In Euclidean geometry, Menelaus's theorem, named for Menelaus of Alexandria, is a proposition about triangles in plane geometry. Suppose we have a triangle , and a transversal line that crosses  at points  respectively, with  distinct from . A weak version of the theorem states that

where "| |" denotes absolute value (i.e., all segment lengths are positive). 

The theorem can be strengthened to a statement about signed lengths of segments, which provides some additional information about the relative order of collinear points. Here, the length  is taken to be positive or negative according to whether  is to the left or right of  in some fixed orientation of the line; for example,  is defined as having positive value when  is between  and  and negative otherwise. The signed version of Menelaus's theorem states

Equivalently,

Some authors organize the factors differently and obtain the seemingly different relation

but as each of these factors is the negative of the corresponding factor above, the relation is seen to be the same.

The converse is also true: If points  are chosen on  respectively so that 

then  are collinear. The converse is often included as part of the theorem. (Note that the converse of the weaker, unsigned statement is not necessarily true.)

The theorem is very similar to Ceva's theorem in that their equations differ only in sign. By re-writing each in terms of cross-ratios, the two theorems may be seen as projective duals.

Proofs

A standard proof 
First, the sign of the left-hand side will be negative since either all three of the ratios are negative, the case where the line  misses the triangle (lower diagram), or one is negative and the other two are positive, the case where  crosses two sides of the triangle. (See Pasch's axiom.)

To check the magnitude, construct perpendiculars from  to the line  and let their lengths be  respectively. Then by similar triangles it follows that 

Therefore,

For a simpler, if less symmetrical way to check the magnitude, draw  parallel to  where  meets  at . Then by similar triangles

and the result follows by eliminating  from these equations.

The converse follows as a corollary. Let  be given on the lines  so that the equation holds. Let  be the point where  crosses . Then by the theorem, the equation also holds for . Comparing the two, 

But at most one point can cut a segment in a given ratio so

A proof using homothecies 
The following proof uses only notions of affine geometry, notably homothecies.
Whether or not  are collinear, there are three homothecies with centers  that respectively send  to ,  to , and  to . The composition of the three then is an element of the group of homothecy-translations that fixes , so it is a homothecy with center , possibly with ratio 1 (in which case it is the identity). This composition fixes the line  if and only if  is collinear with  (since the first two homothecies certainly fix , and the third does so only if  lies on ). Therefore  are collinear if and only if this composition is the identity, which means that the magnitude of product of the three ratios is 1:

which is equivalent to the given equation.

History
It is uncertain who actually discovered the theorem; however, the oldest extant exposition appears in Spherics by Menelaus. In this book, the plane version of the theorem is used as a lemma to prove a spherical version of the theorem.

In Almagest, Ptolemy applies the theorem on a number of problems in spherical astronomy. During the Islamic Golden Age, Muslim scholars devoted a number of works that engaged in the study of Menelaus's theorem, which they referred to as "the proposition on the secants" (shakl al-qatta). The complete quadrilateral was called the "figure of secants" in their terminology. Al-Biruni's work, The Keys of Astronomy, lists a number of those works, which can be classified into studies as part of commentaries on Ptolemy's Almagest as in the works of al-Nayrizi and al-Khazin where each demonstrated particular cases of Menelaus's theorem that led to the sine rule, or works composed as independent treatises such as:

 The "Treatise on the Figure of Secants" (Risala fi shakl al-qatta''') by Thabit ibn Qurra.
 Husam al-Din al-Salar's Removing the Veil from the Mysteries of the Figure of Secants (Kashf al-qina' 'an asrar al-shakl al-qatta'), also known as "The Book on the Figure of Secants" (Kitab al-shakl al-qatta) or in Europe as The Treatise on the Complete Quadrilateral. The lost treatise was referred to by Sharaf al-Din al-Tusi and Nasir al-Din al-Tusi.
 Work by al-Sijzi.
 Tahdhib'' by Abu Nasr ibn Iraq.
  Roshdi Rashed and Athanase Papadopoulos, Menelaus'  Spherics:  Early Translation and al-Mahani'/al-Harawi's version (Critical edition of Menelaus' Spherics from the Arabic manuscripts, with historical and mathematical commentaries), De Gruyter, Series: Scientia Graeco-Arabica,  21,  2017, 890 pages.

References

External links 

 Alternate proof of Menelaus's theorem, from PlanetMath
 Menelaus From Ceva
 Ceva and Menelaus Meet on the Roads
 Menelaus and Ceva at MathPages
 Demo of Menelaus's theorem by Jay Warendorff. The Wolfram Demonstrations Project.
 

Affine geometry
Theorems about triangles
Articles containing proofs
Euclidean plane geometry
기하학에서 메넬라오스 정리()는 삼각형의 각 변 위의 점이 같은 직선 위의 점일 필요충분조건을 세 점이 각 변을 분할하는 비율 사이의 관계로 나타내는 정리이다.

정의 
점 , , 가 각각 삼각형 의 변 , , 의 직선 위의 점이라고 하자. 메넬라오스 정리에 따르면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 , , 는 공선점이다.
 
두 번째 조건에 등장하는 세 개의 비율은 유향 선분의 비율이다. 즉, 는 가 의 내분점이면 양의 부호를, 외분점이면 음의 부호를 가지며, 남은 두 비율도 마찬가지다. 따라서 두 번째 조건을 만족시키려면 세 점이 모두 외분점이거나 정확히 하나가 외분점이어야 한다. 메넬라오스 정리는 세 점 가운데 하나가 무한원점인 경우에도 유효하다. 예를 들어, 가 직선  위의 무한원점일 경우, , , 가 공선점일 필요충분조건은 가 에 평행하는 것이며, 이 성립한다.

증명

증명 1 
우선 , , 가 공선점이라고 가정하고, 세 비율의 곱이 −1임을 보이자. 파슈 공리에 의하여 외분점은 홀수 개이므로 세 비율의 곱은 음의 부호를 갖는다. 각 꼭짓점 , , 에서 직선 에 내린 수선의 발을 , , 라고 하자. 그렇다면 , , 는 평행선이므로

이다. 따라서

가 성립한다.

반대로

이라고 가정하고 , , 가 공선점임을 보이자. 직선 가 직선 와 에서 만난다고 하자. 그렇다면 위에서 증명한 바에 의하여

이며, 따라서

이다. 직선 를 주어진 비율로 분할하는 점은 유일하므로 이며, 특히 는 직선  위의 점이다.

증명 2 
우선 , , 가 공선점이라고 가정하자. 꼭짓점 를 지나는 직선 의 평행선이 대변 의 직선과 점에서 만난다고 하자. 그렇다면 삼각형 와 는 서로 닮음이며, 삼각형 와  역시 서로 닮음이다. 특히

이므로,

가 성립한다. 세 비율의 곱이 음의 부호라는 증명과 반대 방향의 증명은 첫 증명과 같다.

따름정리

변의 중점에 대한 반사 관련 성질 
점 , , 가 각각 삼각형 의 변 , , 의 직선 위의 점이라고 하고, 이들에 각각 변 , , 의 중점에 대한 반사를 가하여 얻는 점을 , , 이라고 하자. 그렇다면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 , , 는 공선점이다.
 , , 는 공선점이다.
이는 반사된 세 점의 비율이 각각 원래 세 점의 비율의 역수이기 때문이다.

내각과 외각의 이등분선의 성질 
삼각형의 세 외각의 이등분선의 발은 공선점이다. 삼각형의 두 내각의 이등분선과 남은 한 외각의 이등분선의 발은 공선점이다. 다시 말해, 삼각형 의 세 내각 또는 외각의 이등분선 , , 가 대변 , , 의 직선과 점 , , 에서 만난다고 하자. 만약 이들이 모두 외각의 이등분선이거나 정확히 하나가 외각의 이등분선이라면, 이들의 발 , , 는 공선점이다.

수심축 

삼각형 의 각 꼭짓점 , , 에서 대변의 직선에 내린 수선의 발을 , , 라고 하고, 수심 삼각형 의 세 변 , , 가 각각 원래 삼각형의 세 변 , , 와 점 , , 에서 만난다고 하자. 그렇다면 , , 는 공선점이며, 이들의 직선을 원래 삼각형 의 수심축이라고 한다. 이는 원래 삼각형의 각 변이 수심 삼각형의 외각의 이등분선이기 때문이다.

외접원의 접선의 성질 
삼각형 의 외접원의 각 꼭짓점 , , 에서의 접선이 대변 , , 의 직선과 점 , , 에서 만난다고 하자. 그렇다면 , , 는 공선점이다.

일반화

다각형의 경우 
임의의 다각형에서도 성립한다. 예를 들어, 사각형 ABCD의 네 변 AB, BC, CD, DA 또는 그의 연장선과 직선 l의 교점을 E, F, G, H라 하면 다음이 성립한다.

직선이 다각형을 지나지 않아도 된다.

역사 
알렉산드리아의 메넬라오스()는 저서 《구면학》()의 제3권에서 구면 삼각형에 대한 메넬라오스 정리를 제시하였으며, 이를 평면 삼각형에 대한 메넬라오스 정리를 사용하여 증명하였다. 평면 삼각형에 대한 정리의 증명은 이 책에서 제시되지 않았다.

같이 보기 
 체바 정리
 하루키 정리
 체바 직선
 등각 켤레점
 각의 이등분선

각주

외부 링크 

 
 
 

아핀기하학
삼각 기하학
평면기하학 정리