Symplectic geometry is a branch of differential geometry and differential topology that studies symplectic manifolds; that is, differentiable manifolds equipped with a closed, nondegenerate 2-form. Symplectic geometry has its origins in the Hamiltonian formulation of classical mechanics where the phase space of certain classical systems takes on the structure of a symplectic manifold.

The term "symplectic", introduced by Weyl, is a calque of "complex"; previously, the "symplectic group" had been called the "line complex group". "Complex" comes from the Latin com-plexus, meaning "braided together" (co- + plexus), while symplectic comes from the corresponding Greek sym-plektikos (συμπλεκτικός); in both cases the stem comes from the Indo-European root *pleḱ-  The name reflects the deep connections between complex and symplectic structures.

By Darboux's Theorem, symplectic manifolds are isomorphic to the standard symplectic vector space locally, hence only have global (topological) invariants. "Symplectic topology," which studies global properties of symplectic manifolds, is often used interchangeably with "symplectic geometry."

Introduction
A symplectic geometry is defined on a smooth even-dimensional space that is a differentiable manifold. On this space is defined a geometric object, the symplectic 2-form, that allows for the measurement of sizes of two-dimensional objects in the space. The symplectic form in symplectic geometry plays a role analogous to that of the metric tensor in Riemannian geometry. Where the metric tensor measures lengths and angles, the symplectic form measures oriented areas.

Symplectic geometry arose from the study of classical mechanics and an example of a symplectic structure is the motion of an object in one dimension. To specify the trajectory of the object, one requires both the position q and the momentum p, which form a point (p,q) in the Euclidean plane ℝ2. In this case, the symplectic form is

and is an area form that measures the area A of a region S in the plane through integration:

The area is important because as conservative dynamical systems evolve in time, this area is invariant.

Higher dimensional symplectic geometries are defined analogously. A 2n-dimensional symplectic geometry is formed of pairs of directions
 
in a 2n-dimensional manifold along with a symplectic form

This symplectic form yields the size of a 2n-dimensional region V in the space as the sum of the areas of the projections of V onto each of the planes formed by the pairs of directions

Comparison with Riemannian geometry
Symplectic geometry has a number of similarities with and differences from Riemannian geometry, which is the study of differentiable manifolds equipped with nondegenerate, symmetric 2-tensors (called metric tensors). Unlike in the Riemannian case, symplectic manifolds have no local invariants such as curvature. This is a consequence of Darboux's theorem which states that a neighborhood of any point of a 2n-dimensional symplectic manifold is isomorphic to the standard symplectic structure on an open set of ℝ2n. Another difference with Riemannian geometry is that not every differentiable manifold need admit a symplectic form; there are certain topological restrictions. For example, every symplectic manifold is even-dimensional and orientable. Additionally, if M is a closed symplectic manifold, then the 2nd de Rham cohomology group H2(M) is nontrivial; this implies, for example, that the only n-sphere that admits a symplectic form is the 2-sphere. A parallel that one can draw between the two subjects is the analogy between geodesics in Riemannian geometry and pseudoholomorphic curves  in symplectic geometry: Geodesics are curves of shortest length (locally), while pseudoholomorphic curves are surfaces of minimal area. Both concepts play a fundamental role in their respective disciplines.

Examples and structures
Every Kähler manifold is also a symplectic manifold. Well into the 1970s, symplectic experts were unsure whether any compact non-Kähler symplectic manifolds existed, but since then many examples have been constructed (the first was due to William Thurston); in particular, Robert Gompf has shown that every finitely presented group occurs as the fundamental group of some symplectic 4-manifold, in marked contrast with the Kähler case.

Most symplectic manifolds, one can say, are not Kähler; and so do not have an integrable complex structure  compatible with the symplectic form. Mikhail Gromov, however, made the important observation that symplectic manifolds do admit an abundance of compatible almost complex structures, so that they satisfy all the axioms for a Kähler manifold except the requirement that the transition maps be holomorphic.

Gromov used the existence of almost complex structures on symplectic manifolds to develop a theory of pseudoholomorphic curves, which has led to a number of advancements in symplectic topology, including a class of symplectic invariants now known as Gromov–Witten invariants. Later, using the pseudoholomorphic curve technique Andreas Floer invented another important tool in symplectic geometry known as the Floer homology.

See also

 Contact geometry
 Geometric mechanics
 Moment map
 Poisson geometry
 Symplectic integration
 Symplectic vector space

Notes

References
 
 
 
  (An undergraduate level introduction.)
 
 
  Reprinted by Princeton University Press (1997). . .

External links
심플렉틱 기하학()은 심플렉틱 다양체를 연구하는 미분기하학 또는 미분위상수학의 한 분야이다. 즉, 닫힌, 비축퇴 제2 미분형식을 갖춘 미분 다양체이다. 심플렉틱 기하학은 특정 고전 물리계의 페이즈 공간이 심플렉틱 다양체의 구조를 취하는 고전역학의 해밀턴 공식화에 기원을 두고 있다.

바일에 의해 도입된 "심플렉틱"이라는 용어는 "복합체"의 칼크이다. 이전에는 "심플렉틱 군"을 "선 복합제 군"이라고 했다. "복합체"는 "함께 땋다"(co- + plexus)를 의미하는 라틴어 com-plexus에서 유래한 반면 심플렉틱은 해당 그리스어 sym-plektikos (συμπλεκτικός)에서 유래했다. 두 경우 모두 줄기는 인도-유럽어 뿌리 *pleḱ 에서 유래한다. 이름은 복소 구조와 심플렉틱 구조 사이의 깊은 연결을 반영한다.

다르부 정리에 따르면 심플렉틱 다양체는 국소적으로 표준 심플렉틱 벡터 공간과 동형이므로 전역(위상) 불변량만 갖는다. 이렇게 심플렉틱 다양체는 전통적인 기하학과는 다르게 국소적 구조가 별로 중요하지 않아서, 심플렉틱 다양체의 전역적 성질을 연구하는 "심플렉틱 위상수학"은 종종 "심플렉틱 기하학"과 같은 의미로 사용된다.

도입 
심플렉틱 기하학은 짝수 차원 미분다양체에서 정의된다. 이 다양체에서 방향을 반영하여 2차원 대상의 크기를 측정할 수 있는 기하적 대상인 심플렉틱 제2 미분 형식이 정의된다. 심플렉틱 기하학의 심플렉틱 형식은 리만 기하학의 리만 계량에 대응하는 역할을 한다. 리만 계량이 길이와 각도를 정의하는 반면, 심플렉틱 형식은 방향이 주어진 넓이를 정의한다.

역사적으로 심플렉틱 기하학은 고전역학의 수리물리학적 연구에서 발생했다. 1차원에서 물체의 운동 궤적을 나타내기 위해 위치 q와 운동량 p가 모두 필요하다. 이는 유클리드 평면 ℝ2에서 점 (p, q)로 표시할 수 있다. 이 경우 심플렉틱 형식은

 

과 같다. 이는 적분을 통해 평면에서 영역 S의 영역 A를 측정하는 넓이 형식이다.

 

이 넓이는 보존적 동적계가 시간이 지남에 따라 진화함에 따라 불변이기 때문에 중요하다. 고전 역학의 주요 부분 역시 보존적 동적계에 해당한다.

더 높은 차원의 심플렉틱 기하학은 비슷하게 정의된다. 2n 차원의 심플렉틱 기하학은 2n 차원 미분다양체에 주어지는 방향 쌍

 

과 심플렉틱 형식

 

으로 형성된다. 이 심플렉틱 형식은 공간에서 2n 차원 영역 V의 크기를 방향 쌍에 의해 형성된 각 평면에 대한 V 의 사영 면적의 합으로 산출한다

리만 기하학과의 비교 
심플렉틱 기하학은 비축퇴 대칭 2차 텐서(리만 계량 텐서)가 장착된 미분 다양체에 대한 연구인 리만 기하학과 많은 유사점과 차이점을 가지고 있다. 리만 다양체의 경우와 달리, 심플렉틱 다양체에는 곡률과 같은 국소적 불변량이 없다. 이것은 2n 차원 심플렉틱 다양체의 임의의 점의 이웃이 ℝ2n의 열린 집합에서 표준 심플렉틱 구조와 동형이라는 다르부 정리의 결과이다. 리만 기하학과의 또 다른 차이점은 모든 미분 가능 다양체에 심플렉틱 형식을 줄 수는 없고 특정 위상을 가진 미분다양체에만 줄 수 있다는 제한이 있다는 것이다. 예를 들어, 모든 심플렉틱 다양체는 짝수 차원이며 가향이다. 추가로, M이 닫힌 심플렉틱 다양체이면 2차 드 람 코호몰로지 군 H2(M )은 자명하지 않다. 이런 성질은, 예를 들어, 심플렉틱 형식을 허용하는 n차원 구가 2차원 구밖에 없다는 것을 의미한다. 두 주제 사이에 그릴 수 있는 평행선은 리만 기하학의 측지선과 심플렉틱 기하학의 준 정칙 곡선 사이의 유사성이다. 리만 기하학에서 측지선은 길이가 극소값인 곡선인 반면, 심플렉틱 기하학에서 준 정칙 곡선은 극소 곡면이다. 두 개념 모두 해당 분야에서 근본적인 역할을 한다.

예제 및 구조 
모든 켈러 다양체는 심플렉틱 다양체이기도 하다. 1970년대까지 심플렉틱 기하학 전문가들은 켈러 다양체 이외의 콤팩트 심플렉틱 다양체가 존재하는지 아닌지 확신하지 못했지만, 그 이후로 많은 예가 구성되었다(첫 번째는 윌리엄 서스턴이 발표). 특히, 로버트 곰프는 켈러 다양체 예시와 현저한 대조를 이루는, 유한 표현 군이 어떤 심플렉틱 4-다양체의 기본군으로 발생함을 보여주었다.

대부분의 심플렉틱 다양체는 켈러 다양체가 아니라고 말할 수 있다. 따라서 일반적으로 심플렉틱 형식과 호환되는 적분 가능한 복소 구조가 없다. 그러나 미하일 그로모프는 심플렉틱 다양체가 호환되는 버금 복소 구조를 풍부하게 허용하므로 추이 사상이 정칙이어야 한다는 요구 사항을 제외하고 켈러 다양체의 모든 공리를 충족한다는 중요한 관찰을 했다.

그로모프는 심플렉틱 다양체에 버금 복소 구조의 존재를 사용하여 준 정칙 곡선 이론을 개발했으며 현재 그로모프-위튼 불변량으로 알려진 심플렉틱 불변량을 포함하여 심플렉틱 위상수학에서 많은 발전을 가져왔다. 나중에 준 정칙 곡선 기법을 사용하여 안드레아스 플뢰어는 플뢰어 호몰로지로 알려진 심플렉틱 기하학에서 또 다른 중요한 개념을 발명했다.

같이 보기 
 접촉 기하학
 기하학적 역학
 운동량 사상
 푸아송 기하학
 심플렉틱 적분
 심플렉틱 선형 공간

각주

참고 문헌 
 
 
 
  (An undergraduate level introduction.)
 
 
  Reprinted by Princeton University Press (1997). . .

외부 링크 
 
 

심플렉틱 기하학