In mathematics, a divisor of an integer , also called a factor of , is an integer  that may be multiplied by some integer to produce . In this case, one also says that  is a multiple of  An integer  is divisible or evenly divisible by another integer  if  is a divisor of ; this implies dividing  by  leaves no remainder.

Definition 
An integer  is divisible by a nonzero integer  if there exists an integer  such that . This is written as
 
Other ways of saying the same thing are that  divides ,  is a divisor of ,  is a factor of , and  is a multiple of . If  does not divide , then the notation is .

Usually,  is required to be nonzero, but  is allowed to be zero. With this convention,  for every nonzero integer . Some definitions omit the requirement that  be nonzero.

General 
Divisors can be negative as well as positive, although often the term is restricted to positive divisors. For example, there are six divisors of 4; they are 1, 2, 4, −1, −2, and −4, but only the positive ones (1, 2, and 4) would usually be mentioned.

1 and −1 divide (are divisors of) every integer. Every integer (and its negation) is a divisor of itself. Integers divisible by 2 are called even, and integers not divisible by 2 are called odd.

1, −1, n and −n are known as the trivial divisors of n. A divisor of n that is not a trivial divisor is known as a non-trivial divisor (or strict divisor). A nonzero integer with at least one non-trivial divisor is known as a composite number, while the units −1 and 1 and prime numbers have no non-trivial divisors.

There are divisibility rules that allow one to recognize certain divisors of a number from the number's digits.

Examples 

 7 is a divisor of 42 because , so we can say . It can also be said that 42 is divisible by 7, 42 is a multiple of 7, 7 divides 42, or 7 is a factor of 42.
 The non-trivial divisors of 6 are 2, −2, 3, −3.
 The positive divisors of 42 are 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42.
 The set of all positive divisors of 60, , partially ordered by divisibility, has the Hasse diagram:

Further notions and facts  
There are some elementary rules:
 If  and , then , i.e. divisibility is a transitive relation.
 If  and , then  or .
 If  and , then  holds, as does . However, if  and , then  does not always hold (e.g.  and  but 5 does not divide 6).

If , and , then . This is called Euclid's lemma.

If  is a prime number and  then  or .

A positive divisor of  that is different from  is called a  or an  of . A number that does not evenly divide  but leaves a remainder is sometimes called an  of .

An integer  whose only proper divisor is 1 is called a prime number. Equivalently, a prime number is a positive integer that has exactly two positive factors: 1 and itself.

Any positive divisor of  is a product of prime divisors of  raised to some power. This is a consequence of the fundamental theorem of arithmetic.

A number  is said to be perfect if it equals the sum of its proper divisors, deficient if the sum of its proper divisors is less than , and abundant if this sum exceeds .

The total number of positive divisors of  is a multiplicative function , meaning that when two numbers  and  are relatively prime, then . For instance, ; the eight divisors of 42 are 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21 and 42. However, the number of positive divisors is not a totally multiplicative function: if the two numbers  and  share a common divisor, then it might not be true that . The sum of the positive divisors of  is another multiplicative function  (e.g. ). Both of these functions are examples of divisor functions.

If the prime factorization of  is given by
 
then the number of positive divisors of  is
 
and each of the divisors has the form
 
where  for each 

For every natural , .

Also,
 
where  is Euler–Mascheroni constant.
One interpretation of this result is that a randomly chosen positive integer n has an average
number of divisors of about . However, this is a result from the contributions of numbers with "abnormally many" divisors.

In abstract algebra

Ring theory

Division lattice 

In definitions that include 0, the relation of divisibility turns the set  of non-negative integers into a partially ordered set that is a complete distributive lattice. The largest element of this lattice is 0 and the smallest is 1. The meet operation ∧ is given by the greatest common divisor and the join operation ∨ by the least common multiple. This lattice is isomorphic to the dual of the lattice of subgroups of the infinite cyclic group Z.

See also 
 Arithmetic functions
 Euclidean algorithm
 Fraction (mathematics)
 Integer factorization
 Table of divisors – A table of prime and non-prime divisors for 1–1000
 Table of prime factors – A table of prime factors for 1–1000
 Unitary divisor

Notes

References 
 
 Richard K. Guy, Unsolved Problems in Number Theory (3rd ed), Springer Verlag, 2004 ; section B.
 
 
 
 Øystein Ore, Number Theory and its History, McGraw–Hill, NY, 1944 (and Dover reprints).
 

Elementary number theory
Division (mathematics)
수론에서 약수(約數, ) 또는 인수(因數, , 전 용어: 승자)는 어떤 수를 나누어떨어지게 하는 수를 말한다. 다항식의 약수나 가환환의 원소의 약수를 정의할 수도 있다. 약수를 정제성이라고 말하기도 한다.

정의 
두 정수 , 에 대하여 를 만족하는 정수 가 존재한다면, 를 의 약수라고 하며, 이를 와 같이 표기한다.

모든 정수는 1, -1을 약수로 가진다. 또한, 모든 정수는 자기 자신과 그 반수를 약수로 가진다. 0은 모든 정수를 약수로 가지며, 0이 아닌 정수는 0을 약수로 가지지 않는다. 즉, 정수 에 대하여 다음 성질들이 성립한다.
 
 
 
 
정수 의 약수 가운데 1, -1, , 을 의 자명 약수()라고 하고 자명 약수를 제외한 약수를 고유 약수()라고 한다. 자기 자신을 제외한 양의 약수를 진약수()라고 한다.

예 
 12의 모든 양의 약수는 1, 2, 3, 4, 6, 12이다. 약수는 음수일 수도 있으며, 12의 모든 음의 약수는 -1, -2, -3, -4, -6, -12이다. 양의 약수와 음의 약수는 항상 서로 짝을 이룬다.
  7 ∣ 42이다. 42 = 7 × 6이기 때문이다. 이를 다음과 같이 여러 가지 방법으로 서술할 수 있다.
 7은 42의 약수/인수이다.
 42는 7의 배수이다.
 7은 42를 나눈다/완제한다.
 42는 7로 나누어떨어진다.
 6의 모든 약수는 ±1, ±2, ±3, ±6이다. 그리고 고유 약수는 ±2, ±3이고 진약수는 1, 2, 3이다.
 42의 모든 양의 약수는 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42이다.
 0의 모든 약수는 모든 정수이다. 항상 이기 때문이다.
 60의 모든 양의 약수의 집합 은 약수 관계에 따라 부분 순서 집합을 이루며, 다음과 같은 하세 도형을 가진다.

성질 
어떤 수의 배수는 무수히 많이 있지만, 약수의 개수는 항상 유한하다. (단 0 제외. 그 이유는 어떤 수에 0을 곱한 값은 항상 0이기 때문이다.) 약수 관계는 정수 집합 위의 원순서다. 어떤 정수가 여러 정수의 공통의 약수라면, 그 정수들의 합과 차의 약수이기도 하다. 즉, 임의의 정수 에 대하여, 다음 성질들이 성립한다.
 
 
 
 

2를 약수로 갖는 정수를 짝수, 그렇지 않은 정수를 홀수라고 한다. 홀수는 홀수만을 약수로 가지며, 짝수는 항상 홀수와 짝수를 같이 약수로 가진다(다만, 2의 거듭제곱은 짝수를 약수로 가진다). 

두 정수 모두의 약수 가운데 가장 큰 하나를 최대 공약수라고 한다. 두 정수 의 최대 공약수를 라고 표기한다. 최대 공약수가 1인 두 정수를 서로소라고 한다. 즉 두 정수 가 을 만족시키면 서로소이다. 진약수가 1뿐인 정수를 소수라고 한다. 소수의 집합을 라고 표기하자. 이는 정수의 집합 의 부분 집합이다. 그렇다면, 다음 성질들이 성립한다.
 이며, 이면, 
 (유클리드의 보조정리) 이며 이면, 이거나 
진약수의 합이 자기 자신인 정수를 완전수라고 한다. 진약수의 합이 자기 자신보다 작다면 부족수라고 하며, 진약수의 합이 자기 자신보다 크다면 과잉수라고 한다.

약수의 개수는 소인수분해의 형식으로 쉽게 알아낼 수 있다. 각 소인수가 곱해진 지수의 개수에 모두 1을 더한 후 그 수를 모두 곱한 값이다. 또한 약수가 어떤 합성수 n개인 자연수는 n의 인수 분해 형식을 이용하면 된다. 예를 들어 72의 소인수분해는 2×2×2×3×3으로, 2가 3번, 3이 2번 곱해지므로 그 지수에 1을 모두 더한 4와 3의 곱이므로 약수는 12개이다.

각 정수 에 양의 약수의 개수 을 대응시키는 함수, 양의 약수의 합 을 대응시키는 함수는 약수 함수의 특별한 경우이다. 그렇다면, 다음 성질들이 성립한다.
 은 곱셈적 함수이다. 즉, 모든 서로소 정수 에 대하여, 이다.
 예를 들어, .
 그러나 은 완전 곱셈적 함수가 아니다. 즉, 모든 정수 에 대하여 이지는 않다. 사실, 두 정수 가 1보다 큰 공약수를 가진다면, 이다.
 예를 들어, .
  역시 곱셈적 함수이다.
 예를 들어, 
 정수 의 소인수 분해가

와 같다면, 의 모든 양의 약수의 집합은

이며, 이에 따라 의 모든 양의 약수의 개수는

이다.
 임의의 정수 에 대하여, 이다.
 . 여기서 는 오일러-마스케로니 상수이다.

관련 개념 
임의의 환의 원소의 약수를 정의할 수 있다. 예를 들어, 정수 계수 다항식환 에서,

이므로,

이다.

같이 보기 
 배수
 최대공약수
 최소공배수

수론
나눗셈