To solve this problem, I need to use some facts about modular arithmetic and base conversion. First, I notice that $235935623_{74}$ is a number in base $74$, which means each digit represents a power of $74$. For example, the rightmost digit is the ones place, the next one is the $74$s place, and so on. To convert this number to base $10$, I need to multiply each digit by its corresponding power of $74$ and add them up. So, $235935623_{74}=2\cdot 74^8+3\cdot 74^7+5\cdot 74^6+9\cdot 74^5+3\cdot 74^4+5\cdot 74^3+6\cdot 74^2+2\cdot 74^1+3\cdot 74^0$. This is a very large number, but I don't need to calculate it exactly. I only need to know its remainder when divided by $15$, since that will determine what value of $a$ makes it a multiple of $15$. To find the remainder, I can use the fact that if $a \equiv b \pmod{m}$ and $c \equiv d \pmod{m}$, then $a+c \equiv b+d \pmod{m}$ and $ac \equiv bd \pmod{m}$. This means that I can add or multiply any two numbers and only focus on their remainders modulo $15$, since the final remainder will be the same. For example, $74 \equiv 14 \pmod{15}$, so $74^2 \equiv 14^2 \pmod{15}$. Similarly, $74^3 \equiv 14^3 \pmod{15}$, and so on. Therefore, I can rewrite each term in the base $74$ number as a remainder modulo $15$. So, $235935623_{74}\equiv 2\cdot 14^8+3\cdot 14^7+5\cdot 14^6+9\cdot 14^5+3\cdot 14^4+5\cdot 14^3+6\cdot 14^2+2\cdot 14^1+3\cdot 14^0 \pmod{15}$. Now, I need to simplify each power of $14$ modulo $15$. So, every even power of $14$ is congruent to $1$ and every odd power is congruent to $14$ modulo $15$. This means that $14^8 \equiv 1 \pmod{15}$, $14^7 \equiv 14 \pmod{15}$, $14^6 \equiv 1 \pmod{15}$, $14^5 \equiv 14 \pmod{15}$, and so on. Therefore, I can substitute these values into the base $74$ number and get $235935623_{74}\equiv 2\cdot 1+3\cdot 14+5\cdot 1+9\cdot 14+3\cdot 1+5\cdot 14+6\cdot 1+2\cdot 14+3\cdot 1 \pmod{15}$. This simplifies to $235935623_{74}\equiv 2+42+5+126+3+70+6+28+3 \pmod{15}$. I can add these numbers and get $235935623_{74}\equiv 285 \pmod{15}$. To find the final remainder, I can divide $285$ by $15$ and get a quotient of $19$ and a remainder of $0$. So, $235935623_{74}\equiv 0 \pmod{15}$. This means that $235935623_{74}$ is already a multiple of $15$, and I don't need to subtract anything from it. Therefore, the value of $a$ that makes $235935623_{74}-a$ a multiple of $15$ is $a=0$.


이 문제를 해결하려면 모듈식 산술과 기본 변환에 대한 몇 가지 사실을 사용해야 합니다. 먼저 $235935623_{74}$는 기저 $74$의 숫자로, 각 자릿수가 $74$의 거듭제곱을 나타낸다는 것을 알 수 있습니다. 예를 들어, 가장 오른쪽 자리는 1 자리, 그 다음 자리는 $74$ 자리, 그 다음 자리는 $74$ 자리입니다. 이 숫자를 기본 10$로 변환하려면 각 숫자에 해당되는 $74$의 거듭제곱을 곱한 다음 더해야 합니다. 따라서 $235935623_{74}=2\cdot 74^8+3\cdot 74^7+5\cdot 74^6+9\cdot 74^5+3\cdot 74^4+5\cdot 74^3+6\cdot 74^2+2\cdot 74^1+3\cdot 74^0$이죠. 이것은 매우 큰 숫자이지만 정확히 계산할 필요는 없습니다. 15$로 나눴을 때 나머지만 알면 되는데, $a$의 어떤 값이 $15$의 배수가 되는지 결정하기 때문입니다. 나머지를 구하기 위해 $a \equiv b \pmod{m}$와 $c \equiv d \pmod{m}$가 있다면, $a+c \equiv b+d \pmod{m}$와 $ac \equiv bd \pmod{m}$라는 사실을 사용할 수 있습니다. 즉, 두 숫자를 더하거나 곱해도 최종 나머지는 동일하므로 $15$를 모듈로 나눈 나머지 부분에만 집중할 수 있습니다. 예를 들어, $74 \equiv 14 \pmod{15}$이므로 $74^2 \equiv 14^2 \pmod{15}$가 됩니다. 마찬가지로 $74^3 \equiv 14^3 \pmod{15}$ 등도 마찬가지입니다. 따라서 기본 $74$ 숫자의 각 항을 나머지 모듈로 $15$로 다시 쓸 수 있습니다. 따라서 $235935623_{74}\equiv 2\cdot 14^8+3\cdot 14^7+5\cdot 14^6+9\cdot 14^5+3\cdot 14^4+5\cdot 14^3+6\cdot 14^2+2\cdot 14^1+3\cdot 14^0 \pmod{15}$가 됩니다. 이제 $14$의 각 거듭제곱을 모듈로 $15$로 단순화해야 합니다. 따라서 $14$의 모든 짝수 거듭제곱은 $1$에 부합하고 모든 홀수 거듭제곱은 $14$ 모듈로 $15$에 부합합니다. 즉, $14^8 \등호 1 \pmod{15}$, $14^7 \등호 14 \pmod{15}$, $14^6 \등호 1 \pmod{15}$, $14^5 \등호 14 \pmod{15}$ 등이 이에 해당합니다. 따라서 이러한 값을 기본 $74$ 수에 대입하면 $235935623_{74}\equiv 2\cdot 1+3\cdot 14+5\cdot 1+9\cdot 14+3\cdot 1+5\cdot 14+6\cdot 1+2\cdot 14+3\cdot 1 \pmod{15}$를 구할 수 있습니다. 이는 $235935623_{74}\equiv 2+42+5+126+3+70+6+28+3 \pmod{15}$로 단순화됩니다. 이 숫자를 더하면 $235935623_{74}\equiv 285 \pmod{15}$를 얻을 수 있습니다. 최종 나머지를 구하기 위해 $285$를 $15$로 나누면 몫 $19$와 나머지 $0$를 구할 수 있습니다. 따라서 $235935623_{74}\equiv 0 \pmod{15}$입니다. 즉, $235935623_{74}$는 이미 $15$의 배수이므로 여기서 아무것도 뺄 필요가 없습니다. 따라서 $235935623_{74}-a$를 $15$의 배수로 만드는 $a$의 값은 $a=0$입니다.

