In mathematics, specifically abstract algebra, an Artinian ring (sometimes Artin ring) is a ring that satisfies the descending chain condition on (one-sided) ideals; that is, there is no infinite descending sequence of ideals. Artinian rings are named after Emil Artin, who first discovered that the descending chain condition for ideals simultaneously generalizes finite rings and rings that are finite-dimensional vector spaces over fields. The definition of Artinian rings may be restated by interchanging the descending chain condition with an equivalent notion: the minimum condition.

Precisely, a ring is left Artinian if it satisfies the descending chain condition on left ideals, right Artinian if it satisfies the descending chain condition on right ideals, and Artinian or two-sided Artinian if it is both left and right Artinian.  For commutative rings the left and right definitions coincide, but in general they are distinct from each other.

The Wedderburn–Artin theorem characterizes every simple Artinian ring as a ring of matrices over a division ring.  This implies that a simple ring is left Artinian if and only if it is right Artinian.

The same definition and terminology can be applied to modules, with ideals replaced by submodules.

Although the descending chain condition appears dual to the ascending chain condition, in rings it is in fact the stronger condition.  Specifically, a consequence of the Akizuki–Hopkins–Levitzki theorem is that a left (resp. right) Artinian ring is automatically a left (resp. right) Noetherian ring.  This is not true for general modules; that is, an Artinian module need not be a Noetherian module.

Examples and counterexamples 
 An integral domain is Artinian if and only if it is a field.
 A ring with finitely many, say left, ideals is left Artinian. In particular, a finite ring (e.g., ) is left and right Artinian.
 Let k be a field. Then  is Artinian for every positive integer n.
 Similarly,  is an Artinian ring with maximal ideal .
 Let  be an endomorphism between a finite-dimensional vector space V. Then the subalgebra  generated by  is a commutative Artinian ring.
 If I is a nonzero ideal of a Dedekind domain A, then  is a principal Artinian ring.
 For each , the full matrix ring  over a left Artinian (resp. left Noetherian) ring R is left Artinian (resp. left Noetherian).

The following two are examples of non-Artinian rings.
 If R is any ring, then the polynomial ring R[x] is not Artinian, since the ideal generated by  is (properly) contained in the ideal generated by  for all natural numbers n. In contrast, if R is Noetherian so is R[x] by the Hilbert basis theorem.
 The ring of integers  is a Noetherian ring but is not Artinian.

Modules over Artinian rings 
Let M be a left module over a left Artinian ring. Then the following are equivalent (Hopkins' theorem): (i) M is finitely generated, (ii) M has finite length (i.e., has composition series), (iii) M is Noetherian, (iv) M is Artinian.

Commutative Artinian rings 
Let A be a commutative Noetherian ring with unity. Then the following are equivalent.
 A is Artinian.
 A is a finite product of commutative Artinian local rings.
  is a semisimple ring, where nil(A) is the nilradical of A.
 Every finitely generated module over A has finite length. (see above)
 A has Krull dimension zero. (In particular, the nilradical is the Jacobson radical since prime ideals are maximal.)
  is finite and discrete.
  is discrete.

Let k be a field and A finitely generated k-algebra. Then A is Artinian if and only if A is finitely generated as k-module.

An Artinian local ring is complete. A quotient and localization of an Artinian ring is Artinian.

Simple Artinian ring 
One version of the Wedderburn–Artin theorem states that a simple Artinian ring A is a matrix ring over a division ring. Indeed, let I be a minimal (nonzero) right ideal of A, which exists since A is Artinian (and the rest of the proof does not use the fact that A is Artinian). Then, since  is a two-sided ideal,  since A is simple. Thus, we can choose  so that . Assume k is minimal with respect that property. Consider the map of right A-modules:
 

It is surjective. If it is not injective, then, say,  with nonzero . Then, by the minimality of I, we have: . It follows:
 ,
which contradicts the minimality of k. Hence,  and thus .

See also 
 Artin algebra
 Artinian ideal
 Serial module
 Semiperfect ring
 Gorenstein ring
 Noetherian ring

Citations

References 

 
 
 Charles Hopkins. Rings with minimal condition for left ideals.  Ann. of Math. (2)  40,  (1939). 712–730.
 
 
 
 
 

Ring theory
환론에서 아르틴 환(Artin環, )은 아이디얼들이 내림 사슬 조건을 만족하는 환이다. 표면적으로는 뇌터 환의 반대 개념이지만, 사실 뇌터 환보다 훨씬 강한 개념이다. 대수기하학적으로 아르틴 가환환의 스펙트럼은 0차원 뇌터 아핀 스킴에 해당한다.

정의

아르틴 가군 
환  위의 왼쪽·오른쪽 가군 의 부분 가군들의 격자 가 내림 사슬 조건을 만족시킨다면, 이 왼쪽·오른쪽 아르틴 가군()이라고 한다.

가환환 위의 가군의 경우, 좌우 가군의 구분이 없으므로, 두 개념이 서로 일치한다.

아르틴 환 
환 가 스스로 위의 왼쪽·오른쪽 가군으로서 왼쪽·오른쪽 아르틴 가군을 이룬다면, 를 왼쪽·오른쪽 아르틴 환()이라고 한다. 왼쪽 아르틴 환이자 오른쪽 아르틴 환인 환을 아르틴 환이라고 한다. 환을 스스로의 가군으로 간주한다면, 부분 가군은 왼쪽·오른쪽 아이디얼이다. 따라서, 이는 왼쪽·오른쪽 아이디얼들의 격자가 내림 사슬 조건을 만족시키는 것과 같다.

가환환의 경우 왼쪽 아이디얼과 오른쪽 아이디얼의 구분이 없으므로, 왼쪽 아르틴 환 · 오른쪽 아르틴 환 · 아르틴 환의 개념이 전부 일치한다.

성질

아르틴 가군 
환  위의 왼쪽 가군  및 부분 가군 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 이 아르틴 가군이다.
 과  둘 다 아르틴 가군이다.
(유사한 조건이 뇌터 가군에 대해서도 성립한다.)

왼쪽 아르틴 환  위의 유한 생성 왼쪽 가군은 아르틴 가군이다. (유사한 조건이 뇌터 가군에 대해서도 성립한다.)

환  위의 왼쪽 가군 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 은 뇌터 가군이자 아르틴 가군이다.
 은 유한한 길이의 합성열을 갖는다. 즉, 이 존재하며, 은 모두 단순 가군이다.
특히, 유한 집합인 가군은 항상 뇌터 가군이자 아르틴 가군이다.

아르틴 환 
모든 유한환은 아르틴 환이다.

홉킨스-레비츠키 정리()에 따르면, 다음이 성립한다.
 모든 왼쪽 아르틴 환은 왼쪽 뇌터 환이다.
 모든 오른쪽 아르틴 환은 오른쪽 뇌터 환이다.
 모든 (양쪽) 아르틴 환은 (양쪽) 뇌터 환이다.
그러나 이는 가군에 대하여 성립하지 않는다. 즉, 뇌터 가군이 아닌 아르틴 가군이 존재한다.

아르틴-웨더번 정리()에 따르면, 임의의 환에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.
 왼쪽 아르틴 단순환이다.
 오른쪽 아르틴 단순환이다.
 나눗셈환 위의 행렬환이다.

아르틴 가환환 
가환환 에 대하여, 다음 조건들은 서로 동치이다.
 는 아르틴 환이다.
 는 유한개의 가환 아르틴 국소환들의 곱이다.
 는 뇌터 환이며, 크룰 차원이 0이다.
 는 뇌터 환이며, 는 유한 개의 점을 가지는 이산 공간이다.
 는 뇌터 환이며, 는 이산 공간이다.
즉, 대수기하학에서 아르틴 조건은 유한 이산 공간에 해당하는 조건이다.

정역 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 아르틴 환이다.
 체이다.

뇌터 국소환 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 아르틴 환이다.
 인 자연수 이 존재한다.

아르틴 가환환에 대하여, 다음이 성립한다.
 모든 소 아이디얼이 극대 아이디얼이다.
 유한 개의 소 아이디얼을 갖는다.
 영근기 가 제이컵슨 근기()와 같다.

예

아르틴 벡터 공간 
체  위의 가군(벡터 공간)의 경우 다음 세 조건이 서로 동치이다.
 아르틴 가군이다.
 뇌터 가군이다.
 유한 차원 벡터 공간이다.

아르틴 아벨 군 
아벨 군은 정수환  위의 가군이므로, 아르틴 아벨 군을 생각할 수 있다. 이 경우, 다음 포함 관계가 성립한다.
아벨 유한군 ⊊ 아르틴 아벨 군 ⊊ 꼬임군
여기서 꼬임군 는 임의의 원소 에 대하여, 인 양의 정수 가 존재하는 아벨 군이다.

오른쪽 아르틴 환이 아닌 왼쪽 아르틴 환 
무한 차수의 체의 확대

가 주어졌다고 하자. (예를 들어, 를 잡을 수 있다.) 그렇다면 삼각환

를 생각하자. 이는 왼쪽 아르틴 환이자 왼쪽 뇌터 환이지만, 오른쪽 아르틴 환이나 오른쪽 뇌터 환이 아니다.

아르틴 환이 아닌 0차원 국소환 
체 에 대한 가한 무한 다항식환 의 몫환

을 생각하자. 이는 하나의 소 아이디얼만을 갖는 0차원 국소환이지만, 뇌터 환이 아니며 따라서 아르틴 환도 아니다.

아르틴 환이 아닌 0차원 가환 축소환 
체들의 집합 를 생각하자. 그렇다면, 이들의 직접곱

은 항상 크룰 차원이 0차원인 축소환이다. 그렇다면 다음 세 조건이 서로 동치이다.
 는 아르틴 환이다.
 는 뇌터 환이다.
 는 유한 집합이다.
즉, 무한 개의 체들의 직접곱은 0차원 가환 축소환이지만 아르틴 환이 아니다.

뇌터 가군이 아닌 아르틴 가군 
프뤼퍼 군

을 생각하자. 이는 아벨 군이므로, 정수환 위의 가군으로 생각할 수 있다. 이는 아르틴 가군이지만, 뇌터 가군이 아니다. 예를 들어, 부분군의 오름 사슬

은 최대 원소를 갖지 않는다.

역사 
에밀 아르틴의 이름을 따 지어졌다.

참고 문헌

외부 링크

같이 보기 
 뇌터 환
 크룰 차원

환론
가환대수학