To solve the heat equation with given boundary conditions, we will use the method of separation of variables. We assume that the solution u(x,t) can be written as a product of two functions, one depending only on x and the other depending only on t:

u(x,t) = X(x)T(t)

Now let's plug this into the heat equation:

∂u/∂t = α^2 ∂²u/∂x²
X(x) dT/dt = α^2 T(t) d²X/dx²

Now divide both sides by α^2 XT:

(1/α^2T) dT/dt = (1/X) d²X/dx²

Notice that the left side depends only on t and the right side depends only on x. Since these are independent variables, both sides must be equal to a constant. Let's call this constant -λ:

(1/α^2T) dT/dt = -λ
(1/X) d²X/dx² = -λ

Now we have two ordinary differential equations to solve:

d²X/dx² + λX = 0
dT/dt + α^2λT = 0

Let's first solve the second equation for T(t):

dT/dt + α^2λT = 0

This is a first-order linear ODE, which has the general solution:

T(t) = Ce^(-α^2λt), where C is an arbitrary constant.

Now let's solve the first equation for X(x):

d²X/dx² + λX = 0

This is a second-order linear homogeneous ODE with constant coefficients. The form of the solution depends on the sign of λ:

1. If λ > 0, then X(x) = A cos(√λx) + B sin(√λx)
2. If λ = 0, then X(x) = Ax + B
3. If λ < 0, then X(x) = A e^(√(-λ)x) + B e^(-√(-λ)x)

Now we apply the boundary conditions u(0,t) = 0 and u(L,t) = 0:

u(0,t) = X(0)T(t) = 0 => X(0) = 0
u(L,t) = X(L)T(t) = 0 => X(L) = 0

From the first boundary condition, we can see that only cases 1 and 3 satisfy this condition. However, case 3 leads to exponential growth or decay in x, which is not physically reasonable for a heat conduction problem with fixed endpoints at zero temperature. Therefore, we consider only case 1.

So, X(x) = B sin(√λx), and since X(0) = 0, we don't need to worry about the cosine term.

Now let's apply the second boundary condition, X(L) = 0:

B sin(√λL) = 0

Since B cannot be zero (otherwise the solution would be trivial), we must have sin(√λL) = 0. This occurs when √λL = nπ, where n is an integer. Thus, λ_n = (nπ/L)², and the corresponding eigenfunctions are:

X_n(x) = sin(nπx/L)

The general solution of the heat equation is given by a linear combination of these eigenfunctions multiplied by their time-dependent parts:

u(x,t) = Σ C_n sin(nπx/L)e^(-α^2(nπ/L)²t)

To find the coefficients C_n, we need to know the initial temperature distribution u(x,0). Let's call this function f(x):

f(x) = Σ C_n sin(nπx/L)

To find the coefficients C_n, we can use Fourier sine series:

C_n = (2/L) ∫[0,L] f(x)sin(nπx/L) dx

Finally, the solution of the heat equation with given boundary conditions is:

u(x,t) = Σ (2/L) (∫[0,L] f(x)sin(nπx/L) dx) sin(nπx/L)e^(-α^2(nπ/L)²t)
주어진 경계 조건으로 열 방정식을 풀기 위해 변수 분리 방법을 사용합니다. 해 u(x,t)는 두 함수의 곱으로 쓸 수 있는데, 하나는 x에만 의존하고 다른 하나는 t에만 의존한다고 가정합니다:

u(x,t) = X(x)T(t)

이제 이것을 열 방정식에 대입해 보겠습니다:

∂u/∂t = α^2 ∂²u/∂x²
X(x) dT/dt = α^2 T(t) d²X/dx²

이제 양변을 α^2 XT로 나눕니다:

(1/α^2T) dT/dt = (1/X) d²X/dx²

왼쪽 변은 t에만 의존하고 오른쪽 변은 x에만 의존한다는 것을 알 수 있습니다. 독립 변수이므로 양쪽 변은 상수와 같아야 합니다. 이 상수를 -λ라고 부르겠습니다:

(1/α^2T) dT/dt = -λ
(1/X) d²X/dx² = -λ

이제 풀어야 할 두 개의 일반 미분 방정식이 있습니다:

d²X/dx² + λX = 0
dT/dt + α^2λT = 0

먼저 T(t)에 대한 두 번째 방정식을 풀어봅시다:

dT/dt + α^2λT = 0

이것은 일반적인 해를 구할 수 있는 일차 선형 ODE입니다:

T(t) = Ce^(-α^2λt), 여기서 C는 임의의 상수입니다.

이제 X(x)에 대한 첫 번째 방정식을 풀어봅시다:

d²X/dx² + λX = 0

이것은 상수 계수를 갖는 2차 선형 균질 ODE입니다. 해의 형태는 λ의 부호에 따라 달라집니다:

1. λ > 0인 경우 X(x) = A cos(√λx) + B sin(√λx)
2. λ = 0이면 X(x) = Ax + B
3. λ < 0이면 X(x) = A e^(√(-λ)x) + B e^(-√(-λ)x)

이제 경계 조건 u(0,t) = 0과 u(L,t) = 0을 적용합니다:

u(0,t) = X(0)T(t) = 0 => X(0) = 0
u(L,t) = X(L)T(t) = 0 => X(L) = 0

첫 번째 경계 조건에서 케이스 1과 3만이 이 조건을 만족한다는 것을 알 수 있습니다. 그러나 사례 3은 x가 기하급수적으로 증가하거나 감소하게 되는데, 이는 0 온도에서 종점이 고정된 열 전도 문제에서는 물리적으로 합리적이지 않습니다. 따라서 사례 1만을 고려합니다.

따라서 X(x) = B sin(√λx)이고, X(0) = 0이므로 코사인 항에 대해 걱정할 필요가 없습니다.

이제 두 번째 경계 조건인 X(L) = 0을 적용해 보겠습니다:

B sin(√λL) = 0

B는 0이 될 수 없으므로(그렇지 않으면 해가 사소해지므로) sin(√λL) = 0이 되어야 합니다. 이는 √λL = nπ일 때 발생하며, 여기서 n은 정수입니다. 따라서 λ_n = (nπ/L)²이며, 이에 해당하는 고유 함수는 다음과 같습니다:

X_n(x) = sin(nπx/L)

열 방정식의 일반적인 해는 이러한 고유 함수에 시간 의존 부분을 곱한 선형 조합으로 주어집니다:

u(x,t) = Σ C_n sin(nπx/L)e^(-α^2(nπ/L)²t)

계수 C_n을 구하려면 초기 온도 분포 u(x,0)를 알아야 합니다. 이 함수를 f(x)라고 부르겠습니다:

f(x) = Σ C_n sin(nπx/L)

계수 C_n을 구하기 위해 푸리에 사인 급수를 사용할 수 있습니다:

C_n = (2/L) ∫[0,L] f(x)sin(nπx/L) dx

마지막으로 경계 조건이 주어진 열 방정식의 해는 다음과 같습니다:

u(x,t) = Σ (2/L) (∫[0,L] f(x)sin(nπx/L) dx) sin(nπx/L)e^(-α^2(nπ/L)²t)