[转载]【转】背包九讲 p01: 01背包问题
原文地址:【转】背包九讲 p01: 01背包问题作者:happysnow p01: 01背包问题 题目: 有n件物品和一个容量为v的背包。第i件物品的费用是c[i],价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。 基本思路: 这是最基础的背包问题,特点是:每种物品仅有一件,可以选择放或不放。 用子问题定义状态:即f[i][v]表示前i件物品恰放入一个容量为v的背包可以获得的最大价值。则其状态转移方程便是: f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i+w[i]} 这个方程非常 重要,基本上所有跟背包相关的问题的方程都是由它衍生出来的。所以有必要将它详细解释一下:"将前i件物品放入容量为v的背包中"这个子问题,若只考虑第 i件物品的策略(放或不放),那么就可以转化为一个只牵扯前i-1件物品的问题。如果不放第i件物品,那么问题就转化为"前i-1件物品放入容量为v的背 包中",价值为f[i-1][v]；如果放第i件物品,那么问题就转化为"前i-1件物品放入剩下的容量为v-c[i]的背包中",此时能获得的最大价值 就是f[i-1][v-c[i再加上通过放入第i件物品获得的价值w[i]。 优化空间复杂度: 以上方法的时间和空间复杂度均为o(vn),其中时间复杂度应该已经不能再优化了,但空间复杂度却可以优化到o。 先考虑上面讲 的基本思路如何实现,肯定是有一个主循环i=1..n,每次算出来二维数组f[i][0..v]的所有值。那么,如果只用一个数组f[0..v],能不能 保证第i次循环结束后f[v]中表示的就是我们定义的状态f[i][v]呢？f[i][v]是由f[i-1][v]和f[i-1][v-c[i两个子 问题递推而来,能否保证在推f[i][v]时(也即在第i次主循环中推f[v]时)能够得到f[i-1][v]和f[i-1][v-c[i的值呢？事 实上,这要求在每次主循环中我们以v=v..0的顺序推f[v],这样才能保证推f[v]时f[v-c[i保存的是状态f[i-1][v-c[i 的值。伪代码如下: for i=1..n for v=v..0 f[v]=max{f[v],f[v-c[i+w[i]}； 其中的f[v]=max{f[v],f[v-c[i}一句恰就相当于我们的转移方程f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i},因为现在的f[v-c[i就相当于原来的f[i-1][v-c[i。如果将v的循环顺序从上面的逆序改成顺序的话,那么则成了f[i][v]由f[i][v-c[i推知,与本题意不符,但它却是另一个重要的背包问题p02最简捷的解决方案,故学习只用一维数组解01背包问题是十分必要的。 事实上,使用一维数组解01背包的程序在后面会被多次用到,所以这里抽象出一个处理一件01背包中的物品过程,以后的代码中直接调用不加说明。 过程zeroonepack,表示处理一件01背包中的物品,两个参数cost、weight分别表明这件物品的费用和价值。 proced re zeroonepack(cost,weight) for v=v..cost f[v]=max{f[v],f[v-cost]+weight} 注意这个过程 里的处理与前面给出的伪代码有所不同。前面的示例程序写成v=v..0是为了在程序中体现每个状态都按照方程求解了,避免不必要的思维复杂度。而这里既然 已经抽象成看作黑箱的过程了,就可以加入优化。费用为cost的物品不会影响状态f[0..cost-1],这是显然的。 有了这个过程以后,01背包问题的伪代码就可以这样写: for i=1..n zeroonepack(c[i],w[i])； 初始化的细节问题: 我们看到的求最优解的背包问题题目中,事实上有两种不太相同的问法。有的题目要求"恰好装满背包"时的最优解,有的题目则并没有要求必须把背包装满。一种区别这两种问法的实现方法是在初始化的时候有所不同。 如果是第一种问法,要求恰好装满背包,那么在初始化时除了f[0]为0其它f[1..v]均设为-∞,这样就可以保证最终得到的f[n]是一种恰好装满背包的最优解。 如果并没有要求必须把背包装满,而是只希望价格尽量大,初始化时应该将f[0..v]全部设为0。 为什么呢？可 以这样理解:初始化的f数组事实上就是在没有任何物品可以放入背包时的合法状态。如果要求背包恰好装满,那么此时只有容量为0的背包可能被价值为0的 nothing"恰好装满",其它容量的背包均没有合法的解,属于未定义的状态,它们的值就都应该是-∞了。如果背包并非必须被装满,那么任何容量的背包 都有一个合法解"什么都不装",这个解的价值为0,所以初始时状态的值也就全部为0了。 这个小技巧完全可以推广到其它类型的背包问题,后面也就不再对进行状态转移之前的初始化进行讲解。 一个常数优化: 前面的伪代码中有 for v=v..1,可以将这个循环的下限进行改进。 由于只需要最后f[v]的值,倒推前一个物品,其实只要知道f[v-c[n即可。以此类推,对以第j个背包,其实只需要知道到f[v-s m{c[j..n]}]即可,即代码中的 for i=1..n for v=v..0 可以改成 for i=1..n bo nd=max{v-s m{c[i..n]},c[i]} for v=v..bo nd 这对于v比较大时是有用的。 小结 01背包问题是最基本的背包问题,它包含了背包问题中设计状态、方程的最基本思想,另外,别的类型的背包问题往往也可以转换成01背包问题求解。故一定要仔细体会上面基本思路的得出方法,状态转移方程的意义,以及最后怎样优化的空间复杂度。