The Central Limit Theorem (CLT) is a fundamental result in probability theory and statistics, which states that the distribution of the sum (or average) of a large number of independent, identically distributed random variables approaches a normal distribution, regardless of the shape of the original distribution.

Here's an outline of the proof for the CLT using characteristic functions:

1. Define random variables: Let X₁, X₂, ..., Xₙ be a sequence of independent and identically distributed (i.i.d.) random variables with mean μ and variance σ².

2. Standardize the random variables: To simplify the problem, we can standardize each random variable by subtracting its mean and dividing by its standard deviation. This results in Yᵢ = (Xᵢ - μ) / σ, where Yᵢ has mean 0 and variance 1.

3. Define the sum of standardized random variables: Let Sₙ = Y₁ + Y₂ + ... + Yₙ. Our goal is to show that as n goes to infinity, the distribution of Sₙ/√n converges to a standard normal distribution.

4. Characteristic functions: A key tool in this proof is the concept of a characteristic function. The characteristic function of a random variable X, denoted by φ(ω), is defined as the expected value of e^(iωX), where i is the imaginary unit and ω is a real number. That is, φ(ω) = E[e^(iωX)].

5. Properties of characteristic functions: Some important properties of characteristic functions are:
   a) If X and Y are independent random variables, then the characteristic function of their sum is the product of their individual characteristic functions: φ(X+Y)(ω) = φ(X)(ω) * φ(Y)(ω).
   b) The characteristic function of a standardized random variable Y = (X - μ) / σ is given by φ(Y)(ω) = e^(-iμω/σ) * φ(X)(ω/σ).

6. Characteristic function of Sₙ: Using the properties above, we can find the characteristic function of Sₙ:
   a) Since Y₁, Y₂, ..., Yₙ are independent, the characteristic function of their sum is the product of their individual characteristic functions: φ(Sₙ)(ω) = φ(Y₁)(ω) * φ(Y₂)(ω) * ... * φ(Yₙ)(ω).
   b) Because all Yᵢ's have the same distribution, their characteristic functions are identical: φ(Sₙ)(ω) = [φ(Y₁)(ω)]^n.

7. Taylor series expansion: To analyze the behavior of φ(Sₙ)(ω), we can use the Taylor series expansion of the exponential function around 0. This gives us:

   φ(Y₁)(ω) ≈ 1 + iωE[Y₁] - (1/2)ω²E[Y₁²] + O(ω³)

Since E[Y₁] = 0 and E[Y₁²] = 1 (because Y₁ is standardized), this simplifies to:

   φ(Y₁)(ω) ≈ 1 - (1/2)ω² + O(ω³)

8. Asymptotic behavior of φ(Sₙ)(ω): Now let's look at the characteristic function of Sₙ/√n:

   φ(Sₙ/√n)(ω) = [φ(Y₁)(ω/√n)]^n

Using the approximation from step 7, we get:

   φ(Sₙ/√n)(ω) ≈ [1 - (1/2)(ω²/n) + O(ω³/√n)]^n

As n goes to infinity, this expression converges to:

   φ(Sₙ/√n)(ω) → e^(-1/2 ω²)

9. Conclusion: The function we derived in step 8 is the characteristic function of a standard normal distribution. Therefore, by the properties of characteristic functions, as n goes to infinity, the distribution of Sₙ/√n converges to a standard normal distribution. This completes the proof of the Central Limit Theorem.

Note that this proof assumes certain conditions on the random variables Xᵢ (e.g., they have finite mean and variance). There are more general versions of the CLT with different assumptions and techniques, but this outline provides an intuitive understanding of the main ideas behind the theorem.
중심 극한 정리(CLT)는 확률 이론과 통계학의 기본 결과로서, 독립적이고 동일하게 분포된 수많은 무작위 변수의 합(또는 평균)의 분포는 원래 분포의 모양에 관계없이 정규 분포에 가까워진다는 것을 말합니다.

다음은 특성 함수를 사용한 CLT의 증명에 대한 개요입니다:

1. 무작위 변수를 정의합니다: X₁, X₂, ..., Xₙ를 평균 μ와 분산 σ²를 갖는 독립적이고 동일하게 분포된(I.I.D.) 무작위 변수의 시퀀스라고 가정합니다.

2. 무작위 변수를 표준화합니다: 문제를 단순화하기 위해 각 무작위 변수의 평균을 빼고 표준 편차로 나누어 표준화할 수 있습니다. 이렇게 하면 Yᵢ = (Xᵢ - μ) / σ가 되며, 여기서 Yᵢ는 평균 0, 분산 1이 됩니다.

3. 표준화된 무작위 변수의 합을 정의합니다: Sₙ = Y₁ + Y₂ + ... + Yₙ로 합니다. 우리의 목표는 n이 무한대로 갈수록 Sₙ/√n의 분포가 표준 정규 분포로 수렴한다는 것을 보여주는 것입니다.

4. 특성 함수: 이 증명의 핵심 도구는 특성 함수의 개념입니다. φ(ω)로 표시되는 확률 변수 X의 특성 함수는 e^(iωX)의 기대값으로 정의되며, 여기서 i는 허수 단위이고 ω는 실수입니다. 즉, φ(ω) = E[e^(iωX)]입니다.

5. 특성 함수의 특성: 특성 함수의 몇 가지 중요한 성질은 다음과 같습니다:
   a) X와 Y가 독립적인 무작위 변수인 경우, 이들의 합의 특성 함수는 개별 특성 함수의 곱입니다: φ(X+Y)(ω) = φ(X)(ω) * φ(Y)(ω).
   b) 표준화된 확률 변수 Y = (X - μ) / σ의 특성 함수는 φ(Y)(ω) = e^(-iμω/σ) * φ(X)(ω/σ)로 주어집니다.

6. Sₙ의 특성 함수: 위의 성질을 사용하여 Sₙ의 특성 함수를 구할 수 있습니다:
   a) Y₁, Y₂, ..., Yₙ는 독립적이므로, 이들의 합의 특성 함수는 개별 특성 함수의 곱입니다: φ(Sₙ)(ω) = φ(Y₁)(ω) * φ(Y₂)(ω) * .... * φ(Yₙ)(ω).
   b) 모든 Yᵢ는 동일한 분포를 가지므로 특성 함수는 동일합니다: φ(Sₙ)(ω) = [φ(Y₁)(ω)]^n.

7. 테일러 급수 확장: φ(Sₙ)(ω)의 거동을 분석하기 위해 0 주변 지수 함수의 테일러 급수 확장을 사용할 수 있습니다. 이를 통해 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다:

   φ(Y₁)(ω) ≈ 1 + iωE[Y₁] - (1/2)ω²E[Y₁²] + O(ω³)

E[Y₁] = 0이고 E[Y₁²] = 1이므로(Y₁가 표준화되어 있기 때문에), 이는 다음과 같이 단순화됩니다:

   φ(Y₁)(ω) ≈ 1 - (1/2)ω² + O(ω³)

8. φ(Sₙ)(ω)의 점근 거동: 이제 Sₙ/√n의 특성 함수를 살펴봅시다:

   φ(Sₙ/√n)(ω) = [φ(Y₁)(ω/√n)]^n

7단계의 근사치를 사용하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다:

   φ(Sₙ/√n)(ω) ≈ [1 - (1/2)(ω²/n) + O(ω³/√n)]^n

n이 무한대로 가면 이 식은 다음과 같이 수렴합니다:

   φ(Sₙ/√n)(ω) → e^(-1/2 ω²)

9. 결론: 8단계에서 도출한 함수는 표준 정규 분포의 특성 함수입니다. 따라서 특성 함수의 성질에 따라 n이 무한대로 갈수록 Sₙ/√n의 분포는 표준 정규 분포로 수렴합니다. 이것으로 중앙 극한 정리의 증명이 완료되었습니다.

이 증명은 무작위 변수 Xᵢ에 대한 특정 조건(예: 평균과 분산이 유한한 경우)을 가정한다는 점에 유의하세요. 다른 가정과 기법을 사용한 더 일반적인 버전의 CLT가 있지만, 이 개요를 통해 정리의 주요 개념을 직관적으로 이해할 수 있습니다.