Markov random field
পদার্থবিজ্ঞান এবং সম্ভাবনার ক্ষেত্রে, একটি মার্কভ র্যান্ডম ফিল্ড (এম. আর. এফ), মার্কভ নেটওয়ার্ক বা অনির্দিষ্ট গ্রাফিকাল মডেল হল একটি অনির্দিষ্ট গ্রাফ দ্বারা বর্ণিত মার্কভ বৈশিষ্ট্যযুক্ত র্যান্ডম ভেরিয়েবলের একটি সেট। অন্য কথায়, একটি এলোমেলো ক্ষেত্রকে মার্কভ এলোমেলো ক্ষেত্র বলা হয় যদি এটি মার্কভ বৈশিষ্ট্যগুলিকে সন্তুষ্ট করে। ধারণাটি শেরিংটন-কির্কপ্যাট্রিক মডেল থেকে উদ্ভূত হয়েছে। একটি মার্কভ নেটওয়ার্ক বা এম. আর. এফ নির্ভরশীলতার প্রতিনিধিত্বে একটি বায়েসিয়ান নেটওয়ার্কের অনুরূপ; পার্থক্য হল যে বায়েসিয়ান নেটওয়ার্কগুলি নির্দেশিত এবং অ্যাসাইক্লিক, যেখানে মার্কভ নেটওয়ার্কগুলি অনির্দিষ্ট এবং চক্রাকার হতে পারে। সুতরাং, একটি মার্কভ নেটওয়ার্ক নির্দিষ্ট কিছু নির্ভরশীলতার প্রতিনিধিত্ব করতে পারে যা একটি বায়েসিয়ান নেটওয়ার্ক করতে পারে না (যেমন চক্রাকার নির্ভরতা); অন্যদিকে, এটি নির্দিষ্ট কিছু নির্ভরশীলতার প্রতিনিধিত্ব করতে পারে না যা একটি বায়েসিয়ান নেটওয়ার্ক করতে পারে (যেমন প্ররোচিত নির্ভরতা)। একটি মার্কভ এলোমেলো ক্ষেত্রের অন্তর্নিহিত গ্রাফ সসীম বা অসীম হতে পারে। র্যান্ডম ভেরিয়েবলগুলির যৌথ সম্ভাব্যতা ঘনত্ব যখন কঠোরভাবে ধনাত্মক হয়, তখন এটিকে গিবস র্যান্ডম ক্ষেত্র হিসাবেও উল্লেখ করা হয়, কারণ হ্যামারসলে-ক্লিফফোর্ড উপপাদ্য অনুসারে, এটি একটি উপযুক্ত (স্থানীয়ভাবে সংজ্ঞায়িত) শক্তি ফাংশনের জন্য গিবস পরিমাপ দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা যেতে পারে। প্রোটোটাইপিক্যাল মার্কভ র্যান্ডম ফিল্ড হল আইসিং মডেল; প্রকৃতপক্ষে, মার্কভ র্যান্ডম ফিল্ড আইসিং মডেলের সাধারণ সেটিং হিসাবে চালু করা হয়েছিল। কৃত্রিম বুদ্ধিমত্তার ক্ষেত্রে, একটি মার্কভ র্যান্ডম ক্ষেত্র ইমেজ প্রসেসিং এবং কম্পিউটার ভিশনের বিভিন্ন নিম্ন থেকে মধ্য-স্তরের কাজের মডেল তৈরি করতে ব্যবহৃত হয়। সংজ্ঞা একটি অনির্দিষ্ট গ্রাফের পরিপ্রেক্ষিতে, একটি মার্কভ র্যান্ডম ক্ষেত্রের দ্বারা সূচীভুক্ত র্যান্ডম ভেরিয়েবলগুলির একটি সেট যদি তারা স্থানীয় মার্কভ বৈশিষ্ট্যগুলিকে সন্তুষ্ট করেঃ পেয়ারওয়াইজ মার্কভ প্রপার্টিঃ যে কোনও দুটি অ-সংলগ্ন ভেরিয়েবল অন্যান্য সমস্ত ভেরিয়েবলের পরিপ্রেক্ষিতে শর্তসাপেক্ষভাবে স্বাধীনঃ স্থানীয় মার্কভ প্রপার্টিঃ একটি ভেরিয়েবল তার প্রতিবেশীদের দেওয়া অন্যান্য সমস্ত ভেরিয়েবলের থেকে শর্তসাপেক্ষভাবে স্বাধীনঃ যেখানে প্রতিবেশীদের সেট, এবং এর বন্ধ প্রতিবেশী। গ্লোবাল মার্কভ বৈশিষ্ট্যঃ ভেরিয়েবলের যে কোনও দুটি উপসেট একটি পৃথক উপসেট দেওয়া শর্তসাপেক্ষভাবে স্বাধীনঃ যেখানে একটি নোড থেকে একটি নোডের মধ্যে প্রতিটি পথ অতিক্রম করে। গ্লোবাল মার্কভ সম্পত্তি স্থানীয় মার্কভ সম্পত্তির চেয়ে শক্তিশালী, যা পেয়ারওয়াইজ সম্পত্তির চেয়েও শক্তিশালী। যাইহোক, উপরের তিনটি মার্কভ বৈশিষ্ট্য ধনাত্মক বণ্টনের সমতুল্য (যেগুলি সংশ্লিষ্ট চলকগুলির জন্য শুধুমাত্র অ-শূন্য সম্ভাব্যতা নির্ধারণ করে)। তিনটি মার্কভ বৈশিষ্ট্যের মধ্যে সম্পর্ক নিম্নলিখিত গঠনে বিশেষভাবে স্পষ্টঃ যুগ্মভাবেঃ যে কোনও সমান বা সংলগ্ন নয়, তার জন্য। স্থানীয়ঃ যে কোনও এবং এর সাথে যুক্ত বা সংলগ্ন নয়। গ্লোবালঃ যে কোনও ছেদকারী বা সংলগ্ন নয়, তার জন্য। যেহেতু একটি নির্বিচারে সম্ভাব্যতা বিতরণের মার্কভ বৈশিষ্ট্য স্থাপন করা কঠিন হতে পারে, মার্কভ র্যান্ডম ক্ষেত্রগুলির একটি সাধারণভাবে ব্যবহৃত শ্রেণী হল সেগুলি যা গ্রাফের চক্র অনুসারে ফ্যাক্টরাইজ করা যেতে পারে। র্যান্ডম ভেরিয়েবলের একটি সেট দেওয়া হলে, একটি নির্দিষ্ট ক্ষেত্রের বিন্যাসের সম্ভাব্যতা ধরা যাক-অর্থাৎ, র্যান্ডম ভেরিয়েবলগুলি নির্দিষ্ট মানটি গ্রহণ করে তা খুঁজে পাওয়ার সম্ভাবনা। কারণ এটি একটি সেট, এর সম্ভাব্যতা একটি যৌথ বিতরণের সাপেক্ষে নেওয়া উচিত। যদি এই জয়েন্টের ঘনত্বকে এর চক্রের উপর ফ্যাক্টরাইজ করা যায় তবে এর সাপেক্ষে একটি মার্কভ র্যান্ডম ক্ষেত্র তৈরি করে। এখানে, এর চক্রের সমষ্টি রয়েছে। সংজ্ঞাটি সমতুল্য যদি শুধুমাত্র সর্বাধিক চক্র ব্যবহার করা হয়। ফাংশনগুলিকে কখনও কখনও ফ্যাক্টর সম্ভাব্যতা বা ক্লিক সম্ভাব্যতা হিসাবে উল্লেখ করা হয়। তবে লক্ষ্য করুন, পরস্পরবিরোধী পরিভাষা ব্যবহার করা হয়ঃ সম্ভাব্যতা শব্দটি প্রায়শই এর লগারিদমের ক্ষেত্রে প্রয়োগ করা হয়। এর কারণ হল, পরিসংখ্যানগত বলবিজ্ঞানে, একটি বিন্যাসের সম্ভাব্য শক্তি হিসাবে সরাসরি ব্যাখ্যা রয়েছে। কিছু এম. আর. এফ ফ্যাক্টরাইজ করে নাঃ একটি সহজ উদাহরণ কিছু অসীম শক্তি সহ 4 টি নোডের চক্রের উপর তৈরি করা যেতে পারে, অর্থাৎ। শূন্য সম্ভাবনার বিন্যাস, এমনকি যদি একটি, আরও যথাযথভাবে, অসীম শক্তিকে সম্পূর্ণ গ্রাফের উপর কাজ করার অনুমতি দেয়। এম. আর. এফ-এর ফ্যাক্টরাইজ যদি নিম্নলিখিত শর্তগুলির মধ্যে অন্তত একটি পূরণ হয়ঃ ঘনত্ব ধনাত্মক হয় (হ্যামারসলে-ক্লিফফোর্ড উপপাদ্য অনুসারে) গ্রাফটি কর্ডাল হয় (বায়েসিয়ান নেটওয়ার্কের সমতুল্য হিসাবে) যখন এই ধরনের ফ্যাক্টরাইজেশন বিদ্যমান থাকে, তখন নেটওয়ার্কের জন্য একটি ফ্যাক্টর গ্রাফ তৈরি করা সম্ভব হয়। এক্সপোনেনশিয়াল পরিবার যে কোনও ধনাত্মক মার্কভ র্যান্ডম ক্ষেত্রকে বৈশিষ্ট্যমূলক ফাংশন সহ ক্যানোনিকাল আকারে এক্সপোনেনশিয়াল পরিবার হিসাবে লেখা যেতে পারে যেমন পূর্ণ-জয়েন্ট ডিস্ট্রিবিউশনটি এমনভাবে লেখা যেতে পারে যেখানে স্বরলিপিটি কেবল ক্ষেত্রের কনফিগারেশনের উপর একটি ডট প্রোডাক্ট, এবং জেড হল পার্টিশন ফাংশনঃ এখানে, সমস্ত নেটওয়ার্কের র্যান্ডম ভেরিয়েবলের মানগুলির সমস্ত সম্ভাব্য অ্যাসাইনমেন্টের সেটকে বোঝায়। সাধারণত, বৈশিষ্ট্য ফাংশনগুলি এমনভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় যে সেগুলি চক্রের বিন্যাসের সূচক, অর্থাৎ। যদি k-th চক্রের i-th সম্ভাব্য বিন্যাসের সাথে মিলে যায় এবং অন্যথায় 0। এই মডেলটি উপরে প্রদত্ত ক্লাইক ফ্যাক্টরাইজেশন মডেলের সমতুল্য, যদি এটি ক্লিকের প্রধানত্ব হয় এবং একটি বৈশিষ্ট্যের ওজন সংশ্লিষ্ট ক্লাইক ফ্যাক্টরের লগারিদমের সাথে মিলে যায়, অর্থাৎ। , k-th চক্রের i-th সম্ভাব্য বিন্যাস কোথায়, অর্থাৎ। চক্রের ডোমেনে i-th মান। সম্ভাব্যতা পি-কে প্রায়শই গিবস পরিমাপ বলা হয়। একটি লজিস্টিক মডেল হিসাবে একটি মার্কভ ক্ষেত্রের এই অভিব্যক্তি কেবল তখনই সম্ভব যদি সমস্ত ক্লাইক ফ্যাক্টর অ-শূন্য হয়, অর্থাৎ। যদি এর কোনও উপাদানকে 0 এর সম্ভাবনা বরাদ্দ করা না হয়। এটি ম্যাট্রিক্স বীজগণিত থেকে কৌশল প্রয়োগ করার অনুমতি দেয়, যেমন। যে একটি ম্যাট্রিক্সের ট্রেস হল নির্ধারকের লগ, গ্রাফের আপতন ম্যাট্রিক্স থেকে উদ্ভূত একটি গ্রাফের ম্যাট্রিক্স উপস্থাপনা সহ। পার্টিশন ফাংশন জেড-এর গুরুত্ব হল যে পরিসংখ্যানগত বলবিজ্ঞান থেকে অনেক ধারণা, যেমন এনট্রপি, সরাসরি মার্কভ নেটওয়ার্কের ক্ষেত্রে সাধারণীকরণ করে এবং এর ফলে একটি স্বজ্ঞাত বোঝাপড়া অর্জন করা যেতে পারে। উপরন্তু, পার্টিশন ফাংশনটি সমস্যার সমাধানে বৈচিত্র্যময় পদ্ধতি প্রয়োগ করার অনুমতি দেয়ঃ একজন এক বা একাধিক এলোমেলো চলকের সাথে একটি চালিকা শক্তি সংযুক্ত করতে পারে এবং এই বিশৃঙ্খলার প্রতিক্রিয়ায় নেটওয়ার্কের প্রতিক্রিয়া অন্বেষণ করতে পারে। সুতরাং, উদাহরণস্বরূপ, গ্রাফের প্রতিটি ভার্টেক্স v-এর জন্য, পার্টিশন ফাংশনে একটি ড্রাইভিং শব্দ Jv যোগ করা যেতে পারেঃ Jv-এর সাপেক্ষে আনুষ্ঠানিকভাবে পার্থক্য করলে ভার্টেক্স v-এর সাথে যুক্ত র্যান্ডম ভেরিয়েবল Xv-এর প্রত্যাশিত মান পাওয়া যায়ঃ কোরিলেশন ফাংশনগুলি একইভাবে গণনা করা হয়; দুই-পয়েন্টের পারস্পরিক সম্পর্কটি হলঃ দুর্ভাগ্যবশত, যদিও একটি লজিস্টিক মার্কভ নেটওয়ার্কের সম্ভাবনা উত্তল, একটি মডেলের সম্ভাবনার সম্ভাবনা বা গ্রেডিয়েন্ট মূল্যায়ন করার জন্য মডেলটিতে অনুমানের প্রয়োজন হয়, যা সাধারণত গণনামূলকভাবে অসম্ভব (নীচে 'অনুমান' দেখুন)। উদাহরণস্বরূপ গাউসিয়ান একটি মাল্টিভ্যারিয়েট স্বাভাবিক বন্টন একটি গ্রাফের সাপেক্ষে একটি মার্কভ র্যান্ডম ক্ষেত্র গঠন করে যদি অনুপস্থিত প্রান্তগুলি নির্ভুল ম্যাট্রিক্সের (বিপরীত কোভ্যারিয়েন্স ম্যাট্রিক্স) শূন্যের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ হয়ঃ যেমন একটি বায়েসিয়ান নেটওয়ার্কের মতো, কেউ মার্কভ র্যান্ডম ক্ষেত্রের নোডগুলির অন্য সেটের জন্য প্রদত্ত মানগুলির একটি সেটের শর্তাধীন বিতরণ গণনা করতে পারে সমস্ত সম্ভাব্য অ্যাসাইনমেন্টের উপর যোগ করে; এটিকে সঠিক অনুমান বলা হয়। যাইহোক, সঠিক অনুমান একটি #P-সম্পূর্ণ সমস্যা, এবং এইভাবে সাধারণ ক্ষেত্রে গণনামূলকভাবে জটিল। মার্কভ চেইন মন্টে কার্লো এবং লুপি বিশ্বাস প্রচারের মতো আনুমানিক কৌশলগুলি প্রায়শই অনুশীলনে আরও কার্যকর। এম. আর. এফ-এর কিছু নির্দিষ্ট উপশ্রেণী, যেমন গাছ (চাও-লিউ গাছ দেখুন)-এর বহুপদী-সময় অনুমান অ্যালগরিদম রয়েছে; এই ধরনের উপশ্রেণীগুলি আবিষ্কার করা একটি সক্রিয় গবেষণার বিষয়। এম. আর. এফ-এর উপশ্রেণীও রয়েছে যা দক্ষ এম. এ. পি, বা সম্ভবত অ্যাসাইনমেন্ট, অনুমানের অনুমতি দেয়; এর উদাহরণগুলির মধ্যে রয়েছে সহযোগী নেটওয়ার্ক। আরেকটি আকর্ষণীয় উপ-শ্রেণী হল পচনশীল মডেলগুলির মধ্যে একটি (যখন গ্রাফটি কর্ডাল হয়): এম. এল. ই-এর জন্য একটি বদ্ধ-রূপ থাকা, শত শত চলকের জন্য একটি সামঞ্জস্যপূর্ণ কাঠামো আবিষ্কার করা সম্ভব। শর্তাধীন র্যান্ডম ক্ষেত্র মার্কভ র্যান্ডম ক্ষেত্রের একটি উল্লেখযোগ্য রূপ হল একটি শর্তাধীন র্যান্ডম ক্ষেত্র, যেখানে প্রতিটি র্যান্ডম পরিবর্তনশীলকে বৈশ্বিক পর্যবেক্ষণের একটি সেটের উপরও শর্তযুক্ত করা যেতে পারে। এই মডেলে, প্রতিটি ফাংশন হল সমস্ত অ্যাসাইনমেন্ট থেকে ক্লিক k এবং অ-ঋণাত্মক বাস্তব সংখ্যা উভয়ের পর্যবেক্ষণের একটি ম্যাপিং। মার্কভ নেটওয়ার্কের এই রূপটি বৈষম্যমূলক শ্রেণীবিভাগ তৈরির জন্য আরও উপযুক্ত হতে পারে, যা পর্যবেক্ষণের উপর বিতরণের মডেল তৈরি করে না। জন ডি. ল্যাফার্টি, অ্যান্ড্রু ম্যাককালাম এবং ফার্নান্দো সি. এন সি. আর. এফ-এর প্রস্তাব করেছিলেন। 2001 সালে পেরেরা। মার্কভ র্যান্ডম ক্ষেত্রগুলি কম্পিউটার গ্রাফিক্স থেকে শুরু করে কম্পিউটার দৃষ্টি, মেশিন লার্নিং বা গণনামূলক জীববিজ্ঞান এবং তথ্য পুনরুদ্ধার পর্যন্ত বিভিন্ন ক্ষেত্রে প্রয়োগ খুঁজে পায়। এমআরএফগুলি ইমেজ প্রসেসিংয়ে টেক্সচার তৈরি করতে ব্যবহৃত হয় কারণ এগুলি নমনীয় এবং স্টোকাস্টিক ইমেজ মডেল তৈরি করতে ব্যবহার করা যেতে পারে। ইমেজ মডেলিং-এ, কাজটি হল একটি প্রদত্ত চিত্রের উপযুক্ত তীব্রতার বন্টন খুঁজে বের করা, যেখানে উপযুক্ততা নির্ভর করে কাজের ধরণের উপর এবং এম. আর. এফগুলি চিত্র এবং টেক্সচার সংশ্লেষণ, চিত্র সংকোচন এবং পুনরুদ্ধার, চিত্র বিভাজন, 2ডি চিত্র থেকে 3ডি চিত্র অনুমান, চিত্র নিবন্ধকরণ, টেক্সচার সংশ্লেষণ, সুপার-রেজোলিউশন, স্টেরিও ম্যাচিং এবং তথ্য পুনরুদ্ধারের জন্য ব্যবহার করার জন্য যথেষ্ট নমনীয়। এগুলি বিভিন্ন কম্পিউটার দৃষ্টি সমস্যা সমাধানের জন্য ব্যবহার করা যেতে পারে যা শক্তি হ্রাস সমস্যা বা সমস্যা হিসাবে উত্থাপিত হতে পারে যেখানে অঞ্চলের বিভাগের পূর্বাভাস দেওয়ার জন্য মার্কভ র্যান্ডম ফিল্ড ফ্রেমওয়ার্কের মধ্যে বৈষম্যমূলক বৈশিষ্ট্যগুলির একটি সেট ব্যবহার করে বিভিন্ন অঞ্চলকে আলাদা করতে হয়। মার্কভ র্যান্ডম ক্ষেত্রগুলি আইসিং মডেলের উপর একটি সাধারণীকরণ ছিল এবং তারপর থেকে, সমন্বিত অপ্টিমাইজেশান এবং নেটওয়ার্কে ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হচ্ছে। আরও দেখুন কনস্ট্রেন্ট কম্পোজিট গ্রাফ গ্রাফিক্যাল মডেল ডিপেন্ডেন্সি নেটওয়ার্ক (গ্রাফিক্যাল মডেল) হ্যামারসলে-ক্লিফোর্ড উপপাদ্য হপফিল্ড নেটওয়ার্ক ইন্টারঅ্যাক্টিং পার্টিকল সিস্টেম আইসিং মডেল লগ-লিনিয়ার বিশ্লেষণ মার্কভ চেইন মার্কভ লজিক নেটওয়ার্ক সর্বাধিক এনট্রপি পদ্ধতি স্টোকাস্টিক সেলুলার অটোমেটন রেফারেন্স গ্রাফিকাল মডেল