Gaussian binomial coefficient
গণিতে, গাউসীয় দ্বিপদী সহগগুলি (গাউসীয় সহগ, গাউসীয় বহুপদী বা q-দ্বিপদী সহগও বলা হয়) দ্বিপদী সহগের q-সমতুল্য। গাউসীয় দ্বিপদী সহগ, যা বা হিসাবে লেখা হয়, তা হল পূর্ণসংখ্যা সহগ সহ q-এর একটি বহুপদী, যার মান যখন q-কে একটি মৌলিক শক্তিতে সেট করা হয় তখন n-এর মাত্রার ভেক্টর স্পেসে k মাত্রার সাবস্পেসের সংখ্যা গণনা করা হয়, যা q উপাদান সহ একটি সীমাবদ্ধ ক্ষেত্র; অর্থাৎ। এটি সসীম গ্রাসমানিয়ানের পয়েন্টের সংখ্যা। সংজ্ঞা গাউসীয় দ্বিপদী সহগগুলি দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়ঃ যেখানে m এবং r অ-ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা। যদি, এটি 0 তে মূল্যায়ন করে। কারণ, মান হল 1 যেহেতু সংখ্যা এবং হর উভয়ই ফাঁকা গুণফল। যদিও সূত্রটি প্রথমে একটি যুক্তিসঙ্গত ফাংশন বলে মনে হয়, এটি আসলে একটি বহুপদী, কারণ Z [q]-এ বিভাজন সঠিক, সংখ্যা এবং হরের সমস্ত কারণগুলি দ্বারা বিভাজ্য, এবং ভাগফল হল q-সংখ্যাঃ এই কারণগুলিকে ভাগ করলে সমতুল্য সূত্র পাওয়া যায়। গাউসীয় দ্বিপদী সহগের সীমাবদ্ধ মান রয়েছেঃ উদাহরণস্বরূপ সমন্বিত বিবরণ বিপরীতমুখী গাউসীয় দ্বিপদী সহগের একটি সমন্বিত বিবরণ বিপরীতমুখী। সাধারণ দ্বিপদী সহগ একটি-উপাদান সেট থেকে নির্বাচিত-সংমিশ্রণগুলি গণনা করে। যদি কেউ এই উপাদানগুলিকে দৈর্ঘ্যের একটি শব্দের বিভিন্ন অক্ষরের অবস্থান হিসাবে গ্রহণ করে, তবে প্রতিটি-সংমিশ্রণ দুটি অক্ষরের বর্ণমালা ব্যবহার করে দৈর্ঘ্যের একটি শব্দের সাথে মিলে যায়, যেমন 1 অক্ষরের অনুলিপি (নির্বাচিত সংমিশ্রণে অবস্থানগুলি নির্দেশ করে) এবং 0 অক্ষর (অবশিষ্ট অবস্থানের জন্য)। সুতরাং, উদাহরণস্বরূপ, 0 এবং 1 ব্যবহার করা শব্দগুলি হল। গাউসীয় দ্বিপদী সহগ পাওয়ার জন্য, প্রতিটি শব্দ একটি ফ্যাক্টরের সাথে যুক্ত, যেখানে শব্দের বিপরীতকরণের সংখ্যা, যেখানে, এই ক্ষেত্রে, একটি বিপরীতকরণ হল এক জোড়া অবস্থান যেখানে জুটির বাম দিকে 1 অক্ষরটি থাকে এবং ডান দিকে 0 অক্ষরটি থাকে। উপরের উদাহরণের সাথে, 0 বিপরীত সহ একটি শব্দ, 1 বিপরীত সহ একটি শব্দ, 2 বিপরীত সহ দুটি শব্দ,,, 3 বিপরীত সহ একটি শব্দ এবং 4 বিপরীত সহ একটি শব্দ রয়েছে। এটি প্রাথমিক অবস্থান থেকে 1s-এর বাম-স্থানান্তরের সংখ্যাও। এগুলি সহগের সাথে মিলে যায়। এটি দেখার আরেকটি উপায় হল প্রতিটি শব্দকে উচ্চতা এবং প্রস্থ সহ একটি আয়তক্ষেত্রাকার গ্রিড জুড়ে একটি পথের সাথে যুক্ত করা, যা নীচের বাম কোণ থেকে উপরের ডান কোণে যায়। পথটি প্রতিটি 0-এর জন্য একটি পদক্ষেপ নেয় এবং প্রতিটি 1-এর জন্য একটি পদক্ষেপ নেয়। একটি ইনভার্সন একটি ধাপের দিক পরিবর্তন করে (ডান + উপরে উপরে + ডান এবং তদ্বিপরীত), তাই ইনভার্সন সংখ্যা পথের নিচের এলাকার সমান। ডাস্টবিনে বলগুলি আসুন অবিচ্ছেদ্য ডাস্টবিনে অবিচ্ছেদ্য বল নিক্ষেপ করার উপায়গুলির সংখ্যা, যেখানে প্রতিটি ডাস্টবিনে বল পর্যন্ত থাকতে পারে। গাউসীয় দ্বিপদী সহগকে বৈশিষ্ট্যায়িত করতে ব্যবহার করা যেতে পারে। প্রকৃতপক্ষে, যেখানে পলিনোমিয়ালের সহগ বোঝায় (নীচের অ্যাপ্লিকেশন বিভাগটিও দেখুন)। বৈশিষ্ট্য প্রতিফলন সাধারণ দ্বিপদী সহগের মতো, গাউসীয় দ্বিপদী সহগগুলি কেন্দ্র-প্রতিসম, অর্থাৎ প্রতিফলনের অধীনে অপরিবর্তনীয়ঃ বিশেষত, q = 1-এ সীমা একটি গাউসীয় দ্বিপদী সহগের মূল্যায়ন হল অর্থাৎ। সহগের সমষ্টি সংশ্লিষ্ট দ্বিপদী মান দেয়। পলিনোমিয়ালের ডিগ্রি হল। q পরিচয় প্যাসকেলের পরিচয়ের সমতুল্য গাউসিয়ান দ্বিপদী সহগের জন্য পাস্কেলের পরিচয়ের সমতুল্যগুলি হলঃ এবং কখন, এই উভয়ই স্বাভাবিক দ্বিপদী পরিচয় দেয়। আমরা দেখতে পাচ্ছি যে, উভয় সমীকরণই বৈধ রয়েছে। প্রথম প্যাসকেল এনালগ প্রাথমিক মানগুলি ব্যবহার করে গাউসীয় দ্বিপদী সহগগুলির পুনরাবৃত্তিমূলক গণনার অনুমতি দেয় এবং এটিও দেখায় যে গাউসীয় দ্বিপদী সহগগুলি প্রকৃতপক্ষে বহুপদী (q তে)। দ্বিতীয় প্যাসকেল এনালগটি প্রতিফলনের অধীনে গাউসিয়ান দ্বিপদী সহগের প্রতিস্থাপন এবং অপরিবর্তিতা ব্যবহার করে প্রথম থেকে অনুসরণ করে। রৈখিক বীজগণিতের পরিপ্রেক্ষিতে এই পরিচয়গুলির প্রাকৃতিক ব্যাখ্যা রয়েছে। মনে রাখবেন যে r-মাত্রিক সাবস্পেস গণনা করা হয়, এবং এক-মাত্রিক নালস্পেস সহ একটি অভিক্ষেপ হতে দিন। প্রথম পরিচয়টি বাইজেকশন থেকে আসে যা সাবস্পেসে নিয়ে যায়; যদি স্থানটি r-মাত্রিক হয়, এবং আমাদের অবশ্যই রৈখিক ফাংশনের উপর নজর রাখতে হবে যার গ্রাফটি; কিন্তু যদি স্থানটি (r−1)-মাত্রিক হয়, এবং আমরা কোনও অতিরিক্ত তথ্য ছাড়াই পুনর্গঠন করতে পারি। দ্বিতীয় পরিচয়ের একটি অনুরূপ ব্যাখ্যা রয়েছে, যা একটি (m−1)-মাত্রিক স্থান গ্রহণ করে, আবার দুটি ক্ষেত্রে বিভক্ত হয়। এনালগের প্রমাণ উভয় এনালগই প্রথমে উল্লেখ করে প্রমাণ করা যেতে পারে যে এর সংজ্ঞা থেকে, আমাদের আছেঃ সমীকরণ () হয়ে যায়ঃ এবং সমীকরণ () প্রতিস্থাপন করা প্রথম এনালগ দেয়। একটি অনুরূপ প্রক্রিয়া, পরিবর্তে ব্যবহার করে, দ্বিতীয় এনালগ দেয়। q-দ্বিপদী উপপাদ্য q-দ্বিপদী সহগগুলির জন্য দ্বিপদী উপপাদ্যের একটি এনালগ রয়েছে, যা কচি দ্বিপদী উপপাদ্য নামে পরিচিতঃ সাধারণ দ্বিপদী উপপাদ্যের মতো, এই সূত্রের অসংখ্য সাধারণীকরণ এবং সম্প্রসারণ রয়েছে; এর মধ্যে একটি, ঋণাত্মক শক্তির জন্য নিউটনের সাধারণীকৃত দ্বিপদী উপপাদ্যের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ, সীমার মধ্যে, এই সূত্রগুলি ফলন এবং। সেটিং যথাক্রমে স্বতন্ত্র এবং যে কোনও অংশের জন্য জেনারেটিং ফাংশন দেয়। (আরও দেখুন মৌলিক হাইপারজিওমেট্রিক সিরিজ।) কেন্দ্রীয় q-দ্বিপদী পরিচয় সাধারণ দ্বিপদী সহগগুলির সাথে, আমাদের রয়েছেঃ q-দ্বিপদী সহগগুলির সাথে, এনালগটি হলঃ অ্যাপ্লিকেশন গাউস মূলত দ্বিঘাত গাউস যোগফলের চিহ্ন নির্ধারণে গাউসিয়ান দ্বিপদী সহগগুলি ব্যবহার করেছিলেন। গাউসীয় দ্বিপদী সহগগুলি প্রতিসম বহুপদের গণনায় এবং বিভাজনের তত্ত্বে ঘটে। qr in-এর সহগ হল m সহ r-এর বিভাজনের সংখ্যা বা n-এর সমান বা তার চেয়ে কম অংশ। সমতুল্যভাবে, এটি n বা তার কম অংশ সহ r-এর বিভাজনের সংখ্যা যা m-এর কম বা সমান। গাউসীয় দ্বিপদী সহগগুলি একটি সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রের উপর সংজ্ঞায়িত প্রজেক্টিভ স্পেসের গণনামূলক তত্ত্বেও গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে। বিশেষত, q উপাদান সহ প্রতিটি সসীম ক্ষেত্র Fq-এর জন্য, গাউসীয় দ্বিপদী সহগ Fq (একটি গ্রাসমানিয়ান)-এর উপর একটি n-মাত্রিক ভেক্টর স্থানের k-মাত্রিক ভেক্টর উপস্থানের সংখ্যা গণনা করে। যখন q-তে একটি বহুপদী হিসাবে প্রসারিত হয়, তখন এটি গ্রাসমানিয়ানের সুপরিচিত পচন ঘটিয়ে শুবার্ট কোষে পরিণত হয়। উদাহরণস্বরূপ, গাউসীয় দ্বিপদী সহগ হল (এফকিউ) এন-এ এক-মাত্রিক সাবস্পেসের সংখ্যা (সমতুল্য, সংশ্লিষ্ট প্রজেক্টিভ স্পেসে পয়েন্টের সংখ্যা)। উপরন্তু, যখন q হল 1 (যথাক্রমে −1), তখন গাউসিয়ান দ্বিপদী সহগ সংশ্লিষ্ট জটিল (যথাক্রমে বাস্তব) গ্রাসমানিয়ানের অয়লার বৈশিষ্ট্য প্রদান করে। এফকিউএন-এর কে-মাত্রিক অ্যাফিন সাবস্পেসের সংখ্যা সমান। এটি একটি হাইপারপ্লেন স্থির করে (m−1)-মাত্রিক প্রজেক্টিভ স্পেসের (r−1)-মাত্রিক সাবস্পেসগুলি গণনা করে, সেই হাইপারপ্লেনে থাকা এই ধরনের সাবস্পেসগুলি গণনা করে এবং তারপরে হাইপারপ্লেনে অন্তর্ভুক্ত নয় এমন সাবস্পেসগুলি গণনা করে পরিচয়ের আরেকটি ব্যাখ্যার অনুমতি দেয়; এই পরবর্তী সাবস্পেসগুলি এই স্থির হাইপারপ্লেনটিকে অনন্ততায় হাইপারপ্লেন হিসাবে বিবেচনা করে প্রাপ্ত স্পেসের (r−1)-মাত্রিক অ্যাফিন সাবস্পেসগুলির সাথে বাইজেক্টিভ যোগাযোগে রয়েছে। কোয়ান্টাম গ্রুপের প্রয়োগগুলিতে প্রচলিত নিয়মাবলীতে, একটি সামান্য ভিন্ন সংজ্ঞা ব্যবহার করা হয়; সেখানে কোয়ান্টাম দ্বিপদী সহগ রয়েছে। কোয়ান্টাম দ্বিপদী সহগের এই সংস্করণটি এবং এর বিনিময়ের অধীনে প্রতিসম। রেফারেন্স এক্সটন, এইচ. (1983), কিউ-হাইপারজিওমেট্রিক ফাংশনস অ্যান্ড অ্যাপ্লিকেশনস, নিউ ইয়র্কঃ হালস্টেড প্রেস, চিচেস্টারঃ এলিস হরউড, 1983,, (তারিখবিহীন, 2004 বা তার আগে)। রত্নাধা কোলহাটকার, জেটা ফাংশন অফ গ্রাসম্যান ভ্যারাইটিজ (তারিখ জানুয়ারি 26,2004) (2009)। কিউ-এনালগ ফ্যাক্টরিয়াল এবং দ্বিপদী বিষয়