more: 40:03
is independent of a
40:10
any old connection would have given you the same co-homology and you know that comology
40:16
is closed forms modulo exact forms which is finite dimensional
40:22
uh on a compact manifold so the homology class is independent of a
40:28
and the map from p goes to the homology
40:37
of p of f
40:43
is homomorphism in fact it's a ring homomorphism
40:53
from did i say that i give this a name i am
40:59
oh no i didn't yeah i allergy ring homomorphism
41:04
mapping il of g into the even
41:11
homology of x with real coefficient so
41:18
so this is this is great anytime you have an invariant polynomial algebra
41:24
of a of a bundle with connection you get a homology class and guess what it didn't depend on the
41:30
connection after all but you got a nice form that represented it okay that's that's uh i will i won't
41:37
prove that the proof is not it's not terrifically hard
41:44
what you have to do is show when you vary the connection there's a canonical way to make the difference of these two
41:50
forms exact so as you vary the kavisca pens on the curvature of the connection you vary it
41:56
a form comes up that's also related to this cs stuff and d of that form is the
42:01
difference between these two things and that and that that proves uh uh and that that proves two one is just
42:08
a calculation and three is just a calculation two is the is the guts of it and uh it's not a very hard step but on
42:15
the other hand again when chern and vay did it you know it probably didn't seem exactly
42:22
trivial so no all of these
42:28
are obstructions they're called characteristic classes and they're obstructions i'm going to
42:35
write all this down there are obstructions to getting cross sections in certain associated bundles
42:43
over certain skeleta in other words lower dimensional uh
42:48
parts of the of the manifold for example the oil characteristic
42:55
uh you you can get to anywhere in the even case except
43:02
finally to the to the whole thing and that then you get stuck you don't get stuck in any
43:08
three-dimensional subset sub-manifold let's say of of the four manifold you could always get a
43:14
vector field over that but at a certain point you get stuck and uh the and for doing all kinds of cross
43:21
sections in these associated bundles bundles associated to g uh there are
43:27
obstructions they're called characteristic classes and these
43:32
and these represent uh uh i think maybe all of the real characters they
43:38
must represent all the real characteristic class what is that is that right yeah so all of the real there
43:44
are some integer characteristic classes obviously you can't necessarily get this way and uh z2 you can't get this way but
43:50
you get you get a lot so uh let's just look quickly
43:56
at uh examples of these of these polynomials and then
44:03
say it again it's only a couple years after 1943 i
44:09
think jack is is jack here you don't know right yeah they were working closely
44:16
together in prison so maybe right after the war 4748 could have been it could have been yes
44:22
but i'm sure it was in the 40s i'm sure it was in the 40s and uh
44:27
so so uh let's just look if the bundle
44:34
if the if the if the group is u n a favorite group
44:40
uh then the invariant polynomials
44:46
i of u n is generated by trace powers
44:54
generated by actually just the trace
45:02
더보기: 40:03와 독립적입니다.40:10어떤 오래된 연결이라도 동일한 상동성을 제공했을 것이고, 여러분은 그 상동성을 알고 있습니다.40:16은 유한 차원인 닫힌 형태 모듈로 정확한 형태입니다.40:22콤팩트 다양체에 있으므로 상동성 클래스는 다음과 독립적입니다.40:28그리고 p로부터의 지도는 상동성으로 이동합니다.40:37의 p 의 f40:43은 사실 동형이지만 고리 동형입니다.40:53에서 나는 이것을 내가라는 이름을 부여한다고 말했습니까?40:59오 아니요, 네 알레르기 고리 동형성입니다.41:04G의 IL을 짝수로 매핑41:11X와 실수 계수 소의 상동성41:18불변의 다항식 대수학이 있을 때마다 유용합니다.41:24연결이있는 번들의 상동 클래스를 얻고 그것이 무엇에 의존하지 않는지 추측합니다.41:30결국 연결이지만 당신은 그것을 표현하는 좋은 형태를 얻었습니다.41:37증거가 그렇게 어렵지 않다는 것을 증명합니다.41:44당신이해야 할 일은 연결을 변경할 때이 둘의 차이를 만드는 표준 방법이 있다는 것을 보여주는 것입니다.41:50연결의 곡률에 따라 카비 스카 펜을 변경할 때 정확한 형태가 변경됩니다.41:56이 cs 물건과 관련된 양식이 나타나고 그 양식의 d는42:01이 두 가지와 그것과 그것 사이의 차이점은 어 어 그리고 그것은 두 가지를 증명하는 것입니다.42:08계산이고 3은 그냥 계산이고 2는 그것의 배짱이고 어, 그것은 매우 어려운 단계는 아니지만42:15다른 한편으로 다시 체른과 베이가했을 때 당신은 아마 그것이 정확히 보이지 않았다는 것을 알고 있습니다.42:22사소한 일이므로이 모든 것이 아닙니다.42:28장애물입니다 그들은 특징적인 수업이라고 불리며 내가 할 장애물입니다.42:35이 모든 것을 적어두면 특정 관련 번들에서 단면을 얻는 데 장애물이 있습니다.42:43특정 스켈레타, 즉 더 낮은 차원을 통해42:48매니 폴드의 일부 예를 들어 오일 특성42:55어, 당신은 짝수 케이스에서 어디든 갈 수 있습니다.43:02마침내 모든 것에 그리고 당신은 어떤 것에 갇히지 않습니다.43:083 차원 부분 집합 하위 매니 폴드 4 개의 매니 폴드 중 항상 얻을 수 있다고 가정 해 보겠습니다.43:14벡터 필드를 얻을 수 있지만 특정 지점에서 막히고 모든 종류의 교차 작업을 수행하기 위해43:21에 관련된 이러한 관련 번들 번들의 섹션이 있습니다.43:27장애물 그들은 특성 클래스라고 불리며 이것들은43:32그리고 이것들은 아마도 모든 실제 캐릭터를 대표한다고 생각합니다.43:38모든 실제 특성 클래스를 나타내야합니다. 그게 뭔지 맞아요 그래서 거기에있는 모든 실제43:44일부 정수 특성 클래스는 분명히 이런 식으로 얻을 수는없고 z2는 이런 식으로 얻을 수는 없지만43:50당신은 많은 것을 얻을 수 있으므로 어 빨리 살펴 보겠습니다.43:56이 다항식의 예를 살펴본 다음44:03다시 말하지만 1943 년 이후 불과 몇 년 후입니다.44:09잭이 여기 잭이라고 생각하십니까? 네, 그들은 긴밀히 협력하고있었습니다.44:16감옥에서 함께 있었으니 4748 년 전쟁 직후 일 수도 있었을 것입니다.44:22하지만 40 년대 였을 거라고 확신합니다. 40 년대 였을 거라고 확신합니다.44:27그래서 그냥 번들이 있는지 살펴 보겠습니다.44:34만약 그 그룹이 좋아하는 그룹이라면44:40그 다음 불변 다항식은44:46U N의 I는 미량 거듭제곱에 의해 생성됩니다.44:54실제로는 트레이스에 의해 생성됩니다.45:02