数学学习的心理基础与过程:数学问题解决的教学目标
大 家好！我是"一课研究"第20小组的学员葛素儿,来自杭州市富阳区富春第二小学。很高兴与您在一课研究的微信中相遇！ 听一听:数学问题解决的教学 读一读:数学问题解决的教学 做一做:学以致用 美国著名的问题解决研究专家查尔斯和西尔弗在1989年指出；在过去的十年里,有关问题解决的研究几乎都集中在问题解决能力和表现的分析上,而很少涉及问题解决的教学与评估。现在看来,有关这方面研究的时机已经成熟。于是,从20世纪90年代开始,数学教育界从以个体为对象的问题解决认知过程的研究,转向以课堂为对象的问题解决教学的研究。 数学问题解决的教学应担负 数学课程的哪些目标？ 作为数学教学的三大基本任务之一,其教学目标可以包括以下几个维度: 维度一,使学生成为一个优秀的问题解决者 波利亚说过:"掌握数学意味着什么呢？这就是说善于解题,不仅善于解一些标准的题,而且善于解一些要求独立思考、思路合理、见解独到和有创造发明的题。"因此,问题解决的目标之一应该是培养学生成为一个好的问题解决者。 那么一个好的问题解决者应该具备哪些素养呢？我们一起来听听,顾泠沅等学者怎么说。 (1)具有较为广博的知识,而且,这些知识是按照其内在的数学结构(包括基本的思维模式)很好地组织起来的。这也就是说,他对于对象的数学结构十分"敏感",并能依据对于数学结构的分析发现不同对象之间的内在联系。 (2)具有较为丰富的解题经验,并由此而获得了关于一般的思想方法和思维模式的深刻体验,即较好地实现了关于启发法原则的由外部向内部、由不自觉向自觉的转化,从而能根据实际情况对此综合地、灵活地、创造性地加以应用。 (3)有较好的自我调节的能力,即对自己所从事的解题活动有清醒的自我意识,善于对目前的处境进行评估并作出必要的调整,特别是应当能做到"胜不骄,败不馁",即在顺利的时候善于发现隐蔽的错误或问题,在困难的时候敢于坚持,在必要的时候能大胆地否定自己,并对自己做数学的能力富有信心。 (4)对数学的性质、数学解题的性质等有较正确的认识,特别是能自觉地抵制和纠正各种不正确的观念,并逐渐形成正确的"数学观"-一种分析和理解的偏好、一种理解结构和结构关系的偏好、一种观察事物和相应适应的偏好。 (5)有较好的"解题胃口",并能由问题解决获得真正的乐趣。 (6)倾向于用数学语言精确地分析问题情境。他们喜欢用最简单的方法去解决问题,也愿意考虑进行深人的分析,并倾向于从结构出发去探索事物的数学特征,从而进行抽象和一般化；他们善于寻找多种解题途径,进而建立新的联系、发现新的因素、揭示不同的数学特征,并形成新的问题。 (7)倾向于去探索情境、作出猜想,进而检验猜想、推理论证,或者在反例的基础上放弃猜想,能够运用各种不同的策略去解决问题,并把这些策略应用于新的情境,并逐渐形成特定的数学思维模型,其中包括模型化、抽象化、最优化、逻辑分析、数据推理和符号运用。 显然,要使学生成为一个好的问题解决者,教学是一个关键的因素。正如匈菲尔德所指出的:只有当教师创设一种环境,鼓励学生去探索、去冒险、去体验成功与失败、去相互提问时,发展问题解决能力才能成为学数学和做数学的一个自然的组成部分。 维度二,帮助学生增进对数学的理解 nctm在美国2000年数学标准中指出:"解决问题的能力不仅是数学学习的目的,也是一种主要的学习形式。当学生运用问题解决的途径去研究数学内容时,他们可以发展新的数学理解,强化运用所学数学知识的能力。问题解决意味着所从事的是一件事先不知道解决方法的工作,为了去寻找解决方法,学生必须从不同途径去应用所学的知识,通过这种过程,他们也可以学到一些新的知识。问题解决是所有数学学习的一个有机的组成因素,而不是数学课程中独立的一部分。它必须被很好地组织到课程中去,以帮助学生的数学理解。学生必须经常有机会去形成公式、钻研并解决复杂的需要很大的努力才能解决的问题。" 基尔派特里克认为,问题解决的意义在于:"把数学问题当作是数学建构的源泉及数学教学的工具,亦即通过数学问题解决的教学,学生可建构自己的数学知识。"詹姆士等人的研究也表明,问题解决有助于学生的数学理解。 维度三,学会数学式的思维 普通的学生能不能像数学家那样思维呢？匈菲尔德的教学实验表明:这是可能的。 匈菲尔德的实验始于一个很大的问题:"关于勾股定理我们能做什么？" 首先,学生讨论了勾股定理的各种解法；探讨了它在三维和多维的类比定理；考虑了它在几何上的扩展和相似的问题；然后把焦点集中在下面的丢番图方程上: 我们能发现方程的所有正整数解吗？ 现在,任何数学家都可以告诉你方程的一般解。如果是在一个以介绍内容为主的课堂里,关于上述结果的介绍用不了10分钟,然后马上转入其他内容。 但在我们的课堂里,情况则不一样。学生开始提出他们所知道的一些解,从中发现许多规律,比如整数乘以勾股数仍然是勾股数等。 学生可能会问:"如果我们证明了这个猜想,那么能发表吗？" 回答是当然的,不能。正如前面所说的,标准的解答在任何一本初等数论教材中都可以找到。但并不因此,学生的问题以及班级的成果而失去了意义,至少,他们认为自己是在做有关知识的前沿性工作。这种感觉对他们来说是很有意义的。 此外,虽然问题有一般的解,但是他们所给出的勾股数的两种特殊形式对我来说是新的,也让许多数学家感到惊奇,更重要的是,就他们所在的知识范围来说,他们的确是在做数学,他们是在一个与他们的知识能力相当的水平上,从事科学模式的研究。 匈菲尔德认为,要通过问题解决培养学生的数学思维,首先必须选择一个合适的有真正数学"味道"的问题,比如上述的勾股定理问题。这种问题的一个特征是:在解答过程中可以产生新的数学问题,由此得出一连串的数学问题。 维度四:帮助学生形成正确的数学信念 动机与信念是影响学生数学问题解决的一个重要因素,而已有的一些调查都表明,学生的数学信念存在着许多问题。因此,数学问题解决教学的一个重要目的是帮助学生形成正确的数学信念。 为此,匈菲尔德曾做过一个教学实验:"数学权威在哪里？" 按照数学哲学的观点,数学中的权威是客观的,正确与否不会随人的意志而转移。但匈菲尔德发现,大多数学生都不相信他们自己也可以成为数学真理的仲裁者。在他们眼里,他们所能做的仅仅是提出自己的论断,而判断和证明则是专家的事。为了改变学生的这种信念,匈菲尔德在自己的课上进行了一次教学实验: 在课程的第二天,我请一位学生板演一个问题,学生在解题过程中,始终把注意力集中在我的身上,希望得到我的肯定或者否定。于是,我就对他说:"你用不着指望我来判断你的工作,我们可以把这件事交给你的同学,他们也许会给你比对还是错更多的东西。"然后我转向班级问大家,"那么,你们什么想法呢？" 在接下来的讨论过程中,我很少给出结果,而是把问题反抛给学生,让他们自己去找出解答；班级学生开始有了一些信念,他们开始明白一个数学论断是否正确并不是哪个人说了算,而是数学本身的原因；我在讨论中的角色是怀疑论者,我经常问学生:"这对吗？你怎么知道？你能给我一个例子吗？你能给我一个反例或者一个证明吗？" 这种模式在以后的课中反复进行,到了第二周的后期,一位学生将她的解答板演后,转向我,正想从我这里得到肯定时,忽然意识到什么,对我眨眨眼说:"我知道,我知道。"然后转向班级,问:"好吧,你们同意吗？"在经过了一番讨论后,大家接受了她的解法。 这种模式一直持续到期末,讨论的重点逐渐转向什么是有说服力的数学论据,讨论沿下面的进程进行,首先说服你自己；然后说服你的朋友；最后说服你的敌人。也就是说,重点是明白正确的理解、判断的含义,学会交流数学思想。 通过这一段时间的教学,匈菲尔德发现,他班上的学生在遇到解题分歧时,已经学会自己去寻找证据,而不是依赖教师的仲裁。 学以致用 数学问题解决的教学应担负 数学课程的哪几个维度的目标？ 一个好的问题解决者应该具备哪些素养？ 从 匈菲尔德的关于勾股定理的教学实验中你获得哪些启示？从 "数学权威在哪里"这个教学实验中呢？