The method of image charges (also known as the method of images and method of mirror charges) is a basic problem-solving tool in electrostatics. The name originates from the replacement of certain elements in the original layout with imaginary charges, which replicates the boundary conditions of the problem (see Dirichlet boundary conditions or Neumann boundary conditions).

The validity of the method of image charges rests upon a corollary of the uniqueness theorem, which states that the electric potential in a volume V is uniquely determined if both the charge density throughout the region and the value of the electric potential on all boundaries are specified.  Alternatively, application of this corollary to the differential form of Gauss' Law shows that in a volume V surrounded by conductors and containing a specified charge density ρ, the electric field is uniquely determined if the total charge on each conductor is given.  Possessing knowledge of either the electric potential or the electric field and the corresponding boundary conditions we can swap the charge distribution we are considering for one with a configuration that is easier to analyze, so long as it satisfies Poisson's equation in the region of interest and assumes the correct values at the boundaries.

Reflection in a conducting plane

Point charges
The simplest example of method of image charges is that of a point charge, with charge q, located at  above an infinite grounded (i.e.: ) conducting plate in the xy-plane.  To simplify this problem, we may replace the plate of equipotential with a charge −q, located at . This arrangement will produce the same electric field at any point for which  (i.e., above the conducting plate), and satisfies the boundary condition that the potential along the plate must be zero.  This situation is equivalent to the original setup, and so the force on the real charge can now be calculated with Coulomb's law between two point charges.

The potential at any point in space, due to these two point charges of charge +q at +a and −q at −a on the z-axis, is given in cylindrical coordinates as

The surface charge density on the grounded plane is therefore given by

In addition, the total charge induced on the conducting plane will be the integral of the charge density over the entire plane, so:

 
The total charge induced on the plane turns out to be simply −q. This can also be seen from the Gauss's law, considering that the dipole field decreases at the cube of the distance at large distances, and the therefore total flux of the field though an infinitely large sphere vanishes.

Because electric fields satisfy the superposition principle, a conducting plane below multiple point charges can be replaced by the mirror images of each of the charges individually, with no other modifications necessary.

Electric dipole moments 
The image of an electric dipole moment p at  above an infinite grounded conducting plane in the xy-plane is a dipole moment at  with equal magnitude and direction rotated azimuthally by π.  That is, a dipole moment with Cartesian components  will have in image dipole moment .  The dipole experiences a force in the z direction, given by

and a torque in the plane perpendicular to the dipole and the conducting plane,

Reflection in a dielectric planar interface 

Similar to the conducting plane, the case of a planar interface between two different dielectric media can be considered. If a point charge  is placed in the dielectric that has the dielectric constant , then the interface (with the dielectric that has the dielectric constant ) will develop a bound polarization charge. It can be shown that the resulting electric field inside the dielectric containing the particle is modified in a way that can be described by an image charge inside the other dielectric. Inside the other dielectric, however, the image charge is not present.

Unlike the case of the metal, the image charge  is not exactly opposite to the real charge: . It may even have the same sign, if the charge is placed inside the stronger dielectric material (charges are repelled away from regions of lower dielectric constant). This can be seen from the formula.

Reflection in a conducting sphere

Point charges
The method of images may be applied to a sphere as well. In fact, the case of image charges in a plane is a special case of the case of images for a sphere. Referring to the figure, we wish to find the potential inside a grounded sphere of radius R, centered at the origin, due to a point charge inside the sphere at position  (For the opposite case, the potential outside a sphere due to a charge outside the sphere, the method is applied in a similar way). In the figure, this is represented by the green point. Let q be the point charge of this point. The image of this charge with respect to the grounded sphere is shown in red. It has a charge of q′=−qR/p and lies on a line connecting the center of the sphere and the inner charge at vector position . It can be seen that the potential at a point specified by radius vector  due to both charges alone is given by the sum of the potentials:

Multiplying through on the rightmost expression yields:

and it can be seen that on the surface of the sphere (i.e. when r=R), the potential vanishes. The potential inside the sphere is thus given by the above expression for the potential of the two charges. This potential will NOT be valid outside the sphere, since the image charge does not actually exist, but is rather "standing in" for the surface charge densities induced on the sphere by the inner charge at . The potential outside the grounded sphere will be determined only by the distribution of charge outside the sphere and will be independent of the charge distribution inside the sphere. If we assume for simplicity (without loss of generality) that the inner charge lies on the z-axis, then the induced charge density will be simply a function of the polar angle θ  and is given by:

The total charge on the sphere may be found by integrating over all angles:

Note that the reciprocal problem is also solved by this method. If we have a charge q at vector position  outside of a grounded sphere of radius R, the potential outside of the sphere is given by the sum of the potentials of the charge and its image charge inside the sphere. Just as in the first case, the image charge will have charge −qR/p and will be located at vector position . The potential inside the sphere will be dependent only upon the true charge distribution inside the sphere. Unlike the first case the integral will be of value −qR/p.

Electric dipole moments
The image of an electric point dipole is a bit more complicated. If the dipole is pictured as two large charges separated by a small distance, then the image of the dipole will not only have the charges modified by the above procedure, but the distance between them will be modified as well. Following the above procedure, it is found that a dipole with dipole moment  at vector position  lying inside the sphere of radius R will have an image located at vector position  (i.e. the same as for the simple charge) and will have a simple charge of:

and a dipole moment of:

Method of inversion 

The method of images for a sphere leads directly to the method of inversion. If we have a harmonic function of position  where  are the spherical coordinates of the position, then the image of this harmonic function in a sphere of radius R about the origin will be

If the potential  arises from a set of charges of magnitude  at positions , then the image potential will be the result of a series of charges of magnitude  at positions . It follows that if the potential  arises from a charge density , then the image potential will be the result of a charge density .

See also
 Kelvin transform
 Coulomb's law
 Divergence theorem
 Flux
 Gaussian surface
 Schwarz reflection principle
 Uniqueness theorem for Poisson's equation
 Image antenna
 Surface equivalence principle

References

Further reading 
 
 
 

Electromagnetism
Electrostatics
영상법(映像法, )은 라플라스 방정식의 경계값 문제를 좀 더 쉬운 다른 문제로 바꾸어 푸는 방법이다. 영상법의 타당성은 유일성의 정리에 의해 증명된다. 이 때, 바뀐 문제에서는 원래 문제의 전하에 대응하는 가상의 전하를 추가하므로, 이 가상의 전하를 마치 거울에 비치는 영상에 비유한 것이다.

평면에서의 영상법 

무한한 도체 평면 위에 전하가 있다고 하자. 그렇다면 정전기 유도에 의하여 도체 표면에 전하가 유도된다. 이러한 계에서 공간 모든 위치의 전위를 계산하는 정전기학 문제를 생각해 보자. 도체 표면 위의 전위는 일정하므로, 이를 편의상 0으로 놓자.

이러한 문제는 직접 계산하기 힘들지만, 그림과 같이 평면 반대쪽에 정확하게 같은 위치에 있지만 그 부호가 다른 전하를 가상으로 추가하고, 도체 평면을 없애자. 이 문제는 비교적 쉽게 풀 수 있다. 이 새로운 문제에서는 대칭에 따라 서로 부호가 다른 두 전하 정중앙에서는 전위가 정확히 0이다. 즉, 새로운 문제의 해는 원래 문제의 디리클레 경계 조건 (즉, 평면 위에 전위가 0인 것)을 만족한다. 라플라스 방정식의 경계 조건을 만족시키는 해는 유일하므로, 원래 문제의 해는 새로운 문제의 해와 (도체 위의 부분에서) 같다.

가장 간단한 예는 그림과 같이 하나의 점전하가 있는 경우지만, 임의의 전하 분포에 대해서도 사용할 수 있다.

구면에서의 영상법 
구면에서도 영상법을 적용할 수 있다. 그림과 같이, 반지름 의 도체 구면 안에 점전하 가 구 한가운데에서 만큼 떨어져 있는 곳에 있다고 하자. 이 경우도 마찬가지로 정전기 유도에 의하여 도체 표면에 디리클레 경계 조건을 적용하여야 한다. 평면의 경우와 마찬가지로, 도체 표면의 전위를 0으로 놓자.

이 문제는 다음과 같이 바꿀 수 있다. 그림과 같이, 구의 중심에서 만큼 떨어진 곳에 가상의 전하 를 놓자. 그렇다면 이 새 문제의 해는 원래 문제의 디리클레 경계 조건을 만족한다는 사실을 계산으로 확인할 수 있다.

구면 밖에 전하가 위치해 있는 경우나 점전하 대신 임의의 전하 분포가 있는 경우도 마찬가지로 다룰 수 있다.

선형 유전체에서의 영상법

선형 유전체에 유도되는 전하 
선형 유전체는 를 만족하는 물질이다. 전기 감수율 를 가지는 유전체 내부에 전하량 를 가지는 입자를 위치시킨다고 가정해보자. 입자가 유전체 내부에 배치되는 순간, 구속 전하가 입자가 만드는 전기장에 의해 재배열되고, 구속 전하와 원래 입자에 의한 새로운 전기장이 유도된다. 이때, 유도되는 구속 전하 밀도는와 같이 주어진다. 입자에 의한 와 유도되는 를 합하면 전체 전하량 을 얻을 수 있다. 또한 상대유전율은 전기 감수율과 의 관계를 가지기 때문에 정리하면 을 얻을 수 있다.

평면에서의 영상법 
진공에 놓인 도체 평판과 동일하게, 에서 유전율 , 에서 유전율 을 가지는 유전체가 에서 직선 경계를 가진다고 생각하자. 이때 경계면과 만큼 떨어진곳에 전하량 를 가지를 입자를 위치했을 때 생기는 전위는 영상법을 이용해 계산 가능하다. 에서의 전위를 에 영상 전하 를,  에서의 전위를 에 영상 전하 를 위치시켜 계산하면

과 같이 식을 얻을 수 있다.  전위는 연속적이고, 경계면에서 자유 전하가 존재하지 않음으로 에서 경계조건은 , 으로 주어진다. 변위장은 을 만족하므로, 두번째 조건을 와 같이 변위에 대해 바꿀 수 있다.

으로 두면, 경계조건은 , 에 대해 다음 두 식을 만족한다.

이를 다시  , 에 대해 정리하면 , 이다.

따라서, 영상전하는 , 과 같이 주어지며, 각 영역에서의 전위는

이다.

구속 전하를 이용한 영상법 
먼저 입자에 의한 전기장에 의해 유도되는 구속 전하를 계산해 선형 유전체 내에서의 상황을 진공에서의 상황으로 바꾸어 접근할 수 있다. 입자를 유전체 내부에 위치했을 때 전위에 관여하는 전하는 4개이다.
 유전체 내부에 위치한 점전하 
 점전하 주위로 유도되는 구속 전하
 위쪽 경계면에 유도되는 구속 전하
 아래쪽 경계면에 유도되는 구속 전하

1, 2에 의한 총전하량은 으로 주어진다. 에서의 전위는 3, 4에 의한 영향을 영역에 경계면으로부터 만큼 위치한 영상 전하 으로 대신해서 다음과 같이 얻을 수 있다. 

이때, 유전체에 의한 효과를 구속 전하로 치환해 전위를 구할 때 유전체의 효과를 나타내는 대신 진공에서의 를 사용한다. 마찬가지로, 에서의 전위는 다음과 같이 주어진다.

이때, 대칭적 구조에 의해 영상 전하는 과 반대의 지점에 위치하게 된다.

으로 두면, 경계조건은 , 에 대해 다음 두 식을 만족한다.

이를 다시  , 에 대해 정리하면 , 이다.

따라서, 영상 전하는 와 같이 주어지며, 각 영역에서의 전위는

와 같다.

이므로, 직접 영상법을 이용해 계산한 전위와 구속 전하를 먼저 계산한 이후 영상법을 사용한 전위가 동일한 것을 확인할 수 있다.

힘과 에너지

평면에서의 영상법 
영상법을 통해 구한 구조에서 전하량 의 입자가 받는 힘은 으로 주어진다.

의 거리만큼 떨어진 두 실제 입자계의 에너지는 와 같이 주어진다.

영상 전하-전하 쌍의 경우 에너지는 으로, 를 만족한다.

이는 을 생각했을때, 영상법의 경우 도체 내부에서 전기장이 없기 때문에 전하-전하쌍에 비해 에너지가 반으로 준다는 것을 확인할 수 있다.

물리적 해석 
각 경우에 구한 전위를 바탕으로 공간에 유도되는 전하를 계산했을때, 유도 전하량과 영상법을 사용할 때 임의로 잡은 영상 전하의 전하량이 일치하는 것을 확인할 수 있다. 즉, 영상 전하의 기원은 실제로 유도되는 전하의 분포에서 온다고 볼 수 있다.

평면에서의 영상법 
영상법을 이용해 구한 전위는 으로 주어진다. 이때, 실제로 도체 표면에 유도되는 전하량을 구하기 위해 를 사용하면 를 얻을 수 있다.

따라서 유도되는 총 전하량은 와 같다.

즉, 도체 표면에 실제로 유도되는 전하량은 도체 위에 위치한 전하량과 크기는 같고 부호는 반대이다.

선형 유전체에서의 영상법 
영상법을 이용해 구한 전위는

, 으로 주어진다.

마찬가지로 각 표면에 유도되는 구속 전하는 와 같다.

이때 표면에 유도되는 전하량은 이다.

같이 보기 
 반사 원리

참고 문헌

외부 링크 
 인하대학교 강의 노트 — 영상법

전자기학
정전기학