We can simplify the first square root by expressing $6+4\sqrt2$ as a square of a binomial. So we need to find two numbers, $a$ and $b$, such that $(a+b)^2=6+4\sqrt2$. I think we should start by expanding $(a+b)^2$. That's a good idea. We get $a^2+2ab+b^2$. So we set $a^2+b^2=6$ and $2ab=4\sqrt2$. The second equation gives us $ab=2\sqrt2$. We can solve this system by substitution. We can express $b$ as $b=\frac{2\sqrt2}{a}$ and substitute it in the other equation. We get $a^2+\frac{8}{a^2}=6$. We could multiply everything by $a^2$ to get rid of the fraction. We get $a^4+8=6a^2$. So we have a quadratic in $a^2$. We can solve it by using the quadratic formula. But we should first make one side of the equation equal to zero. By subtracting $6a^2$ from both sides we get $a^4-6a^2+8=0$. We can use the quadratic formula to find $a^2$. The quadratic formula is $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$. We need to plug in $a=1$, $b=-6$, and $c=8$. We get $a^2=\frac{6\pm\sqrt{(-6)^2-4*1*8}}{2*1}$. So $a^2=\frac{6\pm\sqrt{36-32}}{2}$. Finally, $a^2=\frac{6\pm\sqrt{4}}{2}$. We can simplify that to $a^2=3\pm1$. So we get $a^2=4$ or $a^2=2$. In the first case, $a=2$ or $a=-2$. In the second case, $a=\sqrt2$ or $a=-\sqrt2$. For each value of $a$ we can find a corresponding value of $b$ by substituting it into $ab=2\sqrt2$. So if $a=2$, then $b=\sqrt2$. If $a=-2$, then $b=-\sqrt2$. If $a=\sqrt2$, then $b=2$. If $a=-\sqrt2$, then $b=-2$. There are four possible values of $a+b$. Which are $2+\sqrt2$, $-2-\sqrt2$, $\sqrt2+2$, and $-\sqrt2-2$. But remember that we want the square root of $6+4\sqrt2$, so we need the positive value of $a+b$. The positive value is $\sqrt2+2$. So we get $\sqrt{6+4\sqrt2}=\sqrt2+2$. Similarly, we can simplify the second square root by expressing $6-4\sqrt2$ as a square of a binomial. We want to find two numbers, $c$ and $d$, such that $(c+d)^2=6-4\sqrt2$. I think we should start by expanding $(c+d)^2$. That's a good idea. We get $c^2+2cd+d^2$. So we set $c^2+d^2=6$ and $2cd=-4\sqrt2$. The second equation gives us $cd=-2\sqrt2$. We can solve this system by substitution. We can express $d$ as $d=\frac{-2\sqrt2}{c}$ and substitute it in the other equation. We get $c^2+\frac{8}{c^2}=6$. We could multiply everything by $c^2$ to get rid of the fraction. We get $c^4+8=6c^2$. So we have a quadratic in $c^2$. We can solve it by using the quadratic formula. But we should first make one side of the equation equal to zero. By subtracting $6c^2$ from both sides we get $c^4-6c^2+8=0$. We can use the quadratic formula to find $c^2$. The quadratic formula is $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$. We need to plug in $a=1$, $b=-6$, and $c=8$. We get $c^2=\frac{6\pm\sqrt{(-6)^2-4*1*8}}{2*1}$. So $c^2=\frac{6\pm\sqrt{36-32}}{2}$. Finally, $c^2=\frac{6\pm\sqrt{4}}{2}$. We can simplify that to $c^2=3\pm1$. So we get $c^2=4$ or $c^2=2$. In the first case, $c=2$ or $c=-2$. In the second case, $c=\sqrt2$ or $c=-\sqrt2$. For each value of $c$ we can find a corresponding value of $d$ by substituting it into $cd=-2\sqrt2$. So if $c=2$, then $d=-\sqrt2$. If $c=-2$, then $d=\sqrt2$. If $c=\sqrt2$, then $d=-2$. If $c=-\sqrt2$, then $d=2$. There are four possible values of $c+d$. Which are $2-\sqrt2$, $-2+\sqrt2$, $\sqrt2-2$, and $-\sqrt2+2$. Again, we want the positive value. The positive value is $\sqrt2-2$. So we get $\sqrt{6-4\sqrt2}=\sqrt2-2$. Therefore, the value of the original expression is $(\sqrt2+2)+(\sqrt2-2)$. Which is $\sqrt2+2+\sqrt2-2$. Therefore, the value of the original expression is $(\sqrt2+2)+(2-\sqrt2)$. Which is $\sqrt2+2+2-\sqrt2$. So the answer is $4$.


첫 번째 제곱근은 $6+4\sqrt2$를 이항식의 제곱으로 표현하여 단순화할 수 있습니다. 따라서 $(a+b)^2=6+4\sqrt2$가 되는 두 개의 숫자 $a$와 $b$를 찾아야 합니다. 저는 $(a+b)^2$를 확장하는 것부터 시작해야 한다고 생각합니다. 좋은 생각입니다. 우리는 $a^2+2ab+b^2$를 얻습니다. 따라서 $a^2+b^2=6$과 $2ab=4\sqrt2$를 설정합니다. 두 번째 방정식은 $ab=2\sqrt2$를 제공합니다. 이 시스템은 치환을 통해 풀 수 있습니다. b$를 $b=\frac{2\sqrt2}{a}$로 표현하고 이를 다른 방정식에 대입하면 됩니다. a^2+\frac{8}{a^2}=6$을 구할 수 있습니다. 분수를 없애기 위해 모든 값에 $a^2$를 곱하면 됩니다. a^4+8=6a^2$를 얻습니다. 따라서 $a^2$에 이차방정식이 있습니다. 이차 공식을 사용하여 이차식을 풀 수 있습니다. 하지만 먼저 방정식의 한쪽을 0으로 만들어야 합니다. 양쪽에서 $6a^2$를 빼면 $a^4-6a^2+8=0$이 됩니다. 이차 공식을 사용하여 $a^2$를 구할 수 있습니다. 이차 공식은 $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$입니다. 여기서 $a=1$, $b=-6$, $c=8$을 입력해야 합니다. a^2=\frac{6\pm\sqrt{(-6)^2-4*1*8}}{2*1}$을 구합니다. So $a^2=\frac{6\pm\sqrt{36-32}}{2}$. Finally, $a^2=\frac{6\pm\sqrt{4}}{2}$. 이를 $a^2=3\pm1$로 단순화할 수 있습니다. 따라서 $a^2=4$ 또는 $a^2=2$가 됩니다. 첫 번째 경우, $a=2$ 또는 $a=-2$입니다. 두 번째 경우, $a=\sqrt2$ 또는 $a=-\sqrt2$입니다. 각 값 $a$에 대해 $ab=2\sqrt2$로 대입하여 해당 값 $b$를 찾을 수 있습니다. 따라서 $a=2$이면 $b=\sqrt2$입니다. a=-2$이면 $b=-\sqrt2$가 됩니다. a=\sqrt2$이면 $b=2$입니다. a=-\sqrt2$이면 $b=-2$입니다. a+b$의 가능한 값은 네 가지가 있습니다. 2+\sqrt2$, $-2-\sqrt2$, $\sqrt2+2$, $-\sqrt2-2$가 그것입니다. 하지만 $6+4\sqrt2$의 제곱근을 원하므로 양수 값인 $a+b$가 필요하다는 것을 기억하세요. 양수 값은 $\sqrt2+2$입니다. 따라서 $\sqrt{6+4\sqrt2}=\sqrt2+2$를 구할 수 있습니다. 마찬가지로 두 번째 제곱근을 단순화하기 위해 $6-4\sqrt2$를 이항식의 제곱으로 표현할 수 있습니다. 우리는 $(c+d)^2=6-4\sqrt2$가 되는 두 개의 수, $c$와 $d$를 찾고자 합니다. 먼저 $(c+d)^2$를 확장하는 것부터 시작해야 할 것 같습니다. 좋은 생각입니다. 우리는 $c^2+2cd+d^2$를 얻습니다. 따라서 $c^2+d^2=6$과 $2cd=-4\sqrt2$를 설정합니다. 두 번째 방정식은 $cd=-2\sqrt2$를 제공합니다. 이 시스템은 치환을 통해 풀 수 있습니다. d$를 $d=\frac{-2\sqrt2}{c}$로 표현하고 이를 다른 방정식에 대입하면 됩니다. c^2+\frac{8}{c^2}=6$을 구할 수 있습니다. 분수를 없애기 위해 모든 값에 $c^2$를 곱하면 됩니다. c^4+8=6c^2$를 얻습니다. 따라서 $c^2$에 이차방정식이 있습니다. 이차 공식을 사용하여 이차식을 풀 수 있습니다. 하지만 먼저 방정식의 한쪽을 0으로 만들어야 합니다. 양쪽에서 $6c^2$를 빼면 $c^4-6c^2+8=0$이 됩니다. 이차 공식을 사용하여 $c^2$를 구할 수 있습니다. 이차 공식은 $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$입니다. 여기서 $a=1$, $b=-6$, $c=8$을 입력해야 합니다. c^2=\frac{6\pm\sqrt{(-6)^2-4*1*8}}{2*1}$을 구합니다. So $c^2=\frac{6\pm\sqrt{36-32}}{2}$. Finally, $c^2=\frac{6\pm\sqrt{4}}{2}$. 이를 $c^2=3\pm1$로 단순화할 수 있습니다. 따라서 $c^2=4$ 또는 $c^2=2$가 됩니다. 첫 번째 경우, $c=2$ 또는 $c=-2$입니다. 두 번째 경우, $c=\sqrt2$ 또는 $c=-\sqrt2$입니다. c$의 각 값에 대해 $cd=-2\sqrt2$로 대입하여 해당 값인 $d$를 찾을 수 있습니다. 따라서 $c=2$이면 $d=-\sqrt2$가 됩니다. c=-2$이면 $d=\sqrt2$가 됩니다. c=\sqrt2$이면 $d=-2$입니다. c=-\sqrt2$이면 $d=2$입니다. c+d$의 가능한 값은 네 가지가 있습니다. 2-\sqrt2$, $-2+\sqrt2$, $\sqrt2-2$, $-\sqrt2+2$가 그것입니다. 다시 말하지만, 우리는 양수 값을 원합니다. 양수 값은 $\sqrt2-2$입니다. 따라서 $\sqrt{6-4\sqrt2}=\sqrt2-2$를 얻습니다. 따라서 원래 식의 값은 $(\sqrt2+2)+(\sqrt2-2)$입니다. 즉, $\sqrt2+2+\sqrt2-2$입니다. 따라서 원래 식의 값은 $(\sqrt2+2)+(2-\sqrt2)$입니다. 즉, $\sqrt2+2+2-\sqrt2$입니다. 따라서 답은 $4$입니다.

