more: 45:02
of g to the l so you take a skew hermitian matrix raise it to l
45:07
power take its trace every polynomial could be written every invariant polynomial can be written by a a linear
45:13
combination uh a well a hey not a linear combination but anyway pro sums of products of things
45:20
like this and in particular you get this leads to the so-called
45:25
churn classes and if it's
45:32
uh s o n uh it's also generated here it's
45:38
generated by trace of g to the 2l
45:44
notice the trace of an odd uh an odd pro
45:50
product of g with itself an odd number of times is is zero because excuse me doesn't have any trace but even traces
45:57
and and that leads to the uh pantry argan classes
46:05
so familiar classes for these two
46:10
familiar family of groups an event happens to be even you get one more which is not a trace power and that's
46:17
that faffian polynomial that i wrote down before that's not a trace power as far as i know
46:23
well someone's very very clever but it isn't now one important thing
46:30
and then we can move move along one important thing is
46:36
is the naturality i'm very eager to get to to get to the punch line here
46:44
one important thing is is naturality and it goes like this that
46:52
if you have one of these bundles with connection e
46:58
down to x pi and so on g well i'm going to move it
47:04
even to the left here e i
47:11
x g and then suppose i have a map a smooth map of y
47:17
some other manifold into x call that f well and then it turns out i can pull
47:25
back everything so over here there's there's another g bundle
47:30
principle g bundle and that goes into what we'll call f star of e
47:37
and it has and that maps down down here to a pi
47:44
and uh there's a the connection over here and it pulls back to a connection f star
47:50
of a and here's the here's the punch line of this that
47:55
if i take for a given polynomial p
48:00
of f an invariant polynomial and i pull it back f star of this
48:07
over here that equals uh
48:13
p of the o of the pulled back curvature and effect or the of the pullback
48:18
curvature p of f star of f
48:24
f star of f so everything is natural in this in this business okay
48:31
push it over pull it back the polynomials the forms pull back so
48:37
now let's do something funny let's pull a principal g bundle
48:42
back to itself under the projection map so let's use this
48:48
neat fact uh about the thing itself so here i have e
48:56
goes down to x by g etc all very nice
49:02
and now over here i have e
49:09
and this was the map pi and now i'm going to make this map we'll call this map pi
49:15
so here i get g again but here i get pi star
49:21
i think i didn't write yeah i did now here i'm going to get pi star of e
49:27
mapping down to e and the connections and all the rest
49:33
okay now when i but a
49:38
bundle principal bundle pulled back to itself is trivial
49:44
right think about it a minute if you the the fiber was the fiber below
49:53
below the point this point is already in that fiber the base is now the bundle and i can say oh
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더 보기 45:02의 G를 L로 가져와서 스큐 헤르미티안 행렬을 L로 올립니다.45:07모든 다항식을 쓸 수 있는 모든 불변 다항식을 선형으로 쓸 수 있습니다.45:13조합 어, 선형 조합은 아니지만 어쨌든 사물의 곱의 프로 합입니다.45:20이런 식으로, 특히 이것은 소위 말하는45:25이탈 수업과 그것이45:32어, 여기서도 생성됩니다.45:382L에 대한 G의 흔적에 의해 생성됨45:44홀수 프로의 흔적을 주목하십시오.45:50그 자체로 홀수 인 g의 곱은 실례합니다 흔적이 없지만 짝수 흔적이 없기 때문에 0입니다.45:57그리고 그것은 식료품 저장실 아르간 수업으로 이어집니다.46:05이 두 가지에 대한 친숙한 수업46:10익숙한 그룹의 그룹 이벤트가 발생하면 미량의 힘이 아닌 하나 더 얻을 수 있습니다.46:17내가 전에 적어 놓은 파피안 다항식은 내가 아는 한 미량 거듭제곱이 아닙니다.46:23글쎄 누군가는 매우 똑똑하지만 지금은 중요한 것이 아닙니다.46:30그리고 우리는 한 가지 중요한 것을 따라 움직일 수 있습니다.46:36제가 여기서 요점에 도달하기 위해 매우 열망하는 것은 자연입니다.46:44한 가지 중요한 것은 자연 스러움이고 다음과 같이 진행됩니다.46:52연결 E가 포함 된 번들 중 하나가있는 경우46:58아래로 x 파이 등으로 g 잘 이동하겠습니다.47:04여기 왼쪽으로도 e i47:11x g 그리고 y의 부드러운 지도가 있다고 가정합니다.47:17다른 다양체를 X라고 부르는 다른 다양체를 F라고 부르면 내가 당길 수 있다는 것이 밝혀졌습니다.47:25모든 것을 되돌릴 수 있도록 여기에 또 다른 g 번들이 있습니다.47:30원리 g 번들 그리고 그것은 우리가 e의 f 별이라고 부르는 것에 들어갑니다.47:37그리고 그것은 여기 아래에 파이로 매핑됩니다.47:44그리고 여기에 연결이 있고 그것은 연결 f 별에 다시 당겨집니다.47:50그리고 여기에 이것의 요점이 있습니다.47:55주어진 다항식 P에 대해 취하면48:00불변 다항식의 f를 가져 와서 이것의 별을 다시 가져옵니다.48:07여기 이쪽은 어48:13뒤로 당겨진 곡률과 효과 또는 뒤로 당겨진 곡률과 효과의 O의 P48:18곡률의 곡률 P의 별의 별48:24f의 f 별 그래서이 사업에서 모든 것이 자연 스럽습니다.48:31그것을 밀어 다항식을 뒤로 당겨서 양식이 뒤로 당겨집니다.48:37이제 재밌는 걸 해보자 원소 G 묶음을 당겨보자48:42투영 맵 아래에서 다시 그 자체로 되돌아가므로 이것을 사용합시다.48:48물건 자체에 대한 깔끔한 사실 어 그래서 여기에 e가 있습니다.48:56x에 의해 g 등으로 모두 매우 멋지게 내려갑니다.49:02그리고 지금 여기에는 e가 있습니다.49:09그리고 이게 파이 지도이고 이제 이 지도를 파이 지도라고 부르겠습니다.49:15그래서 여기에 다시 g가 있지만 여기에 파이 별이 있습니다.49:21내가 안 쓴 것 같아 그래, 이제 여기에 파이의 별을 얻을거야.49:27E와 연결 및 나머지 모든 것까지 매핑합니다.49:33좋아, 이제 내가하지만 A49:38번들 주 번들을 다시 끌어당기는 것은 사소한 일입니다.49:44오른쪽 섬유가 아래 섬유라면 잠시 생각해보십시오.49:53이 지점 아래이 지점은 이미 그 섬유에 있습니다. 이제베이스가 번들이고 오라고 말할 수 있습니다.50:00