Epigraph (mathematics)
গণিতে, বর্ধিত বাস্তব সংখ্যায় মূল্যবান একটি ফাংশনের এপিগ্রাফ বা সুপারগ্রাফ হল সেট, যা তার গ্রাফের উপর বা উপরে থাকা কার্টেসিয়ান পণ্যের সমস্ত বিন্দু দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। কঠোর শিলালিপি হল তার গ্রাফের উপরে থাকা বিন্দুর সমষ্টি। গুরুত্বপূর্ণভাবে, যদিও গ্রাফ এবং এপিগ্রাফ উভয়ই এপিগ্রাফিতে পয়েন্ট নিয়ে গঠিত যা গ্রাফের ক্ষেত্রে অগত্যা সত্য নয় যদি ফাংশনটি একটি মান হিসাবে গ্রহণ করে তবে এটি তার এপিগ্রাফ এর একটি উপসেট হবে উদাহরণস্বরূপ, যদি তখন পয়েন্টটি অন্তর্ভুক্ত তবে নয় তবে এই দুটি সেট তবুও ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত কারণ গ্রাফটি সর্বদা এপিগ্রাফ থেকে পুনর্গঠন করা যেতে পারে এবং তদ্বিপরীত। বাস্তব বিশ্লেষণে অবিচ্ছিন্ন বাস্তব-মূল্যবান ফাংশনগুলির অধ্যয়ন ঐতিহ্যগতভাবে তাদের গ্রাফগুলির অধ্যয়নের সাথে ঘনিষ্ঠভাবে যুক্ত হয়েছে, যা এই ফাংশনগুলি সম্পর্কে জ্যামিতিক তথ্য (এবং অন্তর্দৃষ্টি) প্রদান করে। শিলালিপিগুলি উত্তল বিশ্লেষণ এবং বৈচিত্র্যমূলক বিশ্লেষণের ক্ষেত্রে এই একই উদ্দেশ্য সাধন করে, যেখানে প্রাথমিক ফোকাস একটি ভেক্টর স্পেসে (যেমন বা) মূল্যবান অবিচ্ছিন্ন ফাংশনের পরিবর্তে মূল্যবান উত্তল ফাংশনের উপর থাকে। এর কারণ হল, সাধারণভাবে, এই ধরনের ফাংশনের জন্য, জ্যামিতিক অন্তর্দৃষ্টি তার গ্রাফের চেয়ে কোনও ফাংশনের এপিগ্রাফ থেকে আরও সহজেই পাওয়া যায়। একইভাবে বাস্তব বিশ্লেষণে গ্রাফগুলি কীভাবে ব্যবহার করা হয়, এপিগ্রাফটি প্রায়শই একটি উত্তল ফাংশনের বৈশিষ্ট্যগুলির জ্যামিতিক ব্যাখ্যা দিতে, অনুমান প্রণয়ন বা প্রমাণ করতে বা পাল্টা উদাহরণ তৈরিতে সহায়তা করতে ব্যবহার করা যেতে পারে। সংজ্ঞা শিলালিপির সংজ্ঞাটি একটি ফাংশনের গ্রাফ দ্বারা অনুপ্রাণিত হয়েছিল, যেখানে 'বা' সেট হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় বা বর্ধিত বাস্তব সংখ্যায় মূল্যবান একটি ফাংশনের সেট হল সেট শেষ লাইনের ডানদিকে উপরে প্রদর্শিত ইউনিয়নে, সেটটিকে একটি "উল্লম্ব রশ্মি" হিসাবে ব্যাখ্যা করা যেতে পারে এবং এর "সরাসরি উপরে" সমস্ত বিন্দু নিয়ে গঠিত। একইভাবে, একটি ফাংশনের গ্রাফের উপর বা নীচে পয়েন্টের সেট হল এর। গ্রাফের সাথে এপিগ্রাফটি সরানো হয়েছেঃ অন্যান্য সেটের সাথে সম্পর্ক যদিও একটি মান হিসাবে একটি (বা উভয়) নিতে পারে (এই ক্ষেত্রে এর গ্রাফটি একটি উপসেট হবে), তবুও এর এপিগ্রাফটি এর পরিবর্তে একটি উপসেট হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় এটি ইচ্ছাকৃত কারণ যখন একটি ভেক্টর স্থান হয় তখন এটি একটি ভেক্টর স্থান হয় (যেহেতু বর্ধিত বাস্তব সংখ্যা রেখা একটি ভেক্টর স্থান নয়)। আরও সাধারণভাবে, যদি শুধুমাত্র কোনও ভেক্টর স্থানের একটি অ-খালি উপসেট হয় তবে এটি কখনই ভেক্টর স্থানের একটিও নয়। একটি ভেক্টর স্থানের উপসেট হওয়ায় শিলালিপি প্রকৃত বিশ্লেষণ এবং কার্যকরী বিশ্লেষণ (এবং অন্যান্য ক্ষেত্র) সম্পর্কিত সরঞ্জামগুলিকে আরও সহজেই প্রয়োগ করার অনুমতি দেয়। এই সংজ্ঞার জন্য ফাংশনের ডোমেন (কোডোমেইনের পরিবর্তে) বিশেষভাবে গুরুত্বপূর্ণ নয়; এটি যে কোনও রৈখিক স্থান বা এমনকি এর পরিবর্তে একটি নির্বিচারে সেট হতে পারে। কঠোর শিলালিপি এবং গ্রাফ সবসময়ই বিচ্ছিন্ন। একটি ফাংশনের শিলালিপি তার গ্রাফ এবং কঠোর শিলালিপির সাথে সম্পর্কিত যেখানে সেট সমতা বজায় থাকে যদি এবং শুধুমাত্র যদি বাস্তব-মূল্যবান হয়। যাইহোক, সবসময় ধরে রাখে। এপিগ্রাফ থেকে পুনর্গঠন ফাংশন এপিগ্রাফ খালি থাকে যদি এবং শুধুমাত্র যদি ফাংশনটি অসীমের সমান হয়। ঠিক যেমন কোনও ফাংশনকে তার গ্রাফ থেকে পুনর্গঠন করা যেতে পারে, তেমনই যে কোনও বর্ধিত বাস্তব-মূল্যবান ফাংশনকে তার শিলালিপি থেকে পুনর্গঠন করা যেতে পারে (এমনকি যখন এটি একটি মান হিসাবে গ্রহণ করা হয়)। প্রদত্ত মানটি নিম্নরূপ "উল্লম্ব রেখা" এর ছেদ থেকে পুনর্গঠন করা যেতে পারেঃ কেস 1: যদি এবং শুধুমাত্র যদি কেস 2: যদি এবং শুধুমাত্র যদি কেস 3: অন্যথায়, অবশ্যই সেই ফর্মের যা থেকে মানটি পাওয়া যেতে পারে ব্যবধানের অসীম গ্রহণ করে। উপরের পর্যবেক্ষণগুলিকে একত্রিত করে একটি একক সূত্র দেওয়া যেতে পারে বিশেষত, যে কোনও জায়গায় সংজ্ঞা অনুসারে, এই একই সূত্রটি এর কঠোর শিলালিপি থেকে পুনর্গঠনের জন্যও ব্যবহার করা যেতে পারে ফাংশনগুলির বৈশিষ্ট্য এবং তাদের শিলালিপিগুলির মধ্যে সম্পর্ক একটি ফাংশন উত্তল হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি এর শিলালিপি একটি উত্তল সেট হয়। একটি বাস্তব অ্যাফিন ফাংশনের শিলালিপি হল 'এ' ফাংশনে একটি অর্ধস্থান, যদি এবং শুধুমাত্র যদি এর শিলালিপি বন্ধ থাকে তবে তা কম অর্ধ-স্থায়ী হয়। আরও দেখুন উদ্ধৃতি রকাফেলার, রালফ টাইরেল (1996), কনভেক্স অ্যানালাইসিস, প্রিন্সটন ইউনিভার্সিটি প্রেস, প্রিন্সটন, এনজে। । কনভেক্স বিশ্লেষণ গাণিতিক বিশ্লেষণ পরিবর্তনশীল বিশ্লেষণ