Algebraic combinatorics is an area of mathematics that employs methods of abstract algebra, notably group theory and representation theory, in various combinatorial contexts and, conversely, applies combinatorial techniques to problems in algebra.

History
The term "algebraic combinatorics" was introduced in the late 1970s. Through the early or mid-1990s, typical combinatorial objects of interest in algebraic combinatorics either admitted a lot of symmetries (association schemes, strongly regular graphs, posets with a group action) or possessed a rich algebraic structure, frequently of representation theoretic origin (symmetric functions, Young tableaux). This period is reflected in the area 05E, Algebraic combinatorics, of the AMS Mathematics Subject Classification, introduced in 1991.

Scope
Algebraic combinatorics has come to be seen more expansively as an area of mathematics where the interaction of combinatorial and algebraic methods is particularly strong and significant. Thus the combinatorial topics may be enumerative in nature or involve matroids, polytopes, partially ordered sets, or finite geometries. On the algebraic side, besides group theory and representation theory, lattice theory and commutative algebra are commonly used.

Important topics

Symmetric functions

The ring of symmetric functions is a specific limit of the rings of symmetric polynomials in n indeterminates, as n goes to infinity. This ring serves as universal structure in which relations between symmetric polynomials can be expressed in a way independent of the number n of indeterminates (but its elements are neither polynomials nor functions). Among other things, this ring plays an important role in the representation theory of the symmetric groups.

Association schemes

An association scheme is a collection of binary relations satisfying certain compatibility conditions. Association schemes provide a unified approach to many topics, for example combinatorial designs and coding theory. In algebra, association schemes generalize groups, and the theory of association schemes generalizes the character theory of linear representations of groups.

Strongly regular graphs

A strongly regular graph is defined as follows.  Let G = (V,E) be a regular graph with v vertices and degree k.  G is said to be strongly regular if there are also integers λ and μ such that:

 Every two adjacent vertices have λ common neighbours.
 Every two non-adjacent vertices have μ common neighbours.

A graph of this kind is sometimes said to be a srg(v, k, λ, μ).

Some authors exclude graphs which satisfy the definition trivially, namely those graphs which are the disjoint union of one or more equal-sized complete graphs, and their complements, the Turán graphs.

Young tableaux

A Young tableau (pl.: tableaux) is a combinatorial object useful in representation theory and Schubert calculus. It provides a convenient way to describe the group representations of the symmetric and general linear groups and to study their properties. Young tableaux were introduced by Alfred Young, a mathematician at Cambridge University, in 1900. They were then applied to the study of the symmetric group by Georg Frobenius in 1903. Their theory was further developed by many mathematicians, including Percy MacMahon, W. V. D. Hodge, G. de B. Robinson, Gian-Carlo Rota, Alain Lascoux, Marcel-Paul Schützenberger and Richard P. Stanley.

Matroids

A matroid is a structure that captures and generalizes the notion of linear independence in vector spaces. There are many equivalent ways to define a matroid, the most significant being in terms of independent sets, bases, circuits, closed sets or flats, closure operators, and rank functions.

Matroid theory borrows extensively from the terminology of linear algebra and graph theory, largely because it is the abstraction of various notions of central importance in these fields. Matroids have found applications in geometry, topology, combinatorial optimization, network theory and coding theory.

Finite geometries

A finite geometry is any geometric system that has only a finite number of points.
The familiar Euclidean geometry is not finite, because a Euclidean line contains infinitely many points. A geometry based on the graphics displayed on a computer screen, where the pixels are considered to be the points, would be a finite geometry. While there are many systems that could be called finite geometries, attention is mostly paid to the finite projective and affine spaces because of their regularity and simplicity.  Other significant types of finite geometry are finite Möbius or inversive planes and Laguerre planes, which are examples of a general type called Benz planes, and their higher-dimensional analogs such as higher finite inversive geometries.

Finite geometries may be constructed via linear algebra, starting from vector spaces over a finite field; the affine and projective planes so constructed are called Galois geometries.  Finite geometries can also be defined purely axiomatically. Most common finite geometries are Galois geometries, since any finite projective space of dimension three or greater is isomorphic to a projective space over a finite field (that is, the projectivization of a vector space over a finite field). However, dimension two has affine and projective planes that are not isomorphic to Galois geometries, namely the non-Desarguesian planes.  Similar results hold for other kinds of finite geometries.

See also 
 Algebraic graph theory
 Combinatorial commutative algebra
 Algebraic Combinatorics (journal)
 Journal of Algebraic Combinatorics
 Polyhedral combinatorics

Citations

Works cited

. (Chapters from preliminary draft are available on-line.)

Further reading

External links
대수적 조합론()은 다양한 조합적 맥락에서 추상 대수학, 특히 군론 및 표현론의 방법을 사용하거나, 반대로 대수 문제에 조합적 방법을 적용하는 수학 분야이다.

역사 
"대수적 조합론"이라는 용어는 1970년대 후반에 도입되었다. 1990년대 초반이나 중반을 통해 대수적 조합론에서 관심을 갖는 전형적인 조합 객체는 많은 대칭 (결합 체계, 강한 정규 그래프, 군 작용이 있는 부분 순서 집합)을 인정하거나 풍부한 대수 구조를 가지고 있으며, 종종 표현 이론의 기원(대칭 함수, 영 타블로)을 갖는다. 이 기간은 1991년에 도입된 AMS 수학 분류의 05E, 대수적 조합에 반영된다.

범위 
대수적 조합론은 조합 및 대수적 방법의 상호 작용이 특히 강력하고 중요한 수학 영역으로 보다 광범위하게 보여지게 되었다. 따라서 조합 주제는 본질적으로 열거 적이거나 매트로이드, 다포체, 부분적으로 정렬된 집합 또는 유한 기하학을 포함할 수 있다. 대수학적인 측면에서는 군론과 표현론 외에 격자론과 가환대수학이 통용된다.

중요한 주제

대칭 함수 
대칭 함수 환은 n이 무한대로 갈 때 n 불확정에서 대칭 다항식의 환의 특정 극한이다. 이 환은 대칭 다항식 사이의 관계가 불확정수의 n 과 독립적인 방식으로 표현될 수 있는 보편적인 구조 역할을 한다(그러나 그 요소는 다항식도 함수도 아니다). 무엇보다도 이 환은 대칭 군의 표현 이론에서 중요한 역할을 한다.

결합 도식 
결합 도식은 특정 호환성 조건을 만족하는 이항 관계 의 모음이다. 결합 도식은 예를 들어 조합 설계 및 부호론과 같은 많은 주제에 대한 통합적 접근 방식을 제공한다.   대수학에서 결합 도식은 군을 일반화하고 연합 체계 이론은 군의 선형 표현에 대한 지표 이론을 일반화한다.

강한 정규 그래프 
강한 정규 그래프는 다음과 같이 정의된다. G = ( V, E )를 정점 v 와 차수가 k 인 정규 그래프 라고 한다. 다음과 같은 정수 λ 및 μ도 있는 경우 G는 강한 정규 그래프라고 한다.

 인접한 두 정점 마다 λ 공통 이웃이 있다.
 인접하지 않은 두 정점마다 공통 이웃이 있다.

이러한 종류의 그래프는 때때로 srg( v, k, λ, μ)라고 한다.

일부 저자는 정의를 자명하게 충족하는 그래프, 즉 하나 이상의 동일한 크기의 완전한 그래프   및 그 여 그래프인 튜란 그래프의 분리된 합집합인 그래프를 제외한다.

영 타블로 
영 타블로(pl.: tableaux )는 표현론과 슈베르트 미적분학에서 유용한 조합적 대상이다. 대칭 및 일반 선형 군의 군 표현을 설명하고 성질을 연구하는 편리한 방법을 제공한다. 영 타블로는 1900년 캠브리지 대학의 수학자 Alfred Young 에 의해 소개되었다. 그런 다음 그들은 1903년 게오르그 프로베니우스의 대칭군 연구에 적용되었다. 그들의 이론은 Percy MacMahon, WVD Hodge, G. de B. Robinson, Gian-Carlo Rota, Alain Lascoux, Marcel-Paul Schützenberger 및 Richard P. Stanley를 포함한 많은 수학자에 의해 더욱 발전되었다.

매트로이드 
매트로이드는 선형 공간에서 선형 독립의 개념을  일반화하는 구조이다. 매트로이드를 정의하는 동등한 방법이 많이 있으며, 가장 중요한 개념들은 독립 집합, 기저, 회로, 닫힌 집합 또는 평면, 폐포 연산자 및 랭크 함수 등이다.

매트로이드 이론은 선형 대수학 및 그래프 이론 의 용어에서 광범위하게 차용하는데, 주로 이 분야에서 중심적으로 중요한 다양한 개념의 추상화이기 때문이다. 메트로이드들은 기하학, 위상수학, 조합 최적화, 네트워크 이론 및 부호론에서 응용을 찾았다.

유한 기하학 
유한 기하학은 유한한 수의 점 다루는 기하학이다. 익숙한 유클리드 기하학은 유한하지 않다. 왜냐하면 유클리드 직선은 무한히 많은 점을 포함하기 때문이다. 화소가 점으로 간주되는 컴퓨터 화면에 표시되는 그래픽을 기반으로 하는 기하학은 유한 기하학이다. 유한 기하학이라고 부를 수 있는 많은 시스템이 있지만 규칙성과 단순성 때문에 유한 사영 공간과 아핀 공간에 주로 주의를 기울인다. 유한 기하학의 다른 중요한 유형은 유한 뫼비우스 또는 반전 평면 과 라게르 평면이며, 이는 벤츠 평면이라고 하는 일반적인 유형의 예이며, 더 높은 유한 반전기하학과 같은 고차원 아날로그이다.

유한 기하학은 선형 대수학을 통해 구성될 수 있으며, 유한체 선형 공간에서 시작한다. 이렇게 구성된 아핀 평면과 사영 평면을 갈루아 기하학 이라고 한다. 유한 기하학은 순전히 공리적으로 정의될 수도 있다. 가장 일반적인 유한 기하학은 갈루아 기하학이다. 3차원 이상의 유한 사영 공간은 유한 체 사영 공간과 동형 이기 때문이다(즉, 유한 체 선형 공간의 사영). 그러나 2차원에서는 갈루아 기하학과 동형이 아닌 아핀 및 사영 평면, 즉 비데자르게 평면이 있다. 유사한 결과가 다른 종류의 유한 형상에도 적용된다.

같이 보기 
 대수 그래프 이론
 조합 가환 대수
 대수적 조합론 저널
 다면체 조합론

인용

인용 문헌 

 . (Chapters from preliminary draft are available on-line.)

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외부 링크 
 

대수적 조합론