In mathematics, an exact category is a concept of category theory due to Daniel Quillen which is designed to encapsulate the properties of short exact sequences in abelian categories without requiring that morphisms actually possess kernels and cokernels, which is necessary for the usual definition of such a sequence.

Definition
An exact category E is an additive category possessing a class E of "short exact sequences": triples of objects connected by arrows
 
satisfying the following axioms inspired by the properties of short exact sequences in an abelian category:
 E is closed under isomorphisms and contains the canonical ("split exact") sequences:

 Suppose  occurs as the second arrow of a sequence in E (it is an admissible epimorphism) and  is any arrow in E.  Then their pullback exists and its projection to  is also an admissible epimorphism.  Dually, if  occurs as the first arrow of a sequence in E (it is an admissible monomorphism) and  is any arrow, then their pushout exists and its coprojection from  is also an admissible monomorphism.  (We say that the admissible epimorphisms are "stable under pullback", resp. the admissible monomorphisms are "stable under pushout".);
 Admissible monomorphisms are kernels of their corresponding admissible epimorphisms,  and dually.  The composition of two admissible monomorphisms is admissible (likewise admissible epimorphisms);
 Suppose  is a map in E which admits a kernel in E, and suppose  is any map such that the composition  is an admissible epimorphism.  Then so is   Dually, if  admits a cokernel and  is such that  is an admissible monomorphism, then so is 

Admissible monomorphisms are generally denoted  and admissible epimorphisms are denoted   These axioms are not minimal; in fact, the last one has been shown by  to be redundant.

One can speak of an exact functor between exact categories exactly as in the case of exact functors of abelian categories: an exact functor  from an exact category D to another one E is an additive functor such that if

is exact in D, then

is exact in E.  If D is a subcategory of E, it is an exact subcategory if the inclusion functor is fully faithful and exact.

Motivation
Exact categories come from abelian categories in the following way.  Suppose A is abelian and let E be any strictly full additive subcategory which is closed under taking extensions in the sense that given an exact sequence

in A, then if  are in E, so is .  We can take the class E to be simply the sequences in E which are exact in A; that is,

is in E iff

is exact in A.  Then E is an exact category in the above sense.  We verify the axioms:
 E is closed under isomorphisms and contains the split exact sequences: these are true by definition, since in an abelian category, any sequence isomorphic to an exact one is also exact, and since the split sequences are always exact in A.
 Admissible epimorphisms (respectively, admissible monomorphisms) are stable under pullbacks (resp. pushouts): given an exact sequence of objects in E,

and a map  with  in E, one verifies that the following sequence is also exact; since E is stable under extensions, this means that  is in E:

 Every admissible monomorphism is the kernel of its corresponding admissible epimorphism, and vice versa: this is true as morphisms in A, and E is a full subcategory.
 If  admits a kernel in E and if  is such that  is an admissible epimorphism, then so is : See .

Conversely, if E is any exact category, we can take A to be the category of left-exact functors from E into the category of abelian groups, which is itself abelian and in which E is a natural subcategory (via the Yoneda embedding, since Hom is left exact), stable under extensions, and in which a sequence is in E if and only if it is exact in A.

Examples
 Any abelian category is exact in the obvious way, according to the construction of #Motivation.
 A less trivial example is the category Abtf of torsion-free abelian groups, which is a strictly full subcategory of the (abelian) category Ab of all abelian groups.  It is closed under extensions: if

is a short exact sequence of abelian groups in which  are torsion-free, then  is seen to be torsion-free by the following argument: if  is a torsion element, then its image in  is zero, since  is torsion-free.  Thus  lies in the kernel of the map to , which is , but that is also torsion-free, so .  By the construction of #Motivation, Abtf is an exact category; some examples of exact sequences in it are:

where the last example is inspired by de Rham cohomology ( and  are the closed and exact differential forms on the circle group); in particular, it is known that the cohomology group is isomorphic to the real numbers.  This category is not abelian.
 The following example is in some sense complementary to the above.  Let Abt be the category of abelian groups with torsion (and also the zero group).  This is additive and a strictly full subcategory of Ab again.  It is even easier to see that it is stable under extensions: if

is an exact sequence in which  have torsion, then  naturally has all the torsion elements of .  Thus it is an exact category.

References
 

 

Additive categories
Homological algebra
호몰로지 대수학에서 퀼런 완전 범주(Quillen完全範疇, )는 짧은 완전열의 개념이 부여된 가법 범주이며, 아벨 범주의 개념의 일반화이다. 아벨 범주의 짧은 완전열들이 만족시키는 성질들을 공리화하여 추상화한 개념이지만, 아벨 범주의 개념과 달리 사상들이 핵 및 여핵을 가질 필요가 없다. 퀼런 완전 범주 위에는 대수적 K이론을 취할 수 있다.

정의 
퀼런 완전 범주의 개념은 두 가지로 정의될 수 있다.
 퀼런 완전 범주는 특별한 합성 가능 사상 순서쌍들의 모임이 주어진 가법 범주로 정의될 수 있다. 이 경우 이 사상 순서쌍들은 일련의 공리들을 만족시켜야 한다.
 퀼런 완전 범주는 어떤 아벨 범주의 특별한 부분 가법 범주로 정의될 수 있다.
이 두 정의들은 서로 동치이다.

공리적 정의 
퀼런 완전 범주는 다음과 같은 데이터로 구성된다.
 가법 범주 
 하나의 공역이 다른 하나의 정의역이 되는 사상 순서쌍들의 모임 . 그 원소를 짧은 완전열이라고 한다. 또한, , 를 정의하자.
이 데이터는 다음 조건들을 만족시켜야 한다.
 임의의 두 대상 의 직합에 등장하는 사상 는 항상 에 속한다.
 만약 이라면, 이며 이다.
 임의의  및 임의의 사상 에 대하여, 당김 가 존재하며, 사영 사상  역시 핵을 가지며, 이다. 마찬가지로 그 쌍대 공리 역시 성립한다.

(퀼런의 원래 정의는 이에 한 공리를 더 포함하였으나, 이후 이 공리는 나머지 공리들로부터 증명될 수 있음이 밝혀졌다.

이 경우 에 속하는 사상 순서쌍들을 허용 확대(許容擴大, )라고 하고, 허용 확대의 첫 성분을  허용 단사 사상(許容單射寫像, )이라 하며, 허용 확대의 둘째 성분을 허용 전사 사상(許容全射寫像, )이라고 한다.

부분 범주를 통한 정의 
퀼런 완전 범주 는 아벨 범주 의 다음과 같은 충실충만한 부분 가법 범주이다.
 확대에 대하여 닫혀 있다. 즉,  속의 짧은 완전열 에서, 만약 라면 이다.

위와 같은 확대를 허용 확대(許容擴大, )라고 하고, 허용 가능 확대의 단사 사상 을 허용 단사 사상(許容單射寫像, ), 허용 확대의 전사 사상 를 허용 전사 사상(許容全射寫像, )이라고 한다. 허용 전사 사상을 , 허용 단사 사상을 로 표기하자.

두 정의 사이의 관계 
(공리적 정의에 대한) 퀼런 완전 범주 가 주어졌을 때,  왼쪽 완전 함자의 범주 는 아벨 범주이다.  함자는 왼쪽 완전 함자이므로, 요네다 매장을 통해 는 의 부분 함자를 이룬다.

이 경우 는 (의 부분 범주로서) 부분 범주를 통한 퀼런 완전 범주의 정의를 만족시킨다.

반대로, (부분 범주를 통한) 퀼런 완전 범주는 퀼런 범주의 공리적 정의를 만족시키는 것을 쉽게 확인할 수 있다.

성질 
퀼런 완전 범주의 개념은 자기 쌍대이다. 즉, 임의의 퀼런 완전 범주 에 대하여, 그 반대 범주 에 를 부여하면, 이 역시 퀼런 완전 범주를 이룬다. 이는 퀼런 완전 범주의 공리적 정의로부터 쉽게 확인할 수 있다.

예

아벨 범주 
임의의 아벨 범주에 (표준적인) 짧은 완전열의 모임을 부여하면, 이는 퀼런 완전 범주를 이룬다. 부분 범주를 통한 정의에서, 이는 아벨 범주를 스스로의 부분 범주로 여기는 것에 해당한다.

이는 아벨 범주 위의 퀼런 완전 범주 구조 가운데, 짧은 완전열을 가장 많이 갖는 것이다.

자명한 퀼런 완전 범주 구조 
임의의 가법 범주  위에, 오직

의 꼴의 사상 순서쌍만을 짧은 완전열로 지정하자. (여기서 위의 두 사상은 곱 및 쌍대곱에 등장하는 두 보편 사상이다.) 그렇다면, 이는 퀼런 완전 범주를 이루며, 또한 (공리에 따라)  위에 존재하는 퀼런 완전 범주 구조들 가운데 짧은 완전열을 가장 적게 갖는 것이다.

꼬임 없는 아벨 군 
꼬임 없는 아벨 군과 군 준동형의 범주 는 가법 범주이지만 아벨 범주가 아니며, 아벨 군과 군 준동형의 아벨 범주 의 부분 범주이다. 이 부분 범주는 퀼런 완전 범주를 이룬다.

역사 
1958년에 알렉스 헬러()가 퀼런 완전 범주와 유사한 개념을 “아벨 범주”()라는 이름으로 도입하였다. (이는 오늘날의 아벨 범주의 개념과 다르다.)

1960년에 요네다 노부오가 “준아벨 -범주”()라는 이름으로 도입하였으며, 이 개념은 오늘날의 퀼런 완전 범주의 개념과 동치이다.

이후 1973년에 대니얼 퀼런이 대수적 K이론을 정의하기 위하여 같은 개념을 재발견하였으며, “완전 범주”()라는 이름을 도입하였다. 이후 다른 저자들이 “완전 범주”라는 같은 용어를 다른 뜻으로 사용했기 때문에, 혼란을 피하기 위하여 “퀼런 완전 범주”라고 불리게 되었다.

참고 문헌

외부 링크 
 

호몰로지 대수학
K이론
범주론