Tutte–Coxeter graph
গ্রাফ তত্ত্বের গাণিতিক ক্ষেত্রে, টুটে-কক্সেটার গ্রাফ বা টুটে আট-কেজ বা ক্রেমোনা-রিচমন্ড গ্রাফ হল 30টি শীর্ষ এবং 45টি প্রান্ত সহ একটি 3-নিয়মিত গ্রাফ। ঘের 8-এর অনন্য ক্ষুদ্রতম ঘন গ্রাফ হিসাবে, এটি একটি খাঁচা এবং একটি মুর গ্রাফ। এটি দ্বিদলীয়, এবং সাধারণ চতুর্ভুজ ডাব্লু 2 (ক্রেমোনা-রিচমন্ড কনফিগারেশন নামে পরিচিত) এর লেভি গ্রাফ হিসাবে তৈরি করা যেতে পারে। গ্রাফটি উইলিয়াম থমাস টুট এবং এইচ. এস. এম. কক্সেটারের নামে নামকরণ করা হয়েছে; এটি টুট (1947) দ্বারা আবিষ্কৃত হয়েছিল কিন্তু জ্যামিতিক বিন্যাসের সাথে এর সংযোগ উভয় লেখক যৌথভাবে প্রকাশিত গবেষণাপত্রে তদন্ত করেছিলেন (টুট 1958; কক্সেটার 1958এ)। সমস্ত ঘন দূরত্ব-নিয়মিত গ্রাফ জানা আছে। এই ধরনের 13টি গ্রাফের মধ্যে টুটে-কক্সেটার অন্যতম। এটিতে ক্রসিং নম্বর 13, বইয়ের পুরুত্ব 3 এবং সারি নম্বর 2 রয়েছে। নির্মাণ এবং স্বয়ংক্রিয়তা টুটে-কক্সেটার গ্রাফ হল দ্বিদলীয় লেভি গ্রাফ যা সিলভেস্টারের (1844) কাজের উপর ভিত্তি করে কক্সেটার (1958বি) দ্বারা বর্ণিত একটি 6-ভার্টেক্স সম্পূর্ণ গ্রাফ কে6-এর 15টি নিখুঁত মিলকে তার 15টি প্রান্তের সাথে সংযুক্ত করে। প্রতিটি শীর্ষ একটি প্রান্ত বা একটি নিখুঁত মিলনের সাথে মিলে যায় এবং সংযুক্ত শীর্ষগুলি প্রান্ত এবং মিলগুলির মধ্যে আপতন কাঠামোর প্রতিনিধিত্ব করে। এই নির্মাণের উপর ভিত্তি করে, কক্সেটার দেখিয়েছেন যে টুটে-কক্সেটার গ্রাফটি একটি প্রতিসম গ্রাফ; এটিতে 1440টি অটোমরফিজমের একটি গ্রুপ রয়েছে, যা ছয়টি উপাদানের (কক্সেটার 1958বি) উপর বিন্যাসের গ্রুপের অটোমরফিজমের সাথে চিহ্নিত করা যেতে পারে। এই গোষ্ঠীর অভ্যন্তরীণ অটোমরফিজমগুলি কে6 গ্রাফের ছয়টি শীর্ষকে ক্রমবর্ধমান করার সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ; এই ক্রমবর্ধমানগুলি টুটে-কক্সেটার গ্রাফের উপর কাজ করে তার দ্বিদলীয় বিভাজনের প্রতিটি পাশের শীর্ষগুলিকে ক্রমবর্ধমান করে এবং উভয় পক্ষের প্রত্যেকটিকে একটি সেট হিসাবে স্থির রাখে। উপরন্তু, বিন্যাসের গোষ্ঠীর বাইরের অটোমরফিজমগুলি দ্বিদলীয় অংশের একদিকে অন্য দিকে অদলবদল করে। কক্সেটার যেমন দেখিয়েছেন, টুটে-কক্সেটার গ্রাফের পাঁচটি প্রান্ত পর্যন্ত যে কোনও পথ এই ধরনের একটি অটোমরফিজম দ্বারা এই জাতীয় অন্য কোনও পথের সমতুল্য। একটি বিল্ডিং হিসাবে টুটে-কক্সেটার গ্রাফ এই গ্রাফটি সিমপ্লেক্টিক গ্রুপের সাথে সম্পর্কিত গোলাকার বিল্ডিং (এই গ্রুপ এবং প্রতিসম গ্রুপের মধ্যে একটি ব্যতিক্রমী সমরূপতা রয়েছে)। আরও সুনির্দিষ্টভাবে, এটি একটি সাধারণীকৃত চতুর্ভুজের আপতন গ্রাফ। সুনির্দিষ্টভাবে, টুটে-কক্সেটার গ্রাফকে একটি 4-মাত্রিক সিমপ্লেক্টিক ভেক্টর স্পেস থেকে নিম্নরূপ সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারেঃ শীর্ষগুলি হয় অ-শূন্য ভেক্টর, বা আইসোট্রপিক 2-মাত্রিক সাবস্পেস, একটি অ-শূন্য ভেক্টর v এবং একটি আইসোট্রপিক 2-মাত্রিক সাবস্পেসের মধ্যে একটি প্রান্ত থাকে যদি এবং শুধুমাত্র যদি। গ্যালারি রেফারেন্স এক্সটার্নাল লিঙ্ক এক্সো, জি. "বিখ্যাত গ্রাফের আয়তক্ষেত্রাকার অঙ্কন"। 1958 পরিচিতি স্বতন্ত্র গ্রাফ বিন্যাস (জ্যামিতি) নিয়মিত গ্রাফ