The constitutive equation for electric fields in a dielectric medium moving with velocity $v$ in a magnetic field $B$ is

$$
\mathbf{D}=k \varepsilon_{0} \mathbf{E}+\varepsilon_{0}(k-1) \mathbf{v} \times \mathbf{B},
$$

where $k$ is its relative dielectric constant. For a point distance $r$ from the axis of rotation, $\mathbf{v}=\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}$ and $\mathbf{v} \times \mathbf{B}=(\boldsymbol{\omega} \cdot \mathbf{B}) \mathbf{r}-(\mathbf{r} \cdot \mathbf{B}) \boldsymbol{\omega}=\omega B \mathbf{r}$ as $\mathbf{r}$ is perpendicular to $B$. As there are no free charges, Gauss' flux theorem $\oint \mathbf{D} \cdot d \mathbf{S}=0$ gives $\mathbf{D}=0$. Then from $\mathbf{D}=\varepsilon_{0} \mathbf{L}+\mathbf{P}$ we get

$$
\mathbf{P}=-\varepsilon_{0} \mathbf{E}=\varepsilon_{0}\left(1-\frac{1}{k}\right) \omega B \mathbf{r} .
$$

Hence the volume bound charge density is

$$
\rho^{\prime}=-\nabla \cdot \mathbf{P}=-\frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r}\left(r P_{r}\right)=-2 \varepsilon_{0}\left(1-\frac{1}{k}\right) \omega B
$$

and the surface bound charge density is

$$
\sigma^{\prime}=P_{r}=\varepsilon_{0}\left(1-\frac{1}{k}\right) \omega B a,
$$

as $r=a$ for the cylinder's surface.By symmetry and using Ampère's circuital law, we obtain the magnetic induction in a doughnut-shaped solenoid:

$$
B=\frac{\mu_{0} N I}{2 \pi r},
$$

where $r$ is the distance from the center of the doughnut. Consider a small section of length $d l$ of the solenoid. This section contains $\frac{N}{2 \pi R} d l$ turns of the winding, where $R$ is the radius of the doughnut. Take as current element a segment of this section which subtends an angle $d \theta$ at the axis of the solenoid:

$$
\Delta I=\frac{N I d l}{2 \pi R} \rho d \theta,
$$

where $\theta$ is the angle made by the radius from the axis to the segment and the line from the axis to center of the doughnut and $\rho$ is the radius of a loop of winding. The magnetic force on the current element is in the radial direction and has magnitude

$$
\begin{aligned}
d F &=\Delta I \cdot \frac{B}{2}=\frac{N I \rho}{4 \pi R} B d \theta d l \\
&=\frac{\mu_{0} N^{2} I^{2} \rho}{8 \pi^{2} R r} d \theta d l,
\end{aligned}
$$

where $B / 2$ is used, instead of $B$, because the magnetic field established by the current element itself has to be taken out from the total field. Note that $d F$ is perpendicular to the surface of the solenoid and only its component $d F \cdot \cos \theta$ along the line from the axis to the center of the doughnut is not canceled out with another element at $2 \pi-\theta$. As

$$
r=R+\rho \cos \theta,
$$

we have the total force on the doughnut

$$
\begin{aligned}
F &=\int \cos \theta d F \\
&=\frac{\mu_{0} N^{2} I^{2}}{8 \pi^{2} R} \int_{0}^{2 \pi R} d l \int_{0}^{2 \pi} \frac{\rho \cos \theta}{R+\rho \cos \theta} d \theta \\
&=\frac{\mu_{0} N^{2} I^{2}}{4 \pi} \int_{0}^{2 \pi}\left(1-\frac{R}{R+\rho \cos \theta}\right) d \theta \\
&=\frac{\mu_{0} N^{2} I^{2}}{4 \pi} \int_{0}^{2 \pi}\left[1-\left(1+\frac{\rho}{R} \cos \theta\right)^{-1}\right] d \theta \\
&=\frac{\mu_{0} N^{2} I^{2}}{2}\left\{1-\left[1-\left(\frac{\rho}{R}\right)^{2}\right]^{-\frac{1}{2}}\right\} \\
&=\frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 1000^{2} \times 10^{2}}{2}\left[1-\frac{1}{\sqrt{1-0.05^{2}}}\right] \\
&=-0.079 \mathrm{~N}
\end{aligned}
$$

Hence, the force on one loop is

$$
\frac{F}{N}=-\frac{0.079}{1000}=-7.9 \times 10^{-5} \mathrm{~N}
$$

and points to the center of the doughnut.
자기장 $B$에서 속도 $v$로 이동하는 유전체 매질에서의 전기장에 대한 구성 방정식은 다음과 같습니다.

$$
\mathbf{D}=k \바렙실론_{0} \mathbf{E}+\바렙실론_{0}(k-1) \mathbf{v} \times \mathbf{B},
$$

여기서 $k$는 상대 유전 상수입니다. 회전축으로부터의 점 거리 $r$의 경우, $\mathbf{v}=\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}$ 및 $\mathbf{v} \times \mathbf{B}=(\boldsymbol{\omega} \cdot\mathbf{B}) \mathbf{r}-.(\mathbf{r} \cdot \mathbf{B}) \boldsymbol{\omega}=\omega B \mathbf{r}$는 $\mathbf{r}$가 $B$에 수직이므로, $\mathbf{r}$는 $B$에 수직입니다. 자유 전하가 없으므로 가우스의 플럭스 정리 $\점 \mathbf{D}는 다음과 같습니다. \d \mathbf{S}=0$은 $\mathbf{D}=0$이 됩니다. 그런 다음 $\mathbf{D}=\바렙실론_{0}에서 \mathbf{L}+\mathbf{P}$ 는 다음과 같습니다.

$$
\mathbf{P}=-\varepsilon_{0} \mathbf{E}=\바렙실론_{0}\left(1-\frac{1}{k}\right) \omega B \mathbf{r} .
$$

따라서 체적 결합 전하 밀도는 다음과 같습니다.

$$
\rho^{\prime}=-\nabla \cdot \mathbf{P}=-\frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r}\left(r P_{r}\right)=-2 \varepsilon_{0}\left(1-\frac{1}{k}\right) \omega B
$$

표면 결합 전하 밀도는 다음과 같습니다.

$$
\시그마^{\프라임}=P_{r}=\바렙실론_{0}\좌측(1-\frac{1}{k}\우측) \오메가 B a,
$$

를 실린더 표면의 $r=a$로 대칭하고 암페르의 순환 법칙을 사용하여 도넛 모양의 솔레노이드에서 자기 유도를 구합니다:

$$
B=\frac{\mu_{0} N I}{2 \pi r},
$$

여기서 $r$은 도넛의 중심으로부터의 거리입니다. 솔레노이드의 길이 $d l$의 작은 단면을 생각해 봅시다. 이 섹션에는 권선의 $\frac{N}{2 \pi R} d l$ 회전이 포함되며, 여기서 $R$ 은 도넛의 반지름입니다. 솔레노이드의 축에서 각도 $d \세타$를 기울이는 이 섹션의 세그먼트를 전류 요소로 취합니다:

$$
\델타 I=\frac{N I d l}{2 \pi R} \rho d \theta,
$$

여기서 $\theta$는 축에서 세그먼트까지의 반지름과 축에서 도넛의 중심까지의 선이 이루는 각도이며, $\rho$는 권선 루프의 반지름입니다. 전류 요소에 가해지는 자력은 방사형 방향이며 크기는 다음과 같습니다.

$$
\begin{aligned}
d F &=\Delta I \cdot \frac{B}{2}=\frac{N I \rho}{4 \pi R} B d \theta d l \\
&=\frac{\mu_{0} N^{2} I^{2} \rho}{8 \pi^{2} R r} d \theta d l,
\end{aligned}
$$

여기서 전류 소자 자체에 의해 설정된 자기장을 전체 자기장에서 빼야 하므로 $B$ 대신 $B / 2$가 사용됩니다. d F$는 솔레노이드의 표면에 수직이며, 축에서 도넛의 중심까지의 선을 따라 그 구성 요소 $d F \cdot \cos \theta$만 $2 \pi-\theta$에서 다른 요소와 상쇄되지 않는다는 점에 유의합니다. As

$$
r=R+\rho \cos \theta,
$$

도넛에 가해지는 총 힘은 다음과 같습니다.

$$
\begin{aligned}
F &=\int \cos \theta d F \\
&=\frac{\mu_{0} N^{2} I^{2}}{8 \pi^{2} R} \int_{0}^{2 \pi R} d l \int_{0}^{2 \pi} \frac{\rho \cos \theta}{R+\rho \cos \theta} d \theta \\
&=\frac{\mu_{0} N^{2} I^{2}}{4 \pi} \int_{0}^{2 \pi}\left(1-\frac{R}{R+\rho \cos \theta}\right) d \theta \\
&=\frac{\mu_{0} N^{2} I^{2}}{4 \pi} \int_{0}^{2 \pi}\left[1-\left(1+\frac{\rho}{R} \cos \theta\right)^{-1}\right] d \theta \\
&=\frac{\mu_{0} N^{2} I^{2}}{2}\left\{1-\left[1-\left(\frac{\rho}{R}\right)^{2}\right]^{-\frac{1}{2}}\right\} \\
&=\frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 1000^{2} \times 10^{2}}{2}\left[1-\frac{1}{\sqrt{1-0.05^{2}}}\right] \\
&=-0.079 \mathrm{~N}
\end{aligned}
$$

따라서 하나의 루프에 가해지는 힘은 다음과 같습니다.

$$
\frac{F}{N}=-\frac{0.079}{1000}=-7.9 \times 10^{-5} \mathrm{~N}
$$

도넛의 중심을 가리킵니다.