Spin structure
ডিফারেনশিয়াল জ্যামিতিতে, একটি ওরিয়েন্টেবল রিম্যানিয়ান ম্যানিফোল্ডের উপর একটি ঘূর্ণন কাঠামো সংশ্লিষ্ট স্পিনোর বান্ডিলগুলিকে সংজ্ঞায়িত করার অনুমতি দেয়, যা ডিফারেনশিয়াল জ্যামিতিতে স্পিনোর ধারণার জন্ম দেয়। গাণিতিক পদার্থবিজ্ঞানে স্পিন কাঠামোর ব্যাপক প্রয়োগ রয়েছে, বিশেষত কোয়ান্টাম ক্ষেত্র তত্ত্বের ক্ষেত্রে যেখানে তারা চার্জবিহীন ফার্মিয়ন সহ যে কোনও তত্ত্বের সংজ্ঞায় একটি অপরিহার্য উপাদান। ডিফারেনশিয়াল জ্যামিতি, বীজগাণিতিক টপোলজি এবং কে তত্ত্বের ক্ষেত্রেও এগুলির বিশুদ্ধ গাণিতিক আগ্রহ রয়েছে। এগুলি ঘূর্ণন জ্যামিতির ভিত্তি গঠন করে। জ্যামিতি এবং ক্ষেত্র তত্ত্বে, গণিতবিদরা জিজ্ঞাসা করেন যে প্রদত্ত ভিত্তিক রিমানিয়ান ম্যানিফোল্ড (এম, জি) স্পিনোর গ্রহণ করে কিনা। এই সমস্যা মোকাবেলার একটি পদ্ধতি হল এম-এর একটি ঘূর্ণন কাঠামো থাকা প্রয়োজন। এটি সবসময় সম্ভব হয় না কারণ স্পিন কাঠামোর অস্তিত্বে সম্ভাব্য একটি টপোলজিক্যাল বাধা রয়েছে। স্পিন কাঠামো বিদ্যমান থাকবে যদি এবং শুধুমাত্র যদি এম এর দ্বিতীয় স্টিফেল-হুইটনি শ্রেণী ডাব্লু 2 (এম) এইচ 2 (এম, জেড 2) অদৃশ্য হয়ে যায়। উপরন্তু, যদি ডাব্লু2 (এম) = 0 হয়, তবে এম-এর উপর ঘূর্ণন কাঠামোর আইসোমরফিজম শ্রেণীর সেটটি এইচ1 (এম, জেড2) দ্বারা অবাধে এবং ক্ষণস্থায়ীভাবে কাজ করে। যেহেতু ম্যানিফোল্ড এম-কে ওরিয়েন্টেড বলে মনে করা হয়, এম-এর প্রথম স্টিফেল-হুইটনি ক্লাস ডাব্লু1 (এম) এইচ1 (এম, জেড2) ও অদৃশ্য হয়ে যায়। (একটি ম্যানিফোল্ড এম-এর স্টিফেল-হুইটনি শ্রেণীগুলি ওয়াই (এম) bul হাই (এম, জেড2) এর স্পর্শক বান্ডিল টিএম-এর স্টিফেল-হুইটনি শ্রেণী হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়।) স্পিনারের বান্ডিল πS: S → M উপর M তারপর সংশ্লিষ্ট প্রধান বান্ডিলের সাথে যুক্ত জটিল ভেক্টর বান্ডিল πP: P → M উপর স্পিন ফ্রেম এবং স্পিনারের জায়গায় তার কাঠামো গ্রুপ স্পিন (এন) এর স্পিন উপস্থাপনা। এম-এর উপর প্রদত্ত ঘূর্ণন কাঠামোর জন্য বান্ডিল এস-কে স্পিনোর বান্ডিল বলা হয়। ফাইবার বান্ডিলের ধারণা চালু হওয়ার পরেই ম্যানিফোল্ডের উপর ঘূর্ণন কাঠামোর একটি সুনির্দিষ্ট সংজ্ঞা সম্ভব হয়েছিল; আন্দ্রে হেফলিগার (1956) একটি ওরিয়েন্টেবল রিম্যানিয়ান ম্যানিফোল্ডের উপর একটি ঘূর্ণন কাঠামোর অস্তিত্বের জন্য টপোলজিক্যাল বাধা খুঁজে পেয়েছিলেন এবং ম্যাক্স কারোবি (1968) এই ফলাফলটিকে অ-ওরিয়েন্টেবল সিউডো-রিম্যানিয়ান ক্ষেত্রে প্রসারিত করেছিলেন। রিমানিয়ান ম্যানিফোল্ডের উপর স্পিন কাঠামো সংজ্ঞা একটি ওরিয়েন্টেড ভেক্টর বান্ডিল সহ একটি ওরিয়েন্টেবল রিমানিয়ান ম্যানিফোল্ডের উপর একটি স্পিন কাঠামো হল ডবল কভারের সাপেক্ষে অর্থোনর্মাল ফ্রেম বান্ডিলের একটি সমতুল্য উত্তোলন। অন্য কথায়, একটি জোড়া হল SO (n)-প্রধান বান্ডিলের উপর একটি ঘূর্ণন কাঠামো যখন a) একটি প্রধান ঘূর্ণন (n)-বান্ডিল, এবং b) একটি সমতুল্য 2-ভাঁজ আচ্ছাদন মানচিত্র যেমন এবং সকলের জন্য এবং। দুটি ঘূর্ণন কাঠামো এবং একই অভিমুখী রিম্যানিয়ান ম্যানিফোল্ডকে "সমতুল্য" বলা হয় যদি একটি স্পিন (এন)-সমতুল্য মানচিত্র বিদ্যমান থাকে যেমন এবং সকলের জন্য এবং। এই ক্ষেত্রে এবং দুটি সমতুল্য ডাবল আবরণ রয়েছে। প্রধান বান্ডিলের উপর স্পিন কাঠামো হিসাবে স্পিন কাঠামোর সংজ্ঞা আন্দ্রে হেফ্লিগারের (1956) কারণে। হেফলাইগার একটি ওরিয়েন্টেড রিমানিয়ান ম্যানিফোল্ডের (এম, জি) উপর একটি ঘূর্ণন কাঠামোর অস্তিত্বের জন্য প্রয়োজনীয় এবং পর্যাপ্ত শর্ত খুঁজে পেয়েছেন। একটি ঘূর্ণন কাঠামো থাকার বাধা হল H2 (M, Z2)-এর একটি নির্দিষ্ট উপাদান [k]। একটি ঘূর্ণন কাঠামোর জন্য শ্রেণী [কে] হল এম-এর দ্বিতীয় স্টিফেল-হুইটনি শ্রেণী ডাব্লু 2 (এম) ω এইচ 2 (এম, জেড 2)। অতএব, একটি ঘূর্ণন কাঠামো বিদ্যমান থাকে যদি এবং শুধুমাত্র যদি এম-এর দ্বিতীয় স্টিফেল-হুইটনি শ্রেণী ডাব্লু 2 (এম) ω এইচ 2 (এম, জেড 2) অদৃশ্য হয়ে যায়। ভেক্টর বান্ডিলের উপর স্পিন কাঠামো ধরা যাক এম একটি প্যারাকম্প্যাক্ট টপোলজিকাল ম্যানিফোল্ড এবং ই একটি ফাইবার মেট্রিক দিয়ে সজ্জিত এন মাত্রার এম-এর উপর একটি ওরিয়েন্টেড ভেক্টর বান্ডিল। এর অর্থ হল, এম-এর প্রতিটি বিন্দুতে, ই-এর তন্তু একটি অভ্যন্তরীণ পণ্য স্থান। ই-এর একটি স্পিনোর বান্ডিল হল এম-এর প্রতিটি বিন্দুর সাথে একটি স্পিন উপস্থাপনাকে ধারাবাহিকভাবে সংযুক্ত করার জন্য একটি প্রেসক্রিপশন। এটি করতে সক্ষম হওয়ার জন্য টপোলজিকাল বাধা রয়েছে এবং ফলস্বরূপ, একটি প্রদত্ত বান্ডিল ই কোনও স্পিনোর বান্ডিল গ্রহণ করতে পারে না। যদি তা হয়, কেউ বলে যে বান্ডিল ই স্পিন। প্রধান বান্ডিলের ভাষার মাধ্যমে এটি কঠোর করা যেতে পারে। ভেক্টর বান্ডিলের ওরিয়েন্টেড অর্থোনরমাল ফ্রেমগুলির সংগ্রহ একটি ফ্রেম বান্ডিল পিএসও (ই) গঠন করে, যা বিশেষ অর্থোগোনাল গ্রুপ এসও (এন) এর ক্রিয়ার অধীনে একটি প্রধান বান্ডিল। পি. এস. ও (ই)-এর জন্য একটি স্পিন কাঠামো হল স্পিন গ্রুপ স্পিন (এন)-এর ক্রিয়ার অধীনে পি. এস. ও (ই)-কে একটি প্রধান বান্ডিল পি. এস. পিনে (ই) নিয়ে যাওয়া, যার দ্বারা আমরা বোঝাতে চাইছি যে একটি বান্ডিল মানচিত্র রয়েছেঃ পি. এস. পিন (ই) → পি. এস. ও (ই) যাতে, সকলের জন্য এবং, যেখানে স্পিন গ্রুপকে এস. ও (এন)-এর ডাবল-কভার হিসাবে উপস্থাপন করা গ্রুপগুলির ম্যাপিং রয়েছে। বিশেষ ক্ষেত্রে যেখানে E হল বেস ম্যানিফোল্ড M-এর উপর স্পর্শক বান্ডিল TM, যদি একটি ঘূর্ণন কাঠামো বিদ্যমান থাকে তবে কেউ বলে যে M একটি ঘূর্ণন ম্যানিফোল্ড। সমতুল্যভাবে এম হল ঘূর্ণন, যদি এম-এর স্পর্শক তন্তুর অর্থোনর্মাল ক্ষারের এস. ও (এন) প্রধান বান্ডিলটি একটি প্রধান ঘূর্ণন বান্ডিলের জেড2 ভাগফল হয়। যদি ম্যানিফোল্ডের একটি কোষ পচন বা একটি ত্রিভুজ থাকে, তবে একটি ঘূর্ণন কাঠামোকে সমতুল্যভাবে 2-কঙ্কালের উপর প্রসারিত 1-কঙ্কালের উপর স্পর্শক বান্ডিলের তুচ্ছকরণের সমস্থানিক-শ্রেণী হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে। যদি মাত্রাটি 3-এর চেয়ে কম হয়, তবে প্রথমে একটি তুচ্ছ লাইন বান্ডিল সহ একটি হুইটনি যোগফল নেওয়া হয়। বাধা এবং শ্রেণিবিন্যাস একটি অভিমুখী ভেক্টর বান্ডিলের জন্য একটি ঘূর্ণন কাঠামো বিদ্যমান থাকে যদি এবং শুধুমাত্র যদি দ্বিতীয় স্টিফেল-হুইটনি শ্রেণীটি অদৃশ্য হয়ে যায়। এটি আরমান্ড বোরেল এবং ফ্রেডরিক হিরজেব্রুচের ফল। উপরন্তু, স্পিন ক্ষেত্রে, স্পিন কাঠামোর সংখ্যা বাইজেকশনে থাকে। এই ফলাফলগুলি সহজেই প্রমাণিত করা যেতে পারে pg 110-111 সংশ্লিষ্ট প্রধান-বান্ডিলের জন্য একটি বর্ণালী ক্রম যুক্তি ব্যবহার করে। লক্ষ্য করুন এটি একটি ফাইব্রেশন দেয় যাতে সের বর্ণালী ক্রম প্রয়োগ করা যেতে পারে। বর্ণালী সিকোয়েন্সের সাধারণ তত্ত্ব থেকে, একটি সঠিক ক্রম রয়েছে যেখানে উপরন্তু, এবং কিছু পরিস্রাবণের জন্য, তাই আমরা একটি মানচিত্র পাই যা একটি সঠিক ক্রম দেয় এখন, একটি ঘূর্ণন কাঠামো ঠিক একটি বিনিময়যোগ্য রেখাচিত্রে ফিট করার একটি দ্বৈত আচ্ছাদন যেখানে দুটি বাম উল্লম্ব মানচিত্র দ্বৈত আচ্ছাদন মানচিত্র। এখন, এর দ্বৈত আবরণগুলি সূচক উপগোষ্ঠীর সাথে বাইজেক্শনে রয়েছে, যা গ্রুপ মরফিজমের সেটের সাথে বাইজেক্শনে রয়েছে। কিন্তু, হিউরিউইজ উপপাদ্য এবং সহগের পরিবর্তন থেকে, এটি ঠিক কোহোমোলজি গ্রুপ। একই যুক্তি প্রয়োগ করে, অ-তুচ্ছ আচ্ছাদনটি অনুরূপ, এবং মানচিত্রটি ঠিক দ্বিতীয় স্টিফেল-হুইটনি শ্রেণীর, তাই। যদি এটি অদৃশ্য হয়ে যায়, তবে মানচিত্রের নীচে বিপরীত চিত্রটি ঘূর্ণন কাঠামো প্রদানকারী দ্বৈত আবরণের সেট। এখন, এর এই উপসেটটি চিহ্নিত করা যেতে পারে, এই পরবর্তী কোহোমোলজি গ্রুপটি ভেক্টর বান্ডিলের বিভিন্ন স্পিন কাঠামোকে শ্রেণীবদ্ধ করে। এটি ফাইব্রেশনের হোমোটপি গ্রুপের দীর্ঘ সঠিক ক্রম দেখে এবং প্রয়োগ করে, কোহোমোলজি গ্রুপের ক্রম দিয়ে করা যেতে পারে, কারণ কার্নেলটি এবং কার্নেলের সাথে বাইজেকশনে বিপরীত চিত্রটি, আমাদের কাঙ্ক্ষিত ফলাফল রয়েছে। শ্রেণিবিন্যাসের উপর মন্তব্য যখন ঘূর্ণন কাঠামো বিদ্যমান থাকে, তখন একটি বহুবর্ণের অসম ঘূর্ণন কাঠামোর এইচ1 (এম, জেড2)-এর উপাদানগুলির সাথে এক-থেকে-এক যোগাযোগ (ক্যানোনিকাল নয়) থাকে, যা সর্বজনীন সহগ উপপাদ্য অনুসারে এইচ1 (এম, জেড2)-এর সমরূপ। আরও সুনির্দিষ্টভাবে বলতে গেলে, ঘূর্ণন কাঠামোর সমরূপতা শ্রেণীর স্থান হল এইচ1 (এম, জেড2)-এর উপর একটি অ্যাফিন স্থান। স্বজ্ঞাতভাবে, এম-এর প্রতিটি অ-তুচ্ছ চক্রের জন্য একটি ঘূর্ণন কাঠামো একটি বাইনারি পছন্দের সাথে মিলে যায় যে কোনও লুপটি ঘিরে ফেললে এস. ও (এন) বান্ডিলের একটি অংশ শীটগুলি স্যুইচ করে কিনা। যদি ডাব্লু 2 অদৃশ্য হয়ে যায় তবে এই পছন্দগুলি দুই-কঙ্কালের উপর প্রসারিত হতে পারে, তারপরে (বাধা তত্ত্ব দ্বারা) এগুলি স্বয়ংক্রিয়ভাবে সমস্ত এম-এর উপর প্রসারিত হতে পারে। কণা পদার্থবিজ্ঞানে এটি প্রতিটি লুপের চারপাশে চলা ফার্মিওনের জন্য পর্যায়ক্রমিক বা অ্যান্টিপেরিয়ডিক সীমানা অবস্থার একটি পছন্দের সাথে মিলে যায়। লক্ষ্য করুন যে একটি জটিল বহুগুণে দ্বিতীয় স্টিফেল-হুইটনি শ্রেণীকে প্রথম চেরন শ্রেণী হিসাবে গণনা করা যেতে পারে। উদাহরণ একটি প্রজাতি জি রিম্যান পৃষ্ঠ 22 গ্রাম অসম ঘূর্ণন কাঠামো স্বীকার করে; থিটা বৈশিষ্ট্য দেখুন। যদি H2 (M, Z2) অদৃশ্য হয়ে যায়, M হল ঘূর্ণন। উদাহরণস্বরূপ, এস. এন হল সকলের জন্য স্পিন। (লক্ষ্য করুন যে এস2-ও ঘুরছে, কিন্তু বিভিন্ন কারণে; নীচে দেখুন।) জটিল প্রজেক্টিভ সমতল সিপি2 ঘূর্ণায়মান নয়। আরও সাধারণভাবে, সমস্ত জোড়-মাত্রিক জটিল প্রজেক্টিভ স্পেস CP2n স্পিন হয় না। সমস্ত বিজোড়-মাত্রিক জটিল প্রজেক্টিভ স্পেস CP2n + 1 স্পিন। 3 বা তার কম মাত্রার সমস্ত কম্প্যাক্ট, ওরিয়েন্টেবল ম্যানিফোল্ডগুলি স্পিন। সমস্ত ক্যালাবি-ইউ ম্যানিফোল্ডগুলি স্পিন। বৈশিষ্ট্য একটি স্পিন ম্যানিফোল্ডের গণ একটি পূর্ণসংখ্যা, এবং একটি জোড় পূর্ণসংখ্যা যদি অতিরিক্ত মাত্রা 4 মড 8 হয়। সাধারণভাবে গণটি একটি যুক্তিসঙ্গত অপরিবর্তনীয়, যে কোনও বহুগুণের জন্য সংজ্ঞায়িত, তবে এটি সাধারণভাবে একটি পূর্ণসংখ্যা নয়। এটি মূলত হিরজেব্রুচ এবং বোরেল দ্বারা প্রমাণিত হয়েছিল এবং আতিয়া-সিঙ্গার সূচক উপপাদ্য দ্বারা প্রমাণিত হতে পারে, একটি ডিরাক অপারেটরের সূচক হিসাবে গণকে উপলব্ধি করে-একটি ডিরাক অপারেটর একটি দ্বিতীয় ক্রম অপারেটরের একটি বর্গমূল, এবং স্পিন কাঠামোটি একটি "বর্গমূল" হওয়ার কারণে বিদ্যমান। এটি সূচক উপপাদ্যের জন্য একটি অনুপ্রেরণামূলক উদাহরণ ছিল। স্পিনসি কাঠামো একটি স্পিনসি কাঠামো একটি ওরিয়েন্টেড রিম্যানিয়ান ম্যানিফোল্ডের উপর একটি স্পিন কাঠামোর অনুরূপ, তবে স্পিনসি গ্রুপ ব্যবহার করে, যা সঠিক ক্রম দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়। U (N)-এর কেন্দ্রটি অন্তর্ভুক্তি থেকে আসা তির্যক উপাদানগুলি নিয়ে গঠিত, অর্থাৎ, পরিচয়ের স্কেলার গুণিতক। সুতরাং একটি সমরূপতা রয়েছে এটি সর্বদা কার্নেলে উপাদান (−1, −1) থাকবে। ভাগফল মডুলো গ্রহণ করলে এই উপাদানটি স্পিনসি (এন) গ্রুপ দেয়। এটি বাঁকানো গুণফল যেখানে U (1) = SO (2) = S1। অন্য কথায়, স্পিনসি (এন) গ্রুপটি এস1 দ্বারা এসও (এন)-এর একটি কেন্দ্রীয় সম্প্রসারণ। অন্যভাবে দেখলে, স্পিনসি (এন) হল স্বাভাবিক জেড2-এর সাপেক্ষে প্রাপ্ত ভাগফল গ্রুপ যা যথাক্রমে বান্ডিলগুলির জন্য আচ্ছাদন রূপান্তরগুলির জোড়া দ্বারা উত্পন্ন হয়। এটি স্পিনসি গ্রুপকে ফাইবার স্পিন (এন) সহ বৃত্তের উপর একটি বান্ডিল এবং ফাইবার সহ এস. ও (এন) এর উপর একটি বান্ডিল উভয়ই একটি বৃত্ত করে তোলে। মৌলিক গ্রুপ π1 (স্পিনসি (এন)) হল Z-এর সমতুল্য যদি n ষ্ণ2 হয়, এবং Z ষ্ণ Z-এর সমতুল্য যদি n = 2 হয়। যদি ম্যানিফোল্ডের একটি কোষ পচন বা একটি ত্রিভুজ থাকে, তবে একটি স্পিনসি কাঠামোকে 3-কঙ্কালের উপর প্রসারিত 2-কঙ্কালের উপর জটিল কাঠামোর একটি সমস্থানিক শ্রেণী হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে। একইভাবে স্পিন কাঠামোর ক্ষেত্রে, যদি ম্যানিফোল্ডটি বিজোড়-মাত্রিক হয় তবে একটি তুচ্ছ লাইন বান্ডিল সহ একটি হুইটনি যোগফল নেওয়া হয়। আরেকটি সংজ্ঞা হল যে, একটি বহুগুণিত এন-এর উপর একটি স্পিনসি কাঠামো হল একটি জটিল লাইন বান্ডিল এল ওভার এন যার উপর একটি ঘূর্ণন কাঠামো রয়েছে। একটি স্পিনসি কাঠামো বিদ্যমান থাকে যখন বান্ডিলটি অভিমুখী হয় এবং বান্ডিল ই-এর দ্বিতীয় স্টিফেল-হুইটনি শ্রেণীটি মানচিত্রের ছবিতে থাকে (অন্য কথায়, তৃতীয় অবিচ্ছেদ্য স্টিফেল-হুইটনি শ্রেণীটি অদৃশ্য হয়ে যায়)। এই ক্ষেত্রে কেউ বলে যে ই হল স্পিনসি। স্বজ্ঞাতভাবে, লিফটটি যে কোনও প্রাপ্ত স্পিনসি বান্ডিলের ইউ (1) অংশের বর্গক্ষেত্রের চেরন শ্রেণীকে দেয়। হপফ এবং হিরজেব্রুচের একটি উপপাদ্য অনুসারে, বদ্ধ অভিমুখী 4-ম্যানিফোল্ডগুলি সর্বদা একটি স্পিনসি কাঠামো স্বীকার করে। শ্রেণীবিভাগ যখন একটি ম্যানিফোল্ড একটি স্পিনসি কাঠামো বহন করে, তখন স্পিনসি কাঠামোর সেট একটি অ্যাফাইন স্পেস গঠন করে। উপরন্তু, স্পিনসি কাঠামোর সেটের একটি মুক্ত ক্ষণস্থায়ী ক্রিয়া রয়েছে। সুতরাং, স্পিনসি-কাঠামো প্রাকৃতিক উপায়ে না হলেও এর উপাদানগুলির সাথে মিলে যায়। জ্যামিতিক ছবি এটির নিম্নলিখিত জ্যামিতিক ব্যাখ্যা রয়েছে, যা এডওয়ার্ড উইটেনের কারণে। স্পিনসি কাঠামোটি শূন্য না হলে এই বর্গমূলের বান্ডিলটির একটি অবিচ্ছেদ্য চেরন শ্রেণী থাকে, যার অর্থ এটি ট্রিপল ওভারল্যাপ শর্তে ব্যর্থ হয়। বিশেষত, একটি ত্রিমুখী ছেদস্থলে ট্রানজিশন ফাংশনের গুণফল সর্বদা একটির সমান হয় না, যেমনটি একটি প্রধান বান্ডিলের জন্য প্রয়োজন হয়। পরিবর্তে এটি কখনও কখনও-1 হয়। এই ব্যর্থতা অবরুদ্ধ স্পিন বান্ডিলের ট্রানজিশন ফাংশনের ট্রিপল প্রোডাক্টে অভিন্ন ব্যর্থতার মতো ঠিক একই ছেদগুলিতে ঘটে। অতএব, পূর্ণ স্পিন বান্ডিলের ট্রানজিশন ফাংশনের ট্রিপল প্রোডাক্ট, যা স্পিন এবং ইউ (1) উপাদান বান্ডিলের ট্রিপল প্রোডাক্টের প্রোডাক্ট, হয় বা তাই স্পিনসি বান্ডিল ট্রিপল ওভারল্যাপ শর্তকে সন্তুষ্ট করে এবং তাই এটি একটি বৈধ বান্ডিল। বিবরণ উপরের স্বজ্ঞাত জ্যামিতিক ছবিটিকে নিম্নরূপ দৃঢ় করা যেতে পারে। সংক্ষিপ্ত সঠিক ক্রমটি বিবেচনা করুন, যেখানে দ্বিতীয় তীরটি হল 2 দ্বারা গুণ এবং তৃতীয়টি হল হ্রাস মডুলো 2। এটি কোহোমোলজির উপর একটি দীর্ঘ সঠিক ক্রমকে প্ররোচিত করে, যেখানে দ্বিতীয় তীরটি 2 দ্বারা গুণ দ্বারা প্ররোচিত হয়, তৃতীয়টি সীমাবদ্ধতা মডুলো 2 দ্বারা প্ররোচিত হয় এবং চতুর্থটি হল সংশ্লিষ্ট বকস্টাইন সমরূপতা β। একটি স্পিন বান্ডিলের অস্তিত্বে বাধা হল এর একটি উপাদান ডাব্লু 2। এটি এই সত্যকে প্রতিফলিত করে যে কেউ সর্বদা একটি স্পিন বান্ডেলে স্থানীয়ভাবে একটি এস. ও (এন) বান্ডিল তুলতে পারে, তবে প্রত্যেক ট্রানজিশন ফাংশনের একটি জেড2 লিফট বেছে নিতে হবে, যা চিহ্নের একটি পছন্দ। যখন ট্রিপল ওভারল্যাপে এই তিনটি চিহ্নের গুণফল −1 হয় তখন উত্তোলন বিদ্যমান থাকে না, যা ডাব্লু 2 এর চেচ কোহোমোলজি চিত্র দেয়। এই বাধাটি বাতিল করার জন্য, একজন এই ঘূর্ণন বান্ডিলটিকে একই বাধা ডাব্লু 2 সহ একটি ইউ (1) বান্ডিল দিয়ে টেন্সার করে। লক্ষ্য করুন যে এটি বান্ডিল শব্দের অপব্যবহার, কারণ স্পিন বান্ডিল বা ইউ (1) বান্ডিল কোনওটিই ট্রিপল ওভারল্যাপ শর্তকে সন্তুষ্ট করে না এবং তাই এটি আসলে একটি বান্ডিলও নয়। একটি বৈধ ইউ (1) বান্ডিল তার চেরন শ্রেণী দ্বারা শ্রেণীবদ্ধ করা হয়, যা এইচ2 (এম, জেড)-এর একটি উপাদান। উপরের সঠিক ক্রমের প্রথম উপাদান দিয়ে এই শ্রেণীকে চিহ্নিত করুন। পরবর্তী তীরটি এই চেরন শ্রেণীকে দ্বিগুণ করে, এবং তাই বৈধ বান্ডিলগুলি দ্বিতীয়টির জোড় উপাদানগুলির সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ হবে, যেখানে বিজোড় উপাদানগুলি ট্রিপল ওভারল্যাপ শর্তে ব্যর্থ বান্ডিলগুলির সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ হবে। দ্বিতীয় এইচ2 (এম, জেড)-এর একটি উপাদান তীরের প্রতিচ্ছবিতে থাকার ব্যর্থতা দ্বারা বাধাটি শ্রেণীবদ্ধ করা হয়, যা, নির্ভুলতার দ্বারা, পরবর্তী তীরের নীচে এইচ2 (এম, জেড2)-এর চিত্র দ্বারা শ্রেণীবদ্ধ করা হয়। স্পিন বান্ডেলে সংশ্লিষ্ট বাধা বাতিল করতে, এই চিত্রটি ডাব্লু 2 হতে হবে। বিশেষত, যদি তীরের চিত্রে ডাব্লু 2 না থাকে, তবে ডাব্লু 2 এর সমান বাধা সহ কোনও ইউ (1) বান্ডিল বিদ্যমান নেই এবং তাই বাধা বাতিল করা যাবে না। সঠিকতা অনুসারে, ডাব্লু 2 পূর্ববর্তী তীরের প্রতিচ্ছবিতে কেবল তখনই থাকে যদি এটি পরবর্তী তীরের কার্নেলে থাকে, যা আমরা স্মরণ করি যে এটি বকস্টাইন সমরূপতা β। অর্থাৎ, বাধা বাতিল করার শর্তটি হল যেখানে আমরা এই সত্যটি ব্যবহার করেছি যে তৃতীয় অবিচ্ছেদ্য স্টিফেল-হুইটনি ক্লাস ডাব্লু 3 দ্বিতীয় স্টিফেল-হুইটনি ক্লাস ডাব্লু 2 এর বকস্টাইন (এটি ডাব্লু 3 এর সংজ্ঞা হিসাবে নেওয়া যেতে পারে)। স্টিফেল-হুইটনি শ্রেণীর ইন্টিগ্রাল লিফট এই যুক্তিটি আরও দেখায় যে দ্বিতীয় স্টিফেল-হুইটনি শ্রেণী শুধুমাত্র জেড2 কোহোমোলজির উপাদানকেই নয়, একটি উচ্চতর মাত্রায় ইন্টিগ্রাল কোহোমোলজিরও উপাদানগুলিকে সংজ্ঞায়িত করে। প্রকৃতপক্ষে এটি সমস্ত এমনকি স্টিফেল-হুইটনি শ্রেণীর ক্ষেত্রেও প্রযোজ্য। বিজোড় মাত্রায় ফলস্বরূপ শ্রেণীগুলির জন্য একটি বড় হাতের ডাব্লু ব্যবহার করা প্রচলিত, যাকে অবিচ্ছেদ্য স্টিফেল-হুইটনি শ্রেণী বলা হয় এবং তাদের ডিগ্রি দ্বারা লেবেল করা হয় (যা সর্বদা বিজোড়)। উদাহরণ 4 বা তার কম মাত্রার সমস্ত ওরিয়েন্টেড মসৃণ ম্যানিফোল্ডগুলি স্পিনসি। সমস্ত প্রায় জটিল ম্যানিফোল্ডগুলি স্পিনসি। সমস্ত স্পিন ম্যানিফোল্ডগুলি স্পিনসি। কণা পদার্থবিজ্ঞানে প্রয়োগ কণা পদার্থবিজ্ঞানে স্পিন-পরিসংখ্যান উপপাদ্যটি বোঝায় যে একটি চার্জবিহীন ফার্মিয়নের তরঙ্গ ক্রিয়া হল একটি এস. ও (এন) বান্ডিল ই-এর স্পিন লিফটের সাথে সম্পর্কিত ভেক্টর বান্ডিলের একটি অংশ। অতএব, ঘূর্ণন কাঠামোর পছন্দটি তরঙ্গ ক্রিয়া সংজ্ঞায়িত করার জন্য প্রয়োজনীয় তথ্যের অংশ, এবং প্রায়শই পার্টিশন ফাংশনে এই পছন্দগুলির উপর যোগফল করতে হয়। অনেক ভৌত তত্ত্বে ই হল স্পর্শক বান্ডিল, তবে স্ট্রিং তত্ত্বে ডি-ব্রেনের বিশ্ব ভলিউমের ফার্মিয়নগুলির জন্য এটি একটি স্বাভাবিক বান্ডিল। কোয়ান্টাম ক্ষেত্র তত্ত্বে চার্জযুক্ত স্পিনোরগুলি সম্পর্কিত স্পিন বান্ডিলগুলির বিভাগ এবং বিশেষত কোনও চার্জযুক্ত স্পিনোর এমন কোনও জায়গায় থাকতে পারে না যা স্পিন নয়। কিছু সুপারগ্র্যাভিটি তত্ত্বে একটি ব্যতিক্রম দেখা যায় যেখানে অতিরিক্ত মিথস্ক্রিয়া বোঝায় যে অন্যান্য ক্ষেত্রগুলি তৃতীয় স্টিফেল-হুইটনি শ্রেণীকে বাতিল করতে পারে। সুপারগ্র্যাভিটি এবং স্ট্রিং তত্ত্বে স্পিনরের গাণিতিক বিবরণ একটি বিশেষভাবে সূক্ষ্ম উন্মুক্ত সমস্যা, যা সম্প্রতি রেফারেন্সগুলিতে সম্বোধন করা হয়েছে। দেখা যাচ্ছে যে সুপারগ্র্যাভিটি এবং স্ট্রিং তত্ত্বের প্রয়োগের জন্য স্পিন কাঠামোর আদর্শ ধারণাটি খুব সীমাবদ্ধ এবং এই তত্ত্বগুলির গাণিতিক গঠনের জন্য স্পিনোরিয়াল কাঠামোর সঠিক ধারণাটি একটি "লিপস্কিটজ কাঠামো"। আরও দেখুন মেটাপ্লেক্টিক স্ট্রাকচার অর্থোনরমাল ফ্রেম বান্ডিল স্পিনোর রেফারেন্স আরও পড়া বাহ্যিক লিঙ্ক স্ভেন-এস দ্বারা স্পিন স্ট্রাকচারের উপর কিছু। গণিতের শিক্ষার্থীদের জন্য ওরিয়েন্টেশন এবং স্পিন স্ট্রাকচারের একটি সংক্ষিপ্ত ভূমিকা হল পোর্স্ট। রিম্যানিয়ান ম্যানিফোল্ডের কাঠামো ম্যানিফোল্ডের কাঠামো বীজগাণিতিক টপোলজি কে-তত্ত্ব গাণিতিক পদার্থবিজ্ঞান