We assume that salt is neither created nor destroyed in the tank. Therefore variations in the amount of salt are due solely to the flows in and out of the tank. More precisely, the rate of change of salt in the tank, $d Q / d t$, is equal to the rate at which salt is flowing in minus the rate at which it is flowing out. In symbols,
$$
\frac{d Q}{d t}=\text { rate in }- \text { rate out }
$$
The rate at which salt enters the tank is the concentration $\frac{1}{4} \mathrm{lb} / \mathrm{gal}$ times the flow rate $r \mathrm{gal} / \mathrm{min}$, or $(r / 4) \mathrm{lb} / \mathrm{min}$. To find the rate at which salt leaves the tankl we need to multiply the concentration of salt in the tank by the rate of outflow, $r \mathrm{gal} / \mathrm{min}$. Since the rates of flow in and out are equal, the volume of water in the tank remains constant at $100 \mathrm{gal}$, and since the mixture is "well-stirred," the concentration throughout the tank is the same, namely, $[Q(t) / 100] \mathrm{lb} / \mathrm{gal}$.
ith First Order Equations
53
Therefore the rate at which salt leaves the tank is $[r Q(t) / 100] \mathrm{lb} / \mathrm{min}$. Thus the differential equation governing this process is
$$
\frac{d Q}{d t}=\frac{r}{4}-\frac{r Q}{100}
$$
The initial condition is
$$
Q(0)=Q_0
$$
Upon thinking about the problem physically, we might anticipate that eventually the mixture originally in the tank will be essentially replaced by the mixture flowing in, whose concentration is $\frac{1}{4} \mathrm{lb} / \mathrm{gal}$. Consequently, we might expect that ultimately the amount of salt in the tank would be very close to $25 \mathrm{lb}$. We can also find the limiting amount $Q_L=25$ by setting $d Q / d t$ equal to zero in Eq. (2) and solving the resulting algebraic equation for $Q$.

To solve the initial value problem (2), (3) analytically, note that Eq. (2) is both linear and separable. Rewriting it in the standard form for a linear equation, we have
$$
\frac{d Q}{d t}+\frac{r Q}{100}=\frac{r}{4}
$$
Thus the integrating factor is $e^{r t / 100}$ and the general solution is
$$
Q(t)=25+c e^{-r t / 100}
$$
where $c$ is an arbitrary constant. To satisfy the initial condition (3), we must choose $c=Q_0-25$. Therefore the solution of the initial value problem (2),(3) is
$$
Q(t)=25+\left(Q_0-25\right) e^{-r t / 100}
$$
or
$$
Q(t)=25\left(1-e^{-r t / 100}\right)+Q_0 e^{-r t / 100}
$$
From Eq. (6) or (7), you can see that $Q(t) \rightarrow 25$ (lb) as $t \rightarrow \infty$, so the limiting value $Q_L$ is 25 , confirming our physical intuition. Further, $Q(t)$ approaches the limit more rapidly as $r$ increases. In interpreting the solution (7), note that the second term on the right side is the portion of the original salt that remains at time $t$, while the first term gives the amount of salt in the tank due to the action of the flow processes. Plots of the solution for $r=3$ and for several values of $Q_0$ are shown in Figure 2.3.2.
Now suppose that $r=3$ and $Q_0=2 Q_L=50$; then Eq. (6) becomes
$$
Q(t)=25+25 e^{-0.03 t}
$$
Since $2 \%$ of 25 is 0.5 , we wish to find the time $T$ at which $Q(t)$ has the value 25.5. Substituting $t=T$ and $Q=25.5$ in Eq. (8) and solving for $T$, we obtain
$$
T=(\ln 50) / 0.03 \cong 130.400766848(\mathrm{~min}) .
$$

소금은 탱크에서 생성되거나 파괴되지 않는다고 가정합니다. 따라서 소금의 양 변화는 전적으로 탱크 안팎의 흐름에 기인합니다. 더 정확하게 말하면, 탱크 내 소금의 변화율인 $d Q/d t$는 소금이 유입되는 속도에서 유출되는 속도를 뺀 값과 같습니다. 기호로 표현하면 다음과 같습니다,
$$
\frac{d Q}{d t}=\text { 유입 속도 }- \text { 유출 속도 }
$$
소금이 탱크에 유입되는 속도는 농도 $\frac{1}{4}입니다. \mathrm{lb} / \mathrm{gal}$ 곱하기 유량 $r \mathrm{gal} / \mathrm{min}$, 또는 $(r / 4) \mathrm{lb} / \mathrm{min}$입니다. 소금이 탱크에서 빠져나가는 속도를 구하려면 탱크의 소금 농도에 유출 속도, $r \mathrm{gal} / \mathrm{min}$입니다. 유입 속도와 유출 속도가 같으므로 탱크의 물 부피는 $100 \mathrm{gal}$로 일정하게 유지되고 혼합물이 "잘 교반"되었으므로 탱크 전체의 농도는 $[Q(t) / 100] \mathrm{lb} / \mathrm{gal}$입니다.
일차 방정식
53
따라서 소금이 탱크에서 빠져나가는 속도는 $[r Q(t) / 100] \mathrm{lb} / \mathrm{min}$입니다. 따라서 이 과정을 지배하는 미분 방정식은 다음과 같습니다.
$$
\frac{d Q}{d t}=\frac{r}{4}-\frac{r Q}{100}
$$
초기 조건은 다음과 같습니다.
$$
Q(0)=Q_0
$$
문제를 물리적으로 생각해 보면, 결국 원래 탱크에 있던 혼합물은 유입되는 혼합물로 대체될 것이며, 그 농도는 $\frac{1}{4}라고 예상할 수 있습니다. \mathrm{lb} / \mathrm{gal}$입니다. 따라서 궁극적으로 탱크에 있는 소금의 양은 $25 \mathrm{lb}$에 매우 근접할 것으로 예상할 수 있습니다. 또한 방정식 (2)에서 $d Q / d t$를 0으로 설정하고 $Q$에 대한 대수 방정식을 풀면 제한량 $Q_L=25$를 구할 수 있습니다.

초기값 문제 (2), (3)을 해석적으로 풀려면 방정식 (2)가 선형적이면서 분리 가능하다는 점에 유의하십시오. 선형 방정식의 표준 형식으로 다시 작성하면 다음과 같습니다.
$$
\frac{d Q}{d t}+\frac{r Q}{100}=\frac{r}{4}
$$
따라서 적분 계수는 $e^{r t / 100}$이고 일반적인 해는 다음과 같습니다.
$$
Q(t)=25+c e^{-r t / 100}
$$
여기서 $c$는 임의의 상수입니다. 초기 조건 (3)을 만족하려면 $c=Q_0-25$를 선택해야 합니다. 따라서 초기값 문제 (2),(3)의 해는 다음과 같습니다.
$$
Q(t)=25+\left(Q_0-25\right) e^{-r t / 100}
$$
또는
$$
Q(t)=25\left(1-e^{-r t / 100}\right)+Q_0 e^{-r t / 100}
$$
식 (6) 또는 (7)에서 $Q(t) \우측 대각선 25$ (lb)는 $t \우측 대각선 \인프티$이므로 극한값 $Q_L$은 25이므로 우리의 물리적 직관을 확인할 수 있습니다. 또한 $Q(t)$는 $r$이 증가함에 따라 한계에 더 빠르게 접근합니다. 식 (7)을 해석할 때 오른쪽의 두 번째 항은 시간 $t$에 남아있는 원래 소금의 부분이고, 첫 번째 항은 흐름 과정의 작용으로 인해 탱크에 남아있는 소금의 양을 나타낸다는 점에 유의하십시오. 그림 2.3.2에는 $r=3$ 및 $Q_0$의 여러 값에 대한 해의 플롯이 나와 있습니다.
이제 $r=3$, $Q_0=2 Q_L=50$이라고 가정하면 식 (6)은 다음과 같이 됩니다.
$$
Q(t)=25+25 e^{-0.03 t}
$$
25의 $2 \%$ 는 0.5이므로, $Q(t)$ 가 25.5의 값을 갖는 시간 $T$ 를 구하고자 합니다. 방정식 (8)에 $t=T$ 와 $Q=25.5$ 를 대입하고 $T$ 에 대해 풀면 다음과 같이 구할 수 있습니다.
$$
T=(\ln 50) / 0.03 \cong 130.400766848(\mathrm{~min}) .
$$
