The moment distribution method is a structural analysis method for statically indeterminate beams and frames developed by Hardy Cross. It was published in 1930 in an ASCE journal. The method only accounts for flexural effects and ignores axial and shear effects. From the 1930s until computers began to be widely used in the design and analysis of structures, the moment distribution method was the most widely practiced method.

Introduction 
In the moment distribution method, every joint of the structure to be analysed is fixed so as to develop the fixed-end moments. Then each fixed joint is sequentially released and the fixed-end moments (which by the time of release are not in equilibrium) are distributed to adjacent members until equilibrium is achieved. The moment distribution method in mathematical terms can be demonstrated as the process of solving a set of simultaneous equations by means of iteration.

The moment distribution method falls into the category of displacement method of structural analysis.

Implementation  
In order to apply the moment distribution method to analyse a structure, the following things must be considered.

Fixed end moments 
Fixed end moments are the moments produced at member ends by external loads.

Bending stiffness 
The bending stiffness (EI/L) of a member is represented as the flexural rigidity of the member (product of the modulus of elasticity (E) and the second moment of area (I)) divided by the length (L) of the member. What is needed in the moment distribution method is not the specific values but the ratios of bending stiffnesses between all members.

Distribution factors 
When a joint is being released and begins to rotate under the unbalanced moment, resisting forces develop at each member framed together at the joint. Although the total resistance is equal to the unbalanced moment, the magnitudes of resisting forces developed at each member differ by the members' bending stiffness. Distribution factors can be defined as the proportions of the unbalanced moments carried by each of the members. In mathematical terms, the distribution factor of member  framed at joint  is given as:

where n is the number of members framed at the joint.

Carryover factors 
When a joint is released, balancing moment occurs to counterbalance the unbalanced moment.  The balancing moment is initially the same as the fixed-end moment. This balancing moment is then carried over to the member's other end. The ratio of the carried-over moment at the other end to the fixed-end moment of the initial end is the carryover factor.

Determination of carryover factors 
Let one end (end A) of a fixed beam be released and applied a moment  while the other end (end B) remains fixed. This will cause end A to rotate through an angle . Once the magnitude of  developed at end B is found, the carryover factor of this member is given as the ratio of  over :

In case of a beam of length L with constant cross-section whose flexural rigidity is , 

therefore the carryover factor

Sign convention 
Once a sign convention has been chosen, it has to be maintained for the whole structure. The traditional engineer's sign convention is not used in the calculations of the moment distribution method although the results can be expressed in the conventional way. In the BMD case, the left side moment is clockwise direction and other is anticlockwise direction so the bending is positive and is called sagging.

Framed structure 
Framed structure with or without sidesway can be analysed using the moment distribution method.

Example 

The statically indeterminate beam shown in the figure is to be analysed.

The beam is considered to be three separate members, AB, BC, and CD, connected by fixed end (moment resisting) joints at B and C.

Members AB, BC, CD have the same span .
Flexural rigidities are EI, 2EI, EI respectively.
Concentrated load of magnitude  acts at a distance  from the support A.
Uniform load of intensity  acts on BC.
Member CD is loaded at its midspan with a concentrated load of magnitude .
In the following calculations, clockwise moments are positive.

Fixed end moments

Bending stiffness and distribution factors 
The bending stiffness of members AB, BC and CD are ,  and , respectively . Therefore, expressing the results in repeating decimal notation:

The distribution factors of joints A and D are  and .

Carryover factors 
The carryover factors are , except for the carryover factor from D (fixed support) to C which is zero.

Moment distribution 

Numbers in grey are balanced moments; arrows ( → / ← ) represent the carry-over of moment from one end to the other end of a member.* Step 1: As joint A is released, balancing moment of magnitude equal to the fixed end moment  develops and is carried-over from joint A to joint B.* Step 2: The unbalanced moment at joint B now is the summation of the fixed end moments ,  and the carry-over moment from joint A. This unbalanced moment is distributed to members BA and BC in accordance with the distribution factors  and . Step 2 ends with carry-over of balanced moment  to joint C. Joint A is a roller support which has no rotational restraint, so moment carryover from joint B to joint A is zero.* Step 3: The unbalanced moment at joint C now is the summation of the fixed end moments ,  and the carryover moment from joint B. As in the previous step, this unbalanced moment is distributed to each member and then carried over to joint D and back to joint B. Joint D is a fixed support and carried-over moments to this joint will not be distributed nor be carried over to joint C.* Step 4: Joint B still has balanced moment which was carried over from joint C in step 3. Joint B is released once again to induce moment distribution and to achieve equilibrium.* Steps 5 - 10: Joints are released and fixed again until every joint has unbalanced moments of size zero or neglectably small in required precision. Arithmetically summing all moments in each respective columns gives the final moment values.

Result 

Moments at joints determined by the moment distribution method

The conventional engineer's sign convention is used here, i.e. positive moments cause elongation at the bottom part of a beam member.

For comparison purposes, the following are the results generated using a matrix method.  Note that in the analysis above, the iterative process was carried to >0.01 precision. The fact that the matrix analysis results and the moment distribution analysis results match to 0.001 precision is mere coincidence.
Moments at joints determined by the matrix method

Note that the moment distribution method only determines the moments at the joints. Developing complete bending moment diagrams require additional calculations using the determined joint moments and internal section equilibrium.

Result via displacements method 
As the Hardy Cross method provides only approximate results, with a margin of error inversely proportionate to the number of iterations, it is important to have an idea of how accurate this method might be. With this in mind, here is the result obtained by using an exact method: the displacement method

For this, the displacements method equation assumes the following form:

For the structure described in this example, the stiffness matrix is as follows:

The equivalent nodal force vector:

Replacing the values presented above in the equation and solving it for  leads to the following result:

Hence, the moments evaluated in node B are as follows:

The moments evaluated in node C are as follows:

See also 
 Finite element method
 Slope deflection method

Notes

References 

Structural analysis
모멘트분배법(-分配法, Moment distribution method)은 1930년 5월에 미국 일리노이 주립 대학교 어바나-샴페인의 하디 크로스 교수가 미국토목학회지의 논문 "Analysis of Continuous Frames by Distributing Fixed-End Moments"(〈고정단 모멘트의 분배에 의한 연속 뼈대 구조의 해석〉)을 통해 발표한 부정정 구조해석방법으로, 반복적인 계산을 통해 연속보와 뼈대 구조의 절점 모멘트를 구할 수 있는 근사해법이다. 고정모멘트법(固定-法)으로도 불린다.

특징 
모멘트 분배법은 부재의 고정단 모멘트로부터 시작하여 순차적으로 구조물 전체의 평형이 만족될 때까지 반복적으로 불균형 모멘트를 분배하고 인접 부재로 배분하는 방법이다. 이는 구조해석에서 자주 등장하는 선형 연립방정식의 해를 해석적으로 직접 구하지 않고 가우스-조던 방법(Gauss-Jordan method) 또는 가우스-사이델 방법(Gauss-Seidel method)등을 도입하여 반복 계산을 통해 근사해를 구하는 방법으로, 수(手)계산에 매우 편리하다. 모멘트 분배법은 기본적으로 처짐각법(slope deflection method)에서 발전된 것이나, 처짐각법에서 미지수를 각 절점의 처짐각으로 하는 것에 비해, 모멘트 분배법에서는 처짐각과 부재의 상대적 강도로부터 유도한 부재단 모멘트를 미지수로 하여 해석한다.

구현 
자유도를 갖는 모든 절점을 구속시킨 뒤 재하되는 고정단 모멘트를 절점의 구속을 순차적으로 풀며 전체 구조물로 분배시키는 과정을 원하는 정밀도의 결과에 이를 때까지 반복한다. 모멘트 분배법을 적용하기 위해서는 다음과 같은 사항에 대한 고려가 필요하다.

고정단 모멘트 
절점을 구속할 때 각 부재단에 발생하는 모멘트이다.

부재의 상대적 휨강성 
전달률(carry-over factor)과 분배율(distribution factor)를 계산하기 위해서는 각 부재의 길이와 더불어, 탄성 계수(E)와 단면 이차 모멘트(I)의 곱으로 주어지는 휨 강성의 상대적인 비를 알아야 한다.

분배율 
하나 이상의 부재가 모이는 절점에서, 절점을 구속할 때에 재하되는 불균형 모멘트에 대해, 구속을 제거할 때에 발생하는 회전 변위에 저항하기 위해(즉 정역학적 평형을 만족하기 위해) 각 부재단에 발생하는 모멘트(분배모멘트, distributed moment)들의 상대적인 비를 나타낸다.

전달률 
부재의 한쪽단에 연결된 절점의 구속을 제거하며 분배된 모멘트는 그 부재의 다른쪽 단(고정되어 있음)으로도 전달되는데, 이렇게 전달된 모멘트를 전달모멘트(carryover moment)라고 하며, 그 비율을 전달률이라고 한다.

부호 규약 
계산 과정에서의 편의를 위해 시계방향 또는 반시계방향의 모멘트를 임의로 양(+)으로 정한다. 보통 처짐각법의 부호 규약을 따른다.

뼈대 구조에의 적용 
뼈대 구조물에도 연속보와 같은 방식으로 모멘트 분배법을 적용할 수 있다. 다만, 절점의 횡변위(가로흔들이, sidesway)가 있는 경우는, 모든 횡변위를 구속하고 해석한 결과와 각각의 횡변위를 임의의 값으로 하여 해석한 결과들을 중첩(평형 조건을 적용)하면 전체 구조물을 해석할 수 있다.

예제 

오른쪽 그림과 같은 연속보 구조물을 해석해 보자.
부재 AB, BC, CD의 길이는 모두 로 같고,
휨 강성은 각각 EI, 2EI, EI이다.
부재 AB는 지점 A로부터 의 위치에 크기 인 집중 하중이,
부재 BC는 부재 전체에 걸쳐 의 등분포 하중이,
부재 CD는 중앙에 크기 인 집중 하중이 재하되어 있다.
계산 과정에서, 반시계 방향의 모멘트를 양(+)으로 한다.

고정단 모멘트 
고정단 모멘트는 각 절점을 고정시켰을 때 부재단에 발생하는 모멘트이다.

분배율 
각 절점에서의 분배율은 부재의 상대적 강성의 비율이므로 다음과 같이 구할 수 있다.

이 때 절점 A, D에서의 분배율은 이다.

전달률 
각 부재단에서 발생한 불균형모멘트가 분배되면서 그 이 다른쪽 부재단으로 전달된다. 단, 절점 B에서 롤러단인 절점 A로는 모멘트가 전달되지 않으며, 고정단인 절점 D에서 절점 C로도 모멘트가 전달되지 않는다.

모멘트 분배 

여기서 회색 음영은 각 절점의 불균형 모멘트로부터 분배가 완료된 분배 모멘트를 의미하며 화살표( → / ← )는 부재의 다른쪽 단으로의 전달을 의미한다. 모멘트의 합은 해당 열의 모든 모멘트의 대수 합으로 구한다.

결과 
절점 모멘트

여기서 음(-)의 부호는 부재의 상단에 인장이 발생하도록 하는 휨 모멘트를 의미한다.

전단력도

휨 모멘트도

참고 문헌 
McCormac, Jack C.; James K. Nelson, Jr. (1997). Structural Analysis: A Classical and Matrix Approach, 2nd, Addison-Wesley, 488-538.  .
양창현 (2001-01-10). 《구조역학》, 4판, 청문각, 391-422. .

같이 보기 
 처짐각법
 고정단 모멘트
 하디 크로스

외부 링크 
  Strucsource®의 모멘트 분배법 예제

구조역학