Operazione matematica
การยกกำลัง คือการดำเนินการทางคณิตศาสตร์อย่างหนึ่ง เขียนอยู่ในรูป an ซึ่งประกอบด้วยสองจำนวนคือ ฐาน a และ เลขชี้กำลัง n การยกกำลังมีความหมายเหมือนการคูณซ้ำ ๆ กัน คือ a คูณกันเป็นจำนวน n ตัว เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวก a n = a × ⋯ × a ⏟ n {\displaystyle a^{n}=\underbrace {a\times \cdots \times a} _{n}} คล้ายกับการคูณซึ่งมีความหมายเหมือนการบวกซ้ำ ๆ กัน a × n = a + ⋯ + a ⏟ n {\displaystyle a\times n=\underbrace {a+\cdots +a} _{n}} โดยปกติเลขชี้กำลังจะแสดงเป็นตัวยกอยู่ด้านขวาของฐาน จำนวน an อ่านว่า a ยกกำลัง n หรือเพียงแค่ a กำลัง n ในภาษาอังกฤษอาจเรียกการยกกำลังบางตัวต่างออกไปเช่น a2 จะเรียกว่า square และ a3 เรียกว่า cube เป็นต้น เมื่อตัวยกไม่สามารถใช้ได้เช่นในข้อความแอสกี ก็มีรูปแบบการเขียนอย่างอื่นที่ใช้กันอาทิ a^n และ a**n เป็นต้น เลขยกกำลัง an อาจนิยามให้ n เป็นจำนวนเต็มลบก็ได้เมื่อค่า a ไม่เป็นศูนย์ ตามปกติไม่สามารถกระจายจำนวนจริง a กับ n ได้ทุก ๆ ค่าโดยธรรมชาติ แต่เมื่อฐาน a เป็นจำนวนจริงบวก จำนวน an สามารถนิยามเลขชี้กำลัง n ได้ทุกค่าแม้แต่จำนวนเชิงซ้อนผ่านฟังก์ชันเลขชี้กำลัง ez ฟังก์ชันตรีโกณมิติก็สามารถเขียนให้อยู่ในรูปของการยกกำลังได้ การยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นเมทริกซ์ใช้สำหรับการหาคำตอบของระบบสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้น การยกกำลังก็ใช้งานในความรู้สาขาอื่นอย่างแพร่หลายเช่นเศรษฐศาสตร์ ชีววิทยา เคมี ฟิสิกส์ และวิทยาการคอมพิวเตอร์ ในการใช้งานคำนวณอย่างเช่นดอกเบี้ยทบต้น การเพิ่มประชากร จลนพลศาสตร์เคมี พฤติกรรมของคลื่น และการเข้ารหัสลับแบบกุญแจอสมมาตร เป็นต้น == เลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็ม == การดำเนินการยกกำลังด้วยเลขชี้กำลังที่เป็นจำนวนเต็ม เป็นข้อกำหนดที่จำเป็นของพีชคณิตมูลฐานเท่านั้น === เลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มบวก === นิพจน์ a2 = a·a เรียกว่า square หมายถึงรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส เพราะรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านยาวด้านละ a หน่วย มีพื้นที่เท่ากับ a2 ตารางหน่วย นิพจน์ a3 = a·a·a เรียกว่า cube หมายถึงทรงลูกบาศก์ เพราะทรงลูกบาศก์ที่มีด้านยาวด้านละ a หน่วย มีปริมาตรเท่ากับ a3 ลูกบาศก์หน่วย เลขชี้กำลังเป็นตัวบ่งบอกว่าจะนำฐานมาคูณกันกี่ตัว ตัวอย่างเช่น 35 = 3·3·3·3·3 = 243 ดังนี้ฐาน 3 ปรากฏ 5 ครั้งในการคูณเพราะเลขชี้กำลังเป็น 5; ค่า 243 เป็น กำลัง ของ 3 คือผลลัพธ์ที่ได้จาก 3 ยกกำลัง 5 การยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มบวก อาจนิยามได้จากความสัมพันธ์เวียนเกิด an+1 = a·an โดยให้เงื่อนไขเริ่มต้นเป็น a1 = a === เลขชี้กำลังเป็น 0 หรือ 1 === เนื่องจาก a1 หมายถึงผลคูณของ a เพียง 1 ตัว ซึ่งถูกนิยามให้มีค่าเท่ากับ a จากความสัมพันธ์เวียนเกิดอีกรูปแบบหนึ่ง an − 1 = an/a เมื่อสมมติให้ n = 1 จะได้ a0 = 1 หรือกล่าวอีกทางหนึ่งว่า กำหนดให้ n, m, และ n−m เป็นจำนวนเต็มบวก จะได้ความสัมพันธ์ a n a m = a n − m {\displaystyle {\frac {a^{n}}{a^{m}}}=a^{n-m}} ในกรณีที่ n และ m มีค่าเท่ากัน สมการดังกล่าวจะกลายเป็น 1 = a n a n = a n − n = a 0 {\displaystyle 1={\frac {a^{n}}{a^{n}}}=a^{n-n}=a^{0}} เนื่องจากตัวเศษและตัวส่วนมีค่าเท่ากัน ดังนั้นจึงสามารถนิยามค่าของ a0 = 1 นำไปสู่กฎสองประการ จำนวนใด ๆ ยกกำลัง 1 จะได้ตัวมันเอง จำนวนใด ๆ ที่ไม่เป็นศูนย์ ยกกำลัง 0 จะได้ 1 ซึ่งเป็นการตีความมาจากผลคูณว่าง สำหรับกรณี 00 ดูเพิ่มที่หัวข้อ 0 ยกกำลัง 0 === ความหมายทางคณิตศาสตร์เชิงการจัด === สำหรับ n และ m ที่เป็นจำนวนเต็มไม่เป็นลบ เลขยกกำลัง nm จะหมายถึงภาวะเชิงการนับ ของเซตของ m สิ่งอันดับ ที่ได้จากเซตที่มีสมาชิก n ตัว หรือพูดอีกนัยหนึ่งคือ เป็นจำนวนของคำที่มีตัวอักษร m ตัว จากชุดตัวอักษร n ตัว ดูเพิ่มเติมที่หัวข้อการยกกำลังบนเซต === เลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มลบ === จากนิยาม จำนวนใด ๆ ที่ไม่เป็นศูนย์ เมื่อยกกำลังด้วย −1 จะทำให้เกิดส่วนกลับหรือตัวผกผันการคูณ a − 1 = 1 a {\displaystyle a^{-1}={\frac {1}{a}}} จึงสามารถนิยามว่า a − n = − 1 = 1 a n {\displaystyle a^{-n}=^{-1}={\frac {1}{a^{n}}}} เมื่อ a เป็นจำนวนใด ๆ ที่ไม่เป็นศูนย์และ n เป็นจำนวนเต็มบวก แต่สำหรับจำนวน 0 ยกกำลังจำนวนลบ จะทำให้เกิดกรณีการหารด้วยศูนย์ จึงไม่มีการนิยาม นิยามของ a−n สำหรับค่า a ใด ๆ ที่ไม่ใช่ศูนย์ ทำให้เอกลักษณ์ aman = am+n เป็นจริงบนทุกช่วงจำนวนเต็มของ m กับ n จากเดิมเป็นจริงเฉพาะเมื่อ m กับ n เป็นจำนวนเต็มไม่เป็นลบ โดยเฉพาะอย่างยิ่งการใช้เอกลักษณ์นี้โดยกำหนดให้ m = −n จะทำให้ a − n a n = a − n + n = a 0 = 1 {\displaystyle a^{-n}\,a^{n}=a^{-n\,+\,n}=a^{0}=1} เมื่อ a0 ได้นิยามเช่นนั้นแล้ว เป็นเหตุให้นำไปสู่การนิยาม a−n = 1/an ดังที่ได้กล่าวแล้ว การยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มลบ อาจสามารถเขียนให้อยู่ในรูปของการหารซ้ำ ๆ จาก 1 ด้วยฐานก็ได้ ตัวอย่างเช่น 3 − 4 = / 3 = 1 81 = 1 3 4 {\displaystyle 3^{-4}=/3={\frac {1}{81}}={\frac {1}{3^{4}}}} === เอกลักษณ์และสมบัติ === เอกลักษณ์สำคัญที่สุดของการยกกำลังที่สอดคล้องกับกรณีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มคือ a m + n = a m ⋅ a n {\displaystyle a^{m+n}=a^{m}\cdot a^{n}} เอกลักษณ์นี้จึงเป็นผลที่ตามมา a m − n = a m a n ; a ≠ 0 {\displaystyle a^{m-n}={\frac {a^{m}}{a^{n}}};\;a\neq 0} และ n = a m ⋅ n {\displaystyle ^{n}=a^{m\cdot n}} เอกลักษณ์พื้นฐานอีกอันหนึ่งคือ n = a n ⋅ b n {\displaystyle ^{n}=a^{n}\cdot b^{n}} ในขณะที่การบวกและการคูณมีสมบัติการสลับที่ เช่น 2+3 = 5 = 3+2 และ 2·3 = 6 = 3·2 แต่การยกกำลังไม่มีสมบัติการสลับที่ เช่น 23 = 8 แต่ 32 = 9 และเช่นเดียวกัน ในขณะที่การบวกและการคูณมีสมบัติการเปลี่ยนหมู่ เช่น +4 = 9 = 2+ และ ·4 = 24 = 2· แต่การยกกำลังไม่มีสมบัติการเปลี่ยนหมู่ ตัวอย่างเช่น "23 ยกกำลัง 4" จะได้ผลลัพธ์เป็น 84 หรือเท่ากับ 4,096 แต่ "2 ยกกำลัง 34" จะได้ผลลัพธ์เป็น 281 หรือ 2,417,851,639,229,258,349,412,352 ถ้าหากเขียนเลขยกกำลังซ้อนกันโดยไม่ใส่วงเล็บ ลำดับของการคำนวณจะทำจากตัวบนสุดมาก่อน นั่นคือ a b c = a ≠ c {\displaystyle a^{b^{c}}=a^{}\neq ^{c}} === กำลังของ 10 === ในระบบเลขฐานสิบ กำลังจำนวนเต็มของ 10 สามารถเขียนแทนได้ด้วยเลข 1 ตามด้วยหรือนำโดยเลข 0 จำนวนหนึ่ง ซึ่งพิจารณาจากเครื่องหมายและขนาดของเลขชี้กำลัง ตัวอย่างเช่น 103 = 1,000 และ 10−4 = 0.0001 เป็นต้น การยกกำลังด้วยฐาน 10 ถูกใช้ในสัญกรณ์วิทยาศาสตร์ เพื่อใช้อธิบายจำนวนขนาดใหญ่หรือเล็กมาก ตัวอย่างเช่น จำนวน 299,792,458 เมตรต่อวินาที สามารถเขียนได้เป็น 2.99792458×108 m/s หรือเท่ากับประมาณ 2.998×108 m/s คำอุปสรรคในหน่วยเอสไอที่มีพื้นฐานบนกำลังของ 10 ก็ถูกใช้อธิบายปริมาณที่ใหญ่หรือเล็กมากได้เช่นกันเช่น คำอุปสรรค กิโล หมายถึง 103 = 1,000 ดังนั้น 1 กิโลเมตรจึงเท่ากับ 1,000 เมตร === กำลังของ 2 === กำลังจำนวนเต็มบวกของ 2 เป็นสิ่งที่สำคัญในวิทยาการคอมพิวเตอร์ เพราะว่าตัวแปรฐานสองขนาด n บิต จะมีค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมด 2n ค่า กำลังของ 2 ก็เป็นสิ่งสำคัญในทฤษฎีเซต เนื่องจากเซตเซตหนึ่งที่มีสมาชิก n ตัว จะมีเซตกำลังที่มีสมาชิก 2n ตัว กำลังจำนวนเต็มลบของ 2 ก็ใช้กันทั่วไป เช่น 2−1 = 1/2 หมายถึงครึ่ง, 2−2 = 1/4 คือหนึ่งในสี่ เป็นต้น ในระบบเลขฐานสอง กำลังจำนวนเต็มของ 2 ก็สามารถเขียนแทนได้ด้วยเลข 1 แล้วตามด้วยหรือนำโดยเลข 0 ซึ่งพิจารณาจากเครื่องหมายและขนาดของเลขชี้กำลัง ตัวอย่าง 23 เขียนในเลขฐานสองว่า 10002 เป็นต้น === กำลังของ 1 === กำลังจำนวนเต็มของ 1 ทุกจำนวนมีค่าเท่ากับ 1 นั่นคือ 1n = 1 === กำลังของ 0 === ถ้าเลขชี้กำลังเป็นจำนวนบวก เลขยกกำลังของ 0 จะได้ 0 นั่นคือ 0n = 0; n > 0 ถ้าเลขชี้กำลังเป็นจำนวนลบ เลขยกกำลังของ 0 จะไม่นิยาม เนื่องจากทำให้เกิดการหารด้วยศูนย์ ถ้าเลขชี้กำลังเป็นศูนย์ ผู้แต่งตำราบางท่านได้นิยามว่า 00 = 1 ในขณะที่บางท่านก็คงไว้ว่าไม่นิยาม ดูที่หัวข้อ 0 ยกกำลัง 0 === กำลังของ −1 === ถ้า n เป็นจำนวนคู่ จะได้ n = 1 ถ้า n เป็นจำนวนคี่ จะได้ n = −1 จากสมบัติดังกล่าว กำลังของ −1 จึงมีประโยชน์ในการแสดงลำดับที่มีการสลับเครื่องหมาย ส่วนกรณีที่คล้ายกันสำหรับจำนวนเชิงซ้อน i ดูที่หัวข้อกำลังของจำนวนเชิงซ้อน === เลขชี้กำลังขนาดใหญ่ === ลิมิตของลำดับของกำลังของจำนวนที่มากกว่า 1 จะลู่ออก หมายความว่าจะมีค่าเพิ่มขึ้นเรื่อย ๆ โดยไม่จำกัด an → ∞ เมื่อ n → ∞ ถ้า a > 1อาจเรียกได้ว่า a ยกกำลัง n จะมีค่าเข้าใกล้อนันต์ถ้า n มีค่าเข้าใกล้อนันต์ เมื่อ a มีค่ามากกว่า 1 สำหรับกำลังของจำนวนที่มีค่าสัมบูรณ์น้อยกว่า 1 ลิมิตของลำดับจะลู่เข้าค่า 0 an → 0 เมื่อ n → ∞ ถ้า |a| < 1และกำลังของ 1 จะได้ค่า 1 เสมอ an = 1 สำหรับทุกค่าของ n ถ้า a = 1แต่หากฐาน a มีค่าเข้าใกล้ 1 พร้อมกับเลขชี้กำลังมีค่าเข้าใกล้อนันต์ ลิมิตของมันไม่สำคัญว่าจะต้องเท่ากับ 1 ตัวอย่างกรณีหนึ่งที่สำคัญคือ n → e เมื่อ n → ∞ดูเพิ่มในกำลังของ e == กำลังจำนวนจริงของจำนวนจริงบวก == การยกกำลังจำนวนจริงบวก ด้วยเลขชี้กำลังที่ไม่เป็นจำนวนเต็ม สามารถคำนวณได้สองวิธีนั่นคือ เลขชี้กำลังเป็นจำนวนตรรกยะ สามารถนิยามให้เป็นรากที่ n และเลขชี้กำลังที่ไม่เป็นศูนย์สามารถนิยามได้จากความต่อเนื่อง เลขชี้กำลังเป็นจำนวนจริง สามารถนิยามให้เป็นลอการิทึมธรรมชาติโดยใช้ฟังก์ชันเลขชี้กำลังเอกลักษณ์และสมบัติที่แสดงไว้ด้านบนซึ่งนิยามไว้สำหรับเลขชี้กำลังจำนวนเต็ม ก็ยังคงเป็นจริงอยู่สำหรับเลขชี้กำลังจำนวนจริงบวกที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม อย่างไรก็ตามเอกลักษณ์นี้ s = a r ⋅ s {\displaystyle ^{s}=a^{r\cdot s}} ไม่สามารถขยายแนวคิดได้อย่างคงเส้นคงวาถ้า a เป็นจำนวนจริงลบ ดูเพิ่มที่หัวข้อรากที่ n ที่เป็นลบ ความผิดพลาดของเอกลักษณ์นี้เป็นมูลฐานของปัญหาที่เกี่ยวกับกำลังของจำนวนเชิงซ้อน ซึ่งได้อธิบายไว้แล้วที่หัวข้อความผิดพลาดของเอกลักษณ์กำลังและลอการิทึม === รากที่ n มุขสำคัญ === รากที่ n ของจำนวน a คือจำนวน x ที่ซึ่ง xn = a ถ้า a เป็นจำนวนจริงบวกและ n เป็นจำนวนเต็มบวก จะมีคำตอบสำหรับ xn = a ที่เป็นจำนวนจริงบวกหนึ่งจำนวนอย่างแน่นอน คำตอบดังกล่าวเรียกว่า รากที่ n มุขสำคัญของ a เขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ x n {\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}} เมื่อ {\displaystyle {\sqrt {\,\,}}} คือกรณฑ์ หรือเขียนอีกรูปแบบหนึ่งเป็น a1/n เช่น 41/2 = 2, 81/3 = 2 เมื่อพูดถึงรากที่ n ของจำนวนจริงบวก a มักจะหมายถึงรากที่ n มุขสำคัญของ a ดังที่ได้กล่าวแล้ว === เลขชี้กำลังเป็นจำนวนตรรกยะ === กำลังของจำนวนจริงบวก a ซึ่งมีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนตรรกยะ m/n ในพจน์น้อยที่สุด สอดคล้องกับ a m / n = 1 / n = a m n {\displaystyle a^{m/n}=\left^{1/n}={\sqrt[{n}]{a^{m}}}} เมื่อ m เป็นจำนวนเต็มและ n เป็นจำนวนเต็มบวก === กำลังของ e === e หรือค่าคงตัวของออยเลอร์ เป็นค่าคงตัวทางคณิตศาสตร์ที่สำคัญค่าหนึ่ง มีค่าประมาณ 2.718 และเป็นฐานของลอการิทึมธรรมชาติ ใช้เป็นแนวทางนำไปสู่การนิยามการยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังไม่เป็นจำนวนเต็ม ค่าคงตัวนี้นิยามโดยลิมิตต่อไปนี้ ซึ่งเลขชี้กำลังมีค่าเข้าใกล้อนันต์ในขณะที่ฐานมีค่าเข้าใกล้ 1 e = lim n → ∞ n {\displaystyle e=\lim _{n\rightarrow \infty }\left^{n}} ฟังก์ชันเลขชี้กำลังซึ่งนิยามโดยลิมิตต่อไปนี้ e x = lim n → ∞ n {\displaystyle e^{x}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left^{n}} มี x เป็นเลขชี้กำลังเพิ่มเข้ามา และสอดคล้องกับเอกลักษณ์การยกกำลัง e x + y = e x ⋅ e y {\displaystyle e^{x+y}=e^{x}\cdot e^{y}} ฟังก์ชันเลขชี้กำลังนิยามขึ้นสำหรับ x ที่เป็นจำนวนเต็ม จำนวนตรรกยะ จำนวนจริง และจำนวนเชิงซ้อนทั้งหมด นอกจากนี้ก็สามารถขยายการยกกำลังไปบนสิ่งอื่นที่ไม่ใช่จำนวนได้เช่นเมทริกซ์จัตุรัส อย่างไรก็ตามเอกลักษณ์การยกกำลังที่ยกมาจะเป็นจริงก็ต่อเมื่อ x และ y สามารถสลับที่กันได้เท่านั้น การพิสูจน์อย่างสั้นว่า e ยกกำลังจำนวนเต็มบวก k เหมือนกับฟังก์ชันเลขชี้กำลัง ek แสดงได้ดังนี้ k = [ lim n → ∞ n ] k = lim n → ∞ [ n ] k = lim n → ∞ n ⋅ k = lim n ⋅ k → ∞ n ⋅ k = lim m → ∞ m = e k {\displaystyle {\begin{aligned}^{k}&=\left[\lim _{n\rightarrow \infty }\left^{n}\right]^{k}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left[\left^{n}\right]^{k}\\&=\lim _{n\rightarrow \infty }\left^{n\cdot k}=\lim _{n\cdot k\rightarrow \infty }\left^{n\cdot k}\\&=\lim _{m\rightarrow \infty }\left^{m}=e^{k}\end{aligned}}} แสดงให้เห็นว่า ex+y สอดคล้องกับเอกลักษณ์การยกกำลังเมื่อ x และ y เป็นจำนวนเต็มบวก ผลจากการพิสูจน์ยังคงสอดคล้องสำหรับจำนวนทุกจำนวนด้วย ไม่เพียงแค่จำนวนเต็มบวก === เลขชี้กำลังเป็นจำนวนจริง === เนื่องจากจำนวนจริงสามารถประมาณค่าได้ด้วยจำนวนตรรกยะ การยกกำลังด้วยจำนวนจริง x ทุกจำนวนจึงสามารถนิยามได้ด้วยความต่อเนื่องด้วยกฎดังนี้ b x = lim r → x b r {\displaystyle b^{x}=\lim _{r\to x}b^{r}\quad } ลิมิตดังกล่าวซึ่ง r ที่มีค่าเข้าใกล้ x ถูกนำมาแทนที่เฉพาะจำนวนตรรกยะ r ยกตัวอย่าง ถ้า x ≈ 1.732 {\displaystyle x\approx 1.732} ดังนั้น 5 x ≈ 5 1.732 = 5 433 / 250 = 5 433 250 ≈ 16.241 {\displaystyle 5^{x}\approx 5^{1.732}=5^{433/250}={\sqrt[{250}]{5^{433}}}\approx 16.241} การยกกำลังด้วยจำนวนจริงโดยปกติก็สามารถทำให้สำเร็จได้ด้วยลอการิทึม แทนที่จะใช้ลิมิตของจำนวนตรรกยะ ลอการิทึมธรรมชาติ ln เป็นฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง ex ซึ่งนิยามไว้สำหรับ b > 0 และสอดคล้องกับเงื่อนไข b = e ln ⁡ b {\displaystyle b=e^{\ln b}\,} ถ้า bx ถูกนิยามขึ้นโดยยังคงรักษากฎต่าง ๆ ของลอการิทึมและการยกกำลัง จะได้ว่า b x = x = e x ⋅ ln ⁡ b {\displaystyle b^{x}=^{x}=e^{x\cdot \ln b}} สำหรับจำนวนจริง x แต่ละจำนวน สิ่งนี้สามารถใช้เป็นนิยามทางเลือกของการยกกำลังด้วยจำนวนจริง bx และสอดคล้องกับวิธีการใช้เลขชี้กำลังเป็นจำนวนตรรกยะกับความต่อเนื่อง นิยามดังกล่าวเป็นวิธีการปกติสามัญในบริบทของจำนวนเชิงซ้อนอีกด้วย == รากที่ n ที่เป็นลบ == กำลังของจำนวนจริงบวกจะมีค่าเป็นจำนวนจริงบวกเสมอ อย่างไรก็ตาม คำตอบของสมการ x2 = 4 อาจเป็น 2 หรือ −2 ก็ได้ ค่ามุขสำคัญของ 41/2 คือ 2 แต่ −2 ก็เป็นรากที่สองที่ถูกต้องอีกค่าหนึ่งด้วย หากนิยามของการยกกำลังของจำนวนจริงขยายแนวคิดให้มีผลลัพธ์เป็นจำนวนลบได้ ผลของการยกกำลังอาจลักลั่น ถ้า n เป็นจำนวนคู่ จากสมการ xn = a ถ้า a เป็นบวกจะมีสองคำตอบ ได้แก่รากที่ n ที่เป็นบวกและลบ แต่ถ้า a เป็นลบจะไม่มีคำตอบเป็นจำนวนจริง ถ้า n เป็นจำนวนคี่ จากสมการ xn = a จะมีคำตอบที่เป็นจำนวนจริงหนึ่งจำนวน ถ้า a เป็นบวกก็จะได้คำตอบนั้นเป็นบวก และถ้า a เป็นลบก็จะได้คำตอบนั้นเป็นลบ สำหรับเลขชี้กำลังที่เป็นจำนวนตรรกยะ m/n ในพจน์น้อยที่สุด ถ้า m เป็นจำนวนคู่ ผลลัพธ์จะเป็นบวก; ในกรณีที่ a เป็นลบ ถ้า m กับ n เป็นจำนวนคี่ ผลลัพธ์จะเป็นลบ; ในกรณีที่ a เป็นบวกและ n เป็นจำนวนคู่ ผลลัพธ์อาจเป็นบวกหรือลบอย่างใดอย่างหนึ่ง ตัวอย่างเช่น 1/3 = −3, 2/3 = 9, 43/2 มีสองคำตอบคือ 8 กับ −8 และเนื่องจากไม่มีจำนวนจริง x ที่ทำให้ x2 = −1 ดังนั้นนิยามของ am/n ในกรณีที่ a เป็นลบและ n เป็นจำนวนคู่ จึงจำเป็นต้องใช้หน่วยจินตภาพ i เข้ามาเกี่ยวข้อง ไม่ว่าวิธีการใช้ลอการิทึมหรือเลขชี้กำลังเป็นจำนวนตรรกยะ ก็ไม่สามารถนิยาม ar ให้เป็นจำนวนจริงได้ สำหรับ a ที่เป็นจำนวนจริงลบและทุกช่วงค่าของจำนวนจริง r และทำนองเดียวกัน er ให้ผลลัพธ์เป็นบวกสำหรับทุกช่วงค่าของจำนวนจริง r ดังนั้น ln ซึ่งเป็นฟังก์ชันผกผันจึงไม่อาจนิยามให้เป็นจำนวนจริงได้สำหรับ a ≤ 0 วิธีการใช้เลขชี้กำลังเป็นจำนวนตรรกยะไม่สามารถใช้ได้กับค่า a ที่เป็นลบ เพราะวิธีการนี้ขึ้นอยู่กับความต่อเนื่อง หมายความว่า ฟังก์ชัน f = ar เป็นการขยายจำนวนตรรกยะไปเป็นจำนวนจริงอย่างต่อเนื่องเพียงหนึ่งเดียวเมื่อ a > 0 แต่ในกรณี a < 0 ฟังก์ชัน f ไม่ต่อเนื่องบนเซตของจำนวนจริง r ที่กำหนดไว้แต่ละค่า ตัวอย่าง สมมติให้ a = −1 รากที่ n ของ −1 เท่ากับ −1 สำหรับจำนวนคี่บวก n ทุกจำนวน; แต่ถ้า n เป็นจำนวนคู่บวก = −1 เมื่อ m เป็นจำนวนคี่, = 1 เมื่อ m เป็นจำนวนคู่ ดังนั้นเซตของจำนวนตรรกยะ q ที่ทำให้ q = 1 เป็นเซตหนาแน่น ในจำนวนตรรกยะ เช่นเดียวกับเซตของ q ที่ทำให้ q = −1 สิ่งนี้หมายความว่าฟังก์ชัน q ไม่ต่อเนื่องที่จำนวนตรรกยะ q ใด ๆ ที่กำหนดไว้แต่ละค่า เมื่อใช้เอกลักษณ์การยกกำลังกับรากที่ n ที่เป็นลบ จำเป็นต้องระมัดระวังเป็นพิเศษ ตัวอย่างเช่น −27 = = 3/2 = 93/2 = 27 ซึ่งผิดอย่างชัดเจน ปัญหาอยู่ที่การใช้รากที่สองที่เป็นบวก แทนที่จะใช้รากที่สองที่เป็นลบในขั้นตอนสุดท้าย แต่โดยทั่วไปปัญหาที่คล้ายกันนี้มักเกิดขึ้นกับจำนวนเชิงซ้อน ดังที่ได้อธิบายไว้ในหัวข้อความผิดพลาดของเอกลักษณ์กำลังและลอการิทึม == กำลังจำนวนเชิงซ้อนของจำนวนจริงบวก == === กำลังจำนวนจินตภาพของ e === การทำความเข้าใจ eix สำหรับจำนวนจริง x ต้องทราบถึงการแปลความหมายเชิงเรขาคณิตของการดำเนินการบนจำนวนเชิงซ้อน และนิยามกำลังของ e ดังที่กล่าวไว้แล้วข้างต้น พิจารณารูปสามเหลี่ยมมุมฉาก สำหรับจำนวน n ที่มีขนาดใหญ่มาก ๆ รูปสามเหลี่ยมนั้นจะมีลักษณะเข้าใกล้เซกเตอร์ของรูปวงกลมมากยิ่งขึ้น โดยมีมุมที่จุดศูนย์กลางเท่ากับ x/n เรเดียน และรูปสามเหลี่ยมอื่น ๆ ก็เป็นรูปสามเหลี่ยมคล้ายร่วมกันสำหรับ k ทุกค่า เพราะฉะนั้น สำหรับจำนวน n ขนาดใหญ่ จุดที่เป็นขอบเขตของ n ก็คือจุดที่อยู่บนรูปวงกลมหนึ่งหน่วย ซึ่งมุมที่วัดจากแกนจำนวนจริงบวกเท่ากับ x เรเดียน พิกัดเชิงขั้วของจุดนี้คือ = และพิกัดคาร์ทีเซียนคือ ดังนั้นในท้ายที่สุด eix = cos x + i sin x เรียกว่าสูตรของออยเลอร์ ซึ่งเชื่อมโยงพีชคณิตกับตรีโกณมิติด้วยความหมายของจำนวนเชิงซ้อน คำตอบของสมการ ez = 1 คือพหุคูณจำนวนเต็มของ 2πi { z : e z = 1 } = { 2 k π i : k ∈ Z } {\displaystyle \{z:e^{z}=1\}=\{2k\pi i:k\in \mathbb {Z} \}} ในกรณีทั่วไป ถ้ากำหนดให้ eb = a ดังนั้นคำตอบของสมการ ez = a หาได้โดยการบวก b เข้ากับพหุคูณจำนวนเต็มของ 2πi { z : e z = a } = { b + 2 k π i : k ∈ Z } {\displaystyle \{z:e^{z}=a\}=\{b+2k\pi i:k\in \mathbb {Z} \}} ดังนั้นฟังก์ชันเลขชี้กำลังเชิงซ้อนเป็นฟังก์ชันเป็นคาบ ซึ่งมีคาบเท่ากับ 2πi นอกจากนี้ก็ยังมีสูตรอื่น ๆ อีกเช่น eiπ = −1; ex + iy = ex === ฟังก์ชันตรีโกณมิติ === จากการแปลงสูตรของออยเลอร์ ฟังก์ชันตรีโกณมิติ โคไซน์และไซน์ถูกแปลงเป็น cos ⁡ = e i ⋅ z + e − i ⋅ z 2 ; sin ⁡ = e i ⋅ z − e − i ⋅ z 2 ⋅ i {\displaystyle \cos={\frac {e^{i\cdot z}+e^{-i\cdot z}}{2}};\qquad \sin={\frac {e^{i\cdot z}-e^{-i\cdot z}}{2\cdot i}}} โคไซน์และไซน์ถูกนิยามขึ้นโดยทางเรขาคณิตก่อนมีการประดิษฐ์จำนวนเชิงซ้อนในประวัติศาสตร์ สูตรทั้งสองด้านบนเป็นการลดรูปสูตรที่ซับซ้อนของฟังก์ชันตรีโกณมิติของผลบวกเป็นสูตรการยกกำลังอย่างง่ายว่า e i ⋅ = e i ⋅ x ⋅ e i ⋅ y {\displaystyle e^{i\cdot }=e^{i\cdot x}\cdot e^{i\cdot y}} การใช้การยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเชิงซ้อน อาจช่วยลดรูปปัญหาในตรีโกณมิติไปเป็นพีชคณิตได้ === กำลังจำนวนเชิงซ้อนของ e === การยกกำลัง z = ex+i·y สามารถคำนวณได้จาก ex · ei·y; ตัวประกอบส่วนจริง ex คือค่าสัมบูรณ์ของ z และตัวประกอบส่วนจินตภาพ ei·y ระบุทิศทางของ z === กำลังจำนวนเชิงซ้อนของจำนวนจริงบวก === กำหนดให้ a เป็นจำนวนจริงบวก และ z เป็นจำนวนเชิงซ้อนใด ๆ การยกกำลัง az นิยามโดย ez·ln เมื่อ x = ln เป็นคำตอบจำนวนจริงเพียงหนึ่งเดียวของสมการ ex = a ดังนั้นวิธีการเดียวกันที่ใช้กับเลขชี้กำลังจำนวนจริงก็ยังคงใช้ได้กับเลขชี้กำลังจำนวนเชิงซ้อน ตัวอย่างเช่น 2i = e i·ln = cos + i·sin ≈ 0.76924 + 0.63896i ei ≈ 0.54030 + 0.84147i 10i ≈ −0.66820 + 0.74398i i ≈ 535.49i ≈ 1 == กำลังของจำนวนเชิงซ้อน == กำลังจำนวนเต็มของจำนวนเชิงซ้อนที่ไม่เป็นศูนย์นิยามโดยการคูณหรือการหารซ้ำ ๆ เช่นเดียวกับที่ได้กล่าวแล้ว ถ้า i คือหน่วยจินตภาพและ n คือจำนวนเต็มแล้ว in จะมีค่าเท่ากับ 1, i, −1 หรือ −i ขึ้นอยู่กับค่า n ว่าสมภาคกับ 0, 1, 2 หรือ 3 มอดุโล 4 ตามลำดับ ด้วยสาเหตุนี้ กำลังของ i จึงมีประโยชน์ในการเขียนแทนลำดับที่มีคาบแบ่งเป็น 4 ช่วง กำลังจำนวนเชิงซ้อนของจำนวนจริงบวกได้นิยามผ่านทาง ex ตามที่อธิบายไว้ในหัวข้อกำลังจำนวนเชิงซ้อนของจำนวนจริงบวก ซึ่งเป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง การขยายแนวคิดของฟังก์ชันเหล่านี้ไปเป็นกรณีทั่วไปคือ กำลังที่ไม่เป็นจำนวนเต็มของจำนวนเชิงซ้อนที่ไม่ใช่จำนวนเต็มบวก ทำให้เกิดความยุ่งยาก นั่นคือต้องนิยามฟังก์ชันไม่ต่อเนื่องหรือฟังก์ชันหลายค่าอย่างใดอย่างหนึ่ง แต่ไม่ว่าทางเลือกใดก็ไม่สามารถนิยามให้สอดคล้องเพียงพอทั้งหมดได้ กำลังจำนวนตรรกยะของจำนวนเชิงซ้อนต้องเป็นคำตอบของสมการเชิงพีชคณิตสมการหนึ่ง ดังนั้นมันจึงมีคำตอบที่เป็นไปได้จำนวนจำกัดหนึ่งเสมอ ตัวอย่างเช่น w = z1/2 ต้องเป็นคำตอบของสมการ w2 = z แต่เมื่อ w เป็นคำตอบแล้ว −w ก็เป็นคำตอบด้วยเช่นกันเพราะว่า 2 = 1 คำตอบเพียงหนึ่งเดียวที่ถูกเลือกโดยค่อนข้างปราศจากเหตุผลเรียกว่าค่ามุขสำคัญ สามารถเลือกโดยใช้กฎทั่วไปซึ่งใช้กับกำลังที่ไม่ใช่จำนวนตรรกยะด้วย กำลังและลอการิทึมเชิงซ้อนโดยธรรมชาติถือว่าเป็นฟังก์ชันค่าเดียวบนผิวรีมันน์ รูปแบบค่าเดียวถูกนิยามขึ้นโดยการเลือกผิวขึ้นมาอันหนึ่ง ค่าของมันไม่มีความต่อเนื่องตามแนวส่วนตัดกิ่ง การเลือกหนึ่งคำตอบจากหลายคำตอบเป็นค่ามุขสำคัญก็ยังคงได้ฟังก์ชันที่ไม่มีความต่อเนื่อง และกฎต่าง ๆ ที่ใช้จัดการกับการยกกำลังตามปกติอาจนำไปสู่ความผิดพลาดได้ กำลังจำนวนอตรรกยะของจำนวนเชิงซ้อนมีคำตอบที่เป็นไปได้ไม่จำกัด เพราะธรรมชาติของลอการิทึมเชิงซ้อนสามารถมีคำตอบได้หลายค่า ค่ามุขสำคัญคือค่าค่าหนึ่งที่ถูกเลือกด้วยกฎอย่างหนึ่งท่ามกลางคุณสมบัติอื่น ๆ ที่ทำให้แน่ใจว่า กำลังของจำนวนเชิงซ้อนที่มีส่วนจริงเป็นบวกและส่วนจินตภาพเป็นศูนย์ จะมีค่าเหมือนกับกำลังของจำนวนจริงที่เกี่ยวข้อง การยกกำลังจำนวนจริงด้วยจำนวนเชิงซ้อนเป็นการดำเนินการที่แตกต่างจากการยกกำลังจำนวนเชิงซ้อนที่เกี่ยวข้อง อย่างไรก็ตามในกรณีของจำนวนจริงบวก ค่ามุขสำคัญนั้นเหมือนกัน กำลังของจำนวนจริงลบนั้นไม่ได้ถูกนิยามเสมอไป และไม่ต่อเนื่องแม้ว่าจะได้นิยามแล้ว ดังนั้นเมื่อพบกับจำนวนเชิงซ้อน ควรใช้การดำเนินการสำหรับจำนวนเชิงซ้อนแทน === กำลังจำนวนเชิงซ้อนของจำนวนเชิงซ้อน === สำหรับจำนวนเชิงซ้อน a และ b ซึ่ง a ≠ 0 สัญกรณ์ ab เกิดความกำกวมในคำตอบเหมือนกับ log a เพื่อหาค่าของ ab ขั้นตอนแรกจะต้องเลือกลอการิทึมของ a ขึ้นมาค่าหนึ่ง ทางเลือกนั้นอาจเป็น Log a หรืออาจเป็นค่าหนึ่งจากกิ่งอื่นของ log z ที่กำหนดตายตัว ดังนั้นจึงสามารถนิยามโดยใช้ฟังก์ชันลอการิทึมเชิงซ้อนดังนี้ a b = e b log ⁡ a {\displaystyle a^{b}=e^{b\log a}\!} เพราะนิยามนี้สอดคล้องกับนิยามที่ให้ไว้ก่อนหน้านี้ ในกรณีที่ a เป็นจำนวนจริงบวกและค่ามุขสำคัญของ log a ได้ถูกเลือก ถ้า b เป็นจำนวนเต็ม ดังนั้นค่าของ ab จะไม่ขึ้นอยู่กับตัวเลือกของ log a เพราะสอดคล้องกับนิยามการยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็ม ถ้า b เป็นจำนวนตรรกยะ m/n ในพจน์น้อยที่สุดโดยที่ n > 0 ดังนั้นจะมีตัวเลือกของ log a เป็นจำนวนไม่จำกัดให้ค่าที่แตกต่างกัน n จำนวนสำหรับ ab ซึ่งค่าเหล่านี้คือจำนวนเชิงซ้อน z ที่เป็นคำตอบของสมการ zn = amถ้า b เป็นจำนวนอตรรกยะ ดังนั้นจะมีตัวเลือกของ log a เป็นจำนวนไม่จำกัด นำไปสู่ค่าของ ab ที่แตกต่างกันเป็นจำนวนไม่จำกัดเช่นกัน การคำนวณกำลังจำนวนเชิงซ้อนสามารถทำให้ง่ายขึ้นโดยการแปลงฐาน a เป็นรูปแบบเชิงขั้ว ดังที่อธิบายไว้ด้านล่าง การสร้างที่คล้ายก็สามารถใช้ควอเทอร์เนียน ได้ด้วย === รากเชิงซ้อนของ 1 === จำนวนเชิงซ้อน a ที่ทำให้ an = 1 สำหรับจำนวนเต็มบวก n เรียกว่า รากที่ n ของ 1 หรือเรียกสั้น ๆ ว่า รากของ 1 รากเหล่านี้มี n คำตอบและวางตัวคล้ายจุดยอดของรูป n เหลี่ยมปรกติ บนรูปวงกลมหนึ่งหน่วยบนระนาบเชิงซ้อน ซึ่งมีจุดยอดจุดหนึ่งอยู่ที่จำนวนจริง 1 ถ้า zn = 1 แต่ zk ≠ 1 สำหรับจำนวนธรรมชาติ k ตามเงื่อนไข 0 < k < n แล้ว z จะเรียกว่า รากปฐมฐานที่ n ตัวอย่างเช่น −1 เป็นรากปฐมฐานที่สองเพียงตัวเดียว, รากปฐมฐานที่สี่มีสองตัวได้แก่ i และ −i เป็นต้น จำนวน e2πi คือรากปฐมฐานที่ n ที่มีอาร์กิวเมนต์เป็นบวกน้อยที่สุด ส่วนรากของ 1 จำนวนอื่น ๆ คำนวณได้จาก k = e 2 π i k / n {\displaystyle \left^{k}=e^{2\pi ik/n}} สำหรับ 2 ≤ k ≤ n === รากของจำนวนเชิงซ้อนโดยทั่วไป === แม้ว่าลอการิทึมเชิงซ้อนมีค่าที่เป็นไปได้มากมายไม่จำกัด แต่ก็มีค่าเป็นจำนวนจำกัดเท่านั้นที่เป็นคำตอบของ az โดยเฉพาะในกรณีที่ z = 1/n และ n เป็นจำนวนเต็มบวก ค่าเหล่านี้คือรากที่ n ของ a ซึ่งเป็นคำตอบของสมการ xn = a ในทางคณิตศาสตร์ เราอาจทำให้การคำนวณสะดวกขึ้นโดยนิยาม a1/n ให้เป็นค่ามุขสำคัญของราก ถ้า a เป็นจำนวนจริงบวก จะสามารถเลือกคำตอบเป็นจำนวนจริงบวกเป็นค่ามุขสำคัญได้อย่างง่ายดาย สำหรับจำนวนเชิงซ้อนโดยทั่วไป รากที่ n ที่มีอาร์กิวเมนต์น้อยที่สุดมักจะถูกเลือกเป็นค่ามุขสำคัญของราก เช่นเดียวกับค่ามุขสำคัญของรากของ 1 เซตของรากที่ n ของจำนวนเชิงซ้อน a หาได้จากการคูณค่ามุขสำคัญของ a1/n ด้วยรากที่ n ของ 1 แต่ละจำนวน ตัวอย่างเช่น รากที่สี่ของ 16 ได้แก่ 2, −2, 2i และ −2i เพราะว่าค่ามุขสำคัญของรากที่สี่ของ 16 คือ 2 และรากที่สี่ของ 1 ได้แก่ 1, −1, i และ −i === การคำนวณกำลังจำนวนเชิงซ้อน === การคำนวณกำลังจำนวนเชิงซ้อนสามารถทำได้ง่ายขึ้นโดยเขียนเป็นการยกกำลังในรูปแบบเชิงขั้ว จำนวนเชิงซ้อน z ทุกจำนวนสามารถเขียนให้อยู่ในรูปแบบเชิงขั้วดังนี้ z = r e i θ = e ln ⁡ + i θ {\displaystyle z=re^{i\theta }=e^{\ln+i\theta }\,} เมื่อ r คือจำนวนจริงไม่เป็นลบและ θ คืออาร์กิวเมนต์ของ z รูปแบบเชิงขั้วมีการแปลความหมายเชิงเรขาคณิตว่า ถ้าจำนวนเชิงซ้อน u + iv แทนได้ด้วยจุด บนระนาบเชิงซ้อนโดยระบบพิกัดคาร์ทีเซียน ดังนั้น ก็คือจุดเดียวกันในระบบพิกัดเชิงขั้ว นั่นหมายความว่า r คือ "รัศมี" ที่มีค่าตาม r2 = u2 + v2 และ θ คือ "มุม" ที่มีค่าตาม θ = atan2 มุมเชิงขั้ว θ มีความกำกวมเนื่องจาก θ สามารถบวกด้วยพหุคูณใด ๆ ของ 2π แล้วไม่ทำให้จุดเปลี่ยนตำแหน่งไปจากเดิม ตัวเลือกแต่ละค่าของ θ โดยทั่วไปจะให้ผลการยกกำลังที่แตกต่างกัน ส่วนตัดกิ่งส่วนหนึ่งสามารถนำมาใช้เพื่อเลือกค่าที่เจาะจง ค่ามุขสำคัญ สอดคล้องกับ θ ที่ถูกเลือกในช่วงค่า 