Consider the following adaptation setting-one-shot, for most of this problem. There are two parties, $A$ and $B$. There is a state of the world $s$ that takes two values $s\_1$ and $s\_2$ with probabilities $p$ and $1-p$ respectively. Independent of the state of the world, there are four possible decisions $d\_{A 1}, d\_{B 1}, d\_{A 2}$, and $d\_{B 2}$. As in the adaptation model we discussed in class, in any given state, there are only two decisions of interest, but here we modify the payoffs slightly, as follows.
We write $u\_A(d, s)$ and $u\_B(d, s)$ to denote the payoffs to $A$ and $B$ in state $s$ when decision $d$ is taken. We write $i, j$, or $k$ for the parties $(A$ or $B)$ and $m$ or $n$ for the states $\left(s\_1\right.$ or $\left.s\_2\right)$. The following formal statements capture the idea that, in a given state, each party has a preferred decision but also would get a positive payoff from the other party's preferred decision, whereas both parties will get zero if either of their preferred decisions in the other state is taken.
- In state $m$, decisions $d\_{A n}$ and $d\_{B n}$ yield 0 for both players:
$$
\begin{aligned}
& u\_A\left(d\_{A 2}, s\_1\right)=u\_A\left(d\_{B 2}, s\_1\right)=u\_A\left(d\_{A 1}, s\_2\right)=u\_A\left(d\_{B 1}, s\_2\right)=0 \\
& u\_B\left(d\_{A 2}, s\_1\right)=u\_B\left(d\_{B 2}, s\_1\right)=u\_B\left(d\_{A 1}, s\_2\right)=u\_B\left(d\_{B 1}, s\_2\right)=0
\end{aligned}
$$
- In state $m, A$ 's preferred decision $d\_{A m}$ yields some $K>0$ for player $B$, and similarly, $B$ 's preferred decision $d\_{B m}$ yields $K$ for player $A$ :
$$
\begin{aligned}
& u\_A\left(d\_{B 1}, s\_1\right)=u\_B\left(d\_{A 1}, s\_1\right)=K \\
& u\_A\left(d\_{B 2}, s\_2\right)=u\_B\left(d\_{A 2}, s\_2\right)=K
\end{aligned}
$$
- In state $m, A$ 's preferred decision $d\_{A m}$ yields some $U\_{A m}^\*>0$ for $A$. Similarly, in state $m, B$ 's preferred decision $d\_{B m}$ yields some $U\_{B m}^\*>0$ for $B$
$$
\begin{aligned}
u\_A\left(d\_{A m}, s\_m\right) & =U\_{A m}^\* \\
u\_B\left(d\_{B m}, s\_m\right) & =U\_{B m}^\*
\end{aligned}
$$
Suppose that in state $s\_1$ we have $U\_{A 1}^\*>U\_{B 1}^\*$, but in state $s\_2$ we have that $U\_{B 2}^\*>U\_{A 2}^\*$. Note that the previous assumptions imply that $K<\min \left\{U\_{A 1}^\*, U\_{B 1}^\*, U\_{A 2}^\*, U\_{B 2}^\*\right\}$. We will study the following interaction:
1. One party is given control of the decision
2. The state $s$ is observed by both players
3. The party with control chooses the decision
4. Payoffs are received
a) What decision rule $d^{F B}\left(s\_m\right)$ maximizes the sum of the two parties' expected utilities?

Include latex equation on your answers.
이 문제의 대부분에 대해 다음과 같은 적응 설정(원샷)을 고려해 보겠습니다. A$와 $B$라는 두 당사자가 있습니다. 각각 $p$와 $1-p$의 확률로 두 개의 값 $s\_1$과 $s\_2$를 취하는 세계 상태 $s$가 있습니다. 세계 상태와 무관하게 네 가지 가능한 결정 $d\_{A 1}, d\_{B 1}, d\_{A 2}, $d\_{B 2}$가 있습니다. 수업 시간에 논의한 적응 모델에서와 마찬가지로, 주어진 상태에서는 관심 있는 결정이 두 가지뿐이지만 여기서는 다음과 같이 보상을 약간 수정합니다.결정 $d$를 내렸을 때 상태 $s$에서 $A$와 $B$에 대한 보상을 나타내기 위해 $u\_A(d, s)$와 $u\_B(d, s)$를 씁니다. 당사자 $(A$ 또는 $B)$에 대해서는 $i, j$ 또는 $k$를, 상태 $\left(s\_1\right.$ 또는 $\left.s\_2\right)$에 대해서는 $m$ 또는 $n$을 작성합니다. 다음 공식은 주어진 상태에서 각 당사자가 선호하는 결정이 있을 때 상대방이 선호하는 결정으로 인해 양수 보상을 얻는 반면, 다른 상태에서 선호하는 결정 중 하나를 취하면 두 당사자 모두 0을 얻게 된다는 아이디어를 포착합니다.- 상태 $m$에서 결정 $d\_{A n}$과 $d\_{B n}$은 두 플레이어에게 모두 0을 산출합니다:$$\begin{aligned}& u\_A\left(d\_{A 2}, s\_1\right)=u\_A\left(d\_{B 2}, s\_1\right)=u\_A\left(d\_{A 1}, s\_2\right)=u\_A\left(d\_{B 1}, s\_2\right)=0 \\.& u\_B\left(d\_{A 2}, s\_1\right)=u\_B\left(d\_{B 2}, s\_1\right)=u\_B\left(d\_{A 1}, s\_2\right)=u\_B\left(d\_{B 1}, s\_2\right)=0 \\\end{aligned}$$- 상태 $m에서 A$ 의 선호 결정 $d\_{A m}$ 은 플레이어 $B$ 에게 어떤 $K>0$ 을 산출하고, 마찬가지로 $B$ 의 선호 결정 $d\_{B m}$ 은 플레이어 $A$ 에게 $K$ 를 산출합니다:$$\begin{aligned}& u\_A\left(d\_{B 1}, s\_1\right)=u\_B\left(d\_{A 1}, s\_1\right)=K \\.& u\_A\left(d\_{B 2}, s\_2\right)=u\_B\left(d\_{A 2}, s\_2\right)=K\end{aligned}$$- 상태 $m$에서 A$의 선호 결정 $d\_{A m}$는 $A$에 대해 어떤 $U\_{A m}^\*>0$을 산출합니다. 마찬가지로, 상태 $m에서 B$의 선호 결정 $d\_{B m}$ 는 $B$ 에 대해 어떤 $U\_{B m}^\*>0$ 을 산출합니다.$$\begin{aligned}u\_A\left(d\_{A m}, s\_m\right) & =U\_{A m}^\* \\.u\_B\left(d\_{B m}, s\_m\right) & =U\_{B m}^\* \\\\\\\\\*\end{aligned}$$상태 $s\_1$에서는 $U\_{A 1}^\*>U\_{B 1}^\*$이지만, 상태 $s\_2$에서는 $U\_{B 2}^\*>U\_{A 2}^\*$가 있다고 가정합니다. 앞의 가정은 $K<\min \left\{U\_{A 1}^\*, U\_{B 1}^\*, U\_{A 2}^\*, U\_{B 2}^\*\right\}$임을 암시한다는 점에 유의하세요. 다음 상호작용을 공부하겠습니다:1. 한 당사자에게 결정권이 주어집니다.2. 상태 $s$는 두 플레이어가 모두 관찰합니다.3. 통제권을 가진 쪽이 결정을 선택합니다.4. 보상이 주어진다.a) 두 당사자의 기대 효용의 합을 최대화하는 결정 규칙 $d^{F B}\left(s\_m\right)$는 무엇입니까?답에 라텍스 방정식을 포함시키십시오.