Iterated function
গণিতে, একটি পুনরাবৃত্ত ফাংশন হল একটি ফাংশন (অর্থাৎ, কোনও সেট থেকে নিজের মধ্যে একটি ফাংশন) যা একটি নির্দিষ্ট সংখ্যক বার নিজের সাথে অন্য একটি ফাংশন রচনা করে প্রাপ্ত হয়। একই ফাংশন বারবার প্রয়োগ করার প্রক্রিয়াকে পুনরাবৃত্তি বলা হয়। এই প্রক্রিয়ায়, কিছু প্রাথমিক বস্তু থেকে শুরু করে, প্রদত্ত ফাংশন প্রয়োগের ফলাফলটি আবার ফাংশনটিতে ইনপুট হিসাবে দেওয়া হয় এবং এই প্রক্রিয়াটি পুনরাবৃত্তি করা হয়। উদাহরণস্বরূপ, ডানদিকের ছবিতেঃ ফাংশন গঠনের বৃত্তাকার প্রতীক সহ। পুনরাবৃত্ত ফাংশনগুলি হল কম্পিউটার বিজ্ঞান, ফ্র্যাক্টাল, ডায়নামিক্যাল সিস্টেম, গণিত এবং পুনর্বিন্যাস গ্রুপ পদার্থবিজ্ঞানে অধ্যয়নের বিষয়। সংজ্ঞা একটি সেট X-এ একটি পুনরাবৃত্ত ফাংশনের আনুষ্ঠানিক সংজ্ঞা নিম্নরূপ। একটি সেট এবং একটি ফাংশন হতে দিন। (হান্স হাইনরিখ বারম্যান এবং জন ফ্রেডরিক উইলিয়াম হার্শেল দ্বারা প্রবর্তিত একটি স্বরলিপি) এর n-তম পুনরাবৃত্তি হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা, যেখানে n একটি অ-ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা, দ্বারাঃ এবং কোথায় আইডেন্টিটি ফাংশন রয়েছে এবং ফাংশন গঠনকে বোঝায়। অর্থাৎ, সর্বদা সহযোগী। যেহেতু স্বরলিপিটি ফাংশনের পুনরাবৃত্তি (গঠন) বা ফাংশনের সূচকীকরণ উভয়কেই বোঝাতে পারে (পরেরটি সাধারণত ত্রিকোণমিতিতে ব্যবহৃত হয়), তাই কিছু গণিতবিদ গঠনের অর্থ বোঝাতে ব্যবহার করতে পছন্দ করেন, উদাহরণস্বরূপ, ফাংশনের-তম পুনরাবৃত্তির জন্য লেখেন। একই উদ্দেশ্যে, বেঞ্জামিন পিয়ার্স ব্যবহার করেছিলেন যেখানে আলফ্রেড প্রিংশেইম এবং জুলস মল্ক পরিবর্তে পরামর্শ দিয়েছিলেন। আবেলিয়ান বৈশিষ্ট্য এবং পুনরাবৃত্তির ক্রম সাধারণভাবে, নিম্নলিখিত পরিচয়টি সমস্ত অ-ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যার জন্য ধারণ করে এবং এটি গঠনগতভাবে সূচকীকরণের বৈশিষ্ট্যের সাথে অভিন্ন, অর্থাৎ। বিশেষ মামলা। সাধারণভাবে, নির্বিচারে সাধারণের জন্য (ঋণাত্মক, অ-পূর্ণসংখ্যা, ইত্যাদি) সূচক এবং, এই সম্পর্ককে বলা হয় অনুবাদ কার্যকরী সমীকরণ, cf। শ্রোডারের সমীকরণ এবং আবেল সমীকরণ। লগারিদমিক স্কেলে, এটি চেবিশেভ বহুপদীগুলির বাসা বাঁধার বৈশিষ্ট্যে হ্রাস পায়, যেহেতু। সম্পর্কটিও ধরে রাখে, যা সূচকীকরণের বৈশিষ্ট্যের অনুরূপ। ফাংশনের ক্রমকে পিকার্ড ক্রম বলা হয়, যা চার্লস এমিল পিকার্ডের নামে নামকরণ করা হয়েছে। প্রদত্ত ইন-এর জন্য, মানগুলির ক্রমকে এর অরবিট বলা হয়। যদি কোনও পূর্ণসংখ্যার জন্য, কক্ষপথকে পর্যায়ক্রমিক কক্ষপথ বলা হয়। একটি প্রদত্ত কক্ষপথের জন্য এই ধরনের সর্বনিম্ন মানকে কক্ষপথের সময়কাল বলা হয়। এই বিন্দুটিকে পর্যায়ক্রমিক বিন্দু বলা হয়। কম্পিউটার বিজ্ঞানে চক্র সনাক্তকরণ সমস্যা হল একটি কক্ষপথে প্রথম পর্যায়ক্রমিক বিন্দু এবং কক্ষপথের সময়কাল খুঁজে বের করার অ্যালগরিদমিক সমস্যা। স্থির বিন্দু যদি কিছু ক্ষেত্রে (অর্থাৎ, কক্ষপথের সময়কাল হয়), তবে এটিকে পুনরাবৃত্ত ক্রমের একটি নির্দিষ্ট বিন্দু বলা হয়। স্থির বিন্দুর সেটকে প্রায়শই হিসাবে চিহ্নিত করা হয়। বেশ কয়েকটি স্থির-বিন্দু উপপাদ্য রয়েছে যা বিভিন্ন পরিস্থিতিতে স্থির বিন্দুর অস্তিত্বের নিশ্চয়তা দেয়, যার মধ্যে রয়েছে বানাচ স্থির বিন্দু উপপাদ্য এবং ব্রাউয়ার স্থির বিন্দু উপপাদ্য। স্থির বিন্দু পুনরাবৃত্তি দ্বারা উত্পাদিত ক্রমগুলির অভিসরণ ত্বরণের জন্য বেশ কয়েকটি কৌশল রয়েছে। উদাহরণস্বরূপ, একটি পুনরাবৃত্ত স্থির বিন্দুতে প্রয়োগ করা আইটকেন পদ্ধতিটি স্টেফেনসেনের পদ্ধতি হিসাবে পরিচিত, এবং দ্বিঘাত অভিসরণ তৈরি করে। আচরণকে সীমাবদ্ধ করা পুনরাবৃত্তির পরে, কেউ দেখতে পাবে যে এমন সেট রয়েছে যা সঙ্কুচিত হয় এবং একটি বিন্দুর দিকে একত্রিত হয়। এই ক্ষেত্রে, যে বিন্দুতে একত্রিত হয় সেটি একটি আকর্ষণীয় স্থির বিন্দু হিসাবে পরিচিত। বিপরীতভাবে, পুনরাবৃত্তি একটি একক বিন্দু থেকে দূরে সরে যাওয়া বিন্দুর চেহারা দিতে পারে; এটি একটি অস্থির স্থির বিন্দুর ক্ষেত্রে হবে। যখন কক্ষপথের বিন্দুগুলি এক বা একাধিক সীমার মধ্যে একত্রিত হয়, তখন কক্ষপথের সঞ্চয় বিন্দুর সেটটি সীমা সেট বা ω-সীমা সেট হিসাবে পরিচিত হয়। আকর্ষণ এবং বিকর্ষণের ধারণাগুলি একইভাবে সাধারণীকরণ করা হয়; পুনরাবৃত্তির অধীনে ছোট আশেপাশের আচরণ অনুসারে কেউ স্থিতিশীল সেট এবং অস্থির সেটগুলিতে পুনরাবৃত্তিকে শ্রেণীবদ্ধ করতে পারে। (এছাড়াও বিশ্লেষণাত্মক ফাংশনের অসীম গঠন দেখুন।) অন্যান্য সীমাবদ্ধ আচরণ সম্ভব; উদাহরণস্বরূপ, ঘোরাঘুরি পয়েন্টগুলি এমন পয়েন্ট যা দূরে সরে যায় এবং যেখানে শুরু হয়েছিল তার কাছাকাছিও ফিরে আসে না। অপরিবর্তনীয় পরিমাপ যদি কেউ পৃথক বিন্দু গতিবিদ্যার পরিবর্তে ঘনত্ব বণ্টনের বিবর্তন বিবেচনা করে, তবে সীমাবদ্ধ আচরণটি অপরিবর্তনীয় পরিমাপ দ্বারা দেওয়া হয়। এটি বারবার পুনরাবৃত্তির অধীনে একটি বিন্দু-মেঘ বা ধুলো-মেঘের আচরণ হিসাবে কল্পনা করা যেতে পারে। অপরিবর্তনীয় পরিমাপ হল রুয়েল-ফ্রোবেনিয়াস-পেরন অপারেটর বা ট্রান্সফার অপারেটরের একটি আইগেনস্টেট, যা 1-এর আইগেনভ্যালু-এর সঙ্গে সামঞ্জস্যপূর্ণ। ছোট আইগেনভ্যালুগুলি অস্থিতিশীল, ক্ষয়শীল অবস্থার সাথে মিলে যায়। সাধারণভাবে, যেহেতু পুনরাবৃত্ত পুনরাবৃত্তি একটি শিফট, স্থানান্তর অপারেটর এবং তার সংলগ্ন, কুপম্যান অপারেটর উভয়ই একটি শিফট স্পেসে শিফট অপারেটরের ক্রিয়া হিসাবে ব্যাখ্যা করা যেতে পারে। সীমাবদ্ধ ধরনের সাবশিফ্টের তত্ত্ব অনেক পুনরাবৃত্ত ফাংশন সম্পর্কে সাধারণ অন্তর্দৃষ্টি প্রদান করে, বিশেষ করে যেগুলি বিশৃঙ্খলার দিকে পরিচালিত করে। ভগ্নাংশ পুনরাবৃত্তি করে এবং প্রবাহিত হয়, এবং ঋণাত্মক পুনরাবৃত্তি করে এই ধারণাটি অবশ্যই যত্ন সহকারে ব্যবহার করতে হবে যখন সমীকরণের একাধিক সমাধান থাকে, যা সাধারণত হয়, যেমন ব্যাবেজের আইডেন্টিটি ম্যাপের কার্যকরী মূলগুলির সমীকরণে। উদাহরণস্বরূপ, জন্য এবং, উভয়ই সমাধান; সুতরাং অভিব্যক্তিটি একটি অনন্য ফাংশনকে বোঝায় না, ঠিক যেমন সংখ্যার একাধিক বীজগাণিতিক মূল রয়েছে। সমস্যাটি গাণিতিকভাবে "0/0" অভিব্যক্তিটির সাথে বেশ মিল। f এর একটি তুচ্ছ মূল সর্বদা পাওয়া যেতে পারে যদি fs ডোমেনটি যথেষ্ট পরিমাণে প্রসারিত করা যায়, cf। ছবি। নির্বাচিত শিকড়গুলি সাধারণত অধ্যয়নরত কক্ষপথের অন্তর্গত। একটি ফাংশনের ভগ্নাংশ পুনরাবৃত্তি সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারেঃ উদাহরণস্বরূপ, একটি ফাংশনের অর্ধেক পুনরাবৃত্তি এমন একটি ফাংশন। এই ফাংশনটি সূচক স্বরলিপি ব্যবহার করে লেখা যেতে পারে। একইভাবে, ফাংশনটি এমনভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে যে, যদিও সমান হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে, এবং আরও অনেক কিছু, সমস্তই পূর্বে উল্লিখিত নীতির উপর ভিত্তি করে, যে। এই ধারণাকে সাধারণীকরণ করা যেতে পারে যাতে পুনরাবৃত্তির গণনা একটি অবিচ্ছিন্ন পরামিতি হয়ে ওঠে, যা একটি অবিচ্ছিন্ন কক্ষপথের এক ধরণের অবিচ্ছিন্ন "সময়"। এই ধরনের ক্ষেত্রে, একটি প্রবাহ হিসাবে সিস্টেমকে উল্লেখ করে। (সিএফ। নীচে কনজুগ্যাসি সম্পর্কিত বিভাগ।) যদি একটি ফাংশন বাইজেক্টিভ হয় (এবং তাই একটি বিপরীত ফাংশন ধারণ করে), তবে নেতিবাচক পুনরাবৃত্তিগুলি ফাংশন বিপরীত এবং তাদের রচনার সাথে মিলে যায়। উদাহরণস্বরূপ, এর স্বাভাবিক বিপরীত, যখন বিপরীতটি নিজের সাথে গঠিত, অর্থাৎ। । ভগ্নাংশ ঋণাত্মক পুনরাবৃত্তিগুলি ভগ্নাংশ ধনাত্মকের অনুরূপভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়; উদাহরণস্বরূপ, এমনভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় যে, বা, সমতুল্যভাবে, এমনভাবে। ভগ্নাংশ পুনরাবৃত্তির জন্য কিছু সূত্র নিম্নরূপ একটি নির্দিষ্ট বিন্দু ব্যবহার করে ভগ্নাংশ পুনরাবৃত্তির জন্য একটি সিরিজ সূত্র খুঁজে বের করার বেশ কয়েকটি পদ্ধতির মধ্যে একটি। প্রথমে ফাংশনের জন্য একটি নির্দিষ্ট বিন্দু নির্ধারণ করুন। আসলগুলির সাথে সম্পর্কিত সমস্ত এন-এর জন্য সংজ্ঞায়িত করুন। এটি, কিছু উপায়ে, ভগ্নাংশ পুনরাবৃত্তির উপর স্থাপন করার জন্য সবচেয়ে প্রাকৃতিক অতিরিক্ত শর্ত। নির্দিষ্ট বিন্দু a-এর চারপাশে একটি টেলর সিরিজ হিসাবে প্রসারিত করুন, যে কোনও k-এর পরিবর্তে প্রসারিত করুন, পদগুলি সহজ করার জন্য জ্যামিতিক অগ্রগতি ব্যবহার করুন, একটি বিশেষ ক্ষেত্রে যখন, এটি অনির্দিষ্টকালের জন্য চালিয়ে যাওয়া যেতে পারে, যদিও অদক্ষভাবে, পরের পদগুলি ক্রমবর্ধমান জটিল হয়ে ওঠে। কনজুগেসি সম্পর্কিত নিম্নলিখিত বিভাগে আরও নিয়মতান্ত্রিক পদ্ধতির রূপরেখা দেওয়া হয়েছে। উদাহরণ 1 উদাহরণস্বরূপ, সেটিং নির্দিষ্ট বিন্দু দেয়, তাই উপরের সূত্রটি শেষ হয় যা পরীক্ষা করা তুচ্ছ। উদাহরণ 2 যেখানে এটি করা হয় তার মান খুঁজে বের করুন (এবং সম্ভবত ইন্টারপোলেটেড মানগুলি যখন n একটি পূর্ণসংখ্যা নয়)। আমাদের আছে। একটি নির্দিষ্ট বিন্দু হল। সুতরাং 2-এর নির্দিষ্ট বিন্দু মানের চারপাশে সেট এবং প্রসারিত হলে একটি অসীম সিরিজ হয়, যা, মাত্র প্রথম তিনটি পদ গ্রহণ করে, প্রথম দশমিক স্থানে সঠিক হয় যখন n ধনাত্মক-cf হয়। টেট্রেশনঃ (অন্য স্থির বিন্দু ব্যবহার করার ফলে সিরিজটি বিচ্ছিন্ন হয়ে যায়।) কারণ, সিরিজটি বিপরীত ফাংশন গণনা করে। উদাহরণ 3 ফাংশনের সাথে, নির্দিষ্ট বিন্দু 1 এর চারপাশে প্রসারিত করুন যাতে সিরিজটি পাওয়া যায় যা কেবল x (bn) এর টেলর সিরিজ 1 এর কাছাকাছি প্রসারিত হয়। কনজুগেসি যদি এবং দুটি পুনরাবৃত্ত ফাংশন হয়, এবং একটি সমরূপতা বিদ্যমান থাকে যে, তারপর এবং টপোলজিক্যালি কনজুগেট বলা হয়। স্পষ্টতই, টপোলজিক্যাল কনজুগেসি পুনরাবৃত্তির অধীনে সংরক্ষিত রয়েছে। সুতরাং, যদি কেউ একটি পুনরাবৃত্ত ফাংশন সিস্টেমের জন্য সমাধান করতে পারে, তবে সমস্ত টপোলজিক্যালি কনজুগেট সিস্টেমের জন্যও সমাধান রয়েছে। উদাহরণস্বরূপ, তাঁবু মানচিত্রটি স্থলতাত্ত্বিকভাবে লজিস্টিক মানচিত্রের সাথে সংযুক্ত। একটি বিশেষ ক্ষেত্রে, নেওয়া, যে কোনও ফাংশনের জন্য যেমন, এর পুনরাবৃত্তি রয়েছে। প্রতিস্থাপন ফলন তৈরি করা, একটি রূপ যা আবেল সমীকরণ নামে পরিচিত। এমনকি একটি কঠোর সমরূপতার অনুপস্থিতিতে, একটি নির্দিষ্ট বিন্দুর কাছাকাছি, এখানে = 0, (0) = 0 হিসাবে নেওয়া হয়, কেউ প্রায়শই একটি ফাংশনের জন্য শ্রোডারের সমীকরণটি সমাধান করতে পারে, যা স্থানীয়ভাবে একটি নিছক বিস্তারের সাথে সংযুক্ত করে, অর্থাৎ। সুতরাং, উপযুক্ত বিধানের অধীনে এর পুনরাবৃত্তি কক্ষপথ বা প্রবাহ (যেমন,), মনোমিয়ালের কক্ষপথের সংমিশ্রণের সমান, যেখানে এই অভিব্যক্তিটি একটি সরল সূচক হিসাবে কাজ করেঃ কার্যকরী পুনরাবৃত্তি গুণনে হ্রাস করা হয়েছে! এখানে, তবে, সূচকটি আর পূর্ণসংখ্যা বা ধনাত্মক হওয়ার প্রয়োজন নেই, এবং এটি পূর্ণ কক্ষপথের জন্য বিবর্তনের একটি অবিচ্ছিন্ন "সময়": পিকার্ড ক্রমের মনোয়েড (সিএফ। রূপান্তর সেমিগ্রুপ) একটি সম্পূর্ণ অবিচ্ছিন্ন গোষ্ঠীতে সাধারণীকরণ করা হয়েছে। এই পদ্ধতিটি (প্রধান আইগেনফাংশনের বিশৃঙ্খল নির্ধারণ, সি. এফ। কার্লম্যান ম্যাট্রিক্স) পূর্ববর্তী বিভাগের অ্যালগরিদমের সমতুল্য, যদিও বাস্তবে এটি আরও শক্তিশালী এবং নিয়মতান্ত্রিক। মার্কভ চেইন যদি ফাংশনটি রৈখিক হয় এবং একটি স্টোকাস্টিক ম্যাট্রিক্স দ্বারা বর্ণনা করা যায়, অর্থাৎ এমন একটি ম্যাট্রিক্স যার সারি বা কলামগুলির যোগফল একের সাথে হয়, তবে পুনরাবৃত্ত সিস্টেমটি মার্কভ চেইন নামে পরিচিত। উদাহরণস্বরূপ অনেক বিশৃঙ্খল মানচিত্র রয়েছে। সুপরিচিত পুনরাবৃত্ত ফাংশনগুলির মধ্যে রয়েছে ম্যান্ডেলব্রট সেট এবং পুনরাবৃত্ত ফাংশন সিস্টেম। আর্নস্ট শ্রোডার, 1870 সালে, লজিস্টিক মানচিত্রের বিশেষ কেসগুলি তৈরি করেছিলেন, যেমন বিশৃঙ্খল কেস, যাতে, তাই। শ্রোডারের একটি অসাম্প্রদায়িক মামলাও তাঁর পদ্ধতির মাধ্যমে চিত্রিত হয়েছে, ফল দিয়েছে, এবং তাই। যদি কোনও সেটে কোনও গোষ্ঠী উপাদানের ক্রিয়া হয়, তবে পুনরাবৃত্ত ফাংশনটি একটি মুক্ত গোষ্ঠীর সাথে মিলে যায়। বেশিরভাগ ফাংশনে n-তম পুনরাবৃত্তির জন্য স্পষ্ট সাধারণ বদ্ধ-ফর্ম অভিব্যক্তি নেই। নিচের সারণিতে এমন কয়েকটির তালিকা দেওয়া হয়েছে। লক্ষ্য করুন যে এই সমস্ত অভিব্যক্তিগুলি অ-পূর্ণসংখ্যা এবং ঋণাত্মক n-এর পাশাপাশি অ-ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা n-এর জন্যও বৈধ। দ্রষ্টব্যঃ এই দুটি বিশেষ ক্ষেত্রেই কেবল একটি বদ্ধ-ফর্ম সমাধান রয়েছে। যথাক্রমে b = 2 =-a এবং b = 4 =-a নির্বাচন করলে, টেবিলের আগে আলোচিত অ-বিশৃঙ্খল এবং বিশৃঙ্খল লজিস্টিক ক্ষেত্রে তাদের আরও হ্রাস করে। এই উদাহরণগুলির মধ্যে কয়েকটি সাধারণ সংযোগ দ্বারা নিজেদের মধ্যে সম্পর্কিত। অধ্যয়নের মাধ্যম ইটারেটেড ফাংশন আর্টিন-মাজুর জিটা ফাংশন এবং ট্রান্সফার অপারেটরদের সাথে অধ্যয়ন করা যেতে পারে। কম্পিউটার বিজ্ঞানে, পুনরাবৃত্ত ফাংশনগুলি পুনরাবৃত্তিমূলক ফাংশনের একটি বিশেষ ক্ষেত্রে ঘটে, যা ল্যাম্বডা ক্যালকুলাস বা সংকীর্ণ বিষয়গুলির মতো বিস্তৃত বিষয়গুলির অধ্যয়নকে অ্যাঙ্কর করে, যেমন কম্পিউটার প্রোগ্রামগুলির সংজ্ঞায়িত শব্দার্থবিজ্ঞান। পুনরাবৃত্ত ফাংশনের পরিপ্রেক্ষিতে সংজ্ঞাগুলি পুনরাবৃত্ত ফাংশনের পরিপ্রেক্ষিতে দুটি গুরুত্বপূর্ণ কার্যকারিতা সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে। এগুলি হলো যোগফলঃ এবং সমতুল্য গুণফলঃ কার্যকরী অন্তরজ একটি পুনরাবৃত্ত ফাংশনের কার্যকরী অন্তরজ পুনরাবৃত্তিমূলক সূত্র দ্বারা দেওয়া হয়ঃ মিথ্যার তথ্য পরিবহন সমীকরণ পুনরাবৃত্ত ফাংশনগুলি সম্মিলিত ফাংশনের সিরিজ সম্প্রসারণে ক্রপ আপ হয়, যেমন। উদাহরণস্বরূপ, দৃঢ় অ্যাডভেক্সনের জন্য, যদি, তাহলে, ফাংশনের তম পুনরাবৃত্তির জন্য পুনরাবৃত্ত বেগ বা বিটা ফাংশন (পদার্থবিজ্ঞান) দেওয়া হয়েছে। ফলস্বরূপ, একটি প্লেইন শিফট অপারেটর দ্বারা ক্রিয়া। বিপরীতভাবে, উপরে আলোচিত জেনেরিক আবেল সমীকরণের মাধ্যমে একটি নির্বিচারে দেওয়া নির্দিষ্ট করা যেতে পারে, যেখানে এটি উল্লেখ করে স্পষ্ট হয় যে অবিচ্ছিন্ন পুনরাবৃত্তি সূচকের জন্য, তখন, এখন একটি সাবস্ক্রিপ্ট হিসাবে লেখা হয়, এটি একটি অবিচ্ছিন্ন গোষ্ঠীর লাইয়ের উদযাপিত সূচকীয় উপলব্ধির সমান, প্রাথমিক প্রবাহের বেগ পুরো প্রবাহ নির্ধারণ করতে যথেষ্ট, এই সূচকীয় উপলব্ধির পরিপ্রেক্ষিতে যা স্বয়ংক্রিয়ভাবে অনুবাদ কার্যকরী সমীকরণের সাধারণ সমাধান প্রদান করে, আরও দেখুন অযৌক্তিক ঘূর্ণন পুনরাবৃত্ত ফাংশন সিস্টেম পুনরাবৃত্তিমূলক পদ্ধতি ঘূর্ণন সংখ্যা সারকোভস্কির উপপাদ্য ভগ্নাংশ পুনরাবৃত্তির সম্পর্ক শ্রোডারের সমীকরণ কার্যকরী বর্গমূল আবেল ফাংশন শ্রোডারের সমীকরণ বটচারের সমীকরণ বিশ্লেষণাত্মক ফাংশনের অসীম রচনাগুলি ফ্ল