Let's break this sum up into partial fractions. That means we want to rewrite $\frac{2n+1}{n(n+1)(n+2)}$ as $\frac{A}{n}+\frac{B}{n+1}+\frac{C}{n+2}$. Yes. And if we add those three fractions up, we get $\frac{A(n+1)(n+2)+B(n)(n+2)+C(n)(n+1)}{n(n+1)(n+2)}$. And we want that to be equal to $\frac{2n+1}{n(n+1)(n+2)}$. Right. So we want to solve the equation $A(n+1)(n+2)+B(n)(n+2)+C(n)(n+1) = 2n+1$. Let's plug in $n=0$ to get $A(1)(2)+B(0)(2)+C(0)(1) = 1$. So we get that $2A = 1$, and therefore $A = \frac{1}{2}$. Now let's plug in $n=1$ to get $A(2)(3)+B(1)(3)+C(1)(2) = 3$. So we get that $6A + 3B + 2C = 3$. But we already know that $A = \frac{1}{2}$, so we can substitute to get $3 + 3B + 2C = 3$. This simplifies to $3B + 2C = 0$. Finally, let's plug in $n=2$ to get $A(3)(4)+B(2)(4)+C(2)(3) = 5$. So we get that $12A + 8B + 6C = 5$. Substituting our value for $A$, we get $6 + 8B + 6C = 5$. We can simplify this to $8B + 6C = -1$. So we have the system of equations $3B + 2C = 0$ and $8B + 6C = -1$. Let's multiply the first equation by $3$ to get $9B + 6C = 0$. Now we can subtract the second equation from the first to get $9B + 6C - 8B - 6C = 0 - (-1)$. This simplifies to $B = -1$. Substituting into the first equation, we get $3(-1) + 2C = 0$. We can simplify this to $-3 + 2C = 0$. So $2C=3$ and $C=\frac{3}{2}$. So now we can write $\frac{2n+1}{n(n+1)(n+2)}$ as $\frac{1}{2n}-\frac{1}{n+1}+\frac{3}{2(n+2)}$. Oh right. So we should have $B=1$. Our correct value for $C$ is $C=-\frac{3}{2}$. Now we can evaluate the sum. $\sum_{n = 1}^\infty \frac{1}{n} = 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots$ is the harmonic series, which is well-known to be divergent. We can calculate the sum up to $N$, and then take the limit as $N$ goes to infinity. You mean $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\dots=1$. Right. Now we can use that fact to evaluate the sum. That's correct. The first sum is $\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\dots\right)$. Right. Our sum is now $\frac{1}{2}(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\dots)+1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\dots$ Right, now we subtract the two series. For the right series, we obtain $\frac{1}{2}$. So our sum is $\frac{1}{2}(1+\frac{1}{2})+\frac{1}{2}=\frac{3}{4}+\frac{1}{2}=\frac{5}{4}$. That is our final answer. Right.


이 합계를 부분 분수로 나눠 보겠습니다. 즉, $\frac{2n+1}{n(n+1)(n+2)}$를 $\frac{A}{n}+\frac{B}{n+1}+\frac{C}{n+2}$로 다시 써야 한다는 뜻이죠. 그렇습니다. 이 세 분수를 더하면 $\frac{A(n+1)(n+2)+B(n)(n+2)+C(n)(n+1)}{n(n+1)(n+2)}$가 됩니다. 그리고 우리는 $\frac{2n+1}{n(n+1)(n+2)}$와 같기를 원합니다. 맞습니다. 따라서 $A(n+1)(n+2)+B(n)(n+2)+C(n)(n+1) = 2n+1$ 방정식을 풀고 싶습니다. n=0$을 입력하여 $A(1)(2)+B(0)(2)+C(0)(1) = 1$을 구해봅시다. 따라서 $2A = 1$이므로 $A = \frac{1}{2}$가 됩니다. 이제 $n=1$을 연결하여 $A(2)(3)+B(1)(3)+C(1)(2) = 3$을 구합니다. 따라서 $6A + 3B + 2C = 3$이 됩니다. 하지만 우리는 이미 $A = \frac{1}{2}$라는 것을 알고 있으므로 대입하면 $3 + 3B + 2C = 3$을 얻을 수 있습니다. 이것은 $3B + 2C = 0$으로 단순화됩니다. 마지막으로 $n=2$를 대입하면 $A(3)(4)+B(2)(4)+C(2)(3) = 5$가 됩니다. 따라서 $12A + 8B + 6C = 5$가 됩니다. 우리의 값을 $A$에 대입하면 $6 + 8B + 6C = 5$가 됩니다. 이를 $8B + 6C = -1$로 단순화할 수 있습니다. 따라서 $3B + 2C = 0$ 및 $8B + 6C = -1$의 방정식 체계가 생겼습니다. 첫 번째 방정식에 $3$을 곱하면 $9B + 6C = 0$이 됩니다. 이제 첫 번째 방정식에서 두 번째 방정식을 빼면 $9B + 6C - 8B - 6C = 0 - (-1)$이 됩니다. 이것은 $B = -1$로 단순화됩니다. 첫 번째 방정식에 대입하면 $3(-1) + 2C = 0$이 됩니다. 이를 $-3 + 2C = 0$으로 단순화할 수 있습니다. 따라서 $2C=3$ 및 $C=\frac{3}{2}$입니다. 이제 $\frac{2n+1}{n(n+1)(n+2)}$를 $\frac{1}{2n}-\frac{1}{n+1}+\frac{3}{2(n+2)}$로 쓸 수 있습니다. 맞습니다. 따라서 $B=1$이 되어야 합니다. C$의 정확한 값은 $C=-\frac{3}{2}$입니다. 이제 합을 평가할 수 있습니다. $\sum_{n = 1}^\infty \frac{1}{n} = 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\점$은 조화 급수이며, 이는 발산하는 것으로 잘 알려져 있습니다. 우리는 $N$까지의 합을 계산한 다음 $N$이 무한대로 가면서 극한을 구할 수 있습니다. You mean $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\dots=1$. 맞습니다. 이제 이 사실을 이용해 합을 평가할 수 있습니다. 맞습니다. 첫 번째 합은 $\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\dots\right)$입니다. 맞습니다. Our sum is now $\frac{1}{2}(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\dots)+1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\dots$ Right, 이제 두 급수를 뺍니다. 오른쪽 급수의 경우 $\frac{1}{2}$를 얻습니다. 따라서 합은 $\frac{1}{2}(1+\frac{1}{2})+\frac{1}{2}=\frac{3}{4}+\frac{1}{2}=\frac{5}{4}$입니다. 이것이 우리의 최종 답입니다. 맞습니다.

