As shown in Fig. 5.13, the radiation emitted by the charge at $Q^{\prime}$ at time $t^{\prime}$ arrives at $P$ at time $t$ when the charge is at Q. As the radiation propagates at the speed $c / n$ and the particle has speed $v$ where $v>c / n$, we have

$$
\mathrm{Q}^{\prime} \mathrm{P}=\frac{c}{n}\left(t-t^{\prime}\right), \quad \mathrm{Q}^{\prime} \mathrm{Q}=v\left(t-t^{\prime}\right),
$$

or

$$
\frac{\mathrm{Q}^{\prime} \mathrm{P}}{\mathrm{Q}^{\prime} \mathrm{Q}}=\cos \theta=\frac{c}{v n}=\frac{1}{\beta n},
$$

where $\beta=\frac{v}{c}$. At all the points intermediate between $Q^{\prime}$ and $Q$ the radiation emitted will arrive at the line QP at time $t$. Hence QP forms the wavefront of all radiation emitted prior to $t$.

Fig. $5.13$

As $|\cos \theta| \leq 1$, we require $\beta \geq \frac{1}{n}$ for emission of Čerenkov radiation. Hence we require

$$
\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^{2}}} \geq\left(1-\frac{1}{n^{2}}\right)^{-\frac{1}{2}}=\frac{n}{\sqrt{n^{2}-1}} .
$$

Thus the particle must have a kinetic energy greater than

$$
\begin{aligned}
T &=(\gamma-1) m_{0} c^{2} \\
&=\left[\frac{n}{\sqrt{(n+1)(n-1)}}-1\right] m_{0} c^{2} \\
& \approx\left(\frac{1}{\sqrt{2 \times 1.35 \times 10^{-4}}}-1\right) \times 0.5 \\
& \approx 29.93 \mathrm{MeV} .
\end{aligned}
$$For a relativistic particle of momentum $P \gg m_{0} c$,

$$
\gamma=\frac{E}{m_{0} c^{2}}=\frac{\sqrt{P^{2} c^{2}+m_{0}^{2} c^{4}}}{m_{0} c^{2}} \approx \frac{P}{m_{0} c} .
$$

With $P$ fixed we have

$$
d \gamma=-\frac{P}{c} \cdot \frac{d m_{0}}{m_{0}^{2}} .
$$

Now $\beta=\frac{\gamma \beta}{\gamma}=\sqrt{\frac{\gamma^{2}-1}{\gamma^{2}}}=\sqrt{1-\frac{1}{\gamma^{2}}} \approx 1-\frac{1}{2 \gamma^{2}}$ for $\gamma \gg 1$, so that

$$
d \beta=\frac{d \gamma}{\gamma^{3}} .
$$

For the Čerenkov radiation emitted by the particle, we have

$$
\cos \theta=\frac{1}{\beta n},
$$

or

$$
d \beta=n \beta^{2} \sin \theta d \theta .
$$

Combining the above we have

$$
\left|\frac{d m_{0}}{m_{0}}\right|=\frac{m_{0} c}{P} d \gamma \approx \frac{d \gamma}{\gamma}=\gamma^{2} \beta=n \beta^{2} \gamma^{2} \sin \theta d \theta=\beta \gamma^{2} \tan \theta d \theta .
$$

With $\gamma=\frac{P c}{m_{0} c^{2}}=\frac{100}{1}=100, n=1+1.35 \times 10^{-4}$, we have

$$
\beta \approx 1-\frac{1}{2 \times 10^{4}}=1-5 \times 10^{-5},
$$

$\cos \theta=\frac{1}{\beta n}=\left(1-5 \times 10^{-5}\right)^{-1}\left(1+1.35 \times 10^{-4}\right)^{-1} \approx 1-8.5 \times 10^{-5}$, 

$$
\begin{aligned}
\tan \theta=\sqrt{\frac{1}{\cos ^{2} \theta}-1} &=\sqrt{\left(1-8.5 \times 10^{-5}\right)^{-2}-1} \\
& \approx \sqrt{1.7 \times 10^{-4}} \approx 1.3 \times 10^{-2},
\end{aligned}
$$

and hence

$$
\left|\frac{d m_{0}}{m_{0}}\right|=\left(1-5 \times 10^{-5}\right) \times 10^{4} \times 1.3 \times 10^{-2} \times 10^{-3}=0.13
$$
그림 5.13에서 볼 수 있듯이, 전하가 $t^{\프라임}$에서 $Q^{\프라임}$에 있을 때 전하에 의해 방출된 복사는 전하가 Q에 있을 때 시간 $t$에서 $P$에 도달합니다. 복사가 $c/n$의 속도로 전파되고 입자가 $v>c/n$의 속도를 가지므로, 우리는 다음과 같이 계산할 수 있습니다.

$$
\mathrm{Q}^{\prime} \mathrm{P}=\frac{c}{n}\left(t-t^{\prime}\right), \quad \mathrm{Q}^{\prime} \mathrm{Q}=v\left(t-t^{\prime}\right),
$$

또는

$$
\frac{\mathrm{Q}^{\prime} \mathrm{P}}{\mathrm{Q}^{\prime} \mathrm{Q}}=\cos \theta=\frac{c}{v n}=\frac{1}{\beta n}입니다,
$$

여기서 $\beta=\frac{v}{c}$. Q^{\프라임}$과 $Q$ 사이의 모든 중간 지점에서 방출된 복사는 시간 $t$에 선 QP에 도달합니다. 따라서 QP는 $t$ 이전에 방출된 모든 복사의 파면을 형성합니다.

그림 5.13$

그림 5.13$은 $|\cos \theta| \leq 1$이므로 체렌코프 복사 방출을 위해서는 $\베타 \geq \frac{1}{n}$이 필요합니다. 따라서 다음이 필요합니다.

$$
\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^{2}}} \geq\left(1-\frac{1}{n^{2}}\right)^{-\frac{1}{2}}=\frac{n}{\sqrt{n^{2}-1}} .
$$

따라서 입자는 다음보다 큰 운동 에너지를 가져야 합니다.

$$
\begin{aligned}
T &=(\감마-1) m_{0} c^{2} \\
&=\left[\frac{n}{\sqrt{(n+1)(n-1)}}-1\right] m_{0} c^{2} \\
& \approx\left(\frac{1}{\sqrt{2 \times 1.35 \times 10^{-4}}}-1\right) \times 0.5 \\
& \약 29.93 \mathrm{MeV} .
\end{aligned}
$$운동량 $P \gg m_{0} c$의 상대론적 입자의 경우,

$$
\감마=\frac{E}{m_{0} c^{2}}=\frac{\sqrt{P^{2} c^{2}+m_{0}^{2} c^{4}}}{m_{0} c^{2}} \약 \frac{P}{m_{0} c} .
$$

P$를 고정하면 다음과 같습니다.

$$
d \감마=-\frac{P}{c} \cdot \frac{d m_{0}}{m_{0}^{2}} .
$$

Now $\beta=\frac{\gamma \beta}{\gamma}=\sqrt{\frac{\gamma^{2}-1}{\gamma^{2}}}=\sqrt{1-\frac{1}{\gamma^{2}}} \감마 \gg 1$에 대해 약 1-\frac{1}{2 \감마^{2}}$이므로, 다음과 같습니다.

$$
d \베타=\frac{d \감마}{\감마^{3}} .
$$

입자가 방출하는 체렌코프 방사선의 경우, 다음과 같습니다.

$$
\cos \theta=\frac{1}{\베타 n},
$$

또는

$$
d \베타=n \베타^{2} \sin \세타 d \세타 .
$$

위의 내용을 결합하면 다음과 같습니다.

$$
\왼쪽|\frac{d m_{0}}{m_{0}}\오른쪽|=\frac{m_{0} c}{P} d \감마 \약 \frac{d \감마}{\감마}=\gamma^{2} \베타=n \베타^{2} \감마^{2} \sin \theta d \theta=\베타 \감마^{2} \탄 \세타 d \세타 .
$$

감마=\frac{P c}{m_{0} c^{2}}=\frac{100}{1}=100, n=1+1.35 \times 10^{-4}$를 사용하면 다음과 같습니다.

$$
\약 1-\frac{1}{2 \times 10^{4}}=1-5 \times 10^{-5},
$$

cos \theta=\frac{1}{\베타 n}=\left(1-5 \배 10^{-5}\right)^{-1}\left(1+1.35 \배 10^{-4}\right)^{-1} \approx 1-8.5 \배 10^{-5}$,

$$
\begin{aligned}
\tan \theta=\sqrt{\frac{1}{\cos ^{2} \theta}-1} &=\sqrt{\left(1-8.5 \times 10^{-5}\right)^{-2}-1} \\
& \approx \sqrt{1.7 \times 10^{-4}} \약 1.3 \times 10^{-2},
\end{aligned}
$$

따라서

$$
\왼쪽|\frac{d m_{0}}{m_{0}}\right|=\left(1-5 \times 10^{-5}\right) \times 10^{4} \1.3 \times 10^{-2} \times 10^{-3}=0.13
$$