Setting $m = n,$ we get
\[f(nf(n)) = nf(n).\]Thus, $nf(n)$ is a fixed point for all positive integers $n.$  (In other words, $x = nf(n)$ satisfies $f(x) = x.$)

Setting $m = 1,$ we get
\[f(f(n)) = nf(1).\]If $n$ is a fixed point (which we know exists), then $n = nf(1),$ so $f(1) = 1.$  Hence,
\[f(f(n)) = n\]for all positive integer $n.$  This equation tells us that the function $f$ is surjective.

Furthermore, if $f(a) = f(b),$ then
\[f(f(a)) = f(f(b)),\]so $a = b.$  Therefore, $f$ is injecitve, which means that $f$ is bijective.

Replacing $n$ with $f(n)$ in the given functional equation yields
\[f(m f(f(n))) = f(n) f(m).\]Since $f(f(n)) = n,$
\[f(mn) = f(n) f(m) \quad (*)\]for all positive integers $m$ and $n.$

Taking $m = n = 1$ in $(*),$ we get
\[f(1) = f(1)^2,\]so $f(1) = 1.$

Recall that for a positive integer $n,$ $\tau(n)$ stands for the number of divisors of $n.$  Thus, given a positive integer $n,$ there are $\tau(n)$ ways to write it in the form
\[n = ab,\]where $a$ and $b$ are positive integers.  Then
\[f(n) = f(ab) = f(a) f(b).\]Since$ f$ is a bijection, each way of writing $n$ as the product of two positive integers gives us at least one way of writing $f(n)$ as the product of two positive integers, so
\[\tau(f(n)) \ge \tau(n).\]Replacing $n$ with $f(n),$ we get
\[\tau(f(f(n)) \ge \tau(f(n)).\]But $f(f(n)) = n,$ so
\[\tau(n) \ge \tau(f(n)).\]Therefore,
\[\tau(f(n)) = \tau(n)\]for all positive integers $n.$

If $n$ is a prime $p,$ then
\[\tau(f(p)) = \tau(p) = 2.\]This means $f(p)$ is also prime.  Hence, if $p$ is prime, then $f(p)$ is also prime.

Now,
\[f(2007) = f(3^2 \cdot 223) = f(3)^2 f(223).\]We know that both $f(3)$ and $f(223)$ are prime.

If $f(3) = 2,$ then $f(2) = 3,$ so $f(223) \ge 5,$ and
\[f(3)^2 f(223) \ge 2^2 \cdot 5 = 20.\]If $f(3) = 3,$ then
\[f(3)^2 f(223) \ge 3^2 \cdot 2 = 18.\]If $f(3) \ge 5,$ then
\[f(3)^2 f(223) \ge 5^2 \cdot 2 = 50.\]So $f(2007)$ must be at least 18.  To show that the 18 is the smallest possible value of $f(2007),$ we must construct a function where $f(2007) = 18.$  Given a positive integer  $n,$ take the prime factorization of $n$ and replace every instance of 2 with 223, and vice-versa (and all other prime factors are left alone).  For example,
\[f(2^7 \cdot 3^4 \cdot 223 \cdot 11^5) = 223^7 \cdot 3^4 \cdot 2 \cdot 11^5.\]It can be shown that this function works.  Thus, the smallest possible value of $f(2007)$ is $18.$
m = n,$ 을 설정하면 다음과 같이 됩니다.
\[f(nf(n) = nf(n)]\]따라서 $nf(n)$은 모든 양의 정수 $n에 대한 고정점입니다(즉, $x = nf(n)$은 $f(x) = x.$를 만족합니다).

m = 1,$ 을 설정하면 다음과 같이 됩니다.
\[f(f(n) = nf(1)]\]$n$이 고정점(우리가 알고 있는)이라면 $n = nf(1)이므로 $f(1)= 1.$ 따라서,
모든 양의 정수 $n$에 대해 \[f(f(n) = n\]입니다.$ 이 방정식은 함수 $f$가 목적적임을 알려줍니다.

또한, $f(a) = f(b)$이면 다음과 같습니다.
\[f(f(a)) = f(f(b))\]이므로 $a = b.$ 따라서 $f$는 인젝티브이며, 이는 $f$가 바이어젝티브임을 의미합니다.

주어진 함수 방정식에서 $n$을 $f(n)$으로 바꾸면 다음과 같이 됩니다.
\[f(m f(f(n)) = f(n) f(m).\]$f(f(n)) = n,$이므로 다음과 같습니다.
모든 양의 정수 $m$ 및 $n$에 대해 \[f(mn) = f(n) f(m) \쿼드 (*)\]가 됩니다.

(*)에서 $m = n = 1$을 취하면 다음과 같이 됩니다.
\[f(1) = f(1)^2,\]이므로 $f(1) = 1.$입니다.

양의 정수 $n$의 경우 $\tau(n)$은 $n$의 제수의 수를 나타냅니다.$ 따라서 양의 정수 $n$이 주어지면 다음과 같은 형식으로 쓸 수 있는 $\tau(n)$ 방법이 있다는 것을 기억하십시오.
\[n = ab,\]여기서 $a$와 $b$는 양의 정수입니다. 그러면
\[f(n) = f(ab) = f(a) f(b)]\]f$는 교집합이므로, $n$을 두 양의 정수의 곱으로 쓰는 각 방법은 적어도 한 가지 이상의 $f(n)$을 두 양의 정수의 곱으로 쓰는 방법을 제공하므로, 다음과 같습니다.
\[\tau(f(n) \ge \tau(n).\]$n$을 $f(n)$로 바꾸면 다음과 같이 됩니다.
\[\tau(f(f(n)) \ge \tau(f(n)).\]하지만 $f(f(n))=n,$이므로 다음과 같습니다.
\[\tau(n) \ge \tau(f(n)).\]따라서,
모든 양의 정수 $n.$에 대해 \[\tau(f(n) = \tau(n)\]입니다.

n$이 소수 $p$이면 다음과 같습니다.
\[\tau(f(p)) = \tau(p) = 2.\]이는 $f(p)$도 소수임을 의미합니다. 따라서 $p$가 소수이면 $f(p)$도 소수가 됩니다.

이제
\[f(2007) = f(3^2 \cdot 223) = f(3)^2 f(223)\]우리는 $f(3)$와 $f(223)$가 모두 소수라는 것을 알고 있습니다.

f(3) = 2,$ 이면 $f(2) = 3,$ 이므로 $f(223) \ge 5,$ 및
\[f(3)^2 f(223) \ge 2^2 \cdot 5 = 20.\]$f(3) = 3,$이면 다음과 같습니다.
\[f(3)^2 f(223) \ge 3^2 \cdot 2 = 18.\]If $f(3) \ge 5,$ 다음
\[f(3)^2 f(223) \ge 5^2 \cdot 2 = 50.\]따라서 $f(2007)$는 최소 18이어야 합니다.  18이 $f(2007)의 가능한 가장 작은 값임을 보여주기 위해 $f(2007)=18인 함수를 구성해야 합니다. 양의 정수 $n이 주어지면 $n$의 소인수분해를 취하고 2의 모든 인스턴스를 223으로 바꾸고 그 반대의 경우도 마찬가지입니다(다른 모든 소인수는 그대로 둡니다).  예를 들면 다음과 같습니다,
\[f(2^7 \cdot 3^4 \cdot 223 \cdot 11^5) = 223^7 \cdot 3^4 \cdot 2 \cdot 11^5.\]이 함수가 작동한다는 것을 알 수 있습니다. 따라서 $f(2007)$의 가능한 최소값은 $18.$입니다.