一方を他方のべき乗にすると有理数になる2つの不合理数が存在することを証明するものは何か？
ここでは、a^bが有理数であるような2つの不合理数a、bが存在することを、事例によって証明するのだ。まず、a = b = sqrt(2)を考えてみましょう。sqrt(2)は不合理であることを思い出するのだ。 a^b = sqrt(2) ^ sqrt(2) が有理ならば、a^bが有理数である不合理なa、bが見つかったので終了なのだ。そうでなければ、sqrt(2) ^ sqrt(2)は不合理なのだ。a = sqrt(2) ^ sqrt(2), b = sqrt(2)とする。すると、a ^ b = (sqrt(2) ^ sqrt(2)) となる。^ sqrt(2) = sqrt(2) ^ (sqrt(2) * sqrt(2)) = sqrt(2) ^ 2 = 2 となり、合理的なのだ。つまり、どちらにしても、a^bが有理数である不合理なa、bを求めることができるのなのだ。