Sure! To update the bias bj" role="presentation" style="position: relative;">bjbjb\_j for a neuron in the j-layer, we can use a similar update rule to the weight update rule. The update rule is:

bjnew=bjold&#x2212;&#x03B1;&#x2202;E&#x2202;bj" role="presentation" style="text-align: center; position: relative;">bnewj=boldj−α∂E∂bjbjnew=bjold−α∂E∂bjb\_j^{new} = b\_j^{old} - \alpha \frac{\partial E}{\partial b\_j}

where bjold" role="presentation" style="position: relative;">boldjbjoldb\_j^{old} is the old value of the bias, bjnew" role="presentation" style="position: relative;">bnewjbjnewb\_j^{new} is the new value of the bias, &#x03B1;" role="presentation" style="position: relative;">αα\alpha is the learning rate, and &#x2202;E&#x2202;bj" role="presentation" style="position: relative;">∂E∂bj∂E∂bj\frac{\partial E}{\partial b\_j} is the partial derivative of the error with respect to the bias.

Expanding the partial derivative of the error with respect to the bias bj" role="presentation" style="position: relative;">bjbjb\_j as a product of 3 terms using the multivariate chain rule, we get:

&#x2202;E&#x2202;bj=&#x2211;k=1K&#x2202;E&#x2202;zk&#x2202;zk&#x2202;aj&#x2202;aj&#x2202;zj&#x2202;zj&#x2202;bj" role="presentation" style="text-align: center; position: relative;">∂E∂bj=∑k=1K∂E∂zk∂zk∂aj∂aj∂zj∂zj∂bj∂E∂bj=∑k=1K∂E∂zk∂zk∂aj∂aj∂zj∂zj∂bj\frac{\partial E}{\partial b\_j} = \sum\_{k=1}^K \frac{\partial E}{\partial z\_k} \frac{\partial z\_k}{\partial a\_j} \frac{\partial a\_j}{\partial z\_j} \frac{\partial z\_j}{\partial b\_j}

where K" role="presentation" style="position: relative;">KKK is the number of neurons in the k-layer, and the sum is over all neurons in the k-layer that receive input from the j-layer.

Using the results we derived earlier, we can simplify this expression as follows:

&#x2202;E&#x2202;bj=&#x2211;k=1K&#x03B4;k&#x22C5;wkj&#x22C5;&#x03C3;(zj)&#x22C5;(1&#x2212;&#x03C3;(zj))" role="presentation" style="text-align: center; position: relative;">∂E∂bj=∑k=1Kδk⋅wkj⋅σ(zj)⋅(1−σ(zj))∂E∂bj=∑k=1Kδk⋅wkj⋅σ(zj)⋅(1−σ(zj))\frac{\partial E}{\partial b\_j} = \sum\_{k=1}^K \delta\_k \cdot w\_{kj} \cdot \sigma(z\_j) \cdot (1-\sigma(z\_j))

So the update rule for the bias bj" role="presentation" style="position: relative;">bjbjb\_j is:

bjnew=bjold&#x2212;&#x03B1;&#x2211;k=1K&#x03B4;k&#x22C5;wkj&#x22C5;&#x03C3;(zj)&#x22C5;(1&#x2212;&#x03C3;(zj))" role="presentation" style="text-align: center; position: relative;">bnewj=boldj−α∑k=1Kδk⋅wkj⋅σ(zj)⋅(1−σ(zj))bjnew=bjold−α∑k=1Kδk⋅wkj⋅σ(zj)⋅(1−σ(zj))b\_j^{new} = b\_j^{old} - \alpha \sum\_{k=1}^K \delta\_k \cdot w\_{kj} \cdot \sigma(z\_j) \cdot (1-\sigma(z\_j))

This rule tells us to adjust the bias in the direction of steepest descent of the error function with respect to the bias, which is proportional to the negative of the partial derivative of the error with respect to the bias. The learning rate &#x03B1;" role="presentation" style="position: relative;">αα\alpha controls the step size of the bias update.

Note that the expression for the bias update also involves a sum over all the neurons in the k-layer, and for each neuron in the k-layer, we need to compute the corresponding &#x03B4;k" role="presentation" style="position: relative;">δkδk\delta\_k term.
물론이죠! j 레이어의 뉴런에 대한 바이어스 bj" role="presentation" style="위치: 상대적;">bjbjb\_j를 업데이트하려면 가중치 업데이트 규칙과 유사한 업데이트 규칙을 사용할 수 있습니다. 업데이트 규칙은 다음과 같습니다:bjnew=bjold&#x2212;&#x03B1;&#x2202;E&#x2202;bj" role="presentation" style="text-align: center; position: 상대적;">bnewj=boldj-α∂E∂bjbjnew=bjold-α∂E∂bjb\_j^{new} = b\_j^{old} - \alpha \frac{\partial E}{\partial b\_j}여기서 bjold" role="presentation" style="위치: 상대적;">boldjbjoldb\_j^{old}는 바이어스의 이전 값이고, bjnew" role="presentation" style="위치: 상대적;">bnewjbjnewb\_j^{new}는 바이어스의 새 값이며, &#x03B1;" role="presentation" style="position: 상대적;">αα\알파는 학습률이고, &#x2202;E&#x2202;bj" role="presentation" style="위치: 상대적;">∂E∂bj∂E∂bj\frac{\partial E}{\partial b\_j}는 바이어스에 대한 오류의 부분 도함수입니다.다변량 연쇄 규칙을 사용하여 편향에 대한 오차의 편미분을 bj" role="presentation" style="위치: 상대적;">bjbjb\_j를 세 항의 곱으로 확장하면 다음과 같이 구할 수 있습니다:&#x2202;E&#x2202;bj=&#x2211;k=1K&#x2202;E&#x2202;zk&#x2202;zk&#x2202;aj&#x2202;aj&#x2202;zj&#x2202;zj&#x2202;bj" role="presentation" style="text-align: center; position: 상대적;">∂E∂bj=∑k=1K∂E∂zk∂zk∂aj∂aj∂zj∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂\frac{\partial E}{\partial b\_j} = \sum\_{k=1}^K \frac{\partial E}{\partial z\_k} \frac{\partial z\_k}{\partial a\_j} \frac{\partial a\_j}{\partial z\_j} \frac{\partial z\_j}{\partial b\_j}여기서 K" role="presentation" style="위치: 상대적;">KKK는 k층에 있는 뉴런의 수이며, 합은 j층에서 입력을 받는 k층의 모든 뉴런을 합한 값입니다.앞서 도출한 결과를 사용하면 이 식을 다음과 같이 단순화할 수 있습니다:&#x2202;E&#x2202;bj=&#x2211;k=1K&#x03B4;k&#x22C5;wkj&#x22C5;&#x03C3;(zj)&#x22C5;(1&#x2212;&#x03C3;(zj))" role="presentation" style="text-align: center; position: 상대적;">∂E∂bj=∑k=1Kδk⋅wkj⋅σ(zj)⋅(1-σ(zj))∂E∂bj=∑k=1Kδk⋅wkj⋅σ(zj)⋅(1-σ(zj))\frac{\partial E}{\partial b\_j} = \sum\_{k=1}^K \delta\_k \cdot w\_{kj} \cdot \sigma(z\_j) \cdot (1-\sigma(z\_j))따라서 바이어스 bj"role="presentation" style="위치: 상대적;">bjbjb\_j에 대한 업데이트 규칙은 다음과 같습니다:bjnew=bjold&#x2212;&#x03B1;&#x2211;k=1K&#x03B4;k&#x22C5;wkj&#x22C5;&#x03C3;(zj)&#x22C5;(1&#x2212;&#x03C3;(zj))" role="presentation" style="text-align: center; position: 상대적;">bnewj=boldj-α∑k=1Kδk⋅wkj⋅σ(zj)⋅(1-σ(zj))bjnew=bjold-α∑k=1Kδk⋅wkj⋅σ(zj)⋅(1-σ(zj))b\_j^{new} = b\_j^{old} - \alpha \sum\_{k=1}^K \delta\_k \cdot w\_{kj} \cdot \sigma(z\_j) \cdot (1-\sigma(z\_j))이 규칙은 바이어스에 대한 오차 함수의 가장 가파른 하강 방향으로 바이어스를 조정하도록 지시하며, 이는 바이어스에 대한 오차의 부분 도함수의 음수에 비례합니다. 학습률 &#x03B1;" role="presentation" style="위치: 상대적;">αα\알파는 바이어스 업데이트의 단계 크기를 제어합니다.바이어스 업데이트에 대한 표현식에는 k 계층의 모든 뉴런에 대한 합이 포함되며, k 계층의 각 뉴런에 대해 해당 &#x03B4;k" role="presentation" style="위치: 상대적;">δkδk\delta\_k 항을 계산해야 한다는 점에 유의하세요.