In electrical engineering, the Y-Δ transform, also written wye-delta and also known by many other names, is a mathematical technique to simplify the analysis of an electrical network. The name derives from the shapes of the circuit diagrams, which look respectively like the letter Y and the Greek capital letter Δ. This circuit transformation theory was published by Arthur Edwin Kennelly in 1899. It is widely used in analysis of three-phase electric power circuits. 

The Y-Δ transform can be considered a special case of the star-mesh transform for three resistors.  In mathematics, the Y-Δ transform plays an important role in theory of circular planar graphs.

Names

The Y-Δ transform is known by a variety of other names, mostly based upon the two shapes involved, listed in either order. The Y, spelled out as wye, can also be called T or star; the Δ, spelled out as delta, can also be called triangle, Π (spelled out as pi), or mesh. Thus, common names for the transformation include wye-delta or delta-wye, star-delta, star-mesh, or T-Π.

Basic Y-Δ transformation

The transformation is used to establish equivalence for networks with three terminals. Where three elements terminate at a common node and none are sources, the node is eliminated by transforming the impedances. For equivalence, the impedance between any pair of terminals must be the same for both networks. The equations given here are valid for complex as well as real impedances. Complex impedance is a quantity measured in ohms which represents resistance as positive real numbers in the usual manner, and also represents reactance as positive and negative imaginary values.

Equations for the transformation from Δ to Y
The general idea is to compute the impedance  at a terminal node of the Y circuit with impedances ,  to adjacent nodes in the Δ circuit by

where  are all impedances in the Δ circuit. This yields the specific formula

Equations for the transformation from Y to Δ
The general idea is to compute an impedance  in the Δ circuit by

where  is the sum of the products of all pairs of impedances in the Y circuit and  is the impedance of the node in the Y circuit which is opposite the edge with . The formulae for the individual edges are thus

Or, if using admittance instead of resistance:

Note that the general formula in Y to Δ using admittance is similar to Δ to Y using resistance.

A proof of the existence and uniqueness of the transformation
The feasibility of the transformation can be shown as a consequence of the superposition theorem for electric circuits. A short proof, rather than one derived as a corollary of the more general star-mesh transform, can be given as follows. The equivalence lies in the statement that for any external voltages ( and ) applying at the three nodes ( and ), the corresponding currents ( and ) are exactly the same for both the Y and Δ circuit, and vice versa. In this proof, we start with given external currents at the nodes. According to the superposition theorem, the voltages can be obtained by studying the superposition of the resulting voltages at the nodes of the following three problems applied at the three nodes with current:

 
  and
 

The equivalence can be readily shown by using Kirchhoff's circuit laws that . Now each problem is relatively simple, since it involves only one single ideal current source. To obtain exactly the same outcome voltages at the nodes for each problem, the equivalent resistances in the two circuits must be the same, this can be easily found by using the basic rules of series and parallel circuits:

Though usually six equations are more than enough to express three variables () in term of the other three variables(), here it is straightforward to show that these equations indeed lead to the above designed expressions.

In fact, the superposition theorem establishes the relation between the values of the resistances, the uniqueness theorem guarantees the uniqueness of such solution.

Simplification of networks
Resistive networks between two terminals can theoretically be simplified to a single equivalent resistor (more generally, the same is true of impedance). Series and parallel transforms are basic tools for doing so, but for complex networks such as the bridge illustrated here, they do not suffice. 

The Y-Δ transform can be used to eliminate one node at a time and produce a network that can be further simplified, as shown. 

The reverse transformation, Δ-Y, which adds a node, is often handy to pave the way for further simplification as well.

Every two-terminal network represented by a planar graph can be reduced to a single equivalent resistor by a sequence of series, parallel, Y-Δ, and Δ-Y transformations.  However, there are non-planar networks that cannot be simplified using these transformations, such as a regular square grid wrapped around a torus, or any member of the Petersen family.

Graph theory
In graph theory, the Y-Δ transform means replacing a Y subgraph of a graph with the equivalent Δ subgraph. The transform preserves the number of edges in a graph, but not the number of vertices or the number of cycles. Two graphs are said to be Y-Δ equivalent if one can be obtained from the other by a series of Y-Δ transforms in either direction. For example, the Petersen family is a Y-Δ equivalence class.

Demonstration

Δ-load to Y-load transformation equations

To relate  from Δ to  from Y, the impedance between two corresponding nodes is compared.  The impedance in either configuration is determined as if one of the nodes is disconnected from the circuit.
 
The impedance between N1 and N2 with N3 disconnected in Δ:

To simplify, let  be the sum of .

Thus,

The corresponding impedance between N1 and N2 in Y is simple:

hence:

   (1)

Repeating for :

   (2)

and for :

   (3)

From here, the values of  can be determined by linear combination (addition and/or subtraction).

For example, adding (1) and (3), then subtracting (2) yields

For completeness:

   (4)
   (5)
   (6)

Y-load to Δ-load transformation equations
Let 

.

We can write the Δ to Y equations as

   (1)
   (2)
   (3)

Multiplying the pairs of equations yields

   (4)
   (5)
   (6)

and the sum of these equations is

   (7)

Factor  from the right side, leaving  in the numerator, canceling with an  in the denominator.

   (8)

Note the similarity between (8) and {(1), (2), (3)}

Divide (8) by (1)

which is the equation for . Dividing (8) by (2) or (3) (expressions for  or ) gives the remaining equations.

Δ to Y transformation of a practical generator

During the analysis of balanced three-phase power systems, usually an equivalent per-phase (or single-phase) circuit is analyzed instead due to its simplicity. For that, equivalent wye connections are used for generators, transformers, loads and motors. The stator windings of a practical delta-connected three-phase generator, shown in the following figure, can be converted to an equivalent wye-connected generator, using the six following formulas:

The resulting network is the following. The neutral node of the equivalent network is fictitious, and so are the line-to-neutral phasor voltages. During the transformation, the line phasor currents and the line (or line-to-line or phase-to-phase) phasor voltages are not altered.

If the actual delta generator is balanced, meaning that the internal phasor voltages have the same magnitude and are phase-shifted by 120° between each other and the three complex impedances are the same, then the previous formulas reduce to the four following:

where for the last three equations, the first sign (+) is used if the phase sequence is positive/abc or the second sign (−) is used if the phase sequence is negative/acb.

See also
 Star-mesh transform
 Network analysis (electrical circuits)
 Electrical network, three-phase power, polyphase systems for examples of Y and Δ connections
 AC motor for a discussion of the Y-Δ starting technique

References

Notes

Bibliography
 William Stevenson, Elements of Power System Analysis 3rd ed., McGraw Hill, New York, 1975,

External links
 Star-Triangle Conversion: Knowledge on resistive networks and resistors
 Calculator of Star-Triangle transform

Electrical circuits
Electric power
Graph operations
Circuit theorems
Three-phase AC power
Y-Δ 변환(Y-Δ transform, wye-delta transform) 또는 T-Π 변환(T-Π transform, star-pi transform)은 전기 회로 분석을 간단하게 할 수 있는 수학적 기술 중 하나이다. 이 변환의 이름은 분석하고자 하는 회로도 모양이 각각 알파벳 Y와 그리스 문자 Δ(델타)로 보인 것에서 따왔다. 이 회로 변환은 1899년 아서 에드윈 케넬리가 처음 발표하였다. 이 변환은 오늘날 3상전력 회로 분석에서 광범위하게 사용된다.

Y-Δ 변환은 3개의 저항기가 달린, 스타-매쉬 변환의 특수해라고 볼 수도 있다. 수학에서 Y-Δ 변환은 평면 그래프 이론 해석에서 중요한 역할을 한다.

명칭 

Y-Δ 변환은 많은 다른 이름으로도 알려져 있는데, 주로 2가지 모양을 따와서 이름이 붙여있다. 하나는 Y를 T(또는 star)로 바꿔 부르거나, Δ(델타)를 삼각형 또는 Π(그리스 문자 파이), 매쉬로 바꿔서 부르기도 한다. 보통은 이 변환 이름을 와이-델타, 델타-와이, 티-파이, 파이-티 변환 4가지로 부른다.

기초 변환 

이 변환은 3개의 선으로 연결된 서로 다른 모양의 회로망이 실제로는 같은 것임을 보여준다. 3개의 말단부 공통 노드에 전력을 공급하는 능동소자가 하나도 없을 경우, 임피던스 변환을 통해 노드를 없앨 수 있다. 회로가 등가임을 보이기 위하여 두 회로망의 양 끝단 사이 총 임피던스는 항상 같아야 한다. 여기에 주어진 방정식은 실제로 복잡한 임피던스일 경우에도 해당된다.

Δ에서 Y로의 변환 
Y 회로의 양단 임피던스 은 Δ 회로에서의 인접 노드로의 임피던스 , 를 이용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.

여기서 는 Δ 회로에서의 모든 임피던스이다. 이 식을 통하여 각각의 임피던스를 구하면 다음과 같다.

Y에서 Δ로의 변환 
Δ 회로에서 임피던스 를 구하는 식은 다음과 같다.

여기서 은 Y 회로에서 모든 임피던스 쌍의 곱의 합이며, 는 와 정 반대에 있는 양 끝단의 Y 회로의 노드 임피던스이다. 이를 통해 구한 각각의 모서리의 임피던스는 다음과 같다.

변환의 존재성과 유일성 증명 
이 변환의 존재성은 회로 이론의 중첩 정리를 통해 보일 수 있다. 더욱 일반화한 스타-매쉬 변환에서 유도하는 것 보다는 더 짧게 증명할 수 있다. 두 회로가 동등함은 3개 노드()의 외부 전압()과 그에 대응하는 전류()가 Y 회로에서 Δ 회로로, 또는 그 반대로 넘어가도 같음을 보여 증명할 수 있다. 이 증명을 위하여 노드에 주어진 외부 전류를 통해 이를 계산할 것이다. 중첩정리에 따르면, 3개 노드의 전류를 이용하여 3가지 노드 방정식에서 전압의 선형 합을 통해 총 전압을 구할 수 있다.

(1) 

(2) 

(3) 

여기서 키르히호프의 전기회로 법칙에 따라 이다. 이 회로망에는 이상 전류원이 하나만 있기 때문에 각 방정식을 푸는 것은 간단하다. 각 상황에서 양 노드의 전압이 서로 동일하게 될려면 두 회로의 등가저항이 같아야 하는데, 이는 직렬 회로와 병렬 회로의 기초 법칙을 이용해 증명할 수 있다.

  

6개의 방정식은 3개의 다른 변수 로 알고자 하는 변수 를 나타내기 충분하나, 이 방정식이 실제 위에 나타낸 것처럼 나타낼 수 있다는 걸 보이는 건 간단하다. 실제로, 중첩정리를 통하여 저항 값 사이의 관계를 보일 수 있을 뿐 아니라, 이 해가 유일함도 보장한다.

회로망의 간단화 
2개의 단말부가 있는 저항 회로는 이론적으로 1개의 등가저항을 가진 회로로 간단하게 변환할 수 있다. 직렬 및 병렬 변환은 간단화를 위한 가장 기초적인 도구이나 이 문서에 쓰여 있는 브릿지와 같은 복잡한 회로에는 적용하기 어렵다.

Y-Δ 변환을 이용하여 아래의 그림과 같이 한번에 1개의 노드를 없애고 더 간단한 회로망을 만들 수 있다.

노드를 추가하는 Δ-Y 변환 같은 경우에는 직병렬 등으로 더욱 회로 선을 단순화할 수 있도록 해준다.

평면 그래프 모양의 모든 2극 회로망은 직병렬 변환,Δ-Y 변환, Y-Δ 변환을 이용하여 단일 등가저항을 가진 회로로 바꿀 수 있다. 하지만, 원환면 모양으로 정사각형 회로가 서로 이어져 있는 형태이거나, 페테르센 족 모양과 같이 평면이 아닌 모양의 회로망은 Y-Δ 변환을 사용하여 단일 등가저항을 가진 회로로 단순화할 수 없는 경우가 존재한다.

그래프 이론 
그래프 이론에서 Y-Δ 변환이란 한 그래프 내의 Y 부분 그래프를 등가의 Δ 부분 그래프로 변환하는 작업을 의미한다. 이 변환은 그래프의 변 수는 그대로이나, 꼭짓점의 수나 순환의 수는 달라질 수 있다. 두 그래프가 한 그래프에서 Y-Δ 변환을 통해 다른 그래프로 모양을 바꿀 수 있다면 이 두 그래프는 Y-Δ 등가라고 부른다. 예를 들어, 페테르센 족은 Y-Δ 동치관계이다.

예시

Δ에서 Y로의 변환 

Δ 회로에서의 를 Y 회로의 로 바꾸기 위해, 두 회로에 대응되는 임피던스를 비교하자. 어느 회로에서든 임피던스는 회로에서 노드 중 하나가 끊어진 것과 같이 생각한 상태에서 결정된다.

Δ 회로에서 N3이 끊어진 상태에서 N1과 N2 사이의 임피던스는 다음과 같다.

식을 간단하게 하기 위해, 를 라고 정의하자.

따라서,

Y 회로에서 N1과 N2 사이에 대응되는 임피던스를 구하는 법은 간단하다.

그러므로,

   (1)

위의 계산식을 통하여, 의 값은 다음과 같다.

   (2)

의 값은 다음과 같다.

   (3)

여기서, 위 3개 방정식의 선형 계산(더하기/빼기)을 통하여 를 구할 수 있다.

예를 들어, (1) 식과 (3) 식을 더한 후 (2) 식을 빼면 다음과 같다.

따라서,

여기서,
이다.

식을 정리하면 다음과 같다.

 (4)

 (5)

 (6)

Y에서 Δ로의 변환 
식을 간단하게 하기 위해 다음과 같은 가정을 하자.

.

여기서 우리는 Δ 회로에서 Y 회로로 변환하는 방정식을 다음과 같이 세울 수 있다.

   (1)

   (2)

   (3)

3개 방정식을 두개씩 묶어 서로 곱해주면 다음과 같다.

   (4)

   (5)

   (6)

여기서, 3개 방정식을 다 더하면 다음과 같다.

   (7)

여기서 우변 분자의 를 묶어서 를 밖으로 빼면 분모의 와 나눌 수 있다.

 (8)

(8)의 식과 {(1),(2),(3)} 식은 서로 유사하다.

(8)을 (1)로 나누면 다음과 같다.

이 식은  값에 대한 식이다. (8) 식을 (2)나 (3)으로 나누면 와 를 구할 수 있다.

더 보기 
 스타-매쉬 변환
 회로 이론
 전기 회로, 단상 전력, 교류, 3상전력, 다상 시스템
 교류 전동기
 니콜라 테슬라
 존 홉킨슨
 미하일 돌리보도브로볼스키
 찰스 프로테우스 스타인메츠

각주

참고 문헌 
 William Stevenson, Elements of Power System Analysis 3rd ed., McGraw Hill, New York, 1975,

외부 링크 
 Star-Triangle Conversion : Knowledge on resistive networks and resistors
 Calculator of Star-Triangle transform

전기 회로
회로 정리
교류 전력