In mathematics, more specifically abstract algebra, a finite ring is a ring that has a finite number of elements.
Every finite field is an example of a finite ring, and the additive part of every finite ring is an example of an abelian finite group, but the concept of finite rings in their own right has a more recent history.

Although rings have more structure than groups do, the theory of finite rings is simpler than that of finite groups.  For instance, the classification of finite simple groups was one of the major breakthroughs of 20th century mathematics, its proof spanning thousands of journal pages.  On the other hand, it has been known since 1907 that any finite simple ring is isomorphic to the ring  – the n-by-n matrices over a finite field of order q (as a consequence of Wedderburn's theorems, described below).

The number of rings with m elements, for m a natural number, is listed under  in the On-Line Encyclopedia of Integer Sequences.

Finite field 

The theory of finite fields is perhaps the most important aspect of finite ring theory due to its intimate connections with algebraic geometry, Galois theory and number theory. An important, but fairly old aspect of the theory is the classification of finite fields:
 The order or number of elements of a finite field equals pn, where p is a prime number called the characteristic of the field, and n is a positive integer.
 For every prime number p and positive integer n, there exists a finite field with pn elements.
 Any two finite fields with the same order are isomorphic.

Despite the classification, finite fields are still an active area of research, including recent results on the Kakeya conjecture and open problems regarding the size of smallest primitive roots (in number theory).

A finite field F may be used to build a vector space of n-dimensions over F. The matrix ring A of n × n matrices with elements from F is used in Galois geometry, with the projective linear group serving as the multiplicative group of A.

Wedderburn's theorems 

Wedderburn's little theorem asserts that any finite division ring is necessarily commutative:
 If every nonzero element r of a finite ring R has a multiplicative inverse, then R is commutative (and therefore a finite field).

Nathan Jacobson later discovered yet another condition which guarantees commutativity of a ring: if for every element r of R there exists an integer  such that , then R is commutative. More general conditions that imply commutativity of a ring are also known.

Yet another theorem by Wedderburn has, as its consequence, a result demonstrating that the theory of finite simple rings is relatively straightforward in nature. More specifically, any finite simple ring is isomorphic to the ring , the n-by-n matrices over a finite field of order q.  This follows from two theorems of Joseph Wedderburn established in 1905 and 1907 (one of which is Wedderburn's little theorem).

Enumeration 
(Warning: the enumerations in this section include rings that do not necessarily have a multiplicative identity, sometimes called rngs.) In 1964 David Singmaster proposed the following problem in the American Mathematical Monthly: "(1) What is the order of the smallest non-trivial ring with identity which is not a field?  Find two such rings with this minimal order.  Are there more?  (2) How many rings of order four are there?"
One can find the solution by D.M. Bloom in a two-page proof that there are eleven rings of order 4, four of which have a multiplicative identity. Indeed, four-element rings introduce the complexity of the subject. There are three rings over the cyclic group C4 and eight rings over the Klein four-group. There is an interesting display of the discriminatory tools (nilpotents, zero-divisors, idempotents, and left- and right-identities) in Gregory Dresden's lecture notes.

The occurrence of non-commutativity in finite rings was described in  in two theorems: If the order m of a finite ring with 1 has a cube-free factorization, then it is commutative. And if a non-commutative finite ring with 1 has the order of a prime cubed, then the ring is isomorphic to the upper triangular 2 × 2 matrix ring over the Galois field of the prime.
The study of rings of order the cube of a prime was further developed in  and . Next Flor and Wessenbauer (1975) made improvements on the cube-of-a-prime case. Definitive work on the isomorphism classes came with  proving that for p > 2, the number of classes is 3p + 50.

There are earlier references in the topic of finite rings, such as Robert Ballieu and Scorza.

These are a few of the facts that are known about the number of finite rings (not necessarily with unity) of a given order (suppose p and q represent distinct prime numbers):
 There are two finite rings of order p.
 There are four finite rings of order pq.
 There are eleven finite rings of order p2.
 There are twenty-two finite rings of order p2q.
 There are fifty-two finite rings of order eight.
 There are 3p + 50 finite rings of order p3,  p > 2.

The number of rings with n elements are (with )
 1, 1, 2, 2, 11, 2, 4, 2, 52, 11, 4, 2, 22, 2, 4, 4, 390, 2, 22, 2, 22, 4, 4, 2, 104, 11, 4, 59, 22, 2, 8, 2, >18590, 4, 4, 4, 121, 2, 4, 4, 104, 2, 8, 2, 22, 22, 4, 2, 780, 11, 22, ...

See also 
 Galois ring, finite commutative rings that generalize Z/pnZ and finite fields

Notes

References 

 
 
  a research report of the work of 13 students and Prof. Sieler at a Washington & Lee University class in Abstract algebra (Math 322).

External links 
 Classification of finite commutative rings

Algebraic combinatorics
 
Ring theory
환론에서 유한환(有限環, )은 유한 집합인 환이다.

정의 
환 · 유사환 · 가환환 · 가환 유사환 가운데, 유한 집합인 것을 각각 유한환 · 유한 유사환 · 유한 가환환 · 유한 가환 유사환이라고 한다. 이 문서에서, 환 · 가환환은 항상 곱셈 항등원을 가지며, (가환) 유사환은 곱셈 항등원을 가지지 않을 수 있다.

성질 
모든 유한환은 자명하게 좌·우 뇌터 환이자 아르틴 환이다. 가환 유한환의 크룰 차원은 0차원이며, 그 스펙트럼은 유한 개의 점으로 구성된 이산 공간이다.

모든 유한환 에서, 모든 원소 는 영인자이거나 아니면 가역원이다. 구체적으로, 만약 가 전단사 함수라면 이는 가역원이며, 아니라면 영인자이다. 이에 따라, 모든 유한환은 0이 아닌 영인자를 갖거나 아니면 유한체이다 (웨더번 정리).

모든 유한 단순환은 유한체 위의 행렬환과 동형이다. 즉, 다음과 같은 꼴이다.

분류 
유한 유사환 의 크기의 소인수 분해가 다음과 같다고 하자.

그렇다면 는 다음과 같은 유사환 직합으로 나타낼 수 있다.

즉, 유한 유사환을 분류하려면, 크기가 소수의 거듭제곱인 것만을 분류하면 족하다.

크기가 인 유한 유사환 을 생각하자. 이는 아벨 군 에 따라 일차적으로 분류된다. (유한 아벨 군은 모두 완전히 분류되었다.) 또한, 이 아벨 군이 순환군인 경우, 해당하는 모든 유사환을 분류할 수 있다. 따라서, 순환군이 아닌 소수 거듭제곱 크기의 아벨 군 위의 유한 유사환만을 분류하면 된다.

추가로, 만약 가 가환환인 경우, 는 (크기가 소수의 거듭제곱인) 유한 국소환의 직합으로 나타낼 수 있다.

순환군 위의 유사환 
덧셈 아벨 군이 순환군 인 유사환 는 다음과 같이 간단히 분류된다. 덧셈 아벨 군의 생성원을 라고 하자. 즉,

의 꼴이다. 이러한 유사환의 곱셈 구조는

인 에 의하여 완전히 결정된다. 이러한 유사환은

와 같이 적을 수 있다. 또한, 이러한 두 유사환이 서로 동형일 필요충분조건은

이다. 따라서, 순환군  위의 유사환들은 의 약수들과 일대일 대응한다. 이 가운데, 약수 인 경우는 영유사환이며, 인 경우는 정수환의 몫환 이다. 인 경우는 곱셈 항등원이 없어 환을 이루지 않는다.

Cyc(p)⊕2 위의 유사환 
 위의 유사환은 총 8개이며, 다음과 같다.
 가환환 3개:
 유한체 
 
  (에서는 G로 수록)
 가환환이 아닌 가환 유사환 3개:
  위의 영유사환
 . 여기서 는 동명의 순환군 위의 영유사환이다.
  (에서는 I로 수록)
 비가환 유사환 2개
  (에서는 E로 수록)
 위 행렬 유사환의 반대유사환 (에서는 F로 수록)

Cyc(p2) ⊕ Cyc(p) 위의 유사환 
아벨 군  위의 유사환은 일 경우 총 20개, 일 경우 총 개가 있다. 이는 다음과 같다.
 가환환 3개 (일 경우 4개)
 
 
 
 , 은 제곱잉여가 아닌 정수. (일 경우 이는 불가능하다.)
 나머지는 모두 단위원을 갖지 않는 유사환이다.

Cyc(p)⊕3 위의 유사환 
아벨 군  위의 유사환은 28개 (인 경우) 또는 개 (인 경우)이다.

이 가운데, (곱셈 단위원을 갖춘) 환은 7개이다. 이 가운데 가환환이 아닌 것은 하나밖에 없으며, 유한체 위의 삼각행렬의 환

이다 (이 환은 스스로의 반대환과 동형이다).

아벨 군  위의 6개의 가환환은 다음과 같다.
 
 
 
 유한체

주어진 크기의 유사환의 수 
크기가 인 유한 유사환의 동형류의 수는 다음과 같다 ().
1, 2, 2, 11, 2, 4, 2, 52, 11, 4, 2, 22, 2, 4, 4, 390, 2, 22, 2, 22, 4, 4, 2, 104, 11, 4, 59, 22, 2, 8, 2, … 
크기가 인 유한 가환 유사환의 동형류의 수는 다음과 같다 ().
1, 2, 2, 9, 2, 4, 2, 34, 9, 4, 2, 18, 2, 4, 4, 162, 2, 18, 2, 18, 4, 4, 2, 68, 9, 4, 36, 18, 2, 8, 2, … 
크기가 인 유한환의 동형류의 수는 다음과 같다 ().
1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 11, 4, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 50, 1, 4, 1, 4, 1, 1, 1, 11, 4, 1, 12, 4, 1, 1, 1, 208, 1, 1, 1, 16, 1, 1, 1, 11, 1, 1, 1, 4, 4, 1, 1, 50, 4, 4, 1, 4, 1, 11, 1, 11, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 4, … 
크기가 인 유한 가환환의 동형류의 수는 다음과 같다 ().
1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 10, 4, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 37, 1, 4, 1, 4, 1, 1, 1, 10, 4, 1, 11, 4, 1, 1, 1, …

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 

 
환론
대수적 조합론