ユークリッド空間の部分集合がコンパクトであることを示すのに十分な2つの性質を抽出しなさい。これらの性質を箇条書きにして発表しなさい。
コンパクトの定義は、一般性のレベルに応じて様々なものが適用される可能性がある。特にユークリッド空間の部分集合は、閉じていて有界である場合にコンパクトと呼ばれる。このことは、Bolzano-Weierstrassの定理により、集合からの任意の無限列が、集合内の点に収束する部分列を持つことを意味する。一般的な計量空間では、逐次的コンパクトや極限点コンパクトなど、コンパクトのさまざまな等価な概念を開発することができる。

一方、一般的な位相空間では、コンパクト性の異なる概念は等価ではなく、コンパクト性の最も有用な概念（当初はバイコンパクトネスと呼ばれた）は、開集合からなるカバーを用いて定義される（後述の開カバー定義参照）。ユークリッド空間の閉じた有界部分集合に対してこの形式のコンパクト性が成立することは、ハイネ・ボレルの定理として知られている。このようにコンパクト性を定義すると、空間の各点の近傍で局所的に知られている情報を、空間全体で大域的に成立する情報に拡張できることが多い。この例として、コンパクトな区間上の連続関数は一様に連続であるというディリクレの定理がハイネによって適用された。ここで、連続性は関数の局所的性質であり、一様連続性は対応する大域的性質なのだ。
ハイネ・ボレルの定理によれば、ユークリッド空間の部分集合がコンパクトであることを示すには、次の性質があれば十分である：
- 集合が閉じている
- セットには境界があるのだ。