We start by drawing the frustum.  Let the top and bottom circles have centers $O_1$ and $O_2$ respectively, and label points $A$ and $B$ on the circumferences as shown such that $O_1$, $O_2$, $A$, and $B$ lie in the same plane.

[asy]
unitsize(0.5 cm);

import geometry; defaultpen(linewidth(.8)+fontsize(10));
label("$O_1$",(0,4),W); label("$O_2$",(0,0),SW); label("$B$",(6,0),SE); label("$A$",(3,4),NE);
draw((3,4)--(0,4)--(0,0)--(6,0));
draw(scale(1,.2)*arc((0,0),6,0,180),linetype("2 4"));
draw(scale(1,.2)*arc((0,0),6,180,360));
draw(scale(1,.2)*arc((0,20),3,0,180));
draw(scale(1,.2)*arc((0,20),3,180,360));
draw((6,0)--(3,4)); draw((-6,0)--(-3,4));
label("6",(3,0),S); label("4",(0,2),W); label("3",(1.5,4),N);

[/asy]

Because the frustum was cut from a right circular cone, $\angle AO_1O_2$ and $\angle BO_2O_1$ are both right angles.  We drop a perpendicular from $A$ to $\overline{O_2B}$ and let the intersection point be $X$.  Then $O_1AXO_2$ is a rectangle and \[XB=O_2B-O_1A=6-3=3.\]Pythagorean theorem on right $\triangle AXB$ gives \[AB=\sqrt{AX^2 + BX^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5.\]Thus the slant height of the frustum is 5.

Extend $\overline{O_1O_2}$ and $\overline{AB}$ above the frustum, and let them intersect at point $C$. $C$ is the tip of the full cone that the frustum was cut from.  To compute the lateral surface area of the frustum, we compute the lateral surface area of the full cone and subtract off the lateral surface area of the smaller cone that was removed.

[asy]
unitsize(0.5 cm);

import geometry; defaultpen(linewidth(.8)+fontsize(10));
label("$O_1$",(0,4),W); label("$O_2$",(0,0),SW); label("$B$",(6,0),SE); label("$A$",(3,4),NE);
draw((3,4)--(0,4)--(0,0)--(6,0)); draw((3,4)--(0,8)--(-3,4)); draw((0,4)--(0,8)); label("$C$",(0,8),NE);
draw(scale(1,.2)*arc((0,0),6,0,180),linetype("2 4"));
draw(scale(1,.2)*arc((0,0),6,180,360));
draw(scale(1,.2)*arc((0,20),3,0,180),linetype("2 4"));
draw(scale(1,.2)*arc((0,20),3,180,360));
draw((6,0)--(3,4)); draw((-6,0)--(-3,4));
label("6",(3,0),S); label("4",(0,2),W); label("3",(1.5,4),N); label("5",(4.5,2),NE); [/asy]

To find the height of the whole cone, we take a vertical cross-section of the cone that includes $O_1$, $O_2$, $A$, and $B$.  This cross-section is an isosceles triangle.

[asy]
unitsize(0.5 cm);

defaultpen(linewidth(.8)+fontsize(10));
draw((0,0)--(12,0)--(6,8)--cycle); draw((6,0)--(6,8)); draw((6,4)--(9,4));
label("$B$",(12,0),E); label("$C$",(6,8),NE); label("$O_1$",(6,4),W); label("$O_2$",(6,0),SW); label("$A$",(9,4),E);

label("6",(9,0),S); label("3",(7.5,4),S); label("4",(6,2),W); label("5",(10.5,2),NE);

[/asy]

$\triangle CO_1A$ and $\triangle CO_2B$ are similar, so \[\frac{CO_1}{CO_2} = \frac{CA}{CB}=\frac{O_1A}{O_2B}=\frac{3}{6}.\]Thus $CO_1=4$ and $CA=5$ (and we see the small removed cone has half the height of the full cone).  Also, $CB=10$.

Now we unroll the lateral surface area of the full cone.  (The desired frustum lateral area is shown in blue.)

[asy]
unitsize(0.2 cm);

import graph;
defaultpen(linewidth(.8)+fontsize(10));
fill(Arc((0,0),10,0,240)--cycle,heavycyan); fill(Arc((0,0),5,0,240)--cycle,white); fill((5,0)--(10,0)--(-5,-5*sqrt(3))--(-2.5,-2.5*sqrt(3))--cycle,white);
draw(Arc((0,0),10,0,240)); draw(Arc((0,0),5,0,240));
draw(Arc((0,0),10,240,360),linetype("2 4")); draw(Arc((0,0),5,240,360),linetype("2 4"));

draw((10,0)--(0,0)--(-5,-5*sqrt(3)));

label("$C$",(0,0),SE); label("$A$",(5,0),SE); label("$B$",(10,0),SE); label("10",(-2.5,-2.5*sqrt(3)),SE);

[/asy]

When unrolled, the full cone's lateral surface area is a sector whose arc length is the cone's base perimeter and whose radius is the cone's slant height.  So, the sector has arc length $2\cdot \pi \cdot 6 = 12\pi$ and radius $10$.  A full circle with radius 10 has arc length $2\cdot \pi \cdot 10 = 20\pi$, so the sector has $\frac{12\pi}{20\pi}=\frac{3}{5}$ of the circle's arc length and thus has 3/5 of the circle's area.  Thus, the full cone has lateral surface area \[\frac{3}{5}\pi (10^2) = 60\pi.\]Similarly, the small removed cone's lateral surface area is a sector with radius 5 and arc length $2\cdot \pi \cdot 3 = 6\pi$ (which is $3/5$ of the arc length of a full circle with radius 5), so its lateral surface area is \[\frac{3}{5}\pi (5^2)=15\pi.\]The lateral surface area of the frustum, in blue, is the full cone's lateral surface area minus the small removed cone's lateral surface area, which is \[60\pi-15\pi=45\pi.\]
먼저 프러스텀을 그립니다.  위쪽 원과 아래쪽 원의 중심이 각각 $O_1$과 $O_2$가 되도록 하고, 그림과 같이 원주에 점 $A$와 $B$를 표시하여 $O_1$, $O_2$, $A$ 및 $B$가 같은 평면에 놓이도록 합니다.

[asy]
unitsize(0.5cm);

import geometry; defaultpen(linewidth(.8)+fontsize(10));
label("$O_1$",(0,4),W); label("$O_2$",(0,0),SW); label("$B$",(6,0),SE); label("$A$",(3,4),NE);
draw((3,4)--(0,4)--(0,0)--(6,0));
draw(scale(1,.2)*arc((0,0),6,0,180),linetype("2 4"));
draw(scale(1,.2)*arc((0,0),6,180,360));
draw(scale(1,.2)*arc((0,20),3,0,180));
draw(scale(1,.2)*arc((0,20),3,180,360));
draw((6,0)--(3,4)); draw((-6,0)--(-3,4));
label("6",(3,0),S); label("4",(0,2),W); label("3",(1.5,4),N);

[/asy]

프러스텀은 오른쪽 원형 원뿔에서 잘라냈기 때문에 $\각 AO_1O_2$와 $\각 BO_2O_1$은 모두 직각입니다.  수직을 $A$에서 $\overline{O_2B}$로 떨어뜨리고 교차점을 $X$로 합니다. 그러면 $O_1AXO_2$는 직사각형이고 \[XB=O_2B-O_1A=6-3=3.\]오른쪽 $\삼각형 AXB$에 대한 피타고라스 정리는 \[AB=\sqrt{AX^2 + BX^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5.\]이므로 프러스텀의 경사 높이는 5가 됩니다.

오버라인{O_1O_2}$와 $\overline{AB}$를 프러스텀 위로 연장하고, $C$ 점에서 교차하도록 합니다. C$는 프러스텀이 절단된 전체 원뿔의 끝입니다.  프러스텀의 측면 표면적을 계산하기 위해 전체 원뿔의 측면 표면적을 계산하고 제거된 작은 원뿔의 측면 표면적을 뺍니다.

[asy]
unitsize(0.5cm);

import geometry; defaultpen(linewidth(.8)+fontsize(10));
label("$O_1$",(0,4),W); label("$O_2$",(0,0),SW); label("$B$",(6,0),SE); label("$A$",(3,4),NE);
draw((3,4)--(0,4)--(0,0)--(6,0)); draw((3,4)--(0,8)--(-3,4)); draw((0,4)--(0,8)); label("$C$",(0,8),NE);
draw(scale(1,.2)*arc((0,0),6,0,180),linetype("2 4"));
draw(scale(1,.2)*arc((0,0),6,180,360));
draw(scale(1,.2)*arc((0,20),3,0,180),linetype("2 4"));
draw(scale(1,.2)*arc((0,20),3,180,360));
draw((6,0)--(3,4)); draw((-6,0)--(-3,4));
label("6",(3,0),S); label("4",(0,2),W); label("3",(1.5,4),N); label("5",(4.5,2),NE); [/asy]

전체 원뿔의 높이를 구하기 위해 $O_1$, $O_2$, $A$ 및 $B$를 포함하는 원뿔의 수직 단면을 구합니다.  이 단면은 이등변 삼각형입니다.

[asy]
unitsize(0.5cm);

defaultpen(선폭(.8)+글꼴크기(10));
draw((0,0)--(12,0)--(6,8)--cycle); draw((6,0)--(6,8)); draw((6,4)--(9,4));
label("$B$",(12,0),E); label("$C$",(6,8),NE); label("$O_1$",(6,4),W); label("$O_2$",(6,0),SW); label("$A$",(9,4),E);

label("6",(9,0),S); label("3",(7.5,4),S); label("4",(6,2),W); label("5",(10.5,2),NE);

[/asy]

삼각형 CO_1A$와 삼각형 CO_2B$는 유사하므로 \[\frac{CO_1}{CO_2} = \frac{CA}{CB}=\frac{O_1A}{O_2B}=\frac{3}{6}.\]따라서 $CO_1=4$ 및 $CA=5$입니다(그리고 제거된 작은 원뿔의 높이가 전체 원뿔의 절반인 것을 볼 수 있습니다).  또한 $CB=10$입니다.

이제 전체 원뿔의 측면 표면적을 펼칩니다. (원하는 절두체 측면 영역은 파란색으로 표시됩니다.)

[asy]
단위 크기(0.2cm);

그래프를 가져옵니다;
defaultpen(선폭(.8)+글꼴크기(10));
fill(Arc((0,0),10,0,240)--cycle,heavycyan); fill(Arc((0,0),5,0,240)--cycle,white); fill((5,0)--(10,0)--(-5,-5*sqrt(3))--(-2.5,-2.5*sqrt(3))--cycle,white);
draw(Arc((0,0),10,0,240)); draw(Arc((0,0),5,0,240));
draw(Arc((0,0),10,240,360),linetype("2 4")); draw(Arc((0,0),5,240,360),linetype("2 4"));

draw((10,0)--(0,0)--(-5,-5*sqrt(3)));

label("$C$",(0,0),SE); label("$A$",(5,0),SE); label("$B$",(10,0),SE); label("10",(-2.5,-2.5*sqrt(3)),SE);

[/asy]

원뿔을 펼쳤을 때 전체 원뿔의 측면 면적은 원호 길이가 원뿔의 밑변 둘레이고 반지름이 원뿔의 경사 높이인 섹터입니다. 따라서 섹터의 호 길이는 $2\cdot \pi \cdot 6 = 12\pi$이고 반지름은 $10$입니다.  반지름이 10인 원은 호 길이가 $2\cdot \pi \cdot 10 = 20\pi$이므로 섹터는 원의 호 길이의 $\frac{12\pi}{20\pi}=\frac{3}{5}$를 가지므로 원 면적의 3/5를 가집니다. 따라서 전체 원뿔의 측면 표면적은 \[\frac{3}{5}\pi (10^2) = 60\pi\]입니다.\]마찬가지로, 제거된 작은 원뿔의 측면 표면적은 반지름이 5이고 호 길이가 $2\cdot \pi \cdot 3 = 6\pi$(반지름이 5인 완전한 원의 호 길이의 $3/5$)인 섹터이므로, 측면 표면적은 \[\frac{3}{5}\pi (5^2)=15\pi\]가 됩니다.\파란색으로 표시된 절두체의 측면 표면적은 전체 원뿔의 측면 표면적에서 제거된 작은 원뿔의 측면 표면적을 뺀 값으로, \[60\pi-15\pi=45\pi\]입니다.]