To derive the formula for the area of a trapezoid using calculus, we'll first define the trapezoid and set up an integral to represent its area.

1. Define the trapezoid:
A trapezoid is a quadrilateral with one pair of parallel sides. Let's call these parallel sides "bases" and label them b1 and b2, where b1 is the longer base and b2 is the shorter base. The distance between these bases (the height) is h. 

2. Set up a coordinate system:
Place the trapezoid in the xy-plane such that the longer base b1 lies on the x-axis from x = 0 to x = b1, and the shorter base b2 is parallel to the x-axis at y = h. Now, let's find the equations of the non-parallel sides (called legs).

3. Find the equations of the legs:
The left leg connects the points (0, 0) and (a, h), where a is the horizontal distance from the origin to the point where the shorter base intersects the left leg. The equation of this line can be found using the slope-intercept form: y = mx + c.
Since it passes through (0, 0), c = 0. And the slope m = h/a. So, the equation of the left leg is y = (h/a)x.

Similarly, the right leg connects the points (b1, 0) and (b1 - b2 + a, h). The slope of this line is -h/(b1 - b2). Since it passes through (b1, 0), the equation of the right leg is y = -h/(b1 - b2)(x - b1).

4. Set up the integral:
To find the area of the trapezoid, we can integrate the difference between the right leg and left leg equations with respect to x from 0 to b1:
Area = ∫(right_leg - left_leg) dx from 0 to b1
= ∫((-h/(b1 - b2)(x - b1)) - (h/a)x) dx from 0 to b1

5. Evaluate the integral:
First, factor out h:
Area = h∫((-1/(b1 - b2))(x - b1) - (1/a)x) dx from 0 to b1

Now, integrate term by term:
Area = h[-(1/(b1 - b2))(x^2/2 - b1x) - (1/a)(x^2/2)] evaluated from 0 to b1

Plug in the limits of integration:
Area = h[-(1/(b1 - b2))(b1^2/2 - b1^2) - (1/a)(b1^2/2)]

Simplify:
Area = h[(1/(b1 - b2))(b1^2/2) - (b1^2/2a)]

Factor out b1^2/2:
Area = (h*b1^2/2)[(1/(b1 - b2)) - (1/a)]

Recall that a is the horizontal distance from the origin to the point where the shorter base intersects the left leg. Therefore, a = (b1 - b2)/2.
Substitute this value for a in the equation:
Area = (h*b1^2/2)[(1/(b1 - b2)) - (1/((b1 - b2)/2))]

Simplify:
Area = (h*b1^2/2)[(1/(b1 - b2)) - (2/(b1 - b2))]

Combine the fractions:
Area = (h*b1^2/2)[-1/(b1 - b2)]

Now, recall that the area of a trapezoid can be represented as Area = (1/2)h(b1 + b2). We want to show that our derived formula is equivalent to this standard formula.

Factor out -(1/2)h from our derived formula:
Area = -(1/2)h[b1^2/(b1 - b2)]

Observe that we can rewrite b1^2 as b1(b1 - b2 + b2):
Area = -(1/2)h[b1(b1 - b2 + b2)/(b1 - b2)]

Now, distribute b1 in the numerator:
Area = -(1/2)h[(b1^2 - b1b2 + b1b2)/(b1 - b2)]

Simplify:
Area = -(1/2)h[(b1^2)/(b1 - b2)]

Cancel out the negative signs:
Area = (1/2)h[(b1^2)/(b1 - b2)]

Finally, factor b1 out of the numerator and denominator:
Area = (1/2)h[b1(1 + b2/b1)] = (1/2)h(b1 + b2)

This confirms that our derived formula for the area of a trapezoid using calculus is equivalent to the standard formula: Area = (1/2)h(b1 + b2).
미적분을 사용하여 사다리꼴의 넓이에 대한 공식을 도출하려면 먼저 사다리꼴을 정의하고 그 넓이를 나타내는 적분을 설정합니다.

1. 사다리꼴을 정의합니다:
사다리꼴은 한 쌍의 평행 변을 가진 사변형입니다. 이 평행한 변을 "밑변"이라고 부르고 b1과 b2라고 표시합니다. 여기서 b1은 더 긴 밑변이고 b2는 더 짧은 밑변입니다. 이 밑변 사이의 거리(높이)는 h입니다.

2. 좌표계를 설정합니다:
긴 밑변 b1이 x = 0에서 x = b1까지 x축에 놓이고 짧은 밑변 b2가 y = h에서 x축에 평행하도록 사다리꼴을 xy 평면에 놓습니다. 이제 평행하지 않은 변(다리라고 함)의 방정식을 구해 봅시다.

3. 다리의 방정식을 구합니다:
왼쪽 다리는 점 (0, 0)과 (a, h)를 연결하며, 여기서 a는 원점에서 더 짧은 밑변이 왼쪽 다리와 교차하는 지점까지의 수평 거리입니다. 이 선의 방정식은 기울기-절편식을 사용하여 찾을 수 있습니다: y = mx + c.
(0, 0)을 통과하기 때문에 c = 0. 그리고 기울기 m = h / a. 따라서 왼쪽 다리의 방정식은 y = (h / a) x입니다.

마찬가지로 오른쪽 다리는 (b1, 0)과 (b1 - b2 + a, h) 점을 연결합니다. 이 선의 기울기는 -h/(b1 - b2)입니다. (b1, 0)을 통과하므로 오른쪽 다리의 방정식은 y = -h/(b1 - b2)(x - b1)입니다.

4. 적분을 설정합니다:
사다리꼴의 넓이를 구하려면 오른쪽 다리와 왼쪽 다리 방정식의 x에 대한 차이를 0에서 b1까지 적분하면 됩니다:
면적 = 0에서 b1까지 ∫(오른쪽 다리 - 왼쪽 다리) dx
= ∫((-h/(b1 - b2)(x - b1)) - (h/a)x) 0에서 b1까지 dx

5. 적분을 평가합니다:
먼저 h를 인수분해합니다:
면적 = h∫((-1/(b1 - b2))(x - b1) - (1/a)x) dx 0에서 b1까지.

이제 한 항씩 적분합니다:
면적 = h[-(1/(b1 - b2))(x^2/2 - b1x) - (1/a)(x^2/2)]는 0에서 b1까지 평가됩니다.

적분의 극한을 입력합니다:
면적 = h[-(1/(b1 - b2))(b1^2/2 - b1^2) - (1/a)(b1^2/2)]

단순화합니다:
면적 = h[(1/(b1 - b2))(b1^2/2) - (b1^2/2a)]

b1^2/2를 인수분해합니다:
면적 = (h*b1^2/2)[(1/(b1 - b2)) - (1/a)]

a는 원점에서 더 짧은 밑변이 왼쪽 다리와 교차하는 지점까지의 수평 거리라는 것을 기억하세요. 따라서 a = (b1 - b2)/2입니다.
이 값을 방정식의 a에 대입합니다:
면적 = (h*b1^2/2)[(1/(b1 - b2)) - (1/((b1 - b2)/2)]

단순화합니다:
면적 = (h*b1^2/2)[(1/(b1 - b2)) - (2/(b1 - b2))]

분수를 결합합니다:
면적 = (h*b1^2/2)[-1/(b1 - b2)]

이제 사다리꼴의 넓이는 Area = (1/2)h(b1 + b2)로 나타낼 수 있다는 것을 기억하세요. 우리가 유도한 공식이 이 표준 공식과 동일하다는 것을 보여주고자 합니다.

유도된 공식에서 -(1/2)h를 인수분해합니다:
면적 = -(1/2)h[b1^2/(b1 - b2)]]

b1^2를 b1(b1 - b2 + b2)로 다시 쓸 수 있음을 관찰합니다:
면적 = -(1/2)h[b1(b1 - b2 + b2)/(b1 - b2)]

이제 분자에 b1을 분포시킵니다:
면적 = -(1/2)h[(b1^2 - b1b2 + b1b2)/(b1 - b2)]

단순화합니다:
면적 = -(1/2)h[(b1^2)/(b1 - b2)]

음의 부호를 상쇄합니다:
면적 = (1/2)h[(b1^2)/(b1 - b2)]

마지막으로 분자와 분모에서 b1을 인수분해합니다:
면적 = (1/2)h[b1(1 + b2/b1)] = (1/2)h(b1 + b2)

이를 통해 미적분을 사용하여 도출한 사다리꼴의 넓이에 대한 공식이 표준 공식과 동일하다는 것을 확인할 수 있습니다: 면적 = (1/2)h(b1 + b2).