2.3 Property α
We say that a choice function satisfies property α if whenever the choice from A is
in a subset B then the alternative chosen from A is chosen also from B. We show
that (i) any choice function that selects the best alternative according to a preference relation satisfies this property and (ii) any choice function that satisfies the
property is rationalizable.
Definition 2.3: Property α
Given a set X, a choice function c for X satisfies property α if for any sets A
and B with B ⊂ A ⊆ X and c (A) ∈ B we have c (B) = c (A).
Notice that property α is not satisfied by the choice functions in Examples 2.2,
2.3, and 2.4.
Proposition 2.1: Rationalizable choice function satisfies property α
Every rationalizable choice function satisfies property α.
Proof
Let c be a rationalizable choice function for X and let ¼ be a preference
relation such that for every set A ⊆ X, c (A) is the best alternative according
to ¼ in A. Assume that B ⊂ A and c (A) ∈ B. Since c (A) ¼ y for all y ∈ A we
have c (A) ¼ y for all y ∈ B and thus c (B) = c (A).
22 Chapter 2. Choice
Proposition 2.2: Choice function satisfying property α is rationalizable
If X is a finite set then any choice function for X satisfying property α is
rationalizable.
Proof
Let c be a choice function for X satisfying property α. Denote by n the
number of elements in X. We construct a preference relation that rationalizes c as follows. Denote c (X) = a1, c (X \{a1}) = a2, c (X \{a1,a2}) = a3, and
so on. That is, ak is the choice from the set X after removing the elements
a1, . . . , ak−1.
Consider the preference relation ¼ defined by a1  a2  ···  a n . Let
A be a choice problem. The best alternative in A according to ¼ is the
first member of A in the sequence a1,a2, . . . ,a n , say a m . By construction,
c ({a m,a m+1, . . . ,a n }) = a m and since A ⊆ {a m,a m+1, . . . ,a n } and a m ∈ A,
from property α we have c (A) = a m .
2.4 Satisficing
Imagine an employer who must hire a worker. He interviews the candidates in
alphabetical order until he reaches a candidate whom he considers to be good
enough, and then stops. If no candidate is good enough, he chooses the last
candidate to be interviewed.
Formally, denote the set of candidates by X. The employer has in mind a
function v : X → R that measures the candidates’ qualities. He has in mind also
a number v ∗, an aspiration level. Let O be an ordering of the set X (for example,
alphabetical order), which describes the sequence in which the employer interviews candidates. Given a set A of alternatives, the employer chooses the first
alternative a ∈ A in the ordering O for which v (a) ≥ v ∗ if such an alternative
exists, and otherwise chooses the last element in A according to O.
Definition 2.4: Satisficing choice function
Let X be a finite set. Given a function v : X → R (the valuation function),
a number v ∗ (the aspiration level), and an ordering O of X, the satisficing
choice function c is defined as follows. Let A = {a1, . . . ,a K } where a1O a2O
···O a K . Then
c (A) = (
ak if v (ak ) ≥ v ∗ and v (al ) < v ∗ for l = 1, . . . ,k − 1
a K if v (al ) < v ∗ for l = 1, . . . ,K .
2.5 The money pump argument 23
Every alternative x for which v (x) ≥ v ∗ is satisfactory and every other
alternative is unsatisfactory.
Proposition 2.3: Satisficing choice function is rationalizable
A satisficing choice function is rationalizable.
This result can be proved by showing that any satisficing choice function
satisfies property α (see Problem 3). Here we provide a direct proof.
Proof
Let c be the satisficing choice function for valuation function v , aspiration level v ∗, and ordering O. We construct a preference relation ¼ that
rationalizes c . At the top of the preference relation we put the satisfactory alternatives, X + = {x ∈ X : v (x) ≥ v ∗}, in the order given by O. Then
we put all the unsatisfactory alternatives, X − = {x ∈ X : v (x) < v ∗}, in the
order given by the reverse of O. (If, for example, X = {a,b, c ,d }, O is alphabetical order, v ∗ = 0, and the valuation function is defined by v (a) = −1,
v (b) = −2, v (c ) = 1, and v (d ) = 3, then the preference relation we construct is c  d  b  a.)
We now show that this preference relation rationalizes c . Let A ⊆ X. If
A contains a member of X + then the best alternative in A according to ¼
is the first alternative, according to O, in A ∩ X +, which is c (A). If A does
not contain a member of X + then A ⊆ X − and the best alternative in A
according to ¼ is the last element in A according to O, which is c (A).
.3 속성 α선택 함수가 A로부터의 선택이 하위 집합 B에 있을 때마다이면 A에서 선택한 대안이 B에서도 선택됩니다.(i) 선호 관계에 따라 최선의 대안을 선택하는 모든 선택 함수는 이 속성을 만족하고, (ii) 이 속성을 만족하는 모든 선택 함수는속성을 만족하는 선택 함수는 합리화 가능함을 증명합니다.정의 2.3: 속성 α집합 X가 주어졌을 때, X에 대한 선택 함수 c는 모든 집합 A와 B가 B ⊂ A ⊆ X이고 c (A) ∈ B인 집합에 대해 우리는 c (B) = c (A)를 갖습니다.속성 α는 예제 2.2의 선택 함수에 의해 만족되지 않는다는 점에 유의하세요,2.3, 2.4의 선택 함수에 의해 충족되지 않습니다.명제 2.1: 합리화 가능한 선택 함수는 속성 α를 만족한다.모든 합리화 가능한 선택 함수는 속성 α를 만족한다.증명c를 X에 대한 합리화 가능한 선택 함수라고 하고 ¼를 선호도라고 합니다.모든 집합 A ⊆ X에 대해 c (A)가 A의 ¼에 따라 최선의 대안이 되는B ⊂ A이고 c (A) ∈ B라고 가정합니다. 모든 y ∈ A에 대해 c (A) ¼ y이므로 우리는 다음과 같습니다.모든 y ∈ B에 대해 c(A) ¼ y를 가지므로 c(B) = c(A)가 됩니다.22 2장. 선택명제 2.2: 속성 α를 만족하는 선택 함수는 합리화 가능하다.X가 유한 집합이라면 α 속성을 만족하는 X의 선택 함수는 다음과 같습니다.합리화 가능합니다.증명속성 α를 만족하는 X의 선택 함수를 c라고 하자. X의 원소 개수를 n으로 나타냅니다.다음과 같이 c를 합리화하는 선호 관계를 구성합니다. c (X) = a1, c (X \{a1}) = a2, c (X \{a1,a2}) = a3, 그리고등으로 나타냅니다. 즉, ak는 집합 X에서 원소를 제거한 후 선택된 값입니다.a1, . . . , ak-1입니다.a1 a2 --- a n 으로 정의되는 선호도 관계 ¼를 생각해 보겠습니다. LetA를 선택 문제라고 합니다. ¼에 따른 A의 최적 대안은 다음과 같습니다.시퀀스에서 A의 첫 번째 구성원 a1,a2, . . . , ㅏ n , 즉 ㅏ m 입니다. 구조상c ({a m,a m+1, . . . ,a n }) = a m이고 A ⊆ {a m,a m+1, .. . . ,a n }이고 a m ∈ A입니다,속성 α로부터 c (A) = a m 이 됩니다.2.4 만족시키기노동자를 고용해야 하는 고용주를 상상해 봅시다. 그는 후보자들을 알파벳 순서로알파벳 순서로 후보자를 인터뷰한 후, 충분히 훌륭하다고 생각되는 후보자에게 도달할 때까지충분하다고 생각될 때까지 면접을 진행하다가 중단합니다. 충분한 후보자가 없으면 마지막 후보자를 선택합니다.마지막 후보자를 선택합니다.공식적으로 후보자 집합을 X로 표시하면 고용주는 다음을 염두에 둡니다.함수 v : X → R을 염두에 두고 있습니다. 그는 다음 사항도 염두에 둡니다.숫자 v ∗, 즉 열망 수준. O를 X 집합의 순서(예를 들어,알파벳 순서)로, 고용주가 지원자를 면접하는 순서를 나타냅니다. 대안 집합 A가 주어지면 고용주는 첫 번째 대안을 선택합니다.v (a) ≥ v ∗ 인 순서 O에서 A ∈ 대안 a가 존재하는 경우가 존재하면, 그렇지 않으면 O에 따라 A의 마지막 요소를 선택합니다.정의 2.4: 만족 선택 함수X를 유한 집합이라고 하자. 함수 v : X → R(평가 함수)이 주어지면,숫자 v ∗(열망 수준)와 X의 순서 O가 주어지면, 만족하는 선택 함수인선택 함수 c는 다음과 같이 정의됩니다. A = {a1, . . . ,a K }에서 a1O a2O---O a K 입니다. 그러면c (A) = (ak) ≥ v ∗ 이고 v (al) < v ∗ 인 경우 l = 1, ... . ,k - 1l = 1, . . . ,K 에 대해 v (al ) < v ∗ 인 경우 a K . ,K .2.5 머니 펌프 인수 23v (x) ≥ v ∗ 인 모든 대안 x는 만족스럽고 다른 모든 대안은대안은 모두 불만족스럽다.명제 2.3: 만족하는 선택 함수는 합리화 가능하다.만족 선택 함수는 합리화 가능합니다.이 결과는 만족 선택 함수가 다음과 같이 증명할 수 있습니다.는 속성 α를 만족한다는 것을 보여줌으로써 증명할 수 있습니다 (문제 3 참조). 여기서는 직접적인 증명을 제공합니다.증명평가 함수 v, 열망 수준 v ∗, 순서 O에 대한 만족 선택 함수 c를 다음과 같은 선호 관계 ¼로 구성합니다.를 합리화합니다. 선호 관계의 맨 위에는 만족스러운 대안인 X + = {x ∈ X : v (x) ≥ v ∗}를 O에 의해 주어진 순서대로 놓습니다.모든 불만족스러운 대안, X - = {x ∈ X : v (x) < v ∗}를 O의 역순으로(예를 들어 X = {a,b, c,d }인 경우, O는 알파벳 순서이고, v ∗ = 0이며, 평가 함수는 v (a) = -1로 정의됩니다,v (b) = -2, v (c ) = 1, v (d ) = 3으로 정의되면, 우리가 구성하는 선호도 관계는 c d b a입니다.)이제 이 선호 관계가 c 를 합리화한다는 것을 보여줍니다. A ⊆ X라고 하자.A에 X +의 구성원이 포함되어 있으면 ¼에 따라 A의 최적 대안은 ¼에 따르면 A ∩ X +의 첫 번째 대안은 c (A)입니다. 만약 A가에 X +의 구성원이 포함되지 않으면 A ⊆ X -가 되고, ¼에 따른 A의 최선 대안에서 가장 좋은 대안은 ¼에 따른 A의 마지막 원소, 즉 c (A)입니다.