Let $k$ be a positive integer.  Then for $k^2 \le x < (k + 1)^2,$
\[x \lfloor \sqrt{x} \rfloor = kx.\]Thus, on this interval, the graph of $0 \le y \le x \lfloor \sqrt{x} \rfloor$ is a trapezoid, with left height $k^3,$ right height $k(k + 1)^2,$ and base $(k + 1)^2 - k^2 = 2k + 1,$ so its area is
\[\frac{k^3 + k(k + 1)^2}{2} \cdot (2k + 1) = 2k^4 + 3k^3 + 2k^2 + \frac{k}{2}.\]Let $n$ be a positive integer such that $k^2 + 1 \le n \le (k + 1)^2.$  Then for $k^2 \le x < n,$ the graph of $0 \le y \le x \lfloor \sqrt{x} \rfloor$ is a trapezoid with left height $k^3,$ right height $kn,$ and base $n - k^2,$ so its area is
\[\frac{k^3 + kn}{2} \cdot (n - k^2) = \frac{k(k^2 + n)(n - k^2)}{2} = \frac{k(n^2 - k^4)}{2}.\]We want to compute the area of the graph for $1 \le x \le n$; in particular, we want this area to be an integer.  We know that the area for $k^2 \le x \le (k + 1)^2$ is
\[2k^4 + 3k^3 + 2k^2 + \frac{k}{2}.\]Since $2k^4 + 3k^3 + 2k^2$ is always an integer, for our purposes, we keep only the $\frac{k}{2}$ term.  This gives us
\begin{align*}
\sum_{i = 1}^{k - 1} \frac{i}{2} + \frac{k(n^2 - k^4)}{2} &= \frac{1}{2} \cdot \frac{(k - 1)k}{2} + \frac{k(n^2 - k^4)}{2} \\
&= \frac{k(k - 1)}{4} + \frac{k(n^2 - k^4)}{2} \\
&= \frac{k[2k(n^2 - k^4) + k - 1]}{4}.
\end{align*}Thus, we want $k[2k(n^2 - k^4) + k - 1]$ to be divisible by 4.  We compute $k[2k(n^2 - k^4) + k - 1]$ modulo 4 for $0 \le k \le 3$ and $0 \le n \le 3,$ and obtain the following results:

\[
\begin{array}{c||c|c|c|c}
k \backslash n & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline \hline
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \hline
1 & 2 & 0 & 2 & 0 \\ \hline
2 & 2 & 2 & 2 & 2 \\ \hline
3 & 0 & 2 & 0 & 2
\end{array}
\]Case 1: $k = 4m$ for some integer $m.$

All integers $n$ in the range $k^2 + 1 \le n \le (k + 1)^2$ work, for a total of $2k + 1$ integers.

Case 2: $k = 4m + 1$ for some integer $m.$

Only odd integers $n$ in the range $k^2 + 1 \le n \le (k + 1)^2$ work.  These are $k^2 + 2,$ $k^2 + 4,$ $\dots,$ $(k + 1)^2 - 1,$ for a total of $k$ integers.

Case 3: $k = 4m + 2$ for some integer $m.$

No integers $n$ in the range $k^2 + 1 \le n \le (k + 1)^2$ work.

Case 4: $k = 4m + 3$ for some integer $m.$

Only even integers $n$ in the range $k^2 + 1 \le n \le (k + 1)^2$ work.  These are $k^2 + 1,$ $k^2 + 3,$ $\dots,$ $(k + 1)^2,$ for a total of $k + 1$ integers.

Thus, the four cases $k = 4m + 1,$ $4m + 2,$ $4m + 3,$ and $4m + 4$ contribute
\[4m + 1 + 4m + 4 + 2(4m + 4) + 1 = 16m + 14.\]integers.

Summing over $0 \le m \le 6$ covers the cases $2 \le n \le 841,$ and gives us
\[\sum_{m = 0}^6 (16m + 14) = 434\]integers.

For $k = 29,$ which covers the cases $529 \le n \le 900,$ we have another 29 integers.

For $k = 30,$ which covers the cases $901 \le n \le 961,$ there are no integers.

For $k = 31,$ only the even integers in the range $962 \le n \le 1024$ work.  We want the integers up to 1000, which are
\[962, 964, \dots, 1000,\]and there are 20 of them.

Thus, the total number of integers we seek is $434 + 29 + 20 = 483.$
k$를 양의 정수라고 합니다. 그런 다음 $k^2 \le x < (k + 1)^2,$에 대해 다음과 같이 계산합니다.
\[x \lfloor \sqrt{x} \rfloor = kx.\]따라서 이 구간에서 $0 \le y \le x \lfloor \sqrt{x}의 그래프가 됩니다. \rfloor$ 는 왼쪽 높이 $k^3,$ 오른쪽 높이 $k(k + 1)^2,$ 밑변 $(k + 1)^2 - k^2 = 2k + 1,$ 인 사다리꼴이므로 그 면적은 다음과 같습니다.
\[\frac{k^3 + k(k + 1)^2}{2} \cdot (2k + 1) = 2k^4 + 3k^3 + 2k^2 + \frac{k}{2}.\]$ n을 $k^2 + 1 \le n \le (k + 1)^2$ 의 양의 정수라고 가정하면 $k^2 \le x < n,$ 의 그래프는 $0 \le y \le x \lfloor \sqrt{x}입니다. \rfloor$ 는 왼쪽 높이 $k^3,$ 오른쪽 높이 $kn,$ 밑변이 $n - k^2,$ 인 사다리꼴이므로 그 면적은 다음과 같습니다.
\[\frac{k^3 + kn}{2} \cdot (n - k^2) = \frac{k(k^2 + n)(n - k^2)}{2} = \frac{k(n^2 - k^4)}{2}.\]$1 \le x \le n$에 대한 그래프의 넓이를 계산하고자 하며, 특히 이 넓이가 정수가 되기를 원합니다.  k^2 \le x \le (k + 1)^2$의 면적은 다음과 같습니다.
\[2k^4 + 3k^3 + 2k^2 + \frac{k}{2}.\]$2k^4 + 3k^3 + 2k^2$는 항상 정수가 되므로, 여기서는 $\frac{k}{2}$ 항만 유지합니다.  이렇게 하면 다음과 같이 됩니다.
\begin{align*}
\sum_{i = 1}^{k - 1} \frac{i}{2} + \frac{k(n^2 - k^4)}{2} &= \frac{1}{2} \cdot \frac{(k - 1)k}{2} + \frac{k(n^2 - k^4)}{2} \\
&= \frac{k(k - 1)}{4} + \frac{k(n^2 - k^4)}{2} \\
&= \frac{k[2k(n^2 - k^4) + k - 1]}{4}.
\end{align*}따라서 $k[2k(n^2 - k^4) + k - 1]$를 4로 나눌 수 있기를 원합니다. $0 \le k \le 3$ 및 $0 \le n \le 3,$에 대해 $k[2k(n^2 - k^4) + k - 1]$ 모듈로 4를 계산하면 다음 결과를 얻을 수 있습니다:

\[
\begin{array}{c||c|c|c|c}
k \백슬래시 n & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline \hline
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \hline
1 & 2 & 0 & 2 & 0 \\ \hline
2 & 2 & 2 & 2 & 2 \\ \hline
3 & 0 & 2 & 0 & 2
\end{array}
\]사례 1: 일부 정수 $m.$의 경우 $k = 4m$입니다.

k^2 + 1 \le n \le (k + 1)^2$ 범위의 모든 정수 $n$이 작동하므로 총 $2k + 1$의 정수가 됩니다.

사례 2: 일부 정수 $m.$에 대해 $k = 4m + 1$입니다.

k^2 + 1 \le n \le (k + 1)^2$ 범위의 홀수 정수 $n$만 작동합니다.  이는 $k^2 + 2,$ $k^2 + 4,$ $\점,$ $(k + 1)^2 - 1,$로 총 $k$ 정수에 대해 계산됩니다.

사례 3: 일부 정수 $m에 대해 $k = 4m + 2$입니다.

k^2 + 1 \le n \le (k + 1)^2$ 범위의 정수 $n$은 작동하지 않습니다.

사례 4: 일부 정수 $m에 대해 $k = 4m + 3$입니다.

k^2 + 1 \le n \le (k + 1)^2$ 범위의 짝수 정수 $n$만 작동합니다.  이는 $k^2 + 1,$ $k^2 + 3,$ $\점,$ $(k + 1)^2,$ 총 $k + 1$ 정수에 대해 $\점,$ $(k + 1)^2,$ 입니다.

따라서 $k = 4m + 1,$ $4m + 2,$ $4m + 3,$ 및 $4m + 4$의 네 가지 경우는 다음과 같이 기여합니다.
\[4m + 1 + 4m + 4 + 2(4m + 4) + 1 = 16m + 14.\]정수가 됩니다.

0 \le m \le 6$ 을 합하면 $2 \le n \le 841,$ 의 경우가 포함되며 다음과 같이 됩니다.
\[\sum_{m = 0}^6 (16m + 14) = 434\]정수가 됩니다.

k = 29,$의 경우 $529 \le n \le 900,$의 경우를 포함하므로 29개의 정수가 더 생깁니다.

k = 30,$의 경우 $901 \le n \le 961,$의 경우를 포함하므로 정수가 없습니다.

k = 31,$ 의 경우 $962 \le n \le 1024$ 범위의 짝수 정수만 작동합니다.  우리는 최대 1000까지의 정수를 원합니다.
\962, 964, \점, 1000,\]이며 그 중 20개가 있습니다.

따라서 우리가 구하는 정수의 총 개수는 $434 + 29 + 20 = 483.$입니다.