In mathematics, modular forms are particular complex analytic functions on the upper half-plane of interest in complex analysis and number theory. When reduced modulo a prime p, there is an analogous theory to the classical theory of complex modular forms and the p-adic theory of modular forms.

Reduction of modular forms modulo 2

Conditions to reduce modulo 2
Modular forms are analytic functions, so they admit a Fourier series. As modular forms also satisfy a certain kind of functional equation with respect to the group action of the modular group, this Fourier series may be expressed in terms of .
So if  is a modular form, then there are coefficients  such that .
To reduce modulo 2, consider the subspace of modular forms with coefficients of the -series being all integers (since complex numbers, in general, may not be reduced modulo 2).
It is then possible to reduce all coefficients modulo 2, which will give a modular form modulo 2.

Basis for modular forms modulo 2
Modular forms are generated by  and :..
It is then possible to normalize  and  to  and , having integers coefficients in their -series.
This gives generators for modular forms, which may be reduced modulo 2.
Note the Miller basis has some interesting properties 
Once reduced modulo 2,  and  are just . That is, a trivial reduction.
To get a non-trivial reduction, mathematicians use the modular discriminant . It is introduced as a "priority" generator before  and .
Thus, modular forms are seen as polynomials of , and  (over the complex  in general, but seen over integers  for reduction), once reduced modulo 2, they become just polynomials of  over .

The modular discriminant modulo 2
The modular discriminant is defined by an infinite product:
 
The coefficients that matches are usually denoted , and correspond to the Ramanujan tau function.
Results from Kolberg and Jean-Pierre Serre allows to show that modulo 2, we have:
 i.e., the -series of  modulo 2 consists of  to powers of odd squares.

Hecke operators modulo 2
Hecke operators are commonly considered as the most important operators acting on modular forms.
It is therefore justified to try to reduce them modulo 2.

The Hecke operators for a modular form  are defined as follows

with .

Hecke operators may be defined on the -series as follows:
if , 
then  
with

Since modular forms were reduced using the -series, it makes sense to use the -series definition. The sum simplifies a lot for Hecke operators of primes (i.e. when  is prime): there are only two summands. This is very nice for reduction modulo 2, as the formula simplifies a lot.
With more than two summands, there would be many cancellations modulo 2, and the legitimacy of the process would be doubtable. Thus, Hecke operators modulo 2 are usually defined only for primes numbers.

With  a modular form modulo 2 with -representation , the Hecke operator  on  is defined by  where
 

It is important to note that Hecke operators modulo 2 have the interesting property of being nilpotent.
Finding their order of nilpotency is a problem solved by Jean-Pierre Serre and Jean-Louis Nicolas in a paper published in 2012:.

The Hecke algebra modulo 2
The Hecke algebra may also be reduced modulo 2.
It is defined to be the algebra generated by Hecke operators modulo 2, over .

Following Serre and Nicolas's notations from
, i.e. .
Writing  so that , define  as the -subalgebra of  given by  and .

That is, if  is a sub-vector-space of , we get .

Finally, define the Hecke algebra  as follows:
Since , one can restrict elements of  to  to obtain an element of .
When considering the map  as the restriction to , then  is a homomorphism.
As  is either identity or zero, .
Therefore, the following chain is obtained:
.
Then, define the Hecke algebra  to be the projective limit of the above  as .
Explicitly, this means
.

The main property of the Hecke algebra  is that it is generated by series of  and .
That is:
.

So for any prime , it is possible to find coefficients  such that:

References 

Modular forms
Algebraic number theory
수학에서 모듈러 형식은 복소해석학 및 정수론에서 중요한 상반평면에 있는 특정 복소 해석 함수이다. 소수 를 법으로 환산하면 복소 모듈러 형식의 고전 이론과 모듈러 형식의 -진 이론에 대한 비슷한 이론이 있다.

법 2로 모듈러 형식 축소

법 2로 줄이기 위한 조건 
모듈러 형식은 해석 함수이므로 푸리에 급수 표현을 갖는다. 모듈러 형식도 모듈러 군의 군 작용에 대한 함수 방정식을 만족하므로 이 푸리에 급수는 항 으로 표현될 수 있다. 그래서 만약 가 모듈러 형식이면 이 성립하는 계수들 이 있다. 모듈러 형식들 가운데 -급수의 계수가 모두 정수인 경우만 모은 모듈러 형식 공간의 부분 공간을 고려하자. 그러면 모든 계수를 법 2로 줄이는 것이 가능하며, 이는 법 2로 축소한 모듈러 형식을 제공한다.

법 2 모듈러 형식의 기저 
모듈러 형식은 , 로 생성된다. 그러면 , 를  -급수의 계수가 모두 정수인 , 로 정규화 할 수 있다.  이것은 법 2로 축소될 수 있는 모듈러 형식들의 생성원이다. 밀러 기저에는 몇 가지 흥미로운 성질이 있다. 일단 법 2를 줄이면, 와 는 그냥 이다. 즉, 자명한 축소이다. 자명하지 않은 축소를 얻기 위해 수학자들은 모듈러 판별식 을 사용한다. 는 와  이전에 "선험적인" 생성원으로 도입되었다. 따라서 모듈러 형식은 , , 의 다항식으로 여겨진다. (일반적으로  위에서이지만, 축소를 위해 정수 를 통해 볼 수 있다.) 일단 법 2로 축소하면  위에서 의 다항식이 된다.

법 2 모듈러 판별식 
모듈러 판별식은 무한 곱

 

으로 정의된다. 이 무한곱의 -급수 형태에서 계수는 일반적으로 라마누잔 타우 함수 에 해당한다. 콜베르그와 장-피에르 세르의 결과는  임을 보여준다. 즉, 2를 법으로 의  -급수는  홀수 제곱의 거듭제곱에.

법 2 헤케 연산자 
헤케 연산자는 일반적으로 모듈러 형식에서 작동하는 가장 중요한 연산자로 여겨진다. 따라서 이를 법 2로 줄이려는 시도는 정당하다.

모듈러 형식 의 헤케 연산자들은 다음과 같이 정의된다: 에 대해 .

헤케 연산자는 다음과 같이 -급수 위에서 정의할 수 있다: 이면, , 여기서

모듈러 형식이 -급수을 사용하여 축소되었기 때문에, -급수 정의를 채택하는 것은 의미가 있다.  이 합은 소수 헤케 연산자(즉, 이 소수일 때)이 많이 단순화 하기 때문에(더하는 항이 2개뿐이다.), 이는 법 2로 축소에 하기 아주 좋다. 더하는 항이 3개 이상인 경우 법 2로 많은 상쇄가 발생하며 과정의 유의미성이 의심될 수 있다. 따라서 법 2 헤케 연산자는 일반적으로 소수에 대해서만 정의한다.

 -표현 을 가진 법 2 모듈러 형식 에 대해,  위의 헤케 연산자 는 로 정의된다. 여기서

 

법 2 헤케 연산자는 영인자를 가지고 있다는 흥미로운 성질에 유의하는 것이 중요하다. 영인자의 위수를 찾는 것은 장-피에르 세르와 장-루이 니콜라가 2012년에 발표한 논문에서 해결한 문제이다.

법 2 헤케 대수 
헤케 대수는 법 2로 축소될 수도 있다. 그것은  위에서 법 2 헤케 연산자에 의해 생성된 대수로 정의된다.

에서 세르와 니콜라의 표기법에 따라 , 즉 .   이도록로 쓰면서, 주어진  그리고 애 대해 를 의 -부분 대수로 정의한다.

즉, 만약  이 의 부분 선형 공간이면, .

마지막으로 헤케 대수 를 다음과 같이 정의한다: 이므로, 의 원소를 얻기 위해 의 원소를 로 제한할 수 있다. 사상 을  에 대한 제한으로 생각할 때, 는 준동형사상이다. 이 항등원 또는 0이므로 이다. 따라서 사슬 을 얻는다. 그런 다음 헤케 대수 를 일 때 위의 사영 극한으로 정의하자. 명시적으로 이것은을 의미한다.

헤케 대수 의 주요 성질은 이 대수가 와 의 급수로 생성된다는 것이다. 즉, .

따라서 임의의 소수 에 대해, 이 성립하는 계수 를 찾을 수 있다.

참조 

대수적 수론
모듈러 형식