The Stokes parameters are a set of values that describe the polarization state of electromagnetic radiation. They were defined by George Gabriel Stokes in 1852,<ref>S. Chandrasekhar 'Radiative Transfer, Dover Publications, New York, 1960, , page 25</ref> as a mathematically convenient alternative to the more common description of incoherent or partially polarized radiation in terms of its total intensity (I), (fractional) degree of polarization (p), and the shape parameters of the polarization ellipse. The effect of an optical system on the polarization of light can be determined by constructing the Stokes vector for the input light and applying Mueller calculus, to obtain the Stokes vector of the light leaving the system. The original Stokes paper was discovered independently by Francis Perrin in 1942 and by Subrahamanyan Chandrasekhar in 1947,Chandrasekhar, S. (1947). The transfer of radiation in stellar atmospheres. Bulletin of the American Mathematical Society, 53(7), 641-711. who named it as the Stokes parameters.

Definitions

The relationship of the Stokes parameters S0, S1, S2, S3 to intensity and polarization ellipse parameters is shown in the equations below and the figure on the right.

Here ,  and  are the spherical coordinates of the three-dimensional vector of cartesian coordinates .  is the total intensity of the beam, and  is the degree of polarization, constrained by . The factor of two before  represents the fact that any polarization ellipse is indistinguishable from one rotated by 180°, while the factor of two before  indicates that an ellipse is indistinguishable from one with the semi-axis lengths swapped accompanied by a 90° rotation. The phase information of the polarized light is not recorded in the Stokes parameters. The four Stokes parameters are sometimes denoted I, Q, U and V, respectively.

Given the Stokes parameters, one can solve for the spherical coordinates with the following equations:

Stokes vectors
The Stokes parameters are often combined into a vector, known as the Stokes vector:

The Stokes vector spans the space of unpolarized, partially polarized, and fully polarized light. For comparison, the Jones vector only spans the space of fully polarized light, but is more useful for problems involving coherent light. The four Stokes parameters are not a preferred coordinate system of the space, but rather were chosen because they can be easily measured or calculated.

Note that there is an ambiguous sign for the  component depending on the physical convention used. In practice, there are two separate conventions used, either defining the Stokes parameters when looking down the beam towards the source (opposite the direction of light propagation) or looking down the beam away from the source (coincident with the direction of light propagation). These two conventions result in different signs for , and a convention must be chosen and adhered to.

Examples
Below are shown some Stokes vectors for common states of polarization of light.

{|
 |-
 |  || Linearly polarized (horizontal)
 |-
 |  || Linearly polarized (vertical)
 |-
 |  || Linearly polarized (+45°)
 |-
 |  || Linearly polarized (−45°)
 |-
 |  || Right-hand circularly polarized
 |-
 |  || Left-hand circularly polarized
 |-
 |  || Unpolarized
|}

Alternative explanation

A monochromatic plane wave is specified by its propagation vector, , and the complex amplitudes of the electric field,  and , in a basis . The pair  is called a Jones vector. Alternatively, one may specify the propagation vector, the phase, , and the polarization state, , where  is the curve traced out by the electric field as a function of time in a fixed plane. The most familiar polarization states are linear and circular, which are degenerate cases of the most general state, an ellipse.

One way to describe polarization is by giving the semi-major and semi-minor axes of the polarization ellipse, its orientation, and the direction of rotation (See the above figure). The Stokes parameters , , , and , provide an alternative description of the polarization state which is experimentally convenient because each parameter corresponds to a sum or difference of measurable intensities. The next figure shows examples of the Stokes parameters in degenerate states.

Definitions
The Stokes parameters are defined by

where the subscripts refer to three different bases of the space of Jones vectors: the standard Cartesian basis (), a Cartesian basis rotated by 45° (), and a circular basis (). The circular basis is defined so that , .

The symbols ⟨⋅⟩ represent expectation values. The light can be viewed as a random variable taking values in the space C2 of Jones vectors . Any given measurement yields a specific wave (with a specific phase, polarization ellipse, and magnitude), but it keeps flickering and wobbling between different outcomes. The expectation values are various averages of these outcomes. Intense, but unpolarized light will have I > 0 but Q = U = V = 0, reflecting that no polarization type predominates. A convincing waveform is depicted at the article on coherence.

The opposite would be perfectly polarized light which, in addition, has a fixed, nonvarying amplitude—a pure sine curve. This is represented by a random variable with only a single possible value, say . In this case one may replace the brackets by absolute value bars, obtaining a well-defined quadratic map

from the Jones vectors to the corresponding Stokes vectors; more convenient forms are given below. The map takes its image in the cone defined by |I |2 = |Q |2 + |U |2 + |V |2, where the purity of the state satisfies p = 1 (see below).

The next figure shows how the signs of the Stokes parameters are determined by the helicity and the orientation of the semi-major axis of the polarization ellipse.

Representations in fixed bases
In a fixed () basis, the Stokes parameters when using an increasing phase convention are

while for , they are

and for , they are

Properties
For purely monochromatic coherent radiation, it follows from the above equations that

whereas for the whole (non-coherent) beam radiation, the Stokes parameters are defined as averaged quantities, and the previous equation becomes an inequality:

However, we can define a total polarization intensity , so that

where  is the total polarization fraction.

Let us define the complex intensity of linear polarization to be

Under a rotation  of the polarization ellipse, it can be shown that  and  are invariant, but

With these properties, the Stokes parameters may be thought of as constituting three generalized intensities:

where  is the total intensity,  is the intensity of circular polarization, and  is the intensity of linear polarization. The total intensity of polarization is , and the orientation and sense of rotation are given by

Since  and , we have

Relation to the polarization ellipse
In terms of the parameters of the polarization ellipse, the Stokes parameters are

Inverting the previous equation gives

 Relationship to Hermitian operators and quantum mixed states 

From a geometric and algebraic point of view, the Stokes parameters stand in one-to-one correspondence with the closed, convex, 4-real-dimensional cone of nonnegative Hermitian operators on the Hilbert space C2. The parameter I serves as the trace of the operator, whereas the entries of the matrix of the operator are simple linear functions of the four parameters I, Q, U, V, serving as coefficients in a linear combination of the Stokes operators. The eigenvalues and eigenvectors of the operator can be calculated from the polarization ellipse  parameters I, p, ψ, χ.

The Stokes parameters with I set equal to 1 (i.e. the trace 1 operators) are in one-to-one correspondence with the closed unit 3-dimensional ball of mixed states (or density operators) of the quantum space C2, whose boundary is the Bloch sphere. The Jones vectors correspond to the underlying space C2, that is, the (unnormalized) pure states of the same system. Note that phase information is lost when passing from a pure state |φ⟩ to the corresponding mixed state |φ⟩⟨φ|, just as it is lost when passing from a Jones vector to the corresponding Stokes vector.

See also
 Mueller calculus
 Jones calculus
 Polarization (waves)
 Rayleigh Sky Model
 Stokes operators
 Polarization mixing

Notes

References
 E. Collett, Field Guide to Polarization, SPIE Field Guides vol. FG05, SPIE (2005). .
 E. Hecht, Optics'', 2nd ed., Addison-Wesley (1987). .
 
 

Polarization (waves)
Radiometry
스토크스 변수는 (가시광선 등을 포함한) 전자기파의 편광 상태를 설명하기 위해 도입된 값이다. 이 변수들은 1852년 조지 가브리엘 스토크스에 의해, 결맞지 않거나 부분 편광된 광선에서 전체 광량 (Intensity, I), 편광도(Degree of polarization, p), 그리고 편광 타원의 모양변수 등에 대한 일반적인 설명을 간편하게 수학적으로 대체하기 위해 도입되었다. 스토크스 변수와 광량, 편광 타원의 매개변수들 사이의 관계는 다음의 관계식과 그림에 나타나 있다.

여기에서 , , 는 스토크스 변수 , , 를 3차원 공간상에 표현했을 때 편광 상태의 구면 좌표계 성분들이다. 위 식에서  앞의 상수 2는 어떤 편광 타원이든 180°회전시 구분할 필요가 없음을 뜻하고,  앞의 2는 타원의 반축 길이가 90°회전과 연계되어 바뀜을 가리킨다. 네 스토크스 변수들은 각각 I, Q, U, V로 쓰이기도 한다.

스토크스 변수들이 주어지면 각각의 구면 좌표계 성분은 다음과 같은 식으로 정리할 수 있다.

스토크스 벡터 
스토크스 변수들은 종종 스토크스 벡터라 불리는 벡터의 형태로 사용된다.

스토크스 벡터는 무편광(unpolarized), 부분편광(partially polarized), 또는 완전편광(totally polarized)된 빛의 공간을 생성(span)한다. 참고로, 존스 벡터는 완전편광된 빛의 공간만 생성할 뿐이지만 결맞은 빛의 문제를 해결하는 데에는 더 유용하기 때문에 널리 쓰인다. 사실 네 개의 스토크스 변수는 공간에서의 축요소(basis)로 쓸 수 있는 것도 아니지만, 측정하거나 계산하기 쉽기 때문에 선택한 것이다.

광학계의 편광 효율는 입사광의 스토크스 벡터 집합에 뮬러 행렬을 곱하면 빛이 광학계를 투과한 후의 스토크스 벡터를 구하면서 바로 확인할 수 있다.

예시 
다음 예시는 일반적인 빛의 몇몇 편광 상태를 스토크스 벡터로 표현한 것이다.

다른 방식의 설명 

단색 평면파는 전파되는 방향의 벡터(propagation vector) 와 축요소가 일 때 전기장의 복소수 진폭 , 의 관계식으로 표현할 수 있다. 또한, 전파 벡터, 위상 , (그리고 고정된 평면에서 전기장의 변화 곡선을 투영한) 편광 상태 의 관계식으로 표현할 수도 있다. 널리 알려진 편광 상태인 직선편광과 원편광은 가장 일반적인 타원편광의 특수한 경우라 할 수 있다.

일반적인 타원편광은 편광 타원의 반장축(半長軸; 타원의 장축 길이 절반) A와 반단축(半短軸; 타원의 단축 길이 절반) B인 타원이 x 축에서 만큼 회전한 것으로 설명할 수 있다 (오른쪽 그림 참조). 스토크스 변수 I, Q, U, V는 실험적으로 편광 상태를 설명할 때 편리하게 사용되는데, 각 변수들이 측정된 광도의 합이나 차와 바로 연관되기 때문이다. 다음 그래프들은 특수한 경우 스토크스 변수들의 예이다.

정의 
스토크스 변수는 다음과 같이 정의된다.

여기서 밑에 쓰인 문자들은 각각 세 축요소를 뜻한다. 데카르트 좌표에서 (), 데카르드 좌표계를 45°회전시킨 경우의 (), 원통 좌표계에서 (). 원통 좌표계에서 이다. 다음 그림은 스토크스 변수의 부호가 편광 타원의 반장축 방향과 회전방향에 따라 어떻게 바뀌는지 보여준다.

고정된 축에 대한 표현 
고정된 ()에 대해, 스토크스 변수는 다음과 같다.

반면, 에 대해선,

이고, 에 대해선

이 된다.

속성 
순수한 단색의 결맞은 빛(monochromatic coherent light)의 경우엔

이지만, 보통의 백색광(결맞지 않은)의 경우에 스토크스 변수는 평균값으로 정의되고, 위의 등식은 다음과 같은 부등식이 된다.

그러나, 여기에서 총 편광량(total polarized intensity) 를 정의해서

로 쓸 수 있고, 는 전체 편광 비율이 된다.

선형편광시 복소 광량을 다음과 같이 정의해보자.

편광 타원에서 로 회전했을 때, I 와 V는 불변이지만,

이 되어, 스토크수 변수들의 다음과 같은 경향성을 추론할 수 있다.

여기서 I는 전체 광량을 의미하고, , 은 각각 원편광, 선형편광된 광량을 뜻한다. 이때 전체 편광된 광량 이고, 타원축의 방향과 회전은 다음과 같이 주어지게 된다.

여기서 이고 이기 때문에,

이 된다.

편광 타원과의 관계 
편광 타원에서 매개변수들은 스토크스 변수인

를 가리키며, 위 식을 통해

임을 알 수 있다.

같이 보기 
 뮬러 행렬
 존스 행렬
 편광

편광
광학