In mathematics, a Seifert surface (named after German mathematician Herbert Seifert) is an orientable surface whose boundary is a given knot or link.

Such surfaces can be used to study the properties of the associated knot or link. For example, many knot invariants are most easily calculated using a Seifert surface. Seifert surfaces are also interesting in their own right, and the subject of considerable research.

Specifically, let L be a tame oriented knot or link in Euclidean 3-space (or in the 3-sphere). A Seifert surface is a compact, connected, oriented surface S embedded in 3-space whose boundary is L such that the orientation on L is just the induced orientation from S.

Note that any compact, connected, oriented surface with nonempty boundary in Euclidean 3-space is the Seifert surface associated to its boundary link. A single knot or link can have many different inequivalent Seifert surfaces. A Seifert surface must be oriented. It is possible to associate surfaces to knots which are not oriented nor orientable, as well.

Examples

The standard Möbius strip has the unknot for a boundary but is not a Seifert surface for the unknot because it is not orientable.

The "checkerboard" coloring of the usual minimal crossing projection of the trefoil knot gives a Mobius strip with three half twists. As with the previous example, this is not a Seifert surface as it is not orientable. Applying Seifert's algorithm to this diagram, as expected, does produce a Seifert surface; in this case, it is a punctured torus of genus g = 1, and the Seifert matrix is

Existence and Seifert matrix

It is a theorem that any link always has an associated Seifert surface. This theorem was first published by Frankl and Pontryagin in 1930. A different proof was published in 1934 by Herbert Seifert and relies on what is now called the Seifert algorithm. The algorithm produces a Seifert surface , given a projection of the knot or link in question.

Suppose that link has m components ( for a knot), the diagram has d crossing points, and resolving the crossings (preserving the orientation of the knot) yields f circles. Then the surface  is constructed from f disjoint disks by attaching d bands. The homology group  is free abelian on 2g generators, where

is the genus of . The intersection form Q on  is skew-symmetric, and there is a basis of 2g cycles  with
 equal to a direct sum of the g copies of the matrix

The 2g × 2g integer Seifert matrix

has  the linking number in Euclidean 3-space (or in the 3-sphere) of ai and the "pushoff" of aj in the positive direction of . More precisely, recalling that Seifert surfaces are bicollared, meaning that we can extend the embedding of  to an embedding of , given some representative loop  which is homology generator in the interior of , the positive pushout is  and the negative pushout is .

With this, we have

where V∗ = (v(j, i)) the transpose matrix. Every integer 2g × 2g matrix  with  arises as the Seifert matrix of a knot with genus g Seifert surface.

The Alexander polynomial is computed from the Seifert matrix by  which is a polynomial of degree at most 2g in the indeterminate   The Alexander polynomial is independent of the choice of Seifert surface  and is an invariant of the knot or link.

The signature of a knot is the signature of the symmetric Seifert matrix   It is again an invariant of the knot or link.

Genus of a knot

Seifert surfaces are not at all unique: a Seifert surface S of genus g and Seifert matrix V can be modified by a topological surgery, resulting in a Seifert surface S′ of genus g + 1 and Seifert matrix

The genus of a knot K is the knot invariant defined by the minimal genus g of a Seifert surface for K.

For instance:
 An unknot—which is, by definition, the boundary of a disc—has genus zero. Moreover, the unknot is the  knot with genus zero. 
 The trefoil knot has genus 1, as does the figure-eight knot.
 The genus of a (p,q)-torus knot is (p − 1)(q − 1)/2
 The degree of a knot's Alexander polynomial is a lower bound on twice its genus.

A fundamental property of the genus is that it is additive with respect to the knot sum:

In general, the genus of a knot is difficult to compute, and the Seifert algorithm usually does not produce a Seifert surface of least genus. For this reason other related invariants are sometimes useful. The canonical genus  of a knot is the least genus of all Seifert surfaces that can be constructed by the Seifert algorithm, and the free genus  is the least genus of all Seifert surfaces whose complement in  is a handlebody. (The complement of a Seifert surface generated by the Seifert algorithm is always a handlebody.) For any knot the inequality  obviously holds, so in particular these invariants place upper bounds on the genus.

The knot genus is NP-complete by work of Ian Agol, Joel Hass and William Thurston.

It has been shown that there are Seifert surfaces of the same genus that do not become isotopic either topologically or smoothly in the 4-ball.

See also
Crosscap number
Arf invariant of a knot
Slice genus

References

External links
The SeifertView programme of Jack van Wijk visualizes the Seifert surfaces of knots constructed using Seifert's algorithm.

Geometric topology
Knot theory
Surfaces
매듭 이론에서 자이페르트 곡면(Seifert曲面, )은 3차원 초구 속의 연결 2차원 유향 경계다양체이다. 그 경계는 연환을 정의하며, 모든 연환은 이러한 꼴로 표현될 수 있다. 어떤 주어진 연환의 자이페르트 곡면이란 이 연환을 경계로 삼은 자이페르트 곡면을 뜻한다.

정의 
차분한() 유향 연환 의 자이페르트 곡면은 인  속의 2차원 유향 연결 경계다양체 이다.

성질

존재와 유일성 
모든 연환은 자이페르트 곡면을 갖는다. 그러나 이는 유일하지 않다.

연환의 자이페르트 곡면은 구체적으로 다음과 같은 알고리즘으로 구성된다. 우선, 연환 이 개의 연결 성분을 갖는다고 하자. 의 임의의 그림(평면으로의 투영)이 주어졌다고 하자.
이 그림이 개의 교차점을 갖는다고 하자. 그렇다면,
 ⇒ 
와 같이, 그림에서 교차점들을 해소할 수 있다. 교차점을 모두 해소하면 연환의 그림은 서로 교차하지 않는 원들로 구성되는데, 개의 원들이 있다고 하자.

그렇다면, 다음과 같은 자이페르트 곡면을 구성할 수 있다.
 연환면의 그림의 해소의 각 원 안에 원판을 붙인다. 즉, 개의 원판이 존재한다.
 연환면에서, 해소된 각 교차점에 대응하는 띠를 이어붙인다. 이 경우, 아래 그림과 같이 띠를 뒤틀어 이어붙이며, 띠를 뒤트는 방향은 해소되기 이전의 교차점의 방향을 따른다.
 

이 경우, 교차점의 해소에서 방향을 보존해야 한다. (방향을 보존하지 않으면, 비가향 다양체를 얻을 수 있다.) 즉, 다음과 같은 꼴의 해소는 불가능하다.
 ⇒ ⩆

종수 
위 알고리즘으로 구성된 자이페르트 곡면은 개의 구멍을 가지며, 종수가

인 2차원 경계다양체이다. 물론, 어떤 연환 의 자이페르트 곡면 가 주어졌을 때, 임의의 원환면과의 연결합  역시 의 자이페르트 곡면이며, 그 종수는 원래 자이페르트 곡면의 종수 + 1이다. 주어진 연환의 자이페르트 곡면들의 최소 종수를 연환의 종수(種數, )라고 한다.

임의의 두 유향 매듭 , 에 대하여, 다음이 성립한다.

즉, 매듭의 연결합은 종수를 보존한다.

자이페르트 행렬 
연환 의 자이페르트 곡면 가 주어졌다고 하고, 그 종수가 라고 하자. 그렇다면, 그 1차 호몰로지 군은 다음과 같은 자유 아벨 군이다.

이 경우, 그 교차 형식이

가 되게 하는 기저

가 존재한다.

이 기저에 대한 자이페르트 행렬(Seifert行列, ) 은 정수 성분의  정사각 행렬이며, 그 번째 성분은 와 의 연환수이다. 이 경우

가 성립한다. (은 수반 행렬이다.) 반대로, 의 꼴인 임의의 정수 성분의 짝수 크기 정사각 행렬은 어떤 매듭의 자이페르트 곡면의 자이페르트 행렬로 표현될 수 있다.

자이페르트 행렬의 다음과 같은 행렬식

은 연환의 알렉산더 다항식이라고 한다. 이는 자이페르트 곡면의 선택이나 그 호몰로지의 기저의 선택에 의존하지 않는, 유향 연환의 불변량이다. 이에 따라, 연환의 종수 은 다음과 같은 부등식을 따른다.

자이페르트 행렬의 대칭화

의 부호수 역시 연환의 불변량이며, 이를 연환의 부호수(符號數, )라고 한다.

예

자명한 원환 
공집합은 0개의 연결 성분을 갖는 연환이다. 그 자이페르트 곡면은 경계를 갖지 않는 임의의 유향 곡면이며, 이 연환의 종수는 물론 0이다.

자명한 매듭의 경우, 원판이 그 원환면이므로 그 종수는 0이다. 보다 일반적으로, 개의 연결 성분을 갖는 자명한 연환의 자이페르트 곡면은 개의 구멍을 뚫은 구이며, 따라서 그 종수는 0이다. 종수가 0인 매듭은 자명한 매듭 밖에 없다. (그러나 종수가 0이지만 자명하지 않은 연환이 존재한다.)

원환면 매듭 

-원환면 매듭의 종수는 이다. 예를 들어, (2,1)-원환면 매듭인 세잎매듭의 종수는 1이다. 세잎매듭의 그림

에서, 자이페르트 알고리즘을 가하면, 이므로 종수 을 얻는다. (이 경우, 해소된 그림은 밖의 큰 원과 속의 작은 원으로 구성된다. 세잎그림의 그림에서 방향을 무시하는 해소를 취하면, 이지만, 이 경우 얻게 되는 곡면은 세 번 뒤튼 뫼비우스 띠이므로 유향 다양체가 아니다.)

호프 연환 
호프 연환의 한 자이페르트 곡면은 다음과 같다.

아이소토피를 무시하면, 이는 두 개의 구멍이 뚫린 구(즉, 두 개의 원판의 연결합와 미분 동형)이다. 따라서, 호프 연환의 종수는 0이다.

8자 매듭 
8자 매듭(41번 매듭)의 종수는 1이다.

역사 
헤르베르트 자이페르트가 1934년에 도입하였다.

참고 문헌

외부 링크 

 
 
 
 

매듭 이론
곡면