To find the likelihood function for a normal distribution and subsequently determine the maximum likelihood estimator (MLE) for the parameters $\mu$ and $\sigma^2$, follow these steps:

Step 1: Define the normal distribution probability density function (PDF)
The PDF of a normal distribution with mean $\mu$ and variance $\sigma^2$ is given by:

```js
$f(x_i | \mu, \sigma^2) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x_i-\mu)^2}{2\sigma^2}}$
```

Step 2: Define the likelihood function
Given a set of observations $x_1, x_2, \dots, x_n$, the likelihood function, $L(\mu, \sigma^2 | x_1, x_2, \dots, x_n)$, is the product of the individual PDFs:

```js
$L(\mu, \sigma^2 | x_1, x_2, \dots, x_n) = \prod_{i=1}^n f(x_i | \mu, \sigma^2)$
```

Step 3: Compute the log-likelihood function
Instead of working with the likelihood function directly, it's common to use the log-likelihood function because it simplifies calculations and avoids numerical issues. The log-likelihood function, $l(\mu, \sigma^2)$, is the natural logarithm of the likelihood function:

```js
$l(\mu, \sigma^2) = \ln{L(\mu, \sigma^2)} = \sum_{i=1}^n \ln{f(x_i | \mu, \sigma^2)}$
```

Substitute the normal distribution PDF into the log-likelihood function:

```js
$l(\mu, \sigma^2) = \sum_{i=1}^n \ln{\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x_i-\mu)^2}{2\sigma^2}}\right)}$
```

Simplify the log-likelihood function:


```js
$l(\mu, \sigma^2) = -\frac{n}{2} \ln{(2\pi\sigma^2)} - \frac{1}{2\sigma^2} \sum_{i=1}^n (x_i - \mu)^2$
```

Step 4: Find the MLE for the parameters $\mu$ and $\sigma^2$
To find the MLE for $\mu$ and $\sigma^2$, we need to maximize the log-likelihood function with respect to both parameters. We'll do this by taking the partial derivatives with respect to $\mu$ and $\sigma^2$ and setting them equal to zero.

a) MLE for $\mu$:

```js
$\frac{\partial l}{\partial \mu} = \frac{1}{\sigma^2} \sum_{i=1}^n (x_i - \mu) = 0$
```

Summing over all $x_i$, we get:

```js
$\sum_{i=1}^n x_i - n\mu = 0$
```

Solving for $\mu$:

```js
$\hat{\mu} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i$
```

The MLE for $\mu$ is the sample mean.

b) MLE for $\sigma^2$:

```js
$\frac{\partial l}{\partial \sigma^2} = -\frac{n}{2\sigma^2} + \frac{1}{2(\sigma^2)^2} \sum_{i=1}^n (x_i - \mu)^2 = 0$
```

Now, we will multiply through by $2\sigma^2$ to simplify the equation:

```js
$-n + \frac{1}{\sigma^2} \sum_{i=1}^n (x_i - \mu)^2 = 0$
```

Next, we will isolate the term $\frac{1}{\sigma^2}$:

```js
$\frac{1}{\sigma^2} \sum_{i=1}^n (x_i - \mu)^2 = n$
```

Now, we can solve for $\sigma^2$:

```js
$\hat{\sigma^2} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \mu)^2$
```

The MLE for $\sigma^2$ is the sample variance.

In summary, you can follow these steps:

1. Define the normal distribution PDF.
2. Define the likelihood function.
3. Compute the log-likelihood function.
4. Find the MLE for the parameters `$\mu$` and `$\sigma^2$` by maximizing the log-likelihood function with respect to both parameters.
정규 분포에 대한 확률 함수를 구한 다음 매개 변수 $\mu$ 및 $\sigma^2$에 대한 최대 확률 추정기(MLE)를 결정하려면 다음 단계를 따르세요:

1단계: 정규 분포 확률 밀도 함수(PDF) 정의하기
평균 $\mu$ 및 분산 $\sigma^2$를 갖는 정규 분포의 PDF는 다음과 같이 주어집니다:

```js
f(x_i | \mu, \sigma^2) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x_i-\mu)^2}{2\sigma^2}}$입니다.
```

2단계: 확률 함수 정의하기
관측값 집합 $x_1, x_2, \dots, x_n$이 주어지면 확률 함수 $L(\mu, \sigma^2 | x_1, x_2, \dots, x_n)$은 개별 PDF의 곱입니다:

```js
L(\mu, \sigma^2 | x_1, x_2, \dots, x_n) = \prod_{i=1}^n f(x_i | \mu, \sigma^2)$.
```

3단계: 로그 확률 함수 계산하기
확률 함수를 직접 사용하는 대신 로그 확률 함수를 사용하는 것이 계산을 단순화하고 수치 문제를 피할 수 있기 때문에 일반적으로 사용됩니다. 로그-확률 함수인 $l(\mu, \sigma^2)$는 확률 함수의 자연 로그입니다:

```js
$l(\mu, \sigma^2) = \ln{L(\mu, \sigma^2)} = \sum_{i=1}^n \ln{f(x_i | \mu, \sigma^2)}$입니다.
```

정규 분포 PDF를 로그 확률 함수에 대입합니다:

```js
l(\뮤, \시그마^2) = \sum_{i=1}^n \ln{\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x_i-\뮤)^2}{2\sigma^2}}\right)}$
```

로그 확률 함수를 단순화합니다:


```js
l(\뮤, \시그마^2) = -\frac{n}{2} \ln{(2\pi\sigma^2)} - \frac{1}{2\sigma^2} \sum_{i=1}^n (x_i - \mu)^2$
```

4단계: 매개 변수 $\mu$ 및 $\sigma^2$에 대한 MLE 구하기
mu$ 및 $\sigma^2$에 대한 MLE를 구하려면 두 매개 변수에 대한 로그-가능성 함수를 최대화해야 합니다. 이를 위해 $\mu$ 및 $\sigma^2$에 대한 부분 도함수를 취하고 이를 0으로 설정합니다.

a) $\mu$에 대한 MLE:

```js
frac{\partial l}{\partial \mu} = \frac{1}{\sigma^2} \sum_{i=1}^n (x_i - \mu) = 0$입니다.
```

모든 $x_i$를 합하면 다음과 같습니다:

```js
$\sum_{i=1}^n x_i - n\mu = 0$입니다.
```

뮤$에 대한 풀이:

```js
hat{\mu} = \frac{1}{n} \합계_{i=1}^n x_i$
```

mu$에 대한 MLE는 표본 평균입니다.

b) $\sigma^2$에 대한 MLE:

```js
frac{\partial l}{\partial \sigma^2} = -\frac{n}{2\sigma^2} + \frac{1}{2(\sigma^2)^2} \sum_{i=1}^n (x_i - \mu)^2 = 0$$.
```

이제 방정식을 단순화하기 위해 $2\sigma^2$를 곱합니다:

```js
n + \frac{1}{\sigma^2} \sum_{i=1}^n (x_i - \mu)^2 = 0$입니다.
```

다음으로 $\frac{1}{\sigma^2}$ 항을 분리합니다:

```js
frac{1}{\sigma^2} \sum_{i=1}^n (x_i - \mu)^2 = n$입니다.
```

이제 $\sigma^2$를 풀 수 있습니다:

```js
hat{\sigma^2} = \frac{1}{n} \합계_{i=1}^n (x_i - \뮤)^2$.
```

시그마^2$에 대한 MLE는 표본 분산입니다.

요약하면 다음 단계를 따를 수 있습니다:

1. 정규 분포 PDF를 정의합니다.
2. 확률 함수를 정의합니다.
3. 로그 확률 함수를 계산합니다.
4. 두 매개 변수에 대한 로그 확률 함수를 최대화하여 매개 변수 `$\mu$`와 `$\sigma^2$`에 대한 MLE를 구합니다.