Schwarzschild geodesics
সাধারণ আপেক্ষিকতায়, শোয়ার্জসচাইল্ড ভূগণিত একটি কেন্দ্রীয় স্থির ভরের মহাকর্ষীয় ক্ষেত্রে পরীক্ষার কণাগুলির গতি বর্ণনা করে, অর্থাৎ শোয়ার্জসচাইল্ড মেট্রিকের গতি। আইনস্টাইনের সাধারণ আপেক্ষিকতা তত্ত্বের বৈধকরণে শোয়ার্জসচাইল্ড ভূগণিত গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করেছে। উদাহরণস্বরূপ, তারা সৌরজগতে গ্রহগুলির অস্বাভাবিক অগ্রগমন এবং মাধ্যাকর্ষণ দ্বারা আলোর বিচ্যুতি সম্পর্কে সঠিক ভবিষ্যদ্বাণী প্রদান করে। শোয়ার্জসচাইল্ড ভূগণিত শুধুমাত্র ভরের কণাগুলির গতির সাথে সম্পর্কিত যা এত ছোট যে তারা মহাকর্ষীয় ক্ষেত্রে খুব কম অবদান রাখে। যাইহোক, তারা অনেক জ্যোতিঃপদার্থিক পরিস্থিতিতে অত্যন্ত নির্ভুল হয় যদি তা কেন্দ্রীয় ভরের তুলনায় বহুগুণ ছোট হয়, যেমন, তাদের নক্ষত্রকে প্রদক্ষিণকারী গ্রহগুলির জন্য। শোয়ার্জসচাইল্ড ভূগণিত নির্বিচারে ভরের দুটি বস্তুর আপেক্ষিক গতির একটি ভাল অনুমান, তবে শর্ত থাকে যে শোয়ার্জসচাইল্ড ভর দুটি পৃথক ভরের যোগফলের সমান সেট করা হয় এবং। সাধারণ আপেক্ষিকতায় বাইনারি তারার গতির পূর্বাভাস দেওয়ার ক্ষেত্রে এটি গুরুত্বপূর্ণ। ঐতিহাসিক প্রেক্ষাপটে শোয়ার্জসচাইল্ড মেট্রিকের নামকরণ করা হয়েছে এর আবিষ্কারক কার্ল শোয়ার্জসচাইল্ডের সম্মানে, যিনি আইনস্টাইনের সাধারণ আপেক্ষিকতা তত্ত্ব প্রকাশের মাত্র এক মাস পরে 1915 সালে সমাধানটি খুঁজে পেয়েছিলেন। এটি ছিল তুচ্ছ সমতল স্থান সমাধান ব্যতীত আইনস্টাইনের ক্ষেত্র সমীকরণের প্রথম সঠিক সমাধান। 1931 সালে, ইউসুকে হাগিহারা একটি গবেষণাপত্র প্রকাশ করেন যা দেখায় যে শোয়ার্জসচাইল্ড মেট্রিকের একটি পরীক্ষা কণার গতিপথ উপবৃত্তাকার ফাংশনের পরিপ্রেক্ষিতে প্রকাশ করা যেতে পারে। 1949 সালে স্যামুইল কাপলান দেখিয়েছেন যে শোয়ার্জসচাইল্ড মেট্রিক-এ বৃত্তাকার কক্ষপথের স্থিতিশীল থাকার জন্য ন্যূনতম ব্যাসার্ধ রয়েছে। আইনস্টাইন ক্ষেত্র সমীকরণের একটি সঠিক সমাধান হল শোয়ার্জসচাইল্ড মেট্রিক, যা একটি চার্জবিহীন, অ-ঘূর্ণায়মান, গোলাকারভাবে প্রতিসম ভরের বাহ্যিক মহাকর্ষীয় ক্ষেত্রের সাথে মিলে যায়। Schwarzschild সমাধানটি এমনভাবে লেখা যেতে পারে যেখানে, ছোট ধনাত্মক ভরের একটি পরীক্ষার কণার ক্ষেত্রে, সেকেন্ডে সঠিক সময় (কণার সাথে চলমান একটি ঘড়ি দ্বারা পরিমাপ করা সময়), প্রতি সেকেন্ডে মিটারে আলোর গতিবেগ, কারণ, সেকেন্ডে সময় স্থানাঙ্ক (অসীম সময়ে একটি স্থির ঘড়ি দ্বারা পরিমাপ করা সময়), মিটারের রেডিয়াল স্থানাঙ্ক (নক্ষত্রকে কেন্দ্র করে একটি বৃত্তের পরিধি দ্বারা বিভক্ত), রেডিয়ানের কোল্যাটিটিউড (উত্তর থেকে কোণ), রেডিয়ানের দ্রাঘিমাংশ, এবং বিশাল বস্তুর (মিটারে) Schwarzschild ব্যাসার্ধ, যা তার ভরের সাথে সম্পর্কিত যেখানে মহাকর্ষীয় ধ্রুবক। নিউটনের ধ্রুপদী মাধ্যাকর্ষণ তত্ত্বটি সীমার মধ্যে পুনরুদ্ধার করা হয় কারণ অনুপাত শূন্য হয়। সেই সীমাতে, মেট্রিকটি বিশেষ আপেক্ষিকতা দ্বারা সংজ্ঞায়িত জায়গায় ফিরে আসে। বাস্তবে, এই অনুপাত প্রায় সবসময়ই অত্যন্ত কম। উদাহরণস্বরূপ, পৃথিবীর শোয়ার্জসচাইল্ড ব্যাসার্ধ প্রায় 9 মিমি (ইঞ্চি); পৃথিবীর পৃষ্ঠে, নিউটনীয় মাধ্যাকর্ষণের সংশোধন এক বিলিয়নের মাত্র একটি অংশ। সূর্যের শোয়ার্জসচাইল্ড ব্যাসার্ধ অনেক বড়, প্রায় 2953 মিটার, কিন্তু এর পৃষ্ঠে, অনুপাত এক মিলিয়নে প্রায় 4 অংশ। একটি সাদা বামন তারা অনেক ঘন, কিন্তু এখানেও তার পৃষ্ঠের অনুপাত প্রায় এক মিলিয়নে 250 অংশ। নিউট্রন তারা (যেখানে অনুপাত প্রায় 50 শতাংশ) এবং কৃষ্ণগহ্বরের মতো অতি-ঘন বস্তুর কাছাকাছি এই অনুপাতটি বড় হয়ে যায়। পরীক্ষার কণাগুলির কক্ষপথ বিবেচনা থেকে একটি পরিবর্তনশীলকে বাদ দেওয়ার জন্য আমরা প্রতিসাম্য ব্যবহার করে সমস্যাটিকে সহজ করতে পারি। যেহেতু শোয়ার্জসচাইল্ড মেট্রিক প্রায় প্রতিসম, তাই যে কোনও ভূগণিত যা সেই সমতলে চলতে শুরু করে তা অনির্দিষ্টকালের জন্য সেই সমতলে থাকবে (সমতলটি সম্পূর্ণ ভূগণিত)। অতএব, আমরা স্থানাঙ্ক ব্যবস্থাকে এমনভাবে অভিমুখ করি যাতে কণার কক্ষপথটি সেই সমতলে থাকে এবং স্থানাঙ্কটি এমনভাবে স্থির করি যাতে মেট্রিক (এই সমতলে) গতির দুটি ধ্রুবক (যে মানগুলি সঠিক সময়ের সাথে পরিবর্তিত হয় না) সনাক্ত করা যায় (সিএফ। নীচে প্রদত্ত ব্যুৎপত্তি)। একটি হল মোট শক্তিঃ এবং অন্যটি হল নির্দিষ্ট কৌণিক ভরবেগঃ যেখানে দুটি বস্তুর মোট কৌণিক ভরবেগ, এবং হ্রাসকৃত ভর। যখন, হ্রাসকৃত ভর প্রায় সমান হয়। কখনও কখনও এটা অনুমান করা হয়। বুধ গ্রহের ক্ষেত্রে এই সরলীকরণ আপেক্ষিক প্রভাবের দ্বিগুণেরও বেশি বড় একটি ত্রুটি প্রবর্তন করে। ভূগণিত নিয়ে আলোচনা করার সময়, এটিকে কাল্পনিক হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে, এবং যা গুরুত্বপূর্ণ তা হল ধ্রুবক এবং। সমস্ত সম্ভাব্য ভূগণিতকে অন্তর্ভুক্ত করার জন্য, আমাদের এমন ক্ষেত্রে বিবেচনা করতে হবে যেখানে অসীম (ফোটনের গতিপথ প্রদানকারী) বা কাল্পনিক (ট্যাকিওনিক ভূগণিতের জন্য)। ফোটোনিক ক্ষেত্রে, আমাদের দুটি ধ্রুবকের অনুপাতের সাথে সম্পর্কিত একটি সংখ্যাও নির্দিষ্ট করতে হবে, যথা, যা শূন্য বা অ-শূন্য বাস্তব সংখ্যা হতে পারে। এই ধ্রুবকগুলিকে শোয়ার্জসচাইল্ড মেট্রিকের সংজ্ঞায় প্রতিস্থাপন করলে সঠিক সময়ের একটি ফাংশন হিসাবে ব্যাসার্ধের জন্য গতির একটি সমীকরণ পাওয়া যায়ঃ এর আনুষ্ঠানিক সমাধান হল লক্ষ্য করুন যে বর্গমূলটি ট্যাকিওনিক জিওডেসিকের জন্য কাল্পনিক হবে। যেহেতু অ্যাসিম্পটোটিকভাবে ইন্টিগ্র্যান্ডটি বিপরীত আনুপাতিক, এটি দেখায় যে রেফারেন্স ফ্রেমে যদি এটি পৌঁছায় তবে এটি কখনই পৌঁছানো ছাড়াই তাত্পর্যপূর্ণভাবে তা করে। যাইহোক, একটি ফাংশন হিসাবে, পৌঁছায়। উপরের সমাধানগুলি বৈধ, যদিও ইন্টিগ্র্যান্ডটি সসীম, তবে একটি মোট সমাধানে দুটি বা একটি অনন্ত টুকরো জড়িত থাকতে পারে, প্রতিটি ইন্টিগ্রাল দ্বারা বর্ণিত তবে বর্গমূলের জন্য বিকল্প চিহ্ন সহ। কখন এবং কখন, আমরা এর জন্য এবং স্পষ্টভাবে সমাধান করতে পারিঃ এবং ফোটোনিক জিওডেসিকের জন্য () শূন্য কৌণিক ভরবেগ সহ (যদিও ফোটোনিক ক্ষেত্রে সঠিক সময়টি তুচ্ছ, তবে কেউ একটি অ্যাফিন পরামিতি সংজ্ঞায়িত করতে পারে এবং তারপরে জিওডেসিক সমীকরণের সমাধানটি হল)। আরেকটি সমাধানযোগ্য কেস হল যেটিতে এবং এবং ধ্রুবক। আয়তনে যেখানে এটি সঠিক সময়ের জন্য দেয় এটি ছোট এবং ইতিবাচক সমাধানের কাছাকাছি। সমাধানের বাইরে ট্যাকিওনিক এবং "সঠিক সময়" স্থানের মতোঃ এটি ছোট এবং নেতিবাচক সহ অন্যান্য ট্যাকিওনিক সমাধানের কাছাকাছি। বাইরের ধ্রুবক ট্যাকিওনিক জিওডেসিক ভিতরে একটি ধ্রুবক জিওডেসিক দ্বারা অব্যাহত থাকে না, বরং একটি "সমান্তরাল বাহ্যিক অঞ্চল"-এ অব্যাহত থাকে (ক্রুস্কাল-সেকেরেস স্থানাঙ্ক দেখুন)। অন্যান্য ট্যাকিওনিক দ্রবণ একটি কৃষ্ণগহ্বরে প্রবেশ করতে পারে এবং সমান্তরাল বাহ্যিক অঞ্চলে পুনরায় প্রস্থান করতে পারে। ঘটনা দিগন্তের () অভ্যন্তরে ধ্রুবক সমাধানটি একটি শ্বেতগহ্বরে একটি ধ্রুবক সমাধান দ্বারা অব্যাহত থাকে। যখন কৌণিক ভরবেগ শূন্য না হয় তখন আমরা সঠিক সময়ের উপর নির্ভরশীলতাকে কোণের উপর নির্ভরশীলতা দ্বারা প্রতিস্থাপন করতে পারি যার সংজ্ঞা ব্যবহার করে কক্ষপথের জন্য সমীকরণ পাওয়া যায় যেখানে, সংক্ষিপ্ততার জন্য, দুটি দৈর্ঘ্য-স্কেল এবং, নোট দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে যে ট্যাকিওনিক ক্ষেত্রে, কাল্পনিক এবং বাস্তব বা অসীম হবে। একই সমীকরণটি ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান পদ্ধতি বা হ্যামিল্টন-জ্যাকোবি সমীকরণ ব্যবহার করেও পাওয়া যেতে পারে (নীচে দেখুন)। কক্ষপথ সমীকরণের সমাধান হল এটি ওয়েয়ারস্ট্রাস উপবৃত্তাকার ফাংশনের পরিপ্রেক্ষিতে প্রকাশ করা যেতে পারে। স্থানীয় এবং বিলম্বিত বেগ শাস্ত্রীয় বলবিজ্ঞানের বিপরীতে, শোয়ার্জসচাইল্ড স্থানাঙ্কে এবং স্থানীয় বেগের রেডিয়াল এবং আড়াআড়ি উপাদান নয় (একটি স্থির পর্যবেক্ষকের তুলনায়), পরিবর্তে তারা গতিবেগের জন্য উপাদানগুলি দেয় যা রেডিয়াল এবং গতির আড়াআড়ি উপাদানের সাথে সম্পর্কিত। দৃশ্য থেকে অনেক দূরে স্থানাঙ্ক হিসাবরক্ষক শাপিরো-বিলম্বিত বেগ পর্যবেক্ষণ করেন, যা সম্পর্ক এবং দ্বারা দেওয়া হয়। হিসাবরক্ষক এবং চলমান পরীক্ষা-কণার মধ্যে সময় বিস্তার ফ্যাক্টরটিও এমন আকারে রাখা যেতে পারে যেখানে অঙ্কটি মহাকর্ষীয়, এবং হরটি সময় বিস্তারের গতিবিদ্যার উপাদান। অসীম থেকে পতিত একটি কণার জন্য বাম ফ্যাক্টরটি ডান ফ্যাক্টরের সমান, কারণ এই ক্ষেত্রে পতিত বেগ পালানোর বেগের সাথে মিলে যায়। দুটি ধ্রুবক কৌণিক ভরবেগ এবং ভর সহ একটি পরীক্ষা-কণার মোট শক্তি লরেঞ্জ ফ্যাক্টর এবং সঠিক সময়, যখন ফোটনের মতো ভরহীন কণাগুলির জন্য সেট করা হয় এবং একটি অ্যাফিন পরামিতি হিসাবে কাজ করে। যদি কণাটি ভরহীন হয় এবং এর সাথে প্রতিস্থাপিত হয়, প্ল্যাঙ্ক ধ্রুবক এবং স্থানীয়ভাবে পর্যবেক্ষিত ফ্রিকোয়েন্সি কোথায়। উপবৃত্তাকার ফাংশন ব্যবহার করে সঠিক সমাধান কক্ষপথের মৌলিক সমীকরণটি সমাধান করা সহজ যদি এটি বিপরীত ব্যাসার্ধের পরিপ্রেক্ষিতে প্রকাশ করা হয় এই সমীকরণের ডান দিকটি একটি ঘন বহুপদী, যার তিনটি মূল রয়েছে, যা এখানে হিসাবে চিহ্নিত করা হয়েছে, এবং তিনটি মূলের যোগফল শব্দের সহগের সমান একটি বাস্তব সহগ সহ একটি ঘন বহুপদীর তিনটি বাস্তব মূল থাকতে পারে, অথবা একটি বাস্তব মূল এবং দুটি জটিল সংযুক্ত মূল থাকতে পারে। যদি তিনটি মূলই বাস্তব সংখ্যা হয়, তবে মূলগুলিকে এমনভাবে চিহ্নিত করা হয়। পরিবর্তে যদি শুধুমাত্র একটি বাস্তব মূল থাকে, তবে সেটি হিসাবে চিহ্নিত করা হয়; জটিল কনজুগেট মূলগুলি লেবেল করা হয় এবং। ডেসকার্টেসের চিহ্নের নিয়ম ব্যবহার করে, সর্বাধিক একটি নেতিবাচক মূল থাকতে পারে; যদি এবং শুধুমাত্র যদি নেতিবাচক হয়। নীচে যেমন আলোচনা করা হয়েছে, সম্ভাব্য কক্ষপথের ধরন নির্ধারণে শিকড়গুলি কার্যকর। মূলগুলির এই লেবেলের পরিপ্রেক্ষিতে, মৌলিক কক্ষীয় সমীকরণের সমাধান হল যেখানে ফাংশনটি (জ্যাকোবি উপবৃত্তাকার ফাংশনগুলির মধ্যে একটি) প্রতিনিধিত্ব করে এবং এটি প্রাথমিক অবস্থানকে প্রতিফলিত করে একীকরণের একটি ধ্রুবক। এই উপবৃত্তাকার ফাংশনের উপবৃত্তাকার মডুলাস নিউটনীয় সীমা সূত্র দ্বারা দেওয়া হয় গ্রহের কক্ষপথের জন্য নিউটনীয় সমাধান পুনরুদ্ধার করতে, শোয়ার্জসচাইল্ড ব্যাসার্ধ শূন্যে যাওয়ার সাথে সাথে একটি সীমা নেয়। এই ক্ষেত্রে, তৃতীয় মূলটি মোটামুটিভাবে বা এর চেয়ে অনেক বড় হয়ে যায়। অতএব, মডুলাস শূন্যের দিকে ঝুঁকে যায়; সেই সীমাতে, ত্রিকোণমিতিক সাইন ফাংশন হয়ে ওঠে গ্রহের গতির জন্য নিউটনের সমাধানের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ, এই সূত্রটি উৎকেন্দ্রিকতার একটি ফোকাল শঙ্কু বর্ণনা করে যদি একটি ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যা হয়, তবে কক্ষপথটি একটি উপবৃত্তাকার যেখানে এবং যথাক্রমে সবচেয়ে দূরবর্তী এবং নিকটতম পদ্ধতির দূরত্বকে উপস্থাপন করে। যদি শূন্য বা ঋণাত্মক বাস্তব সংখ্যা হয়, তবে কক্ষপথটি যথাক্রমে একটি প্যারাবোলা বা একটি হাইপারবোলা। এই পরবর্তী দুটি ক্ষেত্রে, নিকটতম পদ্ধতির দূরত্বকে উপস্থাপন করে; যেহেতু কক্ষপথটি অনন্ত ()-এ যায়, তাই দূরবর্তী পদ্ধতির কোনও দূরত্ব নেই। সম্ভাব্য কক্ষপথের মূল এবং সংক্ষিপ্ত বিবরণ একটি মূল কক্ষপথের এমন একটি বিন্দুকে উপস্থাপন করে যেখানে অন্তরজ অদৃশ্য হয়ে যায়, অর্থাৎ, কোথায়। এই ধরনের সন্ধিক্ষণে, দ্বিতীয় অন্তরজটির মানের উপর নির্ভর করে সর্বাধিক, ন্যূনতম বা একটি প্রতিফলন বিন্দুতে পৌঁছায়, যা সূত্র দ্বারা দেওয়া হয় যদি তিনটি মূলই স্বতন্ত্র বাস্তব সংখ্যা হয়, তবে দ্বিতীয় অন্তরজটি যথাক্রমে ধনাত্মক, ঋণাত্মক এবং ধনাত্মক হয়। এটি অনুসরণ করে যে, u বনাম φ-এর একটি গ্রাফ হয় u1 এবং u2-এর মধ্যে দোলায়মান হতে পারে, অথবা এটি u3 থেকে অনন্তের দিকে সরে যেতে পারে (যা r-এর শূন্যে যাওয়ার সাথে মিলে যায়)। যদি u1 ঋণাত্মক হয়, তবে একটি "দোলন"-এর শুধুমাত্র একটি অংশ আসলে ঘটবে। এটি অসীম থেকে আসা কণার সাথে মিলে যায়, কেন্দ্রীয় ভরের কাছাকাছি চলে যায় এবং তারপর আবার অনন্তের দিকে সরে যায়, যেমন ধ্রুপদী সমাধানে হাইপারবোলিক ট্র্যাজেক্টোরি। যদি কণার কৌণিক ভরবেগের জন্য সঠিক পরিমাণ শক্তি থাকে, তবে u2 এবং u3 একত্রিত হবে। এই ক্ষেত্রে তিনটি সমাধান রয়েছে। কক্ষপথটি সর্পিল হয়ে যেতে পারে, সেই ব্যাসার্ধের কাছে (অ্যাসিম্পটোটিক্যালি) φ, বা-তে হ্রাসমান সূচকীয় হিসাবে পৌঁছতে পারে। অথবা সেই ব্যাসার্ধে একটি বৃত্তাকার কক্ষপথ থাকতে পারে। অথবা একজনের এমন একটি কক্ষপথ থাকতে পারে যা সেই ব্যাসার্ধ থেকে কেন্দ্রীয় বিন্দু পর্যন্ত সর্পিলভাবে নিচে নেমে যায়। প্রশ্নযুক্ত ব্যাসার্ধকে অভ্যন্তরীণ ব্যাসার্ধ বলা হয় এবং এটি 3 গুণ rs এর মধ্যে থাকে। একটি বৃত্তাকার কক্ষপথও সমান হলে ফলাফল দেয় এবং এটিকে বাইরের ব্যাসার্ধ বলা হয়। এই বিভিন্ন ধরনের কক্ষপথগুলি নীচে আলোচনা করা হয়েছে। যদি কণাটি পর্যাপ্ত শক্তি এবং পর্যাপ্ত কম কৌণিক ভরবেগ সহ কেন্দ্রীয় ভরের কাছে আসে তবেই তা বাস্তব হবে। এটি একটি কৃষ্ণগহ্বরে পতিত কণার সাথে মিলে যায়। কক্ষপথটি φ-তে একটি সীমাবদ্ধ পরিবর্তনের সাথে সর্পিল হয়। কক্ষপথের অগ্রগমন ফাংশন sn এবং এর বর্গ sn2-এর পর্যায়কাল যথাক্রমে 4K এবং 2K, যেখানে K-কে সমীকরণ দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়। অতএব, φ-এর একটি দোলন (বা, সমতুল্যভাবে, একটি দোলন)-এর উপর পরিবর্তন সমান হয়। ধ্রুপদী সীমাতে, u3 কাছাকাছি আসে এবং বা-এর চেয়ে অনেক বড় হয়। যেহেতু মডুলাসটি শূন্যের কাছাকাছি, তাই K সময়কালকে এর শক্তিতে প্রসারিত করা যেতে পারে; সর্বনিম্ন ক্রমে, এই সম্প্রসারণ ফলন এই অনুমানগুলিকে αφ-এর সূত্রে প্রতিস্থাপিত করে একটি উপবৃত্তাকার কক্ষপথের জন্য প্রতি রেডিয়াল দোলন কৌণিক অগ্রগতির জন্য একটি সূত্র দেয় এবং যথাক্রমে দীর্ঘতম এবং সংক্ষিপ্ততম দূরত্বের বিপরীতকে উপস্থাপন করে। এগুলি উপবৃত্তাকারের আধা-প্রধান অক্ষ এবং তার কক্ষীয় উৎকেন্দ্রিকতা অনুসারে প্রকাশ করা যেতে পারে, যা আলোর সংজ্ঞা প্রতিস্থাপন করে চূড়ান্ত সমীকরণ দেয় মাধ্যাকর্ষণ দ্বারা আলোর বাঁক দেওয়া সীমাতে কণার ভর m শূন্যে যাওয়ার সাথে সাথে (বা, সমতুল্যভাবে যদি আলো সরাসরি কেন্দ্রীয় ভরের দিকে যায়, যেমন দৈর্ঘ্য-স্কেল a অনন্তের দিকে যায়), কক্ষপথের সমীকরণটি এর শক্তিতে প্রসারিত হয়, এই সূত্রের শীর্ষস্থানীয় ক্রম পদটি অসীম থেকে আসা এবং অনন্তের দিকে ফিরে যাওয়া একটি ভরহীন কণার জন্য আনুমানিক কৌণিক বিচ্যুতি δφ দেয়ঃ এখানে, প্রভাব পরামিতিটি, নিকটতম পদ্ধতির দূরত্বের চেয়ে কিছুটা বেশি, এখানেঃ যদিও এই সূত্রটি আনুমানিক, এটি হল সূর্যের পৃষ্ঠকে হালকা চারণের জন্য, আনুমানিক কৌণিক বিচ্যুতি প্রায় 1.75 আর্কসেকেন্ড, যা একটি বৃত্তের প্রায় দশ লক্ষতম অংশ। নিউটনীয় পদার্থবিজ্ঞানের সাথে সম্পর্ক কার্যকরী রেডিয়াল সম্ভাব্য শক্তি উপরে প্রাপ্ত কণার গতির সমীকরণটি শোয়ার্জসচাইল্ড ব্যাসার্ধ rs-এর সংজ্ঞা ব্যবহার করে পুনর্লিখন করা যেতে পারে যা এক-মাত্রিক কার্যকরী সম্ভাবনায় চলমান কণার সমতুল্য প্রথম দুটি পদ সুপরিচিত শাস্ত্রীয় শক্তি, প্রথমটি আকর্ষণীয় নিউটনীয় মহাকর্ষীয় সম্ভাব্য শক্তি এবং দ্বিতীয়টি বিকর্ষণকারী "কেন্দ্রত্যাগী" সম্ভাব্য শক্তির সাথে সম্পর্কিত; তবে, তৃতীয় পদটি সাধারণ আপেক্ষিকতার জন্য অনন্য একটি আকর্ষণীয় শক্তি। নীচে এবং অন্যত্র যেমন দেখানো হয়েছে, এই বিপরীত-ঘনক শক্তি উপবৃত্তাকার কক্ষপথগুলিকে ধীরে ধীরে একটি কোণ δφ প্রতি ঘূর্ণন দ্বারা অগ্রসর করে যেখানে আধা-প্রধান অক্ষ এবং উৎকেন্দ্রিকতা। তৃতীয় পদটি আকর্ষণীয় এবং ছোট মানগুলিতে আধিপত্য বিস্তার করে, যা একটি সমালোচনামূলক অভ্যন্তরীণ ব্যাসার্ধ প্রদান করে যেখানে একটি কণা অনিবার্যভাবে ভিতরের দিকে টানা হয়; এই অভ্যন্তরীণ ব্যাসার্ধ হল প্রতি একক ভর কণার কৌণিক ভরবেগের একটি ফাংশন বা সমতুল্যভাবে, উপরে সংজ্ঞায়িত দৈর্ঘ্য-স্কেল। বৃত্তাকার কক্ষপথ এবং তাদের স্থায়িত্ব কার্যকর সম্ভাব্যতা দৈর্ঘ্যের পরিপ্রেক্ষিতে পুনরায় লেখা যেতে পারে। বৃত্তাকার কক্ষপথ সম্ভব হয় যখন কার্যকরী বল শূন্য হয়, অর্থাৎ যখন দুটি আকর্ষণীয় বল-নিউটনীয় মাধ্যাকর্ষণ (প্রথম পদ) এবং সাধারণ আপেক্ষিকতার অনন্য আকর্ষণ (তৃতীয় পদ)-বিকর্ষণ কেন্দ্রত্যাগী বল (দ্বিতীয় পদ) দ্বারা সঠিকভাবে ভারসাম্যপূর্ণ হয়। দুটি ব্যাসার্ধ রয়েছে যেখানে এই ভারসাম্য ঘটতে পারে, যা এখানে রিনার এবং রাউটার হিসাবে চিহ্নিত করা হয়েছে যা দ্বিঘাত সূত্র ব্যবহার করে প্রাপ্ত হয়। অভ্যন্তরীণ ব্যাসার্ধের রিনারটি অস্থির, কারণ r ছোট হয়ে গেলে আকর্ষণীয় তৃতীয় বলটি অন্য দুটি বলের তুলনায় অনেক দ্রুত শক্তিশালী হয়; যদি কণাটি রিনার থেকে সামান্য ভিতরের দিকে পিছলে যায় (যেখানে তিনটি বলই ভারসাম্যে থাকে), তবে তৃতীয় বলটি অন্য দুটিকে প্রভাবিত করে এবং কণাটিকে অনিবার্যভাবে r = 0-এর দিকে টেনে নিয়ে যায়। বাইরের ব্যাসার্ধে, বৃত্তাকার কক্ষপথগুলি স্থিতিশীল; তৃতীয় পদটি কম গুরুত্বপূর্ণ এবং সিস্টেমটি অ-আপেক্ষিক কেপলার সমস্যার মতো আচরণ করে। যখন (ধ্রুপদী ক্ষেত্রে) এর চেয়ে অনেক বেশি হয়, তখন এই সূত্রগুলি প্রায় পরিণত হয় এবং rs কে রাউটারে প্রতিস্থাপন করলে ভরের একটি বস্তুকে প্রদক্ষিণকারী ভরের কণার জন্য ধ্রুপদী সূত্র পাওয়া যায়। যেখানে ωφ হল কণার কক্ষীয় কৌণিক গতি। এই সূত্রটি অ-আপেক্ষিক বলবিজ্ঞানে নিউটনীয় মহাকর্ষীয় বলের সমান কেন্দ্রত্যাগী বল নির্ধারণ করে প্রাপ্ত হয়ঃ হ্রাসকৃত ভর কোথায়? আমাদের স্বরলিপিতে, ধ্রুপদী কক্ষীয় কৌণিক গতি সমান অপর প্রান্তে, যখন a2 উপর থেকে 3r2-এর কাছে পৌঁছায়, তখন দুটি ব্যাসার্ধ একটি একক মানের সাথে মিলিত হয় উপরের দ্বিঘাত সমাধানগুলি নিশ্চিত করে যে রাউটার সর্বদা 3r-এর চেয়ে বড়, যেখানে রিনার rs এবং 3r-এর মধ্যে থাকে। rs এর চেয়ে ছোট বৃত্তাকার কক্ষপথ সম্ভব নয়। ভরহীন কণাগুলির জন্য, a অনন্ততায় যায়, যা বোঝায় যে রিনার = rs এ ফোটনগুলির জন্য একটি বৃত্তাকার কক্ষপথ রয়েছে। এই ব্যাসার্ধের গোলককে কখনও কখনও ফোটন গোলক বলা হয়। উপবৃত্তাকার কক্ষপথের অগ্রগমন এই রেডিয়াল কার্যকরী সম্ভাব্যতা ভি ব্যবহার করে কক্ষপথের অগ্রগতির হার অর্জন করা যেতে পারে। ব্যাসার্ধ রাউটারের একটি বৃত্তাকার কক্ষপথ থেকে একটি ছোট রেডিয়াল বিচ্যুতি একটি কৌণিক ফ্রিকোয়েন্সি সহ স্থিরভাবে দোলন করবে যা সমান উভয় পক্ষের বর্গমূল গ্রহণ করে এবং একটি টেলর সিরিজ সম্প্রসারণ ফলন সম্পাদন করে একটি ঘূর্ণনের সময়কাল টি দ্বারা গুণ করলে প্রতি ঘূর্ণন কক্ষপথের অগ্রগমন পাওয়া যায় যেখানে আমরা ωφT = 2p ব্যবহার করেছি এবং দৈর্ঘ্য-স্কেলের সংজ্ঞা a। শোয়ার্জসচাইল্ড ব্যাসার্ধের সংজ্ঞা প্রতিস্থাপন করলে rs পাওয়া যায় এটি উপবৃত্তাকার কক্ষপথের সেমিঅ্যাক্সিস এ এবং সূত্র দ্বারা সম্পর্কিত উৎকেন্দ্রিকতা ই ব্যবহার করে সরল করা যেতে পারে যাতে কক্ষীয় সমীকরণ ক্রিস্টোফেলের গাণিতিক ব্যুৎপত্তি পাওয়া যায় শোয়ার্জসচাইল্ড-মেট্রিকের অ-বিলুপ্ত ক্রিস্টোফেল প্রতীকগুলি হলঃ জিওডেসিক সমীকরণ আইনস্টাইনের সাধারণ আপেক্ষিকতার তত্ত্ব অনুসারে, স্থান-সময়ে ভূগণিত বরাবর নগণ্য ভর ভ্রমণের কণাগুলি। সমতল স্থান-সময়ে, মাধ্যাকর্ষণের উৎস থেকে অনেক দূরে, এই ভূগণিতগুলি সরলরেখার সাথে মিলে যায়; তবে, স্থান-সময় বাঁকানো থাকলে তারা সরলরেখা থেকে বিচ্যুত হতে পারে। জিওডেসিক রেখার সমীকরণটি হল যেখানে কুলু ক্রিস্টোফেল প্রতীককে উপস্থাপন করে এবং পরিবর্তনশীল স্থান-সময়ের মধ্য দিয়ে কণার পথকে প্যারামিট্রাইজ করে, যা তার তথাকথিত বিশ্ব রেখা। ক্রিস্টোফেল প্রতীক শুধুমাত্র মেট্রিক টেনসরের উপর নির্ভর করে, অথবা এটি কীভাবে অবস্থানের সাথে পরিবর্তিত হয় তার উপর নির্ভর করে। পরিবর্তনশীল হল সময়সাপেক্ষ কক্ষপথের জন্য সঠিক সময়ের একটি ধ্রুবক গুণিতক (যা বিশাল কণা দ্বারা ভ্রমণ করা হয়), এবং সাধারণত এটির সমান বলে মনে করা হয়। হালকা (বা শূন্য) কক্ষপথের জন্য (যা ফোটনের মতো ভরহীন কণা দ্বারা ভ্রমণ করা হয়), সঠিক সময় শূন্য এবং কঠোরভাবে বলতে গেলে, পরিবর্তনশীল হিসাবে ব্যবহার করা যায় না। তবুও, আলোর মতো কক্ষপথগুলি সময়সাপেক্ষ কক্ষপথের অতি-আপেক্ষিক সীমা হিসাবে উদ্ভূত করা যেতে পারে, অর্থাৎ, মোট শক্তি স্থির রেখে m কণার ভর শূন্যে যাওয়ার সীমা। অতএব, একটি কণার গতির জন্য সমাধান করার সবচেয়ে সহজ উপায় হল ভূগণিত সমীকরণ সমাধান করা, যা আইনস্টাইন এবং অন্যান্যদের দ্বারা গৃহীত একটি পদ্ধতি। শোয়ার্জসচাইল্ড মেট্রিকটি এমনভাবে লেখা যেতে পারে যেখানে দুটি ফাংশন এবং এর পারস্পরিক সংক্ষিপ্ততার জন্য সংজ্ঞায়িত করা হয়। এই মেট্রিক থেকে, ক্রিস্টোফেল চিহ্নগুলি গণনা করা যেতে পারে এবং ফলাফলগুলি জিওডেসিক সমীকরণে প্রতিস্থাপিত হতে পারে এটি যাচাই করা যেতে পারে যে এই চারটি সমীকরণের প্রথমটিতে প্রতিস্থাপনের মাধ্যমে এটি একটি বৈধ সমাধান। প্রতিসাম্য অনুসারে, কক্ষপথটি অবশ্যই সমতলীয় হতে হবে এবং আমরা স্থানাঙ্ক কাঠামোটি সাজানোর জন্য স্বাধীন যাতে নিরক্ষীয় সমতলটি কক্ষপথের সমতল হয়। এই সমাধানটি দ্বিতীয় এবং চতুর্থ সমীকরণকে সহজতর করে। দ্বিতীয় এবং তৃতীয় সমীকরণগুলি সমাধান করার জন্য, তাদের যথাক্রমে এবং দ্বারা ভাগ করা যথেষ্ট। যা গতির দুটি ধ্রুবক উৎপন্ন করে। যেহেতু পরীক্ষার কণাগুলি একটি নির্দিষ্ট মেট্রিকের ভূগণিত অনুসরণ করে, তাই সেই কণাগুলির কক্ষপথগুলি বৈচিত্র্যের ক্যালকুলাস ব্যবহার করে নির্ধারণ করা যেতে পারে, যাকে ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান পদ্ধতিও বলা হয়। স্থান-সময়ে ভূগণিতকে এমন বক্ররেখা হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় যার জন্য তাদের স্থানাঙ্কে ছোট স্থানীয় বৈচিত্র্যগুলি (তাদের শেষ বিন্দুর ঘটনাগুলিকে স্থির রাখার সময়) তাদের সামগ্রিক দৈর্ঘ্যে কোনও উল্লেখযোগ্য পরিবর্তন করে না। এটি গাণিতিকভাবে বৈচিত্র্যের ক্যালকুলাস ব্যবহার করে প্রকাশ করা যেতে পারে যেখানে τ হল সঠিক সময়, s = cτ হল স্থান-সময়ের চাপ-দৈর্ঘ্য এবং T কে গতিশক্তির সাথে সাদৃশ্য হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। যদি সঠিক সময়ের সাপেক্ষে ব্যুৎপত্তিটি সংক্ষিপ্ততার জন্য একটি বিন্দু দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয়, তবে টি-কে ধ্রুবক কারণ হিসাবে লেখা যেতে পারে (যেমন সি বা দুটির বর্গমূল) যা পরিবর্তনশীল সমস্যার উত্তরকে প্রভাবিত করে না; অতএব, অবিচ্ছেদ্য ফলন হ্যামিল্টনের নীতির অভ্যন্তরে পরিবর্তনশীল সমস্যার সমাধান ল্যাগ্রাঞ্জের সমীকরণ দ্বারা দেওয়া হয় যখন টি এবং φ-তে প্রয়োগ করা হয়, তখন এই সমীকরণগুলি গতির দুটি ধ্রুবক প্রকাশ করে যা দুটি ধ্রুবক দৈর্ঘ্য-স্কেলের পরিপ্রেক্ষিতে প্রকাশ করা যেতে পারে এবং উপরে যেমন দেখানো হয়েছে, শোয়ার্জসচাইল্ড মেট্রিকের সংজ্ঞায় এই সমীকরণগুলির প্রতিস্থাপন কক্ষপথের জন্য সমীকরণ প্রদান করে। হ্যামিল্টনিয়ান পদ্ধতি একটি ল্যাগ্রেঞ্জিয়ান সমাধানকে সমতুল্য হ্যামিল্টনিয়ান আকারে পুনর্বিন্যাস করা যেতে পারে। এই ক্ষেত্রে, হ্যামিল্টনিয়ান দ্বারা দেওয়া হয় আরও একবার, কক্ষপথটি প্রতিসাম্য দ্বারা সীমাবদ্ধ হতে পারে। যেহেতু এবং হ্যামিল্টনিয়ানে উপস্থিত হয় না, তাই তাদের কনজুগেট মোমেন্টা ধ্রুবক; এগুলি আলোর গতি এবং দুটি ধ্রুবক দৈর্ঘ্য-স্কেলের পরিপ্রেক্ষিতে প্রকাশ করা যেতে পারে এবং সঠিক সময়ের সাপেক্ষে ব্যুৎপত্তিগুলি প্রথম সমীকরণটিকে দ্বিতীয় দ্বারা ভাগ করে কক্ষীয় সমীকরণ পাওয়া যায় রেডিয়াল ভরবেগ পিআর হ্যামিল্টনিয়ানের স্থায়িত্ব ব্যবহার করে r এর পরিপ্রেক্ষিতে প্রকাশ করা যেতে পারে; এটি মৌলিক কক্ষীয় সমীকরণ হ্যামিল্টন-জ্যাকোবি পদ্ধতির ফলাফল দেয়। এই পদ্ধতির সুবিধা হল যে এটি একটি তরঙ্গের প্রসারণের সাথে কণার গতিকে সমান করে এবং ফারমাটের নীতির মাধ্যমে সাধারণ আপেক্ষিকতায় মাধ্যাকর্ষণ দ্বারা আলোর বিচ্যুতির উৎপত্তি ঘটায়। মূল ধারণাটি হল, সময়ের মহাকর্ষীয় ধীরগতির কারণে, মহাকর্ষীয় ভরের কাছাকাছি একটি তরঙ্গ-সম্মুখভাগের অংশগুলি আরও দূরে থাকা তরঙ্গ-সম্মুখভাগের তুলনায় আরও ধীরে ধীরে সরে যায়, এইভাবে তরঙ্গ-সম্মুখভাগের প্রসারণের দিকটি বাঁকানো হয়। সাধারণ সহপরিবর্তন ব্যবহার করে একক ভরের একক কণার জন্য হ্যামিল্টন-জ্যাকোবি সমীকরণটি নির্বিচারে স্থানাঙ্কে প্রকাশ করা যেতে পারে কারণ এটি উপরের হ্যামিল্টনিয়ান গঠনের সমতুল্য, ক্রিয়ার আংশিক ব্যুৎপত্তিগুলি সাধারণীকৃত মোমেন্টার স্থান নেয়। শোয়ার্জসচাইল্ড মেট্রিক জি. এম. ইউ. এন ব্যবহার করে, এই সমীকরণটি হয়ে ওঠে যেখানে আমরা আবার কক্ষপথের সমতলের সাথে গোলাকার স্থানাঙ্ক ব্যবস্থাকে অভিমুখ করি। সময় t এবং আজিমুথাল কোণ φ হল চক্রীয় স্থানাঙ্ক, যাতে হ্যামিল্টনের প্রধান ফাংশন S-এর সমাধানটি লেখা যায় যেখানে এবং ধ্রুবক সাধারণীকৃত ভরবেগ। হ্যামিল্টন-জ্যাকোবি সমীকরণটি রেডিয়াল অংশের জন্য একটি অবিচ্ছেদ্য সমাধান দেয় সংরক্ষিত ভরবেগ pφ ফলন সম্পর্কিত হ্যামিল্টনের প্রধান ফাংশন S-এর ডেরিভেটিভ গ্রহণ করে যা সমান হয় φ এবং r-এ একটি অসীম বৈচিত্র্য গ্রহণ করলে মৌলিক কক্ষীয় সমীকরণ পাওয়া যায় যেখানে সংরক্ষিত দৈর্ঘ্য-স্কেল a এবং b হ্যামিল্টনের নীতি দ্বারা সংরক্ষিত মোমেন্টা দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়। যদি কেউ এটিতে বৈচিত্র্যের ক্যালকুলাস প্রয়োগ করে, তবে আবার একটি জিওডেসিকের জন্য সমীকরণ পায়। গণনাগুলি সহজ করার জন্য, প্রথমে ইন্টিগ্র্যাণ্ডের বর্গক্ষেত্রের বৈচিত্র্য নেওয়া হয়। এই ক্ষেত্রে মেট্রিক এবং স্থানাঙ্কের জন্য এবং ধরে নেওয়া হয় যে কণাটি নিরক্ষীয় সমতলে চলছে, সেই বর্গটি এর পরিবর্তন গ্রহণ করলে দ্রাঘিমাংশের সাপেক্ষে গতি পরিবর্তিত হয় এবং কেবলমাত্র ইন্টিগ্র্যাণ্ডের বৈচিত্র্য পেতে বিভাজিত হয়। ইন্টিগ্রালটিকে একটি বিপরীত পছন্দ দ্বারা অ-শূন্য করা যেতে পারে যদি না ভিতরে থাকা অন্য ফ্যাক্টরটি সর্বত্র শূন্য হয়। সুতরাং গতির সমীকরণ হল সময়ের সাপেক্ষে গতি, শুধুমাত্র ইন্টিগ্র্যাণ্ডের বৈচিত্র্য পেতে সময়ের সাপেক্ষে পরিবর্তিত হয়, এইভাবে অংশ দ্বারা ইন্টিগ্রেট করলে পাওয়া যায়, সুতরাং গতির সমীকরণটি হল সংরক্ষিত মোমেন্টা, এই গতির সমীকরণগুলিকে ইন্টিগ্রেশনের ধ্রুবক নির্ধারণের জন্য ইন্টিগ্রেট করুন, যা গতির ধ্রুবক (কৌণিক ভরবেগ) এবং (শক্তি)-এর জন্য এই দুটি সমীকরণকে একত্রিত করে একটি সমীকরণ তৈরি করা যেতে পারে যা ফোটন এবং অন্যান্য ভরহীন কণাগুলির ক্ষেত্রেও সত্য, যার জন্য একটি জিওডেসিক বরাবর সঠিক সময় শূন্য। রেডিয়াল গতি প্রতিস্থাপন এবং মেট্রিক সমীকরণে (এবং ব্যবহার করে) কোনটি থেকে পাওয়া যায় যা গতির সমীকরণ। এর উপর নির্ভরশীলতা খুঁজে পাওয়া যেতে পারে এটিকে ভাগ করে যা এমনকি ভরবিহীন কণাগুলির ক্ষেত্রেও সত্য। যদি দৈর্ঘ্যের স্কেলগুলি দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয় এবং তারপরে এর উপর নির্ভরতা সহজতর হয় আরও দেখুন সাধারণ আপেক্ষিকতায় ধ্রুপদী কেন্দ্রীয়-শক্তি সমস্যা ফ্রেম ক্ষেত্রগুলি কেপলার সমস্যা সাধারণ আপেক্ষিকতায় দ্বি-দেহ সমস্যা উল্লেখ গ্রন্থপঞ্জি শোয়ার্জসচাইল্ড, কে। (1916)। গ্র্যাভিটেশনসফেল্ড আইনস্টাইনের তত্ত্বের উপর কর্তৃত্ব করেন। একাডেমির প্রথম বিভাগ, 189-196। মূল কাগজের মূল কাগজের পাঠ্যের স্ক্যান, উইকিসোর্স অনুবাদে অ্যান্টোসি এবং লোইঙ্গার কাগজের উপর একটি ভাষ্য দিয়েছেন, যা একটি সহজ ব্যুৎপত্তি প্রদান করে শোয়ার্জসচাইল্ড, কে। (1916)। ইউবার দাস গ্র্যাভিটেশনসফেল্ড এইনার কুগেল অস ইঙ্কম্প্রেসিবলার ফ্লুসিগকিট। 1, 424-------------------------- - (মাধ্যাকর্ষণ (বই) দেখুন।) বাহ্যিক লিঙ্ক কেভিন ব্রাউন রচিত রিফ্লেকশনস অন রিলেটিভিটি থেকে উদ্ধৃতাংশ। সাধারণ আপেক্ষিকতায় সঠিক সমাধান