In abstract algebra, a composition series provides a way to break up an algebraic structure, such as a group or a module, into simple pieces. The need for considering composition series in the context of modules arises from the fact that many naturally occurring modules are not semisimple, hence cannot be decomposed into a direct sum of simple modules. A composition series of a module M is a finite increasing filtration of M by submodules such that the successive quotients are simple and serves as a replacement of the direct sum decomposition of M into its simple constituents. 

A composition series may not exist, and when it does, it need not be unique. Nevertheless, a group of results known under the general name Jordan–Hölder theorem asserts that whenever composition series exist, the isomorphism classes of simple pieces (although, perhaps, not their location in the composition series in question) and their multiplicities are uniquely determined. Composition series may thus be used to define invariants of finite groups and Artinian modules.

A related but distinct concept is a chief series: a composition series is a maximal subnormal series, while a chief series is a maximal normal series.

For groups
If a group G has a normal subgroup N, then the factor group G/N may be formed, and some aspects of the study of the structure of G may be broken down by studying the "smaller" groups G/N and N. If G has no normal subgroup that is different from G and from the trivial group, then G is a simple group. Otherwise, the question naturally arises as to whether G can be reduced to simple "pieces", and if so, are there any unique features of the way this can be done? 

More formally, a composition series of a group G is a subnormal series of finite length

with strict inclusions, such that each Hi is a maximal proper normal subgroup of Hi+1. Equivalently, a composition series is a subnormal series such that each factor group Hi+1 / Hi is simple. The factor groups are called composition factors.

A subnormal series is a composition series if and only if it is of maximal length. That is, there are no additional subgroups which can be "inserted" into a composition series. The length n of the  series is called the composition length.

If a composition series exists for a group G, then any subnormal series of G can be refined to a composition series, informally, by inserting subgroups into the series up to maximality. Every finite group has a composition series, but not every infinite group has one. For example,  has no composition series.

Uniqueness: Jordan–Hölder theorem
A group may have more than one composition series. However, the Jordan–Hölder theorem (named after Camille Jordan and Otto Hölder) states that any two composition series of a given group are equivalent. That is, they have the same composition length and the same composition factors, up to permutation and isomorphism. This theorem can be proved using the Schreier refinement theorem.  The Jordan–Hölder theorem is also true for transfinite ascending composition series, but not transfinite descending composition series . 
 gives a short proof of the Jordan–Hölder theorem by intersecting the terms in one subnormal series with those in the other series.

Example
For a cyclic group of order n, composition series correspond to ordered prime factorizations of n,  and in fact yields a proof of the fundamental theorem of arithmetic.

For example, the cyclic group  has  and  as three different composition series. The sequences of composition factors obtained in the respective cases are  and

For modules

The definition of composition series for modules restricts all attention to submodules, ignoring all additive subgroups that are not submodules. Given a ring R and an R-module M, a composition series for M is a series of submodules 

where all inclusions are strict and Jk is a maximal submodule of Jk+1 for each k. As for groups,  if M has a composition series at all, then any finite strictly increasing series of submodules of M may be refined to a composition series, and any two composition series for M are equivalent. In that case, the (simple) quotient modules Jk+1/Jk are known as the composition factors of M, and the Jordan–Hölder theorem holds, ensuring that the number of occurrences of each isomorphism type of simple R-module as a composition factor does not depend on the choice of composition series. 

It is well known that a module has a finite composition series if and only if it is both an Artinian module and a Noetherian module. If R is an Artinian ring, then every finitely generated R-module is Artinian and Noetherian, and thus has a finite composition series. In particular, for any field K, any finite-dimensional module for a finite-dimensional algebra over K has a composition series, unique up to equivalence.

Generalization
Groups with a set of operators generalize group actions and ring actions on a group. A unified approach to both groups and modules can be followed as in  or , simplifying some of the exposition. The group G is viewed as being acted upon by elements (operators) from a set Ω. Attention is restricted entirely to subgroups invariant under the action of elements from Ω, called Ω-subgroups. Thus Ω-composition series must use only Ω-subgroups, and Ω-composition factors need only be Ω-simple. The standard results above, such as the Jordan–Hölder theorem, are established with nearly identical proofs.

The special cases recovered include when Ω = G so that G is acting on itself. An important example of this is when elements of G act by conjugation, so that the set of operators consists of the inner automorphisms. A composition series under this action is exactly a chief series. Module structures are a case of Ω-actions where Ω is a ring and some additional axioms are satisfied.

For objects in an abelian category
A composition series of an object A in an abelian category is a sequence of subobjects

such that each quotient object Xi /Xi + 1 is simple (for ). If A has a composition series, the integer n only depends on A and is called the length of A.

See also 
 Krohn–Rhodes theory, a semigroup analogue
 Schreier refinement theorem, any two equivalent subnormal series have equivalent composition series refinements
 Zassenhaus lemma, used to prove the Schreier Refinement Theorem

Notes

References

 

Subgroup series
Module theory
추상대수학에서 합성열(合成列, )은 군이나 가군을 보다 단순한 부분들로 분해하는 방법 중 하나이다. 합성열은 존재하지 않을 수도 있고, 존재한다 해도 유일하지 않을 수 있다. 그러나 카미유 조르당과 오토 횔더의 이름을 딴 조르당-횔더 정리()에 따르면 합성열에 나타나는 몫군이나 몫가군들의 동형류와 각각의 동형류가 나타나는 횟수는 유일하게 결정된다. 단, 합성열 안에서 각 동형류가 나타나는 순서는 달라질 수 있다. 이는 슈라이어 정리를 통해 보일 수 있다. 조르당-횔더 정리는 초한 오름차순 합성열에 대해서도 성립하지만, 초한 내림차순 합성열에 대해서는 성립하지 않는다. 

합성열과 비슷한 개념으로 주합성열()이 있다. 합성열은 극대 부분정규열인 데 비해, 주합성열은 극대 정규열이다. (모든 정규열은 부분정규열이지만, 주합성열이 합성열일 필요는 없다.) 작용소군의 개념을 사용하면 군과 가군의 합성열 및 군의 주합성열을 통일되게 기술할 수 있다.

정의

작용소군 
모노이드  위의 작용소군 의 부분정규열()은 다음 두 조건을 만족시키는, 의 부분 작용소군들의 열

이다.
 모든 는 의 부분 작용소군이다.
 모든 는 의 정규 부분군이다 ().
부분정규열에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 부분정규열을 합성열이라고 한다.
 몫 작용소군 들은 단순 작용소군(=자명군과 스스로를 제외한 정규 부분 작용소군이 없는 비자명 작용소군)이다. 이 몫군들을 합성인자()라고 부른다.
 모든 에 대하여, 이며, 인 부분 작용소군 가 존재하지 않는다.
 모든 는 의 극대 정규 부분 작용소군이다.
즉, 합성열은 더 큰 부분정규열의 일부가 아닌 부분정규열이다.

군 
군  위에는 다음과 같은 두 작용소군 구조를 부여할 수 있다.
 자명 모노이드 의 자명한 작용. 이 작용소군 구조에 대한 부분정규열과 합성열은 군 의 부분정규열과 합성열이다.
 내부 자기 동형군 의 작용. 이 작용소군의 부분정규열을 군 의 정규열()이라고 하며, 이 작용소군의 합성열을 군 의 주합성열이라고 한다.
즉, 군 의 부분군의 열

에 대하여,
 만약 모든 가 의 정규 부분군이라면, 이 부분군의 열을 부분정규열이라고 한다.
 만약 부분정규열이며, 몫군 들이 단순군이라면 (즉, 이며, 를 포함하는 의 정규 부분군이 와 밖에 없다면), 이 부분군의 열을 합성열이라고 한다.
 만약 모든 가 의 정규 부분군이라면, 이 부분군의 열을 정규열이라고 한다.
 만약 정규열이며, 몫군 들이 의 극소 정규 부분군이라면 (즉, 이며, 와  사이에 의 정규 부분군이 와 밖에 없다면), 이 부분군의 열을 주합성열이라고 한다. 따라서, 주합성열은 더 큰 정규열에 포함되지 않는 정규열이다.
아벨 군의 경우, 모든 부분군이 정규 부분군이므로, 부분정규열과 정규열의 개념이 일치하며, 합성열과 주합성열 역시 같은 개념이다.

가군 
왼쪽 가군은 그 환의 작용을 갖춘 작용소군으로 여길 수 있다. 이 경우, 부분 작용소군·정규 부분 작용소군·부분 가군의 개념이 일치한다. 따라서, 환  위의 왼쪽 가군 의 부분정규열은 단순히 부분 가군의 열

이며, 모든 몫가군 가 단순 가군일 때 이 열은 합성열이다.

성질

존재 
임의의 모노이드  및 -작용소군 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 는 합성열을 갖는다.
 의 부분정규 부분 작용소군의 (포함 관계에 의한) 부분 순서 집합은 오름 사슬 조건과 내림 사슬 조건을 만족한다.
 다음 두 조건이 성립한다.
 임의의 의 부분 작용소군의 열 에 대하여, 만약 모든 가 의 정규 부분군이라면, 인 이 존재한다.
 임의의 의 부분 작용소군의 열 에 대하여, 만약 모든 가 의 정규 부분군이라면, 인 이 존재한다.
특히, 모든 유한군은 합성열을 갖는다. 무한군은 합성열을 갖지 않을 수 있다. 예컨대 는 합성열이 없다.

유일성 
조르당-횔더 정리에 따르면, 임의의 작용소군의 두 합성열은 ‘동형’이다. 즉, 모노이드  및 -작용소군  및 의 두 합성열

이 주어졌을 때, 다음이 성립한다.
 
 모든 에 대하여 와 가 동형이 되는 의 순열 가 존재한다.

슈라이어 정리에 의해 두 합성열은 동형인 세분을 갖는다. 그러나 합성열의 몫군은 모두 단순 작용소군이므로 어떠한 합성열도 더 이상의 세분을 갖지 않는다. 따라서 임의의 두 합성열은 동형이다.

참고 문헌 

 

군론