The concept of a Projective space plays a central role in algebraic geometry. This article aims to define the notion in terms of abstract algebraic geometry and to describe some basic uses of projective spaces.

Homogeneous polynomial ideals

Let k be an algebraically closed field, and V be a finite-dimensional vector space over k. The symmetric algebra of the dual vector space V* is called the polynomial ring on V and denoted by k[V]. It is a naturally graded algebra by the degree of polynomials.

The projective Nullstellensatz states that, for any homogeneous ideal I that does not contain all polynomials of a certain degree (referred to as an irrelevant ideal), the common zero locus of all polynomials in I (or Nullstelle) is non-trivial (i.e. the common zero locus contains more than the single element {0}), and, more precisely, the ideal of polynomials that vanish on that locus coincides with the radical of the ideal I.

This last assertion is best summarized by the formula : for any relevant ideal I, 

In particular, maximal homogeneous relevant ideals of k[V] are one-to-one with lines through the origin of V.

Construction of projectivized schemes

Let V be a finite-dimensional vector space over a field k. The scheme over k defined by Proj(k[V]) is called projectivization of V. The projective n-space on k is the projectivization of the vector space .

The definition of the sheaf is done on the base of open sets of principal open sets D(P), where P varies over the set of homogeneous polynomials, by setting the sections 

to be the ring , the zero degree component of the ring obtained by localization at P. Its elements are therefore the rational functions with homogeneous numerator and some power of P as the denominator, with same degree as the numerator.

The situation is most clear at a non-vanishing linear form φ. The restriction of the structure sheaf to the open set D(φ) is then canonically identified  with the affine scheme spec(k[ker φ]). Since the D(φ) form an open cover of X the projective schemes can be thought of as being obtained by the gluing via projectivization of isomorphic affine schemes.

It can be noted that the ring of global sections of this scheme is a field, which implies that the scheme is not affine. Any two open sets intersect non-trivially: ie the scheme is irreducible. When the field k is algebraically closed,  is in fact an abstract variety, that furthermore is complete. cf.  Glossary of scheme theory

Divisors and twisting sheaves 
The Proj functor in fact gives more than a mere scheme: a sheaf in graded modules over the structure sheaf is defined in the process. The homogeneous components of this graded sheaf are denoted , the Serre twisting sheaves. All of these sheaves are in fact line bundles. By the correspondence between Cartier divisors and line bundles, the first twisting sheaf  is equivalent to hyperplane divisors.

Since the ring of polynomials is a unique factorization domain, any prime ideal of height 1 is principal, which shows that any Weil divisor is linearly equivalent to some power of a hyperplane divisor. This consideration proves that the Picard group of a projective space is free of rank 1. That is , and the isomorphism is given by the degree of divisors.

Classification of vector bundles

The invertible sheaves, or line bundles,  on the projective space  for k a field, are exactly the twisting sheaves  so the Picard group of  is isomorphic to . The isomorphism is given by the first Chern class.

The space of local sections on an open set  of the line bundle  is the space of homogeneous degree k regular functions on the cone in V associated to U. In particular, the space of global sections 

vanishes if m < 0, and  consists of constants in k for m=0 and of homogeneous polynomials of degree m for m > 0. (Hence has dimension ).

The Birkhoff-Grothendieck theorem states that on the projective line, any vector bundle splits in a unique way as a direct sum of the line bundles.

Important line bundles 
The tautological bundle, which appears for instance as the exceptional divisor of the blowing up of a smooth point is the sheaf . The canonical bundle 
 is .
This fact derives from a fundamental geometric statement on projective spaces: the Euler sequence.

The negativity of the canonical line bundle makes projective spaces prime examples of Fano varieties, equivalently, their anticanonical line bundle is ample (in fact very ample). Their index (cf. Fano varieties) is given by , and, by a theorem of Kobayashi-Ochiai, projective spaces are characterized amongst Fano varieties by the property

Morphisms to projective schemes 

As affine spaces can be embedded in projective spaces, all affine varieties can be embedded in projective spaces too.

Any choice of a finite system of nonsimultaneously vanishing global sections of a globally generated line bundle defines a morphism to a projective space. A line bundle whose base can be embedded in a projective space by such a morphism is called very ample.

The group of symmetries of the projective space  is the group of projectivized linear automorphisms . The choice of a morphism to a projective space  modulo the action of this group is in fact equivalent to the choice of a globally generating n-dimensional linear system of divisors on a line bundle on X. The choice of a projective embedding of X, modulo projective transformations is likewise equivalent to the choice of a very ample line bundle on X.

A morphism to a projective space  defines a globally generated line bundle by  and a linear system 

If the range of the morphism  is not contained in a hyperplane divisor, then the pull-back is an injection and the linear system of divisors 
 is a linear system of dimension n.

An example: the Veronese embeddings

The Veronese embeddings are embeddings  for 

See the answer on MathOverflow for an application of the Veronese embedding to the calculation of cohomology groups of smooth projective hypersurfaces (smooth divisors).

Curves in projective spaces

As Fano varieties, the projective spaces are ruled varieties. The intersection theory of curves in the projective plane yields the Bézout theorem.

See also

General algebraic geometry 
Scheme (mathematics)
Projective variety
Proj construction

General projective geometry
Projective space
Projective geometry
Homogeneous polynomial

Notes

References

 Exercise sheet (in French) on projective spaces, on the page of Yves Laszlo.

Algebraic geometry
Projective geometry
Algebraic varieties
Geometry of divisors
사영 공간의 개념은 대수기하학에서 중심적인 역할을 한다. 이 문서는 추상 대수기하학의 관점에서 개념을 정의하고 사영 공간의 몇 가지 기본 응용을 설명하는 것을 목표로 한다.

동차 다항식 이데알 
를 대수적으로 닫힌 체 라고 하고 를  위의 유한차원 선형 공간이라고 하자. 쌍대 선형 공간 의 대칭 대수는  위의 다항식 환이라고 하며 로 표시된다. 다항식의 차수에 따라 자연스럽게 등급 대수이다.

사영 영점 정리는 특정 차수의 모든 다항식을 포함하지 않는 동차 이데알 (무관한 이데알이라고 함)에 대해 (또는 Nullstelle )의 모든 다항식의 공통 영점 집합이 자명하지 않다고 말한다(즉, 공통 영점 집합은 단일 원소 {0}보다 더 많은 것을 포함하며, 더 정확하게는 해당 집합에서 영인 다항식의 이데알은 이데알 의 근기와 일치한다.

이 마지막 주장은 다음 공식으로 가장 잘 요약된다. : 연관 이데알 에 대해,

 

특히, 의 최대 동차 연관 이데알은 의 원점을 통과하는 선과 일대일이다.

사영 스킴의 구성 
를 체  위의 유한 차원 선형 공간이라고 하자. 사영 스펙트럼 에 의해 정의된 에 대한 스킴을 의 사영화라고 한다. 에 대한 사영 n-공간은 선형 공간 의 사영화이다.

층은 주 열린 집합 의 열린 집합들의 기저 위에서 단면

 

이 에서 국소화하여 얻은 환의 0차 구성 성분인 환 이 되도록 설정하여 정의된다. 여기서 는 동차 다항식이다. 따라서 그 원소는 동차 분자와 분자와 동일한 차수를 갖는 의 거듭제곱을 분모로 하는 유리 함수이다.

이러한 상황은 영점 없는 선형 형식 φ에서 가장 명확하다. 열린 집합 에 대한 구조 층의 제한은 표준적으로 아핀 스킴 로 식별된다. 가 의 열린 덮개를 형성하기 때문에 사영 스킴은 동형 아핀 스킴의 사영화를 통한 이어붙이기에 의해 얻어지는 것으로 생각할 수 있다.

이 스킴의 전역 단면들의 환은 체이고, 이는 스킴이 아핀이 아님을 의미함에 유의하라. 임의의 두 개의 열린 집합은 자병하지 않게 교차한다. 즉, 이 스킴은 기약이다. 체 가 대수적으로 닫힌 체인 경우, 는 사실 추상 다형체이며 완비이다.

약수 및 비틀림 층 
사실 Proj 함자는 단순한 스킴 이데알을 제공한다. 이 과정에서 구조 층 위에 등급 가군의 층이 정의된다. 이 등급 층의 동차 성분은 세르 비틀림 층 으로 표시된다. 이 층은 모두 정말로 선다발이다. 까르띠에 약수 와 선다발의 대응에 의해, 제 1 비틀림 층 은 초평면 약수와 동일하다.

다항식 환은 유일 소인수분해 정역이기 때문에 높이 1인 모든 소 이데알은 주 이데알이다. 이는 모든 베유 약수가 초평면 약수의 어떤 거듭제곱과 선형적으로 동등함을 보여준다. 이러한 고려는 사영 공간의 피카르 군이 랭크 1인 자유군 임을 증명한다. 그리고 이 동형 사상은 약수의 차수에 의해 주어진다.

벡터 다발의 분류 
체  위의 사영 공간  위의 가역 층 또는 선다발은 정확히 꼬임 층 이다. 그래서 의 피카르 군은 와 동형이다. 동형 사상은 첫 번째 천 특성류에 의해 제공된다.

선다발 의 열린 집합 에서 국소 단면의 공간은 와 연관된 의 원뿔에 대한 동차 차수 인 정규 함수의 공간이다. 특히 전역 단면들의 공간

 

는 m < 0인 경우 영이고, m =0인 경우 의 상수이며, m > 0 인 경우 차수 m의 동차 다항식으로 구성된다. (따라서 차원은  ).

버코프-그로텐디크 정리에 따르면 사영 직선에서 모든 벡터 다발은 유일한 방식으로 선다발의 직합으로 분해된다.

중요한 선다발 
예를 들어 매끄러운 점을 부풀리는 예외적인 약수로 나타나는 보편 다발은 층 이다. 표준 다발

 는  .

이 사실은 사영 공간에 대한 근본적인 기하학적 진술인 오일러 수열에서 유도된다.

표준 선다발의 음성은 사영 공간을 파노 다형체의 주요 예시로 만든다. 지표는 과 같이 주어진다. 그리고 고바야시-Ochiai의 정리에 의해 사영 공간은 성질에 의해 파노 다형체 사이에서 특징지어진다.

사영 스킴에 대한 사상 
아핀 공간이 사영 공간에 매장될 수 있는 것처럼 모든 아핀 다형체도 사영 공간에 매장될 수 있다.

전역적으로 생성된 선다발의 전역 단면이 모두 영은 아닌 유한 계의 모든 선택은 사영 공간에 대한 사상을 정의한다. 기저가 그러한 사상에 의해 사영 공간에 매장될 수 있는 선다발을 아주 풍부하다고 한다.

사영 공간 의 대칭 군은 사영된 선형 자기동형사상 군 이다. 이 군의 작용을 법으로 사영 공간에 대한 사상 의 선택은 실제로 의 선다발에서 약수의 n 차원 선형계를 전역적으로 생성하는 선택과 동일하다. 사영 변환을 법으로 의 사영 매장의 선택은 마찬가지로 에서 아주 풍부한 선다발을 선택하는 것과 같다.

사영 공간에 대한 사상 는 전역적으로 생성된 선다발을 과 같이 정의한다. 그리고 선형계를

 

로 정의한다. 사상 의 범위가 초평면 약수에 포함되지 않은 경우 당김은 단사이고 약수의 선형계이다.

 는 n 차원 선형계이다.

예: 베로네즈 매장 
베로네즈 매장은 에 대해, 매장 이다.

매끄러운 사영 초곡면 (매끄러운 약수)의 코호몰로지 군 계산에 베로네즈 매장을 적용하려면 MathOverflow 의 답변 참조

사영 공간의 곡선 
파노 다형체로서, 사영 공간은 선직 다형체이다. 사영 평면에서 곡선의 교차 이론은 베주 정리를 산출한다.

같이 보기

일반적인 대수 기하학 
 스킴(수학)
 사영 다형체
 Proj 구성

일반적인 사영 기하학 
 사영 공간
 사영기하학
 동차다항식

각주

참조 
 
 Exercise sheet  (in French) on projective spaces, on the page of Yves Laszlo.

사영기하학
대수기하학
대수다양체