Transfer operator
গণিতে, স্থানান্তর অপারেটর একটি পুনরাবৃত্ত মানচিত্র সম্পর্কে তথ্য এনকোড করে এবং প্রায়শই গতিশীল সিস্টেম, পরিসংখ্যানগত বলবিজ্ঞান, কোয়ান্টাম বিশৃঙ্খলা এবং ফ্র্যাক্টালের আচরণ অধ্যয়ন করতে ব্যবহৃত হয়। সমস্ত সাধারণ ক্ষেত্রে, বৃহত্তম আইগেনভ্যালু হল 1, এবং সংশ্লিষ্ট আইগেনভেক্টর হল সিস্টেমের অপরিবর্তনীয় পরিমাপ। অপারেটরের আইগেনভ্যালু নির্ধারণের ক্ষেত্রে পেরন-ফ্রোবেনিয়াস উপপাদ্যের প্রয়োগযোগ্যতার পরিপ্রেক্ষিতে স্থানান্তর অপারেটরকে কখনও কখনও ডেভিড রুয়েলের পরে রুয়েল অপারেটর বা পেরন-ফ্রোবেনিয়াস অপারেটর বা রুয়েল-ফ্রোবেনিয়াস অপারেটর বলা হয়। সংজ্ঞা অধ্যয়নরত পুনরাবৃত্ত ফাংশনটি একটি নির্বিচারে সেটের জন্য একটি মানচিত্র। স্থানান্তর অপারেটরকে এমন একটি অপারেটর হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় যা ফাংশনের স্থানের উপর কাজ করে যেখানে একটি সহায়ক মূল্যায়ন ফাংশন। যখন কোনও জ্যাকোবিয়ান নির্ধারক থাকে, তখন সাধারণত ধরা হয়। ট্রান্সফার অপারেটরের উপরের সংজ্ঞাটিকে পরিমাপ-তাত্ত্বিক পুশ ফরোয়ার্ডের পয়েন্ট-সেট সীমা হিসাবে দেখানো যেতে পারেঃ মূলত, ট্রান্সফার অপারেটর পরিমাপযোগ্য স্থানের বিভাগে সরাসরি ইমেজ ফাংক্টর। ফ্রোবেনিয়াস-পেরন অপারেটরের বাম-প্রান্ত হল কুপম্যান অপারেটর বা কম্পোজিশন অপারেটর। সাধারণ সেটিং বোরেল কার্যকরী ক্যালকুলাস দ্বারা সরবরাহ করা হয়। একটি সাধারণ নিয়ম হিসাবে, স্থানান্তর অপারেটরকে সাধারণত একটি (বাম-) স্থানান্তর অপারেটর হিসাবে ব্যাখ্যা করা যেতে পারে যা একটি স্থানান্তর স্থানে কাজ করে। সর্বাধিক অধ্যয়নরত শিফটগুলি হল সসীম ধরনের সাবশিফ্ট। একইভাবে স্থানান্তর অপারেটরের সংলগ্ন অংশকে সাধারণত ডান-স্থানান্তর হিসাবে ব্যাখ্যা করা যেতে পারে। বিশেষত ভালভাবে অধ্যয়ন করা ডান-স্থানান্তরগুলির মধ্যে রয়েছে জ্যাকোবি অপারেটর এবং হেসেনবার্গ ম্যাট্রিক্স, যা উভয়ই ডান-স্থানান্তরের মাধ্যমে অর্থোগোনাল বহুপদের সিস্টেম তৈরি করে। যেখানে কোনও ফাংশনের পুনরাবৃত্তি স্বাভাবিকভাবেই পুনরাবৃত্তির অধীনে এক্স-এর বিন্দুগুলির কক্ষপথের অধ্যয়নের দিকে পরিচালিত করে (বিন্দু গতিবিদ্যার অধ্যয়ন), স্থানান্তর অপারেটর সংজ্ঞায়িত করে যে কীভাবে (মসৃণ) মানচিত্রগুলি পুনরাবৃত্তির অধীনে বিকশিত হয়। সুতরাং, স্থানান্তর অপারেটররা সাধারণত পদার্থবিজ্ঞানের সমস্যাগুলিতে উপস্থিত হয়, যেমন কোয়ান্টাম বিশৃঙ্খলা এবং পরিসংখ্যানগত বলবিজ্ঞান, যেখানে মসৃণ ফাংশনের সময় বিবর্তনের উপর মনোযোগ কেন্দ্রীভূত করা হয়। পরিবর্তে, আণবিক গতিবিদ্যার ক্ষেত্রের মাধ্যমে যুক্তিসঙ্গত ওষুধের নকশায় এর চিকিৎসা প্রয়োগ রয়েছে। প্রায়শই এমন হয় যে স্থানান্তর অপারেটর ধনাত্মক হয়, তার পৃথক ধনাত্মক বাস্তব-মূল্যবান আইগেনভ্যালু থাকে, যার মধ্যে বৃহত্তম আইগেনভ্যালু একটির সমান হয়। এই কারণে, স্থানান্তর অপারেটরকে কখনও কখনও ফ্রোবেনিয়াস-পেরন অপারেটর বলা হয়। স্থানান্তর অপারেটরের আইগেন ফাংশনগুলি সাধারণত ফ্র্যাক্টাল হয়। যখন স্থানান্তর অপারেটরের লগারিদম একটি কোয়ান্টাম হ্যামিল্টনিয়ানের সাথে মিলে যায়, তখন আইগেনভ্যালুগুলি সাধারণত খুব ঘনিষ্ঠভাবে ব্যবধানযুক্ত হবে এবং এইভাবে কোয়ান্টাম অবস্থার একটি খুব সংকীর্ণ এবং সাবধানে নির্বাচিত সমষ্টিও পুরো আয়তনের উপর অ-শূন্য সমর্থন সহ প্রচুর সংখ্যক ভিন্ন ফ্র্যাক্টাল আইগেনস্টেটকে অন্তর্ভুক্ত করবে। সময়ের অপরিবর্তনীয়তা এবং এনট্রপির বৃদ্ধি সহ ধ্রুপদী পরিসংখ্যানগত বলবিজ্ঞানের অনেক ফলাফল ব্যাখ্যা করতে এটি ব্যবহার করা যেতে পারে। বার্নৌলি মানচিত্রের স্থানান্তর অপারেটর ঠিক সমাধানযোগ্য এবং নির্ধারণমূলক বিশৃঙ্খলার একটি সর্বোত্তম উদাহরণ; বিচ্ছিন্ন আইগেনভ্যালুগুলি বার্নৌলি বহুপদীর সাথে মিলে যায়। এই অপারেটরের হারউইৎজ জিটা ফাংশন সমন্বিত একটি অবিচ্ছিন্ন বর্ণালীও রয়েছে। গাউস মানচিত্রের স্থানান্তর অপারেটরকে গাউস-কুজমিন-উইরসিং (জিকেডাব্লু) অপারেটর বলা হয়। জিকেডাব্লিউ-এর তত্ত্বটি অব্যাহত ভগ্নাংশের উপর গাউস-এর একটি অনুমান থেকে শুরু হয় এবং এটি রিমান জিটা ফাংশনের সাথে ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত। আরও দেখুন বার্নৌলি স্কিম শিফট অফ ফাইনাইট টাইপ ক্রেইন-রুটম্যান উপপাদ্য রেফারেন্স (একটি প্রারম্ভিক সমীক্ষা প্রদান করে)। বিশৃঙ্খলা তত্ত্ব গতিশীল সিস্টেম অপারেটর তত্ত্ব বর্ণালী তত্ত্ব