Sure, I apologize for the formatting issue. Here is a reformatted version of my previous answer:

Let the band-limited signal be denoted by x(t)x(t) and its bandwidth be denoted by BB.

The ideal sampling function, or Dirac Comb, with frequency twice that of the band-limited signal can be defined as:

p(t)=∑n=−∞∞δ(t−nTs),p(t)=∑n=−∞∞δ(t−nTs), p(t) = \sum\_{n=-\infty}^{\infty} \delta(t-nT\_s),p(t)=n=−∞∑∞​δ(t−nTs​),where δ(t)δ(t) is the Dirac delta function and Ts=12BTs=12B is the sampling interval.

The sampled signal can then be expressed as the product of the band-limited signal and the sampling function:

y(t)=x(t)p(t)=x(t)∑n=−∞∞δ(t−nTs).y(t)=x(t)p(t)=x(t)∑n=−∞∞δ(t−nTs). y(t) = x(t)p(t) = x(t) \sum\_{n=-\infty}^{\infty} \delta(t-nT\_s).y(t)=x(t)p(t)=x(t)n=−∞∑∞​δ(t−nTs​).Taking the Fourier transform of y(t)y(t), we have:

Y(ω)=F{y(t)}Y(ω)=F{y(t)} Y(\omega) = \mathcal{F}\{y(t)\}Y(ω)=F{y(t)}=F{x(t)p(t)}=F{x(t)p(t)} = \mathcal{F}\{x(t)p(t)\}=F{x(t)p(t)}=F{x(t)}∗F{p(t)}=F{x(t)}∗F{p(t)} = \mathcal{F}\{x(t)\} \* \mathcal{F}\{p(t)\}=F{x(t)}∗F{p(t)}=X(ω)∗P(ω)=X(ω)∗P(ω) = X(\omega) \* P(\omega)=X(ω)∗P(ω)=X(ω)∗1Ts∑n=−∞∞2πδ(ω−nωs)=X(ω)∗1Ts∑n=−∞∞2πδ(ω−nωs) = X(\omega) \* \frac{1}{T\_s} \sum\_{n=-\infty}^{\infty} 2\pi \delta(\omega-n\omega\_s)=X(ω)∗Ts​1​n=−∞∑∞​2πδ(ω−nωs​)=1Ts∑n=−∞∞X(ω−nωs),=1Ts∑n=−∞∞X(ω−nωs), = \frac{1}{T\_s} \sum\_{n=-\infty}^{\infty} X(\omega-n\omega\_s),=Ts​1​n=−∞∑∞​X(ω−nωs​),where X(ω)X(ω) and P(ω)P(ω) are the Fourier transforms of x(t)x(t) and p(t)p(t), respectively, ωs=2πTsωs=2πTs is the sampling frequency, and ∗∗ denotes convolution.X(ω)X(ω) and P(ω)P(ω) are the Fourier transforms of x(t)x(t) and p(t)p(t), respectively, ωs=2πTsωs=2πTs is the sampling frequency

Since x(t)x(t) is band-limited with bandwidth BB, we have X(ω)=0X(ω)=0 for |ω|>B|ω|>B. Therefore, the only non-zero terms in the sum are those for which |nωs|≤B|nωs|≤B. This means that the spectrum of the sampled signal is periodic with period ωsωs and centered at multiples of ωsωs. Specifically, the spectrum of the sampled signal consists of replicas of the spectrum of the original signal, each centered at nωsnωs:

Y(ω)=1Ts∑n=−∞∞X(ω−nωs).Y(ω)=1Ts∑n=−∞∞X(ω−nωs). Y(\omega) = \frac{1}{T\_s} \sum\_{n=-\infty}^{\infty} X(\omega-n\omega\_s).Y(ω)=Ts​1​n=−∞∑∞​X(ω−nωs​).Note that this result assumes perfect sampling with an ideal Dirac Comb and infinite sampling time. In practice, non-ideal sampling functions and finite sampling times can introduce additional frequency components, leading to aliasing and distortion in the reconstructed signal.
네, 서식 문제에 대해 사과드립니다. 다음은 이전 답변의 서식을 변경한 버전입니다:대역이 제한된 신호를 x(t)x(t)로 표시하고 대역폭을 BB로 표시합니다.대역 제한 신호의 두 배인 주파수를 가진 이상적인 샘플링 함수 또는 디락 콤은 다음과 같이 정의할 수 있습니다:p(t)=∑n=-∞∞δ(t-nTs),p(t)=∑n=-∞∞δ(t-nTs), p(t) = \sum\_{n=-\infty}^{\infty} \델타(t-nT\_s),p(t)=n=-∞∑∞δ(t-nTs),여기서 δ(t)δ(t)는 디락 델타 함수이고 Ts=12BTs=12B는 샘플링 간격입니다.그러면 샘플링된 신호는 대역 제한 신호와 샘플링 함수의 곱으로 표현할 수 있습니다:y(t)=x(t)p(t)=x(t)∑n=-∞∞δ(t-nTs).y(t)=x(t)p(t)=x(t)∑n=-∞∞δ(t-nTs). y(t) = x(t)p(t) = x(t) \sum\_{n=-\infty}^{\infty} \델타(t-nT\_s).y(t)=x(t)p(t)=x(t)n=-∞∑∞δ(t-nTs).y(t)의 푸리에 변환을 구하면 다음과 같습니다:Y(ω)=F{y(t)}Y(ω)=F{y(t)} Y(\omega) = \mathcal{F}\{y(t)\}Y(ω)=F{y(t)}=F{x(t)p(t)}=F{x(t)p(t)} = \mathcal{F}\{x(t)p(t)\} = F{x(t)p(t)}=F{x(t)}∗F{p(t)} = F{x(t)}∗F{p(t)} = \mathcal{F}\{x(t)\} \* \mathcal{F}\{p(t)\}=F{x(t)}∗F{p(t)}=X(ω)∗P(ω)=X(ω)∗P(ω) = X(\omega) \* P(\omega)=X(ω)∗P(ω)=X(ω)∗1Ts∑n= -∞∞2πδ(ω-nωs)=X(ω)∗1Ts∑n= -∞∞2πδ(ω-nωs) = X(\omega) \* \frac{1}{T\_s} \sum\_{n=-\인프티}^{\인프티} 2\pi \delta(\omega-n\omega\_s)=X(ω)∗Ts1n=-∞∑∞2πδ(ω-nωs)=1Ts∑n=-∞∞X(ω-nωs),=1Ts∑n=-∞∞X(ω-nωs), = \frac{1}{T\_s} \sum\_{n=-\infty}^{\infty} X(\omega-n\omega\_s),=Ts1n=-∞∑∞X(ω-nωs),여기서 X(ω)X(ω) 및 P(ω)P(ω)는 각각 x(t)x(t) 및 p(t)p(t)의 푸리에 변환이고, ωs=2πTsωs=2πTs는 샘플링 주파수이며 ∗∗는 컨볼루션을 나타냅니다. X(ω)X(ω) 및 P(ω)P(ω)는 각각 x(t)x(t) 및 p(t)p(t)의 푸리에 변환이며, ωs=2πTsωs=2πTs는 샘플링 주파수입니다.x(t)x(t)는 대역폭 BB로 대역이 제한되어 있으므로 |ω|>B|ω|>B에 대해 X(ω)=0X(ω)=0이 됩니다. 따라서 합에서 0이 아닌 유일한 항은 |nωs|≤B|nωs|≤B에 대한 항뿐입니다. 이는 샘플링된 신호의 스펙트럼이 주기 ωsωs를 가지며 ωsωs의 배수에 중심을 두고 주기적이라는 것을 의미합니다. 구체적으로, 샘플링된 신호의 스펙트럼은 원본 신호 스펙트럼의 복제본으로 구성되며, 각 복제본은 nωsnωs에 중심을 둡니다:Y(ω)=1Ts∑n=-∞∞X(ω-nωs).Y(ω)=1Ts∑n=-∞∞X(ω-nωs). Y(\오메가) = \frac{1}{T\_s} \sum\_{n=-\infty}^{\infty} X(\omega-n\omega\_s).Y(ω)=Ts1n=-∞∑∞X(ω-nωs).이 결과는 이상적인 디락 콤과 무한한 샘플링 시간을 사용한 완벽한 샘플링을 가정합니다. 실제로는 샘플링 함수가 이상적이지 않고 샘플링 시간이 유한하면 추가 주파수 성분이 발생하여 재구성된 신호에 에일리어싱과 왜곡이 발생할 수 있습니다.