The Atkinson index (also known as the Atkinson measure or Atkinson inequality measure) is a measure of income inequality developed by British economist Anthony Barnes Atkinson. The measure is useful in determining which end of the distribution contributed most to the observed inequality.

Definition
The index can be turned into a normative measure by imposing a coefficient  to weight incomes.  Greater weight can be placed on changes in a given portion of the income distribution by choosing , the level of "inequality aversion", appropriately. The Atkinson index becomes more sensitive to changes at the lower end of the income distribution as  increases. Conversely, as the level of inequality aversion falls (that is, as  approaches 0) the Atkinson becomes less sensitive to changes in the lower end of the distribution. The Atkinson index is for no value of  highly sensitive to top incomes because of the common restriction that  is nonnegative. 

The Atkinson  parameter is often called the "inequality aversion parameter", since it regulates the sensitivity of the implied social welfare losses from inequality to income inequality as measured by some corresponding generalised entropy index. The Atkinson index is defined in reference to a corresponding social welfare function, where mean income multiplied by one minus the Atkinson index gives the welfare equivalent equally distributed income. Thus the Atkinson index gives the share of current income which could be sacrificed, without reducing social welfare, if perfect inequality were instated. For , (no aversion to inequality), the marginal social welfare from income is invariant to income, i.e. marginal increases in income produce as much social welfare whether they go to a poor or rich individual. In this case, the welfare equivalent equally distributed income is equal to mean income, and the Atkinson index is zero.
 
For  (infinite aversion to inequality) the marginal social welfare of income of the poorest individual is infinitely larger than any even slightly richer individual, and the Atkinson social welfare function is equal to the smallest income in the sample. In this case, the Atkinson index is equal to mean income minus the smallest income, divided by mean income. As in large typical income distributions incomes of zero or near zero are common, the Atkinson index will tend to be one or very close to one for very large .

The Atkinson index then varies between 0 and 1 and is a measure of the amount of social utility to be gained by complete redistribution of a given income distribution, for a given  parameter. Under the utilitarian ethical standard and some restrictive assumptions (a homogeneous population and constant elasticity of substitution utility),  is equal to the income elasticity of marginal utility of income. 

The Atkinson index is defined as:

where  is individual income (i = 1, 2, ..., N) and  is the mean income.

In other words, the Atkinson index is the complement to 1 of the ratio of the Hölder generalized mean of exponent 1−ε to the arithmetic mean of the incomes (where as usual the generalized mean of exponent 0 is interpreted as the geometric mean).

Atkinson index relies on the following axioms:
 The index is symmetric in its arguments:  for any permutation .
 The index is non-negative, and is equal to zero only if all incomes are the same:  iff  for all .
 The index satisfies the principle of transfers: if a transfer  is made from an individual with income  to another one with income  such that , then the inequality index cannot increase.
 The index satisfies population replication axiom: if a new population is formed by replicating the existing population an arbitrary number of times, the inequality remains the same: 
 The index satisfies mean independence, or income homogeneity, axiom: if all incomes are multiplied by a positive constant, the inequality remains the same:  for any .
 The index is subgroup decomposable. This means that overall inequality in the population can be computed as the sum of the corresponding Atkinson indices within each group, and the Atkinson index of the group mean incomes:
 
where  indexes groups, , individuals within groups,  is the mean income in group , and the weights  depend on  and . The class of the subgroup-decomposable inequality indices is very restrictive. Many popular indices, including Gini index, do not satisfy this property.

See also 
 Income inequality metrics
 Generalized entropy index
 Gini index

Footnotes

References
 Atkinson, AB (1970) On the measurement of inequality. Journal of Economic Theory, 2 (3), pp. 244–263, . The original paper proposing this inequality index.
 Allison PD (1978) Measures of Inequality, American Sociological Review, 43, pp. 865–880. Presents a technical discussion of the Atkinson measure's properties. There is an error in the formula for the Atkinson index, which is corrected in Allison (1979).
 Allison, PD (1979) Reply to Jasso. American Sociological Review 44(5):870–72.
 Biewen M, Jenkins SP (2003). Estimation of Generalized Entropy and Atkinson Inequality Indices from Complex Survey Data. IZA Discussion Paper #763. Provides statistical inference for Atkinson indices.
 Lambert, P. (2002). Distribution and redistribution of income. 3rd edition, Manchester Univ Press, .
 Sen A, Foster JE (1997) On Economic Inequality, Oxford University Press, . (Python script for a selection of formulas in the book)
 World Income Inequality Database , from World Institute for Development Economics Research
 Income Inequality, 1947–1998, from United States Census Bureau.

External links 
Software:
 Free Online Calculator computes the Gini Coefficient, plots the Lorenz curve, and computes many other measures of concentration for any dataset
 Free Calculator: Online and downloadable scripts (Python and Lua) for Atkinson, Gini, and Hoover inequalities
 Users of the R data analysis software can install the "ineq" package which allows for computation of a variety of inequality indices including Gini, Atkinson, Theil.
 A MATLAB Inequality Package , including code for computing Gini, Atkinson, Theil indexes and for plotting the Lorenz Curve. Many examples are available.
 Stata inequality packages: ineqdeco to decompose inequality by groups; svygei and svyatk to compute design-consistent variances for the generalized entropy and Atkinson indices; glcurve to obtain generalized Lorenz curve. You can type ssc install ineqdeco etc. in Stata prompt to install these packages.

Income inequality metrics
앳킨슨 지수는 평가자의 주관적 가치 판단을 고려하여 소득 분배의 불평등 정도를 나타내는 지수이다.

도입 배경
영국의 경제학자인 앤서니 앳킨슨은 기존의 불평등도지수가 암묵적으로 도입하고 있는 가치판단에 문제가 있을 수 있음을 지적하고, 아예 처음부터 어떤 명백한 가치판단을 전제로 하는 불평등도지수를 만들어 사용할 것을 제의하였다.

개요
균등분배의 전제하에서 지금의 사회후생수준을 가져다 줄 수 있는 평균소득이 얼마인가를 주관적으로 판단하고 그것과 한 나라의 1인당 평균소득을 비교하여 그 비율을 따져보는 것이다. 앳킨슨지수는 평가자의 주관적 가치판단을 고려하는 지수로 소득분배가 불평등하다고 여길수록 지수가 커진다.

이 지수는 소득가중치를  로 치환하여 규범측정로 전환 할 수 있다.
더 큰 가중치는 “불평등회피”의 수준을 적절한  선택함으로써 소득분배 특정부분의 변화에 주어질 수 있다.
 의 값이 1에 다가갈수록 소득분배의 하단은 더욱 민감하게 변화한다. 반대로 불평등회피 수준이( 가 0으로 접근) 떨어질수록 앳킨슨지수는 소득분배 상단부에서 더욱 민감하게 된다.

앳킨슨지수는 자원의 완전한 재분배를 가정하여 얻은 사회적 효용의 총량을 정량화 하기 때문에  값은 “소득회피매개변수(income aversion parameter)”라고 불린다.
 = 0일때, (불평등하지 않을때) 완전한 재분배를 통한 사회적효용이 없다고 가정하면 앳킨슨지수 는 0이다.
 =  (불평등할때) 완전한 재분배를 통한 사회적효용이 무한할 때 앳킨슨지수 는 0이다.

앳킨슨지수 는 0과 1사이의 값을 갖고 주어직 소득분배의 완전한 재분배에 의해 얻을 수 있는 사회적효용의 총 양을 측정한다.
완전재분배에 따른 사회적효용의 개인적 가치판단에 따라 의 값이 결정되고 서로 다른 소득 분포는의 값에 따라 비교할 수 있다. 낮은 의 값은 낮은 사회적효용을 얻는다는 것을 뜻하고 높은 값은 많은 사회적효용을 얻는다는 뜻이다.
낮은  값은 불평등 회피의 특정정도를 주어줌으로써 높은 값보다 더 평등한 분배를 나타낸다.
앳킨슨지수는 다음과 같이 정의 된다.

는 개개인의 소득 (i = 1, 2, ..., N)을 뜻하고 는 소득의 평균을 나타낼때,

앳킨슨지수는 다음과 같은 공리를 따른다.

1. 이 지수는 이 조건에서 대칭적이다. 어느 순열 값 에서 식   이 성립할때

2. 이 지수는 음이아닌 0이상의 실수이며, 모든소득이 같을때에만 0과 같아진다.   for all i.

3. 이 지수는 양도의원리를 만족한다. 만약 개인의 소득   으로부터의 양도의 변화값이 0보다 크다면그 값은 다른 한사람의 소득 에서 오므로( 가 됨), 이 불평등지수는 증가하지 않는다.

4. 이 지수는 인구증가의 공리를 만족한다. 만약 새로운 인구가 기존의 인구를 무작위 복제한다해도 부등식은 똑같이 남는다. 

5. 이 지수는 독립 평균이나 소득 동질성 공리를 만족한다. 모든 소득이 양의값으로 곱해진다해도 부등식은 변화가없다.   (양의 k에대해 0차동차).

6. 이 지수는 다른 부분군에도 분석할 수 있다. 인구전체의 부등식은 각 앳킨슨지수들의 합으로 계산할 수 있으며 각 그룹 평균 소득의 앳킨슨 지수는 :

는 그룹을 뜻하며  는 각그룹들의 개인들,   는 각그룹의 평균소득,  와 가중치   는 , ,  와   에 따라 결정된다.

다른 부분군-분석가능 원칙은 매우 제한적이다. 지니계수를 포함한 많은 대중적인 지수들은 이러한 정리를 만족하지 못한다.

참고 자료
 

 

 Atkinson, AB (1970) On the measurement of inequality. Journal of Economic Theory, 2 (3), pp. 244–263, . The original paper proposing this inequality index.
 Allison PD (1978) Measures of Inequality, American Sociological Review, 43, pp. 865–880. Presents a technical discussion of the Atkinson measure's properties. There is an error in the formula for the Atkinson index, which is corrected in Allison (1979).
 Allison, PD (1979) Reply to Jasso. American Sociological Review 44(5):870–72.
 Biewen M, Jenkins SP (2003). Estimation of Generalized Entropy and Atkinson Inequality Indices from Complex Survey Data. IZA Discussion Paper #763. Provides statistical inference for Atkinson indices.
 Lambert, P. (2002). Distribution and redistribution of income. 3rd edition, Manchester Univ Press, .
 Sen A, Foster JE (1997) On Economic Inequality, Oxford University Press, . (Python script  for a selection of formulas in the book)
 World Income Inequality Database , from World Institute for Development Economics Research
 Income Inequality, 1947–1998, from 미국 인구 조사국.

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