Multipole expansion
মাল্টিপোল সম্প্রসারণ একটি গাণিতিক সিরিজ যা কোণের উপর নির্ভর করে এমন একটি ফাংশনের প্রতিনিধিত্ব করে-সাধারণত ত্রিমাত্রিক ইউক্লিডীয় স্থানের জন্য গোলাকার স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় (মেরু এবং আজিমুথাল কোণ) ব্যবহৃত দুটি কোণ। একইভাবে টেলর সিরিজের ক্ষেত্রে, মাল্টিপোল এক্সপানশনগুলি কার্যকর কারণ প্রায়শই মূল ফাংশনের একটি ভাল আনুমানিক প্রদান করার জন্য শুধুমাত্র প্রথম কয়েকটি পদের প্রয়োজন হয়। সম্প্রসারিত ফাংশনটি বাস্তব-বা জটিল-মূল্যবান হতে পারে এবং এটি সংজ্ঞায়িত করা হয়, বা অন্য কিছু মাল্টিপোল সম্প্রসারণের জন্য প্রায়শই সংজ্ঞায়িত করা হয় যা বৈদ্যুতিন চৌম্বকীয় এবং মহাকর্ষীয় ক্ষেত্রের অধ্যয়নে ঘন ঘন ব্যবহৃত হয়, যেখানে দূরবর্তী বিন্দুতে ক্ষেত্রগুলি একটি ছোট অঞ্চলের উৎসের পরিপ্রেক্ষিতে দেওয়া হয়। কোণ সহ বহু-মেরু সম্প্রসারণ প্রায়শই ব্যাসার্ধের সম্প্রসারণের সাথে মিলিত হয়। এই ধরনের সংমিশ্রণ ত্রিমাত্রিক স্থান জুড়ে একটি ফাংশন বর্ণনা করে একটি সম্প্রসারণ দেয়। বহু-মেরু সম্প্রসারণকে ক্রমবর্ধমান সূক্ষ্ম কৌণিক বৈশিষ্ট্য (মুহূর্ত) সহ পদগুলির সমষ্টি হিসাবে প্রকাশ করা হয়। প্রথম (শূন্য-ক্রম) শব্দটিকে বলা হয় মনোপোল মোমেন্ট, দ্বিতীয় (প্রথম-ক্রম) শব্দটিকে বলা হয় ডাইপোল মোমেন্ট, তৃতীয় (দ্বিতীয়-ক্রম) শব্দটিকে বলা হয় চতুর্ভুজ মোমেন্ট, চতুর্থ (তৃতীয়-ক্রম) শব্দটিকে বলা হয় অক্টোপোল মোমেন্ট, ইত্যাদি। গ্রীক সংখ্যাসূচক উপসর্গগুলির সীমাবদ্ধতার পরিপ্রেক্ষিতে, উচ্চতর ক্রমের পদগুলি প্রচলিতভাবে খুঁটির সংখ্যার সাথে "-মেরু" যোগ করে নামকরণ করা হয়-যেমন, 32-মেরু (খুব কমই ডট্রিয়াকন্টাপোল বা ট্রাইকন্ট্যাডিপোল) এবং 64-মেরু (খুব কমই টেট্রাহেক্সাকন্টাপোল বা হেক্সাকন্ট্যাটেট্রাপোল)। একটি বহুধ্রুবীয় মুহুর্তে সাধারণত উৎপত্তির দূরত্বের শক্তি (বা বিপরীত শক্তি), পাশাপাশি কিছু কৌণিক নির্ভরতা জড়িত থাকে। নীতিগতভাবে, একটি বহু-মেরু সম্প্রসারণ সম্ভাবনার একটি সঠিক বিবরণ প্রদান করে এবং সাধারণত দুটি শর্তে একত্রিত হয়ঃ (1) যদি উৎসগুলি (যেমন। আধান) উৎপত্তির কাছাকাছি অবস্থিত এবং যে বিন্দুতে সম্ভাব্যতা পর্যবেক্ষণ করা হয় তা উৎস থেকে অনেক দূরে; অথবা (2) বিপরীত, অর্থাৎ, যদি উৎসগুলি উৎস থেকে অনেক দূরে অবস্থিত হয় এবং সম্ভাব্যতা উৎপত্তির কাছাকাছি পর্যবেক্ষণ করা হয়। প্রথম (আরও সাধারণ) ক্ষেত্রে, সিরিজ সম্প্রসারণের সহগগুলিকে বাহ্যিক মাল্টিপোল মুহূর্ত বা কেবল মাল্টিপোল মুহূর্ত বলা হয়, যেখানে দ্বিতীয় ক্ষেত্রে, এগুলিকে অভ্যন্তরীণ মাল্টিপোল মুহূর্ত বলা হয়। গোলাকার হারমোনিক্সের সম্প্রসারণ সর্বাধিক সাধারণভাবে, সিরিজটি গোলাকার হারমোনিক্সের সমষ্টি হিসাবে লেখা হয়। সুতরাং, আমরা একটি ফাংশনকে যোগফল হিসাবে লিখতে পারি যেখানে আদর্শ গোলাকার হারমোনিক্স রয়েছে এবং ধ্রুবক সহগ যা ফাংশনের উপর নির্ভর করে। শব্দটি মনোপোলকে উপস্থাপন করে; দ্বিমেরু প্রতিনিধিত্ব করে; ইত্যাদি। সমতুল্যভাবে, সিরিজটি প্রায়শই এমনভাবে লেখা হয় যেখানে কোণ এবং দ্বারা প্রদত্ত দিকে একটি একক ভেক্টরের উপাদানগুলি প্রতিনিধিত্ব করে এবং সূচকগুলি অন্তর্নিহিতভাবে সংক্ষিপ্ত করা হয়। এখানে, শব্দটি হল মনোপোল; দ্বিমেরু প্রতিনিধিত্বকারী তিনটি সংখ্যার একটি সেট; ইত্যাদি। উপরের সম্প্রসারণগুলিতে, সহগগুলি বাস্তব বা জটিল হতে পারে। যদি একটি মাল্টিপোল সম্প্রসারণ হিসাবে প্রকাশ করা ফাংশনটি বাস্তব হয়, তবে, সহগগুলিকে অবশ্যই নির্দিষ্ট বৈশিষ্ট্যগুলি পূরণ করতে হবে। বহু-ভেক্টর সম্প্রসারণে, প্রতিটি সহগ অবশ্যই বাস্তব হতে হবেঃ যদিও স্কেলার ফাংশনের সম্প্রসারণ বহু-মেরু সম্প্রসারণের সবচেয়ে সাধারণ প্রয়োগ, তবে নির্বিচারে র্যাঙ্কের টেনসরগুলি বর্ণনা করার জন্য সেগুলিকে সাধারণীকরণও করা যেতে পারে। এটি বৈদ্যুতিন চৌম্বকীয়তায় ভেক্টর সম্ভাবনার বহু-মেরু সম্প্রসারণে বা মহাকর্ষীয় তরঙ্গের বর্ণনায় মেট্রিক বিশৃঙ্খলায় ব্যবহার খুঁজে পায়। স্থানাঙ্কের উৎপত্তি থেকে দূরে, তিনটি মাত্রার ফাংশন বর্ণনা করার জন্য, বহু-মেরু সম্প্রসারণের সহগগুলিকে উৎপত্তির দূরত্বের ফাংশন হিসাবে লেখা যেতে পারে-প্রায়শই, এর শক্তিতে লরেন্ট সিরিজ হিসাবে। উদাহরণস্বরূপ, তড়িৎচুম্বকীয় সম্ভাব্যতা বর্ণনা করার জন্য, উৎপত্তির কাছাকাছি একটি ছোট অঞ্চলের উৎস থেকে, সহগগুলিকে এইভাবে লেখা যেতে পারেঃ প্রয়োগ বহুধ্রুবীয় সম্প্রসারণ ব্যাপকভাবে ভর ব্যবস্থার মহাকর্ষীয় ক্ষেত্র, বৈদ্যুতিক এবং চৌম্বকীয় ক্ষেত্র এবং তড়িৎচুম্বকীয় তরঙ্গের প্রসারণের সাথে জড়িত সমস্যাগুলিতে ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়। একটি সর্বোত্তম উদাহরণ হল বৈদ্যুতিন কক্ষপথের অভ্যন্তরীণ বহুধ্রুবের সাথে তাদের মিথস্ক্রিয়া শক্তি থেকে পারমাণবিক নিউক্লিয়াসের বাহ্যিক বহুধ্রুবী মুহুর্তের গণনা। নিউক্লিয়াসের মাল্টিপোল মুহুর্তগুলি নিউক্লিয়াসের মধ্যে এবং এইভাবে, নিউক্লিয়াসের আকারের চার্জ বিতরণ সম্পর্কে রিপোর্ট করে। মাল্টিপোল সম্প্রসারণকে তার প্রথম অ-শূন্য পদে ছাঁটাই করা প্রায়শই তাত্ত্বিক গণনার জন্য কার্যকর। মাল্টিপোল সম্প্রসারণগুলি সংখ্যাসূচক সিমুলেশনেও কার্যকর, এবং গ্রিনগার্ড এবং রোকলিনের দ্রুত মাল্টিপোল পদ্ধতির ভিত্তি গঠন করে, যা আন্তঃক্রিয়াশীল কণাগুলির সিস্টেমে শক্তি এবং শক্তির দক্ষ গণনার জন্য একটি সাধারণ কৌশল। মূল ধারণাটি হল কণাগুলিকে গোষ্ঠীতে বিভক্ত করা; একটি গোষ্ঠীর মধ্যে কণাগুলি স্বাভাবিকভাবে মিথস্ক্রিয়া করে (অর্থাৎ, পূর্ণ সম্ভাব্যতা দ্বারা), যেখানে কণাগুলির গোষ্ঠীর মধ্যে শক্তি এবং বল তাদের বহুধ্রুবী মুহুর্ত থেকে গণনা করা হয়। দ্রুত বহু-মেরু পদ্ধতির দক্ষতা সাধারণত ইওয়াল্ড যোগফলের অনুরূপ, তবে কণাগুলি গুচ্ছবদ্ধ হলে তা উচ্চতর হয়, অর্থাৎ। এই ব্যবস্থায় বড় ঘনত্বের ওঠানামা রয়েছে। একটি স্থির তড়িৎ আধান বণ্টনের বাইরে একটি সম্ভাবনার বহু-মেরু সম্প্রসারণ অবস্থান ভেক্টর সহ বিন্দু আধান সমন্বিত একটি পৃথক আধান বণ্টনের কথা বিবেচনা করুন। আমরা ধরে নিই যে আধানগুলি উৎপত্তির চারপাশে গুচ্ছবদ্ধ, যাতে সমস্ত i: এর জন্য, যেখানে কিছু সীমাবদ্ধ মান থাকে। ক্ষমতা, চার্জ বণ্টনের কারণে, চার্জ বণ্টনের বাইরে একটি বিন্দুতে, অর্থাৎ, এর শক্তিতে প্রসারিত করা যেতে পারে। এই সম্প্রসারণের দুটি উপায় সাহিত্যে পাওয়া যায়ঃ প্রথমটি কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্কে একটি টেলর সিরিজ, এবং দ্বিতীয়টি গোলাকার হারমোনিক্সের ক্ষেত্রে যা গোলাকার মেরু স্থানাঙ্কের উপর নির্ভর করে। কার্টেসিয়ান পদ্ধতির সুবিধা হল যে লেজেন্ড্রে ফাংশন, গোলাকার হারমোনিক্স ইত্যাদি সম্পর্কে কোনও পূর্ব জ্ঞানের প্রয়োজন নেই। এর অসুবিধা হল এই যে, এই উৎপত্তির উৎপত্তি মোটামুটি জটিল (প্রকৃতপক্ষে এর একটি বড় অংশ হল লেজেন্ড্রে সম্প্রসারণের অন্তর্নিহিত পুনরুক্তি, যা 1780-এর দশকে লেজেন্ড্রে একবার এবং চিরকালের জন্য করেছিলেন)। এছাড়াও মাল্টিপোল সম্প্রসারণের একটি সাধারণ পদের জন্য একটি বদ্ধ অভিব্যক্তি দেওয়া কঠিন-সাধারণত শুধুমাত্র প্রথম কয়েকটি পদ একটি উপবৃত্তাকার দ্বারা অনুসরণ করা হয়। কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্কে সম্প্রসারণ সুবিধার জন্য ধরে নিন। যদি ল্যাপ্লাস সমীকরণটি সন্তুষ্ট হয়, তবে উপরের সম্প্রসারণ দ্বারা আমাদের আছে এবং সম্প্রসারণটি একটি ট্রেসলেস কার্টেসিয়ান দ্বিতীয় র্যাঙ্ক টেনসরের উপাদানগুলির পরিপ্রেক্ষিতে পুনর্লিখন করা যেতে পারেঃ ক্রোনেকার ব-দ্বীপ কোথায় এবং। ট্রেস অপসারণ করা সাধারণ, কারণ এটি দ্বিতীয় র্যাঙ্কের টেনসর থেকে ঘূর্ণনগতভাবে অপরিবর্তনীয়কে সরিয়ে নেয়। উদাহরণস্বরূপ, এখন নিম্নলিখিত রূপটি বিবেচনা করুনঃ তারপর সরাসরি পৃথকীকরণের মাধ্যমে একটি মনোপোল, ডাইপোল এবং (ট্রেসলেস) চতুর্ভুজকে যথাক্রমে দ্বারা সংজ্ঞায়িত করুন এবং অবশেষে আমরা মোট সম্ভাবনার বহুধ্রু সম্প্রসারণের প্রথম কয়েকটি পদ পাই, যা পৃথক চার্জের কুলম্ব সম্ভাবনার সমষ্টিঃ একটি বিচ্ছিন্ন চার্জ বণ্টনের সম্ভাবনার এই সম্প্রসারণ নীচে দেওয়া বাস্তব কঠিন হারমোনিক্সের সাথে খুব মিল। প্রধান পার্থক্য হল যে বর্তমানটি রৈখিকভাবে নির্ভরশীল পরিমাণের পরিপ্রেক্ষিতে, দ্রষ্টব্যঃ যদি আধান বন্টন বিপরীত চিহ্নের দুটি আধান নিয়ে গঠিত হয় যা একটি অসীম দূরত্ব, যাতে, এটি সহজেই দেখানো যায় যে সম্প্রসারণে প্রভাবশালী শব্দটি হল বৈদ্যুতিক দ্বিমেরু সম্ভাব্যতা ক্ষেত্র। গোলাকার রূপ আধান বণ্টনের বাইরে একটি বিন্দুতে সম্ভাব্যতা, অর্থাৎ। , ল্যাপ্লাস সম্প্রসারণ দ্বারা প্রসারিত করা যেতে পারেঃ যেখানে একটি অনিয়মিত কঠিন সুরেলা (নীচে একটি গোলাকার সুরেলা ফাংশন দ্বারা বিভক্ত হিসাবে সংজ্ঞায়িত) এবং একটি নিয়মিত কঠিন সুরেলা (একটি গোলাকার সুরেলা সময়)। আমরা চার্জ বণ্টনের গোলাকার মাল্টিপোল মোমেন্টকে নিম্নরূপ সংজ্ঞায়িত করি। মনে রাখবেন যে একটি মাল্টিপোল মোমেন্ট শুধুমাত্র চার্জ বণ্টনের (এন চার্জগুলির অবস্থান এবং মাত্রা) দ্বারা নির্ধারিত হয়। একটি গোলাকার হারমোনিক একক ভেক্টরের উপর নির্ভর করে। (একটি একক ভেক্টর দুটি গোলাকার মেরু কোণ দ্বারা নির্ধারিত হয়।) সুতরাং, সংজ্ঞা অনুসারে, অনিয়মিত কঠিন হারমোনিক্সকে এমনভাবে লেখা যেতে পারে যাতে চার্জ বণ্টনের বাইরের বিন্দুতে ক্ষেত্রের বহু-মেরু সম্প্রসারণ দ্বারা দেওয়া হয় এই সম্প্রসারণটি সম্পূর্ণ সাধারণ যে এটি কেবল প্রথম কয়েকটি পদের জন্য নয়, সমস্ত পদের জন্য একটি বদ্ধ রূপ দেয়। এটি দেখায় যে গোলাকার বহু-মেরু মুহুর্তগুলি সম্ভাবনার সম্প্রসারণে সহগ হিসাবে উপস্থিত হয়। প্রথম কয়েকটি পদকে প্রকৃত আকারে বিবেচনা করা আগ্রহের বিষয়, যা সাধারণত স্নাতক পাঠ্যপুস্তকে পাওয়া যায়। যেহেতু m যোগফলের যোগফল একই সঙ্গে উভয় উপাদানের একক রূপান্তরের অধীনে অপরিবর্তনীয় এবং যেহেতু জটিল গোলাকার হারমোনিক্সের বাস্তব রূপে রূপান্তর একটি একক রূপান্তর দ্বারা হয়, তাই আমরা কেবল বাস্তব অনিয়মিত কঠিন হারমোনিক্স এবং বাস্তব বহুধ্রুবী মুহুর্তগুলিকে প্রতিস্থাপন করতে পারি। শব্দটি হয়ে যায় এটি আসলে আবার কুলম্বের সূত্র। যে শব্দটির জন্য আমরা পরিচয় করিয়ে দিচ্ছি তারপর এই শব্দটি কার্টেসিয়ান আকারে পাওয়া শব্দের অনুরূপ। শব্দটি লেখার জন্য, আমাদের চতুর্ভুজ মুহুর্তের পাঁচটি বাস্তব উপাদান এবং বাস্তব গোলাকার হারমোনিক্সের জন্য শর্টহ্যান্ড স্বরলিপি প্রবর্তন করতে হবে। সাহিত্যে এই ধরনের উল্লেখ পাওয়া যায়। স্পষ্টতই প্রকৃত স্বরলিপিটি খুব শীঘ্রই বিশ্রী হয়ে ওঠে, যা জটিল স্বরলিপির উপযোগিতা প্রদর্শন করে। দুটি নন-ওভারল্যাপিং চার্জ ডিস্ট্রিবিউশনের মিথস্ক্রিয়া পয়েন্ট চার্জগুলির দুটি সেট বিবেচনা করুন, একটি সেট একটি বিন্দুর চারপাশে গুচ্ছবদ্ধ এবং একটি সেট একটি বিন্দুর চারপাশে গুচ্ছবদ্ধ। উদাহরণস্বরূপ দুটি অণুর কথা ভাবুন এবং মনে রাখবেন যে একটি অণু সংজ্ঞা অনুসারে ইলেকট্রন (ঋণাত্মক বিন্দু আধান) এবং নিউক্লিয়াস (ধনাত্মক বিন্দু আধান) নিয়ে গঠিত। দুটি বন্টনের মধ্যে মোট তড়িৎস্থায়ী মিথস্ক্রিয়া শক্তি হল এই শক্তিটি এবং এর বিপরীত দূরত্বে একটি শক্তি সিরিজে প্রসারিত করা যেতে পারে। এই সম্প্রসারণকে ইউএবি-র বহু-মেরু সম্প্রসারণ বলা হয়। এই মাল্টিপোল সম্প্রসারণটি অর্জনের জন্য, আমরা লিখি, যা একটি ভেক্টর যা দিক থেকে নির্দেশ করে। লক্ষ্য করুন যে, আমরা ধরে নিই যে, দুটি বন্টন পরস্পরের সঙ্গে মিশে যায় নাঃ এই শর্তে আমরা ল্যাপ্লাস সম্প্রসারণ নিম্নলিখিত আকারে প্রয়োগ করতে পারি যেখানে এবং যথাক্রমে অনিয়মিত এবং নিয়মিত কঠিন হারমোনিক্স। নিয়মিত কঠিন হারমোনিকের অনুবাদ একটি সীমাবদ্ধ সম্প্রসারণ দেয়, যেখানে তীক্ষ্ণ বন্ধনীগুলির মধ্যে পরিমাণ একটি ক্লেবশ-গর্ডন সহগ। আরও আমরা ব্যবহার করেছি গোলাকার মাল্টিপোলের সংজ্ঞার ব্যবহার এবং কিছুটা ভিন্ন ক্রমে সমষ্টি পরিসরের আচ্ছাদন (যা শুধুমাত্র একটি অসীম পরিসরের জন্য অনুমোদিত) অবশেষে দেয় এটি দুটি নন-ওভারল্যাপিং চার্জ ডিস্ট্রিবিউশনের মিথস্ক্রিয়া শক্তির মাল্টিপোল সম্প্রসারণ যা একটি দূরত্ব আরএবি পৃথক। যেহেতু এই সম্প্রসারণ স্পষ্টভাবে এর ক্ষমতার মধ্যে রয়েছে। ফাংশনটি একটি স্বাভাবিক গোলাকার সুরেলা। আণবিক মুহূর্ত সমস্ত পরমাণু এবং অণুতে (এস-অবস্থা পরমাণু ব্যতীত) এক বা একাধিক অ-বিলুপ্ত স্থায়ী বহুধ্রুবীয় মুহূর্ত থাকে। সাহিত্যে বিভিন্ন সংজ্ঞা পাওয়া যায়, তবে গোলাকার আকারে নিম্নলিখিত সংজ্ঞাটির সুবিধা রয়েছে যে এটি একটি সাধারণ সমীকরণে রয়েছে। যেহেতু এটি জটিল আকারে রয়েছে, তাই এর আরও সুবিধা হল যে, প্রকৃত প্রতিরূপের তুলনায় গণনায় হেরফের করা সহজ। আমরা এন কণার (ইলেকট্রন এবং নিউক্লিয়াস) সমন্বয়ে গঠিত একটি অণুকে বিবেচনা করি যার চার্জ eZi। (ইলেকট্রনের Z-মান −1, এবং নিউক্লিয়াসের জন্য এটি পারমাণবিক সংখ্যা)। কণা i-এর গোলাকার মেরু স্থানাঙ্ক হল ri, θi, এবং φi এবং কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্ক হল xi, yi, এবং zi। (জটিল) ইলেক্ট্রোস্ট্যাটিক মাল্টিপোল অপারেটর হল যেখানে রাকাহর স্বাভাবিকীকরণের একটি নিয়মিত কঠিন সুরেলা ফাংশন (যা শ্মিটের আধা-স্বাভাবিকীকরণ নামেও পরিচিত)। যদি অণুটির মোট স্বাভাবিক তরঙ্গ ক্রিয়া েডাক থাকে (ইলেকট্রন এবং নিউক্লিয়াসের স্থানাঙ্কের উপর নির্ভর করে), তবে অণুর ক্রমের মাল্টিপোল মুহূর্তটি প্রত্যাশিত (প্রত্যাশিত) মান দ্বারা দেওয়া হয়ঃ যদি অণুটির নির্দিষ্ট পয়েন্ট গ্রুপ প্রতিসাম্য থাকে, তবে এটি তরঙ্গ ক্রিয়ায় প্রতিফলিত হয়ঃ েডাক গ্রুপের একটি নির্দিষ্ট অপরিবর্তনীয় উপস্থাপনা λ অনুসারে রূপান্তরিত হয় ("েডাকের প্রতিসাম্য প্রকার λ")। এর ফলস্বরূপ নির্বাচন নিয়মগুলি মাল্টিপোল অপারেটরের প্রত্যাশিত মানের জন্য বা অন্য কথায়, প্রতিসাম্যের কারণে প্রত্যাশিত মানটি অদৃশ্য হয়ে যেতে পারে। এর একটি সুপরিচিত উদাহরণ হল যে একটি বিপরীত কেন্দ্র সহ অণুগুলি একটি দ্বিমেরু বহন করে না (এর জন্য প্রত্যাশার মানগুলি অদৃশ্য হয়ে যায়। প্রতিসাম্য ব্যতীত কোনও অণুর জন্য, কোনও নির্বাচনের নিয়ম কার্যকর হয় না এবং এই ধরনের অণুর কোনও ক্রমের অ-বিলুপ্ত বহুধ্রু থাকবে (এটি একটি দ্বিমেরু এবং একই সাথে একটি চতুর্ভুজ, অক্টুপোল, হেক্সাডেক্যাপোল ইত্যাদি বহন করবে)। নিয়মিত কঠিন হারমোনিক্সের সর্বনিম্ন সুস্পষ্ট রূপগুলি (কন্ডন-শর্টলি পর্যায় সহ) দেয়ঃ (অণুর মোট চার্জ)। (জটিল) দ্বিমেরু উপাদানগুলি হলঃ লক্ষ্য করুন যে একটি সহজ রৈখিক সংমিশ্রণ দ্বারা জটিল বহু-মেরু অপারেটরগুলিকে বাস্তবে রূপান্তরিত করা যেতে পারে। প্রকৃত মাল্টিপোল অপারেটরগুলি কোসাইন টাইপ বা সাইন টাইপের হয়। নীচের কয়েকটি হ 'লঃ প্রচলিত নিয়মাবলীর উপর লক্ষ্য করুন উপরে দেওয়া জটিল আণবিক বহুধ্রু মুহুর্তের সংজ্ঞাটি এই নিবন্ধে দেওয়া সংজ্ঞাটির জটিল সংমিশ্রণ, যা স্বাভাবিককরণ ব্যতীত জ্যাকসনের শাস্ত্রীয় তড়িৎগতিবিদ্যার মানক পাঠ্যপুস্তকের সংজ্ঞা অনুসরণ করে। অধিকন্তু, জ্যাকসনের ধ্রুপদী সংজ্ঞায় এন-কণার কোয়ান্টাম যান্ত্রিক প্রত্যাশার মানের সমতুল্য একটি কণার আধান বণ্টনের একটি অবিচ্ছেদ্য অংশ। মনে রাখবেন যে এক-কণার কোয়ান্টাম যান্ত্রিক ব্যবস্থার ক্ষেত্রে প্রত্যাশার মান চার্জ বণ্টনের উপর একটি অবিচ্ছেদ্য (তরঙ্গ ক্রিয়ার বর্গের মডুলাস) ছাড়া আর কিছুই নয়, যাতে এই নিবন্ধের সংজ্ঞাটি জ্যাকসনের সংজ্ঞার একটি কোয়ান্টাম যান্ত্রিক এন-কণার সাধারণীকরণ। এই নিবন্ধের সংজ্ঞাটি অন্যদের মধ্যে ফানো এবং রাকাহ এবং ব্রিংক এবং স্যাচলারের সাথে একমত। উদাহরণ অনেক ধরনের মাল্টিপোল মুহুর্ত রয়েছে, যেহেতু স্থানাঙ্ক এবং চার্জ বিতরণের প্রতিসাম্যের উপর নির্ভর করে একটি সিরিজ সম্প্রসারণ দ্বারা একটি সম্ভাব্যতা অনুমান করার অনেক ধরনের সম্ভাব্যতা এবং অনেক উপায় রয়েছে। সর্বাধিক প্রচলিত সম্প্রসারণগুলির মধ্যে রয়েছেঃ একটি সম্ভাবনার অক্ষীয় বহুধ্রুবীয় মুহূর্ত; একটি সম্ভাবনার গোলাকার বহুধ্রুবীয় মুহূর্ত; এবং একটি সম্ভাবনার নলাকার বহুধ্রুবীয় মুহূর্ত সম্ভাবনার উদাহরণগুলির মধ্যে রয়েছে বৈদ্যুতিক সম্ভাবনা, চৌম্বকীয় সম্ভাবনা এবং বিন্দু উৎসগুলির মহাকর্ষীয় সম্ভাবনা। একটি সম্ভাবনার উদাহরণ হল একটি অসীম লাইন চার্জের বৈদ্যুতিক সম্ভাব্যতা। সাধারণ গাণিতিক বৈশিষ্ট্য গণিত এবং গাণিতিক পদার্থবিজ্ঞানে মাল্টিপোল মুহুর্তগুলি একটি ফাংশনের পচনের জন্য একটি অর্থোগোনাল ভিত্তি গঠন করে, যা একটি ক্ষেত্রের প্রতিক্রিয়ার উপর ভিত্তি করে যা একে অপরের অসীম কাছাকাছি আনা হয়। এগুলিকে বিভিন্ন জ্যামিতিক আকারে সাজানো বা বন্টন তত্ত্বের অর্থে দিকনির্দেশক ব্যুৎপত্তি হিসাবে ভাবা যেতে পারে। মাল্টিপোল সম্প্রসারণগুলি ভৌত নিয়মগুলির অন্তর্নিহিত ঘূর্ণন প্রতিসাম্য এবং তাদের সম্পর্কিত ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সাথে সম্পর্কিত। যদিও উৎস পদগুলি (যেমন ভর, আধান বা স্রোত) প্রতিসম নাও হতে পারে, তবুও ঘূর্ণন প্রতিসাম্য গোষ্ঠীর অপরিবর্তনীয় উপস্থাপনার পরিপ্রেক্ষিতে এগুলি প্রসারিত করা যেতে পারে, যা গোলাকার হারমোনিক্স এবং অর্থোগোনাল ফাংশনের সম্পর্কিত সেটগুলির দিকে পরিচালিত করে। রেডিয়াল নির্ভরতার জন্য সংশ্লিষ্ট সমাধানগুলি বের করার জন্য ভেরিয়েবলগুলি পৃথক করার কৌশলটি ব্যবহার করা হয়। বাস্তবে, অনেক ক্ষেত্রকে সীমিত সংখ্যক বহু-মেরু মুহুর্তের সাথে ভালভাবে আনুমানিক করা যেতে পারে (যদিও একটি ক্ষেত্রকে সঠিকভাবে পুনর্গঠনের জন্য একটি অসীম সংখ্যার প্রয়োজন হতে পারে)। একটি সাধারণ প্রয়োগ হল একটি স্থানীয় আধান বণ্টনের ক্ষেত্রকে তার মনোপোল এবং দ্বিমেরু পদ দ্বারা আনুমানিক মূল্যায়ন করা। মাল্টিপোল মোমেন্টের প্রদত্ত ক্রমের জন্য একবার সমাধান করা সমস্যাগুলি একটি প্রদত্ত উৎসের জন্য একটি চূড়ান্ত আনুমানিক সমাধান তৈরি করতে রৈখিকভাবে একত্রিত করা যেতে পারে। আরও দেখুন বার্নস-হাট সিমুলেশন দ্রুত বহু-মেরু পদ্ধতি ল্যাপ্লাস সম্প্রসারণ কিংবদন্তি বহুপদী চতুর্ভুজ চুম্বকগুলি কণা ত্বরকগুলিতে ব্যবহৃত হয় কঠিন হারমোনিক্স টোরয়েডাল মুহূর্ত রেফারেন্স সম্ভাব্য তত্ত্ব ভেক্টর ক্যালকুলাস মুহূর্ত (পদার্থবিজ্ঞান)