So let's start by finding the third vector. So we know that $\mathbf{b} \times \mathbf{a}$ is perpendicular to $\mathbf{b}$ and $\mathbf{a}$ and has magnitude equal to the product of the magnitudes of $\mathbf{b}$ and $\mathbf{a}$ times the sine of the angle between them. Which is just $1 \cdot 1 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$, since both vectors are unit vectors. So we can say that $\mathbf{b} \times \mathbf{a} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \mathbf{v}$ for some unit vector $\mathbf{v}$. Now we can find $\mathbf{b} + \mathbf{b} \times \mathbf{a}$ by adding the two vectors componentwise. We know that $\mathbf{b}$ is a unit vector, and we can write it as $\mathbf{b} = \cos(\theta) \mathbf{u} + \sin(\theta) \mathbf{v}$, where $\mathbf{u}$ and $\mathbf{v}$ are unit vectors perpendicular to each other and $\theta$ is the angle between $\mathbf{b}$ and $\mathbf{u}$. So now we can find $\mathbf{b} + \mathbf{b} \times \mathbf{a} = (\cos(\theta) \mathbf{u} + \sin(\theta) \mathbf{v}) + \dfrac{\sqrt{3}}{2} \mathbf{v}$. But $\mathbf{u}$ and $\mathbf{v}$ are perpendicular, so this is just $\cos(\theta) \mathbf{u} + (\sin(\theta) + \dfrac{\sqrt{3}}{2}) \mathbf{v}$. Now we can find the volume of the parallelepiped by taking the dot product of the vectors. Which is just $\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times (\mathbf{b} + \mathbf{b} \times \mathbf{a}))$. Right. So now we can plug in the expressions we got earlier for $\mathbf{b} + \mathbf{b} \times \mathbf{a}$ and $\mathbf{b} \times \mathbf{a}$. Which gives us $\mathbf{a} \cdot ((\cos(\theta) \mathbf{u} + \sin(\theta) \mathbf{v}) \times (\cos(\theta) \mathbf{u} + (\sin(\theta) + \dfrac{\sqrt{3}}{2}) \mathbf{v}))$. Right. But now this is just the cross product of two vectors, so we can use the cross product formula. We get $\mathbf{a} \cdot (\cos^2(\theta) \mathbf{u} \times \mathbf{u} + \cos(\theta) \sin(\theta) (\mathbf{u} \times \mathbf{v}) + \sin^2(\theta) (\mathbf{v} \times \mathbf{u}) + \sin(\theta) \cos(\theta) (\mathbf{v} \times \mathbf{v}) + \dfrac{3}{4} \sin(\theta) \mathbf{v} \times \mathbf{u})$. But since $\mathbf{u}$ and $\mathbf{v}$ are perpendicular, we know that $\mathbf{u} \times \mathbf{u} = \mathbf{v} \times \mathbf{v} = \mathbf{0}$. So all we are left with is $\mathbf{a} \cdot (\cos(\theta) \sin(\theta) (\mathbf{u} \times \mathbf{v}) + \sin(\theta) \cos(\theta) (\mathbf{v} \times \mathbf{u}) + \dfrac{3}{4} \sin(\theta) \mathbf{v} \times \mathbf{u})$. And since $\mathbf{a}$ is a unit vector, this is equal to $\dfrac{3}{4} \sin(\theta) \mathbf{a} \cdot (\mathbf{u} \times \mathbf{v})$. So we can say that $\mathbf{u} \times \mathbf{v} = \sin(\theta) \mathbf{w}$ for some unit vector $\mathbf{w}$. So now we have $\mathbf{a} \cdot (\dfrac{3}{4} \sin(\theta) \sin(\theta) \mathbf{w})$. So we want to find the volume of the parallelepiped generated by $\mathbf{a},$ $\mathbf{b} + \mathbf{b} \times \mathbf{a},$ and $\mathbf{b}$. It's $x \cdot (y \times z)$. So we want to find $x \cdot (y \times z) = (\mathbf{b} + \mathbf{b} \times \mathbf{a}) \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{a})$. Right, let's expand that. We get $\mathbf{b} \cdot (\mathbf{a} \times \mathbf{b}) + (\mathbf{b} \times \mathbf{a}) \cdot (\mathbf{a} \times \mathbf{b})$. Ok, let's expand that even more. $\mathbf{b} \cdot (\mathbf{a} \times \mathbf{b}) = 0$ since $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$ is perpendicular to $\mathbf{b}$. And $(\mathbf{b} \times \mathbf{a}) \cdot (\mathbf{a} \times \mathbf{b}) = |\mathbf{b} \times \mathbf{a}|^2 = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{3}{4}$ since $|\mathbf{b} \times \mathbf{a}| = \frac{\sqrt{3}}{2}$. So the volume is just $\frac{3}{4}$.


이제 세 번째 벡터를 구하는 것부터 시작하겠습니다. 따라서 우리는 $\mathbf{b} \times \mathbf{a}$는 $\mathbf{b}$와 $\mathbf{a}$에 수직이며, $\mathbf{b}$와 $\mathbf{a}$의 크기에 그 사이의 각도의 사인을 곱한 것과 같은 크기를 가집니다. 두 벡터가 모두 단위 벡터이므로 $\cdot 1 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$에 불과합니다. 따라서 $\mathbf{b} \times \mathbf{a} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} 단위 벡터 $\mathbf{v}$에 대한 \mathbf{v}$. 이제 $\mathbf{b} + \mathbf{b} \곱하기 \mathbf{a}$를 구하면 두 벡터를 성분적으로 더하면 됩니다. 우리는 $\mathbf{b}$가 단위 벡터라는 것을 알고 있으며, $\mathbf{b} = \cos(\theta) \mathbf{u} + \sin(\theta) \mathbf{v}$로 적을 수 있습니다, 여기서 $\mathbf{u}$와 $\mathbf{v}$는 서로 수직인 단위 벡터이고, $\theta$는 $\mathbf{b}$와 $\mathbf{u}$ 사이의 각도입니다. 이제 $\mathbf{b} + \mathbf{b} \times \mathbf{a} = (\cos(\theta) \mathbf{u} + \sin(\theta) \mathbf{v}) + \dfrac{\sqrt{3}}{2} \mathbf{v}$. 그러나 $\mathbf{u}$와 $\mathbf{v}$는 수직이므로 $\cos(\theta) \mathbf{u} + (\sin(\theta) + \dfrac{\sqrt{3}}{2}) \mathbf{v}$에 불과합니다. 이제 벡터의 점 곱을 구하면 평행 육면체의 부피를 구할 수 있습니다. 즉, $\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \(\mathbf{b} + \mathbf{b} \times \mathbf{a}))$입니다. 맞습니다. 이제 앞에서 얻은 식을 $\mathbf{b} + \mathbf{b} \times \mathbf{a}$ 및 $\mathbf{b} \times \mathbf{a}$. 그러면 $\mathbf{a} \cdot((\cos(\theta) \mathbf{u} + \sin(\theta) \mathbf{v})가 됩니다. \times (\cos(\theta) \mathbf{u} + (\sin(\theta) + \dfrac{\sqrt{3}}{2}) \mathbf{v}))$. 맞습니다. 하지만 이제 이것은 두 벡터의 교차 곱에 불과하므로 교차 곱 공식을 사용할 수 있습니다. 우리는 $\mathbf{a} \cdot (\cos^2(\theta) \mathbf{u} \times \mathbf{u} + \cos(\theta) \sin(\theta) (\mathbf{u} \times \mathbf{v}) + sin^2(\theta) (\mathbf{v} \times \mathbf{u}) + \sin(\theta) \cos(\theta) (\mathbf{v} \times \mathbf{v}) + \dfrac{3}{4} \sin(\theta) \mathbf{v} \times \mathbf{u})$. 그러나 $\mathbf{u}$와 $\mathbf{v}$는 수직이므로 $\mathbf{u} \times \mathbf{u} = \mathbf{v} \times \mathbf{v} = \mathbf{0}$임을 알 수 있습니다. 따라서 남은 것은 $\mathbf{a} \cdot (\cos(\theta) \sin(\theta) (\mathbf{u} \times \mathbf{v}) + \sin(\theta) \cos(\theta) (\mathbf{v} \times \mathbf{u}) + \dfrac{3}{4}뿐입니다. \sin(\theta) \mathbf{v} \times \mathbf{u})$. 그리고 $\mathbf{a}$는 단위 벡터이므로, 이것은 $\dfrac{3}{4} \sin(\theta) \mathbf{a} \cdot (\mathbf{u} \times \mathbf{v})$입니다. 따라서 어떤 단위 벡터 $\mathbf{w}$에 대해 $\mathbf{u} \times \mathbf{v} = \sin(\theta) \mathbf{w}$라고 말할 수 있습니다. 이제 $\mathbf{a} \cdot (\dfrac{3}{4} \sin(\theta) \sin(\theta) \mathbf{w})$가 됩니다. 따라서 $\mathbf{a},$ $\mathbf{b}에 의해 생성된 평행 육면체의 부피를 구하고 싶습니다. + \mathbf{b} \times \mathbf{a},$ 및 $\mathbf{b}$. x \cdot (y \times z)$입니다. 따라서 $x \cdot (y \times z) = (\mathbf{b} + \mathbf{b} \times \mathbf{a}) \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{a})$를 구하고 싶습니다. 자, 이제 확장해 봅시다. 우리는 $\mathbf{b} \cdot (\mathbf{a} \times \mathbf{b}) + (\mathbf{b} \times \mathbf{a}) \cdot (\mathbf{a} \times \mathbf{b})$가 됩니다. 이제 더 확장해 보겠습니다. $\mathbf{b} \cdot (\mathbf{a} \times \mathbf{b}) = 0$ 왜냐하면 $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$는 $\mathbf{b}$에 수직이기 때문입니다. 그리고 $(\mathbf{b} \times \mathbf{a}) \cdot (\mathbf{a} \times \mathbf{b}) = |\mathbf{b}입니다. \times \mathbf{a}|^2 = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{3}{4}$이므로 $|\mathbf{b} \times \mathbf{a}| = \frac{\sqrt{3}}{2}$. 따라서 부피는 $\frac{3}{4}$에 불과합니다.

