To solve the wave equation with given initial conditions, we can use the method of separation of variables and superposition. We first assume a solution of the form:

u(x,t) = X(x)T(t)

Plugging this into the wave equation, we get:

X(x)T''(t) = c^2 * X''(x)T(t)

Now, divide both sides by c^2 * X(x)T(t):

T''(t)/c^2*T(t) = X''(x)/X(x)

Since the left side depends only on t and the right side depends only on x, they must be equal to a constant, say -k^2:

T''(t)/c^2*T(t) = X''(x)/X(x) = -k^2

This gives us two ordinary differential equations (ODEs):

1) T''(t) + c^2*k^2*T(t) = 0
2) X''(x) + k^2*X(x) = 0

Solving the second ODE for X(x), we have:

X(x) = A*cos(k*x) + B*sin(k*x)

We need to apply boundary conditions at x=0 and x=L:

X(0) = A = 0 since u(0,t) = 0 (the string is fixed at x=0)
X(L) = B*sin(k*L) = 0

For non-trivial solutions, sin(k*L) = 0, which implies that k*L = n*pi for some integer n. Thus, k_n = n*pi/L.

So, the spatial part of the solution is:

X_n(x) = B_n*sin(k_n*x) = B_n*sin(n*pi*x/L)

Now, let's solve the first ODE for T(t). This is a simple harmonic oscillator equation:

T''(t) + c^2*k_n^2*T(t) = 0

The solution is of the form:

T_n(t) = C_n*cos(c*k_n*t) + D_n*sin(c*k_n*t)

Now, we have u(x,t) = X_n(x)*T_n(t), but this is just one possible mode of vibration. The actual solution will be a superposition of all possible modes:

u(x,t) = sum_{n=1}^{infinity} [X_n(x)*T_n(t)] = sum_{n=1}^{infinity} [(A_n*cos(c*k_n*t) + B_n*sin(c*k_n*t))*sin(n*pi*x/L)]

We need to find A_n and B_n using the initial conditions:

g(x) = u(x,0) = sum_{n=1}^{infinity} [A_n*sin(n*pi*x/L)]
h(x) = u_t(x,0) = sum_{n=1}^{infinity} [c*k_n*B_n*sin(n*pi*x/L)]

Using Fourier sine series, we can find A_n and B_n as follows:

A_n = (2/L)*integral_0^L [g(x)*sin(n*pi*x/L) dx]
B_n = (2/c*L*k_n)*integral_0^L [h(x)*sin(n*pi*x/L) dx]

Finally, substitute A_n and B_n back into the expression for u(x,t):

u(x,t) = sum_{n=1}^{infinity} {[(2/L)*integral_0^L [g(x)*sin(n*pi*x/L) dx]*cos(c*k_n*t) + (2/c*L*k_n)*integral_0^L [h(x)*sin(n*pi*x/L) dx]*sin(c*k_n*t)]*sin(n*pi*x/L)}

This is the solution to the wave equation with initial displacement g(x) and initial velocity h(x) for a string of length L.
주어진 초기 조건으로 파동 방정식을 풀기 위해 변수 분리 및 중첩 방법을 사용할 수 있습니다. 먼저 다음과 같은 형태의 해를 가정합니다:

u(x,t) = X(x)T(t)

이를 파동 방정식에 대입하면 다음과 같습니다:

X(x)T''(t) = c^2 * X''(x)T(t)

이제 양쪽을 c^2 * X(x)T(t)로 나눕니다:

T''(t)/c^2*T(t) = X''(x)/X(x)

왼쪽 변은 t에만 의존하고 오른쪽 변은 x에만 의존하므로 -k^2와 같은 상수와 같아야 합니다:

T''(t)/c^2*T(t) = X''(x)/X(x) = -k^2

이렇게 하면 두 개의 일반 미분 방정식(ODE)이 나옵니다:

1) T''(t) + c^2*k^2*T(t) = 0
2) X''(x) + k^2*X(x) = 0

X(x)에 대한 두 번째 ODE를 풀면 다음과 같습니다:

X(x) = A*cos(k*x) + B*sin(k*x)

x=0과 x=L에 경계 조건을 적용해야 합니다:

u(0,t) = 0이므로 X(0) = A = 0입니다(문자열은 x=0에 고정됨).
X(L) = B*sin(k*L) = 0

삼차해가 아닌 해의 경우 sin(k*L) = 0이며, 이는 정수 n에 대해 k*L = n*pi를 의미합니다. 따라서 k_n = n*pi/L입니다.

따라서 솔루션의 공간 부분은 다음과 같습니다:

X_n(x) = B_n*sin(k_n*x) = B_n*sin(n*pi*x/L)

이제 T(t)에 대한 첫 번째 ODE를 풀어봅시다. 이것은 간단한 고조파 발진기 방정식입니다:

T''(t) + c^2*k_n^2*T(t) = 0

해는 다음과 같은 형태입니다:

T_n(t) = C_n*cos(c*k_n*t) + D_n*sin(c*k_n*t)

이제 u(x,t) = X_n(x)*T_n(t)가 있지만 이는 가능한 진동 모드 중 하나일 뿐입니다. 실제 솔루션은 가능한 모든 모드의 중첩이 될 것입니다:

u(x,t) = sum_{n=1}^{infinity} [X_n(x)*T_n(t)] = sum_{n=1}^{infinity} [(A_n*cos(c*k_n*t) + B_n*sin(c*k_n*t))*sin(n*pi*x/L)]

초기 조건을 사용하여 A_n과 B_n을 찾아야 합니다:

g(x) = u(x,0) = sum_{n=1}^{infinity} [A_n*sin(n*pi*x/L)]
h(x) = u_t(x,0) = sum_{n=1}^{infinity} [c*k_n*B_n*sin(n*pi*x/L)]

푸리에 사인 급수를 사용하면 다음과 같이 A_n과 B_n을 구할 수 있습니다:

A_n = (2/L)*적분_0^L [g(x)*sin(n*pi*x/L) dx].
B_n = (2/c*L*k_n)*적분_0^L [h(x)*sin(n*pi*x/L) dx].

마지막으로 A_n과 B_n을 다시 u(x,t)의 식에 대입합니다:

u(x,t) = sum_{n=1}^{infinity} {[(2/L)*integral_0^L [g(x)*sin(n*pi*x/L) dx]*cos(c*k_n*t) + (2/c*L*k_n)*integral_0^L [h(x)*sin(n*pi*x/L) dx]*sin(c*k_n*t)]*sin(n*pi*x/L)}.

이것은 길이 L의 끈에 대한 초기 변위 g(x)와 초기 속도 h(x)를 갖는 파동 방정식의 해입니다.