In geometry, a ; (: frusta or frustums) is the portion of a solid (normally a pyramid or a cone) that lies between two parallel planes cutting the solid. In the case of a pyramid, the base faces are polygonal and the side faces are trapezoidal. A right frustum is a right pyramid or a right cone truncated perpendicularly to its axis; otherwise, it is an oblique frustum. 
In a truncated cone or truncated pyramid, the truncation plane is  necessarily parallel to the cone's base, as in a frustum.
If all its edges are forced to become of the same length, then a frustum becomes a prism (possibly oblique or/and with irregular bases).

Elements, special cases, and related concepts

A frustum's axis is that of the original cone or pyramid. A frustum is circular if it has circular bases; it is right if the axis is perpendicular to both bases, and oblique otherwise.

The height of a frustum is the perpendicular distance between the planes of the two bases.

Cones and pyramids can be viewed as degenerate cases of frusta, where one of the cutting planes passes through the apex (so that the corresponding base reduces to a point). The pyramidal frusta are a subclass of prismatoids.

Two frusta with two congruent bases joined at these congruent bases make a bifrustum.

Formulas

Volume
The formula for the volume of a pyramidal square frustum was introduced by the ancient Egyptian mathematics in what is called the Moscow Mathematical Papyrus, written in the 13th dynasty ():

where  and  are the base and top side lengths, and  is the height.

The Egyptians knew the correct formula for the volume of such a truncated square pyramid, but no proof of this equation is given in the Moscow papyrus.

The volume of a conical or pyramidal frustum is the volume of the solid before slicing its "apex" off, minus the volume of this "apex":

where  and  are the base and top areas, and  and  are the perpendicular heights from the apex to the base and top planes.

Considering that

the formula for the volume can be expressed as the third of the product of this proportionality, , and of the difference of the cubes of the heights  and  only:

By using the identity , one gets:

where  is the height of the frustum.

Distributing  and substituting from its definition, the Heronian mean of areas  and  is obtained:

the alternative formula is therefore:

Heron of Alexandria is noted for deriving this formula, and with it, encountering the imaginary unit: the square root of negative one.

In particular:
The volume of a circular cone frustum is:

where  and  are the base and top radii.

The volume of a pyramidal frustum whose bases are regular -gons is:

where  and  are the base and top side lengths.

Surface area

For a right circular conical frustum

and

where r1 and r2 are the base and top radii respectively, and s is the slant height of the frustum.

The surface area of a right frustum whose bases are similar regular n-sided polygons is

where a1 and a2 are the sides of the two bases.

Examples

On the back (the reverse) of a United States one-dollar bill, a pyramidal frustum appears on the reverse of the Great Seal of the United States, surmounted by the Eye of Providence.
Ziggurats, step pyramids, and certain ancient Native American mounds also form the frustum of one or more pyramids, with additional features such as stairs added.
Chinese pyramids.
The John Hancock Center in Chicago, Illinois is a frustum whose bases are rectangles.
The Washington Monument is a narrow square-based pyramidal frustum topped by a small pyramid.
The viewing frustum in 3D computer graphics is a virtual photographic or video camera's usable field of view modeled as a pyramidal frustum.
In the English translation of Stanislaw Lem's short-story collection The Cyberiad, the poem Love and tensor algebra claims that "every frustum longs to be a cone".
Buckets and typical lampshades are everyday examples of conical frustums.
Drinking glasses and some space capsules are also some examples.
Garsų Gaudyklė wooden structure or statue in Lithuania.
Valençay cheese
Rolo candies

See also
Spherical frustum

Notes

References

External links

Derivation of formula for the volume of frustums of pyramid and cone (Mathalino.com)

Paper models of frustums (truncated pyramids)
Paper model of frustum (truncated cone)
Design paper models of conical frustum (truncated cones)

Polyhedra
Prismatoid polyhedra
기하학에서 절두체(frustum)는 입체(보통 원뿔이나 각뿔)를 절단하는 하나나 두 평행면 사이의 부분이다. 직 절두체는 직각뿔을 평행하게 깎은 것이다.

컴퓨터 그래픽스에서 뷰잉 프러스텀은 스크린에서 볼 수 있는 삼차원 영역이다. 이것은 잘라낸 각뿔으로 만들어진다; 특히, 절두체 컬링은 은면 검출의 방법이다.

항공 우주 산업에서, 절두체는 (세턴 V 같은) 두 단계의 다단계로켓 간의 깎은 원뿔 형태의 페어링이다.

모든 모서리의 길이를 같게 할 때, 절두체는 고른 각기둥이 된다.

원소, 특별한 경우, 그리고 관련 개념 

각 평면의 부분은 절두체의 바닥이나 밑면이다. 축이 있다면, 이것은 원본인 원뿔이나 각뿔의 축이다. 원형 밑면을 가지면 그 절두체는 원형이다; 축이 양 면에 수직하면 이것은 직 절두체이고 아니면 빗 절두체이다.

절두체의 높이는 두 밑면의 평면의 수직거리이다.

원뿔과 각뿔은 절단면이 꼭대기를 지나는(밑면이 점으로 줄어든) 절두체의 축퇴된 경우로 볼 수 있다. 각뿔 절두체는 기둥형 다면체의 부분 그룹이다.

두 절두체의 밑면을 붙이면 붙인 절두체를 만든다.

공식

부피 
정사각뿔의 절두체의 부피 공식은 이집트 제13왕조(약 1850 BC)에 쓰인 모스크바 수학 파피루스라고 불리는 고대 이집트 수학에서 발견되었다:

여기서 a와 b는 깎은 각뿔의 밑면과 윗면의 변의 길이이고, h는 높이이다.
이집트인들은 깎은 정사각뿔의 부피를 얻는 공식을 알았지만, 모스크바 파피루스에서 주어진 이 공식에 대한 증명은 없다.

원뿔 또는 각뿔 절두체의 부피는 잘라내기 전의 입체의 부피에서 꼭대기의 부피를 뺀 것이다:

이 때 B1은 밑면의 넓이이고, B2는 다른 밑면의 넓이이며, h1, h2는 꼭대기로부터 각각의 밑면까지의 수직거리이다.

다음을 고려하자

부피의 공식은 비례 상수 α/3와 h1과 h2 세제곱의 차의 곱 만으로 표현할 수 있다.

두 세제곱의 차를 인수분해 해서 ( a3 - b3 = (a-b)(a2 + ab + b2) ) 절두체의 높이 h1−h2 = h를 얻을 수 있고 α(h12 + h1h2 + h22)/3을 얻을 수 있다.

α를 분배하고 그 정의를 대입하면, 넓이 B1과 B2의 헤론 평균을 얻을 수 있다. 따라서 다른 공식은 다음과 같다:

헤론은 이 식을 도출하는데 주목하고 그 가운데 마이너스 일의 제곱근인 허수와 마주하게 되었다.

특히, 원형 원뿔 절두체의 부피는 다음과 같다:

여기서 π는 3.14159265...,이고 R1, R2는 두 밑면의 반지름이다.

밑면이 정n각형인 각뿔 절두체의 부피는 다음과 같다:

여기서 a1과 a2는 두 밑면의 변의 수이다.

표면적 
직원뿔 절두체에 대해서

이고

이 때, R1과 R2는 각각 밑면과 윗면의 반지름이고, s는 절두체의 모선 길이이다.

밑면이 닯은 n각형인 직 절두체의 표면적은 아래와 같다:

여기서 a1과 a2는 두 밑면의 변의 개수이다.

예시 
 미국 1달러 지폐의 뒷면에, 미국의 국장 반대편에 전시안이 그려진 각뿔 절두체가 나타난다.
 일부 고대 아메리카 원주민의 둑은 각뿔의 절두체 모양을 하고 있다.
 중국의 피라미드.
 일리노이주의 시카고에 있는 존 핸콕 센터는 밑면이 직사각형인 절두체이다.
 워싱턴 기념탑은 좁은 정사각형을 밑면으로 하는 절두체 위에 작은 각뿔을 올린 것이다.
 3D 컴퓨터 그래픽스의 뷰잉 프러스텀은 각뿔 절두체로 모델링 된 가상 사진이나 비디오 카메라의 사용 가능한 시야이다.
 스타니스와프 렘의 단편소설 모음집 The Cyberiad의 영어 번역본에서, 시 Love and tensor algebra에서는 claims that "모든 절두체는 원뿔을 갈망한다(every frustum longs to be a cone)"라고 주장하였다.
 바구니와 특정한 전등갓은 원뿔 절두체의 일상적인 예시이다.
 유리잔이나 어떤 우주 왕복선또한 그 예시이다.

참조 
1."frustum"이라는 용어는 조각, 단편이라는 뜻을 가지는 라틴어 frustum에서 왔다. 영어 단어는 종종 으로 철자를 틀리는데, 이 라틴어 단어는 영어 단어 "좌절하다(frustrate)"에 대응한다. 이 두 단어간의 혼동은 매우 오래되었다: 용어에 대한 주의는 Appendix Probi에서도 찾아볼 수 있고, 플라우투스의 작품에도 그에 관한 말장난이 있다.

참고 문헌

외부 링크 

 Derivation of formula for the volume of frustums of pyramid and cone (Mathalino.com)
 
 
 Paper models of frustums (truncated pyramids)
 Paper model of frustum (truncated cone)
 Design paper models of conical frustum (truncated cones)

다면체
기둥형 다면체