上個學期我改科大MATH202 (Introduction to Real Analysis) 的考試，最大得著是發現了兩件事：第一，原來很多學生不懂factorize 1- x^3；第二，原來有人還在用帶分數表示數值。
大家回想一下，你學分數時只是小三，當時老師是以切薄餅來解釋的。到了下學期，你終於儲夠錢買超過一個薄餅，於是老師便教你「帶分數」和「假分數」，而之前的分數被喚作「真分數」。
這不是很神奇嗎？少過一塊薄餅，怎樣切都是「真」的；超過一塊薄餅，你把它切開後，它就會成為「假」；當你保留完整的薄餅，再併上那些加埋不足一塊的剩餘物資，那就叫「帶」。那麼，這個「帶」，它就包含了完整與真實，但你把它重組，就會發現它虛假的本質。
但，做這樣的區別有意義嗎？當你上到中學、大學後，分數線上下的，都是甚麼 x-1 啊、e^x 的代數，你不知道她們實際上是甚麼數值，只知道她們的善變，於是真真假假，從此變得面目模糊。你小時候堅信那誓不兩立的真分數和假分數，已經分不開了。
唯獨帶分數這狡徒，他是真與假之間的賢者。你以為他已經棄世隱居了？不，在真假已沒有界線的塵世裡，他是一位入世的大隱士。當你要integrate (x+1)/(x-1) 時，他會告訴你：其實可以先化作 1 + 2/(x-1) 。嗟？豈非似曾相識？
各位大朋友，請問你上一次用除號是幾時的事？
除法，小二已經學到。除號，大家在小學時寫過千百次。
但你上到中學、大學後，基本上你是不會用除號的。反正把所有數都視為分數相乘，一條長得離譜的分數線就可以取代除號，就像日出時的地平線，上天下地一目了然，省卻了除號製造的混亂。
年紀跟我相約的朋友，上中學的年代正值電腦走入家庭。在鍵盤上除號更是無一席位，取而代之的是一個斜體的分數線" / "。當你要用電腦來打數式時，也會用equation editor附設的分數功能，而不會去找那個沒有歸宿的除號。
其實即使使用分數，乘號和" ... "都有其他用處。乘號在AL或大學可以表示cross multiplication，又或者，在每集的《全職獵人》開頭你會看到「乜乜X乜乜X乜乜」的標題，海報上也有「港樂X李克勤」的標題，就算是電玩也會有"藥水 X 3"、"手榴彈 X 5"的顯示。
至於代表餘數的" ... "，用途更厲害，只要你有用電腦同人溝通，無論是forum還是MSN，都一定會有" ... "。或者有點本末倒置，其實代表餘數只是她的兼職，她本來是一個沈默又猶豫的省略號。
除號是一位哀怨的宮娥，你曾經常常見到她，但你還未認識她，就已把她遺忘。
眼見現在小學課程越改越亂，我不由得回想起小學時代那顯淺而深刻的「填鴨料」。舊制下的小學課程雖然不太重視思維，但所學的全都是實用且概念明確。
有些知識老師是教過，被視為「基礎知識」，於是一直都沒有加以討論、證明、理解。
有些知識被視為真理，你後來卻發覺根本就不是那回事。
有些技巧大家花了很多時間去學，但當你讀上去時卻發覺一無是處。
有些行為被視為禁忌，你長大後卻發現原來可以無視它們。
有些行為被視為規條，你長大後卻對它們念念不忘。
在純真的回憶裡，讓我們回到我們的歲月！
踏入 2009 年後，很多數學題的主角都換成了 2009，而很多時在計算的過程中都不免要把「主角」加上 1。我已經遇過很多次，學生認為 2009 + 1 等於 3000。研究心理學的朋友，這個應該是個不錯的研究課題。
今年拿了第一屆培正數學邀請賽中四組最後一題給labmate玩玩。Recap一次題目：
設n和m為正整數，並符合 n/m = 0.666（取至三位有效數字）。求n的最小值。
Labmates們隨意說了一些方法：
1) Binary Search. 易知 m = 100不可行，而m=500可行。那麼就試m=(100+500)/2=300。m=300不可行的話就試m=(300+500)=400，可行的話就試m=(100+300)=200，如此類推。
2) Continued Fraction.我也不知怎樣簡介。就看wiki好了。
我想這兩個方法均不可行。你們知道為甚麼嗎？