So let's find out what $A^2$ is. Ok. So $A^2 = \left(\frac{1}{5} \begin{pmatrix} -3 & a \\ b & c \end{pmatrix}\right) \cdot \left(\frac{1}{5} \begin{pmatrix} -3 & a \\ b & c \end{pmatrix}\right)$. Ok, so the first row of $A$ is $\frac{-3}{5}$ and $\frac{a}{5}$. And the second row is $\frac{b}{5}$ and $\frac{c}{5}$. So let's do the multiplication now. The first entry in the product is $\frac{-3}{5} * \frac{-3}{5} + \frac{a}{5} * \frac{b}{5}$ Simplifying, we get $\frac{9}{25} + \frac{ab}{25}$ Similarly, the second (1,2)-entry of $\mathbf{A}^2$ is $\frac{-3}{5} * \frac{a}{5} + \frac{a}{5} * \frac{c}{5}$. Simplifying, this is $\frac{-3a}{25} + \frac{ac}{25}$. Thus, the first row of $\mathbf{A}^2$ is $\frac{9}{25} + \frac{ab}{25}$ and $\frac{-3a}{25} + \frac{ac}{25}$. Now we need to compute the second row. The (2,1)-entry is $\frac{b}{5} * \frac{-3}{5} + \frac{b}{5} * \frac{c}{5}$. Simplifying, this is $\frac{-3b}{25} + \frac{bc}{25}$. The (2,2)-entry is $\frac{b}{5} * \frac{a}{5} + \frac{c}{5} * \frac{c}{5}$. Simplifying, this is $\frac{ab}{25} + \frac{c^2}{25}$. So the second row of $\mathbf{A}^2$ is $\frac{-3b}{25} + \frac{bc}{25}$ and $\frac{ab}{25} + \frac{c^2}{25}$. Now we know that $\mathbf{A}^2$ is equal to the identity matrix. So the (1,1)-entry of $\mathbf{A}^2$ is 1. That means that $1 = \frac{9}{25} + \frac{ab}{25}$. And if we solve for $ab$, we get $ab = \frac{16}{25}$. Similarly, the (2,2)-entry of $\mathbf{A}^2$ is 1. So we have $\frac{ab}{25} + \frac{c^2}{25} = 1$. And if we substitute $ab = \frac{16}{25}$, we get $\frac{16}{25} + \frac{c^2}{25} = 1$. So we get $c^2 = 9$. And since $c$ is an integer, $c$ must be equal to 3 or $-3$. Now let's find $a$ and $b$. We know that $ab = \frac{16}{25}$. So if $c = 3$, we have $ab = \frac{16}{25}$ and $c = 3$. And if $c = -3$, we have $ab = \frac{16}{25}$ and $c = -3$. So we have two cases. Right, we have $\frac{-3a}{25} + \frac{ac}{25} = 0$ So we have $-3a + ac = 0$. And plugging in $c = 3$, we get $-3a + 3a = 0$, which is true for all $a$. So $a$ can be any integer such that $ab = 16$. So we can have $(a,b) = (16,1)$, $(8,2)$, $(4,4)$, $(2,8)$, or $(1,16)$. So the largest possible value of $a+b+c$ is $16+1+3 = 20$. Do we need to check the other case? No, since $a+b+c$ is always positive, $20$ is the largest possible value.


이제 $A^2$가 무엇인지 알아봅시다. 따라서 $A^2 = \left(\frac{1}{5} \begin{pmatrix} -3 & a \\ b & c \end{pmatrix}\right) \cdot \left(\frac{1}{5} \begin{pmatrix} -3 & a \\ b & c \end{pmatrix}\right)$이 됩니다. 자, $A$의 첫 번째 행은 $\frac{-3}{5}$와 $\frac{a}{5}$입니다. 그리고 두 번째 행은 $\frac{b}{5}$와 $\frac{c}{5}$입니다. 이제 곱셈을 해봅시다. 곱셈의 첫 번째 항목은 $\frac{-3}{5}입니다. * \frac{-3}{5} + \frac{a}{5} * \frac{b}{5}$ 단순화하면, $\frac{9}{25} + \frac{ab}{25}$ 마찬가지로, $\mathbf{A}^2$의 두 번째 (1,2)번째 항목은 $\frac{-3}{5}입니다. * \frac{a}{5} + \frac{a}{5} * \frac{c}{5}$입니다. 단순화하면 $\frac{-3a}{25}$입니다. + \frac{ac}{25}$입니다. 따라서 $\mathbf{A}^2$의 첫 번째 행은 $\frac{9}{25} + \frac{ab}{25}$ 및 $\frac{-3a}{25} + \frac{ac}{25}$입니다. 이제 두 번째 행을 계산해야 합니다. (2,1)의 입력은 $\frac{b}{5} * \frac{-3}{5} + \frac{b}{5} * \frac{c}{5}$입니다. 단순화하면 $\frac{-3b}{25}$입니다. + \frac{bc}{25}$입니다. (2,2)-입력은 $\frac{b}{5} * \frac{a}{5} + \frac{c}{5} * \frac{c}{5}$입니다. 단순화하면 $\frac{ab}{25} + \frac{c^2}{25}$입니다. 따라서 $\mathbf{A}^2$의 두 번째 행은 $\frac{-3b}{25} + \frac{bc}{25}$ 및 $\frac{ab}{25} + \frac{c^2}{25}$입니다. 이제 $\mathbf{A}^2$는 행렬식 행렬과 같다는 것을 알 수 있습니다. 따라서 $\mathbf{A}^2$의 (1,1)-항은 1입니다. 즉, $1 = \frac{9}{25} + \frac{ab}{25}$입니다. 그리고 $ab$를 풀면 $ab = \frac{16}{25}$가 됩니다. 마찬가지로 $\mathbf{A}^2$의 (2,2)-항은 1입니다. 따라서 $\frac{ab}{25} + \frac{c^2}{25} = 1$입니다. 그리고 $ab = \frac{16}{25}$로 대입하면 $\frac{16}{25} + \frac{c^2}{25} = 1$이 됩니다. 따라서 $c^2 = 9$가 됩니다. 그리고 $c$는 정수이므로 $c$는 3 또는 $-3$과 같아야 합니다. 이제 $a$와 $b$를 구해봅시다. 우리는 $ab = \frac{16}{25}$라는 것을 알고 있습니다. 따라서 $c = 3$이면 $ab = \frac{16}{25}$, $c = 3$이 됩니다. 그리고 $c = -3$이면 $ab = \frac{16}{25}$, $c = -3$이 됩니다. 따라서 두 가지 경우가 있습니다. 자, 우리는 $\frac{-3a}{25} + \frac{ac}{25} = 0$ 이므로 $-3a + ac = 0$ 이 됩니다. 그리고 $c = 3$을 대입하면 $-3a + 3a = 0$이 되며, 이는 모든 $a$에 대해 참입니다. 따라서 $a$는 $ab = 16$이 되는 모든 정수가 될 수 있습니다. 따라서 $(a,b) = (16,1)$, $(8,2)$, $(4,4)$, $(2,8)$ 또는 $(1,16)$을 가질 수 있습니다. 따라서 $a+b+c$의 가능한 최대값은 $16+1+3 = 20$입니다. 다른 경우도 확인해야 할까요? 아니요, $a+b+c$는 항상 양수이므로 $20$이 가능한 가장 큰 값입니다.

