In mathematics, crystalline cohomology is a Weil cohomology theory for schemes X over a base field k.  Its values Hn(X/W) are modules over the ring W of Witt vectors over k.  It was introduced by  and developed by .

Crystalline cohomology is partly inspired by the p-adic proof in  of part of the Weil conjectures and is closely related to the algebraic version of de Rham cohomology that was introduced by Grothendieck (1963). Roughly speaking, crystalline cohomology of a variety X in characteristic p is the de Rham cohomology of a smooth lift of X to characteristic 0, while de Rham cohomology of X is the crystalline cohomology reduced mod p (after taking into account higher Tors).

The idea of crystalline cohomology, roughly, is to replace the Zariski open sets of a scheme by infinitesimal thickenings of Zariski open sets with  divided power structures. The motivation for this is that it can then be calculated by taking a local lifting of a scheme from characteristic p to characteristic 0 and employing an appropriate version of algebraic de Rham cohomology.

Crystalline cohomology only works well for smooth proper schemes. Rigid cohomology extends it to more general schemes.

Applications

For schemes in characteristic p, crystalline cohomology theory can handle questions about p-torsion in cohomology groups better than p-adic étale cohomology. This makes it a natural backdrop for much of the work on p-adic L-functions.

Crystalline cohomology, from the point of view of number theory, fills a gap in the l-adic cohomology information, which occurs exactly where there are 'equal characteristic primes'.  Traditionally the preserve of ramification theory, crystalline cohomology converts this situation into Dieudonné module theory, giving an important handle on arithmetic problems. Conjectures with wide scope on making this into formal statements were enunciated by Jean-Marc Fontaine, the resolution of which is called p-adic Hodge theory.

Coefficients
For a variety X over an algebraically closed field of characteristic p > 0, the -adic cohomology groups for  any prime number other than p give satisfactory cohomology groups of X, with coefficients in the ring  of -adic integers. It is not possible in general to find similar cohomology groups with coefficients in Q (or Z, or Q, or Z) having reasonable properties.

The classic reason (due to Serre) is that if X is a supersingular elliptic curve, then its endomorphism ring is a maximal order in a quaternion algebra B over Q ramified at p and ∞. If X had a cohomology group over Q of the expected dimension 2, then (the opposite algebra of) B would act on this 2-dimensional space over Q, which is impossible since B is ramified at p.

Grothendieck's crystalline cohomology theory gets around this obstruction because it produces modules over the ring of Witt vectors of the ground field. So if the ground field is an algebraic closure of F, its values are modules over the p-adic completion of the maximal unramified extension of Z, a much larger ring containing nth roots of unity for all n not divisible by p, rather than over Z.

Motivation
One idea for defining a Weil cohomology theory of a variety X over a field k of characteristic p  is to 'lift' it to a variety X* over the ring of Witt vectors of k (that gives back X on reduction mod p), then take the de Rham cohomology of this lift. The problem is that it is not at all obvious that this cohomology is independent of the choice of lifting.

The idea of crystalline cohomology in characteristic 0 is to find a direct definition of a cohomology theory as the cohomology of constant sheaves on a suitable site

Inf(X)

over X, called the infinitesimal site and then show it is the same as the de Rham cohomology of any lift.

The site Inf(X) is a category whose objects can be thought of as some sort of generalization of the conventional open sets of X. In characteristic 0 its objects are infinitesimal thickenings U→T of Zariski open subsets U of X. This means that U is the  closed subscheme of a scheme T defined by a nilpotent sheaf of ideals on T; for example, Spec(k)→ Spec(k[x]/(x2)).

Grothendieck showed that for smooth schemes X over C, the cohomology of the sheaf OX on Inf(X) is the same as the usual (smooth or algebraic) de Rham cohomology.

Crystalline cohomology
In characteristic p the most obvious analogue of the crystalline site defined above in characteristic 0 does not work. The reason is roughly that in order to prove exactness of the de Rham complex, one needs some sort of Poincaré lemma, whose proof in turn uses integration, and integration requires various divided powers, which exist in characteristic 0 but not always in characteristic p. Grothendieck solved this problem by defining objects of the crystalline site of X to be roughly infinitesimal thickenings of Zariski open subsets of X, together with a divided power structure giving the needed divided powers.

We will work over the ring  Wn = W/pnW of Witt vectors of length n over a perfect field k of characteristic p>0. For example, k could be the finite field of order p, and Wn is then the ring Z/pnZ. (More generally one can work over a base scheme S which has a fixed sheaf of ideals I with a divided power structure.) If X is a scheme over k, then the crystalline site of X relative to Wn, denoted Cris(X/Wn), has as its objects pairs
U→T consisting of a closed immersion of a Zariski open subset U of X into some Wn-scheme T 
defined by a sheaf of ideals J, together with a divided power structure on J compatible with the one on Wn.

Crystalline cohomology of a scheme X over k is defined to be the inverse limit

where 

is the cohomology of the crystalline site of X/Wn with values in the sheaf of rings O := OWn.

A key point of the theory is that the crystalline cohomology of a smooth scheme X over k can often be calculated in terms of the algebraic de Rham cohomology of a proper and smooth lifting  of X to a scheme Z over W. There is a canonical isomorphism

of the crystalline cohomology of X with the de Rham cohomology of Z over the formal scheme of W
(an inverse limit of the hypercohomology of the complexes of differential forms).
Conversely the de Rham cohomology of X can be recovered as the reduction mod p of its crystalline cohomology (after taking higher Tors into account).

Crystals

If X is a scheme over S then the sheaf OX/S is defined by 
OX/S(T) = coordinate ring of T, where we write T as an abbreviation for 
an object U → T of Cris(X/S).

A crystal on the site Cris(X/S) is a sheaf F of OX/S modules that is rigid in the following sense:
for any map f between objects T, T′ of Cris(X/S), the natural map from f*F(T) to F(T′) is an isomorphism.
This is similar to the definition of a quasicoherent sheaf of modules in the Zariski topology.

An example of a crystal is the sheaf OX/S.

The term crystal attached to the theory, explained in Grothendieck's letter to Tate (1966), was a metaphor inspired by certain properties of algebraic differential equations. These had played a role in p-adic cohomology theories (precursors of the crystalline theory, introduced in various forms by Dwork, Monsky, Washnitzer, Lubkin and Katz) particularly in Dwork's work. Such differential equations can be formulated easily enough by means of the algebraic Koszul connections, but in the p-adic theory the analogue of analytic continuation is more mysterious (since p-adic discs tend to be disjoint rather than overlap). By decree, a crystal would have the 'rigidity' and the 'propagation' notable in the case of the analytic continuation of complex analytic functions. (Cf. also the rigid analytic spaces introduced by John Tate, in the 1960s, when these matters were actively being debated.)

See also 
Motivic cohomology
De Rham cohomology

References

  (letter to Atiyah, Oct. 14 1963)
.

 
 

Algebraic geometry
Cohomology theories
Homological algebra
대수기하학에서 결정 코호몰로지(結晶cohomology, , )는 양의 표수를 가지는 가환환 위에서 푸앵카레 보조정리를 모방하려 만들어진 코호몰로지 이론이다.

정의

결정 열린 몰입 
스킴 가 주어졌다고 하자. 그렇다면,  속으로의 결정 열린 몰입() 은 다음과 같은 데이터로 구성된다.
 스킴 
 (자리스키) 열린 몰입 
 의 (자리스키) 닫힌 부분 스킴 . 이는 물론 어떤 준연접 -아이디얼 층 를 정의한다.
 는  위의 분할 거듭제곱 구조이다. 즉, 는 분할 거듭제곱 스킴을 이룬다.

결정 위치 
다음이 주어졌다고 하자.
 분할 거듭제곱 스킴 
 스킴  및 스킴 사상 

(작은) 결정 위치(-結晶位置, ) 는 범주로서 다음과 같다.
 의 대상은  속으로의 결정 열린 몰입  가운데, 다음 조건을 만족시키는 것이다.
 와 는 위상 공간으로서 같으며, 오직 구조층만이 다를 수 있다.
 의 사상은 분할 거듭제곱 스킴의 사상  가운데, 밑 분할 거듭제곱 스킴 로의 사상들이 적절히 가환하는 것이다.
이 위에, 통상적인 방법으로 그로텐디크 위상을 주어 위치로 만들 수 있다.

유사하게, 다음과 같은 큰 결정 위치() 를 정의할 수 있다. 이는 작은 범주를 이루지 못한다.
 의 대상은 분할 거듭제곱 스킴 사상  가운데, 다음 조건을 만족시키는 것이다.
 와 는 위상 공간으로서 같으며, 오직 구조층만이 다를 수 있다.
 의 사상은 분할 거듭제곱 스킴의 사상  가운데, 밑 분할 거듭제곱 스킴 로의 사상들이 적절히 가환하는 것이다.
이 위에, 통상적인 방법으로 그로텐디크 위상을 주어 위치로 만들 수 있다.

작은 결정 위치 위의 층의 층 코호몰로지 군

을 결정 코호몰로지라고 한다.

결정 
다음이 주어졌다고 하자.
 스킴 사상 . 이를 통해 결정 위치 를 정의할 수 있다.
 결정 위치  위의 -가군층 
그렇다면,   속의 임의의 두 대상 ,  사이의 사상

에 대하여, 자연스러운 사상

이 존재한다. 만약 이 사상이 항상 의 동형 사상이라면, 를 결정(結晶, )이라고 한다. 이는 에 있는 결정 구조에 가 “자연스럽게 배여 있다”는 것이다.

구조층  자체는  위의 결정을 이룬다.

성질

적분 가능 접속 
다음이 주어졌다고 하자.
 가환환 
 분할 거듭제곱 환 
 환 준동형 
 -가군 
 속의 접속(接續, )이란 다음 조건을 만족시키는 가군 준동형

이다.

여기서 는  위의 분할 거듭제곱 미분 가군이다.

이 경우, 항등식

를 통해 임의의 차수 미분 형식들에 대한 미분

을 정의할 수 있다.

만약 이 연산이 멱영 연산이라면, 즉, 만약

가 사슬 복합체라면, 접속 를  속의 적분 가능 접속(積分可能接續, )이라고 한다.

결정 위의 적분 가능 미분 
결정 위에는 표준적인 적분 가능 미분이 존재하며, 따라서 드람 복합체를 구성할 수 있다.

구체적으로, 다음이 주어졌다고 하자.
 분할 거듭제곱 스킴 
 스킴  및 스킴 사상 
 의 결정 열린 부분 스킴 
  위의 결정 
그렇다면,

로 정의하고, 로 사영을 잡았을 때,

를 생각할 수 있으며, 양 화살표는 가정에 의해서 모두 동형 사상이다.

를 생각하면

로 정의하자. 여기에서 다. 이것은 보통 접속을 정의할 때 쓰는 리 미분 를 모방한 것이다. 그러면 이는

를 만들고, 이는 적분 가능 접속이 된다.

미분은 당연히 다항식에서 해야 하고, 표수는 불편하니 다음을 정의하자. 가 분할 거듭제곱 환이고 가 환 준동형이라면 적당한 를 잡아서 가 전사 준동형이 되도록 하자. 그리고 그 핵을 라고 하면

를 정의할 수 있다. 그렇다면, 여기 위에서 적절한 성질을 가진 적분 가능 접속과 의 (결정 위치에서) 준연접층은 서로 일대일 대응한다.

푸앵카레 보조정리 
다음을 생각하자.
 가환환 
 유한 집합 
 계수의, 개 변수 분할 거듭제곱 다항식환 
  위의 임의의 가군 
그렇다면, 분할 거듭제곱 드람 복합체 의 각 항에 의 텐서곱을 취하여도, 이는 완전열을 이룬다. 즉, 다음과 같은 완전열이 존재한다.

이 완전열의 존재는 일종의 “푸앵카레 보조정리”에 해당하며, 반면 일반 다항식환 의 경우에는 성립하지 않는다 (이기 때문).

보다 일반적으로, 다음을 생각하자.
 가환환 
 분할 거듭제곱 환  및 환 준동형 
  위의 분할 거듭제곱 다항식환 
  위의 가군 
  위의 적분 가능 접속 
그렇다면,  속의 아이디얼

를 생각하자. 여기서 는 양의 차수 항들로 구성된 의 부분 집합이다. 또한,  위에 자명한 분할 거듭제곱 구조 를 부여한다.

그렇다면, -가군 범주의 유도 범주  안에서

이라는 유사 동형 사상이 있다 (즉, 이는 코호몰로지 군 사이의 동형을 정의한다).

결정 코호몰로지와 분할 거듭제곱 드람 코호몰로지의 비교 
이제 다음을 생각하자. 의 결정 위치를 로 표기하자.

그러면 는 하고 유사동형사상이다. 이는 마치 체흐 신경과 비슷한 역할을 한다. 이것과 드람 복합체와의 스펙트럼 열을 계산하면 를 결정 위치에서 준연접층이라고 하고 를 하고 대응되는 p진으로 완벽한 -가군이라고 하면 는 대응되는 적분 가능 접속으로 만들어지는 하고 유사 동형이 된다. 즉, 결정 코호몰로지 군을 계산하는 것이란 곧 드람 복합체를 계산하는 것과 동치이다.

역사 
알렉산더 그로텐디크가 1966년에 도입하였다. 이후 피에르 베르틀로()가 그 이론에 공헌하였다.

응용 
결정 코호몰로지는 대수적 수론에서 중요한 역할을 한다.

어떤 유한체  위의 스킴 가 주어졌을 때, 그냥 결정 코호몰로지 군 를 계산하는 것은 별로 도움이 되지 않는다. 이는 정수론도 그냥 다항식을 쓰는데, 결정 코호몰로지는 위에서 확인한 바에 의하면 만이 진짜 미분을 정의하고 따라서 결정 코호몰로지 군을 계산하는 것도 이것이기 때문이다.

하지만 표수가 커지면 커질수록 는 와 “가까워진다”. 따라서, 비트 벡터를 생각해서

를 생각할 수 있고, 이것을 일 때의 코호몰로지로 에탈 코호몰로지 대신 쓸 수 있다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 

대수기하학
호몰로지 대수학
호몰로지 이론