In mathematical analysis, the maximum and minimum of a function are, respectively, the largest and smallest value taken by the function. Known generically as extremum, they may be defined either within a given range (the local or relative extrema) or on the entire domain (the global or absolute extrema) of a function. Pierre de Fermat was one of the first mathematicians to propose a general technique, adequality, for finding the maxima and minima of functions.

As defined in set theory, the maximum and minimum of a set are the greatest and least elements in the set, respectively. Unbounded infinite sets, such as the set of real numbers, have no minimum or maximum.

In statistics, the corresponding concept is the sample maximum and minimum.

Definition
A real-valued function f defined on a domain X has a global (or absolute) maximum point at x∗, if  for all x in X. Similarly, the function has a global (or absolute) minimum point at x∗, if  for all x in X. The value of the function at a maximum point is called the  of the function, denoted , and the value of the function at a minimum point is called the  of the function. Symbolically, this can be written as follows:
 is a global maximum point of function  if 
The definition of global minimum point also proceeds similarly.

If the domain X is a metric space, then f is said to have a local (or relative) maximum point at the point x∗, if there exists some ε > 0 such that  for all x in X within distance ε of x∗. Similarly, the function has a local minimum point at x∗, if f(x∗) ≤ f(x) for all x in X within distance ε of x∗. A similar definition can be used when X is a topological space, since the definition just given can be rephrased in terms of neighbourhoods. Mathematically, the given definition is written as follows:
Let  be a metric space and function . Then  is a local maximum point of function  if  such that 

The definition of local minimum point can also proceed similarly.

In both the global and local cases, the concept of a  can be defined. For example, x∗ is a  if for all x in X with , we have , and x∗ is a  if there exists some  such that, for all x in X within distance ε of x∗ with , we have . Note that a point is a strict global maximum point if and only if it is the unique global maximum point, and similarly for minimum points.

A continuous real-valued function with a compact domain always has a maximum point and a minimum point. An important example is a function whose domain is a closed and bounded interval of real numbers (see the graph above).

Search
Finding global maxima and minima is the goal of mathematical optimization. If a function is continuous on a closed interval, then by the extreme value theorem, global maxima and minima exist. Furthermore, a global maximum (or minimum) either must be a local maximum (or minimum) in the interior of the domain, or must lie on the boundary of the domain. So a method of finding a global maximum (or minimum) is to look at all the local maxima (or minima) in the interior, and also look at the maxima (or minima) of the points on the boundary, and take the largest (or smallest) one.

For differentiable functions, Fermat's theorem states that local extrema in the interior of a domain must occur at critical points (or points where the derivative equals zero). However, not all critical points are extrema. One can often distinguish whether a critical point is a local maximum, a local minimum, or neither by using the first derivative test, second derivative test, or higher-order derivative test, given sufficient differentiability.

For any function that is defined piecewise, one finds a maximum (or minimum) by finding the maximum (or minimum) of each piece separately, and then seeing which one is largest (or smallest).

Examples

For a practical example, assume a situation where someone has  feet of fencing and is trying to maximize the square footage of a rectangular enclosure, where  is the length,  is the width, and  is the area:

The derivative with respect to  is:

Setting this equal to 

reveals that  is our only critical point.
Now retrieve the endpoints by determining the interval to which  is restricted. Since width is positive, then , and since  that implies that 
Plug in critical point  as well as endpoints  and  into  and the results are  and  respectively.

Therefore, the greatest area attainable with a rectangle of  feet of fencing is

Functions of more than one variable

For functions of more than one variable, similar conditions apply. For example, in the (enlargeable) figure on the right, the necessary conditions for a local maximum are similar to those of a function with only one variable. The first partial derivatives as to z (the variable to be maximized) are zero at the maximum (the glowing dot on top in the figure).  The second partial derivatives are negative. These are only necessary, not sufficient, conditions for a local maximum, because of the possibility of a saddle point. For use of these conditions to solve for a maximum, the function z must also be differentiable throughout. The second partial derivative test can help classify the point as a relative maximum or relative minimum.
In contrast, there are substantial differences between functions of one variable and functions of more than one variable in the identification of global extrema. For example, if a bounded differentiable function f defined on a closed interval in the real line has a single critical point, which is a local minimum, then it is also a global minimum (use the intermediate value theorem and Rolle's theorem to prove this by contradiction). In two and more dimensions, this argument fails. This is illustrated by the function

whose only critical point is at (0,0), which is a local minimum with f(0,0) = 0. However, it cannot be a global one, because f(2,3) = −5.

Maxima or minima of a functional
If the domain of a function for which an extremum is to be found consists itself of functions (i.e. if an extremum is to be found of a functional), then the extremum is found using the calculus of variations.

In relation to sets
Maxima and minima can also be defined for sets. In general, if an ordered set S has a greatest element m, then m is a maximal element of the set, also denoted as . Furthermore, if S is a subset of an ordered set T and m is the greatest element of S with (respect to order induced by T), then m is a least upper bound of S in T. Similar results hold for least element, minimal element and greatest lower bound. The maximum and minimum function for sets are used in databases, and can be computed rapidly, since the maximum (or minimum) of a set can be computed from the maxima of a partition; formally, they are self-decomposable aggregation functions.

In the case of a general partial order, the least element (i.e., one that is smaller than all others) should not be confused with a minimal element (nothing is smaller). Likewise, a greatest element of a partially ordered set (poset) is an upper bound of the set which is contained within the set, whereas a maximal element m of a poset A is an element of A such that if m ≤ b (for any b in A), then m = b. Any least element or greatest element of a poset is unique, but a poset can have several minimal or maximal elements.  If a poset has more than one maximal element, then these elements will not be mutually comparable.

In a totally ordered set, or chain, all elements are mutually comparable, so such a set can have at most one minimal element and at most one maximal element.  Then, due to mutual comparability, the minimal element will also be the least element, and the maximal element will also be the greatest element. Thus in a totally ordered set, we can simply use the terms minimum and maximum. 

If a chain is finite, then it will always have a maximum and a minimum.  If a chain is infinite, then it need not have a maximum or a minimum.  For example, the set of natural numbers has no maximum, though it has a minimum. If an infinite chain S is bounded, then the closure Cl(S) of the set occasionally has a minimum and a maximum, in which case they are called the greatest lower bound and the least upper bound of the set S, respectively.

Argument of the maximum

See also
Derivative test
Infimum and supremum
Limit superior and limit inferior
Maximum-minimums identity
Mechanical equilibrium
Mex (mathematics)
Sample maximum and minimum
Saddle point

Notes

References

External links

Thomas Simpson's work on Maxima and Minima at Convergence
Application of Maxima and Minima with sub pages of solved problems

Calculus
Mathematical analysis
Mathematical optimization
Superlatives
해석학에서, 함수의 극대점(極大點, )은 주위의 모든 점의 함숫값 이상의 함숫값을 갖는 점이다. 극댓값(極大값, )은 극대점이 갖는 함숫값이다. 마찬가지로, 함수의 극소점(極小點, )은 주위의 모든 점의 함숫값 이하의 함숫값을 갖는 점이며, 극솟값(極小값, )은 극소점이 갖는 함숫값이다. 극대점과 극소점을 통틀어 극점(極點, )이라고 하며, 극댓값과 극솟값을 통틀어 극값()이라고 한다. 기하학적으로, 함수의 그래프는 극대점에서 위로 우뚝 솟아있으며, 극소점에서 아래로 움푹 꺼져있다.

함수의 최대점(最大點, )과 최소점(最小點, )은 각각 정의역의 모든 점의 함숫값 이상의 함숫값을 갖는 점이다. 최댓값(最大값, )과 최솟값(最小값, )은 각각 최대점과 최소점이 갖는 함숫값이다. 최댓값과 최솟값은 극댓값과 극솟값보다 더 강한 개념이다. 

극댓값·극솟값·최댓값·최솟값은 최적화 문제 등에서 응용된다.

정의 

다음이 주어졌다고 하자.
 위상 공간 
 함수 
그렇다면, 다음 조건을 만족시키는, 의 근방 가 존재한다면, 를 의 극대점이라고 하며, 를 의 극댓값이라고 한다.
 임의의 에 대하여, 
마찬가지로, 다음 조건을 만족시키는, 의 근방 가 존재한다면, 를 의 극소점이라고 하며, 를 의 극솟값이라고 한다.
 임의의 에 대하여, 
또한, 가 다음 조건을 만족시키면, 를 의 최대점이라고 하며, 를 의 최댓값이라고 한다.
 임의의 에 대하여, 
마찬가지로, 가 다음 조건을 만족시키면, 를 의 최소점이라고 하며, 를 의 최솟값이라고 한다.
 임의의 에 대하여, 
또한, 위의 극댓값/극솟값/최댓값/최솟값의 정의에서 인 경우에 한하여 부등호 와 를 와 로 대신하면, 엄격한 극댓값/극솟값/최댓값/최솟값(嚴格한..., )의 정의를 얻는다.

유계인 닫힌 구간에서 함수가 연속이면 최대 최소 정리로 최대점,최소점은 항상 유일하게 존재한다.

극소점, 극대점은 존재하지 않을 수 있으며 극대점, 극소점이 최대점, 최소점과 다를 수 있다.

일계 도함수 판정법 
공역에 부분순서가 존재하는 모든 함수가 극대, 극소를 판정할 수 있지만 여기서는 편의상 공역이 실수집합 인 함수 를 생각하자.(여기서 는 열린집합이다.) 만약 이 함수가 미분가능하고 에서 극값을 가진다면 이다. 즉, 는 함수 의 임계점이다. 이렇게 임계점을 통해 극값을 찾는 방법을 일계 도함수 판정법이라고 한다. 이때 미분 계수가 0이기 위해서는 부터 까지의 모든 에대해 임을 알 수 있다. 다만, 극값을 가지기 위해서는 임계점이어야 하지만 임계점이라고 모두 극값을 가지는 것은 아니다. 예를 들어, 위 그래프의 점 I나 점 K의 경우 임계점이긴 하지만 극솟값이나 극댓값은 아니다.

증명 
n=1일 때
극댓값의 정의에 의하여 를 만족하는 를 포함하는 어떤 개구간 가 존재한다. 개구간은 열린 집합이므로 를 만족하는 어떤 양의 실수 이 존재한다. 가 존재하므로 이를 라하자. 그렇다면 이다. 일 때 이므로 이다.(극한의 성질 중 함수와 극한의 대소 문단 참고) 마찬가지로 일 때 이므로 이다. 인 동시에이므로 이다. 극솟값의 경우도 마찬가지이다. 즉, 함수 가 미분가능하고 에서 극값을 가진다면 이다.
모든 n에 대해
임의의 벡터 에 대해 함수 을 로 정의하자. 그렇다면 는 에서 극값을 가져야 한다. 위에서 증명했듯이 이므로 연쇄법칙에 의하여 이다. 임의의 에 대해 이므로 이다.

이계 도함수 판정법 

함수 이  함수이고 가 함수 의 임계점일 때, 가 양의 정부호이면, 즉 모든 에 대하여 0 이상이고 일때만 0이라면 에서 극소이다. 반대로 가 음의 정부호이면, 즉 모든 에 대하여 0 이하이고 일때만 0이라면 에서 극대이다. 이를 이용하여 극대, 극소를 판별하는 방법을 이계 도함수 판정법이라고 한다.

여기서 이라는 조금 특별하고 조금 더 익숙한 경우를 생각해보자. 이라면 이므로 일때만 양의 정부호이고 일때만 음의 정부호이다. 즉, 일변수 함수의 이차 도함수 판정법은 단순히 의 부호를 알아보는 것이다.

증명 
보조정리: 어떤  실수행렬 가 있을 때 이차 함수 를 정의하자. 만약 가 양의 정부호라면 모든 가 을 만족하는 양의 실수 이 존재한다.
(증명) 인 에 대해 는 연속이므로 최대 최소 정리에 의하여 최솟값 을 가진다. 이때 가 양의 정부호이므로 이다.는 이차함수이므로 이 아닌 모든 에 대해 가 성립한다. 일때는 자명하다.

이므로 테일러 정리에 의하여 이다. 여기서 이다. 만약 가 양의 정부호라면 보조 정리에 의하여 를 만족하는 양의 실수 이 존재하며 극한의 정의에 의하여 을 만족하는 양의 실수 가 존재한다. 따라서 일 때 , 즉 이다. 그러므로 에서 극소이다. 비슷한 방식으로 가 음의 정부호이면 에서 극대이다.

헤세 행렬식과의 관계 

헤세 행렬에서 그림과 같이 대각선상에 위치한 부분행렬들의 행렬식들이 모두 양일 경우 가 양의 정부호이고 음과 양이 번갈아서 나올 경우 음의 정부호이다. 즉, 이차 도함수 판정법에 따라서 부분 행렬들의 행렬식들이 모두 양일 경우 에서 극소이고 부분행렬들의 행렬식이 음과 양이 반복될 경우 에서 극대이다. 만약 두 경우 모두 아니라면 임계점 는 안장점으로 극대이지도 극소이지도 않다.

예를 들어, 이변수 함수 이고 함수일 경우 만약 에서 극소라면 다음과 같은 조건들을 만족시킨다.
 
 
 에서  이때 는 의 헤세 행렬의 행렬식이다.
마찬가지로 에서 극대라면 다음과 같은 조건들을 만족시킨다.
 
 
 에서 
그리고 가 이 조건들을 만족시키지 않는 임계점이라면, 즉, 에서 라면 는 안장점이다.

만약 이라면 이차 도함수 판정법만으로는 극대와 극소를 판별할 수 없는데, 이때 인 임계점을 퇴화 극점 또는 변질 극점이라고 말한다. 반대로 이차 도함수 판정법으로 극대, 극소, 안장점인지의 여부를 판별할 수 있는 인 임계점을 정상적인 임계점 또는 비퇴화 임계점이라고 한다.

같이 보기 
 최대 최소 정리
 라그랑주 승수법

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

해석학 (수학)
최적화
미적분학