In mathematics, a power series (in one variable) is an infinite series of the form

where an represents the coefficient of the nth term and c is a constant. Power series are useful in mathematical analysis, where they arise as Taylor series of infinitely differentiable functions. In fact, Borel's theorem implies that every power series is the Taylor series of some smooth function.

In many situations, c (the center of the series) is equal to zero, for instance when considering a Maclaurin series.  In such cases, the power series takes the simpler form

Beyond their role in mathematical analysis, power series also occur in combinatorics as generating functions (a kind of formal power series) and in electronic engineering (under the name of the Z-transform). The familiar decimal notation for real numbers can also be viewed as an example of a power series, with integer coefficients, but with the argument x fixed at . In number theory, the concept of p-adic numbers is also closely related to that of a power series.

Examples

Polynomial

Any polynomial can be easily expressed as a power series around any center c, although all but finitely many of the coefficients will be zero since a power series has infinitely many terms by definition.  For instance, the polynomial  can be written as a power series around the center  as

or around the center  as

This is because of the Taylor series expansion of f(x) around  is

as  and the non-zero derivatives are , so  and , a constant.

Or indeed the expansion is possible around any other center c.  One can view power series as being like "polynomials of infinite degree," although power series are not polynomials.

Geometric series, exponential function and sine
The geometric series formula

which is valid for , is one of the most important examples of a power series, as are the exponential function formula

and the sine formula

valid for all real x.

These power series are also examples of Taylor series.

On the set of exponents 

Negative powers are not permitted in a power series; for instance,  is not considered a power series (although it is a Laurent series).  Similarly, fractional powers such as  are not permitted (but see Puiseux series).  The coefficients  are not allowed to depend on  thus for instance:

is not a power series.

Radius of convergence

A power series  is convergent for some values of the variable , which will always include  (as usual,  evaluates as  and the sum of the series is thus  for ). The series may diverge for other values of . If  is not the only point of convergence, then there is always a number  with  such that the series converges whenever  and diverges whenever .  The number  is called the radius of convergence of the power series; in general it is given as

or, equivalently,

(this is the Cauchy–Hadamard theorem; see limit superior and limit inferior for an explanation of the notation). The relation

is also satisfied, if this limit exists.

The set of the complex numbers such that  is called the disc of convergence of the series. The series converges absolutely inside its disc of convergence, and converges uniformly on every compact subset of the disc of convergence.

For , there is no general statement on the convergence of the series. However, Abel's theorem states that if the series is convergent for some value  such that , then the sum of the series for  is the limit of the sum of the series for  where  is a real variable less than  that tends to .

Operations on power series

Addition and subtraction 
When two functions f and g are decomposed into power series around the same center c, the power series of the sum or difference of the functions can be obtained by termwise addition and subtraction. That is, if
 and 
then

It is not true that if two power series  and  have the same radius of convergence, then  also has this radius of convergence. If  and , then both series have the same radius of convergence of 1, but the series  has a radius of convergence of 3.

The sum of two power series will have, at minimum, a radius of convergence of the smaller of the two radii of convergence of the two series (and it may be higher than either, as seen in the example above).

Multiplication and division 
With the same definitions for  and , the power series of the product and quotient of the functions can be obtained as follows:

The sequence  is known as the convolution of the sequences  and 

For division, if one defines the sequence  by

then 

and one can solve recursively for the terms  by comparing coefficients.

Solving the corresponding equations yields the formulae based on determinants of certain matrices of the coefficients of  and

Differentiation and integration
Once a function  is given as a power series as above, it is differentiable on the interior of the domain of convergence. It can be differentiated and integrated quite easily, by treating every term separately:

Both of these series have the same radius of convergence as the original one.

Analytic functions 

A function f defined on some open subset U of R or C is called analytic if it is locally given by a convergent power series. This means that every a ∈ U has an open neighborhood V ⊆ U, such that there exists a power series with center a that converges to f(x) for every x ∈ V.

Every power series with a positive radius of convergence is analytic on the interior of its region of convergence. All holomorphic functions are complex-analytic. Sums and products of analytic functions are analytic, as are quotients as long as the denominator is non-zero.

If a function is analytic, then it is infinitely differentiable, but in the real case the converse is not generally true. For an analytic function, the coefficients an can be computed as

where  denotes the nth derivative of f at c, and . This means that every analytic function is locally represented by its Taylor series.

The global form of an analytic function is completely determined by its local behavior in the following sense: if f and g are two analytic functions defined on the same connected open set U, and if there exists an element  such that  for all , then  for all .

If a power series with radius of convergence r is given, one can consider analytic continuations of the series, i.e. analytic functions f which are defined on larger sets than  and agree with the given power series on this set. The number r is maximal in the following sense: there always exists a complex number  with  such that no analytic continuation of the series can be defined at .

The power series expansion of the inverse function of an analytic function can be determined using the Lagrange inversion theorem.

Behavior near the boundary 

The sum of a power series with a positive radius of convergence is an analytic function at every point in the interior of the disc of convergence. However, different behavior can occur at points on the boundary of that disc. For example:

 Divergence while the sum extends to an analytic function:  has radius of convergence equal to  and diverges at every point of . Nevertheless, the sum in  is , which is analytic at every point of the plane except for .
 Convergent at some points divergent at others:  has radius of convergence . It converges for , while it diverges for .
 Absolute convergence at every point of the boundary:  has radius of convergence , while it converges absolutely, and uniformly, at every point of  due to Weierstrass M-test applied with the hyper-harmonic convergent series .
 Convergent on the closure of the disc of convergence but not continuous sum: Sierpiński gave an example of a power series with radius of convergence , convergent at all points with , but the sum is an unbounded function and, in particular, discontinuous. A sufficient condition for one-sided continuity at a boundary point is given by Abel's theorem.

Formal power series 

In abstract algebra, one attempts to capture the essence of power series without being restricted to the fields of real and complex numbers, and without the need to talk about convergence. This leads to the concept of formal power series, a concept of great utility in algebraic combinatorics.

Power series in several variables 
An extension of the theory is necessary for the purposes of multivariable calculus. A power series is here defined to be an infinite series of the form

where  is a vector of natural numbers, the coefficients  are usually real or complex numbers, and the center  and argument  are usually real or complex vectors. The symbol  is the product symbol, denoting multiplication. In the more convenient multi-index notation this can be written

where  is the set of natural numbers, and so  is the set of ordered n-tuples of natural numbers.

The theory of such series is trickier than for single-variable series, with more complicated regions of convergence. For instance, the power series  is absolutely convergent in the set  between two hyperbolas.  (This is an example of a log-convex set, in the sense that the set of points , where  lies in the above region, is a convex set.  More generally, one can show that when c=0, the interior of the region of absolute convergence is always a log-convex set in this sense.)  On the other hand, in the interior of this region of convergence one may differentiate and integrate under the series sign, just as one may with ordinary power series.

Order of a power series 
Let  be a multi-index for a power series . The order of the power series f is defined to be the least value  such that there is aα ≠ 0 with , or  if f ≡ 0.  In particular, for a power series f(x) in a single variable x, the order of f is the smallest power of x with a nonzero coefficient.  This definition readily extends to Laurent series.

Notes

References

External links 
 
 
 Powers of Complex Numbers by Michael Schreiber, Wolfram Demonstrations Project.

Real analysis
Complex analysis
Multivariable calculus
Mathematical series
수학에서 멱급수(冪級數, ) 또는 거듭제곱 급수는 주어진 변수를 거듭제곱한 항들의 무한급수(무한차 다항식)이자 중심이 같은 일련의 멱함수들을 항으로 하는 무한 급수이다.

정의 
체 가 실수체 또는 복소수체라고 하자.
 
주어진 에 대하여, 중심 의 멱급수(中心-冪級數, )는 다음과 같은 꼴의 급수로 정의된다.

여기서

이다. 특히, 중심이 0인 멱급수

는 자주 사용된다. 이 멱급수가 수렴하게 만드는 의 집합

을 이 멱급수의 수렴 영역(收斂領域, )이라고 한다. 실수 멱급수의 경우 수렴 구간(收斂區間, )이라고 하기도 하고, 복소수 멱급수의 경우 수렴 원판(收斂圓板, )이라고 하기도 한다.

를 이 멱급수의 수렴 반지름(收斂半-, )이라고 한다.

연산

사칙연산 
중심이 같은 두 멱급수

의 수렴 반지름이 라고 하자. 그렇다면, 형식적 멱급수로서의 합, 차, 곱

의 수렴 반지름은 모두

에 속하며, 일 경우 합과 차의 수렴 반지름은 정확히 이다. 또한, 이들은 원래 두 멱급수의 수렴 영역의 교집합에서 각각 원래 두 멱급수의 합, 차, 곱으로 수렴한다. 만약 일 경우, 형식적 멱급수로서의 몫

의 수렴 반지름은

에 속한다. 여기서

이다. 특히, 이므로 수렴 반지름은 0보다 크다. 또한 이는 원래 두 멱급수의 수렴 영역과 스스로의 수렴 영역의 교집합으로부터 원래 둘째 멱급수의 영점을 제외한 집합에서 원래 두 멱급수의 몫으로 수렴한다.

합성 
두 멱급수

의 수렴 반지름이 라고 하자. 그렇다면, 형식적 멱급수로서의 합성

의 수렴 반지름은

에 속한다. 여기서

이다. 또한 이는 자신의 수렴 영역에서 원래 두 멱급수의 합성으로 수렴한다.

미분 
멱급수

의 수렴 반지름이 라고 하자. 그렇다면, 형식적 멱급수로서의 도함수

의 수렴 반지름은 역시 이다. 또한, 이는 수렴 영역의 내부 에서 원래 멱급수의 도함수로 수렴한다. 만약 도함수 멱급수가 수렴 영역의 어떤 경계점 에서 수렴한다면, 원래 멱급수 역시 에서 수렴한다. 그러나 이에 대한 역은 일반적으로 성립하지 않는다.

중심의 변경 
멱급수

의 수렴 반지름이 라고 하자. 그렇다면, 임의의 수렴 영역 내부의 점 에 대하여, 중심 의 멱급수

의 수렴 반지름은

에 속하며, 새로운 멱급수는 원래 멱급수와 스스로의 수렴 영역의 교집합에서 원래 멱급수로 수렴한다.

성질

수렴 반지름 
멱급수

의 수렴 반지름을 라고 하자. 그렇다면, 이 멱급수는 열린 공

에서 절대 수렴하고 콤팩트 수렴하며,

의 모든 점에서 발산한다. 특히, 만약 일 경우 수렴 영역은 이고, 만약 일 경우 수렴 영역은  전체이다. 만약 일 경우, 수렴 영역의 경계

의 점에서 멱급수는 수렴할 수도, 발산할 수도 있다. 또한, 만약 멱급수가 수렴 영역의 경계점 에서 수렴한다면, 멱급수는 선분

에서 균등 수렴한다. 특히, 실수 멱급수는 전체 수렴 영역에서 콤팩트 수렴한다.
 
코시-아다마르 정리에 따르면, 수렴 반지름 는 구체적으로 다음과 같다.

아벨 극한 정리 

멱급수

의 수렴 반지름이 이고, 이 멱급수가 수렴 영역의 경계점 에서 수렴한다고 하자. 아벨 극한 정리에 따르면, 임의의 에 대하여,

이다. 특히,

이 성립한다. 이에 따라, 실수 멱급수는 (수렴하는 경계점을 포함한) 수렴 영역 전체에서 연속 함수이며, 복소수 멱급수는 수렴하는 경계점 수렴 영역 내부의 다른 두 점을 꼭짓점으로 하는 임의의 닫힌 삼각형에서 연속 함수이다.

해석 함수와의 관계 
열린집합의 모든 열린원판에서 중심이 열린원판의 중심인 수렴하는 멱급수로 전개되는 함수를 해석 함수라고 한다. 특히, 모든 멱급수는 수렴 영역의 내부에서 해석 함수이다. 만약 일 경우, 해석 함수와 미분 가능 함수의 개념은 일치하며, 이를 다른 말로 정칙 함수라고도 한다. 그러나 만약 일 경우, 모든 계의 도함수를 갖는 함수는 해석 함수보다 약한 개념이다.
 
연결 열린집합 에 정의된 해석 함수 의 열린원판 에서의 멱급수 전개는 테일러 급수

로 유일하다. 만약 이 테일러 급수의 실제 수렴 반지름 이

를 만족시키고, 이 연결 열린집합이 되는

이 존재한다면, 는 에서의 멱급수 전개를 통해 를 포함하는 더 큰 연결 열린집합  위의 해석 함수로 확장될 수 있다. 즉,  위에서 의 해석적 연속이 존재한다. 주어진 해석 함수가 주어진 더 큰 정의역 위에서 해석적 연속을 갖는다면 이는 유일하다. 그러나 만약 일 경우, 위와 같은 확장 과정을 어떤 닫힌 곡선을 따라 반복하면 일반적으로 다가 함수를 얻는다. (이 과정을 닫힌 곡선을 따라 반복하려면, 에 정의된 함수를 확장하는 것이 아니라, 에 정의된 함수를 확장하여야 하며, 다음 단계들도 마찬가지다.) 일가 함수를 얻을 한 가지 충분 조건은 모노드로미 정리에서 제시된다.

특이점 
복소수 멱급수

의 수렴 반지름이 이라고 하자. 그렇다면, 이 멱급수는 특이 경계점을 갖는다. 즉, 의 근방 위에서 이 멱급수의 해석적 연속이 존재하지 않는 가 존재한다.

응용

상미분 방정식의 풀이 

위의 식을 이용해 다음의 미분 방정식을 풀 수 있다.

를 만족시키는 y를 거듭제곱 급수 형태로 가정하고 풀어낸다. 단, 가 에서 해석적(analytic)이어야 한다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 

실해석학
복소해석학
급수