In the mathematical discipline of general topology, a Polish space is a separable completely metrizable topological space; that is, a space homeomorphic to a complete metric space that has a countable dense subset.  Polish spaces are so named because they were first extensively studied by Polish topologists and logicians—Sierpiński, Kuratowski, Tarski and others.  However, Polish spaces are mostly studied today because they are the primary setting for descriptive set theory, including the study of Borel equivalence relations. Polish spaces are also a convenient setting for more advanced measure theory, in particular in probability theory.

Common examples of Polish spaces are the real line, any separable Banach space, the Cantor space, and the Baire space. Additionally, some spaces that are not complete metric spaces in the usual metric may be Polish; e.g., the open interval  is Polish.

Between any two uncountable Polish spaces, there is a Borel isomorphism; that is, a bijection that preserves the Borel structure.  In particular, every uncountable Polish space has the cardinality of the continuum.

Lusin spaces, Suslin spaces, and Radon spaces are generalizations of Polish spaces.

Properties
 Every Polish space is second countable (by virtue of being separable metrizable).
 (Alexandrov's theorem) If  is Polish then so is any -subset of .
 A subspace  of a Polish space  is Polish if and only if  is the intersection of a sequence of open subsets of . (This is the converse to Alexandrov's theorem.)
 (Cantor–Bendixson theorem) If  is Polish then any closed subset of  can be written as the disjoint union of a perfect set and a countable set. Further, if the Polish space  is uncountable, it can be written as the disjoint union of a perfect set and a countable open set.
 Every Polish space is homeomorphic to a -subset of the Hilbert cube (that is, of , where  is the unit interval and  is the set of natural numbers).

The following spaces are Polish:
 closed subsets of a Polish space,
 open subsets of a Polish space,
 products and disjoint unions of countable families of Polish spaces,
 locally compact spaces that are metrizable and countable at infinity,
 countable intersections of Polish subspaces of a Hausdorff topological space,
 the set of irrational numbers with the topology induced by the standard topology of the real line.

Characterization

There are numerous characterizations that tell when a second-countable topological space is metrizable, such as Urysohn's metrization theorem.  The problem of determining whether a metrizable space is completely metrizable is more difficult. Topological spaces such as the open unit interval (0,1) can be given both complete metrics and incomplete metrics generating their topology.

There is a characterization of complete separable metric spaces in terms of a game known as the strong Choquet game. A separable metric space is completely metrizable if and only if the second player has a winning strategy in this game.

A second characterization follows from Alexandrov's theorem. It states that a separable metric space is completely metrizable if and only if it is a  subset of its completion in the original metric.

Polish metric spaces
Although Polish spaces are metrizable, they are not in and of themselves metric spaces; each Polish space admits many complete metrics giving rise to the same topology, but no one of these is singled out or distinguished. A Polish space with a distinguished complete metric is called a Polish metric space. An alternative approach, equivalent to the one given here, is first to define "Polish metric space" to mean "complete separable metric space", and then to define a "Polish space" as the topological space obtained from a Polish metric space by forgetting the metric.

Generalizations of Polish spaces

Lusin spaces
A Hausdorff topological space is a Lusin space if some stronger topology makes it into a Polish space.

There are many ways to form Lusin spaces. In particular:
Every Polish space is Lusin
A subspace of a Lusin space is Lusin if and only if it is a Borel set. 
Any countable union or intersection of Lusin subspaces of a Hausdorff space is Lusin. 
The product of a countable number of Lusin spaces is Lusin. 
The disjoint union of a countable number of Lusin spaces is Lusin.

Suslin spaces
A Hausdorff topological space is a Suslin space if it is the image of a Polish space under a continuous mapping. So every Lusin space is Suslin.
In a Polish space, a subset is a Suslin space if and only if it is a Suslin set (an image of the Suslin operation).

The following are Suslin spaces:
 closed or open subsets of a Suslin space,
 countable products and disjoint unions of Suslin spaces,
 countable intersections or countable unions of Suslin subspaces of a Hausdorff topological space,
 continuous images of Suslin spaces,
 Borel subsets of a Suslin space.

They have the following properties:
 Every Suslin space is separable.

Radon spaces

A Radon space, named after Johann Radon, is a topological space such that every Borel probability measure on  is inner regular. Since a probability measure is globally finite, and hence a locally finite measure, every probability measure on a Radon space is also a Radon measure. In particular a separable complete metric space  is a Radon space.

Every Suslin space is Radon.

Polish groups

A Polish group is a topological group  that is also a Polish space, in other words homeomorphic to a separable complete metric space. There are several classic results of Banach, Freudenthal and Kuratowski on homomorphisms between Polish groups. Firstly, Banach's argument applies mutatis mutandis to non-Abelian Polish groups: if  and  are separable metric spaces with  Polish, then any Borel homomorphism from  to  is continuous. Secondly, there is a version of the open mapping theorem or the closed graph theorem due to Kuratowski: a continuous injective homomorphism of a Polish subgroup  onto another Polish group  is an open mapping. As a result, it is a remarkable fact about Polish groups that Baire-measurable mappings (i.e., for which the preimage of any open set has the property of Baire) that are homomorphisms between them are automatically continuous. The group of homeomorphisms of the Hilbert cube  is a universal Polish group, in the sense that every Polish group is isomorphic to a closed subgroup of it.

Examples:
All finite dimensional Lie groups with a countable number of components are Polish groups. 
The unitary group of a separable Hilbert space (with the strong operator topology) is a Polish group.
The group of homeomorphisms of a compact metric space is a Polish group.
The product of a countable number of Polish groups is a Polish group.
The group of isometries of a separable complete metric space is a Polish group

See also
 Standard Borel space

References

Further reading
 

 

Descriptive set theory
General topology
Science and technology in Poland
일반위상수학에서 폴란드 공간(Poland空間, )은 지나치게 크지 않으며, 완비 거리 공간과 유사하여 측도론 및 기술적 집합론을 쉽게 전개할 수 있는 위상 공간이다.

정의 
위상 공간 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 위상 공간을 폴란드 공간이라고 한다.
 제2 가산 완비 거리화 가능 공간이다.
 분해 가능 완비 거리화 가능 공간이다.
 의 Gδ 집합과 위상 동형이다. (힐베르트 입방체() 는 실수의 닫힌구간 의 가산 무한 곱공간이다.)
 의 닫힌집합과 위상 동형이다.
마지막 조건에 따라, 힐베르트 입방체 또는 는 일종의 "보편 폴란드 공간"으로 여길 수 있다.

폴란드 군(Poland群, )은 폴란드 공간인 위상군이다. 폴란드 군은 폴란드 공간의 성질을 그대로 이어받기 때문에 위상군으로서 다루기 편하다.

성질

연산에 대한 닫힘 
마주르키에비치 정리(-定理, )에 따르면, 폴란드 공간 의 부분 집합 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
  역시 폴란드 공간이다.
 는 의 Gδ 집합이다.
특히, 모든 열린집합과 모든 닫힌집합은 Gδ 집합이므로, 폴란드 공간의 열린집합 또는 닫힌집합은 폴란드 공간이다.

폴란드 공간들의 모임은 다음 연산들에 대하여 닫혀 있다.
 가산 개의 폴란드 공간들의 곱공간은 폴란드 공간이다.
 가산 개의 폴란드 공간들의 분리합집합은 폴란드 공간이다.

하우스도르프 공간  속의 부분 집합들 이 각각 폴란드 공간을 이룬다면, 그 교집합  역시 폴란드 공간을 이룬다.

위상수학적 성질 
임의의 위상 공간에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.
 국소 콤팩트 폴란드 공간이다.
 제2 가산 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이다.
 콤팩트 거리화 가능 공간이다.
 콤팩트 거리화 가능 공간의 열린집합과 위상 동형이다.
그러나 폴란드 공간이 국소 콤팩트 공간일 필요는 없다.

폴란드 공간은 제2 가산 공간이므로, 칸토어-벤딕손 정리가 성립한다.

베르 공간 은 가산 무한 이산 공간 의 가산 무한 개 곱공간이다. 칸토어 공간 은 크기 2의 이산 공간 의 가산 무한 개 곱공간이다. 이 경우,
 임의의 폴란드 공간 에 대하여, 만약 이라면, 연속 전사 함수 가 존재한다.
 임의의 폴란드 공간 에 대하여, 의 어떤 닫힌집합 로 가는 연속 전단사 함수 가 존재한다. (그러나 이는 위상 동형 사상이 아닐 수 있다.)
 임의의 폴란드 공간 에 대하여, 만약 가 비가산 집합이라면, 는 과 위상 동형인 부분 집합 을 갖는다.

폴란드 공간 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 고립점을 갖지 않으며 공집합이 아니다.
 연속 전사 함수 가 존재한다.

집합론적 성질 
임의의 폴란드 공간의 크기는 다음 가운데 하나이다.

다시 말해, 모든 폴란드 공간의 크기는  이하이며, 또한 (연속체 가설과 독립적으로) 인 폴란드 공간 는 존재하지 않는다.

측도론적 성질 
폴란드 공간에 보렐 시그마 대수를 부여하면, 이는 가측 공간을 이룬다. 이와 같이, 폴란드 공간과 (가측 공간으로서) 동형인 가측 공간을 표준 보렐 공간(標準Borel空間, )이라고 한다.

두 표준 보렐 공간 , 에 대하여, 다음 두 명제가 서로 동치이다.
 와 는 서로 동형이다. 즉, 와  사이에 전단사 함수 가 존재하며, 이는 와 의 보렐 시그마 대수 사이의 동형 을 유도한다.
 이다. 즉, 와 의 크기가 같다.

모든 표준 보렐 공간은 다음 가측 공간 가운데 정확히 하나와 동형이다. (가측 공간으로서의 동형은 위상 동형보다 더 약하다.)
 보렐 시그마 대수를 갖춘 실수선 
 이산 시그마 대수를 갖춘 자연수 집합 
 이산 시그마 대수를 갖춘, 크기가 인 유한 집합  ()

예 
이산 공간에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이다.
 가산 집합이다.
 제2 가산 공간이다.
 폴란드 공간이다.
(이는 비가산 이산 공간은 제2 가산 공간이 아니므로 폴란드 공간이 아니기 때문이다.)

모든 유클리드 공간 은 폴란드 공간이다. 보다 일반적으로, 모든 분해 가능 바나흐 공간은 폴란드 공간이다.

힐베르트 입방체() 는 실수의 닫힌구간 의 가산 무한 곱공간이며, 이는 폴란드 공간이다.

베르 공간 은 가산 무한 이산 공간 의 가산 무한 개 곱공간이다. 이는 무리수의 위상 공간 과 위상 동형이다.

칸토어 공간 은 크기 2의 이산 공간 의 가산 무한 개 곱공간이다.

역사 
바츠와프 시에르핀스키 · 카지미에시 쿠라토프스키 · 알프레트 타르스키 등이 도입하고 연구하였다. 이들이 모두 폴란드의 위상수학자·논리학자였기 때문에 ‘폴란드 공간’이라는 이름이 붙었다.

마주르키에비치 정리는 스테판 마주르키에비치가 증명하였다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 
 

일반위상수학
집합론
기술적 집합론