A set that is closed, associative, has an identity element and every element has an inverse
گروہ عناصر کا ایسا مجموعہ ہوتا ہے، جس میں ایک عالج متعرف ہوتا ہے، کہ کسی بھی دو عناصر کو عالج سے گزار کر اسی مجموعہ کا عنصر حاصل ہوتا ہے۔ گروہ کے لیے کچھ مسلمات پورے ہونا ضروری ہوتا ہے، جو مشارکی، شناخت عنصر اور اُلٹ عنصر کے متعلق ہوتے ہیں۔ صحیح اعداد کا مجموعہ، جمع کے عالج کے ساتھ، ایک گروہ ہے، کہ کسی بھی دو اعداد کو جمع کر کے صحیح عدد ملتا ہے، صفر کو کسی بھی عدد میں جمع کرنے سے اس عدد میں کوئی تبدیلی نہیں ہوتی، کسی عدد کے منفی کو اس میں جمع کرنے سے صفر ملتا ہے اور جمع مشارکی خصوصیت رکھتی ہے۔ تعریف: عناصر کا غیر خالی مجموعہ G ایک ثنائ عالج ∘ {\displaystyle \circ } کے ساتھ، گروہ کہلاتا ہے اگر نیچے دی شرائط پوری ہوں: اگر a ∈ G {\displaystyle a\in G} اور b ∈ G {\displaystyle b\in G} ، تو پھر a ∘ b ∈ G {\displaystyle a\circ b\in G} مجموعہ میں ایسا عنصر I ہو کہ تمام a ∈ G {\displaystyle a\in G} کے لیے a ∘ I = I ∘ a ∈ G {\displaystyle a\circ I=I\circ a\in G} عنصر I کو شناخت عنصر کہتے ہیں۔ ہر عنصر a ∈ G {\displaystyle a\in G} کے لیے، ایسا عنصر a − 1 ∈ G {\displaystyle a^{-1}\in G} موجود ہو ، کہ a ∘ a − 1 = a − 1 ∘ a = I {\displaystyle a\circ a^{-1}=a^{-1}\circ a=I} مجموعہ G میں عناصر a، b، c، کے لیے مشارکی خصوصیت پوری ہو ∘ c = a ∘ {\displaystyle \circ c=a\circ } === متناظر گروہ === تفصیلی مضمون: تبدل کامل گروہ اعداد کے مجموعہ { 1, 2, ⋯, n } {\displaystyle \{1,2,\cdots,n\}} کے کسی خاص تبدل کامل کو ایک دالہ کے ذریعہ لکھا جا سکتا ہے، یعنی مثلاً n=4 کے لیے یہ ہو سکتی ہے اگر f اور g کوئی دو فنکشن تبدل کامل ہوں اعداد { 1, 2, ⋯, n } {\displaystyle \{1,2,\cdots,n\}} پر، تو ان فنکشن کی ترکیب f ∘ g = f {\displaystyle f\circ g=f} بھی ان اعداد کی تبدل کامل ہو گی۔ اس طرح گروہ کا پہلا مسلمہ پورا ہوتا ہے، عناصر f اور g کے لیے۔ شناخت عنصر کے لیے ہم فنکشن تعریف کرتے ہیں I = k, k = 1, 2, ⋯, n {\displaystyle I=k\,,\,\,k=1,2,\cdots,n} ، یعنی: اور یہ دوسرے مسلمہ پر پوری اترتی ہے۔ اگر فنکشن f کوئی خاص تبدل کامل تعریف کرتی ہے تو یہ تبدل کامل اس کا اُلٹ ہے اور اسے f − 1 