Lecture 12: Longitudinal and Lateral-Directional Stability

Slide 1: General Longitudinal Trim Equations
In this lecture, we'll explore the stability and control of aircraft in longitudinal and lateral-directional motion. Previously, we've assumed that contributions from the fuselage and other external payloads can be ignored. However, we must consider these when analyzing real-world aircraft. The total pitching moment on the aircraft at equilibrium can be expressed as:

M=M0+Mαα+Mδδ=0M=M\_0+M\_\alpha \alpha+M\_\delta \delta=0M=M0​+Mα​α+Mδ​δ=0where $\delta$ is the control surface deflection. The incremental moment after a perturbation, $\Delta \alpha$, is given by:

ΔM=MαΔα\Delta M=M\_\alpha \Delta \alphaΔM=Mα​ΔαThe condition for static stability is $M\_\alpha<0$. This condition is a necessary requirement for the stability of the short-period dynamics.

Slide 2: Neutrally Stable Configurations and Trim
The equilibrium pitching moment is given by:

M=M0+Mαα+Mδδ=0⟹α=−MδMαδM=M\_0+M\_\alpha \alpha+M\_\delta \delta=0 \Longrightarrow \alpha=-\frac{M\_\delta}{M\_\alpha} \deltaM=M0​+Mα​α+Mδ​δ=0⟹α=−Mα​Mδ​​δIf the magnitude of $M\_\alpha$ is very small (close to zero), the angle of attack changes by large amounts even for small elevator deflections, which is undesirable. If $M\_\alpha=0$, the angle of attack is not considered in the equilibrium equation, meaning that the aircraft can trim at any angle of attack without active control.

Slide 3: Control Surface Actuation
Longitudinal control surfaces are actuated by a combination of actuators, such as electro-mechanical, hydraulic, and mechanical wires and pulleys connected directly to the control column. The pilot exerts a force on the control column, which is transmitted to the actuator to move the control surface. The control surface exerts an opposing force, and equilibrium is achieved when these two forces cancel each other.

Slide 4: Stick-Free Versus Stick-Fixed Stability
So far, we've assumed that the elevator deflection is constant, requiring the pilot to hold the control column in one place manually. This is called "stick-fixed" stability. In nominal trim flight, the pilot takes his hands off the control column, and the elevator has its own dynamics, called "stick-free" stability.

Slide 5: Stick-Free Stability
Recall the trim equation for the pitching moment:

M=M0+Mαα+MδδM=M\_0+M\_\alpha \alpha+M\_\delta \deltaM=M0​+Mα​α+Mδ​δSuppose we can write $\delta=H\_0+H\_\alpha \alpha$, for some constants $H\_0$ and $H\_\alpha$. Substituting this into the pitching moment expression yields:

M=(M0+MδH0)+(Mα+MδHα)αM=\left(M\_0+M\_\delta H\_0\right)+\left(M\_\alpha+M\_\delta H\_\alpha\right) \alphaM=(M0​+Mδ​H0​)+(Mα​+Mδ​Hα​)αStatic stability condition: $M\_\alpha+M\_\delta H\_\alpha<0$. If $M\_\delta H\_\alpha>0$, we need a much more negative $M\_\alpha$, causing the neutral point (NP) to shift forward, towards the wing aerodynamic center (AC), and reducing the static margin.

Slide 6: The Elevator Trim Tab
The trim tab is a small flap located on the elevator, enabling the pilot to set the elevator to any desired angle so that the force on the stick is zero. The force on the tab produces a moment which adds to the moment due to the stick force.

Slide 7: Stick-Free Control
The objective is to find the tab deflection angle $\delta\_{tab}$ to achieve zero hinge moment
강의 12: 세로 및 가로 방향 안정성슬라이드 1: 일반적인 종 방향 트림 방정식이 강의에서는 종방향 및 횡방향 운동에서 항공기의 안정성과 제어에 대해 살펴봅니다. 이전에는 동체 및 기타 외부 페이로드의 기여도를 무시할 수 있다고 가정했습니다. 하지만 실제 항공기를 분석할 때는 이를 고려해야 합니다. 평형 상태에서 항공기의 총 피칭 모멘트는 다음과 같이 표현할 수 있습니다:M=M0+Mαα+Mδδ=0M=M\_0+M\_\알파 \알파+M\_\델타 \델타=0M=M0+Mαα+Mδδ=0 여기서 $\델타$는 제어면 처짐입니다. 섭동 후 증분 모멘트인 $\Delta \alpha$는 다음과 같이 주어집니다:ΔM=MαΔα\Delta M=M\_\알파 \Delta \알파ΔM=MαΔα정적 안정성을 위한 조건은 $M\_\알파<0$입니다. 이 조건은 단주기 동역학의 안정성을 위한 필수 요건입니다.슬라이드 2: 중립적으로 안정적인 구성 및 트림평형 피칭 모멘트는 다음과 같이 주어집니다:M=M0+Mαα+Mδδ=0⟹α=-MδMαδM=M\_0+M\_\알파 \알파+M\_\델타 \델타=0 \Longrightarrow \알파=- \frac{M\_\delta}{M\_\alpha} \deltaM=M0+Mαα+Mδδ=0⟹α=-MαMδδ$의 크기가 매우 작으면(0에 가까울 경우), 작은 엘리베이터 처짐에도 휨각이 큰 폭으로 변화하므로 바람직하지 않습니다. M\_\알파=0$인 경우, 평형 방정식에서는 방위각이 고려되지 않으므로 항공기는 능동 제어 없이도 모든 방위각에서 트림할 수 있습니다.슬라이드 3: 제어 표면 작동세로 방향 제어 표면은 전기 기계식, 유압식, 기계식 와이어 및 제어 기둥에 직접 연결된 풀리와 같은 액추에이터의 조합에 의해 작동됩니다. 파일럿이 제어 컬럼에 힘을 가하면 액추에이터에 전달되어 제어 표면을 움직입니다. 제어 표면은 반대 힘을 가하고, 이 두 힘이 서로 상쇄될 때 평형이 이루어집니다.슬라이드 4: 스틱이 없는 경우와 스틱이 고정된 경우의 안정성 비교지금까지는 엘리베이터의 처짐이 일정하여 조종사가 조종 기둥을 수동으로 한 곳에 고정해야 한다고 가정했습니다. 이를 "스틱 고정" 안정성이라고 합니다. 공칭 트림 비행에서는 조종사가 조종 칼럼에서 손을 떼고 엘리베이터는 자체적으로 "스틱이 없는" 안정성이라고 하는 동역학을 갖습니다.슬라이드 5: 스틱 프리 안정성피칭 모멘트에 대한 트림 방정식을 기억해 보십시오:M=M0+Mαα+MδδM=M\_0+M\_\알파 \알파+M\_\델타 \델타M=M0+Mαα+Mδδ몇 가지 상수 $H\_0$와 $H\_\알파$에 대해 $\델타=H\_0+H\_\알파 \알파$라고 쓸 수 있다고 가정합니다. 이를 피칭 모멘트 식에 대입하면 다음과 같은 식이 나옵니다:M=(M0+MδH0)+(Mα+MδHα)αM=\좌측(M\_0+M\_\델타 H\_0\우측)+\좌측(M\_\알파+M\_\델타 H\_\알파\우측) \alphaM=(M0+MδH0)+(Mα+MδHα)α정적 안정성 조건: $M\_\알파+M\_\델타 H\_\알파<0$. M\_\delta H\_\alpha>0$인 경우 훨씬 더 음의 $M\_\alpha$가 필요하므로 중립점(NP)이 날개 공기역학적 중심(AC)을 향해 앞으로 이동하여 정적 마진이 감소하게 됩니다.슬라이드 6: 엘리베이터 트림 탭트림 탭은 엘리베이터에 있는 작은 플랩으로, 조종사가 스틱에 가해지는 힘이 0이 되도록 엘리베이터를 원하는 각도로 설정할 수 있습니다. 탭에 힘을 가하면 스틱의 힘으로 인해 모멘트가 추가되는 모멘트가 생성됩니다.슬라이드 7: 스틱 없는 제어목표는 힌지 모멘트를 0으로 만들기 위한 탭 편향 각도 $\delta\_{tab}$를 구하는 것입니다.