In measure theory, Carathéodory's extension theorem (named after the mathematician Constantin Carathéodory) states that any pre-measure defined on a given ring of subsets R of  a given set Ω can be  extended to a measure on the σ-ring generated by R, and this extension is unique if the pre-measure is σ-finite. Consequently, any pre-measure on a ring containing all intervals of real numbers can be extended to the Borel algebra of the set of real numbers. This is an extremely powerful result of measure theory, and leads, for example, to the Lebesgue measure.

The theorem is also sometimes known as the Carathéodory–Fréchet extension theorem, the Carathéodory–Hopf extension theorem, the Hopf extension theorem and the Hahn–Kolmogorov extension theorem.

Introductory statement
Several very similar statements of the theorem can be given. A slightly more involved one, based on semi-rings of sets, is given further down below. A shorter, simpler statement is as follows. In this form, it is often called the Hahn–Kolmogorov theorem.

Let  be an algebra of subsets of a set  Consider a set function 
 
which is finitely additive, meaning that 

for any positive integer  and  disjoint sets in 

Assume that this function satisfies the stronger sigma additivity assumption

for any disjoint family  of elements of  such that  (Functions  obeying these two properties are known as pre-measures.)  Then, 
 extends to a measure defined on the -algebra  generated by ; that is, there exists a measure  
 
such that its restriction to   coincides with 

If  is -finite, then the extension is unique.

Comments
This theorem is remarkable for it allows one to construct a measure by first defining it on a small algebra of sets, where its sigma additivity could be easy to verify, and then this theorem guarantees  its extension to a sigma-algebra. The proof of this theorem is not trivial, since it requires extending  from an algebra of sets to a potentially much bigger sigma-algebra, guaranteeing that the extension is unique (if  is -finite), and moreover that it does not fail to satisfy the sigma-additivity of the original function.

Semi-ring and ring

Definitions
For a given set  we call a family  of subsets of  a  if it has the following properties:

 
 For all  we have  (closed under pairwise intersections)
 For all  there exists a finite number of disjoint sets  such that  (relative complements can be written as finite disjoint unions).

The first property can be replaced with  since 

With the same notation, we call a family  of subsets of  a  if it has the following properties:

 
 For all  we have  (closed under pairwise unions)
 For all  we have  (closed under relative complements).

Thus, any ring on  is also a semi-ring.

Sometimes, the following constraint is added in the measure theory context:

  is the disjoint union of a countable family of sets in 

A field of sets (respectively, a semi-field) is a ring (respectively, a semi-ring) that also contains  as one of its elements.

Properties
 Arbitrary (possibly uncountable) intersections of rings on  are still rings on 
 If  is a non-empty subset of the powerset  of  then we define the ring generated by  (noted ) as the intersection of all rings containing  It is straightforward to see that the ring generated by  is the smallest ring containing 
 For a semi-ring  the set of all finite unions of sets in  is the ring generated by   (One can show that  is equal to the set of all finite disjoint unions of sets in ).
 A content  defined on a semi-ring  can be extended on the ring generated by   Such an extension is unique. The extended content can be written:  for  with the  disjoint. 
In addition, it can be proved that  is a pre-measure if and only if the extended content is also a pre-measure, and that any pre-measure on  that extends the pre-measure on  is necessarily of this form.

Motivation

In measure theory, we are not interested in semi-rings and rings themselves, but rather in σ-algebras generated by them. The idea is that it is possible to build a pre-measure on a semi-ring  (for example Stieltjes measures), which can then be extended to a pre-measure on  which can finally be extended to a measure on a σ-algebra through Caratheodory's extension theorem. As σ-algebras generated by semi-rings and rings are the same, the difference does not really matter (in the measure theory context at least). Actually, Carathéodory's extension theorem can be slightly generalized by replacing ring by semi-field.

The definition of semi-ring may seem a bit convoluted, but the following example shows why it is useful (moreover it allows us to give an explicit representation of the smallest ring containing some semi-ring).

Example
Think about the subset of   defined by the set of all half-open intervals  for a and b reals. This is a semi-ring, but not a ring. Stieltjes measures are defined on intervals; the countable additivity on the semi-ring is not too difficult to prove because we only consider countable unions of intervals which are intervals themselves. Proving it for arbitrary countable unions of intervals is accomplished using Caratheodory's theorem.

Statement of the theorem

Let  be a ring of sets on  and let  be a pre-measure on  meaning that for all sets  for which there exists a countable decomposition  in disjoint sets  we have

Let  be the -algebra generated by  The pre-measure condition is a necessary condition for  to be the restriction to  of a measure on  The Carathéodory's extension theorem states that it is also sufficient, that is, there exists a measure  such that  is an extension of  that is,  Moreover, if  is -finite then the extension  is unique (and also -finite).

Proof sketch

First extend  to an outer measure  on the power set  of  by
 
and then restrict it to the set  of -measurable sets (that is, Carathéodory-measurable sets), which is the set of all  such that  for every 
 is a -algebra, and  is -additive on it, by the Caratheodory lemma.

It remains to check that  contains  That is, to verify that every set in  is -measurable. This is done by basic measure theory techniques of dividing and adding up sets.

For uniqueness, take any other extension  so it remains to show that  By -additivity, uniqueness can be reduced to the case where  is finite, which will now be assumed.

Now we could concretely prove  on  by using the Borel hierarchy of  and since  at the base level, we can use well-ordered induction to reach the level of  the level of

Examples of non-uniqueness of extension

There can be more than one extension of a pre-measure to the generated σ-algebra, if the pre-measure is not -finite, even if the extensions themselves are -finite (see example "Via rationals" below).

Via the counting measure
Take the algebra generated by all half-open intervals [a,b) on the real line, and give such intervals measure infinity if they are non-empty. The Carathéodory extension gives all non-empty sets measure infinity. Another extension is given by the counting measure.

Via rationals
This example is a more detailed variation of the above. The rational closed-open interval is any subset of  of the form , where .

Let  be  and let  be the algebra of all finite unions of rational closed-open intervals contained in . It is easy to prove that  is, in fact, an algebra. It is also easy to see that the cardinal of every non-empty set in  is .   

Let  be the counting set function () defined in . 
It is clear that  is finitely additive and -additive in . Since every non-empty set in  is infinite, then, for every non-empty set , 

Now, let  be the -algebra generated by . It is easy to see that  is the -algebra of all subsets of , and both  and  are measures defined on  and both are extensions of . Note that, in this case, the two extensions are -finite, because  is countable.

Via Fubini's theorem
Another example is closely related to the failure of some forms of Fubini's theorem for spaces that are not σ-finite.
Suppose that  is the unit interval with Lebesgue measure and  is the unit interval with the discrete counting measure. Let the ring  be generated by products  where  is Lebesgue measurable and  is any subset, and give this set the measure . This has a very large number of different extensions to a measure; for example:
The measure of a subset is the sum of the measures of its horizontal sections. This is the smallest possible extension. Here the diagonal has measure 0.
The measure of a subset is  where  is the number of points of the subset with given -coordinate. The diagonal has measure 1.
The Carathéodory extension, which is the largest possible extension. Any subset of finite measure is contained in some union of a countable number of horizontal lines. In particular the diagonal has measure infinity.

See also
 Outer measure: the proof of Carathéodory's extension theorem is based upon the outer measure concept.
 Loeb measures, constructed using Carathéodory's extension theorem.

References

Theorems in measure theory
측도론에서 카라테오도리 확장 정리(Carathéodory擴張定理, ) 또는 한-콜모고로프 정리(Hahn-Колмого́ров定理, )는 완비 측도를 특수한 부분 집합의 측도 값들로부터 구성하는 정리이다.

정의 
다음이 주어졌다고 하자.
 집합 
 집합 반환(集合半環, ) . 즉, 이는 다음 세 조건을 만족시키는 집합족이다.
 
 (유한 교집합에 대한 닫힘) 임의의 에 대하여, 
 임의의 에 대하여, 인 유한 개의 서로소 집합 이 존재한다.
 준측도(準測度, ) . 즉, 이는 다음 두 조건을 만족시키는 함수이다.
 
 (준측도 가산 가법성) 임의의 가산 개의 서로소 집합 에 대하여, 만약 이라면, 
 (단조성) 특히, 만약 이며 라면, 이다. (아래 증명 참고)
 (준측도 가산 준가법성) 특히, 만약 이며 이라면, 이다. (아래 증명 참고)
또한,

가 으로 유도된 외측도라고 하고,

가 -카라테오도리 가측 집합의 집합이라고 하자. 카라테오도리 확장 정리에 따르면, 다음이 성립한다.
 는 의 부분 시그마 대수를 이룬다.
 는 완비 측도를 이룬다.
  (따라서 )
 
 만약 이 시그마 유한 준측도라면 (즉, 이며 인 이 존재한다면), 은 을 확장하여 얻을 수 있는  위의 유일한 측도이다.
여기서 은 을 포함하는 최소의 시그마 대수이다.

증명 
우선, 는 추상적 외측도라는 것을 증명하자. 우선 자명하게 이며, 또한 만약 라면 이다. 따라서 가 가산 준가법성을 만족시킨다는 것을 보이면 된다. 임의의 가산 개의 부분 집합 가 주어졌다고 하자. 그렇다면 임의의 양의 실수  및 에 대하여,

이며 인 이 존재한다. 그렇다면 이므로,

이다.

-카라테오도리 가측 집합의 집합 가 의 부분 시그마 대수라는 사실과 는 그 위의 완비 측도라는 사실은 가 (추상적) 외측도라는 세 가지 조건만을 사용하여 증명된다. 우선, 가 의 부분 불 대수임을 보이자. 우선 자명하게 이며, 임의의 에 대하여 이다. 따라서 가 유한 합집합에 대하여 닫혀 있음을 보이면 된다. 임의의  및 에 대하여,

이므로, 이다. 여기서 첫째, 둘째 줄의 등호는 각각  때문이며, 마지막 두 줄의 부등호는 의 가산 준가법성 때문이다.

이제, 가 의 부분 시그마 대수임을 보이자. 이는 가 서로소 집합의 가산 합집합에 대하여 닫혀 있음을 보이면 된다. 임의의 가산 개의 서로소 집합  및 임의의 부분 집합 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 임의의 에 대하여,

이다. 여기서 첫째, 셋째 줄의 등호는 각각  때문이며, 둘째 줄의 등호는 의 단조성 때문이다. 이에 에 대한 극한을 취하면

를 얻는다. 여기서 둘째, 셋째 부등식은 의 가산 준가법성 때문이다.

이제, 가  위의 완비 측도를 이룸을 보이자. 위 증명에서 를 취하면

를 얻으며, 이에 따라 는  위의 측도를 이룬다. 따라서 임의의 외측도가 0인 집합의 부분 집합이 -카라테오도리 가측 집합임을 보이면 된다. 이제 가 을 만족시키며, 또한 라고 하자. 그렇다면,

이다. 첫째 줄의 부등호는 의 가산 준가법성, 둘째 줄의 등호는  및 의 단조성, 셋째 줄의 부등호는  및 의 단조성 때문이다.

이제, 를 증명하자. 임의의  및 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 임의의 양의 실수 에 대하여,

이며 인 이 존재한다. 각 에 대하여, 인 서로소 집합 을 취하자. 그렇다면,

이므로,

이다. 여기서 첫째 줄의 부등호는 의 가산 준가법성, 셋째 줄의 등호는 준측도 의 가산 가법성 때문이다.

이제, 의 단조성을 증명하자. 이며 라고 하자. 그렇다면 인 서로소 집합 을 고를 수 있다. 그렇다면

이다.

이제, 준측도 의 가산 준가법성을 증명하자. 이며 이라고 하자. 그렇다면 각 에 대하여,

인 서로소 집합 을 고를 수 있다. 그렇다면 각 에 대하여

이므로,

이다. 여기서 둘째, 넷째 줄의 등호는 준측도  의 가산 가법성 때문이다.

이제, 를 증명하자. 임의의 이 주어졌다고 하자. 그렇다면 임의의 양의 실수 에 대하여,

이며 인 이 존재한다. 그렇다면

이다. 여기서 첫째 줄의 부등호는 의 정의, 셋째, 넷째 줄의 부등호는 각각 준측도 의 가산 준가법성, 단조성 때문이다.

마지막으로, 확장된 측도의 에서의 유일성을 증명하자. 임의의 두 측도 에 대하여, 만약 이며, 준측도 이 시그마 유한 준측도라면, 임을 보이면 된다. 이에 대한 증명에는 가 π계(즉, 유한 교집합에 대한 닫힘)라는 것을 제외한 에 대한 추가 조건은 사용되지 않는다.

라고 하자. 그렇다면, 는 λ계이며 이므로, π-λ 정리에 따라 이다. 이며 인 을 취하자. 그렇다면, 임의의 에 대하여,

이다. 여기서 셋째 줄의 등호는 포함배제의 원리 때문이며, 넷째 줄의 등호는 각 에 대하여 이기 때문이다.

역사 
오늘날 카라테오도리 가측 집합이라고 불리는 개념은 콘스탄티노스 카라테오도리가 도입하였다. 오늘날 카라테오도리 확장 정리라고 불리는 정리는 모리스 르네 프레셰가 증명하였다. 얼마 지나지 않아 카라테오도리의 방법을 통한 카라테오도리 확장 정리의 더 간단한 증명이 발견되었으며, 이는 안드레이 콜모고로프, 한스 한, 에베르하르트 호프의 논문·저서에 소개되었다.

각주

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 

측도론 정리