In algebraic geometry, the étale topology is a Grothendieck topology on the category of schemes which has properties similar to the Euclidean topology, but unlike the Euclidean topology, it is also defined in positive characteristic.  The étale topology was originally introduced by Alexander Grothendieck to define étale cohomology, and this is still the étale topology's most well-known use.

Definitions
For any scheme X, let Ét(X) be the category of all étale morphisms from a scheme to X.  This is the analog of the category of open subsets of X (that is, the category whose objects are varieties and whose morphisms are open immersions).  Its objects can be informally thought of as étale open subsets of X.  The intersection of two objects corresponds to their fiber product over X.  Ét(X) is a large category, meaning that its objects do not form a set.

An étale presheaf on X is a contravariant functor from Ét(X) to the category of sets.  A presheaf F is called an étale sheaf if it satisfies the analog of the usual gluing condition for sheaves on topological spaces.  That is, F is an étale sheaf if and only if the following condition is true.  Suppose that  is an object of Ét(X) and that  is a jointly surjective family of étale morphisms over X.  For each i, choose a section xi of F over Ui.  The projection map , which is loosely speaking the inclusion of the intersection of Ui and Uj in Ui, induces a restriction map .  If for all i and j the restrictions of xi and xj to  are equal, then there must exist a unique section x of F over U which restricts to xi for all i.

Suppose that X is a Noetherian scheme.  An abelian étale sheaf F on X is called finite locally constant if it is a representable functor which can be represented by an étale cover of X. It is called constructible if X can be covered by a finite family of subschemes on each of which the restriction of F is finite locally constant. It is called torsion if F(U) is a torsion group for all étale covers U of X. Finite locally constant sheaves are constructible, and constructible sheaves are torsion. Every torsion sheaf is a filtered inductive limit of constructible sheaves.

Grothendieck originally introduced the machinery of Grothendieck topologies and topoi to define the étale topology.  In this language, the definition of the étale topology is succinct but abstract: It is the topology generated by the pretopology whose covering families are jointly surjective families of étale morphisms.  The small étale site of X  is the category O(Xét) whose objects are schemes U with a fixed étale morphism U → X.  The morphisms are morphisms of schemes compatible with the fixed maps to X.  The big étale site of X  is the category Ét/X, that is, the category of schemes with a fixed map to X, considered with the étale topology.

The étale topology can be defined using slightly less data.  First, notice that the étale topology is finer than the Zariski topology.  Consequently, to define an étale cover of a scheme X, it suffices to first cover X by open affine subschemes, that is, to take a Zariski cover, and then to define an étale cover of an affine scheme.  An étale cover of an affine scheme X can be defined as a jointly surjective family {uα : Xα → X} such that the set of all α is finite, each Xα is affine, and each uα is étale.  Then an étale cover of X is a family {uα : Xα → X} which becomes an étale cover after base changing to any open affine subscheme of X.

Local rings 

Let X be a scheme with its étale topology, and fix a point x of X.  In the Zariski topology, the stalk of X at x is computed by taking a direct limit of the sections of the structure sheaf over all the Zariski open neighborhoods of x.  In the étale topology, there are strictly more open neighborhoods of x, so the correct analog of the local ring at x is formed by taking the limit over a strictly larger family.  The correct analog of the local ring at x for the étale topology turns out to be the strict henselization of the local ring .  It is usually denoted .

Examples 

For each étale morphism , let . Then  is a presheaf on X; it is a sheaf since it can be represented by the scheme .

See also 
 Étale cohomology
 Nisnevich topology
 Smooth topology
 ℓ-adic sheaf

References 

J. S. Milne (2008). Lectures on Étale Cohomology

Algebraic geometry
대수기하학에서 에탈 위치(étale位置, )는 스킴과 스킴 사상의 범주에, 치역들의 합집합이 공역인 에탈 사상의 족을 덮개로 삼은 그로텐디크 위상을 부여하여 얻은 위치이다.

정의 
같은 공역을 갖는 에탈 사상들의 집합 이 다음 조건을 만족시킨다면, 에탈 덮개()라고 한다.
 연속 함수로서, 들의 치역들의 합집합은  전체이다. 즉, 임의의 에 대하여 인  및 가 존재한다.
에탈 덮개는 스킴의 범주  위의 그로텐디크 준위상을 이룬다. 이로 정의되는 그로텐디크 위상을 에탈 위상()이라고 한다. 에 에탈 위상을 부여하여 얻은 위치를 에탈 위치라고 하며, 라고 하자.

스킴  위의 큰 에탈 위치() 는 범주로서 스킴 범주의 조각 범주 이며, 그 위의 그로텐디크 위상은 역시 에탈 덮개에 의하여 주어진다.

스킴  위의 작은 에탈 위치()는 범주로서  가운데 에탈 사상으로만 구성된 충만한 부분 범주이다. 이 위의 그로텐디크 위상은 역시 에탈 덮개로 주어진다.

성질

아핀 스킴의 에탈 덮개 
아핀 스킴 의 임의의 에탈 덮개 에 대하여, 이를 세분하는 에탈 덮개

가 존재한다. 즉, 아핀 스킴의 에탈 위상을 다루려면 에탈 환 준동형 만을 고려하면 된다.

에탈 층 
범주  값을 갖는  위의 에탈 준층()은 작은 에탈 위치 위의 함자 이다. 에탈 층()은 층 공리를 만족시키는 에탈 준층이다.  값을 갖는,  위의 에탈 층들의 범주를 라고 쓰자.

마찬가지로, 큰 에탈 위치 위의 (준)층을 정의할 수 있다. 작은 에탈 위치는 큰 에탈 위치의 부분 위치이므로, 모든 큰 에탈 (준)층은 작은 에탈 (준)층으로 제한할 수 있다. 모든 작은 에탈 층은 큰 에탈 층으로 나타낼 수 있지만, 그 역은 불가능하다. 이 경우, 아벨 군 값의 층의 제한 함자

는 완전 함자이며, 이 함자 아래 단사 대상의 상은 단사 대상이다. 즉, 큰 에탈 위치 위의 층의 에탈 코호몰로지는 작은 에탈 위치 위에서의 에탈 코호몰로지와 같다.

에탈 국소환 
스킴은 국소환 달린 공간이므로, 구조층의 (자리스키 위상에서의) 줄기는 가환 국소환을 이룬다. 그러나 에탈 위상은 자리스키 위상보다 더 섬세하며, 따라서 줄기는 특별한 가환환인 순 헨젤 국소환을 이룬다. (마찬가지로, 자리스키 위상과 에탈 위상의 중간에 있는 니스네비치 위상에서의 줄기는 헨젤 국소환이다.)

구체적으로, 스킴 의 기하학적 점

가 주어졌다고 하자 (는 대수적으로 닫힌 체). 그렇다면, 에서 구조층 의 에탈 줄기() 는 다음과 같다.

여기서 는 의 모든 에탈 근방
 (는 에탈 사상)
에 대한 귀납적 극한이다.

임의의 스킴  및 기하학적 점 에 대하여, 에탈 줄기 는 자리스키 줄기 의 순 헨젤화와 동형이다. 여기서 는 한원소 공간인 의 유일한 점의 (연속 함수 에 대한) 상이다.

직관적으로, 에탈 사상은 국소 동형 사상에 해당하므로, 이는 헨젤 보조정리의 필요충분조건과 같다.

토포스 이론에서, 에탈 국소환은 국소환 달린 토포스인 에탈 토포스의 줄기로 생각할 수 있다.

다른 위상과의 비교 
다음과 같은 비교가 존재한다.
(더 섬세함) fpqc 위상 → fppf 위상 → 에탈 위상 → 니스네비치 위상 →  자리스키 위상 (더 엉성함)

역사 
알렉산더 그로텐디크가, 유한체에 대한 대수다양체에 대한 일련의 추측들인 베유 추측을 증명하기 위하여 1960년에 도입하였다.

에탈 위상의 정의는 위상 공간의 범주의 다음과 같은 성질에서 기인한다. 위상 공간과 연속 함수의 범주  위에는 다음과 같은 두 그로텐디크 준위상을 생각할 수 있다.
 보통 위상: 위상 공간 의 덮개는 연속 함수의 족  가운데, 각 의 상이 열린집합이며, 는 와  사이의 위상 동형을 정의하며, 이다. 이 위치를 라고 하자.
 ‘에탈 위상’: 위상 공간 의 덮개는 연속 함수의 족  가운데, 각 는 에탈 함수이며, 이다. 이 위치를 라고 하자.
여기서 ‘에탈 함수’ 는 연속 함수 가운데, 임의의 에 대하여 가 와  사이의 위상 동형을 정의하게 하는 열린 근방 가 존재하는 것이다. (이 개념은 층의 에탈 공간의 정의에 등장한다.) 이 경우 모든 열린 덮개는 에탈 덮개이다. 반대로, 모든 에탈 덮개는 (에탈 함수의 정의에 따라) 모든 에탈 덮개는 열린 덮개인 세분을 갖는다. 따라서, 이 두 준위상은 같은 그로텐디크 위상을 정의한다.

스킴의 경우, 위 두 정의를 그대로 번역할 수 있다. (첫째 정의를 번역하면 자리스키 위상을 얻으며, 덮개는 상들의 합집합이 공역 전체인 열린 몰입의 족이다. 둘째 정의를 번역하면 에탈 위상을 얻는다.) 그러나 이 경우 에탈 위상은 자리스키 위상보다 훨씬 더 섬세한 그로텐디크 위상을 이룬다. 이는 스킴의 자리스키 위상이 (복소다양체의 해석적 위상보다) 너무나 엉성하기 때문이며, 이 경우 에탈 위상이 더 해석적 위상에 가까운 그로텐디크 위상을 정의한다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 
 
 

대수기하학