Mohr's circle
মোহরের বৃত্তটি কচি স্ট্রেস টেনসরের রূপান্তর আইনের একটি দ্বিমাত্রিক গ্রাফিকাল উপস্থাপনা। মোহরের বৃত্ত প্রায়শই যান্ত্রিক প্রকৌশল সম্পর্কিত গণনায় উপকরণের শক্তির জন্য, মাটির শক্তির জন্য ভূ-প্রযুক্তিগত প্রকৌশল এবং নির্মিত কাঠামোর শক্তির জন্য কাঠামোগত প্রকৌশল সম্পর্কিত গণনায় ব্যবহৃত হয়। এটি অনেক সমতলে চাপকে উল্লম্ব এবং অনুভূমিক উপাদানগুলিতে হ্রাস করে গণনা করার জন্যও ব্যবহৃত হয়। এগুলিকে প্রধান সমতল বলা হয় যেখানে প্রধান চাপগুলি গণনা করা হয়; মোহরের বৃত্তটি গ্রাফিকাল উপস্থাপনায় প্রধান সমতল এবং প্রধান চাপগুলি খুঁজে বের করতেও ব্যবহার করা যেতে পারে এবং এটি করার অন্যতম সহজ উপায়। একটি ধারাবাহিকতা হিসাবে ধরে নেওয়া একটি উপাদান বস্তুর উপর চাপ বিশ্লেষণ করার পরে, একটি নির্দিষ্ট উপাদান বিন্দুতে কচি চাপ টেনসরের উপাদানগুলি একটি স্থানাঙ্ক ব্যবস্থার সাপেক্ষে জানা যায়। মোহর বৃত্তটি তখন একটি ঘূর্ণিত স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় কাজ করা চাপ উপাদানগুলি গ্রাফিকভাবে নির্ধারণ করতে ব্যবহৃত হয়, অর্থাৎ, সেই বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া একটি ভিন্ন অভিমুখী সমতলে কাজ করে। বৃত্তের প্রতিটি বিন্দুর অ্যাবসিসা এবং অর্ডিনেট (,) হল ঘূর্ণিত স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় কাজ করে যথাক্রমে স্বাভাবিক চাপ এবং শিয়ার চাপ উপাদানগুলির মাত্রা। অন্য কথায়, বৃত্তটি হল বিন্দুগুলির অবস্থান যা পৃথক সমতলে তাদের সমস্ত দিকে চাপের অবস্থাকে উপস্থাপন করে, যেখানে অক্ষগুলি চাপ উপাদানটির প্রধান অক্ষগুলিকে উপস্থাপন করে। ঊনবিংশ শতাব্দীর জার্মান প্রকৌশলী কার্ল কুলম্যানই প্রথম বাঁকানোর সময় অনুভূমিক রশ্মির অনুদৈর্ঘ্য এবং উল্লম্ব চাপ বিবেচনা করার সময় চাপের জন্য একটি গ্রাফিকাল উপস্থাপনা কল্পনা করেছিলেন। তাঁর কাজ সহকর্মী জার্মান প্রকৌশলী ক্রিশ্চিয়ান অটো মোহরকে (বৃত্তের নাম) অনুপ্রাণিত করেছিল, যিনি এটিকে দ্বি-এবং ত্রিমাত্রিক উভয় চাপের মধ্যে প্রসারিত করেছিলেন এবং চাপ বৃত্তের উপর ভিত্তি করে একটি ব্যর্থতার মানদণ্ড তৈরি করেছিলেন। একটি বিন্দুতে চাপের অবস্থার প্রতিনিধিত্বের জন্য বিকল্প গ্রাফিকাল পদ্ধতির মধ্যে রয়েছে ল্যামের চাপ উপবৃত্তাকার এবং কাউচির চাপ চতুর্ভুজ। মোহর বৃত্তটি যে কোনও প্রতিসম 2x2 টেনসর ম্যাট্রিক্সে প্রয়োগ করা যেতে পারে, যার মধ্যে জড়তা টেনসরের স্ট্রেন এবং মুহূর্ত রয়েছে। অনুপ্রেরণা একটি বিকৃত বস্তুর কণাগুলির মধ্যে অভ্যন্তরীণ শক্তি তৈরি হয়, যা একটি ধারাবাহিকতা হিসাবে ধরে নেওয়া হয়, প্রয়োগকৃত বাহ্যিক শক্তির প্রতিক্রিয়া হিসাবে, অর্থাৎ, পৃষ্ঠ বল বা দেহ বল। এই প্রতিক্রিয়াটি একটি ধারাবাহিকতার জন্য অয়লারের গতির নিয়মগুলি অনুসরণ করে, যা একটি কণার জন্য নিউটনের গতির নিয়মের সমতুল্য। এই অভ্যন্তরীণ শক্তির তীব্রতার পরিমাপকে চাপ বলা হয়। যেহেতু বস্তুটিকে একটি ধারাবাহিকতা হিসাবে ধরে নেওয়া হয়, তাই এই অভ্যন্তরীণ শক্তিগুলি বস্তুর আয়তনের মধ্যে অবিচ্ছিন্নভাবে বিতরণ করা হয়। ইঞ্জিনিয়ারিং-এ, উদাহরণস্বরূপ, কাঠামোগত, যান্ত্রিক বা ভূ-প্রযুক্তিগত, কোনও বস্তুর মধ্যে চাপ বিতরণ, উদাহরণস্বরূপ একটি সুড়ঙ্গ, বিমানের ডানা বা বিল্ডিং কলামের চারপাশে একটি শিলা ভরের উপর চাপ, একটি চাপ বিশ্লেষণের মাধ্যমে নির্ধারিত হয়। চাপ বণ্টন গণনা করা বোঝায় বস্তুর প্রতিটি বিন্দুতে (বস্তুগত কণা) চাপ নির্ধারণ করা। কাউচির মতে, কোনও বস্তুর যে কোনও বিন্দুতে চাপ (চিত্র 2), যা একটি ধারাবাহিকতা হিসাবে ধরে নেওয়া হয়, সম্পূর্ণরূপে কাউচি স্ট্রেস টেনসর নামে পরিচিত দ্বিতীয় ক্রমের টেনসরের (2,0) নয়টি স্ট্রেস উপাদান দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়ঃ একটি স্থানাঙ্ক ব্যবস্থার সাপেক্ষে বস্তুর মধ্যে স্ট্রেস বিতরণ নির্ধারণ করার পরে, একটি ঘূর্ণিত স্থানাঙ্ক ব্যবস্থার সাপেক্ষে একটি নির্দিষ্ট উপাদান বিন্দুতে স্ট্রেস টেনসরের উপাদানগুলি গণনা করা প্রয়োজন হতে পারে, অর্থাৎ, একটি সমতলে ভিন্ন অভিযোজন সহ কাজ করা স্ট্রেসগুলি সেই আগ্রহের বিন্দুর মধ্য দিয়ে যায়-স্থানাঙ্ক ব্যবস্থার সাথে একটি কোণ গঠন করে (চিত্র 3)। উদাহরণস্বরূপ, সর্বাধিক স্বাভাবিক চাপ এবং সর্বাধিক শিয়ার স্ট্রেসের পাশাপাশি তারা যে সমতলে কাজ করে তার অভিযোজন খুঁজে বের করা আগ্রহের বিষয়। এটি অর্জনের জন্য, স্থানাঙ্ক ব্যবস্থার আবর্তনের অধীনে একটি টেনসর রূপান্তর সম্পাদন করা প্রয়োজন। টেনসরের সংজ্ঞা থেকে, কচি স্ট্রেস টেনসর টেনসর রূপান্তর আইন মেনে চলে। কচি স্ট্রেস টেনসরের জন্য এই রূপান্তর আইনের একটি গ্রাফিকাল উপস্থাপনা হল স্ট্রেসের জন্য মোহর বৃত্ত। দ্বিমাত্রিক চাপের অবস্থার জন্য মোহরের বৃত্ত দুটি মাত্রায়, যে কোনও দুটি লম্ব দিকের সাপেক্ষে একটি প্রদত্ত উপাদান বিন্দুতে স্ট্রেস টেনসর সম্পূর্ণরূপে শুধুমাত্র তিনটি চাপ উপাদান দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়। নির্দিষ্ট স্থানাঙ্ক ব্যবস্থার জন্য এই চাপ উপাদানগুলি হলঃ স্বাভাবিক চাপ এবং, এবং শিয়ার চাপ। কৌণিক ভরবেগের ভারসাম্য থেকে, কচি স্ট্রেস টেনসরের প্রতিসাম্য প্রদর্শন করা যেতে পারে। এই প্রতিসাম্য তা বোঝায়। সুতরাং, কাউচি স্ট্রেস টেনসরকে এইভাবে লেখা যেতে পারেঃ উদ্দেশ্য হল চাপের উপাদানগুলি খুঁজে বের করার জন্য মোহর বৃত্তটি ব্যবহার করা এবং একটি ঘূর্ণিত স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায়, অর্থাৎ-সমতলের মধ্য দিয়ে এবং লম্বভাবে যাওয়া একটি ভিন্ন অভিমুখী সমতলে (চিত্র 4)। ঘূর্ণিত স্থানাঙ্ক ব্যবস্থাটি মূল স্থানাঙ্ক ব্যবস্থার সাথে একটি কোণ তৈরি করে। মোহর বৃত্তের সমীকরণ সমতল চাপ এবং সমতল স্ট্রেনের দ্বিমাত্রিক ক্ষেত্রে মোহর বৃত্তের সমীকরণ বের করার জন্য, প্রথমে একটি বস্তু বিন্দুর চারপাশে একটি দ্বিমাত্রিক অসীম উপাদান উপাদান বিবেচনা করুন (চিত্র 4), যার দিকের একটি একক এলাকা-সমতলের সমান্তরাল, অর্থাৎ পৃষ্ঠা বা পর্দার লম্ব। অসীম মৌলের উপর বলের ভারসাম্য থেকে, স্বাভাবিক চাপ এবং শিয়ার স্ট্রেসের মাত্রা দেওয়া হয়ঃ {। শ্রেণী = "টকলার সংকুচিত" প্রস্থ = "60 শতাংশ" শৈলী = "পাঠ্য-সারিবদ্ধঃ বাম"! মোহরের বৃত্ত প্যারামেট্রিক সমীকরণের উৎপত্তি-বলের ভারসাম্য।-|From (-অক্ষ) (চিত্র 4) এর দিকে বলের ভারসাম্য, এবং সমতলের ক্ষেত্রফল যেখানে কাজ করে তা জেনে আমাদের আছেঃ তবে, আমরা জানি যে আমরা এখন (-অক্ষ) (চিত্র 4) এর দিকে বলের ভারসাম্য থেকে পাই, এবং জানি যে {। শ্রেণী = "টকলার সংকুচিত সংকুচিত" প্রস্থ = "60 শতাংশ" শৈলী = "টেক্সট-অ্যালাইনঃ বাম"! মোহরের বৃত্তের প্যারামেট্রিক সমীকরণের উৎপত্তি-টেনসর রূপান্তর।-|The স্ট্রেস টেনসর রূপান্তর আইনকে ডান দিকের সম্প্রসারণ হিসাবে বলা যেতে পারে, এবং এটি জেনে এবং আমাদের আছেঃ তবে, আমরা এটি অর্জন করি তা জেনেও, আমরা এটি অর্জন করি তা জেনেও এই মুহুর্তে ক্রিয়ার সমতলের লম্ব সমতলে কাজ করা স্ট্রেস উপাদান গণনা করার প্রয়োজন নেই কারণ মোহর বৃত্তের সমীকরণটি বের করার জন্য এটির প্রয়োজন নেই। ।} এই দুটি সমীকরণ মোহর বৃত্তের প্যারামেট্রিক সমীকরণ। এই সমীকরণগুলিতে, প্যারামিটার হল এবং এবং স্থানাঙ্ক। এর মানে হল যে অ্যাবসিসা এবং অর্ডিনেট সহ একটি স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা বেছে নেওয়ার মাধ্যমে, প্যারামিটারকে মান দেওয়া একটি বৃত্তের উপর প্রাপ্ত পয়েন্টগুলিকে স্থাপন করবে। এই প্যারামেট্রিক সমীকরণগুলি থেকে প্যারামিটারটি বাদ দিলে মোহর বৃত্তের অ-প্যারামেট্রিক সমীকরণ পাওয়া যাবে। এর জন্য সমীকরণগুলি পুনর্বিন্যাস করে এবং প্রথম সমীকরণে প্রথম পদটি স্থানান্তরিত করে এবং প্রতিটি সমীকরণের উভয় দিককে বর্গ করে তারপর যোগ করে এটি অর্জন করা যেতে পারে। এইভাবে আমাদের কোথায় আছে এটি স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় স্থানাঙ্ক সহ একটি বিন্দুতে কেন্দ্রিক ব্যাসার্ধ সহ একটি বৃত্তের (মোহর বৃত্ত) সমীকরণ। মোহর সার্কেল ব্যবহার করার সময় দুটি পৃথক সাইন কনভেনশন রয়েছে যা বিবেচনা করা দরকারঃ "ভৌত স্থান"-এ স্ট্রেস উপাদানগুলির জন্য একটি সাইন কনভেনশন এবং "মোহর-সার্কেল-স্পেস"-এ স্ট্রেস উপাদানগুলির জন্য অন্যটি। উপরন্তু, সাইন কনভেনশনের দুটি সেটের প্রত্যেকটির মধ্যে, ইঞ্জিনিয়ারিং মেকানিক্স (স্ট্রাকচারাল ইঞ্জিনিয়ারিং এবং মেকানিক্যাল ইঞ্জিনিয়ারিং) সাহিত্য ভূ-যান্ত্রিক সাহিত্য থেকে একটি ভিন্ন সাইন কনভেনশন অনুসরণ করে। কোনও স্ট্যান্ডার্ড সাইন কনভেনশন নেই এবং একটি নির্দিষ্ট সাইন কনভেনশনের পছন্দ হাতে থাকা নির্দিষ্ট সমস্যার জন্য গণনা এবং ব্যাখ্যার সুবিধার দ্বারা প্রভাবিত হয়। এই সাইন কনভেনশনগুলির আরও বিস্তারিত ব্যাখ্যা নীচে উপস্থাপন করা হয়েছে। চিত্র 4 ব্যবহার করে মোহর বৃত্তের সমীকরণের পূর্ববর্তী ব্যুৎপত্তি ইঞ্জিনিয়ারিং মেকানিক্স সাইন কনভেনশন অনুসরণ করে। এই নিবন্ধের জন্য ইঞ্জিনিয়ারিং মেকানিক্স সাইন কনভেনশন ব্যবহার করা হবে। ফিজিক্যাল-স্পেস সাইন কনভেনশন কচি স্ট্রেস টেনসরের কনভেনশন থেকে (চিত্র 3 এবং চিত্র 4), স্ট্রেস উপাদানগুলির প্রথম সাবস্ক্রিপ্টটি সেই মুখকে নির্দেশ করে যার উপর স্ট্রেস উপাদানটি কাজ করে এবং দ্বিতীয় সাবস্ক্রিপ্টটি স্ট্রেস উপাদানটির দিক নির্দেশ করে। এইভাবে-অক্ষের ধনাত্মক দিকে এবং-অক্ষের ধনাত্মক দিকে স্বাভাবিক ভেক্টর সহ মুখের উপর শিয়ার স্ট্রেস কাজ করে। ভৌত-স্থান চিহ্ন নিয়মে, ধনাত্মক স্বাভাবিক চাপগুলি ক্রিয়ার সমতলে (টান) বাইরের দিকে থাকে এবং ঋণাত্মক স্বাভাবিক চাপগুলি ক্রিয়ার সমতলে (সংকোচন) ভিতরের দিকে থাকে (চিত্র 5)। ভৌত-স্থান চিহ্ন নিয়মে, ধনাত্মক শিয়ার চাপ একটি অক্ষের ধনাত্মক দিকে বস্তুগত উপাদানের ধনাত্মক মুখের উপর কাজ করে। এছাড়াও, ধনাত্মক শিয়ার চাপ একটি অক্ষের ঋণাত্মক দিকে বস্তুগত উপাদানের ঋণাত্মক মুখের উপর কাজ করে। একটি ধনাত্মক মুখের একটি অক্ষের ধনাত্মক দিকে তার স্বাভাবিক ভেক্টর থাকে এবং একটি ঋণাত্মক মুখের একটি অক্ষের ঋণাত্মক দিকে তার স্বাভাবিক ভেক্টর থাকে। উদাহরণস্বরূপ, শিয়ার চাপ দেয় এবং ধনাত্মক হয় কারণ তারা ধনাত্মক মুখগুলিতে কাজ করে এবং তারা যথাক্রমে-অক্ষ এবং-অক্ষের ধনাত্মক দিকেও কাজ করে (চিত্র 3)। একইভাবে, সংশ্লিষ্ট বিপরীত শিয়ার স্ট্রেস এবং নেতিবাচক মুখে কাজ করার একটি নেতিবাচক চিহ্ন রয়েছে কারণ তারা যথাক্রমে-অক্ষ এবং-অক্ষের নেতিবাচক দিকে কাজ করে। মোহর-সার্কেল-স্পেস সাইন কনভেনশন মোহর-সার্কেল-স্পেস সাইন কনভেনশনে, স্বাভাবিক চাপের শারীরিক-স্থান সাইন কনভেনশনে স্বাভাবিক চাপের মতো একই চিহ্ন থাকেঃ ইতিবাচক স্বাভাবিক চাপগুলি কর্মের সমতলে বাহ্যিকভাবে কাজ করে এবং নেতিবাচক স্বাভাবিক চাপগুলি কর্মের সমতলে অভ্যন্তরীণভাবে কাজ করে। শিয়ার স্ট্রেসের অবশ্য ভৌতিক স্থানের প্রচলিত ধারার তুলনায় মোহর-সার্কেল স্পেসে একটি ভিন্ন রীতিনীতি রয়েছে। মোহর-সার্কেল-স্পেস সাইন কনভেনশনে, পজিটিভ শিয়ার স্ট্রেস উপাদানটিকে ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে ঘোরায় এবং নেগেটিভ শিয়ার স্ট্রেস উপাদানটিকে ঘড়ির কাঁটার দিকে ঘোরায়। এইভাবে, মোহর-বৃত্তের স্থানে শিয়ার স্ট্রেস উপাদানটি ধনাত্মক হয় এবং মোহর-বৃত্তের স্থানে শিয়ার স্ট্রেস উপাদানটি ঋণাত্মক হয়। মোহর-বৃত্তের স্থান আঁকার জন্য দুটি বিকল্প রয়েছে, যা একটি গাণিতিকভাবে সঠিক মোহর বৃত্ত তৈরি করেঃ পজিটিভ শিয়ার স্ট্রেসগুলি উপরের দিকে প্লট করা হয় (চিত্র 5, সাইন কনভেনশন #1) পজিটিভ শিয়ার স্ট্রেসগুলি নীচের দিকে প্লট করা হয়, অর্থাৎ-অক্ষটি উল্টানো হয় (চিত্র 5, সাইন কনভেনশন #2)। ইতিবাচক শিয়ার স্ট্রেসগুলি উপরের দিকে প্লট করার ফলে মোহর বৃত্তের কোণটি ঘড়ির কাঁটার দিকে একটি ইতিবাচক ঘূর্ণন করে, যা ভৌত স্থান সম্মেলনের বিপরীত। এই কারণেই কিছু লেখক ধনাত্মক শিয়ার স্ট্রেসগুলি নীচের দিকে প্লট করতে পছন্দ করেন, যার ফলে মোহর বৃত্তের কোণটি ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে ধনাত্মক ঘূর্ণন করে, শিয়ার স্ট্রেসগুলির জন্য ভৌত স্থান সম্মেলনের মতো। মোহর-সার্কেল স্পেসে শিয়ার স্ট্রেস অক্ষটি নীচের দিকে থাকার "সমস্যা" কাটিয়ে উঠতে, একটি বিকল্প সাইন কনভেনশন রয়েছে যেখানে ধনাত্মক শিয়ার স্ট্রেসগুলি বস্তুগত উপাদানটিকে ঘড়ির কাঁটার দিকে ঘোরায় বলে ধরে নেওয়া হয় এবং ঋণাত্মক শিয়ার স্ট্রেসগুলি বস্তুগত উপাদানটিকে ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে ঘোরায় বলে ধরে নেওয়া হয় (চিত্র 5, বিকল্প 3)। এইভাবে, ধনাত্মক শিয়ার স্ট্রেসগুলি মোহর-বৃত্তের স্থানে উপরের দিকে অঙ্কিত হয় এবং মোহর-বৃত্তের স্থানে কোণটির ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে ধনাত্মক ঘূর্ণন হয়। এই বিকল্প সাইন কনভেনশন একটি বৃত্ত তৈরি করে যা চিত্র 5-এ সাইন কনভেনশন #2-এর অনুরূপ কারণ একটি ইতিবাচক শিয়ার স্ট্রেসও একটি ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে শিয়ার স্ট্রেস, এবং উভয়ই নীচের দিকে প্লট করা হয়। এছাড়াও, একটি নেতিবাচক শিয়ার স্ট্রেস হল একটি ঘড়ির কাঁটার দিকে শিয়ার স্ট্রেস, এবং উভয়ই উপরের দিকে প্লট করা হয়। এই নিবন্ধটি ভৌত স্থানের জন্য ইঞ্জিনিয়ারিং মেকানিক্স সাইন কনভেনশন এবং মোহর-বৃত্ত স্থানের জন্য বিকল্প সাইন কনভেনশন অনুসরণ করে (চিত্র 5-এ সাইন কনভেনশন #3) মোহরের বৃত্ত অঙ্কন ধরে নেওয়া যাক আমরা চাপের উপাদানগুলি জানি, এবং অধ্যয়নরত বস্তুর একটি বিন্দুতে, যেমন চিত্র 4-এ দেখানো হয়েছে, চাপের অবস্থার জন্য মোহর বৃত্ত নির্মাণের জন্য নিম্নলিখিত পদক্ষেপগুলি রয়েছেঃ অনুভূমিক-অক্ষ এবং উল্লম্ব-অক্ষ সহ কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা আঁকুন। নির্বাচিত সাইন কনভেনশন অনুসরণ করে দুটি বিন্দু এবং উভয় লম্ব সমতলে এবং যথাক্রমে (চিত্র 4 এবং 6) পরিচিত চাপ উপাদানগুলির সাথে সম্পর্কিত স্থানটি প্লট করুন। বিন্দুগুলিকে যুক্ত করে এবং একটি সরলরেখা দিয়ে বৃত্তের ব্যাস আঁকুন। মোহর বৃত্তটি আঁকুন। বৃত্তের কেন্দ্র হল ব্যাস রেখার মধ্যবিন্দু, যা অক্ষের সাথে এই রেখার ছেদনের সাথে মিলে যায়। প্রধান স্বাভাবিক চাপগুলি খুঁজে বের করা প্রধান চাপগুলির মাত্রা হল বিন্দুগুলির অ্যাবসিসাস এবং (চিত্র 6) যেখানে বৃত্তটি-অক্ষকে ছেদ করে। প্রধান প্রধান চাপের মাত্রা সর্বদা এই দুটি বিন্দুর যে কোনও একটির অ্যাবসিসার সর্বাধিক পরম মান। একইভাবে, ক্ষুদ্র প্রধান চাপের মাত্রা সর্বদা এই দুটি বিন্দুর অ্যাবসিসার সর্বনিম্ন পরম মান। যেমনটি আশা করা হয়েছিল, এই দুটি বিন্দুর অর্ডিনেটগুলি শূন্য, যা প্রধান সমতলে শিয়ার স্ট্রেস উপাদানগুলির মাত্রার সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ। বিকল্পভাবে, প্রধান চাপের মানগুলি পাওয়া যেতে পারে যেখানে গড় স্বাভাবিক চাপের মাত্রা কেন্দ্রের অ্যাবসিসা, দ্বারা প্রদত্ত এবং বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য (দুটি বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া একটি বৃত্তের সমীকরণের উপর ভিত্তি করে), সর্বাধিক এবং ন্যূনতম শিয়ার স্ট্রেস খুঁজে বের করে দেওয়া হয়। এই বিন্দুগুলি বৃত্তের ছেদস্থলে অবস্থিত এবং উল্লম্ব রেখাটি বৃত্তের কেন্দ্রের মধ্য দিয়ে যায়। সুতরাং, সর্বাধিক এবং ন্যূনতম শিয়ার স্ট্রেসের মাত্রা বৃত্তের ব্যাসার্ধের মানের সমান একটি নির্বিচারে সমতলে স্ট্রেস উপাদানগুলি খুঁজে পাওয়া যেমন আগে উল্লেখ করা হয়েছে, দ্বি-মাত্রিক স্ট্রেস বিশ্লেষণ করার পরে আমরা স্ট্রেস উপাদানগুলি জানি, এবং একটি উপাদান বিন্দুতে। এই চাপের উপাদানগুলি দুটি লম্ব সমতলে কাজ করে এবং চিত্র 5 এবং 6-এ দেখানো হয়েছে। মোহর বৃত্তটি চাপের উপাদানগুলি খুঁজে বের করতে ব্যবহৃত হয় এবং, অর্থাৎ, বৃত্তের যে কোনও বিন্দুর স্থানাঙ্ক, সমতলের সাথে একটি কোণ তৈরি করে অন্য যে কোনও সমতলে কাজ করে। এর জন্য, দুটি পদ্ধতি ব্যবহার করা যেতে পারেঃ দ্বৈত কোণ, এবং মেরু বা সমতলের উৎপত্তি। চিত্র 6-এ যেমন দেখানো হয়েছে, সমতলে ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে একটি কোণে কাজ করা চাপের উপাদানগুলি নির্ধারণ করার জন্য, আমরা পরিচিত চাপ বিন্দু থেকে বিন্দু পর্যন্ত বৃত্তের চারপাশে একই ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে একটি কোণ ভ্রমণ করি, অর্থাৎ, রেখা এবং মোহর বৃত্তের মধ্যে একটি কোণ। দ্বি-কোণ পদ্ধতিটি এই সত্যের উপর নির্ভর করে যে, যে কোনও দুটি ভৌত তলের মধ্য দিয়ে যাওয়া স্বাভাবিক ভেক্টরগুলির মধ্যে কোণটি (চিত্র 4) মোহর বৃত্ত এবং বৃত্তের কেন্দ্রে তাদের সংশ্লিষ্ট চাপ বিন্দুতে যোগদানকারী দুটি রেখার মধ্যে কোণের অর্ধেক। এই দ্বিমুখী সম্পর্কটি এই সত্য থেকে আসে যে মোহর বৃত্তের প্যারামেট্রিক সমীকরণগুলি এর একটি ফাংশন। এটিও দেখা যায় যে সমতলগুলি এবং চিত্র 5-এর চারপাশের উপাদান উপাদানগুলি একটি কোণ দ্বারা পৃথক করা হয়েছে, যা মোহর বৃত্তে একটি কোণ (কোণের দ্বিগুণ) দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয়। মেরু বা সমতলের উৎপত্তি দ্বিতীয় পদ্ধতিতে মোহর বৃত্তের একটি বিন্দু নির্ধারণ করা হয় যাকে মেরু বা সমতলের উৎপত্তি বলা হয়। মেরু থেকে টানা যে কোনও সরলরেখা মোহর বৃত্তকে এমন একটি বিন্দুতে ছেদ করবে যা সেই রেখার মতো স্থানের একই দিকে (সমান্তরাল) ঝুঁকে থাকা সমতলে চাপের অবস্থাকে উপস্থাপন করে। অতএব, চাপের উপাদানগুলি এবং যে কোনও নির্দিষ্ট সমতলে জেনে, নির্দিষ্ট স্থানাঙ্ক এবং মোহর বৃত্তের মধ্য দিয়ে সেই সমতলের সমান্তরাল একটি রেখা আঁকতে পারেন এবং মোহর বৃত্তের সাথে এই ধরনের রেখার ছেদ হিসাবে মেরুটিকে খুঁজে পেতে পারেন। উদাহরণস্বরূপ, ধরা যাক আমাদের চাপের উপাদানগুলির সাথে চাপের অবস্থা রয়েছে, এবং, যেমন চিত্র 7-এ দেখানো হয়েছে। প্রথমত, আমরা ক্রিয়ার সমতলের সমান্তরাল বিন্দু থেকে একটি রেখা আঁকতে পারি, অথবা, যদি আমরা অন্যথায় বেছে নিই, ক্রিয়ার সমতলের সমান্তরাল বিন্দু থেকে একটি রেখা আঁকতে পারি। মোহর বৃত্তের সাথে এই দুটি রেখার যে কোনও একটি ছেদ হল মেরু। একবার মেরুটি নির্ধারণ করা হয়ে গেলে, উল্লম্বের সাথে একটি কোণ তৈরি করা সমতলে চাপের অবস্থা খুঁজে বের করার জন্য, অথবা অন্য কথায় একটি সমতল যার স্বাভাবিক ভেক্টর অনুভূমিক সমতলের সাথে একটি কোণ তৈরি করে, তখন আমরা সেই সমতলের সমান্তরাল মেরু থেকে একটি রেখা আঁকতে পারি (চিত্র 7 দেখুন)। সেই সমতলে স্বাভাবিক এবং শিয়ার চাপগুলি তখন রেখা এবং মোহর বৃত্তের মধ্যে ছেদ বিন্দুর স্থানাঙ্ক। প্রধান সমতলগুলির অভিযোজন খুঁজে বের করা সর্বাধিক এবং ন্যূনতম প্রধান চাপগুলি যেখানে কাজ করে, সেই সমতলগুলির অভিযোজন, যা প্রধান সমতল হিসাবেও পরিচিত, মোহর বৃত্তে যথাক্রমে  anth boc এবং  anth BOE কোণগুলি পরিমাপ করে এবং সেই প্রতিটি কোণের অর্ধেক নিয়ে নির্ধারণ করা যেতে পারে। সুতরাং, এবং এর মধ্যবর্তী কোণটি প্রধান প্রধান সমতল সমতল দিয়ে যে কোণ তৈরি করে তার দ্বিগুণ। কোণ এবং নিম্নলিখিত সমীকরণ থেকেও পাওয়া যায় এই সমীকরণটি দুটি মানকে সংজ্ঞায়িত করে যার জন্য পৃথক (চিত্র)। এই সমীকরণটি সরাসরি বৃত্তের জ্যামিতি থেকে প্রাপ্ত করা যেতে পারে, অথবা শূন্যের সমান বৃত্তের প্যারামেট্রিক সমীকরণ তৈরি করে (প্রধান সমতলে শিয়ার স্ট্রেস সর্বদা শূন্য হয়)। উদাহরণস্বরূপ, চিত্র 8 এবং চিত্র 9-এ দেখানো চাপের অবস্থার অধীনে একটি বস্তুগত উপাদান ধরে নিন, যার একটি দিকের সমতল অনুভূমিক সমতলের সাপেক্ষে 10° অভিমুখী। মোহর বৃত্ত ব্যবহার করে, খুঁজে বের করুনঃ তাদের কর্মক্ষেত্রের অভিযোজন। সর্বাধিক শিয়ার তাদের কর্মক্ষেত্রের উপর জোর দেয় এবং অভিযোজন করে। একটি অনুভূমিক সমতলে চাপের উপাদান। স্ট্রেস ট্রান্সফর্মেশন সূত্র বা স্ট্রেস ট্রান্সফর্মেশন আইন ব্যবহার করে উত্তরগুলি পরীক্ষা করুন। সমাধানঃ ভৌত স্থানের জন্য ইঞ্জিনিয়ারিং মেকানিক্স সাইন কনভেনশন অনুসরণ করে (চিত্র 5), এই উদাহরণে উপাদান উপাদানের জন্য চাপ উপাদানগুলি হলঃ এই নির্দিষ্ট চাপের অবস্থার জন্য মোহর বৃত্ত আঁকার পদক্ষেপগুলি অনুসরণ করে, আমরা প্রথমে-অক্ষের উপরের দিকে একটি কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা আঁকি। এরপরে আমরা দুটি বিন্দু A (50,40) এবং B (-10,-40) অঙ্কন করি, যা A এবং B সমতলে চাপের অবস্থার প্রতিনিধিত্ব করে যা চিত্র 8 এবং চিত্র 9 উভয় ক্ষেত্রেই দেখানো হয়েছে। এই পয়েন্টগুলি মোহর-সার্কেল স্পেসের জন্য ইঞ্জিনিয়ারিং মেকানিক্স সাইন কনভেনশন অনুসরণ করে (চিত্র 5), যা ধরে নেয় যে ধনাত্মক স্বাভাবিক উপাদানগুলি উপাদান উপাদান থেকে বাইরের দিকে চাপ দেয় এবং প্রতিটি সমতলে ধনাত্মক শিয়ার চাপ উপাদানটিকে ঘড়ির কাঁটার দিকে ঘোরায়। এইভাবে, বি সমতলে ক্রিয়াশীল শিয়ার স্ট্রেস ঋণাত্মক হয় এবং এ সমতলে ক্রিয়াশীল শিয়ার স্ট্রেস ধনাত্মক হয়। বৃত্তের ব্যাস হল A এবং B বিন্দুর সংযোগকারী রেখা। বৃত্তের কেন্দ্র হল-অক্ষের সাথে এই রেখার ছেদ। কেন্দ্রের অবস্থান এবং ব্যাসের দৈর্ঘ্য উভয়ই জেনে আমরা চাপের এই নির্দিষ্ট অবস্থার জন্য মোহর বৃত্তটি অঙ্কন করতে সক্ষম হয়েছি। ই এবং সি উভয় বিন্দুর অ্যাবসিসা (চিত্র 8 এবং চিত্র 9)-অক্ষকে ছেদ করে যথাক্রমে সর্বনিম্ন এবং সর্বাধিক স্বাভাবিক চাপের মাত্রা; ই এবং সি উভয় বিন্দুর অর্ডিনেটগুলি যথাক্রমে ছোট এবং বড় উভয় প্রধান সমতলে কাজ করা শিয়ার চাপের মাত্রা, যা প্রধান সমতলের জন্য শূন্য। যদিও মোহর বৃত্ত ব্যবহার করার ধারণাটি আসলে বৃত্তের বিভিন্ন বিন্দুর স্থানাঙ্ক পরিমাপ করে গ্রাফিকভাবে বিভিন্ন চাপের উপাদানগুলি খুঁজে বের করা, তবে বিশ্লেষণাত্মকভাবে ফলাফলগুলি নিশ্চিত করা আরও সুবিধাজনক। সুতরাং, বৃত্তের কেন্দ্রের ব্যাসার্ধ এবং অ্যাবসিসা হল এবং প্রধান চাপগুলি হল H এবং G উভয় বিন্দুর স্থানাঙ্ক (চিত্র 8 এবং চিত্র 9) হল যথাক্রমে সর্বনিম্ন এবং সর্বাধিক শিয়ার চাপের মাত্রা; H এবং G উভয় বিন্দুর জন্য অ্যাবসিসা হল একই সমতলে কাজ করা স্বাভাবিক চাপের মাত্রা যেখানে যথাক্রমে ন্যূনতম এবং সর্বাধিক শিয়ার চাপ কাজ করে। ন্যূনতম এবং সর্বাধিক শিয়ার স্ট্রেসের মাত্রা বিশ্লেষণাত্মকভাবে পাওয়া যায় এবং একই সমতলে কাজ করা স্বাভাবিক স্ট্রেসগুলি যেখানে ন্যূনতম এবং সর্বাধিক শিয়ার স্ট্রেসগুলি সমান হয় আমরা প্রধান স্বাভাবিক স্ট্রেস এবং প্রধান শিয়ার স্ট্রেসগুলির অভিযোজন খুঁজে পেতে দ্বিমুখী পদ্ধতি (চিত্র 8) বা মেরু পদ্ধতি (চিত্র 9) ব্যবহার করতে পারি। দ্বিমুখী পদ্ধতি ব্যবহার করে আমরা মোহর বৃত্তের কোণগুলি পরিমাপ করি (চিত্র 8) যাতে ভৌত স্থানে সমতল বি-এর সাথে প্রধান প্রধান চাপ এবং গৌণ প্রধান চাপের দ্বিগুণ কোণ খুঁজে পাওয়া যায়। এই কোণগুলির জন্য আরও সঠিক মান পেতে, ম্যানুয়ালি কোণগুলি পরিমাপের পরিবর্তে, আমরা বিশ্লেষণাত্মক অভিব্যক্তিটি ব্যবহার করতে পারি একটি সমাধান হলঃ চিত্র 8-এর পরিদর্শন থেকে, এই মানটি ά BOE কোণের সাথে মিলে যায়। সুতরাং, গৌণ প্রধান কোণটি হল তখন, প্রধান প্রধান কোণটি হল মনে রাখবেন যে এই নির্দিষ্ট উদাহরণে এবং ক্রিয়ার সমতলের সাপেক্ষে কোণগুলি (-অক্ষে অভিমুখী) এবং ক্রিয়ার সমতলের সাপেক্ষে কোণগুলি নয় (-অক্ষে অভিমুখী)। মেরু পদ্ধতি ব্যবহার করে, আমরা প্রথমে মেরু বা সমতলের উৎসকে স্থানীয়করণ করি। এর জন্য, আমরা মোহর বৃত্তের বিন্দু এ-এর মধ্য দিয়ে অনুভূমিকভাবে 10° ঝুঁকে থাকা একটি রেখা আঁকি, অথবা, অন্য কথায়, সমতল এ-এর সমান্তরাল একটি রেখা যেখানে কাজ করে। মেরু হল সেই জায়গা যেখানে এই রেখাটি মোহর বৃত্তকে ছেদ করে (চিত্র 9)। মেরুর অবস্থান নিশ্চিত করার জন্য, আমরা বি সমতলের সমান্তরালে মোহর বৃত্তের বি বিন্দুর মধ্য দিয়ে একটি রেখা আঁকতে পারি যেখানে এটি কাজ করে। এই রেখাটি মেরুতে মোহর বৃত্তকেও ছেদ করবে (চিত্র 9)। মেরু থেকে আমরা মোহর বৃত্তের বিভিন্ন বিন্দুতে রেখা আঁকি। যে বিন্দুগুলিতে এই রেখাগুলি মোহর বৃত্তকে ছেদ করে সেগুলির স্থানাঙ্কগুলি রেখাটির মতো একই প্রবণতা সহ ভৌত স্থানের সমতলে কাজ করা চাপ উপাদানগুলিকে নির্দেশ করে। উদাহরণস্বরূপ, বৃত্তের মেরু থেকে বিন্দু সি পর্যন্ত রেখার ভৌত স্থানের সমতলের মতো একই প্রবণতা রয়েছে যেখানে কাজ করে। এই সমতলটি মোহর-বৃত্তের স্থান এবং ভৌত স্থান উভয় ক্ষেত্রেই সমতল বি-এর সাথে 63.435 ডিগ্রি কোণ তৈরি করে। একইভাবে, একই অভিমুখী সমতলে চাপের উপাদানগুলি খুঁজে বের করার জন্য মেরু থেকে বিন্দু E, D, F, G এবং H পর্যন্ত রেখাগুলি চিহ্নিত করা হয়। একটি সাধারণ ত্রিমাত্রিক চাপের জন্য মোহরের বৃত্ত একটি বিন্দুতে চাপের একটি সাধারণ ত্রিমাত্রিক ক্ষেত্রে মোহর বৃত্ত তৈরি করতে, প্রধান চাপের মান এবং তাদের প্রধান দিকগুলি প্রথমে মূল্যায়ন করতে হবে। সাধারণের পরিবর্তে মূল অক্ষগুলিকে স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা হিসাবে বিবেচনা করে, স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা গ্রহণ করুন এবং ধরে নিন যে, একক ভেক্টর সহ একটি প্রদত্ত সমতলের জন্য স্ট্রেস ভেক্টরের স্বাভাবিক এবং শিয়ার উপাদানগুলি নিম্নলিখিত সমীকরণগুলিকে সন্তুষ্ট করে। মোহর বৃত্তের জন্য এই সমীকরণগুলি দেখায় যে সমস্ত গ্রহণযোগ্য চাপ বিন্দু এই বৃত্তগুলিতে বা তাদের দ্বারা বেষ্টিত ছায়াযুক্ত অঞ্চলের মধ্যে রয়েছে (চিত্র 10 দেখুন)। বৃত্তের সমীকরণকে সন্তুষ্টকারী চাপ বিন্দুগুলি বৃত্তের উপর বা বাইরে থাকে। বৃত্তের সমীকরণকে সন্তুষ্টকারী চাপ বিন্দুগুলি বৃত্তের উপর বা ভিতরে থাকে। এবং পরিশেষে, চাপ বিন্দুগুলি বৃত্তের সমীকরণকে সন্তুষ্ট করে বৃত্তের উপর বা বাইরে থাকে। আরও দেখুন ক্রিটিক্যাল প্লেন অ্যানালাইসিস রেফারেন্স গ্রন্থপঞ্জি বাইরের লিঙ্ক রেবেকা ব্র্যানন ডিওআইটিপিওএমএস টিচিং অ্যান্ড লার্নিং প্যাকেজ-"স্ট্রেস অ্যানালাইসিস অ্যান্ড মোহরস সার্কেল" শাস্ত্রীয় বলবিজ্ঞান স্থিতিস্থাপকতা (পদার্থবিজ্ঞান) সলিড মেকানিক্স মেকানিক্স সার্কেল