Observe that  \begin{align*}
p(0,0) &= a_0 = 0\\
p(1,0) &= a_0 + a_1 + a_3 + a_6 = a_1 + a_3 + a_6 = 0\\
p(-1,0) &= -a_1 + a_3 - a_6 = 0.
\end{align*}Adding the above two equations gives $a_3 = 0$, and so we can deduce that $a_6 = -a_1$. Similarly, plugging in $(0,1)$ and $(0,-1)$ gives $a_5 = 0$ and $a_9 = -a_2$. Now, \begin{align*}
p(1,1) &= a_0 + a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 + a_7 + a_8 + a_9\\
&= 0 + a_1 + a_2 + 0 + a_4 + 0 - a_1 + a_7 + a_8 - a_2 = a_4 + a_7 + a_8 = 0\\
p(1,-1) &= a_0 + a_1 - a_2 + 0 - a_4 + 0 - a_1 - a_7 + a_8 + a_2\\ &= -a_4 - a_7 + a_8 = 0
\end{align*}Therefore, $a_8 = 0$ and $a_7 = -a_4$.  Finally, $$p(2,2) = 0 + 2a_1 + 2a_2 + 0 + 4a_4 + 0 - 8a_1 - 8a_4 +0 - 8a_2 = -6 a_1 - 6 a_2 - 4 a_4 = 0.$$Hence, $3a_1 + 3a_2 + 2a_4 = 0$. Now,  \begin{align*}
p(x,y) &= 0 + a_1x + a_2y + 0 + a_4xy + 0 - a_1x^3 - a_4x^2y + 0 - a_2y^3\\
&= a_1 x(1-x)(1+x) + a_2 y(1-y)(1+y) + xy (1-x) a_4 \\
&= a_1 x(1 - x)(1 + x) + a_2 y(1 - y)(1 + y) - \left( \frac{3}{2} a_1 + \frac{3}{2} a_2 \right) xy(1 - x) \\
&= a_1 \left( x - x^3 - \frac{3}{2} xy(1 - x) \right) + a_2 \left( y - y^3 - \frac{3}{2} xy(1 - x) \right).
\end{align*}If $p(r,s) = 0$ for every such polynomial, then
\begin{align*}
r - r^3 - \frac{3}{2} rs (1 - r) &= 0, \\
s - s^3 - \frac{3}{2} rs (1 - r) &= 0.
\end{align*}These factor as
\begin{align*}
\frac{1}{2} r(1 - r)(2r - 3s + 2) &= 0, \\
\frac{1}{2} s(3r^2 - 3r - 2s^2 + 2) &= 0.
\end{align*}Hence, $r = 0,$ $r = 1,$ or $r = \frac{3s - 2}{2}.$

Substituting $r = 0$ into the second equation, we get $s^3 = s,$ so $s = -1,$ 0, or 1.

Substituting $r = 1$ into the second equation, we again get $s^3 = s,$ so $s = -1,$ 0, or 1.

Substituting $r = \frac{3s - 2}{2}$ into the second equation, we get
\[s - s^3 - \frac{3}{2} \cdot \frac{3s - 2}{2} \cdot s \cdot \left( 1 - \frac{3s - 2}{2} \right) = 0.\]This simplifies to $19s^3 - 54s^2 + 32s = 0,$ which factors as $s(s - 2)(19s - 16) = 0.$  We are looking for a value where $s$ is not an integer, so $s = \frac{16}{19}.$  Then $r = \frac{5}{19},$ so $(r,s) = \left( \frac{5}{19}, \frac{16}{19} \right).$

This is an instance of a result known as Bezout's Theorem, from algebraic geometry.  Loosely speaking, Bezout's Theorem states that if we plot two curves, then the number of intersection points is equal to the product of their degrees.  Here, one curve is
\[x(x - 1)(2x - 3y + 2) = 0,\]shown in red below, which consists of three lines.  The other curve is
\[y(3x^2 - 3x - 2y^2 + 2) = 0,\]shown in blue below, which consists of a line and a hyperbola.  The degree of both curves is 3.  Note how the red and blue curves intersect at the eight given points, so by Bezout's Theorem, there is a ninth point of intersection, which is exactly $\left( \frac{5}{19}, \frac{16}{19} \right).$

[asy]
unitsize(1.2 cm);

real upperhyper (real x) {
  return(sqrt((3*x^2 - 3*x + 2)/2));
}

real lowerhyper (real x) {
  return(-sqrt((3*x^2 - 3*x + 2)/2));
}

int i;

for (i = -3; i <= 3; ++i) {
  draw((-3,i)--(3,i),gray(0.7));
	draw((i,-3)--(i,3),gray(0.7));
}

draw((0,-3)--(0,3),red);
draw((1,-3)--(1,3),red);
draw((-3,-4/3)--(3,8/3),red);
draw((-3,0)--(3,0),blue);
draw(graph(upperhyper,-1.863,2.863),blue);
draw(graph(lowerhyper,-1.836,2.863),blue);

dot("$(0,0)$", (0,0), NE, fontsize(8));
dot("$(1,0)$", (1,0), NE, fontsize(8));
dot("$(-1,0)$", (-1,0), NW, fontsize(8));
dot("$(0,1)$", (0,1), SW, fontsize(8));
dot("$(0,-1)$", (0,-1), NW, fontsize(8));
dot("$(1,1)$", (1,1), SE, fontsize(8));
dot("$(1,-1)$", (1,-1), NE, fontsize(8));
dot("$(2,2)$", (2,2), SE, fontsize(8));
dot((5/19,16/19), green);
[/asy]
시작{align*}을 관찰합니다.
p(0,0) &= a_0 = 0\\.
p(1,0) &= a_0 + a_1 + a_3 + a_6 = a_1 + a_3 + a_6 = 0\\.
p(-1,0) &= -a_1 + a_3 - a_6 = 0\\.
\end{align*}위 두 방정식을 더하면 $a_3 = 0$이 되고, 따라서 $a_6 = -a_1$이라는 것을 추론할 수 있습니다. 마찬가지로 $(0,1)$과 $(0,-1)$을 연결하면 $a_5 = 0$과 $a_9 = -a_2$가 됩니다. 이제 \begin{align*}
p(1,1) &= a_0 + a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 + a_7 + a_8 + a_9\\\.
&= 0 + a_1 + a_2 + 0 + a_4 + 0 - a_1 + a_7 + a_8 - a_2 = a_4 + a_7 + a_8 = 0\\
p(1,-1) &= a_0 + a_1 - a_2 + 0 - a_4 + 0 - a_1 - a_7 + a_8 + a_2\\ &= -a_4 - a_7 + a_8 = 0 \\ &= -a_4 - a_7 + a_8 = 0
\end{align*}따라서 $a_8 = 0$ 및 $a_7 = -a_4$입니다.  마지막으로 $$p(2,2) = 0 + 2a_1 + 2a_2 + 0 + 4a_4 + 0 - 8a_1 - 8a_4 +0 - 8a_2 = -6 a_1 - 6 a_2 - 4 a_4 = 0$이므로, $3a_1 + 3a_2 + 2a_4 = 0$이죠. 이제 \begin{align*}
p(x,y) &= 0 + a_1x + a_2y + 0 + a_4xy + 0 - a_1x^3 - a_4x^2y + 0 - a_2y^3\\.
&= a_1 x(1-x)(1+x) + a_2 y(1-y)(1+y) + xy (1-x) a_4 \\.
&= a_1 x(1 - x)(1 + x) + a_2 y(1 - y)(1 + y) - \left( \frac{3}{2} a_1 + \frac{3}{2} a_2 \right) xy(1 - x) \\.
&= a_1 \left( x - x^3 - \frac{3}{2} xy(1 - x) \right) + a_2 \left( y - y^3 - \frac{3}{2} xy(1 - x) \right).
\end{align*}이러한 모든 다항식에 대해 $p(r,s) = 0$이면 다음과 같습니다.
\begin{align*}
r - r^3 - \frac{3}{2} rs (1 - r) &= 0, \\.
s - s^3 - \frac{3}{2} rs (1 - r) &= 0.
\end{align*}이 계수는 다음과 같습니다.
\begin{align*}
\frac{1}{2} r(1 - r)(2r - 3s + 2) &= 0, \\.
\frac{1}{2} s(3r^2 - 3r - 2s^2 + 2) &= 0.
\end{align*}따라서, $r = 0,$ $r = 1,$ 또는 $r = \frac{3s - 2}{2}.$입니다.

두 번째 방정식에 $r = 0$을 대입하면 $s^3 = s,$이므로 $s = -1,$ 0 또는 1이 됩니다.

두 번째 방정식에 $r = 1$을 대입하면 다시 $s^3 = s,$이므로 $s = -1,$ 0 또는 1이 됩니다.

두 번째 방정식에 $r = \frac{3s - 2}{2}$ 를 대입하면 다음과 같이 됩니다.
\[s - s^3 - \frac{3}{2} \cdot \frac{3s - 2}{2} s \cdot \cdot \left( 1 - \frac{3s - 2}{2} \right) = 0.\]이것은 $19s^3 - 54s^2 + 32s = 0,$로 단순화되며, $s(s - 2)(19s - 16) = 0으로 인수분해됩니다.s$가 정수가 아닌 값을 찾고 있으므로 $s = \frac{16}{19}.$ 그런 다음 $r = \frac{5}{19},$이므로 $(r,s) = \left( \frac{5}{19}, \frac{16}{19} \right).$입니다.

이것은 대수 기하학에서 베자우트의 정리라고 알려진 결과의 예시입니다.  느슨하게 말하면, 베자우트의 정리는 두 개의 곡선을 그리면 교차점의 수는 두 곡선의 차수의 곱과 같다는 것입니다. 여기서 하나의 곡선은
\x(x - 1)(2x - 3y + 2) = 0,\]이며, 아래 빨간색으로 표시되어 있으며 세 개의 선으로 구성되어 있습니다.  다른 곡선은
\y(3x^2 - 3x - 2y^2 + 2) = 0,\]는 아래 파란색으로 표시되며, 선과 쌍곡선으로 구성됩니다.  두 곡선의 차수는 3입니다. 빨간색과 파란색 곡선이 주어진 8개의 점에서 어떻게 교차하는지에 주목하면 베자우트의 정리에 따라 정확히 $\left( \frac{5}{19}, \frac{16}{19} \right)$인 9번째 교차점이 생깁니다.

[asy]
unitsize(1.2cm);

실수 상한 (실수 x) {
  return(sqrt((3*x^2 - 3*x + 2)/2));
}

real lowerhyper (실수 x) {
  return(-sqrt((3*x^2 - 3*x + 2)/2));
}

int i;

for (i = -3; i <= 3; ++i) {
  draw((-3,i)--(3,i),gray(0.7));
	draw((i,-3)--(i,3),gray(0.7));
}

draw((0,-3)--(0,3),red);
draw((1,-3)--(1,3),red);
draw((-3,-4/3)--(3,8/3),red);
draw((-3,0)--(3,0),blue);
draw(graph(upperhyper,-1.863,2.863),blue);
draw(graph(lowerhyper,-1.836,2.863),blue);

dot("$(0,0)$", (0,0), NE, fontsize(8));
dot("$(1,0)$", (1,0), NE, fontsize(8));
dot("$(-1,0)$", (-1,0), NW, fontsize(8));
dot("$(0,1)$", (0,1), SW, fontsize(8));
dot("$(0,-1)$", (0,-1), NW, fontsize(8));
dot("$(1,1)$", (1,1), SE, fontsize(8));
dot("$(1,-1)$", (1,-1), NE, fontsize(8));
dot("$(2,2)$", (2,2), SE, fontsize(8));
dot((5/19,16/19), green);
[/asy]