In mathematics, more specifically in ring theory, a maximal ideal is an ideal that is maximal (with respect to set inclusion) amongst all proper ideals. In other words, I is a maximal ideal of a ring R if there are no other ideals contained between I and R.

Maximal ideals are important because the quotients of rings by maximal ideals are simple rings, and in the special case of unital commutative rings they are also fields.

In noncommutative ring theory, a maximal right ideal is defined analogously as being a maximal element in the poset of proper right ideals, and similarly, a maximal left ideal is defined to be a maximal element of the poset of proper left ideals.  Since a one-sided maximal ideal A is not necessarily two-sided, the quotient R/A is not necessarily a ring, but it is a simple module over R.  If R has a unique maximal right ideal, then R is known as a local ring, and the maximal right ideal is also the unique maximal left and unique maximal two-sided ideal of the ring, and is in fact the Jacobson radical J(R).

It is possible for a ring to have a unique maximal two-sided ideal and yet lack unique maximal one-sided ideals: for example, in the ring of 2 by 2 square matrices over a field, the zero ideal is a maximal two-sided ideal, but there are many maximal right ideals.

Definition
There are other equivalent ways of expressing the definition of maximal one-sided and maximal two-sided ideals. Given a ring R and a proper ideal I of R (that is I ≠ R), I is a maximal ideal of R if any of the following equivalent conditions hold:
 There exists no other proper ideal J of R so that I ⊊ J.
 For any ideal J with I ⊆ J, either J = I or J = R.
 The quotient ring R/I is a simple ring.
There is an analogous list for one-sided ideals, for which only the right-hand versions will be given. For a right ideal A of a ring R, the following conditions are equivalent to A being a maximal right ideal of R:
 There exists no other proper right ideal B of R so that A ⊊ B.
 For any right ideal B with A ⊆ B, either B = A or B = R.
 The quotient module R/A is a simple right R-module.

Maximal right/left/two-sided ideals are the dual notion to that of minimal ideals.

Examples
 If F is a field, then the only maximal ideal is {0}.
 In the ring Z of integers, the maximal ideals are the principal ideals generated by a prime number.
 More generally, all nonzero prime ideals are maximal in a principal ideal domain.
 The ideal  is a maximal ideal in ring . Generally, the maximal ideals of  are of the form  where  is a prime number and  is a polynomial in  which is irreducible modulo .
 Every prime ideal is a maximal ideal in a Boolean ring, i.e., a ring consisting of only idempotent elements. In fact, every prime ideal is maximal in a commutative ring  whenever there exists an integer  such that  for any .
 The maximal ideals of the polynomial ring  are principal ideals generated by  for some .
 More generally, the maximal ideals of the polynomial ring  over an algebraically closed field K are the ideals of the form . This result is known as the weak Nullstellensatz.

Properties
 An important ideal of the ring called the Jacobson radical can be defined using maximal right (or maximal left) ideals.
 If R is a unital commutative ring with an ideal m, then k = R/m is a field if and only if m is a maximal ideal.  In that case, R/m is known as the residue field. This fact can fail in non-unital rings. For example,  is a maximal ideal in , but  is not a field.
 If L is a maximal left ideal, then R/L is a simple left R-module.  Conversely in rings with unity, any simple left R-module arises this way.  Incidentally this shows that a collection of representatives of simple left R-modules is actually a set since it can be put into correspondence with part of the set of maximal left ideals of R.
 Krull's theorem (1929): Every nonzero unital ring has a maximal ideal.  The result is also true if "ideal" is replaced with "right ideal" or "left ideal".  More generally, it is true that every nonzero finitely generated module has a maximal submodule.   Suppose I is an ideal which is not R (respectively, A is a right ideal which is not R). Then R/I is a ring with unity (respectively, R/A is a finitely generated module), and so the above theorems can be applied to the quotient to conclude that there is a maximal ideal (respectively, maximal right ideal) of R containing I (respectively, A).
 Krull's theorem can fail for rings without unity. A radical ring, i.e. a ring in which the Jacobson radical is the entire ring, has no simple modules and hence has no maximal right or left ideals. See regular ideals for possible ways to circumvent this problem.
 In a commutative ring with unity, every maximal ideal is a prime ideal. The converse is not always true: for example, in any nonfield integral domain the zero ideal is a prime ideal which is not maximal.  Commutative rings in which prime ideals are maximal are known as zero-dimensional rings, where the dimension used is the Krull dimension. 
 A maximal ideal of a noncommutative ring might not be prime in the commutative sense. For example, let  be the ring of all  matrices over . This ring has a maximal ideal  for any prime , but this is not a prime ideal since (in the case ) and  are not in , but . However, maximal ideals of noncommutative rings are prime in the generalized sense below.

Generalization
For an R-module A, a maximal submodule M of A is a submodule  satisfying the property that for any other submodule N,  implies  or . Equivalently, M is a maximal submodule if and only if the quotient module A/M is a simple module. The maximal right ideals of a ring R are exactly the maximal submodules of the module RR.

Unlike rings with unity, a nonzero module does not necessarily have maximal submodules. However, as noted above, finitely generated nonzero modules have maximal submodules, and also projective modules have maximal submodules.

As with rings, one can define the radical of a module using maximal submodules. Furthermore, maximal ideals can be generalized by defining a maximal sub-bimodule M of a bimodule B to be a proper sub-bimodule of M which is contained in no other proper sub-bimodule of M. The maximal ideals of R are then exactly the maximal sub-bimodules of the bimodule RRR.

See also
Prime ideal

References

Ideals (ring theory)
Ring theory
Prime ideals
환론에서 극대 아이디얼(極大ideal, )은 환 전체가 아닌 아이디얼들의 극대 원소이다.

정의

극대 부분 가군 
환  위의 왼쪽 가군 의 부분 가군 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 부분 가군을 극대 부분 가군(極大部分加群, )이라고 한다.
 이며, 의 임의의 부분 가군 에 대하여, 만약 이라면 이거나 이다. 즉, 은 부분 순서 집합 의 극대 원소이다. (여기서 은 의 진부분 가군들의 포함 관계에 대한 부분 순서 집합이다.)
 몫가군 은 단순 가군이다. (이 정의에서, 영가군은 단순 가군이 아니다.)
마찬가지로, 오른쪽 가군의 부분 가군에 대해서도 극대 부분 가군의 개념을 정의할 수 있다. 가군 의 극대 부분 가군들의 집합을 이라고 표기하자.

주어진 가군에서, 모든 극대 부분 가군들의 교집합을 그 근기라고 한다.

극대 아이디얼 
환 가 주어졌을 때, 1차 자유 왼쪽 가군 의 부분 가군은 왼쪽 아이디얼이며, 의 극대 부분 가군을 극대 왼쪽 아이디얼()이라고 한다. 즉, 왼쪽 아이디얼 이 극대 왼쪽 아이디얼이라는 것은, 만약 의 임의의 왼쪽 아이디얼 에 대하여, 만약 라면 이거나 이라는 것이다. 마찬가지로 극대 오른쪽 아이디얼()은 1차 자유 오른쪽 가군 의 극대 부분 가군이다.

극대 왼쪽 아이디얼 또는 극대 오른쪽 아이디얼이 유일하게 존재하는 환을 국소환이라 한다.

가환환 의 아이디얼 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이러한 아이디얼을 극대 아이디얼이라고 한다.
 극대 왼쪽 아이디얼이다.
 극대 오른쪽 아이디얼이다.
 은 체이다.
 환의 스펙트럼 의 자리스키 위상에서, 은 닫힌 집합이다.
즉, 는 닫힌 점들로 구성된 부분 공간이다. 극대 아이디얼에 대한 몫환으로 얻어지는 체를 잉여류체라고 한다. 단, 비가환환의 경우 극대 아이디얼에 대한 몫환은 나눗셈환이 아닐 수 있다.

성질 
가환환의 아이디얼에 대하여, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
아이디얼 ⊇ 반소 아이디얼  ∪  으뜸 아이디얼 ⊇ 반소 아이디얼 ∩ 으뜸 아이디얼 = 소 아이디얼 ⊇ 극대 아이디얼
특히, 모든 극대 아이디얼은 소 아이디얼이다. 주 아이디얼 정역에서는 영 아이디얼이 아닌 모든 소 주 아이디얼은 극대 아이디얼이다.

존재 
크룰 정리()에 따르면, 환  위의, 영가군이 아닌 유한 생성 왼쪽 가군 은 항상 적어도 하나 이상의 극대 부분 가군을 갖는다. 즉, 은 공집합이 아니다.
증명:
초른 보조정리를 사용하자. 그렇다면, 공집합이 아닌 임의의 전순서 집합 에 대하여,

를 정의하였을 때, 다음 두 명제를 증명하면 족하다.
 는 -부분 가군이다. 즉, 덧셈에 대하여 닫혀 있다.
 증명: 임의의 가 주어졌다고 하자. 그렇다면,  및 이 되는 를 찾을 수 있다. 그렇다면 이므로 이다.
 이다.
 증명: 이 유한 생성 왼쪽 가군이므로, 이 되는 을 찾을 수 있다. 귀류법을 사용하자. 만약 이라면, 가 되는 를 찾을 수 있는데, 이 경우 이 되며, 이는 모순이다.
또한, 환  위의, 영가군이 아닌 사영 왼쪽 가군 은 항상 적어도 하나 이상의 극대 부분 가군을 갖는다. 보다 일반적으로, 사영 덮개를 갖는 왼쪽 가군은 항상 적어도 하나 이상의 극대 부분 가군을 갖는다. (이는 왼쪽 가군 은 그 사영 덮개 의 잉여적 부분 가군 에 대한 몫가군 이며, 모든 잉여적 부분 가군은 항상 모든 극대 부분 가군에 포함되기 때문이다.)

특히, 자유 왼쪽 가군 는 사영 왼쪽 가군이자 유한 생성 왼쪽 가군이며, 가 자명환이 아니라면 영가군이 아니다. 따라서, 는 항상 하나 아싱의 극대 왼쪽 아이디얼을 갖는다.

(위 정리들은 오른쪽 가군/아이디얼에 대해서도 물론 성립한다.)

크룰 정리는 유한 생성 가군이 아닌 가군에 대하여 실패할 수 있다.

환 의 모든 왼쪽 가군 이 하나 이상의 극대 부분 가군을 가질 충분조건들은 다음을 들 수 있다.
 모든 단순 왼쪽 가군의 단사 껍질은 뇌터 가군이다.
 의 모든 왼쪽 가군은 사영 덮개를 갖는다. (특히, 왼쪽 아르틴 환에 대하여 이 조건이 성립한다.)

예 
정수환 의 극대 아이디얼들은 소수 에 대한 주 아이디얼 이다.

체의 극대 아이디얼은 영 아이디얼 밖에 없다.

힐베르트 영점 정리에 따르면, 대수적으로 닫힌 체  위의 유한 차원 다항식환 의 극대 아이디얼은 다음과 같은 꼴의 아이디얼이다.

극대 부분 가군을 갖지 않는 가군 
정수환  위의 가군  (유리수의 덧셈 아벨 군)을 생각하자. 그렇다면, 이는 극대 부분 가군을 갖지 않는다.

역사 
크룰 정리는 볼프강 크룰이 1929년에 초한 귀납법을 사용하여 증명하였다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

아이디얼
가군론