First, we look at $\triangle MDN.$ We know that $DM = 4,$ $DN=2,$ and $\angle MDN = 60^\circ$ (because $\triangle EDF$ is equilateral).  Since $DM:DN=2:1$ and the contained angle is $60^\circ,$ $\triangle MDN$ is a $30^\circ$-$60^\circ$-$90^\circ$ triangle. Therefore, $MN$ is perpendicular to $DF,$ and $MN =\sqrt{3}DN = 2\sqrt{3}.$

Next, we calculate $CP.$ We know that $QC = 8$ and $\angle QCP = 60^\circ.$ Since $MN\perp DF,$ plane $MNPQ$ is perpendicular to plane $BCDF.$ Since $QP || MN$ (they lie in the same plane $MNPQ$ and in parallel planes $ACB$ and $DEF$), $QP \perp CB.$

Therefore, $\triangle QCP$ is right-angled at $P$ and contains a $60^\circ$ angle, so is also a $30^\circ$-$60^\circ$-$90^\circ$ triangle. It follows that $$CP = \frac{1}{2}(CQ)=\frac{1}{2}(8)=4$$and $QP = \sqrt{3} CP = 4\sqrt{3}.$

Then, we construct. We extend $CD$ downwards and extend $QM$ until it intersects the extension of $CD$ at $R.$ (Note here that the line through $QM$ will intersect the line through $CD$ since they are two non-parallel lines lying in the same plane.) [asy]
size(200);
pair A, B, C, D, E, F, M,N,P,Q,R;
A=(0,0);
B=(12,0);
C=(6,-6);
D=(6,-22);
E=(0,-16);
F=(12,-16);
M=(2D+E)/3;
N=(5D+F)/6;
P=(2C+B)/3;
Q=(2A+C)/3;
R=(6,-38);
draw(A--B--C--A--E--D--F--B--C--D);
draw(M--N--P--Q--M, dashed);
draw(D--R);
draw(M--R, dashed);
label("$A$", A, NW);
label("$B$", B, NE);
label("$C$", C, dir(90));
label("$D$", D, S);
label("$E$", E, SW);
label("$F$", F, SE);
label("$M$", M, SW);
label("$N$", N, SE);
label("$P$", P, SE);
label("$Q$", Q, W);
label("$R$", R, S);
label("12", (A+B)/2, dir(90));
label("16", (B+F)/2, dir(0));
[/asy] $\triangle RDM$ and $\triangle RCQ$ share a common angle at $R$ and each is right-angled ($\triangle RDM$ at $D$ and $\triangle RCQ$ at $C$), so the two triangles are similar. Since $QC=8$ and $MD=4,$ their ratio of similarity is $2:1.$ Thus, $RC=2RD,$ and since $CD=16,$ $DR=16.$ Similarly, since $CP: DN=2:1,$ when $PN$ is extended to meet the extension of $CD,$ it will do so at the same point $R.$ [asy]
size(200);
pair A, B, C, D, E, F, M,N,P,Q,R;
A=(0,0);
B=(12,0);
C=(6,-6);
D=(6,-22);
E=(0,-16);
F=(12,-16);
M=(2D+E)/3;
N=(5D+F)/6;
P=(2C+B)/3;
Q=(2A+C)/3;
R=(6,-38);
draw(A--B--C--A--E--D--F--B--C--D);
draw(M--N--P--Q--M, dashed);
draw(D--R);
draw(M--R--N, dashed);
label("$A$", A, NW);
label("$B$", B, NE);
label("$C$", C, dir(90));
label("$D$", D, S);
label("$E$", E, SW);
label("$F$", F, SE);
label("$M$", M, SW);
label("$N$", N, SE);
label("$P$", P, SE);
label("$Q$", Q, W);
label("$R$", R, S);
label("12", (A+B)/2, dir(90));
label("16", (B+F)/2, dir(0));
[/asy] Finally, we calculate the volume of $QPCDMN.$ The volume of $QPCDMN$ equals the difference between the volume of the triangular -based pyramid $RCQP$ and the volume of the triangular-based pyramid $RDMN.$

We have  \[ [\triangle CPQ]=\frac{1}{2}(CP)(QP)=\frac{1}{2}(4)(4\sqrt{3})=8\sqrt{3}\]and  \[ [\triangle DNM] =\frac{1}{2}(DN)(MN)=\frac{1}{2}(2)(2\sqrt{3})=2\sqrt{3}.\]The volume of a tetrahedron equals one-third times the area of the base times the height. We have $RD=16$ and $RC=32.$ Therefore, the volume of $QPCDMN$ is \[\frac{1}{3}(8\sqrt{3})(32)-\frac{1}{3}(2\sqrt{3})(16)=\frac{256\sqrt{3}}{3} - \frac{32\sqrt{3}}{3}=\frac{224\sqrt{3}}{3}.\]
먼저 $\삼각형 MDN$을 살펴봅시다. $\삼각형 EDF$는 정삼각형이므로 $DM=4,$ $DN=2,$ 및 $\삼각형 MDN=60^\circ$임을 알고 있습니다.  DM:DN=2:1$이고 포함된 각도가 $60^\circ$이므로, $\삼각형 MDN$은 $30^\circ$-$60^\circ$-$90^\circ$ 삼각형입니다. 따라서 $MN$은 $DF$에 수직이며 $MN =\sqrt{3}DN = 2\sqrt{3}.$입니다.

다음으로 $CP를 계산합니다.$ 우리는 $QC = 8$이고 $\각 QCP = 60^\circ.$ 평면 $MN\perp DF,$ 평면 $MNPQ$는 평면 $BCDF$에 수직이므로 $QP || MN$(동일한 평면 $MNPQ$와 평행 평면 $ACB$ 및 $DEF$에 놓여 있음), $QP \perp CB.$를 알고 있습니다.

따라서 $\삼각형 QCP$는 $P$에서 직각이고 $60^\원$ 각도를 포함하므로 $30^\원$-$60^\원$-$90^\원$ 삼각형이기도 합니다. 따라서 $$CP = \frac{1}{2}(CQ)=\frac{1}{2}(8)=4$$와 $QP = \sqrt{3}은 다음과 같습니다. CP = 4\sqrt{3}.$$입니다.

그런 다음 구축합니다. CD$를 아래쪽으로 연장하고 $QM$을 $R$에서 $CD$의 연장선과 교차할 때까지 연장합니다(여기서 $QM$을 통과하는 선은 같은 평면에 놓인 두 개의 평행하지 않은 선이므로 $CD$를 통과하는 선과 교차한다는 점에 유의하십시오.). [asy]
size(200);
쌍 A, B, C, D, E, F, M,N,P,Q,R;
A=(0,0);
B=(12,0);
C=(6,-6);
D=(6,-22);
E=(0,-16);
F=(12,-16);
M=(2D+E)/3;
N=(5D+F)/6;
P=(2C+B)/3;
Q=(2A+C)/3;
R=(6,-38);
draw(A--B--C--A--E--D--F--B--C--D);
draw(M--N--P--Q--M, 점선);
draw(D--R);
draw(M--R, 점선);
label("$A$", A, NW);
label("$B$", B, NE);
label("$C$", C, dir(90));
label("$D$", D, S);
label("$E$", E, SW);
label("$F$", F, SE);
label("$M$", M, SW);
label("$N$", N, SE);
label("$P$", P, SE);
label("$Q$", Q, W);
label("$R$", R, S);
label("12", (A+B)/2, dir(90));
label("16", (B+F)/2, dir(0));
[/asy] $\triangle RDM$과 $\triangle RCQ$는 $R$에서 공통 각도를 공유하며 각각 직각이므로($\triangle RDM$은 $D$에서, $\triangle RCQ$는 $C$에서) 두 삼각형은 유사합니다. QC=8$ 및 $MD=4$이므로 두 삼각형의 유사성 비율은 2:1입니다.$ 따라서 $RC=2RD,$ $CD=16,$ $DR=16.$ 마찬가지로 $CP: DN=2:1$이므로 $PN$이 $CD의 확장에 맞게 확장되면 동일한 지점 $R.$ [asy] 에서 확장됩니다.
size(200);
쌍 A, B, C, D, E, F, M,N,P,Q,R;
A=(0,0);
B=(12,0);
C=(6,-6);
D=(6,-22);
E=(0,-16);
F=(12,-16);
M=(2D+E)/3;
N=(5D+F)/6;
P=(2C+B)/3;
Q=(2A+C)/3;
R=(6,-38);
draw(A--B--C--A--E--D--F--B--C--D);
draw(M--N--P--Q--M, 점선);
draw(D--R);
draw(M--R--N, 점선);
label("$A$", A, NW);
label("$B$", B, NE);
label("$C$", C, dir(90));
label("$D$", D, S);
label("$E$", E, SW);
label("$F$", F, SE);
label("$M$", M, SW);
label("$N$", N, SE);
label("$P$", P, SE);
label("$Q$", Q, W);
label("$R$", R, S);
label("12", (A+B)/2, dir(90));
label("16", (B+F)/2, dir(0));
[/asy] 마지막으로 $QPCDMN$의 부피를 계산합니다. $QPCDMN$의 부피는 삼각형 기반 피라미드 $RCQP$의 부피와 삼각형 기반 피라미드 $RDMN$의 부피 사이의 차이와 같습니다.

우리는 \[ [\triangle CPQ]=\frac{1}{2}(CP)(QP)=\frac{1}{2}(4)(4\sqrt{3})=8\sqrt{3}\]와 \[ [\triangle DNM]=\frac{1}{2}(DN)(MN)=\frac{1}{2}(2)(2\sqrt{3})=2\sqrt{3}를 가집니다.\]사면체의 부피는 밑변의 면적에 높이를 곱한 값의 1/3과 같습니다. 우리는 $RD=16$, $RC=32$를 가지고 있습니다. 따라서 $QPCDMN$의 부피는 \[\frac{1}{3}(8\sqrt{3})(32)-\frac{1}{3}(2\sqrt{3})(16)=\frac{256\sqrt{3}}{3}입니다. - \frac{32\sqrt{3}}{3}=\frac{224\sqrt{3}}{3}.\]