There are 20 possible values of $a$ and $b,$ namely
\[S = \left\{ 0, 1, \frac{1}{2}, \frac{3}{2}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{4}{3}, \frac{5}{3}, \frac{1}{4}, \frac{3}{4}, \frac{5}{4}, \frac{7}{4}, \frac{1}{5}, \frac{2}{5}, \frac{3}{5}, \frac{4}{5}, \frac{6}{5}, \frac{7}{5}, \frac{8}{5}, \frac{9}{5} \right\}.\]Let $x = \cos a \pi$ and $y = \sin b \pi.$  We want to see when
\[(x + yi)^4 = x^4 + 4ix^3 y - 6x^2 y^2 - 4ixy^3 + y^4\]is real.  This occurs exactly when $4x^3 y - 4xy^3 = 4xy(x^2 - y^2) = 0,$ so either $x = 0,$ $y = 0,$ $x = y,$ or $x = -y.$  In other words, $\cos a \pi = 0,$ $\sin b \pi = 0,$ $\cos a \pi = \sin b \pi,$ or $\cos a \pi = -\sin b \pi.$

If $\cos a \pi = 0,$ then $a = \frac{1}{2}$ or $a = \frac{3}{2},$ and $b$ can be any value in $S.$  This gives us 40 pairs $(a,b).$

If $\sin b \pi = 0,$ then $b = 0$ or $b = 1,$ and $a$ can be any value in $S.$  This gives us 40 pairs $(a,b),$ but the four pairs $\left( \frac{1}{2}, 0 \right),$ $\left( \frac{1}{2}, 1 \right),$ $\left( \frac{3}{2}, 0 \right),$ and $\left( \frac{3}{2}, 1 \right)$ have already been counted, so it gives us only 36 additional pairs.

If $\cos a \pi = \sin b \pi,$ then
\[\cos a \pi = \cos \left( \frac{\pi}{2} - b \pi \right),\]which implies $a \pi - \left( \frac{\pi}{2} - b \pi \right) = 2 \pi k$ for some integer $k,$ or $a \pi + \left( \frac{\pi}{2} - b \pi \right) = 2 \pi k'$ for some integer $k'.$  These lead to $a + b - \frac{1}{2} = 2k$ or $a - b + \frac{1}{2} = 2k'.$  We have already counted the pairs where $b = 0$ or $b = 1,$ so we exclude these values.  We can check that if the denominator of $b$ is 3 or 5, then there are no possible values of $a.$

If $b = \frac{1}{2},$ then $a = 0$ for either equation.  If $b = \frac{3}{2},$ then $a = 1$ for either equation.  Finally, we can check that if $b \in \left\{ \frac{1}{4}, \frac{3}{4}, \frac{5}{4}, \frac{7}{4} \right\},$ then there is exactly one solution for $a$ for the equation $a + b - \frac{1}{2} = 2k$ (which lies in $\left\{ \frac{1}{4}, \frac{3}{4}, \frac{5}{4}, \frac{7}{4} \right\}$), and one solution for $a$ for the equation $a - b + \frac{1}{2} = 2k'$ (which lies in $\left\{ \frac{1}{4}, \frac{3}{4}, \frac{5}{4}, \frac{7}{4} \right\}$).  Furthermore, if $a + b - \frac{1}{2} = 2k$ and $a - b + \frac{1}{2} = 2k',$ then subtracting these equations, we get
\[2b - 1 = 2k - 2k',\]so $b = k - k' + \frac{1}{2}.$  Thus, $b = \frac{1}{2}$ or $b = \frac{3}{2},$ and we count these values just once.  This gives us $2 + 8 = 10$ pairs $(a,b).$

Similarly, if $\cos a \pi = -\sin b \pi,$ then
\[\cos a \pi = -\sin b \pi = \sin (-b \pi) = \cos \left( \frac{\pi}{2} + b \pi \right),\]which implies $a \pi - \left( \frac{\pi}{2} + b \pi \right) = 2 \pi k$ for some integer $k,$ or $a \pi + \left( \frac{\pi}{2} + b \pi \right) = 2 \pi k'$ for some integer $k'.$  These lead to $a - b - \frac{1}{2} = 2k$ or $a + b + \frac{1}{2} = 2k'.$  We have already counted the pairs where $b = 0$ or $b = 1,$ so we exclude these values.  We can check that if the denominator of $b$ is 3 or 5, then there are no possible values of $a.$

If $b = \frac{1}{2},$ then $a = 1$ for either equation.  If $b = \frac{3}{2},$ then $a = 0$ for either equation.  Finally, we can check that if $b \in \left\{ \frac{1}{4}, \frac{3}{4}, \frac{5}{4}, \frac{7}{4} \right\},$ then there is exactly one solution for $a$ for the equation $a - b - \frac{1}{2} = 2k$ (which lies in $\left\{ \frac{1}{4}, \frac{3}{4}, \frac{5}{4}, \frac{7}{4} \right\}$), and one solution for $a$ for the equation $a + b + \frac{1}{2} = 2k'$ (which lies in $\left\{ \frac{1}{4}, \frac{3}{4}, \frac{5}{4}, \frac{7}{4} \right\}$).  Furthermore, if $a - b - \frac{1}{2} = 2k$ and $a + b + \frac{1}{2} = 2k',$ then subtracting these equations, we get
\[2b + 1 = 2k' - 2k,\]so $b = k' - k - \frac{1}{2}.$  Thus, $b = \frac{1}{2}$ or $b = \frac{3}{2},$ and we count these values just once.  We can also confirm that all of the pairs in this case are different from the pairs in the previous case.  This gives us $2 + 8 = 10$ pairs $(a,b).$

Thus, there are a total of $40 + 36 + 10 + 10 = 96$ possible pairs $(a,b).$  There are $20^2 = 400$ ways to choose the pair $(a,b),$ which gives us a probability of $\frac{96}{400} = \frac{6}{25}.$
a$ 및 $b$의 가능한 값은 다음과 같이 20가지입니다.
\S = \left\{ 0, 1, \frac{1}{2}, \frac{3}{2}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{4}{3}, \frac{5}{3}, \frac{1}{4}, \frac{3}{4}, \frac{5}{4}, \frac{7}{4}, \frac{1}{5}, \frac{2}{5}, \frac{3}{5}, \frac{4}{5}, \frac{6}{5}, \frac{7}{5}, \frac{8}{5}, \frac{9}{5} \오른쪽\}.\]$x = \cos a \pi$, $y = \sin b \pi$라고 가정하면 다음과 같은 경우를 확인합니다.
\[(x + yi)^4 = x^4 + 4ix^3 y - 6x^2 y^2 - 4ixy^3 + y^4\]가 실수인지 확인합니다.  이는 $4x^3 y - 4xy^3 = 4xy(x^2 - y^2) = 0,$이므로 $x = 0,$ $y = 0,$ $x = y,$ 또는 $x = -y일 때 정확히 발생합니다. 즉, $\cos a \pi = 0,$ $\sin b \pi = 0,$$\cos a \pi = \sin b \pi,$ 또는 $\cos a \pi = -\sin b \pi.$입니다.

만약 $\cos a \pi = 0,$이면 $a = \frac{1}{2}$ 또는 $a = \frac{3}{2},$이고 $b$는 $S에서 임의의 값일 수 있습니다.$ 이렇게 하면 40쌍 $(a,b)$가 나옵니다.

만약 $\sin b \pi = 0,$이면 $b = 0$ 또는 $b = 1,$이고 $a$는 $S에서 어떤 값이라도 될 수 있습니다.이렇게 하면 40쌍 $(a,b)가 주어지지만, 네 쌍 $\left( \frac{1}{2}, 0 \right),$ $\left( \frac{1}{2}, 1 \right),$ $\left( \frac{3}{2}, 0 \right),$ 및 $\left( \frac{3}{2}, 1 \right)$가 이미 계산되었으므로 추가로 36쌍만 주어집니다.

만약 $\cos a \pi = \sin b \pi,$라면 다음과 같습니다.
\[\cos a \pi = \cos \left( \frac{\pi}{2} - b \pi \right),\]는 어떤 정수 $k에 대해 $a \pi - \left( \frac{\pi}{2} - b \pi \right) = 2 \pi k$임을 의미합니다,또는 일부 정수 $k'에 대해 $a \pi + \left( \frac{\pi}{2} - b \pi \right) = 2 \pi k'$입니다.이는 $a + b - \frac{1}{2} = 2k$ 또는 $a - b + \frac{1}{2} = 2k'$로 이어집니다. $b = 0$ 또는 $b = 1$인 쌍은 이미 계산했으므로 이러한 값은 제외합니다. b$의 분모가 3 또는 5인 경우 $a$의 가능한 값이 없음을 확인할 수 있습니다.

b = \frac{1}{2},$이면 두 방정식 모두 $a = 0$입니다. b = \frac{3}{2},$이면 두 방정식 모두 $a = 1$입니다.  마지막으로, $b \in \left\{ \frac{1}{4}, \frac{3}{4}, \frac{5}{4}, \frac{7}{4} \오른쪽\},$ 그렇다면 $a + b - \frac{1}{2} = 2k$ 방정식의 $a$에 대한 해는 정확히 하나뿐입니다(이는 $\left\{ \frac{1}{4}, \frac{3}{4}, \frac{5}{4}, \frac{7}{4}에 놓입니다. \오른쪽\}$), $a - b + \frac{1}{2} = 2k'$ 방정식의 $a$에 대한 하나의 해($\left\{ \frac{1}{4}, \frac{3}{4}, \frac{5}{4}, \frac{7}{4}에 놓임)가 있습니다. \오른쪽\}$). 또한 $a + b - \frac{1}{2} = 2k$ 및 $a - b + \frac{1}{2} = 2k',$에서 이 방정식을 빼면 다음과 같이 구할 수 있습니다.
\[2b - 1 = 2k - 2k',\]따라서 $b = k - k' + \frac{1}{2}.$ 따라서 $b = \frac{1}{2}$ 또는 $b = \frac{3}{2},$ 그리고 이 값을 한 번만 세어보겠습니다. 이렇게 하면 $2 + 8 = 10$ 쌍 $(a,b)$가 됩니다.

마찬가지로, $\cos a \pi = -\sin b \pi,$이면 다음과 같습니다.
\[\cos a \pi = -\sin b \pi = \sin (-b \pi) = \cos \left( \frac{\pi}{2} + b \pi \right),\이는 어떤 정수 $k에 대해 $a \pi - \left( \frac{\pi}{2} + b \pi \right) = 2 \pi k$ 또는 어떤 정수 $k'에 대해 $a \pi + \left( \frac{\pi}{2} + b \pi \right) = 2 \pi k'$임을 의미합니다.이는 $a - b - \frac{1}{2} = 2k$ 또는 $a + b + \frac{1}{2} = 2k'$로 이어집니다. $b = 0$ 또는 $b = 1$인 쌍은 이미 계산했으므로 이러한 값은 제외합니다. b$의 분모가 3 또는 5인 경우 $a$의 가능한 값이 없음을 확인할 수 있습니다.

b = \frac{1}{2},$이면 두 방정식 모두 $a = 1$입니다. b = \frac{3}{2},$이면 두 방정식 모두 $a = 0$입니다.  마지막으로, $b \in \left\{ \frac{1}{4}, \frac{3}{4}, \frac{5}{4}, \frac{7}{4} \오른쪽\},$ 그렇다면 $a - b - \frac{1}{2} = 2k$ 방정식에 대한 $a$에 대한 해는 정확히 하나뿐입니다($\left\{ \frac{1}{4}, \frac{3}{4}, \frac{5}{4}, \frac{7}{4}에 놓입니다. 오른쪽\}$), $a$에 대한 하나의 해는 $a + b + \frac{1}{2} = 2k'$ 방정식($\left\{ \frac{1}{4}, \frac{3}{4}, \frac{5}{4}, \frac{7}{4}에 놓임)입니다(이는 $\left\{ \frac{1}{4}, \frac{3}{4}, \frac{7}{4} \오른쪽\}$).  또한 $a - b - \frac{1}{2} = 2k$ 및 $a + b + \frac{1}{2} = 2k',$에서 이 방정식을 빼면 다음과 같이 됩니다.
\[2b + 1 = 2k' - 2k,\]따라서 $b = k' - k - \frac{1}{2}.$ 따라서 $b = \frac{1}{2}$ 또는 $b = \frac{3}{2},$ 그리고 이 값을 한 번만 세어봅니다. 또한 이 경우의 모든 쌍이 이전 사례의 쌍과 다르다는 것을 확인할 수 있습니다.  이렇게 하면 $2 + 8 = 10$ 쌍 $(a,b)$가 됩니다.

따라서 $40 + 36 + 10 + 10 = 96$ 개의 가능한 $(a,b)$ 쌍이 있습니다. $20^2 = 400$ 개의 방법으로 $(a,b)$ 쌍을 선택할 수 있으므로 $\frac{96}{400} = \frac{6}{25}$ 의 확률이 주어집니다.