Differential calculus is a branch of mathematics that deals with the study of the rates at which quantities change. In particular, it is concerned with the derivative of a function, which measures the rate of change of that function with respect to its variable.

The derivative of a function f(x) is defined as the limit of the difference quotient as the change in x approaches zero:

ddxf(x)=limh&#x2192;0f(x+h)&#x2212;f(x)h" role="presentation" style="text-align: center; position: relative;">ddxf(x)=limh→0f(x+h)−f(x)hddxf(x)=limh→0f(x+h)−f(x)h\frac{d}{dx}f(x) = \lim\_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}

In other words, the derivative measures the slope of the tangent line to the curve of the function at a given point. This definition works for any function, but it is usually easier to calculate the derivative of a function that is given in closed-form.

To analytically solve for the derivative of a function f(x) given in closed-form, we use the rules of differentiation. These rules allow us to find the derivative of a function by applying a set of algebraic operations to the function.

The most basic rule of differentiation is the power rule, which states that the derivative of a function f(x) = x^n is:

ddxxn=nxn&#x2212;1" role="presentation" style="text-align: center; position: relative;">ddxxn=nxn−1ddxxn=nxn−1\frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}

This means that we can find the derivative of any polynomial function by applying the power rule to each term in the polynomial. For example, the derivative of f(x) = 3x^2 + 2x + 1 is:

ddxf(x)=ddx(3x2)+ddx(2x)+ddx(1)=6x+2" role="presentation" style="text-align: center; position: relative;">ddxf(x)=ddx(3x2)+ddx(2x)+ddx(1)=6x+2ddxf(x)=ddx(3x2)+ddx(2x)+ddx(1)=6x+2\frac{d}{dx}f(x) = \frac{d}{dx}(3x^2) + \frac{d}{dx}(2x) + \frac{d}{dx}(1) = 6x + 2

Another important rule of differentiation is the product rule, which states that the derivative of a product of two functions f(x) and g(x) is:

ddx(f(x)g(x))=f&#x2032;(x)g(x)+f(x)g&#x2032;(x)" role="presentation" style="text-align: center; position: relative;">ddx(f(x)g(x))=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)ddx(f(x)g(x))=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)\frac{d}{dx}(f(x)g(x)) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)

where f'(x) and g'(x) are the derivatives of f(x) and g(x) respectively. This rule allows us to find the derivative of any product of functions, which is useful when dealing with more complicated functions.

Finally, the chain rule is a rule of differentiation that allows us to find the derivative of a composite function. The chain rule states that the derivative of a composite function f(g(x)) is:

ddxf(g(x))=f&#x2032;(g(x))g&#x2032;(x)" role="presentation" style="text-align: center; position: relative;">ddxf(g(x))=f′(g(x))g′(x)ddxf(g(x))=f′(g(x))g′(x)\frac{d}{dx}f(g(x)) = f'(g(x))g'(x)

This rule allows us to find the derivative of any function that is made up of a combination of simpler functions.

By using these rules of differentiation, we can find the derivative of any function that is given in closed-form. However, it is important to note that not all functions can be expressed in closed-form, and in those cases we may need to use numerical methods or approximation techniques to estimate the derivative.
미분 미적분은 수량이 변화하는 속도를 연구하는 수학의 한 분야입니다. 특히 변수에 대한 함수의 변화율을 측정하는 함수의 미분과 관련이 있습니다.함수의 도함수 f(x)는 x의 변화가 0에 가까워질 때 차분 몫의 극한으로 정의됩니다:ddxf(x)=limh&#x2192;0f(x+h)&#x2212;f(x)h" role="presentation" style="text-align: center; position: 상대;">ddxf(x)=limh→0f(x+h)-f(x)hddxf(x)=limh→0f(x+h)-f(x)h\frac{d}{dx}f(x) = \lim\_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}즉, 도함수는 주어진 지점에서 함수의 곡선에 대한 접선의 기울기를 측정합니다. 이 정의는 모든 함수에 적용되지만, 일반적으로 닫힌 형태로 주어진 함수의 도함수를 계산하는 것이 더 쉽습니다.닫힌 형태로 주어진 함수 f(x)의 미분을 해석적으로 풀기 위해 미분 규칙을 사용합니다. 이 규칙을 사용하면 함수에 일련의 대수 연산을 적용하여 함수의 미분을 구할 수 있습니다.가장 기본적인 미분 규칙은 거듭제곱 규칙으로, 함수의 도함수는 f(x) = x^n이라는 것입니다:ddxxn=nxn&#x2212;1" role="presentation" style="text-align: 가운데; 위치: 상대적;">ddxxn=nxn-1ddxxn=nxn-1\frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}즉, 다항식의 각 항에 거듭제곱 규칙을 적용하면 어떤 다항식 함수의 도함수를 구할 수 있습니다. 예를 들어, f(x) = 3x^2 + 2x + 1의 도함수는 다음과 같습니다:ddxf(x)=ddx(3x2)+ddx(2x)+ddx(1)=6x+2" role="presentation" style="text-align: center; position: 상대;">ddxf(x)=ddx(3x2)+ddx(2x)+ddx(1)=6x+2ddxf(x)=ddx(3x2)+ddx(2x)+ddx(1)=6x+2\frac{d}{dx}f(x) = \frac{d}{dx}(3x^2) + \frac{d}{dx}(2x) + \frac{d}{dx}(1) = 6x + 2미분의 또 다른 중요한 규칙은 곱법칙으로, 두 함수 f(x)와 g(x)의 곱의 미분은 다음과 같다는 것입니다:ddx(f(x)g(x))=f&#x2032;(x)g(x)+f(x)g&#x2032;(x)" role="presentation" style="text-align: 가운데; 위치: 상대적;">ddx(f(x)g(x))=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)ddx(f(x)g(x))=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)\frac{d}{dx}(f(x)g(x)) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)여기서 f'(x)와 g'(x)는 각각 f(x)와 g(x)의 도함수입니다. 이 규칙을 사용하면 모든 함수의 곱의 도함수를 찾을 수 있으며, 이는 더 복잡한 함수를 다룰 때 유용합니다.마지막으로 연쇄 규칙은 복합 함수의 미분을 구할 수 있는 미분 규칙입니다. 연쇄 규칙에 따르면 복합 함수의 도함수는 f(g(x))입니다:ddxf(g(x))=f&#x2032;(g(x))g&#x2032;(x)" role="presentation" style="text-align: center; position: relative;">ddxf(g(x))=f′(g(x))g′(x)ddxf(g(x))=f′(g(x))g′(x)\frac{d}{dx}f(g(x)) = f'(g(x))g'(x)이 규칙을 사용하면 더 간단한 함수의 조합으로 구성된 모든 함수의 미분을 찾을 수 있습니다.이러한 미분 규칙을 사용하면 닫힌 형태로 주어진 모든 함수의 미분을 구할 수 있습니다. 그러나 모든 함수를 폐쇄형으로 표현할 수 있는 것은 아니며, 이러한 경우 수치적 방법이나 근사 기법을 사용하여 도함수를 추정해야 할 수도 있습니다.