The False Position method is also known as the Regula-Falsi method. It is a numerical method used to find the root of a function. Given a function $f(x)$ and two initial guesses $x\_1$ and $x\_2$, the method approximates the root $r$ by iteratively selecting a new guess $x\_3$ that lies on the line that passes through $(x\_1,f(x\_1))$ and $(x\_2,f(x\_2))$. The equation of this line is given by:

x3=x1−(x2−x1)f(x1)f(x2)−f(x1)x\_3 = x\_1 - \frac{(x\_2 - x\_1) f(x\_1)}{f(x\_2) - f(x\_1)}x3​=x1​−f(x2​)−f(x1​)(x2​−x1​)f(x1​)​

If $f(x\_3)$ and $f(x\_1)$ have opposite signs, then the root lies between $x\_1$ and $x\_3$. Otherwise, the root lies between $x\_2$ and $x\_3$. The method is repeated until the root is found within a desired tolerance.

We are given the equation $xcosx-(2x^2) +3x -1=0$ and we want to find the root within $10^{-5}$ for the intervals $0.2 \leq x \leq 0.3$ and $1.2 \leq x \leq 1.3$. To use the False Position method, we need to choose two initial guesses $x\_1$ and $x\_2$ such that $f(x\_1)$ and $f(x\_2)$ have opposite signs.

Let's begin with the interval $0.2 \leq x \leq 0.3$. We can observe that $f(0.2) = -1.03594$ and $f(0.3) = 0.13541$. Therefore, we choose $x\_1 = 0.2$ and $x\_2 = 0.3$.

Using the formula for the new guess $x\_3$, we get:

x3=0.2−(0.3−0.2)f(0.2)f(0.3)−f(0.2)=0.229136x\_3 = 0.2 - \frac{(0.3 - 0.2) f(0.2)}{f(0.3) - f(0.2)} = 0.229136x3​=0.2−f(0.3)−f(0.2)(0.3−0.2)f(0.2)​=0.229136

We can now check the signs of $f(0.2)$ and $f(0.229136)$:

f(0.2)=−1.03594,f(0.229136)=−0.02880f(0.2) = -1.03594, \quad f(0.229136) = -0.02880f(0.2)=−1.03594,f(0.229136)=−0.02880

Since they have opposite signs, the root lies between $0.2$ and $0.229136$. We repeat the process with $x\_1 = 0.229136$ and $x\_2 = 0.3$:

x3=0.229136−(0.3−0.229136)f(0.229136)f(0.3)−f(0.229136)=0.231243x\_3 = 0.229136 - \frac{(0.3 - 0.229136) f(0.229136)}{f(0.3) - f(0.229136)} = 0.231243x3​=0.229136−f(0.3)−f(0.229136)(0.3−0.229136)f(0.229136)​=0.231243

We can now check the signs of $f(0.229136)$ and $f(0.231243)$:

f(0.229136)=−0.02880,f(0.231243)=0.01039f(0.229136) = -0.02880, \quad f(0.231243) = 0.01039f(0.229136)=−0.02880,f(0.231243)=0.01039

Since they do not have opposite signs, the root lies between $0.231243$ and $0.3$. We repeat the process with $x\_1 = 0.229136$ and $x\_2 = 0.231243$:
거짓 위치 방법은 레귤라-팔시 방법이라고도 합니다. 함수의 근을 찾는 데 사용되는 수치적 방법입니다. 함수 $f(x)$와 두 개의 초기 추측 $x\_1$ 및 $x\_2$가 주어지면, 이 방법은 $(x\_1,f(x\_1))$와 $(x\_2,f(x\_2))$를 통과하는 선 위에 있는 새로운 추측 $x\_3$을 반복적으로 선택함으로써 근 $r$을 근사화합니다. 이 선의 방정식은 다음과 같습니다:x3=x1-(x2-x1)f(x1)f(x2)-f(x1)x\_3 = x\_1 - \frac{(x\_2 - x\_1) f(x\_1)}{f(x\_2) - f(x\_1)}x3=x1-f(x2)-f(x1)(x2-x1)f(x1)f(x\_3)$와 $f(x\_1)$의 부호가 반대인 경우, 근은 $x\_1$과 $x\_3$ 사이에 있습니다. 그렇지 않으면 근은 $x\_2$와 $x\_3$ 사이에 있습니다. 이 방법은 원하는 허용 오차 내에서 근을 찾을 때까지 반복됩니다.xcosx-(2x^2) +3x -1=0$ 방정식이 주어지고 $0.2 \leq x \leq 0.3$ 및 $1.2 \leq x \leq 1.3$ 간격에 대해 $10^{-5}$ 이내의 근을 찾고자 합니다. 거짓 위치 방법을 사용하려면 $f(x\_1)$와 $f(x\_2)$가 서로 반대 부호를 갖도록 두 개의 초기 추측 $x\_1$과 $x\_2$를 선택해야 합니다.구간 $0.2 \leq x \leq 0.3$부터 시작하겠습니다. f(0.2) = -1.03594$, $f(0.3) = 0.13541$임을 관찰할 수 있습니다. 따라서 $x\_1 = 0.2$와 $x\_2 = 0.3$을 선택합니다.새로운 추측 $x\_3$에 대한 공식을 사용하면 다음과 같습니다:x3=0.2-(0.3-0.2)f(0.2)f(0.3)-f(0.2)=0.229136x\_3 = 0.2 - \frac{(0.3 - 0.2) f(0.2)}{f(0.3) - f(0.2)} = 0.229136x3=0.2-f(0.3)-f(0.2)(0.3-0.2) f(0.2)=0.229136이제 $f(0.2)$와 $f(0.229136)$의 부호를 확인할 수 있습니다:f(0.2)=-1.03594,f(0.229136)=-0.02880f(0.2) = -1.03594, \quad f(0.229136) = -0.02880f(0.2)=-1.03594,f(0.229136)=-0.02880부호가 반대이므로 근은 $0.2$와 $0.229136$ 사이에 있습니다. x\_1 = 0.229136$ 및 $x\_2 = 0.3$으로 이 과정을 반복합니다:x3=0.229136-(0.3-0.229136)f(0.229136)f(0.3)-f(0.229136)=0.231243x\_3 = 0.229136 - \frac{(0.3 - 0.229136) f(0. 229136)}{f(0.3) - f(0.229136)} = 0.231243x3=0.229136-f(0.3)-f(0.229136)(0.3-0.229136)f(0.229136)=0.231243이제 $f(0.229136)$와 $f(0.231243)$의 부호를 확인할 수 있습니다:f(0.229136)=-0.02880,f(0.231243)=0.01039f(0.229136) = -0.02880, \quad f(0.231243) = 0.01039f(0.229136)=-0.02880,f(0.231243)=0.01039반대 부호가 없으므로 근은 $0.231243$과 $0.3$ 사이에 있습니다. x\_1 = 0.229136$ 및 $x\_2 = 0.231243$로 이 과정을 반복합니다: