In number theory and algebraic geometry, the Tate conjecture is a 1963 conjecture of John Tate that would describe the algebraic cycles on a variety in terms of a more computable invariant, the Galois representation on étale cohomology. The conjecture is a central problem in the theory of algebraic cycles. It can be considered an arithmetic analog of the Hodge conjecture.

Statement of the conjecture
Let V be a smooth projective variety over a field k which is finitely generated over its prime field. Let ks be a separable closure of k, and let G be the absolute Galois group Gal(ks/k) of k. Fix a prime number ℓ which is invertible in k. Consider the ℓ-adic cohomology groups (coefficients in the ℓ-adic integers Zℓ, scalars then extended to the ℓ-adic numbers Qℓ) of the base extension of V to ks; these groups are representations of G. For any i ≥ 0, a codimension-i subvariety of V (understood to be defined over k) determines an element of the cohomology group

which is fixed by G. Here Qℓ(i ) denotes the ith Tate twist, which means that this representation of the Galois group G is tensored with the ith power of the cyclotomic character.

The Tate conjecture states that the subspace WG of W fixed by the Galois group G is spanned, as a Qℓ-vector space, by the classes of codimension-i subvarieties of V. An algebraic cycle means a finite linear combination of subvarieties; so an equivalent statement is that every element of WG is the class of an algebraic cycle on V with Qℓ coefficients.

Known cases
The Tate conjecture for divisors (algebraic cycles of codimension 1) is a major open problem. For example, let f : X → C be a morphism from a smooth projective surface onto a smooth projective curve over a finite field. Suppose that the generic fiber F of f, which is a curve over the function field k(C), is smooth over k(C). Then the Tate conjecture for divisors on X is equivalent to the Birch and Swinnerton-Dyer conjecture for the Jacobian variety of F. By contrast, the Hodge conjecture for divisors on any smooth complex projective variety is known (the Lefschetz (1,1)-theorem).

Probably the most important known case is that the Tate conjecture is true for divisors on abelian varieties. This is a theorem of Tate for abelian varieties over finite fields, and of Faltings for abelian varieties over number fields, part of Faltings's solution of the Mordell conjecture. Zarhin extended these results to any finitely generated base field. The Tate conjecture for divisors on abelian varieties implies the Tate conjecture for divisors on any product of curves C1 × ... × Cn.

The (known) Tate conjecture for divisors on abelian varieties is equivalent to a powerful statement about homomorphisms between abelian varieties. Namely, for any abelian varieties A and B over a finitely generated field k, the natural map

is an isomorphism.  In particular, an abelian variety A is determined up to isogeny by the Galois representation on its Tate module H1(Aks, Zℓ).

The Tate conjecture also holds for K3 surfaces over finitely generated fields of characteristic not 2. (On a surface, the nontrivial part of the conjecture is about divisors.) In characteristic zero, the Tate conjecture for K3 surfaces was proved by André and Tankeev. For K3 surfaces over finite fields of characteristic not 2, the Tate conjecture was proved by Nygaard, Ogus, Charles, Madapusi Pera, and Maulik.

 surveys known cases of the Tate conjecture.

Related conjectures

Let X be a smooth projective variety over a finitely generated field k. The semisimplicity conjecture predicts that the representation of the Galois group G = Gal(ks/k) on the ℓ-adic cohomology of X is semisimple (that is, a direct sum of irreducible representations). For k of characteristic 0,  showed that the Tate conjecture (as stated above) implies the semisimplicity of

For k finite of order q, Tate showed that the Tate conjecture plus the semisimplicity conjecture would imply the strong Tate conjecture, namely that the order of the pole of the zeta function Z(X, t) at t = q−j is equal to the rank of the group of algebraic cycles of codimension j modulo numerical equivalence.

Like the Hodge conjecture, the Tate conjecture would imply most of Grothendieck's standard conjectures on algebraic cycles. Namely, it would imply the Lefschetz standard conjecture (that the inverse of the Lefschetz isomorphism is defined by an algebraic correspondence); that the Künneth components of the diagonal are algebraic; and that numerical equivalence and homological equivalence of algebraic cycles are the same.

Notes

References

External links 
James Milne, The Tate conjecture over finite fields (AIM talk).

Topological methods of algebraic geometry
Diophantine geometry
Conjectures
Unsolved problems in number theory
정수론과 대수기하학에서 테이트 추측()은 존 테이트가 1963년에 발표한 추측으로, 더 계산 가능한 불변량인 에탈 코호몰로지에 대한 갈루아 표현의 관점에서 다형체에 대한 대수적 순환을 설명한다. 추측은 대수적 순환 이론의 핵심 문제이다. 이는 호지 추측의 산술 버전로 볼 수 있다.

추측의 진술 
를 소체에서 유한 생성된 체 에 대한 매끄러운 사영 다형체라고 가정한다. 를 분리 가능한 대수적 폐포라고 하고, 를 의 절대 갈루아 군 이라고 둔다. 에서 단원인 소수 ℓ를 고정한다. 에서 로의 기본 확장의 ℓ-진 코호몰로지 군(ℓ-진 정수  계수, 스칼라는 ℓ-진 수 로 확장됨)을 고려하자. 이 군들은 의 표현들이다. 인 임의의 경우, 의 여차원 i인 부분 다형체(에 대해 정의되는 것으로 이해됨)가 코호몰로지 군의 원소를 결정한다.

 

이는 에 의해 고정된다. 여기서 은 번째 테이트 꼬임를 나타내며, 이는 갈루아 군 의 표현이 원분 지표의 번째 거듭제곱으로 텐서링됨을 의미한다.

테이트 추측은 갈루아 군 에 의해 고정된 의 부분공간 가 벡터 공간으로서 의 여차원 부분 다형체 클래스에 걸쳐 있음을 나타낸다. 대수적 순환은 부분 다형체의 유한 선형 조합을 의미한다. 따라서 동등한 진술은 의 모든 원소가  계수를 갖는 에 대한 대수적 순환의 클래스라는 것이다.

알려진 사례 
제수에 대한 테이트 추측(여차원 1의 대수적 순환)은 아직 해결되지 않은 주요 문제이다. 예를 들어 는 매끄러운 사영 곡면에서 유한 체 위의 매끄러운 사영 곡선으로의 형태이다. 함수체 에 대한 곡선인 f 의 일반 올 가 에 대해 매끄러워진다고 가정한다. 그러면 의 제수에 대한 테이트 추측은 의 야코비 다형체에 대한 버치 스위너톤다이어 추측과 동일하다. 대조적으로, 매끄러운 복소 사영 다형체에 대한 제수에 대한 호지 추측이 알려져 있다( 레프셰츠(1,1)-정리 ).

아마도 가장 중요하게 알려진 사례는 테이트 추측이 아벨 다형체의 제수에 대해 참이라는 것이다. 이것은 유한 체에 대한 아벨 다형체에 대한 테이트의 정리이고, 모델 추측에 대한 팔팅스의 해의 일부인 수체에 대한 아벨 다형체에 대한 팔팅스의 정리이다. 자린은 이러한 결과를 유한 생성 기저 체로 확장했다. 아벨 다형체의 제수에 대한 테이트 추측은 임의의 곡선의 곱 에 대한 제수에 대한 테이트 추측을 의미한다.

아벨 다형체의 제수에 대한 (알려진) 테이트 추측은 아벨 다형체 준동형사상에 대한 강력한 진술과 동일하다. 즉, 유한하게 생성된 체 에 대한 임의의 아벨 다형체  및 에 대해 자연 사상은

 

동형이다. 특히, 아벨 다형체 는 테이트 가군 의 갈루아 표현에 의해 동류 사상을 기준으로 유일하게 결정된다.

테이트 추측은 표수 2가 아닌 유한 생성 체에 대한 K3 곡면에도 적용된다.(곡면에서 추측의 중요한 부분은 제수에 관한 것이다. ) 표수 0인 체에서 K3 곡면에 대한 테이트 추측은 앙드레와 Tankeev에 의해 증명되었다. 표수 2가 아닌 유한체 위의 K3 곡면에 대해 니가르드, 오거스, Charles, Madapusi Pera 및 Maulik이 테이트 추측을 증명했다.

는 테이트 추측의 알려진 예들을 조사하였다.

관련 추측 
를 유한하게 생성된 체 에 대한 매끄러운 사영 다형체으로 설정한다. 반단순성 추측은 의 ℓ-진 코호몰로지에서 갈루아 군 의 표현이 반단순(즉, 기약 표현의 직합)이라고 예측한다. 표수 0인 에 대해  테이트 추측(위에서 언급한 대로)이 다음의 반단순성을 암시한다는 것을 보여주었다.

 

위수 인 유한체 에 대해 테이트는 테이트 추측에 반단순성 추측을 더하면 강한 테이트 추측, 즉 에서 제타 함수 의 극의 차수는 수치적 동치를 법으로 여차원 j인 대수적 순환 군의 랭크과 같다는 것을 보여주었다.

호지 추측과 마찬가지로 테이트 추측은 대수 순환에 대한 그로텐디크의 표준 추측의 대부분을 암시한다. 즉, 이는 레프셰츠 표준 추측(레프셰츠 동형의 역이 대수적 대응으로 정의됨)을 의미한다. 대각선의 퀴네스 성분은 대수적이다. 그리고 대수적 순환의 수치적 동치성과 호몰로지 동치성은 동일하다는 것이다.

각주

참고 문헌

외부 링크 
 James Milne, 유한체에 대한 테이트 추측(AIM 강연) .

수론의 미해결 문제
추측
디오판토스 기하학