Logistic Regression is a popular statistical model used in many scientific fields to analyze the relationship between a binary response variable and one or more predictor variables. In the context of a scientific journal paper, Logistic Regression may be used to investigate the association between an exposure and a disease outcome or to identify predictors of a certain behavior or event.

The basic idea of Logistic Regression is to model the probability of the response variable (Y) taking on a certain value (e.g. 0 or 1) as a function of one or more predictor variables (X). Specifically, the model assumes that the log-odds of the response variable being a certain value can be modeled as a linear function of the predictor variables:

log⁡(p(Y=1)1−p(Y=1))=β0+β1X1+⋯+βpXp\log \left(\frac{p(Y=1)}{1-p(Y=1)}\right) = \beta\_0 + \beta\_1 X\_1 + \dots + \beta\_p X\_plog(1−p(Y=1)p(Y=1)​)=β0​+β1​X1​+⋯+βp​Xp​where p(Y=1) is the probability of the response variable taking on the value 1, and p(Y=0) = 1 - p(Y=1) is the probability of it taking on the value 0. The term inside the log function is called the odds ratio or logit, which represents the ratio of the probability of Y=1 to the probability of Y=0.

The coefficients β\_0, β\_1, ..., β\_p represent the effects of the predictor variables on the log-odds of the response variable. The goal of Logistic Regression is to estimate these coefficients based on the observed data and use them to make predictions about the probability of the response variable being a certain value.

The estimation of the coefficients can be performed using Maximum Likelihood Estimation (MLE), which involves finding the values of the coefficients that maximize the likelihood of the observed data given the model. The likelihood function can be written as:

L(β)=∏i=1n[p(Yi=1∣xi;β)]yi[1−p(Yi=1∣xi;β)]1−yiL(\beta) = \prod\_{i=1}^n [p(Y\_i=1|x\_i;\beta)]^{y\_i} [1-p(Y\_i=1|x\_i;\beta)]^{1-y\_i}L(β)=i=1∏n​[p(Yi​=1∣xi​;β)]yi​[1−p(Yi​=1∣xi​;β)]1−yi​where x\_i is the vector of predictor variables for the ith observation, y\_i is the corresponding response variable (0 or 1), and n is the sample size. The MLE estimates of the coefficients are the values that maximize this likelihood function.

Once the coefficients are estimated, the model can be used to make predictions about the probability of the response variable being a certain value given a set of predictor variable values. This can be done using the logistic function, which maps the linear predictor to a probability between 0 and 1:

p(Y=1∣X)=11+exp⁡(−(β0+β1X1+⋯+βpXp))p(Y=1|X) = \frac{1}{1+\exp(-(\beta\_0 + \beta\_1 X\_1 + \dots + \beta\_p X\_p))}p(Y=1∣X)=1+exp(−(β0​+β1​X1​+⋯+βp​Xp​))1​The logistic function can also be used to calculate the odds ratio or logit, as it is simply the inverse of the logistic function:

p(Y=1∣X)1−p(Y=1∣X)=exp⁡(β0+β1X1+⋯+βpXp)\frac{p(Y=1|X)}{1-p(Y=1|X)} = \exp(\beta\_0 + \beta\_1 X\_1 + \dots + \beta\_p X\_p)1−p(Y=1∣X)p(Y=1∣X)​=exp(β0​+β1​X1​+⋯+βp​Xp​)Logistic Regression has many applications in scientific research, including identifying risk factors for disease, predicting patient outcomes, and modeling consumer behavior. By providing a flexible and interpretable framework for analyzing binary response data, Logistic Regression enables researchers to gain insights into the relationships between variables and make informed decisions based on their findings.
로지스틱 회귀분석은 이항 반응 변수와 하나 이상의 예측 변수 간의 관계를 분석하기 위해 많은 과학 분야에서 널리 사용되는 통계 모델입니다. 과학 저널 논문의 맥락에서 로지스틱 회귀는 노출과 질병 결과 사이의 연관성을 조사하거나 특정 행동 또는 사건의 예측 인자를 식별하는 데 사용될 수 있습니다.L

로지스틱 회귀의 기본 개념은 하나 이상의 예측 변수(X)의 함수로서 반응 변수(Y)가 특정 값(예: 0 또는 1)을 취할 확률을 모델링하는 것입니다. 구체적으로, 이 모델은 응답 변수가 특정 값이 될 확률의 로그 오드를 예측 변수의 선형 함수로 모델링할 수 있다고 가정합니다:

log⁡(p(Y=1)1−p(Y=1))=β0+β1X1+⋯+βpXp\log \left(\frac{p(Y=1)}{1- p(Y=1)}\right) = \beta\_0 + \beta\_1 X\_1 + \dots + \beta\_p X\_plog(1-p(Y=1)p(Y=1))=β0+β1X1+⋯+βpXp 여기서 p(Y=1)은 응답 변수가 값 1을 취할 확률입니다, p(Y=0) = 1 - p(Y=1)은 0 값을 가질 확률입니다. 로그 함수 내부의 항을 확률비 또는 로짓이라고 하며, 이는 Y=1의 확률과 Y=0의 확률의 비율을 나타냅니다.

계수 β\_0, β\_1, ..., β\_p는 응답 변수의 로그 확률에 대한 예측 변수의 효과를 나타냅니다. 로지스틱 회귀의 목표는 관찰된 데이터를 기반으로 이러한 계수를 추정하고 이를 사용하여 응답 변수가 특정 값이 될 확률을 예측하는 것입니다.

계수 추정은 모델이 주어졌을 때 관찰된 데이터의 가능성을 최대화하는 계수 값을 찾는 최대 가능성 추정(MLE)을 사용하여 수행할 수 있습니다. 확률 함수는 다음과 같이 작성할 수 있습니다:

L(β)=∏i=1n[p(Yi=1∣xi;β)]yi[1−p(Yi=1∣xi;β)]1−yiL(\beta) = \prod\_{i=1}^n [p(Y\_i=1|x\_i;\beta)]^{y\_i} [1-p(Y\_i=1|x\_i;\beta)]^{1-y\_i}L(β)=i=1∏n​[p(Yi​=1∣xi​; β)]yi[1-p(Yi=1∣xi;β)]1-yi 여기서 x\_i는 ith 관측에 대한 예측 변수 벡터, y\_i는 해당 응답 변수(0 또는 1)이며, n은 표본 크기입니다. 계수의 MLE 추정치는 이 확률 함수를 최대화하는 값입니다.

계수가 추정되면 이 모델을 사용하여 일련의 예측 변수 값이 주어졌을 때 응답 변수가 특정 값이 될 확률을 예측할 수 있습니다. 이는 선형 예측 변수를 0과 1 사이의 확률로 매핑하는 로지스틱 함수를 사용하여 수행할 수 있습니다:

p(Y=1∣X)=11+exp⁡(−(β0+β1X1+⋯+βpXp))p(Y=1|X) = \frac{1}{1+\exp(- (\beta\_0 + \beta\_1 X\_1 + \dots + \beta\_p X\_p))}p(Y=1∣X)=1+exp(-(β0+β1X1+⋯+βpXp))1 로지스틱 함수를 사용하여 확률비 또는 로짓을 계산할 수도 있습니다, 이는 단순히 로지스틱 함수의 역수이기 때문입니다:

p(Y=1∣X)1−p(Y=1∣X)=exp⁡(β0+β1X1+⋯+βpXp)\frac{p(Y=1|X)}{1- p(Y=1|X)} = \exp(\beta\_0 + \beta\_1 X\_1 + \점 + \beta\_p X\_p)1-p(Y=1∣X)p(Y=1∣X)=exp(β0+β1X1+⋯+βpXp)로지스틱 회귀는 과학 연구에 많이 활용되고 있습니다, 질병의 위험 요인 파악, 환자 결과 예측, 소비자 행동 모델링 등 다양한 분야에서 활용되고 있습니다. 로지스틱 회귀는 이항 반응 데이터를 분석하기 위한 유연하고 해석 가능한 프레임워크를 제공함으로써 연구자가 변수 간의 관계에 대한 인사이트를 얻고 그 결과를 바탕으로 정보에 입각한 의사 결정을 내릴 수 있게 해줍니다.