Vibrations of a circular membrane
চাপের মধ্যে একটি দ্বি-মাত্রিক স্থিতিস্থাপক ঝিল্লি আড়াআড়ি কম্পনকে সমর্থন করতে পারে। একটি আদর্শ ড্রামহেডের বৈশিষ্ট্যগুলি একটি অনমনীয় ফ্রেমের সাথে সংযুক্ত অভিন্ন পুরুত্বের একটি বৃত্তাকার ঝিল্লির কম্পন দ্বারা মডেল করা যেতে পারে। অনুরণনের ঘটনার কারণে, নির্দিষ্ট কম্পন ফ্রিকোয়েন্সিগুলিতে, এর অনুরণিত ফ্রিকোয়েন্সিগুলিতে, ঝিল্লি কম্পন শক্তি সঞ্চয় করতে পারে, পৃষ্ঠটি স্থায়ী তরঙ্গের একটি বৈশিষ্ট্যযুক্ত প্যাটার্নে চলাচল করে। একে নরমাল মোড বলা হয়। একটি ঝিল্লির এই স্বাভাবিক মোডগুলির একটি অসীম সংখ্যা রয়েছে, যা সর্বনিম্ন ফ্রিকোয়েন্সি দিয়ে শুরু হয় যাকে মৌলিক মোড বলা হয়। একটি ঝিল্লি অসীমভাবে অনেক উপায়ে কম্পন করতে পারে, যার প্রতিটিই নির্ভর করে কোনও প্রাথমিক সময়ে ঝিল্লির আকৃতি এবং সেই সময়ে ঝিল্লির প্রতিটি বিন্দুর আড়াআড়ি বেগের উপর। ঝিল্লির কম্পনগুলি ডিরিচলেট সীমানা অবস্থার সাথে দ্বি-মাত্রিক তরঙ্গ সমীকরণের সমাধান দ্বারা দেওয়া হয় যা ফ্রেমের সীমাবদ্ধতার প্রতিনিধিত্ব করে। এটি দেখানো যেতে পারে যে ঝিল্লিটির যে কোনও নির্বিচারে জটিল কম্পন ঝিল্লিটির স্বাভাবিক মোডের সম্ভবত অসীম সিরিজে বিভক্ত হতে পারে। এটি একটি সময় সংকেতের ফুরিয়ার সিরিজে পচনের অনুরূপ। ড্রামগুলিতে কম্পন অধ্যয়নের ফলে গণিতবিদরা একটি ড্রাম আকৃতির শব্দ শোনা যায় কিনা তা নিয়ে একটি বিখ্যাত গাণিতিক সমস্যা উত্থাপন করেছিলেন, যার উত্তর 1992 সালে দ্বিমাত্রিক পরিবেশে দেওয়া হয়েছিল (এটি পারে না)। অনুপ্রেরণা কম্পিত ড্রাম মাথার সমস্যা বিশ্লেষণ করে ড্রাম এবং তিম্পানির মতো পারকাশন যন্ত্রগুলি ব্যাখ্যা করা হয়েছে। যাইহোক, কানের ড্রামের কাজে একটি জৈবিক প্রয়োগও রয়েছে। শিক্ষামূলক দৃষ্টিকোণ থেকে একটি দ্বি-মাত্রিক বস্তুর মোডগুলি মোড, নোড, অ্যান্টিনোড এবং এমনকি কোয়ান্টাম সংখ্যার অর্থ দৃশ্যমানভাবে প্রদর্শনের একটি সুবিধাজনক উপায়। এই ধারণাগুলি পরমাণুর গঠন বোঝার জন্য গুরুত্বপূর্ণ। সমস্যাটি মূলকে কেন্দ্র করে ব্যাসার্ধের একটি খোলা ডিস্ক বিবেচনা করুন, যা "স্থির" ড্রাম মাথার আকারকে উপস্থাপন করবে। যে কোনও সময়ে "স্থির" ড্রাম মাথার আকৃতি থেকে পরিমাপ করা একটি বিন্দুতে ড্রাম মাথার আকৃতির উচ্চতা চিহ্নিত করা হবে যার দ্বারা ইতিবাচক এবং নেতিবাচক উভয় মানই নেওয়া যেতে পারে। এর সীমানা নির্দেশ করা যাক, উৎপত্তিস্থলে কেন্দ্রিক ব্যাসার্ধের বৃত্ত, যা ড্রাম হেড সংযুক্ত থাকা অনমনীয় ফ্রেমকে উপস্থাপন করে। যে গাণিতিক সমীকরণটি ড্রাম হেডের কম্পনকে নিয়ন্ত্রণ করে তা হল শূন্য সীমানা শর্ত সহ তরঙ্গ সমীকরণ, এর বৃত্তাকার জ্যামিতির কারণে, নলাকার স্থানাঙ্ক ব্যবহার করা সুবিধাজনক হবে, তারপর, উপরের সমীকরণগুলি এইভাবে লেখা হয় এখানে, একটি ধনাত্মক ধ্রুবক, যা দেয় যে ঝিল্লিতে আড়াআড়ি কম্পন তরঙ্গগুলি যে গতিতে ছড়িয়ে পড়ে। ভৌত পরামিতিগুলির পরিপ্রেক্ষিতে, তরঙ্গের গতি, সি, যেখানে দ্বারা দেওয়া হয়, ঝিল্লির সীমানায় রেডিয়াল ঝিল্লি ফলস্বরূপ (), ঝিল্লির পুরুত্ব, এবং ঝিল্লির ঘনত্ব। যদি ঝিল্লিটির অভিন্ন টান থাকে, তবে একটি নির্দিষ্ট ব্যাসার্ধে অভিন্ন টান বল লেখা যেতে পারে যেখানে আজিমুথাল দিকে ঝিল্লিটির ফলাফল হয়। অক্ষসমমিতির ক্ষেত্রে আমরা প্রথমে একটি বৃত্তাকার ড্রাম হেডের কম্পনের সম্ভাব্য পদ্ধতিগুলি অধ্যয়ন করব যা অক্ষসমমিতিযুক্ত। তারপর, ফাংশনটি কোণের উপর নির্ভর করে না এবং তরঙ্গ সমীকরণটি সরল হয়ে যায়। আমরা পৃথক চলকগুলিতে সমাধান খুঁজব, উপরের সমীকরণে এটি প্রতিস্থাপন করে এবং উভয় পক্ষকে ফলন দ্বারা ভাগ করব। এই সমতার বাম দিকটি নির্ভর করে না এবং ডান দিকটি এর উপর নির্ভর করে না যে উভয় পক্ষকে অবশ্যই কিছু ধ্রুবকের সমান হতে হবে। শারীরিকভাবে এটি আশা করা হয় যে একটি কম্পিত ড্রাম হেডের সমস্যার সমাধান সময়ের সাথে সাথে দোলক হবে, এবং এটি শুধুমাত্র তৃতীয় কেসটি ছেড়ে দেয়, তাই আমরা সুবিধার জন্য বেছে নিই। তারপর, সাইন এবং কোসাইন ফাংশনের একটি রৈখিক সংমিশ্রণ, এই পর্যবেক্ষণের সাথে সমীকরণের দিকে ফিরে যাওয়া যে এই দ্বিতীয়-ক্রমের ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সমস্ত সমাধান 0 ক্রমের বেসেল ফাংশনের একটি রৈখিক সংমিশ্রণ, যেহেতু এটি বেসেলের ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের একটি বিশেষ ক্ষেত্রেঃ বেসেল ফাংশন সীমাহীন যার ফলস্বরূপ কম্পিত ড্রাম হেড সমস্যার একটি অ-শারীরিক সমাধান হয়, তাই ধ্রুবকটি অবশ্যই শূন্য হতে হবে। আমরা অনুমান করব যে অন্যথায় এই ধ্রুবকটি পরে ধ্রুবকগুলির মধ্যে শোষিত হতে পারে এবং এটি থেকে আসতে পারে এটি অনুসরণ করে যে ড্রামের মাথার সীমানায় উচ্চতা শূন্য হওয়ার প্রয়োজনীয়তা এই অবস্থার ফলস্বরূপ বেসেল ফাংশনের অসীম সংখ্যক ধনাত্মক মূল রয়েছে, তাই আমরা তা পাই। আমরা পৃথক চলকগুলিতে একটি সমাধান ধরে নিই, এটিকে তরঙ্গ সমীকরণে প্রতিস্থাপন করে এবং চলকগুলিকে পৃথক করে, যেখানে একটি ধ্রুবক। আগের মতোই, এর সমীকরণ থেকে আমরা যে সমীকরণটি পাই তার সাথে এবং থেকে, উভয় পক্ষকে চলক দ্বারা গুণ করে এবং পৃথক করে, যে এবং কিছু ধ্রুবকের জন্য, যেহেতু পর্যায়ক্রমিক, পিরিয়ড একটি কৌণিক চলক হওয়ার সাথে, এটি অনুসরণ করে যেখানে এবং এবং কিছু ধ্রুবক। এর অর্থ হল এর সমাধানের জন্য সমীকরণে ফিরে যাওয়া বেসেল ফাংশনের একটি রৈখিক সংমিশ্রণ এবং পূর্ববর্তী বিভাগের মতো একই যুক্তির সাথে, আমরা এর-তম ধনাত্মক মূলের সাথে যেখানে পৌঁছেছি আমরা দেখিয়েছি যে কম্পনকারী ড্রাম হেড সমস্যার পৃথক ভেরিয়েবলের সমস্ত সমাধান বিভিন্ন কম্পন মোডের অ্যানিমেশনের আকারে রয়েছে বেশ কয়েকটি মোড তাদের কোয়ান্টাম সংখ্যার সাথে একসাথে নীচে দেখানো হয়েছে। হাইড্রোজেন পরমাণুর অনুরূপ তরঙ্গ ক্রিয়াকলাপগুলির পাশাপাশি সংশ্লিষ্ট কৌণিক ফ্রিকোয়েন্সিগুলিও নির্দেশিত হয়। এর মানগুলি হল বেসেল ফাংশনের মূল। এটি সীমানা শর্ত থেকে অনুমান করা হয় যা ফলন দেয়। স্কাইপি লাইব্রেরির সাথে নিম্নলিখিত পাইথন কোড ব্যবহার করে এর আরও মান সহজেই গণনা করা যেতে পারেঃ স্কাইপি ইম্পোর্ট স্পেশাল থেকে যেমন বেসেল ফাংশনের এস. সি. এম = 0 #ক্রম (অর্থাৎ। বৃত্তাকার ঝিল্লির জন্য কৌণিক মোড) nz = 3 #মূলের কাঙ্ক্ষিত সংখ্যা α _ mn = sc.jn_zeros (m, nz) #Jm-এর আউটপুট nz শূন্য এছাড়াও দেখুন কম্পনকারী স্ট্রিং, এক-মাত্রিক কেস চ্লাদনি প্যাটার্ন, একটি সম্পর্কিত ঘটনার প্রাথমিক বিবরণ, বিশেষত বাদ্যযন্ত্রের সাথে; এছাড়াও দেখুন সাইম্যাটিক্স ড্রামের আকৃতি শোনা, ঝিল্লির আকারের সাথে মোডগুলি চিহ্নিত করা পারমাণবিক অরবিটাল, একটি সম্পর্কিত কোয়ান্টাম-যান্ত্রিক এবং ত্রিমাত্রিক সমস্যা রেফারেন্স আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ যান্ত্রিক কম্পন ড্রামিং