The Feynman–Kac formula, named after Richard Feynman and Mark Kac, establishes a link between parabolic partial differential equations (PDEs) and stochastic processes. In 1947, when Kac and Feynman were both Cornell faculty, Kac attended a presentation of Feynman's and remarked that the two of them were working on the same thing from different directions. The Feynman–Kac formula resulted, which proves rigorously the real-valued case of Feynman's path integrals. The complex case, which occurs when a particle's spin is included, is still an open question.

It offers a method of solving certain partial differential equations by simulating random paths of a stochastic process. Conversely, an important class of expectations of random processes can be computed by deterministic methods.

Theorem 
Consider the partial differential equation

defined for all  and , subject to the terminal condition

where  are known functions,  is a parameter, and  is the unknown. Then the Feynman–Kac formula tells us that the solution can be written as a conditional expectationunder the probability measure  such that  is an Itô process driven by the equation

with  is a Wiener process (also called Brownian motion) under , and the initial condition for  is .

Intuitive interpretation 
Suppose we have a particle moving according to the diffusion processLet the particle incur "cost" at a rate of  at location  at time . Let it incur a final cost at . 

Also, allow the particle to decay. If the particle is at location  at time , then it decays with rate . After the particle has decayed, all future cost is zero.

Then,  is the expected cost-to-go, if the particle starts at .

Partial proof 
A proof that the above formula is a solution of the differential equation is long, difficult and not presented here. It is however reasonably straightforward to show that, if a solution exists, it must have the above form. The proof of that lesser result is as follows:

Let  be the solution to the above partial differential equation.  Applying the product rule for Itô processes to the process

one gets:

Since

 
the third term is  and can be dropped. We also have that

Applying Itô's lemma to , it follows that

The first term contains, in parentheses, the above partial differential equation and is therefore zero.  What remains is:

Integrating this equation from  to , one concludes that:

Upon taking expectations, conditioned on , and observing that the right side is an Itô integral, which has expectation zero, it follows that:

The desired result is obtained by observing that :

and finally

Remarks 
 The proof above that a solution must have the given form is essentially that of  with modifications to account for .
 The expectation formula above is also valid for N-dimensional Itô diffusions. The corresponding partial differential equation for  becomes:  where,  i.e. , where  denotes the transpose of .
 More succinctly, letting  be the infinitesimal generator of the diffusion process,
 This expectation can then be approximated using Monte Carlo or quasi-Monte Carlo methods.
 When originally published by Kac in 1949, the Feynman–Kac formula was presented as a formula for determining the distribution of certain Wiener functionals. Suppose we wish to find the expected value of the function  in the case where x(τ) is some realization of a diffusion process starting at . The Feynman–Kac formula says that this expectation is equivalent to the integral of a solution to a diffusion equation. Specifically, under the conditions that ,  where  and  The Feynman–Kac formula can also be interpreted as a method for evaluating functional integrals of a certain form. If  where the integral is taken over all random walks, then  where w(x, t) is a solution to the parabolic partial differential equation  with initial condition .

Applications

Finance 
In quantitative finance, the Feynman–Kac formula is used to efficiently calculate solutions to the Black–Scholes equation to price options on stocks and zero-coupon bond prices in affine term structure models.

For example, consider a stock price  that follows a geometric Brownian walk:where  is the risk-free interest rate, and  is the volatility. Equivalently by Ito's lemma,Now consider a European option on an underlying stock that matures at time  with price . At maturation, it is worth . 

Then, the risk-neutral price of the option, at time  and stock price , is Plugging in the Feynman–Kac formula, we get the Black–Scholes equation:where . 

More generally, consider any option with fixed maturation time , and whose payoff at maturation is determined fully by the stock price at maturation: , then the same calculation shows that its price function satisfies

Some other options like the American option do not have a fixed maturation time. Some options have value at maturation determined by the past stock prices. For example, the average option is an option where the payoff is not determined by the underlying price at maturity but by the average underlying price over some pre-set period of time. For those, the Feynman–Kac formula does not directly apply.

Quantum mechanics 
In quantum chemistry, it is used to solve the Schrödinger equation with the Pure Diffusion Monte Carlo method.

See also 
 Itô's lemma
 Kunita–Watanabe inequality
 Girsanov theorem
 Kolmogorov forward equation (also known as Fokker–Planck equation)

References

Further reading 
 
 

Richard Feynman
Stochastic processes
Parabolic partial differential equations
Articles containing proofs
Mathematical finance
확률론에서 파인먼-카츠 공식(Feynman-Kac公式, )은 확률 미분 방정식과 편미분 방정식이 어떤 관계를 맺고 있는지를 나타낸 공식이다. 이 공식을 통해 특정 확률 미분 방정식을 만족시키는 확률 과정을 찾기 위해서 어떤 편미분 방정식을 풀어야 하는지를 알 수 있으며, 따라서 이 공식은 금융공학에서 어떤 자산이 이토 확률 과정을 따르는 것으로 가정했을 때 이 자산을 기초자산으로 하는 파생상품의 가격을 어떻게 구해야 하는지에 대한 해답을 찾기 위한 도구로 유용하게 쓰이고 있다.

파인먼-카츠 공식의 기본적인 근거는 어떤 함수 가 마팅게일일 경우 미분 계수 에서 시간 에 대한 변화율을 나타내는 항인 가 반드시 0이라는 데 있다. 따라서 만약 를 0으로 만들 수 있는 편미분 방정식을 찾을 수 있다면 이를 풀이함으로써 를 발견할 수 있다는 것이 파인먼-카츠 공식의 핵심적인 내용이다. 이 공식은 초기 조건 가 주어진 이토 확률 과정 에 대한 보렐 가측 함수 가 시점 에 갖는 값에 대한 시점 의 기댓값 가 마팅게일임을 이용하여 를 찾아내기 위해서 풀어야 할 편미분 방정식과 풀이에 필요한 최종 조건을 밝혀낸다.

정의 
다음이 주어졌다고 하자.
 확률 공간 
 유클리드 공간 . 그 벡터 지표를 로 나타내자 ().
  위의 위너 확률 과정 
 에 대한 이토 확률 과정 
 보렐 가측 함수 
 보렐 가측 함수 
 보렐 가측 함수 . 이는 퍼텐셜에 해당한다.

이제, 다음과 같은 확률 과정을 정의하자.

특히,

이다.

이제, 그 조건부 기댓값을 정의하자.

이 함수가 유계 함수라고 하자. 특히,

이다.

그렇다면, 이는 다음 2차 선형 비동차 편미분 방정식을 만족시킨다.

아인슈타인 표기법으로 합 기호를 생략하면, 이는 다음과 같다.

특히, 만약 인 경우 는 시간에 의존하지 않는 확률 과정, 즉 확률 변수가 된다.

이 경우

이다.

리만 다양체의 경우 
리만 다양체의 경우, 다음과 같은 파인먼-카츠 공식이 존재한다. 다음이 주어졌다고 하자.
 차원 연결 리만 다양체 . 그 벡터 지표를 로 나타내자 ()
 점  (초기 조건)
 양의 실수  (최종 시각)
그렇다면, 초기 조건이 인 연속 함수로 구성된 바나흐 공간

을 생각하자. 그 속에 소볼레프 공간인 캐머런-마틴 공간

을 부여하면, 이는 위너 공간을 이룬다. 즉,  위에, 열핵으로 유도되는 위너 확률 측도 가 존재한다.

또한, 임의의  (최종 조건)에 대하여, 마찬가지로

를 생각하자. 이 경우도 마찬가지로 캐머런-마틴 공간

을 통하여 위너 공간을 이루며, 이는  위의 확률 측도의 조건부 확률이다.

이제, 다음이 주어졌다고 하자.
  (퍼텐셜 함수)
  (초기 조건)
그렇다면, 실수 힐베르트 공간

위에 자기 수반 작용소인 해밀토니언 연산자

를 정의할 수 있다. (라플라스-벨트라미 연산자 는 음이 아닌 스펙트럼을 가지므로,  전체로 유일한 프리드릭스 확장()을 갖는다.)

이제, 이에 대한 열 방정식

을 생각할 수 있다. (해석학적 이유로 인하여, 복소수 힐베르트 공간 대신 실수 힐베르트 공간, 슈뢰딩거 방정식 대신 열 방정식을 사용하였다. 물리학에서 이는 시간의 윅 회전에 해당한다.) 힐베르트 공간의 이론으로 인하여, 이는 항상 유일한 해

를 갖는다. 브라-켓 표기법으로 이는

이다.

파인먼-카츠 공식에 따르면, 이 방정식의 해는 구체적으로 다음과 같이 주어진다.

증명 
편의상 , 인 경우만을 생각하자.

의 마팅게일 특성 
만약 시점 가 주어졌을 경우, 시점 와 에 가 갖는 기댓값은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

이 두 식과 반복 조건(iterated condition)의 법칙을 활용해 시점 에 가 갖는 기댓값을 다음과 같이 정리할 수 있다.

따라서 는 마팅게일이다.

편미분 방정식의 도출 
이토 확률 과정 에 대한 확률 미분 방정식의 해를 라고 하자. 가 마팅게일이므로 미분 계수 에서 시간 에 대한 변화율을 나타내는 항인 는 반드시 0이다. 미분 계수 를 정리하면 다음과 같다.

따라서 항 의 계수를 분리해 내면 다음과 같이 모든 에 대해 가 만족시키는 편미분 방정식을 구할 수 있다.

역사 
리처드 파인먼과 마레크 카츠(, , 1914〜1984)의 이름을 땄다.

파인먼은 이 공식을 양자역학의 경로 적분을 정의하기 위하여 유도하였으나, 엄밀하게 증명하지 않았다. 마레크 카츠가 이 공식의 엄밀한 증명을 1949년에 출판하였다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 

미분방정식
확률론
확률미적분학
수학 정리
리처드 파인만
확률 과정