Numerical model of the Solar System
সৌরজগতের একটি সংখ্যাসূচক মডেল হল গাণিতিক সমীকরণের একটি সেট, যা সমাধান করা হলে সময়ের একটি ফাংশন হিসাবে গ্রহগুলির আনুমানিক অবস্থান দেয়। এই ধরনের একটি মডেল তৈরি করার প্রচেষ্টা মহাজাগতিক বলবিজ্ঞানের আরও সাধারণ ক্ষেত্র প্রতিষ্ঠা করে। এই অনুকরণের ফলাফলগুলি সঠিকতা পরীক্ষা করার জন্য অতীত পরিমাপের সাথে তুলনা করা যেতে পারে এবং তারপর ভবিষ্যতের অবস্থানের পূর্বাভাস দিতে ব্যবহার করা যেতে পারে। তাই এর প্রধান ব্যবহার হল পঞ্জিকা প্রস্তুত করা। পুরানো প্রচেষ্টা সিমুলেশনগুলি কার্টেসিয়ান বা গোলাকার স্থানাঙ্কে করা যেতে পারে। প্রথমটি সহজ, কিন্তু অত্যন্ত গণনামূলক, এবং শুধুমাত্র একটি বৈদ্যুতিন কম্পিউটারে ব্যবহারিক। যেমন পূর্বকালে শুধুমাত্র পরেরটি ব্যবহার করা হত। কঠোরভাবে বলতে গেলে, পরেরটি খুব কম গণনা নিবিড় ছিল না, তবে কিছু সহজ অনুমান দিয়ে শুরু করা এবং তারপরে প্রয়োজনীয় নির্ভুলতায় পৌঁছানোর জন্য যতটা প্রয়োজন ততটাই বিশৃঙ্খলা যুক্ত করা সম্ভব ছিল। মূলত সৌরজগতের এই গাণিতিক অনুকরণটি এন-বডি সমস্যার একটি রূপ। প্রতীক এন বস্তুর সংখ্যার প্রতিনিধিত্ব করে, যা সূর্য, 8টি গ্রহ, কয়েক ডজন চাঁদ এবং অগণিত গ্রহাণু, ধূমকেতু ইত্যাদি অন্তর্ভুক্ত থাকলে বেশ বড় হতে পারে। তবে অন্য যে কোনও বস্তুর উপর সূর্যের প্রভাব এতটাই বড়, এবং একে অপরের উপর অন্যান্য সমস্ত বস্তুর প্রভাব এত কম যে, সমস্যাটি বিশ্লেষণাত্মকভাবে সমাধানযোগ্য 2-বস্তুর সমস্যায় হ্রাস করা যেতে পারে। প্রতিটি গ্রহের ফলাফল হল একটি কক্ষপথ, সময়ের ক্রিয়া হিসাবে তার অবস্থানের একটি সহজ বর্ণনা। একবার এটি সমাধান হয়ে গেলে চাঁদ এবং গ্রহগুলির একে অপরের উপর প্রভাবগুলি ছোট সংশোধন হিসাবে যুক্ত করা হয়। এগুলি একটি পূর্ণ গ্রহের কক্ষপথের তুলনায় ছোট। কিছু সংশোধন এখনও কয়েক ডিগ্রি বড় হতে পারে, যখন পরিমাপ 1′′ এর চেয়ে ভাল নির্ভুলতার জন্য করা যেতে পারে। যদিও এই পদ্ধতিটি সিমুলেশনের জন্য আর ব্যবহার করা হয় না, তবুও একটি আনুমানিক ইফিমেরিস খুঁজে বের করা কার্যকর কারণ কেউ তুলনামূলকভাবে সহজ প্রধান সমাধানটি নিতে পারে, সম্ভবত কয়েকটি বৃহত্তম বিশৃঙ্খলা যোগ করতে পারে এবং গ্রহের অবস্থানে খুব বেশি প্রচেষ্টা ছাড়াই পৌঁছতে পারে। অসুবিধাটি হল যে বিশৃঙ্খলা তত্ত্বটি অত্যন্ত উন্নত গণিত। আধুনিক পদ্ধতি আধুনিক পদ্ধতিতে ত্রিমাত্রিক স্থানে সংখ্যাসূচক সংহতকরণ রয়েছে। একটি অবস্থানের (x, y, z) জন্য একটি উচ্চ নির্ভুলতা মান এবং জড়িত প্রতিটি বস্তুর জন্য বেগ (vx, vy, vz) দিয়ে শুরু হয়। যখন প্রতিটি বস্তুর ভরও জানা যায়, তখন নিউটনের মাধ্যাকর্ষণ আইন থেকে ত্বরণ (অক্ষ, আয়, আজ) গণনা করা যেতে পারে। প্রতিটি বস্তু একে অপরের দেহকে আকর্ষণ করে, মোট ত্বরণ এই সমস্ত আকর্ষণের সমষ্টি। এরপরে একটি ছোট সময়-ধাপ Δt বেছে নেওয়া হয় এবং নিউটনের গতির দ্বিতীয় সূত্র প্রয়োগ করা হয়। ত্বরণকে Δt দিয়ে গুণ করলে বেগ সংশোধন হয়। Δt দিয়ে গুণিত বেগটি অবস্থানের একটি সংশোধন দেয়। এই পদ্ধতিটি অন্যান্য সমস্ত শরীরের জন্য পুনরাবৃত্তি করা হয়। ফলাফল হল সমস্ত বস্তুর অবস্থান এবং বেগের জন্য একটি নতুন মান। তারপর, এই নতুন মানগুলি ব্যবহার করে পরবর্তী সময়-ধাপের জন্য সম্পূর্ণ গণনা শুরু করা হয়। এই পদ্ধতিটি প্রায়শই পুনরাবৃত্তি করা যথেষ্ট, এবং সময়ের সাথে সাথে সমস্ত দেহের অবস্থানের বিবরণ দিয়ে শেষ হয়। এই পদ্ধতির সুবিধা হল যে একটি কম্পিউটারের জন্য এটি করা খুব সহজ কাজ, এবং এটি একই সময়ে সমস্ত সংস্থার জন্য অত্যন্ত সঠিক ফলাফল দেয়, বিশৃঙ্খলা নির্ধারণের জন্য জটিল এবং কঠিন পদ্ধতিগুলি দূর করে। অসুবিধাটি হল যে একজনকে অবশ্যই প্রথমে অত্যন্ত সঠিক পরিসংখ্যান দিয়ে শুরু করতে হবে, নতুবা ফলাফলগুলি সময়ের সাথে সাথে বাস্তবতা থেকে দূরে সরে যাবে; যে একজন x, y, z অবস্থানগুলি পায় যা প্রায়শই ব্যবহার করার আগে আরও ব্যবহারিক ক্রান্তীয় বা নিরক্ষীয় স্থানাঙ্কে রূপান্তরিত হয়; এবং এটি একটি সমস্ত বা কিছুই নয় পদ্ধতি। যদি কেউ একটি নির্দিষ্ট সময়ে একটি গ্রহের অবস্থান জানতে চায়, তাহলে অন্যান্য সমস্ত গ্রহ এবং সমস্ত মধ্যবর্তী সময়-ধাপও গণনা করতে হবে। সংহতকরণ পূর্ববর্তী বিভাগে এটি ধরে নেওয়া হয়েছিল যে ত্বরণ একটি ছোট টাইমস্টেপ δt-এর উপর স্থির থাকে যাতে গণনাটি কেবল R-এর সাথে V × δt যোগ করা এবং আরও অনেক কিছুতে হ্রাস পায়। বাস্তবে এটি হয় না, যখন কেউ এত কম পদক্ষেপ নেয় যে নেওয়া পদক্ষেপের সংখ্যা নিষেধাত্মকভাবে বেশি হবে। কারণ যে কোনও সময়ে অবস্থানটি ত্বরণ দ্বারা পরিবর্তিত হয়, ত্বরণের মান তাৎক্ষণিক অবস্থান দ্বারা নির্ধারিত হয়। স্পষ্টতই একটি সম্পূর্ণ সংহতকরণ প্রয়োজন। বিভিন্ন পদ্ধতি পাওয়া যায়। প্রথমে প্রয়োজনীয় সমীকরণগুলি লক্ষ্য করুনঃ এই সমীকরণটি একটি নির্দিষ্ট বস্তু জে-এর উপর 1 থেকে এন পর্যন্ত চলমান সমস্ত বস্তুর ত্বরণ বর্ণনা করে। এটি একটি ভেক্টর সমীকরণ, তাই এটিকে এক্স, ওয়াই, জেড উপাদানগুলির প্রত্যেকটির জন্য 3টি সমীকরণে বিভক্ত করতে হবে, যার ফলস্বরূপঃ অতিরিক্ত সম্পর্কের সাথে, একইভাবে ওয়াই এবং জেড-এর জন্য। পূর্ববর্তী সমীকরণটি (মাধ্যাকর্ষণ) অনুমানযোগ্য বলে মনে হতে পারে, তবে এর গণনায় কোনও সমস্যা নেই। পরের সমীকরণগুলি (গতির সূত্র) সহজ বলে মনে হলেও সেগুলি গণনা করা যায় না। কম্পিউটারগুলি ইন্টিগ্রেট করতে পারে না, তারা অসীম মানগুলির সাথে কাজ করতে পারে না, তাই dt এর পরিবর্তে আমরা Δt ব্যবহার করি এবং ফলস্বরূপ পরিবর্তনশীলটিকে বাম দিকে নিয়ে আসিঃ, এবংঃ মনে রাখবেন যে a এখনও সময়ের একটি ফাংশন। এগুলি সমাধান করার সবচেয়ে সহজ উপায় হল ইউলার অ্যালগরিদম, যা মূলত উপরে বর্ণিত রৈখিক সংযোজন। শুধুমাত্র কিছু সাধারণ কম্পিউটার ভাষায় নিজেদেরকে 1 মাত্রায় সীমাবদ্ধ করাঃ a.old = মাধ্যাকর্ষণ ফাংশন (x.old) x.new = x.old + v.old * dt v.new = v.old + a.old * dt মূলত টাইমস্টেপের পুরো সময়কালের জন্য ব্যবহৃত ত্বরণ, টাইমস্টেপের শুরুতে যেমন ছিল তেমনই, এই সহজ পদ্ধতির কোনও উচ্চ নির্ভুলতা নেই। গড় ত্বরণ গ্রহণের মাধ্যমে আরও ভাল ফলাফল অর্জন করা যায়, প্রারম্ভিক মান এবং প্রত্যাশিত (নিরবচ্ছিন্ন) শেষ মানের মধ্যে গড়ঃ a.old = মাধ্যাকর্ষণ ফাংশন (x.old) x.expect = x.old + v.old * dt a.expect = মাধ্যাকর্ষণ ফাংশন (x.expect) v.new = v.old + (a.old + a.expect) * 0.5 * dt x.new = x.old + (v.new + v.old) * 0.5 * dt অবশ্যই মধ্যবর্তী মান গ্রহণ করে আরও ভাল ফলাফল আশা করা যেতে পারে। রঙ্গে-কুট্টা পদ্ধতি ব্যবহার করার সময় এটি ঘটে, বিশেষত 4র্থ বা 5ম শ্রেণীর পদ্ধতিটি সবচেয়ে কার্যকর। দীর্ঘমেয়াদী শক্তি সংরক্ষণের কারণে লিপফ্রগ পদ্ধতিটি সবচেয়ে বেশি ব্যবহৃত হয়। একটি সম্পূর্ণ ভিন্ন পদ্ধতি হল টেলর সিরিজের ব্যবহার। সেক্ষেত্রে আমরা লিখিঃ কিন্তু শুধুমাত্র r-এ কিছু উচ্চতর অন্তরজ পর্যন্ত বিকাশের পরিবর্তে, কেউ r এবং v (অর্থাৎ r ')-এ লিখতে পারে এবং তারপর একটি সিরিজে f এবং g-এর গুণকগুলি লিখতে পারে। আনুমানিক ত্বরণ গণনা করতে প্রতিটি বস্তুর একে অপরের উপর মহাকর্ষীয় আকর্ষণকে বিবেচনায় নিতে হবে। ফলস্বরূপ সিমুলেশনে গণনার পরিমাণ বস্তুর সংখ্যার বর্গের সাথে বৃদ্ধি পায়ঃ বস্তুর সংখ্যা দ্বিগুণ করলে একটি চার নম্বর গুণক সহ কাজ বৃদ্ধি পায়। সিমুলেশনের নির্ভুলতা বাড়ানোর জন্য কেবল আরও দশমিকই নয়, ছোট টাইমস্টেপও নিতে হবে, আবার দ্রুত কাজের পরিমাণ বাড়িয়ে দিতে হবে। স্পষ্টতই কাজের পরিমাণ কমানোর জন্য কৌশল প্রয়োগ করতে হবে। এই কৌশলগুলির কয়েকটি এখানে দেওয়া হল। এখন পর্যন্ত সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ কৌশলটি হল একটি যথাযথ ইন্টিগ্রেশন পদ্ধতির ব্যবহার, যা ইতিমধ্যে উপরে বর্ণিত হয়েছে। একক নির্বাচন গুরুত্বপূর্ণ। এস. আই ইউনিটগুলিতে কাজ করার পরিবর্তে, যা কিছু মানকে অত্যন্ত ছোট এবং কিছু অত্যন্ত বড় করে তুলবে, সমস্ত ইউনিটকে এমনভাবে স্কেল করতে হবে যাতে তারা 1 এর আশেপাশে থাকে। উদাহরণস্বরূপ, সৌরজগতের দূরত্বের জন্য জ্যোতির্বিদ্যার এককটি সবচেয়ে সরল। যদি এটি না করা হয় তবে একটি ভাসমান বিন্দু ওভারফ্লো বা আন্ডারফ্লোতে গণনার মাঝখানে একটি সিমুলেশন পরিত্যক্ত দেখতে পাওয়া প্রায় নিশ্চিত, এবং যদি ততটা খারাপ না হয়, তবুও কাটা ত্রুটির কারণে নির্ভুলতা হারিয়ে যাওয়ার সম্ভাবনা রয়েছে। যদি এন বড় হয় (সৌরজগতের সিমুলেশনে এত বেশি নয়, তবে গ্যালাক্সি সিমুলেশনে আরও বেশি) তবে বস্তুর গতিশীল গোষ্ঠী তৈরি করা প্রথাগত। একটি নির্দিষ্ট দিকে এবং রেফারেন্স বডি থেকে বড় দূরত্বে সমস্ত বস্তু, যা সেই মুহুর্তে গণনা করা হচ্ছে, একসাথে নেওয়া হয় এবং তাদের মহাকর্ষীয় আকর্ষণ পুরো গ্রুপের উপর গড় হয়। একটি বদ্ধ ব্যবস্থার মোট শক্তির পরিমাণ এবং কৌণিক ভরবেগ সংরক্ষিত পরিমাণ। প্রতিবার ধাপের পরে এই পরিমাণগুলি গণনা করে সিমুলেশনটি ধাপের আকার বাড়ানোর জন্য প্রোগ্রাম করা যেতে পারে যদি তারা উল্লেখযোগ্যভাবে পরিবর্তন না করে এবং যদি তারা তা করতে শুরু করে তবে এটি হ্রাস করতে পারে। পূর্বের মতো গোষ্ঠীতে দেহগুলিকে একত্রিত করা এবং কাছাকাছি দেহগুলির তুলনায় দূরবর্তী দেহগুলিতে বড় এবং এইভাবে কম টাইমস্টেপ প্রয়োগ করাও সম্ভব। যখন কোনও নির্দিষ্ট বস্তু রেফারেন্স বডির কাছাকাছি থাকে তখন ত্বরণের অত্যধিক দ্রুত পরিবর্তনের অনুমতি দেওয়ার জন্য, একটি ছোট পরামিতি ই প্রবর্তন করা প্রথাগত যাতে জটিলতা যদি সর্বোচ্চ সম্ভাব্য নির্ভুলতার প্রয়োজন হয় তবে গণনাগুলি আরও জটিল হয়ে ওঠে। ধূমকেতুর ক্ষেত্রে, বিকিরণ চাপ এবং গ্যাস টান-এর মতো অ-মাধ্যাকর্ষণ শক্তিকে অবশ্যই বিবেচনায় নিতে হবে। দীর্ঘমেয়াদী গণনার জন্য বুধ এবং অন্যান্য গ্রহের ক্ষেত্রে, আপেক্ষিক প্রভাবগুলিকে উপেক্ষা করা যায় না। তারপরেও মোট শক্তি আর ধ্রুবক নয় (কারণ রৈখিক ভরবেগ সহ চারটি ভেক্টর শক্তি হল)। আলোর সীমাবদ্ধ গতি ধ্রুপদী এবং আপেক্ষিক উভয় ক্ষেত্রেই আলোক-সময়ের প্রভাবগুলিকে অনুমতি দেওয়া গুরুত্বপূর্ণ করে তোলে। গ্রহগুলিকে আর কণা হিসাবে বিবেচনা করা যায় না, তবে তাদের আকৃতি এবং ঘনত্বও বিবেচনা করা উচিত। উদাহরণস্বরূপ, পৃথিবীর সমতল হওয়ার ফলে অগ্রগতির সৃষ্টি হয়, যার ফলে অক্ষীয় ভাঁজ পরিবর্তিত হয়, যা সমস্ত গ্রহের দীর্ঘমেয়াদী গতিবিধিকে প্রভাবিত করে। সৌরজগতের স্থিতিশীলতার অভাবের কারণে কয়েক লক্ষ বছরেরও বেশি সময় ধরে দীর্ঘমেয়াদী মডেলগুলি সম্ভব নয়। আরও দেখুন এফেমেরিস ভিএসওপি (গ্রহ) তথ্যসূত্র গাণিতিক বিশ্লেষণ গণনামূলক পদার্থবিজ্ঞান সৌরজগতের গতিবিদ্যা সৌরজগতের মডেল