In mathematics, a stable vector bundle is a (holomorphic or algebraic) vector bundle that is stable in the sense of geometric invariant theory. Any holomorphic vector bundle may be built from stable ones using Harder–Narasimhan filtration. Stable bundles were defined by David Mumford in  and later built upon by David Gieseker, Fedor Bogomolov, Thomas Bridgeland and many others.

Motivation 
One of the motivations for analyzing stable vector bundles is their nice behavior in families. In fact, Moduli spaces of stable vector bundles can be constructed using the Quot scheme in many cases, whereas the stack of vector bundles  is an Artin stack whose underlying set is a single point.

Here's an example of a family of vector bundles which degenerate poorly. If we tensor the Euler sequence of  by  there is an exact sequencewhich represents a non-zero element  since the trivial exact sequence representing the  vector isIf we consider the family of vector bundles  in the extension from  for , there are short exact sequenceswhich have Chern classes  generically, but have  at the origin. This kind of jumping of numerical invariants does not happen in moduli spaces of stable vector bundles.

Stable vector bundles over curves 

A slope of a holomorphic vector bundle W over a nonsingular algebraic curve (or over a Riemann surface) is a rational number μ(W) = deg(W)/rank(W). A bundle W is stable if and only if

for all proper non-zero subbundles V of W 
and is semistable if

for all proper non-zero subbundles V of W. Informally this says that a bundle is stable if it is "more ample" than any proper subbundle, and is unstable if it contains a "more ample" subbundle.

If W and V are semistable vector bundles and μ(W) >μ(V), then there are no nonzero maps W → V.

Mumford proved that the moduli space of stable bundles of given rank and degree over a nonsingular curve is a quasiprojective algebraic variety. The cohomology of the moduli space of stable vector bundles over a curve was described by  using algebraic geometry over finite fields and  using Narasimhan-Seshadri approach.

Stable vector bundles in higher dimensions
If X is a smooth projective variety of dimension m and H is a hyperplane section, then a vector bundle (or a torsion-free sheaf) W is called stable (or sometimes Gieseker stable) if

for all proper non-zero subbundles (or subsheaves) V of W, where χ denotes the Euler characteristic of an algebraic vector bundle and the vector bundle V(nH) means the n-th twist of V by H. W is called semistable if the above holds with < replaced by ≤.

Slope stability

For bundles on curves the stability defined by slopes and by growth of Hilbert polynomial coincide. In higher dimensions, these two notions are different and have different advantages. Gieseker stability has an interpretation in terms of geometric invariant theory, while μ-stability has better properties for tensor products, pullbacks, etc.

Let X be a smooth projective variety of dimension n, H its hyperplane section. A slope of a vector bundle (or, more generally, a torsion-free coherent sheaf) E with respect to H is a rational number defined as

where c1 is the first Chern class. The dependence on H is often omitted from the notation.

A torsion-free coherent sheaf E is μ-semistable if for any nonzero subsheaf F ⊆ E the slopes satisfy the inequality μ(F) ≤ μ(E). It's μ-stable if, in addition, for any nonzero subsheaf F ⊆ E of smaller rank the strict inequality μ(F) < μ(E) holds. This notion of stability may be called slope stability, μ-stability, occasionally Mumford stability or Takemoto stability.

For a vector bundle E the following chain of implications holds: E is μ-stable ⇒ E is stable ⇒ E is semistable ⇒ E is μ-semistable.

Harder-Narasimhan filtration

Let E be a vector bundle over a smooth projective curve X. Then there exists a unique filtration by subbundles

such that the associated graded components Fi := Ei+1/Ei are semistable vector bundles and the slopes decrease, μ(Fi) > μ(Fi+1). This filtration was introduced in  and is called the Harder-Narasimhan filtration. Two vector bundles with isomorphic associated gradeds are called S-equivalent.

On higher-dimensional varieties the filtration also always exist and is unique, but the associated graded components may no longer be bundles. For Gieseker stability the inequalities between slopes should be replaced with inequalities between Hilbert polynomials.

Kobayashi–Hitchin correspondence

Narasimhan–Seshadri theorem says that stable bundles on a projective nonsingular curve are the same as those that have projectively flat unitary irreducible connections. For bundles of degree 0 projectively flat connections are flat and thus stable bundles of degree 0 correspond to irreducible unitary representations of the fundamental group.

Kobayashi and Hitchin conjectured an analogue of this in higher dimensions.  It was proved for projective nonsingular surfaces by , who showed that in this case a vector bundle  is stable if and only if it has an irreducible Hermitian–Einstein connection.

Generalizations

It's possible to generalize (μ-)stability to non-smooth projective schemes and more general coherent sheaves using the Hilbert polynomial. Let X be a projective scheme, d a natural number, E a coherent sheaf on X with dim Supp(E) = d. Write the Hilbert polynomial of E as PE(m) =  αi(E)/(i!) mi. Define the reduced Hilbert polynomial pE := PE/αd(E).

A coherent sheaf E is semistable if the following two conditions hold:
 E is pure of dimension d, i.e. all associated primes of E have dimension d;
 for any proper nonzero subsheaf F ⊆ E the reduced Hilbert polynomials satisfy pF(m) ≤ pE(m) for large m.
A sheaf is called stable if the strict inequality pF(m) < pE(m) holds for large m.

Let Cohd(X) be the full subcategory of coherent sheaves on X with support of dimension ≤ d. The slope of an object F in Cohd may be defined using the coefficients of the Hilbert polynomial as  if αd(F) ≠ 0 and 0 otherwise. The dependence of  on d is usually omitted from the notation.

A coherent sheaf E with  is called μ-semistable if the following two conditions hold:
the torsion of E is in dimension ≤ d-2;
for any nonzero subobject F ⊆ E in the quotient category Cohd(X)/Cohd-1(X) we have .
E is μ-stable if the strict inequality holds for all proper nonzero subobjects of E.

Note that Cohd is a Serre subcategory for any d, so the quotient category exists. A subobject in the quotient category in general doesn't come from a subsheaf, but for torsion-free sheaves the original definition and the general one for d = n are equivalent.

There are also other directions for generalizations, for example Bridgeland's stability conditions.

One may define stable principal bundles in analogy with stable vector bundles.

See also
 Kobayashi–Hitchin correspondence
 Corlette–Simpson correspondence
Quot scheme

References

 especially appendix 5C.

Algebraic geometry
대수기하학과 미분기하학에서 안정 벡터 다발(安定vector다발, )은 정칙 벡터 다발 가운데, 모듈라이 공간을 잘 정의할 수 있는 것들이다.

정의 
다음이 주어졌다고 하자.
 콤팩트 복소다양체 
 고차원 복소수 사영 공간으로의 단사 정칙 함수 . 이에 따라,  위에는 표준적인 켈러 다양체 구조가 주어지며, 켈러 형식의 코호몰로지류 는 정수 계수 코호몰로지로 주어진다는 정수 계수이다. (고다이라 매장 정리에 의하여, 그 역 또한 성립한다.)
  위의 정칙 벡터 다발

다발의 기울기 
이라고 할 때, 의 기울기()는 다음과 같은 유리수이다.

이 식에서, 분자가 정수인 것은 이 사영 대수다양체이기 때문이다.

에르미트-아인슈타인 접속 
콤팩트 리 군

이 주어졌으며, 가  위의,  구조의 정칙 벡터 다발이라고 하고, 이에 대응되는 -주다발이

이라고 하자.

그렇다면,  위의 어떤 벡터 다발 접속 의 곡률

을 정의할 수 있다. 이는 (1,1)차 벡터 값 복소수 미분 형식이며, 이것이 값을 갖는 벡터 다발은 딸림표현 연관 벡터 다발

이다. 표현에 따라서

이다. 에서, 스칼라에 대한 곱셈으로 구성된 부분 선다발

을 생각하자. 이는 표준적 대역적 단면을 가지므로, 표준적으로 자명한 벡터 다발을 이룬다. 이 포함 사상을

이라고 하자. 이제, 만약

라면, 를 에르미트-아인슈타인 접속이라고 한다. 는 허수이므로, 이 경우  위에 임의의 에르미트 계량을 부여한다면, 는 자명하게 유니터리 접속을 이룬다 (모든 모노드로미가 에르미트 계량에 대하여 유니터리 행렬이다).

안정 벡터 다발 
일 때, 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 정칙 벡터 다발을 안정 벡터 다발이라고 한다.
 의 임의의 부분 정칙 벡터 다발 에 대하여, 이다.
 는 (양의 차원의) 두 정칙 벡터 다발의 직합으로 표현될 수 없으며, 그 위에는 (에 대한) 에르미트-아인슈타인 접속이 (하나 이상) 존재한다.
 는 (양의 차원의) 두 정칙 벡터 다발의 직합으로 표현될 수 없으며, 그 위에는 (에 대한) 에르미트-아인슈타인 접속이 유일하게 존재한다.

안정 벡터 다발의 첫 정의에서, 를 로 약화시키면, 준안정 벡터 다발()의 개념을 얻는다.

리만 곡면의 경우 
다음이 주어졌다고 하자.
 콤팩트 리만 곡면 
 정칙 벡터 다발 
이 경우, 가 1차원이므로,  위에 임의의 켈러 다양체 구조를 부여하더라도, 그 스칼라배를 취하여 이것이 사영 다양체가 되게 만들 수 있다. 구체적으로, 이 경우 항상 의 넓이가 1이 되게 규격화할 수 있다.

이 경우, 의 기울기는 켈러 구조에 의존하지 않으며, 따라서 안정성 여부 역시 켈러 구조에 의존하지 않는다.

성질 
다음이 주어졌다고 하자.
 복소수 1차원 콤팩트 켈러 다양체 
 정칙 벡터 다발 
  위의 에르미트 구조 

만약  위에 벡터 다발 접속 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 임의의 폐곡선

에 대하여, 모노드로미

를 정의할 수 있다. 만약 이러한 모노드로미가 모두 유니터리 군

에 속한다면, 이러한 접속을 유니터리 접속()이라고 하자. 유니터리 접속 이 주어졌을 때, 그 곡률

를 생각하자. (는  위의 유니터리 리 대수들의 벡터 다발이다.) 이제, 부피 형식을 통한 호지 쌍대

를 생각하자.

나라심한-세샤드리 정리(நரசிம்மன்-சேஷாத்ரி定理, )에 따르면, 가 두 벡터 다발의 직합으로 표현될 수 없다고 가정하였을 때, 가 안정 벡터 다발일 필요 충분 조건은 인 유니터리 접속을 갖는 것이다. 이 경우, 곡률이 상수이므로, 모노드로미를 통하여 임의의 점 에 대하여 군 준동형

이 존재한다.

리만 곡면 위의 안정 벡터 다발의 모듈러스 공간 
다음이 주어졌다고 하자.
 종수 의 리만 곡면 
 자연수  (정칙 벡터 다발의 차원)
 정수  (정칙 벡터 다발의 차수)
그렇다면,  위의 차원 차 안정 정칙 벡터 다발들의 모듈라이 공간

을 정의할 수 있다. 이는 연결 공간인 복소수 사영 대수다양체이다. 에서, 그 접공간은 다음과 같다.

증명 개략:
어떤 매개 변수  및 열린 덮개 에 대하여 전이 함수가 라면,

이며, 이러한 함수들의 족은 (에서) 층 코호몰로지 의 원소를 정의한다. 여기서 이다.
그 복소수 차원은 다음과 같다.

여기서 일 필요 충분 조건은 이거나, 이며 이거나, 이며 인 것이다.
여기서 정칙 벡터 다발 의 차수는 이며, 은 1차 천 특성류이다.
증명:
의 차원은 물론 어떤 임의의 에서의 접공간의 차원과 같다.

리만-로흐 정리에 따라서,

이다. 그런데 는 대역적 단면을 가지므로

이며, 가 안정 벡터 다발이므로

이다. (이는 올별 항등 함수의 스칼라배로 구성된다.)
물론

이다. 따라서

이다.

만약 일 경우 (), 리만 구 위의 모든 정칙 벡터 다발은 다음과 같은 꼴이다.

여기서 는 보편 선다발의 차 텐서곱이다. 이 가운데 안정 벡터 다발인 것은 선다발  밖에 없으며, 준안정 벡터 다발인 것은 모든 에 대하여 인 것이다 (즉, ). 즉,

이다.

만약 일 경우, 타원 곡선 위의 정칙 벡터 다발 가 안정 벡터 다발일 필요 충분 조건은 그 차수와 그 차원이 서로소인 것이다.

이 경우,

이다.

하더-나라삼한 여과 
리만 곡면  위의 임의의 정칙 벡터 다발 에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 유일한 여과

가 존재한다.
 임의의 에 대하여, 는  위의 준안정 벡터 다발이다.
이를 하더-나라심한 여과()라고 한다.

역사 
데이비드 멈퍼드가 1963년에 도입하였다.

나라심한-세샤드리 정리는 무두바이 세샤차를루 나라심한(, )과 칸지바람 스리랑가차리 세샤드리(, )가 1965에 최초로 대수기하학을 사용하여 증명하였으며, 이후 1983년에 사이먼 도널드슨이 미분기하학을 사용하여 다른 정의를 발표하였으며, 1985년에 이 정리를 임의의 차원의 사영 켈러 다양체에 대하여 일반화하였다.

예 
모든 정칙 선다발(1차원 정칙 벡터 다발)은 (자명하게) 안정 벡터 다발이다.

양의 차원의 두 정칙 선다발 , 의 직합 은 안정 벡터 다발이 될 수 없다. 이 경우,

이므로,

이기 때문이다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

대수기하학
미분기하학