Closed monoidal category
গণিতে, বিশেষত বিভাগ তত্ত্বে, একটি বদ্ধ মনোয়ডাল বিভাগ (বা একটি মনোয়ডাল বন্ধ বিভাগ) এমন একটি বিভাগ যা একটি মনোয়ডাল বিভাগ এবং একটি বদ্ধ বিভাগ উভয়ই এমনভাবে যাতে কাঠামো সামঞ্জস্যপূর্ণ হয়। একটি সর্বোত্তম উদাহরণ হল সেটের বিভাগ, সেট, যেখানে সেটের মনোয়ডাল পণ্য এবং এটি সাধারণ কার্টেসিয়ান পণ্য, এবং অভ্যন্তরীণ হোম হল থেকে থেকে ফাংশনের সেট। একটি অ-কার্টেসিয়ান উদাহরণ হল একটি ক্ষেত্রের উপর ভেক্টর স্পেসের বিভাগ, কে-ভেক্ট। এখানে মনোয়ডাল গুণফল হল ভেক্টর স্পেসের স্বাভাবিক টেনসর গুণফল, এবং অভ্যন্তরীণ হোম হল এক ভেক্টর স্পেস থেকে অন্য ভেক্টর স্পেসে রৈখিক মানচিত্রের ভেক্টর স্পেস। বদ্ধ প্রতিসম মনোয়ডাল বিভাগগুলির অভ্যন্তরীণ ভাষা হল রৈখিক যুক্তি এবং টাইপ সিস্টেম হল রৈখিক টাইপ সিস্টেম। বদ্ধ মনোয়ডাল বিভাগের অনেক উদাহরণ প্রতিসম। যাইহোক, এটি সর্বদা হওয়ার দরকার নেই, কারণ ভাষাবিজ্ঞানের বিভাগ-তাত্ত্বিক গঠনে অ-প্রতিসম মনোয়ডাল বিভাগগুলির মুখোমুখি হতে পারে; মোটামুটিভাবে বলতে গেলে, এটি প্রাকৃতিক ভাষার ক্ষেত্রে শব্দ-ক্রমের কারণে। সংজ্ঞাঃ একটি বদ্ধ মনোয়ডাল বিভাগ হল একটি মনোয়ডাল বিভাগ যা প্রতিটি বস্তুর জন্য ডান টেনসরিং দ্বারা প্রদত্ত ফাংক্টরের একটি ডান সংলগ্ন থাকে, যার অর্থ হল হোম-সেটগুলির মধ্যে একটি বাইজেকশন রয়েছে, যাকে 'কারি' বলা হয়, যা এ এবং সি উভয়ের মধ্যে প্রাকৃতিক। একটি ভিন্ন, কিন্তু সাধারণ স্বরলিপিতে, কেউ বলবে যে ফাংক্টরের একটি ডান সংলগ্ন সমতুল্য, একটি বদ্ধ মনোয়ডাল বিভাগ হল একটি বিভাগ যা সজ্জিত, প্রতিটি দুটি বস্তুর জন্য এ এবং বি, একটি বস্তু, একটি মরফিজম সহ, নিম্নলিখিত সর্বজনীন বৈশিষ্ট্যকে সন্তুষ্ট করেঃ প্রতিটি মরফিজমের জন্য একটি অনন্য মরফিজম বিদ্যমান যাতে এটি দেখানো যেতে পারে যে এই নির্মাণটি একটি ফাংক্টরকে সংজ্ঞায়িত করে। এই ফাংক্টরকে বলা হয় অভ্যন্তরীণ হোম ফাংক্টর, এবং বস্তুটিকে বলা হয় অভ্যন্তরীণ হোম অফ অ্যান্ড। অভ্যন্তরীণ হোমের জন্য অন্যান্য অনেক স্বরলিপি সাধারণভাবে ব্যবহৃত হয়। যখন টেন্সর পণ্যটি কার্টেসিয়ান পণ্য হয়, তখন স্বাভাবিক স্বরলিপিটি হয় এবং এই বস্তুটিকে সূচকীয় বস্তু বলা হয়। বাইক্লোজড এবং সিমেট্রিক বিভাগগুলি কঠোরভাবে বলতে গেলে, আমরা একটি রাইট ক্লোজড মনোইডাল বিভাগকে সংজ্ঞায়িত করেছি, যেহেতু আমাদের প্রয়োজন ছিল যে কোনও বস্তুর সাথে রাইট টেনসরিংয়ের একটি রাইট অ্যাডজয়েন্ট রয়েছে। একটি বাম বদ্ধ মনোয়ডাল বিভাগে, আমরা পরিবর্তে দাবি করি যে কোনও বস্তুর সাথে বাম টেনসরিংয়ের ফাংক্টরের একটি ডান সংলগ্ন থাকে একটি দ্বি-বদ্ধ মনোয়ডাল বিভাগ একটি মনোয়ডাল বিভাগ যা বাম এবং ডান উভয়ই বন্ধ থাকে। একটি প্রতিসম মনোয়ডাল বিভাগকে বন্ধ রাখা হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি এটি ডানদিকে বন্ধ থাকে। সুতরাং আমরা নিরাপদে একটি 'প্রতিসম মনোয়ডাল বদ্ধ বিভাগ'-এর কথা বলতে পারি এটি বাম বা ডান বন্ধ কিনা তা নির্দিষ্ট না করে। প্রকৃতপক্ষে, ব্রেইডেড মনোইডাল বিভাগগুলির ক্ষেত্রেও একই কথা আরও সাধারণভাবে সত্যঃ যেহেতু ব্রেইডিং প্রাকৃতিকভাবে আইসোমরফিক করে তোলে, তাই বাম দিকে টেনসরিং এবং ডানদিকে টেনসরিংয়ের মধ্যে পার্থক্য অপ্রাসঙ্গিক হয়ে যায়, তাই প্রতিটি ডান বন্ধ ব্রেইডেড মনোইডাল বিভাগ ক্যানোনিকাল উপায়ে বাম বন্ধ হয়ে যায় এবং তদ্বিপরীত। আমরা ক্লোজড মনোইডাল বিভাগগুলিকে একটি অতিরিক্ত বৈশিষ্ট্য সহ মনোইডাল বিভাগ হিসাবে বর্ণনা করেছি। সমতুল্যভাবে একটি বদ্ধ মনোয়ডাল বিভাগকে একটি অতিরিক্ত সম্পত্তি সহ একটি বদ্ধ বিভাগ হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে। অর্থাৎ, আমরা একটি টেনসর পণ্যের অস্তিত্ব দাবি করতে পারি যা অভ্যন্তরীণ হোম ফাংক্টরের সাথে সংযুক্ত থাকে। এই পদ্ধতিতে, বদ্ধ মনোয়ডাল বিভাগগুলিকে মনোয়ডাল বদ্ধ বিভাগও বলা হয়। উদাহরণস্বরূপ, প্রতিটি কার্টেসিয়ান বদ্ধ বিভাগ একটি প্রতিসম, মনোইডাল বদ্ধ বিভাগ, যখন মনোইডাল কাঠামোটি কার্টেসিয়ান পণ্য কাঠামো হয়। অভ্যন্তরীণ হোম ফাংক্টরটি সূচকীয় বস্তু দ্বারা দেওয়া হয়। বিশেষত, সেটের বিভাগ, সেট, একটি প্রতিসম, বদ্ধ মনোয়ডাল বিভাগ। এখানে অভ্যন্তরীণ হোম কেবল থেকে থেকে পর্যন্ত ফাংশনের সেট। মডিউলগুলির বিভাগ, একটি বিনিময়যোগ্য বলয় আর-এর উপর আর-মোড একটি অ-কার্টেসিয়ান, প্রতিসম, মনোইডাল বদ্ধ বিভাগ। মনোইডাল পণ্যটি মডিউলগুলির টেনসর পণ্য দ্বারা দেওয়া হয় এবং অভ্যন্তরীণ হোমটি তার প্রাকৃতিক আর-মডিউল কাঠামোর সাথে আর-রৈখিক মানচিত্রের স্থান দ্বারা দেওয়া হয়। বিশেষত, একটি ক্ষেত্রের উপর ভেক্টর স্পেসের বিভাগটি একটি প্রতিসম, বদ্ধ মনোয়ডাল বিভাগ। আবেলিয়ান গোষ্ঠীগুলিকে জেড-মডিউল হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে, তাই আবেলিয়ান গোষ্ঠীগুলির বিভাগটিও একটি প্রতিসম, বদ্ধ মনোয়ডাল বিভাগ। একটি প্রতিসম কম্প্যাক্ট ক্লোজড বিভাগ হল একটি প্রতিসম মনোইডাল ক্লোজড বিভাগ যেখানে অভ্যন্তরীণ হোম ফাংক্টর দ্বারা দেওয়া হয়। ক্যানোনিকাল উদাহরণ হল সীমাবদ্ধ-মাত্রিক ভেক্টর স্পেসের বিভাগ, FdVect। পাল্টা উদাহরণ রিংয়ের বিভাগটি রিংয়ের টেনসর প্রোডাক্টের অধীনে একটি প্রতিসম, মনোয়ডাল বিভাগ, যা একক বস্তু হিসাবে কাজ করে। এই বিভাগটি বন্ধ নয়। যদি এটি হত, তবে যে কোনও জোড়া বলয়ের মধ্যে ঠিক একটি সমরূপতা থাকত। একটি কমিউটেটিভ রিং আর-এর উপর আর-অ্যালজেব্রার বিভাগের ক্ষেত্রেও একই কথা প্রযোজ্য। আরও দেখুন ইসবেল কনজুগেসি রেফারেন্স মনোইডাল বিভাগগুলি বন্ধ বিভাগগুলি