In relativistic classical field theories of gravitation, particularly general relativity, an energy condition is a generalization of the statement "the energy density of a region of space cannot be negative" in a relativistically-phrased mathematical formulation. There are multiple possible alternative ways to express such a condition such that can be applied to the matter content of the theory. The hope is then that any reasonable matter theory will satisfy this condition or at least will preserve the condition if it is satisfied by the starting conditions.

Energy conditions are not physical constraints , but are rather mathematically imposed boundary conditions that attempt to capture a belief that "energy should be positive". Many energy conditions are known to not correspond to physical reality—for example, the observable effects of dark energy are well-known to violate the strong energy condition.

In general relativity, energy conditions are often used (and required) in proofs of various important theorems about black holes, such as the no hair theorem or the laws of black hole thermodynamics.

Motivation
In general relativity and allied theories, the distribution of the mass, momentum, and stress due to matter and to any non-gravitational fields is described by the energy–momentum tensor (or matter tensor) . However, the Einstein field equation in itself does not specify what kinds of states of matter or non-gravitational fields are admissible in a spacetime model. This is both a strength, since a good general theory of gravitation should be maximally independent of any assumptions concerning non-gravitational physics, and a weakness, because without some further criterion the Einstein field equation admits putative solutions with properties most physicists regard as unphysical, i.e. too weird to resemble anything in the real universe even approximately.

The energy conditions represent such criteria. Roughly speaking, they crudely describe properties common to all (or almost all) states of matter and all non-gravitational fields that are well-established in physics while being sufficiently strong to rule out many unphysical "solutions" of the Einstein field equation.

Mathematically speaking, the most apparent distinguishing feature of the energy conditions is that they are essentially restrictions on the eigenvalues and eigenvectors of the matter tensor. A more subtle but no less important feature is that they are imposed eventwise, at the level of tangent spaces. Therefore, they have no hope of ruling out objectionable global features, such as closed timelike curves.

Some observable quantities
In order to understand the statements of the various energy conditions, one must be familiar with the physical interpretation of some scalar and vector quantities constructed from arbitrary timelike or null vectors and the matter tensor.

First, a unit timelike vector field  can be interpreted as defining the world lines of some family of (possibly noninertial) ideal observers. Then the scalar field

can be interpreted as the total mass–energy density (matter plus field energy of any non-gravitational fields) measured by the observer from our family (at each event on his world line). Similarly, the vector field with components  represents (after a projection) the momentum measured by our observers.

Second, given an arbitrary null vector field  the scalar field

can be considered a kind of limiting case of the mass–energy density.

Third, in the case of general relativity, given an arbitrary timelike vector field , again interpreted as describing the motion of a family of ideal observers, the Raychaudhuri scalar is the scalar field obtained by taking the trace of the tidal tensor corresponding to those observers at each event:

This quantity plays a crucial role in Raychaudhuri's equation. Then from Einstein field equation we immediately obtain

where  is the trace of the matter tensor.

Mathematical statement
There are several alternative energy conditions in common use:

Null energy condition
The null energy condition stipulates that for every future-pointing null vector field ,

Each of these has an averaged version, in which the properties noted above are to hold only on average along the flowlines of the appropriate vector fields. Otherwise, the Casimir effect leads to exceptions. For example, the averaged null energy condition states that for every flowline (integral curve)  of the null vector field  we must have

Weak energy condition
The weak energy condition stipulates that for every timelike vector field  the matter density observed by the corresponding observers is always non-negative:

Dominant energy condition
The dominant energy condition stipulates that, in addition to the weak energy condition holding true, for every future-pointing causal vector field (either timelike or null)  the vector field  must be a future-pointing causal vector. That is, mass–energy can never be observed to be flowing faster than light.

Strong energy condition
The strong energy condition stipulates that for every timelike vector field , the trace of the tidal tensor measured by the corresponding observers is always non-negative:

There are many classical matter configurations which violate the strong energy condition, at least from a mathematical perspective. For instance, a scalar field with a positive potential can violate this condition. Moreover, observations of dark energy/cosmological constant show that the strong energy condition fails to describe our universe, even when averaged across cosmological scales. Furthermore, it is strongly violated in any cosmological inflationary process (even one not driven by a scalar field).

Perfect fluids

Perfect fluids possess a matter tensor of form

where  is the four-velocity of the matter particles and where  is the projection tensor onto the spatial hyperplane elements orthogonal to the four-velocity, at each event. (Notice that these hyperplane elements will not form a spatial hyperslice unless the velocity is vorticity-free, that is, irrotational.) With respect to a frame aligned with the motion of the matter particles, the components of the matter tensor take the diagonal form

Here,  is the energy density and  is the pressure.

The energy conditions can then be reformulated in terms of these eigenvalues:
 The null energy condition stipulates that 
 The weak energy condition stipulates that 
 The dominant energy condition stipulates that 
 The strong energy condition stipulates that 

The implications among these conditions are indicated in the figure at right. Note that some of these conditions allow negative pressure. Also, note that despite the names the strong energy condition does not imply the weak energy condition even in the context of perfect fluids.

Attempts at falsifying the energy conditions
While the intent of the energy conditions is to provide simple criteria that rule out many unphysical situations while admitting any physically reasonable situation, in fact, at least when one introduces an effective field modeling of some quantum mechanical effects, some possible matter tensors which are known to be physically reasonable and even realistic because they have been experimentally verified, actually fail various energy conditions. In particular, in the Casimir effect, in the region between two conducting plates held parallel at a very small separation d, there is a negative energy density

between the plates. (Be mindful, though, that the Casimir effect is topological, in that the sign of the vacuum energy depends on both the geometry and topology of the configuration. Being negative for parallel plates, the vacuum energy is positive for a conducting sphere.) However, various quantum inequalities suggest that a suitable averaged energy condition may be satisfied in such cases. In particular, the averaged null energy condition is satisfied in the Casimir effect. Indeed, for energy–momentum tensors arising from effective field theories on Minkowski spacetime, the averaged null energy condition holds for everyday quantum fields. Extending these results is an open problem.

The strong energy condition is obeyed by all normal/Newtonian matter, but a false vacuum can violate it. Consider the linear barotropic equation state

where  is the matter energy density,  is the matter pressure, and  is a constant. Then the strong energy condition requires ; but for the state known as a false vacuum, we have .

See also 
 Congruence (general relativity)
 Exact solutions in general relativity
 Frame fields in general relativity
 Positive energy theorem

Notes

References
 The energy conditions are discussed in §4.3.
 Various energy conditions (including all of those mentioned above) are discussed in Section 2.1.
 Various energy conditions are discussed in Section 4.6.
 Common energy conditions are discussed in Section 9.2.
 Violations of the strong energy condition is discussed in Section 6.1.

Mathematical methods in general relativity
일반 상대성 이론에서 에너지 조건(energy條件, )은 물리적으로 "현실적인" 시공간의 리치 곡률이 만족시켜야 한다고 가정할 수 있는 여러 조건 가운데 하나이다. 아인슈타인 방정식에 따라 시공간의 리치 곡률은 그 위에 존재하는 물질의 에너지-운동량 텐서로 주어지므로, 이는 물리적으로 "현실적인" 물질에 대한 조건으로도 볼 수 있다.

정의 
−+++ 계량 부호수를 사용하자. 시공간  위에 에너지-운동량 텐서 가 주어졌다고 하자. 또한, 시공간은 시간 방향(time orientation)이 주어져 있다고 하자. 따라서, 모든 벡터를 미래 방향 시간꼴 벡터 · 과거 방향 시간꼴 벡터 · 미래 방향 영벡터 · 과거 방향 영벡터 · 공간꼴 벡터로 분류할 수 있다. 또한, 에너지-운동량 텐서의 대각합 을 정의하자. 그렇다면, 흔히 사용되는 5가지의 에너지 조건은 다음과 같다.
 영벡터 에너지 조건(零vector energy條件, , 약자 NEC)에 따르면, 모든 미래 방향 영벡터장 는 다음 조건을 만족시킨다.

즉, 빛의 속력으로 움직이는 (무질량) 관찰자는 항상 음이 아닌 에너지 밀도를 관찰한다.
 약한 에너지 조건(弱-energy條件, , 약자 WEC)에 따르면, 모든 미래 방향 시간꼴 벡터장 는 다음 조건을 만족시킨다.

즉, 빛의 속력보다 느리게 움직이는 (유질량) 관찰자는 항상 음이 아닌 에너지 밀도를 관찰한다.
 영벡터 우세 에너지 조건(零vector優勢energy條件, , 약자 NDEC)에 따르면, ① 약한 에너지 조건이 충족되며, 또한 ② 모든 미래 방향 영벡터장 에 대하여, 는 미래 방향 시간꼴 또는 영벡터로 구성된 벡터장이다. 즉, 두 번째 조건에 따르면, 빛의 속도로 움직이는 관찰자는 에너지-운동량이 빛보다 더 빨리 흐르는 것을 관찰할 수 없다. 이 조건은 우세 에너지 조건과 유사하나, 음의 우주 상수를 허용한다.
 우세 에너지 조건(優勢energy條件, , 약자 DEC)에 따르면, ① 약한 에너지 조건이 충족되며, 또한 ② 모든 미래 방향 시간꼴 또는 영벡터로 구성된 벡터장 에 대하여, 는 미래 방향 시간꼴 또는 영벡터로 구성된 벡터장이다. 즉, 조건 ②에 따르면, 빛의 속력 이하로 움직이는 관찰자는 에너지-운동량이 빛보다 더 빨리 흐르는 것을 관찰할 수 없다. 조건 ②에 따르면, 등방 물질의 경우 압력이 항상 에너지 밀도보다 작아야 한다. 이는 물질에서 음속이 빛의 속력보다 더 작아야 하는 조건이다.
 강한 에너지 조건(強-energy條件, , 약자 SEC)에 따르면, 모든 미래 방향 시간꼴 벡터장 는 다음 조건을 만족시킨다.

즉, 강한 에너지 조건을 제외한 에너지 조건들은 다음과 같다.

평균 에너지 조건 
위 에너지 조건들은 각 점마다 성립 여부를 결정할 수 있다. 그러나 이 조건들을 약화시켜, 주어진 세계선의 적분에 관한 에너지 조건들을 정의할 수 있다. 이들을 평균 에너지 조건(平均energy條件, )이라고 한다. (평균이 아닌 에너지 조건들은 양자 역학 효과에 의하여 미세하게 위배될 수 있지만, 평균 에너지 조건들은 양자 효과에 대하여 성립할 가능성이 더 높다고 여겨진다.)

시공간 에서, 매끄러운 곡선  가운데, 임의의 에 대하여 속력 이 미래 방향 시간꼴인 곡선들의 집합을 로 표기하자. 마찬가지로, 속력이 항상 미래 방향 영벡터인 곡선들의 집합을 로 표기하자.

 평균 영벡터 에너지 조건(平均零vector energy條件, , 약자 ANEC)에 따르면, 모든 는 다음 조건을 만족시킨다.

 평균 약한 에너지 조건(平均弱-energy條件, , 약자 AWEC)에 따르면, 모든 는 다음 조건을 만족시킨다.

성질

인과 관계 
이들 사이의 인과 관계는 다음과 같다. 여기서 X ⇒ Y는 X가 Y를 함의함을 뜻한다.

이름과 달리, 강한 에너지 조건(SEC)은 약한 에너지 조건(WEC)을 함의하지 않는다.

이상 유체 
에너지 밀도 , 압력 를 가진 이상 유체

의 경우 위 조건들은 다음과 같다.
 영벡터 에너지 조건: 
 약한 에너지 조건: , 
 영벡터 우세 에너지 조건:  또는 
 우세 에너지 조건: 
 강한 에너지 조건: ,

함의 관계 
일반 상대성 이론에서, 시공간의 다양한 성질들을 증명하기 위해서는 대개 일종의 에너지 조건이 필요하다. 각종 주요 정리들을 증명하기 위해 필요한 에너지 조건들은 다음과 같다.
 영벡터 에너지 조건:
 블랙홀 열역학의 제2 법칙
 ADM 질량은 음수가 될 수 없음
 약한 에너지 조건:
 블랙홀 열역학의 제3 법칙 (블랙홀의 표면 중력을 유한한 시간 안에 0으로 만들 수 없음)
 공간의 위상은 변할 수 없음
 우세 에너지 조건:
 블랙홀의 위상은 항상 구

위배 
질량을 갖는 스칼라장(클레인-고르돈 방정식)은 (고전적으로) 강한 에너지 조건을 위배할 수 있다.

양자 역학적 효과는 심지어 영벡터 에너지 조건도 위배할 수 있다고 생각된다. 그러나 각종 평균화 에너지 조건들은 양자 효과에 대하여 비교적 안전하다고 여겨진다.

참고 문헌 

일반 상대성이론