more: 15:04
so i'm gonna well okay here let me write up here for a minute so here's a singularity mi
15:12
and i'm going to let u i up a t
15:19
equal the ball of radius
15:25
t around
15:31
m i so before i write down this integral let's just look at this sort of swiss
15:37
cheese thing that i've i've created here's the manifold here's some
15:42
singularities and here are these little balls little discs around them okay
15:47
perfectly clear so now i can say okay the integral over
15:54
x who buys a chalk around here
16:01
morgan
16:08
i'll approve an expense for stronger chalk [Laughter]
16:14
okay so we can subtract so the integral
16:19
of one over two pi f over x is equal to the limit
16:27
as t goes to 0 of the integral
16:32
the same integral but it's going to be over x minus these balls
16:38
minus these balls the collection of ui up a t right so i'm going to make these
16:44
balls smaller and smaller and integrate over what's not there and i'm going to integrate 1 over 2 pi f
16:51
but of course here it's it's d a it's d a
16:58
so that's going to be the limit as t goes to zero
17:04
of the integral of a over the boundary
17:10
of this thing x minus this collection of balls
17:16
right and if you uh
17:23
uh now the boundary of this collection of balls is a collection of spears or collection
17:29
of circles uh in this case so this is really equal to the integral of
17:36
now a over uh
17:41
uh a bunch of circles so what we'll call it uh
17:47
s up a t sub i over the set of
17:52
over the set of circles because that's the boundary of all this is just these circles and
17:59
limit as t goes to zero and it's not easy it's not difficult to see at all
18:05
as you integrate this around a circle it's nothing but the degree of the vector field so this is this is
18:12
equal to uh the sum of the degrees
18:19
of the vector field at these points so uh and this is a very easy calculation
18:25
so okay that's a that's a good proof of this gauspinate theorem using
18:31
uh this theorem of of hop and and poncare now i will say that one could also have
18:39
proved this theorem simply by triangulating the space looking carefully at what happens to
18:45
curvature as the as and then flatten it out so you have this sort of polyhedra it's
18:51
flat it has edges and vertices and just and you look at what happens as that
18:56
flatness develops and and you could have done it that way and gotten a formula that said
19:02
faces minus edges plus vertices but this this is a pretty cool way to do it
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with the proof that yes outlined is it clear that that f does not blow up so fast as you
19:16
go it doesn't blow it up f doesn't f just the curvature see the f has nothing to do
19:22
with the uh vector field f has nothing to do with the vector field at all
19:28
uh okay but and of course uh
19:33
and uh you you might worry about this
19:39
well this is this is this is defined everywhere except except there but
19:45
you can see but it's really its differential at least is very well controlled because it's differential didn't have anything to do with those
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vector fields so so it's so it's all okay it's all okay you just see what happens
19:57
obviously a in order to integrate over something smaller and smaller
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ore: 15:04그래서 나는 여기에 잠시 여기에 글을 쓸 수 있도록 여기에 특이점이 있습니다.15:12그리고 나는 너를 위로 올려 줄거야.15:19반경의 공과 같음15:25t 주위15:31M 이 적분을 적기 전에 이런 종류의 스위스를 살펴 보겠습니다.15:37제가 만든 치즈가 여기 매니 폴드가 있습니다.15:42특이점과 그 주위에 작은 공과 작은 원반이 있습니다.15:47완벽하게 명확하므로 이제 적분이 끝났다고 말할 수 있습니다.15:54여기서 분필을 사는 사람16:01모건16:08더 강한 분필에 대한 비용을 승인하겠습니다 [웃음].16:14좋아, 그럼 적분이 되도록 빼자.16:19x에 대한 2π에 대한 1의 f는 극한과 같습니다.16:27t가 적분의 0이 되므로16:32같은 적분이지만 x에서 이 공들을 뺀 값이 될 것입니다.16:38이 공들을 빼면 유아이의 컬렉션이 오른쪽으로 올라가므로 이것을 만들 것입니다.16:44공을 점점 더 작게 만들고 거기에없는 것을 통합하고 1을 2 파이 f에 통합 할 것입니다.16:51하지만 물론 여기서는 D입니다.16:58그래서 t가 0이 될 때 그게 한계가 될 것입니다.17:04경계 너머의 적분 A의 적분17:10이 공의 집합에서 이 공의 집합을 뺀 것의 적분17:16오른쪽 그리고 당신이 어17:23이제이 공 컬렉션의 경계는 창 컬렉션 또는 컬렉션입니다.17:29이 경우에는 원의 집합이므로 이것은 실제로 적분과 같습니다.17:36이제 오버 어17:41원이 많아서 우리가 부르는 것은 어17:4717:52이 모든 것의 경계가 바로이 원들이기 때문입니다.17:59t가 0이되고 쉽지 않은 한계는 전혀보기 어렵지 않습니다.18:05이것을 원을 중심으로 통합 할 때 벡터 필드의 차수 일 뿐이므로 이것은 다음과 같습니다.18:12각도의 합과 같습니다.18:19이 지점에서 벡터 필드의 각도의 합과 같으므로 이것은 매우 쉬운 계산입니다.18:25이 가우스피네이트 정리의 좋은 증명은 다음과 같습니다.18:31어 홉과 폰케어의이 정리는 이제 다음과 같이 말할 수 있습니다.18:39공간을 삼각 측량하여 어떤 일이 일어나는지주의 깊게 살펴 보는 것만으로이 정리를 증명했습니다.18:45곡률을 as로 구부린 다음 평평하게 펴서 이런 종류의 다면체를 갖게됩니다.18:51평평하고 가장자리와 꼭지점이 있고 그냥 그렇게 일어나는 일을 봅니다.18:56평탄도가 발달하고 그런 식으로 수행하여 다음과 같은 공식을 얻을 수 있습니다.19:02면 빼기 가장자리 더하기 꼭지점이지만 이것은 꽤 멋진 방법입니다.19:09예가 설명한 증거로 그 f가 그렇게 빨리 폭발하지 않는다는 것이 분명합니다.19:16이동 그것은 그것을 날려 버리지 않습니다 f는 단지 곡률이 아니라 f가 아무 관련이 없다는 것을 알 수 있습니다.19:22벡터 필드와 f는 벡터 필드와 전혀 관련이 없습니다.19:28알았어, 하지만 물론 어19:33그리고 어 당신은 이것에 대해 걱정할 수 있습니다.19:39글쎄, 이것은 이것이 거기를 제외하고는 모든 곳에서 정의되어 있지만19:45볼 수 있지만 실제로 차동은 적어도 그것과 관련이 없기 때문에 차동은 매우 잘 제어됩니다.19:51벡터 필드이므로 괜찮습니다. 괜찮습니다. 괜찮습니다. 무슨 일이 일어나는지보십시오.19:57분명히 더 작고 작은 무언가를 통합하기 위해20:02