Let's solve the system of equations step by step.

From equation 1:
19(x + y) + 17 = 19(-x + y) - 21
19x + 19y + 17 = -19x + 19y - 21
Adding 19x to both sides:
19x + 19y + 17 + 19x = 19y - 21
38x + 19y + 17 = 19y - 21
Subtracting 19y from both sides:
38x + 17 = -21
38x = -21 - 17
38x = -38
x = -38 / 38
x = -1

Now we have the value of x, let's use it in equation 2 to find y and z:
11(x - z) + 23 = 27(y + z) + 15
11(-1 - z) + 23 = 27(y + z) + 15
-11 - 11z + 23 = 27y + 27z + 15
-11z - 11 + 23 = 27y + 27z + 15
-11z + 12 = 27y + 27z + 15
Subtracting 27z from both sides:
-11z + 12 - 27z = 27y + 15
-38z + 12 = 27y + 15
Subtracting 12 from both sides:
-38z = 27y + 15 - 12
-38z = 27y + 3
Dividing by -38:
z = -(27y + 3) / 38

We cannot solve for y and z from equation 2 alone, so let's use equation 3 with the value of x:
13(x + y + z) - 9 = 7(x - y) + 39
13(-1 + y + z) - 9 = 7(-1 - y) + 39
-13 + 13y + 13z - 9 = -7 - 7y + 39
13y + 13z - 22 = -7y + 32
Adding 7y to both sides:
13y + 13z - 22 + 7y = 32
20y + 13z - 22 = 32
Adding 22 to both sides:
20y + 13z = 54
Dividing by 20:
y + (13/20)z = 54/20
y = 54/20 - (13/20)z

Now we have expressions for y and z in terms of each other, but we need another equation to solve for their exact values. Unfortunately, equation 4 involves w and does not help us solve for y and z directly. We need to find w in terms of x, y, and z.

From equation 4:
w^2 - 3(x^2) + 2(z^2) = 4y^2 + 5w - 31
Substituting x = -1:
w^2 - 3(-1)^2 + 2(z^2) = 4y^2 + 5w - 31
w^2 - 3 + 2z^2 = 4y^2 + 5w - 31
w^2 + 2z^2 - 4y^2 = 5w - 28
w^2 - 5w + 2z^2 - 4y^2 + 28 = 0

This is a quadratic equation in terms of w, and we can solve for w using the quadratic formula, but we need the values of y and z to do so. Since we don't have another independent equation to solve for y and z, we cannot find a unique solution for w, x, y, and z with the given equations. We need more information or another independent equation to solve this system completely.
방정식 시스템을 단계별로 풀어봅시다.

방정식 1에서부터 시작하겠습니다:
19(x + y) + 17 = 19(-x + y) - 21
19x + 19y + 17 = -19x + 19y - 21
양쪽에 19x를 더합니다:
19x + 19y + 17 + 19x = 19y - 21
38x + 19y + 17 = 19y - 21
양쪽에서 19y를 뺍니다:
38x + 17 = -21
38x = -21 - 17
38x = -38
x = -38 / 38
x = -1

이제 x의 값을 알았으니 방정식 2에서 사용하여 y와 z를 구해 봅시다:
11(x - z) + 23 = 27(y + z) + 15
11(-1 - z) + 23 = 27(y + z) + 15
-11 - 11z + 23 = 27y + 27z + 15
-11z - 11 + 23 = 27y + 27z + 15
-11z + 12 = 27y + 27z + 15
양쪽에서 27z를 뺍니다:
-11z + 12 - 27z = 27y + 15
-38z + 12 = 27y + 15
양쪽에서 12를 뺍니다:
-38z = 27y + 15 - 12
-38z = 27y + 3
-38로 나눕니다:
z = -(27y + 3) / 38

방정식 2만으로는 y와 z를 풀 수 없으므로 x의 값을 사용하여 방정식 3을 사용하겠습니다:
13(x + y + z) - 9 = 7(x - y) + 39
13(-1 + y + z) - 9 = 7(-1 - y) + 39
-13 + 13y + 13z - 9 = -7 - 7y + 39
13y + 13z - 22 = -7y + 32
양쪽에 7y를 더합니다:
13y + 13z - 22 + 7y = 32
20y + 13z - 22 = 32
양쪽에 22를 더합니다:
20y + 13z = 54
20으로 나눕니다:
y + (13/20)z = 54/20
y = 54/20 - (13/20)z

이제 y와 z를 서로에 대한 표현식으로 얻었지만 정확한 값을 풀려면 다른 방정식이 필요합니다. 안타깝게도 방정식 4는 w를 포함하므로 y와 z를 직접 풀기에는 도움이 되지 않습니다. x, y, z의 관점에서 w를 찾아야 합니다.

방정식 4에서부터 시작합니다:
w^2 - 3(x^2) + 2(z^2) = 4y^2 + 5w - 31
x = -1을 대입합니다:
w^2 - 3(-1)^2 + 2(z^2) = 4y^2 + 5w - 31
w^2 - 3 + 2z^2 = 4y^2 + 5w - 31
w^2 + 2z^2 - 4y^2 = 5w - 28
w^2 - 5w + 2z^2 - 4y^2 + 28 = 0

이것은 w에 대한 이차 방정식이며, 이차 공식을 사용하여 w를 풀 수 있지만 y와 z의 값이 필요합니다. y와 z를 풀기 위한 다른 독립적인 방정식이 없기 때문에 주어진 방정식으로 w, x, y, z의 고유한 해를 찾을 수 없습니다. 이 시스템을 완전히 풀려면 더 많은 정보나 다른 독립 방정식이 필요합니다.