In abstract algebra, a bimodule is an abelian group that is both a left and a right module, such that the left and right multiplications are compatible. Besides appearing naturally in many parts of mathematics, bimodules play a clarifying role, in the sense that many of the relationships between left and right modules become simpler when they are expressed in terms of bimodules.

Definition 
If R and S are two rings, then an R-S-bimodule is an abelian group  such that:
 M is a left R-module and a right S-module.
  For all r in R, s in S and m in M: 

An R-R-bimodule is also known as an R-bimodule.

Examples 
 For positive integers n and m, the set Mn,m(R) of  matrices of real numbers is an R-S-bimodule, where R is the ring Mn(R) of  matrices, and S is the ring Mm(R) of  matrices. Addition and multiplication are carried out using the usual rules of matrix addition and matrix multiplication; the heights and widths of the matrices have been chosen so that multiplication is defined. Note that Mn,m(R) itself is not a ring (unless ), because multiplying an  matrix by another  matrix is not defined. The crucial bimodule property, that , is the statement that multiplication of matrices is associative (which, in the case of a matrix ring, corresponds to associativity).
 Any algebra A over a ring R has the natural structure of an R-bimodule, with left and right multiplication defined by  and  respectively, where  is the canonical embedding of R into A.
 If R is a ring, then R itself can be considered to be an R-R-bimodule by taking the left and right actions to be multiplication—the actions commute by associativity. This can be extended to Rn (the n-fold direct product of R).
 Any two-sided ideal of a ring R is an R-R-bimodule, with the ring multiplication both as the left and as the right multiplication.
 Any module over a commutative ring R has the natural structure of a bimodule.  For example, if M is a left module, we can define multiplication on the right to be the same as multiplication on the left. (However, not all R-bimodules arise this way: other compatible right multiplications may exist.)
 If M is a left R-module, then M is an R-Z-bimodule, where Z is the ring of integers. Similarly, right R-modules may be interpreted as Z-R-bimodules. Any abelian group may be treated as a Z-Z-bimodule.
 If M is a right R-module, then the set  of R-module endomorphisms is a ring with the multiplication given by composition. The endomorphism ring   acts on M by left multiplication defined by . The bimodule property, that , restates that f is  a R-module homomorphism from M to itself. Therefore any right R-module M is an -bimodule. Similarly any left R-module N is an -bimodule.
 If R is a subring of S, then S is an R-R-bimodule. It is also an R-S- and an S-R-bimodule.
 If M is an S-R-bimodule and N is an R-T-bimodule, then  is an S-T-bimodule.

Further notions and facts 
If M and N are R-S-bimodules, then a map  is a bimodule homomorphism if it is both a homomorphism of left R-modules and of right S-modules.

An R-S-bimodule is actually the same thing as a left module over the ring , where  is the opposite ring of S (with the multiplication turned around). Bimodule homomorphisms are the same as homomorphisms of left  modules. Using these facts, many definitions and statements about modules can be immediately translated into definitions and statements about bimodules. For example, the category of all R-S-bimodules is abelian, and the standard isomorphism theorems are valid for bimodules.
 
There are however some new effects in the world of bimodules, especially when it comes to the tensor product: if M is an R-S-bimodule and N is an S-T-bimodule, then the tensor product of M and N (taken over the ring S) is an R-T-bimodule in a natural fashion. This tensor product of bimodules is associative (up to a unique canonical isomorphism), and one can hence construct a category whose objects are the rings and whose morphisms are the bimodules. This is in fact a 2-category, in a canonical way—2 morphisms between R-S-bimodules M and N are exactly bimodule homomorphisms, i.e. functions

 

satisfying

   
 ,

for , , and . One immediately verifies the interchange law for bimodule homomorphisms, i.e.

 

holds whenever either (and hence the other) side of the equation is defined, and where ∘ is the usual composition of homomorphisms. In this interpretation, the category  is exactly the monoidal category of R-R-bimodules with the usual tensor product over R the tensor product of the category. In particular, if R is a commutative ring, every left or right R-module is canonically an R-R-bimodule, which gives a monoidal embedding of the category  into . The case that R is a field K is a motivating example of a symmetric monoidal category, in which case , the category of vector spaces over K, with the usual tensor product  giving the monoidal structure, and with unit K. We also see that a monoid in  is exactly an R-algebra. See (Street 2003).
Furthermore, if M is an R-S-bimodule and L is an T-S-bimodule, then the set  of all S-module homomorphisms from M to L becomes a T-R-module in a natural fashion. These statements extend to the derived functors Ext and Tor.

Profunctors can be seen as a categorical generalization of bimodules.

Note that bimodules are not at all related to bialgebras.

See also 
 profunctor

References 

 
Module theory
환론에서 쌍가군(雙加群, )은 왼쪽 가군과 오른쪽 가군의 구조를 동시에 가지며, 두 구조가 서로 결합 법칙을 만족시키는 대수 구조이다.

정의 
환 와 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, -쌍가군() 은 다음과 같은 데이터로 주어진다.
 아벨 군 
  위의 -왼쪽 가군 구조 
  위의 -오른쪽 가군 구조 
이는 다음과 같은 호환 조건을 만족시켜야 한다.
 모든 , , 에 대하여, 

보다 일반적으로, 가환환 와 -단위 결합 대수 와 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, -쌍가군 은 다음과 같은 데이터로 주어진다.
 아벨 군 
  위의 -왼쪽 가군 구조 
  위의 -오른쪽 가군 구조 
이는 다음과 같은 호환 조건을 만족시켜야 한다.
 모든 , , 에 대하여, 
 모든 에 대하여, 
-쌍가군은 일 때 -쌍가군의 개념과 같다.

두 -쌍가군 ,  사이의 쌍가군 준동형() 은 다음 조건들을 만족시키는 아벨 군 준동형이다.
 는 -왼쪽 가군의 가군 준동형을 이룬다. 즉, 이다.
 는 -오른쪽 가군의 가군 준동형을 이룬다. 즉, 이다.

성질

가군과의 관계 
다음 네 개념들이 서로 동치이다.
 -쌍가군
 -쌍가군
 -왼쪽 가군
 -오른쪽 가군
(여기서 는 반대환을 뜻한다.)

다음 세 개념들이 서로 동치이다.
 아벨 군
 -가군
 -쌍가군

환 에 대하여, 다음 네 개념들이 서로 동치이다.
 -왼쪽 가군
 -오른쪽 가군
 -쌍가군
 -쌍가군

환 에 대하여, 다음 네 개념들이 서로 동치이다.
 -오른쪽 가군
 -왼쪽 가군
 -쌍가군
 -쌍가군

가환환 에 대하여, 다음 네 개념들이 서로 동치이다.
 -가군
 -쌍가군
 -쌍가군
 -쌍가군

또한, 위 개념들에 대한 준동형들 또한 서로 동치이다. 예를 들어, -쌍가군 준동형은 -왼쪽 가군의 가군 준동형과 같은 개념이다.

즉, 쌍가군의 개념은 가군의 개념의 특수한 경우로 생각할 수 있으며, 반대로 가군의 개념을 쌍가군의 개념의 특수한 경우로 생각할 수 있다.

가환환 에 대하여, 모든 -가군 (즉, -쌍가군)은 망각을 통하여 -쌍가군을 이루지만, 일반적으로 -쌍가군이 아닌 -쌍가군이 존재한다.

텐서곱 가군과 준동형 가군 
-쌍가군  및 -쌍가군 이 주어졌을 때, 텐서곱

은 자연스럽게 -쌍가군을 이룬다. 이는 쌍가군 범주의 가법 함자

를 정의한다.

또한, -쌍가군  및 -쌍가군 가 주어졌을 때, 왼쪽 가군 준동형군

은

를 통해 -쌍가군을 이룬다. 이는 쌍가군 범주의 가법 함자

를 정의한다. 반대로, 오른쪽 가군 준동형을 사용한다면 -쌍가군  및 -쌍가군 가 주어졌을 때, 준동형군

은

를 통해 쌍가군을 이루며, 쌍가군 범주의 가법 함자

를 정의한다.

이는 다음과 같이 수반 함자를 이룬다.

특히,  또는  또는 를 놓으면 각종 가군 범주 위의 다음과 같은 가법 함자들을 얻는다.

쌍가군의 2-범주 
임의의 가환환 와 -단위 결합 대수 , 에 대하여, -쌍가군을 대상으로 하고, -쌍가군 준동형을 사상으로 하는 범주 가 존재한다. 인 경우 이는 단순히 로 표기한다.

보다 일반적으로, 가환환 에 대하여 다음과 같은 2-범주 가 존재한다.
 의 대상은 -단위 결합 대수이다. (즉, 의 대상과 같다.)
 에서, 단위 결합 대수 ,  사이의 1-사상은 -쌍가군 이다. 의 정의역은 , 공역은 이다.
 두 쌍가군 , 의 합성은 쌍가군의 텐서곱 이다.
 환  위의 항등 사상은 이다.
 같은 정의역과 공역을 갖는 두 1-사상 ,  사이의 2-사상은 -쌍가군 준동형이다. 즉, 범주로서 이다.

예

아이디얼 
환 의 왼쪽 아이디얼은 -왼쪽 가군을 이루며, 오른쪽 아이디얼은 -오른쪽 가군을 이룬다. 의 양쪽 아이디얼 은 -쌍가군을 이룬다.

특히,  전체는 의 양쪽 아이디얼이며, 따라서 -쌍가군을 이룬다.

보다 일반적으로, 가환환  위의 단위 결합 대수 가 주어졌을 때, -가군을 이루는 -양쪽 아이디얼 는 -쌍가군을 이룬다. 특히,  전체는 -쌍가군을 이룬다.

부분환 
-쌍가군  및 의 부분환 와 의 부분환 가 주어졌을 때, 은 망각을 통해 자연스럽게 -쌍가군을 이룬다.

특히, 환 의 부분환 가 주어졌을 때, 쌍가군 에 망각을 가하여 쌍가군  및  및 를 정의할 수 있다.

가군의 자기 사상 
환  위의 오른쪽 가군 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 는 가법 범주이므로 의 자기 사상 집합 는 환을 이룬다. 이 자기 사상환은  의 왼쪽에 자연스럽게 작용하며, 따라서 는 -쌍가군을 이룬다.

마찬가지로,  위의 왼쪽 가군 은 자연스럽게 -쌍가군을 이룬다.

이 구성은 모리타 동치의 정의에 등장한다.

행렬 쌍가군 
환  위의  행렬로 구성된 아벨 군 을 생각하자. 만약 이라면 (즉, 정사각 행렬이라면) 는 환을 이룬다.

행렬의 곱셈은 자연스러운 -쌍선형 함수

를 이룬다. 이에 따라, 는 자연스럽게 -쌍가군을 이룬다.

물론, 는 (대각 행렬로서) 의 부분환을 이룬다. 이에 따라, 는 -쌍가군을 이룬다. 이 경우, 는 단순히 자유 가군 으로 생각할 수 있다.

응용 
쌍가군에 대하여, 호흐실트 호몰로지와 호흐실트 코호몰로지를 정의할 수 있다.

쌍가군의 개념은 모리타 동치 및 모리타 쌍대성을 정의할 때 쓰인다.

외부 링크 
 
 
 

가군론