Let the center of the circle be $(a,b),$ and let its radius be $r.$  Either the two circles are externally or internally tangent to the two original circles.

If the circle is externally tangent to both circles, then the distance between the centers is equal to the sum of the radii, giving us
\begin{align*}
(a - 4)^2 + b^2 &= (r + 1)^2, \\
(a + 4)^2 + b^2 &= (r + 1)^2.
\end{align*}Subtracting, we get $16a = 0,$ so $a = 0.$  Hence,
\[16 + b^2 = (r + 1)^2.\]Since the circle passes through $(0,5),$
\[(b - 5)^2 = r^2.\]Subtracting the equations $16 + b^2 = (r + 1)^2$ and $(b - 5)^2 = r^2,$ we get
\[10b - 9 = 2r + 1.\]Then $r = 5b - 5.$  Substituting into $(b - 5)^2 = r^2,$ we get
\[(b - 5)^2 = (5b - 5)^2.\]This simplifies to $24b^2 - 40b = 0,$ so $b = 0$ or $b = \frac{40}{24} = \frac{5}{3}.$  If $b = 0,$ then $r = -5,$ which is not possible.  If $b = \frac{5}{3},$ then $r = \frac{10}{3},$ giving us one externally tangent circle.

[asy]
unitsize(0.5 cm);

draw(Circle((4,0),1));
draw(Circle((-4,0),1));
draw(Circle((0,5/3),10/3),red);
draw((-6,0)--(6,0));
draw((0,-3)--(0,6));

dot("$(0,5)$", (0,5), NE);
dot((4,0));
dot((-4,0));
[/asy]

If the circle is internally tangent to both circles, then the distance between the centers is equal to the difference of the radii, giving us
\begin{align*}
(a - 4)^2 + b^2 &= (r - 1)^2, \\
(a + 4)^2 + b^2 &= (r - 1)^2.
\end{align*}Subtracting, we get $16a = 0,$ so $a = 0.$  Hence,
\[16 + b^2 = (r - 1)^2.\]Since the circle passes through $(0,5),$
\[(b - 5)^2 = r^2.\]Subtracting the equations $16 + b^2 = (r - 1)^2$ and $(b - 5)^2 = r^2,$ we get
\[10b - 9 = -2r + 1.\]Then $r = 5 - 5b.$  Substituting into $(b - 5)^2 = r^2,$ we get
\[(b - 5)^2 = (5 - 5b)^2.\]This simplifies to $24b^2 - 40b = 0,$ so $b = 0$ or $b = \frac{5}{3}.$  If $b = 0,$ then $r = 5,$ giving us one internally tangent circle.  If $b = \frac{5}{3},$ then $r = -\frac{10}{3},$ which is not possible.

[asy]
unitsize(0.5 cm);

draw(Circle((4,0),1));
draw(Circle((-4,0),1));
draw(Circle((0,0),5),red);
draw((-6,0)--(6,0));
draw((0,-6)--(0,6));

dot("$(0,5)$", (0,5), NE);
dot((4,0));
dot((-4,0));
[/asy]

Suppose the circle is externally tangent to the circle centered at $(-4,0),$ and internally tangent to the circle centered at $(4,0).$  Then
\begin{align*}
(a + 4)^2 + b^2 &= (r + 1)^2, \\
(a - 4)^2 + b^2 &= (r - 1)^2.
\end{align*}Subtracting these equations, we get $16a = 4r,$ so $r = 4a.$  Hence,
\[(a + 4)^2 + b^2 = (4a + 1)^2.\]Then $b^2 = (4a + 1)^2 - (a + 4)^2 = 15a^2 - 15,$ so $a^2 = \frac{b^2 + 15}{15}.$

Since the circle passes through $(0,5),$
\[a^2 + (b - 5)^2 = r^2 = 16a^2.\]Then $(b - 5)^2 = 15a^2 = b^2 + 15.$  This gives us $b = 1.$  Then $a^2 = \frac{16}{15}.$  Since $r = 4a,$ $a$ must be positive, so $a = \frac{4}{\sqrt{15}}$ and $r = \frac{16}{\sqrt{15}}.$

[asy]
unitsize(0.5 cm);

draw(Circle((4,0),1));
draw(Circle((-4,0),1));
draw(Circle((4/sqrt(15),1),16/sqrt(15)),red);
draw((-6,0)--(6,0));
draw((0,-6)--(0,6));

dot("$(0,5)$", (0,5), NW);
dot((4,0));
dot((-4,0));
[/asy]

By symmetry, there is only one circle that is internally tangent to the circle centered at $(-4,0)$ and externally tangent to the circle centered at $(4,0),$ giving us a total of $4$ circles.
원의 중심을 $(a,b)$로 하고 반지름을 $r.$로 합니다. 두 원은 원래의 두 원과 외부 또는 내부 접하는 접점이 됩니다.

원이 두 원에 외부 접하는 경우 중심 사이의 거리는 반지름의 합과 같으므로 다음과 같이 계산할 수 있습니다.
\begin{align*}
(a - 4)^2 + b^2 &= (r + 1)^2, \\.
(a + 4)^2 + b^2 &= (r + 1)^2.
\end{align*}뺄셈을 하면 $16a = 0,$ 이므로 $a = 0.$ 이므로,
\[16 + b^2 = (r + 1)^2.\]원이 $(0,5)를 통과하므로, 원은 다음과 같습니다.
\[(b - 5)^2 = r^2.\]방정식 $16 + b^2 = (r + 1)^2$와 $(b - 5)^2 = r^2$를 빼면 다음과 같이 됩니다.
\[10b - 9 = 2r + 1.\]그런 다음 $r = 5b - 5.$ 에 대입하면 $(b - 5)^2 = r^2,$ 를 구할 수 있습니다.
\[(b - 5)^2 = (5b - 5)^2.\]이것은 $24b^2 - 40b = 0으로 단순화되므로 $b = 0$ 또는 $b = \frac{40}{24} = \frac{5}{3}.$ $b = 0이면 $r = -5,$이며 이는 가능하지 않습니다.  b = \frac{5}{3}이면 $r = \frac{10}{3},$ 외부 접하는 원이 하나 생깁니다.

[asy]
unitsize(0.5cm);

draw(Circle((4,0),1));
draw(Circle((-4,0),1));
draw(Circle((0,5/3),10/3),red);
draw((-6,0)--(6,0));
draw((0,-3)--(0,6));

dot("$(0,5)$", (0,5), NE);
dot((4,0));
dot((-4,0));
[/asy]

원이 두 원에 내부적으로 접하는 경우 중심 사이의 거리는 반지름의 차이와 같으므로 다음을 제공합니다.
\begin{align*}
(a - 4)^2 + b^2 &= (r - 1)^2, \\.
(a + 4)^2 + b^2 &= (r - 1)^2.
\end{align*}빼기하면 $16a = 0,$ 이므로 $a = 0.$ 이므로,
\[16 + b^2 = (r - 1)^2.\]원이 $(0,5)를 통과하므로, 원은 다음과 같습니다.
\[(b - 5)^2 = r^2.\]방정식 $16 + b^2 = (r - 1)^2$와 $(b - 5)^2 = r^2$를 빼면 다음과 같이 됩니다.
\[10b - 9 = -2r + 1.\]그런 다음 $r = 5 - 5b.$ 에 대입하면 $(b - 5)^2 = r^2,$ 를 얻습니다.
\[(b - 5)^2 = (5 - 5b)^2.\]이것은 $24b^2 - 40b = 0으로 단순화되므로 $b = 0$ 또는 $b = \frac{5}{3}.$ $b = 0이면 $r = 5,$ 내부 접하는 원이 하나 생깁니다.  b = \frac{5}{3}이면 $r = -\frac{10}{3},$ 이므로 가능하지 않습니다.

[asy]
unitsize(0.5cm);

draw(Circle((4,0),1));
draw(Circle((-4,0),1));
draw(Circle((0,0),5),red);
draw((-6,0)--(6,0));
draw((0,-6)--(0,6));

dot("$(0,5)$", (0,5), NE);
dot((4,0));
dot((-4,0));
[/asy]

원이 $(-4,0)$에 중심을 둔 원에 외접하고 $(4,0)$에 중심을 둔 원에 내접한다고 가정하면 다음과 같습니다.
\begin{align*}
(a + 4)^2 + b^2 &= (r + 1)^2, \\.
(a - 4)^2 + b^2 &= (r - 1)^2.
\end{align*}이 방정식을 빼면 $16a = 4r,$이므로 $r = 4a.$가 됩니다,
\[(a + 4)^2 + b^2 = (4a + 1)^2.\]그러면 $b^2 = (4a + 1)^2 - (a + 4)^2 = 15a^2 - 15,$이므로 $a^2 = \frac{b^2 + 15}{15}.$입니다.

원은 $(0,5)를 통과하므로 다음과 같습니다.
\a^2 + (b - 5)^2 = r^2 = 16a^2.\]그러면 $(b - 5)^2 = 15a^2 = b^2 + 15.$ 이것은 $b = 1.$ 그러면 $a^2 = \frac{16}{15}이 됩니다.$r = 4a이므로 $a$는 양수여야 하므로 $a = \frac{4}{\sqrt{15}}$ 및 $r = \frac{16}{\sqrt{15}}.$입니다.

[asy]
unitsize(0.5cm);

draw(Circle((4,0),1));
draw(Circle((-4,0),1));
draw(Circle((4/sqrt(15),1),16/sqrt(15)),red);
draw((-6,0)--(6,0));
draw((0,-6)--(0,6));

dot("$(0,5)$", (0,5), NW);
dot((4,0));
dot((-4,0));
[/asy]

대칭에 따라 $(-4,0)$에 중심을 둔 원에 내부적으로 접하고 $(4,0)$에 중심을 둔 원에 외부적으로 접하는 원은 하나뿐이므로 총 $4$의 원이 있습니다.