In mathematics, in particular commutative algebra, the concept of fractional ideal is introduced in the context of integral domains and is particularly fruitful in the study of Dedekind domains. In some sense, fractional ideals of an integral domain are like ideals where denominators are allowed. In contexts where fractional ideals and ordinary ring ideals are both under discussion, the latter are sometimes termed integral ideals for clarity.

Definition and basic results

Let  be an integral domain, and let  be its field of fractions.

A fractional ideal of  is an -submodule  of  such that there exists a non-zero  such that . The element  can be thought of as clearing out the denominators in , hence the name fractional ideal.

The principal fractional ideals are those -submodules of  generated by a single nonzero element of . A fractional ideal  is contained in  if and only if it is an (integral) ideal of .

A fractional ideal  is called invertible if there is another fractional ideal  such that

where

is the product of the two fractional ideals.

In this case, the fractional ideal  is uniquely determined and equal to the generalized ideal quotient 

The set of invertible fractional ideals form an abelian group with respect to the above product, where the identity is the unit ideal  itself. This group is called the group of fractional ideals of . The principal fractional ideals form a subgroup. A (nonzero) fractional ideal is invertible if and only if it is projective as an -module. Geometrically, this means an invertible fractional ideal can be interpreted as rank 1 vector bundle over the affine scheme .

Every finitely generated R-submodule of K is a fractional ideal and if  is noetherian these are all the fractional ideals of .

Dedekind domains

In Dedekind domains, the situation is much simpler. In particular, every non-zero fractional ideal is invertible. In fact, this property characterizes Dedekind domains:
An integral domain is a Dedekind domain if and only if every non-zero fractional ideal is invertible.

The set of fractional ideals over a Dedekind domain  is denoted .

Its quotient group of fractional ideals by the subgroup of principal fractional ideals is an important invariant of a Dedekind domain called the ideal class group.

Number fields
For the special case of number fields  (such as ) there is an associated ring denoted  called the ring of integers of . For example,  for  square-free and congruent to . The key property of these rings  is they are Dedekind domains. Hence the theory of fractional ideals can be described for the rings of integers of number fields. In fact, class field theory is the study of such groups of class rings.

Associated structures 
For the ring of integerspg 2  of a number field, the group of fractional ideals forms a group denoted  and the subgroup of principal fractional ideals is denoted . The ideal class group is the group of fractional ideals modulo the principal fractional ideals, so
 
and its class number  is the order of the group, . In some ways, the class number is a measure for how "far" the ring of integers  is from being a unique factorization domain (UFD). This is because  if and only if  is a UFD.

Exact sequence for ideal class groups 
There is an exact sequence

associated to every number field.

Structure theorem for fractional ideals 
One of the important structure theorems for fractional ideals of a number field states that every fractional ideal  decomposes uniquely up to ordering as

for prime ideals
.

in the spectrum of . For example,
 factors as 

Also, because fractional ideals over a number field are all finitely generated we can clear denominators by multiplying by some  to get an ideal . Hence
 
Another useful structure theorem is that integral fractional ideals are generated by up to 2 elements. We call a fractional ideal which is a subset of  integral.

Examples
  is a fractional ideal over 
For  the ideal  splits in  as 
 In  we have the factorization . This is because if we multiply it out, we get

Since  satisfies , our factorization makes sense.
 In  we can multiply the fractional ideals
  and 
 to get the ideal

Divisorial ideal
Let  denote the intersection of all principal fractional ideals containing a nonzero fractional ideal .

Equivalently,

where as above
 
If  then I is called divisorial. In other words, a divisorial ideal is a nonzero intersection of some nonempty set of fractional principal ideals.

If I is divisorial and J is a nonzero fractional ideal, then (I : J) is divisorial.

Let R be a local Krull domain (e.g., a Noetherian integrally closed local domain). Then R is a discrete valuation ring if and only if the maximal ideal of R is divisorial.

An integral domain that satisfies the ascending chain conditions on divisorial ideals is called a Mori domain.

See also
Divisorial sheaf
Dedekind-Kummer theorem

Notes

References

 
Chapter 9 of 
Chapter VII.1 of 
Chapter 11 of 

Ideals (ring theory)
Algebraic number theory
가환대수학과 대수적 수론에서 분수 아이디얼(分數ideal, )은 분모가 허용되는, 아이디얼의 일반화이다. 아이디얼 유군을 정의할 때 사용된다.

정의

분수 아이디얼 
가환환 가 주어졌다고 하고, 그 전분수환을 라고 하자. 의 분수 아이디얼 는 다음 두 조건을 만족시키는 집합이다.
 는 에 대한 가군을 이룬다. 즉, 다음이 성립한다.
 는 덧셈에 대하여 닫혀 있다. 즉, 임의의 에 대하여, 이다.
 임의의  및 에 대하여, 이다.
 인 가 존재한다.

두 분수 아이디얼 의 곱은 다음과 같다.

이는 결합 법칙과 교환 법칙을 만족시키며, 는 곱셈에 대한 항등원을 이룬다 (). 따라서, 정역 의 분수 아이디얼들의 집합 은 곱셈에 대하여 가환 모노이드를 이룬다.

분수 아이디얼들의 가환 모노이드의 가역원을 가역 분수 아이디얼()이라고 하며, 가역 분수 아이디얼들은 아벨 군 을 이룬다.

두 분수 아이디얼 의 합

역시 분수 아이디얼을 이룬다. (이는 만약 에 대하여 라면 이기 때문이다.) 이는 결합 법칙과 교환 법칙을 만족시키며, 영 아이디얼 은 그 항등원을 이룬다. 또한, 곱셈에 대하여 분배 법칙 역시 성립하므로, 는 반환을 이룬다.

유한 또는 무한 개의 분수 아이디얼들 의 교집합

역시 분수 아이디얼을 이룬다. 그러나 ( 자체는 일반적으로 분수 아이디얼이 아니므로) 이 연산은 일반적으로 항등원을 갖지 않는다.

주 분수 아이디얼 
다음과 같은 곱셈 모노이드 준동형이 존재한다.

그러나 일반적으로 이므로 이는 반환의 준동형을 이루지 못한다.

의 주 분수 아이디얼(主分數ideal, )의 집합 은 이 모노이드 준동형의 치역이다. 즉, 주 분수 아이디얼은 의 꼴로 나타낼 수 있는 분수 아이디얼이다.

이 모노이드 준동형의 핵은 다음과 같다.

즉, 다음과 같다.

인자 아이디얼 
의 -부분 가군 에 대하여, 다음 기호를 정의하자.

즉, 는 를 부분 집합으로 포함하는 모든 주 분수 아이디얼들의 교집합이다.

만약 분수 아이디얼 가

를 만족시킨다면, 를 인자 아이디얼(因子ideal, )이라고 한다. 그 집합을 로 표기하자.

 위에 다음과 같은 곱을 정의할 수 있다.

이 곱에 대하여 는 가환 모노이드를 이룬다. 만약 가 뇌터 정수적으로 닫힌 정역의 경우 이는 아벨 군을 이루며, 이 경우 의 역원은 이다.

에 대하여 이므로, 모든 가역 주 분수 아이디얼은 인자 아이디얼이다. 보다 일반적으로, 모든 가역 분수 아이디얼은 인자 아이디얼이며, 이 경우 이다.

성질 
임의의 정역 에서, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

크룰 정역 
크룰 정역에서, 인자의 이론은 인자 아이디얼을 통해 전개할 수 있다. 크룰 정역 에서 높이가 1인 소 아이디얼들은 인자 아이디얼을 이루며, 를 생성한다.

이 경우, 몫군

을 의 인자 유군이라고 하며, 이는 아이디얼 유군을 부분군으로 갖는다.

데데킨트 정역 
데데킨트 정역의 경우, 0이 아닌 모든 분수 아이디얼이 가역 분수 아이디얼이다. 즉, 다음이 성립한다.
주 아이디얼 ⊆ 주 분수 아아디얼 ⊆ {(0)} ∪ 가역 분수 아이디얼 = 인자 아이디얼 = 분수 아이디얼
구체적으로, 정역 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
  는 데데킨트 정역이다.
 의 0이 아닌 모든 분수 아이디얼은 가역 분수 아이디얼이다.
이 경우, 몫군

을 의 아이디얼 유군이라고 한다.

두 데데킨트 정역 이 주어졌으며, 가 의 (분수체  속의) 정수적 폐포라고 한다면, 아이디얼 노름이라는 곱셈 모노이드 준동형

을 정의할 수 있으며, 이는 (주 분수 아이디얼에 대하여 적용한다면) 체 노름의 일반화이다.

유일 인수 분해 정역 
유일 인수 분해 정역의 경우, 모든 인자 아이디얼은 주 분수 아이디얼이다. 즉, 유일 인수 분해 정역의 경우 다음이 성립한다.
주 아이디얼 ⊆  {(0)} ∪ 가역 분수 아이디얼 = 주 분수 아아디얼 = 인자 아이디얼 ⊆ 분수 아이디얼
구체적으로, 정역 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 는 유일 인수 분해 정역이다.
 는 크룰 정역이며, 모든 인자 아이디얼은 주 분수 아이디얼이다.

주 아이디얼 정역과 체 
주 아이디얼 정역은 데데킨트 정역이자 유일 인수 분해 정역이므로, 다음이 성립한다.
주 아이디얼 = 아이디얼 ⊆ {(0)} ∪ 가역 분수 아이디얼 = 주 분수 아아디얼 = 인자 아이디얼 = 분수 아이디얼

체에서는 아이디얼이 과 밖에 없다. 이 경우, 다음이 성립한다.
주 아이디얼 = 아이디얼 = {(0)} ∪ 가역 분수 아이디얼 = 주 분수 아아디얼 = 인자 아이디얼 = 분수 아이디얼 = {(0), (1)}

예 
정수환 의 경우, 임의의 유리수 에 대하여

는 정수환의 분수 아이디얼이다. 이는 에 의하여 생성되므로, 주 분수 아이디얼이다. 정수환은 주 아이디얼 정역이므로, 모든 분수 아이디얼이 이러한 꼴이다.

만약 이라면

이며,

이다. 따라서 이는 인자 아이디얼을 이룬다. 만약 이라면,

이므로, 영 아이디얼 역시 인자 아이디얼이다.

외부 링크 
 
 
 
 
 

아이디얼
가환대수학
대수적 수론