Let's think about what happens when we take the product. If $n=1$, then the product is $2$, so that doesn't work. We know that one of the factors has to be $0$. That's right. Let's look at the general factor $\left(1+e^{2\pi i k /n}\right)^n + 1$ and set it equal to $0$. That means $\left(1+e^{2\pi i k /n}\right)^n = -1$ We know that $e^{i \theta} = \cos \theta + i \sin \theta$. So we can write $1+e^{2\pi i k /n} = 1 + \cos \frac{2\pi k}{n} + i \sin \frac{2\pi k}{n}$ Let's look at the magnitude of $1+e^{2\pi i k /n}$. We use the fact that $|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$, where $x$ and $y$ are the real and imaginary parts of $z$. The magnitude is therefore $\sqrt{(1+\cos \frac{2\pi k}{n})^2 + \sin^2 \frac{2\pi k}{n}}$. Since $(1+\cos \frac{2\pi k}{n})^2 + \sin^2 \frac{2\pi k}{n} = 2 + 2 \cos \frac{2\pi k}{n}$, the magnitude is $\sqrt{2 + 2 \cos \frac{2\pi k}{n}}$. And we use the identity $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Right. The magnitude of $1+e^{2\pi i k /n}$ is therefore $\sqrt{1 + 2 \cos \frac{2\pi k}{n} + 1} = \sqrt{2 + 2 \cos \frac{2\pi k}{n}}$. Because we want the magnitude to be $1$, we have the equation $\sqrt{2 + 2 \cos \frac{2\pi k}{n}} = 1$. So $2 + 2 \cos \frac{2\pi k}{n} = 1$, and $2\cos \frac{2\pi k}{n} = -1$. So $\cos \frac{2\pi k}{n} = -\frac{1}{2}$. This happens when $\frac{2\pi k}{n} = \frac{2\pi}{3} + 2\pi m$ for some integer $m$. Right. In the first case, $k = \frac{n}{3} + m n$. In the second case, $k = \frac{2n}{3} + m n$. So we want to find values of $n$ for which at least one of these equations has an integer solution for $k$. Right. Let's consider the first equation. We want $\frac{n}{3} + m n$ to be an integer. This means that $n$ must be divisible by $3$. Right. What about the second equation? We again want $\frac{2n}{3} + m n$ to be an integer. So again $n$ must be divisible by $3$. So we want to find the number of integers from $1$ to $2012$ that are divisible by $3$. So $(1 + \cos \frac{2\pi k}{3k} + i \sin \frac{2\pi k}{3k})^{3k} = -1$. We know that $\cos \frac{2\pi k}{3k} = \cos \frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}$ and $\sin \frac{2\pi k}{3k} = \sin \frac{2\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. So $(1 + -\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2})^{3k} = -1$. So $(\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2})^{3k} = -1$. So $(\cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3})^{3k} = -1$. So $(e^{i \pi / 3})^{3k} = -1$. So $e^{i (3k \pi / 3)} = -1$. So $e^{i k \pi} = -1$. Wait a minute. We know that $e^{i k \pi} = \cos k \pi + i \sin k \pi$. Right. So $\cos k \pi + i \sin k \pi = -1$. Because the real part of $-1$ is $-1$, we know that $\cos k \pi = -1$. And because the imaginary part of $-1$ is $0$, we know that $\sin k \pi = 0$. Right. So $\cos k \pi = -1$ if and only if $k$ is an odd integer. So we want to find the number of odd multiples of $3$ between $1$ and $2012$. Let's divide $2012$ by $3$ and see how many odd numbers there are between $1$ and $\frac{2012}{3}$. So we just want to find the number of odd numbers between $1$ and $670$. That's an easy one. There are $335$ odd numbers between $1$ and $670$.




제품을 가져갈 때 어떤 일이 일어나는지 생각해 봅시다. n=1$이면 곱은 $2$이므로 작동하지 않습니다. 우리는 요소 중 하나가 $0$이어야 한다는 것을 알고 있습니다. 맞습니다. 일반 계수 $\left(1+e^{2\pi i k /n}\right)^n + 1$을 살펴보고 이를 $0$으로 설정해 봅시다. 즉, $\left(1+e^{2\pi i k /n}\right)^n = -1$ 이므로 $e^{i \theta} = \cos \theta + i \sin \theta$ 라는 것을 알 수 있습니다. 따라서 $1+e^{2\pi i k /n} = 1 + \cos \frac{2\pi k}{n} + i \sin \frac{2\pi k}{n}$ 이제 $1+e^{2\pi i k /n}$의 크기를 살펴봅시다. 여기서 $|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$라는 사실을 이용하는데, $x$와 $y$는 $z$의 실수 부분과 허수 부분입니다. 따라서 크기는 $\sqrt{(1+\cos \frac{2\pi k}{n})^2 + \sin^2 \frac{2\pi k}{n}}$입니다. (1+\cos \frac{2\pi k}{n})^2 + \sin^2 \frac{2\pi k}{n} = 2 + 2 \cos \frac{2\pi k}{n}$이므로, 크기는 $\sqrt{2 + 2 \cos \frac{2\pi k}{n}}$이 됩니다. 그리고 우리는 $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$이라는 공식을 사용합니다. 맞습니다. 따라서 $$1+e^{2\pi i k /n}$의 크기는 $\sqrt{1 + 2 \cos \frac{2\pi k}{n}$입니다. + 1} = \sqrt{2 + 2 \cos \frac{2\pi k}{n}}$입니다. 크기가 $1$이기를 원하기 때문에 $\sqrt{2 + 2 \cos \frac{2\pi k}{n}} = 1$이라는 방정식을 갖게 됩니다. 따라서 $$2 + 2 \cos \frac{2\pi k}{n} = 1$이고, $$2\cos \frac{2\pi k}{n} = -1$입니다. 따라서 $\cos \frac{2\pi k}{n} = -\frac{1}{2}$입니다. 이것은 $\frac{2\pi k}{n} = \frac{2\pi}{3} + 2\pi m$에서 정수 $m$일 때 발생합니다. 맞습니다. 첫 번째 경우, $k = \frac{n}{3} + m n$입니다. 두 번째 경우, $k = \frac{2n}{3} + m n$입니다. 따라서 우리는 이 방정식 중 적어도 하나에서 $k$에 대한 정수 해를 갖는 $n$의 값을 찾고자 합니다. 맞습니다. 첫 번째 방정식을 고려해 봅시다. 우리는 $\frac{n}{3} + m n$이 정수가 되기를 원합니다. 이는 $n$을 $3$으로 나눌 수 있어야 한다는 뜻입니다. 맞습니다. 두 번째 방정식은 어떨까요? 다시 $\frac{2n}{3} + m n$이 정수가 되기를 원합니다. 따라서 다시 $n$은 $3$으로 나눌 수 있어야 합니다. 따라서 $1$에서 $2012$까지 3$으로 나눌 수 있는 정수의 개수를 구하고 싶습니다. 따라서 $(1 + \cos \frac{2\pi k}{3k} + i \sin \frac{2\pi k}{3k})^{3k} = -1$입니다. 우리는 $\cos \frac{2\pi k}{3k} = \cos \frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}$, $\sin \frac{2\pi k}{3k} = \sin \frac{2\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$임을 알 수 있습니다. 따라서 $(1 + -\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2})^{3k} = -1$입니다. 따라서 $(\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2})^{3k} = -1$입니다. 따라서 $(\cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3})^{3k} = -1$입니다. 따라서 $(e^{i \pi / 3})^{3k} = -1$입니다. 따라서 $e^{i (3k \pi / 3)} = -1$입니다. 따라서 $e^{i k \pi} = -1$입니다. 잠깐만요. 우리는 $e^{i k \pi} = \cos k \pi + i \sin k \pi$라는 것을 알고 있습니다. 맞습니다. 따라서 $\cos k \pi + i \sin k \pi = -1$입니다. 1$의 실수 부분은 $-1$이므로, $\cos k \pi = -1$이라는 것을 알 수 있습니다. 그리고 $-1$의 허수 부분은 $0$이므로 $\sin k \pi = 0$이라는 것을 알 수 있습니다. 맞습니다. 따라서 $\cos k \pi = -1$은 $k$가 홀수인 경우에만 해당합니다. 따라서 $1$과 $2012$ 사이에서 $3$의 홀수 배수를 구하고 싶습니다. 2012$를 $3$로 나누고 $1$과 $\frac{2012}{3}$ 사이에 얼마나 많은 홀수가 있는지 알아봅시다. 따라서 $1$에서 $670$ 사이의 홀수 개수만 구하면 됩니다. 이는 쉬운 문제입니다. 1$에서 $670$ 사이에는 $335$개의 홀수가 있습니다.



