Modern Portfolio Theory https://en.wikipedia.org/wiki/Modern_portfolio_theory でポートフォリオのリターンと分散を計算するための数式を math latex markdown 形式で抽出する。
MPTは、投資家がリスクを嫌うことを前提としているのだ。つまり、同じ期待リターンを提供する2つのポートフォリオがあれば、投資家はよりリスクの低い方を選ぶということなのだ。したがって、投資家は、より高い期待リターンで補償される場合にのみ、より高いリスクを負うことになる。逆に、より高い期待リターンを求める投資家は、より高いリスクを受け入れなければならない。正確なトレードオフは、すべての投資家にとって同じではありません。投資家は、それぞれのリスク回避特性に基づいて、トレードオフを異なる方法で評価する。つまり、合理的な投資家は、より有利なリスクと期待リターンのプロフィールを持つ第二のポートフォリオが存在する場合、つまり、そのレベルのリスクに対して、より良い期待リターンを持つ代替ポートフォリオが存在する場合、そのポートフォリオに投資しない、ということなのだ。

モデルの下で：

ポートフォリオ・リターンは、構成資産のリターンを比率加重したものなのだ。
ポートフォリオ・リターンのボラティリティ
\p} は、すべての資産ペア (i, j) について、構成資産の相関関係 ρij の関数なのだ。ボラティリティは、投資に関連するリスクを洞察するものなのだ。ボラティリティが高ければ高いほど、リスクは高くなります。
- 期待されるリターン
$$
\E}left(R_pright)=sum_i w_i ゙Mathrm{E}left(R_i}R_right)
$$
ここで、$R_p$はポートフォリオのリターン、$R_i$は資産$i$のリターン、$w_i$は構成資産$i$のウェイト（つまり、$sum_i w_i=1$ となるように、ポートフォリオにおける資産「i」の割合）なのだ。
- ポートフォリオのリターン分散：
$$
\sigma_p^2=sum_i w_i^2 ㊟＋sum_i ㊞ w_i w_j
$$
ここで、$sigma_i$は資産$i$の定期的なリターンの（サンプル）標準偏差、$rho_{i j}$は資産$i$と$j$のリターンの間の相関係数なのだ。あるいは、この式は次のように書くことができる：
$$
\sigma_p^2=sum_i ╱ w_i w_j ╱ rho_i j
$$
ここで、$i=j$のとき$rho_{i j}=1$とする。
$$
\sigma_p^2=sum_i ╱ w_i w_j ╱ sigma_{i j}.
$$
ここで、$sigma_{i j}=i \sigma_i \rho_{i j}$ は、2つの資産の周期的リターンの（サンプル）共分散で、$sigma（i，j）$、$operatorname{cov}{ }_{i j}$ または $operatorname{cov}(i, j)$ とも表現される。
- ポートフォリオ・リターンのボラティリティ(標準偏差)：
$$
\sigma_p=\sqrt{\sigma_p^2}
$$
2資産ポートフォリオの場合
- ポートフォリオ・リターン：
$$mathrm{E} } }left(R_pright)=w_A \mathrm{E} }left(R_Aright)+w_B ★mathrm{E} } }left(R_Bacheright)=w_A ★mathrm{E} ｜R_Aright ｜+left(1-w_Aacheright) ★mathrm{E} ｜R_Bacheright$$ ←この2つ。

- ポートフォリオの分散：
sigma_p^2=w_A^2 ╱w_B^2 ╱b^2+2 w_A w_B ╱sigma_A ╱b} $$rho_{A B}$.
3資産ポートフォリオの場合
- ポートフォリオ・リターン：
$$mathrm{E}}left(R_pacheright)=w_A \mathrm{E}}left(R_Aacheright)+w_B ★mathrm{E}}left(R_Bacheright)+w_C ★mathrm{E}}left(R_Cacheright)$$
- ポートフォリオの分散：
$$sigma_p^2=w_A^2 \sigma_A^2+w_B^2 ╱W_C^2+2 w_A w_B ╱A B}+2 w_A w_C ╱A C}+2 w_B w_C ╱B C}$$.なのだ。