In mathematics and quantum mechanics, a Dirac operator is a differential operator that is a formal square root, or half-iterate, of a second-order operator such as a Laplacian. The original case which concerned Paul Dirac was to factorise formally an operator for Minkowski space, to get a form of quantum theory compatible with special relativity; to get the relevant Laplacian as a product of first-order operators he introduced spinors. It was first published in 1928.

Formal definition

In general, let D be a first-order differential operator acting on a vector bundle V over a Riemannian manifold M. If 

where ∆ is the Laplacian of V, then D is called a Dirac operator.

In high-energy physics, this requirement is often relaxed: only the second-order part of D2 must equal the Laplacian.

Examples

Example 1 
D = −i ∂x is a Dirac operator on the tangent bundle over a line.

Example 2 
Consider a simple bundle of notable importance in physics: the configuration space of a particle with spin  confined to a plane, which is also the base manifold.  It is represented by a wavefunction 

where x and y are the usual coordinate functions on R2. χ specifies the probability amplitude for the particle to be in the spin-up state, and similarly for η. The so-called spin-Dirac operator can then be written

where σi are the Pauli matrices. Note that the anticommutation relations for the Pauli matrices make the proof of the above defining property trivial. Those relations define the notion of a Clifford algebra.

Solutions to the Dirac equation for spinor fields are often called harmonic spinors.

Example 3 
Feynman's Dirac operator describes the propagation of a free fermion in three dimensions and is elegantly written 

using the Feynman slash notation. In introductory textbooks to quantum field theory, this will appear in the form

where  are the off-diagonal Dirac matrices , with  and the remaining constants are  the speed of light,  being Planck's constant, and  the mass of a fermion (for example, an electron). It acts on a four-component wave function , the Sobolev space of smooth, square-integrable functions. It can be extended to a self-adjoint operator on that domain. The square, in this case, is not the Laplacian, but instead  (after setting )

Example 4 
Another Dirac operator arises in Clifford analysis. In euclidean n-space this is

where {ej: j = 1, ..., n} is an orthonormal basis for euclidean n-space, and Rn is considered to be embedded in a Clifford algebra. 

This is a special case of the Atiyah–Singer–Dirac operator acting on sections of a spinor bundle.

Example 5 
For a spin manifold, M, the Atiyah–Singer–Dirac operator is locally defined as follows: For  and e1(x), ..., ej(x) a local orthonormal basis for the tangent space of M at x, the Atiyah–Singer–Dirac operator is

where  is the spin connection, a lifting of the Levi-Civita connection on M to the spinor bundle over M.  The square in this case is not the Laplacian, but instead  where  is the scalar curvature of the connection.

Example 6 
On Riemannian manifold  of dimension  with Levi-Civita connection and an orthonormal basis , we can define exterior derivative  and coderivative  as

.

Then we can define a Dirac-Kähler operator , as follows

.

The operator acts on sections of Clifford bundle in general, and it can be restricted to spinor bundle, an ideal of Clifford bundle, only if the projection operator on the ideal is parallel.

Generalisations 
In Clifford analysis, the operator  acting on spinor valued functions defined by 

is sometimes called Dirac operator in k Clifford variables. In the notation, S is the space of spinors,  are n-dimensional variables and  is the Dirac operator in the i-th variable. This is a common generalization of the Dirac operator () and the Dolbeault operator (, k arbitrary). It is an invariant differential operator, invariant under the action of the group . The resolution of D is known only in some special cases.

See also

AKNS hierarchy
Dirac equation
Clifford algebra
Clifford analysis
Connection
Dolbeault operator
Heat kernel
Spinor bundle

References

 
 

Differential operators
Quantum mechanics
Mathematical physics
미분기하학과 이론물리학에서 디랙 연산자(Dirac演算子, )는 라플라스 연산자의 제곱근인 미분 연산자이다.

정의 
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
 리만 다양체 
 매끄러운 벡터 다발 
  위의 코쥘 접속 
 의 매끄러운 단면 . (흔히 으로 잡는다.)
그렇다면, 라플라스 연산자

및 일반화 라플라스 연산자

를 정의할 수 있다.

이 경우, 디랙 연산자

는

를 만족시키는 1차 미분 연산자이다.

보다 일반적으로, 디랙형 연산자(Dirac形演算子, ) 또는 일반화 디랙 연산자()

는 그 제곱이 라플라스형 연산자가 되는 1차 미분 연산자이다. 즉,

를 만족시키는 1차 미분 연산자이다.

등급 디랙 연산자 
클리퍼드 대수는 자연스럽게 -등급 대수를 이룬다.

이에 따라, 디랙 연산자의 등급과의 호환 조건을 정의할 수 있다.

다음 데이터가 주어졌다고 하자.
 리만 다양체 
 두 매끄러운 벡터 다발 . 편의상 로 표기하자.
  위의 초접속 
 의 매끄러운 단면  (복부호 동순)
그렇다면, 마찬가지로 일반화 라플라스 연산자

를 정의할 수 있다.

그렇다면, 등급 디랙 연산자()
 (복부호 동순)
는

를 만족시키는 두 미분 연산자이다.

분류

클리퍼드 가군 다발 접속 
리만 다양체  위의 클리퍼드 가군 다발  위의 코쥘 접속 가 다음 조건을 만족시킨다면, 클리퍼드 가군 다발 접속이라고 하자.

여기서 는 클리퍼드 다발 위에 리만 계량으로부터 자연스럽게 정의된 코쥘 접속(레비치비타 접속)이다.

마찬가지로, 클리퍼드 가군 다발 초접속을 클리퍼드 다발의 작용과 호환되는, -등급 매끄러운 벡터 다발 위의 코쥘 초접속으로 정의할 수 있다.

디랙 연산자의 분류 
리만 다양체  위의 매끄러운 벡터 다발  위에 디랙 연산자 가 주어졌을 때,  위에는 자연스럽게 클리퍼드 다발 의 왼쪽 작용이 주어져, 각 올 이 클리퍼드 대수 의 왼쪽 가군을 이룬다. 구체적으로, 이는 다음과 같다.

여기서
 는  위의 실수 값 매끄러운 함수이다.
 은 그 기울기인 1차 미분 형식이다. 이 경우, 자연스러운 벡터 다발 포함 사상 이 존재한다.
 은 클리퍼드 대수의 원소의 작용이다.
클리퍼드 다발 의 매끄러운 단면은 벡터장 으로 생성되며, 그 작용은 국소적이므로, 위 등식은 클리퍼드 다발의 작용을 완전히 정의한다. 이에 따라, 는 클리퍼드 가군 다발을 이룬다.

또한, 클리퍼드 가군 다발 위의 클리퍼드 가군 다발 (초)접속은 디랙 연산자(또는 등급 디랙 연산자)를 정의한다. 즉,
 디랙 연산자는 클리퍼드 가군 다발 + 클리퍼드 가군 다발 접속과 일대일 대응한다.
 주어진 클리퍼드 가군 다발  + 클리퍼드 가군 다발 접속 위의 디랙형 연산자의 공간은  꼴의 아핀 공간이다.
 등급 디랙 연산자는 클리퍼드 가군 -등급 다발 + 클리퍼드 가군 다발 초접속과 일대일 대응한다.
 주어진 클리퍼드 가군 다발 -등급 다발  + 클리퍼드 가군 다발 접속 위의 디랙형 연산자의 공간은  꼴의 아핀 공간이다.

예

곡선 위의 벡터다발 
계량이 주어진 곡선  위의 다발 의 경우, 디랙 연산자는 단순히

이다.

접다발 
리만 다양체  위의 접다발 에는 자연스러운 레비치비타 접속이 존재한다. 만약 이 스핀 다양체라면, 접다발을 스피너 다발

으로 확장시켜, 그 위에 디랙 연산자를 정의할 수 있다. 은 차원 복소수 벡터 다발이며, 이는 클리퍼드 다발  위의 클리퍼드 가군 다발이다. 이 경우 매장

이 존재한다.

이 경우 디랙 연산자는

이다. 즉,

이다.

만약 이 짝수 차원이라면, 그 스피너 다발은 자연스럽게 다음과 같이 오른쪽·왼쪽 바일 스피너 다발로 분해된다.

이 경우 디랙 연산자는 역시 다음과 같이 분해된다.
 (복부호 동순)
따라서, 이는  위의 등급 디랙 연산자를 이룬다.

호지-드람 연산자 
매끄러운 다양체  위의 미분 형식의 다발

을 생각하자. 즉,

이다. 만약 이 콤팩트 다양체라면, 외미분

의 에르미트 수반

을 정의할 수 있다. 그렇다면,

이 된다. 여기서 는 미분 형식의 호지-라플라스 연산자이다. 따라서

를 정의하면, 는  위의 디랙 연산자를 이룬다.

역사 
최초의 디랙 연산자는 폴 디랙이 양자전기역학을 연구하는 도중 발견하였다.

같이 보기 
 디랙 방정식
 열핵
 클리퍼드 대수

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

미분 연산자
미분기하학
양자장론
양자역학
수리물리학