Let's start by applying the conditions to the given equations to find the coefficients.

1) f(-1) = g(2)
Using f(x) = x^4 - 5x^3 + ax^2 + bx + c, we get:
f(-1) = (-1)^4 - 5(-1)^3 + a(-1)^2 + b(-1) + c
f(-1) = 1 + 5 + a - b + c
f(-1) = a - b + c + 6

Using g(x) = -2x^5 + 7x^4 - 3x^3 - x^2 + dx + e, we get:
g(2) = -2(2)^5 + 7(2)^4 - 3(2)^3 - (2)^2 + d(2) + e
g(2) = -2(32) + 7(16) - 3(8) - 4 + 2d + e
g(2) = -64 + 112 - 24 - 4 + 2d + e
g(2) = 2d + e + 20

Setting f(-1) equal to g(2), we get:
a - b + c + 6 = 2d + e + 20
a - b + c - 2d - e = 14  (Equation 1)

2) g(-1) = h(2)
Using g(x) again, we get:
g(-1) = -2(-1)^5 + 7(-1)^4 - 3(-1)^3 - (-1)^2 + d(-1) + e
g(-1) = 2 + 7 + 3 - 1 - d + e
g(-1) = e - d + 11

Using h(x) = x^6 + 2x^5 - 4x^4 + 3x^3 - 2x^2 + fx + g, we get:
h(2) = (2)^6 + 2(2)^5 - 4(2)^4 + 3(2)^3 - 2(2)^2 + f(2) + g
h(2) = 64 + 2(32) - 4(16) + 3(8) - 2(4) + 2f + g
h(2) = 64 + 64 - 64 + 24 - 8 + 2f + g
h(2) = 2f + g + 80

Setting g(-1) equal to h(2), we get:
e - d + 11 = 2f + g + 80
e - d - 2f - g = 69  (Equation 2)

3) h(-2) = f(1)
Using h(x) again, we get:
h(-2) = (-2)^6 + 2(-2)^5 - 4(-2)^4 + 3(-2)^3 - 2(-2)^2 + f(-2) + g
h(-2) = 64 - 2(32) - 4(16) + 3(-8) - 2(4) - 2f + g
h(-2) = 64 - 64 - 64 - 24 - 8 - 2f + g
h(-2) = g - 2f - 96

Using f(x) again, we get:
f(1) = (1)^4 - 5(1)^3 + a(1)^2 + b(1) + c
f(1) = 1 - 5 + a + b + c
f(1) = a + b + c - 4

Setting h(-2) equal to f(1), we get:
g - 2f - 96 = a + b + c - 4
a + b + c - g + 2f = 92  (Equation 3)

Now we have three equations with seven unknowns, which means we have an underdetermined system. Without additional information or constraints, we cannot find unique values for the coefficients a, b, c, d, e, f, and g. We would need more conditions to solve for the specific values of these coefficients.
주어진 방정식에 조건을 적용하여 계수를 찾는 것부터 시작하겠습니다.

1) f(-1) = g(2)
f(x) = x^4 - 5x^3 + ax^2 + bx + c를 사용하여 다음과 같이 구합니다:
f(-1) = (-1)^4 - 5(-1)^3 + a(-1)^2 + b(-1) + c
f(-1) = 1 + 5 + a - b + c
f(-1) = a - b + c + 6

g(x) = -2x^5 + 7x^4 - 3x^3 - x^2 + dx + e를 사용하면 다음과 같이 구할 수 있습니다:
g(2) = -2(2)^5 + 7(2)^4 - 3(2)^3 - (2)^2 + d(2) + e
g(2) = -2(32) + 7(16) - 3(8) - 4 + 2d + e
g(2) = -64 + 112 - 24 - 4 + 2d + e
g(2) = 2d + e + 20

f(-1)을 g(2)와 같게 설정하면 다음과 같습니다:
a - b + c + 6 = 2d + e + 20
a - b + c - 2d - e = 14 (방정식 1)

2) g(-1) = h(2)
g(x)를 다시 사용하면 다음과 같습니다:
g(-1) = -2(-1)^5 + 7(-1)^4 - 3(-1)^3 - (-1)^2 + d(-1) + e
g(-1) = 2 + 7 + 3 - 1 - d + e
g(-1) = e - d + 11

h(x) = x^6 + 2x^5 - 4x^4 + 3x^3 - 2x^2 + fx + g를 사용하면 다음과 같습니다:
h(2) = (2)^6 + 2(2)^5 - 4(2)^4 + 3(2)^3 - 2(2)^2 + f(2) + g
h(2) = 64 + 2(32) - 4(16) + 3(8) - 2(4) + 2f + g
h(2) = 64 + 64 - 64 + 24 - 8 + 2f + g
h(2) = 2f + g + 80

g(-1)을 h(2)와 같게 설정하면 다음과 같습니다:
e - d + 11 = 2f + g + 80
e - d - 2f - g = 69 (방정식 2)

3) h(-2) = f(1)
h(x)를 다시 사용하면 다음과 같습니다:
h(-2) = (-2)^6 + 2(-2)^5 - 4(-2)^4 + 3(-2)^3 - 2(-2)^2 + f(-2) + g
h(-2) = 64 - 2(32) - 4(16) + 3(-8) - 2(4) - 2f + g
h(-2) = 64 - 64 - 64 - 24 - 8 - 2f + g
h(-2) = g - 2f - 96

f(x)를 다시 사용하면 다음과 같습니다:
f(1) = (1)^4 - 5(1)^3 + a(1)^2 + b(1) + c
f(1) = 1 - 5 + a + b + c
f(1) = a + b + c - 4

h(-2)를 f(1)와 같게 설정하면 다음과 같습니다:
g - 2f - 96 = a + b + c - 4
a + b + c - g + 2f = 92 (방정식 3)

이제 7개의 미지수가 있는 세 개의 방정식이 생겼으므로 미결정 시스템이 되었습니다. 추가 정보나 제약 조건이 없으면 계수 a, b, c, d, e, f, g의 고유 값을 찾을 수 없습니다. 이러한 계수의 특정 값을 풀려면 더 많은 조건이 필요합니다.