Let's do the first one. We need to find $a$ and $b$ such that $(x + a)(x + b) = x^2 + 13x + 30$. So we need to find $a$ and $b$ such that $ab = 30$ and $a + b = 13$. Right. So we could do this by listing all the factors of 30 and seeing which ones satisfy the second condition. Or we could use the formula for the sum of the roots of a quadratic equation. Right. The sum of the roots of a quadratic equation is $-\frac{B}{A}$, where $A$ is the coefficient of the $x^2$ term and $B$ is the coefficient of the $x$ term. So that means that the sum of the roots of the equation $x^2 + 13x + 30$ is $-\frac{13}{1} = -13$. Ok. So we use the Euclidean algorithm to find the greatest common divisor of $x^2 + 13x + 30$ and $x^2 + 5x - 50$. We can write that as $\gcd(x^2 + 13x + 30, x^2 + 5x - 50)$. Right. So the first step of the Euclidean algorithm is to find the remainder when we divide $x^2 + 13x + 30$ by $x^2 + 5x - 50$. And we can do that by using polynomial long division. Ok. So the first step of the division is to divide $x^2$ by $x^2$. That's $1$. And then we multiply $x^2 + 5x - 50$ by $1$ and subtract that from $x^2 + 13x + 30$. Ok. So we get $x^2 + 13x + 30 - (x^2 + 5x - 50)$. That's $x^2 + 13x + 30 - x^2 - 5x + 50$. Which is $8x + 80$. Which is $8(x + 10)$. So in the Euclidean algorithm, we write $\gcd(x^2 + 13x + 30, x^2 + 5x - 50) = \gcd(x^2 + 5x - 50, 8(x + 10))$. Next we find the remainder when we divide $x^2 + 5x - 50$ by $8(x + 10)$. We can use polynomial long division again. So the first step is to divide $x^2$ by $8x$. That's $\frac{x}{8}$. After that, we multiply $8(x + 10)$ by $\frac{x}{8}$ and subtract that from $x^2 + 5x - 50$. So $\frac{x}{8}(8(x + 10))$ is $x(x + 10)$, which is $x^2 + 10x$. Then we have $x^2 + 5x - 50 - (x^2 + 10x)$. Which becomes $x^2 + 5x - 50 - x^2 - 10x$. And that's $-5x - 50$. We can also write that as $-5(x + 10)$. So in the Euclidean algorithm, we now have $\gcd(x^2 + 13x + 30, x^2 + 5x - 50) = \gcd(8(x + 10), -5(x + 10))$. Then we find the remainder when we divide $8(x + 10)$ by $-5(x + 10)$. We use polynomial long division again. The first step is to divide $8x$ by $-5x$. That's $-\frac{8}{5}$. We multiply $-5(x + 10)$ by $-\frac{8}{5}$ and subtract that from $8(x + 10)$. Ok. So $-\frac{8}{5}(-5(x + 10))$ is $8(x + 10)$. And then we have $8(x + 10) - 8(x + 10)$, which is $0$. In the Euclidean algorithm, that means that $\gcd(x^2 + 13x + 30, x^2 + 5x - 50) = -5(x + 10)$. But we need to find $x + b$. Right. Since $x + b$ is a factor of both $x^2 + 13x + 30$ and $x^2 + 5x - 50$, it's also a factor of their greatest common divisor. So it's a factor of $-5(x + 10)$. That means that $a$ is $3$, because $3$ and $10$ multiply to $30$ and add up to $13$. So the factorization of $x^2 + 13x + 30$ is $(x + 3)(x + 10)$. And the factorization of $x^2 + 5x - 50$ is $(x + 10)(x - 5)$. So $a + b + c$ is $3 + 10 + 5$, which is $18$.


첫 번째 문제를 해봅시다. (x + a)(x + b) = x^2 + 13x + 30$이 되도록 $a$와 $b$를 찾아야 합니다. 따라서 $ab = 30$, $a + b = 13$이 되도록 $a$와 $b$를 찾아야 합니다. 맞습니다. 따라서 30의 모든 요인을 나열하고 어떤 요인이 두 번째 조건을 만족하는지 확인하여 이 작업을 수행할 수 있습니다. 또는 이차 방정식의 근의 합에 대한 공식을 사용할 수도 있습니다. 맞습니다. 이차방정식의 근의 합은 $-\frac{B}{A}$이며, 여기서 $A$는 $x^2$ 항의 계수이고, $B$는 $x$ 항의 계수입니다. 즉, $x^2 + 13x + 30$ 방정식의 근의 합은 $-\frac{13}{1} = -13$입니다. 알겠습니다. 따라서 유클리드 알고리즘을 사용하여 $x^2 + 13x + 30$과 $x^2 + 5x - 50$의 최대공약수를 찾습니다. 이를 $\gcd(x^2 + 13x + 30, x^2 + 5x - 50)$로 쓸 수 있습니다. 맞습니다. 따라서 유클리드 알고리즘의 첫 번째 단계는 $x^2 + 13x + 30$을 $x^2 + 5x - 50$으로 나눌 때 나머지를 찾는 것입니다. 그리고 다항식 장분할을 사용하여 이를 수행할 수 있습니다. 알겠습니다. 따라서 나눗셈의 첫 번째 단계는 $x^2$를 $x^2$로 나누는 것입니다. 1$입니다. 그런 다음 $x^2 + 5x - 50$에 $1$을 곱하고 $x^2 + 13x + 30$에서 뺍니다. 알겠습니다. 따라서 $x^2 + 13x + 30 - (x^2 + 5x - 50)$을 얻습니다. 즉, $x^2 + 13x + 30 - x^2 - 5x + 50$입니다. 즉, $8x + 80$입니다. 즉, $8(x + 10)$입니다. 따라서 유클리드 알고리즘에서 $\gcd(x^2 + 13x + 30, x^2 + 5x - 50) = \gcd(x^2 + 5x - 50, 8(x + 10))$을 작성합니다. 다음으로 $x^2 + 5x - 50$을 $8(x + 10)$으로 나누면 나머지를 구할 수 있습니다. 다시 다항식 긴 나눗셈을 사용할 수 있습니다. 따라서 첫 번째 단계는 $x^2$를 $8x$로 나누는 것입니다. 이것이 $\frac{x}{8}$입니다. 그런 다음 $8(x + 10)$에 $\frac{x}{8}$을 곱하고 이를 $x^2 + 5x - 50$에서 뺍니다. 따라서 $\frac{x}{8}(8(x + 10))$은 $x(x + 10)$이며, 이는 $x^2 + 10x$입니다. 그러면 $x^2 + 5x - 50 - (x^2 + 10x)$가 됩니다. 이는 $x^2 + 5x - 50 - x^2 - 10x$가 됩니다. 그리고 이것은 $-5x - 50$입니다. 이를 $-5(x + 10)$로 쓸 수도 있습니다. 따라서 유클리드 알고리즘에서 이제 $\gcd(x^2 + 13x + 30, x^2 + 5x - 50) = \gcd(8(x + 10), -5(x + 10))$가 됩니다. 그런 다음 $8(x + 10)$을 $-5(x + 10)$로 나누면 나머지를 구할 수 있습니다. 다시 다항식 장분할을 사용합니다. 첫 번째 단계는 $8x$를 $-5x$로 나누는 것입니다. 즉, $-\frac{8}{5}$입니다. 5(x + 10)$에 $-\frac{8}{5}$를 곱한 다음 $8(x + 10)$에서 빼면 됩니다. 알겠습니다. 따라서 $-\frac{8}{5}(-5(x + 10))$는 $8(x + 10)$입니다. 그리고 $8(x + 10) - 8(x + 10)$은 $0$입니다. 유클리드 알고리즘에서 이는 $\gcd(x^2 + 13x + 30, x^2 + 5x - 50) = -5(x + 10)$를 의미합니다. 하지만 우리는 $x + b$를 찾아야 합니다. 맞습니다. x + b$는 $x^2 + 13x + 30$과 $x^2 + 5x - 50$의 인수이므로, 이 둘의 최대공약수의 인수이기도 합니다. 따라서 $-5(x + 10)$의 인수가 됩니다. 즉, $a$는 $3$이고, $3$과 $10$은 $30$을 곱하고 $13$을 더하기 때문에 $a$는 $3$입니다. 따라서 $x^2 + 13x + 30$의 인수분해는 $(x + 3)(x + 10)$입니다. 그리고 $x^2 + 5x - 50$의 인수분해는 $(x + 10)(x - 5)$입니다. 따라서 $a + b + c$는 $3 + 10 + 5$이며, $18$입니다.

