Let $r$ be the common ratio.  Since $0 < \alpha < \frac{\pi}{2},$ both $\arcsin (\sin \alpha)$ and $\arcsin (\sin 2 \alpha)$ are positive, so $r$ is positive.  The positive portions of the graphs of $y = \arcsin (\sin x),$ $y = \arcsin (2 \sin x),$ and $y = \arcsin (7 \sin x)$ are shown below.  (Note that each graph is piece-wise linear.)

[asy]
unitsize(4 cm);

draw((0,0)--(pi/2,pi/2),red);
draw((0,0)--(pi/4,pi/2)--(pi/2,0),green);
draw((0,0)--(pi/14,pi/2)--(pi/7,0),blue);
draw((2*pi/7,0)--(5/14*pi,pi/2)--(3*pi/7,0),blue);
draw((0,0)--(pi/2,0));
draw((0,0)--(0,pi/2));

draw((1.8,1.2)--(2.2,1.2),red);
draw((1.8,1.0)--(2.2,1.0),green);
draw((1.8,0.8)--(2.2,0.8),blue);

label("$0$", (0,0), S);
label("$\frac{\pi}{2}$", (pi/2,0), S);
label("$\frac{\pi}{7}$", (pi/7,0), S);
label("$\frac{2 \pi}{7}$", (2*pi/7,0), S);
label("$\frac{3 \pi}{7}$", (3*pi/7,0), S);

label("$0$", (0,0), W);
label("$\frac{\pi}{2}$", (0,pi/2), W);

label("$y = \arcsin (\sin x)$", (2.2,1.2), E);
label("$y = \arcsin (\sin 2x)$", (2.2,1.0), E);
label("$y = \arcsin (\sin 7x)$", (2.2,0.8), E);
[/asy]

Note that $\arcsin (\sin x) = x.$  If $0 < x \le \frac{\pi}{4},$ then
\[\arcsin (\sin 2x) = 2x,\]and if $\frac{\pi}{4} \le x < \frac{\pi}{2},$ then
\[\arcsin (\sin 2x) = \pi - 2x.\]If $0 < x \le \frac{\pi}{14},$ then
\[\arcsin (\sin 7x) = 7x.\]The first three terms become $x,$ $2x,$ $7x,$ which cannot form a geometric progression.

If $\frac{\pi}{14} \le x \le \frac{\pi}{7},$ then
\[\arcsin (\sin 7x) = \pi - 7x.\]The first three terms become $x,$ $2x,$ $\pi - 7x.$  If these form a geometric progression, then
\[(2x)^2 = x(\pi - 7x).\]Solving, we find $x = \frac{\pi}{11}.$  The common ratio $r$ is then 2, and the fourth term is
\[2^3 \cdot \frac{\pi}{11} = \frac{8 \pi}{11}.\]But this is greater than $\frac{\pi}{2},$ so this case is not possible.

If $\frac{2 \pi}{7} \le x \le \frac{5 \pi}{14},$ then
\[\arcsin (\sin 7x) = 7 \left( x - \frac{2 \pi}{7} \right) = 7x - 2 \pi.\]The first three terms become $x,$ $\pi - 2x,$ $7x - 2 \pi.$  If these form a geometric progression, then
\[(\pi - 2x)^2 = x(7x - 2 \pi).\]This simplifies to $3x^2 + 2 \pi x - \pi^2 = 0,$ which factors as $(3x - \pi)(x + \pi) = 0.$  Hence, $x = \frac{\pi}{3}.$  The common ratio $r$ is then 1, and the smallest $t$ such that $\arcsin \left( \sin \left( t \cdot \frac{\pi}{3} \right) \right) = \frac{\pi}{3}$ is 1.

Finally, if $\frac{5 \pi}{14} \le x \le \frac{3 \pi}{7},$ then
\[\arcsin (\sin 7x) = -7 \left( x - \frac{3 \pi}{7} \right) = -7x + 3 \pi.\]The first three terms become $x,$ $\pi - 2x,$ $-7x + 3 \pi.$  If these form a geometric progression, then
\[(\pi - 2x)^2 = x (-7x + 3 \pi).\]This simplifies to $11x^2 - 7 \pi x + \pi^2 = 0.$  By the quadratic formula,
\[x = \frac{(7 \pm \sqrt{5}) \pi}{22}.\]For $x = \frac{(7 - \sqrt{5}) \pi}{22},$ both the second and third term are greater than $\frac{\pi}{2}.$  For $x = \frac{(7 + \sqrt{5}) \pi}{22},$ the common ratio $r$ is
\[\frac{\pi - 2x}{x} = \frac{\pi}{x} - 2 = \frac{3 - \sqrt{5}}{2},\]so the fourth term is
\[x \cdot r^3 = x \cdot \left( \frac{3 - \sqrt{5}}{2} \right)^3 = (9 - 4 \sqrt{5}) x.\]The smallest $t$ such that $\arcsin (\sin tx) = (9 - 4 \sqrt{5}) x$ is $t = 9 - 4 \sqrt{5},$ and this is the smallest possible value of $t.$
r$을 공통비라고 합니다. 0 < \알파 < \frac{\pi}{2}$이므로 $\arcsin (\sin \알파)$와 $\arcsin (\sin 2 \알파)$는 모두 양수이므로 $r$은 양수입니다.  y = \arcsin (\sin x),$ $y = \arcsin (2 \sin x),$ 및 $y = \arcsin (7 \sin x)$의 그래프에서 양의 부분은 아래와 같습니다. (각 그래프는 조각 단위의 선형입니다.)

[asy]
unitsize(4 cm);

draw((0,0)--(파이/2,파이/2),red);
draw((0,0)--(파이/4,파이/2)--(파이/2,0),녹색);
draw((0,0)--(파이/14,파이/2)--(파이/7,0),파랑);
draw((2*pi/7,0)--(5/14*pi,pi/2)--(3*pi/7,0),blue);
draw((0,0)--(PI/2,0));
draw((0,0)--(0,pi/2));

draw((1.8,1.2)--(2.2,1.2),red);
draw((1.8,1.0)--(2.2,1.0),green);
draw((1.8,0.8)--(2.2,0.8),blue);

label("$0$", (0,0), S);
label("$\frac{\pi}{2}$", (pi/2,0), S);
label("$\frac{\pi}{7}$", (pi/7,0), S);
label("$\frac{2 \pi}{7}$", (2*pi/7,0), S);
label("$\frac{3 \pi}{7}$", (3*pi/7,0), S);

label("$0$", (0,0), W);
label("$\frac{\pi}{2}$", (0,pi/2), W);

label("$y = \arcsin (\sin x)$", (2.2,1.2), E);
label("$y = \arcsin (\sin 2x)$", (2.2,1.0), E);
label("$y = \arcsin (\sin 7x)$", (2.2,0.8), E);
[/asy]

0 < x \le \frac{\pi}{4},$ 인 경우 $\arcsin (\sin x) = x.$ 에 유의합니다.
\[\arcsin (\sin 2x) = 2x,\]이고 $\frac{\pi}{4}이면 \le x < \frac{\pi}{2},$ 다음
\[\arcsin (\sin 2x) = \pi - 2x.\]만약 $0 < x \le \frac{\pi}{14},$ 라면 다음과 같습니다.
\[\arcsin (\sin 7x) = 7x.\]처음 세 항은 기하학적 진행을 형성할 수 없는 $x,$ $2x,$ $7x,$가 됩니다.

만약 $\frac{\pi}{14}이면 \le x \le \frac{\pi}{7},$ 이면 다음과 같습니다.
\[\arcsin (\sin 7x) = \pi - 7x.\]처음 세 항은 $x,$ $2x,$ $\pi - 7x.$ 이것이 기하학적 진행을 형성하는 경우 다음과 같이 됩니다.
\[(2x)^2 = x(\pi - 7x).\]풀면 $x = \frac{\pi}{11}.$ 공통비 $r$은 2가 되고, 네 번째 항은 다음과 같습니다.
\[2^3 \cdot \frac{\pi}{11} = \frac{8 \pi}{11}.\]그러나 이것은 $\frac{\pi}{2}$보다 크므로 이 경우는 불가능합니다.

만약 $\frac{2 \pi}{7}이면 \le x \le \frac{5 \pi}{14},$ 다음과 같습니다.
\[\arcsin (\sin 7x) = 7 \left( x - \frac{2 \pi}{7} \right) = 7x - 2 \pi.\]처음 세 항은 $x,$ $\pi - 2x,$ $7x - 2 \pi.$ 이것이 기하학적 진행을 형성하는 경우, 다음과 같이 됩니다.
\[(\pi - 2x)^2 = x(7x - 2 \pi).\]이것은 $3x^2 + 2 \pi x - \pi^2 = 0으로 단순화되며, $(3x - \pi)(x + \pi) = 0.$ 따라서 $x = \frac{\pi}{3}가 됩니다.그러면 공통비 $r$은 1이고, $\arcsin \left( \sin \left( t \cdot \frac{\pi}{3} \right) \right) = \frac{\pi}{3}$가 되는 가장 작은 $t$는 1이 됩니다.

마지막으로, $\frac{5 \pi}{14}이면 \le x \le \frac{3 \pi}{7},$ 이면 다음과 같습니다.
\[\arcsin (\sin 7x) = -7 \left( x - \frac{3 \pi}{7} \right) = -7x + 3 \pi.\]처음 세 항은 $x,$ $\pi - 2x,$ $-7x + 3 \pi.$ 이들이 기하학적 진행을 형성하면 다음과 같이 됩니다.
\[(\pi - 2x)^2 = x (-7x + 3 \pi).\]이것은 이차 공식에 의해 $11x^2 - 7 \pi x + \pi^2 = 0.$로 단순화됩니다,
\[x = \frac{(7 \pm \sqrt{5}) \pi}{22}.\]$x = \frac{(7 - \sqrt{5}) \pi}{22},$ 두 번째 및 세 번째 항이 모두 $\frac{\pi}{2}보다 큽니다.$ x = \frac{(7 + \sqrt{5}) \pi}{22}의 경우 공통 비율 $r$은 다음과 같습니다.
\[\frac{\pi - 2x}{x} = \frac{\pi}{x} - 2 = \frac{3 - \sqrt{5}}{2},\]이므로 네 번째 항은 다음과 같습니다.
\[x \cdot r^3 = x \cdot \left( \frac{3 - \sqrt{5}}{2} \right)^3 = (9 - 4 \sqrt{5}) x.\]$\arcsin (\sin tx) = (9 - 4 \sqrt{5}) x$가 되는 가장 작은 $t$는 $t = 9 - 4 \sqrt{5}$이며, 이것이 $t의 가능한 가장 작은 값입니다.