Topological property
টপোলজি এবং গণিতের সম্পর্কিত ক্ষেত্রে, একটি টপোলজিকাল বৈশিষ্ট্য বা টপোলজিকাল অপরিবর্তনীয় একটি টপোলজিকাল স্থানের একটি বৈশিষ্ট্য যা সমরূপতার অধীনে অপরিবর্তনীয়। বিকল্পভাবে, একটি টপোলজিক্যাল বৈশিষ্ট্য হল টপোলজিক্যাল স্পেসের একটি যথাযথ শ্রেণী যা হোমিওমরফিজমের অধীনে বন্ধ থাকে। অর্থাৎ, স্থানের একটি বৈশিষ্ট্য হল একটি টপোলজিকাল বৈশিষ্ট্য যদি যখনই কোনও স্থান X-এর সেই বৈশিষ্ট্যটি থাকে তখন X-এর প্রতিটি সমরূপ স্থান সেই বৈশিষ্ট্যটির অধিকারী হয়। অনানুষ্ঠানিকভাবে, একটি টপোলজিকাল সম্পত্তি হল স্থানের একটি বৈশিষ্ট্য যা খোলা সেট ব্যবহার করে প্রকাশ করা যেতে পারে। টপোলজিতে একটি সাধারণ সমস্যা হল দুটি টপোলজিকাল স্পেস হোমিওমরফিক কিনা তা নির্ধারণ করা। দুটি স্থান সমরূপ নয় তা প্রমাণ করার জন্য, একটি টপোলজিকাল বৈশিষ্ট্য খুঁজে বের করা যথেষ্ট যা তাদের দ্বারা ভাগ করা হয় না। টপোলজিক্যাল বৈশিষ্ট্যের বৈশিষ্ট্য একটি বৈশিষ্ট্যঃ বংশগত, যদি প্রতিটি টপোলজিক্যাল স্থান এবং উপসেটের জন্য সাবস্পেসের দুর্বল বংশগত বৈশিষ্ট্য থাকে, যদি প্রতিটি টপোলজিকাল স্থান এবং বদ্ধ উপসেটের জন্য সাবস্পেসের বৈশিষ্ট্য থাকে সাধারণ টপোলজিকাল বৈশিষ্ট্য কার্ডিনাল ফাংশন স্থানটির প্রধানত্ব। স্থানের টপোলজির (উন্মুক্ত উপসেটগুলির সেট) প্রধানতা। ওজন, স্থানের টপোলজির একটি ভিত্তির সর্বনিম্ন কার্ডিনালিটি। ঘনত্ব, যার ক্লোজার একটি উপসেটের সর্বনিম্ন কার্ডিনালিটি। পৃথকীকরণ লক্ষ্য করুন যে এই পদগুলির মধ্যে কিছু পুরানো গাণিতিক সাহিত্যে ভিন্নভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে; পৃথকীকরণ স্বতঃসিদ্ধের ইতিহাস দেখুন। টি0 বা কোলমোগোরভ। একটি স্থান হল কোলমোগোরভ, যদি স্থানটিতে x এবং y স্বতন্ত্র বিন্দুর প্রতিটি জুটির জন্য, হয় একটি খোলা সেট থাকে যার মধ্যে x থাকে কিন্তু y নয়, অথবা একটি খোলা সেট থাকে যার মধ্যে y থাকে কিন্তু x নয়। একটি স্থান হ 'ল ফ্রেচেট যদি স্থানটিতে x এবং y স্বতন্ত্র বিন্দুর প্রতিটি জুটির জন্য, x ধারণকারী একটি খোলা সেট থাকে তবে y নয়। (টি0-এর সাথে তুলনা করুন; এখানে, আমাদের নির্দিষ্ট করার অনুমতি দেওয়া হয়েছে যে খোলা সেটে কোন বিন্দুটি থাকবে।) সমতুল্যভাবে, একটি স্থান T1 হয় যদি তার সমস্ত সিঙ্গেলটন বন্ধ থাকে। T1 স্পেস সবসময় T0 হয়। শান্ত। একটি স্থান শান্ত হয় যদি প্রতিটি অপরিবর্তনীয় বদ্ধ সেট সি-এর একটি অনন্য সাধারণ বিন্দু পি থাকে। অন্য কথায়, যদি সি দুটি ছোট বদ্ধ অ-খালি উপসেটগুলির (সম্ভবত ননডিসজয়েন্ট) ইউনিয়ন না হয়, তবে এমন একটি পি থাকে যাতে {পি}-এর ক্লোজার সি-এর সমান হয় এবং পি এই বৈশিষ্ট্যের সাথে একমাত্র বিন্দু। টি2 বা হাউজডর্ফ। একটি স্থান হল হাউজডর্ফ যদি প্রতিটি দুটি স্বতন্ত্র বিন্দুর বিচ্ছিন্ন প্রতিবেশী থাকে। T2 স্পেস সবসময় T1 হয়। টি2 1⁄2 বা ইউরিসোন। যদি প্রতিটি দুটি স্বতন্ত্র বিন্দুর বিচ্ছিন্ন বদ্ধ প্রতিবেশী থাকে তবে একটি স্থান ইউরিসোন হয়। T2 1⁄2 স্পেস সবসময় T2 হয়। সম্পূর্ণরূপে টি2 বা সম্পূর্ণরূপে হাউজডর্ফ। একটি স্থান সম্পূর্ণরূপে T2 হয় যদি প্রতিটি দুটি স্বতন্ত্র বিন্দু একটি ফাংশন দ্বারা পৃথক করা হয়। প্রতিটি সম্পূর্ণ হাউজডর্ফ স্থান ইউরিসোন। নিয়মিত। একটি স্থান নিয়মিত হয় যদি যখনই সি একটি বদ্ধ সেট হয় এবং পি সি-তে নয় এমন একটি বিন্দু হয়, তখন সি এবং পি-এর বিচ্ছিন্ন প্রতিবেশী থাকে। টি3 বা নিয়মিত হাউজডর্ফ। একটি স্থান নিয়মিত হাউজডর্ফ হয় যদি এটি একটি নিয়মিত টি0 স্থান হয়। (একটি নিয়মিত স্থান হল হাউজডর্ফ যদি এবং শুধুমাত্র যদি এটি টি0 হয়, তাই পরিভাষাটি সামঞ্জস্যপূর্ণ।) সম্পূর্ণ নিয়মিত। একটি স্থান সম্পূর্ণরূপে নিয়মিত হয় যদি যখনই সি একটি বদ্ধ সেট হয় এবং পি সি-তে নয় এমন একটি বিন্দু হয়, তখন সি এবং {পি} একটি ফাংশন দ্বারা পৃথক করা হয়। টি1⁄2, টাইচোনফ, সম্পূর্ণ নিয়মিত হাউসডর্ফ বা সম্পূর্ণ টি3। একটি টাইচোনফ স্থান হল একটি সম্পূর্ণ নিয়মিত টি0 স্থান। (একটি সম্পূর্ণ নিয়মিত স্থান হল হাউজডর্ফ যদি এবং শুধুমাত্র যদি এটি টি0 হয়, তাই পরিভাষাটি সামঞ্জস্যপূর্ণ।) টাইকনোফ স্পেসগুলি সর্বদা নিয়মিত হাউসডর্ফ হয়। স্বাভাবিক। যদি কোনও দুটি বিচ্ছিন্ন বদ্ধ সেটের বিচ্ছিন্ন প্রতিবেশী থাকে তবে একটি স্থান স্বাভাবিক। স্বাভাবিক স্থানগুলি ঐক্যের বিভাজন স্বীকার করে। টি4 বা নর্মাল হাউসডর্ফ। একটি স্বাভাবিক স্থান হল হাউজডর্ফ যদি এবং শুধুমাত্র যদি এটি টি1 হয়। সাধারণ হাউসডর্ফ স্পেসগুলি সর্বদা টাইকনোফ হয়। একেবারেই স্বাভাবিক। যদি কোনও দুটি পৃথক সেটের বিচ্ছিন্ন প্রতিবেশী থাকে তবে একটি স্থান সম্পূর্ণ স্বাভাবিক। টি5 বা সম্পূর্ণ স্বাভাবিক হাউজডর্ফ। একটি সম্পূর্ণ স্বাভাবিক স্থান হল হাউজডর্ফ যদি এবং শুধুমাত্র যদি এটি টি1 হয়। সম্পূর্ণ স্বাভাবিক হাউসডর্ফ স্থানগুলি সর্বদা স্বাভাবিক হাউসডর্ফ হয়। একেবারেই স্বাভাবিক। যদি কোনও দুটি বিচ্ছিন্ন বদ্ধ সেট একটি ফাংশন দ্বারা সঠিকভাবে পৃথক করা হয় তবে একটি স্থান পুরোপুরি স্বাভাবিক। একটি সম্পূর্ণ স্বাভাবিক স্থানও সম্পূর্ণ স্বাভাবিক হতে হবে। টি6 বা নিখুঁতভাবে স্বাভাবিক হাউসডর্ফ, বা নিখুঁতভাবে টি4। একটি স্থান সম্পূর্ণ স্বাভাবিক হাউসডর্ফ, যদি এটি সম্পূর্ণ স্বাভাবিক এবং টি1 উভয়ই হয়। একটি সম্পূর্ণ স্বাভাবিক হাউসডর্ফ স্থান অবশ্যই সম্পূর্ণ স্বাভাবিক হাউসডর্ফ হতে হবে। বিচ্ছিন্ন স্থান। একটি স্থান পৃথক হয় যদি তার সমস্ত বিন্দু সম্পূর্ণরূপে বিচ্ছিন্ন হয়, অর্থাৎ। যদি কোনও উপসেট খোলা থাকে। বিচ্ছিন্ন বিন্দুর সংখ্যা। একটি টপোলজিকাল স্থানের বিচ্ছিন্ন বিন্দুর সংখ্যা। গণনার শর্তগুলি পৃথকযোগ্য। একটি স্থান পৃথক করা যায় যদি এটির একটি গণনাযোগ্য ঘন উপসেট থাকে। প্রথম-গণনাযোগ্য। যদি প্রতিটি পয়েন্টের একটি গণনাযোগ্য স্থানীয় ভিত্তি থাকে তবে একটি স্থান প্রথম-গণনাযোগ্য। দ্বিতীয়-গণনাযোগ্য। একটি স্থান দ্বিতীয়-গণনাযোগ্য যদি এর টপোলজির জন্য একটি গণনাযোগ্য ভিত্তি থাকে। দ্বিতীয়-গণনাযোগ্য স্থানগুলি সর্বদা পৃথকযোগ্য, প্রথম-গণনাযোগ্য এবং লিন্ডেলফ। সংযুক্ত সংযোগ। একটি স্থান সংযুক্ত থাকে যদি এটি এক জোড়া বিচ্ছিন্ন অ-খালি খোলা সেটের মিলন না হয়। সমতুল্যভাবে, একটি স্থান সংযুক্ত করা হয় যদি শুধুমাত্র ক্লোপেন সেট খালি সেট এবং নিজেই হয়। স্থানীয়ভাবে সংযুক্ত। একটি স্থান স্থানীয়ভাবে সংযুক্ত থাকে যদি প্রতিটি বিন্দুর সংযুক্ত সেটগুলির সমন্বয়ে একটি স্থানীয় ভিত্তি থাকে। সম্পূর্ণভাবে সংযোগ বিচ্ছিন্ন। একটি স্থান সম্পূর্ণরূপে বিচ্ছিন্ন হয়ে যায় যদি এটির একাধিক বিন্দু সহ কোনও সংযুক্ত উপসেট না থাকে। পথ-সংযুক্ত। একটি স্থান X পথ-সংযুক্ত হয় যদি X-এ x, y প্রতি দুটি বিন্দুর জন্য x থেকে y পর্যন্ত একটি পথ থাকে, অর্থাৎ, একটি অবিচ্ছিন্ন মানচিত্র p: [0,1] → X সহ p (0) = x এবং p (1) = y। পথ-সংযুক্ত স্থানগুলি সর্বদা সংযুক্ত থাকে। স্থানীয়ভাবে পথ-সংযুক্ত। একটি স্থান স্থানীয়ভাবে পথ-সংযুক্ত হয় যদি প্রতিটি বিন্দুতে পথ-সংযুক্ত সেটগুলির সমন্বয়ে একটি স্থানীয় ভিত্তি থাকে। একটি স্থানীয়ভাবে পথ-সংযুক্ত স্থান সংযুক্ত করা হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি এটি পথ-সংযুক্ত থাকে। খিলান-সংযুক্ত। একটি স্থান X চাপ-সংযুক্ত হয় যদি X-এ x, y প্রতি দুটি বিন্দুর জন্য x থেকে y পর্যন্ত একটি চাপ f থাকে, অর্থাৎ, এবং সহ একটি ইনজেক্টিভ অবিচ্ছিন্ন মানচিত্র থাকে। খিলান-সংযুক্ত স্থানগুলি পথ-সংযুক্ত। সহজভাবে সংযুক্ত। একটি স্পেস এক্স কেবল সংযুক্ত থাকে যদি এটি পথ-সংযুক্ত থাকে এবং প্রতিটি অবিচ্ছিন্ন মানচিত্র একটি ধ্রুবক মানচিত্রে সমস্থানিক হয়। স্থানীয়ভাবে সহজভাবে সংযুক্ত। একটি স্থান X স্থানীয়ভাবে সহজভাবে সংযুক্ত থাকে যদি X-এর প্রতিটি বিন্দু x-এর আশেপাশের U-এর একটি স্থানীয় ভিত্তি থাকে যা কেবল সংযুক্ত থাকে। আধা-স্থানীয়ভাবে সহজভাবে সংযুক্ত। একটি স্পেস এক্স আধা-স্থানীয়ভাবে সহজভাবে সংযুক্ত থাকে যদি প্রতিটি বিন্দুর আশেপাশের ইউ-এর একটি স্থানীয় ভিত্তি থাকে যাতে ইউ-এর প্রতিটি লুপ এক্স-এ সংকুচিত হয়। আধা-স্থানীয় সহজ সংযোগ, স্থানীয় সহজ সংযোগের তুলনায় কঠোরভাবে দুর্বল অবস্থা, একটি সর্বজনীন আবরণের অস্তিত্বের জন্য একটি প্রয়োজনীয় শর্ত। চুক্তিভিত্তিক। একটি স্পেস এক্স সঙ্কুচিত হয় যদি এক্স-এর পরিচয় মানচিত্রটি একটি ধ্রুবক মানচিত্রে সমস্থানিক হয়। চুক্তিবদ্ধ স্থানগুলি সর্বদা সহজভাবে সংযুক্ত থাকে। হাইপার কানেক্টেড। একটি স্থান হাইপার কানেক্টেড হয় যদি কোনও দুটি অ-খালি খোলা সেট বিচ্ছিন্ন না হয়। প্রতিটি হাইপার কানেক্টেড স্থান সংযুক্ত। আল্ট্রা কানেক্টেড। একটি স্থান অতি-সংযুক্ত হয় যদি কোনও দুটি অ-খালি বদ্ধ সেট বিচ্ছিন্ন না হয়। প্রতিটি অতি-সংযুক্ত স্থান পথ-সংযুক্ত। অপ্রাসঙ্গিক বা তুচ্ছ। একটি স্থান অনির্দিষ্ট হয় যদি শুধুমাত্র খোলা সেটগুলি খালি সেট এবং নিজেই হয়। এই ধরনের স্থানের তুচ্ছ টপোলজি রয়েছে বলে মনে করা হয়। কম্প্যাক্টনেস কম্প্যাক্ট। একটি স্থান সংক্ষিপ্ত হয় যদি প্রতিটি খোলা আবরণের একটি সীমাবদ্ধ উপ-আবরণ থাকে। কিছু লেখক এই স্থানগুলিকে কোয়াসিকম্প্যাক্ট বলে অভিহিত করেন এবং হাউজডর্ফ স্থানগুলির জন্য সংরক্ষিত কম্প্যাক্ট বলেন যেখানে প্রতিটি খোলা প্রচ্ছদের সীমাবদ্ধ উপ-আবরণ থাকে। কম্প্যাক্ট স্পেসগুলি সর্বদা লিন্ডেলফ এবং প্যারাকম্প্যাক্ট হয়। তাই কমপ্যাক্ট হাউজডর্ফ স্পেস স্বাভাবিক। ক্রমানুসারে কম্প্যাক্ট। একটি স্থান ক্রমানুসারে সংক্ষিপ্ত হয় যদি প্রতিটি ক্রমের একটি অভিসারী ধারাবাহিকতা থাকে। অগণিত কম্প্যাক্ট। একটি স্থান গণনাযোগ্যভাবে সংক্ষিপ্ত হয় যদি প্রতিটি গণনাযোগ্য খোলা আবরণের একটি সীমাবদ্ধ উপ-আবরণ থাকে। সিউডো কমপ্যাক্ট। একটি স্থান হল সিউডোকম্প্যাক্ট যদি স্থানের প্রতিটি অবিচ্ছিন্ন বাস্তব-মূল্যবান ফাংশন আবদ্ধ থাকে। σ-কমপ্যাক্ট। একটি স্থান σ-কম্প্যাক্ট হয় যদি এটি গণনাযোগ্যভাবে অনেকগুলি কম্প্যাক্ট উপসেটগুলির মিলন হয়। লিন্ডেলফ। একটি স্থান হল লিন্ডেলফ, যদি প্রতিটি খোলা আবরণের একটি গণনাযোগ্য উপ-আবরণ থাকে। প্যারাকম্প্যাক্ট। একটি স্থান প্যারাকম্প্যাক্ট হয় যদি প্রতিটি খোলা আবরণের একটি খোলা স্থানীয়ভাবে সীমাবদ্ধ পরিশোধন থাকে। প্যারাকম্প্যাক্ট হাউসডর্ফ স্পেস স্বাভাবিক। স্থানীয়ভাবে কম্প্যাক্ট। একটি স্থান স্থানীয়ভাবে কম্প্যাক্ট হয় যদি প্রতিটি বিন্দুতে কম্প্যাক্ট প্রতিবেশী সমন্বিত একটি স্থানীয় ভিত্তি থাকে। সামান্য ভিন্ন সংজ্ঞাও ব্যবহার করা হয়। স্থানীয়ভাবে কমপ্যাক্ট হাউসডর্ফ স্পেসগুলি সর্বদা টাইকনোফ হয়। অতি-সংযুক্ত কম্প্যাক্ট। একটি অতি-সংযুক্ত কম্প্যাক্ট স্পেস এক্স-এ প্রতিটি খোলা প্রচ্ছদে অবশ্যই এক্স থাকতে হবে। অ-খালি অতি-সংযুক্ত কম্প্যাক্ট স্পেসগুলির একটি বৃহত্তম যথাযথ খোলা উপসেট রয়েছে যাকে মনোলিথ বলা হয়। পরিমাপযোগ্যতা পরিমাপযোগ্য। একটি স্থান পরিমাপযোগ্য হয় যদি এটি একটি মেট্রিক স্থানের সমরূপ হয়। পরিমাপযোগ্য স্থানগুলি সর্বদা হাউজডর্ফ এবং প্যারাকম্প্যাক্ট (এবং তাই স্বাভাবিক এবং টাইচোনফ), এবং প্রথম-গণনাযোগ্য। উপরন্তু, একটি টপোলজিকাল স্থানকে পরিমাপযোগ্য বলা হয় যদি এমন একটি মেট্রিক বিদ্যমান থাকে যার জন্য মেট্রিক টপোলজি টপোলজির সাথে অভিন্ন। একটি স্থানকে পোলিশ বলা হয় যদি এটি একটি পৃথকযোগ্য এবং সম্পূর্ণ মেট্রিক দিয়ে পরিমাপযোগ্য হয়। স্থানীয়ভাবে পরিমাপযোগ্য। একটি স্থান স্থানীয়ভাবে পরিমাপযোগ্য হয় যদি প্রতিটি বিন্দুর একটি পরিমাপযোগ্য প্রতিবেশী থাকে। বিবিধ বেয়ার স্পেস। একটি স্পেস এক্স একটি বেয়ার স্পেস যদি এটি নিজেই সামান্য না হয়। সমতুল্যভাবে, এক্স একটি বেয়ার স্থান যদি গণনাযোগ্যভাবে অনেক ঘন খোলা সেটের ছেদ ঘন হয়। দরজার জায়গা। একটি টপোলজিকাল স্থান হল একটি দরজার স্থান যদি প্রতিটি উপসেট খোলা বা বন্ধ থাকে (বা উভয়ই)। টপোলজিক্যাল সমজাতীয়তা। একটি স্থান X হল (টপোলজিক্যালি) সমজাতীয় যদি X-এর প্রতিটি x এবং y-এর জন্য এমন একটি সমরূপতা থাকে যে স্বজ্ঞাতভাবে বলতে গেলে, এর অর্থ হল যে স্থানটি প্রতিটি বিন্দুতে একই রকম দেখায়। সমস্ত টপোলজিকাল গ্রুপ সমজাতীয়। সীমাবদ্ধভাবে উত্পন্ন বা আলেকজাণ্ডারভ। একটি স্পেস এক্স হল আলেকজান্দ্রোভ যদি এক্স-এ খোলা সেটগুলির নির্বিচারে ছেদগুলি খোলা থাকে, অথবা সমতুল্যভাবে যদি বন্ধ সেটগুলির নির্বিচারে ইউনিয়নগুলি বন্ধ থাকে। এগুলি সুনির্দিষ্টভাবে টপোলজিকাল স্পেস এবং অবিচ্ছিন্ন মানচিত্রের বিভাগের চূড়ান্তভাবে উত্পন্ন সদস্য। শূন্য-মাত্রিক। একটি স্থান শূন্য-মাত্রিক হয় যদি এটিতে ক্লোপেন সেটের একটি ভিত্তি থাকে। এগুলি সুনির্দিষ্টভাবে 0 এর একটি ছোট আবেশী মাত্রা সহ স্থান। প্রায় বিচ্ছিন্ন। একটি স্থান প্রায় বিচ্ছিন্ন হয় যদি প্রতিটি খোলা সেট বন্ধ থাকে (তাই ক্লোপেন)। প্রায় বিচ্ছিন্ন স্থানগুলি সুনির্দিষ্টভাবে সীমিতভাবে উত্পন্ন শূন্য-মাত্রিক স্থান। বুলিয়ান। একটি স্থান বুলিয়ান হয় যদি এটি শূন্য-মাত্রিক, কম্প্যাক্ট এবং হাউজডর্ফ (সমতুল্য, সম্পূর্ণ বিচ্ছিন্ন, কম্প্যাক্ট এবং হাউজডর্ফ) হয়। এগুলি সঠিকভাবে সেই স্থানগুলি যা বুলিয়ান অ্যালজেব্রার পাথরের স্থানগুলির সমরূপ। রিডেমিস্টার টর্জন-সমাধানযোগ্য। একটি স্থানকে κ-সমাধানযোগ্য বলা হয় (যথাক্রমেঃ প্রায় κ-সমাধানযোগ্য) যদি এতে κ ঘন সেট থাকে যা জোড়ার দিক থেকে বিচ্ছিন্ন (যথাক্রমেঃ কোথাও ঘন উপসেটগুলির আদর্শের উপর প্রায় বিচ্ছিন্ন)। যদি স্থানটি-সমাধানযোগ্য না হয় তবে এটিকে-সমাধানযোগ্য বলা হয়। সর্বাধিক সমাধানযোগ্য। স্থান সর্বাধিক সমাধানযোগ্য যদি এটি-সমাধানযোগ্য হয়, যেখানে সংখ্যাকে দৃঢ়ভাবে বিচ্ছিন্নের বিচ্ছুরণ চরিত্র বলা হয়। সেটটি স্থানের দৃঢ়ভাবে বিচ্ছিন্ন উপসেট হয় যদি পয়েন্টগুলি জোড়ার দিক থেকে বিচ্ছিন্ন আশেপাশের অঞ্চল দ্বারা পৃথক করা যেতে পারে। স্থানকে দৃঢ়ভাবে বিচ্ছিন্ন বলা হয় যদি প্রতিটি অ-বিচ্ছিন্ন বিন্দু কিছু দৃঢ়ভাবে বিচ্ছিন্ন সেটের সঞ্চয় বিন্দু হয়। অ-ভূতাত্ত্বিক বৈশিষ্ট্য মেট্রিক স্পেস ইত্যাদির বৈশিষ্ট্যের অনেক উদাহরণ রয়েছে, যা ভূতাত্ত্বিক বৈশিষ্ট্য নয়। একটি বৈশিষ্ট্য টপোলজিক্যাল নয় তা দেখানোর জন্য, দুটি হোমিওমরফিক টপোলজিকাল স্পেস খুঁজে বের করা যথেষ্ট, যেমন আছে, কিন্তু নেই। উদাহরণস্বরূপ, সীমাবদ্ধতা এবং সম্পূর্ণতার মেট্রিক স্থান বৈশিষ্ট্যগুলি টপোলজিকাল বৈশিষ্ট্য নয়। স্ট্যান্ডার্ড মেট্রিকের সাথে মেট্রিক স্পেস হতে দিন। তারপর, হোমিওমরফিজমের মাধ্যমে। যাইহোক, সম্পূর্ণ কিন্তু আবদ্ধ নয়, যদিও আবদ্ধ কিন্তু সম্পূর্ণ নয়। আরও দেখুন হোমোলজি এবং কোহোমোলজি হোমোটপি গ্রুপ এবং কোহোমোটপি গ্রুপ সাইটেশন রেফারেন্স [2] সাইমন মৌলিয়েরাস, ম্যাকিজ লেভেনস্টাইন এবং গ্রাসিয়ানা পুয়েন্টেস, এনট্যাঙ্গলমেন্ট ইঞ্জিনিয়ারিং এবং বিচ্ছিন্ন-সময়ের কোয়ান্টাম ওয়াক দ্বারা টপোলজিকাল সুরক্ষা, জার্নাল অফ ফিজিক্স বিঃ অ্যাটমিক, মলিকুলার এবং অপটিক্যাল ফিজিক্স 46 (10), 104005 (2013)। <আই. ডি. 1> হোমিওমরফিজম রুঃ τοπολογιχεσκιyy ινβαρίαντ