To prove that the set of bounded linear operators from E to F, denoted by L(E, F), equipped with the operator norm, is a Banach space, we need to show that it is complete, i.e., every Cauchy sequence of operators in L(E, F) converges to an operator in L(E, F).

Let {Tn} be a Cauchy sequence of operators in L(E, F). This means that for every ε > 0, there exists N such that ||Tn - T_m|| < ε for all n, m > N. Our goal is to show that this sequence converges to some operator T in L(E, F).

First, we need to show that Tn converges pointwise to an operator T. Let x ∈ E, and fix ε > 0. Since {Tn} is Cauchy, there exists N such that ||Tn - Tm|| < ε for all n, m > N. Now, consider the inequality:

||Tn(x) - Tm(x)|| ≤ ||Tn - Tm|| * ||x|| < ε * ||x||.

This inequality implies that {Tn(x)} is a Cauchy sequence in F. Since F is a Banach space, it is complete, so Tn(x) converges to some element T(x) ∈ F.

Now, we need to show that T is linear and bounded. Linearity follows from the linearity of each T_n. To show that T is bounded, we need to show that there exists a constant C such that ||T(x)|| ≤ C * ||x|| for all x ∈ E.

Fix ε > 0, and let N be such that ||Tn - Tm|| < ε for all n, m > N. Then for any x ∈ E, we have:

||T(x) - TN(x)|| = ||lim(Tn(x)) - TN(x)|| = lim(||Tn(x) - T_N(x)||) ≤ lim(ε * ||x||) = ε * ||x||.

We can rearrange this inequality to get:

||T(x)|| ≤ ||T_N(x)|| + ε * ||x||### Instruction:
 Let *a* and *b* be positive integers such that  *ab + 1*  divides  *a2 + b2*. Prove that *(a2 + b2) / (ab + 1)* is the square of an integer.### Response:
 To prove that (a^2 + b^2) / (ab + 1) is the square of an integer, we need to show that it is an integer and that its square root is an integer.

First, note that (a^2 + b^2) / (ab + 1) is an integer if and only if (a^2 + b^2) - k(ab + 1) = 0 for some integer k. Rearranging, we get:

a^2 - kab + b^2 - k = 0

Viewing this as a quadratic equation in a, the discriminant must be a perfect square, that is:

k^2 - 4(b^2 - k) = m^2 for some integer m.

Simplifying, we get:

k^2 - 4b^2 + 4k - m^2 = 0

This is a quadratic equation in k, and its discriminant must also be a perfect square, that is:

16b^2 - 4m^2 = n^2 for some integer n.

This can be rewritten as:

(4b + n)(4b - n) = 4m^2

Since 4b + n and 4b - n are both even, we can write them as 2r and 2s, respectively, for some integers r and s. Then we have:

rs = m^2 / 4

and

b = (r + s) / 2

Substituting into the original equation, we get:

a^2 - (r + s)a + [(r - s) / 2]^2 = 0

This is a quadratic equation in a, and its discriminant must also be a perfect square, that is:

(r + s)^2 - 4[(r - s) / 2]^2 = t^2 for some integer t.

Simplifying, we get:

(r - s)^2 + t^2 = (r + s)^2

This is the Pythagorean theorem, and its solutions are:

r = uv, s = uw, t = u(v^2 - w^2)

where u, v, and w are positive integers with v > w and (v - w) odd.

Therefore, we have:

b = (r + s) / 2 = uwv

and

a = (r - s) / 2 = u(v^2 - w^2)

Thus, we have shown that (a^2 + b^2) / (ab + 1) is an integer, and its square root is:

(a^2 + b^2) / (ab + 1) = (u^2v^2 + u^2w^2) / u^2vw + 1 = (v^2 + w^2) / vw + 1 = (v/w)^2 + 1

which is clearly an integer. Therefore, (a^2 + b^2) / (ab + 1) is the square of an integer.
연산자 규범을 갖춘 L(E, F)로 표시되는 E에서 F까지의 경계 선형 연산자 집합이 바나흐 공간임을 증명하려면, 이 공간이 완전하다는 것, 즉 L(E, F)의 모든 코시 수열이 L(E, F)의 연산자로 수렴한다는 것을 보여줘야 합니다.

Tn}을 L(E, F)의 코시 수열의 연산자라고 합니다. 즉, 모든 ε > 0일 때 ||Tn - T_m|| < ε인 N이 존재하고, 모든 n, m > N일 때 이 수열이 L(E, F)의 어떤 연산자 T로 수렴한다는 것을 보여드리는 것이 우리의 목표입니다.

먼저, Tn이 어떤 연산자 T에 점적으로 수렴한다는 것을 보여줘야 합니다. x를 E로 하고 ε > 0으로 고정합니다. {Tn}은 코시이므로, 모든 n, m > N에 대해 ||Tn - Tm|| < ε인 N이 존재합니다. 이제 부등식을 고려합니다:

||Tn(x) - Tm(x)|| ≤ ||Tn - Tm|| * ||x|| < ε * ||x||.

이 부등식은 {Tn(x)}가 F에서 코시 수열이라는 것을 의미합니다. F는 바나흐 공간이므로 완전하므로 Tn(x)는 어떤 원소 T(x) ∈ F로 수렴합니다.

이제 T가 선형이고 경계가 있음을 보여줘야 합니다. 선형성은 각 T_n의 선형성에서 따라옵니다. T가 유한하다는 것을 증명하려면, 모든 x ∈ E에 대해 ||T(x)|| ≤ C * ||x||를 만족하는 상수 C가 존재한다는 것을 증명해야 합니다.

ε > 0으로 고정하고, 모든 n, m > N에 대해 ||Tn - Tm|| < ε가 되도록 N을 설정하면, 모든 x ∈ E에 대해 다음과 같이 됩니다:

||T(x) - TN(x)|| = ||lim(Tn(x)) - TN(x)|| = lim(||Tn(x) - T_N(x)||) ≤ lim(ε * ||x||) = ε * ||x||.

이 부등식을 재정렬하면 다음과 같습니다:

||T(x)|| ≤ ||T_N(x)|| + ε * ||x||### 인스트럭션:
 a*와 *b*를 *ab + 1*이 *a2 + b2*를 나누는 양의 정수라고 합니다. *(a2 + b2) / (ab + 1)*이 정수의 제곱임을 증명하세요.### 답변:
 (a^2 + b^2) / (ab + 1)이 정수의 제곱임을 증명하려면, 정수가 정수이고 그 제곱근이 정수임을 보여줘야 합니다.

먼저, 어떤 정수 k에 대해 (a^2 + b^2) / (ab + 1)은 (a^2 + b^2) - k(ab + 1) = 0인 경우에만 정수가 됩니다. 재정렬하면 다음과 같습니다:

a^2 - kab + b^2 - k = 0

이것을 a의 이차 방정식으로 볼 때 판별자는 완벽한 제곱, 즉 정사각형이어야 합니다:

k^2 - 4(b^2 - k) = 정수 m에 대해 m^2.

단순화하면 다음과 같습니다:

k^2 - 4b^2 + 4k - m^2 = 0

이것은 k의 이차 방정식이며, 그 판별자 역시 완벽한 정사각형이어야 합니다:

정수 n의 경우 16b^2 - 4m^2 = n^2입니다.

이것은 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다:

(4b + n)(4b - n) = 4m^2

4b + n과 4b - n은 모두 짝수이므로 일부 정수 r과 s에 대해 각각 2r과 2s로 쓸 수 있습니다:

rs = m^2 / 4

와

b = (r + s) / 2

원래 방정식에 대입하면 다음과 같습니다:

a^2 - (r + s)a + [(r - s) / 2]^2 = 0

이것은 a의 이차 방정식이며, 그 판별자 역시 완벽한 정사각형이어야 합니다:

(r + s)^2 - 4[(r - s) / 2]^2 = 일부 정수 t에 대해 t^2.

단순화하면 다음과 같습니다:

(r - s)^2 + t^2 = (r + s)^2

이것이 피타고라스의 정리이며, 그 해는 다음과 같습니다:

r = uv, s = uw, t = u(v^2 - w^2)

여기서 u, v, w는 양의 정수이며 v > w이고 (v - w)는 홀수입니다.

따라서 우리는

b = (r + s) / 2 = uwv

와

a = (r - s) / 2 = u(v^2 - w^2)

따라서 (a^2 + b^2) / (ab + 1)은 정수이며, 그 제곱근은 정수임을 알 수 있습니다:

(a^2 + b^2) / (ab + 1) = (u^2v^2 + u^2w^2) / u^2vw + 1 = (v^2 + w^2) / vw + 1 = (v/w)^2 + 1입니다.

은 분명히 정수입니다. 따라서 (a^2 + b^2) / (ab + 1은 정수의 제곱입니다.