In topology and related branches of mathematics, separated sets are pairs of subsets of a given topological space that are related to each other in a certain way: roughly speaking, neither overlapping nor touching.  The notion of when two sets are separated or not is important both to the notion of connected spaces (and their connected components) as well as to the separation axioms for topological spaces.

Separated sets should not be confused with separated spaces (defined below), which are somewhat related but different.  Separable spaces are again a completely different topological concept.

Definitions

There are various ways in which two subsets  and  of a topological space  can be considered to be separated.  A most basic way in which two sets can be separated is if they are disjoint, that is, if their intersection is the empty set. This property has nothing to do with topology as such, but only set theory.  Each of the properties below is stricter than disjointness, incorporating some topological information.  The properties are presented in increasing order of specificity, each being a stronger notion than the preceding one.

A more restrictive property is that  and  are  in  if each is disjoint from the other's closure:

This property is known as the . Since every set is contained in its closure, two separated sets automatically must be disjoint. The closures themselves do not have to be disjoint from each other; for example, the intervals  and  are separated in the real line  even though the point 1 belongs to both of their closures. A more general example is that in any metric space, two open balls  and  are separated whenever  The property of being separated can also be expressed in terms of derived set (indicated by the prime symbol):  and  are separated when they are disjoint and each is disjoint from the other's derived set, that is,  (As in the case of the first version of the definition, the derived sets  and  are not required to be disjoint from each other.)

The sets  and  are  if there are neighbourhoods  of  and  of  such that  and  are disjoint. (Sometimes you will see the requirement that  and  be open neighbourhoods, but this makes no difference in the end.) For the example of and  you could take  and  Note that if any two sets are separated by neighbourhoods, then certainly they are separated. If  and  are open and disjoint, then they must be separated by neighbourhoods; just take  and  For this reason, separatedness is often used with closed sets (as in the normal separation axiom).

The sets  and  are  if there is a closed neighbourhood  of  and a closed neighbourhood  of  such that  and  are disjoint. Our examples,  and  are  separated by closed neighbourhoods. You could make either  or   closed by including the point 1 in it, but you cannot make them both closed while keeping them disjoint. Note that if any two sets are separated by closed neighbourhoods, then certainly they are separated by neighbourhoods.

The sets  and  are  if there exists a continuous function  from the space  to the real line  such that  and , that is, members of  map to 0 and members of  map to 1. (Sometimes the unit interval  is used in place of  in this definition, but this makes no difference.) In our example,  and  are not separated by a function, because there is no way to continuously define  at the point 1. If two sets are separated by a continuous function, then they are also separated by closed neighbourhoods; the neighbourhoods can be given in terms of the preimage of  as  and  where  is any positive real number less than 

The sets  and  are  if there exists a continuous function  such that  and  (Again, you may also see the unit interval in place of  and again it makes no difference.) Note that if any two sets are precisely separated by a function, then they are separated by a function. Since  and  are closed in  only closed sets are capable of being precisely separated by a function, but just because two sets are closed and separated by a function does not mean that they are automatically precisely separated by a function (even a different function).

Relation to separation axioms and separated spaces

The separation axioms are various conditions that are sometimes imposed upon topological spaces, many of which can be described in terms of the various types of separated sets. As an example we will define the T2 axiom, which is the condition imposed on separated spaces. Specifically, a topological space is separated if, given any two distinct points x and y, the singleton sets {x} and {y} are separated by neighbourhoods.

Separated spaces are usually called Hausdorff spaces or T2 spaces.

Relation to connected spaces

Given a topological space X, it is sometimes useful to consider whether it is possible for a subset A to be separated from its complement. This is certainly true if A is either the empty set or the entire space X, but there may be other possibilities. A topological space X is connected if these are the only two possibilities. Conversely, if a nonempty subset A is separated from its own complement, and if the only subset of A to share this property is the empty set, then A is an open-connected component of X. (In the degenerate case where X is itself the empty set , authorities differ on whether  is connected and whether  is an open-connected component of itself.)

Relation to topologically distinguishable points

Given a topological space X, two points x and y are topologically distinguishable if there exists an open set that one point belongs to but the other point does not. If x and y are topologically distinguishable, then the singleton sets {x} and {y} must be disjoint. On the other hand, if the singletons {x} and {y} are separated, then the points x and y must be topologically distinguishable. Thus for singletons, topological distinguishability is a condition in between disjointness and separatedness.

See also

Citations

Sources

  
  
 

Separation axioms
Topology
일반위상수학에서 분리 집합쌍(分離集合雙, )은 서로의 폐포와 겹치지 않는 두 개의 집합을 뜻한다. 이 개념 및 이를 강화한 조건들을 통해, 위상 공간의 다양한 분리공리(分離公理, )들을 정의할 수 있다.

정의 
위상 공간 의 두 부분 집합 에 대하여, 다음을 정의한다.
 만약 이라면, 와 는 서로소 집합쌍(-素集合雙, )이다.
 만약 이거나 또는 이라면, 와 는 위상 구별 가능 집합쌍(位相區別可能集合雙, )이다.
 만약 이라면, 와 는 분리 집합쌍(分離集合雙, )이다.
 만약 이 되는 의 근방  및 의 근방 가 존재한다면, 와 는 근방 분리 집합쌍(近傍分離集合雙, )이다.
 만약 이 되는 의 닫힌 근방  및 의 닫힌 근방 가 존재한다면, 와 는 닫힌 근방 분리 집합쌍(-近傍分離集合雙, )이다.
 만약 이자 인 연속 함수 가 존재한다면, 와 는 함수 분리 집합쌍(函數分離集合雙, )이다.
 만약 이자 인 연속 함수 가 존재한다면, 와 는 정밀 함수 분리 집합쌍(精密函數分離集合雙, )이다. 이 경우, 는 닫힌집합 의 원상이므로 의 닫힌집합이며, 또한 가산 개의 열린집합들 의 교집합이므로 Gδ 집합이다. 이는 도 마찬가지다.
이들 사이에는 서로 함의 관계 전순서가 존재한다.
서로소 ⇐ 분리 ⇐ 근방 분리 ⇐ 닫힌 근방 분리 ⇐ 함수 분리 ⇐ 정밀 함수 분리
이 가운데 자명하지 않은 것은 닫힌 근방 분리 ⇐ 함수 분리로, 만약 와 가 에 의하여 서로 함수 분리라면, , 로 놓으면 이들이 닫힌 근방 분리임을 알 수 있다.

성질 
위상 공간 에 대하여, 다음과 같은 꼴의 조건을 정의할 수 있다.
〜인 부분 집합 에 대하여, 만약 이라면, 와 는 〜분리이다.
이러한 조건을 분리공리라고 한다. 대표적인 예는 다음과 같다. (아래 표에서, "점"이란 사실 한원소 집합을 뜻한다.)

여기서
 ㉠은 모든 열린집합이 열린닫힌집합인 위상 공간이다. (마찬가지로, 모든 닫힌집합도 열린닫힌집합이다.)
 ㉡은 모든 정칙 열린집합이 열린닫힌집합인 위상 공간이다. 이는 ㉠보다 약한 조건이다. (예를 들어, 시에르핀스키 공간은 ㉡을 만족시키지만 ㉠을 만족시키지 않는다.)
 ㉢에는 특별한 이름이 없다. 그러나 이는 완비 정칙 공간 + (모든 한원소 집합이 Gδ 집합)에 의하여 함의된다.
 ㉣에는 특별한 이름이 없다. 그러나 이는 완비 정칙 하우스도르프 공간 + (모든 닫힌집합이 Gδ 집합)을 함의하며, 완전 정규 하우스도르프 공간에 의하여 함의된다.

'''증명 (㉠과 동치인 조건들):
다음 함의 관계들을 증명하면 족하다.
 (A) 열린집합과 닫힌집합이 분리 ⇒ 열린집합이 닫힌집합과 일치
 (A′) 열린집합과 점이 분리 ⇒ 열린집합이 닫힌집합과 일치
 (A″) 열린집합과 열린집합이 함수 분리 ⇒ 열린집합이 닫힌집합과 일치
 (B) 열린집합이 닫힌집합과 일치 ⇒ 열린집합과 열린(닫힌)집합은 정밀히 함수 분리
 (B′) 열린집합이 닫힌집합과 일치 ⇒ 열린집합과 점은 함수 분리
(A): 임의의 열린집합 에 대하여, 와 닫힌집합 가 분리되었다고 하자. 그렇다면 이므로 는 닫힌집합이다.

(A′): 귀류법을 통해, 닫힌집합이 아닌 열린집합 이 존재한다면, 를 고를 수 있으며, 이 경우 와 는 서로 분리되지 않는다.

(A″): 함수 분리되는 두 집합은 항상 닫힌집합이다.

(B): 에서 모든 열린집합이 닫힌집합이라고 하자. 임의의 두 서로소 열린닫힌집합 에 대하여,

는 와 를 정밀히 분리하는 연속 함수이다.

(B′): 에서 열린집합과 닫힌집합이 일치한다고 하자. 열린집합 와 를 고른 뒤, 로 놓자. 그렇다면 (B)에 의하여 와 를 분리하는 함수가 존재한다.
증명 (㉡과 동치인 조건):
다음 함의 관계들을 증명하면 족하다.
 (C) 열린집합과 열린집합은 닫힌 근방 분리 ⇒ 모든 정칙 열린집합은 닫힌집합
 (C′) 모든 정칙 열린집합은 닫힌집합 ⇒ 열린집합과 열린집합은 닫힌 근방 분리

(C): 의 임의의 정칙 열린집합 에 대하여,  라고 하자. 그렇다면

이다. 이제, 와 가 닫힌 근방 분리된다는 것은

를 뜻하므로, 는 닫힌집합이다. 따라서, 모든 정칙 열린집합은 닫힌집합이다.

(C′): 에서 모든 정칙 열린집합이 닫힌집합이라고 하자. 그렇다면, 의 두 서로소 열린집합 에 대하여,

라고 하자. 그렇다면 는 의 닫힌 근방이며,

이므로 는 의 닫힌 근방이다. 따라서 와 는 닫힌 근방으로 분리된다.

'''증명 (이산 공간과 동치인 조건):
한원소 집합과 열린집합이 정밀히 함수로 분리된다는 것은 모든 열린집합이 닫힌집합이며, 또 한원소 집합이 닫힌집합이어야 한다는 것을 함의한다. 후자는 T1 공간의 정의이며, 따라서 이러한 공간은 이산 공간이다. 반대 방향 함의는 자명하다.

'''증명 (㉢의 함의):
완비 정칙 공간에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 모든 한원소 집합이 Gδ 집합이다.
 임의의 에 대하여, 인 연속 함수 가 존재한다.
따라서, 임의의 에 대하여

인 를 고른다면,

는 와 을 정밀히 분리한다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

일반위상수학