In mathematics, Lie algebra cohomology is a cohomology theory for Lie algebras. It was first introduced in 1929 by Élie Cartan to study the topology of Lie groups and homogeneous spaces by relating cohomological methods of Georges de Rham to properties of the Lie algebra. It was later extended by  to coefficients in an arbitrary Lie module.

Motivation
If  is a compact simply connected Lie group, then it is determined by its Lie algebra, so it should be possible to calculate its cohomology from the Lie algebra. This can be done as follows. Its cohomology is the de Rham cohomology of the complex of differential forms on . Using an averaging process, this complex can be replaced by the complex of left-invariant differential forms. The left-invariant forms, meanwhile, are determined by their values at the identity, so that the space of left-invariant differential forms can be identified with the exterior algebra of the Lie algebra, with a suitable differential.

The construction of this differential on an exterior algebra makes sense for any Lie algebra, so it is used to define Lie algebra cohomology for all Lie algebras. More generally one uses a similar construction to define Lie algebra cohomology with coefficients in a module.

If  is a simply connected noncompact Lie group, the Lie algebra cohomology of the associated Lie algebra  does not necessarily reproduce the de Rham cohomology of . The reason for this is that the passage from the complex of all differential forms to the complex of left-invariant differential forms uses an averaging process that only makes sense for compact groups.

Definition
Let  be a Lie algebra over a commutative ring R with universal enveloping algebra , and let M be a representation of  (equivalently, a -module). Considering R as a trivial representation of , one defines the cohomology groups

(see Ext functor for the definition of Ext). Equivalently, these are the right derived functors of the left exact invariant submodule functor

Analogously, one can define Lie algebra homology as

(see Tor functor for the definition of Tor), which is equivalent to the left derived functors of the right exact coinvariants functor

Some important basic results about the cohomology of Lie algebras include Whitehead's lemmas, Weyl's theorem, and the Levi decomposition theorem.

Chevalley–Eilenberg complex

Let  be a Lie algebra over a field , with a left action on the -module . The elements of the Chevalley–Eilenberg complex
 
are called cochains from  to . A homogeneous -cochain from  to  is thus an alternating -multilinear function . When  is finitely generated as vector space, the Chevalley–Eilenberg complex is canonically isomorphic to the tensor product , where denotes the dual vector space of .

The Lie bracket  on  induces a transpose application  by duality. The latter is sufficient to define a derivation  of the complex of cochains from  to  by extending according to the graded Leibniz rule. It follows from the Jacobi identity that  satisfies  and is in fact a differential. In this setting,  is viewed as a trivial -module while  may be thought of as constants.

In general, let  denote the left action of   on  and regard it as an application . The Chevalley–Eilenberg differential  is then the unique derivation extending  and  according to the graded Leibniz rule, the nilpotency condition  following from the Lie algebra homomorphism from  to  and the Jacobi identity in .

Explicitly, the differential of the -cochain  is the -cochain  given by:

where the caret signifies omitting that argument.

When  is a real Lie group with Lie algebra , the Chevalley–Eilenberg complex may also be canonically identified with the space of left-invariant forms with values in , denoted by . The Chevalley–Eilenberg differential may then be thought of as a restriction of the covariant derivative on the trivial fiber bundle , equipped with the equivariant connection  associated with the left action  of  on . In the particular case where  is equipped with the trivial action of , the Chevalley–Eilenberg differential coincides with the restriction of the de Rham differential on  to the subspace of left-invariant differential forms.

Cohomology in small dimensions
The zeroth cohomology group is (by definition) the invariants of the Lie algebra acting on the module:

The first cohomology group is the space  of derivations  modulo the space  of inner derivations
,
where a derivation is a map  from the Lie algebra to  such that

and is called inner if it is given by 

for some  in .

The second cohomology group 

is the space of equivalence classes of Lie algebra extensions

of the Lie algebra by the module .

Similarly, any element of the cohomology group  gives an equivalence class of ways to extend the Lie algebra  to a "Lie -algebra" with  in grade zero and  in grade .  A Lie -algebra is a homotopy Lie algebra with nonzero terms only in degrees 0 through .

Examples

Cohomology on the trivial module 
When , as mentioned earlier the Chevalley–Eilenberg complex coincides with the de-Rham complex for a corresponding compact Lie group. In this case  carries the trivial action of , so  for every .

 The zeroth cohomology group is .
 First cohomology: given a derivation ,  for all  and , so derivations satisfy  for all commutators, so the ideal  is contained in the kernel of . 
If , as is the case for simple Lie algebras, then , so the space of derivations is trivial, so the first cohomology is trivial. 
If  is abelian, that is, , then any linear functional  is in fact a derivation, and the set of inner derivations is trivial as they satisfy  for any . Then the first cohomology group in this case is . In light of the de-Rham correspondence, this shows the importance of the compact assumption, as this is the first cohomology group of the -torus viewed as an abelian group, and  can also be viewed as an abelian group of dimension , but  has trivial cohomology.
 Second cohomology: The second cohomology group is the space of equivalence classes of central extensions

Finite dimensional, simple Lie algebras only have trivial central extensions: a proof is provided here.

Cohomology on the adjoint module 
When , the action is the adjoint action, .

 The zeroth cohomology group is the center 
 First cohomology: the inner derivations are given by , so they are precisely the image of  The first cohomology group is the space of outer derivations.

See also
 BRST formalism in theoretical physics.
 Gelfand–Fuks cohomology

References

Cohomology theories
Homological algebra
Lie algebras
리 군론에서 리 대수 코호몰로지(Lie代數cohomology, )는 리 대수 위에 정의되는 코호몰로지 이론이다. Ext 함자의 특수한 경우이다.

정의 
가환환  위의 리 대수  의 보편 포락 대수가 라고 하고, 이 의 표현(즉,  위의 가군)이라고 하자.

를 의 자명한 표현이라고 여기면, 리 대수 코호몰로지는 다음과 같은 Ext 함자이다.

즉, 왼쪽 완전 함자인 불변 부분 가군 함자

의 오른쪽 유도 함자이다.

마찬가지로, 리 대수 호몰로지()는 다음과 같은 Tor 함자이다.

즉, 오른쪽 완전 함자인 쌍대 불변 몫가군 함자

의 왼쪽 유도 함자이다.

성질 
연결 콤팩트 리 군 에 대하여, 그 드람 코호몰로지는 그 리 대수 의 리 대수 코호몰로지와 (등급 가환 대수로서) 일치한다.

(같은 리 대수에 여러 개의 연결 리 군이 대응할 수 있는데, 이는 꼬임 부분군을 포함하지 않는 실수 계수인 드람 코호몰로지로 구별할 수 없다.)

슈발레-에일렌베르크 복합체 
체  위의 리 대수 코호몰로지는 슈발레-에일렌베르크 복합체(Chevalley-Eilenberg複合體, )라는 공사슬 복합체로 계산할 수 있다.

구체적으로, 차 슈발레-에일렌베르크 공사슬()은 -선형 변환

이며, 그 공경계는 다음과 같다.

여기서 는 해당 항을 생략하라는 뜻이다.

만약 가 콤팩트 단일 연결 리 군 의 리 대수인 경우, 슈발레-에일렌베르크 복합체는  위의  계수 -불변 미분 형식의 드람 복합체와 동형이다.

낮은 차원의 리 대수 코호몰로지

0차 코호몰로지 
정의에 따라, 0차 리 대수 코호몰로지는 리 대수의 작용에 대하여 불변인 가군 원소들로 구성된 부분 가군이다.

1차 코호몰로지 
리 대수의 미분()은 다음 조건을 만족시키는 -가군 준동형이다.

미분들은 -가군을 이루며, 이를 이라고 쓰자.

임의의 가군 원소 에 대하여, 는 미분을 이룬다. 이렇게 나타낼 수 있는 미분을 내부 미분()이라고 한다. 내부 미분들 역시 -가군을 이루며, 이를 이라고 쓰자.

그렇다면, 1차 리 대수 코호몰로지는 미분 가군의 내부 미분 가군에 대한 몫가군이다.

2차 코호몰로지 
2차 리 대수 코호몰로지 군 은 리 대수의 확대

의 동치류들의 아벨 군과 동형이다. (여기서 은 아벨 리 대수로 간주한다.)

예

아벨 리 대수 
체  위의 아벨 리 대수 와 그 자명한 표현 를 생각하자. 이 경우, 슈발레-에일렌베르크 복합체의 공경계는 항상 0이다. (첫 항은 가군 작용이 들어가며, 둘째 항은 리 괄호가 들어간다.) 따라서, 리 대수 코호몰로지는 슈발레-에일렌베르크 공사슬 공간과 같다.

특히, 라고 하자. 그렇다면

이며, 가 유한 차원일 경우

이다.

기하학적으로, 라고 하고, 아벨 리 군 을 생각하자. 이는 위상수학적으로 차원 원환면이며, 그 드람 코호몰로지는

이다. 즉, 리 대수 코호몰로지가 콤팩트 리 군의 드람 코호몰로지와 일치하는 것을 알 수 있다. 호지 이론에 따라, 드람 코호몰로지는 (임의의 리만 계량을 주었을 때) 조화 형식의 벡터 공간과 표준적으로 동형이다. 평탄한 리만 계량을 준 원환면 위의 조화 형식은 평행 이동에 대하여 불변인 것이며, 이는 슈발레-에일렌베르크 공사슬과 표준적으로 대응함을 쉽게 알 수 있다.

코쥘 복합체 

가환환  위의 가군  및 가군 준동형 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 을  위의 아벨 리 대수로 여길 수 있으며, 또한  위에

로 정의하여 를 아벨 리 대수 의 표현으로 생각하자. 이 경우,  계수의 의 슈발레-에일렌베르크 복합체는 에 대한 코쥘 공사슬 복합체와 같다. 즉, 코쥘 복합체는 아벨 리 대수의 1차원 표현의 슈발레-에일렌베르크 복합체이다.

2차원 비아벨 리 대수 
체  위의 유일한 2차원 비아벨 리 대수

가 주어졌다고 하자. 이는 가해 리 대수이다. 그렇다면,  계수의 슈발레-에일렌베르크 사슬 복합체는 다음과 같다.

즉,  계수의 리 대수 호몰로지는 다음과 같다.

즉, 호몰로지 베티 수는 각각 , , 이다. 마찬가지로, 슈발레-에일렌베르크 공사슬 복합체는 다음과 같다.

따라서, 코호몰로지의 차원도 , , 이다.

3차원 직교 대수 
3차원 직교군의 리 대수 의 리 대수 코호몰로지를 계산해 보자. 의 기저는 다음과 같다.

따라서,  계수의 슈발레-에일렌베르크 사슬 복합체는 다음과 같다.

따라서, 이 경우

이다. 리 군 은 3차원 초구 와 위상 동형이며, 위 값들은 3차원 초구의 베티 수와 일치한다.

역사 
클로드 슈발레와 사무엘 에일렌베르크가 1948년에 도입하였다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 

리 대수
호몰로지 대수학