Band matrix
গণিতে, বিশেষ করে ম্যাট্রিক্স তত্ত্বে, একটি ব্যান্ড ম্যাট্রিক্স বা ব্যান্ডযুক্ত ম্যাট্রিক্স হল একটি বিরল ম্যাট্রিক্স যার অ-শূন্য এন্ট্রিগুলি একটি তির্যক ব্যান্ডের মধ্যে সীমাবদ্ধ থাকে, যার উভয় পাশে প্রধান তির্যক এবং শূন্য বা তার বেশি তির্যক থাকে। ব্যান্ড ম্যাট্রিক্স ব্যান্ডউইথ আনুষ্ঠানিকভাবে, একটি এন × এন ম্যাট্রিক্স এ = (এআই, জে) বিবেচনা করুন। যদি সমস্ত ম্যাট্রিক্স উপাদান একটি তির্যক সীমানা ব্যান্ডের বাইরে শূন্য হয় যার পরিসীমা k1 এবং k2 ধ্রুবক দ্বারা নির্ধারিত হয়ঃ তাহলে k1 এবং k2 পরিমাণকে যথাক্রমে এবং বলা হয়। ম্যাট্রিক্সের সর্বাধিক হল k1 এবং k2; অন্য কথায়, এটি হল k সংখ্যাটি এমন যে যদি। উদাহরণ k1 = k2 = 0 সহ একটি ব্যান্ড ম্যাট্রিক্স হল একটি তির্যক ম্যাট্রিক্স k1 = k2 = 1 সহ একটি ব্যান্ড ম্যাট্রিক্স হল একটি ত্রিভুজ ম্যাট্রিক্স। ত্রিভুজাকার ম্যাট্রিক্স k1 = 0, k2 = n − 1-এর জন্য, একটি উপরের ত্রিভুজাকার ম্যাট্রিক্সের সংজ্ঞা একইভাবে পাওয়া যায়, k1 = n − 1, k2 = 0-এর জন্য একটি নিম্ন ত্রিভুজাকার ম্যাট্রিক্স পাওয়া যায়। ব্যান্ডউইথ সীমিত থাকলে উচ্চ এবং নিম্ন হেসেনবার্গ ম্যাট্রিক্স টোইপ্লিটজ ম্যাট্রিক্স তৈরি করে। ব্লক তির্যক ম্যাট্রিক্স স্থানান্তর ম্যাট্রিক্স এবং শিয়ার ম্যাট্রিক্স জর্ডানে ম্যাট্রিক্স স্বাভাবিক রূপ একটি স্কাইলাইন ম্যাট্রিক্স, যা "পরিবর্তনশীল ব্যান্ড ম্যাট্রিক্স" নামেও পরিচিত, ব্যান্ড ম্যাট্রিক্সের একটি সাধারণীকরণ লেহমার ম্যাট্রিক্সের বিপরীতগুলি ধ্রুবক ত্রিভুজ ম্যাট্রিক্স, এবং এইভাবে ব্যান্ড ম্যাট্রিক্স। প্রয়োগগুলি সংখ্যাসূচক বিশ্লেষণে, সীমাবদ্ধ উপাদান বা সীমাবদ্ধ পার্থক্য সমস্যা থেকে ম্যাট্রিক্সগুলি প্রায়শই ব্যান্ড করা হয়। এই ধরনের ম্যাট্রিক্সগুলিকে সমস্যা চলকগুলির মধ্যে সংযোগের বিবরণ হিসাবে দেখা যেতে পারে; ব্যান্ডযুক্ত বৈশিষ্ট্যটি এই সত্যের সাথে মিলে যায় যে চলকগুলি নির্বিচারে বড় দূরত্বে মিলিত হয় না। এই ধরনের ম্যাট্রিক্সকে আরও ভাগ করা যেতে পারে-উদাহরণস্বরূপ, ব্যান্ডযুক্ত ম্যাট্রিক্স বিদ্যমান যেখানে ব্যান্ডের প্রতিটি উপাদান অ-শূন্য। এগুলি প্রায়শই এক-মাত্রিক সমস্যাগুলিকে পৃথক করার সময় উদ্ভূত হয়। উচ্চতর মাত্রার সমস্যাগুলিও ব্যান্ডযুক্ত ম্যাট্রিক্সের দিকে পরিচালিত করে, এই ক্ষেত্রে ব্যান্ডটিও বিরল হতে থাকে। উদাহরণস্বরূপ, একটি বর্গক্ষেত্রের আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ (কেন্দ্রীয় পার্থক্য ব্যবহার করে) ম্যাট্রিক্স মাত্রার বর্গমূলের সমান ব্যান্ডউইথ সহ একটি ম্যাট্রিক্স তৈরি করবে, তবে ব্যান্ডের অভ্যন্তরে কেবল 5টি তির্যক অ-শূন্য। দুর্ভাগ্যবশত, এই ধরনের ম্যাট্রিক্সে গাউসিয়ান এলিমিনেশন (বা সমতুল্যভাবে একটি এলইউ পচন) প্রয়োগ করার ফলে ব্যান্ডটি অনেক অ-শূন্য উপাদান দ্বারা পূর্ণ হয়। ব্যান্ড স্টোরেজ ব্যান্ড ম্যাট্রিক্সগুলি সাধারণত ব্যান্ডে তির্যকগুলি সংরক্ষণ করে সংরক্ষণ করা হয়; বাকিগুলি অন্তর্নিহিতভাবে শূন্য। উদাহরণস্বরূপ, একটি ত্রিভুজ ম্যাট্রিক্সের ব্যান্ডউইথ 1 থাকে। 6-বাই-6 ম্যাট্রিক্সটি 6-বাই-3 ম্যাট্রিক্স হিসাবে সংরক্ষণ করা হয় যখন ম্যাট্রিক্সটি প্রতিসম হয় তখন আরও সঞ্চয় সম্ভব হয়। উদাহরণস্বরূপ, 2-এর উপরের ব্যান্ডউইথ সহ একটি প্রতিসম 6-বাই-6 ম্যাট্রিক্স বিবেচনা করুনঃ এই ম্যাট্রিক্সটি 6-বাই-3 ম্যাট্রিক্স হিসাবে সংরক্ষণ করা হয়ঃ বিরল ম্যাট্রিক্সের ব্যান্ড ফর্ম গণনামূলক দৃষ্টিকোণ থেকে, ব্যান্ড ম্যাট্রিক্সের সাথে কাজ করা সর্বদা একই মাত্রার বর্গ ম্যাট্রিক্সের সাথে কাজ করার চেয়ে অগ্রাধিকার পায়। একটি ব্যান্ড ম্যাট্রিক্সকে জটিলতায় একটি আয়তক্ষেত্রাকার ম্যাট্রিক্সের সাথে তুলনা করা যেতে পারে যার সারির মাত্রা ব্যান্ড ম্যাট্রিক্সের ব্যান্ডউইথের সমান। এইভাবে গুণনের মতো ক্রিয়াকলাপ সম্পাদনের সাথে জড়িত কাজ উল্লেখযোগ্যভাবে হ্রাস পায়, যা প্রায়শই গণনার সময় এবং জটিলতার ক্ষেত্রে প্রচুর সঞ্চয় করে। যেহেতু বিরল ম্যাট্রিক্সগুলি ঘন ম্যাট্রিক্সের তুলনায় আরও দক্ষ গণনার পাশাপাশি কম্পিউটার স্টোরেজের আরও দক্ষ ব্যবহারের ক্ষেত্রে নিজেদের ধার দেয়, তাই ম্যাট্রিক্সে বিন্যাস প্রয়োগ করে ব্যান্ডউইথকে হ্রাস করার (বা সরাসরি পূরণকে হ্রাস করার) উপায় খুঁজে বের করার উপর অনেক গবেষণা হয়েছে, বা এই জাতীয় অন্যান্য সমতুল্য বা সাদৃশ্য রূপান্তর। কুথিল-ম্যাককি অ্যালগরিদম একটি বিরল প্রতিসম ম্যাট্রিক্সের ব্যান্ডউইথ কমাতে ব্যবহার করা যেতে পারে। তবে, এমন কিছু ম্যাট্রিক্স রয়েছে যার জন্য বিপরীত কুথিল-ম্যাককি অ্যালগরিদম আরও ভাল কাজ করে। আরও অনেক পদ্ধতি ব্যবহার করা হয়। সারি এবং কলামগুলির বিন্যাসের মাধ্যমে ন্যূনতম ব্যান্ডউইথ সহ একটি ম্যাট্রিক্সের উপস্থাপনা খুঁজে বের করার সমস্যা হল এনপি-হার্ড। আরও দেখুন ডায়াগোনাল ম্যাট্রিক্স গ্রাফ ব্যান্ডউইথ নোটস রেফারেন্স। । । । । বাহ্যিক লিঙ্ক ল্যাপ্যাক এবং ব্যান্ড ম্যাট্রিক্স সম্পর্কিত তথ্য ব্যান্ডযুক্ত ম্যাট্রিক্স এবং অন্যান্য বিরল ম্যাট্রিক্স বিন্যাসের উপর একটি টিউটোরিয়াল