Rigidity (mathematics)
গণিতে, গাণিতিক বস্তুর একটি কঠোর সংগ্রহ 'সি' (উদাহরণস্বরূপ সেট বা ফাংশন) হল এমন একটি সংগ্রহ যেখানে প্রতিটি 'সি' সম্পর্কে কম তথ্য দ্বারা অনন্যভাবে নির্ধারিত হয় যা কেউ আশা করবে না। উপরের বিবৃতিটি কোনও গাণিতিক বৈশিষ্ট্যকে সংজ্ঞায়িত করে না; পরিবর্তে, এটি বর্ণনা করে যে গণিতবিদদের দ্বারা গণিতে "অনমনীয়" বিশেষণটি সাধারণত কোন অর্থে ব্যবহৃত হয়। কিছু উদাহরণের মধ্যে রয়েছেঃ একক ডিস্কে হারমোনিক ফাংশনগুলি এই অর্থে অনমনীয় যে তারা তাদের সীমানা মান দ্বারা অনন্যভাবে নির্ধারিত হয়। হলমর্ফিক ফাংশনগুলি একটি বিন্দুতে সমস্ত ডেরিভেটিভের সেট দ্বারা নির্ধারিত হয়। বাস্তব রেখা থেকে জটিল সমতলে একটি মসৃণ ফাংশন, সাধারণভাবে, একটি বিন্দুতে তার সমস্ত ডেরিভেটিভ দ্বারা নির্ধারিত হয় না, তবে যদি আমাদের অতিরিক্ত প্রয়োজন হয় তবে জটিল সমতলে বাস্তব রেখার আশেপাশের একটিতে ফাংশনটি প্রসারিত করা সম্ভব। শোয়ার্জ লেম্মা এই ধরনের অনমনীয়তা উপপাদ্যের একটি উদাহরণ। বীজগণিতের মৌলিক উপপাদ্য অনুসারে, সি-তে বহুপদগুলি এই অর্থে অনমনীয় যে কোনও বহুপদ যে কোনও অসীম সেট, যেমন এন, বা একক ডিস্কে তার মান দ্বারা সম্পূর্ণরূপে নির্ধারিত হয়। পূর্ববর্তী উদাহরণ অনুসারে, একটি বহুপদী যে কোনও একক বিন্দুতে তার অ-শূন্য ব্যুৎপত্তিগুলির সীমাবদ্ধ সেট দ্বারা হোলোমর্ফিক ফাংশনের সেটের মধ্যেও নির্ধারিত হয়। ভেক্টর স্পেস এক্স, ওয়াই-এর মধ্যে রৈখিক মানচিত্র এল (এক্স, ওয়াই) এই অর্থে অনমনীয় যে যে কোনও এল (এক্স, ওয়াই) সম্পূর্ণরূপে এক্স-এর ভিত্তি ভেক্টরের যে কোনও সেটের উপর তার মান দ্বারা নির্ধারিত হয়। মোস্টোর অনমনীয়তা উপপাদ্য, যা বলে যে নেতিবাচকভাবে বাঁকানো ম্যানিফোল্ডগুলির জ্যামিতিক কাঠামো তাদের টপোলজিকাল কাঠামো দ্বারা নির্ধারিত হয়। একটি সুশৃঙ্খল সেট এই অর্থে অনমনীয় যে এটির উপর একমাত্র (অর্ডার-সংরক্ষণকারী) অটোমরফিজম হল আইডেন্টিটি ফাংশন। ফলস্বরূপ, দুটি প্রদত্ত সুশৃঙ্খল সেটের মধ্যে একটি সমরূপতা অনন্য হবে। উত্তল পলিটোপগুলির জ্যামিতির উপর কাউচির উপপাদ্য বলে যে একটি উত্তল পলিটোপ অনন্যভাবে তার মুখের জ্যামিতি এবং সমন্বিত সংলগ্নতা নিয়ম দ্বারা নির্ধারিত হয়। আলেকজান্দ্রোভের স্বতন্ত্রতা উপপাদ্য বলে যে তিনটি মাত্রায় একটি উত্তল পলিহেড্রন তার পৃষ্ঠের ভূগণিতের মেট্রিক স্থান দ্বারা অনন্যভাবে নির্ধারিত হয়। কঠোরতার ফলে কে-তত্ত্ব বিভিন্ন বীজগাণিতিক কে-তত্ত্ব গোষ্ঠীর মধ্যে সমরূপতা দেখায়। বিপরীত গ্যালোইস সমস্যায় কঠোর গোষ্ঠী। সংমিশ্রণে, অনমনীয় শব্দটি একটি অনমনীয় উদ্গমনের ধারণাকে সংজ্ঞায়িত করতেও ব্যবহৃত হয়, যা একটি উদ্গম যার জন্য নিম্নলিখিত সমতুল্য শর্তগুলি ধারণ করেঃ প্রত্যেকের জন্য,; একটি-টুপল হিসাবে বিবেচনা করে, উপাদানগুলির প্রথম ঘটনাগুলি ক্রমবর্ধমান ক্রমে হয়; এর প্রাথমিক অংশগুলির প্রাথমিক অংশগুলির মানচিত্র তৈরি করে। এটি অনমনীয়তার উপরের সংজ্ঞার সাথে সম্পর্কিত, যাতে প্রতিটি অনমনীয় উত্থান অনন্যভাবে সংজ্ঞায়িত হয় এবং টুকরো টুকরো করে একটি বিভাজন দ্বারা অনন্যভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। একটি কঠোর উদ্বৃত্ত প্রদত্ত, পার্টিশন দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়। বিপরীতভাবে, একটি পার্টিশন দেওয়া হলে, লেট দিয়ে অর্ডার করুন। যদি এখন-অর্ডার্ড পার্টিশন হয়, তবে দ্বারা সংজ্ঞায়িত ফাংশনটি একটি অনমনীয় সারজেকশন। আরও দেখুন অনন্যতা উপপাদ্য কাঠামোগত অনমনীয়তা, একটি গাণিতিক তত্ত্ব যা নমনীয় কব্জি দ্বারা সংযুক্ত অনমনীয় ভৌত বস্তুর সমাবেশের স্বাধীনতার মাত্রা বর্ণনা করে। স্তর কাঠামো (বীজগাণিতিক জ্যামিতি) তথ্যসূত্র গাণিতিক পরিভাষা