Below is a math lecture. Please create a meaning-for-meaning transcript in English. Please write the equations in whatever way will be easiest to read. Thank you

So I have a capacitor with C capacitance and the  resistor with R resistance and an inductor with L inductance. So here are R, L and C are  constants they're independent of time but then I'm interested for example in the  current across the circuit so this is the   current across I(t) is the current across the  circuit which is a function of the time. So   in terms of differential equations t the time  would be the independent variable and this I(t)   for example is a dependent variable I can  also have Q(t) which is the charge across   capacitor on the capacitor and the relation  between the two of them is that I=dQ/dt so   Kirchoffs law says that the total voltage is  zero around the circuit. Which is in a another   way saying the voltage V from the battery  which is a function of t equals the voltage   across the resistor plus the voltage across the  resistor plus the voltage on the capacitor and   now you write each one of them. The voltage  across the resistor by Ohm's law is R I(t),   the one on the capacitor is just 1/C and for  the inductor is L dI/dt which is Faraday's Law. So now I can express for example so I have an  equation involving V I and Q but I is dQ/dt   so I can rewrite everything in terms of Q, for  example. So I can get a differential equation   in Q which will be simply: this would be the  leading term dI/dt so L times dI/dt becomes L   times d^2Q/dt^2 + RdQ/dt +1/C Q = V, so that  is a second order differential equation that   appears in electrical circuits. Yeah so it's  second order because the highest derivative is   of second order - it has constant coefficients  because the constants R,L and C are constant   and it's what we'll call inhomogeneous because  this doesn't have to be zero. So those are the   type of differential equations that we can we  can study and there are many other examples,   so I'll leave one as an exercise for you. So  I'll tell you the problem is the rate at which   a radioactive substance decays is proportional to  the remaining number of atoms. So I want you to,   as an exercise, to write a differential equation  that describes this situation. Okay so we'll come   back to things like this later. So what  the question is: what's the differential   equation? Okay so as you progress along in this  course in the mathematics course here, you will   encounter very very interesting and sophisticated  differential equations in applied mathematics,   so we're just scratching the surface a little bit.  All right now, going back to what I what I said   before - the simplest kind of ODE is dy/dx equals  f(x) which you can solve by integration so let me   review a couple of facts about integration. So  one of the most useful techniques which I'm sure   most of you are quite familiar with is integration  by parts. Okay so where does integration by parts   come from? Well it comes from the product rule. If  I have two functions f and g and I multiply them   and then I differentiate them so f times g prime  is f prime g plus f g prime, which means that f   g f times g prime equals f times g prime minus  f prime times g and if I integrate both sides then I end up with the integration by parts which  is f times g prime dx if they're functions of   x. It equals f times g minus f prime times g dx.  Okay so this is the version indefinite integral's   version, you can have a definite integral  version where you put the limits of integration. So let me spell it out. So this is the  definite integral's version. Alright,   so let's do a couple of examples. So the first  example - so suppose I want to integrate x^2   sin(x). So this would solve, so this would  give this gives the solution to dy/dx equals   x^2 sin(x) ok so in the integration by parts  you have to decide which one is f and which   one's g. Now clearly I would like to decrease  the power here I know I can never get rid of   the sine by differentiation so then maybe this  then I have to do this f and this is g prime which means that g is -cos x so if I  call this integral I I is x squared   times minus cos x and then minus  the derivative of f which is 2 x   times minus cos x dx. This is minus x  squared cos x plus 2 times x cos x dx. And now again this should be f and this should  be g prime of course x plus 2 times x sine x   minus 2 times sine x dx. So please try to  follow through what I'm doing and let me   know if I make a mistake.
엘로우 수학 강의입니다. 의미 전달을 위한 영어 스크립트를 작성해 주세요. 방정식을 가장 읽기 쉬운 방식으로 작성해 주세요. 감사합니다커패시턴스가 C인 커패시터와 저항이 R인 저항기, 인덕턴스가 L인 인덕터가 있습니다. 여기서 R, L, C는 시간과 무관한 상수이지만 예를 들어 회로를 가로지르는 전류에 관심이 있으므로 I(t)는 시간의 함수인 회로를 가로지르는 전류입니다. 따라서 미분 방정식 t에서 시간은 독립 변수이고 이 I(t)는 종속 변수입니다. 또한 커패시터의 커패시터 전하인 Q(t)를 가질 수 있으며 둘 사이의 관계는 I=dQ/dt이므로 키르초프의 법칙에 따르면 회로 주변의 총 전압은 0입니다. 다시 말해, t의 함수인 배터리의 전압 V는 저항을 가로지르는 전압에 저항을 가로지르는 전압을 더한 값과 커패시터의 전압을 더한 값과 같으며, 이제 각각을 적으면 됩니다. 옴의 법칙에 따라 저항을 가로지르는 전압은 R I(t), 커패시터의 전압은 1/C, 인덕터의 전압은 패러데이의 법칙인 L dI/dt입니다. 이제 예를 들어 V I와 Q를 포함하는 방정식을 표현할 수 있지만 I는 dQ/dt이므로 모든 것을 Q의 관점에서 다시 쓸 수 있습니다. 따라서 Q로 미분 방정식을 구할 수 있습니다. 이것은 선차 항 dI/dt가 되므로 L 곱하기 dI/dt는 L 곱하기 d^2Q/dt^2 + RdQ/dt +1/C Q = V가 되므로 전기 회로에 나타나는 2 차 미분 방정식입니다. 예, 가장 높은 미분은 2 차 미분이기 때문에 2 차 미분이며 상수 R, L 및 C가 일정하기 때문에 일정한 계수를 가지며 이것이 0 일 필요가 없기 때문에 비균질이라고 부를 것입니다. 그래서 우리가 공부할 수 있는 미분 방정식의 유형이며 다른 많은 예가 있으므로 연습용으로 하나를 남겨 두겠습니다. 방사성 물질이 붕괴하는 속도는 남은 원자 수에 비례한다는 것이 문제라고 말씀드리겠습니다. 그래서 연습으로 이 상황을 설명하는 미분 방정식을 작성해 보시기 바랍니다. 좋아요, 이 문제는 나중에 다시 다뤄보겠습니다. 그래서 질문은 미분 방정식은 무엇일까요? 여기 수학 과정에서 이 과정을 진행하면서 응용 수학에서 매우 흥미롭고 정교한 미분 방정식을 접하게 될 것이므로 우리는 단지 표면을 약간 긁어 모으고 있습니다.  이제 앞서 말씀드린 내용으로 돌아가서 가장 간단한 종류의 편미분 방정식은 dy/dx는 f(x)와 같으며 적분으로 풀 수 있으므로 적분에 대한 몇 가지 사실을 검토해 보겠습니다. 여러분 대부분이 잘 알고 있을 가장 유용한 기법 중 하나는 부분별 적분입니다. 그렇다면 부품별 통합은 어디에서 비롯된 것일까요? 바로 제품 규칙에서 비롯됩니다.   이것이 무기한 적분의 버전이고, 적분의 한계를 설정하는 정적분 버전을 가질 수 있습니다. 제가 설명해드리겠습니다. 이것이 정적분의 버전입니다. 자, 그럼 몇 가지 예를 들어보겠습니다. 첫 번째 예는 x^2 sin(x)를 적분하고 싶다고 가정해 보겠습니다. 이렇게 하면 dy/dx가 x^2 sin(x)와 같다는 해를 구할 수 있으므로 부분 적분에서 어느 것이 f이고 어느 것이 g인지 결정해야 합니다. 이제 분명히 여기서 전력을 줄이고 싶습니다. 미분으로 사인을 제거 할 수 없다는 것을 알고 있으므로이 f를 수행해야 할 수도 있습니다. 이것은 g 소수이므로 g는 -cos x이므로이 적분이라고하면 x 제곱 곱하기 cos x이고 그 다음 2 x 곱하기 cos x dx 인 f의 미분을 뺀 값입니다. 이것은 x 제곱 곱하기 x 제곱 곱하기 2 배 x cos x dx입니다. 그리고 이제 다시 이것은 f가되어야하고 이것은 당연히 x 더하기 2 배 x 사인 x 빼기 2 배 사인 x dx의 g 소수가되어야합니다. 그러니 제가 하는 것을 따라 해보시고 실수가 있으면 알려주세요.