In mathematics, localization of a category consists of adding to a category inverse morphisms for some collection of morphisms, constraining them to become isomorphisms. This is formally similar to the process of localization of a ring; it in general makes objects isomorphic that were not so before. In homotopy theory, for example, there are many examples of mappings that are invertible up to homotopy; and so large classes of homotopy equivalent spaces. Calculus of fractions is another name for working in a localized category.

Introduction and motivation

A category C consists of objects and morphisms between these objects. The morphisms reflect relations between the objects. In many situations, it is meaningful to replace C by another category C''' in which certain morphisms are forced to be isomorphisms. This process is called localization.

For example, in the category of R-modules (for some fixed commutative ring R) the multiplication by a fixed element r of R is typically (i.e., unless r is a unit) not an isomorphism: 

The category that is most closely related to R-modules, but where this map is an isomorphism turns out to be the category of -modules. Here  is the localization of R with respect to the (multiplicatively closed) subset S consisting of all powers of r,

The expression "most closely related" is formalized by two conditions: first, there is a functor

sending any R-module to its localization with respect to S. Moreover, given any category C and any functor 

sending the multiplication map by r on any R-module (see above) to an isomorphism of C, there is a unique functor

such that .

Localization of categories
The above examples of localization of R-modules is abstracted in the following definition. In this shape, it applies in many more examples, some of which are sketched below.

Given a category C and some class W of morphisms in C, the localization C[W−1] is another category which is obtained by inverting all the morphisms in W. More formally, it is characterized by a universal property: there is a natural localization functor C → C[W−1] and given another category D, a functor F: C → D factors uniquely over C[W−1] if and only if F sends all arrows in W to isomorphisms.

Thus, the localization of the category is unique up to unique isomorphism of categories, provided that it exists. One construction of the localization is done by declaring that its objects are the same as those in C, but the morphisms are enhanced by adding a formal inverse for each morphism in W. Under suitable hypotheses on W, the morphisms from object X to object Y are given by roofs

(where X' is an arbitrary object of C and f is in the given class W of morphisms), modulo certain equivalence relations. These relations turn the map going in the "wrong" direction into an inverse of f. This "calculus of fractions" can be seen as a generalization of the construction of rational numbers as equivalence classes of pairs of integers.

This procedure, however, in general yields a proper class of morphisms between X and Y. Typically, the morphisms in a category are only allowed to form a set. Some authors simply ignore such set-theoretic issues.

Model categories
A rigorous construction of localization of categories, avoiding these set-theoretic issues, was one of the initial reasons for the development of the theory of model categories: a model category M is a category in which there are three classes of maps; one of these classes is the class of weak equivalences. The homotopy category Ho(M) is then the localization with respect to the weak equivalences. The axioms of a model category ensure that this localization can be defined without set-theoretical difficulties.

Alternative definition

Some authors also define a localization of a category C to be an idempotent and coaugmented functor. A coaugmented functor is a pair (L,l) where L:C → C is an endofunctor and l:Id → L is a natural transformation from the identity functor to L (called the coaugmentation). A coaugmented functor is idempotent if, for every X, both maps L(lX),lL(X):L(X) → LL(X) are isomorphisms. It can be proven that in this case, both maps are equal.

This definition is related to the one given above as follows: applying the first definition, there is, in many situations, not only a canonical functor , but also a functor in the opposite direction,

For example, modules over the localization  of a ring are also modules over R itself, giving a functor

In this case, the composition

is a localization of C in the sense of an idempotent and coaugmented functor.

Examples

Serre's C-theory

Serre introduced the idea of working in homotopy theory modulo some class C of abelian groups. This meant that groups A and B were treated as isomorphic, if for example A/B lay in C. 

Module theory

In the theory of modules over a commutative ring R, when R has Krull dimension ≥ 2, it can be useful to treat modules M and N as pseudo-isomorphic if M/N has support of codimension at least two. This idea is much used in Iwasawa theory.

Derived categories

The derived category of an abelian category is much used in homological algebra. It is the localization of the category of chain complexes (up to homotopy) with respect to the quasi-isomorphisms.

 Quotients of abelian categories 
Given an abelian category A and a Serre subcategory B, one can define the quotient category A/B, which is an abelian category equipped with an exact functor from A to A/B that is essentially surjective and has kernel B. This quotient category can be constructed as a localization of A by the class of morphisms whose kernel and cokernel are both in B.Abelian varieties up to isogeny

An isogeny from an abelian variety A to another one B is a surjective morphism with finite kernel. Some theorems on abelian varieties require the idea of abelian variety up to isogeny for their convenient statement. For example, given an abelian subvariety A1 of A, there is another subvariety A2 of A such thatA1 × A2is isogenous to A (Poincaré's reducibility  theorem: see for example Abelian Varieties by David Mumford). To call this a direct sum decomposition, we should work in the category of abelian varieties up to isogeny.

 Related concepts 

The localization of a topological space, introduced by Dennis Sullivan, produces another topological space whose homology is a localization of the homology of the original space.

A much more general concept from homotopical algebra, including as special cases both the localization of spaces and of categories, is the Bousfield localization'' of a model category. Bousfield localization forces certain maps to become weak equivalences, which is in general weaker than forcing them to become isomorphisms.

See also
Simplicial localization

References

Category theory
Localization (mathematics)
범주론에서 국소화(局所化, )는 범주의 일부 사상들을 동형 사상으로 만드는 과정이다.

정의 
작은 범주  및 그 속의 사상들의 집합 가 주어졌다고 하자. 또한, 가 모든 동형 사상을 포함하며, 또한 사상의 합성에 대하여 닫혀 있다고 하자.

그렇다면, 의 에서의 국소화 는 다음과 같은 보편 성질을 만족시키는 범주이다.
 임의의 작은 범주  및 함자 에 대하여, 만약 가 에 속하는 모든 사상을 의 동형 사상으로 대응시킨다면, 인 함자  및 자연 동형 이 존재한다.

작은 범주의 국소화는 항상 존재하며, 보편 성질의 성질에 따라서 범주의 동치 아래 유일하다.

(만약 가 모든 동형 사상을 포함하지 않거나, 사상의 합성에 대하여 닫혀 있지 않을 경우에도 국소화를 정의할 수 있다. 그러나 이 경우 만약 를 위 성질에 대한 폐포라고 한다면, 는 와 같은 보편 성질을 만족시키게 되어 서로 동형이다. 즉, 일반성을 잃지 않고 가 위 성질들을 만족시킨다고 가정할 수 있다.)

집합론적 문제 
작은 범주의 경우 국소화는 항상 존재한다. 작은 범주가 아닐 경우, 국소화는 일반적으로 존재하지 않을 수 있다. 특히, 국소적으로 작은 범주의 국소화는 (만약 존재한다면) 국소적으로 작은 범주가 아닐 수 있다.

만약 그로텐디크 전체를 사용한다면 물론 국소화는 항상 존재하지만, 이 경우 국소화는 사용되는 그로텐디크 전체에 의존할 수 있다.

만약 범주가 모형 범주의 구조를 갖는다면, 이 개념을 사용하여 약한 동치에서의 국소화를 구성할 수 있다.

구성 
작은 범주 와, 동형 사상을 포함하며 합성에 대하여 닫혀 있는 사상 집합 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 알파벳 집합

의 원소가 사상  또는 각 에 대하여 형식적 기호 로 구성되었다고 하자. 에 대하여 다음을 정의하자.
 만약 라면, 는 의 정의역이며 는 의 공역이다.
 만약 라면, 이며 이다.

 위의 문자열

가 다음 두 성질을 만족시킨다면, 지그재그()라고 한다. (는 클레이니 스타이다.)
 길이가 1 이상이다.
 모든 에 대하여, 이다.
지그재그는 다음과 같은 꼴의 그림으로 생각할 수 있다.

(여기서 는 에 속한 사상을 뜻한다.) 즉, 순방향으로는 임의의 사상을 사용할 수 있지만, 역방향으로는 항상 의 원소만을 사용한다.

이 경우, 지그재그의 집합 위에 다음과 같은 관계로부터 생성되는 동치 관계를 부여하자.
 임의의 문자열 에 대하여, (만약  및  가운데 하나가 양의 길이를 갖는다면) 
 임의의 문자열  및 에 대하여, 
 임의의 문자열  및 에 대하여, 
임의의 문자열  및 에 대하여,

 임의의 문자열  및 사상 ,  및 , 이 주어졌고, 이며 일 때, 

그렇다면, 국소화 는 다음과 같은 범주이다.
 의 대상은 의 대상과 같다.
 의 사상은 의 지그재그의 동치류이다.
 지그재그 의 정의역은 의 정의역이며, 공역은 의 공역이다.
 의 항등 사상은 지그재그 의 동치류이다.

오레 조건 
환의 국소화를 오레 조건을 가정하면 더 간단하게 구성할 수 있는 것처럼, 마찬가지로 범주의 국소화의 경우에도 비슷한 오레 조건을 가정하여 국소화를 더 간단하게 구성할 수 있다.

범주  및 그 속의 사상 모임 가 다음 조건들을 만족시킨다면, 오른쪽 오레 조건이 성립한다고 한다. (여기서, 의 원소를 로 표기하였다.)
 는 모든 동형 사상을 포함한다.
 는 사상의 합성에 대하여 닫혀 있다.
 임의의 그림 에 대하여, 다음과 같은 그림을 가환 그림으로 만드는 사상 이 존재한다.

 임의의 에 대하여, 만약 라면, 가 되는 가 존재한다.

오른쪽 지붕()은 다음과 같은 꼴의 그림이다.

같은 정의역과 공역을 갖는 두 오른쪽 지붕

에 대하여, 다음과 같은 가환 그림이 존재한다면, 두 오른쪽 지붕이 서로 동치라고 하자.

만약 가 오른쪽 오레 조건을 만족시킨다면, 지그재그의 동치류는 오른쪽 지붕의 동치류와 일대일 대응하며, 따라서 사상을 오른쪽 지붕으로 하는 국소화를 구성할 수 있다.

마찬가지로, 오른쪽 오레 조건을 쌍대화하여 왼쪽 오레 조건()을 정의할 수 있다. 이 경우, 사상을 왼쪽 지붕()으로 하는 국소화를 구성할 수 있다.

모형 범주 

모형 범주 가 주어졌다고 하자. 그 호모토피 범주 는 다음과 같다.
 의 대상은 의 대상 가운데 올대상이자 쌍대올대상인 것이다.
 의 사상은 의 호모토피류이다. (올대상이자 쌍대올대상인 두 대상 사이에는 왼쪽·오른쪽 호모토피류가 일치한다.)

그렇다면, 국소화 는 호모토피 범주  와 동치이다.

특히, 모형 범주의 호모토피 범주 구성은 가 작은 범주가 아니더라도 국소적으로 작은 범주라면 집합론적으로 문제가 없기 때문에, 이러한 경우에 국소화를 구성하는 데 사용된다.

성질 
일반적으로, 국소화 함자 는 충실한 함자도, 충만한 함자도 아니다. 예를 들어, 사상  및 에 대하여, 만약 이지만 라면, 국소화 함자  아래 가 된다.

이는 에서 가 단사 사상이 아니더라도, 에서는 항상 동형 사상이므로 특히 단사 사상이 되기 때문이다.

예 
아벨 범주의 유도 범주는 유사동형의 모임에 대한 국소화이다.

위상 공간의 호모토피 범주는 위상 공간의 범주를 호모토피 동치 또는 약한 호모토피 동치에서 국소화하여 얻는다. 이 범주는 작은 범주가 아니지만, 호모토피 범주는 모형 범주 이론을 통해 집합론적 문제를 피하면서 구성할 수 있다.

임의의 아벨 다양체 A에서 B로 가는 등원 사상(isogeny)은 유한 핵을 갖는 전사 함수이다. 아벨 다양체에 대한 몇몇 정리에서, 등원한 차이를 제외한 아벨 다양체(abelian variety up to isogeny )라는 개념이 필요할 때가 있다. 예를 들어 푸엥카레 기약성 정리(Poincaré's reducibility theorem)는 다음과 같다: 주어진 아벨 다양체 A의 아벨 부분 다양체 A1에 대하여 
A1 × A2
가 A와 등원한(isogenous) 부분 다양체 A2가 존재한다.

외부 링크

같이 보기 
 국소화 (환론)
 바우스필드 국소화

범주론
호모토피 이론