Moving to Lecture 12:
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Slide 1:
General Longitudinal Trim Equations
In the analysis presented so far, we ignored contributions from the fuselage and other external payload
The total pitching moment on the aircraft at equilibrium can be written as
$$
M=M\_0+M\_\alpha \alpha+M\_\delta \delta=0
$$
where $\delta$ is the control surface deflection
The incremental moment after a perturbation $\Delta \alpha$ is given by
$$
\Delta M=M\_\alpha \Delta \alpha
$$
Therefore, the condition for static stability can be written as $M\_\alpha<0$
All the cases examined until this point are essentially specific examples of this generic condition
Recall: this is also a necessary condition for the stability of the short period dynamics

Slide 2:
Neutrally Stable Configurations and Trim
The equilibrium pitching moment is given by
$$
M=M\_0+M\_\alpha \alpha+M\_\delta \delta=0 \Longrightarrow \alpha=-\frac{M\_\delta}{M\_\alpha} \delta
$$
If $\left|M\_\alpha\right|$ is very small (close to zero), the angle of attack changes by large amounts even for small elevator deflection. This is highly undesirable.
Suppose $M\_\alpha=0$. Then, at equilibrium,
$$
M=M\_0+M\_\delta \delta=0
$$
The angle of attack is nowhere in the picture! Therefore, without active control, the aircraft can trim at any angle of attack, i.e., there is no control whatsoever on the trim value of $\alpha$

Slide 3: Control Surface Actuation
Longitudinal control surfaces are actuated by a combination of actuators
Electro-mechanical actuators connected to the flight computer
Hydraulic actuators connected to the flight computer as well
as the control column in the cockpit
In small aircraft, mechanical wires and pulleys connected
directly to the control column
The pilot exerts a force on the control column; the force is transmitted to
the actuator to move the control surface
The control surface exerts an opposing force.
Equilibrium: the two forces are equal and cancel each other

Slide 4:
Stick-Free Versus Stick-Fixed Stability

So far, we assumed that the elevator deflection is constant, for which the
pilot would have to hold the control column in one place manually.
The stability that we have looked at so far is therefore called “stick-fixed”
stability
In nominal trim flight, the pilot takes his hands o↵ the control column
In doing so, he “arranges” for a certain amount of force to be applied to
the elevator at all times
The elevator is no longer statically deflected; it has a dynamics of its own
The dynamics of the elevator affect the stability of the aircraft. This is
called “stick-free” stability

Slide 5:
Stick-Free Stability
Recall the trim equation for pitching moment:
$$
M=M\_0+M\_\alpha \alpha+M\_\delta \delta
$$
Suppose now that we can write $\delta=H\_0+H\_\alpha \alpha$, for some constants $H\_0$ and $H\_\alpha$
Substituting into the pitching moment expression yields
$$
M=\left(M\_0+M\_\delta H\_0\right)+\left(M\_\alpha+M\_\delta H\_\alpha\right) \alpha
$$
Static stability condition: $M\_\alpha+M\_\delta H\_\alpha<0$
If $M\_\delta H\_\alpha>0$, then we need a much more negative $M\_\alpha$
- The NP shifts forward, towards the wing $A C$
- The static margin reduces
Usually, $M\_\delta<0$ (rear-mounted surface); thus, $H\_\alpha<0$ is destabilizing and vice-versa

Slide 6:
The Elevator Trim Tab
The trim tab is a small flap located on the elevator
Purpose: enable the pilot to set the elevator to any desired angle so that
the force on the stick is zero
Principle: The trim tab behaves like an independent symmetric airfoil.
The force on the tab produces a moment which adds on to the moment
due to the stick force

Slide 7: Stick-Free Control
- Objective: find the tab deflection angle $\delta\_{t a b}$ to achieve zero hinge moment
- Moment from the elevator: $M\_e=\frac{1}{2} \rho V^2 S\_e C\_{L \alpha}^e\left(\alpha+\delta\_e\right) x\_e$
- Moment from the trim tab: $M\_{t a b}=\frac{1}{2} \rho V^2 S\_{t a b} C\_{L \alpha}^{t a b}\left(\alpha+\delta\_{t a b}\right) x\_{t a b}$
- Equilibrium is achieved when $M\_e+M\_{t a b}=0$
- The trim elevator angle is given by
$$
\delta\_e=\left(-\frac{S\_{t a b} x\_{t a b} C\_{L \alpha}^{t a b}}{S\_e x\_e C\_{L \alpha}^e}-1\right) \alpha-\left(\frac{S\_{t a b} x\_{t a b} C\_{L \alpha}^{t a b}}{S\_e x\_e C\_{L \alpha}^e}\right) \delta\_{t a b}
$$
Compare with $\delta=H\_0+H\_\alpha \alpha$ : clearly, $H\_\alpha<0$
- Stick-free configurations are less stable than stick-fixed configurations

Slide 8:
Effect of Downwash on the Horizontal Tail
Downwash reduces the angle of attack of the horizontal tail
Angle of attack of the vertical tail in a static setting
$$
\alpha\_t=\underbrace{\alpha+i\_t}\_{\text {geometric }}-\underbrace{\epsilon}\_{\text {downwash }}
$$
The downwas is written as $\epsilon=\epsilon\_0+\epsilon\_\alpha \alpha>0$, so that
$$
\alpha\_t=\alpha\left(1-\epsilon\_\alpha\right)+i\_t-\epsilon\_0
$$
Rewrite $M\_\alpha$ :
$$
C\_{M\_\alpha}=\frac{x\_{A C}}{c} C\_{L\_\alpha}^w-V\_H C\_{L\_\alpha}^t\left(1-\epsilon\_\alpha\right)
$$
Clearly, downwash reduces the longitudinal-stability of the aircraft
Neutral point shifts forward to satisfy $\frac{X\_{A C}}{C}=V\_H\left(1-\epsilon\_\alpha\right)$

Slide 9:
Longitudinal Control
$$
\begin{aligned}
\dot{q} & =\frac{M\left(\alpha, q, \delta\_e\right)}{I\_{y y}} \\
\dot{\alpha} & =q-\frac{1}{m V}(L-m g \cos \gamma) \\
\dot{\gamma} & =\frac{1}{m V}(L-m g \cos \gamma) \\
\dot{V} & =\frac{1}{m}(T-D)-g \sin \gamma
\end{aligned}
$$
- Longitudinal control inputs: thrust $(T)$ and elevator deflection $\delta\_e$
- Elevator deflection $\delta\_e$ controls the pitching motion of the aircraft
- Angle of attack controls $\dot{\gamma}$ (primary) and $\dot{V}$ (secondary)
- Thrust: controls $\dot{V}$
- Recall the steady state influence of $T$ and $\alpha$ :
$$
V^2=\frac{2 W \cos \gamma}{\rho S C\_L}, \sin \gamma=\frac{T-D}{W}
$$

Slide 10:
Pitch Control Using the Elevator
- The elevator deflection $\delta\_e$ is defined positive downwards
- Lift due to elevator deflection $\partial L / \partial \delta\_e>0$
- Therefore, $M\_{\delta\_e}=\partial M / \partial \delta\_e<0$
Pitch Equilibrium
- Recall that the pitching dynamics are given by
$$
\dot{\alpha}=q-\dot{\gamma} ; \quad \dot{q}=\frac{M}{I\_{y y}}
$$
For equilibrium, we need $M=0$ and $q=0$
But $M=M\_0+M\_\alpha \alpha+M\_q q+M\_{\delta\_e} \delta\_e$
- Hence, the trim angle of attack is given by
$$
\alpha^0=\frac{-\left(M\_{\delta\_e} \delta\_e+M\_0\right)}{M\_\alpha}=-\frac{M\_{\delta\_e}}{M\_\alpha} \delta\_e-\frac{M\_0}{M\_\alpha}
$$
In a stable aircraft, $M\_\alpha<0$; also, $M\_{\delta\_e}<0$ when the horizontal tail is located aft of the CG

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강의 12로 이동합니다:```슬라이드 1:일반 세로 트림 방정식지금까지 제시된 분석에서는 동체 및 기타 외부 페이로드의 기여도를 무시했습니다.평형 상태에서 항공기의 총 피칭 모멘트는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.$$M=M\_0+M\_\알파 \알파+M\_\델타 \델타=0$$여기서 $\delta$ 는 제어면 편향입니다.섭동 후의 증분 모멘트 $\Delta \alpha$는 다음과 같이 주어집니다.$$\델타 M=M\_\알파 \델타 \알파$$따라서 정적 안정성의 조건은 $M\_\알파<0$로 쓸 수 있습니다.지금까지 살펴본 모든 사례는 본질적으로 이 일반적인 조건의 구체적인 예시입니다.기억하세요: 이 조건은 단주기 동역학의 안정성을 위한 필수 조건이기도 합니다.슬라이드 2:중립적으로 안정적인 구성 및 트림평형 피칭 모멘트는 다음과 같이 주어집니다.$$M=M\_0+M\_\알파 \알파+M\_\델타 \델타=0 \Longrightarrow \알파=-\frac{M\_\델타}{M\_\알파} \delta$$왼쪽|M\_\알파\오른쪽|$이 매우 작으면(0에 가까울 경우), 작은 엘리베이터 처짐에도 휨각이 큰 폭으로 변합니다. 이는 매우 바람직하지 않습니다.M\_\알파=0$이라고 가정합니다. 그러면 평형 상태에서는$$M=M\_0+M\_\델타 \delta=0$$공격 각도는 그림 어디에도 없습니다! 따라서 능동 제어가 없으면 항공기는 모든 공격각에서 트림할 수 있습니다. 즉, $\알파$의 트림 값에 대한 제어가 전혀 없습니다.슬라이드 3: 제어 표면 작동세로 방향 제어 표면은 액추에이터의 조합으로 작동합니다.비행 컴퓨터에 연결된 전기 기계식 액추에이터비행 컴퓨터에 연결된 유압식 액추에이터와조종석의 제어 칼럼으로소형 항공기의 경우 기계식 와이어와 풀리는제어 칼럼에 직접 연결조종사는 조종 칼럼에 힘을 가하고 그 힘은 액추에이터로 전달됩니다.액추에이터로 전달되어 조종 표면을 움직입니다.제어 표면은 반대 힘을 가합니다.평형: 두 힘은 동일하며 서로 상쇄됩니다.슬라이드 4:스틱이 없는 안정성과 스틱이 고정된 안정성 비교지금까지는 엘리베이터의 편향이 일정하다고 가정했습니다.조종사가 조종 기둥을 한 곳에 수동으로 고정해야 한다고 가정했습니다.따라서 지금까지 살펴본 안정성을 "스틱 고정형"이라고 합니다.안정성공칭 트림 비행에서 조종사는 조종간에서 손을 떼고 조종 기둥을 잡습니다.그렇게함으로써 그는 일정량의 힘이 가해질 수 있도록 "배열"합니다.항상 엘리베이터에엘리베이터는 더 이상 정적으로 편향되지 않고 자체적인 동역학을 갖습니다.엘리베이터의 동역학은 항공기의 안정성에 영향을 미칩니다. 이를"스틱 프리" 안정성이라고 합니다.슬라이드 5:스틱 프리 안정성피칭 모멘트에 대한 트림 방정식을 떠올려 보십시오:$$M=M\_0+M\_\알파 \알파+M\_\델타 \델타$$이제 몇 가지 상수 $H\_0$ 및 $H\_\알파$에 대해 $\delta=H\_0+H\_\알파 \알파$를 쓸 수 있다고 가정해 보겠습니다.피칭 모멘트 식에 대입하면 다음과 같은 결과가 나옵니다.$$M=\left(M\_0+M\_\delta H\_0\right)+\left(M\_\alpha+M\_\delta H\_\alpha\right) \alpha$$정적 안정성 조건: $M\_\alpha+M\_\delta H\_\alpha<0$.M\_\delta H\_\alpha>0$이면, 훨씬 더 음의 $M\_\alpha$가 필요합니다.- NP는 날개 $A C$를 향해 앞으로 이동합니다.- 정적 마진이 감소합니다.일반적으로 $M\_\delta<0$(후면 장착 표면)이므로 $H\_\alpha<0$는 불안정하고 그 반대의 경우도 마찬가지입니다.슬라이드 6:엘리베이터 트림 탭트림 탭은 엘리베이터에 있는 작은 플랩입니다.목적: 조종사가 엘리베이터를 원하는 각도로 설정하여 스틱에 가해지는 힘이 0이 되도록 합니다.스틱에 가해지는 힘이 0이 되도록원리: 트림 탭은 독립적인 대칭형 에어포일처럼 작동합니다.탭에 가해지는 힘은 스틱에 가해지는 힘으로 인해모멘트를 생성합니다.슬라이드 7: 스틱 없는 제어- 목표: 0 힌지 모멘트를 달성하기 위한 탭 편향 각도 $\delta\_{t a b}$를 구합니다.- 엘리베이터에서의 모멘트: $M\_e=\frac{1}{2} \rho V^2 S\_e C\_{L \알파}^e\좌측(\알파+\델타\_e\우측) x\_e$- 트림 탭의 모멘트입니다: M\_{t a b}=\frac{1}{2} \rho V^2 S\_{t a b} C\_{L \alpha}^{t a b}\left(\alpha+\delta\_{t a b}\right) x\_{t a b}$- 평형은 $M\_e+M\_{t a b}=0$일 때 달성됩니다.- 트림 엘리베이터 각도는 다음과 같이 주어집니다.$$\델타\_e=\left(-\frac{S\_{t a b} x\_{t a b} C\_{L \alpha}^{t a b}}{S\_e x\_e C\_{L \alpha}^e}-1\right) \alpha- \왼쪽(\frac{S\_{t a b} x\_{t a b} C\_{L \alpha}^{t a b}}{S\_e x\_e C\_{L \alpha}^e}\right) \delta\_{t a b}$$델타=H\_0+H\_\알파 \알파$와 비교하면 분명히 $H\_\알파<0$입니다.- 스틱이 없는 구성은 스틱이 고정된 구성보다 안정성이 떨어집니다.슬라이드 8:다운워시가 수평 테일에 미치는 영향다운워시는 수평 테일의 공격 각도를 감소시킵니다.정적 설정에서 수직 테일의 어택 각도$$\알파\_t=\언더브레이스{\알파+i\_t}\_{\텍스트 {지오메트릭 }}-\언더브레이스{\엡실론}\_{\텍스트 {다운워시 }}$$다운워시는 $\epsilon=\epsilon\_0+\epsilon\_\알파 \알파>0$로 작성되므로 다음과 같이 됩니다.$$\alpha\_t=\alpha\left(1-\epsilon\_\alpha\right)+i\_t-\epsilon\_0$$M\_\알파$ 를 다시 작성합니다:$$C\_{M\_\alpha}=\frac{x\_{A C}}{c} C\_{L\_\alpha}^w-V\_H C\_{L\_\alpha}^t\left(1-\epsilon\_\a