Mean absolute difference
গড় পরম পার্থক্য (অভিন্ন) হল একটি সম্ভাব্যতা বন্টন থেকে নেওয়া দুটি স্বাধীন মানের গড় পরম পার্থক্যের সমান পরিসংখ্যানগত বিচ্ছুরণের একটি পরিমাপ। একটি সম্পর্কিত পরিসংখ্যান হল আপেক্ষিক গড় পরম পার্থক্য, যা গাণিতিক গড় দ্বারা বিভক্ত গড় পরম পার্থক্য, এবং গিনি সহগের দ্বিগুণের সমান। গড় পরম পার্থক্যটি পরম গড় পার্থক্য (গড় স্বাক্ষরিত পার্থক্যের পরম মানের সাথে বিভ্রান্ত হবেন না) এবং গিনি গড় পার্থক্য (জি. এম. ডি) নামেও পরিচিত। গড় পরম পার্থক্যকে কখনও কখনও δ বা এম. ডি দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। সংজ্ঞা গড় পরম পার্থক্যকে "গড়" বা "গড়" হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়, আনুষ্ঠানিকভাবে দুটি এলোমেলো চলক এক্স এবং ওয়াই-এর পরম পার্থক্যের প্রত্যাশিত মান, স্বাধীনভাবে এবং একইভাবে একই (অজানা) বণ্টনের সাথে বিতরণ করা হয় যা এখন থেকে কিউ নামে পরিচিত। গণনা বিশেষত, বিচ্ছিন্ন ক্ষেত্রে, মোট প্রত্যাশার সূত্র অনুসারে, Q অনুসারে অভিন্নভাবে বিতরণ করা জনসংখ্যার আকার n-এর একটি এলোমেলো নমুনার জন্য (অভিজ্ঞতাগত) মানে নমুনা মানের ক্রমের পরম পার্থক্য yi, i = 1 থেকে n-কে সমস্ত সম্ভাব্য পার্থক্যের পরম মানের গাণিতিক গড় হিসাবে গণনা করা যেতে পারেঃ যদি Q-এর একটি পৃথক সম্ভাব্যতা ফাংশন f (y) থাকে, যেখানে yi, i = 1 থেকে n, অ-শূন্য সম্ভাব্যতা সহ মানগুলিঃ অবিচ্ছিন্ন ক্ষেত্রে, যদি Q-এর সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন f (x) থাকেঃ সমীকরণের একটি বিকল্প রূপ দেওয়া হয়ঃ যদি Q-এর পরিমাণ ফাংশন Q (F) সহ একটি ক্রমবর্ধমান বিতরণ ফাংশন F (x) থাকে, তাহলে আপেক্ষিক গড় পরম পার্থক্য গিনি সহগের দ্বিগুণের সমান যা লরেঞ্জ বক্ররেখার পরিপ্রেক্ষিতে সংজ্ঞায়িত করা হয়। এই সম্পর্ক আপেক্ষিক গড় পরম পার্থক্য এবং গিনি সহগ উভয়ের পরিপূরক দৃষ্টিভঙ্গি দেয়, যার মধ্যে তাদের মান গণনা করার বিকল্প উপায় রয়েছে। বৈশিষ্ট্য গড় পরম পার্থক্য অনুবাদ এবং প্রত্যাখ্যানের ক্ষেত্রে অপরিবর্তনীয়, এবং ধনাত্মক স্কেলিংয়ের অনুপাতে পরিবর্তিত হয়। অর্থাৎ, যদি এক্স একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল এবং সি একটি ধ্রুবক হয়ঃ এমডি (এক্স + সি) = এমডি (এক্স), এমডি (−এক্স) = এমডি (এক্স), এবং এমডি (সিএক্স) = |c। এমডি (এক্স)। আপেক্ষিক গড় পরম পার্থক্য ধনাত্মক স্কেলিংয়ের সাথে অপরিবর্তনীয়, নেতিবাচকতার সাথে যাতায়াত করে এবং মূল এবং অনুবাদিত গাণিতিক মাধ্যমের অনুপাতের অনুপাতে অনুবাদের অধীনে পরিবর্তিত হয়। অর্থাৎ, যদি এক্স একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল এবং সি একটি ধ্রুবক হয়ঃ আরএমডি (এক্স + সি) = আরএমডি (এক্স) · গড় (এক্স)/(গড় (এক্স) + সি) = আরএমডি (এক্স)/(1 + সি/গড় (এক্স)) সি ≤ − গড় (এক্স), আরএমডি (− এক্স) = − আরএমডি (এক্স), এবং আরএমডি (সিএক্স) = আরএমডি (এক্স) সি> 0 এর জন্য। যদি একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের ধনাত্মক গড় থাকে, তবে তার আপেক্ষিক গড় পরম পার্থক্য সর্বদা শূন্যের চেয়ে বেশি বা সমান হবে। যদি, অতিরিক্তভাবে, র্যান্ডম ভেরিয়েবল শুধুমাত্র শূন্যের চেয়ে বড় বা সমান মান গ্রহণ করতে পারে, তবে তার আপেক্ষিক গড় পরম পার্থক্য 2 এর চেয়ে কম হবে। আদর্শ বিচ্যুতির তুলনায় গড় পরম পার্থক্য এল-স্কেলের (দ্বিতীয় এল-মুহূর্ত) দ্বিগুণ, যেখানে আদর্শ বিচ্যুতি হল গড়ের (দ্বিতীয় প্রচলিত কেন্দ্রীয় মুহূর্ত) পার্থক্যের বর্গমূল। এল-মুহূর্ত এবং প্রচলিত মুহূর্তের মধ্যে পার্থক্য প্রথম দেখা যায় গড় পরম পার্থক্য এবং আদর্শ বিচ্যুতির (প্রথম এল-মুহূর্ত এবং প্রথম প্রচলিত মুহূর্ত উভয়ই গড়) তুলনার ক্ষেত্রে। স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি এবং গড় পরম পার্থক্য উভয়ই বিচ্ছুরণ পরিমাপ করে-একটি জনসংখ্যার মান বা একটি বিতরণের সম্ভাব্যতা কতটা ছড়িয়ে পড়ে। গড় পরম পার্থক্য কেন্দ্রীয় প্রবণতার একটি নির্দিষ্ট পরিমাপের পরিপ্রেক্ষিতে সংজ্ঞায়িত করা হয় না, যেখানে আদর্শ বিচ্যুতি গাণিতিক গড় থেকে বিচ্যুতির পরিপ্রেক্ষিতে সংজ্ঞায়িত করা হয়। যেহেতু আদর্শ বিচ্যুতি তার পার্থক্যকে বর্গ করে, তাই এটি গড় পরম পার্থক্যের তুলনায় বৃহত্তর পার্থক্যকে বেশি ওজন এবং ছোট পার্থক্যকে কম ওজন দেয়। যখন গাণিতিক গড় সসীম হয়, তখন গড় পরম পার্থক্যও সসীম হবে, এমনকি যখন আদর্শ বিচ্যুতি অসীম হয়। কিছু নির্দিষ্ট তুলনার জন্য উদাহরণগুলি দেখুন। সম্প্রতি প্রবর্তিত দূরত্ব মান বিচ্যুতি গড় পরম পার্থক্যের অনুরূপ ভূমিকা পালন করে তবে দূরত্ব মান বিচ্যুতি কেন্দ্রিক দূরত্বের সাথে কাজ করে। ই-পরিসংখ্যানও দেখুন। নমুনা প্রাক্কলনকারী একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল X থেকে একটি এলোমেলো নমুনা S-এর জন্য, যা n মান yi নিয়ে গঠিত, পরিসংখ্যানটি হল এম. ডি (এক্স)-এর একটি সামঞ্জস্যপূর্ণ এবং নিরপেক্ষ প্রাক্কলনকারী। পরিসংখ্যানঃ আরএমডি (এক্স)-এর একটি সামঞ্জস্যপূর্ণ প্রাক্কলনকারী, তবে সাধারণভাবে, নিরপেক্ষ নয়। আরএমডি (এক্স)-এর জন্য আত্মবিশ্বাসের ব্যবধানগুলি বুটস্ট্র্যাপ স্যাম্পলিং কৌশল ব্যবহার করে গণনা করা যেতে পারে। সাধারণভাবে, আরএমডি (এক্স)-এর জন্য কোনও নিরপেক্ষ প্রাক্কলনকারী নেই, আংশিকভাবে গড়ের বিপরীত দ্বারা গুণ করার জন্য একটি নিরপেক্ষ প্রাক্কলন খুঁজে পেতে অসুবিধা হওয়ার কারণে। উদাহরণস্বরূপ, এমনকি যেখানে নমুনাটি একটি অজানা পি-এর জন্য একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবল এক্স (পি) থেকে নেওয়া হয়েছে বলে জানা যায়, এবং বার্নৌলি ডিস্ট্রিবিউশন রয়েছে, তাই এবং তারপর। কিন্তু আরএমডি (এক্স (পি))-এর যে কোনও প্রাক্কলনকারী আর (এস)-এর প্রত্যাশিত মান হবেঃ যেখানে আর আই ধ্রুবক। সুতরাং E (R (S)) কখনই 0 এবং 1 এর মধ্যে সমস্ত p এর জন্য RMD (X (p)) এর সমান হতে পারে না। উদাহরণস্বরূপ বিটা ফাংশন দেখুন মীন অ্যাবসলিউট এরর গড় বিচ্যুতি প্রাক্কলন সহগ বৈচিত্র্যের এল-মোমেন্ট রেফারেন্স উৎস পরিসংখ্যানগত বিচ্যুতি এবং বিচ্ছুরণ সংক্ষিপ্ত পরিসংখ্যান সম্ভাব্যতা বিতরণের তত্ত্ব স্কেল পরিসংখ্যান দূরত্ব