Ultraparallel theorem
হাইপারবোলিক জ্যামিতিতে, দুটি রেখাকে অতি-সমান্তরাল বলা হয় যদি তারা ছেদ না করে এবং সমান্তরালভাবে সীমাবদ্ধ না হয়। অতি-সমান্তরাল উপপাদ্যটি বলে যে (স্বতন্ত্র) অতি-সমান্তরাল রেখার প্রতিটি জুটির একটি অনন্য সাধারণ লম্ব (একটি হাইপারবোলিক রেখা যা উভয় রেখার লম্ব) থাকে। হিলবার্টের নির্মাণ ধরা যাক r এবং s দুটি অতি-সমান্তরাল রেখা। যে কোনও দুটি স্বতন্ত্র বিন্দু থেকে 'এ' এবং 'সি' থেকে 'এবি' এবং 'সিবি' থেকে 'আর' আঁকুন। যদি এটি ঘটে যে এবি = সিবি ', তবে কাঙ্ক্ষিত সাধারণ লম্ব এসি এবং বিবি'-এর মধ্যবিন্দুতে যোগ দেয় (সাচেরী চতুর্ভুজ এসিবি 'বি-এর প্রতিসাম্য দ্বারা)। যদি তা না হয়, তাহলে আমরা সাধারণতা না হারিয়ে এবি <সিবি 'অনুমান করতে পারি। ধরা যাক, 'সি' থেকে 'এ'-এর বিপরীত দিকে 'এস' রেখার একটি বিন্দু E। 'সিবি'-তে 'এ' নিন যাতে 'এ' বি '=' এবি 'হয়। 'এ' এর মাধ্যমে 'ই'-এর কাছাকাছি একটি রেখা 'এস' (এ 'ই') আঁকুন, যাতে 'বি' এ 'ই' কোণটি বিএই কোণের সমান হয়। তারপর 's' একটি সাধারণ বিন্দু 'D' তে 's'-এর সাথে মিলিত হয়। এই রশ্মির উপর একটি বিন্দু ডি তৈরি করুন যাতে এডি = এডি হয়। তারপর D '≤ D. তারা r থেকে একই দূরত্ব এবং উভয়ই s-এর উপর অবস্থিত। সুতরাং D' D (s-এর একটি অংশ)-এর লম্ব দ্বিখণ্ডকও r-এর লম্ব। (যদি r এবং s অতি-সমান্তরাল না হয়ে অ্যাসিম্পটোটিকভাবে সমান্তরাল হয়, তবে এই গঠনটি ব্যর্থ হবে কারণ s 's-এর সাথে মিলিত হবে না। বরং s' s এবং r উভয়ের সাথে অ্যাসিম্পটোটিকভাবে সমান্তরাল হবে।) পয়েনকারে অর্ধ-সমতল মডেলের প্রমাণ ধরা যাক কার্টেসিয়ান সমতলের অ্যাবিসায় চারটি স্বতন্ত্র বিন্দু হতে হবে। ব্যাস এবং যথাক্রমে অ্যাবসিসার উপরে অর্ধবৃত্তাকার হতে দিন। তারপর পয়েনকারে অর্ধ-সমতল মডেল এইচপি-তে, এবং অতি-সমান্তরাল রেখার প্রতিনিধিত্ব করে। নিম্নলিখিত দুটি হাইপারবোলিক গতি রচনা করুনঃ তারপর এখন এই দুটি হাইপারবোলিক গতি দিয়ে চালিয়ে যানঃ তারপর,,, (বলুন) এ থাকে। উৎপত্তিস্থলে কেন্দ্র সহ অনন্য অর্ধবৃত্তটির অবশ্যই অপরটির ব্যাসার্ধের সাথে একটি ব্যাসার্ধ স্পর্শক থাকতে হবে। অ্যাবসিসা এবং লম্ব ব্যাসার্ধ দ্বারা গঠিত ডান ত্রিভুজের দৈর্ঘ্য হাইপোটেনুজ। যেহেতু অর্ধবৃত্তের ব্যাসার্ধ চালু থাকে, তাই চাওয়া সাধারণ লম্বের ব্যাসার্ধ-বর্গাকার হয়। উপরে উৎপাদিত চারটি হাইপারবোলিক গতিকে উল্টো করে উৎপত্তিস্থলে এবং ব্যাসার্ধকে কেন্দ্র করে অর্ধবৃত্তের বিপরীত ক্রমে প্রয়োগ করা যেতে পারে যাতে অতি-সমান্তরাল এবং উভয়েরই লম্বভাবে অনন্য হাইপারবোলিক রেখা পাওয়া যায়। বেলট্রামি-ক্লেইন মডেলের প্রমাণ হাইপারবোলিক জ্যামিতির বেলট্রামি-ক্লেইন মডেলেঃ দুটি অতি-সমান্তরাল রেখা দুটি অ-ছেদকারী কর্ডের সাথে মিলে যায়। এই দুটি রেখার মেরু হল কর্ডের শেষ বিন্দুতে সীমানা বৃত্তের স্পর্শক রেখার নিজ নিজ ছেদ। লাইন l-এর লম্ব রেখাগুলি কর্ড দ্বারা মডেল করা হয় যার এক্সটেনশন l-এর মেরুর মধ্য দিয়ে যায়। তাই আমরা দুটি প্রদত্ত রেখার মেরুর মধ্যে অনন্য রেখাটি আঁকি এবং এটিকে সীমানা বৃত্তের সাথে ছেদ করি; ছেদনের কর্ডটি অতি-সমান্তরাল রেখার কাঙ্ক্ষিত সাধারণ লম্ব হবে। যদি কর্ডগুলির মধ্যে একটি ব্যাস হয়, তবে আমাদের কোনও মেরু নেই, তবে এই ক্ষেত্রে ব্যাসের সাথে লম্বভাবে যে কোনও কর্ড এটি বেলট্রামি-ক্লেইন মডেলেও লম্ব, এবং তাই আমরা একটি রেখা আঁকি মেরুর মধ্য দিয়ে অন্য লাইনের ব্যাসকে সমকোণে ছেদ করে সাধারণ লম্ব পেতে। এই গঠনটি সর্বদা সম্ভব দেখিয়ে প্রমাণটি সম্পন্ন করা হয়ঃ যদি উভয় কর্ড ব্যাস হয় তবে তারা ছেদ করে। (সীমানা বৃত্তের কেন্দ্রে) যদি কেবল একটি কর্ড একটি ব্যাস হয়, তবে অন্য কর্ডটি তার অভ্যন্তরে থাকা প্রথম কর্ডের একটি অংশে অর্থোগোনালভাবে প্রজেক্ট করে এবং মেরু অর্থোগোনাল থেকে ব্যাস পর্যন্ত একটি রেখা ব্যাস এবং কর্ড উভয়কেই ছেদ করে। যদি উভয় রেখা ব্যাস না হয়, তবে আমরা প্রতিটি মেরু থেকে টানা স্পর্শকগুলি প্রসারিত করে একটি চতুর্ভুজ তৈরি করতে পারি যার মধ্যে একক বৃত্তটি খোদাই করা থাকে। মেরুগুলি এই চতুর্ভুজের বিপরীত শীর্ষে রয়েছে এবং কর্ডগুলি বিপরীত কোণ জুড়ে শীর্ষের সংলগ্ন দিকগুলির মধ্যে টানা রেখা। যেহেতু চতুর্ভুজটি উত্তল, তাই মেরুগুলির মধ্যে রেখাটি কোণ জুড়ে টানা উভয় কর্ডকে ছেদ করে এবং কর্ডগুলির মধ্যে রেখার অংশটি অন্য দুটি কর্ডের লম্বভাবে প্রয়োজনীয় কর্ডকে সংজ্ঞায়িত করে। বিকল্পভাবে, আমরা অতি-সমান্তরাল রেখার সাধারণ লম্বটি নিম্নরূপ তৈরি করতে পারিঃ বেলট্রামি-ক্লেইন মডেলের অতি-সমান্তরাল রেখাগুলি দুটি অ-ছেদকারী কর্ড। কিন্তু তারা আসলে বৃত্তের বাইরে ছেদ করে। ছেদ বিন্দুর মেরু হল কাঙ্ক্ষিত সাধারণ লম্ব। তথ্যসূত্র ক্যারোল বোরসুক ও ওয়ান্ডা স্জমিলেউ (1960) জ্যামিতির ভিত্তি, পৃষ্ঠা 291। জ্যামিতিতে হাইপারবোলিক জ্যামিতি উপপাদ্যের প্রমাণ সম্বলিত নিবন্ধ