Let $\ell$ be the perpendicular bisector of segment $AC$.  We note that the points that are closer to $A$ than they are to $C$ are the points that are on the same side of $\ell$ as $A$. [asy]
defaultpen(1);

pair C=(0,0), A=(0,3), B=(4,0);

pair D = (A+B)/2;
pair E = (C+A)/2;
pair F = (B+C)/2;

pair DH = D + (.5,0);
pair EH = E + (-.5,0);

draw(A--B--C--cycle);
draw(DH--EH,dashed);
fill(E--D--B--C--cycle,gray(.7));

label("\(A\)",A,N);
label("\(B\)",B,(1,0));
label("\(C\)",C,SW);

label("\(\ell\)",DH,(1,0));
label("\(D\)",D,NE);
[/asy]

Since $ABC$ is a 3-4-5 right triangle with a right angle at $C$, $\ell$ is parallel to line $BC$.  Since it passes through the midpoint of $AC$, it also passes through the midpoint of $AB$, which we'll call $D$.

Let $m$ be the perpendicular bisector of segment $BC$.  As before, the points that are closer to $C$ than they are to $B$ are those that lie on the same side of $m$ as $A$, and $m$ also passes through $D$.

[asy]
defaultpen(1);

pair C=(0,0), A=(0,3), B=(4,0);

pair D = (A+B)/2;
pair E = (C+A)/2;
pair F = (B+C)/2;

pair DH = D + (.5,0);
pair EH = E + (-.5,0);
pair DV = D + (0,.5);
pair FV = F + (0,-.5);

draw(A--B--C--cycle);
draw(DV--FV,dashed);
fill(D--F--C--A--cycle,gray(.7));

label("\(A\)",A,N);
label("\(B\)",B,(1,0));
label("\(C\)",C,SW);

label("\(m\)",DV,(0,1));
label("\(D\)",D,NE);
[/asy] Therefore the points that are closer to $C$ than they are to $A$ or $B$ are the points in the shaded rectangle below. [asy]
defaultpen(1);

pair C=(0,0), A=(0,3), B=(4,0);

pair D = (A+B)/2;
pair E = (C+A)/2;
pair F = (B+C)/2;

pair DH = D + (.5,0);
pair EH = E + (-.5,0);
pair DV = D + (0,.5);
pair FV = F + (0,-.5);

draw(A--B--C--cycle);
draw(DV--FV,dashed);
draw(DH--EH,dashed);
fill(D--F--C--E--cycle,gray(.7));

label("\(A\)",A,N);
label("\(B\)",B,(1,0));
label("\(C\)",C,SW);

label("\(m\)",DV,(0,1));
label("\(\ell\)",DH,(1,0));
label("\(D\)",D,NE);
[/asy] The probability we want is then this rectangle's area divided by triangle $ABC$'s area.  There are a few different ways to see that this ratio is $\frac{1}{2}$.  One way is to note that we can divide $ABC$ into 4 congruent triangles, 2 of which are shaded: [asy]
defaultpen(1);

pair C=(0,0), A=(0,3), B=(4,0);

pair D = (A+B)/2;
pair E = (C+A)/2;
pair F = (B+C)/2;

draw(A--B--C--cycle);
fill(D--F--C--E--cycle,gray(.7));

draw(E--D--F);
draw(C--D);

label("\(A\)",A,N);
label("\(B\)",B,(1,0));
label("\(C\)",C,SW);

label("\(D\)",D,NE);
[/asy] Another way is to notice that the rectangle's sides have length $\frac{3}{2}$ and $\frac{4}{2}$, so that the rectangle's area is $\frac{3 \cdot 4}{2 \cdot 2}$.  Since triangle $ABC$'s area is $\frac{3 \cdot 4}{2}$, it follows that the probability we seek is $\frac{1}{2}$, as before.
el$을 선분 $AC$의 수직 이등분선이라고 합니다.  C$보다 $A$에 더 가까운 점은 $A$와 $\ell$의 같은 변에 있는 점이라는 것을 알 수 있습니다. [asy]
defaultpen(1);

쌍 C=(0,0), A=(0,3), B=(4,0);

쌍 D = (A+B)/2;
쌍 E = (C+A)/2;
쌍 F = (B+C)/2;

쌍 DH = D + (.5,0);
쌍 EH = E + (-.5,0);

draw(A--B--C--cycle);
draw(DH--EH,파선);
fill(E--D--B--C--사이클,회색(.7));

label("\(A\)",A,N);
label("\(B\)",B,(1,0));
label("\(C\)",C,SW);

label("\(\ell\)",DH,(1,0));
label("\(D\)",D,NE);
[/asy]

ABC$는 $C$에서 직각인 3-4-5 직각 삼각형이므로 $\ell$은 선 $BC$와 평행합니다.  AC$의 중간점을 통과하므로 $AB$의 중간점도 통과하며, 이를 $D$라고 부릅니다.

m$을 선분 $BC$의 수직 이등분선이라고 합니다. 이전과 마찬가지로 $B$보다 $C$에 더 가까운 점은 $A$와 같은 $m$의 같은 면에 있는 점이며, $m$은 또한 $D$를 통과합니다.

[asy]
defaultpen(1);

쌍 C=(0,0), A=(0,3), B=(4,0);

쌍 D = (A+B)/2;
쌍 E = (C+A)/2;
쌍 F = (B+C)/2;

쌍 DH = D + (.5,0);
쌍 EH = E + (-.5,0);
쌍 DV = D + (0,.5);
쌍 FV = F + (0,-.5);

draw(A--B--C--cycle);
draw(DV--FV,점선);
fill(D--F--C--A--사이클,회색(.7));

label("\(A\)",A,N);
label("\(B\)",B,(1,0));
label("\(C\)",C,SW);

label("\(m\)",DV,(0,1));
label("\(D\)",D,NE);
[/asy] 따라서 $A$ 또는 $B$보다 $C$에 더 가까운 점은 아래 음영 처리된 직사각형 안의 점입니다. [asy]
defaultpen(1);

쌍 C=(0,0), A=(0,3), B=(4,0);

쌍 D = (A+B)/2;
쌍 E = (C+A)/2;
쌍 F = (B+C)/2;

쌍 DH = D + (.5,0);
쌍 EH = E + (-.5,0);
쌍 DV = D + (0,.5);
쌍 FV = F + (0,-.5);

draw(A--B--C--cycle);
draw(DV--FV,점선);
draw(DH--EH,점선);
fill(D--F--C--E--사이클,회색(.7));

label("\(A\)",A,N);
label("\(B\)",B,(1,0));
label("\(C\)",C,SW);

label("\(m\)",DV,(0,1));
label("\(\ell\)",DH,(1,0));
label("\(D\)",D,NE);
[/asy] 우리가 원하는 확률은 이 직사각형의 넓이를 삼각형 $ABC$의 넓이로 나눈 값입니다. 이 비율이 $\frac{1}{2}$임을 확인하는 방법에는 몇 가지가 있습니다.  한 가지 방법은 $ABC$를 4개의 합동 삼각형으로 나눌 수 있으며, 그 중 2개는 음영 처리되어 있다는 점에 주목하는 것입니다: [asy]
defaultpen(1);

쌍 C=(0,0), A=(0,3), B=(4,0);

쌍 D = (A+B)/2;
쌍 E = (C+A)/2;
쌍 F = (B+C)/2;

draw(A--B--C--cycle);
fill(D--F--C--E--사이클,회색(.7));

draw(E--D--F);
draw(C--D);

label("\(A\)",A,N);
label("\(B\)",B,(1,0));
label("\(C\)",C,SW);

label("\(D\)",D,NE);
[/asy] 또 다른 방법은 직사각형의 변의 길이가 $\frac{3}{2}$, $\frac{4}{2}$이므로 직사각형의 넓이는 $\frac{3 \cdot 4}{2 \cdot 2}$라는 것을 알아차리는 것입니다.  삼각형 $ABC$의 넓이는 $\frac{3 \cdot 4}{2}$이므로, 우리가 구하는 확률은 이전과 마찬가지로 $\frac{1}{2}$가 됩니다.