We have $x^2 + 4xy + 4y^2 + 2z^2$. Let's rewrite this as $(x+2y)^2 + 2z^2$. So now we have $(x+2y)^2 + 2z^2$ and we want to minimize it. That's right. But first let's get rid of $xyz=32$. We can rewrite $xyz=32$ as $z=\frac{32}{xy}$. Now we can substitute $z$ in our expression. So we get $(x+2y)^2 + 2\left(\frac{32}{xy}\right)^2$ and we want to minimize this. We can rewrite it as $(x+2y)^2 + \frac{2048}{x^2y^2}$. Now we can rewrite it as $x^2 + 4xy + 4y^2 + \frac{2048}{x^2y^2}$ and we want to minimize this. Let's start with $\frac{\partial f}{\partial x} = 2x + 4y - \frac{4096}{x^3y^2}$. Now let's find $\frac{\partial f}{\partial y} = 4x + 8y - \frac{4096}{x^2y^3}$. Now we need to solve the system of equations:
\begin{align*}
2x + 4y &= \frac{4096}{x^3y^2} \\
4x + 8y &= \frac{4096}{x^2y^3}.
\end{align*} Let's multiply the first equation by $-2$ and then add the two equations. That way we get $-4x - 8y = -\frac{8192}{x^3y^2}$ and $4x + 8y = \frac{4096}{x^2y^3}$. So $0=-\frac{8192}{x^3y^2}+\frac{4096}{x^2y^3}$, which is equivalent to $0=-\frac{4096}{x^2y^2}\left(\frac{2}{x}-\frac{1}{y}\right)$. So $\frac{2}{x}=\frac{1}{y}$. Now, let's plug this in the first equation of our system. We get $2(2y)+4y=\frac{4096}{((2y)^3)(y^2)}$, which is equivalent to $8y=\frac{4096}{8y^5}$. So $8y^6=512$. So $y^6=64$. So $y^6=2^6$. So $y=2$. Since $x=2y$, we have $x=4$. So we need to find the second partial derivatives of $f$. Let's start with $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = 2 + \frac{12288}{x^4y^2}$. Now let's find $\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 8 + \frac{12288}{x^2y^4}$. So the Hessian matrix is $\begin{pmatrix} 2 + \frac{12288}{x^4y^2} & 4 + \frac{8192}{x^3y^3} \\ 4 + \frac{8192}{x^3y^3} & 8 + \frac{12288}{x^2y^4} \end{pmatrix}$. Now let's plug in $x=4$ and $y=2$ to get $\begin{pmatrix} 2 + \frac{12288}{4^4\cdot 2^2} & 4 + \frac{8192}{4^3\cdot 2^3} \\ 4 + \frac{8192}{4^3\cdot 2^3} & 8 + \frac{12288}{4^2\cdot 2^4} \end{pmatrix}$. Which is $\begin{pmatrix} 2 + \frac{12288}{1024} & 4 + \frac{8192}{512} \\ 4 + \frac{8192}{512} & 8 + \frac{12288}{256} \end{pmatrix}$. So the Hessian is $\begin{pmatrix} 2 + 12 & 4 + 16 \\ 4 + 16 & 8 + 48 \end{pmatrix}$. Which is $\begin{pmatrix} 14 & 20 \\ 20 & 56 \end{pmatrix}$. So the determinant of the Hessian is $14 \cdot 56 - 20 \cdot 20 = 784 - 400 = 384 > 0$. So the answer is $4^2+4\cdot 4\cdot 2+4\cdot 2^2+2\cdot 4^2=16+32+16+32=96$.


우리는 $x^2 + 4xy + 4y^2 + 2z^2$를 가집니다. 이를 $(x+2y)^2 + 2z^2$로 다시 작성해 봅시다. 이제 $(x+2y)^2 + 2z^2$가 생겼고 이를 최소화하고 싶습니다. 맞습니다. 하지만 먼저 $xyz=32$를 제거해 봅시다. xyz=32$를 $z=\frac{32}{xy}$로 다시 쓸 수 있습니다. 이제 식에서 $z$를 대체할 수 있습니다. 따라서 $(x+2y)^2 + 2\left(\frac{32}{xy}\right)^2$를 구할 수 있으며, 이를 최소화하고 싶습니다. 이를 $(x+2y)^2 + \frac{2048}{x^2y^2}$로 다시 쓸 수 있습니다. 이제 $x^2 + 4xy + 4y^2 + \frac{2048}{x^2y^2}$로 다시 쓸 수 있으며, 이를 최소화하고 싶습니다. 먼저 $\frac{\partial f}{\partial x} = 2x + 4y - \frac{4096}{x^3y^2}$로 시작해 보겠습니다. 이제 $\frac{\partial f}{\partial y} = 4x + 8y - \frac{4096}{x^2y^3}$를 구해봅시다. 이제 방정식 시스템을 풀어야 합니다:
\begin{align*}
2x + 4y &= \frac{4096}{x^3y^2} \\
4x + 8y &= \frac{4096}{x^2y^3}.
\end{align*} 첫 번째 방정식에 $-2$를 곱한 다음 두 방정식을 더하겠습니다. 이렇게 하면 $-4x - 8y = -\frac{8192}{x^3y^2}$와 $4x + 8y = \frac{4096}{x^2y^3}$를 구할 수 있습니다. 따라서 $0=-\frac{8192}{x^3y^2}+\frac{4096}{x^2y^3}$은 $0=-\frac{4096}{x^2y^2}\left(\frac{2}{x}-\frac{1}{y}\right)$와 동일합니다. 따라서 $\frac{2}{x}=\frac{1}{y}$입니다. 이제 이를 우리 시스템의 첫 번째 방정식에 대입해 봅시다. 2(2y)+4y=\frac{4096}{((2y)^3)(y^2)}$를 구하면 $8y=\frac{4096}{8y^5}$에 해당합니다. 따라서 $8y^6=512$입니다. 따라서 $y^6=64$입니다. 따라서 $y^6=2^6$입니다. 따라서 $y=2$입니다. x=2y$이므로 $x=4$가 됩니다. 따라서 $f$의 두 번째 부분 도함수를 찾아야 합니다. 먼저 $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = 2 + \frac{12288}{x^4y^2}$부터 구해봅시다. 이제 $\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 8 + \frac{12288}{x^2y^4}$를 구해 봅시다. 따라서 헤시안 행렬은 $\begin{pmatrix} 2 + \frac{12288}{x^4y^2} & 4 + \frac{8192}{x^3y^3} \\ 4 + \frac{8192}{x^3y^3} & 8 + \frac{12288}{x^2y^4} \end{pmatrix}$. 이제 $x=4$와 $y=2$를 연결하여 $\begin{pmatrix}를 구해 보겠습니다. 2 + \frac{12288}{4^4\cdot 2^2} & 4 + \frac{8192}{4^3\cdot 2^3} \\ 4 + \frac{8192}{4^3\cdot 2^3} & 8 + \frac{12288}{4^2\cdot 2^4} \end{pmatrix}$. 즉, $\begin{pmatrix}$는 다음과 같습니다. 2 + \frac{12288}{1024} & 4 + \frac{8192}{512} \\ 4 + \frac{8192}{512} & 8 + \frac{12288}{256} \end{pmatrix}$. 따라서 헤시안 행렬은 $\begin{pmatrix}$입니다. 2 + 12 & 4 + 16 \\ 4 + 16 & 8 + 48 \end{pmatrix}$입니다. 즉, $\begin{pmatrix} 14 & 20 \\ 20 & 56 \end{pmatrix}$입니다. 따라서 헤시안 행렬의 행렬식은 $14 \cdot 56 - 20 \cdot 20 = 784 - 400 = 384 > 0$입니다. 따라서 답은 $4^2+4\cdot 4\cdot 2+4\cdot 2^2+2\cdot 4^2=16+32+16+32=96$입니다.

