Additive polynomial
গণিতে, যোগাত্মক বহুপদগুলি ধ্রুপদী বীজগাণিতিক সংখ্যা তত্ত্বের একটি গুরুত্বপূর্ণ বিষয়। সংজ্ঞা k-কে মৌলিক বৈশিষ্ট্য p-এর একটি ক্ষেত্র হিসাবে ধরা যাক। k-এর সহগ সহ একটি বহুপদী P (x)-কে যোগাত্মক বহুপদী বা ফ্রোবেনিয়াস বহুপদী বলা হয়, যদি a এবং b-এর বহুপদী হয়। এটি ধরে নেওয়ার সমতুল্য যে এই সমতা k ধারণকারী কোনও অসীম ক্ষেত্রে সমস্ত a এবং b-এর জন্য প্রযোজ্য, যেমন এর বীজগাণিতিক বন্ধ। মাঝেমধ্যে উপরের অবস্থার জন্য একেবারে যোগাত্মক ব্যবহার করা হয়, এবং ক্ষেত্রের সমস্ত a এবং b-এর জন্য P (a + b) = P (a) + P (b)-এর মতো দুর্বল অবস্থার জন্য যোগাত্মক ব্যবহার করা হয়। অসীম ক্ষেত্রের জন্য শর্তগুলি সমতুল্য, কিন্তু সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রের জন্য সেগুলি নয়, এবং দুর্বল শর্তটি "ভুল" কারণ এটি ভাল আচরণ করে না। উদাহরণস্বরূপ, q ক্রমের একটি ক্ষেত্রের উপর xq − x এর যে কোনও একাধিক P ক্ষেত্রের সমস্ত a এবং b এর জন্য P (a + b) = P (a) + P (b) কে সন্তুষ্ট করবে, তবে সাধারণত (একেবারে) যোগাত্মক হবে না। উদাহরণ বহুপদী এক্স. পি যোগাত্মক। প্রকৃতপক্ষে, k-এর বীজগাণিতিক বন্ধের যে কোনও a এবং b-এর জন্য দ্বিপদী উপপাদ্য রয়েছে যেহেতু p মৌলিক, তাই সমস্ত n = 1,, p-1-এর জন্য দ্বিপদী সহগ p দ্বারা বিভাজ্য, যা বোঝায় যে a এবং b-এর বহুপদী হিসাবে। একইভাবে ফর্মের সমস্ত বহুপদী যোগাত্মক, যেখানে n একটি অ-ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা। এই সংজ্ঞাটি যুক্তিসঙ্গত, এমনকি যদি k বৈশিষ্ট্য শূন্যের একটি ক্ষেত্রও হয়, তবে এই ক্ষেত্রে শুধুমাত্র যোগাত্মক বহুপদগুলি হল k-এ কিছু a-এর জন্য অক্ষের আকারের। যোগাত্মক বহুপদের বলয় এটি প্রমাণ করা বেশ সহজ যে k-এ সহগ সহ বহুপদের যে কোনও রৈখিক সংমিশ্রণও একটি যোগাত্মক বহুপদী। একটি আকর্ষণীয় প্রশ্ন হল এই রৈখিক সংমিশ্রণগুলি ছাড়া অন্য কোনও যোগাত্মক বহুপদী আছে কি না। উত্তরটি হ 'ল এগুলিই একমাত্র। কেউ পরীক্ষা করতে পারেন যে যদি পি (এক্স) এবং এম (এক্স) যোগাত্মক বহুপদী হয়, তবে পি (এক্স) + এম (এক্স) এবং পি (এম (এক্স))। এগুলি বোঝায় যে যোগাত্মক বহুপদগুলি বহুপদী সংযোজন এবং গঠনের অধীনে একটি বলয় গঠন করে। এই বলয়কে চিহ্নিত করা হয় এই বলয়টি বিনিময়যোগ্য নয় যদি না k ক্ষেত্র হয় (মডুলার পাটিগণিত দেখুন)। প্রকৃতপক্ষে, k-এ a সহগের জন্য যোগাত্মক বহুপদী অক্ষ এবং xp বিবেচনা করুন। তাদের গঠনের অধীনে যাতায়াতের জন্য, আমাদের অবশ্যই থাকতে হবে এবং তাই ap − a = 0। যোগাত্মক বহুপদীর মৌলিক উপপাদ্য ধরা যাক, পি (এক্স) কে সহগ সহ একটি বহুপদী হতে হবে এবং তার মূলের সেট হতে হবে। যদি ধরে নেওয়া হয় যে পি (এক্স)-এর মূলগুলি স্বতন্ত্র (অর্থাৎ, পি (এক্স) পৃথকযোগ্য), তবে পি (এক্স) যোগাত্মক হয় যদি এবং কেবলমাত্র যদি সেটটি ক্ষেত্র যোগের সাথে একটি গ্রুপ গঠন করে। আরও দেখুন ড্রিইনফেল্ড মডিউল অ্যাডিটিভ ম্যাপ রেফারেন্স ডেভিড গস, বেসিক স্ট্রাকচার অফ ফাংশন ফিল্ড অ্যারিথমেটিক, 1996, স্প্রিঙ্গার, বার্লিন। । বাহ্যিক যোগসূত্র বীজগাণিতিক সংখ্যা তত্ত্ব মডুলার গাণিতিক বহুপদী