Let's calculate $f^{-1}(0)$. Ok. Since $f(x)$ is defined differently for $x\leq 3$ and $x>3$, we need to find the value of $x$ in each case. In the case that $x\leq 3$, $f(x)=3-x$, so we need to solve $3-x=0$ for $x$. So $x=3$ in that case. Now let's find $x$ in the case that $x>3$. Ok. In that case, $f(x)=-x^3+2x^2+3x$, so we need to solve $-x^3+2x^2+3x=0$ for $x$. That factors as $x(-x^2+2x+3)=0$, so either $x=0$ or $-x^2+2x+3=0$. Ok. We can solve $-x^2+2x+3=0$ for $x$ by using the quadratic formula. We get $x=\frac{-2\pm\sqrt{2^2-4(-1)(3)}}{2(-1)}$. So $x=\frac{-2\pm\sqrt{2^2+12}}{-2}$. That simplifies as $x=\frac{-2\pm 4}{-2}$. So this gives us $x=\frac{-2\pm 4}{-2}$. Then we get $x=\frac{2}{-2}$ or $x=\frac{-6}{-2}$. So $x=-1$ or $x=3$. But we said $x>3$. Right, so $x=3$ doesn't work. We then have to check whether $x=-1$ works. So we have to calculate $f(-1)$. We first check that $-1\leq 3$, so we use the formula $f(x)=3-x$. So $f(-1)=3-(-1)$. Therefore $f(-1)=4$. But we said that $f(x)=-x^3+2x^2+3x$ for $x>3$. So $x=-1$ does not work. Therefore $f^{-1}(0)=3$. Let's now calculate $f^{-1}(6)$. We need to solve $f(x)=6$ for $x$. So we need to solve the equation $-x^3+2x^2+3x=6$ for $x$. This equation is equivalent to $-x^3+2x^2+3x-6=0$. Ok. Let's use the rational root theorem. This theorem tells us that a rational root of this equation must be of the form $\frac{p}{q}$, where $p$ is a divisor of the constant term and $q$ is a divisor of the leading coefficient. The constant term is $-6$ and its divisors are $-1, -2, -3, -6, 1, 2, 3, 6$. The leading coefficient is $-1$ and its divisors are $-1, 1$. So a rational root must be of the form $\frac{p}{q}$, where $p$ is a divisor of $-6$ and $q$ is a divisor of $-1$. Since $q$ is a divisor of $-1$, it must be $-1$ or $1$. Let's first try $q=-1$. Then, $p$ must be a divisor of $-6$. Let's try $p=3$. So our first guess is $x=\frac{3}{-1}$. That is $x=-3$. Let's plug that into the equation and see if it works. If $x=-3$, then $-x^3+2x^2+3x-6=-(-27)+2(9)-3(-3)-6$. This is equal to $27+18+9-6$. So this is $48$, not $0$. Therefore, $x=-3$ is not a root. Then we can use the quadratic formula to find the roots of $x^2-3=0$ This gives us $x=\pm\sqrt{3}$ But we need to find the solution that is greater than $3$, since we want $x>3$ If $x \leq 3$, then we need to solve $f(x) = 3-x = 6$ for x $3-x = 6$ means $x = -3$, but $x$ must be $\leq 3$ That means $-3$ is the only solution for $x \leq 3$. Therefore, $f^{-1}(0) + f^{-1}(6) = 3 + (-3)$. This means that $f^{-1}(0) + f^{-1}(6) = 0$.


f^{-1}(0)$을 계산해 봅시다. 계산이 끝났습니다. f(x)$는 $x\leq 3$과 $x>3$에 따라 다르게 정의되므로 각 경우에 $x$의 값을 구해야 합니다. x\leq 3$의 경우 $f(x)=3-x$이므로 $x$에 대해 $3-x=0$을 풀어야 합니다. 따라서 이 경우 $x=3$입니다. 이제 $x>3$인 경우의 $x$를 구해봅시다. Ok. 이 경우 $f(x)=-x^3+2x^2+3x$이므로 $x$에 대해 $-x^3+2x^2+3x=0$을 풀어야 합니다. 이는 $x(-x^2+2x+3)=0$이므로 $x=0$ 또는 $-x^2+2x+3=0$이 됩니다. 좋습니다. 이차 공식을 사용하면 $x$에 대해 $-x^2+2x+3=0$을 풀 수 있습니다. x=\frac{-2\pm\sqrt{2^2-4(-1)(3)}}{2(-1)}$를 구할 수 있습니다. So $x=\frac{-2\pm\sqrt{2^2+12}}{-2}$. 이는 $x=\frac{-2\pm 4}{-2}$로 단순화됩니다. 따라서 $x=\frac{-2\pm 4}{-2}$가 됩니다. 그러면 $x=\frac{2}{-2}$ 또는 $x=\frac{-6}{-2}$가 됩니다. 따라서 $x=-1$ 또는 $x=3$입니다. 하지만 $x>3$이라고 했습니다. 맞습니다. 따라서 $x=3$은 작동하지 않습니다. 그런 다음 $x=-1$이 작동하는지 확인해야 합니다. 그래서 $f(-1)$을 계산해야 합니다. 먼저 $-1\leq 3$이 맞는지 확인하기 위해 $f(x)=3-x$ 공식을 사용합니다. 따라서 $f(-1)=3-(-1)$입니다. 따라서 $f(-1)=4$입니다. 하지만 $x>3$의 경우 $f(x)=-x^3+2x^2+3x$라고 했습니다. 따라서 $x=-1$은 작동하지 않습니다. 따라서 $f^{-1}(0)=3$입니다. 이제 $f^{-1}(6)$을 계산해 봅시다. 우리는 $x$에 대해 $f(x)=6$을 풀어야 합니다. 따라서 $x$에 대해 $-x^3+2x^2+3x=6$ 방정식을 풀어야 합니다. 이 방정식은 $-x^3+2x^2+3x-6=0$과 같습니다. 이제 알겠습니다. 유리근 정리를 사용해 봅시다. 이 정리는 이 방정식의 유리근이 $\frac{p}{q}$ 형식이어야 한다는 것을 알려주는데, 여기서 $p$는 상수 항의 제수이고 $q$는 선행 계수의 제수입니다. 상수 항은 $-6$이고 그 제수는 $-1, -2, -3, -6, 1, 2, 3, 6$입니다. 선행 계수는 $-1$이고 제수는 $-1, 1$입니다. 따라서 유리근은 $\frac{p}{q}$ 형식이어야 하며, 여기서 $p$는 $-6$의 제수이고 $q$는 $-1$의 제수입니다. q$는 $-1$의 제수이므로 $-1$ 또는 $1$이어야 합니다. 먼저 $q=-1$을 시도해 봅시다. 그런 다음 $p$는 $-6$의 제수여야 합니다. p=3$을 시도해 봅시다. 따라서 우리의 첫 번째 추측은 $x=\frac{3}{-1}$입니다. 즉, $x=-3$입니다. 이를 방정식에 대입하고 작동하는지 살펴봅시다. x=-3$이면 $-x^3+2x^2+3x-6=-(-27)+2(9)-3(-3)-6$이 됩니다. 이것은 $27+18+9-6$과 같습니다. 따라서 이것은 $0$이 아니라 $48$입니다. 따라서 $x=-3$은 근이 아닙니다. 그런 다음 이차 공식을 사용하여 $x^2-3=0$의 근을 찾을 수 있습니다. 이렇게 하면 $x=\pm\sqrt{3}$가 됩니다. 하지만 $3$보다 큰 해를 찾아야 합니다, 우리는 $x>3$ 을 원하기 때문에 $x \leq 3$ 이면 $f(x) = 3-x = 6$ 을 풀어야 합니다. x $3-x = 6$ 은 $x = -3$ 이지만 $x$ 는 $\leq 3$ 이어야 합니다. 즉, $-3$ 은 $x \leq 3$ 의 유일한 해가 되는 것입니다. 따라서 $f^{-1}(0) + f^{-1}(6) = 3 + (-3)$입니다. 즉, $f^{-1}(0) + f^{-1}(6) = 0$이 됩니다.

