আমাদের অবশ্যই কার্টেসিয়ান চার্টের সমতুল্য জেনারেটর পেতে সক্ষম হতে হবে, তবুও এই অনুবাদের অধীনে রিন্ডলার ওয়েজ স্পষ্টতই অপরিবর্তনীয় নয়। এটা কিভাবে হতে পারে? উত্তরটি হল যে একটি মসৃণ বহুগুণের উপর আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের একটি সিস্টেম দ্বারা সংজ্ঞায়িত যে কোনও কিছুর মতো, কিলিং সমীকরণের সাধারণভাবে স্থানীয়ভাবে সংজ্ঞায়িত সমাধান থাকবে, তবে এগুলি বিশ্বব্যাপী বিদ্যমান নাও থাকতে পারে। অর্থাৎ, গোষ্ঠী পরামিতিগুলির উপর উপযুক্ত বিধিনিষেধের সাথে, একটি হত্যা প্রবাহ সর্বদা একটি উপযুক্ত স্থানীয় পাড়ায় সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে, তবে প্রবাহটি বিশ্বব্যাপী ভালভাবে সংজ্ঞায়িত নাও হতে পারে। লরেঞ্জিয়ান ম্যানিফোল্ডের সঙ্গে এর কোনও সম্পর্ক নেই, কারণ সাধারণ মসৃণ ম্যানিফোল্ডের অধ্যয়নে একই সমস্যা দেখা দেয়। দূরত্বের ধারণা রিন্ডলার চার্টের অধ্যয়ন থেকে শেখার অনেক মূল্যবান পাঠের মধ্যে একটি হল যে প্রকৃতপক্ষে দূরত্বের বেশ কয়েকটি স্বতন্ত্র (কিন্তু যুক্তিসঙ্গত) ধারণা রয়েছে যা রিন্ডলার পর্যবেক্ষকরা ব্যবহার করতে পারেন। প্রথমটি হল যা আমরা উপরে নীরবে ব্যবহার করেছিঃ স্থানিক হাইপারস্লিক্সের উপর প্ররোচিত রিমানিয়ান মেট্রিক। আমরা এটিকে শাসক দূরত্ব বলব কারণ এটি এই প্ররোচিত রিম্যানিয়ান মেট্রিকের সাথে মিলে যায়, তবে এর কার্যকরী অর্থ অবিলম্বে স্পষ্ট নাও হতে পারে। ভৌত পরিমাপের দৃষ্টিকোণ থেকে, দুটি বিশ্ব রেখার মধ্যে দূরত্বের একটি আরও স্বাভাবিক ধারণা হল রাডার দূরত্ব। এটি আমাদের পর্যবেক্ষকের বিশ্বরেখা (ইভেন্ট এ) থেকে কোনও ছোট বস্তুর বিশ্বরেখায় একটি নাল জিওডেসিক পাঠিয়ে গণনা করা হয়, যার পরে এটি প্রতিফলিত হয় (ইভেন্ট বি) এবং পর্যবেক্ষকের (ইভেন্ট সি) কাছে ফিরে আসে। রাডার দূরত্বটি তখন আমাদের পর্যবেক্ষক দ্বারা বহন করা একটি আদর্শ ঘড়ি দ্বারা পরিমাপ করা বৃত্তাকার ভ্রমণের সময়কে ভাগ করে প্রাপ্ত হয়। (মিঙ্কোভস্কি স্পেসটাইমে, সৌভাগ্যবশত, আমরা দুটি বিশ্বরেখার মধ্যে একাধিক শূন্য ভূগণিত পথের সম্ভাবনাকে উপেক্ষা করতে পারি, তবে মহাজাগতিক মডেল এবং অন্যান্য প্রয়োগগুলিতে বিষয়গুলি এত সহজ নয়। দুই পর্যবেক্ষকের মধ্যে দূরত্বের এই ধারণাটি এমন একটি ধারণা দেয় যা পর্যবেক্ষকদের পারস্পরিক বিনিময়ের অধীনে প্রতিসম) ধরে নেওয়ার বিরুদ্ধেও আমাদের সতর্ক হওয়া উচিত। বিশেষ করে, যথাক্রমে স্থানাঙ্ক সহ রিন্ডলার পর্যবেক্ষকদের একটি জোড়া বিবেচনা করুন। (লক্ষ্য করুন যে এগুলির মধ্যে প্রথমটি, পিছনের পর্যবেক্ষক, শীর্ষস্থানীয় পর্যবেক্ষকের সাথে তাল মিলিয়ে চলার জন্য কিছুটা কঠিন গতিতে চলছে)। রিন্ডলার লাইন উপাদানের মধ্যে স্থাপন করে, আমরা সহজেই ত্বরণের দিকে চলমান শূন্য ভূগণিতের সমীকরণটি পেতে পারিঃ অতএব, এই দুই পর্যবেক্ষকের মধ্যে রাডার দূরত্ব দ্বারা দেওয়া হয় এটি শাসক দূরত্বের তুলনায় কিছুটা ছোট, তবে নিকটবর্তী পর্যবেক্ষকদের জন্য অসঙ্গতি নগণ্য। দূরত্বের তৃতীয় সম্ভাব্য ধারণাটি হ 'লঃ আমাদের পর্যবেক্ষক কোনও বস্তুর (কোনও বিন্দু বস্তু নয়) উপর স্থাপন করা একক ডিস্ক দ্বারা প্রদত্ত কোণটি পরিমাপ করেন, যেমনটি তার অবস্থান থেকে প্রদর্শিত হয়। আমরা এটিকে অপটিক্যাল ব্যাসের দূরত্ব বলি। মিনকোভস্কি স্পেসটাইমে নাল জিওডেসিকের সহজ চরিত্রের কারণে, আমরা সহজেই আমাদের রিন্ডলার পর্যবেক্ষকদের জুটির মধ্যে আলোকীয় দূরত্ব নির্ধারণ করতে পারি (ত্বরণের দিকের সাথে সারিবদ্ধ)। একটি স্কেচ থেকে এটি যুক্তিসঙ্গত হওয়া উচিত যে অপটিক্যাল ব্যাসের দূরত্ব স্কেলগুলি পছন্দ করে। অতএব, একজন অগ্রগামী পর্যবেক্ষকের (ক্ষেত্রে) দূরত্ব অনুমান করার ক্ষেত্রে, আলোকীয় দূরত্ব শাসক দূরত্বের চেয়ে কিছুটা বড়, যা রাডার দূরত্বের চেয়ে কিছুটা বড়। একজন অগ্রগামী পর্যবেক্ষকের কাছ থেকে দূরত্ব অনুমানের বিষয়টি বিবেচনা করার জন্য পাঠকের এখন একটু সময় নেওয়া উচিত। দূরত্ব সম্পর্কে অন্যান্য ধারণা রয়েছে, তবে মূল বিষয়টি স্পষ্টঃ যদিও এই বিভিন্ন ধারণার মানগুলি সাধারণভাবে রিন্ডলার পর্যবেক্ষকদের একটি প্রদত্ত জুটির সাথে একমত হবে না, তারা সকলেই একমত যে রিন্ডলার পর্যবেক্ষকদের প্রতিটি জোড়া ধ্রুবক দূরত্ব বজায় রাখে। খুব কাছের রিন্ডলার পর্যবেক্ষকরা পারস্পরিকভাবে স্থির এই সত্যটি থেকে অনুসরণ করে, উপরে উল্লিখিত, যে রিন্ডলার সঙ্গতির সম্প্রসারণ টেনসর একইভাবে অদৃশ্য হয়ে যায়। যাইহোক, আমরা এখানে দেখিয়েছি যে বিভিন্ন অর্থে, এই অনমনীয়তা বৈশিষ্ট্যটি বৃহত্তর স্কেলে ধারণ করে। আপেক্ষিক পদার্থবিজ্ঞানে কোনও রডকে কঠোরভাবে ত্বরান্বিত করা যায় না (এবং কোনও ডিস্ককে কঠোরভাবে ঘোরানো যায় না)-অন্ততপক্ষে, অসম চাপ বজায় না রেখে, এটি সত্যিই একটি উল্লেখযোগ্য অনমনীয়তা বৈশিষ্ট্য। এটি দেখার সবচেয়ে সহজ উপায় হল পর্যবেক্ষণ করা যে নিউটনীয় পদার্থবিজ্ঞানে, আমরা যদি একটি অনমনীয় বস্তুকে "লাথি" মারি, তবে বস্তুর সমস্ত উপাদান অবিলম্বে তাদের গতির অবস্থা পরিবর্তন করবে। এটি অবশ্যই আপেক্ষিক নীতির সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ নয় যে কোনও শারীরিক প্রভাবযুক্ত কোনও তথ্য আলোর গতির চেয়ে দ্রুত প্রেরণ করা যায় না। এটি অনুসরণ করে যে যদি একটি রড তার দৈর্ঘ্য বরাবর যে কোনও জায়গায় প্রয়োগ করা কোনও বাহ্যিক শক্তি দ্বারা ত্বরান্বিত হয়, তবে রডের বিভিন্ন জায়গায় পদার্থের উপাদানগুলি ত্বরণের একই মাত্রা অনুভব করতে পারে না যদি রডটি আবদ্ধ না হয়ে প্রসারিত না হয় এবং শেষ পর্যন্ত ভেঙে যায়। অন্য কথায়, একটি ত্বরান্বিত রড যা ভেঙে যায় না তার অবশ্যই চাপ বজায় রাখতে হবে যা তার দৈর্ঘ্য বরাবর পরিবর্তিত হয়। উপরন্তু, সময়ের পরিবর্তিত শক্তির সাথে যে কোনও চিন্তা পরীক্ষায়, আমরা কোনও বস্তুকে "লাথি" মারাই বা ধীরে ধীরে এটিকে ত্বরান্বিত করার চেষ্টা করি না কেন, আমরা যান্ত্রিক মডেলগুলি এড়ানোর সমস্যা এড়াতে পারি না যা আপেক্ষিক গতিবিদ্যার সাথে অসঙ্গতিপূর্ণ (কারণ শরীরের দূরবর্তী অংশগুলি খুব দ্রুত সাড়া দেয় একটি প্রয়োগ করা শক্তি)। শাসকের দূরত্বের কার্যকরী তাৎপর্যের প্রশ্নটিতে ফিরে এসে আমরা দেখতে পাই যে এই দূরত্বটি আমাদের পর্যবেক্ষকরা অর্জন করবেন যদি তারা খুব ধীরে ধীরে হাত থেকে একটি ছোট শাসকের হাতে হাত দেয় যা বারবার শেষ থেকে শেষ হয়। কিন্তু বিস্তারিতভাবে এই ব্যাখ্যার ন্যায্যতা প্রমাণের জন্য এক ধরনের বস্তুগত মডেলের প্রয়োজন হবে। উপরে বর্ণিত রিন্ডলার স্থানাঙ্কের বক্র স্থানকালের সাধারণীকরণকে বক্র স্থানকালের ক্ষেত্রে সাধারণীকরণ করা যেতে পারে, ফার্মি স্বাভাবিক স্থানাঙ্ক হিসাবে। সাধারণীকরণের মধ্যে মূলত একটি উপযুক্ত অর্থোনর্মাল টেট্রাড তৈরি করা এবং তারপরে ফার্মি-ওয়াকার পরিবহন নিয়ম ব্যবহার করে প্রদত্ত গতিপথ বরাবর এটি পরিবহন করা জড়িত। বিস্তারিত জানার জন্য নী এবং জিমারম্যানের গবেষণাপত্রটি নীচের রেফারেন্সগুলিতে দেখুন। এই ধরনের সাধারণীকরণ প্রকৃতপক্ষে একজনকে পৃথিবী-ভিত্তিক পরীক্ষাগারে জড় এবং মহাকর্ষীয় প্রভাবগুলির পাশাপাশি আরও আকর্ষণীয় সংযুক্ত জড়-মহাকর্ষীয় প্রভাবগুলি অধ্যয়ন করতে সক্ষম করে। ইতিহাস পর্যালোচনা কোটলার-মোলার এবং রিন্ডলার স্থানাঙ্ক আলবার্ট আইনস্টাইন (1907) একটি অভিন্নভাবে ত্বরান্বিত কাঠামোর মধ্যে প্রভাবগুলি অধ্যয়ন করেন, স্থানাঙ্ক নির্ভর সময় বিস্তার এবং () এর সমতুল্য আলোর গতির জন্য সমীকরণ অর্জন করেন এবং পর্যবেক্ষকের উৎপত্তি থেকে সূত্রগুলিকে স্বাধীন করার জন্য, তিনি রাডার স্থানাঙ্কের সাথে আনুষ্ঠানিক চুক্তিতে সময় বিস্তার () অর্জন করেন। বোর্ন রিগিডিটির ধারণাটি প্রবর্তন করার সময়, ম্যাক্স বোর্ন (1909) উল্লেখ করেছিলেন যে হাইপারবোলিক গতির সূত্রগুলি "হাইপারবোলিক্যালি এক্সিলারেটেড রেফারেন্স সিস্টেম" () এর সমতুল্য () রূপান্তর হিসাবে ব্যবহার করা যেতে পারে। বোর্ন-এর কাজটি আর্নল্ড সমারফেল্ড (1910) এবং ম্যাক্স ভন লাউ (1911) দ্বারা আরও বিশদভাবে ব্যাখ্যা করা হয়েছিল, যারা উভয়ই কাল্পনিক সংখ্যা ব্যবহার করে () পেয়েছিলেন, যা ওল্ফগ্যাং পাউলি (1921) দ্বারা সংক্ষিপ্ত করা হয়েছিল, যিনি স্থানাঙ্ক () ছাড়াও কাল্পনিক সংখ্যা ব্যবহার করে মেট্রিক () পেয়েছিলেন। আইনস্টাইন (1912) একটি স্থির মহাকর্ষীয় ক্ষেত্র অধ্যয়ন করেন এবং আলোর একটি স্থানাঙ্ক নির্ভর গতি ব্যবহার করে কোটলার-মোলার মেট্রিক ()-এর পাশাপাশি সূত্র ()-এর আনুমানিক মান অর্জন করেন। হেন্ড্রিক লরেঞ্জ (1913) আইনস্টাইনের সমতুল্য নীতি এবং অভিন্ন মহাকর্ষীয় ক্ষেত্র অধ্যয়ন করার সময় (,,)-এর অনুরূপ স্থানাঙ্ক অর্জন করেছিলেন। ফ্রেডরিখ কোটলার (1914) একটি বিস্তারিত বিবরণ দিয়েছিলেন, যিনি সংশ্লিষ্ট অর্থোনর্মাল টেট্রাড, রূপান্তর সূত্র এবং মেট্রিক (,) প্রণয়ন করেছিলেন। এছাড়াও কার্ল বোলার্ট (1922) অভিন্ন ত্বরণ এবং অভিন্ন মহাকর্ষীয় ক্ষেত্রের অধ্যয়নে মেট্রিক () অর্জন করেন। বর্ন অনমনীয়তা সম্পর্কিত একটি গবেষণাপত্রে, জর্জেস লেমাইট্রে (1924) স্থানাঙ্ক এবং মেট্রিক (,) অর্জন করেছিলেন। অ্যালবার্ট আইনস্টাইন এবং নাথান রোজেন (1935) একটি সমজাতীয় মহাকর্ষীয় ক্ষেত্রের জন্য "সুপরিচিত" অভিব্যক্তি হিসাবে বর্ণনা করেছেন। ক্রিস্টিয়ান মোলার (1943) সমজাতীয় মহাকর্ষীয় ক্ষেত্র সম্পর্কিত গবেষণা হিসাবে (,) প্রাপ্ত করার পরে, তিনি (1952) পাশাপাশি মিসনার ও থর্ন ও হুইলার (1973) একই সমীকরণ পেতে ফার্মি-ওয়াকার পরিবহন ব্যবহার করেছিলেন। যদিও এই তদন্তগুলি সমতল স্থানকালের সাথে সম্পর্কিত ছিল, ওল্ফগ্যাং রিন্ডলার (1960) বাঁকা স্থানকালে হাইপারবোলিক গতি বিশ্লেষণ করেছিলেন এবং (1966) শোয়ার্জসচাইল্ড স্পেসে ক্রুস্কাল স্থানাঙ্কের সাথে সমতল স্থানকালে হাইপারবোলিক স্থানাঙ্কের (,) মধ্যে সাদৃশ্য দেখিয়েছিলেন। এটি পরবর্তী লেখকদের হাইপারবোলিক গতিতে একজন পর্যবেক্ষক দ্বারা পরিমাপ করা উনরুহ বিকিরণ গঠনে প্রভাবিত করেছিল, যা কৃষ্ণগহ্বরের হকিং বিকিরণের বর্ণনার অনুরূপ। হরাইজন বর্ন (1909) দেখিয়েছে যে হাইপারবোলিক গতিতে একটি জন্মগত অনমনীয় বস্তুর অভ্যন্তরীণ বিন্দু শুধুমাত্র এই অঞ্চলে থাকতে পারে। সমারফেল্ড (1910) সংজ্ঞায়িত করেছেন যে জড় এবং হাইপারবোলিক স্থানাঙ্কের মধ্যে রূপান্তরের জন্য অনুমোদিত স্থানাঙ্কগুলি অবশ্যই সন্তুষ্ট করতে হবে। কোটলার (1914) এই অঞ্চলকে সংজ্ঞায়িত করেছেন, এবং একটি "বর্ডার প্লেন" ()-এর অস্তিত্বের দিকে ইঙ্গিত করেছেন, যার বাইরে হাইপারবোলিক গতিতে কোনও সংকেত পর্যবেক্ষকের কাছে পৌঁছতে পারে না। বোলার্ট (1922) এটিকে "পর্যবেক্ষকের দিগন্ত" () বলে অভিহিত করেছিলেন। রিন্ডলার (1966) ক্রুস্কাল স্থানাঙ্কে এই ধরনের দিগন্ত এবং দিগন্তের মধ্যে সম্পর্ক প্রদর্শন করেছিলেন। রাডার স্থানাঙ্ক বোলার্টের আনুষ্ঠানিকতা ব্যবহার করে, স্টেজেপান মোহোরোভিচ (1922) কিছু প্যারামিটারের জন্য একটি ভিন্ন পছন্দ করেছিলেন এবং একটি মুদ্রণ ত্রুটি সহ মেট্রিক () অর্জন করেছিলেন, যা বোলার্ট (1922বি) দ্বারা আরেকটি মুদ্রণ ত্রুটি দিয়ে সংশোধন করা হয়েছিল, যতক্ষণ না মুদ্রণ ত্রুটি ছাড়াই একটি সংস্করণ মোহোরোভিচ (1923) দ্বারা দেওয়া হয়েছিল। উপরন্তু, মোহোরোভিসিচ ভুলভাবে যুক্তি দিয়েছিলেন যে মেট্রিক (বর্তমানে কটলার-মোলার মেট্রিক নামে পরিচিত) ভুল, যা বোলার্ট (1922) দ্বারা প্রত্যাখ্যান করা হয়েছিল। মেট্রিক () হ্যারি লাস (1963) দ্বারা পুনরায় আবিষ্কৃত হয়েছিল, যিনি সংশ্লিষ্ট স্থানাঙ্কও () দিয়েছিলেন যা কখনও কখনও "লাস স্থানাঙ্ক" বলা হয়। মেট্রিক (), পাশাপাশি (,), ফ্রিটজ রোহরলিচ (1963) দ্বারাও উদ্ভূত হয়েছিল। অবশেষে, লাস স্থানাঙ্কগুলি (,) ডেসলোজ এবং ফিলপট (1987) দ্বারা রাডার স্থানাঙ্কের সাথে চিহ্নিত করা হয়েছিল। ঐতিহাসিক সূত্র সহ টেবিল বেলের স্পেসশিপ প্যারাডক্সও দেখুন, কখনও কখনও বিতর্কিত বিষয় যা প্রায়শই রিন্ডলার স্থানাঙ্ক ব্যবহার করে অধ্যয়ন করা হয়। মিঙ্কোভস্কি স্পেসটাইমে নির্দিষ্ট ত্বরান্বিত পর্যবেক্ষকদের গতির সাথে খাপ খাইয়ে নেওয়া আরেকটি গুরুত্বপূর্ণ স্থানাঙ্ক ব্যবস্থার জন্য জন্ম স্থানাঙ্ক। কংগ্রুয়েন্স (সাধারণ আপেক্ষিকতা) এহরেনফেস্ট প্যারাডক্স, কখনও কখনও বিতর্কিত বিষয়ের জন্য প্রায়শই বর্ন স্থানাঙ্ক ব্যবহার করে অধ্যয়ন করা হয়। সাধারণ আপেক্ষিকতার ফ্রেম ক্ষেত্রগুলি সাধারণ আপেক্ষিকতার সম্পদ মিল্নে মডেল রায়চৌধুরী সমীকরণ আনরুহ প্রভাব রেফারেন্স ঐতিহাসিক উৎস আরও পড়া দরকারী পটভূমিঃ মসৃণ ম্যানিফোল্ডের ভেক্টর ক্ষেত্র সম্পর্কিত পটভূমির জন্য অধ্যায় 4 দেখুন। ফার্মাট মেট্রিকের ব্যুৎপত্তির জন্য 8ম অধ্যায় দেখুন। রিন্ডলার স্থানাঙ্কঃ বিভাগ 6.6 দেখুন। রিন্ডলার দিগন্তঃ আপেক্ষিকতার তত্ত্ব সাধারণ আপেক্ষিকতার ত্বরণের ক্ষেত্রে চার্টগুলি সমন্বয় করুন