So $f(f(x))$ means we need to evaluate $f(x)$ first and then plug in the result into $f(x)$ again. Right. So we need to solve $f(x)=5$. Let's do it case by case. First, let's consider the case where $x \ge -4$. In this case, $f(x) = x^2 - 4$. So we need to solve $x^2-4=5$. This means $x^2=9$, so $x= \pm 3$. We must check if these values satisfy the original condition that $x \ge -4$. Right. Both values do satisfy that condition. Now let's consider the case where $x < -4$. In this case, $f(x) = x + 3$. So we need to solve $x + 3 = 5$. This means $x = 2$. We must check if this value satisfies the original condition that $x < -4$. Right. $2$ does not satisfy that condition. Let's do it case by case once again. First, let's consider the case where $x \ge -4$. In this case, $f(x) = x^2 - 4$. So we need to solve $x^2-4=3$. That means $x^2=7$. And $x=\pm \sqrt{7}$. We must check if these values satisfy the original condition that $x \ge -4$. Right. Both values do satisfy that condition. Now let's consider the case where $x < -4$. In this case, $f(x) = x + 3$. So we need to solve $x + 3 = 3$. This means $x = 0$. We must check if this value satisfies the original condition that $x < -4$. Right. $0$ does not satisfy that condition. This means the only solutions are $x=\pm \sqrt{7}$. Right. Let's do it case by case. First, let's consider the case where $x \ge -4$. In this case, $f(x) = x^2 - 4$. So we need to solve $x^2-4=-3$. This means $x^2=1$. And $x=\pm 1$. We must check if these values satisfy the original condition that $x \ge -4$. Right. Both values do satisfy that condition. Now let's consider the case where $x < -4$. In this case, $f(x) = x + 3$. So we need to solve $x + 3 = -3$. This means $x = -6$. We must check if this value satisfies the original condition that $x < -4$. Right. $-6$ does satisfy that condition. This means the only solutions are $x=\pm \sqrt{7},\pm 1, -6$. And we need to check that these values indeed satisfy $f(f(x))=5$. Right. So we need to plug in each value into $f(x)$ and then plug in the result into $f(x)$ again. I'll take $x=\sqrt{7}$. So $f(x) = x^2 - 4 = 7 - 4 = 3$. And $f(3) = 3^2 - 4 = 9 - 4 = 5$. So $f(f(x)) = 5$. I'll take now $x=1$. So $f(x) = x^2 - 4 = 1 - 4 = -3$. Now I'll take $x=-6$. So $f(x) = x + 3 = -6 + 3 = -3$. And $f(-3) = (-3)^2 - 4 = 9 - 4 = 5$. So $f(f(x)) = 5$. Now I'll take $x=-1$. So $f(x) = x^2 - 4 = 1 - 4 = -3$. And $f(-3) = (-3)^2 - 4 = 9 - 4 = 5$. So $f(f(x)) = 5$. Before you do that, let's see how many values we have tried so far. We have tried 4 values so far. Now you can check the last value. Ok. I'll take $x=-\sqrt{7}$. So $f(x) = x^2 - 4 = 7 - 4 = 3$. And $f(3) = 3^2 - 4 = 9 - 4 = 5$. So all values we have tried so far satisfy $f(f(x))=5$. This means we have found all values of $x$ that satisfy $f(f(x))=5$. Right. So the answer is $5$.




따라서 $f(f(x))$는 $f(x)$를 먼저 평가한 다음 그 결과를 다시 $f(x)$에 연결해야 한다는 뜻입니다. 맞습니다. 따라서 $f(x)=5$를 풀어야 합니다. 케이스별로 풀어봅시다. 먼저 $x \ge -4$인 경우를 생각해 봅시다. 이 경우 $f(x) = x^2 - 4$입니다. 따라서 $x^2-4=5$를 풀어야 합니다. 이는 $x^2=9$이므로 $x= \pm 3$이 됩니다. 이 값들이 $x \ge -4$라는 원래 조건을 만족하는지 확인해야 합니다. 맞습니다. 두 값 모두 해당 조건을 만족합니다. 이제 $x < -4$인 경우를 생각해 봅시다. 이 경우 $f(x) = x + 3$입니다. 따라서 $x + 3 = 5$를 풀어야 합니다. 이는 $x = 2$를 의미합니다. 이 값이 $x < -4$라는 원래 조건을 만족하는지 확인해야 합니다. 맞습니다. 2$는 이 조건을 만족하지 않습니다. 다시 한 번 사례별로 살펴봅시다. 먼저 $x \ge -4$인 경우를 생각해 봅시다. 이 경우 $f(x) = x^2 - 4$입니다. 따라서 $x^2-4=3$을 풀어야 합니다. 즉, $x^2=7$이 됩니다. 그리고 $x=\pm \sqrt{7}$입니다. 이 값들이 $x \ge -4$라는 원래 조건을 만족하는지 확인해야 합니다. 맞습니다. 두 값 모두 해당 조건을 만족합니다. 이제 $x < -4$인 경우를 생각해 봅시다. 이 경우 $f(x) = x + 3$입니다. 따라서 $x + 3 = 3$을 풀어야 합니다. 이는 $x = 0$을 의미합니다. 이 값이 $x < -4$라는 원래 조건을 만족하는지 확인해야 합니다. 맞습니다. 0$은 이 조건을 만족하지 않습니다. 즉, 유일한 해는 $x=\pm \sqrt{7}$입니다. 그렇군요. 사례별로 살펴봅시다. 먼저 $x \ge -4$인 경우를 생각해 봅시다. 이 경우 $f(x) = x^2 - 4$입니다. 따라서 $x^2-4=-3$을 풀어야 합니다. 이것은 $x^2=1$을 의미합니다. 그리고 $x=\pm 1$입니다. 이 값들이 $x \ge -4$라는 원래 조건을 만족하는지 확인해야 합니다. 맞습니다. 두 값 모두 해당 조건을 만족합니다. 이제 $x < -4$인 경우를 생각해 봅시다. 이 경우 $f(x) = x + 3$입니다. 따라서 $x + 3 = -3$을 풀어야 합니다. 이는 $x = -6$을 의미합니다. 이 값이 $x < -4$라는 원래 조건을 만족하는지 확인해야 합니다. 맞습니다. 6$은 그 조건을 만족합니다. 즉, 유일한 해는 $x=\pm \sqrt{7},\pm 1, -6$입니다. 그리고 이 값들이 실제로 $f(f(x))=5$를 만족하는지 확인해야 합니다. 맞습니다. 따라서 각 값을 $f(x)$에 대입한 다음 결과를 다시 $f(x)$에 대입해야 합니다. 저는 $x=\sqrt{7}$을 사용하겠습니다. 따라서 $f(x) = x^2 - 4 = 7 - 4 = 3$입니다. 그리고 $f(3) = 3^2 - 4 = 9 - 4 = 5$입니다. 따라서 $f(f(x)) = 5$입니다. 이제 $x=1$입니다. 따라서 $f(x) = x^2 - 4 = 1 - 4 = -3$입니다. 이제 $x=-6$을 취하겠습니다. 따라서 $f(x) = x + 3 = -6 + 3 = -3$입니다. 그리고 $f(-3) = (-3)^2 - 4 = 9 - 4 = 5$입니다. 따라서 $f(f(x)) = 5$입니다. 이제 $x=-1$을 취하겠습니다. 따라서 $f(x) = x^2 - 4 = 1 - 4 = -3$입니다. 그리고 $f(-3) = (-3)^2 - 4 = 9 - 4 = 5$입니다. 따라서 $f(f(x)) = 5$입니다. 그 전에 지금까지 몇 개의 값을 시도했는지 살펴봅시다. 지금까지 4개의 값을 시도했습니다. 이제 마지막 값을 확인할 수 있습니다. 이제 마지막 값을 확인할 수 있습니다. x=-\sqrt{7}$을 가져가겠습니다. 따라서 $f(x) = x^2 - 4 = 7 - 4 = 3$입니다. 그리고 $f(3) = 3^2 - 4 = 9 - 4 = 5$입니다. 따라서 지금까지 시도한 모든 값은 $f(f(x))=5$를 만족합니다. 즉, $f(f(x))=5$를 만족하는 $x$의 모든 값을 찾았다는 뜻입니다. 맞습니다. 따라서 답은 $5$입니다.



