An algebraic number is a number that is a root of a non-zero polynomial in one variable with integer (or, equivalently, rational) coefficients.  For example, the golden ratio, , is an algebraic number, because it is a root of the polynomial . That is, it is a value for x for which the polynomial evaluates to zero.  As another example, the complex number  is algebraic because it is a root of .

All integers and rational numbers are algebraic, as are all roots of integers. Real and complex numbers that are not algebraic, such as  and , are called transcendental numbers.

The set  of algebraic numbers is countably infinite and has measure zero in the Lebesgue measure as a subset of the uncountable complex numbers. In that sense, almost all complex numbers are transcendental.

Examples
 All rational numbers are algebraic. Any rational number, expressed as the quotient of an integer  and a (non-zero) natural number , satisfies the above definition, because  is the root of a non-zero polynomial, namely .
 Quadratic irrational numbers, irrational solutions of a quadratic polynomial  with integer coefficients , , and , are algebraic numbers. If the quadratic polynomial is monic (), the roots are further qualified as quadratic integers.
 Gaussian integers, complex numbers  for which both  and  are integers, are also quadratic integers. This is because  and  are the two roots of the quadratic .
 A constructible number can be constructed from a given unit length using a straightedge and compass. It includes all quadratic irrational roots, all rational numbers, and all numbers that can be formed from these using the basic arithmetic operations and the extraction of square roots. (By designating cardinal directions for +1, −1, +, and −, complex numbers such as  are considered constructible.)
 Any expression formed from algebraic numbers using any combination of the basic arithmetic operations and extraction of th roots gives another algebraic number.
 Polynomial roots that cannot be expressed in terms of the basic arithmetic operations and extraction of th roots (such as the roots of ). That happens with many but not all polynomials of degree 5 or higher.
 Values of trigonometric functions of rational multiples of  (except when undefined): for example, , , and  satisfy . This polynomial is irreducible over the rationals and so the three cosines are conjugate algebraic numbers. Likewise, , , , and  satisfy the irreducible polynomial , and so are conjugate algebraic integers.
 Some but not all irrational numbers are algebraic:
 The numbers  and  are algebraic since they are roots of polynomials  and , respectively.
 The golden ratio  is algebraic since it is a root of the polynomial .
 The numbers  and e are not algebraic numbers (see the Lindemann–Weierstrass theorem).

Properties

If a polynomial with rational coefficients is multiplied through by the least common denominator, the resulting polynomial with integer coefficients has the same roots.  This shows that an algebraic number can be equivalently defined as a root of a polynomial with either integer or rational coefficients.
Given an algebraic number, there is a unique monic polynomial with rational coefficients of least degree that has the number as a root. This polynomial is called its minimal polynomial. If its minimal polynomial has degree , then the algebraic number is said to be of degree . For example, all rational numbers have degree 1, and an algebraic number of degree 2 is a quadratic irrational.
The algebraic numbers are dense in the reals.  This follows from the fact they contain the rational numbers, which are dense in the reals themselves.
The set of algebraic numbers is countable (enumerable), and therefore its Lebesgue measure as a subset of the complex numbers is 0 (essentially, the algebraic numbers take up no space in the complex numbers). That is to say, "almost all" real and complex numbers are transcendental.
All algebraic numbers are computable and therefore definable and arithmetical.
For real numbers  and , the complex number  is algebraic if and only if both  and  are algebraic.

Field

The sum, difference, product and quotient (if the denominator is nonzero) of two algebraic numbers is again algebraic, as can be demonstrated by using the resultant, and algebraic numbers thus form a field  (sometimes denoted by , but that usually denotes the adele ring). Every root of a polynomial equation whose coefficients are algebraic numbers is again algebraic. That can be rephrased by saying that the field of algebraic numbers is algebraically closed. In fact, it is the smallest algebraically-closed field containing the rationals and so it is called the algebraic closure of the rationals.

The set of real algebraic numbers itself forms a field.

Related fields

Numbers defined by radicals
Any number that can be obtained from the integers using a finite number of additions, subtractions, multiplications, divisions, and taking (possibly complex) th roots where  is a positive integer are algebraic. The converse, however, is not true: there are algebraic numbers that cannot be obtained in this manner. These numbers are roots of polynomials of degree 5 or higher, a result of Galois theory (see Quintic equations and the Abel–Ruffini theorem). For example, the equation:

has a unique real root that cannot be expressed in terms of only radicals and arithmetic operations.

Closed-form number

Algebraic numbers are all numbers that can be defined explicitly or implicitly in terms of polynomials, starting from the rational numbers. One may generalize this to "closed-form numbers", which may be defined in various ways. Most broadly, all numbers that can be defined explicitly or implicitly in terms of polynomials, exponentials, and logarithms are called "elementary numbers", and these include the algebraic numbers, plus some transcendental numbers. Most narrowly, one may consider numbers explicitly defined in terms of polynomials, exponentials, and logarithms – this does not include all algebraic numbers, but does include some simple transcendental numbers such as  or ln 2.

Algebraic integers

An algebraic integer is an algebraic number that is a root of  a polynomial with integer coefficients with leading coefficient 1 (a monic polynomial). Examples of algebraic integers are   and  Therefore, the algebraic integers constitute a proper superset of the integers, as the latter are the roots of monic polynomials  for all . In this sense, algebraic integers are to algebraic numbers what integers are to rational numbers.

The sum, difference and product of algebraic integers are again algebraic integers, which means that the algebraic integers form a ring. The name algebraic integer comes from the fact that the only rational numbers that are algebraic integers are the integers, and because the algebraic integers in any number field are in many ways analogous to the integers. If  is a number field, its ring of integers is the subring of algebraic integers in , and is frequently denoted as . These are the prototypical examples of Dedekind domains.

Special classes
Algebraic solution
Gaussian integer
Eisenstein integer
Quadratic irrational number
Fundamental unit
Root of unity
Gaussian period
Pisot–Vijayaraghavan number
Salem number

Notes

References
수론에서 대수적 수(代數的數, )는 유리수 계수의 일계수 다항식의 근을 이루는 복소수이다.

정의 
복소수 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다. 이를 만족시키는 복소수를 대수적 정수(代數的整數, )라고 한다.
 이지만 인 일계수 다항식 가 존재한다.
 는 유한하며, 또한 는 유한 생성 아벨 군이다
 는 유한하며, 또한 인 유한 생성 아벨 군 이 존재한다.
대수적 정수의 집합은 정역을 이루며, 로 쓴다.

복소수 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 복소수를 대수적 수라고 한다.
 이지만 인 일계수 다항식 가 존재한다.
 인 대수적 정수 가 존재한다 ().
대수적 수들의 집합은 체를 이루며, 라고 쓴다. 정의에 따라, 이는 대수적 정수들의 정역의 분수체이다.

대수적 수가 아닌 복소수를 초월수(超越數, )라 한다.

일반적으로, 주어진 수가 대수적인지 여부를 증명하는 것은 매우 어렵다. 예를 들어, 와 같은 경우에도 현재 초월수인지의 여부가 증명되지 않았다.

성질

대수적 수의 체 
대수적 수의 체는 가산 무한 집합이다.

복소수체의 크기는 이므로, 대부분의 복소수는 대수적 수가 아니다.

대수적 수의 집합은 체를 이룬다. 즉, 대수적 수들의 합 · 곱 · 역수는 대수적 수이다. 또한, 임의의 대수적 수  및 유리수 에 대하여, 는 (만약 정의된다면) 대수적 수이다. 그러나 가 무리수일 경우 이는 일반적으로 성립하지 않는다. 겔폰트-슈나이더 정리()에 따르면, 대수적 수  및 무리수 에 대하여, 만약 이며 이라면 는 초월수이다.

대수적 수의 표수는 0이며, 유리수체의 대수적 폐포이다. 모든 대수적 수는 어떤 대수적 수체에 속한다. 즉, 대수적 수의 집합은 (복소수체로의 매장을 부여한) 모든 대수적 수체들의 합집합과 같다.

대수적 수의 체를 유리수체의 확대체로 보았을 때, 는 무한 차수의 갈루아 확대이다. 이 확대의 갈루아 군은 유리수체의 절대 갈루아 군이다.

대수적 정수의 환 
대수적 정수의 가환환은 다음 성질들을 만족시킨다.
 베주 정역이다. (즉, 두 주 아이디얼의 합이 주 아이디얼이다.)
 (스스로의 분수체 속에서) 정수적으로 닫힌 정역이다.
 크룰 차원이 1차원이다. (대수적 정수의 집합은 정수환 의  속에서의 정수적 폐포이며, 이는 크룰 차원을 보존한다.)
 뇌터 환이 아니다. (따라서 데데킨트 정역이나 주 아이디얼 정역이 아니다.) 예를 들어, 주 아이디얼들의 열 은 무한 상승 사슬을 이룬다.
 유일 인수 분해 정역이 아니다.
따라서, 대수적 정수의 인수 분해는 일반적으로 유일하지 않지만, 유한 개의 대수적 정수의 최대공약수를 정의할 수 있다.

모든 대수적 정수는 어떤 대수적 수체의 대수적 정수환의 원소이며, 그 역 또한 성립한다. 즉, 대수적 정수의 집합은 모든 대수적 수체의 대수적 정수환들의 합집합이다.

예 
은 의 근이므로 대수적 정수이다. 허수단위 는 의 근이므로 대수적 정수이다.

5차 이상의 일반적인 방정식의 해는 거듭제곱근으로 나타낼 수 없지만, 만약 방정식의 계수들이 모두 대수적 수인 경우 그 해는 대수적 수이다.

초월수의 예 
원주율 나 자연 로그의 밑 는 초월수이다. 또한 다음과 같은 수가 초월수임이 알려져 있다.
  ()
 원주율 
 원적문제(圓積問題, )는 주어진 원과 넓이가 같은 정사각형을 작도하는 문제이다. 가 초월수임에 따라 이는 불가능하다.
 
 
 . (복소수 거듭제곱은 분지 절단에 따라 달라지지만, 가능한 모든 분지에 대하여 이는 초월수이다. 예를 들어, 한 분지에서는 이다.)
 0이 아닌 유리수 에 대하여 , , .
 1이 아닌 양의 유리수 에 대하여, 
그러나 는 초월수임이 알려져 있지 않다. 만약 샤누엘 추측()이 참이라면, 는 초월수이다.

다음과 같은 실수는 리우빌 상수()라고 하며, 초월수이다.

역사 
고대 수학에서는 대수적 수의 개념이 존재하지 않았다. 그러나 정수의 비로 나타낼 수 없는 수(무리수)의 발견과 거듭제곱근 및 사칙 연산으로 나타낼 수 없는 수(아벨-루피니 정리)의 발견 이후, 모든 수가 정수 또는 유리수 계수의 다항식의 근으로 나타낼 수 있는지, 즉 초월수가 존재하는지의 여부가 대두되었다.

레온하르트 오일러는 대수적 수와 초월수를 최초로 구분하였고, 초월수의 존재를 추측하였다. 1844년에 조제프 리우빌은 최초의 초월수의 예로 리우빌 상수를 제시하였다.

리우빌 상수는 초월수의 존재를 증명하기 위해 특별히 만들어진 수이다. 수학에 자연스럽게 등장하는 수 가운데 처음으로 초월수임이 증명된 수는 상수 e이며, 이는 샤를 에르미트가 1873년에 증명하였다. 1882년에는 페르디난트 폰 린데만이 원주율 또한 초월수임을 증명하였다. 이것은 고대 그리스 수학의 난제였던 원적문제가 불가능함을 보여주었다.

1874년에 게오르크 칸토어는 실수 또는 복소수의 집합이 비가산 집합임을 증명하여, 대부분의 복소수가 초월수임을 보였다 (칸토어의 정리).

다비트 힐베르트는 1893년에 와 의 초월성에 대한 간단한 새로운 증명을 발견하였다.
1900년에 힐베르트는 힐베르트의 23 문제 가운데 7번째 문제로, 만약 가 0 또는 1이 아닌 대수적 수이며 가 무리 대수적 수일 경우 가 초월수인지 여부를 제시하였다.

이 문제는 1934년에 겔폰트-슈나이더 정리에 의해 참임이 밝혀졌다. 이 결과는 1960년에 앨런 베이커에 의해 확장되었다.

참고 문헌

외부 링크

같이 보기 
 대수적 수체
 대수적 정수환
 겔폰트-슈나이더 정리
 대수적 확대
 초월 확대