In classical mechanics, the two-body problem is to predict the motion of two massive objects which are abstractly viewed as point particles. The problem assumes that the two objects interact only with one another; the only force affecting each object arises from the other one, and all other objects are ignored.

The most prominent example of the classical two-body problem is the gravitational case (see also Kepler problem), arising in astronomy for predicting the orbits (or escapes from orbit) of objects such as satellites, planets, and stars. A two-point-particle model of such a system nearly always describes its behavior well enough to provide useful insights and predictions.

A simpler "one body" model, the "central-force problem", treats one object as the immobile source of a force acting on the other. One then seeks to predict the motion of the single remaining mobile object. Such an approximation can give useful results when one object is much more massive than the other (as with a light planet orbiting a heavy star, where the star can be treated as essentially stationary).

However, the one-body approximation is usually unnecessary except as a stepping stone. For many forces, including gravitational ones, the general version of the two-body problem can be reduced to a pair of one-body problems, allowing it to be solved completely, and giving a solution simple enough to be used effectively.

By contrast, the three-body problem (and, more generally, the n-body problem for n ≥ 3) cannot be solved in terms of first integrals, except in special cases.

Results for prominent cases

Gravitation and other inverse-square examples 

The two-body problem is interesting in astronomy because pairs of astronomical objects are often moving rapidly in arbitrary directions (so their motions become interesting), widely separated from one another (so they will not collide) and even more widely separated from other objects (so outside influences will be small enough to be ignored safely).

Under the force of gravity, each member of a pair of such objects will orbit their mutual center of mass in an elliptical pattern, unless they are moving fast enough to escape one another entirely, in which case their paths will diverge along other planar conic sections. If one object is very much heavier than the other, it will move far less than the other with reference to the shared center of mass. The mutual center of mass may even be inside the larger object.

For the derivation of the solutions to the problem, see Classical central-force problem or Kepler problem.

In principle, the same solutions apply to macroscopic problems involving objects interacting not only through gravity, but through any other attractive scalar force field obeying an inverse-square law, with electrostatic attraction being the obvious physical example. In practice, such problems rarely arise. Except perhaps in experimental apparatus or other specialized equipment, we rarely encounter electrostatically interacting objects which are moving fast enough, and in such a direction, as to avoid colliding, and/or which are isolated enough from their surroundings.

The dynamical system of a two-body system under the influence of torque turns out to be a Sturm-Liouville equation.

Inapplicability to atoms and subatomic particles 

Although the two-body model treats the objects as point particles, classical mechanics only apply to systems of macroscopic scale. Most behavior of subatomic particles cannot be predicted under the classical assumptions underlying this article or using the mathematics here.

Electrons in an atom are sometimes described as "orbiting" its nucleus, following an early conjecture of Niels Bohr (this is the source of the term "orbital"). However, electrons don't actually orbit nuclei in any meaningful sense, and quantum mechanics are necessary for any useful understanding of the electron's real behavior. Solving the classical two-body problem for an electron orbiting an atomic nucleus is misleading and does not produce many useful insights.

Reduction to two independent, one-body problems 

The complete two-body problem can be solved by re-formulating it as two one-body problems: a trivial one and one that involves solving for the motion of one particle in an external potential. Since many one-body problems can be solved exactly, the corresponding two-body problem can also be solved.

Let  and  be the vector positions of the two bodies, and m1 and m2 be their masses. The goal is to determine the trajectories  and  for all times t, given the initial positions  and  and the initial velocities  and .

When applied to the two masses, Newton's second law states that

where F12 is the force on mass 1 due to its interactions with mass 2, and F21 is the force on mass 2 due to its interactions with mass 1. The two dots on top of the x position vectors denote their second derivative with respect to time, or their acceleration vectors.

Adding and subtracting these two equations decouples them into two one-body problems, which can be solved independently. Adding equations (1) and () results in an equation describing the center of mass (barycenter) motion. By contrast, subtracting equation (2) from equation (1) results in an equation that describes how the vector  between the masses changes with time. The solutions of these independent one-body problems can be combined to obtain the solutions for the trajectories  and .

Center of mass motion (1st one-body problem) 

Let  be the position of the center of mass (barycenter) of the system. Addition of the force equations (1) and (2) yields

where we have used Newton's third law  and where

The resulting equation:

shows that the velocity  of the center of mass is constant, from which follows that the total momentum  is also constant (conservation of momentum). Hence, the position  of the center of mass can be determined at all times from the initial positions and velocities.

Displacement vector motion (2nd one-body problem)
Dividing both force equations by the respective masses, subtracting the second equation from the first, and rearranging gives the equation

where we have again used Newton's third law  and where  is the displacement vector from mass 2 to mass 1, as defined above.

The force between the two objects, which originates in the two objects, should only be a function of their separation  and not of their absolute positions  and ; otherwise, there would not be translational symmetry, and the laws of physics would have to change from place to place. The subtracted equation can therefore be written:

where  is the reduced mass

Solving the equation for  is the key to the two-body problem. The solution depends on the specific force between the bodies, which is defined by . For the case where  follows an inverse-square law, see the Kepler problem.

Once  and  have been determined, the original trajectories may be obtained

as may be verified by substituting the definitions of R  and r into the right-hand sides of these two equations.

Two-body motion is planar 

The motion of two bodies with respect to each other always lies in a plane (in the center of mass frame).

Proof: Defining the linear momentum  and the angular momentum  of the system, with respect to the center of mass, by the equations

where  is the reduced mass and  is the relative position  (with these written taking the center of mass as the origin, and thus both parallel to ) the rate of change of the angular momentum  equals the net torque 

and using the property of the vector cross product that  for any vectors  and  pointing in the same direction,

with .

Introducing the assumption (true of most physical forces, as they obey Newton's strong third law of motion) that the force between two particles acts along the line between their positions, it follows that  and the angular momentum vector  is constant (conserved). Therefore, the displacement vector  and its velocity  are always in the plane perpendicular to the constant vector .

Energy of the two-body system 

If the force  is conservative then the system has a potential energy , so the total energy can be written as

In the center of mass frame the kinetic energy is the lowest and the total energy becomes

The coordinates  and  can be expressed as

 
and in a similar way the energy E is related to the energies  and  that separately contain the kinetic energy of each body:

Central forces 

For many physical problems, the force  is a central force, i.e., it is of the form

where  and  is the corresponding unit vector. We now have:

where F(r) is negative in the case of an attractive force.

See also
 Energy drift
 Equation of the center
 Euler's three-body problem
 Kepler orbit
 Kepler problem
 n-body problem
 Three-body problem
 Virial theorem

References

Bibliography

External links 

 Two-body problem at Eric Weisstein's World of Physics

Orbits
Dynamical systems
고전역학에서 이체 문제(二體問題, )는 서로 상호작용하는 두 물체의 운동을 다루는 문제이다. 보통 이 상호작용은 만유인력과 같은 역제곱 법칙이다. 행성을 공전하는 위성, 항성을 공전하는 행성, 쌍성계 등이 이체 문제에 해당한다.

이체 문제는 식의 변형을 통해 두 개의 독립적인 일체문제로 변형될 수 있다. 일체문제는 퍼텐셜 안에서의 한 물체의 운동에 관한 식을 푸는 것으로 기술되며, 언제나 해석적인 해를 구할 수 있다. 그러므로 이체 문제도 언제나 해를 구할 수 있다. 그러나 삼체문제 이상의 다체문제에서는 특수한 경우를 제외하고는 해석적인 해를 구할 수 없고, 수치적인 방법을 쓴다.

역사 
이체 문제에 관한 연구는 천체 역학으로부터 비롯되었다. 이체 문제의 역사는 독일의 천문학자 요하네스 케플러로부터 시작된다. 케플러는 덴마크의 천문학자 튀코 브라헤의 정밀 천체 관측 자료를 분석하여 행성의 운동에 관한 케플러의 법칙을 발견하였다. 이후 영국의 물리학자 아이작 뉴턴, 에드먼드 핼리 등은 천체 간의 거리의 제곱에 반비례하는 힘으로 케플러의 법칙을 설명할 수 있다는 사실을 발견하고, 뉴턴은 이를 이용해 유명한 저서 프린키피아에서 수학적으로 행성들이 타원 궤도를 돈다는 것을 보였다. 또한, 뉴턴은 행성의 질량, 위치, 속도 정보를 이용하여 궤도를 계산하는 법을 개발했다. 뉴턴 이후 레온하르트 오일러는 '행성과 혜성의 운동'에서 오일러 방법을 이용하여 천체의 포물선 운동을 수학적으로 보였다. 핼리는 뉴턴의 법칙을 통해 핼리 혜성 등 혜성의 주기를 알아내는 데 성공했으며 이후 요한 람베르트는 오일러 방법을 일반화하여 행성의 타원, 쌍곡선 궤도를 수학적으로 계산해내었다. 이후 조제프루이 라그랑주는 행성 간의 각도들을 이용하여 궤도를 계산하는 새로운 방법을 개발했다. 이 방법은 카를 프리드리히 가우스에 의해 훨씬 개선되었고, 현재도 계속 사용되고 있다.

두 개의 독립된 일체 문제로의 변형 

두 물체 각각의 위치를 ,  라하고, 과 를 각각의 질량이라 하자. 이체 문제를 푼다는 것은 주어진 초기 위치 , 와 초기 속도 , 를 가지고 각각의 궤적 과 를 시간 에 대해 구하는 것이다.

각각의 물체에 대하여 뉴턴의 운동 제2 법칙을 적용해보면

는 물체1에 가해지는 물체2와의 상호작용에 의한 힘이고, 은 물체2에 가해지는 물체1과의 상호작용에 의한 힘이다.

위의 두 식을 더하고 빼는 과정을 통해 이체 문제를 두 개의 독립적인 일체 문제로 분리할 수 있다. (1)과 (2)를 더하면 이 계의 질량 중심의 운동을 시간에 대해 나타내는 식이 나오고, 두 식을 빼면 두 물체를 잇는 벡터 의 시간에 대한 식이 나온다. 이 두 식의 해를 이용하여 각 물체의 궤적 과 를 구할 수 있다.

질량 중심의 운동 

(1)과 (2)를 더하여 아래의 식을 얻을 수 있다.

여기서 뉴턴의 운동 제3 법칙에 의하여 이고,

은 이 계의 질량 중심이다.
결과적으로는

이다.

이 식을 통해 질량 중심의 속도 는 일정함을 알 수 있고 총 운동량 도 일정함을 알 수 있다. (운동량 보존 법칙). 그러므로 질량 중심의 변위 는 두 물체의 초기 위치와 초기 속도를 가지고 언제나 구할 수 있다.

변위 벡터 r 

(1)과 (2)를 각각 물체의 질량으로 나누어주고, (1)에서 (2)를 뺀 후에 정리하면

여기서 뉴턴의 운동 제3 법칙 을 사용하였고, 은 위에서 정의했듯이 물체2에서 물체1을 가리키는 변위 벡터이다.

두 물체 간에 작용하는 힘은 두 물체 간의 상호작용에 의해서 만들어진 것이기 때문에 과 를 포함하지 않는 오직 에 의한 함수여야만 한다. 그러므로 위의 식은 아래와 같이 쓸 수 있다.

여기서 는 환산 질량이다.

와 가 구해지면 아래와 같이 각 물체의 궤적을 구할 수 있다.

이 식들은 과 의 정의를 우변에 대입해보면 쉽게 확인된다.

평면상의 이체 문제 

이체 문제에서 두 물체는 언제나 한 평면 위에서 움직이게 된다. 운동량 와 각운동량 을 정의하면 아래의 식이 성립한다.

의 시간에 따른 변화는 알짜 돌림힘 과 같고

방향이 같은 두 벡터의 외적은 0이라는 외적의 성질을 이용하면

이고, 이다.

두 물체 사이의 힘이 두 물체를 잇는 선과 같은 방향이라고 가정하면, ×이고 이는 각운동량 벡터 이 일정함을 의미한다.(각운동량 보존) 그러므로 변위 벡터과 속도 벡터 는 언제나 에 수직인 평면 위에 함께 존재하게 된다.

중심력 
대부분의 물리 문제에서 중심력 은 아래와 같은 형식을 가진다.

여기서 r = || 이고 = /r은 단위벡터이다. 그러므로

이고, 은 인력이기 때문에 음수이다.

일 
이체문제에서 두 물체가 서로에게 작용한 힘에 의한 일은 한 힘이 물체 사이의 상대변위에 곱해진 것과 같다.

상대 운동 
이체 문제에서 한 물체가 다른 물체를 관측할 때, 그 다른 물체는 그 물체의 속도와 위치에 따라 원, 타원, 포물선, 쌍곡선의 네 가지 이차곡선 궤도 중 한 궤도를 그린다.

출처

같이 보기 
 삼체 문제
 다체 문제
 비네 방정식
 비리얼 정리
 라플라스-룽게-렌츠 벡터

참고 문헌

외부 링크 
 Analysis of the Two-Body and Restricted Three-Body Problem at Aerospace Engineering and Engineering Mechanics Department at the University of Texas at Austin
 Two-body problem at Eric Weisstein's World of Physics

천체역학
고전역학
물리학 개념