more: 50:00
uh in itself is the base itself being a point in the
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fiber gives me a cross-section in the pullback bundle so if you pull back a principal bundle or
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any bundle over the bundle itself you get something trivial
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and because it's trivial this pullback all the characteristic classes vanish
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because there's no obstruction to anything in a trivia bundle and in particular that means
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that when i pull back under pi if i pull back
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pi star of one of these characteristic things
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p of f f
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the coromology class must vanish and therefore it's exact equals d of something
50:55
okay it has to it has to be d of something and that's something we're going to call t p
51:03
of a and f we'll just call it t p of a
51:08
so what i'm saying is i have a form down here a characteristic
51:15
form p of these things i lift it upstairs
51:21
innocently i just pull it up and all of a sudden it cracks open
51:27
and becomes exact just as in the sphere bundle that characteristic form was was open
51:33
was it was exact when we raised it up we pulled it back up to the sphere bubble that phenomena is very generally true
51:40
that when you so now it's these forms
51:46
that are uh are interesting
51:52
and uh were the w with the root of uh i and i can write
51:59
down the formula for this in fact i i will just so you can get a flavor of it
52:06
so so tp of a
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is equal to the well it's a degree l so degree l it's you can integrate it integral from
52:19
zero to one of the polynomial itself
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with a plugged in and something called phi sub t to the l minus 1
52:31
plugged in dt dt so i'm just i have this sort of one
52:38
parameter family of differential forms and i'm integrating it to get a new one and phi sub t
52:45
is uh what is for i sub t it's uh t times the curvature
52:52
uh plus t squared minus t
52:57
times a a wedge a is whatever exactly that means
53:05
so again okay so you do that and and now we'll we'll look at at one example where l eq
53:12
l is equal to two so if l is equal here i'll do it over here if l is equal to two
53:20
uh you get something that is going to start looking even more familiar
53:25
so for l is equal to 2 l equals 2 tp of a
53:32
turns out to be p of a wedge f
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take these wedges with a grain of salt minus 1 3
53:44
p of a wedge a wedge a
53:50
so now this is beginning to look like the classical form
53:55
uh so you can see that just one example of these tps and there's a formula for
54:02
all of them and the polynomial is also is uh
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applied to all different combinations of a's and f's and so on and and with the coefficients in each place and that and
54:14
that's what that is so so now
54:21
when i came to stony brook here in 1968 i wanted to
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learn about characteristic classes and i thought
54:33
that a good way to do that would be to attack a problem the difficulty of which i had no idea
54:41
and i didn't solve the problem uh was it would track the following problem
54:47
the euler characteristic is one invariant of an even dimensional manifold but for a manifold of dimension
54:52
4k let's say dimension four there's another interesting numerical invariant
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called i think it's called its signature and it's when you take the two-dimensional commonology cup it
55:06
omre: 50:00어, 그 자체로 기지 자체가50:06섬유는 풀백 번들의 단면을 제공하므로 주 번들을 뒤로 당기거나50:11번들 자체 위에있는 번들은 사소한 것을 얻습니다.50:17그리고 이 풀백은 사소하기 때문에 모든 특성 클래스가 사라집니다.50:24퀴즈 번들에는 어떤 장애물도 없기 때문에 특히 다음과 같은 의미입니다.50:31내가 뒤로 당기면 파이 아래로 뒤로 당기면50:36이 특징적인 것 중 하나의 파이 스타50:42피의 피50:48코로 몰로지 클래스는 사라져야하므로 정확히 어떤 것의 d와 같아야합니다.50:55좋아, 그것은 무언가의 d이어야하며 우리는 그것을 t p라고 부를 것입니다.51:03우리는 그냥 그것을 t p of a라고 부를 것입니다.51:08그래서 제가 말하는 것은 여기에 특성이있는 양식이 있다는 것입니다.51:15이 것들의 P 형태 나는 그것을 위로 들어 올립니다.51:21순진하게 나는 그것을 위로 당기고 갑자기 열립니다.51:27그리고 특징적인 형태가 열려있는 구 묶음에서와 같이 정확 해집니다.51:33우리가 그것을 들어 올렸을 때 정확 했습니까 우리는 그것을 다시 구형 거품으로 당겼습니다 그 현상은 매우 일반적으로 사실입니다.51:40당신이 그렇게 할 때 지금은 이러한 형태입니다.51:46흥미로운 것은51:52그리고 어는 어근이있는 w 였고 나는 쓸 수 있습니다.51:59사실 이것에 대한 공식을 적어두면 맛을 느낄 수 있습니다.52:06그래서 그래서 tp의52:13우물과 같으므로 학위 l이므로 학위 l에서 적분 할 수 있습니다.52:19다항식 자체의 0에서 1까지 적분할 수 있습니다.52:24플러그가 꽂혀 있고 파이 서브 티라는 것을 l에서 1을 뺀 값에 연결합니다.52:31DT DT를 연결해서 이런 종류가 있습니다.52:38미분 형태의 매개 변수 제품군을 통합하여 새로운 것과 phi 하위 t를 얻습니다.52:45내가 하위 t에 대한 것은 무엇입니까? 그것은 곡률의 t 배입니다.52:52어 플러스 t 제곱 마이너스 t52:57곱하기 ㄱ은 정확히 무슨 뜻인가요?53:05다시 한 번 그렇게 하시고, 이제 l이 다음과 같은 예제를 살펴보겠습니다.53:12l은 2와 같으므로 여기서 l이 같으면 여기에서 l이 2와 같으면 여기에서 할 것입니다.53:20훨씬 더 친숙해지기 시작할 것입니다.53:25그래서 l이 2와 같으면 l은 2TP의 A와 같습니다.53:32쐐기 f의 p로 밝혀졌습니다.53:38이 쐐기에서 소금 한 알을 뺀 1 3을 빼십시오.53:44쐐기 ㄱ 쐐기 ㅏ53:50이제 이것은 고전적인 형태처럼 보이기 시작합니다.53:55어,이 tps의 한 가지 예만 보시면 다음과 같은 공식이 있습니다.54:02모두 다항식이고 다항식은 어54:07a와 f의 모든 다른 조합에 적용되고 각 장소의 계수와 함께 적용됩니다.54:14그게 바로 지금 그렇게54:211968 년 여기 스토니 브룩에 왔을 때 저는 원했습니다.54:27특징적인 수업에 대해 배우고 생각했습니다.54:33그렇게하는 좋은 방법은 내가 전혀 몰랐던 문제를 공격하는 것이라고 생각했습니다.54:41그리고 저는 문제를 풀지 못했습니다 어, 다음 문제를 추적 할 것입니다.54:47오일러 특성은 짝수 차원 다양체의 불변수이지만 차원의 다양체에 대해서는 하나의 불변수입니다.54:524 차원 4 차원에는 또 다른 흥미로운 수치 불변수가 있다고 가정해 봅시다.54:59나는 그것을 시그니처라고 생각하고 2 차원 공통학 컵을 가져갈 때라고 생각합니다.55:06