In geometric topology, the Clifford torus is the simplest and most symmetric flat embedding of the Cartesian product of two circles S and S (in the same sense that the surface of a cylinder is "flat"). It is named after William Kingdon Clifford. It resides in R4, as opposed to in R3. To see why R4 is necessary, note that if S and S each exists in its own independent embedding space R and R, the resulting product space will be R4 rather than R3. The historically popular view that the Cartesian product of two circles is an R3 torus in contrast requires the highly asymmetric application of a rotation operator to the second circle, since that circle will only have one independent axis z available to it after the first circle consumes x and y.

Stated another way, a torus embedded in R3 is an asymmetric reduced-dimension projection of the maximally symmetric Clifford torus embedded in R4. The relationship is similar to that of projecting the edges of a cube onto a sheet of paper. Such a projection creates a lower-dimensional image that accurately captures the connectivity of the cube edges, but also requires the arbitrary selection and removal of one of the three fully symmetric and interchangeable axes of the cube.

If S and S each has a radius of , their Clifford torus product will fit perfectly within the unit 3-sphere S3, which is a 3-dimensional submanifold of R4. When mathematically convenient, the Clifford torus can be viewed as residing inside the complex coordinate space C2, since C2 is topologically equivalent to R4.

The Clifford torus is an example of a square torus, because it is isometric to a square with opposite sides identified. It is further known as a Euclidean 2-torus (the "2" is its topological dimension); figures drawn on it obey Euclidean geometry as if it were flat, whereas the surface of a common "doughnut"-shaped torus is positively curved on the outer rim and negatively curved on the inner. Although having a different geometry than the standard embedding of a torus in three-dimensional Euclidean space, the square torus can also be embedded into three-dimensional space, by the Nash embedding theorem; one possible embedding modifies the standard torus by a fractal set of ripples running in two perpendicular directions along the surface.

Formal definition 

The unit circle S1 in R2 can be parameterized by an angle coordinate:

 

In another copy of R2, take another copy of the unit circle
 
Then the Clifford torus is

 

Since each copy of S1 is an embedded submanifold of R2, the Clifford torus is an embedded torus in  = R4.

If R4 is given by coordinates (x1, y1, x2, y2), then the Clifford torus is given by

 

This shows that in R4 the Clifford torus is a submanifold of the unit 3-sphere S3.

It is easy to verify that the Clifford torus is a minimal surface in S3.

Alternative derivation using complex numbers 

It is also common to consider the Clifford torus as an embedded torus in C2.  In two copies of C, we have the following unit circles (still parametrized by an angle coordinate):
 
and
 
Now the Clifford torus appears as
 
As before, this is an embedded submanifold, in the unit sphere S3 in C2.

If C2 is given by coordinates (z1, z2), then the Clifford torus is given by
 

In the Clifford torus as defined above, the distance of any point of the Clifford torus to the origin of C2 is
 
The set of all points at a distance of 1 from the origin of C2 is the unit 3-sphere, and so the Clifford torus sits inside this 3-sphere.  In fact, the Clifford torus divides this 3-sphere into two congruent solid tori (see Heegaard splitting).

Since O(4) acts on R4 by orthogonal transformations, we can move the "standard" Clifford torus defined above to other equivalent tori via rigid rotations.  These are all called "Clifford tori". The six-dimensional group O(4) acts transitively on the space of all such Clifford tori sitting inside the 3-sphere.  However, this action has a two-dimensional stabilizer (see group action) since rotation in the meridional and longitudinal directions of a torus preserves the torus (as opposed to moving it to a different torus).  Hence, there is actually a four-dimensional space of Clifford tori. In fact, there is a one-to-one correspondence between Clifford tori in the unit 3-sphere and pairs of polar great circles (i.e., great circles that are maximally separated).  Given a Clifford torus, the associated polar great circles are the core circles of each of the two complementary regions. Conversely, given any pair of polar great circles, the associated Clifford torus is the locus of points of the 3-sphere that are equidistant from the two circles.

More general definition of Clifford tori 

The flat tori in the unit 3-sphere S3 that are the product of circles of radius r in one 2-plane R2 and radius  in another 2-plane R2 are sometimes also called "Clifford tori".

The same circles may be thought of as having radii that are cos(θ) and sin(θ) for some angle θ in the range  (where we include the degenerate cases  and ).

The union for  of all of these tori of form

(where S(r) denotes the circle in the plane R2 defined by having center  and radius r) is the 3-sphere S3. (Note that  we must include the two degenerate cases  and , each of which corresponds to a great circle of S3, and which together constitute a pair of polar great circles.)

This torus Tθ is readily seen to have area

so only the torus T/4 has the maximum possible area of 22. This torus T/4 is the torus Tθ that is most commonly called the "Clifford torus" – and it is also the only one of the Tθ that is a minimal surface in S3.

Still more general definition of Clifford tori in higher dimensions

Any unit sphere S2n−1 in an even-dimensional euclidean space  may be expressed in terms of the complex coordinates as follows:

Then, for any non-negative numbers r1, ..., rn such that r12 + ... + rn2 = 1, we may define a generalized Clifford torus as follows:

These generalized Clifford tori are all disjoint from one another. We may once again conclude that the union of each one of these tori Tr1, ..., rn is the unit (2n − 1)-sphere S2n−1 (where we must again include the degenerate cases where at least one of the radii rk = 0).

Properties 

 The Clifford torus is "flat"; it can be flattened out to a plane without stretching, unlike the standard torus of revolution.
 The Clifford torus divides the 3-sphere into two congruent solid tori. (In a stereographic projection, the Clifford torus appears as a standard torus of revolution. The fact that it divides the 3-sphere equally means that the interior of the projected torus is equivalent to the exterior, which is not easily visualized).

Uses in mathematics 

In symplectic geometry, the Clifford torus gives an example of an embedded Lagrangian submanifold of C2 with the standard symplectic structure.  (Of course, any product of embedded circles in C gives a Lagrangian torus of C2, so these need not be Clifford tori.)

The Lawson conjecture states that every minimally embedded torus in the 3-sphere with the round metric must be a Clifford torus. This conjecture was proved by Simon Brendle in 2012.

Clifford tori and their images under conformal transformations are the global minimizers of the Willmore functional.

See also 
 Duocylinder
 Hopf fibration
 Clifford parallel and Clifford surface
 William Kingdom Clifford

References 

Geometric topology
Four-dimensional geometry
기하학적 위상수학에서 클리포드 원환면()은 두 원 와 을 데카르트 곱한 의 가장 단순하고 가장 대칭적인 평평한(원통의 표면이 "평평하다"는 것과 같은 의미) 매장이다. 영국 수학자 윌리엄 킹던 클리포드의 이름을 따서 명명되었다. 이것은 이 아니라 에 매장된다. 와  각각이 자신의 독립적인 매장 공간 와 에 존재하면, 곱공간은 이 아닌 이다. 대조적으로, 두 원의 데카르트 곱이 에 매장된 원환면이라는 역사적으로 대중적인 명제에는 두 번째 원에 대해 회전 연산자의 아주 비대칭적인 적용이 필요하다.

달리 말하면, 에 매장된 원환면은 에 매장된 최대 대칭인 클리포드 원환면의 비대칭  차원 축소 사영이다. 이 관계는 정육면체의 모서리를 종이 위에 사영하는 것과 유사하다. 이러한 사영은 정육면체 가장자리의 연결을 정확하게 반영하는 저차원 상(像)을 생성하지만, 정육면체의 완전히 대칭적이고 상호 교환 가능한 3개의 축들 중 하나를 임의로 골라 제거해야 한다.

와 각각의 반지름이 이라면, 그들의 클리포드 원환면 곱은 의 3차원 부분 다양체인 단위 3차원 구면  안에 완벽하게 맞을 것이다. 는 와 위상동형이기 때문에, 편의상 클리포드 원환면은 복소 좌표 공간  내부에 있는 것으로 볼 수 있다.

클리포드 원환면은 정사각형 원환면의 예이다. 그 이유는, 반대쪽 면이 식별된 정사각형과 등장동형이기 때문이다. 이는 유클리드 2-원환면("2"는 위상수학적 차원)으로 더 잘 알려져 있다. 그것에 그려진 그림은 유클리드 기하학을 따른다. 일반적인 "도넛" 모양 원환면은 외부 테두리에서 양으로 구부러지고 내부에서 음으로 구부러지는 반면, 마치 평평한 것처럼 보인다. 3차원 유클리드 공간에서 원환면의 표준 매장과는 다른 기하학을 갖지만 정사각형 원환면은 내쉬 매장 정리에 의해 3차원 공간에 매장될 수도 있다. 하나의 가능한 임베딩은 표면을 따라 두 개의 수직 방향으로 실행되는 잔물결의 프랙탈 집합에 의해 표준 원환면을 수정한다.

정의 
의 단위원 은 각도 좌표로 매개변수화할 수 있다.

 

의 다른 복사본에서 의 또 다른 복사본을 가져온다.

 

그러면 클리포드 원환면은

 

의 각 복사본은 의 포함된 부분 다양체 이므로 클리포드 원환면은 에서 포함된 원환면이다.

가 좌표 로 주어지면 클리포드 원환면은 다음 방정식의 해집합으로 주어진다:

 

이는 에서 클리포드 원환면이 3차원 단위 구면 의 부분 다양체임을 보여준다.

복소수를 이용한 유도 
클리포드 원환면을 에 매장된 원환면으로 보는 것도 일반적이다. 의 두 복사본에는 다음과 같은 단위원이 있다(여전히 각도 좌표로 매개변수화됨).

 

그리고

 

이제 클리포드 원환면은 다음과 같이 나타난다.

 

이전과 마찬가지로 이것은 의 단위 구 에 포함된 부분 다양체이다.

가 좌표 로 주어지면 클리포드 원환면은 다음과 같이 주어진다.

 

위에 정의된 클리포드 원환면에서 클리포드 원환면의 모든 지점에서 의 원점까지의 거리는 다음과 같다.

 

의 원점에서 거리 1만큼 떨어진 모든 점의 집합은 이고 따라서 클리포드 원환면은 의 안에 있다. 사실, 클리포드 원환면은 이 를 합동인 두 개의 솔리드 원환면들로 나눈다(히가드 분할).

직교군 는 직교 변환에 의해 에 작용하기 때문에 위에서 정의한 "표준" 클리포드 원환면을 강체 회전을 통해 다른 동등한 원환면으로 이동할 수 있다. 이것들은 모두 "클리포드 토리"라고 불린다. 6차원 군 는  안에 있는 이러한 모든 클리포드 토리의 공간에서 추이적으로 작용한다. 그러나 이 작용에는 원환면의 자오선 및 세로 방향으로의 회전이 원환면을 보존하므로(다른 원환면으로 이동하는 것과는 반대로) 2차원 안정화 부분군 (군 작용 참조)이 있다. 따라서 실제로 클리포드 토리의 4차원 공간이 존재한다. 사실, 의 클리포드 토리와 한 쌍의 극 대원(즉, 최대로 분리된 대원들)들 사이에는 일대일 대응이 있다. 클리포드 원환면이 주어지면 연관된 극 대원은 두 여집합 각각의 핵심 원이다. 반대로, 한 쌍의 극 대원이 주어지면 연관된 클리포드 원환면은 두 원에서 등거리에 있는 의 점들의 궤적이다.

클리포드 토리의 보다 일반적인 정의 
하나의 평면 에서 반지름 의 원과 다른 평면 에서 반지름 인 원의 곱인 의 평평한 토리는 때때로 "클리포드 토리"라고도 한다.

동일한 원들이  범위의 일부 각도 에 대해  및 인 반지름을 갖는 것으로 생각할 수 있다(여기서 축퇴하는 예들   및 ).

이런 형태의 이러한 모든 토리의 에 대한 합집합

 

(여기서 은 에서 중심이 원점이고 반지름이 로 정의되는 원을 나타낸다)는 이다.(각각 의 대원에 해당하고 한 쌍의 극 대원을 구성하는 두 개의 축퇴하는 예들  및 를 포함해야 한다. )

이 원환면 의 면적은

 

임을 쉽게 확인 할 수 있다. 따라서 원환면 만이 가능한 최대 면적이 이다. 이 원환면 는 가장 일반적으로 "클리포드 원환면"라고 불리는 원환면 이며  중 에서 극소 곡면인 유일한 원환면이기도 하다.

더 높은 차원에서 클리포드 토리의 더 일반적인 정의 
짝수 차원 유클리드 공간 에서 임의의 단위 구면 은 다음과 같이 복소 좌표로 표현될 수 있다.

 

그런 다음  이 되는 음이 아닌 실수 에 대해 다음과 같이 일반화된 클리포드 원환면을 정의할 수 있다.

 

이러한 일반화 된 클리포드 토리는 모두 서로 분리되어 있다. 다시 한 번 이러한 토리  각각의 합집합이 단위 -구면 이라고 결론을 내릴 수 있다(여기서 반지름들 중 적어도 하나는 인 축퇴하는 예들을 다시 포함해야 한다).

성질 
 클리포드 원환면은 "평평"하다. 표준 회전 원환면과 달리 늘어나지 않고 평면으로 평평해질 수 있다.
 클리포드 원환면은 3차원 구면을 합동인 솔리드 원환면 2개로 나눈다. (입체 사영에서 클리포드 원환면은 표준 회전 원환면으로 나타난다. 3구를 균등하게 나눈다는 것은 사영된 원환면의 내부가 외부와 동등하다는 것을 의미하며 쉽게 시각화되지 않는다.

수학에서 등장하는 분야 
심플렉틱 기하학에서 클리포드 원환면은 표준 심플렉틱 구조를 가진 의 포함된 라그랑지안 부분 다양체의 예를 제공한다. (물론, 에 포함된 원의 모든 곱은 의 라그랑주 원환면을 제공하므로 이들은 클리포드 토리일 필요가 없습니다. )

로우슨 추측은 둥근 계량 이 있는 3구에 극소적으로 포함된 모든 원환면이 클리포드 원환면여야 한다고 말한다. 이 추측은 2012년 사이먼 브랜들에 의해 증명되었다.

등각 변환 하의 클리포드 토리 및 해당 상은 윌모어 함수의 전역 최소화이다.

같이 보기 
 호프 올뭉치
 클리포드 평행 및 클리포드 표면
 윌리엄 킹던 클리퍼드

참조 

기하학적 위상수학
4차원 기하학