In the mathematical field of measure theory, an outer measure or exterior measure is a function defined on all subsets of a given set with values in the extended real numbers satisfying some additional technical conditions. The theory of outer measures was first introduced by Constantin Carathéodory to provide an abstract basis for the theory of measurable sets and countably additive measures. Carathéodory's work on outer measures found many applications in measure-theoretic set theory (outer measures are for example used in the proof of the fundamental Carathéodory's extension theorem), and was used in an essential way by Hausdorff to define a dimension-like metric invariant now called Hausdorff dimension. Outer measures are commonly used in the field of geometric measure theory.

Measures are generalizations of length, area and volume, but are useful for much more abstract and irregular sets than intervals in  or balls in . One might expect to define a generalized measuring function  on  that fulfills the following requirements:

 Any interval of reals  has measure 
 The measuring function  is a non-negative extended real-valued function defined for all subsets of .
 Translation invariance:  For any set  and any real , the sets  and  have the same measure
 Countable additivity: for any sequence  of pairwise disjoint subsets of 

It turns out that these requirements are incompatible conditions; see non-measurable set.  The purpose of constructing an outer measure on all subsets of  is to pick out a class of subsets (to be called measurable) in such a way as to satisfy the countable additivity property.

Outer measures
Given a set  let  denote the collection of all subsets of  including the empty set  An outer measure on  is a set function

such that 
 : 
 : for arbitrary subsets  of 
Note that there is no subtlety about infinite summation in this definition. Since the summands are all assumed to be nonnegative, the sequence of partial sums could only diverge by increasing without bound. So the infinite sum appearing in the definition will always be a well-defined element of  If, instead, an outer measure were allowed to take negative values, its definition would have to be modified to take into account the possibility of non-convergent infinite sums.

An alternative and equivalent definition. Some textbooks, such as Halmos (1950), instead define an outer measure on  to be a function  such that
 : 
 : if  and  are subsets of  with  then 
 for arbitrary subsets  of

Measurability of sets relative to an outer measure
Let  be a set with an outer measure  One says that a subset  of  is -measurable (sometimes called Carathéodory-measurable relative to , after the mathematician Carathéodory) if and only if

for every subset  of 

Informally, this says that a -measurable subset is one which may be used as a building block, breaking any other subset apart into pieces (namely, the piece which is inside of the measurable set together with the piece which is outside of the measurable set). In terms of the motivation for measure theory, one would expect that area, for example, should be an outer measure on the plane. One might then expect that every subset of the plane would be deemed "measurable," following the expected principle that

whenever  and  are disjoint subsets of the plane. However, the formal logical development of the theory shows that the situation is more complicated. A formal implication of the axiom of choice is that for any definition of area as an outer measure which includes as a special case the standard formula for the area of a rectangle, there must be subsets of the plane which fail to be measurable. In particular, the above "expected principle" is false, provided that one accepts the axiom of choice.

The measure space associated to an outer measure
It is straightforward to use the above definition of -measurability to see that
 if  is -measurable then its complement  is also -measurable.
The following condition is known as the "countable additivity of  on measurable subsets."
 if  are -measurable pairwise-disjoint ( for ) subsets of , then one has 

A similar proof shows that:
 if  are -measurable subsets of  then the union  and intersection  are also -measurable.

The properties given here can be summarized by the following terminology:

One thus has a measure space structure on  arising naturally from the specification of an outer measure on  This measure space has the additional property of completeness, which is contained in the following statement:
 Every subset  such that  is -measurable.
This is easy to prove by using the second property in the "alternative definition" of outer measure.

Restriction and pushforward of an outer measure
Let  be an outer measure on the set .

Pushforward
Given another set  and a map  define  by

One can verify directly from the definitions that  is an outer measure on .

Restriction
Let  be a subset of . Define  by

One can check directly from the definitions that  is another outer measure on .

Measurability of sets relative to a pushforward or restriction
If a subset  of  is -measurable, then it is also -measurable for any subset  of .

Given a map  and a subset  of , if  is -measurable then  is -measurable. More generally,  is -measurable if and only if  is -measurable for every subset  of .

Regular outer measures

Definition of a regular outer measure
Given a set , an outer measure  on  is said to be regular if any subset  can be approximated 'from the outside' by -measurable sets. Formally, this is requiring either of the following equivalent conditions:
 
 There exists a -measurable subset  of  which contains  and such that .
It is automatic that the second condition implies the first; the first implies the second by taking the countable intersection of  with

The regular outer measure associated to an outer measure
Given an outer measure  on a set , define  by

Then  is a regular outer measure on  which assigns the same measure as  to all -measurable subsets of . Every -measurable subset is also -measurable, and every -measurable subset of finite -measure is also -measurable.

So the measure space associated to  may have a larger σ-algebra than the measure space associated to . The restrictions of  and  to the smaller σ-algebra are identical. The elements of the larger σ-algebra which are not contained in the smaller σ-algebra have infinite -measure and finite -measure.

From this perspective,  may be regarded as an extension of .

Outer measure and topology 

Suppose  is a metric space and  an outer measure on . If  has the property that

whenever

then  is called a metric outer measure.

Theorem. If  is a metric outer measure on ,  then every Borel subset of  is -measurable. (The Borel sets of  are the elements of the smallest -algebra generated by the open sets.)

Construction of outer measures 

There are several procedures for constructing outer measures on  a set.  The classic Munroe reference below describes two particularly useful ones which are referred to as Method I and Method II.

Method I 
Let  be a set,  a family of subsets of  which contains the empty set and  a non-negative extended real valued function on  which vanishes on the empty set.

Theorem. Suppose the family  and the function  are as above and  define

That is, the infimum extends over all sequences  of elements of  which cover , with the convention that the infimum is infinite if no such sequence exists.  Then  is an outer measure on .

Method II 
The second technique is more suitable for constructing outer measures on metric spaces, since it yields metric outer measures. Suppose  is a metric space. As above  is a family of subsets of  which contains the empty set and  a non-negative extended real valued function on  which vanishes on the empty set.  For each , let

and

Obviously,  when  since the infimum is taken over a smaller class as  decreases. Thus

exists (possibly infinite).

Theorem.  is a metric outer measure on .

This is the construction used in the definition of Hausdorff measures for a metric space.

See also 
Inner measure

Notes

References

External links 
 Outer measure at Encyclopedia of Mathematics
 Caratheodory measure at Encyclopedia of Mathematics

Measures (measure theory)
측도론에서 외측도(外測度, )는 집합의 덮개를 통해 부피를 근사하는 함수이다.

정의 
집합  위의 (추상적) 외측도((抽象的)外測度, )는 다음 세 조건을 만족시키는 함수

이다.
 
 임의의 에 대하여, 
 (가산 준가법성) 임의의 가산 집합  ()에 대하여, 

집합  위의 외측도 에 대한 카라테오도리 가측 집합(Καραθεοδωρή可測集合, )은 다음 조건을 만족시키는 집합 이다.
 임의의 에 대하여, 
카라테오도리 가측 집합의 집합은 로 표기한다.

성질 
집합  위의 외측도 에 대하여, 는 의 부분 시그마 대수를 이루며, 는  위의 측도를 이루며, 또한 완비 측도를 이룬다. 즉, 는 완비 측도 공간이다.

거리 외측도 
거리 공간  속 두 집합  사이의 거리는 다음과 같다.

거리 공간  위의 외측도 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 를 거리 외측도(距離外測度, )라고 한다.
 임의의 에 대하여, 만약 이라면, 
 . 즉, 모든 보렐 집합은 -카라테오도리 가측 집합이다. (이에 따라 는 측도 공간을 이루지만, 이는 완비 측도 공간일 필요가 없다.)
 모든 열린집합은 -카라테오도리 가측 집합이다.

거리 공간  위의 거리 외측도 가 주어졌을 때, 모든 상반연속 함수와 하반연속 함수 는 가측 함수이다.

카라테오도리 확장 정리 

집합  속의 집합 반환은 다음 세 조건을 만족시키는 집합족 이다.
 
 (이항 교집합에 대한 닫힘) 임의의 에 대하여, 
 임의의 에 대하여, 인 유한 개의 서로소 집합들의 족  ()이 존재한다.

집합  속의 집합 반환  위에 정의된, 음이 아닌 확장된 실수 값의 함수

에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 를  위의 준측도(準測度, )라고 한다.
 (가산 가법성) 임의의 가산 서로소 집합  ()에 대하여, 만약 이라면, . (특히, 을 생각하면 을 얻는다.)
 다음 두 조건을 만족시킨다.
 (유한 가법성) 임의의 유한 서로소 집합  ()에 대하여, 만약 이라면, . (특히, 을 생각하면 을 얻는다.)
 (가산 준가법성) 임의의 가산 집합  ()에 대하여, 만약 이라면, 

집합  속의 집합족 에 대하여, 가 로 생성된 최소의 시그마 대수라고 하자.

다음이 주어졌다고 하자.
 집합 
 집합 반환 
 준측도 
이제, 다음과 같은 함수를 정의하자.

카라테오도리 확장 정리에 따르면, 다음 조건들이 성립한다.
 는  위의 외측도이다.
 
 
 만약 이며 인 가산 집합  ()이 존재한다면, 는 를 만족시키는 유일한  위의 측도이다.
그러나 보다 큰 시그마 대수 위에서 의 확장은 일반적으로 유일하지 않다.

예

1차원 르베그-스틸티어스 외측도 

실수선  위에서, 구간들의 족

은 집합 반환을 이루며, 이다. 또한, 이다.

임의의 증가 함수 에 대하여, 다음과 같은 함수를 정의하자.

그렇다면, 는  위의 준측도를 이룬다. 이 경우  (또는 )를 르베그-스틸티어스 측도 공간이라고 한다.

자명하게 는 과 유한 가법성을 만족시킨다. 따라서 가산 준가법성을 보이면 된다. 임의의 가산 집합  ()
이 주어졌고, 이라고 하자. 편의상 의 모든 원소가 유계 구간이며,

라고 가정하자. (다른 경우의 증명은 유사하므로 생략할 수 있다.) 임의의  및 에 대하여,

인 을 취하자. 그렇다면 가 우연속 함수임에 따라

인 가 존재한다. 는 의 열린 덮개를 이루며, 하이네-보렐 정리에 의하여 이는 유한 부분 덮개

를 갖는다. 따라서

이다. 여기서 첫 번째 부등호는

때문이다. 여기에 을 취하면

를 얻으며, 다시  및 를 취하면 의 우연속성에 따라

를 얻는다.

n차원 르베그-스틸티어스 외측도 

임의의 에 대하여, 선형 연산자

를 정의하자.

또한, 임의의 에 대하여,

라고 하자.

함수

가 주어졌을 때, 집합 반환

위에 준측도

를 유도할 수 있으며, 카라테오도리 확장 정리에 따라 르베그-스틸티어스 측도 공간 을 구성할 수 있다.

르베그 외측도 

함수

또는

에 대한 르베그-스틸티어스 외측도를 르베그 외측도라고 하며, 이에 대응하는 측도를 르베그 측도라고 한다.

하우스도르프 외측도 

하우스도르프 외측도는 거리 외측도이다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 

측도론