P-value
নাল-হাইপোথিসিস তাৎপর্য পরীক্ষায়, পি-মান হল পরীক্ষার ফলাফল পাওয়ার সম্ভাবনা অন্তত ততটাই চরম যতটা ফলাফল প্রকৃতপক্ষে পর্যবেক্ষণ করা হয়েছে, এই ধারণার অধীনে যে নাল হাইপোথিসিসটি সঠিক। একটি খুব ছোট পি-মান মানে যে এই ধরনের একটি চরম পর্যবেক্ষিত ফলাফল নাল হাইপোথিসিসের অধীনে খুব অসম্ভাব্য হবে। যদিও পরিসংখ্যানগত পরীক্ষার পি-মান রিপোর্ট করা অনেক পরিমাণগত ক্ষেত্রের একাডেমিক প্রকাশনাগুলিতে সাধারণ অনুশীলন, পি-মানের ভুল ব্যাখ্যা এবং অপব্যবহার ব্যাপক এবং গণিত এবং মেটাসিন্সে একটি প্রধান বিষয় হয়ে দাঁড়িয়েছে। 2016 সালে, আমেরিকান স্ট্যাটিস্টিক্যাল অ্যাসোসিয়েশন (এ. এস. এ) একটি আনুষ্ঠানিক বিবৃতি দেয় যে "পি-মানগুলি এই সম্ভাব্যতা পরিমাপ করে না যে অধ্যয়ন করা অনুমানটি সত্য, বা সম্ভাবনা যে তথ্যটি কেবল এলোমেলো সুযোগ দ্বারা উত্পাদিত হয়েছিল" এবং "একটি পি-মান, বা পরিসংখ্যানগত তাৎপর্য, কোনও প্রভাবের আকার বা ফলাফলের গুরুত্ব পরিমাপ করে না" বা "কোনও মডেল বা অনুমান সম্পর্কিত প্রমাণ" পরিমাপ করে না। এটি বলেছিল, এএসএ দ্বারা 2019 সালের একটি টাস্ক ফোর্স পরিসংখ্যানগত তাৎপর্য এবং প্রতিলিপির উপর একটি বিবৃতি জারি করেছে, যার উপসংহারে বলা হয়েছেঃ "পি-মান এবং তাৎপর্য পরীক্ষা, যখন সঠিকভাবে প্রয়োগ করা হয় এবং ব্যাখ্যা করা হয়, তখন তথ্য থেকে নেওয়া সিদ্ধান্তের কঠোরতা বৃদ্ধি করে।" মৌলিক ধারণাগুলি পরিসংখ্যানে, কোনও গবেষণায় পর্যবেক্ষিত তথ্যের প্রতিনিধিত্বকারী এলোমেলো চলকগুলির সংগ্রহের অজানা সম্ভাব্যতা বিতরণ সম্পর্কিত প্রতিটি অনুমানকে পরিসংখ্যানগত অনুমান বলা হয়। যদি আমরা শুধুমাত্র একটি অনুমান উল্লেখ করি এবং পরিসংখ্যানগত পরীক্ষার লক্ষ্য হল এই অনুমানটি টেকসই কিনা তা দেখা, তবে অন্যান্য নির্দিষ্ট অনুমানগুলি তদন্ত করা নয়, তবে এই ধরনের পরীক্ষাকে নাল হাইপোথিসিস টেস্ট বলা হয়। যেহেতু আমাদের পরিসংখ্যানগত অনুমান, সংজ্ঞা অনুসারে, বিতরণের কিছু বৈশিষ্ট্য উল্লেখ করবে, নাল হাইপোথিসিস হল ডিফল্ট হাইপোথিসিস যার অধীনে সেই বৈশিষ্ট্যের অস্তিত্ব নেই। নাল হাইপোথিসিস সাধারণত আগ্রহের জনসংখ্যার মধ্যে কিছু পরামিতি (যেমন একটি পারস্পরিক সম্পর্ক বা মাধ্যমের মধ্যে পার্থক্য) শূন্য হয়। আমাদের অনুমান সঠিকভাবে সম্ভাব্যতা বিতরণ নির্দিষ্ট করতে পারে, অথবা এটি কেবল নির্দিষ্ট করতে পারে যে এটি বিতরণের কিছু শ্রেণীর অন্তর্গত। প্রায়শই, আমরা তথ্যকে একটি একক সংখ্যাসূচক পরিসংখ্যানে হ্রাস করি, উদাহরণস্বরূপ, যার প্রান্তিক সম্ভাব্যতা বিতরণ অধ্যয়নের আগ্রহের একটি প্রধান প্রশ্নের সাথে ঘনিষ্ঠভাবে সংযুক্ত। পি-মানটি একটি ফলাফলের পরিসংখ্যানগত তাৎপর্য পরিমাপ করার জন্য নাল হাইপোথিসিস পরীক্ষার প্রসঙ্গে ব্যবহৃত হয়, ফলাফলটি নির্বাচিত পরিসংখ্যানের পর্যবেক্ষিত মান। পি-মান যত কম হবে, নাল হাইপোথিসিসটি সত্য হলে সেই ফলাফল পাওয়ার সম্ভাবনা তত কম হবে। একটি ফলাফলকে পরিসংখ্যানগতভাবে তাৎপর্যপূর্ণ বলা হয় যদি এটি আমাদের নাল হাইপোথিসিসকে প্রত্যাখ্যান করার অনুমতি দেয়। অন্যান্য সমস্ত জিনিস সমান হওয়ায়, ছোট পি-মানগুলিকে নাল হাইপোথিসিসের বিরুদ্ধে শক্তিশালী প্রমাণ হিসাবে নেওয়া হয়। আলগাভাবে বলতে গেলে, নাল হাইপোথিসিসের প্রত্যাখ্যান বোঝায় যে এর বিরুদ্ধে যথেষ্ট প্রমাণ রয়েছে। একটি নির্দিষ্ট উদাহরণ হিসাবে, যদি একটি নাল হাইপোথিসিস বলে যে একটি নির্দিষ্ট সংক্ষিপ্ত পরিসংখ্যান স্ট্যান্ডার্ড স্বাভাবিক বন্টন এন (0,1) অনুসরণ করে, তবে এই নাল হাইপোথিসিসের প্রত্যাখ্যানের অর্থ হতে পারে যে (i) এর গড় 0 নয়, বা (ii) এর বৈকল্পিকতা 1 নয়, বা (iii) সাধারণত বিতরণ করা হয় না। একই নাল হাইপোথিসিসের বিভিন্ন পরীক্ষা বিভিন্ন বিকল্পের প্রতি কমবেশি সংবেদনশীল হবে। যাইহোক, এমনকি যদি আমরা তিনটি বিকল্পের জন্য নাল হাইপোথিসিস প্রত্যাখ্যান করতে পারি, এবং এমনকি যদি আমরা জানি যে ডিস্ট্রিবিউশন স্বাভাবিক এবং ভ্যারিয়েন্স 1, নাল হাইপোথিসিস পরীক্ষা আমাদের বলে না যে গড়ের কোন অ-শূন্য মানগুলি এখন সবচেয়ে যুক্তিসঙ্গত। একই সম্ভাব্যতা বন্টন থেকে একজনের যত বেশি স্বাধীন পর্যবেক্ষণ থাকবে, পরীক্ষাটি তত বেশি নির্ভুল হবে এবং যত বেশি নির্ভুলতার সাথে একজন গড় মান নির্ধারণ করতে সক্ষম হবে এবং দেখাবে যে এটি শূন্যের সমান নয়; তবে এটি এই বিচ্যুতির বাস্তব-জগত বা বৈজ্ঞানিক প্রাসঙ্গিকতা মূল্যায়নের গুরুত্বও বাড়িয়ে তুলবে। সংজ্ঞা এবং ব্যাখ্যা পি-মান হল শূন্য অনুমানের অধীনে একটি বাস্তব-মূল্যবান পরীক্ষার পরিসংখ্যান পাওয়ার সম্ভাবনা, অন্তত যতটা পাওয়া যায় ততটাই চরম। অজানা বন্টন থেকে একটি পর্যবেক্ষিত পরীক্ষা-পরিসংখ্যান বিবেচনা করুন। তারপর পি-মান হল একটি পরীক্ষা-পরিসংখ্যানগত মান অন্তত "চরম" হিসাবে পর্যবেক্ষণ করার পূর্ব সম্ভাবনা যা হবে যেন নাল হাইপোথিসিস সত্য ছিল। অর্থাৎঃ এক-পার্শ্বীয় ডান-লেজ পরীক্ষা-পরিসংখ্যানগত বন্টনের জন্য, এক-পার্শ্বীয় বাম-লেজ পরীক্ষা-পরিসংখ্যানগত বন্টনের জন্য, দ্বিমুখী পরীক্ষা-পরিসংখ্যানগত বন্টনের জন্য। যদি এর বন্টন শূন্যের সমতুল্য হয়, তবে ব্যাখ্যা একটি তাৎপর্য পরীক্ষায়, শূন্য অনুমান প্রত্যাখ্যান করা হয় যদি পি-মানটি একটি পূর্বনির্ধারিত প্রান্তিক মানের চেয়ে কম বা সমান হয়, যা আলফা স্তর বা তাৎপর্য স্তর হিসাবে উল্লেখ করা হয়। তথ্য থেকে উদ্ভূত নয়, বরং তথ্য পরীক্ষা করার আগে গবেষক দ্বারা সেট করা হয়। সাধারণত 0.05-এ সেট করা হয়, যদিও কখনও কখনও নিম্ন আলফা মাত্রা ব্যবহার করা হয়। 2018 সালে, ড্যানিয়েল বেঞ্জামিন-এর নেতৃত্বে পরিসংখ্যানবিদদের একটি দল বিশ্বব্যাপী পরিসংখ্যানগত তাৎপর্যের জন্য মান হিসাবে 0.005 মান গ্রহণের প্রস্তাব দেয়। পি-মান নির্বাচিত পরীক্ষার পরিসংখ্যানের একটি ফাংশন এবং তাই এটি একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল। যদি নাল হাইপোথিসিস সঠিকভাবে সম্ভাব্যতা বন্টন স্থির করে, এবং যদি সেই বন্টন অবিচ্ছিন্ন হয়, তবে যখন নাল-হাইপোথিসিস সত্য হয়, তখন পি-মানটি 0 এবং 1 এর মধ্যে সমানভাবে বিতরণ করা হয়। সুতরাং, পি-মান স্থির নয়। যদি একই পরীক্ষাটি নতুন তথ্য দিয়ে স্বাধীনভাবে পুনরাবৃত্তি করা হয়, তবে সাধারণত প্রতিটি পুনরাবৃত্তিতে একটি ভিন্ন পি-মান পাওয়া যাবে। যদি নাল-হাইপোথিসিস যৌগিক হয়, অথবা পরিসংখ্যানের বন্টন বিচ্ছিন্ন হয়, তাহলে 0 এবং 1 এর মধ্যে যে কোনও সংখ্যার চেয়ে কম বা সমান পি-মান পাওয়ার সম্ভাবনা সেই সংখ্যার চেয়ে কম বা সমান হয়, যদি নাল-হাইপোথিসিস সত্য হয়। যদি নাল-হাইপোথিসিসটি সত্য হয় তবে খুব ছোট মানগুলি তুলনামূলকভাবে অসম্ভব এবং যদি তাৎপর্য স্তরটি এর চেয়ে কম বা সমান হয় তবে নাল-হাইপোথিসিসকে প্রত্যাখ্যান করে স্তরে একটি তাৎপর্য পরীক্ষা করা হয়। তথ্যের স্বাধীন সেটের উপর ভিত্তি করে বিভিন্ন পি-মান একত্রিত করা যেতে পারে, উদাহরণস্বরূপ ফিশারের সম্মিলিত সম্ভাব্যতা পরীক্ষা ব্যবহার করে। যখন ফর্মের একটি নাল হাইপোথিসিস সত্য হয়, এবং অন্তর্নিহিত র্যান্ডম ভেরিয়েবল অবিচ্ছিন্ন হয়, তখন পি-মানের সম্ভাব্যতা বিতরণ ব্যবধানের উপর অভিন্ন হয়। আরও সাধারণভাবে, পি-মানগুলির বিতরণ পক্ষপাতদুষ্ট হতে পারে বা নির্ভর করে যে প্রকৃত পরামিতিটি সমালোচনামূলক মান (গুলি) এর সাথে কীভাবে সম্পর্কিত যা সংজ্ঞায়িত করে; নকশা দ্বারা বিতরণটি পক্ষপাতদুষ্ট হবে যখন বিকল্প অনুমানটি সত্য হবে। সাধারণত একটি অনুমানের সাথে সম্পর্কিত শুধুমাত্র একটি একক পি-মান পর্যবেক্ষণ করা হয়, তাই পি-মানটি একটি তাৎপর্য পরীক্ষা দ্বারা ব্যাখ্যা করা হয় এবং এটি যে বিতরণ থেকে নেওয়া হয়েছিল তা অনুমান করার কোনও প্রচেষ্টা করা হয় না। যখন পি-মানগুলির একটি সংগ্রহ পাওয়া যায় (যেমন। একই বিষয়ে একদল অধ্যয়নের কথা বিবেচনা করার সময়), পি-মানগুলির বিতরণকে কখনও কখনও পি-বক্ররেখা বলা হয়। একটি পি-বক্ররেখা বৈজ্ঞানিক সাহিত্যের নির্ভরযোগ্যতা মূল্যায়নের জন্য ব্যবহার করা যেতে পারে, যেমন প্রকাশনা পক্ষপাত বা পি-হ্যাকিং সনাক্ত করে। যৌগিক অনুমানের জন্য প্যারামেট্রিক হাইপোথিসিস পরীক্ষার সমস্যাগুলিতে, একটি সহজ বা বিন্দু হাইপোথিসিস এমন একটি হাইপোথিসিসকে বোঝায় যেখানে প্যারামিটারের মান একটি একক সংখ্যা বলে ধরে নেওয়া হয়। বিপরীতে, একটি যৌগিক অনুমানের মধ্যে পরামিতিটির মান সংখ্যার একটি সেট দ্বারা দেওয়া হয়। উদাহরণস্বরূপ, শূন্য অনুমান পরীক্ষা করার সময় যে শূন্যের চেয়ে কম বা সমান গড় সহ একটি বন্টন স্বাভাবিক, বিকল্পটির বিপরীতে যে শূন্যের চেয়ে বেশি গড় (বৈচিত্র্য জানা যায়), শূন্য অনুমান উপযুক্ত পরীক্ষার পরিসংখ্যানের সম্ভাব্যতা বন্টন নির্দিষ্ট করে না। সবেমাত্র উল্লিখিত উদাহরণে এটি হবে একতরফা এক-নমুনা জেড-পরীক্ষার সাথে সম্পর্কিত জেড-পরিসংখ্যান। তাত্ত্বিক গড়ের প্রতিটি সম্ভাব্য মানের জন্য, জেড-পরীক্ষার পরিসংখ্যানের একটি ভিন্ন সম্ভাব্যতা বন্টন রয়েছে। এই পরিস্থিতিতে (তথাকথিত যৌগিক নাল অনুমানের ক্ষেত্রে) পি-মানকে ন্যূনতম অনুকূল নাল-হাইপোথিসিস কেস গ্রহণ করে সংজ্ঞায়িত করা হয়, যা সাধারণত নাল এবং বিকল্পের মধ্যে সীমানায় থাকে। এই সংজ্ঞাটি পি-মান এবং আলফা-স্তরের পরিপূরকতা নিশ্চিত করে। যদি তাৎপর্য স্তর, আলফা (α), 0.05 হয়, এবং শুধুমাত্র শূন্য অনুমান প্রত্যাখ্যান করে যদি পি-মান 0.05-এর কম বা সমান হয়, তাহলে অনুমান পরীক্ষার প্রকৃতপক্ষে 0.05-এর একটি তাৎপর্য স্তর (সর্বাধিক টাইপ 1 ত্রুটির হার) থাকবে। যেমন নেইম্যান লিখেছেনঃ "একজন অনুশীলনকারী পরিসংখ্যানবিদ যে ত্রুটিটিকে এড়ানো আরও গুরুত্বপূর্ণ বলে বিবেচনা করবেন (যা একটি বিষয়গত রায়) তাকে প্রথম ধরনের ত্রুটি বলা হয়। গাণিতিক তত্ত্বের প্রথম দাবি হল পরীক্ষার এমন মানদণ্ড নির্ধারণ করা যা নিশ্চিত করবে যে প্রথম ধরনের ত্রুটি করার সম্ভাবনা একটি পূর্বনির্ধারিত সংখ্যা α-এর সমান (বা প্রায় সমান, বা অতিক্রম করবে না), যেমন α = 0.05 বা 0.01 ইত্যাদি। এই সংখ্যাটিকে গুরুত্বের স্তর বলা হয় "; নেইম্যান 1976, পৃ. 161" দ্য ইমার্জেন্স অফ ম্যাথমেটিকাল স্ট্যাটিস্টিক্সঃ এ হিস্টরিকাল স্কেচ উইথ পর্টিকুলার রেফারেন্স টু দ্য ইউনাইটেড স্টেটস "," অন দ্য হিস্ট্রি অফ স্ট্যাটিস্টিক্স অ্যান্ড প্রবেবিলিটি ", সংস্করণ। ডিবি। ওয়েন, নিউ ইয়র্কঃ মার্সেল ডেকার, পৃ। 149-193। আরও দেখুন "কনফিউশন ওভার মেজার্স অফ এভিডেন্স (পি 'স) ভার্সেস এররস (এ' স) ইন ক্লাসিক্যাল স্ট্যাটিস্টিক্যাল টেস্টিং", রেমন্ড হাবার্ড এবং এম. জে. বায়ারি, দ্য আমেরিকান স্ট্যাটিস্টিশিয়ান, আগস্ট 2003, খণ্ড। 57, নং 3,171-182 (আলোচনার সাথে)। একটি সংক্ষিপ্ত আধুনিক বিবৃতির জন্য "সমস্ত পরিসংখ্যানঃ পরিসংখ্যানগত অনুমানের একটি সংক্ষিপ্ত কোর্স"-এর 10ম অধ্যায় দেখুন, স্প্রিংগার; 1ম সংশোধিত সংস্করণ। 20তম সংস্করণ (সেপ্টেম্বর 17,2004)। ল্যারি ওয়াসারম্যান। ব্যবহার পি-মান পরিসংখ্যানগত অনুমান পরীক্ষায় ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়, বিশেষ করে নাল হাইপোথিসিস তাৎপর্য পরীক্ষায়। এই পদ্ধতিতে, অধ্যয়ন পরিচালনা করার আগে, প্রথমে একটি মডেল (নাল হাইপোথিসিস) এবং আলফা স্তর α (সাধারণত 0.05) বেছে নেওয়া হয়। তথ্য বিশ্লেষণ করার পরে, যদি পি-মান α-এর চেয়ে কম হয়, তবে এর অর্থ এই যে পর্যবেক্ষিত তথ্য বাতিল অনুমানের সাথে যথেষ্ট অসঙ্গতিপূর্ণ যাতে বাতিল অনুমান প্রত্যাখ্যান করা যায়। যাইহোক, এটি প্রমাণ করে না যে নাল হাইপোথিসিসটি মিথ্যা। পি-মান নিজেই অনুমানের সম্ভাব্যতা প্রতিষ্ঠা করে না। বরং, এটি নাল হাইপোথিসিসকে প্রত্যাখ্যান করা হবে কিনা তা সিদ্ধান্ত নেওয়ার একটি হাতিয়ার। এ. এস. এ-র মতে, পি-মানগুলি প্রায়শই অপব্যবহার এবং ভুল ব্যাখ্যা করা হয় বলে ব্যাপক সম্মতি রয়েছে। একটি অনুশীলন যা বিশেষভাবে সমালোচিত হয়েছে তা হল অন্যান্য সমর্থনকারী প্রমাণ ছাড়াই নামমাত্র. 05 এর চেয়ে কম যে কোনও পি-মানের জন্য বিকল্প অনুমান গ্রহণ করা। যদিও পি-মানগুলি একটি নির্দিষ্ট পরিসংখ্যানগত মডেলের সাথে তথ্য কতটা অসঙ্গতিপূর্ণ তা মূল্যায়নে সহায়ক, তবে প্রাসঙ্গিক কারণগুলিও বিবেচনা করতে হবে, যেমন "একটি গবেষণার নকশা, পরিমাপের গুণমান, অধ্যয়নের অধীনে থাকা ঘটনার বাহ্যিক প্রমাণ এবং অনুমানের বৈধতা যা তথ্য বিশ্লেষণকে ভিত্তি করে"। আরেকটি উদ্বেগের বিষয় হল যে পি-মানকে প্রায়শই নাল হাইপোথিসিসের সত্য হওয়ার সম্ভাবনা হিসাবে ভুল বোঝা হয়। কিছু পরিসংখ্যানবিদ পি-মান পরিত্যাগ করার এবং অন্যান্য অনুমানমূলক পরিসংখ্যানের উপর আরও মনোনিবেশ করার প্রস্তাব দিয়েছেন, যেমন আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান, সম্ভাব্যতা অনুপাত বা বায়েস ফ্যাক্টর, তবে এই বিকল্পগুলির সম্ভাব্যতা নিয়ে উত্তপ্ত বিতর্ক রয়েছে। অন্যরা নির্দিষ্ট তাৎপর্যের সীমা অপসারণ এবং শূন্য অনুমানের বিরুদ্ধে প্রমাণের শক্তির অবিচ্ছিন্ন সূচক হিসাবে পি-মানগুলি ব্যাখ্যা করার পরামর্শ দিয়েছেন। তবুও অন্যরা পি-মানের পাশাপাশি একটি বাস্তব প্রভাবের পূর্ব সম্ভাবনা রিপোর্ট করার পরামর্শ দেয় যা একটি মিথ্যা ইতিবাচক ঝুঁকি পাওয়ার জন্য প্রয়োজন হবে (অর্থাৎ। কোনও প্রকৃত প্রভাব না থাকার সম্ভাবনা) একটি পূর্ব-নির্দিষ্ট সীমার নিচে (যেমন। 5 শতাংশ)। 2019 সালে এ. এস. এ-এর একটি টাস্ক ফোর্স বৈজ্ঞানিক গবেষণায় পরিসংখ্যানগত পদ্ধতির ব্যবহার, বিশেষত অনুমান পরীক্ষা এবং পি-মান এবং প্রতিলিপির সাথে তাদের সংযোগ বিবেচনা করার জন্য আহ্বান করেছিল। এতে বলা হয়েছে যে "অনিশ্চয়তার বিভিন্ন পরিমাপ একে অপরের পরিপূরক হতে পারে; কোনও একক পরিমাপ সমস্ত উদ্দেশ্য সাধন করে না। ", এই পরিমাপের মধ্যে একটি হিসাবে পি-মান উল্লেখ করে। তারা আরও জোর দেয় যে নির্দিষ্ট মান বিবেচনা করার পাশাপাশি কিছু প্রান্তিকের তুলনায় পি-মানগুলি মূল্যবান তথ্য সরবরাহ করতে পারে। সাধারণভাবে, এটি জোর দেয় যে "পি-মান এবং তাৎপর্য পরীক্ষা, যখন সঠিকভাবে প্রয়োগ এবং ব্যাখ্যা করা হয়, তখন তথ্য থেকে নেওয়া সিদ্ধান্তের কঠোরতা বৃদ্ধি করে।" গণনা সাধারণত একটি পরীক্ষার পরিসংখ্যান। একটি পরীক্ষার পরিসংখ্যান হল সমস্ত পর্যবেক্ষণের একটি স্কেলার ফাংশনের আউটপুট। এই পরিসংখ্যান একটি একক সংখ্যা প্রদান করে, যেমন একটি টি-পরিসংখ্যান বা একটি এফ-পরিসংখ্যান। এইভাবে, পরীক্ষার পরিসংখ্যান সেই পরীক্ষার পরিসংখ্যান এবং ইনপুট পর্যবেক্ষণমূলক তথ্যের বিতরণকে সংজ্ঞায়িত করতে ব্যবহৃত ফাংশন দ্বারা নির্ধারিত একটি বিতরণ অনুসরণ করে। পরীক্ষার পরিসংখ্যানের প্রকৃতি এবং এর বিতরণ সম্পর্কে আগ্রহের অনুমানের উপর নির্ভর করে যে গুরুত্বপূর্ণ ক্ষেত্রে তথ্যকে একটি স্বাভাবিক বিতরণ থেকে এলোমেলো নমুনা হিসাবে অনুমান করা হয়, তার জন্য বিভিন্ন নাল হাইপোথিসিস পরীক্ষা তৈরি করা হয়েছে। এই ধরনের কিছু পরীক্ষা হল পরিচিত বৈকল্পিকতা সহ স্বাভাবিক বণ্টনের গড় সম্পর্কিত অনুমানের জন্য জেড-পরীক্ষা, একটি স্বাভাবিক বণ্টনের গড় সম্পর্কিত অনুমানের জন্য উপযুক্ত পরিসংখ্যানের ছাত্রের টি-বিতরণের উপর ভিত্তি করে টি-পরীক্ষা যখন বৈকল্পিকতা অজানা, বৈকল্পিকতা সম্পর্কিত অনুমানের জন্য আরও একটি পরিসংখ্যানের এফ-বিতরণের উপর ভিত্তি করে এফ-পরীক্ষা। অন্যান্য প্রকৃতির তথ্যের জন্য, উদাহরণস্বরূপ শ্রেণীগত (বিচ্ছিন্ন) তথ্য, পরীক্ষার পরিসংখ্যান তৈরি করা যেতে পারে যার নাল হাইপোথিসিস ডিস্ট্রিবিউশন বড় নমুনার জন্য কেন্দ্রীয় সীমা উপপাদ্য আহ্বান করে প্রাপ্ত উপযুক্ত পরিসংখ্যানের স্বাভাবিক আনুমানিকতার উপর ভিত্তি করে, যেমন পিয়ারসনের চি-বর্গ পরীক্ষার ক্ষেত্রে। সুতরাং একটি পি-মান গণনা করার জন্য একটি নাল হাইপোথিসিস, একটি পরীক্ষার পরিসংখ্যান (গবেষক এক-লেজ পরীক্ষা বা দুই-লেজ পরীক্ষা করছেন কিনা তা নির্ধারণের সাথে) এবং তথ্যের প্রয়োজন হয়। যদিও প্রদত্ত তথ্যের উপর পরীক্ষার পরিসংখ্যান গণনা করা সহজ হতে পারে, নাল হাইপোথিসিসের অধীনে নমুনা বিতরণ গণনা করা এবং তারপরে এর ক্রমবর্ধমান বিতরণ ফাংশন (সিডিএফ) গণনা করা প্রায়শই একটি কঠিন সমস্যা। বর্তমানে, এই গণনা পরিসংখ্যানগত সফ্টওয়্যার ব্যবহার করে করা হয়, প্রায়শই সংখ্যাসূচক পদ্ধতির মাধ্যমে (সঠিক সূত্রের পরিবর্তে), তবে, 20 শতকের গোড়ার দিকে এবং মাঝামাঝি সময়ে, এটি পরিবর্তে মানগুলির সারণির মাধ্যমে করা হয়েছিল, এবং এই বিচ্ছিন্ন মানগুলি থেকে একটি ইন্টারপোলেটেড বা এক্সট্রপোলেটেড পি-মান। পি-মানগুলির একটি সারণী ব্যবহার করার পরিবর্তে, ফিশার পরিবর্তে সি. ডি. এফ-কে উল্টে দেন, প্রদত্ত নির্দিষ্ট পি-মানগুলির জন্য পরীক্ষার পরিসংখ্যানের মানগুলির একটি তালিকা প্রকাশ করেন; এটি কোয়ান্টাইল ফাংশন (বিপরীত সি. ডি. এফ) গণনার সাথে মিলে যায়। উদাহরণ একটি মুদ্রার ন্যায্যতা পরীক্ষা একটি পরিসংখ্যানগত পরীক্ষার উদাহরণ হিসাবে, একটি মুদ্রা উল্টানো ন্যায্য (মাথা বা লেজের অবতরণের সমান সম্ভাবনা) বা অন্যায়ভাবে পক্ষপাতদুষ্ট (একটি ফলাফল অন্যটির চেয়ে বেশি সম্ভাবনা) কিনা তা নির্ধারণ করার জন্য একটি পরীক্ষা করা হয়। ধরুন, পরীক্ষামূলক ফলাফলগুলি দেখায় যে মুদ্রাটি মোট 20টি উল্টানোর মধ্যে 14 বার মাথা ঘুরিয়ে দেয়। সম্পূর্ণ তথ্যটি "এইচ" বা "টি" চিহ্নের কুড়ি গুণের একটি ক্রম হবে। যে পরিসংখ্যানের উপর কেউ মনোনিবেশ করতে পারে তা মোট মাথার সংখ্যা হতে পারে। নাল হাইপোথিসিস হল যে মুদ্রাটি ন্যায্য, এবং মুদ্রা টসগুলি একে অপরের থেকে স্বাধীন। যদি একটি ডান লেজের পরীক্ষা বিবেচনা করা হয়, যা যদি কেউ প্রকৃতপক্ষে এই সম্ভাবনায় আগ্রহী হয় যে মুদ্রাটি পতনশীল মাথার প্রতি পক্ষপাতদুষ্ট, তবে এই ফলাফলের পি-মান হল একটি ন্যায্য মুদ্রা 20 বারের মধ্যে কমপক্ষে 14 বার মাথার উপর অবতরণ করার সম্ভাবনা। এই সম্ভাব্যতাটি দ্বিপদী সহগ থেকে গণনা করা যেতে পারে কারণ এই সম্ভাব্যতাটি হল পি-মান, শুধুমাত্র চরম ফলাফলগুলি বিবেচনা করে যা হেডগুলিকে সমর্থন করে। একে এক লেজের পরীক্ষা বলা হয়। যাইহোক, কেউ মাথা বা লেজের পক্ষে উভয় দিকের বিচ্যুতিতে আগ্রহী হতে পারে। দুই লেজের পি-মান, যা মাথা বা লেজের পক্ষে বিচ্যুতি বিবেচনা করে, তার পরিবর্তে গণনা করা যেতে পারে। যেহেতু দ্বিপদী বন্টন একটি ন্যায্য মুদ্রার জন্য প্রতিসম, তাই দ্বিপক্ষীয় পি-মান উপরের গণনা করা একক-পার্শ্বযুক্ত পি-মানের দ্বিগুণঃ দ্বিপক্ষীয় পি-মান হল 0.115। উপরের উদাহরণে নল হাইপোথিসিস (এইচ0): মুদ্রাটি ন্যায্য, পিআর (হেড) = 0.5 টেস্ট পরিসংখ্যান সহঃ হেডের সংখ্যা আলফা স্তর (তাৎপর্যের মনোনীত প্রান্তিক): 0.05 পর্যবেক্ষণ ওঃ 20 টি উল্টানোর মধ্যে 14 টি হেড; এবং পর্যবেক্ষণের দুই লেজযুক্ত পি-মান ও প্রদত্ত এইচ0 = 2 × মিনিট (পিআর (না)। মাথার ≤14 মাথার), পিআর (নং। হেডের সংখ্যা ≤14 হেড)) = 2 × মিনিট (0.058,0.978) = 2 * 0.058 = 0.115। পিআর (না। মাথার সংখ্যা ≤14 মাথার) = 1-পিআর (না। মাথার ≤14 মাথার) + পিআর (নং। হেড = 14) = 1-0.058 + 0.036 = 0.978; যাইহোক, এই দ্বিপদী বণ্টনের প্রতিসাম্য দুটি সম্ভাবনার মধ্যে ছোটটি খুঁজে বের করার জন্য একটি অপ্রয়োজনীয় গণনা করে তোলে। এখানে, গণনা করা পি-মান. 05 অতিক্রম করে, যার অর্থ হল যে তথ্যটি 95 শতাংশ সময়ের মধ্যে পড়ে, যদি মুদ্রাটি ন্যায্য হয়। অতএব, শূন্য অনুমানটি. 05 স্তরে প্রত্যাখ্যান করা হয় না। যাইহোক, যদি আরও একটি হেড পাওয়া যেত, তবে ফলস্বরূপ পি-মান (দ্বি-লেজযুক্ত) 0.0414 (4.14%) হত, এই ক্ষেত্রে 0.05 স্তরে নাল হাইপোথিসিস প্রত্যাখ্যান করা হত। মাল্টিস্টেজ এক্সপেরিমেন্ট ডিজাইন "চরম"-এর দুটি অর্থের মধ্যে পার্থক্য দেখা যায় যখন আমরা মুদ্রার ন্যায্যতা পরীক্ষা করার জন্য একটি মাল্টিস্টেজ পরীক্ষা বিবেচনা করি। ধরুন আমরা পরীক্ষাটি নিম্নরূপ নকশা করিঃ মুদ্রাটি দু 'বার উল্টান। যদি মাথা বা লেজ দুটোই উঠে আসে, তাহলে পরীক্ষা শেষ করুন। অন্যথায়, মুদ্রাটি আরও 4 বার উল্টান। এই পরীক্ষার 7 ধরনের ফলাফল রয়েছেঃ 2টি মাথা, 2টি লেজ, 5টি মাথা, 1টি লেজ, 1টি মাথা, 5টি লেজ। আমরা এখন "3 হেড 3 টেইলস" ফলাফলের পি-মান গণনা করি। যদি আমরা পরীক্ষার পরিসংখ্যান ব্যবহার করি, তাহলে নাল হাইপোথিসিসের অধীনে দ্বিমুখী পি-মানের জন্য ঠিক 1, এবং একমুখী বাম-লেজের পি-মানের জন্য ঠিক 1, এবং একমুখী ডান-লেজের পি-মানের জন্য একই। যদি আমরা "3 হেড 3 টেইলস"-এর সমান বা কম সম্ভাব্যতা রয়েছে এমন প্রতিটি ফলাফলকে "অন্তত ততটাই চরম" হিসাবে বিবেচনা করি, তবে পি-মানটি ঠিক। যাইহোক, ধরুন আমরা মুদ্রাটি 6 বার উল্টানোর পরিকল্পনা করেছি, যাই ঘটুক না কেন, তাহলে পি-মানের দ্বিতীয় সংজ্ঞাটির অর্থ হবে যে "3 হেড 3 লেজ"-এর পি-মান ঠিক 1। সুতরাং, পি-মানের "অন্তত চরম" সংজ্ঞাটি গভীরভাবে প্রাসঙ্গিক, এবং পরীক্ষাকারী এমন পরিস্থিতিতেও কী করার পরিকল্পনা করেছিলেন তার উপর নির্ভর করে যা ঘটেনি। পি-মান গণনার ইতিহাস 1700-এর দশকের, যেখানে জন্মের সময় মানব লিঙ্গ অনুপাতের জন্য গণনা করা হয়েছিল এবং পুরুষ ও মহিলা জন্মের সমান সম্ভাবনার শূন্য অনুমানের তুলনায় পরিসংখ্যানগত তাৎপর্য গণনা করতে ব্যবহৃত হয়েছিল। জন আরবথনট 1710 সালে এই প্রশ্নটি অধ্যয়ন করেন এবং 1629 থেকে 1710 সাল পর্যন্ত 82 বছরের প্রত্যেকটির জন্য লন্ডনে জন্মের নথি পরীক্ষা করেন। প্রতি বছর, লন্ডনে জন্মগ্রহণকারী পুরুষদের সংখ্যা মহিলাদের সংখ্যাকে ছাড়িয়ে গেছে। আরও বেশি পুরুষ বা আরও বেশি মহিলা জন্মের সমান সম্ভাবনা বিবেচনা করে, পর্যবেক্ষিত ফলাফলের সম্ভাবনা 1/282, বা 4,836-এর মধ্যে প্রায় 1,000,000,000,000,000,000,000; আধুনিক ভাষায়, পি-মান। এটি অদৃশ্যভাবে ছোট, আরবথনটকে নেতৃত্ব দেয় যে এটি সুযোগের কারণে নয়, বরং ঐশ্বরিক প্রোভিডেন্সের কারণে হয়েছিলঃ "যেখান থেকে এটি অনুসরণ করে, সেটি হল শিল্প, সুযোগ নয়, যা পরিচালনা করে।" আধুনিক ভাষায়, তিনি পি = 1/282 তাৎপর্য স্তরে সমানভাবে সম্ভাব্য পুরুষ ও মহিলা জন্মের বাতিল অনুমান প্রত্যাখ্যান করেছিলেন। আরবথনটের এই এবং অন্যান্য কাজকে "তাৎপর্য পরীক্ষার প্রথম ব্যবহার" হিসাবে কৃতিত্ব দেওয়া হয়. পরিসংখ্যানগত তাৎপর্য সম্পর্কে যুক্তির প্রথম উদাহরণ, এবং "সম্ভবত একটি ননপ্যারামেট্রিক পরীক্ষার প্রথম প্রকাশিত প্রতিবেদন", বিশেষত সাইন টেস্ট; বিস্তারিত দেখুন এখানে। একই প্রশ্নটি পরে পিয়েরে-সাইমন ল্যাপলেস দ্বারা সম্বোধন করা হয়েছিল, যিনি পরিবর্তে একটি প্যারামেট্রিক পরীক্ষা ব্যবহার করেছিলেন, দ্বিপদী বন্টনের সাথে পুরুষ জন্মের সংখ্যা মডেলিং করেছিলেনঃ পি-মানটি প্রথম আনুষ্ঠানিকভাবে কার্ল পিয়ারসন দ্বারা তাঁর পিয়ারসনের চি-বর্গ পরীক্ষায় চালু করা হয়েছিল, চি-বর্গ বিতরণ ব্যবহার করে এবং মূলধন পি হিসাবে চিহ্নিত করা হয়েছিল। পরিসংখ্যানে পি-মানের ব্যবহার রোনাল্ড ফিশার দ্বারা জনপ্রিয় করা হয়েছিল এবং এটি বিষয়টির প্রতি তাঁর দৃষ্টিভঙ্গিতে কেন্দ্রীয় ভূমিকা পালন করে। তাঁর প্রভাবশালী বই স্ট্যাটিস্টিক্যাল মেথডস ফর রিসার্চ ওয়ার্কার্স (1925)-এ, ফিশার পরিসংখ্যানগত তাৎপর্যের সীমা হিসাবে পি = 0.05, বা সুযোগ দ্বারা অতিক্রম করার সম্ভাবনা 20-এর মধ্যে 1 স্তরের প্রস্তাব করেছিলেন এবং এটিকে একটি স্বাভাবিক বিতরণে (দ্বি-লেজ পরীক্ষা হিসাবে) প্রয়োগ করেছিলেন, এইভাবে পরিসংখ্যানগত তাৎপর্যের জন্য দুটি মানক বিচ্যুতির নিয়ম (একটি স্বাভাবিক বিতরণে) প্রদান করে (দেখুন 68-95-99.7 নিয়ম)। এরপর তিনি এল্ডারটনের মতো একটি মানতালিকা গণনা করেন, কিন্তু গুরুত্বপূর্ণভাবে, χ2 এবং p-এর ভূমিকা বিপরীত করেন। অর্থাৎ, χ2-এর বিভিন্ন মানের জন্য p গণনা করার পরিবর্তে, তিনি χ2-এর মান গণনা করেন যা নির্দিষ্ট p-মান প্রদান করে, বিশেষ করে 0.99,0.98,0.95,0,90,0.80,0.50,0.30,0.20,0.10,0.05,0.02 এবং 0.01। এটি χ2-এর গণনাকৃত মানগুলিকে কাটঅফগুলির সাথে তুলনা করার অনুমতি দেয় এবং পি-মানগুলি গণনা এবং রিপোর্ট করার পরিবর্তে কাটঅফ হিসাবে পি-মানগুলির (বিশেষত 0.05,0.02 এবং 0.01) ব্যবহারকে উৎসাহিত করে। একই ধরনের টেবিলগুলি তখন সংকলিত করা হয়েছিল, যা পদ্ধতিকে দৃঢ় করেছিল। পরীক্ষার নকশা এবং ব্যাখ্যায় পি-মানের প্রয়োগের একটি দৃষ্টান্ত হিসাবে, ফিশার তাঁর পরবর্তী বই দ্য ডিজাইন অফ এক্সপেরিমেন্টস (1935)-এ লেডি টেস্টিং টি এক্সপেরিমেন্ট উপস্থাপন করেছেন, যা পি-মানের মূল উদাহরণ। একজন মহিলার দাবি মূল্যায়ন করার জন্য যে তিনি (মুরিয়েল ব্রিস্টল) কীভাবে চা প্রস্তুত করা হয় (প্রথমে কাপে দুধ যোগ করা, তারপর চা, বা প্রথমে চা, তারপর দুধ) স্বাদ দ্বারা পার্থক্য করতে পারেন, তাকে ক্রমানুসারে 8 কাপ উপহার দেওয়া হয়েছিলঃ 4 টি একভাবে প্রস্তুত, 4 টি অন্যটি প্রস্তুত, এবং প্রতিটি কাপের প্রস্তুতি নির্ধারণ করতে বলা হয়েছিল (জেনে যে প্রতিটি কাপে 4 টি ছিল)। সেক্ষেত্রে, নাল হাইপোথিসিসটি ছিল যে তার কোনও বিশেষ ক্ষমতা ছিল না, পরীক্ষাটি ছিল ফিশারের সঠিক পরীক্ষা, এবং পি-মানটি ছিল তাই ফিশার নাল হাইপোথিসিসটি প্রত্যাখ্যান করতে ইচ্ছুক ছিলেন (ফলাফলটি সুযোগের কারণে হওয়ার সম্ভাবনা খুব কম বলে মনে করেন) যদি সবগুলি সঠিকভাবে শ্রেণীবদ্ধ করা হয়। (প্রকৃত পরীক্ষায়, ব্রিস্টল সঠিকভাবে সমস্ত 8 কাপ শ্রেণীবদ্ধ করেছে।) ফিশার পি = 0.05 সীমার পুনরাবৃত্তি করেছিলেন এবং এর যৌক্তিকতা ব্যাখ্যা করে বলেছিলেনঃ তিনি পরীক্ষার নকশায় এই সীমাটিও প্রয়োগ করেছিলেন, উল্লেখ করে যে মাত্র 6 কাপ (প্রতিটির মধ্যে 3 টি) উপস্থাপন করা হলে, একটি নিখুঁত শ্রেণিবিন্যাস কেবল একটি পি-মান অর্জন করত যার এই স্তরের তাৎপর্য পূরণ হত না। ফিশার পি-এর ব্যাখ্যার উপরও জোর দিয়েছিলেন, কারণ শূন্য অনুমানটি সত্য বলে ধরে নিয়ে মানের দীর্ঘমেয়াদী অনুপাত অন্তত তথ্যের মতোই চরম। পরবর্তী সংস্করণগুলিতে, ফিশার বিজ্ঞানের পরিসংখ্যানগত অনুমানের জন্য পি-মানের ব্যবহারকে নেইম্যান-পিয়ারসন পদ্ধতির সাথে স্পষ্টভাবে তুলনা করেছেন, যাকে তিনি "গ্রহণযোগ্যতা পদ্ধতি" বলে অভিহিত করেছেন। ফিশার জোর দিয়েছিলেন যে 5 শতাংশ, 2 শতাংশ এবং 1 শতাংশের মতো নির্দিষ্ট স্তরগুলি সুবিধাজনক হলেও, সঠিক পি-মান ব্যবহার করা যেতে পারে এবং আরও পরীক্ষার মাধ্যমে প্রমাণের শক্তি সংশোধন করা যেতে পারে এবং করা হবে। এর বিপরীতে, সিদ্ধান্তের পদ্ধতির জন্য একটি স্পষ্ট সিদ্ধান্তের প্রয়োজন হয়, যা একটি অপরিবর্তনীয় পদক্ষেপ প্রদান করে এবং পদ্ধতিটি ত্রুটির ব্যয়ের উপর ভিত্তি করে, যা তিনি যুক্তি দেন, বৈজ্ঞানিক গবেষণার ক্ষেত্রে প্রয়োগযোগ্য নয়। সম্পর্কিত সূচক ই-মান একাধিক পরীক্ষায় প্রত্যাশিত সংখ্যার সাথে মিলে যায় যে কেউ একটি পরীক্ষার পরিসংখ্যান অন্তত ততটাই চরম পাওয়ার আশা করে যতটা প্রকৃতপক্ষে পর্যবেক্ষণ করা হয়েছিল যদি কেউ ধরে নেয় যে নাল হাইপোথিসিসটি সত্য। ই-মান হল পরীক্ষার সংখ্যা এবং পি-মানের গুণফল। q-মান হল ধনাত্মক মিথ্যা আবিষ্কার হারের সাপেক্ষে p-মানের অনুরূপ। মিথ্যা ধনাত্মক হার হ্রাস করার সময় পরিসংখ্যানগত শক্তি বজায় রাখার জন্য এটি একাধিক অনুমান পরীক্ষায় ব্যবহৃত হয়। দিকনির্দেশনার সম্ভাবনা (পিডি) হল পি-মানের বায়েসিয়ান সংখ্যাসূচক সমতুল্য। এটি মধ্যমা চিহ্নের পশ্চাৎ বণ্টনের অনুপাতের সাথে মিলে যায়, যা সাধারণত 50 শতাংশ এবং 100% এর মধ্যে পরিবর্তিত হয় এবং নিশ্চিততার প্রতিনিধিত্ব করে যার সাথে একটি প্রভাব ইতিবাচক বা নেতিবাচক হয়। আরও দেখুন স্টুডেন্টস টি-টেস্ট বনফেরোনি করেকশন কাউন্টারনাল ফিশারের পি-মানগুলিকে একত্রিত করার পদ্ধতি সাধারণীকৃত পি-মান হারমোনিক গড় পি-মান হোম-বনফেরোনি পদ্ধতি একাধিক তুলনা সমস্যা পি-রেপ পি-মান ভ্রান্তি বিবরণ আরও পড়া বাহ্যিক লিঙ্ক বিভিন্ন নির্দিষ্ট পরীক্ষার জন্য বিনামূল্যে অনলাইন পি-মান ক্যালকুলেটর (চি-বর্গক্ষেত্র, ফিশারের এফ-পরীক্ষা ইত্যাদি)। পি-মানগুলি বোঝা, একটি জাভা অ্যাপলেট সহ যা চিত্রিত করে যে কীভাবে পি-মানগুলির সংখ্যাসূচক মানগুলি পরীক্ষার অধীনে অনুমানের সত্য বা মিথ্যা সম্পর্কে বেশ বিভ্রান্তিকর ছাপ দিতে পারে। বিজ্ঞান ভাঙা নয়-পি-মানগুলি কীভাবে পরিচালনা করা যেতে পারে সে সম্পর্কে নিবন্ধ এবং এটি কল্পনা করার জন্য একটি ইন্টারেক্টিভ সরঞ্জাম। পরিসংখ্যানগত হাইপোথিসিস টেস্টিং জাঃ #p値