In mathematics, a Euclidean plane is a Euclidean space of dimension two, denoted . It is a geometric space in which two real numbers are required to determine the position of each point. It is an affine space, which includes in particular the concept of parallel lines. It has also metrical properties induced by a distance, which allows to define circles, and angle measurement.

A Euclidean plane with a chosen Cartesian coordinate system is called a Cartesian plane.
The set  of the pairs of real numbers (the real coordinate plane), equipped with the dot product, is often called the Euclidean plane, since every Euclidean plane is isomorphic to it.

History

Books I through IV and VI of Euclid's Elements dealt with two-dimensional geometry, developing such notions as similarity of shapes, the Pythagorean theorem (Proposition 47), equality of angles and areas, parallelism, the sum of the angles in a triangle, and the three cases in which triangles are "equal" (have the same area), among many other topics.

Later, the plane was described in a so-called Cartesian coordinate system, a coordinate system that specifies each point uniquely in a plane by a pair of numerical coordinates, which are the signed distances from the point to two fixed perpendicular directed lines, measured in the same unit of length. Each reference line is called a coordinate axis or just axis of the system, and the point where they meet is its origin, usually at ordered pair (0, 0). The coordinates can also be defined as the positions of the perpendicular projections of the point onto the two axes, expressed as signed distances from the origin.

The idea of this system was developed in 1637 in writings by Descartes and independently by Pierre de Fermat, although Fermat also worked in three dimensions, and did not publish the discovery. Both authors used a single axis in their treatments and have a variable length measured in reference to this axis. The concept of using a pair of axes was introduced later, after Descartes' La Géométrie was translated into Latin in 1649 by Frans van Schooten and his students. These commentators  introduced several concepts while trying to clarify the ideas contained in Descartes' work.

Later, the plane was thought of as a field, where any two points could be multiplied and, except for 0, divided. This was known as the complex plane. The complex plane is sometimes called the Argand plane because it is used in Argand diagrams. These are named after Jean-Robert Argand (1768–1822), although they were first described by Danish-Norwegian land surveyor and mathematician Caspar Wessel (1745–1818). Argand diagrams are frequently used to plot the positions of the poles and zeroes of a function in the complex plane.

In geometry

Coordinate systems

In mathematics, analytic geometry (also called Cartesian geometry) describes every point in two-dimensional space by means of two coordinates.  Two perpendicular coordinate axes are given which cross each other at the origin.  They are usually labeled x and y. Relative to these axes, the position of any point in two-dimensional space is given by an ordered pair of real numbers, each number giving the distance of that point from the origin measured along the given axis, which is equal to the distance of that point from the other axis.

Another widely used coordinate system is the polar coordinate system, which specifies a point in terms of its distance from the origin and its angle relative to a rightward reference ray.

Embedding in three-dimensional space

Polytopes

In two dimensions, there are infinitely many polytopes: the polygons. The first few regular ones are shown below:

Convex
The Schläfli symbol  represents a regular -gon.

Degenerate (spherical)
The regular monogon (or henagon) {1} and regular digon {2} can be considered degenerate regular polygons and exist nondegenerately in non-Euclidean spaces like a 2-sphere, 2-torus, or right circular cylinder.

Non-convex
There exist infinitely many non-convex regular polytopes in two dimensions, whose Schläfli symbols consist of rational numbers {n/m}. They are called star polygons and share the same vertex arrangements of the convex regular polygons.

In general, for any natural number n, there are n-pointed non-convex regular polygonal stars with Schläfli symbols {n/m} for all m such that m < n/2 (strictly speaking {n/m} = {n/(n − m)}) and m and n are coprime.

Circle

The hypersphere in 2 dimensions is a circle, sometimes called a 1-sphere (S1) because it is a one-dimensional manifold. In a Euclidean plane, it has the length 2πr and the area of its interior is

where  is the radius.

Other shapes

There are an infinitude of other curved shapes in two dimensions, notably including the conic sections: the ellipse, the parabola, and the hyperbola.

In linear algebra
Another mathematical way of viewing two-dimensional space is found in linear algebra, where the idea of independence is crucial.  The plane has two dimensions because the length of a rectangle is independent of its width.  In the technical language of linear algebra, the plane is two-dimensional because every point in the plane can be described by a linear combination of two independent vectors.

Dot product, angle, and length

The dot product of two vectors  and  is defined as:

A vector can be pictured as an arrow.  Its magnitude is its length, and its direction is the direction the arrow points.  The magnitude of a vector A is denoted by .  In this viewpoint, the dot product of two Euclidean vectors A and B is defined by

where θ is the angle between A and B.

The dot product of a vector A by itself is

which gives
 
the formula for the Euclidean length of the vector.

In calculus

Gradient
In a rectangular coordinate system, the gradient is given by

Line integrals and double integrals
For some scalar field f : U ⊆ R2 → R, the line integral along a piecewise smooth curve C ⊂  U is defined as

where r: [a, b] → C is an arbitrary bijective parametrization of the curve C such that r(a) and r(b) give the endpoints of C and .

For a vector field F : U ⊆ R2 → R2, the line integral along a piecewise smooth curve C ⊂ U, in the direction of r, is defined as

where · is the dot product and r: [a, b] → C is a bijective parametrization of the curve C such that r(a) and r(b) give the endpoints of C.

A double integral refers to an integral within a region D in R2 of a function  and is usually written as:

Fundamental theorem of line integrals

The fundamental theorem of line integrals says that a line integral through a gradient field can be evaluated by evaluating the original scalar field at the endpoints of the curve.

Let . Then

Green's theorem

Let C be a positively oriented, piecewise smooth, simple closed curve in a plane, and let D be the region bounded by C. If L and M are functions of (x, y) defined on an open region containing D and have continuous partial derivatives there, then

where the path of integration along C is counterclockwise.

In topology
In topology, the plane is characterized as being the unique contractible 2-manifold.

Its dimension is characterized by the fact that removing a point from the plane leaves a space that is connected, but not simply connected.

In graph theory
In graph theory, a planar graph is a graph that can be embedded in the plane, i.e., it can be drawn on the plane in such a way that its edges intersect only at their endpoints.  In other words, it can be drawn in such a way that no edges cross each other.  Such a drawing is called a plane graph or planar embedding of the graph. A plane graph can be defined as a planar graph with a mapping from every node to a point on a plane, and from every edge to a plane curve on that plane, such that the extreme points of each curve are the points mapped from its end nodes, and all curves are disjoint except on their extreme points.

See also
 Geometric space
 Picture function
 Planimetrics

References

Works cited
 

Dimension
Multi-dimensional geometry
2 (number)
기하학에서 평면(平面, )은 완전하게 평평한 2차원 곡면이다. 직관적으로 말하면, 하나의 평면은 무한히 평평하게 펼쳐져 있는 종이 한 장과 같은 것이다.

평면 기하나 2차원 컴퓨터 그래픽스와 같은 분야에서는 모든 일이 하나의 평면에서 이루어지므로 그냥 "평면"이라 하면 전체 공간을 말하는 것이 된다. 기하학적인 성질을 사용하거나 삼각비를 사용할 때, 함수의 그래프를 그릴 때도 평면에서 대부분의 일이 이루어진다.

유클리드 기하 
유클리드 공간에서 평면은 곡면의 일종으로서, 그 위에 있는 어느 두 점을 택하여도 그 두 점을 지나는 직선 전체를 항상 포함하는 것으로 정의할 수 있다. 평면은 직교 좌표를 도입하여 임의의 점을 두 실수의 순서쌍으로 유일하게 나타낼 수 있으며, 이 순서쌍을 그 점의 좌표라 한다.

유클리드 공간에서, 평면은 다음 조건 중 하나에 의해 유일하게 결정된다.

 한 직선 위에 있지 않은 세 점
 한 직선과 그 위에 있지 않은 한 점
 서로 만나는 두 개의 서로 다른 직선
 평행한 두 개의 서로 다른 직선

R³의 부분 공간으로서의 평면 
여기서는 3차원 공간, 특히 R3의 부분공간으로서의 평면을 생각한다.

성질 
3차원에서는, 더 높은 차원의 공간에서는 성립하지 않는 다음과 같은 성질들을 이용할 수 있다.

 두 개의 평면은 평행하거나 한 직선에서 만난다.
 한 직선과 한 평면은 서로 평행하거나 한 점에서 만난다.
 한 평면에 수직인 두 직선은 서로 평행하다.
 한 직선에 수직인 두 평면은 서로 평행하다.

점과 법선 벡터 
3차원 공간 안에서 평면을 결정하는 또 하나의 중요한 방법은 다음과 같다.
 한 점과, 결정하려는 평면에 수직인 한 직선.
이 때 그 직선을 그 평면의 한 법선이라 한다. 이때 결정되는 평면은 쉽게 식으로 나타낼 수 있다. 주어진 점을 라 하고 을 주어진 평면에 수직인, 영이 아닌 벡터라고 하자(이것을 그 평면의 법선벡터라 한다). 그러면 주어진 점을 지나고 주어진 직선에 수직인, 평면은 다음을 만족하는 모든 점 의 집합이다.

 ,  ,  라고 하면, 이 식은 다음과 같이 쓸 수 있다.

여기서 a, b, c는 동시에 0이 아니다.

다른 방법으로는, 다음과 같은 꼴을 갖는 모든 점의 집합으로서 평면을 결정할 수도 있다.

여기서 s 와 t는 임의의 실수 값을 취하며, 는 원점에서 그 평면 위의 임의의 점까지 가는 벡터,  와 는 에서 시작하여 평면을 따라 각각 다른 방향으로 뻗어나가는 벡터로 생각할 수 있다. 이때  와 는 서로 수직일 수도 있지만 꼭 수직이어야만 하는 것은 아니다.

세 점을 지나는 평면 
세 점 , ,  을 지나는 평면은 다음과 같은 방정식으로 결정된다.

이 평면을, 위에서 설명한 "점과 법선벡터" 형식으로 고쳐 쓰려면, 법선벡터 대신 벡터곱 
을 사용하고 점  대신  (사실 세 점 중 아무것이나 하나)를 사용하면 된다.

점과 평면 사이의 거리 
평면  과 점  에 대하여 에서 평면까지의 거리는 다음과 같다.

직선과 평면의 교점

두 평면의 교선 
서로 만나는 두 평면  과  에 대하여, 그 교선은  과  에 동시에 수직이며, 따라서  에 평행이다.

여기에 더하여 과  가 정규직교(수직이면서 둘 다 길이가 1)하면, 교선 위의 점으로서 원점에 가장 가까운 점은 이다.

이면각 
서로 만나는 두 개의 평면  과  에 대하여 그 사이의 이면각은 그 두 평면의 법선 방향 사이의 각  로서 다음을 만족한다.

다른 수학 분야에서의 평면 
보통의 스칼라곱으로 정의되는 등거리사상을 동형사상으로 하여 주어지는 보통의 기하학적 구조 이외에, 추상화의 여러 단계에 따라 평면 또한 여러 가지 방식으로 생각할 수 있다. 추상화의 각 단계는 특정한 범주에 대응한다.

한쪽 극단에는 모든 기하학적 성질과 계량(거리)에 관련된 성질을 제외시킨 위상평면이 있다. 위상평면은 구멍 같은 것이 없는 무한한 고무판과 같은 공간으로, 멀고 가까움은 있지만 거리의 개념은 없으며, 경로라는 개념은 있지만 곧은 선으로서의 직선의 개념은 없다. 위상평면 혹은 그와 동등한 공간인 열린 원판(경계를 포함하지 않는 원의 내부)은 낮은 차원에 대한 위상수학에서 곡면(혹은 2차원 다양체)를 구성할 때 사용되는 기본적인 근방이다. 위상평면은 평면 그래프를 다루는 그래프 이론의 자연스러운 맥락이 되며, 사색 정리와 같은 결과 역시 위상평면의 맥락에서 이루어진 것이라고 할 수 있다.

평면은 아핀 공간으로 생각할 수도 있다. 아핀 공간에 대한 동형사상은 평행이동과 정칙인(특이하지 않은) 선형 변환의 합성이다. 이러한 관점에서 아핀 공간에는 거리는 없으나 한 직선 위에 있다는 개념은 있으며 거리의 비가 보존된다.

미분기하에서는 평면을 2차원 매끄러운 다양체, 즉 매끄러움 구조가 주어진 위상평면으로 본다. 이 경우에도 거리 개념은 없으나 곡선이나 곡면(정확히는 사상)의 매끄러움, 예를 들어 (적용되는 매끄러움 구조의 형태에 따라) 매끄러운 경로의 개념을 정의할 수 있다. 이 경우 공간의 구조를 결정하는 동형사상은 주어진 횟수만큼 미분가능한 일대일 대응이다.

추상화의 반대쪽 극단으로 가면, 기하학적인 평면에 적당한 체의 구조를 주어(다시 말해 평면 위의 점의 집합과 복소수의 집합을 일대일 대응시켜) 복소평면을 구성할 수 있는데, 복소평면은 복소함수론이라는 커다란 분야의 기초가 된다. 복소수 체는 단 두 개의 동형사상을 갖는데, 하나는 항등사상이고 다른 하나는 켤레복소수 취하기이다.

실직선의 경우와 마찬가지로 평면은 가장 간단한, 1차원 복소다양체로서 볼 수 있고 이 경우 복소직선이라 부를 때도 있다. 그러나 이런 관점은 평면을 실수에 대한 2차원 다양체로 보는 것과는 매우 대조적인 것이다. 이 경우 동형사상은 공형인 일대일 대응이지만 결과적으로 가능한 것은 한 복소수를 곱하는 것과 한 복소수를 더하는 것을 합성한 사상들이다.

유클리드 기하(모든 곳에서 곡률이 영인)가 평면에 주어질 수 있는 유일한 기하학적 구조는 아니다. 예를 들어 입체화법적 투영을 통해 구면 기하를 줄 수도 있다. 이것은 (마루 바닥에 공을 놓듯이)평면 위에 구를 놓고, 공의 꼭대기의 한 점을 없앤 다음, 이 점에서 광선이 나온다고 생각하고 공의 표면을 바닥에 비추는 것으로 생각할 수 있다. 실제로 지도를 만들 때 이와 비슷한 방법을 쓰기도 한다. 이렇게 하여 얻어진 기하학적 구조는 모든 점에서 일정한 양의 곡률을 갖는다.

또한, 평면이 일정한 음의 곡률을 갖는 쌍곡 평면이 되도록 계량을 줄 수도 있다. 이런 방법은 특수상대성이론에서 시공간을 한 차원의 공간과 한 차원의 시간을 갖는 이차원 공간으로 단순화하여 생각할 때 응용된다.

같이 보기 
 일차 방정식

외부 링크 
 Mathworld: Plane

유클리드 기하학
곡면
수학 개념