Unbounded operator
গণিতে, আরও নির্দিষ্টভাবে কার্যকরী বিশ্লেষণ এবং অপারেটর তত্ত্ব, সীমাহীন অপারেটরের ধারণা ডিফারেনশিয়াল অপারেটর, কোয়ান্টাম মেকানিক্সে সীমাহীন পর্যবেক্ষণযোগ্য এবং অন্যান্য ক্ষেত্রে মোকাবেলার জন্য একটি বিমূর্ত কাঠামো সরবরাহ করে। "সীমাহীন অপারেটর" শব্দটি বিভ্রান্তিকর হতে পারে, কারণ "সীমাহীন" শব্দটি কখনও কখনও "অপরিহার্যভাবে সীমাবদ্ধ নয়" হিসাবে বোঝা উচিত; "অপারেটর" কে "রৈখিক অপারেটর" হিসাবে বোঝা উচিত (যেমন "সীমাবদ্ধ অপারেটর"-এর ক্ষেত্রে); অপারেটরের ডোমেনটি একটি রৈখিক সাবস্পেস, অগত্যা পুরো স্থান নয়; এই রৈখিক সাবস্পেসটি অগত্যা বন্ধ হয় না; প্রায়শই (তবে সর্বদা নয়) এটি ঘন বলে ধরে নেওয়া হয়; একটি সীমাবদ্ধ অপারেটরের বিশেষ ক্ষেত্রে, তবুও, ডোমেনটি সাধারণত পুরো স্থান হিসাবে ধরে নেওয়া হয়। সীমাবদ্ধ অপারেটরের বিপরীতে, একটি নির্দিষ্ট স্থানে সীমাহীন অপারেটর একটি বীজগণিত বা এমনকি একটি রৈখিক স্থান গঠন করে না, কারণ প্রতিটি তার নিজস্ব ডোমেনে সংজ্ঞায়িত করা হয়। "অপারেটর" শব্দটির অর্থ প্রায়শই "আবদ্ধ রৈখিক অপারেটর", তবে এই নিবন্ধের প্রসঙ্গে এর অর্থ "সীমাহীন অপারেটর", উপরে দেওয়া রিজার্ভেশন সহ। প্রদত্ত স্থানটি হিলবার্ট স্থান বলে মনে করা হয়। বানাচ স্পেস এবং আরও সাধারণ টপোলজিকাল ভেক্টর স্পেসের কিছু সাধারণীকরণ সম্ভব। সংক্ষিপ্ত ইতিহাস 1920-এর দশকের শেষের দিকে এবং 1930-এর দশকের গোড়ার দিকে কোয়ান্টাম মেকানিক্সের জন্য একটি কঠোর গাণিতিক কাঠামো বিকাশের অংশ হিসাবে সীমাহীন অপারেটরদের তত্ত্বটি বিকশিত হয়েছিল। এই তত্ত্বের বিকাশ জন ভন নিউম্যান এবং মার্শাল স্টোনের কারণে হয়েছে। ভন নিউম্যান 1932 সালে সীমাহীন অপারেটর বিশ্লেষণের জন্য গ্রাফ ব্যবহার করে প্রবর্তন করেছিলেন। সংজ্ঞা এবং মৌলিক বৈশিষ্ট্যগুলি বানচ স্পেস হতে পারে। একটি সীমাহীন অপারেটর (বা কেবল অপারেটর) একটি রৈখিক সাবস্পেস-এর-ডোমেন থেকে স্থান পর্যন্ত একটি রৈখিক মানচিত্র। সাধারণ রীতির বিপরীতে, পুরো জায়গায় সংজ্ঞায়িত করা নাও হতে পারে। কোনও অপারেটরকে বন্ধ বলা হয় যদি তার গ্রাফটি একটি বন্ধ সেট হয়। (এখানে, গ্রাফটি সরাসরি যোগফলের একটি রৈখিক সাবস্পেস, যা সমস্ত জোড়ার সেট হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে, যেখানে এর ডোমেনের উপর দিয়ে চলে।) স্পষ্টতই, এর অর্থ হল যে এবং এর ডোমেইন থেকে পয়েন্টের প্রতিটি ক্রমের জন্য, এটি ধরে রাখে যে এটি এবং এর ডোমেইনের অন্তর্গত। ক্লোজনেস গ্রাফের নিয়মের পরিপ্রেক্ষিতেও প্রণয়ন করা যেতে পারেঃ একটি অপারেটর বন্ধ করা হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি তার ডোমেন আদর্শের সাপেক্ষে একটি সম্পূর্ণ স্থান হয়ঃ একটি অপারেটরকে ঘনভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় যদি তার ডোমেন ঘন হয়। এর মধ্যে পুরো স্থানের উপর সংজ্ঞায়িত অপারেটরগুলিও অন্তর্ভুক্ত রয়েছে, কারণ পুরো স্থানটি নিজেই ঘন। সংলগ্ন (যদি এবং হিলবার্ট স্পেস হয়) এবং ট্রান্সপোজের অস্তিত্বের জন্য ডোমেনের ঘনত্ব প্রয়োজনীয় এবং যথেষ্ট; নীচের বিভাগগুলি দেখুন। যদি তার ডোমেনে বদ্ধ, ঘনভাবে সংজ্ঞায়িত এবং অবিচ্ছিন্ন হয়, তবে তার ডোমেনটি সমস্ত। হিলবার্ট স্পেসে একটি ঘন সংজ্ঞায়িত অপারেটরকে নীচের থেকে আবদ্ধ বলা হয় যদি কোনও বাস্তব সংখ্যার জন্য একটি ধনাত্মক অপারেটর হয়। অর্থাৎ, ডোমেনের সকলের জন্য (বা বিকল্পভাবে যেহেতু স্বেচ্ছাচারী)। যদি উভয়ই নিচের দিক থেকে আবদ্ধ হয় তবে আবদ্ধ হয়। উদাহরণস্বরূপ, আসুন একক ব্যবধানের উপর অবিচ্ছিন্ন ফাংশনের স্থান নির্দেশ করি এবং অবিচ্ছিন্নভাবে ডিফারেনশিয়েবল ফাংশনের স্থান নির্দেশ করি। আমরা সর্বোচ্চ আদর্শের সাথে সজ্জিত, এটি একটি বানাচ স্থান তৈরি করে। সাধারণ সূত্র দ্বারা শাস্ত্রীয় ডিফারেন্সিয়েশন অপারেটরকে সংজ্ঞায়িত করুনঃ প্রতিটি ডিফারেন্সিয়েবল ফাংশন অবিচ্ছিন্ন, তাই। আমরা দাবি করি যে এটি একটি সুনির্দিষ্ট সীমাহীন অপারেটর, যার ডোমেন রয়েছে। এর জন্য, আমাদের দেখাতে হবে যে এটি রৈখিক এবং তারপর, উদাহরণস্বরূপ, এমন কিছু প্রদর্শন করুন এবং। এটি একটি রৈখিক অপারেটর, যেহেতু দুটি অবিচ্ছিন্নভাবে ডিফারেনশিয়েবল ফাংশনের একটি রৈখিক সংমিশ্রণও অবিচ্ছিন্নভাবে ডিফারেনশিয়েবল, এবং অপারেটর আবদ্ধ নয়। উদাহরণস্বরূপ, সন্তুষ্ট করুন কিন্তু হিসাবে। অপারেটরটি ঘনভাবে সংজ্ঞায়িত এবং বন্ধ। একই অপারেটরকে বানাচ স্পেসের অনেক পছন্দের জন্য অপারেটর হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে এবং তাদের মধ্যে কোনওটির মধ্যে সীমাবদ্ধ নয়। একই সময়ে, এটি অন্যান্য জোড়া বানাচ স্পেসের জন্য অপারেটর হিসাবে এবং কিছু টপোলজিকাল ভেক্টর স্পেসের জন্য অপারেটর হিসাবে আবদ্ধ হতে পারে। একটি উদাহরণ হিসাবে একটি উন্মুক্ত ব্যবধান হতে দিন এবং বিবেচনা করুন যেখানেঃ সংযুক্ত একটি সীমাহীন অপারেটরের সংলগ্নকে দুটি সমতুল্য উপায়ে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে। ধরা যাক হিলবার্ট স্পেসের মধ্যে একটি সীমাহীন অপারেটর। প্রথমত, এটি একটি সীমাবদ্ধ অপারেটরের সংলগ্নকে কীভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় তার অনুরূপভাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে। অর্থাৎ, এর সংযুক্তিটিকে সম্পত্তি সহ একটি অপারেটর হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়ঃ আরও সুনির্দিষ্টভাবে, নিম্নলিখিত উপায়ে সংজ্ঞায়িত করা হয়। যদি এমন হয় যা এর ডোমেনে একটি অবিচ্ছিন্ন রৈখিক কার্যকরী হয়, তবে একটি উপাদান হিসাবে ঘোষণা করা হয় এবং হান-বানাচ উপপাদ্যের মাধ্যমে সমগ্র স্থানে রৈখিক কার্যকরী প্রসারিত করার পরে, কিছু এমন খুঁজে পাওয়া সম্ভব যে যেহেতু রিজ উপস্থাপনা উপপাদ্য হিলবার্ট স্থানের অবিচ্ছিন্ন দ্বৈতকে অভ্যন্তরীণ গুণফল দ্বারা প্রদত্ত রৈখিক কার্যকারিতার সেটের সাথে চিহ্নিত করার অনুমতি দেয়। এই ভেক্টরটি অনন্যভাবে নির্ধারিত হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি রৈখিক কার্যকারিতা ঘনভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়; অথবা সমতুল্যভাবে, যদি ঘনভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। পরিশেষে, যার নির্মাণ সম্পূর্ণ করা অপরিহার্যভাবে একটি রৈখিক মানচিত্র। সংলগ্নটি বিদ্যমান থাকে যদি এবং শুধুমাত্র যদি ঘনভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। সংজ্ঞা অনুসারে, এর ডোমেন এমন উপাদান নিয়ে গঠিত যা এর ডোমেনে অবিচ্ছিন্ন। ফলস্বরূপ, এর ক্ষেত্র যে কোনও কিছু হতে পারে; এটি তুচ্ছ হতে পারে (অর্থাৎ, শুধুমাত্র শূন্য রয়েছে)। এটি ঘটতে পারে যে এর ডোমেনটি একটি বদ্ধ হাইপারপ্লেন এবং ডোমেনের সর্বত্র অদৃশ্য হয়ে যায়। সুতরাং, এর ডোমেনের সীমাবদ্ধতা এর সীমাবদ্ধতা বোঝায় না। অন্যদিকে, যদি পুরো স্থানটিতে সংজ্ঞায়িত করা হয় তবে এটি তার ডোমেনে আবদ্ধ এবং তাই পুরো স্থানটিতে একটি আবদ্ধ অপারেটরের ধারাবাহিকতা দ্বারা প্রসারিত করা যেতে পারে। যদি এর ডোমেনটি ঘন হয়, তবে এটির সংলগ্ন একটি বদ্ধ ঘনভাবে সংজ্ঞায়িত অপারেটর সীমাবদ্ধ থাকে যদি এবং শুধুমাত্র যদি আবদ্ধ থাকে। সংলগ্নের অন্য সমতুল্য সংজ্ঞাটি একটি সাধারণ তথ্য লক্ষ্য করে পাওয়া যেতে পারে। একটি রৈখিক অপারেটরকে নিম্নরূপ সংজ্ঞায়িত করুনঃ যেহেতু এটি একটি আইসোমেট্রিক সারজেকশন, তাই এটি একক। অতএবঃ কোনও অপারেটরের গ্রাফ যদি এবং শুধুমাত্র ঘনভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। একটি সহজ গণনা দেখায় যে এই "কিছু" সন্তুষ্ট করেঃ এর ক্ষেত্রের প্রত্যেকের জন্য। এইভাবে এর সংযোজন হয়। এটি উপরের সংজ্ঞা থেকে অবিলম্বে অনুসরণ করে যে সংলগ্নটি বন্ধ। বিশেষত, একটি স্ব-সংযুক্ত অপারেটর (অর্থ) বন্ধ থাকে। একটি অপারেটর বন্ধ এবং ঘনভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি আবদ্ধ অপারেটরদের জন্য কিছু সুপরিচিত বৈশিষ্ট্য বন্ধ ঘনভাবে সংজ্ঞায়িত অপারেটরগুলিতে সাধারণীকরণ করা হয়। একটি বদ্ধ অপারেটরের কার্নেল বন্ধ থাকে। উপরন্তু, একটি বদ্ধ ঘনভাবে সংজ্ঞায়িত অপারেটরের কার্নেল সংলগ্ন পরিসরের অর্থোগোনাল পরিপূরকের সাথে মিলে যায়। অর্থাৎ, ভন নিউম্যানের উপপাদ্য বলে যে এবং স্ব-সংযুক্ত, এবং যে এবং উভয়েরই বিপরীত সীমানা রয়েছে। যদি তুচ্ছ কার্নেল থাকে, তবে এর ঘন পরিসীমা রয়েছে (উপরের পরিচয় অনুসারে)। অধিকন্তুঃ সর্জেক্টিভ হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি এমন একটি থাকে যা সকলের জন্য (এটি মূলত তথাকথিত ক্লোজড রেঞ্জ উপপাদ্যের একটি রূপ)। বিশেষত, যদি এবং শুধুমাত্র যদি বন্ধ পরিসীমা থাকে তবে বন্ধ পরিসীমা রয়েছে। বাউন্ডেড কেসের বিপরীতে, এটি প্রয়োজনীয় নয় যেহেতু, উদাহরণস্বরূপ, এটি এমনকি সম্ভব যে বিদ্যমান নেই। যাইহোক, উদাহরণস্বরূপ, যদি আবদ্ধ হয় তবে এটি হয়। একটি ঘনভাবে সংজ্ঞায়িত, বদ্ধ অপারেটরকে স্বাভাবিক বলা হয় যদি এটি নিম্নলিখিত সমতুল্য শর্তগুলি সন্তুষ্ট করেঃ; এর ডোমেনটি এই ডোমেনের প্রত্যেকের ডোমেনের সমান; স্ব-সংযুক্ত অপারেটর রয়েছে যেমন এবং এর ডোমেনের প্রত্যেকের জন্য। প্রতিটি স্ব-সংযুক্ত অপারেটর স্বাভাবিক। ট্রান্সপোজ বানচ স্পেসের মধ্যে একটি অপারেটর হতে দিন। তারপর এর ট্রান্সপোজ (বা দ্বৈত) হল রৈখিক অপারেটর সন্তোষজনকঃ সকলের জন্য এবং এখানে, আমরা স্বরলিপিটি ব্যবহার করেছিঃ ট্রান্সপোজের অস্তিত্বের জন্য প্রয়োজনীয় এবং পর্যাপ্ত শর্ত হল যেটি ঘনভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় (মূলত সংলগ্নগুলির মতো একই কারণে, যেমন উপরে আলোচনা করা হয়েছে)। যে কোনও হিলবার্ট স্থানের জন্য অ্যান্টি-লিনিয়ার আইসোমরফিজম রয়েছেঃ যেখানে দ্বারা দেওয়া হয়েছে এই আইসোমরফিজমের মাধ্যমে, ট্রান্সপোজ নিম্নলিখিত উপায়ে সংলগ্নের সাথে সম্পর্কিতঃ যেখানে। (সসীম-মাত্রিক ক্ষেত্রে, এটি এই সত্যের সাথে মিলে যায় যে একটি ম্যাট্রিক্সের সংলগ্ন তার কনজুগেট ট্রান্সপোজ।) লক্ষ্য করুন যে এটি একটি ট্রান্সপোজের পরিপ্রেক্ষিতে অ্যাডজয়েন্টের সংজ্ঞা দেয়। ক্লোজড লিনিয়ার অপারেটর হল বানাচ স্পেসে লিনিয়ার অপারেটরের একটি শ্রেণী। এগুলি আবদ্ধ অপারেটরদের তুলনায় বেশি সাধারণ, এবং তাই অগত্যা অবিচ্ছিন্ন নয়, তবে এগুলি এখনও যথেষ্ট ভাল বৈশিষ্ট্য ধরে রাখে যা এই ধরনের অপারেটরদের জন্য বর্ণালী এবং (নির্দিষ্ট অনুমান সহ) কার্যকরী ক্যালকুলাসকে সংজ্ঞায়িত করতে পারে। অনেক গুরুত্বপূর্ণ রৈখিক অপারেটর যা আবদ্ধ হতে ব্যর্থ হয় সেগুলি বন্ধ হয়ে যায়, যেমন ডেরিভেটিভ এবং ডিফারেনশিয়াল অপারেটরের একটি বড় শ্রেণী। ধরা যাক দুটি বানাচ স্পেস। একটি রৈখিক অপারেটর বন্ধ থাকে যদি প্রতিটি ক্রমের জন্য এমনভাবে রূপান্তরিত হয় যা একজনের আছে এবং। সমতুল্যভাবে, বন্ধ করা হয় যদি এর গ্রাফ সরাসরি যোগফলের মধ্যে বন্ধ থাকে। একটি রৈখিক অপারেটর দেওয়া, অগত্যা বন্ধ নয়, যদি তার গ্রাফের ক্লোজারটি কোনও অপারেটরের গ্রাফ হয়, তবে সেই অপারেটরকে ক্লোজার বলা হয়, এবং আমরা বলি যে এটি ক্লোজযোগ্য। দ্বারা বন্ধকে নির্দেশ করুন। এটি অনুসরণ করে যে এর সীমাবদ্ধতা। একটি ক্লোজযোগ্য অপারেটরের একটি মূল (বা অপরিহার্য ডোমেন) এমন একটি উপসেট যা এর সীমাবদ্ধতা বন্ধ করে দেয়। উদাহরণ ডেরিভেটিভ অপারেটরের কথা বিবেচনা করুন যেখানে একটি বিরতিতে সমস্ত অবিচ্ছিন্ন ফাংশনের বানাচ স্থান রয়েছে। যদি কেউ তার ডোমেনটি গ্রহণ করে, তবে এটি একটি বদ্ধ অপারেটর যা আবদ্ধ নয়। অন্যদিকে যদি, তাহলে আর বন্ধ করা হবে না, তবে এটি বন্ধযোগ্য হবে, বন্ধটি তার এক্সটেনশন হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হবে। সিমেট্রিক অপারেটর এবং স্ব-সংযুক্ত অপারেটর হিলবার্ট স্পেসে একটি অপারেটর টি সিমেট্রিক হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি আমাদের ডোমেনের প্রতিটি x এবং y এর জন্য থাকে। একটি ঘনভাবে সংজ্ঞায়িত অপারেটর প্রতিসম হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি এটি T এর ডোমেনের মধ্যে সীমাবদ্ধ তার সংলগ্ন T ≤ এর সাথে একমত হয়, অন্য কথায় যখন T ≤ এর একটি এক্সটেনশন হয়। সাধারণভাবে, যদি T ঘনভাবে সংজ্ঞায়িত এবং প্রতিসম হয়, তবে সংলগ্ন T ≤-এর ডোমেনটি T-এর ডোমেনের সমান হওয়ার প্রয়োজন নেই। যদি T প্রতিসম হয় এবং T-এর ডোমেন এবং সংলগ্ন ডোমেনটি মিলে যায়, তবে আমরা বলি যে T হল স্ব-সংযুক্ত। লক্ষ্য করুন যে, যখন টি স্ব-সংযুক্ত হয়, তখন সংযুক্তির অস্তিত্ব বোঝায় যে টি ঘনভাবে সংজ্ঞায়িত এবং যেহেতু টি ≤ অপরিহার্যভাবে বন্ধ থাকে, তাই টি বন্ধ থাকে। একটি ঘনভাবে সংজ্ঞায়িত অপারেটর টি প্রতিসম হয়, যদি সাবস্পেস (পূর্ববর্তী বিভাগে সংজ্ঞায়িত) জে-এর অধীনে তার চিত্রের সাথে অর্থোগোনাল হয় (যেখানে জে (এক্স, ওয়াই): = (ওয়াই,-এক্স))। সমতুল্যভাবে, একটি অপারেটর টি স্ব-সংযুক্ত হয় যদি এটি ঘনভাবে সংজ্ঞায়িত, বদ্ধ, প্রতিসম হয় এবং চতুর্থ শর্তটি সন্তুষ্ট করেঃ উভয় অপারেটরই সার্জেক্টিভ হয়, অর্থাৎ পুরো স্থান এইচ-এর উপর টি-এর ডোমেনটি ম্যাপ করে। অন্য কথায়ঃ এইচ-এর প্রতিটি এক্স-এর জন্য টি-এর ডোমেনে y এবং z রয়েছে যাতে এবং। একটি অপারেটর টি স্ব-সংযুক্ত, যদি দুটি উপস্থান অর্থোগোনাল হয় এবং তাদের যোগফল পুরো স্থান হয় এই পদ্ধতিটি অ-ঘনভাবে সংজ্ঞায়িত বদ্ধ অপারেটরদের অন্তর্ভুক্ত করে না। অ-ঘনভাবে সংজ্ঞায়িত প্রতিসম অপারেটরগুলিকে সরাসরি বা গ্রাফের মাধ্যমে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে, তবে সংলগ্ন অপারেটরদের মাধ্যমে নয়। একটি প্রতিসম অপারেটরকে প্রায়শই তার কাইলি রূপান্তরের মাধ্যমে অধ্যয়ন করা হয়। একটি জটিল হিলবার্ট স্পেসে একটি অপারেটর T প্রতিসম হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি তার দ্বিঘাত রূপটি বাস্তব হয়, অর্থাৎ, T-এর ডোমেনের সমস্ত x-এর জন্য সংখ্যাটি বাস্তব হয়। এমনটা না-ও হতে পারে। একটি ঘনভাবে সংজ্ঞায়িত অপারেটর টি-কে ধনাত্মক (বা অ-ঋণাত্মক) বলা হয় যদি এর দ্বিঘাত রূপটি অ-ঋণাত্মক হয়, অর্থাৎ টি-এর ডোমেনের সমস্ত x-এর জন্য। স্পেকট্রাল উপপাদ্যটি স্ব-সংযুক্ত অপারেটরদের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য এবং সাধারণ অপারেটরদের ক্ষেত্রেও প্রযোজ্য, তবে ঘনভাবে সংজ্ঞায়িত, বন্ধ অপারেটরদের ক্ষেত্রে নয়, কারণ এই ক্ষেত্রে বর্ণালীটি খালি হতে পারে। সর্বত্র সংজ্ঞায়িত একটি প্রতিসম অপারেটর বন্ধ, তাই আবদ্ধ, যা হেলিংগার-টোইপ্লিটজ উপপাদ্য। এক্সটেনশন-সম্পর্কিত সংজ্ঞা অনুসারে, একটি অপারেটর টি একটি অপারেটর এস-এর একটি এক্সটেনশন যদি। একটি সমতুল্য সরাসরি সংজ্ঞাঃ এস-এর ডোমেনের প্রতিটি এক্স-এর জন্য, এক্স টি এবং টি-এর ডোমেনের অন্তর্গত। লক্ষ্য করুন যে প্রতিটি অপারেটরের জন্য সর্বত্র একটি সংজ্ঞায়িত এক্সটেনশন বিদ্যমান, যা একটি বিশুদ্ধ বীজগাণিতিক সত্য যা পছন্দের স্বতঃসিদ্ধের উপর ভিত্তি করে ব্যাখ্যা করা হয়েছে। যদি প্রদত্ত অপারেটরটি আবদ্ধ না হয় তবে এক্সটেনশনটি একটি বিচ্ছিন্ন রৈখিক মানচিত্র। এটি খুব কমই কাজে লাগে কারণ এটি প্রদত্ত অপারেটরের গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্যগুলি সংরক্ষণ করতে পারে না (নীচে দেখুন), এবং সাধারণত অত্যন্ত অ-অনন্য। একটি অপারেটর টি-কে ক্লোজযোগ্য বলা হয় যদি এটি নিম্নলিখিত সমতুল্য শর্তগুলি পূরণ করেঃ টি-এর একটি ক্লোজড এক্সটেনশন রয়েছে; টি-এর গ্রাফের ক্লোজার হ 'ল কোনও অপারেটরের গ্রাফ; টি-এর ডোমেন থেকে পয়েন্টগুলির প্রতিটি ক্রমের (xn) জন্য যেমন xn → 0 এবং এছাড়াও Txn → y এটি ধারণ করে। সমস্ত অপারেটর বন্ধযোগ্য নয়। একটি ক্লোজযোগ্য অপারেটর টি-এর সবচেয়ে কম ক্লোজড এক্সটেনশন রয়েছে যাকে টি-এর ক্লোজার বলা হয়। টি-এর গ্রাফের ক্লোজারটি অন্যান্য অ-ন্যূনতম ক্লোজড এক্সটেনশনগুলির গ্রাফের সমান। একটি ঘনভাবে সংজ্ঞায়িত অপারেটর টি বন্ধযোগ্য যদি এবং শুধুমাত্র যদি টি ≤ ঘনভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। এই ক্ষেত্রে এবং যদি S-কে ঘনভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় এবং T হল S-এর একটি এক্সটেনশন, তাহলে S * হল T *-এর একটি এক্সটেনশন। প্রতিটি প্রতিসম অপারেটর বন্ধযোগ্য। একটি প্রতিসম অপারেটরকে সর্বাধিক প্রতিসম বলা হয় যদি তার নিজের ব্যতীত কোনও প্রতিসম এক্সটেনশন না থাকে। প্রতিটি স্ব-সংযুক্ত অপারেটর সর্বাধিক প্রতিসম। বিপরীতটি ভুল। একটি অপারেটরকে মূলত স্ব-সংযুক্ত বলা হয় যদি তার বন্ধ স্ব-সংযুক্ত হয়। একজন অপারেটর মূলত স্ব-সংযুক্ত হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি তার একটি এবং শুধুমাত্র একটি স্ব-সংযুক্ত এক্সটেনশন থাকে। একটি প্রতিসম অপারেটরের একাধিক স্ব-সংযুক্ত এক্সটেনশন থাকতে পারে, এমনকি তাদের একটি ধারাবাহিকতাও থাকতে পারে। একটি ঘন সংজ্ঞায়িত, প্রতিসম অপারেটর টি মূলত স্ব-সংযুক্ত হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি উভয় অপারেটরের ঘন পরিসীমা থাকে। ধরা যাক টি একটি ঘনভাবে সংজ্ঞায়িত অপারেটর। "টি হল এস"-এর একটি এক্সটেনশন যা এস. টি দ্বারা চিহ্নিত করা হয় (একটি প্রচলিত সংক্ষেপণ যা γ (এস) γ (টি)-এর জন্য) যার মধ্যে নিম্নলিখিতটি রয়েছে। যদি T প্রতিসম হয় তবে T ρ T ≤ T ≤। যদি T বন্ধ এবং প্রতিসম হয় তবে T = T ≤ ≤ T ≤। যদি টি স্ব-সংযুক্ত হয় তবে টি = টি িরি = টি িরি। যদি T মূলত স্ব-সংযুক্ত হয় তবে T ঱্হয় T িরি = T িরি। স্ব-সংযুক্ত অপারেটরদের গুরুত্ব গাণিতিক পদার্থবিজ্ঞানে স্ব-সংযুক্ত অপারেটরদের শ্রেণী বিশেষভাবে গুরুত্বপূর্ণ। প্রতিটি স্ব-সংযুক্ত অপারেটর ঘনভাবে সংজ্ঞায়িত, বদ্ধ এবং প্রতিসম। বিপরীতটি আবদ্ধ অপারেটরদের জন্য প্রযোজ্য কিন্তু সাধারণভাবে ব্যর্থ হয়। এই তিনটি বৈশিষ্ট্যের তুলনায় স্ব-সমন্বয় উল্লেখযোগ্যভাবে বেশি সীমাবদ্ধ। বিখ্যাত বর্ণালী উপপাদ্যটি স্ব-সংযুক্ত অপারেটরদের জন্য প্রযোজ্য। এক-পরামিতি একক গোষ্ঠীর উপর স্টোনের উপপাদ্যের সংমিশ্রণে এটি দেখায় যে স্ব-সংযুক্ত অপারেটরগুলি সঠিকভাবে দৃঢ়ভাবে অবিচ্ছিন্ন এক-পরামিতি একক গোষ্ঠীর অসীম জেনারেটর, দেখুন। ধ্রুপদী এবং কোয়ান্টাম বলবিজ্ঞানে সময়ের বিবর্তন বর্ণনা করার জন্য এই ধরনের একক গোষ্ঠীগুলি বিশেষভাবে গুরুত্বপূর্ণ। আরও দেখুন স্টোন-ভন নিউম্যান উপপাদ্য বাউন্ডেড অপারেটর নোটস উদ্ধৃতি গ্রন্থপঞ্জি (অধ্যায় 12 "হিলবার্ট স্পেসে সীমাহীন অপারেটরদের সাধারণ তত্ত্ব" দেখুন)। (অধ্যায় 5 "সীমাহীন অপারেটর" দেখুন)। (অধ্যায় 8 "সীমাহীন অপারেটর" দেখুন)। লিনিয়ার অপারেটর অপারেটর তত্ত্ব ডিঃ লিনিয়ারার Operator#Unbeschränkte লাইনএয়ার অপারেটর