Gas in a harmonic trap
কোয়ান্টাম সুরেলা দোলকের ফলাফলগুলি একটি সুরেলা ফাঁদে একটি কোয়ান্টাম আদর্শ গ্যাসের ভারসাম্য পরিস্থিতি দেখার জন্য ব্যবহার করা যেতে পারে, যা একটি সুরেলা সম্ভাব্যতা যা প্রচুর সংখ্যক কণা ধারণ করে যা তাৎক্ষণিক তাপীয় সংঘর্ষ ব্যতীত একে অপরের সাথে যোগাযোগ করে না। এই পরিস্থিতিটি অত্যন্ত ব্যবহারিক গুরুত্ব বহন করে কারণ বোস গ্যাসগুলির অনেক পরীক্ষামূলক গবেষণা এই ধরনের সুরেলা ফাঁদে পরিচালিত হয়। ম্যাক্সওয়েল-বোল্টজম্যান পরিসংখ্যান, বোস-আইনস্টাইন পরিসংখ্যান বা ফার্মি-ডিরাক পরিসংখ্যান থেকে প্রাপ্ত ফলাফলগুলি ব্যবহার করে আমরা থমাস-ফার্মি আনুমানিক (একটি বাক্সে গ্যাস) ব্যবহার করি এবং একটি খুব বড় ফাঁদের সীমাতে যাই এবং শক্তির অবস্থার অবক্ষয়কে () একটি ডিফারেনশিয়াল হিসাবে এবং ইন্টিগ্রাল হিসাবে অবস্থার উপর যোগফল প্রকাশ করি। তারপরে আমরা পার্টিশন ফাংশন বা গ্র্যান্ড পার্টিশন ফাংশন ব্যবহার করে গ্যাসের তাপগতিবিদ্যার বৈশিষ্ট্যগুলি গণনা করার অবস্থানে থাকব। শুধুমাত্র বিশাল কণাগুলির ক্ষেত্রে বিবেচনা করা হবে, যদিও ফলাফলগুলি ভরহীন কণাগুলিতেও প্রসারিত করা যেতে পারে, যেমন একটি বাক্সে আদর্শ গ্যাসের ক্ষেত্রে করা হয়েছিল। আরও সম্পূর্ণ গণনা পৃথক নিবন্ধের জন্য ছেড়ে দেওয়া হবে, তবে কিছু সহজ উদাহরণ এই নিবন্ধে দেওয়া হবে। অবস্থার অবক্ষয়ের জন্য থমাস-ফার্মি আনুমানিক একটি সুরেলা কূপের বিশাল কণাগুলির জন্য, কণার অবস্থা কোয়ান্টাম সংখ্যার একটি সেট দ্বারা গণনা করা হয়। একটি নির্দিষ্ট অবস্থার শক্তি দেওয়া হয়ঃ ধরুন কোয়ান্টাম সংখ্যার প্রতিটি সেট এমন অবস্থা নির্দিষ্ট করে যেখানে সংঘর্ষের মাধ্যমে পরিবর্তন করা যেতে পারে এমন কণার অভ্যন্তরীণ ডিগ্রি অফ ফ্রিডমের সংখ্যা। উদাহরণস্বরূপ, একটি ঘূর্ণন-1/2 কণার প্রতিটি ঘূর্ণন অবস্থার জন্য একটি করে কণা থাকবে। আমরা একটি কণার প্রতিটি সম্ভাব্য অবস্থাকে ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার একটি ত্রিমাত্রিক গ্রিডের একটি বিন্দু হিসাবে ভাবতে পারি। থমাস-ফার্মি অনুমান অনুমান করে যে কোয়ান্টাম সংখ্যাগুলি এত বড় যে সেগুলিকে একটি ধারাবাহিকতা হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে। এর বড় মানের জন্য, আমরা উপরের সমীকরণ থেকে কম বা সমান শক্তি সহ অবস্থার সংখ্যা অনুমান করতে পারিঃ যা শক্তি সমীকরণ এবং ধনাত্মক অষ্টকের সীমানা সমতল দ্বারা বর্ণিত সমতল দ্বারা গঠিত টেট্রাহেড্রনের আয়তনের মাত্র গুণ। এবং এর মধ্যে শক্তি সহ অবস্থার সংখ্যা তাইঃ লক্ষ্য করুন যে এই ধারাবাহিক আনুমানিক ব্যবহার করার সময়, আমরা নিম্ন-শক্তি অবস্থাগুলিকে চিহ্নিত করার ক্ষমতা হারিয়ে ফেলেছি, যার মধ্যে স্থল অবস্থাও রয়েছে। বেশিরভাগ ক্ষেত্রে এটি কোনও সমস্যা হবে না, তবে বোস-আইনস্টাইন ঘনীভবন বিবেচনা করার সময়, যেখানে গ্যাসের একটি বড় অংশ স্থল অবস্থায় বা তার কাছাকাছি থাকে, আমাদের কম শক্তির অবস্থা মোকাবেলা করার ক্ষমতা পুনরুদ্ধার করতে হবে। ধারাবাহিকতা অনুমান ব্যবহার না করে, শক্তি সহ কণাগুলির সংখ্যা নিম্নরূপঃ যেখানে বোস-আইনস্টাইনের পরিসংখ্যান মেনে চলা কণাগুলির জন্য ম্যাক্সওয়েল-বোল্টজম্যান পরিসংখ্যান।-। মেনে চলা কণাগুলির জন্য।-। ফার্মি-ডিরাক পরিসংখ্যান।। মেনে চলা কণাগুলির জন্য, বোল্টজম্যান ধ্রুবক সহ, তাপমাত্রা এবং রাসায়নিক সম্ভাব্যতা। কন্টিনিউয়াম এপ্রোক্সিমেশন ব্যবহার করে, এবং এবং এর মধ্যে শক্তি সহ কণাগুলির সংখ্যা এখন লেখা হয়েছেঃ শক্তি বিতরণ ফাংশন আমরা এখন "একটি সুরেলা ফাঁদে গ্যাস"-এর জন্য কিছু বিতরণ ফাংশন নির্ধারণ করার অবস্থানে রয়েছি। যে কোনও চলকের জন্য বন্টন ফাংশন হল এবং কণার ভগ্নাংশের সমান যার এবং এর মধ্যে মান রয়েছেঃ এটি নিম্নরূপঃ এই সম্পর্কগুলি ব্যবহার করে আমরা শক্তি বন্টন ফাংশন পাইঃ নির্দিষ্ট উদাহরণ নিম্নলিখিত বিভাগগুলি কিছু নির্দিষ্ট ক্ষেত্রে ফলাফলের একটি উদাহরণ দেয়। বিশাল ম্যাক্সওয়েল-বোল্টজম্যান কণা এই ক্ষেত্রেঃ শক্তি বিতরণ ফাংশনকে সংহত করা এবং এর জন্য সমাধান করাঃ মূল শক্তি বিতরণ ফাংশনে প্রতিস্থাপিত করলে পাওয়া যায়ঃ বিশাল বোস-আইনস্টাইন কণা এই ক্ষেত্রেঃ যেখানে সংজ্ঞায়িত করা হয়ঃ শক্তি বিতরণ ফাংশনকে সংহত করা এবং এর জন্য সমাধান করাঃ পলিলোগারিদম ফাংশন কোথায়। পলিলোগারিদম শব্দটি অবশ্যই সর্বদা ধনাত্মক এবং বাস্তব হতে হবে, যার অর্থ এর মান 0 থেকে 1 পর্যন্ত যাবে। তাপমাত্রা শূন্যের দিকে যাওয়ার সাথে সাথে বৃহত্তর এবং বৃহত্তর হয়ে উঠবে, যতক্ষণ না অবশেষে একটি সমালোচনামূলক মান পৌঁছাবে, যেখানে এবং যে তাপমাত্রায় একটি বোস-আইনস্টাইন ঘনীভূত গঠন শুরু হয় সেই সমালোচনামূলক তাপমাত্রা। সমস্যাটি হল, উপরে উল্লিখিত হিসাবে, ধারাবাহিক অনুমানের ক্ষেত্রে স্থল অবস্থাকে উপেক্ষা করা হয়েছে। দেখা যাচ্ছে যে উপরের অভিব্যক্তিটি উত্তেজিত অবস্থায় বোসোনের সংখ্যাকে ভালভাবে প্রকাশ করে এবং তাই আমরা লিখতে পারিঃ যেখানে যোগ করা শব্দটি স্থল অবস্থায় কণাগুলির সংখ্যা। (স্থল অবস্থার শক্তিকে উপেক্ষা করা হয়েছে।) এই সমীকরণটি শূন্য তাপমাত্রা পর্যন্ত ধরে রাখবে। আদর্শ বোস গ্যাস সম্পর্কিত নিবন্ধে আরও ফলাফল পাওয়া যাবে। বিশাল ফারমি-ডিরাক কণা (যেমন। একটি ধাতুতে ইলেকট্রন) এই ক্ষেত্রেঃ শক্তি বন্টন ফাংশনকে একীভূত করলে পাওয়া যায়ঃ যেখানে আবার, পলিলোগারিদম ফাংশন। আদর্শ ফার্মি গ্যাস সম্পর্কিত নিবন্ধে আরও ফলাফল পাওয়া যাবে। তথ্যসূত্র হুয়াং, কারসন, "স্ট্যাটিস্টিক্যাল মেকানিক্স", জন উইলি অ্যান্ড সন্স, নিউ ইয়র্ক, 1967 এ. ইসিহারা, "স্ট্যাটিস্টিক্যাল ফিজিক্স", অ্যাকাডেমিক প্রেস, নিউ ইয়র্ক, 1971 এল. ডি. ল্যান্ডাউ এবং ই. এম. লাইফশিটজ, "স্ট্যাটিস্টিক্যাল ফিজিক্স, তৃতীয় সংস্করণ পার্ট 1", বাটারওয়ার্থ-হাইনম্যান, অক্সফোর্ড, 1996 সি. জে. পেথিক এবং এইচ. স্মিথ, "বোস-আইনস্টাইন কনডেন্সেশন ইন ডিলুট গ্যাসেস", কেমব্রিজ ইউনিভার্সিটি প্রেস, কেমব্রিজ, 2004 স্ট্যাটিস্টিক্যাল মেকানিক্স