In topology and related areas of mathematics, the set of all possible topologies on a given set forms a partially ordered set. This order relation can be used for comparison of the topologies.

Definition 
A topology on a set may be defined as the collection of subsets which are considered to be "open". An alternative definition is that it is the collection of subsets which are considered "closed". These two ways of defining the topology are essentially equivalent because the complement of an open set is closed and vice versa. In the following, it doesn't matter which definition is used.

Let τ1 and τ2 be two topologies on a set X such that τ1 is contained in τ2:
.
That is, every element of τ1 is also an element of τ2. Then the topology τ1 is said to be a coarser (weaker or smaller) topology than τ2, and  τ2 is said to be a finer (stronger or larger) topology than τ1.

If additionally 

we say τ1 is strictly coarser than  τ2 and τ2 is strictly finer than τ1.

The binary relation ⊆ defines a partial ordering relation on the set of all possible topologies on X.

Examples 

The finest topology on X is the discrete topology; this topology makes all subsets open.  The coarsest topology on X is the trivial topology; this topology only admits the empty set
and the whole space as open sets.

In function spaces and spaces of measures there are often a number of possible topologies. See topologies on the set of operators on a Hilbert space for some intricate relationships.

All possible polar topologies on a dual pair are finer than the weak topology and coarser than the strong topology.

The complex vector space Cn may be equipped with either its usual (Euclidean) topology, or its Zariski topology. In the latter, a subset V of Cn is closed if and only if it consists of all solutions to some system of polynomial equations. Since any such V also is a closed set in the ordinary sense, but not vice versa, the Zariski topology is strictly weaker than the ordinary one.

Properties 

Let τ1 and τ2 be two topologies on a set X. Then the following statements are equivalent:
 τ1 ⊆ τ2
 the identity map idX : (X, τ2) → (X, τ1) is a continuous map.
 the identity map idX : (X, τ1) → (X, τ2) is a strongly/relatively open map.

(The identity map idX is surjective and therefore it is strongly open if and only if it is relatively open.)

Two immediate corollaries of the above equivalent statements are
A continuous map f : X → Y remains continuous if the topology on Y becomes coarser or the topology on X finer.
An open (resp. closed) map f : X → Y remains open (resp. closed) if the topology on Y becomes finer or the topology on X coarser.

One can also compare topologies using neighborhood bases. Let τ1 and τ2 be two topologies on a set X and let Bi(x) be a local base for the topology τi at x ∈ X for i = 1,2. Then τ1 ⊆ τ2 if and only if for all x ∈ X, each open set U1 in B1(x) contains some open set U2 in B2(x). Intuitively, this makes sense: a finer topology should have smaller neighborhoods.

Lattice of topologies

The set of all topologies on a set X together with the partial ordering relation ⊆ forms a complete lattice that is also closed under arbitrary intersections.  That is, any collection of topologies on X have a meet (or infimum) and a join (or supremum). The meet of a collection of topologies is the intersection of those topologies. The join, however, is not generally the union of those topologies (the union of two topologies need not be a topology) but rather the topology generated by the union.

Every complete lattice is also a bounded lattice, which is to say that it has a greatest and least element. In the case of topologies, the greatest element is the discrete topology and the least element is the trivial topology.

The lattice of topologies on a set  is a complemented lattice; that is, given a topology  on  there exists a topology  on  such that the intersection  is the trivial topology and the topology generated by the union  is the discrete topology.

If the set  has at least three elements, the lattice of topologies on  is not modular, and hence not distributive either.

Notes

See also 

 Initial topology, the coarsest topology on a set to make a family of mappings from that set continuous
 Final topology, the finest topology on a set to make a family of mappings into that set continuous

References

General topology
Topologies
일반위상수학과 범주론에서, 위상 함자를 통해 주어진 집합 위에 여러 위상수학적 구조를 부여할 수 있으며, 이러한 구조들은 완비 격자를 이룬다. 이 경우 한 구조가 다른 구조에 대하여 더 섬세한 구조(纖細-構造, ) 또는 더 엉성한 구조(-構造, )라고 한다.

정의 
두 범주 ,  사이의 함자 가 주어졌다고 하자. 임의의 대상 에 대하여, 다음과 같은 범주 를 생각할 수 있다.
 의 대상은 인 대상 이다.
 의 사상은 인 사상 이다.
만약 가 충실한 함자라면, 는 얇은 범주이며, 이는  위에 존재할 수 있는 -구조들의 범주로 생각할 수 있다.

는 얇은 범주이므로, 그 위에 다음과 같은 원순서가 존재한다.

이 관계를 엉성함이라고 한다. 즉, 만약  속에서 사상 가 존재한다면, 이 보다 더 엉성한() -구조이며, 반대로 는 보다 더 섬세한() -구조이다.

이 정의는 특히 위상 함자 에 대하여 적용된다.

에서 만약 최대 원소(즉, 가장 엉성한 -구조)가 존재한다면, 이를  위의 비이산 -구조()라고 한다. 반대로, 에서 만약 최소 원소(즉, 가장 섬세한 -구조)가 존재한다면, 이를  위의 이산 -구조()라고 한다.

성질 
가 위상 함자라고 한다면, 이산·비이산 구조가 항상 존재한다. 위상 함자에서는 또한 시작 구조와 끝 구조가 항상 존재한다. 이들의 존재로 인하여, 는 완비 원격자를 이룬다.

예

위상 공간 
위상 공간과 연속 함수의 범주에서 집합과 함수의 범주로 가는 망각 함자

는 위상 함자이며 따라서 충실한 함자이다. 따라서 이 경우 더 엉성한 위상과 더 섬세한 위상의 개념을 정의할 수 있다.

집합  위의 두 위상 (열린집합의 족) 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 이 보다 더 엉성하다. 즉, 항등 함수 이 연속 함수이다.
 이다. 즉, 항등 함수 가 열린 함수이다.
주어진 집합 위의 위상들은 완비 격자를 이룬다.

흔히, 위상수학에서는 엉성한/섬세한 위상 대신 "약한/강한 위상"()이라는 용어를 사용하며, 반대로 해석학에서는 "강한/약한 위상"()이라는 용어를 사용한다.

기저 
보다 일반적으로, 다음과 같은 구체적 범주 를 생각하자.
 의 원소 는 집합 와 그 위의 기저 의 순서쌍이다.
 의 사상 는 다음 조건을 만족시키는 함수이다.

그렇다면 은 의 충만한 부분 범주를 이룬다.

그렇다면, 위와 같이 섬세한/엉성한 기저를 정의할 수 있다. 집합  위의 두 기저 에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이다.
 이 보다 더 엉성하다.
 임의의  및 에 대하여, 인 가 존재한다.
 에 의해 생성되는 위상 은 에 의해 생성되는 위상 보다 더 엉성하다.
주어진 집합 위의 기저들은 완비 원격자를 이룬다.

부분 기저 
보다 일반적으로, 다음과 같은 구체적 범주 를 생각하자.
 의 원소 는 집합 와 그 위의 임의의 집합족 의 순서쌍이다. (이는 의 위상을 생성하는 부분 기저로 생각한다.)
 의 사상 는 다음 조건을 만족시키는 함수이다.

그렇다면 는 의 충만한 부분 범주를 이룬다.

그렇다면, 위와 같이 섬세한/엉성한 부분 기저를 정의할 수 있다. 집합  위의 두 부분 기저 에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이다.
 이 보다 더 엉성하다.
 임의의  및 에 대하여, 인 자연수  및 가 존재한다.
 에 의해 생성되는 위상 은 에 의해 생성되는 위상보다 더 엉성하다.
주어진 집합 위의 부분 기저들은 완비 원격자를 이룬다.

덮개와 유계형 집합 
다음과 같은 구체적 범주 를 생각하자.
 의 대상 은 집합 와 그 위의 덮개 의 순서쌍이다.
 의 사상 은 다음 조건을 만족시키는 함수이다.

이렇게 정의하였을 때, 같은 집합  위의 두 덮개 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 이 보다 더 엉성하다.
 은 의 세분이다.

유계형 집합의 범주 은 의 충만한 부분 범주를 이루며, 따라서 위와 같은 정의를 사용할 수 있다.

필터 
다음과 같은 범주 를 생각하자.
 의 대상 는 집합 와  위의 필터 기저 이다.
 의 사상 은 다음 조건을 만족시키는 함수이다.

그렇다면, 집합  위의 두 필터 기저 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 이 보다 더 엉성하다.
 이다. 여기서 는 필터 기저로 생성되는 필터(즉, 상폐포)를 뜻한다.

가측 공간 
가측 공간과 가측 함수의 범주에서 집합과 함수의 범주로 가는 망각 함자

는 위상 함자이며, 따라서 이 경우 더 섬세한/엉성한 가측 공간 구조를 정의할 수 있다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 
 
 
 
 

일반위상수학