Gas in a box
কোয়ান্টাম বলবিজ্ঞানে, একটি বাক্সে কোয়ান্টাম কণার ফলাফলগুলি একটি বাক্সে একটি কোয়ান্টাম আদর্শ গ্যাসের ভারসাম্য পরিস্থিতি দেখার জন্য ব্যবহার করা যেতে পারে যা একটি বাক্স যা প্রচুর সংখ্যক অণু ধারণ করে যা তাৎক্ষণিক তাপীয় সংঘর্ষ ব্যতীত একে অপরের সাথে যোগাযোগ করে না। এই সহজ মডেলটি ধ্রুপদী আদর্শ গ্যাসের পাশাপাশি বিভিন্ন কোয়ান্টাম আদর্শ গ্যাস যেমন আদর্শ বিশাল ফারমি গ্যাস, আদর্শ বিশাল বোস গ্যাসের পাশাপাশি ব্ল্যাক বডি বিকিরণ (ফোটন গ্যাস) বর্ণনা করতে ব্যবহার করা যেতে পারে যা একটি ভরহীন বোস গ্যাস হিসাবে বিবেচিত হতে পারে, যেখানে তাপায়ন সাধারণত একটি ভারসাম্যপূর্ণ ভরের সাথে ফোটনগুলির মিথস্ক্রিয়া দ্বারা সহজতর বলে মনে করা হয়। ম্যাক্সওয়েল-বোল্টজম্যান পরিসংখ্যান, বোস-আইনস্টাইন পরিসংখ্যান বা ফার্মি-ডিরাক পরিসংখ্যান থেকে প্রাপ্ত ফলাফলগুলি ব্যবহার করে এবং একটি খুব বড় বাক্সের সীমা বিবেচনা করে, থমাস-ফার্মি আনুমানিক (এনরিকো ফার্মি এবং লেওয়েলিন থমাসের নামে নামকরণ করা হয়েছে) একটি ডিফারেনশিয়াল হিসাবে শক্তির অবস্থার অবক্ষয় এবং ইন্টিগ্রাল হিসাবে অবস্থার উপর যোগফল প্রকাশ করতে ব্যবহৃত হয়। এটি গ্যাসের তাপগতিবিদ্যার বৈশিষ্ট্যগুলিকে পার্টিশন ফাংশন বা গ্র্যান্ড পার্টিশন ফাংশন ব্যবহার করে গণনা করতে সক্ষম করে। এই ফলাফলগুলি বিশাল এবং ভরহীন উভয় কণার ক্ষেত্রেই প্রয়োগ করা হবে। আরও সম্পূর্ণ গণনা পৃথক নিবন্ধের জন্য ছেড়ে দেওয়া হবে, তবে কিছু সহজ উদাহরণ এই নিবন্ধে দেওয়া হবে। অবস্থার অবক্ষয়ের জন্য থমাস-ফার্মি আনুমানিক একটি বাক্সে বিশাল এবং ভরহীন উভয় কণার জন্য, একটি কণার অবস্থা কোয়ান্টাম সংখ্যার একটি সেট দ্বারা গণনা করা হয়। ভরবেগের মাত্রা দেওয়া হয় যেখানে h হল প্ল্যাঙ্কের ধ্রুবক এবং L হল বাক্সের একটি পাশের দৈর্ঘ্য। একটি কণার প্রতিটি সম্ভাব্য অবস্থাকে ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার একটি ত্রিমাত্রিক গ্রিডের একটি বিন্দু হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে। সূত্র থেকে যে কোনও বিন্দু পর্যন্ত দূরত্ব হবে ধরা যাক কোয়ান্টাম সংখ্যার প্রতিটি সেট f অবস্থা নির্দিষ্ট করে যেখানে f হল কণার অভ্যন্তরীণ ডিগ্রি অফ ফ্রিডমের সংখ্যা যা সংঘর্ষের মাধ্যমে পরিবর্তন করা যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, একটি ঘূর্ণন কণার f = 2 থাকবে, প্রতিটি ঘূর্ণন অবস্থার জন্য একটি করে। n-এর বড় মানগুলির জন্য, উপরের সমীকরণ থেকে p-এর চেয়ে কম বা সমান ভরবেগের মাত্রা সহ অবস্থার সংখ্যা প্রায় যা n ব্যাসার্ধের একটি গোলকের আয়তনের মাত্র f গুণ আট দ্বারা ভাগ করা হয় কারণ শুধুমাত্র ধনাত্মক ni সহ অষ্টককে বিবেচনা করা হয়। একটি ধারাবাহিক অনুমান ব্যবহার করে, p এবং p + dp এর মধ্যে ভরবেগের মাত্রা সহ অবস্থার সংখ্যা তাই যেখানে V = L3 হল বাক্সের আয়তন। লক্ষ্য করুন যে এই ধারাবাহিকতা আনুমানিক ব্যবহার করার ক্ষেত্রে, যা থমাস-ফার্মি আনুমানিক হিসাবেও পরিচিত, নিম্ন-শক্তির অবস্থাগুলিকে চিহ্নিত করার ক্ষমতা হারিয়ে যায়, যার মধ্যে রয়েছে স্থল অবস্থা যেখানে ni = 1। বেশিরভাগ ক্ষেত্রে এটি কোনও সমস্যা হবে না, তবে বোস-আইনস্টাইন ঘনীভবন বিবেচনা করার সময়, যেখানে গ্যাসের একটি বড় অংশ স্থল অবস্থায় বা তার কাছাকাছি থাকে, কম শক্তির অবস্থা মোকাবেলা করার ক্ষমতা গুরুত্বপূর্ণ হয়ে ওঠে। কোনও অনুমান ব্যবহার না করে, শক্তি εi সহ কণাগুলির সংখ্যা দেওয়া হয় যেখানে i অবস্থার অবক্ষয় হয় এবং β = 1/kBT, বোল্টজম্যানের ধ্রুবক kB, তাপমাত্রা T এবং রাসায়নিক সম্ভাব্যতা μ দিয়ে। (ম্যাক্সওয়েল-বোল্টজম্যান পরিসংখ্যান, বোস-আইনস্টাইন পরিসংখ্যান এবং ফার্মি-ডিরাক পরিসংখ্যান দেখুন।) থমাস-ফার্মি আনুমানিক ব্যবহার করে, ই এবং ই + ডিই-এর মধ্যে শক্তি সহ ডিএনই কণাগুলির সংখ্যা হলঃ ই এবং ই + ডিই-এর মধ্যে শক্তি সহ অবস্থার সংখ্যা কোথায়। এই নিবন্ধের পূর্ববর্তী বিভাগগুলি থেকে প্রাপ্ত ফলাফলগুলি ব্যবহার করে, একটি বাক্সে গ্যাসের জন্য কিছু বিতরণ এখন নির্ধারণ করা যেতে পারে। কণার একটি সিস্টেমের জন্য, একটি চলকের জন্য বন্টনটি এই অভিব্যক্তিটির মাধ্যমে সংজ্ঞায়িত করা হয় যা কণার ভগ্নাংশ যার মধ্যে এবং কোথায় মান রয়েছে, কণার সংখ্যা যার মধ্যে এবং এর মধ্যে মান রয়েছে, অবস্থার সংখ্যা যার মধ্যে এবং এর মধ্যে মান রয়েছে, সম্ভাবনা যে একটি অবস্থা যার মান রয়েছে তা একটি কণা দ্বারা দখল করা হয়, মোট কণার সংখ্যা। এটি নিম্নরূপঃ একটি ভরবেগ বণ্টনের জন্য, এবং এর মধ্যে ভরবেগের মাত্রা সহ কণাগুলির ভগ্নাংশ হলঃ এবং একটি শক্তি বণ্টনের জন্য, এবং এর মধ্যে শক্তি সহ কণাগুলির ভগ্নাংশ হলঃ একটি বাক্সের একটি কণার জন্য (এবং একটি মুক্ত কণার জন্যও), বিশাল এবং ভরহীন কণাগুলির জন্য শক্তি এবং ভরবেগের মধ্যে সম্পর্ক আলাদা। বিশাল কণাগুলির জন্য, ভরহীন কণাগুলির জন্য, কণার ভর কোথায় এবং আলোর গতিবেগ কোথায়। এই সম্পর্কগুলি ব্যবহার করে, বিশাল কণাগুলির জন্য গ্যাসের তাপীয় তরঙ্গদৈর্ঘ্য কোথায়। এটি একটি গুরুত্বপূর্ণ পরিমাণ, যেহেতু যখন আন্তঃ-কণার দূরত্বের ক্রমে থাকে, তখন কোয়ান্টাম প্রভাবগুলি আধিপত্য বিস্তার করতে শুরু করে এবং গ্যাসটিকে আর ম্যাক্সওয়েল-বোল্টজম্যান গ্যাস হিসাবে বিবেচনা করা যায় না। ভরহীন কণাগুলির জন্য এখন ভরহীন কণাগুলির জন্য তাপীয় তরঙ্গদৈর্ঘ্য কোথায়। নির্দিষ্ট উদাহরণ নিম্নলিখিত বিভাগগুলি কিছু নির্দিষ্ট ক্ষেত্রে ফলাফলের একটি উদাহরণ দেয়। বিশাল ম্যাক্সওয়েল-বোল্টজম্যান কণা এই ক্ষেত্রেঃ শক্তি বিতরণ ফাংশনকে সংহত করা এবং এন-এর জন্য সমাধান করা মূল শক্তি বিতরণ ফাংশনে প্রতিস্থাপন করে যা ম্যাক্সওয়েল-বোল্টজম্যান বিতরণের জন্য ক্লাসিকভাবে প্রাপ্ত একই ফলাফল দেয়। আরও ফলাফল আদর্শ গ্যাস সম্পর্কিত নিবন্ধের ধ্রুপদী বিভাগে পাওয়া যাবে। বিশাল বোস-আইনস্টাইন কণা এই ক্ষেত্রেঃ যেখানে শক্তি বন্টন ফাংশনকে একীভূত করা এবং এন-এর জন্য সমাধান করা কণা সংখ্যা দেয় যেখানে লিস (জেড) পলিলোগারিদম ফাংশন। পলিলোগারিদম শব্দটি অবশ্যই সর্বদা ধনাত্মক এবং বাস্তব হতে হবে, যার অর্থ এর মান 0 থেকে ζ (3/2) পর্যন্ত যাবে কারণ z 0 থেকে 1 পর্যন্ত যায়। তাপমাত্রা শূন্যের দিকে নেমে যাওয়ার সাথে সাথে আরও বড় এবং বৃহত্তর হয়ে উঠবে, যতক্ষণ না শেষ পর্যন্ত একটি সমালোচনামূলক মানে পৌঁছাবে যেখানে z = 1 এবং যেখানে রিমান জিটা ফাংশনকে বোঝায়। যে তাপমাত্রায় ক্রিটিক্যাল তাপমাত্রা থাকে। এই সংকট তাপমাত্রার নিচে তাপমাত্রার জন্য, কণা সংখ্যার জন্য উপরের সমীকরণটির কোনও সমাধান নেই। সমালোচনামূলক তাপমাত্রা হল সেই তাপমাত্রা যেখানে বোস-আইনস্টাইন ঘনীভূত হতে শুরু করে। সমস্যাটি হল, যেমনটি উপরে উল্লেখ করা হয়েছে, ধারাবাহিকতার আনুমানিকতায় স্থল অবস্থাকে উপেক্ষা করা হয়েছে। যাইহোক, দেখা যাচ্ছে যে কণা সংখ্যার জন্য উপরের সমীকরণটি উত্তেজিত অবস্থায় বোসোনের সংখ্যাকে ভালভাবে প্রকাশ করে এবং এইভাবেঃ যেখানে যোগ করা শব্দটি স্থল অবস্থায় কণাগুলির সংখ্যা। স্থল অবস্থার শক্তিকে উপেক্ষা করা হয়েছে। এই সমীকরণটি শূন্য তাপমাত্রা পর্যন্ত ধরে রাখবে। আদর্শ বোস গ্যাস সম্পর্কিত নিবন্ধে আরও ফলাফল পাওয়া যাবে। ভরহীন বোস-আইনস্টাইন কণা (যেমন। কৃষ্ণ বস্তুর বিকিরণ) ভরহীন কণাগুলির ক্ষেত্রে, ভরহীন শক্তি বিতরণ ফাংশন ব্যবহার করা আবশ্যক। এই ফাংশনটিকে ফ্রিকোয়েন্সি ডিস্ট্রিবিউশন ফাংশনে রূপান্তর করা সুবিধাজনকঃ ভরহীন কণাগুলির জন্য তাপীয় তরঙ্গদৈর্ঘ্য কোথায়। বর্ণালী শক্তির ঘনত্ব (প্রতি একক ফ্রিকোয়েন্সি প্রতি একক আয়তনে শক্তি) তখন হয় অন্যান্য তাপগতিবিদ্যার পরামিতিগুলি বিশাল কণাগুলির ক্ষেত্রে অনুরূপভাবে উদ্ভূত হতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, ফ্রিকোয়েন্সি ডিস্ট্রিবিউশন ফাংশনকে সংহত করা এবং এন-এর জন্য সমাধান করা কণাগুলির সংখ্যা দেয়ঃ সবচেয়ে সাধারণ ভরহীন বোস গ্যাস হল একটি কৃষ্ণদেহে একটি ফোটন গ্যাস। "বাক্স" কে একটি কালো দেহ গহ্বর হিসাবে গ্রহণ করে, ফোটনগুলি ক্রমাগত শোষণ করা হয় এবং দেয়াল দ্বারা পুনরায় নির্গত হয়। এই ক্ষেত্রে, ফোটনের সংখ্যা সংরক্ষণ করা হয় না। বোস-আইনস্টাইন পরিসংখ্যানের ব্যুৎপাতে, যখন কণার সংখ্যার উপর নিয়ন্ত্রণ অপসারণ করা হয়, তখন এটি কার্যকরভাবে রাসায়নিক সম্ভাব্যতা (μ) শূন্যে সেট করার সমান। উপরন্তু, যেহেতু ফোটনের দুটি ঘূর্ণন অবস্থা রয়েছে, তাই f-এর মান 2। বর্ণালী শক্তির ঘনত্ব তখন হয় যা ব্ল্যাক বডি বিকিরণের প্ল্যাঙ্কের আইনের জন্য বর্ণালী শক্তির ঘনত্ব। লক্ষ্য করুন যে ভিয়েন বিতরণ পুনরুদ্ধার করা হয় যদি এই পদ্ধতিটি ভরহীন ম্যাক্সওয়েল-বোল্টজম্যান কণাগুলির জন্য করা হয়, যা উচ্চ তাপমাত্রা বা কম ঘনত্বের জন্য প্ল্যাঙ্কের বিতরণকে আনুমানিক করে। নির্দিষ্ট কিছু পরিস্থিতিতে, ফোটনের সাথে জড়িত প্রতিক্রিয়াগুলির ফলে ফোটনের সংখ্যা সংরক্ষণ হবে (যেমন। হালকা-নির্গমনকারী ডায়োড, "সাদা" গহ্বর)। এই ক্ষেত্রে, ফোটন বিতরণ ফাংশন একটি অ-শূন্য রাসায়নিক সম্ভাব্যতা জড়িত হবে। (হারমান 2005) তাপ ক্ষমতার জন্য ডেবি মডেল দ্বারা আরেকটি ভরহীন বোস গ্যাস দেওয়া হয়েছে। এই মডেলটি একটি বাক্সে ফোননের একটি গ্যাস বিবেচনা করে এবং ফোটনের বিকাশের থেকে পৃথক যে ফোননের গতি আলোর গতির চেয়ে কম, এবং বাক্সের প্রতিটি অক্ষের জন্য সর্বাধিক অনুমোদিত তরঙ্গদৈর্ঘ্য রয়েছে। এর মানে হল যে ফেজ স্পেসের উপর ইন্টিগ্রেশন অনন্ত পর্যন্ত করা যায় না, এবং পলিলোগারিদমগুলিতে ফলাফল প্রকাশ করার পরিবর্তে, সেগুলি সম্পর্কিত ডেবি ফাংশনে প্রকাশ করা হয়। বিশাল ফারমি-ডিরাক কণা (যেমন। একটি ধাতুতে ইলেকট্রন) এই ক্ষেত্রেঃ শক্তি বন্টন ফাংশনকে একীভূত করলে পাওয়া যায় যেখানে আবার, লিস (জেড) হল পলিলোগারিদম ফাংশন এবং এটি তাপীয় ডি ব্রগলি তরঙ্গদৈর্ঘ্য। আদর্শ ফার্মি গ্যাস সম্পর্কিত নিবন্ধে আরও ফলাফল পাওয়া যাবে। ফার্মি গ্যাসের প্রয়োগ মুক্ত ইলেক্ট্রন মডেল, সাদা বামন তত্ত্ব এবং সাধারণভাবে অধঃপতিত পদার্থে পাওয়া যায়। আরও দেখুন গ্যাস ইন এ হারমোনিক ট্র্যাপ রেফারেন্স ভু-কুওক, এল., কনফিগারেশন ইন্টিগ্রাল (স্ট্যাটিস্টিক্যাল মেকানিক্স), 2008. এই উইকি সাইটটি ডাউন; 2012 সালের 28শে এপ্রিল ওয়েব আর্কাইভে এই নিবন্ধটি দেখুন। পরিসংখ্যানগত বলবিজ্ঞান