In mathematics, an algebraic cycle on an algebraic variety V is a formal linear combination of subvarieties of V.  These are the part of the algebraic topology of V that is directly accessible by algebraic methods.  Understanding the algebraic cycles on a variety can give profound insights into the structure of the variety.

The most trivial case is codimension zero cycles, which are linear combinations of the irreducible components of the variety.  The first non-trivial case is of codimension one subvarieties, called divisors.  The earliest work on algebraic cycles focused on the case of divisors, particularly divisors on algebraic curves.  Divisors on algebraic curves are formal linear combinations of points on the curve.  Classical work on algebraic curves related these to intrinsic data, such as the regular differentials on a compact Riemann surface, and to extrinsic properties, such as embeddings of the curve into projective space.

While divisors on higher-dimensional varieties continue to play an important role in determining the structure of the variety, on varieties of dimension two or more there are also higher codimension cycles to consider.  The behavior of these cycles is strikingly different from that of divisors.  For example, every curve has a constant N such that every divisor of degree zero is linearly equivalent to a difference of two effective divisors of degree at most N.  David Mumford proved that, on a smooth complete complex algebraic surface S with positive geometric genus, the analogous statement for the group  of rational equivalence classes of codimension two cycles in S is false. The hypothesis that the geometric genus is positive essentially means (by the Lefschetz theorem on (1,1)-classes) that the cohomology group  contains transcendental information, and in effect Mumford's theorem implies that, despite  having a purely algebraic definition, it shares transcendental information with .  Mumford's theorem has since been greatly generalized.

The behavior of algebraic cycles ranks among the most important open questions in modern mathematics.  The Hodge conjecture, one of the Clay Mathematics Institute's Millennium Prize Problems, predicts that the topology of a complex algebraic variety forces the existence of certain algebraic cycles.  The Tate conjecture makes a similar prediction for étale cohomology.  Alexander Grothendieck's standard conjectures on algebraic cycles yield enough cycles to construct his category of motives and would imply that algebraic cycles play a vital role in any cohomology theory of algebraic varieties.  Conversely, Alexander Beilinson proved that the existence of a category of motives implies the standard conjectures.  Additionally, cycles are connected to algebraic K-theory by Bloch's formula, which expresses groups of cycles modulo rational equivalence as the cohomology of K-theory sheaves.

Definition 

Let X be a scheme which is finite type over a field k.  An algebraic r-cycle on X is a formal linear combination

of r-dimensional closed integral k-subschemes of X.  The coefficient ni is the multiplicity of Vi.  The set of all r-cycles is the free abelian group

where the sum is over closed integral subschemes V of X.  The groups of cycles for varying r together form a group

This is called the group of algebraic cycles, and any element is called an algebraic cycle.  A cycle is effective or positive if all its coefficients are non-negative.

Closed integral subschemes of X are in one-to-one correspondence with the scheme-theoretic points of X under the map that, in one direction, takes each subscheme to its generic point, and in the other direction, takes each point to the unique reduced subscheme supported on the closure of the point.  Consequently  can also be described as the free abelian group on the points of X.

A cycle  is rationally equivalent to zero, written , if there are a finite number of -dimensional subvarieties  of  and non-zero rational functions  such that , where  denotes the divisor of a rational function on Wi.  The cycles rationally equivalent to zero are a subgroup , and the group of r-cycles modulo rational equivalence is the quotient

This group is also denoted .  Elements of the group

are called cycle classes on X.  Cycle classes are said to be effective or positive if they can be represented by an effective cycle.

If X is smooth, projective, and of pure dimension N, the above groups are sometimes reindexed cohomologically as

and

In this case,  is called the Chow ring of X because it has a multiplication operation given by the intersection product.

There are several variants of the above definition.  We may substitute another ring for integers as our coefficient ring.  The case of rational coefficients is widely used.  Working with families of cycles over a base, or using cycles in arithmetic situations, requires a relative setup.  Let , where S is a regular Noetherian scheme.  An r-cycle is a formal sum of closed integral subschemes of X whose relative dimension is r; here the relative dimension of  is the transcendence degree of  over  minus the codimension of  in S.

Rational equivalence can also be replaced by several other coarser equivalence relations on algebraic cycles.  Other equivalence relations of interest include algebraic equivalence, homological equivalence for a fixed cohomology theory (such as singular cohomology or étale cohomology), numerical equivalence, as well as all of the above modulo torsion.  These equivalence relations have (partially conjectural) applications to the theory of motives.

Flat pullback and proper pushforward
There is a covariant and a contravariant functoriality of the group of algebraic cycles. Let f : X  → X' be a map of varieties.

If f is flat of some constant relative dimension (i.e. all fibers have the same dimension), we can define for any subvariety Y' ⊂ X':

 

which by assumption has the same codimension as Y′.

Conversely, if f is proper, for Y a subvariety of X the pushforward is defined to be

where n is the degree of the extension of function fields [k(Y) : k(f(Y))] if the restriction of f to Y is finite and 0 otherwise.

By linearity, these definitions extend to homomorphisms of abelian groups

(the latter by virtue of the convention) are homomorphisms of abelian groups. See Chow ring for a discussion of the functoriality related to the ring structure.

See also 
divisor (algebraic geometry)
Relative cycle

References

 
 

Algebraic geometry
대수기하학에서 대수적 순환(代數的循環, )은 어떤 대수다양체 V의 부분 다양체들의 선형결합으로 나타내어지는 호몰로지류이다. 이를 이용하여, 대수적 위상수학과 대수기하학을 연관시킬 수 있다.

정의 
스킴  위의 대수적 순환들의 아벨 군 는 의 기약 축소 닫힌 부분 스킴들로 생성되는 자유 아벨 군이다. 이는 부분 스킴의 크룰 차원으로 인하여 등급을 갖는다.

타당한 동치 
대수적으로 닫힌 체 위의 비특이 사영 대수다양체  위의 두 대수적 순환

에 대하여, 만약

이라면, 와 가 서로 제대로 교차()한다고 한다.

대수적으로 닫힌 체 위의 비특이 사영 대수다양체  위의 대수적 순환들의 타당한 동치(妥當한 同値, )는  위에 정의된, 다음 조건을 만족시키는 동치 관계 이다.
 (선형성) 임의의 , 에 대하여, 만약 , 이라면 이다.
 (저우 이동 보조 정리) 임의의 에 대하여, 와 동치이며 와 제대로 교차하는 가 존재한다.
 (밂) 임의의  및 에 대하여, 만약 와 가 제대로 교차하며, 또한 이라면, 이다. 여기서 는 사영 사상이다.

대수적 순환의 유리 동치는 타당한 동치를 이룬다. 이 밖에도 흔히 쓰이는 타당한 동치로는 다음 네 가지가 있다.
 유리 동치(有理同値, ) 
 대수적 동치(代數的同値, ) 
 호몰로지 동치(homology同値, ) 
 수치 동치(數値同値, ) 
이들은 더 엉성해지는 순서로 나열하였다. 즉, 예를 들어 서로 유리 동치인 두 대수적 순환은 항상 대수적 동치이지만, 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다. 대수적 동치와 호몰로지 동치는 여차원 1(인자)인 경우 서로 일치하지만, 더 큰  여차원에서는 서로 일치하지 않으며, 그 차이는 그리피스 군()으로 측정된다.

유리 동치 
대수적으로 닫힌 체 위의 비특이 사영 대수다양체  위의 부분 다양체 에 대하여, 만약  다음 두 조건을 만족시키는 대수적 순환 이  존재한다면, 와 가 서로 유리 동치라고 한다.
 
 사영 사상 는 평탄 사상이다.

대수적 동치 
대수적으로 닫힌 체 위의 비특이 사영 대수다양체  위의 부분 다양체 에 대하여, 만약  다음 두 조건을 만족시키는
 대수 곡선 
  속의 두 닫힌 점 
  속의 대수적 순환 
가 존재한다면, 와 가 서로 대수적 동치라고 한다.
 
 사영 사상 는 평탄 사상이다.

호몰로지 동치 
복소수체 위의 대수다양체의 경우, 특이 호몰로지를 정의할 수 있으며, 또한 대수적 순환에서 특이 호몰로지로 가는 사상

이 존재한다. 만약 두 대수적 순환이 같은 특이 호몰로지류에 대응한다면, 이들을 서로 호몰로지 동치라고 한다.

복소수체가 아닌 체의 경우, 다른 베유 호몰로지 이론을 사용하여 호몰로지 동치를 정의할 수 있다.

수치 동치 
대수적으로 닫힌 체 위의 비특이 사영 대수다양체  위의 부분 다양체 에 대하여, 만약 임의의 차원 대수적 순환 에 대하여 다음이 성립한다면, 와 가 서로 수치 동치라고 한다.

저우 환 
대수적으로 닫힌 체 위의 사영 대수다양체  위의 대수적 순환들의 자유 아벨 군에 유리 동치에 대한 몫군을 취하여 얻는 군을 라고 쓰자. 이는 여차원에 따라 다음과 같이 등급으로 분해할 수 있다.

이 위에 다음과 같이 교차곱을 정의하자.

이 때, 동치류의 대표원 , 는 저우 이동 보조 정리를 사용하여 서로 제대로 교차하게 고른다. 위 정의는 대표원의 선택에 상관없음을 보일 수 있으며, 이는 여차원에 대하여 가법적이다.

이에 따라 은 등급환을 이루며, 이를 의 저우 환([周]環, )이라고 한다. 이는 일종의 코호몰로지 환이다.

만약 가 복소수체 위의 비특이 사영 대수다양체라면, 저우 환에서 (해석적 위상에 대한) 정수 계수 특이 코호몰로지로 가는 환 준동형이 존재하며, 그 상은 모두 짝수 차수에 속한다. 일반적으로 이 준동형은 단사 함수도, (짝수 차수에 국한하여도) 전사 함수도 아니다.

예 
대수적으로 닫힌 체 위의 기약 대수다양체 의 여차원 0의 대수적 순환은  자체밖에 없다. 즉, 이로부터 생성되는 군은 와 동형이며, 유리 동치 · 대수적 동치 · 호몰로지 동치 · 수치적 동치가 일치한다.

대수적으로 닫힌 체 위의 대수다양체 의 여차원 1의 대수적 순환의 군은 카르티에 인자의 군

에 해당된다. 이 경우, 여차원 1의 저우 군(=유리 동치에 대한 몫군)은 피카르 군이다.

이 경우 대수적 동치와 (정수 계수) 호몰로지 동치는 일치하며, 이에 대한 몫군은 네롱-세베리 군이다.

수치 동치와 (유리수 계수) 호몰로지 동치는 일치하며, 이에 대한 몫군은 네롱-세베리 군의 꼬임 부분군에 대한 몫군이다.

역사 
이 용어는 1950년~60년대 몇가지 근본적인 추측이 이루어지기 시작하여 대수적 순환은 대수기하학의 주요 목표가 되었다. 문제의 본질은 매우 설명하기 쉬워 대수적 순환의 존재를 예측하긴 쉽지만, 현재 그것들을 구성하는 게 무엇인지는 불확실하다. 이러한 대수적 순환의 주요 추측으로는 호지 추측 및 테이트 추측이 있다. 또한, 대수적 순환은 대수적 K이론과도 밀접하게 연관되어 있는 것으로 추측된다.

유리 동치에 대한 저우 움직임 정리와 저우 환의 존재는 저우웨이량이 1956년에 증명하였다. 타당한 동치 관계의 개념은 피에르 사뮈엘()이 1958년에 정의하였다.

참고 문헌

외부 링크

같이 보기 
 인자 (대수기하학)
 코호몰로지
 호지 이론

대수기하학
호몰로지 이론
중국 수학