We know that $\tan x + \tan y = \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\sin y}{\cos y}$. We can write this as $\frac{\sin x \cos y + \sin y \cos x}{\cos x \cos y}$. Let's use the fact that $\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$. So $\sin x \cos y + \sin y \cos x = \sin(x+y)$. That's correct. So $\tan x + \tan y = \frac{\sin(x+y)}{\cos x \cos y}$. So $\tan x + \tan y = \frac{2\sin(x+y)}{\cos(x-y)+\cos(x+y)}$ Let's use the given information to find a value for $\tan x + \tan y$. Similarly, we use the sum-to-product formula on $\cos x + \cos y = \frac{72}{65}$ to obtain $2 \cos(\frac{x+y}{2})\cos(\frac{x-y}{2})=\frac{72}{65}$ Dividing these two equations, we get $\tan(\frac{x+y}{2}) = \frac{4}{3}$. Thus, $\frac{x+y}{2} = \tan^{-1}(\frac{4}{3})$, so $x+y=2\tan^{-1}(\frac{4}{3})$ We can plug this into our expression for $\tan x + \tan y$ to obtain $\tan x + \tan y = \frac{2\sin(2\tan^{-1}(\frac{4}{3}))}{\cos(2\tan^{-1}(\frac{4}{3}))+\cos(2\tan^{-1}(\frac{4}{3}))}$ But we already found that $x+y=2\tan^{-1}(\frac{4}{3})$. So now we have $\tan x + \tan y = \frac{2\sin(2\tan^{-1}(\frac{4}{3}))}{\cos(x-y)+\cos(2\tan^{-1}(\frac{4}{3}))}$ Let's use the double-angle formula for sine on the numerator. The double-angle formula for sine is $\sin(2\theta)=2\sin(\theta)\cos(\theta)$. So if we let $\theta=\tan^{-1}(\frac{4}{3})$, we have $\sin(2\tan^{-1}(\frac{4}{3}))=2\sin(\tan^{-1}(\frac{4}{3}))\cos(\tan^{-1}(\frac{4}{3}))$. We use the fact that $\sin(\tan^{-1}(\frac{4}{3}))=\frac{4}{5}$ and $\cos(\tan^{-1}(\frac{4}{3}))=\frac{3}{5}$. Okay. So now we have $\sin(2\tan^{-1}(\frac{4}{3}))=2\cdot\frac{4}{5}\cdot\frac{3}{5}$. That's equal to $\frac{24}{25}$. Now, let's use the double-angle formula for cosine on the denominator. This is $\cos(2\theta)=\cos^2(\theta)-\sin^2(\theta)$. So now we have $\cos(2\tan^{-1}(\frac{4}{3}))=\frac{3}{5}^2-\frac{4}{5}^2$. Simplifying, we obtain $\cos(2\tan^{-1}(\frac{4}{3}))=\frac{9}{25}-\frac{16}{25}$. Therefore, $\cos(2\tan^{-1}(\frac{4}{3}))=-\frac{7}{25}$. So now we have $\tan x + \tan y = \frac{2(\frac{24}{25})}{\cos(x-y)+(-\frac{7}{25})}$ This will give us $(\sin x + \sin y)^2 + (\cos x + \cos y)^2 = \frac{96^2}{65^2} + \frac{72^2}{65^2}$ Simplifying, this becomes $\sin^2 x + 2 \sin x \sin y + \sin^2 y + \cos^2 x + 2 \cos x \cos y + \cos^2 y = \frac{96^2 + 72^2}{65^2}$ But we know that $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ for any angle $\alpha$ Now, we use the identity $\cos (x-y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y$. This means that $2 + 2(\cos (x-y)) = \frac{96^2 + 72^2}{65^2}$. We can then subtract 2 from both sides to get $2(\cos (x-y)) = \frac{96^2 + 72^2}{65^2} - 2$. Finally, we divide both sides by 2 to obtain $\cos (x-y) = \frac{96^2 + 72^2}{2 \cdot 65^2} - 1$. So now we have $\tan x + \tan y = \frac{2(\frac{24}{25})}{\frac{119}{169}+(-\frac{7}{25})}$ We can now solve for $\tan x + \tan y$. This is equal to $\frac{2(\frac{24}{25})}{\frac{119}{169}+(-\frac{7}{25})}$. We can now add the fractions in the denominator. The numerator is $\frac{48}{25}$ So $\tan x + \tan y = \frac{48}{25} \div \frac{1792}{4225}$. We can now simplify by multiplying the numerator and denominator by 225 to get $\tan x + \tan y = \frac{48 \cdot 225}{25 \cdot 1792}$. That's the final answer.


우리는 $\탄 x + \탄 y = \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\sin y}{\cos y}$라는 것을 알고 있습니다. 이를 $\frac{\sin x \cos y + \sin y \cos x}{\cos x \cos y}$로 쓸 수 있습니다. sin(\알파 + \베타) = \sin \알파 \cos \베타 + \cos \알파 \sin \베타$라는 사실을 사용해 보겠습니다. 따라서 $\sin x \cos y + \sin y \cos x = \sin(x+y)$입니다. 정답입니다. 따라서 $\탄 x + \탄 y = \frac{\sin(x+y)}{\cos x \cos y}$입니다. 따라서 $\탄 x + \탄 y = \frac{2\sin(x+y)}{\cos(x-y)+\cos(x+y)}$ 주어진 정보를 사용하여 $\탄 x + \탄 y$의 값을 찾아봅시다. 마찬가지로, $\cos x + \cos y = \frac{72}{65}$에 대한 합-제곱 공식을 사용하여 $2 \cos(\frac{x+y}{2})\cos(\frac{x-y}{2})=\frac{72}{65}$ 이 두 방정식을 나누면 $\tan(\frac{x+y}{2}) = \frac{4}{3}$을 구할 수 있습니다. 따라서 $\frac{x+y}{2} = \tan^{-1}(\frac{4}{3})$이 됩니다, 따라서 $x+y=2\tan^{-1}(\frac{4}{3})$를 $\탄 x + \탄 y$에 대한 식에 대입하면 $\탄 x + \탄 y = \frac{2\sin(2\tan^{-)1}(\frac{4}{3}))}{\cos(2\tan^{-1}(\frac{4}{3}))+\cos(2\tan^{-1}(\frac{4}{3}))}$ 그러나 우리는 이미 $x+y=2\tan^{-1}(\frac{4}{3})$라는 것을 알아냈습니다. 이제 $\탄 x + \탄 y = \frac{2\sin(2\tan^{-1}(\frac{4}{3}))}{\cos(x-y)+\cos(2\tan^{-1}(\frac{4}{3}))}$ 분자에 사인에 대한 이중각 공식을 사용하겠습니다. 사인에 대한 이중 각도 공식은 $\sin(2\theta)=2\sin(\theta)\cos(\theta)$입니다. 따라서 $\theta=\탄^{-1}(\frac{4}{3})$라고 하면 $\sin(2\탄^{-1}(\frac{4}{3}))=2\sin(\탄^{-1}(\frac{4}{3}))\cos(\탄^{-1}(\frac{4}{3}))$가 나옵니다. 여기서 $\sin(\tan^{-1}(\frac{4}{3}))=\frac{4}{5}$와 $\cos(\tan^{-1}(\frac{4}{3}))=\frac{3}{5}$라는 사실을 사용했습니다. 이제 $\sin(2\tan^{-1}(\frac{4}{3}))=2\cdot\frac{4}{5}\cdot\frac{3}{5}$가 됩니다. 이는 $\frac{24}{25}$와 같습니다. 이제 분모의 코사인에 이중 각도 공식을 사용해 보겠습니다. 이것은 $\cos(2\theta)=\cos^2(\theta)-\sin^2(\theta)$입니다. 이제 $\cos(2\탄^{-1}(\frac{4}{3}))=\frac{3}{5}^2-\frac{4}{5}^2$가 됩니다. 단순화하면 $\cos(2\탄^{-1}(\frac{4}{3}))=\frac{9}{25}-\frac{16}{25}$를 구할 수 있습니다. Therefore, $\cos(2\tan^{-1}(\frac{4}{3}))=-\frac{7}{25}$. 이제 $\탄 x + \탄 y = \frac{2(\frac{24}{25})}{\cos(x-y)+(-\frac{7}{25})}$ 이므로 $(\sin x + \sin y)^2 + (\cos x + \cos y)^2 = \frac{96^2}{65^2} + \frac{72^2}{65^2}$ 단순화하면 $\sin^2 x + 2 \sin x \sin y + \sin^2 y + \cos^2 x + 2 \cos x \cos y + \cos^2 y = \frac{96^2 + 72^2}{65^2}$ 하지만 이제 모든 각도 $\알파$에 대해 $\sin^2 \알파 + \cos^2 \알파 = 1$임을 알 수 있습니다, 우리는 $\cos (x-y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y$라는 공식을 사용합니다. 즉, $2 + 2(\cos (x-y)) = \frac{96^2 + 72^2}{65^2}$가 됩니다. 그런 다음 양쪽에서 2를 빼면 $2(\cos (x-y)) = \frac{96^2 + 72^2}{65^2} - 2$를 구할 수 있습니다. 마지막으로 양변을 2로 나누어 $\cos (x-y) = \frac{96^2 + 72^2}{2 \cdot 65^2} - 1$을 얻습니다. 이제 $\탄 x + \탄 y = \frac{2(\frac{24}{25})}{\frac{119}{169}+(-\frac{7}{25})}$ 이제 $\탄 x + \탄 y$에 대해 풀 수 있습니다. 이는 $\frac{2(\frac{24}{25})}{\frac{119}{169}+(-\frac{7}{25})}$와 같습니다. 이제 분모에 분수를 더할 수 있습니다. 분자는 $\frac{48}{25}$이므로 $\탄 x + \탄 y = \frac{48}{25}입니다. \div \frac{1792}{4225}$입니다. 이제 분자와 분모에 225를 곱하여 $\탄 x + \탄 y = \frac{48 \cdot 225}{25 \cdot 1792}$를 구하면 단순화할 수 있습니다. 이것이 최종 정답입니다.

