Infinite-dimensional holomorphy
গণিতে, অসীম-মাত্রিক হলোমর্ফি হল কার্যকরী বিশ্লেষণের একটি শাখা। এটি সাধারণত অসীম মাত্রার জটিল বানাচ স্পেস (বা আরও সাধারণভাবে ফ্রেচেট স্পেস)-এ সংজ্ঞায়িত এবং মান গ্রহণকারী ফাংশনে হলমর্ফিক ফাংশনের ধারণার সাধারণীকরণের সাথে সম্পর্কিত। এটি অরৈখিক কার্যকরী বিশ্লেষণের একটি দিক। জটিল সমতলে সংজ্ঞায়িত ভেক্টর-মূল্যবান হোলোমর্ফিক ফাংশন একটি জটিল মাত্রার বাইরে হোলোমর্ফিক ফাংশনের তত্ত্বকে প্রসারিত করার প্রথম ধাপ হল তথাকথিত ভেক্টর-মূল্যবান হোলোমর্ফিক ফাংশন বিবেচনা করা, যা এখনও জটিল সমতল সি-তে সংজ্ঞায়িত করা হয়, তবে একটি বানাচ স্পেসে মান গ্রহণ করে। এই ধরনের ফাংশনগুলি গুরুত্বপূর্ণ, উদাহরণস্বরূপ, আবদ্ধ রৈখিক অপারেটরদের জন্য হোলোমর্ফিক কার্যকরী ক্যালকুলাস তৈরিতে। সংজ্ঞা. একটি ফাংশন f: U → X, যেখানে U ′C একটি উন্মুক্ত উপসেট এবং X একটি জটিল বানাচ স্থানকে বলা হয় হোলোমরফিক যদি এটি জটিল-পার্থক্যযোগ্য হয়; অর্থাৎ, প্রতিটি বিন্দু z ωU-এর জন্য নিম্নলিখিত সীমা বিদ্যমান থাকেঃ একটি ভেক্টর-মূল্যবান হোলোমরফিক ফাংশন f: U → X-এর লাইন ইন্টিগ্রালকে একটি সংশোধনযোগ্য বক্ররেখা γ বরাবর সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারেঃ [a, b] → U জটিল-মূল্যবান হোলোমরফিক ফাংশনের মতো একইভাবে, যেখানে a = t0 <t1 <ফর্মের যোগফলের সীমা হিসাবে। <tn = b ব্যবধানের একটি উপবিভাগ [a, b], যেহেতু উপবিভাগের ব্যবধানের দৈর্ঘ্য শূন্যের কাছাকাছি। এটি একটি দ্রুত পরীক্ষা যে কচি ইন্টিগ্রাল উপপাদ্যটি ভেক্টর-মূল্যবান হোলোমরফিক ফাংশনের জন্যও ধারণ করে। প্রকৃতপক্ষে, যদি f: U → X এমন একটি ফাংশন হয় এবং T: X → C একটি সীমাবদ্ধ রৈখিক কার্যকরী হয়, তবে কেউ দেখাতে পারে যে T o f: U → C গঠনটি একটি জটিল-মূল্যবান হোলোমরফিক ফাংশন। অতএব, γ-এর জন্য একটি সাধারণ বদ্ধ বক্ররেখা যার অভ্যন্তরটি U-তে রয়েছে, শাস্ত্রীয় কচি অবিচ্ছেদ্য উপপাদ্য অনুসারে ডানদিকে অবিচ্ছেদ্য শূন্য। তারপর, যেহেতু টি স্বেচ্ছাচারী, তাই এটি হান-বানাচ উপপাদ্য থেকে অনুসরণ করে যা ভেক্টর-মূল্যবান ক্ষেত্রে কচি ইন্টিগ্রাল উপপাদ্যকে প্রমাণ করে। এই শক্তিশালী সরঞ্জামটি ব্যবহার করে কেউ তখন কাউচির অবিচ্ছেদ্য সূত্রটি প্রমাণ করতে পারে এবং শাস্ত্রীয় ক্ষেত্রে ঠিক যেমন, যে কোনও ভেক্টর-মূল্যবান হোলোমরফিক ফাংশন বিশ্লেষণাত্মক। একটি ফাংশন f: U → X-কে হোলোমর্ফিক হওয়ার জন্য একটি দরকারী মানদণ্ড হল যে T o f: U → C হল প্রতিটি অবিচ্ছিন্ন রৈখিক কার্যকরী T: X → C-এর জন্য একটি হোলোমর্ফিক জটিল-মূল্যবান ফাংশন। এটি দেখানো যেতে পারে যে একটি ফ্রেচেট স্পেসে মান সহ জটিল সমতলের একটি খোলা উপসেটে সংজ্ঞায়িত একটি ফাংশন হলোমর্ফিক হয় যদি, এবং শুধুমাত্র যদি, এটি দুর্বলভাবে হলোমর্ফিক হয়। আরও সাধারণভাবে, দুটি জটিল বানাচ স্পেস এক্স এবং ওয়াই এবং একটি উন্মুক্ত সেট ইউ এক্স দেওয়া হলে, f: U → Y কে হোলোমর্ফিক বলা হয় যদি f এর ফ্রেচেট ডেরিভেটিভ U এর প্রতিটি বিন্দুতে বিদ্যমান থাকে। কেউ দেখাতে পারে যে, এই আরও সাধারণ প্রসঙ্গে, এটি এখনও সত্য যে একটি হোলোমর্ফিক ফাংশন বিশ্লেষণাত্মক, অর্থাৎ, এটি একটি পাওয়ার সিরিজে স্থানীয়ভাবে প্রসারিত করা যেতে পারে। তবে এটি আর সত্য নয় যে যদি কোনও বলের মধ্যে কোনও ফাংশন সংজ্ঞায়িত এবং হোলোমর্ফিক হয়, তবে বলের কেন্দ্রের চারপাশে তার পাওয়ার সিরিজ পুরো বলের মধ্যে অভিসারী হয়; উদাহরণস্বরূপ, পুরো স্পেসে সংজ্ঞায়িত হলোমর্ফিক ফাংশন রয়েছে যার অভিসারের একটি সীমাবদ্ধ ব্যাসার্ধ রয়েছে। টপোলজিক্যাল ভেক্টর স্পেসের মধ্যে হলমর্ফিক ফাংশন সাধারণভাবে, দুটি জটিল টপোলজিক্যাল ভেক্টর স্পেস এক্স এবং ওয়াই এবং একটি উন্মুক্ত সেট ইউ এক্স দেওয়া হলে, একটি ফাংশনের হলমর্ফি সংজ্ঞায়িত করার বিভিন্ন উপায় রয়েছে f: U → Y। সীমাবদ্ধ মাত্রিক বিন্যাসের বিপরীতে, যখন এক্স এবং ওয়াই অসীম মাত্রিক হয়, তখন হোলোমর্ফিক ফাংশনের বৈশিষ্ট্যগুলি নির্ভর করতে পারে কোন সংজ্ঞাটি বেছে নেওয়া হয়েছে তার উপর। সম্ভাবনার সংখ্যা সীমিত করার জন্য আমাদের অবশ্যই বিবেচনা করতে হবে, আমরা কেবল তখনই হোলোমর্ফি নিয়ে আলোচনা করব যখন এক্স এবং ওয়াই স্থানীয়ভাবে উত্তল হয়। এই বিভাগটি সংজ্ঞাগুলির একটি তালিকা উপস্থাপন করে, যা দুর্বলতম ধারণা থেকে শক্তিশালী ধারণার দিকে অগ্রসর হয়। এটি এই সংজ্ঞাগুলির সাথে সম্পর্কিত কিছু উপপাদ্যের আলোচনার সাথে শেষ হয় যখন স্পেস এক্স এবং ওয়াই কিছু অতিরিক্ত সীমাবদ্ধতা পূরণ করে। গেটঅক্স হলমর্ফি হল সম্পূর্ণ অসীম মাত্রিক পরিবেশে দুর্বল হলমর্ফির সরাসরি সাধারণীকরণ। ধরা যাক এক্স এবং ওয়াই স্থানীয়ভাবে উত্তল টপোলজিকাল ভেক্টর স্পেস এবং ইউ এক্স একটি খোলা সেট। একটি ফাংশন f: U → Y কে Gâteaux হোলোমরফিক বলা হয় যদি, প্রতিটি a ω U এবং b ω X এর জন্য, এবং প্রতিটি অবিচ্ছিন্ন রৈখিক কার্যকরী φ: Y → C এর জন্য, ফাংশনটি উৎপত্তির আশেপাশে z এর একটি হোলোমরফিক ফাংশন হয়। গেটক্স হোলোমর্ফিক ফাংশনের সংগ্রহকে এইচজি (ইউ, ওয়াই) দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। গেটক্স হোলোমর্ফিক ফাংশনের বিশ্লেষণে, সসীম-মাত্রিক হোলোমর্ফিক ফাংশনের যে কোনও বৈশিষ্ট্য এক্স-এর সসীম-মাত্রিক সাবস্পেস ধরে রাখে। যাইহোক, কার্যকরী বিশ্লেষণে যথারীতি, এই বৈশিষ্ট্যগুলি সম্পূর্ণ খোলা সেটগুলিতে এই ফাংশনগুলির কোনও সংশ্লিষ্ট বৈশিষ্ট্য অর্জনের জন্য অভিন্নভাবে একত্রিত নাও হতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, যদি f ω U হয়, তবে f-এর সমস্ত ক্রমের গেটঅক্স ডেরিভেটিভ থাকে, যেহেতু x ω U এবং h1,., hk ω X-এর জন্য, k-তম ক্রম গেটঅক্স ডেরিভেটিভ Dkf (x) {h1,., hk} শুধুমাত্র হি-এর স্প্যানের মধ্যে পুনরাবৃত্ত দিকনির্দেশক ডেরিভেটিভ জড়িত, যা একটি সীমাবদ্ধ-মাত্রিক স্থান। এই ক্ষেত্রে, পুনরাবৃত্ত গেটক্স ডেরিভেটিভগুলি হাই-তে বহু-রৈখিক, তবে পুরো স্থান এক্স-এর উপর বিবেচনা করা হলে সাধারণভাবে অবিচ্ছিন্ন হতে ব্যর্থ হবে। উপরন্তু, টেলরের উপপাদ্যের একটি সংস্করণ ধারণ করেঃ এখানে, বহুমাত্রিক অপারেটর ডিএনএফ (এক্স)-এর সাথে যুক্ত y-তে ডিগ্রি এন-এর সমজাতীয় বহুপদী। এই সিরিজের অভিসরণ অভিন্ন নয়। আরও সুনির্দিষ্টভাবে বলতে গেলে, যদি ভি এক্স একটি নির্দিষ্ট সসীম-মাত্রিক সাবস্পেস হয়, তবে সিরিজটি 0 ω ওয়াই এর পর্যাপ্ত ছোট কমপ্যাক্ট পাড়াগুলিতে অভিন্নভাবে একত্রিত হয়। যাইহোক, যদি সাবস্পেস V-কে পরিবর্তিত হওয়ার অনুমতি দেওয়া হয়, তবে অভিসরণ ব্যর্থ হয়ঃ এটি সাধারণভাবে এই পরিবর্তনের ক্ষেত্রে অভিন্ন হতে ব্যর্থ হবে। লক্ষ্য করুন যে এটি সীমাবদ্ধ মাত্রিক ক্ষেত্রে একেবারে বিপরীত। হার্টগের উপপাদ্যটি নিম্নলিখিত অর্থে গেটঅক্স হোলোমর্ফিক ফাংশনের জন্য ধারণ করেঃ যদি f: (U. X1) × (V. X2) → Y এমন একটি ফাংশন হয় যা তার প্রতিটি আর্গুমেন্টে পৃথকভাবে গেটঅক্স হোলোমর্ফিক হয়, তবে f হল প্রোডাক্ট স্পেসে গেটঅক্স হোলোমর্ফিক। হাইপোঅ্যানালিটিসিটি একটি ফাংশন f: (U′X) → Y হাইপোঅ্যানালিটিক হয় যদি f′HG (U, Y) এবং উপরন্তু f হল U এর তুলনামূলকভাবে কমপ্যাক্ট উপসেটগুলিতে অবিচ্ছিন্ন। হলোমর্ফি একটি ফাংশন f′HG (U, Y) হল হলোমর্ফিক যদি, প্রতিটি x′U এর জন্য, টেলর সিরিজের সম্প্রসারণ (যা ইতিমধ্যে গেটক্স হলোমর্ফি দ্বারা বিদ্যমান থাকার নিশ্চয়তা দেওয়া হয়েছে) একত্রিত হয় এবং 0′X এর আশেপাশে y এর জন্য অবিচ্ছিন্ন হয়। এইভাবে হলমর্ফি দুর্বল হলমর্ফির ধারণার সাথে পাওয়ার সিরিজ সম্প্রসারণের সংমিশ্রণকে একত্রিত করে। হোলোমরফিক ফাংশনের সংগ্রহকে এইচ (ইউ, ওয়াই) দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। স্থানীয়ভাবে আবদ্ধ হলোমর্ফি একটি ফাংশন f: (URX) → Y-কে স্থানীয়ভাবে আবদ্ধ বলা হয় যদি U-এর প্রতিটি বিন্দুর একটি প্রতিবেশী থাকে যার f-এর নিচে চিত্রটি Y-তে আবদ্ধ থাকে। যদি, উপরন্তু, f হল U-এর উপর গেটঅক্স হলমর্ফিক, তাহলে f স্থানীয়ভাবে আবদ্ধ হলমর্ফিক। এই ক্ষেত্রে, আমরা f ωHLB (U, Y) লিখি। তথ্যসূত্র রিচার্ড ভি. ক্যাডিসন, জন আর. রিংরোজ, ফান্ডামেন্টালস অফ দ্য থিওরি অফ অপারেটর আলজেব্রাস, খণ্ড। 1. প্রাথমিক তত্ত্ব। আমেরিকান ম্যাথমেটিকাল সোসাইটি, 1997। (সেক্ট দেখুন। 3. 3) সু বং চাই, হলোমর্ফি অ্যান্ড ক্যালকুলাস ইন নর্মড স্পেস, মার্সেল ডেকার, 1985। লরেন্স এ. হ্যারিস, ফিক্সড পয়েন্ট থিওরেমস ফর ইনফাইনাইট ডাইমেনশনাল হলমর্ফিক ফাংশনস (তারিখবিহীন)। ব্যানচ স্পেস