In physics, a Galilean transformation is used to transform between the coordinates of two reference frames which differ only by constant relative motion within the constructs of Newtonian physics. These transformations together with spatial rotations and translations in space and time form the inhomogeneous Galilean group (assumed throughout below). Without the translations in space and time the group is the homogeneous Galilean group. The Galilean group is the group of motions of Galilean relativity acting on the four dimensions of space and time, forming the Galilean geometry. This is the passive transformation point of view. In special relativity the homogenous and inhomogenous Galilean transformations are, respectively, replaced by the Lorentz transformations and Poincaré transformations; conversely, the group contraction in the classical limit  of Poincaré transformations yields Galilean transformations.

The equations below are only physically valid in a Newtonian framework, and not applicable to coordinate systems moving relative to each other at speeds approaching the speed of light.

Galileo formulated these concepts in his description of uniform motion.
The topic was motivated by his description of the motion of a ball rolling down a ramp, by which he measured the numerical value for the acceleration of gravity near the surface of the Earth.

Translation

Although the transformations are named for Galileo, it is the absolute time and space as conceived by Isaac Newton that provides their domain of definition. In essence, the Galilean transformations embody the intuitive notion of addition and subtraction of velocities as vectors.

The notation below describes the relationship under the Galilean transformation between the coordinates  and  of a single arbitrary event, as measured in two coordinate systems  and , in uniform relative motion (velocity ) in their common  and  directions, with their spatial origins coinciding at time :

Note that the last equation holds for all Galilean transformations up to addition of a constant, and expresses the assumption of a universal time independent of the relative motion of different observers.

In the language of linear algebra, this transformation is considered a shear mapping, and is described with a matrix acting on a vector. With motion parallel to the x-axis, the transformation acts on only two components:

Though matrix representations are not strictly necessary for Galilean transformation, they provide the means for direct comparison to transformation methods in special relativity.

Galilean transformations
The Galilean symmetries can be uniquely written as the composition of a rotation, a translation and a uniform motion of spacetime. Let  represent a point in three-dimensional space, and  a point in one-dimensional time. A general point in spacetime is given by an ordered pair .

A uniform motion, with velocity , is given by 

where . A translation is given by

where  and . A rotation is given by
 
where  is an orthogonal transformation.

As a Lie group, the group of Galilean transformations has dimension 10.

Galilean group
Two Galilean transformations  and  compose to form a third Galilean transformation, 
. 
The set of all Galilean transformations  forms a group with composition as the group operation.

The group is sometimes represented as a matrix group with spacetime events  as vectors where  is real and  is a position in space. 
The action is given by

where  is real and  and  is a rotation matrix. 
The composition of transformations is then accomplished through matrix multiplication. Care must be taken in the discussion whether one restricts oneself to the connected component group of the orthogonal transformations.

 has named subgroups. The identity component is denoted .

Let  represent the transformation matrix with parameters :
  anisotropic transformations.
  isochronous transformations.
  spatial Euclidean transformations.
  uniformly special transformations / homogenous transformations, isomorphic to Euclidean transformations.
  shifts of origin / translation in Newtonian spacetime.
  rotations (of reference frame) (see SO(3)), a compact group. 
  uniform frame motions / boosts.

The parameters  span ten dimensions. Since the transformations depend continuously on ,  is a continuous group, also called a topological group.

The structure of  can be understood by reconstruction from subgroups. The semidirect product combination () of groups is required. 
 ( is a normal subgroup)

Origin in group contraction
The Lie algebra of the Galilean group is spanned by  and  (an antisymmetric tensor), subject to commutation relations, where

 is the generator of time translations (Hamiltonian),  is the generator of translations (momentum operator),  is the generator of rotationless Galilean transformations (Galileian boosts), and  stands for a generator of rotations (angular momentum operator).

This Lie Algebra is seen to be a special classical limit of the algebra of the Poincaré group, in the limit . Technically, the Galilean group is a celebrated group contraction of the Poincaré group (which, in turn, is a group contraction of the de Sitter group ).
Formally, renaming the generators of momentum and boost of the latter as in
 
, 
where  is the speed of light (or any unbounded function thereof), the commutation relations (structure constants) in the limit  take on the relations of the former. 
Generators of time translations and rotations are identified. Also note the group invariants  and  .

In matrix form, for , one may consider the regular representation (embedded in , from which it could be derived by a single group contraction, bypassing the Poincaré group), 

The infinitesimal group element is then

Central extension of the Galilean group 
One may consider a central extension of the Lie algebra of the Galilean group, spanned by  and an operator M: 
The so-called Bargmann algebra is obtained by imposing , such that  lies in the center, i.e. commutes with all other operators.

In full, this algebra is given as

and finally 

where the new parameter  shows up. 
This extension and projective representations that this enables is determined by its group cohomology.

See also
Galilean invariance
Representation theory of the Galilean group
Galilei-covariant tensor formulation
Poincaré group
Lorentz group
Lagrangian and Eulerian coordinates

Notes

References

, Chapter 5, p. 83
, Chapter 38 §38.2, p. 1046,1047
, Chapter 2 §2.6, p. 42

, Chapter 9 §9.1, p. 261

Theoretical physics
Time in physics
물리학과 수학에서 갈릴레이 군(Galilei群, )은 뉴턴 역학에서 성립하는 시공간의 대칭군이다. 시간 병진 변환과 공간의 병진 변환 · 회전 변환 밖에, 주어진 상대 속도에 대한 기준틀의 변환을 포함한다. 특수 상대성이론에서 갈릴레이 군은 푸앵카레 군으로 대체된다.

정의 
차원 공간과 1차원 시간을 갖는 공간  위의 갈릴레이 변환(Galilei變換, )은 다음과 같은 꼴의 함수이다.

이들은 함수의 합성 아래 차원 리 군을 이루며, 이를 갈릴레이 군(Galilei群, ) 이라고 한다. 갈릴레이 군은 다음과 같은 리 군 반직접곱으로 나타낼 수 있다.

여기서 은 유클리드 군이다. 는 다음과 같은 꼴의 행렬군으로 나타낼 수 있다.

그렇다면,  반직접곱에서 의  위의 작용은 다음과 같다.

갈릴레이 군 전체를 다음과 같이 행렬군으로 나타낼 수 있다.

이 표현에서, 갈릴레이 군의 시공간 위의 작용은 다음과 같다.

갈릴레이 대수 
갈릴레이 군 의 리 대수를 갈릴레이 대수(Galilei代數, ) 이라고 한다. 이는 구체적으로 다음과 같다. 우선, 다음과 같은 기저를 정의하자.

그렇다면 이들의 리 괄호는 다음과 같다. (물리학 관례를 따라, 모든 생성원에는 가 곱해져 있다.)

성질 
갈릴레이 대수는 푸앵카레 대수와 달리 자명하지 않은 2차 리 대수 코호몰로지를 가진다.

이에 따라, 갈릴레이 대수는 자명하지 않은 중심 확대를 가지며, 중심 전하 을 추가하면, 갈릴레이 대수는 다음과 같다.

따라서, 갈릴레이 변환을 따르는 고전적 계를 양자화한다면, 양자계는 일반적으로 갈릴레이 변환의 중심 확대를 따르게 된다.

표현론 
3+1차원 갈릴레이 대수 의 (중심 확대의) 유한 차원 유니터리 표현은 다음과 같이 분류된다.

우선, 중심 확대된 3+1차원 갈릴레이 대수의 보편 포락 대수의 중심은 다음 원소들로 생성된다.
 중심 전하 . 이는 질량에 해당한다.
 질량껍질 불변량 . 이는 질량과 정지 에너지의 곱이다.
 
 
 및 는 푸앵카레 군의 표현론에서의 파울리-루반스키 벡터와 유사하다.

슈어 보조정리에 따라, 기약 유니터리 표현에서 이 중심원들은 단위 행렬에 비례하며, 따라서 표현들을 중심 원소의 값에 따라 분류할 수 있다. 위 중심원들의 값이 각각
 
 
 
 
라고 하자. 유니터리 표현을 가정하였으므로, 은 실수이다. 물리학적으로 이어야만 한다.

유질량 표현 
인 경우를 생각하자.  공간 위에 질량껍질 제약 을 가한 초곡면을 질량껍질이라고 하며, 갈릴레이 변환 는 질량껍질 위에 추이적으로 작용한다.

유도 표현 (위그너 분류) 방법을 사용하면, 의 작용의 안정자군을 고려하게 된다. 이 안정자군은 에 의해 생성되는 스핀 군 이다 (). 인 경우, 3차원 스핀 군 의 유한 차원 유니터리 표현은 스핀 에 의하여 완전히 분류된다. 즉, 인 경우 갈릴레이 대수의 유니터리 표현은 의 유니터리 표현  및 질량 , 정지 에너지 에 의하여 분류된다.

무질량 표현 
인 경우, 유니터리 표현이므로 이다. 유도 표현 방법에 따르면,  공간에서의 안정자군을 고려해야 한다.
 인 경우: 이 경우 안정자군은 와 에 의하여 생성되는 유클리드 군 이다. 따라서 이 경우 표현은 유클리드 군의 유니터리 표현의 분류로 귀결된다. 물리학적으로, 이 표현을 따르는 상태는 진공밖에 없으며, 이는 유클리드 군의 자명한 표현에 해당한다.
 인 경우: 이 경우 안정자군은 이며, 이는 에 대하여 수직인 방향의  및 에 의하여 생성된다. 따라서 이 경우 표현은 유클리드 군 의 유니터리 표현의 분류로 귀결된다. 물리학적으로, 이 표현을 따르는 상태는 운동량의 (유한한 거리에 대한) 순간적인 이동을 나타내며, 즉 원격 작용()을 전달하는 입자이다. 이러한 표현은 푸앵카레 군의 타키온 표현과 유사하다.

예

1차원 갈릴레이 군 
0+1차원 갈릴레이 대수 은 1차원 아벨 리 대수이다. 0+1차원 갈릴레이 군 은 1차원 아벨 리 군 이다.

2차원 갈릴레이 군 
1+1차원 갈릴레이 대수 은 3차원 실수 하이젠베르크 대수 와 동형이다. 하이젠베르크 대수의 통상적 기저

가 주어졌을 때, 동형은 구체적으로 다음과 같다.

이는 3차원 실수 리 대수 가운데 아벨 리 대수가 아닌 유일한 멱영 리 대수이며, 3차원 리 대수의 비안키 분류에서 II형 대수이다.

마찬가지로, 1+1차원 갈릴레이 군은 3차원 실수 하이젠베르크 군과 동형이다. 3차원 하이젠베르크 군은 3×3 상삼각 행렬로 구성되는데, 위의 행렬 표현에서 갈릴레이 변환은 하삼각 행렬로 구성된다. (상삼각 행렬과 하삼각 행렬 사이는 기저의 순서를 뒤바꾸어 변환할 수 있다.)

응용 
갈릴레이 변환은 뉴턴 역학에서 사용되는 시공간의 대칭군이다. 다만, 자기력과 같이 속도에 의존하는 힘이 존재하는 계의 경우 갈릴레이 변환을 따르지 않을 수 있다. 예를 들어, 맥스웰 방정식은 갈릴레이 변환을 따르지 않는다.

실제 세계의 시공간은 실험에 따라 갈릴레이 변환을 따르지 않고, 대신 푸앵카레 변환을 따른다. 갈릴레이 군은 푸앵카레 군의 위그너-이뇌뉘 축약()이며, 이는 광속을 무한대로 취하는 것으로 생각할 수 있다. 즉, 광속보다 매우 낮은 속도에 대해서는 갈릴레이 변환이 대략적으로 성립한다.

역사 
갈릴레이 변환의 개념은 이탈리아의 물리학자 갈릴레오 갈릴레이가 《새로운 두 과학》에서 최초로 기술하였다. 특수 상대성 이론 이전에는 역학의 기본적인 원리로 당연히 여기다가, 이를 대체하는 푸앵카레 변환이 제시되자 이와 구별하기 위해 "갈릴레이 변환"이라고 부르기 시작했다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 YAN Kun(2004). Energy-exchange descriptions on the superluminal velocity and quantum fractal(Equation of the one-way speed of light for the constancy of the two-way speed of light). DOI:10.3969/j.issn.1006-8341.2004.03.010.

같이 보기 
 푸앵카레 군
 유클리드 군
 로런츠 군

고전역학
리 군
갈릴레오 갈릴레이