We can draw two similar hexagons, an outer one for which the large circle is the circumcircle and an inner one that connects the centers of the smaller circles. We know that the sidelength of the inner hexagon is 6 since $\overline{DE}$ consists of the radii of two small circles. We also know that the radius of the outer hexagon is 3 units longer than the radius of the inner hexagon since $\overline{AD}$ is the radius of a small circle. There are now several approaches to solving the problem.

$\emph{Approach 1:}$ We use a 30-60-90 triangle to find the radius $\overline{CD}$ of the inner hexagon. Triangle $CED$ is an isosceles triangle since $\overline{CE}$ and $\overline{CD}$ are both radii of a regular hexagon. So dropping a perpendicular from $C$ to $\overline{DE}$ bisects $\angle C$ and $\overline{DE}$ and creates two congruent right triangles. The central angle of a hexagon has a measure of $\frac{360^\circ}{6}=60^\circ$. So $m\angle C=60^\circ$. Each right triangle has a leg of length $\frac{DE}{2}=3$ and is a 30-60-90 right triangle (since $\angle C$ was bisected into two angles of $30^\circ$). That makes the length of the hypotenuse (the radius of the inner hexagon) two times the length of the short leg, or $2\cdot3=6$. Now we know that the radius of the outer hexagon is $6+3=9$, so the diameter is $18$ units long.

$\emph{Approach 2:}$ We prove that the triangles formed by the center to two vertices of a regular hexagon (such as $\triangle CED$ and $\triangle CBA$) are equilateral triangles. The central angle of a hexagon has a measure of $\frac{360^\circ}{60}=60^\circ$. So $m\angle C=60^\circ$. The interior angle of a hexagon has a measure of $\frac{180^\circ (6-2)}{6}=\frac{180^\circ \cdot4}{6}=30^\circ \cdot4=120^\circ$. That means the other two angles in the triangle each have a measure of half the interior angle, or $60^\circ$. All three angles equal $60^\circ$ so the triangle is an equilateral triangle. Then we know that $CD=DE=6$. Now we know that the radius of the outer hexagon is $6+3=9$, so the diameter is $18$ units long.

$\emph{Approach 3:}$ Another way to prove that the triangles are equilateral is to show that triangle $CED$ is an isosceles triangle and $m\angle C=60^\circ$ (see other approaches for how). That means $m\angle D=m\angle E$ and $m\angle D+ m\angle E=120^\circ$. Then all three angles have a measure of $60^\circ$ each. We continue the rest of approach 2 after proving that triangle $CED$ is equilateral.

[asy]
unitsize(1 cm);

draw(Circle((-2,0),1));
draw(Circle((2,0),1));
draw(Circle((-1,1.73205081),1));
draw(Circle((1,1.73205081),1));
draw(Circle((-1,-1.73205081),1));
draw(Circle((1,-1.73205081),1));
draw(Circle((0,0),3));
pair A=(3,0), B=(1.5, 2.598), C=(0,0), D=(-1.5, 2.598), E=(-3,0), F=(-1.5, -2.598), G=(1.5, -2.598);
pair H=(2,0), I=(1, 1.732), J=(-1, 1.732), K=(-2,0), L=(-1, -1.732), M=(1, -1.732);
path f1=A--B--D--E--F--G--cycle;
path f2=H--I--J--K--L--M--cycle;
draw(f2);
draw(f1);
draw(B--C);
draw(A--C);
draw(C--(H+I)/2);
pen sm=fontsize(10);
label("A", A, NE, sm); label("B", B, NE, sm); label("C",C,W, sm);
label("D", H, NE, sm); label("E", I, NE, sm);
label("$6$", (H+I)/2, NE, sm);
label("$3$", (A+H)/2, S, sm);
[/asy]
큰 원이 원주인 바깥쪽 육각형과 작은 원의 중심을 연결하는 안쪽 육각형, 두 개의 유사한 육각형을 그릴 수 있습니다. 오버라인{DE}$는 두 개의 작은 원의 반지름으로 구성되므로 안쪽 육각형의 변의 길이는 6이라는 것을 알고 있습니다. 또한 $\overline{AD}$는 작은 원의 반지름이므로 바깥쪽 육각형의 반지름이 안쪽 육각형의 반지름보다 3단위 더 길다는 것을 알고 있습니다. 이제 이 문제를 풀기 위한 몇 가지 접근법이 있습니다.

$\emph{접근법 1:}$ 30-60-90 삼각형을 사용하여 내각육각형의 반지름 $\overline{CD}$를 구합니다. 삼각형 $\overline{CE}$와 $\overline{CD}$는 모두 정육각형의 반지름이므로 삼각형 $\CED$는 이등변 삼각형입니다. 따라서 $C$에서 $\overline{DE}$로 수직을 떨어뜨리면 $\각 C$와 $\overline{DE}$가 이등분되고 두 개의 합동 직각삼각형이 만들어집니다. 육각형의 중심각은 $\frac{360^\circ}{6}=60^\circ$의 측정값을 갖습니다. 따라서 $m\각 C=60^\circ$입니다. 각 직각삼각형은 길이 $\frac{DE}{2}=3$의 다리를 가지며 30-60-90 직각삼각형입니다($\각 C$가 $30^\circ$의 두 각으로 이등분되었으므로). 따라서 빗변의 길이(내각의 반지름)는 짧은 다리의 길이의 두 배, 즉 $2\cdot3=6$이 됩니다. 이제 바깥쪽 육각형의 반지름이 $6+3=9$이므로 지름은 $18$ 단위 길이라는 것을 알 수 있습니다.

$\emph{접근법 2:}$ 정육각형의 중심과 두 꼭지점이 이루는 삼각형(예: $\삼각형 CED$와 $\삼각형 CBA$)이 정삼각형임을 증명합니다. 육각형의 중심 각도는 $\frac{360^\circ}{60}=60^\circ$의 측정값을 갖습니다. 따라서 $m\각 C=60^\circ$입니다. 육각형의 내각은 $\frac{180^\circ (6-2)}{6}=\frac{180^\circ \cdot4}{6}=30^\circ \cdot4=120^\circ$의 측정값을 갖습니다. 즉, 삼각형의 다른 두 각은 각각 내부 각의 절반, 즉 $60^\circ$의 값을 가집니다. 세 각은 모두 $60^\circ$이므로 삼각형은 정삼각형입니다. 그러면 $CD=DE=6$이라는 것을 알 수 있습니다. 이제 바깥쪽 육각형의 반지름은 $6+3=9$이므로 지름은 $18$ 단위 길이라는 것을 알 수 있습니다.

$\emph{접근법 3:}$ 삼각형이 정삼각형임을 증명하는 또 다른 방법은 삼각형 $CED$가 이등변 삼각형이고 $m\각 C=60^\원$임을 증명하는 것입니다(방법은 다른 접근법 참조). 즉, $m\각 D=m\각 E$와 $m\각 D+ m\각 E=120^\circ$가 됩니다. 그러면 세 각도의 측정값은 모두 각각 $60^\circ$가 됩니다. 삼각형 $CED$가 정삼각형임을 증명한 후 나머지 접근법 2를 계속 진행합니다.

[asy]
unitsize(1 cm);

draw(Circle((-2,0),1));
draw(Circle((2,0),1));
draw(Circle((-1,1.73205081),1));
draw(Circle((1,1.73205081),1));
draw(Circle((-1,-1.73205081),1));
draw(Circle((1,-1.73205081),1));
draw(Circle((0,0),3));
pair A=(3,0), B=(1.5, 2.598), C=(0,0), D=(-1.5, 2.598), E=(-3,0), F=(-1.5, -2.598), G=(1.5, -2.598);
쌍 H=(2,0), I=(1, 1.732), J=(-1, 1.732), K=(-2,0), L=(-1, -1.732), M=(1, -1.732);
path f1=A--B--D--E--F--G--cycle;
path f2=H--I--J--K--L--M--cycle;
draw(f2);
draw(f1);
draw(B--C);
draw(A--C);
draw(C--(H+I)/2);
pen sm=fontsize(10);
label("A", A, NE, sm); label("B", B, NE, sm); label("C",C,W, sm);
label("D", H, NE, sm); label("E", I, NE, sm);
label("$6$", (H+I)/2, NE, sm);
label("$3$", (A+H)/2, S, sm);
[/asy]