First, what is a monic cubic polynomial? A monic cubic polynomial is a cubic polynomial whose leading coefficient is 1. So, if $p(x)$ is a monic cubic polynomial, then it must be of the form $ax^3+bx^2+cx+d$. And we know that $p(3-2i)=0$ and $p(0)=-52$. So we have two equations: $a(3-2i)^3+b(3-2i)^2+c(3-2i)+d=0$ and $d=-52$. Let's solve the first equation for $a$, $b$, $c$, and $d$. We know that $(3-2i)^2=3^2-2*3*2i+2^2*i^2=9-12i+4i^2=9-12i-4=5-12i$. So we can substitute that into the first equation to get $a(3-2i)^3+b(5-12i)+c(3-2i)+d=0$. So now our equation is $a(-(9+46i))+b(5-12i)+c(3-2i)+d=0$. And we also know $d=-52$, so we can substitute that in too. So our equation is now $a(-(9+46i))+b(5-12i)+c(3-2i)-52=0$. Now we can match real and imaginary terms. The real part of the left-hand side is $-9a+5b+3c-52$. The imaginary part of the left-hand side is $-46a-12b-2c$. The real part of the right-hand side is 0, so $-9a+5b+3c-52=0$. The imaginary part of the right-hand side is 0, so $-46a-12b-2c=0$. So we have the system of equations $-9a+5b+3c-52=0$ and $-46a-12b-2c=0$. We could solve this system either by substitution or elimination method. I like elimination method. Let's multiply the first equation by 46 and the second equation by 9. That would give us $-414a+230b+138c-2392=0$ and $-414a-108b-18c=0$. So our new system of equations is $-414a+230b+138c-2392=0$ and $-414a-108b-18c=0$. We could divide by 2. That would give us $169 b + 78 c - 1196=0$. And we can simplify it further by dividing everything by 13. So we get $13 b + 6 c - 92=0$ Let's solve this equation for $c$. So, $c = \dfrac{92 - 13 b}{6}$ Ok. So we know that $p(x)$ has a root of $3-2i$ Yes. That means that $x-(3-2i)$ is a factor of $p(x)$ Right. We also know that $p(x)$ is a monic cubic polynomial. So $p(x)=(x-(3-2i))(ax^2+bx+c)$ And we can use the other root and the constant term to solve for $a,b,c$ We know that the other root is $3+2i$ And the other root is $3+2i$ So $p(x)=(x-(3-2i))(x-(3+2i))(ax+d)$ But we know that the constant term is $-52$, so $d=52/13$ And we know that the leading coefficient is 1, so $a=1$ So we have $p(x)=(x-(3-2i))(x-(3+2i))(x+4)$ All we have to do now is expand. So $p(x)=(x^2-(3-2i)x-(3+2i)x+(3-2i)(3+2i))(x+52/13)$ $(3-2i)(3+2i)=3^2-(2i)^2=9+4=13$ So $p(x)=(x^2-6x+13)(x+52/13)$ Right. So $p(x)=(x^2-6x+13)(x-4)$ And finally, $p(x)=x^3-10x^2+37x-52$. And we can check that $p(3-2i)=0$ and $p(0)=-52$. So we are done.


먼저, 모닉 입방 다항식이란 무엇인가요? 단항 입방 다항식은 선행 계수가 1인 입방 다항식입니다. 따라서 $p(x)$가 단항 입방 다항식이라면, $ax^3+bx^2+cx+d$의 형태여야 합니다. 그리고 우리는 $p(3-2i)=0$과 $p(0)=-52$라는 것을 알고 있습니다. 따라서 $a(3-2i)^3+b(3-2i)^2+c(3-2i)+d=0$와 $d=-52$라는 두 개의 방정식이 있습니다. 첫 번째 방정식을 $a$, $b$, $c$, $d$에 대해 풀어봅시다. 우리는 $(3-2i)^2=3^2-2*3*2i+2^2*i^2=9-12i+4i^2=9-12i-4=5-12i$라는 것을 알고 있습니다. 따라서 이를 첫 번째 방정식에 대입하면 $a(3-2i)^3+b(5-12i)+c(3-2i)+d=0$을 구할 수 있습니다. 이제 방정식은 $a(-(9+46i))+b(5-12i)+c(3-2i)+d=0$입니다. 또한 $d=-52$를 알고 있으므로 이 값도 대입할 수 있습니다. 이제 방정식은 $a(-(9+46i))+b(5-12i)+c(3-2i)-52=0$입니다. 이제 실수 항과 허수 항을 일치시킬 수 있습니다. 왼쪽의 실수 부분은 $-9a+5b+3c-52$입니다. 왼쪽의 허수 부분은 $-46a-12b-2c$입니다. 오른쪽의 실수 부분은 0이므로 $-9a+5b+3c-52=0$입니다. 오른쪽의 허수 부분은 0이므로 $-46a-12b-2c=0$입니다. 따라서 $-9a+5b+3c-52=0$와 $-46a-12b-2c=0$의 방정식 체계가 생겼습니다. 이 시스템은 치환법이나 제거법으로 풀 수 있습니다. 저는 제거 방법을 좋아합니다. 첫 번째 방정식에 46을 곱하고 두 번째 방정식에 9를 곱하면 $-414a+230b+138c-2392=0$와 $-414a-108b-18c=0$가 됩니다. 따라서 새로운 방정식 체계는 $-414a+230b+138c-2392=0$ 및 $-414a-108b-18c=0$입니다. 2로 나눌 수 있습니다. 그러면 $169b + 78c - 1196=0$이 됩니다. 그리고 모든 것을 13으로 나누면 더 단순화할 수 있습니다. 따라서 $13 b + 6 c - 92=0$이 방정식을 $c$에 대해 풀어봅시다. 따라서 $c = \dfrac{92 - 13 b}{6}$입니다. 이제 $p(x)$의 근이 3-2i라는 것을 알 수 있습니다. 즉, $x-(3-2i)$는 $p(x)의 인수입니다. 우리는 또한 $p(x)$가 모노닉 입방 다항식이라는 것을 알고 있습니다. 따라서 $p(x)=(x-(3-2i))(ax^2+bx+c)$ 그리고 다른 근과 상수항을 사용하여 $a,b,c$를 풀 수 있습니다. 다른 근은 $3+2i$ 그리고 다른 근은 $3+2i$이므로 $p(x)=(x-(3-2i))(x-(3+2i))(ax+d)$ 그러나 상수항은 $-52$라는 것을 알고 있습니다, 따라서 $d=52/13$ 선행 계수가 1이라는 것을 알고 있으므로 $a=1$ 따라서 $p(x)=(x-(3-2i))(x-(3+2i))(x+4)$ 이제 우리가 해야 할 일은 확장하는 것뿐입니다. 따라서 $p(x)=(x^2-(3-2i)x-(3+2i)x+(3-2i)(3+2i))(x+52/13)$ $(3-2i)(3+2i)=3^2-(2i)^2=9+4=13$ 따라서 $p(x)=(x^2-6x+13)(x+52/13)$ 옳습니다. 따라서 $p(x)=(x^2-6x+13)(x-4)$ 그리고 마지막으로 $p(x)=x^3-10x^2+37x-52$ 입니다. 그리고 $p(3-2i)=0$과 $p(0)=-52$임을 확인할 수 있습니다. 이제 끝났습니다.

