Stationary phase approximation
গণিতে, স্থির পর্যায় আনুমানিককরণ হল অ্যাসিম্পটোটিক বিশ্লেষণের একটি মৌলিক নীতি, যা দ্রুত পরিবর্তিত জটিল সূচকীয়ের বিরুদ্ধে সংহতকরণ দ্বারা প্রদত্ত ফাংশনের ক্ষেত্রে প্রয়োগ করা হয়। এই পদ্ধতিটি 19শ শতাব্দী থেকে উদ্ভূত, এবং জর্জ গ্যাব্রিয়েল স্টোকস এবং লর্ড কেলভিনের কারণে। এটি ল্যাপলেসের পদ্ধতি এবং সবচেয়ে খাড়া অবতরণ পদ্ধতির সাথে ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত, তবে ল্যাপলেসের অবদান অন্যদের আগে। মৌলিক বিষয় স্থির পর্যায় পদ্ধতির মূল ধারণাটি দ্রুত পরিবর্তিত পর্যায় সহ সাইনোসয়েডের বাতিলকরণের উপর নির্ভর করে। যদি অনেক সাইনোসয়েডের একই পর্যায় থাকে এবং সেগুলি একসঙ্গে যোগ করা হয়, তবে সেগুলি গঠনমূলকভাবে যোগ হবে। তবে, যদি এই একই সাইনোসয়েডের পর্যায়গুলি থাকে যা ফ্রিকোয়েন্সি পরিবর্তনের সাথে সাথে দ্রুত পরিবর্তিত হয়, তবে তারা অসঙ্গতিপূর্ণভাবে যোগ করবে, বিভিন্ন সময়ে গঠনমূলক এবং ধ্বংসাত্মক সংযোজনের মধ্যে পরিবর্তিত হবে। ফর্মুলা লেটিং ফাংশনের সমালোচনামূলক পয়েন্টগুলির সেটকে বোঝায় (অর্থাৎ। পয়েন্ট যেখানে), এই ধারণার অধীনে যে হয় সংহতভাবে সমর্থিত বা সূচকীয় ক্ষয় রয়েছে এবং সমস্ত সমালোচনামূলক পয়েন্টগুলি ননডিজেনারেট (অর্থাৎ। জন্য) আমাদের নিম্নলিখিত অ্যাসিম্পটোটিক সূত্র রয়েছে, যেমনঃ এখানে হেসিয়ানকে বোঝায়, এবং হেসিয়ানের স্বাক্ষরকে বোঝায়, অর্থাৎ। ধনাত্মক আইগেনভ্যালু সংখ্যা বিয়োগ ঋণাত্মক আইগেনভ্যালু সংখ্যা। কারণ, এটি হ্রাস পায়ঃ এই ক্ষেত্রে সমস্ত সমালোচনামূলক বিন্দুতে হ্রাসের অনুমানগুলি অ-অবনমিত হয়। এটি সবচেয়ে খাড়া অবতরণ পদ্ধতির সূত্রের উইক-ঘূর্ণিত সংস্করণ। একটি উদাহরণ একটি ফাংশন বিবেচনা করুন। এই ফাংশনের পর্যায় পদ,, যখন বা সমতুল্য, স্থির থাকে। এই সমীকরণের সমাধান কিছু এবং জন্য প্রভাবশালী ফ্রিকোয়েন্সি দেয়। যদি আমরা টেলর সিরিজ হিসাবে প্রসারিত করি এবং এর চেয়ে বেশি অর্ডারের শর্তাবলী উপেক্ষা করি, তবে আমাদের দ্বিতীয় ডেরিভেটিভকে বোঝায়। যখন তুলনামূলকভাবে বড় হয়, এমনকি একটি ছোট পার্থক্যও ইন্টিগ্রালের মধ্যে দ্রুত দোলন তৈরি করে, যা বাতিলকরণের দিকে পরিচালিত করে। অতএব আমরা একটি টেলর সম্প্রসারণের জন্য সীমার বাইরে একীকরণের সীমা প্রসারিত করতে পারি। যদি আমরা সূত্রটি ব্যবহার করি। । এটি এতে একীভূত হয়। হ্রাসের ধাপগুলি জড়িত নীতির প্রথম প্রধান সাধারণ বিবৃতিটি হল যে I (k)-এর অ্যাসিম্পটোটিক আচরণ শুধুমাত্র f-এর সমালোচনামূলক বিন্দুর উপর নির্ভর করে। যদি g-এর পছন্দ দ্বারা ইন্টিগ্রালটি স্থানের এমন একটি অঞ্চলে স্থানীয়করণ করা হয় যেখানে f-এর কোনও সমালোচনামূলক বিন্দু নেই, ফলস্বরূপ ইন্টিগ্রালটি 0-তে প্রবণতা দেখায় কারণ দোলনগুলির ফ্রিকোয়েন্সি অনন্তের দিকে নিয়ে যাওয়া হয়। উদাহরণস্বরূপ রিমান-লেবেস্গু লেম্মা দেখুন। দ্বিতীয় বিবৃতিটি হল যে যখন f একটি মোর্স ফাংশন হয়, যাতে f-এর একক বিন্দুগুলি অ-অবনমিত এবং বিচ্ছিন্ন হয়, তখন প্রশ্নটি n = 1 ক্ষেত্রে হ্রাস করা যেতে পারে। প্রকৃতপক্ষে, তারপর, প্রতিটি ক্ষেত্রে মাত্র একটি সমালোচনামূলক বিন্দু পি সহ ইন্টিগ্রালকে বিভক্ত করার জন্য জি-এর একটি পছন্দ করা যেতে পারে। সেই সময়ে, যেহেতু পি-তে হেসিয়ান নির্ধারক অনুমান দ্বারা 0 নয়, মোর্স লেম্মা প্রযোজ্য। স্থানাঙ্কের পরিবর্তনের মাধ্যমে f দ্বারা প্রতিস্থাপিত হতে পারে। জে-এর মান পি-তে এফ-এর হেসিয়ান ম্যাট্রিক্সের স্বাক্ষর দ্বারা দেওয়া হয়। জি-এর ক্ষেত্রে, অপরিহার্য বিষয়টি হল যে জি হল xi-এর বাম্প ফাংশনের গুণফল। এখন সাধারণতা না হারিয়ে ধরে নিন যে পি হল মূল, ব্যবধানের 1 মান সহ একটি মসৃণ বাম্প ফাংশন এইচ নিন এবং দ্রুত এর বাইরে 0-তে প্রবণতা দেখান। ধরুন, তারপর ফুবিনির উপপাদ্যটি I (k) কে বাস্তব রেখার উপর ইন্টিগ্রালের গুণফল হিসাবে হ্রাস করে যেমন f (x) = ±x2। বিয়োগ চিহ্নের ক্ষেত্রে যোগ চিহ্নের সাথে কেসের জটিল সংমিশ্রণ হয়, তাই মূলত একটি প্রয়োজনীয় অ্যাসিম্পটোটিক অনুমান রয়েছে। এইভাবে মোর্স ফাংশনের জন্য দোলক ইন্টিগ্রালের জন্য অ্যাসিম্পটোটিক্স পাওয়া যেতে পারে। ডিজেনারেট ক্ষেত্রে আরও কৌশল প্রয়োজন (উদাহরণস্বরূপ এয়ার ফাংশন দেখুন)। এক-মাত্রিক কেস অপরিহার্য বিবৃতিটি হলঃ প্রকৃতপক্ষে কনট্যুর ইন্টিগ্রেশন দ্বারা এটি দেখানো যেতে পারে যে সমীকরণের ডান দিকের প্রধান পদটি হল বাম দিকের ইন্টিগ্রালের মান, যা পরিসীমার উপর প্রসারিত (প্রমাণের জন্য ফ্রেসনেল ইন্টিগ্রাল দেখুন)। সুতরাং এটি ইন্টিগ্রাল ওভার অনুমান করার প্রশ্ন, ধরুন। এটি সমস্ত এক-মাত্রিক ইন্টিগ্রালের জন্য একটি মডেল যার একটি একক অ-অবনমিত সমালোচনামূলক বিন্দু রয়েছে যেখানে দ্বিতীয় ডেরিভেটিভ রয়েছে। প্রকৃতপক্ষে মডেলের ক্ষেত্রে 0-এ দ্বিতীয় অন্তরজ 2 রয়েছে। ব্যবহার করে স্কেল করার জন্য, লক্ষ্য করুন যে যেখানে ধ্রুবক দ্বারা প্রতিস্থাপন করা দ্বারা স্কেলিংয়ের সমান। এটি অনুসরণ করে যে সাধারণ মানগুলির জন্য, ফ্যাক্টর হয়ে যায়। একজনের জন্য জটিল কনজুগেট সূত্র ব্যবহার করা হয়, যেমনটি আগে উল্লেখ করা হয়েছে। নিম্ন-ক্রমের পদগুলি সূত্র থেকে দেখা যায়, স্থির পর্যায় আনুমানিক হল ইন্টিগ্রালের অ্যাসিম্পটোটিক আচরণের প্রথম-ক্রম আনুমানিক। নিম্ন-ক্রমের পদগুলি ভাল আচরণের জন্য বিভিন্ন ওজন ফ্যাক্টর সহ ফাইনম্যান চিত্রের সমষ্টি হিসাবে বোঝা যেতে পারে। আরও দেখুন কোয়ান্টাম ক্ষেত্র তত্ত্বের কমন ইন্টিগ্রালগুলি ল্যাপলেসের স্টিপেস্ট ডিসেন্টের পদ্ধতি উল্লেখ ব্লিস্টিন, এন এবং হ্যান্ডেলসম্যান, আর। (1975), অ্যাসিম্পটোটিক এক্সপ্যানশনস অফ ইন্টিগ্রালস, ডোভার, নিউ ইয়র্ক। ভিক্টর গুইলেমিন এবং শ্লোমো স্টার্নবার্গ (1990), জ্যামিতিক অ্যাসিম্পটোটিক্স, (অধ্যায় 1 দেখুন)। । আকি, কেইইটি; এবং রিচার্ডস, পল জি। (2002)। "কোয়ান্টিটেটিভ সিসমোলজি" (2য় সংস্করণ। ), পিপি 255-256। ইউনিভার্সিটি সায়েন্স বুকস, ওয়াং, আর. (2001), অ্যাসিম্পটোটিক অ্যাপ্রক্সিমেশনস অফ ইন্টিগ্রালস, ক্লাসিকস ইন অ্যাপ্লায়েড ম্যাথমেটিক্স, খণ্ড। 34। 1989 সালের মূলটির সংশোধিত পুনঃমুদ্রণ। সোসাইটি ফর ইন্ডাস্ট্রিয়াল অ্যান্ড অ্যাপ্লায়েড ম্যাথমেটিক্স (এস. আই. এ. এম), ফিলাডেলফিয়া, পিএ. xviii + 543 পৃষ্ঠা। ডিউডোন, জে। (1980), ক্যালকুল ইনফিনিটেসিমাল, হারমান, প্যারিস এক্সটার্নাল লিঙ্ক গাণিতিক বিশ্লেষণ পার্টার্বেশান তত্ত্ব