The parities of the $S$ and $D$ states are positive, while the parity of the $P$ state is negative. Because of the conservation of parity in strong interaction, a quantum state that is initially an $S$ state cannot have a $P$ state component at any later moment.

The possible spin values for a system composed of a proton and a neutron are 1 and 0 . We are given $\mathbf{J}=\mathbf{L}+\mathbf{S}$ and $J=1$. If $S=0, L=1$, the system would be in a $P$ state, which must be excluded as we have seen in (a). The allowed values are then $S=1, L=2,1,0$. Therefore a $G$ state $(L=4)$ cannot contribute.

The total spin is $\mathbf{S}=\mathbf{s}_{p}+\mathbf{s}_{n}$. For a pure $D$ state with $J=1$, the orbital angular momentum (relative to the center of mass of the $n$ and $p$ ) is $L=2$ and the total spin must be $S=1$. The total magnetic moment arises from the coupling of the magnetic moment of the total spin, $\mu$, with that of the orbital angular momentum, $\boldsymbol{\mu}_{L}$, where $\boldsymbol{\mu}=\boldsymbol{\mu}_{p}+\boldsymbol{\mu}_{n}, \boldsymbol{\mu}_{p}, \boldsymbol{\mu}_{n}$ being the spin magnetic moments of $p$ and $n$ respectively.

The average value of the component of $\mu$ in the direction of the total spin $\mathbf{S}$ is

$$
\mu_{s}=\frac{\left(g_{p} \mu_{N} \mathbf{s}_{p}+g_{n} \mu_{N} \mathbf{s}_{n}\right) \cdot \mathbf{S}}{\mathbf{S}^{2}} \mathbf{S}=\frac{1}{2}\left(g_{p}+g_{n}\right) \mu_{N} \mathbf{S}
$$

where

$$
\mu_{N}=\frac{e \hbar}{2 m_{p} c}, \quad g_{p}=5.58, \quad g_{n}=-3.82,
$$

as $\mathbf{s}_{p}=\mathbf{s}_{n}=\frac{1}{2} \mathbf{S}$.

The motion of the proton relative to the center of mass gives rise to a magnetic moment, while the motion of the neutron does not as it is uncharged. Thus

$$
\mu_{L}=\mu_{N} \mathbf{L}_{p},
$$

where $\mathbf{L}_{p}$ is the angular momentum of the proton relative to the center of mass. As $\mathbf{L}_{p}+\mathbf{L}_{n}=\mathbf{L}$ and we may assume $\mathbf{L}_{p}=\mathbf{L}_{n}$, we have $\mathbf{L}_{p}=\mathbf{L} / 2$ (the center of mass is at the mid-point of the connecting line, taking $m_{p} \approx m_{n}$ ). Consequently, $\mu_{L}=\mu_{N} \mathbf{L} / 2$.

The total coupled magnetic moment along the direction of $\mathbf{J}$ is then

$$
\mu_{T}=\frac{\left[\frac{1}{2} \mu_{N} \mathbf{L} \cdot \mathbf{J}+\frac{1}{2}\left(g_{p}+g_{n}\right) \mu_{N} \mathbf{S} \cdot \mathbf{J}\right] \mathbf{J}}{J(J+1)} .
$$

Since $\mathbf{J}=\mathbf{L}+\mathbf{S}, \mathbf{S} \cdot \mathbf{L}=\frac{1}{2}\left(J^{2}-L^{2}-S^{2}\right)$. With $J=1, L=2, S=1$ and so $J^{2}=2, L^{2}=6, S^{2}=2$, we have $\mathbf{S} \cdot \mathbf{L}=-3$ and thus $\mathbf{L} \cdot \mathbf{J}=3$, $\mathbf{S} \cdot \mathbf{J}=-1$. Hence 

$$
\begin{aligned}
\boldsymbol{\mu}_{T} &=\left[\frac{1}{2} \mu_{N} \cdot 3+\frac{1}{2}\left(g_{p}+g_{n}\right) \mu_{N}(-1)\right] \mathbf{J} / 2 \\
&=\left[1.5-\frac{1}{2}\left(g_{p}+g_{n}\right)\right] \frac{1}{2} \mu_{N} \mathbf{J}=0.31 \mu_{N} \mathbf{J} .
\end{aligned}
$$

Taking the direction of $\mathbf{J}$ as the $z$-axis and letting $J_{z}$ take the maximum value $J_{z}=1$, we have $\mu_{T}=0.31 \mu_{N}$.
S$ 상태와 $D$ 상태의 패리티는 양수이고, $P$ 상태의 패리티는 음수입니다. 강한 상호작용에서 패리티 보존으로 인해, 처음에 $S$ 상태인 양자 상태는 나중에 어떤 순간에도 $P$ 상태 구성 요소를 가질 수 없습니다.

양성자와 중성자로 구성된 시스템의 가능한 스핀 값은 1과 0입니다. 우리는 $\mathbf{J}=\mathbf{L}+\mathbf{S}$와 $J=1$이 주어집니다. 만약 $S=0, L=1$이라면 시스템은 $P$ 상태가 될 것이며, 이는 (a)에서 보았듯이 제외되어야 합니다. 그러면 허용되는 값은 $S=1, L=2,1,0$입니다. 따라서 $G$ 상태 $(L=4)$는 기여할 수 없습니다.

총 스핀은 $\mathbf{S}=\mathbf{s}_{p}+\mathbf{s}_{n}$입니다. J=1$인 순수한 $D$ 상태의 경우, 궤도 각운동량($n$과 $p$의 질량 중심에 대한 상대적)은 $L=2$이고 총 스핀은 $S=1$이어야 합니다. 총 자기 모멘트는 총 스핀의 자기 모멘트 $\mu$와 궤도 각운동량의 자기 모멘트 $\boldsymbol{\mu}_{L}$의 결합으로 인해 발생합니다, 여기서 $\boldsymbol{\mu}=\boldsymbol{\mu}_{p}+\boldsymbol{\mu}_{n}, \boldsymbol{\mu}_{p}, \boldsymbol{\mu}_{n}$는 각각 $p$와 $n$의 스핀 자기 모멘트입니다.

총 스핀 $\mathbf{S}$ 방향의 $\mu$ 성분의 평균값은 다음과 같습니다.

$$
\mu_{s}=\frac{\left(g_{p} \mu_{N} \mathbf{s}_{p}+g_{n} \mu_{N} \mathbf{s}_{n}\right) \cdot \mathbf{S}}{\mathbf{S}^{2}} \mathbf{S}=\frac{1}{2}\left(g_{p}+g_{n}\right) \mu_{N} \mathbf{S}
$$

여기서

$$
\mu_{N}=\frac{e \hbar}{2 m_{p} c}, \quad g_{p}=5.58, \quad g_{n}=-3.82,
$$

as $\mathbf{s}_{p}=\mathbf{s}_{n}=\frac{1}{2} \mathbf{S}$.

질량 중심에 대한 양성자의 운동은 자기 모멘트를 발생시키지만, 중성자의 운동은 전하를 띠지 않기 때문에 자기 모멘트를 발생시키지 않습니다. 따라서

$$
\mu_{L}=\mu_{N} \mathbf{L}_{p},
$$

여기서 $\mathbf{L}_{p}$는 질량 중심에 대한 양성자의 각운동량입니다. $\mathbf{L}_{p}+\mathbf{L}_{n}=\mathbf{L}$이고 $\mathbf{L}_{p}=\mathbf{L}_{n}$로 가정할 수 있으므로, $\mathbf{L}_{p}=\mathbf{L} / 2$ (질량 중심은 연결 선의 중간 지점에 있으며, $m_{p} \약 m_{n}$ 를 취합니다). 결과적으로 $\mu_{L}=\mu_{N}입니다. \mathbf{L} / 2$.

그러면 $\mathbf{J}$ 방향에 따른 총 결합 자기 모멘트는 다음과 같습니다.

$$
\mu_{T}=\frac{\left[\frac{1}{2} \mu_{N} \mathbf{L} \cdot \mathbf{J}+\frac{1}{2}\left(g_{p}+g_{n}\right) \mu_{N} \mathbf{S} \cdot \mathbf{J}\right] \mathbf{J}}{J(J+1)} .
$$

mathbf{J}=\mathbf{L}+\mathbf{S}이므로, \mathbf{S} \cdot \mathbf{L}=\frac{1}{2}\left(J^{2}-L^{2}-S^{2}\right)$가 됩니다. J=1, L=2, S=1$이므로 $J^{2}=2, L^{2}=6, S^{2}=2$이므로 $\mathbf{S} \cdot \mathbf{L}=-3$이므로 $\mathbf{L} \cdot \mathbf{J}=3$, $\mathbf{S} \cdot \mathbf{J}=-1$이 됩니다. 따라서

$$
\begin{aligned}
\boldsymbol{\mu}_{T} &=\left[\frac{1}{2} \mu_{N} \cdot 3+\frac{1}{2}\left(g_{p}+g_{n}\right) \mu_{N}(-1)\right] \mathbf{J} / 2 \\
&=\left[1.5-\frac{1}{2}\left(g_{p}+g_{n}\right)\right] \frac{1}{2} \mu_{N} \mathbf{J}=0.31 \mu_{N} \mathbf{J} .
\end{aligned}
$$

수학적으로 $\mathbf{J}$의 방향을 $z$축으로 삼고 $J_{z}$를 최대값 $J_{z}=1$로 하면 $\mu_{T}=0.31 \mu_{N}$이 됩니다.