We see that
$$D_{1}=\begin{vmatrix}
10
\end{vmatrix} = 10, \quad
D_{2}=\begin{vmatrix}
10 & 3 \\
3 & 10 \\ \end{vmatrix}
=(10)(10) - (3)(3) = 91, \quad \text{and}$$$$D_{3}=\begin{vmatrix}
10 & 3 & 0 \\
3 & 10 & 3 \\
0 & 3 & 10 \\
\end{vmatrix}. $$Using the expansionary/recursive definition of determinants (also stated in the problem): \begin{align*}
D_{3}&=\left| {\begin{array}{ccc}
10 & 3 & 0 \\
3 & 10 & 3 \\
0 & 3 & 10 \\
\end{array} } \right|\\
&=10\left| {\begin{array}{cc}
10 & 3 \\
3 & 10 \\
\end{array} } \right| - 3\left| {\begin{array}{cc}
3 & 3 \\
0 & 10 \\
\end{array} } \right| + 0\left| {\begin{array}{cc}
3 & 10 \\
0 & 3 \\
\end{array} } \right|\\
&= 10D_{2} - 9D_{1}\\
&= 820.
\end{align*}This pattern repeats because the first element in the first row of $M_{n}$ is always 10, the second element is always 3, and the rest are always 0. The ten element directly expands to $10D_{n-1}$. The three element expands to 3 times the determinant of the the matrix formed from omitting the second column and first row from the original matrix. Call this matrix $X_{n}$. $X_{n}$ has a first column entirely of zeros except for the first element, which is a three. A property of matrices is that the determinant can be expanded over the rows instead of the columns (still using the recursive definition as given in the problem), and the determinant found will still be the same. Thus, expanding over this first column yields $3D_{n-2} + 0=3D_{n-2}$. Thus, the $3\det(X_{n})$ expression turns into $9D_{n-2}$. Thus, the equation $D_{n}=10D_{n-1}-9D_{n-2}$ holds for all $n > 2$.

This equation can be rewritten as $D_{n}=10(D_{n-1}-D_{n-2}) + D_{n-2}$. This version of the equation involves the difference of successive terms of a recursive sequence. Calculating $D_{0}$ backwards from the recursive formula and $D_{4}$ from the formula yields $D_{0}=1, D_{4}=7381$. Examining the differences between successive terms, a pattern emerges.  $D_{0}=1=9^{0}$, $D_{1}-D_{0}=10-1=9=9^{1}$, $D_{2}-D_{1}=91-10=81=9^{2}$, $D_{3}-D_{2}=820-91=729=9^{3}$, and $D_{4}-D_{3}=7381-820=6561=9^{4}$. Thus,  \begin{align*}
D_{n}&=D_{0} + 9^{1}+9^{2}+ \dots +9^{n}\\
&= \displaystyle\sum_{i=0}^{n}9^{i}\\
&=\frac{(1)(9^{n+1}-1)}{9-1}\\
&=\frac{9^{n+1}-1}{8}.
\end{align*}Hence, the desired sum is $$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{8\left(\frac{9^{n+1}-1}{8}\right)+1}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{9^{n+1}-1+1} = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{9^{n+1}}.$$This is an infinite geometric series with first term $\frac{1}{81}$ and common ratio $\frac{1}{9}$.  Therefore, the sum is \begin{align*}
\frac{\frac{1}{81}}{1-\frac{1}{9}}&= \frac{\frac{1}{81}}{\frac{8}{9}}\\
&=\frac{9}{(81)(8)}\\
&=\frac{1}{(9)(8)}\\
&=\frac{1}{72}.
\end{align*}
우리는 다음을 볼 수 있습니다.
$$D_{1}=\begin{vmatrix}
10
\end{vmatrix} = 10, \quad
D_{2}=\begin{vmatrix}
10 & 3 \\
3 & 10 \\ \end{vmatrix}
=(10)(10) - (3)(3) = 91, \quad \text{and}$$$$D_{3}=\begin{vmatrix}
10 & 3 & 0 \\
3 & 10 & 3 \\
0 & 3 & 10 \\
\end{vmatrix}. 행렬식의 확장/재귀적 정의를 사용합니다(문제에도 명시되어 있음): \begin{align*}
D_{3}&=\left| {\begin{array}{ccc}
10 & 3 & 0 \\
3 & 10 & 3 \\
0 & 3 & 10 \\
\end{array} } \오른쪽|\\
&=10\left| {\begin{array}{cc}
10 & 3 \\
3 & 10 \\
\end{array} } \오른쪽| - 3\왼쪽| {\begin{array}{cc}
3 & 3 \\
0 & 10 \\
\end{array} } \오른쪽| + 0\왼쪽| {\begin{array}{cc}
3 & 10 \\
0 & 3 \\
\end{array} } \오른쪽|\\
&= 10D_{2} - 9D_{1}\\
&= 820.
\end{align*}$의 첫 번째 행의 첫 번째 요소는 항상 10, 두 번째 요소는 항상 3, 나머지는 항상 0이기 때문에 이 패턴이 반복됩니다. 10 원소는 $10D_{n-1}$로 직접 확장됩니다. 세 번째 요소는 원래 행렬에서 두 번째 열과 첫 번째 행을 생략하여 형성된 행렬의 행렬식의 행렬식의 3배로 확장됩니다. 이 행렬을 $X_{n}$라고 부릅니다. X_{n}$는 첫 번째 열이 3인 첫 번째 요소를 제외하고 모두 0으로 이루어져 있습니다. 행렬의 특성은 행렬식을 열이 아닌 행으로 확장할 수 있으며(여전히 문제에 주어진 재귀적 정의를 사용함), 이때 구한 행렬식은 여전히 동일하다는 것입니다. 따라서 이 첫 번째 열을 확장하면 $3D_{n-2} + 0=3D_{n-2}$가 됩니다. 따라서 $3\det(X_{n})$ 식은 $9D_{n-2}$로 바뀝니다. 따라서 $D_{n}=10D_{n-1}-9D_{n-2}$ 방정식은 모든 $n > 2$에 대해 유지됩니다.

이 방정식은 $D_{n}=10(D_{n-1}-D_{n-2}) + D_{n-2}$로 재작성할 수 있습니다. 이 방정식의 버전은 재귀 수열의 연속 항의 차이를 포함합니다. 재귀 공식에서 $D_{0}$를 역산하고 공식에서 $D_{4}$를 역산하면 $D_{0}=1, D_{4}=7381$이 됩니다. 연속된 항 사이의 차이를 살펴보면 한 가지 패턴이 나타납니다.  D_{0}=1=9^{0}$, $D_{1}-D_{0}=10-1=9=9^{1}$, $D_{2}-D_{1}=91-10=81=9^{2}$, $D_{3}-D_{2}=820-91=729=9^{3}$, $D_{4}-D_{3}=7381-820=6561=9^{4}$입니다. 따라서 \begin{align*}
D_{n}&=D_{0} + 9^{1}+9^{2}+ \점 +9^{n}\\.
&= \displaystyle\sum_{i=0}^{n}9^{i}\\
&=\frac{(1)(9^{n+1}-1)}{9-1}\\
&=\frac{9^{n+1}-1}{8}.
\end{align*}따라서 원하는 합은 $$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{8\left(\frac{9^{n+1}-1}{8}\right)+1}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{9^{n+1}-1+1} = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{9^{n+1}}입니다.이것은 첫 번째 항 $\frac{1}{81}$과 공통비 $\frac{1}{9}$를 갖는 무한 기하급수입니다.  따라서 합은 \begin{align*}
\frac{\frac{1}{81}}{1-\frac{1}{9}}&= \frac{\frac{1}{81}}{\frac{8}{9}}\\
&=\frac{9}{(81)(8)}\\
&=\frac{1}{(9)(8)}\\
&=\frac{1}{72}.
\end{align*}