Given a topological space and a group acting on it, the images of a single point under the group action form an orbit of the action. A fundamental domain or fundamental region is a subset of the space which contains exactly one point from each of these orbits. It serves as a geometric realization for the abstract set of representatives of the orbits.

There are many ways to choose a fundamental domain. Typically, a fundamental domain is required to be a connected subset with some restrictions on its boundary, for example, smooth or polyhedral. The images of a chosen fundamental domain under the group action then tile the space. One general construction of fundamental domains uses Voronoi cells.

Hints at a general definition 

Given an action of a group G on a topological space X by homeomorphisms, a fundamental domain for this action is a set D of representatives for the orbits. It is usually required to be a reasonably nice set topologically, in one of several precisely defined ways. One typical condition is that D is almost an open set, in the sense that D is the symmetric difference of an open set in X with a set of measure zero, for a certain (quasi)invariant measure on X. A fundamental domain always contains a free regular set U, an open set moved around by G into disjoint copies, and nearly as good as D in representing the orbits. Frequently D is required to be a complete set of coset representatives with some repetitions, but the repeated part has measure zero. This is a typical situation in ergodic theory. If a fundamental domain is used to calculate an integral on X/G, sets of measure zero do not matter.

For example, when X is Euclidean space Rn of dimension n, and G is the lattice Zn acting on it by translations, the quotient X/G is the n-dimensional torus. A fundamental domain D here can be taken to be [0,1)n, which differs from the open set (0,1)n by a set of measure zero, or the closed unit cube [0,1]n, whose boundary consists of the points whose orbit has more than one representative in D.

Examples 

Examples in the three-dimensional Euclidean space R3.
for n-fold rotation: an orbit is either a set of n points around the axis, or a single point on the axis; the fundamental domain is a sector
for reflection in a plane: an orbit is either a set of 2 points, one on each side of the plane, or a single point in the plane; the fundamental domain is a half-space bounded by that plane
for reflection in a point: an orbit is a set of 2 points, one on each side of the center, except for one orbit, consisting of the center only; the fundamental domain is a half-space bounded by any plane through the center
for 180° rotation about a line: an orbit is either a set of 2 points opposite to each other with respect to the axis, or a single point on the axis; the fundamental domain is a half-space bounded by any plane through the line
for discrete translational symmetry in one direction: the orbits are translates of a 1D lattice in the direction of the translation vector; the fundamental domain is an infinite slab
for discrete translational symmetry in two directions: the orbits are translates of a 2D lattice in the plane through the translation vectors;  the fundamental domain is an infinite bar with parallelogrammatic cross section
for discrete translational symmetry in three directions: the orbits are translates of the lattice;  the fundamental domain is a primitive cell which is e.g. a parallelepiped, or a Wigner-Seitz cell, also called Voronoi cell/diagram.

In the case of translational symmetry combined with other symmetries, the fundamental domain is part of the primitive cell. For example, for wallpaper groups the fundamental domain is a factor 1, 2, 3, 4, 6, 8, or 12 smaller than the primitive cell.

Fundamental domain for the modular group 

The diagram to the right shows part of the construction of the fundamental domain for the action of the modular group Γ on the upper half-plane H.

This famous diagram appears in all classical books on modular functions. (It was probably well known to C. F. Gauss, who dealt with fundamental domains in the guise of the reduction theory of quadratic forms.) Here, each triangular region (bounded by the blue lines) is a free regular set of the action of Γ on H. The boundaries (the blue lines) are not a part of the free regular sets.  To construct a fundamental domain of H/Γ, one must also consider how to assign points on the boundary, being careful not to double-count such points. Thus, the free regular set in this example is

The fundamental domain is built by adding the boundary on the left plus half the arc on the bottom including the point in the middle:

The choice of which points of the boundary to include as a part of the fundamental domain is arbitrary, and varies from author to author.

The core difficulty of defining the fundamental domain lies not so much with the definition of the set per se, but rather with how to treat integrals over the fundamental domain, when integrating functions with poles and zeros on the boundary of the domain.

See also 
 Free regular set
 Fundamental polygon
 Brillouin zone
 Fundamental pair of periods
 Petersson inner product
 Cusp neighborhood

External links 
 

Topological groups
Ergodic theory
Riemann surfaces
Group actions (mathematics)
주어진 위상 공간과 그 위에 작용하는 군이 주어지면, 하는 한 점에 대한 군 작용의 상은 작용의 궤도를 형성한다. 기본 영역은 이러한 각 궤도에서 정확히 한 지점을 포함하는 공간의 부분 집합이다. 그것은 궤도를 대표하는 추상적 집합에 대한 기하학적 구현으로 사용된다.

기본 영역을 선택하는 방법에는 여러 가지가 있다. 일반적으로 기본 영역은 경계에 일부 조건(예: 매끄러운 경계 또는 다면체의 모서리)이 있는 연결 부분 집합이어야 한다. 군 작용 아래에서 선택한 기본 영역의 상은 공간을 바둑판식으로 배열한다. 기본 영역의 일반적인 구성 중 하나는 보로노이 도식을 사용한다.

일반적인 정의에 대한 실마리 

위상동형사상에 의한 위상 공간 에서 군 의 작용이 주어지면 이 작용의 기본 영역은 궤도들의 대표원 집합 이다. 이는 일반적으로 몇 가지 정확하게 정의된 방식 중 하나로 위상적으로 충분히 좋은 집합이어야 한다. 한 가지 일반적인 조건은 가 에 대한 특정 (준)불변 측도에 대해 영 측도 집합과 의 열린 집합의 대칭차라는 점에서 가 거의 열린 집합이라는 것이다. 기본 영역은 항상 자유 정규 집합 , 에 의해 서로소인 복사본으로 이동하는 열린 집합을 포함하며 궤도를 나타내는 데 거의 만큼 우수하다. 종종 는 약간의 반복이 있는 코셋 대표의 완비 집합이 되어야 하지만 반복되는 부분은 영측도이다. 이것은 에르고딕 이론의 전형적인 상황이다. 기본 영역이 에 대한 적분을 계산하는 데 사용되는 경우 영측도 집합은 중요하지 않다.

예를 들어, 가 차원의 유클리드 공간 이고 가 평행 이동에 의해 작용하는 격자 일 때, 몫 는 차원 원환면이다. 여기에서 기본 영역 는 으로 볼 수 있으며, 이것은 열린 집합 과 영 측도 집합 또는 닫힌 단위 입방체 과 다르다. 궤도가 에서 둘 이상의 대표원들을 갖는 점으로 구성된다.

예 
3차원 유클리드 공간 의 예.

  겹 회전의 경우: 궤도는 축 주위의  개 점들의 집합이거나 축의 한 점이다. 기본 영역은 섹터이다.
 주어진 평면에서의 반사: 궤도는 평면의 각 측면에 하나씩 2개의 점 집합이거나 평면의 한 점이다. 기본 영역은 해당 평면으로 경계가 지정된 반공간이다.
 점에서의 반사를 위해: 궤도는 2개의 점의 집합이며, 중심으로만 구성된 하나의 궤도를 제외하고 중심의 각 측면에 하나씩 있다. 기본 영역은 중심을 통과하는 임의의 평면으로 경계가 지정된 반공간이다.
 주어진 한 직선에 대한 180° 회전의 경우: 궤도는 축에 대해 서로 반대편에 있는 2개의 점 집합이거나 축의 한 점이다. 기본 영역은 주어진 직선을 통과하는 임의의 평면으로 경계가 지정된 반 공간이다.
 한 방향으로 이산 병진 대칭의 경우: 궤도는 병진 벡터 방향으로 1차원 격자의 병진이다. 기본 영역은 무한한 판이다.
 두 방향의 이산 병진 대칭: 궤도는 병진 벡터를 통해 평면의 2차원 격자를 평행 이동 시킨다. 기본 영역은 평행사변형 단면을 갖는 무한한 막대이다.
 세 방향의 이산 병진 대칭: 궤도는 격자의 평행이동이다. 기본 영역은 보로노이 도식라고도 하는 직육면체 또는 위그너-자이츠 격자와 같은 단위 격자이다.

다른 대칭과 결합된 병진 대칭의 경우 기본 영역은 기본 셀의 일부이다. 예를 들어, 벽지군의 경우 기본 영역은 기본 격자보다 1, 2, 3, 4, 6, 8 또는 12 작은 요소이다.

모듈러 군의 기본 영역 

오른쪽 도식은 상반평면 에서 모듈러 군 의 작용에 대한 기본 영역 구성의 일부를 보여준다.

이 유명한 도식은 모듈러 함수에 대한 모든 고전 연구에 나타난다. (아마도 가우스에게 잘 알려져 있었을 것이다. 그는 이차 형식의 축소 이론을 연구하며 기본 영역을 다루었다.) 여기서 각 삼각형 영역(파란색 선으로 둘러싸인)은 에 대한  작용의 자유 정규 집합이다. 경계(파란색 선)는 자유 정규 집합의 일부가 아니다. 의 기본 영역을 구성하려면 이러한 점을 이중 계산하지 않도록 주의하면서 경계에 점을 할당하는 방법도 고려해야 한다. 따라서 이 예에서 자유 정규 집합은 다음과 같다:

 

기본 영역은 왼쪽에 경계를 추가하고 가운데 지점을 포함하여 하단에 호의 절반을 추가하여 구성된다.

 

기본 영역의 일부로 포함할 경계 지점의 선택은 임의적이며 저자마다 다르다.

기본 영역을 정의하는 데 있어 가장 어려운 부분은 집합 자체를 정의 하는 것이 아니라 영역 경계에서 극점과 영점이 있는 함수를 적분할 때 기본 영역에 대한 적분을 처리하는 방법에 있다.

같이 보기 
 자유 정칙 집합
 기본 다각형
 브릴루앙 영역
 주기의 기본 쌍
 피터슨 내적
 뾰족한 이웃

외부 링크 

 
리만 곡면
에르고딕 이론
위상군