In mathematics, the Banach fixed-point theorem (also known as the contraction mapping theorem or contractive mapping theorem or Banach-Caccioppoli theorem) is an important tool in the theory of metric spaces; it guarantees the existence and uniqueness of fixed points of certain self-maps of metric spaces, and provides a constructive method to find those fixed points. It can be understood as an abstract formulation of Picard's method of successive approximations. The theorem is named after Stefan Banach (1892–1945) who first stated it in 1922.

Statement
Definition. Let  be a metric space. Then a map  is called a contraction mapping on X if there exists  such that

for all 

Banach Fixed Point Theorem. Let  be a non-empty complete metric space with a contraction mapping  Then T admits a unique fixed-point  in X (i.e. ). Furthermore,  can be found as follows: start with an arbitrary element  and define a sequence  by  for  Then .

Remark 1. The following inequalities are equivalent and describe the speed of convergence:

Any such value of q is called a Lipschitz constant for , and the smallest one is sometimes called "the best Lipschitz constant" of .

Remark 2.  for all  is in general not enough to ensure the existence of a fixed point, as is shown by the map

which lacks a fixed point. However, if  is compact, then this weaker assumption does imply the existence and uniqueness of a fixed point, that can be easily found as a minimizer of , indeed, a minimizer exists by compactness, and has to be a fixed point of . It then easily follows that the fixed point is the limit of any sequence of iterations of .

Remark 3. When using the theorem in practice, the most difficult part is typically to define  properly so that

Proof

Let  be arbitrary and define a sequence  by setting xn = T(xn−1). We first note that for all  we have the inequality

This follows by induction on n, using the fact that T is a contraction mapping. Then we can show that  is a Cauchy sequence. In particular, let  such that m > n:

 

Let ε > 0 be arbitrary. Since q ∈ [0, 1), we can find a large  so that

Therefore, by choosing m and n greater than N we may write:

This proves that the sequence  is Cauchy. By completeness of (X,d), the sequence has a limit  Furthermore,  must be a fixed point of T:

As a contraction mapping, T is continuous, so bringing the limit inside T was justified. Lastly, T cannot have more than one fixed point in (X,d), since any pair of distinct fixed points p1 and p2 would contradict the contraction of T:

Applications
A standard application is the proof of the Picard–Lindelöf theorem about the existence and uniqueness of solutions to certain ordinary differential equations. The sought solution of the differential equation is expressed as a fixed point of a suitable integral operator which changes continuous functions into continuous functions. The Banach fixed-point theorem is then used to show that this integral operator has a unique fixed point.
One consequence of the Banach fixed-point theorem is that small Lipschitz perturbations of the identity are bi-lipschitz homeomorphisms. Let Ω be an open set of a Banach space E; let I : Ω → E denote the identity (inclusion) map and let g : Ω → E be a Lipschitz map of constant k < 1. Then 
Ω′ := (I+g)(Ω) is an open subset of E: precisely, for any x in Ω such that B(x, r) ⊂ Ω one has B((I+g)(x), r(1−k)) ⊂ Ω′; 
I+g : Ω → Ω′ is a bi-lipschitz homeomorphism; 
precisely, (I+g)−1 is still of the form I + h : Ω → Ω′ with h a Lipschitz map of constant k/(1−k). A direct consequence  of this result yields the proof of the inverse function theorem.
It can be used to give sufficient conditions under which Newton's method of successive approximations is guaranteed to work, and similarly for Chebyshev's third order method.
It can be used to prove existence and uniqueness of solutions to integral equations.
It can be used to give a proof to the Nash embedding theorem.
It can be used to prove existence and uniqueness of solutions to value iteration, policy iteration, and policy evaluation of reinforcement learning.
It can be used to prove existence and uniqueness of an equilibrium in Cournot competition, and other dynamic economic models.

Converses
Several converses of the Banach contraction principle exist. The following is due to Czesław Bessaga, from 1959:

Let f : X → X be a map of an abstract set such that each iterate fn has a unique fixed point. Let  then there exists a complete metric on X such that f is contractive, and q is the contraction constant.

Indeed, very weak assumptions suffice to obtain such a kind of converse. For example if  is a map on a T1 topological space with a unique fixed point a, such that for each  we have fn(x) → a, then there already exists a metric on X with respect to which f satisfies the conditions of the Banach contraction principle with contraction constant 1/2. In this case the metric is in fact an ultrametric.

Generalizations
There are a number of generalizations (some of which are immediate corollaries).

Let T : X → X be a map on a complete non-empty metric space. Then, for example, some generalizations of the Banach fixed-point theorem are:
Assume that some iterate Tn of T is a contraction. Then T has a unique fixed point.
Assume that for each n, there exist cn such that d(Tn(x), Tn(y)) ≤ cnd(x, y) for all x and y, and that

Then T has a unique fixed point.
In applications, the existence and uniqueness of a fixed point often can be shown directly with the standard Banach fixed point theorem, by a suitable choice of the metric that makes the map T a contraction. Indeed, the above result by Bessaga strongly suggests to look for such a metric. See also the article on fixed point theorems in infinite-dimensional spaces for generalizations.

A different class of generalizations arise from suitable generalizations of the notion of metric space, e.g. by weakening the defining axioms for the notion of metric. Some of these have applications, e.g., in the theory of programming semantics in theoretical computer science.

See also

 Brouwer fixed-point theorem
 Caristi fixed-point theorem
 Contraction mapping
 Fichera's existence principle
 Fixed-point iteration
 Fixed-point theorems
 Infinite compositions of analytic functions
 Kantorovich theorem

Notes

References

 See chapter 7.

Articles containing proofs
Eponymous theorems of mathematics
Fixed-point theorems
Metric geometry
Topology
수학에서 바나흐 고정점 정리(-固定點定理, ) 또는 축약 사상 정리(縮約寫像定理, )는 완비 거리 공간 위의 축약 사상이 유일한 고정점을 갖는다는 정리이다.

정의 
거리 공간  위의 축약 사상(縮約寫像, )은 1 미만의 상수에 대한 립시츠 연속 함수이다. 즉, 다음 조건을 만족시키는 이 존재하는 함수 이다.
 임의의 에 대하여, 

바나흐 고정점 정리에 따르면, 완비 거리 공간  위의 축약 사상 은 유일한 고정점을 갖는다. 즉, 인 가 존재하며, 이는 유일하다.

사실, 임의의 에 대하여, 반복 점렬 은 로 수렴한다. (여기서 은 의 번 합성이다.) 그 오차의 한 상계는 다음과 같다.

우선, 임의의 에 대하여, 다음이 성립한다.

따라서, 임의의 에 대하여,

이다. 즉, 는 코시 열이며, 어떤 점 로 수렴한다. 그렇다면, 가 연속 함수이므로

이며, 는 의 고정점이다.

반대로, 가 의 고정점이라고 하자. 그렇다면,

이므로

이다. 즉, 이다.

우선, 임의의 에 대하여,

이므로

이다. 특히, 가 모두 의 고정점일 경우 이다.

이제, 임의의 에 대하여

이다. 즉, 는 코시 열이며, 어떤 점 으로 수렴한다. 그렇다면, 이며, 또한 다음이 성립한다.

응용 
바나흐 고정점 정리는 다음과 같은 명제들의 증명에서 사용할 수 있다.
 피카르-린델뢰프 정리
 음함수 정리

역

Bessaga (1959) 
집합  및 함수  및 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.
 만약 임의의 에 대하여, 의 고정점이 많아야 하나라면, 가 에 대한 축약 사상이 되는,  위의 거리 함수 가 존재한다.
 만약 추가로 이 고정점을 갖는 가 존재한다면, 가 에 대한 축약 사상이 되는,  위의 완비 거리 함수 가 존재한다.

Hitzler; Seda (2001) 
T1 공간  위의 함수 가 다음 두 조건을 만족시킨다고 하자.
 유일한 고정점 을 갖는다.
 임의의 에 대하여, 점렬 이 로 수렴한다.
그렇다면, 가 1/2에 대한 축약 사상이 되는,  위의 완비 초거리 함수 가 존재한다.

일반화 
다양한 방향의 수많은 변형과 일반화가 존재한다.

축약 조건의 약화

n번 합성이 축약 사상인 경우 
완비 거리 공간  위의 함수 에 대하여, 이 축약 사상인 가 존재한다고 하자. 그렇다면, 는 유일한 고정점을 갖는다.

존재: 바나흐 고정점 정리에 따라, 은 유일한 고정점 을 갖는다.

이므로,  역시 의 고정점이다. 따라서 이다.

유일성: 의 고정점은 의 고정점이므로 로 유일하다.

n번 합성에 대한 상수의 급수가 수렴하는 경우 
완비 거리 공간  위의 함수 에 대하여, 다음 두 조건을 만족시키는 수열 이 존재한다고 하자.
 임의의  및 에 대하여, 
 
그렇다면, 는 유일한 고정점을 갖는다.

바나흐 고정점 정리의 증명을 조금 수정한다.

콤팩트 공간에서의 약화 
축약 사상의 정의에서 상수 1을 취하고 부등식을 엄격한 부등식으로 대체할 경우, 보다 더 약한 조건을 얻는다. 바나흐 고정점 정리는 축약 조건을 이 조건으로 약화할 경우 거짓이 된다. 그러나 콤팩트 공간 조건을 추가할 경우 다시 참이다. (모든 콤팩트 거리 공간은 자동적으로 완비 거리 공간이다.)

구체적으로, 콤팩트 거리 공간  위의 함수 가 다음 조건을 만족시킨다고 하자.
 임의의 에 대하여, 만약 라면 
그렇다면, 는 유일한 고정점을 갖는다.

함수

가 연속 함수이므로, 콤팩트 조건에 따라 이 함수는 어떤 점 에서 최솟값을 갖는다. 특히

이며, 따라서 이다.

준축약 사상 
거리 공간  위의 준축약 사상()은 다음 조건을 만족시키는 이 존재하는 함수 이다.
 임의의 에 대하여, 
완비 거리 공간  위의 준축약 사상 은 유일한 고정점을 갖는다.

약축약 사상 
거리 공간  위의 약축약 사상()은 다음 조건을 만족시키는 함수 가 존재하는 함수 이다.
 임의의 에 대하여, 
 는 연속 함수이며, 증가 함수이다.
 
완비 거리 공간  위의 약축약 사상 은 유일한 고정점을 갖는다.

거리 공간의 일반화 
유사 거리 공간 또는 직사각 거리 공간() 또는 뿔 거리 공간() 따위에서의 일반화가 존재한다.

예

비(非)완비 거리 공간에 대한 반례 
(표준적인 거리 공간 구조를 갖춘) 구간 은 완비 거리 공간이 아니다. 그 위의 함수

는 축약 사상이지만, 고정점을 가지지 않는다.

비(非)콤팩트 공간에 대한, 축약 조건의 약화의 반례 
(표준적인 거리 공간 구조를 갖춘) 실수 집합 은 완비 거리 공간이지만 콤팩트 공간이 아니다. 그 위의 함수

를 생각하자. 임의의 에 대하여, 평균값 정리에 따라

이다. 그러나 는 고정점을 가지지 않는다.

모든 축약 사상이 유일한 고정점을 가지는 비(非)완비 거리 공간 
(표준적인 거리 공간 구조를 갖춘) 집합

을 생각하자. 이는 의 닫힌집합이 아니므로 () 완비 거리 공간이 아니지만, 모든 축약 사상이 유일한 고정점을 갖는다. 임의의 연속 함수 에 대하여, 의 고정점의 존재를 보이는 것으로 족하다. (이는 모든 축약 사상이 연속 함수이며, 축약 사상의 고정점은 많아야 하나이기 때문이다.) 만약 이라면, 0은 의 고정점이다. 이제 에 대하여 이라고 가정하자. 다음과 같이 정의하자.

그렇다면, 는 연속 함수이다. 이 콤팩트 볼록 집합이므로, 는 고정점 을 가진다. 또한, 이며 임을 보일 수 있다. (만약 이라면,

이므로 이 되어 모순이다. 그렇다면,

이므로, 이며, 따라서

이다.)

역사 
스테판 바나흐가 1922년에 처음 서술하였다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 

계량기하학
고정점 정리