In mathematics, a homothety (or homothecy, or homogeneous dilation) is a transformation of an affine space determined by a point S called its center and a nonzero number  called its ratio, which sends point  to a point  by the rule 
  for a fixed number .
Using position vectors:
.
In case of  (Origin):
,
which is a uniform scaling and shows the meaning of special choices  for :
for  one gets the identity mapping,
for  one gets the reflection at the center,
For  one gets the inverse mapping defined by .

In Euclidean geometry homotheties are the similarities that fix a point and either preserve (if ) or reverse (if ) the direction of all vectors. Together with the translations, all homotheties of an affine (or Euclidean) space form a group, the group of dilations or homothety-translations. These are precisely the affine transformations with the property that the image of every line g is a line parallel to g.

In projective geometry, a homothetic transformation is a similarity transformation (i.e., fixes a given elliptic involution) that leaves the line at infinity pointwise invariant.

In Euclidean geometry, a homothety of ratio  multiplies distances between points by , areas by  and volumes by .  Here  is the ratio of magnification or dilation factor or scale factor or similitude ratio. Such a transformation can be called an enlargement if the scale factor exceeds 1. The above-mentioned fixed point S is called homothetic center or center of similarity or center of similitude.

The term, coined by French mathematician Michel Chasles, is derived from two Greek elements: the prefix homo- (), meaning "similar", and thesis (), meaning "position". It describes the relationship between two figures of the same shape and orientation. For example, two Russian dolls looking in the same direction can be considered homothetic.

Homotheties are used to scale the contents of computer screens; for example, smartphones, notebooks, and laptops.

Properties 
The following properties hold in any dimension.

Mapping lines, line segments and angles 
A homothety has the following properties:
 A line is mapped onto a parallel line. Hence: angles remain unchanged.
 The ratio of two line segments is preserved.
Both properties show: 
 A homothety is a similarity.

Derivation of the properties:
In order to make calculations easy it is assumed that the center   is the origin: . A line   with parametric representation  is mapped onto the point set  with equation , which is a line parallel to .

The distance of two points  is  and  the distance between their images. Hence, the ratio (quotient) of two line segments remains unchanged .

In case of  the calculation is analogous but a little extensive.

Consequences: A triangle is mapped on a similar one. The homothetic image of a circle is a circle. The image of an ellipse is a similar one. i.e. the ratio of the two axes is unchanged.

Graphical constructions

using the intercept theorem 
If for a homothety with center  the image  of a point  is given (see diagram) then the image  of a second point , which lies not on line   can be constructed graphically using the intercept theorem:  is the common point th two lines  and . The image of a point collinear with  can be determined using .

using a pantograph 
Before computers became ubiquitous, scalings of drawings were done by using a pantograph, a tool similar to a compass.

Construction and geometrical background:

Take 4 rods and assemble a mobile parallelogram with vertices  such that the two rods meeting at  are prolongued at the other end as shown in the diagram. Choose the ratio .
On the prolongued rods mark the two points  such that  and . This is the case if  (Instead of  the location of the center  can be prescribed. In this case the ratio is .) 
Attach the mobile rods rotatable at point .
Vary the location of point  and mark at each time point .

Because of  (see diagram) one gets from the intercept theorem that the points  are collinear (lie on a line) and equation  holds. That shows: the mapping   is a homothety with center  and ratio .

Composition 

The composition of two homotheties with the same center  is again a homothety with center . The homotheties with center  form a group.
The composition of two homotheties with different centers  and its ratios  is 
in case of  a homothety with its center on line  and ratio  or 
in case of  a translation in direction . Especially, if  (point reflections).

Derivation:

For the composition  of the two homotheties  with centers  with

 
one gets by calculation for the image of point :

.
Hence, the composition is 
in case of  a translation in direction  by vector .
in case of  point 
 
is a fixpoint (is not moved) and  the composition
. 
is a homothety with center  and ratio .  lies on line .

The composition of a homothety and a translation is a homothety.

Derivation:

The composition of the homothety 
 and the translation
 is

which is a homothety with center  and ratio .

In homogenous coordinates 
The homothety  
with center  can be written as the composition of a homothety with center  and a translation:
.
Hence  can be represented  in homogeneous coordinates 
by the matrix:

A pure homothety linear transformation is also conformal because it is composed of translation and uniform scale.

See also
Scaling (geometry) a similar notion in vector spaces
Homothetic center, the center of a homothetic transformation taking one of a pair of shapes into the other
The Hadwiger conjecture on the number of strictly smaller homothetic copies of a convex body that may be needed to cover it
Homothetic function (economics), a function of the form f(U(y)) in which U is a homogeneous function and f is a monotonically increasing function.

Notes

References
 H.S.M. Coxeter, "Introduction to geometry" , Wiley (1961), p. 94

External links
 Homothety, interactive applet from Cut-the-Knot.

Transformation (function)
아핀 기하학에서 중심 닮음 변환(中心-變換, )은 주어진 점에 대한 방향을 보존하거나 반전시키되 이 점과의 거리를 일정한 비율로 확대 또는 축소시키는 함수이다. 이는 유클리드 공간 위에서만 유효한 정의이나, 임의의 아핀 공간 위에까지 확장될 수 있다. 주어진 아핀 공간 위의 중심 닮음 변환과 평행 이동은 함수의 합성에 대하여 군을 이룬다. 이는 모든 직선을 이에 평행하는 직선으로 대응시키는 전단사 함수들의 군과 같다.

정의 
체  위의 아핀 공간 와 점  및 0이 아닌 상수 이 주어졌다고 하자. 을 중심으로 하고 를 비로 하는 의 중심 닮음 변환은 다음과 같다.

특히, 일 경우 이는 항등 함수이며, 일 경우 이는 중심점에 대한 반사와 같다.

확대 변환 
체  위의 아핀 공간  위 함수 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 를 확대 변환(擴大變換, )이라고 한다.
 다음 두 조건을 만족시킨다.
 는 아핀 변환이다.
 의 선형 변환 성분은 일반 선형군 의 중심 의 원소이다. (여기서 는 의 평행 이동들로 구성된 벡터 공간이다.)
 는 중심 닮음 변환이거나 평행 이동이다. (사실, 평행 이동은 무한원점을 중심으로 하는 중심 닮음 변환으로 생각할 수 있다.)

만약 가 중심 닮음 변환이라면, 중심을 라고 하고, 비를 이라고 하자. 그렇다면 임의의 에 대하여

이다. 즉, 는 를 선형 변환 성분으로 하는 아핀 변환이다.

만약 가 평행 이동이라면, 평행 이동 벡터를 라고 하자. 그렇다면 임의의 에 대하여,

이다. 즉, 는 항등 함수 을 선형 변환 성분으로 하는 아핀 변환이다.

만약 가 의 원소 을 선형 변환 성분으로 하는 아핀 변환이라면, 임의의 를 취하자. 만약 이라면, 임의의 에 대하여

이므로, 는 를 평행 이동 벡터로 하는 평행 이동이다. 만약 이라면, 아핀 결합

는 의 고정점이다. 따라서 임의의 에 대하여,

이므로, 이는 을 중심으로 하고 를 비로 하는 중심 닮음 변환이다.

성질

대수적 성질 
아핀 공간  위의 확대 변환들은 아핀 군 의 정규 부분군 를 이룬다. 특히, 모든 중심 닮음 변환은 전단사 아핀 변환이다.

기하학적 성질 
체  위의 아핀 공간  위 함수 가 주어졌고, 이라고 하자. 그렇다면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 는 확대 변환이다.
 다음 두 조건을 만족시킨다.
 는 전단사 함수이다.
 임의의 아핀 직선 에 대하여, 은 에 평행하는 아핀 직선이다.

편의상 라고 하자.

만약 가 확대 변환이라면, 우선 가 아핀 변환이므로, 임의의 아핀 직선 에 대하여,  역시 아핀 직선이다. 의 선형 변환 성분을 라고 하고, 임의의 를 취하자. 그렇다면

이다. 따라서, 은 에 평행한다.

만약 가 임의의 아핀 직선의 상이 이와 평행하는 아핀 직선인 전단사 함수라면, 임의의 아핀 직선 를 취하고, 이 로 생성된다고 하자. 그렇다면 은 에 평행하는 아핀 직선이며, 로 생성된다. 또한, 다음을 만족시키는 유일한 확대 변환 가 존재한다.

임의의 에 대하여, 에 대한 가정에 의하여, , 로 생성된 아핀 직선은 각각 , 로 생성된 아핀 직선에 평행한다. 은 확대 변환이므로, 는 , 로 생성된 아핀 직선의 교점이다. 즉, 이다. 이므로 과 평행하는 이 아닌 아핀 직선 가 존재하며, 이를  대신 사용하면 임의의 에 대하여 라는 사실을 얻는다. 따라서 이며, 는 확대 변환이다.

중심 닮음 변환에 대한 상 는 중심 과 원래 점 를 잇는 직선 위의 점이다. 유클리드 공간의 중심 닮음 변환에 대한 상과 이에 대한 원상은 양의 실수를 비로 할 경우 중심에 대하여 같은 쪽이며, 음의 실수를 비로 할 경우 중심에 대하여 반대쪽이다. 유클리드 공간의 를 비로 하는 중심 닮음 변환은 모든 두 점 사이의 거리를 의 비율로 확대·축소시킨다. 즉, 이는 를 비로 하는 닮음 변환이다.

예 
3차원 유클리드 공간 의 원점 을 중심으로 하고 2를 닮음비로 하는 중심 닮음 변환은 다음과 같다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 
 
 

아핀기하학
함수와 사상
변환 (함수)