In topology and related areas of mathematics, a subset A of a topological space X is said to be dense in X if every point of X either belongs to A or else is arbitrarily "close" to a member of A — for instance, the rational numbers are a dense subset of the real numbers because every real number either is a rational number or has a rational number arbitrarily close to it (see Diophantine approximation). 
Formally,  is dense in  if the smallest closed subset of  containing  is  itself. 

The  of a topological space  is the least cardinality of a dense subset of

Definition

A subset  of a topological space  is said to be a  of  if any of the following equivalent conditions are satisfied:
The smallest closed subset of  containing  is  itself.
The closure of  in  is equal to  That is, 
The interior of the complement of  is empty. That is, 
Every point in  either belongs to  or is a limit point of 
For every  every neighborhood  of  intersects  that is, 
 intersects every non-empty open subset of 

and if  is a basis of open sets for the topology on  then this list can be extended to include:
For every  every  neighborhood  of  intersects 
 intersects every non-empty

Density in metric spaces

An alternative definition of dense set in the case of metric spaces is the following. When the topology of  is given by a metric, the closure  of  in  is the union of  and the set of all limits of sequences of elements in  (its limit points),

Then  is dense in  if 

If  is a sequence of dense open sets in a complete metric space,  then  is also dense in   This fact is one of the equivalent forms of the Baire category theorem.

Examples

The real numbers with the usual topology have the rational numbers as a countable dense subset which shows that the cardinality of a dense subset of a topological space may be strictly smaller than the cardinality of the space itself. The irrational numbers are another dense subset which shows that a topological space may have several disjoint dense subsets (in particular, two dense subsets may be each other's complements), and they need not even be of the same cardinality. Perhaps even more surprisingly, both the rationals and the irrationals have empty interiors, showing that dense sets need not contain any non-empty open set. The intersection of two dense open subsets of a topological space is again dense and open. 
The empty set is a dense subset of itself. But every dense subset of a non-empty space must also be non-empty. 

By the Weierstrass approximation theorem, any given complex-valued continuous function defined on a closed interval  can be uniformly approximated as closely as desired by a polynomial function. In other words, the polynomial functions are dense in the space  of continuous complex-valued functions on the interval  equipped with the supremum norm.

Every metric space is dense in its completion.

Properties 

Every topological space is a dense subset of itself. For a set  equipped with the discrete topology, the whole space is the only dense subset. Every non-empty subset of a set  equipped with the trivial topology is dense, and every topology for which every non-empty subset is dense must be trivial.

Denseness is transitive: Given three subsets  and  of a topological space  with  such that  is dense in  and  is dense in  (in the respective subspace topology) then  is also dense in 

The image of a dense subset under a surjective continuous function is again dense. The density of a topological space (the least of the cardinalities of its dense subsets) is a topological invariant.

A topological space with a connected dense subset is necessarily connected itself.

Continuous functions into Hausdorff spaces are determined by their values on dense subsets: if two continuous functions  into a Hausdorff space  agree on a dense subset of  then they agree on all of 

For metric spaces there are universal spaces, into which all spaces of given density can be embedded: a metric space of density  is isometric to a subspace of  the space of real continuous functions on the product of  copies of the unit interval.

Related notions 

A point  of a subset  of a topological space  is called a limit point of  (in ) if every neighbourhood of  also contains a point of  other than  itself, and an isolated point of  otherwise. A subset without isolated points is said to be dense-in-itself.

A subset  of a topological space  is called nowhere dense (in ) if there is no neighborhood in  on which  is dense. Equivalently, a subset of a topological space is nowhere dense if and only if the interior of its closure is empty. The interior of the complement of a nowhere dense set is always dense. The complement of a closed nowhere dense set is a dense open set. Given a topological space  a subset  of  that can be expressed as the union of countably many nowhere dense subsets of  is called meagre. The rational numbers, while dense in the real numbers, are meagre as a subset of the reals.

A topological space with a countable dense subset is called separable. A topological space is a Baire space if and only if the intersection of countably many dense open sets is always dense. A topological space is called resolvable if it is the union of two disjoint dense subsets. More generally, a topological space is called κ-resolvable for a cardinal κ if it contains κ pairwise disjoint dense sets.

An embedding of a topological space  as a dense subset of a compact space is called a compactification of 

A linear operator between topological vector spaces  and  is said to be densely defined if its domain is a dense subset of  and if its range is contained within  See also Continuous linear extension.

A topological space  is hyperconnected if and only if every nonempty open set is dense in  A topological space is submaximal if and only if every dense subset is open.

If  is a metric space, then a non-empty subset  is said to be -dense if

One can then show that  is dense in  if and only if it is ε-dense for every

See also

References

proofs

General references

 
  
  
  
 
  

General topology
일반위상수학에서 조밀 집합(稠密集合, )은 어떤 공간을 ‘조밀하게’ 채우는 부분 집합이다. 즉, 공간 속의 임의의 점을, 조밀 집합에 속하는 점들의 그물의 극한으로 나타낼 수 있다.

정의 
위상 공간 의 부분 집합 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 부분 집합을 조밀 집합이라고 한다.
 임의의 열린집합 에 대하여, 만약 라면 이다.
 임의의 닫힌집합 에 대하여, 만약 라면 이다.
 . 여기서 은 폐포이다.
 . 여기서 는 내부이다.
 모든  및 의 모든 근방 에 대하여, .
 의 모든 점들은 의 원소이거나 의 극한점이다.

성질

연산에 대한 닫힘 
임의의 위상 공간  속의 조밀 집합  및 에 대하여,  역시 의 조밀 집합이다. 다시 말해, 조밀 집합들의 집합족 은 의 멱집합  속의 상집합이다.

특히, 조밀 집합들의 합집합은 조밀 집합이다. 그러나 조밀 집합들의 교집합이 조밀 집합일 필요는 없다. 다만, 임의의 조밀 집합 와 조밀 열린집합 가 주어졌을 때, 그 교집합 는 조밀 집합이다.
증명:
임의의 열린집합 가 주어졌으며, 이라고 하자. 그렇다면 가 조밀 열린집합이므로 이며, 따라서 이다.
특히, 조밀 열린집합들의 족 은 유한 교집합에 대하여 닫혀 있어, 멱집합  속의 필터를 이룬다.

임의의 두 위상 공간 ,  사이의 전사 연속 함수 가 주어졌을 때, 조밀 집합 의 상  역시 조밀 집합이다.
증명:
임의의 에 대하여, 가 전사 함수이므로 인 가 존재하며, 가 조밀 집합이므로 로 수렴하는 그물 가 존재하며, 가 연속 함수이므로 이다. 따라서 는 의 조밀 집합이다.

조밀성은 추이적이다. 즉, 만약 이며, 가 의 조밀 집합이고 가 의 조밀 집합이라면 는 의 조밀 집합이다.

가 의 열린집합이며 라고 하자. 그렇다면 는 의 열린집합이며, 이다. 가 의 조밀 집합이므로 이다. 즉, 이다. 가 의 조밀집합이므로 이다.

함의 관계 
모든 조밀 열린집합은 조밀한 곳이 없는 집합의 여집합이다. (그러나 그 역은 성립하지 않는다.) 즉, 다음 함의 관계가 성립한다.
조밀 열린집합 ⇒ 조밀한 곳이 없는 집합의 여집합 ⇒ 제1 범주 집합의 여집합 ⇒ 준열린집합

조밀 집합은 연속 함수를 결정한다 
임의의 위상 공간 와 하우스도르프 공간  및 조밀 집합 와 두 연속 함수 가 주어졌다고 하자. 만약 라면, 이다. (여기서 은 함수의 제한을 뜻한다.)
증명:
임의의 에 대하여, 임을 보이면 족하다. 가 조밀 집합이므로, 로 수렴하는,  속의 점들로 구성된 그물 가 존재한다. 가 연속 함수이므로

이며, 가 하우스도르프 공간이므로 그물의 극한은 유일하다. 따라서 이다.

예 
위상 공간 는 스스로의 조밀 집합이다. 반면,  전체가 아닌 의 모든 닫힌집합은 의 조밀 집합이 아니다.

유한 부분 집합의 여집합 
자기 조밀 T1 공간 속에서, 임의의 유한 부분 집합의 여집합은 조밀 열린집합이다.
증명:
조밀 열린집합들은 교집합에 대하여 닫혀 있으므로, 임의의 에 대하여 가 조밀 열린집합임을 보이면 족하다.
 는 T1 조건에 의하여 열린집합이다.
 는 자기 조밀 공간 조건에 의하여 닫힌집합이 아니다. 따라서 이며, 는 조밀 집합이다.

이산 공간 
위상 공간 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 이산 공간이다.
 정확히 1개의 조밀 집합을 갖는다. (이는 물론  전체이다.)
증명:
이산 공간 에서 조밀 집합이  전체 밖에 없다는 것은 자명하다. 반대로, 위상 공간 가 이산 공간이 아니라고 하자. 그렇다면, 열린집합이 아닌 한원소 집합 가 존재한다. 그렇다면, 는 의 조밀 집합이다.

비이산 공간 
위상 공간 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 비이산 공간이다.
 의 공집합이 아닌 모든 부분 집합은 조밀 집합이다.
증명:
비이산 공간 에서 공집합이 아닌 모든 부분 집합이 조밀 집합이라는 것은 자명하다. 반대로, 가 비이산 공간이 아니라고 하자. 즉, 닫힌집합 가 존재한다고 하자. 그렇다면 는 조밀 집합이 아니다.

실수선의 조밀 집합 
실수선 의 부분 집합들을 생각하자.
 유리수의 집합 는 실수선의 조밀 집합이다.
 무리수의 집합  역시 실수선의 조밀 집합이다.
 반면, 자연수의 집합 , 정수의 집합 는 의 조밀 집합이 아니다.

임의의 세 실수 에 대하여,  는  안의 조밀 집합이다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 

일반위상수학