Combinatorial game theory measures game complexity in several ways: 

State-space complexity (the number of legal game positions from the initial position), 
Game tree size (total number of possible games), 
Decision complexity (number of leaf nodes in the smallest decision tree for initial position), 
Game-tree complexity (number of leaf nodes in the smallest full-width decision tree for initial position), 
Computational complexity (asymptotic difficulty of a game as it grows arbitrarily large). 

These measures involve understanding game positions, possible outcomes, and computation required for various game scenarios.

Measures of game complexity

State-space complexity 
The state-space complexity of a game is the number of legal game positions reachable from the initial position of the game.

When this is too hard to calculate, an upper bound can often be computed by also counting (some) illegal positions, meaning positions that can never arise in the course of a game.

Game tree size 
The game tree size is the total number of possible games that can be played: the number of leaf nodes in the game tree rooted at the game's initial position.

The game tree is typically vastly larger than the state space because the same positions can occur in many games by making moves in a different order (for example, in a tic-tac-toe game with two X and one O on the board, this position could have been reached in two different ways depending on where the first X was placed). An upper bound for the size of the game tree can sometimes be computed by simplifying the game in a way that only increases the size of the game tree (for example, by allowing illegal moves) until it becomes tractable.

For games where the number of moves is not limited (for example by the size of the board, or by a rule about repetition of position) the game tree is generally infinite.

Decision trees 
The next two measures use the idea of a decision tree, which is a subtree of the game tree, with each position labelled with "player A wins", "player B wins" or "drawn", if that position can be proved to have that value (assuming best play by both sides) by examining only other positions in the graph.  (Terminal positions can be labelled directly; a position with player A to move can be labelled "player A wins" if any successor position is a win for A, or labelled "player B wins" if all successor positions are wins for B, or labelled "draw" if all successor positions are either drawn or wins for B.  And correspondingly for positions with B to move.)

Decision complexity 
Decision complexity of a game is the number of leaf nodes in the smallest decision tree that establishes the value of the initial position.

Game-tree complexity 
The game-tree complexity of a game is the number of leaf nodes in the smallest full-width decision tree that establishes the value of the initial position. A full-width tree includes all nodes at each depth.

This is an estimate of the number of positions one would have to evaluate in a minimax search to determine the value of the initial position.

It is hard even to estimate the game-tree complexity, but for some games an approximation can be given by raising the game's average branching factor b to the power of the number of plies d in an average game, or:

.

Computational complexity 
The computational complexity of a game describes the asymptotic difficulty of a game as it grows arbitrarily large, expressed in big O notation or as membership in a complexity class. This concept doesn't apply to particular games, but rather to games that have been generalized so they can be made arbitrarily large, typically by playing them on an n-by-n board. (From the point of view of computational complexity a game on a fixed size of board is a finite problem that can be solved in O(1), for example by a look-up table from positions to the best move in each position.)

The asymptotic complexity is defined by the most efficient (in terms of whatever computational resource one is considering) algorithm for solving the game; the most common complexity measure (computation time) is always lower-bounded by the logarithm of the asymptotic state-space complexity, since a solution algorithm must work for every possible state of the game. It will be upper-bounded by the complexity of any particular algorithm that works for the family of games. Similar remarks apply to the second-most commonly used complexity measure, the amount of space or computer memory used by the computation. It is not obvious that there is any lower bound on the space complexity for a typical game, because the algorithm need not store game states; however many games of interest are known to be PSPACE-hard, and it follows that their space complexity will be lower-bounded by the logarithm of the asymptotic state-space complexity as well (technically the bound is only a polynomial in this quantity; but it is usually known to be linear).
 The depth-first minimax strategy will use computation time proportional to game's tree-complexity, since it must explore the whole tree, and an amount of memory polynomial in the logarithm of the tree-complexity, since the algorithm must always store one node of the tree at each possible move-depth, and the number of nodes at the highest move-depth is precisely the tree-complexity.
 Backward induction will use both memory and time proportional to the state-space complexity as it must compute and record the correct move for each possible position.

Example: tic-tac-toe (noughts and crosses)
For tic-tac-toe, a simple upper bound for the size of the state space is 39 = 19,683. (There are three states for each cell and nine cells.) This count includes many illegal positions, such as a position with five crosses and no noughts, or a position in which both players have a row of three. A more careful count, removing these illegal positions, gives 5,478. And when rotations and reflections of positions are considered identical, there are only 765 essentially different positions.

To bound the game tree, there are 9 possible initial moves, 8 possible responses, and so on, so that there are at most 9! or 362,880 total games. However, games may take less than 9 moves to resolve, and an exact enumeration gives 255,168 possible games. When rotations and reflections of positions are considered the same, there are only 26,830 possible games.

The computational complexity of tic-tac-toe depends on how it is generalized. A natural generalization is to m,n,k-games: played on an m by n board with winner being the first player to get k in a row. It is immediately clear that this game can be solved in DSPACE(mn) by searching the entire game tree. This places it in the important complexity class PSPACE. With some more work it can be shown to be PSPACE-complete.

Complexities of some well-known games
Due to the large size of game complexities, this table gives the ceiling of their logarithm to base 10.  (In other words, the number of digits).  All of the following numbers should be considered with caution: seemingly-minor changes to the rules of a game can change the numbers (which are often rough estimates anyway) by tremendous factors, which might easily be much greater than the numbers shown.

Note: ordered by game tree size

Notes

References

See also
 Go and mathematics
 Solved game
 Solving chess
 Shannon number
 list of NP-complete games and puzzles
 list of PSPACE-complete games and puzzles

External links
 David Eppstein's Computational Complexity of Games and Puzzles

Combinatorial game theory
Game theory
게임 복잡도 이론은 게임의 복잡성을 측정하는 몇 가지 방법을 가지고 있다. 이 문서에서는 그 중 주 공간 복잡성, 게임 트리 크기, 의사결정 복잡성, 게임 트리 복잡성, 계산 복잡성이라는 5가지에 분야에 대해 설명한다.

게임 복잡성 측정

주 공간 복잡성 
게임의 주 공간 복잡성은 게임을 처음 위치에서 시작했을 때 도달할 수 있는 합법적인 게임 위치의 경우이다. 게임을 계산하기 너무 어려울 때 가끔 일부 속임수도 세어서 상한을 계산할 수 있는데, 이는 게임 과정에서 절대 일어날 수 없는 포지션을 의미한다.

게임 트리 크기 
게임 트리 크기는 게임을 시작할 수 있는 총 게임 수이다. 게임 트리의 리프 노드 수는 게임 초기 위치에 뿌리를 두고 있다.

게임 트리는 많은 게임에서 서로 다른 순서로 움직여서 같은 위치가 발생할 수 있기 때문에 일반적으로 주 공간보다 훨씬 크다.(예를 들어, 보드에 두 개의 X와 한 개의 O가 있는 틱택토 게임에서, 이 위치는 첫 번째 X가 어디에 놓였는지에 따라 두 가지 다른 방법으로 도달할 수 있었다). 게임 나무의 크기에 대한 상한선은 트랙터블이 될 때까지 게임 나무의 크기만을 증가시키는 방식으로(예를 들어 불법적인 움직임을 허용함으로써) 게임을 단순화함으로써 계산될 수 있다.

이동 횟수가 제한되지 않는 게임(예: 보드 크기 또는 위치 반복에 대한 규칙)의 경우 게임 트리는 일반적으로 무한하다.

의사결정 나무 
다음 두 가지 척도는 "A 선수 승리", "B 선수 승리" 또는 "끌어짐"으로 표시된 각 포지션과 함께 게임 트리의 하위 트리인 의사결정 트리의 아이디어를 사용한다. 만약 그 포지션이 그래프에서 다른 포지션만을 검토하여 (양쪽에 의한 최상의 플레이를 가정) 그 가치를 가질 수 있다면 말이다. (단자 위치는 직접 라벨을 붙일 수 있다. A선수가 이동할 수 있는 자리는 A선수가 승리할 경우 "A선수가 승리한다"고 표시하거나, 모든 후임자가 B선수가 승리할 경우 "B선수가 승리한다"고 표시하거나, 모든 후임자가 추첨되거나 B선수가 승리할 경우 "추첨"이라고 표시할 수 있다. 그리고 그에 상응하여 B가 있는 위치가 이동한다.)

의사 결정 복잡성 
게임의 결정 복잡성은 초기 위치의 가치를 설정하는 가장 작은 의사결정 나무의 리프 노드 수이다.

게임 트리의 복잡성 
게임의 게임 트리 복잡성은 초기 위치의 가치를 설정하는 가장 작은 전체 너비 의사결정 트리의 리프 노드 수이다. 전체 너비 트리는 각 깊이에 있는 모든 노드를 포함한다.

이것은 초기 위치의 값을 결정하기 위해 미니맥스 검색에서 평가해야 할 위치의 수에 대한 추정치다.

게임 트리의 복잡성을 추정하기는 어렵지만, 일부 게임의 경우 게임의 평균 분기 요소 b를 평균 게임에서 플라이 수 d의 힘으로 높여서 근사치를 산출할 수 있다.

계산 복잡성 
게임의 계산적 복잡성은 게임이 임의적으로 커져서 큰 O 표기법이나 복잡성 등급의 멤버십으로 표현될 때 나타나는 점증적 난이도를 설명한다. 이 개념은 특정 게임에 적용되는 것이 아니라, 일반적으로 n-by-n 보드에서 게임을 함으로써 임의적으로 크게 만들 수 있도록 일반화된 게임들에 적용된다.(계산 복잡성의 관점에서, 고정된 크기의 보드 위에서 게임은 O(1)에서 해결할 수 있는 유한한 문제로서, 예를 들어, p의 조회표에 의해 해결된다. 각 포지션에서 가장 잘 움직일 수 있도록 한다.)

점증적 복잡성은 게임을 해결하기 위해 가장 효율적인(어떤 계산적 자원에 관해서든)알고리즘에 의해 정의된다. 가장 일반적인 복잡성 측정(컴퓨팅 시간)은 가능한 모든 경우에 솔루션 알고리즘이 작동해야 하기 때문에 점증적 상태-공간 복잡성의 로그에 의해 항상 경계를 낮춘다. 게임의 테이트 그것은 게임 패밀리에 작용하는 어떤 특정한 알고리즘의 복잡성에 의해 상한선이 될 것이다. 유사한 언급이 두 번째로 일반적으로 사용되는 복잡성 측정치, 즉 계산에 사용되는 공간이나 컴퓨터 메모리의 양에도 적용된다. 알고리즘이 게임 상태를 저장할 필요가 없기 때문에 일반적인 게임의 공간 복잡성에 하한선이 있다는 것은 명백하지 않다; 그러나 관심 있는 많은 게임들은 PSPACE-hard로 알려져 있고, 그들의 공간 복잡성은 점증적 상태-공간 복잡성의 로그에 의해 하한선이 될 것이다(기술적으로 더 낮다). 바운드(bound)는 이 수량에서 다항식일 뿐이지만, 일반적으로 선형이라고 알려져 있다.

 깊이-최초 미니맥스 전략은 전체 트리를 탐구해야 하기 때문에 게임의 트리-복잡성에 비례하는 계산 시간과 알고리즘이 가능한 각 이동 깊이에 트리의 한 노드를 항상 저장해야 하기 때문에 트리-복잡성의 로그에 메모리 다항식의 양이 사용되며, 그리고 가장 높은 이동 깊이에서 노드 수를 항상 저장해야 하기 때문이다. 바로 그 나무 조각이다.
 후진 유도는 각 가능한 위치에 대해 정확한 이동을 계산하고 기록해야 하므로 상태-공간 복잡성에 비례하는 메모리와 시간을 모두 사용한다.

교차점 
틱택토(tic-tac-toe)의 경우, 주공간의 크기에 대한 단순한 상한은9 3 = 19,683이다. (각 셀마다 3개의 상태와 9개의 셀이 있다.) 이 카운트에는 5개의 크로스를 올리고 무득점 포지션이나 두 선수 모두 3열로 된 포지션 등 많은 불법 포지션이 포함된다. 이런 불법적인 자리를 없애면서 더 세심한 카운트를 하면 5,478개가 나온다. 그리고 회전과 위치의 반사가 동일하다고 여겨질 때, 근본적으로 다른 위치는 765개밖에 없다.

게임 트리를 묶기 위해서는 9개의 초기 동작, 8개의 응답 등이 가능하기 때문에 최대 9개의 게임이나 362,880개의 게임이 있다. 그러나, 게임은 해결하는데 9회 미만이 걸릴 수 있으며, 정확한 집계 결과는 255,168개의 가능한 게임을 제공한다. 로테이션과 포지션 반사가 동일하다고 판단되면 26,830경기만 가능하다.

틱택토(tic-tac-toe)의 계산적 복잡성은 그것이 어떻게 일반화되는지에 따라 달라진다. 자연적인 일반화는 m,n,k게임에 대한 것이다: 승자는 k를 연속해서 얻은 첫 번째 선수인 m by n board에서 경기를 한다. 게임트리 전체를 검색하면 이 게임이 DSPACE(mn)에서 풀릴 수 있다는 것은 바로 알 수 있다. 이것은 그것을 중요한 복잡성 등급인 PSPACE에 둔다. 더 많은 작업을 통해 PSPACE-완전함을 보여줄 수 있다.

게임의 복잡성 
이 표는 게임 복잡성이 크기 때문에 로그의 밑을 베이스 10으로 한다. 다음 숫자들은 모두 주의해서 고려해야 한다: 겉보기에는 게임의 규칙을 조금만 바꾸면 (어쨌든 대략적인 추정치인) 숫자가 엄청난 요인에 의해 바뀔 수 있는데, 이것은 표시된 숫자보다 훨씬 더 많을 수 있다.

참고: 게임 트리 크기로 정렬

각주 

 내용주

게임