Let's analyze the given equation AB + BC = BCB, where A, B, and C are different numbers.

Since AB and BC are two-digit numbers and BCB is a three-digit number, we can rewrite the equation as:

10A + B + 10B + C = 100B + 10C + B

Now, let's combine like terms:

10A + 11B + C = 100B + 10C + B

We can simplify this further:

10A + 11B + C = 101B + 10C

Now, let's isolate A:

10A = 101B + 10C - 11B - C
10A = 90B + 9C

Since A, B, and C are different numbers and each is a single digit, B and C can be any number from 0 to 9, but A cannot be 0 because AB is a two-digit number. Also, B cannot be 0 because BCB is a three-digit number.

Now, we need to find values for B and C such that 10A is a multiple of 10 (since A is a single digit, 10A must be a multiple of 10) and A, B, and C are different numbers.

Let's try to find a combination of B and C that satisfies the equation:

10A = 90B + 9C

Since A is a single digit, the maximum value for 10A is 90 (when A = 9). This means that the maximum value for B is 1 (since 90B would be greater than 90 if B were any larger). However, if B were 1, then 90B would be 90, and there would be no value left for C (since A, B, and C must be different).

Therefore, B cannot be 1. Let's try B = 2:

10A = 90(2) + 9C
10A = 180 + 9C

This is not possible because 10A cannot be greater than 90.

Let's try B = 1 and find a suitable C:

10A = 90(1) + 9C
10A = 90 + 9C

Now, we need to find a value for C such that 10A is a multiple of 10 and less than or equal to 90. Since B is 1, C cannot be 1 and must be a different number.

If C = 0 (which is not possible since BCB is a three-digit number and C cannot be 0), then A would be 9, but A and C cannot be the same.

If C = 2, then:

10A = 90 + 9(2)
10A = 90 + 18
10A = 108

This is not possible because 10A must be less than or equal to 90.

If C = 3, then:

10A = 90 + 9(3)
10A = 90 + 27
10A = 117

This is not possible for the same reason.

If C = 4, then:

10A = 90 + 9(4)
10A = 90 + 36
10A = 126

This is not possible either.

If C = 5, then:

10A = 90 + 9(5)
10A = 90 + 45
10A = 135

This is not possible.

If C = 6, then:

10A = 90 + 9(6)
10A = 90 + 54
10A = 144

This is not possible.

If C = 7, then:

10A = 90 + 9(7)
10A = 90 + 63
10A = 153

This is not possible.

If C = 8, then:

10A = 90 + 9(8)
10A = 90 + 72
10A = 162

This is not possible.

If C = 9, then:

10A = 90 + 9(9)
10A = 90 + 81
10A = 171

This is not possible.

It seems we have made a mistake in our calculations. Let's re-evaluate our approach.

We know that when we add AB and BC, the ones digit of AB (which is B) plus the ones digit of BC (which is C) must equal the ones digit of BCB (which is B). This means that C must be 0 because when we add B to C, we must get B again as the ones digit.

So, let's set C = 0 and try again:

10A + 11B + 0 = 101B + 10(0) + B
10A + 11B = 101B + B
10A = 101B + B - 11B
10A = 90B

Now, since A and B are different single-digit numbers, and B cannot be 0, let's try B = 1:

10A = 90(1)
10A = 90

This means A = 9.

So, the value of A when AB + BC = BCB and A, B, and C are different numbers is A = 9.
주어진 방정식 AB + BC = BCB를 분석하여 A, B, C가 서로 다른 숫자로 분석해 보겠습니다.

AB와 BC는 두 자리 숫자이고 BCB는 세 자리 숫자이므로 다음과 같이 방정식을 다시 쓸 수 있습니다:

10A + B + 10B + C = 100B + 10C + B

이제 같은 항을 결합해 보겠습니다:

10A + 11B + C = 100B + 10C + B

이를 더 단순화할 수 있습니다:

10A + 11B + C = 101B + 10C

이제 A를 분리해 봅시다:

10A = 101B + 10C - 11B - C
10A = 90B + 9C

A, B, C는 서로 다른 숫자이고 각 숫자는 한 자리 숫자이므로 B와 C는 0에서 9까지의 모든 숫자가 될 수 있지만, AB는 두 자리 숫자이므로 A는 0이 될 수 없습니다. 또한 BCB는 세 자리 숫자이므로 B는 0이 될 수 없습니다.

이제 10A가 10의 배수이고 A, B, C가 서로 다른 숫자이도록 B와 C의 값을 구해야 합니다.

방정식을 만족하는 B와 C의 조합을 찾아봅시다:

10A = 90B + 9C

A는 한 자리 숫자이므로 10A의 최대값은 90(A = 9인 경우)입니다. 즉, B의 최대값은 1입니다(B가 더 크면 90B가 90보다 커질 것이므로). 그러나 B가 1이면 90B는 90이 되고 C에 대한 값이 남지 않습니다(A, B, C는 서로 달라야 하므로).

따라서 B는 1이 될 수 없습니다. B = 2를 시도해 봅시다:

10A = 90(2) + 9C
10A = 180 + 9C

10A가 90보다 클 수 없으므로 불가능합니다.

B = 1을 시도하고 적절한 C를 찾아봅시다:

10A = 90(1) + 9C
10A = 90 + 9C

이제 10A가 10의 배수이고 90보다 작거나 같도록 C의 값을 찾아야 합니다. B가 1이므로 C는 1이 될 수 없으며 다른 숫자가 되어야 합니다.

C = 0(BCB는 세 자리 숫자이고 C는 0이 될 수 없으므로 불가능)이면 A는 9가 되지만 A와 C는 같을 수 없습니다.

C = 2인 경우:

10A = 90 + 9(2)
10A = 90 + 18
10A = 108

10A가 90보다 작거나 같아야 하므로 불가능합니다.

C = 3인 경우:

10A = 90 + 9(3)
10A = 90 + 27
10A = 117

같은 이유로 불가능합니다.

C = 4인 경우:

10A = 90 + 9(4)
10A = 90 + 36
10A = 126

이것도 불가능합니다.

C = 5인 경우:

10A = 90 + 9(5)
10A = 90 + 45
10A = 135

이것도 불가능합니다.

C = 6인 경우:

10A = 90 + 9(6)
10A = 90 + 54
10A = 144

이것도 불가능합니다.

C = 7인 경우:

10A = 90 + 9(7)
10A = 90 + 63
10A = 153

이것도 불가능합니다.

C = 8인 경우:

10A = 90 + 9(8)
10A = 90 + 72
10A = 162

이것도 불가능합니다.

C = 9인 경우:

10A = 90 + 9(9)
10A = 90 + 81
10A = 171

이것도 불가능합니다.

계산에 실수가 있었던 것 같습니다. 접근 방식을 다시 평가해 봅시다.

AB와 BC를 더할 때 AB(B)의 한 자리 숫자와 BC(C)의 한 자리 숫자가 BCB(B)의 한 자리 숫자와 같아야 한다는 것을 알고 있습니다. 즉, B를 C에 더하면 다시 한 자리 숫자로 B가 나와야 하므로 C는 0이어야 합니다.

그러므로 C = 0으로 설정하고 다시 시도해 봅시다:

10A + 11B + 0 = 101B + 10(0) + B
10A + 11B = 101B + B
10A = 101B + B - 11B
10A = 90B

이제 A와 B는 서로 다른 한 자리 숫자이고 B는 0이 될 수 없으므로 B = 1을 시도해 봅시다:

10A = 90(1)
10A = 90

이것은 A = 9를 의미합니다.

따라서 AB + BC = BCB이고 A, B, C가 서로 다른 숫자인 경우 A의 값은 A = 9입니다.