In mathematics, a measurable cardinal is a certain kind of large cardinal number. In order to define the concept, one introduces a two-valued measure on a cardinal , or more generally on any set. For a cardinal , it can be described as a subdivision of all of its subsets into large and small sets such that  itself is large,  and all singletons  are small, complements of small sets are large and vice versa. The intersection of fewer than  large sets is again large.

It turns out that uncountable cardinals endowed with a two-valued measure are large cardinals whose existence cannot be proved from ZFC.

The concept of a measurable cardinal was introduced by Stanislaw Ulam in 1930.

Definition 
Formally, a measurable cardinal is an uncountable cardinal number κ such that there exists a κ-additive, non-trivial, 0-1-valued measure on the power set of κ. (Here the term κ-additive means that, for any sequence Aα, α<λ of cardinality λ < κ, Aα being pairwise disjoint sets of ordinals less than κ, the measure of the union of the Aα equals the sum of the measures of the individual Aα.)

Equivalently, κ is measurable means that it is the critical point of a non-trivial elementary embedding of the universe V into a transitive class M. This equivalence is due to Jerome Keisler and Dana Scott, and uses the ultrapower construction from model theory. Since V is a proper class, a technical problem that is not usually present when considering ultrapowers needs to be addressed, by what is now called Scott's trick.

Equivalently, κ is a measurable cardinal if and only if it is an uncountable cardinal with a -complete, non-principal ultrafilter.  Again, this means that the intersection of any strictly less than κ-many sets in the ultrafilter, is also in the ultrafilter.

Properties 
It is trivial to note that if κ admits a non-trivial κ-additive measure, then κ must be regular.  (By non-triviality and κ-additivity, any subset of cardinality less than κ must have measure 0, and then by κ-additivity again, this means that the entire set must not be a union of fewer than κ sets of cardinality less than κ.)  Finally, if λ < κ, then it can't be the case that κ ≤ 2λ.  If this were the case, then we could identify κ with some collection of 0-1 sequences of length λ.  For each position in the sequence, either the subset of sequences with 1 in that position or the subset with 0 in that position would have to have measure 1.  The intersection of these λ-many measure 1 subsets would thus also have to have measure 1, but it would contain exactly one sequence, which would contradict the non-triviality of the measure.  Thus, assuming the Axiom of Choice, we can infer that κ is a strong limit cardinal, which completes the proof of its inaccessibility.

Although it follows from ZFC that every measurable cardinal is inaccessible (and is ineffable, Ramsey, etc.), it is consistent with ZF that a measurable cardinal can be a successor cardinal.  It follows from ZF + axiom of determinacy that ω1 is measurable, and that every subset of ω1 contains or is disjoint from a closed and unbounded subset.

Ulam showed that the smallest cardinal κ that admits a non-trivial countably-additive two-valued measure must in fact admit a κ-additive measure.  (If there were some collection of fewer than κ measure-0 subsets whose union was κ, then the induced measure on this collection would be a counterexample to the minimality of κ.)  From there, one can prove (with the Axiom of Choice) that the least such cardinal must be inaccessible.

If κ is measurable and p∈Vκ and M (the ultrapower of V) satisfies ψ(κ,p), then the set of α < κ such that V satisfies ψ(α,p) is stationary in κ (actually a set of measure 1). In particular if ψ is a Π1 formula and V satisfies ψ(κ,p), then M satisfies it and thus V satisfies ψ(α,p) for a stationary set of α < κ. This property can be used to show that κ is a limit of most types of large cardinals that are weaker than measurable. Notice that the ultrafilter or measure witnessing that κ is measurable cannot be in M since the smallest such measurable cardinal would have to have another such below it, which is impossible.

If one starts with an elementary embedding j1 of V into M1 with critical point κ, then one can define an ultrafilter U on κ as { S⊆κ : κ∈j1(S) }. Then taking an ultrapower of V over U we can get another elementary embedding j2 of V into M2. However, it is important to remember that j2 ≠ j1. Thus other types of large cardinals such as strong cardinals may also be measurable, but not using the same embedding. It can be shown that a strong cardinal κ is measurable and also has κ-many measurable cardinals below it.

Every measurable cardinal κ is a 0-huge cardinal because κM⊆M, that is, every function from κ to M is in M. Consequently, Vκ+1⊆M.

Implications of existence
If a measurable cardinal exists, every  (with respect to the Borel hierarchy) set of reals has a Lebesgue measure. In particular, any non-measurable set of reals must not be .

Real-valued measurable 
A cardinal κ is called real-valued measurable if there is a κ-additive probability measure on the power set of κ that vanishes on singletons.  Real-valued measurable cardinals were introduced by .  showed that  the continuum hypothesis implies that  is not real-valued measurable.  showed (see below for parts of Ulam's proof) that real valued measurable cardinals are weakly inaccessible (they are in fact weakly Mahlo).  All measurable cardinals are real-valued measurable, and a real-valued measurable cardinal κ is measurable if and only if κ is greater than . Thus a cardinal is measurable if and only if it is real-valued measurable and strongly inaccessible. A real valued measurable cardinal less than or equal to  exists if and only if there is a countably additive extension of the Lebesgue measure to all sets of real numbers if and only if there is an atomless probability measure on the power set of some non-empty set.

 showed that existence of measurable cardinals in ZFC, real valued measurable cardinals in ZFC, and measurable cardinals in ZF, are equiconsistent.

Weak inaccessibility of real-valued measurable cardinals 
Say that a cardinal number  is an Ulam number if

whenever

then

Equivalently, a cardinal number  is an Ulam number if

whenever
  is an outer measure on a set , and  a disjoint family of subsets of ,
 
  for 
  is -measurable for every 
then

The smallest infinite cardinal  is an Ulam number. The class of Ulam numbers is closed under the cardinal successor operation. If an infinite cardinal  has an immediate predecessor  that is an Ulam number, assume  satisfies properties ()–() with . In the von Neumann model of ordinals and cardinals, choose injective functions

and define the sets

Since the  are one-to-one, the sets

are disjoint. By property () of , the set

is countable, and hence

Thus there is a  such that

implying, since  is an Ulam number and using the second definition (with  and conditions ()–() fulfilled),

If  then  Thus

By property (),  and since , by (), () and (),  It follows that   The conclusion is that  is an Ulam number.

There is a similar proof that the supremum of a set  of Ulam numbers with  an Ulam number is again a Ulam number. Together with the previous result, this implies that a cardinal that is not an Ulam number is weakly inaccessible.

See also 
 Normal measure
 Mitchell order
 List of large cardinal properties

Notes

Citations

References 
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. A copy of parts I and II of this article with corrections is available at the author's web page.
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Large cardinals
Determinacy
집합론에서 가측 기수(可測基數, )는 기본 매장으로 정의될 수 있는 기수이다. 큰 기수의 하나이다.

정의

필터와 측도 
음이 아닌 확장된 실수의 집합 에 대하여, 다음을 정의하자.

임의의 기수 와 -완비 불 대수  및 에 대하여, 함수 가 다음 조건들을 모두 만족시키면, 가  조건을 만족시킨다고 하자.
 이다.
 (단조성) 라면 이다.
 (-가법성) 임의의 에 대하여, 만약 이며 임의의 에 대하여 라면, 이다.
이 조건을 만족시키는 함수 를  위의,  값의 -가법 측도()라고 하자.

이 개념은 다음 개념들을 일반화한다.
 측도: 시그마 대수  위의 측도 는 를 만족시키는 함수이다.
 극대 필터:  위의 극대 필터 에 대하여, 함수 , 를 정의하면, 는 를 만족시킨다.

가측 기수 
기수 에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 기수를 가측 기수라고 한다.
 크기가 인 집합 위에, 주 필터가 아닌 -완비 극대 필터가 존재한다.
 멱집합  위에, 를 만족시키는 함수 가 존재하며, 또한 임의의 에 대하여 이다. (이는 위 조건과 자명하게 동치이다.)
 는 폰 노이만 전체 로부터 ZFC의 표준 추이적 모형 으로 가는 기본 매장의 임계점이다.

임의의 기수 에 대하여, 만약 를 만족시키는 확률 측도 가 존재하며, 또한 다음 두 조건이 추가로 성립한다고 하자.
 만약 가 한원소 집합을 0으로 대응시킨다. (즉, 임의의 에 대하여 이다.)
그렇다면 를 실가 가측 기수(實價可測基數, )라고 한다.

성질

함의 관계 
선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론에서, 모든 가측 기수는 도달 불가능한 기수이며 또한 약콤팩트 기수이다. (그러나 선택 공리를 가정하지 않으면, 가측 기수가 따름기수일 수 있다.) 모든 강콤팩트 기수는 가측 기수이다. 즉, 다음과 같은 함의 관계가 존재한다.
초콤팩트 기수 ⇒ 강콤팩트 기수 ⇒ 가측 기수 ⇒ 약콤팩트 기수 ⇒ 말로 기수 ⇒ 도달 불가능한 기수 ⇒ 정칙 기수 ⇒ 기수 ⇒ 순서수

모든 가측 기수는 실가 가측 기수이다. 가측 기수가 아닌 임의의 실가 가측 기수는  이하이다.

논리적 성질 
가측 기수 에 대하여,  (크기가  미만인 집합들로 구성된 폰 노이만 전체의 부분 집합)는 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론(ZFC)의 모형이다. 따라서, ZFC가 무모순적이라면 ZFC에서는 가측 기수의 존재를 증명할 수 없다. 또한, 에서는 가측 기수가 존재하지 않으므로, 적어도 하나의 가측 기수가 존재한다면 ZFC + "가측 기수의 부재"는 무모순적이다.

만약 적어도 하나 이상의 비가산 가측 기수가 존재한다면, 구성 가능성 공리 은 거짓이다.

울람 행렬 
임의의 두 기수 가 주어졌다고 하자.

-울람 행렬은 다음 두 성질을 만족시키는 함수

이다.
 각 열의 성분들은 서로소이다. 즉, 만약 라면, 임의의 에 대하여 
 각 행의 성분들의 합집합의 여집합의 크기는  이하이다. 즉, 임의의 에 대하여, 이다.
만약 가 주어지지 않았다면, 을 뜻한다.

존재 
임의의 기수 에 대하여, -울람 행렬이 존재한다.
증명:
각 에 대하여, 전사 함수

를 고르자. 그렇다면, 행렬 를 다음과 같이 정의하자.

그렇다면, 는 -울람 행렬을 이룬다.
 임의의  및 에 대하여, 가 되는 유일한 는 이다.
 각 에 대하여, 이다.

측도와의 관계 
측도 의 원자()는 이지만 임의의 에 대하여 이 되는 원소 이다.

임의의 기수 가 주어졌다고 하자.

-울람 행렬이 존재한다면,  위의 임의의 -가법 확률 측도 는 항상 공집합이 아닌 원자를 갖는다. 즉,

인 가 존재한다.
증명:
가 울람 행렬이라고 하고, 가  위의 -가법 확률 측도라고 하자. 귀류법을 사용하여, 임의의 에 대하여 라고 하자.

그렇다면, 울람 행렬의 정의에 따라, 각 에 대하여,

이다. 따라서, 인 가 존재한다. 이제, 각 에 대하여

를 생각하자. 이므로, 인 가 존재한다.

이제,

는  개의, 양의 측도의 서로소 집합들의 족이다. 이제, 다음 부분 집합들을 정의하자.

그렇다면,

이므로, 이 가운데 인 가 존재한다. 따라서,

인데, 이는 확률 측도 조건과 모순이다.

특히,  위의 임의의 (-가법) 확률 측도는 원자를 갖는다. 따라서, 만약 연속체 가설이 성립한다면, 실수선  위에, 모든 집합이 가측 집합이며, 원자가 존재하지 않는 확률 공간 구조는 존재하지 않는다.

역사 
가측 기수는 스타니스와프 울람이 1930년에 도입하였고, 가장 작은 가측 기수가 (만약 존재한다면) 도달 불가능한 기수임을 증명하였다.

실가 가측 기수는 스테판 바나흐가 1930년에 도입하였다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 
 
 

큰 기수
측도론