The Dogic () is an icosahedron-shaped puzzle like the Rubik's Cube. The 5 triangles meeting at its tips may be rotated, or 5 entire faces (including the triangles) around the tip may be rotated. It has a total of 80 movable pieces to rearrange, compared to the 20 pieces in the Rubik's Cube.

History 

The Dogic was patented by Zsolt and Robert Vecsei in Hungary on 20 October 1993. The patent was granted 28 July 1998 (HU214709). It was originally sold by VECSO in two variants under the names "Dogic" and "Dogic 2", but was only produced in quantities far short of the demand.

In 2004, Uwe Mèffert acquired the plastic molds from its original manufacturer at the request of puzzle fans and collectors worldwide, and made another production run of the Dogics. These Dogics were first shipped in January 2005, and are now being sold by Meffert in his puzzle shop, Meffert's until September 2010 when the lack of interest for Meffert's Dogics made Uwe Meffert stop his Dogic production run.

According to Uwe Mèffert, 2000 units have been produced by him.

Description 

The basic design of the Dogic is an icosahedron cut into 60 triangular pieces around its 12 tips and 20 face centers. All 80 pieces can move relative to each other. There are also a good number of internal moving pieces inside the puzzle, which are necessary to keep it in one piece as its surface pieces are rearranged.  There are two types of twists that it can undergo: a shallow twist which rotates the 5 triangles around a single tip, and a deep twist which rotates 5 entire faces (including the triangles around the tip) around the tip. The shallow twist moves the triangles between faces but keeps them around the same tip; the deeper twist moves the triangles between the 5 tips lying at the base of the rotated faces but keeps them on the same faces. Each triangle has a single color, while the face centers may have up to 3 colors, depending on the particular coloring scheme employed.

Solutions 

The solutions for the different versions of the Dogic differ.

The 12-color Dogic is the more challenging version, where the face centers must be rearranged to match the colors of the face centers in adjacent faces. The triangles must then match the corresponding colors in the face centers. The face centers are mathematically equivalent to the corner pieces of the Megaminx, and so the same algorithms may be used for solving either. The triangles are relatively easy to solve once the face centers are in place, because the 5 triangles per tip are identical in color and may be freely interchanged.

The 10-color Dogic is slightly less challenging, since there is no unique solved state: the face centers may be randomly placed relative to each other, and the result would still look 'solved'. However, it may still be desirable to put them in aesthetically pleasing arrangements, such as pairing up faces of the same color, as depicted in the second photograph. The triangles are slightly more tricky to solve than in the 12-color Dogic, because adjacent triangles in the solved state are not the same color and so cannot be freely interchanged.

The 5-color and 2-color Dogics are even less of a challenge, since there is a large number of identical pieces. These simpler versions cater to those puzzle fans who are not yet at the skill level to manage the full complexity of the 12-color Dogic.

Number of combinations 

Due to different numbers of visually identical pieces in the two versions of the puzzle, they each have a different number of possible combinations. There are 60 tip pieces and 20 centres with 3 orientations, giving a theoretical maximum of 60!·20!·320 positions. This limit is not reached on either puzzle, due to reducing factors detailed below.

12-color Dogic 
 Only even permutations of centres are possible (2)
 The orientation of the first 19 centres determines the orientation of the last centre. (3)
 Some tip pieces are indistinguishable (5!12)
 The orientation of the puzzle does not matter (60): all 60 possible positions and orientations of the first center are equivalent because of the lack of fixed reference points.

This leaves  positions for the 12-color Dogic.

The precise figure is 21 991 107 793 244 335 592 538 616 581 443 187 569 604 232 889 165 919 156 829 382 848 981 603 083 878 400 000 (roughly 22 sesvigintillion on the short scale or 22 tredecilliard on the long scale).

10-color Dogic 

 Only even permutations of the centres are possible (2)
 Centre orientation does not matter (320)
 Ten of the centres are visually identical to the other ten (210)
 Some tip pieces are indistinguishable (6!10)
 The orientation of the puzzle does not matter (60)

This leaves  positions for the 10-color Dogic.

The precise figure is 4 400 411 583 858 825 100 777 127 453 704 140 502 784 413 155 112 522 644 357 120 000 000 (roughly 4.4 unvigintillion on the short scale or 4.4 undecillion on the long scale).

See also 
Rubik's Cube
Pyraminx
Skewb Diamond
Impossiball
Megaminx
Combination puzzles
Mechanical puzzles

References 
Jaap's Dogic page, which includes solutions and some brief historical data.
The Magic Polyhedra Patent Page

Mechanical puzzles
Combination puzzles
도직()은 루빅스 큐브 같은 정이십면체형 퍼즐이다. 삼각형 조각 5개가 만나는 꼭짓점이나 꼭짓점 주변의 (삼각형 조각을 포함하는) 전체 면 5개를 돌릴 수 있다. 움직일 수 있는 조각은 총 80개이다.

역사 

도직은 1993년 10월 20일에 헝가리에서 Zoltan과 Robert Vecsei이 특허를 신청하였으며, 1998년 1월 28일에 특허가 승인되었다(HU214709). 원래는 VECSO에서 "도직"과 "도직 2"의 이름의 두 변형으로 팔렸으나, 수요에 비해 한참 적게 생산되었다. 따라서 오랜 시간동안 이 퍼즐을 얻을 수 있는 방법은 이베이같은 간접 채널을 통한 것 뿐이였다.

2004년에, 우베 메페르트(Uwe Mèffert)는 퍼즐 팬들과 전 세계의 수집가들에게서 요청을 받아 원 제작자에게서 플라스틱 틀을 얻어서 도직의 생산을 가동했다. 이 도직은 2005년 1월에 처음으로 해외로 나갔으며 메페르트의 퍼즐 샵에서 팔았었다. 2010년이 되어서는 메페르트의 도직에 대한 관심이 적어져서 결국 메페르트는 도직의 생산을 멈췄다.

우베 메페르트에 따르면, 2000개가 생산되었다고 한다. 현재가 되어서 도직은 매우 귀해졌고 이베이에서 약 500 달러에 팔리고 있다.

해석 

도직의 기본 디자인은 정십이면체를 꼭짓점 주변의 삼각형 조각 조각 60개와 면 중앙 조각 20개로 자른 것이다. 80조각 모두는 서로 상대적으로 움직일 수 있다. 게다가 각각의 조각을 표면에서 움직일 수 있게 하는 내부 조각이 적당하게 있다.  한 꼭짓점 주변에 있는 삼각형 조각 5개를 돌리는 얕은 회전과 (꼭짓점 주변의 삼각형 조각을 포함한) 꼭짓점 주변의 면 전체 5개를 돌리는 깊은 회전의 두 종류의 회전이 가능하다. 얕은 회전은 삼각형 조각을 면들 간에서 이동시키지만 여전히 같은 꼭짓점 주변에 있고, 깊은 회전은 꼭짓점들 간에서 삼각형 조각들을 이동시키지만 여전히 같은 면에 있다. 각 삼각형 조각은 한 가지 색이 있고, 면 중앙 조각은 색깔 배치에 따라서 최대 세 가지 색을 가질 수 있다.

해법 

버전이 다른 도직은 해법도 다르다.

12색 도직은 면 중앙 조각을 인접한 면에 맞춰야 하기 때문에 더 어려운 버전이다. 삼각형 조각은 그 후에 면 중앙 조각에 대응하는 색으로 맞춰야 한다. 면 중앙 조각은 수학적으로 메가밍크스의 귀퉁이 조각과 동일하기 때문에 풀 때 같은 알고리즘을 쓸 수 있다. 면 중앙 조각이 제자리에 있으면 삼각형 조각은 상대적으로 풀기가 더 쉽다, 왜냐하면 꼭짓점마다 있는 삼각형 조각 5개는 색이 동일하기 때문에 자유롭게 바꿀 수 있기 때문이다.

10색 도직은 특별한 완성된 상태가 없기 때문에 약간 덜 어렵다: 면 중앙 조각은 아무렇게나 둬도 결과는 여전히 '풀린' 것처럼 보일 수 있다. 하지만, 두번째 사진에서 나타난 것처럼 같은 색의 면끼리 쌍을 맞추는 등, 원하는 배열로 적절히 넣을 수 있다. 삼각형 조각은 완성된 상태에서 인접한 조각이 같은 색이 아니기 때문에 자유롭게 서로 바꿀 수 없어서 12색 도직 퍼즐보다 약간 더 까다롭다.

5색과 2색 도직은 동일한 조각이 매우 많기 때문에 더 쉽다. 이 간단한 버전은 완전한 12색 도직을 다룰 만큰 숙련되지 않은 퍼즐 팬들을 수용한다.

조합의 수 

두 퍼즐의 시각적으로 동일한 조각의 개수가 다르기 때문에 가능한 조합의 수도 다르다. 꼭짓점 삼각형 조각이 60개가 있고 방향이 3개인 면 중앙 조각이 20개가 있어서, 이론적으로 최대 60!·20!·320가지 위치를 가질 수 있다. 두 퍼즐 다 아래의 인자에 의해서 이 수에는 도달하지 않는다.

12색 도직 
 면 중앙 조각의 위치는 짝순열만 가능하다 (2)
 처음 중앙 조각 19개의 방향은 마지막 중앙 조각의 방향을 결정한다 (3)
 일부 꼭지점 조각은 구분 불가능하다 (5!12)
 퍼즐 전체의 방향은 상관 없다 (60): 첫 번째 중앙 조각의 위치와 방향 60개는 고정된 기준점이 없기 때문에 모두 동일하다.

따라서 12색 도직의 전체 경우의 수는 가지가 있다.

정확한 숫자는 이다.

10색 도직 
 면 중앙 조각의 위치는 짝순열만 가능하다(2)
 처음 중앙 조각의 방향은 상관이 없다 (320)
 중앙 조각 중 10개는 나머지와 동일하다 (210)
 일부 꼭짓점 조각은 구분 할 수 없다 (6!10)
 퍼즐 전체의 방향은 상관 없다 (60)

10색 도직의 전체 경우의 수는 가지이다.

전체 숫자는 이다.

같이 보기 
 루빅스 큐브
 피라밍크스
 스큐브 다이아몬드
 임파서볼
 메가밍크스
 조합 퍼즐
 기계적 퍼즐

참고 문헌 
 Jaap's Dogic page, which includes solutions and some brief historical data.
 The Magic Polyhedra Patent Page

기계식 퍼즐
조합 퍼즐