In mathematics, a Henselian ring (or Hensel ring) is a  local ring in which Hensel's lemma holds. They were introduced by , who named them after Kurt Hensel. Azumaya originally allowed Henselian rings to be non-commutative, but most authors now restrict them to be commutative.

Some standard references for Hensel rings are  , , and .

Definitions
In this article rings will be assumed to be commutative, though there is also a theory of non-commutative Henselian rings.

 A local ring R with maximal ideal m is called Henselian if  Hensel's lemma holds. This means that if P is a monic polynomial in R[x], then any factorization of its image P in (R/m)[x] into a product of coprime monic polynomials  can be lifted to a factorization in R[x].
 A local ring is Henselian if and only if every finite ring extension is a product of local rings.
 A Henselian local ring is called strictly Henselian if its residue field is separably closed.
 By abuse of terminology, a field  with valuation  is said to be Henselian if its valuation ring is Henselian. That is the case if and only if  extends uniquely to every finite extension of  (resp. to every finite separable extension of , resp. to , resp. to ).
 A ring is called Henselian if it is a direct product of a finite number of Henselian local rings.

Properties 

 Assume that  is an Henselian field. Then every algebraic extension of  is henselian (by the fourth definition above).
 If  is a Henselian field and  is algebraic over , then for every conjugate  of  over , . This follows from the fourth definition, and from the fact that for every K-automorphism  of ,  is an extension of . The converse of this assertion also holds, because for a normal field extension , the extensions of  to  are known to be conjugated.

Henselian rings in algebraic geometry
Henselian rings are the local rings with respect to the Nisnevich topology in the sense that if  is a Henselian local ring, and  is a Nisnevich covering of , then one of the  is an isomorphism. This should be compared to the fact that for any Zariski open covering  of the spectrum  of a local ring , one of the  is an isomorphism. In fact, this property characterises Henselian rings, resp. local rings.

Likewise strict Henselian rings are the local rings of geometric points in the étale topology.

Henselization
For any local ring A there is a universal Henselian ring B generated by A, called the Henselization of A, introduced by , such that any local homomorphism from A to a Henselian ring can be extended uniquely to B. The Henselization of A is unique up to unique isomorphism. The Henselization of A is an algebraic substitute for the completion of A. The Henselization of A has the same completion and residue field as A and is a flat module over A.  If A is Noetherian, reduced, normal, regular, or excellent then so is its Henselization. For example, the Henselization of the ring of polynomials k[x,y,...] localized at the point (0,0,...) is the ring of algebraic formal power series (the formal power series satisfying an algebraic equation). This can be thought of as the "algebraic" part of the completion.

Similarly there is a strictly Henselian ring generated by A, called the strict Henselization of A. The strict Henselization is not quite universal: it is unique, but only up to non-unique isomorphism. More precisely it depends on the choice of a separable algebraic closure of the residue field of A, and automorphisms of this separable algebraic closure correspond to automorphisms of the corresponding strict Henselization. For example, a strict Henselization of the field of p-adic numbers is given by the maximal unramified extension, generated by all roots of unity of order prime to p. It is not "universal" as it has non-trivial automorphisms.

Examples
Every field is a Henselian local ring. (But not every field with valuation is "Henselian" in the sense of the fourth definition above.)
Complete Hausdorff local rings, such as the ring of p-adic integers and rings of formal power series over a field, are Henselian.
The rings of convergent power series over the real or complex numbers are Henselian.
Rings of algebraic power series over a field are Henselian.
A local ring that is integral over a Henselian ring is Henselian.
The Henselization of a local ring is a Henselian local ring.
Every quotient of a Henselian ring is Henselian.
A ring A is Henselian if and only if the associated reduced ring Ared is Henselian (this is the quotient of A by the ideal of nilpotent elements).
If A has only one prime ideal then it is Henselian since Ared is a field.

References

 

Commutative algebra
가환대수학에서 헨젤 환(Hensel環, )은 잉여류체에서의 다항식의 근이 환에서의 근으로 항상 올려질 수 있는 가환환이다.

정의 
국소 가환환 이 주어졌다고 하자. (여기서 은 의 유일한 극대 아이디얼이며, 은 그 잉여류체이다.) 그렇다면, 몫 사상 으로 유도되는, 다항식환 사이의 환 준동형

이 존재한다.

임의의 일계수 다항식 가 주어졌다고 하자. 그렇다면  역시 일계수 다항식이다. 체 계수의 다항식환은 유일 인수 분해 정역이므로, 는 다음과 같이 일계수 기약 다항식들의 곱으로 (순서를 무시하면 유일하게) 표현된다.

(반면, 일반적 국소 가환환 위의 다항식환은 일반적으로 유일 인수 분해 정역이 아니다.)

이제, 이 인수 분해가 에서 유래하는지, 즉

가 되는 가 존재하는지 여부를 생각할 수 있다.

특히, 만약 인지 여부를 생각할 수 있다. 이 경우, 라면,  계수에서 존재하는 근 가 에서도 존재한다는 것이 된다.

국소 가환환 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 국소 가환환을 헨젤 국소환(Hensel局所環, )이라고 한다.
 임의의 일계수 다항식  및 이며 인 에 대하여, 이자 인 가 존재한다.
 임의의 일계수 다항식  및 이며 인 에 대하여, 이자 인 가 유일하게 존재한다.
 임의의 일계수 다항식  및 인 에 대하여, 만약 이라면, , , 인 가 존재한다.

순 헨젤 국소환 
만약 헨젤 국소환 의 잉여류체 가 스스로의 분해 가능 폐포라면 (), 를 순 헨젤 국소환(純Hensel局所環, )이라고 한다.

헨젤 환 
헨젤 환은 유한 개의 헨젤 국소환들의 직접곱과 동형인 가환환이다.

성질 
헨젤 국소환의 범주 는 국소 가환환과 국소환 준동형의 범주 의 충만한 부분 범주를 이루며, 이는 또한 반사 부분 범주를 이룬다. 즉, 포함 함자 의 왼쪽 수반 함자

가 존재한다. 이를 국소 가환환의 헨젤화(Hensel化, )라고 한다. 즉, 국소 가환환 에 대하여, 다음 보편 성질을 만족시키는 헨젤 국소환  및 국소환 준동형

이 항상 존재하며, 이를 의 헨젤화라고 한다.
 임의의 헨젤 국소환  및 국소환 준동형 에 대하여, 인 국소환 준동형 이 유일하게 존재한다.

반면, 순 헨젤 국소환의 범주는 반사 부분 범주를 이루지 않는다. 임의의 국소 가환환의 순 헨젤화()를 정의할 수 있으며 이는 동형 아래 유일하지만, 이는 자기 동형을 가져 보편 성질을 만족시키지 않는다.

예 
다음과 같은 환들은 헨젤 환이다.
 임의의 체
 임의의 완비 국소환
 진 정수환 
 체 에 대하여, 형식적 멱급수환 
 실수체나 복소수체 위의, 수렴하는 거듭제곱 급수들의 환

p진 정수환의 헨젤 보조 정리 
임의의 소수 에 대하여, p진 정수환 은 국소 가환환이며, 그 극대 아이디얼은 이며, 잉여류체는 유한체 이다. 이 경우, 헨젤 보조 정리에 따르면, 임의의 일계수 다항식이  계수의 근의 근을 가지며, 이 근에서 기울기가 0이 아니라면, 이 근은  계수의 근으로 올려질 수 있다. 사실

이므로, 이는 임의의 에 대하여  계수의 근을 갖는다는 것과 동치이다.

이는 합동 산술의 용어로 다음과 같이 쓸 수 있다. 임의의 정수 계수 다항식 이 주어졌으며, 어떤 임의의 정수 에 대하여

라고 하자. 그렇다면, 임의의 에 대하여,

인 이 존재한다.

진 정수의 경우, 헨젤 보조 정리는 사실 일종의 뉴턴 방법에 해당한다. 구체적으로, 만약

인 가 주어졌다고 하자. 그렇다면

로 놓자. 이는 일반적으로 정수가 아니지만, 가정에 의하여 는 진 정수이며, 따라서 은 진 정수로서 존재한다. 그렇다면 매클로린 급수에 따라서

이 된다. 이 과정을 반복하면 어떤 유일한 진 정수 로 수렴하는 수열 을 얻는다.

응용 
대수기하학에서, 국소환이 자리스키 위상에서의 줄기환인 것처럼, 니스네비치 위상에서의 "국소환"은 헨젤 국소환이며, 에탈 위상에서의 "국소환"은 순 헨젤 국소환이다.

역사 
쿠르트 헨젤이 20세기 초에 (현대적인 용어로는) 진 정수환 가 헨젤 국소환임을 증명하였다. 1951년에 아즈마야 고로가 이를 추상화하여 헨젤 환의 개념을 도입하였다.

나가타 마사요시가 1953년에 헨젤화의 존재를 증명하였다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 
 

가환대수학