The concept of an abstract Wiener space is a mathematical construction developed by Leonard Gross to understand the structure of Gaussian measures on infinite-dimensional spaces. The construction emphasizes the fundamental role played by the Cameron–Martin space. The classical Wiener space is the prototypical example.

The structure theorem for Gaussian measures states that all Gaussian measures can be represented by the abstract Wiener space construction.

Motivation

Let  be a real Hilbert space, assumed to be infinite dimensional and separable. In the physics literature, one frequently encounters integrals of the form 

where  is supposed to be a normalization constant and where  is supposed to be the non-existent Lebesgue measure on . Such integrals arise, notably, in the context of the Euclidean path-integral formulation of quantum field theory. At a mathematical level, such an integral cannot be interpreted as integration against a measure on the original Hilbert space . On the other hand, suppose  is a Banach space that contains  as a dense subspace. If  is "sufficiently larger" than , then the above integral can be interpreted as integration against a well-defined (Gaussian) measure on . In that case, the pair  is referred to as an abstract Wiener space.

The prototypical example is the classical Wiener space, in which  is the Hilbert space of real-valued functions  on an interval  having one derivative in  and satisfying , with the norm being given by

In that case,  may be taken to be the Banach space of continuous functions on  with the supremum norm. In this case, the measure on  is the Wiener measure describing Brownian motion starting at the origin. The original subspace  is called the Cameron–Martin space, which forms a set of measure zero with respect to the Wiener measure.

What the preceding example means is that we have a formal expression for the Wiener measure given by

Although this formal expression suggests that the Wiener measure should live on the space of paths for which , this is not actually the case. (Brownian paths are known to be nowhere differentiable with probability one.) 

Gross's abstract Wiener space construction abstracts the situation for the classical Wiener space and provides a necessary and sufficient (if sometimes difficult to check) condition for the Gaussian measure to exist on . Although the Gaussian measure  lives on  rather than , it is the geometry of  rather than  that controls the properties of . As Gross himself puts it (adapted to our notation), "However, it only became apparent with the work of I.E. Segal dealing with the normal distribution on a real Hilbert space, that the role of the Hilbert space  was indeed central, and that in so far as analysis on  is concerned, the role of  itself was auxiliary for many of Cameron and Martin's theorems, and in some instances even unnecessary." One of the appealing features of Gross's abstract Wiener space construction is that it takes  as the starting point and treats  as an auxiliary object.

Although the formal expressions for  appearing earlier in this section are purely formal, physics-style expressions, they are very useful in helping to understand properties of . Notably, one can easily use these expressions to derive the (correct!) formula for the density of the translated measure  relative to , for . (See the Cameron–Martin theorem.)

Mathematical description

Cylinder set measure on 

Let  be a Hilbert space defined over the real numbers, assumed to be infinite dimensional and separable. A cylinder set in  is a set defined in terms of the values of a finite collection of linear functionals on . Specifically, suppose  are continuous linear functionals on  and  is a Borel set in . Then we can consider the set

Any set of this type is called a cylinder set. The collection of all cylinder sets forms an algebra of sets in  but it is not a -algebra.

There is a natural way of defining a "measure" on cylinder sets, as follows. By the Riesz theorem, the linear functionals  are given as the inner product with vectors  in . In light of the Gram–Schmidt procedure, it is harmless to assume that  are orthonormal. In that case, we can associate to the above-defined cylinder set  the measure of  with respect to the standard Gaussian measure on . That is, we define

where  is the standard Lebesgue measure on . Because of the product structure of the standard Gaussian measure on , it is not hard to show that  is well defined. That is, although the same set  can be represented as a cylinder set in more than one way, the value of  is always the same.

Nonexistence of the measure on 

The set functional  is called the standard Gaussian cylinder set measure on . Assuming (as we do) that  is infinite dimensional,  does not extend to a countably additive measure on the -algebra generated by the collection of cylinder sets in . One can understand the difficulty by considering the behavior of the standard Gaussian measure on  given by

The expectation value of the squared norm with respect to this measure is computed as an elementary Gaussian integral as

That is, the typical distance from the origin of a vector chosen randomly according to the standard Gaussian measure on  is  As  tends to infinity, this typical distance tends to infinity, indicating that there is no well-defined "standard Gaussian" measure on . (The typical distance from the origin would be infinite, so that the measure would not actually live on the space .)

Existence of the measure on 

Now suppose that  is a separable Banach space and that  is an injective continuous linear map whose image is dense in . It is then harmless (and convenient) to identify  with its image inside  and thus regard  as a dense subset of . We may then construct a cylinder set measure on  by defining the measure of a cylinder set  to be the previously defined cylinder set measure of , which is a cylinder set in .

The idea of the abstract Wiener space construction is that if  is sufficiently bigger than , then the cylinder set measure on , unlike the cylinder set measure on , will extend to a countably additive measure on the generated -algebra. The original paper of Gross gives a necessary and sufficient condition on  for this to be the case. The measure on  is called a Gaussian measure and the subspace  is called the Cameron–Martin space. It is important to emphasize that  forms a set of measure zero inside , emphasizing that the Gaussian measure lives only on  and not on .

The upshot of this whole discussion is that Gaussian integrals of the sort described in the motivation section do have a rigorous mathematical interpretation, but they do not live on the space whose norm occurs in the exponent of the formal expression. Rather, they live on some larger space.

Universality of the construction

The abstract Wiener space construction is not simply one method of building Gaussian measures. Rather, every Gaussian measure on an infinite-dimensional Banach space occurs in this way. (See the structure theorem for Gaussian measures.) That is, given a Gaussian measure  on an infinite-dimensional, separable Banach space (over ), one can identify a Cameron–Martin subspace , at which point the pair  becomes an abstract Wiener space and  is the associated Gaussian measure.

Properties

  is a Borel measure: it is defined on the Borel σ-algebra generated by the open subsets of B.
  is a Gaussian measure in the sense that f∗() is a Gaussian measure on R for every linear functional , .
 Hence,  is strictly positive and locally finite.
 The behaviour of  under translation is described by the Cameron–Martin theorem.
 Given two abstract Wiener spaces  and , one can show that . In full:  i.e., the abstract Wiener measure  on the Cartesian product  is the product of the abstract Wiener measures on the two factors  and .
 If H (and B) are infinite dimensional, then the image of H has measure zero. This fact is a consequence of Kolmogorov's zero–one law.

Example: Classical Wiener space

The prototypical example of an abstract Wiener space is the space of continuous paths, and is known as classical Wiener space. This is the abstract Wiener space in which  is given by

with inner product given by

and  is the space of continuous maps of  into  starting at 0, with the uniform norm. In this case, the Gaussian measure  is the Wiener measure, which describes Brownian motion in , starting from the origin. 

The general result that  forms a set of measure zero with respect to  in this case reflects the roughness of the typical Brownian path, which is known to be nowhere differentiable. This contrasts with the assumed differentiability of the paths in .

See also

References 

  (See section 1.1)
 
 

Measure theory
Stochastic processes
확률론에서 위너 공간(Wiener空間, ) 또는 추상 위너 공간(抽象Wiener空間, )은 일종의 “정규 분포”에 해당하는 확률 측도를 갖춘, 무한 차원일 수 있는 바나흐 공간이다. 일반적으로, 르베그 측도의 일반화는 무한 차원에서 존재하지 않으며, 또한 힐베르트 공간 위의 가우스 분포 역시 무한 차원에서는 존재하지 않는다. (이러한 “측도”는 유한 가법 측도로 구성할 수 있으나, 가산 무한 가법성이 일반적으로 성립하지 않는다.) 그러나 힐베르트 공간을 내적과 다른 어떤 특별한 노름으로 완비화하면, 이렇게 하여 얻는 바나흐 공간 위에 가우스 분포의 확률 측도를 정의할 수 있으며, 위너 공간은 이러한 구성이 가능한 바나흐 공간을 일컫는다.

정의 
위너 공간의 개념은 두 가지로 정의될 수 있다.
 위너 공간은 그 측도의 푸리에 변환이 가우스 함수를 이룬다는 조건으로 추상적으로 정의할 수 있다.
 위너 공간은 힐베르트 공간으로부터 구체적으로 정의할 수 있다.
이 두 정의는 서로 동치이다.

푸리에 변환을 통한 정의 
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
 분해 가능 실수 바나흐 공간 
 의 보렐 시그마 대수 위의 확률 측도 
 분해 가능 실수 힐베르트 공간 
 단사 연속 실수 선형 변환 . (이는 등거리 변환일 필요가 없다.) 또한, 그 상이 조밀 집합이라고 하자.
그렇다면, 이므로

이며, 는 의 조밀 집합을 이룬다. (여기서 는 연속 쌍대 공간을 뜻한다.)

만약

라면, 가 위너 공간이라고 한다.

구체적 정의 
위너 공간의 개념은 힐베르트 공간으로부터 보다 구체적으로 정의될 수 있다.

분해 가능 실수 힐베르트 공간  위의 기둥 집합의 족  위에, 다음과 같은 유한 가법 측도를 정의할 수 있다.

특히,

이다. 그러나 이는 가산 무한 가법성을 충족시키지 못해, 측도를 이루지 못한다. 즉, 이는  위의 (가산 가법) 측도의 제한이 아니다. 이를  위의 기둥 집합 측도()라고 한다.

 위의 (내적 노름과 다를 수 있는) 노름 이 주어졌다고 하자. 만약 다음 조건을 만족시키는 유한 차원 부분 공간들의 열

이 존재한다면, 이를 가측 노름()이라고 한다.
임의의 유한 차원 부분 공간 에 대하여, 만약 이라면, 이다.

의, 어떤 가측 노름 에 대한 완비화인 바나흐 공간

가 주어졌다고 하자. 이므로,

이다.

그렇다면, 의 기둥 집합의 족  위에 다음과 같은 측도를 정의할 수 있다.

이는 로 생성되는 시그마 대수

위에 가산 가법으로 유일하게 확장될 수 있다. 즉, 이는 가측 공간  위의 확률 측도를 이룬다. 그렇다면, 를 위너 공간이라고 한다.

성질 
위너 공간 가 주어졌다고 하자. 임의의 유계 범함수 에 대하여,  위의 측도 의 분포 함수는 평균이 0인  위의 정규 분포에 비례한다. 즉, 다음과 같은 꼴이다.

또한, 만약 라면, 이다.

존재 
임의의 분해 가능 바나흐 공간 에 대하여, 그 위의 위너 공간 구조 가 적어도 하나 이상 존재한다.

페일리-위너 적분 
위너 공간 이 주어졌다고 하자. 그렇다면,

가 성립한다. 또한,

임을 보일 수 있으며, 다음이 성립한다.

다시 말해, 등거리 변환인 선형 변환

이 존재한다. 는 의 조밀 집합이므로, 이를  전체로 확장할 수 있다. 즉, 등거리 변환인 단사 선형 변환

이 존재한다. 이를 페일리-위너 사상()이라고 한다. 이에 따라서, 임의의  및 에 대하여

를 정의할 수 있다. 이를 페일리-위너 적분()이라고 한다.

캐머런-마틴 정리 
위너 공간  및 에 대하여, 다음을 정의하자.

그렇다면,  위의 보렐 확률 측도

를 정의할 수 있다. 이 경우, 라돈-니코딤 도함수

는 다음과 같다.

여기서 는 페일리-위너 적분이다. 이를 캐머런-마틴 정리()라고 한다.

연산 
두 위너 공간 , 가 주어졌을 때,
 위에 다음 조건으로 결정되는 위너 공간 구조가 존재한다.

예 
만약 가 유클리드 공간(즉, 유한 차원 힐베르트 공간)이며, 라고 하자. 이 경우,  위의 위너 공간 구조의 개념은  위의, 평균이 0인 정규 분포와 같다.

고전 위너 공간 
다음과 같은 바나흐 공간을 생각하자.

그렇다면, 그 속에 다음과 같은 부분 공간을 정의할 수 있다.

여기서 는 소볼레프 공간이다. 즉, 이 부분 공간의 원소는 거의 어디서나 1차 도함수를 가지며, 그 1차 도함수는 르베그 공간 의 원소이다. (도함수의 L2 노름의 제곱은 에너지라고 하며, 따라서 의 원소는 유한 에너지 경로()라고 한다.)
이는 조밀 집합이며, 그 위에 다음과 같은 힐베르트 공간 구조를 줄 수 있다.

이제, 임의의 확률 공간  및 위너 과정

을 생각하자. 의 궤적은 거의 확실하게 연속 함수이므로, 그 궤적들의 확률 분포는  위의 측도를 정의한다. 즉, 임의의 보렐 집합 에 대하여,

로 놓는다.

그렇다면, 는 위너 공간을 이룬다. 이를 고전 위너 공간(古典Wiener空間, )이라고 한다.

브라운 다리 
원을

로 정의하자.

L∞ 노름을 가진, 초가 값이 주어진 주기 함수들의 바나흐 공간

을 생각하자. 이 위에, 부분 공간

을 생각하자. 이는 내적

에 의하여 힐베르트 공간을 이룬다.

 위에, 확률 과정

의 법칙으로 주어지는 확률 측도를 부여하자. 여기서 는 위너 과정이다. 그렇다면, 는 위너 공간을 이룬다.

힐베르트 공간 위의 위너 공간 구조 
분해 가능 힐베르트 공간  및 에르미트 양의 정부호 힐베르트-슈미트 작용소 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 노름

을 정의할 수 있다. 이는 가측 노름임을 보일 수 있으며, 이렇게 하여 정의된 위너 공간 에서  역시 힐베르트 공간을 이룬다. 반대로, 임의의 위너 공간 에서 가 힐베르트 공간이라면, 이는 항상 위와 같은 꼴로 표현된다.

역사 
고전 위너 공간은 노버트 위너가 최초로 구성하였다. 이후 레너드 그로스()가 (추상적) 위너 공간의 개념을 도입하였다.

페일리-위너 적분은 레이먼드 에드워드 앨런 크리스토퍼 페일리(, 1907〜1933)와 노버트 위너의 이름을 땄다.

캐머런-마틴 정리는 로버트 호턴 캐머런(, 1908〜1989)과 윌리엄 테드 마틴(, 1911〜2004)이 증명하였다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 

측도론
확률론
확률 과정