Let's first figure out what $f$ does. Right. So $f(0,0) = \text{mod}_5(0+1) = \text{mod}_5(1) = 1$. And $f(0,1) = \text{mod}_5(1+1) = \text{mod}_5(2) = 2$. What about $f(0,2)$? $f(0,2) = \text{mod}_5 (2+1) = \text{mod}_5(3) = 3$. I think we see a pattern. Yeah. $f(0,j) = j+1$ for $0 \le j \le 4$. What happens when $i = 1$? The second line of the function definition tells us that $f(1,0) = f(0,1)$. But we know that $f(0,1) = 2$. So $f(1,0) = 2$. What does the third line of the function definition tell us? It tells us that for $1 \le j \le 4$, $f(1,j) = f(0, f(1,j-1))$. So $f(1,1) = f(0, f(1,0)) = f(0,2) = 3$. Can we guess what $f(1,2)$ is? $f(1,2) = f(0, f(1,1)) = f(0,3) = 4$. And $f(1,3) = f(0, f(1,2)) = f(0,4) = 0$. Finally, $f(1,4) = f(0, f(1,3)) = f(0,0) = 1$. What should $f(2,0)$ be? $f(2,0) = f(1,1) = 3$. What about $f(2,1)$? $f(2,1) = f(1, f(2,0)) = f(1,3) = 0$. Do you see a pattern? What about $f(2,3)$? $f(2,3) = f(1,f(2,2)) = f(1,2) = 4$ Finally, what is $f(2,4)$? $f(2,4) = f(1,f(2,3)) = f(1,4) = 1$ And $f(3,0)$ is $f(2,1) = 0$. What about $f(3,1)$? $f(3,1) = f(2,f(3,0)) = f(2,0) = 3$. $f(3,2)$ is equal to $f(2,f(3,1)) = f(2,3) = 4$. $f(3,3) = f(2,f(3,2)) = f(2,4) = 1$ Finally, $f(3,4) = f(2,f(3,3)) = f(2,1) = 0$ $f(4,1) = f(3, f(4,0)) = f(3,3) = 1$ $f(4,2) = f(3, f(4,1)) = f(3,1) = 3$ $f(4,3) = f(3,f(4,2)) = f(3,3) = 1$ Finally, $f(4,4) = f(3,f(4,3)) = f(3,1) = 3$ What about $f(5,0)$? $f(5,0) = f(4, 1) = 1$ $f(5,1) = f(4, f(5,0)) = f(4, 1) = 1$ $f(5,2) = f(4,f(5,1)) = f(4,1) = 1$ $f(5,3) = f(4, f(5,2)) = f(4, 1) = 1$ $f(5,4) = f(4, f(5,3)) = f(4, 1) = 1$ Let's look at $f(6,0)$. $f(6,0) = f(5, 1) = 1$ Right. And $f(6,1) = f(5, f(6,0)) = f(5,1) = 1$. $f(6,1) = f(5, f(6,0)) = f(5,1) = 1$ Let's skip ahead to $f(6,4)$. $f(6,2) = f(5,f(6,1)) = f(5, 1) = 1$ $f(6,3)$ is $f(5, f(6,2)) = f(5,1) = 1$. Finally, $f(6,4) = f(5,f(6,3)) = f(5, 1)= 1$. Now, $f(7,0)$ is $f(6, 1) = 1$ $f(7,1) = f(6, f(7,0)) = f(6,1) = 1$ $f(7,2) = f(6, f(7,1)) = f(6, 1) = 1$ $f(7,3) = f(6,f(7,2)) = f(6,1) = 1$ Finally, $f(7,4) = f(6,f(7,3)) = f(6, 1) = 1$. I see the pattern. Once we get to $f(6,0)$, all subsequent values of the function are 1. Right. For all $i \ge 0$ and $0 \le j \le 4$, $f(i,j) = 1$. In particular, $f(2015,2) = 1$.




먼저 $f$가 무엇을 하는지 알아봅시다. 맞습니다. 따라서 $f(0,0) = \text{mod}_5(0+1) = \text{mod}_5(1) = 1$이죠. 그리고 $f(0,1) = \text{mod}_5(1+1) = \text{mod}_5(2) = 2$입니다. f(0,2)는 어떨까요? $f(0,2) = \text{mod}_5 (2+1) = \text{mod}_5(3) = 3$입니다. 패턴이 보이는 것 같아요. 네. $0 \le j \le 4$에 대해 $f(0,j) = j+1$입니다. i = 1$일 때는 어떻게 될까요? 함수 정의의 두 번째 줄은 $f(1,0) = f(0,1)$임을 알려줍니다. 하지만 우리는 $f(0,1) = 2$라는 것을 알고 있습니다. 따라서 $f(1,0) = 2$입니다. 함수 정의의 세 번째 줄은 우리에게 무엇을 알려줄까요? 1 \le j \le 4$에 대해 $f(1,j) = f(0, f(1,j-1))$라는 것을 알 수 있습니다. 따라서 $f(1,1) = f(0, f(1,0)) = f(0,2) = 3$입니다. f(1,2)$가 무엇인지 추측할 수 있을까요? f(1,2) = f(0, f(1,1)) = f(0,3) = 4$입니다. 그리고 $f(1,3) = f(0, f(1,2)) = f(0,4) = 0$입니다. 마지막으로 $f(1,4) = f(0, f(1,3)) = f(0,0) = 1$입니다. f(2,0)$은 무엇일까요? f(2,0) = f(1,1) = 3$입니다. f(2,1)$은 어떨까요? $f(2,1) = f(1, f(2,0)) = f(1,3) = 0$입니다. 패턴이 보이시나요? f(2,3)$은 어떨까요? $f(2,3) = f(1,f(2,2)) = f(1,2) = 4$ 마지막으로, $f(2,4)$는 어떨까요? $f(2,4) = f(1,f(2,3)) = f(1,4) = 1$ 그리고 $f(3,0)$은 $f(2,1) = 0$입니다. f(3,1)은 $f(3,1) = f(2,f(3,0)) = f(2,0) = 3$이고, $f(3,2)$는 $f(2,f(3,1)) = f(2,3) = 4$와 같죠. f(3,3) = f(2,f(3,2)) = f(2,4) = 1$ 마지막으로, $f(3,4) = f(2,f(3,3)) = f(2,1) = 0$ $f(4,1) = f(3, f(4,0)) = f(3,3) = 1$ $f(4,2) = f(3, f(4,1)) = f(3,1) = 3$ $f(4,3) = f(3,f(4,2)) = f(3,3) = 1$ 마지막으로, $f(4,4) = f(3,f(4,3)) = f(3,1) = 3$ $f(5,0)$은 어떨까요? f(5,0) = f(4,1) = 1$ $f(5,1) = f(4, f(5,0)) = f(4, 1) = 1$ $f(5,2) = f(4,f(5,1)) = f(4,1) = 1$ $f(5,3) = f(4, f(5,2)) = f(4, 1) = 1$ $f(5,4) = f(4, f(5,3)) = f(4, 1) = 1$ $f(6,0)$를 살펴봅시다. f(6,0) = f(5, 1) = 1$ 맞습니다. 그리고 $f(6,1) = f(5, f(6,0)) = f(5,1) = 1$입니다. f(6,1) = f(5, f(6,0)) = f(5,1) = 1$은 $f(6,4)로 넘어가겠습니다. $f(6,2) = f(5, f(6,1)) = f(5, 1) = 1$ $f(6,3)$은 $f(5, f(6,2)) = f(5,1) = 1$이죠. 마지막으로 $f(6,4) = f(5,f(6,3)) = f(5, 1)= 1$입니다. 이제 $f(7,0)$은 $f(6, 1) = 1$ $f(7,1) = f(6, f(7,0)) = f(6, 1) = 1$ $f(7,2) = f(6, f(7,1)) = f(6, 1) = 1$ $f(7,3) = f(6,f(7,2)) = f(6, 1) = 1$ 마지막으로, $f(7,4) = f(6,f(7,3)) = f(6, 1) = 1$이죠. 패턴이 보입니다. f(6,0)에 도달하면 함수의 모든 후속 값은 1이 됩니다. 맞습니다. 모든 $i \ge 0$ 및 $0 \le j \le 4$에 대해 $f(i,j) = 1$입니다. 특히 $f(2015,2) = 1$입니다.



