この文章から、組合せ論におけるBurnsideのレンマの実用的な応用例を挙げてください。
バーンサイドのレンマは、バーンサイドの計数定理、コーシー・フロベニウスのレンマ、軌道計数定理、バーンサイドではないレンマとも呼ばれることがあり、群論における結果の一つで、数学的対象を数える際に対称性を考慮する際にしばしば有用なのだ。バーンサイド、ポーリャ、コーシー、フロベニウスにちなんで名づけられた。この結果はバーンサイド自身によるものではなく、彼の著書「On the Theory of Groups of Finite Order」の中で引用されているだけで、代わりにフロベニウス（1887年）によるものなのだ。バーンサイドのレンマは「軌道」を数えるが、これは対称性を考慮した異なる対象を数えるのと同じ意味なのだ。他の言い方としては、同値関係Rまで明確な対象を数える、あるいは正準形式にある対象を数える、などがある。

以下では、Gを集合Xに作用する有限群とし、Gの各gについて、Xgをgによって固定される（gによって左不変ともいう）Xの要素の集合、すなわちXg＝{ x∈X｜g.x＝x }とする。Burnsideのレンマは、｜X/G｜と表記される軌道の数について以下の公式を主張する:。

|
�
/
�
|
=
1
|
�
|
∑
�
∈
�
|
�
�
|
.
{X/G|={frac {1}{|G|}}sum _{gin G}|X^{g}|.}.
したがって、軌道の数（自然数または+∞）は、Gの要素によって固定される点の平均数（これも自然数または無限大）に等しくなる。Gが無限である場合、｜G｜による分割はうまく定義できないことがある。この場合、基数算術における次の文が成り立つ：

|
�
|
|
�
/
�
|
=
∑
�
∈
�
|
�
�
|
.
{表示形式 |G||X/G|=sum _{gin G}|X^{g}|.}.
列挙への応用例
ネックレス
長さ3のビットベクトルは8つあるが、長さ3の2色のネックレスは、000、001、011、111の4つしかない。100と010は回転によって001と等しくなり、同様に110と101は011と等しくなるからだ。この式は、回転数（この場合、ヌル回転を含む3回転）と、各回転によって変化しないビットベクトルの数に基づいている。8ビットベクトルはすべてヌル回転で変化せず、2つ（000と111）は他の2つの回転で変化しないので、次のようになります：
4
=
1
3
(
8
+
2
+
2
)
{4={frac {1}{3}}(8+2+2)}.

長さ4の場合、16個の可能なビットベクトル、4個の回転があり、ヌル回転は16個のビットベクトルすべてを変更せず、1回転と3回転はそれぞれ2個のビットベクトルを変更せず（0000と1111）、2回転は4個のビットベクトルを変更せず（0000、0101、1010、1111）、与えます：
6
=
1
4
(
16
+
2
+
4
+
2
)
{表示スタイル6={frac {1}{4}}(16+2+4+2)}となります。これらは、以下の通りなのだ：0000、0001、0011、0101、0111、1111なのだ。

立方体のカラーリング
3色を使った立方体の面の回転方向に異なる色の数は、この式から次のように求めることができる。

ある特定の向きの立方体に適用できる36通りの面色の組み合わせの集合をXとし、立方体の回転群Gが自然な方法でXに作用するとする。このとき、Xの2つの要素は、一方が他方を単に回転させただけのとき、正確に同じ軌道に属するのだ。回転的に異なるカラーリングの数は、このように軌道の数と同じであり、Gの24の要素に対する固定集合の大きさを数えることによって見つけることができる。


カラーフェイス付きキューブ
いちげんそ
90度の面回転を6回行い、それぞれ33個のXの要素を変化させない
180度の面回転を3回行い、それぞれ34個のXの要素を変化させない
120度の頂点回転を8回行い、それぞれの回転でXの32個の要素を変化させない
6つの180度のエッジ回転を行い、それぞれの回転でXの要素のうち33個を変更しない
これらのオートモルフィズムの詳細な検証は、こちらをご覧ください。

平均的なフィックスサイズはこのようになります。

1
24
(
3
6
+
6
⋅
3
3
+
3
⋅
3
4
+
8
⋅
3
2
+
6
⋅
3
3
)
=
57.
{frac {1}{24}}left(3^{6}+6cdot 3^{3}+3cdot 3^{4}+8cdot 3^{2}+6cdot 3^{3}right)=57.
したがって、立方体の面を3色で彩る場合、回転的に異なる57通りの彩色が存在する。一般に、n色の立方体の面の回転方向に異なる色の数は、次式で与えられる。

1
24
(
�
6
+
3
�
4
+
12
�
3
+
8
�
2
)
.
{\frac {1}{24}}\left(n^{6}+3n^{4}+12n^{3}+8n^{2}\right).
8クイーンパズル
8つの女王のパズルには92の解があり、そのうち12の基本解は盤面の回転と反射まで明瞭なのだ。回転と反射の組み合わせは、ヌルアクションを含めて8通りあるのだ。ヌルアクションは、92個の解をすべて変更しない。92個のうち4個は対称解で、180°回転しても変化しない。その結果
12
=
1
8
(
92
+
4
)
{12={frac {1}{8}}(92+4)}..
* ネックレスカウント問題：各ビーズが2色のうちの1色になり得る、様々な長さの回転的に異なるネックレスをカウントする問題なのだ。この記事では、長さ3と4のネックレスを数えており、答えはそれぞれ4と6なのだ。
* 立方体の面の回転方向に異なる色を数える問題．この記事では、3色が使われる場合を考え、答えは57となったのだ。
* 8 queens puzzle: 古典的な問題で、8×8のボードに8個のチェスのクイーンを置き、どのクイーンも他のクイーンを攻撃しないようにするための様々な方法を数えるものである（答えは92である）なのだ。バーンサイドのレンマを応用して、回転と反射までの異なるクイーンの配置の数を数え、12を答えとするのだ。