Curve fitting
কার্ভ ফিটিং হল একটি বক্ররেখা বা গাণিতিক ফাংশন নির্মাণের প্রক্রিয়া, যা ডেটা পয়েন্টের একটি সিরিজের সাথে সবচেয়ে উপযুক্ত, সম্ভবত সীমাবদ্ধতার সাপেক্ষে। কার্ভ ফিটিং-এ ইন্টারপোলেশন জড়িত থাকতে পারে, যেখানে ডেটার সাথে সঠিক ফিট প্রয়োজন হয়, অথবা মসৃণ করা, যেখানে একটি "মসৃণ" ফাংশন তৈরি করা হয় যা ডেটার সাথে প্রায় ফিট করে। একটি সম্পর্কিত বিষয় হল রিগ্রেশন বিশ্লেষণ, যা পরিসংখ্যানগত অনুমানের প্রশ্নগুলিতে আরও বেশি মনোনিবেশ করে যেমন একটি বক্ররেখার মধ্যে কতটা অনিশ্চয়তা রয়েছে যা এলোমেলো ত্রুটির সাথে পর্যবেক্ষণ করা ডেটার সাথে খাপ খায়। উপযুক্ত বক্ররেখা ডেটা ভিজ্যুয়ালাইজেশনের জন্য সহায়তা হিসাবে ব্যবহার করা যেতে পারে, এমন একটি ফাংশনের মান অনুমান করতে যেখানে কোনও ডেটা উপলব্ধ নেই এবং দুই বা ততোধিক ভেরিয়েবলের মধ্যে সম্পর্কের সংক্ষিপ্তসার করতে। এক্সট্রপোলেশন বলতে পর্যবেক্ষিত তথ্যের সীমার বাইরে একটি ফিট করা বক্ররেখার ব্যবহারকে বোঝায় এবং এটি কিছুটা অনিশ্চয়তার বিষয় কারণ এটি বক্ররেখা তৈরিতে ব্যবহৃত পদ্ধতিকে প্রতিফলিত করতে পারে যতটা এটি পর্যবেক্ষিত তথ্যকে প্রতিফলিত করে। তথ্যের রৈখিক-বীজগাণিতিক বিশ্লেষণের জন্য, "ফিটিং" সাধারণত এমন বক্ররেখা খুঁজে বের করার চেষ্টা করে যা বক্ররেখা থেকে একটি বিন্দুর উল্লম্ব (y-অক্ষ) স্থানচ্যুতি হ্রাস করে (যেমন, সাধারণ সর্বনিম্ন বর্গক্ষেত্র)। যাইহোক, গ্রাফিকাল এবং ইমেজ অ্যাপ্লিকেশনের জন্য, জ্যামিতিক ফিটিং সর্বোত্তম চাক্ষুষ ফিট প্রদান করতে চায়; যার অর্থ সাধারণত বক্ররেখার সাথে অর্থোগোনাল দূরত্ব (যেমন, মোট সর্বনিম্ন বর্গ) হ্রাস করার চেষ্টা করা, অথবা অন্যথায় বক্ররেখা থেকে একটি বিন্দুর স্থানচ্যুতির উভয় অক্ষ অন্তর্ভুক্ত করা। জ্যামিতিক ফিটগুলি জনপ্রিয় নয় কারণ তাদের সাধারণত অ-রৈখিক এবং/অথবা পুনরাবৃত্তিমূলক গণনার প্রয়োজন হয়, যদিও তাদের আরও নান্দনিক এবং জ্যামিতিকভাবে সঠিক ফলাফলের সুবিধা রয়েছে। ডেটা পয়েন্টগুলিতে ফাংশনের বীজগাণিতিক ফিটিং সর্বাধিক সাধারণভাবে, একটি ফর্মের একটি ফাংশনের সাথে ফিট করে। তথ্য বিন্দুতে সঙ্গতিপূর্ণ রেখা এবং বহুপদী ফাংশন প্রথম ডিগ্রি বহুপদী সমীকরণ হল একটি ঢাল a সহ একটি রেখা। একটি রেখা যে কোনও দুটি বিন্দুকে সংযুক্ত করবে, তাই একটি প্রথম ডিগ্রি বহুপদী সমীকরণ স্বতন্ত্র x স্থানাঙ্ক সহ যে কোনও দুটি বিন্দুর মধ্যে সঠিকভাবে মানানসই। সমীকরণের ক্রমটি যদি দ্বিতীয় মাত্রার বহুপদীতে বৃদ্ধি করা হয়, তবে নিম্নলিখিত ফলাফলগুলি পাওয়া যাবেঃ এটি একটি সরল বক্ররেখার সঙ্গে তিনটি বিন্দুর ঠিক মিল রাখবে। সমীকরণের ক্রমটি যদি তৃতীয় মাত্রার বহুপদীতে বৃদ্ধি করা হয়, তবে নিম্নলিখিতটি পাওয়া যাবেঃ এটি ঠিক চারটি বিন্দুর সঙ্গে মানানসই হবে। আরও একটি সাধারণ বিবৃতি বলতে হবে যে এটি ঠিক চারটি সীমাবদ্ধতার সাথে মানানসই হবে। প্রতিটি সীমাবদ্ধতা একটি বিন্দু, কোণ বা বক্রতা হতে পারে (যা একটি দোলক বৃত্তের ব্যাসার্ধের পারস্পরিক)। কোণ এবং বক্রতা সীমাবদ্ধতাগুলি প্রায়শই একটি বক্ররেখার প্রান্তে যোগ করা হয় এবং এই ধরনের ক্ষেত্রে এগুলিকে শেষ শর্ত বলা হয়। একটি একক স্প্লাইনের মধ্যে থাকা বহুপদী বক্ররেখার মধ্যে মসৃণ রূপান্তর নিশ্চিত করতে প্রায়শই অভিন্ন শেষ শর্তগুলি ব্যবহার করা হয়। উচ্চ-ক্রমের সীমাবদ্ধতা, যেমন "বক্রতার হারে পরিবর্তন", যোগ করা যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, এটি একটি গাড়ির উপর প্রয়োগ করা শক্তির পরিবর্তনের হার বোঝার জন্য হাইওয়ে ক্লোভারলিফ ডিজাইনে কার্যকর হবে (জার্ক দেখুন), কারণ এটি ক্লোভারলিফকে অনুসরণ করে এবং সেই অনুযায়ী যুক্তিসঙ্গত গতির সীমা নির্ধারণ করে। প্রথম ডিগ্রি বহুপদী সমীকরণটি একটি বিন্দু এবং একটি কোণের জন্য সঠিক ফিট হতে পারে এবং তৃতীয় ডিগ্রি বহুপদী সমীকরণটি দুটি বিন্দু, একটি কোণ সীমাবদ্ধতা এবং একটি বক্রতা সীমাবদ্ধতার জন্যও সঠিক ফিট হতে পারে। এগুলির জন্য এবং উচ্চতর ক্রমের বহুপদী সমীকরণের জন্য সীমাবদ্ধতার আরও অনেক সংমিশ্রণ সম্ভব। যদি n + 1-এর বেশি সীমাবদ্ধতা থাকে (n বহুপদের ডিগ্রি), তবে বহুপদী বক্ররেখা এখনও সেই সীমাবদ্ধতাগুলির মধ্য দিয়ে চালানো যেতে পারে। সমস্ত সীমাবদ্ধতার জন্য একটি সঠিক ফিট নিশ্চিত নয় (তবে, উদাহরণস্বরূপ, একটি প্রথম ডিগ্রি পলিনোমিয়ালের ক্ষেত্রে তিনটি কলিনিয়ার পয়েন্ট ঠিক ফিট করা হতে পারে)। তবে, সাধারণভাবে, প্রতিটি আনুমানিক মূল্যায়নের জন্য কিছু পদ্ধতির প্রয়োজন হয়। ক্ষুদ্রতম বর্গ পদ্ধতি হল বিচ্যুতিগুলির তুলনা করার একটি উপায়। বহুপদী সমীকরণের মাত্রা বৃদ্ধি করা এবং একটি সঠিক মিল পাওয়া সম্ভব হলে আনুমানিক মিল পাওয়ার জন্য বেশ কয়েকটি কারণ দেওয়া হয়েছে। : এমনকি যদি একটি সঠিক মিল বিদ্যমান থাকে, তবে এটি অগত্যা অনুসরণ করে না যে এটি সহজেই আবিষ্কৃত হতে পারে। ব্যবহৃত অ্যালগরিদমের উপর নির্ভর করে একটি ভিন্ন কেস থাকতে পারে, যেখানে সঠিক ফিট গণনা করা যায় না, অথবা সমাধান খুঁজে পেতে কম্পিউটারের খুব বেশি সময় লাগতে পারে। এই পরিস্থিতির আনুমানিক সমাধানের প্রয়োজন হতে পারে। একটি নমুনায় প্রশ্নবিদ্ধ ডেটা পয়েন্টগুলির গড়ের প্রভাব, বক্ররেখাটিকে সঠিকভাবে ফিট করার জন্য বিকৃত করার পরিবর্তে, কাম্য হতে পারে। রুঞ্জের ঘটনাঃ উচ্চ ক্রমের বহুপদীগুলি অত্যন্ত দোলক হতে পারে। যদি একটি বক্ররেখা এ এবং বি দুটি বিন্দুর মধ্য দিয়ে যায়, তবে এটি আশা করা যায় যে বক্ররেখাটি এ এবং বি-এর মধ্যবিন্দুতেও কিছুটা কাছাকাছি চলে যাবে। এটি উচ্চ-ক্রমের বহুপদী বক্ররেখার ক্ষেত্রে নাও ঘটতে পারে; তাদের এমন মানও থাকতে পারে যা ধনাত্মক বা ঋণাত্মক মাত্রায় খুব বড়। নিম্ন-ক্রমের বহুপদগুলির ক্ষেত্রে, বক্ররেখাটি মধ্যবিন্দুর কাছাকাছি পড়ার সম্ভাবনা বেশি থাকে (এমনকি এটি প্রথম ডিগ্রি বহুপদের মধ্যবিন্দু দিয়ে ঠিকভাবে চলে যাওয়ার নিশ্চয়তা দেয়)। নিম্ন-ক্রমের বহুপদগুলি মসৃণ হতে থাকে এবং উচ্চ-ক্রমের বহুপদী বক্ররেখা "লাম্পি" হতে থাকে। এটিকে আরও সুনির্দিষ্টভাবে সংজ্ঞায়িত করার জন্য, একটি বহুপদী বক্ররেখায় সম্ভাব্য সর্বাধিক সংখ্যক প্রতিফলন বিন্দু হল n-2, যেখানে n হল বহুপদী সমীকরণের ক্রম। একটি প্রতিফলন বিন্দু হল বক্ররেখার একটি অবস্থান যেখানে এটি ধনাত্মক ব্যাসার্ধ থেকে ঋণাত্মক দিকে পরিবর্তিত হয়। আমরা এটাও বলতে পারি যে এখানেই এটি "জল ধরে রাখা" থেকে "জল ঝরানো"-তে রূপান্তরিত হয়। লক্ষ্য করুন যে এটি শুধুমাত্র "সম্ভব" যে উচ্চ ক্রমের বহুপদগুলি পিণ্ডযুক্ত হবে; তারা মসৃণও হতে পারে, তবে নিম্ন ক্রমের বহুপদী বক্ররেখার বিপরীতে এর কোনও গ্যারান্টি নেই। একটি পঞ্চদশ ডিগ্রি পলিনোমিয়ালের সর্বাধিক তেরোটি প্রতিফলন বিন্দু থাকতে পারে, তবে এগারো বা নয় বা যে কোনও বিজোড় সংখ্যা এক হতে পারে। (জোড় সংখ্যাযুক্ত ডিগ্রি সহ বহুপদগুলিতে n-2 থেকে শূন্য পর্যন্ত যে কোনও জোড় সংখ্যক প্রতিফলন বিন্দু থাকতে পারে।) একটি সঠিক ফিটের জন্য বহুপদী বক্ররেখার মাত্রা প্রয়োজনের চেয়ে বেশি হওয়া উচ্চ ক্রমের বহুপদীগুলির জন্য পূর্বে তালিকাভুক্ত সমস্ত কারণের জন্য অবাঞ্ছিত, তবে এমন একটি ক্ষেত্রেও নিয়ে যায় যেখানে অসীম সংখ্যক সমাধান রয়েছে। উদাহরণস্বরূপ, সাধারণ দুটি বিন্দুর পরিবর্তে শুধুমাত্র একটি বিন্দু দ্বারা সীমাবদ্ধ একটি প্রথম ডিগ্রি বহুপদী (একটি রেখা) অসীম সংখ্যক সমাধান দেবে। এটি শুধুমাত্র একটি সমাধানের তুলনা এবং নির্বাচন করার সমস্যাটি তুলে ধরে, যা সফ্টওয়্যার এবং মানুষের জন্যও একটি সমস্যা হতে পারে। এই কারণে, সমস্ত সীমাবদ্ধতার উপর সঠিক মিলনের জন্য যতটা সম্ভব কম ডিগ্রি বেছে নেওয়া ভাল, এবং সম্ভবত আরও কম ডিগ্রি, যদি একটি আনুমানিক ফিট গ্রহণযোগ্য হয়। অন্যান্য ফাংশনকে ডেটা পয়েন্টের সাথে মানানসই করা অন্যান্য ধরনের বক্ররেখা, যেমন ত্রিকোণমিতিক ফাংশন (যেমন সাইন এবং কোসাইন), নির্দিষ্ট কিছু ক্ষেত্রে ব্যবহার করা যেতে পারে। স্পেকট্রোস্কোপি-তে, তথ্যগুলি গাউসিয়ান, লরেঞ্জিয়ান, ভয়েগ্ট এবং সম্পর্কিত ফাংশনগুলির সাথে লাগানো যেতে পারে। জীববিজ্ঞান, বাস্তুসংস্থান, জনসংখ্যাবিদ্যা, মহামারীবিদ্যা এবং অন্যান্য অনেক শাখায় জনসংখ্যার বৃদ্ধি, সংক্রামক রোগের বিস্তার ইত্যাদি। লজিস্টিক ফাংশন ব্যবহার করে লাগানো যেতে পারে। কৃষিতে ফসলের ফলন এবং বৃদ্ধির কারণগুলির মধ্যে সম্পর্ক বর্ণনা করতে ইনভার্টেড লজিস্টিক সিগময়েড ফাংশন (এস-বক্ররেখা) ব্যবহার করা হয়। খামার জমিতে পরিমাপ করা তথ্যের সিগময়েড রিগ্রেশন দ্বারা নীল চিত্রটি তৈরি করা হয়েছিল। এটি দেখা যায় যে প্রাথমিকভাবে, অর্থাৎ। মাটির লবণাক্ততা কম হলে, মাটির লবণাক্ততা বৃদ্ধির সাথে সাথে ফসলের ফলন ধীরে ধীরে হ্রাস পায়, এবং তারপরে হ্রাস দ্রুত অগ্রসর হয়। ডেটা পয়েন্টগুলিতে সমতল বক্ররেখার জ্যামিতিক ফিটিং যদি ফর্মের একটি ফাংশন অনুমান করা যায় না, তবুও একটি সমতল বক্ররেখা ফিট করার চেষ্টা করা যেতে পারে। অন্যান্য ধরনের বক্ররেখা, যেমন শঙ্কু বিভাগ (বৃত্তাকার, উপবৃত্তাকার, প্যারাবোলিক এবং হাইপারবোলিক চাপ) বা ত্রিকোণমিতিক ফাংশন (যেমন সাইন এবং কোসাইন), কিছু ক্ষেত্রে ব্যবহার করা যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, মাধ্যাকর্ষণের প্রভাবে বস্তুর গতিপথগুলি একটি প্যারাবোলিক পথ অনুসরণ করে, যখন বায়ু প্রতিরোধকে উপেক্ষা করা হয়। অতএব, একটি প্যারাবলিক বক্ররেখার সাথে গতিপথের তথ্যের মিল যুক্তিযুক্ত হবে। জোয়ার-ভাটা সাইনোসয়েডাল প্যাটার্ন অনুসরণ করে, তাই জোয়ারের ডেটা পয়েন্টগুলি একটি সাইন তরঙ্গের সাথে মিলিত হওয়া উচিত, বা বিভিন্ন সময়ের দুটি সাইন তরঙ্গের যোগফল, যদি চাঁদ এবং সূর্য উভয়ের প্রভাব বিবেচনা করা হয়। একটি প্যারামেট্রিক বক্ররেখার জন্য, এর প্রতিটি স্থানাঙ্ককে চাপ দৈর্ঘ্যের একটি পৃথক ফাংশন হিসাবে ফিট করা কার্যকর; ধরে নেওয়া যায় যে ডেটা পয়েন্টগুলি অর্ডার করা যেতে পারে, কর্ড দূরত্ব ব্যবহার করা যেতে পারে। জ্যামিতিক ফিট দ্বারা একটি বৃত্ত ফিট করা কোপ 2 ডি ডেটা পয়েন্টের একটি সেটের সাথে বৃত্তের সেরা ভিজ্যুয়াল ফিট খুঁজে বের করার চেষ্টা করার সমস্যার দিকে এগিয়ে যায়। পদ্ধতিটি সুন্দরভাবে সাধারণ অ-রৈখিক সমস্যাটিকে একটি রৈখিক সমস্যায় রূপান্তরিত করে যা পুনরাবৃত্তিমূলক সংখ্যাসূচক পদ্ধতি ব্যবহার না করেই সমাধান করা যেতে পারে এবং তাই এটি পূর্ববর্তী কৌশলগুলির তুলনায় অনেক দ্রুত। জ্যামিতিক ফিট দ্বারা একটি উপবৃত্তাকার ফিট করা উপরের কৌশলটি একটি অ-রৈখিক ধাপ যোগ করে সাধারণ উপবৃত্তাকার পর্যন্ত প্রসারিত করা হয়, যার ফলে এমন একটি পদ্ধতি তৈরি হয় যা দ্রুত, তবুও নির্বিচারে অভিযোজন এবং স্থানচ্যুতির দৃশ্যত আনন্দদায়ক উপবৃত্তাকার খুঁজে পায়। উপযুক্ত পৃষ্ঠগুলি লক্ষ্য করুন যে এই আলোচনাটি 2ডি বক্ররেখার পরিপ্রেক্ষিতে হলেও, এই যুক্তির বেশিরভাগই 3ডি পৃষ্ঠগুলিতেও প্রসারিত, যার প্রতিটি প্যাচ দুটি প্যারামেট্রিক দিকের বক্ররেখার একটি জাল দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়, সাধারণত যাকে ইউ এবং ভি বলা হয়। একটি পৃষ্ঠ প্রতিটি দিকে এক বা একাধিক পৃষ্ঠ প্যাচ নিয়ে গঠিত হতে পারে। সফ্টওয়্যার অনেক পরিসংখ্যানগত প্যাকেজ যেমন আর এবং সংখ্যাসূচক সফ্টওয়্যার যেমন গনুপ্লট, জি. এন. ইউ সায়েন্টিফিক লাইব্রেরি, এম. এল. এ. বি, ম্যাপেল, ম্যাটল্যাব, টি. কে সলভার 6, সাইল্যাব, ম্যাথমেটিকা, জি. এন. ইউ অক্টেভ এবং সাইপাই বিভিন্ন পরিস্থিতিতে কার্ভ ফিটিং করার জন্য কমান্ড অন্তর্ভুক্ত করে। কার্ভ ফিটিং করার জন্য বিশেষভাবে লেখা প্রোগ্রামও রয়েছে; এগুলি পরিসংখ্যানগত এবং সংখ্যাসূচক-বিশ্লেষণ প্রোগ্রামের তালিকায় পাশাপাশিঃ বিভাগঃ রিগ্রেশন এবং কার্ভ ফিটিং সফ্টওয়্যার-এ পাওয়া যেতে পারে। আরও দেখুন ক্রমাঙ্কন বক্ররেখা-ফিটিং সংকোচন অনুমান তত্ত্ব ক্রিয়া আনুমানিক উপযুক্ত জেনেটিক প্রোগ্রামিংয়ের গুণগত মান সর্বনিম্ন বর্গক্ষেত্র সমন্বয় লেভেনবার্গ-মার্কুয়ার্ট অ্যালগরিদম লাইন ফিটিং রৈখিক ইন্টারপোলেশন গাণিতিক মডেল মাল্টি এক্সপ্রেশন প্রোগ্রামিং অরৈখিক রিগ্রেশন ওভারফিটিং প্লেন বক্ররেখা সম্ভাবনা বিতরণ ফিটিং সাইনোসয়েডাল মডেল মসৃণ স্প্লাইন (ইন্টারপোলেটিং, মসৃণ) সময় সিরিজ মোট সর্বনিম্ন বর্গ রৈখিক প্রবণতা অনুমান আরও পড়ুন এন. চেরনভ (2010), বৃত্তাকার এবং রৈখিক রিগ্রেশনঃ ন্যূনতম বর্গক্ষেত্র দ্বারা উপযুক্ত বৃত্ত এবং রেখা, চ্যাপম্যান এবং হল/সিআরসি, পরিসংখ্যান এবং প্রয়োগযোগ্য সম্ভাবনার উপর মনোগ্রাফ, ভলিউম 117 (256 পিপি)। )।