The magnetic flux, represented by the symbol , threading some contour or loop is defined as the magnetic field  multiplied by the loop area , i.e. . Both  and  can be arbitrary, meaning  can be as well. However, if one deals with the superconducting loop or a hole in a bulk superconductor, the magnetic flux threading such a hole/loop is quantized.
The (superconducting) magnetic flux quantum  ≈  is a combination of fundamental physical constants: the Planck constant  and the electron charge . Its value is, therefore, the same for any superconductor.
The phenomenon of flux quantization was discovered experimentally by B. S. Deaver and W. M. Fairbank and, independently, by R. Doll and M. Näbauer, in 1961. The quantization of magnetic flux is closely related to the Little–Parks effect, but was predicted earlier by Fritz London in 1948 using a phenomenological model.

The inverse of the flux quantum, , is called the Josephson constant, and is denoted J. It is the constant of proportionality of the Josephson effect, relating the potential difference across a Josephson junction to the frequency of the irradiation. The Josephson effect is very widely used to provide a standard for high-precision measurements of potential difference, which (from 1990 to 2019) were related to a fixed, conventional value of the Josephson constant, denoted J-90.  With the 2019 redefinition of SI base units, the Josephson constant has an exact value of J = , which replaces the conventional value J-90.

Introduction 
The following physical equations use SI units. In CGS units, a factor of  would appear.

The superconducting properties in each point of the superconductor are described by the complex quantum mechanical wave function  — the superconducting order parameter. As any complex function  can be written as , where  is the amplitude and  is the phase. Changing the phase  by  will not change  and, correspondingly, will not change any physical properties. However, in the superconductor of non-trivial topology, e.g. superconductor with the hole or superconducting loop/cylinder, the phase  may continuously change from some value  to the value  as one goes around the hole/loop and comes to the same starting point. If this is so, then one has  magnetic flux quanta trapped in the hole/loop, as shown below:

Per minimal coupling, the current density of Cooper pairs in the superconductor is:

where  is the charge of the Cooper pair.
The wave function is the Ginzburg–Landau order parameter:

Plugged into the expression of the current, one obtains:

Inside the body of the superconductor, the current density J is zero, and therefore

Integrating around the hole/loop using Stokes' theorem and  gives:

Now, because the order parameter must return to the same value when the integral goes back to the same point, we have:

Due to the Meissner effect, the magnetic induction  inside the superconductor is zero. More exactly, magnetic field  penetrates into a superconductor over a small distance called London's magnetic field penetration depth (denoted  and usually ). The screening currents also flow in this -layer near the surface, creating magnetization  inside the superconductor, which perfectly compensates the applied field , thus resulting in  inside the superconductor.

The magnetic flux frozen in a loop/hole (plus its -layer) will always be quantized. However, the value of the flux quantum is equal to  only when the path/trajectory around the hole described above can be chosen so that it lays in the superconducting region without screening currents, i.e. several  away from the surface. There are geometries where this condition cannot be satisfied, e.g. a loop made of very thin () superconducting wire or the cylinder with the similar wall thickness. In the latter case, the flux has a quantum different from .

The flux quantization is a key idea behind a SQUID, which is one of the most sensitive magnetometers available.

Flux quantization also plays an important role in the physics of type II superconductors. When such a superconductor (now without any holes) is placed in a magnetic field with the strength between the first critical field  and the second critical field , the field partially penetrates into the superconductor in a form of Abrikosov vortices. The Abrikosov vortex consists of a normal core—a cylinder of the normal (non-superconducting) phase with a diameter on the order of the , the superconducting coherence length. The normal core plays a role of a hole in the superconducting phase. The magnetic field lines pass along this normal core through the whole sample. The screening currents circulate in the  -vicinity of the core and screen the rest of the superconductor from the magnetic field in the core. In total, each such Abrikosov vortex carries one quantum of magnetic flux .

Measuring the magnetic flux
Prior to the 2019 redefinition of the SI base units, the magnetic flux quantum was measured with great precision by exploiting the Josephson effect. When coupled with the measurement of the von Klitzing constant , this provided the most accurate values of Planck's constant  obtained until 2019. This may be counterintuitive, since  is generally associated with the behavior of microscopically small systems, whereas the quantization of magnetic flux in a superconductor and the quantum Hall effect are both emergent phenomena associated with thermodynamically large numbers of particles.

As a result of the 2019 redefinition of the SI base units, the Planck constant  has a fixed value  which, together with the definitions of the second and the metre, provides the official definition of the kilogram. Furthermore, the elementary charge also has a fixed value of   to define the ampere. Therefore, both the Josephson constant  and the von Klitzing constant  have fixed values, and the Josephson effect along with the von Klitzing quantum Hall effect becomes the primary mise en pratique for the definition of the ampere and other electric units in the SI.

See also
Brian Josephson
Committee on Data for Science and Technology
Domain wall (magnetism)
Flux pinning
Ginzburg–Landau theory
Husimi Q representation
Macroscopic quantum phenomena
Magnetic domain
Magnetic monopole
Quantum vortex
Topological defect
von Klitzing constant

References 

Superconductivity
Quantum magnetism
Metrology
Physical constants
자속 양자()는 초전도체에서 양자화된 자속을 말한다. 자속은 기호  로 표시되며 어떤 폐곡선을 통과하는 자속(magnetic flux)은 자기장의 세기 와 폐곡선의 면적 의 곱 즉  로 정의된다. 일반적으로  와  는 모두 임의의 값을 가질 수 있고 따라서 도 임의의 값을 가진다. 그런데 폐곡선 형태의 초전도체나 구멍이 있는 초전도체의 경우에는, 이러한 구멍이나 폐곡선을 통과하는 자속이 양자화된다. 자속 양자  ≈ 2.067 833 848 ... × 10 -15 Wb는 플랑크 상수  와 전자 전하  와 같은 기본적인 물리 상수의 조합이다. 따라서 자속 양자의 값은 초전도체의 종류에 관계없이 모든 초전도체에서 동일한 값이다. 자속이 양자화되는 현상은 1961년 B. S. 디버(B.S.Deaver)와 W. M. 페어뱅크(W.M.Fairbank) 및 R. 돌(R. Doll)과 M. 네바우어(M. Näbauer)에 의하여 각각 독립적으로 실험에 의하여 발견되었다. 자속의 양자화는 리틀 팍스 효과(Little-Parks effect)와 밀접한 관계가 있는데 일찍이 1948년 프리츠 런던이 현상학적 모델(phenomenological model)을 사용하여 예측했다.

자속 양자의 역수 값,  는 조셉슨 상수라 불리며  로 표시된다. 이것은 조셉슨 효과의 비례 상수로, 조셉슨 접합에서의 전위차를 그 조사 주파수와 관련짓는 계수이다. 조셉슨 효과는 전압을 고정밀로 측정하는 표준을 제공하기 위하여 매우 널리 사용되며, 1990년 이래로 조셉슨 상수의 협정값(conventional value)으로 으로 표기되는 상수와 관련되어 있다. 한편 2019년 SI 기본 단위의 재정의에 의하여 조셉슨 상수  = .... GHz·V-1의 엄밀한 값을 가지며 기존의  값을 대체한다.

개요 
초전도체 각 지점에서의 초전도 특성은, 초전도체의 오더 파라미터(order parameter)인 양자역학의 복소수 파동 함수  에 의하여 표현된다. 모든 복소수 함수  는 로 표기될 수 있는데, 여기서  은 진폭이고  는 위상이다. 위상 를  변경시키더라도  는 변화하지 않으므로 그 물리적 특성도 변화하지 않는다. 그런데 구멍이 있는 초전도체 혹은 루프나 실린터 형상의 초전도체와 같이 트리비얼(trivial) 하지 않은 토폴로지를 갖는 초전도체에서, 위상 는 구멍이나 루프의 주위를 한바퀴 돌면서 어떤 값  로부터 까지 연속적으로 변경될 수 있으므로, 이때에는 하나의 홀이나 루프에 갖혀 있는  개의 자속 양자를 갖게 된다.

마이스너 효과로 인해 초전도체 내부의 자기 유도 는 0이다. 좀 더 엄밀하게 말하면, 자기장  는 런던의 자기장 침투 깊이 (  로 표시되고 일반적으로  )로 불리는 짧은 거리에 걸쳐 초전도체로 침투한다. 스크리닝 전류도 표면 근처의  층에서 흘러서 초전도체 내부에 자화 을 생성하고, 이것이 가해진 자계 와 완전히 상쇄하여, 결과적으로 초전도체 내부에서  가 된다.

루프나 홀 (그리고 그것의  층)에 동결되어 있는 자속은 항상 양자화된다는 점에 유의해야 한다. 그런데 자속 양자의 값은, 위에서 말한 홀 주위의 경로가 초전도체 내부에서 스크리닝 전류가 없는 구역, 즉 표면으로부터 수  떨어진 내부에 있을 때에만,  와 동일하게 된다. 이러한 조건을 충족할 수 없는 기하학적 구조가 있는데, 예를 들어 매우 얇은 (  ) 초전도 선으로 만들어진 루프 또는 유사한 두께의 장벽을 갖는 원통이 있다. 후자의 경우 자속은  와 상이한 값의 양자를 갖는다.

자속 양자는 현재 가장 민감한 자력계 중 하나인 SQUID의 핵심 아이디어이다.

자속의 양자화는 II형 초전도체의 물리학에서도 중요한 역할을 한다. 홀이 없는 초전도체가 최초 임계 자계  와 두번째 임계 자계  의 중간 값을 가지는 자기장 내에 배치되면, 자기장은 아브리코소프 와류의 형태로 초전도체 내부로 일부 침투한다. 아브리코소프 와류는, 초전도 코히어런스 길이인   정도의 지름을 갖는, 정상(비초전도체) 상(phase)의 원통으로 구성되고, 이러한 정상 코어는 초전도 상에서 홀의 역할을 한다. 자기장 선은 정상 코어를 따라서 전체 샘플을 통과한다. 스크린 전류는 코어의   부근에서 순환하여 코어의 자기장으로부터 나머지 초전도체를 차단한다. 전체적으로, 이러한 아브리코소프 와류 각각은 하나의 양자 자속 을 운반한다. 이론적으로는 구멍 당 하나 이상의 자속 양자를 갖는 것도 가능하지만,  의 값을 갖는 아브리코소프 와류는 불안정하여  인 여러 개의 와류로 분리된다. 그런데 실제의 구멍에서   상태는, 실제 구멍이 여러 개의 작은 구멍으로 나뉠 수 없어 안정하게 된다.

자속의 측정 
자속 양자는 조셉슨 효과(Josephson effect)를 이용하여 매우 정밀하게 측정 될 수 있다. 폰 클리칭 상수  의 측정과 결합하면 현재까지 얻은 플랑크 상수  의 가장 정확한 값을 얻을 수 있다. 이러한 결과는,  값이 일반적으로는 미시적으로 작은 시스템의 거동과 관련되어 있으며 반면에 초전도체의 자속의 양자화와 양자 홀 효과는 모두 열역학적으로 다수의 입자와 관련되어 발현되는 현상이므로 직관에 반한다.

같이 보기 
 브라이언 조셉슨
 과학기술 데이터위원회
 도메인 벽 (자기)
 플럭스 피닝
 긴즈버그-란다우 이론
 후시미 Q 표현
 거시적 양자 현상
 자성 도메인
 자기 단극
 양자 소용돌이
 위상학적 결함
 폰 클리칭 상수

각주 

물리 상수
도량형학
초전도