In mathematics, p-adic analysis is a branch of number theory that deals with the mathematical analysis of functions of p-adic numbers.

The theory of complex-valued numerical functions on the p-adic numbers is part of the theory of locally compact groups. The usual meaning taken for p-adic analysis is the theory of p-adic-valued functions on spaces of interest.

Applications of p-adic analysis have mainly been in number theory, where it has a significant role in diophantine geometry and diophantine approximation. Some applications have required the development of p-adic functional analysis and spectral theory. In many ways p-adic analysis is less subtle than classical analysis, since the ultrametric inequality means, for example, that convergence of infinite series of p-adic numbers is much simpler. Topological vector spaces over p-adic fields show distinctive features; for example aspects relating to convexity and the Hahn–Banach theorem are different.

Important results

Ostrowski's theorem

Ostrowski's theorem, due to Alexander Ostrowski (1916), states that every non-trivial absolute value on the rational numbers Q is equivalent to either the usual real absolute value or a -adic absolute value.

Mahler's theorem

Mahler's theorem, introduced by Kurt Mahler, expresses continuous p-adic functions in terms of polynomials.

In any field of characteristic 0, one has the following result.  Let

be the forward difference operator.  Then for polynomial functions f we have the Newton series:

where

is the kth binomial coefficient polynomial.

Over the field of real numbers, the assumption that the function f is a polynomial can be weakened, but it cannot be weakened all the way down to mere continuity.

Mahler proved the following result:

Mahler's theorem: If f is a continuous p-adic-valued function on the p-adic integers then the same identity holds.

Hensel's lemma

Hensel's lemma, also known as Hensel's lifting lemma, named after Kurt Hensel, is a result in modular arithmetic, stating that if a polynomial equation has a simple root modulo a prime number , then this root corresponds to a unique root of the same equation modulo any higher power of , which can be found by iteratively "lifting" the solution modulo successive powers of . More generally it is used as a generic name for analogues for complete commutative rings (including p-adic fields in particular) of the Newton method for solving equations. Since p-adic analysis is in some ways simpler than real analysis, there are relatively easy criteria guaranteeing a root of a polynomial.

To state the result, let  be a polynomial with integer (or p-adic integer) coefficients, and let m,k be positive integers such that m ≤ k.  If r is an integer such that

 and 

then there exists an integer s such that

 and 

Furthermore, this s is unique modulo pk+m, and can be computed explicitly as

 where

Applications

P-adic quantum mechanics

P-adic quantum mechanics is a relatively recent approach to understanding the nature of fundamental physics. It is the application of p-adic analysis to quantum mechanics. The p-adic numbers are an intuitive arithmetic system (but geometrically counterintuitive) that was discovered by  German mathematician Kurt Hensel in about 1899 and by German mathematician Ernst Kummer(1810-1893) earlier in elementary form. The closely related adeles and ideles were introduced in the 1930s by Claude Chevalley and André Weil. Their study has now transformed into a major branch of mathematics. They were occasionally applied to the physical sciences, but it wasn't until a publication by the Russian mathematician Volovich in 1987 that the subject was taken seriously in the physics world.   There are now hundreds of research articles on the subject, along with international journals as well.

There are two main approaches to the subject.  The first considers particles in a p-adic potential well, and the goal is to find solutions with smoothly varying complex-valued wavefunctions. Here the solutions are to have a certain amount of familiarity from ordinary life. The second considers particles in p-adic potential wells, and the goal is to find p-adic valued wavefunctions. In this case, the physical interpretation is more difficult. Yet the math often exhibits striking characteristics, therefore people continue to explore it.  The situation was summed up in 2005 by one scientist as follows: "I simply cannot think of all this as a sequence of amusing accidents and dismiss it as a 'toy model'.  I think more work on this is both needed and worthwhile."

Local–global principle

Helmut Hasse's local–global principle, also known as the Hasse principle, is the idea that one can find an integer solution to an equation by using the Chinese remainder theorem to piece together solutions modulo powers of each different prime number. This is handled by examining the equation in the completions of the rational numbers: the real numbers and the p-adic numbers. A more formal version of the Hasse principle states that certain types of equations have a rational solution if and only if they have a solution in the real numbers and in the p-adic numbers for each prime p.

See also
 P-adic number
 P-adic Teichmüller theory
 Locally compact space
 Real analysis
 Complex analysis
 Hypercomplex analysis
 Harmonic analysis

References

Further reading
   
 
 
 (preprint)
A course in p-adic analysis, Alain Robert, Springer, 2000, 
Ultrametric Calculus: An Introduction to P-Adic Analysis, W. H. Schikhof, Cambridge University Press, 2007, 
P-adic Differential Equations, Kiran S. Kedlaya, Cambridge University Press, 2010, 

Number theory
Fields of mathematical analysis
p-adic numbers
수학에서 진 해석학()은 진수 함수에 대한 해석학을 다루는 수론의 한 분야이다.

진수에 대한 복소 함수 이론은 국소 콤팩트 군에 대한 이론의 일부이다. 진 해석학에 대한 일반적인 의미는 대상 공간에 대한 진 값 함수론이다.

진 해석학은 주로 정수론과 관련 있으며, 디오판틴 기하학과 디오판틴 근사에서 중요한 역할을 한다. 일부 응용에서는 진 함수 해석학 및 스펙트럼 이론의 개발이 필요했다. 여러 가지 면에서 진 해석학은 고전적 해석학 보다 덜 미묘하다. 예를 들어 초거리 부등식은 진 수의 무한 급수의 수렴이 훨씬 더 간단하다는 것을 의미하기 때문이다. 진 체 위의 위상 벡터 공간은 독특한 특징을 보여준다. 예를 들어 볼록성과 한-바나흐 정리와 관련된 측면은 다르다.

중요한 결과

오스트롭스키 정리 
알렉산더 오스트롭스키(1916)가 증명한 오스트롭스키 정리는 유리수 체의 모든 자명하지 않은 절대값이 일반적인 절대값 또는 진 절대값과 동일하다고 말한다.

말러의 정리 
쿠르트 말러가 도입한 말러 정리는 다항식으로 연속 진 함수를 표현한다.

표수가 0인 모든 체에서 다음 결과가 나타난다:

 

를 차분 연산자라고 하자. 그런 다음 다항 함수 를 뉴턴 급수

 

로 표현 할 수 있다, 여기서

 

실수 분야에서 가 다항식이라는 가정은 약화될 수 있지만 단순한 연속성까지 약화될 수는 없다.

말러는 다음과 같은 결과를 증명했다.

말러 정리: 가 진 정수에 대한 연속 진 값 함수이면 동일한 항등식이 유지된다.

헨젤 보조정리 

쿠르트 헨젤의 이름을 따서 명명된 헨젤의 올림 보조정리라고도 하는 헨젤의 보조정리는 모듈러 산술의 결과로, 다항 방정식에 소수 를 법으로 하는 단순 근이 있는 경우 이 근은 의 더 높은 거듭제곱을 법으로 동일한 방정식의 유일한 근에 해당함을 나타낸다. 이 근은 의 연속적인 거듭제곱들을 법으로 해를 반복적으로 "올림"하여 찾을 수 있다. 더 일반적으로 이는 방정식을 풀기 위한 뉴턴 방법의 완비 가환 환 (특히 진 체 포함)에 대한 유사체의 일반적 이름으로 사용된다. 진 해석학은 어떤 면에서 실해석학보다 더 간단하기 때문에 다항식의 근을 보장하는 비교적 쉬운 판정법이 있다.

가 정수(또는 진 정수) 계수를 갖는 다항식이고 가 인 양의 정수라고 하자. 이

  그리고 

과 같은 정수인 경우

  그리고 

인 정수 가 존재한다. 또한 는 를 법으로 유일하며,

  여기서, 

과 같이 명시적으로 계산할 수 있다.

국소-대역 원칙 
하세 원리라고도 알려진 헬무트 하세의 국소-대역 원리는 중국인의 나머지 정리를 사용하여 각각의 다른 소수로 거듭제곱 해를 결합하여 방정식에 대한 정수 해를 찾을 수 있다는 생각이다. 이것은 유리수(실수 와 p진수)의 완비화에서 방정식을 검사하여 처리된다. 하세 원리는 특정 유형의 방정식이 각 소수 에 대한 실수와 진수에 해가 있는 경우에만 유리 해를 갖는다고 말한다.

응용

p진 양자 역학 
진 양자역학은 기본 물리학의 특성을 이해하기 위한 비교적 최근의 접근 방식이다. 표준적인 양자역학의 수학적 형식화는 복소 함수 해석학을 기반으로 이뤄져 있다.  진 해석학을 양자역학에 적용한 것이다.  진수는 1899년 경 독일 수학자 쿠르트 헨젤이, 그리고 초기에 초급 형태로 독일 수학자 에른스트 쿠머 (1810-1893)가 발견한 직관적인 산술 시스템(그러나 기하학적으로 반직관적)이다. 이와 밀접한 관련이 있는 아델과 이델은 1930년대에 끌로드 슈발레와 앙드레 베유에 의해 소개되었다. 그들의 연구는 이제 수학의 주요 분야로 자리 잡았다. 이는 때때로 물리학에 적용되었지만 1987년 러시아 수학자 볼로비치가 출판하기 전까지는 물리학계에서 그 주제가 심각하게 다루어지지 않았다. 현재는 이 주제에 대한 수백 개의 연구 논문이 있으며 국제 저널도 있다.

주제에 대한 두 가지 주요 접근 방식이 있다. 첫 번째는 진 포텐셜 우물에 있는 입자를 고려하며 목표는 매끄러운 복소수 값 파동함수 해를 찾는 것이다. 이 해들은 일상 생활과 어느 정도 친숙함을 갖는다. 두 번째는 진 포텐셜 우물의 입자를 고려하며 목표는 진 값 파동함수를 찾는 것이다. 이 경우 물리적 해석이 더 어렵다. 그러나 이는 수리물리학적으로 종종 눈에 띄는 특성을 나타내므로 사람들은 계속해서 연구하고 있다. 상황은 2005년에 한 과학자에 의해 다음과 같이 요약되었다: "나는 이 모든 결과가 그저 흥미로운 우연에 지나지 않고 단지 장난감 모형으로만 의미 있다고는 생각 할 수 없다. 이에 대한 더 많은 작업이 필요하고 가치가 있다고 생각한다."

같이 보기 
 p진수
 P진 타이히뮐러 이론
 국소 콤팩트 공간
 실해석학
 복소해석학
 초복소수 해석학
 조화 해석학

참조

더 읽기 
 
 
 
  (preprint)
 A course in  p진 analysis, Alain Robert, Springer, 2000, 
 Ultrametric Calculus: An Introduction to  p진 Analysis, W. H. Schikhof, Cambridge University Press, 2007, 
 p진 Differential Equations, Kiran S. Kedlaya, Cambridge University Press, 2010, 

수론
P-진수
해석학 (수학)