Burnside's lemma, sometimes also called Burnside's counting theorem, the Cauchy–Frobenius lemma, the orbit-counting theorem, or the lemma that is not Burnside's, is a result in group theory that is often useful in taking account of symmetry when counting mathematical objects. Its various eponyms are based on William Burnside, George Pólya, Augustin Louis Cauchy, and Ferdinand Georg Frobenius. The result is not due to Burnside himself, who merely quotes it in his book 'On the Theory of Groups of Finite Order', attributing it instead to Frobenius (1887). Burnside's Lemma counts "orbits", which is the same thing as counting distinct objects taking account of a symmetry. Other ways of saying it are counting distinct objects up to an equivalence relation R, or counting objects that are in canonical form.

In the following, let G be a finite group that acts on a set X. For each g in G, let Xg denote the set of elements in X that are fixed by g (also said to be left invariant by g), that is, Xg = { x ∈ X | g.x = x }. Burnside's lemma asserts the following formula for the number of orbits, denoted |X/G|:

|
�
/
�
|
=
1
|
�
|
∑
�
∈
�
|
�
�
|
.
{\displaystyle |X/G|={\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}|X^{g}|.}
Thus the number of orbits (a natural number or +∞) is equal to the average number of points fixed by an element of G (which is also a natural number or infinity). If G is infinite, the division by |G| may not be well-defined; in this case the following statement in cardinal arithmetic holds:

|
�
|
|
�
/
�
|
=
∑
�
∈
�
|
�
�
|
.
{\displaystyle |G||X/G|=\sum _{g\in G}|X^{g}|.}
Examples of applications to enumeration
Necklaces
There are 8 possible bit vectors of length 3, but only four distinct 2-colored necklaces of length 3: 000, 001, 011, and 111, because 100 and 010 are equivalent to 001 by rotation; similarly 110 and 101 are equivalent to 011. The formula is based on the number of rotations, which in this case is 3 (including the null rotation), and the number of bit vectors left unchanged by each rotation. All 8 bit vectors are unchanged by the null rotation, and two (000 and 111) are unchanged by each of the other two rotations, giving: 
4
=
1
3
(
8
+
2
+
2
)
{\displaystyle 4={\frac {1}{3}}(8+2+2)}.

For length 4, there are 16 possible bit vectors; 4 rotations; the null rotation leaves all 16 bit vectors unchanged; the 1-rotation and 3-rotation each leave two bit vectors unchanged (0000 and 1111); the 2-rotation leaves 4 bit vectors unchanged (0000, 0101, 1010, and 1111); giving: 
6
=
1
4
(
16
+
2
+
4
+
2
)
{\displaystyle 6={\frac {1}{4}}(16+2+4+2)}. These are: 0000, 0001, 0011, 0101, 0111, and 1111.

Colorings of a cube
The number of rotationally distinct colourings of the faces of a cube using three colours can be determined from this formula as follows.

Let X be the set of 36 possible face colour combinations that can be applied to a cube in one particular orientation, and let the rotation group G of the cube act on X in the natural manner. Then two elements of X belong to the same orbit precisely when one is simply a rotation of the other. The number of rotationally distinct colourings is thus the same as the number of orbits and can be found by counting the sizes of the fixed sets for the 24 elements of G.


Cube with coloured faces
one identity element which leaves all 36 elements of X unchanged
six 90-degree face rotations, each of which leaves 33 of the elements of X unchanged
three 180-degree face rotations, each of which leaves 34 of the elements of X unchanged
eight 120-degree vertex rotations, each of which leaves 32 of the elements of X unchanged
six 180-degree edge rotations, each of which leaves 33 of the elements of X unchanged
A detailed examination of these automorphisms may be found here.

The average fix size is thus

1
24
(
3
6
+
6
⋅
3
3
+
3
⋅
3
4
+
8
⋅
3
2
+
6
⋅
3
3
)
=
57.
{\frac  {1}{24}}\left(3^{6}+6\cdot 3^{3}+3\cdot 3^{4}+8\cdot 3^{2}+6\cdot 3^{3}\right)=57.
Hence there are 57 rotationally distinct colourings of the faces of a cube in three colours. In general, the number of rotationally distinct colorings of the faces of a cube in n colors is given by

1
24
(
�
6
+
3
�
4
+
12
�
3
+
8
�
2
)
.
{\frac  {1}{24}}\left(n^{6}+3n^{4}+12n^{3}+8n^{2}\right).
8 Queens Puzzle
In the eight queens puzzle there are 92 solutions, of which 12 fundamental solutions are distinct up to rotation and reflection of the board. There are 8 combinations of rotations and reflections, including the null action. The null action leaves all 92 solutions unchanged. Four of the 92 solutions are symmetrical, unchanged by 180° rotation. That gives: 
12
=
1
8
(
92
+
4
)
{\displaystyle 12={\frac {1}{8}}(92+4)}.
번사이드의 정리, 번사이드의 계산 정리, 코시-프로베니우스 정리, 궤도 계산 정리 또는 번사이드가 아닌 정리라고도 불리는 번사이드 정리는 수학적 대상을 계산할 때 대칭성을 고려하는 데 유용한 그룹 이론의 결과입니다. 다양한 시조는 윌리엄 번사이드, 조지 폴랴, 오귀스탱 루이 코시, 페르디난드 게오르그 프로베니우스의 이름을 따서 만들어졌습니다. 번사이드는 자신의 저서 '유한질서집단론'에서 이를 인용했을 뿐이며, 대신 프로베니우스(1887)의 공로를 인정했습니다.[1] 번사이드의 렘마는 "궤도"를 세는데, 이는 대칭을 고려하여 별개의 물체를 세는 것과 같은 것입니다. 다른 표현으로는 동등 관계 R까지 별개의 객체를 세거나 정식 형식의 객체를 세는 방법이 있습니다.

다음에서 G를 집합 X에 작용하는 유한집합이라고 가정하고, G의 각 g에 대해 Xg를 g에 의해 고정된(g에 의해 좌변 불변이라고도 함) X의 원소 집합, 즉 Xg = { x ∈ X | g.x = x }를 나타냅니다. 번사이드의 정리는 궤도 수에 대해 다음과 같은 공식을 주장하며, |X/G|:[2]로 표시됩니다.

|
�
/
�
|
=
1
|
�
|
∑
�
∈
�
|
�
�
|
.
{\displaystyle |X/G|={\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}|X^{g}|.}
따라서 궤도의 수(자연수 또는 +∞)는 G의 원소(자연수 또는 무한대이기도 함)에 의해 고정된 점의 평균 수와 같습니다. G가 무한대인 경우 |G|로 나눗셈이 잘 정의되지 않을 수 있으며, 이 경우 기본 산술의 다음 진술이 유효합니다:

|
�
|
|
�
/
�
|
=
∑
�
∈
�
|
�
�
|
.
{\디스플레이스타일 |G||X/G|=\sum _{g\in G}|X^{g}|.}
열거형 적용 예시
목걸이
길이 3의 가능한 비트 벡터는 8가지이지만, 길이 3의 2색 목걸이는 000, 001, 011, 111의 네 가지뿐입니다. 100과 010은 회전으로 001과 같고, 마찬가지로 110과 101은 011과 같기 때문입니다. 이 공식은 회전 수(이 경우 3(널 회전 포함))와 각 회전에서 변경되지 않은 비트 벡터의 수를 기반으로 합니다. 8개의 비트 벡터는 모두 널 회전으로 인해 변경되지 않고, 2개(000 및 111)는 나머지 2개의 회전으로 인해 변경되지 않으므로 다음과 같이 됩니다:
4
=
1
3
(
8
+
2
+
2
)
{\디스플레이스타일 4={\frac {1}{3}}(8+2+2)}.

길이 4의 경우 가능한 비트 벡터는 16개이며, 4회전, 널 회전은 16비트 벡터를 모두 변경하지 않고, 1회전과 3회전은 각각 2개의 비트 벡터(0000과 1111)를 변경하지 않고, 2회전은 4개의 비트 벡터(0000, 0101, 1010, 1111)를 변경하지 않고 남깁니다:
6
=
1
4
(
16
+
2
+
4
+
2
)
{\디스플레이스타일 6={\frac {1}{4}}(16+2+4+2)}. 다음은 다음과 같습니다: 0000, 0001, 0011, 0101, 0111, 및 1111.

큐브의 색
세 가지 색을 사용하여 정육면체의 각 면을 회전하면서 구분할 수 있는 색의 개수는 이 공식에서 다음과 같이 구할 수 있습니다.

X를 큐브에 특정 방향으로 적용할 수 있는 36개의 가능한 면 색상 조합의 집합이라고 하고, 큐브의 회전 그룹 G가 X에 자연스럽게 작용한다고 가정합니다. 그러면 X의 두 요소는 한 요소가 다른 요소의 회전일 때 정확히 같은 궤도에 속하게 됩니다. 따라서 회전으로 구분되는 색의 수는 궤도의 수와 같으며, G의 24개 원소에 대한 고정 집합의 크기를 세어 구할 수 있습니다.


색깔이 있는 면을 가진 정육면체
X의 36개 원소를 모두 변경하지 않는 하나의 동일성 원소
6번의 90도 면 회전, 각 회전마다 X의 원소 중 33개는 변하지 않음
180도 면 회전 세 번, 각 회전마다 X의 원소 중 34개는 변경되지 않음
120도 정점 회전 8회, 각 회전마다 X의 요소 중 32개는 변경되지 않습니다.
180도 가장자리 회전 6회, 각 회전마다 X의 요소 중 33개는 변경되지 않습니다.
이러한 자동변형에 대한 자세한 내용은 여기에서 확인할 수 있습니다.

따라서 평균 수정 크기는 다음과 같습니다.

1
24
(
3
6
+
6
⋅
3
3
+
3
⋅
3
4
+
8
⋅
3
2
+
6
⋅
3
3
)
=
57.
{\frac {1}{24}}\left(3^{6}+6\cdot 3^{3}+3\cdot 3^{4}+8\cdot 3^{2}+6\cdot 3^{3}\right)=57.
따라서 세 가지 색으로 정육면체의 면을 회전하여 구분할 수 있는 색은 57가지가 있습니다. 일반적으로, n개의 색으로 된 정육면체의 회전적으로 뚜렷한 색의 수는 다음과 같이 주어집니다.

1
24
(
�
6
+
3
�
4
+
12
�
3
+
8
�
2
)
.
{\frac {1}{24}}\left(n^{6}+3n^{4}+12n^{3}+8n^{2}\right).
8개의 여왕 퍼즐
8개의 여왕 퍼즐에는 92개의 해가 있으며, 그 중 12개의 기본 해는 보드의 회전과 반사까지 뚜렷합니다. 회전과 반사의 조합에는 널 동작을 포함하여 8가지 조합이 있습니다. 널 동작은 92개의 해를 모두 변경하지 않습니다. 92개의 해법 중 4개의 해법은 180° 회전해도 변하지 않는 대칭 해법입니다. 따라서
12
=
1
8
(
92
+
4
)
{\displaystyle 12={\frac {1}{8}}(92+4)}.[3]