Ürdün-Hölder teoremi, sonlu basit grupları tüm sonlu grupların yapı parçaları olarak tanımlar.
Matematikçiler genellikle matematiksel bir kavramın tam bir sınıflandırması (veya listesi) için çaba gösterirler. Sonlu gruplar bağlamında, bu amaç zor matematiğe yol açar. Lagrange teoremine göre, sonlu mertebe p grupları, asal sayı, zorunlu olarak döngüsel (abelian) gruplardır Zp. Sipariş p2 grupları da abelian olarak gösterilebilir, p3 siparişini genelleştirmeyen bir ifade, sipariş 8 = 23'ün abelian olmayan grup D4 yukarıda gösterildiği gibi. Bilgisayar cebir sistemleri küçük grupları listelemek için kullanılabilir, ancak tüm sonlu grupların hiçbir sınıflandırma yoktur.q [›] Bir ara adım sonlu basit groups.r sınıflandırılmasıdır.r [›] Önemsiz grup ve grubun kendisi ise önemsiz bir grup basit denir [›] Ürdün — Hölder teoremi, sonlu basit grupları tüm sonlu grupların yapı taşları olarak sergiler. Tüm sonlu basit grupların listelenmesi çağdaş grup teorisinde büyük bir başarıydı. 1998 Fields Madalyası galibi Richard Borcherds, canavarca moonshine varsayımlarını, en büyük sonlu basit sporadik grup arasında şaşırtıcı ve derin bir ilişkiyi kanıtlamayı başardı - “canavar grubu” - ve bazı modüler fonksiyonlar, klasik kompleks analiz ve sicim teorisinin bir parçası, birçok fiziksel olayın tanımını birleştirmesi gereken bir teori.
Sonlu basit grupları tüm sonlu gruplar için yapı parçaları olarak tanımlayan nedir?