Dirac comb
গণিতে, একটি ডিরাক চিরুনি (যা শা ফাংশন, ইমপালস ট্রেন বা স্যাম্পলিং ফাংশন নামেও পরিচিত) একটি নির্দিষ্ট সময়ের জন্য সূত্র সহ একটি পর্যায়ক্রমিক ফাংশন। এখানে t একটি বাস্তব পরিবর্তনশীল এবং যোগফল সমস্ত পূর্ণসংখ্যা k-এর উপর প্রসারিত। ডিরাক ডেল্টা ফাংশন এবং ডিরাক চিরুনি হল টেম্পারড ডিস্ট্রিবিউশন। ফাংশনের গ্রাফটি একটি চিরুনির অনুরূপ (চিরুনির দাঁত হিসাবে এস সহ), তাই এর নাম এবং ফাংশনটি বোঝাতে চিরুনির মতো সিরিলিক অক্ষর শা (ষ্) ব্যবহার করা হয়। প্রতীক, যেখানে পিরিয়ড বাদ দেওয়া হয়েছে, একক পিরিয়ডের একটি ডিরাক চিরুনির প্রতিনিধিত্ব করে। এটি বোঝায় যেহেতু ডিরাক চিরুনি ফাংশনটি পর্যায়ক্রমিক, তাই এটিকে ডিরিচলেট কার্নেলের উপর ভিত্তি করে একটি ফুরিয়ার সিরিজ হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারেঃ ডিরাক চিরুনি ফাংশনটি ফুরিয়ার সিরিজের কোনও উল্লেখ ছাড়াই টেম্পারড ডিস্ট্রিবিউশনের উপর অবিচ্ছিন্ন ফুরিয়ার বিশ্লেষণের একক কাঠামোর মধ্যে নমুনা সংগ্রহ এবং আলিয়াজিংয়ের মতো অবিচ্ছিন্ন এবং বিচ্ছিন্ন উভয় ঘটনাকেই উপস্থাপন করতে দেয়। একটি ডিরাক চিরুনির ফুরিয়ার রূপান্তর হল আরেকটি ডিরাক চিরুনি। টেম্পারড ডিস্ট্রিবিউশনের উপর কনভোলিউশন উপপাদ্যের কারণে যা পয়সন সমষ্টি সূত্র হিসাবে পরিণত হয়, সংকেত প্রক্রিয়াকরণে, ডিরাক চিরুনি এটির সাথে গুণনের মাধ্যমে মডেলিং স্যাম্পলিংয়ের অনুমতি দেয়, তবে এটি এর সাথে কনভোলিউশনের মাধ্যমে মডেলিং পিরিয়ডাইজেশনেরও অনুমতি দেয়। ডিরাক্-চিরুনি পরিচয় ডিরাক্ চিরুনি দুটি উপায়ে তৈরি করা যেতে পারে, হয় ক্রমাগত ফাংশনে প্রয়োগ করা চিরুনি অপারেটর (নমুনা সঞ্চালন) ব্যবহার করে, অথবা, বিকল্পভাবে, ডিরাক্ ব-দ্বীপে প্রয়োগ করা রিপ অপারেটর (পিরিয়ডাইজেশন সম্পাদন) ব্যবহার করে। আনুষ্ঠানিকভাবে, এই ফলন (;) যেখানে এবং সংকেত প্রক্রিয়াকরণে, এই বৈশিষ্ট্যটি একদিকে গুণ দ্বারা একটি ফাংশনের নমুনা নেওয়ার অনুমতি দেয় এবং অন্যদিকে এটি () এর সাথে কনভোলিউশন দ্বারা পিরিয়ডাইজেশনের অনুমতি দেয়। ডায়রাক চিরুনি পরিচয় হল টেম্পারড ডিস্ট্রিবিউশনের জন্য কনভোলিউশন উপপাদ্যের একটি নির্দিষ্ট উদাহরণ। স্কেলিং ডিরাক চিরুনির স্কেলিং বৈশিষ্ট্য ডিরাক ডেল্টা ফাংশনের বৈশিষ্ট্যগুলি থেকে অনুসরণ করা হয়। যেহেতু ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যার ক্ষেত্রে, এটি নিম্নরূপঃ মনে রাখবেন যে ঋণাত্মক সংখ্যার পরিবর্তে ধনাত্মক স্কেলিং সংখ্যার প্রয়োজন কোনও সীমাবদ্ধতা নয় কারণ ঋণাত্মক চিহ্নটি শুধুমাত্র যোগফলের ক্রমকে বিপরীত করবে, যা ফলাফলকে প্রভাবিত করে না। ফুরিয়ার সিরিজ এটি স্পষ্ট যে সময়ের সাথে পর্যায়ক্রমিক। অর্থাৎ, সমস্ত টি-এর জন্য। এই ধরনের পর্যায়ক্রমিক ফাংশনের জন্য জটিল ফুরিয়ার সিরিজ হল যেখানে ফুরিয়ার সহগগুলি (প্রতীকীভাবে) সমস্ত ফুরিয়ার সহগগুলি 1/টি হয় যার ফলে যখন সময়কালটি একটি একক হয়, তখন এটি সহজ করে মন্তব্য করেঃ সবচেয়ে কঠোরভাবে, ডিরাক্ ডেল্টা ফাংশন সহ যে কোনও পণ্যের উপর রিম্যান বা লেবস্গু ইন্টিগ্রেশন শূন্য ফল দেয়। এই কারণে, উপরের ইন্টিগ্রেশন (ফুরিয়ার সিরিজের সহগ নির্ধারণ) অবশ্যই "সাধারণীকৃত ফাংশনের অর্থে" বুঝতে হবে। এর অর্থ হল, ডিরাক চিরুনির উপর প্রয়োগ করা একটি ব্যবধানের বৈশিষ্ট্যমূলক ফাংশন ব্যবহার করার পরিবর্তে, একটি তথাকথিত লাইটহিল একক ফাংশন কাটআউট ফাংশন হিসাবে ব্যবহার করা হয়, বিস্তারিত জানার জন্য দেখুন, পৃ. 62, উপপাদ্য 22। ফুরিয়ার রূপান্তর একটি ডিরাক চিরুনির ফুরিয়ার রূপান্তরও একটি ডিরাক চিরুনি। ফ্রিকোয়েন্সি ডোমেনে (Hz) প্রকাশিত ফুরিয়ার রূপান্তরের জন্য পিরিয়ডের ডিরাক চিরুনি একটি পুনরুদ্ধার করা পিরিয়ডের ডিরাক চিরুনীতে রূপান্তরিত হয়। জন্য অন্য ডিরাক চিরুনির সাথে আনুপাতিক, তবে ফ্রিকোয়েন্সি ডোমেনে পিরিয়ড সহ (রেডিয়ান/এস)। একক সময়ের ডিরাক চিরুনি এইভাবে আইগেনভ্যালুয়ের একটি আইগেনফাংশান এই ফলাফলটি () দ্বারা সংজ্ঞায়িত ফাংশনের পরিবারের সংশ্লিষ্ট ফুরিয়ার রূপান্তরগুলি বিবেচনা করে প্রতিষ্ঠিত করা যেতে পারে () যেহেতু গাউসিয়ান ফাংশনের একটি অভিসারী সিরিজ, এবং গাউসিয়ানরা গাউসিয়ানদের মধ্যে রূপান্তরিত হয়, তাদের নিজ নিজ ফুরিয়ার রূপান্তরগুলির প্রত্যেকটির ফলস্বরূপ গাউসিয়ানদের একটি সিরিজও হয় এবং স্পষ্ট গণনা প্রতিষ্ঠিত করে যে ফাংশন এবং এইভাবে প্রতিটি সমদূরবর্তী গাউসিয়ান স্পাইকগুলির একটি সিরিজের সমন্বয়ে গঠিত একটি পর্যায়ক্রমিক ফাংশনের অনুরূপ এবং যার নিজ নিজ "উচ্চতা" (প্রাক-ফ্যাক্টর) ধীরে ধীরে গাউসিয়ান খাম ফাংশনগুলি হ্রাস করে নির্ধারিত হয় যা অনন্ততায় শূন্যে নেমে যায়। লক্ষ্য করুন যে সীমার মধ্যে প্রতিটি গাউসিয়ান স্পাইক একটি অসীম তীক্ষ্ণ ডিরাক প্রবণতা হয়ে ওঠে যা যথাক্রমে এবং প্রত্যেকের জন্য এবং তাই সমস্ত প্রাক-কারণগুলি শেষ পর্যন্ত থেকে আলাদা করা যায় না। অতএব ফাংশনগুলি এবং তাদের নিজ নিজ ফুরিয়ার রূপান্তরগুলি একই ফাংশনে একত্রিত হয় এবং এই সীমা ফাংশনটি অসীম সমদূরবর্তী গাউসিয়ান স্পাইকগুলির একটি সিরিজ, প্রতিটি স্পাইককে একটির একই প্রাক-ফ্যাক্টর দ্বারা গুণ করা হয়, অর্থাৎ। একক সময়ের জন্য ডিরাক চিরুনিঃ এবং যেহেতু, আমরা এই সীমার মধ্যে প্রদর্শিত ফলাফলটি পাইঃ ফুরিয়ার রূপান্তরের স্কেলিং বৈশিষ্ট্যটি কাজে লাগিয়ে সময়ের জন্য সংশ্লিষ্ট ফলাফল পাওয়া যায়, এটি প্রতিষ্ঠিত করার আরেকটি উপায় যে ডিরাক চিরুনি অন্য ডিরাক চিরুনীতে রূপান্তরিত হয় সাধারণভাবে পর্যায়ক্রমিক ফাংশনের অবিচ্ছিন্ন ফুরিয়ার রূপান্তরগুলি পরীক্ষা করে শুরু হয় এবং তারপরে ডিরাক চিরুনির ক্ষেত্রে বিশেষজ্ঞ হয়। এটিও দেখানোর জন্য যে নির্দিষ্ট নিয়মটি ফুরিয়ার রূপান্তরের প্রচলিত ধারার উপর নির্ভর করে, এটি যে কোনও পর্যায়ক্রমিক ফাংশনের জন্য কৌণিক ফ্রিকোয়েন্সি ব্যবহার করে দেখানো হবে যার ফুরিয়ার রূপান্তর মেনে চলেঃ কারণ ফুরিয়ার রূপান্তরিত হয় এবং এর দিকে নিয়ে যায় এবং এই সমীকরণটি বোঝায় যে প্রায় সর্বত্র শুধুমাত্র সম্ভাব্য ব্যতিক্রমগুলির সাথে এবং যখন সংশ্লিষ্ট ফুরিয়ার সিরিজের অভিব্যক্তিতে ফুরিয়ার রূপান্তরের মূল্যায়ন করা হয় তখন একটি সংশ্লিষ্ট ডেল্টা ফাংশনের ফলাফল হয়। ডিরাক চিরুনির ফুরিয়ার রূপান্তরের বিশেষ ক্ষেত্রে, একক সময়ের মধ্যে ফুরিয়ার সিরিজের অবিচ্ছেদ্য অংশটি উৎপত্তির সময় শুধুমাত্র ডিরাক ফাংশনকে অন্তর্ভুক্ত করে এবং এইভাবে প্রত্যেকটির জন্য দেয়। অন্য কথায়, পর্যায়ক্রমিক ফাংশনের অবিচ্ছিন্ন ফুরিয়ার রূপান্তর সকলের জন্য 'সহ' এবং 'দ্য ফুরিয়ার সিরিজ গুণাঙ্ক'-এর দিকে নিয়ে যায়, যখন, অর্থাৎ। আরেকটি ডিরাক চিরুনি, তবে কৌণিক ফ্রিকোয়েন্সি ডোমেনে (রেডিয়ান/এস) পিরিয়ড সহ। উল্লিখিত হিসাবে, নির্দিষ্ট নিয়মটি ব্যবহৃত ফুরিয়ার রূপান্তরের ধারণার উপর নির্ভর করে। প্রকৃতপক্ষে, ডিরাক ডেল্টা ফাংশনের স্কেলিং বৈশিষ্ট্যটি ব্যবহার করার সময়, উপরেরটি সাধারণ ফ্রিকোয়েন্সি ডোমেনে (Hz) পুনরায় প্রকাশ করা যেতে পারে এবং একটি আবার অর্জন করতে পারেঃ যেমন একক সময়কাল ডিরাক চিরুনি নিজেই রূপান্তরিত হয়ঃ অবশেষে, ডিরাক চিরুনিটি কৌণিক ফ্রিকোয়েন্সি স্পেসে একক অবিচ্ছিন্ন ফুরিয়ার রূপান্তরের আইগেনভ্যালু 1-এর একটি আইগেন ফাংশন, যখন একক ফুরিয়ার রূপান্তরের জন্য উপরেরটিকে নমুনা হিসাবে পুনরায় প্রকাশ করা যেতে পারে এবং একটি ডিরাক চিরুনি দ্বারা কোনও ফাংশনকে গুণ করলে এটি চিরুনির নোডগুলিতে ফাংশনের মানের সমান ইন্টিগ্রাল সহ আবেগের ট্রেনে রূপান্তরিত হয়। এই অপারেশনটি প্রায়শই স্যাম্পলিং উপস্থাপন করতে ব্যবহৃত হয়। ডিরাক চিরুনির স্ব-রূপান্তরকারী বৈশিষ্ট্য এবং কনভোলিউশন উপপাদ্যের কারণে, এটি ফ্রিকোয়েন্সি ডোমেনে ডিরাক চিরুনির সাথে কনভোলিউশনের সাথে মিলে যায়। যেহেতু একটি ডেল্টা ফাংশনের সাথে কনভোলিউশন দ্বারা ফাংশন স্থানান্তরের সমতুল্য, তাই ডিরাক চিরুনির সাথে কনভোলিউশন প্রতিলিপি বা পর্যায়ক্রমিক যোগফলের সাথে মিলে যায়ঃ এটি নাইকুইস্ট-শ্যানন স্যাম্পলিং উপপাদ্যের একটি প্রাকৃতিক গঠনের দিকে পরিচালিত করে। যদি ফাংশনের বর্ণালীতে বি-এর চেয়ে বেশি ফ্রিকোয়েন্সি না থাকে (অর্থাৎ, এর বর্ণালী শুধুমাত্র বিরতিতে অ-শূন্য হয়) তবে বিরতিতে মূল ফাংশনের নমুনাগুলি মূল সংকেতটি পুনর্গঠনের জন্য যথেষ্ট। এটি একটি উপযুক্ত আয়তক্ষেত্র ফাংশন দ্বারা নমুনা ফাংশনের বর্ণালীকে গুণ করার জন্য যথেষ্ট, যা একটি ইট-প্রাচীর লোপাস ফিল্টার প্রয়োগের সমতুল্য। টাইম ডোমেইনে, এই "রেক্ট ফাংশনের সাথে গুণ" হল "সিঙ্ক ফাংশনের সাথে কনভোলিউশন" (, p.33-34)-এর সমতুল্য। অতএব, এটি তার নমুনা থেকে মূল কার্যকারিতা পুনরুদ্ধার করে। এটি হুইটেকার-শ্যানন ইন্টারপোলেশন সূত্র নামে পরিচিত। মন্তব্যঃ সবচেয়ে কঠোরভাবে, ডিরাক চিরুনির মতো একটি সাধারণীকৃত ফাংশনের সাথে রেক্ট ফাংশনের গুণন ব্যর্থ হয়। ব্যবধানের সীমানায় গুণফলের অনির্ধারিত ফলাফলের কারণে এটি হয়। সমাধান হিসাবে, রেক্ট ফাংশনের পরিবর্তে লাইটহিল ইউনিটারি ফাংশন ব্যবহার করা হয়। ব্যবধানের সীমানায় এটি মসৃণ, তাই এটি সর্বত্র নির্ধারিত গুণফল উৎপন্ন করে, বিস্তারিত জানতে দেখুন, পৃ. 62, উপপাদ্য 22। দিকনির্দেশক পরিসংখ্যানে ব্যবহার দিকনির্দেশক পরিসংখ্যানে, পিরিয়ডের ডিরাক চিরুনি একটি আবৃত ডিরাক ডেল্টা ফাংশনের সমতুল্য এবং রৈখিক পরিসংখ্যানে ডিরাক ডেল্টা ফাংশনের অনুরূপ। রৈখিক পরিসংখ্যানে, র্যান্ডম ভেরিয়েবল সাধারণত বাস্তব-সংখ্যার লাইনে বা তার কিছু উপসেটে বিতরণ করা হয় এবং এর সম্ভাব্যতা ঘনত্ব এমন একটি ফাংশন যার ডোমেন বাস্তব সংখ্যার সেট, এবং যার ইন্টিগ্রাল হল unity। দিকনির্দেশক পরিসংখ্যানে, এলোমেলো পরিবর্তনশীল একক বৃত্তের উপর বিতরণ করা হয়, এবং এর সম্ভাব্যতা ঘনত্ব এমন একটি ফাংশন যার ডোমেন দৈর্ঘ্যের বাস্তব সংখ্যার কিছু ব্যবধান এবং যার ব্যবধানের উপর অবিচ্ছেদ্য হল একতা। ঠিক যেমন বাস্তব-সংখ্যা রেখার উপর একটি নির্বিচারে ফাংশন সহ একটি ডিরাক ডেল্টা ফাংশনের গুণফলের ইন্টিগ্রাল শূন্যে সেই ফাংশনের মান প্রদান করে, তেমনি একক বৃত্তের উপর একটি নির্বিচারে ফাংশন সহ পিরিয়ডের একটি ডিরাক চিরুনির গুণফলের ইন্টিগ্রাল শূন্যতে সেই ফাংশনের মান প্রদান করে। আরও দেখুন কম্ব ফিল্টার ফ্রিকোয়েন্সি কম্ব পয়সন যোগসূত্র সূত্র আরও পড়ুন। । । বিশেষ ফাংশন সাধারণীকৃত ফাংশন সিগন্যাল প্রসেসিং দিকনির্দেশক পরিসংখ্যান