[asy] import graph; defaultpen(linewidth(0.7)+fontsize(10)); size(200);    /* segments and figures */ draw((0,0)--(15,0)); draw((15,0)--(6.66667,9.97775)); draw((6.66667,9.97775)--(0,0)); draw((7.33333,0)--(6.66667,9.97775)); draw(circle((4.66667,2.49444),2.49444)); draw(circle((9.66667,2.49444),2.49444)); draw((4.66667,0)--(4.66667,2.49444)); draw((9.66667,2.49444)--(9.66667,0));    /* points and labels */ label("r",(10.19662,1.92704),SE); label("r",(5.02391,1.8773),SE); dot((0,0)); label("$A$",(-1.04408,-0.60958),NE); dot((15,0)); label("$C$",(15.41907,-0.46037),NE); dot((6.66667,9.97775)); label("$B$",(6.66525,10.23322),NE); label("$15$",(6.01866,-1.15669),NE); label("$13$",(11.44006,5.50815),NE); label("$12$",(2.28834,5.75684),NE); dot((7.33333,0)); label("$M$",(7.56053,-1.000),NE); label("$H_1$",(3.97942,-1.200),NE); label("$H_2$",(9.54741,-1.200),NE); dot((4.66667,2.49444)); label("$I_1$",(3.97942,2.92179),NE); dot((9.66667,2.49444)); label("$I_2$",(9.54741,2.92179),NE); clip((-3.72991,-6.47862)--(-3.72991,17.44518)--(32.23039,17.44518)--(32.23039,-6.47862)--cycle); [/asy]
Let $AM = x$, then $CM = 15 - x$. Also let $BM = d$ Clearly, $\frac {[ABM]}{[CBM]} = \frac {x}{15 - x}$. We can also express each area by the rs formula. Then $\frac {[ABM]}{[CBM]} = \frac {p(ABM)}{p(CBM)} = \frac {12 + d + x}{28 + d - x}$. Equating and cross-multiplying yields $25x + 2dx = 15d + 180$ or $d = \frac {25x - 180}{15 - 2x}.$ Note that for $d$ to be positive, we must have $7.2 < x < 7.5$.
By Stewart's Theorem, we have $12^2(15 - x) + 13^2x = d^215 + 15x(15 - x)$ or $432 = 3d^2 + 40x - 3x^2.$ Brute forcing by plugging in our previous result for $d$, we have $432 = \frac {3(25x - 180)^2}{(15 - 2x)^2} + 40x - 3x^2.$ Clearing the fraction and gathering like terms, we get $0 = 12x^4 - 340x^3 + 2928x^2 - 7920x.$
Aside: Since $x$ must be rational in order for our answer to be in the desired form, we can use the Rational Root Theorem to reveal that $12x$ is an integer. The only such $x$ in the above-stated range is $\frac {22}3$.
Legitimately solving that quartic, note that $x = 0$ and $x = 15$ should clearly be solutions, corresponding to the sides of the triangle and thus degenerate cevians. Factoring those out, we get $0 = 4x(x - 15)(3x^2 - 40x + 132) = x(x - 15)(x - 6)(3x - 22).$ The only solution in the desired range is thus $\frac {22}3$. Then $CM = \frac {23}3$, and our desired ratio $\frac {AM}{CM} = \frac {22}{23}$, giving us an answer of $45$.
[asy] import graph; defaultpen(linewidth(0.7)+fontsize(10)); size(200); /* 세그먼트와 숫자 */ draw((0,0)--(15,0)); draw((15,0)--(6.66667,9.97775)); draw((6.66667,9.97775)--(0,0)); draw((7.33333,0)--(6.66667,9.97775)); draw(circle((4.66667,2.49444),2.49444)); draw(circle((9.66667,2.49444),2.49444)); draw((4.66667,0)--(4.66667,2.49444)); draw((9.66667,2.49444)--(9.66667,0)); /* 점과 레이블 */ label("r",(10.19662,1.92704),SE); label("r",(5.02391,1.8773),SE); dot((0,0)); label("$A$",(-1.04408,-0.60958),NE); dot((15,0)); label("$C$",(15.41907,-0.46037),NE); dot((6.66667,9.97775)); label("$B$",(6.66525,10.23322),NE); label("$15$",(6.01866,-1.15669),NE); label("$13$",(11.44006,5.50815),NE); label("$12$",(2.28834,5.75684),NE); dot((7.33333,0)); label("$M$",(7.56053,-1.000),NE); label("$H_1$",(3.97942,-1.200),NE); label("$H_2$",(9.54741,-1.200),NE); dot((4.66667,2.49444)); label("$I_1$",(3.97942,2.92179),NE); dot((9.66667,2.49444)); label("$I_2$",(9.54741,2.92179),NE); clip((-3.72991,-6.47862)--(-3.72991,17.44518)--(32.23039,17.44518)--(32.23039,-6.47862)--cycle); [/asy]
AM = x$, $CM = 15 - x$가 됩니다. 또한 $BM = d$라고 하면 $\frac {[ABM]}{[CBM]} = \frac {x}{15 - x}$가 됩니다. 각 영역을 rs 공식으로 표현할 수도 있습니다. 그러면 $\frac {[ABM]}{[CBM]} = \frac {p(ABM)}{p(CBM)} = \frac {12 + d + x}{28 + d - x}$가 됩니다. 등식과 교차 곱셈을 하면 $25x + 2dx = 15d + 180$ 또는 $d = \frac {25x - 180}{15 - 2x}$가 됩니다.
스튜어트 정리에 따르면 $12^2(15 - x) + 13^2x = d^215 + 15x(15 - x)$ 또는 $432 = 3d^2 + 40x - 3x^2$입니다. $d$에 대한 이전 결과를 연결하여 무차별 대입하면 $432 = \frac {3(25x - 180)^2}{(15 - 2x)^2} + 40x - 3x^2$ 분수를 지우고 같은 항을 모으면 $0 = 12x^4 - 340x^3 + 2928x^2 - 7920x$가 됩니다.
참고로: 답이 원하는 형태가 되려면 $x$가 유리해야 하므로 유리근 정리를 사용하여 $12x$가 정수라는 것을 알 수 있습니다. 위에서 언급한 범위에서 이러한 $x$는 $\frac {22}3$뿐입니다.
이 이차방정식을 정당하게 풀면, $x = 0$과 $x = 15$는 삼각형의 변에 해당하는 해가 분명해야 하며, 따라서 퇴화 세비안이 됩니다. 이를 고려하면 $0 = 4x(x - 15)(3x^2 - 40x + 132) = x(x - 15)(x - 6)(3x - 22)$이므로 원하는 범위의 유일한 해는 $\frac {22}3$이 됩니다. 그러면 $CM = \frac {23}3$이고 원하는 비율 $\frac {AM}{CM} = \frac {22}{23}$이므로 $45$의 답을 구할 수 있습니다.