If you use the inverse distance between two points in 3D space as an input to a Kernel Ridge Regression (KRR) model, the derivative of the predicted output with respect to one of the points can be obtained using the chain rule of calculus.

Assuming that the KRR model uses a Gaussian kernel, which is a common choice for modeling molecular energies and properties, the predicted output $y$ for a given inverse distance $f$ can be expressed as:

y=∑i=1Nαik(f,fi)y = \sum\_{i=1}^{N} \alpha\_i k(f, f\_i)y=i=1∑N​αi​k(f,fi​)where $N$ is the number of training samples, $\alpha\_i$ are the coefficients obtained during training, $f\_i$ are the inverse distances of the training samples, and $k(f, f\_i)$ is the Gaussian kernel function:

k(f,fi)=exp⁡(−(f−fi)22σ2)k(f, f\_i) = \exp \left( -\frac{(f-f\_i)^2}{2\sigma^2} \right)k(f,fi​)=exp(−2σ2(f−fi​)2​)where $\sigma$ is the kernel width.

To compute the derivative of $y$ with respect to one of the points, say $\mathbf{a}$, we first need to express $f$ as a function of $\mathbf{a}$ and $\mathbf{b}$, the two points whose inverse distance is used as input to the KRR model. The inverse distance $f$ can be written as:

f(a,b)=1d(a,b)=1(b−a)⋅(b−a)f(\mathbf{a}, \mathbf{b}) = \frac{1}{d(\mathbf{a}, \mathbf{b})} = \frac{1}{\sqrt{(\mathbf{b}-\mathbf{a})\cdot(\mathbf{b}-\mathbf{a})}}f(a,b)=d(a,b)1​=(b−a)⋅(b−a)​1​Taking the partial derivative of $y$ with respect to $\mathbf{a}$ yields:

∂y∂a=∑i=1Nαi∂k(f,fi)∂f∂f∂a=−∑i=1Nαik(f,fi)(b−a)d3f−fiσ2\begin{aligned}
\frac{\partial y}{\partial \mathbf{a}} &= \sum\_{i=1}^{N} \alpha\_i \frac{\partial k(f, f\_i)}{\partial f} \frac{\partial f}{\partial \mathbf{a}} \\
&= -\sum\_{i=1}^{N} \alpha\_i k(f, f\_i) \frac{(\mathbf{b}-\mathbf{a})}{d^3} \frac{f-f\_i}{\sigma^2}
\end{aligned}∂a∂y​​=i=1∑N​αi​∂f∂k(f,fi​)​∂a∂f​=−i=1∑N​αi​k(f,fi​)d3(b−a)​σ2f−fi​​​where $d = d(\mathbf{a}, \mathbf{b})$ is the Euclidean distance between the points $\mathbf{a}$ and $\mathbf{b}$.

Therefore, the derivative of the KRR model with a Gaussian kernel trained on the inverse distance between two points in 3D space with respect to one of the points is a linear combination of the kernel values, the coefficients obtained during training, and the derivatives of the inverse distance with respect to the point. Note that the derivative expression involves the second derivative of the Gaussian kernel, which can be computed as:

∂2k(f,fi)∂f2=(f−fi)2σ4k(f,fi)−1σ2k(f,fi)\frac{\partial^2 k(f, f\_i)}{\partial f^2} = \frac{(f-f\_i)^2}{\sigma^4} k(f, f\_i) - \frac{1}{\sigma^2} k(f, f\_i)∂f2∂2k(f,fi​)​=σ4(f−fi​)2​k(f,fi​)−σ21​k(f,fi​)Therefore, the derivative of the KRR model with respect to the input inverse distance can be computed using the above expressions for the kernel and its derivatives, along with the coefficients obtained during training.
3D 공간에서 두 점 사이의 역거리를 커널 릿지 회귀(KRR) 모델의 입력으로 사용하는 경우 미적분의 연쇄 규칙을 사용하여 점 중 하나에 대한 예측 출력의 미분을 구할 수 있습니다.

KRR 모델이 분자 에너지와 특성을 모델링하는 데 일반적으로 사용되는 가우스 커널을 사용한다고 가정하면, 주어진 역거리 $f$에 대한 예측 출력 $y$는 다음과 같이 표현할 수 있습니다:

y=∑i=1Nαik(f,fi)y = \sum\_{i=1}^{N} \알파\_i k(f, f\_i)y=i=1∑Nαik(f,fi)여기서 $N$은 훈련 샘플 수, $\알파\_i$는 훈련 중에 얻은 계수, $f\_i$는 훈련 샘플의 역거리, $k(f, f\_i)$는 가우시안 커널 함수입니다:

k(f,fi)=exp(-(f-fi)22σ2)k(f, f\_i) = \exp \left( -\frac{(f-f\_i)^2}{2\sigma^2} \오른쪽)k(f,fi)=exp(-2σ2(f-fi)2)여기서 $\sigma$는 커널 폭입니다.

점 중 하나에 대한 $y$의 미분을 계산하려면, 예를 들어 $\mathbf{a}$에 대해 먼저 $f$를 역거리가 KRR 모델에 입력으로 사용되는 두 점인 $\mathbf{a}$와 $\mathbf{b}$의 함수로 표현해야 합니다. 역거리 $f$는 다음과 같이 쓸 수 있습니다:

f(a,b)=1d(a,b)=1(b-a)⋅(b-a)f(\mathbf{a}, \mathbf{b}) = \frac{1}{d(\mathbf{a}, \mathbf{b})} = \frac{1}{\sqrt{(\mathbf{b}-\mathbf{a})\cdot(\mathbf{b}-\mathbf{a})}}f(a, b)=d(a,b)1=(b-a)⋅(b-a)1$\mathbf{a}$에 대한 $y$의 편미분을 구하면 다음과 같이 됩니다:

∂y∂a=∑i=1Nαi∂k(f,fi)∂f∂f∂a=-∑i=1Nαik(f,fi)(b-a)d3f-fiσ2\begin{aligned}
\frac{\partial y}{\partial \mathbf{a}} &= \sum\_{i=1}^{N} \알파\_i \frac{\부분 k(f, f\_i)}{\부분 f} \frac{\부분 f}{\부분 \mathbf{a}} \\
&= -\sum\_{i=1}^{N} \alpha\_i k(f, f\_i) \frac{(\mathbf{b}-\mathbf{a})}{d^3} \frac{f-f\_i}{\sigma^2}
\end{aligned}∂a∂y=i=1∑Nαi∂f∂k(f,fi)∂a∂f=-i=1∑Nαik(f,fi)d3(b-a)σ2f-fi 여기서 $d = d(\mathbf{a}, \mathbf{b})$는 점 $\mathbf{a}$와 $\mathbf{b}$ 사이의 유클리드 거리입니다.

따라서 점 중 하나를 기준으로 3D 공간에서 두 점 사이의 역거리에 대해 훈련된 가우시안 커널을 사용하는 KRR 모델의 도함수는 커널 값, 훈련 중에 얻은 계수 및 점에 대한 역거리의 도함수의 선형 조합입니다. 도함수 식에는 가우스 커널의 두 번째 도함수가 포함되며, 다음과 같이 계산할 수 있습니다:

∂2k(f,fi)∂f2=(f-fi)2σ4k(f,fi)-1σ2k(f,fi)\frac{\partial^2 k(f, f\_i)}{\partial f^2} = \frac{(f-f\_i)^2}{\sigma^4} k(f, f\_i) - \frac{1}{\sigma^2} k(f, f\_i)∂f2∂2k(f,fi)=σ4(f-fi)2k(f,fi)-σ21k(f, fi)따라서 입력 역거리에 대한 KRR 모델의 도함수는 커널과 그 도함수에 대한 위의 식과 훈련 중에 얻은 계수를 사용하여 계산할 수 있습니다.