Cotorsion group
আবেলিয়ান গোষ্ঠী তত্ত্বে, একটি আবেলিয়ান গোষ্ঠীকে কোটোরসন বলা হয় যদি একটি টর্জন-মুক্ত গোষ্ঠী দ্বারা এর প্রতিটি সম্প্রসারণ বিভক্ত হয়। যদি গ্রুপটি হয়, তবে এটি সমস্ত টর্জন-মুক্ত গ্রুপের জন্য বলে। যুক্তিসঙ্গত সংখ্যার গোষ্ঠীর জন্য শর্তটি পরীক্ষা করার জন্য এটি যথেষ্ট। আরও সাধারণভাবে, একটি রিং আর-এর উপর একটি মডিউল এম-কে একটি কোটোরশন মডিউল বলা হয় যদি সমস্ত ফ্ল্যাট মডিউল এফ-এর জন্য এক্সট 1 (এফ, এম) = 0 হয়। এটি আবেলিয়ান গ্রুপের সংজ্ঞার সমতুল্য (পূর্ণসংখ্যার রিং জেড-এর উপর মডিউল হিসাবে বিবেচিত) কারণ ওভার জেড ফ্ল্যাট মডিউলগুলি টর্জন-মুক্ত মডিউলগুলির সমান। কোটোরসন গ্রুপের কিছু বৈশিষ্ট্যঃ একটি কোটোরসন গ্রুপের যে কোনও ভাগফল হল কোটোরসন। গোষ্ঠীগুলির একটি সরাসরি পণ্য হল কোটোরসন যদি এবং শুধুমাত্র যদি প্রতিটি ফ্যাক্টর হয়। প্রতিটি বিভাজ্য গ্রুপ বা ইনজেক্টিভ গ্রুপ হল কোটোরসন। বেয়ার ফোমিন উপপাদ্য বলে যে, একটি টর্জন গ্রুপ কোটোরসন হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি এটি একটি বিভাজ্য গ্রুপ এবং একটি আবদ্ধ গ্রুপের সরাসরি যোগফল হয়, অর্থাৎ, আবদ্ধ সূচকের একটি গ্রুপ। একটি টর্জন-মুক্ত আবেলিয়ান গ্রুপ কোটোরসন হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি এটি বীজগাণিতিকভাবে কম্প্যাক্ট হয়। কোটোরসন গ্রুপের উল্ম উপগোষ্ঠীগুলি কোটোরসন এবং কোটোরসন গোষ্ঠীর উল্ম ফ্যাক্টরগুলি বীজগাণিতিকভাবে কম্প্যাক্ট। বাহ্যিক যোগসূত্র আবেলিয়ান গোষ্ঠী তত্ত্ব গোষ্ঠীগুলির বৈশিষ্ট্য