In category theory, a regular category is a category with finite limits and coequalizers of a pair of morphisms called kernel pairs, satisfying certain exactness conditions. In that way, regular categories recapture many properties of abelian categories, like the existence of images, without requiring additivity. At the same time, regular categories provide a foundation for the study of a fragment of first-order logic, known as regular logic.

Definition 
A category C is called regular if it satisfies the following three properties:
 C is finitely complete.
 If f : X → Y is a morphism in  C, and

  

 is a pullback, then the coequalizer of p0, p1 exists.  The pair (p0, p1) is called the kernel pair of f.  Being a pullback, the kernel pair is unique up to a unique isomorphism.
 If f : X → Y is a morphism in  C, and

  

 is a pullback, and if f is a regular epimorphism, then g is a regular epimorphism as well.  A regular epimorphism is an epimorphism that appears as a coequalizer of some pair of morphisms.

Examples 
Examples of regular categories include:
 Set, the category of sets and functions between the sets
 More generally, every elementary topos
 Grp, the category of groups and group homomorphisms
 The category of rings and ring homomorphisms
 More generally, the category of models of any variety
 Every bounded meet-semilattice, with morphisms given by the order relation
 Every abelian category

The following categories are not regular:
 Top, the category of topological spaces and continuous functions
 Cat, the category of small categories and functors

Epi-mono factorization 
In a regular category, the regular-epimorphisms and the monomorphisms form a factorization system. Every morphism f:X→Y can be factorized into a regular epimorphism e:X→E followed by a monomorphism m:E→Y, so that f=me.  The factorization is unique in the sense that if e':X→E' is another regular epimorphism and m':E'→Y is another monomorphism such that f=m'e, then there exists an isomorphism h:E→E'  such that he=e' and m'h=m.  The monomorphism m is called the image of f.

 Exact sequences and regular functors 
In a regular category, a diagram of the form  is said to be an exact sequence if it is both a coequalizer and a kernel pair. The terminology is a generalization of exact sequences in homological algebra: in an abelian category, a diagram 

is exact in this sense if and only if  is a short exact sequence in the usual sense.

A functor between regular categories is called regular, if it preserves finite limits and coequalizers of kernel pairs. A functor is regular if and only if it preserves finite limits and exact sequences. For this reason, regular functors are sometimes called exact functors. Functors that preserve finite limits are often said to be left exact.

 Regular logic and regular categories 

Regular logic is the fragment of first-order logic that can express statements of the form

where  and  are regular formulae i.e. formulae built up from atomic formulae, the truth constant, binary meets (conjunction) and existential quantification.  Such formulae can be interpreted in a regular category, and the interpretation is a model of a sequent , if the interpretation of  factors through the interpretation of .  This gives for each theory (set of sequents) T and for each regular category C a category Mod(T,C) of models of T in C.  This construction gives a functor Mod(T,-):RegCat→Cat from the category RegCat of small regular categories and regular functors to small categories. It is an important result that for each theory T there is a regular category R(T), such that for each regular category C there is an equivalence

which is natural in C.  Here, R(T) is called the classifying category of the regular theory T. Up to equivalence any small regular category arises in this way as the classifying category of some regular theory.

 Exact (effective) categories 

The theory of equivalence relations is a regular theory. An equivalence relation on an object  of a regular category is a monomorphism into  that satisfies the interpretations of the conditions for reflexivity, symmetry and transitivity. 

Every kernel pair  defines an equivalence relation . Conversely, an equivalence relation is said to be effective if it arises as a kernel pair.  An equivalence relation is effective if and only if it has a coequalizer and it is the kernel pair of this.

A regular category is said to be exact, or exact in the sense of Barr, or effective regular', if every equivalence relation is effective. (Note that the term "exact category" is also used differently, for the exact categories in the sense of Quillen.)

Examples of exact categories 

 The category of sets is exact in this sense, and so is any (elementary) topos. Every equivalence relation has a coequalizer, which is found by taking equivalence classes.
 Every abelian category is exact.
 Every category that is monadic over the category of sets is exact.
 The category of Stone spaces is regular, but not exact.

See also
 Allegory (category theory)
 Topos
 Exact completion

References 

Categories in category theory
범주론에서 정칙 범주(正則範疇, )는 모든 유한 극한을 갖고, 모든 사상을 그 치역으로의 전사 사상과 치역에서 공역으로 가는 단사 사상으로 유일하게 분해할 수 있는 범주이다.

정의

정칙 사상 
범주 에서, 어떤 두 사상 의 쌍대 동등자

로 나타낼 수 있는 사상을 정칙 전사 사상()이라고 한다. 정칙 단사 사상은 (쌍대 극한이므로) 항상 단사 사상이다.

마찬가지로, 범주 에서, 어떤 두 사상 의 동등자

로 나타낼 수 있는 사상을 정칙 단사 사상()이라고 한다. 정칙 단사 사상은 (극한이므로) 항상 단사 사상이다.

유효 사상 
사상 가 스스로와의 당김

을 가지며, 의 쌍대 동등자가 와 같다면, 를 유효 전사 사상()이라고 한다. 유효 전사 사상은 정의에 따라 정칙 전사 사상이다. 이와 같은 스스로와의 당김은 핵쌍()이라고 하며, 대략 대수 구조에서의 합동 관계의 일반화로 생각할 수 있다. 즉, 유효 전사 사상은 "합동 관계"에 대한 "몫"으로의 사영 사상으로 생각할 수 있다.

사상 가  스스로와의 밂

을 가지며, 의 동등자가 와 같다면, 를 유효 단사 사상()이라고 한다. 유효 단사 사상은 정의에 따라 정칙 단사 사상이다. 이 정의에서, 의 동등자는 의 "치역"으로 생각할 수 있다. 즉, 유효 단사 사상은 정의역과 치역 사이의 동형을 정의하는 단사 사상으로 생각할 수 있다.

정칙 범주 
범주 가 다음 조건들을 만족시킨다면 정칙 범주라고 한다.
 유한 완비 범주이다.
 임의의 사상 의 스스로에 대한 당김 에 대하여, 의 쌍대 동등자가 존재한다. 이는 의 핵쌍이라고 한다.
 정칙 전사 사상의 당김은 정칙 전사 사상이다.

두 정칙 범주 사이의 정칙 함자 는 다음 조건을 만족시키는 함자이다.
 유한 연속 함자이다. 즉, 유한 극한을 보존한다.
 핵쌍의 쌍대 동등자를 보존한다.
작은 정칙 범주와 정칙 함자의 범주를 라고 하자.

유효 정칙 범주 
정칙 범주 가 다음 조건을 만족시킨다면, 유효 정칙 범주() 또는 바 완전 범주()라고 한다. (이는 퀼런 완전 범주와 관계없는 개념이다.)
 임의의 대상 가 주어졌으며, 의 부분 대상 가 동치 관계를 이룰 때, 는 핵쌍으로부터 유도된다.

성질 
정칙 범주 에서, 모든 정칙 전사 사상들의 모임 과 단사 사상들의 모임 은 분해계를 이룬다. 즉, 임의의 사상 에 대하여,

인 정칙 전사 사상 과 단사 사상 이 존재한다. 의 부분 대상 을 의 치역이라고 한다.

정칙 사상 
임의의 범주 속의 사상에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.
 정칙 전사 사상이자 단사 사상이다.
 전사 사상이자 정칙 단사 사상이다.
 동형 사상이다.
(반면, 임의의 범주에서는 전사 사상이자 단사 사상이지만 동형 사상이 아닌 사상이 존재할 수 있다.)

다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
동형 사상 ⊆ 유효 단사 사상 ⊆ 정칙 단사 사상 ⊆ 강한 단사 사상 ⊆ 단사 사상
동형 사상 ⊆ 분할 단사 사상 ⊆ 정칙 단사 사상 ⊆ 강한 단사 사상 ⊆ 단사 사상
동형 사상 ⊆ 유효 전사 사상 ⊆ 정칙 전사 사상 ⊆ 강한 전사 사상 ⊆ 전사 사상
동형 사상 ⊆ 분할 전사 사상 ⊆ 정칙 전사 사상 ⊆ 강한 전사 사상 ⊆ 전사 사상
분할 단사 사상이 정칙 단사 사상인 이유는 분할 단사 사상  및 그 왼쪽 역사상 이 주어졌을 때 이기 때문이다. 마찬가지로,
분할 전사 사상이 정칙 전사 사상인 이유는 분할 전사 사상  및 그 오른쪽 역사상 이 주어졌을 때 이기 때문이다.

어떤 범주에서 모든 사상 의 스스로와의 당김 이 존재한다면, 이 범주에서 정칙 전사 사상의 개념과 유효 전사 사상의 개념이 일치한다. 토포스(또는 더 일반적으로 준토포스)에서, 다음이 성립한다.
 모든 전사 사상은 정칙 전사 사상이자 유효 전사 사상이다.
 모든 단사 사상은 정칙 단사 사상이다.
아벨 범주에서, 모든 단사 사상은 정칙 단사 사상이다.

완전열 
정칙 범주  속에서, 짧은 완전열은 다음과 같은 꼴의 그림이다.

여기서
 는 의 핵쌍이다.

만약 가 추가로 아벨 범주라면, 가 (정칙 범주의) 짧은 완전열인 것은

가 (아벨 범주의) 완전열인 것과 동치이다.

정칙 논리 
1차 논리에서 정칙 공식()은
 명제 변수 
 논리곱 
 존재 기호 
만으로 나타낼 수 있는 공식이다. 정칙 논리는

꼴의 명제들만을 다룰 수 있는, 1차 논리를 약화시킨 논리이다.

정칙 범주의 내부 논리는 정칙 논리이다. 구체적으로, 정칙 범주 의 끝 대상 을 골랐을 때, 다음과 같은 대응이 존재한다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

범주론