Let's call the double-digit integer $\underline{xy}$. The sum of the digits is $x+y$. And the product of the digits is $xy$ We know $\underline{xy}$ is divisible by both $x+y$ and $xy$. Or in other words, $\frac{\underline{xy}}{x+y}$ is an integer, as well as $\frac{\underline{xy}}{xy}$. The second fraction simplifies to $\frac{10x+y}{xy}$. That means that $10x+y$ is divisible by $xy$. The first fraction simplifies to $\frac{10x+y}{x+y}$. That means $10x+y$ is divisible by $x+y$ We want to find all the values of $x$ and $y$ that make $10x+y$ divisible by both $x+y$ and $xy$. Let's start by finding all the values of $x$ and $y$ that make $10x+y$ divisible by $x+y$. $10x+y$ is divisible by $x+y$ if and only if $9x$ is divisible by $x+y$. So let's find all the values of $x$ and $y$ that make $9x$ divisible by $x+y$. Right. So that means $(x+y)m=10x+y$, which means $xm+ym=10x+y$. And that means $xm-10x=y-ym$. We can factor $x$ out of the left side, to get $x(m-10)=y-ym$. And $y$ out of the right side, to get $x(m-10)=y(1-m)$. So $m$ must be either $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$, $8$, or $9$. So $\frac{10+\frac{y}{x}}{y}=\frac{10+\frac{m-10}{1-m}}{y}$. Which means $\frac{10+\frac{m-10}{1-m}}{y}$ is an integer. We get $\frac{10(1-m)+m-10}{(1-m)y}$. This sum is $\frac{-9m}{(1-m)y}$. $9m$ is divisible by $m-1$ if and only if $9$ is divisible by $m-1$. $9$ is divisible by $1$, $3$, and $9$. We already said $m$ cannot be $1$ or $10$. Let's see what happens when $m=2$. We get $x(2-10)=y(1-2)$. Or $-8x=-y$. That means $8x=y$. But $x$ and $y$ have to be digits! Right. $y$ has to be a multiple of $8$. And $x$ has to be a positive integer. The only multiple of $8$ that is less than $10$ is $8$. So $y=8$ and $x=1$. That means our number is $18$. Let's see if $18$ is divisible by $8$ and $1+8$. $18$ is not divisible by $8$. So $18$ is not an acceptable number. Let's see what happens when $m=4$. We get $x(4-10)=y(1-4)$. Or $-6x=-3y$. That means $2x=y$. $y$ has to be a multiple of $2$. And $x$ has to be a positive integer. The multiples of $2$ less than $10$ are $2$, $4$, $6$, and $8$. So $y$ can be $2$, $4$, $6$, or $8$. And $x$ can be $1$, $2$, $3$, or $4$. So the possible numbers are $12$, $24$, $36$, and $48$. $12$ is divisible by $3$ and $4$. $24$ is divisible by $6$ and $8$. So, the sum of the two-digit integers that are divisible by both the sum and product of their digits is $12+24+36=72$.


두 자리 정수를 $\underline{xy}$라고 부르겠습니다. 자릿수의 합은 $x+y$입니다. 그리고 자릿수의 곱은 $xy$입니다. 우리는 $\underline{xy}$가 $x+y$와 $xy$ 모두로 나눌 수 있다는 것을 알고 있습니다. 즉, $\frac{\underline{xy}}{x+y}$는 정수이며, $\frac{\underline{xy}}{xy}$도 정수가 됩니다. 두 번째 분수는 $\frac{10x+y}{xy}$로 단순화됩니다. 즉, $10x+y$는 $xy$로 나눌 수 있습니다. 첫 번째 분수는 $\frac{10x+y}{x+y}$로 단순화됩니다. 즉, $10x+y$는 $x+y$로 나눌 수 있습니다. 이제 $10x+y$를 $x+y$와 $xy$로 나눌 수 있게 하는 $x$와 $y$의 모든 값을 찾고자 합니다. 먼저 $10x+y$를 $x+y$로 나눌 수 있게 하는 $x$와 $y$의 모든 값을 찾아보겠습니다. 10x+y$는 $9x$가 $x+y$로 나눌 수 있는 경우에만 $x+y$로 나눌 수 있습니다. 따라서 $9x$를 $x+y$로 나눌 수 있게 하는 $x$와 $y$의 모든 값을 찾아봅시다. 맞습니다. 따라서 $(x+y)m=10x+y$, 즉 $xm+ym=10x+y$가 됩니다. 그리고 이는 $xm-10x=y-y$를 의미합니다. 왼쪽에서 $x$를 인수분해하여 $x(m-10)=y-y$를 구할 수 있습니다. 그리고 오른쪽에서 $y$를 인수분해하면 $x(m-10)=y(1-m)$가 됩니다. 따라서 $m$은 $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$, $8$, $9$ 중 하나여야 합니다. So $\frac{10+\frac{y}{x}}{y}=\frac{10+\frac{m-10}{1-m}}{y}$. 즉, $\frac{10+\frac{m-10}{1-m}}{y}$는 정수가 됩니다. 우리는 $\frac{10(1-m)+m-10}{(1-m)y}$를 얻습니다. 이 합은 $\frac{-9m}{(1-m)y}$입니다. 9m$은 $9$가 $m-1$로 나눌 수 있는 경우에만 $9m$을 $m-1$로 나눌 수 있습니다. 9$는 $1$, $3$, $9$로 나눌 수 있습니다. 이미 $m$은 $1$ 또는 $10$이 될 수 없다고 말했습니다. m=2$일 때 어떻게 되는지 살펴봅시다. x(2-10)=y(1-2)$가 됩니다. 또는 $8x=-y$가 됩니다. 즉, $8x=y$가 됩니다. 하지만 $x$와 $y$는 숫자여야 합니다! 맞습니다. y$는 $8$의 배수여야 합니다. 그리고 $x$는 양의 정수여야 합니다. 10$보다 작은 $8$의 유일한 배수는 $8$입니다. 따라서 $y=8$이고 $x=1$입니다. 즉, 우리의 숫자는 $18$입니다. 18$을 $8$과 $1+8$로 나눌 수 있는지 살펴봅시다. 18$은 $8$로 나눌 수 없습니다. 따라서 $18$은 허용되는 숫자가 아닙니다. m=4$일 때 어떤 일이 일어나는지 봅시다. x(4-10)=y(1-4)$가 됩니다. 또는 $-6x=-3y$가 됩니다. 즉, $2x=y$입니다. $y$는 $2$의 배수여야 합니다. 그리고 $x$는 양의 정수여야 합니다. 10$보다 작은 $2$의 배수는 $2$, $4$, $6$, $8$입니다. 따라서 $y$는 $2$, $4$, $6$ 또는 $8$일 수 있습니다. 그리고 $x$는 $1$, $2$, $3$, $4$가 될 수 있습니다. 따라서 가능한 숫자는 $12$, $24$, $36$, $48$입니다. 12$는 $3$와 $4$로 나눌 수 있고, $24$는 $6$와 $8$로 나눌 수 있습니다. 따라서 자릿수의 합과 곱으로 나눌 수 있는 두 자리 정수의 합은 $12+24+36=72$입니다.

