As usual, we start by graphing these lines. An easy way to go about it is to plot some points. Let's plug in $t =0$ and $t = 1$ for line $l$, getting the points $(1, 4)$ and $(5, 7)$. Here's our line:

[asy]
size(200);
import TrigMacros;
import olympiad;

//Gives the maximum line that fits in the box. 
path maxLine(pair A, pair B, real xmin, real xmax, real ymin, real ymax) 
{
    path[] endpoints; 
    endpoints = intersectionpoints(A+10(B-A) -- A-10(B-A), (xmin, ymin)--(xmin, ymax)--(xmax, ymax)--(xmax, ymin)--cycle); 
    return endpoints[1]--endpoints[0]; 
}

pair A= (1,4); 
pair B = (-5, 6);

//Direction vector of the parallel lines
pair dir = (4,3);

//Foot of the perpendicular from A to the other line
pair P = foot(A, B-dir, B+dir);

rr_cartesian_axes(-8,8,-5,12,complexplane=false,usegrid=true);

draw(maxLine(A,A+dir, -8,8,-5,12)); 

label("$l$", A-1.8dir, SE);

dot("$t = 0$", A, SE);
dot("$t = 1$", A + dir, SE); 

[/asy]
Similarly, we plug in $s = 0$ and $s = 1$ for line $m$, getting the points $(-5, 6)$ and $(-1, 9)$:

[asy]
size(200);
import TrigMacros;
import olympiad;

//Gives the maximum line that fits in the box. 
path maxLine(pair A, pair B, real xmin, real xmax, real ymin, real ymax) 
{
    path[] endpoints; 
    endpoints = intersectionpoints(A+10(B-A) -- A-10(B-A), (xmin, ymin)--(xmin, ymax)--(xmax, ymax)--(xmax, ymin)--cycle); 
    return endpoints[1]--endpoints[0]; 
}

pair A = (1,4); 
pair B = (-5, 6);


//Direction vector of the parallel lines
pair dir = (4,3);

//Foot of the perpendicular from A to the other line
pair P = foot(A, B-dir, B+dir);

rr_cartesian_axes(-8,8,-5,12,complexplane=false,usegrid=true);

draw(maxLine(A,A+dir, -8,8,-5,12)); 
draw(maxLine(B,B+dir, -8,8,-5,12)); 

label("$l$", A+dir, SE); 
label("$m$",P+dir, NW); 

dot("$s = 0$", B, NW);
dot("$s = 1$", B + dir,NW); 

[/asy]
Now we label some points $A$ and $B$, as well as point $P$, and we draw in our vectors:

[asy]
size(200);
import TrigMacros;
import olympiad;

//Gives the maximum line that fits in the box. 
path maxLine(pair A, pair B, real xmin, real xmax, real ymin, real ymax) 
{
    path[] endpoints; 
    endpoints = intersectionpoints(A+10(B-A) -- A-10(B-A), (xmin, ymin)--(xmin, ymax)--(xmax, ymax)--(xmax, ymin)--cycle); 
    return endpoints[1]--endpoints[0]; 
}

pair A = (1,4);
pair B= (-5, 6); 

//Direction vector of the parallel lines
pair dir = (4,3);

//Foot of the perpendicular from A to the other line
pair P = foot(A, B-dir, B+dir);

rr_cartesian_axes(-8,8,-5,12,complexplane=false,usegrid=true);

draw(maxLine(A,A+dir, -8,8,-5,12)); 
draw(maxLine(B,B+dir, -8,8,-5,12));
draw(A--P, dashed); 
draw(B--A, blue, Arrow(size = 0.3cm)); 
draw(B--P, heavygreen, Arrow(size = 0.3cm)); 
draw(rightanglemark(A, P, P + (P-B), 15)); 

label("$l$", A+dir, SE); 
label("$m$", P+dir, NW); 

dot("$A$", A, SE);
dot("$P$", P, NW);
dot("$B$", B, NW);

[/asy]
Recall that when we project $\mathbf{v}$ onto $\mathbf{u}$, we place the tail of $\mathbf{v}$ onto a line with direction $\mathbf{u}$, then we drop a perpendicular and draw the vector from the tail of $\mathbf{v}$ to the foot of the perpendicular.

Here, we're projecting $\overrightarrow{BA}$, a vector whose tail is on line $m$. And indeed, our picture matches the definition: we drop a perpendicular onto $m$ and then we connect the tail of vector to the foot of the perpendicular. It's easy to see from the picture (and from the parametrization) that one possible direction vector for line $l$ is
\[\mathbf{u} = \begin{pmatrix} 4 \\3 \end{pmatrix}.\]This gives us that
\[\overrightarrow{BP} = \text{The projection of $\overrightarrow{BA}$ onto } \mathbf{u} = \begin{pmatrix} 4 \\3 \end{pmatrix}.\]However, we want an answer whose components add to $-7$. That means we need to take a different direction vector for our line. Since all direction vectors are scalar multiples of $\mathbf{u}$, it's clear that we need to take
\[-\mathbf{u} = \begin{pmatrix}-4 \\ -3 \end{pmatrix}.\]That means our answer is $\begin{pmatrix} -4\\-3 \end{pmatrix}$.
평소처럼 이 선들을 그래프로 그리는 것으로 시작합니다. 쉽게 그래프를 그리는 방법은 몇 개의 점을 그리는 것입니다. 선 $l$에 $t = 0$과 $t = 1$을 연결하여 $(1, 4)$와 $(5, 7)$ 점을 얻겠습니다. 다음은 우리의 선입니다:

[asy]
size(200);
TrigMacros를 가져옵니다;
import olympiad;

//상자에 맞는 최대 선을 제공합니다.
path maxLine(pair A, pair B, real xmin, real xmax, real ymin, real ymax)
{
    경로[] 끝점;
    endpoints = intersectionpoints(A+10(B-A) -- A-10(B-A), (xmin, ymin)--(xmin, ymax)--(xmax, ymax)--(xmax, ymax)--(xmax, ymin)--cycle);
    return endpoints[1]--endpoints[0];
}

pair A= (1,4);
pair B = (-5, 6);

//평행선의 방향 벡터
pair dir = (4,3);

//A에서 다른 선까지의 수직의 높이
쌍 P = foot(A, B-dir, B+dir);

rr_cartesian_axes(-8,8,-5,12,complexplane=false,usegrid=true);

draw(maxLine(A,A+dir, -8,8,-5,12));

label("$l$", A-1.8dir, SE);

dot("$t = 0$", A, SE);
dot("$t = 1$", A + dir, SE);

[/asy]
마찬가지로 $m$ 라인에 $s = 0$ 및 $s = 1$을 연결하여 $(-5, 6)$ 및 $(-1, 9)$ 점을 얻습니다:

[asy]
size(200);
TrigMacros를 가져옵니다;
수입 올림피아드;

//상자에 맞는 최대 선을 제공합니다.
path maxLine(pair A, pair B, real xmin, real xmax, real ymin, real ymax)
{
    경로[] 끝점;
    endpoints = intersectionpoints(A+10(B-A) -- A-10(B-A), (xmin, ymin)--(xmin, ymax)--(xmax, ymax)--(xmax, ymax)--(xmax, ymin)--cycle);
    return endpoints[1]--endpoints[0];
}

pair A = (1,4);
pair B = (-5, 6);


//평행선의 방향 벡터
pair dir = (4,3);

//A에서 다른 선까지의 수직의 높이
쌍 P = foot(A, B-dir, B+dir);

rr_cartesian_axes(-8,8,-5,12,complexplane=false,usegrid=true);

draw(maxLine(A,A+dir, -8,8,-5,12));
draw(maxLine(B,B+dir, -8,8,-5,12));

label("$l$", A+dir, SE);
label("$m$",P+dir, NW);

dot("$s = 0$", B, NW);
dot("$s = 1$", B + dir,NW);

[/asy]
이제 점 $A$와 $B$, 점 $P$에 레이블을 지정하고 벡터를 그립니다:

[asy]
size(200);
TrigMacros를 가져옵니다;
import olympiad;

//상자에 맞는 최대 선을 제공합니다.
path maxLine(pair A, pair B, real xmin, real xmax, real ymin, real ymax)
{
    경로[] 끝점;
    endpoints = intersectionpoints(A+10(B-A) -- A-10(B-A), (xmin, ymin)--(xmin, ymax)--(xmax, ymax)--(xmax, ymax)--(xmax, ymin)--cycle);
    return endpoints[1]--endpoints[0];
}

pair A = (1,4);
pair B= (-5, 6);

//평행선의 방향 벡터
pair dir = (4,3);

//A에서 다른 선까지의 수직의 높이
쌍 P = foot(A, B-dir, B+dir);

rr_cartesian_axes(-8,8,-5,12,complexplane=false,usegrid=true);

draw(maxLine(A,A+dir, -8,8,-5,12));
draw(maxLine(B,B+dir, -8,8,-5,12));
draw(A--P, 점선);
draw(B--A, 파랑, 화살표(크기 = 0.3cm));
draw(B--P, 짙은녹색, 화살표(크기 = 0.3cm));
draw(rightanglemark(A, P, P + (P-B), 15));

label("$l$", A+dir, SE);
label("$m$", P+dir, NW);

dot("$A$", A, SE);
dot("$P$", P, NW);
dot("$B$", B, NW);

[/asy]
수학방정식 $\mathbf{v}$를 $\mathbf{u}$에 투영할 때, $\mathbf{v}$의 꼬리를 방향이 $\mathbf{u}$인 선 위에 놓은 다음 수직을 떨어뜨리고 $\mathbf{v}$의 꼬리에서 수직의 밑으로 벡터를 그린다는 점을 기억하세요.

여기서는 꼬리가 $m$ 선에 있는 벡터인 $\overrightarrow{BA}$를 투영하고 있습니다. 실제로 우리의 그림은 정의와 일치합니다. 수직을 $m$에 떨어뜨린 다음 벡터의 꼬리를 수직의 밑변에 연결합니다. 그림에서 (그리고 매개변수화에서) 선 $l$에 대해 가능한 한 방향 벡터가 다음과 같다는 것을 쉽게 알 수 있습니다.
\[\mathbf{u} = \begin{pmatrix} 4 \\3 \end{pmatrix}.\]이것은 다음을 제공합니다.
\[\overrightarrow{BP} = \text{$\overrightarrow{BA}$를 }에 투영합니다. \mathbf{u} = \begin{pmatrix} 4 \\3 \end{pmatrix}.\]그러나 구성 요소가 $-7$을 더하는 답을 원합니다. 즉, 선에 대해 다른 방향 벡터를 사용해야 합니다. 모든 방향 벡터는 $\mathbf{u}$의 스칼라 배수이므로 다음을 취해야 한다는 것은 분명합니다.
\[-\mathbf{u} = \begin{pmatrix}-4 \\ -3 \end{pmatrix}.\]즉, 우리의 답은 $\begin{pmatrix} -4\\-3 \end{pmatrix}$입니다.