2の平方根が不合理であることの証明をしてくれ
ここで、2の平方根が不合理であることの矛盾による証明をするのだ。まず、無理数とは、整数pとqに対してp / qと書けない数であることを思い出するのだなのだ。矛盾のために、2の平方根は合理的であると仮定するのだ。これは、ある整数pとqに対してsqrt（2）=p / qであることを意味するのだ。このように仮定できるのは、どんな整数分数もこのような縮小形で書くことができるため、sqrt(2)の有理表現が存在することは、縮小形が存在することを意味するのだ。ここで、上の式の両辺を2乗すると、次のようになるなのだ。

2 = p^2 / q^2

を、共通因子をもたない整数pとqのときに求めるなのだ。ここで、q^2を掛けると

2 * q^2 = p^2

左辺は2の倍数で偶数なので、右辺のp^2も偶数であることに注意するのだなのだ。つまり、pも偶数でなければならず、そうでなければp^2も偶数にならないのだ。つまり、pはある整数xに対して2 * xと書くことができるなのだ。これを上の式に代入すると、次のようになるなのだ。

2 * q^2 = (2 * x)^2 = 2^2 * x^2

式の両辺には、キャンセル可能な2の因子があることに注意するのだなのだ。これを実行すると、次のようになるのだ。

q^2 = 2 * x^2

上と同じような議論によって、qは偶数であると結論づけることができるなのだ。しかし、これはpとqが共通因子を持たないという仮定と矛盾するのだ。したがって、sqrt(2)が有理数であるという最初の仮定は誤りであり、これは我々が証明しようとしたことなのだ。