Geometrical frustration
ঘনীভূত পদার্থ পদার্থবিজ্ঞানে, জ্যামিতিক হতাশা (বা সংক্ষেপেঃ হতাশা) শব্দটি এমন একটি ঘটনাকে বোঝায় যেখানে পরমাণুগুলি অ-তুচ্ছ অবস্থানে আটকে থাকে বা যেখানে, একটি নিয়মিত স্ফটিক জালের উপর, পরস্পরবিরোধী আন্তঃ-পারমাণবিক শক্তি (প্রতিটি বরং সহজ, কিন্তু বিভিন্ন কাঠামোর পক্ষে) বেশ জটিল কাঠামোর দিকে পরিচালিত করে। জ্যামিতি বা বলের মধ্যে হতাশার ফলস্বরূপ, স্বতন্ত্র স্থল অবস্থার একটি পূর্ণাঙ্গতার ফলে শূন্য তাপমাত্রা হতে পারে এবং স্বাভাবিক তাপীয় ক্রম উচ্চ তাপমাত্রায় দমন করা যেতে পারে। অনেক অধ্যয়নরত উদাহরণ হল নিরাকার পদার্থ, চশমা বা পাতলা চুম্বক। চুম্বকীয় ব্যবস্থার প্রেক্ষাপটে হতাশা শব্দটি 1977 সালে জেরার্ড টুলুজ দ্বারা প্রবর্তিত হয়েছে। হতাশাজনক চৌম্বক ব্যবস্থা নিয়ে এর আগেও গবেষণা করা হয়েছিল। প্রাথমিক কাজের মধ্যে 1950 সালে প্রকাশিত জি. এইচ. ওয়ানিয়ার দ্বারা নিকটতম-প্রতিবেশী ঘূর্ণন সহ একটি ত্রিভুজাকার জালের উপর আইসিং মডেলের একটি গবেষণা অন্তর্ভুক্ত রয়েছে। সম্পর্কিত বৈশিষ্ট্যগুলি প্রতিযোগিতামূলক মিথস্ক্রিয়া সহ চুম্বকগুলিতে ঘটে, যেখানে ফেরোম্যাগনেটিক পাশাপাশি অ্যান্টিফেরোম্যাগনেটিক কাপলিং উভয়ই জোড়া স্পিন বা চৌম্বকীয় মুহুর্তের মধ্যে উপস্থিত থাকে, যা স্পিনগুলির পৃথকীকরণের দূরত্বের উপর নির্ভর করে মিথস্ক্রিয়ার ধরণ সহ। সেই ক্ষেত্রে তুলনামূলকতা, যেমন হেলিকাল স্পিন বিন্যাসের ফলস্বরূপ, যেমনটি মূলত আলোচনা করা হয়েছিল, বিশেষত, এ. ইয়োশিমোরি, টি. এ. কাপলান, আর. জে. এলিয়ট এবং অন্যান্যরা 1959 সালে বিরল-পৃথিবীর ধাতুগুলির উপর পরীক্ষামূলক অনুসন্ধানগুলি বর্ণনা করার জন্য শুরু করেছিলেন। প্রায় দুই দশক পরে, 1970-এর দশকে স্পিন চশমা এবং স্থানিকভাবে নিয়ন্ত্রিত চৌম্বকীয় উপরিকাঠামোর প্রেক্ষাপটে হতাশ বা প্রতিযোগিতামূলক মিথস্ক্রিয়া সহ এই ধরনের স্পিন ব্যবস্থার প্রতি নতুন করে আগ্রহ দেখা দেয়। স্পিন চশমাগুলিতে, মিথস্ক্রিয়ায় স্টোকাস্টিক ব্যাধি দ্বারা হতাশা বৃদ্ধি পায়, যা অ-স্টোইকিওমেট্রিক চৌম্বকীয় মিশ্রণে পরীক্ষামূলকভাবে ঘটতে পারে। হতাশার সাথে যত্ন সহকারে বিশ্লেষণ করা স্পিন মডেলগুলির মধ্যে রয়েছে শেরিংটন-কির্কপ্যাট্রিক মডেল, যা স্পিন চশমার বর্ণনা দেয় এবং এ. এন. এন. এন. আই মডেল, যা সামঞ্জস্যপূর্ণ চৌম্বকীয় উপরিকাঠামো বর্ণনা করে। সম্প্রতি, মস্তিষ্কের নেটওয়ার্ক বিশ্লেষণে স্নায়বিক সংযোগগুলির অ-তুচ্ছ সমাবেশ সনাক্ত করতে এবং মস্তিষ্কের সামঞ্জস্যযোগ্য উপাদানগুলিকে তুলে ধরতে হতাশার ধারণাটি ব্যবহার করা হয়েছে। চৌম্বকীয় ক্রম জ্যামিতিক হতাশা চুম্বকত্বের একটি গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্য, যেখানে এটি ঘূর্ণনের আপেক্ষিক বিন্যাস থেকে উদ্ভূত হয়। একটি সহজ 2ডি উদাহরণ চিত্র 1-এ দেখানো হয়েছে। তিনটি চৌম্বক আয়ন একটি ত্রিভুজের কোণে থাকে এবং তাদের মধ্যে অ্যান্টিফেরোম্যাগনেটিক মিথস্ক্রিয়া থাকে; প্রতিটি ঘূর্ণন প্রতিবেশীদের বিপরীতে সারিবদ্ধ হলে শক্তি হ্রাস পায়। একবার প্রথম দুটি স্পিন সমান্তরালভাবে সারিবদ্ধ হয়ে গেলে, তৃতীয়টি হতাশ হয়ে পড়ে কারণ এর দুটি সম্ভাব্য অভিমুখ, উপরে এবং নিচে, একই শক্তি দেয়। তৃতীয় স্পিনটি একই সাথে অন্য দুটির সাথে তার মিথস্ক্রিয়া হ্রাস করতে পারে না। যেহেতু প্রতিটি ঘূর্ণনের ক্ষেত্রে এই প্রভাব দেখা যায়, তাই স্থলভাগের অবস্থা ছয়গুণ অবনমিত হয়। শুধুমাত্র দুটি অবস্থায় যেখানে সমস্ত স্পিন উপরে বা নিচে থাকে সেখানে বেশি শক্তি থাকে। একইভাবে তিনটি মাত্রায়, একটি টেট্রাহেড্রনে সাজানো চারটি স্পিন জ্যামিতিক হতাশা অনুভব করতে পারে (চিত্র 2)। যদি স্পিনগুলির মধ্যে একটি অ্যান্টিফেরোম্যাগনেটিক মিথস্ক্রিয়া থাকে, তবে স্পিনগুলি সাজানো সম্ভব নয় যাতে স্পিনগুলির মধ্যে সমস্ত মিথস্ক্রিয়া অ্যান্টিপ্যারালেল হয়। ছয়টি নিকটতম-প্রতিবেশী মিথস্ক্রিয়া রয়েছে, যার মধ্যে চারটি সমান্তরাল এবং তাই অনুকূল, তবে এর মধ্যে দুটি (1 এবং 2 এর মধ্যে এবং 3 এবং 4 এর মধ্যে) প্রতিকূল। সমস্ত মিথস্ক্রিয়া অনুকূল হওয়া অসম্ভব, এবং ব্যবস্থাটি হতাশ। জ্যামিতিক হতাশাও সম্ভব যদি ঘূর্ণনগুলি অ-কোলিনিয়ার পদ্ধতিতে সাজানো হয়। যদি আমরা সহজ অক্ষ বরাবর (অর্থাৎ, টেট্রাহেড্রনের কেন্দ্রের দিকে বা দূরে) নির্দেশ করে প্রতিটি শীর্ষে একটি ঘূর্ণন সহ একটি টেট্রাহেড্রন বিবেচনা করি, তবে চারটি ঘূর্ণন সাজানো সম্ভব যাতে কোনও নেট ঘূর্ণন না হয় (চিত্র 3)। এটি প্রতিটি জোড়া স্পিনের মধ্যে অ্যান্টিফেরোম্যাগনেটিক মিথস্ক্রিয়া হওয়ার সমতুল্য, তাই এই ক্ষেত্রে কোনও জ্যামিতিক হতাশা নেই। এই অক্ষগুলির সাথে, জ্যামিতিক হতাশা দেখা দেয় যদি প্রতিবেশীদের মধ্যে একটি লৌহচুম্বকীয় মিথস্ক্রিয়া হয়, যেখানে সমান্তরাল ঘূর্ণন দ্বারা শক্তি হ্রাস করা হয়। সম্ভাব্য সর্বোত্তম বিন্যাসটি চিত্র 4-এ দেখানো হয়েছে, যেখানে দুটি স্পিন কেন্দ্রের দিকে এবং দুটি দূরে নির্দেশ করে। নেট চৌম্বকীয় মুহূর্তটি উপরের দিকে নির্দেশ করে, এই দিকে ফেরোম্যাগনেটিক মিথস্ক্রিয়াকে সর্বাধিক করে, তবে বাম এবং ডান ভেক্টরগুলি বাতিল হয়ে যায় (অর্থাৎ। এগুলি অ্যান্টিফেরোম্যাগনেটিক্যালি সারিবদ্ধ), যেমন সামনের দিকে এবং পিছনের দিকে। দুটি স্পিন আউট এবং দুটি ইন সহ তিনটি ভিন্ন সমতুল্য ব্যবস্থা রয়েছে, তাই স্থল অবস্থা তিনগুণ অবনমিত হয়। গাণিতিক সংজ্ঞা গাণিতিক সংজ্ঞাটি সহজ (এবং কোয়ান্টাম ক্রোমোডাইনামিক্সের তথাকথিত উইলসন লুপের অনুরূপ): উদাহরণস্বরূপ, জি-কে যে গ্রাফ হিসাবে বিবেচনা করা হয় তার অভিব্যক্তি ("মোট শক্তি" বা "হ্যামিল্টনিয়ান") বিবেচনা করা হয়, যেখানে পরিমাণগুলি হল নিকটতম-প্রতিবেশীদের মধ্যে তথাকথিত "বিনিময় শক্তি", যা (বিবেচিত শক্তি এককে) ±1 মান ধরে নেয় (গাণিতিকভাবে, এটি একটি স্বাক্ষরিত গ্রাফ), যেখানে স্কেলার বা ভেক্টরিয়াল স্পিন বা সিউডো-স্পিনগুলির অভ্যন্তরীণ পণ্য। যদি গ্রাফ জি-এর চতুর্ভুজ বা ত্রিভুজাকার মুখ পি থাকে, তাহলে তথাকথিত "প্ল্যাকেট ভেরিয়েবল" পিডব্লিউ, নিম্নলিখিত ধরনের "লুপ-পণ্য" প্রদর্শিত হয়ঃ এবং যথাক্রমে, যাকে "হতাশা পণ্য" ও বলা হয়। একজনকে এই পণ্যগুলির উপর একটি যোগফল প্রদর্শন করতে হবে, যা সমস্ত ফলকের উপর সংক্ষিপ্ত করা হয়েছে। একটি একক প্ল্যাকেটের ফলাফল হয় + 1 অথবা-1। শেষ-উল্লিখিত ক্ষেত্রে ফলকটি "জ্যামিতিকভাবে হতাশ"। এটি দেখানো যেতে পারে যে ফলাফলটির একটি সাধারণ পরিমাপের অপরিবর্তিতা রয়েছেঃ এটি পরিবর্তিত হয় না-বা অন্যান্য পরিমাপযোগ্য পরিমাণও হয় না, যেমন। "মোট শক্তি"-এমনকি যদি স্থানীয়ভাবে বিনিময় ইন্টিগ্রাল এবং স্পিনগুলি একযোগে নিম্নরূপ পরিবর্তিত হয়ঃ এখানে εi এবং εk সংখ্যাগুলি নির্বিচারে চিহ্ন, অর্থাৎ। + 1 বা-1, যাতে পরিবর্তিত কাঠামোটি সম্পূর্ণ এলোমেলো দেখায়। যদিও হতাশার উপর বেশিরভাগ পূর্ববর্তী এবং বর্তমান গবেষণা স্পিন সিস্টেমের উপর দৃষ্টি নিবদ্ধ করে, তবে ঘটনাটি প্রথম সাধারণ বরফে অধ্যয়ন করা হয়েছিল। 1936 সালে গিয়াউক এবং স্টাউট দ্য এনট্রপি অফ ওয়াটার অ্যান্ড দ্য থার্ড ল অফ থার্মোডাইনামিক্স প্রকাশ করেন। 15 কেলভিন থেকে 273 কেলভিন পর্যন্ত বরফের তাপ ক্ষমতা, উচ্চ তাপমাত্রার গ্যাস পর্যায় পর্যন্ত হিমায়িত এবং বাষ্পীভবনের মাধ্যমে জলের উপর ক্যালোরিমিটার পরিমাপ রিপোর্ট করে। তাপ ক্ষমতাকে একীভূত করে এবং সুপ্ত তাপের অবদান যোগ করে এনট্রপি গণনা করা হয়েছিল; ডেবির তখনকার সম্প্রতি প্রাপ্ত সূত্র ব্যবহার করে নিম্ন তাপমাত্রার পরিমাপ শূন্যে এক্সট্রপোলেট করা হয়েছিল। ফলস্বরূপ এনট্রপি, S1 = 44.28 ক্যাল/(K·mol) = 185.3 J/(mol·K) একটি আদর্শ গ্যাসের পরিসংখ্যানগত বলবিজ্ঞান থেকে তাত্ত্বিক ফলাফলের সাথে তুলনা করা হয়েছিল, S2 = 45.10 ক্যাল/(K·mol) = 188.7 J/(mol·K)। দুটি মান S0 = 0.82 ± 0.05 ক্যালোরি/(K·mol) = 3.4 J/(mol·K) দ্বারা পৃথক হয়। এই ফলাফলটি তখন লিনাস পলিং একটি চমৎকার আনুমানিকতার সাথে ব্যাখ্যা করেছিলেন, যিনি দেখিয়েছিলেন যে বরফের প্রোটনগুলির অভ্যন্তরীণ বিন্যাসগত ব্যাধিটির কারণে শূন্য তাপমাত্রায় বরফের একটি সীমাবদ্ধ এনট্রপি (আনুমানিক 0.81 ক্যালোরি/(কে. মোল) বা 3.4 জে/(মোল কে)) রয়েছে। ষড়ভুজ বা ঘন বরফ পর্যায়ে অক্সিজেন আয়নগুলি ও-ও বন্ধনের দৈর্ঘ্য 2.76 Å (276 পিএম) সহ একটি চতুষ্ফলকীয় কাঠামো গঠন করে, যেখানে ও-এইচ বন্ধনের দৈর্ঘ্য মাত্র 0.96 Å (96 পিএম) পরিমাপ করে। প্রতিটি অক্সিজেন (সাদা) আয়ন চারটি হাইড্রোজেন আয়ন (কালো) দ্বারা বেষ্টিত এবং প্রতিটি হাইড্রোজেন আয়ন 2টি অক্সিজেন আয়ন দ্বারা বেষ্টিত, যেমন চিত্র 5-এ দেখানো হয়েছে। অভ্যন্তরীণ H2O অণুর কাঠামো বজায় রেখে, একটি প্রোটনের ন্যূনতম শক্তির অবস্থান দুটি সংলগ্ন অক্সিজেন আয়নগুলির মধ্যে অর্ধ-পথ নয়। একটি হাইড্রোজেন O-O বন্ধনের রেখায় দুটি সমতুল্য অবস্থান দখল করতে পারে, একটি দূরবর্তী এবং একটি নিকটবর্তী অবস্থান। এইভাবে একটি নিয়ম স্থল অবস্থার বিন্যাসের জন্য প্রোটনের অবস্থানের হতাশার দিকে পরিচালিত করেঃ প্রতিটি অক্সিজেনের জন্য দুটি প্রতিবেশী প্রোটনকে অবশ্যই দূরের অবস্থানে থাকতে হবে এবং তাদের মধ্যে দুটি নিকটবর্তী অবস্থানে থাকতে হবে, তথাকথিত 'বরফের নিয়ম'। পলিং প্রস্তাব করেছিলেন যে বরফের উন্মুক্ত চতুষ্কোণীয় কাঠামো বরফের নিয়মগুলিকে সন্তুষ্ট করে এমন অনেক সমতুল্য অবস্থা প্রদান করে। পলিং নিম্নলিখিত উপায়ে বিন্যাসগত এনট্রপি গণনা করতে গিয়েছিলেনঃ NO2− এবং 2N প্রোটন সমন্বিত বরফের একটি মোল বিবেচনা করুন। প্রতিটি O-O বন্ধনের একটি প্রোটনের জন্য দুটি অবস্থান থাকে, যা 22N সম্ভাব্য বিন্যাসের দিকে পরিচালিত করে। যাইহোক, প্রতিটি অক্সিজেনের সাথে যুক্ত 16টি সম্ভাব্য বিন্যাসের মধ্যে, শুধুমাত্র 6টি শক্তির দিক থেকে অনুকূল, যা H2O অণুর সীমাবদ্ধতা বজায় রাখে। তারপর স্থল অবস্থা যে সংখ্যাগুলি নিতে পারে তার একটি উপরের সীমা ω <22N () N হিসাবে অনুমান করা হয়। অনুরূপভাবে বিন্যাসগত এনট্রপি S0 = kBln (ω) = NkBln () = 0.81 ক্যালোরি/(K·mol) = 3.4 J/(mol·K) গিয়াউক এবং স্টাউট দ্বারা পরিমাপ করা অনুপস্থিত এনট্রপির সাথে আশ্চর্যজনকভাবে একমত। যদিও পলিংয়ের গণনা প্রোটনের সংখ্যার উপর বিশ্বব্যাপী সীমাবদ্ধতা এবং ওয়ার্টজাইট জালের উপর বদ্ধ লুপ থেকে উদ্ভূত স্থানীয় সীমাবদ্ধতা উভয়কেই অবহেলা করেছিল, পরবর্তীকালে অনুমানটি দুর্দান্ত নির্ভুলতার বলে দেখানো হয়েছিল। স্পিন বরফ একটি গাণিতিকভাবে জলের বরফের অবক্ষয়ের অনুরূপ পরিস্থিতি স্পিন আইসগুলিতে পাওয়া যায়। চিত্র 6-এ ঘন পাইরোক্লোর কাঠামোতে একটি সাধারণ ঘূর্ণায়মান বরফের কাঠামো দেখানো হয়েছে যার চারটি কোণের প্রত্যেকটিতে একটি করে চৌম্বকীয় পরমাণু বা আয়ন রয়েছে। উপাদানটিতে শক্তিশালী স্ফটিক ক্ষেত্রের কারণে, প্রতিটি চৌম্বক আয়নকে একটি বড় মুহুর্তের সাথে একটি আইসিং স্থল অবস্থা দ্বিগুণ দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা যেতে পারে। এটি কর্নার-শেয়ারিং টেট্রাহেড্রাল ল্যাটিসের উপর বসবাসকারী আইসিং স্পিনগুলির একটি চিত্রের পরামর্শ দেয় যেখানে স্থানীয় কোয়ান্টাইজেশন অক্ষ, <111> কিউবিক অক্ষ বরাবর স্থির স্পিন থাকে, যা প্রতিটি টেট্রাহেড্রাল শীর্ষকে কেন্দ্রের সাথে সংযুক্ত রেখার সাথে মিলে যায়। শক্তি হ্রাস করার জন্য প্রতিটি টেট্রাহেড্রাল কোষে অবশ্যই দুটি স্পিন থাকতে হবে যা নির্দেশ করে এবং দুটি নির্দেশ করে। বর্তমানে ঘূর্ণায়মান বরফের মডেলটি প্রায় বাস্তব উপকরণ দ্বারা উপলব্ধি করা হয়েছে, বিশেষত বিরল পৃথিবীর পাইরোক্লোরস হো2টি2ও7, ডাই2টি2ও7 এবং হো2এসএন2ও7। এই সমস্ত উপাদানগুলি নিম্ন তাপমাত্রায় অ-শূন্য অবশিষ্ট এনট্রপি দেখায়। পলিং-এর মডেলের বিস্তারঃ সাধারণ হতাশা ঘূর্ণায়মান বরফ মডেলটি হতাশ ব্যবস্থার একটি মাত্র উপবিভাগ। হতাশা শব্দটি প্রাথমিকভাবে একটি সিস্টেমের একই সাথে তার উপাদানগুলির মধ্যে প্রতিযোগিতামূলক মিথস্ক্রিয়া শক্তি হ্রাস করার অক্ষমতা বর্ণনা করার জন্য চালু করা হয়েছিল। সাধারণভাবে হতাশা হয় সাইট ডিসঅর্ডারের কারণে প্রতিযোগিতামূলক মিথস্ক্রিয়া দ্বারা (ভিলেন মডেলটিও দেখুন) অথবা ত্রিভুজাকার, মুখ-কেন্দ্রিক ঘন (এফ. সি. সি), ষড়ভুজ-কাছাকাছি-প্যাকড, টেট্রাহেড্রন, পাইরোক্লোর এবং অ্যান্টিফেরোম্যাগনেটিক মিথস্ক্রিয়া সহ ক্যাগোম ল্যাটিসের মতো জাল কাঠামো দ্বারা সৃষ্ট হয়। সুতরাং হতাশা দুটি বিভাগে বিভক্তঃ প্রথমটি স্পিন গ্লাসের সাথে মিলে যায়, যার কাঠামোতে ব্যাধি এবং স্পিনে হতাশা উভয়ই রয়েছে; দ্বিতীয়টি হল একটি সুশৃঙ্খল জাল কাঠামো এবং স্পিনের হতাশার সাথে জ্যামিতিক হতাশা। একটি ঘূর্ণন কাচের হতাশা আরকেকেওয়াই মডেলের কাঠামোর মধ্যে বোঝা যায়, যেখানে মিথস্ক্রিয়া বৈশিষ্ট্য, ফেরোম্যাগনেটিক বা অ্যান্টি-ফেরোম্যাগনেটিক, দুটি চৌম্বকীয় আয়নগুলির দূরত্বের উপর নির্ভরশীল। স্পিন গ্লাসে ল্যাটিস ডিসঅর্ডারের কারণে, আগ্রহের একটি স্পিন এবং তার নিকটতম প্রতিবেশীরা বিভিন্ন দূরত্বে থাকতে পারে এবং একটি ভিন্ন মিথস্ক্রিয়া বৈশিষ্ট্য থাকতে পারে, যা এইভাবে স্পিনের বিভিন্ন পছন্দসই সারিবদ্ধকরণের দিকে পরিচালিত করে। কৃত্রিম জ্যামিতিকভাবে হতাশ ফেরোম্যাগনেট লিথোগ্রাফি কৌশলের সাহায্যে, সাব-মাইক্রোমিটার আকারের চৌম্বক দ্বীপ তৈরি করা সম্ভব যার জ্যামিতিক বিন্যাস প্রাকৃতিকভাবে ঘূর্ণায়মান বরফের উপকরণগুলিতে পাওয়া হতাশার পুনরুত্পাদন করে। সম্প্রতি আর. এফ. ওয়াং এবং অন্যান্যরা। লিথোগ্রাফিকভাবে তৈরি একক-ডোমেন ফেরোম্যাগনেটিক দ্বীপপুঞ্জের অ্যারে দ্বারা গঠিত একটি কৃত্রিম জ্যামিতিকভাবে হতাশ চুম্বকের আবিষ্কারের কথা জানিয়েছে। এই দ্বীপগুলি বরফ ঘোরানোর জন্য একটি দ্বি-মাত্রিক এনালগ তৈরি করার জন্য ম্যানুয়ালি সাজানো হয়। অর্ডার করা 'স্পিন' দ্বীপগুলির চৌম্বকীয় মুহুর্তগুলি চৌম্বকীয় বল মাইক্রোস্কোপি (এম. এফ. এম) দিয়ে চিত্রিত করা হয়েছিল এবং তারপরে হতাশার স্থানীয় সমন্বয় পুঙ্খানুপুঙ্খভাবে অধ্যয়ন করা হয়েছিল। হতাশ চুম্বকের একটি বর্গাকার জালের উপর তাদের আগের কাজে, তারা বরফের মতো স্বল্প-পরিসীমা পারস্পরিক সম্পর্ক এবং দীর্ঘ-পরিসীমা পারস্পরিক সম্পর্কের অনুপস্থিতি উভয়ই পর্যবেক্ষণ করেছিলেন, ঠিক যেমন নিম্ন তাপমাত্রায় ঘূর্ণায়মান বরফের ক্ষেত্রে। এই ফলাফলগুলি সেই অজানা ভিত্তিকে দৃঢ় করে যার উপর হতাশার প্রকৃত পদার্থবিজ্ঞানকে এই কৃত্রিম জ্যামিতিকভাবে হতাশ চুম্বক দ্বারা কল্পনা এবং মডেল করা যেতে পারে এবং আরও গবেষণা কার্যকলাপকে অনুপ্রাণিত করে। এই কৃত্রিমভাবে হতাশ ফেরোম্যাগনেটগুলি চৌম্বক-অপটিক্যাল কের প্রভাব ব্যবহার করে একটি বাহ্যিক ক্ষেত্রের প্রতি তাদের বিশ্বব্যাপী প্রতিক্রিয়া অধ্যয়ন করার সময় অনন্য চৌম্বক বৈশিষ্ট্য প্রদর্শন করতে পারে। বিশেষত, বর্গাকার জাল বলপ্রয়োগের একটি অ-একমুখী কৌণিক নির্ভরতা কৃত্রিম ঘূর্ণন বরফ ব্যবস্থার ব্যাধি সম্পর্কিত বলে মনে করা হয়। জাল ছাড়াই জ্যামিতিক হতাশা আরেকটি ধরনের জ্যামিতিক হতাশা একটি স্থানীয় ক্রমের বিস্তার থেকে উদ্ভূত হয়। একটি প্রধান প্রশ্ন যা একজন ঘনীভূত পদার্থের পদার্থবিজ্ঞানী সম্মুখীন হন তা হল একটি কঠিন পদার্থের স্থায়িত্ব ব্যাখ্যা করা। কখনও কখনও রাসায়নিক প্রকৃতির কিছু স্থানীয় নিয়ম স্থাপন করা সম্ভব, যা কম শক্তির বিন্যাসের দিকে পরিচালিত করে এবং তাই কাঠামোগত ও রাসায়নিক ক্রম পরিচালনা করে। এটি সাধারণত হয় না এবং প্রায়শই স্থানীয় মিথস্ক্রিয়া দ্বারা সংজ্ঞায়িত স্থানীয় শৃঙ্খলা অবাধে প্রচার করতে পারে না, যা জ্যামিতিক হতাশার দিকে পরিচালিত করে। এই সমস্ত ব্যবস্থার একটি সাধারণ বৈশিষ্ট্য হল, সাধারণ স্থানীয় নিয়মের মধ্যেও, এগুলি প্রায়শই জটিল, কাঠামোগত উপলব্ধির একটি বড় সেট উপস্থাপন করে। জ্যামিতিক হতাশা ক্লাস্টার এবং নিরাকার কঠিন থেকে জটিল তরল পর্যন্ত ঘনীভূত পদার্থের ক্ষেত্রে ভূমিকা পালন করে। এই জটিলতাগুলি সমাধান করার জন্য সাধারণ পদ্ধতিটি দুটি ধাপ অনুসরণ করে। প্রথমত, স্থান বক্রতার অনুমতি দিয়ে নিখুঁত স্থান পূরণের সীমাবদ্ধতা শিথিল করা হয়। এই বাঁকানো জায়গায় একটি আদর্শ, অবিচলিত কাঠামো সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে। তারপর, এই আদর্শ টেমপ্লেটে নির্দিষ্ট বিকৃতি প্রয়োগ করা হয় যাতে এটি ত্রিমাত্রিক ইউক্লিডীয় স্থানে এম্বেড করা যায়। চূড়ান্ত কাঠামোটি ক্রমযুক্ত অঞ্চলগুলির একটি মিশ্রণ, যেখানে স্থানীয় ক্রমটি টেমপ্লেটের অনুরূপ এবং এম্বেডিং থেকে উদ্ভূত ত্রুটিগুলি। সম্ভাব্য ত্রুটিগুলির মধ্যে, মতবিরোধ একটি গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে। সহজ দ্বি-মাত্রিক উদাহরণ দ্বি-মাত্রিক উদাহরণগুলি স্থানীয় নিয়ম এবং জ্যামিতির মধ্যে প্রতিযোগিতার উৎস সম্পর্কে কিছু বোঝার জন্য সহায়ক। প্রথমে একটি সমতলে অভিন্ন ডিস্কের (একটি কাল্পনিক দ্বি-মাত্রিক ধাতুর জন্য একটি মডেল) একটি বিন্যাস বিবেচনা করুন; আমরা মনে করি যে ডিস্কগুলির মধ্যে মিথস্ক্রিয়া আইসোট্রপিক এবং স্থানীয়ভাবে ডিস্কগুলিকে যতটা সম্ভব ঘন উপায়ে সাজানোর প্রবণতা রয়েছে। তিনটি ডিস্কের জন্য সর্বোত্তম ব্যবস্থা হল ত্রিভুজ শীর্ষে অবস্থিত ডিস্ক কেন্দ্রগুলির সাথে একটি সমবাহু ত্রিভুজ। দীর্ঘ পরিসরের কাঠামোর অধ্যয়নকে তাই সমবাহু ত্রিভুজ সহ সমতল টিলিং-এ হ্রাস করা যেতে পারে। স্থানীয় এবং বৈশ্বিক নিয়মের মধ্যে সম্পূর্ণ সামঞ্জস্য সহ ত্রিভুজাকার টাইলিং দ্বারা একটি সুপরিচিত সমাধান সরবরাহ করা হয়ঃ সিস্টেমটিকে "অবিশ্বস্ত" বলা হয়। কিন্তু এখন, যখন পরমাণুগুলি একটি নিয়মিত পঞ্চভুজের শীর্ষে বসে তখন মিথস্ক্রিয়া শক্তি সর্বনিম্ন হওয়ার কথা। দীর্ঘ পরিসরে প্রসারিত করার চেষ্টা করা এই পেন্টাগনগুলির ভাগ করে নেওয়ার প্রান্ত (পারমাণবিক বন্ধন) এবং শীর্ষ (পরমাণু)-এর একটি প্যাকিং অসম্ভব। এটি নিয়মিত পেন্টাগন সহ একটি সমতল টাইল করার অসম্ভবতার কারণে হয়, কারণ পঞ্চভুজ শীর্ষ কোণটি 2 ভাগ করে না। এই ধরনের তিনটি পেন্টাগন সহজেই একটি সাধারণ শীর্ষে ফিট করতে পারে, তবে দুটি প্রান্তের মধ্যে একটি ফাঁক থাকে। এই ধরনের অসঙ্গতিকে "জ্যামিতিক হতাশা" বলা হয়। এই সমস্যা কাটিয়ে ওঠার একটি উপায় রয়েছে। টাইল করা পৃষ্ঠটি কোনও পূর্বনির্ধারিত টপোলজি থেকে মুক্ত হোক এবং আসুন আমরা স্থানীয় মিথস্ক্রিয়া নিয়মের কঠোর প্রয়োগের সাথে টাইলিং তৈরি করি। এই সহজ উদাহরণে, আমরা লক্ষ্য করি যে পৃষ্ঠটি একটি গোলকের টপোলজি উত্তরাধিকার সূত্রে পায় এবং তাই একটি বক্রতা গ্রহণ করে। চূড়ান্ত কাঠামো, এখানে একটি পঞ্চভুজীয় ডোডেকাহেড্রন, পঞ্চভুজীয় ক্রমের নিখুঁত প্রসারণের অনুমতি দেয়। বিবেচিত কাঠামোর জন্য এটিকে "আদর্শ" (ত্রুটি-মুক্ত) মডেল বলা হয়। ঘন কাঠামো এবং টেট্রাহেড্রাল প্যাকিং ধাতুগুলির স্থায়িত্ব কঠিন অবস্থা পদার্থবিজ্ঞানের একটি দীর্ঘস্থায়ী প্রশ্ন, যা কেবলমাত্র ধনাত্মক আধানযুক্ত আয়ন এবং সংযোজকতা এবং পরিবাহী ইলেকট্রনগুলির মধ্যে মিথস্ক্রিয়াকে সঠিকভাবে বিবেচনা করে কোয়ান্টাম যান্ত্রিক কাঠামোতে বোঝা যায়। তবুও ধাতব বন্ধনের একটি খুব সরলীকৃত চিত্র ব্যবহার করা সম্ভব এবং শুধুমাত্র একটি আইসোট্রপিক ধরনের মিথস্ক্রিয়া রাখে, যা এমন কাঠামোর দিকে পরিচালিত করে যা ঘন প্যাকড গোলক হিসাবে প্রতিনিধিত্ব করা যেতে পারে। এবং প্রকৃতপক্ষে স্ফটিকাকার সরল ধাতব কাঠামো প্রায়শই হয় ক্লোজ প্যাকড ফেস-সেন্টার্ড কিউবিক (এফসিসি) বা হেক্সাগোনাল ক্লোজ প্যাকিং (এইচসিপি) ল্যাটিস হয়। কিছু পরিমাণে নিরাকার ধাতু এবং কোয়াসিক্রিস্টালগুলি গোলকের ঘনিষ্ঠ প্যাকিং দ্বারা মডেল করা যেতে পারে। স্থানীয় পারমাণবিক ক্রমটি টেট্রাহেড্রার একটি ঘনিষ্ঠ প্যাকিং দ্বারা ভালভাবে মডেল করা হয়, যা একটি অসম্পূর্ণ আইকোসাহেড্রাল ক্রমের দিকে পরিচালিত করে। একটি নিয়মিত টেট্রাহেড্রন হল চারটি সমান গোলকের প্যাকিংয়ের জন্য ঘন কনফিগারেশন। কঠিন গোলকের সমস্যার ঘন এলোমেলো প্যাকিং এইভাবে টেট্রাহেড্রাল প্যাকিং সমস্যার উপর ম্যাপ করা যেতে পারে। শুধুমাত্র টেট্রাহেড্রাল কনফিগারেশন গঠনের জন্য টেবিল টেনিস বলগুলি প্যাক করার চেষ্টা করা একটি ব্যবহারিক অনুশীলন। একটি নিখুঁত টেট্রাহেড্রন হিসাবে সাজানো চারটি বল দিয়ে শুরু হয় এবং নতুন টেট্রাহেড্রা গঠন করার সময় নতুন গোলক যোগ করার চেষ্টা করে। পাঁচটি বল সহ পরবর্তী সমাধানটি হল সামান্যভাবে দুটি টেট্রাহেড্রা একটি সাধারণ মুখ ভাগ করে নেওয়া; লক্ষ্য করুন যে ইতিমধ্যে এই সমাধানের সাথে, এফসিসি কাঠামো, যার মধ্যে পৃথক টেট্রাহেড্রাল গর্ত রয়েছে, এমন একটি বিন্যাস দেখায় না (টেট্রাহেড্রা প্রান্ত ভাগ করে, মুখ নয়)। ছয়টি বল দিয়ে, তিনটি নিয়মিত টেট্রাহেড্রা তৈরি করা হয় এবং ক্লাস্টারটি সমস্ত কম্প্যাক্ট স্ফটিক কাঠামোর (এফসিসি এবং এইচসিপি) সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ নয়। একটি সপ্তম গোলক যোগ করলে একটি নতুন গুচ্ছ তৈরি হয় যার মধ্যে দুটি "অক্ষীয়" বল একে অপরকে স্পর্শ করে এবং অন্য পাঁচটি বল পরের দুটি বলকে স্পর্শ করে, বাইরের আকৃতিটি প্রায় নিয়মিত পঞ্চভুজাকার দ্বি-পিরামিড। যাইহোক, আমরা এখন একটি আসল প্যাকিং সমস্যার মুখোমুখি হচ্ছি, যা দুটি মাত্রায় পঞ্চভুজাকার টাইলিংয়ের সাথে উপরেরটির অনুরূপ। একটি টেট্রাহেড্রনের ডাইহেড্রাল কোণ 2 এর সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ নয়; ফলস্বরূপ, প্রতিবেশী টেট্রাহেড্রার দুটি মুখের মধ্যে একটি গর্ত থাকে। ফলস্বরূপ, ইউক্লিডীয় স্থান R3-এর একটি নিখুঁত টাইলিং নিয়মিত টেট্রাহেড্রার সাথে অসম্ভব। হতাশার একটি টপোলজিকাল চরিত্র রয়েছেঃ ইউক্লিডীয় স্থানটি টেট্রাহেড্রা দিয়ে পূরণ করা অসম্ভব, এমনকি গুরুতরভাবে বিকৃত, যদি আমরা চাপিয়ে দিই যে একটি ধ্রুবক সংখ্যক টেট্রাহেড্রা (এখানে পাঁচটি) একটি সাধারণ প্রান্ত ভাগ করে নেয়। পরবর্তী পদক্ষেপটি গুরুত্বপূর্ণঃ স্থানটিতে বক্রতার অনুমতি দিয়ে একটি অবিচ্ছিন্ন কাঠামোর সন্ধান করা, যাতে স্থানীয় কনফিগারেশনগুলি পুরো স্থান জুড়ে একইভাবে এবং ত্রুটি ছাড়াই প্রচার করতে পারে। টেট্রাহেড্রার নিয়মিত প্যাকিংঃ একটি সাধারণ শীর্ষ সহ কুড়িটি অনিয়মিত টেট্রাহেড্রার প্যাক এমনভাবে যাতে বারোটি বাইরের শীর্ষগুলি একটি নিয়মিত আইকোসাহেড্রন গঠন করে। প্রকৃতপক্ষে, আইকোসাহেড্রন প্রান্তের দৈর্ঘ্য l পরিধিক্ষেত্র ব্যাসার্ধ r (l ≈ 1.05r) এর চেয়ে কিছুটা দীর্ঘ। নিয়মিত টেট্রাহেড্রার একটি সমাধান রয়েছে যদি স্থানটি ইউক্লিডিয়ান না হয়, তবে গোলাকার হয়। এটি পলিটোপ {3,3,5}, যা শ্লাফলি স্বরলিপি ব্যবহার করে, যা 600-কোষ নামেও পরিচিত। একশো কুড়িটি শীর্ষ রয়েছে যার সবগুলিই হাইপারস্ফিয়ার এস3-এর অন্তর্গত, যার ব্যাসার্ধ স্বর্ণ অনুপাতের (φ =) সমান, যদি প্রান্তগুলি একক দৈর্ঘ্যের হয়। ছয়শো কোষ নিয়মিত টেট্রাহেড্রা যা একটি সাধারণ প্রান্তের চারপাশে পাঁচটি এবং একটি সাধারণ শীর্ষের চারপাশে কুড়িটি দ্বারা গোষ্ঠীভুক্ত। এই কাঠামোকে পলিটোপ বলা হয় (কক্সেটার দেখুন) যা বহুভুজ এবং পলিহেড্রা ধারণকারী সিরিজের উচ্চতর মাত্রায় সাধারণ নাম। এমনকি যদি এই কাঠামোটি চারটি মাত্রায় আবদ্ধ থাকে, তবে এটি একটি ত্রিমাত্রিক (বাঁকা) বহুগুণ হিসাবে বিবেচিত হয়। এই বিষয়টি নিম্নলিখিত কারণে ধারণাগতভাবে গুরুত্বপূর্ণ। বাঁকা স্থানে যে আদর্শ মডেলগুলি চালু করা হয়েছে সেগুলি হল ত্রিমাত্রিক বাঁকা টেমপ্লেট। এগুলি স্থানীয়ভাবে ত্রিমাত্রিক ইউক্লিডীয় মডেল হিসাবে দেখা যায়। সুতরাং, {3,3,5} পলিটোপ, যা টেট্রাহেড্রা দ্বারা একটি টাইলিং, একটি খুব ঘন পারমাণবিক কাঠামো প্রদান করে যদি পরমাণুগুলি তার শীর্ষে অবস্থিত থাকে। সুতরাং এটি স্বাভাবিকভাবেই নিরাকার ধাতুগুলির জন্য একটি টেমপ্লেট হিসাবে ব্যবহৃত হয়, তবে এটি ভুলে যাওয়া উচিত নয় যে এটি ধারাবাহিক আদর্শের মূল্যে। সাহিত্যের তথ্যসূত্র ঘনীভূত পদার্থ পদার্থবিজ্ঞান তাপগতিবিদ্যার এনট্রপি চৌম্বকীয় ক্রম