Generic polynomial
গণিতে, একটি সাধারণ বহুপদ সাধারণত এমন একটি বহুপদকে বোঝায় যার সহগ অনির্ধারিত। উদাহরণস্বরূপ, যদি, এবং অনির্ধারিত হয়, তবে দ্বিতীয় মাত্রার জেনেরিক বহুপদটি হয় তবে গ্যালোয়া তত্ত্বে, বীজগণিতের একটি শাখা, এবং এই নিবন্ধে, জেনেরিক বহুপদ শব্দটির একটি ভিন্ন, যদিও সম্পর্কিত, অর্থ রয়েছেঃ একটি সসীম গ্রুপ জি এবং একটি ক্ষেত্র এফ-এর জন্য একটি জেনেরিক বহুপদ হল একটি মনিক বহুপদ পি যা যুক্তিসঙ্গত ফাংশনের ক্ষেত্রে সহগ L = F (t1,., tn)-এর ক্ষেত্রে সহগগুলির সাথে F-এর উপর অনির্ধারিত, যাতে P-এর বিভাজন ক্ষেত্র M-এর গ্যালোয়া গ্রুপ G-এর উপর L থাকে, এবং যাতে গ্যালোয়া গ্রুপ G-এর সাথে প্রতিটি এক্সটেনশন K/F একটি বহুপদের বিভাজন ক্ষেত্র হিসাবে প্রাপ্ত করা যায় যা বিশেষীকরণ। একটি প্রদত্ত গ্যালোয়া গোষ্ঠীর জন্য একটি সাধারণ বহুপদীর অস্তিত্ব, এবং বিশেষ করে গঠন, সেই গোষ্ঠীর জন্য বিপরীত গ্যালোয়া সমস্যার একটি সম্পূর্ণ সমাধান প্রদান করে। যাইহোক, সমস্ত গ্যালোয়া গোষ্ঠীর সাধারণ বহুপদী নেই, একটি বিপরীত উদাহরণ হল অষ্টম ক্রমের চক্রাকার গোষ্ঠী। সাধারণ বহুপদী সহ গোষ্ঠীগুলি প্রতিসম গোষ্ঠী Sn। এটি তুচ্ছ, যেমন Sn-এর জন্য একটি সাধারণ বহুপদী। চক্রাকার গোষ্ঠী Cn, যেখানে n আট দ্বারা বিভাজ্য নয়। লেনস্ট্রা দেখিয়েছেন যে একটি চক্রাকার গোষ্ঠীর একটি সাধারণ বহুপদী নেই যদি n আট দ্বারা বিভাজ্য হয় এবং জি. ডব্লিউ. স্মিথ স্পষ্টভাবে এই ধরনের একটি বহুপদী তৈরি করেন যদি n আট দ্বারা বিভাজ্য না হয়। চক্রাকার গোষ্ঠী গঠন জেনেরিক বহুপদীর অন্যান্য শ্রেণীর দিকে পরিচালিত করে; বিশেষ করে ডাইহেড্রাল গোষ্ঠী ডিএন-এর একটি জেনেরিক বহুপদী থাকে যদি এবং শুধুমাত্র যদি এন আট দ্বারা বিভাজ্য না হয়। কোয়াটারনিয়ন গ্রুপ Q8। যেকোন বিজোড় মৌলিকের জন্য হাইজেনবার্গ গ্রুপ p। বিকল্প গ্রুপ A4। বিকল্প গ্রুপ এ5। ই6, ই7 এবং ই8-এর মূল ব্যবস্থার নির্দিষ্ট গোষ্ঠীগুলি সহ, কিউ-এর উপর সংজ্ঞায়িত প্রতিফলন গোষ্ঠীগুলি। যে কোনও গোষ্ঠী যা দুটি গোষ্ঠীর সরাসরি গুণফল যার উভয়েরই জেনেরিক বহুপদী রয়েছে। যে কোনও গোষ্ঠী যা দুটি গোষ্ঠীর একটি মালা পণ্য যার উভয়েরই জেনেরিক বহুপদী রয়েছে। জেনেরিক বহুপদগুলির উদাহরণগুলি 5 ডিগ্রি বা তার কম সমস্ত সংক্রমণশীল গোষ্ঠীর জন্য পরিচিত। সাধারণ মাত্রা একটি ক্ষেত্র F-এর উপর একটি সসীম গ্রুপ G-এর জন্য সাধারণ মাত্রা, যা চিহ্নিত করা হয়, তা G-এর উপর F-এর জন্য একটি সাধারণ বহুপদীতে ন্যূনতম সংখ্যক পরামিতি হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়, অথবা যদি কোনও সাধারণ বহুপদী বিদ্যমান না থাকে। উদাহরণস্বরূপঃ প্রকাশনা জেনসেন, ক্রিশ্চিয়ান ইউ., লেডেট, আর্নে এবং ইউই, নোরিকো, জেনেরিক পলিনোমিয়ালস, কেমব্রিজ ইউনিভার্সিটি প্রেস, 2002 ফিল্ড (গণিত) গ্যালোইস তত্ত্ব