Notice that $\sum_{i=1}^n i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$, so\begin{align*} \sum_{i=n+1}^{2n} i^2 &= \sum_{i=1}^{2n} i^2 - \sum_{i=1}^n i^2 \\ &= \frac{2n(2n+1)(4n+1)}{6} - \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \\ &= \frac{16n^3 + 12n^2 + 2n}{6} - \frac{2n^3 + 3n^2 + n}{6} \\ &= \frac{14n^3 + 9n^2 + n}{6} \\ &= \frac{n(2n+1)(7n+1)}{6} \end{align*}Thus, $\left( \sum_{i=1}^n i^2 \right)\left(\sum_{i=n+1}^{2n} i^2 \right) = \frac{n^2 (2n+1)^2 (n+1)(7n+1)}{36}$. In order for the expression to be a perfect square, $(n+1)(7n+1)$ must be a perfect square.
By using the Euclidean Algorithm, $\gcd(n+1,7n+1) = \gcd(n+1,6)$. Thus, the GCD of $n+1$ and $7n+1$ must be factors of 6. Now, split the factors as different casework. Note that the quadratic residues of 7 are 0, 1, 2, and 4.
If $\gcd(n+1,7n+1) = 6$, then $n \equiv 5 \pmod{6}$. Let $n = 6a+5$, so $(n+1)(7n+1) = (6a+6)(42a+36) = 36(a+1)(7a+6)$. Since 6 is divided out of $n+1$ and $7n+1$, $a+1$ and $7a+6$ are relatively prime, so $a+1$ and $7a+6$ must be perfect squares. However, since 6 is not a quadratic residue of 7, the GCD of $n+1$ and $7n+1$ can not be 6.
If $\gcd(n+1,7n+1) = 3$, then $n \equiv 2 \pmod{3}$. Let $n = 3a+2$, so $(n+1)(7n+1) = (3a+3)(21a+15) = 9(a+1)(7a+5)$. Since 3 is divided out of $n+1$ and $7n+1$, $a+1$ and $7a+5$ are relatively prime, so $a+1$ and $7a+5$ must be perfect squares. However, since 5 is not a quadratic residue of 7, the GCD of $n+1$ and $7n+1$ can not be 3.
If $\gcd(n+1,7n+1) = 2$, then $n \equiv 1 \pmod{2}$. Let $n = 2a+1$, so $(n+1)(7n+1) = (2a+2)(14a+8) = 4(a+1)(7a+4)$. Since 2 is divided out of $n+1$ and $7n+1$, $a+1$ and $7a+4$ are relatively prime, so $a+1$ and $7a+4$ must be perfect squares. We also know that $n+1$ and $7n+1$ do not share a factor of 3, so $n \equiv 1,3 \pmod{6}$. That means $n \le 2007$, so $a \le 1003$. After trying values of $a$ that are one less than a perfect square, we find that the largest value that makes $(n+1)(7n+1)$ a perfect square is $a = 960$. That means $n = 1921$.
If $\gcd(n+1,7n+1) = 1$, then $n+1 \equiv 1,5 \pmod{6}$ (to avoid common factors that are factors of 6), so $n \equiv 0,4 \pmod{6}$. After trying values of $n$ that are one less than a perfect square, we find that the largest value that makes $(n+1)(7n+1)$ a perfect square is $n = 120$ (we could also stop searching once $n$ gets below 1921).
From the casework, the largest natural number $n$ that makes $(1^2+2^2+3^2+\cdots + n^2)\left[(n+1)^2+(n+2)^2+(n+3)^2+\cdots + (2n)^2\right]$ is a perfect square is $1921$.
sum_{i=1}^n i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$이므로, $\begin{align*} \sum_{i=n+1}^{2n} i^2 &= \sum_{i=1}^{2n} i^2 - \sum_{i=1}^n i^2 \\ &= \frac{2n(2n+1)(4n+1)}{6} - \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \\ &= \frac{16n^3 + 12n^2 + 2n}{6} - \frac{2n^3 + 3n^2 + n}{6} \\ &= \frac{14n^3 + 9n^2 + n}{6} \\ &= \frac{n(2n+1)(7n+1)}{6} \end{align*}따라서 $\left( \sum_{i=1}^n i^2 \right)\left(\sum_{i=n+1}^{2n} i^2 \right) = \frac{n^2 (2n+1)^2 (n+1)(7n+1)}{36}$가 됩니다. 식이 완전 정사각형이 되려면 $(n+1)(7n+1)$가 완전 정사각형이어야 합니다.
유클리드 알고리즘을 사용하면 $\gcd(n+1,7n+1) = \gcd(n+1,6)$이 됩니다. 따라서 $n+1$과 $7n+1$의 GCD는 6의 인수분해여야 합니다. 이제 인수분해를 다른 경우의 수로 분할합니다. 7의 이차 잔차수는 0, 1, 2, 4라는 점에 유의합니다.
만약 $\gcd(n+1,7n+1) = 6$이면 $n \equiv 5 \pmod{6}$입니다. n = 6a+5$이므로 $(n+1)(7n+1) = (6a+6)(42a+36) = 36(a+1)(7a+6)$이죠. 6은 $n+1$과 $7n+1$로 나뉘므로 $a+1$과 $7a+6$은 상대적으로 소수가 되므로 $a+1$과 $7a+6$은 완전 제곱이어야 합니다. 그러나 6은 7의 이차 잔차가 아니므로 $n+1$과 $7n+1$의 GCD는 6이 될 수 없습니다.
만약 $\gcd(n+1,7n+1) = 3$이라면, $n \equiv 2 \pmod{3}$입니다. n = 3a+2$이므로 $(n+1)(7n+1) = (3a+3)(21a+15) = 9(a+1)(7a+5)$가 됩니다. 3은 $n+1$과 $7n+1$로 나뉘므로 $a+1$과 $7a+5$는 상대적으로 소수가 되므로 $a+1$과 $7a+5$는 완전 제곱이어야 합니다. 그러나 5는 7의 이차 잔차가 아니므로 $n+1$과 $7n+1$의 GCD는 3이 될 수 없습니다.
만약 $\gcd(n+1,7n+1) = 2$라면, $n \equiv 1 \pmod{2}$가 됩니다. n = 2a+1$이므로 $(n+1)(7n+1) = (2a+2)(14a+8) = 4(a+1)(7a+4)$가 됩니다. 2는 $n+1$과 $7n+1$로 나뉘므로 $a+1$과 $7a+4$는 상대적으로 소수가 되므로 $a+1$과 $7a+4$는 완전 제곱이어야 합니다. 또한, $n+1$과 $7n+1$은 3의 계수를 공유하지 않으므로 $n \equiv 1,3 \pmod{6}$입니다. 즉, $n \le 2007$이므로 $a \le 1003$입니다. 완전 제곱보다 1이 작은 $a$의 값을 시도한 결과, $(n+1)(7n+1)$를 완전 제곱으로 만드는 가장 큰 값은 $a = 960$임을 알 수 있습니다. 즉, $n = 1921$입니다.
만약 $\gcd(n+1,7n+1)=1$이라면 $n+1 \equiv 1,5 \pmod{6}$(6의 요인인 공통요소를 피하기 위해)이므로 $n \equiv 0,4 \pmod{6}$가 됩니다. 완전 제곱보다 1이 작은 $n$의 값을 시도한 결과, $(n+1)(7n+1)$을 완전 제곱으로 만드는 가장 큰 값은 $n = 120$임을 알 수 있습니다($n$이 1921 이하가 되면 검색을 중단할 수도 있습니다).
사례에서 $(1^2+2^2+3^2+\cdots + n^2)\left[(n+1)^2+(n+2)^2+(n+3)^2+\cdots + (2n)^2\right]$를 완전제곱으로 만드는 가장 큰 자연수 $n$은 $1921$입니다.