In fluid dynamics, gravity waves are waves generated in a fluid medium or at the interface between two media when the force of gravity or buoyancy tries to restore equilibrium. An example of such an interface is that between the atmosphere and the ocean, which gives rise to wind waves.

A gravity wave results when fluid is displaced from a position of equilibrium. The restoration of the fluid to equilibrium will produce a movement of the fluid back and forth, called a wave orbit. Gravity waves on an air–sea interface of the ocean are called surface gravity waves (a type of surface wave), while gravity waves that are  the body of the water (such as between parts of different densities) are called internal waves. Wind-generated waves on the water surface are examples of gravity waves, as are tsunamis and ocean tides.

The period of wind-generated gravity waves on the free surface of the Earth's ponds, lakes, seas and oceans are predominantly between 0.3 and 30 seconds (corresponding to frequencies between 3 Hz and 30 mHz). Shorter waves are also affected by surface tension and are called gravity–capillary waves and (if hardly influenced by gravity) capillary waves. Alternatively, so-called infragravity waves, which are due to subharmonic nonlinear wave interaction with the wind waves, have periods longer than the accompanying wind-generated waves.

Atmosphere dynamics on Earth

In the Earth's atmosphere, gravity waves are a mechanism that produce the transfer of momentum from the troposphere to the stratosphere and mesosphere. Gravity waves are generated in the troposphere by frontal systems or by airflow over mountains. At first, waves propagate through the atmosphere without appreciable change in mean velocity. But as the waves reach more rarefied (thin) air at higher altitudes, their amplitude increases, and nonlinear effects cause the waves to break, transferring their momentum to the mean flow. This transfer of momentum is responsible for the forcing of the many large-scale dynamical features of the atmosphere. For example, this momentum transfer is partly responsible for the driving of the Quasi-Biennial Oscillation, and in the mesosphere, it is thought to be the major driving force of the Semi-Annual Oscillation. Thus, this process plays a key role in the dynamics of the middle atmosphere.

The effect of gravity waves in clouds can look like altostratus undulatus clouds, and are sometimes confused with them, but the formation mechanism is different.

Quantitative description

Deep water
The phase velocity  of a linear gravity wave with wavenumber  is given by the formula

where g is the acceleration due to gravity. When surface tension is important, this is modified to

where σ is the surface tension coefficient and ρ is the density.

The gravity wave represents a perturbation around a stationary state, in which there is no velocity. Thus, the perturbation introduced to the system is described by a velocity field of infinitesimally small amplitude,  Because the fluid is assumed incompressible, this velocity field has the streamfunction representation

where the subscripts indicate partial derivatives. In this derivation it suffices to work in two dimensions , where gravity points in the negative z-direction. Next, in an initially stationary incompressible fluid, there is no vorticity, and the fluid stays irrotational, hence  In the streamfunction representation,  Next, because of the translational invariance of the system in the x-direction, it is possible to make the ansatz

where k is a spatial wavenumber. Thus, the problem reduces to solving the equation

We work in a sea of infinite depth, so the boundary condition is at  The undisturbed surface is at , and the disturbed or wavy surface is at  where  is small in magnitude. If no fluid is to leak out of the bottom, we must have the condition

Hence,  on , where A and the wave speed c are constants to be determined from conditions at the interface.

The free-surface condition: At the free surface , the kinematic condition holds:

Linearizing, this is simply

where the velocity  is linearized on to the surface  Using the normal-mode and streamfunction representations, this condition is , the second interfacial condition.

Pressure relation across the interface: For the case with surface tension, the pressure difference over the interface at  is given by the Young–Laplace equation:

where σ is the surface tension and κ is the curvature of the interface, which in a linear approximation is

Thus,

However, this condition refers to the total pressure (base+perturbed), thus

(As usual, The perturbed quantities can be linearized onto the surface z=0.) Using hydrostatic balance, in the form 

this becomes

The perturbed pressures are evaluated in terms of streamfunctions, using the horizontal momentum equation of the linearised Euler equations for the perturbations,

to yield 

Putting this last equation and the jump condition together,

Substituting the second interfacial condition  and using the normal-mode representation, this relation becomes 

Using the solution , this gives

Since  is the phase speed in terms of the angular frequency  and the wavenumber, the gravity wave angular frequency can be expressed as

The group velocity of a wave (that is, the speed at which a wave packet travels) is given by

and thus for a gravity wave,

The group velocity is one half the phase velocity. A wave in which the group and phase velocities differ is called dispersive.

Shallow water
Gravity waves traveling in shallow water (where the depth is much less than the wavelength), are nondispersive: the phase and group velocities are identical and independent of wavelength and frequency. When the water depth is h,

Generation of ocean waves by wind

Wind waves, as their name suggests, are generated by wind transferring energy from the atmosphere to the ocean's surface, and capillary-gravity waves play an essential role in this effect. There are two distinct mechanisms involved, called after their proponents, Phillips and Miles.

In the work of Phillips, the ocean surface is imagined to be initially flat (glassy), and a turbulent wind blows over the surface. When a flow is turbulent, one observes a randomly fluctuating velocity field superimposed on a mean flow (contrast with a laminar flow, in which the fluid motion is ordered and smooth). The fluctuating velocity field gives rise to fluctuating stresses (both tangential and normal) that act on the air-water interface. The normal stress, or fluctuating pressure acts as a forcing term (much like pushing a swing introduces a forcing term). If the frequency and wavenumber  of this forcing term match a mode of vibration of the capillary-gravity wave (as derived above), then there is a resonance, and the wave grows in amplitude. As with other resonance effects, the amplitude of this wave grows linearly with time.

The air-water interface is now endowed with a surface roughness due to the capillary-gravity waves, and a second phase of wave growth takes place. A wave established on the surface either spontaneously as described above, or in laboratory conditions, interacts with the turbulent mean flow in a manner described by Miles. This is the so-called critical-layer mechanism. A critical layer forms at a height where the wave speed c equals the mean turbulent flow U. As the flow is turbulent, its mean profile is logarithmic, and its second derivative is thus negative. This is precisely the condition for the mean flow to impart its energy to the interface through the critical layer. This supply of energy to the interface is destabilizing and causes the amplitude of the wave on the interface to grow in time. As in other examples of linear instability, the growth rate of the disturbance in this phase is exponential in time.

This Miles–Phillips Mechanism process can continue until an equilibrium is reached, or until the wind stops transferring energy to the waves (i.e., blowing them along) or when they run out of ocean distance, also known as fetch length.

See also

 Acoustic wave
 Asteroseismology
 Green's law
 Horizontal convective rolls
 Lee wave
 Lunitidal interval
 Mesosphere#Dynamic features
 Morning Glory cloud
 Orr–Sommerfeld equation
 Rayleigh–Taylor instability
 Rogue wave
 Skyquake

Notes

References
 Gill, A. E., "Gravity wave". Glossary of Meteorology. American Meteorological Society (15 December 2014).
 Crawford,  Frank S., Jr. (1968).  Waves (Berkeley Physics Course, Vol. 3), (McGraw-Hill, 1968)    Free online version

Further reading

External links
유체역학에서, 중량파() 또는 중력파(重力波)는 유체매질이나, 중력 또는 부력의 복원력을 가진 두 매질 사이의 계면에서 발생한다. 풍랑을 만드는 대기와 대양 사이의 계면을 한 예로 들 수 있다.

한 계면에서 또는 내부에서 서로다른 밀도를 가진 영역에 대하여 유체요소가 옮겨갈 때, 중력은 평형을 회복하려고 하며, 그 결과 평형 상태 또는 파동 궤도(wave orbit)에 대한 진동을 만들어낸다. 대양의 대기와 바다 계면에서 생기는 중량파는 표면 중량파(surface gravity wave) 또는 표면파(surface wave)라고 불리며, 물 속의 서로 밀도가 다른 부분 사이에서 생기는 중량파는내부파(internal wave)라고 불린다. 물의 표면에서 바람에 의해 생기는 파는 중량파의 한 예이며, 쓰나미와 조수는 다른것이다.

연못, 호수, 그리고 바다와 대양의 자유표면(액체와 기체가 만나는 면)에서 바람에 의해 생기는 중량파 즉, 풍파는 0.03Hz~3Hz의 주파수(30초~0.3초 주기)를 갖는다. 단파(주파수가 3MHz에서 30MHz 정도인 전자기파)는 표면의 응력에 의해 영향받을 수 있는데, 이것을 중력-장력파 또는 중력의 영향을 아주많이 받을 경우에는 표면장력파라고 불린다. 대체적으로, 소위 말하는 장주기 중량파(infragravity wave)는 저조파 비선형파와 풍랑의 상호작용때문에 발생하는데, 이것은 함께 동반되는 풍파보다 더 긴 주기를 갖는다.

지구의 대기에서, 중량파는 높이에 따른 운동량의 운송에 대한 메커니즘이다. 중량파는 정면의 시스템이나 산 너머의 기류에 의해 대류권에서 생겨난다. 처음에, 파는 평균 속도에 대해 눈에 띄는 변화 없이 대기를 통해 전달된다. 하지만 파가 더 높은 고도의 희박한 공기까지 도달하면, 진폭은 증가하고 비선형적인 효과가 파를 혼란스럽게 만들면서 그 운동량을 평균 유량(mean flow)으로 전달시킨다. 이 과정은 중부대기(25∼105km의 고도범위)의 역학을 제어하는데 중요한 역할을 한다.

파상수가 κ인 선형적인 중량파의 위상 속도c가 다음 공식에 의해 주어진다고 하자.

c=√(g/k)
여기서 g는 중력 가속도이다.
표면의 응력이 클 때, 이것은 다음과 같이 다시 쓰여져야 한다.
c=√(g/k+σk/ρ) .
여기서 ρ는 밀도이며, σ는 표면응력상수이다.
각진동수를 ω이라고 할 때, c=ω/k 이므로, 중량파의 각 진동수는 다음과 같이 표현될수 있다.
ω=√gk.
파의 군속도를 c_g라고 하면, c_g=dω/dk이고 따라서 중량파에 대하여
c_g=1/2 √(g/k)=1/2 c
로 표현될 수 있다.
군 속도는 위상속도의 반이 된다. 이렇게 위상 속도와 군속도가 다른 파를 분산파(dispersive wave)라고 한다.

풍랑은 그 이름에서 알 수 있듯이 대기에서 바다의 표면으로 에너지를 전달시키는 바람에 의해 형성된 것이며,  표면장력-중량 파는 이것의 형성에 중요한 역할을 한다. 처음 제시한 사람인 필립스와 마일스의 이름을 딴 서로다른 두개의 메커니즘이 있다. 필립스의 메카니즘에서, 바다의 표면은 처음에는 평평하다가 사나운 바람이 그 표면위에서 불게 된다. 흐름이 거칠어지면 평균 유량에 덧붙여져서 무작위적으로 속도장이 변하게 된다. 변동하는 속도장은 공기와 물의 계면에서 작용하는 응력(접선과 법선 방향 모두)에도 변동이 생기게 한다. 수직방향의 응력은 힘을 주는 항으로서 작용한다. 만약 이 힘을 주는 항의 진동수와 파상수(ω,k)가 표면장력-중량파 진동의 유형과 들어맞는다면, 그리고 공명이 생긴다면, 파의 진폭은 더 커지게 된다. 다른 공명적인 효과와 같이, 이 파의 진폭은 시간에 따라 선형적으로 증가한다.

공기와 물의 계면에는 표면장력-중량파 때문에 생기는 표면 거칠기(surface roughness)가 부여되고 파 성장의 두번째 단계가 발생하게 된다. 위에 묘사된 것처럼 자발적으로 또는 실험실 환경속에서 표면 위에서 생겨난 파는 마일스에 의해 설명된 방법으로 난류적인 평균유량과 상호작용 하게 된다. 이것이 소위 말하는 임계층 메커니즘이다. 임계층은 파의 속도 c가 평균 난류 유량인 U와 같아지는 고도에서 형성된다. 그 흐름은 난류이기 때문에 그것의 평균 도표는 대수적이며, 따라서 두번째 편차는 음수가 된다. 이것은 정밀하게 임계층을 통해서 이것의 에너지를 계면으로 전달하기 위한 평균 유량의 조건이다. 계면으로의 에너지 공급은 불안정하며 시간에 따라 계면에 있는 파의 진폭에 영향을 끼친다. 선형의 불안정상태의 다른 예들에서처럼 이 단계에서 교란의 성장 속도는 시간에 따라 지수함수적이다.

이 마일스-필립스 메커니즘 과정은 평형상태에 도달할때까지 또는 바람이 에너지를 중량파로 전전달시키는 것 멈출 때까지 계속될수 있다. 또는 취송거리로 알려진 곳까지 바람이 바다로부터 달아나버리게 되면 멈추게 된다.

참고 문헌 
 Gill, A. E., "Gravity wave". Atmosphere Ocean Dynamics, Academic Press, 1982.

유체동역학
대기역학
파동
해파