Semisimple Lie algebra
গণিতে, একটি লাই বীজগণিত আধা-সরল হয় যদি এটি সরল লাই বীজগণিতের সরাসরি যোগফল হয়। (একটি সাধারণ লাই বীজগণিত হল একটি অ-আবেলিয়ান লাই বীজগণিত যার কোনও অ-শূন্য সঠিক আদর্শ নেই)। পুরো নিবন্ধ জুড়ে, যদি না অন্যথায় বলা হয়, একটি মিথ্যা বীজগণিত হল একটি সীমাবদ্ধ-মাত্রিক মিথ্যা বীজগণিত যা 0-এর একটি ক্ষেত্রের উপর অবস্থিত। এই ধরনের লাই বীজগণিতে, যদি অ-শূন্য হয়, তবে নিম্নলিখিত শর্তগুলি সমতুল্যঃ অর্ধ-সরল; কিলিং ফর্ম, κ (x, y) = tr (ad (x) ad (y)), অ-অবক্ষয়শীল; কোনও অ-শূন্য আবেলিয়ান আদর্শ নেই; কোনও অ-শূন্য সমাধানযোগ্য আদর্শ নেই; এর র্যাডিকাল (সর্বাধিক সমাধানযোগ্য আদর্শ) শূন্য। তাৎপর্য অর্ধ-সরলীকরণের তাৎপর্য প্রথমত লেভি পচন থেকে আসে, যেখানে বলা হয়েছে যে প্রতিটি সসীম মাত্রিক লাই বীজগণিত হল একটি সমাধানযোগ্য আদর্শ (এর মূলক) এবং একটি অর্ধ-সরল বীজগণিতের অর্ধ-পরোক্ষ গুণফল। বিশেষত, এমন কোনও অ-শূন্য লাই বীজগণিত নেই যা সমাধানযোগ্য এবং আধা-সহজ উভয়ই। অর্ধ-সরল লাই অ্যালজেব্রাগুলির একটি খুব মার্জিত শ্রেণীবিভাগ রয়েছে, যা সমাধানযোগ্য লাই অ্যালজেব্রাগুলির সম্পূর্ণ বিপরীতে। বৈশিষ্ট্য শূন্যের একটি বীজগাণিতিকভাবে বদ্ধ ক্ষেত্রের উপর অর্ধ-সরল লাই অ্যালজেব্রা সম্পূর্ণরূপে তাদের মূল ব্যবস্থা দ্বারা শ্রেণীবদ্ধ করা হয়, যা ডাইঙ্কিন রেখাচিত্র দ্বারা শ্রেণীবদ্ধ করা হয়। অ-বীজগাণিতিকভাবে বদ্ধ ক্ষেত্রগুলির উপর অর্ধ-সরল বীজগণিতগুলি বীজগাণিতিক বন্ধের পরিপ্রেক্ষিতে বোঝা যেতে পারে, যদিও শ্রেণীবিভাগটি কিছুটা বেশি জটিল; বাস্তব অর্ধ-সরল লাই বীজগণিতের ক্ষেত্রে বাস্তব রূপ দেখুন, যা এলি কার্টান দ্বারা শ্রেণীবদ্ধ করা হয়েছিল। উপরন্তু, আধা-সরল লাই অ্যালজেব্রার উপস্থাপনা তত্ত্ব সাধারণ লাই অ্যালজেব্রার তুলনায় অনেক বেশি পরিষ্কার। উদাহরণস্বরূপ, একটি আধা-সরল লাই বীজগণিতে জর্ডান পচন তার উপস্থাপনায় জর্ডান পচনের সাথে মিলে যায়; সাধারণভাবে লাই বীজগণিতর ক্ষেত্রে এটি হয় না। যদি আধা-সহজ হয়, তাহলে। বিশেষত, প্রতিটি রৈখিক আধা-সরল লাই বীজগণিত একটি বিশেষ রৈখিক লাই বীজগণিতের উপ-বীজগণিত। কাঠামোর অধ্যয়ন অর্ধ-সরল লাই অ্যালজেব্রার প্রতিনিধিত্ব তত্ত্বের একটি গুরুত্বপূর্ণ অংশ গঠন করে। ইতিহাস জটিল সংখ্যার উপর আধা-সরল মিথ্যা বীজগণিত প্রথম উইলহেলম কিলিং (1888-90) দ্বারা শ্রেণীবদ্ধ করা হয়েছিল, যদিও তার প্রমাণের কঠোরতার অভাব ছিল। এলি কার্টান (1894) তাঁর পিএইচডি থিসিসে তাঁর প্রমাণ কঠোর করেছিলেন, যিনি আধা-সহজ বাস্তব লাই অ্যালজেব্রাকেও শ্রেণীবদ্ধ করেছিলেন। পরবর্তীকালে এটি পরিমার্জিত করা হয় এবং 1947 সালে তৎকালীন 22 বছর বয়সী ইউজিন ডাইনকিন ডাইনকিন রেখাচিত্র দ্বারা বর্তমান শ্রেণীবিভাগটি প্রদান করেন। কিছু ছোটখাটো পরিবর্তন করা হয়েছে (বিশেষত জে. পি. সেরের দ্বারা), তবে প্রমাণটি তার প্রয়োজনীয়তায় অপরিবর্তিত রয়েছে এবং যে কোনও মানক রেফারেন্সের মধ্যে পাওয়া যেতে পারে, যেমন। মৌলিক বৈশিষ্ট্য অর্ধ-সরল লাই অ্যালজেব্রার প্রতিটি আদর্শ, ভাগফল এবং গুণফল আবার অর্ধ-সহজ। একটি আধা-সরল লাই বীজগণিতের কেন্দ্রটি তুচ্ছ (যেহেতু কেন্দ্রটি একটি আবেলিয়ান আদর্শ)। অন্য কথায়, সংলগ্ন উপস্থাপনাটি ইনজেকটিভ। উপরন্তু, ছবিটি উদ্ভূত বলে প্রমাণিত হয়। সুতরাং, এটি একটি সমরূপতা। (এটি হোয়াইটহেডের লেম্মার একটি বিশেষ ঘটনা।) যেহেতু সংলগ্ন উপস্থাপনাটি ইনজেকটিভ, একটি আধা-সরল লাই বীজগণিত হল সংলগ্ন উপস্থাপনার অধীনে একটি রৈখিক লাই বীজগণিত। এটি কিছু অস্পষ্টতার দিকে নিয়ে যেতে পারে, কারণ প্রতিটি লাই বীজগণিত ইতিমধ্যে অন্য কোনও ভেক্টর স্পেসের (অ্যাডোর উপপাদ্য) সাপেক্ষে রৈখিক, যদিও অগত্যা সংলগ্ন উপস্থাপনার মাধ্যমে নয়। কিন্তু বাস্তবে এই ধরনের অস্পষ্টতা খুব কমই দেখা যায়। যদি একটি অর্ধ-সরল লাই বীজগণিত হয়, তাহলে (কারণ এটি অর্ধ-সরল এবং আবেলিয়ান)। বৈশিষ্ট্য শূন্যের একটি ক্ষেত্র k-এর উপর একটি সসীম-মাত্রিক লাই বীজগণিত আধা-সহজ হয় যদি এবং শুধুমাত্র প্রতিটি ক্ষেত্র সম্প্রসারণের জন্য ভিত্তি সম্প্রসারণ আধা-সহজ হয়। সুতরাং, উদাহরণস্বরূপ, একটি সসীম-মাত্রিক বাস্তব লাই বীজগণিত অর্ধ-সরল হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি এর জটিলতা অর্ধ-সরল হয়। জর্ডান পচন বৈশিষ্ট্য শূন্যের একটি ক্ষেত্রের উপর একটি সসীম-মাত্রিক ভেক্টর স্থানের প্রতিটি এন্ডোমর্ফিজম x-কে অনন্যভাবে একটি অর্ধ-সরল (অর্থাৎ, বীজগাণিতিক বন্ধের উপর তির্যক) এবং নিলপোটেন্ট অংশে বিভক্ত করা যেতে পারে যাতে s এবং n একে অপরের সাথে যাতায়াত করে। উপরন্তু, s এবং n এর প্রত্যেকটি x-এ একটি বহুপদী। এটি x-এর জর্ডান পচন। উপরের বিষয়টি একটি অর্ধ-সরল লাই বীজগণিতের সংলগ্ন উপস্থাপনার ক্ষেত্রে প্রযোজ্য। একটি উপাদান x-কে অর্ধ-সরল (রেসপ) বলা হয়। নিলপোটেন্ট) যদি একটি আধা-সহজ (রেসপ। নিলপোটেন্ট) অপারেটর। যদি, বিমূর্ত জর্ডান পচন বলে যে x কে অনন্যভাবে লেখা যেতে পারেঃ যেখানে আধা-সরল, নিলপোটেন্ট এবং। উপরন্তু, যদি x দিয়ে যাতায়াত করা হয়, তবে এটি উভয়ের সাথেও যাতায়াত করে। যে কোনও প্রতিনিধিত্বের মাধ্যমে বিমূর্ত জর্ডান পচনের কারণগুলি হল প্রতিনিধিত্ব স্থানের এন্ডোমর্ফিজম বীজগণিতে ρ (x)-এর জর্ডান পচন। (এটি ওয়েইলের সম্পূর্ণ হ্রাসযোগ্যতা উপপাদ্যের ফলস্বরূপ প্রমাণিত হয়; সম্পূর্ণ reducibility#Application: জর্ডান পচন সংরক্ষণের উপর ওয়েইলের উপপাদ্য দেখুন।) কাঠামো ধরা যাক একটি (সসীম-মাত্রিক) অর্ধ-সরল লাই বীজগণিত যা একটি বীজগাণিতিকভাবে বন্ধ শূন্য ক্ষেত্রের উপর অবস্থিত। এর কাঠামোটি একটি নির্দিষ্ট বিশিষ্ট উপ-বীজগণিত, একটি কার্টান উপ-বীজগণিতের সংলগ্ন ক্রিয়া দ্বারা বর্ণনা করা যেতে পারে। সংজ্ঞা অনুসারে, কার্টন সাবঅ্যালজেব্রা (যাকে ম্যাক্সিমাল টরাল সাবঅ্যালজেব্রাও বলা হয়) হল একটি ম্যাক্সিমাল সাবঅ্যালজেব্রা যাতে প্রত্যেকটির জন্য তির্যক হয়। দেখা যাচ্ছে, এটি আবেলিয়ান এবং তাই সমস্ত অপারেটর একই সাথে তির্যকযোগ্য। এর প্রতিটি রৈখিক কার্যকারিতার জন্য, ধরা যাক। (লক্ষ্য করুন যে এর সেন্ট্রালাইজার।) তারপর (সবচেয়ে কঠিন জিনিসটি দেখানো হয়। আদর্শ প্রমাণগুলি প্রতিনিধিত্ব তত্ত্বে কিছু তথ্য ব্যবহার করে; উদাহরণস্বরূপ, সেরে এই সত্যটি ব্যবহার করে যে ঋণাত্মক ওজনের একটি আদিম উপাদান সহ একটি-মডিউল অসীম-মাত্রিক, পরস্পরবিরোধী। বিনিময় সম্পর্কের সাথে যাক; অর্থাৎ, এর মানক ভিত্তির সাথে মিলে যায়। রৈখিক কার্যকারিতাগুলিকে আপেক্ষিক মূল বলা হয়। শিকড়ের বিস্তার (যেহেতু, তখন শূন্য অপারেটর; অর্থাৎ, কেন্দ্রে থাকে, যা শূন্য।) উপরন্তু, এর উপস্থাপনা তত্ত্ব থেকে, নিম্নলিখিত প্রতিসাম্য এবং অবিচ্ছেদ্য বৈশিষ্ট্যগুলি অনুমান করা যায়ঃ প্রত্যেকটির জন্য, লক্ষ্য করুন যে (1) এবং (2) নির্দিষ্ট-বিন্দু সেটের বৈশিষ্ট্য রয়েছে, যার অর্থ এটি হাইপারপ্লেনের সাপেক্ষে প্রতিফলন। উপরেরটি তখন বলে যে এটি একটি মূল ব্যবস্থা। এটি একটি মূল ব্যবস্থার সাধারণ তত্ত্ব অনুসরণ করে যার একটি ভিত্তি রয়েছে যে প্রতিটি মূল একই চিহ্নের পূর্ণসংখ্যা সহগের সাথে একটি রৈখিক সংমিশ্রণ; মূলগুলিকে সরল মূল বলা হয়। যাক, ইত্যাদি। তারপর উপাদানগুলি (যাকে চেভালি জেনারেটর বলা হয়) লাই বীজগণিত হিসাবে উৎপন্ন হয়। উপরন্তু, তারা সম্পর্কগুলিকে সন্তুষ্ট করে (যাকে বলা হয় সেরে সম্পর্ক): সঙ্গে,। এর বিপরীতটিও সত্যঃ অর্থাৎ, জেনারেটর দ্বারা উত্পন্ন লাই বীজগণিত এবং উপরের মতো সম্পর্কগুলি একটি (সীমাবদ্ধ-মাত্রিক) আধা-সহজ লাই বীজগণিত যার উপরের মতো মূল স্থান পচন রয়েছে (যদি এটি একটি কার্টান ম্যাট্রিক্স হয়)। এটি সেরের একটি উপপাদ্য। বিশেষত, দুটি আধা-সরল লাই অ্যালজেব্রা সমতুল্য হয় যদি তাদের একই মূল ব্যবস্থা থাকে। একটি মূল ব্যবস্থা এবং সেরের উপপাদ্যের স্বতঃসিদ্ধ প্রকৃতির তাৎপর্য হল যে কেউ সমস্ত সম্ভাব্য মূল ব্যবস্থা গণনা করতে পারে; অতএব, "সমস্ত সম্ভাব্য" অর্ধ-সরল লাই অ্যালজেব্রা (বৈশিষ্ট্য শূন্যের বীজগাণিতিকভাবে বন্ধ ক্ষেত্রের উপর সীমাবদ্ধ-মাত্রিক)। ওয়েইল গ্রুপ হল 'এস' দ্বারা সৃষ্ট রৈখিক রূপান্তরগুলির গ্রুপ। ওয়েল গ্রুপ হল সমস্যার একটি গুরুত্বপূর্ণ প্রতিসাম্য; উদাহরণস্বরূপ, ওয়েল গ্রুপের অধীনে যে কোনও সীমাবদ্ধ-মাত্রিক উপস্থাপনার ওজন অপরিবর্তনীয়। উদাহরণস্বরূপ, এস. এল. এন (সি)-এর জন্য মূল স্থানের পচন এবং তির্যক ম্যাট্রিক্সের কার্টান উপ-বীজগণিত, দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়, যেখানে তির্যকের সাথে তির্যক ম্যাট্রিক্সকে বোঝায়। তারপরে পচনটি দেওয়া হয় যেখানে ভেক্টরের জন্য স্ট্যান্ডার্ড (ম্যাট্রিক্স) ভিত্তিতে, যার অর্থ-তম সারি এবং-তম কলামে ভিত্তি ভেক্টরকে উপস্থাপন করে। এসএল2 (সি)-এর এই পচন একটি সংশ্লিষ্ট মূল ব্যবস্থা রয়েছেঃ উদাহরণস্বরূপ, পচনশীল অবস্থায় এবং সংশ্লিষ্ট মূল ব্যবস্থাটি এসএল3 (সি) হয় এবং সংশ্লিষ্ট মূল ব্যবস্থাটি উদাহরণস্বরূপ দেওয়া হয়। সেমি-সিম্পল লাই অ্যালজেব্রার উদাহরণ, ধ্রুপদী লাই অ্যালজেব্রা, তাদের ডাইঙ্কিন রেখাচিত্র থেকে আসা স্বরলিপি সহ, হ 'লঃ, বিশেষ রৈখিক লাই বীজগণিত। , বিজোড়-মাত্রিক বিশেষ অর্থোগোনাল লাই বীজগণিত। , সিমপ্লেক্টিক লাই বীজগণিত। , জোড়-মাত্রিক বিশেষ অর্থোগোনাল লাই বীজগণিত ()। পরিবারে সীমাবদ্ধতা প্রয়োজন কারণ এটি এক-মাত্রিক এবং বিনিময়যোগ্য এবং তাই আধা-সহজ নয়। এই লাই অ্যালজেব্রাগুলিকে সংখ্যাযুক্ত করা হয় যাতে n হল র্যাঙ্ক। এই অর্ধ-সরল লাই অ্যালজেব্রাগুলির প্রায় সবগুলিই আসলে সহজ এবং ছোট পদমর্যাদার কিছু সংঘর্ষ ব্যতীত এই পরিবারের সদস্যরা প্রায় সকলেই স্বতন্ত্র। উদাহরণস্বরূপ এবং। পাঁচটি ব্যতিক্রম (E6, E7, E8, F4 এবং G2) সহ এই চারটি পরিবার আসলে জটিল সংখ্যার উপর একমাত্র সহজ লাই অ্যালজেব্রা। শ্রেণীবিভাগ 0-এর বৈশিষ্ট্যযুক্ত একটি বীজগাণিতিকভাবে বদ্ধ ক্ষেত্রের উপর প্রতিটি অর্ধ-সরল মিথ্যা বীজগণিত হল সরল মিথ্যা বীজগণিতের (সংজ্ঞা অনুসারে) সরাসরি যোগফল, এবং সসীম-মাত্রিক সরল মিথ্যা বীজগণিত চারটি পরিবারে পড়ে-একটি, একটি, একটি, একটি, একটি, একটি, একটি, একটি, একটি, একটি, একটি, একটি, একটি, একটি, একটি, একটি, একটি, একটি, একটি, একটি, একটি, একটি, একটি, একটি, একটি, একটি, একটি, একটি, একটি, একটি, একটি, একটি, একটি, একটি, একটি, একটি, একটি, একটি, একটি, একটি, একটি, একটি, একটি, একটি, একটি, একটি, একটি, একটি, একটি, একটি, একটি, একটি, একটি, একটি। সরল লাই বীজগণিতগুলি সংযুক্ত ডাইঙ্কিন রেখাচিত্র দ্বারা শ্রেণীবদ্ধ করা হয়, যা ডানদিকে দেখানো হয়েছে, যেখানে অর্ধ-সরল লাই বীজগণিতগুলি অপরিহার্যভাবে সংযুক্ত ডাইঙ্কিন রেখাচিত্রের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ নয়, যেখানে চিত্রটির প্রতিটি উপাদান অর্ধ-সরল লাই বীজগণিতের সরল লাই বীজগণিতে পচনের একটি যোগফলের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ। একটি কার্টান উপ-বীজগণিত (নীচে দেখুন) এবং লাই বীজগণিতে এর সংলগ্ন ক্রিয়া বিবেচনা করে শ্রেণীবিভাগটি এগিয়ে যায়। ক্রিয়ার মূল ব্যবস্থাটি তখন উভয়ই মূল লাই বীজগণিত নির্ধারণ করে এবং অবশ্যই একটি খুব সীমাবদ্ধ রূপ থাকতে হবে, যা ডাইনকিন রেখাচিত্র দ্বারা শ্রেণীবদ্ধ করা যেতে পারে। আরও বিশদ বিবরণের জন্য কার্টান সাবঅ্যালজেব্রা এবং রুট সিস্টেমগুলি বর্ণনা করার জন্য নীচের বিভাগটি দেখুন। শ্রেণিবিন্যাসকে ব্যাপকভাবে গণিতের সবচেয়ে মার্জিত ফলাফলগুলির মধ্যে একটি হিসাবে বিবেচনা করা হয়-স্বতঃসিদ্ধগুলির একটি সংক্ষিপ্ত তালিকা, তুলনামূলকভাবে সংক্ষিপ্ত প্রমাণের মাধ্যমে, বিস্ময়কর কাঠামোর সাথে একটি সম্পূর্ণ কিন্তু অ-তুচ্ছ শ্রেণিবিন্যাস। এটিকে সীমাবদ্ধ সহজ গোষ্ঠীগুলির শ্রেণিবিন্যাসের সাথে তুলনা করা উচিত, যা উল্লেখযোগ্যভাবে আরও জটিল। চারটি পরিবারের গণনা অপ্রয়োজনীয় এবং শুধুমাত্র সাধারণ বীজগণিত নিয়ে গঠিত যদি অ্যান, বি. এন, সি. এন এবং ডি. এন-এর জন্য হয়। যদি একটি সংখ্যা কম হতে শুরু করে, তবে গণনা অপ্রয়োজনীয়, এবং সাধারণ লাই অ্যালজেব্রাগুলির মধ্যে ব্যতিক্রমী আইসোমরফিজম রয়েছে, যা ডাইঙ্কিন চিত্রের আইসোমরফিজমগুলিতে প্রতিফলিত হয়; এন নীচেও প্রসারিত করা যেতে পারে, তবে E6 এর নীচে অন্যান্য অ-ব্যতিক্রমী অ্যালজেব্রাগুলির সমতুল্য। একটি অ-বীজগাণিতিকভাবে বদ্ধ ক্ষেত্রের উপর, শ্রেণীবিভাগটি আরও জটিল-একটি বীজগাণিতিক বন্ধের উপর সাধারণ লাই বীজগণিতকে শ্রেণীবদ্ধ করে, তারপর এগুলির প্রত্যেকটির জন্য, একটি মূল ক্ষেত্রের উপর সাধারণ লাই বীজগণিতকে শ্রেণীবদ্ধ করে যার এই রূপটি (বন্ধের উপর) রয়েছে। উদাহরণস্বরূপ, সহজ বাস্তব লাই অ্যালজেব্রাগুলিকে শ্রেণীবদ্ধ করার জন্য, একটি প্রদত্ত জটিলতার সাথে বাস্তব লাই অ্যালজেব্রাগুলিকে শ্রেণীবদ্ধ করা হয়, যা জটিল লাই বীজগণিতের বাস্তব রূপ হিসাবে পরিচিত; এটি স্যাটেক রেখাচিত্র দ্বারা করা যেতে পারে, যা অতিরিক্ত তথ্য ("সজ্জা") সহ ডাইঙ্কিন রেখাচিত্র। অর্ধ-সরল লাই বীজগণিতের উপস্থাপনা তত্ত্ব ধরা যাক একটি (সসীম-মাত্রিক) অর্ধ-সরল লাই বীজগণিত বৈশিষ্ট্য শূন্যের বীজগাণিতিকভাবে বন্ধ ক্ষেত্রের উপর। তারপর, #Structure-এর মতো, রুট সিস্টেম কোথায়। সরল মূলগুলি বেছে নিন; এর একটি মূলকে তখন ধনাত্মক বলা হয় এবং এটি দ্বারা চিহ্নিত করা হয় যদি এটি অ-ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা সহগের সাথে সরল মূলগুলির একটি রৈখিক সংমিশ্রণ হয়। ধরা যাক, যা বোরেল উপ-বীজগণিতের একটি সর্বাধিক সমাধানযোগ্য উপ-বীজগণিত। ধরা যাক V একটি (সম্ভবত-অসীম-মাত্রিক) সহজ-মডিউল। যদি V একটি-ওজন ভেক্টর গ্রহণ করে, তবে এটি স্কেলিং পর্যন্ত অনন্য এবং এটিকে V এর সর্বোচ্চ ওজন ভেক্টর বলা হয়। এটি একটি-ওজন ভেক্টর এবং-ওজন, একটি রৈখিক কার্যকরী, কে V এর সর্বোচ্চ ওজন বলা হয়। মৌলিক কিন্তু অ-তুচ্ছ তথ্যগুলি হল (1) প্রতিটি রৈখিক কার্যকরী, একটি সহজ-মডিউল রয়েছে যার সর্বোচ্চ ওজন রয়েছে এবং (2) একই সর্বোচ্চ ওজনের দুটি সহজ মডিউল সমতুল্য। সংক্ষেপে, বোরেল-ওজনের ভেক্টর গ্রহণকারী সরল-মডিউলগুলির সমতুল্য শ্রেণীর সেট এবং সেটের মধ্যে একটি বাইজেকশন বিদ্যমান। প্রয়োগের ক্ষেত্রে, একজন প্রায়শই একটি সসীম-মাত্রিক সরল-মডিউল (একটি সসীম-মাত্রিক অপরিবর্তনীয় উপস্থাপনা)-এ আগ্রহী। এটি বিশেষত সেই ক্ষেত্রে হয় যখন একটি লাই গ্রুপের লাই বীজগণিত (বা এই ধরনের জটিলকরণ) হয়, যেহেতু, লাই চিঠিপত্রের মাধ্যমে, একটি লাই বীজগণিত উপস্থাপনাকে একটি লাই গ্রুপের উপস্থাপনার সাথে একীভূত করা যেতে পারে যখন বাধাগুলি অতিক্রম করা হয়। পরবর্তী মানদণ্ডটি তখন এই চাহিদাকে সম্বোধন করেঃ ধনাত্মক ওয়েইল চেম্বার দ্বারা, আমরা উত্তল শঙ্কু বোঝাই যেখানে এটি একটি অনন্য ভেক্টর। মানদণ্ডটি তখন পড়েঃ যদি এবং শুধুমাত্র যদি, প্রতিটি ধনাত্মক মূলের জন্য, (1) একটি পূর্ণসংখ্যা এবং (2) এর মধ্যে থাকে। উপরের সমতুল্য শর্ত পূরণকারী একটি রৈখিক ক্রিয়াকে প্রভাবশালী অবিচ্ছেদ্য ওজন বলা হয়। সুতরাং, সংক্ষেপে, প্রভাবশালী অবিচ্ছেদ্য ওজন এবং সসীম-মাত্রিক সরল-মডিউলগুলির সমতুল্য শ্রেণীর মধ্যে একটি দ্বিবিভাজন বিদ্যমান, যার ফলাফল সর্বোচ্চ ওজনের উপপাদ্য হিসাবে পরিচিত। একটি সসীম-মাত্রিক সহজ মডিউলের চরিত্র পালাক্রমে ওয়েইল অক্ষর সূত্র দ্বারা গণনা করা হয়। ওয়েইলের কারণে উপপাদ্যটি বলে যে, বৈশিষ্ট্য শূন্যের একটি ক্ষেত্রের উপর, একটি অর্ধ-সরল লাই বীজগণিতের প্রতিটি সসীম-মাত্রিক মডিউল সম্পূর্ণরূপে হ্রাসযোগ্য; অর্থাৎ, এটি সহজ-মডিউলগুলির একটি সরাসরি যোগফল। অতএব, উপরের ফলাফলগুলি তখন একটি অর্ধ-সরল লাই বীজগণিতের সীমাবদ্ধ-মাত্রিক উপস্থাপনার ক্ষেত্রে প্রযোজ্য। বাস্তব আধা-সরল মিথ্যা বীজগণিত এমন একটি ক্ষেত্রের উপর অর্ধ-সরল মিথ্যা বীজগণিতের জন্য যার বৈশিষ্ট্য শূন্য কিন্তু বীজগাণিতিকভাবে বন্ধ নয়, বৈশিষ্ট্য শূন্যের বীজগাণিতিকভাবে বন্ধ ক্ষেত্রের জন্য এর মতো কোনও সাধারণ কাঠামো তত্ত্ব নেই। কিন্তু বাস্তব সংখ্যার ক্ষেত্রে, এখনও কাঠামোর ফলাফল রয়েছে। ধরা যাক একটি সসীম-মাত্রিক বাস্তব অর্ধ-সরল লাই বীজগণিত এবং এর জটিলতা (যা আবার অর্ধ-সরল)। বাস্তব লাই বীজগণিতকে এর বাস্তব রূপ বলা হয়। একটি বাস্তব রূপকে কম্প্যাক্ট ফর্ম বলা হয় যদি তার উপর কিলিং ফর্মটি ঋণাত্মক-নির্দিষ্ট হয়; এটি অবশ্যই একটি কম্প্যাক্ট লাই গ্রুপের লাই বীজগণিত (তাই, নাম)। কম্প্যাক্ট কেস ধরুন এটি একটি কম্প্যাক্ট ফর্ম এবং একটি ম্যাক্সিমাল আবেলিয়ান সাবস্পেস। কেউ দেখাতে পারে (উদাহরণস্বরূপ, একটি কম্প্যাক্ট লাই গ্রুপের লাই বীজগণিত) যা তির্যক-হার্মিটিয়ান ম্যাট্রিক্স নিয়ে গঠিত, কাল্পনিক আইগেনভ্যালু সহ তির্যক। অতএব, এটি একটি কার্টান উপ-বীজগণিত এবং এর ফলে মূল স্থানের পচন ঘটে (সিএফ। #Structure) যেখানে প্রতিটি বাস্তব-মূল্যবান; এইভাবে, বাস্তব ভেক্টর স্পেসে একটি বাস্তব-রৈখিক কার্যকরী দিয়ে চিহ্নিত করা যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, সমস্ত তির্যক ম্যাট্রিক্সের সাবস্পেস নেওয়া যাক। নোট করুন। জন্য দ্বারা প্রদত্ত রৈখিক কার্যকরী হতে দিন। তারপর প্রত্যেকটির জন্য, সেই ম্যাট্রিক্সটি কোথায় যেখানে-তম স্থানে 1 এবং অন্য কোথাও শূন্য রয়েছে। সুতরাং, প্রতিটি মূল ফর্মের এবং মূল স্থানের পচন ম্যাট্রিক্সের পচনঃ নন-কম্প্যাক্ট কেস ধরুন এটি অগত্যা একটি কম্প্যাক্ট ফর্ম নয় (অর্থাৎ, কিলিং ফর্মের স্বাক্ষর সমস্ত নেতিবাচক নয়)। মনে করুন, উপরন্তু, এটির একটি কার্টান ইনভলুশন রয়েছে এবং এর আইগেনস্পেস পচন হতে দিন, যেখানে যথাক্রমে 1 এবং-1 এর জন্য আইগেনস্পেস রয়েছে। উদাহরণস্বরূপ, যদি এবং নেতিবাচক ট্রান্সপোজ, তাহলে। ধরা যাক একটি ম্যাক্সিমাল আবেলিয়ান সাবস্পেস। এখন, প্রতিসম ম্যাট্রিক্স নিয়ে গঠিত (একটি উপযুক্ত অভ্যন্তরীণ পণ্যের সাপেক্ষে) এবং এইভাবে অপারেটরগুলি বাস্তব আইগেনভ্যালু সহ একই সাথে তির্যকযোগ্য। বীজগাণিতিকভাবে বদ্ধ ভিত্তি ক্ষেত্রের জন্য যুক্তিগুলি পুনরাবৃত্তি করে, কেউ পচন অর্জন করে (যাকে সীমাবদ্ধ মূল স্থান পচন বলা হয়): যেখানে উপাদানগুলিকে সীমাবদ্ধ মূল বলা হয়, যে কোনও রৈখিক কার্যকারিতার জন্য; বিশেষ করে,। অধিকন্তু, এটি একটি মূল ব্যবস্থা কিন্তু অগত্যা হ্রাসকৃত নয় (অর্থাৎ, এটি উভয় মূলের ক্ষেত্রেই ঘটতে পারে)। এসএল (এন, সি) এর ক্ষেত্রে, যদি, তাহলে এর তির্যক উপ-বীজগণিত হিসাবে নেওয়া যেতে পারে, যা তির্যক ম্যাট্রিক্স নিয়ে গঠিত যার তির্যক এন্ট্রিগুলির যোগফল শূন্য। যেহেতু এর মাত্রা রয়েছে, তাই আমরা দেখতে পাই যে এর র্যাঙ্ক রয়েছে। এই ক্ষেত্রে মূল ভেক্টরগুলিকে ম্যাট্রিক্স হিসাবে নেওয়া যেতে পারে, যেখানে স্পটে 1 এবং অন্য কোথাও শূন্য সহ ম্যাট্রিক্স। যদি তির্যক এন্ট্রি সহ একটি তির্যক ম্যাট্রিক্স হয়, তাহলে আমাদের আছে। সুতরাং, মূলগুলি দ্বারা প্রদত্ত রৈখিক কার্যকরী। এর দ্বৈতের সাথে চিহ্নিত করার পরে, শিকড়গুলি শূন্যের সমষ্টি-টুপলগুলির স্থানে ভেক্টর হয়ে ওঠে। এটি প্রচলিত লেবেলিং-এ পরিচিত মূল ব্যবস্থা। মূলের সাথে যুক্ত প্রতিফলনটি এবং তির্যক এন্ট্রিগুলিকে স্থানান্তরিত করে কাজ করে। ওয়েল গ্রুপটি তখন উপাদানগুলির উপর কেবল ক্রমবর্ধমান গ্রুপ, যা ম্যাট্রিক্সের তির্যক এন্ট্রিগুলিকে ক্রমবর্ধমান করে কাজ করে। সাধারণীকরণ সেমি-সিম্পল লাই অ্যালজেব্রা নির্দিষ্ট কিছু সাধারণীকরণ স্বীকার করে। প্রথমত, অর্ধ-সরল লাই অ্যালজেব্রার জন্য সত্য এমন অনেক বিবৃতি সাধারণত রিডাক্টিভ লাই অ্যালজেব্রার জন্য সত্য। সংক্ষেপে, একটি হ্রাসকারী লাই বীজগণিত হল এমন একটি বীজ যার সংলগ্ন উপস্থাপনা সম্পূর্ণরূপে হ্রাসযোগ্য, অন্যদিকে সংক্ষিপ্তভাবে, একটি হ্রাসকারী লাই বীজগণিত হল একটি অর্ধ-সরল লাই বীজগণিত এবং একটি আবেলিয়ান লাই বীজগণিতের সরাসরি যোগফল; উদাহরণস্বরূপ, এটি অর্ধ-সহজ এবং হ্রাসকারী। অর্ধ-সরল লাই অ্যালজেব্রার অনেক বৈশিষ্ট্য শুধুমাত্র হ্রাসযোগ্যতার উপর নির্ভর করে। জটিল সেমিসিম্পল/রিডাক্টিভ লাই অ্যালজেব্রার অনেক বৈশিষ্ট্য শুধুমাত্র বীজগাণিতিকভাবে বদ্ধ ক্ষেত্রের উপর সেমিসিম্পল/রিডাক্টিভ লাই অ্যালজেব্রার ক্ষেত্রেই সত্য নয়, বরং আরও সাধারণভাবে অন্যান্য ক্ষেত্রের উপর বিভক্ত সেমিসিম্পল/রিডাক্টিভ লাই অ্যালজেব্রার ক্ষেত্রেও সত্যঃ বীজগাণিতিকভাবে বন্ধ ক্ষেত্রের উপর সেমিসিম্পল/রিডাক্টিভ লাই অ্যালজেব্রাগুলি সর্বদা বিভক্ত হয়, তবে অন্যান্য ক্ষেত্রের ক্ষেত্রে এটি সর্বদা সত্য নয়। স্প্লিট লাই অ্যালজেব্রাগুলির মূলত বীজগাণিতিকভাবে বদ্ধ ক্ষেত্রগুলিতে অর্ধ-সরল লাই অ্যালজেব্রাগুলির মতো একই উপস্থাপনা তত্ত্ব রয়েছে, উদাহরণস্বরূপ, বিভাজনকারী কার্টান সাবঅ্যালজেব্রা বীজগাণিতিকভাবে বন্ধ ক্ষেত্রগুলিতে কার্টান সাবঅ্যালজেব্রার মতো একই ভূমিকা পালন করে। উদাহরণস্বরূপ, এই পদ্ধতিটি অনুসরণ করা হয়, যা বিভক্ত আধা-সরল/হ্রাসকারী লাই অ্যালজেব্রার উপস্থাপনাগুলিকে শ্রেণীবদ্ধ করে। একটি সংযুক্ত লাই গ্রুপকে অর্ধ-সরল বলা হয় যদি এর লাই বীজগণিত একটি অর্ধ-সরল লাই বীজগণিত হয়, অর্থাৎ। সরল লাই অ্যালজেব্রার একটি সরাসরি যোগফল। এটিকে রিডাক্টিভ বলা হয় যদি এর লাই বীজগণিত সহজ এবং তুচ্ছ (এক-মাত্রিক) লাই অ্যালজেব্রার সরাসরি যোগফল হয়। হ্রাসকারী গোষ্ঠীগুলি বীজগণিত, জ্যামিতি এবং পদার্থবিজ্ঞানে বেশ কয়েকটি গাণিতিক বস্তুর প্রতিসাম্য হিসাবে স্বাভাবিকভাবেই ঘটে। উদাহরণস্বরূপ, একটি এন-মাত্রিক বাস্তব ভেক্টর স্থানের প্রতিসাম্যের গোষ্ঠী (সমতুল্যভাবে, বিপরীতমুখী ম্যাট্রিক্সের গোষ্ঠী) হ্রাসকারী। আরও দেখুন লাই বীজগণিত মূল পদ্ধতি লাই বীজগণিত উপস্থাপনা কম্প্যাক্ট গ্রুপ সিম্পল লাই গ্রুপ বোরেল সাবঅ্যালজেব্রা জ্যাকবসন-মরোজভ উপপাদ্য রেফারেন্স। । । । লাই অ্যালজেব্রার বৈশিষ্ট্য