I think we should start with looking at the possible values of the middle digit. For example, if the number was $a 4 b$, then $4 = \frac{a+b}{2}$. Right, so that means that $a+b=8$. We also know that the number can't be a three-digit number if $a=0$. So $a$ can be any digit from 1 to 9. Right. So $a+b=2m$. If we know the value of $m$, then we know the value of $a+b$. So if $m=1$, then $a+b=2$. If $m=2$, then $a+b=4$. If $m=3$, then $a+b=6$. And so on. So if $m=9$, then $a+b=18$. Since $a$ can't be 0, then $a$ can be 1, 2, ..., 9. And since $a+b=2m$, then $b$ can also be 1, 2, ..., 9. Since $a+b$ must be even, then $a$ and $b$ must be either both even or both odd. So the only possible values of $a+b$ are 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18. $2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18$ are all the even numbers between 2 and 18. So there are 9 possible values for $a+b$. And each value will correspond to a middle digit. So $a$ could be 1 and $b$ could be 1. Right, so 111 is a possibility. So there are 2 numbers where the middle digit is 1. If $m=2$, then we need to find one-digit integers $a$ and $b$ such that $a+b=4$ One solution is $a=2$ and $b=2$. So the number could be $2 2 2$. Another solution is $a=1$ and $b=3$. And another solution is $a=3$ and $b=1$. In that case, the number could be 420. So there are 4 numbers where the middle digit is 2. If $m=3$, then we need to find one-digit integers $a$ and $b$ such that $a+b=6$ One solution is $a=3$ and $b=3$. In that case, the number could be $3 3 3$. Another solution is $a=2$ and $b=4$. A third solution is $a=4$ and $b=2$. In that case, the number could be 432. Another solution when $m=3$ is $a=5$ and $b=1$. In that case, the number could be 531. Another solution when $m=3$ is $a=1$ and $b=5$. In that case, the number could be 153. In that case, the number could be 630. So there are 6 numbers where the middle digit is 3. We could keep doing this for each value of $m$. Alternatively, we could notice that for $m=1$, there are 2 possible numbers. The only solution is $a=9$ and $b=9$. In that case, the number could be $9 9 9$. So there is 1 number where the middle digit is 9. We could add up the number of possible numbers for each value of $m$ to get the total. Another solution is $a=9$ and $b=7$, which gives the number 987 So there are 3 possible numbers for $m=8$ For $m=7$, we need to find one-digit integers $a$ and $b$ such that $a+b=14$ One solution is $a=7$ and $b=7$, which gives the number 777 Another solution is $a=6$ and $b=8$, which gives the number 678 Another solution is $a=8$ and $b=6$, which gives the number 876 Another solution is $a=9$ and $b=5$, which gives the number 975 So there are 5 possible numbers for $m=7$ For $m=6$, we need to find one-digit integers $a$ and $b$ such that $a+b=12$ One solution is $a=6$ and $b=6$, which gives the number 666 Another solution is $a=5$ and $b=7$, which gives the number 567 Another solution is $a=7$ and $b=5$, which gives the number 765 Another solution is $a=4$ and $b=8$, which gives the number 468 Another solution is $a=8$ and $b=4$, which gives the number 864 Another solution is $a=3$ and $b=9$, which gives the number 369 Another solution is $a=9$ and $b=3$, which gives the number 963 So there are 7 possible numbers for $m=6$ For $m=5$, we need to find one-digit integers $a$ and $b$ such that $a+b=10$ One solution is $a=5$ and $b=5$, which gives the number 555 Another solution is $a=4$ and $b=6$, which gives the number 456 Another solution is $a=6$ and $b=4$, which gives the number 654 Another solution is $a=3$ and $b=7$, which gives the number 357 Another solution is $a=7$ and $b=3$, which gives the number 753 Another solution is $a=2$ and $b=8$, which gives the number 258 Another solution is $a=8$ and $b=2$, which gives the number 852 Another solution is $a=1$ and $b=9$, which gives the number 159 Another solution is $a=9$ and $b=1$, which gives the number 951 So there are 9 possible numbers for $m=5$ For $m=4$, we need to find one-digit integers $a$ and $b$ such that $a+b=8$ One solution is $a=4$ and $b=4$, which gives the number 444 Another solution is $a=3$ and $b=5$, which gives the number 345 Another solution is $a=5$ and $b=3$, which gives the number 543 Another solution is $a=2$ and $b=6$, which gives the number 246 Another solution is $a=6$ and $b=2$, which gives the number 642 Another solution is $a=1$ and $b=7$, which gives the number 147 Another solution is $a=7$ and $b=1$, which gives the number 741 So there are 8 possible numbers for $m=4$ So we can add up the number of possible numbers for each value of $m$ to get the total. We found 2 possible numbers for $m=1$, 4 possible numbers for $m=2$, 6 possible numbers for $m=3$, 8 possible numbers for $m=4$, 9 possible numbers for $m=5$, 7 possible numbers for $m=6$, 5 possible numbers for $m=7$, 3 possible numbers for $m=8$, and 1 possible number for $m=9$. So there are 2+4+6+8+9+7+5+3+1=45 possible three-digit numbers. So there are 45 three-digit numbers where the middle digit is the average of the first and last digits.


먼저 중간 숫자의 가능한 값을 살펴보는 것부터 시작해야 할 것 같습니다. 예를 들어, 숫자가 $a 4 b$라면 $4 = \frac{a+b}{2}$가 됩니다. 따라서 $a+b=8$이 됩니다. 또한 $a=0$이면 숫자가 세 자리 숫자가 될 수 없다는 것도 알고 있습니다. 따라서 $a$는 1에서 9까지의 모든 숫자가 될 수 있습니다. 맞습니다. 따라서 $a+b=2m$입니다. m$의 값을 알면 $a+b$의 값도 알 수 있습니다. 따라서 $m=1$이면 $a+b=2$입니다. m=2$이면 $a+b=4$입니다. m=3$이면 $a+b=6$입니다. 등등. 따라서 $m=9$이면 $a+b=18$입니다. a$는 0이 될 수 없으므로 $a$는 1, 2, ..., 9가 될 수 있습니다. 그리고 $a+b=2m$이므로 $b$도 1, 2, ..., 9가 될 수 있습니다. $a+b$는 짝수여야 하므로 $a$와 $b$는 둘 다 짝수이거나 둘 다 홀수여야 합니다. 따라서 $a+b$의 가능한 값은 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18뿐입니다. 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18$은 2와 18 사이의 모든 짝수입니다. 따라서 $a+b$에는 9개의 가능한 값이 있습니다. 그리고 각 값은 중간 숫자에 해당합니다. 따라서 $a$는 1이 될 수 있고 $b$는 1이 될 수 있습니다. 그렇다면 111도 가능합니다. 따라서 중간 자릿수가 1인 숫자는 2개가 있습니다. m=2$라면 $a+b=4$가 되도록 한 자리 정수 $a$와 $b$를 찾아야 합니다. 한 가지 해결책은 $a=2$와 $b=2$입니다. 따라서 숫자는 $2 2 2$가 될 수 있습니다. 또 다른 해는 $a=1$, $b=3$입니다. 또 다른 해결책은 $a=3$이고 $b=1$입니다. 이 경우 숫자는 420이 될 수 있습니다. 따라서 중간 자릿수가 2인 숫자는 4개가 있습니다. m=3$이면 $a+b=6$이 되도록 한 자리 정수 $a$와 $b$를 찾아야 합니다. 한 가지 해결책은 $a=3$과 $b=3$입니다. 이 경우 숫자는 $3 3 3$이 될 수 있습니다. 또 다른 해는 $a=2$, $b=4$입니다. 세 번째 해는 $a=4$이고 $b=2$입니다. 이 경우 숫자는 432가 될 수 있습니다. m=3$일 때 또 다른 해법은 $a=5$이고 $b=1$입니다. 이 경우 531이 될 수 있습니다. m=3$이 $a=1$이고 $b=5$일 때의 또 다른 해법. 이 경우 숫자는 153이 될 수 있습니다. 이 경우 숫자는 630이 될 수 있습니다. 따라서 중간 자리가 3인 숫자는 6개가 됩니다. $m$의 각 값에 대해 이 작업을 계속할 수 있습니다. 또는 $m=1$의 경우 가능한 숫자가 2개라는 것을 알 수 있습니다. 유일한 해결책은 $a=9$와 $b=9$입니다. 이 경우 숫자는 $9 9 9$가 될 수 있습니다. 따라서 중간 자리가 9인 숫자는 1개입니다. 각 값 $m$에 대해 가능한 숫자의 수를 더하여 합계를 구할 수 있습니다. 다른 해결책은 $a=9$이고 $b=7$이므로 987이라는 숫자가 나옵니다. 따라서 $m=8$에 가능한 숫자는 3개입니다. m=7$의 경우, 한 자리 정수 $a$와 $b$를 구해야 합니다. a+b=14$ 한 해결책은 $a=7$이고 $b=7$이므로 777 다른 해결책은 $a=6$과 $b=8$입니다, 678 다른 해는 $a=8$, $b=6$이고, 876 다른 해는 $a=9$, $b=5$이고, 975 따라서 $m=7$에 대해 가능한 숫자는 5가지입니다. m=6$의 경우, $a+b=12$가 되도록 한 자리 정수 $a$와 $b$를 찾아야 합니다, 666 다른 해는 $a=5$, $b=7$이고, 567 다른 해는 $a=7$, b=5$이고, 765 다른 해는 $a=4$, b=8$이고, 468 다른 해는 $a=8$, b=4$이고, 864 다른 해는 $a=3$, $b=9$이고, 369 다른 해는 $a=3$, $b=9$입니다, 369 또 다른 해는 $a=9$와 $b=3$이며, 963 따라서 $m=6$에 대해 가능한 숫자는 7가지입니다. m=5$의 경우, $a+b=10$이 되도록 한 자리 정수 $a$와 $b$를 찾아야 합니다. 하나의 해는 $a=5$와 $b=5$이며, 555 또 다른 해는 $a=4$와 $b=6$입니다, 456 다른 해는 $a=6$, $b=4$이고, 654 다른 해는 $a=3$, $b=7$이고, 357 다른 해는 $a=7$, b=3$이고, 753 다른 해는 $a=2$, b=8$이고, 258 다른 해는 $a=8$, $b=2$이고, 852 다른 해는 $a=8$, $b=2$입니다, 852 다른 해는 $a=1$, $b=9$로 159 다른 해는 $a=9$, $b=1$로 951 따라서 $m=5$에 대해 가능한 숫자는 9개입니다. m=4$의 경우, $a+b=8$이 되도록 한 자리 정수 $a$와 $b$를 찾아야 하는데 하나의 해는 $a=4$와 $b=4$입니다, 444 다른 해는 $a=3$, $b=5$이고, 345 다른 해는 $a=5$, $b=3$이고, 543 다른 해는 $a=2$, $b=6$이고, 246 다른 해는 $a=6$, $b=2$이고, 642 다른 해는 $a=3$, $b=5$이고, 345입니다, 642 다른 해는 $a=1$, $b=7$로 147 다른 해는 $a=7$, $b=1$로 741 따라서 $m=4$에 가능한 숫자는 8개이므로 $m$의 각 값에 가능한 숫자의 수를 더하여 총합을 구할 수 있습니다. m=1$에서 가능한 수 2개, $m=2$에서 가능한 수 4개, $m=3$에서 가능한 수 6개, $m=4$에서 가능한 수 8개, $m=5$에서 가능한 수 9개, $m=6$에서 가능한 수 7개, $m=7$에서 가능한 수 5개, $m=8$에서 가능한 수 3개, $m=9$에서 가능한 수 1개를 찾았습니다. 따라서 2+4+6+8+9+7+5+3+1=45개의 가능한 세 자리 숫자가 있습니다. 따라서 중간 숫자가 앞자리와 뒷자리 숫자의 평균인 3자리 숫자는 45개입니다.

