To find a⁴ + b⁴ + c⁴, we can start by squaring the first equation and then manipulating it to find the desired expression.

Given:
(a² - b²) + c² = 8
a * b * c = 2

First, let's square the first equation:
[(a² - b²) + c²]² = 8²
(a² - b²)² + 2(a² - b²)c² + c⁴ = 64
(a⁴ - 2a²b² + b⁴) + 2(a² - b²)c² + c⁴ = 64

Now, let's expand the term 2(a² - b²)c²:
2a²c² - 2b²c²

Adding this to the previous equation, we get:
a⁴ - 2a²b² + b⁴ + 2a²c² - 2b²c² + c⁴ = 64

Now, let's add 2a²b² to both sides of the equation to get terms of a⁴, b⁴, and c⁴ on the left side:
a⁴ + b⁴ + c⁴ + 2a²c² - 2b²c² + 2a²b² = 64 + 2a²b²

We know that a * b * c = 2, so a²b²c² = 4. Let's use this to replace the terms with c²:
a⁴ + b⁴ + c⁴ + 2a²c² - 2b²c² + 2a²b² = 64 + 2(4)
a⁴ + b⁴ + c⁴ + 2a²c² - 2b²c² + 2a²b² = 64 + 8
a⁴ + b⁴ + c⁴ + 2a²c² - 2b²c² + 2a²b² = 72

Now, we need to find a way to eliminate the terms 2a²c² and -2b²c². We can use the fact that a * b * c = 2, which means that c = 2/(ab). Squaring both sides gives us c² = 4/(a²b²).

Let's substitute c² in the terms 2a²c² and -2b²c²:
2a²c² = 2a² * (4/(a²b²)) = 8/b²
-2b²c² = -2b² * (4/(a²b²)) = -8/a²

Now, let's substitute these into the equation:
a⁴ + b⁴ + c⁴ + 8/b² - 8/a² + 2a²b² = 72

We can multiply the entire equation by a²b² to clear the denominators:
a²b²(a⁴ + b⁴ + c⁴) + 8a² - 8b² + 2a⁴b⁴ = 72a²b²

Now, let's use the fact that a²b²c² = 4:
a²b²(a⁴ + b⁴ + c⁴) + 8a² - 8b² + 2(4) = 72(4)

Now, let's simplify:
a²b²(a⁴ + b⁴ + c⁴) + 8a² - 8b² + 8 = 288

We can now use the original equation (a² - b²) + c² = 8 to replace 8a² - 8b²:
a²b²(a⁴ + b⁴ + c⁴) + (a² - b²) + c² = 288

Since (a² - b²) + c² = 8, we can replace that part with 8:
a²b²(a⁴ + b⁴ + c⁴) + 8 = 288

Now, let's subtract 8 from both sides:
a²b²(a⁴ + b⁴ + c⁴) = 280

We know that a * b * c = 2, so a²b²c² = 4. Let's divide both sides by a²b²c²:
a⁴ + b⁴ + c⁴ = 280 / 4
a⁴ + b⁴ + c⁴ = 70

Therefore, a⁴ + b⁴ + c⁴ = 70.
A4 + B4 + C4를 구하려면 첫 번째 방정식을 제곱한 다음 조작하여 원하는 식을 구할 수 있습니다.

주어진 것은 다음과 같습니다:
(a2 - b2) + c2 = 8
a * b * c = 2

먼저 첫 번째 방정식을 제곱해 봅시다:
[(a2 - b2) + c2]2 = 82
(a2 - b2)2 + 2(a2 - b2)c2 + c4 = 64
(a4 - 2a2b2 + b4) + 2(a2 - b2)c2 + c4 = 64

이제 2(a2 - b2)c2 항을 확장해 보겠습니다:
2a2c2 - 2b2c2

이것을 이전 방정식에 더하면 다음과 같습니다:
a4 - 2a2b2 + b4 + 2a2c2 - 2b2c2 + c4 = 64

이제 방정식의 양쪽에 2a2b2를 더하여 왼쪽에 a4, b4, c4의 항을 얻습니다:
a4 + b4 + c4 + 2a2c2 - 2b2c2 + 2a2b2 = 64 + 2a2b2

a * b * c = 2이므로 a2b2c2 = 4라는 것을 알고 있습니다. 이를 사용하여 c2로 항을 대체해 보겠습니다:
a4 + b4 + c4 + 2a2c2 - 2b2c2 + 2a2b2 = 64 + 2(4)
a4 + b4 + c4 + 2a2c2 - 2b2c2 + 2a2b2 = 64 + 8
a4 + b4 + c4 + 2a2c2 - 2b2c2 + 2a2b2 = 72

이제 2a2c2와 -2b2c2 항을 제거하는 방법을 찾아야 합니다. a * b * c = 2라는 사실을 사용할 수 있는데, 이는 c = 2/(ab)라는 것을 의미합니다. 양변을 제곱하면 c2 = 4/(a2b2)가 됩니다.

2a2c2와 -2b2c2의 항에 c2를 대입해 봅시다:
2a2c2 = 2a2 * (4/(a2b2)) = 8/b2
-2b2c2 = -2b2 * (4/(a2b2)) = -8/a2

이제 이 값들을 방정식에 대입해 보겠습니다:
a4 + b4 + c4 + 8/b2 - 8/a2 + 2a2b2 = 72

전체 방정식에 a2b2를 곱하여 분모를 제거할 수 있습니다:
a2b2(a4 + b4 + c4) + 8a2 - 8b2 + 2a4b4 = 72a2b2

이제 a2b2c2 = 4라는 사실을 사용하겠습니다:
a2b2(a4 + b4 + c4) + 8a2 - 8b2 + 2(4) = 72(4)

이제 단순화해 봅시다:
a2b2(a4 + b4 + c4) + 8a2 - 8b2 + 8 = 288

이제 원래 방정식(a2 - b2) + c2 = 8을 사용하여 8a2 - 8b2를 대체할 수 있습니다:
a2b2(a4 + b4 + c4) + (a2 - b2) + c2 = 288

(a2 - b2) + c2 = 8이므로, 그 부분을 8로 대체할 수 있습니다:
a2b2(a4 + b4 + c4) + 8 = 288

이제 양쪽에서 8을 빼겠습니다:
a2b2(a4 + b4 + c4) = 280

a * b * c = 2이므로 a2b2c2 = 4라는 것을 알고 있습니다. 양변을 a2b2c2로 나누어 봅시다:
a4 + b4 + c4 = 280 / 4
a4 + b4 + c4 = 70

따라서 a4 + b4 + c4 = 70입니다.