(a) Consider a point $\mathbf{x}$ moving with velocity $\mathbf{v}$ in the time-varying image sequence $I(\mathbf{x}, t)$. The brightness constraint equation (BCE) states that the rate of change of intensity with respect to time at that point is equal to the negative dot product of the gradient of intensity and the velocity vector:

∇I(x,t)⋅v(x,t)+It(x,t)=0.\nabla I(\mathbf{x}, t) \cdot \mathbf{v}(\mathbf{x}, t)+I\_t(\mathbf{x}, t)=0 .∇I(x,t)⋅v(x,t)+It​(x,t)=0.This equation represents the physical principle that the observed intensity at a point in an image sequence does not change over time if the point is moving with constant velocity.

(b) Taking the partial derivative of the BCE with respect to $x$ and $y$, we get:

∂∂x(∇I⋅v+It)=∂∂x(Ixu+Iyv+It)=0∂∂y(∇I⋅v+It)=∂∂y(Ixu+Iyv+It)=0\begin{aligned}
\frac{\partial}{\partial x} \left(\nabla I \cdot \mathbf{v} + I\_t\right) &= \frac{\partial}{\partial x} \left(I\_x u + I\_y v + I\_t\right) = 0 \\
\frac{\partial}{\partial y} \left(\nabla I \cdot \mathbf{v} + I\_t\right) &= \frac{\partial}{\partial y} \left(I\_x u + I\_y v + I\_t\right) = 0
\end{aligned}∂x∂​(∇I⋅v+It​)∂y∂​(∇I⋅v+It​)​=∂x∂​(Ix​u+Iy​v+It​)=0=∂y∂​(Ix​u+Iy​v+It​)=0​Writing these equations in matrix form, we get:

[IxIy][uv]+[ItIt]=0\left[\begin{array}{cc} I\_x & I\_y \\ \end{array}\right] \left[\begin{array}{c} u \\ v \\ \end{array}\right] + \left[\begin{array}{c} I\_t \\ I\_t \\ \end{array}\right] = \mathbf{0}[Ix​​Iy​​][uv​]+[It​It​​]=0(c) To find the least squares estimate of $\mathbf{v}=\left[u, v\right]^T$, we form the normal equations:

[IxIyIxIy][IxIy][uv]+[IxIyIxIy][ItIt]=0\left[\begin{array}{cc} I\_x & I\_y \\ I\_x & I\_y \\ \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} I\_x & I\_y \\ \end{array}\right] \left[\begin{array}{c} u \\ v \\ \end{array}\right] + \left[\begin{array}{cc} I\_x & I\_y \\ I\_x & I\_y \\ \end{array}\right] \left[\begin{array}{c} I\_t \\ I\_t \\ \end{array}\right] = \mathbf{0}[Ix​Ix​​Iy​Iy​​][Ix​​Iy​​][uv​]+[Ix​Ix​​Iy​Iy​​][It​It​​]=0Multiplying out the matrices, we get:

[∑Ix2∑IxIy∑IxIy∑Iy2][uv]=−[∑IxIt∑IyIt]\left[\begin{array}{cc} \sum I\_x^2 & \sum I\_x I\_y \\ \sum I\_x I\_y & \sum I\_y^2 \\ \end{array}\right] \left[\begin{array}{c} u \\ v \\ \end{array}\right] = -\left[\begin{array}{c} \sum I\_x I\_t \\ \sum I\_y I\_t \\ \end{array}\right][∑Ix2​∑Ix​Iy​​∑Ix​Iy​∑Iy2​​][uv​]=−[∑Ix​It​∑Iy​It​​]The least squares estimate of $\mathbf{v}$ is given by:

v^=[∑Ix2∑IxIy∑IxIy∑Iy2]−1[−∑IxIt−∑IyIt]\hat{\mathbf{v}} = \left[\begin{array}{cc} \sum I\_x^2 & \sum I\_x I\_y \\ \sum I\_x I\_y & \sum I\_y^2 \\ \end{array}\right]^{-1} \left[\begin{array}{c} -\sum I\_x I\_t \\ -\sum I\_y I\_t \\ \end{array}\right]v^=[∑Ix2​∑Ix​Iy​​∑Ix​Iy​∑Iy2​​]−1[−∑Ix​It​−∑Iy​It​​]
a) 시간에 따라 변하는 이미지 시퀀스 $I(\mathbf{x}, t)$에서 속도 $\mathbf{v}$로 이동하는 점 $\mathbf{x}$를 고려합니다. 밝기 제약 방정식(BCE)은 해당 지점에서 시간에 대한 밝기 변화율은 밝기 기울기와 속도 벡터의 음의 점 곱과 같다고 말합니다:∇I(x,t)⋅v(x,t)+It(x,t)=0.\nabla I(\mathbf{x}, t) \cdot \mathbf{v}(\mathbf{x}, t)+I\_t(\mathbf{x}, t)=0 .∇I(x,t)⋅v(x,t)+It(x,t)=0입니다. 이 방정식은 이미지 시퀀스의 한 지점에서 관측된 강도가 일정한 속도로 이동하는 경우 시간이 지나도 변하지 않는다는 물리적 원리를 나타냅니다.(b) $x$와 $y$에 대한 BCE의 편미분을 구하면 다음과 같은 식을 구할 수 있습니다:∂∂x(∇I⋅v+It)=∂∂x(Ixu+Iyv+It)=0∂∂y(∇I⋅v+It)=∂∂y(Ixu+Iyv+It)=0\begin{aligned}\frac{\partial}{\partial x} \left(\nabla I \cdot \mathbf{v} + I\_t\right) &= \frac{\partial}{\partial x} \left(I\_x u + I\_y v + I\_t\right) = 0 \\.\frac{\partial}{\partial y} \왼쪽(\nabla I \cdot \mathbf{v} + I\_t\right) &= \frac{\partial}{\partial y} \left(I\_x u + I\_y v + I\_t\right) = 0\end{aligned}∂x∂(∇I⋅v+It)∂y∂(∇I⋅v+It)=∂x∂(Ixu+Iyv+It)=0=∂y∂(Ixu+Iyv+It)=0이 방정식을 행렬 형식으로 작성하면 다음과 같이 됩니다:[IxIy][uv]+[ItIt]=0\left[\begin{array}{cc} I\_x & I\_y \\ \end{array}\right] \left[\begin{array}{c} u \\ v \\ \end{array}\right] + \left[\begin{array}{c} I\_t \\ I\_t \\ \end{array}\right] = \mathbf{0}[IxIy][uv]+[ItIt]=0(c) $\mathbf{v}=\left[u]의 최소 제곱 추정치를 찾으려면 다음과 같이 계산합니다, v\right]^T$의 최소 제곱 추정치를 구하기 위해 정규 방정식을 구합니다:[IxIyIxIy][IxIy][uv]+[IxIyIxIy][ItIt]=0\left[\begin{array}{cc} I\_x & I\_y \\ I\_x & I\_y \\ \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} I\_x & I\_y \\ \end{array}\right] \left[\begin{array}{c} u \\ v \\ \end{array}\right] + \left[\begin{array}{cc} I\_x & I\_y \\ I\_x & I\_y \\ \end{array}\right] \left[\begin{array}{c} I\_t \\ I\_t \\ \end{array}\right] = \mathbf{0}[IxIxIyIy][IxIy][uv]+[IxIxIyIy][ItIt]=0행렬을 곱합니다, 우리는 얻습니다:[∑Ix2∑IxIy∑IxIy∑Iy2][uv]=-[∑IxIt∑IyIt]\left[\begin{array}{cc} \sum I\_x^2 & \sum I\_x I\_y \\ \sum I\_x I\_y & \sum I\_y^2 \\ \end{array}\right] \left[\begin{array}{c} u \\ v \\ \end{array}\right] = - \left[\begin{array}{c} \sum I\_x I\_t \\ \sum I\_y I\_t \\ \end{array}\right][∑Ix2∑IxIy∑IxIy∑Iy2][uv]=-[∑IxIt∑IyIt]$\mathbf{v}$의 최소 제곱 추정값은 다음과 같습니다:v^=[∑Ix2∑IxIy∑IxIy∑Iy2]-1[-∑IxIt-∑IyIt]\hat{\mathbf{v}} = \left[\begin{array}{cc} \sum I\_x^2 & \sum I\_x I\_y \\ \sum I\_x I\_y & \sum I\_y^2 \\ \end{array}\right]^{-1} \left[\begin{array}{c} -\sum I\_x I\_t \\ - \sum I\_y I\_t \\ \end{array}\right]v^=[∑Ix2∑IxIy∑IxIy∑Iy2]-1[-∑IxIt-∑IyIt]