In mathematics, a constant function is a function whose (output) value is the same for every input value. For example, the function  is a constant function because the value of  is 4 regardless of the input value  (see image).

Basic properties
As a real-valued function of a real-valued argument, a constant function has the general form  or just 

Example: The function  or just  is the specific constant function where the output value is  The domain of this function is the set of all real numbers R. The codomain of this function is just {2}. The independent variable x does not appear on the right side of the function expression and so its value is "vacuously substituted". Namely    and so on. No matter what value of x is input, the output is "2".
Real-world example: A store where every item is sold for the price of 1 dollar.

The graph of the constant function  is a horizontal line in the plane that passes through the point 

In the context of a polynomial in one variable x, the non-zero constant function is a polynomial of degree 0 and its general form is  where  is nonzero. This function has no intersection point with the x-axis, that is, it has no root (zero). On the other hand, the polynomial  is the identically zero function. It is the (trivial) constant function and every x is a root. Its graph is the x-axis in the plane.

A constant function is an even function, i.e. the graph of a constant function is symmetric with respect to the y-axis.

In the context where it is defined, the derivative of a function is a measure of the rate of change of function values with respect to change in input values. Because a constant function does not change, its derivative is 0. This is often written: . The converse is also true. Namely, if  for all real numbers x, then y is a constant function.

Example: Given the constant function  The derivative of y is the identically zero function

Other properties
For functions between preordered sets, constant functions are both order-preserving and order-reversing; conversely, if f is both order-preserving and order-reversing, and if the domain of f is a lattice, then f must be constant.

 Every constant function whose domain and codomain are the same set X is a left zero of the full transformation monoid on X, which implies that it is also idempotent.
 It has zero slope/gradient. 
 Every constant function between topological spaces is continuous.
 A constant function factors through the one-point set, the terminal object in the category of sets. This observation is instrumental for F. William Lawvere's axiomatization of set theory, the Elementary Theory of the Category of Sets (ETCS). 
 For any non-empty Y, every set X is isomorphic to the set of constant functions in . For any Y and each element x in X, there is a unique function  such that  for all . Conversely, if a function  satisfies  for all ,  is by definition a constant function.
 As a corollary, the one-point set is a generator in the category of sets.
 Every set  is canonically isomorphic to the function set , or hom set  in the category of sets, where 1 is the one-point set. Because of this, and the adjunction between Cartesian products and hom in the category of sets (so there is a canonical isomorphism between functions of two variables and functions of one variable valued in functions of another (single) variable, ) the category of sets is a closed monoidal category with the Cartesian product of sets as tensor product and the one-point set as tensor unit. In the isomorphisms  natural in X, the left and right unitors are the projections  and  the ordered pairs  and  respectively to the element , where  is the unique point in the one-point set.

A function on a connected set is locally constant if and only if it is constant.

References

Herrlich, Horst and Strecker, George E., Category Theory, Heldermann Verlag  (2007).

External links

Elementary mathematics
Elementary special functions
Polynomial functions
수학에서 상수 함수(常數函數, )는 정의역의 값에 관계없이 항상 같은 값을 갖는 함수를 말한다. 예를 들어, 함수 은 의 값이 무엇이든 항상 3이라는 값을 갖는다.

정의 
정의역 와 공역  사이의 함수 가 주어졌다고 하자. 그렇다면 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 함수 를 상수 함수라고 한다.
 임의의 에 대하여 이다.
 임의의 에 대하여 가 되는 가 존재하며, 는 에 의존하지 않는다.
 가 공집합이거나, 또는 임의의 에 대하여 가 되는, 에 의존하지 않는 가 유일하게 존재한다.
 에 비이산 위상을 부여하고, 에 이산 위상을 부여하였을 때, 는 연속 함수이다.

정의역 와 공역  사이의 함수 가 주어졌다고 하고, 정의역 에 위상 공간의 구조가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 함수 를 국소 상수 함수(局所常數函數, )라고 한다.
 만약 임의의 에 대하여, 가 상수 함수가 되는 근방 가 존재한다.
 에 이산 위상을 부여하였을 때, 는 연속 함수이다.

상수 사상 
상수 함수의 개념을 집합의 범주에서 임의의 범주로 일반화할 수 있다.

범주 에서, 사상 가 다음 조건을 만족시키면 상수 사상()이라고 한다.
 임의의 대상  및 사상 에 대하여, . 즉, 다음 그림이 가환한다.

범주 에서, 사상 가 다음 조건을 만족시키면 쌍대 상수 사상()이라고 한다.
 임의의 대상  및 사상 에 대하여, . 즉, 다음 그림이 가환한다.

상수 사상이자 쌍대 상수 사상인 사상을 영 사상()이라고 한다.

범주  속의 임의의 대상 에 대하여 다음 그림을 가환하게 만드는 사상 가 존재한다면, 를

영 사상을 갖는 범주()라고 한다.
 임의의 대상  및 사상 에 대하여,

이 경우, 들은 항상 영 사상을 이루며, 또한 주어진 범주가 영 대상을 갖는 범주라면 그 위의 들의 집합은 유일하다. 영 사상을 갖는 범주의 개념은 점을 가진 집합의 (분쇄곱을 통한) 모노이드 범주 위의 풍성한 범주의 개념과 일치하며, 두 대상 사이의 영 사상은 점을 가진 사상 집합의 점과 같다.

성질 
두 매끄러운 다양체 ,  사이의 매끄러운 함수 는 미분을 취할 수 있다. 이 경우, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 의 도함수 는 어디서나 0이다.
 는 상수 함수이다.

상수 함수는 (정의역에 주어진 위상에 상관없이) 국소 상수 함수이다. 또한, 함수 에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이다.
 는 상수 함수이다.
 에 비이산 위상을 부여하였을 때, 는 국소 상수 함수이다.
 에 임의의 위상을 부여하였을 때, 는 국소 상수 함수이다.
즉, 국소 상수 함수의 개념은 상수 함수의 개념의 일반화이다.

위상 공간  위의 국소 상수 함수 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 의 모든 연결 성분 에 대하여, 는 상수 함수이다. 만약 가 국소 연결 공간이라면 연결 성분이 열린집합을 이루며, 따라서 임의의 함수 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 는 국소 상수 함수이다.
 의 임의의 연결 성분 에 대하여, 는 상수 함수이다.

국소 상수 함수의 층 
위상 공간  위에, 실수 값의 상수 함수들의 준층을 정의할 수 있다. 그러나 이는 일반적으로 층이 아니며, 그 층화는 실수 값의 국소 상수 함수들의 층이다.

상수 사상의 존재 
끝 대상 을 갖는 범주에서, 상수 사상은 의 꼴의 사상들이다. 시작 대상 을 갖는 범주에서, 쌍대 상수 사상은 의 꼴의 사상들이다.

영 대상을 갖는 범주는 영 사상을 갖는 범주를 이룬다. 이 경우, 두 대상  사이의 사상은 영 대상을 통하는 유일한 사상

이다.

예 
정의역이 이산 공간인 모든 함수는 국소 상수 함수이다.

공역이 한원소 집합이거나 공집합인 모든 함수는 상수 함수이다. 정의역이 한원소 집합이거나 공집합인 모든 함수는 상수 함수이다.

상수 사상의 예 
집합의 범주에서, 상수 사상은 상수 함수이다. 집합의 범주에서 쌍대 상수 사상은 공집합을 정의역으로 하는 함수이다.

군의 범주에서, 상수 사상 · 쌍대 상수 사상 · 영 사상의 개념이 일치하며, 이는 상이 항등원 1인 상수 함수이다.

환  위의 왼쪽 가군들의 범주 는 영 대상을 갖는 범주이며 따라서 영 사상을 갖는다. 에서 영 사상은 0(가군 덧셈의 항등원)으로 가는 상수 함수이다. 가군 범주에서 상수 함수인 준동형은 영 사상밖에 없다.

같이 보기 
 상수층

외부 링크 
 
 
 
 
 
 
 
 

초등 수학
함수의 종류
초등 특수 함수
다항식