Nonlinear Schrödinger equation
তাত্ত্বিক পদার্থবিজ্ঞানে, (এক-মাত্রিক) অরৈখিক শ্রোডিঙ্গার সমীকরণ (এন. এল. এস. ই) হল শ্রোডিঙ্গার সমীকরণের একটি অরৈখিক প্রকরণ। এটি একটি ধ্রুপদী ক্ষেত্র সমীকরণ যার প্রধান প্রয়োগগুলি হল অরৈখিক অপটিক্যাল ফাইবার এবং প্ল্যানার ওয়েভগাইডগুলিতে আলোর প্রসারণ এবং বোস-আইনস্টাইন ঘনীভূতকরণগুলি গড়-ক্ষেত্র ব্যবস্থায় অত্যন্ত অ্যানিসোট্রপিক, সিগার-আকৃতির ফাঁদে সীমাবদ্ধ। উপরন্তু, সমীকরণটি গভীর অদৃশ্য (শূন্য-সান্দ্রতা) জলের পৃষ্ঠে ছোট-প্রশস্ততার মাধ্যাকর্ষণ তরঙ্গের গবেষণায় দেখা যায়; গরম প্লাজমাতে ল্যাংমুয়ার তরঙ্গ; আয়নোস্ফিয়ারের ফোকাসিং অঞ্চলে সমতল-বিচ্ছিন্ন তরঙ্গ রশ্মির বিস্তার; ডেভিডভের আলফা-হেলিক্স সলিটনগুলির বিস্তার, যা আণবিক শৃঙ্খল বরাবর শক্তি পরিবহনের জন্য দায়ী; এবং আরও অনেক কিছু। আরও সাধারণভাবে, এন. এল. এস. ই সর্বজনীন সমীকরণগুলির মধ্যে একটি হিসাবে উপস্থিত হয় যা দুর্বল অরৈখিক মাধ্যমগুলিতে ছড়িয়ে থাকা অর্ধ-একবর্ণ তরঙ্গের ধীরে ধীরে পরিবর্তিত প্যাকেটগুলির বিবর্তন বর্ণনা করে। রৈখিক শ্রোডিঙ্গার সমীকরণের বিপরীতে, এন. এল. এস. ই কখনই কোয়ান্টাম অবস্থার সময় বিবর্তন বর্ণনা করে না। 1ডি এন. এল. এস. ই একটি সমন্বিত মডেলের একটি উদাহরণ। কোয়ান্টাম বলবিজ্ঞানে, 1ডি এন. এল. এস. ই হল ধ্রুপদী অরৈখিক শ্রোডিঙ্গার ক্ষেত্রের একটি বিশেষ ক্ষেত্র, যা একটি কোয়ান্টাম শ্রোডিঙ্গার ক্ষেত্রের একটি ধ্রুপদী সীমা। বিপরীতভাবে, যখন ধ্রুপদী শ্রোডিঙ্গার ক্ষেত্রটি প্রামাণিকভাবে পরিমাপ করা হয়, তখন এটি একটি কোয়ান্টাম ক্ষেত্র তত্ত্ব হয়ে ওঠে (যা রৈখিক, যদিও এটিকে 'কোয়ান্টাম অরৈখিক শ্রোডিঙ্গার সমীকরণ' বলা হয়) যা ডেল্টা-ফাংশন মিথস্ক্রিয়া সহ বোসনিক বিন্দু কণাগুলিকে বর্ণনা করে-কণাগুলি একই বিন্দুতে থাকলে হয় প্রতিহত করে বা আকর্ষণ করে। প্রকৃতপক্ষে, যখন কণাগুলির সংখ্যা সীমাবদ্ধ হয়, তখন এই কোয়ান্টাম ক্ষেত্র তত্ত্বটি লিব-লিনিগার মডেলের সমতুল্য। কোয়ান্টাম এবং ধ্রুপদী 1ডি অরৈখিক শ্রোডিঙ্গার সমীকরণ উভয়ই অবিচ্ছেদ্য। বিশেষ আগ্রহের বিষয় হল অসীম শক্তি বিকর্ষণের সীমা, এই ক্ষেত্রে লিব-লিনিগার মডেলটি টঙ্কস-গিরার্দো গ্যাস (হার্ড-কোর বোস গ্যাস বা অভেদ্য বোস গ্যাস নামেও পরিচিত) হয়ে ওঠে। এই সীমার মধ্যে, জর্ডান-উইগনার রূপান্তরের একটি ধারাবাহিক সাধারণীকরণ চলকগুলির পরিবর্তনের মাধ্যমে বোসনগুলি এক-মাত্রিক অ-মিথস্ক্রিয়াশীল স্পিনহীন ফার্মিয়নে রূপান্তরিত হতে পারে। অরৈখিক শ্রোডিঙ্গার সমীকরণটি গিঞ্জবার্গ-ল্যান্ডাউ সমীকরণের একটি সরলীকৃত 1 + 1-মাত্রিক রূপ যা 1950 সালে অতিপরিবাহীতার উপর তাদের কাজে প্রবর্তিত হয়েছিল এবং তাদের আলোকীয় রশ্মি অধ্যয়নে স্পষ্টভাবে লেখা হয়েছিল। বহু-মাত্রিক সংস্করণ ল্যাপলেসিয়ান দ্বারা দ্বিতীয় স্থানিক অন্তরজকে প্রতিস্থাপন করে। একাধিক মাত্রায়, সমীকরণটি অবিচ্ছেদ্য নয়, এটি একটি পতন এবং তরঙ্গ অশান্তির অনুমতি দেয়। সমীকরণ অরৈখিক শ্রোডিঙ্গার সমীকরণ একটি অরৈখিক আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ, যা ধ্রুপদী এবং কোয়ান্টাম বলবিজ্ঞানের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য। ধ্রুপদী সমীকরণ ধ্রুপদী ক্ষেত্র সমীকরণ (মাত্রাবিহীন আকারে) হলঃ জটিল ক্ষেত্রের জন্য ± (x, t)। এই সমীকরণটি পয়সন বন্ধনী সহ হ্যামিল্টোনিয়ান থেকে উদ্ভূত হয় তার রৈখিক প্রতিরূপের বিপরীতে, এটি কখনই কোয়ান্টাম অবস্থার সময় বিবর্তন বর্ণনা করে না। নেতিবাচক κ-এর ক্ষেত্রে ফোকাসিং বলা হয় এবং উজ্জ্বল সলিটনের সমাধান (স্থানের মধ্যে স্থানীয়করণ, এবং অনন্তের দিকে স্থানিক ক্ষয় হওয়া) পাশাপাশি শ্বাস-প্রশ্বাসের সমাধানের অনুমতি দেয়। বিপরীত বিচ্ছুরণ রূপান্তর ব্যবহার করে এটি ঠিক সমাধান করা যেতে পারে, যেমনটি দেখানো হয়েছে (নীচে দেখুন)। অন্য ক্ষেত্রে, κ পজিটিভের সাথে, ডিফোকাসিং এনএলএস যার গাঢ় সলিটন সমাধান রয়েছে (অনন্ততায় ধ্রুবক প্রশস্ততা এবং প্রশস্ততায় একটি স্থানীয় স্থানিক ডিপ রয়েছে)। কোয়ান্টাম মেকানিক্স কোয়ান্টাইজড সংস্করণ পেতে, কেবল পয়সন বন্ধনীগুলিকে কমিউটেটর এবং সাধারণ ক্রম হ্যামিল্টনিয়ান দ্বারা প্রতিস্থাপন করুন কোয়ান্টাম সংস্করণটি লিব এবং লিনিগার দ্বারা বেথ আনস্যাটজ দ্বারা সমাধান করা হয়েছিল। চেন-নিং ইয়াং তাপগতিবিদ্যার বর্ণনা দিয়েছেন। 1993 সালে কোরেপিন দ্বারা কোয়ান্টাম পারস্পরিক সম্পর্ক ফাংশনগুলিও মূল্যায়ন করা হয়েছিল। মডেলটিতে উচ্চতর সংরক্ষণ আইন রয়েছে-1989 সালে ডেভিস এবং কোরেপিন স্থানীয় ক্ষেত্রের পরিপ্রেক্ষিতে এগুলি প্রকাশ করেছিলেন। সমীকরণটি সমাধান করা অরৈখিক শ্রোডিঙ্গার সমীকরণটি 1d তে ইন্টিগ্রেবলঃ বিপরীত বিচ্ছুরণ রূপান্তরের মাধ্যমে এটি সমাধান করা হয়েছে। সমীকরণগুলির সংশ্লিষ্ট রৈখিক ব্যবস্থা জাখারভ-শাবাত পদ্ধতি নামে পরিচিতঃ যেখানে জাখারভ-শাবাত পদ্ধতির সামঞ্জস্যতা শর্ত হিসাবে অরৈখিক শ্রোডিঙ্গার সমীকরণটি উদ্ভূত হয়ঃ q = r * বা q = − r * নির্ধারণ করে আকর্ষণীয় বা বিকর্ষণমূলক মিথস্ক্রিয়া সহ অরৈখিক শ্রোডিঙ্গার সমীকরণ প্রাপ্ত হয়। একটি বিকল্প পদ্ধতি সরাসরি জাখারভ-শাবাত ব্যবস্থা ব্যবহার করে এবং নিম্নলিখিত ডারবাক্স রূপান্তরকে কাজে লাগায়ঃ যা ব্যবস্থাটিকে অপরিবর্তনীয় করে তোলে। এখানে, φ হল জাখারভ-শাবাত পদ্ধতির আরেকটি বিপরীতমুখী ম্যাট্রিক্স সমাধান (φ থেকে ভিন্ন) যার বর্ণালী পরামিতি ω: U = 0 থেকে শুরু করে এবং পুনরাবৃত্তি করে, n সলিটন দিয়ে সমাধান পাওয়া যায়। এন. এল. এস সমীকরণ হল গ্রস-পিটায়েভস্কি সমীকরণের মতো একটি আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ। সাধারণত এর বিশ্লেষণাত্মক সমাধান থাকে না এবং গ্রস-পিটায়েভস্কি সমীকরণ সমাধানের জন্য ব্যবহৃত একই সংখ্যাসূচক পদ্ধতি, যেমন স্প্লিট-স্টেপ ক্র্যাঙ্ক-নিকোলসন এবং ফুরিয়ার বর্ণালী পদ্ধতি, এর সমাধানের জন্য ব্যবহার করা হয়। এর সমাধানের জন্য বিভিন্ন ফোরট্রান এবং সি প্রোগ্রাম রয়েছে। গ্যালিলিয়ান ইনভারিয়েন্স নন-লিনিয়ার শ্রোডিঞ্জার সমীকরণটি নিম্নলিখিত অর্থে গ্যালিলিয়ান ইনভারিয়েন্টঃ একটি সমাধান দেওয়া হলে x কে x + vt দিয়ে প্রতিস্থাপিত করে এবং একটি ফেজ ফ্যাক্টর সংযুক্ত করে একটি নতুন সমাধান পাওয়া যেতে পারেঃ ফাইবার অপটিক্সে নন-লিনিয়ার শ্রোডিঞ্জার সমীকরণ আলোকবিজ্ঞানে, নন-লিনিয়ার শ্রোডিঞ্জার সমীকরণটি ফাইবার অপটিক্সে তরঙ্গ প্রসারণের একটি মডেল মানাকভ সিস্টেমে ঘটে। ± ফাংশনটি একটি তরঙ্গকে উপস্থাপন করে এবং অরৈখিক শ্রোডিঞ্জার সমীকরণটি একটি অরৈখিক মাধ্যমের মাধ্যমে তরঙ্গের বিস্তারকে বর্ণনা করে। দ্বিতীয়-ক্রমের অন্তরজ বিচ্ছুরণকে উপস্থাপন করে, যেখানে κ শব্দটি অরৈখিকতা উপস্থাপন করে। সমীকরণটি একটি ফাইবারে অনেক অরৈখিক প্রভাবের মডেল তৈরি করে, যার মধ্যে রয়েছে স্ব-পর্যায় মড্যুলেশন, চার-তরঙ্গ মিশ্রণ, দ্বিতীয়-হারমোনিক প্রজন্ম, উদ্দীপিত রমন বিচ্ছুরণ, অপটিক্যাল সলিটন, আল্ট্রাশোর্ট পালস ইত্যাদি। জল তরঙ্গের অ-রৈখিক শ্রোডিঙ্গার সমীকরণ জল তরঙ্গের জন্য, অ-রৈখিক শ্রোডিঙ্গার সমীকরণ মড্যুলেটেড তরঙ্গ গোষ্ঠীর খামের বিবর্তন বর্ণনা করে। 1968 সালের একটি গবেষণাপত্রে, ভ্লাদিমির ই জাখারভ জল তরঙ্গের হ্যামিল্টনিয়ান কাঠামো বর্ণনা করেছেন। একই গবেষণাপত্রে জাখারভ দেখান যে, ধীরে ধীরে নিয়ন্ত্রিত তরঙ্গ গোষ্ঠীর জন্য, তরঙ্গের প্রশস্ততা প্রায় অরৈখিক শ্রোডিঙ্গার সমীকরণকে সন্তুষ্ট করে। অরৈখিকতা পরামিতি k-এর মান আপেক্ষিক জলের গভীরতার উপর নির্ভর করে। গভীর জলের ক্ষেত্রে, জলের তরঙ্গের তরঙ্গ দৈর্ঘ্যের তুলনায় জলের গভীরতা বেশি হলে, κ ঋণাত্মক হয় এবং খামের সলিটন ঘটতে পারে। উপরন্তু, বাহ্যিক সময়-নির্ভর জল প্রবাহ দ্বারা প্ররোচিত ত্বরণ দ্বারা এই খাম সলিটনগুলির গ্রুপ বেগ বাড়ানো যেতে পারে। অগভীর জলের জন্য, তরঙ্গদৈর্ঘ্য জলের গভীরতার 4.6 গুণের বেশি হলে, অরৈখিকতা পরামিতি k ধনাত্মক হয় এবং খাম সলিটন সহ তরঙ্গ গোষ্ঠীর অস্তিত্ব থাকে না। অগভীর জলের পৃষ্ঠ-উচ্চতায় সোলিটন বা অনুবাদের তরঙ্গ বিদ্যমান, তবে সেগুলি অরৈখিক শ্রোডিঙ্গার সমীকরণ দ্বারা পরিচালিত হয় না। অ-রৈখিক শ্রোডিঙ্গার সমীকরণটি দুষ্ট তরঙ্গ গঠনের ব্যাখ্যা দেওয়ার জন্য গুরুত্বপূর্ণ বলে মনে করা হয়। অ-রৈখিক শ্রোডিঞ্জার সমীকরণে প্রদর্শিত জটিল ক্ষেত্রটি জল তরঙ্গের প্রশস্ততা এবং পর্যায়ের সাথে সম্পর্কিত। জলের পৃষ্ঠের উচ্চতা η সহ একটি ধীরে ধীরে নিয়ন্ত্রিত বাহক তরঙ্গ বিবেচনা করুনঃ যেখানে a (x0, t0) এবং θ (x0, t0) হল ধীরে ধীরে নিয়ন্ত্রিত প্রশস্ততা এবং পর্যায়। উপরন্তু ω0 এবং k0 হল বাহক তরঙ্গগুলির (ধ্রুবক) কৌণিক কম্পাঙ্ক এবং তরঙ্গ সংখ্যা, যা ω0 = ω (k0) বিচ্ছুরণ সম্পর্ককে সন্তুষ্ট করতে হবে। তারপর এর মডুলাস |ψ। হল তরঙ্গের প্রশস্ততা a, এবং এর আর্গুমেন্ট আর্গ (si) হল ফেজ θ। উপরে প্রদত্ত অরৈখিক শ্রোডিঞ্জার সমীকরণে ব্যবহৃত ভৌত স্থানাঙ্ক (x0, t0) এবং (x, t) স্থানাঙ্কের মধ্যে সম্পর্কটি নিম্নরূপঃ সুতরাং (x, t) একটি রূপান্তরিত স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা যা বাহক তরঙ্গের গ্রুপ বেগ ω '(k0) এর সাথে চলমান, বিচ্ছুরণ-বক্রতা ω' (k0)-যা গ্রুপ বেগ বিচ্ছুরণের প্রতিনিধিত্ব করে-সর্বদা মাধ্যাকর্ষণ ক্রিয়ার অধীনে জল তরঙ্গের জন্য, যে কোনও জলের গভীরতার জন্য ঋণাত্মক হয়। গভীর জলের জলপৃষ্ঠের তরঙ্গগুলির জন্য, অরৈখিক শ্রোডিঞ্জার সমীকরণের জন্য গুরুত্বপূর্ণ সহগগুলি হলঃ সুতরাং যেখানে g হল পৃথিবীর পৃষ্ঠে মাধ্যাকর্ষণের কারণে ত্বরণ। মূল (x0, t0) সমীকরণে জল তরঙ্গের জন্য অরৈখিক শ্রোডিঙ্গার সমীকরণটি পড়েঃ (অর্থাৎ। এর জটিল সংমিশ্রণ) এবং তাই গভীর জলের তরঙ্গের জন্য। গেজ সমতুল্য প্রতিরূপ এন. এল. এস. ই (1) হল নিম্নলিখিত আইসোট্রপিক ল্যান্ডাউ-লিফশিৎজ সমীকরণ (এল. এল. ই) বা হাইজেনবার্গ ফেরোম্যাগনেট সমীকরণের সমতুল্য। শূন্য-বক্রতা গঠন এন. এল. এস. ই একটি নির্দিষ্ট-সংযোগের শূন্যের সমান হওয়ার বক্রতার সমতুল্য। স্পষ্টতই, স্থানাঙ্কের সাথে, সংযোগের উপাদানগুলি পাউলি ম্যাট্রিক্সের দ্বারা দেওয়া হয়। তারপর শূন্য-বক্রতা সমীকরণটি এন. এল. এস. ই-এর সমতুল্য। শূন্য-বক্রতা সমীকরণটি এমনভাবে নামকরণ করা হয়েছে কারণ এটি সংজ্ঞায়িত করা হলে শূন্যের সমান বক্রতার সাথে মিলে যায়। ম্যাট্রিক্সের জোড়া এবং এন. এল. এস. ই-এর জন্য একটি লাক্স জোড়া হিসাবেও পরিচিত, এই অর্থে যে শূন্য-বক্রতা সমীকরণটি লাক্সের সমীকরণকে সন্তুষ্ট করার পরিবর্তে পি. ডি. ই পুনরুদ্ধার করে। ভোর্টিসের সাথে সম্পর্ক দেখায় যে অন ভোর্টেক্স ফিলামেন্টের কাজ অরৈখিক শ্রোডিঙ্গার সমীকরণের সাথে ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত। পরবর্তীকালে, এই চিঠিপত্রটি ব্যবহার করে দেখান যে একটি ভোর্টেক্স ফিলামেন্টের জন্য শ্বাস-প্রশ্বাসের সমাধানও দেখা দিতে পারে। কোয়ান্টাম ক্ষেত্র তত্ত্বের একটি সম্পর্কিত মডেলের জন্য একেএনএস সিস্টেম একহাউস সমীকরণ কোয়ার্টিক মিথস্ক্রিয়া দেখুন সোলিটন (আলোকবিজ্ঞান) লগারিদমিক শ্রোডিঙ্গার সমীকরণ নোটস রেফারেন্স নোটস অন্যান্য বাহ্যিক লিঙ্ক ননলাইনিয়ার শ্রোডিঙ্গার সমীকরণের উপর টিউটোরিয়াল বক্তৃতা (ভিডিও)। ইক্যুওয়ার্ল্ডঃ দ্য ওয়ার্ল্ড অফ ম্যাথমেটিকাল ইকুয়েশনস-এ একটি কিউবিক ননলাইনিয়ারিটির সাথে ননলাইনিয়ার শ্রোডিঙ্গার সমীকরণ। ইক্যুওয়ার্ল্ডঃ দ্য ওয়ার্ল্ড অফ ম্যাথমেটিকাল ইকুয়েশনে একটি পাওয়ার-ল ননলাইনিয়ারিটির সাথে ননলাইনিয়ার শ্রোডিঙ্গার সমীকরণ। ইক্যুওয়ার্ল্ডঃ দ্য ওয়ার্ল্ড অফ ম্যাথমেটিকাল ইকুয়েশন-এ নন-লিনিয়ার শ্রোডিঙ্গার ইকুয়েশন অফ জেনারেল ফর্ম। ডিসপারসিভ উইকিতে অরৈখিক শ্রোডিঙ্গার সমীকরণের গাণিতিক দিক আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ ঠিক সমাধানযোগ্য মডেল শ্রোডিঙ্গার সমীকরণ ইন্টিগ্রেবল সিস্টেম