二十世紀數學的一個現象，是職業數學家人數的大量增加。美國幾個數學會的全體會員錄列五萬六千多人，其中絕大多數是有博士學位的。
數學成為一個社會現象，大約發生於一百年前。今年德國數學會慶祝成立一百周年。去年則有美國數學會成立百年紀念。國際數學家會議的首次會於1897年在瑞士蘇黎世舉行，會期三天。第一個演講者是法國的彭卡瑞，題目是「純分析同數學物理的關係」（彭氏因病未能出席，演講由人代讀）。值得注意的是，這題目今天仍適用，但「分析」似應改為「幾何」。國際數學家會議四年舉行一次，今年八月在日本京都召開。1994年將回到蘇黎世開會。
另一個現象是計算機的侵入。計算機引發了許多新的課題，如 recursive functions、如 complexity、如 fractals 等等。它對於許多數學工作有用，也使若干問題改觀。但究竟影響有多大，則是一個聚訟的問題。數學天地雖小，也是很熱鬧的。
計算機的立刻的影響，恐怕是數學教育。從前需要學習的某些方法，現在不再需要，至少應該改變。這種討論對於數學的發展是健康的。
第二次世界大戰以後，科學受到重視，數學研究也得到社會的支持。有些人可靠做研究生活。這個情形的一個效果，是使得數學工作者同相類的工作者有相類的待遇，因此能吸收有才能的新人進入工作的行列。
一個發展是研究所的成立。最早而最有名的是普林斯頓的高級研究所 (Institute for Advanced Study, IAS)。這個故事值得一講！二十年代美國紐約大百貨公司 Macy 公司的老板 L. Barmburger，決定捐一大筆款辦理科學事業，問計於教育家 W. Flexner。Flexner 先生的建議說：「你的捐款數目很大，但是不足以辦一個第一流的試驗科學研究所。如果側重數學，則可能是第一流的。」Barmburger 聽了他的話。恰好德國希特勒於1933年取得政權，IAS 請到愛因斯坦、懷爾 (H. Weyl) 等教授。不出十年，普林斯頓成了世界數學研究的中心。
IAS 的主要節目，是網羅年輕有為的數學家，給他們優良的環境和工作機會。作者第一次在那裡，是1943∼45年，完成了我一生最重要的工作。此恩令人難忘。以後我還去過三次（短期訪問不計），都給我愉快的回憶。
繼起的研究所有：巴黎的 Institute Des Hautes Études、英國 Warwick 的Mathematics Institute、日本京都的 Mathematical Sciences Research Institute、波昂的 Max Planck Institut，以及巴西、墨西哥等研究所。最近成立的蘇聯列寧格勒的研究所，和正在計畫中的英國劍橋的牛頓研究所。這些研究所都有著名的常任研究人員、廣泛的節目，也十分歡迎合格的訪問數學家。
講到研究所，自然應提到柏克萊的 MSRI，因為我曾經起過若干作用。這是美國國家基金會支持的，是美國第一個政府辦的數學研究所。在一個民主的國家，這種事要經過長期的醞釀。等到決定舉辦以後，它的地點更是大家爭逐的目標。我同 I. Singer 及 C.C. Moore 送進一份計畫書以後，沒有做過任何爭取的努力。我可以想像柏克萊計畫的優點，獲選並非偶然。1982年成立以來，備受好評。
儘管大家鼓吹交流和合作，我相信數學研究主要靠個人。一個人的創見是努力和靈感的結晶，不是同一群人討論的結論。數學是一個廣泛而複雜的學問，自然需要吸收各方面的知識和觀點。但更要緊的要有個人的風格。
數學的研究與其他科學相比，有一個顯著的不同的地方:它是向多方面發展的。當今的物理科學和生物科學往往有幾個主題。但數學的研究方向比較可隨個人自由選擇。所以工作不必集中於幾個大的中心，研究人員可較分散。一個有能力、有決心的人，可以隨不同的途徑，完成他的志願。
二十世紀是數學的一個黃金時代。