1.2 Preference formation
When we model individuals, we endow them with preference relations, which
we take as given; we do not derive these preference relations from any more basic considerations. We now briefly describe a few such considerations, some of
which result in preference relations and some of which do not.
Value function The individual has in mind a function v that attaches to each
alternative a number, interpreted as his subjective “value” of the alternative; the
higher the value, the better the individual likes the alternative. Formally, the individual’s preference relation ¼ is defined by x ¼ y if and only if v (x) ≥ v (y ). The
binary relation ¼ derived in this way is indeed a preference relation: it is complete because we can compare any two numbers (for any two numbers a and b
either a ≥ b or b ≥ a (or both)) and it is transitive because the binary relation
≥ is transitive (if x ¼ y and y ¼ z then v (x) ≥ v (y ) and v (y ) ≥ v (z ), and hence
v (x) ≥ v (z ), so that x ¼ z ).
Distance function One alternative is “ideal” for the individual; how much he
likes every other alternative is determined by the distance of that alternative from
the ideal, as given by a function d . That is, the individual’s preference relation ¼
is defined by x ¼ y if and only if d (x) ≤ d (y ). This scheme is an example of a
value function, with v (x) = −d (x).
Lexicographic preferences An individual has in mind two complete and transitive binary relations, ¼1 and ¼2, each of which relates to one feature of the alternatives. For example, if X is a set of computers, the features might be the size
of the memory and the resolution of the screen. The individual gives priority to
the first feature, breaking ties by the second feature. Formally, the individual’s
preference relation ¼ is defined by x ¼ y if (i) x 1 y or (ii) x ∼1 y and x ¼2 y .
The binary relation ¼ defined in this way is a preference relation. Its completeness follows from the completeness of ¼1 and ¼2. Now consider its transitivity. Suppose that x ¼ y and y ¼ z . There are two cases. (i) The first feature
is decisive when comparing x and y : x 1 y . Given y ¼ z we have y ¼1 z , so by
the transitivity of ¼1 we obtain x 1 z (see Problem 1b) and thus x ¼ z . (ii) The
first feature is not decisive when comparing x and y : x ∼1 y and x ¼2 y . If the
first feature is decisive for y and z , namely y 1 z , then from the transitivity of
1 we obtain x 1 z and therefore x ¼ z . If the first feature is not decisive for y
and z , then y ∼1 z and y ¼2 z . By the transitivity of ∼1 we obtain x ∼1 z and by
the transitivity of ¼2 we obtain x ¼2 z . Thus x ¼ z .
Unanimity rule The individual has in mind n considerations, represented by
the complete and transitive binary relations ¼1,¼2, . . . ,¼n . For example, a parent
8 Chapter 1. Preferences and utility
may take in account the preferences of his n children. Define the binary relation
¼ by x ¼ y if x ¼i y for i = 1, . . . ,n. This binary relation is transitive but not
necessarily complete. Specifically, if two of the relations ¼i disagree (x ¼j y and
y k x), then ¼ is not complete.
Majority rule The individual uses three criteria to evaluate the alternatives, each
of which is expressed by a complete, transitive, and antisymmetric binary relation ¼i . (The antisymmetry of the relations implies that no two alternatives are
indifferent according to any relation.) Define the binary relation ¼ by x ¼ y if and
only if a majority (at least two) of the binary relations ¼i rank x above y . Then ¼
is complete: for all alternatives x and y either x ¼i y for at least two criteria or
y ¼i x for at least two criteria. But the relation is not necessarily transitive, as an
example known as the Condorcet paradox shows. Let X = {a,b, c } and suppose
that a 1 b 1 c , b 2 c 2 a, and c 3 a 3 b. Then a  b (a majority of the criteria rank a above b) and b  c (a majority rank b above c ), but c  a (a minority
rank a above c ).
1.3 An experiment
The assumption that preferences are transitive seems natural. When people are
alerted to intransitivities in their preferences they tend to be embarrassed and
change their evaluations. However, it is not difficult to design an environment
in which most of us exhibit some degree of intransitivity. In Section 1.1 we suggested you respond to a long and exhausting questionnaire, with 36 questions,
each asking you to compare a pair of alternatives taken from a set of nine alternatives. Each alternative is a description of a vacation package with four parameters: the city, hotel quality, food quality, and price.
As of April 2018, only 15% of the approximately 1,300 responses to the questionnaire do not exhibit any violation of transitivity. We count a set of three alternatives as a violation of transitivity if the answers to the three questions comparing pairs of alternatives from the set are inconsistent with transitivity. Among
participants, the median number of triples that violate transitivity is 6 and the
average is 9.5. (As a matter of curiosity, the highest number of intransitivities
for any participant is 66. There are 84 sets of three alternatives, but the highest
possible number of intransitivities is less than 84.)
A quarter of the participants’ expressed preferences violate transitivity among
the following alternatives.
1. A weekend in Paris, with 4 star hotel, food quality 17, for $574.
2. A weekend in Paris, for $574, food quality 17, with 4 star hotel.
3. A weekend in Paris, food quality 20, with 3–4 star hotel, for $560.
1.4 Utility functions 9
Notice that options 1 and 2 describe the same package; the descriptions differ
only in the order of the characteristics. Almost all participants say they are indifferent between these two alternatives, so the intransitivity is a result of differences in the expressed preferences between options 1 and 3 and options 2 and 3.
That is, the order in which the features of the package are listed has an effect on
the expressed preferences.
Many responses consistent with transitivity are consistent with a simple principle, like focussing on one feature, like the price, and ignoring the others, or giving priority to one feature, like the city, and breaking ties using a second feature,
like the food quality (as in lexicographic preferences). Principles like these may
be easier to apply consistently than more complex criteria.
1.2 선호도 형성개인을 모델링할 때, 우리는 개인에게 선호 관계를 부여합니다.우리는 이러한 선호 관계를 더 이상 기본적인 고려 사항에서 도출하지 않습니다. 이제 몇 가지 고려 사항을 간략히 설명하겠습니다.선호 관계를 도출하는 고려 사항과 그렇지 않은 고려 사항을 간략하게 설명합니다.가치 함수 개인은 각 대안에 붙는 함수 v를 염두에 두고 있습니다.대안에 대한 주관적인 '가치'로 해석되는 숫자를 부여하는 함수입니다.값이 높을수록 개인이 해당 대안을 더 좋아한다는 의미입니다. 공식적으로 개인의 선호도 관계 ¼은 v(x) ≥ v(y )인 경우에만 x ¼ y로 정의됩니다. 이항 관계이런 식으로 도출된 이항 관계 ¼는 실제로 선호 관계입니다. 이 관계는 두 개의 숫자를 비교할 수 있기 때문에 완전합니다(두 개의 숫자 a와 b에 대해서는a ≥ b 또는 b ≥ a(또는 둘 다))를 비교할 수 있기 때문에 완전하며, 이진 관계는 전이적이기 때문에 전이적입니다.≥는 전이적입니다 (x ¼ y 및 y ¼ z이면 v (x) ≥ v (y ) 및 v (y ) ≥ v (z ), 따라서v (x) ≥ v (z ), 따라서 x ¼ z ).거리 함수 한 가지 대안은 개인에게 "이상적인" 대안입니다.다른 모든 대안을 얼마나 좋아하는지는 그 대안과 이상과의 거리에 의해 결정됩니다.이상으로부터의 거리에 의해 결정됩니다. 즉, 개인의 선호도 관계 ¼는 d (x) ≤ d (y )인 경우에만 x ¼ y로 정의됩니다. 이 체계는값 함수의 예입니다.사전적 선호도 개인은 두 개의 완전하고 전이적인 이진 관계인 ¼1과 ¼2를 염두에 두고 있으며, 각 관계는 대안의 한 가지 특징과 관련되어 있습니다. 예를 들어, X가 컴퓨터의 집합인 경우, 그 특징은 메모리 크기와메모리와 화면 해상도일 수 있습니다. 개인은 다음에 우선순위를 부여합니다.첫 번째 기능에 우선순위를 부여하고 두 번째 기능으로 동점을 깨뜨립니다. 공식적으로 개인의선호도 관계 ¼는 (i) x 1 y 또는 (ii) x ∼1 y 및 x ¼2 y인 경우 x ¼ y로 정의됩니다.이렇게 정의된 이항 관계 ¼는 선호도 관계입니다. 이 관계의 완전성은 ¼1과 ¼2의 완전성으로부터 따릅니다. 이제 그 전이성을 생각해 봅시다. x ¼ y 와 y ¼ z 가 있다고 가정합니다. 두 가지 경우가 있습니다. (i) 첫 번째 특징는 x와 y를 비교할 때 결정적입니다: x 1 y . y ¼ z 가 주어지면 y ¼1 z 가 있으므로, 다음과 같이의 전이성을 이용하면 x 1 z 를 구할 수 있으므로(문제 1b 참조), x ¼ z 가 됩니다. (ii)첫 번째 특징은 x와 y를 비교할 때 결정적이지 않습니다 : x ∼1 y와 x ¼2 y . 만약첫 번째 특징은 y와 z, 즉 y 1 z에 대해 결정적이며, 다음 전이 성으로부터1 의 전이성으로부터 x 1 z 를 구하고 따라서 x ¼ z 를 구합니다. 첫 번째 특징이 y와 z 에 대해 결정적이지 않은 경우, 즉 y와 z 에 대해 첫 번째 특징이 결정적이지 않다면, y ∼1 z 와 y ¼2 z 가 됩니다. 1의 전이성에 의해 우리는 x ∼1 z 를 구하고2 의 전이성으로 x ¼2 z 를 얻습니다. 따라서 x ¼ z .만장일치 규칙 개인은 다음과 같이 표현되는 n 개의 고려 사항을 염두에두고 있습니다.완전하고 전이적인 이진 관계 ¼1,¼2, . . ,¼n . 예를 들어, 부모8 1장. 환경 설정과 유용성는 n 자녀의 선호도를 고려할 수 있습니다. 이진 관계를 정의합니다.i = 1, . . . ,n. 이 이항 관계는 전이적인 관계이지만반드시 완전하지는 않습니다. 구체적으로, ¼i 관계 중 두 개가 일치하지 않는 경우(x ¼j y와y k x), ¼은 완전하지 않습니다.다수결 규칙 개인은 세 가지 기준을 사용하여 대안을 평가합니다.각 기준은 완전하고 전이적이며 비대칭적인 이항 관계 ¼i 로 표현됩니다. (관계의 비대칭성은 두 대안이 다음과 같지 않음을 의미합니다.무관하다는 것을 의미합니다.) 다음과 같은 경우 이항 관계 ¼을 x ¼ y로 정의합니다.이항 관계 ¼i 의 과반수(최소 2개 이상)가 x 를 y보다 높게 평가하는 경우에만 가능합니다. 그러면 ¼는 완성됩니다: 모든 대안 x와 y에 대해 적어도 두 가지 기준에서 x ¼i y 또는최소 두 가지 기준에 대해 y ¼i x입니다. 그러나 이 관계가 반드시 전이적인 것은 아닙니다.콘도르셋 역설의 예에서 알 수 있듯이 반드시 전이적 관계일 필요는 없습니다. X = {a,b,c }라고 가정하고 다음과 같이 가정합니다.a 1 b 1 c , b 2 c 2 a, c 3 a 3 b라고 가정합니다. 그런 다음 a b(기준의 과반수가 a를 b보다 높게 평가함)와 b c(과반수가 b를 c보다 높게 평가함)가 있지만 c a(소수가순위가 c보다 높음).1.3 실험선호도가 전이적이라는 가정은 자연스러워 보입니다. 사람들이선호의 비전이성에 대해 경고를 받으면 당황하는 경향이 있으며평가를 바꾸는 경향이 있습니다. 하지만 대부분의 사람들이 어느 정도 비전이성을 보이는 환경을환경을 설계하는 것은 어렵지 않습니다. 섹션 1.1에서 36개의 질문으로 구성된 길고 지루한 설문지에 응답할 것을 제안했습니다,각 질문은 9개의 대안 세트에서 가져온 한 쌍의 대안을 비교하도록 요청합니다. 각 대안은 도시, 호텔 품질, 음식 품질, 가격의 네 가지 매개변수가 포함된 휴가 패키지에 대한 설명입니다.2018년 4월 현재, 설문조사에 응답한 약 1,300건의 응답 중 15%만이 환승성을 위반하지 않은 것으로 나타났습니다. 세 가지 대안으로 구성된 세트의 대안 쌍을 비교하는 세 가지 질문에 대한 답변이 전이성과 일치하지 않는 경우 전이성 위반으로 간주합니다. 참가자 중참가자 중 전이성을 위반하는 트리플의 중간값입니다.