Let's break this up into cases. Ok. First, let's look at the number of words that are exactly 4 letters long. Right. So, one of the letters must be an A. There are 4 choices for that. After we pick where the A is going to go, we have to pick what the other 3 letters are going to be. For each of those 3 letters, we have 20 choices. Right. Now let's move on to words that are exactly 3 letters long. Ok. We already know that one of the letters has to be A. After we pick the A, we have to pick the other two letters For each of those two letters, we have 20 choices Let's move onto words that are exactly 2 letters long. Again, we already know that one of the letters is A. So we just have to pick one other letter. Right. There are 20 choices for that. So, there are $2(20)$ words that are exactly 2 letters long and contain the letter A. What about words that are exactly 1 letter long? Those are just the A's. There is only 1 one-letter long word that contains the letter A. Ok. So in total, there are $4(20^3) + 3(20^2) + 2(20) + 1$ words that contain the letter A. Let's simplify that. $4(20^3)$ is $4(8000)$, which is $32000$. Right. And $3(20^2)$ is $3(400)$, which is 1200. So the expression simplifies to $32000 + 1200 + 40 + 1$ Ok. Let's look at words that are 4 letters long. In order for a 4-letter word not to contain the letter A, none of the letters can be A. Right. So there are 19 choices for each letter. Right. So the number of 4-letter words that do not contain the letter A is $19^4$ Ok. There are $20^4$ total 4-letter words. So the number of 4-letter words that contain the letter A is $20^4 - 19^4$ Now let's move on to 3-letter words. In order to not contain the letter A, all 3 letters must be chosen from the 19 letters that are not A. So there are $19^3$ 3-letter words that do not contain the letter A And thus there are $20^3 - 19^3$ 3-letter words that contain the letter A. Right. Now let's move to 2-letter words. In order to not contain the letter A, both letters must be chosen from the 19 letters that are not A. So there are $19^2$ 2-letter words that do not contain the letter A. Therefore, there are $20^2 -19^2$ 2-letter words that contain the letter A. And finally, there is only 1 one-letter word that contains the letter A. So we can add up all those cases to get the total number of words that contain the letter A. Right. So $20^4 - 19^4 + 20^3 - 19^3 + 20^2 - 19^2 + 1$ is the total number of words that contain the letter A. Ok. Let's simplify that. $20^4$ is $160000$ and $19^4$ is $130321$. So $20^4 - 19^4$ is $160000 - 130321$ which is $29679$. Ok. Now let's look at the next term, $20^3 - 19^3$. $20^3$ is $8000$ and $19^3$ is $6859$. So $20^3 - 19^3$ is $8000 - 6859$ which is $1141$. Let's keep going. $20^2 - 19^2$ is $400 - 361$ which is $39$. So the expression simplifies to $29679 + 1141 + 39 + 1$ And if we add all those terms we get $30860$ So there are $30860$ words that contain the letter A Ok. That's our final answer.


이를 사례별로 나누어 보겠습니다. 좋아요. 먼저 정확히 4글자 길이인 단어의 개수를 살펴봅시다. 맞습니다. 따라서 글자 중 하나는 A여야 합니다. 4개의 선택지가 있습니다. A가 어디로 갈지 고른 후에는 나머지 세 글자가 무엇일지 선택해야 합니다. 이 세 글자 각각에 대해 20개의 선택지가 있습니다. 그렇군요. 이제 정확히 3글자 길이의 단어로 넘어가 보겠습니다. 좋아요. 문자 중 하나가 A여야 한다는 것을 이미 알고 있습니다. A를 고른 후에는 나머지 두 글자를 골라야 합니다. 두 글자 각각에 대해 20개의 선택지가 있습니다. 이제 정확히 2글자 길이의 단어로 넘어가 보겠습니다. 다시 말하지만, 우리는 이미 글자 중 하나가 A라는 것을 알고 있으므로 다른 글자 하나를 선택하기만 하면 됩니다. 맞습니다. 20개의 선택지가 있습니다. 따라서 정확히 2글자 길이에 문자 A가 포함된 2(20)$ 단어가 있습니다. 정확히 1글자 길이의 단어는 어떻게 될까요? 그것들은 그냥 A입니다. 문자 A를 포함하는 한 글자 길이의 단어는 단 하나뿐입니다. 따라서 문자 A를 포함하는 단어는 총 $4(20^3) + 3(20^2) + 2(20) + 1$ 이므로 단순화해 보겠습니다. 4(20^3)$는 $4(8000)$이므로 $32000$입니다. 맞습니다. 그리고 $3(20^2)$는 $3(400)$, 즉 1200입니다. 따라서 식은 $32000 + 1200 + 40 + 1$로 단순화됩니다. 이제 4글자로 된 단어를 살펴봅시다. 4글자 단어에 문자 A가 포함되지 않으려면 어떤 글자도 A가 될 수 없습니다. 따라서 각 글자에 대해 19개의 선택지가 있습니다. 맞아요. 따라서 문자 A를 포함하지 않는 4글자 단어의 수는 $19^4$ 입니다. 총 $20^4$ 개의 4글자 단어가 있습니다. 따라서 문자 A를 포함하는 4글자 단어의 수는 $20^4 - 19^4$입니다. 이제 3글자 단어로 넘어가 보겠습니다. 문자 A를 포함하지 않으려면 A가 아닌 19개의 글자 중에서 3개의 글자를 모두 선택해야 합니다. 따라서 문자 A를 포함하지 않는 3글자 단어는 $19^3$ 개입니다. 따라서 문자 A를 포함하는 3글자 단어는 $20^3 - 19^3$ 개입니다. 이제 2 글자 단어로 이동하겠습니다. 문자 A를 포함하지 않으려면 A가 아닌 19개의 글자 중에서 두 글자를 모두 선택해야 합니다. 따라서 문자 A를 포함하지 않는 2글자 단어는 $19^2$ 개입니다. 따라서 문자 A를 포함하는 2글자 단어는 $20^2 -19^2$ 개입니다. 마지막으로 문자 A를 포함하는 1글자 단어는 1개뿐이므로 모든 경우를 더하여 문자 A를 포함하는 단어의 총 수를 구할 수 있습니다. 따라서 $20^4 - 19^4 + 20^3 - 19^3 + 20^2 - 19^2 + 1$은 문자 A를 포함하는 단어의 총 개수입니다. 더 단순화해 봅시다. 20^4$는 $160000$이고 $19^4$는 $130321$입니다. 따라서 $20^4 - 19^4$는 $160000 - 130321$로 $29679$입니다. 좋습니다. 이제 다음 항인 $20^3 - 19^3$을 살펴봅시다. 20^3$은 $8000$이고 $19^3$은 $6859$입니다. 따라서 $20^3 - 19^3$은 $8000 - 6859$로 $1141$입니다. 계속 진행하겠습니다. 20^2 - 19^2$ 는 $400 - 361$ 로 $39$ 입니다. 따라서 식은 $29679 + 1141 + 39 + 1$로 단순화됩니다. 그리고 이 모든 항을 더하면 $30860$이 됩니다. 따라서 문자 A가 포함된 단어는 $30860$이 됩니다. 이것이 최종 정답입니다.

