In mathematics, enumerative geometry is the branch of algebraic geometry concerned with counting numbers of solutions to geometric questions, mainly by means of intersection theory.

History

The problem of Apollonius is one of the earliest examples of enumerative geometry.  This problem asks for the number and construction of circles that are tangent to three given circles, points or lines.  In general, the problem for three given circles has eight solutions, which can be seen as 23, each tangency condition imposing a quadratic condition on the space of circles.  However, for special arrangements of the given circles, the number of solutions may also be any integer from 0 (no solutions) to six; there is no arrangement for which there are seven solutions to Apollonius' problem.

Key tools

A number of tools, ranging from the elementary to the more advanced, include:
 Dimension counting
 Bézout's theorem
 Schubert calculus, and more generally characteristic classes in cohomology
 The connection of counting intersections with cohomology is Poincaré duality
 The study of moduli spaces of curves, maps and other geometric objects, sometimes via the theory of quantum cohomology. The study of quantum cohomology, Gromov–Witten invariants and mirror symmetry gave a significant progress in Clemens conjecture.

Enumerative geometry is very closely tied to intersection theory.

Schubert calculus
Enumerative geometry saw spectacular development towards the end of the nineteenth century, at the hands of Hermann Schubert. He introduced it for the purpose the Schubert calculus, which has proved of fundamental geometrical and topological value in broader areas. The specific needs of enumerative geometry were not addressed until some further attention was paid to them in the 1960s and 1970s (as pointed out for example by Steven Kleiman). Intersection numbers had been rigorously defined (by André Weil as part of his foundational programme 1942–6, and again subsequently), but this did not exhaust the proper domain of enumerative questions.

Fudge factors and Hilbert's fifteenth problem
Naïve application of dimension counting and Bézout's theorem yields incorrect results, as the following example shows. In response to these problems, algebraic geometers introduced vague "fudge factors", which were only rigorously justified decades later.

As an example, count the conic sections tangent to five given lines in the projective plane. The conics constitute a projective space of dimension 5, taking their six coefficients as homogeneous coordinates, and five points determine a conic, if the points are in general linear position, as passing through a given point imposes a linear condition. Similarly, tangency to a given line L (tangency is intersection with multiplicity two) is one quadratic condition, so determined a quadric in P5. However the linear system of divisors consisting of all such quadrics is not without a base locus. In fact each such quadric contains the Veronese surface, which parametrizes the conics

(aX + bY + cZ)2 = 0

called 'double lines'. This is because a double line intersects every line in the plane, since lines in the projective plane intersect, with multiplicity two because it is doubled, and thus satisfies the same intersection condition (intersection of multiplicity two) as a nondegenerate conic that is tangent to the line.

The general Bézout theorem says 5 general quadrics in 5-space will intersect in 32 = 25 points. But the relevant quadrics here are not in general position. From 32, 31 must be subtracted and attributed to the Veronese, to leave the correct answer (from the point of view of geometry), namely 1. This process of attributing intersections to 'degenerate' cases is a typical geometric introduction of a 'fudge factor'.

Hilbert's fifteenth problem was to overcome the apparently arbitrary nature of these interventions; this aspect goes beyond the foundational question of the Schubert calculus itself.

Clemens conjecture

In 1984 H. Clemens studied the counting of the number of rational curves on a quintic threefold  and reached the following conjecture.
 Let  be a general quintic threefold,  a positive integer, then there are only a finite number of rational curves with degree  on .

This conjecture has been resolved in the case , but is still open for higher .

In 1991 the paper about mirror symmetry on the quintic threefold in  from the string theoretical viewpoint gives numbers of degree d rational curves on  for all . Prior to this, algebraic geometers could calculate these numbers only for .

Examples

Some of the historically important examples of enumerations in algebraic geometry include: 

2  The number of lines meeting 4 general lines in space
8   The number of circles tangent to 3 general circles (the problem of Apollonius).
27   The number of lines on a smooth cubic surface (Salmon and Cayley)
2875  The number of lines on a general quintic threefold
3264  The number of conics tangent to 5 plane conics in general position (Chasles)
609250   The number of conics on a general quintic threefold
4407296 The number of conics tangent to 8 general quadric surfaces 
666841088  The number of quadric surfaces tangent to 9 given quadric surfaces in general position in 3-space  
5819539783680 The number of twisted cubic curves tangent to 12  given quadric surfaces in general position in 3-space

References

External links

Intersection theory
Algebraic geometry
수학에서 열거 기하학은 주로 교차 기하학을 통해 기하학적 질문에 대한 해의 수를 세는 것과 관련된 대수 기하학의 한 분야이다.

아폴로니우스의 문제은 열거 기하학의 가장 초기 사례 중 하나이다. 이 문제는 세 개의 주어진 원, 점 또는 선에 접하는 원의 수와 구조를 묻는다. 일반적으로 주어진 3개의 원에 대한 문제에는 8개의 해가 있으며 이는 23으로 볼 수 있으며 각 접선 조건은 원의 공간에 2차 조건을 부과한다. 그러나 주어진 원의 특별한 배열을 위해 해의 수는 0(해 없음)에서 6까지의 정수일 수도 있다. 아폴로니우스의 문제에 대한 7가지 해결책이 있는 배열은 없다.

주요 방법 
다음과 같은 다양한 방법이 있다.

 차원 계산
 베주 정리
 슈베르트 미적분학, 그리고 보다 일반적으로 코호몰로지 특성류
 코호몰로지와 교차점 셈의 연결은 푸앵카레 쌍대성이다.
 때때로 양자 코호몰로지 이론을 통해 곡선, 사상 및 기타 기하학적 대상의 모듈라이 공간에 대한 연구. 양자 코호몰로지, 그로모프–위튼 불변량 및 거울 대칭에 대한 연구는 클레멘스 추측에서 상당한 진전을 가져왔다.

열거 기하학은 교차 이론과 매우 밀접하게 연결되어 있다.

슈베르트 미적분 
열거 기하학은 헤르만 슈베르트의 손에 의해 19세기 말에 눈부신 발전을 보였다. 그는 슈베르트 미적분학을 도입했는데, 더 넓은 영역에서 근본적인 기하학적 및 위상학적 가치를 입증했다. 열거 기하학의 특정 요구 사항은 1960년대와 1970년대에 약간의 추가적 관심이 주어일 때까지 해결되지 않았다(예를 들어 Steven Kleiman 이 지적한 대로). 교차수는 엄격하게 정의되었지만(앙드레 베유가 1942 – 6년 그의 기초 프로그램의 일부로, 그리고 그 이후에 다시) 이것은 열거 질문의 적절한 영역을 소진하지 못했다.

얼버무림 인자와 힐베르트의 15번째 문제 
차원 계산과 베주의 정리를 순진하게 적용하면 다음 예와 같이 잘못된 결과가 나타넌다. 이러한 문제에 대응하여 대수 기하학자는 모호한 "얼버무림 인자"를 도입했으며, 이는 수십 년 후에야 엄격하게 정당화되었다.

예를 들어, 사영 평면에서 5개의 주어진 선에 접하는 원뿔 단면을 계산한다. 원뿔은 5차원의 사영 공간을 구성하고 6개의 계수를 동차좌표로 사용하며 5개의 점이 원뿔을 결정한다. 점이 일반적으로 선형 위치에 있는 경우 주어진 점을 통과하면 선형 조건이 부과되므로 원뿔이 결정된다. 마찬가지로, 주어진 선 L에 대한 접선(접선은 중복도 2인 교점)은 하나의 2차 조건이므로 P 5 에서 이차 초곡면으로 결정된다. 그러나 그러한 모든 이차방정식으로 구성된 약수의 선형족은 기저 자취가 없는 것이 아니다. 사실 각각의 이러한 이차 초곡면은 원뿔형을 매개변수화하는 베로네세 표면을 포함한다.

 (aX + bY + cZ )2 = 0

이를 '이중 직선'이라고 한다. 이것은 이중 직선이 평면의 모든 직선과 교차하기 때문이다. 사영 평면의 직선이 교차하기 때문에 다중도 2는 두 배가 되므로 교차 조건(다중도 2의 교차)에 직선에 접하는 비축퇴 원추형 과 동일한 교차 조건(다중도 2의 교차)을 만족한다.

일반 베주 정리는 5-공간에서 5개의 일반 2차가 32 = 2 5개의 점에서 교차할 것이라고 말한다. 그러나 여기서 관련된 이차는 일반적인 위치에 있지 않다. 32에서 31을 빼서 베로네세에 귀속시켜야 정답(기하학적 관점에서), 즉 1을 남길 수 있다. 교차를 '퇴화' 사례에 귀속시키는 이 과정은'얼버무림 인자'의 전형적인 기하학적 도입이다.

힐베르트의 15번째 문제는 이러한 개입의 자의적인 특성을 극복하는 것이었다. 이 측면은 슈베르트 미적분 자체의 근본적인 질문을 넘어선 것이다.

클레멘스 추측 
1984년에 클레멘스는 5차 삼중체 에서 유리 곡선의 수를 세는 방법을 연구했다. 그리고 다음과 같은 추측에 도달했다.

 허락하다  일반 5차 삼중이어야 한다.  양의 정수이면 에 차수 인 유한한 수의 유리 곡선만 있다.

이 추측은 에서 해결되었다. 그러나 여전히 더 높은 차원에서는 미해결이다.

1991년에  안의 5중 삼중체의 거울 대칭에 관한 논문은 이론적 관점에서 모든 에 대해  안의 차수 d인 유리 곡선의 수를 제공한다. 이전에는 대수 기하학자들이 에서 이들을 계산할 수 있었다.

예 
대수 기하학에서 역사적으로 중요한 열거의 예는 다음과 같다.

 2: 공간에서 4개의 일반선과 만나는 선의 수
 8: 3개의 일반적인 원에 접하는 원의 수( 아폴로니우스의 문제).
 27: 매끄러운 입방체 표면의 선 수(살몬 및 케일리)
 2875: 일반 5차 삼중 의 줄 수
 3264: 일반 위치에서 5개의 평면 원뿔에 접하는 원뿔 의 수(미셀 샬)
 609250: 일반 5차 삼중체 원뿔의 수
 4407296: 일반 4차 곡면 8개에 접하는 원뿔의 수 
 666841088: 3공간에서 일반적인 위치에서 9개의 주어진 4차 곡면에 접하는 2차 곡면의 수    
 5819539783680: 3공간에서 일반적인 위치에 있는 12개의 4차 곡면에 접하는 꼬인 3차 곡선의 수   (S. 클라이만, SA 스트롬메 & S. 잠보 1987년

참조

외부 링크 

 
대수기하학