Angle of parallelism
হাইপারবোলিক জ্যামিতিতে, সমান্তরালতার কোণ হল একটি ডান হাইপারবোলিক ত্রিভুজের অ-ডান কোণ শীর্ষে দুটি অ্যাসিম্পটোটিক সমান্তরাল পার্শ্বযুক্ত কোণ। কোণটি সমান্তরাল কোণের সমকোণ এবং শীর্ষের মধ্যবর্তী অংশের দৈর্ঘ্যের উপর নির্ভর করে। একটি বিন্দু একটি লাইনে না থাকলে, বিন্দু থেকে লাইনে একটি লম্ব ড্রপ করুন। ধরা যাক a হল এই লম্ব খণ্ডের দৈর্ঘ্য, এবং সর্বনিম্ন কোণটি এমন হতে হবে যাতে বিন্দুর মধ্য দিয়ে টানা রেখাটি প্রদত্ত রেখাকে ছেদ না করে। যেহেতু দুটি দিক অ্যাসিম্পটোটিকভাবে সমান্তরাল, তাই পাঁচটি সমতুল্য অভিব্যক্তি রয়েছে যা সম্পর্কিত এবং a: যেখানে sinh, cosh, tanh, sech এবং csch হল হাইপারবোলিক ফাংশন এবং gd হল গুডারম্যানিয়ান ফাংশন। নির্মাণ জ্যানোস বলিয়াই এমন একটি গঠন আবিষ্কার করেছেন যা r-এর উপর নয় এমন একটি বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া একটি রেখা r-এর অ্যাসিম্পটোটিক সমান্তরাল s দেয়। r-এর উপর A থেকে B-এর উপর একটি লম্ব ড্রপ করুন। B-এর থেকে ভিন্ন r-এর উপর যে কোনও বিন্দু C বেছে নিন। সি-তে একটি লম্ব t থেকে r তুলুন। টি-তে এ থেকে ডি-তে একটি লম্ব ড্রপ করুন। তারপর ডিএ-র দৈর্ঘ্য সিবি-র চেয়ে দীর্ঘ, কিন্তু সিএ-র চেয়ে ছোট। সি-এর চারপাশে একটি বৃত্ত আঁকুন যার ব্যাসার্ধ ডিএ-এর সমান। এটি AB অংশটিকে একটি বিন্দু E-তে ছেদ করবে। তারপর BEC কোণটি BC দৈর্ঘ্যের থেকে স্বাধীন, শুধুমাত্র AB-এর উপর নির্ভর করে; এটি সমান্তরালতার কোণ। AB থেকে BEC কোণে A এর মধ্য দিয়ে s গঠন করুন। এখানে ব্যবহৃত সূত্রগুলির জন্য ডান ত্রিভুজের ত্রিকোণমিতি দেখুন। 1840 সালে নিকোলাই লোবাচেভস্কির জার্মান প্রকাশনা "জিওমেট্রিশ আনটারসুচুঙ্গেন জুর থিওরি ডার প্যারালেলিলিনিয়েন"-এ সমান্তরালতার কোণটি বিকশিত হয়েছিল। 1891 সালে টেক্সাসের অধ্যাপক জি. বি. হ্যালস্টেড একটি অনুবাদ তৈরি করার পর এই প্রকাশনাটি ইংরেজিতে ব্যাপকভাবে পরিচিত হয়ে ওঠে। (সমান্তরাল তত্ত্বের উপর জ্যামিতিক গবেষণা) নিম্নোক্ত অনুচ্ছেদগুলি হাইপারবোলিক জ্যামিতিতে এই মূল ধারণাকে সংজ্ঞায়িত করেঃ সমান্তরাল এইচএ এবং লম্ব এডি-র মধ্যে এইচএডি কোণটিকে সমান্তরাল কোণ (সমান্তরালতার কোণ) বলা হয় যা আমরা এখানে এডি = পি-এর জন্য Π (পি) দ্বারা চিহ্নিত করব। প্রদর্শন হাইপারবোলিক সমতলের পয়েনকারে অর্ধ-সমতল মডেলে (হাইপারবোলিক গতি দেখুন), কেউ ইউক্লিডীয় জ্যামিতির সাথে এ-এর সম্পর্ক স্থাপন করতে পারে। ধরা যাক, (1,0) এবং (0, y) বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া x-অক্ষের ব্যাসযুক্ত অর্ধবৃত্তটি হল Q, যেখানে y> 1। যেহেতু কিউ উৎপত্তিস্থলে কেন্দ্রীভূত একক অর্ধবৃত্তের স্পর্শক, তাই দুটি অর্ধবৃত্ত সমান্তরাল হাইপারবোলিক রেখা উপস্থাপন করে। y-অক্ষ উভয় অর্ধবৃত্ত অতিক্রম করে, একক অর্ধবৃত্তের সাথে একটি সমকোণ এবং Q এর সাথে একটি পরিবর্তনশীল কোণ তৈরি করে। কিউ-এর কেন্দ্রের কোণটি ব্যাসার্ধ দ্বারা (0, ওয়াই) দ্বারা হ্রাস করা হয় কারণ দুটি কোণের দিকগুলি লম্ব, বাম দিক থেকে বাম দিকে এবং ডান দিক থেকে ডান দিকে থাকে। অর্ধবৃত্তাকার Q-এর কেন্দ্র হল (x, 0), x <0, তাই এর ব্যাসার্ধ হল 1 − x। সুতরাং, হাইপারবোলিক জ্যামিতির পয়েনকারে অর্ধ-সমতল মডেলের মেট্রিক {(0, y): y> 0} রশ্মির উপর লগারিদমিক পরিমাপের সাথে দূরত্বকে পরিমাপ করে। ধরা যাক লগ y = a, তাই y = ea যেখানে e হল প্রাকৃতিক লগারিদমের ভিত্তি। তারপর φ এবং a-এর মধ্যে সম্পর্ক ত্রিভুজ {(x, 0), (0,0), (0, y)} থেকে অনুমান করা যেতে পারে, উদাহরণস্বরূপঃ মারভিন জে. গ্রিনবার্গ (1974) ইউক্লিডীয় এবং অ-ইউক্লিডীয় জ্যামিতি, পৃ. 211-3, ডব্লিউ. এইচ। ফ্রিম্যান অ্যান্ড কোম্পানি। রবিন হার্টশোর্ন (1997) কম্প্যানিয়ন টু ইউক্লিড পিপি। 319, 325, আমেরিকান ম্যাথমেটিকাল সোসাইটি,। জেরেমি গ্রে (1989) আইডিয়াজ অফ স্পেসঃ ইউক্লিডীয়, অ-ইউক্লিডীয় এবং আপেক্ষিক, 2য় সংস্করণ, ক্লারেন্ডন প্রেস, অক্সফোর্ড (পৃষ্ঠা 113 থেকে 118 দেখুন)। বেলা কেরেকজার্টো (1966) লেস ফন্ডমেন্টস ডি লা জিওমেট্রি, টোম ডিউক্স, § 97.6 অ্যাঙ্গেল ডি প্যারালেলিসমে ডি লা জিওমেট্রি হাইপারবোলিক, পিপি। 411, 2, অ্যাকাডেমিয়া কিয়াডো, বুদাপেস্ট। হাইপারবোলিক জ্যামিতি ফাংশন এবং ম্যাপিং কোণ