Bicubic interpolation
গণিতে, বাইকিউবিক ইন্টারপোলেশন হল দ্বি-মাত্রিক নিয়মিত গ্রিডে ডেটা পয়েন্টগুলিকে ইন্টারপোলেট করার জন্য কিউবিক স্প্লাইন ইন্টারপোলেশন (একটি ডেটা সেটে কিউবিক ইন্টারপোলেশন প্রয়োগ করার একটি পদ্ধতি)-এর একটি সম্প্রসারণ। ইন্টারপোলেটেড পৃষ্ঠ (যার অর্থ কার্নেল আকৃতি, চিত্র নয়) দ্বিমাত্রিক ইন্টারপোলেশন বা নিকটতম-প্রতিবেশী ইন্টারপোলেশন দ্বারা প্রাপ্ত সংশ্লিষ্ট পৃষ্ঠগুলির চেয়ে মসৃণ। ল্যাগ্রাঞ্জ পলিনোমিয়াল, কিউবিক স্প্লাইন বা কিউবিক কনভোলিউশন অ্যালগরিদম ব্যবহার করে বাইকিউবিক ইন্টারপোলেশন সম্পন্ন করা যেতে পারে। ইমেজ প্রসেসিং-এ, যখন গতি কোনও সমস্যা নয়, তখন ইমেজ রিস্যাম্পলিং-এ বাইকিউবিক ইন্টারপোলেশনকে প্রায়শই দ্বি-রৈখিক বা নিকটতম-প্রতিবেশী ইন্টারপোলেশনের পরিবর্তে বেছে নেওয়া হয়। দ্বিমাত্রিক ইন্টারপোলেশনের বিপরীতে, যা শুধুমাত্র 4 পিক্সেল (2 × 2) গ্রহণ করে, বাইকিউবিক ইন্টারপোলেশন 16 পিক্সেল (4 × 4) বিবেচনা করে। নির্বাচিত বি এবং সি মানের উপর নির্ভর করে বাইকিউবিক ইন্টারপোলেশন দিয়ে পুনরায় নমুনা করা চিত্রগুলিতে বিভিন্ন ইন্টারপোলেশন শিল্পকর্ম থাকতে পারে। গণনা ধরুন ফাংশনের মান এবং ব্যুৎপত্তিগুলি, এবং একক বর্গক্ষেত্রের চারটি কোণে,, এবং জানা যায়। ইন্টারপোলেটেড পৃষ্ঠটি তখন 16টি সহগ নির্ধারণ করে ইন্টারপোলেশন সমস্যা হিসাবে লেখা যেতে পারে। ফাংশনের মানগুলির সাথে মিলে চারটি সমীকরণ পাওয়া যায়ঃ একইভাবে, এর এবং দিকের অন্তরজগুলির জন্য আটটি সমীকরণঃ এবং মিশ্র আংশিক অন্তরজগুলির জন্য চারটি সমীকরণঃ উপরের অভিব্যক্তিগুলি নিম্নলিখিত পরিচয়গুলি ব্যবহার করেছেঃ এই পদ্ধতিটি একক বর্গের উপর একটি পৃষ্ঠ উৎপন্ন করে যা অবিচ্ছিন্ন এবং অবিচ্ছিন্ন অন্তরজ রয়েছে। একটি নির্বিচারে আকারের নিয়মিত গ্রিডে বাইকিউবিক ইন্টারপোলেশন তারপর এই ধরনের বাইকিউবিক পৃষ্ঠগুলিকে একসঙ্গে প্যাচ করে সম্পন্ন করা যেতে পারে, এটি নিশ্চিত করে যে ডেরিভেটিভগুলি সীমানার সাথে মেলে। একটি ভেক্টরের মধ্যে অজানা পরামিতিগুলিকে গোষ্ঠীভুক্ত করা এবং সমীকরণের উপরের পদ্ধতিটিকে রৈখিক সমীকরণের জন্য একটি ম্যাট্রিক্সে পুনর্বিন্যস্ত করা যেতে পারে। ম্যাট্রিক্সকে উল্টানো আরও কার্যকর রৈখিক সমীকরণ দেয়, যেখানে দ্রুত এবং সহজেই গণনা করা যায়। 16টি সহগের জন্য আরেকটি সংক্ষিপ্ত ম্যাট্রিক্স ফর্ম থাকতে পারেঃ অথবা যেখানে রেক্টিলিনিয়ার গ্রিডের এক্সটেনশন প্রায়শই, অ্যাপ্লিকেশনগুলি একক বর্গক্ষেত্রের পরিবর্তে একটি রেক্টিলিনিয়ার গ্রিডের ডেটা ব্যবহার করে বাইকিউবিক ইন্টারপোলেশন চায়। এই ক্ষেত্রে, বিন্দুটিকে ধারণকারী কোষের ব্যবধান কোথায় এবং তার জন্য একই রকম হয় তার পরিচয়। এই ক্ষেত্রে, সহগগুলি গণনা করার সবচেয়ে ব্যবহারিক পদ্ধতি হল আগের মতোই সমাধান করা। এরপরে, স্বাভাবিক ইন্টারপোলেটিং ভেরিয়েবলগুলি বিন্দুটির চারপাশে গ্রিড পয়েন্টগুলির কোথায় এবং কোথায় এবং কোথায় স্থানাঙ্ক হিসাবে গণনা করা হয়। তারপর, ইন্টারপোলেটিং পৃষ্ঠটি হয়ে যায় ফাংশন মান থেকে ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করা যদি ডেরিভেটিভগুলি অজানা থাকে, তবে সেগুলি সাধারণত একক বর্গক্ষেত্রের কোণের পার্শ্ববর্তী বিন্দুতে ফাংশন মান থেকে আনুমানিক হয়, যেমন। সীমাবদ্ধ পার্থক্য ব্যবহার করে। একক ব্যুৎপত্তি খুঁজে বের করার জন্য, অথবা, সেই পদ্ধতি ব্যবহার করে, উপযুক্ত অক্ষে দুটি পার্শ্ববর্তী বিন্দুর মধ্যে ঢাল খুঁজে বের করুন। উদাহরণস্বরূপ, একটি পয়েন্টের জন্য গণনা করতে, লক্ষ্য বিন্দুর বাম এবং ডান দিকের পয়েন্টগুলি খুঁজে বের করুন এবং তাদের ঢাল গণনা করুন, এবং একইভাবে এর জন্য। ক্রস ডেরিভেটিভ খুঁজে পেতে, উভয় অক্ষের মধ্যে ডেরিভেটিভ নিন, একবারে একটি করে। উদাহরণস্বরূপ, কেউ প্রথমে লক্ষ্য বিন্দুর উপরে এবং নীচে পয়েন্টগুলির ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করার জন্য পদ্ধতিটি ব্যবহার করতে পারে, তারপরে লক্ষ্য বিন্দুর জন্য মান পেতে সেই মানগুলির (যথারীতি, সেই পয়েন্টগুলির মানগুলির পরিবর্তে) পদ্ধতিটি ব্যবহার করতে পারে। (অথবা কেউ এটি বিপরীত দিকে করতে পারে, প্রথমে গণনা করে এবং তারপর তাদের থেকে। দুটোই সমতুল্য ফলাফল দেয়।) ডেটাসেটের প্রান্তে, যখন আশেপাশের কিছু পয়েন্ট অনুপস্থিত থাকে, তখন অনুপস্থিত পয়েন্টগুলি বেশ কয়েকটি পদ্ধতি দ্বারা আনুমানিক করা যেতে পারে। একটি সহজ এবং সাধারণ পদ্ধতি হল ধরে নেওয়া যে বিদ্যমান বিন্দু থেকে লক্ষ্য বিন্দু পর্যন্ত ঢালটি আর কোনও পরিবর্তন ছাড়াই অব্যাহত থাকে এবং এটি ব্যবহার করে অনুপস্থিত বিন্দুর জন্য একটি অনুমানমূলক মান গণনা করা হয়। বাইকিউবিক কনভোলিউশন অ্যালগরিদম বাইকিউবিক স্প্লাইন ইন্টারপোলেশনের জন্য প্রতিটি গ্রিড কোষের জন্য উপরে বর্ণিত রৈখিক ব্যবস্থার সমাধান প্রয়োজন। অনুরূপ বৈশিষ্ট্যযুক্ত একটি ইন্টারপোলেটর উভয় মাত্রায় নিম্নলিখিত কার্নেল সহ একটি কনভোলিউশন প্রয়োগ করে প্রাপ্ত করা যেতে পারেঃ যেখানে সাধারণত − 0.5 বা −0.75 এ সেট করা হয়। মনে রাখবেন যে এবং সমস্ত অ-শূন্য পূর্ণসংখ্যার জন্য। এই পদ্ধতিটি কীজ দ্বারা প্রস্তাবিত হয়েছিল, যিনি দেখিয়েছিলেন যে মূল ফাংশনের নমুনা ব্যবধানের সাপেক্ষে তৃতীয়-ক্রমের অভিসরণ তৈরি করে। যদি আমরা সাধারণ ক্ষেত্রে ম্যাট্রিক্স স্বরলিপি ব্যবহার করি, তবে আমরা সমীকরণটি আরও বন্ধুত্বপূর্ণ পদ্ধতিতে প্রকাশ করতে পারিঃ একটি মাত্রার জন্য 0 এবং 1 এর মধ্যে। লক্ষ্য করুন যে 1-মাত্রিক কিউবিক কনভোলিউশন ইন্টারপোলেশনের জন্য 4টি নমুনা পয়েন্ট প্রয়োজন। প্রতিটি অনুসন্ধানের জন্য দুটি নমুনা বাম দিকে এবং দুটি নমুনা ডানদিকে অবস্থিত। এই বিন্দুগুলি এই পাঠ্যে −1 থেকে 2 পর্যন্ত সূচীভুক্ত করা হয়েছে। 0 দিয়ে সূচীভুক্ত বিন্দু থেকে অনুসন্ধান বিন্দু পর্যন্ত দূরত্ব এখানে দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। দুটি মাত্রার জন্য প্রথমে বার বার প্রয়োগ করা হয়ঃ কম্পিউটার গ্রাফিক্সে ব্যবহার বাইকিউবিক অ্যালগরিদম প্রায়শই চিত্র এবং ভিডিও প্রদর্শনের জন্য ব্যবহৃত হয় (বিটম্যাপ রিস্যাম্পলিং দেখুন)। এটি সাধারণ দ্বিমাত্রিক অ্যালগরিদমের চেয়ে ভাল সূক্ষ্ম বিবরণ সংরক্ষণ করে। যাইহোক, কার্নেলে নেতিবাচক লোবের কারণে, এটি ওভারশুট (হ্যালোয়িং) সৃষ্টি করে। এটি ক্লিপিংয়ের কারণ হতে পারে, এবং এটি একটি নিদর্শন (এছাড়াও বাজানো নিদর্শনগুলি দেখুন), তবে এটি তীক্ষ্ণতা (আপাত তীক্ষ্ণতা) বৃদ্ধি করে এবং পছন্দসই হতে পারে। আরও দেখুন স্থানিক অ্যান্টি-এলিয়াজিং বেজিয়ার পৃষ্ঠ বিলিনিয়ার ইন্টারপোলেশন কিউবিক হার্মাইট স্প্লাইন, বাইকিউবিক স্প্লাইন ল্যানকজোস রিস্যাম্পলিংয়ের এক-মাত্রিক অ্যানালগ প্রাকৃতিক প্রতিবেশী ইন্টারপোলেশন সিঙ্ক ফিল্টার স্প্লাইন ইন্টারপোলেশন ট্রাইকিউবিক ইন্টারপোলেশন ডাইরেকশনাল কিউবিক কনভোলিউশন ইন্টারপোলেশন রেফারেন্স বাহ্যিক লিঙ্কগুলি উচ্চতার নমুনায় ইন্টারপোলেশন প্রয়োগ ইন্টারপোলেশন তত্ত্ব ব্যাখ্যা এবং জাভা/সি + + (দ্বি) কিউবিক ইন্টারপোলেশন এক্সেল ওয়ার্কশীট ফাংশন প্রয়োগ বাইকিউবিক ল্যাগ্রেঞ্জ ইন্টারপোলেশন ইমেজ প্রসেসিং মাল্টিভ্যারিয়েট ইন্টারপোলেশন