Engel's theorem
গণিতের একটি শাখা, উপস্থাপনা তত্ত্বে, এঙ্গেলের উপপাদ্য বলে যে একটি সসীম-মাত্রিক লাই বীজগণিত একটি নিলপোটেন্ট লাই বীজগণিত হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি প্রত্যেকটির জন্য, দ্বারা প্রদত্ত সংলগ্ন মানচিত্রটি একটি নিলপোটেন্ট এন্ডোমর্ফিজম হয়; অর্থাৎ, কিছু k-এর জন্য। এটি উপপাদ্যের একটি পরিণতি, যাকে এঙ্গেলের উপপাদ্যও বলা হয়, যা বলে যে ম্যাট্রিক্সের একটি লাই বীজগণিত যদি নিলপোটেন্ট ম্যাট্রিক্স নিয়ে গঠিত হয়, তবে সমস্ত ম্যাট্রিক্সকে একযোগে কঠোরভাবে উপরের ত্রিভুজাকার আকারে আনা যেতে পারে। লক্ষ্য করুন যে, যদি আমাদের কাছে মাত্র ম্যাট্রিক্সের একটি লাই বীজগণিত থাকে যা একটি লাই বীজগণিত হিসাবে নিলপোটেন্ট হয়, তবে এই উপসংহারটি অনুসরণ করে না (অর্থাৎ। লাই-এর উপপাদ্য "সমাধানযোগ্য"-এর সঙ্গে "নিলপোটেন্ট" এবং "উপরের ত্রিভুজাকার"-এর সঙ্গে "কঠোরভাবে উপরের ত্রিভুজাকার"-এর সরল প্রতিস্থাপন মিথ্যা; এটি ইতিমধ্যেই স্কেলার ম্যাট্রিক্সের এক-মাত্রিক লাই উপ-বীজগণিতে ব্যর্থ হয়েছে)। এই উপপাদ্যটি গণিতবিদ ফ্রেডরিখ এঙ্গেলের নামে নামকরণ করা হয়েছে, যিনি 1890 সালের 20 জুলাই উইলহেলম কিলিংকে লেখা একটি চিঠিতে এর প্রমাণ অঙ্কন করেছিলেন। এঙ্গেলের ছাত্র কে. এ. উমলাফ তাঁর 1891 সালের গবেষণাপত্রে একটি সম্পূর্ণ প্রমাণ দিয়েছিলেন, যা হিসাবে পুনরায় মুদ্রিত হয়েছিল। বিবৃতিগুলি ধরা যাক একটি সসীম-মাত্রিক ভেক্টর স্পেস V এবং একটি উপ-বীজগণিতের এন্ডোমর্ফিজমের লাই বীজগণিত। তারপর এঙ্গেলের উপপাদ্যটি নিম্নলিখিতগুলি সমতুল্য বলে উল্লেখ করেঃ প্রতিটি হল V-এর উপর একটি নিলপোটেন্ট এন্ডোমর্ফিজম। লক্ষ্য করুন যে অন্তর্নিহিত ভিত্তি ক্ষেত্রে কোনও অনুমানের প্রয়োজন নেই। আমরা লক্ষ্য করছি যে বিবৃতি 2. বিভিন্ন এবং V-এর জন্য বিবৃতিটির সমতুল্য প্রতিটি অ-শূন্য সীমাবদ্ধ-মাত্রিক ভেক্টর স্থান V এবং একটি উপ-বীজগণিতের জন্য, V-তে এমন একটি অ-শূন্য ভেক্টর v রয়েছে যাতে প্রত্যেকটির জন্য এটি #Proof-এ প্রমাণিত উপপাদ্যের রূপ। (এই বিবৃতিটি বিবৃতি 2-এর সমতুল্য কারণ এটি একজনকে প্রয়োজনীয় বৈশিষ্ট্য সহ একটি পতাকা তৈরি করার অনুমতি দেয়।) সাধারণভাবে, একটি লাই বীজগণিতকে নিলপোটেন্ট বলা হয় যদি এর নিম্ন কেন্দ্রীয় সিরিজটি একটি সীমাবদ্ধ ধাপে অদৃশ্য হয়ে যায়; অর্থাৎ, = (i + 1)-th পাওয়ারের জন্য, এমন কিছু k থাকে। তারপর এঙ্গেলের উপপাদ্যটি নিম্নলিখিত উপপাদ্যটি বোঝায় (যাকে এঙ্গেলের উপপাদ্যও বলা হয়): যখন সীমাবদ্ধ মাত্রা থাকে, তখন নিলপোটেন্ট হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি প্রত্যেকটির জন্য নিলপোটেন্ট হয়। প্রকৃতপক্ষে, যদি নিলপোটেন্ট অপারেটর থাকে, তাহলে 1 দ্বারা। 2. বীজগণিতে প্রয়োগ করলে, একটি পতাকা বিদ্যমান থাকে। যেহেতু, এটি বোঝায় নিলপোটেন্ট। (বিপরীতটি সংজ্ঞা থেকে সরাসরি অনুসরণ করে।) প্রমাণ আমরা উপপাদ্যটির নিম্নলিখিত রূপটি প্রমাণ করিঃ যদি একটি লাই সাবঅ্যালজেব্রা এমন হয় যে প্রতিটি একটি নিলপোটেন্ট এন্ডোমর্ফিজম হয় এবং যদি V-এর ধনাত্মক মাত্রা থাকে, তবে V-তে একটি অ-শূন্য ভেক্টর v থাকে যাতে প্রতিটি X-এর জন্য। প্রমাণটি মাত্রার উপর আনয়ন দ্বারা হয় এবং কয়েকটি ধাপ নিয়ে গঠিত। (লক্ষ্য করুন প্রমাণের কাঠামোটি লাই-এর উপপাদ্যের সাথে খুব মিল, যা একটি সমাধানযোগ্য বীজগণিতের সাথে সম্পর্কিত।) মৌলিক কেসটি তুচ্ছ এবং আমরা এর মাত্রাটি ধনাত্মক বলে ধরে নিই। ধাপ 1: কোডিমেনশনের একটি আদর্শ খুঁজে বের করুন। এটাই সবচেয়ে কঠিন পদক্ষেপ। ধরা যাক একটি সর্বাধিক (যথাযথ) উপ-বীজগণিত, যা সসীম-মাত্রার দ্বারা বিদ্যমান। আমরা দাবি করি যে এটি কোডিমেনশনের একটি আদর্শ। প্রত্যেকটির জন্য, এটি পরীক্ষা করা সহজ যে (1) একটি রৈখিক এন্ডোমর্ফিজমকে প্ররোচিত করে এবং (2) এই প্ররোচিত মানচিত্রটি নিলপোটেন্ট (প্রকৃতপক্ষে, নিলপোটেন্টের মতো নিলপোটেন্ট; জর্ডান-চেভালি decomposition#Lie অ্যালজেব্রা দেখুন)। সুতরাং, দ্বারা উৎপন্ন লাই উপ-বীজগণিতে প্রয়োগ করা ইন্ডাক্টিভ হাইপোথিসিস দ্বারা, একটি অ-শূন্য ভেক্টর v বিদ্যমান থাকে যাতে প্রত্যেকটির জন্য। অর্থাৎ, যদি কিছু Y-এর জন্য কিন্তু ভিতরে না হয়, তাহলে প্রত্যেকের জন্য। কিন্তু তারপর Y দ্বারা বিস্তৃত সাবস্পেসটি একটি লাই সাবঅ্যালজেব্রা যেখানে কোডিমেনশন একটির একটি আদর্শ। সুতরাং, সর্বাধিকতা দ্বারা,। এই দাবি প্রমাণ করে। পদক্ষেপ 2: আসুন। তারপর W কে স্থিতিশীল করে; অর্থাৎ, প্রত্যেকের জন্য। প্রকৃতপক্ষে, ভিতরে এবং ভিতরে, আমাদের আছেঃ যেহেতু একটি আদর্শ এবং তাই। এইভাবে, ডাব্লু-তে রয়েছে। ধাপ 3: একটি অ-শূন্য ভেক্টর খুঁজে বের করে প্রমাণটি শেষ করুন যা দ্বারা নিহত হয়। লিখুন যেখানে L একটি এক-মাত্রিক ভেক্টর সাবস্পেস। ধরা যাক L-এ Y একটি অ-শূন্য ভেক্টর এবং W-এ v একটি অ-শূন্য ভেক্টর। এখন, এটি একটি নিলপোটেন্ট এন্ডোমর্ফিজম (অনুমান অনুসারে) এবং তাই কিছু k-এর জন্য। তারপর একটি প্রয়োজনীয় ভেক্টর কারণ ভেক্টরটি ধাপ 2 দ্বারা W-এ অবস্থিত। আরও দেখুন লাই-এর উপপাদ্য হাইজেনবার্গ গ্রুপ নোটস সাইটেশনস ওয়ার্কস উপস্থাপনা তত্ত্বে লাই অ্যালজেব্রা উপপাদ্যের প্রতিনিধিত্ব তত্ত্ব উদ্ধৃত করেছে।