The Bohr–Van Leeuwen theorem states that when statistical mechanics and classical mechanics are applied consistently, the thermal average of the magnetization is always zero. This makes magnetism in solids solely a quantum mechanical effect and means that classical physics cannot account for paramagnetism, diamagnetism and ferromagnetism. Inability of classical physics to explain triboelectricity also stems from the Bohr–Van Leeuwen theorem.

History 
What is today known as the Bohr–Van Leeuwen theorem was discovered by Niels Bohr in 1911 in his doctoral dissertation and was later rediscovered by Hendrika Johanna van Leeuwen in her doctoral thesis in 1919.  In 1932, J. H. Van Vleck formalized and expanded upon Bohr's initial theorem in a book he wrote on electric and magnetic susceptibilities.

The significance of this discovery is that classical physics does not allow for such things as paramagnetism, diamagnetism and ferromagnetism and thus quantum physics are needed to explain the magnetic events. This result, "perhaps the most deflationary publication of all time," may have contributed to Bohr's development of a quasi-classical theory of the hydrogen atom in 1913.

Proof

An intuitive proof
The Bohr–Van Leeuwen theorem applies to an isolated system that cannot rotate. If the isolated system is allowed to rotate in response to an externally applied magnetic field, then this theorem does not apply. If, in addition, there is only one state of thermal equilibrium in a given temperature and field, and the system is allowed time to return to equilibrium after a field is applied, then there will be no magnetization.

The probability that the system will be in a given state of motion is predicted by Maxwell–Boltzmann statistics to be proportional to , where  is the energy of the system,  is the Boltzmann constant, and  is the absolute temperature. This energy is equal to the sum of the kinetic energy ( for a particle with mass  and speed ) and the potential energy.

The magnetic field does not contribute to the potential energy. The Lorentz force on a particle with charge  and velocity  is

where  is the electric field and  is the magnetic flux density. The rate of work done is  and does not depend on . Therefore, the energy does not depend on the magnetic field, so the distribution of motions does not depend on the magnetic field.

In zero field, there will be no net motion of charged particles because the system is not able to rotate. There will therefore be an average magnetic moment of zero. Since the distribution of motions does not depend on the magnetic field, the moment in thermal equilibrium remains zero in any magnetic field.

A more formal proof

So as to lower the complexity of the proof, a system with  electrons will be used.

This is appropriate, since most of the magnetism in a solid is carried by electrons, and the proof is easily generalized to more than one type of charged particle.

Each electron has a negative charge  and mass .

If its position is  and velocity is , it produces a current  and a magnetic moment

The above equation shows that the magnetic moment is a linear function of the velocity coordinates, so the total magnetic moment in a given direction must be a linear function of the form

where the dot represents a time derivative and  are vector coefficients depending on the position coordinates .

Maxwell–Boltzmann statistics gives the probability that the nth particle has momentum  and coordinate  as

where  is the Hamiltonian, the total energy of the system.

The thermal average of any function  of these generalized coordinates is then

In the presence of a magnetic field,

where  is the magnetic vector potential and  is the electric scalar potential. 
For each particle the components of the momentum  and position  are related by the equations of Hamiltonian mechanics:

Therefore,

so the moment  is a linear function of the momenta .

The thermally averaged moment,

is the sum of terms proportional to integrals of the form

where  represents one of the momentum coordinates.

The integrand is an odd function of , so it vanishes.

Therefore, .

Applications 
The Bohr–Van Leeuwen theorem is useful in several applications including plasma physics: "All these references base their discussion of the Bohr–Van Leeuwen theorem on Niels Bohr's physical model, in which perfectly reflecting walls are necessary to provide the currents that cancel the net contribution from the interior of an element of plasma, and result in zero net diamagnetism for the plasma element."

Diamagnetism of a purely classical nature occurs in plasmas but is a consequence of thermal disequilibrium, such as a gradient in plasma density. Electromechanics and electrical engineering also see practical benefit from the Bohr–Van Leeuwen theorem.

See also
List of plasma (physics) articles

References

External links
 The early 20th century: Relativity and quantum mechanics bring understanding at last

Classical mechanics
Electric and magnetic fields in matter
Eponymous theorems of physics
Statistical mechanics
Articles containing proofs
Statistical mechanics theorems
보어-판레이우언 정리()는 통계 역학 분야의 한 정리이다. 이 정리에 의하면, 고전 역학과 통계 역학을 동시에 적용하였을 때, 자화 정도의 열 평균은 항상 0이 된다. 따라서, 고전 역학으로는 반자성, 상자성, 강자성과 같은 고체의 자성을 설명할 수 없고, 양자 역학으로만 설명할 수 있다.

역사 
현재 "보어-판레이우언 정리"로 알려진 이 정리는 1911년 닐스 보어(Niels Bohr)가 박사 학위 논문에서 처음으로 언급하였다. 이후 1919년 헨드리카 판레이우언()가 자신의 박사 학위 논문을 집필하는 과정에서 재발견하였다. 1932년에는 물리학자 존 판블렉(John Hasbrouck van Vleck)이 이 정리를 공식화하였으며, 보어가 작성한 전기 감수율과 자화율에 대한 책에 등장한 초기 정리를 토대로 정리를 확장하였다. 이 정리는 고전 역학으로는 반자성, 상자성, 강자성과 같은 일련의 자기 현상을 설명할 수 없다는 것을 밝혀내었고, 이를 설명하기 위해서는 양자 역학과 상대성 이론이 필요하다는 점을 밝혀냈다는 점에서 중요한 정리이다. 이 정리의 결과는 보어가 1913년 수소 원자의 보어 모형을 고안하는데 영향을 주었을 것으로 추정된다.

증명

직관적인 증명
보어-판레이우언 정리는 회전 불가능한 고립계에 적용된다. (회전이 가능한 경우는 해당하지 않는다. 예를 들어, 고립된 별의 경우 자기장의 영향을 받아 회전할 수 있다.) 여기에 덧붙여, 만약 어떤 장과 주어진 온도에서 열 평형 상태가 오직 하나만 존재하고, 장이 걸어진 이후에 평형 상태까지 도달할 만큼 충분한 시간이 주어진다고 하면, 그 계는 결국 자화되지 않은 상태가 될 것이다.

계가 어떤 특정한 운동 상태에 있을 확률은 맥스웰-볼츠만 통계로 예측할 수 있는데, 맥스웰-볼츠만 통계에 의하면 이 확률은

에 비례한다. 여기서 는 계의 에너지이고, 는 볼츠만 상수, 는 온도에 해당한다. 여기서 에너지는 운동에너지(가 입자의 질량이고, 가 속력일 때, 입자의  값)와 위치 에너지이다.

하지만 자기장은 위치 에너지에 전혀 기여하지 않는다. 전하 의 속도가 인 입자에 가해지는 로런츠 힘은

으로 나타난다. 여기서 는 전기장이고, 는 자기장이다. 이 식에서 일률을 구해보면 가 되는데, 이 식에서 일률은 자기장 와 무관하다는 것을 알 수 있다. 그러므로 에너지는 자기장에 영향을 받지 않고, 따라서 입자 운동의 분포 역시 자기장에 영향을 받지 않는다.

회전할 수 없다는 가정으로 인하여, 장의 세기가 0인 경우에는 입자들의 알짜 운동이 0이 된다. 따라서 평균 자기 모멘트 역시 0이 될 것이다. 운동의 분포가 자기장에 전혀 영향을 받지 않으므로, 결국 자기장에 관계없이 열평형 상태에서의 자기 모멘트는 0이 된다.

수식을 이용한 증명
간결함을 위해 개의 전자가 존재하는 계를 생각해보자. (고체에서 나타나는 대부분의 자기 효과는 전자로 인해 발생되는 것이고, 또 원한다면 전자를 다른 대전 입자로 치환해 일반화시킬 수도 있으므로, 이 가정은 충분히 일반적이다.) 각 전자들은 질량 와 음의 전하 를 갖는다. 전자의 위치를 라고 하고, 그 속도를 라고 한다면, 각 전자는 전류 와

의 자기 모멘트를 갖게 된다. 위 식은 자기 모멘트가 전자의 위치에 대해 선형적이라는 것을 보여준다. 따라서 계 전체 자기 모멘트의 특정 방향 성분은 다음과 같이 선형 함수로 나타나게 된다.

여기서  위의 점 표시는 위치의 시간에 대한 미분을 나타낸 것이고, 는 위치 에 의존적인 벡터 계수이다.

한편 맥스웰-볼츠만 통계에 의하면 n번째 입자가 운동량 을 갖고, 위치 을 가질 확률을 다음과 같이 나타낼 수 있다.

여기서 는 해밀토니언으로, 계의 전체 에너지와 같다.

이를 이용하여 어떤 일반화 좌표에 대한 함수 의 열 평균을 구하면 다음과 같이 나타낼 수 있다.

자기장의 존재 하에 해밀토니언은

으로 나타난다. 여기서 는 자기 벡터 퍼텐셜이고, 는 전기 스칼라 퍼텐셜이다. 각각의 입자의 운동량 성분 와 위치 성분 는 해밀턴 역학에 의하면 다음과 같은 관계를 갖는다:

열 평균 

의 각 항은

에 비례한다고 할 수 있다. (여기서 는 일반화 운동량 가운데 하나다.) 그런데 여기서 피적분함수는 의 기함수이므로, 적분값이 0이 된다. 따라서 자기 쌍극자 모멘트의 열 평균 이 된다.

보어-판레이우언 정리의 응용 
보어-판레이우언 정리는 플라스마 물리, 전기기계기술, 전자전기 공항 등 여러 응용 분야에서 유용하게 사용된다.

각주

참고 문헌

외부 링크 
 The early 20th century: Relativity and quantum mechanics bring understanding at last

고전역학
전자기학
물리학 이론
통계역학
통계역학 이론
물리학 정리