The sum of the interior angles of an $n$-sided polygon is $180(n-2)$. For a regular hexagon, the interior angles sum to $180(4)$, so each interior angle has a measure of $\frac{180(4)}{6}=30\cdot4=120^\circ$. Since $\overline{PO}$ and $\overline{PQ}$ are congruent sides of a regular hexagon, $\triangle POQ$ is an isosceles triangle. The two base angles are congruent and sum to a degree measure of $180-120=60^\circ$, so each base angle has a measure of $30^\circ$. There are now a couple approaches to finishing the problem.

$\emph{Approach 1}$: We use the fact that trapezoid $PQLO$ is an isosceles trapezoid to solve for $x$ and $y$. Since $\overline{PO}$ and $\overline{QL}$ are congruent sides of a regular hexagon, trapezoid $PQLO$ is an isosceles trapezoid and the base angles are equal. So we know that $x+30=y$. Since the interior angle of a hexagon is $120^\circ$ and $m\angle PQO=30^\circ$, we know that $\angle OQL$ is a right angle. The acute angles of a right triangle sum to $90^\circ$, so $x+y=90$. Now we can solve for $x$ with $x+(x+30)=90$, which yields $x=30$. The degree measure of $\angle LOQ$ is $30^\circ$.

$\emph{Approach 2}$: We use the fact that trapezoid $LMNO$ is an isosceles trapezoid to solve for $x$. Since $\overline{NO}$ and $\overline{ML}$ are congruent sides of a regular hexagon, trapezoid $LMNO$ is an isosceles trapezoid and the base angles are equal. The interior angles of a trapezoid sum to $360^\circ$, so we have $2z+120+120=360$, which yields $z=60$. Angle $O$ is an interior angle of a hexagon that measure $120^\circ$, so $z+x+30=120$. We found that $z=60$, so $x=30$. The degree measure of $\angle LOQ$ is $30^\circ$.

[asy]
pen sm=fontsize(9);
draw((-2,0)--(-1,1.73205081)--(1,1.73205081)--(2,0)--(1,-1.73205081)--(-1,-1.73205081)--cycle);
draw((-1,-1.73205081)--(1,1.73205081)--(1,-1.73205081)--cycle);
label("L",(-1,-1.73205081),SW);
label("M",(-2,0),W);
label("N",(-1,1.73205081),NW);
label("O",(1,1.73205081),N);
label("P",(2,0),E);
label("Q",(1,-1.73205081),S);
label("$120^\circ$", (2,0), W, sm);
label("$120^\circ$", (-2,0), E, sm);
label("$120^\circ$", (-1,1.73205081), SE, sm);
label("$30^\circ$", (1,0.93205081), SE, sm);
label("$x^\circ$", (0.8,1.53205081)-(0,0.2), S, sm);
label("$z^\circ$", (0.9,1.73205081), SW, sm);
label("$30^\circ$", (1,-0.93205081), NE, sm);
pair O=(1,1.73205081), Q=(1,-1.73205081), L=(-1,-1.73205081);
label("$y^\circ$", L+(0.1,0.1), ENE, sm);
label("$z^\circ$", L+(0,0.2), N, sm);
draw(rightanglemark(O,Q,L));
[/asy]
n$변 다각형의 내각의 합은 $180(n-2)$입니다. 정육각형의 경우, 내각의 합은 $180(4)$이므로 각 내각의 크기는 $\frac{180(4)}{6}=30\cdot4=120^\circ$입니다. 오버라인{PO}$와 $\overline{PQ}$는 정육각형의 합동 변이므로, $\삼각형 POQ$는 이등변 삼각형입니다. 두 밑변은 합동이며 $$180-120=60^\원$의 차수 값으로 합산되므로 각 밑변의 차수 값은 $30^\원$입니다. 이제 문제를 끝내기 위한 몇 가지 접근법이 있습니다.

엠프{접근법 1}$: 사다리꼴 $PQLO$가 이등변 사다리꼴이라는 사실을 사용하여 $x$와 $y$를 풉니다. overline{PO}$와 $\overline{QL}$은 정육각형의 합동 변이므로, 사다리꼴 $PQLO$는 이등변 사다리꼴이고 밑변 각은 같습니다. 따라서 $x+30=y$라는 것을 알 수 있습니다. 육각형의 내각은 $120^\원$이고 $m\각 PQO=30^\원$이므로 $\각 OQL$은 직각이라는 것을 알 수 있습니다. 직각 삼각형의 예각은 $90^\circ$이므로 $x+y=90$입니다. 이제 $x$를 $x+(x+30)=90$으로 풀 수 있으므로 $x=30$이 나옵니다. 각도 LOQ$의 차수 측정값은 $30^\circ$입니다.

엠프{접근법 2}$: 사다리꼴 $LMNO$가 이등변 사다리꼴이라는 사실을 사용하여 $x$를 풉니다. 오버라인{NO}$와 $\overline{ML}$는 정육각형의 합동 변이므로, 사다리꼴 $LMNO$는 이등변 사다리꼴이고 밑변 각은 같습니다. 사다리꼴의 내각은 $360^\circ$에 합산되므로 $2z+120+120=360$이 되며, $z=60$이 됩니다. 각도 $O$는 $120^\circ$를 측정하는 육각형의 내각이므로 $z+x+30=120$입니다. z=60$이므로 $x=30$이라는 것을 알 수 있습니다. 각도 LOQ$의 차수 측정값은 $30^\circ$입니다.

[asy]
PEN SM=FONTSIZE(9);
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draw((-1,-1.73205081)--(1,1.73205081)--(1,-1.73205081)--cycle);
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쌍 O=(1,1.73205081), Q=(1,-1.73205081), L=(-1,-1.73205081);
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