Pure subgroup
গণিতে, বিশেষ করে আবেলিয়ান গোষ্ঠীর তত্ত্ব অধ্যয়নরত বীজগণিতের ক্ষেত্রে, একটি বিশুদ্ধ উপগোষ্ঠী হল প্রত্যক্ষ যোগফলের সাধারণীকরণ। এটি আবেলিয়ান গোষ্ঠী তত্ত্ব এবং সম্পর্কিত ক্ষেত্রে অনেক ব্যবহার খুঁজে পেয়েছে। সংজ্ঞা একটি (সাধারণত আবেলিয়ান) গোষ্ঠীর একটি উপগোষ্ঠীকে বিশুদ্ধ বলা হয় যদি যখনই কোনও উপাদানের মূল থাকে, তার অবশ্যই একটি মূল থাকে। আনুষ্ঠানিকভাবেঃ, জি-তে একটি-এর অস্তিত্ব এমন যে এস-এ একটি-এর অস্তিত্ব এমন হয়। বিশুদ্ধ উপগোষ্ঠীগুলিকে বিচ্ছিন্ন উপগোষ্ঠী বা পরিবেশনকারী উপগোষ্ঠীও বলা হয় এবং প্রুফারের 1923 সালের গবেষণাপত্রে প্রথম তদন্ত করা হয়েছিল যা প্রাথমিক আবেলিয়ান গোষ্ঠীগুলির পচনকে বিশুদ্ধ উপগোষ্ঠী ব্যবহার করে চক্রাকার গোষ্ঠীর সরাসরি যোগফল হিসাবে বর্ণনা করে। প্রুফারের কাজটি কুলিকফ দ্বারা পরিপূরক হয়েছিল যেখানে বিশুদ্ধ উপগোষ্ঠীগুলি পদ্ধতিগতভাবে ব্যবহার করে অনেক ফলাফল আবার প্রমাণিত হয়েছিল। বিশেষত, একটি প্রমাণ দেওয়া হয়েছিল যে সসীম সূচকের বিশুদ্ধ উপগোষ্ঠীগুলি সরাসরি যোগফল। বিশুদ্ধ উপগোষ্ঠীর আরও সম্পূর্ণ আলোচনা, অসীম আবেলিয়ান গোষ্ঠী তত্ত্বের সাথে তাদের সম্পর্ক এবং তাদের সাহিত্যের একটি সমীক্ষা আরভিং কাপলানস্কির ছোট্ট লাল বইয়ে দেওয়া হয়েছে। উদাহরণস্বরূপ, একটি গোষ্ঠীর প্রতিটি সরাসরি যোগফল একটি বিশুদ্ধ উপগোষ্ঠী। একটি বিশুদ্ধ উপগোষ্ঠীর প্রতিটি বিশুদ্ধ উপগোষ্ঠী বিশুদ্ধ। আবেলিয়ান গোষ্ঠীর একটি বিভাজ্য উপগোষ্ঠী বিশুদ্ধ। যদি ভাগফল গোষ্ঠীটি টর্জন-মুক্ত হয়, তবে উপগোষ্ঠীটি বিশুদ্ধ। একটি আবেলিয়ান গোষ্ঠীর টর্জন উপগোষ্ঠী বিশুদ্ধ। বিশুদ্ধ উপগোষ্ঠীর নির্দেশিত মিলন একটি বিশুদ্ধ উপগোষ্ঠী। যেহেতু একটি সীমাবদ্ধভাবে উত্পন্ন আবেলিয়ান গোষ্ঠীতে টর্জন উপগোষ্ঠী একটি সরাসরি যোগফল, তাই কেউ জিজ্ঞাসা করতে পারে যে টর্জন উপগোষ্ঠীটি সর্বদা একটি আবেলিয়ান গোষ্ঠীর সরাসরি যোগফল কিনা। দেখা যাচ্ছে যে এটি সর্বদা একটি সমষ্টি নয়, তবে এটি একটি বিশুদ্ধ উপগোষ্ঠী। কিছু হালকা পরিস্থিতিতে, বিশুদ্ধ উপগোষ্ঠীগুলি সরাসরি যোগফল। সুতরাং, কুলিকফের গবেষণাপত্রের মতো সেই পরিস্থিতিতেও কাঙ্ক্ষিত ফলাফল পুনরুদ্ধার করা যেতে পারে। বিশুদ্ধ উপগোষ্ঠীগুলিকে সীমাবদ্ধতার শর্ত সহ সরাসরি যোগফলের ফলাফল এবং কম সীমাবদ্ধতার শর্ত সহ সরাসরি যোগফলের সম্পূর্ণ ফলাফলের মধ্যে একটি মধ্যবর্তী বৈশিষ্ট্য হিসাবে ব্যবহার করা যেতে পারে। এই ব্যবহারের আরেকটি উদাহরণ হল প্রুফারের গবেষণাপত্র, যেখানে "সীমাবদ্ধ টর্জন আবেলিয়ান গোষ্ঠীগুলি চক্রাকার গোষ্ঠীর সরাসরি যোগফল" এই ফলাফল পর্যন্ত প্রসারিত হয় যে বিশুদ্ধ উপগোষ্ঠীর মধ্যবর্তী বিবেচনার মাধ্যমে "সীমাবদ্ধ সূচকের সমস্ত টর্জন আবেলিয়ান গোষ্ঠীগুলি চক্রাকার গোষ্ঠীর সরাসরি যোগফল"। সাধারণীকরণ আবেলিয়ান গোষ্ঠী এবং মডিউল তত্ত্বের ক্ষেত্রে বিশুদ্ধ উপগোষ্ঠীগুলিকে বিভিন্ন উপায়ে সাধারণীকরণ করা হয়েছিল। বিশুদ্ধ উপ-মডিউলগুলি বিভিন্ন উপায়ে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছিল, তবে শেষ পর্যন্ত টেনসর পণ্য বা সমীকরণের পদ্ধতির পরিপ্রেক্ষিতে আধুনিক সংজ্ঞায় স্থির হয়েছিল; পূর্ববর্তী সংজ্ঞাগুলি সাধারণত আরও সরাসরি সাধারণীকরণ ছিল যেমন n 'th মূলের জন্য উপরে ব্যবহৃত একক সমীকরণ। বিশুদ্ধ ইনজেকটিভ এবং বিশুদ্ধ প্রজেক্টিভ মডিউলগুলি প্রুফারের 1923 সালের গবেষণাপত্রের ধারণাগুলি থেকে ঘনিষ্ঠভাবে অনুসরণ করে। যদিও বিশুদ্ধ প্রজেক্টিভ মডিউলগুলি বিশুদ্ধ ইনজেকশনের মতো অনেক প্রয়োগ খুঁজে পায়নি, তবে এগুলি মূল কাজের সাথে আরও ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিতঃ একটি মডিউল বিশুদ্ধ প্রজেক্টিভ যদি এটি সীমাবদ্ধভাবে উপস্থাপিত মডিউলগুলির সরাসরি যোগফলের সরাসরি যোগফল হয়। পূর্ণসংখ্যা এবং আবেলিয়ান গোষ্ঠীর ক্ষেত্রে একটি বিশুদ্ধ প্রজেক্টিভ মডিউল চক্রাকার গোষ্ঠীর সরাসরি যোগফলের সমান। তথ্যসূত্র অধ্যায় 3। উপগোষ্ঠী বৈশিষ্ট্য আবেলিয়ান গোষ্ঠী তত্ত্ব