First, for simplicity, let's make all the amounts of money into integers by considering them all in cents. For example, $\$5.43$ becomes 543. Let the purchase price be $A=A_1A_2A_3$ and the amount of change be $B_1B_2B_3$ where $A_1$ represents the first digit of $A$, $B_1$ represents the first digit of $B$, $A_2$ represents the second digit of $A$, etc.

We know that $A+B=1000$, and we can conclude that $A_1+B_1=9$ because if $A_1+B_1<9$ then $A+B<1000$ and if $A_1+B_1=10$ then $A_2=B_2=A_3=B_3=0$, but then the only way that B can be a rearrangement of the digits of A is if $A_1=B_1=5$, which means $A=B=500$, but the problem states that the price and the amount of change are different.

Since 9 is odd, we can also conclude that $A_1$ and $B_1$ are distinct, which, using the fact that $A$'s digits can be rearranged to get B's digits, implies that $A_1=B_2$ or $A_1=B_3$ and $B_1=A_2$ or $B_1=A_3$. We can also observe that A and B have the same remainder when divided by 9 because the remainder when $n$ is divided by 9 is equal to the remainder when the sum of the digits of $n$ is divided by 9 for all $n$ and the sum of the digits of A is obviously equal to the sum of the digits of B.

Since the remainder when 1000 is divided by 9 is 1, we can in fact conclude that the remainder when A and B are divided by 9 (and when the sum of their digits is divided by 9) is 5. Keeping in mind that two of the digits of $A$ are $A_1$ and $B_1$ and that $A_1+B_1=9$, we can conclude that the other digit is 5, which is the only digit that would result in the sum having a remainder of 5 when divided by 9. By similar logic we can conclude that 5 is also one of the digits of $B$. A little thought makes it clear that at least one of these 5's appears as the last digit in its number (that is, $A_3=5$ or $B_3=5$) since if neither of them appears as the last digit in a number, then $A_1=B_3$ and $B_1=A_3$ and $A_3+B_3=9\Rightarrow A+B$ ends in a 9, which is a contradiction. But if $A_3=5$ then the only way for the sum of $A$ and $B$ to end in a 0 is for $B_3=5$, so we can conclude that $A_3=B_3=5$, $A_1=B_2$, and $A_2=B_1$. So once we have picked a value for $A_1$, the other 5 digits are all determined. Since both amounts are greater than a dollar, we know that $A_1$ can be any number between 1 and 8 for a total of 8 possible prices (and thus 8 possible amounts of change). To double check, we can work out $A$ and $B$ for each value of $A_1$ and reconvert them to dollars to make sure that the price and the amount of change satisfy the given conditions:

$A_1=1\Rightarrow A=\$1.85, B=\$8.15$;

$A_1=2\Rightarrow A=\$2.75, B=\$7.25$;

$A_1=3\Rightarrow A=\$3.65, B=\$6.35$;

$A_1=4\Rightarrow A=\$4.55, B=\$5.45$;

$A_1=5\Rightarrow A=\$5.45, B=\$4.55$;

$A_1=6\Rightarrow A=\$6.35, B=\$3.65$;

$A_1=7\Rightarrow A=\$7.25, B=\$2.75$; and finally

$A_1=8\Rightarrow A=\$8.15, B=\$1.85$.

This confirms that there are $8$ possible amounts of change.
먼저 간단하게 하기 위해 모든 금액을 센트 단위로 간주하여 정수로 만들어 보겠습니다. 예를 들어 $\$5.43$은 543이 됩니다. 구매 가격은 $A=A_1A_2A_3$이고 거스름돈은 $B_1B_2B_3$이며, 여기서 $A_1$은 $A$의 첫 번째 자리, $B_1$은 $B$의 첫 번째 자리, $A_2$는 $A$의 두 번째 자리 등을 나타냅니다.

우리는 $A+B=1000$이라는 것을 알고 있으며, $A_1+B_1<9$이면 $A+B<1000$이고 $A_1+B_1=10$이면 $A_2=B_2=A_3=B_3=0$이므로 $A_1+B_1=9$라는 결론을 도출할 수 있습니다, 하지만 B가 A의 자릿수를 재배열할 수 있는 유일한 방법은 $A_1=B_1=5$일 때, 즉 $A=B=500$일 때인데, 문제는 가격과 변화의 양이 다르다는 것입니다.

9는 홀수이므로 $A_1$과 $B_1$은 서로 다르다는 결론을 내릴 수 있으며, $A$의 자릿수를 재배열하여 B의 자릿수를 구할 수 있다는 사실을 이용하면 $A_1=B_2$ 또는 $A_1=B_3$, $B_1=A_2$ 또는 $B_1=A_3$이 된다는 것을 의미합니다. 또한 $n$을 9로 나눴을 때의 나머지는 모든 $n$에 대해 $n$의 자릿수의 합을 9로 나눴을 때의 나머지와 같고, A의 자릿수의 합은 B의 자릿수의 합과 분명히 같기 때문에 A와 B는 9로 나눴을 때 나머지가 동일하다는 것을 관찰할 수 있습니다.

1000을 9로 나눈 나머지가 1이므로, 실제로 A와 B를 9로 나눈 나머지(그리고 그 자릿수의 합이 9로 나눈 나머지)는 5라는 결론을 내릴 수 있습니다. A$의 두 자릿수가 $A_1$과 $B_1$이고 $A_1+B_1=9$라는 점을 염두에 두고 나머지 한 자릿수는 5이며, 이는 9로 나눴을 때 합이 5가 되는 유일한 자리라는 결론을 내릴 수 있습니다. 비슷한 논리로 5는 $B$의 자리 중 하나라는 결론도 내릴 수 있습니다. 조금만 생각해보면 이 5 중 하나 이상이 숫자의 마지막 자리로 나타나는 것이 분명합니다(즉, $A_3=5$ 또는 $B_3=5$). 만약 둘 중 하나라도 숫자의 마지막 자리로 나타나지 않으면 $A_1=B_3$와 $B_1=A_3$, $A_3+B_3=9\Rightarrow A+B$가 9로 끝나므로 모순이 되기 때문입니다. 하지만 $A_3=5$라면 $A$와 $B$의 합이 0으로 끝나는 유일한 방법은 $B_3=5$이므로 $A_3=B_3=5$, $A_1=B_2$, $A_2=B_1$이라는 결론을 내릴 수 있습니다. 따라서 $A_1$의 값을 선택하면 나머지 5자리 숫자가 모두 결정됩니다. 두 금액 모두 1달러보다 크므로 $A_1$은 1에서 8 사이의 모든 숫자가 될 수 있으므로 총 8개의 가능한 가격(따라서 8개의 가능한 거스름돈)이 있다는 것을 알 수 있습니다. 다시 확인하기 위해 $A_1$의 각 값에 대해 $A$와 $B$를 계산하고 이를 달러로 다시 변환하여 가격과 거스름돈이 주어진 조건을 만족하는지 확인할 수 있습니다:

A_1=1\우측 대각선 A=\$1.85, B=\$8.15$;

A_1=2\Rightarrow A=\$2.75, B=\$7.25$;

$A_1=3\Rightarrow A=\$3.65, B=\$6.35$;

A_1=4\Rightarrow A=\$4.55, B=\$5.45$;

$A_1=5\Rightarrow A=\$5.45, B=\$4.55$;

$A_1=6\Rightarrow A=\$6.35, B=\$3.65$;

A_1=7\Rightarrow A=\$7.25, B=\$2.75$; 그리고 마지막으로

A_1=8\Rightarrow A=\$8.15, B=\$1.85$.

이렇게 하면 $8$의 가능한 변경 금액이 있음을 확인할 수 있습니다.