Pregeometry (model theory)
প্রিজিওমেট্রি এবং পূর্ণ কম্বিনেটোরিয়াল প্রিজিওমেট্রি মূলত "ম্যাট্রয়েড"-এর সমার্থক। এগুলি জিয়ান-কার্লো রোটা দ্বারা একটি কম "অনির্বচনীয় ক্যাকোফোনস" বিকল্প শব্দ প্রদানের অভিপ্রায় নিয়ে চালু করা হয়েছিল। এছাড়াও, যৌগিক জ্যামিতি শব্দটি, কখনও কখনও জ্যামিতি হিসাবে সংক্ষিপ্ত করা হয়, "সাধারণ ম্যাট্রয়েড" প্রতিস্থাপন করার উদ্দেশ্যে করা হয়েছিল। এই শব্দগুলি এখন ম্যাট্রয়েড অধ্যয়নে খুব কমই ব্যবহৃত হয়। দেখা যাচ্ছে যে রৈখিক বীজগণিতের অনেক মৌলিক ধারণা-ক্লোজার, ইন্ডিপেন্ডেন্স, সাবস্পেস, বেসিস, ডাইমেনশন-প্রিজিয়োমেট্রিগুলির সাধারণ কাঠামোর মধ্যে পাওয়া যায়। মডেল তত্ত্ব নামে পরিচিত গাণিতিক যুক্তির শাখায়, অসীম ফাইনিটারি ম্যাট্রয়েড, যাকে "প্রিজিয়োমেট্রি" বলা হয় (এবং "জ্যামিতি" যদি সেগুলি সহজ ম্যাট্রয়েড হয়), স্বাধীন ঘটনার আলোচনায় ব্যবহৃত হয়। প্রিজিওমেট্রি, জ্যামিতি এবং বিমূর্ত ক্লোজার অপারেটররা কীভাবে প্রথম-ক্রমের মডেলগুলির কাঠামোকে প্রভাবিত করে তার অধ্যয়নকে জ্যামিতিক স্থায়িত্ব তত্ত্ব বলা হয়। অনুপ্রেরণা যদি কোনও ক্ষেত্রের উপর একটি ভেক্টর স্থান হয় এবং, আমরা ভেক্টরের সমস্ত রৈখিক সংমিশ্রণের সেট হিসাবে সংজ্ঞায়িত করি, যা এর স্প্যান নামেও পরিচিত। তারপর আমাদের আছে এবং এবং। স্টেইনিটজ এক্সচেঞ্জ লেম্মা এই বিবৃতির সমতুল্যঃ যদি, তাহলে স্বাধীন সেট, জেনারেটিং সেট, বেসিস এবং ডাইমেনশনের রৈখিক বীজগণিত ধারণাগুলি শুধুমাত্র-অপারেটর ব্যবহার করে প্রকাশ করা যেতে পারে। প্রিজিওমেট্রি হল এই পরিস্থিতির একটি বিমূর্ততাঃ আমরা একটি স্বেচ্ছাচারী সেট এবং একটি স্বেচ্ছাচারী অপারেটর দিয়ে শুরু করি যা উপরের বৈশিষ্ট্যগুলি সন্তুষ্ট করে একটি উপসেটের প্রতিটি উপসেটকে বরাদ্দ করে। তারপর আমরা এই আরও সাধারণ পরিবেশে "রৈখিক বীজগণিত" ধারণাগুলিও সংজ্ঞায়িত করতে পারি। মাত্রার এই সাধারণ ধারণাটি মডেল তত্ত্বে খুব কার্যকর, যেখানে নির্দিষ্ট পরিস্থিতিতে কেউ নিম্নরূপ যুক্তি দিতে পারেঃ একই কার্ডিনালিটি সহ দুটি মডেলের অবশ্যই একই মাত্রা থাকতে হবে এবং একই মাত্রা সহ দুটি মডেল অবশ্যই আইসোমরফিক হতে হবে। সংজ্ঞা প্রিজিওমেট্রি এবং জ্যামিতি একটি সমন্বিত প্রিজিওমেট্রি (ফাইনিটারি ম্যাট্রয়েড নামেও পরিচিত) একটি জোড়া, যেখানে একটি সেট এবং (ক্লোজার ম্যাপ বলা হয়) নিম্নলিখিত স্বতঃসিদ্ধগুলিকে সন্তুষ্ট করে। সকলের জন্য এবংঃ কি মনোটোন বৃদ্ধি পাচ্ছে এবং আধিপত্য বিস্তার করছে (অর্থাৎ। বোঝায়) এবং আদর্শ (অর্থাৎ) সীমাবদ্ধ অক্ষরঃ প্রত্যেকটির জন্য কিছু সীমাবদ্ধ অক্ষর রয়েছে। বিনিময় নীতিঃ যদি, তাহলে (এবং তাই বাস্তবে একঘেয়েমি এবং অদম্যতা দ্বারা)। কারো কারো জন্য ফর্মের সেটগুলিকে ক্লোজড বলা হয়। এরপরে এটি স্পষ্ট হয় যে বদ্ধ সেটগুলির সীমাবদ্ধ ছেদগুলি বন্ধ থাকে এবং এটি সবচেয়ে ছোট বদ্ধ সেট ধারণ করে। জ্যামিতি হল একটি প্রিজিওমেট্রি যেখানে সিঙ্গলেটনের ক্লোজার হল সিঙ্গলেটোন এবং খালি সেটের ক্লোজার হল খালি সেট। স্বাধীনতা, ভিত্তি এবং মাত্রা প্রদত্ত সেটগুলি, যদি কোনও হয় তবে তার উপর স্বাধীন। আমরা বলি যে এটি স্বাধীন যদি এটি খালি সেটের উপর স্বাধীন হয়। একটি সেট ওভারের জন্য একটি ভিত্তি যদি এটি এবং এর উপর স্বাধীন হয়। একটি ভিত্তি সর্বাধিক স্বাধীন উপসেট হিসাবে একই, এবং জর্নের লেম্মা ব্যবহার করে কেউ দেখাতে পারে যে প্রতিটি সেটের একটি ভিত্তি রয়েছে। যেহেতু একটি প্রিজিওমেট্রি স্টেনিৎজ বিনিময় বৈশিষ্ট্যকে সন্তুষ্ট করে, তাই সমস্ত ঘাঁটি একই কার্ডিনালিটির হয়, তাই আমরা ওভারের মাত্রাকে সংজ্ঞায়িত করতে পারি, যা ওভারের যে কোনও ভিত্তির কার্ডিনালিটি হিসাবে লেখা হয়। আবার, এর মাত্রাটি খালি সেটের উপর ডাইমেনশন হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। সেটগুলি স্বাধীন হয় যখনই এর একটি সীমাবদ্ধ উপসেট হয়। লক্ষ্য করুন যে এই সম্পর্কটি প্রতিসম। অটোমর্ফিজম এবং সমজাতীয় প্রিজিওমেট্রি একটি প্রিজিওমেট্রি একটি অটোমর্ফিজম এমন একটি বাইজেকশন যা যে কোনও ক্ষেত্রেই হয়। একটি প্রিজিওমেট্রি সমজাতীয় বলে মনে করা হয় যদি কোনও বদ্ধ এবং যে কোনও দুটি উপাদানের জন্য একটি অটোমরফিজম থাকে যার সাথে মানচিত্র তৈরি করে এবং পয়েন্টওয়াইজ স্থির করে। সংশ্লিষ্ট জ্যামিতি এবং স্থানীয়করণ একটি প্রিজিওমেট্রি দেওয়া হলে তার সাথে সম্পর্কিত জ্যামিতি (কখনও কখনও সাহিত্যে ক্যানোনিকাল জ্যামিতি হিসাবে উল্লেখ করা হয়) হল জ্যামিতি যেখানে, এবং যে কোনও ক্ষেত্রে, এটি সহজেই দেখা যায় যে একটি সমজাতীয় প্রিজিওমেট্রি সম্পর্কিত জ্যামিতি সমজাতীয়। এর স্থানীয়করণের পরিপ্রেক্ষিতে প্রিজিওমেট্রি কোথায়। প্রিজিওমেট্রি-র প্রকার প্রিজিওমেট্রি-কে বলা হয়ঃ তুচ্ছ (বা অবনমিত) যদি খালি না থাকে। মডুলার যদি কোনও দুটি বদ্ধ সসীম মাত্রিক সেট সমীকরণটি সন্তুষ্ট করে (বা সমতুল্য যা ওভার থেকে স্বাধীন)। স্থানীয়ভাবে মডুলার যদি এটির একটি সিঙ্গেলটনে স্থানীয়করণ থাকে যা মডুলার হয়। (স্থানীয়ভাবে) প্রজেক্টিভ যদি এটি অ-তুচ্ছ এবং (স্থানীয়ভাবে) মডুলার হয়। যদি সীমাবদ্ধ সেটগুলির ক্লোজারগুলি সীমাবদ্ধ হয় তবে স্থানীয়ভাবে সীমাবদ্ধ। তুচ্ছতা, মডুলারিটি এবং স্থানীয় মডুলারিটি সংশ্লিষ্ট জ্যামিতিতে চলে যায় এবং স্থানীয়করণের অধীনে সংরক্ষিত থাকে। যদি একটি স্থানীয়ভাবে মডুলার সমজাতীয় প্রিজিওমেট্রি হয় এবং তারপর ইন-এর স্থানীয়করণ মডুলার হয়। জ্যামিতি মডুলার হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি যখনই, এবং তারপর। উদাহরণ তুচ্ছ উদাহরণ যদি কোনও সেট হয় তবে আমরা সকলের জন্য সংজ্ঞায়িত করতে পারি। এই প্রিজিওমেট্রি একটি তুচ্ছ, সমজাতীয়, স্থানীয়ভাবে সীমাবদ্ধ জ্যামিতি। ভেক্টর স্পেস এবং প্রজেক্টিভ স্পেস ধরা যাক একটি ক্ষেত্র (একটি বিভাজন রিং আসলে যথেষ্ট) এবং একটি ভেক্টর স্পেস হতে দিন। তারপর একটি প্রিজিওমেট্রি যেখানে সেটগুলির ক্লোজারগুলিকে তাদের স্প্যান হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। বদ্ধ সেটগুলি হল রৈখিক উপস্থান এবং রৈখিক বীজগণিত থেকে মাত্রার ধারণা প্রিজিওমেট্রি মাত্রার সাথে মিলে যায়। এই প্রিজিওমেট্রি সমজাতীয় এবং মডুলার। ভেক্টর স্পেসগুলিকে মডুলারিটির প্রোটোটাইপিক উদাহরণ হিসাবে বিবেচনা করা হয়। স্থানীয়ভাবে সীমাবদ্ধ যদি এবং শুধুমাত্র যদি সীমাবদ্ধ হয়। এটি কোনও জ্যামিতি নয়, কারণ কোনও অ-তুচ্ছ ভেক্টরের ক্লোজার অন্তত আকারের একটি সাবস্পেস। একটি-মাত্রিক ভেক্টর স্থানের সংশ্লিষ্ট জ্যামিতি হল-মাত্রিক প্রজেক্টিভ স্থান। এটা সহজেই দেখা যায় যে এই প্রিজিওমেট্রি একটি প্রজেক্টিভ জ্যামিতি। অ্যাফিন স্পেসগুলি একটি ক্ষেত্রের উপর একটি-মাত্রিক অ্যাফিন স্পেস হতে পারে। একটি সেট দেওয়া হলে তার বন্ধকে তার অ্যাফিন হুল হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় (অর্থাৎ। এটি ধারণকারী সবচেয়ে ছোট অ্যাফিন সাবস্পেস)। এটি একটি সমজাতীয়-মাত্রিক জ্যামিতি গঠন করে। একটি অ্যাফিন স্থান মডুলার নয় (উদাহরণস্বরূপ, যদি এবং সমান্তরাল রেখা হয় তবে মডুলারিটির সংজ্ঞায় সূত্রটি ব্যর্থ হয়)। তবে, সমস্ত স্থানীয়করণ মডুলার কিনা তা পরীক্ষা করা সহজ। ফিল্ড এক্সটেনশন এবং ট্রান্সসেন্ডেন্স ডিগ্রি একটি ফিল্ড এক্সটেনশন হতে হবে। সেটটি একটি প্রিজিওমেট্রি হয়ে যায় যদি আমরা এর জন্য সংজ্ঞায়িত করি। সেটটি এই প্রিজিওমেট্রি-তে স্বাধীন যদি এবং শুধুমাত্র যদি এটি বীজগাণিতিকভাবে স্বাধীন হয়। এর মাত্রা অতিক্রমের মাত্রার সাথে মিলে যায়। মডেল তত্ত্বে, বীজগাণিতিকভাবে বন্ধ এবং এর প্রধান ক্ষেত্র হওয়ার বিষয়টি বিশেষভাবে গুরুত্বপূর্ণ। ভেক্টর স্পেসগুলি মডুলার এবং অ্যাফিন স্পেসগুলি "প্রায়" মডুলার (অর্থাৎ। সর্বত্র স্থানীয়ভাবে মডুলার), বীজগাণিতিকভাবে বন্ধ ক্ষেত্রগুলি অন্য প্রান্তের উদাহরণ, এমনকি স্থানীয়ভাবে মডুলারও নয় (অর্থাৎ। স্থানীয়করণগুলির কোনওটিই মডুলার নয়)। মডেল তত্ত্বে অত্যন্ত ন্যূনতম সেট একটি গণনাযোগ্য প্রথম-ক্রমের ভাষা এল এবং একটি এল-কাঠামো এম দেওয়া হলে, এম-এর যে কোনও সংজ্ঞায়িত উপসেট ডি যা দৃঢ়ভাবে ন্যূনতম সেট ডি-তে একটি প্রিজিয়োমেট্রি তৈরি করে। এখানে ক্লোজার অপারেটরটি মডেল-তাত্ত্বিক অর্থে বীজগাণিতিক ক্লোজার দ্বারা দেওয়া হয়। দৃঢ়ভাবে ন্যূনতম তত্ত্বের একটি মডেল প্রিজিওমেট্রি হিসাবে তার মাত্রা দ্বারা আইসোমরফিজম পর্যন্ত নির্ধারিত হয়; এই সত্যটি মর্লির শ্রেণীবিভাগ উপপাদ্যের প্রমাণ হিসাবে ব্যবহৃত হয়। স্থিতিশীল তত্ত্বের উপর ন্যূনতম সেটগুলিতে স্বাধীনতা সম্পর্ক স্বাধীনতার ধারণার সাথে মিলে যায়। রেফারেন্স এইচ. এইচ. ক্র্যাপো এবং জি. সি. রোটা (1970), অন দ্য ফাউন্ডেশন্স অফ কম্বিনেটরিয়াল থিওরিঃ কম্বিনেটরিয়াল জ্যামিতি। এম. আই. টি. প্রেস, কেমব্রিজ, ম্যাস। পিল্লাই, আনন্দ (1996), জ্যামিতিক স্থিতিশীলতা তত্ত্ব। অক্সফোর্ড লজিক গাইড। অক্সফোর্ড ইউনিভার্সিটি প্রেস। ম্যাট্রয়েড তত্ত্ব মডেল তত্ত্ব