行测数量关系之立体几何问题全攻略
2012年全国各地大部分地区公务员笔试已结束。2013年国家公务员考试预计在10月左右启动,不少考生现在着手准备。数学运算是行测中较难的一个模块,得分率较低,且考试做答题时普遍反映数学运算需要不少时间。诚然,每年的数学运算都会有些新题出来,但大多数的题还是以往见过的类型,因此熟练掌握常规解法极其重要。并且,如果能记住一些重要的公式和结论,遇到适用的题型能直接套用公式的话,能大大缩短解题时间,也会有很高的正确率。因此考生一定要记住一些常用的公式结论。 在2011年浙江公务员行测考试中,出现了一道立体几何问题,且最近两年的国家公务员考试中,对立体几何问题均有考查,因此掌握立体几何相关知识对于备考是非常重要的。因为,为了防患于未然,国家公务员考试网专家在此为考生讲解立体几何问题。复习时可参考《2013年国家公务员考试通用教材》。 一、立体图形的表面积和体积 例题1:一个长方体模型,所有棱长之和为72,长、宽、高的比是4∶3∶2,则体积是多少？ a.72 b.192 c.128 d.96 解析:此题答案为b。所有棱长(长、宽、高各4条)之和为72,即长+宽+高=72÷4=18,已知长、宽、高的比是4∶3∶2,所以长为8、宽为6、高为4,体积=8×6×4=192。 例题2:一个长方体形状的盒子长、宽、高分别为20厘米、8厘米和2厘米,现在要用一张纸将其六个面完全包裹起来,要求从纸上剪下的部分不得用作贴补,请问这张纸的大小可能是下列哪一个？ a.长25厘米、宽17厘米 b.长26厘米、宽14厘米 c.长24厘米、宽21厘米 d.长24厘米、宽14厘米 解析:此题答案为c。该长方体的表面积为2×(20×8+20×2+8×2)=432平方厘米,这张纸的面积一定要大于长方体的表面积,选项中只有c项符合。如图所示,实线部分可折叠得到题中盒子,说明这张纸能将这个盒子完全包裹起来。 二、立体图形的切割和拼接问题 考试中题目出现的求切割和拼接后的面积、表面积和体积变化问题,遵循以下原则: 立体图形切割,则总表面积增加了截面面积的2倍；拼接则总表面积减小了截面面积的2倍。 例题:将一个表面积为36平方米的正方体等分成两个长方体,再将这两个长方体拼成一个大长方体,则大长方体的表面积是: a.24平方米 b.30平方米 c.36平方米 d.42平方米 解析:此题答案为d。正方体每个面的面积为36÷6=6平方米。 将正方体平分以后,表面积增加6×2=12平方米；拼成大长方体后,表面积减少2×(6÷2)=6平方米,因此大长方体的表面积为36+12-6=42平方米。 快速突破:在切割和拼接过程中,体积不变。根据体积一定,越趋近于球,表面积越小,可知大长方体的表面积大于36平方米,只有d项符合。 三、物体浸水问题 物体浸入水中,水面会上升,水的总体积不变,因此水的变化高度=浸没体积÷容器底面积(行测考试中容器一般为规则立体图形)即物体浸入前后,水的体积变化等于该物体浸入水中的体积。 例题:现有边长1米的一个木质正方体,已知将其放入水里,将有0.6米浸入水中。如果将其分割成边长0.25米的小正方体,并将所有的小正方体都放入水中,直接和水接触的表面积总量为: a.3.4平方米 b.9.6平方米 c.13.6平方米 d.16平方米 解析:此题答案为c。边长为1米的正方体可以分割成1÷(0.25)3=64个边长为0.25米的小正方体。 如果把边长1米的木质正方体放入水里,与水直接接触的表面积为1×1+0.6×1×4=3.4平方米。 由于小立方体浸入水中的总体积与正方体相同,所以每个小正方体浸入水中的比例与立方体相同。因为小正方体的边长是正方体的14,所以其与水直接接触的面积是大正方体的116,其总共与水直接接触的总面积为64×3.4×116=3.4×4=13.6平方米。 四、立方体染色问题 假设将一个立方体切割成边长为原来的1  n的小立方体,在表面染色,则 (1)三个面被染色的是8个顶角的小立方体； (2)两个面被染色的是12(n-2)个在棱上的小正方体； (3)只有一个面被染色的是6(n-2)2个位于外表面中央的小正方体。 (4)都没被染色的是(n-2)3个不在表面的小立方体。 例题:一个边长为8的正立方体,由若干个边长为1的正立方体组成,现在要将大立方体表面涂漆,请问一共有多少个小立方体被涂上了颜色？ a.296 b.324 c.328 d.384 解析:此题答案为a。边长为8的正立方体共有8×8×8=512个边长为1的小正立方体,不在表面的小正立方体共有6×6×6=216个,所以被染色的小正方体的个数为512-216=296。