Join $PQ$, $PR$, $PS$, $RQ$, and $RS$. Since the circles with centers $Q$, $R$ and $S$ are all tangent to $BC$, then $QR$ and $RS$ are each parallel to $BC$ (as the centers $Q$, $R$ and $S$ are each 1 unit above $BC$). This tells us that $QS$ passes through $R$.

Similarly, since $P$ and $S$ are each one unit from $AC$, then $PS$ is parallel to $AC$. Also, since $P$ and $Q$ are each one unit from $AB$, then $PQ$ is parallel to $AB$. Therefore, the sides of $\triangle PQS$ are parallel to the corresponding sides of $\triangle ABC$.


When the centers of tangent circles are joined, the line segments formed pass through the associated point of tangency, and so have lengths equal to the sum of the radii of those circles. Therefore, $QR=RS=PR=PS=1+1=2$.

[asy]
size(200);
pair P, Q, R, S;
Q=(0,0);
R=(2,0);
S=(4,0);
P=(3,1.732);
label("Q", Q, SW);
label("R", R, dir(270));
label("S", S, SE);
label("P", P, N);
draw(circle(Q,1), dashed);
draw(circle(P,1), dashed);
draw(circle(R,1), dashed);
draw(circle(S,1), dashed);
draw(P--Q--S--P--R);
[/asy]

Since $PR=PS=RS$, we know $\triangle PRS$ is equilateral, so $\angle PSR=\angle PRS=60^\circ$. Since $\angle PRS=60^\circ$ and $QRS$ is a straight line, we have $\angle QRP=180^\circ-60^\circ=120^\circ$.

Since $QR=RP$, we know $\triangle QRP$ is isosceles, so $$\angle PQR = \frac{1}{2}(180^\circ-120^\circ)= 30^\circ.$$Since $\angle PQS=30^\circ$ and $\angle PSQ=60^\circ$, we have $$\angle QPS = 180^\circ - 30^\circ - 60^\circ = 90^\circ,$$so $\triangle PQS$ is a $30^\circ$-$60^\circ$-$90^\circ$ triangle.

The angles of $\triangle ABC$ are equal to the corresponding angles of $\triangle PQS$, so $\triangle ABC$ is a $30^\circ$-$60^\circ$-$90^\circ$ triangle. This means that if we can determine one of the side lengths of $\triangle ABC$, we can then determine the lengths of the other two sides using the side ratios in a $30^\circ$-$60^\circ$-$90^\circ$ triangle.

Consider side $AC$. Since the circle with center $P$ is tangent to sides $AB$ and $AC$, the line through $A$ and $P$ bisects $\angle BAC$.  Thus, $\angle PAC=45^\circ$. Similarly, the line through $C$ and $S$ bisects $\angle ACB$.  Thus, $\angle SCA=30^\circ$. We extract trapezoid $APSC$ from the diagram, obtaining

[asy]
size(200);
pair A, P, S, C, Z, X;
C=(0,0);
Z=(1.732,0);
X=(3.732,0);
A=(4.732,0);
S=(1.732,1);
P=(3.732,1);
draw(A--X--Z--C--S--P--A);
draw(S--Z);
draw(P--X);
label("A", A, SE);
label("Z", Z, dir(270));
label("X", X, dir(270));
label("C", C, SW);
label("S", S, NW);
label("P", P, dir(45));
label("1", (S+Z)/2, E);
label("1", (X+P)/2, E);
label("2", (S+P)/2, N);
draw((1.732,.15)--(1.882,.15)--(1.882,0));
draw((3.732,.15)--(3.582,.15)--(3.582,0));
label("$30^\circ$", (.35,.15), E);
label("$45^\circ$", (4.5,.15), W);
[/asy]

Drop perpendiculars from $P$ and $S$ to $X$ and $Z$, respectively, on side $AC$. Since $PS$ is parallel to $AC$, and $PX$ and $SZ$ are perpendicular to $AC$, we know that $PXZS$ is a rectangle, so $XZ=PS=2$.

Since $\triangle AXP$ is right-angled at $X$, has $PX=1$ (the radius of the circle), and $\angle PAX=45^\circ$, we have $AX=PX=1$. Since $\triangle CZS$ is right-angled at $Z$, has $SZ=1$ (the radius of the circle), and $\angle SCZ=30^\circ$, we have $CZ=\sqrt{3}SZ=\sqrt{3}$ (since $\triangle SZC$ is also a $30^\circ$-$60^\circ$-$90^\circ$ triangle). Thus, $AC=1+2+\sqrt{3}=3+\sqrt{3}$.

Since $\triangle ABC$ is a $30^\circ$-$60^\circ$-$90^\circ$ triangle, with $\angle ACB=60^\circ$ and $\angle CAB=90^\circ$, we have $BC=2AC=6+2\sqrt{3}$, and $$AB=\sqrt{3}AC=\sqrt{3}(3+\sqrt{3})=3\sqrt{3}+3.$$Therefore, the side lengths of $\triangle ABC$ are $AC=3+\sqrt{3}$, $AB=3\sqrt{3}+3$, and $BC=6+2\sqrt{3}$. Thus, the perimeter is $$3+\sqrt{3}+3\sqrt{3}+3+6+2\sqrt{3}=12+6\sqrt{3}.$$
PQ$, $PR$, $PS$, $RQ$ 및 $RS$를 결합합니다. 중심이 $Q$, $R$, $S$인 원은 모두 $BC$에 접하므로 $QR$과 $RS$는 각각 $BC$에 평행합니다(중심 $Q$, $R$, $S$가 각각 $BC$보다 1단위 위이므로). 이것은 $QS$가 $R$을 통과한다는 것을 알려줍니다.

마찬가지로, $P$와 $S$는 $AC$에서 각각 1단위씩 떨어져 있으므로 $PS$는 $AC$와 평행합니다. 또한 $P$와 $Q$는 각각 $AB$에서 한 단위이므로 $PQ$는 $AB$와 평행합니다. 따라서 $\삼각형 PQS$의 변은 $\삼각형 ABC$의 대응하는 변과 평행합니다.


접하는 원의 중심이 합쳐지면, 형성된 선분은 관련된 접점을 통과하므로 해당 원의 반지름의 합과 같은 길이를 갖습니다. Therefore, $QR=RS=PR=PS=1+1=2$.

[asy]
size(200);
쌍 P, Q, R, S;
Q=(0,0);
R=(2,0);
S=(4,0);
P=(3,1.732);
label("Q", Q, SW);
label("R", R, dir(270));
label("S", S, SE);
label("P", P, N);
draw(circle(Q,1), dashed);
draw(circle(P,1), dashed);
draw(circle(R,1), dashed);
draw(circle(S,1), 점선);
draw(P--Q--S--P--R);
[/asy]

PR=PS=RS$이므로 $\삼각형 PRS$는 등변이므로 $\각 PSR=\각 PRS=60^\원$입니다. 각도 PRS=60^\circ$이고 $QRS$는 직선이므로, $\angle QRP=180^\circ-60^\circ=120^\circ$가 됩니다.

QR=RP$이므로 $\삼각형 QRP$는 이등변이므로 $$각도 PQR = \frac{1}{2}(180^\circ-120^\circ)= 30^\circ입니다.$$각 PQS=30^\원$이고 $$각 PSQ=60^\원$이므로 $$각 QPS = 180^\원 - 30^\원 - 60^\원 = 90^\원,$$따라서 $\삼각형 PQS$는 $30^\원$-$60^\원$-$90^\원$ 삼각형이 됩니다.

삼각형 ABC$의 각은 $\삼각형 PQS$의 대응하는 각과 같으므로 $\삼각형 ABC$는 $30^\원$-$60^\원$-$90^\원$ 삼각형입니다. 즉, $\삼각형 ABC$의 변 길이 중 하나를 결정할 수 있다면, $30^\원$-$60^\원$-$90^\원$ 삼각형의 변비를 사용하여 다른 두 변의 길이를 결정할 수 있습니다.

변 $AC$를 고려합니다. 중심 $P$를 가진 원은 변 $AB$와 $AC$에 접하므로, $A$와 $P$를 통과하는 선은 $\각 BAC$를 이등분합니다. 따라서 $\각 PAC=45^\circ$가 됩니다. 마찬가지로, $C$와 $S$를 통과하는 선은 $\각 ACB$를 이등분합니다. 따라서 $\angle SCA=30^\circ$가 됩니다. 다이어그램에서 사다리꼴 $APSC$를 추출하여 다음을 얻습니다.

[asy]
size(200);
쌍 A, P, S, C, Z, X;
C=(0,0);
Z=(1.732,0);
X=(3.732,0);
A=(4.732,0);
S=(1.732,1);
P=(3.732,1);
draw(A--X--Z--C--S--P--A);
draw(S--Z);
draw(P--X);
label("A", A, SE);
label("Z", Z, dir(270));
label("X", X, dir(270));
label("C", C, SW);
label("S", S, NW);
label("P", P, dir(45));
label("1", (S+Z)/2, E);
label("1", (X+P)/2, E);
label("2", (S+P)/2, N);
draw((1.732,.15)--(1.882,.15)--(1.882,0));
draw((3.732,.15)--(3.582,.15)--(3.582,0));
label("$30^\circ$", (.35,.15), E);
label("$45^\circ$", (4.5,.15), W);
[/asy]

수직을 $P$와 $S$에서 각각 $X$와 $Z$로 떨어뜨려 $AC$ 변에 놓습니다. PS$는 $AC$에 평행하고, $PX$와 $SZ$는 $AC$에 수직이므로, $PXZS$는 직사각형이므로 $XZ=PS=2$임을 알 수 있습니다.

삼각형 AXP$는 $X$에서 직각이고, $PX=1$(원의 반지름)이며, $\각 PAX=45^\원$이므로 $AX=PX=1$이 됩니다. 삼각형 CZS$는 $Z$에서 직각이고, $SZ=1$(원의 반지름)이며, $\삼각형 SCZ=30^\circ$이므로, $CZ=\sqrt{3}SZ=\sqrt{3}$가 됩니다($\삼각형 SZC$도 $30^\circ$-$60^\circ$-$90^\circ$ 삼각형이므로). Thus, $AC=1+2+\sqrt{3}=3+\sqrt{3}$.

삼각형 ABC$는 $30^\원$-$60^\원$-$90^\원$ 삼각형이고, $\각 ACB=60^\원$, $\각 CAB=90^\원$이므로 $BC=2AC=6+2\sqrt{3}$이고, $$AB=\sqrt{3}AC=\sqrt{3}(3+\sqrt{3})=3\sqrt{3}+3이 된다.따라서 $\삼각형 ABC$의 변의 길이는 $AC=3+\sqrt{3}$, $AB=3\sqrt{3}+3$, $BC=6+2\sqrt{3}$입니다. 따라서 둘레는 $$3+\sqrt{3}+3\sqrt{3}+3+6+2\sqrt{3}=12+6\sqrt{3}.$$입니다.