Ok, so we want to find $p(1) + q(1)$. What are $p(1)$ and $q(1)$? A monic polynomial is a polynomial whose coefficient on the highest-degree term is 1. And what does non-constant mean? It means that the polynomial is not a constant function. So then what is $p(x) q(x)$? Right. So $p(x)$ and $q(x)$ look like $x^n + \cdots$ And since $p(x)q(x) = x^8 - 98x^4 + 1$, that means that the highest-degree term of $p(x)$ times the highest-degree term of $q(x)$ is $x^8$. And that means that the highest-degree term of $p(x)$ is $x^4$ and the highest-degree term of $q(x)$ is $x^4$. So $p(x)$ and $q(x)$ are at most degree 4. Right. So we can write $p(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d$ and $q(x) = x^4 + ex^3 + fx^2 + gx + h$ And we know that the constant term of $p(x)q(x)$ is $d \cdot h = 1$. Right. And we also know that all of $a, b, c, e, f, g$ are integers. So $d$ and $h$ are either 1 and 1 or -1 and -1. And we also know that $p(1) + q(1) = 1 + a + b + c + d + 1 + e + f + g + h = 2 + a + b + c + e + f + g + h$ So we want to find $a + b + c + e + f + g + h$. Right. We can write $p(x)q(x)$ as $(x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d)(x^4 + ex^3 + fx^2 + gx + h)$. And if we expand that we get $x^8 + (a + e)x^7 + \cdots + d \cdot h$. Right. And we know that $a + e$ is an integer and that $d \cdot h = 1$. Right. So we want to find $a + e$. Right. So $a + e = 0$. And that means that $a = -e$. Right. So we have $p(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d$ and $q(x) = x^4 - ax^3 + fx^2 + gx + h$ So the coefficient of $x^3$ on the left side is 0. So that means that $a = 0$. So $p(x) = x^4 + bx^2 + cx + d$ and $q(x) = x^4 + fx^2 + gx + h$ And $p(1) + q(1) = 2 + b + c + d + f + g + h$. But we want to find $b + c + d + f + g + h$. If $d = h = 1$ then $p(1) + q(1) = 2 + b + c + f + g + 2 = 4 + b + c + f + g$. And if $d = h = -1$, then $p(1) + q(1) = 2 + b + c + f + g - 2 = b + c + f + g$. Right. So we can just find $b + c + f + g$ and add 4 if $d = h = 1$. Right. We can write $p(x)q(x)$ as $(x^4 + bx^2 + cx + d)(x^4 + fx^2 + gx + h)$. And then we expand that to get $x^8 + (b + f)x^6 + \dots + (d \cdot h)$. Right. We know that the coefficient of $x^6$ is 0, so $b + f = 0$. And that means that $b = -f$. Right. So $p(x) = x^4 + bx^2 + cx + d$ and $q(x) = x^4 - bx^2 + gx + h$. But we know that the coefficients of $x^6$ and $x^5$ are 0. So we just need to find $c + g$. But we know that the coefficient of $x^5$ is 0. So $c + g = 0$. So $p(1) + q(1) = 2 + d + h$. If $d=h=1$ then $p(1)+q(1)=4$. And if $d=h=-1$, then $p(1)+q(1)=0$. So the answer is either $4$ or $0$. But the answer can't be $0$ because $p(1)$ and $q(1)$ have to be non-zero. So the answer has to be $4$.


자, 이제 $p(1) + q(1)$를 구하려고 합니다. p(1)과 $q(1)$은 무엇인가요? 단항 다항식은 최상차 항의 계수가 1인 다항식입니다. 비상수란 무엇을 의미할까요? 다항식이 상수 함수가 아니라는 뜻입니다. 그렇다면 $p(x) q(x)$는 무엇일까요? 맞습니다. 따라서 $p(x)$와 $q(x)$는 $x^n + \cdots$처럼 보입니다. 그리고 $p(x)q(x) = x^8 - 98x^4 + 1$이므로, $p(x)$의 최차항과 $q(x)$의 최차항을 곱하면 $x^8$이라는 뜻이 되죠. 즉, $p(x)$의 최상차항은 $x^4$이고 $q(x)$의 최상차항은 $x^4$입니다. 따라서 $p(x)$와 $q(x)$는 최대 차수 4입니다. 맞습니다. 따라서 $p(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d$ 와 $q(x) = x^4 + ex^3 + fx^2 + gx + h$ 를 쓸 수 있고, $p(x)q(x)$ 의 상수 항은 $d \cdot h = 1$ 이라는 것을 알 수 있습니다. 맞습니다. 또한 $a, b, c, e, f, g$는 모두 정수라는 것도 알고 있습니다. 따라서 $d$와 $h$는 1과 1이거나 -1과 -1입니다. 또한 $p(1) + q(1) = 1 + a + b + c + d + 1 + e + f + g + h = 2 + a + b + c + e + f + g + h$이므로 $a + b + c + e + f + g + h$를 구하고 싶습니다. 맞습니다. 우리는 $p(x)q(x)$를 $(x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d)(x^4 + ex^3 + fx^2 + gx + h)$로 쓸 수 있습니다. 그리고 이를 확장하면 $x^8 + (a + e)x^7 + \cdots + d \cdot h$가 됩니다. 맞습니다. 그리고 우리는 $a + e$가 정수이고 $d \cdot h = 1$이라는 것을 알고 있습니다. 맞습니다. 그래서 우리는 $a + e$를 구하고 싶습니다. 맞습니다. 따라서 $a + e = 0$입니다. 그리고 이는 $a = -e$라는 것을 의미합니다. 맞습니다. 따라서 $p(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d$와 $q(x) = x^4 - ax^3 + fx^2 + gx + h$가 있으므로 왼쪽의 $x^3$ 계수는 0입니다. 따라서 $a = 0$입니다. 따라서 $p(x) = x^4 + bx^2 + cx + d$ 와 $q(x) = x^4 + fx^2 + gx + h$ 그리고 $p(1) + q(1) = 2 + b + c + d + f + g + h$ 가 됩니다. 하지만 우리는 $b + c + d + f + g + h$를 구하고 싶습니다. d = h = 1$이면 $p(1) + q(1) = 2 + b + c + f + g + 2 = 4 + b + c + f + g$가 됩니다. 그리고 $d = h = -1$이면 $p(1) + q(1) = 2 + b + c + f + g - 2 = b + c + f + g$가 됩니다. 맞습니다. 따라서 $d = h = 1$이면 $b + c + f + g$를 구하고 4를 더하면 됩니다. 맞습니다. 우리는 $p(x)q(x)$를 $(x^4 + bx^2 + cx + d)(x^4 + fx^2 + gx + h)$로 쓸 수 있습니다. 그런 다음 이를 확장하여 $x^8 + (b + f)x^6 + \점 + (d \cdot h)$를 구합니다. 맞습니다. 우리는 $x^6$의 계수가 0이라는 것을 알고 있으므로 $b + f = 0$입니다. 그리고 이는 $b = -f$라는 것을 의미합니다. 맞습니다. 따라서 $p(x) = x^4 + bx^2 + cx + d$이고 $q(x) = x^4 - bx^2 + gx + h$입니다. 하지만 $x^6$와 $x^5$의 계수가 0이라는 것을 알고 있으므로 $c + g$만 구하면 됩니다. 하지만 $x^5$의 계수가 0이라는 것을 알고 있으므로 $c + g = 0$입니다. 따라서 $p(1) + q(1) = 2 + d + h$입니다. d=h=1$이면 $p(1)+q(1)=4$입니다. 그리고 $d=h=-1$이면 $p(1)+q(1)=0$입니다. 따라서 답은 $4$이거나 $0$입니다. 하지만 $p(1)$와 $q(1)$가 0이 아니어야 하므로 $0$은 답이 될 수 없습니다. 따라서 답은 $4$가 되어야 합니다.

