In functional analysis and operator theory, a bounded linear operator is a linear transformation  between topological vector spaces (TVSs)  and  that maps bounded subsets of  to bounded subsets of  
If  and  are normed vector spaces (a special type of TVS), then  is bounded if and only if there exists some  such that for all 

The smallest such  is called the operator norm of  and denoted by  
A bounded operator between normed spaces is continuous and vice versa.

The concept of a bounded linear operator has been extended from normed spaces to all topological vector spaces.

Outside of functional analysis, when a function  is called "bounded" then this usually means that its image  is a bounded subset of its codomain. A linear map has this property if and only if it is identically  
Consequently, in functional analysis, when a linear operator is called "bounded" then it is never meant in this abstract sense (of having a bounded image).

In normed vector spaces

Every bounded operator is Lipschitz continuous at

Equivalence of boundedness and continuity

A linear operator between normed spaces is bounded if and only if it is continuous.

In topological vector spaces

A linear operator  between two topological vector spaces (TVSs) is called a  or just  if whenever  is bounded in  then  is bounded in  
A subset of a TVS is called bounded (or more precisely, von Neumann bounded) if every neighborhood of the origin absorbs it. 
In a normed space (and even in a seminormed space), a subset is von Neumann bounded if and only if it is norm bounded. 
Hence, for normed spaces, the notion of a von Neumann bounded set is identical to the usual notion of a norm-bounded subset.

Continuity and boundedness

Every sequentially continuous linear operator between TVS is a bounded operator. 
This implies that every continuous linear operator between metrizable TVS is bounded. 
However, in general, a bounded linear operator between two TVSs need not be continuous.

This formulation allows one to define bounded operators between general topological vector spaces as an operator which takes bounded sets to bounded sets. 
In this context, it is still true that every continuous map is bounded, however the converse fails; a bounded operator need not be continuous. 
This also means that boundedness is no longer equivalent to Lipschitz continuity in this context.

If the domain is a bornological space (for example, a pseudometrizable TVS, a Fréchet space, a normed space) then a linear operators into any other locally convex spaces is bounded if and only if it is continuous. 
For LF spaces, a weaker converse holds; any bounded linear map from an LF space is sequentially continuous.

If  is a linear operator between two topological vector spaces and if there exists a neighborhood  of the origin in  such that  is a bounded subset of  then  is continuous. 
This fact is often summarized by saying that a linear operator that is bounded on some neighborhood of the origin is necessarily continuous. 
In particular, any linear functional that is bounded on some neighborhood of the origin is continuous (even if its domain is not a normed space).

Bornological spaces

Bornological spaces are exactly those locally convex spaces for which every bounded linear operator into another locally convex space is necessarily continuous. 
That is, a locally convex TVS  is a bornological space if and only if for every locally convex TVS  a linear operator  is continuous if and only if it is bounded.

Every normed space is bornological.

Characterizations of bounded linear operators

Let  be a linear operator between topological vector spaces (not necessarily Hausdorff). 
The following are equivalent:
 is (locally) bounded;
(Definition):  maps bounded subsets of its domain to bounded subsets of its codomain;
 maps bounded subsets of its domain to bounded subsets of its image ;
 maps every null sequence to a bounded sequence;
 A null sequence is by definition a sequence that converges to the origin.
 Thus any linear map that is sequentially continuous at the origin is necessarily a bounded linear map.
 maps every Mackey convergent null sequence to a bounded subset of 
 A sequence  is said to be Mackey convergent to the origin in  if there exists a divergent sequence  of positive real number such that  is a bounded subset of 

if  and  are locally convex then the following may be add to this list:
 maps bounded disks into bounded disks.
 maps bornivorous disks in  into bornivorous disks in 

if  is a bornological space and  is locally convex then the following may be added to this list:
 is sequentially continuous at some (or equivalently, at every) point of its domain.
 A sequentially continuous linear map between two TVSs is always bounded, but the converse requires additional assumptions to hold (such as the domain being bornological and the codomain being locally convex).
 If the domain  is also a sequential space, then  is sequentially continuous if and only if it is continuous.
 is sequentially continuous at the origin.

Examples

Any linear operator between two finite-dimensional normed spaces is bounded, and such an operator may be viewed as multiplication by some fixed matrix.
Any linear operator defined on a finite-dimensional normed space is bounded.
On the sequence space  of eventually zero sequences of real numbers, considered with the  norm, the linear operator to the real numbers which returns the sum of a sequence is bounded, with operator norm 1. If the same space is considered with the  norm, the same operator is not bounded.
Many integral transforms are bounded linear operators. For instance, if 

is a continuous function, then the operator  defined on the space  of continuous functions on  endowed with the uniform norm and with values in the space  with  given by the formula

is bounded. This operator is in fact a compact operator. The compact operators form an important class of bounded operators.
The Laplace operator 

(its domain is a Sobolev space and it takes values in a space of square-integrable functions) is bounded.
The shift operator on the Lp space  of all sequences  of real numbers with  
 
is bounded. Its operator norm is easily seen to be

Unbounded linear operators

Let  be the space of all trigonometric polynomials on  with the norm 

The operator  that maps a polynomial to its derivative is not bounded. Indeed, for  with  we have  while  as  so  is not bounded.

Properties of the space of bounded linear operators

 The space of all bounded linear operators from  to  is denoted by  and is a normed vector space.
 If  is Banach, then so is 
 from which it follows that dual spaces are Banach.
 For any  the kernel of  is a closed linear subspace of 
 If  is Banach and  is nontrivial, then  is Banach.

See also

References

Bibliography

 
 Kreyszig, Erwin: Introductory Functional Analysis with Applications, Wiley, 1989
  
  

Linear operators
Operator theory
Theory of continuous functions
함수해석학에서 유계 작용소(有界作用素, )는 유계 집합을 항상 유계 집합에 대응시키는, 두 위상 벡터 공간 사이의 선형 변환이다. 두 노름 공간 사이의 경우, 유계 작용소의 개념은 연속 선형 변환의 개념과 일치한다.

정의 
위상체  위의 두 위상 벡터 공간 , 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, -선형 변환 에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 선형 변환 를 유계 작용소라고 한다.
 임의의 유계 집합의 상은 유계 집합이다.
즉, 이는 유계형 집합의 사상을 이룬다.

여기서, 위상 벡터 공간 의 부분 집합 이 다음 조건을 만족시킨다면 유계 집합이라고 한다.
 임의의 0의 근방 에 대하여, 인 가 존재한다.

와  사이의 유계 작용소들의 집합은 라고 한다. 이는 자연스럽게 -벡터 공간을 이룬다.

균등 공간 구조 
위상체  위의 두 위상 벡터 공간 , 이 주어졌을 때,
  위에는 모든 유계 집합들로 구성된 덮개 가 존재한다.
  위에는 (덧셈 위상군으로서의) 균등 공간 구조가 존재한다.
이에 따라, 함수 집합  위에 균등 수렴 위상 및 균등 구조를 부여할 수 있으며, 그 부분 집합 에도 자연스럽게 균등 공간 구조 및 위상을 부여할 수 있다. 이에 따라 는 -위상 벡터 공간을 이룬다.

만약 이며 와 가 노름 공간일 경우, 이 위상은 작용소 노름으로 정의된 거리 위상과 같다.

작용소 위상 
유계 작용소의 공간 위에 균등 위상 (또는 균등 위상에 대한 약한 위상) 대신, 다음과 같은 더 엉성한 위상인 강한·약한 작용소 위상을 부여할 수도 있다.

함수 집합 에 곱위상을 부여하면, 이므로 에 부분 공간 위상을 부여할 수 있다. 이를 강한 작용소 위상(強한作用素位相, )이라고 한다.

마찬가지로, 에 약한 위상을 부여한 것을 로 놓고, 함수 집합 에 곱위상을 부여하면, 부분 공간 위상 을 약한 작용소 위상(弱한作用素位相, )이라고 한다.

강한·약한 작용소 위상은 정의에 따라 의 노름이나 위상에 의존하지 않는다.

성질

연속성과의 관계 
위상체  위의 두 위상 벡터 공간 ,  사이의 모든 연속 -선형 변환은 유계 작용소이다.
증명:
연속 -선형 변환 가 주어졌다고 하자. 임의의 유계 집합  및 임의의 의 근방 가 주어졌다고 하자.

그렇다면, 는 의 근방이며, 가 유계 집합이므로 가 되는 스칼라 를 찾을 수 있다. 그렇다면 이다.

따라서 는 유계 집합이다.

만약 이며, 와 가 -노름 공간일 경우, 유계 작용소 · 연속 선형 변환 · 균등 연속 선형 변환 · 립시츠 연속 선형 변환의 개념이 서로 동치이다. (그러나 이는 일반적인 위상 벡터 공간에 대하여 성립하지 않는다.)

작용소 노름 

만약 이며, 와 가 -노름 공간일 경우, 는 작용소 노름을 통해 노름 공간을 이룬다. 만약 가 바나흐 공간이라면,  역시 바나흐 공간을 이룬다.

유계 작용소 공간 위의 위상의 관계 
자명하게 다음과 같은 관계가 성립한다.
{| style="text-align:center"
| 균등 수렴 위상 || ⊃ || 강한 작용소 위상
|-
| ∪ || || ∪
|-
| 균등 수렴 위상의 약한 위상 || || 약한 작용소 위상
|}
여기서 A ⊃ B는 A가 B보다 더 섬세한 위상이라는 뜻이다.

실수체 또는 복소수체 위의 두 노름 공간 사이의 유계 작용소 공간의 경우, 다음이 추가로 성립한다.
{| style="text-align:center"
| 균등 수렴 위상 || ⊃ || 강한 작용소 위상
|-
| ∪ || || ∪
|-
| 균등 수렴 위상의 약한 위상 || ⊃ || 약한 작용소 위상
|}
증명:
두 노름 공간  사이의 작용소열  및 가 주어졌다고 하자. 만약 가 로 약한 바나흐 위상에서 수렴할 경우, 약한 작용소 위상에서 수렴함을 보이면 족하다.

약한 바나흐 위상에서의 수렴은 다음과 같다.

약한 작용소 위상에서의 수렴은 다음과 같다.

즉, 임의의 에 대하여,

를 정의하면, 인 것을, 즉 (의 작용소 노름 위상에 대하여) 유계 작용소인 것을 증명하면 족하다. 그런데 이는

이므로

이다.

예 
두 유한 차원 노름 공간 사이의 모든 선형 변환은 유계 작용소이다.

르베그 실수열 공간  위의 연산자

는 노름이 1인 유계 작용소이다.

라플라스 연산자

는 유계 작용소이다. 여기서 는 하디 공간이며, 는 Lp 공간의 하나이다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 
 
 

함수해석학
연속 함수