Local property
গণিতে, একটি গাণিতিক বস্তু স্থানীয়ভাবে একটি বৈশিষ্ট্যকে সন্তুষ্ট করে বলে মনে করা হয়, যদি বৈশিষ্ট্যটি বস্তুর কিছু সীমিত, তাৎক্ষণিক অংশে সন্তুষ্ট হয় (যেমন, বিন্দুর কিছু পর্যাপ্ত ছোট বা নির্বিচারে ছোট পাড়ায়)। একটি ফাংশনের উপর একটি বিন্দুর বৈশিষ্ট্য সম্ভবত স্থানীয়তার ধারণার সর্বাধিক পরিচিত উদাহরণ স্থানীয় ন্যূনতম (বা স্থানীয় সর্বাধিক) ধারণার মধ্যে রয়েছে, যা এমন একটি ফাংশনের একটি বিন্দু যার কার্যকরী মান পয়েন্টের নিকটবর্তী অঞ্চলের মধ্যে সবচেয়ে ছোট (রেসপ., বৃহত্তম)। এটি বিশ্বব্যাপী ন্যূনতম (বা বিশ্বব্যাপী সর্বাধিক) ধারণার সাথে বিপরীত হতে হবে, যা তার সমগ্র ডোমেন জুড়ে ফাংশনের ন্যূনতম (রেসপ., সর্বাধিক) এর সাথে মিলে যায়। একটি একক স্থানের বৈশিষ্ট্য কখনও কখনও বলা হয় যে একটি টপোলজিকাল স্থান স্থানীয়ভাবে একটি সম্পত্তি প্রদর্শন করে, যদি সম্পত্তিটি নিম্নলিখিত উপায়গুলির মধ্যে একটিতে প্রতিটি বিন্দুর "কাছাকাছি" প্রদর্শিত হয়ঃ প্রতিটি বিন্দুর একটি প্রতিবেশী রয়েছে যা সম্পত্তি প্রদর্শন করে; প্রতিটি বিন্দুর একটি প্রতিবেশী ভিত্তি রয়েছে যা সম্পত্তি প্রদর্শন করে। এখানে লক্ষ্য করুন যে শর্ত (2) বেশিরভাগ ক্ষেত্রে শর্ত (1) এর চেয়ে শক্তিশালী এবং উভয়ের মধ্যে পার্থক্য করার জন্য অতিরিক্ত সতর্কতা অবলম্বন করা উচিত। উদাহরণস্বরূপ, এই শর্তগুলির বিভিন্ন পছন্দের ফলে স্থানীয়ভাবে সংক্ষিপ্ত সংজ্ঞার কিছু বৈচিত্র্য দেখা দিতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, স্থানীয়ভাবে সংহত টপোলজিকাল স্থান স্থানীয়ভাবে সংযুক্ত এবং স্থানীয়ভাবে পথ-সংযুক্ত টপোলজিকাল স্থান স্থানীয়ভাবে হাউজডর্ফ, স্থানীয়ভাবে নিয়মিত, স্থানীয়ভাবে স্বাভাবিক ইত্যাদি। এক জোড়া স্থানের স্থানীয়ভাবে পরিমাপযোগ্য বৈশিষ্ট্য টপোলজিকাল স্থানগুলির মধ্যে সমতুল্যতার কিছু ধারণা (যেমন, হোমিওমরফিজম, ডিফিয়োমরফিজম, আইসোমেট্রি) দেওয়া হলে, দুটি স্থানকে স্থানীয়ভাবে সমতুল্য বলা হয় যদি প্রথম স্থানের প্রতিটি বিন্দুর একটি প্রতিবেশী থাকে যা দ্বিতীয় স্থানের আশেপাশের সমতুল্য হয়। উদাহরণস্বরূপ, বৃত্ত এবং রেখা খুব আলাদা বস্তু। কেউ বৃত্তটিকে রেখার মতো দেখানোর জন্য প্রসারিত করতে পারে না, অথবা ফাঁক বা ওভারল্যাপ ছাড়া বৃত্তের সাথে খাপ খাইয়ে নেওয়ার জন্য রেখাটি সংকুচিত করতে পারে না। যাইহোক, বৃত্তের একটি ছোট টুকরো প্রসারিত করা যেতে পারে এবং লাইনের একটি ছোট টুকরো মত দেখতে সমতল করা যেতে পারে। এই কারণে, কেউ বলতে পারেন যে বৃত্ত এবং রেখা স্থানীয়ভাবে সমতুল্য। একইভাবে, গোলক এবং সমতল স্থানীয়ভাবে সমতুল্য। একটি গোলকের পৃষ্ঠে দাঁড়িয়ে থাকা যথেষ্ট ছোট পর্যবেক্ষক (যেমন, একজন ব্যক্তি এবং পৃথিবী) এটিকে একটি সমতল থেকে আলাদা করতে পারবেন না। অসীম গোষ্ঠীর বৈশিষ্ট্য একটি অসীম গোষ্ঠীর জন্য, একটি "ছোট প্রতিবেশী" কে একটি সীমাবদ্ধভাবে উত্পন্ন উপগোষ্ঠী হিসাবে নেওয়া হয়। একটি অসীম গোষ্ঠীকে স্থানীয়ভাবে পি বলা হয় যদি প্রতিটি সীমিতভাবে উত্পন্ন উপগোষ্ঠী পি হয়। উদাহরণস্বরূপ, একটি গোষ্ঠী স্থানীয়ভাবে সীমাবদ্ধ হয় যদি প্রতিটি সীমিতভাবে উত্পন্ন উপগোষ্ঠী সীমাবদ্ধ হয়, এবং একটি গোষ্ঠী স্থানীয়ভাবে দ্রবণীয় হয় যদি প্রতিটি সীমিতভাবে উত্পন্ন উপগোষ্ঠী দ্রবণীয় হয়। সসীম গোষ্ঠীগুলির বৈশিষ্ট্য সসীম গোষ্ঠীগুলির জন্য, একটি "ছোট প্রতিবেশী" কে একটি মৌলিক সংখ্যা পি-এর পরিপ্রেক্ষিতে সংজ্ঞায়িত একটি উপগোষ্ঠী হিসাবে নেওয়া হয়, সাধারণত স্থানীয় উপগোষ্ঠীগুলি, অ-তুচ্ছ পি-উপগোষ্ঠীর স্বাভাবিককারী। এই ক্ষেত্রে, একটি সম্পত্তি স্থানীয় বলা হয় যদি এটি স্থানীয় উপগোষ্ঠী থেকে সনাক্ত করা যায়। বৈশ্বিক এবং স্থানীয় বৈশিষ্ট্যগুলি সীমাবদ্ধ সহজ গোষ্ঠীগুলির শ্রেণিবিন্যাসের প্রাথমিক কাজের একটি উল্লেখযোগ্য অংশ গঠন করেছিল, যা 1960-এর দশকে পরিচালিত হয়েছিল। বিনিময়যোগ্য বলয়ের বৈশিষ্ট্য বিনিময়যোগ্য বলয়ের জন্য, বীজগাণিতিক জ্যামিতির ধারণাগুলি একটি বলয়ের একটি "ছোট প্রতিবেশী" কে একটি মৌলিক আদর্শের স্থানীয়করণ হিসাবে গ্রহণ করা স্বাভাবিক করে তোলে। এই ক্ষেত্রে, কোনও সম্পত্তি স্থানীয় বলয় থেকে সনাক্ত করা গেলে তাকে স্থানীয় বলা হয়। উদাহরণস্বরূপ, একটি বিনিময়যোগ্য বলয়ের উপর একটি সমতল মডিউল হওয়া একটি স্থানীয় বৈশিষ্ট্য, তবে একটি মুক্ত মডিউল হওয়া নয়। আরও তথ্যের জন্য, একটি মডিউলের স্থানীয়করণ দেখুন। আরও দেখুন স্থানীয় পথ সংযোগ রেফারেন্স সাধারণ টপোলজি সমরূপতা