In mathematics, a unit sphere is simply a sphere of radius one around a given center. More generally, it is the set of points of distance 1 from a fixed central point, where different norms can be used as general notions of "distance". A unit ball is the closed set of points of distance less than or equal to 1 from a fixed central point. Usually the center is at the origin of the space, so one speaks of "the unit ball" or "the unit sphere".
Special cases are the unit circle and the unit disk.

The importance of the unit sphere is that any sphere can be transformed to a unit sphere by a combination of translation and scaling.  In this way the properties of spheres in general can be reduced to the study of the unit sphere.

Unit spheres and balls in Euclidean space

In Euclidean space of n dimensions, the -dimensional unit sphere is the set of all points  which satisfy the equation

The n-dimensional open unit ball is the set of all points satisfying the inequality

and the n-dimensional closed unit ball is the set of all points satisfying the inequality

General area and volume formulas

The classical equation of a unit sphere is that of the ellipsoid with a radius of 1 and no alterations to the x-, y-, or z- axes:

The volume of the unit ball in n-dimensional Euclidean space, and the surface area of the unit sphere, appear in many important formulas of analysis.  The volume of the unit ball in n dimensions, which we denote Vn, can be expressed by making use of the gamma function.  It is

where n!! is the double factorial.

The hypervolume of the (n−1)-dimensional unit sphere (i.e., the "area" of the boundary of the n-dimensional unit ball), which we denote An−1, can be expressed as

where the last equality holds only for . For example,  is the "area" of the boundary of the unit ball , which simply counts the two points. Then  is the "area" of the boundary of the unit disc, which is the circumference of the unit circle.  is the area of the boundary of the unit ball , which is the surface area of the unit sphere .

The surface areas and the volumes for some values of  are as follows:

where the decimal expanded values for n ≥ 2 are rounded to the displayed precision.

Recursion

The An values satisfy the recursion:

 for .

The Vn values satisfy the recursion:

 for .

Non-negative real-valued dimensions

The value  at non-negative real values of  is sometimes used for normalization of Hausdorff measure.

Other radii

The surface area of an (n−1)-dimensional sphere with radius r is An−1 rn−1 and the volume of an n-dimensional ball with radius r is Vn rn.  For instance, the area is  for the two-dimensional surface of the three-dimensional ball of radius r.  The volume is  for the three-dimensional ball of radius r.

Unit balls in normed vector spaces

The open unit ball of a normed vector space  with the norm  is given by

It is the topological interior of the closed unit ball of (V,||·||):

The latter is the disjoint union of the former and their common border, the unit sphere of (V,||·||):

The 'shape' of the unit ball is entirely dependent on the chosen norm; it may well have 'corners', and for example may look like [−1,1]n, in the case of the max-norm in Rn. One obtains a naturally round ball as the unit ball pertaining to the usual Hilbert space norm, based in the finite-dimensional case on the Euclidean distance; its boundary is what is usually meant by the unit sphere.

Let   Define the usual -norm for p ≥ 1 as:

Then  is the usual Hilbert space norm.
 is called the Hamming norm, or -norm.
The condition p ≥ 1 is necessary in the definition of the  norm, as the unit ball in any normed space must be convex as a consequence of the triangle inequality.
Let  denote the max-norm or -norm of x.

Note that for the one-dimensional circumferences  of the two-dimensional unit balls, we have:

 is the minimum value.

 is the maximum value.

Generalizations

Metric spaces
All three of the above definitions can be straightforwardly generalized to a metric space, with respect to a chosen origin. However, topological considerations (interior, closure, border) need not apply in the same way (e.g., in ultrametric spaces, all of the three are simultaneously open and closed sets), and the unit sphere may even be empty in some metric spaces.

Quadratic forms
If V is a linear space with a real quadratic form F:V → R, then { p ∈ V : F(p) = 1 } may be called the unit sphere or unit quasi-sphere of V. For example, the quadratic form , when set equal to one, produces the unit hyperbola which plays the role of the "unit circle" in the plane of split-complex numbers. Similarly, the quadratic form x2 yields a pair of lines for the unit sphere in the dual number plane.

See also
Ball
n-sphere
Sphere
Superellipse
Unit circle
Unit disk
Unit tangent bundle
Unit square

Notes and references

 Mahlon M. Day (1958) Normed Linear Spaces, page 24, Springer-Verlag.
. Reviewed in Newsletter of the European Mathematical Society 64 (June 2007), p. 57. This book is organized as a list of distances of many types, each with a brief description.

External links 

 

Functional analysis
1 (number)
Spheres

es:1-esfera
수학에서 단위구는 고정된 중심점으로부터의 거리가 1인 점들의 집합이다. 일반화된 거리에 대한 개념이 사용된다; 닫힌 단위공은 고정된 중심점에서 거리가 1보다 작거나 같은 점들의 집합이다. 보통 특정한 점은 연구 중인 공간의 원점으로 구별되고 단위구 또는 단위공이 그 점을 중심으로 한다고 이해된다. 따라서 여기서는 항상 "그" 단위구나 "그" 단위공을 이야기 하는 것이다.

예를 들어, 원의 내부과 표면은 이차원 구이지만, 일차원 구는 그 "원"의 표면이다. 비슷하게, 일반적으로 "구"라고 부르는 유클리드 입체의 내부와 표면은 삼차원 구이지만, 이차원 구는 그 구의 표면이다.

단위구는 단순히 반지름이 1인 구이다. 단위구의 중요한 점은 어떤 구도 평행이동과 크기변환만으로 단위구로 변환될 수 있다는 것이다. 이 때문에 구의 특성은 일반적으로 단위구에 대한 연구로 줄일 수 있다.

유클리드 공간에서 단위구와 공

n차원 공간의 유클리드 공간에서, 차원 단위구는 다음 등식을 만족시키는 점들의 집합 이다:

n차원 열린 단위 공은 다음 부등식을 만족시키는 점들의 집합이다:

그리고 n차원 닫힌 단위 공은 다음 부등식을 만족시키는 점들의 집합이다:

일반적인 넓이와 부피 공식

단위구의 고전적인 방정식은 반지름이 1이고 x-, y-, 또는 z-축의 교대가 없는 타원체의 방정식이다:

n차원 유클리드 공간의 단위구의 부피와 표면적은 많은 해석학의 중요한 공식에 등장한다. n차원 단위공의 부피 Vn은 감마 함수를 사용해서 표현할 수 있다:

이 때 n!!은 이중 팩토리얼이다.

(n−1)차원 단위구의 초부피 An(즉, n차원 단위공의 표면의 "넓이")은 다음과 같이 표현할 수 있다:

여기서 마지막 등식은 일 때만 성립한다.

일부 값에 따른 표면적과 부피는 다음과 같다:

n ≥ 2일 때의 확장된 소숫점 아래는 표시된 정확도로 반올림되었다.

재귀

An값은 재귀를 만족시킨다:

 for .

Vn값도 재귀를 만족시킨다:

 for .

분수 차원

An과 Vn의 공식은 어떤 실수 n ≥ 0에 대해서도 계산할 수 있고, n이 음이아닌 정수일 때 구의 표면적과 공의 부피를 찾을 수 있는 적절한 환경이 있다.

다른 반지름

반지름이 r인 (n–1)차원 구의 표면적은 An rn−1이고, 반지름이 r인 n차원 공의 부피는 Vn rn이다. 예를 들어, 반지름이 r인 삼차원 공의 표면적은 이다. 반지름이 r인 삼차원 공의 부피는 이다.

노름 벡터 공간의 단위공

더 정확하게, 노름이 의 노름 벡터 공간 의 열린 단위구는 다음과 같다:

이것은 (V,||·||)의 닫힌 단위공의 내부이다:

후자는 전자와 그 공통 경계인 단위구의 서로소 연합이고, (V,||·||)의 단위구는 다음과 같다:

단위공의 '모양'은 전적으로 선택된 노름에 의존한다; 이것은 충분히 '모퉁이'를 가질 수도 있고, 예를 들면 Rn의 노름 l∞의 경우에는[−1,1]n처럼 보일 수도 있다. 둥근 공은 일상적인 유클리드 거리의 유한 차원의 경우에 기반하는 힐베르트 공간 노름으로 이해된다; 그 경계는 일반적으로 단위구를 의미하는 것이다. 여기에 다양한 값의 p에 대한 이차원  공간의 단위공의 그림을 그렸다 (단위공은 p < 1일 때는 오목하고 p ≥ 1일 때는 볼록하다):

모든 노름 공간의 단위공은 삼각 부등식에 의해서 반드시 볼록해야 하기 때문에 이것은 조건 p ≥ 1이 의 정의에 중요한지 보여준다.

이 이차원 단위공의 지름 에 대해서 주목하라:

은 최대값이다.
은 최솟값이다.

일반화

측도 공간
위의 세 정의 모두는 선택한 원점에 대하여 직접적으로 거리 공간으로 일반화 된다. 하지만, 위상적 고려사항(내부, 닫힘, 경계)은 같은 방법으로 적용될 필요는 없다(예를 들면, 초거리 공간에서, 이 세 개 전부는 열려있는 동시에 닫힌 집합이다). 그리고 심지어 단위구는 어떤 거리 공간에서 빌 수도 있다.

이차 형식
V가 실이차 형식 F:V → R을 가지는 선형 공간이면 { p ∈ V : F(p) = 1 }은 단위구또는 V의 단위 준-구 로 부를 수 도 있다. 예를 들어, 이차 형식 에 대해서 집합이 1과 같을 때, 분할복소수평면에서 "단위원"과 같은 역할을 하는 단위 쌍곡선을 만들어낸다. 비슷하게, 이차 형식 x2는 쌍대수평면의 단위 구인 선의 쌍을 얻는다.

같이 보기 

 공
 초구
 구 (기하학)
 초타원
 단위원
 단위 디스크
 단위구 묶음
 단위정사각형
 단위정육면체

참조

 Mahlon M. Day (1958) Normed Linear Spaces, page 24, Springer-Verlag.
. Reviewed in Newsletter of the European Mathematical Society 64 (June 2007), p. 57. This book is organized as a list of distances of many types, each with a brief description.

외부 링크 
 

함수해석학
1
구 (기하학)