Helly's theorem
হেলির উপপাদ্যটি উত্তল সেটগুলির ছেদস্থলে বিচ্ছিন্ন জ্যামিতির একটি মৌলিক ফলাফল। এটি 1913 সালে এডুয়ার্ড হেলি আবিষ্কার করেছিলেন, কিন্তু 1923 সাল পর্যন্ত তাঁর দ্বারা প্রকাশিত হয়নি, সেই সময়ের মধ্যে বিকল্প প্রমাণ এবং ইতিমধ্যে উপস্থিত হয়েছিল। হেলির উপপাদ্য হেলি পরিবারের ধারণার জন্ম দেয়। বিবৃতি ধরা যাক, সঙ্গে উত্তল উপসেটগুলির একটি সীমাবদ্ধ সংগ্রহ। যদি এই প্রতিটি সেটের ছেদটি খালি না হয়, তবে পুরো সংগ্রহের একটি খালি না হওয়া ছেদ রয়েছে; অর্থাৎ, অসীম সংগ্রহের জন্য একজনকে কম্প্যাক্টনেস ধরে নিতে হবেঃ আসুন এর কম্প্যাক্ট উত্তল উপসেটগুলির একটি সংগ্রহ হতে হবে, যাতে কার্ডিনালিটির প্রতিটি উপ-সংগ্রহে সর্বাধিক খালি ছেদ থাকে। তারপর পুরো সংগ্রহে নন এম্প্টি ইন্টারসেকশন রয়েছে। প্রমাণ আমরা দ্বারা প্রমাণ হিসাবে রেডনের উপপাদ্য ব্যবহার করে সীমাবদ্ধ সংস্করণটি প্রমাণ করি। অসীম সংস্করণটি তারপর কম্প্যাক্টনেসের সীমাবদ্ধ ছেদ বৈশিষ্ট্য বৈশিষ্ট্য দ্বারা অনুসরণ করেঃ একটি কম্প্যাক্ট স্পেসের বদ্ধ উপসেটগুলির একটি সংগ্রহের একটি অ-খালি ছেদ থাকে যদি এবং শুধুমাত্র যদি প্রতিটি সসীম উপ-সংগ্রহের একটি অ-খালি ছেদ থাকে (একবার আপনি একটি একক সেট ঠিক করলে, এর সাথে অন্যান্য সকলের ছেদ একটি নির্দিষ্ট কম্প্যাক্ট স্পেসের বন্ধ উপসেট হয়)। প্রমাণ হল ইন্ডাকশন দ্বারাঃ বেস কেসঃ ধরা যাক। আমাদের অনুমান অনুসারে, প্রত্যেকটির জন্য একটি বিন্দু রয়েছে যা সম্ভাব্য ব্যতিক্রম ছাড়া সকলের সাধারণ ছেদস্থলে রয়েছে। এখন আমরা র্যাডনের উপপাদ্যটি সেটটিতে প্রয়োগ করি যা আমাদের এমন বিচ্ছিন্ন উপসেট সরবরাহ করে যে উত্তল কাঠামো উত্তল কাঠামোকে ছেদ করে। ধরুন এটি এই দুটি উত্তল কাঠামোর ছেদস্থলের একটি বিন্দু। আমরা দাবি করি যে প্রকৃতপক্ষে, যে কোনও বিবেচনা করে আমরা প্রমাণ করব যে নোট যে এর একমাত্র উপাদানটি নাও থাকতে পারে। যদি, তারপর, এবং তাই। যেহেতু এটি উত্তল, তাই এটি উত্তল কাঠামোও ধারণ করে এবং তাই এটি। একইভাবে, যদি, তাহলে, এবং একই যুক্তি দ্বারা। যেহেতু এটি প্রত্যেকটিতে রয়েছে, তাই এটি অবশ্যই ছেদস্থলে থাকতে হবে। উপরে, আমরা ধরে নিয়েছি যে সমস্ত পয়েন্টগুলি স্বতন্ত্র। যদি এটি না হয়, তবে কারো কারো জন্য বলুন, তারপর প্রতিটি সেটে রয়েছে, এবং আবার আমরা উপসংহারে পৌঁছেছি যে ছেদটি খালি নয়। এটি মামলার প্রমাণ সম্পূর্ণ করে। প্ররোচনামূলক পদক্ষেপঃ ধরুন এবং বিবৃতিটি এর জন্য সত্য। উপরের যুক্তিটি দেখায় যে সেটগুলির যে কোনও উপ-সংগ্রহে খালি ছেদ থাকবে না। তারপরে আমরা সেই সংগ্রহটি বিবেচনা করতে পারি যেখানে আমরা দুটি সেট এবং একক সেট দিয়ে প্রতিস্থাপন করি। এই নতুন সংগ্রহে, সেটগুলির প্রতিটি উপ-সংগ্রহে নন-এম্প্টি ইন্টারসেকশন থাকবে। ইন্ডাক্টিভ হাইপোথিসিস তাই প্রযোজ্য, এবং দেখায় যে এই নতুন সংগ্রহে নন-এম্প্টি ছেদ রয়েছে। এটি মূল সংগ্রহের ক্ষেত্রেও একই বিষয় বোঝায় এবং প্রমাণটি সম্পূর্ণ করে। রঙিন হেলি উপপাদ্য রঙিন হেলি উপপাদ্য হেলির উপপাদ্যের একটি সম্প্রসারণ যেখানে, একটি সংগ্রহের পরিবর্তে, এর উত্তল উপসেটগুলির d + 1 সংগ্রহ রয়েছে। যদি, একটি ট্রান্সভার্সালের প্রতিটি পছন্দের জন্য-প্রতিটি সংগ্রহ থেকে একটি সেট-সমস্ত নির্বাচিত সেটের জন্য একটি সাধারণ বিন্দু থাকে, তবে কমপক্ষে একটি সংগ্রহের জন্য, সংগ্রহের সমস্ত সেটের জন্য একটি সাধারণ বিন্দু থাকে। রূপকভাবে, ডি + 1 সংগ্রহগুলি ডি + 1 বিভিন্ন রঙের বলে বিবেচনা করা যেতে পারে। তারপর উপপাদ্যটি বলে যে, যদি এক-সেট-প্রতি-রঙের প্রতিটি পছন্দের একটি অ-খালি ছেদ থাকে, তবে এমন একটি রঙ বিদ্যমান থাকে যে সেই রঙের সমস্ত সেটের একটি অ-খালি ছেদ থাকে। ভগ্নাংশ হেলি উপপাদ্য প্রতিটি a> 0-এর জন্য কিছু b> 0 এমন হয় যে, যদি এর n উত্তল উপসেট হয়, এবং সেটগুলির কমপক্ষে (d + 1)-টুপলগুলির একটি a-ভগ্নাংশের একটি বিন্দু থাকে, তবে সেটগুলির কমপক্ষে b-এর একটি ভগ্নাংশের একটি বিন্দু থাকে। এছাড়াও ক্যারাথিওডোরির উপপাদ্য ডয়গননের উপপাদ্য কির্চবার্গারের উপপাদ্য শ্যাপলি-ফকম্যান লেম্মা ক্রেইন-মিলম্যান উপপাদ্য চকেটের উপপাদ্য রেডনের উপপাদ্য এবং এর সাধারণীকরণ, টেভারবার্গের উপপাদ্য নোটস রেফারেন্স দেখুন। । । হেনরিচ গুগেনহেইমার (1977) প্রযোজ্য জ্যামিতি, পৃষ্ঠা 137, ক্রিগার, হান্টিংটন। । । । উত্তল জ্যামিতিতে উপপাদ্য বিচ্ছিন্ন জ্যামিতিতে উপপাদ্য জ্যামিতিক আড়াআড়ি তত্ত্বের প্রমাণ সম্বলিত নিবন্ধ