Stochastic volatility
পরিসংখ্যানে, স্টোকাস্টিক উদ্বায়ী মডেলগুলি হল সেগুলি যেখানে একটি স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়ার বৈচিত্র্য নিজেই এলোমেলোভাবে বিতরণ করা হয়। এগুলি গাণিতিক অর্থায়নের ক্ষেত্রে বিকল্পগুলির মতো ডেরিভেটিভ সিকিউরিটিজ মূল্যায়নের জন্য ব্যবহৃত হয়। নামটি একটি এলোমেলো প্রক্রিয়া হিসাবে অন্তর্নিহিত সুরক্ষার অস্থিরতার মডেলগুলির চিকিত্সা থেকে উদ্ভূত হয়েছে, যা অন্তর্নিহিত সুরক্ষার মূল্য স্তর, দীর্ঘমেয়াদী গড় মূল্যে ফিরে আসার অস্থিরতার প্রবণতা এবং অস্থিরতা প্রক্রিয়াটির বৈচিত্র্যের মতো রাষ্ট্রীয় পরিবর্তনশীল দ্বারা পরিচালিত হয়। ব্ল্যাক-স্কোলস মডেলের একটি ঘাটতি সমাধানের জন্য স্টোকাস্টিক উদ্বায়ী মডেল হল একটি পদ্ধতি। বিশেষত, ব্ল্যাক-স্কোলের উপর ভিত্তি করে মডেলগুলি ধরে নেয় যে অন্তর্নিহিত অস্থিরতা ডেরিভেটিভের জীবনকাল জুড়ে স্থির থাকে এবং অন্তর্নিহিত সুরক্ষার মূল্য স্তরের পরিবর্তনের দ্বারা প্রভাবিত হয় না। যাইহোক, এই মডেলগুলি উদ্ভূত উদ্বায়ীতা পৃষ্ঠের দীর্ঘ-পর্যবেক্ষিত বৈশিষ্ট্যগুলি যেমন উদ্বায়ীতা হাসি এবং তির্যক ব্যাখ্যা করতে পারে না, যা ইঙ্গিত করে যে অন্তর্নিহিত উদ্বায়ীতা স্ট্রাইক মূল্য এবং মেয়াদ শেষ হওয়ার ক্ষেত্রে পরিবর্তিত হয়। অন্তর্নিহিত মূল্যের উদ্বায়ীতা ধ্রুবকের পরিবর্তে একটি অপ্রচলিত প্রক্রিয়া বলে ধরে নিলে, ডেরিভেটিভস আরও সঠিকভাবে মডেল করা সম্ভব হয়। খালি ব্ল্যাক-স্কোলস মডেল এবং স্টোকাস্টিক উদ্বায়ী মডেলের মধ্যে একটি মাঝামাঝি স্থান স্থানীয় উদ্বায়ী মডেল দ্বারা আচ্ছাদিত। এই মডেলগুলিতে অন্তর্নিহিত উদ্বায়ীতা কোনও নতুন এলোমেলো বৈশিষ্ট্যযুক্ত নয় তবে এটি একটি ধ্রুবকও নয়। স্থানীয় উদ্বায়ী মডেলগুলিতে উদ্বায়ীতা কোনও অতিরিক্ত এলোমেলোতা ছাড়াই অন্তর্নিহিত সম্পদের একটি অ-তুচ্ছ ফাংশন। এই সংজ্ঞা অনুসারে, বৈচিত্র্যের ধ্রুবক স্থিতিস্থাপকতার মতো মডেলগুলি স্থানীয় উদ্বায়ী মডেল হবে, যদিও এগুলি কখনও কখনও স্টোকাস্টিক উদ্বায়ী মডেল হিসাবে শ্রেণীবদ্ধ করা হয়। কিছু ক্ষেত্রে শ্রেণীবিভাগটি কিছুটা অস্পষ্ট হতে পারে। স্টোকাস্টিক উদ্বায়ীতার প্রাথমিক ইতিহাসের একাধিক শিকড় রয়েছে (অর্থাৎ। স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়া, বিকল্প মূল্য নির্ধারণ এবং অর্থনীতি), এটি নিল শেফার্ডের (2005) "স্টোকাস্টিক ভোলাটিলিটি", অক্সফোর্ড ইউনিভার্সিটি প্রেসের 1ম অধ্যায়ে পর্যালোচনা করা হয়েছে। মৌলিক মডেল একটি ধ্রুবক উদ্বায়ীতা পদ্ধতি থেকে শুরু করে, ধরে নিন যে ডেরিভেটিভের অন্তর্নিহিত সম্পদের মূল্য জ্যামিতিক ব্রাউনিয়ান গতির জন্য একটি আদর্শ মডেল অনুসরণ করেঃ যেখানে ধ্রুবক প্রবাহ (অর্থাৎ। নিরাপত্তা মূল্যের প্রত্যাশিত রিটার্ন), ধ্রুবক অস্থিরতা, এবং শূন্য গড় এবং একক হারের বৈকল্পিকতা সহ একটি আদর্শ উইনার প্রক্রিয়া। এই স্টোকাস্টিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সুস্পষ্ট সমাধান হল বিভিন্ন সময়ে প্রদত্ত শেয়ারের দামের জন্য ধ্রুবক উদ্বায়ীতা অনুমান করার সর্বাধিক সম্ভাব্যতা প্রাক্কলনকারী হল এর প্রত্যাশিত মূল্য। স্থির উদ্বায়ীতা সহ এই মৌলিক মডেলটি ব্ল্যাক-স্কোলস মডেল এবং কক্স-রস-রুবিনস্টাইন মডেলের মতো নন-স্টোকাস্টিক উদ্বায়ীতা মডেলগুলির সূচনা বিন্দু। একটি স্টোকাস্টিক উদ্বায়ীতা মডেলের জন্য, ধ্রুবক উদ্বায়ীতাটিকে এমন একটি ফাংশন দিয়ে প্রতিস্থাপন করুন যা এর বৈচিত্র্যকে মডেল করে। এই বৈচিত্র্য ফাংশনটি ব্রাউনিয়ান গতি হিসাবেও মডেল করা হয়েছে এবং এর রূপটি অধ্যয়নরত নির্দিষ্ট এসভি মডেলের উপর নির্ভর করে। যেখানে এবং এর কিছু ফাংশন রয়েছে, এবং এটি আরেকটি স্ট্যান্ডার্ড গাউসিয়ান যা ধ্রুবক পারস্পরিক সম্পর্ক ফ্যাক্টরের সাথে সম্পর্কযুক্ত। হেস্টন মডেল জনপ্রিয় হেস্টন মডেল একটি সাধারণভাবে ব্যবহৃত এসভি মডেল, যেখানে বৈকল্পিকতা প্রক্রিয়ার এলোমেলোতা বৈচিত্র্যের বর্গমূল হিসাবে পরিবর্তিত হয়। এই ক্ষেত্রে, বৈকল্পিকের জন্য ডিফারেনশিয়াল সমীকরণটি রূপ নেয়ঃ গড় দীর্ঘমেয়াদী বৈকল্পিকতা কোথায়, যে হারে বৈকল্পিকতা তার দীর্ঘমেয়াদী গড়ের দিকে ফিরে যায়, তা হল বৈকল্পিকতা প্রক্রিয়ার অস্থিরতা, এবং, যেমন, শূন্য গড় এবং বৈকল্পিকতা সহ একটি গাউসিয়ান। যাইহোক, এবং ধ্রুবক পারস্পরিক সম্পর্ক মানের সাথে সম্পর্কযুক্ত। অন্য কথায়, হেস্টন এসভি মডেলটি ধরে নেয় যে বৈকল্পিকতা একটি এলোমেলো প্রক্রিয়া যা একটি হারে দীর্ঘমেয়াদী গড়ের দিকে ফিরে যাওয়ার প্রবণতা প্রদর্শন করে, তার স্তরের বর্গমূলের আনুপাতিক একটি অস্থিরতা প্রদর্শন করে এবং যার এলোমেলোতার উৎস অন্তর্নিহিত মূল্য প্রক্রিয়াগুলির এলোমেলোতার সাথে (পারস্পরিক সম্পর্ক সহ) সম্পর্কযুক্ত। অস্থিরতা পৃষ্ঠের কিছু পরামিতি, যেমন 'এস. ভি. আই', হেস্টন মডেলের উপর ভিত্তি করে তৈরি। সি. ই. ভি মডেল সি. ই. ভি মডেল উদ্বায়ীতা এবং দামের মধ্যে সম্পর্ক বর্ণনা করে, স্টোকাস্টিক উদ্বায়ীতা প্রবর্তন করেঃ ধারণাগতভাবে, কিছু বাজারে দাম বাড়লে উদ্বায়ীতা বৃদ্ধি পায় (যেমন। পণ্য), তাই। অন্যান্য বাজারে, দাম কমে যাওয়ার সাথে সাথে অস্থিরতার প্রবণতা বৃদ্ধি পায়। কেউ কেউ যুক্তি দেন যে যেহেতু সি. ই. ভি মডেল উদ্বায়ীতার জন্য নিজস্ব অস্থায়ী প্রক্রিয়া অন্তর্ভুক্ত করে না, তাই এটি প্রকৃতপক্ষে একটি অস্থায়ী উদ্বায়ী মডেল নয়। পরিবর্তে, তারা এটিকে একটি স্থানীয় অস্থিরতার মডেল বলে। এস. এ. বি. আর অস্থিরতার মডেল এস. এ. বি. আর মডেল (স্টোকাস্টিক আলফা, বিটা, রো), হ্যাগান এট আল দ্বারা প্রবর্তিত। একটি একক অগ্রগামীকে বর্ণনা করে (যে কোনও সম্পদের সাথে সম্পর্কিত যেমন। একটি সূচক, সুদের হার, বন্ড, মুদ্রা বা ইক্যুইটি) অস্থায়ী অস্থিরতার অধীনেঃ প্রাথমিক মান এবং বর্তমান অগ্রিম মূল্য এবং অস্থিরতা, যেখানে এবং দুটি পরস্পর সম্পর্কিত উইনার প্রক্রিয়া (অর্থাৎ। ব্রাউনিয়ান গতি) পারস্পরিক সম্পর্ক সহগ সহ। ধ্রুবক প্যারামিটারগুলি এমন। এস. এ. বি. আর মডেলের প্রধান বৈশিষ্ট্য হল অস্থিরতার হাসির হাসি প্রভাব পুনরুত্পাদন করতে সক্ষম হওয়া। GARCH মডেল সাধারণ অটোরেগ্রেসিভ কন্ডিশনাল হেটেরোস্কেডাস্টিসিটি (GARCH) মডেলটি স্টোকাস্টিক উদ্বায়ীতা অনুমানের জন্য আরেকটি জনপ্রিয় মডেল। এটি ধরে নেয় যে হেস্টন মডেলের মতো বৈচিত্র্যের বর্গমূলের বিপরীতে বৈচিত্র্য প্রক্রিয়ার এলোমেলোতা বৈচিত্র্যের সাথে পরিবর্তিত হয়। স্ট্যান্ডার্ড GARCH (1,1) মডেলের অবিচ্ছিন্ন বৈচিত্র্যের জন্য নিম্নলিখিত রূপ রয়েছেঃ GARCH মডেলটি এন. জি. এ. আর. সি. এইচ, টি. জি. এ. আর. সি. এইচ, আই. জি. এ. আর. সি. এইচ, এল. জি. এ. আর. সি. এইচ, ই. জি. এ. আর. সি. এইচ, জি. জে. আর-জি. এ. আর. সি. এইচ ইত্যাদি সহ অসংখ্য রূপের মাধ্যমে প্রসারিত করা হয়েছে। তবে, কঠোরভাবে, GARCH মডেলগুলির শর্তাধীন উদ্বায়ীতা অপ্রতিরোধ্য নয় কারণ পূর্ববর্তী মানগুলির পরিপ্রেক্ষিতে t সময়ে উদ্বায়ীতা সম্পূর্ণরূপে পূর্বনির্ধারিত (নির্ধারক) হয়। 3/2 মডেলটি হেস্টন মডেলের অনুরূপ, তবে অনুমান করে যে বৈচিত্র্য প্রক্রিয়ার এলোমেলোতা এর সাথে পরিবর্তিত হয়। ভ্যারিয়েন্স ডিফারেনশিয়ালের রূপটি হলঃ তবে পরামিতিগুলির অর্থ হেস্টন মডেলের থেকে আলাদা। এই মডেলে, ভ্যারিয়েন্স প্যারামিটারগুলির গড় প্রত্যাবর্তন এবং উদ্বায়ীতা উভয়ই যথাক্রমে এবং দ্বারা প্রদত্ত স্টোকাস্টিক পরিমাণ। মোটামুটি উদ্বায়ী মডেল উচ্চ ফ্রিকোয়েন্সি ডেটা থেকে উদ্বায়ীতার অনুমান ব্যবহার করে, উদ্বায়ী প্রক্রিয়াটির মসৃণতা নিয়ে প্রশ্ন তোলা হয়েছে। দেখা গেছে যে লগ-উদ্বায়ীতা যে কোনও যুক্তিসঙ্গত সময়সীমার হর্স্ট সূচকের সাথে ভগ্নাংশ ব্রাউনিয়ান গতি হিসাবে আচরণ করে। এর ফলে একটি ভগ্নাংশ স্টোকাস্টিক উদ্বায়ীতা (এফএসভি) মডেল গ্রহণ করা হয়, যার ফলে একটি সামগ্রিক রুক্ষ এফএসভি (আরএফএসভি) তৈরি হয় যেখানে "রুক্ষ" বিষয়টিকে তুলে ধরা হয়। আর. এফ. এস. ভি মডেলটি সময় সিরিজের তথ্যের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ, যা অনুভূত অস্থিরতার উন্নত পূর্বাভাসের অনুমতি দেয়। ক্রমাঙ্কন এবং অনুমান একবার একটি নির্দিষ্ট এসভি মডেল বেছে নেওয়ার পরে, এটি বিদ্যমান বাজারের তথ্যের সাথে ক্রমাঙ্কন করা আবশ্যক। ক্যালিব্রেশন হল মডেল প্যারামিটারগুলির সেট সনাক্ত করার প্রক্রিয়া যা সম্ভবত পর্যবেক্ষিত ডেটা দেওয়া হয়। একটি জনপ্রিয় কৌশল হল সর্বাধিক সম্ভাব্যতা অনুমান (এম. এল. ই) ব্যবহার করা। উদাহরণস্বরূপ, হেস্টন মডেলে, মডেল পরামিতিগুলির সেটটি ঐতিহাসিক অন্তর্নিহিত নিরাপত্তা মূল্যের পর্যবেক্ষণের জন্য পাওয়েল নির্দেশিত সেট পদ্ধতির মতো একটি এম. এল. ই অ্যালগরিদম প্রয়োগ করে অনুমান করা যেতে পারে। এই ক্ষেত্রে, আপনি একটি অনুমান দিয়ে শুরু করুন, ফলাফলের মডেলে ঐতিহাসিক মূল্যের তথ্য প্রয়োগ করার সময় অবশিষ্ট ত্রুটিগুলি গণনা করুন এবং তারপরে এই ত্রুটিগুলি হ্রাস করার চেষ্টা করার জন্য সামঞ্জস্য করুন। একবার ক্রমাঙ্কন সম্পন্ন হয়ে গেলে, পর্যায়ক্রমে মডেলটিকে পুনরায় ক্রমাঙ্কন করা একটি আদর্শ অনুশীলন। ক্রমাঙ্কন একটি বিকল্প হল পরিসংখ্যানগত অনুমান, যার ফলে পরামিতি অনিশ্চয়তার জন্য হিসাব করা হয়। অনেক ফ্রিকোয়েন্টিস্ট এবং বায়েসিয়ান পদ্ধতি প্রস্তাবিত এবং প্রয়োগ করা হয়েছে, সাধারণত উপরে উল্লিখিত মডেলগুলির একটি উপসেটের জন্য। নিম্নলিখিত তালিকায় ওপেন সোর্স পরিসংখ্যানগত সফ্টওয়্যার আর-এর জন্য এক্সটেনশন প্যাকেজ রয়েছে যা বিশেষভাবে হেটেরোস্কেডাস্টিসিটি অনুমানের জন্য ডিজাইন করা হয়েছে। প্রথম তিনটি নির্ধারণমূলক উদ্বায়ীতা সহ GARCH-টাইপ মডেলগুলির জন্য; চতুর্থটি স্টোকাস্টিক উদ্বায়ীতা অনুমানের সাথে সম্পর্কিত। রুগার্কঃ ফিট, পূর্বাভাস, সিমুলেশন, অনুমান এবং প্লটিংয়ের পদ্ধতি সহ এ. আর. এফ. আই. এম. এ, ইন-মিন, এক্সটার্নাল রিগ্রেসার এবং বিভিন্ন গার্চ স্বাদ। fGarch: "ফাইন্যান্সিয়াল ইঞ্জিনিয়ারিং অ্যান্ড কম্পিউট্যাশনাল ফাইন্যান্স" শেখানোর জন্য আরমেট্রিক্স পরিবেশের অংশ। বায়েসগার্চঃ শিক্ষার্থীদের টি উদ্ভাবনের সাথে গার্চ (1,1) মডেলের বায়েসিয়ান অনুমান। স্টোকভোলঃ মার্কভ চেইন মন্টে কার্লো (এম. সি. এম. সি) পদ্ধতির মাধ্যমে স্টোকাস্টিক উদ্বায়ীতা (এস. ভি) মডেলগুলির সম্পূর্ণ বায়েসিয়ান অনুমানের জন্য দক্ষ অ্যালগরিদম। সময়ের সাথে সাথে অনেক সংখ্যাসূচক পদ্ধতি তৈরি করা হয়েছে এবং আর্থিক সম্পদের মূল্য নির্ধারণের সমাধান করেছে যেমন স্টোকাস্টিক উদ্বায়ী মডেলগুলির বিকল্প। একটি সাম্প্রতিক উন্নত প্রয়োগ হল স্থানীয় স্টোকাস্টিক উদ্বায়ী মডেল। এই স্থানীয় অস্থিরতার মডেলটি ফরেক্স বিকল্পগুলির মতো নতুন আর্থিক সম্পদের মূল্য নির্ধারণে আরও ভাল ফলাফল দেয়। অন্যান্য ভাষায় বিকল্প পরিসংখ্যানগত অনুমান গ্রন্থাগার রয়েছে যেমন পাইথনঃ পাইফ্লাক্স অন্তর্ভুক্ত বায়েসিয়ান এবং GARCH এবং বিটা-টি-EGARCH মডেলের জন্য শাস্ত্রীয় অনুমান সমর্থন। আরও দেখুন ব্ল্যাক-স্কোলস মডেল হেস্টন মডেল স্থানীয় অস্থিরতা মার্কভ বহুবিধ ঝুঁকি-নিরপেক্ষ পরিমাপ পরিবর্তন করে এসএবিআর অস্থিরতা মডেল স্টোকাস্টিক অস্থিরতা লাফ অধস্তন অস্থিরতা ক্লাস্টারিং অস্থিরতা, অনিশ্চয়তা, জটিলতা এবং অস্পষ্টতা রেফারেন্স উৎস স্টোকাস্টিক অস্থিরতা এবং গড়-বৈচিত্র্য বিশ্লেষণ, হিউংসক আহন, পল উইলমট, (2006)। স্টোকাস্টিক অস্থিরতার বিকল্পগুলির জন্য একটি বদ্ধ-ফর্ম সমাধান, এসএল হেস্টন, (1993)। ইনসাইড ভোলাটিলিটি আরবিট্রেজ, আলিরেজা জাভেরি, (2005)। অ্যাক্সিলারেটিং দ্য ক্যালিব্রেশন অফ স্টোকাস্টিক ভোলাটিলিটি মডেলস, কিলিন, ফিওডার (2006)। গাণিতিক আর্থিক বিকল্প (অর্থ) ডেরিভেটিভস (অর্থ)