Let's think about what the inequality is saying. If we multiply the left side out, we get $\frac{a_1 + 1}{2} \cdot \frac{a_2 + 2}{2} \cdot \frac{a_3 + 3}{2} \cdot \frac{a_4 + 4}{2} \cdot \frac{a_5 + 5}{2} \cdot \frac{a_6 + 6}{2} = \frac{(a_1 + 1)(a_2 + 2)(a_3 + 3)(a_4 + 4)(a_5 + 5)(a_6 + 6)}{64}$. So the inequality is saying that the product of the numbers $(a_1 + 1)(a_2 + 2)(a_3 + 3)(a_4 + 4)(a_5 + 5)(a_6 + 6)$ is greater than $6! * 64$. Right, and since $64 \cdot 6! = 64 \cdot 720 = 4480$, the inequality is just saying that $(a_1 + 1)(a_2 + 2)(a_3 + 3)(a_4 + 4)(a_5 + 5)(a_6 + 6) > 4480$. So we just need to find the number of permutations of $(1,2,3,4,5,6)$ such that $(a_1 + 1)(a_2 + 2)(a_3 + 3)(a_4 + 4)(a_5 + 5)(a_6 + 6) > 4480$. Right. Let's think about this. If we want to make $(a_1 + 1)(a_2 + 2)(a_3 + 3)(a_4 + 4)(a_5 + 5)(a_6 + 6)$ as small as possible, we would want to let $a_1 = 1$, $a_2 = 2$, $a_3 = 3$, $a_4 = 4$, $a_5 = 5$, and $a_6 = 6$. Oh yeah, since $64 \cdot 6! = 64 \cdot 720 = 46080$. Right. So the smallest possible value of $(a_1 + 1)(a_2 + 2)(a_3 + 3)(a_4 + 4)(a_5 + 5)(a_6 + 6)$ is $46080$. We know that $(a_1 + 1)(a_2 + 2)(a_3 + 3)(a_4 + 4)(a_5 + 5)(a_6 + 6) > 4480$, but we want to show that $(a_1 + 1)(a_2 + 2)(a_3 + 3)(a_4 + 4)(a_5 + 5)(a_6 + 6) > 46080$. Right. We need to show that all other permutations will satisfy this inequality. So let's assume that some permutation does not satisfy this inequality. Then we must have $(a_1 + 1)(a_2 + 2)(a_3 + 3)(a_4 + 4)(a_5 + 5)(a_6 + 6) \leq 46080$. Because of our assumption, we know that $(a_1 + 1)(a_2 + 2)(a_3 + 3)(a_4 + 4)(a_5 + 5)(a_6 + 6)$ is minimized. So we want to show that if we switch $a_j$ and $a_k$, then we will have $(a_1 + 1)(a_2 + 2)(a_3 + 3)(a_4 + 4)(a_5 + 5)(a_6 + 6) > 46080$. All we need to show is that $(a_j + j)(a_k + k) > (a_k + j)(a_j + k)$. Right. This is equivalent to $a_j a_k + j a_k + k a_j > a_j a_k + j a_j + k a_k$. And this is equivalent to $a_j k + a_k j > a_j j + a_k k$. Right, and if we subtract $a_j j + a_k k$ from both sides, we get $a_j k + a_k j - a_j j - a_k k > 0$, and if we factor, we get $a_j (k - j) + a_k (j - k) > 0$. And since $j < k$, we know that $k - j > 0$ and $j - k < 0$, so $a_j (k - j) + a_k (j - k) > 0$ is equivalent to $a_j (k - j) > a_k (k - j)$. So we have shown that if we switch $a_j$ and $a_k$, then we will have $(a_1 + 1)(a_2 + 2)(a_3 + 3)(a_4 + 4)(a_5 + 5)(a_6 + 6) > 46080$. So we know that the permutation $(1,2,3,4,5,6)$ gives us the smallest value of $(a_1 + 1)(a_2 + 2)(a_3 + 3)(a_4 + 4)(a_5 + 5)(a_6 + 6)$. And since $(1,2,3,4,5,6)$ is just one permutation of $(1,2,3,4,5,6)$, we know that all other permutations will satisfy the inequality. So we have shown that there is only one permutation that does not satisfy the inequality. So there must be $720 - 1 = 719$ permutations that satisfy the inequality.


부등식이 무엇을 말하고 있는지 생각해 봅시다. 왼쪽을 곱하면 $\frac{a_1 + 1}{2}가 됩니다. \cdot \frac{a_2 + 2}{2} \cdot \frac{a_3 + 3}{2} \cdot \frac{a_4 + 4}{2} \cdot \frac{a_5 + 5}{2} \cdot \frac{a_6 + 6}{2} = \frac{(a_1 + 1)(a_2 + 2)(a_3 + 3)(a_4 + 4)(a_5 + 5)(a_6 + 6)}{64}$. 따라서 부등식은 $(a_1 + 1)(a_2 + 2)(a_3 + 3)(a_4 + 4)(a_5 + 5)(a_6 + 6)$의 곱이 $6보다 크다는 것을 말합니다! * 64$. 맞습니다, 그리고 $64 \cdot 6! = 64 \cdot 720 = 4480$이므로 부등식은 $(a_1 + 1)(a_2 + 2)(a_3 + 3)(a_4 + 4)(a_5 + 5)(a_6 + 6) > 4480$이라는 뜻이 됩니다. 따라서 $(1,2,3,4,5,6)$의 순열 개수가 $(a_1 + 1)(a_2 + 2)(a_3 + 3)(a_4 + 4)(a_5 + 5)(a_6 + 6)> 4480이 되도록 찾아야 합니다. 그렇군요. 이에 대해 생각해 봅시다. (a_1 + 1)(a_2 + 2)(a_3 + 3)(a_4 + 4)(a_5 + 5)(a_6 + 6)$를 최대한 작게 만들고 싶다면 $a_1 = 1$, $a_2 = 2$, $a_3 = 3$, $a_4 = 4$, $a_5 = 5$, $a_6 = 6$으로 하고 싶을 것입니다. 예, $64 \cdot 6! = 64 \cdot 720 = 46080$이므로. 맞습니다. 따라서 $(a_1 + 1)(a_2 + 2)(a_3 + 3)(a_4 + 4)(a_5 + 5)(a_6 + 6)$의 가능한 가장 작은 값은 $46080$입니다. 우리는 $(a_1 + 1)(a_2 + 2)(a_3 + 3)(a_4 + 4)(a_5 + 5)(a_6 + 6)$가 $4480$이라는 것을 알고 있지만, $(a_1 + 1)(a_2 + 2)(a_3 + 3)(a_4 + 4)(a_5 + 5)(a_6 + 6)$가 46080$임을 증명하고 싶어요. 맞습니다. 다른 모든 순열이 이 부등식을 만족한다는 것을 보여줄 필요가 있습니다. 따라서 어떤 순열이 이 부등식을 만족하지 않는다고 가정해 봅시다. 그렇다면 $(a_1 + 1)(a_2 + 2)(a_3 + 3)(a_4 + 4)(a_5 + 5)(a_6 + 6) \leq 46080$이 되어야 합니다. 가정을 통해 $(a_1 + 1)(a_2 + 2)(a_3 + 3)(a_4 + 4)(a_5 + 5)(a_6 + 6)$가 최소화된다는 것을 알 수 있습니다. 따라서 $a_j$와 $a_k$를 바꾸면 $(a_1 + 1)(a_2 + 2)(a_3 + 3)(a_4 + 4)(a_5 + 5)(a_6 + 6) > 46080$이 된다는 것을 보여주고자 합니다. 우리가 보여줘야 할 것은 $(a_j + j)(a_k + k) > (a_k + j)(a_j + k)$입니다. 맞습니다. 이는 $a_j a_k + j a_k + k a_j > a_j a_k + j a_j + k a_k$에 해당합니다. 그리고 이것은 $a_j k + a_k j > a_j j + a_k k$에 해당합니다. 맞습니다. 양쪽에서 $a_j j + a_k k$를 빼면 $a_j k + a_k j - a_j j - a_k k > 0$이 되고, 인수분해하면 $a_j (k - j) + a_k (j - k) > 0$이 됩니다. 그리고 $j < k$이므로 $k - j > 0$, $j - k < 0$이므로 $a_j (k - j) + a_k (j - k) > 0$은 $a_j (k - j) > a_k (k - j)$와 같다는 것을 알 수 있습니다. 따라서 $a_j$와 $a_k$를 바꾸면 $(a_1 + 1)(a_2 + 2)(a_3 + 3)(a_4 + 4)(a_5 + 5)(a_6 + 6) > 46080$이 된다는 것을 보았습니다. 따라서 순열 $(1,2,3,4,5,6)$은 가장 작은 값인 $(a_1 + 1)(a_2 + 2)(a_3 + 3)(a_4 + 4)(a_5 + 5)(a_6 + 6)$을 제공한다는 것을 알 수 있습니다. 그리고 $(1,2,3,4,5,6)$은 $(1,2,3,4,5,6)$의 하나의 순열에 불과하므로 다른 모든 순열이 부등식을 만족한다는 것을 알 수 있습니다. 따라서 부등식을 만족하지 않는 순열은 단 하나뿐이라는 것을 알 수 있습니다. 따라서 부등식을 만족하는 $720 - 1 = 719$ 순열이 존재해야 합니다.

