In the context of abstract algebra or universal algebra, a monomorphism is an injective homomorphism. A monomorphism from  to  is often denoted with the notation  .

In the more general setting of category theory, a monomorphism (also called a monic morphism or a mono) is a left-cancellative morphism. That is, an arrow  such that for all objects  and all morphisms ,
 

Monomorphisms are a categorical generalization of injective functions (also called "one-to-one functions"); in some categories the notions coincide, but monomorphisms are more general, as in the examples below.

In the setting of posets intersections are idempotent: the intersection of anything with itself is itself. Monomorphisms generalize this property to arbitrary categories. A morphism is a monomorphism if it is idempotent with respect to pullbacks.

The categorical dual of a monomorphism is an epimorphism, that is, a monomorphism in a category C is an epimorphism in the dual category Cop. Every section is a monomorphism, and every retraction is an epimorphism.

Relation to invertibility
Left-invertible morphisms are necessarily monic: if l is a left inverse for f (meaning l is a morphism and ), then f is monic, as
 

A left-invertible morphism is called a split mono or a section. 

However, a monomorphism need not be left-invertible. For example, in the category Group of all groups and group homomorphisms among them, if H is a subgroup of G then the inclusion  is always a monomorphism; but f has a left inverse in the category if and only if H has a normal complement in G. 

A morphism  is monic if and only if the induced map , defined by  for all morphisms , is injective for all objects Z.

Examples
Every morphism in a concrete category whose underlying function is injective is a monomorphism; in other words, if morphisms are actually functions between sets, then any morphism which is a one-to-one function will necessarily be a monomorphism in the categorical sense.  In the category of sets the converse also holds, so the monomorphisms are exactly the injective morphisms.  The converse also holds in most naturally occurring categories of algebras because of the existence of a free object on one generator.  In particular, it is true in the categories of all groups, of all rings, and in any abelian category.

It is not true in general, however, that all monomorphisms must be injective in other categories; that is, there are settings in which the morphisms are functions between sets, but one can have a function that is not injective and yet is a monomorphism in the categorical sense. For example, in the category Div of divisible (abelian) groups and group homomorphisms between them there are monomorphisms that are not injective: consider, for example, the quotient map , where Q is the rationals under addition, Z the integers (also considered a group under addition), and Q/Z is the corresponding quotient group.  This is not an injective map, as for example every integer is mapped to 0. Nevertheless, it is a monomorphism in this category.  This follows from the implication , which we will now prove.  If , where G is some divisible group, and , then .  Now fix some .  Without loss of generality, we may assume that  (otherwise, choose −x instead).  Then, letting , since G is a divisible group, there exists some  such that , so .  From this, and , it follows that

Since , it follows that , and thus .  This says that , as desired.  

To go from that implication to the fact that q is a monomorphism, assume that  for some morphisms , where G is some divisible group. Then , where .  (Since , and , it follows that ).  From the implication just proved, .  Hence q is a monomorphism, as claimed.

Properties
In a topos, every mono is an equalizer, and any map that is both monic and epic is an isomorphism.
Every isomorphism is monic.

Related concepts
There are also useful concepts of regular monomorphism, extremal monomorphism, immediate monomorphism, strong monomorphism, and split monomorphism. 

 A monomorphism is said to be regular if it is an equalizer of some pair of parallel morphisms. 
 A monomorphism  is said to be extremal if in each representation , where  is an epimorphism, the morphism  is automatically an isomorphism. 
 A monomorphism  is said to be immediate if in each representation , where  is a monomorphism and  is an epimorphism, the morphism  is automatically an isomorphism.
  A monomorphism  is said to be strong if for any epimorphism  and any morphisms  and  such that , there exists a morphism  such that  and .
 A monomorphism  is said to be split if there exists a morphism  such that  (in this case  is called a left-sided inverse for ).

Terminology

The companion terms monomorphism and epimorphism were originally introduced by Nicolas Bourbaki; Bourbaki uses monomorphism as shorthand for an injective function. Early category theorists believed that the correct generalization of injectivity to the context of categories was the cancellation property given above.  While this is not exactly true for monic maps, it is very close, so this has caused little trouble, unlike the case of epimorphisms.  Saunders Mac Lane attempted to make a distinction between what he called monomorphisms, which were maps in a concrete category whose underlying maps of sets were injective, and monic maps, which are monomorphisms in the categorical sense of the word.  This distinction never came into general use.

Another name for monomorphism is extension, although this has other uses too.

See also
Embedding
Nodal decomposition
Subobject

Notes

References

External links

Morphisms
Algebraic properties of elements
범주론에서 단사 사상(單射寫像, )은 두 사상의 등식에서 왼쪽에 합성되어 있을 때, 소거할 수 있는 사상이다. 전사 사상의 반대 개념이다.

정의 
범주 의 사상 가 다음 조건을 만족시키면, 단사 사상이라고 한다.
 임의의 대상  및 사상 에 대하여, 만약 라면 이다.

정규 단사 사상 

영 사상을 갖는 범주 에서, 어떤 사상 의 핵 으로 나타내어질 수 있는 사상을 정규 단사 사상이라고 한다. 정규 단사 사상은 항상 단사 사상이다. 이 개념은 군론에서의 정규 부분군의 개념의 일반화이다.

강한 단사 사상 
범주 에서, 강한 단사 사상(強-單射寫像, )은 모든 전사 사상에 대하여 오른쪽 유일 올림 성질을 만족시키는 단사 사상이다. 즉, 단사 사상 가 다음 조건을 만족시킨다면 강한 단사 사상이라고 한다.
임의의 가환 사각형

에서 가 전사 사상이라면, 다음 그림을 가환하게 하는 유일한 대각 사상 가 존재한다.

극단 단사 사상 
범주 의 사상 가 다음 두 조건을 만족시키면, 극단 단사 사상(極端單射寫像, )이라고 한다.
 단사 사상이다.
 임의의 대상  및 전사 사상  및 사상 에 대하여, 만약 라면 는 동형 사상이다.

극단 단사 사상의 합성은 극단 단사 사상일 필요가 없다. 예를 들어, 다음과 같은 그림으로 나타낸 범주를 생각하자.

이 범주에서 와 는 극단 단사 사상이지만, 는 극단 단사 사상이 아니다.

성질 
다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
동형 사상 ⊆ 유효 단사 사상 ⊆ 정칙 단사 사상 ⊆ 강한 단사 사상 ⊆ 극단 단사 사상 ⊆ 단사 사상
동형 사상 ⊆ 분할 단사 사상 ⊆ 정칙 단사 사상 ⊆ 강한 단사 사상 ⊆ 극단 단사 사상 ⊆ 단사 사상
동형 사상 = 단사 사상 ∩ 극단 전사 사상 = 전사 사상 ∩ 극단 단사 사상
분할 단사 사상이 정칙 단사 사상인 이유는 분할 단사 사상  및 그 왼쪽 역사상 이 주어졌을 때 이기 때문이다.

요네다 매장 
요네다 매장을 통하여, 단사 사상의 조건을 준층 범주에서 해석할 수 있다. 즉, 국소적으로 작은 범주  속의 사상 에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.
 는 단사 사상이다.
 임의의 대상 에 대하여, 사상 집합 사이의 함수 는 단사 함수이다.
 준층 토포스 로 가는 요네다 매장 함자 아래서, 의 상 은 준층 토포스에서의 단사 사상이다.

반대 범주 
범주 의 단사 사상은 그 반대 범주 의 전사 사상이다.

예 
구체적 범주 에서, 함수로서 단사 함수인 사상은 단사 사상이다. 그러나 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다. 다만, 만약 자유 대상이 존재한다면, 즉 망각 함자 의 왼쪽 수반 함자 가 존재한다면, 그 역 또한 성립한다. 특히, 대수 구조 다양체의 범주의 경우, 항상 자유 대수 구조가 존재하므로 모든 단사 사상은 단사 함수이다.

여러 구체적 범주에서, 단사 사상들은 단사 함수인 준동형이다.
 군의 범주에서, 단사 사상은 단사 함수인 군 준동형이다.
 환의 범주 에서, 단사 사상은 단사 함수인 환 준동형이다.

그러나 이는 항상 성립하지 않는다.
 나눗셈군과 군 준동형의 범주에서, 몫군 사상 는 단사 함수가 아니지만 단사 사상이다.

체의 범주에서는 모든 사상(체의 확대)이 단사 사상이다.

집합의 범주 
집합과 함수의 토포스에서는 다음이 성립한다.
 단사 사상은 단사 함수이다.
 단사 사상 · 정칙 단사 사상 · 유효 단사 사상의 개념이 일치한다.
(이 범주에서는 영 사상이 존재하지 않아, 정규 단사 사상을 정의할 수 없다.)

군의 범주 
군과 군 준동형의 범주 에서는 다음이 성립한다.
 단사 사상은 단사 함수인 군 준동형이다.
 정규 단사 사상은 정규 부분군의 포함 준동형이다.
 단사 사상 · 정칙 단사 사상 · 유효 단사 사상의 개념이 일치한다.

벡터 공간의 범주 
체  위의 벡터 공간과 선형 변환의 아벨 범주 에서는 다음이 성립한다.
 단사 사상은 단사 함수인 선형 변환이다.
 단사 사상 · 정규 단사 사상 · 정칙 단사 사상 · 유효 단사 사상의 개념이 일치한다.

위상 공간의 범주 
위상 공간과 연속 함수의 범주 에서는 다음이 성립한다.
 단사 사상은 단사 함수인 연속 함수이다.
 정칙 단사 사상은 위상 공간의 매장이다. 즉, 정의역과 치역 사이의 위상 동형을 정의하는 단사 연속 함수이다. 모든 유효 단사 사상은 정칙 단사 사상이다.
(이 범주에서는 영 사상이 존재하지 않아, 정규 단사 사상을 정의할 수 없다.)

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 
 
 
 
 

범주론