A pandiagonal magic square or panmagic square (also diabolic square, diabolical square or diabolical magic square) is a magic square with the additional property that the broken diagonals, i.e. the diagonals that wrap round at the edges of the square, also add up to the magic constant.

A pandiagonal magic square remains pandiagonally magic not only under rotation or reflection, but also if a row or column is moved from one side of the square to the opposite side.  As such, an  pandiagonal magic square can be regarded as having  orientations.

3×3 pandiagonal magic squares

It can be shown that non-trivial pandiagonal magic squares of order 3 do not exist.  Suppose the square

is pandiagonally magic with magic constant . Adding sums   and  results in .  Subtracting  and  we get . 
However, if we move the third column in front and perform the same argument, we obtain . In fact, using the symmetries of 3 × 3 magic squares, all cells must equal . Therefore, all 3 × 3 pandiagonal magic squares must be trivial.

However, if the magic square concept is generalized to include geometric shapes instead of numbers – the geometric magic squares discovered by Lee Sallows – a 3 × 3 pandiagonal magic square does exist.

4×4 pandiagonal magic squares

The smallest non-trivial pandiagonal magic squares are 4 × 4 squares. All 4 × 4 pandiagonal magic squares must be translationally symmetric to the form

Since each 2 × 2 subsquare sums to the magic constant, 4 × 4 pandiagonal magic squares are most-perfect magic squares. In addition, the two numbers at the opposite corners of any 3 × 3 square add up to half the magic constant. Consequently, all 4 × 4 pandiagonal magic squares that are associative must have duplicate cells.

All 4 × 4 pandiagonal magic squares using numbers 1-16 without duplicates are obtained by letting  equal 1; letting , , , and  equal 1, 2, 4, and 8 in some order; and applying some translation. For example, with , , , and , we have the magic square

The number of 4 × 4 pandiagonal magic squares using numbers 1-16 without duplicates is 384 (16 times 24, where 16 accounts for the translation and 24 accounts for the 4! ways to assign 1, 2, 4, and 8 to , , , and ).

5×5 pandiagonal magic squares

There are many 5 × 5 pandiagonal magic squares.  Unlike 4 × 4 pandiagonal magic squares, these can be associative.  The following is a 5 × 5 associative pandiagonal magic square:

In addition to the rows, columns, and diagonals, a 5 × 5 pandiagonal magic square also shows its magic constant in four "quincunx" patterns, which in the above example are:

 17+25+13+1+9 = 65 (center plus adjacent row and column squares)
 21+7+13+19+5 = 65 (center plus the remaining row and column squares)
 4+10+13+16+22 = 65 (center plus diagonally adjacent squares)
 20+2+13+24+6 = 65 (center plus the remaining squares on its diagonals)

Each of these quincunxes can be translated to other positions in the square by cyclic permutation of the rows and columns (wrapping around), which in a pandiagonal magic square does not affect the equality of the magic constants.  This leads to 100 quincunx sums, including broken quincunxes analogous to broken diagonals.

The quincunx sums can be proved by taking linear combinations of the row, column, and diagonal sums.  Consider the pandiagonal magic square

with magic constant .  To prove the quincunx sum  (corresponding to the 20+2+13+24+6 = 65 example given above), we can add together the following:
 3 times each of the diagonal sums  and ,
 The diagonal sums , , , and ,
 The row sums  and .
From this sum, subtract the following:
 The row sums  and ,
 The column sum ,
 Twice each of the column sums  and .

The net result is , which divided by 5 gives the quincunx sum.  Similar linear combinations can be constructed for the other quincunx patterns , , and .

(4n+2)×(4n+2) pandiagonal magic squares with nonconsecutive elements 
No pandiagonal magic square exists of order  if consecutive integers are used.  But certain sequences of nonconsecutive integers do admit order-() pandiagonal magic squares.

Consider the sum 1+2+3+5+6+7 = 24.  This sum can be divided in half by taking the appropriate groups of three addends, or in thirds using groups of two addends:

 1+5+6 = 2+3+7 = 12

 1+7 = 2+6 = 3+5 = 8

An additional equal partitioning of the sum of squares guarantees the semi-bimagic property noted below:

 12 + 52 + 62 = 22 + 32 + 72 = 62

Note that the consecutive integer sum 1+2+3+4+5+6 = 21, an odd sum, lacks the half-partitioning.

With both equal partitions available, the numbers 1, 2, 3, 5, 6, 7 can be arranged into 6 × 6 pandigonal patterns  and , respectively given by:

Then  (where  is the magic square with 1 for all cells) gives the nonconsecutive pandiagonal 6 × 6 square:

with a maximum element of 49 and a pandiagonal magic constant of 150.
This square is pandiagonal and semi-bimagic, that means that 
rows, columns, main diagonals and broken diagonals have a sum of 150 and, if we square all the numbers in the square, only the rows and the columns are magic and have a sum of 5150.

For 10th order a similar construction is possible using the equal partitionings of the sum 1+2+3+4+5+9+10+11+12+13 = 70:

 1+3+9+10+12 = 2+4+5+11+13 = 35

 1+13 = 2+12 = 3+11 = 4+10 = 5+9 = 14

 12 + 32 + 92 + 102 + 122 = 22 + 42 + 52 + 112 + 132 = 335 (equal partitioning of squares; semi-bimagic property)

This leads to squares having a maximum element of 169 and a pandiagonal magic constant of 850, which are also semi-bimagic with each row or column sum of squares equal to 102,850.

(6n±1)×(6n±1) pandiagonal magic squares

A  pandiagonal magic square can be built by the following algorithm.

4n×4n pandiagonal magic squares

A  pandiagonal magic square can be built by the following algorithm.

If we build a  pandiagonal magic square with this algorithm then every  square in the  square will have the same sum. Therefore, many symmetric patterns of  cells have the same sum as any row and any column of the  square. Especially each  and each  rectangle will have the same sum as any row and any column of the  square. The  square is also a most-perfect magic square.

(6n+3)×(6n+3) pandiagonal magic squares 
A  pandiagonal magic square can be built by the following algorithm.

References

 W. S. Andrews, Magic Squares and Cubes. New York: Dover, 1960.  Originally printed in 1917.  See especially Chapter X.

 Ollerenshaw, K., Brée, D.: Most-perfect pandiagonal magic squares. IMA, Southend-on-Sea (1998)

External links
 Panmagic Square at MathWorld
 http://www.azspcs.net/Contest/PandiagonalMagicSquares

Magic squares
범마방진(汎魔方陣, ) 또는 범대각선 마방진(汎對角線 魔方陣)은 범대각선(Broken diagonal)에 있는 수들의 합도 마법 상수로 일정한 마방진이다. 여기서 범대각선이란 평행한 두 대각선으로 구성된 n개의 수들의 집합을 말한다. 범마방진은 마방진의 최상위 등급으로 생각되어, 완전방진(完全方陣), 완전대각방진(完全對角方陣)이라고도 한다.

예를 들어 아래 범마방진에서 빨간색은 대각선이고, 나머지 파란색, 노란색, 초록색은 각각 범대각선이다.

범대각선 마방진에서는 대각선뿐 아니라 범대각선에서도 합이 마방진 합으로 같아야 한다. 이 마방진에서 마방진 합은 34이다.



3×3 범마방진 
비자명한 3차 범마방진은 존재하지 않는다. 다음과 같은 범마방진에서

마방진 상수가 라 하자.    을 모두 더하면 가 된다. 그런데 그 중에서  과  을 더하면  임을 알 수 있다. 하지만 3번째 세로줄을 맨 왼쪽으로 옮기고 같은 방법을 적용하면,  이어야 한다. 따라서 수의 값은 모두 으로 같아야 한다.

그런데 마방진의 개념에서 수들 대신 기하학적인 모양으로 일반화시킬 때, 도형 마방진(geometric magic square)에서 3×3 범마방진은 존재한다.

4×4 범마방진 

가장 작은 비자명한 범마방진은 4×4 마방진이다. 모든 4×4 범마방진은 다음 예시에서 한 가로/세로줄을 반대편으로 평행 이동했을 때 대칭이어야 한다.

모든 2×2 부분사각형의 합이 마법 상수이기 때문에, 4×4 범마방진은 가장 완벽한 마방진(most-perfect magic square)이다. 게다가 모든 3×3 사각형에서 반대쪽 꼭짓점에 있는 두 쌍의 수들의 합은 마법 상수의 절반이다. 따라서 모든 결합 마방진(associative)인 4×4 범마방진은 똑같은 수들이 있어야 한다.

1부터 16까지의 수를 중복하지 않고 사용한 모든 4×4 범마방진은 를 1로 해야 하고, , , , 를 1, 2, 4, 8 (순서는 상관없음)로 해야 얻을 수 있다. 그리고 평행 이동을 사용할 수 있다. 예를 들어 , , , 로 하면, 다음과 같은 마방진을 얻을 수 있다.

1부터 16까지의 수를 중복하지 않고 사용한 모든 4×4 범마방진의 경우의 수는 384(=16×24)가지이다. 평행 이동으로 16개가 가능하고 1, 2, 4, 8을 , , , 에 배정할 때 4!(24)가지 방법이 있기 때문이다.

5×5 범마방진 
5×5 범마방진은 많이 있다. 4×4 범마방진과는 달리, 결합 마방진이 가능하다. 다음은 5×5 결합 범마방진이다.

게다가 5×5 범마방진의 가로줄, 세로줄, 대각선에서는 오점형(quincunx)에 위치한 수의 합도 마법 합으로 같다. 예를 들어

 17+25+13+1+9 = 65 (중앙의 수 + 닿아 있는 가로·세로줄에서 옆에 있는 수)
 21+7+13+19+5 = 65 (중앙의 수 + 닿아 있는 가로·세로줄에서 나머지 수)
 4+10+13+16+22 = 65 (중앙의 수 + 닿아 있는 대각선에서 옆에 있는 수)
 20+2+13+24+6 = 65 (중앙의 수 + 닿아 있는 대각선에서 나머지 수)

각 오점형은 둘러싸고 있는 가로줄과 세로줄의 원형 순열을 통해 사각형에 있는 다른 위치로 평행 이동시킬 수 있다. 범마방진은 마법 상수의 등식(equality)에 영향을 받지 않기 때문이다. 그래서 깨진 대각선과 비슷한 깨진 오점형을 포함하면, 합이 같은 오점형이 100개가 만들어진다.

합이 같은 오점형은 가로줄, 세로줄, 대각선 합의 선형 조합을 통해 증명할 수 있다.
범마방진이 다음과 같다고 하자. 마법 상수는 이다.

오점형의 합이 임을 증명하려면, (숫자로 된 예시에서는 20+2+13+24+6 = 65에 해당됨) 다음의 수를 더하면 된다.
 ,  대각선 합의 각 3배
 , , ,   깨진 대각선의 합
 ,  가로줄의 합

이 합에서 다음의 수를 빼면 된다.
 ,   가로줄의 합
  세로줄의 합
 ,  세로줄의 합의 각 2배

이 결과는 이고, 5로 나누면 이 오점형의 합이 마법 합(magic sum)과 같다는 걸 알 수 있다. 수로 된 마방진 예시와 같이, 다음 오점형의 합도 마법 합과 같게 된다. , ,

연속하지 않는 정수로 이루어진 (4n+2)×(4n+2) 범마방진 
연속적인 정수(예를 들어 1, 2, 3, 4, 5)가 사용되면 차 범마방진은 존재하지 않는다. 하지만 특정한 순서의 연속하지 않은 정수가 있으면 가능하다.

같이 보기 
 범대각선
 마방진

각주

외부 링크 
 Wolfram Math World의 범마방진 문서

마방진
행렬