In algebra, a λ-ring or lambda ring is a commutative ring together with some operations λn on it that behave like the exterior powers of vector spaces. Many rings considered in K-theory carry a natural λ-ring structure. λ-rings also provide a powerful formalism for studying an action of the symmetric functions on the ring of polynomials, recovering and extending many classical results ().

λ-rings were introduced by . For more about λ-rings see , ,  and .

Motivation
If V and W are finite-dimensional vector spaces over a field k, then we can form the direct sum V ⊕ W, the tensor product V ⊗ W, and the n-th exterior power of V, Λn(V). All of these are again finite-dimensional vector spaces over k. The same three operations of direct sum, tensor product and exterior power are also available when working with k-linear representations of a finite group, when working with vector bundles over some topological space, and in more general situations.

λ-rings are designed to abstract the common algebraic properties of these three operations, where we also allow for formal inverses with respect to the direct sum operation. (These formal inverses also appear in Grothendieck groups, which is why the underlying additive groups of most λ-rings are Grothendieck groups.) The addition in the ring corresponds to the direct sum, the multiplication in the ring corresponds to the tensor product, and the λ-operations to the exterior powers. For example, the isomorphism

corresponds to the formula 

valid in all λ-rings, and the isomorphism

corresponds to the formula 

valid in all λ-rings. Analogous but (much) more complicated formulas govern the higher order λ-operators.

Motivation with Vector Bundles 
If we have a short exact sequence of vector bundles over a smooth scheme then locally, for a small enough open neighborhood  we have the isomorphism

Now, in the Grothendieck group  of  (which is actually a ring), we get this local equation globally for free, from the defining equivalence relations. So

demonstrating the basic relation in a λ-ring, that

Definition
A λ-ring is a commutative ring R together with operations λn : R → R for every non-negative integer n. These operations are required to have the following properties valid for all x, y in R and all n, m ≥ 0:
λ0(x) = 1
λ1(x) = x
λn(1) = 0 if n ≥ 2
λn(x + y) = Σi+j=n λi(x) λj(y)
λn(xy) = Pn(λ1(x), ..., λn(x), λ1(y), ..., λn(y))
λn(λm(x)) = Pn,m(λ1(x), ..., λmn(x))

where Pn and Pn,m are certain universal polynomials with integer coefficients that describe the behavior of exterior powers on tensor products and under composition. These polynomials can be defined as follows.

Let e1, ..., emn be the elementary symmetric polynomials in the variables X1, ..., Xmn. Then Pn,m is the unique polynomial in nm variables with integer coefficients such that Pn,m(e1, ..., emn) is the coefficient of tn in the expression

  

(Such a polynomial exists, because the expression is symmetric in the Xi and the elementary symmetric polynomials generate all symmetric polynomials.)

Now let e1, ..., en be the elementary symmetric polynomials in the variables X1, ..., Xn and f1, ..., fn be the elementary symmetric polynomials in the variables Y1, ..., Yn. Then Pn is the unique polynomial in 2n variables with integer coefficients such that  is the coefficient of tn in the expression

Variations 
The λ-rings defined above are called "special λ-rings" by some authors, who use the term "λ-ring" for a more general concept where the conditions on λn(1), λn(xy) and λm(λn(x)) are dropped.

Examples

The ring Z of integers, with the binomial coefficients  as operations (which are also defined for negative x) is a λ-ring.  In fact, this is the only λ-structure on Z. This example is closely related to the case of finite-dimensional vector spaces mentioned in the Motivation section above, identifying each vector space with its dimension and remembering that .
More generally, any binomial ring becomes a λ-ring if we define the λ-operations to be the binomial coefficients, λn(x) = (). In these λ-rings, all Adams operations are the identity.
The K-theory K(X) of a topological space X is a λ-ring, with the lambda operations induced by taking exterior powers of a vector bundle.
Given a group G and a base field k, the representation ring R(G) is a λ-ring; the λ-operations are induced by the exterior powers of k-linear representations of the group G.
The ring ΛZ of symmetric functions is a λ-ring. On the integer coefficients the λ-operations are defined by binomial coefficients as above, and if e1, e2, ... denote the elementary symmetric functions, we set λn(e1) = en. Using the axioms for the λ-operations, and the fact that the functions ek are algebraically independent and generate the ring ΛZ, this definition can be extended in a unique fashion so as to turn ΛZ into a λ-ring. In fact, this is the free λ-ring on one generator, the generator being e1. ().

Further properties and definitions 
Every λ-ring has characteristic 0 and contains the λ-ring Z as a λ-subring.

Many notions of commutative algebra can be extended to λ-rings. For example, a λ-homomorphism between λ-rings R and S  is a ring homomorphism f : R → S such that f(λn(x)) = λn(f(x)) for all x in R and all n ≥ 0. A λ-ideal in the λ-ring R is an ideal I in R such that λn(x) ϵ I for all x in R and all n ≥ 1.

If x is an element of a λ-ring and m a non-negative integer such that  λm(x) ≠ 0 and λn(x) = 0 for all n > m, we write dim(x) = m and call the element x finite-dimensional. Not all elements need to be finite-dimensional. We have dim(x+y) ≤ dim(x) + dim(y) and the product of  elements is .

See also 
Chern class
Symmetric Function
K-theory
Adams operation
Plethystic exponential

References

 
Expo 0 and V of 

Ring theory
K-theory
가환대수학과 대수적 위상수학에서 람다 환(λ環, )은 벡터 공간의 외대수 연산과 유사한 공리들을 만족시키는 일련의 연산들이 부여된 가환환이다.

정의

다항식 Pn, Pm,n 
기본 대칭 다항식

을 정의하자.

다항식

은 다음 성질에 의하여 유일하게 정의되는 정수 계수 다항식이다.

여기서 다음과 같은 약자를 사용하였다.

람다 환 
람다 환은 다음과 같은 데이터로 구성된다.
 가환환 
 각 자연수(음이 아닌 정수) 에 대하여, 함수 . 이들을 차 람다 연산()이라고 한다.
이 함수 들은 다음과 같은 공리들을 만족시켜야 한다.

(합의 람다 연산) 
(곱의 람다 연산) 
(람다 연산의 합성) 

람다 환의 모임은 대수 구조 다양체를 이룬다. 두 람다 환 ,  사이의 준동형은 대수 구조로서의 준동형이다. 즉, 환 준동형  가운데 다음 조건을 만족시키는 것이다.

람다 환과 람다 환 준동형은 범주 를 이룬다.

애덤스 연산 
코호몰로지 연산의 일종인 애덤스 연산을 위상 K군으로부터 임의의 람다 환에 대하여 일반화할 수 있다.

람다 환 에 대하여, 람다 연산의 생성 함수를 정의하자.

그렇다면,  위의 애덤스 연산

은 다음과 같다.

즉, 애덤스 연산을 람다 연산으로부터 정의할 수 있으며 반대로 람다 연산을 애덤스 연산으로부터 정의할 수도 있다.

성질 
람다 환 에 대하여, 다음 성질들이 성립한다.
 는 아벨 군의 준동형을 이룬다. 즉, 다음이 성립한다.

 정수 에 대하여, 이다.

범주론적 성질 
람다 환의 범주에서 가환환의 범주 로 가는 망각 함자

는 왼쪽 수반 함자와 오른쪽 수반 함자를 동시에 갖는다.

여기서
 함자 는 자유 람다 환() 함자이다. 이는 람다 환이 대수 구조 다양체를 이루므로 항상 존재한다.
 함자 는 가환환 를  위의 람다 환 구조로 대응시킨다.

예

이항환 
다음 두 조건을 만족시키는 가환환 를 이항환(二項環, )이라고 한다.
 덧셈군 의 꼬임 부분군이 자명군이다. 즉, 표준적 준동형 는 단사 함수이다.
 모든 이항 계수 를 원소로 포함한다. 즉, 임의의  및 에 대하여, 가 되는 가 (유일하게) 존재한다.
이항환  위에 을 정의한다면, 이는 람다 환을 이룬다. 예를 들어, (한원소 공간 위의 위상 K군인) 정수환 는 이항환이며 따라서 람다 환을 이룬다.

이항환의 개념은 모든 애덤스 연산이 항등 함수인 람다 환의 개념과 동치이다.

비트 벡터 

가환환  위의 형식적 멱급수환  속의, 항의 계수가 1인 형식적 멱급수들로 구성된 부분 집합

을 생각하자. 이는 -곱셈에 대하여 가환 모노이드를 이룬다.

 위에 다음과 같은 가환환 및 람다 환 구조를 부여할 수 있다.
 의 덧셈은 의 곱셈이다.
 의 곱셈은 다음과 같다.

 의 람다 연산은 다음과 같다.

이 환은  계수의 (큰) 비트 벡터 환 과 동형이다. 비트 벡터는 통상적으로  위에 비트 다항식들을 통해 주어지는 특별한 가환환 구조로 정의된다. 이 경우

는 환의 동형을 정의한다. 이를 아르틴-하세 지수 함수()라고 한다.

이는 함자

를 정의하며, 이는 망각 함자

의 오른쪽 수반 함자이다.

대칭 다항식 환 
가산 무한 개의 변수 의 형식적 멱급수환 을 생각하자. 의 원소는 유한 또는 무한 개의 항들의 합이며, 각 항은 유한 개의 변수 들의 곱이다.

가산 무한 개의 변수 의 대칭 다항식 은 다음 두 조건을 만족시키는 형식적 멱급수이다.
 임의의 순열 에 대하여 이다. (여기서 는 양의 정수의 집합 위의 대칭군이다.)
 에 속하는 항들의 계수의 집합은 유계 집합이다 (즉, 상계를 갖는다).
대칭 다항식들의 집합은 의 부분환을 이루며, 그 모든 원소는 기본 대칭 다항식

들의 유한 곱들의 유한 합으로 나타낼 수 있다. 즉, 이 환을 로 표기할 수 있다.

그 위에 다음과 같은 람다 환 구조를 정의할 수 있다.

그렇다면, 는 1변수 정수 계수 다항식환  위의 자유 람다 환이다. 즉, 자유 람다 환 함자  함자 아래 의 상이다. 또한,  아래 임의의 환 준동형

의 상은 다음과 같은 람다 환 준동형이다.

위상 K이론 
파라콤팩트 하우스도르프 공간  위의 위상 K군 는 람다 환을 이룬다. 이 경우 은 벡터 다발 위의  외대수 이다.

표현환 
유한군  위의 체  계수 표현환  (군의 유한 차원 -벡터 공간 표현들의 반환의 그로텐디크 구성)은 람다 환을 이룬다. 이 경우, 은 군의 표현의 외대수이다.

역사 
알렉산더 그로텐디크가 1958년에 그로텐디크-리만-로흐 정리를 연구하기 위하여 도입하였다.

역사적으로,  및 으로 정의된 항등식들을 따르는 가환환들은 "특수 람다 환"()으로 불렸으며, "람다 환"이라는 용어는 이 조건들이 생략된, 더 일반적인 개념을 일컬었다. 그러나 오늘날에는 후자의 개념은 더 이상 널리 사용되지 않으며, "람다 환"이라는 용어는 특수 람다 환을 일컫는다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 

가환대수학