In calculus, the second derivative, or the second-order derivative, of a function  is the derivative of the derivative of . Informally, the second derivative can be phrased as "the rate of change of the rate of change"; for example, the second derivative of the position of an object with respect to time is the instantaneous acceleration of the object, or the rate at which the velocity of the object is changing with respect to time. In Leibniz notation:

where  is acceleration,  is velocity,  is time,  is position, and d is the instantaneous "delta" or change. The last expression  is the second derivative of position () with respect to time.

On the graph of a function, the second derivative corresponds to the curvature or concavity of the graph. The graph of a function with a positive second derivative is upwardly concave, while the graph of a function with a negative second derivative curves in the opposite way.

Second derivative power rule 
The power rule for the first derivative, if applied twice, will produce the second derivative power rule as follows:

Notation 

The second derivative of a function  is usually denoted . That is:

When using Leibniz's notation for derivatives, the second derivative of a dependent variable  with respect to an independent variable  is written

This notation is derived from the following formula:

Example 
Given the function

the derivative of  is the function

The second derivative of  is the derivative of , namely

Relation to the graph

Concavity 
The second derivative of a function  can be used to determine the concavity of the graph of .  A function whose second derivative is positive will be concave up (also referred to as convex), meaning that the tangent line will lie below the graph of the function.  Similarly, a function whose second derivative is negative will be concave down (also simply called concave), and its tangent lines will lie above the graph of the function.

Inflection points 

If the second derivative of a function changes sign, the graph of the function will switch from concave down to concave up, or vice versa.  A point where this occurs is called an inflection point.  Assuming the second derivative is continuous, it must take a value of zero at any inflection point, although not every point where the second derivative is zero is necessarily a point of inflection.

Second derivative test 

The relation between the second derivative and the graph can be used to test whether a stationary point for a function (i.e., a point where ) is a local maximum or a local minimum.  Specifically,
 If , then  has a local maximum at .
 If , then  has a local minimum at .
 If , the second derivative test says nothing about the point , a possible inflection point.
The reason the second derivative produces these results can be seen by way of a real-world analogy. Consider a vehicle that at first is moving forward at a great velocity, but with a negative acceleration. Clearly, the position of the vehicle at the point where the velocity reaches zero will be the maximum distance from the starting position – after this time, the velocity will become negative and the vehicle will reverse. The same is true for the minimum, with a vehicle that at first has a very negative velocity but positive acceleration.

Limit 
It is possible to write a single limit for the second derivative:

The limit is called the second symmetric derivative. Note that the second symmetric derivative may exist even when the (usual) second derivative does not.

The expression on the right can be written as a difference quotient of difference quotients:

This limit can be viewed as a continuous version of the second difference for sequences.

However, the existence of the above limit does not mean that the function  has a second derivative. The limit above just gives a possibility for calculating the second derivative—but does not provide a definition. A counterexample is the sign function , which is defined as:

The sign function is not continuous at zero, and therefore the second derivative for  does not exist. But the above limit exists for :

Quadratic approximation 
Just as the first derivative is related to linear approximations, the second derivative is related to the best quadratic approximation for a function .  This is the quadratic function whose first and second derivatives are the same as those of  at a given point. The formula for the best quadratic approximation to a function  around the point  is

This quadratic approximation is the second-order Taylor polynomial for the function centered at .

Eigenvalues and eigenvectors of the second derivative 

For many combinations of boundary conditions explicit formulas for eigenvalues and eigenvectors of the second derivative can be obtained. For example, assuming  and homogeneous Dirichlet boundary conditions (i.e.,  where  is the eigenvector), the eigenvalues are  and the corresponding eigenvectors (also called eigenfunctions) are  Here,  for 

For other well-known cases, see Eigenvalues and eigenvectors of the second derivative.

Generalization to higher dimensions

The Hessian 

The second derivative generalizes to higher dimensions through the notion of second partial derivatives.  For a function , these include the three second-order partials

and the mixed partials

If the function's image and domain both have a potential, then these fit together into a symmetric matrix known as the Hessian.  The eigenvalues of this matrix can be used to implement a multivariable analogue of the second derivative test.  (See also the second partial derivative test.)

The Laplacian 

Another common generalization of the second derivative is the Laplacian.  This is the differential operator  (or ) defined by

The Laplacian of a function is equal to the divergence of the gradient, and the trace of the Hessian matrix.

See also 
 Chirpyness, second derivative of instantaneous phase
 Finite difference, used to approximate second derivative
 Second partial derivative test
 Symmetry of second derivatives

References

Further reading

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External links 
Discrete Second Derivative from Unevenly Spaced Points

Mathematical analysis
Differential calculus
Functions and mappings
Linear operators in calculus
미적분학에서, 함수 f의 이계도함수란 f의 도함수의 도함수이다. 대략적으로, 이계도함수는 변화율 자체가 어떻게 변하는지를 측정하는데, 예를 들면 차량의 위치의 이계도함수는 그 차량의 시간에 관한 가속도, 즉 시간에 따른 그 시점의 속도의 변화율을 의미한다. 라이프니츠의 표기법에서 마지막 항이 이계도함수의 표현이다:

 

함수의 그래프에서, 이계도함수는 그래프의 곡률 또는 볼록성과 관계있다. 양의 값의 이계도함수를 갖는 함수의 그래프는 아래로 오목하고, 반면에 음의 값의 이계도함수를 갖는 함수의 그래프는 그와 반대이다.

이계도함수에서 멱의 법칙 
일계도함수에 대한 멱의 법칙을 두 번 적용하면 다음과 같은 이계도함수에 대한 멱의 법칙을 얻을 수 있다.

표기법 
함수  . 즉:

 

도함수에 대한 라이프니츠의 표기법을 사용하면, 독립변수 x에 관한 종속변수 y의 이계도함수는 다음과 같이 나타난다.

 

이 표기법은 다음과 같은 식에서 얻어진다.

예 
주어진 함수

 

의 도함수는

 

f의 이계도함수는 f의 도함수의 도함수이다. 즉,

그래프와의 관계

오목성 
f의 이계도함수는 f의 그래프의 오목성을 측정한다. f의 이계도함수가 양의 값을 가지면 위로 오목(볼록함수라고도 한다.)하게 되는데, 이는 접선이 함수의 그래프 아래쪽에 위치함을 의미한다. 유사하게, 이계도함수가 음의 값을 가지면 아래로 오목(오목함수라고도 한다.)하게 되는데, 이는 접선이 함수의 그래프의 위쪽에 위치함을 의미한다.

변곡점 
이계도함수의 부호가 바뀌면, 함수의 그래프는 아래로 오목에서 위로 오목으로 바뀌거나 그 반대가 된다. 이러한 경우가 일어나는 점을 변곡점이라고 부른다. 이계도함수가 연속이라고 하면, 비록 이계도함수가 0이 되는 모든 점이 변곡점인 것은 아니지만, 변곡점에서 이계도함수의 값은 0이 된다.

이계도함수 판정법 
이계도함수와 그래프의 관계는 함수의 임계점 (즉, )이 극대 또는 극소인지를 판정하는데 사용될 수 있다. 구체적으로,

 .
 .
 

이계도함수가 이러한 결과를 만드는 이유는 실세계와의 비유를 통해 볼 수 있다. 처음에는 최대속도로 앞으로 나아가지만 음의 가속도를 갖는 차를 생각해보자. 분명히 차의 위치는 속도가 0이 되는 지점에서 시작점으로부터 가장 멀리 떨어져 있을 것이다. - 이후, 속도가 음의 값을 가지면 차는 후진할 것이다. 최솟값에 대해서도 마찬가지인데, 이는 처음에는 가장 큰 음의 속도로 출발하지만 양의 가속도를 갖는 차량을 생각해보면 된다.

극한 
이계도함수를 단일의 극한으로 쓰면 다음과 같이 쓸 수 있다:

 

이 극한은 이계대칭도함수라 불린다. 이 이계대칭도함수는 (통상적인) 이계도함수가 존재하지 않을 때도 존재할 수 있다는 것에 주목하자.

오른쪽의 표현은 평균변화율의 평균변화율로 나타낼 수 있다.

 

이 극한은 열에 대한 이계 차분의 연속 버젼으로 간주할 수 있다.

위의 극한이 존재한다는 것이  이 극한은 이계도함수를 계산하는 것에 대한 가능성을 줄 뿐이지 정의를 주는 것은 아니다. 반례로 다음과 같이 정의된 부호 함수 

 

이 부호함수는 0에서 연속이 아니므로  하지만

이차 근사 
일계도함수가 선형 근사와 관련있는 것처럼, 이계도함수는 함수 f에 대한 최적화된 이차 근사와 관련있다. 이는 곧 주어진 점에서 f의 일계도함수와 이계도함수의 값과 같은 이차함수이다. x=a 주변에서 f의 최적화된 이차 근사식은 다음과 같다.

 

이 이차 근사는 함수의 x=a에서의 이차 테일러 다항식이다.

이계도함수의 고윳값과 고유벡터 
 디리클레 경계 조건을 가정하자, 즉, , 고윳값은  . 여기서, 

다른 잘 알려진 케이스에 대해서는, 이계도함수의 고윳값과 고유벡터를 참조하라.

고차원으로의 일반화

헤세 행렬 
이계도함수는 이계 편도함수의 개념을 통해 고차원으로 일반화될 수 있다.예를 들어, f:R3 → R는 세 변수의 이계 편도함수

 

와 이들이 섞인 편도함수

 

만약 함수의 상과 정의역 둘 다 고차원이 된다면, 이는 헤세 행렬이라 알려진 대칭행렬과 들어맞는다. 이 행렬의 고윳값은 다변수의 이계도함수 판정법을 유사하게 함의한다. (이계 편도함수 판정법을 보아라.)

라플라스 작용소 
또다른 이계도함수의 일반화는 라플라스 작용소이다. 이는 다음과 같이 정의되는 미분 연산자 

 

함수의 라플라스 작용소는 그래디언트의 발산, 헤세 행렬의 대각합과 같다.

같이 보기 

 Chirpyness,  instantaneous phase의 이계도함수

참고 문헌

더 읽을 거리

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외부 링크 

 Discrete Second Derivative from Unevenly Spaced Points

미분학
함수와 사상
해석학 (수학)