The Born rule (also called Born's rule) is a postulate of quantum mechanics which gives the probability that a measurement of a quantum system will yield a given result. In its simplest form, it states that the probability density of finding a system in a given state, when measured, is proportional to the square of the amplitude of the system's wavefunction at that state. It was formulated and published by German physicist Max Born in July, 1926.

Details 
The Born rule states that if an observable corresponding to a self-adjoint operator  with discrete spectrum is measured in a system with normalized wave function  (see Bra–ket notation), then:
 the measured result will be one of the eigenvalues  of , and
 the probability of measuring a given eigenvalue  will equal , where  is the projection onto the eigenspace of  corresponding to .
 (In the case where the eigenspace of  corresponding to  is one-dimensional and spanned by the normalized eigenvector ,  is equal to , so the probability  is equal to . Since the complex number  is known as the probability amplitude that the state vector  assigns to the eigenvector , it is common to describe the Born rule as saying that probability is equal to the amplitude-squared (really the amplitude times its own complex conjugate). Equivalently, the probability can be written as .)

In the case where the spectrum of  is not wholly discrete, the spectral theorem proves the existence of a certain projection-valued measure , the spectral measure of . In this case:
 the probability that the result of the measurement lies in a measurable set  is given by .

A wave function  for a single structureless particle in space position  implies that the probability density function  for a measurement of the particles's position at time  is:

 

In some applications, this treatment of the Born rule is generalized using positive-operator-valued measures. A POVM is a measure whose values are positive semi-definite operators on a Hilbert space. POVMs are a generalisation of von Neumann measurements and, correspondingly, quantum measurements described by POVMs are a generalisation of quantum measurement described by self-adjoint observables. In rough analogy, a POVM is to a PVM what a mixed state is to a pure state. Mixed states are needed to specify the state of a subsystem of a larger system (see purification of quantum state); analogously, POVMs are necessary to describe the effect on a subsystem of a projective measurement performed on a larger system. POVMs are the most general kind of measurement in quantum mechanics and can also be used in quantum field theory. They are extensively used in the field of quantum information.

In the simplest case, of a POVM with a finite number of elements acting on a finite-dimensional Hilbert space, a POVM is a set of positive semi-definite matrices  on a Hilbert space  that sum to the identity matrix,:

 

The POVM element  is associated with the measurement outcome , such that the probability of obtaining it when making a measurement on the quantum state  is given by:

 

where  is the trace operator. This is the POVM version of the Born rule. When the quantum state being measured is a pure state  this formula reduces to:

 

The Born rule, together with the unitarity of the time evolution operator  (or, equivalently, the Hamiltonian  being Hermitian), implies the unitarity of the theory, which is considered required for consistency. For example, unitarity ensures that the probabilities of all possible outcomes sum to 1 (though it is not the only option to get this particular requirement).

History 

The Born rule was formulated by Born in a 1926 paper. In this paper, Born solves the Schrödinger equation for a scattering problem and, inspired by Albert Einstein and Einstein’s probabilistic rule for the photoelectric effect, concludes, in a footnote, that the Born rule gives the only possible interpretation of the solution.  (The footnote corrects the main body of the article, which incorrectly states that the probability is proportional to the modulus of the amplitude of the wavefunction, rather than the modulus squared.)  In 1954, together with Walther Bothe, Born was awarded the Nobel Prize in Physics for this and other work. John von Neumann discussed the application of spectral theory to Born's rule in his 1932 book.

Derivation from more basic principles
Gleason's theorem shows that the Born rule can be derived from the usual mathematical representation of measurements in quantum physics together with the assumption of non-contextuality. Andrew M. Gleason first proved the theorem in 1957, prompted by a question posed by George W. Mackey. This theorem was historically significant for the role it played in showing that wide classes of hidden-variable theories are inconsistent with quantum physics.

Several other researchers have also tried to derive the Born rule from more basic principles.  A number of derivations have been proposed in the context of the many-worlds interpretation. These include the decision-theory approach pioneered by David Deutsch and later developed by Hilary Greaves and David Wallace; and an "envariance" approach by Wojciech H. Zurek; These proofs have, however, been criticized as circular. In 2018, an approach based on self-locating uncertainty has been suggested by Charles Sebens and Sean M. Carroll. In 2019, Lluís Masanes, Thomas Galley, and Markus Müller proposed a derivation based on no faster-than-light signalling and the possibility of state estimation. Simon Saunders, in 2021, produced a branch counting derivation of the Born rule. The crucial feature of this approach is to define the branches so that they all have the same magnitude or 2-norm. The ratios of the numbers of branches thus defined give the probabilities of the various outcomes of a measurement, in accordance with the Born rule.

It has also been claimed that pilot-wave theory can be used to statistically derive the Born rule, though this remains controversial.

Within the QBist interpretation of quantum theory, the Born rule is seen as an extension of the normative principle of coherence, which ensures self-consistency of probability assessments across a whole set of such assessments. It can be shown that an agent who thinks they are gambling on the outcomes of measurements on a sufficiently quantum-like system but refuses to use the Born rule when placing their bets is vulnerable to a Dutch book.

References

External links

Quantum Mechanics Not in Jeopardy: Physicists Confirm a Decades-Old Key Principle Experimentally ScienceDaily (July 23, 2010)

Quantum measurement
Max Born
보른 규칙은 양자 시스템 의 측정이 주어진 결과를 산출할 확률을 제공하는 양자 역학 핵심 가정이다. 가장 간단한 형태로, 주어진 지점에서 입자를 찾을 확률 밀도가 측정될 때 그 지점에서 입자의 파동 함수 크기의 제곱에 비례한다고 말한다. 1926년 독일 물리학자 막스 보른이 공식화했다. 확률은 다음과 같이 쓸 수 있다.

세부 
보른 규칙은 관찰 가능량이 자체 연결 연산자에 해당하는 경우  이산 스펙트럼 은 정규화된 파동 함수가 있는 시스템에서 측정된다.  ( 브라-켓 표기법 참조), 그러면

 측정된 결과는 고유값 중 하나가 된다.  의 , 그리고
 주어진 고유값을 측정할 확률  같을 것이다 , 어디  의 고유 공간에 대한 투영이다.  에 해당하는  .(고유공간의 경우  에 해당하는  1차원이고 정규화된 고유 벡터에 걸쳐 있다. ,  와 동등하다 , 그래서 확률  와 동등하다  . 복소수부터  상태 벡터가 다음 과 같은 확률 진폭으로 알려져 있다.  고유 벡터에 할당 , 확률이 진폭의 제곱(실제로 진폭 곱하기 자체 복소수 켤레 )과 같다고 말하는 것으로 보른 규칙을 설명하는 것이 일반적이다. 동등하게 확률은 다음과 같이 쓸 수 있다.  . )

스펙트럼의 경우  완전히 이산적이지 않은 경우 스펙트럼 정리는 특정 투영 값 측정 의 존재를 증명한다. , 스펙트럼 측정  . 이 경우,

 측정 결과가 측정 가능한 집합에 속할 확률  에 의해 주어진다  .

파동 함수  위치 공간에서 구조가 없는 단일 입자의 경우 확률 밀도 함수는  시간의 위치 측정을 위해  ~이다

 

일부 응용 프로그램에서 이러한 보른 규칙 처리는 양수-연산자 가치 측정을 사용하여 일반화된다. POVM은 값이 힐베르트 공간에서 양의 준정부호 연산자인 측도이다. POVM은 폰 노이만 측정의 일반화이며, 이에 따라 POVM에 의해 설명되는 양자 측정은 자체 인접 관찰 가능 항목에 의해 설명되는 양자 측정의 일반화이다. 대략적으로 비유하자면 POVM은 PVM에 대한 혼합 상태 가 순수 상태인 것과 같다. 혼합 상태는 더 큰 시스템의 하위 시스템 상태를 지정하는 데 필요한다( 양자 상태 정제 참조). 유사하게, POVM은 더 큰 시스템에서 수행되는 투영 측정의 하위 시스템에 대한 영향을 설명하는 데 필요하다. POVM은 양자 역학에서 가장 일반적인 측정 유형이며 양자장 이론에서도 사용할 수 있다. 양자 정보 분야에서 광범위하게 사용된다.

가장 간단한 경우에, 유한 차원 Hilbert 공간에 작용하는 유한 개수의 요소가 있는 POVM 중 POVM은 양 의 반정부호 행렬 세트이다.  힐베르트 공간에서  그 합은 단위 행렬, 

 

POVM 요소  측정 결과와 관련이 있다. , 양자 상태에 대한 측정을 할 때 그것을 얻을 확률  에 의해 주어진다

 

 

시간 진화 연산자 의 단일성과 함께 본 규칙  (해밀턴 는 에르미트(Hermitian)이다.)은 일관성을 위해 필요한 것으로 간주되는 이론 의 단일성을 의미한다. 예를 들어, 단일성은 모든 가능한 결과의 확률이 1이 되도록 보장한다(이 특정 요구 사항을 얻는 유일한 옵션은 아니지만).

역사 
보른 규칙은 보른이 1926년 논문에서 공식화했다. 이 논문에서 보른은 산란 문제에 대한 슈뢰딩거 방정식 을 풀고 알버트 아인슈타인과 광전 효과에 대한 아인슈타인의 확률 규칙 각주에서 보른 규칙이 솔루션에 대한 유일한 가능한 해석을 제공한다고 결론지었다. 1954년에 발터 보테와 함께 보른은 이 연구와 다른 연구로 노벨 물리학상을 수상했다. 존 폰 노이만(John von Neumann)은 1932년 그의 책에서 스펙트럼 이론 을 보른의 법칙에 적용하는 것에 대해 논의했다.

보다 기본적인 원칙에서 파생 
글리슨의 정리는 보른 규칙이 비맥락성 가정과 함께 양자 물리학의 측정에 대한 일반적인 수학적 표현에서 파생될 수 있음을 보여준다. Andrew M. Gleason은 George W. Mackey가 제기한 질문에 의해 촉발된 1957년에 처음으로 정리를 증명했다. 이 정리는 다양한 종류의 숨은 변수 이론 이 양자 물리학과 일치하지 않는다는 것을 보여주는 역할을 했다는 점에서 역사적으로 중요했다.

몇몇 다른 연구자들도 보다 기본적인 원칙에서 본 법칙을 도출하려고 시도했다. 보른 규칙은 다세계 해석에서 파생될 수 있다고 주장되었지만 기존 증명은 순환적이라는 비판을 받았다. 파일럿 파동 이론 이 통계적으로 보른 법칙을 유도하는 데 사용될 수 있다는 주장도 제기되어 왔지만 이것은 여전히 논란의 여지가 있다.

2019년에 Perimeter Institute for Theoretical Physics 의 Lluis Masanes와 Thomas Galley , 그리고 Institute for Quantum Optics and Quantum Information 의 Markus Müller는 보른 규칙의 파생물을 발표했다. 그들의 결과는 Gleason의 정리와 동일한 초기 가정을 사용하지 않지만 Hilbert-space 구조와 컨텍스트 독립 유형을 가정한다.

양자 이론의 양자 베이즈주의적 해석 내에서, 보른 규칙은 관련된 물리적 시스템 Hilbert 공간 차원을 고려하는 전체 확률의 표준 법칙의 수정으로 간주된다. 양자역학에 대한 많은 해석이 그러하듯이 보른 규칙을 도출하려고 하기보다는 큐비스트는 보른 규칙의 공식화를 원시적으로 취하고 가능한 한 많은 양자 이론을 도출하는 것을 목표로 한다.

참고 문헌 

양자 측정