Recall that if two triangles have their bases along the same straight line and they share a common vertex that is not on this line, then the ratio of their areas is equal to the ratio of the lengths of their bases. We will use this fact extensively throughout the proof.

Let the area of $\triangle PYV$, $\triangle PZU$, $\triangle UXP$, and $\triangle XVP$, be $a$, $b$, $c$, and $d$, respectively. [asy]
size(6cm);
pair v = (0, 0); pair w = (10, 0); pair u = (3.5, 7);
pair y = 4 * w / 7;
pair x = 56 * u / 140;
pair p = IP(w--x, u--y);
pair z = IP(v--(10 * p), u--w);
draw(u--v--w--cycle);
draw(u--y);draw(x--w);draw(z--v);

label("$U$", u, N);
label("$X$", x, NW);
label("$P$", p, NE + 0.2 * W);
label("$Z$", z, NE);
label("$V$", v, SW);
label("$Y$", y, S);
label("$W$", w, SE);
label("$a$", centroid(p, v, y), fontsize(10));
label("$b$", centroid(p, z, u), fontsize(10));
label("$c$", centroid(p, u, x), fontsize(10));
label("$d$", centroid(p, x, v), fontsize(10));
label("$30$", centroid(p, y, w) + 0.2 * W, fontsize(10));
label("$35$", centroid(p, z, w), fontsize(10));
[/asy] Since $$\frac{|\triangle PYV|}{|\triangle PYW|}=\frac{VY}{YW}=\frac{4}{3},$$then $$a = |\triangle PYV|=\frac{4}{3}\times |\triangle PYW|=\frac{4}{3}(30)=40.$$Also, $\frac{|\triangle VZW|}{|\triangle VZU|}=\frac{ZW}{ZU}=\frac{|\triangle PZW|}{|\triangle PZU|}$ or $|\triangle VZW|\times |\triangle PZU| = |\triangle PZW| \times |\triangle VZU|$. Thus, $$\frac{|\triangle VZU|}{|\triangle PZU|}=\frac{|\triangle VZW|}{|\triangle PZW|}=\frac{35+30+40}{35}=\frac{105}{35}=\frac{3}{1}.$$Therefore,  $\frac{|\triangle VZU|}{|\triangle PZU|}=\frac{3}{1}$, or $\frac{b+c+d}{b}=\frac{3}{1}$ or $b+c+d=3b$ and $c+d=2b$.

Next, $$\frac{|\triangle UVY|}{|\triangle UYW|}=\frac{VY}{YW}=\frac{4}{3},$$so $$\frac{40+c+d}{30+35+b}=\frac{4}{3}.$$Since $c+d=2b$, we have $3(40+2b)=4(65+b)$, so $120+6b=260+4b$, then $2b=140$ and $b=70$.

Next, $$\frac{|\triangle UXW|}{|\triangle XVW|}=\frac{UX}{XV}=\frac{|\triangle UXP|}{|\triangle XVP|},$$or $$\frac{35+b+c}{30+a+d}=\frac{c}{d}.$$Since $b=70$ and $a=40$, $\frac{105+c}{70+d}=\frac{c}{d}$, or $d(105+c)=c(70+d)$. Thus, $105d+cd=70c+cd$ or $105d=70c$, and $\frac{d}{c}=\frac{70}{105}=\frac{2}{3}$ or $d=\frac{2}{3}c$.

Since $c+d=2b=2(70)=140$, we have $$c+d=c+\frac{2}{3}c=\frac{5}{3}c=140,$$or $c=\frac{3}{5}(140)=84$. Therefore, the area of $\triangle UXP$ is $84$.
두 삼각형의 밑변이 같은 직선을 따라 있고 이 선에 없는 공통 꼭지점을 공유하는 경우, 두 삼각형의 넓이의 비율은 밑변의 길이 비율과 같다는 것을 기억하세요. 이 사실은 증명 내내 광범위하게 사용될 것입니다.

삼각형 PYV$, 삼각형 PZU$, 삼각형 UXP$, 삼각형 XVP$의 넓이를 각각 $a$, $b$, $c$, $d$라고 합니다. [asy]
size(6cm);
쌍 v = (0, 0); 쌍 w = (10, 0); 쌍 u = (3.5, 7);
쌍 y = 4 * w / 7;
쌍 x = 56 * u / 140;
쌍 p = IP(w--x, u--y);
쌍 z = IP(v--(10 * p), u--w);
draw(u--v--w--cycle);
draw(u--y);draw(x--w);draw(z--v);

label("$U$", u, N);
label("$X$", x, NW);
label("$P$", p, NE + 0.2 * W);
label("$Z$", z, NE);
label("$V$", v, SW);
label("$Y$", y, S);
label("$W$", w, SE);
label("$a$", centroid(p, v, y), fontsize(10));
label("$b$", centroid(p, z, u), fontsize(10));
label("$c$", centroid(p, u, x), fontsize(10));
label("$d$", centroid(p, x, v), fontsize(10));
label("$30$", centroid(p, y, w) + 0.2 * W, fontsize(10));
label("$35$", centroid(p, z, w), fontsize(10));
[/asy] $$\frac{|\삼각형 PYV|}{|\삼각형 PYW|}=\frac{VY}{YW}=\frac{4}{3},$$따라서 $$a = |\삼각형 PYV|=\frac{4}{3}\times |\삼각형 PYW|=\frac{4}{3}(30)=40이 됩니다.또한, $$\frac{|\트라이앵글 VZW|}{|\트라이앵글 VZU|}=\frac{ZW}{ZU}=\frac{|\트라이앵글 PZW|}{|\트라이앵글 PZU|}$ 또는 $|\트라이앵글 VZW|\times |\triangle PZU| = |\triangle PZW| \times |\triangle VZU|$가 됩니다. 따라서 $$\frac{|\triangle VZU|}{|\triangle PZU|}=\frac{|\triangle VZW|}{|\triangle PZW|}=\frac{35+30+40}{35}=\frac{105}{35}=\frac{3}{1}이 됩니다.따라서 $\frac{|\삼각형 VZU|}{|\삼각형 PZU|}=\frac{3}{1}$ 또는 $\frac{b+c+d}{b}=\frac{3}{1}$ 또는 $b+c+d=3b$ 및 $c+d=2b$가 됩니다.

다음으로, $$\frac{|\삼각형 UVY|}{|\삼각형 UYW|}=\frac{VY}{YW}=\frac{4}{3},$$이므로 $$\frac{40+c+d}{30+35+b}=\frac{4}{3}이 됩니다.$$c+d=2b$이므로 $3(40+2b)=4(65+b)$이므로 $120+6b=260+4b$이고, $2b=140$이고 $b=70$입니다.

다음으로, $$\frac{|\삼각형 UXW|}{|\삼각형 XVW|}=\frac{UX}{XV}=\frac{|\삼각형 UXP|}{|\삼각형 XVP|},$$또는 $$\frac{35+b+c}{30+a+d}=\frac{c}{d}입니다.$$b=70$이고 $a=40$이므로 $\frac{105+c}{70+d}=\frac{c}{d}$ 또는 $d(105+c)=c(70+d)$가 됩니다. 따라서 $105d+cd=70c+cd$ 또는 $105d=70c$, $\frac{d}{c}=\frac{70}{105}=\frac{2}{3}$ 또는 $d=\frac{2}{3}c$가 됩니다.

c+d=2b=2(70)=140$이므로 $$c+d=c+\frac{2}{3}c=\frac{5}{3}c=140,$$ 또는 $c=\frac{3}{5}(140)=84$가 됩니다. 따라서 $\삼각형 UXP$의 면적은 $84$입니다.