Let $z = x + yi$, where $x$ and $y$ are real. Then
$$|e^z| = |e^{x+yi}| = |e^x \cdot e^{iy}| = |e^x| \cdot |e^{iy}| = e^x \cdot 1 = e^x.$$So $e^z$ is inside the unit circle if $x < 0$, is on the unit circle if $x = 0$, and is outside the unit circle if $x > 0$.

Also, note that $z$ is closer to $-1$ than to $1$ if $x < 0$, is equidistant to $1$ and $-1$ if $x = 0$, and is closer to $1$ than to $-1$ if $x > 0$. So $\frac{z-1}{z+1}$ is outside the unit circle (or undefined) if $x < 0$, is on the unit circle if $x = 0$, and is inside the unit circle if $x > 0$.

Comparing the two previous paragraphs, we see that if $  e^z = \frac{z - 1}{z + 1},$ then $x = 0$.  So $z$ is the purely imaginary number $yi$.

Also, note that $z$ satisfies the original equation if and only if $-z$ does. So at first we will assume that $y$ is positive, and at the end we will double the number of roots to account for negative $y$. (Note that $y \ne 0$, because $z = 0$ is not a root of the original equation.)

Substituting $z = yi$ into the equation $  e^z = \frac{z - 1}{z + 1}$ gives the new equation
$$  e^{iy} = \frac{iy - 1}{iy + 1}.$$By the first two paragraphs, we know that both sides of the equation are always on the unit circle. The only thing we don’t know is when the two sides are at the same point on the unit circle.

Given a nonzero complex number $w$, the angle of $w$ (often called the argument of $w$) is the angle in the interval $[0, 2\pi)$ that the segment from $0$ to $w$ makes with the positive $x$-axis. (In other words, the angle when $w$ is written in polar form.)

Let’s reason about angles. As $y$ increases from $0$ to $\infty$, the angle of $iy -1$ strictly decreases from $\pi$ to $\frac{\pi}{2}$, while the angle of $iy+1$ strictly increases from $0$ to $\frac{\pi}{2}$. So the angle of $\frac{iy - 1}{iy + 1}$ strictly decreases from $\pi$ to $0$.

Let $n$ be a nonnegative integer. We will consider $y$ in the interval from $2n\pi$ to $(2n + 2)\pi$.  As $y$ increases from $2n\pi$ to $(2n + 1)\pi$, the angle of $e^{iy}$ strictly increases from $0$ to $\pi$.  As $y$ increases from $(2n+ 1)\pi$ to just under $(2n+ 2)\pi$, the angle of $e^{iy}$ strictly increases from $\pi$ to just under $2\pi$.

Comparing the angle information for  $\frac{iy - 1}{iy + 1}$ and $e^{iy}$ above, we see that $\frac{iy - 1}{iy + 1}$ and $e^{iy}$ are equal for exactly one $y$ in $(2n\pi,(2n + 1)\pi)$, and for no $y$ in $[(2n + 1)\pi,(2n + 2)\pi]$. So we have exactly one root of $y$ in each of $(0, \pi)$, $(2\pi, 3\pi), (4\pi, 5\pi), (6\pi, 7\pi)$, and $(8\pi, 9\pi)$. That gives $5$ positive roots for $y$. We don’t have to go further because $9\pi < 30 < 10\pi$.

Because we have $5$ positive roots for $y$, by symmetry we have $5$ negative roots for $y$. Altogether, the total number of roots is $10$.
z = x + yi$라고 가정하고, 여기서 $x$와 $y$는 실수입니다. 그러면
$$|e^z| = |e^{x+yi}| = |e^x \cdot e^{iy}| = |e^x| \cdot |e^{iy}| = e^x \cdot 1 = e^x.$$따라서 $x < 0$이면 단위 원 안에, $x = 0$이면 단위 원 위에, $x > 0$이면 단위 원 바깥에 $e^z$가 있습니다.

또한 $x < 0$이면 $z$는 $1$보다 $-1$에 가깝고, $x = 0$이면 $1$과 $-1$의 등거리이며, $x > 0$이면 $1$보다 $-1$에 가깝다는 점에 유의하십시오. 따라서 $\frac{z-1}{z+1}$은 $x < 0$이면 단위 원 외부(또는 정의되지 않음)에 있고, $x = 0$이면 단위 원에 있으며, $x > 0$이면 단위 원 내부에 있습니다.

앞의 두 단락을 비교해보면, $e^z = \frac{z - 1}{z + 1}$이면 $x = 0$이라는 것을 알 수 있습니다. 따라서 $z$는 순전히 허수인 $yi$입니다.

또한 $z$는 $-z$가 만족하는 경우에만 원래 방정식을 만족한다는 점에 유의하세요. 따라서 처음에는 $y$가 양수라고 가정하고 마지막에는 음수 $y$를 설명하기 위해 근의 수를 두 배로 늘릴 것입니다. ($z = 0$은 원래 방정식의 근이 아니므로 $y \ne 0$에 유의하세요.)

e^z = \frac{z - 1}{z + 1}$ 방정식에 $z = yi$를 대입하면 새로운 방정식이 나옵니다.
e^{iy} = \frac{iy - 1}{iy + 1}.$$앞의 두 단락을 통해 방정식의 양변이 항상 단위 원에 있다는 것을 알 수 있습니다. 우리가 모르는 유일한 것은 두 변이 단위 원의 같은 지점에 있을 때입니다.

0이 아닌 복소수 $w$가 주어졌을 때, $w$의 각도(흔히 $w$의 인수라고도 함)는 $0$에서 $w$까지의 선분이 양의 $x$축과 이루는 구간 $[0, 2\pi)$의 각도를 말합니다. (즉, $w$를 극좌표 형식으로 쓸 때의 각도입니다.)

각도에 대해 추론해 봅시다. y$가 $0$에서 $\infty$로 증가함에 따라 $iy -1$의 각도는 $\pi$에서 $\frac{\pi}{2}$로 엄격하게 감소하는 반면, $iy+1$의 각도는 $0$에서 $\frac{\pi}{2}$로 엄격하게 증가합니다. 따라서 $\frac{iy - 1}{iy + 1}$의 각은 $\pi$에서 $0$로 엄격하게 감소합니다.

n$은 음이 아닌 정수라고 가정합니다. 2n\pi$에서 $(2n + 2)\pi$까지의 구간에서 $y$를 고려하겠습니다. y$가 $2n\pi$에서 $(2n + 1)\pi$로 증가함에 따라 $e^{iy}$의 각은 $0$에서 $\pi$로 엄격하게 증가합니다.  y$가 $(2n+ 1)\pi$에서 $(2n+ 2)\pi$ 바로 밑으로 증가함에 따라, $e^{iy}$의 각은 $\pi$에서 $2\pi$ 바로 밑으로 엄격하게 증가합니다.

위의 $\frac{iy - 1}{iy + 1}$와 $e^{iy}$의 각도 정보를 비교하면, $\frac{iy - 1}{iy + 1}$와 $e^{iy}$는 $(2n\pi,(2n + 1)\pi)$에서 정확히 하나의 $y$에 대해 같고, $[(2n + 1)\pi,(2n + 2)\pi]$에서 $y$가 없는 경우 같다는 것을 알 수 있습니다. 따라서 $(0, \pi)$, $(2\pi, 3\pi), (4\pi, 5\pi), (6\pi, 7\pi)$ 및 $(8\pi, 9\pi)$ 각각에 $y$의 근이 정확히 하나씩 있습니다. 그러면 $y$에 대해 $5$ 양의 근이 생깁니다. 9\pi < 30 < 10\pi$이므로 더 나아갈 필요는 없습니다.

y$에 대해 $5$ 양의 근을 가지므로 대칭에 의해 $y$에 대해 $5$ 음의 근을 가지게 됩니다. 총 근의 수는 $10$입니다.