In mathematics, an automorphism is an isomorphism from a mathematical object to itself. It is, in some sense, a symmetry of the object, and a way of mapping the object to itself while preserving all of its structure. The set of all automorphisms of an object forms a group, called the automorphism group. It is, loosely speaking, the symmetry group of the object.

Definition
In the context of abstract algebra, a mathematical object is an algebraic structure such as a group, ring, or vector space. An automorphism is simply a bijective homomorphism of an object with itself. (The definition of a homomorphism depends on the type of algebraic structure; see, for example, group homomorphism, ring homomorphism, and linear operator.)

The identity morphism (identity mapping) is called the trivial automorphism in some contexts. Respectively, other (non-identity) automorphisms are called nontrivial automorphisms.

The exact definition of an automorphism depends on the type of "mathematical object" in question and what, precisely, constitutes an "isomorphism" of that object. The most general setting in which these words have meaning is an abstract branch of mathematics called category theory. Category theory deals with abstract objects and morphisms between those objects.

In category theory, an automorphism is an endomorphism (i.e., a morphism from an object to itself) which is also an isomorphism (in the categorical sense of the word, meaning there exists a right and left inverse endomorphism).

This is a very abstract definition since, in category theory, morphisms are not necessarily functions and objects are not necessarily sets. In most concrete settings, however, the objects will be sets with some additional structure and the morphisms will be functions preserving that structure.

Automorphism group

If the automorphisms of an object  form a set (instead of a proper class), then they form a group under composition of morphisms. This group is called the automorphism group of .
Closure Composition of two automorphisms is another automorphism.
Associativity It is part of the definition of a category that composition of morphisms is associative.
Identity The identity is the identity morphism from an object to itself, which is an automorphism.
Inverses By definition every isomorphism has an inverse that is also an isomorphism, and since the inverse is also an endomorphism of the same object it is an automorphism.

The automorphism group of an object X in a category C is denoted AutC(X), or simply Aut(X) if the category is clear from context.

Examples
 In set theory, an arbitrary permutation of the elements of a set X is an automorphism. The automorphism group of X is also called the symmetric group on X.
 In elementary arithmetic, the set of integers, Z, considered as a group under addition, has a unique nontrivial automorphism: negation. Considered as a ring, however, it has only the trivial automorphism. Generally speaking, negation is an automorphism of any abelian group, but not of a ring or field.
 A group automorphism is a group isomorphism from a group to itself. Informally, it is a permutation of the group elements such that the structure remains unchanged. For every group G there is a natural group homomorphism G → Aut(G) whose image is the group Inn(G) of inner automorphisms and whose kernel is the center of G. Thus, if G has trivial center it can be embedded into its own automorphism group.
 In linear algebra, an endomorphism of a vector space V is a linear operator V → V. An automorphism is an invertible linear operator on V. When the vector space is finite-dimensional, the automorphism group of V is the same as the general linear group, GL(V).  (The algebraic structure of all endomorphisms of V is itself an algebra over the same base field as V, whose invertible elements precisely consist of GL(V).)
 A field automorphism is a bijective ring homomorphism from a field to itself. In the cases of the rational numbers (Q) and the real numbers (R) there are no nontrivial field automorphisms. Some subfields of R have nontrivial field automorphisms, which however do not extend to all of R (because they cannot preserve the property of a number having a square root in R). In the case of the complex numbers, C, there is a unique nontrivial automorphism that sends R into R: complex conjugation, but there are infinitely (uncountably) many "wild" automorphisms (assuming the axiom of choice). Field automorphisms are important to the theory of field extensions, in particular Galois extensions. In the case of a Galois extension L/K the subgroup of all automorphisms of L fixing K pointwise is called the Galois group of the extension.
 The automorphism group of the quaternions (H) as a ring are the inner automorphisms, by the Skolem–Noether theorem: maps of the form . This group is isomorphic to SO(3), the group of rotations in 3-dimensional space.
 The automorphism group of the octonions (O) is the exceptional Lie group G2.
 In graph theory an automorphism of a graph is a permutation of the nodes that preserves edges and non-edges. In particular, if two nodes are joined by an edge, so are their images under the permutation.
 In geometry, an automorphism may be called a motion of the space. Specialized terminology is also used:
 In metric geometry an automorphism is a self-isometry. The automorphism group is also called the isometry group.
 In the category of Riemann surfaces, an automorphism is a biholomorphic map (also called a conformal map), from a surface to itself. For example, the automorphisms of the Riemann sphere are Möbius transformations.
 An automorphism of a differentiable manifold M is a diffeomorphism from M to itself. The automorphism group is sometimes denoted Diff(M).
 In topology, morphisms between topological spaces are called continuous maps, and an automorphism of a topological space is a homeomorphism of the space to itself, or self-homeomorphism (see homeomorphism group). In this example it is not sufficient for a morphism to be bijective to be an isomorphism.

History
One of the earliest group automorphisms (automorphism of a group, not simply a group of automorphisms of points) was given by the Irish mathematician William Rowan Hamilton in 1856, in his icosian calculus, where he discovered an order two automorphism, writing:
so that  is a new fifth root of unity, connected with the former fifth root  by relations of perfect reciprocity.

Inner and outer automorphisms

In some categories—notably groups, rings, and Lie algebras—it is possible to separate automorphisms into two types, called "inner" and "outer" automorphisms.

In the case of groups, the inner automorphisms are the conjugations by the elements of the group itself. For each element a of a group G, conjugation by a is the operation  given by  (or a−1ga; usage varies). One can easily check that conjugation by a is a group automorphism. The inner automorphisms form a normal subgroup of Aut(G), denoted by Inn(G); this is called Goursat's lemma.

The other automorphisms are called outer automorphisms. The quotient group  is usually denoted by Out(G); the non-trivial elements are the cosets that contain the outer automorphisms.

The same definition holds in any unital ring or algebra where a is any invertible element. For Lie algebras the definition is slightly different.

See also
 Antiautomorphism
 Automorphism (in Sudoku puzzles)
 Characteristic subgroup
 Endomorphism ring
 Frobenius automorphism
 Morphism
 Order automorphism (in order theory).
 Relation-preserving automorphism
 Fractional Fourier transform

References

External links
 Automorphism at Encyclopaedia of Mathematics
 

Morphisms
Abstract algebra
Symmetry
수학에서 자기 동형 또는 자기 동형 사상(自己同型寫像, )은 수학적 대상의 자기 사상인 동형 사상이다. 대상의 모든 구조를 유지하면서 대상을 자기 자신으로 사상하므로 이는 대상의 대칭을 나타낸다고 할 수 있다. 대상의 모든 자기 동형 사상의 집합은 그 대상의 대칭군이라고 할 수 있는 자기동형군을 형성한다.

정의 
범주 의 자기 동형 사상은 자기 사상인 동형 사상이다. 즉, 의 자기 사상 가 자기 동형 사상이라는 것은 를 만족하는 사상 이 존재한다는 것을 의미한다.

국소적으로 작은 범주 에서 대상 의 자기 동형 사상들은 사상의 합성에 대하여 군을 이룬다. 이 군에서, 항등원은 항등 사상이며, 역원은 역사상이다. 이를 자기 동형군(自己同型群, )이라고 하고, 로 쓴다. 즉, 자기 동형군 는 의 자기 사상 모노이드 의 가역원들로 구성된 부분 모노이드이다.

예 
 주어진 부호수의 대수 구조와 그 준동형의 구체적 범주 (또는 그 충만한 부분 범주)에서, 자기 동형 사상은 단순히 전단사 함수인 자기 준동형이다.
 집합의 범주에서, 자기 동형 사상은 전단사 자기 함수(순열)이며, 집합 의 자기 동형군은 대칭군 이라고 한다.
 체  위의 벡터 공간의 범주 에서, 자기 동형 사상은 전단사 자기 선형 변환이며, 벡터 공간 의 자기 동형군은 일반선형군 이다.
 군의 범주에서, 자기 동형 사상은 전단사 자기 군 준동형이다. 이는 구조가 변경되지 않은 상태로 유지되는 군 원소의 순열이라고 할 수 있다. 모든 군 에 대해 상이 내부 자기 동형군 이고 핵이 중심 인 자연스러운 군 준동형 가 존재한다. 따라서 의 중심이 자명하다면, 는 자신의 자기동형군의 부분군으로 여길 수 있다. 이 경우 자기 동형군 의 중심 역시 자명하므로, 위 과정을 반복하여 자기 동형탑을 만들 수 있다. 자명한 중심을 갖는 유한군의 자기 동형탑은 무한히 커지지 않음을 보일 수 있다.
 갈루아 확대의 자기 동형군은 갈루아 군이라고 한다.
 모노이드 을 하나의 대상 을 갖는 범주로 간주하였을 때, 유일한 대상의 자기 동형군 은 의 가역원들의 군 이다. 특히, 만약 이 군이라면, 이다.
 정수의 덧셈군 는 유일한 비항등 자기 동형 사상 을 갖는다. 그러나 환으로서의 는 항등 자기 동형 사상만 갖는다. 덧셈 역원을 취하는 함수는 모든 아벨 군의 자기 동형 사상이지만, 환이나 체에서는 일반적으로 (표수가 2가 아닌 경우) 자기 동형 사상이 아니다.
 체(와 환 준동형)의 범주에서, 체 자기 동형 사상은 전사 자기 환 준동형이며, 이는 자동적으로 전단사 함수가 된다. 유리수체 와 실수체 의 경우 항등이 아닌 자기 동형은 존재하지 않는다. 의 일부 부분체는 비항등 자기 동형을 갖는다. 예를 들어,  ()는 이차 수체 의 자기 동형이다. 그러나 이러한 부분체의 자기 동형은 에서 제곱근이 있는 수의 성질을 유지할 수 없기 때문에  전체로 확장되지는 않는다. 복소수체 의 자기 동형 사상은 체의 확대 의 자기 동형 사상과 동치이다. 을 로 보내는 의 자기 동형 사상은 항등 함수와 켤레 복소수 밖에 없으며, 이 둘은 유일한 의 연속 자기 동형 사상이기도 하다. 선택 공리를 가정하면, 의 임의의 부분체의 임의의 자기 동형 사상은 의 자기 동형 사상으로 확장될 수 있으며, 또한 자기 동형들의 집합의 크기는 이다.
 사원수 의 환 자기 동형 사상은 스콜렘-뇌터 정리에 의해 내부 자기 동형 사상이 된다. 즉, 자기 동형 사상은 어떤 원소 에 대해  형식을 갖는다. 사원수의 자기동형군은 3차원 공간에서의 회전군인 SO(3)과 동형이다.
 팔원수 의 자기동형군은 예외적 리 군 G₂이다.
 그래프(와 그래프 준동형)의 범주에서, 그래프의 자기 동형 사상은 변과 변이 아닌 것을 보존하는 꼭짓점의 순열이다. 특히 두 꼭짓점이 변으로 연결되면 순열에 의한 상도 연결되어 있다.
 기하학에서 자기 동형 사상은 공간의 운동이라고 할 수 있다. 몇몇 특수한 상황에서 사용되는 용어는 다음과 같다.
 거리 공간과 등거리변환의 범주에서, 자기 동형 사상은 전사 자기 등거리변환이다. 이는 자동으로 전단사 함수가 되며, 역함수 역시 등거리변환이다. 유클리드 공간 의 거리 공간으로서의 자기 동형군은 유클리드 군 이다.
 리만 곡면(과 정칙 함수)의 범주에서, 자기 동형 사상은 자기 쌍정칙 함수(등각 사상)이다. 예를 들어, 리만 구의 자기 동형 사상은 뫼비우스 변환이다.
 매끄러운 다양체(와 매끄러운 함수)의 범주에서, 매끄러운 다양체 의 자기 동형 사상은 자신으로의 미분 동형 사상이며, 그 자기동형군은 흔히 으로 표기한다.
 위상 공간(과 연속 함수)의 범주에서, 위상 공간의 자기 동형 사상은 자신으로의 위상 동형 사상이다. 이때 전단사 연속 함수는 위상 동형 사상이 되기 위한 충분 조건이 아니다.

역사 
최초의 군 자기 동형 사상(단순히 점의 자기동형군이 아닌 군의 자기 동형) 중 하나는 아일랜드 수학자 윌리엄 로언 해밀턴이 1856년 그의 정이십면체 대수(:en:icosian calculus)에서 발견한 2차 자기 동형 사상이다.는 항등원의 새로운 5제곱근이고, 이전의 5제곱근 과 완전한 상호 관계(perfect reciprocity)로 연결되어 있다.

내부 및 외부 자기 동형 사상 
일부 범주(특히 군, 환, 리 대수)에서 자기 동형 사상을 "내부" 및 "외부" 자기 동형 사상의 두 가지 유형으로 분리할 수 있다.

군의 경우, 내부 자기 동형 사상은 군 원소에 의해 만들어지는 켤레이다. 군 의 각 원소 에 대해 에 의한 켤레 는 으로 주어지는 연산이다. (대신 을 사용할 수도 있다.) 에 의한 켤레는 군 자기 동형 사상임을 쉽게 확인할 수 있다. Goursat의 보조정리에 따르면, 내부 자기 동형 사상은 의 정규 부분군을 형성한다. 이는 으로 표기한다.

내부 자기 동형 사상이 아닌 자기 동형 사상은 외부 자기 동형 사상이다. 몫군 은 일반적으로 으로 표기한다. 비자명한 원소는 외부 자기 동형을 포함하는 잉여류이다.

단위원을 갖는 환 또는 대수에서 가역원 에 대해 같은 정의를 적용할 수 있다. 리 대수의 경우 정의가 약간 다르다.

같이 보기 

 반 자기 동형 사상
 Automorphism (스도쿠 퍼즐에서)
 특성 부분군
 자기준동형환
 프로베니우스 사상
 사상
 순서 자기 동형 (순서론에서).
 관계 보존 자기 동형 사상
 분수 푸리에 변환

참고 문헌

외부 링크 

  
 
 
 
 
 
대칭
추상대수학