In mathematical physics, the Berezin integral, named after Felix Berezin, (also known as Grassmann integral, after Hermann Grassmann), is a way to define integration for functions of Grassmann variables (elements of the exterior algebra). It is not an integral in the Lebesgue sense; the word "integral" is used because the Berezin integral has properties analogous to the Lebesgue integral and because it extends the path integral in physics, where it is used as a sum over histories for fermions.

Definition

Let  be the exterior algebra of polynomials in anticommuting elements  over the field of complex numbers. (The ordering of the generators  is fixed and defines the orientation of the exterior algebra.)

One variable
The Berezin integral over the sole Grassmann variable  is defined to be a linear functional

 

where we define

 

so that :

 

These properties define the integral uniquely and imply

 

Take note that  is the most general function of  because Grassmann variables square to zero, so  cannot have non-zero terms beyond linear order.

Multiple variables
The Berezin integral on  is defined to be the unique linear functional  with the following properties:

for any  where  means the left or the right partial derivative. These properties define the integral uniquely.

Notice that different conventions exist in the literature: Some authors define instead 

The formula

expresses the Fubini law. On the right-hand side, the interior integral of a monomial  is set to be  where ; the integral of  vanishes. The integral with respect to  is calculated in the similar way and so on.

Change of Grassmann variables

Let  be odd polynomials in some antisymmetric variables . The Jacobian is the matrix

where  refers to the right derivative (). The formula for the coordinate change reads

Integrating even and odd variables

Definition

Consider now the algebra  of functions of real commuting variables  and of anticommuting variables  (which is called the free superalgebra of dimension ). Intuitively, a function  is a function of m even (bosonic, commuting) variables and of n odd (fermionic, anti-commuting) variables. More formally, an element  is a function of the argument  that varies in an open set  with values in the algebra  Suppose that this function is continuous and vanishes in the complement of a compact set  The Berezin integral is the number

Change of even and odd variables

Let a coordinate transformation be given by  where  are even and  are odd polynomials of  depending on even variables  The Jacobian matrix of this transformation has the block form:

where each even derivative  commutes with all elements of the algebra ; the odd derivatives commute with even elements and anticommute with odd elements. The entries of the diagonal blocks  and  are even and the entries of the off-diagonal blocks  are odd functions, where  again mean right derivatives.

We now need the Berezinian (or superdeterminant) of the matrix , which is the even function

defined when the function  is invertible in  Suppose that the real functions  define a smooth invertible map  of open sets  in  and the linear part of the map  is invertible for each  The general transformation law for the Berezin integral reads

where ) is the sign of the orientation of the map  The superposition  is defined in the obvious way, if the functions  do not depend on  In the general case, we write  where  are even nilpotent elements of  and set

where the Taylor series is finite.

Useful formulas 

The following formulas for Gaussian integrals are used often in the path integral formulation of quantum field theory:

 

with  being a complex  matrix.

 

with  being a complex skew-symmetric  matrix, and  being the Pfaffian of , which fulfills .

In the above formulas the notation  is used. From these formulas, other useful formulas follow (See Appendix A in) :

with  being an invertible  matrix. Note that these integrals are all in the form of a partition function.

History

The mathematical theory of the integral with commuting and anticommuting variables was invented and developed by Felix Berezin. Some important earlier insights were made by David John Candlin in 1956. Other authors contributed to these developments, including the physicists Khalatnikov (although his paper contains mistakes), Matthews and Salam, and Martin.

See also
 Supermanifold
 Berezinian

References

Further reading
 Theodore Voronov: Geometric integration theory on Supermanifolds, Harwood Academic Publisher, 
 Berezin, Felix Alexandrovich: Introduction to Superanalysis, Springer Netherlands, 

Multilinear algebra
Differential forms
Integral calculus
Mathematical physics
Quantum field theory
Supersymmetry
펠릭스 베레진의 이름을 딴 베레진 적분(, 헤르만 그라스만의 이름을 따서 그라스만 적분이라고도 함)은 그라스만 수(외대수의 원소) 함수에 대한 적분을 정의하는 방법이다. 르베그 적분의 의미에서 적분이 아니다. "적분"이라는 단어가 사용되는 이유는 베레진 적분은 르베그 적분과 유사한 특성을 갖고 있고 페르미온의 역사에 대한 합으로 사용되는 물리학의 경로 적분을 확장하기 때문이다.

정의 
를 반교환수 들의 복소 다항식들의 외대수하고 하자.(생성원들의 순서 가 고정되어 있으며 외대수의 방향을 정의한다.)

일변수 
그라스만 변수  하나에 대한 베레진 적분은 선형 범함수

 

로 정의된다. 여기서

 

로 정의해서

 

이 성립하도록 한다. 이러한 성질은 적분을 유일하게 정의하고 다음을 의미한다.

 

 는 가장 일반적인  변수 함수이다. 그라스만 변수의 제곱은 0이 되기 때문에 는 1차를 넘어서는 0이 아닌 항을 가질 수 없다.

다변수 
위의 베레진 적분은 모든 에 대해 다음 성질들

 
 

을 가진 유일한 선형 범함수 로 정의된다.  여기서 는 왼쪽 또는 오른쪽 편도함수를 의미한다. 이러한 성질은 적분을 유일하게 정의한다.

문헌에는 다양한 관례가 존재한다. 일부 저자는 대신

 

로 정의한다. 공식

 

은 푸비니 법칙을 표현한다. 오른쪽에는 단항식 의 내부 적분은 로 설정되어 있다. 여기서 이다. 의 적분은 사라진다. 과 그 이후의 변수들에 대한 적분은 비슷한 방법으로 계산된다.

그라스만 변수 변환 
를 어떤 반대칭 변수  홀수 다항식리하 하자. 야코비 행렬은 행렬

 

이다. 여기서  오른쪽 편도함수을 나타낸다(  ). 좌표 변환 공식은 다음과 같다.

짝수 변수와 홀수 변수 적분하기

정의 
이제   실 가환변수 의 함수들과 반교환 변수 들의 함수들의 대수 를 고려하자. (이를 차원 자유 초대수라고 한다. ). 직관적으로 함수 는 m 짝수(보손, 교환) 변수와 n 홀수(페르미온, 반교환) 변수의 함수이다. 보다 공식적으로는 원소 는 열린 집합 에서는 변하는 인수 의  대수의 값 함수이다. 이 함수가 연속적이고 콤팩트 집합 의 여집합에서는 사라진다고 하자. 그러면  베레진 적분은 다음과 같다.

짝수 변수와 홀수 변수의 변환 
좌표 변환을 다음과 같이 해보자.  여기서 는 짝수이고 들은 짝수 변수 에 따라 바뀌는 의 홀수 다항식이다. 이 변환의 야코비 행렬은 블록 형식을 갖는다.

 

여기서 각 짝수 도함수 들은 대수 의 모든 원소와 가환이다. 홀수 도함수는 짝수 원소와 가환이고 홀수 원소와 반교환 한다. 대각선 블록의 성분와 은 짝수이고 대각선을 벗어난 블록의 성분 들은 홀수 함수들이다. 여기서 는 다시 오른쪽 도함수를 의미한다.

이제 행렬 의 베레지니안 (또는 초행렬식)이 필요하다. 이는 가 에서 역행렬이 존재할 때 짝수 함수

 

이다. 실함수 가 의 열린 집합  에 대해 역사상을 가지는 매끄러운 사상 을 정의한다고 하자. 그리고 사상의 선형 부분 은  각각에 대해 역사상이 존재한다고 하자. 베레진 적분에 대한 일반 변환 법칙은 다음과 같다.

 

여기서  )는 사상 의 방향을 나타내는 기호이다.  중첩 은 함수 가 에 독립적일 때 명백하게 정의된다. 일반적인 경우에는 과 같이 쓴다.  여기서 는 심지어는 의 멱영원들이다. 그리고

 

라 둔다. 여기서 테일러 급수는 유한하다.

유용한 공식 
가우스 적분에 대한 다음 공식은 양자장론의 경로 적분 공식화에 자주 사용된다. 복소  행렬 에 대해,

 

복소 반대칭  행렬 과  이 성립하는 의 파피안 에 대해

 

.

위의 공식에서 표기법 이 사용되었다. 이러한 공식에서 다른 유용한 공식이 나온다(의 부록 A 참조). :

 

여기서 는   가역 행렬이다. 이러한 적분은 모두 분할 함수의 형태라는 점에 유의하라.

역사 
교환 및 반교환 변수와의 적분에 대한 수학적 이론은 펠릭스 베레진에 의해 창안되고 개발되었다. 1956년 David John Candlin 이 몇 가지 중요한 초기 통찰력을 제시했다. 물리학자 Khalatnikov (그의 논문에는 실수가 포함되어 있음), Matthews 및 Salam, 및 Martin을 포함한 다른 저자들이 이러한 발전에 기여했다.

같이 보기 
 초다양체
 베레진 행렬식

참고 자료

더 읽어보기 
 Theodore Voronov: Geometric integration theory on Supermanifolds, Harwood Academic 출판사,
 Berezin, Felix Alexandrovich: Introduction to Superanalysis, Springer 네덜란드,

적분학
수리물리학
미분 형식
다중선형대수학
초대칭
양자장론