In commutative algebra, the Krull dimension of a commutative ring R, named after Wolfgang Krull, is the supremum of the lengths of all chains of prime ideals. The Krull dimension need not be finite even for a Noetherian ring. More generally the Krull dimension can be defined for modules over possibly non-commutative rings as the deviation of the poset of submodules.

The Krull dimension was introduced to provide an algebraic definition of the dimension of an algebraic variety: the dimension of the affine variety defined by an ideal I in a polynomial ring R is the Krull dimension of R/I.

A field k has Krull dimension 0; more generally, k[x1, ..., xn] has Krull dimension n. A principal ideal domain that is not a field has Krull dimension 1. A local ring has Krull dimension 0 if and only if every element of its maximal ideal is nilpotent.

There are several other ways that have been used to define the dimension of a ring. Most of them coincide with the Krull dimension for Noetherian rings, but can differ for non-Noetherian rings.

Explanation
We say that a chain of prime ideals of the form

has length n. That is, the length is the number of strict inclusions, not the number of primes; these differ by 1. We define the Krull dimension of  to be the supremum of the lengths of all chains of prime ideals in .

Given a prime ideal  in R, we define the  of , written , to be the supremum of the lengths of all chains of prime ideals contained in , meaning that .  In other words, the height of  is the Krull dimension of the localization of R at . A prime ideal has height zero if and only if it is a minimal prime ideal. The Krull dimension of a ring is the supremum of the heights of all maximal ideals, or those of all prime ideals. The height is also sometimes called the codimension, rank, or altitude of a prime ideal.

In a Noetherian ring, every prime ideal has finite height. Nonetheless, Nagata gave an example of a Noetherian ring of infinite Krull dimension. A ring is called catenary if any inclusion  of prime ideals can be extended to a maximal chain of prime ideals between  and , and any two maximal chains between 
and  have the same length. A ring is called universally catenary if any finitely generated algebra over it is  catenary. Nagata gave an example of a Noetherian ring which is not catenary.

In a Noetherian ring, a prime ideal has height at most n if and only if it is a minimal prime ideal over an ideal generated by n elements (Krull's height theorem and its converse). It implies that the descending chain condition holds for prime ideals in such a way the lengths of the chains descending from a prime ideal are bounded by the number of generators of the prime.

More generally, the height of an ideal I  is the infimum of the heights of all prime ideals containing I.  In the language of algebraic geometry, this is the codimension of the subvariety of Spec() corresponding to I.

Schemes

It follows readily from the definition of the spectrum of a ring Spec(R), the space of prime ideals of R equipped with the Zariski topology, that the Krull dimension of R is equal to the dimension of its spectrum as a topological space, meaning the supremum of the lengths of all chains of irreducible closed subsets.  This follows immediately from the Galois connection between ideals of R and closed subsets of Spec(R) and the observation that, by the definition of Spec(R), each prime ideal  of R corresponds to a generic point of the closed subset associated to  by the Galois connection.

Examples

 The dimension of a polynomial ring over a field k[x1, ..., xn] is the number of variables n. In the language of algebraic geometry, this says that the affine space of dimension n over a field has dimension n, as expected. In general, if R is a Noetherian ring of dimension n, then the dimension of R[x] is  n + 1. If the Noetherian hypothesis is dropped, then R[x] can have dimension anywhere between n + 1 and 2n + 1.
 For example, the ideal  has height 2 since we can form the maximal ascending chain of prime ideals.
 Given an irreducible polynomial , the ideal  is not prime (since , but neither of the factors are), but we can easily compute the height since the smallest prime ideal containing  is just .
 The ring of integers Z has dimension 1. More generally, any principal ideal domain that is not a field has dimension 1.
 An integral domain is a field if and only if its Krull dimension is zero. Dedekind domains that are not fields (for example, discrete valuation rings) have dimension one.
 The Krull dimension of the zero ring is typically defined to be either  or . The zero ring is the only ring with a negative dimension.
 A ring is Artinian if and only if it is Noetherian and its Krull dimension is ≤0.
 An integral extension of a ring has the same dimension as the ring does.
 Let R be an algebra over a field k that is an integral domain. Then the Krull dimension of R is less than or equal to the transcendence degree of the field of fractions of R over k. The equality holds if R is finitely generated as an algebra (for instance by the Noether normalization lemma).
 Let R be a Noetherian ring, I an ideal and  be the associated graded ring (geometers call it the ring of the normal cone of I.) Then  is the supremum of the heights of maximal ideals of R containing I.
 A commutative Noetherian ring of Krull dimension zero is a direct product of a finite number (possibly one) of local rings of Krull dimension zero.
 A Noetherian local ring is called a Cohen–Macaulay ring if its dimension is equal to its depth. A regular local ring is an example of such a ring.
 A Noetherian integral domain is a unique factorization domain if and only if every height 1 prime ideal is principal.
 For a commutative Noetherian ring the three following conditions are equivalent: being a reduced ring of Krull dimension zero, being a field or a direct product of fields, being von Neumann regular.

Of a module

If R is a commutative ring, and M is an R-module, we define the Krull dimension of M to be the Krull dimension of the quotient of R making M a faithful module.  That is, we define it by the formula:

where AnnR(M), the annihilator, is the kernel of the natural map R → EndR(M) of R into the ring of R-linear endomorphisms of M.

In the language of schemes, finitely generated modules are interpreted as coherent sheaves, or generalized finite rank vector bundles.

For non-commutative rings

The Krull dimension of a module over a possibly non-commutative ring is defined as the deviation of the poset of submodules ordered by inclusion. For commutative Noetherian rings, this is the same as the definition using chains of prime ideals. The two definitions can be different for commutative rings which are not Noetherian.

See also
Analytic spread
Dimension theory (algebra)
Gelfand–Kirillov dimension
Hilbert function
Homological conjectures in commutative algebra
Krull's principal ideal theorem
Regular local ring

Notes

Bibliography
 Irving Kaplansky, Commutative rings (revised ed.), University of Chicago Press, 1974, .  Page 32.
   Sect.4.7.
 

 

Commutative algebra
Dimension
가환대수학과 대수기하학에서 크룰 차원(Krull次元, )은 가환환에 대한 차원의 일종이다. 소 아이디얼로 이루어진 진부분집합들의 사슬들의 크기의 상한이다.

정의

위상 공간의 차원 
위상 공간 의 기약 집합()은 기약 공간이며 공집합이 아닌 닫힌집합이다. (이는 아핀 스킴의 경우 소 아이디얼에 대응한다.) 의 크룰 차원은 의 기약 집합들의 사슬

의 길이들의 상한 이다. 만약 기약 집합이 아예 존재하지 않을 경우 (즉, 공간이 공집합인 경우), 크룰 차원은 이다.

보통, 스킴의 차원이란 이 크룰 차원을 말한다. 이 정의에 따라 자명환의 스펙트럼의 크룰 차원은 이다.

위상 공간 의 열린 덮개 가 주어졌을 때, 다음이 성립한다.

가군의 차원 
가환환  위의 가군 의 크룰 차원은 다음과 같다.

여기서 은 의 소멸자이며, 은 환의 스펙트럼이다. 대수기하학적으로, 이는 을  위의 가군층으로 여겼을 때, 그 지지 집합의 차원에 해당한다.

아이디얼의 높이 
가환환 의 소 아이디얼 의 높이() 는 다음과 같은 소 아이디얼의 사슬의 최대 길이 이다.

이는 국소화 의 크룰 차원과 같다.

가환환 의 아이디얼 의 높이() 는 를 포함하는 소 아이디얼들의 높이의 하한이다.

(초른 보조정리에 따라, 를 포함하는 극대 아이디얼이 항상 존재하며, 극대 아이디얼은 소 아이디얼이므로 이는 항상 공집합이 아니다.)

대수기하학적으로, 이는 의 여차원과 같다.

성질

가환환의 차원 
가 (1을 갖춘) 가환환이라고 하자. 만약 의 소 아이디얼들 가 다음과 같은 진부분집합의 사슬

을 이룰 때, 음이 아닌 정수 을 집합 의 원소로 정의하자. 그렇다면 가환환 의 크룰 차원은 의 상한이다. 즉,
 자명환의 경우, 크룰 차원은 이다.

그렇다면, 다음 세 개의 차원들이 서로 같다.
  의 환으로서의 크룰 차원
 스펙트럼 의 크룰 차원
 를 스스로 위의 가군으로 여겼을 때, 의 가군 크룰 차원

가환환 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 체이다.
 크룰 차원이 0인 정역이다.

가환환 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 아르틴 환이다.
 크룰 차원이 0인 뇌터 환이다.

일반적인 가환환 에 대하여, 다음이 성립한다.

만약 가 뇌터 환이라면, 다음이 성립한다.

대수다양체의 차원 
대수적으로 닫힌 체 위의 대수다양체의 크룰 차원은 유한하며, 쌍유리 변환 아래 불변량이다.

대수적으로 닫힌 체 에 대한 아핀 대수다양체  (는 소 아이디얼)에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.
 의 크룰 차원이 이다.
 의 임의의 비특이점에서의 뇌터 국소환의 크룰 차원이 이다.
 의 유리 함수체 의 에 대한 초월 차수가 이다.
 의 힐베르트 다항식이 차 다항식이다.

대수적으로 닫힌 체 에 대한 사영 대수다양체  (는 동차 소 아이디얼)에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.
 의 크룰 차원이 이다.
 의 임의의 비특이점에서의 국소환의 크룰 차원이 이다.
 의 에 대한 초월 차수가 이다.

뇌터 국소환의 차원 
뇌터 국소환 의 차원은 다음과 같이 세 가지 방법으로 정의할 수 있다. 이들은 모두 같으며, 항상 유한하다.
 의 크룰 차원 
 에서, 가 자명환이 아닌 아르틴 환이 되는 아이디얼 의 생성원들의 최소 크기 
 가 임의의 -으뜸 아이디얼이라고 하자. 그렇다면 형식적 멱급수를 정의할 수 있다 (, 은 가군의 길이). 이는 항상 유리 함수이며, 의 에서의 극점의 차수를 라고 하자. 이 값은 의 선택에 관계없다.
이렇게 정의하면, 항상

이다.

정칙 국소환의 차원 
정칙 국소환 의 차원은 다음과 같이 정의할 수 있으며, 이 정의들은 모두 같다.
 뇌터 국소환으로서의 차원  (모든 정칙 국소환은 뇌터 국소환이다.)
 . 여기서 은 체  위의 벡터 공간의 차원이다.
 의 최소 생성 집합의 크기
 일 때, . 여기서 이다.

예

가환환의 차원 
크룰 차원이 인 유일한 가환환은 자명환이다.

체의 소 아이디얼은 (0)뿐이다. 따라서 모든 체는 크룰 차원이 0이다. 주 아이디얼 정역의 경우, 모든 0이 아닌 소 아이디얼은 극대 아이디얼이다. 따라서 체가 아닌 주 아이디얼 정역의 크룰 차원은 1이다.

가 체라고 하자. 그렇다면 는 주 아이디얼 정역이므로 이다. 보다 일반적으로, 이다.

자연수 에 대하여, 가환환 의 크룰 차원은 다음과 같다.

위상 공간의 차원 
위상 공간의 크룰 차원은 자리스키 위상과는 잘 호환되지만, 하우스도르프 위상과는 호환되지 않는다. 하우스도르프 공간의 경우, 기약 집합은 한원소 집합이며, 따라서 공집합이 아닌 하우스도르프 공간의 차원은 항상 0이다.

시에르핀스키 공간 , 의 기약 집합은  및 이므로, 시에르핀스키 공간의 크룰 차원은 1이다.

벡터 공간의 크룰 차원 
체  위의 벡터 공간 의 가군으로서의 크룰 차원은 항상 0이다. 이 경우 이며, 는 항상 한원소 공간으로서 크룰 차원이 0차원이다. 즉, 가군의 크룰 차원은 벡터 공간의 차원과 관계가 없다.

무한 차원의 뇌터 가환환 
체 에 대하여, 무한 개의 변수의 다항식환

를 생각하자. 임의의 증가 정수열

가 주어졌을 때, 소 아이디얼들의 열

을 생각하자. 그렇다면 를

에 국소화하면, 는 뇌터 환이며, 그 크룰 차원은

이다. 만약 라면, 이는 무한 크룰 차원의 뇌터 환이 된다. 이 예는 나가타 마사요시가 제시하였다.

역사 
볼프강 크룰이 1928년 크룰 높이 정리를 증명하면서 그 기본 개념을 도입하였다.

같이 보기 
 호몰로지 차원
 기약 공간
 크룰 높이 정리

참고 문헌

외부 링크 
 
 

가환대수학
대수기하학
차원