The snake lemma is a tool used in mathematics, particularly homological algebra, to  construct long exact sequences. The snake lemma is valid in every abelian category and is a crucial tool in homological algebra and its applications, for instance in algebraic topology. Homomorphisms constructed with its help are generally called connecting homomorphisms.

Statement 
In an abelian category (such as the category of abelian groups or the category of vector spaces over a given field), consider a commutative diagram:

where the rows are exact sequences and 0 is the zero object.

Then there is an exact sequence relating the kernels and cokernels of a, b, and c:

where d is a homomorphism, known as the connecting homomorphism.

Furthermore, if the morphism f is a monomorphism, then so is the morphism , and if g''' is an epimorphism, then so is .

The cokernels here are: , , .

 Explanation of the name 
To see where the snake lemma gets its name, expand the diagram above as follows:

and then the exact sequence that is the conclusion of the lemma can be drawn on this expanded diagram in the reversed "S" shape of a slithering snake.

 Construction of the maps 

The maps between the kernels and the maps between the cokernels are induced in a natural manner by the given (horizontal) maps because of the diagram's commutativity. The exactness of the two induced sequences follows in a straightforward way from the exactness of the rows of the original diagram. The important statement of the lemma is that a connecting homomorphism d exists which completes the exact sequence.

In the case of abelian groups or modules over some ring, the map d can be constructed as follows:

Pick an element x in ker c and view it as an element of C; since g is surjective, there exists y in B with g(y) = x. Because of the commutativity of the diagram, we have g'(b(y)) = c(g(y)) = c(x) = 0 (since x is in the kernel of c), and therefore b(y) is in the kernel of g' . Since the bottom row is exact, we find an element z in A'  with f '(z) = b(y). z is unique by injectivity of f '. We then define d(x) = z + im(a). Now one has to check that d is well-defined (i.e., d(x) only depends on x and not on the choice of y), that it is a homomorphism, and that the resulting long sequence is indeed exact. One may routinely verify the exactness by diagram chasing (see the proof of Lemma 9.1 in ).

Once that is done, the theorem is proven for abelian groups or modules over a ring.  For the general case, the argument may be rephrased in terms of properties of arrows and cancellation instead of elements.  Alternatively, one may invoke Mitchell's embedding theorem.

 Naturality 
In the applications, one often needs to show that long exact sequences are "natural" (in the sense of natural transformations). This follows from the naturality of the sequence produced by the snake lemma.

If

is a commutative diagram with exact rows, then the snake lemma can be applied twice, to the "front" and to the "back", yielding two long exact sequences; these are related by a commutative diagram of the form

 Example 

Let  be field,  be a -vector space.  is -module by  being a -linear transformation, so we can tensor  and  over .

 

Given a short exact sequence of -vector spaces , we can induce an exact sequence  by right exactness of tensor product. But the sequence  is not exact in general. Hence, a natural question arises. Why is this sequence not exact?

According to the diagram above, we can induce an exact sequence  by applying the snake lemma. Thus, the snake lemma reflects the tensor product's failure to be exact.

 In the category of groups 
While many results of homological algebra, such as the five lemma or the nine lemma, hold for abelian categories as well as in the category of groups, the snake lemma does not. Indeed, arbitrary cokernels do not exist. However, one can replace cokernels by (left) cosets , , and .
Then the connecting homomorphism can still be defined, and one can write down a sequence as in the statement of the snake lemma. This will always be a chain complex, but it may fail to be exact. Exactness can be asserted, however, when the vertical sequences in the diagram are exact, that is, when the images of a, b, and c are normal subgroups.

 Counterexample 
Consider the alternating group : this contains a subgroup isomorphic to the symmetric group , which in turn can be written as a semidirect product of cyclic groups: . This gives rise to the following diagram with exact rows:

Note that the middle column is not exact:  is not a normal subgroup in the semidirect product.

Since  is simple, the right vertical arrow has trivial cokernel. Meanwhile the quotient group  is isomorphic to . The sequence in the statement of the snake lemma is therefore
,
which indeed fails to be exact.

In popular culture
The proof of the snake lemma is taught by Jill Clayburgh's character at the very beginning of the 1980 film It's My Turn''.

See also
 Zig-zag lemma

References

External links

Snake Lemma at PlanetMath
Proof of the Snake Lemma in the film It's My Turn

Homological algebra
Lemmas in category theory
호몰로지 대수학에서 뱀 완전열(-完全列, )은 아벨 대상의 아벨 범주 속의 6개의 대상들 사이의 가환하는 사상으로부터, 사상들의 핵과 여핵들 사이를 연결하는 완전열이다.

정의 
아벨 범주에서, 다음과 같은 그림이 가환한다고 하자.

여기에서 각 행은 완전열이며 0은 영 대상이다. 이 경우, 세 사상 , , 의 핵과 여핵들로 구성된 6항 완전열이 존재하며, 이를 뱀 완전열이라고 한다.

이 완전열에서, 를 연결 사상(連結寫像, )이라고 한다.

연결 사상 는 만약 가 아벨 군 범주의 부분 범주라고 할 경우 구체적으로 다음과 같다.
연결 사상의 구성:
우선, 임의의 에 대하여 다음과 같은 원소들을 정의하자.
 인 임의의  (이는 가 전사 사상이므로 가능하다)
 이므로, 가 된다.
 가 완전열이므로, (다시 말해, 이고 이 단사 사상이므로) 인 이 유일하게 존재한다.
그렇다면, 연결 사상 는 다음과 같다.

이는 의 선택에 의존하지 않으며, 또한 연결 사상을 통해 얻는 열이 완전열임을 보일 수 있다.
뱀 완전열의 존재는 다음과 같이 도롱뇽 정리를 사용하여 보일 수 있다.
증명:
그림의 위에 핵을, 밑에 여핵을 추가하여 다음과 같은 그림을 만들자.

이제, 다음 세 명제를 증명하면 족하다.
 (가): 
 (나): 
 (다): . 이는 이며, 이기 때문이다. 이 동형 사상은 연결 사상에 해당한다.

이제, 완전성을 사용하여 다음 교외 사상들이 동형 사상임을 보일 수 있다.

를 중심으로 하는 도롱뇽 완전열 및 를 중심으로 하는 도롱뇽 완전열을 사용하면, 아래 그림에 추가된 교내 사상이 추가로 동형 사상임을 알 수 있다.

이제, (가) ~ (다)의 증명은 다음과 같이 간단하다.
 (가): 위의 그림에서 붉게 칠한 동형 사상 
 (나): 위의 그림에서 하늘색으로 칠한 동형 사상 
 (다): 위의 그림에서 녹색으로 칠한 동형 사상

성질 
그림

에 대응하는 뱀 완전열에서, 다음이 성립한다.
 (가) 만약 가 단사 사상이라면 도 단사 사상이다.
 (나) 이 전사 사상인 경우 도 전사 사상이다.
이들은 서로 쌍대적이다. 즉, 아벨 범주 에서의 명제 (가)는 반대 범주 에서의 명제 (나)와 같다.
증명:
편의상 (가)를 증명하자.

가환 그림

에서, 임을 보이면 족하다.

도롱뇽 정리로부터, 동형 사상을 이루는 두 교외 사상

이 존재한다. 따라서 이다. 따라서, 를 중심으로 하는 도롱뇽 완전열

으로부터, 임을 알 수 있다.

호몰로지 긴 완전열 
사슬 복합체의 짧은 완전열이 주어졌을 경우, 위와 같은 뱀 완전열들이 이어져 더 긴 완전열을 얻는다. 이를 짧은 완전열에 대응하는 호몰로지 긴 완전열()이라고 한다.

구체적으로, 아벨 범주에서, 사슬 복합체 , , 가 주어졌다고 하고, 이들이 다음과 같은 짧은 완전열을 이룬다고 하자.

지그재그 정리(zigzag補助定理, )에 따르면, 다음과 같은 긴 완전열이 존재한다.

뱀 완전열을 사용한 구성:
다음과 같은 가환 그림을 생각하자.

뱀 보조정리에 따라서, 모든 에 대하여 다음 두 행들은 완전열을 이룬다.

따라서, 다음과 같은 가환 그림이 존재한다.

이 그림에서 각 열의 핵과 여핵은 각각 호몰로지 와 이다. 따라서, 여기에 뱀 보조정리를 다시 한 번 더 적용하면, 다음과 같은 긴 완전열을 얻는다.
도롱뇽 정리를 사용한 구성:
다음과 같은 그림을 생각하자.

이제, 다음과 같은 사상들을 생각하자.

여기서, 도롱뇽 정리를 사용하여, 붉은 색으로 칠해진 사상들이 동형 사상임을 보일 수 있다. 또한, 검은 색으로 칠해진 사상, 즉

는 도롱뇽 정리에 등장하는 완전열이다. 붉은 색의 동형 사상을 적용하면, 이는 호몰로지 긴 완전열

과 같다.

예 

대수적 위상수학에서 쓰이는 마이어-피토리스 열은 뱀 완전열의 일종이다. 마찬가지로, 복시테인 준동형은 뱀 완전열의 연결 사상의 일종이다.

역사 

뱀 완전열은 연결 사상이 가환 그림에서 마치 뱀처럼 구불거리는 모양을 하므로 이러한 이름이 붙었다. 즉, 다음과 같은 그림

에서, 연결 사상은 갈지자 (之) 모양을 하고 있다.

데이비드 앨빈 북스바움은 1955년 논문에서 아벨 범주의 개념을 도입하였는데, 이 논문에서 이미 뱀 정리가 등장한다.

뱀 완전열의 존재의 (수학적으로 올바른) 증명이 클로디아 와일() 감독의 1980년 미국 영화 《뉴욕 소나타》()의 도입부에서 등장한다. 이 영화에서 수학 교수 케이트 건징어(, 질 클레이버그 분)는 이 정리를 강의 중에 증명한다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

호몰로지 대수학
보조정리