I notice that the last two digits of any power of 8 or 12 depend only on the last two digits of the previous power, since multiplying by 8 or 12 will only affect the last two digits. For example, $8^2 = 64$, and the last two digits of $8^3$ are the same as $64 \times 8 \mod 100$, which are 12. Similarly, $12^2 = 144$, and the last two digits of $12^3$ are the same as $44 \times 12 \mod 100$, which are 28. This means I can use modular arithmetic to find the last two digits of $8^{25} + 12^{25}$ by finding the last two digits of each term separately, and then adding them. To do this, I need to find a pattern for the last two digits of powers of 8 and 12. I start with 8. The last two digits of $8^1$ are 08, of $8^2$ are 64, of $8^3$ are 12, of $8^4$ are 96, of $8^5$ are 68, of $8^6$ are 44, of $8^7$ are 52, of $8^8$ are 16, of $8^9$ are 28, of $8^{10}$ are 24, of $8^{11}$ are 92, of $8^{12}$ are 36, of $8^{13}$ are 88, of $8^{14}$ are 04, of $8^{15}$ are 32, of $8^{16}$ are 56, of $8^{17}$ are 48, of $8^{18}$ are 84, of $8^{19}$ are 72, of $8^{20}$ are 76, of $8^{21}$ are 08, of $8^{22}$ are 64, of $8^{23}$ are 12, of $8^{24}$ are 96, of $8^{25}$ are 68. I notice that the last two digits of powers of 8 repeat every 20 terms, starting from $8^1$. This means I can use the remainder of dividing 25 by 20 to find the last two digits of $8^{25}$. The remainder of dividing 25 by 20 is 5, so the last two digits of $8^{25}$ are the same as the last two digits of $8^5$, which are 68. Now I do the same thing for 12. The last two digits of $12^1$ are 12, of $12^2$ are 44, of $12^3$ are 28, of $12^4$ are 36, of $12^5$ are 32, of $12^6$ are 84, of $12^7$ are 08, of $12^8$ are 96, of $12^9$ are 52, of $12^{10}$ are 24, of $12^{11}$ are 88, of $12^{12}$ are 56, of $12^{13}$ are 72, of $12^{14}$ are 64, of $12^{15}$ are 68, of $12^{16}$ are 16, of $12^{17}$ are 92, of $12^{18}$ are 04, of $12^{19}$ are 48, of $12^{20}$ are 76, of $12^{21}$ are 12, of $12^{22}$ are 44, of $12^{23}$ are 28, of $12^{24}$ are 36, of $12^{25}$ are 32. I notice that the last two digits of powers of 12 repeat every 20 terms, starting from $12^1$. This means I can use the remainder of dividing 25 by 20 to find the last two digits of $12^{25}$. The remainder of dividing 25 by 20 is 5, so the last two digits of $12^{25}$ are the same as the last two digits of $12^5$, which are 32. Now I have the last two digits of $8^{25}$ and $12^{25}$, so I can add them to find the last two digits of $8^{25} + 12^{25}$. The last two digits of $8^{25} + 12^{25}$ are the same as the last two digits of $68 + 32$, which are 00. 
8 또는 12의 거듭제곱은 마지막 두 자리에만 영향을 미치기 때문에 8 또는 12의 거듭제곱의 마지막 두 자리는 이전 거듭제곱의 마지막 두 자리에만 의존한다는 것을 알 수 있습니다. 예를 들어 $8^2 = 64$이고 $8^3$의 마지막 두 자리는 $64 \times 8 \mod 100$, 즉 12와 동일합니다. 마찬가지로 $12^2 = 144$이고 $12^3$의 마지막 두 자리는 $44 \times 12 \mod 100$, 즉 28과 동일합니다. 즉, 모듈식 산술을 사용하여 $8^{25} + 12^{25}$의 마지막 두 자릿수는 각 항의 마지막 두 자릿수를 개별적으로 찾은 다음 더하면 됩니다. 이를 위해서는 8과 12의 거듭제곱의 마지막 두 자릿수에 대한 패턴을 찾아야 합니다. 8부터 시작합니다. 8^1$의 마지막 두 자리는 08, $8^2$는 64, $8^3$는 12, $8^4$는 96, $8^5$는 68, $8^6$는 44, $8^7$는 52, $8^8$는 16, $8^9$는 28, $8^{10}$는 24, $8^{11}$는 92, $8^{12}$은 36, $8^{13}$는 88입니다, 8^{14}$ 는 04, $8^{15}$ 는 32, $8^{16}$ 는 56, $8^{17}$ 는 48, $8^{18}$ 는 84, $8^{19}$ 는 72입니다, 8^{20}$ 는 76, $8^{21}$ 는 08, $8^{22}$ 는 64, $8^{23}$ 는 12, $8^{24}$ 는 96, $8^{25}$ 는 68입니다. 8의 거듭제곱의 마지막 두 자리가 $8^1$부터 시작하여 20항마다 반복된다는 것을 알 수 있습니다. 즉, 25를 20으로 나눈 나머지를 사용하여 $8^{25}$의 마지막 두 자릿수를 구할 수 있습니다. 25를 20으로 나눈 나머지는 5이므로 $8^{25}$의 마지막 두 자리는 $8^5$의 마지막 두 자리인 68과 동일합니다. 이제 12에 대해서도 같은 작업을 수행합니다. 12^1$의 마지막 두 자리는 12, $12^2$는 44, $12^3$는 28, $12^4$는 36, $12^5$는 32, $12^6$는 84, $12^7$는 08, $12^8$은 96, $12^9$는 52, $12^{10}$는 24, $12^{11}$는 88, $12^{12}$는 56, $12^{13}$은 72입니다, 12^{14}$ 는 64, $12^{15}$ 는 68, $12^{16}$ 는 16, $12^{17}$ 는 92, $12^{18}$ 는 04, $12^{19}$ 는 48입니다, 12^{20}$ 는 76, $12^{21}$ 는 12, $12^{22}$ 는 44, $12^{23}$ 는 28, $12^{24}$ 는 36, $12^{25}$ 는 32입니다. 12의 거듭제곱의 마지막 두 자리가 $12^1$부터 시작하여 20항마다 반복된다는 것을 알 수 있습니다. 즉, 25를 20으로 나눈 나머지를 사용하여 $12^{25}$의 마지막 두 자릿수를 구할 수 있습니다. 25를 20으로 나눈 나머지는 5이므로 $12^{25}$의 마지막 두 자리는 $12^5$의 마지막 두 자리인 32와 동일합니다. 이제 $8^{25}$와 $12^{25}$의 마지막 두 자리가 있으므로 이를 더하여 $8^{25}$ + 12^{25}$의 마지막 두 자리를 구할 수 있습니다. + 12^{25}$. 8^{25} + 12^{25}$의 마지막 두 자리는 + 12^{25}$의 마지막 두 자리는 $68 + 32$의 마지막 두 자리인 00과 동일합니다.