If we apply AM-GM to one instance of $pa,$ two instances of $q(a + b),$ three instances of $r(b + c),$ and four instances of $s(a + c),$ then we get
\begin{align*}
&a + p(a + b) + p(a + b) + q(b + c) + q(b + c) + q(b + c) + r(a + c) + r(a + c) + r(a + c) + r(a + c) \\
&\ge 10 \sqrt[10]{a \cdot p^2 (a + b)^2 \cdot q^3 (b + c)^3 \cdot r^4 (a + c)^4},
\end{align*}where $p,$ $q,$ and $r$ are constants to be decided.  In particular, we want these constants so that
\[a + p(a + b) + p(a + b) + q(b + c) + q(b + c) + q(b + c) + r(a + c) + r(a + c) + r(a + c) + r(a + c)\]is a multiple of $a + b + c.$  This expression simplifies to
\[(1 + 2p + 4r) a + (2p + 3q) b + (3q + 4r) c.\]Thus, we want $1 + 2p + 4r = 2p + 3q$ and $2p + 3q = 3q + 4r$.  Then $2p = 4r,$ so $p = 2r.$  Then
\[1 + 8r = 3q + 4r,\]so $q = \frac{4r + 1}{3}.$

For the equality case,
\[a = p(a + b) = q(b + c) = r(a + c).\]Then $a = pa + pb,$ so $b = \frac{1 - p}{p} \cdot a.$  Also, $a = ra + rc,$ so $c = \frac{1 - r}{r} \cdot a.$  Substituting into $a = q(b + c),$ we get
\[a = q \left( \frac{1 - p}{p} \cdot a + \frac{1 - r}{r} \cdot a \right).\]Substituting $p = 2r$ and $q = \frac{4r + 1}{3},$ we get
\[a = \frac{4r + 1}{3} \left( \frac{1 - 2r}{2r} \cdot a + \frac{1 - r}{4} \cdot a \right).\]Then
\[1 = \frac{4r + 1}{3} \left( \frac{1 - 2r}{2r} + \frac{1 - r}{r} \right).\]From this equation,
\[6r = (4r + 1)((1 - 2r) + 2(1 - r)),\]which simplifies to $16r^2 - 2r - 3 = 0.$  This factors as $(2r - 1)(8r + 3) = 0.$  Since $r$ is positive, $r = \frac{1}{2}.$

Then $p = 1$ and $q = 1,$ and AM-GM gives us
\[\frac{a + (a + b) + (a + b) + (b + c) + (b + c) + (b + c) + \frac{a + c}{2} + \frac{a + c}{2} + \frac{a + c}{2} + \frac{a + c}{2}}{10} \ge \sqrt[10]{\frac{a (a + b)^2 (b + c)^3 (a + c)^4}{16}}.\]Hence,
\[\sqrt[10]{\frac{a (a + b)^2 (b + c)^3 (a + c)^4}{16}} \le \frac{5(a + b + c)}{10} = \frac{1}{2}.\]Then
\[\frac{a (a + b)^2 (b + c)^3 (a + c)^4}{16} \le \frac{1}{2^{10}} = \frac{1}{1024},\]so
\[a (a + b)^2 (b + c)^3 (a + c)^4 \le \frac{16}{1024} = \frac{1}{64}.\]Equality occurs when
\[a = a + b = b + c = \frac{a + c}{2}.\]Along with the condition $a + b + c = 1,$ we can solve to get $a = \frac{1}{2},$ $b = 0,$ and $c = \frac{1}{2}.$  Hence, the maximum value is $\frac{1}{64}.$
하나의 인스턴스 $pa,$ 두 개의 인스턴스 $q(a + b)$ 세 개의 인스턴스 $r(b + c)$ 및 네 개의 인스턴스 $s(a + c)$에 AM-GM을 적용하면 다음과 같이 됩니다.
\begin{align*}
&\a + p(a + b) + p(a + b) + q(b + c) + q(b + c) + q(b + c) + r(a + c) + r(a + c) + r(a + c) + r(a + c) \\.
&\ge 10 \sqrt[10]{a \cdot p^2 (a + b)^2 \cdot q^3 (b + c)^3 \cdot r^4 (a + c)^4},
\end{align*} 여기서 $p,$ $q,$ 및 $r$은 결정할 상수입니다. 특히 이러한 상수는 다음과 같아야 합니다.
\[a + p(a + b) + p(a + b) + q(b + c) + q(b + c) + q(b + c) + r(a + c) + r(a + c) + r(a + c)\]는 $a + b + c$의 배수입니다.$ 이 식은 다음과 같이 단순화됩니다.
\[(1 + 2p + 4r) a + (2p + 3q) b + (3q + 4r) c\]따라서 $1 + 2p + 4r = 2p + 3q$와 $2p + 3q = 3q + 4r$가 필요합니다. 그러면 $2p = 4r이므로 $p = 2r.$ 그러면 다음과 같습니다.
\[1 + 8r = 3q + 4r,\]따라서 $q = \frac{4r + 1}{3}.$입니다.

등식의 경우
\[a = p(a + b) = q(b + c) = r(a + c).\]그러면 $a = pa + pb,$이므로 $b = \frac{1 - p}{p}입니다. \또한 $a = ra + rc,$이므로 $c = \frac{1 - r}{r}입니다. \a = q(b + c)$ 로 대입하면 다음과 같이 구할 수 있습니다.
\[a = q \left( \frac{1 - p}{p} \cdot a + \frac{1 - r}{r} \cdot a \right).\]에 대입하면 $p = 2r$ 및 $q = \frac{4r + 1}{3},$를 구할 수 있습니다.
\[a = \frac{4r + 1}{3} \왼쪽( \frac{1 - 2r}{2r} \cdot a + \frac{1 - r}{4} \cdot a \right).\]그러면 다음과 같습니다.
\[1 = \frac{4r + 1}{3} \left( \frac{1 - 2r}{2r} + \frac{1 - r}{r} \right).\]이 방정식으로부터,
\6r = (4r + 1)((1 - 2r) + 2(1 - r),\]는 $16r^2 - 2r - 3 = 0으로 단순화됩니다.$ 이것은 $(2r - 1)(8r + 3) = 0.$ $r$은 양수이므로 $r = \frac{1}{2}.$로 인수분해됩니다.

그런 다음 $p = 1$, $q = 1,$이고 AM-GM은 우리에게 다음을 제공합니다.
\[\frac{a + (a + b) + (a + b) + (b + c) + (b + c) + (b + c) + \frac{a + c}{2} + \frac{a + c}{2} + \frac{a + c}{2} + \frac{a + c}{2}}{10} \ge \sqrt[10]{\frac{a (a + b)^2 (b + c)^3 (a + c)^4}{16}}.\]따라서,
\[\sqrt[10]{\frac{a (a + b)^2 (b + c)^3 (a + c)^4}{16}}. \le \frac{5(a + b + c)}{10} = \frac{1}{2}.\]Then
\[\frac{a (a + b)^2 (b + c)^3 (a + c)^4}{16} \le \frac{1}{2^{10}} = \frac{1}{1024},\]그래서
\[a (a + b)^2 (b + c)^3 (a + c)^4 \le \frac{16}{1024} = \frac{1}{64}.\]등식은 다음과 같은 경우에 발생합니다.
\[a = a + b = b + c = \frac{a + c}{2}.\]$a + b + c = 1,$이라는 조건과 함께 풀면 $a = \frac{1}{2},$ $b = 0,$ 및 $c = \frac{1}{2}.$ 따라서 최대값은 $\frac{1}{64}.$가 됩니다.