Shattered set
ভাপনিক-চেরভোনেঙ্কিস তত্ত্বে ছিন্নভিন্ন সেটের ধারণাটি গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে, যা ভিসি-তত্ত্ব নামেও পরিচিত। বিক্ষেপণ এবং ভি. সি-তত্ত্ব পরীক্ষামূলক প্রক্রিয়াগুলির অধ্যয়নের পাশাপাশি পরিসংখ্যানগত গণনামূলক শিক্ষণ তত্ত্বের ক্ষেত্রেও ব্যবহৃত হয়। সংজ্ঞা ধরুন এ একটি সেট এবং সি সেটের একটি শ্রেণী। শ্রেণী সি সেট এ-কে ভেঙে দেয় যদি এ-এর প্রতিটি উপসেট এ-এর জন্য, সি-এর কিছু উপাদান এমন হয় যে সমতুল্যভাবে, সি এ-কে ভেঙে দেয় যখন তাদের ছেদটি এ-এর পাওয়ার সেটের সমান হয়ঃ পি (এ) = {সি। এ। সি। সি। সি। আমরা সি অক্ষরটি ব্যবহার করি সেটগুলির একটি "শ্রেণী" বা "সংগ্রহ" বোঝাতে, যেমন একটি ভাপনিক-চেরভোনেঙ্কিস শ্রেণীতে (ভিসি-শ্রেণী)। সেট এ-কে প্রায়শই সসীম বলে ধরে নেওয়া হয় কারণ, অভিজ্ঞতাগত প্রক্রিয়াগুলিতে, আমরা ডেটা পয়েন্টের সসীম সেটগুলির বিখণ্ডনে আগ্রহী। উদাহরণ আমরা দেখাব যে সমতলে (দ্বি-মাত্রিক স্থান) সমস্ত ডিস্কের শ্রেণী একক বৃত্তের চারটি বিন্দুর প্রতিটি সেটকে ভেঙে দেয় না, তবুও সমতলে সমস্ত উত্তল সেটের শ্রেণী একক বৃত্তের প্রতিটি সীমাবদ্ধ সেটকে ভেঙে দেয়। ধরা যাক A একক বৃত্তের চারটি বিন্দুর একটি সেট এবং C সমস্ত ডিস্কের শ্রেণী। সি কোথায় এ-কে ভেঙে দেয় তা পরীক্ষা করার জন্য, আমরা এ-এর প্রতিটি উপসেটের চারপাশে একটি ডিস্ক আঁকার চেষ্টা করি। প্রথমে, আমরা প্রতিটি বিচ্ছিন্ন বিন্দুর উপসেটগুলির চারপাশে একটি ডিস্ক আঁকি। এরপরে, আমরা বিন্দু জোড়ার প্রতিটি উপসেটের চারপাশে একটি ডিস্ক আঁকার চেষ্টা করি। এটি সংলগ্ন পয়েন্টগুলির জন্য করা সম্ভব বলে প্রমাণিত হয়, তবে বৃত্তের বিপরীত দিকের পয়েন্টগুলির জন্য অসম্ভব। নীচে যেমন কল্পনা করা হয়েছেঃ যেহেতু এমন কিছু উপসেট রয়েছে যা সি-তে কোনও ডিস্ক দ্বারা বিচ্ছিন্ন করা যায় না, তাই আমরা এই উপসংহারে পৌঁছেছি যে এ-কে সি দ্বারা বিচ্ছিন্ন করা যায় না। এবং, একটু চিন্তাভাবনা করে, আমরা প্রমাণ করতে পারি যে এই সি দ্বারা চারটি বিন্দুর কোনও সেট ভেঙে যায় না। যাইহোক, যদি আমরা সি-কে সমস্ত উপবৃত্তাকার ডিস্কের শ্রেণী হিসাবে পুনরায় সংজ্ঞায়িত করি, তবে আমরা দেখতে পাই যে আমরা এখনও উপরের থেকে সমস্ত উপসেটকে বিচ্ছিন্ন করতে পারি, সেইসাথে যে পয়েন্টগুলি আগে সমস্যাযুক্ত ছিল। এইভাবে, 4টি বিন্দুর এই নির্দিষ্ট সেটটি উপবৃত্তাকার ডিস্কের শ্রেণী দ্বারা চূর্ণবিচূর্ণ হয়। নীচে কল্পনা করা হয়েছেঃ একটু চিন্তাভাবনা করে, আমরা সাধারণীকরণ করতে পারি যে একটি একক বৃত্তের যে কোনও সীমাবদ্ধ বিন্দুর সেট সমস্ত উত্তল সেটের শ্রেণী দ্বারা চূর্ণবিচূর্ণ হতে পারে (বিন্দুগুলিকে সংযুক্ত করার কল্পনা করুন)। বিচ্ছুরণ সহগ সেটগুলির একটি সংগ্রহ সি-এর সমৃদ্ধি পরিমাপ করতে, আমরা বিচ্ছুরণ সহগের ধারণাটি ব্যবহার করি (যা বৃদ্ধি ফাংশন নামেও পরিচিত)। সেটের একটি সংগ্রহ সি-এর জন্য, যে কোনও স্থান, প্রায়শই একটি নমুনা স্থান হওয়ার কারণে, আমরা সি-এর nth বিক্ষেপণ সহগকে সংজ্ঞায়িত করি যেখানে সেটের কার্ডিনালিটি বোঝায় এবং এটি n পয়েন্টের যে কোনও সেট। এই সংখ্যাটি হল n বিন্দুর যে কোনও সেট A-এর সর্বাধিক সংখ্যক উপসেট যা সংগ্রহ C-এর সেটগুলির সাথে A-কে ছেদ করে তৈরি করা যেতে পারে। যদি, তার মানে কার্ডিনালিটি এন-এর একটি সেট থাকে, যা সি দ্বারা ছিন্নভিন্ন করা যেতে পারে। তৃতীয় বৈশিষ্ট্যটির অর্থ হল যে, যদি সি কার্ডিনালিটি এন-এর কোনও সেটকে ভেঙে ফেলতে না পারে তবে এটি বৃহত্তর কার্ডিনালিটিগুলির সেটগুলিকে ভেঙে দিতে পারে না। ভাপনিক-চেরভোনেঙ্কিস শ্রেণী একটি শ্রেণী সি-এর ভিসি মাত্রা হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় বা, বিকল্পভাবে, নোট করুন যে যদি কোনও এন-এর জন্য কার্ডিনালিটি এন-এর একটি সেট থাকে যা সি দ্বারা ছিন্নভিন্ন করা যায়, তবে সমস্ত এন-এর জন্য এবং এই শ্রেণী সি-এর ভিসি মাত্রা অসীম। সীমাবদ্ধ ভিসি মাত্রা সহ একটি শ্রেণীকে ভাপনিক-চেরভোনেঙ্কিস শ্রেণী বা ভিসি শ্রেণী বলা হয়। একটি ক্লাস সি "সমানভাবে গ্লিভেনকো-ক্যান্টেলি হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি এটি একটি ভিসি ক্লাস হয়। আরও দেখুন সওয়ার-শেলাহ লেম্মা, সেটের একটি পরিবারের কার্ডিনালিটি তার বৃহত্তম চূর্ণবিচূর্ণ সেট রেফারেন্সের আকারের সাথে সম্পর্কিত। । বাহ্যিক যোগসূত্র জে. স্টিলের পরীক্ষামূলক প্রক্রিয়া গণনামূলক শিক্ষণ তত্ত্ব দ্বারা রচিত "বিক্ষিপ্ত সেট" পরিভাষার উৎপত্তি