In mathematics, an Azumaya algebra is a generalization of central simple algebras to -algebras where  need not be a field. Such a notion was introduced in a 1951 paper of Goro Azumaya, for the case where  is a commutative local ring. The notion was developed further in ring theory, and in algebraic geometry, where Alexander Grothendieck made it the basis for his geometric theory of the Brauer group in Bourbaki seminars from 1964–65. There are now several points of access to the basic definitions.

Over a ring 
An Azumaya algebra
 over a commutative ring  is an -algebra  obeying any of the following equivalent conditions:
 There exists an -algebra  such that the tensor product of -algebras  is Morita equivalent to .
 The -algebra  is Morita equivalent to , where  is the opposite algebra of .
 The center of  is , and  is separable.
  is finitely generated, faithful, and projective as an -module, and the tensor product   is isomorphic to  via the map sending  to the endomorphism  of .

Examples over a field 
Over a field , Azumaya algebras are completely classified by the Artin–Wedderburn theorem since they are the same as central simple algebras. These are algebras isomorphic to the matrix ring  for some division algebra  over  whose center is just . For example, quaternion algebras provide examples of central simple algebras.

Examples over local rings 
Given a local commutative ring , an -algebra  is Azumaya if and only if  is free of positive finite rank as an -module, and the algebra  is a central simple algebra over , hence all examples come from central simple algebras over .

Cyclic algebras 
There is a class of Azumaya algebras called cyclic algebras which generate all similarity classes of Azumaya algebras over a field , hence all elements in the Brauer group  (defined below). Given a finite cyclic Galois field extension  of degree , for every  and any generator  there is a twisted polynomial ring , also denoted , generated by an element  such that
 
and the following commutation property holds:
 

As a vector space over ,  has basis  with multiplication given by
 

Note that give a geometrically integral variety , there is also an associated cyclic algebra for the quotient field extension .

Brauer group of a ring 
Over fields, there is a cohomological classification of Azumaya algebras using Étale cohomology. In fact, this group, called the Brauer group, can be also defined as the similarity classes of Azumaya algebras over a ring , where rings  are similar if there is an isomorphism
 
of rings for some natural numbers . Then, this equivalence is in fact an equivalence relation, and if , , then , showing
 
is a well defined operation. This forms a group structure on the set of such equivalence classes called the Brauer group, denoted . Another definition is given by the torsion subgroup of the etale cohomology group
 
which is called the cohomological Brauer group. These two definitions agree when  is a field.

Brauer group using Galois cohomology 
There is another equivalent definition of the Brauer group using Galois cohomology. For a field extension  there is a cohomological Brauer group defined as
 
and the cohomological Brauer group for  is defined as
 
where the colimit is taken over all finite Galois field extensions.

Computation for a local field 
Over a local non-archimedean field , such as the p-adic numbers , local class field theory gives the isomorphism of abelian groups:pg 193
 

This is because given abelian field extensions  there is a short exact sequence of Galois groups
 
and from Local class field theory, there is the following commutative diagram:
 
where the vertical maps are isomorphisms and the horizontal maps are injections.

n-torsion for a field 
Recall that there is the Kummer sequence
 
giving a long exact sequence in cohomology for a field . Since Hilbert's Theorem 90 implies , there is an associated short exact sequence
 
showing the second etale cohomology group with coefficients in the th roots of unity  is

Generators of n-torsion classes in the Brauer group over a field 
The Galois symbol, or norm-residue symbol, is a map from the -torsion Milnor K-theory group  to the etale cohomology group , denoted by
 

It comes from the composition of the cup product in etale cohomology with the Hilbert's Theorem 90 isomorphism
 
hence
 

It turns out this map factors through , whose class for  is represented by a cyclic algebra . For the Kummer extension  where , take a generator  of the cyclic group, and construct . There is an alternative, yet equivalent construction through Galois cohomology and etale cohomology. Consider the short exact sequence of trivial -modules
 

The long exact sequence yields a map
 

For the unique character
 
with , there is a unique lift
 
and
 
note the class  is from the Hilberts theorem 90 map . Then, since there exists a primitive root of unity , there is also a class
 

It turns out this is precisely the class . Because of the norm residue isomorphism theorem,  is an isomorphism and the -torsion classes in  are generated by the cyclic algebras .

Skolem–Noether theorem 
One of the important structure results about Azumaya algebras is the Skolem–Noether theorem: given a local commutative ring  and an Azumaya algebra , the only automorphisms of  are inner. Meaning, the following map is surjective:
 
where  is the group of units in  This is important because it directly relates to the cohomological classification of similarity classes of Azumaya algebras over a scheme. In particular, it implies an Azumaya algebra has structure group  for some , and the Čech cohomology group
 
gives a cohomological classification of such bundles. Then, this can be related to  using the exact sequence
 

It turns out the image of  is a subgroup of the torsion subgroup .

On a scheme 
An Azumaya algebra on a scheme X with structure sheaf , according to the original Grothendieck seminar, is a sheaf  of -algebras that is étale locally isomorphic to a matrix algebra sheaf; one should, however, add the condition that each matrix algebra sheaf is of positive rank. This definition makes an Azumaya algebra on  into a 'twisted-form' of the sheaf .  Milne, Étale Cohomology, starts instead from the definition that it is a sheaf  of -algebras whose stalk  at each point  is an Azumaya algebra over the local ring  in the sense given above.

Two Azumaya algebras  and  are equivalent if there exist locally free sheaves  and  of finite positive rank at every point such that
 
where  is the endomorphism sheaf of . The Brauer group  of  (an analogue of the Brauer group of a field) is the set of equivalence classes of Azumaya algebras. The group operation is given by tensor product, and the inverse is given by the opposite algebra. Note that this is distinct from the cohomological Brauer group which is defined as .

Example over Spec(Z[1/n]) 
The construction of a quaternion algebra over a field can be globalized to  by considering the noncommutative -algebra
 
then, as a sheaf of -algebras,  has the structure of an Azumaya algebra. The reason for restricting to the open affine set  is because the quaternion algebra is a division algebra over the points  is and only if the Hilbert symbol
 
which is true at all but finitely many primes.

Example over Pn 
Over  Azumaya algebras can be constructed as  for an Azumaya algebra  over a field . For example, the endomorphism sheaf of  is the matrix sheaf
 
so an Azumaya algebra over  can be constructed from this sheaf tensored with an Azumaya algebra  over , such as a quaternion algebra.

Applications 
There have been significant applications of Azumaya algebras in diophantine geometry, following work of Yuri Manin.  The Manin obstruction to the Hasse principle is defined using the Brauer group of schemes.

See also 
 Gerbe
 Class field theory
 Algebraic K-theory
 Motivic cohomology
 Norm residue isomorphism theorem

References

 Brauer group and Azumaya algebras 
 Milne, John. Etale cohomology. Ch IV
 
 Mathoverflow thread on "Explicit examples of Azumaya algebras"

 Division algebras 
 
 

Ring theory
Scheme theory
Algebras
환론과 대수적 수론과 대수기하학에서 아즈마야 대수([東屋]代數, )는 가환환 또는 스킴 위의 단위 결합 대수 가운데, 자리스키 위상에서 각 줄기가 유한 차원 자유 가군이며, 줄기의 포락 대수가 행렬환과 동형인 것이다. 대수기하학적으로, 아즈마야 대수는 올이 사영 공간인 올다발에 해당한다.

아즈마야 대수들의 동치류는 브라우어 군(Brauer群, )이라는 군을 정의한다. 이는 벡터 다발의 동치류들이 K군을 정의하는 것과 마찬가지다.

정의 
가환 국소환  위의 아즈마야 대수 는 다음 조건을 만족시키는 -단위 결합 대수이다.
 -가군으로서 양의 유한 차원 자유 가군 과 동형이다.
 에 의하여, 이다.
여기서 는 의 포락 대수()이다.

스킴  위의 아즈마야 대수 는 다음 조건을 만족시키는 -단위 결합 대수 층이다.
 는 -가군층으로서 연접층이며, 각 닫힌 점 에 대하여, 줄기 는 가환 국소환  위의 아즈마야 대수이다.

브라우어 군 
스킴  위의 두 아즈마야 대수 , 에 대하여, 텐서곱  역시  위의 아즈마야 대수를 이룬다. 따라서,  위의 아즈마야 대수들은 텐서곱에 대하여 모노이드를 이룬다.

스킴  위의 두 아즈마야 대수 , 에 대하여, 만약 다음 조건을 만족시키는 -국소 자유 가군층  및 이 존재한다면, 서로 브라우어 동치()라고 한다.

이는 -아즈마야 대수의 동치 관계를 이룬다. 브라우어 동치 관계는 텐서곱은 보존하며, 따라서 -아즈마야 대수의 브라우어 동치류들은 모노이드를 이룬다. 이 모노이드는 사실 군을 이루며, 이를 의 브라우어 군() 라고 한다. 브라우어 군에서, 아즈마야 대수의 동치류 의 역원은 그 반대 대수층의 동치류 이다.

성질

체 위의 아즈마야 대수 
체  위의 단위 결합 대수 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.
 는  위의 아즈마야 대수이다.
 는 단사 함수이며, 이며, 는 유한하다.
 는 양의 정수 차원 -벡터 공간이며, 다음 조건을 만족시키는 유한 차수 분해 가능 확대  및 양의 정수 이 존재한다.
 
이와 같이, 체 위의 아즈마야 대수를 중심 단순 대수(中心單純代數, )라고 한다.

가환환 위의 아즈마야 대수 
가환환  위의 단위 결합 대수 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.
 는  위의 아즈마야 대수이다.
 는 충실한 가군이며, 사영 가군이며, 는 -단위 결합 대수의 동형 사상이다.
 는 유한 생성 가군이며, 모든 극대 아이디얼 에 대하여 는 -중심 단순 대수이다.

스콜렘-뇌터 정리 
스콜렘-뇌터 정리()에 따르면, 아즈마야 대수의 모든 자기 동형은 내부 자기 동형이다. 즉, 스킴  위의 아즈마야 대수 의 임의의 자기 동형 에 대하여,

가 되는 의 아핀 열린 덮개  및 가 존재한다. (여기서 는 환의 가역원군을 뜻하며, 는 층의 단면 집합을 뜻한다.)

특히, 가 체 의 스펙트럼일 경우, 모든 -중심 단순 대수 의 자기 동형 에 대하여 가 되는 가역원 가 존재한다.

브라우어 군과 에탈 코호몰로지 
스킴 의 브라우어 군 에서  계수의 2차 에탈 코호몰로지 군으로 가는 표준적인 단사 군 준동형이 존재한다.

구체적으로, 이는 다음과 같다.  위의 아즈마야 대수 가 주어졌을 때, 작은 에탈 위치  위에 다음과 같은 올범주 이 존재한다. 에탈 위치의 대상 에 대하여,
 올 의 대상 는 유한 차원 -국소 자유 가군층 와 동형 사상 의 순서쌍이다.
 올 의 사상 은 적절한 가환 그림들을 만족시키는 동형 사상 이다.
이 올범주는 스택이자 제르브이며, 는 그 위에 다음과 같이 작용한다.

따라서, 이 제르브는 2차 에탈 코호몰로지 군 의 원소를 표현한다.

또한, 만약 가 오직 유한 개의 연결 성분만을 갖는다면, 단사 군 준동형 의 상은 꼬임 부분군 에 속한다. 즉, 이 경우 다음과 같은 포함 관계가 존재한다.

수체 위의 중심 단순 대수 
대수적 수체  위의 중심 단순 대수 가 주어졌다고 하자. 앨버트-브라우어-하세-뇌터 정리()에 따르면, 만약 모든 자리 에 대하여

라면, 이다. 이는 대수적 수론의 국소-대역 원리의 한 예이다. 이에 따라, 대수적 수체 위의 중심 단순 대수의 분류는 국소체 위의 중심 단순 대수의 분류로 귀결된다.

역사 
체 위의 아즈마야 대수(중심 단순 대수)는 나눗셈환의 분류의 일환으로 19세기 말부터 연구되어 왔다.
1878년에 페르디난트 게오르크 프로베니우스는 (현대적 용어로는) 실수체 의 브라우어 군 을 계산하였다 (프로베니우스 정리). 조지프 웨더번은 1905년에 (현대적 용어로) 유한체의 브라우어 군이 자명하다는 것을 증명하였다 (웨더번 소정리). 그러나 웨더번의 첫 증명은 약간의 결함이 있었으며, 레너드 유진 딕슨이 최초로 올바른 증명을 발표하였다.

브라우어 군은 리하르트 브라우어가 1932년에 정의하였다.

아즈마야 고로가 1951년에 "고유 극대 중심 대수"()라는 이름으로 도입하였다. (엄밀히 말해, 아즈마야는 이 용어를 정의할 때 자유 가군이어야 한다는 조건을 추가하였다.) 이후 1964~1965년 니콜라 부르바키 세미나에서 알렉산더 그로텐디크가 그 정의를 일반화하여 스킴 위의 아즈마야 대수를 정의하였고, "아즈마야 대수"라는 용어를 도입하였다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 

환론
대수
스킴 이론