Our strategy is to add a number of inequalities like
\[a + b \ge 2 \sqrt{ab},\]so that when we add them up, we get an inequality of the form
\[t(a + b + c) \ge a + \sqrt{ab} + \sqrt[3]{abc}.\]To do so, we will use some variables, to make sure we use the most general forms of AM-GM.

If we apply AM-GM to two terms, one of which is $pb,$ then to obtain $\sqrt{ab}$ on the right-hand side, the other term must be $\frac{1}{4p} a,$ as in
\[\frac{1}{4p} a + pb \ge 2 \sqrt{\frac{1}{4p} a \cdot pb} = \sqrt{ab}. \quad (*)\]Note that equality holds when $\frac{1}{4p} a = pb,$ or $\frac{a}{b} = 4p^2.$  Thus,

We then want an inequality of the form
\[xa + yb + zc \ge \sqrt[3]{abc},\]where $x,$ $y,$ and $z$ are coefficients that we want to fill in.  We want equality to hold here for the same values of $a$ and $b$ as in $(*)$.  This means we want $xa = yb,$ or $\frac{x}{y} = \frac{b}{a} = \frac{1}{4p^2}.$  So, let $x = \frac{1}{4pk}$ and $y = \frac{p}{k}$:
\[\frac{1}{4pk} a + \frac{p}{k} b + zc \ge \sqrt[3]{abc}.\]Finally, $z$ should be $\frac{4k^2}{27},$ so that we obtain $\sqrt[3]{abc}$ on the right-hand side:
\[\frac{1}{4pk} a + \frac{p}{k} b + \frac{4k^2}{27} c \ge 3 \sqrt[3]{\frac{1}{4pk} a \cdot \frac{p}{k} b \cdot \frac{4k^2}{27} c} = \sqrt[3]{abc}. \quad (**)\]Thus, we have the inequalities
\begin{align*}
a &\ge a, \\
\frac{1}{4p} a + pb &\ge \sqrt{ab}, \\
\frac{1}{4pk} a + \frac{p}{k} b + \frac{4k^2}{27} c &\ge \sqrt[3]{abc}.
\end{align*}When we add these up, we want the coefficients of $a,$ $b,$ and $c$ to be equal.  Thus,
\[1 + \frac{1}{4p} + \frac{1}{4pk} = p + \frac{p}{k} = \frac{4k^2}{27}.\]Isolating $p$ in $p + \frac{p}{k} = \frac{4k^2}{27},$ we find
\[p = \frac{4k^3}{27(k + 1)}.\]Then
\[1 + \frac{1}{4p} + \frac{1}{4pk} = \frac{4pk + k + 1}{4pk} = \frac{4k^2}{27}.\]Cross-multiplying, we get
\[27(4pk + k + 1) = 16pk^3.\]Substituting $p = \frac{4k^3}{27(k + 1)},$ we get
\[27 \left( 4k \cdot \frac{4k^3}{27(k + 1)} + k + 1 \right) = 16k^3 \cdot \frac{4k^3}{27(k + 1)}.\]Then
\[27(16k^4 + 27(k + 1)^2) = 64k^3.\]This simplifies to $64k^6 - 432k^4 - 729k^2 - 1458k - 729 = 0.$  Fortunately, this polynomial has $k = 3$ as a root.

Then $p = 1,$ and we get
\[\frac{4}{3} a + \frac{4}{3} b + \frac{4}{3} c \ge a + \sqrt{ab} + \sqrt[3]{abc}.\]Therefore,
\[a + \sqrt{ab} + \sqrt[3]{abc} \le \frac{4}{3}.\]Equality occurs when $a = \frac{16}{21},$ $b = \frac{4}{21},$ and $c = \frac{1}{21},$ so the maximum value is $\frac{4}{3}.$
우리의 전략은 다음과 같은 여러 부등식을 추가하는 것입니다.
\[a + b \ge 2 \sqrt{ab},\]를 더하면 다음과 같은 부등식을 얻을 수 있습니다.
\[t(a + b + c) \ge a + \sqrt{ab} + \sqrt[3]{abc}.\]이를 위해 가장 일반적인 형태의 AM-GM을 사용하기 위해 몇 가지 변수를 사용할 것입니다.

AM-GM을 두 항에 적용하고 그 중 하나가 $pb,$인 경우 오른쪽에서 $\sqrt{ab}$를 얻으려면 다른 항은 다음과 같이 $\frac{1}{4p} a,$여야 합니다.
\[\frac{1}{4p} a + pb \ge 2 \sqrt{\frac{1}{4p} a \cdot pb} = \sqrt{ab}. \quad (*)\]는 $\frac{1}{4p} a = pb,$ 또는 $\frac{a}{b} = 4p^2.$ 일 때 등식이 성립한다는 점에 유의합니다,

그런 다음 다음과 같은 부등식을 원합니다.
\[xa + yb + zc \ge \sqrt[3]{abc},\]여기서 $x,$ $y,$ 및 $z$는 우리가 채우려는 계수입니다.  여기서 $(*)$에서와 같이 $a$와 $b$의 동일한 값에 대해 등식이 유지되기를 원합니다. 즉, $xa = yb,$ 또는 $\frac{x}{y} = \frac{b}{a} = \frac{1}{4p^2}$가 되기를 원한다는 뜻입니다:
\[\frac{1}{4pk} a + \frac{p}{k} b + zc \ge \sqrt[3]{abc}.\]마지막으로, $z$는 $\frac{4k^2}{27}$가 되어야 오른쪽에서 $\sqrt[3]{abc}$를 구할 수 있습니다:
\[\frac{1}{4pk} a + \frac{p}{k} b + \frac{4k^2}{27} c \ge 3 \sqrt[3]{\frac{1}{4pk} a \cdot \frac{p}{k} b \cdot \frac{4k^2}{27} c} = \sqrt[3]{abc}입니다. \쿼드 (**)\]따라서 다음과 같은 부등식이 생깁니다.
\begin{align*}
a &\ge a, \\
\frac{1}{4p} a + pb &\ge \sqrt{ab}, \\
\frac{1}{4pk} a + \frac{p}{k} b + \frac{4k^2}{27} c &\ge \sqrt[3]{abc}.
\end{align*}이를 더하면 $a,$ $b,$ 및 $c$의 계수가 같아야 합니다. 따라서
\[1 + \frac{1}{4p} + \frac{1}{4pk} = p + \frac{p}{k} = \frac{4k^2}{27}.\]$p$를 $p + \frac{p}{k} = \frac{4k^2}{27}$에서 분리하면 다음과 같이 계산할 수 있습니다.
\[p = \frac{4k^3}{27(k + 1)}.\]그러면 다음과 같습니다.
\[1 + \frac{1}{4p} + \frac{1}{4pk} = \frac{4pk + k + 1}{4pk} = \frac{4k^2}{27}.\]교차 곱하기, 우리는 다음을 얻습니다.
\27(4pk + k + 1) = 16pk^3.\]에 $p = \frac{4k^3}{27(k + 1)},$ 를 대입하면 다음과 같습니다.
\[27 \left( 4k \cdot \frac{4k^3}{27(k + 1)} + k + 1 \right) = 16k^3 \cdot \frac{4k^3}{27(k + 1)}.\]그러면 다음과 같이 계산합니다.
\27(16k^4 + 27(k + 1)^2) = 64k^3.\]이것은 $64k^6 - 432k^4 - 729k^2 - 1458k - 729 = 0.$로 단순화됩니다. 다행히도 이 다항식은 $k = 3$을 근으로 가지고 있습니다.

그러면 $p = 1,$ 이므로 다음과 같은 결과가 나옵니다.
\[\frac{4}{3} a + \frac{4}{3} b + \frac{4}{3} c \ge a + \sqrt{ab} + \sqrt[3]{abc}.\]따라서,
\[a + \sqrt{ab} + \sqrt[3]{abc} \le \frac{4}{3}.\]$a = \frac{16}{21},$b = \frac{4}{21},$ 및 $c = \frac{1}{21},$일 때 등식이 발생하므로 최대값은 $\frac{4}{3}.$입니다.