In mathematics, injective sheaves of abelian groups are used to construct the resolutions needed to define sheaf cohomology (and other derived functors, such as sheaf Ext).

There is a further group of related concepts applied to sheaves: flabby (flasque in French), fine, soft (mou in French), acyclic. In the history of the subject they were introduced before the 1957 "Tohoku paper" of Alexander Grothendieck, which showed that the abelian category notion of injective object sufficed to found the theory. The other classes of sheaves are historically older notions. The abstract framework for defining cohomology and derived functors does not need them. However, in most concrete situations, resolutions by acyclic sheaves are often easier to construct. Acyclic sheaves therefore serve for computational purposes, for example the Leray spectral sequence.

Injective sheaves
An injective sheaf  is a sheaf that is an injective object of the category of abelian sheaves; in other words, homomorphisms from  to  can always be extended to any sheaf  containing 

The category of abelian sheaves has enough injective objects: this means that any sheaf is a subsheaf of an injective sheaf. This result of Grothendieck follows from the existence of a generator of the category (it can be written down explicitly, and is related to the subobject classifier). This is enough to show that right derived functors of any left exact functor exist and are unique up to canonical isomorphism.

For technical purposes, injective sheaves are usually superior to the other classes of sheaves mentioned above: they can do almost anything the other classes can do, and their theory is simpler and more general.  In fact, injective sheaves are flabby (flasque), soft, and acyclic.  However, there are situations where the other classes of sheaves occur naturally, and this is especially true in concrete computational situations.

The dual concept, projective sheaves, is not used much, because in a general category of sheaves there are not enough of them: not every sheaf is the quotient of a projective sheaf, and in particular projective resolutions do not always exist.  This is the case, for example, when looking at the category of sheaves on projective space in the Zariski topology.  This causes problems when attempting to define left derived functors of a right exact functor (such as Tor). This can sometimes be done by ad hoc means: for example, the left derived functors of Tor can be defined using a flat resolution rather than a projective one, but it takes some work to show that this is independent of the resolution.  Not all categories of sheaves run into this problem; for instance, the category of sheaves on an affine scheme contains enough projectives.

Acyclic sheaves
An acyclic sheaf  over X is one such that all higher sheaf cohomology groups vanish.

The cohomology groups of any sheaf can be calculated from any acyclic resolution of it (this goes by the name of De Rham-Weil theorem).

Fine sheaves
A fine sheaf over X is one with "partitions of unity"; more precisely for any open cover of the space X we can find a family of homomorphisms from the sheaf to itself with sum 1 such that each homomorphism is 0 outside some element of the open cover.

Fine sheaves are usually only used over paracompact Hausdorff spaces X. Typical examples are the sheaf of germs of continuous real-valued functions over such a space, or smooth functions over a smooth (paracompact Hausdorff) manifold, or modules over these sheaves of rings. Also, fine sheaves over paracompact Hausdorff spaces are soft and acyclic.

One can find a resolution of a sheaf on a smooth manifold by fine sheaves using the Alexander–Spanier resolution.

As an application, consider a real manifold X. There is the following resolution of the constant sheaf  by the fine sheaves of (smooth) differential forms:

This is a resolution, i.e. an exact complex of sheaves by the Poincaré lemma. The cohomology of X with values in  can thus be computed as the cohomology of the complex of globally defined differential forms:

Soft sheaves
A soft sheaf  over X is one such that any section over any closed subset of X can be extended to a global section.

Soft sheaves are acyclic over paracompact Hausdorff spaces.

Flasque or flabby sheaves
A flasque sheaf (also called a flabby sheaf) is a sheaf  with the following property: if  is the base topological space on which the sheaf is defined and

are open subsets, then the restriction map

is surjective, as a map of groups (rings, modules, etc.).

Flasque sheaves are useful because (by definition) their sections extend. This means that they are some of the simplest sheaves to handle in terms of homological algebra. Any sheaf has a canonical embedding into the flasque sheaf of all possibly discontinuous sections of the étalé space, and by repeating this we can find a canonical flasque resolution for any sheaf. Flasque resolutions, that is, resolutions by means of flasque sheaves, are one approach to defining sheaf cohomology.

Flasque sheaves are soft and acyclic.

Flasque is a French word that has sometimes been translated into English as flabby.

References

 
 
 "Sheaf cohomology and injective resolutions" on MathOverflow

Algebraic geometry
Homological algebra
Sheaf theory
층 이론에서, 단사층(單射層, , )은 층의 범주에서의 단사 대상이다. 이를 사용하여 층 코호몰로지를 계산할 수 있다.

정의 
위상 공간 X 위의 아벨 군 값을 갖는 층들의 아벨 범주 는 항상 충분한 단사 대상을 갖지만, 충분한 전사 대상을 갖지 않는다.  위의 아벨 군 층의 범주의 단사 대상을 단사층이라고 한다. 즉, 아벨 군층 에 대하여, 만약 임의의
 층 
 의 부분층 
 층 준동형 
가 주어졌을 때, 항상 인 층 준동형 가 존재한다면, 를 단사층이라고 한다.

이 밖에도, 관련된 개념으로
 섬세층(纖細層, , )
 물렁한 층(, )
 말랑한 층(, )
 비순환층(非循環層, , )
이 있다. 이 개념들은 파라콤팩트 하우스도르프 공간 위에서 잘 작동하지만, 대수다양체와 같은 공간에서는 잘 작동하지 않는다.

섬세층 
위상 공간 과 그 열린 덮개  및 아벨 군층 이 주어졌다고 하자. 에 종속된 의 단위 분할은 다음과 같은 데이터로 주어진다.
 각 에 대하여, 자기 사상 
이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.
 각 에 대하여, 
 각 에 대하여, 는 유한 집합이다.
 는 항등 사상이다.

파라콤팩트 하우스도르프 공간  위의 아벨 군층 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 아벨 군층을 섬세층이라고 한다.
 자기 사상의 층 이 물렁한 층이다.
 임의의 열린 덮개에 대하여, 이에 종속되는 단위 분할이 존재한다.

물렁한 층 
위상 공간  위의 아벨 군층 에 대하여, 그 에탈레 공간 을 정의할 수 있다. 의 임의의 닫힌집합 에 대하여, 임의의 연속 함수

에 대하여, 만약 라면 를 의  위의 단면이라고 하며, 단면 집합을 라고 한다. 만약 가 파라콤팩트 공간일 경우, 이는 의 모든 열린 근방에 대하여 취한 귀납적 극한

과 같다.

위상 공간  위의 아벨 군층 에 대하여, 만약 닫힌집합  위의 모든 단면을  전체의 단면으로 확장시킬 수 있다면, 를 물렁한 층이라고 한다.
위상 공간  위의 아벨 군층 에 대하여, 만약 콤팩트 집합  위의 모든 단면을  전체의 단면으로 확장시킬 수 있다면, 를 콤팩트 물렁한 층()이라고 한다.

말랑한 층 
위상 공간  위의, 구체적 범주 의 값을 갖는 층 에 대하여, 임의의 두 열린집합 에 대하여 제한 사상

이 전사 함수라면, 를 말랑한 층이라고 한다. 즉, 임의의 열린집합에 정의된 단면을 공간 전체로 연장할 수 있는 층이다.

이름의 "말랑한"(, )은 주어진 단면을 쉽게 연장할 수 있는 성질을 말랑말랑한 찰흙 따위에 빗댄 것이다.

비순환층 
위상 공간  위의 아벨 군층 에 대하여, 만약 모든 양의 차수 층 코호몰로지 군이 자명군이라면, 를 비순환층이라고 한다.

물론, 0차 코호몰로지 군은 단면들의 군 이므로, 층이 자명하지 않는 이상 자명군이 아니다.

성질 
파라콤팩트 하우스도르프 공간 위의 아벨 군층들에 대하여, 다음이 성립한다.
단사층 ⊆ 말랑한 층 ⊆ 물렁한 층 ⊆ 비순환층
단사층 ⊆ 섬세층 ⊆ 물렁한 층 ⊆ 비순환층
그러나 일반적으로 물렁한 층이 아닌 섬세층이 존재하고, 또 섬세층이 아닌 물렁한 층이 존재한다.

섬세층은 비순환층이므로, 복소 대수기하학에서 단사 분해(injective resolution) 대신에 섬세층을 이용해서 다른 주어진 층들의 층 코호몰로지를 계산할 수 있다. 돌보 분해(Dolbeault resolution)가 대표적인 그러한 경우이다.

위상 공간 ,  사이에 연속 함수 가 주어졌을 때,  위의 말랑한 층 의 직상  역시 말랑한 층이다. 위상 공간 의 열린집합  및 말랑한 층 에 대하여, 제약층  역시 말랑한 층이다.

기약 공간 위의 상수층은 말랑한 층이다.

예 
다음과 같은 층들은 섬세층을 이룬다.
 다양체  위의 실수 연속 함수들의 층 
 매끄러운 다양체  위의 실수 매끄러운 함수들의 층 
 매끄러운 다양체  위의 차 미분 형식들의 층 
그러나 복소다양체 위의 정칙 함수들의 층은 섬세층이 아니며, 말랑한 층 또한 아니다. 즉, 임의의 열린집합 위에 정의된 정칙 함수는 공간 전체로 해석적 연속을 하지 못할 수 있다.

드람 코호몰로지의 계산 
드람 코호몰로지는 다음과 같이 계산할 수 있다. 매끄러운 다양체 위의 상수층 은 미분 형식의 층으로 다음과 같이 분해된다.

미분 형식층들은 섬세층이므로 비순환층이다. 따라서, 드람-베유 정리에 따라서

이 된다. 즉, 드람 코호몰로지는 실수 계수 코호몰로지와 동형이다.

그러나 돌보 코호몰로지를 계산하려면, 복소 미분 형식의 층은 섬세층이 아니며 비순환층도 아니다. 따라서, 드람-베유 정리를 통해 계산할 수 없으며, 이 경우 초코호몰로지()와 스펙트럼 열을 사용하여야 한다.

같이 보기 
 층 코호몰로지
 단사 대상
 단사 가군

각주

외부 링크 
 
 
 
 
 
 
 
 

층론
호몰로지 대수학