Orthogonal transformation
রৈখিক বীজগণিতে, একটি অর্থোগোনাল রূপান্তর হল একটি বাস্তব অভ্যন্তরীণ গুণফল স্থান V-এর উপর একটি রৈখিক রূপান্তর T: V → V, যা অভ্যন্তরীণ গুণফলকে সংরক্ষণ করে। যেহেতু ভেক্টরের দৈর্ঘ্য এবং তাদের মধ্যে কোণগুলি অভ্যন্তরীণ গুণফলের মাধ্যমে সংজ্ঞায়িত করা হয়, অর্থোগোনাল রূপান্তরগুলি ভেক্টরের দৈর্ঘ্য এবং তাদের মধ্যে কোণগুলি সংরক্ষণ করে। বিশেষত, অর্থোগোনাল রূপান্তরগুলি অর্থোনর্মাল ঘাঁটিগুলিকে অর্থোনর্মাল ঘাঁটিতে রূপান্তরিত করে। অর্থোগোনাল রূপান্তরগুলি ইনজেকটিভঃ যদি তাই হয়, তাই এর কার্নেলটি তুচ্ছ। দ্বি-বা ত্রিমাত্রিক ইউক্লিডীয় স্থানে অর্থোগোনাল রূপান্তরগুলি হল শক্ত ঘূর্ণন, প্রতিফলন, বা ঘূর্ণন এবং প্রতিফলনের সংমিশ্রণ (যা অনুপযুক্ত ঘূর্ণন নামেও পরিচিত)। প্রতিফলন হল এমন রূপান্তর যা সামনে থেকে পিছনের দিকে বিপরীতমুখী হয়, আয়না সমতলে অর্থোগোনাল, যেমন (বাস্তব-বিশ্বের) আয়নাগুলি করে। সঠিক আবর্তনের সাথে সম্পর্কিত ম্যাট্রিক্সগুলির (প্রতিফলন ছাড়াই) + 1 নির্ধারক থাকে। প্রতিফলন সহ রূপান্তরগুলি-1 নির্ধারক সহ ম্যাট্রিক্স দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয়। এটি ঘূর্ণন এবং প্রতিফলনের ধারণাকে উচ্চতর মাত্রায় সাধারণীকরণের অনুমতি দেয়। সসীম-মাত্রিক স্থানে, একটি অর্থোগোনাল রূপান্তরের ম্যাট্রিক্স উপস্থাপনা (একটি অর্থোনর্মাল ভিত্তির সাপেক্ষে) একটি অর্থোগোনাল ম্যাট্রিক্স। এর সারিগুলি একক আদর্শ সহ পারস্পরিক অর্থোগোনাল ভেক্টর, যাতে সারিগুলি ভি-এর একটি অর্থোনর্মাল ভিত্তি গঠন করে। ম্যাট্রিক্সের কলামগুলি ভি-এর আরেকটি অর্থোনর্মাল ভিত্তি গঠন করে। যদি একটি অর্থোগোনাল রূপান্তর বিপরীতমুখী হয় (যা সর্বদা যখন ভি সীমাবদ্ধ-মাত্রিক হয়) তবে এর বিপরীতটি আরেকটি অর্থোগোনাল রূপান্তর। এর ম্যাট্রিক্স উপস্থাপনা হল মূল রূপান্তরের ম্যাট্রিক্স উপস্থাপনার ট্রান্সপোজ। উদাহরণস্বরূপ, আদর্শ ইউক্লিডীয় অভ্যন্তরীণ পণ্য এবং আদর্শ ভিত্তিতে অভ্যন্তরীণ পণ্যের স্থান বিবেচনা করুন। তারপর, ম্যাট্রিক্স রূপান্তরটি অর্থোগোনাল। এটি দেখার জন্য, বিবেচনা করুন তারপর, পূর্ববর্তী উদাহরণটি সমস্ত অর্থোগোনাল রূপান্তর নির্মাণের জন্য প্রসারিত করা যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, নিম্নলিখিত ম্যাট্রিক্সগুলি অর্থোগোনাল রূপান্তরগুলিকে সংজ্ঞায়িত করেঃ আরও দেখুন অনুপযুক্ত ঘূর্ণন রৈখিক রূপান্তর অর্থোগোনাল ম্যাট্রিক্স একক রূপান্তর রেফারেন্স রৈখিক বীজগণিত