In the gravitational two-body problem, the specific orbital energy  (or vis-viva energy) of two orbiting bodies is the constant sum of their mutual potential energy () and their total kinetic energy (), divided by the reduced mass. According to the orbital energy conservation equation (also referred to as vis-viva equation), it does not vary with time:

where
 is the relative orbital speed;
 is the orbital distance between the bodies;
 is the sum of the standard gravitational parameters of the bodies;
 is the specific relative angular momentum in the sense of relative angular momentum divided by the reduced mass;
 is the orbital eccentricity;
 is the semi-major axis.

It is typically expressed in  (megajoule per kilogram) or  (squared kilometer per squared second). For an elliptic orbit the specific orbital energy is the negative of the additional energy required to accelerate a mass of one kilogram to escape velocity (parabolic orbit). For a hyperbolic orbit, it is equal to the excess energy  compared to that of a parabolic orbit. In this case the specific orbital energy is also referred to as characteristic energy.

Equation forms for different orbits
For an elliptic orbit, the specific orbital energy equation, when combined with conservation of specific angular momentum at one of the orbit's apsides, simplifies to:

where
 is the standard gravitational parameter;
 is semi-major axis of the orbit.

For a parabolic orbit this equation simplifies to

For a hyperbolic trajectory this specific orbital energy is either given by

or the same as for an ellipse, depending on the convention for the sign of a.

In this case the specific orbital energy is also referred to as characteristic energy (or ) and is equal to the excess specific energy compared to that for a parabolic orbit.

It is related to the hyperbolic excess velocity  (the orbital velocity at infinity) by

It is relevant for interplanetary missions.

Thus, if orbital position vector () and orbital velocity vector   () are known at one position, and  is known, then the energy can be computed and from that, for any other position, the orbital speed.

Rate of change

For an elliptic orbit the rate of change of the specific orbital energy with respect to a change in the semi-major axis is

where
 is the standard gravitational parameter;
 is semi-major axis of the orbit.

In the case of circular orbits, this rate is one half of the gravitation at the orbit. This corresponds to the fact that for such orbits the total energy is one half of the potential energy, because the kinetic energy is minus one half of the potential energy.

Additional energy

If the central body has radius R, then the additional specific energy of an elliptic orbit compared to being stationary at the surface is

The quantity  is the height the ellipse extends above the surface, plus the periapsis distance (the distance the ellipse extends beyond the center of the Earth). For the Earth and  just little more than  the additional specific energy is ; which is the kinetic energy of the horizontal component of the velocity, i.e. ,  .

Examples

ISS
The International Space Station has an orbital period of 91.74 minutes (5504s), hence by Kepler's Third Law the semi-major axis of its orbit is 6,738km.

The specific orbital energy associated with this orbit is −29.6MJ/kg: the potential energy is −59.2MJ/kg, and the kinetic energy 29.6MJ/kg. Compare with the potential energy at the surface, which is −62.6MJ/kg. The extra potential energy is 3.4MJ/kg, the total extra energy is 33.0MJ/kg. The average speed is 7.7km/s, the net delta-v to reach this orbit is 8.1km/s (the actual delta-v is typically 1.5–2.0km/s more for atmospheric drag and gravity drag).

The increase per meter would be 4.4J/kg; this rate corresponds to one half of the local gravity of 8.8m/s2.

For an altitude of 100km (radius is 6471km):

The energy is −30.8MJ/kg: the potential energy is −61.6MJ/kg, and the kinetic energy 30.8MJ/kg. Compare with the potential energy at the surface, which is −62.6MJ/kg. The extra potential energy is 1.0MJ/kg, the total extra energy is 31.8MJ/kg.

The increase per meter would be 4.8J/kg; this rate corresponds to one half of the local gravity of 9.5m/s2. The speed is 7.8km/s, the net delta-v to reach this orbit is 8.0km/s.

Taking into account the rotation of the Earth, the delta-v is up to 0.46km/s less (starting at the equator and going east) or more (if going west).

Voyager 1
For Voyager 1, with respect to the Sun:

 = 132,712,440,018 km3⋅s−2 is the standard gravitational parameter of the Sun
r = 17 billion kilometers
v = 17.1 km/s

Hence:

Thus the hyperbolic excess velocity (the theoretical orbital velocity at infinity) is given by

However, Voyager 1 does not have enough velocity to leave the Milky Way. The computed speed applies far away from the Sun, but at such a position that the potential energy with respect to the Milky Way as a whole has changed negligibly, and only if there is no strong interaction with celestial bodies other than the Sun.

Applying thrust

Assume:
a is the acceleration due to thrust (the time-rate at which delta-v is spent)
g is the gravitational field strength
v is the velocity of the rocket

Then the time-rate of change of the specific energy of the rocket is : an amount  for the kinetic energy and an amount  for the potential energy.

The change of the specific energy of the rocket per unit change of delta-v is

which is |v| times the cosine of the angle between v and a.

Thus, when  applying delta-v to increase specific orbital energy, this is done most efficiently if a is applied in the direction of v, and when |v| is large. If the angle between v and g is obtuse, for example in a launch and in a transfer to a higher orbit, this means applying the delta-v as early as possible and at full capacity. See also gravity drag. When passing by a celestial body it means applying thrust when nearest to the body. When gradually making an elliptic orbit larger, it means applying thrust each time when near the periapsis.

When  applying delta-v to decrease specific orbital energy, this is done most efficiently if a is applied in the direction opposite to that of v, and again when |v| is large. If the angle between v and g is acute, for example in a landing (on a celestial body without atmosphere) and in a transfer to a circular orbit around a celestial body when arriving from outside, this means applying the delta-v as late as possible. When passing by a planet it means applying thrust when nearest to the planet. When gradually making an elliptic orbit smaller, it means applying thrust each time when near the periapsis.

If a is in the direction of v:

See also
Specific energy change of rockets
Characteristic energy C3 (Double the specific orbital energy)

References

Astrodynamics
Orbits
Physical quantities
Mass-specific quantities
이체 문제에서 고유 궤도 에너지 () 또는 활력에너지()는 궤도에 관여하는 두 물체의 위치 에너지 와 운동 에너지 의 합을 환산 질량으로 나눈 값으로, 활력방정식에 의해 이 값은 시간과 관계없이 일정하게 유지된다. 단위는 J/kg = m2⋅s−2 또는 MJ/kg = km2⋅s−2이다.

은 상대 궤도 속도이다.
은 두 물체 사이의 거리이다.
은 두 물체의 표준 중력 변수의 합이다.
은 상대 비각운동량이다.
은 궤도 이심률이다.
은 궤도 긴반지름이다.

타원 궤도에서 고유 궤도 에너지는 해당 궤도를 도는 1 kg의 물체를 탈출 궤도로 진입시키는 데 필요한 에너지의 역수이며, 쌍곡선 궤도의 경우에는 포물선 궤도에 비해 추가로 보유한 에너지의 양과 같다.

각 궤도에 대한 방정식 형태
타원 궤도에서 고유 궤도 에너지의 식은 상대 비각운동량과 결합하면 다음으로 단순화된다.

은 표준 중력 변수이다.
은 궤도 긴반지름이다.

증명
타원 궤도에서 고유 각운동량 h는 다음으로 구해진다.

고유 궤도 에너지 식의 일반형은 다음과 같다.

궤도 근점에서의 상대 속도와 관련시키면 다음과 같이 변한다.

따라서 고유 궤도 에너지 방정식은 다음과 같이 변형된다.

포물선 궤도에서 고유 궤도 에너지는 다음으로 고정된다.

쌍곡선 궤도에서는 a의 표시 방법에 따라, 타원 궤도와 형태가 같게 표시하거나 부호를 반전하여 표시한다. 이 경우의 고유 궤도 에너지는 특성 에너지()로서 간주할 수 있으며, 포물선 궤도에 비해 추가로 소유한 에너지의 양과 같다.

쌍곡선 초과 속도 와는 다음의 관계가 있다.

따라서, 궤도 위치 벡터  또는 궤도 속도 벡터 를 알고 있으면 고유 궤도 에너지와 공전 속도를 계산할 수 있다.

변화율
타원 궤도에서 궤도 긴반지름의 변화에 대한 고유 궤도 에너지의 변화율은 다음과 같다.

은 표준 중력 변수이다.
은 궤도 긴반지름이다.

추가 에너지
궤도 중심체의 반지름이 R이라 하면, 중심체 표면에 대한 타원 궤도에서 필요한 추가적인 고유 궤도 에너지는 다음과 같다.

 

은 중심체의 중심과 표면으로부터의 거리를 각각 더한 값과 같다. 지구의 경우 가 에 비해 큰 차이가 없는 경우에는 추가로 필요한 고유 궤도 에너지는 로 구해지며, 이는 속도의 수평 성분에 대한 운동 에너지이다.
 ,

예시

보이저 1호
보이저 1호의 궤도 수치는 다음과 같다.
태양의 표준 중력 변수:  = 132,712,440,018 km3⋅s−2
r = 17 km
v = 17.1 km/s

따라서 고유 궤도 에너지는 다음으로 구해진다.
  = 146 km2⋅s−2 − 8 km2⋅s−2 =  138 km2⋅s−2

또한, 쌍곡선 초과 속도는 다음으로 구해진다.
 16.6km/s

추력의 적용
로켓의 시간당 고유 궤도 에너지 변화는 으로 표현할 수 있으며, 이는 운동 에너지 측의 값 과 위치 에너지 측의 값 의 합이다.
a은 추력으로 인해 생기는 가속도로, 시간당 델타 V가 소모되는 비율이다.
g은 중력장의 세기이다.
v은 로켓의 속도이다.

로켓의 단위 델타 V 변화당 고유 궤도 에너지 변화는 다음으로 표현되며,

이는 |v|에 v와 a 사이 각도의 코사인 값을 곱한 것과 같다.

따라서 고유 궤도 에너지를 증가시키기 위해 델타 V를 가할 때, 가속도 a가 v의 방향과 같은 방향으로 가해졌을 때 가장 효율이 높다.

로켓을 처음 발사할 때나 더 높은 궤도로 올라갈 때, 즉 v와 g 사이의 각도가 둔각일 경우, 델타 V를 최대한 빠르고 짧게 가하는 것이 가장 효율이 높다. 즉 행성을 근접 통과할 때는 행성에 가장 가까운 지점에서 분사하는 것이 가장 효율이 좋다는 뜻으로, 오베르트 효과와 같은 뜻이다.

반대로 고유 궤도 에너지를 감소시킬 때는, a가 v와 반대 방향일 때 효율이 가장 높으며, v와 g 사이 각도가 예각인 착륙이나 낮은 궤도로 내려가는 경우에는 델타 V를 최대한 늦게 가하는 것이 효율이 높다.

a의 방향이 v와 같다면 식은 다음이 된다.

고도별 속도와 고유 궤도 에너지의 값

같이 보기 
 치올콥스키 로켓 방정식

각주 

천체동역학
궤도