In mathematics, the Poincaré inequality is a result in the theory of Sobolev spaces, named after the French mathematician Henri Poincaré. The inequality allows one to obtain bounds on a function using bounds on its derivatives and the geometry of its domain of definition. Such bounds are of great importance in the modern, direct methods of the calculus of variations. A very closely related result is Friedrichs' inequality.

Statement of the inequality

The classical Poincaré inequality

Let p, so that 1 ≤ p < ∞ and Ω a subset bounded at least in one direction. Then there exists a constant C, depending only on Ω and p, so that, for every function u of the Sobolev space W01,p(Ω) of zero-trace (a.k.a. zero on the boundary) functions,

Poincaré–Wirtinger inequality

Assume that 1 ≤ p ≤ ∞ and that Ω is a bounded connected open subset of the n-dimensional Euclidean space ℝn with a Lipschitz boundary (i.e., Ω is a Lipschitz domain). Then there exists a constant C, depending only on Ω and p, such that for every function u in the Sobolev space ,

where

is the average value of u over Ω, with |Ω| standing for the Lebesgue measure of the domain Ω. When Ω is a ball, the above inequality is
called a -Poincaré inequality; for more general domains Ω, the above is more familiarly known as a Sobolev inequality.

The necessity to subtract the average value can be seen by considering constant functions for which the derivative is zero while, without subtracting the average, we can have the integral of the function as large as we wish. There are other conditions instead of subtracting the average that we can require in order to deal with this issue with constant functions, for example, requiring trace zero, or subtracting the average over some proper subset of the domain. The constant C in the Poincare inequality may be different from condition to condition. Also note that the issue is not just the constant functions, because it is the same as saying that adding a constant value to a function can increase its integral while the integral of its derivative remains the same. So, simply excluding the constant functions will not solve the issue.

Generalizations

In the context of metric measure spaces, the definition of a Poincaré inequality is slightly different. One definition is: a metric measure space supports a (q,p)-Poincare inequality for some  if there are constants C and  so that for each ball B in the space,

Here we have an enlarged ball in the right hand side. In the context of metric measure spaces,  is the minimal p-weak upper gradient of u in the sense of 
Heinonen and Koskela.

Whether a space supports a Poincaré inequality has turned out to have deep connections to the geometry and analysis of the space.  For example, Cheeger has shown that a doubling space satisfying a Poincaré inequality admits a notion of differentiation.  Such spaces include sub-Riemannian manifolds and Laakso spaces.

There exist other generalizations of the Poincaré inequality to other Sobolev spaces.  For example, consider the Sobolev space H1/2(T2), i.e. the space of functions u in the L2 space of the unit torus T2 with Fourier transform û satisfying

In this context, the Poincaré inequality says: there exists a constant C such that, for every  with u identically zero on an open set ,

where  denotes the harmonic capacity of } when thought of as a subset of .

Yet another generalization involves weighted Poincaré inequalities where the Lebesgue measure is replaced by a weighted version.

The Poincaré constant

The optimal constant C in the Poincaré inequality is sometimes known as the Poincaré constant for the domain Ω. Determining the Poincaré constant is, in general, a very hard task that depends upon the value of p and the geometry of the domain Ω. Certain special cases are tractable, however. For example, if Ω is a bounded, convex, Lipschitz domain with diameter d, then the Poincaré constant is at most d/2 for ,  for , and this is the best possible estimate on the Poincaré constant in terms of the diameter alone. For smooth functions, this can be understood as an application of the isoperimetric inequality to the function's level sets.  In one dimension, this is Wirtinger's inequality for functions.

However, in some special cases the constant C can be determined concretely. For example, for p = 2, it is well known that over the domain of unit isosceles right triangle, C = 1/π ( < d/π where ).

Furthermore, for a smooth, bounded domain , since the Rayleigh quotient for the Laplace operator in the space  is minimized by the eigenfunction corresponding to the minimal eigenvalue  of the (negative) Laplacian, it is a simple consequence that, for any ,

and furthermore, that the constant λ1 is optimal.

Poincaré inequality on metric-measure spaces

Since the 90s there have been several fruitful ways to make sense of Sobolev functions on general metric measure spaces (metric spaces equipped with a measure that is often compatible with the metric in certain senses). For example, the approach based on "upper gradients" leads to Newtonian-Sobolev space of functions. Thus, it makes sense to say that a space "supports a Poincare inequality".

It turns out that whether a space supports any Poincare inequality and if so, the critical exponent for which it does, is tied closely to the geometry of the space. For example, a space that supports a Poincare inequality must be path connected. Indeed, between any pair of points there must exist a rectifiable path with length comparable to the distance of the points. Much deeper connections have been found, e.g. through the notion of modulus of path families. A good and rather recent reference is the monograph "Sobolev Spaces on Metric Measure Spaces, an approach based on upper gradients" written by Heinonen et al.

See also
Friedrichs' inequality
Korn's inequality
Spectral gap

References

 
 Leoni, Giovanni (2009), A First Course in Sobolev Spaces, Graduate Studies in Mathematics, American Mathematical Society, pp. xvi+607 , , , MAA

Theorems in analysis
Inequalities
Sobolev spaces
Inequality
수학에서 푸엥카레 부등식은 프랑스 수학자 Henri Poincaré 의 이름을 딴 소볼레프 공간 이론이다. 부등식을 통해 함수의 도함수에 대한 유계와 정의역의 기하학을 사용하여 함수에 대한 유계를 얻을 수 있다. 이러한 유계는 변수 미적분의 직접적인 방법 에서 매우 중요하다. 매우 밀접하게 관련된 것은 프리드리히 부등식이다.

명제

고전적 푸앵카레 부등식 
1 ≤ p < ∞ 인 p, 그리고 Ω은 적어도 한 방향으로 유계되는 하위 집합으로 하자. 그런 다음 Ω, p 에만 종속하는 상수 C가 존재하므로, 소볼레프 공간 W01,p(Ω)의 모든 함수 u 에 대한 제로 트레이스(a.k.a 경계에서 0) 함수는 다음과 같다.

푸앵카레-비르팅거 부등식 
1 ≤ p ≤ ∞ 인 p, 그리고 Ω를 립시츠 경계의 n 차원 유클리드 공간 ℝ n 의 유계적이고 연결된 열린 부분 집합이라 하자(즉, Ω는 립시츠 영역). 그런 다음 소볼레프 공간  의 모든 함수 u 에 대해 Ω그리고 p 에만 종속되는 상수 C 가 존재한다.여기서는 |Ω|과 함께 Ω에 대한 u 의 평균값이고, 정의역 Ω의 르베그 측도를 나타낸다. Ω이 공일 때 위의 부등식을 a  푸엥카레 부등식이라고 한다; 보다 일반적인 정의역 Ω의 경우, 위의 식은 소볼레프 부등식으로 더 잘 알려져 있다.

평균값을 빼야 할 필요성은 도함수가 0인 상수 함수를 고려하면 알 수 있지만, 평균을 빼지 않고, 원하는 만큼 함수의 적분을 할 수 있다. 우린 상수함수를 다룰 때 평균값을 빼는 대신, 다른 상황이 있다. 예로 들어, 트레이스 제로를 만족하는, 또는 정의역의 부분집합에서 평균값을 빼는 것과 같은 상황이 있다. 푸엥카레 부등식의 상수 C는 상황에 따라 다를 수 있다. 또한, 함수에 상수 값을 더하면 함수의 적분값을 증가시킬 수 있지만, 도함수의 적분은 동일하게 유지된다고 말하는 것과 같기 때문에 문제는 상수 함수만이 아니다. 따라서 단순히 상수 함수를 제외하는 것으로는 문제가 해결되지는 않는다.

일반화 
측도 공간의 맥락에서 푸앵카레 부등식의 정의는 약간 다르다. 한 가지 정의는 다음과 같다. 측도 공간은 일부에 대해 이고 상수 C 가 있고  이면 공간의 각 공 B에 대해
(q,p)-푸앵카레 부등식을 만족한다. 여기 오른쪽에 확대된 공이 있다. 측도 공간의 맥락에서,  Heinonen 및 Koskela의 의미에서 u의 최소 p-weak 위쪽 기울기이다.

공간이 푸앵카레 부등식을 만족하는지 여부는 공간의 기하학 및 분석과 깊은 관련이 있음이 밝혀졌다. 예를 들어, Cheeger는 Poincaré 부등식을 만족하는 배가 공간이 미분의 개념을 허용한다는 것을 보여주었다. 이러한 공간에는 하위 리만 다양체 및 Laakso 공간이 포함된다.

다른 Sobolev 공간에 대한 Poincaré 부등식의 다른 일반화가 있다. 예를 들어, Sobolev 공간 H 1/2 ( T 2 ), 즉 푸리에 변환 û를 만족하는 단위 토러스 T 2 의 L 2 공간 에서 함수 u 의 공간을 고려하자.이러한 맥락에서, Poincaré 부등식은 다음과 같이 말한다: 열린 집합  에서 u가 동일하게 0인 모든  에 대해 다음과 같은 상수 C 가 존재한다.여기서   의 부분 집합으로 생각할 때  의 고조파 용량을 나타낸다.

또 다른 일반화는 르베그 척도가 가중 버전으로 대체되는 가중 푸앵카레 부등식을 포함한다.

푸앵카레 상수 
Poincaré 부등식의 최적 상수 C는 때때로 도메인 Ω에 대한 Poincaré 상수 로 알려져 있다. Poincaré 상수를 결정하는 것은 일반적으로 p 값과 도메인 Ω의 기하학에 의존하는 매우 어려운 작업이다. 그러나 특정 특수 사례는 다루기 쉽다. 예를 들어, Ω이 직경이 d 인 경계 가 있는 볼록한 Lipschitz 도메인인 경우 Poincaré 상수는  인 경우 최대 d /2이다.  ,에 대해 이것은 직경만의 관점에서 Poincaré 상수에 대한 최상의 추정치이다. 부드러운 함수의 경우 이는 함수의 수준 집합에 대한 등주 부등식 의 적용으로 이해할 수 있다. 한 차원에서 이것은 기능에 대한 Wirtinger의 부등식이다.

그러나 일부 특수한 경우 상수 C를 구체적으로 결정할 수 있다. 예를 들어, p 의 경우 = 2, 단위 이등변 직각 삼각형의 영역에서 C = 1/π( < d /π 여기서  ).

또한 매끄럽고 제한된 도메인  의 경우 공간에서 라플라스 연산자에 대한 레일리 지수(Rayleigh quotient)  는 (음의) 라플라시안의 최소 고유값  에 해당하는 고유함수에 의해 최소화되며, 다음과 같은 단순한 결과이다.  ,또한 상수 λ1 이 최적이라는 것이다.

같이 보기 
 프리드리히의 부등식
 콘의 부등식
 스펙트럼 갭

참조 

부등식
해석학 정리