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argan form but the pancreas form is four-dimensional so d if it's going to be it's a form up there but it's
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automatically closed because d of it's going to be zero so there's two important things about this tp1
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d tp1 equals zero and if i integrate
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over the fiber which is really so3 or less i integrate it over so so3 if i
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integrate even one half of tp1 i get one
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okay so here's a closed form up here and it's when restricted to the fiber
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it's an integral class one and
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but m3 being a three-dimensional manifold is paralyzable
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you can always find a framing of it at least if it's oriented all three manifolds are paralyzable so
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therefore i could get a cross section so i could go up there and get a cross section and pull back this so i can
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integrate over m is a cross section let's call it alpha
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so i can integrate over m3 alpha star
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of this tp1 and get a number
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well what would happen if i did a different cross-section well let's just look
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remember this is a closed form so i'm just pulling this down so here's one cross-section and here's
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another cross-section but
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they only differ homologically by a multiple of the fiber which is so3
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they only differ homologically so one of them could be written as
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so if i looked at alpha this is alpha and this is beta
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so beta equals alpha plus some number times the
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fiber this is all homological so therefore
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this integral is well defined up to an integer right because either the alternative
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would have been to integrate it over the thing too i got n there so if i
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reduce this modulo
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the integers is well defined
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so
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this is a function of ramani and three mountain fold gives you a number so we'll call it phi
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so that i'll just call this phi of m
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three equals that so it has two two nice properties
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that were very useful first of all five m3
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is a conformal invariant
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that's one and two uh
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two see how i wrote it down here
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a necessary condition that
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m3 be conformally immersed
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in r4 so could you realize the stream manifold conformally
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for is is that phi equals zero of course congruent to zero
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now any three manifold is immersible
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in r4 but going to be conformally immersible
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only if five is equal to zero and here's a very nice example the real projective three space
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r p three
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phi of r p three with its usual metric
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is a half so here's rp3 locally it just looks like the sphere it could be i said locally
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isometrically embedded in r4 globally it can be immersed in r4 because every three manifold but
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isometrically or even conformally you can't do it so this was
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sort of a a very nice application of this
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더 보기 1:00:00아르간 형태이지만 췌장 형태는 4 차원이므로 저 위에있는 형태가 될 것입니다.1:00:06d가 0이 될 것이기 때문에 자동으로 닫히기 때문에이 TP1에는 두 가지 중요한 사항이 있습니다.1:00:13d tp1은 0과 같고 내가 통합하면1:00:21실제로 so3 이하인 광섬유를 통해 so3에 통합합니다.1:00:29TP1의 절반도 통합하면 1이 됩니다.1:00:35여기 여기 닫힌 형태가 있고 섬유로 제한 될 때입니다.1:00:43그것은 적분 클래스 1이고1:00:48하지만 3차원 다양체인 m3은 마비가 가능합니다.1:00:54적어도 세 가지 다양체가 모두 마비 가능하다면 적어도 그 틀을 찾을 수 있습니다.1:01:01따라서 단면을 얻을 수 있으므로 올라가서 단면을 얻고 이것을 뒤로 당길 수 있습니다.1:01:07M에 대한 통합은 단면입니다 알파라고 부르겠습니다.1:01:12그래서 나는 m3 알파 스타를 통합 할 수 있습니다.1:01:19이 TP1을 적분하고 숫자를 얻습니다.1:01:25다른 단면을하면 어떻게 될까요? 그냥 보자1:01:32이것은 닫힌 형태이므로 이것을 아래로 내리고 있으므로 여기에 하나의 단면이 있고 여기에 있습니다.1:01:38또 다른 단면이지만1:01:43섬유의 배수만큼만 상동적으로 다릅니다.1:01:49상동적으로 만 다르므로 그중 하나는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.1:01:55그래서 알파를 보면 이것은 알파이고 이것은 베타입니다.1:02:00그래서 베타는 알파에 몇 배를 더한 것과 같습니다.1:02:06섬유 이것은 모두 상동성이므로 따라서1:02:13이 적분은 정수 오른쪽까지 잘 정의되어 있습니다.1:02:19내가 거기에있는 것 위에 그것을 통합하는 것이었을 것입니다.1:02:24이 모듈로를 줄이면1:02:30정수가 잘 정의되어 있습니다1:02:40그래서1:02:47이것은 라마니의 함수이고 삼산배는 숫자를 제공하므로 파이라고 부르겠습니다.1:02:55그래서 저는 이것을 M의 파이라고 부를 것입니다.1:03:003은 그것과 같으므로 두 가지 좋은 속성을 가지고 있습니다.1:03:075개의 m3 중 가장 먼저 매우 유용했습니다.1:03:13은 컨포멀 불변량입니다1:03:22그건 1과 2 어1:03:272는 내가 여기에 어떻게 적었는지 봐1:03:33필요한 조건1:03:40M3가 등각적으로 잠겨 있어야 함1:03:54R4에서 스트림 다양체를 컨포멀하게 구현할 수 있습니다.1:04:00파이가 0과 일치하는 것은 물론 0과 같기 때문입니다.1:04:08이제 어떤 3개의 다양체도 침잠할 수 있습니다.1:04:14R4에 있지만 등각 침수가 될 것입니다.1:04:205가 0과 같을 때만 가능하며, 실제 투영 3차원 공간에 대한 아주 좋은 예가 있습니다.1:04:27r p 31:04:32일반적인 메트릭과 함께 r p 3의 파이1:04:38반이므로 여기에는 로컬로 rp3가 있으므로 로컬로 말할 수있는 구처럼 보입니다.1:04:44전 세계적으로 등각 투영 적으로 r4에 포함 된 것은 모든 3 매니 폴드이기 때문에 r4에 포함될 수 있지만1:04:50등척적으로 또는 등각적으로 할 수 없으므로 이것은 다음과 같습니다.1:04:56이것의 아주 좋은 응용 프로그램입니다.1:05:02