Logical consequence (also entailment) is a fundamental concept in logic which describes the relationship between statements that hold true when one statement logically follows from one or more statements. A valid logical argument is one in which the conclusion is entailed by the premises, because the conclusion is the consequence of the premises. The philosophical analysis of logical consequence involves the questions: In what sense does a conclusion follow from its premises? and What does it mean for a conclusion to be a consequence of premises? All of philosophical logic is meant to provide accounts of the nature of logical consequence and the nature of logical truth.

Logical consequence is necessary and formal, by way of examples that explain with formal proof and models of interpretation. A sentence is said to be a logical consequence of a set of sentences, for a given language, if and only if, using only logic (i.e., without regard to any personal interpretations of the sentences) the sentence must be true if every sentence in the set is true.

Logicians make precise accounts of logical consequence regarding a given language , either by constructing a deductive system for  or by formal intended semantics for language . The Polish logician Alfred Tarski identified three features of an adequate characterization of entailment: (1) The logical consequence relation relies on the logical form of the sentences: (2) The relation is a priori, i.e., it can be determined with or without regard to empirical evidence (sense experience); and (3) The logical consequence relation has a modal component.

Formal accounts 
The most widely prevailing view on how best to account for logical consequence is to appeal to formality. This is to say that whether statements follow from one another logically depends on the structure or logical form of the statements without regard to the contents of that form.

Syntactic accounts of logical consequence rely on schemes using inference rules. For instance, we can express the logical form of a valid argument as:

 All X are Y
 All Y are Z
 Therefore, all X are Z.

This argument is formally valid, because every instance of arguments constructed using this scheme is valid.

This is in contrast to an argument like "Fred is Mike's brother's son. Therefore Fred is Mike's nephew." Since this argument depends on the meanings of the words "brother", "son", and "nephew", the statement "Fred is Mike's nephew" is a so-called material consequence of "Fred is Mike's brother's son", not a formal consequence. A formal consequence must be true in all cases, however this is an incomplete definition of formal consequence, since even the argument "P is Q&apos;s brother's son, therefore P is Q&apos;s nephew" is valid in all cases, but is not a formal argument.

A priori property of logical consequence 

If it is known that  follows logically from , then no information about the possible interpretations of  or  will affect that knowledge. Our knowledge that  is a logical consequence of  cannot be influenced by empirical knowledge. Deductively valid arguments can be known to be so without recourse to experience, so they must be knowable a priori. However, formality alone does not guarantee that logical consequence is not influenced by empirical knowledge. So the a priori property of logical consequence is considered to be independent of formality.

Proofs and models 
The two prevailing techniques for providing accounts of logical consequence involve expressing the concept in terms of proofs and via models. The study of the syntactic consequence (of a logic) is called (its) proof theory whereas the study of (its) semantic consequence is called (its) model theory.

Syntactic consequence 

A formula  is a syntactic consequence within some formal system  of a set  of formulas if there is a formal proof in  of  from the set . This is denoted . The turnstile symbol  was originally introduced by Frege in 1879, but its current use only dates back to Rosser and Kleene (1934–1935). 

Syntactic consequence does not depend on any interpretation of the formal system.

Semantic consequence 

A formula  is a semantic consequence within some formal system  of a set of statements  if and only if there is no model  in which all members of  are true and  is false. This is denoted . Or, in other words, the set of the interpretations that make all members of  true is a subset of the set of the interpretations that make  true.

Modal accounts 

Modal accounts of logical consequence are variations on the following basic idea:

   is true if and only if it is necessary that if all of the elements of  are true, then  is true.

Alternatively (and, most would say, equivalently):

   is true if and only if it is impossible for all of the elements of  to be true and  false.

Such accounts are called "modal" because they appeal to the modal notions of logical necessity and logical possibility. 'It is necessary that' is often expressed as a universal quantifier over possible worlds, so that the accounts above translate as:

   is true if and only if there is no possible world at which all of the elements of  are true and  is false (untrue).

Consider the modal account in terms of the argument given as an example above:

All frogs are green.
Kermit is a frog.
Therefore, Kermit is green.

The conclusion is a logical consequence of the premises because we can not imagine a possible world where (a) all frogs are green; (b) Kermit is a frog; and (c) Kermit is not green.

Modal-formal accounts 

Modal-formal accounts of logical consequence combine the modal and formal accounts above, yielding variations on the following basic idea:

   if and only if it is impossible for an argument with the same logical form as / to have true premises and a false conclusion.

Warrant-based accounts 

The accounts considered above are all "truth-preservational", in that they all assume that the characteristic feature of a good inference is that it never allows one to move from true premises to an untrue conclusion. As an alternative, some have proposed "warrant-preservational" accounts, according to which the characteristic feature of a good inference is that it never allows one to move from justifiably assertible premises to a conclusion that is not justifiably assertible. This is (roughly) the account favored by intuitionists such as Michael Dummett.

Non-monotonic logical consequence 

The accounts discussed above all yield monotonic consequence relations, i.e. ones such that if  is a consequence of , then  is a consequence of any superset of . It is also possible to specify non-monotonic consequence relations to capture the idea that, e.g., 'Tweety can fly' is a logical consequence of

{Birds can typically fly, Tweety is a bird}

but not of

{Birds can typically fly, Tweety is a bird, Tweety is a penguin}.

See also

 Abstract algebraic logic
 Ampheck
 Boolean algebra (logic)
 Boolean domain
 Boolean function
 Boolean logic
 Causality
 Deductive reasoning
 Logic gate
 Logical graph
 Peirce's law
 Probabilistic logic
 Propositional calculus
 Sole sufficient operator
 Strict conditional
 Tautology (logic)
 Tautological consequence
 Therefore sign
 Turnstile (symbol)
 Double turnstile
 Validity

Notes

Resources 
 .
  London: College Publications. Series: Mathematical logic and foundations.
 .
  1st edition, Kluwer Academic Publishers, Norwell, MA. 2nd edition, Dover Publications, Mineola, NY, 2003.
 . Papers include those by Gödel, Church, Rosser, Kleene, and Post.
 .
  in Lou Goble (ed.), The Blackwell Guide to Philosophical Logic.
  in Edward N. Zalta (ed.), The Stanford Encyclopedia of Philosophy.
 .
 .
  365–409.
 
  in Goble, Lou, ed., The Blackwell Guide to Philosophical Logic. Blackwell.
  (1st ed. 1950), (2nd ed. 1959), (3rd ed. 1972), (4th edition, 1982).
 in D. Jacquette, ed., A Companion to Philosophical Logic. Blackwell.
 Reprinted in Tarski, A., 1983. Logic, Semantics, Metamathematics, 2nd ed. Oxford University Press. Originally published in Polish and German.
 
 A paper on 'implication' from math.niu.edu, Implication 
 A definition of 'implicant' AllWords

External links

 
Philosophical logic
Metalogic
Propositional calculus
Semantic units
Deductive reasoning
Concepts in logic
Syntax (logic)
Binary operations
논리적 귀결(論理的歸結, )은 논리학에서 가장 기본적인 개념이자, 복수의 글 (또는 명제)의 집합과 하나의 글(명제)의 사이가 「~니까, 당연히~」라고 이어지는 관계를 가리킨다. 이를테면, 「커밋은 녹색이다」라는 글은, 「모든 개구리는 녹색이다」와 「커밋은 개구리다」의 논리적 귀결인 것이다.

이러한 논리적 귀결의 뚜렷함은 전제가 참(眞)인지 아닌지, 또는 완전한지 아닌지에 의존한다. 이 전제는 모든 개구리가 녹색이지 않을 경우에는 참이 아닌 것이 된다. 연역에 따른 추론이나 논리적 귀결은 인식론의 중요한 면이며, 인과에 관한 일반적 가설을 전달하는 의미를 가진다.

형식적인 논리적 귀결 관계는 모형이론적인 것과 증명이론적인 것(혹은 양쪽)이 있다.

논리적 귀결은 글의 집합에서 글의 집합으로의 함수로서도 표현할 수 있고(타르스키풍의 정식화), 두 글의 집합 사이의 관계로서도 표현할 수 있다(multiple-conclusion logic).

기술 
여기에는 논리적 귀결의 전형적인 기술(記述)에 관하여 싣는다.

Γ는 임의의 전제의 집합, A는 임의의 결론으로 한다. Γ/A는 Γ를 전제, A를 결론으로 하는 논리적 주장(Logical argument)이다. Γ A는 A가  Γ의 논리적 귀결이라는 것을 의미한다.

양상적 기술 
논리적 귀결의 양상적 기술(記述)은 다음과 같은 사고방식에 기인한다.
 Γ A란, Γ의 모든 요소가 참(眞)일 때, A가 참이라는 것은 「필연적; necessary」이라는 것을 의미한다.
바꿔 말하자면,
 Γ A란, Γ의 모든 요소가 참(眞)일 때, A가 거짓(僞)이라는 것은 「있을 수 없다; impossible」라는 것을 의미한다.
이러한 기술이(記述)이 「양상적(modal)」이라는 것은,  양상논리학적인 가능성과 필연성을 주장하고 있기 때문이다. 필연성은 가능세계론에서의 보편적 계량이라고 이해할 수 있으며, 다음과 같이 바꿔 말할 수 있다.
 Γ A란, Γ의 모든 요소가 참(眞)일 때, A가 거짓(僞)이라는 가능세계는 존재하지 않는 것을 의미한다.
서두에 예시로 삼은 다음의 기술(記述)에 대하여 양상적 기술을 생각한다.

여기서 「모든 개구리가 녹색」이며, 「커밋은 개구리」이며, 「커밋은 녹색이 아니다」라는 가능세계를 상상하는 것은 불가능하다. 따라서, 이 결론은 이러한 주어진 전제의 논리적 귀결이라고도 말할 수 있다.

형식적 기술 
논리적 귀결의 형식적 기술(記述)은 다음과 같은 사고방식에 기인한다.
 Γ A란, Γ/A와 똑같은 논리형식을 가진 주장의 전제가 참(眞)이고 결론이 거짓(僞)이 되는 일은 없다는 것을 의미한다.
여기에서 다음 2개가 파생한다.
 Γ A란, Γ/A 속의 논리적이지 않은 어구를 한결같이 치환해도, 전제가 참(眞)이고 결론이 거짓(僞)이 되는 일은 없다는 것을 의미한다.
 Γ A란, Γ/A 속의 논리적이지 않은 어구를 번역해도, 전제가 참(眞)이고 결론이 거짓(僞)이 되는 일은 없다는 것을 의미한다.
여기서 재차 다음 주장을 생각한다.

형식적 기술 (1)에 따르면, 이 주장 속의 논리적이지 않은 어구(개구리, 녹색, 커밋)를 한결같이 치환해도 결론은 전제의 논리적 귀결인 채이며, 전제가 참(眞)이고 결론이 거짓(僞)이 될 수 없다. 예로 다음과 같은 것이 있다.

이 형식의 주장은 얼마든지 만들 수 있으나, 전제가 참(眞)이고 결론이 거짓(僞)이 되는 예는 나오지 않는다. 그 말은, 이 주장은 그 논리적 형식이 본질적으로 연역적 타당성을 가지며, 그 특징을 다음과 같은 틀로서 추출해낼 수 있다. (여기서 F, G, a는 의미가 없는 자리표시자이다)

형식적 기술 (2)도 같은 것을 달리 말하는 것(번역)을 하고 있을 뿐이다. 이를테면, 「개구리」를 「배관공」, 「녹색」을 「내성적」, 「커밋」을 「마돈나 (가수)」로 번역해보자. 그러면, 전제가 거짓(僞)이 되어(모든 배관공이 내성적인 것은 아니고, 마돈나는 배관공이 아니다), 결론도 거짓(僞)이 된다(마돈나는 내성적이지 않다). 말고도 여러 번역을 생각할 수 있으나, 전제가 참(眞)이고 결론이 거짓(僞)인 것은 찾아낼 수 없다.

양상적 형식적 기술 
논리적 귀결의 양상적 형식적 기술(記述)은 양상적 기술과 형식적 기술을 짜맞춘 것으로, 다음과 같은 사고방식에 기인한다.
 Γ A란, Γ/A와 똑같이 논리적 형식의 주장이, 참(眞)의 전제와 거짓(僞)의 결론이 되는 것은 있을 수 없다는 것을 의미한다.
논리적 귀결의 직관적 이해로서, 양상적인 면과 형식적인 면이 있다.

근거에 기인하는 기술 
여기까지의 기술(記述)은 「진리보존적; truth-preservational」이며, 좋은 연역의 특성으로,  참(眞)의 전제와 거짓(僞)의 결론은 이끌어지지 않는다는 것으로 본다. 이것과는 별개로 「근거보존적; warrant-preservational」인 기술도 있으며, 좋은 연역의 특성은, 정당하게 단언가능한 전제에서 정당하게 단언할 수 없는 결론은 이끌어지지 않는다는 것으로 한다. 이것을 대략적으로 말하자면 수학적 직관주의에 상당한다.

비단조논리 
이제까지 기술(記述)한 것은 전부 단조로운 귀결관계를 전제로 한다. 즉, A가 Γ의 귀결일 때, A는 Γ의 임의의 상위집합인 귀결이다. 비단조로운 귀결관계가 어더한 것인지를 나타낸다. 「트위티는 날 수 있다」는 다음 전제의 논리적 귀결이다.

하지만, 다음 전제에서는 논리적 귀결이 되지 않는다.

같이 보기 
 연역
 귀납
 동어반복
 타당성
 인과관계
 부정논리합

참고 문헌 
 Michael Dummett, 1991. The Logical Basis of Metaphysics. Harvard University Press.
 John Etchemendy, 1990. The Concept of Logical Consequence. Harvard University Press.
 Hanson, William H., 1997, "The concept of logical consequence," The Philosophical Review 106: 365-409.
 Vincent F. Hendricks, 2005. Thought 2 Talk: A Crash Course in Reflection and Expression. New York: Automatic Press / VIP. 
 Planchette, P. A., 2001, "Logical Consequence," in Goble, Lou, ed., The Blackwell Guide to Philosophical Logic. Blackwell.
 Stewart Shapiro, 2002, "Necessity, meaning, and rationality: the notion of logical consequence" In D. Jacquette, ed., A Companion to Philosophical Logic. Blackwell.
 Alfred Tarski, 1936, "On the concept of logical consequence." Reprinted in Tarski, A., 1983. Logic, Semantics, Metamathematics, 2nd ed. Oxford University Press. 원본은 폴란드어와 독일어로 발표되었다.

외부 링크 
 Stanford Encyclopedia of Philosophy
 Internet Encyclopedia of Philosophy

철학적 논리학
논리학 개념
명제 논리