Let
\[\mathbf{M} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}.\]Then
\begin{align*}
\mathbf{M}^3 &= \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix} a^2 + bc & ab + bd \\ ac + cd & bc + d^2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix} a^3 + 2abc + bcd & a^2 b + abd + bd^2 + bcd \\ a^2 c + acd + c^2 + bcd & abc + 2bcd + d^3 \end{pmatrix}.
\end{align*}Comparing entries, we get
\begin{align*}
a^3 + 2abc + bcd &= 19, \\
b(a^2 + ad + d^2 + bc) &= 30, \\
c(a^2 + ad + d^2 + bc) &= -45, \\
abc + 2bcd + d^3 &= -71.
\end{align*}From the second and third equations, $\frac{b}{c} = -\frac{30}{45} = -\frac{2}{3}.$  Let $b = 2t$ and $c = -3t$ for some real number $t.$

Subtracting the first and fourth equations, we get
\[a^3 - d^3 + abc - bcd = 90,\]which factors as $(a - d)(a^2 + ad + d^2 + bc) = 90.$  Comparing to the equation $b(a^2 + ad + d^2 + bc) = 30,$ we get
\[\frac{a - d}{b} = 3,\]so $a - d = 3b = 6t.$

We know $\det (\mathbf{M}^3) = (\det \mathbf{M})^3 = (ad - bc)^3.$  But
\[\det (\mathbf{M}^3) = \det \begin{pmatrix} 19 & 30 \\ -45 & -71 \end{pmatrix} = (19)(-71) - (30)(-45) = 1,\]so $ad - bc = 1.$  Then $ad = bc + 1 = -6t^2 + 1.$

Squaring the equation $a - d = 6t,$ we get
\[a^2 - 2ad + d^2 = 36t^2.\]Then $a^2 + ad + d^2 + bc = 36t^2 + 3ad + bc = 36t^2 + 3(-6t^2 + 1) + (-6t^2) = 12t^2 + 3.$  Plugging everything into the equation $b(a^2 + ad + d^2 + bc) = 30,$ we get
\[2t (12t^2 + 3) = 30.\]Then $t(4t^2 + 1) = 5,$ so $4t^3 + t - 5 = 0.$  This factors as $(t - 1)(4t^2 + 4t + 5) = 0.$  The quadratic factor has no real roots, so $t = 1,$ which leads to $b = 2$ and $c = -3.$

Then $a - d = 6$ and $ad = -5.$  From $a - d = 6,$ $a = d + 6,$ so $(d + 6)d = -5.$  Then
\[d^2 + 6d + 5 = (d + 1)(d + 5) = 0,\]so $d = -1$ or $ d= -5.$  If $d = -1,$ then $a = 5,$ but these values do not satisfy $a^3 + 2abc + bcd = 19.$  If $d = -5,$ then $a = 1.$  We can check that if
\[\mathbf{M} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -3 & -5 \end{pmatrix}},\]then $\mathbf{M}^3 = \begin{pmatrix} 19 & 30 \\ -45 & -71 \end{pmatrix.$
Let
\[\mathbf{M} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}.\]Then
\begin{align*}
\mathbf{M}^3 &= \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}. \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \BEGIN{Pmatrix} A & B \\ C & D \END{Pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix} a^2 + bc & ab + bd \\ ac + cd & bc + d^2 \end{pmatrix} \\ \BEGIN{pmatrix} a & b \\ c & d \END{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix} a^3 + 2abc + bcd & a^2 b + abd + bd^2 + bcd \\ a^2 c + acd + c^2 + bcd & abc + 2bcd + d^3 \end{pmatrix}.
\end{align*}항목을 비교하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.
\begin{align*}
a^3 + 2abc + bcd &= 19, \\
b(a^2 + ad + d^2 + bc) &= 30, \\
c(a^2 + ad + d^2 + bc) &= -45, \\
ABC + 2CD + D^3 &= -71.
\end{align*}두 번째 및 세 번째 방정식에서 $\frac{b}{c} = -\frac{30}{45} = -\frac{2}{3}.$ 어떤 실수 $t$에 대해 $b = 2t$ 및 $c = -3t$로 합니다.

첫 번째 방정식과 네 번째 방정식을 빼면 다음과 같이 됩니다.
\[a^3 - d^3 + abc - bcd = 90,\]는 $(a - d)(a^2 + ad + d^2 + bc) = 90으로 인수분해됩니다.$ 이를 방정식 $b(a^2 + ad + d^2 + bc) = 30과 비교하면 다음과 같이 구할 수 있습니다.
\[\frac{a - d}{b} = 3,\]따라서 $a - d = 3b = 6t.$입니다.

우리는 $\det (\mathbf{M}^3) = (\det \mathbf{M})^3 = (ad - bc)^3.$ 을 알고 있습니다.
\[\det (\mathbf{M}^3) = \det \begin{pmatrix} 19 & 30 \\ -45 & -71 \end{pmatrix} = (19)(-71) - (30)(-45) = 1,\]이므로 $ad - bc = 1.$ 그러면 $ad = bc + 1 = -6t^2 + 1.$ 입니다.

방정식 $a - d = 6t,$를 제곱하면 다음과 같습니다.
\[a^2 - 2ad + d^2 = 36t^2.\]그러면 $a^2 + ad + d^2 + bc = 36t^2 + 3ad + bc = 36t^2 + 3(-6t^2 + 1) + (-6t^2) = 12t^2 + 3.$ 모든 것을 방정식 $b(a^2 + ad + d^2 + bc) = 30,$에 연결하면 다음과 같이 계산할 수 있습니다.
\[2t (12t^2 + 3) = 30.\]그러면 $t(4t^2 + 1) = 5,$이므로 $4t^3 + t - 5 = 0.$ 이것은 $(t - 1)(4t^2 + 4t + 5) = 0.$ 이차 인수에는 실제 근이 없으므로 $t = 1,$로 이어지며 $b = 2$ 및 $c = -3.$이 됩니다.

그런 다음 $a - d = 6$ 및 $ad = -5.$ $a - d = 6,$ $a = d + 6,$이므로 $(d + 6)d = -5.$ 그러면 다음과 같이 됩니다.
\d^2 + 6d + 5 = (d + 1)(d + 5) = 0,\]이므로 $d = -1$ 또는 $d = -5.$ $d = -1,$ 이면 $a = 5,$ 그러나 이 값은 $a^3 + 2abc + bcd = 19.$ $d = -5,$ 이면 $a = 1.$ 다음과 같이 확인할 수 있습니다.
\[\mathbf{M} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -3 & -5 \end{pmatrix}},\]라면 $\mathbf{M}^3 = \begin{pmatrix} 19 & 30 \\ -45 & -71 \end{pmatrix.$