Definition 1.1: Complete binary relation
A binary relation R on the set X is complete if for all members x and y of X,
either x R y or y R x (or both). A complete binary relation is, in particular,
reflexive: for every x ∈ X we have x R x .
For a binary relation ¼ to correspond to a preference relation, we require not
only that it be complete, but also that it be consistent in the sense that if x ¼ y
and y ¼ z then x ¼ z . This property is called transitivity.
Definition 1.2: Transitive binary relation
A binary relation R on the set X is transitive if for any members x, y , and z
of X for which x R y and y R z , we have x R z .
In requiring that a preference relation be transitive, we are restricting the permitted answers to the questionnaire. If the individual’s response to the question
regarding x and y is either “I prefer x to y ” or “I am indifferent between x and y ”,
and if his response to the question regarding y and z is “I prefer y to z ” or “I am
6 Chapter 1. Preferences and utility
indifferent between y and z ”, then his answer to the question regarding x and z
must be either “I prefer x to z ” or “I am indifferent between x and z ”.
To conclude, we model an individual’s preferences by a complete and transitive binary relation.
Definition 1.3: Preference relation
A preference relation on the set X is a complete and transitive binary relation on X.
Note that the binary relations ∼ (indifference) and  (strict preference) derived from a preference relation ¼ are both transitive. To show the transitivity of
∼, note that if x ∼ y and y ∼ z then x ¼ y , y ¼ x, y ¼ z , and z ¼ y , so by the
transitivity of ¼ we have x ¼ z and z ¼ x, and hence x ∼ z . You are asked to show
the transitivity of  in Problem 1a. Note also that if x ¼ y and y  z (or x  y and
y ¼ z ) then x  z (Problem 1b).
We sometimes refer to the following additional properties of binary relations.
Definition 1.4: Symmetric and antisymmetric binary relations
A binary relation R on the set X is symmetric if for any members x and y of
X for which x R y we have y R x , and is antisymmetric if for any members
x and y of X for which x 6= y and x R y , it is not the case that y R x .
An example of a symmetric binary relation is “is a neighbor of” (a relation that
in general is not transitive) and an example of an antisymmetric binary relation
is “is older than”.
The binary relation ∼ derived from a preference relation ¼ is reflexive, symmetric, and, as we have just argued, transitive. Binary relations with these properties are called equivalence relations.
Definition 1.5: Equivalence relation
A binary relation is an equivalence relation if it is reflexive, symmetric, and
transitive.
Problem 4 concerns the properties of equivalence relations. In particular, it
asks you to show that any equivalence relation R on a set X divides X into disjoint subsets such that two alternatives x and y belong to the same subset if and
only if x R y . Each of these subsets is called an equivalence class. For the indifference relation, the equivalence classes are referred to also as indifference sets;
the individual regards all alternatives in an indifference set as equally desirable
and alternatives in different indifference sets as not equally desirable.
1.2 Preference formation 7
1.2 Preference formation
When we model individuals, we endow them with preference relations, which
we take as given; we do not derive these preference relations from any more basic considerations. We now briefly describe a few such considerations, some of
which result in preference relations and some of which do not.
Value function The individual has in mind a function v that attaches to each
alternative a number, interpreted as his subjective “value” of the alternative; the
higher the value, the better the individual likes the alternative. Formally, the individual’s preference relation ¼ is defined by x ¼ y if and only if v (x) ≥ v (y ). The
binary relation ¼ derived in this way is indeed a preference relation: it is complete because we can compare any two numbers (for any two numbers a and b
either a ≥ b or b ≥ a (or both)) and it is transitive because the binary relation
≥ is transitive (if x ¼ y and y ¼ z then v (x) ≥ v (y ) and v (y ) ≥ v (z ), and hence
v (x) ≥ v (z ), so that x ¼ z ).
Distance function One alternative is “ideal” for the individual; how much he
likes every other alternative is determined by the distance of that alternative from
the ideal, as given by a function d . That is, the individual’s preference relation ¼
is defined by x ¼ y if and only if d (x) ≤ d (y ). This scheme is an example of a
value function, with v (x) = −d (x).
정의 1.1: 완전한 이항 관계X 집합의 이항 관계 R은 X의 모든 원소 x와 y에 대해 다음과 같은 경우 완전합니다,x R y 또는 y R x (또는 둘 다). 완전한 이진 관계는 특히 다음과 같습니다,재귀적: 모든 x ∈ X에 대해 x R x 가 있습니다.이항 관계 ¼가 선호 관계에 해당하려면 다음과 같은 조건이 필요합니다.완전해야 할뿐만 아니라 x ¼ y이고 y ¼ z이면 x ¼ z여야 합니다. 이러한 속성을 전이성이라고 합니다.정의 1.2: 전이적 이진 관계X 집합의 이진 관계 R은 X의 모든 멤버 x, y, z에 대해 x R y와 z의 모든 멤버에 대해 x R y 및 y R z 가 있으면 x R z 가 됩니다.선호도 관계가 전이적이어야 한다는 요구는 설문조사에 허용되는 답변을 제한하는 것입니다. 질문에 대한 개인의 응답이에 대한 개인의 응답이 "나는 y보다 x를 선호한다" 또는 "나는 x와 y 사이에 무관심하다"인 경우,그리고 Y와 Z에 관한 질문에 대한 개인의 응답이 "나는 Z보다 Y를 선호한다" 또는 "나는6 1장. 선호도 및 유용성y와 z 사이에 무관심하다"라면, x와 z에 관한 질문에 대한 그의 대답은 "나는 x를 선호한다.에 대한 대답은 "나는 z보다 x를 선호한다" 또는 "나는 x와 z 사이에서 무관심하다"여야 합니다.결론적으로, 우리는 개인의 선호도를 완전하고 전이적인 이진 관계로 모델링합니다.정의 1.3: 선호도 관계집합 X에 대한 선호 관계는 X에 대한 완전하고 전이적인 이항 관계입니다.선호도 관계 ¼에서 파생된 이항 관계 ∼ (무관심)과 (엄격한 선호도)는 모두 전이성이라는 점에 유의하세요. 의 전이성을 나타내려면∼의 전이성을 보여주기 위해 x ∼ y와 y ∼ z가 있으면 x ¼ y, y ¼ x, y ¼ z, z ¼ y가 되므로 ¼의의 전이성에 의해 우리는 x ¼ z 와 z ¼ x 를 가지며, 따라서 x ∼ z 가 됩니다. 여러분은 다음을 보여 달라는 요청을 받습니다.의 전이성을 보여 주어야 합니다. 또한 x ¼ y와 y z (또는 x y와y ¼ z )라면 x z (문제 1b).우리는 때때로 이항 관계의 다음과 같은 추가 속성을 언급합니다.정의 1.4: 대칭 및 비대칭 이항 관계X 집합의 이항 관계 R은 다음 중 어떤 멤버 x와 y에 대해 대칭입니다.X의 x R y에 대해 y R x가 있으면 대칭이고, 어떤 멤버에 대해 다음과 같은 경우 비대칭입니다.x 6= y이고 x R y인 X의 x와 y에 대해 y R x인 경우가 아닙니다.대칭 이진 관계의 예는 "의 이웃입니다"(일반적으로 전이가 아닌 관계).일반적으로 전이되지 않는 관계)와 비대칭 이진 관계의 예는 다음과 같습니다.은 "보다 오래되었다"입니다.선호도 관계 ¼에서 파생된 이항 관계 ∼는 재귀적이고 대칭적이며 방금 논한 것처럼 전이적입니다. 이러한 속성을 가진 이진 관계를 동등 관계라고 합니다.정의 1.5: 동등 관계이진 관계는 재귀적이고, 대칭적이고, 전이적인 경우 등가 관계입니다.전이적일 경우 등가 관계입니다.문제 4는 등가 관계의 속성에 관한 문제입니다. 특히는 다음과 같은 경우 집합 X에 대한 모든 등가 관계 R이 X를 서로 다른 부분집합으로 분할하여 두 개의 대안 x와 y가 동일한 부분집합에 속함을 보여 달라고 요청합니다.경우에만 x R y . 이러한 각 하위 집합을 동등성 클래스라고 합니다. 무관심 관계의 경우 동등 클래스를 무관심 집합이라고도 합니다;개인은 무관심 집합의 모든 대안을 똑같이 바람직한 것으로 간주합니다.다른 무관심 집합의 대안은 똑같이 바람직하지 않은 것으로 간주합니다.1.2 선호도 형성 71.2 선호도 형성개인을 모델링할 때, 우리는 개인에게 선호 관계를 부여합니다.우리는 이러한 선호 관계를 더 이상 기본적인 고려 사항에서 도출하지 않습니다. 이제 몇 가지 고려 사항을 간략하게 설명하겠습니다.선호 관계를 도출하는 고려 사항과 그렇지 않은 고려 사항을 간략하게 설명하겠습니다.가치 함수 개인은 각각의 대안에 붙는 함수 v를 염두에 두고 있습니다.대안에 대한 주관적인 '가치'로 해석되는 숫자를 부여하는 함수입니다.값이 높을수록 개인이 그 대안을 더 좋아한다는 의미입니다. 공식적으로 개인의 선호도 관계 ¼은 v(x) ≥ v(y )인 경우에만 x ¼ y로 정의됩니다. 이항 관계이런 식으로 도출된 이항 관계 ¼는 실제로 선호 관계입니다. 이 관계는 두 개의 숫자를 비교할 수 있기 때문에 완전합니다(두 개의 숫자 a와 b에 대해서는a ≥ b 또는 b ≥ a(또는 둘 다))를 비교할 수 있기 때문에 완전하며, 이진 관계는 전이적이기 때문에 전이적입니다.≥는 전이적입니다 (x ¼ y 및 y ¼ z이면 v (x) ≥ v (y ) 및 v (y ) ≥ v (z ), 따라서v (x) ≥ v (z ), 따라서 x ¼ z ).거리 함수 한 가지 대안은 개인에게 "이상적인" 대안입니다.다른 모든 대안을 얼마나 좋아하는지는 그 대안과 이상과의 거리에 의해 결정됩니다.이상으로부터의 거리에 의해 결정됩니다. 즉, 개인의 선호도 관계 ¼는 d (x) ≤ d (y )인 경우에만 x ¼ y로 정의됩니다. 이 체계는값 함수의 예입니다.